Feynman Vorlesungen über Physik. Band 3: Quantenmechanik. Definitive Edition, 5. Auflage

Richard P. Feynman Robert B. Leighton Matthew Sa nds

Feynman-Vorlesungen über Physik I Band

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QUA TE MECHA

7&~~ Definitive Edition 5. Auflage Oldenbourg

,eynman Vorlesungen über Physik Band IH: Quantenmechanik. Definitive Edition von Richard P Feynman, Robert B. Leighton und Matthew Sands

5., verbesserte Auflage Mit 192 Bildern und 22 Tabellen

OldenbourgVerlag München Wien

Ulori ierte Übersetzung der englischen Originalausgabe"The Feynman Le tu on Ph~ i , The Definitive Edition, 200 Edition olume III) by Feynrnan, Ri hard P.; L ighton. Ra rt B.: Sands, Manhe"v", erschienen bei Pearson Education, Inc, pubti hing Benjamin Cummin Copyright © 2006 California In titute of Technology, Pearson Edu lion Ln Autoren: Prof Dr. Richard P. Feynman (1918-1988), California In titute of Technolog)~ obelpreisträger 1965. Prof Dr. Roben B. Leighton (1919-1997), Califomia Institute orTe hnology. Prof Dr. Matthew Sands Univer iry of CaJiromia Santa Cruz, SA. Deutsche ersetzung: Dr. Henner Wessei Wi fn chafiliche Beratung der deutschen Übersetzung:: Prof Dr. Pet r Beckmann, Institut fiir Ph ik, Johanne -Gutenberg-Univ

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itäl 1ainz

ationaJbibliOlhek

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9 8-3-486-58109-6

Über Richard Feynman Richard P. Feynman wurde 1918 in Brooklyn geboren und erlangte 194_ an der Princeton Uni\er ity, ew Jer ey. A einen Ph.D. Trotz einer Jugend hatte er ährend de zweiten Weltkrieg eine wichtige Rolle im Manhanan-Projekt de Los A1Q/110S Laboratory inne. n ehließend lehrte er an der Cornell University, lthaca, Te York owie arn Caltech dem Califomia In.titute ofTecl7llology in Pa adena, . SA. 1965 erhielt er zu ammen mit hini hirö Tomanaga und Julian ehwinger den Phy ik- obelpreis für eine Arbeiten zur Quantenelektrodynamjk. Fe nman bekam den ob Iprei für die erfolgreiche Lö ung der Probleme mit der Theorie der Quamenelektrod namik. Er entwickelre au h eine mathemati che Theorie, die die Phänomene der Suprafluidität bei ftü igem Helium erklärte. Außerdem lei tete er. zu ammen mit Murra Gell-Mann, grundlegende Arbeiren im Bereich der chwachen Wech eh irkungen \ ie dem Beta-Zerfall. In päteren Jahren pielte Fe nman eine Schlü elrolle bei der Entwicklung der Quark-Theorie indem er ein Partonen-Modell hochenergeti cher Streuproze e vorlegte. bel' die e Lei tun gen runau führte Feynman grundlegende neue Berechnung re hniken und Dar teilung arten in die Phy ik ein, unter anderem die allgegenwärtigen Fe nman-Diagramme, die - vielleicht mehr al irgendein anderer Formalismu in der jüngeren i enchaft ge chichte - die Art und Wei e veränderte, in der el mentare phy ikab che Proze e entworfen und berechnet werden. Feynman war ein außerordentlich erfolgreicher L hrer. Von a11 einen zahlreichen Au zeichnungen ar er auf die "Oersted Medal Jor Teaching", die er 1972 gewann, be onder tolz. Die "Feynrnan Vorlesun en über Physik' , zuer t 1963 eröffentlicht, wurden von einem Rezen enten im " cientific American" wie folgt be chrieben: "Schwierig, aber nahrhaft und voJler Ge ehmack. ach 2S Jahren ind ie der Leitfaden für Dozenten und ehr o-ute Phyik tudenten." Mit dem Ziel, da phy ikali che er tändnj on Laien zu verbe em, chrieb Feynrnan di b id n Bücher Vom Wesen physikalischer Gesetze" und "QED. Die eltsame Theorie des Lichts und der Materie". Er war außerdem Aut r einer Reihe an pru h ollerer Veröffentlichungen, die zu kJa i ehen Referenzen und Lehrbüchern für For eher und Studenten wurden, Richard Fe nman ar eine ge chätzte Per önlichkeit des öffentlichen Leben. eine Arbeit in der nter uehung kommi ion zur Challenger-Kata trophe i t weithin bekannt, in be andere eine berühmt Demon tration der Anfalligkeit d r O-Ringe für Kälte - ein elegante Experiment, da nicht weiter al in Gla Ei wa er eJforden. Weit weniger bekannt ind eine erdien te im ,CallJomia late Curriculum Commiffee", wo er in den 1960ern gegen die irtelmäßigkei[ der L hrbücher prote tierte. Die bloße ufzählung Ri hard Fe nman unzähliger wi en chaftlicher und pädagogi cher Lei rungen kann da e entli he die e anne ni ht anoeme en Fa en. Wie jeder Le relb t einer einer Fa h pezifi eh ten Veröffentlichungen - weiß, cheint Feynman heiter und

VI

her Richard Feynmall

viel eitige Per önlichkeit durch de en ganze Werk hindurch. eben einer Tätigkeit al Ph iker war Feynrnan wend eine Leben al Panzerschrankknacker, Kün tler. Tänzer und Bongo-Spieler zugange. verdiente Geld al Radio-Reparateur und betätigt ich ogar al EI1lcWü ler von aya-Hieroglyphen. Immer neugierig auf die Welt war er ein mu tergültiger Empiriker. Richard Feynman tarb arn 15. Februar 1988 in Lo Angeles.

Vorw,ort zur Definitive Edition Mehr a1 40 Jahre ind ergangen, eit Richard Feynman die einführende Ph ik- orlesung hielt au der die drei Bände d r ,.Fe. '11I11a11 Vorle ungen über Phy ik" entstanden ind. In die en 40 Jahren hat ich un er er tändni on der Phy ik grundlegend gewandelt aber die "Feynman Vorle ungen über Physik" sind geblieben. Sie ind heute noch genau 0 bedeutend ie damal , al ie wer t eröffentlicht wurden - dank eynman einzigartigen Ein ichten in die Ph ik und einer außergewöhnlichen Pädagogik. Die Feynman-Vorle ungen wurden weltweit tudien. on Anfangem wie von fortge chrittenen Ph ikem; ie \ urden in minde ten ein Dutzend prachen über etzt. mit über anderthalb Millionen gedruckten Exemplaren allein in engli eher Sprache. ermutlich kein andere mehrbändige Phy ikbuch hatte 0 lange 0 großen Einflu .

Wie es zu die er Neuauflage kam Die drei Original-Bände d r, Fe}/wlQn Vorlesungen über Ph)sik" wurden in nur kurzer Zeit von Fe nman und de en Mitautoren Robert B. Leighton und Matthew Sand angefertigt - erarbeitet und eilt\! ickelt au den Tonbandaufnahmen und Tafelbildern Feynman Vorle ung reihe der Jahre 1961 bi 1963. 1 n ermeidlich hatten ich hier Fehler einge chlichen. Feynman hatte über die Jahre him eg lange i ten bean tandeter Fehler er teilt - Fehler, die on Studierenden und Mitarbeit m de Caltech owie Le ern auf der ganzen Welt entdeckt worden waren. In den 1960em und 1970em nahm ich Fe nman trotz eine aufregenden Leben die Zeit, die meisten der bean tandeten Fehler des 1. und II. Bande zu überprüfen, und nahm entsprechende Korrekturen in den folgenden euauflagen or. Allerding erreichte Feynman PflichtgefüW niemal da Au maß einer Begei terung an der Entdeckung neuer Dinge, um ich auch mit den Errata de m. Bande zu be chäftigen. 2 a h einem viel zu frühen Tod im Jahr 198 Ufden die Li ten der ungeprüften Errata in den Archi en de Caltech deponiert und lagerten dort verge en. 2002 informierte mich Ra1ph Leighton der Sohn Robert Leightons und ein Land mann Feynman ) über die alten Errata und eine neu lange Li te, er teIlt on Ralph Freund Michael Gottlieb. Leighton chlug or, da da Caltech die e neue "Definitive Edition der ,,Feynman Vorle lIngen über Ph 'sik' mit allen korrigiert n Errata anfertigte und eröffentlichte, Feynman war mein orbild und ein enger per önlicher Freund. 1 ich die Errata-Li ten ah illigte ich chnell in zu helfen, Glücklicherwei e wu te ich die ideale Per on, die Errata zu überprüfen: Dr. i hael Hart!. I Für Be chreibungen der En tehung Feynman arl ungen und die er Bände iehe da .. orwon zur Gedenkau gabe", ..Fe nman orwort:: und da ,. orwOI1" in die em und d n anderen beiden Bänden. 21975 begann er mit der erprüfung der Errata de 111. Bande. wurde aber durch andere Dinge abgelenkt und beendele niemal die e Auf abe; ami! wurden keine Korrekturen vorgenommen.

III

\lOlil'Ort

-ur Definitil'e Edition

Hartl hatte vor kurzem am Caltech einen Ph.D. in Phy ik gemacht und den einzigen "lifetime achievement awardfor excellence in teaching" erhalten, der j mal einem Caltech-Ab 01enten von un eren Bachelor-Studenten verliehen wurde. Hartl verfügt über ein liefe er tändni der Ph ik. er gehört zu den orgfältig ten Phy ikem. die ich kennen gelernt habe. und i twie Fe nman - ein herau ragender Pädagoge. Caltech, d. h. Tom Tombrello (Inhaber de L hrstuhl für Phy ik, Mathematik und A tronomje) autori ierte mich die neue "Definirive EdiTion" der drei Original bände zu betreuen, Wir kamen üb r in, da Michael Hartl in meinem amen die ElTata für die ,DefiniTive Edition" überprüfen ollte. leh würde wiederum tiehpr benarlig Hanl Arbeit überprüfen und die ehJu ver ion freigeben. Zu meinem ergnüg n kam alle reibung 10 zum Ende. Fe nman. das glaube ich fe t, wäre zufrieden und tolz auf da Ergebni .

Die Errata Die Errata, die in die er uflage korrigiert wurden. tammen au drei Quellen: ungefahr 80% kommen von Michael Goltlieb' der Re t i t zum größten Teil langen Li ten anon mer Le er entnommen. die Feynman in den) 970em über den Verlag erreichten - da .. brige enttammt kurzen Li ten. die Feynman oder wir von ver chiedenen Le em erhalten halten. Korrigiert wurden drei Arten von Errata: I. typograph i ehe Fehler im Text: 2. rund 150 typographi che und mathemati che Fehler in Gleichungen, Tabellen und bbildungen - S hreibfehler. fal che Zahlen (z. B. eine ,.5". die eine ,,4" ein ollte) owie fehlende Indize. umm nzeichen, Klammern und Bezeichnungen in Gleichungen; 3. ungefähr 50 fal he Querverwei auf KapiteL Tabellen und bbildungen. Die e orte Fehler kann auch wenn ie für rfahrene Ph iker nicht onderli h gra ierend sind, fru tri rend und verwirrend für Studier nde ein. di ja gerade die Le erschaft ind, die Feynman erreichen wollte. E i t bemerken wert. da die Errata lediglich zwei Flüchtigkeit fehler in der Ph ik enthalten: In Band L Seite 654. heißt e nun "Wenn wir das Gummiband au dehnen. tellen \ ir fe t, da eine Temperatur teigr' und nicht mehr "fälIr', wie in den orangegangenen Auflagen behauptet; und in Band TI, Seite 91, heißt e nun .,keine tati ehe Ladung verteilung im Inneren eine ge eWo enen geerdeten Leiter [kann] Felder außerhalb erzeugen" (da on . ,geerdet" fehlte in früheren Auflagen). Auf die en zweiten Fehler wurde Fe nman on erIi hen Le em hingewie en. und auch von Beulah Elizabeth Cox, einer tudentin de College ofWiIliam and Mary", die ich auf Feynman fehlerhafte Pas age in einer Prüfung erla en hatte. An Beulah Cox chrieb Feynman 1975, 3 .Jhr Dozent halt recht. Ihnen keine Punkte zu geb n, da Ihre Antwort fal eh ar wie er anhand de Gauß ehen Ge elze zeigte. ie ollten in d r Wi en ehaft der Logik und orgfältig dargelegten Argumenten glauben, und ni ht utoritäten. Auch ollten Sie da Bu h genau le en und e ver tehen. Ich habe ein n Fehler gema ht, al 0 i t da Buch fal eh. ahr cheinlich habe ich an eine geerdete leitende Kugel geda ht dran die Tat ache. da die ich an er meden n Orten im Inner n bewegenden Ladungen nicht di Dinge draußen beeinflu en. Ich bin mir nicht ieher wie. aber i h habe e errna elt. nd ie haben e auch errna eh. weil Sie mir geglaubt haben:' Fe nman war ich die e und anderer Fehler peinlich be u t. In in m Briefweh el mit dem Verlag 1975 bezieht er ich "auf Fehler in der Phy ik in den Bänden Il und lII. die mehr 1ichelle Feynman Ed.): Perfectly Reasonable Deviations [rom (he Semen Track, The Leners o[ Ri hard P Feynt ew York 20(r, . 2 f.

mall, Basic Book.

Vorwort :ur Definitive Edition

IX

al nur typographi her rt ind'·. Ich kenne die anderen Fehler ni ht. Sie zu finden, i teine Aufgabe für die künftigen Le er! Zu die em Zweck hat Michael Gottlieb eine \ eb ite angelegt (wwwJ nmanl cture .info), auf der alle Errata, die in die er Auflage kOlTigiert wurden, aufgeli tet ind, zu ammen mit allen neuen Errata, die künftig von Le em gefunden werden.

Die Struktur die er Auflage Di e "DejiniTl\ e EdiTion" beginnt mit einem Teil, der in der "Neuzeit"' entworfen wurde - lange nach der Er tauflage der "Feyn1llall Vorlesungen über Physik": Die em orwort, einer kurzen Biographie F nman owie inem "Vorwort zur Gedenkau gabe". das 1989 on Gen'Y eugebauer (der an d n orber itungen der Originalbände beteiligt ar) und Da id Good tein (dem Urheber de Kur e bz\. der TV -Produktion "The Mechanical Universe", einem einführenden Ph ikkur) erfa t wurde. Die daran an chließenden Seiten sind idemi eh mit d r Original- uflage, abge ehen von der KOlTektur der Errata.

Erinnerungen an Feynman Vorle ungen Die e drei Bänd ind eine abge chlos ene pädagogi che Abhandlung. Sie ind auch eine hi tori ehe Erinnerung an Feynman Yorle ungen von 1961 bi 1963, ein Pftiehtkur für alle tudienanHinO"er im er ten und zweiten Studienjahr am Caltech, unabhängig om Hauprfach. ie ich fragen ich ielleicht die Le er wie Feynman Vorle ungen die tudierenden beeinRu t haben. eynman elb t trifft in einem Vorwort zu die en drei Bänden eine eher pe im1ti ehe Ein chätzung. "leh glaube nicht, da ich mit den tudenten ehr gut zurecht gekommen bin". chreibt er. Good tein und eugebauer drücken in ihrem "Sonder-Vorworr' von 19 9 eine gemi chte Ein chätzung au , während and in einen Memoiren einen weit po iri eren Eindruck äußert. Au eugi rde kontaktierte ich im Frühjahr 2005 eine quasi-zufällig au gewählte Gruppe on 17 Studenten ( on ungefähr ISO) au dem 1961-63er Kur - e waren einige dab i, die große ch, ierigk iten mit dem Kur gehabt hatten, und einige, die ihn mit Leichtigkeit bewältio-ten; und z ar owohl mit dem Hauptfach Biologie, Chemie, Ingenieurwi en haften Geologie athematik und A tronomi al auch dem Hauprfach Phy ik. lich wenn der Lauf der Jahre ihre Erinnerung vielleicht ein \ enig euphori ch errärbt hat 0 denken aber d eh ung fahr 800/1 an Feynman Yorle ungen al an einen Höhepunkt ihrer C lieg -Zeit zurück. "E war al ginge man in die Kirche." Die Vorl ungen waren "eine grundleg nde Erfahrung'" ,di rfahrung meine Leben, wahrscheinlich da Wichtig te, das ich om altech mitg nommen hab ". "Eigentlich , ar i h Biologie-Student aber al Höhepunkt meiner Bachel r-Zeit tachen die· eynman- Vorle ungen hervor ... obwohl ich zugeben mu . da ich die Hau aufgab n Iten rechtz itig rledigen konnte und ich mir chwer getan habe, i üb rhaupt zu chaffen.' ,.I h O"ehörte zu den am w nig ten au icht reichen tudenten im Kur und ich habe ni ein orl uno er äumt ... Ich rinnere mich und püre immer noch Feynman Freude an der Emd kung... eine Vorle uncren hatt 11 ein emotionale Wucht, die wahr cheinlich in d n gedruckt n orle ungen rloren gegangen i t..,

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Vom'ort -ur DefiniIil'e EdiTion

Danksagungen Die e ..Definitive Edition" der ..Feynman Vorlesungen über Phy ik" ären ni ht möglich gewe en ohne den ur prünglichen An toß von Ralph Leighton und ichael Gonlieb owie die herau ragenden prakti chen Arbeiten an den Errata durch Michael Hart!. Ich danke Gottlieb und den anon men Le em für die Errata-Li ten, auf denen die Korrekturen basieren. und ich danke Tom Tombrello. Rochu ogt, Gerry eugebauer, Jame Hartle. Carl und ichelle F ynman owie Adam Black für ihre Unter tützung. ihre klugen Hinwei e und Beiträge zu die em Unternehmen.

Kip S. Thorne Inhaber der Feynman-Profe ur für Theoreti ehe Phy ik California In titute of Technology

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Die Feynman-Vorlesungen üb,er Physik Vorwort zur Gedenkausgabe Zum Ende eine Leben hin überstieg Richard Feynmans Ruhm die Grenzen der wi enchaftlichen Gemeinde. Durch eine Großtaten al itglied der Kommi ion, die da nglück der Challenger-Raumfähre unter uchte. wurde er weithin bekannt; gleichermaßen machte ihn ein Be t eller über ine pikare ken Abenteuer zu einem Volk helden in beinahe der Größenordnung eine Albert Ein t in. Aber chon 1961, noch bevor ihn der Gewinn de obelpreie der breiten Öffentlichkeit bekannt machte, war Feynrnan mehr als berühmt in der Wi enchaft gemeinde - er war legendär. Da er ein begnadeter Lehrer war, half zweifel ohne, die Legende on Richard Fe nman zu erbreiten und zu vergrößern. Er war ein wirklich großartiger Lehrer ielleicht der größte seiner Zeit. Der Hör aal war für Feynman ein Theater und der Dozent der Schau pieler eben 0 dafür da, ein Drama und Feuerwerk zu abzuhalten, ie Zahlen und Fakten zu liefern. Die ew York Time chrieb, er pif che mit den Armen fuchtelnd, um die Front de Klassenzimmer herum, ,die unmögliche Kombination au einem theoreti chen Phy iker und einem Jahrmarkt-Schreier, der ganze Körper in Bewegung und alle möglichen Geräu che von ich gebend". Gleich ob er sich an Studenten. Kollegen oder die Öffentlichkeit al Hörer chaft wandte für alle, die das Glück hatten, Feynman beim Vortrag per önlich zu erleben, war diese Erlebni außergewöhnlich und un erge lieh - wie der Mann elb tauch. Er war der Mei ter de großen Dramas und wu ste ge chickt die Aufmerk arnkeit de Publikum in jedem Hör aal zu fe eIn. Vor ielen Jahren hielt er einen Kurs in Quantenmechanik rur Fortge chrittene, eine groBe Klas e be tehend au einigen einge chriebenen graduierten Studenten und dem größten Teil der Ph ik-Beleg chaft de Caltech. Während einer der Vorlesungen begann Feynman zu erklären wie bestimmte komplizierte Integrale im Diagramm darge teUt werden können: Die Zeit auf die er Achse der Raum auf jener Achse, eine wacklige Link hier eine gerade Linie da etc. achdem er da be chrieben hatte, wa der Welt der Phy ik aJ Feynman-Diagramm bekannt i t, drehte er ich zur Kla e um grin te breit und meinte: , nd die h ißt DAS Diagramm. ' Feynman war am Ende der Ge chichte angelangt und der Hör aal brach pontan in pplau au . och iele Jahre nachdem er die Vorle ungen au denen die e Buchreihe her orging. gehalten hatte, war Fe nman gelegentlich Ga tdozent für den Phy ikkur für Studenten im er ten Jahr am Caltech. atürlich rou te ein Er cheinen geheim gehalten werden, damit im Hör aal genug Platz für die einge chriebenen Studenten blieb. Bei einer olchen Vorlesung war das Thema die gekrünunte Raumzeit und Fe nman war wie immer brillant. Aber der un erge lieh te Augenblick trug ich gleich am Anfang der Vorle ung zu. Die Supernova on 1987 war gerade entdeck worden und Feynman ar darüber ehr aufgeregt. Er sagte, "Tycho Brahe harre eine Supernova und Kepler die einige. Dann gab e für die näch ten 400 Jahre keine. Aber jetzt

XII

Die Feynman- Vorlesungen über Physik

habe ich meine:' Tn der Kla e wurde e till und Feynman fuhr fort ..,E gibt 10 11 terne in der Galaxie. Das war einmal eine ewaltige Zahl. Aber e ind nur 100 illiarden. E i t weniger als da Staatsdefizit. Wir haben olche Zahlen früher a tronomi che Zahlen genannt. Jetzt 011ten wir ie ökonomi che Zahlen nennen:' Die Klasse brach in Gelächter au - Fe nman hatte ein Publikum in Bann gezogen und fuhr mit der Vorle ung fort. Wenn man von den Showeinlagen ab ieht. war Feynmans pädagogi che Technik impel. Eine Zu ammenfas ung einer Lehr-Philo ophie wurde unter einen Papieren in den CaltechArchi en gefunden, in einer [Oliz. die er ich während eine Bra ilien-Aufenthalt 19~2 hingekritzelt hane: "Zuer t mu t du herau finden, warum du mächte t da die tudent n die e lernen, und wa ie wi en ollen. dann wird ich mit ge undem Men ehen er tand die Meth d mehr der \ eniger on elb t ergeben:' Was zu Fe nman al ..ge und r en ehenver tand" kam, waren oft brillante indungen. die perfekt da We entli he einer Argumentation fa ten. Einmal er uchte er ährend einer öffentlichen Vorle ung zu erklären, warum eine Idee nicht durch die Daten verifiziert werden darf, au denen die Idee entstanden i t. Sich eheinbar on dem Thema wegbe eg nd begann Feynman, über ummernschilder zu reden. "Wis en Sie, heute Abend pa ierte mir etwa ganz Er taunliche . Ich fuhr hierher. auf dem eg zur Vorle ung, und kam über den Parkplatz herein. Und Sie glauben nicht. wa pa iert i 1. Ich ah ein Auro mit dem ummem child "AR 357"'. Können Sie ich das vor tellen? Wie groß war wohl die Chance, das ich unter all den Millionen ummem childern die e Staat heute Abend au gerechnet die e eine ah? nglaublich!" Ein Argument, da zu begreifen ich ogar viele Wi en chaftler h\l er tun, wurde durch Fe nman bemerken werten ,.ge unden Men chenver land ab olut einteu ht nd. In einen 35 Jahren am Caltech ( on 1952 bi 1987) hatte Feynman 34 regi triefte Kur e gegeben. 2S hiervon waren Fortge chrinenen-Kur e, treng limitiert auf einge chriebene graduierte tudenten, e ei denn ntergraduierte baten um Erlaubni teilzunehmen (die taten ie häufig und fa t immer urde die Erlaubni gewährt). Der Re t waren haupt ächlich Einführung kur e für Graduierte. ur einmal gab Feynman Kur e für tudenten im Grund tudium, und da war der berühmte Anlas in den rudienjahren 1961/62 und 1962/63 mit einer kurz n Repri e 1964, al er die Vorle ungen hielt, die die "Feynman Vorle ungen über Physik" \ urd n. Zur damaligen Zeit herr ehte am Caltech der Kon en , da Studienanfanger im er ten und zweiten Studienjahr durch den zweijährigen Phy ik-Pfhehtkur eher abge chreckt al angepomt würden. I u gleich ollte Feynman eine Vorle ung reihe entwerfen, die den tudenten im Verlauf on zwei Jahren angeboten würde, er t den Studienanfängern im er ten Jahr und dann der eIben Kla e in deren zweitem Jahr. achdem Feynman zuge timmt hatte, wurde ofort be chlo en, die orle ungen für eine Veröffentlichung umzu etzen. E t lire ich aber herau ,da die e Arbeit weit chwieriger war als irgendjemand angenommen hatte. Das Er teiohl iten len von zur eröffentli hung geeigneter Bücher etzt eine enorme enge Arbeit on Feynman Kollegen vorau al auch von Feynman elb t der die endgültig Bearbeitung jede einzelnen Kapitel omahm. Die prakti che Um etzung de Kur e mu te nun angegangen werden. Die e ufgabe \ ar aufgrund der Tat ache, da Fe nrnan nur einen vagen Entwurf da on hatte. wa er b handeln wollte außerordentlich kompliziert. Die bedeutete da niemand wu te, a Fe nman ag n würde, bi die er or den· tudenten im Hör aal tand und e agte. Die Caltech·Pr fe or n,

Die Feynl1loll- Vorle !lI/gen über Ph)'sik

XIII

die ihm a i tienen, mu ten ich dann 0 gut ie konnten beeilen, 0 banale Detail wie da Stellen on Hau aufoab n zu erledigen, arum pferte Feynman über z ei Jahre, um die Art und Wei e zu re olutionieren. wie der Ein lieg in di Phy ik gelehrt werden konnte? E lä t ieh nur pekulieren, aber e gab wahr cheinlich drei w entliehe Gründe. Ein Grund dürfte ein, da er e liebte, Publikum zu haben. und e eröffnete ihm in orößere Kino a1 er e üblicherwei e in Fortge chrinenenKur en haue. D r zweite Grund war. da er ich wirklich für die Studenten intere sierte und überzeugt war. Studienanfänger zu unterrichten ei eine wichtige Sache. Der drine und ielleicht \. ichtig te Grund war die bloße Herau forderung, die Physik so umzuformulieren, wie er ie ver tand und ie ie jungen Studenten prä entiert werden konnte. Da war eine Spezialität und die Richt hnur. mil der er bemaß, ob etwa wirklich ver tanden urde. So wurde Feynman einmal on inem Fakultät angehörioen am Caltech gebeten zu erklären. arum Spin-1I2Teilchen der Fermi-Dirae- tati tik gehorchten. Er fa te eine Zuhörer chaft genau in Auge und entgegnete. "ich werde eine Er t eme ter-Vorlesung dazu vorbereiten". Aber einige Tage päter kehrte er zu dem Punkt zurück und agte "Wiss n ie ich konnte e nicht tun. Ich konnte e nicht auf r teme ter- i eau reduzieren. Da bedeutet, da wir e nicht wirklich verstanden haben." Die e pezialität, tiefg hende Ideen auf einfache. er tändliche Beziehungen zurückzuführen, wird in den ge amten ,.FeYllmol1 Vorlesungen über Physik" eident, nirgendwo aber deutlicher aJ in einer Behandlung der Quantenmechanik. Für Kenner i t klar was er getan hat. Er hat nfang eme t m die eg-Integral-Methode dargelegt, die von ihm elb t entwickelte Technik, die e ihm erlaubte, einige der tiefgreifend ten Probleme der Phy ik zu lö en. Seine Arbeiten in denen reIb t das egintegral heranzog, führten - neben weiteren Errungenchaften - zum Ge inn d obelprei e 1965. den er mit Julian Schwinger und Shinichirö Tomanaga teilte. Durch den chleier der Erinnerung haben viel der Studenten und Fakultätsangehörigen, di die arie ung n be LI ht hanen, ge agt. da die zwei Jahre Ph ik bei Feynman die Erfahrung ihre L b n war. ber die i l nicht 0, wie e damal den An chein hatte. iele der Studenten für hteten die Kla e, und al ich der Kur hinzog, ging die Anwesenheit der einge chriebenen tud nten er chre kend zurück. Aber zur selben Zeit begannen mehr und mehr fortge chritrene tudent n und der Lehrk"rp r zu er heinen. Der Raum blieb gut gefüllt und Feynman hat ielleicht nie bemerkt, da er einen Großteil seiner zugedachten Zuhörer chaft einbüßte. Aber Ib t au Feynman Sicht hatten eine pädagogischen Be trebungen ihr Ziel nicht errei ht. Er chrieb in dem 1963 r Vorwort zu den Vorlesungen: ,Ich glaube nicht. da ich mit den tudenten gut zur ht gekomm n bin:' Wenn man die Bücher heute lie t, glaubt man man hmal Fe nman dab i zu erwi ehen, wi er üb reine chullern blickt - nicht zu einer jungen Zuh"r r chaft, ond rn direkt zu einen Koll gen - und agt ,Seht her. haut i raffini rt i h di rübergebracht habe. ar da nicht c1e er?" Aber elb t wenn r glaubte, er ürde di Ding für Studienanfänger im er ten oder zweiten Studienjahr er ländli herklären, waren e ni ht 0 ehr jene, die n dem, wa r tat, am mei ten profitierten. E \ aren eine K Uegen i n haftler, Ph ik rund Profe oren -, die die größten utznießer eine auß rgewöhnlichen erke ein oUten, welche nicht wenig r war al die Ph ik durch die fri che und d nami he Per pekti e de Richard Feynman zu ehen. e nman ar m hr al nur ein großartig r Lehrer. ine Gabe war ein außerge\ öhnli her Lehrer on L hrem zu ein. enn da Ziel der ,Feynll1an Vorle IIngen über Phy ik" war ein

XIV

Die Fe)nman- Vorle ul1gen über Plzy ik

Zimmer voll Bachelor-Studenten auf die Lö ung von Prüfung aufgaben in Ph ik vorzubereiten, kann er ni ht a1 be onder erfolgreich ange ehen werden. Eben 0 wenig kann man agen, da . wenn e die Ab i hl der Bücher war al einführende ni er ität lehrbü h r zu dienen. er ein Ziel erreicht hätte. icht de to trotz wurden die Bücher in zehn ver hieden pra hen über etzt und ind in vier zwei prachigen Au gaben erhältlich. Fe nman elb I glaubte, da ein wichtig ter Beitrag für die Phy ik nicht die QED oder die Theorie de uprafluiden Helium oder Polaronen oder Partonen wären. Sein führender Beitrag eien die drei roten Bücher der .,Feynman Vorlesungen iiber Physik". Die e Überzeugung rechtf nigl völlig die e Gedenkau gabe der drei gefeierten Bücher. David L. Good tein Gerry eugebauer California In titute of Technology

April 19 9

Feynmans Vorwort Die ind die orle ungen üb r Phy ik, die ich im letzten und vorletzten Jahr für Anfänger und Fortge chrittene am Caltech gehalten habe. Die e Vorlesungen ind natürlich nicht ortwörtlich wiedergegeben - ie ind mehr oder weniger umfas end redigiert worden. Die Vorleungen bilden nur einen Teil de oll tändigen Kur e . Die ganze Gruppe on 180 tudenten ver ammelte ich z eimal wöchentlich in einem großen Hör aal, um diese Vorle ungen zu hören. Dann teilte ie ich auf in kleine .- ungsgruppen on 15-20 Studenten unter der Leitung eine A i tenten. Zu ätzlieh urde einmal in der Woche ein Praktikum abgehalten. Die pezielle ufgabe, die ir un mit die en Vorlesungen ge teIlt hatten, be land darin, da lntere e der ehr begei lerten und r cht o-e cheiten Studenten aufrechtzuerhalten, die on den höheren chulen an Calte h kamen. ie hatten viel davon gehört, wie aufregend und intere ant di Ph ik i t - die R lativität theorie, Quantenmechanik und andere moderne Ideen. Am Ende un ere vorhergehenden zweijährigen Kur e wären viele doch ehr entmutigt geween, weil ihnen nur hr wenige große neue und modeme Ideen geboten wurden. Man hatte ie chiefe Ebenen, Elektroaku tik u w. tudieren 1a sen, und nach zwei Jahren war da recht langweilig. Die Frage \ ar, ob wir einen Kur u durchführen könnten, der dem fortge chritteneren und begei tenen Studenten inen Enthu ia mu erhielte. Die e orle un n ind nicht al Über icht gedacht ondem ind ehr ern t gemeint. Ich gedachte, ie an di lntelligente t n der Kla e zu richten und wollte, wenn möglich erreichen,

XVI

Fernman Vonror{

da auch der intelligente te rudent nicht alle Gebotene voll tändig erfa en konnte. Dazu machte ich Andeutungen über die Anwendungen der Ideen und Konzepte in ver chiedenen Richtungen außerhalb der Hauptangriff linie. Au die em Grunde habe ich mich aber auch ehr bemüht, alle Angaben 0 genau wie möglich zu machen, in jedem Fall aufzuzeigen, wo die Gleichungen und Ideen in den Aufbau der Phy ik hineinpa ten und wie ich die Dinge beim weiteren Dazulernen ändern würden. Ich dachte auch, da e für olehe Studenten wichtig i t, gezeigt zu bekommen, wa ie sich au dem vorher Ge agten herleit n können. \ enn ie klug genug ind, und wa a1 etwas eue eingeführt wird. Wenn neue Gedanken aufkamen, wollte ich entweder ver uchen, ie abzuleiten, wenn ie ableitbar waren, oder klarzuma hen. da e eine neue Idee war, die nicht auf chon gelernten Dingen ba iene und die nicht bewei bar war. ondern einfach hinzugefügt wurde. Zu Beginn die er orle ungen nahm ich an, da die Studenten bei er! en der chule Dinge wie geometri che Optik., einfache chemische Begriffe u w. kannten. Ich ah auch nicht ein, da die Vorle ungen au irgendeinem Grunde in einer be timmten Reih nfolge gehalten werden mus ten und da ich etwa 0 lange nicht erwähnen durfte bi e im Einzelnen behannden delt wurde. Vielfach wurden Dinge ohne umfa ende Di ku ion erwähnt. Die umf Disku ionen würden später, nach eingehenderer Vorbereitung, kommen. Bei piele dafür ind die Indukti ität und die Energieni eau ,die anfangs nur in einer recht qualitativen rt erwähnt und er t päter au führLicher entwickelt wurden. Gleichzeitig mit dem aktiveren rudenten wollte ich auch denjenigen an prechen. der das Extrafeuerwerk und die ebenanwendungen nur beunruhigend findet und von dem man nicht erwarten kann das er den größten Teil de Vorle ung toffe überhaupt begreift. Für die en Studenten wollte ich zuminde t ein Kern tück de Stoffe haben, da er rfa en konnte. Selb t wenn er eine Yorle ung nicht völlig ver tand, hoffte ich, er würde nicht nervö \ erden. Ich erwartete gar nicht. das er alle verstand, aber doch wenig ten . da er die Haupt a hen nachvollziehen konnte. atürlich braucht er eine gewi e Intelligenz, um zu unter heiden. welche die zentralen Sätze und Grundgedanken und welche die weiterentwickelten ebenergebni e und Anwendungen ind. die er er tin päteren Jahren ver tehen kann. Bei die en Vorle ungen trat eine em thafte Schwierigkeit auf: Bei der Art, wie der Kur u abgehalten wurde. gab e keinen Kontakt zwi ehen tudenten und Dozenten der angezeigt hätte wie gut die Vorle ungen aufgenommen wurden. Da i t in der Tat eine ehr em thafte Schwierigkeit und ich weiß nicht, wie gut die Vorle ungen wirkJich ind. Da Ganze war im We entliehen ein Experiment. nd wenn ich e noch einmal machen würde, 0 njcht auf die ich gleiche Art - ich hoffe, ich mu e nicht noch mal machen! Dennoch glaube ich, da die Dinge - oweit e die Phy ik anbelangt - im er ten Jahr ganz zufried n tellend entwickelt haben. Im zweiten Jahr war ich nicht 0 zufrieden. Im er ten Teil der Yorle ung reihe, die ich mit Elektrizität und agneti mu befa te, fiel mir keine wirkJich überragende od r ander anig ethode ein jedenfali keine, die rheblich fe elnder war a] die g bräuchJiche Dar teilung wei e. Daher glaube ich nicht, da ich in den Yorle ungen über Elektrizität und Magneti mu viel erreicht habe. r prünglich hatte ich vorgehabt, am Ende de z eilen Jahre nach Elektrizität und Magneti mu mit einigen Vorle ungen über die Eigen chaften der at rie fortzufahren. aber haupt ächJich wollte ich Dinge wie Grund chwingungen, Lö ung TI der Diffu ion gleichung, chwingung t me, OrthogonaJfunktionen ... aufgreifen, um die er ten tufen d r o genannten ,.mathemati chen ethoden der Phy ik' zu entwick In. Rückbli kend denke i h,

Fe)'llman

X 1I

orwort

da ich auf die e ur prüngli he Idee zurückgreif n würde. wenn ich e noch einmal täte. Aber da ine iederh lung der rle un~ n nicht orge ehen war hielt man e für eine gute Idee zu er u hen. eine Einführung in di Quantenmechanik zu geben - Sie finden sie in Band III. E. i t ganz klar, d tudenten. di Ph ik al Hauptfach haben, mit der Quantenmechanik bi zum dritt n Jahr warten können. Anderer eit wurde der Einwand erhoben, da \ iele uneb nfach bzw. Hintergrund zu ihrem Hauptinrere e auf anderen erer Hör r Ph ik nur al Gebieten rudier n. nd die übliche rt, die Quantenmechanik zu behandeln. macht ie für die mei ten tudem n f tunzugänglich, \I.i il ie dafür zu viel Zeit brauchen. In ihren tat ächlichen n endungen j d h - bonder den kompIe eren. wie in der Elektrotechnik und in der hemie - i t der ganze pparat der Differentialgleichungen gar nicht unbedingt erforderlich. So habe ich ver ucht, di Grundlagen der Quantenmechanik auf eine Wei e zu be chreiben, die ni ht die Kenntni der 1ath matik der partiellen Differentialgleichungen vorau etzt. Selb t für einen Ph ik r i t e , glaube ich. au mehreren Gründen, die ich au den orle ungen ergeb n. ein intere anter er uch, Quantenmechanik einmal auf die em umgekehrten ege darzu teilen. leh glaube jedoch da da perimenr mit der Quantenmechanik nicht ganz erfolgreich war - v r allem, eil ich an1 chlu nicht genügend Zeit hatte. (Ich hätte z. B. drei oder ier arle ungen mehr halten mü en, um Themen wie Energiebänder und die räumliche Abhängigkeit der mplituden gründlicher zu behandeln.) Auch hatte ich die e Thema 0 noch nie darge teilt. 0 da der fehlende K ntakt mit den Studenten be anders problemati ch war. Hute glaube ich. da Quantenme hanik zu einem päteren Zeitpunkt gelehrt werden ollte. Vielleicht hab ich eine Tage die Möglichkeit e noch einmal zu tun. Dann werde ich e richtig ma hen. Vorle ungen üb r da Lö en on Aufgaben fehlen weil e die Übungsgruppen gab. Ob\ ohl ich im er ten Jahr drei arie ungen über .. bung aufgaben und deren Lö en hieh, ind ie hier nicht mit dabei. E gab au h eine Vorle ung über Trägheit lenkung, die ich an die Vorle ung über rotierende y terne an chließen mü te, die aber leider weggelassen wurde. Die fünfte und die ech te arIe ung ind in irklichkeit atthew Sand zuzu chreiben, da ich eITei t war. E bleibt natürlich die Fraoe. wi gut di e Experiment geglückt i t. Meine eigene Meinung - die allerding von d n mei ten Leuten die mit den Studenten arbeiten, an cheinend nicht geteilt wird - i t pe imi ti eh. Ich glaube nicht, da s ich mit den tudenten ehr gut zurechtgek mmen bin. enn ich mir an chaue wie die Mehrzahl der Studenten die Prüfung aufgab n behandelt hat glaube ich da da S tem ein Fehl chlag i 1. atürlich halten mir meine Freunde r, da ein oder zwei Dutzend Smd nten überra chendef\~ei e in ämtlichen Vorle ungen fa t alle er tanden haben, ehr gut mit dem Stoff umgehen konnten und ich über die ielen Frag n eifrig und intere iert G danken machten. Ich glaube, da die e Leute jetzt in er tkla ig Fundam nt in Phy ik haben - und ie waren e ja chließlich, die ich an prechen llte. Ab r: ,Die Kraft d r Lehre i t ehen on großer Wirk amkeit außer unter jenen glü kli hen m länden, 0 i b inahe überflü ig i t" (Gibbon). D ch wollte i h k inen tudenten oll tändig auf d r Strecke 1a en, \ ie ich e ielleicht getan habe. I h glaube, äre eine Möglichkeit, den Studenten be ser zu helfen, wenn \ ir un imen i er damit b häftigen ürd n. eine Aufgabenreihe zu entwi kein, die einige Ideen der Vorle ungen deutli h machen würde. Aufgaben bieten eine gute Gelegenheit den toff der Vorle ung n abzurunden und die G danken, die orgetragen wurden reali ti eher, oll tändiger und inpräg amer zu ma h n.

Ich glaub jed

h da

die einzige L" ung für di

e Bildung problem die Erkenntni i t.

XVIII

Feynman Von\'ort

da der be te Lehrerfolg erzielt wird, wenn eine direkte, per önliche Beziehung z\ i chen dem Studenten und einem guten Lehrer be teht - ein Zu tand, b i dem der tudent die Ideen di kuriert, über die Dinge nachdenkt und darüber pricht. E i t unmöglich, ehr iel zu lernen. wenn man nur in einer arie ung itzt oder elb t wenn man dabei einfach (Je teilte ufgaben \ ir lö t. Aber in un erer modernen Zeit haben wir 0 viele Studenten zu unterricht n. d ver uchen mü en, einen Er atz für da Ideal zu finden. Vielleicht können meine orl ungen etwas dazu beitragen. Vielleicht können an einer kleinen Au bildung lätte. wo e noch Lehrer und Studenten mit per önJichem Kontakt gibt, die e au den Vorle ungen Anregung n und Ideen ziehen. Vielleicht haben ie Spaß daran, ie durchzudenken oder einige der G dank TI weiterzuentwickeln. Richard P. Feynman

Juni 1963

Vorwort Ein gr ßer Triumph der Phy ik d 20. Jahrhundert. die Theorie der Quantenmechanik. i t nun beinahe 40 Jahre alt, jedoch haben wir für unsere tudenten im Allgemeinen die Einführung orle ungen in Phy ik (für iele tudenten die letzten) mit kaum mehr al einer gelegentlichen Erwähnung die zentralen Teile un erer Kenntnis der ph ikali chen elt gehalten. Wir ollten e be er mit ihnen meinen. Die e Vorle ungen ind ein Ver lich ihnen die we entliehen Grunda-edanken der Quantenmechanik auf eine hoffentlich er tändliche Art vorzustellen. Die ethode hier i t neuartig, bonder auf dem iveau eine Kurse für Studenten d z\ eiten Jahr und ar or all mal Experiment gedacht. achdem ich nun aber ge ehen habe wie mühelo manche Studenten ich ihr widmeten, glaube ich, da da Experiment ein Erfolg war. atürlich ind erb erungen möglich, und die e werden mit mehr Erfahrung im Unterricht kommen. Wa Sie hier orfinden, i t eine Wiedergabe die e er ten Experiment. Im Laufe der z ei Jahre, on September 1961 bi Mai 1963 als die Fe nman- orle ungen al Einführung kur u in Ph ik am Caltech gehalten wurden. brachte man die Begriffe der Quantenme hanik, \ ann immer ie für ein Ver tändni der be chriebenen Phänomene notwendig waren. Zu ätzlieh wurden die letzten zwölf Vorle ungen des zweiten Jahre einer zu ammenhängender n Einführung in einige Begriffe der Quantenmechanik gewidmet. Gegen Ende der arie ungen wurde jed ch klar, da nicht mehr genügend Zeit für die Quantenmechanik übrig war. AI der Stoff arbereitet wurde, entdeckten wir laufend, das andere wichtige und intere ante Themen mit den elementaren Mitteln, die entwickelt waren, behandelt werden konnten. ir fürchteten auch, das die zu kurze Behandlung der Schrödinger ehen ellenfunktion, welche in d r 12. orle ung orkam kein au reichender Übergang zu den üblichen Abhandlungen vieler Bücher ein ürde, die di rudenten vielleicht zu le en hofften. E WUTde daher be hlo en die Reihe um ieben zusätzliche Vorle ungen zu erweitern; ie wurden für die Studenten im . Jahr im ai 1964 gehalten. Die e Vorle Ungen erweiterten den Stoff, der in den früheren arIe ungen ntwickelt worden war, und rundeten ihn ab. orle ungen beider Jahre mit einigen Änderungen der ReiIn die m Band haben ir di henfolge zu ammenge teilt. Zu ätzlieh wurden zwei orle ungen, die ur prünglich für die Studenten im 1. Jahr a1 Einführung in die Quantenmechanik: gehalten wurden, voll tändig au Band ( 0 ie Kapitel 7 und 38 waren übernommen und hier al Kapitel I und 2 einge etzt um die en Band zu ein r ab e ehlo en n Einheit und erhältni mäßig unabhängig zu machen. Einige Gedanken übr di Quanti ierung de Drehimpul e ein chJießlicb einer Oi ku ion de Stern-Gerla h- er uch ) waren in Kapitel 34 und 35 von Band II eingeführt worden und w rden a1 bekannt orau ge tzt. Die e orIe ung reih er ueht on nfang an, die grundlegenden und allgemeinen Züge der Quantenmechanik h rau zu tell n. Die er ten Vorle ungen nehmen d TI Begriff der Wahr.heinli hkeit amplitude, di loten renz on mplituden, den ab trakten Begriff eine Zu tande und .. berlagerung und Z rl gung von Zu länden in Angriff - die Dirac-Schreib\ ei e wird

xx

VorWOrT

von Anfang an benutzt. In jedem Fall werden die Begriffe zusammen mit einer au führlieh n Di ku ion einiger pezieller Bei piele gebracht - ein Ver ueh, clie phy ikali hen Ideen 0 wirklichkeit nah wie möglich zu machen. Als äch te kommt die Zeilabhängigk it on Zutänden ein chließlich der Zu tände mit be timmter Energie. und die e "berlegungen werden sofon auf die nter uchung von Zweizu tand y lernen angewendet. Eine au führli he B prchung de Ammoniak- aser bildet den Rahmen für die Einführung der trahlung ab orplion und der induzienen Übergänge. Die Vorlesungen fahren dann mit der Betrachtung kompl xerer S terne fort und führen zu einer Di ku ion der EI ktronenwanderung in in m Kri taJl und zu einer ziemlich oll tändigen Behandlung der Quantenmechanik de Drehimpul e. n ere h('dinEinführung in die Quantenmechanik wird in Kapitel 20 mit einer Di ku ion der ger chen ellen funktion. ihrer Differentialgleichung und der Lö ung für d a r toffatom abge chlo en. Das letzte Kapitel die e Bande oll kein Teil de "Kur e" ein. E i t in"S minar" über Supraleitfähigkeit und wurde im Gei t der .. 'nterhaltung orle ungen" der er ten beiden Bände gehalten. E war beab ichtigt, den Studenten die Beziehung zwi ehen dem, wa ie lernten, und der allgemeinen phy ikali ehen Bildung deutlicher ichtbar zu machen. Fe. nman ,,Epilog" dient al Schlu punkt der drei bändigen Serie. Wie im Vorwort zu Band I erwähnt wurde. ind die e Vorle ungen nur ein Seite ine Entwicklung programme für einen neuen Einführung kur, der am Califomia In timte of Technology unter der Leitung de Phy ic Cour e Revi ion Commiuee dur hgeführt wurde (Roben Leighton. Victor jeher. Matthew and). Die e Programm wurde durch ein pende der Ford Foundation ermöglicht. Viele Leute halfen bei der techni ehen Vorbereitung die e Bande: Marylon Cla ton, luhe Curcio, lame Hartle, Tom Harvey, Martin I rael. Patricia Pr u . Fanny Warren und Barbara Zimmermann. Prof. Gerry eugebauer und Prof. Charle \ ih trugen in großem aße zur Genauigkeit und Klarheit de Stoffe bei. indem ie orgfaltig große Teile de Manu kript durch ahen. Aber die hier orliegende Dar tellung der Quantenmechanik i t die Ri hard Fe) nman . t in wenig on der gei tigen Spannung zu vermitteln, die wir empfanden, al wir ahen, wie ich e nman Id n während einer Phy ik orle ungen entfalteten.

Un ere Arbeit i t gut angelegt, wenn e un gelungen i l, anderen zuminde

Marthew and

D zemb r 1964

Inhalt verzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Quantemrerhalten 1 totum hanik........................................................ 1 Ein E'p rim nt mit Kugeln.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . 2 Ein E periment mit \ ellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 in E periment mit Elektr n n . Die Interferenz on Elektronenwellen - -- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Be ba htun e der Elektronen . Grundprinzipien der Quantenmechanik.. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . 13 Da nb timmtheil prinzip........ .. .. . .. .. ... . .. ..... ... .. .. ....... .. .. 14

2

Die Beziehung zw' ehen dem' ellen- und Teilchenstandpunkt 2.1 ahr cheinlichkeit amplitud n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. 2 . 2 e ung n Ort und lmpul 2.3 Beugung an Kri lallen....................................................... 2.4 Di Größe eine Atom Energieniveau 2.5

17 17 18

22 25 27

2.6

Phil0 ophi ehe Kon equenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28

3 3.1 3.2 3.3 3.4

ahr cheinlichkei amplituden Die Ge etz zur Kombination on Amplituden Da Interferenzbild b i z\ ei palten......................................... tr uung an ein m Kri lall Identi ehe Teilchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

33 "'3 "8 42 45

4

Identi eh Teil h n Bo -Teil hen und Fermi-'D ilchen Zu tände mit zwei Ba e-Teilehen '" " Zu tänd mit 11 Ba -T ilchen Emi ion und b orpti n on Pho{Qnen . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. Da p ktrum d hwarzen Körper Flü ige H lium............................................................ Da u chließung prinzip

51

4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6

4.7 5

5.1 5.2 5.3

pin ein

51 54 58 61

63 69 69 75

Da Filtern von t m n mit ein r t rn-Gerlach-Apparatur ..... . . . . . . . . . . . . .. 75 E p rimem mit gefilt rten tom 11.......................................... 81

5.4

tem-Gerla h-Filter in eri Ba i zu tänd

5.5

lnterferi r nde

5.6 5.7

Di a chin ci d r Quant nm hanik .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 Tran ~ m1ation auf in ander Ba i 94 ndere ituation n.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96

5.

'" 85

mplituden.................................................. 87

Inhaltsrer:eichni

XXII

6 6.1

~.2 6.3

6.4 6.5 6.6

Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tran fonnation on Amplituden Transfonnation auf ein gedrehte Koordinaten y tem Drehungen um die :-Ach e Drehungen von 180' und 90' um y Drehungen um x Beliebige Drehungen

99 99 101 106 110 115 116

Die Zeitabhängigkeit der mplituden

121 121

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Atome in Ruhe; tationäre Zu tände Gleichförmige Bewegung Potentielle Energie; Energieerhaltung Kräfte: der kla i che Grenzfall n" . I 'T' · ...rraze Ion" . eme S' pm- 2leI'1 c hen D Je

8

Die Hamiltonsche

8.1 8.2 8.3 8.4

Amplituden und Vektoren Zer1egung on Zu tand vektoren Wa ind die Basi zu lände der Welt? Wie i h die Zu tände mit der Zeit verändern Die Hamilton ehe Matrix Da Ammoniakmolekül

141 14-l 147 150 154 1S5

9

Der Ammoniak-

161

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Die Zu tände eine Ammoniakmolekül Das olekül in einem elektro tati ehen Feld Übergänge in einem zeitabhängigen Feld .. erganoe .. 0 bel. R e onanz Ub Übergänge ohne Re onanz Die Liehtab orption

10

Andere Z eizu tands ysteme

10.1 10.2

Da Ion de as er toffmolekül 1 3 Kernkräfte " 190 Da Was er toffmolekül 19"" Da Benzolmolekül 196 Farb toffe 199 Die Harnilton che Matrix für ein Spin-i- 'D ilchen in einem rnagneti ehen Feld. 200 Das Elektron mit pin in einem rnagneti chen Feld 204

8.5 8.6

10.3 10.4 10.5 10.6

10.7 11 11.1 11.2 11.3 11.4

11.5 11.6

1A 12 133 . 136

,

atrix

141

a er

eitere Zweizustand

,

,

1 3

terne

Die Pauli ehen Spin-Matrizen Die Spin- atrizen al Operatoren Die Lö ung der Zweizu tand gleichungen Die Polari ation zu tände de Photon Das neutrale K- e on Verallgemeinerung auf -Zu tand y terne

161 167 173 176 . 179 1 0

2 9

_. _

209 21220 221

_26 " .. 23

InhallS\'ereichni

12 12.1 12.2 12.3

12.4 12.5 12.6 13 13. J ]3.2 13.3

13. 13.5 13.6 13.7 13.8

14 14.1 14.2 14.3

14.4 14.5 14.6

15 15.1 15.2 15. 15.4 15.5 ]5.6

16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

17 17.1

17.2 17.3 17.4

17.5 17.6

XXIII

Die H perfeinauf paltung im a serstoff Ba i zu tände für ein y tem mit zwei Spin-~-Teilchen ., Der Hamiltonoperator für den Grundzu tand de Wa er toff Die Enereieniv au Die Zeeman- uf paltung Die Zu tände in inem magneti ehen Feld Di Pr jektion matri für pin ein

243 243 246 253 256

u breitung in ein m Kri tallgitter Zu tände eine Elektron in einem eindirnen ionalen Gitter Zu tände mit b timrnter Energi Zeitabhängige Zu tände --Ein EI ktron in ein m dreidim n ionalen Gitter. eitere Zu tände in inem Gitter lf uung an Fehler teilen in einem Gitter Einfang dureh eine GitterfehJer teile treuamplitud n und gebundene Zu tände

269 269 273 277 279 2 1 2 _ 285 287

Halbleiter I ktr n n und Lö her in Halbl item nreine Halbleiter Der Hall-Effekt Halbl iter-" b rgänge . -GI iehn htung an einem Halbleiter-Übergang Der Tran i tor

289 289 295 298 300 304 306

Die äherung unabhängiger Teilchen pin- ellen Z i- pin-Wellen nabhängige Teil hen Da Benzolmolekül eitere organi he Chemie nder Anwendungen der äherung Die Or abhängigkeit der Amplituden Amplituden auf einer Linie Di ellenfunktion Zu fände mit be timmtem Impul orrni rung der x-Zu tände Die S hrödinger-Gleiehung Quanti iert Energieni eau mrnetrie und Erhaltung ätze Symmetrie mmetrie und Erhaltung Die Erhaltung ätze P 1ari ierte Li ht

261

2M·

__

309 309 -"

314 316 318 324 328

331 331 "

336 339 342 346

ro

355 355 359 365 369 D rZerfall de 0 • • • • . • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • • • 371 Zu ammen tellung der Dr hmatrizen 377

XXIV

18

Drehimpuls

381

18.1 18.2 18.3 18.4 L8.5 18.6

Elektri he Dipol trahlung Streuung de Licht Die Vernichtung von Po itronium Drehrnatrix für beliebigen pin Me ung eine Kern-Spin Zu ammen etzen on Drehjmpul en

j I 3 4 3 "95 399 40 I

19

Das Wasser toffatom und das Perioden ystem

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6

Die Schrödinger-Gleichung für da Wa er toffalom Kugel mrnetri che Lö ungen Zu tände mit Winkelabhängigkeit. Die allgemeine Lö ung für Wa er toff Die a er toff-Wellenfunktionen Da Perioden tern

415 415 417 423 4_ 43_ 435

20

Operatoren

443

20.1 20.2 20.3 20.4 20.20.6 20.7

Operationen und OperatOren Miniere Energien Die mittlere Energie eine Atom Der Ort operator Der Impul operator Drehimpul Die zeitliche" nderung der Mittelwerte

443 -+46

21

Die chrödinger-Gleichung in einem kla si ehen Zusammenhang

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21. 21.9

Die chrödinger-Gleichung in einem Magnetfeld Die Kontinuität gleichung für Wahr cheinlichkeiten Zwei Arten on Impul Die Bedeutung der Wellenfunkrion Supraleitfähigkeit DerMei ner-Effekt. Flu quanti ierung Die Dynamik der Supraleitfähigkeit. Der Ja eph on-Übergang

,

ro

45 455 462 .465 ,

,

,

469 469 472 74 476 47 4 0 4 2 .4 6 4

Fe nmans Epilog

497

~dex

499

1

Quantenverhalten

Anmerkung: Die e Kapitel timmt nah zu mit

1.1

apitel 37 de ersten Bande überein.

Atommechanik

"Quantenmechanik" i t die Be chreibung de Verhalten on Materie und Licht in allen Einzelheiten, in be ondere der Vorgänge in atomaren Dimensionen. In sehr kleinen Dimen ionen verhalten ich die Dinge überhaupt nicht 0 wie et a, on dem wir direkte Erfahrung haben. Sie verhalten ich nicht wie W Hen, nicht wie Teilchen, nicht wie Wolken oder Billardkugeln, Gewichte an Fed moder irgendetwa ,wa wir je gesehen haben. ewtOTI dachte. das Licht be tehe au Teilchen, doch dann entdeckte man da e ich wie eine Welle rhält. päter jedoch (zu Beginn de 20. Jahrhundert) fand man, da ich da Licht tat ächlich manchmal \ ie ein Teilchen verhält. Ur prünglieh glaubte man, da Elektron z.B. erhielte ich ie ein Teilchen, dann aber erkannte man, das e ich in ieler Hin ieht wie eine W lle erhält. In irklichkeit erhält e sich also weder wie das eine noch \ ie da andere. Geb n wir e al 0 auf. Wir agen: ,.E i t wie keillS von beiden." ir hab n jed h Glück, denn die Elektronen erhalten ich genau 0 wie da Licht. Da Quanten erhalten von atomar n Objekten Elektronen, Protonen, eutron n, Photonen u w.) i 1 für alle da gleiche. ie ind alle "Teilchenw lien" oder wie immer man ie auch nennen möchte. Al 0 i t da, a ir üb r die Eigen chaft TI de Elektron (welche wir für un ere Bei pieJe heranziehen erden) kennenlernen, auch anwendbar auf alle "Teilchen", ein chließlieh d r Photonen de Licht. Die allmähliche n ammlung on Informationen über da Verhalten im atomaren und mikro kopi ehen Ber i h ährend de er t n Viertel de 20. Jahrhunderts die un einige Him eie gaben, i ich kJ in Dinge erhalten rief eine wach ende Verwirrung her or, die ehließlieh 1926/27 on S hröding r. Hei enberg und Born geklärt wurde. [hnen gelang chließlich eine kon equente Be chreibung de erhalten der Materie im mikro kopi ehen Bereich. Wir werden die Hauptpunkte die er Be hreibung in die em Kapitel aufgreifen. eil da erhalten d r torne 0 ganz außerhalb un erer normalen Erfahrung liegt. i t e ehr chwierig, ich daran zu g öhnen, und e er cheint beiden, d m euling wie dem erfahren n Phy iker, elt am und geheimnis oll. Selb t die Experten ver tehen e nicht o. wie ie e gerne rnö hLen, und da i t ganz klar denn jede direkte men hLiche Erfahrung und Imuitin bezieht i h auf große Objekte. Wir wi en, wie ich große Objekte verhalten werden, aber die kleinen Ding erhalten i h nicht o. Darum mü en wir un ere Erfahrungen dur h eine Art on b traktion oder Imagination amm Ln und ni ht durch An chlu an un ere direkten rfahrungen.

1 Quanrenl'erha/ten

2

In die em Kapitel \: erden wir ogleich da Grundelement die e m teno en erhalten in einer elt am ten Fonn in Angriff nehmen. Zur Unter uchung wählen wir ein Phänomen au , da auf kla i che Art zu erklären absolut unmöglich i t und da in ich den Kern der Quantenmechanik birgt. In Wirklichkeit enthält e da ein:.ige Geheimni. \ ir können da Geheimni nicht aufdecken. indem ir .,erklären'· wie e funktioniert. Wir können nur berichten. wie funktioniert, und indem wir die run, erörtern wir die grundlegenden Eigentümli hkeiten der ganzen Quantenmechanik.

1.2

Ein Experiment mit Kugeln

Wir werden ver uchen, das Quanten erhalten von Elektronen zu ver tehen. indem wir in einem peziellen Ver ueh aufbau ihr Verhalten mit dem vertrauteren erhalten von Teilchen, wie Kugeln, und Wellen. wie a erwellen, vergleichen und gegenüber rellen. ir betra hren zuerst da Verhalten von Kugeln in dem in Fig. I-I chemati ch darge teIlten er u haufbau.

/'~

i

beweglicher Detektor

1

~2 12 . Die M~them~tik i t die gleiche wie bei den Wa erwellen. (E i t chwer einzu ehen wie man olch ein einfa he Ergebni au einem komplizierten Vorgang erhalten konnte, bei dem die Elektronen auf eh amen Bahnen durch die Plane hin und her laufen.) Wir chJieBen darau Folgende: Die Elektronen kommen al Klumpen an. " ie Teilchen. und die Ankunft wahr cheinlichkeit die er Klumpen i t erteilt wie die Inten ität einer elle. ich ein Elektron "manchmal ie ein T ilchen und E i t in die em inne zu ver tehen, da manchmal wie eine elle" verhält. Übrigen . al wir un mit kla i chen Wellen be chäftigten. definierten wir die Inten ität al da über die Zeit gemittelte Quadrat der Wellenamplitude, und wir benutzten aJ mathematiehen Trick die komplexen Zahlen zur Vereinfachung der Rechnung. In d r Quantenmechanik teilt ich aber herau. da die Amplituden durch komplexe Zahlen darge teIlt werden mii en. Die Realteile allein genügen nicht. Da i t im Moment ein techni cher Punkt. denn die Formeln ehen gleich au . Da ich nun die nkunft wahr cheinlichkeit au beiden Löchern einfach ergibt. enn auch nicht aJ (PI + P2' 0 i t da wirklich alle, was zu agen wäre. ber in der 11 t a he. da ich die 1atur 0 erhält. tecken no h eine enge Feinheiten. ir möchten Ihnen jetzt einige on die en Feinheiten or ugen führen. Da die Anzahl Elek.'tronen, die an ein m be timmten Punkt ankommt. nicht gleich der AnzahJ aus Loch 1 plu der Anzahl au Lo h _ i t. ie \ ir au Behauptung A ge chlo en hätten, ollten wir zweifello al Er te folgern. da BehaLlptut1 A jalsch ist. E i t nich, wahr da die Elektronen entweder durch Lo h I oder durch La h 2 gehen. Aber die e Folgerung kann durch einen anderen Ver uch überprüft erd n.

1.6

Beobachtung der Elektronen

ir werden jetzt folgende Experiment ver uchen. Zu unserem Elektronenapparat fügen wir eine tarke Li htquelle hinzu. Wir tellen ie hinter die Wand Zli i hen die beiden L"ch r, wie au Fig. 1-4 er ichtJich.

1.6 Beobachtung der Elektronen

~

9 x

x

I L;cht quelle

51.-==------- V1 *: _,_~c:-__

L:-J Elektronen-

lwto",

------_~--)\ ~2

~

Fig. 1-4: Ein andere Elektronen(a)

(b)

(e)

experiment.

ir wi en da elektri che Ladungen Licht treuen. Daher wird ein Elektron beim Vorbeifliegen auf einem Weg zum Detektor, wie immer e auch vorbeifliegt, etwa Licht in un er Auge treuen, und ir können ehen, \ 0 das Elektron entlang fliegt. Wenn zum Bei piel ein Elektron einen Weg durch Loch 2 nehmen würde, das i tin Fig. 1-4 kizziert, würden wir einen Lichtblitz au d r Umgebung der Stelle ehen die in der Abbildung mit A bezeichnet i t. Wenn ein Elektron durch Loch I ginge, würden wir den Blitz aus der Umgebung des oberen Loche erwarten. Sollte e pa ieren da wir Licht von beiden Stellen zur eIben Zeit ehen, weil ich da Elektron halbiert ... ? Am be ten machen wir da Experi ment! Folgende ehen ir: Jedes Mal wenn wir einen, Klick" on unserem Elektronendetektor (an der Auffangwand) hören, sehen wir auch einen Lichtblitz, entweder bei Loch 1 oder bei Loch 2, aber niemals bei beiden zugleich! nd wir beobachten da eIbe Ergebni ,ganz gleich, wo wir den Detektor hinstellen. Aus dieser Beoba htung chließen wir, da dann, wenn wir die Elektronen beobachten, wir auch fe t lellen. da die Elektronen entweder durch da eine oder durch das andere Loch gehen. Experimentell i t die Behauptung A notwendigerwei e richtig.

Wa i t dann aber fal eh an un erem Argument gegen Behauptung A? Warum i t Pl2 nicht glei h PI + P2? Zurück zum er uch! Behalten wir die Elektronen im Auge und finden herau wa ie machen. Für jede Po ition (x-Lage) de Detektor wollen wir die ankommenden Elektronen zählen und auch aufpa en, durch welche Loch sie gingen, indem wir die Blitze beobachten. Wir können die Dinge auf die e Wei erfolgen: Jede Mal, wenn wir einen .Klick" hören. errnerken wir d Ereignis in Spalte I, wenn ir den Blitz bei Loch I ehen und wenn wir den Blitz bei L ch 2 ehen vennerken wir ein Ereignis in Spalte 2. Jede Elektron, das ankommt wird regi triert in einer von z\ ei Gruppen: die durch Loch ] kommen und olehe die durch La h 2 kommen. u drAnzahl, die in Spalte I vermerkt i t, erhalten wir die Wahrcheinlichkeit p~ da ein Elektr n durch Loch I am Detektor ankommt und au der Anzahl, die in Spalte 2 ermerkt i 1. erhalten wir p~, die Wahr cheinlichkeit dafür da ein Elektron arn Detektor durch Lo h 2 ankommen wird. Wenn wir jetzt o1che Me ungen für viele x-Werte wiederholen, erhalt n wir die Kur en für und p~ die in Teil eb) von Fig. 1-4 darge teilt sind.

P;

un ja, da Ergebni i t nj ht allzu üb rra chend! Wir erhalten für p{ etwa ganz ähnlich dem, wa wir orher für PI bekamen, wenn wir Loch 2 zuhielten- und P2 i t dem ähnlich, wa wir bei ge chlo enem Loch 1 erhielten. Wir haben al 0 keine komplizierte Angelegenheit, wie da Herumlaufen durch beide Lö her. Wenn wir si beobachten dann laufen die Elektronen durch, wie wir e on ihnen erwartet hätten. Ganz gleich, ob die Löcher ge cWo en oder offen ind, diejenigen, die wir dur h L eh I kommen ehen, ind immer gleich erteilt, ob nun Loch 2 offen der ge h1 en i t.

10

1 Quanrem'erhahen

Aber halt! Wa hab n wir jetzt als Gesamtwahr cheinlichkeit. al ahr cheinlichkeit, d ein Elektron am Detektor auf irgendeinem Wege ankommt? Die e Inf rmation haben wir hon. Wir tun o. al hätten wir die Lichtblitze nie ge ehen, und Fa en die DetektorkJick ,di wir in zwei Spalten gegliedert haben, zu ammen. Wir müssen die Zahlen einfa h addieren. I ahrcheinlichkeit dafür, da ein Elektron an der Auffangwand durch irgendein L ch ank mmt. I he erhalten wir Pl2 = PI + P1. Da heißt, obwohl wir zwar beobachten konnten, durch Loch un ere Elektronen kamen, 0 erhalten wir trotzdem nicht mehr die alte Interferenz urve P12 , ondem eine neue, P;2. die keine Interferenz zeigt. Wenn wir das Licht au machen, i t PIwiederherge teilt. Wir mü en darau hlieBen. da die Verteilung der Elektronen auf dem hirm. wenn wir sie beobachten. ander i t, al wenn wir sie nicht beobachten. ielleicht bringt da Eio0 ein, da die Elektr n n chalten un erer Lichtquelle die Dinge durcheinander? E mu ehr empfindlich ind und da ihnen da Licht, wenn e von ihnen ge treut wird. inen t ß gibt, der ihre Bewegung ändert. Wir wi en, da da elektri che Feld de Lichte, wenn e auf eine Ladung wirkt, auf die e eine Kraft au übt. Vielleicht sollten ir daher erwart n. da die Bewegung geändert wird. Injedem Fall übt da Licht einen groBen Einflu auf die Elektr nen au . Durch den Ver uch. die Elektronen zu , beobachten ,haben ir ihr Be\ egung verändert. Das heißt, der Stoß den das Elektron erhält, wenn e da Photon tr ur, i togroß, da er die Bewegung de Elektron 0 weit ändern kann, da s die e wenn e ur prünglich dahin hätt fliegen können, wo P 12 ein Maximum hatte, nun tattde en dort landet 0 Pl2 ein Minimum hatte; das i t der Grund dafür, da wir nicht mehr die welligen Interferenzeffekte ehen. Vielleicht denken Sie:, ehrnen Sie doch nicht eine 0 heJle Liehtqu He. Drehen ie die Helligkeit herumer. Die Lichtwellen werden dann schwächer ein und die Elektronen nicht 0 ehr tören. Wenn wir da Licht mehr und mehr abdunkeln, wird die elle ieher einmal 0 chwach werden da man ihre Wirkung vemachlä igen kann." O.K. er uchen wir' . Da Erste, wa wir beobachten i t, da die LlchtbJitze, die von den orbeifliegenden Elektronen ge treut werden, nicht chwächer werden. E i t immer der gleich große Blitz. Da Einzige. as pa ien wenn wir da Licht abdunkeln, i t, da wir manchmal einen .,Kli k" au dem Det ktar hören, aber überhaupt keinen BUt::. ehen. Das Elektron i t , unge ehen" orbeigelaufen. as wir hier beobachten i t, da ich da Licht auch wie Elektronen erhält, \ ir WH tell, da e , wellig" war. aber nun tellen wir fe t, da e auch "klumpig" i t. [mmer k mmt e n oder wird ge treut - al Klumpen die wir "Photonen" nennen. enn wir die IntensiTät der Lichtquelle herunterregeln, ändern wir nicht die Größe der Photonen ondern nur di Rate, mit der ie emittiert werden. Das erklärt warum einige Elektronen bei chwachem Licht unge ehen orbeiftiegen. E war eben gerade kein Photon da, al da Elektron vorbeikam. Die i t alle etwa entmutigend. enn e wahr i t, da wir jede al wenn Ir in EI ktran" ehen", auch einen gleich großen Blitz ehen dann ind die Elektronen. die wir hen. immer ge rört. Dennoch oUen wir den Y, r ueh mit dem abgedunkelten Licht machen. Jede al wenn \ ir jetzt einen Klick au dem Detektor hören, wollen ir ihn in einer von drei palten aufzählen: In Spalte (l jene Elektronen, die von Loch 1 ge ehen \ urden. in Spalte (2) jene Elektronen, die von La h 2 ge ehen wurden und in palt (3 jene EIe tronen, di gar nicht ge ehen wurden. enn wir die Daten au werten (die Wahr cheinIi hkeit n au r hnen. erhalten wir die e Ergebni e: Die ,die von Loch 1 ge ehen wurden , haben ein eneilung wie P;: die, ,die von Loch 2 ge ehen wurden", haben eine Verteilung ie P~, ( 0 da die, "die entweder von Loch lader on Loch 2 ge ehen wurden' , eine Verteilung wie PI2 haben); und

1.6 Beobachfun der Elektronen

11

die, ,.die gar nicht ge ehen \! urden", haben eine "wellige" Verteilung genau wie PI2 in Fig. 1-3! Wenn die Elektronen nicht ge ehen werden, erhalten wir Inteiferen::.! Da i t er tändlich. enn wir da Elektron nicht sehen, wird es von keinem Photon gestört, und wenn wir e ehen, dann i t e von einem Photon ge tört worden. Die Störung i t immer gleich groß, weil die Photon n de Lichts immer eine gleich große Wirkung her OITUfen, und der Effekt bei der Streuung der Photonen reicht au , um jede Interferenzer cheinung zu verwi ehen. Gibt e nicht irgendeirre Möglichkeit, die Elektronen zu ehen, ohne ie zu tören? In einem früheren Kapitel haben wir g lernt, da der Impul , den ein Photon be itzt, einer Wellenlänge umgekehrt proportional i t (p :::: 11/70..). ich rlich hängt der Stoß der einem Elektron gegeben wird, wenn da Photon zu un er m uge ge treut wird, von dem Impuls ab, den da Photon be itzt. ba! Wenn ir die Elektronen nur wenig tören wollen, hätten wir nicht die Intensitär de Lichte erniedrigen oll nondem eine Frequenz (da i t gleichbedeutend mit einer ergrößerung der ellenlänge). ehmen wir al 0 rötere Licht. Wir könnten auch Infrarotlicht oder Radiowellen (wie Radar) benutzen und mit einer Einrichtung, die Licht die er längeren Wellenlänge" ehen" kann, d n Weg der Elektronen" ichtbar" machen. Wenn wir, eicher " Licht benutzen, können wir ielleicht eine größere Störung der Elektronen ermeiden. Ver uchen wir da Experiment mit längeren Wellen. Wir werden un er Experiment mit irnm r lang eilig rem Licht \ iederholen. Zuer t cheint ich nicht zu ändern. Die Re ultate bleiben die eIben. Dann pa iert etwa Schreckliche. Sie erinnern ich icher da wir bei der Be pr chung d Mikro kap her orgehoben haben, da es infolge der Wellennatur des Lichte eine Grenze dafür gibt wie nahe zwei Punkte zusarnrnen ein können, um noch als getrennte Punkte ge ehen zu werden. Die e Entfernung hat die Größenordnung der Wellenlänge de Lichte. enn wir die ellenlänge größer al die Entfernung zwi ehen unseren Löchern werden la n, ehen ir daher einen großen verschwommenen Blitz, wenn da Licht VOll den Elektronen ge treut wird. Wir können nicht mehr sagen, durch welche Loch die Elektronen gegangen ind! ir i en nur, ie kamen irgendwo her! Und gerade bei dem Licht die er Farbe finden wir, da die töß, die dem Elektron gegeben werden klein genug sind da P;2 anHingt wie Pl2 au zu ehen - da die Interferenz ich bemerkbar macht. Und nur bei Wellenlängen. die ehr viel größ r a] der b tand zwi chen den beiden Löchern ind (wenn wir überhaupt keine Möglichkeit mehr haben den Weg d r Elektronen zu be chreiben), wird die Störung durch da Licht 0 kl in, da wir ieder die Kurve P12 au Fig. 1-3 erhalten.

