Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

Springer-Lehrbuch Reiner M. Dreizler · Cora S. Lüdde Theoretische Physik 1 Theoretische Mechanik . Auflage 123 Pr...

Author: Reiner M. Dreizler | Cora S. Lüdde

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Springer-Lehrbuch

Reiner M. Dreizler · Cora S. Lüdde

Theoretische Physik 1 Theoretische Mechanik

. Auflage

123

Professor Dr. Reiner M. Dreizler Cora S. Lüdde Universität Frankfurt Institut Theoretische Physik Max-von-Laue-Str.   Frankfurt/Main [email protected] [email protected]

ISBN ----

e-ISBN ----

DOI ./---- Springer-Lehrbuch ISSN - Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © ,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom . September  in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: durch die Autoren unter Verwendung eines Springer LATEXe Makropakets Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier  springer.com

VORWORT zu der zweiten Auflage

Die Neuauflage des ersten Bandes der Lehrbuchreihe ’Theoretische Physik’ wurde sorgf¨ altig u ¨ berarbeitet, von Druckfehlern befreit und teilweise ergänzt. • Die Tabellen wurden dem heutigen Wissensstand angepasst, die Abbildungen u ¨bersichtlicher gestaltet. • Die Aufgabensammlung, die Zusammenstellung von Detailrechnungen sowie die Mathematischen Erg¨ anzungen auf der CD-ROM wurden durch weitere Applets und Animationen abgerundet, die vorhandenen wurden verbessert. • Zudem wurde der Mathematikteil um einen Index erweitert, ein Abschnitt u osung von Differentialgleichungen wurde neu gefasst. ¨ber die numerische L¨ W¨ ahrend der Arbeit an dem dritten Band mit dem Arbeitstitel ’Quantenmechanik’ haben wir festgestellt, dass sich das Material dieses breiten Gebietes nur unzureichend auf einen einzigen Band kondensieren lässt. Aus diesem Grund wurde die Lehrbuchreihe auf f¨ unf Bände erweitert. Ansonsten stehen wir zu den Absichten und Ansichten aus dem Vorwort zur 1. Auflage, auf das wir den Leser verweisen m¨ ochten. Auch in dieser Auflage wurde bewusst auf die Unterscheidung zwischen Lesern und Leserinnen zugunsten der Lesbarkeit verzichtet. Dies stellt in keiner Form eine Diskriminierung dar, Leserinnen sind ebenso herzlich angesprochen wie Leser. Wir danken allen, die uns bei der Revision des ersten Bandes unterst¨ utzt haben, vor allem auch den Lesern, die uns auf Unstimmigkeiten hingewiesen haben. Frankfurt am Main, im Februar 2008 Reiner M. Dreizler

Cora S. L¨ udde

VORWORT

Dies ist der erste Band einer Lehrbuchreihe “Theoretische Physik 1-4“. Die Reihe basiert auf Notizen zu einem langj¨ ahrig erprobten Vorlesungszyklus “Theoretische Physik 1-6“, der an der Goethe-Universität, Frankfurt am Main, angeboten wurde. Der erste Band besch¨ aftigt sich mit der Theoretischen Mechanik. Die Mechanik ist aus zwei Gr¨ unden eine der Grundlagen der Physik. Sie fasst den unmittelbar zug¨ anglichen Erfahrungsbereich zusammen und bereitet somit die Grundbegriffe der Physik auf. Sie ist das Teilgebiet der Physik, das aus historischer Sicht als erstes entwickelt und (auf hohem Niveau) abgeschlossen wurde. Die Anf¨ ange im 16. und 17. Jahrhundert sind zum einen durch eine mehr systematische Erfassung von Beobachtungsdaten, zum anderen durch die Zielsetzung, allgemeine Prinzipien der Natur aufzudecken, geprägt. F¨ ur die erste Aussage kann man die astronomischen Beobachtungen von T. de Brahe und J. Kepler, f¨ ur die zweite die Schriften von G. Galilei und I. Newton zitieren. Die dann einsetzende Aufbereitung von mathematischen Methoden, wie der Infinitesimal- und der Variationsrechnung (vor allem durch die Br¨ uder Bernoulli, G. Leibniz und L. Euler) ebnete den Weg f¨ ur eine schnelle Weiterentwicklung und Formalisierung der Mechanik. Gegen Ende des 18. und zu Anfang des 19. Jahrhunderts wurde diese Entwicklung mit den Arbeiten von J. d’Alembert, J. Comte de Lagrange und Sir W.R. Hamilton abgeschlossen. Zu der Organisation des ersten Bandes (und cum grano salis der weiteren B¨ ande) ist das Folgende zu bemerken. Eine enge Verzahnung von mathematischen und physikalischen Grundlagen ist eine essentielle Voraussetzung f¨ ur einen erfolgreichen Lernprozess in der theoretischen Physik. Dieses Credo wurde in dem Vorlesungszyklus durchgehend umgesetzt. In der Buchform schien es jedoch angemessener, den Mathematikteil abzutrennen. Eine ca. 270 Seiten starke “Mathematische Erg¨ anzung“, aufbereitet f¨ ur Studierende der Physik, ist auf der beiliegenden CD-ROM zu finden. An allen relevanten Stellen des Buchtextes wird auf die entsprechenden Kapitel und Abschnitte dieser Erg¨ anzungen hingewiesen. Die Theorievorlesungen an der Goethe-Universität setzen mit dem er¨ sten Semester ein. Dies erfordert einen eher adiabatischen Ubergang zu der “höheren Mechanik“. Der daraus resultierende, etwas sanftere Einstieg in die eigentliche Theoretische Mechanik wurde aus didaktischen Gr¨ unden be-

VIII

Vorwort

wusst beibehalten. So enth¨ alt das zweite Kapitel, nach einer allgemeinen Einf¨ uhrung in die Physik in Kapitel 1, eine Vorstufe zur Theoretischen Mechanik. Auch die Diskussion der Erhaltungssätze im dritten Kapitel wird zun¨ achst in elementarer Weise gef¨ uhrt, dann aber mit den Mitteln der Vektoranalysis abgerundet. Ab dem vierten Kapitel ist die Darstellung bez¨ uglich der mathematischen Hilfsmittel kompromissloser. Auf der anderen Seite wird ein allgegenw¨ artiges, mathematisches Hilfsmittel der Physik, Differentialgleichungen, schon in dem zweiten Kapitel eingef¨ uhrt und betont benutzt. Die CD-ROM enth¨ alt u ¨ ber 70 Aufgaben zu den Kapiteln 2-6, die unter Verwendung der erweiterten M¨ oglichkeiten des elektronischen Mediums in anderer Weise gestaltet worden sind. F¨ ur jede der Aufgaben steht neben der L¨ osung eine Liste von strukturierten, einzeln zu beantwortenden (und direkt oder nach Aufruf beantworteten) Fragen zur Verf¨ ugung, die eine enge F¨ uhrung zur L¨ osung der Problemstellung erlaubt. Das elektronische Medium erm¨ oglicht auch eine lebendigere Form der Illustration so zum Beispiel die Animation von Bewegungsabl¨ aufen oder die dreidimensionale Darstellung von Funktionen im Raum. Wir danken Margaret D. sowie Hans J¨ urgen und Melanie L. f¨ ur Verständnis und Geduld w¨ ahrend der Arbeit an diesem Buchprojekt. Hans J¨ urgen stand stets f¨ ur Diskussionen zur Verf¨ ugung, Margaret hat uns die Bilder f¨ ur die ‘buttons‘ in der Aufgabensammlung u ¨ berlassen und Melanie hat den Apfel (mit Anklang an Newton’s nicht nachweisbares Experiment) gemalt. Wir danken den Kontaktpersonen des Springer Verlags f¨ ur freundliche und vertrauensvolle Zusammenarbeit, insbesondere Frau J. Lenz f¨ ur die technische Unterst¨ utzung. Frankfurt am Main, im Oktober 2002 Reiner M. Dreizler Cora S. L¨ udde

Inhaltsverzeichnis

1

¨ Ein erster Uberblick ......................................

1

2

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Eindimensionale Bewegungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Drei Bewegungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Erste Bemerkungen zur Berechnung von Bewegungsabl¨ aufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Allgemeine Bewegungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zweidimensionale Bewegungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dreidimensionale Bewegungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Ein Beispiel zur L¨ osung von zweidimensionalen Bewegungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vektorielle Beschreibung von Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Vektorielle Fassung von Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Der Fl¨ achensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Koordinaten in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 R¨ aumliche Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 14 19 22

Dynamik I: Axiome und Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Die Axiome der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Der Kraftbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tr¨ age und schwere Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Zum ersten Axiom, Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Zum zweiten Axiom, Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Zum dritten Axiom, Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die Erhaltungss¨ atze der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der Impulssatz und der Impulserhaltungssatz . . . . . . . . 3.2.2 Der Drehimpulssatz und der Drehimpulserhaltungssatz 3.2.3 Die Energie und der Energieerhaltungssatz f¨ ur einen Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 67 69 72 72 76 77 84 84 91

3

25 28 29 36 39 41 42 44 48 54 54 61

103

X

Inhaltsverzeichnis

3.2.4 Der Energieerhaltungssatz f¨ ur Systeme von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.5 Anwendung: Stoßprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4

Dynamik II: Bewegungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Das Keplerproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Kometen und Meteoriten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Oszillatorprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Erzwungene Schwingungen: Harmonische Kraft . . . . . . 4.2.4 Erzwungene Schwingungen: Allgemeine Anregungen . .

139 139 140 141 155 160 162 169 173 180

5

Allgemeine Formulierungen der Punktmechanik . . . . . . . . . 185 5.1 Die Lagrangegleichungen erster Art (Lagrange I) . . . . . . . . . . . 186 5.1.1 Beispiele f¨ ur Bewegungen unter Zwangsbedingungen . . 186 5.1.2 Lagrange I f¨ ur einen Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.2 D’Alemberts Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.2.1 Formulierung f¨ ur einen Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.2.2 Formulierung und Anwendung f¨ ur Systeme von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.3 Die Lagrangegleichungen zweiter Art (Lagrange II) . . . . . . . . . 215 5.3.1 Lagrange II f¨ ur einen Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.3.2 Lagrange II und Erhaltungss¨ atze f¨ ur einen Massenpunkt232 5.3.3 Lagrange II f¨ ur ein System von Massenpunkten . . . . . . 242 5.4 Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 246 5.4.1 Hamiltons Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.4.2 Hamiltons Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.4.3 Ein Blick in den Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6

Praktische Anwendungen der Lagrangegleichungen . . . . . . . 6.1 Gekoppelte harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Das einfachste gekoppelte Schwingungssystem . . . . . . . . 6.1.2 Schwebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Die lineare Oszillatorkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Die Differentialgleichung einer schwingenden Saite . . . . 6.2 Rotierende Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Einfache Betrachtung von Scheinkräften . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Allgemeine Diskussion von Scheinkräften . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Scheinkr¨ afte auf der rotierenden Erde . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Die Bewegung starrer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Die kinetische Energie eines starren Körpers . . . . . . . . .

