Springer-Lehrbuch Physik Denken
Martin Erdmann
Experimentalphysik 3 Schwingungen, Wellen, Körperdrehung Physik Denken
123
Prof. Dr. Martin Erdmann RWTH Aachen Physikalisches Institut 3A Otto-Blumenthal-Str. 52056 Aachen Deutschland
[email protected] ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-14311-3 e-ISBN 978-3-642-16231-2 DOI 10.1007/978-3-642-16231-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag, Herausgeber und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Physik Denken
Die Physik stellt die Beobachtung, Erklärung und die Vorhersage von Naturvorgängen in den direkten Zusammenhang mit der Mathematik. Physikalische Denk- und Arbeitsfähigkeiten erfordern deshalb fundierte Kenntnisse über die experimentellen Methoden, die Interpretation von Messungen und die physikalischen Konzepte, die auf mathematischer Basis entwickelt werden. Die Lehr- und Lernmodule der Reihe Physik Denken orientieren sich an den Anforderungen des Bachelor-Studiums der Physik. Die Reihe konkretisiert den Lehrund Lernstoff der Experimentalphysikkurse an den Universitäten. Studierende sollen sich die wesentlichen physikalischen Konzepte aneignen, experimentelle und statistische Methoden zu deren Überprüfung kennenlernen und sich Fähigkeiten zur Entwicklung von Gleichungen erarbeiten, mit denen die physikalischen Konzepte in geeigneten Experimenten untersucht werden. Die Portionierung des Lernstoffs in der Reihe Physik Denken zusammen mit den ausführlichen Berechnungen, vielen Abbildungen, Beispielen und kleinen Aufgaben vermitteln die Machbarkeit des Studiums. Einige, teilweise anspruchsvolle Experimente werden ausführlich beschrieben. Das Layout lädt zur Mitarbeit ein und bietet Platz für das Einfügen eigener Anmerkungen. Grö¨se und Gewicht der einzelnen Lehr- und Lernmodule sind zur täglichen Mitnahme an die Universität konzipiert. Als Herausgeber der Reihe Physik Denken und Autor des vorliegenden Buchs danke ich dem Springer-Verlag, insbesondere dem Lektor Herrn Dr. rer. nat. Schneider, für die professionelle Unterstützung bei der Umsetzung der Lehr- und Lernmodule. Für die fachliche Begutachtung danke ich meinem Kollegen Herrn Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Flügge. Vielen engagierten Mitarbeitern danke ich für Korrekturen und die Unterstützung beim Übertragen der Formeln und Bilder in das LATEX-System. Meiner Partnerin danke ich für ihr konstruktives Encouragement. Aachen 2010
Martin Erdmann
v
Inhaltsverzeichnis
1 Dynamik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Drehschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 2 4 7 10 12 15 20
2 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 28 32 35 38 44
3 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Streichinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49 49 57 60 63 67 72
4 Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
vii
Kapitel 1
Dynamik starrer Körper
Die Beschreibung der Bewegung eines ausgedehnten Körpers können wir oft durch die Annahme vereinfachen, dass die gesamte Körpermasse im Schwerpunkt konzentriert ist (Massenpunkte). Für die Beschreibung von Drehbewegungen z.B. eines Karussells oder eines Kreisels funktioniert diese Näherung nicht. In diesem Kapitel werden wir ausgedehnte, nicht deformierbare Körper untersuchen. Sie werden als starre Körper bezeichnet. Die Verteilung ihrer Masse hat entscheidende Konsequenzen für ihr Verhalten bei Drehbewegungen.
1.1 Dichte Wir zerlegen einen Körper in Volumenelemente Vi mit entsprechender Masse m i .
Das Volumen V eines kontinuierlichen Körpers mit Volumenelementen d V bestimmen wir durch Integration: V = dV (1.1) V
Ebenso berechnen wir die Masse M des Körpers durch M= dm .
(1.2)
M
Eine nützliche Definition ist die Massendichte
M. Erdmann, Experimentalphysik 3, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-16231-2_1,
1
2
1 Dynamik starrer Körper
ρ=
dm dV
.
(1.3)
Mit dieser Dichte können wir die Masse über ein Volumenintegral berechnen: M=
ρ dV
(1.4)
V
Wenn die Dichte des Materials im ganzen Körpervolumen gleich ist („homogener Körper“) vereinfacht sich die Massenberechnung zu dV .
M =ρ
(1.5)
V
Beispiel: Einige Dichtewerte Material Dichte kg/m3 Wasserstoff 0.08988 1.292 Luft bei 0 ◦ C Balsaholz 100. . . 200 ca. 800 Eichenholz Wasser (bei 3,98 ◦ C) 999.975 Meerwasser 1025 7874 Eisen Platin 21450
1.2 Schwerpunkt Jeder Körper hat einen Schwerpunkt rs bezüglich seiner Massenverteilung. Er lässt sich im diskreten Fall von Massenpunkten über eine gewichtete Summe ermitteln: n i=1 m i ri rs = n i=1 m i
(1.6)
Im kontinuierlichen Fall ersetzen wir die Summe durch das Integral: r dm r ρ d V 1 rs = = = r ρ d V M dm ρ dV
(1.7)
1.2
Schwerpunkt
3
Für homogene Körper, d.h. für Körper mit ρ ( r ) = const. = ρ, ist ρ rs = M
1 r d V = V
r d V .
(1.8)
Beispiel: Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel Die homogene Halbkugel hat den Radius R. Das Volumen einer Vollkugel ist 4 2 3 3 3 π R , dementsprechend ist das Halbkugelvolumen 3 π R . Aus Symmetriegründen ist ihr Schwerpunkt bei xs = ys = 0, so dass wir nur die vertikale Komponente berechnen müssen: 1 zs = z dV (1.9) V In Kugelkoordinaten ist z = r cos θ . Das Volumenelement ist d V = r 2 dr sin θ dθ dϕ. Damit erhalten wir: 1 r cos θ r 2 dr sin θ dθ dϕ zs = V π 2π R 2 1 3 = r dr · cos θ sin θ dθ · dϕ · V 0 0 0
(1.10) (1.11)
Das erste und das dritte Integral lassen sich sofort lösen. Das zweite Integral lässt sich mit d sin θ/dθ = cos θ berechnen:
π 2
cos θ sin θ dθ =
sin(π/2)
sin θ d sin θ
(1.12)
sin(0)
0
=
1 2 1 sin (θ ) |10 = 2 2
(1.13)
Damit ergibt sich für den Schwerpunkt in z-Richtung: zs = =
1 2 3 3π R
3 R 8
·
1 4 1 R · · 2π 4 2
(1.14) (1.15)
Der Schwerpunkt liegt also etwas unterhalb der halben Höhe auf der z-Achse.
4
1 Dynamik starrer Körper
1.3 Trägheitsmoment Als Ausgangspunkt für unsere Überlegungen zu Trägheitsmomenten verwenden wir den Drehimpuls eines Massenpunkts. Zur Erinnerung: Der Drehimpuls L ist durch das Vektorprodukt aus dem Impuls p des Massenpunkts und seinem Abstand r von einem Bezugspunkt definiert: L = r × p
(1.16)
Mit dem Impuls p = m v des Massenpunkts und dem Zusammenhang zwischen seiner Geschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit ω, v = ω × r, können wir für Kreisbewegungen schreiben: L = m r × v
(1.17)
= m r × (ω × r)
(1.18)
=
mr ω − m r ( r ω)
(1.19)
= Iω
(1.20)
2
≡I
=0
Bei Drehbewegungen ist das Trägheitsmoment I = mr 2 eines einzelnen Massenpunkts in Analogie zu der trägen Masse m bei Translationsbewegungen definiert. Für den starren Körper müssen wir das Trägheitsmoment in einer verallgemeinerten Form definieren. Wir legen das Koordinatensystem so, dass sich der Körper um die z-Achse dreht und damit der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω parallel zum Einheitsvektor ez steht: ω ez .
Für einen Körper, der aus N diskreten Massenpunkten aufgebaut ist, ist der Gesamtdrehimpuls bezüglich der festen Drehachse: L =
N i
L i
(1.21)
1.3
Trägheitsmoment
5
=
N
i
2 m i r⊥ i ω
≡Iz
(1.22)
Das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse ist hier die Summe über alle Massenelemente m i des Körpers, gewichtet mit dem Quadrat ihres minimalen Abstands r⊥ von der Drehachse. Für eine kontinuierliche Massenverteilung ersetzen wir die Summe durch das Integral über alle Massenelemente dm des Körpers, gewichtet mit dem Quadrat ihres minimalen Abstands r⊥ von der Drehachse: Iz =
2 r⊥ dm
(1.23)
Iz =
2 r⊥ ρ ( r) dV
(1.24)
Damit lässt sich der Drehimpuls weiterhin in der Form L = Iz ω
(1.25)
schreiben.
Beispiel: Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel Die homogene Vollkugel hat das Volumen V = 43 π R 3 , wobei R den Kugelradius bezeichnet. Ihre Masse ist M und ihre Dichte ist ρ = M/V =const. Der senkrechte Abstand jedes Massenelements zur Drehachse ist in Kugelkoordinaten r⊥ = r sin (θ ) .
(1.26)
Damit erhalten wir als Trägheitsmoment für die homogene Vollkugel bzgl. der z-Achse durch den Mittelpunkt:
6
1 Dynamik starrer Körper
Iz =
2 r⊥ dm
(1.27)
=
(r · sin (θ ))2 ρ d V = r 2 sin2 (θ ) ρ r 2 dr sin (θ ) dθ dϕ
Mit sin2 (θ ) = 1 − cos2 (θ ), d cos (θ ) /dθ = − sin (θ ) und ρ = wir: Iz = ρ
= = = =
R
4
π
3
(1.29) M V
erhalten
2π
sin (θ ) dθ dϕ
0
0 cos(π ) 1 5 2π 2 5R cos(0) (1−cos (θ))(−d cos(θ))
−1 1 M1 5 3 R 2π · − cos (θ ) + cos (θ ) V 5 3 1
2π M 5 2 R · 2− 5 V 3 4 2π M R5 · 5 43 π R 3 3 2 M R2 5 r dr 0
(1.28)
(1.30)
(1.31) (1.32) (1.33) (1.34)
Aufgabe 1.1: Trägheitsmoment einer dünnen Scheibe Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer dünnen, homogenen Scheibe bezüglich einer zur Scheibe senkrechten Achse durch den Scheibenmittelpunkt.
(2 Punkte)
1.4
Drehschwingungen
7
Lösung zu Aufgabe 1.1: Trägheitsmoment einer dünnen Scheibe
1.4 Drehschwingungen Im folgenden Experiment wollen wir überprüfen, ob die Definition des Trägheitsmoments (1.23) eine sinnvolle Charakterisierung des trägen Verhaltens bei Drehungen eines starren Körpers darstellt.
An eine vertikal stehende Drehachse montieren wir eine Schneckenfeder so, dass durch Aufdrehen und Entspannen der Feder Drehschwingungen entstehen.