In un erem Exp rimem teilen wir fe t, dass e unmöglich ist, da Licht derart einzu teIlen, da man agen kann, durch welche Loch die Elektronen gegangen sind, ohne gleichzeitig da Beugung bild zu tör n. Hei enberg meinte, da die damal neuen aturge etze nur dann verträglich ien wenn e eine grund ätzli he Begrenzung für un ere experimentell n Möglichkeiten gäbe die man orh r nicht kannte. Al allgemeine Prinzip chlug er ein Unbestimmtheitsprinzip or el he wir für un er xperiment folgendermaßen au drücken können: "E i t unmöglich, einen Appar t zu entwickeln der fe t tellt, durch welche Loch da Elektron geht, ohne da er gleichz itig die Elektronen 0 weit törl, da da Interferenzbild zer törl wird.. Wenn ein Apparat in der Lat:>e i t fe tzu teUen durch welche Loch da Elektron gebt dann kann er nicht 0 feinfühlig ein, da er da Beugung bild nicht we entlieh törl. iemand hat jemal einen Weg gefunden (oder erdacht), der um da Unbestimmtheitsprinzip herumführt. Daher mü en wir annehmen, da e eine grund ätzliehe Eigen chaft der alur be ehreibt.

J Quanten\'erhaltell

12

Die ganze Theorie der Quantenmechanik, die wir jetzt zur Be chreibung der Atome. und nbe timmtheit in Wahrheit der ge amten Materie, benutzen, beruht auF der Richtigkeit de prinzip . Da die Quantenmechanik eine so erfolgreiche Theorie i t, i t un er Glaube an da nbenbe timmtheit prinzip bekräftigt Aber wenn jemal ein Weg gefunden \ ürde. da timmtheit prinzip zu .be iegen" dann würde die Quantenmechanik wider prü hliche Ergebni se liefern und mü te al gültige aturge etz aufgegeben werden. ,Schön und gut". agen Sie, "aber was ist mit Behauptung A? Stimmt e oder timmt e nicht, da d Elektron entweder durch Loch I oder durch Loch 2 geht?" Di inzig ntwort. die man darauf geben kann, i t, da wir au den Experimenten entnommen haben. da wir ein be tirnmtes Denk chema anwenden mü en um nicht zu ider prü hen zu gelangen. a ir (zur Vermeidung Fal eher Vorau agen) agen mü en ist Folgende : V enn man die Löcher anchaut oder be er, wenn man ein Gerät hat, da in der Lage i t fe 12u teilen, ob die Elektronen ie ent eder durch Loch 1 oder durch Loch 1 oder Loch 2 gehen dann kann man agen da durch Loch 2 geben. Aber wenn man ich nichl um eine Au age über den eg der Elektronen bemüht, wenn e nicht in dem Ver uch gibt, was die Elektronen tören könnte. dann darf man nicht agen, da ein Elektron entweder durch Loch 1 oder Loch 2 geht. enn jemand da da h behauptet und au die er Behauptung anfangt, Schlü e zu ziehen, dann ird er in der u wertung Fehler machen. Da j t da logische Draht eil. auf dem wir gehen mü en. wenn ir die amr erfolgreich be chreiben wollen.

Wenn die Be egung aller Materie - und damit auch der Elektronen - in \ ellenau drü ken beschrieben werden mu ,wie ist es dann mit den Kugeln in un erem er ten E p rirnem? Warum ahen, ir da kein Interferenzbild? E teilt ich herau, da die ellenlängen für die Kugeln 0 klein ind, da die Interferenzlinien sehr fein urden. In der Tal 0 fein. da man mit einem Detektor on endlicher Größe die getrennten Maxima und Minima nicht unter heiden kann. Was wir ahen, war nur eine Art von Mittelwert welcher die kla i che Kurve rgibt. In Fig. J-5 haben wir er ucht, chemati eh darzu tenen wa mit Objekten on gTößerem umaß ge chieht Teil (a) der bbildung zeigt die Wahr cheinlichkei ert ilung. die man bei Anwendung der Quantenmechanik für Kugeln vorher agen würde. Die hnellen h\ ankungen ollen da Interferenzmu ter dar tellen, da man für ellen mit ehr kurzer ellenJänge erhält. Jeder ph ikali ehe Detektor jedoch überdeckt mehrere eh\ ankungen der ah h inlichkeit kurve, 0 das die Mes ungen die glatte Kurve zeigen die in Teil b) d r bbildung gezeichnet i t. x

(a)

(h)

Fig. 1-5: lnterferenzbiJd mit Kugeln: a tat ä hJi h ( hemati h). (h) beobachtet.

1.7 Grundprinzipien der Quanrenmechanik

1.7

13

Grundprinzipien der Quantenmechanik

Wir wollen nun eine Zu ammenfas ung der Hauptergebni e un erer Experimente aufir wollen ie jedoch in eine Form bringen, die ie für eine allgemeine KJa e chreiben. olcher Exp rimente gültig macht. ir können un ere Zu ammenfassung einfacher dar teIlen wenn wir zuer t ein ,ideale Experiment" definieren ein in dem es keine un icheren äußeren Einflü e gibt. d.h. keine chwankungen oder andere Vorgänge, die ir nicht berückichtigen könn n. ir würden un ziemli h präzi e au drücken wenn wir agten: "Ein ideale Experiment i tein E priment, in dem alle Anfangs- und Endbedingungen vollständig fe t(}elegt ind.'· a wir ein .,Ereigni "nennen ist im Allgemeinen nur ein be onderer Satz on Anfang - und Endbedingungen. (Zum Bei pie!: "Ein Elektron verlässt die Kanone, kommt an dem Detektor an und on t pa iert nicht .") un zu unserer Zu ammenfa ung.

Zu arnmenfa ung I. Die Wahr cheinlichkeit eine Ereignisse i t in einem idealen Experiment durch das Quadrat de Ab olutbetrage einer komplexen zahl r/J gegeben die Wahr cheinlichkeit amplitude genannt wird: P

en halbintuitiv n Argumenten befa en, die später präzi iert werden. ber be timmte Dinge \ erden ein wenig geändert, wenn wir sie korrekt quantenmechani eh interpr tier n. Wir ma h n die, damit ie ein qualitative Gefühl für Quant nphänomene bekommen könn n, be or ir in die maLhemati ehen Detail der Quantenmechanik ein teigen. ußerdem haben wir nur mit eIl n und Teilchen Erfahrungen und es i t daher recht bequem, den eIlen- und den Teil h nbegriff zu benutzen, um ungefähr ver tehen zu können, wa unter gegebenen Um tänden ge chj ht, be or wir die vollständjge Mathematik der quantenmechaniehen Amplituden k nnen. ir werden ver uchen, auf unserem Wege die chwäch ten Stellen aufzuz igen, aber da mei te i t fa t korrekt - e i t lediglich eine Sache der Interpretation. Zunäch t wi en ir, da di neue Methode, di Welt in der Quantenmechanik - dem neuen Sy tem - darzu teLlen, darin b (ht jedem Ereigni ,da eintreten kann, eine Amplitude zuzuordnen. enn d Er igni di ahmehmung eine Teilchen ein ehließt dann können wir die Amplitude dafür angeben. die ine Teilchen an ver chiedenen Orten und zu er chiedenen Zeiten zu finden. Die Wahr eh inJichkeit die e Teilchen anzutreffen, i t dann proportional zum Ab olutquadrat der Amplitude. Im Allgemein n variiert die Amplitude, ein Teilchen an ver hjedenen Orten zu er chiedenen Zeiten anzutreffen, mit Ort und Zeit. ]n be ond ren Fäll n kann e ein da die Amplitude wie ei(wl-k' r) inu förmig in Raum und Zeit ariiert ob i r d r Ort ktor von irgendeinem Ur prung au i t. (Verge en Sie nicht, da die e mplituden mpl Zahl n und keine reellen Zahlen ind. Solch eine Amplitude ariiert ent pr chend ein rb timmten Frequ nz wund WeJlenzahl k. Dann zeiot i h das die ein r kla i eh n Gr nz ituation nt. pri ht wo ir geglaubt hätten, ein Teilchen or

18

2 Die Be::.iehlmg -wischen dem Wellen- und Teilchen wIldpunkT

un zu haben. de en Energie E bekannt i t und mit der Frequenz durch

E

= tuv

(_.1 )

zu ammenhängt und de en Impul p ebenfall bekannt i t und mit der

p

ellenzahl durch

= tzk.

zusammenhängt. (Da Symbol

2.2)

tz

teIlt die Zahl h dividiert durch 27f dar; 17

= hl27f.)

Da bedeutet, das der Teilchenbegriff begrenzt ist. Die Vor rellung eine Teilchen - ine Orte, eine Impul e u w. - die wir 0 oft benutzen, i t in gewi er \ ei e unb fri digend. Wenn zum Bei piel eine Amplimde, ein Teilchen an er chiedenen Orten anzutreffen. dur h ei(wt-k . r) gegeben i t. 0 i t ihr Ab olutquadrat eine Kon tante. und da ürde bedeuten, da die Wahr cheinlichkeir, ein Teilchen anzutreffen, an allen Punkten gleich i 1. Da heißt. wir wi en nicht wo e i t - e kann überall sein -; hin ichtlich einer Lage be reht eine große Un icherheit. ----ä;:----

Fig. 2-1: Ein Wellenpakel der Länge ilx.

Wenn anderer eit der Ort eine Teilchen mehr oder weniger gut bekannt i t und \-vir ihn beinahe genau vorau agen können, dann mu die Wahr cheinlichkeir e an ver hiedenen Orten anzutreffen, auf einen be ümmren Bereich be chränkt ein, de en LänlYe ir ~x nenn n. Außerhalb die eBereiche i t die Wahr cheinlichkeit gleich null. un i ( die e ahr ch inliehkeit da Ab olutquadrat einer Amplitude und wenn da Ab olutquadrat null i t. 0 i [au h i t Fig. 2-1 . und die die Amplimde null, 0 da wir einen WelJenzug haben, de en Länge ellenzuge i t d W Wellenlänge (der Ab rand zwi ehen den Wellenknoten im Zug) die e mit dem Teilchenimpul korre pondiert. Hier toßen wir auf etwas Merkwürdige bei den Wellen, eine ehr einfa he Angelegenheit. die überhaupt nicht mit Quantenmechanik zu tun hat. E i t etwa , das jeder kennt, der i h mit Wellen be chäftigt. elb t wenn er keine Quantenmechanik kennt: ämlich. d wir keine eindelltige Wellenlängefür einen kurzen We/lenzug definieren können. Solch ein ellenzug haT keine definierte ellenlänge. E be teht eine nbe timmtheit in der el1enzah1. di mit d r endlichen Länge de Zuge zu amrnenhängt. und darau ergibt ich eine· nbe timmtheit im Impul .

2.2

Me ung von Ort und Impul

ir wollen zwei Bei piele die e Grundgedanken betrachten um den Grund zu hen, warum eine nbe timmtheit im Ort und/oder im lmpul be leht enn die Quantenmechanik ricbtig i t. Wir haben ebenfall vorher ge ehen das wir ein Parado on hätten, enn e 0 er a nicht gäbe - wenn e möglich wäre, den Ort und den lmpul on irgendet gleichz. itig zu

2.2 Messung

VO/1

19

Ort lind Jmpul

me en. Glückli herw i e erhalten wir in olehe Paradoxon nicht, und die Tat aehe. da ich eine oIehe Unbe timmtheit ganz natürlich au dem Wellenbild ergibt, zeigt, da alle we h el eitig kon i tent i t. Hier i t ein Bei piel, da die B ziehung zwi ehen Ort und lmpul in einem leicht ver tändlichen Fall zeigt. ngenommen, wir haben einen einzelnen Spalt, und Teilchen kommen mit ie alle im We entliehen horizontal aneiner be timmt n Energie on ehr eit her, 0 da kommen (Fig. 2-2). ir erden un auf die ertikalkomponenten de lmpul e konzentrieren. Alle die Teilchen haben im kJa i hen Sinne einen be timmten HOlizomalimpul Po' Daher i tim kla i chen ione der rtikalimpul P", be or da Teilchen durch da Loch geht. definitiv bekannt. Da Teilchen be gt ich weder nach oben noch nach unten weil es on ein r ehr weit entfernten Quelle kam - und daher i t der Vertikalimpul selb t er tändlich null. Aber nun wollen wir annehmen, da e dur h ein Loch geht de en Weite Bit. Dann kennen wir. wenn e au dem L eh herau gek mOlen i t die vertikale Po ition - die y-Position - mit ziemlich guter Genauigkeit - nämli h ±B.t Da heißt. die nbe timmtheit im Ort 1:':.) i t von der Ordnung B. UD könnt n \! ir eb n 0 agen wollen, da ö.P" gleich null i t da un der Impul al ab olut h rizonral b kannt i t; aber d i t fal eh. Wir wu tenjrüher einmal, da der Impul horizontal war, aber ir \ i en e jetzt nicht mehr. Bevor die '"D ilchen durch da Loch gekommen ar n, kannten ir ihre ertikale Po ition noch nicht. Jetzt. da wir nun dadurch, das wir da Teilchen da Loch pieren ließen die ertikale Po ition gefunden haben, haben ir un ere Information über d n ertikalimpul erl ren! Warum? ach der Wellentheorie gibt e eine erbreiterung der Beugung der ell n, \ enn ie durch den Spalt gehen genau wie beim Licht. Daher oibt e ein ge i e Wahr cheinlichkeit, dass Teilchen die au dem Spalt kommen, nicht g nau gerad kommen. D Trefferbild verbreitert ich durch den Beugung effekt, und der erbr iterung \ in I, d n ir al Winkel de er ten Minimums definieren können, i t ein aß für die nb timmtheit im Endwinkel. i wird da Tr ff rbild rbritert. Zu agen, e i t verbreitert, heißt, da da Teilchen ine Chance hat, ihnach oben der unten zu bewegen, da heißt, eine Impul komponente nach oben oder unten zu haben. ir agen Chance und Teilchen, weil wir die e Beugung bild mit einem TeilchenzähJer na h i en können, und wenn der Zähler das Teilchen regi triert agen ir bei C in ig. 2-_. regi triert er da voll tändige Teilchen, 0 da im kla i ehen Sinne da eilch n in n rtikalimpul hat um om palt hinauf nach C zu gelangen.

-

-

c

Pig. 2-2: Beugung on Teilchen beim Dur hgang durch ein n Spalt.

or l llung von der p)" di gl j h Po ßB i t

nderung de lmpul e vermittelt die Änderung de ob i Po der Horizomalimpul i t. nd ie groß i t ir wi n, d da er te Mini mum unter inern olehen

ngenauigkeit in y i I ±BI2. ber da \ ir jetzt nur an Grundgedanken intere ien sind. woUen ni hl kümmern.

2 Die Beziehung zwischen dem Wellell- lind Teilchenstandpunk/

20

Winkel 6.8 erscheint, da die Wellen von der einen Kante de palt em llenlänge mehr zurückJegen mü en a1 die WeUen von der anderen Kante - da haben ir früher h rau bekommen (Kapitel 30, Band I). Daher i t ß8 gleich "AlB, und P, in di em Experiment gleich Polt/B. Beachten Sie, da da Beugung bild breiter wird, wenn 'wir B kleiner machen und eine genauere Mes ung de Teilchenortes durchführen. Daher wird da Bild um 0 br iler, je eng r wir den palt machen und um 0 größer i t die Wahr cheinlichkeit, da wir Fe t teilen, da da Teilchen eilJichen Impu1 hat. Oe halb i t die Unbe timmtheit im ertikalimpul umgekehrt proportional zur nbe timmtheit on y. Wir sehen tatsächlich, da d Produkt der beiden rein timmung mit gleich Polt i 1. Aber A i t die Wellenlänge und Po der lmpul , und in der Quantenmechanik i t die Wellenlänge multipliziert mil dem Impul glei h der Planck ehen Konstante h. Wir erhalten 0 die Regel das da Produkt der nbe timrntheiJen im ertikalimpul und in der Vertikalpo ition von der Ordnung hit: (2.3)

Wir können kein System er teilen, in dem wir die Vertikal po itionen eine Teilchen kennen und mit größerer Sicherheit orau sagen können, wie e ich vertikal be\ egen ird. al durch (2.3) gegeben i 1. Da heißt, die Unbe timmtheit im VertikaJimpul mu größ rein al h/ y. wobei 6.y die Unbe timmtheit in un erer Kenntni de Orte i t. Manchmal agen die Leute, da die ganze Quantenmechanik fal eh i 1. Al da Teil hen von links ankam, war ein Vertikalimpul null. nd nun, da e durch den palt gegangen i t, i t ein Ort bekannt. Beide, Ort und Impul , cheinen mit uneinge chränkt r Genauigkeit b kannl zu ein. E i t völlig richtig, das wir ein Teilchen regi trieren und beim R gi trieren fe t teilen können, wo e i t und wa für einen Impuls e gehabt haben mü te, um dorthin g langen zu können. Das i t richtig. aber i t nicht da ,worauF ieh die nb timmthei relation (_.3) bezieht. Die Gleichung (2.3) bezieht ich auf die Vorhersagbarkeit einer ituation, nicht auf Au agen über die Vergangenhei/. E i t nutzlo ,zu ag n, Ich kannle den Impul . be r da Teilchen durch den Spalt ging und nun kenne ich den Ort', weil die K nnmi de {mpul e jetzt verloren gegangen i t. Die Tat ache, da e durch den Spalt gegangen i t. erlaubt e un nicht länger, den Vertikalimpul orau zu agen. ir pre hen on einer vorhe ag nden Theorie, nicht bloß on Me ungen nach dem Ereigni . Daher mü en wir da on prechen. a ir vorher agen können. wollen wir die ache ander herum b trachten. Wir ollen ein ander Bei piel d gleichen Phänomen etwas quantitati er betrachten. Im origen Bei pi 1 hab n wir den Tropul nach einer klas i chen I ethode gerne en. Wir betra hteten nämli h di Richtung. di Ge chwindigkeir, die inkel u w. und erhielten 0 den [rnpul dur h eine kl i ch nal Aber da der Impul mit der Wellenzahl zu ammenhängt gibt e in der atm noch ein n and ren Ihr kein kl Weg. den Impul eine Teilchen - eine Photon oder anderer - zu me en, i ehe Analogon hat, weil dabei Gleichung (2.2) benutzt wird. Wir me en die Wellen/än en der Wellen. ir wollen ver uchen, den Impul auf die em ege zu me en. UD

Angenommen, wir haben ein Gitter mit einer großen Anzahl on Linien (Fig. 2- und ducken einen Teilchen trab1 auf da Gitter. Wir haben die Problem oft di kuti rt: enn di Teilchen einen definiten Impul haben dann bekommen wir wegen d r Im rfer nz ein hr charfe Bild in einer be timmten Richtung, und wir hab n auch darüber g pr eh n ie 0 nau wir die en lmpul be timmen können, da heißt, wie groß da uflö ung ermög n in

2.2 Me

Lll1g \'011

21

Ort und Impul

m,\ = L I

-

I I I

-

I I

I I

J.. I

'

I I I

Fig. 2·3: Be timmung de Impul e durch erwendung

I I

eine Beugung gitter.

olchen Gitter i l. tatt e noch einmal herzuleiten, on Band 1, 0 wir g funden haben, da die relative Me un mit inem orgegebenen Gitter gleich 1/Nm Gitter und m die Ordnung de Beugung bilde i t. Da

LlAIA

= 1/

beziehen wir un lieber auf Kapitel 30 Un icherheit in der Wellenlänge bei der i t, wobei N die Zahl der Linien auf d m heißt (2.4)

m.

un kann die Glei hung (2.4 umg chrieben

erden al (2.5)

wobei L der in Fig. 2-3 ez igte b tand i t. Die er Ab tand i t die Differenz ziehen der ganzen Entfernung die da Teilchen od r die Welle oder a immer e ei zurückzulegen hat, wenn e om unteren nde de Giner reflektiert ird, und der Entfernung, die zurückzulegen hat wenn e om oberen Ende d Giner reflektiert wird. Da heißt, die Wellen die da Beugung bild erg b n, ind Weil n, die on ver chiedenen Teilen des Giner kommen. Die zuer t eintreff nden 11 n k mm n m unteren Ende de Gitter, vom Anfang de Wellenzuge . Die übrigen kommen von den folgenden Teilen de ellenzuge und on erschiedenen Teilen de Gitter, bi hli Blich di 1 tzt ankommt, und die enthält einen Punkt in dem Wellenzug im Ab tand L hinter dem er t n Punkt. Damit ir al 0 eine charfe Linie in un erem pektrum haben, die mit inem d finierten Impul mit einer nbe timmheit gemäß (2.4) korre pondiert, mü en wir einen \ ellenzug mit der inde tlänge L haben. Wenn der W lIenzug zu kurz i t, nutzen wir nicht d g nze Gin r au . Die Wellen die da Spektrum bilden, werden nur von einem ehr kurzen u hnitt d Gitter reflekti rt und da Gitter wird nicht richtig arbeiten wir werden eine große iak 1 rbreiterung orfinden. Um ie zu verkleinern, müs en wir da ganze Gitter au nutz n. d w nio ten zu einem Zeitpunkt der ganze Wellenzug gleichzeitig an allen Teil n de Gin r g treul ird. Daher mu der Wellenzug die Länge L haben damit die nb timmth it in drellenlänge kleiner i t aJ durch (2.5) geg ben... brigen gilt

;\./;t- = oLl

1;;\.)

=k/

lf.

Daher gilt auch

(2.7)

k = 2Tr/L, obei L die Läng d

lIenzug

i t.

22

2 Die Be:iehung zwischen dem Wellen- und Teilchensrandpunkt

Da b deutet, da die Unbe timmtheit in d r Wellenzahl größer al _niL ein mu . wenn wir einen Wellenzug haben, de en Länge kleiner al L i t. Oder: Die nbe timmtheiL in d r Wellenzah1 multipliziert mit der Länge de Wellenzuge - wir werd n ie für einen ugenbli k ~l; nennen - i t größer a1 2n. Wir nennen ie fix, weil ie die Unbe Limmtheit im On d Teilchen bedeutet. Wenn der WelIenzug nur eine endliche Länge exi tiert. dann i t i wo wir da Teilchen mit einer nbe timmtbeit ~ finden könnten. un i t die Eigen chaft der Wellen, nämlich da die Länge de Wellenzuge multipliziert mit der nb timmtheit der dazugehörigen Wellenzahl mindesten 2n i t, eine Eigen chaft, die jedem bekannt i t, der i h damit befas t. ie hat nicht mit Quantenmechanik zu tun. E bedeutet einfach, da wir in einem endlichen WelJenzug die Wellen nicht genau zählen können. Wir wollen er uchen. auf einem anderen Wege den Grund dafür zu erkenn n. ngenommen, wir haben einen endlichen WelJenzug. der Länge L, dann i t wegen der ei e, wie r an den Enden abnehmen mu , iehe Fig. 2-1, die Zahl der Wellen in der Länge L nur bi auf etwa ±l bekannt. Die Zahl der Wellen in Li t jedoch kL/2n. I 0 i t k unb timmt und ir erhalten wieder da Ergebni (2.7), lediglich eine Eigen chaft on ellen. E gilt da eibe. ob es ieh um räumliche Wellen handelt und k die Zahl der ellen pro Zentimeter und L di Länge de Wellenzuge i t, oder ob die Wellen ich in der Zeit au breiten und w di Zahl der Schwingungen pro Sekunde und T die "Länge" der Zeit i t, in der der ellenzug ankommt. Da heißt, wenn wir einen Wellenzug haben der nur eine endliche Zeit T dauert, dann i t die nbe timmtheit der Frequenz gegeben dureh ßw

= 2n/T.

Wir haben er ucht herau zu teUen da die lediglich Eigen chaften on sind zum Bei pie1 in der Aku tik gut bekannt.

_. )

ellen ind, und i

Der we entliehe Punkt i t, da wir in der Quantenmechanik die WellenzaW a1 aß rur den Impul eine Teilchen interpretieren, nach der Regel p = tzk, 0 das Glei hung _.7) b deutet !::.p ~ hl ~r:. Die i t omit eine Ein chränkung de kla i ehen Impul begriffe. atürlich mu er in mancher Hin icht einge chränkt werden, wenn wir D iIeh n dur h ellen dar t lIen!) E i t chön, das wir eine Regel gefunden haben, die un einen Eindruck eJlltittelt, ann die kla i chen Begriffe er agen.

2.3

Beugung an Kri tallen

Al äch te wollen wir die Reflexion von Teilchenwellen an einem Kri lall betra hten. Ein Kri lall i t ein dicke Ding, welche eine ganze Menge gleicher Atome - einig K mplikalionen werden wir päter einfügen - in einer hüb chen Anordnung hat. Die rage i t wie ir di Anordnung hin teilen, um ein tark reflektierte Maximum in einer gegeb nen Richtung für einen gegebenen Strahl von. agen wir, Licht (Röntgen trahlen). Elektronen, eutr nen d r etwas ander m zu erhalten. meine tarke Reflexion zu bekommen, mu die treuun n all den Atomen in Pha ein. E darf nicht eine gleiche Anzahl in Pha und auB r Ph in on t werden ich die ellen au lö ehen. Der Weg,. die Dinge zu arrangieren, be leht darin, di Gebiete kon lallter Phase zu finden. wie wir bereit erklärt h b n; ie ind Eb n n, die leich inkel mit der Einfall - und Au fall richtung bilden (Fig. 2-4).

23

Fig. 2-4:

rreuung on Wellen an Kri tallebenen.

enn wir, ie in Fig. 2- . z ei parallele Ebenen betrachten dann werden die Wellen die von den beiden Eben n g treut erden, in Pha e ein orau ge etzt der Unter chied der on den Wellenfront n zuruckg legt n Entfernungen i tein ganzzahlige Vielfaches der Wellenlänge. an i nt, da di Diff r nz 2d in () i t, wobei d der enkrechte Ab tand zwi ehen den Ebenen i t. Folglich i t die B dingung für kahär nte Reflexion

2d in e = nA

(n

= 1, 2, ... ).

(2.9)

2 Die Be::.iehung :wischen dem Wellen- und Teilchen tandpunkT

24

.

;

... ,.

... .

Fig. 2-5: Das u ter. das dur h die Beugung von Röntgen trahJen in einem atriumchlorid-Kri tall erzeugt wird.

Fig. 2-6: Römgenbeugung bild \on Myoglobin.

Übrigen ,e ge chieht etwa !ntere ante, wenn die Ab tände der nä h ten Ebenen klein r al A/2 sind. Tn die em Fall hat (2.9) für n keine Lö ung. Wenn daher A größ r i t al d r doppelte Ab tand benachbarter Ebenen, dann gibt e kein itliche Beugung bild und d Licht - oder was immer e ei - wird gerade durch da Material hindur hgehen. ohne abzuprallen oder verloren zu gehen. Im Falle de Licht al 0, wo i\. iel größer al der bland i l. g hl e natürlich hindurch und e gibt kein Reflexion bild von den Kri tallebenen. kurzwellige Reak'1.Of

eutronen

//

=::

Graphit

-- langweilige

--r - - - - - - - - - - - J --

eulronen Fig. 2-7: Diffu ion von Re 'tor- eUlronen.

Die Tat ache hat für Kernreaktoren, die eutronen (die ind offenbar Teilchen erzeuaen, eine intere ante Kon equenz. Wenn wir die e eutronen in einen langen Graphitblock hineinlas en dann diffundieren die eutronen und bahnen ich ihren Weg Fig.2-7. ie diffundieren. weil ie an den Atomen abprallen, aber in der Wellentheorie prallen ie tr ng g nommen \' n den Atomen de wegen ab. weil ie von den Kri rallebenen gebeuot werden. W. nn \ ir in ehr lange Stück Graphit nehmen, teIlt ich hefau ,da die eutron n, die am äuß r ten End herau kommen, alle eine große Wellenlänge haben. Ln der Tat. nn m n di Int n ilät aL Funktion der eUenläng aufträgt, dann erhält man gar ni h außer für \ llenläng n, di größer al ein be timmte Minimum ind (Fig. 2- ). Mit and ren ort n, \ ir könn n uf di

- - - ; 1 - - - - - - - + - - - - - - ,\

Amin

Fig. 2-8: Inlen ität on 'eutronen au einem Graphi lab al Funktion der Wellenlänge.

2.4 Die Größe eines

[Dm

ei e ehr lang ame utr nen erhalt n. ur die lang am ten eutronen konunen durch: ie werden on den Kri talleb nen d Graphit der g beugt noch ge treut, ondem ie gehen glan durch wie Li ht dur h GI und werden nicht eitwärt ge treut. E gibt noch iele andere Be ei e für di Re lität d r eutronenwellen und die Wellen anderer Teilchen.

2.4

Die Größe eine Atoms

( .10)

ir i n nicht ein teJJen \\ ird.

a er \ ir \:vi n. da i h da Atom auf eine Art Kompromi kJ in wi mÖblich wird. m da Minimum von E zu

26 bilden, differenzieren wir nach a, etzen die Ableitung gleich null und lö en na h a auf. Die Ableitung on E i t dE/da

J ' = -fr/2ma + e-/a-, ")?

.J

und wenn man dE/da = 0 etzt, ergibt ich für a der Wert ??

Q

ao = fz- / me- = 0,5- Ang tröm = 0,52 x 10- 10 Meter. Die er pezielle Ab tand wird der Bohrsehe Radius genannt, und \ ir hab n damit gelernt. da die atomaren Abme ungen in der Größenordnung von Än g tröm-Einheir n lieg n, wa ri hti o i t. Da i t wahrlich recht gut; e i t verblüff nd, denn bi jetzt hatten \ ir kein Ba i für d Verständni on AtomgröBen! om kJa i ehen Standpunkt au ind torne völlig unmö li h, weil die Elektronen in den Kern fallen würden. Wenn wir nun, um die Energie au zurechnen. den Wert (2.12) für ao in 1.10 ergibt ich

in etz n.

Wa bedeutet eine negati e Energie? E bedeutet dass da Elektron im tom \ eniger Energie man En rgi hat, al \l enn e frei i t. E bedeutet, da e gebunden i t. E b deutet, d braucht, um das EJektron herau zu chlagen; man braucht Energie in der Größenordnung von 13,6 eV. um ein a er toffatom zu ionisieren. E besteht kein Grund zu der nnahme. da ie nicht auch zwei- oder drei- - oder einhalb- - oder (I hr)-mal 0 i 1 ein kann. weil \ ir so chlampig argumentiert haben. Wir haben jedoch gemogelt. ir hab n all di K n tanten o einge etzt, das e ich gerade 0 ergibt, da der richtige ert h rau k mmt. Die er n. 13,6 Elektronenvolt, wird ein Rydberg der Energie genannt; er i t die loni ierung en rgi d Was er toff . Daher er tehen wir jetzt, warum wir nicht durch den Fußboden fallen. ähr nd wir gehen stoßen un ere Schuhe mit ihrer Ma e von Atomen geg n den Fußboden mit ein r a e von Atomen. m die Atome enger zu ammenzuquet ehen, v ürden die EI ktr n n auf ein n engeren Raum zu arnmengedrängt in, und infolge de nbe timrnth it prinzip \\'Ürden ihr Impul e im Durch chnitt höher ein mü en, und da b deutet groB Energie; d r id r t nd gegen atomare Kompre ion i tein quantenmechani cher und J

W

J1

=(E3 -

EI )/t! ,

(_.14)

Die i t dann eine charakteri Li he requ nz d Atom und I gt eine Emi ion pektrallinie fe t. Ein nd rer möoli h r .. roang äre der on E3 nach Eo. Die er hätte eine andere Frequenz

2.15

28

2 Die Be:iehung zwischen dem ~ ellen- lind Teilchen umdpu/lk/

Eine andere ögli hkeit be teht darin. da ein Atom im ngeregten Zu Land EI in den Grundzu tand Eo zurückfallen könnte. Dabei ernittien e ein Photon der Fr uenz 2.16

Wir bringen die e drei ··bergänge, um eine int re ante Beziehung herau zu teilen.

u (_.1-1-).

(2.15) und (2.16) erkennt man leicht da (2.1 )

Wenn wir zwei Spektrallinien finden, ollten wir im Allgemeinen f"\ arten. ine andere Linie bei der Summe der Frequenzen (oder der Differenz der Frequenz n) zu find n. und da alle Linien durch das uffinden einer Reihe von i eau er tanden erd n können, d jede Linie der Energiedifferenz eine iveaupaare ent pricht. Die e bem rken wen r instimmung der Spektralfrequenzen war vor der Entdeckung der Quantenme hanik kannt und wird da Rit::.sche Kombinarionsprin:ip genannt. Vom Standpunkt der kI i hen chanik i t da wieder ein Rät el. ir wollen nicht darauf herumreiten, das die kI i che Mechani ' im atomaren Bereich ver agt. Ir haben da wohl gut genug gezeigt. Wir haben chon darüber ge proehen, da die Quantenmechanik durch mplitud n darg stellt wird, die ich wie Wellen mit be timmten Fr quenzen und \ eil nzahlen v rhalten. Ir wollen jetzt einmal vom Standpunkt der Amplituden au betrachten, wie dazu kommt. d ir au dem bi her G aot n ni ht da Atom fe te Energiezu tände hat. Die i t etwa, wa ver tehen können aber wir ind alle mit der Tat ache maut. d einge hl n 11 n bestimmte Frequenzen haben. Wenn zum Bei piel der chall in ein r Orgelpfeife d r t a Ähnlichem gefangen i 1. dann gibt e mehr al eine ögli hk it. wie der chall hwing n kann, aber für jede Möglichkeit gibt e eine be timrnte Frequenz. Folgli h hat ein Obj ~t, in dem dje ellen einge chIo en ind be timmte Re onanzfrequenz n. Dah r haben ellen in einem begrenzten Raum - ein Thema, da wir päter au führlich mü Formeln be pr h n w rden - die Eigen chaft. nur mit be timmten Frequenzen zu e i ti ren. nd da j die all em in Beziehung zwi ehen den Frequenzen der Amplituden und der nergi be tehI. ind \\ ir ni ht überrascht, fe te Energien in Verbindung mit in Atomen gebund nen lektron n zu find n.

2.6

Philo ophi ehe Kon equenzen

Wir wollen kurz einige philo ophi che Folgerungen au der Quant nme hanik betracht n. Wie immer hat da Problem zwei Seiten: Di eine i I die phil phi h Bedeutun ür die Phy ik, und die andere i t die Extrapolation philo ophi h r Himg in and re bi t. nn mit der i en chaft erbundene philo ophi ch Ideen in in ander Gebi [g z m w r n. werden ie gewöhnlich voll tändig ent teilt. De halb werden ir un r Bem rkungen 0 it wie möglich auf die Phy ik elb t be chränken. Der intere ante te pekt i t zunäcb t der Gedanke de nbe timmth ir prinzip : ein Beobachtung beeinflu t die Er cheinung. Man hat imm r gewu t, da B b htung n eine Er cheinung beeinftu en aber da We entliche i t, d die er Effekt ni ht ignori n r v [kleinen oder willkürli h herabge etzt werden kann, indem man d n pp r t umbaut. nn .. ir nach einem be türunten Phänomen u chau halten, k mrn n ir ni ht umhin. e ein wenig zu tören, und diese Störung ist für die FoLgerichtigkeir des Standpunktes notwendi .

29 Der Beoba hter \ ar in der orquant nph ik mitunter von Bedeutung, aber nur in einem tri ialen Sinne. Folgende Problem" urd aufgeworfen: Wenn ein Baum im Wald rant. und niemand i t dabei, der e hört. macht er dann ein Geräu eh? Ein wirklicher Baum der in einem uirklichen ald fällt. ma ht natürli h Lärm, auch wenn niemand dabei i t. Auch enn kein Zuhörer gegenwärtig i t. IN rden do h andere Spuren hinterla en. Der Schall wird einige Blätter bewegen. und \venn wir mit g nügender orgfalt uchen, könnten wir irgend 0 entdecken, da ein D m gegen ein Blatt gerieben hat und einen winzigen Kratzer gemacht hat. der nur durch eine ibration d Blatte erklärt werden kann. So mü en wir in gewi em Sinne zugeben. dein Geräu herzeugt . urde. ir könnten fragen: Gab e eine Empfindung de Lärm? ein, Empfindungen haben vermutlich mit dem Bewu t ein zu tun. Und ob Amei en ein Bewu t ein haben und ob überhaupt Amei en in dem Wald waren oder ob der Baum ein Bewu t ein hat, wi en wir ni hl. La en wir da Problem auf ich beruhen. Etwa andere, wa man ielfach eit der Entwicklung der Quantenmechanik hervorgeir nicht über Dinge reden oUten die wir nicht mes en hoben hat, i t die uffa ung. da können. (Auch die R lati ität theorie agte das.) Wenn eine Sache nicht durch Me ung erfa t werden kann, i t für ie k in Platz in einer Theorie. Und da ein genauer Wert für den lmpul eine lokali ierten Teilchen ni ht au e ungen erhalten werden kann hat er keinen Platz in der Theorie. Die or t Hun o ' d e die i t wo e mit der kla i ehen Theorie haperte i tein ja/scher Standpunkt. E i teine nachlä ige AnaJy e der Situation. ur da wir Ort und lmpul nicht genau me en könn n, bedeutet apriori nicht, da wir nicht darüber prechen können. E bedeutet nur, da wir nicht darüber zu prechen brauchen. Die Situation in den Wi enehaften i t folgende: Ein Konzept oder eine Idee die nicht gerne en oder direkt mit einem Experiment belegt erden kann. kann nützli h ein oder nicht. Sie braucht nicht in einer Theorie zu e i ti ren. Mit anderen orten: Angenommen wir ergleichen die kla i ehe Theorie von der W lt mit der Quant ntheorie, und nehmen wir weiter an, da ich experimentell ergibt da wir Ort und Impul nur ungenau rne en können. Die Frage i t, ob die Ideen on dem exakten Ort eine Teilchen und dem e ak'ten Impul eine Teilchens sti hhaltig ind oder nichr. Die kLa i ehe Theorie timmt dem zu die Quantentheorie nicht. Da bedeutet an ich nicht da die kJa i he Ph ik fal h ist. Al die neue Quantenmechanik entdeckt wurde, agten die ar n alle außer Hei enberg, Schrödinger und Born: ,Schaut mal, kla i ehen Leut - und da eure Theorie taugt nicht weil ihr be timmte ragen nicht beantworten könnt, wie z.B.: WeIche i t der genaue Ort ine Teilch n . durch welche Loch gehl e durch und noch andere." Hei enberg nt ort ar: "Ich brau he olche Fragen nicht zu b antworten, weil man olehe Fragen experimentell nicht l Hen kann." Da heißt, wir müssen ie nicht teUen. Man betrachte zwei Theorien (a) und b : (a) enthält eine Idee, die nicht direkt geprüft erden kann, die aber in der Anal e benutzt wird und di andere. (b), enthält die e Idee nicht. Wenn ie in ihr n Vorher agen nicht üb r in timmen. dann kann man nicht behaupten da (b) fal eh i t, weil ie die Idee nicht erklären kann, die in (a) nthalten i l, w il die e Idee zu den Dingen gehört, die nicht direkt geprüft w rden können. E i t immer gut zu wi en elch Ideen ni ht direkt geprüft rden k"nn n, aber e i t nicht nötig, ie alle au zumerzen. E tinunt nicht. da wir der i en haft oll tändig nachgehen können, indem wir nur jene Konzepte benutzen, die direkt einem E periment unt rworf n werden können. In der uamenmechanik lb t gibt ein Wahr cheinli hkeit amplitude, ein Potential und viele Kon truktionen, di ir ni ht direkt me en können. Die Grundlage einer i en chaft i t die Fähigkeit etwa vorall::ll agen. Vorau agen bedeutet, da man agen kann was in einem E periment, da nie au g führt urd, ge cheh n wird. Wie können wir d ? Indem

30

2 Die Be:iehung -wi ehen dem Wel/en- und Teilchen randpunkl

wir unabhängig om Experiment annehmen, da wir wi en \ a vorliegt. Wir mü n die Experimente in ein Gebiet hinein extrapolieren, wo ie ni ht au geführt wurden. \ ir mü en un ere Vor teIlungen auf Bereiche au dehnen. "0 ie no h ni ht geprüft \\ rd n ind. Wenn wir da nicht tun, haben wir keine Vorau age. So war e ganz ver tändli h. da der kla i h Physiker fröhlich weiterma hte und annahm, da der Ort - der offenbar für ein n Ba ball etwa bedeutet - auch für ein Elektron etwa bedeutete. Da \ ar keine Dummh ir. E war in vernünftiger organg. Heute behaupten wir, da das Ge etz der Relativität für alle En rgi 11 gilt, aber ielleicht kommt eine Tage jemand und agt, wie dumm wir doch ""aren. \ Ir wi en zu nicht, wo wir "dumm" ind, bi wir "etwa ri kieren", und 0 i t e on B deUlung. t\ ri kleren. Und die einzige Möglichkeit zu ergründen da wir unrecht hab n, be teht darin herau zufinden. wa un ere Vorau agen ind. E i t ab 01U! not endig, Gedankeng bäud zu errichten. Wir haben chon einige Bemerkungen über die Indeterminienh it der Quantenme hanik gemacht. Da bedeutet, da wir jetzt nicht vorher agen können. a in einer g gebenen phy ikali ehen Situation. ei ie auch noch 0 orgfältig vorber iret. g hehen wird. Wenn wir ein Atom haben, da in einem angeregten Zustand i t und daher ein Ph t n emittieren wird. können mpliwir njcht agen, wann e da Photon emittieren wird. E hat zu jeder Zeit ein gewi tude, da Photon zu emittieren, und wir können nur eine Wahr heinlichkeit für die Emi i n orher agen; ir können die Zukunft nicht exakt vorau agen. Das hat allem möglichen n inn und Fragen nach der Bedeutung der Willen freiheit und der Ide ,das die elt unb timmt i t, Auftrieb gegeben. atürlich mü en ir betonen, da auch die kla i ehe Phy ik in gewi m inn indeterminiert i t. E wird allgemein geglaubt da die Indeterminiertheit. di un di Zukunft nicht vorhersagen lä t eine wichtige quantenmechani che Ang legenh it i t. Die wurd geagt, um dje Funktion de Ver tande , die Überzeugung von der Freih it de \ illen u . zu erklären. Aber wenn die Welt kla i ch wäre - wenn die Ge etze d r e hanik kl i h wären -, dann i t e nicht ohne weitere klar, da der Gei t nicht mehr oder w niger da elb empfinden ollte. Kla i eh i t e richtig. da wir bei Kenntni on On und Ge chwindiok it eine jeden Teilchen in der elt oder in einem Gefäß mit Ga g nau orher agen önnt n. pa ieren würde. Darum i t die kla i che Welt delennini ti eh. ehmen ir j do h n. da wir eine endliche Genauigkeit haben und nicht genau wi en, wo gerad in tom i I. ag n wir auf ein Milliard tel. Dann wird e in einem Lauf mit einem anderen tom zu amm ntoßen, und da wir einen Ort nur auf ein M,illiard lel genau kannten. \ erden \ ir na h d m Zu ammenstoB einen noch größeren Fehler im Ort haben. Die er ird natürlich beim näch r n Zu ammen toß vergrößert, 0 da ich auch nur der klein te anfangli he Fehler hn 11 zu iner ehr großen nge i heit au weitet. m ein Bei pie] zu geben: enn \ r über ein n Damm fällt, dann pritzt e. enn wir nah dab i tehen, dann wird ab und an ein Tropfen auf un erer ase landen. Das cheint voll tändig planlo zu ein, doch äfe ein 01 h erhalten nach rein kla i eben Ge erzen vorherbe timmt. Die exakte Po iuon all der Tr p~ n hän2t ab von dem präzi en Wellengang de Wa er, bevor e über cl n Damm gehl. ber wie? Die klein ten Unregelmäßigkeiten werden beim Fallen ergrößen, 0 da \I, ir oll tändig Zufälligkeit erhalten. Offenbar können wir die Po ition der Tropfen nicht irklich vorh r aoen, hne die Bewegung de a er absolut exakt zu kennen. Genauer ge agt wenn eine beliebige Genauigkeit vorg geben i t. ganz glei h " i n u, dann kann man eine Zeit angeb n, die lang genug i t, 0 da un ere orher agen für ine

31

o lange Z it k ine Gültigkeit hab n. Hierbei i t nun we entlieh da die e Zeit panne mehr ehr groß i"l. E i t nicht , da die Zeit bei einer Genauigkeit von ein zu einer Milliarde illionen on Jahren b trägt. Di Zeit hängt in Wahrheit nur logarithmi eh von dem Fehler ab und e ergibt ich, da ir chan in einer ehr kurzen Zeit a1l un ere Informationen erlieren. Wenn ir die G nauigkeit mit in zu illiarden und Milliarden und Milliarden - ganz gleich, wie i le Milliarden \ ir wollen, \ nn wir nur irgend 0 aufhören - annehmen, dann können wir ein Zeit finden die kleiner i t a1 di Z it, die ir brauchten, um die Genauigkeit Fe tzulegen - nach der wir nicht mehr orher agen können, wa ge chehen wird! E i t daher nicht fair zu behaupten. da wir au d raffen ichtli hen Freiheit und Indeterrniniertheit de men chlichen Gei te hätten erkennen mü en. da die kJa i ehe .,determini ti che' Ph ik niemal hoffen konnte die en zu ver tehen und die Quantenmechanik al Erlö ung on einem , oll tändig mechani ti ehen' Uni er um zu b grüßen. D nn chan in der kla i ehen Mechanik gab e die nbe timmbarkeit om prakti chen Standpunkt au ge ehen.

3

Wahrscheinlichkeitsamplituden

3.

Die Ge etze zur Kombination von Amplituden

I Schrödinger wer t die korrekten Ge etze der Quantenmechanik entdeckte, chrieb er eine Gleichung auf. die die Amplitude, ein Teil hen an er chiedenen Orten aufzufinden bechrieb. Die e Gleichung war den Gleichung n, die auch schon den kla ischen Phy ikem bekannt waren, ehr ähnJi h - das aren Gleichungen die ie zur Be chreibung von Luftbewegungen in ein r hallweJle. der Fortpflanzung des Lichte und 0 weiter benutzten. So wurde am Anfang der Quantenmechanik die mei te Zeit zur Lösung dieser Gleichung verwendet. Aber zur gl iehen Zeit entwickelten be onder Born und Dirac ein Verständni der grundleo-end neuen phy ikali ehen Ideen, die hinter der Quantenmechanik teckten. AI ich die Quantenmechanik weiterentwickelte teilte ich h rau das e vieles gab, wa nicht direkt in der SehrödingerGI ichung enthalten war - wie der Spin de Elektron und ver chiedene relati i ti ehe Phänomene. Tradition gemäß begannen alle Kur e in Quantenmechanik auf dieselbe Art indem man den Weg der hi lOri eh n Entwi klung dieses Stoffe verfolgte. Man lernt zuer t eine enge über kJa i ehe Mechanik, 0 da man er teht. wie die Schrödinger-Gleichung zu lö en i 1. Dann erbringt man eine lange Zeit mit der u arbeitung ver ehiedener Lö ungen. Er t nach einem orgfältigen Studium die er Gleichung kommt man zu dem "fortgeschrittenen" Gebiet de Elektronen pin . Wir hielten e auch ur pfÜnglich für den richtigen Weg, di e Physik arie ungen abzucbließen, indem ir zeigen, wie die Gleichungen der kJa ischen Phy ik in chwierigen Situationen gelö t \ erden - wie b i der Be hreibung der Schallwellen in abge ehlo enen Räumen S hwingung formen der elektromagneti ehen Strahlung in zyJindri chen Hohlräumen und 0 weiter. Da ar der ur prüngliche Plan für die en Kur USo Wir haben jedoch be cWo n, die en Plan aufzugeb n und tattde en eine Einführung in die Quantenmechanik zu geben. ir ind zu der .. erzeugung g kommen da die so genannten fortge chrittenen Teile der Quantenm hanik in irkli hkeit ganz einfach ind. Die Mathematik die darin teekt, i t be onder einfach ie enthält nur einfa he algebrai che Operationen und keine Differentialgl ichungen oder höch ten nur hr einfache. Da einzige Problem be teht darin, da wir die Hürde über pfingen mü n nicht länger da Verhalten von Teilchen im Raum delailli rl b chr ib n zu können. Daher werden wir Folgende ver uchen: Wir werden TImen darüber b richten, wa man gewöhnlich di ,fortg hrittenen' Teile der Quantenmechanik nennen würde. b r wir er ich rn lhnen da ie bei weitem die einfach ten Teile - in einem tiefen Sinne de orte - ind, und ie ind auch die grundlegendsten Teile. Die i t. ehrli h ge gt ein pädagoc,l he E periment; e wurde, soweit wir wi en, nie zu or unternommen. Bei die em Thema hab n wir natürlich die Schwierigkeit, da da quantenmeehani che Verhalten d r Dinge r cht igentümli h. i t. iemand hat eine alltägliche Erfahrung, auf die er ich tützen kann, um ein gr be Gefühl für da wa ge chehen wird, zu bekommen. Daher gibt

3 Wahrschein/ichkeitsamplirude/1

34

e zwei ögtichkeiten. die en Stoff darzu tellen: Entweder könnten wir auf zi mli h ungenaue phy ikali ehe Art be hreiben. wa ge chehen kann, indem wir Ihnen agen, \ g hieht. ohne die genauen Ge elze für alle anzugeben; oder wir könnten anderer eit di genauen Ge. etze in ihrer ab trakten Form angeb n. Aber wegen der b traktion .. ürden i dann nicht wi en. wa ie ph ikali ch au agen. Die zweite Methode i t unbefri digend. eil i va] Ikommen abstrakt i t. und die er te hinterlä t ein unbehagliche Gefühl, weil man ni ht genau weiß. wa richtig und wa fal eh i t. Un i t nicht klar, wie wir die e S hwierigkeiten überwinden können. Sie werden icher bemerken, da Kapitel I und _ die e Problem aufzeigten. Da er te Kapitel war ergleich wei e genau; aber da zweite Kapitel ar ine rohe Be chreibun d r Eigen chaften der diver en Phänomene. Hier wollen wir v r uchen. den goldenen Minelweg zwi ehen den beiden E trernen zu finden. Wir wollen in die em Kapitel damit beginnen, un mit einigen allgemeinen quantenmechani ehen Ideen zu be chäftigen. Manche Fe t tellungen werden ganz genau ein, andere nur i t, aber wenn ie teilwei e genau. E wird chwierig ein,lhnenjeweil zu agen wa nun er t einmal den Re t de Buche durchgearbeitet haben, werden ie zurückblickend ethen. welche Teile tichhaltig ind und welche Teile nur grob erklärt wurden. Oie folgenden Kapitel werden nicht 0 ungenau ein. Einer der Gründe, warum wir un ern thaft bemüht haben. in den näch ten Kapiteln genau zu ein. i t die er: Wir wollten funen eine der hön ten eilen der Quantenmechanik: zeigen - nämlich wie viel man au 0 wenig herleiten kann. Wir fangen an, indem wir noch einmal die Überlagerung on Wahr: cheinli hkeitsamplituden di kutieren. Al Bei piel beziehen wir un auf da in Kapitel 1 be chri b ne E p riment da hier noch einmal in Fig. 3-1 gezeigt i t. Da i t eine Quelle on Teilchen, agen wir Elektronen- dann haben wir eine Wand mit zwei Spalten darin; hinter der and befindet ich an einem Ort x der Detektor. ir fragen nach der Wahr cheinlichkeit, cl man ein Teilchen bei x findet. n er erstes Grundprin-ip der Quantenmechanik be agt, da di \ ohr cheinlichkeil für die Ankunft eine Teilchen bei x, wenn e au der Quelle s herau kommt quamitati dur h d Ab olutquadrat einer kample en Zahl, die Wahrscheinlichkeitsamplitude heißt. darge teilt werden kann - in die em Falle die .,Amplitude, da ein Teilchen au s bei x ankommt". ir werden x

Detektor

' / / ..". S r - .I ~~:.:-.../' !....-..-

=:3 L....J

II ------------I

x

~==----------

'~. .-::-....-

Elektronen- ', ...... kanone

Wand

Auffangwand

(a)

Fig. 3·[: Interferenze periment mit Elektronen.

(b)

(

3.1 Die G el-e -ur Kombination von Amplituden

35

olch mplituden 0 häufig g brauchen. da wir. um die e Idee auszudru ken, eine abkürzend hr ibwei b nutzen \ ollen - die on Dira erfunden wurde und in der Quantenmechanik allgemein benutzt \ ird. ir chreiben di Wahr eh inli hkeitsamplitude folgendermaßen:

über i = (C li >a {i I S> .

( .1 I)

Bei die er Gleichung baben wir angenommen, da die Streuamplitude a für aJle tom gl ich i t. Wir haben hier eine große Anzahl on offenbar nicht zu unter cheidenden egen. ie iod nicht zu untercbeiden, weil ein niederenergeti ehe eutran on einem Kern ge treut ird. ohne das Atom au einer Lage im Kri taJl zu loBen - die treuung hinter)"' I keine" pur". ach un eren früheren Di kus ionen enthält die Ge amLamplirude für ein eutr n b i eine Summierung der GI. (3.11) über alle Atome:

( eutron bei CI eutron au S)

=

2:(C li)

a (i I S) .

( .1 )

;=1

Weil wir Streuamplituden on tarnen mit ver chiedenen Lagen im Raum a dieren, werden die Amplituden er ehiedene Phasen haben und da eharakteri ti he Interferenzmu ter eroeb n, das wir chan im Fall der treuung von Licht an einem Gitter anal iert haben. Die eurroneninten ität al Funktion de Winkel hat in 0 einem E periment tat ä hli h oft gewaltige Variationen gezeigt, mit ehr charfen IDterfer nzspitzen und fa t ni ht dazwiehen, wie in Fig. 3-6(a) darge teIlt. Bei manchen Kri tallarten g chiehl die jed h ni ht. und e gibt - neben den oben erwähnten Interferenz pitzen - einen allgemeinen ntergrund n Streuung in allen Richtungen. Wir müs en ver uchen, den cheinbar rät elhaften Grund dafür zu erstehen. un ja, wir haben eine wichtige Eigen ehaft de eutron ni hl berü r ichtigt:

3.3 Streuung

0/1

einem Kri tall

(a)

43

(J

Ce)

(b

8

(J

Fig. 3-6: Die eulronenzählrate al Funl1ion de Winkel: (a) für Kerne mit Spin null; (b) die Streuwahr eheinliehkeit mil pinumklappung- Cc) die beobachtete Zählrate für einen Kern mit pin ~_

E hat pin ~ und 0 gibt e zwei Zu lände, in denen e ich befinden kann: entweder Spin nach oben' (agen ir enkr cht zur Zeichenebene in Fig. 3-5) oder Spin nach ..unten'·. Wenn die Kerne de Kri tal I keinen pin hab n, hat der Spin des eutron keine Wirkung. Aber wenn die Kerne de Kri tall au h einen Spin haben, agen wir Spin werden ie den oben be chriebenen Streuuntergrund b oba hten. Da erklärt sich folgenden:naßen.

t,

Wenn der pin de eulron die eIbe Richtung wi der Spin des Atomkern hat, dann kann beim treu vorgang keine .. nderung d pin eintreten. Wenn da eutron und der Atomkern entg genge etzt n pin haben, dann kann die Streuung auf zwei Arten erfolgen. Bei einer bleiben die pin ungeändert und b i der and ren kehren ich die pinrichtungen um. Die e Regel, da ich die umme der pin nicht ändert, ent pricht un erem kJassi chen Ge erz on der Erhaltung de Drehimpul e . Wir beginn n da Phänomen zu verstehen, wenn wir annehmen, das alle treuenden Kerne mit Spin in einer Richtung au ge tattet ind. Ein eutfon mit gleichem pin wird dann mit der r arteten charfen Interferenzverteilung ge treut werden. ie verhält ich nun ein mit entgegenge etztem Spin? Wenn e ohne Spinumklappung ge trellt wird, dann änden ich gegenüber dem obigen nicht ; aber enn ich die pin bei der Streuung umkehren, dann könnten wir im Prinzip herau finden, welcher Kern die Streuung be orgt hat da er der einzige mit umgekehrtem Spin är. un ja, wenn wir sagen können welche Atom die Streuung borgte, \ hab n dann die and ren Atome damit zu tun? icht natürlich. Die Streuung i t genau die gl i h ie die on einem einzelnen Atom. m die en Effekt mit aufzunehmen mu die math mati ehe Formulierung der GI. (3.1_) abgeändert erden da \ ir in die er nal e die Zu tände nicht oll tändig b chrieben haben. Fangen wir damit an da alle eutronen au der Quelle den pin oben haben und alle Kerne de Kri tall den Spin unten. Zuer t hält n ir gern die Amplitude, da am Zähler der Spin d eutron ob n i t und all Spin de Kri tall no hunten ind. Die unter cheidet ich nicht on un er r orherg h nd n Di ku i n. Wir wollen a al Amplitude für die Streuung ohne· mkJappung de pin beibehalten. Die Amplitude für die Streuung am i-ten Atom i t natürlich (Coben' im Kri tall alle unten ISunten' im Kri tall alle unten)

= (C li)

Q

(i I ).

3

44

~

ahrscheinlichkeit amplilllden

Da alle Atom pin noch unten ind, können die v r hi denenlt rn liven (unter hiedli he Werte von i) n1 ht unter chieden werden. E gibt zweif lohne keine lö li hkeit zu agen. welche tom die Streuung be orgte. Bei die em Vorgang interferieren He mplituden. E gibt jedoch einen weiteren Fall. in dem der Spin d nachgewie n neutron um n i t. obwohl e von S mit pin oben au ging. Im Kri tall mu einer der pin na hoben g dreht e für jed torn worden ein - agen wir der de koten Atom . Wir oJJen annehmen, d die gleiche Streuamplitude mit pinumklappung gibt, nämlich b. (In einem wirkl i hen Kri 'tall tom übergibt e die unangenehme Möglichkeit, da der umgekehrte pin auf ein and r geht, aber wir wollen den Fall eine Kristall annehmen, bei dem die ahr h inli hk it hr gering i 1.) Die Streuamplitude i t dann (Cunten ' Kern k oben I Soben' im Kri tall alle unten)

= (C Ik) b j(lT - 8) .

So eine Amplitude gibt immer noch eine Wahr cheinlichk it P., gl i h

If( -

8)1~.

un wollen wir ehen. wa pa iert wenn a und b identi ehe Teil hen ind. Di beiden er chiedenen orgänge, di in den Diagrammen der Fig. 4-1 gezeigt ind. könn n dann ni ht unter chieden werden. E gibt eine Amplitude, das elltweder Q od rb in den Zähler 1 gehr. während das ander in den Zähler 2 geht. Die e Amplitude i t die umme der mplituden für die heiden orgänge. die in Fig. 4-1 darge teilt ind. Wenn wir die er te j(8) nennen. dann i t die zweite eii5!(rr - 8). wobei jetzt der Pha enfaktor ehr wiehtiet i t. weil ~ ir die beiden Ampliruden addieren erden. Angenommen. wir hätten die Amplitude mit ein m gewi n Pha enfaktor zu multiplizieren. wenn wir die Rollen der zwei Teilchen vertau ehen. \ enn \ ir ie no heinmal el1au ehen, ollten wir wieder den eiben Faktor erhalten. ber ir ind dann wieder beim er ten organg. Zweimal angewendet mu un der Ph enfaktor zum nfan e zurückbringen - ein Quadrat mu gleich I ein. E gibt nur z· eiögli hkeiten: e li5 i t gl i h + lader gleich -1. Entweder kommt der au getau chte Fall mir d m gleichen orz ihn d r mit dem entgegen eset-ten orzeiehen hinzu. Beide Fälle kommen in der atur vor. jeder für eine andere Gruppe von Teilchen. Teilchen, die mit pOSitivem orzei hen interferieren. werden Base-Teilchen genannt. und jene, die mit negativem Vorzeichen interferieren. werden FenniTeilchen genannt. Die Ba e-Teilchen ind da Photon, die e n n und da Grm iton. Die Fermi-Teilchen iod da Elektron. da Myon, die eutrino. die ukleonen un di Bary n n. Damit ergibt ich al Amplitude für di Streuung idenri eher Teil hen:

Bose-Teilchen: (Amplitude direkt) + ( rnplitude au getau

ht).

Amplitude direkt) - (Arnplitud au getau

hL).

(4.1

Fe rm i- Teilchen:

Für Teilchen mit pin - wi Elektronen - gibt eine zu ätzli he Komplikation. '" ir mü en nicht nur den Ort der Teilchen angeben, sondern auch die Richtung itlr r pin. ur b i plilud n. \\enn di iden ti hen Teilchen mit idenli chen Spinnl länden überlag rn i h die Teilchen au getau ht werden. Wenn ie an die treuung on unpolari ierten trahlen denk fl - die eine 11 hung ver chiedener Spinzu tände ind -, gibt e el\! a zu ätzli he rithm tik. un tau ht ein inter ante ProbI m auf, wenn zwei d r mehr Teil h n ~ t aneinander gebunden ind. Zum Bei piel emhält in lI-Teilchen ier Parti el - z i utr n n und zwei Protonen. Wenn zwei lI-Teilchen zu ammen toßen, gibt e m hr r ··gli hkeit n. i l möglich, da e beim Zu ammen toß eine gewi ernplilude oibt da ein d r utrnen von einem (l'- Teilchen auf da andere üb r pringt, ährend in eutTon v n dem and ren (l'- Teilchen den umgekehrten eg pringt, 0 da die beiden Iph • di au d r rr uUlr n nung herau kommen. ni hr die ur prünglich n ind - e hat ein u tau h ine paare tattgefunden. vergleiche Fig. 4-2. Di Amplitude einer [reuung mit u [au h in