271 271 272 276 278 290 294 295 297 305 314 315 317

Inhaltsverzeichnis

6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7

Die Struktur der Tr¨ agheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Drehimpuls des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . Die Eulerwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Rotation . . . . . . . . . . Drehbewegung starrer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

322 332 334 338 341

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Lebensdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Physikalische Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Einige Konstante und astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.1 Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.4 Additionstheoreme / Moivreformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.5 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.6 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.7 N¨ aherungsformeln (δ klein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

373 373 374 374 375 376 376 376

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

¨ 1 Ein erster Uberblick

In der Mechanik befasst man sich mit ‘gew¨ ohnlichen‘ Objekten (z.B. stoßenden Stahlkugeln, Planeten auf der Bahn um die Sonne), die sich mit ‘mäßiger‘ Geschwindigkeit bewegen. In der Elementarteilchenphysik, die in dem Grundkurs nur andeutungsweise angesprochen wird, sind es hingegen kleinste Teilchen bei im Allgemeinen h¨ oheren Geschwindigkeiten. Diese Aussagen verdeutlichen, dass man die verschiedenen Gebiete der Physik durch Einordnung in ein Raster (Abb. 1.1) mit einer L¨ angen- oder Größenskala und einer Geschwindigkeitsskala charakterisieren kann. Der Begriff Länge ist dabei relativ weit zu fassen. Als L¨ ange betrachtet man sowohl die Größe der Objekte (z.B. den Durchmesser der Elementarteilchen, der Atome, oder der genannten Stahlkugeln und Planeten), als auch die Vorgabe von Wellenlängen (z.B. von Wasserwellen, Schallwellen oder elektromagnetischen Wellen) und die Entfernung zwischen Himmelsk¨ orpern. Die L¨ angenskala, die man benötigt, ist

v c

10

Tachyonen ? rel. QP

rel. klass. Physik

Kosmologie

QP

klass. Physik

Astrophysik

–13

10

–5

13

10

10

28

L [cm]

gew. Objekte Abb. 1.1. Das Grunddiagramm

beachtlich. Sie beginnt bei 10−13 cm (1 Zehnbillionstel cm). Dies entspricht ungef¨ ahr dem Durchmesser des Protons, einem der Kernbausteine (siehe unten), und stellt die kleinste Distanz dar, die explizit (wenn auch indirekt) vermessen wurde. Die Skala endet bei 1028 cm. Diese Distanz entspricht


2

dem vermutlichen Durchmesser des Universums. Innerhalb dieser Grenzen kann man die Objekte ansiedeln, die in der Physik diskutiert werden. Zur Unterteilung der Skala (um den enormen Bereich abzudecken, benutzt man zweckm¨ aßigerweise eine logarithmische Unterteilung) können die folgenden Beispiele dienen: 10−12 10−8 10−6 10−5

cm −→ cm −→ cm −→ cm −→

10−1 102 109 1013 1017

cm −→ cm −→ cm −→ cm −→ cm −→

Durchmesser von Atomkernen Durchmesser von Atomen Durchmesser von großen Molek¨ ulen Aufl¨ osungsverm¨ ogen der besten optischen Mikroskope = Wellenl¨ ange des sichtbaren Lichtes Sandk¨ orner der Mensch (als Maß aller Dinge) Durchmesser der Erde Entfernung Erde - Sonne Entfernung Erde - n¨ achster Stern (α - Centauri) .

Der Bereich zwischen 10−5 bis 1013 cm ist der Bereich der gewöhnlichen Objekte, der in der klassischen Mechanik angesprochen wird. Die Geschwindigkeitsskala beginnt bei Null. Sie endet (notwendigerweise, wie man glaubt) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes. Diese Geschwindigkeit ist c = (2.997925 ± 0.000001) · 1010 cm/s ≈ 3 · 1010 cm/s = 300000 km/s = 1.08 · 109 km/h. Im Vergleich zu der Lichtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit der meisten Objekte sehr gering: 300 km/h ≈ 3 · 10−7 c 10000 km/h ≈ 10−5 c 105 km/h ≈ vErde um Sonne ≈ 10−4 c. Benutzt man eine lineare Geschwindigkeitsskala, so liegen diese drei Punkte in dem Diagramm recht nahe bei der Abszisse. Materielle Objekte mit Geschwindigkeiten, die an die Lichtgeschwindigkeit heranreichen, findet man in der Natur in der sogenannten H¨ ohenstrahlung. In den oberen Schichten der Atmosph¨ are werden durch Elementarprozesse Teilchen (z.B. Myonen, mit μ bezeichnet) erzeugt, deren Geschwindigkeiten nahe bei der Lichtgeschwindigkeit liegen (vμ ≈ 0.995 c). Die klassische Mechanik (mit gewöhnlichen Objekten und m¨ aßigen Geschwindigkeiten) beschr¨ ankt sich somit auf einen kleinen Bereich in dem Raster von Abb. 1.1 nahe der Abszisse. F¨ ur Objekte in dem Bereich unterhalb von 10−5 cm schließt sich (bei ¨ etwas fließendem Ubergang) der Bereich der Quantenphysik an, der erst im


3

zwanzigsten Jahrhundert erschlossen wurde. Die folgenden Bemerkungen sollen einen ersten Einblick in diese Quantenwelt vermitteln. Um 1850 festigte sich die Erkenntnis, dass die Materie aus Atomen aufgebaut ist. Das Periodensystem der Elemente sch¨ alte sich heraus. F¨ ur Belange der Chemie sind die Atome auch heute noch die Elementarbausteine. Im Jahre 1913 erkannte man, dass ein Atom aus einem Kern und einer Wolke von Elektronen besteht. Das zust¨ andige Experiment wurde von Geiger, Marsden und Rutherford in Cambridge durchgef¨ uhrt. Heliumkerne (α-Teilchen) wurden auf d¨ unne Goldfolien geschossen. Diese Teilchen waren durch die nat¨ urliche Radioaktivit¨ at von Polonium verf¨ ugbar. Die Forscher beobachteten eine signifikante

α Au

Abb. 1.2. Streuung von α−Teilchen an einer Goldfolie

R¨ uckstreuung der α-Teilchen, die nur m¨ oglich ist, wenn die α-Teilchen auf einen ‘harten‘ Kern stoßen. Aus der St¨ arke der R¨ uckstreuung konnte man auf die Gr¨ oße des Kerns schließen (Abb. 1.2). ¨ der Teilchenbeschleuniger, die 1932 mit der UntersuEs folgte die Ara chung der Kernreaktion 7 3 Li

+ p −→ 42 He + 42 He

(durch Cockroft und Walton) er¨ offnet wurde. Es wurden Protonen auf Lithiumkerne geschossen, dabei entstanden jeweils zwei Heliumkerne. Mittels einer Vielzahl von solchen Reaktionen konnte man Kerne auseinandernehmen und feststellen: Es gibt drei elementare Bausteine in der Natur: Neutronen (n), Protonen (p) −→ Kern Atom . −→ Atomh¨ ulle Elektronen (e− ) Hinzu kam noch das Lichtquant, das Photon (im Allgemeinen mit γ bezeichnet), dem eine gewisse Sonderrolle als Vermittler der elektromagnetischen Wechselwirkung und Tr¨ ager der elektromagnetischen Wellen zugesprochen wurde. Mit dem Ausbau und der Verbesserung der Teilchenbeschleuniger sowie durch Analyse der H¨ ohenstrahlung hatte man die Familie der Elementarteilchen bis 1950 erweitert auf (in der Reihenfolge der Entdeckung) • das zum Elektron geh¨ orige Antineutrino (¯ νe , zunächst nur vermutet), • das Positron (e+ ), dem Antiteilchen des Elektrons, • die positiv und negativ geladenen Myonen (μ± ), nahen doch massiveren Verwandten des Elektrons und Positrons, • die Pi-Mesonen (π ±,0 ), • das K-Meson (K) und das Baryon Lambda (Λ).


4

Bis zu dem Jahre 1960 hatte sich die Anzahl der Elementarteilchen auf mehr als 300 vergr¨ oßert. Da jedoch eine F¨ ulle von Umwandlungsprozessen zwischen den Elementarteilchen abl¨ auft, wie z.B. β-Zerfall: Photoerzeugung des π-Mesons:

n −→ p + e− + ν¯e γ + n −→ p + π − ,

lag der Verdacht nahe, dass diese Schar von Elementarteilchen gar nicht so elementar ist, sondern dass sie aus noch fundamentaleren Bausteinen zusammengesetzt sind. Der entscheidende Anstoß ergab sich durch Symmetriebetrachtungen (einem beliebten Sport in der theoretischen Physik) und zwar auf der Basis der achst (ca. 1970) ordnete man die bekannten Symmetriegruppe1 SU(3). Zun¨ Elementarteilchen in 3 Klassen: Austauschteilchen (Eichteilchen) Leptonen (leichte Teilchen)

: γ : e− , νe , μ− , νμ + Antiteilchen Hadronen (stark wechselwirkende Teilchen) : π, n, p, ... + Antiteilchen . Die Hadronen werden in Mesonen (mittelschwere Teilchen), wie das π-Meson, und Baryonen (schwere Teilchen), wie Proton und Neutron, unterteilt. Im Sinne der Symmetrie¨ uberlegungen konnte man alle Hadronen gemäß ihren Eigenschaften in sogenannten SU(3)-Multipletts sortieren, so z.B. ein Oktuplett, das Neutron und Proton sowie die Hyperonen Lambda (Λ), Sigma alt (Abb. 1.3). (Σ 0,∓ ) und die Kaskadeteilchen (Ξ 0,− ) enth¨

Y n

Σ

p

−

Σ+

0

ΣΛ −

Ξ

Ξ

0

I3 Abb. 1.3. Die Verwandten des Protons und Neutrons in der SU(3) Klassifikation der Elementarteilchen

Diese Unterfamilien von Elementarteilchen sind dadurch charakterisiert, dass die Mitglieder der Familien vergleichbare Masse und sonstige Eigenschaften haben (N¨ aheres nicht hier) und sich in ein vorgegebenes Muster mit der sogenannten Hyperladung (Y) und Isospin (I3 ) einordnen lassen. Man stellte dann 1

Einen Hinweis auf zwei elementare Texte zu der Theorie der Symmetriegruppen findet man in der Literaturliste A[1].


5

jedoch fest, dass die kleinstm¨ ogliche solcher Familien (mit 3 Mitgliedern) nicht zu existieren schien. Da sich auf der anderen Seite, aus mathematischer Sicht, die gr¨ oßeren Unterfamilien (Multipletts) aus der kleinsten zusammensetzen lassen, erwartete man die Existenz von drei Elementarteilchen, deren Eigenschaften sich bis zu einem gewissen Grade aus dem Multiplettmuster ergeben. Man taufte diese Teilchen (nach einem Zitat aus ’Finnigans Wake’ von J. Joyce) die drei Quarks. Etwas unpoetischer wurden sie in der Folge durch die Zus¨ atze ‘up‘ , ‘down‘ und ‘strange‘ unterschieden. In Reinkultur sind die vermuteten Quarks bisher nicht beobachtet worden, doch gibt es deutliche Hinweise auf ihre Existenz, zum Beispiel aus der Elektron-Proton Streuung bei hohen Energien. In der Zwischenzeit (nach ca. 1985) enth¨ alt die Liste der Elementarteilchen folgende Eintr¨ age: Eichteilchen :

γ, W ± , Z 0 , g1 , g2 , . . . , g8

Leptonen

:

e− , μ− , τ − , νe , νμ , ντ + Antiteilchen

Quarks

:

q1 , q2 , . . . , . . . , q18 + Antiteilchen .

• Die Eichteilchen vermitteln die verschiedenen Grundwechselwirkungen zwischen den Leptonen und den Quarks. Das Photon ist f¨ ur die elektromagnetische Wechselwirkung zust¨ andig, die mit W und Z bezeichneten Eichbosonen f¨ ur die schwache Wechselwirkung, die acht Gluonen gi bedingen die starke Wechselwirkung zwischen den Quarks. • Neben Elektron und Myon ist 1974 ein weiteres, schweres Lepton, das Tauon, nachgewiesen worden. Zu jedem der Leptonen existiert ein zugehöriges Neutrino und zu jedem dieser sechs Teilchen gibt es ein Antiteilchen. • Die Gesamtzahl der Quarks ist 18. Sie unterscheiden sich durch sogenannte ’innere Quantenzahlen’, die mit ’Sorte’ oder ’Geschmack’ (6 Sorten/flavour, mit den Namen up, down, strange, charm, top und bottom) und mit einer Art von Ladung, der ’Farbe’ (3 Farben/colour, mit variabler Benennung) bezeichnet werden. Das Aufbaumuster, das von der Gruppentheorie gefordert wird, ist in der Natur realisiert. Alle Hadronen k¨ onnen aus den Quarks zusammengesetzt werden: Mesonen, wie zum Beispiel das π-Meson oder das K-Meson, durch ein Quark-Antiquark Paar (q q¯), Baryonen, wie Neutron oder Proton, durch drei Quarks (qqq). Viele Fragen in diesem Szenario sind noch offen, doch man hat trotzdem die Frage gestellt: Und woraus bestehen die Quarks? Bisher existieren dazu nur Spekulationen und nur ein Punkt ist offensichtlich: Da kleinste Raumbereiche aufzul¨ osen sind, wird die experimentelle Beantwortung solcher Fragen

6


recht teuer, denn es gilt, grob gesprochen, die Aussage −1

Kosten ∝ Energie ∝ (aufzul¨ osenden Raumbereich)

.