8
1 Dynamik starrer Körper
Das rücktreibende Drehmoment durch die Feder ist für nicht zu extreme Winkelauslenkungen ϕ linear in ϕ mit dem Richtmoment Dr als Proportionalitätskonstante: D = −Dr ϕ
(1.35)
Die Bewegungsgleichung für die Drehschwingungen können wir über das Bewegungsgesetz für Drehbewegungen ermitteln. Dabei verwenden wir (1.25) mit ω = ϕ: ˙ d L =D dt
(1.36)
d ˙ = −Dr ϕ (I ϕ) dt
(1.37)
ϕ¨ = −
Dr ϕ I
(1.38)
≡ω2
Wir erkennen die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators wieder. Ihre Lösung hat die Form ϕ (t) = A · cos (ωt + ϕ◦ )
(1.39)
mit ω=
Dr . I
(1.40)
Die Schwingungsperiode T = 2π/ω der Drehschwingung ist dementsprechend proportional zur Wurzel aus dem Trägheitsmoment: T = 2π
I Dr
(1.41)
Wir vergleichen dieses Ergebnis mit einem Massenpunkt der Masse m, der an einem Federpendel (Federkraft F = −kx) schwingt. Die Schwingungsperiode ist m in diesem Fall T = 2π k . Auch hier sehen wir, dass für Drehbewegungen das
1.4
Drehschwingungen
9
Trägheitsmoment die Rolle der trägen Masse bei Translationsbewegungen übernimmt. Experiment: Drehschwingungen Scheibe Im Versuch verwenden wir eine dünne Scheibe (Dicke h, Radius R), die wir auf zwei verschiedene Arten auf der Drehachse montieren:
2 Die Trägheitsmomente I = r⊥ dm bezüglich der Symmetrieachsen in der x, y- und z-Richtung lauten für h R: Iz =
1 M R2 2
Ix = I y =
1 M R2 4
(1.42)
Für die Schwingungsperiode T dieser Scheibe erwarten wir wegen Gl. (1.41)
T1 = 2π
1 2 2MR
(1.43)
T2 = 2π
Dr Das Verhältnis der erwarteten Schwingungsperioden T1 = T2
4 √ = 2 ≈ 1.41 2
1 2 4MR
Dr
(1.44)
(1.45)
wird im Versuch sehr gut bestätigt. Alle weiteren Experimente ergeben konsistente Ergebnisse, so dass das Trägheitsmoment (1.23) des starren Körpers eine sinnvoll charakterisierende Größe für Drehbewegungen ist.
10
1 Dynamik starrer Körper
1.5 Satz von Steiner Im Prinzip müssen wir für jede neue Drehachse das Trägheitsmoment neu berechnen. Wenn wir die Ausrichtung des Körpers in Bezug auf eine Drehachse B beibehalten und nur den Körper parallel zu dieser Achse versetzen, können wir etwas Berechnungszeit sparen. Die folgende Skizze zeigt eine Projektion des Körpers mit Schwerpunkt S und bei der der Körperschwerpunkt in der Zeichenebene liegt und B der Drehachse B, senkrecht zur Zeichenebene steht.
Aus der Abbildung sehen wir, dass wir in der Definition des Trägheitsmoments (1.23) r⊥ durch r⊥S bezüglich des Körper-Schwerpunkts und den Abstand a des Körperschwerpunkts von der Drehachse B ersetzen können: IB =
r⊥ 2 dm
(1.46)
r⊥S + a )2 dm ( = ( r⊥S )2 dm + a 2 dm + 2 a r⊥S dm
=
≡I S
=M a 2
(1.47) (1.48)
siehe unten
Das erste Integral entspricht dem Trägheitsmoment I S des Körpers bezüglich seines Schwerpunkts. Im zweiten Integral ist der Abstandsvektor a unabhängig von der Verteilung der Massenelemente dm. Wir können a vor das Integral ziehen und erhalten mit dm = M die Masse des Körpers. Das dritte Integral besteht durch das Skalarprodukt aus drei Integralen über die jeweilige Raumrichtung:
a r⊥S dm = ax
r⊥S,x ρ d x + a y
r⊥S,y ρ dy + az
r⊥S,z ρ dz (1.49)
Da wir den Schwerpunkt so definiert haben, dass sich die Massenelemente dm mit positiven Koordinaten und die mit negativen Koordinaten balancieren, geben diese Integrale keinen Beitrag:
1.5
Satz von Steiner
11
a r⊥S dm = 0
(1.50)
Damit bleibt der als „Satz von Steiner“ bekannte Zusammenhang: I B = IS + M a2
(1.51)
Experiment: Satz von Steiner
Den Satz von Steiner wollen wir experimentell überprüfen. Dazu verwenden wir folgenden Aufbau für Drehschwingungen mit einem Stab und zwei Zylindern und messen wieder die Schwingungsdauer. Das Trägheitsmoment eines Zylinders mit Masse m = 0,240 kg, Radius r = 1,8 cm und Höhe h = 3,3 cm bzgl. der z-Achse durch das Zylinderzentrum beträgt: 1 2 m h + 3r 2 12 = 4 · 10−5 kg m2
Iz,Zylinder =
(1.52) (1.53)
Das Trägheitsmoment der Stange mit der Masse M = 0,131 kg und der Länge L = 0,61 m, die die Zylinder hält, ist in der Näherung eines Zylinders mit L = h r : 1 M L2 12 = 4 · 10−3 kg m2
Iz,Stange =
(1.54)
Die beiden auf der Stange verschiebbaren Zylinder haben also ein vernachlässigbares Trägheitsmoment im Vergleich zum Trägheitsmoment der Stange. Wir betrachten die beiden Zylinder im Folgenden näherungsweise als Massenpunkte mit einem Trägheitsmoment, das nur vom Abstand a von der
12
1 Dynamik starrer Körper
Drehachse abhängt. Für die Zylinderpositionen a1 = 0,1 m und a2 = 0,2 m sind ihre jeweiligen Trägheitsmomente: I (a1 ) = m a12 = 0,24 · 0,12 kg m2 = 2,4 · 10−3 kg m2 I (a2 ) = m a22 = 0,24 · 0,22 kg m2 = 9,6 · 10−3 kg m2 Das Gesamtträgheitsmoment ist Iz = Iz,Stange + 2 · m a 2 .
(1.55)
Das Verhältnis der Schwingungsperioden ist T1 T2
=
I1 I2
≈
Iz,Stange + 2 · ma12 Iz,Stange + 2 · ma22
≈
9 = 0, 63 . 23
(1.56)
Dieses Ergebnis wird in unserem Experiment gut bestätigt.
1.6 Rotationsenergie
Experiment: Zylinder-Rennen Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder gleicher Masse rollen eine schräge Ebene hinab.
Welcher der beiden Zylinder gewinnt dieses Walzenrennen?
1.6
Rotationsenergie
13
Beide Zylinder starten von derselben Höhe h ◦ = s◦ sin α und besitzen damit dieselbe Gesamtenergie: E = E pot,max = m g h◦ = m g s◦ sin α
(1.57) (1.58) (1.59)
An jedem Ort auf der Rollstrecke ist die Gesamtenergie wegen der Energieerhaltung konstant und teilt sich in die kinetische Energie der Translationsbewegung E kin , die kinetische Energie der Rotationsbewegung E r ot und die verbleibende potentielle Energie E pot auf: E = E kin + Er ot + E pot = const.
(1.60)
Dabei sind E kin =
1 m s˙ 2 2
(1.61)
und E pot = m g s sin α .
(1.62)
Die Rotationsenergie erhalten wir mit folgender Überlegung: Für den Fall eines einzelnen Massenpunkts, der im Abstand r mit der Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ˙ um eine feste Drehachse rotiert, ist die kinetische Energie mv 2 /2 mit der tangentialen Geschwindigkeit v des Massenpunkts auf der Kreisbahn. Aufgrund des Zusammenhangs v = ωr beträgt die Rotationsenergie: Er ot =
1 mr 2 ω2 2
(1.63)
≡I
Für einen starren Körper mit dem Trägheitsmoment I ist die Rotationsenergie dementsprechend:
14
1 Dynamik starrer Körper
Er ot =
1 I ω2 2
(1.64)
Die Abrollstrecke auf der Zylinderoberfläche ist ds = r dϕ ,
(1.65)
s˙ = r ϕ˙ = r ω .
(1.66)
und die Abrollgeschwindigkeit ist
Die Rotationsenergie des Zylinders beträgt damit Er ot =
1 1 2 s˙ . I 2 r2
(1.67)
Das Einsetzen der verschiedenen Beiträge (1.61), (1.62) und (1.67) in die Energieerhaltungsgleichung (1.60) für den hinunterrollenden Zylinder ergibt: E = E kin + Er ot + E pot 1 1 I 2 = m s˙ 2 + s˙ + m g s sin α 2 2 r 2 I m s˙ 2 + (m g sin α) s 1+ = 2 mr 2
(1.68) (1.69) (1.70)
Aus der Ableitung der Gesamtenergie nach der Zeit können wir folgendermaßen auf eine konstante Beschleunigung des Zylinders schließen: dE d m I 2 s ˙ + (m g sin α) s = 1+ dt dt 2 mr 2 m I 2 s˙ s¨ + (m g sin α) s˙ = 1+ 2 mr 2 I =m 1+ s ¨ + g sin α · s˙ mr 2 =0
(1.71) (1.72) (1.73) (1.74)
Der letzte Schritt gilt wegen der Erhaltung der Gesamtenergie E = const. Für t > 0 ist die Geschwindigkeit des Zylinders s˙ > 0, so dass der Term in den Klammern in Gl. (1.73) verschwinden muss: I 1+ s¨ + g sin α = 0 mr 2 Damit erhalten wir die effektive, konstante Beschleunigung:
(1.75)
1.7
Trägheitstensor
15
g sin α s¨ = − 1 + mrI 2
(1.76)
≡g˜
= const.
(1.77)
Die Lösung für die Ortsfunktion s(t) lautet beim Start aus der Anfangsposition s(t = 0) = s◦ und mit der Anfangsgeschwindigkeit s˙ (t = 0) = 0: 1 2 ˜ + s◦ s(t) = − gt 2
(1.78)
Damit ist die Rollzeit t des Zylinders über die gesamte Strecke s◦ bis zum Ende der schiefen Ebene (s = 0): t= =
2 s◦ g˜
(1.79)
2 s◦ g sin α
1+
I mr 2
(1.80)
Die Rollzeit t ist größer für den Körper mit dem größeren Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment des Hohlzylinders beträgt I H = mr 2 .
(1.81)
Das Trägheitsmoment des Vollzylinders ist kleiner, denn die Massenverteilung liegt im Mittel näher an der Drehachse als beim Hohlzylinder: IV =
1 2 mr 2
(1.82)
Also gewinnt der Vollzylinder das Rennen! Sein relativer zeitlicher Vorsprung beträgt tV = tH
√ 1 + 1/2 3 = ≈ 0.87 . 1+1 2
(1.83)
1.7 Trägheitstensor Bisher haben wir nur Rotationsbewegungen um eine feststehende Achse betrachtet. Wir konnten damit arbeiten, dass der Radiusvektor und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit senkrecht aufeinander stehen: r ⊥ ω. Weiterhin standen der Dre-
1.7
Trägheitstensor
17
r 2 ωz − z xωx + yω y + zωz dm 2 2 = r − z dm ωz − zx dm ωx − zy dm ω y
Lz =
(1.96) (1.97)
= Izz ωz + Izx ωx + Izy ω y
(1.98)
Diese Resultate können wir in Matrixschreibweise zusammenfassen: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ Ix x Ix y Ix z ωx Lx ⎝ L y ⎠ = ⎝ I yx I yy I yz ⎠ · ⎝ω y ⎠ Lz Izx Izy Izz ωz
(1.99)
L = Iˆ · ω Der Trägheitstensor ist symmetrisch, es gilt immer Iab = Iba .