4.1 Bose-Teilchel1//11d Fenni-Teilchell

Proton

3

~~~~~

Fig. 4-2: Die Lreuung von zwei a-Teilchen. In (a) b halten die bei den Teilchen ihre Identität; in (b)

ird ein

eutron beim Zu ammen roß au getau

ht.

eutronenpaare wird mit der mplitude der Streuung ohne 0 einen Au tau eh interferieren und die Interferenz mu mit einern Minu ziehen geschehen weil der Au tau ch eine Paare on Fenni-Tei1chen tattgefunden hat. Wenn anderer eit die relati e Energie der beiie ziemlich weit entfernt bleiben - agen wir wegen der den a-Teilchen 0 ni drig i t, da Coulomb-Ab toBung - und nicht di gering te ahrscheinliehkeit für den Au tau eh innerer Partikel arhanden i t, können ir da a-Teilchen al einheitliches Objekt an ehen und brauchen un um eine inneren Einzelheiten nicht zu kümmern. nter olchen Um tänden gibt e nur zwei Beiträge zur Str uamplitude. Entweder gibt e keinen Au tau eh oder alle vier ukleonen werd n bei der tr uung au getau ehr. Da die Protonen und die eutfonen in dem a-Teilchen all rmi-T il hen ind, kehrt eine ertau chung irgendeine Paare da orzeiehen der tr uamplitude um. lane e keine inneren Änd rungen in dem a- Teilchen gibt, i t der u tau h d rb id na-li il h n da GI i h wie ine ertau chung on ier Paaren on ich im Ge amterFermi-Teiteh n. ür j d P ar gibt eeinen orz i hen eeh el, 0 da gebni die Amplituden mit p iti em orzeich n zu ammen tzen. Da fr-Teil hen erhält ich wie ein Ba e-Teilchen. E gilt al 0 die Regel. da i h zu ammeng etzte Objekte, wenn ie al Einheit betra htet werd n k"nnen wie Fermi-Teil hen oder \ ie Ba e-1} ilchen erhalten, je nachdem, ob ie eine gerad oder ung rade nzahl n Fermi-Teil hen enthalten. ir erwähnt hab n - wie da Elektron, Proton, leuAlle lementar n Fermi-Teil hen. di tran und a \ eiter -. hab nein n pin j = ~. enn mehrere olcher F rmi-Teilchen zu einem zu ammeng tzt n G bild ver inigt erde-n, dann kann der re ultierende pin ent\ eder ganzzahlig der halbzahlig in. hat zum B i piel da ge ähnlich I otop de Helium He~, da zwei eutr nen und zwei Pr t nen be itzt, den pin null, während Le, welche drei Protonen und ier eUlron n b itzt den pin hat. ir \ erden päter die Regeln für die Zu ammenetzung de Dr himpul e lernen und wollen jetzt nur erwähnen, da jede zu ammenge etzte Objekt, da inen halb ahligel1 pin hat, ein Fe rll1 i- Teilchen imitiert, während jede zu ammenge etzte Obj kt mit gClll~~ahligem Spin in Bose-Teilchen imitiert.

*

Die wirft eine int re ante raoe auf: Woher kommt e da Teilchen mit halbzahligem pin Fermi- ilchen ind, d r n mplitud n i h mit einem Minu zeichen addieren, während

54

4 fdentische Teilchen

Teilchen mit ganzzahligem Spin Ba -TeiJch n ind, deren Amplitud n i h mit po iliv m [zeichen addieren? Wir birr n ie um Ent chuldigung, da wir Ihnen keine I m mare Erk!'"rung geben können. Von Pauli i t eine Erklärung au gearbeitet worden. di omplizierte rgumente der Quantenfeld- und Relativität theorie enthält. Er hat g zeigt. d beid notwendig rwei e zu amm ngehört, aber wir haben keine ögli hleit finden können. eine Bewei führung auf elementarem Niveau \ iederzugeben. E cheint eine der wenigen t lien in d r Ph)' ik zu ein, wo e eine Regel gibt, die ehr einfach aufge teilt erden kann, für di aber niemand ein einfache und leichte Erklärung gefunden hat. Die Erklärung te kt li f in der relativi ti hen Quantenmechanik. Da bedeutet wahr cheinlich, das wir die grundlegenden Prinzipien nicht lt. ganz er tehen. Im ugenblick mü en Sie e einfach hinn hmen a1 ine der R geln d r

4.2

Zu tände mit zwei Ba e-Teilchen

un möchten wir eine imere ame Kon equenz der ddition r gel für Bo -Teil hen di kutieren. E handelt ich um ihr Verhalten, wenn mehrere 1i il hen da ind. ir belra hten mer teine ituation, in der zwei Ba e-T ilchen von zw i v r chieden n treu m g treut tr umechani mu -ümmem. werden. Wir wollen un hier nicht um die Einzelheiten de Un intere iert nur, wa mit den gestreuten Teilchen ge chiehl. ehm n wir an. wir hätit ten die in Fig. 4-3 gezeigte Situation. Da Teilchen a wird in d n Zu tand I g treut. ZUSTand meinen wir eine gegebene Richtung und Energie oder irg ndeine and re g geb ne Bedingung. Da Teilchen b wird in den Zu land 2 ge tr ut. 'ir \ ollen ann hm n. d die beiden Zu tände 1 und 2 fast p'leich ind. a wir am Ende wirkli h herau finden wollen. i t die Amplitude dafür, da die bei den Teilch TI in id nti che Richtungen od r Zu tände ge treut werden; e i t aber am b ten, wenn wir un zu t überl en, \\ ge hi ht, wenn die Zu tände fast gleich ind, und dann berechnen w pa i n. w nn ie identi h werden.) ehmen wir an wir hätten nur da Teilchen a; e häne d nn in b timmte Amplitude, in mplitude ( _I b). Richtung 1 ge treut zu werden, agen wir ( I la ) . Teilchen b allein hält di

Q

b

Fig. 4-3: Eine doppelte treuung in ben

hbarte Endzu tänd .

55 in Richrung 2 zu landen. Wenn die beiden Teilchen nicht identisch ind, wäre die Amplitude dafür, da s die beiden treuungen zur eiben Zeit stattfinden einfach da Produkt

(1Ia)(_lb). Die

ahr cheinlichkeit für olch ein Ereignis i t dann

I( I la ) (21 b ) 12

,

da auch gleich

I( I 1a) 12 I( 21 b ) 12 i 1.

m bei der gegenwärtigen Rechnung Schreibarbeit zu paren, werden wir manchmal

( I I a) = a 1 etzen. Dann i t di

(

2 I b) = b 2

ahrscheinli hkeit für die doppelte Streuung

E könnte auch orkommen, da Teil hen b in Richtung 1 ge treut wird, während Teilchen mplitude für die en Vorgang i t

a in Richtung 2 läuft. Die

(2Ia)(llb), und die Wahr cheinlichkeit für 01 h ein Er igni i t

teilen ie ich nun or, wir hätten ein Paar kleiner Zähler die die zwei ge treuten Teilchen auffangen. Die ahr h inli hkeit P2 das ie zwei Teilchen zusammen aufnehmen, i t einfach die umme

(4.3) un wollen wir annehm n da die Richtungen 1 und 2 seh - nah beieinander liegen. ir erwarten, das ich a tetig mit der Richtung ändert. Daher mü en ich a 1 und a2 einander annähern. wenn I und 2 nahe zu ammenkommen. Wenn ie nahe genug ind, erden die Amplituden a I und Q2 gl ich in. Wir können dann a l ::: G2 setzen und sie beide einfach a nennen; gleichermaßen elzen ir b l = b2 = b. Dann erhalten wir

P2

= 21al 2 Ibl. 2 .

(4.4

56

4 [den!i che Teilchen

. un nehmen Sie jedoch einmal an, da a und b idemi he Bo - ~ il hen ind. Dann kann der Vorgang. in dem CI na h I und b nach 2 läuft, nicht von dem umg ehrt n organg. in d rn a nach 2 und b nach 1 läuft. unter hieden werden. In di m Fall könn n die Ampliwden für die beiden ver chiedenen orgänge interferieren. Die Ge amtamplitude. in j dem der beid n Zähler ein Teilchen zu erhalten, i t

H. )

(lla) (2Ib) + (2Ia) (1Ib).

Und die

ahr cheinlichkeit. da

wir ein Paar erhalten, i I das

b olutquadrat die er

mplitude

4.6) Al Ergebni erhalt n wir. da e :-;weinlal so wahrscheinlich i t. zw i in d n eiben Zu land ge treute idemi ehe Bo e-Teilchen zu finden, wie man errechnen I\·ürde. 1\ I1n man annähme. dass die Teilchen verschieden sind. Obwohl wir angenommen haben, da die bei.den Teilchen in e hiedenen Zählern na hgewie en werden. i t die nicht we entlieh - wie man folgendennaß n erk nn n kann. teHen wir un vor, das die beiden Richtungen I und 2 die Teilchen in einen ein::.i en kl in n Zähl r i zu d m führen würden der etwas entfernt i t. Die Richtung 1 ei dadurch d ni rt. d Flächen lement dS I de Zählers hinführt. Die Richtung 2 führt zum Flächenelement d 2 d Zähler. (\ ir teilen un vor, da die Oberfläche de Zähler im re ht n inke! zur lreuri htung teht.) un können wir keine Wahr cheinli hkeit dafür ang ben, da ein Teilchen in eine be timmte Richrung oder zu einem ein:elnen Pun.kl im Raum g ht. 0 e i t unmägli h - für jede genaue Richtung i t die Chance gleich null. enn ir 0 präzi e in wollen mü' en wir ie die nkunft wahr cheinlichkeit pro Flä heneinheit un ere Amplituden 0 definieren, d eine Zähler angeben. Angenommen. wir hätten nur Teilchen a: e hän ine gewi e mplia l al mpliwd. d Q in eine lude. in Richtung I g treut zu werden. ir wollen ( I IQ) Fläeheneinheit de Zähler in Richtung I ge treut wird, d finieren. it anderen ort n. d r Maß tab von GI i t 0 gewählt - wir agen, e i t .,normien·' -, da die ahr h inli hk it für eine Streuung in ein Flächenelemenl d I

=

-+.7) i t. Wenn un er Zähler die Ge amtfläche t1 hat und wir d I über die Flä h laufen la en. dann i t die Ge arntwahr cheinlichkei t, da da Teil hen Q in den Zähl r ae treut wird (4. )

Wi vorher möchten wir annehmen, da d r Zähler g nügend klein i I, da di mplilUde QI ich auf der Ob rfIä he de Zähler nicht we entlieh ändert; a l i t d nn in kon tant mplüude. die wir a nennen können. Dann i l die Wah h inlichkeit, da d Teil h n a irgendwo in den Zähler ge treut wird,

( .9)

4.2 Zu rände mir -lI'ei Bose-Teilchen

57

In gleicher ei e erhalt TI ir für die ahr cheinlichkeit, da i t - in ein Flä henelem nt, agen \ ir dS"!.. ge treut wird

Teilchen b - wenn e allein

(Wir benutzen dS., tatt dS I , weil ir päter a und b in er chiedene Ri htungen gehen la . en wollen.) Wir erzen \ ieder b 2 gleich der kon tanten Amplitude b; die Wahr cheinlichkeit, da Teil hen b im Detektor g zählt wird. i t dann

Pb = lal

2

S.

(4.10)

Wenn nun b id Teilchen anwe end sind, i t die Wahr cheinJichkeit, da nach d 2 ge treut Lrd.

Wenn \ ir die ahT cheinlichkeit. da integrieren wir 0\ ohl d I al auch d

2

a nach dS j und b

a und b beide in den Zähler gehen, haben möchten über 6.S und finden, da

eben bei bemerken wir da die gerade gleich Pa' Pb i t, genau 0, wie wir e erwarten würden, w nn ir annähm n, da die Teilchen Q und b unabhängig voneinander sind. Wenn die b id n Teil h n jed h identi eh ind, dann gibt es zwei ununter cheidbare Möglichkeiten für jede Paar von Oberflächenel menten dS j und dS 2 · Man kann nicht unter cheiden ob Teilchen Q na h dS2 und Teilchen b nach d lader Teilchen Q nach dS I und Teilchen b nach d ? geht. Dah r werd n die mplituden für die e Vorgänge interferieren. (Al ir oben zwei \'er~chiedene Teil hen hanen - \' enn wir un in Wirklichkeit auch nicht darum kümmerten , welche Teil hen wo in den Zähler lief -, hätten wir e doch im Prin ip herau finden können: daher gab e da keine Interf ren . Bei identi hen Teilchen können wir auch im Prinzip nicht au agen.) ir mü en dann für die ahr cheinlichkeit, da die bei den Teilchen bei dS j und dS 2 ankommen,

(4.13) chreiben. enn wir nun aber üb r die Fläche des Zählers integrieren, mü en wir or ichtiO'o ein. Wenn ir dS I und dS 2 über die ge amte Flä he ~S laufen la en, würden wir jeden Teil der Fläche doppell zähl n, da (4.1 ) alle enthält wa mü irgendeinern Paar von Oberflächenelementen d I und d 2 ge chehen kann. t Wir können dennoch da Integral 0 berechnen, enn

tenn mall in (-1.11) d I und d 2 vertau eht, ergibt i h ein andere Ereigni . daher sollten beide Oberfläehenelemente über die ge amte Zählerfläehe laufen. In (4.1 ) behandeln wir dS l und dS 2 al in Paar und chlieBen alle. was pieren kann. mit ein. enn die Inlegrale wieder denthalten. \ a ge chieht, \ enn d I und dS 2 vertau cht werden, wird alb doppelt gezählt.

4 ldenti che Teilchen

58

wir die Z eifachzählung komgieren, indem wir da Ergebni dur h 2 dividier n. Wir rhalt n dann P2 für identi ehe Ba e-Teilchen:

-+.I-+} Wieder i t die genau da Zweifache von dem, wa wir in GI. (4.12) für unter heidbare Teilchen erhielten. der b~KanaJ in TeilWenn wir un für einen Augenblick vor teilen, wir ü ten. d ahrchen chon in eine be timmte Richtung au ge andt hätte könnten wir agen. da di cheinlichkeit, da ein z eite Teilchen in die Ibe Richtung geht., doppelt 0 gr ß i t. \ ie wir erwartet hätten, wenn wir ie für ein unabhängige Ereigni bere hnel hätten. Die i t eine Eigen chaft der Ba e-Teilchen: Wenn ein Teilchen chon in irgendeinem Zu land i t, dann i t die Wahrscheinlichkeit, ein zweite Teilchen im eIben Zu land zu kommen. doppelt 0 groß wie ie wäre, wenn da er te noch nicht da wäre. Die Tat ache wird oft folgendermaßen au gedruckt: Wenn ein Ba e-Teilchen chan in einem orgegebenen Zu tand i t, dann i t die Amplitude, ein iden ti ehe daraufzu etzen, um ...fi größer. a1 wenn e ni ht da " äre. (Da i t vom phy ikali chen Standpunkt au , den wir eingenommen haben keine in andfreie ethode, da Ergebni au zudrücken, aber wenn man ie kon equent al Regel benutzL ird ie natürlich da richtige Ergebni bringen.)

4.3

Zustände mit n Ba e-Teilchen

Wir wollen un er Ergebni auf einen Fall au dehnen, in dem 11 Teilchen vorhand n ind. Wir tellen un den in Fig. 4-4 gezeigten Fall vor. Wir haben TI Teilchen a. b, c, .... die g treut werden und in die Richtungen 1,2,3, ..., n fliegen. Alle n Richtungen Führen zu inern kleinen ZähJer, der weit entfernt i t. Wie im letzten Ab chnitt \Voll n wir alle mplilud n 0 normi r n, das

die Wahr cheinli hkeit i t, das jede Teilchen für ich all in in in Ob rRäch n lern nt dS d Zähler geht. ehmen wir zuerst einmal an, da die Teilchen alle zu unter heiden ind: dann i t di ahrscheinli hkeit, d n Teilchen zu anunen in n ver chied nen Oberflä h n 1 m nten g zählt werden.

4. L Wieder nehmen ir an, da die Amplituden nicht davon abhäng n, wo d in d m al klein angenommenen) Zähler liegt, und nennen ie einfach a, b, c .... Die ahr h inli hk it .15} wird dann

4.16)

59

4.3 Zu lände mir 11 Bo e-Teilchen

a

Fig. 4-4: Die Streuun cr von

11

Teilchen in benachbarte

Endzu lände. Wenn wir jede dS über die Oberfläche IlS de Zähler integrieren, erhalten wir al Wahr cheinlichkeit Pn ( er chieden), n er chiedene Teilchen auf einmal zu zählen (4.17)

Die i t gerade da Produkt der Wahr cheinlichkeiten, da jede Teilchen für ich in den Zähler geht. Sie bewegen ich alle unabhängig voneinander - die Wahr cheinlichkeit, da ein in den Zähler geht, hängt nicht da on ab. wie viele andere on t noch hineingehen. un tell n wir un or, da alle Teilchen identische Ba e-Teilchen sind. Für jede Gruppe on Richtungen 1, 2, 3.... gibt e i l e ununter cheidbare Möglichkeiten. Wenn zum Bei piel gerade drei Teilchen da \ ären, gäb e folgende Möglichkeiten: a~l

a~l

a~2

b~2

b~

b~l

c~3

c~_

c~3

a~2

a~3

a~3

b~3

b~l

b

c~l

~2

2 ~3

E

hieden Kombination n. it 11 Teilchen gibt e n! ver chiedene aber Uf1unTerscheidbare öglichkeiten für die ir die Amplituden addieren mü en. Die Wahr cheinlieh eit, das fl Teilchen in 11 Oberflächenelement n gezählt werden, i t dann

=

o heinmal etzen wir orau, da alle Richtungen 0 eng zu ammen ind, da Wlf a 1 a, = an a erzen können und eben 0 für b, c, ... ; di Wahr cheinlichkeit on (4.18) w"'ird damit

= ...

=

(4.19)

60 Wenn wir jede dS über die Fläche de Zähler im gri r n, dann \\ ird j d möoli h Produkt von Oberflä henelementen n ~-mal gezählt; die korrigier n \\ ir. ind m ir dur h n ~ dividieren und erhalten

oder (-L20 Wenn wir die e Ergebni mit GI. (4.17) vergleichen. teilen \ ir ~ t, d di Wahr h in li hkeit, n Ba e-Teil hen zu ammenzuzählen. J1 !-mal größer i t. al wir rr hn n ..... ürden. \' nn wir annehmen. da die Teilchen alle unter cheidbar ind. \ ir können un er re bni f le ndennaßen zu ammenfa en:

Folglich i t die Wahrs heinli hk ir im Ba -Fall n!-mal größ r. al man um r d r da die Teilchen unabhängig voneinander wirken, au rechn n würde.

nnahm,

a die bedeutet. können wir be r erkennen, wenn wir folgende Fr 0 t lien: ie gr ß i r die Wahr heinlichkeit. d in Ba e-Teil hen in einen b timmten Zu I nd gehl. \",-enn ich schon n andere darin befinden. Wir wollen da neu hinzugekomm ne Teil h n w n nn n. enn \ ir - ein hlieBlich w - (n + I) T ilchen hab n, \ ird GI. (4._0)

Wir können die

0

hreiben

oder

Die e Ergebni könn n wir folgendermaßen allffa en: Di Zahlluf ~ i [di Wah h inli hkeit, da Teil hen w im D rektor nachzllwei en, w nn kein and r n 11 il h nd ind: Pn(B ) i I die Chan e, d hon n andere Ba e-Teilch n vorhand n iod. 0 agt GI.( ._ ) au: erzn n and re identi ehe Ba e-Tei lehen vorhanden ind, i t di ahr heinli h 'eil. a noch ein Tei] hen in den eIben Zu tand gelanot. um d n akt r (n + 1) \'er rößerf. Di Wahr heinli hkeil. ein Bo on dort zu erhalten. wo hon n and re ind. i t (11 1)-mal h"h r I ie \\äre. w nn orher keine da \ äfe. Die Anwe enheit d rand r n Teil h n rhöht di ahr heinli hk il. ein weitere zu erhalten.

61

Emi ion und

4.4

h orption von Photonen

ährend un r r Di::.ku i n haben wir über einen Proze ie die treuung von a-Teil hen ge proehen. b r da it ni ht \", entE h; wir hätten auch üb r di Erzeugung on Teilchen prechen könn n. \: ie zum Bei pi I die Lichtemi ion. Wenn Licht emittiert wird, wird ein Photon "erzeugt"". In 0 in m F 11 br u hen wir in Fig. 4-4 die ankomm nden Linien nicht: ir brauchen nur zu b rü ' i hügen. da einige tome gibt, die Li ht emittieren, ie in Fig. 4-5. Daher kann un er rgebni auch 0 au ge pro hen werden: Die Wahr cheinlichkeit, dass ein Atom ein Photon in einen he Ti/lunTen End-::.u land emittieren wird, vergrößert sich um den Faktor (11 I). wenll schon 11 PhoTOnen in die em Zu land ind.

Fi . .:1- : Die Erzeugung von

11

Photonen in benachbarten Zu länden.

rgebni gern zu ammen. indem man agt. da die AmpliTude für die Emi ion eine Ph t n um den Faktor ~ größ r wird, wenn chon n Photonen vorhanden ind. Da i t natürlich eine and r "oli hkeit, da eIbe zu agen, wenn man meint. da die mplitude nur quadriert werden mu . um die ahr cheinlichkeit zu erhalten. In der Quantenmechani gilt allgemein, da die Amplitude von irgendeinem Zu tand cP zu einem anderen Zu tand zu k mmen, da k njugiert Komplexe der Amplitude, on X nach dJ zu kommen, i t:

<x I cP) = (l/J I x) '.

(4.24)

ir erd n über di e G lZ [wa p"t r m hr erfahren, aber im oment wollen wir einfach annehmen. da ri hlig i l. Wir könn ne n nden um herau zufinden. \ ie Photonen au einem orgeg b n n Zu land ge treut d r ab orbi rt \ rden. ir i en, da die Arnplitud . da ein Phoron zu in m Zu tand agen wir i, hinzuk mmt wenn chon Tl Photonen da ind ich et a u drü k n ,.. t (11+ 1111)

wobei Q wird die

= ~a.

(4.25)

= (i Ia) di

mplitude i t. nn k in anderen da ind. Bei Anwendung von 01. (4.24) mplilude für den and r n Fall- on (n + 1) Photonen zu 11

(11In+ I) = ~a·.

uf die i n (n + I) nach /1.

(4.26)

drückt man gewöhnlich nicht au : man geht in Gedanken nicht gerne nd rn man zieht e immer r, on 11 vorhand nen Photonen au zugehen.

62

-1 ldenlische Teilchen

Man agt dann. das die Amplitude. ein Photon zu ab orbieren, wenn n Photonen vorhanden iod - mit anderen Worten von n nach (n - 1) zu gehen -. i h folgend rmaßen au drü ken Iä st: (~._7)

Die i t natürlich das eibe wie GI. (4.26). Dann hat man Schwierigkeiten i h zu m rken. wann man {n oder ...r;;+T benutzen oll. Man kann eich 0 merken: Der Faktor i t imrn r di Quadratwurzel der größten Anzahl anwe ender Photonen egal ob or oder nach d r R aktion. Die Gleichungen 4.25) und (4.26) zeigen, da da Ge etz tat ä hli h ymmelri h i [ - e er eheint nur UD rnmetri eh, wenn Sie e wie in GI. (4.27) chreiben. Die e neuen Ge erze haben viele phy ikali ehe Kon equenzen: wir m" hten eine davon be chreiben. die mit der Emis ion de Lichte zu tun hat. teilen wir Uß eine iluati TI \' r, in der Photonen in einern Ka ten enthalten ind - Sie können ich einen Ka ten denken, der Spiegel al Wände bat. un agen wir, da wir in dem K ten 11 Photonen haben. die i h alle in dem eIben Zu tand befinden - gleiche Frequenz, Richtung und Polari ation -, d sie nicht unter cmeden werden können. Außerdem i t auch ein Atom in dem K ten, d in weitere Photon in den eiben Zu tand eminieren kann. Dann i t die ahr heinlichkeit d es ein Photon emittieren wird,

H.2 und die Wahr cheinlichkeit, das e ein Photon ab orbieren wird, (4._9)

wobei lal 2 die Wahr cheinlichkeit dafür i t, da e ein Photon emittieren würd . \ enn kein pitel . L weiteren orhanden wären. Wir haben die e Ge elze auf eine etw and r von Band I chon be prochen. Die Gleichung 4.29) agt au ,das die heinli it. dass ein Atom ein Photon absorbieren und in einen höheren Energiezu tand übergeh n wird. proportional der lnten ität de darauffallenden Lichte i t. ber ie in tein wer t darl !!t . hat die chnelligkeit, mit der ein Atom einen Übergang nach unlen machen ird, zwei meile. E: gibt die Wahr cheinlichkeit Ja1 2 , das e einen pontanen·- rgang machen tcd, und die Wahrscheinlichkeit eine induzienen Übergange nl a1 2, el he der Li htinten ilät proportional i t - das heißt der Anzahl der anwe enden Photonen. uBerd m in. ie Ein tein agt . die Koeffizienten für Ab orption und induzierte Emi ion gleich und tehen in Beziehung zu d r aß für Wahr cheinlichkeit einer pontanen Emi ion. Wa wir hier lernen, i 1 die: enn al die Lichtinten ität die Anzahl der anwesenden Photonen genommen ird an teile der En rgi pro Flächeneinbeit und e .), dann ind die Koeffizient n für b orption induziert Emi ion und pontane Emi ion aUe gleich. Die i t der Inhalt der Bezi hung zwi hen d nEin 1 inKoeffizienten A und B au Kapitel 42, Band I GI. 42.1 ).

4.5 Das pekrrwn des schwar:en Körpers

4.5

Da Spek rum de

63

chwarzen Körpers

Wir mö hten gern un r Ge elze für die Bo e-'D il hen benutzen, um noch einmal da Spektrum der trahlung de harzen Körper zu b prechen (vergleiche Kapitel 42 Band I). Wir wollen die tun indem wir herau finden, wie iele Photonen in einem Ka ten enthalten ind, nn die trahlung im thermi hen Gleichgewicht mit einigen Atomen in dem Kasten i t. Tehmen ir an, da für jede Liehtfrequenz weine bestimmte Zahl on Atomen vorhanden i t, die zwei Energiezu tände haben, die um den Energiebetrag E = hw au einander liegen, iehe ig. 4-6. Wir wollen den unter n Energiezustand "Grund zu land" und den oberen Zu land .,erregten'· Zu tand n nnen. g und e eien die durch chillttlichen nzahlen on Atomen im Grund- und angeregten Zu land: dann wi en wir au der tati ti ehen Mechanik, da im thernli ehen Glei hge\l ieht bei der Temperatur T gilt -.!..

=

= e-lru/kT.

-jE/kr

(4.30)

g

aE=:r=' Grundzu land (a)

e

u=:r=8 Grundzu land (b)

Fig. 4-6: Au trahlung und Ab

rption eine Phoron mjt der Frequenz w.

Jede Atom im Grundzu land kann ein Photon ab orbieren und in den angeregten Zumnd übergehen und j d tom im angeregten Zu tand kann ein Photon emittieren und in den Grundzu land üb roeh n. Im GI i hge ieht mü en die Raten für die e beiden Proze e gleich ein. Die Raten ind proportional zur Wahr eheinlichkeit für da Ereigni und der Anzahl der vorhanden n tome. un ei ii die durch chilltt1iche Anzahl von Photonen in einem gegebenen Zu rand mit der Fr quenz w. Dann i t die Ab orption ge chwindigkeit au die ern Zu tand giilal 2 und di Emi ion ge eh indigkeit in die en Zu tand e(ii + 1)laI2 . enn \ ir die beiden Ge chwindigkeiten gl ich etzen erhalten wir (4.31)

Wenn wir die mit GI. (4.30) erbinden, erhalten wir

n

--=e ii + 1

-"/rw/kT

64

-I Idemi ehe Teilchen

Auflö en nach n rgibt 1

FI

= e- llwlT -

(·t 2)

---:---::-=--

1'

elche die mittlere Anzahl von Photonen in irgendeinem Zu land mit d r Frequenz w für einen Hohlraum im thermi hen Gleichgewicht i l. Dajed Photon di Enereie hw hat, i r die Energie der Photonen eine gegebenen Zu tande iitlw oder

tzw e"wlkT -

1.

Übrigen hanen wir einmal in einem anderen Zu ammenhang eine ähnli he GI i hung 0 funden [Kapitel 41. Band 1. Gl. (-lI. I ~)]. ie erinnern ich. d bei j dem hann ni hen 0 zillator - wie zum Bei piel ein Gewicht an einer Feder - die quamenm hani h n Energi nteau alle den gleichen Ab tand tJw oneinander haben, wi in Fig. 4-7 gezei hnet i l. Wenn wir die Energie de n-ten iveau nl1w nennen. erhalten wir, da die mitllere nergie in olehen 0 zillator au h durch GI. (.. L33) gegeben wird. Doch i t di e GI i hung hier für Ph . . tonen durch Zählen von Teilchen hergeleitet worden und es ergibt i h d eIbe Re ultat. Da i t eine der er taunlichen under der Quantenmechanik. enn man beginnt. indem man ine Art Zu tand oder Bedingung für Bo e-Teilchen. die ni hl miteinander \\' h Iwirk n (.... ir haben angenommen. da die Photonen nicht miteinander wech I :\'ir n). hetm hter und d nn berück ichtigt. das man in die em Zu tand enrweder null oder ein der zw i.... bi zu jei h di e y r m für alle der Anzahl n on Teilchen hineintun kann, dann findet man, d quamenmechani ehen Zwecke genau wie in hannoni her 0 zillator verhäll. nt r 0 ein m o zillaror ver rehen wir ein d nami he y tem wie ein Ge icht an ein r Fed r der eine rehende V elle in einem Hohlraum in Re onanz. Darum i t e möglich. da el 'lT ffiaon tiehe Feld durch Pholonenteil hen darzu teilen. Von dem einen· tandpunkt au könn n \.vir da elektromagneti che Feld in einem Ka ten oder Hohlraum ] eine ielzahl v n hann ni h n o ziJIatoren analy ieren. indem man jede Schwingung form na h d r Quant nm hanik \Vi einen harrnoni hen 0 zillaror behandelt.

E - - - - - - - - Shw - - - - - - - - 4fzw

- - - - - - - - 3tlw - - - - - - - - 2hw - - - - - - - - 'lW

--------0 Grundzu tand

Fig. 4-7: Die Energieni eau

me harm ni h nO zill Ir.

4.5 Da

on einem anderen tandpunkt au können \ ir die eibe ph ikali ehe Gegebenheit im inne on identi ehen Ba e-"f, ilehen nal i r n. nd die Ergebni e beider Arbeit wei en sind immer in gel/cwer "herein 1i111111 111Ig . an kann auf keine Wei e ent heiden. ob da e1ektromagneti ehe Feld wirkli h \ ie ein quanti ierter harmoni eher 0 zillator be chri ben werden mu oder durch die ngabe. \ i vi le Photon n i h in jedem Zu land befinden. Die beiden Standpunkte teilen ich al math mati eh gleichwertig herau. Daher können wir in Zukunft enrwed r üb r di nzahl v n Phoran n in ein m be timmten Zu tand in einem Ka ten oder die nzahl der Energieniv au . die mit ein r b timmten Schwingung form de elektromagnetihen Felde zu ammenhängen. prech n. E ind zwei Möglichkeiten da eIbe au zudrücken. Da eIbe gilt ür Photonen im fr i n Raum. i ind äquivalent zu chwingungen eine Hohlnendli h ntfemr haben. raume • de en ände i h in ir hab n di minI re Energi j dreinzeInen Schwingung form in einem Ka ten bei der Temperatur T berechnet. ie brauchen nur noch eine \ eitere ache, um da Ge etz der Strahlung de h\ arz n Körper. zu erhalt n: ir mü en i en, wie iele Schwingung fom1en e für jede En rgie eibt. ir nehm TI an, da für jede h ingungsform einige Atome in dem Ka ten - od r innerhalb der änd - gibt di Energieni eau haben, die diese chwingungsform au trahlen, 0 da jed chwineung f rm in das thermi ehe Gleichgewicht gelangen kann. Da Ge etz der trahlung de hwarzen Körper \ ird ge öhnlich al Angabe der Energie pro olumen inheit. di da Licht in ein m kleinen Fr quenzbereich z\ i ehen wund W+ÄW mit ich führt. angeg ben. Daher mü en wir wi sen, \ ie iele Schwingung f0I111en mit Frequenzen im Inter all /:).W ich in einem Ka ten b finden. Obwohl die e Frage fonwährend in der Quantenme hanik auftau ht, i t ie ein r in kla i ehe Frage über tehende Wellen. Wir werden die Ant\ ort nur für einen r chtwinkJigen Ka ten erhalten. E ergibt ich da eIbe für einen K t n b li big r Form, aber i t ehr hwierig, e für den allgemeinen Fall zu bere hn n. ir ind auch nur an einem Ka t n int re ien de en Abme ungen im er11 nläng d Li hte hr groß ind. Dann gibt e Milliarden und Milliarden von glei h zur chwingung formen; injedem kleinen Frequenzinter all Äw wird es viele geben, daher können wir on der ,.durch chnittlichen nzahl" für j d 6w bei der Frequenz W prechen. Beginnen wir mit der Frag . \ ie viele chwingun ~ rmen in inem eindim n ionalen Fall gibt - \ ie zum Bei pi 1 für lien eine g pannten ile. ie wi en, da jede Schwingung form eine inu w He i t, die n beiden Enden null ein mu . mit anderen Worten. e mu eine v!lanze Zahl n h Ib n 11 nläng n in d r Länge der Linie enthalten em, i in Fio. 4- gezeigt

2L ,\

L --------1

Fig. 4-8: Di chwinoung form n der. tehenden auf iner Linie.

elle

66

-1 Idenri he Teilchen

wird. u ziehen e vor. die llenzahl k = 2n/A zu b nutz n; wenn wir die \ ellenzahl der j-ten Schwingung fonn kj nennen, erhalten wir

k. J

jn

= -L'

4.

wobei j irgendein ganze Zahl i t. Der Ab tand 6k zwi chen aufeinanderf 1gend n gung formen i t

6k = k.

J+

1-

~)

hwin-

n k. = J L

Wir wollen annehmen, da kL 0 groß i t. da in einem kleinen Intervall tik viele h ingung formen vorhanden ind. Wenn wir mit iln die nzahl der chwingung fonnen im Interali ök bezeichnen. erhalten wir

n = ök =!::. 6k

n

k.

(4.

un ziehen e die theoreti eben Phy iker. die ich mit der Quamenme hanik befa lich vor zu agen, d e nur halb iele Schwingung arten gibt: ie hreiben

°

ßn =

L -

2;r

n. ewöhn-

4. 6)

k.

Wrr möchten erklären warum. Sie denken gewöhnlich gern in Begriffen von fort

hr ilend n Wellen - manche geben nach rechts (mit einem po iri en k , und man he gehen na h link mit einem negati en k). Aber eine "Schwingung form' i t eine stehende eH, die die umme von zwei Wellen i t wobei jede in eine Richtung geht. Mit anderen onen, ie betrachten j d stehende Welle o. a1 enthielte ie zwei getrennte Photonen-,,Zu tände". enn man daher mit n lieber die Anzahl der Photonenzu lände eine gegebenen k bezeichnet ( obei i h k jetzt auf po itive und negative erte er treckt) dann ollte man nur halb 0 groß w··hIen. lle ganzen Zahlen mü en nun von k = -00 bi k = +00 gehen und di Ge amtzahl v n Zu länd n lürli h bi zu irgendeinem gegebenen ab oluten Wert von k wird richtig herau k nunen. be chreiben ir danntehende Wellen ni ht ehr gut, aber ir zählen die eh ingung fonn n in einer kon i tenten ei e.

n

un möchten ir die Ergebni e auf drei Dirnen ionen au dehnen. In in m re htwinklianze Zahl on Halbw 11 n gen Ka ten mu eine tebende Welle entlang jeder Achse ein haben. Die ituation für zwei Dirnen ionen i t in ig. 4-9 gez igt. Jede eil nn htung und Frequenz wird durch einen WeUenzahlvektor k be hrieb n, de en X-. y- und ::-K mp n nlen Gleichungen wie GI. (4.34) genügen mü en. Damit erhalten ir

k = h/f :.c L' x

k ;:

jn

=~

L' ~

Die Anzahl der Sch\i ingung fonnen mit k); in einem Intervall k;c i t

Je

rher

4.5 Da Spektrum de

67

chwor-en Körper

----L, I I

I

I

I

I

1

I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

:\:

J+

;;:

;;:

{~:}

=

EI}

" ·I?!>+ (d)

ind in Fig. 5-5 ge-

Fig. 5·5: Spezielle Abkürzungen für Filter om Stern-Gerlacb-T p.

Wenn wir zwei aufeinand rfolgende Filter ( ie in Fig. 5-4) haben, werden wir die beiden Symbole folgendermaßen neben inander etzen:

(5.3)

Bei di ern Aufbau geht all , a dur h das erste Filter kommt, auch durch da zweite. elb t wenn wir die ull-" und, inu·" Kanäl de zweiten Apparate er perren, 0 da gilt

(5.4)

80

5

haben wir im zweiten

pparat immer noch 100 Prozent Durchl

üü Ü}' S

and rer ei

c·

S

haben, kommt arn anderen Ende überhaupt nicht herau . Ähnlich kommt

{~I} HI} S

(5.6

S

nicht herau . Anderer eits i t

H} HI} s

5.7

S

genau gleichwertig mit

s allein.

u ollen nun die e Experimente quantenmechani eh be chreiben. 11" wol en agen, da ein Atom im ( S)-Zu tand i t wenn e durch den Apparat der Fig. 5-5(b) g gang ni t, d in einem (0 -Zu tand i t, wenn e durch (c) gegangen i t, und in einem - -Zu tand, elll1 e durch (d) gegangen i t.t Dann ei (b I a) die Amplitude dein t m. \ el h i h im Zu tand a befindet durch einen Apparat in den Zu tand b geht. lf können ag n: (b Ia) i t die Amplitude dafür das ein Atom im a-Zu tand in den b-Zu tand über ehr. D perim n1 (5.4 ergibt, das


un beachten ie. d die rechte ite on GL. (5.23) wirklich ,einfacher" a1 die linke elte 1 t. Der ApparatA i t 11 tändi be chrieben dur h die neun Zahlen (j IAI i) die uns die Reaktion von A bezüglich d r dr i B i zu tänd d pparate T mitteilen. Wenn wir er t einmal die e neun Zahlen kennen können wir irgend zwei ankommende und au gehende Zu tände f/J und X behandeln, " enn wir jeden dur h die dr i Amplituden für den Üb rgang in jeden oder au jedem der drei Ba i zu tände definieren. Da Ergebni eine Ver uehe wird durch Anwendung der GI. 5.32 orherge agt. Die i t al 0 die Maschinerie der Quant nmechanik für ein Teilchen om Spin ein . Jeder Zustand wird durch drei Zahlen be hrieben, die die Amplituden ind, in einem Zu tand eine au gewählten atze on B i zu tänden zu ein. Jeder Apparat wird durch neun Zahlen be chrieben, di die Amplituden für den Übergang von einem Basi zu tand in den anderen innerhalb de Apparate iod. u die en Zahlen kann alles berechnet werden. Die n un Amplituden die d n pparat be chreib n werden oft al quadrati che Matrix (j IA I i ) - atri genannt - ge hri ben:

nach

on 0

+

+ (+IAI+)

(+IAIO)

(+IAI-)

0

(OIAt+)

(OIAIO)

(OIAI-)

{-\AI+}

(-IAIO)

(-IAI-)

(5.33)

Die athematik d r Quantenm hanik i t nur eine Erweiterung die es Gedanken . Wir wollen Ihnen ein einfa he Bei pi I geben. ehmen wir an, wir hätten einen Apparat C, den wir analy ier n m" chten heißt wir möchten die er chiedenen (j ICI i) berechnen. ir könnten zum B j pi I i n oll n, a in einem derartigen E periment ge chieht

(5.34)

au zwei Teilapparaten A und B in Reihe aufgebaut i t - die Aber dann teilen ir fe t, d Teilchen gehen dur hA und dann durch B - daher können wir ymbolisch chreiben

(5.35)

94 Den C-Apparat können wir da "Produkt" on A und B n nnen. 'ehmen wir au h an. da \ ir chon wü ten. wie die beiden Teile zu anal ieren ind, 0 d wir di latriz n \' n und B (bezügüch T) erhalten können. Un er Problem i t dann gelö t. ir k" nnen lei hl

(xICllb) für jeden Eingang - und Au gang zu tand finden. Zuer

(xICIl/J)1 =

1

ehr ib n \\ ir, da

L (xIBlk)l(kIAI dur h die drei Zahlen (5.40)

definiert i t und der eIbe Zu rand au der iehr von T durch die dr i Zahlen C:

= (+TliP). Cb = (OTliP),

C~

= (-TI
122 Energie de Atoms hat ich erringen. E i t daher nicht genau enn man agt, ein ang regte Atom hane eine be timrnte Energie ab re i t häufig bequem und nicht allzu fal eh, w nn man agt. das e das hätte. [Übrigens. warum läuft e in die er Richtung ab und nicht in der ander n. arum trahlt ein Atom Licht au ? Die Antwort hängt mit der Entropie zu amm n. nn i h di En rgi im elektromagneti chen Feld befindet. kann ie ich darin auf 0 iele er chi d n 11 n aufhalten - e gibt 0 viele verschiedene Stellen, wohin ie gehen kann -, d wir bei d ruh na h dem Gleichgewich zustand finden, das in der ahr cheinlichslen ituation das Feld durch ein Photon angeregt i t und nicht da Atom. E dauert ehr lange bi da Photon zurückkommt und bemerkt, da e das Atom wieder aufmuntern kann. Eil dem kl i hen Probl m dur hau analog: Warum trahlt eine be chleunigre Ladung? icht, eil ie Energie zu erli ren ,wüo cht", weil ja ta ächlich, wenn ie trahlt, die Energie der elt di eIbe ie orher bleibt. trahlung oder Ab orption läuft in Richtung wach ender Entropie ab.] Kerne können auch in er chiedenen Energieni eau e i tieren und in einer äherung, die ein K rn in ein m andie elektromagneti chen Effekte auß r Acht läs t, können wir a en, d geregten Zu tand darin verbleibt. Obwohl wir wi en, das er darin ni ht für imrn r verbleibt. i t e oft nützlich, mit ein r äherung zu beginnen die etw ideali iert und lei hter zu erf en i t. nter gewi en Um länden i t e auch oft eine gerechtfertigt äherung. I wir anfang die ldas i ehen Ge etze de fallenden Körper einführten, haben ir di Reibun nicht berü ichtigr, aber e gibt fast nie einen Fall, in dem nicht irgendeille R ibung auftrin.) Dann gibt en haben. her die eh eren e die ubnuklearen, elt amen Teilchen", die ver chiedene le zerfallen in andere leichte Teilchen, 0 da e wieder nicht richtig i t, wenn man a t. d on ie flir immer be t h n würeine genau be timmte Energie haben. Da wäre nur richtig, den. enn wir daher näherung wei e agen, das ie eine be thront Energi ha n. er n wir die Ta ache, da ie explodieren mü en. Im oment ollen ir a] 0 olch ab ichtlich verge en und er t päter lernen, wie man ie berüc ichtigt. h n -, d in ebmen wir an. wir hätten ein Atom - oder ein Elektron od r irgen Ruhe ein bestimmte Energie Eo hat. Mit der Energie Eo minen ir di 'I d anz, n Dinge mal Cl. Die e e enthält ggf. innere Energie; ein an ere [ tom hat dah rein die ich von der edelben Atom im Grundzu rand un~ rsch id L D r Gnmdzu tand ei der Zu tand mit niedrig ter Energie.) Eo wollen wir di .,Ruheen rgi "nennen. Bei einem tom in Ruhe i t die quantenmechani he Amplitude, ein om an in r tell zu finden. iiberall die eibe; ie hängt nicht om Ort ab. Di bed Ul t atürli h. d di 'Ohrscheinlichkeil d tom irgendwo zu finden immer die lbe i t. ber d ut t a r n h mehr. Die Wahrscheinlichkeit könnte unabhängig vom Ort in und h "nnte i h d.i Pha e der Amplitude on Punkt zu Punkt ändern. Aber für ein v Heh n in Ruh i t di g. amt Amplitude überall identi eh. ie hängt jedoch on der Zeit ab. ür ein eil h n in '0 m Zu t nd . n be timmter Energie Eo i t die Amplitud • da Teilch n zur Zeit t bei (x, y, ::) zu n n. 1 i h

7.1 wobei a eine Konstante i 1. Di Amplüude, an irgend inern Punkt im um zu in, i türalle Punkte glei h, hängt aber gemäß (7.1) von der Zeit ab. ie, rd n einfa b nn hm n, d die e Regel richtig i t.

7.1 Atome in Ruhe,' laliolJäre Zu lände

1I

könnten natürli h (7.1 au h

0

123

hrei en (7.2)

ae-I~,

mit hw

,

=Eo =Me-.

obei M die Ruhem atomar n Zu tande oder Teilchens i t. E gibt drei er chiedene Möglichkeiten die nergi anzug b n: Dur h die Frequenz einer Amplitude, durch die Energie im kla ihn inn oder dur h die Trägheit. Sie ind alle gleichwertig' e sind einfach er chieden Arten. da Ib au zudrti ken.

1 am i t ich ein , Teilchen orzu teBen de sen Ampliie denk n iell i ht, da e tude e aufzufinden, im ganzen Raum gleich i t. cWießlich teilen wir un gewöhnlich ein •Teilchen" aJ klein n G gen tand vor, der ich, irgendwo" befindet. Aber erge sen Sie nicht das nb timrntheitspriJnzip. enn ein Teilchen eine be timmte Energie hat, hat e auch einen be timmten Impul. enn di nbe timmtheit de Irnpul e null i tagt un die Unbe timmt= h, da die nbe timmtheit de Orte unendlich ein rou und das i t heitsrelation Äp genau da , wa wir meinen enn wir agen, da e dieselbe Amplitude gibt, da Teilchen an allen Punkten im aum zu finden. enn di inn r n 11 iJ ine Amme in einem anderen Zu tand mit anderer Gesamtenergie ind, dann i t di Änd rung der mplitude mit der Zeit auch ander . Wenn ie nicht wi en in weIch m Zu tand i t ird in ge i Amplitude dafür geben, da es in dem einen Zuland i t, und eine gewi e mplitud da e in einem anderen i t - und jede die er Amplituird ein Interferenz ziehen die en ver chiedenen den ird eine andere requ nz haben. E Komponenten geben - ie ein ch bung ton -, die al eine ich ändernde Wahr cheinlichkeit auftreten kann. twa '\ ird in dem torn, ergehen - obwohl e , in Ruhe" i t in dem Sinne, da ein ch erpunkt ich nicht bewegt. Wenn jedoch da Atom eine be timmte Energie hat, wird die rnplitud dur h (7.1) gegeben und da Ab olutquadrat die er Amplitude hängt nicht von der Zeit ab. enn in Ding eine be timrnte Energie hat und wenn Sie irgendwelche Fragen nach Wahr cheinlichkeiten t 11 n, dann hen ie a1 0 da die Antwort unabhängig 00 der Zeit i t. Obw hl di Amplituden mit d r Zeit ariieren, ändern ie sich, wenn die Energie definiert i t, al ein imaginäre E ponential, und der b olutbetrag ändert ich nicht. Darum agen ir oft, d ein tom in einem be timmten Energieniveau in einem stationären Zu land i t. enn ie irg nd elche Me ungeo am Inneren machen wollen, dann werden ie finden, d i h nich (an der abI cheinlichkeit) mit der Zeit ändert. Damit ich die ahr heinJi h.k it n zeitlich ändern, mü en wir di Interferenz on zwei Amplituden mit z ei e chi d n n Frequenzen hab n, und da bedeutet da ir nicht wi en können wie groß die Energi i t. D Obj kt ird ein Amplitude in einem Zu tand mit der einen Energie zu ein und in and re Amplüud ,in inern Zu tand mit einer anderen Energie zu ein, haben. Da i t di quant nme hani h Be chr ibung von Dingen, deren Verhalten von der Zeit abhängt. b nh it' hab n die eine Mi chung on zwei er chiedenen Zu tänden enn ir ein"O mit ver hied nen En rgien i t dann ändert ich die Amplitude für jeden der z ei Zu tände mit der Zeit gemäß GI. (7.2) zum Bei pi I wie

(7.3)

124

7 Die Zeitabhän

Und wenn wir eine Kombination der b iden haben, ird e eine b1ter{ r nz geben. ber beachten ie, da die Addition einer Kon tanten zu b iden Energien kein n nte hi d ergeb n würde. Wenn jemand ander eine andere Energie kala benutz n mü I, bei der alle Energien um einen kon tanten Betrag - agen wir um den Betrag A - erhöht (oder venninden) würd n. dann wären die rnplituden in den beiden Zu tänden on einem tandpunkt au

(7.4 Seine Amplituden wÜIden alle mit dem eiben Faktor e-i(Alfrlt multiplizien. und alle Linearkombinationen oder Interferenzen hätten den eIben Faktor. Wenn wir die b olutquadrat bilden, um die ahr eheinlichkeiten zu finden, wären alle Ant orten die glei hen. Die ahl eine Anfang punkte für un ere Energie kala i t nicht au chlaggebend: .. ir önnen die En rgi on jedem beliebigen ullpunkt an me en. Für relati i ti ehe Zecke i t on ilhaft di Energie 0 zu mes en, das die Ruhema e mit inbezogen i t, ab r für i le Z k, di nicht relati i ti ch ind i t e häufig angebracht, einen Standardbetrag on allen auftretenden Energien abzuziehen. Beim Atom zum Bei piel i t e gewöhnlich bequem. die Energie c2 abzuziehen, wobei M s die a e aller ein-einen Teile - de Kern und der Elektr nen - i t die natürlich on der Mas e des Atoms erschieden i t. Bei anderen Problem n dürfte e nützlich ein, von allen Energien den Betrag Mg c2 abzuziehen, wobei Mg die Mas d aanz n tom im Gmnd:ustand i t· dann i t die auftretende Energie gerade die Anregung eD rgi d tom . Wir können daher un eren Energie- ullpunkt manchmal um eine ehr große Kon tant erchieben. Die pielt aber keine Rolle, olange wir in einer einzelnen Re hnung alle En r!rien um die eibe Ko tante ver chieben. 0 viel ei für ein till t hende Teilchen ge aal.

7.2

Gleichförmige Bewegung

Wenn wir annehmen. das di Relativitätstheorie richtig i t. kann in Teil h n. d in in m Inenial tem in Ruhe i t, in einem anderen Inertial y tern in gleichförmiger B w ung ein. In dem Ruhe y tern de Teilchen i t die ahr eheinlichkei arnplitud für all x, y und - di r di gleiche, ie änden ich aber mit t. Der Betrag d r Amplitud i t für a1l r der glei h, Phase hängt von tab. ir können eine Art Bild von dem erhalt n der mplimd bek mm n. wenn wir die Lini n gleicher Pha e - agen wir di Linien der ullpha - al Fun rion n x und t auftragen. Bei einem Teilchen in Ruhe ind die e Linien gl ieher Ph e paralI I zur x-Ach e und haben gleichen Ab tand in der t-Koordinat, ie mit d n ge tri h lt n Lini n in Fig. 7-1 gezeigt i l.

In einem and ren Stern - X, j, :', /' -, da ich in Bezu auf d n 'Lr, der x-Ri htung bewegt. ind die x' - und t' -Koordinaten on irgendein m pezi 11 n Punkt im Raum mit x und t durch die Lorentztran formation erknüpft. Die Tran ~ rrnaLion kann graphi eh darg teilt werd n. indem man die r- und /'- eh n einz i hnel, 'W.j e in ig.7-1 getan i t. ( iehe Kapitel 17, Bd. I, Fig. 17-2.) ie können hen, da die Punkt gl i II r Ph et im Xl, ('-lern entlang der (' - eh e einen ander n b Land haben. 0 d die requ nz +Wir tzen voraus. d n an ent prechenden Punkten in den nselben Wert haben ollten. Das ist jedoch ern verzwic, da die Ph e einer quantenmechani hen Amplitud y,eltg h n .... illkürli h i I. Eine \'011 tändige Rechtfertigung die er Annahme erfordert eine ausführlichere Di u i n. die Inte~ r nzen von z\\ei oder mehr Amplituden umf t.

125

t'

Fig. 7·1: Relati i ti ehe Tran fonnation der Amplitude eine im X-l-Sy tern ruhenden Teilchen.

x

der z itlichen .. nd rung and r i t. U h ändert ich di Pha e mit x' lichkeit amplitud in Funkti n v n x' in mu . Bei einer Lor nLztran formation für die Ge ehwindigkeit Richtung, i t di Zeit t mit d r Zeit (' erknüpft durch

=

t o da

(' - xv/Cl

VI - v-Ic-

un ere

Im ge trichenen plitude al

chreib n

hen

11

0

agen

da WIr

die

ahr chein-

m negati er x-

,

mplirude nun

0

arii

t m änd rt i

rt

i h owohl räumli h al auch zeitlich. Wenn

E; = Eoy1 - \ 2/ 2 di

ir d

der Ruheen rgi Eo, da i h mit der G dazugehörige Teilchenimpul .

=

Ener ie i t, die man kla i eh für in Teilchen

h indigk it \ bewegt, berechnet p' =

=

ir die Am-

E; I c 2 i t der

ie i en, da xJJ (I, x. ,-) und Pil CE. Px' Pr' pJ Vierer ektoren ind und das p x Et - p . x ine kalar ]n ariant i t. 1m Ruhe ten'i de Teilchen i t PJlxj.4 gerade gleicfh wenn ir d h r auf ein nd re t m tran formier n, ird Et er etzt dur h

Folglich

ird di

ahr h iali hk

amplitud

=

EI,

me Teilchen, da d n Impul p hat, propor-

tional zu 7.5)

7 Die Zeitabhängigkeit der mplimden

126

wobei Ep die Energie eine Teilchen mit dem Impul pi t da heißt

wobei Eo' ie orher, die Ruheenergie i t. Für ni htrelati i ti he Probl me könn n ben

Ir

hr i-

obei Wp die Energie oberhalb der Ruheenergie Mil. der Be tandteile de tom i t. Im 11gemeinen würde Wp owoW die kineti che En rgie de Atoms al au h eine Bindung - oder Anregung energie enthalten, die wir die "innere" (engl. interna!) Energie nennen können. H würden chreiben Wp

r = ~n1 +-, 2M

7.

und die Amplituden wären 7.9 Da wir im Allgemeinen nichtrelativi ti ehe Rechnungen au führen, die Wahrscheinlichkeitsamplituden benutzen.

erd n \vif die e onu für

Beachten Sie, das UD ere relativi tische Tran foonation un die .. nderung der Amplitude eine Atoms, das ich im Raum bewegt, angegeben hat, ohne j de zu ätzü h orau etzung. Die WeJlenzahl der räumlichen Änderung i t nach (7.9)

k=!!.. 11' damit wird die

7.10 ellenlänge (7.11

Die i t die eIbe ellenIänge, die wir vorher für Teilchen mit d mImpul p benutzt h31 n. Zu die er Formel gelangte zuer t de Broglie auf genau di gleich ei e.. ür ein bew gt Teilchen wird die Frequenz der Amplitudenvariation immer 00 h g geben dur h

7.1 ) Das Ab olutquadrat von (7.9) i t genau 1 daher i t für ein be egte Teil hen mit be timmter Energie die ahr cbeinlichkeit e anzutreffen, überall die gl ich , und i änd rt i h ni ht mit der Zeit. (E i t ichtig zu beachten, da die Ampütud eine komplexe lle i 1. enn wir

7.2 Gleichfömlige Bewe

127

ein

eine reelle inu elle b nutzen was nicht richtig är.) ir o da

ürden würd

ich da Quadrat on Punkt zu Punkt ändern,

i en n türli h, d ituationen gibt wo ich die Teilchen on Ort zu Ort b \ egen die abr hinli, hk Ü om Ort abhängt und ich mit der Zeit ändert.

ituationen? ir können d tun indem wir Amplituden betrachten, die ine Überla erung on z ei oder mehr mplituden von Zu tänden mit be timmter Energie ind. ir haben di e iru tion hon in Kapitel 48 von Band I - ogar für Wahr cheinlichkeitsamplirud n - b pr ehen! Ir fanden herau das die Summe on zwei Amplituden mit er chied n n Uenzablen k da ind Impul e) und Frequenzen w (da ind Energien) ich da Quadrat der Amplitude räumlnleder nzbuckel oder eh ebung n ergeben, 0 da lich und z itlich änd rt. ir fanden auch da ich die e Schwebungen mit der 0 genannten "Gruppenge hwindigkeir' begen, die gegeben i t durch

wobei kund w die Differenzen zwi hen den ellenzahlen und Frequenzen der beiden ellen ind. Bei 'omplizi rten lIen - die au der umme von vielen Amplituden, die aUe nahezu die eIbe' requenz haben. be t hen - i t die Grupp nge hwindigkeit dw

(7.13)

v - dk Wenn

irw

= E/h und k = pfi

etzen, ehen wir, da

(7.14) Durch

nv endlmg

dE p

2

011

GI. (7.6) ergibt ich

P

-=C-. dp

(7.15)

Ep

E gilt ab r Ep = M2, damit wird

(7.16)

a genau die kla i he Ge h indigk it de Teilchen i i ti ehen

u drü ke benutz n rhalten wir

und

p

k= tr

t. Wenn wir dagegen die nichtrelati-

7 Die Zeitabhän

128

und dw _ dWp

dk was

\!

_

!!..-( [l ) _ l!...

(7.17)

dp - dp 2M - M'

ieder die kl

i ehe Ge chwindigkeit i t.

Un er Ergebni i t damit da . wenn mehrere Amplituden für reine Energiezu tänd on fa t der eiben Energie orliegen, ihre Interferenz "Wahr eh inlichkeit klümp hen" rgibt, di ich durch den Raum mit einer Ge chwindigkeit gleich der Ge h indig it ein kla ihn Teilchen die er Energie bewegen. Wir Dillen jedoch anm rken, da wir e[\ a geführt haben - was wir nicht au der Relativität theorie h rleiten können -, enn wir agen. das wir zwei Amplituden von er chiedener Wellenzahl zu ein r ch ebung zu ammenzieh n können, die einem bewegten Teilchen ent pricht. Wir agten, wie ich die Amplitude für ein till tehende Teilchen verhält. und hab n dann abgeleitet, wie ie ich verhalten würde, wenn ich da eilchen bewegte. ber au die n orau etzungen können ir nicht herleiten, wa ge ehehen würde. enn e ~"ei ellen gäbe, die i h mit ver chiedenen Ge chwindigkeiten bewegen. enn wir ine anhalten, können wir nicht die andere anhalten. ir haben daher till chweigend die ~ll äHiche Hyp the e hinzugetem auch fügt, da nicht nur 7.9) eine mögliche Lö ung i t, ondem da e für cl eibe Lö ungen mit allen Arten von p' geben kann und da die er chi den n Tenne interferieren werden.

7.3

Potentielle Energie; Energieerhaltung

\ ir möchten jetzt di kutieren. was ge ehieht. wenn ich die Energie ine Teil h änd rn kann. Zu Beginn denken wir UD ein Teilchen. das ich in einem durch ein Potential b hriebenen Kraftfeld bewegt. V ir be prechen zuer t die Wirkung eine kon tanten Potential. t lien wir un vor. wir hätten eine große MetaJldo e, die \i ir auf ein elektro tati h P tentiaJ dJ gebracht hätten. wie in Fig. 7-2. Wenn in der Do e geladene Objekte iod. wird d ren potenti He Energie qdJ ein, wir ollen ie V nennen, und ie wird ollkommen unabhängig \' m Ort in. Dann kann i h an der Phy ik darin nicht ändern, weil d kon tant Potential für all ,wa innerhalb der Do e vorgeht nicht au ma ht. E gibt nun keine ögli hk it, i wir UD di Antwort herleiten könnten, wir mü en dah r erraten. Die nnahm. di brau hbar i t, i t

y M Fig. 7-2: Ein Teilchen mit d r e Mund

einem Gebiet kon tanten Potential .

mimpul p in

1-9 mehr oder nig r die. die i au h erwarten würd n: Al Energie mü en wir die umme der potentiellen En rei und d r n roie Ep - die Ib t die umme der inneren und der mplirude i t prop rtional zu kineti h n Ener ie i t - \ ef' 'end n. Oi (7.1 )

Da allgemeine Prilrip i t. d d r K ffizient on t den \ ir w nennen önnen. immer durch die Ge am/ener ie de tem geg ben i t: inn r (od r ,Ma en- Energie plu kineri che Energie plu p t ntielle En rei iiw

=Ep + V.

(7.19)

Oder für nichtrelati i ti be iruationen: tlw == l

inl

+ 2M fT +

k"nnen ir nun über di ph ikali ehen Phänomene innerhalb der 00 e agen? a werden wir erhalten. enn e mehr re er chiedene Energiezu lände gibt? Für jeden Zu tand hat die Amplitude den eiben zu ätzli hen Faktor e-(i/f1IVr

zu d rn, w b i = 0 härt . Da i t genau d eIbe wie eine Änderung de uHpunkte un erer En rgie k 1a. E rz u t eine gleiche Pha enänderung in aUen Ampliruden aber da ändert \ i wir rher ge ehen hab n, k ine der Wahr cheinlichkeiten. Die pb ikali ehen Phänomen ind alle die elb n. ( ir hab n angenommen, da \ ir über er chiedene Zu tände de eiben gelad nen bjekt pr hen, da q für alle gleich i t. enn ein Objekt eine Ladung beim Üb rgang on inem Zu tand in ein TI anderen ändern könnte hätten ir ein ganz andere Ergebni , aber die Erhaltung der Ladung erhindert die .) o eil timmt un er nnahme mit dem. a wir für eine Änderuno- des Energiebezug ni eau erwarten ürden üb rein. enn e aber irkli h richtig wäre, oHte e auch für eine potentielle Energie. die ni ht g rad in on tante i t, gültig bleiben. Im AJIgemeinen könnte V in beliebiger ei e mit beiden Z it und Raum varii r n und da oB tändige Ergebni für die Amplitud mu al Diffi rentialgleichung au gedrückt werden. ir wollen un mit dem allgemein n· all jetzt n h ni ht ab eb n, ondern nur eine Vor teilung da on bekommen, \ ie manche Dinge ge hehen. ir oll n un daher nur ein Potential denken, d zeitlich kontant i t und i h räumli h nur hr lang am ändert. Dann können wir die kla i chen und die Quanten- r tellungen rgl i hen. tell n ir un di itu Li n in Fig. 7- or in der z ei Do en ind, die auf den kon tanten [den. Daz i ehen i t ein Raum on dem wir annelunen Pot nti 1 n , und c/J_ halt n wollen, d i h da P t nti 1 on der einen zur anderen Do e tetig ändert.. ir nehmen an irgendein Teil h n hätt eine mplitude, in irgendeinem Bereiche gefunden zu werden. ir nehmen auch an. da der Impul groß genug i t, da in jedem kleinen Bereich in dem e iele 11 nlängen gibt. da Pot nrial nahezu kon tant i t. Wir würden dann denken da

130

Fig. 7·3: Di Ampliru

für ein Teil hen. cl on einem Potential zu einem and ren übergeht.

in jedem Teil de Raume die Amplitude wie (7.18) au ehen ollte. mit dem die em Teil de Raume ent prechenden V. Denken wir an einen Spezialfall, in dem 4!

7.4

Krä

t .

der kla i ehe Grenzfall

. ngenommen \ ir hätten in 11 i1ch n, da ich fortb wegt und durch ein Gebiet kommt o e ein Potential gibt. da i h im r ht n irrkel zur Bewegung ändert. KJa i eh würden ir die ituation ie in Fi .7-7 angedeutet be chreib D. W on ich d Teilchen in x-Richtung fortbewegt und in ein G bi tintritt, wo e in Pot ntial gibt, da mit y ariiert wird das Teilchen on d r Kraft F = -& / &, in Qu rbe chleunigung rhalten. Wenn die Kraft nur in ein m b gr nzten G bi t d r u dehnung I orhand n i t wird die Kraft nur während der Zeit w/v wirken. Da D iIchen ird d n Querimpul

w

p) = F-\

7 Die Zeitabhä1l

134

.v

niedrige

f

v

V

/'

--p_:--..---~'~P' ~/~~;;;:

Fig. 7-7: Di Ablenkung ein Teilchen dur h einen Iran versalen PorentiaJgradiemen.

/.

erhalten. Der Ablenkwinkel68 i t dann

68=P~=Fw, p pv wobei p der Anfang impul i t. Wenn wir w

-8V /8)' für Fein eLzen. erhalt n \ lr

8

68= - - - .

pv 8y

E i t jetzt un ere ache, zu ehen, ob un ere Vor teIlung. da die Wellen gemäß (7._0) laufen. das eIbe Re ultat ergeben werden. Wir betrachten die elb a he quantenme h ni h. wobei .. ir vorau etzen. das alle in einem ehr großen aß ta im eroleich mit iner V 1lenIänge un erer ahr heinlichkeit amplituden ge chiehl. [n jedem kJ in n Gebiet könn n wIr agen, da die mplirude variiert wie (7.27) Können wir ehen. da die auch eine Ablenkung de Teilchen b wir t. \ enn inen Lran er alen Gradienten hat? ir haben in Fig. 7- kizzien, ie die ellen d f Wahr ch inlichkeitsamplitude au ehen werden. Wif haben eine Reihe von" ellenknoten" g z i hn t die i ich aI die Ebenen vor teilen können wo die Pha e der mplirude null i l. In jed m kJ in n Gebiet i [die ellenlänge - der b tand zwi ehen ufeinanderfolgend n Kn 1 n-

h

,\ = -, p

wobei p mit V verknüpft i t durch

w+

(7.

V = kon l.

p-

2M

a

k

b

Wellenknoten

I I

I t---

I

I I

I ,"\.'

----t

I

ig. 7- : Die \'ah!'s h inli h eil.' amplitude in einem Gebiet mit t.ran .. e aJem P I milli-

gradienten.

In Gebieten o größ r i t. i t p kJeiner und die ellenlänge i t größer. Daher ändert ich der Winkel der ellenkn ten, \ i in der Figur gezeigt i 1. m die" nderung d i n k ] der Wellenknoten zu finden, beachten wir, da für die beiden ege a und b in Fig. 7- ein P tentiaJdifferenz V = (oV 10y)D be teht, 0 da e eme Differenz p der tropul e läng d r beiden Wege gibt die man au (7.28) erhalten kann: (7.29)

Die Wellenzahl pltz i t daher läng der b iden Wege er chieden, wa bedeutet da die Phae mit unter hi dli her Ge eh\ indigkeit fort chreitet. Der Unter ehied der Zm ach raten der Pha en i t k = ~plli, daher hat ich nach der ge amten Länge w folgende Pha endifferenz ange ammell: b.(Pha e)

= b.k· w

= -

p . \I' Ii

M = -b.V . ptz

\I .

(7.30)

Die i t der B trag, um den die Pha e auf dem Weg b der Pha e auf dem Weg a , oreilr', wenn die Wellen den treiC n verla en. ber außerhalb de treifen entspricht ein Pha en or prung von die em Betrag einem ellenknoten, der um den Betrag

tz

Il b.x=27'(

Pha e) = - b.(Pha e) p

oder '11'

v rau i t. enn \ ir un auf Fig. 7- b ziehen Winkel d(} tehen erd TI, d r gegeben i t durch tu

= D }. au

(+xl+z}

1f kennen

1

= .r;;' -y2

r di GI i hung =

1

(+xj-z)

= {2'

daher alle Größen in GI. (7.37). Wir erhalten

A (1) == 1. e(ilh)'JilJ1 + 1. e-(ilhJJBI -

2

1

oder

A...(t)

= co

P: t .

Ein be onder einfache Ergebni ! Beachten Sie, das die Lö ung mit em überein timrnt. W wir für t == 0 erwarten, ir erhalten A (0) = 1, wa richtig i t, weil ir vorau g tzt ha n, da dayon für t == 0 im (+x)-Zu tand war. Die

oder

ahrscheinlicbkeit P.,., das d

M on bei t im (+x)-Zu tand angetr ff n ird. i t

)-

pin-!-Teilchen

139

Fig. 7·10: Die Zeitabhängigkeit der

ahrcheinlichkeit. das in Spin-~-TeiJchen in einem C+)-Zu land bezüglich-der x-Achse ein wird.

Die ahr heinli hkeit zilli rt ziehen null und ein , wie in Fig. 7-10 gezeigt Beachten ie d die ahr cheinlichkeit ieder ein wird für J.lBt 117 = n (nicht 2n). Weil wir die Ko inu funktion quadriert haben, wiederh Ir ich die Wahr cheinJichkeit mit der Frequenz 2jiBlh. Folglich finden wir, da i h die Chance, ein Zerfall elektron in dem Elektronenzähler on Fig. 7-9 aufzufangen, p riodi ch mü der Zeitdauer ändert, die da M on im Magnetfeld verbracht hat. Die Frequenz hängt von dem magneti chen Moment J1 ab. Da magneti che Moment de Myon wurde tat ächlich auf di Art geme en. ir können natürli h di elb ethode benutzen um alle anderen Fragen über den Myonzerfall zu beant orten. le i t zum Bei pieldie Z itabhängigkeit der Chance ein Zerfall elektron in y-Richtung, 90° zur x-Richtung, aber noch im rechten Winkel zum Feld nachzuwei en?

enn Sie e durchrechnen ehen ie da die Amplitude, im (+ )-Zu tand zu ein wie co 2 {(j1BI Ifl) - nl 4} ariiert. Die ariiert mit der eiben Periode, erreicht aber da Maximum eine iertel Schwingung dauer päter wenn }.ißt 111 = n/4 i t. Wa nun wirklich ge chieht i t die: Im Lauf der Zeit g ht da yon durch eine Folge von Zuständen die einer oll tändigen Polari ation in eine Richtung entsprechen, die ich kontinuierlich um die z-Ach e dreht. Wir können die be chreiben dur h di Au age, da der Spin präzessien mit der Frequenz

2j1B f1

w =--. P

(7.38)

Sie erden jelzt erkennen können, welche Fonn un ere quantenmechani che Be chreibung annehmen wird wenn wir be hr iben wie ich Dinge zeitlich erhalten.

8

Die Hamiltonsche Matrix

Siehe auch: Band

Kapit I 49

ch ingung formen.

Amp 'it den und Vektoren

8.1

Be or wir mit dem Hauptthema die e Kapitel beginnen mächten wir eine Reihe on mathemati chen Begriffi n be hreib n, die ielfach in der Literatur über Quantenmechanik benutzt werd n. Ihre Kenntni ird llmen das Le en anderer Bücher oder Schriften über die e Gebiet erlei htem. Da E te i t die große mathemati che Ähnlichkeit zwi chen den Gleichungen der Quantenmechanik und den Gleichungen für da kalar Produkt on zwei Vektoren. Wenn X und ifJ z i Zu tände ind dann werden Sie ich erinnern, da die Amplitude, on ifJ au gehend in X zu enden ge chrieben werden kann al Summe über einen 011 tändigen Satz von B iszu tänden d r Amplituden für den Übergang von ifJ in einen der Ba i zu tände und dann au die em B i zu tand w'ed r herau nach X: (X Ilß)

=

(

li)(ilifJ)·

(8.1)

alle i

Zur Erklärung b nutzt n wir einen Stem-Gerlach-Apparat. Wir mächten Sie aber dann erinnem cl man den pparat nicht unbedingt braucht. Gleichung (8.1) i tein mathemati ehe Ge etz de n Gültigkeit ni ht da on abhängt, ob wir die Filtereinri htung ein etzen oder ni ht - e i t nj ht immer n twendig, ich orzu teU n das der Apparat da wäre. Wir können die Gleichung infach a1 Formel für die mplitude (X I entsprechen den zwei Vektoren Bund . Die Basi zu lände i ent pr h nd n pezieUen ektoren ej , auf die wir alle anderen ektoren bezieh n. Jeder ektor 'ann dur h ine Linearkombination der drei "Ba i vektoren" ej darg teUt werd n. enn ie außerdem in die er Kombination die Koeffizienten jede ,Ba j vektor" - d heißt di dr i Komp n nten - kennen dann wi en ie alle über einen Vektor. Ähnlich kann man jed n quant nme hanieben Zu tand durch die Amplituden ( i Ir/» für den Übergang in die B i zu tände voll tändig be chreiben. enn Sie die e Koeffizienten kennen. dann i en ie alle . \\ man über den Zu tand wi en kann. Wegen die er genauen Analogie wird d a s " ir einen ,Zu land' oenannt haben. auch oft ein .Zu tand vektor" genannt. Da die Ba i ektoren ej alle im rechten Winkel zueinand r tehen, erhalt n " ir di Beziehung . )

Die entspricht den Beziehungen 5.25) zwi ehen den Ba i zu länden i. ( .4)

Sie ehen jetzt. warum man agt. da

die Ba i zu tände i alle ,arth gonal' ind.

Ein kleinerer nter chied zwi ehen GI. (8.1) und dem inneren Prod kt i tjed den. E i t nämlich

(r/> Ix>

h orhan-

.

= (X Itb >",

)

während in der ektoralgebra gilt

A·B=B· Bei den komplexen Zahlen der Quantenmechanik mü en" ir di Reihe~ 1 d r u drück treng beachten. Beim inneren Produkt pieh ie dagegen keine Rolle. Betra hten i jetzt di folgende Vektorgleichung

ie i t etwas ungewöhnlich aber richtig. Sie bedeutet da

lbe wi

Bea hten ie aber das GI. (8.6) eine Größe be chreibt, die ke'o inn re Pr ukt i r. in 'nnere Produkt i t einfach eine Zahl während GI. (8.6) eine Vekrorgleichung i t. ar in r d r deutenden Kunstgriffe der Vektoranaly i , au den Gleichun eo den B griff d kl0~ lb t

8. J Amplituden und Vektoren

143

zu ab tram ren. Gleicbermaß n konnt man geneigt ein etwas au der quantenmechani hen Formel GI. ( .1) zu ab trahier n \ as einem, ktor' analog i t - und da kann man ta ächlieh. Wir entfern n da <X I auf b id n eilen on GI. (8.1) und chreiben folgende Gleichung auf (haben Sie keine ng t i t nu eine hreib ei e. und ie werden gleich merken as die ymbol bedeuten):

(8.8) Man denke icb die KJamm r (= bracket) < I werden auch Zustandsvektoren genannt. Sie ind jedenfaU keine Zahlen und im Allgemeinen mö hten wir, da da Ergebni un erer Rechnungen al Zahl herau kommt. Daher ind olche, unfertig n' Größen nur chritte auf halbem Wege in un eren Rechnungen. E hat ich ergeben da wir bi jetzt alle un r Re ultate durch Zahlen an gedrückt haben. kLoren zu vermeiden? E i t amüsant fe tw teUen, da wir ogar Wie i te un gelung n, in der ge öhnlichen ektoralgebra alle Gleichungen 0 chreiben könnten das ie nur Zahlen beinhalten. ir hatten zum Bei piel tatt einer Vektorgleichung wie

F=ma immer chreib n könn n

C· F

= C·(ma).