Bei dieser ersten Andeutung der Welt der Quantenphysik wurden die Teilgebiete Elementarteilchenphysik, Kernphysik und Atomphysik angeschnitten. Hinzu kommen noch, geordnet nach der ‘Größe der Objekte‘ Molek¨ ulphysik und Festk¨ orperphysik . In allen diesen Gebieten treten Effekte auf, die im Rahmen der alltäglichen (klassischen) Erfahrung unverst¨ andlich sind. Als Beispiele (auch wenn sie zu diesem Zeitpunkt noch nicht erkl¨ art werden) kann man folgende Beobachtungen erw¨ ahnen: Ein klassisches Teilchen kann in dem tiefsten Punkt einer Mulde ruhen. Versucht man, ein Quantenteilchen in gleicher Weise in einer Mulde (wo-

Abb. 1.4. Unsch¨ arferelation: Klassisches versus Quantenteilchen

bei Mulde durch ‘Potentialmulde‘ zu ersetzen ist) unterzubringen, so stellt man fest, dass dies prinzipiell nicht m¨ oglich ist. Das Quantenteilchen oszilliert immer in recht unkontrollierter Weise um den tiefsten Punkt herum (Abb. 1.4). Dies ist eine Konsequenz der Heisenbergschen Unschärferelation, die eine inh¨ arente Eigenschaft von Quantensystemen zum Ausdruck bringt.

Abb. 1.5. Zum Tunneleffekt

Bewegt sich ein klassisches Teilchen in einem Kasten mit einer Geschwindigkeit, die nicht ausreicht, um die W¨ ande zu durchschlagen, so bleibt es offensichtlich in dem Kasten (Abb. 1.5). Ein Quantenteilchen hingegen kann (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit) durch die Wände gelangen, auch wenn dies aus energetischen Gr¨ unden eigentlich nicht möglich ist. Ein Beispiel f¨ ur


7

das Auftreten eines solchen Tunnelprozesses in der Natur ist die nat¨ urliche Radioaktivit¨ at von Kernen, wie der schon erw¨ ahnte α-Zerfall. Betrachtet man Situationen, in denen gr¨ oßere Geschwindigkeiten eine Rolle spielen, so muss man sich mit der relativistischen Physik auseinandersetzen. Es geht dabei zun¨ achst um die folgende Thematik: Zwei ‘Beobachter‘ (Experimentatoren) bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander (Abb. 1.6). So kann sich Beobachter Nr. 1 in einem Zug befinden, w¨ ahrend Beobachter Nr. 2 auf dem Bahndamm steht. Beide verfolgen das gleiche Experiment, zum Beispiel den Bewegungsablauf in einem einfachen Fallexperiment. Die Kernfrage lautet: Kann man ein Transformationsgesetz 2 1

*v Abb. 1.6. Zwei gegeneinander bewegte Koordinatensysteme

(a)

(b)

vo aus der Sicht des Beobachters 1

vo aus der Sicht des Beobachters 2

Abb. 1.7. Wurfexperiment

angeben, das es erlaubt, die Bahnform zu berechnen, die Beobachter Nr. 2 registrieren w¨ urde, wenn die Relativgeschwindigkeit und die Bahnform, die Nr. 1 beobachtet, bekannt sind? Ganz konkret, kann man sich vorstellen, dass Beobachter Nr. 1 auf einem fahrenden Flachbettwagen der Bundesbahn steht, ein Objekt senkrecht hochwirft und feststellt, dass es bis zu dem höchsten Punkt aufsteigt und (aus seiner Sicht) auf der gleichen Strecke zur¨ uckfällt. Beobachter Nr. 2 betrachtet den Bewegungsablauf vom Bahndamm aus und registriert eine Wurfparabel (Abb. 1.7). Ein entsprechendes Transformationsgesetz, die Galileitransformation, war schon lange vor Einstein bekannt. Trotzdem hat Einstein die Frage nach dem Transformationsgesetz (um 1905) noch einmal gestellt, jedoch unter einem neuen Gesichtspunkt: Wie sieht das Transformationsgesetz aus, wenn man

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zus¨ atzlich fordert, dass sich Licht aus der Sicht eines jeden Beobachters, so lange sie sich mit uniformer Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, mit der gleichen Geschwindigkeit c ausbreitet? Aus der Sicht der alltäglichen Erfahrung ist dies eine durchaus absurde Forderung. Jeder weiß: Wenn man sich gegen¨ uber dem Boden mit der Geschwindigkeit v0 bewegt und (aus seiner Sicht) ein Objekt mit der Geschwindigkeit v in die gleiche Richtung in Bewegung setzt, so hat es gegen¨ uber dem Boden die Geschwindigkeit v + v0 (Abb. 1.8). Sind beide Geschwindigkeiten gleich c, findet man (nat¨ urlich) 2 c.

v vo

Abb. 1.8. Zur Addition von Geschwindigkeiten

Die Forderung, die Einstein in die Herleitung eines neuen Transformationsgesetzes einarbeitete, ergab sich aus einem klassischen Experiment, das Michelson und Morley erstmals 1880 in Cleveland durchgef¨ uhrt haben. Das Ergebnis dieses Experimentes ist seither in einer Vielzahl von (verfeinerten) Experimenten best¨ atigt worden. Der experimentelle Befund ist: Die Summe der beiden Geschwindigkeiten ist c und nicht 2 c. Die Herleitung der gew¨ unschten Transformationsgleichungen f¨ ur den Fall einer konstanten Relativgeschwindigkeit ist recht einfach. Man benötigt nicht mehr als Schulmathematik. Die daraus resultierende ‘spezielle Relativitätstheorie‘ ist also, aus mathematischer Sicht, durchaus verständlich. Die Konsequenzen, die sich aus Einsteins Transformationsgleichungen ergeben, sind jedoch weitreichend. Sie haben die Vorstellung von Raum und Zeit (offensichtlich zwei Grundbegriffe der Physik) einschneidend verändert. Unter anderem wird die Aussage abgeleitet, dass sich die Masse eines Objektes mit seiner Geschwindigkeit v ¨ andert und zwar gem¨ aß der Formel m(v = 0) m(v) = v 2 . 1− c Diese Formel steht nur deswegen im Widerspruch zu der u ¨ blichen Erfahrung, weil der Massenzuwachs auch bei großen (klassischen) Geschwindigkeiten zu geringf¨ ugig ist. F¨ ur eine Rakete mit v = 10−5 c = 10000 km/h erhält man (Entwicklung mit der allgemeinen binomischen Formel2 ) v 2 + ...) m(10−5 c) ≈ m(0)(1 + 0.5 c = m(0)(1 + 0.5 10−10 ) 2

Siehe Math.Kap. 1.3 bez¨ uglich Reihenentwicklungen.


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= m(0)(1.00000000005) . Auch der raffinierteste Experimentator kann diesen Massenzuwachs nicht messen. F¨ ur ein Objekt mit v = 0.8 c hat man jedoch m(0.8 c) ≈ 1.67 · m(0) , also fast eine Verdopplung der Ruhemasse. Die Kurve m(v), aufgetragen gegen v, ist in Abb. 1.9 angedeutet. Der Geschwindigkeitsbereich, in dem die m(v)

m(0) klass.

rel.

c

v

Abb. 1.9. Die relativistische Variation der Masse eines Objektes mit der Geschwindigkeit

Massen¨ anderung praktisch nicht messbar ist, nennt man klassisch. Der steile Anstieg der Kurve f¨ ur v → c zeigt, warum die Lichtgeschwindigkeit c als eine Grenzgeschwindigkeit angesehen wird. F¨ ur v → c folgt m → ∞, die Formeln der Relativit¨ atstheorie verlieren in dem Grenzfall ihren Sinn. Sowohl die klassische Mechanik als auch die Quantenmechanik m¨ ussen modifiziert werden, wenn hohe Geschwindigkeiten im Spiel sind. Man spricht dann von relativistischer Mechanik bzw. relativistischer Quantenmechanik. Die relativistische Mechanik ist im Erdlabor nicht so recht zugänglich. Mit der obigen Massenformel und dem ber¨ uhmten E = mc2 kann man ausrechnen, wieviel es kosten w¨ urde, eine Stahlkugel von m(0) = 10 g auf eine Geschwindigkeit von v = 0.8 c zu bringen, wenn man einen Energiepreis von 0.025 Euro/kWh zugrunde legt. Die Antwort lautet ca. 107 Euro. Selbst wenn man diese Summe aufbringen w¨ urde, h¨ atte man immer noch Schwierigkeiten: Die ben¨ otigte Beschleunigungsstrecke ist viel zu lang. Um solche Effekte mit Makroobjekten zu beobachten, muss man in den Weltraum gehen. Es kommt jedoch noch ein anderer Aspekt hinzu: Die Voraussetzung der uniformen Relativbewegung f¨ uhrt auf die spezielle Relativitätstheorie. F¨ ur die allgemeinere Situation, gegeneinander beschleunigte Bezugssysteme, ist die allgemeine Relativit¨ atstheorie zust¨ andig. Infolge der (zuerst von Einstein) ¨ geforderten Aquivalenz von gravitativer und sonstiger Beschleunigung ist die allgemeine Relativit¨ atstheorie auch die allgemeine, klassische (das heißt nichtquantenmechanische) Theorie der Gravitation.

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Der Bereich großer Dimensionen ist die Domäne der Astrophysik. Ein Problem der Astrophysik bestand f¨ ur lange Zeit in den recht begrenzten, erdgebundenen Beobachtungsm¨ oglichkeiten. In der Zwischenzeit ist jedoch durch eine Vielzahl von Satellitenmissionen, wie zum Beispiel COBE

COsmic Background Explorer zur Erforschung der thermischen Hintergrundstrahlung im Weltall

HUBBLE f¨ ur Tiefenaufnahmen des Weltalls ROSAT

ROentgen SATellite zur Auffindung und Vermessung von R¨ ontgenquellen

SOHO

SOlar Heliospheric Observatory zur Gewinnung von Daten u ¨ ber die Sonne

und vielen anderen, eine F¨ ulle von Beobachtungsdaten u ¨ ber das Weltall zusammengetragen worden. Schon im Jahre 1929 deutete der amerikanische Astronom E. Hubble die Rotverschiebung der Spektrallinien von Sternen als Dopplereffekt. Dieser Effekt ist im akustischen Bereich wohlbekannt: Der Ton eines hupenden Autos oder eines pfeifenden Zuges wird tiefer, wenn sich diese entfernen. Der entsprechenden Vergr¨ oßerung der Schallwellenlänge entspricht im optischen Bereich eine Verschiebung der Farbe der Spektrallinien zum Roten. Demnach entfernen sich alle Sterne von uns. Daraus entstand die These von der Expansion des Weltalls. Man muss sich vorstellen, dass die Erde einen Punkt auf einem Ballon, der aufgeblasen wird, darstellt. Alle anderen Punkte auf dem Ballon entfernen sich dann von diesem Punkt. Das Zeitfenster, u ¨ber das die Ausdehnung des Universums beobachtet wurde, ist sehr beschränkt. Extrapoliert man auf gr¨ oßere Zeitr¨ aume, Tausende oder Millionen von Jahren, so ergeben sich eine Reihe von M¨ oglichkeiten. Es könnte sein, dass die Größe des Weltalls oszilliert, dass also auf die Phase der Expansion eine Kontraktionsphase folgt. Es k¨ onnte aber auch sein, dass das Weltall urspr¨ unglich auf einen kleinen Bereich mit extrem hoher Massendichte und Energiedichte beschr¨ ankt war und ein ‘Urknall‘ (drastischer in englischer Sprache: big bang) der Anlass f¨ ur die derzeitige Expansion war. Eine m¨ ogliche Antwort auf die Frage, wie sich das Weltall entwickeln k¨ onnte, kann man der allgemeinen Relativit¨ atstheorie entnehmen. Gemäß dieser Theorie existiert eine kritische Massendichte (ρc = Masse/Volumen) des Universums. Ist die wirkliche Massendichte kleiner als die kritische (ρ < ρc ), so ist die attraktive Wirkung der Gravitation im Universum nicht ausreichend, um die Expansion zu stoppen. Im anderen Falle, einer Massendichte, die die kritische u ¨ bersteigt (ρ > ρc ), bewirkt die Gravitation letztlich eine Kontraktion des Universums. Der Zahlenwert der kritischen Massendichte, der durch einen Satz von Naturkonstanten bestimmt ist, ist nicht allzu genau bekannt ρc = (0.3...1.9) · 10−29 g/cm3 .