(1.100)
ab dm =
ba dm =
Aufgabe 1.2: Drehimpulskomponenten Verifizieren Sie die Zusammenfassung der Gln. (1.92), (1.95) und (1.98) in der Matrixschreibweise (1.100) L = Iˆ · ω durch Ausführen der Matrixmultiplikation. (1 Punkt)
Lösung zu Aufgabe 1.2: Drehimpulskomponenten
18
1 Dynamik starrer Körper
Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Quaders Wir legen den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt des Quaders:
Ix x = ρ
a 2
− a2
b 2
− b2
c 2
− 2c
y 2 + z 2 d x d y dz
(1.101)
b c 1 3 2 1 3 2 y c+ z b (1.102) = ρa 3 − b 3 −c 2 2
3 ! 1 c 3 c 3 b 3 b 1 M c+ b (1.103) − − − − = a V 3 2 2 3 2 2 M 1 2 3 1 2 3 = (1.104) b c + b c a abc 3 23 3 23 M 2 = (1.105) b + c2 12
Ix y = −ρ
x y d x dy dz
a b M 1 2 2 1 2 2 c x y =− V 2 − a 2 − b 2 2 M 1 a 2 a 2 =− − − ··· = 0 abc 2 2 2
(1.106) (1.107) (1.108)
=0
Aus analog durchgeführten Rechnungen folgen die anderen Elemente. Insgesamt gilt: ⎞ ⎛ 2 0 0 b + c2 M ⎝ 0 Iˆ = a 2 + c2 0 ⎠ 12 2 0 0 a + b2
(1.109)
1.7
Trägheitstensor
19
Ist der Trägheitstensor, wie in diesem Beispiel, diagonal, so ist das Koordinatensystem so gewählt, dass alle Achsen Hauptträgheitsachsen des Körpers sind. Für Quader mit den Kantenlängen a > b > c gilt: I x x = b2 + c2 = Imin
(1.110)
I yy = a + c
(1.111)
2
2
Izz = a + b = Imax 2
2
(1.112)
Damit sind die Trägheitsmomente bezüglich der verschiedenen Hauptachsen geordnet: Izz > I yy > I x x
(1.113)
Experiment: Freie Rotation Quader Mit einem Quader mit verschiedenen Kantenlängen und farbigen Seitenflächen kann man durch Hochwerfen und gleichzeitiges Drehen beobachten, dass eine stabile freie Rotation nur um die Achsen des größten bzw. kleinsten Trägheitsmoments möglich ist.
Aufgabe 1.3: Trägheitstensor Quader Die exakte Form des Trägheitstensors des Quaders hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Führen Sie die Berechnung für einen Quader durch, dessen eine Ecke im Koordinatenursprung liegt. (2 Punkte)
Lösung zu Aufgabe 1.3: Trägheitstensor Quader
20
1 Dynamik starrer Körper
Beispiel: Drehimpulsvektor und Winkelgeschwindigkeitsvektor Um zu sehen, dass der Drehimpuls und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit nicht parallel stehen müssen, konstruieren wir folgendes Beispiel: Wir wählen das Hauptträgheitsachsensystem des Körpers. Sein Drehimpuls ist: ⎛ ⎞⎛ ⎞ Ix 0 0 ωx L = ⎝ 0 I y 0 ⎠ ⎝ω y ⎠ (1.114) ωz 0 0 Iz ⎛ ⎞ I x ωx = ⎝ Iy ωy ⎠ (1.115) Iz ωz Für eine Drehung um die z-Achse sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls: ⎞ 0 ω =⎝0⎠ ωz ⎛
⎛
⎞ 0 L = ⎝ 0 ⎠ I z ωz
(1.116)
Drehimpuls und Drehachse sind also parallel. Ist die Drehachse jedoch nicht die z-Achse ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ωx Ix ωx ω =⎝0⎠ L = ⎝ 0 ⎠ , (1.117) ωz I z ωz nicht parallel. dann sind für Ix = Iz die Vektoren L und ω
1.8 Kreisel Kreisel jeder Form sind wegen ihres scheinbaren Eigenlebens faszinierende Objekte. Um die Ursache ihrer Bewegungen zu verstehen, konzentrieren wir uns im ersten Abschnitt auf den sogenannten kräftefreien, symmetrischen Kreisel. Ein Kreisel = 0), und symmetrisch, heißt kräftefrei, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt ( D wenn zwei Diagonalelemente seines Trägheitstensors gleich groß sind (Ia = Ib ). Die Symmetrieachse des Kreisels wird auch als Figurenachse bezeichnet und wird hier c genannt.
16
1 Dynamik starrer Körper
himpulsvektor und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit parallel: L ω (siehe Gl. (1.19)). Bei allgemeinen Rotationsbewegungen stehen der Drehimpulsvektor L und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω selbst für einen Massenpunkt nicht parallel: L = r × p
(1.84)
= m r × v = m r × (ω × r) = m(ω r 2 − r
(1.85) (1.86) r ω) (
)
(1.87)
im Allgemeinen =0
Wir möchten auch im Fall des starren Körpers, z.B. eines Kreisels, mit variabler Drehachse für den Drehimpuls die bewährte Schreibweise (1.20) L = Iˆ · ω
(1.88)
beibehalten. Hier bezeichnet Iˆ eine Matrix, die wir Trägheitstensor nennen. Er ersetzt das skalare Trägheitsmoment bzgl. einer festen Achse und ermöglicht, den Drehimpuls für Rotationsachsen in allen Raumrichtungen sofort zu berechnen. Den Drehimpuls für starre Körper berechnen wir durch Integration von (1.87) über alle Massenelemente dm: r ω) dm (1.89) ω r 2 − r ( L = Wir können L komponentenweise berechnen: r 2 ωx − x xωx + yω y + zωz dm 2 2 = r − x dm ωx − x y dm ω y − x z dm ωz
Lx =
≡I x x
≡I x y
(1.91)
≡I x z
= I x x ωx + I x y ω y + I x z ωz
Ly =
(1.90)
r 2 ω y − y xωx + yω y + zωz dm
(1.92)
(1.93)
2 2 = r − y dm ω y − yx dm ωx − yz dm ωz
(1.94)
= I yy ω y + I yx ωx + I yz ωz
(1.95)
1.8
Kreisel
21
Im zweiten Abschnitt lassen wir dann ein äußeres Drehmoment auf den Kreisel wirken. c im Als Trägheitstensor haben wir für den Kreisel mit den Hauptachsen a , b, Allgemeinen ⎛
⎞ Ia 0 0 Iˆ = ⎝ 0 Ib 0 ⎠ . 0 0 Ic
(1.118)
1.8.1 Nutation
Experiment: Kreisel Wir lassen einen kräftefreien, symmetrischen Kreisel zunächst um seine Figurenachse drehen. Dabei steht die Figurenachse parallel zum Drehimpuls und zur Drehachse ( c L ω). Nach einem Schlag auf die Figurenachse beginnt die Figurenachse des Kreisels eine Rotationsbewegung um eine feste Achse. Diese Bewegung wird mit Nutation bezeichnet.
Im Anschluss an den Schlag wirkt kein äußeres Drehmoment auf den Kreisel, so dass der Drehimpuls und die Gesamtenergie des Kreisels erhalten bleiben: Drehimpulserhaltung Energieerhaltung
L = const. E = E r ot = const.
(1.119) (1.120)
Die feste Achse in unserem Experiment zeigt demnach in die Richtung des Drehimpulses. Die Bewegung der Figurenachse c und der Winkelgeschwindigkeit ω können wir mit Hilfe dieser Erhaltungsgrößen L und E berechnen. Zunächst untersuchen wir den Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Beim Experiment mit den rollenden Zylindern hatten wir die Rotationsenergie eines starren Körpers mit Trägheitsmoment I kennengelernt (1.64):
22
1 Dynamik starrer Körper
Er ot =
1 I ω2 2
(1.121)
Die Rotationsenergie mit einem Trägheitstensor führen wir analog dazu ein:
Er ot
⎛ ⎞⎛ ⎞ Ix x Ix y Ix z ωx 1 ωx , ω y , ωz ⎝ I yx I yy I yz ⎠ ⎝ω y ⎠ = 2 Izx Izy Izz ωz
(1.122)
In Kurzschreibweise lautet diese Gleichung (der Index T steht für den transponierten Vektor): Er ot =
1 T ˆ ω I ω 2
Mit dem Drehimpuls L = Iˆω gilt dann (der Index weggelassen) Er ot =
(1.123) T
wird im Skalarprodukt meist
1 ω L . 2
(1.124)
Die Rotationsenergie entspricht der Gesamtenergie des Kreisels, die erhalten bleibt (1.120). Damit ist auch das Skalarprodukt zwischen ω und L konstant: cos γ = const. ω L = |ω| | L|
(1.125)
ist konstant. Wegen L = Iˆω Der Betrag des Drehimpulsvektors | L| bleibt dann auch |ω| = const. Der Drehimpulsvektor L zeigt im Laborsystem in eine feste Richtung, so dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kegel um die L-Achse rotiert.
Um die Bewegung der Figurenachse c zu verstehen, wählen wir zunächst die Richtungen der Hauptachsen des symmetrischen Kreisels mit den Einheitsvektoren ea , eb und ec als Bezugssystem.
1.8
Kreisel
23
Die Rotationsenergie des symmetrischen Kreisels (Ia = Ib ) beträgt in seinem Hauptachsensystem:
Er ot
⎛ ⎞⎛ ⎞ ωa Ia 0 0 1 ωa , ωb , ωc ⎝ 0 Ib 0 ⎠ ⎝ωb ⎠ = 2 0 0 Ic ωc 1 = Ia ω2 + Ib ωb2 + Ic ωc2 2 a L 2b 1 L 2a L 2c = + + 2 Ia Ib Ic
(1.126) (1.127) (1.128)
Diese Gleichung entspricht der Gleichung eines Ellipsoids Ax 2 + By 2 + C z 2 = const. mit A = B. Energieerhaltung impliziert also die Beschränkung der Kreiselbewegung auf eine Ellipsoid-Form im Drehimpulsraum. 2 = const. folgt Aus der Drehimpulserhaltung L = const. bzw. | L| L 2a + L 2b + L 2c = const.
(1.129)
Diese Gleichung hat die Form einer Kugel x 2 + y 2 + z 2 = const. Drehimpulserhaltung beschränkt demnach die Kreiselbewegung auf eine Kugelform im Drehimpulsraum.
Da die Energieerhaltung und die Drehimpulserhaltung gleichzeitig gelten müssen, liegen alle möglichen Werte auf der Schnittkurve des Ellipsoids und der Kugel:
Die Richtungen von (L a , L b , L c ) und c bleiben im Hauptachsensystem des Kreisels fest. Im Laborsystem bleibt die Richtung von L fest, so dass die Figurenachse c auf einem Kegel mit festem Öffnungswinkel um den Drehimpulsvektor L rotiert. Diese Bewegung der Figurenachse des Kreisels beobachten wir in dem oben erwähnten Nutationsexperiment.
24
1 Dynamik starrer Körper
1.8.2 Präzession = 0 auf den Kreisel wirken, so kommt es zu Lassen wir ein äußeres Drehmoment D einer weiteren Drehbewegung, der sogenannten Präzession. Das Drehmoment kann z.B. durch die Gravitation verursacht werden.
Experiment: Kreisel-Präzession Wir hängen ein bereits rotierendes Rad auf der einen Seite seiner Achse an einem Faden auf.
