Experimentalphysik 1: Kraft, Energie, Bewegung Physik Denken

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Author: Martin Erdmann

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Springer-Lehrbuch Physik Denken

Martin Erdmann

Experimentalphysik 1 Kraft, Energie, Bewegung Physik Denken

123

Prof. Dr. Martin Erdmann RWTH Aachen Physikalisches Institut 3A Otto-Blumenthal-Str. 52056 Aachen Deutschland [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-13080-9 e-ISBN 978-3-642-16103-2 DOI 10.1007/978-3-642-16103-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag, Herausgeber und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Physik Denken

Die Physik stellt die Beobachtung, die Erklärung und die Vorhersage von Naturvorgängen in den direkten Zusammenhang mit der Mathematik. Physikalische Denkund Arbeitsfähigkeiten erfordern deshalb fundierte Kenntnisse über die experimentellen Methoden, die Interpretation von Messungen und die physikalischen Konzepte, die auf mathematischer Basis entwickelt werden. Die Lehr- und Lernmodule der Reihe Physik Denken orientieren sich an den Anforderungen des Bachelorstudiums der Physik. Die Reihe konkretisiert den Lehrund Lernstoff der Experimentalphysikkurse an den Universitäten. Studierende sollen sich die wesentlichen physikalischen Konzepte aneignen, experimentelle und statistische Methoden zu deren Überprüfung kennenlernen und Fähigkeiten zur Durchführung zugehöriger Berechnungen entwickeln. Die Portionierung des Lernstoffs in der Reihe Physik Denken, die ausführlichen Berechnungen, die vielen Abbildungen, die Beispiele und die kleinen Aufgaben vermitteln die Machbarkeit des Studiums. Einige, teilweise anspruchsvolle Experimente werden ausführlich beschrieben. Das Layout lädt zur Mitarbeit ein und bietet Platz für das Einfügen eigener Anmerkungen. Größe und Gewicht der einzelnen Lehr- und Lernmodule sind zur täglichen Mitnahme an die Universität konzipiert. Als Herausgeber der Reihe Physik Denken und Autor des vorliegenden Buchs danke ich dem Springer-Verlag, insbesondere dem Lektor Herrn Dr. rer. nat. Schneider, für die professionelle Unterstützung bei der Umsetzung der Lehr- und Lernmodule. Für die fachliche Begutachtung danke ich meinem Kollegen Herrn Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Flügge. Vielen engagierten Mitarbeitern danke ich für Korrekturen und die Unterstützung beim Übertragen der Formeln und Bilder in das LATEX-System. Meiner Partnerin danke ich für ihr konstruktives Encouragement. Aachen, 2010

Martin Erdmann

v

Inhaltsverzeichnis

1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Ort, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bewegung in 2 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Experiment: Messwert & Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Genauigkeit von Messwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Verteilung von Messwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Interpretation von Messwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Auswertung eines Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 21 22 25 28

3 Dynamik: Newtons Bewegungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Newtons Axiome, Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Bewegungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 38 40 45 46

4 Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Bewegungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56 59 64 64 66 68

5 Arbeit, Energie, Leistung, Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Kinetische Energie der Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Kinetische Energie der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 73 76 77 78 78 vii

viii

Inhaltsverzeichnis

5.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.8 Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6 Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Kapitel 1

Kinematik

Die Beschreibung von Bewegungen eines Körpers bezeichnen wir mit Kinematik. Die Begriffe Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung haben dabei eine zentrale Bedeutung. Den meisten Studierenden ist die Kinematik aus dem Schulphysik-Unterricht bekannt. Wir wollen mit diesem Kapitel an die Schulkenntnisse anschließen und sicher stellen, dass alle die gleichen Startbedingungen im Studium haben.

1.1 Ort, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung Um die physikalischen Konzepte zunächst einfach zu halten, betrachten wir Körper als punktförmige Objekte, die eine Masse tragen. In Kurzform bezeichnen wir sie als Massenpunkte. Solange die Abstände oder die zurückgelegten Wege groß im Vergleich zu der Ausdehnung des Körpers sind, ist diese Vereinfachung eine gute Näherung. Zum Beispiel sind bei der Planetenbewegung die Abstände zwischen den Planeten groß im Vergleich zu der Größe der Planeten. Bewegt sich ein Massenpunkt auf einer geraden Bahn im Raum, so genügt eine Dimension zur Beschreibung der Bewegung.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Massenpunkts ist definiert durch vx =

x2 − x1 . t2 − t1

M. Erdmann, Experimentalphysik 1, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-16103-2_1,

(1.1)

1

2

1 Kinematik

Beispiel: Fahrt Köln Wohnung ↔ Aachen RWTH Entfernung Köln-Aachen: Gesamte Fahrzeit:

75 km 90 min

Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Strecke beträgt also: vx =

75 km 75 km km = 90 = 50 90 min h h 60

Aus der Durchschnittsgeschwindigkeit kann man keine zusätzlichen Informationen über den Verlauf der Fahrt gewinnen. Eine vollständigere Beschreibung liefert die Momentangeschwindigkeit. Um die Momentangeschwindigkeit bestimmen zu können, müssen nicht nur Start- und Ankunftsort sowie -zeit bekannt sein, sondern der Ort zu jedem Zeitpunkt durch die sogenannte Ortsfunktion bzw. die Bahnkurve: x(t) Ort in Abhängigkeit der Zeit

Mathematischer Einschub: Ableitung Aus der Schule ist bereits bekannt, dass die Ableitung einer Funktion f (x) nach x ihre Steigung f (x) an der Stelle x ist. Analog wird die Funktion x(t) nach der Zeit t abgeleitet, diese Ableitung wird auch mit x˙ bezeichnet. f (x) = Ableitung (Steigung)

x(t) ˙ = Ableitung

1.1

Ort, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung

3

Dann ist die Momentangeschwindigkeit vx (t) = lim v x t→0

(1.2)

die Ableitung von x(t) nach der Zeit. Verschiedene Schreibweisen dafür sind:

x t→0 t d = x(t) dt dx = dt = x˙

vx (t) = lim

(1.3) (1.4) (1.5) (1.6)

Mit der Geschwindigkeit x(t) ˙ = v(t) können wir nun auch die Beschleunigung einführen. Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit in einem Zeitintervall. Die Durchschnittsbeschleunigung ist ax =

vx2 − vx1 . t2 − t1

(1.7)

Analog zur Momentangeschwindigkeit ist die Momentanbeschleunigung definiert als:

ax (t) = lim

t→0

vx t

d vx (t) dt dvx = dt = v˙ x

=

(1.8) (1.9) (1.10) (1.11)

4

1 Kinematik

Beispiel: Weg zur Vorlesung: Köln Wohnung ↔ Aachen RWTH Der nette Bahnbeamte hilft beim dynamischen Umsteigen zwischen Fahrrad und Zug, so dass beim Fahrzeugwechsel die Bewegungen nahtlos ineinander übergehen. In diesem Beispiel ergeben sich dann die folgenden Diagramme:

Ort-Zeit

Beschleunigung-Zeit

Geschwindigkeit-Zeit In diesem Beispiel sehen wir, dass die Durchschnittsbeschleunigung a(x) = 0, die Momentanbeschleunigung jedoch im Allgemeinen = 0 ist.

Aufgabe 1.1: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung Gegeben: x(t) = a · t 2 + b mit a = 1 sm2 und b = 1 m Gesucht:

(1 Punkt)

Lösung zu Aufgabe 1.1: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung

1.1


5

Um Schreibarbeit zu sparen, wird ab jetzt die folgende Konvention verwendet: „Geschwindigkeit“ = Momentangeschwindigkeit „Beschleunigung“ = Momentanbeschleunigung Aus den Gln. (1.4) und (1.9) leiten wir folgenden Zusammenhang zwischen dem Ort x(t) und der Beschleunigung a(t) her: d vx (t) dt d d = x(t) dt dt

ax (t) =

(1.12) (1.13)

=

d2 x(t) dt 2

(1.14)

=

d2x dt 2

(1.15)

= x¨

(1.16)

Die Beschleunigung ist also die 2. Ableitung der Ortsfunktion. Bisher haben wir Information über den Ort vorgegeben und daraus die Bewegung eines Massenpunkts beschrieben. Oft ist die Fragestellung aber umgekehrt. Beispiele für solche Fragestellungen sind: • • • • •

Gesucht ist der Weg für eine gegebene Geschwindigkeitsverteilung vx (t). Gesucht ist der Weg für eine gegebene Beschleunigungsverteilung ax (t). Gesucht ist der Bremsweg eines Autos. Gesucht ist die Endgeschwindigkeit beim Sturz. etc. Ein allgemeiner Weg zur Beantwortung dieser Fragen ist die Integration.

Ein Spezialfall einer Geschwindigkeitsverteilung ist die gleichförmige Bewegung, d.h. der Massenpunkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

In diesem Fall ist die Momentangeschwindigkeit gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit und es gilt:

6

1 Kinematik

vx (t) = v x =

x2 − x1 = v◦ t2 − t1

(1.17)

Der im Zeitintervall t2 − t1 zurückgelegte Weg s ist damit s = x2 − x1 = v x · (t2 − t1 ) = v◦ · (t2 − t1 ).

(1.18)

Im allgemeinen Fall einer nicht gleichförmigen Bewegung

müssen wir ein Integral lösen, um von der Geschwindigkeit auf die Strecke schließen zu können: Integralrechnung ↔ Umkehrung der Differentialrechnung Ist z.B. eine Geschwindigkeitsverteilung v(t) mit vx (t) =

dx dt

(1.19)

gegeben, so kann man durch Integration den Weg s berechnen:

x2 (t2 ) x1 (t1 )

d x = vx (t) dt t2 dx = vx (t) dt

(1.20) (1.21)

t1

Die Integration der linken Seite ergibt

x2 (t2 ) x1 (t1 )

x (t )

d x = x|x21 (t21 )

(1.22)

= x2 − x1

(1.23)

≡ s.

(1.24)

Zur Bezeichnung der Integrationsgrenzen verwenden wir typischerweise die folgende Notation: • Anfangszeit t1 = 0, • Anfangsort x1 (t1 ) = x◦ , • obere Grenze variabel: x2 = x, t2 = t.

1.1


7

Die Verwendung desselben Buchstabens t sowohl in der oberen Grenze des Integrals, als auch in der Integrationsvariablen dt ist salopp, aber in der Physik üblich. Mit dieser Notation ist die allgemeine Lösung des Integrals die Bahnkurve:

t

x(t) =

vx (t) dt + x◦

0

(1.25)

Durch Integration ergibt sich für eine gleichförmige Bewegung nach (1.17)

t

x(t) =

vx (t) dt + x◦

0

= v◦ ·

t 0

dt + x◦

= v◦ · t + x◦ .

(1.26) (1.27) (1.28)

Ein weiterer Spezialfall ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a(t) = a◦ konstant ist.

Hier bestimmen wir zuerst die Geschwindigkeit v (t): ax (t) =

vx (t) v◦ =vx (0)

dvx dt

dvx = ax (t) dt t dvx = ax (t) dt

(1.29) (1.30) (1.31)

0

vx (t) − v◦ =

t

ax dt

(1.32)

ax dt + v◦

(1.33)

0

Im Allgemeinen lautet die Lösung: vx (t) = 0

t

8

1 Kinematik

Für den Spezialfall der konstanten Beschleunigung ax = a◦ können wir a◦ vor das Integral ziehen: vx (t) = a◦ ·

0

t

dt + v◦

(1.34)

Damit erhalten wir bei gleichmäßiger Beschleunigung: vx (t) = a◦ · t + v◦

(1.35)

Analog zur gleichförmigen Bewegung (1.26), (1.27) und (1.28) bestimmen wir die Ortsfunktion:

t

x(t) =

vx (t) dt + x◦

(1.36)

(a◦ · t + v◦ ) dt + x◦

(1.37)

0 t

= 0

= a◦ ·

t 0

t dt + v◦ ·

t 0

dt + x◦

1 = a◦ · t 2 + v◦ · t + x◦ 2

(1.38) (1.39)

Somit ist der Ort x(t) bei gleichmäßiger Beschleunigung a(t) = a◦ gegeben durch: x(t) =

1 a◦ · t 2 + v◦ · t + x◦ 2

(1.40)

In folgenden Diagrammen sieht man die Zusammenhänge:

a(t) = x(t) ¨ = a◦ = const.

v(t) = x(t) ˙ = a◦ · t + v◦

x(t) = 12 a◦ · t 2 + v◦ · t + x◦

1.1


9

Aufgabe 1.2: Studienreise „Alte Brunnen“ Der Reiseführer hat ein 20 m langes Seil dabei. Sie lassen einen Stein den Brunnen hinunterfallen. Den Aufschlag hören Sie nach 2 s.

Reicht das Seil um hinunterzuklettern? (Erdbeschleunigung |g| = 10 sm2 )

(1 Punkt)

Lösung zu Aufgabe 1.2: Studienreise „Alte Brunnen“

1.1.1 Bremsweg eines Autos Ein Auto fährt mit v◦ = 50 km h und soll zum Stillstand kommen. Die Verzögerung ist ebenfalls eine – in diesem Fall negative – Beschleunigung. Sie soll konstant sein a = a◦ = const. Für die aktuelle Geschwindigkeit vx zur Zeit t gilt mit (1.35) vx (t) = a◦ t + v◦ .

(1.41)

10

1 Kinematik

Die Bedingung für den Stillstand ist vx (t B ) = 0. Die rechte Seite der Gleichung ergibt damit die Bedingung für die Bremszeit: a◦ t B = −v◦ tB = −

(1.42)

v◦ > 0, a◦

da a◦ < 0 ist.

(1.43)

Durch Integration von (1.41) ergibt sich für die Strecke x wie zuvor (1.40) x (t B ) =

a◦ 2 t + v◦ t B + x◦ . 2 B

(1.44)

Mit der Anfangsbedingung x◦ ≡ 0 und der Gl. (1.43) folgt a◦ x (t B ) = 2 =

v◦ v◦ 2 − + v◦ − a◦ a◦

(1.45)

v◦2 v2 − ◦ 2a◦ a◦

(1.46)

v◦2 . 2a◦

(1.47)

=−

Der Bremsweg, den man braucht um bei einer Beschleunigung a◦ aus der Geschwindigkeit v◦ zum Stillstand zu kommen, ist xB =

v◦2 . 2 |a◦ |

(1.48)

Zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg besteht also eine quadratische Abhängigkeit:

1.1


11

Beispiel: Bremsweg eines Autos 1000 m m m Mit den typischen Werten v◦ = 50 km h = 50 3600 s ≈ 14 s und a◦ = −4 s2 ergibt sich für die Strecke x B

2 142 ms 196 xB = m ≈ 25 m. m = 2 · 4 s2 8

Aufgabe 1.3: Endgeschwindigkeit beim Sprung

Gegeben: • Sprungbretthöhe: 10 m • Erdbeschleunigung: 10 sm2 Gesucht: • Geschwindigkeit beim Eintauchen (2 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 1.3: Endgeschwindigkeit beim Sprung

12

1 Kinematik

Experiment: Fallschnüre Mit den Fallschnüren kann ein qualitativer Nachweis der Ortsfunktion des freien Falls geführt werden. Wir verwenden gleichmäßige Abstände bzw. quadratische Abstände zwischen Massestücken an einem Faden:

Die Zeiten bis zum Aufschlag sind x1 =

1 2 gt 2 1

⇒

t1 =

x1 2/g

(1.57)

x2 =

1 2 gt 2 2

⇒

t2 =

x2 2/g

(1.58)

x3 =

1 2 gt 2 3

⇒

t3 =

x3 2/g.