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Die Summe der Massen aller sichtbaren Objekte im Weltall ergibt nur einen Bruchteil der kritischen Massendichte ρc ρc < ρsichtbar < . 200 100 Es ist aber auch bekannt (zum Beispiel aus der Gravitationswirkung auf sichtbare Objekte), dass nichtsichtbare Materie (allgemein als ‘dunkle‘ Materie bezeichnet) im Weltraum verteilt ist. Die Frage, woraus diese Materie besteht, ist ebensowenig beantwortet wie die Frage, welchen Anteil diese Materie an der Gesamtmasse des Universums hat. Die Kenntnis, welchen Weg die Entwicklung des Universums nehmen wird, steht also noch aus. Das Urknallszenario ist zur Zeit eine recht populäre Variante, da in diesem Szenario gewissermaßen unsere derzeitigen Kenntnisse u ¨ ber die Welt im Kleinen und im Großen zusammentreffen. Es wurden (und werden) einige Anstrengungen unternommen, um den Wahrheitsgehalt dieses Szenarios zu u ufen. In dem Ausgangszustand (und wie entstand dieser?) stellt man ¨berpr¨ sich vor, dass die Materie so dicht gepackt und so heiß gewesen ist, dass die zusammengesetzten Elementarteilchen, die Hadronen, nicht existieren konnten. Die Urmaterie bestand aus einer Art von ‘Ursuppe‘ die nur Quarks und Gluonen enthielt, dem Quark-Gluon Plasma. Man versucht zur Zeit nachzuweisen, dass ein derartiger Zustand der Materie u ¨ berhaupt existieren kann. Man schießt zu diesem Zwecke schwere Kerne mit hohen Energien aufeinander, in der Hoffnung anhand der Produkte der dabei auftretenden Kernreaktion Hinweise auf das Quark-Gluon Plasma zu finden. Wenn sich diese Urmaterie ausdehnt und dabei abk¨ uhlt, erwartet man das ‘Ausfrieren‘ von Baryonen und Mesonen, beziehungsweise letztlich einen ¨ Ubergang zu den stabilsten Hadronen, den Nukleonen. Diese können, u ¨ ber eine Kette von Fusionsreaktionen, zu leichten Elementen und schließlich zu der Materie, die wir jetzt vorfinden, verschmelzen. Neben der Besch¨ aftigung mit Grundfragen wie ‘Was ist die Vorgeschichte des Universums‘ oder ‘Wohin entwickelt es sich?‘ werden in der Astrophysik noch weitere Probleme angeschnitten. Beispiele sind die Frage nach der Struktur von Pulsaren oder der eindeutige Nachweis von schwarzen Löchern. Bei der vorangegangenen Betrachtung der klassischen Physik und der Welt der Quantenph¨ anomene wurden weder alle Teilgebiete der Physik noch alle Grenzbereiche angesprochen. So z¨ ahlt zum Beispiel die Elektrodynamik (elektrische und magnetische Felder von ruhenden und bewegten Ladungsverteilungen) und die Thermodynamik (Verhalten von Materie bei Temperaturund Druck¨ anderungen) zu der klassischen Physik. Da in der Elektrodynamik (Betonung auf Dynamik, so die Erzeugung von elektromagnetischen Wellen wie dem Licht) die Lichtgeschwindigkeit eine offensichtliche Rolle spielt, ist es nicht verwunderlich, dass die Impulse zur Formulierung der Relativitätstheorie aus der Richtung der Elektrodynamik kamen. In a¨hnlicher Weise ist der Versuch, thermodynamische Gleichungen auf der Basis von Atombewegung

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zu beleuchten, ein Schritt in Richtung Quantenmechanik und es darf nicht verwundern, dass die Anf¨ ange der Quantenmechanik aus thermodynamischen Experimenten (Stichwort Hohlraumstrahlung) erwuchsen. Als Beispiel f¨ ur einen m¨ oglichen Grenzbereich jenseits der Lichtgeschwindigkeit kann man die Tachyonen (frei u ¨bersetzt: u ¨ berschnelle Teilchen), die literarisch nicht so gut fundiert sind wie z.B. die Quarks, benennen. Die Vermutung, dass solche Teilchen existieren k¨ onnten, folgt aus der Relativitätstheorie. Die Gleichungen der Relativit¨ atstheorie erlauben als Lösung eine neue Teilchensorte mit recht ungew¨ ohnlichen Eigenschaften, unter anderem: Diese Teilchen existieren nur, wenn sie schneller als Licht sind. Irgendwelche konkreten Hinweise auf die Existenz von Tachyonen liegen bisher nicht vor. Es ist nat¨ urlich auch nicht gesagt, dass alle möglichen Lösungen von Gleichungen, die man formulieren kann, in der Natur realisiert sind.

2 Kinematik

Zwei Grundfragen der Mechanik lauten: 1. Was bewirkt die Bewegung von Objekten? 2. Wie beschreibt man die Bewegung von Objekten in mathematischer Form? Das vorliegende Kapitel gibt eine erste Antwort auf die zweite Frage. Eine weitergehende Er¨ orterung findet ab dem vierten Kapitel statt. Das dritte Kapitel ist der Diskussion der ersten Frage gewidmet. Von den m¨ oglichen Bewegungsformen sind die am einfachsten, die entlang einer geraden Linie ablaufen. Diese werden in diesem Kapitel zuerst angesprochen und dazu benutzt, um die Umsetzung von mathematischen Ausdr¨ ucken in die Anschauung zu u ¨ ben und um die kinematischen Grundbegriffe Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu präzisieren. Das eigentliche dynamische Problem, die Bestimmung der Bewegungsform aus der Vorgabe der Beschleunigung, wird kurz angedeutet. ¨ Der Ubergang zu der realen dreidimensionalen Welt wird schrittweise u ¨ber die Betrachtung von ebenen Bahnkurven vorbereitet. Solche Bewegungsformen werden durch zweikomponentige Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren charakterisiert. Dies entspricht der experimentell nachweisbaren Tatsache, dass eine zweidimensionale Bewegungsform aus zwei unabh¨ angigen eindimensionalen Bewegungen zusammengesetzt werden kann. ¨ Einige Beispiele illustrieren, dass mittels solcher Uberlagerungen recht komplexe Bewegungsformen aus einfachen Komponenten entstehen können. Die Beschreibung von Bewegungsabl¨ aufen in drei Raumdimensionen (zum Beispiel die Bewegung eines Objektes auf einer Schraubenlinie) entspricht der offensichtlichen Erweiterung: Kombiniere drei unabhängige eindimensionale Bewegungen. Hier kommt die Zusammenfassung von drei Funktionen zu Vektoren voll zum Zuge. Die Benutzung von Vektoren ist f¨ ur formale Zwecke bestens geeignet, f¨ ur die Detaildiskussion ist man jedoch auf die Festlegung eines (kartesischen) Koordinatendreibeins oder eines verallgemeinerten Koordinatensystems (wie zum Beispiel Kugelkoordinaten) angewiesen. Die gebr¨ auchlichsten Koordinatens¨ atze werden vorgestellt.

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2 Kinematik

2.1 Eindimensionale Bewegungsprobleme Eine der ersten Aufgaben, die sich stellt, ist die Umsetzung von experimentellen Aussagen in eine geeignete, mathematische Form und, umgekehrt, die Erf¨ ullung derartiger Formeln mit einer anschaulichen Vorstellung des Bewegungsablaufes. Diese wechselseitige Umsetzung wird in dem nächsten Abschnitt anhand von drei Beispielen in einer eindimensionalen Welt vorgestellt. 2.1.1 Drei Bewegungsbeispiele Das folgende einfache ‘Experiment‘ (Beispiel 2.1) könnte ohne großen Aufwand durchgef¨ uhrt werden: Ein Objekt (z.B. eine kleine Stahlkugel) fällt aus der Ruhelage (Abb. 2.1). Die Beschreibung der Bewegung besteht in der t=0

x

x=0 x>0

?

Abb. 2.1. Freier Fall aus Ruhelage

Angabe, wie sich die Position des Objektes mit der Zeit ändert. F¨ ur die Zeitmessung wird verabredet, dass als Anfangszeit des ‘Experimentes‘ t = 0 zu setzen ist. F¨ ur die Ortsmessung benutzt man einen Maßstab (sprich eindimensionales Koordinatensystem), dessen Ursprung (x = 0) die Ausgangsposition ist und der nach unten orientiert ist. Das Ergebnis eines solchen naiven Fallversuches k¨ onnte die folgende Wertetabelle von Fallstrecke x und Fallzeit t sein: t (s) x (cm)

0 0

0.1 5

0.2 20

0.3 45

0.4 80

0.5 125

0.6 180

Eine der ersten Aufgaben der Physik ist es, aus solchen Zahlenreihen generellere Aussagen zu gewinnen. Zu diesem Zweck ist eine graphische Darstellung, im vorliegenden Falle ein x versus t Diagramm, n¨ utzlich (Abb. 2.2a). Man w¨ urde dann (falls nicht schon bekannt) feststellen, dass alle ‘Messpunkte‘ auf einer Parabel liegen, die durch die Funktion cm mit a = 500 2 (2.1) x(t) = at2 s beschrieben wird. Trotz der Tatsache, dass diese Erkenntnis wohl allgemein bekannt ist, folgen noch einige zus¨ atzliche Bemerkungen. 1. Der Schritt von einer Reihe von isolierten Messpunkten zu einer Beschreibung durch eine Formel von der Form x(t) ist mit Vorsicht zu vollziehen. Im Prinzip m¨ ussten die Messpunkte unendlich dicht liegen. Dies