Wir haben dann eine GI,ei hung mit zwei inneren Produkten, die für jeden Vektor C gilt. Wenn ie aber für jede C gilt, hat e k in n inn, da C immer mitzuschreiben ! Betrachten Sie jetzt GI. (8.1 . D . i t eine Gleichung die für jedes X gilt. Wtr oilten daher, um chreibarbeit zu par n da weglassen und stattde en GI. (8.8) chreiben. Sie enthält die eibe Irrf rmati n vorausge et.. t wir wi en da ie immer auf beiden Seiten ergänzt werden ollte durch ultiplikation on links mit" - wa einfach ein Wiederein etzen bedeutet _ irgendeinem ( I. Daher b deutet 01. genau da eibe wie Gl. (8.1) - nicht mehr und nicht weniger. enn i n hab n wollen, etzen Sie das <X I da Sie möchten, ein.

zaw

Vielleicht hab n ie ich hon üb r da ljJ in GI. (8.8) gewundert. Da die Gleichung für jedes gilt warum behalten wir e dann bei? Tat ächlich chlägt Dirac or das da ifJ genau 0 gut wegab tramen erden kann, 0 da wir nur no h behalten

I:: ~Ii) (il.

(8.9)

i htig G etz der Quantenmechanik! (E gibt nicht Analoge in der ektoagt au: nn i z i b liebige Zu tände X und ljJ link und re ht auf beiden ranaly i . eiten ein elzen erhalten ie wieder GI. (8.1). E i t in Wirklichkeit nicht ehr nützlich aber e i t ein netter Hin ei ,das di Glei hung für zwei b liebige Zu Lände gilt.

144

Die Hamilron ehe MarrLr:

8.2

Zerlegung von Zu tand vektoren

Betrachten ir wieder GI. (8.8), ir können über ie folgende .. berleaungen an t 11 n. J d r Zustand ektoT I t/J) kann mit geeigneten Koeffizienten darge leUt erden a1 Lin arkombination eine S tems von .Ba i vektoren' - oder fall Sie e orzjehen al eine" rlag rung von ,,Einheit el1:oren' in geeigneten Verhältni en. m her orzuheben, d die ffizj nten ( i I rb) nur ge öhnliche (kümple e Zahlen ind, chreiben ir einmal

UI q,) = Cj . Damit wird GI. (8. ) zu

Für jeden anderen Zu tand vektor agen wir Ix) , können wir eine ähnliche Glei hung ben natürlich mit anderen Koeffizienten - agen wir Dj • Dann erhalten ir

hrei-

Die D; ind gerade die Amplituden< i Ix) . Angenommen. wir hätten damit begonnen da t/J au GI. erhalten

<xl

=I

(Xli)

ir hätten

(il.

enn wir bedenken das

(Xl

.1 zu ab trahier n.

<X li) = (i Ix) • i t. könn

.12 n

ir die

hr iben aJ

= ID; (il.

.I )

E i t nun intere 3m, da wir GI. 8.13 und GI. 8.10) einfach mit inander nm/riplher, n 'önnen. um .. ieder< I t/J) zu erhalten. W. nn wir die tun, mü n ir mit d n umm ti n indiz o ichtig umgehen. da ie in den beiden Gleichungen ganz e ind. hreiben " ir zuer t GI. (8.1 noch einmal al

<xl =

ZD

j

(jl,

j

übei ich nicht ändert.

( Irb)

enn wIr ie dann mit Gi. (8.10 zu amm nfü en

=LDj(jli)Ci. ij

rh It n ,,'ir

.1

8.2 Zerlegung \'on Zu lafld I'ektoren

Bedenken ie ab r d ()'I i) j = i hab n. ir erhalten

<xlcP> = I:D;

= 8.. i t. I)

0

dirlinks in der

=

umm nur die Terme mir

(8.15)

i

=(

wobei natürlich D i (i I >~ Analogie mil dem inner n Pr dukt.

B·A

145

I i) und C j

= (i I cP)

i t. Wieder ehen wir die genaue

=~ \:"' AB. 11

Der einzige merschied i t da komplex Konjugierte beim D j • GI. (8.1S) agt daher au: enn die Zu rand vektoren (X I und Il/J) in die Ba i ekroren (i I oder I i) aufge palten werden, dann wird die Amplitud für den Übergang on l/J nach X durch die Art von innerem Produkt in GI. (8.15) geg ben. Di e GI i hung i t natürlich gerade GI. (8.i), nur mit anderen Symbolen ge chrieben. Ir ind a ben im Krei gegangen um die neuen Symbole zu gebrauchen. ir oUten iell icht n h einmal betonen: Während Vektoren im dreidimen ionalen Raum durch drei orthogonal Einhei ektoren b hrieben erden müs en ich die Basi vektoren I i) der qu ntenmechani ehen Zu tände über da voll tändige Sy tern er trecken, da für das jeweilige Problem zutreffend i t. Je na h der ituation können zwei oder drei oder fünf oder eine unendliche Anzahl on B i zu länden dazugehören.

Wir haben u h darüb r g pro hen, wa ge chieht, wenn Teilchen durch einen Apparat gehen. Wenn ir die Teilchen on einem be tinunten Zu tand r/J au gehen las en, ie dann durch einen pparat hi k n und hinterher eine Me sung machen um zu sehen, ob ie im Zu tand X ind, dann ird das Er bni b chrieben durch die Amplitude (x IA 11»

.

(8.16

mbol hat kein genau Analogen in der ektoralgebra. CE i t enger mit der enSolch ein o ralgebra rwandt, aber die nalogie i t nicht be onder nützlich.) Wir ahen in Kapitel 5 ir ( .16) chreib n konnten al GI. (5.32), d (X IA

I; l/J)

= Z (X li)

(; IA IJ) (j If/J )

.

(8.17)

ij

Die i t in Bei pi I für di z eimalig Wir hab n auch gefunden da

nwendung der fundamentalen Regel GI. (8.9).

wir bei Hinzufügung eines anderen Apparate B in

erie

mit A chreiben konnten

(XI B Il/J)

=I(Xl i ) U\BIJ) (jIAlk) (kll/J).

(8.18)

ijk

Wieder kommt die dir kt mit Dirac Methode die GI. (8.9) zu chreiben, herau - bedenken Sie, cl ir imm r einen tri h (1), der genau wie der Faktor 1 i t, zwi ehen Bund A elzen können.

146

'ebenbei ge agt können wir GL (8.17) auch auf andere An betrachten. ng nommen. wir denken an da TeiJchen, das in den Apparat A im Zu land t/J eintritt und au im Zu tand 1/1 (..p i ') herau kommt. Wir können un mit anderen orten die Frage teIlen: Können wir ein 1/1 finden, 0 da die Amplitude für den Übergang von 1/1 nach X immer identi h und überall die gleiche i t wie die Amplitude (X IA I rP ) ? Die Antwort i t ja. lf m" hten GI. .17) e tzen durch

(X 11/1) =

I

ir können die

(x Ii) (i 11ft)

elb tver tändlich tun, wenn

= LUIAlj)

(ill/l)

.19

.

(Jlt/J) =(iIAI~),

j

womit 1/1 be timmt i t. ,.Aber das be timmt 1ft doch nicht" werden ie agen, .,da be timmt nur ( i 11/1)" Aber ( i Iift) be timrnt doch 1/1. denn wenn Sie alle Koeffizienten haben, die l/J mit den Basi zu länden i verknüpfen, dann i t l/t eindeutig be timmt. ir können dur hau mit un rer chreibwei e piejen und den letzten Au druck von GI. (.20 chreiben a1

= L:(ilj) (JIAlrP)·

UII/I)

j

Oa die e Gleichung für alle i gilt, können wir außerdem einfach chreiben

ll/J)

= 'LU} (JIAIc'b)

(

.

.2~

j

Dann können wir agen: ,Der Zu tand und durch den Apparat A gehen."

I/J i t da , wa wir erhalten, wenn wir mit

Ein letzte Bei piel für die e Kun tgriffe. Wir beginnen ieder mit GI. jede X und c'b gilt, können wir ie beide weglas en! Wir erhalten dann t

A

=}) i} ( i IA Ij) (j I

~ beoinnen

.17 Da

j

für

( .-

ij

as bedeutet da ? E bedeutet ni ht mehr und nicht weniger al d , a i erh Ir n, \ nn r/J undX ieder einsetzen. So wie e da teht. i teine, offene' GI i hung und un oll tändi e · enn wir ie,.von recht " mit Ilß) multiplizieren, wird darau A 14>}

=LI;) UIAIj) (jl~) ij

- ie önnten meinen, wir allten 1.41 an Stelle von nur A hreiben. ber dann y,iird ,,absoluter Betrag "on A" au hen, daher werden die triche gewöhnlich wegge~ n. 1m der Strich (J) br ähnli h wie der Faktor eins.

.4

147

Ir hätt n tat ächlich die j

w chon i der GI. und ehreiben könn n

au die er Gleichung

II/I} =AI zu ein, und on C2 = (21 ift) der Amplitude. im Zu tand I } zu ein. nt r nwendung der GI. können wir dann d n Zu tandsvektor chreiben al

II/I} ::: 11) UII/t) + 12) (211/J)

8.6 Da Ammoniakmolekül

157

oder (8.44)

Da Intere ame i t nun d enn man iß das da Molekül zu einem Zeitpunkt in irgend inem Zu rand i l, e ein kleine eilch n päter nicht in dem eIben Zu tand ein wird. Die z ei C-Ko ffizi nt n w rden ich mit der Zeit ändern, gemäß den Gleichungen (8.43) - die für jed Z eizu tand tem gültig ind. hmen .. ir zum Bei piel an, das ie eine Beobachtung gema ht haben - der da ie eine Au wahl der Moleküle getroffen haben - 0 da ie wissen da da olekül anfänglich im Zu tand 11) i t. Einige Zeit päter gibt e eine Chance, d e im Zu tand 12> org funden wird. m herau zufinden, wie groß die e Chance i t mü en ir di Dif~ rentialgl ichung lö en, die un agt wie ich die Amplituden zeitlich ändem. Die einzi e h ierigkeit be teht darin, da wir nicht wi en, a wir für die Koeffizienten Hij in GI. (8.43 n hmen ollen. E gibt jedoch einige Dinge, die wir agen können. ehmen wir an, obald d oie ül inmaL im Zu tand 11) i t, gibt e keine Chance, da s e jemal in den Zu tand 12) g langen kann und umgekehrt. Dann wären H l2 und H 21 beide null und GI. . 8.43 ürd laul n

. d ") rh-dt Die e b iden Glei hunoen könn n

= H-2C? ir 1 icht lö en wir erbalten (8.45)

Die ind die Ampliruden für stationäre Zu tände mit den Energien EI = B II und E 2 = H22 . Wir bemerken jedoch. da di Z\1 ei Zu tände 11) und 12) rur da Ammoniakmoleküi eine betimrnt mm trie hab n. enn di atur überhaupt ernünftig i t, mü en die Matrixelemente H I1 und H22 gl i h ein. Ir erden ie beid Eo n nnen, weil ie der Energie en pre hen die die Zu lände hätten, enn H 12 und R 21 null wären. Die Gin. (8.45) agen un aber nicht, wa d Ammoniak wirklich tut E teUt ich berau da e fLir den tick toff mögLieb i t ich einen eg durch di drei a er toffatome zu bahnen und auf die andere eite zu pringen. D i t recht eh.. i rig, zur Mitte durchzukommen erfordert eine Menge Ener~e. le kann er durchkomm n \ enn r ni ht genügend En rgie hat. E . gibt eine gewis e Amplitud , da s er die En rgiebarriere dur hdringen wird. In der Quantenmechanik i t e rnögli h, chnell durch ein Gebi t zu cWüpfen, denerg [i ch erboten i t. E gibt daher eine kleine Amplitude, dein olekül, da in 11) b ginnt in d n Zu tand 12) gelangt. Di Koeffizienten H n und H 21 ind ni ht wirklich null. . der au . mmetriegründen oHten ie beide - zuminde t dem Betrag nach - glei hein. ir i en rat ächLich hon, das im ALlgemeinen Hij gleich dem konjugiert omple n n Hji in mu 0 da ie ich nur in der Pha e unte heiden k.Önnen. E t llt ich herau wie ie eh n werden, da e keine Be chränkung der Allgemeinheit i t, nn wir ie al einander i 'l. D r rt Koeffizient i t die Polari ierbark it de Molekül. mmoniak hat eg n d kJ in n von A im enner eine ungewöhnlich hohe Polari ierbarkeil. Folglich ind mrnoniakm leküle gegenüber einem elektri hen Feld auß rordenrlich empfindlich. (\Ar ie ürden i die Dielektrizitä kon tante von H 3 -Ga ehätzen .)

9.3 Über änge in einem -eitabhängigen Feld

IT

Ubergäng in einem zeitabhängigen Feld

9.3

1m mmoniak- a er wird d r trahl mit 01 külen im Zu tand I I) und der Energie EI durch einen Re nanzh hlraum ge chickt, wi in Fig. 9--\. aezeigt. Der andere Strahl wird beieite gela' en. In dem H hlraum i t in zeitlich veränderliche elektri che Feld. Daher mü en ir al nächte Problem da rhalten ine Mol kül in einem elektri ehen Feld. da i h zeitlich ändert, di kutier n. ir hab n ein ganz and r artige Problem - ein mit einer zeitlich veränderlichen Hamilt nmatri . 0 H ij von 8 abhängt ändern ich die H ij mit der Zeit. und wir mü en das erhalten de y t m unt I' die er Bedingung b timmen. ([

Frequenz Wo im Re onanZr3um

\

\ \

alle II

\ I

) ./ ./ ./ ./

"'.--

Zu Beginn . dCI dt

rli -

.-- . /

./

Feld 6

Fig. 9-4: de Amm

chematj ehe niak-Ma er .

hreib n v ir die GI ichungen auf. die gelö t werden mü

= (Eo + J1

Diagramm

n:

)C 1 - AC, .

-

(9.36)

. dC~ Ih - - = -AC 1 + (Eo - J18) .,. dt -

m konkret zu ein, \ ollen dann können \ ir chreib n

ir nnehm

11,

da

ich da

lektri he Feld inu fömlig änden;

9.37)

In der Praxi wird die requenz W fa t genau gleich der Re onanzfrequenz de molekularen .. bergang Wo = 2A/f! ein. aber orläufig wollen ir die Dinge allgem in halten und i jeden beliebigen rt annehmen la en. Di b te ethode, un ere Gleichungen zu lö en. be teht darin. au CI und 2 Line rkombination n zu bilden, ie wir e orher gemacht haben. \ ir addieren daher die b iden GI i hungen di idier n durch di Quadratwurzel au _ und benutzen die Definition on Cl und Cli die \ ir in GI. (9.1 ) harren. ir erhalten ih dClI = (E -

dt

0

ie werden b m rken, da

CII + IJ r

di

I'

(9.

da eibe i t wie GI. (9.9) mit inem zu ätzlichen Tern1 infolge

9 Der mmoniok-Ma er

174

de elektri eben Felde . Auf ähnliche Wei e erhalten

lf,

enD \ ir die beid n Gleichungen

(9.36) ub trahieren, 1'-1;. fI

dei = (E o dt

A)C/ + /.iu....ll. er

9. 9)

teIlt ich nun die Frage, wie die e Gleichungen zu lö en ind. ie ind chwieriger al un er frühere Stern. weilE von t abhängt; und ta ächlich i t die Lö ung für ein allgemeine E(I) nicht in elementaren Funktionen au zudrücken. ir können jedoch eine gute äherung bekommen, olange da elektri ehe Feld chwacb i t. Zunäeh t woUen ir hreiben

E

CI = Y/ e-i(Eo+A)flfl = 'Y/ e-i(E/)llh ,

C11 --

'V

Il/

9.40)

e-i(Eo-A)t11l - v e-i(E/l)llfI - /11 .

Wenn kein elektri ehe Feld be tünde, wäre die e Lö ung richtig .. obei 1'1 und 1'11 einfa h al zwei komplexe Kon tanten zu wählen ind. Da die Wahr eheinliehkeit. im Zu tand I I) zu ein das Ab olutquadrat von CI ist und die Wahr cheinliehkeit im Zu rand 11/) zu ein da Ab olutquadrat on Cu' wird die Wahr cheinliehkeit, im Zustand 11) oder im Zu tand 111) zu ein, tat äehlich gerade Iyl oder Iyjl l2. enn das y tem zum Bei piel ur prunglieh im Zu tand 111) begioot.

das 'Yl null und das Molekül wenn e ursprünglich im Zu rand Ill) i t, jemal in den Zu tand IE) gelangt. 0

IYIIl 2 ein wäre, würde die er Zu tand für immer be tehen. E gäbe eine Chance. d

Der inn das wir unsere Gleichungen in der Form von GI. 9.40 chreiben, be leht darin, das bei im ergleich mit A, kleinen j18 die Lö ungen noch auf die e Art ge chri b n w rd n können, nur erden dann Yl und YTT zu lang am variierenden Funktionen d r Zeit - obei wir mit ,.lang am variierend' meinen da e lang am im Vergleich zu den E ponentialfun rionen i t. Das i t der Trick. ir benutzen die Ta ache, das Yl und 1'" lang am variieren, um ine angenäherte Lö ung zu erhalten. möchten nun den Au druck für Cl in (9.40) in die Differentialglei hung 9.39 em zen mü en aber beachten da 1'/ auch eine Funktion on t i t. lf erhalten lf

t-

Die Differentialgleichung wird zu

9.41)

Ähnlic wird die Glei bung für den / dt zu

(

'V + ifz dYn) 'V e-(ilh)EII ' + J1S;-~' e-(i/fl)E" E11l// d/ e-(j/fl)E1I1 -- Eli/li url-

9.4

9.3

el1

Feld

175

Je rden jetzt b mer en. da \ ir auf b id n iten on jeder Gleichung o-leiche A drücke haben. ir treich n di u drü und multiplizieren außerdem die er te Gleichung mit e~iE,llfr und die z it mit +IElll/tJ nn ir un rinn m, d (EI - Elf) = 2A = fzw i t haben Lr chließli h ih

dy,

.

dt =Ji0(I) e,wu'YIl' (9.43)

ift dYI/ dl

=Ji8{t)

-iWo'YI'

Jetzt hab n ir ein ffen ichtlich einfache Paar on Gleichungen - und ie ind natürlich noch exakt. Die bleitung drein n ariablen i t eine Funktion der Zeit J10(t eiwo', multipliziert mit der zeilen ariablen' die AbI itung der zweiten i t ein ähnliche Funktion der Zeit multipliziert mit der er ten. Ob, ohl die einfachen Glei hungen nicht allgemein gelö t werden können ollen ir i für irrige p zialfcille lö en. ns irrt re iert zuminde t im oment nur der Fall eine 0 zillierenden elektri chen Felde. enn ir für 8(1) d a in GI. (9.37 angegeben i t, ein erzen dann ird au den Gleichungen für 1'1 und YI/ l

ili

d" - JiC' [ei(w+Wo)1 + e-i(w-Wo)/] 11/' dt - Vo "V

(9.44) ift dYII = Ji8 [e i (W-wo)' + e-i(w+wo)'] "1, . o dr

Wenn nun 8 genügend klein i t dann ind die Änderung ge chwindigkeiten on YI und "11/ auch kl in. Di eiden Y erden i h mit t flicht ehr ändern, be onder im ergleich zu den chnellen Änderungen in olg d r E pon ntialau drücke. Die e Exponentialau drücke haben reelle und imaginäre nt il . die mit der requenz W + Wo oder W - Wo 0 zillieren. Die Tenne mit w + Wo 0 rilli r n ehr chn 11 um einen ittelwen on null und tragen daher im 'ttel nicht ehr iel zur .. nderung g h indigkeit on l' b i. Wir können daher eine vernünftige gute äherung machen indem wir die e Au drücke durch ihren ittelwert nämlich dur h null, er etzen. ir I n ie infach au und nehm n al äherung:

if1

~ =J.i8

ifi dYn

dt

e-i(W-Wo)/Y/J'

=J.i8 ei(W-Wo)'y, . 0

(9.45)

I

Auch die erblei end n Au drü ke deren E ponenten proportional zu (w - wo) ind werden ich chnell ändern, enn ni ht w dicht b i Wo i t. ur dann ird ich die rechte Seite genügend lang am erändem 0 da i h irgendein nennen werter Betrag an amrnelt~ enn' ir die Gleichungen über t integri ren. it ander n orten ind bei einem eh'\! aehen elektri ehen Feld die einzig b deut men Fr qu nzen die, wel he nahe bei Wo liegen. I

it d r äherung, die UD zu GI. 9.45) gebr ht hat können die Gleichungen exakt gelö t werden, aber di Arb it i t t um tändlich. ir wollen ie al 0 für päter aufheben wenn

9 Der Ammoniak-Ma er

176

wir ein andere Problem om eIben Typ aufgreifen. Jetzt wollen wir ie nur näherung \i i e Iö en - oder wir woUen ielmehr eine exakte Lö ung für den Fall der ollkommen n Re onanz. w = wo' und eine äherung lö ung für Frequenzen in der ähe der Re onanz oden.

9.4

Ubergänge bei Resonanz

ehmen wir al Er te den Fall der vollkommenen Re onanz. nn ie W = Wo annehmen, werden die Exponentialfunktionen in beiden Gleichungen von (9.45) gleich ein und \ ir erhalten

dYIl ;)180 ---Y . dl fz /

(9.46)

Wenn wir zuer t Yt und dann "111 au die en Gleichungen eliminieren. finden wir. da Differentialgleichung einer einfachen harmoni chen Bewegung befriedigt:

j de die

9.47)

Die allgemeinen Lö ungen die er Gleichung können au dem inu und Ko inu gebild t den. Wie ie leicht verifizieren können, ind die folgenden Gleichung nein Lö ung:

er-

\I

(9.4 )

wobei a und b KOß tanten ind, die an jede einzelne ph mü en.

ikali

he iruati n an ep

t \\' rd n

ehmen wir zum Bei piel an, das bei I = 0 un er olekul t m im h"h r n En rgiebei I 0 i t. zu tand I/} war, a - nach GI. (9.40 - verlangen ürde. da y/ = I und 1" Für die: e iruation brauchten wir a I und b O. Die ahrscheinli hkeir, d d olekül zu einem päteren t im Zu tand 'f) i t. i t da Ab olutquadrat on}'J oder

=

=

=

=

9.49

Mnli h dur h d

iId di abr cheinlichkeit, da b olutquadrat von 11/'

da Molekül im Zu tand

Ilt )

n

ird, g

b n

9.

9.4 Übergäll e bei Resonaw

177

olange 8 kJein i t und ir un in onanz befin.den rden die Wahr cheinLichkeiten durch einfache 0 zillierende Funktion n gegeben. Die Wahr cheinlichkeit, im Zu tand 11) zu ein, fillt on ein auf null und wi der zurü k, ähr nd die ahr cheinlichkeit, im Zu tand IJI) zu ein n mdl auf in teigt und wi d r zurück. Die zeitliche Änderung der heiden Wahrcheinlichkeit n i t in ig. 9- ~ gezeio-t. E erübrigt ich zu ag n, da die Summe der beiden ahr heinlichk iten imm r gl ich ein i t; in irgendeinem Zu tand i t das olekül immer! P

J

I I

in Einheiten on 1di/200

2

Fig. 9·5: Wahr cheinlichkeiten für die zwei Zu tände de Ammoniakmolekül in einem inu fömtigen Feld.

ehmen ir an, da da olekül die Zeit T braucht, um durch den Hohlraum zu gehen. Wenn wir den Hohlraum einfa h 0 lang machen da poT IP, n/2 i t dann ird ein olekül, da im Zu land 11) hineingeht, ihn icherlich im Zu tand 11/) erla en. Wenn e in den Hohlraum im höh ren Zu tand hin ingeht, ird e ihn im niedriger n Zu tand erlas en. Mit anderen nen eine Energie hat abuenomm n und der Energie erlu t kann on t nirgendwo hingeh n a1 in die Anlage di da Feld erzeugt. Die Einzelheiten au denen Sie er ehen können, wie die nergie cl olekiil den chwingungen de Hohlraums zugeführt ird, ind nicht einfa b; ir brau hen die e Einzelheiten jed h nicht zu studieren, weil ir das Prinzip der Energieerhaltung b nutzen können. ir könnten ie tudieren,. wenn wir mü ten aber dann mü ten ir un mit der Quant nm hanik de Felde im Hohlraum zu ätzlieh zur Quantenmechanik de tom b f en.)

=

Zu amrnengefa t: Da lekül geht in den Hohlraum hinein, da Hohlraumfeld - da genau mit d r richtig n r quenz hv ingt - induziert .. bergänge om höheren in den niedrigeren Zu tand und di freiue etzte n rgi ird dem zil1ierenden Feld zuo-eführt. In einem arbeiJelcül genug nergie, um die Hohlraum chwingungen aufrecht tenden a er liefern di zu erhalten - dabei li fern i nicht nur genug Energie, um die Hohlraum erlu te abzugleichen, ond rn ie 1i f m ogar kleine B träe> on über bü iger Energie, die dem Hohlraum entnommen erden kann. Damit ird die molekulare Energie in die Energie eine äußeren elektromagneti eh n Ide umge ande1t. Bed nken ie da wir, b vor der Strahl in den Hohlraum hineingebt, in FHter benutzen mü en, d den trabl aufteilt 0 da nur der höhere Zu tand hineingeht. Man kann licht zeigen d d r Proz in umg kehrter Richtung abläuft und Energie au dem Hohlraum ntnim.mt wenn ie mit 01 külen im niedriger n Zu tand beginnen. Wenn ie den ungefiltenen Strahl hineingeben, rden genau 0 iele 01 küle nergie entnehmen wie Enero-i zuführen o das ni ht i 1 ge h h n ürde. In der Praxi i t e natürlich ni ht nötig, flET /11 enau gleich rrl2 zu ma hen. F·r j n anderen V!. rt (außer einem genau ganzzahligen Vielfachen on ;r) gibt in ahr cheinlichkeit für rgänge om Zu rand I I > in den Zu tand I Il).

9 Der Ammoniak- a er

178

Für andere erte i t die Anlage jedo h nicht lOO-prozentig wir am' i le der 01 küle. die den Hohlraum erlas en, hätten an den Hohlraum Energie abgeben können, haben e aber nicht getan. Im wirklichen Gebrauch haben nicht alle Moleküle die gl i he e h\ indigkeit; i haben eine Art Max\ ellverteilung. Die bedeutet das die idealen Zeitab chnine für er hied ne Moleküle unter chiedlich ein werden, und e i t unmöglich, lOO-prozentige irk amkeit für alle 10leküle auf einmal zu erreichen. Zu ätzlich gibt e noch eine andere Komplikation, di man leicht berücksichtigen kann aber wir möchten un in die em tadium ni ht damit b fa en. Sie erinnern ich. da ich da elektri che Feld in inern Hohlraum gewöhnli h n Ort zu Ort quer durch den Hohlraum ändel1. Während ich da olekül durch den Hohlraum b w gL ändert ich folglich da elektri che Feld am Ort de Molekül auf eine Art die komplizierter i t, al die einfache zeitüch inu chwingung, die wir ang nomm n hab n.an mü t offenbar eine kompliziertere Integration anwenden um da Problem genau u b hand In, b r der allgemeine Grundgedanke wäre noch der gleiche.

E gibt andere ethoden, Maser herzu tellen. taU die Atome im Zu tand J I} on denen im Zu tand I II > durch einen Stem-Gerlach-Apparat zu trennen könn n di tom au h chan im Hohlraum (al Ga oder fe ter Körper orliegen, und man ann die tarne om Zu tand I Il > in den Zu tand 11) durch irgendwelche irrel bringen. Eine ethode enutzt man in dem 0 genannten Dreizu tand - a er. Bei ihm benutzt man atomare S terne, die drei Energieni eau haben, wie in Fig. 9-6 gezeigt mit olgenden be onder nEigen naften. D Sy tern ab orbien Strahlung ( agen wir Licht) der Frequenz 'hw 1 und geht vom niedrig ten Enercrieniveau Eil zu einem höheren Energieni eau E' und endet dann hnelJ Phot nen d r Frequenz 'hw 2 au und geht in den Zu land 11> mit der Energie EI' Der Zu tand I I > hat eine lange Leben dauer. 0 da eine Be etzung vermehrt werden kann. und die Bedingung n ind dann geeignet für a er-Betrieb zwi chen den Zu länden I J > und III >. Obwohl 01 h eine Anlage ..Dreizu tand - a er" heißt, erläuft der Ma er-Betrieb in V'irkli hkeit wie in Zweizu tand tem. 0 wie wir e be chreiben.

E

-----.,.;---------...,.----E'

-........,;,I------........c.=----.".--_ EI

'hwo -~,-------.a.--En

Fig. 9-6: Di Energieniv au ein .Dreizu tand -JVla;~"I"

=

Ein La er (Light Amplification by timulated Emi ion 0 Radiation Li hrve tärkung dur h induzierte trahlung emi ion) i t einfach ein a er, cl r im opti h n Frequ Ol.berei h arbeitet. Der ,,Hohlraum" rur einen La er be teht ge ähnlich au z'\ I ehen denen tehend W llen rzeugt werden.

.

eben n pi gIn. z\ i-

9.5

179

9.5

Übergänge ohne Re onanz

Zum hlu m·· ht n ir h rau finden, ie ich die Zu tände unter den erhältnissen ändern 0 die Hohlraumfrequenz f t, aber nicht genau gleich Wo i t Die e Problem könnten wir exakt lö en aber an tatt di zu ver uchen, wollen wir den wichtigen Fall betrachten das das elelctri he Feld hwa hit und da auch die Zeitperiode T leIein i t, 0 da J,J.8 oT /fl jel kJeiner a1 in i 1. Dann i t ogar im Fall der oUkommenen Re onanz den wir gerade ir behandelt hab n, die ah heinlichk it für einen Übergang gering. ehmen wir an das ieder mit "I/ = 1 und "1// = 0 beginnen. ährend der Zeit T würden wir erwarten da s "11 fast gleich ein bleibt und Y/I im Vergleich zu ein sehr klein i t. Dann i t das Problem ehr einfach. ir können "11/ au der z iten Glei hung in (9.45) berechnen, indem wir 1'/ gleich ein etzen und on t = 0 bi I = T int grieren. ir erhalten

_ J180 [ 1 -

Y und IJJ) verbind t. Im allgemeinen Fall v ürde ich ergeben. d J.18 durch da Matrixelement (ll I H 11 > er etzt wird (iehe b ehnitt 5.6 .

182

In Band I (Ab hnitr 42.5) prachen wir über die Beziehung n zwi h n Li htab orption. induzierter Emi ion und pontaner Emi ion unter B nurzung der in t in hen A- und BKo ffizienten. Hier haben wir endlich da quantenmechani eh erfalrren. i K ffizienten au zurechnen. as wir bei un erem Zweizu tand -Ammoniakmolekül P(/ ~ ll) g nannt haben, ent pricht genau dem Ab orption koeffizienten Bnm der Ein tein eh n trahlung theorie. Bei dem komplizienen Ammoniakmolekül - da für jeden zu h ierig zu her hn n i [- haben wir da atrixelement (/11 H IE) al /18 ang nommen und g agt, d man J1 au d m Experiment entnehmen mu . Bei einfacheren atomaren ternen kann d p.mn" da zu jedem einzelnen Übergang gehört, errechnet werden au der Definition J1nul~

={m IHin) =Hmn '

obei Hf1UI das atri element der Hamiltonmatrix i t, das di irkungen ein hwa h n elektri ehen Felde enthält. Das auf die e Wei e errechnete P.mn heißt d atrLulemenr des elektrischen Dipol . Die quantenmechani che Theorie der d orption und mi ion on Li ht " ird daher auf eine Berechnung die er Matrixelemente für p zieUe atomare terne reduzien:. Un ere nte uchung eine einfachen Zweizu tand y lern hat un damit zu einem tändni de allgemeinen Problem der Ab orplion und Emi ion on Licht geführt.

r-

10

~dere

A

0.1

Zweizustandssysteme

Da on de Wa erstoffmolekül

Im letzten Kapit 1 b prachen ir einige A pekte de Ammoniakmolekül in der äherong, da e al Z eizu tand y tern betrachtet w rden kann. E i t natürlich nicht wirklich ein Zweizu taJld y tem gibt iele Zu tände der Rotation Vibration Tran lation und so weiter - aber jeder die er Be egung zu tände mu wegen des Umklappen de tickstoffatom zur genauen nte u hung in die z ei inneren Zu tände zerlegt werden. Hier werden wir andere Bei piele von t men betrachten die in der einen oder anderen äberung al ZweizuLand y terne ange ehen \! erden können. iele wird nur näherung wei e gültig ein, weil e immer iele andere Zu tände gibt die man in einer genaueren Unter uchung berücksichtigen rnü te. Aber in jedem un erer Bei piele werden wir vieles ver tehen können wenn wir nur an zwei Zu tände denken. Da ir un nur mit Z eizu Land y tem n befa en wird die Hamiltonrnatri die ir brauchen. genau 0 au ehen ie die, die wir im letzten Kapitel benutzt haben. Wenn die Hamiltonmatrix zeitunabbängig i t dann i en wir, da e zwei tationär Zu tände mit be timmten - und ge öhnljch r chiedenen - Energien gibt. Im Allgemeinen beginnen wir jedoch un ere Unte ucbung mit einem atz on Ba i zu länden, die nicht ilie e stationären Zu tände ind, ondern Zu tände, die ielleicht irgendeine andere einfache phy ikali che Bedeutung haben können. Dann erden die tationären Zu tände die e Sy tern durch eine Linearkombination die er Ba i zu lände darg teUt. Zur Erleichterung vollen ir die ichtigen Gleichungen au apitel 9 zu ammenfas en. Die ur prunglich ge ählten B i zu tände eien 11 > und 12) . Dann wird irgendein Zu tand 11ft) darge teilt durch die Lin arkombination

11/1)

=11) UI t/t > + 12) {211/1) =11 >CI + 12) C2 •

Di Amplituden i omit ferentialgleichungen

dC-' ili dt

ir ent\ eder CI oder C2 meinen), erfüllen die beiden linearen Dif-

= L H.·C· I)

(10.1)

)'

00.2)

i

wobei

wohl; al auch j die Werte I und 2 annehmen können.

enn die Element der Hamiltonmatri Hjj nicht on t abhängen, haben die beiden Zu lände mit b timmt r Energie (die tationären Zu rände), die wir

184

nennen, die Energien

(

H 11

-

2

H22 )2 + H H 12

21'

10.3)

Die beiden C' für j den die er Zu tände hab n die eibe Zeitabhänoigkeit. Di Zu land vektoren I J) und I [J ) . die zu den tationären Zu tänden gehören, ind mit un er n U pfÜngli hen Ba i zu länden 11) und 12) verknüpft durch

11)

= Il)a, + 12)a2

I JI ) = 11) a~ + 12) Die Q'

IOA)

a; .

ind komplexe Kon tanten, die folgende Glei hungen rfüll n:

la l + lazl2 = 1, GI Rn

-a = ----='---E - H ' 2

J

la~lz + la)~

,

al

a;

(10.5

ll

= 1,

Rn = ----=-

10.6

EI/- H 11

enn H II und H_ 2 gleich ind - agen wir, beide ind leich Eo - und HL itEJ=Eo + .EIJ=Eo unddieZutändelJ) und 111) indbeond

11)

= ~[Il) -1 2 )],

I 11)1 = ~[I1) + 12)].

=H_, =- , dann einE h:

1 .7

un woUen wir die e Ergebni e benulzen, um ein Anzahl inrer Chemie und Phy ik zu di kutieren. Da er te Bei piel i t Ion de Ein po itiv iom ierte Wa er toffmolekül be reht au zwei Protonen. um die i h in EI klIon herum hlängelt. enn die heiden Pr tonen ehr weit au inander li gen. 1 h Zu tänd ürden wir dann für die e tern erwarten? Die Antwort i t ganz klar: Da Elektron wird nahe an einem Pr lon bl' TI und in e toffatom im niedrig ten Zu tand bilden, und da andere Pr ton wird all in al po in Ion verbleiben. enn dah r die b iden Protonen weit entfernt ind. können \ 'r un ein n ph ikli hen Zu tand vor tellen, in dem da Elektron an ein der Pr ton ß .,ang bund n' i t. E gibt offenbar ein n anderen Zu tand, der zu die m mmetri hit, in dem da I ktr n nah i dem anderen Proton i t. und da er te Proton ein Ion i l. Die e beid n wollen ir al un re B i zu tänd annehmen. und wir wollen ie 11) und 12) n nn n. ie ind in Fi . 10-1 kizziert. atürlich gibt etat ächlich viele Zu tände für ein EI ktron in der äh in Pr t n ,

1 5

12)

•

Fig. 10-1: Ein atz on Basi zu tänden für zwei

Pr tonen und ein Elektron.

weil die Kombination al irgendeiner der angeregten Zu tände de as er toffatom orliegen kann. Jetzt ind \! ir an die r i Izahl der Zu tände nicht intere siert. Wir ollen nur die ituation betrachten bei d r da a er toffatom im niedrig ten Zu tand - in einem Grundzu tand - i t, und wir" ollen im ornent den Spin de Elektron außer Acht la en. Wir können einfach annehmen. da da Elektron bei allen un eren Zu tänden einen pin läng der z-Ach e nach "oben" hat t. n 13,6 lektr nen olt, um da Elektron on einem as ertoffatorn zu entfern n. olan di bei den Protonen des Ion de Wa er toffmolekül weit entfernt ind. braucht man ungefähr b n 0 iel Energi - a für un ere gegen ärtigen Betrachtungen ein groß r nergiebetrag i t -, um da EI ktron irgendwo in die ähe der Mitte zwi chen den Protonen zu bringen. Kl i ch i t e daher für da Elektron unmöglich on einem Proton zum nd ren zu pringen. In d r Quantenme hanik i t e jedoch möglich -, enn auch nicht ehr \! ahr cheinli h. E gibt für das Elektron eine kleine Amplitude ich on einem g, n. 1 er te äherung wird dann jeder un erer Ba i zu tände 11) Proton zum anderen zu b und 12) die Energie Eo haben. die genau gleich der Energie von einem Wa er toffatom plu einem Proton i t. Ir könn n di Hamilton chen atri elemente H II und H?? beide näheruna wei e glei h Eo etz n. Die b id n and r n atri elemente H'2 und H21 , die die Amplituden für d le tran ind, h'n und h r zu geh n, w rd n wir ieder aI -A chreiben. Si hen da die da lb piel i t, da ir in den letzten beiden Kapiteln ge pielt haben. Wenn wir die Tat ache außer A ht la en das da Elektron hin und her pringen kann, baben wir z ei Zu lände mit g nau d r glei hen Eneraie. Die e Energie wird jedo h durch die ahrcheinlichkeit d da I ktron hin und her g h n kann. in zwei Energieni eau aufge palten _ j größ r die ahr h inlichk it für den "berrrang i t de to größer i t die Auf paltung. Die t m ind daher Eo + A und Eo - A, und die Zu tände die die e b iden EnerO'ieni eau de b timmt n En raien haben ind dur h die Gin. Cl 0.7) gegeben. Au un er r L" ung e ehen wir da , enn in Proton und ein Was er toffatom irgendwo nahe zu amrn ngebracht erden. d EI ktron ni ht bei einern der Protonen bleiben ondern zwi chen den b iden Protonen hin und her prinoen wird. enn e bei einem der Protonen beginnt wird e Z\l ihn d n Zu tänden 11) und 12) hin und her 0 zillieren - und dabei eine zeitlich eränd rliehe L" ung ergeb n. m die Lö ung mit der niedrig ten Energie zu erbalten (die ich nicht mit der Zeit· eränd rt) i t erforderlich, da y tem mit gleichen Amplituden kein bedeutend n agnelfelder gibt. \ ir werden di \ irkungen magneti eber m Kapitel be prechen und in Kapitel 12 die ehr kleinen Au wirkung n de Spin

186

für da Elektron. bei jedem Proton zu em tarten zu la en. Bedenken ie d e nicht zwei Elektronen gibt - wir agen nicht, da e bei jedem Proton ein Elektron gibt. E gibt nur ein Elektron und es hat die gleiche Amplitude - on der Größe 1/{2, in jed r von heiden Po itionen zu ein.

un hängt die Amplitude A, da ein Elektron. da nahe bei dem einen Proton i t. zu dem anderen geht, on dem Ab tand zwi ehen den Protonen ab. Je näher die Protonen zu ammen ind desto größer i t die Amplitude. Sie erinnern ich da ir in Kapitel 7 über di Amplitude für ein Elektron prachen, eine "Potentialbarriere zu durchdringen', a e kl i ch ni ht tun konnte. Wir haben hier die eIben Verhältni e. Die Amplitude, das ein Elektron hindurehkommt, nimmt ungefähr exponentiell mit der Entfernung ab - be' großen Entfernungen, Da die Übergang wahr eheinliehkeit und damit A gröBer werden, wenn die Proton n enger zu ammen iod, wird der Ab tand der Energieni eau auch gröBer werden. enn das y tern im Zu tand 11) i t, wäeh t die Energie Eo+A mit kleiner werdendem Ab tand. Die e quantenm chani ehen Effekte bewirken daher eine abstoßende Kraft die be trebt i t die Protonen au einanderzuhalten. Wenn das y tern anderer eit im Zu tand 111) i t, nimmt die Ge amtenergie ab, wenn die Protonen näher zu ammengebraeht werden, e gibt eine anziehende Kraft die di Protonen zu arnmenzieht. Die Änderung der beiden Energien mit dem Ab tand z\ i ehen den beiden Protonen oUte etwa wie in Fig. 10-2 gezeigt au ehen. Wir haben damit eine quantenrn chani h Erklärung für die Bindung kraft, die das H2 -Ion zu ammenhält. E

I

I I I I

I I

I I

I \ \ \

,, ...

.... ~

D Ab tand

zwi ehen den Protonen

Fig. 10-2: Die Energien der zwei tationären Zu rände de H2 -Ion al Funktion de b tande ziehen den zwei Proton D.

Wlf haben jedo h eine Sache verge en. Zu ätzlieh zu der eben be hriebenen Kraft gibt e auch eine elektro tati che Ab toBung kraft zwi ehen den beid n Proton n. enn di b id n Protonen weit entfernt ind - wie in Fig. 10-1 -, ieht da ,nackte Proton nur in v ma hlä igbare elektro tati ehe Kraft. Bei ehr kleinen Ab tänden jedoch b ginnt d ,.na kte" proton in .Innere der Elektronen erteilung zu gelangen - das heißt, e i r im Dur h hnitt näher am Proton al am Elektron. E tritt dort al 0 eine zu ätzlieh elektro tati eh En rgie auf. die natürlich po itiv i 1. Diese Energie - die ich auch mit dem b tand veränd rt - 01, in Eo inbezogen erden. Für Eo oUt n wir daher etwas wie die ge trich Ite Kurve in ig. 10-2 ann hrnen, die für Ab tänd , die kleiner al der Radiu eine Wa er loffatorn ind, r: h an I igt. Die UmklappenergieA oUten wir zu die em Eo addieren und ubtrahieren. enn y"ir di tun,

1 7

0.3

0.2 0.1

-0.1 Fig. 1093: Die Energieniveau

2 D(

3

4

de Hi -Ion als Funktion de Protonenab tande D. (EH = 13.6 e .)

werden i h die Energien EI und Eil mit dem Ab tand D z i hen den Protonen ändern, wie in ig. 1 -3 gezeigt. [In die r figur hab n wir die Eraebni e einer au führlicheren Berechnung aufgetrag n. 0 r Ab land z i hen d n Protonen i t in Einheiten on 1 (10-8 cm) anO"egeben und die Energie die üb r ein Proton plu ein Wa er toffatom hinau geht i t in Einheiten der Bindung n rgie d a er t ffatom angegeben - der 0 genannten ,,Rydberg '-Energi , 13 6 e.] ir hen da d r Zu tand I II) einen Punkt mit minimaler nergie hat. Die wird die GI ichgewich t llung - d r Zu tand ni drig ter Energi - für da H>Ion ein. Die Energie in die em Punkt i t niedri er al di En r2ie eine getrennten Proton und a erstoffatom . Das tern i I daher gebunden. in einzelne Elektr n bewirkt den Zu arnmenhalt der beiden Protonen. in Chemiker urd e ein ,Einel ktron nbindung" nenn n. Die e Art "on hemi eher Bindung wird auch oft "quantenm ehani ehe Re onanz" genannt (in nalogie zu d n z i ek ppelt n Pendeln die wir orher b chrieben haben. Die hört ich a r irkli h m tri" r an al e i t, i t nur dann eine, Re onanz", enn ie mit chlecht g äWten B i zu länden anfangen - wie ir e auch getan haben! enn iden Zu tand I J1) g n mrn n hätt n härt n ie d n Zu tand ni drig ter Energie - das i t alle . al

ir können auf in ander Art in ehen, warum in Proton und ein a er toffat m haben oIlte.

Ich ein Zu tand eine niedrigere Energie

n in Oll z i Protonen i t mit einem fe ten aber b nd. ie ennn m i h, d b i ein m inz In n Proton d Elektron auf Grund d n timmtheil prinzip ,au g breitet' i 1. E U ht ich einen in lweg. Einerei er trebt e ein niedrige Coulomb-Potelltial und anderer eit mö hte e ni ht in einen zu kleinen Raum eingeengt werd n, da die eine zu hoh kinetische nergi erg ben würd ( egen der nb timmtheit r lation p LU ~ Ii. enn nun zwei Protonen da iod i t mehr Raum lektr n eine ni drige potentielle Energie hab 0 kann. E kann ich orhanden in d m d au breiten - und dabei ein kin ti h Energie Dingern -, ohne eine potentielle Energie ndergebni i t ein niedrigere Energie al Proton und ein Wa er toffatom. zu erhöh n. D arum hai dann der andere Zu tand 11) in höher Energi ?

188

Beachten Sie. das die er Zu tand die Differenz der Zu tände 11) lind 12) i 1. e en der yrnmetrie on 11) und 12) mu die Differenz eine er chwindende mplitud haben. d Elektron auf halbem ege zwi ehen den beiden Protonen zu finden. Die b d met, d d Elektron räumli h etw mehr einge chränkt i t, wa zu einer höheren Energi führt. Wir oUten agen. da un ere angenäherte Behandlung de Hi-I n al Z, eizu tand tem ganz cbön zu ammenbricht, obald die Protonen 0 nahe zu ammen kommen. ie i e im Minimum der Kurve on Fig. 10-3 ind, und daher kein n guten en für die irkli he Bindung energie liefern wird. Bei kleinen Ab tänden ind die Eneraien der b iden .,Zu tände' , die \ ir in Fig. 10-1 angenommen haben, nicht wirklich gleich Eo; e b darf hier einer eingehenderen quantenmechani ehen Behandlung. Angenommen wir fragten nun. wa ge ehehen würde, wenn ir an teile von z ei Protonen zwei er chiedene Objekte hätten - wie zum Bei pieI ein Proton und ein p ilhe Lithiumion (immer noch haben beide Teilchen eine einzige po itive adung. In olch ein m Fall ären die beiden Elemente H II und Hn der Harniltonmatrix nicht mehr gleich; ie wären tat ächlich ganz ver chieden. enn e ich ereignen oltte da die Differenz (H I ! - H22 ) dem ab oluten Betrage nach viel größer al A = -H IZ i t, dann i t die Anziehung kraft ehr eh a h, ie wir auf folgende Art ehen können. Wenn wir H 12H 21

Wenn B II

-

= A 2 in die GIn. (10.3) ein

etzen erhalten

ir

Rn iel gröBer al A 2 i t, i t die Quadratwurzel fast genau gl ich

Die beiden Energien ind dann

A2

EI = H I1 + - - - (R II - Hn )

A2

(10. )

Eu =H~ - - - - (H ll - Hn ) Sie ind nun fa t genau die Energien H 11 und H Z2 der einzelnen Atome die nur lei ht dur h die Urnklappamplitude A au einanderge toßen ind. Die Energiedifferenz EJ

-

Eu i t

Der zusär-liche b tand dur h da Umklappen de Elektron i t nicht mehr gl i h 2A; r i t um den Faktor A/(H11 - H22 ) kleiner, den wir jetzt al ehr klein gegen ein annehm n. U hit die

19

bhängigke'( \' n Ei - Eil \

TI

d m

bLand d rb iden Kerne iel chwächer a1 beim H2 -Ion rringert. ir können jetzt er Lehen, arum lekül n im llgemeinen ehr h acb i t.

[n un rer Theori de H2 -1 n hab n wLr ine Erklärung für den hani mu otde t, dur h den ein EI klfon. d z ei Proton n uge rdnet i t tat ä hlieh eine nziehung kraft zwi ehen den id n Pr t n n b wirkt die auch dann orhanden ein kann enn die Protonen eil entfernt iod. Di nzi hung kratt lammt au der verringerten Energie de y tem die darau folgt. d da I ktron die ögliehkeit hat, on einem Proton zum anderen zu pringen. Bei olch ein m prung we h eh d tem on der nordnun a er toffatom Proton) zu der Anordnung Proton, a er toffatom) der klappt zurück. ir können den Proze mboli eh chreib n al

(H, p)

.= (p. H).

Die Ener ie, er hiebun inf Ige die Proze e i t proportional der Amplitude A, dein Elektron, de en n rgi - ~ Hit ine Bindung energie im Wa er toffatom) von einem Proton zum and ren üb rg h n kann. Bei großen nt~ rnung n R z\ li ehen d n beiden Pr ton n i t da elektro tati ehe Potential de E1ektr n im größten Teil d Raum , urch den b im prung gehen mu ,beinahe null. In die em Raum be gt ich da Eie rr n I 0 beinah ie in freie 11 ilchen im I ren Raum - aber mit negativer Energie! 1m Kapil 13 [GI. ( .7)] haben, ir ge ehen, da für ein Teilchen mit b timmter Ener ie di mplirud, von einem Ort zu einem um den Ab tand r entfernten anderen On zu geh n. pr portional i t zu

r obei p d r Impul i t. d r d r b timmt n nergi nt pricht.]m orliegenden Fall wendung der nichtrelativi ti h n Fonn I) i LP geg ben dur h

er-

., JT 2m

=-\

p

Die bedeutet. d

D

andere ir

(10.9)

H'

In

IlTIa

inär Zahl i t

urzel orzei h n eroibt hier kein n inn).

llten al 0 rwan n d.

ieh b i groß n

b tänd n R zwi ehen den beid n Prot nen

die mplitud A ür d H2 \ i e+J'IiiiW;/fIlR A~----

R

10.10

10 Andere Z\\'ei~lIs(Qnd s)' teme

190

erändem wird. Die Energiever chiebung infolge der Elektronenbindung i t proportional zu . E gibt daher eine Kraft. die die beiden Protonen zu ammenzieht. die - für große R - proportional zu der Ableitung von (10.10 nach R i t. Um oll tändig zu ein. ollten wir ab ehließend bemerken. da e in dem tem mit z\ ei Protonen und einem Elektron no h einen anderen Effekt gibt, au dem ich eine bhängigkeit der Energie von R ergibt. Wir haben ihn bi jetzt vemachlä igt, \ eil er gewöhnlich re ht unwichtig i t - eine Au nahme be teht nur für jene ehr groß TI b tände. wo die Energie de Austau chtenn A exponentiell zu ehr kleinen Werten abge unken i 1. Der neue fD kl. an den wir denken. i t die elektro tati ehe Anziehung zwi ehen Proton und a er toffatom, die ich eben 0 ergibt wie die Anziehung zwi chen einem geladenen und einern neutralen Objekt. Da nackte Proton erzeugt beim neutralen Wa er toffatom ein elektri che Feld 6 da ich \ i 11R 2 ändert). Da Atom wird polari iert und nimmt dabei ein induzierte Dipolmoment J.1 an. da proportional zu 8 i 1. Die Energie de Dipol ist J.16, \ a proportional zu 8 2 - der zu 1/ Jf - i t. E gibt daher in der Energie de Sy tem einen Term, der mit der vierten Potenz de Ab tande abnimmt. (E i t eine Korrektur zu Eo') Die e Energie fällt mit dem b tand lang amer ab al die durch (10.10) gegebene Ver ehiebung A; bei einem großen b tand R wird ie zu dem einzigen noch verbleibenden wichtigen Tenn, der eine Energi änderung mit R ergibt - und daher die einzige verbleibende Kraft. Beachten ie, d der elektro tati ehe Term für beide Ba i zu tände da eIbe Vorzeichen hat (die Kraft i t anziehend. daher i t die Energi negativ) und daher auch für beide tationäre Zu tände, während der Elektron nau tau ht rm A entgegenge etzte orzeichen für die beiden tationären Zu tände ergibt.

Kernkräfte

10.2

Wir haben ge ehen, da da Stern mit einem Was er toffatom und einem Proton eine Weeh el wirkung energie auf Grund de Au tau ehe de einzelnen EI ktron hat. die ich bei großen Ab länden R wie

R

(10.11)

ändert, mit a = ..J _mWH/h (Man pricht gewöhnlich von einem u lau h eine " irtuell n" Elektron , wenn d Eie tron - wie hier - über ein Gebiet pringen mu , wo e neg live En rgie hätte. Präzi er au gedrückt bedeutet ein "virtueller u tau eh' ,da da Phänom n eine quantenmechani ehe Interferenz zwi ehen einem au getau ehten und inem ni ht au g tau hten Zu tand enthält) un konnten wir un die folgende Frage teilen: 1 t e möglich, d . äft z\ ihn anderen TeiJchen einen analogen Ur prung haben? ie i l e zum Bei pi I mit den K mkräften ziehen einem eutron und einem Proton oder zwei Protonen? Um die atur d r K rnkräft zu erklären ehlug Yukawa ver ueh wei e vor, da die Kräfte zwi ehen z\ ei ukl onen von einem ähnlichen u tau cheffekt herrühren - nur ind ie in die m Fall nicht ine Folge de virtuellen u tau ehe eine Elektron, ondern eine neuen Teilch n ,d er, e on" nannte. Heute würden wir Yukawa Me on mit dem 7T-Me on (oder ..Pion") identjfizi r n, d b i Zu ammen tößen mit hoher Energie von Protonen oder anderen Teilchen en teht.

191

10.2 Kernkräfte

ir \\ oll n un al ei pi I an hen. \ a für eine Kraft wir beim u tau eh eine po ltJ\'en Pion (1r ) der a e 111 zwi hen ein m Proton und einem eutron erwarten würden. Eben 0 wie ein a. er 1 ffal ~ HO in ein Proton p'" übereehen kann, indem e ein Elektron e- abgibt.

(10.L) kann ein Proton p in

in

ulron n° überg hen. ind mein

1r -

e on abgib!:

(10.13) enn wir al0 ein Proton b der hab n, k nn da Proton vom eutron bei b ab orbi wirkung energie de ZweiPionau lau h abhängt - eb haben.

i a und ein eutron bei b haben. die den Ab tand R voneinanzu einem utr n werd n, indem ein 1r emittien, da dann rt \-vird und e in ein Pr ton erwandelt. E gibt eine Weeh elukleon n-(plu Pion-) y tem . die von der Amplitude A für den n 0 wie ir e für den Elektronenau tausch im Hi -Ion gefunden T

1m Proz (l0.12 i t die Energie de HO-Atom um WH kleiner al die de Proton (wenn man nichtrelali i ti ch rechnet und die Ruheenergie II1c2 de Elektron \ eglä t). Da Elektron hat daher negati e killeti he Energie - oder imaginären Impuls. wie in GI. (10.9). Bei dem Kernproz (10.13) hab n Proton und eutron fa t glei he Ma e, daher wird das 1r die Gesamtenergie null hab n. Di Beziehung z\ i hen der Ge amtenergie E und dem Impul p für 111.7 i t ein Pion der a "l

E-

= p1

Da E null i imaginär:

p

t

= im

"l

•

- + IW11 c" .

(oder zuminde

t

vemachlä igbar im V rgleich zu mn)' i

1

der Impul

ieder

c.

enn wir die eiben rgument b nutz n, die ir für die mplitude angaben, da ein gebundene Elektron die p rr hi hl im Raum zwi ehen z ei Protonen durchdringt, erhalten wir im Fall d r K rne eine u tau champlilude A. die ich - für groß R - verhalten ollte \ ie

R

(lO.l~)

Die e h Iwirkun en p rlional zu und variiert daher auf die glei he Art. lf erh 1I n ine Energi ariati n in der F nn d 0 CJ nanl1l n Yukawa-Potential ziehen z ei ukle nen ... brigen rhielten ir di eibe Formel früher dir kt au d r Differentialgl i hung für die B \ egung ein Pion im fr ien Raum [ i he Kapil 12 , Bd. I I, GI. (2 .1 )]. Der lben B ei führung f 19 nd, können wir die Wech elwirkung ziehen zwei Protonen (oder z\ ihn zwei eutronen di kutieren, die ich au dem Au tau h eine neurralell pion n'l) ergibt. Der grundlegende Proz i t jetzt (lO.l~)

/0 Andere Zwei-u landssysteme

192

Ein Proton kann ein virtuelle emittieren, e bleibt dann aber immer no h in Pr ton. enn wir zwei Protonen baben. kann Proton o. 1 ein virtuelle Jtl eminieren. d von Pr t n 0._ ab orbiert wird. Am Ende haben wir immer noch zwei Protonen. Das i t et\\ a ander al beim H~ -Ion. Dort ging da HO nach Emi ion de Elektron in ine andere Be chaffenheit - da Proton - über. un nehmen wir an. da ein Proton ein Jtl emittieren kann. ohne einen Charakter zu erändern. Solche Proze e wurden tat ächlich bei hochenerg ti chen .rößen b ba htet. Der Proze verläuft analog zu der Wei e. wie ein Elektron ein Phoran emittiert und do h al Elektron verbleibt e

-7

e + Photon

(10.16)

Wir . ehen" die Photonen im Elektron nicht, bevor ie emittiert werden oder nachdem ie aborbien worden ind. und ihre Emi ion ändert die., atur" de Elektron nicht. Wenn wir auf die beiden Protonen zurückkommen, dann gibt e eine e helwirkung energie, die von der Amplitude A herrührt, das ein Proton ein neutrale Pion emittiert. da ich (mit imaginärem Irnpul ) zu dem anderen Proton bewegt und don ab orbiert wird. Die e Amplitude ist wieder proportional zu (10.14) wobei mir die Ma e de neutralen Pion i t. Genau die eiben Argumente ergeben eine gleiche Wech elwirkung energie für zwei reutronen. Da die Kernkräfte (abge ehen von elektri ehen Effekten) z i chen eutron und Proton. zwiehen Proton und Proton und zwi ehen eutron und eutron gleich ind, folgern wir, da die Mas en der geladenen und neutralen Pionen gleich ein ollten. Experimentell ind di a en tat ächlich fa t ganz gleich. und der kleine nter chied beträgt etwa 0 viel \ iman na h den elektri chen Selb tenergie-Korrekturen erwarten würde (siehe Kapitel 2 , Bd. Ir). E gibt andere Arten von Teilchen - wie K-Me onen - die z i ch n zwei ukJeonen au getauscht erden können. E i t auch möglich, da zwei Pionen zur eleiehen Zeit au getau ht werden. Aber alle die e anderen au getau chten ,Objekte" haben eine Ruhema m r' die größer al die Pionenmas e In" i t, und führen in der Au tau ehamplitude zu ~ rmen. di i h ändern wie

R Die e Terme klingen mit wach endem R chneller ab al der Ein- e on-Term. iemand weiß ne heute. wie die e Terme mit höherer Ma e zu berechnen ind. ber für genügend groß on R bleibt nur der Ein-Pion-Term übrig. Und tat ächlich zeigen jene E perim nte. die die Kemweeh eh irkungen nur b i großen Ab Länden enthalten, da die e h eh irkung energie o i t, wie die Theorie de Ein-Pion-Au tau che orau agt. In der kla i chen Theorie der Elektrizität und de agneti mu ind die I ktro tati ehe Coulomb- e helwirkung und die Lichtau trahJung einer be chleunigL n Ladung eng erknüpft - beide folgen au den axwell-Gleichungen. Wir hab n in der QuanL mheori g eben. da das Licht al Quamenanregungen der harmoni chen ch ingung n de kJa i chen elektromagneti ehen F lde in einem Ka ten darge teilt werden kann. And rer eit kann die Quantentheorie aufgebaut werden, indem man da Licht dur h Teilchen-Photon n be ch~ ibr, die der Ba e- tatl tik gehorchen. Wir haben in Ab chnitt 4.5 he orgehoben. d die beid n

10.3 Das Wa er roffmolekiil

193

alternat i n tandpunkte immer id mi he orher agen ergeben. Kann der zweite tandpunkt voll tändig durchgeführt \i rden, da er alle I ktromagnetischen Effekte erfa t? enn wir in be onder da. leklr maeneti he Feld allein durch Bo e-Teilchen - da heißt dur h Phot nen - be chreiben \....ollen. \\' rau f Igt dann die Coulomb-Kraft? om "Teilchen landpunki"' u kommt die oulomb- ech elwirkung zwischen z\ ei Elektronen dureh den IIS/ou eh eille \';rrllellell PhOfOlIS zu lande. Da eine Eleklron emittiert ein Photon - wi ln der Reaktion (10.16) -, da zu dem zweiten Elektron üb rgeht. \ 0 e in mkehrung der eiben Reakti n ab rbi rt \ ird. Die Wech el wirkung energie wird wieder durch eine armel wie (10.1'+) g geben, wob i j tzt aber 11111 dur h die Ruhema e de Photons er etzt wird - die null i 1. Dah r creibl der virtuelle u tau ch eine Photon zwi chen zwei Elektronen eine e h 'elwirkung n rgie. di i h einfach umgekehrt zu R, dem b tand zwi hen den beiden Elektr nen. ändert - da i t die normale Coulomb-Energie! In der ..Tei1chentheorie" de Elektroma... n li mu b \ irkl d r u tausch eines virtuellen Photon alle Phänomene der Elektro talik.

10.3

Da Wa er toffmole ül

AI nä h le Z\ eiw land lern \ erden wir da n ulrale Wa erstoffrnolekül H"J betrachten. E i t natürli h chwieriger zu \' r tehen, weil e zwei Elektron n hat. Zu Beginn Überlegen ir un \ ieder. a g hieht. wenn die beiden Protonen gut getrennt ind. ur mü en wir jetzt zwei Elektronen hinzufügen. m i \ rf Igen zu können, werden wir da eine on ihnen , Elektron a' und da andere "Elektron b" nennen. Wir können uno wieder zwei mögliche Zutände vor lellen. Die ine öglichk ir be l ht dann, da ,.Elektron a" beim er ten Proton und "Elektron b"' beim zeit nil, wie in Fi e . 10-'+ gezeigt. Wir hab neinfach z\ ei a er toffa(Ome. Wir w llen di n Zu land 11) nennen. E gibt auch eine andere Möglichkeit: "Elektron b" i t beim er t n Prolon und, Elektron a" b im zweiten. Wir nennen die n Zu tand 12). Wegen der mmetri hen erhältni e alllen die beiden M"glichkeiten energeti eh gleichwertig ein: wie wir aber ehen erd nil die Energie de S tem nicht einfa h die Energie der beiden Wa er toffatome. ir ollren erwähnen. da e no h iele andere Möglichkeiten gibt. Zum Bei piel kanm .,EI ktron a" in der Jähe de er ten Proton ein und "Elektron b" könnte in einem anderen Zu tand im Berei h de selben Proton ein. Wir la en olche Fälle unberückElektronen

11 ) Protonen

12)~

Fig. 10·4: Ein atz on Ba i zu tänden für da H2 -Molekül.

194

sichtigt, da ie icher höhere Energie haben (wegen der rarken Coulomb- b lOßung zwi ehen den beiden Elektronen). Bei größerer Genauigkeit mu ten wir olehe Zu tände rnitberüek iehtigen. Da We entliehe der molekularen Bindung können \ ir aber erhalten. wenn \ ir nur die beiden Zu tände von Fig. 10-4 betrachten. In die er äherung können wir jeden Zu tand dureh Angabe der Amplitude (11 f/J ) , im Zu rand 11) zu ein und der mplilude (21 dJ ) , im Zu tand 12) zu sein be chreiben. Mit anderen Worten, der Zu tand ektor 1f/J ) kann ge chrieben \ erd n al die Linearkombination

If/J)

= LU) UldJ). ,

Um weiterzukommen, nehmen wir wie gewöhnlich an, da e eine mplitude A gibt. da ich die Elektronen durch den dazwi chen liegenden Raum bewegen und ihre Plätze au tautem aufge palchen können. Die e Au tau chmöglichkeit bedeutet da die Energie de ten i t wie \ ir e bei den anderen Zweizu land ystemen ge hen haben. ie für da [on de Wa er toffmolekül ist die Auf paJtung ehr klein, wenn der Ab tand zwi ehen den Protonen groß i 1. Wenn ich die Protonen einander nähern, wäch t für die Elektronen die mplirude, hin und her zu gehen, 0 dass die Auf paltung größer wird. Die Abnahme de niedrigeren Energiezu rande bedeutet, das e eine Anziehung kraft gibt, die die tarne zu ammenziehr. Die Energieniveau steigen wegen der Coulomb-Abstoßung wieder an, wenn die Proton n ehr nahe zu ammen kommen. Das Endergebni i t, das die beiden tationären Zu Lände Energien haben die ich mit dem Ab rand wie in Fig. 10-5 gezeigt ändern. Bei einem b rand on etwa 0,74 Aerreicht das niedrigere Energieniveau ein Minimum, die i t der Proton-Proton- b tand de wahren Wa er toffmolekül .

0.2

Ol--t------===--=--

-0.2

-OA

' - - - ' - - - - ' - - L -_ _--I....----l._..l....._

o

2

D(

3

Fig. 10-5: Die Energieni eau d ver chiedene Protonenab tände D.

H2 Molekül für (EH = 13.6 e .)

un haben ie wahr cheinlieh an einen Einwand gedacht. as i t mit der Tat a he, d die beiden Elektronen identi ehe Teilchen ind? Wir haben ie, ELektron a" und ..EI ktr n b" genannt aber in irkli hkeit gibt e keine Methode, nach der man agen kann, el h elche i t. Und wir haben in Kapitel 4 ge agt, da bei Elektronen - di Fenni-Teil hen ind - di beiden Amplituden mit negativem Vorzeichen interferieren, wenn etwas durch u tau h der

19~

Elektronen auf zwei ver hieden nen ge ch hen kann. Da bedeutet: Wenn wir die beiden ich da orzeichen der mplitude umkehren. Wir haben jedo h Elektronen umbenenn n. mu eben gefolgert, da der g bundene Zu tand de Wa er toffmolekül (bei t = 0) ein würde

III > = -

I

2

(\1 )

12> ).

ach un eren Ge tz n au Kapitel 4 i t dieser Zu tand jedoch nicht erlaubt. Wenn Elektronen umbenennen, erhalten wir den Zu tand

ir die

I

...{i (12) +11»), und wir bekommen da

Ibe Y, rzeichen an Stelle de umgekehrten.

Die e rgumente ind richtig wenn heide Elektronen denselben Spin haben. E i t wahr, da ,wenn beide Elektronen den Spin nach oben haben (oder beide den pin nach unten), der einzige erlaubte Zu tand folgender i t:

1

1/) = ....[2(11) +12»).

Bei die em Zu tand ergibt ein Au tausch der beiden Elektronen

~(I1) -12»). wa , wie erlangt, -\ I) i 1. enn ir daher die beiden Wa er toffatome nahe aneinander bringen und die Spin ihrer Elektron n in die eIbe Richtung zeigen können ie in den Zu tand In und nicht Ln den Zu tand I II) gehen. Bea hten Sie aber, dass Zu tand 11) der höhere Energiezu tand i t. eine Energie hat a1 Funktion de Ab tande kein Minimum. Die beiden Was er toffe werden ich immer ab toßen und kein Molekül bilden. Wir folgern daher, da da Wa er toffmolekül mit parallelen Elektronen pin nicht be tehen kann. nd da i l richtig. Anderer eit i tun er Zu tand I il) für die zwei Elektronen vollkommen mmetri eh. Tatächlich bekommen ir, wenn wir ertau ehen welche Elektron wir a nennen und welche b. genau den eiben Zu tand zurück. In Ab chnitt 4.7 ahen wir, das zwei Fermi-Teilchen, wenn ie in dem eiben Zu tand ind emo-egenge etzten pin haben müssen. Daher mu das gebunden a er toffmolekül ein Elektr n mit Spin nach oben und ein mit Spin nach unten haben. Die ganze Angel genheit mit d m Wa er toffmolekül i t tat ächlich noch etwa komplizierter, wenn wir die Proton n pin berück ichügen wollen. E i t dann nicht mehr ri btig, ich da Molekül al Zweizu tand y tem vorzu teilen. Es sollte in WirkJichkeit al Achrzlltand y lern betrachtet werden - e cibt für jeden un erer Zu rände 11) und 12) ier mögliche ir die Spin ernachlä igten. Spinanordnungen - wir hab n un al 0 etwa kurz gefa t, a] Un ere End rgebni e ind jed h ri htig. ir finden, da d I' niedrig te n rgiezu tand - der einzige g bundene Zu tand - des H?Molekül zw i Elektr nen mit ento-egenge etzten pin hat. Der totale Spin-Drehimpul d~r

196

Elektronen i t null. Anderer eit mü en zwei benachbarte Wa er toffatom mit parallelen Spin - und daher mit einem Ge amtdrehimpul f1 in einem höheren (ungebundenen) Energiezu tand ein. die Atome toBen einander ab. Es be teht eine intere ame Korrelation zwi chen den Spin und den Energien. Damit wird noch einmal etwa eran chaulicht. a wir vorher erwähnt haben. nämli h da e eine ..Wech elwirkung energie" z i hen den beiden pin zu geben cheint. weil im Fall paralleler Spin eine höhere Energie vorliegt al im umgekehrten Fall. In gewi em Sinne könnten Sie agen. dass die pin eine anti parallele Ein teilung zu erreichen ver uch n. und wenn ie die tun. haben ie die ögli hkeil. Energie freizuma hen. nicht weil eine große magneti ehe Kraft vorhanden i I. ondem auf Grund de Au chließungpnnzlp . In Ab chnin 10.1 ahen wir, da man erwarten kann. da eine Bindung von zwei ver chiedenen Ionen durch ein ein;,elnes Elektron recht eh ach i t. Die gilt !Zieh! für di Bindung durch zwei Elektronen. Angenommen, die zwei Protonen in Fig. 10-4 wurden dur h ir end zwei Ionen (mit abge chlo enen inneren Elektronen haIen und einer einzigen Ionenladung) er etzt. und die Bindung energien eine Elektron an die beiden Ionen wären ver chieden. Die Energien der Zu tände 11) und 12) würden immer noch gleich ein, weil ir in jedem die er Zutände anjede Ion ein Elektron gebunden haben. Daher i t die uf paltung immer proportional zu A. Zwei-Elektronen-Bindung i t überall zu finden - je i t die häufig t . alenzbindung. Für chemi che Bindungen pielt gewöhnlich die e Wech el piel der beiden EI ktronen eine Rolle. Obwohl z ei Atome durch nur ein Elektron gebunden werden können. i t die \' rhältni mäßig ehen. weil e genau die richtigen Bedingungen erfordert. S hließlich möchten wir erwähnen, da da, wa wir früher üb r die rnachlä igung anderer möglicher Zu tände ge agt haben, nicht mehr richtig i t, wenn die En rgie der nziehung eine Elektron zu dem einen Kern viel größer ist al zu dem anderen. ngenommen, Kern Q (e kann auch ein po itive Ion ein) übe eine iel tärkere nziehung auf ein Elektron au al Kern b. E kann dann der Fall eintreten, da die G amten rgie auch dann no h ziemlich niedrig i t, wenn beide Elektronen bei Kern Qind und bei Kern b kein EI ktron i l. Di tarke Anziehung kann die gegen eilige Ab toßung der beiden Elektronen überkomp nieren. enn die zutrifft. kann der niedrig te Energiezu tand eine große Amplitude haben. b ide Elektronen bei a zu finden (wobei ein negati e Ion gebildet wird). und eine kleine mplitude, irgendein Elektron bei b zu finden. Der Zu tand ieht wie ein negali e Ion mit einem po itiven Ion au . So etwa ereignet ich tat ächJich in einem "ionogenen" Mol kül ie aCI. ie können ehen. das alle Ab tufungen zwi chen covalenter Bindung und ionogener Bindung möglich ind. ie können jetzt anfangen zu begreifen, wie e kommt, da viele au der Chemie am be ten mit Hilfe der quamenmechani ehen Be chreibung ver tanden werden kann

10.4

Da Benzolrnolekül

Die Chemiker haben hüb ehe Diagramme erfunden um komplizielle organi ehe leküle darzu teilen. ir werden jetzt ein der intere ante ten di kutieren - da in Fig. 10-6 gezeigte Benzolmolekül. E enthält ech Kohl n toff- und ch Wa er roffatome in ymrn tri her nordnung. Jeder Strich im Diagramm teilt ein Elektronenpaar mit ntgegeng tzten pin dar, die ihren 0 alenten Bindung tanz au führen. Jede Wa er toffatom lie ert ein Elektron und jede Kohlen toffatom liefert vier Elektronen. um die Ge amtzahJ der 30 dann nthalt-

10.4 Da Ben-o/mo/ekiil

197

H I

H

"'"

-:/

"'-

C

c"

H

11

c H

"

c ~

"-

./

C

H

I

Fig. 10-6: Da' Benzolmolekül C6 H 6 .

H

nen Elektronen zu bilden. CE gibt noch zwei weitere Elektronen nahe beim Kern de Kohlentoff die die er t oder K- haIe bilden. Die e werden nicht gezeigt, da ie 0 fe t gebunden ind da ie ni ht pürbar an d rc val nten Bindung beteiligt sind.) Jeder Strich in der Figur teilt dah r ein Bindung oder ein EI ktronenpaar dar, und die doppelten Bindungen bedeuten da e -lI'ei Paare \'on Elektron n abwech Ind zwi ehen Paaren von Kohlen toffatomen gibt E gibt ein Geheimni um die e Benzolmolekül. Wir können berechnen, welche Energie erforderli hein ollte, um die chemi ehe erbindun o aufzubauen, \ il nämli h die Chemiker die Energien on er chi d nen V rbindungen, die Teile de Ringes enthalten, gerne en haben - ie kennen zum Bei pie I die En rgie einer Doppelbindung au der Unter uchung de Äthylen und 0 \ eiter. ir können daher die Ge amtenergie, die wir für da Benzolmolekül erwarten \ ürden, u rechnen. Die wirkliche Energie de Benzohinge ist jedoch viel niedriger. al olch eine Rechnung ergibt; er i t fe ter gebunden. al wir e au einem 0 genannten ..unge ättigten Doppelbindung tem" chließen würden. Ein Doppelbindung y tem. da nicht al olch ein Ring vorliegt, \ ird 0 \ "hnlich hemisch leicht angegriffen, weil e relativ hohe Energie hat - die 0 pp Ibindung n können lei ht durch ddition anderer Wa er toffe aufgebr ehen werden. ber im B nz I i t d r Ring recht dauerhaft und chwer aufzubrechen. Mit anderen orten, da B nzol hat in j I ni drigere Energie al man aus dem Bindun et bild errechnen \ ürde.

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H

H

I

I

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11