(1.59)

Zwischen den drei Aufschlägen wird eine Zeitdifferenz von t2 − t1 = t3 − t2 =

2/g 2/g

x2 −

x1

(1.60)

x3 −

x2

(1.61)

wahrgenommen. Falls die Abstände gleich sind,

x2 = 2x1

⇒ t 2 − t1 =

x3 = 3x1

⇒ t 3 − t2 =

√ √ 2 x1 2− 1 ≈ g √ √ 2 x1 3− 2 ≈ g

2x1 0.4 (1.62) g

2x1 0.3, (1.63) g

wird die Zeit zwischen den Aufschlägen immer kürzer. Wählt man die Abstände aber quadratisch

1.2

Bewegung in 2 Dimensionen

13

x2 = 4x1

⇒ t 2 − t1 =

x3 = 9x1

⇒ t 3 − t2 =

√ √ 2 x1 4− 1 = g √ √ 2 x1 9− 4 = g

2x1 1 g

(1.64)

2x1 1, (1.65) g

so bleibt die Zeit zwischen den Aufschlägen konstant. Dies ist ein qualitativer Test für das Weggesetz des freien Falls x (t) = 12 gt 2 .

1.2 Bewegung in 2 Dimensionen Um eine Bewegung in zwei Dimensionen darzustellen, verwenden wir Vektoren. Es werden jeweils zwei räumliche Koordinaten zu einem Vektor zusammengefasst:

Ortsvektor

r =

Geschwindigkeitsvektor

v =

Beschleunigungsvektor

a =

x(t) y(t)

vx (t) v y (t) ax (t) a y (t)

(1.66)

=

=

x(t) ˙ y˙ (t) x(t) ¨ y¨ (t)

(1.67) (1.68)

1.2.1 Überlagerung von zwei Bewegungen Wählt man in x-Richtung eine gleichförmig gradlinige Bewegung mit ax (t) = 0 vx (t) = v◦x = const. x(t) = v◦x · t + x◦ = v◦x · t

(1.69) (1.70) (1.71)

14

1 Kinematik

und in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a y (t) = −g = const.

(1.72)

v y (t) = −g · t + v◦y 1 y(t) = − g · t 2 + v◦y · t + y◦ , 2

(1.73) (1.74)

so erhält man als Überlagerung die Bahnkurve, die z.B. ein Ball bei einem schiefen Wurf durchläuft.

Mit den Vektoren (1.66), (1.67) und (1.68) können wir die Ballbewegung folgendermaßen beschreiben. Die Bahnkurve r(t), die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a (t) sind r(t) = v(t) = a (t) =

v◦x · t − 12 g · t 2 + v◦y · t + y◦ v◦x −g · t + v◦y 0 −g

(1.75)

(1.76)

.

(1.77)

Aufgabe 1.4: Fall zweier Kugeln

Welche Kugel schlägt zuerst auf dem Boden auf?

(1 Punkt)

1.2


15

Lösung zu Aufgabe 1.4: Fall zweier Kugeln

1.2.2 Bahnkurve beim Weitwurf Um die Flugbahn y(x) eines Balls in Abhängigkeit der x-Koordinate zu berechnen, haben wir 2 Gleichungen x(t), y(t), 3 Variablen x, y und t. Das heißt, wir erhalten y(x) durch Eliminieren der Zeit t. Mit der x−Komponente von r(t) (1.75) ergibt sich x = v◦x · t x . t= v◦x

(1.78) (1.79)

Einsetzen der Zeit t in die y−Komponente von r(t) ergibt 1 y = − g · t 2 + v◦y · t + y◦ 2 x 2 1 x + y◦ . =− g· + v◦y · 2 v◦x v◦x

(1.80) (1.81)

Die Bahnkurve y(x) des Wurfs in Abhängigkeit des horizontal zurückgelegten Wegs x hat die Form einer Parabel (y = k · x 2 + m · x + n), die sogenannte Wurfparabel: y(x) = −

v◦y g · x2 + · x + y◦ 2 v◦x 2 · v◦x

(1.82)

16

1 Kinematik

Beim Sonderfall des horizontalen Wurfs v◦y = 0 vereinfacht sich die Gl. (1.82) zu

y(x) = −

g · x 2 + y◦ . 2 2 · v◦x

(1.83)

Um die Abhängigkeit der Wurfweite xw vom Abwurfwinkel ϕ◦ zu bestimmen, benötigen wir die horizontalen und vertikalen Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit:

| v◦ | =

2 + v2 v◦x ◦y

(1.84)

v◦y = tan ϕ◦ v◦x

(1.85)

v◦ | · sin ϕ◦ v◦y = |

(1.86)

v◦ | · cos ϕ◦ v◦x = |

(1.87)

Um den Scheitelpunkt xs der Wurfparabel zu berechnen, nutzen wir, dass die Ableitung im Maximum der Bahnkurve ddyx = 0 ist: v◦y g dy = − 2 · xs + =0 dx v◦x v◦x ⇒

v◦y g · xs = 2 v◦x v◦x xs = =

(1.88) (1.89)

v◦y · v◦x g

(1.90)

| v◦ |2 · sin ϕ◦ · cos ϕ◦ g

(1.91)

Mit dem Additionstheorem sin (2θ ) = 2 sin θ cos θ lautet der Ausdruck für den Scheitelpunkt xs schließlich

xs =

| v◦ |2 sin (2ϕ◦ ). 2g

(1.92)

1.2


17

Der Scheitelpunkt xs ist also maximal bei

⇒

2ϕ◦ = 90◦ ϕ◦ = 45◦ .

(1.93) (1.94)

Die Wurfweite xw ergibt sich aus der Rückkehrbedingung zur Erde mit y(xw ) = 0. Mit der Bahnkurve y(x) aus Gl. (1.82) ist für x = 0: y (xw ) = −

v◦y g 2 xw + xw + y◦ = 0 2 v◦x 2v◦x

(1.95)

Mathematischer Einschub: Quadratische Ergänzung Eine quadratische Gleichung der Form kx 2 + mx + n = 0

(1.96)

wird gelöst durch

m 2 n m x =− ± − 2k 2k k ⎡ ⎤

m ⎣ 4k 2 n ⎦ = −1 ± 1 − 2 2k m k

4kn m = −1 ± 1 − 2 . 2k m

(1.97)

(1.98)

(1.99)

Dies bedeutet für die Wurfweite xw : ⎤ −g y 4 ◦ 2 (−1) ⎢ 2v◦x ⎥ · g · ⎣−1 ± ⎦ 1 − v 2 2 2v 2 ◦y ⎡

xw =

v◦y v◦x

◦x

2 v◦x

(1.100)

18

1 Kinematik

v◦y v◦x = g

1∓

2gy◦ 1+ 2 v◦y

(1.101)

| v◦ |2 sin (2ϕ◦ ) 2gy◦ = 1+ 1+ 2g | v◦ |2 sin (ϕ◦ )2

(1.102)

=xs

Im letzten Schritt haben wir nur die physikalisch mögliche Lösung behalten. Für y◦ = 0 folgt dann wie erwartet xw = 2xs . Beispiel: Der Wurf Ein Ball wird von y◦ = 0 mit v◦ = 30 ms unter einem Winkel von ϕ◦ = 45◦ zur x-Achse abgeworfen. Durch die Variationa von ϕ◦ ergibt sich für die Wurfweite xw ∝ sin (2ϕ◦ ): ϕ◦ = 25◦ ϕ◦ = 45◦ ϕ◦ = 60◦

xw = 70 m xw = 92 m xw = 70 m

Die Abhängigkeit der Wurfweite von der Startgeschwindigkeit v◦ folgt aus xw ∝ |v◦ |2 : m s m v◦ = 15 s

v◦ = 30

xw = 92 m xw = 23 m

Die Abhängigkeit der Wurfweite von der Abwurfhöhe y◦ steigt langsamer als linear (Wurzelfunktion in (1.102)): y◦ = 0 m y◦ = 10 m

xw = 23 m xw = 31 m

y◦ = 20 m

xw = 36 m

a Physik-Applets zum Ausprobieren verschiedener Fälle z.B. bei www.Walter-Fendt.de

Kapitel 2

Experiment: Messwert & Messgenauigkeit

Die Reproduzierbarkeit von Experimenten ist ein zentrales Thema in allen Naturwissenschaften. In diesem Kapitel erarbeiten wir Verfahren, mit denen wir die Genauigkeit experimenteller Resultate quantitativ erfassen. Damit erhalten wir einerseits ein Maß für die Reproduzierbarkeit des Experiments und können andererseits die Kompatibilität entsprechender theoretischer Rechnungen mit den Messungen überprüfen.

Beispiel: Fall-Experiment: Theorie Ortsfunktion, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind in Abhängigkeit von der Zeit: x (t) v (t) = x˙ a (t) = v˙ (t) = x¨ (t) Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist a = const. = a◦ v (t) = a◦ t + v◦ 1 x (t) = a◦ t 2 + v◦ t + x◦ . 2 In einem Kugel-Fall-Experiment mit v◦ = 0 können wir durch Messen von x = x − x◦ und t = t − t◦ mit x =

1 g t 2 2

(2.1)

die Erdbeschleunigung a◦ = g bestimmen und gleichzeitig einen quantitativen Test des Fall-Gesetzes durchführen.


19

20

2 Experiment: Messwert & Messgenauigkeit

2.1 Grundgrößen Messen bedeutet einen Vergleich mit Standards. In diesem Abschnitt werden wir die drei in der Mechanik relevanten Grundgrößen nach dem internationalen Standard „SI“ (Système International d’unités) dafür einführen. Aktuelle Entwicklungen zu den Grundgrößen kann man über die Webseite des „Bureau International des Poids et Mesures“ (BIPM) einsehen.

2.1.1 Längeneinheit: Meter m • Nach einer Messung des Erdmeridianquadranten (Entfernung vom Pol zum Äquator) durch die Astronomen Jean-Baptiste Delambre und Pierre Méchain wurde 1799 die Entfernung eines 10-Millionstels dieses Quadranten auf einem Platinstab markiert und als 1m Länge deklariert. Auch mit verbesserten Varianten des Stabs liegt die Reproduzierbarkeit dieser Länge im µm Bereich (10−6 m). • 1983 wurde beschlossen, die Längenmessung auf eine Zeitmessung zurückzuführen. 1 m ist definiert als die Strecke, die Licht im Vakuum während der Zeit 1 s 299 792 458 zurücklegt. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum wird demnach exakt auf c = 299 792 458 m/s festgelegt.

2.1.2 Zeiteinheit: Sekunde s • Ursprünglich war die Sekunde als der 86400-te Teil eines Sonnentages definiert 1Tag ). Bei dieser Definition unterliegt die Sekunde jedoch jahreszeitli(1 s = 60·60·24 chen Schwankungen. • Heute ist die Sekunde die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungsperioden der elektromagnetischen Strahlung, die dem Übergang zwischen zwei bestimmten Elektronenzuständen im Caesium 133 Atom entspricht (Hyperfeinaufspaltung des Grundzustands). Die experimentelle Reproduzierbarkeit der so definierten Sekunde gelang 2009 mit einer relativen Genauigkeit von fast 1/1016 .

2.1.3 Masseneinheit: Kilogramm kg • Das Kilogramm (1 kg) ist definiert als die Masse, die ein in Paris aufbewahrter Platin-Iridium-Zylinder hat. Siehe hierzu auch Abschn. 3.2.

2.2

Genauigkeit von Messwerten

21

Experiment: Fall-Experiment In unserem Experiment wird die Fallstrecke x einer Stahlkugel und ihre Fallzeit t gemessen. Die Kugel wird anfangs von einem Elektromagneten gehalten. Die Fallstrecke wird mit einem Maßband gemessen. Die Fallzeit wird mit einer elektronischen Stoppuhr bestimmt. Beim Start wird der Elektromagnet abgeschaltet und gleichzeitig die Uhr gestartet. Die Kugel fällt durch eine Lichtschranke, über die die Uhr gestoppt wird. Wir wiederholen die Messung mehrfach und messen bei der Fallstrecke x = 2 m folgende Werte für die Fallzeit t: 634 ms, 630 ms, 629 ms, 631 ms, 655 ms, 633 ms, 631 ms

2.2 Genauigkeit von Messwerten Die begrenzte Genauigkeit der Apparatur verhindert, dass bei jeder Messung der identische Messwert gefunden wird. Bei den hierdurch verursachten Messunsicherheiten unterscheidet man zwei Arten von Fehlern: Systematische Fehler: Fehler, die auch bei Wiederholung des Experiments den Messwert immer in dieselbe Richtung verschieben (größere oder kleinere Messwerte). Statistische Fehler: Zufällig auftretende Fehler. Sie streuen um den wahren Wert.

Beispiel: Fall-Experiment: Ursachen für Fehler In unserem Fallversuch sind Beispiele für mögliche Ursachen von Messfehlern: Systematische Fehler: Luftreibung, fehlerhafte Eichung der Stoppuhr bzw. des Maßbandes, Auslösemechanismus der Kugel. Statistische Fehler: Ungenauigkeiten beim Starten und Stoppen des Uhrwerks, Instabilitäten der Uhr-Elektronik bei der Zeitmessung, geschätzte Ablesegenauigkeit des Maßbands.

22


Die Angabe der Messgröße inklusive ihrer Unsicherheiten wird üblicherweise in folgender Weise notiert: Messwert ± statistische Fehler ± systematische Fehler

(2.2)

2.3 Verteilung von Messwerten Die Frage, die wir im Folgenden beantworten wollen, ist: Mit welcher Wahrscheinlichkeit messe ich einen Wert nahe des wahren Wertes?

Mathematischer Einschub: Wahrscheinlichkeit Tritt ein Ereignis auf n verschiedene aber gleichwahrscheinliche Arten ein, wobei k dieser Arten die Eigenschaft A haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit P für das Auftreten von A:

P (A) =

k n

(2.3)

Beispiel: Würfel Das Ereignis A sei eine 5 zu würfeln. Nur eine Seite des Würfels hat die 5, deswegen ist k = 1. Der Würfel hat n = 6 Seiten. Die Wahrscheinlichkeit eine 5 zu würfeln beträgt somit P(A) = 16 .