2.1 Eindimensionale Bewegungsprobleme

15

ist nat¨ urlich nicht praktikabel. Wenn man auf diesem Prinzip bestehen w¨ urde, w¨ are man immer noch mit den ersten Experimenten der Physik besch¨ aftigt. Es ist eine Ermessensfrage, wann man glaubt, den Schritt von der Messreihe zu der Formel vollziehen zu können. Man sollte dabei im Auge behalten, dass einige der interessantesten Phänomene in der Physik dadurch aufgedeckt wurden, dass man zwischen den Messpunkten einer ersten Messreihe noch einmal nachgeschaut hat. 2. Die Stahlkugel, die bei dem fiktiven Experiment benutzt wurde, ist ein ausgedehntes Objekt. Die Aussage ‘Position der Stahlkugel‘ bedarf also noch einer Erl¨ auterung. Bei dem beschriebenen Experiment kann man sich vorstellen, dass mit ‘Position‘ die Position des Schwerpunktes oder des geometrischen Mittelpunktes der Kugel gemeint ist. Die Ersetzung eines ausgedehnten Objektes durch einen Punkt ist aber nur angebracht, wenn andere Bewegungsformen des Objekts (wie z.B. eine mögliche Rotation der Kugel w¨ ahrend der Fallbewegung) nicht von Interesse sind. Ist die Reduktion eines ausgedehnten, massiven Objektes auf einen Punkt angemessen, so spricht man in der Physik von einem Massenpunkt . Ein Massenpunkt ist somit eine Abstraktion von der eigentlichen Realität. Man versteht darunter ein Objekt ohne Ausdehnung, das mit der Masse m ausgestattet ist. 3. Die Position des Ursprungs des Koordinatensystems f¨ ur die Ortsmessung und die Wahl von t = 0 f¨ ur die Anfangszeit des Experimentes ist willk¨ urlich. Verschiebt man den Ausgangspunkt nach x0 und benutzt die Anfangszeit t0 , so lautet die formelm¨ aßige Zusammenfassung des Experimentes x(t) = x0 + 500(t − t0 )2 oder x(t) − x0 = 500(t − t0 )2 . Es gehen nur L¨ angen- und Zeitintervalle in die Beschreibung ein. Eine graphische Darstellung dieser Situation sieht man in Abb. 2.2b. Wenn man u ¨berhaupt geneigt ist, aus diesen einfachen Bemerkungen einen Schluss zu ziehen, w¨ urde man sagen: Die Diskussion der eindimensionalen Bewegung besteht in der Diskussion von Funktionen x(t). Zwei weitere Beispiele f¨ ur solche Funktionen sollen illustrieren, wie man derartige Formeln in eine Vorstellung von dem Bewegungsablauf umsetzt. Eine der bekanntesten Bewegungsformen der Physik (Beispiel 2.2) ist der harmonische Oszillator, z.B. beschrieben durch die Funktion x(t) = A sin ωt .

(2.2)

A und ω sind Konstante. Der harmonische Oszillator ist in fast allen Bereichen der Physik, so zum Beispiel in der Elektrodynamik oder in Anwendungsgebieten der Quantenmechanik wie der Kernphysik und der Festkörperphysik

16

2 Kinematik

(a)

(b)

x [cm] x 150

100

x0

50

t0 0.1

0.5

t

t [s]

Variation der Position mit der Zeit (x = x(t))

x(t) f¨ ur eine beliebige Anfangszeit t0

Abb. 2.2. Das freie Fallexperiment

etc. anzutreffen. Zur Veranschaulichung des funktionalen Zusammenhangs dient in diesem Fall ein x versus ωt Diagramm. Der Winkel ωt kann entweder in Grad (voller Kreis = 360◦ ) oder im Bogenmaß (voller Kreis = 2π) gemessen werden. Die vorliegende Sinusfunktion ist in Abb. 2.3 dargestellt. Die Kurve beschreibt die Oszillation eines Massenpunktes um die Gleichgewichtslage x = 0. Zum Zeitpunkt t = 0 hat der Massenpunkt die Position x = 0. Er wird zun¨ achst in der positiven Richtung ausgelenkt. Zur Zeit t = π/2ω erreicht er zum ersten Mal seine gr¨ oßte positive Auslenkung. Er kehrt danach zur Zeit t = π/ω in die Ruhelage zur¨ uck, durchläuft diese und erreicht zu x A

π/2

-A

2 π

ωt

Abb. 2.3. Die Funktion x(ωt) f¨ ur das harmonische Oszillatorproblem

der Zeit t = 3π/2ω seine gr¨ oßte negative Auslenkung. Zu der Zeit t = 2π/ω ist er wieder am Ursprung. Dieses Schwingungsmuster wiederholt sich beliebig oft. Zur Diskussion dieser Bewegungsform sind die folgenden Begriffe von Nutzen:


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1. Den Betrag der maximalen Auslenkung A bezeichnet man als Amplitude (Dimension: L¨ ange [L]). 2. Die Zeit f¨ ur eine volle Schwingung T heißt Schwingungsdauer (Dimension: Zeit [T]). 3. Die Inverse der Schwingungsdauer ist die Frequenz f = 1/T . Die Dimension ist [1/T]. Man misst die Frequenz in den Einheiten Schwingungen/Sekunde = s−1 ≡ Hertz. 4. Die Gr¨ oße ω = 2πf = 2π/T ist die Kreisfrequenz, ebenfalls mit der Dimension [1/T]. Die Frage, welche eindimensionale Bewegungsform (Beispiel 2.3) eines Massenpunktes durch die Funktion g g (2.3) x(t) = t − 2 (1 − e−kt ) k k beschrieben wird, ist vielleicht nicht so einfach zu beantworten (Einige Vorschl¨ age ?). g und k sind vorgegebene Konstante mit den Dimensionen 2 [k] = [T−1 ] , [g] = [L/T ] , e ist die bekannte transzendente Zahl (Eulersche Zahl) e = 2.71828 . . . . Zur Diskussion der Gleichung (2.3) ben¨ otigt man einige Eigenschaften der Exponentialfunktion, die mit jedem Taschenrechner leicht tabelliert werden kann. Der Verlauf der Funktion e−kt ist in Abb. 2.4a dargestellt. Der Funktionsverlauf ist (f¨ ur positive Werte von kt) ein (scharfer) Abfall von dem Wert 1 f¨ ur kt = 0 auf den Wert Null f¨ ur große Werte von kt. Etwas mathematischer w¨ urde man schreiben: lim e−kt = 0 .

kt→∞

Man ben¨ otigt auch eine genauere Aussage u ¨ ber das Verhalten der Funktion f¨ ur kleine Argumentwerte. Diese Aussage gewinnt man aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion k n tn 1 1 + ... e−kt = 1 − kt + k 2 t2 − k 3 t3 + . . . (−1)n 2 6 n! ∞ k n tn = . (−1)n n! n=0 Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion wird in den ‘Mathematischen Ergänzungen‘ in Math.Kap. 1.3.1 vorgestellt. Das Kapitel Math.Kap. 1 gibt eine (recht kompakte) Zusammenfassung der Analysis von Funktionen mit einer Veränderlichen. Grundkenntnisse der Differentiation und der Integration werden jedoch vorausgesetzt. Die beiden Aussagen gen¨ ugen f¨ ur die beabsichtigte Diskussion des Bewegungsablaufes. Der Massenpunkt ist zu dem Zeitpunkt t = 0 an der Stelle x(0) = 0. Um den Bewegungsablauf f¨ ur kleine Zeiten (genauer: f¨ ur kt klein) zu beschreiben, gen¨ ugt es, die ersten Terme der Entwicklung zu betrachten

18

2 Kinematik

g g 1 1 t − 2 (1 − 1 + kt − k 2 t2 + k 3 t3 + . . .) . k k 2 6 Die Terme unabhh¨ angig von der Zeit und die Terme linear in der Zeit heben sich heraus. Es bleibt also: 1 1 (2.4) x(t) ≈ gt2 − (gk)t3 + . . . . 2 6 Dies bedeutet: Der Bewegungsablauf beginnt wie der freie Fall (vorausge2 ur gr¨ oßere Zeiten kommt jedoch der Term setzt es ist g/2 ≈ 500 cm/s ). F¨ ur sehr große in t3 (und die weiteren Terme der Entwicklung) zum Tragen. F¨ Zeiten (genauer f¨ ur kt groß) benutzt man die Aussage, dass in diesem Falle e−kt gegen 0 geht. Man erh¨ alt dann g g (2.5) x(t) ≈ t − 2 . k k Diese Information reicht aus, um das x versus t Diagramm anzudeuten. Die erste Formel (2.4) beschreibt (bei Beschr¨ ankung auf den ersten Term) eine Parabel. Die zweite Funktion (2.5) stellt eine Gerade mit der Steigung g/k und dem Ordinatenabschnitt −g/k 2 dar. Der eigentliche Bewegungsablauf wird f¨ ur kleine Werte von kt durch die Parabel, f¨ ur große Werte durch die Gerade und f¨ ur Zwischenwerte durch eine Kurve, die diese beiden Grenzfälle verbindet, beschrieben. Dies bedeutet, dass die anfängliche freie Fallbewegung in eine uniforme Bewegung u ¨ bergeht. x(t)

kt klein

−→

(a)

(b)

x 1

x(t)

t

x(t) = e−kt

kt

x(t) =

g g t − 2 (1 − e−kt ) k k

Abb. 2.4. Die Funktionen aus Beispiel 2.3

Die angegebene Formel beschreibt den freien Fall von Objekten unter der Ber¨ ucksichtigung des Reibungswiderstandes (gemäß einem vereinfachten Ansatz, der sogenannten Stokesschen Reibung, siehe Kap. 4.2.2). Der Widerstand bewirkt, dass die Fallbewegung verlangsamt wird. Diese Aussage entnimmt man direkt dem Diagramm (Abb. 2.4b). F¨ ur eine gegebene Fallstrecke ist die Bewegung, die durch die Parabel beschrieben wird, schneller (das Zeitintervall ist kleiner) als die Bewegung, die durch die durchgezogene Kurve dargestellt wird. Die Gr¨ oße des Reibungswiderstandes spiegelt sich in der Gr¨ oße der Konstanten k wider. Diese Konstante hängt sowohl von dem


19

Medium ab, in dem das Objekt f¨ allt (z. B. Luft oder ein dichteres Medium wie Wasser), als auch von der geometrischen Form des fallenden Objektes. Dabei ist jedoch zu beachten, dass nur die Bewegung des Schwerpunktes angesprochen, das Objekt also als Massenpunkt betrachtet wird. Zwei Extremf¨ alle f¨ ur die Auswirkung der Reibung können relativ einfach diskutiert werden: k → 0 : Die Position x wird jetzt als Funktion von t und von k betrachtet, somit ist die Bezeichnung x(k, t) angebracht. Zu berechnen ist der Grenzwert lim x(k, t) .

k→0

Dieser folgt direkt aus (2.4) f¨ ur kleine Werte von kt. Da jeder Term (außer dem ersten) Potenzen von k enth¨ alt, die im Grenzfall verschwinden, gilt 1 2 gt . 2 In Worten: Wenn man die Reibung abstellt, erhält man den idealen freien Fall. k → ∞ : Der Ausdruck (2.5) f¨ ur große Werte von kt besagt: Je größer k ist, desto eher weicht die Darstellung der Bewegung von der Parabel ab. Je größer k ist, desto flacher ist aber auch die Gerade und desto langsamer ist der Bewegungsablauf. In dem Grenzfall k → ∞ erhält man direkt lim x(k, t) =

k→0

lim x(k, t) = 0 .

k→∞

In Worten: Das Objekt bewegt sich gar nicht. Es bleibt f¨ ur alle Zeiten an dem Anfangspunkt. Der Grenzfall k → ∞ entspricht einem unendlich zähen Medium. Bei der Betrachtung dieser drei Beispiele f¨ ur die Beschreibung von eindimensionalen Bewegungsabl¨ aufen ging es zunächst nur um die Umsetzung der mathematischen Beschreibung in physikalische Anschauung. Sie sollen zeigen, dass in einfachen Formeln eine beachtliche Menge von physikalischen Aussagen stecken kann. Eine dynamische Fundierung dieser Bewegungsbeispiele wird sp¨ ater folgen (siehe Kap. 3.1). Die drei Beispiele sollen nun dazu dienen, die Grundbegriffe der Kinematik, Geschwindigkeit und Beschleunigung, zu diskutieren. 2.1.2 Geschwindigkeit Die Definition der Geschwindigkeit ist eine Wiedergabe der Messvorschrift. Man bestimme (Abb. 2.5a) die Position zu einem Zeitpunkt t1 als x(t1 ) und die Position zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt t2 als x(t2 ). Der Quotient x(t2 ) − x(t1 ) = v¯(t1 , t2 ) t2 − t1 ist die Durchschnittsgeschwindigkeit f¨ ur das Zeitintervall [t1 , t2 ]. Die anschauliche Interpretation dieses Begriffs in dem x - t Diagramm (Abb. 2.5b)