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C 11

I

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Fig, 10-7: Zwei

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""'Br

H/

"Br C

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.........

I

I

H

H

c ""'Br

"gli hkeiten für Ortho-Dibrombenz I. Die beiden Bromalome könnten dur h eine Einfachbindung oder durch eine oppelbindung eetrennl sein.

10 Andere 21~'eb{ randssysteme

198

Dann i [ da noch eine andere geheimni volle Sache. ngenomm n. \\ ir er etzen zwei nebeneinander liegende a er toffe durch Bromatome um Ortho-DibrombenLol herzu tellen. Man kann die auf zwei Arten tun. wie in Fig. 10-7 gezeigt. Die Bromatome könnten an den entgegenge etzten Enden einer Doppelbindung ein, wie in Teil (a der Figur gezeigt. oder ie könnten an den entgegenge etzten Enden einer Einfachbindung ein. wie in (b . Man würde denken, da Ortho-Dibrombenzol zwei ver chiedene Formen haben ollte, ab r d hat e nicht. E gibt nur eine 01 he Chemikalie. t Wir wollen die e Geheimni e jetzt lö'en - und vielleicht haben ie chon rraten wie: Indem wir natürlich bemerken. da der .,Grundzu land" de Benzolringe in \ irkli hkeit in Zweizu rand y tem i t. Wir könnten un vor teilen da die Bindungen im Benzol in jeder der beiden in Fig. 10-8 gezeigten Anordnungen ein könnten. i agen: .,Sie ind d h b r wirklich gleich. ie ollten die eibe Energie haben:' Da ollten ie ta ächli h. nd au die em Grund mü en ie aJ ein Zweizu tands y tem unter ucht werden. Jeder Zu tand teIlt ine der andere Anordnung de ganzen Elektronensy tem dar, und e gibt eine mplitude A, d ganze Haufen von der einen Anordnung zur anderen überwech eIn kann - e gibt eine Chance da die Elektronen von dem einen Tanz zum anderen um pringen können.

H, 11 )

~

H

H

I

I C

C

C

C

I

11

C H

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/H

"-

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/'

C

c ,

H,

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C

C 12)

11

C H

/H

~

H/

I H

"-

-:::C I H

C

'H

Fig. 10-8; Ein SaLZ on Ba i zu länden für da Benzolmolekül.

Wie wir ge ehen haben, ent teht au die er Chance de m pringen ein gemi chrer Zutand, de en Energie niedriger i t. aJ man berechnen würde, wenn man jede der beiden Bilder in Fig. 10- getrennt betrachtete. Stattde en gibt e zwei tationäre Zu tände - einen mit einer Energie über und einen mit einer Energie unter dem erwarteten en. Dab r nt pricht d r wirkliche nonnale Zu tand (niedrig ter Energie) de Benzol keiner der in Fig. 10- gez igten Möglichkeiten. ondern er hat die mplitude 1/-{2 in jedem der gezeigten Zu tände zu ein. E i t der einzige Zu tand, der in der Chemie de Benzol bei normalen Temperatur n orliegt. Übrigen exi tiert auch der obere Zu tand, wir können agen da e ihn gibt, weil Benzol ein tarke Ab orption für ultra iolette Licht bei der Frequenz w = (EI - EIJ)/fr hat. Sie werden ich erinnern da beim Ammoniak. wo die hin und her pringenden Objekte drei Protonen waren der Energieab rand im Mikrowellenbereich lag. Beim Benzol ind die t ir vereinfachen elW zu tark. Ur pfÜnglich glaubten die Chemiker. das e lier Formen de Dibrombenzol geben mü te. Zwei Formen mit BromalOmen an benachbanen Kohl n toffatomen ( rtho-Oibrombenzol). eine dritte Form mit dem zweiten Bromatom am übernäch ten Kohlen toff (Mela-Dibrombenzol) und eine \ iene Form. bei der die Bromatome einander gegenüberliegen (Para-Oibrombenzol). Sie fanden jedoch nur drei Formen - e gibt nur eine Fonn de Onho-Molekül .

10.5 Farbstoffe

199

Objekte Elektronen. und da ie viel I ichter ind, i te für ie einfacher hin und her zu pringen. wodurch der Koeffizient A viel größer wird. Da Re ultat i t, da die Energiedifferenz iel größer i t - etwa 1.5 eV, a die Energie eine ultra ioletten Photon i r. t a ge hieht. wenn wir Brom ub tituieren? ieder tellen die beiden "Möglichkeiten" (a) und (b) in Fig. 10-7 die beid n ver chiedenen Elektronenkonfigurationen dar. Der einzige nter ehied i t. da die beiden Ba i zu tände, on denen wir au gehen, etwa verschiedene Energien haben würden. Der tationäre Zu land niedrigster Energie wird immer noch eine Linearkombination der beiden Zu tände notwendig machen. aber mit ungleichen Amplituden. Di mplitude für Zu tand 11) könnte etwa einen Wert wie -Y2/3 haben. während Zu tand 12) den Betrag -Y 113 hätte. Ohne weitere information können wir e nicht ieher agen. ab r bald die b iden Energien H 11 und Hn. nicht mehr gleich ind, haben auch die Amplituden 1 und C2 ni ht mehr den gleichen Betrag. Da bedeutet narürli h dass eine der beiden öglichkeiten in der Figur wahr cheinlicher i t al die andere, die Elektronen ind aber genügend bewegli h, 0 da e für beide eine Amplitude gibt. Der andere Zu tand hat ander Amplituden (etwa {l73 und -...)2/3), hegt aber bei höherer Energie. E gibt nur einen njedrig ten Zu tand und nicht zwei, wie die naive Theorie der fe ten chemj ehen Bindungen nahelegen würde.

10.5

Farb toffe

Wir \ erden Ihnen ein weiter hemische Bei piel für da Zweizustand phänomen geben .al in einem größ ren mol kularen Maß tab. Es hat mir der Theorie der Farb toffe zu tun. iele Farben - tat ä hli h die mei ten kün tliehen Farben - haben eine intere ame Eigen chaft; ie haben eine rt S mmetrie. Figur 10-9 zei t ein Ion eine peziellen Farb toffe, genannt Magenta, der eine purpurrote olekül hat drei Ring trukturen - on denen zwei Benzolringe ind. Der dritte Farbe hat. Da i t nicht g nau d lbe wie ein Benzolring. eil er nur zwei Doppelbindung n innerhalb de Ringe hat. Di Figur zeigt z ei gieiehem1aß n befriedigende Bilder, und wir würden errnuie gleiche I nergi n haben ollten. E gibt ab r eine gewisse Amplitude da all die ten, da Elektronen on einer nordnung in die andere um pringen könn n und dabei die Lage der "unbe etzten' tell an da geg nüberliegende Ende er chieben. Wenn 0 iele Elektronen dabei ind, i t die mklappamplitude etwa ni driger a1 im Falle de Benzol und die Energiedifferenz z ihn den beiden tationären Zu tänden i t kleiner. i ht d to eni(}er gibt e die übli hen zitationären Zu tände 11) und IlI), die die ummen- und Differenzk mbination der in der Figur gezeigten Ba i zu tände ind. E ergibt ich, da der Energieab tand on If) und I JJ) gl ich der Energie eine Photon im opti hen T as wir ge agt haben, i t etwas irrefLihrend. Die b rption von ultraviolettem Licht \ äre in dem Zweizu tandsystem, da wir fUr Benz I angenommen haben, ehr chwaeh. weil da Matrixelemem de Dipolmoment zwi ehen den beiden Zu länden null i t. [Di zwei Zu lände ind elektri h ymmetri eh. und daher i t in un erer Fonnel GI. (9.55) für die bergang wahrschemli hk.eil da Dipolmoment Ji null und kein Li ht wird ab orbien.] eon die die beiden einzigen Zu lände war n. mü te die Exi lenz de höheren Zu lande auf andere An gezeigt werden. Eine 011 tändigere Theorie de Benzol. die von mehr Ba i zu länden au gehl wie on jenen, die bena hbarte Doppelbindungen haben). zeigl jed h. das die \ irkli henlationären Zu tänd: de Benzol etwas ander ind al die, die \1 ir gefunden haben. Die re ulIierenden Dipolmomente erlauben, dass der bergang. den wir im Text erwähnt haben. durch die b orplion von ultra iolellem Licht aufuiu.

200

H,

-O-6==N~2 C

I~

11)

H~

==O=6c-o-

12)

I~

+

11)

12)

Fig. 10·9: Zwei Ba j zu tände für da M lekül de Farb toffe agenta.

Gebiet i t. enn man Licht auf da Molekül fallen lä t. gibt e bei einer Frequenz ein tarke Ab orption und e eheint leuchtend gefärbt zu ein. Darum i l e ein Farb toff!

ehr

Ein andere intere ante erkmal olch eine Farb toffmolekül i t. da in den beiden gezeigten Ba i zu länden der Mittelpunkt der elektri ehen Ladung an er hiedenen Orten liegt. Demzufolge ollte da Molekül durch ein äußere elektri ehe Feld tark beeinflu t werd n. Wir hatten einen ähnlichen Effekt beim Ammonialunolekül. Wir können e offen i htlich unt r Verwendung genau der eIben athematik unter uchen, vorau ge etzt wir kennen die Zahlen Eo und A. 1m Allgemeinen erhält man die e dur h Sammeln experimenteller Daten. on man mit ielen Farben Me ungen durchführt i t e oft möglich zu ermuten, \ a bei inem erwandten FarbmoleJ...iil ge chehen wird. Wegen der großen On ver chiebung de ,ittelpunkte der elektri ehen Ladung i t der Wert von J.i in der Formel 9.55) groß. und die ub tanz hat eine hohe Wahr heinlichkeit, Li ht der charakteri ti hen Frequenz 2A/ti zu ab rbieren. ie i t daher nicht nur gefärbt, ondem ehr kräftig gefärbt - eine gering ub tanzmenge ab orbiert viel Licht. Die m appge chwindigkeir - und damir A - hängt ehr empfindli h on der voll [ändigen trukrur de olekül ab. Durch Änderung von A kann die Energieauf paltung und damit die Farbe de Farb toffe geändert werden. Auch mü en die oleküle nicht vollkommen mmetri eh ein. ir haben ge ehen. da da eIbe Grundphänomen mit geringen bänderungen auch dann vorliegt. wenn eine kleine A ymmetrie da i t. 0 kann man die Farben er a modifizieren, enn man kleine A ymmetrien in die oleküle hineinbrinot. Zum Bei piel i tein anderer wichtiger Farb toff, Malachitgrun, dem Magenta ehr ähnlich, nur ind z ei der aer toffe durch eH3 er etzt. E i t eine andere Farbe, weil da A ver hoben und die mklappge chwindigkeit erändert i t.

10.6

Die Hamilton ehe Matrix für ein Spin-~- Teilchen in einem magneti ehen Feld

Wir möchten jetzt ein Zweizu tand y lern be prechen, an dem in Objekt mit dem pin ~ beteiligt i t. Einige von dem, wa wir agen werden, wurde chon in früheren apiteln behandelt. aber eine iederholung kann dazu beitragen, einige der kniffligen Punkte el klarer zu

10.6 Die Hamilton ehe Marrixfiir ein Spin-4-Teilchen in einem magnetischen Feld

201

machen. ir können un in ruhende Elektron al Zweizu tand ystem vor teIlen. ObwoW wir in die em b chniu über ,ein Iektron" prechen werden, wird das, a wir herau finden werden, für jedes pin-~-Teil h n gelten. ehmen wir an, wir wählten al Ba i zu tände 11) und 12) die Zu tände, in den n die --Komponente de Spin de Elektron +1i/2 und -1112 i t. Die e Zu tände ind natürli h die elb n, die wir in früheren Kapiteln (+) und (-) genannt haben. Um die chreib ei e die e Kapitel jed ch einheitlich zu halten nennen wir den "Plu ". pinzu rand Il)und den "Minu '-Spinzu tand 12)- wobei ich "plu" und .minu·' auf den Drehimpul in --Richtung beziehen. Ein möglicher Zu land l/t für da Elektron kann wie in GI. (10.1) be chrieben werden durch Angabe der mplitude CI' da das Elektron im Zu tand 11) i t, und der Amplitude c.l , das e im Zu tand 12) i L m die e Problem zu behandeln werden wir die Hamiltonmatrix für die e Zweizu tand tem kennen mü en - da heißt, für ein Elektron in einem magneti ehen Feld. Wir beginnen mit dem SpeziaJfall eine magnetischen Felde in z-Richtung. Angenommen. der eklor B härte nur eine --Komponente B,. Aus der Definition der bei· den Ba i zu tände das heißt. pin parallel und antiparallel zu B) wi en wir, das ie chon tationäre Zu lände mit einer be tinunten Energie in dem magneti ehen Feld ind. Der Zu tand 11)ent pocht einer nergie t -}1B~ und Zu tand 12)einer Energie +j1B:. Die Hamiltonmatrix mu in die em Fall ehr einfach ein da Cl die Amplitude, im Zu tand 11) zu sein nicht durch C2 beeinftu t wird und umgekehrt:

(l0.17)

In die em p zialfall i t die Hamilt nmatri H 11 H21

= -j1.B~1 = 0,

H 12

=0

H2_ = +j1.B:.

00.18)

Wir wi en al 0, ie die Hamiltonmatrix für ein magneti che Feld in :-Richtung au ieht. und wir kennen die Energien der tationären Zu tänd . un nehmen \l ir an, d Feld ei nicht in der z-Richtung. Wie ieht die Hamiltonmatrix au ? Wie ändern i h die Matrixelemente, wenn da Feld nicht in die -Richtung ei t? ir werden die Annahme machen, da e eine Art on uperpo ition prinzip für die Term der Hamiltonmatri gibt. Genauer ge agt wir möchten annehmen, da ich bei einer Überlagerung von zwei magneti hen Feldern die Terme in der Hami1tonmatri einfach addieren - enn wir da Hij für ein reine B~ und da H jj für ein reine Bx kennen, dann i t da H i · für B. und Bx zu ammen einfa h di' Summe. Die gilt icherlich, wenn wir nur Felder in ~.r ,

da e mit 00.2

überein 'timmt und auch

(10.29)

206

erfüHL Wie Sie wi en. ändert die Multiplikation von QI und a 2 mit einem willkürli hen Phasenfaktor nicht. an zieht e im Allgemeinen vor, die Gin. (1029) 'mrnetn cher zu ma hen. indem man beide mit e6 /2 multipliziert. Daher i t die gewöhnlich benutzt Form

a

I

= co -28 e- z....",/?- '

8

a = in - e 2

2

../?

"I' -

10.30)

'

und da i t auch die Antwort auf un ere Frage. Die Zahlen a I und Q2 ind die mplitlld n. ein Elektron mit Spin nach oben oder unten läng der :;-Ach e zu finden. \ enn \ ir \Vi en, da ein Spin bei und dJ in Richtung der Ach e zeigt. (Die Amplituden CI und C2 ind einfach a l und a 2 mal e-1E"lh.)

e

un bemerken wir etwa lntere antes. Die Stärke B de magn ti chen Felde er heint nirgend in (10.30). Da Ergebni i t offenbar da eIbe im Grenzfall, da B gegen null geht. Die bedeutet, da wir die Frage. wie man ein Teilchen, de en Spin in eine willkürliche Richtung zeigt darzu teIlen hat, gan: allgemein beantwortet haben. Die Amplituden von (10.30) ind die Projektion amplituden für Spin-~-Teilchen ent prechend den Projektion amplituden, die ir in KapitelS [GIn. C .38)] für Spin-ein -Teilchen angegeben hab n. ir önnen nun für gefilterte Strahlen on Spin-:}-Teilchen die Amplituden finden. da ie durch irgend in pezielle Stern-Gerlach-Filter gehen. Sei I +z) die Dar teilung eine Zu rande mit Spin nach oben läng der:;- ch e und 1--' ) die Dar teilung de Zu tande mjt Spin nach unten. Wenn I .J) einen Zu rand mit Spin na h oben läng einer;:.J - eh e dar tellt, die die Polarwinkel und 4J mit der:;- eh e bild t. dann erhalten wir in der Schreibwei e von Kapitel 5

e

(-z 1+-')

=

e r",. . /?-

in - e 2

.

(10."1)

Die e Ergebni e entsprechen dem, wa wir in Kapitel 6, Gl. (6.36 durch r in eeornetri Bewei führung gefunden haben. (Wenn Sie ich also ent chlo en han n, Kapirel6 au zula haben Sie nun jedenfall die we entE hen Ergebni e.)

he n.

Al un er leute Bei piel wollen wir un wieder ein an ehen, da \ ir eh on mehrfa h erwähnt haben. Betrachten wir da folgende Problem. Wir beginnen mit einem lektron. de en pin in eine gegebene Richtung zeigt, tellen dann ein magneti ehe Feld in :;-Ri htung 2- inuten lang an und dann ab. Wa i t der Endzustand? Wir wollen den Zu tand \ ieder dur h die Linearkombination I t1J) = 11) Cl + 12) C2 dar tellen. Bei die em Problem ind jedoch die Zutände mit be timmter Energie auch un ere Ba i zu tände 11) und 12) . Daher ändern i h CI und C2 nur in der Phase. Wir wi en, das gilt

und

Wir agten nun anfang. da der Elektronen pin in eine gegeb ne Richtung au g ci htet \ ar. Da bedeutet, das anfang CI und C2 zwei durch die Gin. (10.30 gegeb ne Zahlen waren.

10.7 Das Elektron mi/ pil/ in einem magneTi ehen Feld

207

achdem wir ein Zeitdauer T g .. artet haben. ind die neuen CI und C_ die elben zwei Zahlen multipliziert mit e ipB . TI /1 beziehung \ ei e e- ij1B,T //1. Wa für ein Zu tand i t da ? Da i t einfach. E i t g nau der eibe, ie \ enn der inkel c/J durch Subtraktion on 2/1B1 jfj geändert worden \l är und d r inkel un rändert g blieben wäre. Da bedeutet. das nach Ablauf der Zeit T der Zu tand IliJ) in Elektron dar teHt, da in eine Richtung orientien i t, die sich on der ur prünglichen Ri htung nur durch eine Drehung um die ~-Ach e um den inkel if> = 2J.1B.T /fi unter cheid t. Da die er inkel prop rtional zu T i t, können wir agen. das die pinrichtung mit der inkelg h indigkeit 2J.1B/fi um die ~-Aeh e prä-e ierr. Die e Ergebnis haben wir orher chon inige Male in einer weniger voll tändigen und au führlichen An be pro hen. J [zt hab TI \ ir eine voll tändige und genaue quantenmechani che Be ehreibung der Präze i n atomarer agn te erhalten.

e

E i t intere ant, d di mathemati chen Ideen, die wir gerade für da Elektron mit Spin in einem magneti ehen Feld unt ruht haben. auf jedes andere Zwei zu land y tem angewandt werden können. Da bedeut t. da durch mathemati ehe Analogie zum Elektron mit Spin jedes Problem über Z\ izu land 1 me rein geometri ch gelö t werden kann. Da geht folgendermaßen. Zuer t ver chieben Sie den Energienullpunkt 0 das CHI I + H 22 ) gleich null i t, 0 da al 0 H 11 = -H22 i L Dann i t jede Zweizu land problem formal da eibe wie da Elektron in einem magn ti hen Feld. ie br uchen nur -pB: mit H 11 und -J.1(Bx - iB) mit H n zu identifizieren. Ganz gleich, welche Ph ik ur prünglich vorliegt - ein Ammoniakmolekül oder wa immer - ie können e in ein m prechende Elektronenproblem über etzen. Wenn wir daher das Elektronenproblem allgemein lö en können, haben wir alle Zweizu tand probleme gelö 1. nd wir haben die allo-emeine Lö ung für das Elektron! Angenommen, Sie haben einen Zu tand mit dem Sie beginnen, der den pin "nach oben" in irgendeine Richtung hat, und Sie haben ein magn ti h Feld B, da in eine andere Richtung zeigt. Sie drehen einfach die pinrichtung um die eh e on B mit der \ ekroriellen Winkelge chwindigkeit w(t). die gleich einer Kon tanten mal dem ktor Bit (nämlich w = 2f1lJ/ fi ). Da ich B zeitlich erändert, bewegen ie laufend die Drehach e um ie parall 1 zu B zu halten und Sie ändern fortwährend die Drehge ehwindigkeit, 0 da ie immer proportional zu der Stärke von Bit. iehe Fig. 10-11. enn ie di tändi 0- tun. werden Sie mit einer g wi en Endori ntierung der pinach e aufhören und die mplituden CI und C 2 werden einfach durch die Projektionen unter Verwenduno n 00.30) - in Ihr Koordinaten tem gegeben. Sie ehen, e i t nur ein

~...."-...

I

....................

........

.......

'-

x

I

I

'l

'.... ....

I ....... I .... ;>1

' ...,t---

y

Fig. 10-11: Die Spinn htung eine Elektron in einem veränderlichen magneti ehen Feld B(i) präze iert mit d r Frequenz w(t) um eine zu B parallele Ach e.

208

10 Andere breht rand systeme

geometri che Problem, im Auge zu behalten, wo ie nach aJl den Drehungen ankomm n. Obwohl leicht zu ehen i t, worum e geht, i t die e geometri che Problem (da End rgebni einer Drehung mit veränderlicher vektorieller Winkelge chwindigkeit zu finden) im aJlgemeinen FaU nicht leicht explizit zu lö en. Immerhin ehen wir im Prin-ip die allgemeine Lö ung für jede Zweizu rand problem. Im näch ten Kapitel werden wir un di marhemati che Technik zur Behandlung de wichtigen Falle eine Spin-~-Teilchen - und daher di Behandlung von Zweizu tand temen im Allgemeinen - näher a-n ehen.

11

Weitere Zweizustandssysteme

Siehe Cll/ch: Band I, Kapitel 33. P lari arion

Die Pauli ehen Spin-Matrizen

11.1

Wir elzen un ere Di ku ion on Zwei zu tand y ternen fort. Am Ende de letzten Kapitel prachen wir üb r ein Spin-~-Teilchen in einem magneti ehen Feld. Wir be chreiben den Spinzu tand durch Angab der - mplitude C j , das die z-Komponente de Spindrehimpul e +fz/_ i t. und der mplitude C2 da ie -1112 i t.ln früheren Kapiteln haben wir die e Ba i zustände 1+) und 1-) genannt. ir rden nun auf diese Sehreibwei e zurückkommen, obwohl wir e gelegentlich für angebracht halten werden 1+) oder 11) und 1-) oder 12) abweeh elnd zu benutzen. Wir ahen im I IZI n Kapitel, da , wenn ich ein Spin-~-Teilchen mit einem rnagneti chen Moment J1 in in m magneli hen Feld B = (B x B y' Bx ) befindet die Amplituden C+ (= Cl) und C_ (= C2 ) durch folgende Differentialgleichungen erknüpft ind:

ifz dC+ dl

= -J1[B.C

+ (B x

-

-

iB)C_, .

(11.1)

i1l dC_ = -j1[(B + iB,)C - B.C_). d, .'. y

Mit anderen Worten, die Hamilton che Matri H. i t I] H 11

H21

= -J1B:, = -J1(B), + iB.) ,

= -J1(Bx H_ 2 = +j1B:.

H I2

nd die Gin. (I J.I) ind natürlich die eiben

dC. di-' d,

=I .

iB),

le

H.C. 'J

(11.2)

I'

(11.3)

J

wobei i und j die

11

+ und - (ad r I und 2) annehmen.

Da Zweizu rand y tem de Elektronen pin i t 0 wichtig, da e ehr nützlich i teine ge chi krere ehr ibwei e zu haben. Wir lien nun eine kleine mathemati he Ab chweifung

210

machen. um Ihnen zu zeigen wie man gewöhnlich die Gleichungen für ein Zweizu lands problem chreibr. Man macht da 0: Beachten ie zuer t da jeder Tenn in der Hami ltonmatrix proportionaJ zu j1 und einer Komponente von Bit· wir können dann - rein formal - hreiben 11.4)

E liegt hier keine neue Phy ik vor; die e Gleichung bedeutet nur, da die Koeffizi nren Ojj. Oij und mj - e gibt -+ x 3 = 12 von ihnen - 0 au gerechnet erden können, da (11.4) id nti ch mit (11.2) i t. Schauen wir wie ie au ehen mü en. Wir beginnen mit B:;.' Da B:;. nur in H'l und H n er eheint. wird alle in Ordnung ein, wenn -

Ofl=l cn~l

CTI2=O,

0'>2 = -1.

=0

Wir ehreiben die

atrix H ij oft a1 kleine Tabelle wie hier:

Für die Hamilronmatrix eine Spin-i-Teilchen im magneti ehen Feld B: i t die das eIbe

Je

-j1(Bx - iB y )] .

+J1B::. Eben

0

können

ir die Koeffizienten

a;j aJ

Matrix chreiben:

j~

oj

~i (~ ~J

enn wir die Koeffizienten von Bx behandeln, ergibt ich für die Terme on

att=o

ar;=O,

a2I=l

%=0.

CTr

Oder abgekürzt

(11.6

11. J Die Paulis 'Ilen Spin-Mall'i -en

211

enn wir chließli h B\. betrachten, erhalten wir y

O'il

=0

\..

0'21

=1

\

= -I.

\.

=0

O'i:>. cr~2

oder

,. Ojj

0

(11. 7)

=[ i

Mit die en drei Sigma-Matrizen sind die Gin. (11.2) und (11.4) identi eh. Um Platz für die Indize i und j zu Ja en, haben wir angezeigt, welches 0' zu welcher Komponente \Ion B gehört, indem wir x, y und ~ al obere Indizes ge chrieben haben. Gewöhnlich werden jedoch die j und j weggela en - e i t leicht, ich vorzustellen, da ie da sind - und die x, y, z werden al untere lndize ge hrieben. Damit lä t ich GI. (11.4) schreiben (11.8)

Weil die igma-Matrizen 0 ichtig ind - sie werden von den Physikern dauernd benutzt - haben wir ie in Tab lle 11.1 zu ammengestellt. (Jeder, der wirklich in der Quantenphy ik arbeiten will mu ie im Kopf haben.) Sie werden auch Pauli ehe Spin-Marri 7 en genannt, nach dem Ph iker, der ie erfand. Tabelle 11.1: Di Pauli ehen Spin-Matrizen

0:

=

(~ _~)

~T = (~ ~) 0). = I =

(~ -~)

(~ ~)

In die Tab 11 haben ir eine weitere _ x _-Matri ' aufgenommen, die benötigt wird. wenn wir die Möglichkeit haben wollen ein y tem zu b handeln da zwei Spinzu Lände der elben Energie hat, oder wenn wir eine andere ullenergie wählen wollen. Für olche Situationen mü en wir EoC+ zu der er ten Gleichung in (11.1) und EoC_ zu der zweiten Gleichung addieren. Wir können die in die neue chreibwei e einbeziehen wenn wir die Einheitsmntrix ,1" al 6··I) definieren, (11.9)

212

und GI. (11.8) noch einmal chreiben al ( 11.10)

Gewöhnlich wird stillschweigend angenommen da jede Kon tante \ ie Eo aut m Li der Einheü matrix multipliziert werden mu ; dann schreibt man einfach

h mit

(11.11)

Ein Grund, warum die Spin-Matrizen nützlich ind, be teht darin. das iiberhaupt jede ~ x 2atrix durch ie au gedrückt werden kann. Jede Matri , die Sie hreiben können. enthält ier Zahlen, agen wir

Sie kann immer al Ljnearkombination von vier Matrizen ge hrieben werden. Zum Bei pie I

E gibt dafür tele ögliehkeiten, aber eine pezielle Methode be t ht darin zu agen, da M au einem gewi en Anteil von ~ plu einem gewi eo Anteil on 0). und 0 eiter be teht, etwa 0:

wobei die ,.Anteile" a, ß, '}' und 8 im Allgemeinen komplexe Zahlen ein können. Da jede 2 x 2-Matri durch die Einheitsmatrix und die Sigma- amzen darge telll werden t m jemal b nötigen kann, hab n wir alle, wa wir für irgendein beliebiges Zweizu tand werden. Ganz gleich wa für ein Zweizu tand y tem vorliegt - da Ammorriakmol kül. d r agema-Farb toff oder irgendetwa - die Hamilton ehe Glei hung kann durch die igma au gedrückt werden. Obwohl die Sigma in der ph ikali ehen ituation ine Elektron in einem magneti ehen Feld eine geometri ehe Bedeutung zu haben cheinen. kann man ie auch einfach al nützliche Matrizen an ehen, die für jede Zwei zu land problem b nutzt \' erden können. Bei einer b tirrunten Betrachtung wei e können zum Bei piel Proton und eutron I daeibe Teilchen in zwei ver chiedenen Zu tänden ange ehen rden. ir agen, da ukleoll (proton oder eutron) i tein Zweizustand sy tem - in die em Falle z i Zu lände b zügbeh einer Ladung. '\ enn wir e 0 betrachten, kann der 11) -Zu rand da Proton und der 12)Zu tand das eutron dar teilen. an agt, das da ukleon z i,I otopen pin"-Zu tänd bat. Da wir die Sigma- atrizen al "Arithmetik" der Quantenmechanik on Z izu tand ternen velWenden wollen möchten wir kurz die Regeln der atriz nalgebra ied rholen. uter der.. umrne" zweier oder mehrerer beliebiger Matrizen er tehen ir infa h da ,wa 10

I J.l Die Paulischel1 Spin-Marri::.ell

213

nn wir ganz allgemein zwei Matrizen A und B .,addieren·· dann bedeutet die,. umme" C. da jeder Teml Cij gegeben i t durch

GI. (11.4 offen ichtlich war.

Jeder Term on C i t di

um me der

u drücke die bei A und B an der eiben telle tehen.

In Ab chnirt 5.6 ind \ ir chan dem Begriff de Matrix-"Produkte" begegnet. Der eIbe Begriff wird bei der B handluna der igma- atrizen nützlich ein. Im Allgemeinen i t da "Pr dukt" von zwei Matrizen A und B (in die er Reihenfolge) als Matrix C mit folgenden Elementen deflni rt:

(I1.L)

Cij = ZA;kB kj . k

Sie be teht au der umme der Produkte on Tennen, die paarwei e au der i-ten Zeile on A und der j-ten palte on B genommen werden. Wenn man die Matrizen in Tabellenfonn wie in Fig. 11-1 au chreibt, dann gibt e ein gute "Sy tem" die Terme der Produkt-Matrix zu erhalten. ngenorrunen. Sie berechnen C 23 · Sie la en Ihren linken Zeigefinger die ZlVeite Zeile von A entlanglaufen und Ihren rechten Zeigefinger die driTte Spalle V017. B herablaufen, wobei Sie jede Paar multiplizieren und zum vorhergehenden addieren. In der Figur haben wir er ucht zu zeigen. wie e gemacht wird. C IL C I3

C22 C32 C n C-t2 C43 Cij

= 2: A ik Bkj ~

Bei piel: C2

=A 2I B13 + A22 B23 + A23 B33 + A24 B.n

Fig. 11-1: Multiplikation

zweier

atrizen.

E i t natürlich be onder einfach für 2 x 2-Matrizen. Wenn wir zum Bei piel ~r mit ~_ multiplizieren. erhalten Ir

wa gerade die Einh it matri

I i t. Oder berechnen wir al ein andere Bei piel ~,.a;.:

°1) .(0 -i)0 -_(i0 i

0)

-i .

Wenn Si Tabelle 11. Lberück ichtigen, ehen Sie, da da Produkt gerade i mal die Matrix er. i t. (Beachten i, da ine Zahl mal eine atri einfach jeden Term der Matrix multipliziert.) Da di Produkt der igm ,\ Oll man jede al zwei zu ammennimmt ichtig ind - und auch recht amü ant -, haben wir ie in Tabelle 11.2 zu ammenge teilt. Sie können ie eben 0 berechnen, wie wir für ~T2 und o-xO). gemacht hab n.

Tabelle 11.2: Produkte der Spin- aLrizen

(T~a:v

(T2 x

= 1

(T2 \'

=1

cr..2

=I

= -a;·CT.r = i~

O).~ =

~(Tx

-a;.a:\.

=

iCT.,

= -CT.~~ = ia;.

E gibt bei die en o--Matrizen einen w iteren ehr wichtigen und imere anten Punkt. \ ir können un or tellen - wenn wir wollen -, da die drei atrizen CT.Y' ~. und a;. analog zu den drei Komponenten eine Vektor ind - er wird manchmal " igma- eklOr" genannt und CT ge chrieben. irklich i t er ein .,Matrixvektor" oder eine ,. ektormatri ". Da bedeutet drei ver ehiedene Matrizen - wobei zu jeder Ach e x. )' und zeine Matri gehört. Damit können wir die Hamiltonmatrix de Sy tem in einer hüb ehen Form ehreiben, die in jedem Koordinateny tern gültig i t:

H

= -J.UT . B.

1 I. 13

Obwohl wir un ere drei Matrizen in einer Dar teilung ge chrieben haben. in der, oben" und unten" in ~-Riehtung gemeint ind - 0 da a: von be anderer Einfachheit i 1 -. könnten wir berechnen. wie die Matrizen in einer anderen bar teilung au hen v.'Ürd n. Ob\ oh] e eine enge Algebra erfordert, können Sie zeigen, da ie ich untereinander wie di Komponenten eine Vektor ändern. (Wir wollen un mit dem achwei jedoch jetzt nicht ber en. ie können e nachprüfen. wenn ie wollen.) Sie können (J' in er ehiedenen Koordinat n verwenden, wie wenn e ein Vektor wäre. Sie erinnern ich das da H in der Quantenmechanik mit der Energie erknüpft i t. Tatächlich i t e unter den einfachen Verhättni en wo e nur einen Zu rand gibt, gerad gl ich der Energie. ogar für die Zweizu tand y terne de Elektronen pin , wenn wir die Harniltonmatrix ie in 01. 11.13) chreiben, ähnelt je ehr tark der klassi ehen Formel für die Energie eine kleinen Magneten mit dem magneti chen Moment Ji in einern magneti chen F Id B. KJ i eh würden wir agen

u = -J.l' B

11.14

wobei J1 die Eigen chaft de Objekte und B ein äußere Feld i 1. ir könn n un 0 tell n, da Gi. (11.14) in 11.13) umgewandelt werden kann, wenn ir die kl i ehe Energie dur h die Hantiltonmatrix und da klas i che Ji durch die atrix JiCT ers tz n. ach die r r in formal n ub titution interpretieren wir dann da Ergebni al Matri gleichung. an agt manchmal, da jeder Größe der klas i chen Phy ik in der Quantenmechanik eine airi ent pri ht. In Wirklichkeit i te richtiger zu agen, da die Harnilton ehe atri der Energie ent pri ht und da jede Größe die über die Energie definiert werden kann, eine ent pre h nde atri hat.

215

Zum Bei pi 1 kann da magneti che Moment über die Energie den.nien werden indem man agt, da die Energi in einem äußeren Feld B gleich -/1 . Bit. Damit ist der ekror J1 de magneti hen Mom nt definiert. Dann betrachten wir die Formel für die HarniltonmaLrix für ein wirkJiche. (Quamen-)Objekt in einem magneti chen Feld und er uchen zu bestimmen, welche die 1atrizen ind, die den er chiedenen Größen in der kla i ehen Fonnel emspreehen. Da i t der Trick. durch den ma/lchmal kla i che Größen ihre Quanten-Gegen tücke erhalten. Wenn Sie wollen, können i zu ver t hen ver uchen, wie ein kla i cher ektor gleich einer Matrix }-Ur i I und vi lleicht werden Sie etwa entdecken - aber zerbrechen Sie ich darüber nicht den Kopf. Darum geht e nicht - ie ind ni ht gleich. Die Quantenmechanik i teine ander artige Theorie der Dar t Dung der Welt. Es i t nur 0, da s es gewi e Karre pondenzen gibt, die kaum mehr al Merkhilfen ind - Dinge, um ich zu erinnern. Das heißt, ie behalt n GI. (11.14 im Gedächtni ,wenn ie die kJa ische Ph ik erlernen; wenn Sie dann die Korre pondenz J1 ~ J1u bea hten, haben Sie eine Handhabe, ich GI. 01.13) zu merken. atürlieh kennt die atur die Quantenmechanik und die kla ische Phy ik i t nur eine äherung; e erbirgt i h daher kein Geheimni hinter der Tatsache. da e in der kla i chen eehanik einige Schatten der quantenmechanischen Ge etze gibt - die in Wahrheit die darumerliegenden sind. Die Rekon truktion des ursprünglichen Objekte au dem Schatten i t auf eine direkte rt nicht möglich, aber d r Schatten hilft TImen, ich zu erinnern wie da Objekt au ieht. Die Gleichung (11.13) i t die Wahrheit und GI. (11.14) i t der Schatten. Da wir die kla si ehe e hanik zuer t lernen wären wir gerne in der Lage, au ihr die Quamenformel zu erhalten. ber e gibt kein todsicheres Schema dafür. Wir mü en immer auf die wirkli he Welt zurückgreifen und die richtigen quantenmechani ehen Gleichungen rmineln. Wenn ie ich mit einer gewi en Ähnlichkeit zur kla sischen Phy ik ergeben, haben wir Glück. enn die bioen Warnungen Ihnen wie Wiederholungen erscheinen und ie find n, da ie abg dro hene elb t er tändliche Wahrheiten über die Beziehung zwi ehen kla i cher Phy ik und Quantenphysik sind, ent chuldigen Sie bitte die bedingten Refl xe eine Prüfe or, der gewöhnlich Studenten in Quantenmechanik unterrichpin- atrizen gehört haben be or ie in höheren Seme tet hat die ni ht üb r P uli eh lern waren. ie chein n da immer zu hoffen, da die Quantenmechanik irgendwie 0 betrachtet erden könnte, da i al logi ehe Kon equenz au der klas i ehen Ph ik folgt die ie Jahre zuv r gründlich gel rnt hab n. (Vielleicht wollten ie vermeiden, er as eue lernen zu mü en.)ie haben die kJa i che Formel GI. (11.14) erst vor einjgen Monaten gelernt - und dab inch mit der amung, da ie unzureichend ei daher erden Sie ielleicht nicht 0 abgeneigt ein di Quantenformel GI. (11. L3) al grundlegende ahrheit zu erkennen.

11.2

Die Spin-Matrizen al Operatoren

Da wir oerade beim Thema d r mathemati chen S hreibwei e ind, mö hten ir eine anMethode die Dinge zu hr ib n, erläutern - ein Methode die oft b nutzt wird, weil ie o kompakt i t. ie folgt direkt au der in Kapitel 8 eingeführten chreib\ ei e. Wenn wir ein Sy tem in einem Zu land Il/J(t) > haben, der ich zeitlich erändert, können ir - wie wir e in

dere

216

GI. (8.34) getan haben - die Amplitude, das da Sy tem zur Zeit t + !li im Zu land li) i t. chreiben al

=

(i ll/t(t + !li»

L (il U(t, t + .6.t) Ij) (j II/I(t»

,

j

Das atrixelement (i I V(r t +.6.t) I j) i t die Amplitude d der B i zu tand I j) im Zeitintervall .6.t in den Basi zu tand li) umgewandelt wird. Dann definienen ir Hjj indem wir chrieben

und wir zeigten, dLl gleichung

die Amplituden Cj(t)

= bezeichnen. können wir chreiben ( iehe Bd. 1, b hnin 33.1

I v2

IR) =,r::;-Clx) +i1v», IL)

J

= -J2 (Ix)

~

(11. 4)

-

i1y»

1I-{2 i t runzugefügt, um normierte Zu tände zu erhalt n. Mit die n Zu tänden könn n Sie alle beliebigen Filter- oder Interferenzeffekte unter erwendung d r G tze der uantentheorie berechnen. enn Sie wollen, können ie auch IR) und I L) al Ba i zu tänd ähl n

- d

und alle durch ie dar tellen. Sie brauchen zunächst nur zu zeigen, da au GI. (11.33) und da ent pr chende I y') ein - wir haben e nicht hingeschrieben, aber e i t (- in (}) Ix > +(co (}) I ,>. Damit wird

I R' )

1

= ....[2 [

0 {} I x)

I

..j2[(CO

(}-i

+ in {} I ) - i in 81 x) + i co {} I y ) ] in8)lx) +i(co (}-i in8)jy)]

I

v'2 [CI x) + i I) »)( Der er te Au druck i t

0 {} -

i in 8)] .

IR>, der zweite i t e- i();

un er Ergebni i t

(11.36)

1J WeiTere Zwei-;.ustandssysTeme

226

Die Zu tände IR') und IR) ind bi auf den Pha enfaktor e- iO gleich. I L') au führen. erhalten ie t IL') =e- iI1 IL).

enn

ie da elb für

(11. 7)

un ehen Sie. wa ge ehieht. Wenn wir IR) und ( L I addieren, erhalten wir et a andere , al wenn wir IR') und I L') addieren. Zum Bei pie] i tein x-polari i rte Photon [GI. (11.35)] die Summe von IR) und I L), aber ein y-polari ierte Photon i t die umme mit Pha en ercillebung bei dem einen um 90· rückwärt und beim anderen um 90~ orwärt. Da i t genau da ,wa \ ir au der Summe von IR') und I L') für den peziellen Winkel () = 90' erhalten würden. und da i t richtig. Eine x-Polarisation im gestrichenen tern i t da eIbe wie eine y-Polari ation im ur prünglichen Sy tem. E i t daher nicht genau richtig. da ein zirkulär polari iene Photon in jedem Ach en y tem gleich au ieht. Seine Pha e (die Pha enbeziehung der recht - und link zirkular polari ierten Zu lände) bleibt der x-Richtung auf der pur.

11.5

Das neutrale K-Mesont

Wir werden jetzt ein Zweizu tand y tem au der Welt der It amen Teilchen be hreiben - ein Sy tern, für da die Quantenmechanik eine höch t bemerken werte orau age macht. Eine oll tändige Be chreibung würde un tief in die Thematik der elt amen Teilchen erir könn n nur in wickeln. wir werden daher leider einige Kürzungen vornehmen mü en. groben Zügen angeben. wie eine be timmte Entdeckung g ma ht urde - um Ihnen die darin enthaltene Art der Überlegungen zu zeigen. E beginnt mit der Entdeckung de Begriffe der Strangene s und eine neuen Ge erze von der Erhaltung der Tran enes durch Gell-Mann und i hijima. I GeH-Mann und Pai die Kon equenzen die er neuen Ideen unter uchten. tießen ie auf die orher agen eine höch t bemerken werten Phänomen , das \ ir be hr iben werden. Doch zuer t mü en wir Ihnen etwa über die "Strangene ., erzählen. Wir mü en mit dem beginnen, wa man die larken Wech elwirkllngen on K rnteil h n nennt. Da ind die Weeh el wirkungen. die für die tarken Kernkräfte rantwortlich ind - im Gegen atz. zum Bei piel, zu den relativ chwächeren elektromagneti chen e hselwirkungen. Die ech el irkungen ind" tark" in dem Sinne, da, enn z ei Teil hen genüg nd nah aneinanderkommen. um überhaupt aufeinander einzuwirken, ie dann ehr lark w eh h ir n und leicht andere Teilchen erzeugen. Die Kernteilchen haben auch eine 0 genannEe " ehwache Weeh el irkung", dur h die gewi e Dinge ge chehen können ie der B tazert 11. aber imm r ehr lang am im nuklearen Zeitmaß tab - die eh wachen ech Iwirkun o n ind i I, i le Größenordnungen chwächer al die tarken Wech el irkungen und ogar hwä her al di elektromagneti ehen ech elwirkungen. -Es i I dem ähnlich. was wir (in Kapitel 6) fUr ein pin- 4-Teilchen gefunden haben. al ",Ir die oordin reD um die :-Achse drehten - damals erhielten wir die Phasenfaktoren e':r.;,pI2. E i Ila ä hli h gen ud. w \\ ir in b hnin . für die I ) ·und 1- ) -Zu tände eine pin-ein -Teilchen aufge chrieben haben - das i I ein Zuf H. Da Photon i 'I eiD Spin-ein -Teil hen, d jedoch keinen, uH"-Zu tand hat. +Heute meinen wir, d der toff die e Ab chnjne länger und hwieriger i Lai ür den hier errei hlen Punkt UD erer Entwi kJung angeme en i t. u empfehlen, ihn au zuJas eo und mit Ab hnin 11.6 OrtLu ahren. \l enn ie den Ehrgeiz und die Zeit haben, werden ie vielleicht päter darauf zurüc mmen ",ollen. Wir I n ihn hier lehen. weil er ein chöne Bei piel - au neueren Arbeiten in der Hochenergiephy ik - dafür i I. w man mil un erer Fonnulierung der Quantenme hanik von Zweizu tand y ternen machen kann.

1J.5 Das neutrale K-Me

0/1

Al man mit den großen Be ch1eunigern die tarken Wech elwirkungen unter uchte. war man überra cht, a1 man fand. da gewi e Dinge, die ge ehehen ., oUten" - von denen man erwartete, da ie ge chehen würden - nicht eintraten. Zum Bei piel erschien bei manchen ech elwirkungen ein Teilch n eine gewissen T p nicht. al man e en artete. Gell-Mann und i hijima t llten fe t da viele die er eigenartigen Vorkonunni e durch die Einführung eine neuen Erhaltung ge etze zugleich erklärt werden konnten: Die Erhaltung der Strangeness. Sie chlugen or da e eine neue harakteri ti he Eigenschaft gibt. die jedem Teilchen zugeordnet ird - die ie eine, trangene "-Zahl nannten - und das bei jeder tarken Wechelwirkung die .,Größe der Strangene "erhalten bleibt. ehmen wir zum Bei piel an, da ein hoch energetische negatives K-Meson - agen wir mit einer Energie von vi len GeV - mit ein m Proton zusammen tößt. Au die er Wechselwirkung können iele ander Teilch n ent tehen: Jr-Me onen, K-Me onen, Lambda-Teilchen Sigma-Teilchen - jede Me on oder Baryon da in Tabelle 2.2 von Bd. I aufgeführt i t. Man hat jedoch beobachtet, da nur gewisse Kombinationen auftreten, und niemals andere. un \ ar chan bekannt. da man gewi e Erhaltungsge etze anzuwenden hat. Er ten bleiben Energie und Impuls immer erhalten. Ge amtenergie und -impuls mü en nach einem Ereigni immer die eIben ie vor dem Ereigni in. Zweiten gibt es die Erhaltung der elektri ehen Ladung. die be agt, da die Ge amtladung der herauskommenden Teilchen immer gleich der Ge arntladung der ur prünglichen Teilchen ein mu s. In un erern Bei piel, wo ein K-Me on und ein Proton zu amrnenkommen, treten al 0 die folgenden Reaktionen auf:

(11.38)

oder

Wir

ürden niemal erhalten der

K- + P --?

01.39)

wegen der Erhaltung d r Laduno' E war auch bekannt, das die Zahl der Bmyonen erhalten bleibt. Die Anzahl der auslaufenden Baryonen mu gleich der Anzahl der einlaufenden Baryonen ein. B i die em Ge tz ird in Antiteilchen eine Baryons al minus ein Baryon gezählt. Da bedeutet, da wir durchau ehen können, K-

+P~

0

+ Jro

oder

(11.40)

K- + P ~ P + K- + p + P wobei K-

p da

ntiproton i t, da eine negative Ladung trägt). Aber wir ehen niemals

+ P --? K- + Jr+ + Jro (11.'+ 1)

oder

K- + P -* P + K- + n (auch wenn iel

nergie orhanden i t),

eil die Baryonen nicht erhalten bleiben würden.

11

228

Die e Ge etze erklären jedoch niehl die elt ame Tat ache. d die folgenden Reaktionen - die auf den er ten Blick nicht be onder ver chieden on einigen der Reaktion n in (11.3 ) oder (11.40) er cheinen - auch nie beobachtet wurden:

oder

(11.42 oder

Die Erklärung i t die ErhaJtung der Strangene it jedem Teilchen i t eine Zahl - eine Strangeness S - verbunden, und e gibt ein Ge etz, da bei jeder tarken Wech elwirkul1 die ge amte herauskommende Strangene gleich der ge amten hineingehenden Strangene sein mu . Das Proton und Antiproton (p, 15), da eutron und Antineutron (n, fi) und da Jr- e on (Jr 1fJ, Jr-) haben alle die Strangene -Zahl null: die K - und K O_ e onen haben die trangene +1; das K- und KJ (da Anti-Ko)t da und die I-Teilchen ( ,0, -) haben die Strangene -1. E gibt auch ein Teilchen mit der Strangene -2 - d =:-Teilchen große ..Xi·') - und ieUeicht andere. die noch unbekannt ind. Wir haben eine Li te die er trang ne -Zahl n in Tabelle 11.4 zu ammenge teilt. J

°

Tabelle 11.4: Die trangene s der tark wech elwirkenden Teilchen,

S -2 Baryonen

-I

0

L

p

':;'Ü

.....

°, r,0

.....

I-

~-

Me onen

Anmerkung:

Jr-

n

Jr

-

K'

Jl

K-

Jr

i t da Antiteil hen von

+)

Jr"

KT KO

-

(oder umgekehrt).

Schauen wir un einmal an, wie die Strangen -Erhaltung ich in einig n der Reaktionen, die wir aufge chrieben haben. au wirkt. Wenn wir mit einem K- und einem Proton eginne n, on (-) + 0) = -1. Die Erhaltung d r trangene be aat. haben wir eine ge amte Strangene das ich die Strangene der Produkte nach der Reaktion auch zu -I addi r n mu ri n von hen, d d bei den Reaktionen von (11.38) und (11.40 auch zutrifft. In den R (11.42) i t aber die Strangene auf der rechten eite in jedem Fall null. olch R aktionen erhalten die Strangene nicht und kommen nicht or. arum? 0 weiß niemand. i mand b n weiß irgendetwa mehr a1 wir Ihnen gerade darüber ge agt hab n. Die atur m hl d

o. TLie al : ..K.-nuJl-quer'·,

11.5 Da neutrale K-Meson

Betrachten wir nun die folgende Reaktion: Ein 7T- trifft auf ein Proton. Sie können zum Beispiel ein o-Teilchen plu ein neutrale K-Teilchen erhalten - zwei neutrale Teilchen. elche neutrale K erhalten Sie jetzt? Da da 1\- Teilchen die Strangene -} und da 7T und p+ die trangene null haben und da die eine schnelle Erzeugung reaktion i t, darf ich die Strangene s nicht ändern. Da K-Teilchen mu die Strangene + I haben - e mu daher das KO ein. Die Reaktion i t d mna h

mit S

= 0 + 0 = -1 +

+1 (erhalten).

JCl

Wenn wir da an Stelle de KO hätten. wäre die Strangene s auf der rechten Seite -2 - was die 'atur nicht erlaubt da die Strangene auf der linken Seite null i 1. Anderer eir kann ein

~ in anderen Reaktion n erzeugt werden, wie n+n

~

n+

p + JC> + K+

=0+0=0+0+-( ++1 oder

K- +p ~ n + ~

5=-1+0=0+-15.

Sie werden ielleicht denken: ,Da i t eine Menge Zeug, denn wie wollen Sie

\I

i sen, ob es

ein ~ oder ein KO i t. ie ehen genau gleich au . Sie ind Antiteilchen voneinander, ie haben genau die gleiche Ma e und beid haben keine elektri ehe Ladung. Wie unter cheiden ie ie?" Durch die Reak1:ion n, die ie machen. Zum Bei piel kann ein ein -~ iIchen zu erzeugen, 0 \ i hier:

JCl mit Materie reagieren, um

aber ein KO kann d nicht. E gibt keine Möglichkeit wie ein KO ein 1\-Teilchen erzeugen kann, wenn e mit gewöhnlicher Materie (Protonen und utronen) wech elwirkt. t Daher ist der experimentelle nter chi d z i chen dem KO und dem wird und da ander nicht.

~ da eme

on ihnen

erzeugen

t Au genommen natürlich. wenn e Glich ;:wei K+' erzeugt oder andere Teilchen mit einer ge amten trangene von +2. Wir können hier an R aktionen denken. bei denen nicht genügend Energie vorhanden i t, um diese zu ätzlichen eltarnen Teil hen zu erzeugen.

11

230

teme

Eine der Vorher agen der trangene -Theorie i t dann folgende - wenn in einem Experiment rn.it hochenergeti chen Pionen ein i\-Teilchen mit einem neutralen K- e on erzeugt wird. dann wird dieses neutrale K-Me on wenn e in andere Materieteilchen übergeht. niemal ein erzeugen. Da Experimenr kann etwa 0 ablaufen: Sie chicken einen Strahl von lf- - e onen in eine große Wa er toff-Bla enkammer. Eine lf- -Spur er chwindet. aber an ein r ander n Stelle er cheint ein Paar von Spuren (ein Proton und ein lf-), die anzeigen, da ein -Teilchen zerfallen i tT - iehe Fig. 11-5. Dann wi sen Sie. da dort irgendwo ein KO i t, da ie nicht ehen können.

PI.. .

Kernweeh elwirkung flüssiger Wasserstoff (a)

Kemwech elwirkung 1[~ •••.

--

1\0 . --'!:- _: .. -... - . - --

p

b)

Fig. 11-5: Hochenergeti ehe Ereigni e, wie man ie in einer Was ertoff-Blasenkammer ieht. (a) Ein 1[-Me on reagiert miL einem Was er toffkern (Proton) \ obei e ein ,\o-Teilchen on erLeugt. 8eide Teilund ein KOchen z.erfallen in der Kammer. (b) Ein KO- e on reagiert mit einem Proton. wobei e ein Jr- -Me on und ein Teilchen erzeugt. da dann zerfallt. (Die neutralen Teil hen hinterla en keine Spuren. Ihre rekon truierten Wege ind hier durch die dünn ge tri helten Linien

°

angedeutet.

Sie können jedoch au rechnen, wo e herläuft, indern ie die Erhaltung on lrnpul und Energie anwenden. [E könnte ich päter zeigen, indern e in z ei geladene Teil hen zerfallt. wie in Fig. 11-5(a) darge teilt.] Wenn da KO dahinfliegt, kann e mit einem der a er toffkerne (Protonen) wech el wirken und dabei vielleicht einige andere Teilchen erz ugen. Die orherage der Strangene -Theorie i t, da e niemal ein -Teilchen in einer einfa h n Reaktion wie etwa

erzeugen \: ird, obwohl ein KO die durchau tun kann. Da heißt, in einer Bla enkammer onnte 0 ichtbar i t, eil e ein K O da in Fig. 11-5(b) angedeutete Ereigru bewirken - in dem d

to as freie -Teilchen zerfällt lang am über eine schwache Wech elwirkung (die uangene erhalten zu bleiben). Die Zerfall produkte ind entweder ein p und ein lf- oder ein n und ein beträgt 2..- x JO-JO sec.

braucht daher ni hl . Die Leberu.dauer

11.5 Das neutrale K-Me

zerfallt - ein KO kann di Erhaltung der Strang ne

231

0/1

jed eh nicht. Da. i t der er te Teil un erer Ge ehichte. Das i t die

Die Erhaltung d r traTI o ne i t jedoch nicht wllkommen. E gibt ehr lang ame Zerfall orgänge der elt am n Teilchen-ZerfäIle. die eine langet Zeit wie 10- 10 ekunden benötigen. in denen die trangene nicht erhalten bleibt. Diese werden die ,. chwachen" Zerfälle genannt. Zum Bei piel zerfällt da KO in ein Paar on 7[-Me onen (+ und -) mit einer Leben dauer von IO- JO ekunden. uf die e nurden die K-Teilchen tat ächlich zum er tenmal ge ehen. Beachten Sie. da die Zerfall reaktion

nicht die Strangene erhält, ie kann daher nicht durch tarke Wechselwirkung" chnen" ablaufen: ie kann nur durch d n chwa hen Zerfall proze vor ich gehen. un zerfällt da KO auch auf die eIbe Art - in ein 7[+ und ein 7[- - und auch mit der eiben Leben dauer

Wieder haben wir einen chwachen Zerfall, weil er nicht die Strangene s erhält. E gibt ein Prinzip. da e für j de Reaktion eine ent prechende Reaktion gibt in der die, Materie' dur h

KJ

das Antiteilchen des KO i t, ollte e in "Ant imaterie' und umgekehrt er erzt wird. Da das die Antiteilchen des n+ und n- zerfallen, aber da Antiteilchen on einem n+ i t da 7f-. (Oder, wenn Sie e orziehen, umgekehrt. E teUt sich herau dass e bei den n-Mesonen keine Rolle pielt, welche ie., aterie" nennen.) Daher können als Folge der eh wachen Zerfälle das KO und da ~ in dieselben Endprodukte übergehen. Wenn man ie durch ihre Zerfälle " ichtbar" macht - wie in ein r Bla enkarnmer -, ehen ie wie da elbe Teilchen au. ur ihre tarken Wech elwirkungen ind ander . Wir ind jetzt

hließlich oweit da

wir die Arbeit von Gell-Mann und Pai be chreiben

können. ie teilt n zuer t fe t, da e. da si h da KO und da ~ beide in Zu tände on zwei 7f-M on n umwandeln können, eine mplitude geben mü e, da ich ein KO in ein JCl umwandeln kann und eben 0 ein chreiben, würden wir erhalten

~ in ein KO. Wenn wir die Reaktionen wie in der Chemie 11.43)

Die e Reakti nen be agen, da

(~I W I KO), da 7f-

eine Amplitude pro Zeiteinheit gibt, agen wir -i/li mal

ich ein KO durch die chwache Wechselwirkung, die für den Zerfall in zwei

e onen v rantw nli hit. in ein

Jtl um

andelt. Und e gibt die ent prechende Amplitude

( KO IW I~) für den umgekehrten Vorgang. Da i h Materie und Antimaterie genau gleich erhalten ind die e mplituden numeri eh gl ich; wir wollen ie beide A nennen:

(1l.44)

11

232

un -

agten Gell-Mann und Pai - hier haben wir eine inlere ante Situation.

a man

zwei ver chiedene Zu tände der Welt genannt hat - das KO und da KJ - ollte in irkJi hkeit al ein Zweizu rand sysTem betrachtet werden, weil e eine Amplitude für den Übergang von dem einen Zu tand in den anderen gibt. Bei einer oll tändigen Behandlung mü re man ich natürlich mit mehr a1 zwei Zu tänden befas en, weil e auch die Zu lände der 27T' und 0 weiter gibt; aber da ie haupl ächJich an der Beziehung zwi chen KO und ~ intere iert waren, brauchten ie die Dinge nicht zu komplizieren und konnten die äherung eine Zweizu land y tem machen. Die anderen Zu tände wurden in oweil berück ichtigr. al ihre Au wirkungen implizit in den Amplituden von GI. (11.44) er chienen. Demgemäß unter uchten Gell-Mann und Pai da neutrale Teilchen al Zweizu tand ie al ihre zwei Ba iszu lände die Zu lände I KO) und I ~ ) . (Von hier an geht die Ge chichte ehr ähnlich wie beim Ammoniakmolekül.) Irgendein beliebiger Zustand I if!) de neutralen K-Teilchens konnte dann durch Angabe der rnplituden, da e in einem der Basi zu tände i t, be chrieben werden. ir ollen di e mplituden nennen y terno Zu Beginn wählten

(11.45

Der näch te Schritt war die Hamiltonschen Gleichungen für die e Z\ eizu tand y rem aufzu chreiben. Wenn e keine Kopplung zwischen dem KO und dem j(l gäbe, würden die Gleichungen einfach lauten

. dC+

rh-= EoC.,. . dt

(11.46)

dC itI - - = EoC dr -

Aber da e die Amplitude< fCll W I KO) für da KO gibt, ich in ein zusätzliche Term

j(l umzuwandeln,

ollte der

zur rechten Seite der er ten Gleichung addiert werden Und eben 0 ollle der Term AC.,. in die Gleichung für die Änderung ge chwindigkeit von C_ eingefügt" erden. Aber das i t nicht alle. Wenn der Zwei-Pion-Effekt mitberück i htigt wird. gibt e eine -usätdiche Amplitude für da KO ich in sich selbst umzuwandeln dur h d n Proze

Die zu ätzliehe plitude

mplitude, die wir ? Da ~. auf ein Elektron "nach unten" - i-mal der ent prechende Zu tand mit dem Elektron ,nach oben' i t gilt

O)e 1-+)

= -i I++ )

enn (J'vc auf den kombinierten Zu tand einwirkt, dr ht e da Elektron um, beeinftu t das Proton aber nicht und multipliziert da Ergebni mit -i.) Angewandt auf die anderen Zu lände wird ergeben

er;

a; 1++) = i 1-+)

I

a;~ I +-)

= i 1-- ) .

O)~ 1--)

= -; 1+- ) .

Beachten Sie nur d die Operatoren o-e lediglich auf da er te Spins mbol einwirken, da heißt auf den ELektronen pin.

248

12 Die Hypeifeinaufipa/wng im Wa er. toff

Al äch te definieren wir den ent prechenden Operator igma-Proton . für den Protonen pin. eine drei Komponenten 0-1, a;P, a;P wirken eben 0 ie (Te. jed h nur auf den Protonen pin. Wenn zum Bei pielo-} auf jeden der vier Basi zu tänd ein irkt. rhalten wir - ind m wir immer Tabelle 12.1 benutzen-

0-1 I ++) 0-1 I +-)

;;; 1+-) , = 1+ ),

0"11-+)

= 1--)

0-1 J - - )

;;;

j -+ ) .

Wie Sie ehen können, i t e nicht ehr chwierig. 1m allgemeinen Fall könnten wir nun komplexere Dinge haben. ir könnten zum Bei piel Produkte der beiden Operatoren haben, wie eTyea:p . Wenn wir olch ein Produkt haben. fuhren wir zuer t da au , was der rechte Operator agt, ~nd dann das. was der andere agt. t E würde ich zum Bei piel ergeben, da

Beachten Sie. das die e Operatoren reine Zahlen mcht beeinftu en - ir haben die eTa ache benutzt. aJ wir 0:( -1) ;;; (-l)~e ge chrieben haben. Wir agen, da die Op rataren mir r inen ZahJen ,,kommutieren' oder da eine Zahl "durch den Operator gezogen erden kann", ie können ich üben, indem Sie zeigen, da da Produkt ~ea;.p folgend Ergebni für die ier Zu lände ergibt: ~ea;P

I ++) ~eot I +-) ~e~p 1-

= 1-+) ,

= 1--) ,

) = 1++) ,

~eot 1--) =

1+-) .

enn wir alle möglichen Operatoren nehrn n und jede Art on Operator nur einmal rwenden, gibt e echzehn Möglichkeiten. Ja echzehn - vorau ge erzt wir hlieBen au h den ,,Einheitsoperator" i mit ein. Zunäch t gibt e die dr i ~e, a;~, :' Dann die dr i 0-1, er)', CT;,P d macht hs. Zu ätzlieh gibt e die neun möglichen Produkte d r orm x a:,p. in gearnt 15 ergibt. nd gibt den Einheit operator, der jeden Zu tand infa h unveränd rt lä t. In ge amt echzehn. un beachten Sie. das für ein Vierzu tand tern die Hamilton h atri eine 4 X 4Matrix on Koeffizienten ein rnu - ie wird echzehn Eintragungen ha n. an kann leicht zeigen, da jede 4 x 4-Matrix - und daher in be ond re die Hamilton he atri - al Linearkombination der echzehn Doppel-Spinmatrizen, die dem atz von Op ratoren en prchen den ir gerade aufge teIlt haben, ge chrieben werden kann. Für die ech el irkung tSie werden bemerken, d keine RolJe piell.

die Reihenfolg der Operatoren

12.2 Der Hal1li/tonoperator für den Grundzustand des Wa serstoffs

zwi ehen einem Proton und ein m Elektron, die nur ihre Spin rfa t, können wir daher erwarten, d der Hamiltonop rator al Linearkombination der eiben 16 Operatoren ge chrieben werden kann. Die einzige Frage i t, wie? un zunäch t wi n ir, das die ech elwirkung nicht on un erer ahl der Ach en für ein Koordinaten y t m abhängt. Wenn e keine äußeren Einflü e - wie ein rnagneti ehe Feldgibt, die eine orzug richrung im Raum fe tlegen, kann der Hamiltonoperator njcht on un erer Wahl der Richtung der x- y- und z- eh eo abhängen. Da bedeutet, da der Hamiltonoperator keinen Au druck ie ~e ganz an in haben kann. Das wäre un innig weil dann jemand mit einem anderen K< ordinaten y tem andere Ergebni e erhalten würde. Die einzigen öglichkeiten ind enrweder ein Term mit der Einbeitsmatrix, agen ir eine Kon tante a mal I , oder eine Kombination der igma, die nicht von den Koordinaten abhängt - eine in ariant Kombination. Die einzige kalare invariante Kombination von zwei Vektoren i t da innere Produkt, da für un ere Sigma i t (12.4)

Die er Operator i t invariant bezüglich jed r Drehung de Koordinaten y tem . Daher i t die einzige öglichkeir für einen Hamiltonoperator mit der richtigen Symmetrie im Raum eine Kon tante mal die Einhei matri· plu eine Kon tante mal die e innere Produkt, agen wir (12.5)

Da i t un er Harniltooop ratar. Wegen der Symmetrie de Raume i t die die einzige öglichkeit, solange es kein äußere Feld gibl. Der kon tante Term agt un nicht iel; er hängt nur on d m i eau ab on dem au wir die Energien me en. Wlf könnten genau 0 gut E o = 0 erzen. Der zweite Term agt un alle wa wir wi en mü en um die iveauauf paltung de Was er (Off zu finden. Wenn ie wollen können Sie den Hamiltonoperator auch ander betrachten. Bei z\ ei benachbarten agneten mit magneti hen Momenten J1 e und}Jp wird die wech el eitige Energie - unter anderem - on}Je' J1 P abhängen. nd wie Sie sich erinnern, fanden wir herau.. , da der klas i ehe B griff, den wir J1 e nennen, in der Quantenmechanik al PeeTe er cheint. Ahnlj h wird ich da a kla i ch al }Jp er cheim, in der Quantenmechanik gewöhnLi h al J1eT ergeben wobei J.l p da magneti ehe ment de Proton i t, elche etwa lOOOmal kleinei al /le i t und entgegenge erzte Vorzeichen hat). Daher besagt Gl. (12.5), da die Wech 1wirkung en rgie ie die e helwirkung z i hen zwei Magneten i t - nur nicht ganz \ eil die Wech el irkung der beid n agn te on dem radialen Ab tand zwi ehen ihnen abhängt. GI. (12.5) könnte aber - und i t e tat ächlich - eine Art mittlere Wech elwirkung ein. Das Elektron bewegt ich innerhalb de At m überall herum und un er Hamiltonoperator gibt nur die minIere ech el irkung energie an. lle was er au agt, i t da e bei einer vorgechrieb nen räumlich n Anordnung de Elektron und Proton eine Energie gibt die, kl i ch au gedruckt, prop rtional dem Ko inu dinkel zwi ehen den beiden magneti eh n 10menten i t. olch ein kla i he qUalitati e Bild hilft Ihnen ielleieht zu er tehen woher er kommt, aber ichtig i t da Gi. (12. ) die richtig quantenmechani che Formel i t. Die Größenordnung d r kla i ehen helwirkung zwi eh n z ei Magneten äre das produkt der beid n magneti hen oment di idiert durch die dritte Potenz de Ab tande

250

zwi ehen ihnen. Der Ab tand zwi chen dem Elektron und dem Proton im Wa er toffatom i t, grob ge agt ein halber Atomradiu oder 0,5 Äng tröm. E i t daher möglich, grob abzu hätzen da die Küil tante A ungefähr gleich dem Produkt der beiden magneti hen ornente Pe und Pp di idiert durch die dritte Potenz von 1/2 Ang tröm ein üllte. Solch eine b hätzung ergIbt eine ZaW in der richtigen Gegend. E teilt ich herau ,da A genau bere hnet werden kann. wenn ie einmal die vollständige Quantentheorie de Was e toffatom er tehen - wa wir bi her nicht tun. E i t tat ächlich chon mit einer Genauigkeit on 30 zu einer Million berechnet worden. Im Gegen atz zur Umklappkon tanten A de Ammoniakmolekül , die theoretisch überhaupt nicht gut be timmt werden konnte, kann al 0 un ere Kon tante A für den Wa er toff au einer au führLicheren Theorie berechnet werden. ber nicht de toweniger wollen wir rur un ere gegenwärtigen Zwecke das Aal eine Zahl an ehen, die durch da Experiment be timmt werden könnte, und die Phy ik die er ituation unter uchen. Wenn wir den Hamiltonoperator von GI. (12.5) nehmen können wir ihn mit der Gleichung

ifzCj

=I

(12.6)

HjjCj

j

verwenden um herau zufinden, wie die Spinwech elwirkunoen die Energieni eau beeinflu en. Um die zu tun, mü en wir die echzehn Matrixelemente H ij = (i I H I j) au re hnen die jedem Paar der ier Basi zu lände in (12. I) ent prechen. Zu Beginn rechnen wir au , was H I j) für jeden der ier B i zu tände i

t.

Zum Bei pie!,

(L.7 Wenn wir die ethoden benutzen die wir vor kurzem be chrieben haben - e i t lei ht, on ie ich Tabelle 1_.1 gemerkt haben -, finden wir, ie jede Paar on er' auf 1++) wirkt Die Antwort i t ~ecr! I

) = + 1-- ) , O}eo;p I + ) = - 1-- ) ~eat I ++)

L. )

= + I ++ ) .

Daher wird (12.7)

H 1++) =A{I--) -1--) + 1++) } =AI ++) . Da un ere ier B

i zu lände alle orthogonal ind, ergibt ich darau

IHI +) ( - I HI + ) = -1-+ )

~e ~P I -

- >= + I - - >

J2 Die Hypelfeinalljspaltung im

252

~ a

ers/ojf

enn wir dann alle der Reihe nach von link mü allen ander n Zu land vektoren multiplizier n. erhalten wir die folgende Hamilton ehe Matrix H i} j---. I

Hij

=

A

0

0

0

0

-A

2A

0

0

2A

-A

0

0

0

0

A

(12.1 )

Da bedeutet natürlich nicht mehr, al da ruden Ci folgende ind:

un er Differentialglei hungen für di

VI

= AC., itJC2 = -AC_ + 2AC}, iliC} = 2AC_ - AC} , dlC.}, = ACJ,'

r

mpli-

i/iC I

(12.14)

Bevor wir die e Gleichungen lö en. können wir nicht wider [eh n. Ihnen v n einer gechickten Regel. die auf Dirac zurückgeht. zu erzähl n - ie wird Ihnen da Gefühl geben. wirklich fange chritten zu ein -, obwohl wir ie für un ere Arbeit nicht brau h n. Wir \ i en - au den Gleichungen (12.9) und (12. L) -. da

= I ++ ) , (Te . u P I +-) = 21-+) - 1+- ) , (Te . o-P 1-+) = _ 1+-) - 1-+ ) , (Te . (TP

I +)

o-P

1--)

(Te.

= J-- ) .

Schaut her. agte Dirac. i h kann die er te und letzte Glei hung au h (Te .

u P I +)

(Je . (JP

1--)

= 21 ++) = 21--)

- 1++ >,

- 1-- ) .

dann ind i alle ganz ähnlich.

un erfinde ich einen neuen Operator. den

nennen will und für d n ich die folgenden Eigen chaften definiere:

P pinaust:lu

h I ++)

= I ++ > , = 1-+ > ,

PSpinauslau h

I +-)

P pinauslau

1-+ > = 1+- > ,

b

h , --)

=

hr iben al-

1-- > .

"'Dieser Operator wird jeul der •.Pauli-Spinausl3U choperalor" genannl.

T

h P pin

u t:l

h

12.3 Die Energieniveolls

Alle. a der Operator b \ irkt, i t der u tau ch der Spinrichtungen der beiden Teil hen. Dann kann ich da ganze Gleichung y tem in (12.15) al eine einfa he Operatorgleichung chreiben: (Te . (TP

= 2PSplnau lau,eh -

I.

(L.16)

Da i t die Fonnel von Dirac. ein, pinau tau hoperato(' ergibt eine handliche Regel zur Berechnung von (Je. (JP. ( ie ehen, jetzt können ie alle machen. Die Tore tehen offen.)

Die Energieniveau

12.3

1 un ind wir oweit, da wir die Energieniveau de Grundzu tande vom Wa er toff au rechnen können, indem wir die Hamilton ehen Gleichungen (12.14) lö en. ir möchten die Energien der tationären Zu tände finden. Da bedeutet. da wir jene. peziellen Zu lände Il/J) finden wollen, für die jede Amplitude Ci = e ( ( +' -' 1++)

= ( +' I

,

I + ) p = a2 ,

>e ( - ' I + ) p = ab,

(12A6)

= ba, ( -' -' 1++) =(-' 1+) e ( - ' I +) p = b2 . ( -' +' I ++) = ( -' I + ) e ( +' I + ) p

Wir können dann den Zu tand I ++) a] folgende Linearkombination chreiben:

1++)

= a 2 1+'+' ) e + abO +' -') + 1-' +' ) J + b2 1_' -' ) .

(12.47)

1+'+' > der Zu tand I +T > i L, das {I +'-') + 1-' +')} einfach ...fi mal dem Zu tandlOT) i t- iehe(l2.41)-unddas 1-'-') = I-T) i (. iranderen orten, Gl. (12.47) kann noch einmal ge chrieben werden als

Wu bemerken jetzt, da

12.4 ) Auf ähnliche An können Sie leicht zeigen, das

(1-.49 Für lOS) i te etwa komplizierter, da

lOS)

1

= .y'2{I+-)

+1-+»).

Wir können aber jeden der Zu tände 1+- > und 1-+) dur h di ,.ge trichenen" Zu tänd audrücken und die umme bilden. Da heißt

1+- > = ac 1+' +' > + ad I +' -') + bc 1-'+' ) + bd 1-'-' )

(12.50)

und ~

- ) = ac I

' +') + bc I+' -' > + ad 1-'+') + bd 1-'-') .

enn wir die umme bilden und mit 1/

_

lOS>

= V2 ac I+' +')

+

V2 multiplizieren, erhalten wir

~+~

...fi

(I +' -') + \-' +' ) } +

2

Vi bd 1-'-' ) .

12.51

Darau folgt

= ..,fi ac 1+ T) + (ad + bc) lOT) + ..fi bd 1-T ) .

lOS)

(12.52)

Wir haben jetzt alle ge u ht n mplituden. Die K effizienten der GIn. (12.4 ), (12.49) und C12.52) ind die Matri elemente< jT I iS) . Fa en wir ie alle zu ammen: }T --+

iS [

...f2 ac

a.,

2 C ]

<JTI iS) = ,f2 ab ad + bc ,f2 cd . b2

...f2bc

(12.53)

d-

Wir haben die Spin-ein -Tran formation durch die Spin-t-Amplituden a, b c und d au gedrückt. Wenn zum Bei piel das Tlern gegen S um den Winkel Q' um die .v-Ach e - \ ie in Fig. 5-6 - g dreht i t, ind die mpliruden in Tabelle 12.4 genau die Matrixelemente on RyCa) in Tabelle 6.2.

a

= co

c=

2

er In

b=-

2

er

In-

2'

(12.54)

a

,

d=- o -

2

Wenn wir die ein 12.5 Bewei angegeben haben.

erwenden. erhalten wir die Formeln on (5.38) die wir don ohne

Was ge chjeht denn mit dem Zu tand I/V)?! un ja er i tein Spin-null- y tern und hat daher nur einen Zu tand - er i [ il! allen KoordinafenS)Sremen derselbe. Wir können prüfen da alle ri htig i t, indem wir die Differ nz on GI. 12.50) und (12. 51) bilden: wir erhalten