Eine Zufallsvariable kann aufgrund statistisch unkontrollierbarer Einflüsse verschiedene Werte annehmen.

Diskrete Zufallsvariable z.B. Würfel

Kontinuierliche Zufallsvariable z.B. Temperaturmessung

2.3

Verteilung von Messwerten

23

2.3.1 Diskrete Verteilung Bei einer diskreten Zufallsvariablen ri mit i = 1, . . . , b ∈ Z ist die Wahrscheinlichkeit P (ri ) , dass bei einer Messung der Wert ri auftritt, immer innerhalb des Intervalls 0 ≤ P (ri ) ≤ 1.

(2.4)

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Fälle ist b

P (ri ) = 1.

(2.5)

i=1

Der Mittelwert der diskreten Zufallsvariable r ist gegeben durch r =

b

ri P (ri ) .

(2.6)

i=1

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

2.3.2 Kontinuierliche Verteilung Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen x ∈ R ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der Wert x zwischen a und b liegt P (a ≤ x ≤ b) =

b

f (x) d x,

a

wobei f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Variablen x ist.

Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f (x)

(2.7)

24


Für die Wahrscheinlichkeitsdichte gilt f (x) ≥ 0 und

∞ −∞

f (x) d x = 1.

(2.8)

Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte nennt man Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion F (x◦ ). Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert x mit x ≤ x◦ auftritt: F (x◦ ) =

x◦

−∞

f (x) d x mit F (−∞) = 0 und F (∞) = 1

Der Mittelwert für eine kontinuierliche Zufallsvariable ist ∞ x = x f (x) d x. −∞

(2.9)

(2.10)

Als Maß für die Breite einer Verteilung wird die Varianz V = σ 2 verwendet: V =σ ≡ 2

∞ −∞

(x − x)2 f (x) d x

(2.11)

Hierbei ist σ die Standardabweichung. Sie ist ein Maß für die Größe der statistischen Schwankungen der Zufallsvariable x um ihren Mittelwert x. Physiker nennen diese Größe Messunsicherheit oder einfach Fehler.

2.3.3 Gauß-Verteilung Eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen ist die Gauß-Verteilung (Normalverteilung). Sie ist folgendermaßen definiert: 1

f (x) = √ e 2π σ 2

− 12

x−μ 2 σ

(2.12)

2.4

Interpretation von Messwerten

25

Sie hat als

∞

x f (x) d x, μ ≡ x = −∞ ∞ V = (x − μ)2 f (x) d x, −∞ √ σ = V.

Mittelwert Varianz Standardabweichung

(2.13) (2.14) (2.15)

√ Die Gauß-Verteilung fällt in der Entfernung |x − μ| = σ auf den 1/ e-ten Teil ihres Maximalwerts ab: 2

e

− (x−μ) 2 2σ

1

= e− 2 1 =√ e

(2.16) (2.17)

Die Wahrscheinlichkeit, x im Intervall μ−σ ≤ x ≤μ+σ

(2.18)

zu finden, erhalten wir durch Integration über die Gauß-Verteilung in den entsprechenden Grenzen: μ+σ (x−μ)2 1 − e 2σ 2 d x = 68.26% (2.19) √ 2π σ μ−σ D.h. in einem Drittel aller Fälle (Messungen) liegt x außerhalb des ±1σ Bereichs. Messwert innerhalb des Intervalls |x − μ| < 1σ |x − μ| < 2σ |x − μ| < 3σ

Wahrscheinlichkeit 68.26% 95.45% 99.73%

2.4 Interpretation von Messwerten Mathematischer Einschub: Zentraler Grenzwertsatz Die Mathematik hilft uns mit dem zentralen Grenzwertsatz, zufällige Fehler zu erfassen: Die Überlagerung von zufällig verteilten Fehlerquellen führt zur GaußFunktion als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung im Fall von vielen Messungen.

26


Jede einzelne Messung wird von vielen Fehlerquellen beeinflusst, die den wahren Wert zum Zeitpunkt der Messung verändern. Viele Fehlerquellen, die unabhängig voneinander sind und zufällig den Messwert in die eine oder andere Richtung ziehen, folgen gemeinsam einer Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte f (x). Messdaten x1 , x2 , . . . , xn können als Zufallsvariable aufgefasst werden, die f (x) entnommen wurden („Stichprobe“).

Beispiel: Zentraler Grenzwertsatz Die Überlagerung mehrerer Gleichverteilungen ergibt eine Gauß-Verteilung. Im linken Bild ist eine gleichverteilte Zufallsverteilung gezeigt. Im mittleren Bild wurden 2 gleichverteilte Zufallszahlen addiert und in das Histogramm eingetragen. Im rechten Bild wurden 10 Zufallszahlen addiert und dann eingetragen. Die Gauß-Verteilung ist hier schon gut zu erkennen. Der Fit an die Gauß-Form funktioniert sehr gut und liefert die erwarteten Parameter.

Auch bei einer zweidimensionalen Verteilung lässt sich der Effekt beeindruckend zeigen: Die Paare von Zufallszahlen sind im linken Bild aus dem Bereich des Elefanten gezogen. Rechts ist die dreifache Überlagerung von Paaren der Zufallsvariablen aus der Elefanten-Verteilung gezeigt. Vom Elefanten ist nichts mehr zu erkennen, die Entwicklung der Verteilung in Richtung einer Gauß-Verteilung kann man erahnen. Quelle: Prof. Dr. G. Quast, Universität Karlsruhe, Prof. Dr. C. Zeitnitz, Universität Wuppertal.

2.4

Interpretation von Messwerten

27 h2fele

Folded Elefant

Entries 50000 Mean x Mean y RMS x RMS y

9

5.407 5.005 1.946 1.402

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Verteilung für n = 1

Verteilung für n = 3

Aufgabe 2.1: Zentraler Grenzwertsatz Erklären sie die Addition zweier Zufallsvariablen:

(1 Punkt)

Lösung zu Aufgabe 2.1: Zentraler Grenzwertsatz

28


2.5 Auswertung eines Experiments 2.5.1 Mittelwert Am Beispiel des Fallversuchs mit der Kugel führen wir jetzt eine Datenanalyse durch. Zunächst geht es darum, einen geeigneten Schätzwert t für die Fallzeit t zu finden. Nach Gl. (2.6) erhalten wir unter der Annahme, dass alle Werte gleichwahrscheinlich auftreten, den Stichproben-Mittelwert:

t =

n 1 ti n

(2.20)

i=1

Beispiel: Fall-Experiment: Mittelwert Bei einer wiederholten Messung wurden bei einer Fallstrecke von 2 m für t die folgenden Werte gemessen: 634 ms, 630 ms, 629 ms, 631 ms, 655 ms, 633 ms, 631 ms Für t ergibt sich also t =

n 1 ti n i=1

1 = (634 ms + 630 ms + 629 ms + 631 ms + 655 ms + 633 ms + 631 ms) 7 ≈ 635 ms.

Stellt man die Ergebnisse graphisch dar,

2.5

Auswertung eines Experiments

29

so stellt man eine Häufung der Messwerte um 631 ms fest. Der Mittelwert wird jedoch durch den Messwert bei 655 ms vom offensichtlichen Häufungspunkt auf 635 ms verschoben. Als Test für die Stabilität des Mittelwerts wird der „getrimmte Mittelwert“ berechnet. Dabei vernachlässigt man den größten und kleinsten Wert bei der Bestimmung des Mittelwerts. Als getrimmter Mittelwert ergibt sich t = 631.8 ms.

Nun stellt sich die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Messwert bei 655 ms zufällig zustande kam? Eine Anpassung der Gaußfunktion an das Histogramm liefert den Mittelwert 631.7 ms und die Standardabweichung σ ≈ 2 ms.

Die Distanz zwischen Mittelwert und Messwert beträgt also 23 ms ≈ 12 · σ . Die logarithmische Darstellung der Häufigkeiten zeigt in eindrucksvoller Weise die geringe Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert 655 ms aus üblichen statistischen Schwankungen der Messung resultiert. Solche Messungen außerhalb des erwarteten Wertebereichs sind für Suchen nach neuen physikalischen Phänomenen besonders interessant.

30


In unserem Experiment handelt es sich bei dem Messwert vermutlich um ein Apparaturproblem bei der Einzelmessung. Diese Vermutung könnten wir durch Wiederholungsmessungen absichern. In der folgenden Auswertung wird dieser Messwert nicht weiter berücksichtigt.

Beispiel: Fall-Experiment: Korrigierter Mittelwert Der Mittelwert im Häufungsbereich der Messungen beträgt 1 (634 ms + 630 ms + 629 ms + 631 ms + 633 ms + 631 ms) 6 ≈ 631 ms .

t =

2.5.2 Statistische Fehler Da alle Messgrößen fehlerbehaftet sind, müssen wir auch für unseren gemessenen Mittelwert einen Fehler angeben. Dazu berechnen wir als erstes die „StichprobenVarianz“ n 1 2 σ =V = (2.21) (xi − x)2 . n−1 i=1

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Einzelmessung. Da es sich bei dem Mittelwert x nicht um den wahren Wert, sondern um einen Schätzwert handelt, reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade (hier die Anzahl der Messungen bzw. der genommenen Stichproben) um 1, so dass nur durch (n − 1) dividiert wird. Die Standardabweichung der Einzelmessung ist also σ =

1 (xi − x)2 . n−1 n

i=1

(2.22)

2.5


31

Die Streuung gibt uns Auskunft über die Reproduzierbarkeit der Messung. Wir erwarten, dass der nächste neue Messwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% im Intervall

t − σ ; t + σ

(2.23)

liegt. Beispiel: Fall-Experiment: Streuung der Messwerte Mit den Zahlenwerten aus dem Beispiel ergibt sich

1 2 3 + 12 + 22 + 0 + 22 + 0 ms2 6−1 ≈ 2 ms

σ =

Bei einer wiederholten Einzelmessung würden wir also mit 68%-iger Wahrscheinlichkeit einen Wert von t = (631 ± 2) ms erwarten.

Die Schätzung des Mittelwerts t und der Varianz σ 2 sind selbst Zufallsvariablen und damit Gauß-verteilt. Für die Standardabweichung des Mittelwerts ergibt sich als Konsequenz aus dem zentralen Grenzwertsatz: σt =

σ Vt = √ n

(2.24)

Beispiel: Fall-Experiment: Fehler des Mittelwerts Für die Zeitmessung in unserem Versuch können wir nun den Mittelwert, die Standardabweichung und den Fehler auf den Mittelwert angeben: t = 631 ms σ = 2 ms 2 ms σt = √ ≈ 1 ms 6 Die Fallzeit der Kugel ergibt sich zu t ± σt = (631 ± 1) ms.

32


Aufgabe 2.2: Tennisballmaschine

Gegeben sind 4 Messungen der Wurfweite xw = 21 m, 18 m, 16 m, 25 m. Gesucht sind

1. Mittlere Weite x w , 2. Standardabweichung σ , 3. Genauigkeit der mittleren Wurfweite σx w . (2 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 2.2: Tennisballmaschine

Unser eigentliches Ziel ist, die Erdbeschleunigung aus der Zeitmessung und der Fallstrecke über g=

2x t

2

zu bestimmen (2.1). Um g und seinen Fehler berechnen zu können, muss auch die Längenmessung untersucht werden. Wie bei der Zeitmessung ist auch die Längenmessung fehlerbehaftet. Liest man die Strecke x auf dem Bandmaß ab, so muss man zwei Punkte x1 und x2 bestimmen, aus denen sich aus der Differenzbildung die Fallstrecke x = x2 −x1

2.5


33

ergibt. Bei jeder der Messungen x1 und x2 kann man annehmen, dass der abgelesene Wert um σx1 = σx2 schwankt. Wie diese beiden Fehler zum Fehler auf x kombiniert werden, wird über das folgende Gesetz der Fehlerfortpflanzung erklärt.

2.5.3 Fehlerfortpflanzung Das Fehlerfortpflanzungsgesetz beschreibt, wie sich ein Fehler σxk der Messgröße xk auf eine aus xk abgeleitete Messgröße yi auswirkt. Ist yi lediglich von xk abhängig, z.B. yi = 2xk , wird der Fehler σ yi durch die Ableitung von yi (xk ) an der Stelle xk und die Multiplikation mit σxk bestimmt: σ yi =

∂ yi · σxk ∂ xk

(2.25)

In unserem einfachen Beispiel yi = 2xk ist dann σ yi = 2σxk .

Wird eine Messgröße yi aus n voneinander unabhängigen Messgrößen xk zusammengesetzt, wird die quadratische Summe der Einzelbeiträge gebildet:

σ y2i

=

n ∂ yi 2 k=1

∂ xk

· σx2k

(2.26)

Beispiel: Fall-Experiment: Fehler der Längenmessung Die Längenmessung x = x1 − x2 in unserem Beispiel hat mit σx1 = σx2 = ±0, 3 mm den Fehler 2 σx

=

∂x ∂ x1

2

·

σx21

+

∂x ∂ x2

= (1)2 · σx21 + (−1)2 · σx22

2 · σx22

(2.27) (2.28)

34


= 2 · σx21 = 2 · σx22 . Damit ist σx =

2 · σx22 =

(2.29)

√ 2σx2 ≈ 0, 4 mm und

x = (2, 0 ± 0, 0004) m.

Beispiel: Fall-Experiment: Fehler der Erdbeschleunigung Ebenso können wir mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz den Fehler auf die 2 Erdbeschleunigung g = 2x/t berechnen:

∂g 2 2 · σx ∂x ∂t 2 2 2 −2 σ + σ = 2x 3 t 2 x t t σt 2 σx 2 2x 2 −2 + = 2 x t t σt 2 σx 2 2 2 + =g · x t

σg2 =

∂g

2

2 · σt +

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Wir unterscheiden zwischen dem absoluten Fehler

2 σ σx 2 2 t σg = g · + x t

(2.34)

und dem relativen Fehler σg = g

2 σ σx 2 2 t + . x t

(2.35)

Wir erkennen aus dem Beispiel der Längenmessung die wichtige Regel, dass bei Differenzen (und Summen) die absoluten Fehler quadratisch addiert werden.

2.5


35

Im Beispiel der Erbeschleunigung sehen wir, dass bei Quotienten (und Produkten) die relativen Fehler quadratisch addiert werden. Potenzen wie in diesem Fall 2 t werden dabei als Faktoren berücksichtigt. Beispiel: Fall-Experiment Resultat mit statistischem Fehler Im Versuch ergibt sich mit den berechneten Mittelwerten der Fehler auf die Erdbeschleunigung g: m g = 10 2 s

1 2 0, 0004 2 3 m 2 + ≈ 631 2 100 s2

Als Ergebnis erhalten wir mit unserem Versuch den Messwert für die Erdbeschleunigung g = (10, 05 ± 0, 03)

m . s2

Damit haben wir bislang den statistischen Fehler unserer Messung von g berechnet.