20

2 Kinematik

(a)

(b) x

x

x(t)

x(t 2 ) Δx

x(t 1 ) Δt

t1

Messvorschrift

t2

t1

t

t2

t

Darstellung im x(t)-Diagramm

Abb. 2.5. Zur Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

ist bekanntlich: Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung (oder genauer: dem Tangens des Steigungswinkels) der Sekante durch die Kurvenpunkte (t1 , x1 ) und (t2 , x2 ) . Δx = tan(αSek ) . Δt Die Angabe der Durchschnittsgeschwindigkeit charakterisiert die Bewegung nur unvollst¨ andig. Jede x - t Kurve, die durch die beiden Punkte verläuft, hat den gleichen Wert von v¯. F¨ ur eine detailliertere Beschreibung der Bewegung benötigt man den Begriff der Momentangeschwindigkeit. Die Momentangeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Funktion x(t) x(t + Δt) − x(t) . (2.6) v(t) = lim Δt→0 Δt v¯ =

Alternative Schreibweisen f¨ ur v(t) sind dx(t) = x(t) ˙ = x (t) . dt Die Momentangeschwindigkeit ist im Allgemeinen wieder eine Funktion der Zeit. Anhand des x - t Diagrammes kann man den Begriff der Momentangeschwindigkeit in einfacher Weise deuten: Die Steigung der Sekante geht in die Steigung der Tangente an die x - t Kurve u ¨ ber (Abb. 2.6). Aus dieser Betrachtung folgt auch die Aussage, dass die Momentangeschwindigkeit keine direkt messbare Gr¨ oße ist. Man kann diese Größe beliebig genau ann¨ ahern, wenn es gelingt, beliebig kleine Zeit- und Ortsintervalle zu messen, der naive Grenzfall ist aber immer der unbestimmte Ausdruck v(t) =

0 . 0 F¨ ur die drei bisherigen Bewegungsbeispiele erhält man f¨ ur die Momentangeschwindigkeit: exp → vmom

2.1 Eindimensionale Bewegungsprobleme x

x

x(t)

21

x(t)

Δt → 0 Δx Δt t

t+Δt

t

t

t

Abb. 2.6. Definition der Momentangeschwindigkeit in dem Grenzfall Δt → 0

Bsp. 2.1 Freier Fall (etwas allgemeiner formuliert) 1 2 gt v(t) = gt . 2 Bsp. 2.2 Harmonischer Oszillator x(t) =

x(t) = A sin ωt

v(t) = Aω cos ωt .

Bsp. 2.3 Freier Fall mit Reibung g g x(t) = t − 2 (1 − e−kt ) k k g g g v(t) = − 2 (−(−k)e−kt ) = (1 − e−kt ) . k k k Zus¨ atzlich zu der Information u ¨ ber den Bewegungsablauf, die man aus der Diskussion der Funktion x(t) gewinnen kann, kann man aus der Diskussion der Funktion v(t) unter Umst¨ anden weitere Einblicke gewinnen. Bsp. 2.1 Hier ist nicht viel zu sagen. Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit. Bsp. 2.2 In diesem Fall ist es n¨ utzlich, die beiden Kurven x(t) und v(t) gegenu berzustellen (Abb. 2.7). An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit ¨ Null. Sie ist maximal f¨ ur den Durchgang durch die Gleichgewichtslagen. Man sieht auch, dass dem Vorzeichen von v eine Bedeutung zukommt. Positive Geschwindigkeit bedeutet (in Bezugnahme auf die graphische Darstellung) Bewegungsrichtung nach oben, negative Geschwindigkeit Bewegungsrichtung nach unten. Bsp. 2.3 Hier geht man ¨ ahnlich vor wie im Fall der Diskussion der Funktion x(t) und notiert die Grenzf¨ alle: Ist kt so klein, dass die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion mit den quadratischen Termen ausreicht, so findet man 1 1 g v(t) = (1 − 1 + kt − k 2 t2 + . . .) = gt − gkt2 + . . . . k 2 2 Ist kt groß genug, so gilt

22

2 Kinematik

(a)

(b)

x(t) v(t)

A

Aω

ωt

ωt

Die Ortsfunktion

Die Geschwindigkeitsfunktion

Abb. 2.7. Die Funktionen x(t) und v(t) des harmonischen Oszillatorproblems

g . k Die Geschwindigkeit w¨ achst zun¨ achst wie bei dem freien Fall linear mit der Zeit, nimmt dann aber langsamer zu. F¨ ur große Zeiten erreicht man durch den Einfluss der Reibung eine konstante Endgeschwindigkeit. Der Endwert ist umso kleiner, je größer die Reibungskonstante k ist (Abb. 2.8). →

v(t)

v(t)

gt

g/k

t

Abb. 2.8. Die Funktion v(t) f¨ ur den freien Fall mit Reibung

2.1.3 Beschleunigung ¨ Die (Momentan)-Geschwindigkeit ist ein direktes Maß f¨ ur die Anderung des ¨ Ortes mit der Zeit. Die Beschleunigung ist ein Maß f¨ ur die Anderung der Geschwindigkeit mit der Zeit. Die entsprechenden Definitionen sind: Durchschnittsbeschleunigung im Intervall [t1 , t2 ] a ¯(t1 , t2 ) =

v(t2 ) − v(t1 ) , t2 − t1


23

Momentanbeschleunigung dv v(t + Δt) − v(t) = = v(t) ˙ . (2.7) Δt dt Es ist nun die Funktion v(t) zu differenzieren, aus rechentechnischer Sicht liegt also nichts Neues vor. Die Ableitung der ersten Ableitung ist die zweite Ableitung. Man schreibt deswegen auch a(t) = lim

Δt→0

d2 x =x ¨(t) . dt2 F¨ ur die drei Beispiele berechnet man die Beschleunigungen: a(t) =

Bsp. 2.1 a(t) = g . F¨ ur den freien Fall (in Erdnähe) hat man bekanntlich eine konstante Beschleunigung durch die Gravitationswirkung der Erde. In Kap. 3.2.4.1 wird deutlich werden, wie die (genauere) Zahl f¨ ur die 2 2 Erd- oder Gravitationsbeschleunigung g = 981cm/s = 9.81m/s aus dem allgemeinen Gravitationsgesetz folgt. Die f¨ ur ein lokales Experiment zust¨ andige Zahl h¨ angt u ¨brigens von der geographischen Breite, der Höhe u ¨ber dem Meeresspiegel und der geologischen Umgebung ab. Bsp. 2.2 Hier erh¨ alt man a(t) = −Aω 2 sin ωt . Es liegt wieder eine Sinuskurve a(t) A ω2

π/2

-A ω2

2 π ωt

Abb. 2.9. Die Beschleunigung a(t) f¨ ur das harmonische Oszillatorproblem

vor, nur ist das Vorzeichen in diesem Fall negativ (Abb. 2.9). Das bedeutet, dass die Beschleunigung im ersten Viertel einer Schwingungsperiode gegen die Bewegungsrichtung gerichtet ist, also bremsend wirkt. Im zweiten Viertel bewirkt sie eine R¨ uckbewegung auf die Gleichgewichtslage zu, etc. Man kann die Beschleunigung auch in der Form a(t) = −ω 2 x(t) angeben. Diese Gleichung ist folgendermaßen zu lesen: Die momentane Beschleunigung ist zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt proportional zu der momentanen Auslenkung. Diese Aussage ist das charakteristische Merkmal des harmonischen Oszillators. Schreibt man die Gleichung noch etwas anders d2 x(t) = −ω 2 x(t) , (2.8) x¨(t) = dt2

24

2 Kinematik

so sieht man zum ersten Male die Spitze des eigentlichen Eisberges. Es liegt eine Differentialgleichung vor, d.h. eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Funktion x(t), die deren Ableitungen enthält. Gemäß der allgemein u ¨ blichen Klassifikation ist es eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Differentialgleichungen stellen ein allgegenwärtiges Hilfsmittel der theoretischen ¨ Physik dar. Eine erste Ubersicht und L¨ osungsmethoden f¨ ur die einfachsten Typen von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen werden in Math.Kap. 2 vorgestellt. Das Thema Differentialgleichungen wird in Math.Kap. 6 weiter ausgebaut. Bsp. 2.3 F¨ ur dieses Beispiel findet man a(t) = ge−kt .

a(t) g

t

Abb. 2.10. Die Funktion a(t) f¨ ur den freien Fall mit Reibung

Die Beschleunigung beginnt mit dem Wert g f¨ ur t = 0, fällt aber dann aufgrund der Reibung auf den Wert Null ab (Abb. 2.10). In dem gleichen Maße wie a(t) gegen Null geht, wird die Geschwindigkeit des Massenpunktes konstant. Einen weiteren Einblick erhält man, wenn man das obige Resultat in einfacher Weise umformt a(t) = g + ge−kt − g g = g + k (e−kt − 1) k = g − kv(t) .

(2.9)

Die Interpretation dieses Ausdrucks ist: Die Beschleunigung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der erste Term entspricht dem freien Fall. Der zweite Term ist der ‘Reibungsterm‘ nach Stokes. Die Reibung ist proportional zu der Geschwindigkeit. Das Minuszeichen gibt an, dass dieser Term entgegen der momentanen Bewegungsrichtung wirkt. Es stellt sich noch die Frage: Ist es notwendig, weitere Ableitungen wie ¨ z.B. die Anderung der Beschleunigung mit der Zeit


25

d2 v da d3 x = 2 = 3 dt dt dt zu betrachten? Die Antwort auf diese Frage f¨ allt unter das Stichwort ‘Dynamik‘ deren Diskussion in Kap. 3 aufgegriffen werden wird. Die Antwort auf die Frage lautet: Die Betrachtung von h¨ oheren Ableitungen ist nicht notwendig. Dies ist eine Konsequenz des zweiten Newtonschen Axioms der Mechanik. In den drei einfachen Beispielen f¨ ur lineare Bewegungsabläufe war jeweils die Funktion x(t) vorgegeben. Zur weiteren Charakterisierung wurde dann durch Differentiation die Momentangeschwindigkeit v(t) = dx(t)/dt und die Beschleunigung a(t) = dv(t)/dt berechnet und diskutiert. Das Hauptproblem der Dynamik ist jedoch genau die Umkehrung: Vorgegeben ist die Beschleunigung a. Berechne aus dieser Vorgabe die Geschwindigkeit v(t) und die Position x(t) als Funktion der Zeit. Vorgegeben : a −→ Berechne : v(t), x(t) .