1+-) - 1-+)

= (ad -

b ){l +' -')

- 1-' +' ) .

Aber (ad - b ) i t die Determinante der Spin-~-Matrix und daher gleich l. Wir erhalt n

I/V')

= I rv)

für jede relati e Orientierung der zwei Koordinaten y terne.

13

Ausbreitung in einem Kristallgitter

13.1

Zu tände eine Elektron In eInem eindimen ionalen Gitter

.

.

Auf den er ten Blick ürden ie denken, da ein Elektron mit niedriger Energie große chwierigkeiten hat, dur h einen fe t n Kri tal I zu gehen. Die Atome ind 0 zu ammengepackt, da ihreittelpunkte nur einiae ng tröm oneinander entfernt ind, und der effektive Durchme er der lome für die EI ktronen treuung liegt in der Größenordnung von einem Äng uöm. Das heißt, die tarne ind im erhältni zu ihren Ab tänden groß 0 da man al mittlere freie eglänge zwi chen Zu arnm n tößen etwa einige Äng tröm eD arten \ ürde wa prakti eh nicht i t. ie ürden erwarten, da das Elektron fa t sof0l1 Imt dem einen oder dem anderen tom zu ammen tößt. icht de toweniger i te ein allgegen ärtige Phänomen der arur, da bei einem fehlerfreien Gitter die Elektronen glatt und lei ht durch den Kristall wandern können - fa t o. aJ wenn ie im Vakuum wären. Die e eigenartige Tat ache i t der Grund, warum Metall di Elektrizität 0 leicht leiten. Sie hat auch die Entwicklung vieler prakli eher Vorrichtungen erlaubt. Sie i t zum Beispiel auch der Grund, der e einem Tran i tor ermöglicht. ein Radi röhre zu er erzen. In einer Radioröhre bewegen ich die Ele1.'tronen frei durch ein akuum während ie ich im Tran i tor frei durch ein Kri tallgitter be egeo. Die Funktion \ ei e die hinter dem erhalten eine Tran i tor teckt, wird in die em Kapitel be chrieben; im näch I n w rden wir die Anwendung die er Prinzipien in er chiedenen prakti chen Vorrichtungen be pr ehen. Die Elektronenleirung in in m Kri lall i t ein Bei piel für ein ehr allgemeine Phänomen. E können ni hl nur Elektronen dur h Kri lalle wandern sondern auch andere ,Dinge", wie atomar nregung n können ich auf eine ähnlich Art bewegen. Daher er cheint das Phänomen, da wir be prechen oll n, ielfallig in der nter uehung der Ph ik der fe ten Körper. ie werden i h erinnern, da wir iel Bei piele für Zweizu land teme di kutiert haben. Denken \ ir jetzt an in Elektron, da in jeder v n zwei P itionen in kann. obei e i h in jed r Po ition in der lb n Art ., 00 Umgebung b find t. Wir wollen auch annehmen, da e eine gewi e mplitude für den Vb rgang on einer Po ition in die andere gibt und natürlich' die elbe Amplitude für den umgek hrten g, genau 0 wie wir e beim Ion de a er toffmolekül in Ab ehnin 10.1 b procben haben. Di Ge etze der Quantenmechanik liefern dann die folgenden R ultat. gibt für da EI ktr n z ei mögliche Zu tände mit be timmt r Energie. Jeder Zu tand kann durch die mplirud für da Elektron be chrieben werden, da eich in j der der beiden Grundpo itionen b find t. In jedem der Zu lände mit be timmter Energie sind die Beträge die er beiden Amplituden z itlieh kon tant, und di Pha en ariieren zeitlich mit der glei h n Fr quenz. Wenn wir anderer eit da Elektron on einer Po ition au gehen I -

270

13 All breittl1lg in einem Kri rall irrer

en, wird e i h päter in die andere bewegt haben und noch päter \\ ird e wied r in die er re Po ition zurück ch\; ingen. Die Amplitude i t anaJog zu den Bewegungen z\ eier gekopp her Pendel. Betrachten wir nun ein vollkommene Kri tallgitter. wobei wir un vor teilen. da i hein Elektron mit einer be timmten Energie in einer Art ,Loch" bei einem be timmten Atom b finden kann. ehmen wir auch an, da da Elektron eine Amplitude hat. ich in in andere Loch bei einern der benachbarten Atome zu bewegen. Da ähnelt einern Zweizu land tem - aber mit einer zu ätzlichen Komplikation. Wenn das Elektron bei dem bena hbarten tom ankommt, kann eich päter an einen anderen Ort bewegen, aber genau 0 gut auch zu einem Au gang punkt zurückkehren. Wir haben j tzt eine Situation die nicht zu :wei gekoppelten Pendeln analog i t. ondern zu einer unendlichen Zahl on Pendeln, die alle zu arnmengekoppelt ind. E ent pricht etwa dem, wa man bei olchen Apparalen ieht, die au iner langen Reihe on an einem Tor ion draht befe tigten Stäben be tehen. die man in den er ten Ph ikeme tern benutzt. um die Wellenau breitung zu demon trieren. Wenn Sie einen harmoni chen Oszillator haben, der mÜ einem anderen hannoni ehen 0 zillator gekoppelt i t und die er mit noch einem und 0 eiler .... und enn Sie dann eine törung an einer teile beginnen la en, dann wird ich die törung entlang der Linie aJ Welle tarn au fortpflanzen. Die eIbe ituation be teht, wenn Sie ein Elektron in die ähe eine einer Atomkette bringen. Gewöhnlich be teht die einfach te Methode das mechani ehe Problem zu umer uchen nicht darin zu überlegen. a ge chieht, wenn ein Pul on einem be timmten Ort au gehl. ondem eher darin, die Lö ungen für tationäre Wellen zu uchen. E gibt gewi e e chiebun a formen, die ich aJ elle mit einer einzigen fe ten Frequenz durch den Kri lall fonpflanzen. lun ge chieht das eIbe mit dem Elektron - und au dem eIben Grund, weil e quanrenme hani ch durch ähnliche Gleichungen be chrieben wird. Eine mü en Sie jedoch ein ehen: Die Amplitude für das Elektron, an einem Ort zu ein, i t eine Amplitude und keine Wahr cheinlichkeit. Wenn d Elektron einfa h yon einer tell zur anderen dahintlieBen würde wie Wa er da durch in Loch trömt v äre das erhalten ganz anders. enn wir zum Bei piel zwei Wa erbehäher hätten, die dur h in R hr erbunden ind um ein Hinüberftießen vom einen zum anderen zu ermöglich n, dann würden i h die as er tände exponentiell einander angleichen. as aber beim Elektron ge chieht. i tein fließen der Amplitude und nicht nur ein impIes Fließen der ahr cheinlichkeit. nd e i t ein Charakteri tikum de imaginären Au drucke - de i in den Diffi rentiaJglei hungen der Quantenmechanik -, da e die exponentielle Lö ung in eine 0 zillatori h andelt. a dann ge chieht, unter cheidet ich vollkommen von der tfömung Zli i hen erbundenen Behältern. Wir möchten jetzt die quantenmechani chen Verhältni e quan itati unter uchen. tellen Sie ich ein eindirnen ionaJe Sy tern vor, da au einer langen R ihe von Atom n b reht, ie in Fig. 13-1(a) gezeigt i t. (Ein Kri ta]] ist natürlich dreidimen ional, ber die Ph ik i t ehr ähnli h' wenn Sie einmal den eindirnen ionalen Fall er randen haben werden ie auch er tehen können wa in drei Dirnen ionen ge chieht.)

Al äch te \i ollen wir ehen, wa ge chieht, wenn ir ein einzelne Elektron in die e Reihe von Atomen tun. atürlich ind in einem wirklichen Kri tal I hon -illionen v n Elektronen. Aber die mei ten von ihnen (bei einem ichrleirerkri tall fa t all ) nehmen P itionen

271

in irgendeiner Bewegung f rm um ihr eigenes tom ein - und alle ist ganz tationär. H möchten jedoch jetzt üb rle en, ge chieht, wenn \ ir in extra Elektron hineinbringen. ir werden nicht b tra hten. \ a die anderen tun, weil wir annehmen, das e zur Änderung ihrer Bew gung einer hohen nregung energi b darf. Wir erden ein Elektron hinzufügen, wie um ein chwa h gebundene negati eIn zu erzeugen. Bei der Beobachtung, wa da eine e.:rTra Elektron tut, machen ir ine äherung. die da Ge chehen im Inneren der Atome ema hlä -

igt. 10m

b

(a) 0

0

0

0

I

11-3

11-_

n-1

11

0

0

/ (b) 0

0 11

0 0 l n+2 n+

0

EI ktron 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ln-I) (e

0

0

0

0

0

In )

Cd

0

0

0

0

0

Fig. 13-1: Die Basi zu tände eine Elektron in inern eindimen ionalen Kri tall.

In + I}

atürlich könnte ich dann d lektIon zu einem anderen Atom bewegen und dabei das negative Ion an einen anderen Platz übertragen. Wir wollen annehmen, da genau wie im Falle eine Elektron ,da zwi ehen z ei PrOlonen hin und her pringt, da Elektron von einem tom zu dem achbam auf einer der beiden Seiten mit einer gewi en Amplitude pringen kann. tern? elche ind die vernünftigen Ba i zu lände? Wie be chreiben wir nun I hein Wenn Sie ich erinn m \ ie wir orgingen, al wir nur zwei mögliche Stellungen hatten, können Sie ermuten. ie gehen \ ird. ehmen \ ir an, da in un erer Atomreihe die Ab lände alle gleich ind und das ir die tom d r Reih na h numerieren wie in Fig. 13-1(a) gezeigt. Einer der Ba i zu tände i t, d da Elektron beim Atom urnmer 6 i t, ein ander r Ba i zuland i t, d d Elektron bei t m urnmer 7 oder bei Atom ummer 8 und 0 \ eiter i t. Wir können den n-ten Ba i zu tand be ehreiben, indem wir agen da das Elektron bei Atom ummer 11 i t. ag n wir. da die der Basi zu tand In) i t. Figur 13-] zeigt. wa wir meinen mit den drei Ba i zu länden

In - I ),

111) •

und

In + 1 ) .

Wenn wir die e Ba i zu tände benutzen, kann jeder Zustand I cP ) d Elektron in un erem eindirnen ionalen Kri tall be ehri b n werden durch Angab aller mplituden (111 cP), da der Zu tand Iif> ) in inem d r Ba i zu lände i t - womit die Amplitude gemeint i t da er i h bei einem peziellen tom b findet. Dann können ir d n Zu tand I cP) chreiben al Überlagerung der Ba i zu lände 1 wir einen bergang haben der mit iner " orwän pannung" arbeitet - ent prechend der rechten Kur enhälfte in Fig. 14-10. nter die en Bedingungen erden po itiv Ladung träger oder Löcher om p-Ieitenden Gebiet in das li-leitende Gebiet ,emittiert". Sie denken vielleicht, da di er tram au dem n-Ieitenden Gebiet durch den Ba i anchlu b fließt. un kommt jedoch da Geheimnl de Tran i tor. Da n-Ieitende Gebiet macht man ehr dünn - ge\ öhnIl h 10- 3 m oder weniger iel chmaler al die Quer chniusabme ung. Da bedeutet, d die Lö her be~m Eintritt in da n-Ieit nde Gebiet eine ehr gute Chance haben quer hindurch zu der anderen b foang zone zu diffundieren, ehe ie von den Elektronen im n-leitend n Gebiet emi ht t \ rden. enn ie an die re hte Grenz de n-Ieitenden Gebiet komm n finden ie ein n teilen Potentialabhang und fallen ofort in da rechte p-Ieitende Gebiet. Die e Seite de Kri tall heißt Kollektor, weil ie die Lö her ein arnmelt nachdem ie durch d n-leitende Gebiet diffundiert ind. In einem t pi chen ran i tor wird der ge amte Loch tram, der den Emitter verlä t und in die Ba i eintritt bi auf einen Bruchteil eine Prozents im ollektorgebiet ge ammelt. und nur

14 Halbleiter

30

der kleine Re t trägt zum re ultierenden Ba i tram bei. Die umme v nB tram i t natürlich gleich dem Emitter trom.

- und Kollekror-

teilen ie ich vor. wa ge chieht, wenn wir da Potential Vb am Ba i pol t a' erändern. Da wir un an einer relati teilen Stelle der Kurve von Fig. 1.+-10 befinden. wird eine kleine Änderung de Potential Vb eine ziemlich große Änderung de Emitter trom le bewirken. Da die Kollektor pannung Ve viel tärker negativ i t al die Ba i pannung. werden diee kleinen Änderungen de Potential den teilen P tentialberg zwi hen Ba i und Kollektor nicht nennen wert beeinflu en. Die mei ten der po itiven Ladung träger. die in da n-Ge?iet emittiert worden ind. werden noch vom Kollektor gefangen. Folglich .. ird e b i einer nderung de Potential der Ba i elektrode eine ent prechende .. nderung de Kollektor trom le geben. Der we entli he Punkt i t jedoch, da der Ba i tram I b immer nur ein kleiner Bru hteil de Kollektor tram bleibt. Der Transi tor i t ein er tärker: ein kleiner trom I b . der in die Ba i elektrode eingeführt wird, ergibt einen großen tr rn-etwa 100mai höher - an der Kollektorelektrode. 1 un

Wa i t mit den Elektronen - den negati en Ladung trägem. die wir bi h r vema hlä igt haben? Beachten ie zuer t, da wir keinen nennen werten Elektron n tram zwi chen Ba i und Kollektor en arten. Bei einer hohen negativen pannung am Kollektor mü ten die Elektronen in der Basi einen ehr hohen Potentialenergieberg be teigen und die ahr cheinli hkeit dafür i t ehr klein. Es gibt einen ehr kleinen Elektronen trom zum Kollektor. Anderer eit können die Elektronen in der Ba i in da Emiltergebiet gehen. ie erwarten vielleicht tat ächlich. da der Elektronen trom in die er Richtung mit dem Loch trom om Emitter zur Ba i vergleichbar i t. Solch ein Elektronen tram i t nicht nütz)i h. ondem im Gegenteil chädlich. weil er den Ge amrba i trom erhöht, der für ein n geg benen L"chertram zum Kollektor erforderJi hit. Der Tran i Lor wird dah r 0 ent\ orfen. da . drEI ktr nen tram zum Emitter minimal wird. Der Elektronen tram i t proportionaJ zu ,,(B i). der Dichte negativ r Ladung träger im Ba ismaterial, während der Lo h tram vom Emitter abhängig i t von p (Emitter), der Dichte po itiver Ladung träger im Emin roebi l. \ enn wir da n-Ieitende Material verhältni mäßig wenig dotier n. kann n Basi ) viel kl iner a1 p Emitter) gema ht werden. (Dazu trägt auch das sehr dünne Basi g biet in hohem Maße bei, weil da durch den Kollektor bewirkte Herau chwemmen der Löcher den dur h hnittlichen Loch tram vorn Emitter zur Ba i bedeutend teigert, j doch den Elektronen trom ung änd rt lä L) Da Endergebni i t, da der Elektronen trom dur h den Emill r-Ba i -" bergang ehr viel Icl iner al der Loch tram gemacht werden kann, 0 da die Elektronen keine bed ur nd R 11 für die irkung wei e de p-n-p- Tran i tor pielen. Die tröme, erd n durch die B weguno d r Lö her beben eht, und der Tran i tor arbeitet al Ver tärker, \ ie wir oben be chri b n hab n. E i t auch möglich. durch Vertau chung de p-Ieitenden und n-Ieit nd n at rial in Fig. 14-11 einen Tran i tor herzu tellen. Dann haben wir einen 0 g nanmen 11- p-n- Tran i tor. Beim n-p-n-Tran i tor werden die Ströme haupt äehli h von Elektronen getrag n. die vom Eminer zur Ba i und von dort zum Kollektor fließen. Offen ichtli h treffi n alle rgum nt . die \ ir für den p-n-p- Tran i tor angeführt haben auch auf den n-p-n- Tran i tor zu. \ enn die Potential der Elektroden mit entg genge etzten Vorzeichen ge ähIt rden.

15

Die Näherung unabhängiger Teilchen

15.1

Spin- ellen

In Kapitel 13 entwickelten \ ir die Theorie der· onpflanzung eine lektron oder ein anderen "Teil hen ", i etwa einer atomaren nregung. durch ein Kri tallgitter hindurch. Im letzten Kapitel hab n \ ir die Theorie auf Halbleiter ang wandt. AI ir aber über Situationen prachen, in denen viele lektronen orhanden ind, haben wir irgendwelche Wech elwirkungen zwi ehen ihnen nicht und omit natürli h nur eine äherung erhalten. In die em Kapitel wollen wir weiterhin den G dank n di kutieren, da man die Weeh eh irkung zwi ehen den Elektronen außer cht la n kann. ir wollen di Gelegenheit auch nutzen, um [Imen einige weitere Anwendungen für die Theorie der ~ortpflanzung von Teil hen zu z igen. Da wir au h weiterhin die ech elwirkungen zwi h n den Teilchen allgemein erna hlä igen werden. gibt e in die em Kapitel ehr wenig irklieh eue, abge ehen von den neuen Anwendung bei pielen. Da er te Bei pie!. da betrachtet werd n oll, i t jedoch 0 be ehaffen. da e möglich i t. die ri hri o n Gleichungen ganz genau niederzu chreiben. auch wenn mehr al ein Teilchen" orhand n i t. Davon au gehend werden wir erkennen können, wie die Täheruno der Vernachlä igung n h Iwirkungen gemacht i t. Wir wollen da Problem jedoch nich~ ehr eingehend behand In. Al er t Bei piel betra hlen ir eine .,Spin- Welle" in einem ferromagneti ehen Kri tall. Die The ri d F rr m gn ti mu haben ir in Kapitel 36 on Band II be pro hen. Bei der Temperatur null ind alle lektr n n pin , die zum agneti mu in einem ferromagneti ehen Kri tall beitragen, parallel. E gibt eine W eh elwirkung energie zwi eh n den Spin di am niedrig ten i 1. wenn alle pin nach unten g ri hlet ind. Bei jeder anderen Temperatur gibt e jed ch eine han e, da inig der pin umo dr ht \ erden. ir hab n die \ ahr cheinli hkeit näherung w i in Kapitel 6 b r 11l1et. Di mal I; oll n wir di quantenmechani ehe Theorie b chreiben -damit ie eh n. wa ie tun mü n.. nn Sie da Probl me akter lö en wollen. (Wir möchten noch einige Ideali ierung n machen. indem wir ann hm 11, da die Elektr nen bei den Atomen lokali i rl. ind und da die pin nur mit b nachbarten pin \;>,'e helwirken.) ir betrachten ein odelI, in d In die Elektronen bei j d m tom alle. bi auf eine. in Paaren angeordnet ind, da der ge amte magneti eh Eff kt on einem pin-l-Elektron pro Atom herrühn. Fern r teilen wir un vor, da ich die e Elektronen an den Atömplätzen im Gitter b find n. a deli nt po hr ungefähr m talli hem iekel. Wir nehmen auch an, d e i n e eeh elwirkung zwi ehen zwei b liebig n benaehbanen pin-Elektronen gibt, di folgenden ~ rm in der Energie d tem liefert

E=~K(Tj.(Tj' I,j

(15.1)

15 Die ähenmg unabhän iger Teilchen

310

wobei die (7"' die Spin dar tellen und ich die ummierung über alle bena hbarten EI ktronenpaare er tre kt. Wir haben eine derartige Wech e1wirkung energie chon be pro h n, al ir die Hyperfeinauf paltung de Was er toff betrachteten, deren a h di h el irkung der magneti chen Momente von Elektron und Proton in einem r loffatom i t. ir haben das damal au gedruckt durch AO'"e . U . Für ein gegeb ne Paar agen ir die Elektronen bei Atom 4 und Atom 5, wäre nun der Bamiltonoperator -Ku - 0'"5' ir haben inen Term für jede die er Paare, und der Hamiltonop rator i t (wie ie für kJa i ch Energien envarten würden die umrne die er Terme für jed wech el irkende Paar. Die Energi wird mit dem Faktor -K ge chrieben 0 da ein po iti e K dem F rrornagneti mu entsprichtdas beißt, die niedrig te Energie ergibt sich, wenn benachbarte pin parallel ind. In einem irklichen Kri tall kann e andere Tenne geben, die ech eh: irkungen mir d n übernächstell achbarn ind und 0 eiter, wir brauchen aber olche Komplikation n auf die er tufe nicht zu berüc ichtigen.

Mit dem HamiJtonoperator der GI. (15.1) haben wir eine voll tändige Be hreibung de Ferromagneren - innerhalb unserer äherung -, und e ollten ich die Eigen chatten der 1agneti ierung ergeben. Wir ollten auch die au der . agneti ierung folgenden thermod nanti eben Eigen chaften be chreiben können. Wenn ir alle Energieni eau finden können ind die Eigen haften de Kri tall bei einer Temperatur T au dem Prinzip erhältlich das die Wahrscheinlichkeit, ein Sy tem in einem gegebenen Zu tand der Energie E zu find n proportional zu e-EIKT i t. Die e Problem wurde nie voU tändig gelö t. Wir werden einige der Probleme in einem infachen Bei piel aufzeigen. in dem alle tom in einer Reihe - in einem eindimen ionaJen Gitter - ind. Sie können die Gedanken leicht auf drei Dimensionen erweitern. An jeder Atom lelle gibt e ein Elektron d zwei mögliche Zu tände hat. entweder Spin nach oben oder pin nach unten, und da ganze lern" ird durch die Angabe be chrieben, wie alle pin angeordn t ind. ir nehmen d n Operator der Wech e1wirkung energie al Hamiltonoperator de Sy Lern. enn wir die pin- ektoren on Gl. (15.1) al Sigma-Operatoren - oder Sigma-Matrizen - interpr tieren chreiben wir für da lineare Gitter:

H~ --

Z --A2

~

0'" n

. (T ~ n+ I

(15._

.

n

In die er Gleichung haben wir au Bequemlichkeit gründen die Kon tante al A/2 g ( 0

das einige der päteren Gleichungen genau gleich denen in Kapitel 13

hri ben

erden).

elche i t nun der niedrig te Zu tand die e tem ? D r Zu tand niedrig ler Energie lf können die n liegt dann or, wenn alle Spin parallel ind - agen wir, alle nach oben. Zu tand al I ... + + +...) oder I gnd) für "Grund- oder niedrig ten Zu Land hreiben. E i t leicht, die Energie für die en Zustand zu berechnen. Eine etbode be teht darin, d man alle vektoriellen Sigm durch ~, 6; und ~ au drückt und orgfaItig au arbeitet, wie jed r T rm de Hamiltonoperato auf den Grundzu tand wirkt, und dann die Ergebni e addi rt. ' ir k"nn n

-;-Der Grundzustand i I hier in Wirklichkeit "entarter"; e gibt ander Zustände mit del'ielbell En rgi - zum Beipiel alle Spins unten cxIer alle in irgendeine andere Richrung. Das gering le äußere F Id in ~-Richrung wird eine andere Energie Ur alle diese Zustände ergeben. und der on un gewählte Gnmdzu land wird der ri htig in.

J5.1 Spin- Wellen

311

jedoch auch ine gute bkürzung verwenden. Wir ahen in Ab chnitt 12.2, das {Ti' (Tj durch die PauLi- pinau tau hoperatoren folgendermaßen au gedrückt werden konnten: A

{T;

•

A

{T j

_

- (

2t'... pinauslau r'J A

h _

L)

(15.3)

•

Spinaustau h

.

wobei der Operator Pij die Sptn de i-ten und j-ten Elektron au rau cht Mit die er Sub titurion wird der Hamiltonoperator zu A

H

lausch = -A LJ(Pn,/1pinau I '"

A

1

2)'

(15.4)

n

E i t jetzt leicht au zurechnen a mit erschiedenen Zu tänden ge chieht. Wenn zum Beipiel i und j beide nach oben ind, dann bleibt beim Austau eh der Spin alle ungeändert. Wenn daher Pij auf den Zu tand angewandt wird, ergibt ich wieder der eIbe Zu tand, wa einer Multiplikation mit + 1 glei hkommt. Der Au druck (P jj - ~) i t gerade gleich ~. on nun an wollen wir den be chreibenden oberen Index arn P weglas en.) Beim Grundzu tand ind alle pin nach oben' wenn Sie daher ein pezielle Spinpaar austau ehen, erhalten ie ieder den ur prünglichen Zu rand. Der Grundzu tand i tein tationärer Zu rand. enn ie auf ihn den Hamiltonoperator anwenden erhalten Sie wieder den eIben Zuland, multipliziert mit einer umme on 'D rmen, -(AI2) für jede Spinpaar. Das heißt die Energie d y t m im Grundzu tand i t -A12 pro tom. AI äch te woll n wir die Energien von einigen der angeregten Zustände betrachten. E wird gün tig ein ich b i der e ung der Energien auf den Grundzu tand zu beziehen - da heißt den Grundzu rand al nergienullpunkt zu wählen. Wrr können dies erreichen indem ir die Energie A/2 zu jedem Term in dem Hamiltonoperator addieren. Das ändert nur das , in GI. (15.4) in ,,1 um. n r neuer Hamiltonoperator i t

l'

fJ = -A IePn.n+l -

1).

(15.5)

n

Mit die em Hamiltonoperator i t die Energie de niedrig ten Zu tande null' der Spinau tau choperator i t einer uJtiplikation mit der Einheit gleichwertig (beim Grundzu tand) die ich gegen die ,J ' in jedem Term aufbebl. mander Zu tände al d n Grundzu tand zu be chreiben, werden ir ein geeignete tem on Ba i zu tänden b nötigen. Eine bequ me Methode ist eine Gruppierung der Zu rände, je nachdem ob ein Elektron den pin unten hat oder zwei Elektronen den pin unten haben und o weiter. E gibt natürli he viele Zu tände mit einem Spin nach unten. Der nach unten gerichtete pin könnte b i tom ,,4' der b i Atom 5' oder bei Atom ,6 , ... ein. ir können tat ächlich infach oIehe Zu tände al un ere Ba i zu tände wählen.. lT könnten i folg ndermaßen chreiben: 14>, 15> .16> •... E wird jedoch päter bequemer ein, wenn wir d ..be ndere tom" - da mit dem Elektron mit Spin nach unten - durch eine Koordinate x kennzeichnen. Da h ißt wir definieren den Zu tand I X s > al einen Zu tand bei

15 Die ähenmg unabhängi erTeilehen

312

dem alle Elektronen den Spin nach oben haben, bi auf da ein beim Atom bei x 5 , da m Elektron mit Spin nach unten hat ( iehe Fig. 15-1). Allgemein i t Ixn ) der Zu land mit in m nach unten gerichteten Spin, der ich bei der Koordinate x n de n-ten tom befindet. b

-3 -2 -1

0 1 _ 3 4 5 6 7

Fig. 15-1: Der Ba i zu tand Ixs ) merlin aren

I

unten i t.

I

x-

der pin. Alle pin

ordnung ind oben bi auf den einen bei xS' der

Wie i t die Wirkung de Hamiltonoperator (15.5) auf den Zu tand Ix-) . Ein Tenn de HamiJronoperator i t, agen wir, -A(?7,8 - I). Der Operator hatP. tau ht die z ei .pin der benachbarten Atome 7, 8 au . Aber im Zustand I X s )ind die e beiden ob n und mehts ge chieht; i t einer ultiplikation mit 1 gleich ertig:

"7

Darau folgt

t m5 Folglich ergeben alle Terme de Hamiltonoperator null- bi aufjene natürlich, die da enthalten. uf den Zu tand Ixs ) angewandt tau cht ?4 S den pin von Atom 4 (oben) und Atom 5 (unten) au . E ergibt ich ein Zu tand mit allen' pin oben bi auf d tom b i Xot· D heißt

Genau

0

ergibt ich

Daher ind die einzigen Term de Hamiltonoperator

die übrigblei

n, -

-A(P-. 6 -l)· Auflxs ) angewandt liefern ie -A Ix4 ) +A Ixs ) beziehung wei Das Ergebni i t

(P4. - I) und

-A Ix6 ) + A IX5)'

(l .6 n

enn der Hamiltonoperator auf den Zustand Ixs ) angewandt

mpliird, fühn er ein tude. im Zu tand Ix.j) und Ix 6 ) zu ein herbei. Da bedeutet infa h, d in g WI nn Wlf Amplitude gibt. das der nach unten gerichtete pin zum näch ten Atom ü r pringt. mit einem pin nach unten beginnen, wird e daher wegen der ech elwirkung z i hen d n

15. J Spill- Wellen

313

pin irgendeine ab! heinlichkeit g ben. da zu iner päteren Zeit ein anderer tattde en unten i t. Ange andt auf den allgemeinen Zu tand Ix,,) ergibt der Hamiltonoperator (15.7)

Beachten Sie be ond r , d enn wir ein oll tändige Sy tem on Zu tänden mit nur einem Spin nach unten n hmen, ie nur unter inan der gemi ht werden. Der Hamiltonoperator ird die e Zu tänd niemaJ mit anderen, di mehr Spin nach unten haben mi ehen. Solange ie nur Spin au tau hen. erd n Si niemal die G amtzahl nach unten gerichteter Spin ändern. E wird bequem in. die atrix chreib ei e für den Hamiltonoperator zu benutzen, agen wir Hn,ln == (xn I HI XIII) ; GI. (15.7) i t gleichbedeutend mit H n•n

H".n+l

R n•m

= 2A, = H".n_1 :=

0,

(1-.8)

= -A,

für In - ml > I .

Welche ind jetzt die Energi ni eau für Zu tände mit einem pin nach unten? ie gewöhnlich ei C" die rnplitude, da irgendein Zu tand II/J) im Zu tand I x,,) i t. Wenn II/J ) ein Zu tand mit be timmter En rgie ein oll, mü en alle C zeitlich auf die elb Art ariieren, nämlich: II

Cn

= a " e-iEtlh .

Wir können di en Lö ung an atz in un re g

(15.9)

"hnliche Hamiltongleichung

(15.10)

ein erzen, indem ir GI. 15. ) für di atri elemente benutzen. atürlich rhalten wir eine rden al unendliche Zahl on Glei hung n. aber ie können alle ge chrieben (15.11)

Wir haben ieder genau da elb Pr blem, da wir in Kapitel 13 au gearbeitet haben nur da wir dort, \ 0 ir Eo hanen, jetzt 2A haben. Die Lö ungen entspre hen den Amplituden en (den Amplituden für pin unten) di ich im Gitter fortpflanz n mit einer Fortpflanzung kon tanten k und einer n rgie E

= 2A(l -

co kb),

wobei b die Gitterkon tante i t.

15.12)

15 Die

314

äherunf? unabhtin iger Teilchen

Die Lö ungen mit be timmter Energie enr prechen" ellen"' de nach unten gerichteten Spin - die" pin-Wellen" genannt werden. Für jede \ ellenlänge gibt e dabei eine ent prechende Energie. Bei groBen Wellenlängen (kleine k) arji rt die e Energie wie

Genau wie vorher könn n wir ein lokali iene \ ellenpaket b trachten (d j do h nur groB Wellenlängen enthält), da einern Elektron mit pin nach unten in einern Teil d Gitter entprichl. Die er nach unten gerichtete pin wird ich wie ein ..Teil hen" verhalten. "eil In Energie mit k durch (15.13) verknüpft ist, wird da "Teilchen" eine effektive Mn e (1-.1'+)

haben. Die e "Teilchen" werden manchmal,. agnon" genannt.

15.2

Zwei-Spin-Wellen

un mö hten wir be prechen. was ge chieht, wenn e zw i nach unt n "eri hl te pin gibt. Wieder wählen wir ein Sy lern von Ba i zu tänden au . \ ir woll n Zu lände \ ählen. bei denen e na h unten gerichtete Spin bei zwei Atomplätzen gibt. ie bei dem in ig. I ~-­ gezeigten Zu land. ir können olch einen Zu land durch die x-Koordinat n d r z i Plätze mit nach unten gerichteten Spin kennzeichnen. Der gezeigte Zu land k nn Ix2 • x ) werden. Ganz allgemein ind die Ba i zu lände Ix", x m ) - ein z ifach un ndliche t m~ In die em Sy rem für die Be chreibung i t der Zu land IX~'.\"9) genau der eibe Zu t nd \ i Ix9, x.. ). \ eil jeder einfach besagt, d e je einen nach unten geri hteten pin bei -l und 9 "ibt: die Reihenfolge hat keine Bedeutung. Außerdem hat der Zu land I x.j. x.. ) k ine Bedeutung, o etwa gibt e nicht. Wlf können irgendeinen Zu tand 11/1) be hr ib n dur h ngab d r Amplituden, in jedem der Ba i zu tände zu ein. Folgli h b deut t m,n = (xm,xnll,tr) j Lzt die Amplitude für ein Sy tem im Zu tand Il,tr) in inern Zu tand zu ein. in dem owohl da' m-te al auch das n-te Atom einen nach unten g richteten pin haben. Die j tzt auftr t nd n Scb\>\ ierigkeiten ind keine gedanklichen - ie ind nur erwi kJungen in der Bu hführung. (Eine der Schwierigkeiten der Quantenmechanik i t die e Buchführuno. ~it mehr und mehr nach unten gerichteten Spin wird die Schreibwei e immer müh amer, mit vielen Indize und die Gleichungen ehen immer ehr ab chreckend au . die .. b rlegung n mü n aber ni ht unbedingt komplizierter ein al im einfach len Fall.) Die Bewegung gleichungen des pin y tem ie lauten

. dCn.m = rh-dt

ind die Diff. r ntialglei hung n ür di

Z

I .1 )

... Hflm.,je,j'

i.j

-3 -2 -1

0

I 2 3 4 5 6 7

fl.m

Fig. r-2: Ein Zu land mit zwei n hunten gen hteten pin.

15.2 Zwei-Spin- \ ellen

31~

Angenommen, wir möchten die lati nären Zu tände finden. ie gewöhnlich ind die Ableimplituden, und die Cm , 11 können durch die Koeffizienten atn,1I tungen nach der Z it E mal di er etzt werden. I äch te mü en wir die Wirkung on H auf einen Zu land mit den Spin mund n nach unten rgfältig au arbeit n. E i t nicht chwer au zurechnen. ehmen wir rur einen oment an, da 111 und Il weit genug oneinander entfernt ind. 0 da wir un nicht um die naheli gend n chwierigk it n zu kümmern brauchen, Die Austau choperation an der SteIle XII ird den nach unten g richteten pin ntweder zum Atom (n + 1) oder (Il-l) ver hieben. und e gibt daher eine mplitude, da der orliegende Zu land au dem Zu land Ixm , XII I > lammt, und eben 0 eine mplirud, da er au dem Zu land Ixm , x n _ 1 > herkommt. E kann ich aber auch der and r pin bewegt haben; gibt daher eine g wi e Amplitude, das Cm,n von Cm +l.n oder on Cm _1.11 herrührt. Die e Effekte oUten alle gleich ein. Da Endergebni der Harnilrongleichung mit 111.11 i t ~

Ea m ,lI

=-

(am

\,11

+ am_I,n + a m

~

,lI

I

+ am ,II_I) + 4Aa m

,lI'

(1-.16)

Die e Gleichung i t nur in zw i iruationen nicht ri htig. Wenn 111 = Il i t. gibt e überhaupt keine Gleichung, und wenn m = 11 ± 1 i t, dann ollten zwei Terme in GI. (l5.16) fehlen. Wir werden die e Alt nahmen wlberiicksichti t la en. Wir ignorieren einfach die Tat ache da einige enig die r GI ichungen et geändert ind. Schließlich n hmen wir an, da der Kri tall unendlich i ( und \ ir ine unendliche Zahl on Tel-men haben; enn wir ein paar ernachlä igen ird da nicht iel au ma hen. Für eine er te grobe äherung wollen wir daher die geändenen Gleichungen erge en. Mit anderen Worten, wir nehmen an, da GI. (15.16) für alle mund 11 gilt. au h für n b n inander liegende 111 und /1. Dies ist der ~"\ esentliche Teil unserer Näherung. Damit i (die Lö ung ni ht chw r zu finden. Wir rhalten ofoft

Cm,n

=am.ne -iErlh •

15.17)

mit

(15.1 ) wobei

E

= 4A -

2A c

kib - 2A

(15.19)

Bedenken ir für in n memo ge chehen würde, wenn wir z ei unabhängige einzelne Spin- ellen hätten (wie im origen b chnitt) ent pre hend k = k 1 und k = k2 ; nach GI. (15,12) hält n ie En rgien von

und

316

j-

Beacht nie. d

Die

die Energie E in G1. (15.19) einfa h di

ähenmg 1l1labhän iger Teilchen

umme i t:

Mit anderen \ orten. v ir können un ere Lö ungen folg ndermaßen betracht n. E gibt Z\vei Teilchen - da heißt, zwei pin-Wellen. Die eine hat einen Impul . der dur h kl' und die and re einen, der durch k2 be chrieben i t. und die Energie de tem i t die umm der Energien der beiden Obj kle. Die beiden Teilchen verhalten i h vollkommen unabhängig. 1 hr i t da nicht zu tun. atürli h haben wir einige äherungen gemacht. aber wir mö hten di Genauigk it un rer Lö ung an die er teile nicht di kutier n. Sie werden i h jedoch viellei ht denk n. d in einem Kri tall von vernünftiger Größe mit Milliarden on tom n - und dah r mit Milliarden von Termen in der Hamiltongleichung - die Au la ung von in paar Termen keinen groß n e eine nennen Fehler dar tellt. Wenn wir 0 viele nach unten gerichtete pin hätten. d werte Dichte gäbe, dann mü ten wir un icherlich um die Korrekturen bemühen. [E i t recht intere ant. da eine genaue Lö ung angegeben werden kann. wenn grade die zwei nach unten gen hteten Spin gibt. Da Ergebni i t nicht be ond r wichtig. ber e für die TI Fall die Gleichungen e akt gelö I \\ rden k"nnen. Die Läung i t inrere ant. d i

I:

(15._1)

mit der Energie

und mÜ d n kI

ellenzahJen kc und k, die mil k l und kz erknüpfr iod dur h 1-.__ )

= kc -k '

Die e Lö ung hli ßt die .,Wech Iwirkung" der zwei Spin ein. ie be hr ibt die Tat ehe, da e beim Zu ammenkomm n der pin ein ge i e Chance für lT uun c cibt. Di pin verhalten i h ehr ähnlich wie ~ ilchen mil einer ech Iwirkung. Die au führt i h Th ri ihrer treuung geht aber über da hinau, wa wir hier b prechen ollen.]

15.3

Unabhängige Teilchen

Im letzten Ab chnin chrieben wir ein Hamiltongl i hung, GI. (1 -.1 ). für in Zv. iTeilchen- Y lern auf. nter Verw ndung einer räherung, die d r erna hl" it;ung j der ., ech e1wirkung"' der zwei Teilchen gleichkommt, fanden wir dann di dur h die GIn. ( I -.1 ) und (l -.1 be chriebenen tationären Zu tände. Die er Zu land i t inf ch da Pr dukt von zwei Ein-Teilchen-Zu tänden. Die Lö ung, die wir für Q m.n in GI. I .1 ) aller geben hab n. i t jedoch in 'V irklichkeit nicht b friedigend. Wir haben orher hr orgfällig bIOnt, das d r ~

15.3 Unabhängige Teilchen

17

Zu tand Ix9 • x~) kein anderer Zu tand a1 Ix~. x 9 ) i t - die Reihenfolge von '\n und x/I hat 'eine Bedeutung. Ganz allgem in darf i h der algebrai he u druck für die Amplitude Cm . n nicht ändern, wenn wir die erte von XIII und x/I au tau hen, da die den Zu tand nicht verändert. In jedem Fall ollle r di mplitude dar lellen. einen na h unten gerichteten Spin bei x m und bei x /I zu find n. Bea hlen ie aber da (15.1 ni ht ymmetri ch in xm und x/I i t - da k] und k.,_ im Allgemeinen ver hied n ein können. Die S hwi rigkeit b I hl darin. da wir un ere Lö ung von G1. (15.15) nicht gezwungen haben die e Zu atzbedingung zu b friedigen. Glücklichenvei e i te leicht. da zu ergänzen. Beachten Sie zuer l, da

eine Lö ung der Hamiltongl i hung i t, die genau'o gut wie (15.18) i t. Sie hat ogar die eibe Energie,diewirfür(1 .1 )erhi Iren.J deLinearkombination on(1-.1 ) und (l5._3)i tauch eine gute Lö ung und hat eine EnerO'i ,di n h durch GI. (15. J 9) g geben i t. Die Lö ung. die wir hätten wählen ollen - we",en un erer S mmetrieforderung -. i t einfach die Summ von 15.1 ) und (15._3 :

Cl

._-+)

Bei org g b nem k 1 und k'). i t j [zt die mplitude CIII ." unabhängig davon wie wir.llll und ':\'Il teHen - wenn wir zufällig XIII und x" um o kehrt definieren, erhalten wir die eibe Amplitude. n ere Interprelati n n GI. (15.24) durch die ..Magnon .. mu auch ander ein. Wir können nicht mehr agen, da di GI i hung ein Teilchen mit d r Wellen zahl k l und ein -,reile Teilchen mit drellenzahl k"2 dar tellr. Die mplilude (15.24) teIlt einen Zu Land mit z ei Teilchen ( agnon) dar. Der Zu land i t charakteri iert durch die z ei eil nzahlen k, und k2 · Un ere Lö ung ieht au wie ein zu ammenge etzler Zu tand au in m Teil hen mit dem lmpul PI = fik l und einem anderen ~ ilch n mit d mImpul P2 = fik"2' \ ir können ab r in un erem Zu tand nicht agen, \ elche Teilchen welche i l. Bi her ollt i die Di ku ion an Kapit I 4 und un ere Ge chi hte on den identi ehen Teil hen rinnern. ir hab n eb n gezeigt. da die Teilchen der pin!len - die Magnon _ ich ie identi eh Be-Teil h n erhalt n. 11 rnplituden mü en in den oordinaten der zwei Teilchen mm tri ch in - a da eibe i t al '..venn man agt, da ~ ir bei einer " ertau hung d r z ei ~ iJchen" \1,1 i d r di 1b mplitude mit d rn elb n orz i hen erhalten. Ab r ie üb rl b nielleicht \ arum wir denn be ehlo en hab n, die zwei Terme bei der uf tellung d r GI. (1-.24 zu addiere/!. arum nicht ubtrahieren? Bei einem Minu zeichen ürde in u tau h on xm und xil gerad da orzeich n on am /! erändern. was nich au macht. b r in u lau h von xm und Xli ändert nicht - a11 Elektronen de Kri tall ind genau da, wo i orher war n. 0 da e al nicht inmal für da orzei hen der Arnplitud einen Grund ibt, ich zu v ('nd rn. Die agnon rden ich wie Bo e-Teilchen rhalten.i" TIm Allgemeinen lönn n i h die Qua ileilehen der rt, ~ ie wir ie be prechen. enrweder wie 80 e-Teil hen oder wie Fermi-Teilchen verhalten, und \\ ie bei freien Teil hen ind die Teilchen mit ganzzahligem Spin 80 onen und jene mit halbzahligem pin ermionen. D ..agn n" teht für ein umgedrehte pin-oben-Elektr n. Die Ällderung de pin il eins. Da Magnon haI einen ganLZahligen Spin und i I ein 80 on.

1- Die 'äherunf? unabhänf?i!?er Teilchen

318

Die Hauptpunkte die er Di ku i n waren zwei: Er ten Ihn n etwa über pin- ellen zu zeigen und z\ eiten einen Zu tand vorzuführen, de en mplitude ein Prodl/kl von zw i ffiplituden und de en Energie die Summe der den zwei mplituden ent prechenden Energi n i r. Bei unabhän i en Teilchen i t die Amplitude da Produkt und die Energie die umme. ie können leicht ehen. warum die Energie die urnme i 1. Die Energie i t d r K ffizi nt von t in einem imaginären Exponentialau druck - ie i t prop rtional zur Fr quenz. \ nn zwei Objekte etwa tun. ein mit der Amplitude e-iEI,/h und da andere mit der mplilUde e- r/:.: I / h . und wenn die Amplitude, da die beiden Dinge zugleich eintr t n. da Produkt der Amplituden für jede einzelne i t. dann gibt e eine einzig Frequenz in dem Pr duke die die umme d r zwei Frequenzen i t. Die dem Amplitudenprodukt nt prechende Energie i t die Summe der z ei Energien. ir haben eine verwickelte Argumentation durchgeführt, um Ihn n m·a Einfa he zu agen. enn Sie eine Weeh eJwirkung zwi ehen den Teilchen nicht berück i htigen. önn n Sie jede Teilchen für ich betrachten. Sie können indi iduell in ielen \ep,)chiedenen Zu Länden. die ie aJlein hätten, exi tieren, und jede wird die Energie beitragen. die e hätt . \ nn e allein wäre. Sie rnü en jedoch bedenken. da ie ich wenn e identi che ~ ilch n ind, in bhängigkeit von dem Problem entweder wie Bo e- oder wie Fermiteilchen verhalten könn n. Zwei dem Kri tall hinzugefügte zu ätzliche Elektronen zum Bei pi I mü ten i h wie Fermiteil hen erhalten. enn die Plätze der zwei Elektronen au getau cht werden. mu di mplitude das orzeichen ändern. In der Gl. (15.24) ent prechenden Gleichung mü te e in inu z i hen zwi chen den heiden rechten Termen geben. Folglich können zwei Fermi-Teil hen nicht in genau dem elben Zu tand ein - mit gleichen pin und gleichen k' . Die rnplitude für die n Zu tand i t null.

15.4

Da Benzolmolekül

Obwohl die Quantenme hanik die Grundge etze liefen, die die Molekül truktur n b timmen. können die e Ge etze nur auf die einfach ten Zu ammen etzungen e akt ang wandt werden. Die Chemiker haben daher er chieden äherung methoden zur Berechnung einiger Eigen chaften der komplizierten Moleküle au gearbeitet. ir mö ht n Ihn n jetzt z igen. wi di äherung unabhängiger Teilchen von den organi ehen Chemikern b nullt vird. ~ ir beginnen mit dem Benzolmolekül. In Kapitel 10 di kutierten wir da Benzolmolekül von einem anderen tandpunkt u. D n haben wir in einer äherung dar teilung da Mol kül a1 Z ei-Zu tand - y rem b hand Ir. mit den z ei in Fig. 15-3 gezeigten Ba i zu tänden. E gibt da einen Ring von eh hlen ( ffaromen, obei an jeder teile ein Wa er toffatom an das KoWen t ffatom g bund n i 1. Bei dem gebräu hJichen Bild der Valenzbindungen i t e not endig, D pp Ibindungen zwi h n der Hälfte der KoWen roffatome anzunehmen, und im niedrig ten Eneroj zu t nd gibt e Z\ J i öglichkeiten. die in der Figur gezeigt sind. E gibt auch andere. n r eti h höhere Zu lände. Al wir da Benzol in Kapitel 10 di kutierten, nahmen wir in a h die zwei Zu lände und rgaßen alle ander. ir fanden, das die Grundzu tand nergie de 10lekül ni ht 01 i h der Energie von einem der Zu tände in der Figur war, ondern um einen Betrag. d r der mplitude für einen Übergang von einem die er Zu tände zum anderen prop ni nal i t, ni drig r al

die e.

15.4 Das Ben;.olmolekiil H

H

\

11 )

H-C

319

c-

/

I!

-H

/

\ /

H

H

H

H

/

\

C=C

12>

\

/

H-

\

C-H

I!

C-C

/

H

H

Fig. /5-3: Die zwei Ba i zu lände für das Benzolmolekül. die in Kapitel 10 benutzt wurden.

Jetzt werden ir da elb lekül on einem ganz anderen Standpunkt aus betrachten wobei ir eine andere Art on äherung benutzen. Die z\ ei Standpunkte werden un er chiedene Re ultate geben, \ enn wir ab r j de äherung erbes m, oilte ie zu der Wahrheit, einer gültigen Be chreibung d Benzol, führen. enn wir un jedoch nicht um eine erbe erung bemühen, a natürli h g ähnlich der Fall ein wird, dann ollten Sie nicht überm cht ein, wenn die zwei Be chreibungen nicht genau überein timmen. Wir w rden zuminde t zeigen, das auch on dem n uen Standpunkt au die niedrig te Energie de Benzolmolekül niedriger a] jede der Dreierbindung trukturen on Fig. 15-3 i t. Wir mächten jetzt da folgende Bild b nutzen. Angenommen, ir tellen un d.i ech Kohlen toffatome eine B nz lmol kül nur durch Einfa hbindungen erknüpft or. Je In Fig. 15-4. ir haben ech EI ktronen entfernt - da eine Bindung für ein Elektronenpaar teht _, daher hab n \ ir ein e h fa h ioni ierte Benzolmolekül. ir wollen jetzt überlegen, wa ge chieht, wenn \ ir die ech Elektr nen ein nach dem anderen zurücktun, wobei wir un or tellen. da jede frei um cl n Ring laufen kann. ir nehmen auch an, da alle in Fig. 15-4 gezeigten Bindungen bge ättigt ind und ni ht weiter beachtet zu werden brau hen.

Wa ge chieht, wenn ir in Elektr n zurück in da Molekülion bringen? E könnte ich natürlich an irg ndeinem d reh Plätze auf dem Ring befinden - wa ech Ba i zu Länden en pricht. E ürde au hein ge i e mplitude, agen wir A haben um 011 einem Platz

H

H

\

/

I

\

H-C 6+ C-H \

/

H

C-C

/

\

H

Fig. 15-4: Ein Benzolring, au dem ech Elektronen entfernt ind.

320

zum näch ten zu gehen. \ nn wir die tationären Zu tände unteThuchen. gäbe e be timmte mögliche Energieniveau . Da gilt nur für ein Elektron. AI 'äch te fügen wir ein zweite Elektron hinzu. nd j tll ma hen \\ ir die \eITÜ kte te äherung. die Sie ich denken können - da , was das eine Elekll"OfI tut, Idrd l'Oll dem, lI'Cl das andere tw, nicht beeinflusst. atürlich wird e in \ irkli hkeit ine \\e hel\\ irkung geben: ie loßen einander durch die Coulombkraft ab. und wenn ie beide an dem eIben Platz ind. mü en ie außerdem eine Energie haben. di recht ver chieden vom Zw ifa hen der Energie i t. die eine dorr hätte. icherlich i I di äherung unabhängig r -r, il h n ni hl gerechtfertigt. wenn e nur e h Plätze gibt - be onder wenn wir sech Elektronen hineinbringen wollen. icht de IOweniger waren die organi hen Chemiker in der Lage. eine. leng zu lernen. indem ie die e äherung methode durchführten.

H H

H

"c=c/ /

H

Fig. 15-5: Da Äthylenmolekül.

Bevor wir das Benzolmolekül au führlich behandeln. wollen wir ein einfa h re Bei piel betrachten - da .. thylenmolekül. da nur zw i Kohlen toffalome mit zw i \ a er toffat men auf jeder eite enthält. wi in Fig. 15-5 gezeigt. Die e olekül hat in ..E trabindung", die zwei Elektronen zwi ehen den zwei Kohlen laffatomen zur Folge hat. un emfem man ein die er Elektronen: wa erhalten wir? Wir können aJ Zwei-Zu land - y t m an h n - da verbleibende Elektron kann bei dem einen oder dem anderen Kohlen toffatom ein. \ lr k"nn n e al Zwei-Zu tand - y tem berechnen. Die möglichen Energien für da einzelne Elektron ind entweder (Eo - A) oder (Eo A), wie in Fig. 15-6 gezeigt. un füge man da zweit Elektron hinzu. Gut, wenn" ir zwei EI ktr nen haben. könn n ir da Er'te in den niedrigeren und da zweite in den höheren Zu tand bringen. Ti hl ganz. wir haben etwa erge en. Jeder der Zu tände i t in irkli hkeit doppelt. \ nn wir ag n. e gibt einen möglichen Zu tand mit der Energie (Eo -A). dann gibt e in irkli hkeit zwei. Zw i Elektronen können in den eiben Zu land gehen, wenn d eine den pin oben und da and re den Spin unten hat. (Mehr können nicht hinein aufgrund de u chließung prinzip .)

E gibt daher in Wirklichkeit zwei möglich Zu lände mit der Energie (Eoein Diagramm. wie in Fig. 15-7, zeichnen, da 0\ oh! die Energieniveau al

). Wjr könn

n

u h ihre B -

E

Fig. 15-6: Die möglichen Energieni\eau für die .Extra I ]..,-uon n" im ÄthylenmoleküL

15.4 Das Ben-olmolekiil

321

E

Eo

-------

Fig. 15-7: In d r zu ätzlichen Bindung de Äth lenmolekül können zwei

Eo - A

lektronen (eine mil pin b n und ein mit Spin umen) da niedrig le Ener",ieni\eau be ·elzen.

etzung angibt. Im Zu tand niedrio ter Energie werden beide Elektronen im unter ten Zu land ein. Die En rgie der Extrabindung im Äthy]enmolekül i t daher 2(E - A), wenn wir die Wech el irkung zwi ehen den beiden Elektronen emaehlä igen. o mit entgegenge etzten pin

Kommen wir auf d B nzol Lurü k. Jeder der zwei Zu tä~.de von Fig. 15-3 hat drei Doppelbindungen. Jede von di n i t g nau ie die Bindung im Athylen und trägt 2(Eo - A) zur Energie bei. wenn Eoj tZI di En rgi i t, um ein Elektron an einen Platz im Benzol zu bringen. und A die mplitude für inen prung zum näch ten Platz. Daher ollte die Energie ungefähr 6(Eo - ) ein. ber al wir früh r da Benz 1 unter ucht haben, fanden wir. da die Energie niedriger war al die Energie der truktor mit drei Extrabindungen. ir wollen ehen, ob ich die Energie für B nz I von un er m neuen tandpunkt au niedliger al drei Bindungen ergibt. Wir beginnen mit dem e h fa h i ni ierten Benzolring und fügen ein Elektron hinzu. \\ ir tel11 noch nicht ocrelö t ' haben jetzt ein eh-Zu tand t 111. ir haben bi her olch ein aber ir wi n, \ a ir LU tun hab n. ir k"nnen h GI i hungen in den eh mplimd n hreiben und weiter. Aber wir wollen er a Arb it paren - indem wir beachten, da wir da Problem chan gelö t hab n. al wir da Pr blem eine Elektron in einer un ndli hen Reihe von At men behand lt hab n. atürlich i t da Benzol k ine unendliche Reih, hat e h Atomplätze auf einem Krei . Aber tell n ie i h vor, da wir d n Kr i zu einer Geraden öffnen und die tarne läng der Gerad n on] bi 6 num ri ren. B i einer unendlichen Reihe wäre der nä h te Platz 7, aber, enn wir fe tlegen da die er Platz id nti eh mit ummer I i t und 0 weiter, wird die ituation genau wie b im Benzolring in. it anderen Worten, ir können die Lö ung für eine unendlich Reihe n hm n mil der -11 är-lichen Forderung, da die Lö ung p riodi eh ein mu mit einem ech tome langen Z klu ach Kapitel 13 har da Elektron in einer Reihe Zu tände mit b timmt r Energie. wenn die mplitude an jedem Platz e ih• = eikbll i 1. Für jede k i t die Energie E = Eo - 2A co kb. Wir rnöcbtenjetzt nur 01 h Lö ung n benutzen, die i halle 6 Atome iederholen. Behandeln Aromen. Wenn die Lö ung ine Periode wir zu r t den all emein n Fall ein Ringe on

er Teilchen

322

on Atomab ränden haben oll, mu e1kbN die Einheit ein; der kb von 27': ein. Sei irgendeine ganze Zahl, 0 lautet un ere Bedingung:

kb

= 2ns.

mu

eIn

ielfache

15.26)

V ir haben früher ge ehen, das e keinen inn hat, k' außerhalb d B r i he ±7':/b zu nehmen. Das bedeutet, da wir alle möglichen Zu tände erhalten, wenn ir die erte von au d m Bereich + / nehmen.

ir finden dann. da e bei einem N-atorrUgen Ring Zu lände mit be timmt r Energie gibt T • und da ie Wellenzahlen ks haben die gegeben ind durch 2lf k =-s sb'

(15.27)

Jeder Zu tand hat die Energie (15.25). Wir erhalten ein Linien pekrrum der mögHchen Energieni eau . Da Spektrum für Benzol ( = 6) i tin Fig. 15-8(b) gezeigt. (Die Zahlen in Klammem bezeichnen die Zahl der verschiedenen Zu tände mit der eiben Energie.) E E o +1.4

s=3

+--(1)

-- ---- -+--(2) Eo Eo -A - -- ---+--(2) S=

l E o - 2A +---(1)

2Tr/6 Fig. 15-8: Die Energienl\'eau in einem Ring rolt ech (a)

(b)

Elektronenplätzen (zum Bei pie! ein Benzolring).

E gibt eine nette ethode, ich die ech Energieni eau zu eran hau lichen, wie wir in Teil Ca) der Figur gezeigt haben. Stellen Sie ich einen KIei vor, der einen ittelpun.k.1. auf einem i eau mit Eo und einen Radiu von 2A hat. ir beginn n unten und treichen ech glei he Bögen ab (bei Winkeln von ksb = 2ns/ oder 2Jrs/6 für Benzol vom unter ten Punkt au gerne en), dann ind die vertikalen Höhen der Punkre auf dem Krei die Lö ungen von Gl. (1- .25). Di ech Punkte tellen die ech möglichen Zu rände dar. D niedrig te Energieniveau liegr bei (Eo - 2A); e gibt zwei Zu tände mit der eIben Energie (Eo - A) und 0 weiter. Die ind mögliche Zu tände für ein Elektron. enn ir mehr al in Elektron haben können zwei - mit entgeg nge erzten Spin - in jeden Zu land gehen. Beim Benzolmolekül mü en wir ech Elektronen hinzufügen. Beim Grundzu tand· erden ie in die niedrig tmöglichen Energiezu tände gehen - zwei bei = 0, zwei bis = + I und -Sie denken \;elleicht, das e , wenn eine gerade Zahl i [. I 1 Zustände gibt. D i t ru ht 0, .... eil S ::; ±J /den eiben Zu tand ergibt. + enn e zwei Zu lände (ctie ver chiedene Amplitudenveneilungen haben) mit de lben Energie gib~ gen wir. das die zwei Zustände ..entartet'· ind. Bea hten Sie, das ier Elektronen die Energie Eo - haben können.

J5.4 Das Ben:olmolekiil

zwei bei s = -1. EGrund

323

a h der äherung unabhängiger Teilchen i [die Energie de Grundzu tande

= 2(Eo = 6EO -

2A) A.

Die Energie i t tat ä hlich geringer al di der drei einzelnen Doppelbindungen - um den Betrag 2A. Durch einen ergleieh der Energie de Benzol mit der Energie de Ärh len i te mögli h. ergibt i h al 0,8 Elektronenvolt oder in den Einheiten der Chemiker. 18 Kilokalorien pro 01.

A zu be timmen.

Wir können die e Be ehreibung zur Berechnung oder zum Ver tändlli anderer Eigen chaften de Benzol benutzen. mer erwendung von Fig. 15-8 können wir zum Bei piel die Anregung de Benzol durch Li ht di kutieren. Wa würde ge chehen wenn wir er uchen, ein der Elektronen anzuregen? E könnte ich zu einem•• leeren höheren Zu tand hinaufbewecren. I::> Die niedrig te Anregung energie em präehe inern bergang vom höch ten gefüllten iveau zum niedrig ten leeren iveau. Da erfordert di Energie 2A. Benzol wird Licht der Frequenz v ab orbieren, wenn hv = 2A i t. E ird auch Ab orption von Photonen mit der Energie 3A und 4A geben. Selb [Ver tändlich i t da b orption pektrum on Benzol gerne en worden und das Bild der pektrallinien i t mehr oder weniger richtig, außer da s der niedrig te Übergang im ultra ioletten Berei h auftritt; um den Me werten zu genügen. mü te man einen Wen on A zwi ehen 1 4 und 2, Elekuon nvolt wählen. Da heißt, der numerische en von A i t z\ eioder dreimal größer al au der cherlli ehen Bindungsenergie orherge agt wird. - a der eh rlliker in 01 hen Situationen tut i teine Analy e ieler Moleküle ähnlicher Art, au der er einige empiri ehe Regeln erhält. Er lernt zum Bei piel: Zur Berechnung der Bindung energie nehme man den und den Wert on A, aber um das Ab orption pektrum angenähert richtig zu erhalten erwende man einen anderen Wert on A. Sie empfinden vielleicht da ich die et\ as ab urd anhört. E i t vom tandpunkt eine Phy iker ,der er ucht, die atur au den Grundprinzipien zu er tehen, nicht ehr befriedigend. Aber da Problem de er uchen orau schauend zu überlegen, wa mit Molekülen Chemiker i t ander . Er mu ge chehen ird die no h nicht gebildet worden ind oder die nicht vollkommen ver tanden werden. a r braucht i t eine Reihe on Erfahrung regeln' e i t dabei gleich woher ie kommen. Er benutzt daher die Theorie auf eine ganz andere Art al der Ph iker. Er nimmt Gleichungen die einen chimrner d r ahrheit enthalten, aber dann mu er die KOil tanten in ihnen ändern - und empiri he Korrektur n vornehmen. Im Falle de Benzol liegt der Hauptgrund für die ider prüchlichkeit in un erer Annahme da die Elektronen unabhängig ind - die Theorie, von der wir ausgingen, i t in Wirklichkeit nicht gerechtfertigt. icht de to eniger enthält ie einen Schimmer der Wahrheit, eil die Ergebni e in die ri htige Richtung zu gehen cheinen. Mit olchen Gleichungen und einigen empiri chen Regeln - und er hiedenen Au nahmen - bahnt ich der organi che Chemiker einen Weg durch da Ge trüpp komplizierter Dinge zu deren Studium er ich entschlo en hat. (Verge en ie ni ht, da der Grund dafür da ein Ph iker wirklich on den Grundlagen au gehend rechnen kann, darin be teht da er i h nur einfache Probleme au ucht. iemal lö t er ein Problem mit 42 oder auch nur 6 Elektronen darin. ur da Wa er toff- und das Heliumatom konnte er bi h r rillt emünftiger Genauigkeit berechnen.)

J5 Die (ähenmg u/labhängi er Teilchen

24

15.5

Weitere organische Chemie

ir wollen ehen. wie die eiben Vor teilungen benutzt werden können. um andere Moleküle zu unter uchen. Betrachten ie ein Molekül wie Butadi n (1. ) - e i [ in Fig. 15-9 na h der üblichen al nzbindung dar teilung gezeichnet. H

H

/C=C-C=C/

H

H

Fig. 15·9: Die Valenzbindung dar teilung de B uradien-( I J )-.\1 I kül .

ir können da eIbe Spiel mit den zu ätzlichen ier Elektronen ma hen. die d TI Z ei Doppelbindungen ent prechen. Wenn wir ier Elektronen entfernen. haben wir \ ier Kohlen toffat m in einer Reihe. Sie wi en chon. wie eine Reihe zu Jö en i l. i gen: .. Oh nein. i h weiß nur. wie eine unendliche Reihe zu lö en i 1." ber die Lö ungen für di unendli he Reihe die nzahl der enthaJten au h die Lö ungen für eine endliche R ihe. Pa en Sie auf. ei ie in Fig. I - -10 gezeigt. enn ie Atome in der Reihe und beziffern wir sie von J bi die Gleichungen für die Amplitude bei Platz L hin hreiben. haben ie kein nT nn. der rwa von Platz 0 liefert. Ähnlich würde i h die Gleichung für Platz on derj nigen unter heiden, die wir für eine unendliche Reihe benutzten, weil nich da äre, d el\\ a von Platz + L lieferte. _ ehmen ie aber an. da wir ine Lö ung für die unendliche R ihe mit der ~ Ig nd n Eigen haft erhalten können: I I I

I

~~} ~~}:O 0 0 00(( 0 O:~~} ~~)

-I

0

1

2

3

-t

5 ...

-11

I

N+J

Fig. 15-10: Eine Reihe \on

I I

I

,

olekülen.

Die Amplitude für die n e enheit b i [am 0 i [null und die mplitude für die Am eenheit bei Atom ( I) i t auch null. Dann i t da tem der Gleichungen für alle Plätze von I bi in der Reihe auch befriedigt. ie denken ielleicht e e i tiert k in 01 he Lö ung für die unendliche Reihe, weil un ere Lö ung n alle wie ei r au ah n. wa über 11 d n elb n ab oluten ert der Amplitude hat. Sie werden ich aber erinnern, da die nerei nur v n dem ab oluten Betrag von k abhängt. 0 da eine ander Lö ung. die für die lbe Energie g nau gerechtfertigt i t. e- iÜ• wäre. nd da elb gilt für jede" berIagerung di r zw i L" ungen. enn wir ie ubtrahieren, können wir die Lö ung in /an erhalten. die d r Ford rung g nügt. da bei x = 0 die mplitude null i t. ie ent pri ht no h der Energie (Eo 0 kb . Dur h eine pa ende ahl de Betrage von k können wir jetzt au h b i X. '.1 di mplitude zu null ma hen. Die ,'erlangt. da ( + l)kb ein Vielfa h v n Tr i t oder d kb

= __Tr_ (

wobei 5 eine ganze Zahl zwi h n I und i 1. ir nehm n nur po It1\' k" . \ ,k und -k enthält; eine nd rung d Vi fzei hen von k ergibt wieder d n Beim Butadien- oie 'ül mit = 4 gibt e daher vier Zu tänd mit kb

= Trr.

2Tr/5.

3Tr/S

und

4lf/5,

1 .30)

325

ir könn n die n rgieniveau unter erwendung eine Krei diagramm dar lellen. da dem für Benzol ähnlich i l. Die mal b nutzen wir inen Halbkrei , der in fünf gleich Teile geteilt i t, \Vi in ig. 1~ -11 gezeigt i l. Der unter t Punkt ent pri ht s = O. was überhaupt keinen Zu tand rgibt. Da elb gilt für den ober ten Punkt, der = + 1 ent pli ht. Die übrigen vier Punkt geben un vier erlaubte Energien. E gibt ier tationäre Zu tände. wa wir erwarten, w nn wir \' n vi r Ba i zu tänden au gehen. In dem Krei diagramm betragen die Winkelinter all !fIS oder 36 Grad. Di niedrig te Energie ergibt i haI (Eo - 1,618A). (Ah. elche· under die alh matik nthält: d r 0 ldene chnitt der Gri hen t gibt un nach die er Theorie den niedrig ten n rgi zu land de Butadi n- olekül!) Es

Eo

1.61

Fig. 15-11: Die Energieniveau von Butadien.

un können wir di 11 rgi d Butadien-Molekül bere hnen. wenn wir vier Elektronen hineinbringen. it ier Elektronen füllen \ ir die niedrig ten zwei iveau auf. jede mit zwei Elektr nen on mg genge etzten pin. Die Ge aml n rgi i t E

= _ Eo -

1,61 A) + _(Eo - 0,61 A)

= 4(Eo - ) -

0.472A.

Die e Ergebni cheint vernünftig. Die En rgie i t in wenig niedriger al für zwei einfache Doppelbindungen d hit die Bindune ni ht 0 tark wie im Benzol. Jedenfall i t di die oleküle anal 'ien. Meth de, nach der d r hemik r inig rgani eh Der Chemik r kann nicht nur die neroi n. ondem auch die ahr heinlichk it amplituden benutz n. enn r die mplituden für j den Zu tand kennt und weiß, welche Zu tände be etzt ind, kann r die ahr h inlichkeit dafür angeben ein Elektron irgendwo im Molekül zu finden. Jene Plätze. \ 0 ich di EI ktronen am ehe ten b finden, ind für chemi ehe Anlagerung reakti nen ge ign t, di rford rn. da ein Elektron mit einer anderen Grupp von Atom n geteilt \ ird. i anderen Plätze erden eher b i olchen nlagerungen reagieren. die die Tendenz hab n, ein traelektron an da tem abzugeben. I

ir erwend t haben, geben un auch ein n Einbli k ogar Die eiben or t llungen, di in ein 0 mplizierte I kül wi hloroph 11. on dem eine rt in Fig. 15-12 gezeigt i t. Beachten i da die Dopp 1- und Einfachbindungen, die wir mit di ken tnch n ( r Il{!) d

01,

( r Il{!) = l{!(r),

(16.45) (16.46)

(rliP) =tP(r),

(tPll/J) =

f

tP

(r)r/J(r)d 01,

E

Fig. 16-4: Mögliche Fonnen der Wellenfunküon a(x) für V > E und für V < E.

(b)

(a)

a(x) wird immer konka zur x-

h e hin erlaufen, \ ie ein on den in Teil (b) der Fig. 16-4 gezeigten tü ken. Die Lö ung in Ich inem Gebiet hat Stück für Stück ungefähr die Form einer Sinu lrur e.

un ollen ir hen. ie iI graphi h eine Lö ung für die Funktion a(x) kon truieren können die einem Teilchen mit der Energi Ea in dem in Fig. 16-3 gezeigten Potential V entprichL Da ir v ruh n, ine ituation zu b chreiben, in der ein Teilchen im bl11ern de Potential topfe ebunden i t, mö ht n wir nach Lö ungen u hen, bei denen die eIlenamplitud ehr klein erte annimmt, \ enn x ein Stück außerhalb des Potentialtopfe liegt. \ ir können un leicht eine Kurv wi die in Fig. 16-5 gezeigt vor teIlen, die für große negati e Werte on x gegen null LI bt und di allmähli h anwä h t, wenn ie ich Xl nähert. Da V bei XI gleich Eu i t, wird die Krümmung der unktion in diesem Punkt null. Zwi ehen XI und x. i t die Größe V - Ea immer ein negati e Zahl, 0 da die Funktion a(x) immer konka zur eh e hin verläuft und die Krümmun o ird um 0 tärker je größer die Differenz zwi ehen Eu und

XI

a(x)

IX~

I

-

x

I

I I

x Fig. 16-5: Eine Wellenfunktion für die Energie Ea' die für negative x gegen null geht.

352

keil der Ampliwden

V i t. enn ir die Kurve in den Bereich zwi chen x I und x::! fonetzen. weniger wie in Fig. 16-5 gezeigt verlaufen.

llte ie m hr od r

un wollen wir die Kurve in da Gebi t r eht von -'2 fort etzen. Don krümmt i i h on der Ach e weg und trebt gegen hohe po itive rte, wi e in Fig. 16-6 g zei hn t i t. Bei der on un gewählten Energie Eu wird die Lö ung für a(x) mit \\ h end m x immer größer. Tat ächlich nimmt auch die Krümmung zu (wenn d Potential \\ it rhin fla h bl ibt). Die Amplitude wä h t chnell zu ungeheuren Au maßen an. Wa bedeutet d ? E b d ut t einfach, da da Teilchen nicht in dem Potentialtopf ..gebunden·· i t. E i t unendli h vi I wahrscheinlicher. da e allfierhalb de Topfe gefunden wird al innerhalb. Bei der \'on un herge teilten Lösung i [e wahr cheinlicher da lektron bei x = + zu find n al irgend 0 ander . E i t un nicht geglückt. eine Lö ung für ein gebundene. Teilchen zu find n.

a(x)

Fig. 16-6: Die \ ellenfunktion a(x) \on Fig. 16- - über x~ hinau fortge lZt.

Ver uchen ir e mit einer anderen Energie agen wir einer etwa höheren al Ea - etwa der Energie Eb in Fig. 16-7. Wenn wir auf der linken Seite mit den elb n rhOOltni en beginnen. erhalten wir die in drunteren Hälfte von Fig. 16-7 darge teilte Lö ung. Zunä h t i ht e au a1 ob ie be er werden würde, aber ie hört chließlich g nau 0 chle ht \ i di Lö ung für Eu auf - nur das jetzt a x) immer negativer wird, wenn v ir zu groBen erlen \' n x oehen. iellei ht i t d der S hJü el. Da eine geringe nderung der TI rgi \'on Eu n hEb di Kurve eran] 1. on der einen eite der ch e zur anderen umzu pringen, gibt e 'i lIei h\

v

a(x)

x

x Fig. 16·7: Die ellen un \ion a(x) die größer al Ea i I.

rur eine En

reie Eb ,

16.6 QUGnti ierle Energielliveau

353

eine Energie, die zwi. chen Eu und Eb liegt. bei der die Kur e für große . ene on x gegen null trebt. Da oibl e tal ä hli h. und wir haben in ig. 16-8 angedeutet, \ ie die Lö ung au ehen könnte.

a(x) V<E

I

-..

" "- , Fig. 16-8: Eine Wellenfunktion für die Enenrie E '" c die zwi eben Ea und Eb liegt.

ie oUlen beachten, da die n un in der Figur gezei hnete Lö ung ehr peziell i 1. Wenn wir die Energie nur in w nig erhöhen der vermindern, würde die Funktion in Kurven übergehen. die der einen der der anderen der zwei in Fig. 16-8 gezeigten ge triehelten Kurven ähnlich ind und wir hätten nicht di richlig n Bedingungen für ein gebundene Teilchen. ir

E

\!

x

. ig. L6-9: Die Funktion a(x) für die fünf niedrig gebunden n Energiezu lände.

teD

354

haben aJ Ergebni erhaJten, da ein Teilchen nur dann in einem Potemiallopf gebunden kann, wenn e eine ganz be ümmte Energie hat.

10

Bedeutet d . das e für ein Teilchen, da in einem Potentialt pr gebunden i l. nur ine nergi n. die zu di ht bei Ec Energie gibt. ein. Andere Energien ind möglich, do h kein liegen. Bea hten ie. da die Wellenfunktion, die wir in Fig. 16- gezei hnet haben. die eh e zwi ehen x J und x2 viennaJ chneidel. Wenn wir eine etwa niedriger En rgie al Ec nehm n würden. könnten wir eine Lö ung rhalten. die die ch e nur dreimal, nur zweimal. nur einmal kann oder überhaupt nicht ehneidet. Die möglichen Lö ungen ind in Fig. 16·9 kizziert. auch andere Lö ungen geben, die höheren Werten der Energie aJ den gez igten ent pre hen.) Un ere S hlu folgerung i t, da ,wenn ein Teilchen in einem Potentia]topf gebunden i t, in Energie nur die ganz peziellen Werte in einem di krelen Energie p ktrum nnehm n kann. ie ehen wie eine Differentialgleichung die Grundtat ache der Quantenphy ik b hreiben kann. ir ollten vielleicht noch eine andere Sache erwähnen. \ enn die Energie E über d m Rand de Potentialropfe liegt, dann gibt e keine di kreten Lö ungen mehr. und jede mögJiche Energie i t erlaubt. olche Lö ungen ent prechen der Streuung fr ier Teilchen an inem Potenti al topf. ir haben ein Bei piel für oIehe Lö ungen ge ehen. a1 wir die Effekt n Fremdatomen in einem Kri tall betrachteten.