2.5.4 Systematische Fehler Für eine vollständige Auswertung unseres Experiments wären auch die systematischen Fehler zu bestimmen. In unserem Fall würden wir z.B. die Eichgenauigkeit des Uhrwerks und des Längenmaßbands im Vergleich mit anderen, genaueren Apparaturen vermessen. Zusätzlich müssten wir die Effekte durch die Luftreibung an der Kugel bestimmen. Bei Messgrößen, die aus Einzelvariablen xi zusammengesetzt sind, können wir jeden Messwert um den systematischen Fehler jeweils einer Einzelvariablen verschieben und die Auswirkung auf das Endergebnis bestimmen. Die Änderung des Endergebnisses ist für jede Messgröße deren systematischer Fehler σi auf die gesamte Messgröße. Bei statistischer Unabhängigkeit der systematischen Einzelfehler können wir sie durch quadratisches Summieren zusammenfassen: σsys

m = σi2 . i=1

(2.36)

Kapitel 3

Dynamik: Newtons Bewegungsgesetze

Mit „Dynamik“ bezeichnen wir die Lehre von den Ursachen der Bewegungen. Dabei stellen wir Fragen wie z.B.: • Warum fallen Körper gradlinig beschleunigt zu Boden? • Warum kreisen Planeten um die Sonne? Heute erscheint es uns selbstverständlich, dass die Ursache für eine Änderung der Bewegung eines Körpers in den Wechselwirkungen des Körpers mit seiner Umgebung liegen. Historisch ist diese Überlegung eine richtungsweisende Abstraktionsleistung. Mit dieser Erkenntnis wird die Formulierung der Wechselwirkung durch Kräfte F mit verschiedenen Reichweiten möglich. Beispiel: Kräfte Gewichtskraft

Federkraft

Reibungskraft

Mathematischer Einschub: Vektoraddition Kraft ist eine im Raum gerichtete Größe. Zu ihrer mathematischen Beschreibung nutzen wir Vektoren. Der Vektor zeigt in die Richtung der Kraft und hat als Betrag (Länge) die Größe der Kraft.


37

38

3 Dynamik: Newtons Bewegungsgesetze

Vektoren lassen sich in Komponenten entlang der Raumrichtungen eines Koordinatensystems unserer Wahl zerlegen (z.B. kartesische Koordinaten). ⎛

⎞ Fx F = ⎝ Fy ⎠ Fz $ $ $ $ $ F $ = Fx2 + Fy2 + Fz2

(3.1)

(3.2)

Kräfte lassen sich nach den Regeln der Vektoraddition addieren und subtrahieren: ⎛

⎞ Fx1 + Fx2 F1 + F2 = ⎝ Fy1 + Fy2 ⎠ Fz1 + Fz2 ⎛

⎞ Fx1 − Fx2 F1 − F2 = ⎝ Fy1 − Fy2 ⎠ Fz1 − Fz2

3.1 Newtons Axiome, Kraft Isaac Newton veröffentlichte 1687 drei grundlegende Gesetze (Axiome) über Kräfte und Bewegung. Newtons Axiome bilden eine Grundlage zur mathematischen Beschreibung der Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss von Kräften. 1. Trägheitsgesetz Ohne äußere Einwirkung verharrt jeder Körper im Zustand der Ruhe oder in gleichförmiger, gradliniger Bewegung. v = const.

impliziert

n

Fi = 0 .

(3.3)

i=1

Um die Bedingungen zu erfüllen, gibt es z.B. folgende Möglichkeiten: F = 0

(3.4)

3.1

Newtons Axiome, Kraft

F1 = − F2 4

Fi = 0

39

(3.5)

(3.6)

i=1

2. Aktionsprinzip Eine Kraft, die auf einen Körper wirkt, ändert die Bewegung des Körpers: F = m · a

(3.7)

Dieses Axiom kann als Definition der Kraft gesehen werden. Die Einheit der Kraft heißt Newton: N=

kg · m s2

(3.8)

Eine Kraft kann durch die Beschleunigung a , die ein Probekörper der Masse m erfährt, bestimmt werden. 3. Actio = Reactio Bei zwei Körpern, die nur untereinander wechselwirken, ist die Kraft F1 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F2 auf den anderen Körper: F1 = − F2

(3.9)

Aufgabe 3.1: Trägheitsgesetz Ein Körper hat die Geschwindigkeit v =

1.5 1

Werfen ihn die fünf Kräfte aus seiner Bahn?

m s.

(1 Punkt)

40


Lösung zu Aufgabe 3.1: Trägheitsgesetz

3.2 Masse Masse gehört zu den im Abschn. 2.1 aufgelisteten Grundgrößen. Sie ist • • • •

eine Körpereigenschaft, Ursache für die Schwere und die Trägheit eines Körpers, unverändert bei Deformation des Körpers, unabhängig vom Aggregatzustand (fest, flüssig, gasförmig).

Die Masseneinheit ist kg und wird durch die Masse eines Platin-Iridium Zylinders definiert, der in Paris aufbewahrt wird. Diese klassische Definition soll demnächst durch eine atomare Definition ersetzt werden. Dafür werden Experimente an Siliziumeinkristallen durchgeführt. Masse ist z.B. messbar über die Gewichtskraft auf der Erde:

Masse ist nicht identisch mit dem Gewichtsbegriff! Ein Astronaut behält seine Masse auch im Zustand der Schwerelosigkeit.

3.2

Masse

41

3.2.1 Träge und schwere Masse sind äquivalent • Gewichtskraft FG = mg: Ein Körper zeigt seine Masse als schwere Masse auf Grund der Gravitation zwischen dem Körper und der Erde. • Beschleunigter Körper F = ma: Der Körper zeigt seine Masse als träge Masse. Je mehr Masse ein Körper besitzt, der beschleunigt werden soll, desto größer muss die aufgewendete Kraft sein, um die gleiche Beschleunigung zu erhalten. Experimentell finden wir keinen Unterschied zwischen der schweren Masse und der trägen Masse eines Körpers. Das folgende Gedankenexperiment wurde von Albert Einstein verwendet, um die Gleichheit von träger und schwerer Masse zu verdeutlichen.

Wir denken uns einen in Ruhe befindlichen Fahrstuhl im Gravitationsfeld der Erde (a = g, v = 0) und vergleichen diese Situation

mit einem mit a = g beschleunigten Fahrstuhl, der sich nicht in einem Gravitationsfeld befindet (v = −gt).

Für den Beobachter im Fahrstuhl sind beide Situationen nicht unterscheidbar!

3.2.2 Versuch zu Newtons 2. Gesetz Ziel dieses Versuchs ist die Überprüfung, ob der in (3.7) postulierte Zusammenhang zwischen Masse m und Beschleunigung a – von Newton als Kraft bezeichnet – eine sinnvolle dynamische Größe bildet. Dazu verwenden wir eine Luftkissenbahn:

42


Die Luftkissenbahn besteht aus einer Schiene mit vielen Löchern, durch die Luft geblasen wird. Kleine Wagen lassen sich damit wie auf einem Luftkissen nahezu reibungsfrei bewegen. Über eine Umlenkrolle am Ende der Bahn wird mit einem Faden die horizontale Bewegung des Wagens mit der vertikalen Bewegung eines Metallstücks mit der Masse m G verbunden, dessen Gewichtskraft FG = m G g

(3.10)

beträgt. Diese Gewichtskraft ist die Ursache für die horizontale Bewegung des Wagens auf der Bahn. Nehmen wir eine konstante Kraft FG = const. an, so erwarten wir nach Gl. (3.7) eine konstante Beschleunigung des gesamten beweglichen Systems, das aus dem Wagen, dem Massestück und dem Faden besteht: x¨ = a = const.

(3.11)

Lassen wir den Wagen am Punkt x◦ = 0 aus der Ruhe heraus (v◦ = 0) starten, so lautet die Bahnkurve wegen (1.40) x=

1 2 at . 2

(3.12)

Die Beschleunigung ist also über die zurückgelegte Strecke und die entsprechende Zeit messbar: a=

2x t2

(3.13)

Wir bezeichnen die Masse des Wagens mit m W , die des Massestücks mit m G und die des Fadens mit m F . Die gesamte Masse des beschleunigten Systems ist M = mW + mG + m F .

(3.14)

Nach Gleichung (3.7) erwarten wir für FG = const. Ma = FG 2x M 2 = FG . t

(3.15) (3.16)

Diese Gleichung können wir umschreiben, um das Experiment mit verschiedenen Wagenmassen durchzuführen.

3.2

Masse

43

t2 1 M = 2x FG

(3.17)

1 t2 1 = mW + (m G + m F ) 2x FG FG

(3.18)

Falls die Definition der Kraft F = ma eine sinnvolle dynamische Größe darstellt, erwarten wir als Messergebnis wegen (3.18) eine Gerade y = kx + b, wenn wir y = t 2 /(2x) als Funktion von x = m W auftragen:

Aus den Messwerten ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen der inversen Beschleunigung und der Wagenmasse bei gleichzeitig konstanter Gewichtskraft FG = const., so dass sich ma = F als sinnvolle dynamische Größe erweist. Die Steigung der Geraden (3.18) ergibt sich zu k=

1 10 s2 = . 0, 3 kg m FG

(3.19)

Dieser gemessene Wert von FG bezieht sich zunächst auf die Trägheit des beschleunigenden Massestücks. Wir vergleichen ihn mit der Gewichtsmessung auf einer Waage, also mit einer Messung der schweren Masse des Massestücks: 0, 3 kg m = 0, 03 N 10 s2 = mG g

FG =

(3.20) (3.21)

Im Experiment wurde ein Metallstück der Masse m G = 0, 003 kg verwendet, so dass sich wegen g = 10 m/s2 insgesamt ein konsistentes Bild ergibt, bei dem es keinen Unterschied zwischen schwerer und träger Masse gibt. Umgekehrt können wir im Experiment auch die Gewichtskraft FG mit Hilfe verschiedener Massestücke variieren und die Beschleunigung des Gesamtsystems messen. Auch bei diesen Experimenten zeigt sich ein konsistentes Bild im Sinn von Newtons Bewegungsgesetz. Eine zentrale Bedeutung erhält das 2. Newton Gesetz (3.7) bei folgender Verwendung: Bekannt seien die Kraft F und die Masse m des beschleunigten Körpers. Dann kann die Ortsfunktion des Körpers folgendermaßen berechnet werden:

44


ma = F F a= m dv F = dt m F d2x = 2 m dt

(3.22) (3.23) (3.24) (3.25)

Diese Gleichung bezeichnen wir als Bewegungsgleichung. Nach der Integration von (3.24) erhalten wir

t

v(t) = 0

F dt + v◦ . m

(3.26)

Die Lösung der Bewegungsgleichung ist die Ortsfunktion bzw. die Bahnkurve:

x(t) =

t 0

t 0

F dt + v◦ dt + x◦ m

(3.27)

Damit ist der Weg des Körpers als Resultat seiner Anfangskinematik (x◦ , v◦ ) und der von außen auf ihn einwirkenden Kraft F bekannt. Newtons 2. Gesetz (3.7) formuliert also einerseits die Definition der Kraft, auf der anderen Seite ein fundamentales Bewegungsgesetz, mit dem physikalische Vorgänge vorhergesagt werden können.

Aufgabe 3.2: Freier Fall Stellen Sie mit Hilfe von Newtons 2. Gesetz m a = F die Bewegungsgleichung für den freien Fall einer Kugel in der senkrechten Koordinate y auf und berechnen Sie die Bahnkurve y(t). (2 Punkte)

3.3

Impuls

45

Lösung zu Aufgabe 3.2: Freier Fall

3.3 Impuls Mit dem Impuls führen wir eine weitere dynamische Größe ein, die Masse und Bewegung eines Körpers verbindet. Der Impuls ist definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines Objekts: p = m v

(3.28)

d p = m a . dt

(3.29)

Für m = const. gilt

Die zeitliche Ableitung des Impulses entspricht einer Kraft d p = F. dt

(3.30)

Für m = const. gilt d p dm d v = v + m dt dt dt dm = v + m a . dt

(3.31) (3.32)

46


Der erste Term der rechten Seite muss z.B. bei einer Rakete berücksichtigt werden, die nach dem Start Masse zu ihrer eigenen Beschleunigung ausstößt. Im folgenden Kapitel werden wir verschiedene Anwendungen untersuchen.

3.4 Bewegungsgesetz Mit dem Impuls lässt sich Newtons Bewegungsgesetz in allgemeiner Form schreiben: d p = Fi dt n

(3.33)

i=1

Bei bekannten Kräften Fi ist die zeitliche Änderung des Impulses d p/dt eines Körpers festgelegt. Damit ist die Bahnkurve des Körpers vollständig berechenbar! Das Gesetz gilt für makroskopische Systeme. Für mikroskopische Systeme (Atome, Elementarteilchen) benötigen wir andere Bewegungsgesetze, die wir später kennenlernen werden. Das Bewegungsgesetz (3.33) eignet sich insbesondere für Translationsbewegungen, d.h. gerichtete Bewegungen, die nicht auf einen Raumpunkt bezogen sind wie z.B. Drehungen (Rotationsbewegungen). Dafür werden wir später ein weiteres geeignetes Bewegungsgesetz kennenlernen. Beispiel: Anwendung Luftkissenbahn Nach Newtons 2. Gesetz ist dp = FG . dt

(3.34)

Die beschleunigte Masse M ist M = m W agen + m G + m F (3.14), die Kraft auf das System ist die Gewichtskraft F = m G g des Massestücks, so dass wir für die Bewegungsgleichung erhalten: d (Mv) = m G · g dt dv = mG · g M dt mG · g = const. a= M

(3.35) (3.36) (3.37)

Für die Anfangsbedingungen x◦ = 0 und v◦ = 0 des bewegten Systems ergibt sich die Bahnkurve als Lösung dieser Bewegungsgleichung nach zweifacher

3.4

Bewegungsgesetz

47

Integration genau wie bei (1.40): x (t) =

1 2

mG · g M

t2

(3.38)

Effektive Beschleunigung

Aufgabe 3.3: Newtons Bewegungsgesetz Beschreiben Sie mit Ihren Worten Newtons Bewegungsgesetz (3.33). Beantworten Sie dabei: • • • • • • • •

Was bedeutet p ? Auf wen bezieht sich p? Welche Bedeutung hat die zeitliche Ableitung d p/dt? Was ist F? Auf wen bezieht sich F? Welchen Sinn hat das Zeichen? Fassen Sie zusammen: wer reagiert auf was? Welchen Nutzen hat dieses physikalische Konzept? (2 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 3.3: Newtons Bewegungsgesetz

48


3.4.1 Rakete Unser Ziel ist, die Bewegungsgleichung einer Rakete aufzustellen und ihre Bahnkurve zu berechnen.

Dazu untersuchen wir ihre Impulsänderung. Der Impuls der Rakete zum Zeitpunkt t ist: p(t) = m(t) · v(t)

(3.39)

Der Impuls der Rakete zum Zeitpunkt t + dt beträgt p(t + dt) = m(t + dt) · v(t + dt) v + d v) = (m − dm τ )(

(3.40) (3.41)

Sie hat die Treibstoffmasse dm τ verloren und dafür an Geschwindigkeit zugelegt. Die Impulsänderung der Rakete pro Zeitintervall ist d p = p(t + dt) − p(t)

(3.42)

und wird durch den Impuls des ausgestoßenen Gases d pτ = dm τ vτ

(3.43)

ausgeglichen. Der Impuls P des Gesamtsystems aus Rakete und ausströmendem Gas ändert sich dann folgendermaßen: d P = p(t + dt) − p(t) + d pτ

(3.44)

= (m − dm τ )( v + d v) − m v + dm τ vτ = m v + m d v − v dm τ − dm τ d v − m v + dm τ vτ

(3.45) (3.46)

= m d v − v dm τ − dm τ d v + dm τ vτ ≈ m d v + ( vτ − v) dm τ

(3.47) (3.48)

Dabei haben wir den Term mit zwei differentiellen Änderungen dm τ d v (Korrektur zweiter Ordnung) vernachlässigt. Die Geschwindigkeit vτ∗ des Gases im Ruhesystem der Rakete ergibt sich aus der Differenz der Gas-Austrittsgeschwindigkeit vτ und der Raketengeschwindigkeit v (siehe Abbildung oben). Bei gleichmäßigem Abbrennen des Brennstoffs der Rakete ist

3.4

Bewegungsgesetz

49

vτ∗ = vτ − v ≈ const.