2.1.4 Erste Bemerkungen zur Berechnung von Bewegungsabl¨ aufen Die L¨ osung dieses Hauptproblems ist im Allgemeinen schwieriger als die Anwendung der Differentiationsregeln, die zur Berechnung von v(t) und a(t) aus der Vorgabe von x(t) ausreichen. F¨ ur die Berechnung von x(t) und v(t) aus der Vorgabe der Beschleunigung gibt es eine Reihe von Möglichkeiten, von denen einige an dieser Stelle kurz erl¨ autert werden sollen. Der einfachste Fall (Fall 1) liegt vor, wenn a als Funktion der Zeit gegeben ist: a = a(t). Zur Bestimmung von v(t) und x(t) benötigt man dann, als Umkehrung der Differentiation, (lediglich) die Integration t dv = a(t) −→ v(t) = a(t ) dt + v(t0 ) dt t0 t dx = v(t) −→ x(t) = v(t ) dt + x(t0 ) . dt t0 Die zweite Gleichung in jeder Zeile ist jeweils die Umkehrung der ersten. Der erste Term ist ein bestimmtes Integral von der Anfangszeit t0 bis zu der Endzeit t. Zus¨ atzlich zu dem Integral treten die Konstanten v(t0 ) und x(t0 ) auf. Das Auftreten dieser Konstanten erklärt sich folgendermaßen: Auf der einen Seite verschwindet das bestimmte Integral f¨ ur t = t0 . Auf der anderen Seite muss man der Tatsache Rechnung tragen, dass sowohl die Anfangsgeschwindigkeit als auch die Anfangsposition beliebig vorgegeben werden k¨ onnen. Man kann zum Beispiel das einfache Fallexperiment aus jeder beliebigen H¨ ohe beginnen und zus¨ atzlich dem Massenpunkt eine beliebige

26

2 Kinematik

Anfangsgeschwindigkeit in x -Richtung geben. (Siehe auch Math.Kap. 2.1 zu dem Thema Anfangswertprobleme). F¨ ur den freien Fall kann man die oben angedeutete Rechnung direkt nachvollziehen. In diesem Fall ist a(t) = g . Man erhält somit f¨ ur die Geschwindigkeit t v(t) = g dt + v(t0 ) = g (t − t0 ) + v(t0 ) . t0

Der erste Term entspricht der Fl¨ ache unter der Kurve a(t) = g zwischen den ur die Position erhält man entsprechend Grenzen t0 und t (Abb. 2.11a). F¨ t x(t) = t0

=

(g (t − t0 ) + v(t0 )) dt + x(t0 )

1 g (t − t0 )2 + v(t0 )(t − t0 ) + x(t0 ) . 2

Der Term in den großen runden Klammern entspricht in diesem Fall der Fl¨ ache unter der Kurve v(t). Diese setzt sich aus einem Rechteck mit den (a)

(b)

a(t’)

v(t’)

g

v(t) g(t-t0) v(t0)

t0 t t’ Berechnung von v(t) aus a(t)

t0 t t’ Berechnung von x(t) aus v(t)

Abb. 2.11. Integration der Bewegungsgleichung bei dem freien Fall

Seiten v(t0 ) und (t − t0 ), sowie einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten g (t − t0 ) und (t − t0 ) zusammen (Abb. 2.11b). Ein Standardfall (Fall 2), der in Anwendungen öfter auftritt, ist: Die Beschleunigung ist als Funktion des Ortes vorgegeben: a = a(x). Ein entsprechendes Beispiel ist das harmonische Oszillatorproblem mit a(x) = −ω 2 x . Die Bestimmung von x(t) und v(t) aufgrund einer solchen Vorgabe ist aufwendiger als im Fall 1, da eine direkte Integration nicht möglich ist. Benutzt man die Definition der Beschleunigung als die zweite Ableitung der Ortsfunktion, so erh¨ alt man die folgenden Aussagen: F¨ ur den harmonischen Oszillator hat man


d2 x = −ω 2 x oder dt2 im allgemeinen Fall

27

x ¨ = −ω 2 x ,

d2 x = a(x) oder x ¨ = a(x) . dt2 Es liegt eine Differentialgleichung f¨ ur die unbekannte Funktion x(t) vor. Die Differentialgleichung f¨ ur den harmonischen Oszillator kann man in die folgende Fragestellung umsetzen: F¨ ur welche Funktion ist die zweite Ableitung bis auf einen negativen Faktor gleich der Funktion selbst? Die Lösung dieser Differentialgleichung k¨ onnte man unter Umständen noch mit elementaren Mitteln angehen. Doch sind zum Beispiel die Lösungen der Differentialgleichung x¨ = +ω 2 x (eine positive anstelle einer negativen Konstanten) Exponentialfunktionen und keine trigonometrische Funktionen. Die Frage nach dem ‘Warum‘ wird in dem Math.Kap. 6.1 von einem allgemeineren Standpunkt aus beantwortet. Als eine einfachere Situation (Fall 3) verbleibt noch die Möglichkeit, dass die Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit vorgegeben ist: a = a(v). Ein Beispiel ist hier der freien Fall mit Reibung nach dem Ansatz von Stokes, f¨ ur den a = g − kv vorliegt. Die entsprechende Differentialgleichung schreibt man am geschicktesten in der Form dv = g − kv , dt f¨ ur eine allgemeinere Vorgabe lautet die Differentialgleichung dv = a(v) . dt Derartige Differentialgleichungen lassen sich wieder durch direkte Integration l¨ osen t v dv = dt . v0 a(v ) t0 Details des L¨ osungsprozesses werden in Math.Kap. 2.2.1 ausgef¨ uhrt. Die Differentialgleichungen f¨ ur die drei vorgestellten Beispiele sind Spezialfälle der allgemein m¨ oglichen Differentialgleichung f¨ ur die Charakterisierung von Bewegungsproblemen in einer Raumdimension. Im Allgemeinen (Fall 4) kann die vorgegebene Beschleunigung sowohl von der Zeit als auch von der Position und der Geschwindigkeit abh¨ angen a = a(v, x, t). Die Differentialgleichung dx d2 x , x, t = a dt2 dt bezeichnet man als eine explizite Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Bestimmung von x(t) aus einer solchen Vorgabe erfordert schon eine gewisse

28

2 Kinematik

mathematische Kunstfertigkeit. Eine Auswahl von analytisch diskutierbaren Klassen von allgemeineren Differentialgleichungen wird in Math.Kap. 2 und 6 vorgestellt. In Math.Kap. 6.4 findet man auch Hinweise auf numerische Lösungsmethoden, die in vielen F¨ allen notwendig sind.

2.2 Allgemeine Bewegungsprobleme Auch hier soll ein einfaches Fallexperiment am Anfang der Betrachtungen stehen. Ein Objekt (Massenpunkt) f¨ allt in diesem ‘Experiment‘ nicht mit einer Anfangsgeschwindigkeit Null vertikal nach unten, sondern hat eine Anfangsgeschwindigkeit in der horizontalen Richtung. Man beobachtet die Fallbewegung dieses Objektes und vergleicht sie mit der Fallbewegung eines identischen Objektes, das zur gleichen Anfangszeit aus der gleichen Anfangshöhe mit der Anfangsgeschwindigkeit Null beginnt. Bei diesem Vergleichsexperiment (Abb. 2.12a) w¨ urde man feststellen: Beide Objekte befinden sich zu der gleichen Zeit immer auf der gleichen H¨ ohe. Diese Aussage ist unabh¨ angig von der Größe der horizontalen Anfangsgeschwindigkeit des ersten Objektes. Die Folgerung, die man aus diesem Vergleichsexperiment ziehen kann, lautet: Die Horizontalbewegung ist unabh¨ angig von der Vertikalbewegung. Man kann den zweidimensionalen Bewegungsablauf aus zwei eindimensionalen Bewegungsabläufen zusammensetzen. Die formale Beschreibung des einfachen Wurfexperimentes sieht somit folgendermaßen aus: Bezeichne die Horizontale mit y, die Vertikale (wie zuvor nach unten) mit x. In der x -Richtung liegt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung vor 1 2 gt vx = gt ax = g . 2 In der y -Richtung ist die Bewegung gleichf¨ ormig x=

y = vy0 t

vy = vy0

ay = 0 .

Jede der kinematischen Gr¨ oßen Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung wird durch ein Paar von Gleichungen charakterisiert. Man hätte nat¨ urlich ein ungeschickteres Koordinatensystem w¨ ahlen können, so zum Beispiel ein rechtwinkliges Koordinatendreibein mit den x -, y - und z -Richtungen in beliebiger Orientierung. In diesem Fall m¨ usste man die Position des Objektes als Funktion der Zeit durch die Projektion auf die drei Koordinatenachsen beschreiben (Abb. 2.12b). In der dreidimensionalen Welt benötigt man zur Charakterisierung jeder der drei kinematischen Größen ein Tripel von Angaben Position : Geschwindigkeit :

(x(t), y(t), z(t))

dx dy dz , vy = , vz = vx = dt dt dt

(2.10) (2.11)

2.2 Allgemeine Bewegungsprobleme (a)

29

(b) t0 t1

z

y

5

4

3

2

t2

1

40

20

60

80

100

120

140

–20

y –1

–50 –2

t3 x v0 = 0

–100

x

v0 = v0y

Optimales Koordinatensystem

Beliebig orientiertes Koordinatensystem

Abb. 2.12. Das freie Wurfproblem

Beschleunigung :

dvx dvy dvz , ay = , az = ax = . dt dt dt

(2.12)

Es liegt nahe, den Versuch zu unternehmen, diese Tripelangaben in geschickter Weise zusammenzufassen. Diese Zusammenfassung gelingt mit Hilfe des Vektorbegriffes. Vor der Verwendung der Vektorschreibweise ist es jedoch ¨ n¨ utzlich, die Vielfalt von Bewegungsformen, die man durch Uberlagerung von eindimensionalen Bewegungen gewinnen kann, anhand von einigen expliziten Beispielen anzuschauen. Die Vektorrechnung wird in Math.Kap. 3, das eine Einf¨ uhrung in die wichtigsten Themen der ‘linearen Algebra‘ beinhaltet, vorgestellt. In diesem Kapitel wird auch der Umgang mit Matrizen, Determinanten und linearen Koordinatentransformationen behandelt, und es werden einige Bemerkungen zu den Themen lineare Vektorräume und schiefwinklige Koordinatensysteme angeboten.

2.2.1 Zweidimensionale Bewegungsformen Bei der Betrachtung des obigen Fallexperimentes wurde zur Charakterisierung der Position ein Satz von Gleichungen der Form {x(t), y(t)} benutzt. Man bezeichnet diese Vorgabe als eine Parameterdarstellung der Bahnkurve des Objektes. Tr¨ agt man in einem x - y Diagramm die Punkte {x(t), y(t)} ein, so kann man den zeitlichen Verlauf der Bewegung explizit verfolgen (Abb. 2.13). Die Gleichung der Bahnkurve selbst erhält man, indem man aus dem Satz von Gleichungen x = x(t)

y = y(t)

die Zeit eliminiert. F¨ ur das Beispiel des einfachen, freien Wurfes ergibt dies

2 x 2vy0 g 2 . x = 2 y oder y = ± 2vy0 g

30

2 Kinematik

y t4 t3 t2 t1

x

Abb. 2.13. Parameterdarstellung einer Bahnkurve (zweidimensional)

Dies ist die Gleichung einer Parabel, beziehungsweise etwas präziser: die Gleichung von zwei Parabel¨ asten. Die Bahngleichung enthält keine Information u ¨ber den detaillierten, zeitlichen Bewegungsablauf. ¨ Eine Vielfalt von Bahnkurven entsteht durch die Uberlagerung von harmonischen Schwingungen in zwei zueinander senkrechten Koordinatenrichtungen. Man bezeichnet die so enstehenden Kurven nach ihrem Entdecker als Lissajousfiguren. ¨ 2.2.1.1 Uberlagerung von harmonischen Schwingungen. Die Charakterisierung der Schwingungen in den beiden Koordinatenrichtungen mit verschiedenen Amplituden (A), Phasen (φ) und Frequenzen (ω) lautet x(t) = Ax sin(ωx t + φx )

(2.13)

y(t) = Ay sin(ωy t + φy ) .

(2.14)

Die Amplitude und die Phase charakterisieren die jeweilige Anfangssituation, so z.B. f¨ ur t = 0 x(0) = Ax sin φx

vx (0) = ωx Ax cos φx

y(0) = Ay sin φy

vy (0) = ωy Ay cos φy .

Die Frequenzen bestimmen die Schnelligkeit der Einzelschwingungen. Es zeigt ¨ sich, dass bei der Uberlagerung der beiden Schwingungen nur die Phasendifferenz eine Rolle spielt. Man kann deswegen, ohne an Allgemeinheit der Betrachtung zu verlieren, eine der Phasen gleich Null setzen. F¨ ur die Wahl φy = 0 ist y(0) = 0. Dies bedeutet, dass das Koordinatensystem derart orientiert wurde, dass sich die Anfangsposition auf der x -Achse befindet. Der ur die Einfachheit halber setzt man dann φx = φ. Einige der Möglichkeiten f¨ ¨ Uberlagerung von harmonischen Schwingungen sollen nun vorgestellt werden. Das erste explizite Beispiel (Beispiel 2.4) ist der Fall gleicher Frequenzen ωx = ωy = ω. Die Gleichung der Bahnkurve gewinnt man mit dem folgenden Argument: Aus der Gleichung (2.14) f¨ ur y folgt mit der besprochenen Phasenwahl sin ωt = y(t)/Ay und daraus

2.2 Allgemeine Bewegungsprobleme

⎧ 1 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ + Ay Ay − y(t) cos ωt = ⎪ 1 2 ⎪ ⎩− Ay − y(t)2 Ay

f¨ ur

−

π π ≤ ωt ≤ 2 2

mod(2π)

f¨ ur

+

3π π ≤ ωt ≤ 2 2

mod(2π) .