17

Symmetrie und Erha tungssätze

Siehe auch: Band 1. Kapit I 52, Die S mmetrie in phy ikali chen Ge elzen. Licerarurhinll'ei : Angular Momenfum in Qualllum Mechanics: A.R. Edmond er it Pr ,1957.

Princeton Uni-

Deut ehe Überset;.u.llg: Drehimpulse in der Quantenmechanik Bibliographi ehe In titut, annheim 1964),

17.1

Symmetrie

In der kl i ehen Ph ik gibt e eine Reihe on Größen, die erhalten bleiben - wie der lmpul , die Energie und der Drehimpul . Erhaltung ätze für ent prechende Größen gibt e aueh in der Quantenm ehanik. Da chön te an der Quantenmechanik i t. da die Erhaltung ätze in ge i em inn au et a anderem hergeleitet rden können, ährend sie in der klas iehen eehanik prakti eh die u gang punkte der Ge etze ind. CE gibt in der kla si ehen Mechanik ethoden. um et\ analoge zu dem zu ma hen, wa wir in der Quantenmechanik tun werden e kann aber nur auf einer ehr fort ge chrittenen tufe durchgeführt werden,) In der Quantenmechanik jedo h ind di Erhaltung ätze ehr tief mit dem Prinzip der Überlagerung on mplituden und mit der ymmetrie phy ikali cher Systeme unter ver ehiedenen Änderungen verbunden, Die i t da Thema de orliegenden Kapitel. Obwohl wir die e Ideen mei ten auf die Erh ltun a de Dr himpul e anwenden werden i t der we entliehe Punkt, da die ätze über die rhalruno- aller Arten on Größen - in der Quantenmechanik - mit den mmetrien de Stern erknüpft ind. ir beginnen daher mit d r nt r uchung der Frage nach den ymmetrien von Sy ternen. Ein ehr infa he B i pie] i t da a er toffmolekül-Ion - wir könnten eben 0 gut das Ammoniakmolekül nehmen -, bei dem e zwei Zu lände gibt. Bei dem Wa er toffmolekül-Ion nahmen wir al Ba i zu ('ode einen, in dem ieh da Elektron in der ähe on Proton Uffimer I befand, und einen ander n, in dem ieh da Elektron in der ähe von Proton ummer 2 befand, Di zw i Zu tänd - di ir Il)und 12) nannten - ind noch einmal in Fig. 17-1 a gezeigt. olange jetzt die z\ i rn b ide genau gleich ind, gibt e eine gewi e Symmetrie in die m ph ikali eh n y lern. Da heißt ozu agen, wenn ir da y tern an der Ebene in der itte zwi eh n den beiden Proton n pie ein würden - womit ir meinen, da alle auf der einen eit der Ebene in die ymm tri ehe Po ition auf der and ren Seile gebracht wird würden ir di erhältni ein Fi . 17-1 b) erhalten. Da die Protonen identi eh ind, überführt die Operafio/l der piegelung 11) in 12) und 12) in 11), Wir wollen die e Spiegelung operation P nennen und breib n

Pli) = 12),

(12) = 11).

(17.1)

/7 Symmelrie lind Er/will/n

3 6

ät-e

p (a)

,~

Il}

(b)

.p

~;

,~ %;

.p

12)

P12)

I~ W;

.p

Pli)

•

.p

#dJ p

Fig. 17-1: enn die Zu lände 11) und 12) an der Ebene P-P gepiegelr werden. gehen 12) beziehung wei e 11) über.

Je in

Un er P i t daher ein Operator in dem Sinne, da r an einem Zu t nd ..etwa tLlt", um inen neuen Zu tand henu tellen. Da Intere ante dabei i 1 da die nwendung \'on P auf irgendeinen Zu rand einen anderen Zu tand de Sy tern erzeugl. un hat P, wie jeder andere Operator, den wir be chrieben haben. Matrixelemente, di durch die übliche. einleuchtende chreibwei e definien erden können. ämli h Pli

= (11 P11 )

und

Pl2

= (11 P12)

atrixel mente, die wir erhalten, wenn wir Pli) und P 12) on links mit 11) multi'a h GI. (I .1) ind ie

(lIPI1)

= Pli = (112) = 0,

übergehen. Wir können chreiben

( 17.27 da, wenn !1x gegen null geht, da 11//> gerade Il/J) '\ erden ollte oder bt(ü) = em ollte, und für kleine!1x ollte für bx(fu) die Abweichung von ) prop rtional zu.lx ein. Der auf die e Wei e definierte Operator Px wird der Impul operator genannt - für di x-Komponente natürli h. Au genau den eiben Gründ n

hreibt man gewöhnli h für klein Drehung n

und nennt J:. den Operator der .::-Komponem de Drehimpul e . Bei jenen peziell n Zu tänden. bei denen k(f/J) Il/J > ::: e imtb Il/J) i t, können wir für iIgendeinen klein n ink) - agen wir j,dJ - die rechte eite bi zur r ten Ordnung in r/J ent i k In und erhalt n

enn wir die mit der Definition von J:. in GI. 07.2 ) erglei hen. erhalten \ ir

ü anderen Worten wenn Sie 1. auf einen Zu tand mit einem bestimmten Drehimpul um die;:- h e anwenden, erhalten Sie mtz mal den eiben Zu tand. wobei mfi d r rt der -Komponente de Drehimpul e i t. E i t ganz analog zu d r nwendung v n fl auf in n Zu tand mit be tirnrnter Energie, wob iman EI r/t> erhält.

\ ir mö hten jetzt einige nwendungen der Ideen von der Erhaltung de Drehimpul ie wirklich ehr bringen - um Ihnen zu zeigen, wie ie ich au wirken. Em cheid nd i t, da einfa h ind. ie wu ten vorher, da der Drehimpul erhalt n bleibt. D Einzige. wa i wirklich au die ern Kapitel behaJten mü en, i t, da , enn ein Zu tand I tlJo > di Eig n haft hat d er na h einer Drehung um einen Winkel dJ um die :;- h e'mS 11/; > wird. r ine-Komponente de Drehimpul e hat, die gleich ml1 i 1. M hr brauchen wir ni ht um ein R ih intere anter Dinge zu machen.

/7.4 Polarisierte Liehr

17.4

369

Polari ierte Licht

Zunäch tinmalm" hten wir eine or teilung überprüfen. In b ehnin 11.4 zeigten \vir. das wenn RZ-polari i rte Licht in einem K rdinaten tern betracht t wird, da um d n Winkel ifJ um die -- h e t g dreht i t, e mit eil/> multipliziert wird. Bedeutet da darm, da die Lichtph 1 nen. di r ht zirkular polari iert ind, in n Drehimpul on einer Einheit:i: läng der --A h mit i h führen? Das bedewet etat ächlich. E bedeutet auch, da ,wenn wir einen Licht trahl haben, der irre große Zahl on Photonen enthält, die alle auf die elbe Art zirkulär polari iert ind - wi wir e in inem kla i ehen Strahl hätten -. er dann einen Drehimpul mit i h führen wird. enn di Ge amten rgie, die der Strahl in einer gewi en Zeit = W /fiw Photonen. Jede hat den Drehimpul t1. 0 da ich befördert W i t, dann gibt e ein G amtdr himpul ergibt 00 W 11 =-.

w

(17.30)

Können wir kla i eh bewei en, da Licht, da rechtszirkular polari iert i t, eine Energie und einen Drehimpul pr portiooal zu W / w mit ich führt? Da oUte eine kla i ehe Behauptung ein, wenn alle richti o i t. Hier haben ir einen Fall, bei dem wir von den Quanten erhältni en zu den kla i ehen rhältni en übergehen können. Wir würden ehen. ob die kla i ehe Ph ik Einhalt gebietet. E ird un ine Vor t lIung davon geben, ob \ ir berechtigt ind. m den Drehimpul zu nennen. Erinnern i ich, wa recht zirkular polari ierte Licht kla i ch i t. E wird be chrieben durch ein el ktri ehe F Id mit einer 0 zillierenden x-Komponente und einer um 90° pha nver h b n no zillierenden y-Komponente. 0 da der re ultierende elektri ehe ektor fj auf ein m Kr i umläuft - wie in Fig. 17-5(a) darge teilt. un nehmen \ ir an da olch in Li ht uf eine Wand heint die e ab orbieren wird - oder zuminde t etw da on - und wir betra ht n ein tom in der Wand nach den Methoden der kla i ehen Phy ik. Wir haben ft die Bewegung d I ktr n im Atom als harmoni ehen 0 zillator be hrieben der dur h· in äuß re elektri ehe Feld in Schwingungen ver etzt werden kann. ir wollen annehmen, da da tom i otrop i t, 0 da gleich gut in der x- oder in der y-Richtung hwjng n k nn. Dann ind b im zirkulär polari ierten Li ht die x- und die yVer chiebung gleich, ab rein i t um 90° hinter der ander n. Da Endergebni i t. da ich da Elektron auf ein m Krei b t, wie in Fig. 17-5(b) gez igt. Da Elektron i t um eine Ver chiebung r au der Gle! hge\ icht lag am Ur pruno ver choben und läuft mit einer Phaen erzögerung in Bezug auf den ektor 0 um. Di B ziehung z\ i hen 0 und r könnte 0 ein, wie e in Fig. 17-5(b g zeiot wird. it fort ehreit nder Zeit dreht ich da elektri ehe Feld, und die er chiebung dreht ich mit der eiben Frequenz daher bleibt ihre relative Lage die gleiche. un betracht n ir die Arb it die an die em Elektron gelei tet wird. Die Energierate, die di em lektr n zugeführt \ ird, i t v, di Ge chwindigkeit de Elektron, mal der Komponente on qe parallel zu der Ge eh indigkeit

(17.31) t eneihung! Die er

inkel i t d . legati e von dem, den wir in Ab chniu 11.4 benutzten. lE i I gewöhnlich ehr bequem, den Drehimpul atomarer y h::me in Einheiten von I1 zu me en. Dann können ie agen. da ein pin-t-Teilchen den Drehimpul ±112 bezüglich irgendeiner chse hat. Oder allgemein. d die :_Kornponente de Drehimpul C 111 i t. ie brauchen d fi nicht dauernd zu \ iederholen.

17

370

nnmetr;e und Erhaltun

ät::.e

x (b)

(a)

Fig. 17-5: (a) Da lektri he Feld e in einer zirkulär polari i n n Lichtwelle. (b) Die Bewegung ein Elektron. da dur h das z.irkulär polari ierte Licht angetrieben wird.

Aber ehen ie. da wird die em Elektron Drehimpul zugeführt. \ eil e immer ein Drehmoment um den Ur prung gibt. Da Drehmoment i t qo/r, wa gleich der .. nderung rare de Drehimpul e dJJdt ein mu :

(17.32 W nn wir bedenken. das v

= wr i

t, erhalten wir

Wenn \ ir den Ge arntdrehimpul , der ab orbiert wird, integrieren. i [ er daher proportional zur Ge amtenergie - wobei die Proportionalität kon tante l/w i L wa mit GI. (17. 0 üb rein timmt. Licht führt durehau Drehimpul mit i h -) Einheit mal h läng der -- h e, wenn e recht zirkular polari iert i t, und -I Einheit läng der -- h . \ enn e linkszirkular polari ieI1 i t. Stellen wir un jetzt folgende Frage: Wenn da Li hL inx-Riehtuno lin ar polari iert i I, w 1hen Drehimpul hat e dann? In x-Richtung polari ierte Licht kann al .. berlagerung von RZund LZ-polari iertem Li ht darge teIlt werd n. Daher gibt e in gewi e mplirud, da d r Drehimpul 11 i I, und eine andere mplitude, da der Drehimpul -h i t. da Li ht h t dah r rnplitud. keinen bestimmlen Drehimpul . E hat eine Amplitude. mit hund ine glei h mir -h aufzutreten. Die lnterferenz die er zwei mplituden erzeugt die lin ar Polari alion, aber e hat gleiche Wahr eheinli hkeiten, mit plu od r minu einer Einheit de Dr himpul aufzutreten. akro kopi ehe Me sungen an einem linear polari iert m Li hr trahl \ erd n z ibei einer groß n Zahl v n Photon n fa t gen. d e keinen Drehimpul mit ich führt, weil gleich iel RZ- und LZ-Photonen gibt die entgegenge etzLe Beiträg zum Dr himpul liefernder mittlere Drehimpul i t null. nd in der kla ihn Theorie finden ie' in n Drehimpul wenn nicht irgendeine zirkuläre Polari ation vorhanden i t. ir haben ge agt, da jede pin-ein -Teilchen drei ert für J. haben nn, n"mli h +l. 0, - I (die drei Zu lände. die wir im tem-Gerlach- er uch ah n. ~ber Li hl i teig nartig:

371

17.5 Der Zerfall de

hat nur zwei Zu tände. hat nicht den Fall nulL Die er elt ame angel i t mit der Tat ache verknüpft, da Licht nicht till tehen kann. Für ein Teilchen vom pin j. das till teht. mu e 2)+ 1 mögliche Zu tände geben, wobei die erte on);:. in Schritten on 1 on - j bi + j gehen. E teilt i haber herau , da für etwa vom Spin j mü der Ma e null nur die Zu tände mit den Komponenten +j und - j in Bewegung richtung exi tieren. Zum Bei piel hat das Licht nicht drei Zu tände ondem nur zwei - ob ohl ein Photon dennoch ein Objekt mit Spin ein i 1. ie timmt da mit un eren früheren e\ ei en überein - die darauf basierten, wa bei Drehungen im Raum ge chiehl-. da für pin-ein -Teilchen drei Zu lände nötig ind? Bei einem Teilchen in Ruhe können Drehung n um irgendeine eh e ohne Änderung de Irnpul zu rande gemacht werden. Teil hen mit der Ruhem e null (wie Photonen und eutrino) können nicht in Ruhe ein; nur Drehungen um die hein Bewegung richtung ändern den Impul zu tand nicht. Argumente über Drehungen um nur eine Ach e reichen nicht au , um zu bewei en, da drei Zu tände erforderlich ind, wenn gegeben ist dass einer von ihnen bei Drehungen um den Winkel tj) wie eit/J ariiert. t och eine Randbemerkung. Bei einem Teilchen der Ruhema e null i t im Allgemeinen nur einer der z ei Spinzu tände bezüglich der Bewegungslinie (+), - j) wirklich notwendig. Bei eutrino - die pin-~-T ilchen ind - exi tieren in der atur nur die Zu lände, deren Drehimpul komponente entgegengesetzt zur Bewegung richtung (-11/2) i t [und in Richtung der Bewegung (+11/2) bei Antineutrino ]. Wenn ein Sy tern Inversion ymmetrie be itzt ( 0 das die Parität erhalten bleibt, ie beim Licht), dann ind beide Komponenten (+ j und - j) erforderlich.

17.5

Der Zerfall des /\

0

Wir möchten jetzt in Bei piel geben wie man den Satz on der Erhaltung de Drehimpule in einem pezifi ch quantenphy ikali ehen Problem anwendet. Wir betrachten da Au einanderbrech n de Lambda-Teil hen ( 0), das durch eine" chwache' Wech eh irkun~ in ein on zerfällt: Proton und ein Jr- -

Wir etzen orau

t

da

\ Ir

Wl

n, da

d

Pion den

pin null da Proton den Spin ~ und

das 0 den pin hat. ir mö hten dann folgende Problem lö en: Angenommen, d~ 0 würde auf eine Art erz ugt die bewirkt, da e oll tändig polarisiert i t - womit ir meinen, da ein pin b züglich irgendeiner ge ignet gewählten z-Achse, agen wir, ,.nach oben' zeigt _ iehe Fig. 17-6 ). Die Frage i t dann, mit welcher Wahr cheinlichkeit e 0 zerfällt das da Proton unter inem Wink 1 () bezüglich der z-Ach e wegfliegt - wie in Fig. 17-6(b). it anderen Worten, wie i t die inkelverteilung der Zerfall produkte? Wir möchten den Zerfall in einem Koordinaten tem betrachten, in dem da A. 0 in Ruhe i t - wir wollen die Winkel in tem die em Ruhe y tern me en; dann können ie immer, wenn wir wollen, auf ein andere tran form i rt werden. t Ir haben e ucht, \ enig tens einen Bewei zu finden. da die Komponente des Drehimpul e in Be\ egung richtung für ein Teilchen der Ma e null ein ganzzahliges Vielfache von tJl2 ein mu - und nicht elwa ti/3. Auch bei Verwendung aller möglichen Eigen chaften der Lorentz-Tran formation und dergleichen i te un nicht gelungen. ielleichl i I e ni hl ri hlig. Wir mü en darüber mit Prof. Wigner prechen. der alle über olehe Sachen weiß.

J7

372 vorher

. . .mmetrie lind Erhaltll11

ät::.e

na hher

.

()

I

,

I

I

I I

I

P /

I

I I

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//Vv

I I

~

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p

, ' , cl"

,..,J

, , I

I I

Fig. 17-6: Ein

I

(a)

0

mj[ pin ..oben·· zerfällt in ein Proton und

ein Pion (im CM-Sy tem). \ a i t die ah cheinlichk il. da da Proton im inkel () wegfliegen ird?

(b)

ir beginnen. indem wir den peziellen Fall betrachten bei dem da Proton in einen kleinen Raumwinkel ß!1 läng der :-Ach e eminiert wird (Fig. 17-7). or dem Zerfall hab n ir in o mit Spin ,.oben", wie in Teil (a) der Figur. ach einer kurzen Zeit - au Gründen. on denen man nicht weiß, außer da ie mit den chwachen Zerfallen verbunden ind - z rplatzt da 0 in ein Proton und ein Pion. Angenommen, da Proton läuft die +::.- ch e hinauf. Dann mu wegen der Impul erhaltung da Pion nach unten laufen. Da da Proton ein pin- ~- Teil hen i t. mu ein Spin entweder ,.oben·' oder "unten" ein - e gibt im Prinzip di zwei in Teil b) und ( ) der Figur gezeigten öglichkeiten. Die Erhaltung de Drehimpul erlangt j doch, da s da Proton den Spin "oben" hat. Die ieht man ganz leicht mit dem folg nd n Argument ein. Ein Teilchen. das ich entlang der --Ach e bewegt, kann keinen Dr himpul um di Ach e aufgrund einer Bewegung liefern; daher können nur die pin zu 1_ b itragen. Der Spindrehimpul um die --Ach e i t vor dem Zerfall +11/2 er mu daher uch hinterh r +11/ein. Wir können agen, da der Spin de Proton , da da Pion keinen pin hat, "nach ob n" zeIgen mu .

vorher

nachher

L

7

lI

I I I

I I

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I

I

I

I I I I I I

I I

p+ I I

V

I

P

I

"'lJ

oder

I I I I I I

I

I

VIr

I

I -

VIr

I I

I I

Q

p

I

I I

,

V

I

"'I'

+

I

-

Tr

I

9 o

ja (a)

(b)

neIn (c)

Fig. 17-7: Z\ ei öglichkeiten für den Zerfall eine rillt pin "oben", obei da PrOlon in Ri htun o d r +-Ach e läuft. ur (b) erhält d n Drehimpul .

17.5 Der Zerfall d

\

7

rgumente die er n in der Qu nt nmechanik viellei hr nicht Fall ie b für ht n. da gelten, können wir un in n Augenblick Zeit nehmen. um Ihnen zu zeigen. da ie gelten. Der nfang zu land (v r d m Zerfall), den \ ir I 0, pin +-) nennen können. hat die Eigen chaft, da, nn er um den inkel t/J um die :;-Ach e gedreht ird. der Zu tand vektor mit d m Pha nfaktor el/N1 multiplizi rt ird. (1m g drehten y tem i r der Zu tand vektor eilb12 1 pin +- ) .) Da m in n wir mit pin "oben" bei einem pin- ~- Teilchen. Da da erhalten h en abhängt, mu der Endzu tand (da Proton plu der atur ni ht \' n un r r Wahl der Pion) die elb Eig n haft h b n. \ ir könnten den Endzu land chreiben a] , agen wir

I Proton läuft n h - pin +-: Pion läuft nach --) . Aber in irkJi hkeit brau hen \ ir di Pionb egung ni ht anzugeben, da ich in dem y tem, da ir gewählt haben, da Pi nimm r ntgeg nge etzt zum Proton bewegt: \ ir können un ere Be chreibung de Endzu tande ereinfa h n zu

I Proton läuft nach +-, pin +-) . Wa pa ien nun mit di die --Ach e drehen?

m Zu tand ektor, wenn wir die Koordinaten um den Winkel dJ um

Da ich d Pr t n und d Pion län o der -- hebe egen, wird ihre Bewegung dur h die Drehung nicht verändert. (Darum hab n wir di n Spezialfall crewähIt; wir könnten die Beweisführung on t niehl machen.) uch 'on t geschieht d m Pion nicht \ eil ein Spin null i t. Da Proton j d h hat d n pin ~. nn in Spin "oben" i t, wird e al Antwort auf die Drehung ein Pha enänderung on ;i(JI_ beitragen. ( enn ein Spin ,unten' wäre, wäre die durch da Prot n b wirkt Ph nänd rung e- itlJ1 -.) ber die Pha enänderung bei der Drehung vor und nach der Erreoung mu die eibe ein wenn der Drehimpul erhalten bleiben oll. ( nd da wird der Fall ein, da kein äuß r n Einflü e in dem Hamiltonoperator gibt,) Die einzige öglichkeit i t daher. da d r Spin de Proton "oben" ein ird. enn da Proton nach oben läuft, mu ein pin au h n h b n" g ri htet ein. ir folgern darau, das die Erhaltung d Drehimpul e den in Teil (b) on Fig. 17-7 gezeigten Proze rlaubt. d n in ~ il ( gez igten Proze ab r nicht r1aubt. Da wir wi en, da ich der Zerfall er igner, gibt eine mplitude für den Proze (b) - d Proton geht na h ob n mit Spin , b n", ir wollen mit a die mplitude bez ihnen, da der ZerfaH auf die e Art in ein m infinite imal n Zeitintervall imritt. t Schauen \ ir jetzt, a pa iren ürd, wenn der 0_ pin anfänglich "unten" wäre. v.. ieder fragen ir na h den Zerfällen, b i d n n da Proton läng d r :;-A h e nach oben geht. \J ie in Fig. 17- gez igt. i rd n in hen d in die em Fall da Proton den pin ..unten" haben mu ,wenn d r r himpul erh Ir n bleibt. Sagen wir, da die mplitude für 01 h einen Zerfall bit. ir können \ eiter ni ht über die mplitud n a und b au agen. ie hängen von den inneren rgäng n im 0 und d n h ach n Zerfcill n ab und niemand iß bi jetzt, wie man tWir elz n j tZI v rau, da Ihnen die M hinerie der QuaJ1lcnmechanik genügend vertraul i L, 0 da wir über die Dinge auf eine ph) ikaJj eh n pr hen können, hnc die Zeit aufwenden zu mü en, alle malhemati ehen Einzelheilen aufzu hreibcn. F 11 Ihnen da', \\ a wir hier agen. nichl klar i I, haben wir einiae der fehlenden EillZelheiten in einer nmerkuog an da ode de b hnilte ge I Ih.

/7 Symmelrie und Erhaltung

374

vorher

sät~e

nachher

PT I I I I I I

vP

I

oder

"J I I

I I

I I

VIr

I I I

n-o I I I

ja (a)

(e)

Fig. ]7·8: Der Zerfall läng der ;:-Aeh e für ein

0

mit

pin "unten".

ie berechnet. Wir mü en ie au dem Experiment entnehm n, Aber mit eben die en zwei mplituden können ir alle befau finden, was wir über die Winkel eneilung de ZerfaJl wi n möchten. ir mü en nur immer aufpa en. da wir di Zu rände, über die wir prechen. volltändig definieren. Wir mö hten die Wahr cheinlichkeit dafür wi en. da da Proton im inkel (} zur -. ch egfijegt (in einem kleinen Raumwinkel ~D.) wie in Fig. 17-6 gezeichnet: ir wollen ein neue -·Ach e in die e Richtung legen und ie die::: -Ach e n nnen. ir wi en. ie man beh hat da 0 nicht rechnet. wa enrlang die er Ach e ge chieht. Bezüglich die er n uen läncrer den pin "oben", ondem e hat eine gewi e mplitude, den pin .,ob n" zu haben. und eine andere Amplitude, den pin, unten" zu haben. ir haben die hon in K pitel 6 und noch einmal in Kapitel 10. GI. (10.30) erörtert. Die mpliLUde für Spin "oben" i t 8/2 und die Amplitude für piß "unten" i tt - in 812. enn der 0_ pin 1äng d r..,1· h e "oben" i t. wird da 0 mit der rnplitude a ein Proton in die +.::' -Ri htung emittieren. Dah r i t die Amplitude. ein Proton mit Spin ,.oben ' zu finden, da in der:::-Rieh ung herau k mmt.

aeo

8

Ähnlich i t die Ach e ommt, -

b

( 17,

2

rnplitude, ein Proton mit Spin "unten" zu finden, das läng der p iti en -'.

. 8

(17. 4)

tn-

2'

Die beiden Proze e, auf di

ich die e Amplituden beziehen, ind in Fig. 17 -9 gez igt.

-Wir haben .J in die x;::-Ebene gelegt und benutzen die bei jeder anderen" abl erhalten.

atrixelemente für R, (9).

ie ....iirden d

eibe Ergebni

75

17.5 Der Zerfall de

a)

+ on

mplilude a

-'

I I rV'

~

~",,/ ~

I

I I

I I

I I

I

,I

Fig. 17-9: Zwei mögliche Zerfall zu lände für

mplilud -b in 012

da

0

Stellen \ ir un jetzt die fol ende leichte Frage. Wenn d /\0 läng der ;:-Ach e den Spin oben hat, wa i t dann die h inli hkeit, das da Zerfall proton im inkel 8 wegfliegt. Die beiden pinzu tände" en d r ,um n' läng z') ind unter cheidbar, auch enn ir ie nicht betrachten erden. m daher die ahr cheinlichkeit zu erhalten, quadrieren ir die Amahr cheinlich eit fee), da Proton in einem kleinen Raumwinkel plituden und addieren. Di 611 bei (j zu finden i t

1(8

=lal-~ co - -(j

(l7.35

enn wir daran d nken, da wir f(8) hreib n al

lai + Ib1 1(8) = ( 2 Die

2

)

+ (lai - Ibl-) o 8. .

inkel erteilung hat di

f«(J)

=ß(l + Cl' co

in 2 (812) = ~(l - co 8) und co 2(8/2)

8).

= io +

0 8)

i t, können

17. 6)

rrn 07.37)

17 S.....mmerrie und ErhallLl1Igssät:e

376

Die Wahr heinlichkeit hat einen Teil, der unabhängig on ei t. und einen TeiL d r i h linear mit co () änden. u einer e ung der Winkel verteilung können wir Q' und ß erhalten und daher lai und Ibl. un gibt e viele andere Fragen, die wir beantworten können. [ntere ieren un nur Protonen mit Spin ..oben" läng der alten ;::-Ach e? Jeder der u drücke in (17. ) und (17.34) wird eine Amplitude ergeben, ein Proton mit Spin "oben" und mit pin "umen" b zügli h der ..J_ Ach e (+.::' und -;::') zu finden. Spin ..oben" bezüglich der alten A hel +:) kann dur h die Ba i zu tände I ~') und 1-;::') au gedrückt werden. Wir können dann die zw i mplituden (17.33) und (17.34) mit den zu tändigen Koeffizienten ( 0 ()/_ und - in()/_) kombinieren. um die Ge amtamplitude zu erhalten

Ihr Quadrat i t die Wahr cheinlichkeit, da da Proton im Winkel eherau kommt. \ ob i e den eIben pin hat wie da 0 (nach "oben" läng der --Ach e). Fall die Parität erhalten wäre, könnten \ ir eine eitere u age ma hen. Der Zerfall on T Fig. 17- i t gerade die Spiegelung - an, agen wir, der y;::-Ebene - de Zerfall au Fig. 17-7 . enn die Parität erhalten äre. mü te b gleich a oder -a ein. Dann i t der Ko ffizient a von (17.37) null. und der Zerfall könnte mit gleicher Wahr heinlichkeit in aUen Richtungen auftreten. mmetrie in dem ZerfaJl \'orhanDie experimentellen Re ultate zeigen jedoch. da eine den i 1. Die gerne ene Winkel verteilung verläuft wie co 8, ie \ ir vorau agten - und nicht wie co - oder irgendeine andere Potenz. Tat ächlich können wir. da die inkel erteilung diee Fonn hat au die en Me ungen herleiten da der pin de 0 gleich ~ i t. Eb nfall ehen wir. das die Parität ni ht erhalten bleibt. Tat ächlich fand man e perime-ntell da der Ko ffizient a gleich -0,62 ± 0,05 i t, bit daher ungefähr zweimal 0 groß wi a. 0 Fehlen der ymmetrie bei einer piegelung i t ganz deutlich.

e

Sie ehen, wie viel wir au der Erhaltung de Drehimpul e entnehm n könn n. einige weitere Bei piele im näch ten Kapitel geben.

Anmerkutl . N1it

der

mplilude a in die em

b chnitt meinen \\ ir die

ir werden

mplimde, d d r Zu land

IProton läuft na h +- pin +:) in einem infinite imalenZeitab chnitt dr au dem Zu tand I , pin -) erzeugt wird oder, mit anderen Worten. das

(Proton läuft nach

+~,

pin +:: I H I , pin +;:)

= iflQ

17.

)

i t. ",obei H d r Hamiltonoperator der Welt i t - der zuminde t von dem, au h immer für d n ,\-Zerfall verantwortlich i t. Die Erhaltung de Drehimpul e bedeutet. d der H mHt n peraror die Eigen haft haben mu . da

I?

0

0

e-I~n.

1+)

1- )

(+ I

( -I Tabelle 17.2: Drehmatrizen für pin ein

=+1 IO).m=O

I+ ) •m

Drei Zustände:

I-),m=-I

R;:(d»

1+)

10)

1- )

(+1

e+ir/J

(0 I

0 0

(-I

0 0

0 1

0

e- i

RJ «(})

1+)

10 )

1- }

(+ I

~(l + co ())

1 . + -12 m()

(0 I

- - in()

( -I

~(l- o B)

1

co

Y2

1

,J2

{( 1- 0

(J

..,

T-

inB

tu

inB

Tabelle 17.3: Photon n Zwei ZusTände: IR) IL)

1 = .,fi(lx)

i1y»), m

=

1 = -{2(lx) -

ily}).m

I .. =-I (LZ-poan Jert)

R~(f/J)

(RI (LI

IR)

I L)

e

0 e-i

i~

0

1 (RZ-polari iert)

öre

379

Sie ind natürlich genau glei h\ ertig zu Amplituden wie ( +TI 0 S) , die \ ir in früheren Kapiteln benutzt haben. Mit R.(f/J) minen wir. das d r Zu tand in ein neue Koordinateny tem projiziert \ ird. d um ~den in 1

ae

= 2 (1 + co

(l .3)

(}).

E gibt auch eine mplitud. da in RZ-Photon ab orbiert und ein LZ-Photon emittiert wird. Da Produkt der z\ ei mplituden i t die mplitude (L' I SIR> . da ein RZ-Photon a1 LZ-Ph ton ge treut wird. enn ir 1 .2) rwenden, erhalten wir

ac

(L'IIR)=--(l-coB).

(l .4)

Fragen ir jetzt dan h. a pa iert, w nn ein LZ-Photon einfallt. Wenn e ab orbiert wird gehl das tom in ein n Zu tand 111 = -1. it iner gleichartigen Argumentation ie im orig n Ab chnitt können ir z ig n, da die mplitude -e ein 11m . Die Amplitude. da ein tom im Zu tand m = -I in RZ·Ph ton im Winkel (} emittieren ird, i ta mal die Amplitude< + I R/(}) 1- > . die co. (}) i t. ir erhalten damit

40 -

.

m=O~ e e-

LZ

Fig. 18-8: Ein anderer möglicher Proze

für die

P itroniumvernichtung. i t, wa die Beziehung zwi ehen den Amplituden für diese zwei möglichen Zerfallsformen ist. ir können die au der Erhaltung der Parität herau bekommen. m das zu machen, mü en wir jedoch die Parität de Po irronium kennen. un haben theoreri che Phy iker auf eine ni ht leicht zu erklärende Art gezeigt, dass die Parität des Elektron und de Po irr TI ine ntiteilchen - entgegengesetzt ein mu , 0 das der Spinnull-Zu tand de Po itr nium ungerade ein mu . Wir wollen einfach orau etzen. da s er ungerade i t und da wir .. berein timmung mit dem Experiment erhalten werden können \ ir da aJ au rei henden Be\ ei an ehen. Sehen \ ir dann na h. was ge chieht, wenn wir eine In er ion de Proze e in Fig. 1 -6 au führen. enn wir da tun k hr TI di z ei Photonen Richtungen und Polari arianen um. Da in ertiene Bild i ht genau wie Fig. 18-8 au . Unter der Voraus etzung da die Parität de Po itronium ung rad i t, mü en die Amplituden für die zwei Proze e in den Figuren 18-6 und I - ntgegenge etzte orreichen haben. Bezeichnen wir den Endzu tand von Fig. 18-6, in dem beide Photonen RZ ind, mit IR I R2 ) und den Endzu tand in Fig. 18- in dem beide Photonen LZ ind, mit I LI L 2 ). Der wirkliche Endzu tand - nennen wir ihn I F) - mu em (18.19)

Dann wandelt eine [n er ion die R' in L' um und ergibt den Zu tand (18.20)

der das egati e on (I . 19) i t. Dah r hat der Endzu tand I F) negati e Parität, a das eIbe wie beim anfanglichen pin-null-Zu tand de Po itronium i t. Die i t der einzige Endzu tand, der ow hl Drehimpul al auch Parität erhält. E gibt eine Amplitude dafür, da der Zerfall in die en Zu tand eintret n \ ird, um di ir un j tzt jedoch nicht zu kümmern brauchen da wir nur an den ragen na h d r Polari ation inter iert ind.

Was bed ut t d r ndzu tand on (J .19) phy ikali ch? Eine Bedeutung i t die folgende: enn wir die zwei Photonen in zw i D tektoren beobachten die 0 einge teIlt erden können, da ie RZ- und LZ-Phot nen oetrennt zählen werden wir immer zwei RZ-Pboronen

1 Drehimpuls

392

gemein am oder zwei LZ-Photonen gemein am ehen. Da heißt. \ enn ie auf einer eite de Positronium tehen und jemand andere teht auf der gegenüberliegenden eite, dann können Sie die Polari ation me en und dem anderen Kollegen erzählen. \ elche P lari ation er erhalten wird. Sie haben eine 50 : ~O Chance, ein RZ- oder ein LZ-Photon einzufangen: aber welche Sie auch erhalten. Sie können vorhersagen, das er da gleiche erhalten \ ird. Da e eine 50:50 Chance für RZ- und LZ-Polari ation gibt, hört eich 0 an, al ob e wie eine lineare Polari ation wäre. Fragen wir, was pa iert. wenn wir da Photon in Zählern beoba hten, die nur linear polari ierte Licht akzeptier n. Bei y-Strahlen i t e. nicht 0 leicht, die Polarisation zu me en, wie beim Licht; e gibt keinen Polari ator, d r b i 01 h kurzen ellenlängen gut arbeitet. ber teilen wir un vor, da e ihn gäbe. um die Di ku ion einfacher zu ge talten. Angenommen, Sie hätten einen Zähler, der nur Licht mit x-Polari ation akzeptiert, und ein Kollege wäre auf der anderen Seite, der gleichfall nach linear polari iertem Licht mit, agen wir. y-Polari arion Au chau hält. Wie groß i t die Chance da ie die zwei Photonen au einer emichtung auffangen? Wonach wir fragen mü en. i t die mplitude dafür. da I F > im Zu tand Ix,x 2 > ein wird. Mit anderen Worten, wir möchten die mplitude haben

ie i t natürlich gerade 1 .21) Ob ohI wir jetzt mit Zweiteilchenamplituden für die zwei Photonen arb iten. können \vir ie genau 0 behandeln, wie wir e bei den Einteilchenamplituden gemacht hab n, da ich jede Teilchen unabhängig von dem anderen verhält. Das bedeutet, d die mplitud (x\Y21 R] R2 ) einfach da Produkt der zwei unabhängigen Amplituden (XI IR,) und (.'"2 1R2 ) i t. ach Tabelle 17.3 ind die e zwei Amplituden 1/...[2 und

i/...{i,

0

da

gilt

Ähnlich finden wir

2 Wenn wir die

zwei Amplituden gemäß (18.21) ubtrahier n, erhalten \ ir (l .22

Daher gibt e eine Wahr cheinlichkeit von einst, da , wenn Sie ein Photon in [hrem xpolari ierten Detektor erhalten, der Kollege ein Photon in einem y-polari ierten Det ktor auffangen wird. "'Wir haben un ere Amplituden nicht normien oder mit der Amplirude ftir den ZerfaJl in irgendeinem be onderen Endzu tand multiplizien. dennoch können wir ehen, das die Ergebni richtig i t.. weil \\ ir di \ ahrscheinli hkeit null erhalten. wenn wir die andere Alternative betrachten - iehe GI. (I .2 ).

393

un n hm n H n. das der Kali g einen Zähler auf x-Polari ation ein teilt, die gleiche wie Ihr. r ürd ni mal in n Zählimpul erhalten, \ enn ie einen erhalten haben. Wenn ie da durchr hn 11, \ rden ie find n (l .2 )

E wird natürli h au h herau komm n. da ,\ enn Sie Ihren Zähler auf y-Polari ation ein teIlen, er nur dann gleichzeitige Zählirnpul erhält, enn er ich auf x-Polari arion eingestellt hat. un führt die alle zu ein r intere ant n Situation. ngenommen. ie teilen etwa wie ein tück Kalk pat auf, da di Photon n in inen x-polari ierten und einen y-polari ienen Strahl aufteilt, und lellen einen Zähler in jeden Strahl. enn n wir einen den x-Zähler und den ander n d ny-Zähler. enn der K llege auf der anderen Seite da eIbe tut, können ie ihm immer ag n, in welchen trahl ein Photon hineingehen wird. ann immer Sie und er gleichzeitige Zählimpul e erhalten. können Sie ehen, welch r on Ihren Detektoren das Photon eingefangen hat und ihm dann ag n, el her on einen Zählern ein Photon hat. Sagen wir. da Sie bei ein m be timmt n Zerfall finden, da ein Photon in Dlren x-Zähler gegangen i t· Sie können ihm mitteilen. da er einen Zählimpul in einem -Zähler gehabt hat. un finden vi 1e Leut , die di Quamenme hanik nach der üblichen (altrnodi ehen) Methode lernen die erwirrend. ie \ ürden lieber denk n, da ,wenn er t einmal die Photonen emit1iert orden ind. ie ie ine . elle mit bestimmtem Charakter weiterlaufen. Sie würden denken, da . da ,.ireendein geeeben Photon" eine ,. mplitude' hat. x-polari iert oder y-polari iert zu ein ine han creb n ollte, e entweder im x- oder im .v-Zähler aufzufangen und d die e hance nicht da n abhängen ollte as irgendein andere Per on über ein vollkommen andere Phot n h rau find t. ie argumentieren, da "irgend in anderer der eine Me ung ma ht, nicht im rande ein dürfte, di Wahr cheinlichkeit da ich etwa finden werde, zu ändern," n er Quant nmechanik agt jedo h, da Sie bei irrer Me ung am Photon ummer in genau v rher agen können ie die Polari ation on Photon urnmer z ei bei einem a h i ein ird. Die er Punkt wurde on Ein tein niemal akzeptiert, und er be chäftigte ich damit hr ein eh nd - er wurde a1 , Ein tein-Podol ky-Ro en-Paradoxon" bekannt. enn man ab r die ituation 0 be chreibt, wie wir e hier getan haben, eh int überhaupt k in Parad on rhand n zu in; e ergibt ich ganz natürlich. da das, an einer Stell gerne en ird. mit dem erknüpft i L wa irgend 0 ander gerne en ird. Die Argumentation, da da Ergebni parado i t, läuft etwa 0: 1)

enn ie einen Zähler haben, der Ihn nagt, ob Jhr Photon RZ oder LZ i t, können Sie enau vorh ragen, elche rt Ph ton RZ oder LZ) der andere finden ird.

(2) Die Photonen, die er empfangt, mü n dah r entweder rein RZ oder r in LZ ein, eini e n d r einen und eini e on der anderen orte. 3)

ich rli h k"nn n ie ni ht die ph ikali he atur einer Photonen erändern. indem ie die Be ba hmng m th d n für ihre Photonen abändern. Ganz glei h, el he eungen i an [hr n omehmen, ine mü n immer noch entweder RZ od r LZ ein.

4)

un nehm n wir an, er ändert inen pparat, um mit einem tück Kalk pat die Photon n in z ei linear polari ierte trablen aufzu palten, 0 da alle in Photonen enr eder in

394

18 Drehimpul

einen x-polari ierten oder einen y-polari ierten Strahl gehen. E gibt nach der Quantenmechanik ab olut keine Möglichkeit zu agen in welchen Strahl irgendein pezielle RZ-Photon geben wird. E gibt eine Wahr cheinlichkeit on 50~, das e in den x-StrahJ gehen wird und eine Wahr cheinlichkeit von 50~ da e in den y- trahl gehen wird. nd das eIbe trifft für ein LZ-Photon zu. (5) Da jede Photon entweder RZ oder LZ i t - nach (2) und (3) - mu jede eine 50 : 50 Chance haben in den x-Strahl oder den y-Strahl zu gehen, und e gibt keine ögLichkeit vorherzu agen, welchen Weg e einscWagen wird. (6) Dennoch agt die Theorie vorau, da s, wenn Sie Ihr Photon durch einen x-Polari ator gehen ehen, Sie nllt Sicherheit vorher agen können, d ein Photon in einen ypolari ierten Strahl gehen wird. Die teht in Wider pruch zu (5), 0 da ein Paradoxon vorliegt. Die l a tur ieht das "Paradoxon' jedoch offenbar nicht, weil das Experiment zeigt, da die Vorau age in (6) tat ächlich richtig ist. Wir haben den Schlü el zu die em Paradoxon" chon in un erer allerer ten Vorie ung über quantenmechani ehe erhalten in Kapitel 37, Bd. I, di kutiert. In deo oben angeführten Argumenten ind die chritte 1) (2 ,(4) und 6) alle richtig, aber (3) und die Folgerung darau (5) ind fal eh, ie geben keine wahre Be hreibung der atur. Argument (3) agt, da Sie durch Ihre Me ung ( ie ehen ein RZ- oder ein LZ-Photon) bestimmen können, welche von zwei alternativen Ereigni en bei ihm eintrin (er ieht ein RZoder ein LZ-Photon) und da , auch wenn Sie Ihre Me ung nicht machen, ie d hagen können, da ein Ereigni in der einen oder der anderen Alternati e eintreten wird. Aber e war genau der e entliehe Punkt von Kapitel 37 Bd.l, gleich am nfang zu beton n, d die in der atur nicht 0 i t. Ihre Be chaffenheit erfordert die Be hreibung dur h interferierende Amplituden mit je einer Amplitude für jede Altemati e. Eine e ung, elche Amplitude wirklich auftritt, zer tört die Interferenz wenn aber eine e ung nicht gema ht wird, können Sie auch nicht mehr agen, da noch die eine der die andere Alternati e eintritt". Wenn Sie bei jedem Ihrer Photonen be timmen könnten, ob eRZoder LZ i t, und auch, ob e x-polari ien i t (alle bei dem eiben Photon) gäbee tat ächJich ein Parado on. ber ie können das nicht tun - e i t ein Bei piel de Unbe timmtheit prinzip. Denken Sie immer noch, da da ein "Paradoxon" i t? eien ie ich im Klar n darüber das e tatsächlich ein Paradoxon im Verhalten der atur i t, wenn man ein Gedankene periment aufbaut, für das die Theorie der Quantenmechanik üb r zwei e chiedene Argumentationen nicht übereinstimmende Ergebni e vorher agt. on t i t das , Parado on' Dur ein Konflikt zwi eben der Realität und Ihrem Gefühl wie die Realität "eigentlich ein oHte". Glauben Sie, da e kein "Paradoxon 'i t, ondern da e nur noch ehr igenartig i t. Va können wir alle zu timmen. Da i te wa die Phy ik 0 fa zinierend ma ht.

18.4 Drehmatrix für beliebi en pm

395

Dr hmatri für beliebigen Spin

18.4

ir hoffen, da le lIlZ ihn erk nnen können. wie wichtig der Begriff de Drebimi t. Bi her hab n wir nur S terne mit pin - oder pul e zum r tiindni atomar r Pr z ,Ge amtdr himpul "- on null. ~ drin betrachtet. E gibt natürlich atomare Stern mit höh r m Drehimp111 . Zur nte uchung leher y terne braucht n wir Tabellen der Amplituden bei Dr huneen, .. i j ne in b chnitt 17.6. D heißt wir brau hten die Matrix der Amplituden für pin~, 2, 2' u . Obwohl wir die e Tabellen nicht im Einzelnen au arbeiten wollen möcbt n ir Ihn TI Z je n. wie e g macht wird damit ie e können, fall le e jernal mü n. le

ir früher g

h

TI

hab n

y tem, da den

ann jed

pin oder ,Ge amtdrehimpul "

j hat, in irgend inem d r (2j + I)-Zu lände e i ti ren für die die z-Komponente de Drehimpul e irgendeinen d r di kr ten W rte au der Folge j, j - 1, j - 2, ..., -0 - 1), - j (alle in nn ir di ::-Komponente de r himpul e irgendeine peziEinheiten n fi) haben anno eHen Zu tande 17111 n nn n, önn n \ ir inen p zi lIen Drehimpul zu tand definieren, indem wir die zahlen erte d r zwei. Drehimpul quantenzahlen" j und In angeben. ir können olch einen Zu land mit d m Zu rand ektor 1),111> b zeichnen. Im Falle eine Spin-t-Teilchen ind die zwei Zu lände dann ~) und 1 ~, >; der bei einem Spin-ein - tern würden die Zu lände in die er B Z ichnung wei e al 11, + I) \1, 0), 11, -I ) ge chrieben. Ein pin-nullTeilchen hat natürli h nur d n einen Zu tand 10, ).

11

-t

un möchten ir i n, v ge hieht, wenn wir den allgemeinen Zu tand 1 j, In) in eine auf ein gedrehte h en y tern bezogene Dar tellung projizieren. Al Er te wi en ir da j eine Zahl i t die da Sy rem harakteri iert, daher ändert ie ich nicht. Wenn wir die Achsen drehen, erhalten 'f nur in i chung der er hiedenen m- erte für das eIbe j. Im Allgemeinen wird e eine Amplitud dafür geben. da da y tem in dem gedrehten Koordinaten tem im Zu tand I j m') in ir, ob im' die neue --Komponente d Drehimpul e angibt. lf möchten daher all ,atri 'eI m nt (j, m' I R I j m) für die er chiedenen Drehungen haben . Wir i en berei , a ge hieht, nn ir um inen Winkel if> um die -Ach e drehen. Der n ue Zu Land i t infa h der alt multiplizi rt mit eimt/J - er hat immer noch den eIben m- ert. ir können die au druck n durch

R.. (if»IJ,m} =e im I),m). Oder, wenn i

(1 .24)

orzi hen

<j, m' IR:. f/J) I j, m)

:: 0m,m' eimt/J

wobei 0m,m' leich 1 i t wenn m'

= In i

t und on t null).

Bei einer Dr hun a um ir endein ander ch e ird e eme i chung der er chiedenen rn-Zu tände geben. ir könnten natürlich er uchen, di atrixelemente für eine willkürliche Drehung au zurechnen, di dur h die Euler eh n Winkel ß er und y be chrieben wird. E i t aber lei hler, nn man bedenkt da di al1g mein t solche Drehung au den drei Drehungen R (r), RyCcr , Rz(ß) zu amm nge lZl werden kann; wenn wir daher di Matrixeiernente für eine D~ehu g um di ,- eh kennen hab n wir alle a wir rauchen.

18 Drehimpul

396

Wie können ir die Drehmatrix für eine Drehung um den inkel () um die y-A h e :für ein Teilchen om Spin j finden? Wir können Ihnen nicht agen, ie e auf eine fundamentale Wei e (mit dem was wir gehabt haben) gemacht wird. Wir machten e für pin mit einem komplizierten S mmetrieargurnent. Wir machten es dann für pin ein, indem ir den Spezialfall eine Spin-eins-Sy tem nahmen, da au zwei Spin-t-Teilchen gebildet ar. enn ie un folgen wollen und die Tat ache akzeptieren, da im allgemeinen Fall die Ergebni e nur vom Spin j abhängen und unabhängig davon ind, wie da Innere de Objekts om pin j zuamrnenge erzt i t, können wir die Bewei führung für Spin ein auf beliebigen pin au dehnen. Wir können zum Bei piel ein kün tliche Sy tem von Spin ~ au drei Spin-t-Objekten zu amrnenbrauen. ir können ogar Schwierigkeiten venneiden, indem wir un Of teilen, da ie alle er chiedene Teilchen ind - wie ein Proton, ein Elektron und ein on. enn wir jede Spin-~-Objekt tran formieren können wir sehen, wa mit dem ganzen Stern pa i rt - obei wir däran denken das die drei Amplituden für den zu arnmenge etzten Zu tand multipliziert werden. Schauen wir, wie es in die em FaJle geht.

t

Angenommen, wir nehmen die drei Spin-~-Objekte alle mit Spin "oben"; wir können die eo Zu tand mit 1++ +) bezeichnen. Wenn wir die es Sy tem in einem um den inkel ifJ um die z-Ach e gedrehten Koordinaten y lern betrachten, bleibt jede Plu ein Plu, ird aber mit ei012 multipliziert. Wir haben drei olehe Faktoren, daher gilt R:(ifJ) I+ + + > = ei (3/b12) I+ +

+ >.

(1

Offen ichtlieh i t der Zu tand I + + +) gerade da oder der Zu tand I~, +~ ).

.26)

was wir mit dem Zu tand m == + ~ meinen.

Wenn wir jetzt die e Sy tem um die y-Ach e drehen ird jede der pin-}-Objekte ine Amplitude haben, plu oder minu zu ein, daher wird jetzt d Stern eine ichuno- der acht möglichen Kombinationen I + + + >, 1+ + - ) , I+ - + >, 1- + + ) , I+ - - > 1- + -) I- - + ) , oder 1- - - > ein. E i t jedoch klar, da die e in ier Gruppen aufgeteilt erden können wobei jede Gruppe einem pezieLlen Wert von m ent pricht. Al Er te hab TI wir 1+ + +) für da m = i t. Dann gibt e die drei Zu tände I+ + - ), I+ - + ), 1- + +) von den TI jeder zwei Plu und ein Minu hat. Dajede Spin-i-Objekt die eIbe Chance hat, bei der Drehung mit einem Minu berau zukommen, ollten die Beträge von allen die en drei Kombinationen gleich ein. ehmen ir al 0 die Kombination

t

1

(1 .27

-y'3{1++-> +1+-+) +I-++)L

l/-Y3

einge etzt wird um den Zu tand zu normieren. enn ir die en Zuwobei der Faktor tand um die -- eh e drehen, erhalten wir einen Faktor ei~12 für jede Plu und e-up12 für jede Minu . Jeder Term in (18.27) wird mit e iiP12 multipliziert, 0 da der aem in ame Faktor ei~12 i t. Die er Zu tand genügt unserer Vor teIlung on einem rn = Zu tand' wir könn n folgern

+1

1

1/3 {I + + -) + 1+ -

+) + 1- + + >}

=I ~ + t) .

(l .2

18.4 Drehmatri_ fijr beliebigen Spin

Ähnlich k"nnen

\i

1

ir

-(I + - - > +

..fj

397

hreiben

1- + - > 1- - + >)

=I ~ - ! > ,

18.29)

was einem Zu tand mit In = - ~ entspricht. Beachten Sie, da wir nur die symmetrischen Kombinationen nehm n - ir n -hmen keine Kombinationen mit Minu zeichen. Sie würden Zu tänden mit dem lb n 111 aber anderem j ent prechen. CE i t genau 0 wie im Spin-ein Fall, wo wir gefunden hab n, da (1/V2HI +-) + \-+ >} der Zu tand 11 0> war, aber der Zu land (1Iv'2){1 +-) -I-+)} der Zu tand I 0,0) war.) Schließlich würden wir rhalt n (18.30 Wir fas en un ere ier Zu tände in Tabelle 18.] zu ammen. Tabelle 18.1

=I~,+~>

1+++> I

..J'3{ I + + -

> + 1+ - + > + 1- + + >} = I ~' +~ )

1

3 {3(1 + - -) + 1- + - > + 1- - +)} = 123, -2 )

=I~,-~)

1---)

un brau hen ir nur no hjeden Zu tand zu nehmen, ihn um die -Ach e zu drehen und zu ehen ie iel on den and r n Zu tänd n er ergibt - wobei wir un ere bekannte Drehmatrix für die pin-~-Teil h n erwenden. ir können auf genau die elb Wei e orgehen \ je wir e im pin-ein ~Fall in b chnitt 12.6 gemacht haben. CE erfordert nur etwa mehr Algebra.) ir ollen direkt den Gedankengängen on Kapitel 12 folgen, wir v iederholen daher nicht aUe rklärungen im Ein einen. Di Zu tände im y tem S werden I ~' +~ S) = 1++ +) I~, +t. > (l/v3){1 + + -) + I + - + > + \- + +)} und 0 weiter bezeichnet Das T- rem wird ein ein d um die )-Ach e on um den Winkel gedreht i t. Zu tände in T werden mit I ~' +~' T I~, +~' T> und w iter bezeichnet. amrlich i t I ~' +~' T> d eIbe tem verwei en. Ganz ähnli h ird wie I +' +' -' ) . ob j die Striche immer auf da T 1~.+~,T)gleich(l/Y3)(I+'+'-')+I+'-'+')+I-'+'+'>} einund ow iter.Jederl+')tand im T- tern kommt üb die atrixelemente on Tabelle 12.4 owohl on den 1+) al auch cl n 1- >-Zu tänd n in her. I

=

e

>,

Zu

r

enn wir drei Spin-~-Teilchen haben wird GI. (12.47) er etzt durch 2

1++ +) = a 3 1+' +' +' > + a b{1 +' +' -' > + 1+' -' +' ) + 1-' +' +')

+ a2b(l +' -' -') + 1-' +' -' > + 1-' -' +' >} + b3 \_'

-' -' )

(l .31)

,

398

Drehimplli

Unter Verwendung der Tabelle 12.4 erhalten wir anstelle on (12.4 ) die Gleichung

I~,+~.S) = a31~.+~.T) +v'3a2bl~,+~ T) + v'3 abl I ~,

-1, T)

+ b 3 I 2' - ~, T) .

(l .32)

Die e liefert un chon mehrere un erer Matrixelemente <jT I iS) . m den u druck für I ~, +t, S) zu erhalten beginnen wir mit der Tran formation eine Zu tande mit zwei .,+"und einem .,-"-Be tandteil. Zum Bei piel

1+ + -)

+ a 2d 1+' +' -') + abc 1+' -' +') + bae 1-' +' +') + abd I +' -' -') + bad 1-' +' -' ) b 2 e 1-' -' ') + b2d 1-' -' -') .

= ale 1+' +' +')

(I .33)

Wenn wir zwei gleichartige Au drücke für I + - +) und I - + +) addieren und durch ..(3 di ]dieren. finden wir

I~, +~,S) = V3a2cl~, +~. T) + (ald

+2abe) I~. +t, T)

+ (2bad + b2 c) I ~, -~, T) +

3 b 2d I

t, - ~, T) .

(\ .34)

Wenn ir den Proze fort etzen, finden wir alle Elemente <jT I iS) der Tran formation matrix. wie ie in Tabelle 18.2 angegeben ind. Die er te Spalte ergibt i h au GI. (1 .32); die zweite au Cl .34). Die letzten zwei Spalten wurden auf die eIbe rt berechnet. Tabelle 18.2: Drehmatrix für ein pin-t·Teilchen.

(Die Koeffizienten a, b, c und d ind in Tabelle 12.4 angegeben.)

UTI i5)

I~,+~,S)

I~,+~,S)

1~'-~jS)

I~, -~, )

I ~, t, T) I t, +t, T)

a3

v'3 a 2b

\13 ae2

c3

,fj a2 b

a2d + 2abe

c2 d + 2dac

J3c 2d

-1, T)

...f3 ab 2

2bad + b2 c

2cdb

b3

v'3 b2 d

I~,

I ~, -~, T)

d1a

v'3 bd 2

Y3cd

2

d3

un nehmen wir an d T -Sy tem wäre bezüglich S um den inkel um eine y- . h n gedreht. Dann haben a, b, c und d die Werte [ iehe (12.54)] a = d = 0 812 und c = -b = in 0/2. Wenn wir die e Werte in Tabelle 18.2 verwenden erhalten" ir di Formen die dem zweiten Teil on Tabelle 17.2 ent prechen, jetzt aber für ein tem om pin ~, Die Argumente, die wir gerade durchgegangen ind kann man ohne weiter auf ein tem on beliebigem Spin j erallgemeinern. Die Zu tände I j, m) können au 2j-Teil hen, von

99

denen jede den pin ~ hat, zu mm nge etzl erden. (E gibt j +111 on ihnen im I + ) -Zu land und j - m im 1- ) -Zu -Land. an bildet die ummen üb r all die möglichen Arten, auf die die getan werden kann, und d r Zu land wird durch ultiplikation mit einer geeigneten Kon tanten nonnien. 'v r \ n Ihnen mathemati h igung n hat, kann ielleicht zeigen. das da folgende R uhat herau kommt: t (j, 111' IR) «(J) Ij, 111)

x

= l(j + 111)!(j -

111) !(j + m').(j - m')! fl2

(-1 )hm-m' ( 0 (J/ f~)+m'-m-'2A(

I

(111 - m'

1;

in 6/2)",-m'+"2k

+ k).(j + m' - k)!(j -

wobei k über all \ erle laufen mu . die Terme

~

J17 -

k)lkt

'

0 in all n Fakultäten ergeben.

Die i teine re ht umfangreiche Formel, aber mit ihr können Sie Tabelle 17._ für j = 1 nachprüfen und eie n T b lien für größ re j auf teilen. er chiedene pezielle Matrixelemente ind on bonderer i htigk it und haben pezi Ile am n erhalten. Zum Bei piel ind die Matrixelemente für m - m' = 0 und ganzzahlige j a1 Legendre ehe Polynome bekannt und werden Pj 0 0) genannt: ( 18.36)

Die er ten paar di Po(

B)

p.(co 6)

=

iod:

rP I n m

I.

=c

(l .37)

(1 .3 )

6,

P2 (co 6) = ~(3c 28-1), P3 (

18.5

0

6)

= 1C

0

38_ 3

0

1 .39)

0).

(18.40)

e ung eIne Kern-Spin

ir mö ht 0 Ihn n j tzt in Bei pi 1 für di An endung der Koeffizienten, die \ ir eben be chrieben hab n zeig n. E hat mit ein m neueren intere anten Experiment zu tun d zu er tehen ie jetzt in der Lag ein erden. Einig Phy iker ollten den Spin eine be timrnten ang r ten Zu tand de 2o_K m herau finden. m die zu tun, be eho en ie ein Kohlen toff-Tar I mit einem trahJ be chleunigt r Kohlen toffionen und erzeugten den gewün chten angeregt n Zu tand on e20 - d r e20 • genannt ird - in der R aktion

wobei a I da a- ~ iIhn d r He" i t. hrer der anger gten Zu Lände de auf die e Art 20 erzeugten e ind in tabil und zerfallen nach der Reaktion

ie \ erden in einem

nhang zu die em Kapitel gebra hl.

400

1

Drehimpuls

Daher gibt e experimentell zwei a- Teilchen, die au der Reaktion herau kommen. ir nennen ie a 1 und a~: da ie mit er chiedenen Energien weggehen, kann man ie voneinander untercheiden. [ndem wir eine be ondere Energie für a I au wählen, können wir au h jeden einzelnen angeregten Zu tand de Ne:w herau finden. ilizium-Halbleilerderektoren

Kohlenstolffolie 30 Jig/cm:!

Fig. 18-9: Experimentelle Anordnung zur Be limmung de Spin eine be timmten Zu land von e:!o.

Da Experiment wurde wie in Fig. 18-9 gezeigt aufgebaut. Ein trahl on 16 e Kohl Dtoffionen wurde auf eine dünne Kohlen tofffolie gerichtet. Da er te 0'- Teilchen wurde in einen Silizium-Halbleiter-Detektor der mit 0'1 bezeichnet i t, gezählt - der 0 aufgebaut war, das er a-Teilchen der richtigen Energie akzeptierte, die ich in Vorwärt richrung be egten (bezügli h de einfallenden C I1 _ trahl ). Da zweite a-Teilchen wurde in dem Zähler a 2 im Wink I zu a, aufgefangen. Die Zählrate der Koinzidenz ignale on 0'1 und a 2 wurde al Funktion de inkel () gerne en.

e

Der Grundgedanke de Experiment i t folgender. Al Er te mü en Sie wi en, da die pin von C12 • 0 16 und dem a-Teilchen alle null ind. enn ir die Bewegung ri hrung de ur prünglichen C 12 die +::-Richrung nennen, dann wi en wir, da da Te 20 den Drehimpul I2 null um die ::-Ach e haben mu . Keine der anderen Teilchen hat irg ndeinen Spin: da C kommt 1äng der ::-Ach e an, und da a l kommt läng der ,:-Ach eherau 0 da ie keinen Drehimpul um die::- ch e haben können. Daher wi en wir, wa auch irnrn r der pin j de e 20• i t. da e im Zu tand I j, 0) i t. as wird jetzt pa ieren, wenn da e20 • in ein 0 16 und da zweite a-Teil hen zerfällt? uno da-Teil hen wird in dem Zähler Q'2 aufgefangen und da 0 16 mu . um den [mpul zu erhalten in die entgegenge etzte Richtung wegfliegen. t Um die neue Ach e dur h Q' kann e keine Komponente de Drehimpul e geben. Der Endzu tand hat d n Drehimpul null um di neue Ach e, daher kann das e20• auf die e Art nur dann zerfallen wenn eine mplitud dafür hat, m' gleich null zu haben, wobei m' die Quantenzahl der Komponente d Dr himpul e um die neue eh e i t. Tat ächlich i t die Wahr heinlichkeit, ooa 2 • beim Winkel () zu atri elemente beobachten. gerade da Quadrat der Amplitude (oder de

(j, 0 I R/()) Ij. 0) .

(I .41)

Um den Spin de in Frage kommenden e 20*-Zu tande zu finden. wurd di Im n ität d zweiten a- Teilchen al Funktion de Winkel aufgetragen und mit den theor ti h n Kurven -Wir können den auf das e 20• beim er ten Zu ammen toB übertragenen Rüc' LOB \erna hJä igen. Oder. n h be er. wir können bere hnen, wie groB er ist, und eine Korrektur dafür vornehmen.

401

für er chiedene \ erte v n j verglichen. ie WLr im letzten Ab chnin agten ind die Amplituden (j, 0 I Rv((}) I j, 0) grade di Funktionen P/co (}). Daher iod die möglichen \ inkelerteilungen Kurven on [Pico (})f. Die perimenrellen Ergebnis e werden in Fig. I -10 für zwei der angeregten u tände gezeigt. ie können ehen, da die inkelveneilung für den 5, 0- e -Zu tand ehr gut mit der ur e für [PI (co (})]2 zu ammenpa t, und daher mu e ein pin-ein -Zu tand in. Di Dat n für den 5,63-MeV-Zu tandanderer eit ind ganzander : ie pa n zu der KUf\'e [P ( 0 (})f. 0 r Zu Land hat den pin 3.

'"E

§-

0 • 10 o ;:; 00 Q. 'l; . ...;::;'006 ..t;:L .

CI')

eil t::

~

.c

.~

~

§ O., . = +'1I) = V213la, +~; b,O) +..flij la,

-!: b, +1)

:::: ..fIi3la, +~; b, -J ) + Y2/3 la, -~; b,O)

IJ::::

IJ

t. M:::: +1)

= {ljj la, +~;

= ~,1\1 = -1) = Y-13 I a, +~;

-&: b, +1) -v'l73 I a, -t; b, 0)

b, 0) - -../213 la,

b, -} ) -

nen alle gemäß M zu amm ng teilt w rden [ ie in (18.42)]. Da größte M ist eindeutig: e ent pricht ln a = ja und m b = jb und i t daher gerade Ja + i b· Da bedeutet, da der größte Ge amt pin J uch gleich d r umme Ja + Jb i t:

Für den er ten M-W rt, der kleiner al (M)max i t, gibt e zwei Zu tände (entweder i t 111 a oder mb um eine Einheit kleiner al in aximum. ie mü en einen Zu tand zu dem Stern bei teuern, d zu J :::: i a + Jb geh"rt, und der übriggebliebene wird zu einem neuen Stern mit J = Ja + ib - I gehören. Der näch tM-Wert - der dritte von oben auf der Li te - kann auf drei rt n gebildet \ erden. u 111 a = Ja - 2, In b :::: Jb ; au l11 a = ja - 1, In b = jb - I und au 111 = Ja' 11t b = Jb - _. Z i da on gehör n zu den Gruppen. die chan oben begonnen urden; 0 die dritte agt un , da Zu rände mit J = ja + jb - 2 auch mit einbezogen erden mü en. Die e Argumentation geht w it r bi ir ine tufe erreichen wo wir in un erer Li te keinen Schritt mehr in inem der 111' na hunten g h n können, um neue Zu tände herzu tellen.

Sei jb der kJ iner on ja und Jb (w nn ie gleich ind, nehmen Sie irgendeinen on beiden)' dann ind nur 2jb rt on J erforderlich - wob i man in ganzzahligen ehrin n on Ja + Jb hinunt r na h ja - Jb öeht. Da h ißt, wenn zwei Objekte vom pin Ja und Jb zu ammengeeLZt erden, kann da tem einen Ge amtdr himpul J haben, der gleich irgendeinem von folgenden erten i t:

Ja + Jb

ja + Jb - I J

=

ja + Jb

-

(Wenn wir 1)0 - jbl an da Ja ~ Jb i L)

2

tau ja - Jb

(l

-)

chr ib n, können wir di zu ätzliehe Ermahnung ermeiden

1

408

Drehimpuls

Für jeden die r J- Werte gibt e die 2J + 1 Zu tände mit e hi d n n M- erten - w b i M von +J bi -J läuft. Jeder von die en wird au Linearkombination n der ursprüngli h n Zutände I a, ma : b, my ) mit geeigneten Faktoren - den Cleh ch-Gordan-Ko ffizienr n für jeden einzelnen Term - gebildet. Wir können der einung ein. d die e ffizi nten die. enge' de Zu tande I ja' ma; Jb, mb ) angeben, die im Zu tand I J, > r h int. Dah r hat j der Cleb ch-Gordan-Koeffizient, wenn Sie 0 wollen, sech Indize. die eine Po ition in 01 h n Formeln wie denjenigen von Tabelle 18.3 und 18.6 angeb n. D h ißt. wenn wir die e Koeffizienten C(J, M; Ja' ma;Jb , mb ) nennen, können ir die Gleichheit in der zweit n Z ile on Tabelle l8.6 au drucken, indem wir chreiben C(2'

t·~, +!; 1,0)

= ~2/3,

C(~, +4; ~,-!; 1, +1) =

vm.

ir woUen hier die Koeffizienten für irgendwelche anderen p zialfalle ni ht b re hn n. t i können aber in vielen Büchern Tabellen finden. Vielleicht möchten ie e elb t mit einern anderen Spezialfall ver uchen. Der näch te der gemacht erden mü te. wäre die Zu ammenetzung von zwei pin-ein -Teilchen. Wir geben einfach da Endre ultat i TabeLLe 1 .7 an. Tabelle 18.7: Zu ammensetzung von zwei Spin-eins-Teilchen Ua

IJ = 2, M = +2) IJ

1

=

0) =

IJ = 2, M = -1) =

= -2)

I a, + 1; b, 0) +

1 -Y2 I a, 0; b, + [)

1

1

{6 Ia, + 1; b, -1) + -{6 Ia, -1'

b,

= 2, M

IJ

= 1, M = + 1) = ...fi I a, + 1; b, 0) - ...fi Ia, 0: b, + 1 )

Ia, 0; b, 0)

= I a, -1' b, -1 )

IJ

= 1, M =

1

1

I

= {2 Ia, + 1; b, -1) 1

IJ = I,M

= -1) = ...fi la, O' b, -1)

IJ = 0, M

=

0)

2

I)~

1 1 ...fi Ia, 0; b, -1 ) + ...fi I a, -] . b 0)

IJ

0)

1).

= I a, +l; b, + 1 )

= 2, M = + 1) = -Y2

I J = 2, M

= 1. jb :;

-

1

{2 I a, -1; b, + I ) 1

{2 la, -I; b,O)

1

= -Y3 {I a, + 1; b, -1 ) + I a, -1; b, + 1 ) - I a, 0; b, 0) }

Die e G etze für da Zu ammen etzen von Drehimpui en ind ehr i hti chenph ik - wo ie unzählige Anwendungen finden. Leider haben wir nicht g weitere Bei piele hier zu betrachten. tDa wir die allgemeine Drehmalri GI. (18.35) haben, i t ein groBer Teil der Arbeit g

laß.

in der ~ ilflUg Zeit, um

409

Zusatz : Herleitung der Drehmatrixt Für diejenigen on Ihnen, die gerne die Einzelheiten ehen mochten, rechnen ir hier die allgemeine DrehmatIix. für ein rem mit dem Spin (Ge amtdrehimpul ) j an . E i tin irklichkeit nicht ehr ichtig. den allgemeinen Fall au zuarbeiten; wenn Sie er t einmal d Prinzip begriffen haben könn n ie die allgemeinen Ergebni e in Tabellen in vielen Büchern finden. Anderer eit m"chten ie ielleicht nachdem Sie chan 0 weit gekommen ind gerne ehen das ie ogar die ehr komplizierten Formeln der Quantenmechanik, wie GI. 1 .35), die in die Be chreibung de Dr himpul es eingehen, ta ächlich er tehen können. Wir erweitern die Argumente on Ab chnin 18 auf ein Sy tern mit Spin j, da wir al an 2j pin-~-Objekten b tehend betrachten. Der Zu tand mit In = j wäre 1+ + +... +) (mit 2j Plu zei ben). Für In = j-I ud e 2j Terme wie 1+ + ... + +-) 1+ + ... + -+ ) und 0 weiter geben. Berra hten wir den allgemein n Fall, in dem e r Plu zeichen und s Minu zeichen gihtmit r+s = 2j. Bei einer Drehung um di --Ach e wird jede der r Plu zeichen e+iibl2 beitragen. Da Ergebni i teine Pha enänderung von (r/2 - s/2)ep. Sie eh n, da 1'-s

m=--.

(18.59)

1

Eben 0 wie bei j = ~ mu jeder Zu rand mit be timmtem m die Linearkombination mit Plu zeichen on allen Zu Länden mit dem eIben r und ein - das heißt, on Zu tänden die jeder möglichen Anordnung ent prechen die r Plu zeichen und s Minu zeichen hat. Wir erzen vorau , da ie au rechnen können, da e Cr + s)!/r!s! solche Anordnungen gibt. Um jeden Zu tand zu normieren, oilten wir die Summe durch die Quadratwurzel die er Zahl di idieren. Wir können ehr iben

( )' ]-112 {I+++.,,++--_ ... _-) [ r+. r! ! -----------r

s

+ (alle Umordnungen der Reihenfolge)}

= I j, 111)

(18.60)

mit .

r+ 2

j=--,

r-

m--- 2 .

18.61

E wird un b i der Arbeit helfen, enn wir jetzt zu noch einer anderen S hreib i e übergeh n. Wenn wir er t einmal die Zu tände durch GI. (1 .60) definiert haben kennzeichnen die ird un belfen die Dinge zu zwei Zahlen rund s einen Zu tand eben 0 gut ie j und m. E verfolgen wenn wir hreib n

I), m) = Ir) •

(18.62)

ung toff enthalten. Wir meinen jetzt. das e unnötig einzubeziehen.

1

4lO

Drehimpuls

wobei unter Verwendung der Gleichheit beziehungen von (I .61) ilt:

r=j+m, Al

s=j-m.

äch te möchten wir GI. (18.60) in einer neuen spe::.iellen ( )1]+1/2 Ij, m) = I;) =.[ r ~,' {I + ) r I- ) S Iperm . r.s.

orarioll chreiben al

(18.63

Beachten Sie, da wir den Exponenten de Vorfaktor in plus ~ geänd rt hab n. ir mn da weil e gerade = (r + s)./r!s! Terme innerhalb der ge chweiften Klammern gibt. Wenn wir (18.63) mit (18.60) vergleichen, wird klar, da

gerade eine abkürzende Schreibwei ei t von {I + +

... - -) + alle

mordnungen}

wobei die Anzahl der ver chiedenen Terme in der Klammer i 1. D r Grund, we w gen die e otation bequem i t, liegt darin, da jede Mal, wenn ir ein Drehung ma hen alle Plu zeichen den eIben Faktor beisteuern, so da wir die en Faktor zur r-ten Potenz erhalten... hnE h tragen alle s inu tenne zu ammen einen Faktor zur s-ten Potenz bei, ganz o-lei h ie die Reihenfolge der Terme i t. un nehmen wir an. wir würden un er Sy tem um den inkel8 um die y- ch e dr h n. Was wir haben möchten, i t R/8) Ir). Wenn R/{) auf jede 1+) angewendet wird, ergibt ich

R/8) I +)

= I + ) C + 1- ) 5,

wobei C = co 8/2 und 5 ich Ry (8) 1- >

=-

= 1- ) C -

(1 .64)

in 8/2 i t. Wenn Ry «() auf jede I-) angewendet wird, ergibt

1+ ) S.

WaE wir daher haben möchten, i t

1 .65)

411

UD mu jede Bin m zu ein r zU o h"rigen Potenz entwickelt und die beiden Au drücke müs n miteinander multiplizi n rd n. E , ird Terme mit 1+) in allen Potenzen on null bi (r + s geben. ehen ir un alle ~ rm an die ein I +) in der Potenz r' haben. ie werden immer mit 1-) in der Pm nz multiplizi n auftreten, wobei s' = 2j- r' i t. Angenommen. wir ammeln all I h T< rm . Für jede PemlUtation werden je einen Zahlenkoeffizienten haben, der die aktor n d r Binomialentwicklung wie die Faktoren C und S enthält. ngenommen, wir nenn n die n Faktor r" Dann, ird GI. (l .65 folgendermaßen au ehen r

R}(o)I:>

5

= I{Ar'I+)r'I-) }perm'

( 18.66)

r'=O

un wollen ir agen da \ ir Ar" durch den Faktor [er' + ')!/r'!s'1]1/2 di idieren und den Quoti nten Br' nenn n. Gleichung (l .66) i t dann gl ichbedeutend mit

(18.67)

die e Gleichung B r , dur h die Forderung definiert, da s ir könnten einfa hagen, d (18.67 den eiben Au druck ergibt, der in (18.65) auftritt.) Mit die er D finition v n Br , ind die re tlichen Faktoren auf der rechten

eite on Gi.

(18.67 gerade die Zu tände I ~ >. Daher erhalten wir r+s

Ry

= ~Br' I ~),

(18.6

"=0 obei s' immer gl ich r + - r' i t. Die bedeutet natürlich, da die gewün hten atri I m nte ind, nämlich

< ~ IR.ß)

die Koeffizienten Br' gerade

I ~) = Br' .

(18.69)

un mü n ir nur noch di Ig bra dur hziehen um die er chied nen B r, zu finden. enn wir (18.65 mit (I .67) ergleichen - und daran denken da r' + s' = r + s i t - ehen, Ir, das Br' g rade der K effizi nt on ar' 1/ in d m folgenden Au druck i t: r'

(

I

~

)112

(aC+b nbC-aS)~.

(l .70)

E i. t jetzt nur n eh Dr karb it, di Entwicklungen nach d m binomi ehen Satz au zuführen und die Term mit der gegeb nen Potenz von a und b zu amrneln. Wenn Sie alle au arb iten, finden i, da der Koeffizi nt von ar' tI in (l .70) i t

[

r'l '1]112 -;f-T ~(-llsr-r'+2k +" -2k

r! (r - r' + k)!(r' - k)!

s! (s - k)!k! .

(I .71)

I

412

Drehimpuls

Die Summe mu über alle ganzzahligen k genommen werden. die Terme größer oder glei h null in den Fakultäten ergeben. Die er Au druck i t dann da ge u hte atri lement. Schließlich können wir zu un erer ur prünglichen Schreibwei e mit j, m. und m' zurückkehren, indem wir verwenden

r :::: J

m,

r' = j + rn' ,

= j-m,

,

.

=}

,

-nt .

Wenn wir die e Sub titutionen machen, erhalten wir GI. (1 . -) au

b chnilt 1 .-L

Zusatz 2: Erhaltung der Parität bei der Photonenemi Ion In Ab chnit! 1 die e Kapitel betrachteten wir die Emi ion von Li ht durch ein tom, da on einem angeregten Zu tand mit Spin 1 in einen Grundzu tand mit Spin 0 übergeht. Wenn der angeregte Zu tand den Spin oben hat (m = + 1), kann er ein RZ-Photon läng der +::-Ach e oder ein LZ-Photon läng der -z-Achse emittieren. ennen wir die e zwei Zu tände de Photon I Roben) und ILumen)' Keiner die er Zu tände hat ine be timrnte Parität. Sei Pder Parität operator, dann i t PI Roben) = I Lumen) und PI Lunten} = I Roben} . Was i t mit un erem früheren Bewei ,da ein Atom in ein m Zu land mit b timmter Energie eine be timmte Parität haben mu ,und a i t mit un rer Fe t teilung. da die Parität in atomaren Proze en erhalten bleibt? Sollte nicht der Endzu tand in die em Problem (der Zu tand nach der Emi ion eine Photon eine be timmte Parität hab n. Er haI ie enn wir den vollständigen Endzu land betrachten, der die Amplituden für die PholOnenemi ion in alle möglichen inkel enthält. In Ab chnilt 1 zogen wir e vor. nur inen Teil de oll ländigen Endzu tande zu betrachten. Wenn wir wollen, können wir UD nur Endzu tände an ehen, die irkJich eine be timmte Parität haben. Betrachten ie zum Bei piel einen Endzu rand 11/1F ) • der ine mplitude a dafür mplitude ß dafür, ein LZhat, ein RZ-Photon zu ein, da in +::-Richtung läuft, und ein Photon zu ein. da in -::-Richtung läuft. Wir können hreiben 11/1F}