(3.49)

wobei die Richtungen vτ∗ und v entgegengesetzt sind. Die aktuelle Masse der Rakete zum Zeitpunkt t resultiert aus der Differenz der Startmasse und der Masse des ausgestoßenen Gases: m=

m◦ − Startmasse

mτ

(3.50)

verbrauchter Treibstoff

Die differentielle Abnahme der Raketenmasse entspricht der differentiellen Zunahme des ausgestoßenen Gases dm = −dm τ .

(3.51)

Damit vereinfacht sich die Änderung des Gesamtimpulses (3.48) der Rakete zu d P = m d v − vτ∗ dm.

(3.52)

Ohne Einwirkung einer äußeren Kraft gilt für den Impuls P des Gesamtsystems aus Rakete und Gas wegen Newtons Bewegungsgesetz (3.33) d P = 0. dt

(3.53)

Der Impuls des Gesamtsystems bleibt somit unverändert bzw. erhalten: Wir sprechen von Impulserhaltung. Die Bewegungsgleichung der Rakete lautet daher mit Gl. (3.52) m d v = vτ∗ dm.

(3.54)

Wir fassen die Variablen jeweils auf einer der beiden Seiten der Gleichung zusammen (Trennung der Variablen) und führen eine Integration durch:

v 0

m ◦ −m τ

dm m m◦ m ◦ v = − vτ∗ · ln m◦ − mτ

d v = vτ∗

(3.55) (3.56)

≥0

Das Minus-Zeichen zeigt an, dass die Flugrichtung der Rakete und die Richtung des ausgestoßenen Gases entgegengesetzt sind. Für kleine Treibstoffmassen im Vergleich zur Gesamtmasse der Rakete mτ m◦

(3.57)

50


ist ln

m◦ m ◦ −m τ

≈ ln(1) = 0. Damit fliegt die Rakete nicht oder nicht schnell v ≈ 0.

(3.58)

Für große Mengen Treibstoff im Vergleich zur Raketen-Gesamtmasse

ist ln

m◦ m ◦ −m τ

mτ ≈ m◦

(3.59)

v > 0.

(3.60)

> 0 und damit

Entscheidend für die Geschwindigkeit der Rakete ist der Rückstoß in Form des Impulses der ausgestoßenen Gasmasse! Experiment: Spielzeugrakete Mit einer Spielzeugrakete kann man die Bedeutung des Treibstoff-Impulses schön veranschaulichen: Füllt man den Tank der Rakete halb mit Wasser der Masse m τ = m Wasser (Bedingung 3.59) und setzt das verbleibende Volumen mit einer Luftpumpe unter Druck, so wird die Rakete vom Impuls des herausspritzenden Wassers angetrieben. Pumpt man anstatt dessen ausschließlich Luft der Masse m τ = m Luft in den Tank der Rakete (Bedingung 3.57), reicht der Impuls der ausströmenden Luft nur für marginale Flugstrecken aus.

3.4.2 Senkrechter Raketenstart Beim senkrechten Start der Rakete wirkt die Gewichtskraft FG gegen die Startrichtung. Wir untersuchen hier eine 1-dimensionale Bewegung, bei der wir die positive z-Richtung als Koordinate in Richtung der Raketenspitze wählen. Dementsprechend zeigt die sich mit der Zeit ändernde Gewichtskraft der Rakete in die negative zRichtung: FG = −mg

(3.61)

Die Gewichtskraft FG ist die äußere angreifende Kraft. Die Impulsänderung des Gesamtsystems aus Rakete und ausströmendem Gas ist nach Newtons 2. Gesetz (3.33) und Gl. (3.52):

3.4

Bewegungsgesetz

51

dP = FG dt dv dm m − vτ∗ = −mg dt dt dm dv = vτ∗ − g dt m t v m dm −g dv = vτ∗ dt 0 m◦ m 0 m◦ v = −vτ∗ ln −gt m

(3.62) (3.63) (3.64) (3.65) (3.66)

≥0

Das erste Minus-Zeichen auf der rechten Seite der Gleichung ist wie oben der Indikator dafür, dass die Rakete entgegen der Richtung des ausströmenden Gases fliegt. Der rechtsstehende Term zeigt, dass die Raketengeschwindigkeit durch die angreifende Gewichtskraft reduziert wird.

3.4.3 Bahnkurve der Rakete Bei gleichmäßigem Abbrennen des Treibstoffs mit q = m/t = const. ist m(t) = m ◦ − qt.

(3.67)

Damit können wir die Bahnkurve aus der Geschwindigkeit (3.66) berechnen: dz m◦ = −vτ∗ ln − gt dt m ◦ − qt m ◦ − qt = vτ∗ ln − gt m ◦ qt − gt = vτ∗ ln 1 − m◦ z t t qt ∗ dt − g dz = vτ ln 1 − t dt m◦ 0 0 0

(3.68) (3.69) (3.70) (3.71)

Folgende Koordinatentransformation der Variablen t s ≡1−

qt m◦

q ds =− dt m◦ m◦ ⇒ dt = − ds q hilft bei der Lösung des mittleren Integrals (mit −(m ◦ /q) s = t − (m ◦ /q)):

(3.72) (3.73) (3.74)

52


t 0

m◦ qt dt = − ln 1 − m◦ q m◦ =− q = t− = t− = t− = t−

s(t)

ln(s) ds

(3.75)

s(0)

[ s · (ln(s) − 1) ] |s(t) s(0) & $t % $ qt m◦ − 1 $$ ln 1 − q m◦ & 0 % m◦ qt m◦ −1 − − ln 1 − (−1) q m◦ q m◦ qt m◦ m◦ − t− ln 1 − − q m◦ q q qt m◦ −t ln 1 − q m◦

Einsetzen in Gl. (3.71) liefert die Bahnkurve der Rakete: % & m◦ g qt ∗ t− − t − t2 ln 1 − z(t) = vτ q m◦ 2

(3.76) (3.77) (3.78) (3.79) (3.80)

(3.81)

Direkt nach dem Start ist die Zeit t klein, d.h. der logarithmische Term lässt sich nähern. Mathematischer Einschub: Taylor-Entwicklung Das wesentliche Verhalten einer komplizierten Funktion f (x) kann man in der Nähe eines vorgegebenen Funktionswertes x◦ durch eine Taylor-Entwicklung erfassen. Die erste und zweite Ableitung der Funktion f (x) nennen wir hier f (x) und f (x). Den Wertebereich um x◦ beschreiben wir durch x = x − x◦ . Dann ist die Taylor-Entwicklung für die Funktion f (x) um die Stelle x◦ einschließlich der 2.Ordnung: f (x)|x◦ ≈ f (x◦ ) + f (x◦ ) x +

1 f (x◦ ) x 2 2

(3.82)

Der Einschluss von Termen noch höherer Ordnung (3. Ableitung etc.) ist möglich.

Wir untersuchen hier das Verhalten des ersten Terms der Ortsfunktion z(t) m◦ q f (t) = t − ln (1 − t) (3.83) q m◦ ≡μ

3.4

Bewegungsgesetz

53

=

1 (μt − 1) ln (1 − μt ). μ

(3.84)

Für die Taylor-Entwicklung von f (t) benötigen wir den Funktionswert beim Start mit t = 0 und die dazugehörige erste und zweite Ableitung: f (0) = 0 1 1 −μ f (t) = μ ln (1 − μt ) + (μt − 1) μ μ 1 − μt = ln (1 − μt ) + 1 f (0) = 1 −μ f (t) = 1 − μt f (0) = −μ

(3.85) (3.86) (3.87) (3.88) (3.89) (3.90)

Die Taylor-Entwicklung lautet damit f (t)|0 ≈ f (0) + f (0) t + =0+t −

μ 2 t . 2

1 f (0) t 2 2

(3.91) (3.92)

Mit dieser Näherung vereinfacht sich die Ortsfunktion der Rakete (3.81) zu einer quadratischen Zeitabhängigkeit % q t− 2m ◦ ∗ q t2 − = −vτ 2m ◦ q 1 ( −vτ∗ = m ◦ 2

z(t) ≈ vτ∗

≥0

& g t2 − t − t2 2 g 2 t 2 −g)

t2 ,

(3.93) (3.94) (3.95)

Effektive Beschleunigung

in der wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v(t = 0) = 0 und dem Anfangsort z(t = 0) = 0 wiedererkennen (1.40). Die Brenndauer t B der Rakete errechnen wir aus der gesamten Gasmasse m τ und der Brennkonstante q = m/t = m τ /t B . Damit erhalten wir die Ortsfunktion 1 z(t) = 2

m τ (−vτ∗ ) −g m◦ tB

t 2.

Die Bedingung für einen sofortigen Start lautet dann:

(3.96)

54


m τ (−vτ∗ ) −g>0 m◦ tB

(3.97)

Die Rakete hebt also nur dann sofort ab, wenn diese Startbedingung erfüllt ist. Wir können die Startbedingung noch besser verstehen, wenn wir die Startmasse m ◦ der Rakete zum Term g schreiben: mτ

(−vτ∗ ) > m◦ g tB

(3.98)

=|FG |

Mit der Definition der Schubkraft FS ≡ m τ

(−vτ∗ ) >0 tB

(3.99)

wird dann sofort klar, dass die Schubkraft das Startgewicht der Rakete übertreffen muss: FS > |FG |

(3.100)

Beispiel: Raketenstart Wir setzen für • • • • •

die Erdbeschleunigung g = 10 m/s2 , die Brenndauer t B = 2 s, als Startmasse m ◦ = 0, 6 kg, die Gasmasse m τ = 0, 5 kg, und für die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases vτ∗ = 25 m/s ein.

In den beiden Graphen ist die Steighöhe z(t) bis t = 0, 5 s und bis t = 2 s mit der durchgezogenen Kurve gezeigt. Unsere Taylor-Näherung bis zur 2. Ordnung ist mit der gestrichelten Kurve gezeigt.

Raketenstart

Raketenstart

Kapitel 4

Drehbewegungen

Die Dynamik der Drehbewegungen können wir mit Drehimpulsen und Drehmomenten formulieren. Wir definieren diese physikalischen Größen und führen ein Bewegungsgesetz für Drehungen ein. Ein Vektor r kann alternativ in verschiedenen Koordinatendarstellungen spezifiziert werden. Polarkoordinaten (r, ϕ) eignen sich insbesondere zur Beschreibung von Kreisbewegungen. Mit der Sinus- und Kosinus-Funktion lassen sich Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten (x, y) umrechnen:

r =

rx ry

=

r · cos(ϕ) r · sin(ϕ)

(4.1)

Wichtige Größen zur Beschreibung von Bewegungen in den Polarkoordinaten sind:


55

56

4 Drehbewegungen

Die Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz lautet: ω=

dϕ = ϕ˙ dt

Einheit

rad s

(4.3)

Die Geschwindigkeit eines Massenpunkts, der auf einer Kreisbahn mit dem Radius r rotiert, hängt mit der Winkelgeschwindigkeit folgendermaßen zusammen:

v=

ds d(r ϕ) dϕ = =r = ωr dt dt dt

(4.4)

Mit diesen Informationen lässt sich die Ortsfunktion ϕ(t) eines Körpers analog zu (1.25) aus seiner Winkelgeschwindigkeit berechnen: ϕ(t) =

t

0

ω(t) dt + ϕ◦

(4.5)

Für gleichförmige (gleichbleibende) Winkelgeschwindigkeit ω = const. gilt ϕ(t) = ω

t

0

dt + ϕ◦

= ωt + ϕ◦ ,

(4.6) (4.7)

wobei ϕ◦ den anfänglichen Winkel bezeichnet. Die Schwingungsperiode T entspricht der Zeit eines Umlaufs: ϕ(T ) − ϕ◦ = 2π =ω

(4.8) T

dt

(4.9)

0

= ωT T =

2π ω

(4.10) (4.11)

4.1 Gleichförmige Kreisbewegung Den Ortsvektor in Polarkoordinaten haben wir bereits in Gl. (4.1) erwähnt. Bei einer gleichförmige Kreisbewegung ist | r | = const. und ϕ = ωt + ϕ◦ . Wir wählen im Folgenden als Anfangswinkel ϕ◦ = 0. Der Ortsvektor ist dann:

4.1

Gleichförmige Kreisbewegung

57

r(t) =

r x (t) r y (t)

=

r · cos(ωt) r · sin(ωt)

(4.12)

Der dazugehörige Geschwindigkeitsvektor ist in kartesischen Koordinaten: v(t) =

vx (t) v y (t)

(4.13)

Dieser soll nun in Polarkoordinaten ausgedrückt werden: vx (t) = =

dr x (t) dt

(4.14)

d (r · cos(ωt)) dt

(4.15)

d cos(ωt) dt

(4.16)

= −r ω sin(ωt)

(4.17)

=r

dr y (t) dt

(4.18)

= r ω cos(ωt)

(4.19)

v y (t) =

Die Komponenten zusammengesetzt ergeben den folgenden Vektor: v(t) =

−r ω sin(ωt) +r ω cos(ωt)

v(t) = r ω

− sin(ωt) + cos(ωt)

(4.20)

(4.21)

58

4 Drehbewegungen

Dabei zeigt v(t) in die Richtung der Tangente und hat den Betrag | v | = r ω:

Auf die gleiche Weise können wir nun den Beschleunigungsvektor berechnen:

a (t) =

ax (t) a y (t)

ax (t) =

dvx (t) dt

(4.23)

d (−r ω sin(ωt)) dt

(4.24)

=

(4.22)

= −r ω2 cos(ωt) a y (t) = =

(4.25)

dv y (t) dt

(4.26)

d (r ω cos(ωt)) dt

(4.27)

= −r ω2 sin(ωt) a (t) =

(4.28)

−r ω2 cos(ωt) −r ω2 sin(ωt)

a (t) = −r ω2

cos(ωt) sin(ωt)

(4.29)

(4.30)

4.2

Harmonischer Oszillator

59

a (t) heißt Zentripetalbeschleunigung und zeigt in Richtung des Kreismittelpunkts. Der Betrag ist | a | = r ω2 . Die Zentripetalbeschleunigung wird im ruhenden Koordinatensystem gemessen. Da ihre Richtung entgegengesetzt zum Ortsvektor r verläuft, lässt sich a durch den Ortsvektor beschreiben: a = −ω2 r

(4.31)

Die Zentripetalbeschleunigung hat denselben Betrag wie die Zentrifugalbeschleunigung, die im bewegten System des Massenpunkts gemessen wird und deren Richtung radial nach außen zeigt. Die Zentrifugalbeschleunigung wird im Zusammenhang mit Transformationen zwischen Bezugssystemen später ausführlich beschrieben. Die entsprechenden Kräfte heißen Zentripetalkraft FZ P = m a

(4.32)

FZ F = −m a .