Das Rad hat den Drehimpuls R . L = I R ω
(1.130)
Senkrecht dazu wirkt das Drehmoment der Gravitation = r × m R g . D
(1.131)
senkrecht auf dem Drehimpulsvektor L des Rads Da das Drehmoment D = const. Durch das angreifende Drehsteht, ist dessen Betrag konstant | L| moment ändert sich aber die Richtung von L und eine Präzessionsbewegung entsteht: Die Radachse mit dem Rad rotiert horizontal um den Faden mit der Winkelgeschwindigkeit ω p , der „Präzessionsfrequenz“.
Nach dem Bewegungsgesetz für Drehbewegungen ist d L . =D dt
(1.132)
= const. besteht die zeitliche Änderung von d L in einer Kreisbewegung Wegen | L| im Drehimpulsraum mit dem Radius | L|:
1.8
Kreisel
25
Einsetzen des kreisenden Drehimpulses d L = L dϕ und des Drehmoments D = mgr (1.131) in die Bewegungsgleichung (1.132) ergibt dϕ =mgr dt L ωp = m g r
L
(1.133) (1.134)
mit der Präzessionsfrequenz ω p . Ihre Größe ist unter Berücksichtigung von (1.130): mgr L mgr = IR ωR
ωp =
(1.135) (1.136)
Diese Drehbewegung können wir ebenfalls als „Präzessionsperiode“ mit der Periode des Rads TR = 2π/ω R ausdrücken: Tp =
4π 2 I R 1 m g r TR
(1.137)
Je schneller wir das Rad drehen, desto langsamer ist die Präzessionsbewegung.
Kapitel 2
Schwingungen
Mit Schwingungen bzw. Oszillationen bezeichnen wir periodische Bewegungen von Objekten bzw. ganzen Systemen. In diesem Kapitel erweitern wir unsere bisherigen Kenntnisse über den harmonischen Oszillator zu Schwingungssystemen mit Antrieb, Dämpfung und zu gekoppelten Schwingungssystemen. Schließlich untersuchen wir aus vielen Frequenzen zusammengesetzte Schwingungen. Periodische Bewegungen sind häufig einfacher mit komplexen als mit reellen Zahlen zu beschreiben. Daher beginnen wir mit einem kurzen Einschub über die wichtigsten Aspekte komplexer Zahlen. Mathematischer Einschub: Komplexe Zahlen
c =
a +i
b
mit a, b ∈ R und c ∈ C
Realteil
I maginär teil
(2.1)
Man nennt a = Re (c) den Realteil und b = I m (c) den Imaginärteil. Die komplex konjugierte Zahl ist: c∗ = a − ib
(2.2)
Der Betrag einer komplexen Zahl wird folgendermaßen berechnet, wobei i 2 = −1
(2.3)
ist: " 2 2 |c| = a + b = a 2 − (ib)2 " = (a + ib) (a − ib) √ = c · c∗
(2.4) (2.5) (2.6)
M. Erdmann, Experimentalphysik 3, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-16231-2_2,
27
28
2 Schwingungen
Die Darstellung lautet:
in
Polarkoordinaten
c = |c| (cosϕ + i sin ϕ) c∗ = |c| (cosϕ − i sin ϕ)
(2.7) (2.8)
Mathematischer Einschub: Euler’sche Formel Die häufig verwendete Euler’sche Formel cos ϕ ± i sin ϕ = e±iϕ
(2.9)
erlaubt uns eine praktische Kurzschreibweise für (2.7) und (2.8): c = |c| eiϕ c∗ = |c| e−iϕ
(2.10)
2.1 Harmonischer Oszillator In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst einen ungestört schwingenden harmonischen Oszillator. Ein Beispiel ist das Federpendel mit der bewegten Masse m und der rücktreibenden Federkraft F = −kx.
Mit dem Bewegungsgesetz von Newton erhalten wir die Bewegungsgleichung: d p = i Fi dt ma = −kx k x¨ = − x m
≡ω2
(2.11) (2.12) (2.13)
2.1
Harmonischer Oszillator
29
In der bekannten Form lautet sie: x¨ = −ω2 x
(2.14)
x (t) = A · cos (ωt + ϕ◦ )
(2.15)
Die Ortsfunktion
√ löst die Bewegungsgleichung (2.14) mit der Frequenz ω = k/m des Federpendels und mit den beiden Anfangsbedingungen A, ϕ◦ ∈ R. Mit den komplexen Zahlen versuchen wir nun einen alternativen Lösungsansatz zu verwenden: x (t) = c eλt
c, λ ∈ C
(2.16)
Die zeitlichen Ableitungen für diesen Ansatz ergeben x˙ = λc eλt
(2.17)
λt
e x¨ = λ c
(2.18)
= λ2 x
(2.19)
2
=x
Unser Lösungsansatz erfüllt die Bewegungsgleichung (2.14) mit λ2 = −ω2 .
(2.20)
Die beiden möglichen Lösungen für λ sind damit: λ1 = iω λ2 = −iω
(2.21) (2.22)
Als allgemeine Lösung verwenden wir die Kombination der beiden Möglichkeiten: x (t) = x1 (t) + x2 (t) = c1 e
iωt
+ c2 e
(2.23) −iωt
(2.24)
Wir zeigen im Folgenden, dass diese Lösung mit der Lösung (2.15) übereinstimmt. Setzen wir c ≡ c1 = c2∗ = |c| eiϕ◦ als Anfangsamplitude und Anfangsphase in x (t) ein, erhalten wir:
30
2 Schwingungen
x (t) = |c| eiϕ◦ eiωt + |c| e−iϕ◦ e−iωt = |c| ei (ωt+ϕ◦ ) + e−i (ωt+ϕ◦ )
(2.25) (2.26)
= |c| (cos (ωt + ϕ◦ ) + i sin (ωt + ϕ◦ ) + cos (ωt + ϕ◦ ) − i sin (ωt + ϕ◦ )) (2.27) = 2|c| cos (ωt + ϕ◦ )
(2.28)
=A
Unser Ansatz (2.24) führt also zu derselben Lösung wie der nicht-komplexe Ansatz. Physikalisch beobachtbare Lösungen sind immer reell. Erhalten wir die allgemeine Lösung in Form von komplexen Zahlen, so ergibt die Projektion auf die reelle Achse die physikalische Lösung. Im folgenden Bild ist die komplexe Lösung x1 (t) des harmonischen Oszillators durch einen gegen den Uhrzeigersinn rotierenden Zeiger gezeigt. Der Zeiger der komplexen Lösung x2 (t) rotiert entsprechend im Uhrzeigersinn. Die Summe x1 (t)+ x2 (t) ergibt die Kosinusfunktion als die reelle Lösung.
Eine reelle Lösung erhalten wir alternativ durch die Projektion von x1 (t) auf die reelle Achse. Auch hier ergibt sich die Kosinusfunktion als physikalische Lösung. Häufig erhalten wir also die physikalische Lösung bereits durch Verwendung von entweder λ1 oder λ2 und anschließende Projektion auf die reelle Achse. Wir wählen hier (2.21) als Lösung: x1 (t) = c1 · eiωt Setzen wir wieder c = c1 = |c| eiϕ◦ , so ist
(2.29)
2.1
Harmonischer Oszillator
31
x1 (t) = |c| eiϕ◦ eiωt
(2.30)
i(ωt+ϕ◦ )
= |c| e = |c| [cos (ωt + ϕ◦ ) + i sin (ωt + ϕ◦ )]
(2.31) (2.32)
Der Realteil von x 1 (t) ist bereits Lösung von (2.14) mit zwei Anfangsbedingungen |c| und ϕ◦ : Re (x 1 (t)) = |c| cos (ωt + ϕ◦ )
(2.33)
Er entspricht der Lösung (2.15) mit |c| = A.
Aufgabe 2.1: Pohl’sches Rad Das Pohl’sche Rad besteht aus einer vertikal positionierten Scheibe mit horizontaler Drehachse. An ihr ist eine Schneckenfeder montiert, so dass wir das Rad in Drehschwingungen versetzen können.
Gegeben: Scheibe: Trägheitsmoment I Drehimpuls Gesucht:
Feder: Richtmoment Dr Rücktreibendes Drehmoment
L = I ϕ˙
D = −Dr ϕ
1. Wie lautet die Bewegungsgleichung? 2. Ist ϕ (t) = c · eiωt mit c ∈ C eine Lösung? 3. Wie lautet die physikalische Lösung? (2 Punkte)
32
2 Schwingungen
Lösung zu Aufgabe 2.1: Pohl’sches Rad
2.2 Gedämpfte Schwingungen Ein Beispiel für einen gedämpften Oszillator ist das Pohl’sche Rad mit eingebauter Bremse. Das bremsende Drehmoment Db können wir z.B. durch Reibung erzeugen. Dabei sei die Bremswirkung proportional zur Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ˙ der Scheibe: Db = −bϕ˙
(2.34)
Wir verwenden das Bewegungsgesetz für Drehbewegungen (1.36) mit dem Drehmoment der Schneckenfeder (1.35) und mit dem bremsenden Drehmoment (2.34): d L = D dt d L r + D b =D dt I ϕ¨ = −Dr ϕ − bϕ˙ b Dr ϕ− ϕ˙ ϕ¨ = − I I
≡ω◦2
(2.35) (2.36) (2.37) (2.38)
≡2γ
Dabei bezeichnen wir die Kreisfrequenz des frei schwingenden Pohl’schen Rads mit ω◦ . Mit γ beschreiben wir die Stärke der Dämpfung. Der Faktor 2 in der Definition von γ erleichtert die folgende Berechnung.
2.2
Gedämpfte Schwingungen
33
Die Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung lautet damit: ϕ¨ + 2γ ϕ˙ + ω◦2 ϕ = 0
(2.39)
Als Lösungsansatz verwenden wir: ϕ = c eλt
(2.40)
ϕ˙ = λc eλt
(2.41)
ϕ¨ = λ2 c eλt
(2.42)
Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung (2.39) erhalten wir λ2 + 2γ λ + ω◦2 = 0 .
(2.43)
Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich durch quadratische Ergänzung: λ1,2 = −γ ±
γ 2 − ω◦2
(2.44)
Eine physikalische Lösung für die Ortsfunktion ϕ (t) erhalten wir z.B. mit der Lösung λ1 und anschließender Verwendung des Realteils: ϕ (t) = Re c1 · eλ1 t √ 2 2 = Re (c1 · e−γ t ) · e γ −ω◦ t
(2.45) (2.46)
Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung beschreibt die Amplitude und ihre Dämpfung. Da γ eine reelle Zahl ist, dämpft der Term e−γ t die Amplitude exponentiell in der Zeit. Ob die Schwingung des Pohl’schen Rads überhaupt zustande kommt, liegt an dem zweiten Term auf der rechten Seite der Gl. (2.46) √ e
γ 2 −ω◦2 t
.
(2.47)
Wir können drei Fälle unterscheiden:
2.2.1 Schwache Dämpfung Für den Fall, dass γ < ω◦ ist, ist λ (2.44) eine komplexe Zahl, da der Term unter der Wurzel γ 2 − ω◦2 < 0 negativ ist. Wir definieren die Kreisfrequenz ω2 ≡ ω◦2 − γ 2 .