(I .7_)

= a IRoben) + ß I Lumen} .

Die Parität operation ergibt für die en Zu tand

P11/1F) = a ILumen} + ß I Roben)

Cl .7 )

.

Die er Zu tand wird ± 11/1 F) ein wenn ß mit gerader Parität

= a oder wenn ß = -a i

t. Daher i tein Endzu tand

(1 .74) und ein Zu tand mit ungerader Parität i t

(I .75

413

1 'äch te möcht n wir d n Zerfall eine anger gten Zu tande mit ungerader Parität in

einen Grundzu tand mit eer der Parität betrachten. Wenn die Parität erhalten bleiben olL mu der Endzu tand de Phot nUlle rade Parität haben. Er mu s der Zu land in (18.75) ein. enn die mplitud.1 Roben) ZU finden. Cl' i t. dann i t die Amplitude, IRumen ) zu finden. -0'. un beachten ie, \ a pa i n, \\,1enn wir eine Drehung von 180 um die y-Ach e au führen. Der ur prüngliche anger gte Zu land de tom wird ein Zu tand /11 = -1 (ohne Änderung de orzeichen • gemäß Tab lle 17 .~). nd die Drehung de Endzustande ergibt 0

(l .76)

Wenn Sie die e Glei hung mit I .75) ergleichen ehen Sie, da bei der orau ge erzten Parität de ndzu tande di Amplitud, in LZ-Photon in +7-Richtung au dem Anfang zu tand m = -1 zu bekommen. da egati e der mpli tude i tein RZ-Photon aus dem Anfang zu tand m = + I zu erhalten. Da timmt mit dem Ergebni überein. da wir in b chnitt 1 gefunden haben.

19

Da Wa serstoffatom nd as Periodensystem

19.1

D'e Schrödinger-Gleichung für das a er toffatom

Der dramati ch t Erfolg in der Ge chichte der Quantenmechanik war das Ver tändni der Einzelheiten der pektr n einig r infacher tome und da Ver tändni der Periodizitäten die man in der Tab n d r henli hen Elemente findet In die em Kapitel wollen wir endlich unere Quantenmechanik bi zu dem Punkt die er wichtigen Errungen chaft bringen peziell zu einem Ver tändni de Spektrum de Was er toffatom . Wir werden gleichzeitig zu einer qualltati en Erklärung der geheimni ollen Eigen haften der chemi chen Elemente gelangen. Wu wo]Jen die tun, indem ir da erhalten de Elektron in einem Was er toffatom eingehend unter uchen - wobei wir erstmalig eine au führliche Bere hnung einer räumlichen erteilung gemäß den Vor teilungen die w' in Kapitel 16 entwickelt haben, durchführen. Für eine olltändige Be chreibung de er toffatom oLlten wir owohl die Bewegung de Proton al auch die de Elektr n be breiben. E i t möglich die in der Quantenmechanik auf eine dem kla i chen erfahren, di Bewegung eine jeden Teilchen relativ zum Schwerpunkt zu bechreiben, analog Art zu tun aber wir wollen da 0 nicht machen. Wrr ollen einfach eine äherung di kutieren bei der ir das Proton al ehr hwer annehmen, 0 das wir e un al im Mittelpunkt de tom fe tehend· or teUen können. Wir ollen eine weitere äherung machen indem wir erge en da da Elektron einen Spin hat und durch r lati i ti che Ge etze der echanik be chrieben werden oilte. Einige geringfligig Korrekturen an un er r Behandlung werden rforderlich ein da wir die nichtrelati i ti che Schrödingerglei hung erwenden werden und magneti che Effekte vernacWäs igen wollen. Kleine magn ti he Effekte tr ten auf, weil om Elektron au ge ehen da Proton eine umlallfende Ladung i t. di ein magneti che Feld erzeugt. In die em Feld wird da Elektron eine andere Energi hab nenn ein pin oben i t, al wenn ein Spin unten i t. Die Energie de Atom wird gegenüber dem, ir au rechnen ein wenig er choben ein. Wir wollen die e geringe Energie er chiebung nicht beachten. Auß rdem wollen wir un or teUen das ich da Elektron je ein Kr i el im Raum herumbewegt und dabei immer die eibe Spinrichtung beibehält. Da ir ein frei tom im Raum betrachten werden, wird der Ge amtdrehimpul erhalten bleib n. In un erer äherung wollen wir vorau etzen, da der Drehimpul de Elektron n pin kon tant bleibt 0 da der ganze übrige Drehirnpul de Atom - der ge öhnli h Bahndrehimpul genannt iId - auch erhalten bleibt. In hr guter äherung bewegt ileh da Elektron im Wa er toffatom wie ein Teilchen ohne Spin - der Drehirnpul der Bewegung i t eine Kon tant . Mit die er äherung kann die Amplitude, da Elektron an ver chiedenen Stellen im Raum zu finden, durch eine Funktion cl r Po irion in Raum und Zeit darge telLt werden. ir bezeich-

19 Das Wa er. tojfarort1 lind da

416

nen die Amplitude, da Elektron zur Zeit t irgendwo zu finden. mit w(x, y, -,E). Ta h der Quantenmechanik ergibt ich die zeitliche Änderung rate die er mplitude dur h die nwendung de Hamilton-üperator auf die eibe Funktion. a h Kapitel 16 i t (19.1)

mit -

tz2

')

1-f = --V- + Ver).

19.2)

2m

Hier i tm die Elektronenma e und Ver) die potentielle Energie de Elektron im el ktro tati chen Feld de Proton. Wenn wir V = 0 für große Entfernungen vom Proton annehmen. können wir chreiben t

e2

V =--. r

Die Wellenfunktion !/J mus dann die Gleichung erfüllen (19.

Wir möchten jetzt nach Zu länden mit bestimmter Energie u h n. daher er uchen Lö ungen zu finden, die die Form haben

!/J( r,

f)

= ei/MEt I/!(r) .

Die Funktion 4J(r) mu

Ir

19.4)

dann eine Lö ung ein on 19.5)

wobei E eine Kon tante i t - die Energie de Atom . Da der Term der pocentiellen Energie nur vom Radiu abhängt t Ut i h h rau . da e viel bequemer ist, die e Gleichung in Polarkoordinaten a1 in re htwinkligen K rdinaten zu lö en. Der Laplace-Operator i t in rechtwinkligen Koordinaten definiert dur h

Wir möchten tattde en die in Fig. 19-1 gezeigten Koordinaten " B, dJ erwenden. dinaten ind mit x, y, ~ verknüpft durch

.: = TCO e.

ie e K or-

19.2 Ku

417

e/l

""

P

I

/

I

/

I '...

I

"

,I

y

// / / /

Fig. 19-1: Die räumlichen Polarkoordinaten r,

e, (j)

deo Punkte P.

x

Es i t eine recht um tändli h können chließlich zeigen, da

ngeleg nheit, sich durch die Algebra durchzuarbeiten, aber Sie für jede Funktion j(r) = j(r, 8, ep) gilt.

19.6) Daher lautet die Glei hung. die von t/J(r, (), au gedrückt

r/J) befriedigt werden mus. durch Polarkoordinaten

I 8I {1 8 (.mBaifJ ) + -I2- -a2-ifJ } --er )+r 8,.2 ifJ ,1. in () ae ae in e a1/

19.2

2

e ) ifJ· = -2m - ( E+tz2 r

(19.7)

Kugelsymmetri ehe Lösungen

Ver u hen wir zuer t eine ehr infache Funktion zu finden, die die chreckliche Gleichung lIenfunktion ifJ im llgemeinen owohl on den mkeln in (19.7) befriedigt. Obw hl die und f/> al au h om Radiu r abhängen wird. können wir nach ehen, ob e ielleicht eine pezielle Situation gibt, in der ifJ /lieh! on den Winkeln abhängt. Bei einer Wellenfunktion. die nicht on den inkeln abhängt. wird ich keine der Amplituden in irgendeiner ei e ändern, wenn Sie da K ordinat nsy tem dreh n. Da b deutet da s alle Komponenten de Drehimpul e null ind. olch ein ifJ mu einem Zu tand ent prechen, de en Ge amtdrehimpul null i t. (ln irklichk it i t e nur der Bahndrehimpul , der null i t, weil wir no h den Spin de lektr n haben, aber wir la eo die en Teil außer Acht.) Ein Zu tand mit Bahndrehimpul null hat einen be onder n amen. Er heißt " -Zu tand" - Sie können ich merken ,,s für phäri h ymmetri eh.' t

e

-tO a die e peziellen amen Teil de üblichen okabulars der Atomphy ik ind. werden ie ie einfach lernen mü en. WLr werden dabei helfen, indem wir ie päter in diesem Kapitel in einem kurzen "Wörterbuch" zu ammen!>tcllen.

19 Das WasserslOffalOm lind das Perioden y rem

41

e

Wenn jetzt liJ nicht on und c/J abhängt dann enthält d r ge amte Lapla e-Operator nur den er ten Term und GI. 19.7) wird viel einfacher:

1 d"2

- -(rliJ) r dr

2m(E + -e"2) ,po =--, Ir

r

(19. )

Be Of ie ich an die Arbeit machen, eine Gleichung wie die e zu lö en, i te ein guter Gedanke, alle überflü igen Kon tanten wie e2 , mund Ii 10 zuwerden, indem ie einige Maß tab änderungen vornehmen. Dann wird die Algebra leichter ein. enn wir f Igende ub titution n machen:

Ii

19.9)

r= -,p me-

und me~

E=-7 21i-

19.10)

E,

dann wird GI. (19.8) (nach

ultiplikation mit p) 19.11)

Die e Maß tab änderungen bedeuten, dass wir den Ab land r und die Energie E a1 ielfache von .natürlichen' atomaren Einheiten me en. Das heißt p = rlr B wobei rB = li2 !lne 2 der ,Bohr che Radiu ' genannt wird und ungefähr 0,528 Ang tröm beträgt. Ähnlich i tE = EI ER' mit ER = me4 131 2 . Die e Energie heißt ein "Rydberg" und beträgt t a 13,6 Elektronen olt. Da das Produktpl/J auf beiden Seiten er cheint i te bequemer, damit zu arb iten a] mit r/J elb r. Wenn ir etzen 19.12)

pliJ = f,

haben wir die einfacher au ehende Gleichung 2

2)

d = j - ( E+- j. -

dp-

p

19.13

Jetzt mü en wir eine Funktion f finden, die GI. (19.13) befriedigt - mit anderen Worten wir mü en einfach eine Differentialgleichung lö en. nglückli herwei gibt e keine ehr brauchbare, allgemeine Methode zur Lö ung irgendeiner gegeb nen Differentialglei hung. ie mü en eben herumprobieren. Dn ere Gleichung i t nicht leicht; aber man hat herau g funden, das ie nach folgendem Verfahren gelö t werden kann. Zuer ter erzen ie j, da eine Funktion von p i t, durch ein Produkt von zwei Funktionen j(P)

= e-apg(p).

19.14

419

Da b d utet einfach, da i den Faktor e-ap au !(P) herau ziehen. ie können da icher für jede bel iebig J(P ma hen. Die er hi bl einfach unser Problem dahin die richtige Funktion (p) zu finden. Wenn wir (19.14) in (19.13) hinein !ecken. erhalten wir die folgende Gleichun cr für g:

(2

2

1)

d - 20' -dg + I - + E + a- g = O. -" dpdp p

(19.15)

Da wir Cl' frei wähl n können, elzen wir

rX2

= -E

(19.16)

und erhalten d 2g

dg

-.., -_Cl'-

dp-

dp

2

+-

P

= o.

(19.17)

Sie denken iellei hl. wir ind nicht be ser dran, al wir e bei GI. (19.13) waren aber der glückJiche m land bei un erer neu n Gleichung i t, da s ie leicht durch eine Potenzreihe in p gelö t werden kann. Eil im Prinzip möglich, auch (19.13) auf die e Art zu lösen, aber e j t viel chwerer.) ir agten gerade da GI. (19.17) durch ein g(P) erfüllt \ erden kann da al Reihe g chrieben \l erden kann,

g(p)

= L Qkpk,

(19.18)

k=1

in der die a k kon lant Ko ffizienten ind. un brauchen wir nur noch ein geeignete unendliche S stern on Ko ffizient n zu find n. Prüfen wir nach, ob olch eine Lö ung funktioniert. Die er le bleitung on die rn g(P) i t

bleitung i t

und die z

Wenn wir die e

I

u drücke in (19.17) verwenden erhalten wir

00

k=l

k(k - I )a~pk-2 - I2O'k akpk-l + k=1

I2a kl- 1 == O. k=1

(19.19)

420

19 Das Wasser lOffalOm lind da

Man ieht noch ni hr. ob wir Erfolg gehabt haben, aber ir arbeiten un w iter vor. E alle be er au ehen. wenn wir die er te Summe durch etwas Gleichwertige er etzen. Da er te Term der Summe null i t, können wir jedes k durch k + 1 er etzen. ahn irgend t an der unendlichen Reihe zu ändern; mit die er Änderung kann die e te umm eben 0 ge chrieben werden al

ird der a gut

00

.L(k - 1)kak_1pk-l. k=1

un können wir alle Summen zu amrnenfa en und erhalten 00

Z[(k + I )kak _ 1 -

2aka k + 2a k)pk-l :::: O.

(19._0)

k=l

Die e Potenzreihe mu für alle möglichen Werte on p ver chwinden. ie kann da nur dann tun. wenn der Koeffizknt jeder Potenz von p für ich null i t. Wir werden ein Lö ung für das Was er toffatom haben. wenn wir ein Sy tem al;. finden können, für da gilt (k

+ I)kak-rl - 2(a k - I)a k

=0

für alle k ~ 1. Da i t icherlich leicht einzurichten. erzeugen Sie aUe anderen Koeffizienten au

= 2(a k -l) a

a k-I

k(k

1)

(19.21)

ehmen ie irgendein beliebige a l , Dann

19.22)

k'

°

Damit werden ie 2 , Q3' a.+ und 0 weiter erhalten, und j de Paar ""ird i herlieh (l9._1) befriedigen. Wir erhalten eine Reihe für g(p), die (19.17) erfüllt. Damit können ir in t/J herteilen. da. die chrödingerg1eiehung erfüllt, Bea hten Sie, da die Lö ungen von der orau ge etzten Energie (durch a) abhängen, aber für jeden ert von E gibt e eine nt pre hend Reibe. ir können eine or teHung Ir haben eine Lö uno, aber wa teIlt sie phy ikali eh dar. da on bekommen, indem wir nach ehen, wa eit weg om Pr ton ge hieht - bei großen Werten von p. Dort draußen ind die Terme der Reihe mit höher r Ordnung die wichtig ten, daher ollten" ir un an ehen, wa bei großen k ge chieht. enn k » I i t, i t GI. 19._2 näherung ei e da eibe wie

wa bedeutet, da

a

(2a) 1::::::--

k.

.

(19.

19.2 Ku

·+21

Die iod aber grad di K effizi nt n der R ihe für e+ 2ap . Die Funktion g i teine hnell an teigende Exponentialfunktion. elb t wenn ie mit e-op gekopp lt i t, um j(p) herzu teilen - ieheGI. 19.14)- rgibt ienocheineLö ungfürj(p),diefürgroßepwiee up erläuft.Wir haben eine math mati he, aber keine ph ikali eh Lö ung gefunden. ie teIlt eine Situation dar, in der e am wellig ren wahr hinlieh i t, da da EI ktr n in der ähe de Proton i t! E i t immer wahr cheinlieher, da e bei einem ehr großen Radiu p gefunden wird. Eine ellenfunktion fLir ein gebundenes lektron mu für große p gegen null gehen. ir mü en un überleg n. ob eine Möglichkeit gibt, da Spiel zu ge\ innen, und die gibt e. ehenie. \ enn gerade glü klicherwei eagleich I In. i t, obei nirgendeine po iti e ganze Zahl i t. dann ürde GI. (19.2- G" 1 = 0 ergeben. Alle höheren Terme ären ebenfali null. ir würden kein unendli he Reih , ondern ein endliche Polynom haben. Jede Pol nom wäch t lang amer al etrp • daher wird es chließli h vom Term e-op er ehlagen, und die Funktion J wird für gr Be p gegen null gehen. Die einzigen Lö ungen für gebundene Zu rände ind diejenigen, für die Q' = 1/11 i t mit n = 1, 2, 3, 4 und 0 weiter. enn \ ir auf GI. 19.16) zurückblicken, ehen wir, da die Lö ungen für gebundene Zutände der kugel Olm tri ehen Wellengleichung nur dann exi tieren können, wenn 1 I

E

I

1

= I , 4' 9' [6' ..., n2 ' ...

Die erlaubten Energien ind einfa h die Brüche mal d.ie Rydbergenergie ER die Energie de 11-( n Energi ni eau i t

ElI

I

= -ER" Ir

= me4 12tr. oder

(19.24)

E i t übrigen nich Geheimni olle an negati en Zahlen für die Energie. Die Energien ind ir un ent hl en, V = -e- Ir zu chreiben, UD eren nullpunkt al die negati ,weil wir al Energi ein Elektron ge\ ählt haben, da weit 001 Proton entfernt i 1. Wenn e nahe beim Proton i t, i tein Energi geringer und daher etwa unter null. Die Energie i t am niedrig ten (arn negativ ten für 11 = 1 und teigt mit größ r werdendem 11 gegen null an. or der Entdeckung d r Quantenmechanik war au e perimentellen Unter uchungen de W er toff p ktrurn bekannt, da die Energieni au durch GI. (19.24) be chrieben werden konnten, wobei man au den B ba htungen für ER ungefähr 13.6 Elektronen oltherau bekam. Bohr dach! ich dann ein Mod 11 au ,da die eIbe Gleichung lieferte und orau agte, da ER gleich me4 12fi 2 ein ollte. b re war der er t große Erfolg der Schrödinger ehen Theorie, da ie die Ergebni au einer grundlegenden Bewegung gleichung für da Elektron reproduzier n konnte. Da wir nun un er e te t m gelö t haben, ollen wir un die Be chaffenheit der Lö ung die ir erhalten hab n. an h n. nn ir aU Teile zu ammenziehen ieht jede Lö ung 0 au :

I/In

f

(P)

-pI"

=-- =-- 8 ll

P

P

1l

(P) ,

19 Da Wasserstoffatom und das Perioden y rem

422

wobei n

gn(P) =

I

akfl

k=!

und

a

-

k+l-

2(k/n - 1) a k(k 1) k'

Solange wir haupt ächlich an den relativen Wahr cheinlichkeiten, da Elektron an ver chiedenen Stellen zu finden. inrere iert ind, können wir für a l jede beliebige Zahl nehmen. Wir die ellenfunktion .,norkönnen genau 0 gut GI = 1 etzen. Man wählt GI häufig 0, d miert'" i t, da heißt. da die integrierte Wahr cheinlichkeit, das Elektron irgendwo im tom zu finden. gleich I i t. Wir haben keinen Grund, die gerad jetzt zu tun.) Für den Zu tand mir der niedrig ten Energie i t n

= I und (19.- )

Bei einern Wa er toffatom im Grundzu rand (niedrig te Energie) nimmt di Amplitude, da Elektron an irgendeinem Punkt zu finden, exponentiell mÜ dem Ab tand om Proron ab. m wahr cheinlich ten i te direkt beim Proton zu finden, und der charakteri ti he u breitung ab rand i t ungefähr eine Einheit von p oder etwa ein Bohr eher Radiu r B' Wenn wir n = 2 etzen, ergibt ich da näch t höhere Zu tand wird zwei Terme haben. Sie lautet

Die Wellenfunktion für da nächste

tiJ (P) 3

=(1 - -p3 + ~27 p2) e-

i eau. Die

n

iveau i t p13

(19."0)

.

n=3 r

n=2

ellenfunktion für die

Fig. 19-2: Die Wellenfunkti nen für die eren dr i / = 0 Zu tände de r roffalom . aß läbe ind 0 ge ählt, da die Ge arnt ah heinJichkeiten gleich iod.)

19.3 Zustände mit H'inkelabhäll igkeit

423

Die eUenfunkti n n für die e er t n dr i iveau ind in Fig. 19-2 aufgetragen. ie können den allgemeinen Tr nd hen. lle ellenfunkti n n gehen für große p chnell gegen null, nachdem ie ein paarmal hin und her ge h ungen ind. Tat ächlich i t die Zahl der, Buckel" gerade glei h 11 - oder, wenn ie erziehen, die Zahl der nulldurchgänge von l/Jn i t 11 - 1.

19.3

Zu tänd mit Winkelabhängigkeit

Für die Zu tände. cli dur h die l/J1I(r) be ehrieben werden, haben wir gefunden, da die Wahr cheinli hkeil amplitude. da Elektron anzutreffen, kugel ymmetri eh i t - sie hängt nur on r, dem bland \' m Proton. ab. 01 he Zu tände hab n den Bahndrehimpul null. ir ollten jetzt nach Zu länd n fra o n. di i lleicht irgendwelche Winkelabhängigkeit haben. Wenn wir wollten, könnten wir einfa h da lreng mathemati ehe Problem unter uehen, die Funktionen n r, (1 und f/J zu finden. die der Differ ntialgleichung (19.7) genügen - obei ir die Zl.l ätzliche phy ikali he Bedingung teilen, das nur olche Funktionen zugela en ind. die für große r geg n null g hen. Sie, erden die in vielen Büchern finden. ir werden eine Abkürzuno ählen. indem wir di Kenntni b nutzen, die wir chan darüber haben, wie die Amplitud n on inkeln im Raum abhängen. Da a er toffatom i t in j d m einzelnen Zu rand ein 'f, ilchen mit einem be tirnmten Spin j - der Quantenzahl de Ge amtdrehimpul e . Ein Tei.l diese Spin kommt au dem eigentlichen pin de lektran und in Teil au der Bewegung de Elektrons. Da ich jede dieer zwei K mponenten unabhängig erhält (in ehr guter äherung), \ ollen ir wieder den pinanteil ignorieren und nur d n "Bahndrehimpul ., betrachten. Die e Bahnbe egung verhält ich jedoch eben 0 wie ein Spin. Wenn zum Bei pieI die Bahnquantenzahl / i t, kann die z-Komponente d Drehimpul e I, / - 1, l - 2, ..., -I ein. (Wir me en wie gewöhnlich in Einheiten on 11. ueh treffen noch alle Drehmatrizen und ander TI Eigen haften, die wir au gearbeitet haben, zu. ( on jetzt an ollen wir wirklich den Spin de Elektron außer Acht la en; wenn wir om "Drehimpul preehen meinen ir nur den Bahnanteil.)

Da da PotentiaJ V. in dem ich das Elektron bewegt, nur von r und nicht on (1 oder 2 gibt auch phäri ch Knoten.

=

=

e

19.5 Die Wa er. Toff-Wellellfil1lktionen

433

x

(b

z +

x

x

3p;

111 =:

0 (cl)

z +

3d'

In =:

0

+

Fig. 19-6: Ungefähre leizzen, die die alJgemeine atur von einigen der Wa ser toff- Wellenfunktionen zeigen. Die chraffierten Gebiete zeigen, 0 die Amplituden groß ind. Die Plu - und Minu zeichen zeigen da relati e Vorzeichen der Amplitude in jedem Gebiet.

x

x

40; m=:O (f)

e)

Die Amplitude n in Fig. 19-6(d).

= 2, m = 0 i tin Fig. 19-6(c)

kizziert, und die Wellenfunktion

11

=3

111

=0

ie denken ielleicht, das , da doch 111 eine Art "Orientierung' im Raum dar tellt e ähnliche rteilungen mit dem Amplitudenrnaximum in Richtung der x-Ach e oder in Richtung der y-Ach e geben ollte. ind die iel1eicht die Zu tände m = + 1 und 111 = -1? ein. Da wir aber drei Zu tände mit gleichen Energien haben, werden irgendwelche Linearkombinationen on den dreien b nfall tationäre Zu tänd mit der eIben Energie ein. E teUt ich herau , dass der ,,x"-Zu land - der d m . 7 '-Zu tand oder ,m = 0 -Zu tand von Fig. 19-6(c) ent pricht eine Linear ombination d r Zu lände In +1 u.nd m = -1 i t. D rentsprechende ,,'-Zu tand i teine ander Kombination. peziell heißt da

=

"z'

"

,,x

= I 1, 0) ,

==

11, +1)-11, -I) ..,fi

11 +1)+ 11, -1) i~

Die e Zu täode ehen alle g1ei h au

enn man ie auf ihre einzelnen Ach en bezieht.

Di d-Zu lände (l = 2) haben fünfmög1iche m-Werte für jede Energie die niedrig te Energie hat J1 = 3. Die i eau 1ie en ie in Fig. 19-7 gezeigt. Die Winkelabhängigkeiten erden

19 Das Wa erstoffatorn und das Periodens} lern

434

o ------------------------und

0

weiter t1

=: ISO 4p

3p

35

2s

-13.6e

---6 ---5 4d

4/ __ 4

~-------

3

2p ---------------- 2

I ---------------------- I

I

s

P

=I

2

d 3

f

Fig. 19·7: D

4

Wa e toff.

Energieni eau-

heroa für

komplizierter. Zum Bei piel haben die Zu tände m = 0 zwei koni he Knoten, daher ech eIt die Wellenfunktion die Pha e von + über - nach + ,wenn ie om ordpol Zl1ID üdpol herumgehen. Die ungefähre Form der Amplitude i tin (e) und (f) on Fig. 19-6 für die Zu tände rn = 0 mit n = 3 und n = 4 angedeutet. Wieder haben die größeren n' phäri ehe Knoten. Wir wollen nicht er lichen, noch mehr on den möglichen Zu Länden zu be chreiben. ie werden die a erstoffwellenfunktionen in vielen Büchern au führlicher be chrieben finden. Zwei gute Literarurhim ei e ind L. Rauling und E.B. 1l on Introduction to Quantum Mechanics. cGraw-Hill (1935); und R.B. Leighton Principle oiModem Physics, cGraw-HilI (1959 . Sie werden dort Kurven von einigen der Funktionen und bildli h Dar teHungen ieler Zu tände finden.

ir möchten eine be ondere Eigen chaft der

ellenfunktionen für höhere lerwähnen;

für 1 > 0 ind die Amplituden im Mittelpunkt null. Da i t nicht überr chend, da e für ein Elektron chwierig i t einen Drehimpul zu haben, enn ein Radiu ann hr kurz i t. u die em Grunde werden die Amplituden je höher da li t, umso mehr Dm ,Ottelpunkt ,w gge chobe~". enn Sie ich an ehen, wie ich die Radialfunktionen Fn.1 r) für klein r erhalten erhalten SIe au (19.53) Fn.I(r) ::::;

,-1.

olch eine r-Abhängigkeit bedeutet, da

Sie für größere I

weiter on r = 0 weggehen mü -

19.6 Das Periodensystem

435

en be er ie eine m rldiche Amplitude erhalten. Die e Verhalten i t übrigens durch den Zentrifugalkraft-Term in der radialen Glei hung be timmt, daher wird das elb für irgendein Potential zutreffen, das ich lang amer al l/? für kleine rändert - was die mei ten atomaren Potentiale tun.

Da Perioden ystem

19.6

Wtr mö hten jetzt die Theorie de Wa er toffatom in angenäherter Form anwenden um einige er tändni für da Periodensystem der Chemiker für die Elemente .zu bekommen. Bei einern Element mit der Atomzahl Z gibt es Z Elektronen, die durch die elektrische Anziehung kraft d Kern zu ammengebalten werden, ich aber gegenseitig ab toßen. m eine exakte Lö ung zu bekommen, mü ten wir die Schrödinger-Gleichung für Z Elektronen in einem Coulomb-Feld lö en. Für Helium lautet die Gleichung

wobei

vi

vi

ein Laplace-Operator i t der auf Tl' die Koordinate eine Elektron, anzuwenden

i t; wird auf T2 ange andt· und '12 = IT) - T21. (Wir vernachlä igen wieder den Spin der Elektronen.) Um die tationären Zu tände und Energieniveau zu finden, mü ten wir Lö ungen derFonn

finden. Die geometri ehe Abhängigkeit teckt in f, das eine Funktion on eeh Variablen i t - den gleichzeitigen Orten der zwei Elektronen. Niemand hat eine analyti ehe Lö ung gefunden, obwohl man durch numeri che Verfahren Lösungen für die Zu tände niedrig ter Energie erhalten hat

Mit 3 4 oder 5 Elektronen i t der Versuch, exakte Lö ungen zu erhalten au icht 10 , und e geht zu weit enn man agt, dass die Quantenmechanik ein genaue Ver tändni de Perioden y tem gebracht hat. E i t jedoch ogar mit einer großzügigen äherung - und einiger Anpa erei - möglich. zuminde t qualitativ viele ehemi che Eigen chaften zu ver tehen die ich im Perioden y tem zeigen. Die chemi chen Eigen chaften der Atome iod vor allem durch ihre Zu tände niedrig ter Energie be timm . Wir könnten di folgende angenäherte Theorie benutzen um die e Zu tände und ihre Energien zu finden. Al Er te vernaehläs igen wir den Elektronen pin, außer das wir da Au ehließung prinzip übernehmen und agen, das jeder einzelne Elektronenzu tand nur on einem Elektron be etzt werden kann. Die bedeutet da jede einzelne Bahnkonfiguration bi zu zwei Elektronen haben kann - ein mit Spin oben, da andere mit Spin unten. Al äch te 1 en wir die Einzelheiten der Wech elwirkungen zwi ehen den Elektronen in un erer er ten äherung außer Acht und agen, da s ich jede Elektron in einem Zentralfeid bewegt, da das zu ammengesetzte Feld des Kern und aller anderen Elektronen i t. Bei eon, das 10 Elektronen hat agen wir, da ein Elektron ein mittlere Potential ieht, das om Kern

436

19 Das Wasserstoffatom und das Perioden 'tem

plu den anderen neun Elektronen herrührt. Wir denken un dann in die hrödinger-Gleichung für jede Elektron ein V(r) einge etzt, da ein durch eine kugel mmetri eh Ladung dichte, die on den anderen Elektronen her tammt, modifizierte 1Ir-Feld i t.

In die em Modell erhält ich jede Elektron wie ein unabhängige Teilchen. Die Winkelabhängigkeit einer ellen funktion wird genau 0 ein wie die, die ir b im a erstoffatom hatten. E wird s-Zu lände, p-Zu tände und 0 weiter geben und ie erd n die r chiedenen rnögli hen m- erte haben. Da V(r) ni ht mehr wie 1/r erläuft, 'i ird der radiale Teil der ellenfunktion etwas ander ein, aber e wird qualitativ da eibe ein, daher w rden ir die Iben radialen Quantenzahlen 11 haben. Die Energien der Zu tände \ erden auch etw anders ein. H Au gehend von die en Vor teIlungen wollen wir ehen. as ir erhalten. Der Grundzutand de Was er toff hat I = m = 0 und 71 = I' wir agen, die Elektron nkonfiguration i t Is. Die Energie beträgt -13,6 eY. Die bedeutet das man 13,6 Elektronenvolt braucht, um da Elektron om Atom wegzuziehen. Wir nennen die die "Ioni atian energi '~/' Ein hohe 10m ation energie bedeutet, da e ehwieriger i t, das Elektron egzuzieben und da der Stoff im AJlgemeinen ehemi eh weniger aktiv i t.

o ----------------------------n ...----.r- -

-----~---..

_::=~:

6

-=:---::----=4---- 4d _- --~-- 3 p

45 _---~---

---

~--_-3P.. ------

~

~--

_- 2

-p ----

~

-------..::-

_-::--::----

15 ---------------------------) 5

p

d

f

Fig. 19-8: nergleDlveau- chema für ein at mare Elektron bei nwe nh il and rer Eie tronen. er aß tab i tnichtde elbewi in Fig. 19-7.).

19.6 Das Periodens lem

437

He ehm n ie jetzt Helium. Beide EI ktr nen können in dem eIben niedrig ten Zu tand ein ein mit Spin oben und da and re mit pin unten). In die em niedrig ten Zu tand bewegt ich das Elektron in ein m Potential da für kleine r wie ein Coulombfeld für 7 = und für große r wi in C ul mbfeld für ~ = ) i t. Da Ergebni ist ein "wa er toffähnlieher 1 Zu tand mit einer twa niedrigeren Energie. Beide Elektronen be etzen identische ls-Zu lände (l =0, In = 0). Di beobachtete I ni ation energie (um ein Elektron zu entfernen) i t 24,6 Elektronenvolt. Da di I -" chale" jetzt aufgefüllt ist - wir erlauben nur zwei Elektronen - zeigt ein Elektron prakti h keine Tendenz on einem anderen Atom angezogen zu werden. Helium i t chemi eh träge.

Li Der Lithiumkem hat di Ladung 3. Die Elektronenzu tände werden wieder w ser toffähnlieh ein und di dr i EI ktr nen werden die niedrig ten drei Energieniveaus be etzen. Zwei werden in Is-Zu tände gehen und das dritte wird in einen Zu tand n = 2 gehen. Aber mit 1= 0 oder mit I := 1 . 1m artoff haben die e Zu tände dieselbe Energie, aber in anderen Atomen haben ie e au folgendem Grunde nicht. Erinnern Sie ich, dass ein 2 -Zu tand eine Amplitude hal, in der ähe de Kern zu ein während d r 2p-Zu tand die nicht hat. Da bedeutet, da ein 2 -Elektron et\ a on der dreifachen elektri ehen Ladung de Li-Kern püren ird d aber in 2p-Elektron draußen bleib n wird, wo da Feld wie da Coulombfeld einer einzelnen Ladung au ieht. Die zu ätzliche Anziehung vermindert die Energie de 2 -Zu tandes relaü zum 2p-Zu land. Die Energieni eau werden etwa wie in Fig. 19-8 gezeigt ein - die Si mit dem m pre henden Diagramm für Wa erstoffin Fig. 19-7 ergleichen oUten. Daher wird das L:ithiumatom zw i Elektron n in ls-Zu tänden und ein in einem 2s-Zu tand haben. Da das 2s-Elektron ein höher Energie al ein ls-Elektron hat, i te verbältni mäßig leicht zu entfernen. Die Ioni arion n rgie de Lithium beträgt nur 5 4 Elektronen alt, und e i t ehemi ch recht akti . Sie können daher die Zu ammenhäng erkennen, die ich entwickeln. Wrr haben in Tabelle 19.2 eine Li te der e ten 6 EI m nte angegeben, die die von den Elektronen im Grundzutom b tzten Zu tände zeigt. Die Tabelle gibt die Ioni ation energie für da am tand jede 10 ker ten gebundene Bektron und die Anzahl der Elektronen an die jede "Schale' be elzen womit wir Zu tände mit dem eIben n meinen. Da die er chiedenen [-Zu lände unter cbiedliehe Energien haben en pricht jeder l- ert ein r nter ehale on 2(2l + 1) möglichen Zu tänden (von er chiedenem 171 und lektranen pin). Die e haben alle die eibe Energie - bi auf einige ehr klein ff, kte, die wir ernachlä igen.

Be Beryllium i t ähnlich wie Lithium nur das e zwei Elektronen im 2s-Zu tand owie zwei in der gefüllt n I - chale hat. B bi

e

Bor hat 5 Elektronen. Da fünfte mu in einen 2p-Zu tand gehen. E gibt 2 x 3 = 6 erchiedene 2p-Zu tände, ir können daher fortfahren, Elektronen hinzuzufügen bi wir zu einer Ge amtzahl on 8 kommen. Da bringt un zu eon. Wenn wir die e Elektronen hinzufügen, vergrößern wir auch Z daher wird die ge amte Elektronenverteilung immer näher an den Kern gezogen. und di Energie der 2p-Zustände inkt ab. Wenn wir bei eon angelangt ind, i t die 10ni ation energie auf 2l 6 olt ge tieg n. eoo gibt ni ht leicht ein Elektron ab. Auch gibt e

438

Tabelle 19.2: Die Elektronenkonfigurationen der ersten 36 Elemente Elektronenkonfiguration

Z

Element

W/(eV)

2s

1s 1 2

3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18

H He Li Be B C

0 F

e a 0 b

Al Si P S CI Ar

Wasserstoff Helium

13.6 24.6

Lithium Beryllium Bor Kohlenstoff Stickstoff SauersIOff Fluor Neon

5.4

1

9.3

2

atrium Magnesium Aluminium Silöum Phosphor Schwefel Chlor Argon

21 22

Ti

23

V

24 26

Cr Mn Fe

27

Co

28

i

29 30

Cu

Kalium Ka/-ium Scandium Titan Vanadium Chrom Mangan Eisen Kobalt ieleel Kupfer

Zn

Zink

31

Ga

32

Ge

33

A Se

Gallium Germanium Arsen Selen Brom Krypton

19

20

25

34 35 36

K Ca Sc

Br

Kr

8.3 11.3 14.5

2p

3p

3s

3d

2 GEFüLLT (2)

17.4

21.6

2

1 2

2

3

2 2 2

4 5

in jedem Zu tand

6 I

7.6 6.0

2

8.1 10.5

-GEFüLLT-

10.4

(2)

(8)

13.0

15.8

I

2 2

2

2

3

2 2 2

4

5

6

4.3

1

6.1

6.5 6.8 6.7

I 2

3

-GEFüLLT-

5

6.8 (2)

(8)

(8

2 2 2 2 1

5

2

7.9

6 7

2

7.6 7.7 9.4

10 10

I

7.9 9.8

14.0

2

-

6.0

11.8

4d

Anzahl der Elektronen

5.1

9.7

4p

1 2

13.6

7.4 7.9

4s

2 2

-GEFÜLLT(2)

(8)

1

(1 )

2 2

5

6

4f

19.6 Da

439

keine weiter n Plätze mit niedriger En rgie die gefüllt erden mü ten daher wird e nicht er uehen ein zu ätzlieh EI ktron einzufangen. eon i t ehemi ch träge. Fluor andererseits hat tat ä hli h einen unb tzt n Platz, 0 ein Elektron in einen Zu tand mit niedriger Energie hineinfallen ann, e i t daher in eh mi hen Reaktionen ehr ak:ti .

abi Ar Bei atrium mu d elfte Elektron eine neue ehale anfangen - indem e in einen 3sZu tand gehl. D nergi ni e u die e Zu tand i t viel höher; die loni ation energie pringt nach unten; un atrium i teine akti e Chemikalie. Von atrium nach Argon werden die sund p-Zu rände mit n = in enau der gleichen Reihenfolge be etzt wie on Lithium nach eon. inkelkonfiguration n der EIe tronen in der äußeren ungefüllten Schale haben die eIbe Reihenfolge, und d r erlauf der loni arion energie i t recht ähnlich. Sie können erkennen warum ich di ch mi hen Eig n haften mit teigender AtomzaW wiederholen. Magne ium erhält ich hemi eh ehr ähnlich wie Beryllium Silizium wie Kohlen toff und Chlor ie Fluor. Argon i tträge wie eon. ie haben i lleicht bemerkt, da es eine kleine Be onderheit in der Reihe der 10Di ation energien ziehen Lithium und eon und eine ähnliche zwi chen atrium und Argon gibt. Das letzte Elektron i t an da auer toffatom etwa weniger tark gebunden, al wir erwarten würden. nd bei chw fel i te ähnlich, arum i t da o? Wir können e ver tehen wenn wir ein enig . on den Effekten d rech el irrungen zwi chen einzelnen Elektronen hinzunehmen. Bedenken Sie, a ge chieht wenn wir das er t 2p-Elektron an da Boratorn bringen. E hat ech öglich eiten - dr i mögliche p-Zu tände, jeder mit zwei Spin. Stellen Sie ich or, da das L ktron mit pin oben in den m = O-Zu tand geht, den wir auch den ,z -Zu tand genannt haben, weil er die:- eh e um hlingt. Wa wird nun beim KoWen toff pas ieren? Dort ind jetzt zwei 2p-Elektronen. enn ein on ihnen in den ,,zu-Zu tand gebt, wohin wird dann das zweite gehen? ird niedrigere Energie haben, wenn e ich vom er ten Elektron fernhält was e tun kann, indem e ag n ir in den x-Zu tand der 2p- chaIe gebt. (Die er Zu tand i t, erinnern ie i h erad eine Linearkombination de m = +1- und In = -I-Zu tand .) enn wir a1 äch te zum· tic toff gehen erden die 2p-Elektronen die niedrig te Energie gegeneitiger Ab toBun dann haben enn ie je eil in die ,,X '-, , '- und .z -Konfiguration gehen. Beim auer toff jedocn i t da aß oll. Da vierte Elektron mu in einen der be etzten Zutänd gehen - mit entge nge etztem Spin. E wird on dem Elektron, das hon in die em Zu tand i t., kräftig abge toBen. ine En rgie wird daher nicht 0 niedrig ein wie ie e on t wäre und e i t leichter zu entfernen. Da erklärt den Bruch in der Reihe der Bindung energien der z i hen ti toff und aue toff und ziehen Pho phor und chwefel auftritt. Kbi Zn Man ürde zu t d nk n d nach Argon die Elektronen damit beginnen würden die 3d-Zll tände aufzufüllen. b r d tun 'e mcht. ie wir früber be chrieben - und in Fig. 19veran hauli ht - haben rden di Zu tände mit höherem Drehimpul in der Energie hochgetrieb n. enn ir dann zu d n 3d-Zu tänden gelangen ind ie zu einer Energie gedrängt worden, die e über der n rgie de 4 -Zu tande li gt. Daher geht bei Kalium das letzte Elektron in cl n 4 -Zu tand. a hdem di chale bei Kalzium mit z ei Elektronen) gefüllt i t, fangen die 3d-Zu tänd bei Scandium Titan und Vanadium an aufgefüllt zu werden. chan kleine Effekte Die nergien d r d- und 4s-Zu lände li gen 0 dicht beieinander, da d Gleichge icht nach irgendeiner Seit ver chieben können. Wenn wir 0 eit gekommen ind, da wir i r le tron n in die 3d-Zu tände bringen, erhöht ihre Ab toBung die Enerltie

440

de 4s-Zu tand gerade um 0 viel, das eine Energie etw über d r 3d-Energie i t, 0 da s ein Elektron hinüberwandert. Bei Chrom erhalten wir k ine Kombination ,2, 'Ii ie ir erwartet hätten ondem randes en eine Kombination 5, 1. Das neue EI ktron, da hinzugefügt wird um Mangan zu erhalten. füllt wieder die 4s-Schale auf und die Zu tänd der 3d- chale werden dann einer nach dem anderen besetzt, bi wir zum Kupfer gelangen. Da jedoch die äußersten Schalen von Mangan, Ei en, Kobalt und ickel die lben Konfije r gurationen haben neigen ie alle dazu, ähnliche chemi che Eigen haften zu haben. Effekt i t iel au geprägter bei den eltenen Erden, die alle die eIbe äußere S hale, ab reine ich fortlaufend auffüllende innere Schale haben, die viel weniger Einflu auf ihr chemi ehen Eigen chaften hat) Beim Kupfer wird ein Elektron au der 4s-Schale geraubt, um endlich die 3d-Schale zu ervoll tändigen. Die Energie der Kombination 10, 1 liegt bei Kupfer jedoch 0 nahe bei der ehon die Anwesenheit eine benachbarten tom da G1eichge icht Konfiguration 9,2, da er chieben kann. Au diesem Grunde sind die letzten zwei Elektronen de Kupfer fa t gleichwertig, und Kupfer kann entweder die Wertigkeit 1 oder 2 haben. (E erhält ich manchmal 0, al ob eine Elektronen in der Kombination 9, 2 wären.) Ähnliche D'nge pas ieren an anderen Stellen und ind für den Tatbe tand verantwortlich, da ich andere etall ie Ei D cherni ch mit eiDer von zwei Valenzen binden. Bei Zink i t so ohl di 3d- al au h die 48- chale ein für allemal aufgefüllt. Ga bi Kr Von Gallium nach Krypton geht die Reihe wieder normal eiter indem di 4p- chale gefüllt wird. Die äuBeren Schalen, die Energien und die chemi ehen Eigen haften wiederholen ich in der gleichen Form wie von Bor nacheon und von Aluminium nach Argon. Krypton i t wie Argon und eon al Edelga' bekannt. Alle drei ind chemi eh träge". Die bedeutet lediglich, da e, nachdem die Schalen mit relati niedriger Energie aufgefüllt sind nur wenige Situationen gibt, in denen e für sie einen energeti ehen orteil bed utet, ine einfache Verbindung mit anderen Elementen einzugehen. Eine gefüllte chale zu haben, genügt nicht. Beryllium und Magne iurn haben gefüllte s-Schalen die Energie die er chalen i t aber zu hoch, tim Stabilität zu erreichen. Ähnlich häne man ein weitere .,edle 'Element bei ickel erwartet. wenn die Energie der 3d-Schale niedriger gewe en wäre od r die 4s höher. Anderer eit i t Krypton nicht vollkommen träge; e bildet eine chwach gebund ne erbindung mit Chlor. Da un ere

u wahl die mei ten Hauptmerkmale de Perioden

tem aufgezeigt hat hören

wir mit UR erer Priifung bei Element ummer 36 auf - e gibt noch etwa i bzig weitere! ir möchten nur noch einen weiteren Punkt erwähnen - nämlich da wir nicht nur bi zu einem gewi en Grade die Wertigkeit ver tehen können, ondern das wir auch etwas üb r die Richtung eigen chaften der eherni chen Bindungen agen ännen. ehmen ie ein tom wie Sauer toff, das ier 2p-Elektronen hat. Die er ten drei gehen in ,.x - ,y - und - -Zu mnd und das ierte wird einen die er Zu tände verdoppeln und dabei zwei - agen wir ,x und,,)' -leer las eD. Betrachten Sie dann, wa in HzO ge chieht. Jeder der z ei as er toffe mö hte ein Elektron mit dem Sauer toff teilen und dabei dem Sauer toff belfen eine chale aufzufUIlen. Die e Elektronen werden be trebt ein, in die ,x - und "y"-Le r teIlen zu gehen. Daher oHten im Wa ermolekül die bei den Wa er toffatome einen rechten lOkel bezüglich d ittelpunkt de Sauer toff bilden. Der Winkel beträgt in WirkJichkeit 10 o. ir können 0-

19.6 Das PeriodellS) tem

++1

gar er tehen arum der ink 1 gr"ßer al 90° i t. enn ie ihre Elektronen teilen. haben die a er toffe chli ßli h ein po itiv Ladung. Die elektri h Ab toßung pannt" die eUenfunktionen und tr ibr den inkel auf 105°. Die eibe ituation tritt in H., auf. eil aber das chwefelatom größer i t, ind die artoffatom weiter an inander, e gibt wenig r b toßung und der inkel ird nur auf t\ a 93° au einandergedrückt. len i t noch größer, 0 d im H2 Se der ink 1 f t genau 90° beträgt. Wir können die lben rgurnent erwenden, um die G ometrie d . mmoniak , H 3 ' zu ver tehen.Stick toffhatPlatzfiirdreiv eitere2p-Elektronen j in für die Zu tände om"x"-, "y' - und ,,z"-Typ. Die drei a er toffe ollt n ich in r hten inkeln zueinander dran etzen. Die Winkel ergeben ich ein enig größ r al 90° - wieder wegen der elektri ehen Ab toßun -. aber zuminde t ehen ir. arum d H - olekül nicht flach i t. Die inkel bei Pho phen H3 P ind nahe b i 90° und bei H J noch näher. ir etzten orau, da da NHJ nicht flach war, al wir e al Zweizu tand tem be chri b n. Und die eichtflachheit i te w den Arnmoniak-Ma er möglich macht. un ehen ir das auch die Form an un erer Quantenmechanik herau ver tanden erden kann. Die chrödinger-Gleichung ar iner der großen Triumphe der Ph ik. Dadur h, das i den Scblü el für die orgänge die der Atom truktur zugrunde liegen liefert, hat ie eine Erklärung für die Atom pektren die Chemie und die Eigen chaften der Materie gegeben.

20

Operatoren

20.1

Operationen u d Operatoren

All as ir bi her in der Quantenmechanik getan haben, konnt mit der gewöhnlichen AJgebr b handelt erden, ob ohl ir Ihnen on Zeit zu Zeit einige be andere cbreib eien der quantenmechani ehen Größen und Gleichungen zeigten. Wir möchten jetzt no h etwa mehr über einige intere ante und nützliche matbemati che Methoden zur Be cbreibung quantenme hani eher Dinge berichten. E gibt . iele Wege an den Stoff der Quantenmechanik heranzugehen. und die mei ten Bücher gehen ander or als wir. enn Sie darangehen andere Bücher zu le en, ehen ie ielleicht nicht direkt die erbindungen zwi ehen dem, was Sie dort finden und dem wa ir hier getan haben. ObwoW wir auch in der Lage ein werden, einige nützliche Ergebni e zu rhalten, i t der Hauptzweck die e Kapitel , TImen etwas über einige der er chiedenen hreib\ i n für die Ibe Phy ik: zu erzählen. Wenn Sie die e kennen, 011ten Sie fähig in, d , andere Leute ag n, be er zu er rehen. Al man anfang die klas iche echanik entwick Ite, chrieb man immer alle Gleichungen inx-, - und z-Komponenten. Dann kam jemand daher und erklärte da die ganze Schr,eiberei durch Einführung der ektorschreib\ ei iel einfacher gemacht erden könnte. E i t richtig da ,wenn ie hingehen und etw g nau au re bnen oUen, ie oft die Vektoren wieder in ihre Komponenten zerlegen mü en. E i t ab r im Allgemeinen leichter, die Vorgänge zu über chauen, wenn Sie mit Vektoren arb it n, und auch I i hter iele der Berechnungen dur hzuführen. In der Quantenmechani konnten ir viel Ding auf infachere Art chreiben, indem wir den Begriff de ,Zu rand ktor' nutzten. Der Zu tand ektor 11/1) hat natürlich nich mit den geometriehen ektoren im dr idimen ionalen Raum zu tun ondem r i t ein ab trakte S mboi da für einen physikali hen Zu tand rehr, der durch da "Kennzeichen' oder den , amen" ljJ identifiziert ird. 0 r B ariff i t nützlich weil die Ge etze der Quantenmechanik al algebrai he Gleichung n in die n mbolen g chrieb n werden könn n. Zum Bei piel wird lm er fundamental Ge etz d j d r Zu tand au in r Linearkombination der Basi zu tände gebildet erden arm, g chrieb n a1

11/1)

= L: Ci I i) ,

(20.1)

tern on gewöhnlichen (komplexen) Zahlen - den Amplituden ( = (i 11/J) - ind, ähr nd 11) 12) 13) und 0 weiter für die B i zu tände in einer Ba i oder Darstellung teh n.

wobei die Ci ein

Wenn ie einen ph ikali hen Zu rand nehmen und etwas mit ihm machen - Sie drehen ihn zum Bei pieloder oe warten auf eine Zeit!J.t -, dann erhalten ie einen anderen Zu tand. Wir agen:.n Ausführen einer Operation an einem Zu tand erzeugt einen neuen Zustand.

20 Operatoren

Den gleichen Gedanken können wir durch eine Gleichung au drücken: (20.2)

Eine Operation an einem Zu tand erzeugt einen anderen Zu tand. Der Operalor A teht für irgendeine pezielJe Operation. Wenn die e Operation an irgendeinem Zu tand. agen wir 1 t1J) . durchgeführt wird, erz ugt ie einen anderen Zu land I cP) . Wa bedeutet GI. 20.2). Wir definieren da o. Wenn Sie die Gleichung mit und ändern die Summen in Integrale um. ir erhalten (E)nrinel =

JJ

ß(x) kann nur on x abhängen - nicht von p. Da i t das ganze Problem.

=

in kluger Kopf entdeckte jedoch dass da Integral in (20.55) partiell integriert werden könnte. Die Ableitung on e- ip1:/tl nach x i t (-i/ft.) p e- ipx / ti , daher i t da Integral in (20.55) gleichw rtig mit

'Ii d

--; -(e-ipxlfl)t/!(x) dx . I

dx

Wenn wir partiell integri ren wird e

-

~ [e- iPX!11 rjI(x)] + l

-00

+~ l

f

e-ipxlfl dl/J dx. dx

20 Operatoren

458

Solange wir gebundene Zu tände betrachten Klammer null, und wir haben

fl (piß) = -:-

I .

0

da

if/(x) bei x

= ±oo gegen null geht, i

dJ/J e- lpXJ'-fl-dx.

l

t die

(20.56)

dx

Jetzt vergleichen Sie die es Ergebni mit GI. (20.53). Sie ehen, das (xIß)

!l dif!

= -:- -dx. l

(20.57)

dx

Wir haben das nötige Stück um GI. (20.52) vervollständigen zu können. Das Ergebni i t (20.58) Wir haben herau bekommen, wie G1. (20.48) in der Ort dar tellung au iebt. Sie oUten jetzt allmählich erkennen, da ich ein intere ante Bild abzeichnet. Al nach der mittleren Energie de Zu tands I t/J) fragten, agten wir sie wäre

ir

Das eIbe wird in der Koordinatenwelt geschrieben a1 (E)miuel

=

J

l/J·ex)ifJ(x)dx

mit

la) = rrflt/J) .

Hier i t 'H ein algebraischer Operator, der auf eine Funktion on x irkt. Al wir nach dem Mittelwert on x fragten, fanden wir, da er ebenfalI ge chrieben erden konnte (x)nüuel

=( if/ I a)

mit

I a)

=xI t/t) .

In der Koordinaten elt ind die entsprechenden Gleichungen (x)minel

=

J

t/t·(x) a(x) dx

mit

a(x)

= xif/(x) .mit

Al wir nach dem Mittelwert von p fragten, chrieben wir (p)rnitteJ=(if/Iß)

mit

Iß) =plt/t).

In der Koordinatenwelt waren die äquivalenten Gleichungen (P)minel =

f

t/J·ex)ß(x) dx

!l d mit ß(x) = -:- l

dx

J/J .

aex

= xt/t(x).

20.5 Der Impul operawr

459

In jedem un erer drei Bei piele beginnen ir mjt dem Zu tand II/J) und tellen einen anderen (bypotheti chen Zu tand dur h einen quanlenmeclwni ehen Operator her. In der Ortsdarstellung erzeugen wir die n pre h nde Ilenfunktion durch Anwendung eine algebra; ehen Operator auf di U nfunktion W(x). E gibt die folgenden umkehrbar eindeutigen Entsprechungen (für indim n ional Probleme: ~

H

~

x~

t1 2

-

11 = - -

d-

- - + V(x),

2m dx:-

x, ~

(20.59)

p~'P .r

h 0 i ßx

=-- .

In die er Auf: teIlung haben wir das Symbol 'P;r für den algebrai ehen Operator (li/i) geführt: h

'Px ==

o!ox ein-

fz ß

i

8x'

(20.60)

und wir haben den lode x arn 13 angebra ht, um ie darauf hinzuwei en da x-Komponente de Impul e gearbeitet haben.

wir nur mit der

ie önnen die Ergebill e lei ht auf drei Dirnen ionen erweitern. Für die anderen Komponenten de Impul e gilt

Wenn ie wollen können Si chreiben

ogar an inen Operator de vektoriellen lmpul e denken und

wob i ex' e)' und ez di Einh ir ektoren in den drei RiChtungen ind. E ganter au, nn ir chreib n

iebt ogar noch ele-

Un er allg mein Ergebni i t da e zuminde t für einige quantenme hani che Operatoren ent prechende algebrai he Operatoren in der Ort dar tellung gibt. Wir fa en un ere bi herigen Ergebni e - rweitert auf drei Dirnen ionen - in Tabelle 20.1 zu ammen.

20 Operatoren

460

Tabelle 20.]

physikalische Größe

Operator

Energie

iJ

Ort

x

Impul

Koordinatenjoml ~

f12

11= - 2m

')

v- + Ver)

X

)'

Y

;

-

Px

P =-x i 8x

P"

fi B 'Py=~ . I Y

P:

'P = - -

11

A

a

a

A

tz

:

a

i 8:

Für jeden Operator haben wir die zwei gleichwertigen Fonnen:+

oder ~(r)

= :ll1/J(r).

(_0.6

Wir wollen jetzt ein paar Anwendung bei piele die er Gedanken geben. Da er einfach darin. die Beziehung zwi eh n rp und 1i klarzumachen. den erhalten wir A

')

enn

ir

I

be lehl

1\ zweimal anwen-

B-

'PxP r = -f1- - , .

.

BA

Die bedeutet. da

ir die Gleichheit beziehung chreiben können

Oder. unter erwendung der Vektor chreibwei e ~

I

A

A

1i= 2m p. P+ V(r).

_0.64

TIn vielen Bü hem wird für A und .J{ das eibe ymbol benulZt. weil ie beide fLir die lbe Ph},iktehen und weil e angenehm i t, wenn man nicht zwei ver chiedene Buchstaben chreiben mu . ie önnen gewöhnlich au dem Zu ammenhang entnehmen, welcher gemeint i l.

461

(1n einem algebrai eh n Op rator b deutet jeder Term ohne d Operator mbol C) einfach eine direkte ultiplikali n. Di e Glei hung i t hüb eh, \ eil ie lei ht zu merken i t, wenn ie ni ht Ihre kla i he Ph ik erge n hab n. Jeder eiß, da die Energie (im ni htrelati-

vi ti ehen Fall) infa h di kin ti der Op ratar d r Ge amtenergie.

he Energie p2 / _171 plu die potentielle Energie i L und 11 ist

ie er uchen, den Studenten or der Die Ergebni hat di L ut 0 tark beeindru kt, da Quamenm hanik alle über die kla i ehe Ph sik beizubringen. (Wir denken ander! ber olche Parallelen ind ftirr führ nd. u dem einen Grund: Wenn Sie Operatoren haben, i t die Reihenfolge d r vers hi denen Faktoren wi htig; die gilt aber nicht für die Faktoren in einer kla i hen GI ichung. In Kapitel 17 definierten wir einen Operator fJ(x) durch den mäß [ j he GI. (l7.27)J

11/1') =

b (6) II{! > = T

(I

+

er chiebung operator Dx ge-

~ jJß) 11/1) ,

(20.65)

ob i 6 in kleine er hiebung i t. Wir oHten Ihnen zeigen, da die zu un erer neuen Definition äquivalent i 1. ach dem, a wir gerade ausgerechnet haben, ollte die e Gleichung da elb b deut n wie , tjJ (x)

81{! = t/J(x) + -8 v. x 1:

ber die r hte eit i ( gerade die Ta lorentwi kJung von tjJ(x + 6), wa icherli h da i l wa ie erhalten enn ie d TI Zu land um 0 = -

qe

: : : _ X 10-7 Gauß· cm

( 1.30)

oder die Hälfte de von London vorherge agten Betrage . Alle pas t jetzt zu ammen. und die Me ungen zeigen die Exi tenz de orherge agten rein quantenmechani chen Effekts in einern großen Maß tab.

Die Dynamik der Supraleitfähigkeit

21.8

Der Mei ner-Effekt und die Au quanti ierung ind zwei Be tätigungen un erer allgemeinen Vor teilungen. ur der Voll tändigkeit halber möchte ich Ihnen zeigen, wie on die em Standpunkt au die oll tändigen Gleichungen einer upraleitenden Flü igkeit au ehen - e ist recht intere ant. Bi jetzt habe ich nur den Au druck für r/t in die Gleichunoen für Ladung dichte und Strom einge etzt. Wenn ich ihn in die volJ tändige Schrödinger-Gleiehung ein etze, erhalte ich Gleichungen für p und (). E oUte intere sant ein, einmal zu ehen, ich entwickelt weil wir hier eine ,Ylü igkeit' von Elektronenpaaren haben mit einer Ladung dichte p und einem my teriö en () - wir können ver uehen, ob wir ehen können. elche Art Gleichungen wir für olch eine .,Flü igkeit" erhalten! Wir etzen daher die ellenfunktion au GI. (21.17) in die Schrödinger-Gleichung (21.3) ein und denken daran, das p und () reeHe Funktionen on x, y, : und find. Wenn wir Real- und lmaginärteil trennen dann erhalten ir zwei Gleichungen. Um ie in einer kürzeren Form zu chr iben, will ich - GI. 21.19) folgend - chreiben

q

fj

-m ve- -A = l. m Eine der Gleichungen die ich erhalte, i t dann

ßp ßf

= -V ·pv.

(21. 2)

Da pv zuer t einmal] i t, i t di einfach wieder die Kontinuitätsgleichung. Die andere Gleichung, die ich erhalte. agt au . wie ich verändert; ie lautet

e

ae =--m v- - q(/)

1i -

8t

2

(21.

Jene von Ihnen die mit der Hydrodynamik gründlich vertraut ind ich bin ieher d e nur wenige von Ihnen ind, werden die al die Bewegung gleichung für eine elektri ch geladene Flü sigkeit erkennen, ofem"\ ir tiB mit dem "Ge chwindigkeit potential id ntifizieren - abgeehen da on, da der letzte Tenn der die Kompre ion energie der Flü igk it in olJte. e'n recht eigenartige bhängig eit on der Dichte p hat. Jedenfall be agt die Glei hun o da di

21.

Die Dynamik d r Supraleitfähigkeit

487

Änderung ge h indigk it der Größe Ji(} gegeb n i t dureh einen Term der kineti ehen Energie - ~mv2 plu einem ~ rm d r pot ntiellen Energie -qifJ mit einem zu ätzliehen Term, der den Faktor fi2 enthält, den ir in "quantenrneehani ehe Energie nennen könnten. Wir haben geim lnnern eine upraleiter p durch die elektro tati ehen Kräfte sehr gleichförmig ehen, d gehalten wird, daher kann die er Term icherlich in jeder prakti ehen Anwendung emaehlä igt werden orau g tzt da wir nur ein upraleitende Gebiet haben. Wenn wir eine Grenze ziehen z ei upr leitern haben oder andere erhältni e, in denen ich der Wen von p plötzlich änd rn kann), dann kann die er Tenn wichtig werden. Für diejenigen on Ihnen. die mit den Gleichungen der Hydrodynamik nicht so ertraut ind kann ich GI. ( 1.33) in ein Form um chreiben die die Physik deutlicher erkennbar werden läs t, indem ich GI. (21.31) benutze um durch v au zudrücken. Wenn ich den Gradienten der ganz n GI ichung (21.33) bilde und ve unter Benutzung von (21.31) durch A und ausdrücke, erhalte ich

e

2

&v =i(-V4>_&A)-VX(V+xV)- der maximale tram gegeben durch

Die er maximale tram v ird ich mit <J) ändern und wird elb t jede Mal ein Maximum haben, wenn Jrfl

=11-, q

494

21 Die Schrödinger-Gleichung in einem klassischen Zusammenhang

wobei nirgendeine ganze Zahl i t. Das heißt gewi ermaßen, da s der trom dort eine maximalen Werte annimmt, wo der Ru gerade jene quanti ierten Werte hat, die wir in GI. (21.30) gefunden haben! Der Ja eph on-Strom durch einen zweifachen Übergang wurde kürzlich al Funktion de Magnetfelde im Gebiet zwi hen den Übergängen gerne en. 17 Die Ergebni e ind in der Fig. 21-8 gezeigt. E gibt einen allgemeinen Untergrund trom von er chiedenen Phänom nen, die wir ernaehlä igt haben, doch ind die chnellen 0 zilIationen de tram mit den Änderungen im Magnetfeld eine Folge de Interferenzterm co q(/Plli on 01. _1.-_). Eine der höch t intere anten Fragen der Quantenmechanik i t die Frage, ob da ektorpotential auch an einern Ort exi riert. wo kein Feld vorhanden i LI Die e Experim nt, da i h gerade be ehrieben habe. i t auch mit einer kleinen Spule zwi ehen den beiden "b rgäng n au geführt worden, 0 da da einzige bedeutende magnetische B-Feld innerhalb der pule i ( und nur ein emaehlä igbarer Anteil auf den upra1eitenden Drähten elb t. E \ urde jedoch berichtet, da die Strom tärke 0 zillatori eh von dem Flu de Magnetfelde innerhalb die er Spule abhängt, obwohl da Feld niemal die Drähte berührt - wieder eine Demon tration der "physikali ehen Realität.. de Vektorpotential .19

I

- 500

I

-400

I

- 300

I

- 200

,

-100

I

o

loo

!

,

200

300

I

400

I

500

agnetfeld (Milligauß) Fig. 21-8: Eine Aufzeichnung de Strom durch ein Paar von Jo eph on-" bergängen al Fun '(ion de Magnetfelde im Gebier zwi ehen den heiden" bergängen ( iehe Fig. 2] -7). [Die e ufzeichnungtammt von R.C. Jakle ie, J. Lambe. .H. ilver und J.E. Mereereau vom cientific Laboralory, F rd o( r Compan .]

Ich weiß nicht, wa a1 äch te kommt, aber chauen Sie, wa getan !,'t' rden kann. B achten Sie al Er te ,da die Interferenz zwi ehen zwei Übergängen erwendet \\ erden kann. um ein empfindliche agnetometer herzu teilen. Wenn ein Paar von .. b rgängen mit einem um eWo enen Gebiet von, agen wir, I mm 2 gemacht wird, würden die axima der Kurv in Fig. 21-8 um _ x 10-6 Gauß au einander liegen. E i t ieherlich möglich anzugeb n, wann 17JakJevic, Lambe. Silver und Mercereau. Phy . Rev. Leiters 12, 159 (1964). l Jaklevic, Larnbe. Silver und lercereau, Phys. Rel'. Leuers 12,274 (1964). J9Siehe Band II, Kapitel 1, b hnitt l5. -.

21.9

495

ie bei 1/1 0 d \ ege zwi hen zwei Ma 'ima ind: daher ollte e m" glieh ein. olch einen Übergang zur e ung von agnerfeld m zu erwenden, die 0 klein ind ie 2 x 10-7 Gauß - der tärkere Felder mit olch einer Genauigkeit zu messen. Man ollte ogar noch weiter gehen können. ehmen wir zum B i piel an, wir erzen ein Sy tem von 10 oder 20 .. bergängen mit glei hem b tand ng zu ammen. Dann können wir die InteIferenz zwi ehen 10 oder 20 Spalten hab n und werd n. wenn wir da Magnetf ld ändern, ehr charfe Maxima und Minima erhalten. n teile in r _- palt-Interferenz können wir ein 20- oder ogar ein 100-SpaItInterferometer zur ung de agnetfelde haben. Vielleicht können wir vorau agen, da die e ung der ag ntfelder - unter Benutzung quantenmechani eher Interferenz - chließlieh Ca t genau w rden ird wie die Me ung der ellenlänge des Licht . Die iod mil eWIge childerungen on Dingen, die ich in neuerer Zeit ab pielen - der Tran i tor, der La r und nun die e "bergänge, deren endgültige prakti ehe Anwendungen no h nicht b kannt iod. Die Quantenmechanik die im Jahre 1926 entdeckt wurde, hat eine EntickJung von f t 40 Jahren hinter i h. und e fing recht plötzlich an, da man ie in ielen prakti ehen und real n Fällen au nutzte. Wir erhalten wirklich die Herrschaft über die amr auf einem ehr feinen und chönen i eau. Leider mu i hagen, mein Herren. da e zur Teilnahme an die em Abenteuer unbedingt erforderlich i t, das i die Quantenmechanik 0 bald wie möglich lernen. E war un ere Hoffnung, da wir in die er arie ung einen Weg finden würd n, Ihnen zum frühe tmöglichen Zeitpunkt die Geheimni e die e Teil der Phy ik ver tändlich zu machen.

Feyn an Epilog un habe ich z ei Jahre lang zu Ihnen ge prochen und werde jetzt damit aufhör n. Einereits mächte ich mich ents huldigen und anderer eit wieder nicht. Ich hoffe - ja ich eißda zwei oder drei Dutzend on Ihnen allem mit großer Spannung folgen konnten und eine ang nehme Zeit damit erbracht haben. Aber ich weiß auch, da "die Kräfte der Lehre on ehr geringer Ir amkeit ind, außer unter jenen glücklichen Um tänden in denen ie prakti eh üb rflü ig ind. Daher darf ich im Hinblick auf die zwei oder drei Dutzend die alle ver tanden haben. agen, das ich nicht andere getan habe, al Ihnen die Dinge zu zeigen. Wa die anderen betrifft tut e mir leid wenn ich Ihren Widerwillen gegen die e Fachgebiet erregt hab. Ich habe niemal orber elementare Phy ik unterrichtet und ich bitte um Entschuldigung. I h hoffe nur da ich ie nicht ern thaft erwim habe und da Sie diese intere ante Ge cbäft ni ht aufgeben. I h hoffe, das jemand ander e Ihnen 0 beibringen kann, das e Ihnen nicht im agen li gt. und da ie trotz allem eiDe Tage fe tstellen da e nicht 0 chrecklich i t, ie e au ieht. darf ich noch hinzufügen da e nicht der Hauptzweck meine Unterricht für irg ndeine Pro ung orzubereiten - er oIlte Sie nicht einmal für die Arbeit in der Indu tri oder beim ilirär orbereiten. Ich ollte Ihnen or allem ein Ver tändni für die underbare eh ermitteln und dafür wie ie der Physiker betrachtet, wa, ie ich glaube ein e entlicher't il d r ahr n Kultur in der modemen Zeit i t. CE gibt wahr cbeinlich Profe or n anderer Fachgebiete, di Ein pruch rheb n, ab r ich glaube da ie völlig Unrecht haben.) ielleicht erden i nicht nur einige Y, r tändni für die e Kultur gewinnen; e i t ogar möglich, da ie i h dem größten bent uer auf da ich der men chliche Gei t je eingela en hat, an hlieBen ollen.

Index djungierte 241 Ak.z ptor 296 Igebrai he Gleichungen 44 mmoniaker 161 Ammoniakmolekül ISS -, Zu rände eine 161 Amplituden 17, I 1 -, Interferier nde 7 - Onsabhäflgigkeit der 274 -, Tran formation on 99 -, ahrs heinlichkeit - 33 331 -. Zeitabhängig eit der 121 ngeregter Zu tand 281 Antimaterie 231 Antiprot n 227 ntiteilehen 227 Argon 439 .. thylenmoleJ...'Ü1 320 Au breitung in ein m Kri tallgitter 269 Au hließung prinzip 69 Bahndrehimpul 426 Baryon 227 B i zu lände , _43 -, der It 147 Benzolmolekül 19 1 Beugung an Kri tallen 22 Bohr eh r Radiu 26, 41 Boltzmann-Faktor 294Bor 437 Born. . I, _9,476 Bo e-Teilchen 51, 317 Butadienm lekül 324

Chloroph I1molekül 325 Diamamgirt r 2 9 Dirac, P. 14 .2 2 D nator295 D ppler ff, t 25, 25

Drehimpul 462 - Zu ammen etzen von 401 Drehmatrix 103 Dreidimen ionale Gitter 279 Dynami eh rlmpul 474 Effekti Ma e 278 Eigenwert 240 Eigenzu tand 240 Eindirnen ionale Gitter 269 Einheitsmatri 211 Elektri ehe Ladung dichte 476 Elektri ehe Stromdichte 476 Elektron I Elektron-Loch-Paare 293 Elektronenkonfiguration 438 Energie, Zu tände mit be timmter 273 Energiediagrarnm 290 Energieerhaltung 128 Energieni eaudiagramm 293 Energieni eau 27 253 Erhaltung - der potentiellen Energie 12 ,227 -, der Strang ne 226 E eiton 2 2 Farb toß' 199 Fermi-Teilchen 51 F rr magneti eher Kri taU 309 Flü ige Helium 69 Fluor 439 Flu quanti ierung 4 2 Gallium 440 Gauß h r atz 474 Ge etze der Quantenmechanik 33 Gitter -, dreidirn n ionale 279 -, eindimen ionale 269 Gleichrichtung an einem Halbleiter-Üb rgang 304

Index

500

Grundzu tand 122 Halbleiter 289 -. unreine 295 -, on n- Typ 296 -, von p-Typ 296 Halbleiter-Übergang 300, 304 Hei enberg, W. 1, 11, 14.29.467 Helium 437 - f1ü ige 69 Hermite eher Operaror 446 Hyperfeinauf paltung im as erstoff 243 Identi ehe Teilchen 33, 51 lmpul 18 -, Dreh- 462 -, dyami eber 474 -, kinemati cher 474 Impul operator 455 Interferenzbild bei zwei Spalten 3 Interferierende Ampliruden 87 Interferierende ellen 4 Ion de as erstoffmolekül 1 3

Magneti he Moment 214 Magnons 317 a er, mmoniak:- 161 a e effekti e 278 Matrix 81 Matrixelement de eJektri ehen Dipol 1 _ mv-lmpuJ 474 äherung unabhängiger Teilchen 309 atrium 439 egative Ladung träger 291 eon 437 eutrale K -Me on 226 eutraJe Pion 191 ewton 1 i hijima 226 ukJeon 212 Operator 147

-, Hermite eher 446 Operatoren 443 Ort abhängigkeit d r Amplitude 274 Pais 226

Jo eph on-Übergang 488

Kalium 439 Kernkräfte 190 Kinemati cher Impuls 474 Klas i ehe Grenze 133 Kri taU, ferromagneti eher 309 Kri tallgitter -, Au breitung in einem 269 - Fehle teUen 282 Krypton 440 KugeLfunktionen 427 Kugel ymmetri ehe Lö ungen 417 Ladung dichte, elektri che 476 Ladung träger -. negati e 291 -, po iti e _91 Laser 17 Legendre-Fun1.1:ionen 427 Leitung band 2 9 Lichtab orptiOI1 180 Linie 21-Zentimeter- 55 Lithium 437 Magenta 199

Pauti- pinauslau ehoperator 252 Pauli ehe Spin-Matrizen 209 Perioden y tem 435 Photon 10, 61 -, Polari arion zu lände d 2 1 p-Impul 474 Pion, neutrale 191 Planek ehe Kon tante 14 Polari ation zu tänd de Ph ton _21 Po itive Ladung träger 291 Potentielle Energie. Erhaltung 12 Präze ion eine Spin- ~ -Teilchen 136 Quantenmechanik 1, 17.33 Quantenrnechani che Re onanz 2 Quantenzahlen 263 Rydberg (Einheit) 26 Rydb rg-Energie 1 7,41 Sehrödinger E. 1,29,33.467.4 9 chrödinger-Gleichung 335,346.41-.469 igma- lektron 247 igma-Matrizen 21 1 igma-Proton 248 igma-Vektor 21

501

Index

pektrum de eh arzen Körpe pin-t-Tei1 hen 99 243 -, präze ion n 136 pin ein 75 pin-Wellen 309 pinau tau choperator 252 Spinbahn ech 1 irkung 3_9 Stationäre Zu lände 121. 240 tern-Gerlaeh-Apparatur 75 tran gene 226 treuampütuden 2 7 tromdi hte. elektri ehe 476 upraJeitfähigkeit 47

63

Teilchen -,Boe51317 -, identi ehe 33, 51 -, pin-i- 99, 243 -, pin ein 75 Tran fonnati n on mp1ituden 99 Tran i tor 306 Triphenylzyklopropen I 328 Übergang 300 nbe timmtheit prinzip 11, 14.28 Unreine Halbleiter 295

Vektor 141 ertau chung regel 464 Wahr cheinlichkeit amplitude 33, 331 Wahr cheinlichkeit dichte 338 Wahr eheinlichkei verteilung 338 Wa er toff 436 -, Hyperfeinauf paltung im 243 Wa er toffatom 415 Wa er toffmolekül 193 Wa erstoffwellenfuriktionen 432 Wellen, interferierende 4 Wellenfunktion 336 -, Bedeutung der 476 Weilenpaket 277 Yukawa-Potential 191 Zeemann-Auf paJtung 256 Zeitabhängige Zu tände 277 Zeitabhängigkeit der Amplituden 121 Zink 439 Zu tände mit be timmter Energie 273 Zu land vektor 143 -, Zerlegung on 144 Zweizu tand y lern 183, 209