(4.33)

und Zentrifugalkraft

4.2 Harmonischer Oszillator Betrachten wir zunächst für verschiedene Zeiten t bzw. Winkel ϕ die Projektion der gleichförmigen Kreisbewegung auf die x-Achse:

Für r x , vx und ax ergeben sich in Abhängigkeit des Winkels:

rx = x = r cos ωt

(4.34) (4.35)

60

4 Drehbewegungen

r˙x = x˙ = vx = −ω r sin ωt

(4.36) (4.37) (4.38)

r¨x = x¨ = ax

(4.39) (4.40)

= −ω2 r cos ωt

(4.41)

= −ω x

(4.42)

2

Beispiel: Harmonischer Oszillator: Federpendel

Für die rücktreibende Federkraft F = −kx mit der Federkonstanten k werden gesucht: • Die Bewegungsgleichung des Massenpunkts mit der Masse m und • die Bahnkurve x(t) des Massenpunkts. Die Herleitung der Bewegungsgleichung erfolgt mit dp =F dt

Newtons 2. Gesetz (3.33) .

Mit p = mv = m x˙ ergibt sich die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators: m x¨ = −kx k x¨ = − x m

(4.43) (4.44)

Dabei bezeichnet x¨ die Beschleunigung und x die Auslenkung des Massenpunkts. Diesen Zusammenhang zwischen der Ortsfunktion und der Beschleunigung eines Massenpunkts kennen wir bereits aus der Kreisbewegung (4.42). Das

4.2


61

mathematische Konzept der Projektion einer Kreisbewegung beschreibt die beobachtete Federschwingung und löst die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators. Die Kreisfrequenz ω ist durch die Federkonstante k und die Masse m des Massenpunkts festgelegt: ω2 =

ω=

k m

(4.45)

k m

(4.46)

Die Bewegungsgleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und erfordert dementsprechend zwei Anfangsbedingungen. Ein allgemeiner Ansatz für die Ortsfunktion des Federpendels ist deswegen x(t) = A · cos (ωt + ϕ◦ )

(4.47)

mit den Anfangsbedingungen: Amplitude A und Anfangswinkel ϕ◦ .

Experiment: Experiment zur Kreisbewegung und zum Federpendel Lässt man im Licht einer Lampe eine Scheibe mit einem Stift so rotieren, dass der Schatten des Stifts die Projektion der Kreisbewegung zeigt, kann man mit einem dazu synchron schwingenden Federpendel die Korrektheit der Ortsfunktion x(t) aus Gl. (4.47) sehr schön veranschaulichen.

4.2.1 Produkte von Vektoren Für die folgenden Kapitel benötigen wir die wichtigsten Produkte zwischen vektoriellen Größen. Mathematischer Einschub: Skalarprodukt a · b Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ⎛

⎞ ax a = ⎝ a y ⎠ az

⎛

⎞ bx b = ⎝ b y ⎠ bz

(4.48)

62

4 Drehbewegungen

ist definiert als ⎞ ⎛ ⎞ bx ax ⎠ ⎝ ⎝ a · by ⎠ a · b = y az bz ⎛

(4.49)

= a x · b x + a y · b y + az · bz

(4.50)

· cos θ, = | a | · |b|

(4.51)

wobei θ den Winkel zwischen den Vektoren a und b bezeichnet.

Aufgrund des Verlaufs von cos(θ )

ergeben sich zwei Spezialfälle: Skalarprodukt senkrechter Vektoren

Skalarprodukt paralleler Vektoren

a · b = 0

a · a = | a |2

Das Skalarprodukt kann zur Bestimmung der Komponenten eines Vektors eingesetzt werden (Projektion). Wir definieren einen sogenannten Einheitsvektor in der Richtung der x-Achse mit der Länge 1 durch ⎛ ⎞ 1 ex = ⎝ 0 ⎠ . 0

(4.52)

Das Skalarprodukt des Vektors a mit dem Einheitsvektor ex ergibt die x−Komponente des Vektors a : a | · cos θ = ax a · ex = |

(4.53)

4.2


63

Mathematischer Einschub: Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt a × b Das Kreuzprodukt von a mit b ist definiert als: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ax bx a × b = ⎝ a y ⎠ × ⎝ b y ⎠ az bz ⎛ ⎞ a y bz − az b y = ⎝ az b x − a x bz ⎠ ax b y − a y bx

(4.54)

(4.55)

· sin θ · e = | a | · |b| ⊥ a ,b

(4.56)

Dabei bilden a , b und a × b in Der Vektor a × b steht senkrecht auf a und b. dieser Reihenfolge ein Rechtssystem:

Die Länge von a × b ist die Größe der von a und b aufgespannten Fläche: Fläche · sin θ | a | · |b|

Da hier der Sinus maßgebend ist, ergeben sich als Sonderfälle a ⊥ b a b

⇒ ⇒

| c| = | a ||b| c = 0

maximaler Betrag,

(4.57)

minimaler Betrag.

(4.58)

64

4 Drehbewegungen

Eine nützliche Rechenregel für ein Kreuzprodukt aus drei Vektoren ist die bac − cab - Regel: a × b × c = b ( a · c) − c a · b

(4.59)

4.3 Winkelgeschwindigkeit In diesem und den folgenden Kapiteln definieren wir physikalische Größen, die sich zur Beschreibung von Drehbewegungen eignen. Für die gleichförmige Kreisbewegung mit dem Radius r haben wir bereits den Zusammenhang v = ωr (4.4) zwischen den Beträgen der Geschwindigkeit v eines Massenpunkts und der Winkelgeschwindigkeit ω kennengelernt. Wir definieren nun einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω. Er steht parallel zur Drehachse und senkrecht zu v: v = ω × r

(4.60)

Für eine feste Drehachse können wir umgekehrt auch ω bestimmen. Durch Vektormultiplikation mit r ergibt sich wegen Gl. (4.59) r × v = r × (ω × r) =ω ( r r) − r ( r ω) .

(4.61) (4.62)

Bei der Kreisbewegung steht r ⊥ ω, so dass r · ω = 0 ist. Damit ist dann ω =

1 r × v) . ( r2

(4.63)

4.4 Drehimpuls Der Drehimpuls für einen Körper ist definiert durch das Vektorprodukt aus seinem Ortsvektor r von einem Raumpunkt, z.B. dem Koordinatenursprung, und seinem Impulsvektor p: L = r × p

(4.64)

4.4

Drehimpuls

65

Für eine Kreisbewegung mit fester Drehachse ergibt sich der Drehimpuls bezüglich dieser Achse wegen (4.60) und (4.59) zu L = r × p

(4.65)

= r × (m v)

(4.66)

= m r × (ω × r)

(4.67)

= m[ω ( r · r) − r (ω · r)]

(4.68)

= m r ω.

(4.69)

=0

2

Die Vektoren des Drehimpulses und der Winkelgeschwindigkeit stehen hier parallel zueinander. Der Vergleich der Drehbewegung mit der linearen Bewegung zeigt die Bedeutung des Terms mr 2 : p = m · Impuls

L Drehimpuls

v

(4.70)

Masse Geschwindigkeit

=

mr 2

·

ω

(4.71)

Trägheitsmoment Winkelgeschwindigkeit

Das Trägheitsmoment I = mr 2

(4.72)

hat bei Drehbewegungen die Bedeutung, die wir von der Masse bei Translationsbewegungen kennen. Mit ihm lässt sich der Drehimpuls von Massenpunkten folgendermaßen schreiben: L = I ω

(4.73)

66

4 Drehbewegungen

4.5 Drehmoment Das Drehmoment ist durch das Vektorprodukt zwischen einer Kraft F und dem Ortsvektor r von einem Raumpunkt (z.B. dem Koordinatenursprung) zum Angriffspunkt der Kraft F definiert: = r × F D

(4.74)

oder τ (Torque) verHäufig wird zur Bezeichnung des Drehmoments auch M wendet. Für den Betrag des Drehmoments gilt: = | · sin (ϕ) | D| r | · | F|

(4.75)

Beispiel: Balkenwaage Die Funktion einer Balkenwaage beruht auf dem Konzept sich ausgleichender Drehmomente:

Die Waage ist im Gleichgewicht, falls gilt: r2 × F2 r1 × F1 = −

(4.76)

r1 m 1 g = r2 m 2 g

(4.77)

m1 r2 = m2 r1

(4.78)

4.5

Drehmoment

67

Aufgabe 4.1: Fortschrittliche Wippe

Beide Kinder (m l = 30 kg, m r = 15 kg) sitzen im gleichen Abstand von der Drehachse. Gesucht ist die Position der Masse mit m = 20 kg, damit die Kinder wippen können. (2 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 4.1: Fortschrittliche Wippe

68

4 Drehbewegungen

Experiment: Drehmoment der Garnrolle Hält man eine Rolle am Faden, wie z.B. eine Garnrolle, so kann man je nach Winkel des Fadens beim Ziehen verschieden gerichtete Drehmomente erzielen und die Garnrolle in verschiedene Richtungen rollen lassen: 1 = r1 × F1 D L ω D

(4.79) (4.80)

Drehung nach links, 2 = r2 × F2 D

(4.81)

Drehung nach rechts, 3 = r3 × F3 = 0 D

(4.82)

keine Drehung, da sin (0) = 0.

4.6 Bewegungsgesetz Mit dem Drehimpuls und dem Drehmoment können wir ein Bewegungsgesetz für Rotationsbewegungen analog zum Bewegungsgesetz für Translationsbewegungen (3.33) formulieren. d d L = r × p) ( dt dt =

(4.83)

d p d r × p + r × dt dt

(4.84)

= v ×m v + r × F

(4.85)

=D

(4.86)

=0

D

Die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines Massenpunkts wird durch von außen angreifende Drehmomente 'nverursacht, genauso wie eine Kraft eine Impulsänderung hervorruft (d p/dt = i=1 Fi ):

4.6

Bewegungsgesetz

69

d L i = D dt n

(4.87)

i=1

= 0 bleibt der Drehimpuls eines Für ein verschwindendes äußeres Drehmoment D Körpers erhalten: d L =0 dt

L = const.

⇒

(4.88)

Experiment: Drehstuhl Eine Person sitzt mit zwei Hantelgewichten auf einem Drehstuhl und verändert während der Drehbewegung die Position der Hanteln. Aus der Erhaltung des Drehimpulses L = const. folgt: n i=1

L1 = L2 n m i ri2 ω1 = m i ri2 ω2 i=1

Die Position mit dem größeren Trägheitsmoment (Hanteln in größerem Abstand von der Drehachse) ergibt die kleinere Winkelgeschwindigkeit:

4.6.1 Pendelschwingung Als Beispiel für einen Schwingungsvorgang bei Drehbewegungen betrachten wir das Pendel. Die Erdbeschleunigung ist ⎛

⎞ 0 g = ⎝ 0 ⎠ −g

(4.89)

70

4 Drehbewegungen

Der Massenpunkt am Pendelfaden der Länge | r | erfährt durch seine Gewichtskraft ein rücktreibendes Drehmoment G = r × F. D

(4.90)

Mit dem Bewegungsgesetz (4.87) für Drehbewegungen können wir die Bewegungsgleichung für das Pendel erarbeiten: d L G =D dt

(4.91)

d r × p) = r × F ( dt

(4.92)

d p = r × F dt

(4.93)

r ×

Mit dem Impuls p = m v und den Gleichungen v = ω × r (4.60) und (4.59) ergibt sich: d v = m r × g dt d r × × r) = r × g (ω dt r × ω ˙ × r = r × g m r×

ω ˙ r 2 − r rω ˙ = r × g

(4.94) (4.95) (4.96) (4.97)

=0

Für die Beträge der Vektoren bleibt dann |ω| ˙ ·| r |2 = −| r | · | g | · sin ϕ.

(4.98)

ω= ˙ ϕ¨

Nennen wir die Länge des Pendels l = | r |, so ist seine Bewegungsgleichung g ϕ¨ = − sin ϕ. l

(4.99)

Für kleine Auslenkungen ϕ des Pendels können wir die Sinusfunktion nähern (sin ϕ ≈ ϕ) und finden als Bewegungsgleichung:

4.6

Bewegungsgesetz

71

ϕ¨ ≈ −

g ·ϕ l

(4.100)

Diese Differentialgleichung kennen wir bereits, es ist die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators (4.44): Analog zur Gl. (4.47) ist die Lösung die Ortsfunktion ϕ = A · cos (ωt + ϕ◦ ) .

(4.101)

Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit der zugehörigen Kreisbewegung mit ω2 =

g l

ω=

(4.102) g . l

(4.103)

Die Periodendauer T der Pendelschwingung hängt mit ω über ω = 2π/T (4.11) zusammen. Die Schwingungsdauer des Pendels hängt also nur von der Pendellänge und der Erdbeschleunigung ab:

T = 2π

l g

(4.104)

Experiment: Pendel In einem Pendel-Experiment kann man gut bestätigen, dass die Schwingungsdauer eines harmonisch schwingenden Pendels quadratisch mit der Länge der Aufhängung steigt, aber z.B. von der Masse des schwingenden Gewichts nicht abhängt.