(2.48)
34
2 Schwingungen
Damit ist dann die Lösung λ1 aus Gl. (2.44): λ1 = −γ +
γ 2 − ω◦2
" = −γ + i 2 ω2 = −γ + iω
,
λ1 ∈ C
(2.49) (2.50) (2.51)
Mit den Anfangsbedingungen in der Form c1 = |c| ei ϕ◦ ergibt sich die physikalische Lösung der Bewegungsgleichung (2.39): ϕ1 (t) = Re |c| eiϕ◦ e−γ t eiωt
(2.52)
= Re |c| e−γ t ei (ωt+ϕ◦ )
(2.53)
= |c| · e−γ t · cos (ωt + ϕ◦ )
(2.54)
Es handelt sich um eine Schwingung mit der Frequenz ω und mit einer exponentiell abklingender Amplitude.
Die Frequenz ω des gebremsten Pohl’schen Rads ist im Vergleich zu der Frequenz ω◦ des ungedämpft schwingenden Rads geringer: ω = ω − ω◦ < 0 = ω◦2 − γ 2 − ω◦ < 0
(2.55) (2.56)
Die Schwingungsperiode T = 2π/ω dauert also etwas länger, wenn die Dämpfung eingeschaltet ist.
2.2.2 Starke Dämpfung Für den Fall, dass γ > ω◦ ist, ist λ (2.44) eine reelle Zahl: λ1 = −γ +
γ 2 − ω◦2 < 0
(2.57)
2.3
Erzwungene Schwingungen
35
Das System schwingt in diesem Fall nicht: ϕ1 (t) = Re |c| eiϕ◦ eλ1 t = [ |c| cos (ϕ◦ ) ] · e
(2.58) λ1 t
(2.59)
Der erste Term (|c| cos ϕ◦ ) auf der rechten Seite beschreibt die Anfangsamplitude. Der zweite Term eλ1 t zeigt das exponentielle Abklingen der Amplitude des Pohl’schen Rads. Wir bezeichnen diese Bewegung als Kriechfall.
2.2.3 Aperiodischer Grenzfall Im Fall γ = ω◦ ist λ1 = −γ .
(2.60)
Dieser Fall ist dem Kriechfall ähnlich. Experiment: Gedämpfte Schwingungen mit dem Pohl’schen Rad Mit dem Pohl’schen Rad lassen sich unter Verwendung verschieden stark bremsender Drehmomente die gedämpften Schwingungen und der Kriechfall sehr schön demonstrieren.
2.3 Erzwungene Schwingungen Wir statten das Pohl’sche Rad mit einem Antrieb aus, indem wir das bislang fest montierte Ende der Schneckenfeder mit Hilfe eines Motors periodisch hin und her bewegen. Diese Bewegung hat die Frequenz ωm und bewirkt ein Drehmoment: Dm = Re D◦ · eiωm t = D◦ · cos (ωm t)
(2.61) (2.62)
36
2 Schwingungen
Die Antriebsfrequenz ωm ist mit der Motorgeschwindigkeit variabel einstellbar und ist im Allgemeinen von der Frequenz ω◦ der frei schwingenden Scheibe an der Schneckenfeder verschieden. Mit dem zusätzlichen Antriebsterm erweitern wir das Bewegungsgesetz (2.37) der gedämpften Schwingung: d L = D dt I ϕ¨ = −Dr ϕ − bϕ˙ + D◦ · eiωm t b D◦ iωm t Dr ϕ− ϕ˙ + e ϕ¨ = − I I I
(2.64) (2.65)
≡κ
≡2γ
≡ω◦2
(2.63)
Wir definieren die Antriebskonstante κ ≡ D◦ /I und erhalten als Bewegungsgleichung für die erzwungene Schwingung: ϕ¨ + 2 γ ϕ˙ + ω◦2 ϕ = κ eiωm t
(2.66)
Als Lösungsansatz verwenden wir: ϕ = c eiωm t ϕ˙ = i ωm c e ϕ¨ = =
2 −ωm 2 −ωm
(2.67) iωm t
(2.68)
iωm t
(2.69)
ce ϕ
(2.70)
Einsetzen dieses Ansatzes in die Bewegungsgleichung (2.66) ergibt
2 + 2 γ i ωm + ω◦2 c eiωm t = κ eiωm t . −ωm
(2.71)
Die komplexe Amplitude c berechnen wir somit aus: c= = =
κ − ω 2 + i 2 γ ωm 2 m 2 κ ω◦ − ωm − i 2 γ ωm 2 2 − (i 2 γ ω )2 ω◦2 − ωm m 2 κ ω◦2 − ωm −i 2 2 + (2 γ ω )2 ω◦2 − ωm m
(2.72)
ω◦2
= a + ib
≡a
(2.73) κ (2 γ ωm ) 2 2 + (2 γ ω )2 ω◦2 − ωm m
(2.74)
≡−b
(2.75)
2.3
Erzwungene Schwingungen
37
Der Betrag der physikalischen Amplitude |c| der erzwungenen Schwingung ist: |c| =
"
a 2 + b2
(2.76) κ
= 2 2 + (2 γ ω )2 ω◦2 − ωm m
2 2 + (2 γ ω )2 ω◦2 − ωm m
−1/2 2 2 2 2 = κ ω◦ − ωm + (2 γ ωm )
(2.77)
(2.78)
Die Amplitude |c| wird dann maximal, wenn wir eine Erregerfrequenz ωm einstellen, mit der die Ableitung d|c|/dωm = 0 wird. Die Ableitung lautet nach der Kettenregel: 2 (−2 ω ) + (2 γ )2 2 ω 2 ω◦2 − ωm d|c| m m = −κ · 3 dωm 2 2 + (2 γ ω )2 2 ω◦2 − ωm m
(2.79)
Die Ableitung ist dann Null, wenn gilt: 2 − 2 γ2 = 0 ω◦2 − ωm
(2.80)
Die Erregerfrequenz ωm = ω R , bei der die Amplitude maximal wird, nennt man Resonanzfrequenz: ω R = ω◦2 − 2 γ 2
(2.81)
Sie liegt etwas unterhalb der Frequenz ω◦ des frei schwingenden Pohl’schen Rads.
38
2 Schwingungen
Experiment: Resonanz Variieren wir die Antriebsfrequenz des Motors und treiben das Pohl’sche Rad mit einer Frequenz nahe der Resonanzfrequenz ω R an, die etwas unterhalb der Frequenz ω◦ der frei schwingenden Scheibe liegt, so kommt es zu einem resonanten Verhalten: Die Scheibenamplitude wird in der Nähe der Resonanzfrequenz auch bei kleinen Änderungen in der Erregerfrequenz drastisch größer, bis eine maximale Amplitude erreicht ist.
2.4 Gekoppelte Schwingungen Wir untersuchen nun zwei Pendel, die jeweils aus einer festen Stange mit einem Pendelgewicht an ihrem Ende bestehen und die über eine Feder miteinander gekoppelt sind.
Bei diesem Aufbau treten die folgenden Drehmomente auf: 1. Die Dehnung s der Feder verursacht die rücktreibende Kraft FF = −ks. Da wir die Auslenkwinkel ϕ1 , ϕ2 der beiden Pendel berechnen wollen, nähern wir die Dehnung s durch ϕ1 und ϕ2 für kleine Winkel: s = s1 − s2 = a sin (ϕ1 ) − a sin (ϕ2 ) ≈ a (ϕ1 − ϕ2 )
(2.82) (2.83) (2.84)
Das von der Feder verursachte Drehmoment wirkt jeweils in der Entfernung a von der Drehachse: π D F = a FF sin −ϕ (2.85) 2 ≈ −a k s (2.86) ≈ −ka 2 (ϕ1 − ϕ2 )
(2.87)
2.4
Gekoppelte Schwingungen
39
Dabei haben wir Terme zweiter Ordnung in der Winkelnäherung vernachlässigt (sin (π/2 − ϕ) = cos ϕ ≈ 1 − ϕ 2 /2 ≈ 1). 2. Das rücktreibende Drehmoment durch die Gravitation auf die Masse m des Pendels, dessen Schwerpunkt sich im Abstand l von der Drehachse befindet, ist: G = l × FG D DG = −l · m · g · sin ϕ ≈ −l · m · g · ϕ
(2.88) (2.89) (2.90)
Die Bewegungsgleichungen für beide Pendel finden wir über das Bewegungsgesetz für Drehbewegungen d L i . D = dt n
(2.91)
i=1
Der Drehimpuls beträgt L = I ϕ˙ (1.25) mit dem Trägheitsmoment I des Pendels. In der Skizze oben zeigen die Drehmomente durch die Gravitation in dieselbe Richtung, während die Drehmomente durch die Feder in entgegengesetzte Richtungen zeigen: L˙ 1 = DG 1 + D F L˙ 2 = DG 2 − D F
(2.92) (2.93)
Durch Einsetzen von (2.87) und (2.90) erhalten wir folgende Gleichungen für die beiden Pendel: I ϕ¨1 = −l g m ϕ1 − k a 2 (ϕ1 − ϕ2 )
(2.94)
I ϕ¨2 = −l g m ϕ2 + k a 2 (ϕ1 − ϕ2 )
(2.95)
Dieses Gleichungssystem ist gekoppelt. Wir entkoppeln die Gleichungen, indem wir sie einmal addieren und einmal voneinander subtrahieren: I (ϕ¨1 + ϕ¨2 ) = −l g m (ϕ1 + ϕ2 ) + k a 2 [− (ϕ1 − ϕ2 ) + (ϕ1 − ϕ2 )]
(2.96)
I (ϕ¨1 − ϕ¨2 ) = −l g m (ϕ1 − ϕ2 ) + k a 2 [− (ϕ1 − ϕ2 ) − (ϕ1 − ϕ2 )]
(2.97)
Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir die Variablen η≡
1 (ϕ1 + ϕ2 ) 2
(2.98)
ξ≡
1 (ϕ1 − ϕ2 ) 2
(2.99)
40
2 Schwingungen
und setzen sie in die Gln. (2.96) und (2.97) ein. Dabei sind ϕ1 + ϕ2 = 2η
,
ϕ1 − ϕ2 = 2ξ
,
ϕ¨1 + ϕ¨2 = 2η¨ ϕ¨1 − ϕ¨2 = 2ξ¨ .