72

4 Drehbewegungen

Aufgabe 4.2: Kugelbahn

Gegeben: Ein Massenpunkt rotiert anfangs mit einer Winkelgeschwindigkeit ω◦ . Sein Trägheitsmoment sei I = m · r 2 = const. Reibungskräfte erzeugen ein bremsendes Drehmoment Db = −bω2 mit b = const. Gesucht: Gesucht ist die Bewegungsgleichung des Massenpunkts und die Winkelgeschwindigkeit ω(t) als Funktion der Zeit. (3 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 4.2: Kugelbahn

Kapitel 5

Arbeit, Energie, Leistung, Intensität

Arbeit, Energie, Leistung und Intensität sind Begriffe des Alltags. In diesem Abschnitt werden wir diese Begriffe in der Form einführen, wie sie in der Physik verwendet werden. Die physikalischen Definitionen unterscheiden sich von denen des Alltags.

5.1 Energieformen Wir unterscheiden verschiedene Formen, in denen Energie auftreten kann: Potentielle Energie: Beispiele sind die gespeicherte Energie in einer zusammengedrückten Feder, in einem Dachziegel auf einem Hausdach oder Wasser oberhalb eines Wasserkraftwerks. Kinetische Energie ist Bewegungsenergie. Beispiele sind die Bewegungsenergie eines Bobfahrers (Translationsenergie), oder die Bewegungsenergie der Drehbewegung eines Jo-Jos (Rotationsenergie). Wärme-Energie (Thermische Energie) steckt z.B. in einem heißen Stein. Der Energiebegriff ist für die Beschreibung von physikalischen Vorgängen oft sehr nützlich. In der Mechanik ist er eine alternative Möglichkeit zu Newtons Bewegungsgesetzen. In der Wärmelehre ist der Kraftbegriff nur bedingt hilfreich, dort führt der Energiebegriff weiter. Verschiedene Energieformen können ineinander umgewandelt werden. Zum Beispiel kann potentielle in kinetische Energie übergehen.

5.2 Arbeit Arbeit ist durch das Skalarprodukt zwischen der Kraft, die auf einen Körper wirkt, und seiner Bewegungsrichtung definiert. In differentieller Schreibweise ist Arbeit dW = F d r .


(5.1)

73

74

5 Arbeit, Energie, Leistung, Intensität

Um die bei einem Vorgang insgesamt verrichtete Arbeit zu berechnen, integrieren wir über den Weg des Körpers: W = =

F · d r

(5.2)

Fx d x +

Fy dy +

Fz dz

(5.3)

Die Arbeit wird in der nach dem Physiker James Joule (1816–1869) benannten Einheit Joule gemessen: J=N· m

Joule

(5.4)

Wir führen folgende Vorzeichenkonvention ein: Arbeit, die ein System erbringt, z.B. Wasser der Masse m, das beim Herabfallen aus der Höhe h eine Turbine antreibt, wird positiv gerechnet.

h

W =

F d r

(5.5)

0

=m·g·h

(5.6)

Arbeit, die von außen an einem System geleistet wird, wird oft gegen eine Kraft geleistet. Ein Beispiel ist eine Feder, die wir zusammendrücken, oder ein Eimer Wasser, den wir gegen seine Gewichtskraft vom Boden hochheben. Im Rahmen der Vorzeichenkonvention zählen wir diese von außen am System geleistete Arbeit negativ. Beispiel: Arbeit eines Möbelpackers Ein Möbelpacker möchte eine Kiste auf einen LKW stellen.

Startpunkt und Endpunkt sind die Positionen: ⎛ ⎞ x1 A = ⎝ 0 ⎠ 0

⎛ ⎞ x2 B = ⎝ 0 ⎠ h

(5.7)

5.2

Arbeit

75

Die notwendige Kraft, um die Kiste gegen ihre Gewichtskraft zu bewegen, ist ⎛

⎞ 0 F = FG = m · ⎝ 0 ⎠ = const. −g

(5.8)

Insgesamt wird Arbeit an der Kiste (dem System) geleistet, so dass die Arbeit laut Vorzeichenkonvention negativ anzusetzen ist: W =−

B A

= −0 ·

F d r x2 x1

(5.9)

dx − 0 ·

0

h

dy − m(−g) ·

0

dz

(5.10)

0

=m·g·h

(5.11)

Die horizontale Verschiebung trägt nicht zur Arbeit im physikalischen Sinn bei. Der Weg verläuft senkrecht zur Kraftrichtung und damit ist das Skalarprodukt Null. Setzt man m = 50 kg, h = 2 m und g = 10 sm2 , dann ergibt sich als geleistete Arbeit: W = m · g · h = 50 kg · 10

m · 2m s2

= 1 000 J = 1 kJ

(5.12) (5.13)

Aufgabe 5.1: Gustav und Harry, wer arbeitet mehr? Gustav und Harry bringen jeder drei Kisten mit einer Masse von jeweils 20 kg in das Lager.

Wer verrichtet mehr Arbeit?

(1 Punkt)

76


Lösung zu Aufgabe 5.1: Gustav und Harry, wer arbeitet mehr?

5.2.1 Konservative Kraft ( Kräfte, unter denen das Integral der Arbeit F d r unabhängig vom Weg ist, nennt man „konservative“ Kräfte. Die bekannteste konservative Kraft ist die Schwerkraft F = m g auf der Erde. Im Gegensatz hierzu sind z.B. Reibungskräfte nicht konservativ, da Reibungskräfte im Allgemeinen von der Geschwindigkeit auf dem zurückgelegten Weg abhängen.

5.3 Potentielle Energie Für eine konservative Kraft ist die geleistete Arbeit nur vom Anfangspunkt A und vom Endpunkt B abhängig. Wir definieren die potentielle Energie über die Arbeit: Die Differenz der potentiellen Energien E pot zwischen den Orten B und A beschreibt die Arbeit, die man gewinnen kann, wenn der Körper von B nach A zurückkehrt:

A

E pot = E pot (B) − E pot (A) =

F d r

(5.14)

B

Im Beispiel von dem Beladen des Lastwagens ist die Differenz der potentiellen Energien der Kiste E pot = mgh (5.11).

5.4

Kinetische Energie der Translation

77

5.4 Kinetische Energie der Translation Wie die potentielle Energie ist auch die kinetische Energie eines Körpers über die Arbeit motivierbar. Die Arbeitsdefinition (5.1) lautet dW = F d r.

(5.15)

Für Körper konstanter Masse gilt nach Gl. (3.30) d v d p =m . F = dt dt

(5.16)

Damit lässt sich die differentielle Arbeit über die Geschwindigkeit eines Körpers ausdrücken, der von der Position B nach A zurückkehrt: dW = m

d v d r · dt dt dt

= m · v d v

(5.17) (5.18)

Sind die Richtungen von v und d v parallel, so ist: dW = mv dv v(A) mv dv W = v(B)

$ 1 2 $$v(A) = mv $ 2 v(B) =

1 2 m v (A) − v 2 (B) 2

(5.19) (5.20)

(5.21) (5.22)

Mit kinetischer Energie bezeichnen wir den Term E kin =

1 2 mv . 2

(5.23)

Die Differenz der kinetischen Energien des Körpers an den Stellen A und B entspricht der von ihm geleisteten Arbeit: W = E kin (A) − E kin (B)

(5.24)

Dieser Zusammenhang gilt sowohl für konservative als auch für nicht-konservative Kräfte.

78


5.5 Kinetische Energie der Rotation Die kinetische Energie für die Kreisbewegung eines Massenpunkts können wir in eine zur Drehbewegung passende Form bringen. Setzen wir in die Definition der kinetischen Energie (5.23) den Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit v = ωr (Gl. (4.4)) ein, so erhalten wir E rot =

1 mr 2 ω2 . 2

(5.25)

Mit der Definition des Trägheitsmoments I = mr 2 des Massenpunkts nach Gl. (4.72) lautet die Rotationsenergie: Er ot =

1 I ω2 2

(5.26)

In dieser Schreibweise werden die Parallelen von Masse ↔ Trägheitsmoment und Geschwindigkeit ↔ Winkelgeschwindigkeit bei Translations- und Rotationsbewegungen wiederum offensichtlich.

5.6 Energieerhaltung Für konservative Kräfte sind die beiden Werte für die Arbeit (5.14) und (5.24) gleich groß

A

W =

F d r = E pot (B) − E pot (A)

(5.27)

F d r = E kin (A) − E kin (B)

(5.28)

B

A

W = B

und damit gelten E pot (B) − E pot (A) = E kin (A) − E kin (B) ,

(5.29)

E kin (A) + E pot (A) = E kin (B) + E pot (B) .

(5.30)

beziehungsweise

Die mechanische Gesamtenergie E eines Körpers setzt sich aus seinen kinetischen und potentiellen Energien zusammen: E = E kin + E pot

(5.31)

5.6

Energieerhaltung

79

Mit Gl. (5.30) folgt E (A) = E (B) .

(5.32)

Die Gesamtenergie bleibt also erhalten! Wir sprechen von Energieerhaltung. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist zu jedem Zeitpunkt konstant: E = E kin + E pot = const.

(5.33)

Beispiel: Potentielle Energie bei der Dehnung einer Feder Eine Feder habe die Federkonstante k. Ihre rücktreibende Kraft ist:

FF = −kx Die Arbeit W , die verrichtet werden muss, um die Feder um die Strecke AB zu dehnen, berechnet sich aus W = − F d r (5.34) =−

B

FF d x

(5.35)

A

$ 1 2 $$ B = kx $ 2 A =

1 2 k B − A2 . 2

(5.36)

(5.37)

Die verrichtete Arbeit können wir grafisch darstellen. Die Fläche unter der = kx im Bereich [A, B] entspricht dem Integral, also der verrichKurve | F| teten Arbeit:

80


Die potentielle Energie im Federsystem ist E pot = E pot (B) − E pot (A) A = F d r

(5.38) (5.39)

B

1 = − k A2 − B 2 2 1 = k(B 2 − A2 ). 2

(5.40) (5.41)

Beispiel: Kinetische Energie bei der Entspannung einer Feder Sei die Feder mit einem Massenpunkt zunächst bis zum Ort x = B ausgelenkt. Wir lassen die Feder bis zu einem Ort x zwischen A = 0 und B entspannen.

Die vom System geleistete Arbeit zählen wir positiv:

x

W =

F dx

(5.42)

(−kx) d x

(5.43)

B x

=

B

=−

k 2 x − B 2 > 0. 2

(5.44)

Diese Arbeit entspricht einerseits der potentiellen Energiedifferenz W = E pot (B) − E pot (x) .

(5.45)

Andererseits entspricht sie wegen der Bewegung des Massenpunkts und der Energieerhaltung der kinetischen Energiedifferenz (5.29). Da der Massenpunkt am Ort B ruhte, ist

5.6

Energieerhaltung

81

W = E kin (x) − E kin (B) 1 1 = mv 2 (x) − mv 2 (B) 2 2 1 2 = mv (x) . 2

(5.46) (5.47) (5.48)

Aus den Gln. (5.44) und (5.48) folgt die Geschwindigkeit v des Massenpunkts an der Stelle x −

1 k 2 x − B 2 = mv 2 (x) 2 2 k 2 B − x2 , v (x) = ± m

(5.49) (5.50)

wobei die negative Lösung der im Bild oben beschriebenen Situation entspricht:

v (x) = −

k 2 B − x2 m

(5.51)

Unser früheres Ergebnis zum Federpendel, das wir aus dem Kraftkonzept gewonnen hatten (4.47), lautete mit der Anfangsbedingung ϕ◦ = 0: ) x (t) = B · cos

k t m

* (5.52)

Die Frage stellt sich, ob das aus dem Energiekonzept erhaltene Ergebnis mit diesem Resultat vereinbar ist? Die Ableitung von (5.52) ergibt dieselbe Geschwindigkeit des Massenpunkts an der Feder: ) * k k v = −B sin t m m * )

k k 2 t 1 − cos = −B m m

k 2 =− B − x2 m

(5.53)

(5.54)

(5.55)

82


Um einen physikalischen Vorgang zu beschreiben, können verschiedene konzeptionelle Ansätze verwendet werden, wie wir hier an dem Kraftansatz bzw. dem Energiekonzept sehen.

Beispiel: Energieerhaltung beim Federpendel

Die Gesamtenergie in einem Federpendel ist aus seiner Anfangsausdehnung berechenbar: E (B) = E pot (B) 1 = k B2 2

(5.56) (5.57)

An jedem anderen Ort x zwischen [−B, B] setzt sich die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie (5.23) und der potentiellen Energie (5.41) zusammen: E (x) =

1 2 1 mv (x) + kx 2 2 2

(5.58)

Am Ort x = 0 ist E pot = 0. Daher ist dort die kinetische Energie E kin = 1 2 2 mv maximal und deswegen auch der Betrag der Geschwindigkeit maximal (5.50):

vmax = ±

k B2 m

(5.59)

In der folgenden Abbildung ist die potentielle Energie des Massenpunkts an jedem Ort x durch die Kurve E pot = 12 kx 2 ablesbar. Die kinetische Energie ergibt sich in der Abbildung aus der Energiedifferenz zur Gesamtenergie E:

5.8

Intensität

83

5.7 Leistung Leistung ist definiert als die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit: P=

dW dt

(5.60)

=

F d r dt

(5.61)

= F v

(5.62)

Sie wird in der Einheit Watt W = J/s gemessen, die nach James Watt (1736–1819) benannt ist.

5.8 Intensität Intensität beschreibt einen Strom von Energie E, der pro Zeiteinheit t durch eine zur Ausbreitungsrichtung der Energie senkrecht stehende Flächeneinheit A transportiert wird: I = Die Einheit der Intensität ist J/(s m2 ).

E t A

(5.63)

Kapitel 6

Lösungen zu den Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 1.1: Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung

x ( t ) = t2 + 1 m

v(t) = x˙ (t) = 2t

a (t) = v˙ (t) = x¨ (t) = 2 m/s2

Lösung zu Aufgabe 1.2: Studienreise „Alte Brunnen“ Der Stein führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung im Gravitationsfeld der Erde aus: x=

g 2 · t + v◦ · t + x◦ 2

Mit t = 2 s, g = 10 ms , x◦ = 0 und v◦ = 0 folgt : x=

10 sm2 2

· (2 s)2 = 20 m

Die Länge des Seils reicht aus, um bis zum Grund des Brunnens hinunter zu klettern.