(2.100) (2.101)
Damit vereinfacht sich das ursprüngliche Gleichungssystem aus (2.94) und (2.95) zu zwei unabhängig voneinander lösbaren Differentialgleichungen: I 2η¨ = −l g m 2η I 2ξ¨ = −l g m 2ξ − 2ka 2 2ξ
(2.102) (2.103)
Isolieren wir jeweils die zweiten Ableitungen auf der linken Seite, ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen vom Typ des harmonischen Oszillators: η¨ = −
lgm η I
(2.104)
≡ωa2
ξ¨ = −
lgm + 2ka 2 ξ I
(2.105)
≡ωb2
Die konstanten Terme auf der rechten Seite dieser Gleichungen identifizieren wir als das Quadrat der Schwingungsfrequenzen. Da alle Größen positiv sind, ist ωb > ωa . Die Struktur der Frequenzterme können wir folgendermaßen verstehen. Für ein Pendel mit vernachlässigbarer Masse der Stange ist das Trägheitsmoment I = m l 2 . Damit entspricht ωa = ≈
=
lgm I
(2.106)
lgm ml 2
(2.107)
g l
(2.108)
≡ω◦
näherungsweise der Frequenz ω◦ eines frei schwingenden Pendels. Für eine schwache Federkopplung k mgl/a 2 sehen wir durch eine Taylor√ Entwicklung ( 1 + x ≈ 1+x/2), dass die Frequenz ωb nur wenig größer ist als ωa :
2.4
Gekoppelte Schwingungen
41
lgm + 2ka 2 I g 2ka 2 1+ ≈ l lgm
ωb =
≈ ω◦ ( 1 +
(2.109)
(2.110)
ka 2 ) lgm
(2.111)
≡2κ
Dabei ist in unserer Näherung schwacher Federkopplung k κ≡
ka 2 1 . 2lgm
(2.112)
Für den Fall einer starken Federkopplung k führen wir ein Gedankenexperiment auf einem Planeten mit der √ Beschleunigung g kl/m durch. Wir montieren die Feder an der Stelle a = l/ 2 und erhalten für ωb =
lgm
+ 2ka 2 I
≈
lgm + kl 2 ≈ ml 2
k m
(2.113)
die Frequenz eines frei schwingenden Federpendels. Im Folgenden werden wir uns aber auf den Fall einer schwachen Federkopplung k konzentrieren. Für die Lösung der Ortsfunktionen setzen wir in bewährter Art an: η (t) = η◦ eiωa t
mit η◦ = |c| eiα
(2.114)
ξ (t) = ξ◦ e
mit ξ◦ = |c| e
(2.115)
iωb t
iβ
Dabei bezeichnet |c| die Amplitude der beiden Pendel und α bzw. β ihre Anfangsphasen. Um die Ortsfunktion ϕ1 (t) des ersten Pendels zu erhalten, verwenden wir die Rücktransformationen, die sich aus den Definitionsgleichungen für η (2.98) und ξ (2.99) ergeben. Die physikalische Lösung für das 1. Pendel lautet: ϕ1 = Re( η + ξ )
(2.116)
= Re( η◦ eiωa t + ξ◦ eiωb t ) = Re |c| ei(ωa t+α) + ei(ωb t+β)
(2.118)
= |c| [ cos (ωa t + α) + cos (ωb t + β) ]
(2.119)
(2.117)
42
2 Schwingungen
Mathematischer Einschub: Additionstheorem Mit Hilfe von Additionstheoremen können wir Kosinus- und Sinusfunktionen zusammenfassen: x−y x+y · cos (2.120) cos (x) + cos (y) = 2 cos 2 2 x+y x−y cos (x) − cos (y) = −2 sin · sin (2.121) 2 2 x−y x+y · cos (2.122) sin (x) + sin (y) = 2 sin 2 2 x+y x−y sin (x) − sin (y) = 2 cos · sin (2.123) 2 2
Mit dem Additionstheorem (2.120) erhalten wir eine vergleichsweise gut interpretierbare Schreibweise der Lösung (2.119): ⎛
⎞
⎞
⎛
⎜ ωb − ωa ⎟ ⎜ β − α⎟ ⎟ · cos ⎜ ωb + ωa t + β + α ⎟ (2.124) t+ ϕ1 (t) = 2|c| cos ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 2
2
2
2 ⎠
≡ϕb
≡b
≡a
≡ϕa
Pendelschwingung
Amplitudenmodulation
Die Bewegung des ersten Pendels können wir als eine Überlagerung von zwei Schwingungen verstehen. Die Differenz der Frequenzen b ≡
ωb − ωa 2
(2.125)
führt zu einer langsamen Amplitudenmodulation, die man als Schwebung bezeichnet. In den Näherungen einer vernachlässigbar kleinen Masse der Pendelstange (2.108) und einer schwachen Federkopplung k (2.111) ergibt sich eine Schwebungsfrequenz, die um einen Faktor κ (2.112) kleiner als die Frequenz ω◦ des frei schwingenden Pendels ist: 1 (ω◦ (1 + 2κ) − ω◦ ) 2 = κ ω◦
b ≈
(2.126) (2.127)
2.4
Gekoppelte Schwingungen
43
Der Mittelwert a ≡
ωb + ωa 2
(2.128)
der beiden Frequenzen entspricht einer Pendelfrequenz, die mit den Näherungen (2.108), (2.111) und (2.112) im Bereich der Frequenz ω◦ des frei schwingenden Pendels liegt: 1 (ω◦ (1 + 2κ) + ω◦ ) 2 = ω◦ (1 + κ)
a ≈
≈ ω◦
(2.129) (2.130) (2.131)
Die beiden Anfangsbedingungen ϕa und ϕb in Gl. (2.124) setzen sich aus den anfänglichen Pendelauslenkungen zusammen. Für eine schwache Federkopplung k und vernachlässigbarer Masse der Pendelstange finden wir also für das erste Pendel folgende Lösungsstruktur der Ortsfunktion: ϕ1 (t) ≈ 2 |c| cos(κ ω◦ t + ϕb ) · cos(ω◦ t + ϕa )
a
(2.132)
Ωa
b
Ωb
Die zugehörigen Schwingungsperioden Ta und Tb können wir sofort berechnen. Die kurze Schwingungsperiode Ta =
2π 2π ≈ a ω◦
(2.133)
≡T◦
entspricht ungefähr dem mit der Periode T◦ = 2π/ω◦ frei schwingenden Pendel. Die längere Periode Tb der Schwebung erhalten wir über Tb =
2π 2π T◦ = = . b κω◦ κ
(2.134)
44
2 Schwingungen
Die Lösung ϕ2 (t) für das zweite Pendel erhalten wir durch Differenzbildung der Definitionsgleichungen (2.98) und (2.99) und Einsetzen der Lösungen (2.114) für η(t) und (2.115) für ξ(t). Wir verwenden hier das Additionstheorem (2.121). Die Ortsfunktion des zweiten Pendels ist im Vergleich zu der Ortsfunktion des ersten Pendels um die Phase π/2 verschoben:
ϕ2 (t) ≈ −2 |c| sin(κ ω◦ t + ϕb ) · sin(ω◦ t + ϕa )
(2.135)
Experiment: Gekoppelte Pendel Lenkt man ein Pendel des gekoppelten Pendelsystems aus und lässt es schwingen, wird das zweite Pendel ebenfalls zu einer Pendelbewegung angeregt. Während das zweite Pendel an Amplitude gewinnt, verliert das erste Pendel Amplitude bis es selbst zum Stillstand kommt. Dann kehrt sich der Vorgang um. Das beobachtete, abwechselnde Schwingverhalten der Pendel entspricht der Überlagerung von zwei Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen.
2.5 Fourier-Transformation 2.5.1 Fourier-Synthese Im vorherigen Abschn. 2.4 haben wir bereits eine Überlagerung von zwei Schwingungen untersucht. Jetzt verallgemeinern wir die Situation und überlagern beliebig viele Schwingungen verschiedener Frequenzen:
Wir betrachten eine Überlagerung von N Schwingungen zu einem Klangspektrum:
2.5
Fourier-Transformation
45
x (t) =
N
an cos (ωn t + ϕn )
(2.136)
n=1
Hierbei bezeichnet an die Amplitude der n-ten Schwingung, ωn ist ihre Kreisfrequenz, und ϕn ist ihre Phasenverschiebung. Das Resultat ist wieder eine periodische Bewegung. Da wir dieses periodische Verhalten aus der Überlagerung vieler Einzelschwingungen erhalten haben, nennt man dieses Verfahren Fourier-Synthese.
Experiment: Fourier-Synthese Mit einem Sinus-Generator, einem Lautsprecher und einem Oszilloskop können wir zunächst einen einzelnen Sinus-Ton hörbar und sichtbar machen. Anschließend überlagern wir Sinus-Töne verschiedener Frequenzen. Der Ton verändert seine Klangqualität. Auf dem Oszilloskop werden verschiedene Schwingungsformen sichtbar. n−1 Setzt man an = (−1) 2n−1 und ωn = (2n − 1) ω◦ , so ergibt sich bei n → ∞ für x(t) eine Rechteckschwingung:
2.5.2 Fourier-Analyse Betrachtet man den umgekehrten Fall, eine Zerlegung in Einzelschwingungen, so spricht man von einer Fourier-Analyse. Sie hat große Bedeutung z.B. in der Akustik. Dort wird ein Klang in Sinusschwingungen verschiedener Amplituden und Frequenzen zerlegt.
Experiment: Fourier-Analyse Mit einem Mikrofon geben wir den Ton über eine Sound-Karte in einen Computer ein, auf dem eine Fourier-Analyse zur Bestimmung der Amplituden an zu den jeweiligen Frequenzen ωn programmiert ist. Die bildliche Darstellung des Klangs ist die jeweilige Amplitude als Funktion der zugehörigen Frequenz.
46
2 Schwingungen
Die Rechteckschwingung ergibt das Frequenzspektrum entsprechend n−1 an = (−1) 2n−1 und ωn = (2n − 1) ω◦ :
|an/ ao|
1
0.5
0
0
5
10 15 ωn /ωo
20
2.5.3 Fourier-Transformation Gleichung (2.136) zeigt, dass wir sämtliche Information über das Klangspektrum gleichwertig durch folgende Alternativen erfassen können: • Mit der linken Seite von (2.136) beschreiben wir das Klangspektrum durch die zeitliche Entwicklung der Ortsfunktion x(t), die z.B. der Bewegung eines Lautsprechers entspricht. • Mit der rechten Seite von (2.136) beschreiben wir die Frequenzen ωn , die zum Klangspektrum beitragen. Jede Frequenz trägt mit einer individuellen Amplitude an und Phasenverschiebung ϕn bei. Wir können diese beiden alternativen Beschreibungsformen desselben Phänomens durch eine sogenannte Fourier-Transformation ineinander überführen. Sie gilt allgemein für kontinuierliche Variablenpaare wie z.B. Zeit und Frequenz. Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation Wir definieren eine Funktion F(ω) mit der Frequenzvariablen ω durch folgendes Integral über eine Funktion f (t) in der Zeit t: 1 F(ω) = √ 2π
∞
f (t) e−iωt dt
(2.137)
F(ω) e+iωt dω
(2.138)
−∞
Die Rücktransformation lautet: 1 f (t) = √ 2π
∞ −∞
Fourier-Transformation
47
Beispiel: Fourier-Transformation einer Kosinusfunktion Als Ortsfunktion wählen wir f (t) = cos (ω◦ t) .
(2.139)
Eine nicht ganz einfache Rechnung ergibt als Fouriertransformierte von f (t) die Funktion √ 2π F(ω) = (δ(ω − ω◦ ) + δ(ω + ω◦ )) . (2.140) 2 Die sogenannte Dirac-Funktion (bzw. Delta-Funktion) δ(ω − ω◦ ) gibt dabei nur bei der Frequenz ω = ±ω◦ einen von Null verschiedenen Beitrag. Es handelt sich also um eine Fourier-Analyse entsprechend unseres obigen Experiments mit nur einer Schwingungsfrequenz.
Beispiel: Fourier-Transformation einer Gauß-Verteilung Als Ortsfunktion wählen wir die Gauß-Verteilung f (t) = e−t
2 /(2σ 2 )
.
(2.141)
Das Resultat einer nicht ganz einfachen Rechnung zeigt, dass die Fouriertransformierte von f (t) auch im Frequenzraum eine Gauß-Verteilung ergibt: F(ω) = σ e−σ
2 ω2 /2
(2.142)
1
F(ω)
0.4 f(t)
2.5
0.5
0.2
0 −5
0 t [s]
5
0
–5
0 ω [1/s]
5
48
2 Schwingungen
2.5.4 Unschärferelation Die Fourier-Transformation der Gauß-Verteilung impliziert eine grundsätzliche Limitierung in der gleichzeitigen Messgenauigkeit von zwei zusammenhängenden Messgrößen. Wir beobachten eine Schwingung innerhalb eines Zeitintervalls, dessen Zeitdauer wir mit der Genauigkeit t bestimmen. Dabei entspricht t der Standardabweichung σ im Nenner des Exponenten der Gauß-Verteilung (2.141): t = σ
(2.143)
Die Genauigkeit ω, mit der wir die Frequenz der Schwingung bestimmen können, lesen wir im Exponenten von (2.142) ab: Die Standardabweichung dieser GaußVerteilung entspricht ω =
1 . σ
(2.144)
Setzen wir diese beiden Gleichungen ineinander ein, so erhalten wir folgende untere Grenze für die Messgenauigkeit des Zeitintervalls und der Frequenz: ω · t = 1
(2.145)
Im Allgemeinen formuliert man diese beschränkte Messgenauigkeit als Unschärferelation in der Form ω · t ≥ 1 .
(2.146)
In dem Experiment zur Fourier-Synthese hatten wir gesehen, dass wir alternative Schwingungsformen zur Sinusform – und damit andere Klangspektren – durch Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenz erreichen können. Auch die Erzeugung kurzer Klangpulse gelingt mit der Überlagerung von SinusSchwingungen. Die Unschärferelation (2.146) impliziert dabei folgende Einschränkung: Wenn wir einen sehr kurzen Klangpuls erzeugen, dessen Zeitdauer wir mit der Genauigkeit t kennen wollen, benötigen wir die Überlagerung von Schwingungen aus einem Frequenzspektrum von mindestens der Breite ω. Haben wir nur ein schmaleres Frequenzspektrum ω < ω für die Erzeugung des Pulses zur Verfügung, ist die Genauigkeit geringer, mit der wir die Pulslänge bestimmen können: t > t. Einen Extremfall der Unschärferelation sehen wir in dem Beispiel der FourierTransformation der Kosinusfunktion (2.139, 2.140). Mit exakt einer einzigen Frequenz ω◦ hören wir nur einen dauerhaften Ton. Das Prinzip von Unschärfe spielt in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle. Wir werden die sogenannte Heisenbergsche Unschärferelation für Teilchen später kennenlernen.
Kapitel 3
Wellen
Das besondere Interesse an Wellen beruht auf der Möglichkeit, Informationen mit hoher Geschwindigkeit über große Distanzen zu transportieren. Mechanische Wellen basieren auf der Weitergabe eines physikalischen Zustands zwischen schwingenden Objekten. Die beteiligten Objekte werden dabei zwar bewegt, verbleiben aber an ihrem Ort. In diesem Kapitel werden wir die Ausbreitung von Wellen untersuchen, ihre Bewegungsgleichung kennenlernen, Interferenzphänomene erarbeiten und schließlich physikalische Aspekte beim Musizieren mit Streichinstrumenten besprechen.
3.1 Wellenausbreitung
Experiment: Longitudinale Wellenausbreitung in einer Feder Wir spannen eine lange Feder zwischen zwei Halterungen ein. Wir verformen die Feder durch Zusammendrücken von ca. 5 Windungen der Feder und lassen los. Das Resultat ist eine kurzzeitige Störung, die sich als mechanische Welle in der fest eingespannten Feder ausbreitet.
Wellenausbreitung bedeutet, dass ein physikalischer Zustand, der an einem Ort erzeugt wurde, sich auf andere Bereiche überträgt. Nicht die Materie wird transportiert, sondern nur der Bewegungszustand.
M. Erdmann, Experimentalphysik 3, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-16231-2_3,
49
50
3 Wellen
Eine lokale Verformung der Feder ξ = f (x)
(3.1)
kann sich nach rechts oder links verschieben: ξ = f (x − α) ξ = f (x + α)
Verschiebung nach rechts Verschiebung nach links
(3.2) (3.3)
Die Verschiebung α können wir über die Ausbreitungsgeschwindigkeit v und die verstrichene Zeit t als α = vt schreiben. Die lokale Verformung der Feder wandert in Abhängigkeit des Vorzeichens im Argument der Funktion f mit der Zeit nach rechts oder links: ξ (t) = f (x ± vt)
(3.4)
3.1.1 Ebene harmonische Welle Bei der sogenannten ebenen harmonischen Welle ist die Funktion f eine Sinus- oder Kosinusfunktion: ξ (x, t) =
Auslenkung
ξ0 sin[
k
Amplitude
(x − vt) ]
(3.5)
Wellenzahl Ausbreitung
ξ(x, t) beschreibt die momentane Auslenkung der Materie zum Zeitpunkt t an der Stelle x. Die Amplitude bezeichnen wir mit ξ◦ . Im Folgenden werden wir das Argument der Sinusfunktion motivieren und auf verschiedene Arten ausdrücken. Dabei werden wir die wesentlichen physikalischen Konzepte zur Beschreibung der Welle benennen und ihre Ausbreitung untersuchen. Wie die Welle sich durch das Argument der Sinusfunktion (x − vt) mit der Zeit ausbreitet, haben wir bereits durch Gl. (3.4) verstanden. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v nennen wir Phasengeschwindigkeit. 3.1.1.1 Die Welle zu einem festen Zeitpunkt Die ebene harmonische Welle erstreckt sich mit ihren Wellenbergen und Wellentälern über den ganzen Raum. Der Faktor k im Argument von (3.5) beschreibt die
3.1
Wellenausbreitung
51
räumliche Ausdehnung dieser Struktur. Seine Bezeichnung als Wellenzahl werden wir weiter unten begründen.
Bei einem festen Zeitpunkt t◦ wollen wir für die harmonische Welle zeigen, dass wir das Wellenmuster, das wir am Ort x sehen, z.B. auch bei x + 2π/k finden.
Bei einer Orientierungsrichtung der Welle nach rechts machen wir nach Gl. (3.2) folgende Ersetzung im Argument der Wellenfunktion ξ(x, t): x→x−
2π k
(3.6)
Die Sinusfunktion enthält die Periodizität der räumlichen Ausdehnung der Welle nämlich in folgender Weise:
2π ξ x− , t◦ k
2π x− − vt◦ = ξ◦ sin k k
(3.7)
= ξ◦ sin (k (x − vt◦ ) − 2π )
(3.8)
= ξ◦ sin (k (x − vt◦ ))
(3.9)
= ξ (x, t◦ )
(3.10)
Alternativ zur Wellenzahl k führen wir die Wellenlänge λ ein. Die Wellenlänge ist die Länge der Raumperiode in der Einheit Meter m. Wieder finden wir dasselbe Wellenmuster an der Stelle x und x + λ und ersetzen entsprechend Gl. (3.2) das Argument der Wellenfunktion ξ(x, t) durch: x → x −λ
(3.11)
52
3 Wellen
Aus den beiden Abbildungen können wir den Zusammenhang zwischen k und λ sofort ablesen: λ=
2π k
(3.12)
k=
2π λ
(3.13)
Die Wellenzahl k
interpretieren wir als die Anzahl der Wellenlängen pro 2π Entfernungen in der Einheit m1 . Somit haben wir zunächst zwei äquivalente Darstellungen für harmonische Wellen: ξ (x, t) = ξ◦ sin (k (x − vt)) 2π = ξ◦ sin (x − vt) λ
(3.14) (3.15)
Experiment: Wellenmaschine Eine Wellenmaschine besteht aus vielen, nebeneinander liegenden Drehpendeln. Benachbarte Pendel sind jeweils miteinander gekoppelt. Jedes einzelne Pendel führt eine vertikale Schwingung aus. Durch die Kopplung wird eine am ersten Drehpendel eingebrachte Störung an die folgenden Pendel weitergegeben. Die räumliche Ausdehnung der Welle kann so mit dem Auge gut verfolgt werden.
3.1.1.2 Die Welle an einem festen Ort Im Folgenden betrachten wir die Welle (3.14) an einem festen Ort x◦ : ξ (x◦ , t) = ξ◦ sin (k (x ◦ − vt)) kv t + kx ◦ ) = ξ◦ sin(−
≡ω
≡ϕ◦
(3.16) (3.17)
3.1
Wellenausbreitung
53
Wir erkennen die Ortsfunktion (2.15) des harmonischen Oszillators wieder: ξ (x◦ , t) = ξ◦ sin (−ωt + ϕ◦ )
(3.18)
Das Material an diesem Ort x◦ wird also zu einer Schwingung angeregt. Der Term kv in Gl. (3.17) entspricht der Kreisfrequenz ω. Er enthält die zeitliche Periodizität. Damit können wir die Phasengeschwindigkeit folgendermaßen schreiben: v=
ω k
(3.19)
Die Phasenverschiebung ϕ◦ der Schwingung (3.17) ist vom Ort x ◦ abhängig. In der folgenden Skizze können wir sehen, dass die Welle im Verlauf einer Schwingungsperiode T am Ort x◦ um eine Wellenlänge λ weiterrückt:
Für die Auslenkung ξ an der Stelle x ◦ t ξ (x◦ , t) ∝ sin 2π · T
(3.20)
ergibt sich bei t und t = t + T dasselbe Bild, da die Sinusfunktion sich in der Zeit periodisch fortsetzt.
54
3 Wellen
Auch für den Zeitanteil können wir mit der Frequenz ν mit der Einheit 1s = Hz eine alternative Schreibweise einführen (anstelle von ν wird häufig auch f benutzt): T =
1 ν
(3.21)
Mit dem Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω und der Schwingungsperiode T ω=
2π T
(3.22)
ist ω = 2π ν .
(3.23)
Für die Phasengeschwindigkeit ergibt sich wegen ω k 2π ω = k 2π
v=
(3.24) (3.25)
die ebenfalls häufige Schreibweise v =λ·ν .
(3.26)
Eine Schreibweise für harmonische Wellen, die wir besonders oft gebrauchen werden, ist wegen kv = ω aus Gl. (3.19) ξ(x, t) = ξ◦ sin (kx − ωt) .
(3.27)
Ebenso werden wir die komplexe Schreibweise verwenden. Sie lautet wegen der Euler’schen Formel (2.9): ξ(x, t) = ξ◦ ei(kx−ωt)
(3.28)
3.1.1.3 Ausbreitungsrichtung einer ebenen Welle Die ebene harmonische Welle pflanzt sich in einer bestimmten Ortsrichtung fort, z.B. in x-Richtung. In der Richtung senkrecht zu x finden wir Flächen, in denen die Welle mit gleicher Phase schwingt. Wir sprechen deswegen von einer ebenen Welle. Die Flächen werden mit Phasenflächen bezeichnet.
3.1
Wellenausbreitung
55
Um beliebige Ausbreitungsrichtungen ebener Wellen zu beschreiben, definieren wir einen Wellenvektor k so, dass er in der Ausbreitungsrichtung der Welle steht und den Betrag entsprechend (3.13) hat: = |k|
2π λ
(3.29)
Für jeden Vektor r, der auf die Phasenfläche zeigt, ist das Skalarprodukt mit dem Wellenvektor k konstant: k · r = const.
(3.30)
k| Wir schreiben damit für die ebenen Wellen mit der Ausbreitungsrichtung k/| ξ = ξ◦ sin k r − ωt
(3.31)
oder auch in komplexer Schreibweise ξ = ξ◦ e
i k r−ωt
.