85

86

6 Lösungen zu den Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 1.3: Endgeschwindigkeit beim Sprung Für den freien Fall gilt: 1 2 at + v◦ t + x◦ 2 v = gt + v◦

x=

Mit den Bedingungen a = g ≈ 10 ms und v◦ = 0 ergeben sich zwei Gleichungen mit drei Variablen, aus denen die Zeit t eliminiert wird: 1 2 gt + x◦ 2 2 t 2 = (x − x◦ ) g

2 (x − x◦ ) tE = g x=

Für die Endgeschwindigkeit v E ergibt sich also: v E = gt E

=g = ≈

2 (x − x◦ ) g

2g (x − x◦ ) 2 · 10

km m m · 10 m ≈ 14 ≈ 50 2 s h s

Alternativ: aus der Bremswegrechnung (1.48) folgt v (x).

v E in Abhängigkeit der Absprunghöhe


87

Lösung zu Aufgabe 1.4: Fall zweier Kugeln Die Bewegung in der senkrechten Koordinate y(t) ist für beide Kugeln gleich. Der Aufschlag erfolgt bei beiden Kugeln gleichzeitig nach der Zeit t: y(t) =

1 · g · t 2 + v◦y · t + y◦ 2

y = y − y◦ =

t=

1 · g · t2 2

2 · y g

Lösung zu Aufgabe 2.1: Zentraler Grenzwertsatz Zu jeder ersten Zufallszahl addieren wir jeweils eine andere zweite Zufallszahl:

Für die Addition zweier gleichverteilter Zufallszahlen erwarten wir eine Pyramide als Wahrscheinlichkeitsdichte. Erst im Fall von vielen Zufallszahlen ergibt sich die Gaußfunktion: 1

e f (x) = √ 2π σ 2

− 12

x−μ 2 σ

88


Lösung zu Aufgabe 2.2: Tennisballmaschine Mit den Werten xw = 21 m, 18 m, 16 m, 25 m ergeben sich Mittelwert, Streuung der Messwerte und als Fehler des Mittelwerts: n 1 xw = · xi = 20 m 4 i=1 n 1 σ = (xi − x)2 n−1

i=1

46 2 m ≈ 4m 3 σ =√ n =

σx w

4 ≈ √ = 2m 4

Lösung zu Aufgabe 3.1: Trägheitsgesetz Die Summe über alle Kräfte ergibt Null. Nach Newtons erstem Axiom verbleibt der Körper also in einer gleichförmigen, gradlinigen Bewegung.

Lösung zu Aufgabe 3.2: Freier Fall Nach Newtons 2. Gesetz m a = F wird der Körper mit der Masse m auf Grund seiner Gewichtskraft F = m g mit der Beschleunigung a beschleunigt. Das Aufstellen der Bewegungsgleichung erreichen wir, indem wir die Kraft, die auf den Körper wirkt, in Newtons 2. Gesetz einsetzen. Wir benötigen hier nur die y-Koordinate: ma = F m y¨ = mg Die Bewegungsgleichung lautet damit y¨ = g.


89

Durch zweifache Integration ergibt sich als Lösung die aus Gl. (1.40) bereits bekannte Bahnkurve y(t). Dabei berücksichtigen wir die Anfangshöhe y◦ und die Anfangsgeschwindigkeit v◦ = 0: y˙ = gt 1 y (t) = gt 2 + y◦ 2

Lösung zu Aufgabe 3.3: Newtons Bewegungsgesetz Newtons Bewegungsgesetz

d p dt

=

'n i=1

Fi (3.33) :

• Was bedeutet p: Impuls • Auf wen bezieht sich p: Impuls des betrachteten Körpers, der eine Bewegungsänderung erfährt. • Welche Bedeutung hat die zeitliche Ableitung d p/dt: Infinitesimale Impulsänderung des Körpers pro Zeit. Kraft • Was ist F: Kraft, die auf den Körper wirkt. • Auf wen bezieht sich F: • Welchen Sinn hat das Zeichen: Summe, d.h. Vektor-Addition aller Kräfte, die auf den Körper wirken. • Fassen Sie zusammen: wer reagiert auf was: Der Impuls eines Körpers ändert sich auf Grund angreifender Kräfte. • Welchen Nutzen hat dieses physikalische Konzept: Die Bahnkurve des Körpers unter dem Einfluss von Kräften ist berechenbar.

Lösung zu Aufgabe 4.1: Fortschrittliche Wippe Die Wippe ist in Balance, wenn die Drehmomente sich ausgleichen: 2 + D 3 1 = D D − r1 × F1 = r2 × F2 + r3 × F3 Die Sitzpositionen der Kinder auf der Wippe sind fest mit | r1 | = | r3 |. Mit den Massen m 1 = 30 kg, m 2 = 20 kg und m 3 = 15 kg ergibt sich:

90


r3 m 1 g = r2 m 2 g + r3 m 3 g r3 (m 1 − m 3 ) r2 = m2 Die optimale Position des Zusatzgewichts ist daher 3 r2 = r3 . 4

Lösung zu Aufgabe 4.2: Kugelbahn Newtons zweites Gesetz für Drehbewegungen (4.87) lautet d L i . = D dt n

i=1

Zusammen mit (4.73) L = I ω = mr 2 ω

Db = −bω2

und

ergibt die Bewegungsgleichung I

dω = −bω2 . dt

Die Winkelgeschwindigkeit erhalten wir durch Trennung der Variablen und anschließende Integration:

ω

ω◦

dω b =− I ω2

1 b − |ωω◦ = − t ω I −

1 1 b + =− t ω ω◦ I

t

dt 0


91

1 1 b = + t ω ω◦ I ω(t) = =

1 1 ω◦

+ bI t ω◦

1+

bω◦ I t

Mit der Abkürzung β ≡ bω◦ /I ergibt sich die Zeitabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit zu ω(t) =

ω◦ . 1+β t

Erwartungsgemäß nimmt die Winkelgeschwindigkeit des Massenpunkts mit der Zeit durch die Reibungsverluste ab.

Lösung zu Aufgabe 5.1: Gustav und Harry, wer arbeitet mehr? ( Für die horizontale Bewegung ist Fx d x = 0. Für Gustav gilt: |W | =

h1

FG dy +

0

h

FG dy h1

= FG (h 1 − 0 + h − h 1 ) = FG · h =m·g·h Da sich die Berechnungen für Gustav und Harry nur bei der Höhe h 1 ändern, leisten beide gleich viel Arbeit!

Literaturverzeichnis

1. Alonso, M., Finn, E.: Physik. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA (1977) 2. Blobel, V., Lohrmann, E.: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse. Teubner Studienbücher Physik. B.G. Teubner, Stuttgart (1998) 3. Bronstein, I., Semendjajev, K.: Taschenbuch der Mathematik, 19. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (1981) 4. Demtröder, W.: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin (2002) 5. Hebbeker, T., Reuter, T.: Versuchsbeschreibungen Physik I-III, RWTH Aachen Universität, Aachen (2003) 6. Stöcker, H.: Taschenbuch der Physik, 4. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt (2000) 7. Wikipedia: Geschichtliches zur Festlegung des Meters. http://de.wikipedia.org (2010)

M. Erdmann, Experimentalphysik 1, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-16103-2,

93

Sachverzeichnis

A Ableitung, 2 Actio=Reactio, 39 Aktionsprinzip, 39 Arbeit, 73 Kraft, 74 Vorzeichenkonvention, 74 Weg, 74 Aufgabe Bewegungsgesetz, 47 Brunnen, 9 Endgeschwindigkeit, 11 Fall zweier Kugeln, 14 Freier Fall, 44 Kugelbahn, 72 Lösungen, 84 Ortsfunktion, 4 Tennisballmaschine, 32 Trägheitsgesetz, 39 Wer arbeitet mehr?, 75 Wippe, 67 Zentraler Grenzwertsatz, 27 Auswertung Experiment, 28 Angabe Ergebnis, 22 Fehler, 30 Fehler des Mittelwerts, 31 Fehlerfortpflanzung, 33 getrimmter Mittelwert, 29 Mittelwert, 28 Schätzwert, 28 Standardabweichung, 29–30 statistische Fehler, 29–31, 33, 35 Stichprobe, 26 Streuung, 29 systematische Fehler, 35 Varianz, 30 B Bahnkurve

allgemeine Lösung, 7 Freier Fall, 19 gleichförmige Kreisbewegung, 56 gleichmäßige Beschleunigung, 8 harmonischer Oszillator, 61 Lösung Bewegungsgleichung, 44 Luftkissenbahn, 46 Pendel, 71 Rakete, 52 Wurf, 14–15 Beispiel Arbeit, 74 Balkenwaage, 66 Bremsweg, 11 Energieerhaltung, 82 Fall-Experiment, 19 Federdehnung, 79 Federentspannung, 80 Fehler des Mittelwerts, 31 Fehler Erdbeschleunigung, 34 Fehler Längenmessung, 33 Fehler-Ursachen, 21 Harmonischer Oszillator, 60 Korrigierter Mittelwert, 30 Kräfte, 37 Luftkissenbahn, 46 Raketenstart, 54 statistische Fehler, 35 Streuung Messwerte, 31 Würfel, 22 Weg zur Vorlesung, 4 Wurf, 18 zentraler Grenzwertsatz, 26 Beschleunigung, 1, 3, 5 Durchschnittsbeschleunigung, 3 Erdbeschleunigung, 19 Gleichmäßige, 7, 19 Momentanbeschleunigung, 3 Vektor, 13

95

96 Vektor bei Kreisbewegung, 58 Zentripetalbeschleunigung, 58 Bewegung Überlagerung, 13 Bewegungsgesetz, 36, 43 Beschleunigung, 39 Kraft, 39 Masse, 39 Rotationsbewegung, 68 Translationsbewegung, 46 Bewegungsgleichung, 44 Freier Fall, 88 Harmonischer Oszillator, 60 Kugelbahn, 90 Luftkissenbahn, 46 Pendel, 70 Rakete, 49–50 Bogenweg, 55 D Drehbewegung, 55 Drehimpuls, 64 Drehmoment, 66 Dynamik, 36 E Einstein Träge=Schwere Masse, 41 Energie, 73 Erhaltung, 78 Gesamtenergie, 79 Kinetische, 73, 77 Potentielle, 73, 76 Rotation, 78 Translation, 77 Wärme, 73 Erdbeschleunigung, 19 Experiment, 19 Auswertung, 28 Drehimpulserhaltung, 69 Drehmoment, 68 Fall-Experiment, 21 Fallschnüre, 12 Federpendel, 61 Newtons 2.Gesetz, 41 Pendel, 71 Spielzeugrakete, 50 F Federpendel, 60 Bewegungsgleichung, 60 Kreisfrequenz, 61 Ortsfunktion, 61 Fehler, 24, 30

Sachverzeichnis Absoluter, 34 Fehlerfortpflanzung, 33 Mittelwert, 31 Relativer, 34 Statistischer, 21 Systematischer, 21, 35 Zentraler Grenzwertsatz, 25 G Gaußverteilung, 24 Mittelwert, 25 Standardabweichung, 25 Varianz, 25 Gesamtenergie, 79 Geschwindigkeit, 1, 5, 55 Durchschnittsgeschwindigkeit, 1 Momentangeschwindigkeit, 3 Vektor, 13 Vektor bei Kreisbewegung, 57 Winkelgeschwindigkeit, 55 Wurf, 14 Gewichtskraft, 41 Gleichförmige Bewegung, 5 Gleichförmige Kreisbewegung, 56 Grundgrößen, 20 Länge, 20 Masse, 20 Zeit, 20 H Harmonischer Oszillator, 59 Bewegungsgleichung, 60 Federpendel, 60 Kreisfrequenz, 61 Ortsfunktion, 61 Pendel, 70 I Impuls, 45 Erhaltung, 49 Rakete, 48 Intensität, 83 K Kilogramm, 20, 40 Kinematik, 1 Kinetische Energie, 73, 77 Konservative Kraft, 76 Kraft, 37 Definition, 39 Gewichtskraft, 41 Konservative, 76 Zentripetalkraft, 59 Kreisbewegung, 55 Beschleunigungsvektor, 58

Sachverzeichnis Bogenweg, 55 Geschwindigkeit, 55 Geschwindigkeitsvektor, 57 Gleichförmige, 56 Kreisfrequenz, 55, 61 Ortsvektor, 55–56 Polarkoordinaten, 55 Projektion, 59 Schwingungsperiode, 56 Winkelgeschwindigkeit, 55 Zentripetalbeschleunigung, 58 Zentripetalkraft, 59 Kreisfrequenz, 55 Federpendel, 61 harmonischer Oszillator, 61 Pendel, 71 Kreuzprodukt, 63 Fläche, 63 Parallele Vektoren, 63 Regel bac-cab, 64 Senkrechte Vektoren, 63 L Länge Meter, 20 Leistung, 83 M Masse, 40 Kilogramm, 20, 40 Schwere Masse, 41 Träge Masse, 41 Massenpunkt, 1, 13 Messgenauigkeit, 19 statistische Fehler, 21 systematische Fehler, 21 Messwert, 19, 22 Interpretation, 26 Stichprobe, 26 Meter, 20 Mittelwert, 23–25, 28 Fehler, 31 Getrimmter, 29 N Newton, 36 Actio=Reactio, 39 Aktionsprinzip, 39 Axiome, 38 Bewegungsgesetz, 39, 43, 46 Trägheitsgesetz, 38

97 O Ort, 1 Vektor, 13, 55 Vektor Kreisbewegung, 56 Ortsfunktion, 2 P Pendel, 69 Bewegungsgleichung, 70 Kreisfrequenz, 71 Ortsfunktion, 71 Schwingungsperiode, 71 Potentielle Energie, 73, 76 Q Quadratische Ergänzung, 17 R Rakete, 48 Bahnkurve, 52 senkrechter Start, 50 Rotationsenergie, 78 S Schätzwert, 28 Schwingungsperiode, 56 Pendel, 71 Sekunde, 20 Skalarprodukt, 61 parallele Vektoren, 62 Projektion, 62 senkrechte Vektoren, 62 Vektor-Komponente, 62 Standardabweichung, 24, 25 Statistische Fehler, 21 Stichprobe, 26 Varianz, 30 Streuung, 30 Messwerte, 30 Systematische Fehler, 21, 35 T Taylor-Entwicklung, 52 Trägheitsgesetz, 38 Trägheitsmoment, 65, 78 V Varianz, 24–25, 30 Vektor, 37 Vektoraddition, 37 Vektorprodukt, 63 Fläche, 63 Parallele Vektoren, 63

98 Regel bac-cab, 64 senkrechte Vektoren, 63 Verteilung, 22 Diskrete, 23 Gauß, 24 Kontinuierliche, 23 Mittelwert, 23 W Wärme-Energie, 73 Wahrscheinlichkeit, 22 Dichte, 23 Wechselwirkung, 37 Winkelgeschwindigkeit, 55 Vektor, 64

Sachverzeichnis Wurf Abwurfwinkel, 16 Anfangsgeschwindigkeit, 16 Bahnkurve, 14–15 Parabel, 15 Scheitelpunkt, 16 Schiefer Wurf, 14 Weite, 16 Wurfweite, 17 Z Zeit, 1 Sekunde, 20 Zentraler Grenzwertsatz, 25 Zentripetalbeschleunigung, 58 Zentripetalkraft, 59

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