(3.32)
3.1.2 Energietransport Die Ausbreitung einer mechanischen Welle verursacht Schwingungen der Materie, die auf ihrem Weg liegt. Mit einer Welle wird daher Energie transportiert. Eine harmonische Welle (3.31) verursacht am festen Ort r◦ eine harmonische Schwingung des Materials mit der Phase ϕ◦ = k r◦ :
56
3 Wellen
ξ = ξ◦ sin (−ωt + ϕ◦ )
(3.33)
Wir stellen uns an diesem Ort eine Feder mit der Federkonstanten D vor. Die Feder wird durch die ankommende Welle bis zur momentanen Auslenkung ξ gedehnt. Die potentielle Energie in der Feder ergibt sich aus der von der Welle geleisteten Arbeit:
ξ
E pot = −
F dξ
(3.34)
(−D ξ ) dξ
(3.35)
0 ξ
=− 0
1 D ξ2 2 1 = D ξ◦2 sin2 (−ωt + ϕ◦ ) 2 =
(3.36) (3.37)
Die kinetische Energie in der Feder ist: 1 m ξ˙ 2 2 1 = m ω2 ξ◦2 cos2 (−ωt + ϕ◦ ) 2
E kin =
(3.38) (3.39)
Die Gesamtenergie der angeregten Federschwingung ist mit ω2 = D/m (Gl. (2.13)): E = E kin + E pot 1 = D ξ◦2 cos2 (−ωt + ϕ◦ ) + sin2 (−ωt + ϕ◦ ) 2 1 = D ξ◦2 2 = E pot,max
(3.40) (3.41) (3.42) (3.43)
Um eine Schwingung mit der Gesamtenergie E anzuregen, muss die Welle diese Energie transportieren. Anstelle der Feder können wir uns irgendein elastisches Material vorstellen. Entscheidend ist, dass die transportierte Energie proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude ist: E ∝ ξ◦2
(3.44)
Zur Beschreibung des Energietransports verwenden wir die Intensität J . Sie ist definiert als die Energie, die pro Zeiteinheit t durch eine zu der Ausbreitungsrichtung senkrecht stehende Flächeneinheit A transportiert wird:
3.2
Stehende Wellen
57
J=
E t · A
(3.45)
Damit ist die Intensität ebenfalls proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude. Da wir später auch komplexe Amplituden betrachten werden, schreiben wir den Zusammenhang zwischen Amplitude und Intensität in allgemeiner Form mit Beträgen: J ∝ |ξ◦ |2
(3.46)
3.1.3 Kugelwelle Bei einer Kugelwelle bilden die Phasenflächen Kugelflächen mit der Oberfläche 4πr 2 . Die Intensität einer punktförmigen Quelle, die Wellen in alle Richtungen gleichförmig aussendet, sinkt dann im Abstand r proportional zu J ∝ |ξ◦2 | ∝ Die momentane Auslenkung ist ξ ∝ durch ξ=
1 r.
1 . r2
(3.47)
Die Kugelwelle beschreiben wir damit
ξ◦ sin (kr − ωt) r
(3.48)
ξ◦ i(kr −ωt) . e r
(3.49)
bzw. in komplexer Schreibweise ξ=
3.2 Stehende Wellen
Eine von rechts einfallende Welle ξ1 wird an der linken Wandseite reflektiert. Die zurücklaufende Welle nennen wir ξ2 . Die Beschreibung der nach links und rechts laufenden Wellen lautet nach den Gln. (3.2), (3.3) und (3.27): ξ1 = ξ◦ sin (kx + ωt) ξ2 = ξ◦ sin (kx − ωt + ϕ)
(3.50) (3.51)
58
3 Wellen
Der Term ϕ berücksichtigt einen eventuellen Phasensprung bei der Reflexion der Welle am festen Ende. Mit dem Additionstheorem (2.122) ergibt sich als Überlagerung beider Wellen: ξ(x, t) = ξ1 + ξ2
(3.52)
(3.53) = ξ◦ [sin (kx + ωt) + sin (kx − ωt + ϕ)] kx + ωt + kx − ωt + ϕ kx + ωt − (kx − ωt + ϕ) = 2ξ◦ · sin · cos 2 2 (3.54) ϕ ϕ · cos ωt − (3.55) = 2ξ◦ sin kx + 2 2
Amplitude
Schwingung
Das Ergebnis ξ(x, t) der Überlagerung beider Wellen ist eine sogenannte stehende Welle, die wir als Produkt aus einer harmonischen Schwingung und einer ortsabhängigen Amplitude verstehen können. Interessant sind Stellen im Raum, an denen die Amplitude verschwindet. Es handelt sich um sogenannte Schwingungsknoten: ϕ =0 sin kx + 2 ϕ , kx + = nπ 2 1 ϕ x= nπ − k 2 n ϕ − =λ 2 4π
(3.56) n = 0, 1, 2, . . .
(3.57) (3.58) (3.59)
Ohne Phasensprung (d.h. ϕ = 0) gibt es z.B. für n = 0, 1, 2 an den Orten x = 0, λ2 , λ Knoten. Analog dazu erhält man Schwingungsbäuche bei: ϕ =1 sin kx + 2 kx +
ϕ 2n + 1 = π , 2 2
1 2n + 1 ϕ x= π− k 2 2
ϕ 2n + 1 − =λ 4 4π
(3.60) n = 0, 1, 2, . . .
(3.61) (3.62) (3.63)
3.2
Stehende Wellen
59
5λ Hier gibt es Schwingungsbäuche z.B. für n = 0, 1, 2 an den Orten x = λ4 , 3λ 4 , 4 .
Experiment: Stehende Welle Bei der bereits beschriebenen Wellenmaschine koppeln wir die Störung auf dem ersten Drehpendel ein und fixieren das letzte Drehpendel. Durch Variation der Störfrequenz an der Eingabeseite können wir stehende Wellen mit verschiedener Anzahl von Bäuchen und Knoten erzeugen. In der folgenden Skizze ist die Überlagerung der beiden Wellen zu verschiedenen Zeitpunkten gezeigt:
3.2.1 Schwingende Platten Auch in zwei Dimensionen gibt es das Phänomen stehender Wellen. Experiment: Klangplatten Wir streuen Sand auf eine Metallplatte und regen diese mit einem Violinbogen oder einem Lautsprecher zu Schwingungen an. Die Platte bewegt sich nicht als Ganzes, sondern einzelne Flächenbereiche bewegen sich gegeneinander. Der Sand sammelt sich in den Knotenlinien, da sich die Platte dort nicht bewegt.
60
3 Wellen
3.3 Dispersion Wir betrachten zwei harmonische Wellen gleicher Amplitude ξ◦ , deren Kreisfrequenzen ω1 ≈ ω2 ungefähr gleich groß sind und deren Wellenzahlen k1 ≈ k2 sich nur wenig unterscheiden: ξ1 = ξ◦ cos (k1 x − ω1 t) ξ2 = ξ◦ cos (k2 x − ω2 t)
(3.64) (3.65)
Für die Überlagerung der beiden Wellen ergibt sich nach dem Additionstheorem (2.120) ξ(x, t) = ξ1 + ξ2 = ξ◦ [cos (k1 x − ω1 t) + cos (k2 x − ω2 t)] (k1 x − ω1 t) + (k2 x − ω2 t) = 2ξ◦ · cos 2 (k1 x − ω1 t) − (k2 x − ω2 t) · cos 2 k1 + k 2 ω1 + ω2 = 2ξ◦ · cos x− t 2 2 k1 − k2 ω1 − ω2 · cos x− t 2 2
(3.66) (3.67)
(3.68)
(3.69)
Definieren wir ω1 + ω2 2 k1 + k2 k≡ 2
ω1 − ω2 2 k1 − k2 k ≡ 2
ω ≡
ω≡
(3.70) (3.71)
so können wir die Überlagerung der Wellen folgendermaßen schreiben: ξ = 2 · cos (k x − ω t) · ξ◦ cos (kx − ωt)
Amplitudenmodulation
(3.72)
≈ξ1 ≈ξ2
Der rechte Term beschreibt eine harmonische Welle mit der Phasengeschwindigkeit (3.19) vp =
ω . k
(3.73)
3.3
Dispersion
61
Der mittlere Term zeigt ebenfalls die Struktur einer harmonischen Welle. Dieser Term moduliert die Amplitude. Die Modulation breitet sich mit einer anderen Geschwindigkeit als die Phasengeschwindigkeit aus. Die Struktur der Gleichung erinnert an die Schwebung bei gekoppelten Pendeln (2.124). Der wesentliche Unterschied liegt darin, dass die Schwingungen nicht lokal verbleiben (Terme ω t, bzw. ω t), sondern hier die Welle weiterwandert (Terme k x bzw. k x). Genauso wie wir die Phasengeschwindigkeit v p = ω/k aus dem rechten Term in Gl. (3.72) sofort ablesen können, können wir die Geschwindigkeit der Modulation im mittleren Term ablesen: vg =
ω1 − ω2 ω = k k1 − k2
(3.74)
Im Allgemeinen schreiben wir diese sogenannte Gruppengeschwindigkeit als Ableitung vg =
dω dk
.
(3.75)
In der folgenden Abbildung sind die beiden unterschiedlichen Geschwindigkeiten v p und vg durch die zeitliche Entwicklung der beiden periodischen Strukturen visualisiert.
Die Gruppengeschwindigkeit vg ist geringer als die Phasengeschwindigkeit v p . Die Gruppengeschwindigkeit spielt bei der Signalübertragung eine wichtige Rolle. In den meisten Fällen ist sie die Geschwindigkeit, mit der Signale übertragen werden. Mit den Gln. (3.73) und (3.75) erhalten wir folgenden Zusammenhang zwischen den beiden Geschwindigkeiten:
62
3 Wellen
vg = =
d kv p dk
(3.76)
dv p dk vp + k dk dk
(3.77)
= vp + k
dv p dk
(3.78)
Falls die Phasengeschwindigkeit v p = v p (k) = v p (λ) von der Wellenlänge bzw. der Wellenzahl abhängt, ist dv dk = 0. Damit sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit unterschiedlich. Wir sprechen in diesem Fall von Dispersion. Beispiel: Wasserwellen Wasserwellen haben die Phasengeschwindigkeit vp =
gλ 2π σ + 2π ρλ
2π h tanh λ
.
(3.79)
Hier ist g die Erdbeschleunigung, ρ die Dichte, σ die Oberflächenspannung und h die Flüssigkeitshöhe. Durch die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge λ unterliegen die Wasserwellen Dispersionseffekten.
Um die Gruppengeschwindigkeit nicht nur in Abhängigkeit der Wellenzahl k ausdrücken zu können, sondern auch durch die Wellenlänge λ, berechnen wir zunächst: d 2π dk = (3.80) dλ dλ λ =−
2π λ2
d λ2 d =− dk 2π dλ
(3.81) (3.82)
Die Gruppengeschwindigkeit (3.78) ist damit: 2π vg = v p + λ = vp − λ
λ2 dv p − 2π dλ
dv p dλ
(3.83) (3.84)
3.4
Interferenz
63
Experiment: Dispersion Licht hat im Vakuum die Phasengeschwindigkeit c. In Glas mit dem Brechungsindex n = n(λ) ist die Phasengeschwindigkeit c < c und abhängig von der Wellenlänge: v p = c =
c n (λ)
(3.85)
Wenn wir ein Prisma mit weißem Licht beleuchten, spaltet sich das weiße Licht wegen der Dispersion (3.85) im Glas in seine Farben auf:
Da der Brechungsindex n(λ) im Glas mit steigender Wellenlänge kleiner wird, ist die Ableitung der Phasengeschwindigkeit nach der Wellenlänge positiv: dv p d c −1 dn = =c 2 >0 dλ dλ n (λ) dλ n
(3.86)