31

(2.15)

Die Gleichung (2.13) f¨ ur die Bewegung in der x -Richtung schreibt sich mit dem Additionstheorem f¨ ur die trigonometrischen Funktionen als x(t) = Ax (cos φ sin ωt + sin φ cos ωt) . Setzt man die obigen Ausdr¨ ucke f¨ ur cos ωt und sin ωt ein, so ergibt sich als Gleichung f¨ ur die Bahnkurve Ax y cos φ ± sin φ A2y − y 2 . (2.16) x= Ay Eine allgemeine Diskussion dieses Ausdrucks ist möglich, jedoch etwas un¨ u wenn man einige Spe¨bersichtlich. Man gewinnt einen besseren Uberblick, zialf¨ alle betrachtet. Fall 1: F¨ ur φ = 0 lautet die Parameterdarstellung x(t) = Ax sin ωt

y(t) = Ay sin ωt .

Die beiden Einzelschwingungen sind in Phase. Die Gleichung der Bahnkurve ist y = (Ay /Ax ) x. Die Bahnkurve ist eine Gerade, infolge des beschränkten Wertebereiches der unabh¨ angigen Variablen nat¨ urlich nur ein Geradenst¨ uck ¨ (Abb. 2.14a). Die Uberlagerung der beiden linearen Schwingungen ergibt in diesem Fall wieder eine lineare Oszillation mit der Frequenz ω, wobei der Massenpunkt in einer Richtung schwingt, die durch tan α = (Ay /Ax ) gegeben ist. Die maximale Auslenkung ist [A2x + A2y ]1/2 . Fall 2: Ist die Phasendifferenz φ = ±π, so lautet die Parameterdarstellung x(t) = −Ax sin ωt

y(t) = Ay sin ωt

und die Bahngleichung y = −(Ay x)/Ax . Es liegt wieder eine lineare, harmonische Schwingung vor, dieses Mal entlang eines Geradenst¨ uckes im 2. und 4. Quadranten (Abb. 2.14b). Sind die Amplituden gleich (Ax = Ay = A) und ist die Phasendifferenz φ = π/2 (Fall 3), so hat man x(t) = A cos ωt und x=±

A2 − y 2

y(t) = A sin ωt

oder x2 + y 2 = A2 .

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius A. Der Parameterdarstellung entnimmt man die Aussagen, dass sich der Massenpunkt zur Zeit t = 0 an der Stelle ( x(0), y(0) ) = (A, 0) befindet und sich uniform auf dem

32

2 Kinematik

(a)

(b) y

y

(A x ,Ay) α

x

α

x

Phasendifferenz ±π

Phasendifferenz 0

Abb. 2.14. Bahnkurven des zweidimensionalen harmonischen Oszillators mit ωx = ωy , A x = A y (a)

(b) y

ωt

= π/2 ωt

y

=0

ωt

=0

x

x

Phasendifferenz −π/2

Phasendifferenz +π/2

Abb. 2.15. Bahnkurven des zweidimensionalen harmonischen Oszillators mit ωx = ωy , A x = A y

Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn bewegt. F¨ ur ωt = π/2 sind seine Koordinaten ( x(π/2ω), y(π/2ω) ) = (0, A) (Abb. 2.15a). F¨ ur einen vollen Umlauf ben¨ otigt er die Zeit T = 2π/ω . F¨ ur die Phasendifferenz von φ = −(π/2) und gleich große Amplituden (Fall 4) andert die x -Koordinate ihr Vorzeichen x(t) = −A cos ωt . Die Bahnkurve ¨ wird immer noch durch die Kreisgleichung x2 + y 2 = A2 beschrieben, nur beginnt der Massenpunkt dieses Mal an der Stelle ( x(0), y(0) ) = (−A, 0) und durchl¨ auft den Kreis (uniform) im Uhrzeigersinn (Abb. 2.15b). Fall 5: F¨ ur eine Phasendifferenz φ = π/2, wie im Fall 3, aber verschiedenen Amplituden (Ax = Ay ) gilt x(t) = Ax cos ωt mit der Bahngleichung Ax 2 x=± Ay − y 2 Ay

y(t) = Ay sin ωt ,

oder

x2 y2 + =1. A2x A2y

Diese Bahnkurve ist eine Ellipse, die in der gleichen Weise wie der Kreis im Fall 3 durchlaufen wird (Abb. 2.16a). F¨ ur t = 0 ist die Position (Ax , 0). Die Umlaufzeit ist wiederum T = (2π)/ω . L¨ ost man die Wurzel in der allgemeineren Form der Bahngleichung (2.16) auf, so erh¨ alt man


A2y x2 − 2Ax Ay xy cos φ + A2x y 2 = A2x A2y (sin φ)2 .

33

(2.17)

Man k¨ onnte sich dann mit einigen Rechenschritten ( D.tail 2.1) davon u ¨berzeugen, dass die Bahnkurven f¨ ur ωx = ωy im Allgemeinen Ellipsen sind. Die Ellipsen haben jedoch eine beliebige Orientierung bez¨ uglich der Koordinatenachsen. Sie treten z.B. auch auf, falls Ax = Ay ist, die Phasendifferenz φ jedoch keinen ausgezeichneten Wert hat (Abb. 2.16b). Die Spezialfälle von Kreis und Geradenst¨ uck kann man als extreme Grenzfälle einer Ellipse auffassen. (a)

(b) y ωt

y

= π/2

π /6 ωt

x

=0

ωt

x

=0

π /4

Ax = Ay , Phasendifferenz = π/2 Abb. 2.16. ωx = ωy

Ax = Ay , Phasendifferenzen π/4 und π/6

Bahnkurven des zweidimensionalen harmonischen Oszillators mit

Die Bahnkurven werden deutlich komplexer, wenn die beiden Frequenzwerte verschieden sind (ωx = ωy ). Zwei illustrative Beispiele sollen eine einigermaßen aufwendige Detaildiskussion ersetzen. Die Phasendifferenz ist φ = π/2, die Amplituden sind gleich (Ax = Ay = A) (Beispiel 2.5). Die Frequenz in der x -Richtung ist doppelt so groß wie die Frequenz in der y -Richtung (ωx = 2ω, ωy = ω). In diesem Fall lautet die Parameterdarstellung x(t) = A sin(2ωt + π/2) = A cos 2ωt = A(cos2 ωt − sin2 ωt) y(t) = A sin ωt . Zur Elimination der Zeitabh¨ angigkeit benutzt man wieder (2.15) y y2 sin ωt = cos ωt = ± 1 − 2 . A A Setzt man dies in die obige Gleichung f¨ ur x ein, so ergibt sich

2 2 y y 1 x = A 1 − 2 − 2 = (A2 − 2y 2 ) A A A oder bei Aufl¨ osung nach der Variablen y

34

2 Kinematik

A (A − x) . 2 Diese Gleichung beschreibt eine Parabel (genauer: ein Parabelst¨ uck) durch die Punkte √ (−A, ±A) , (0, ±A/ 2) und (A, 0) . y=±

Der Massenpunkt oszilliert auf dem Parabelst¨ uck, das innerhalb eines Quadrates mit der Seitenl¨ ange 2A liegt. Er beginnt zur Zeit t = 0 in dem Schnittpunkt der Parabel mit der x -Achse (Abb. 2.17a), bewegt sich auf dem oberen Parabelast zu dem Punkt mit x = −A, kehrt dort um, erreicht nach dem Durchgang durch die x -Achse den Punkt mit x = −A auf dem unteren Parabelast, kehrt an dieser Stelle wiederum um und beginnt nach R¨ uckkehr zu dem x -Achsenpunkt den n¨ achsten Zyklus. (a)

(b) y

y

ω t = π /4

A ω

-A

ω t =0

t=0

ω t = π /2

x

x -A

ωx = 2ωy = 2ω,

φ = π/2

ωy = 2ωx = 2ω,

φ=0

Abb. 2.17. Bahnkurven des zweidimensionalen harmonischen Oszillators f¨ ur Ax = Ay = A bei verschiedenen Frequenzen

In dem Beispiel 2.6 ist die Phasendifferenz Null (φ = 0), die Amplituden sind gleich und die Frequenz ist dieses Mal in der y -Richtung doppelt so groß wie ¨ die Parameterdarstellung die in der x -Richtung (ωx = ω, ωy = 2ω). Uber x(t) = A sin ωt y(t) = A sin 2ωt = 2A sin ωt cos ωt gewinnt man in diesem Fall die Bahngleichung 2x 2 A − x2 . y=± A Die Bahnkurve ist eine Art von ‘8‘ in dem Quadrat mit der Seitenlänge 2A um den Koordinatenursprung. Die ‘8‘ wird, beginnend zur Zeit t = 0 im Ursprung, zuerst auf der rechten Schleife im Uhrzeigersinn, dann auf der linken Seite im gegenl¨ aufigen Sinn durchlaufen. Das Pluszeichen in der Gleichung f¨ ur die Bahnkurve beschreibt den Anteil der Bahnkurve oberhalb der x -Achse, das Minuszeichen entsprechend den unteren Teil (Abb. 2.17b). Die Variation der Bahnkurven mit der Phasendifferenz f¨ ur dieses Beispiel zeigt Abb. 2.18.


35

Man beachte die Bewegungsrichtung f¨ ur die Phasendifferenz φ = π/2 im Vergleich zu der Bewegungsrichtung f¨ ur φ = 0. Eine Auswahl von weiteren Bahnkurven ist in Abb. 2.19 bis 2.22 zusammengestellt. Ist das Frequenzverh¨ altnis (ωx /ωy ) gleich 1, so erhält man, wie schon ausgef¨ uhrt, Ellipsen mit den Grenzf¨ allen Kreise und Geraden. Die Variation dieser Bahnkurven f¨ ur den Fall gleicher Amplituden als Funktion der Phasendifferenz ist in Abb. 2.19 angedeutet. Man beachte insbesondere die Umkehrung des Umlaufsinnes bei den Werten φ = π, 2π. Ist das Frequenzverh¨ altnis rational m ωx (m, n ganzzahlig) , = ωy n

φ = 450

φ = 600

φ = 900

φ = 1200

¨ Abb. 2.18. Uberlagerung von Oszillationen f¨ ur 2ωx = ωy , Abh¨ angigkeit von der Phasendifferenz φ

φ = 1350 Ax = Ay in

φ = 900

φ = 1200

φ = 1500

φ = 1800

φ = 2100

φ = 2400

φ = 2700

φ = 3000

φ = 3300

φ = 3600

Abb. 2.19. Variation der Bahnkurven f¨ ur das Beispiel 2.4 (Ax = Ay ) mit der Phasendifferenz φ

so erh¨ alt man immer geschlossene Kurven. Je größer die ganzen Zahlen m und n sind, desto mehr Schleifen k¨ onnen die Figuren aufweisen. Beispiele sind in den Abbildungen 2.20 bis 2.22 zu sehen. ¨ Eine experimentelle Demonstration der Uberlagerung von zwei linearen Schwingungen wurde 1855 noch mit einer mechanischen Apparatur durchgef¨ uhrt. F¨ ur eine modernere experimentelle Reproduktion der Figuren be-

36

2 Kinematik

φ = 450

φ = 600

φ = 900

φ = 1200

φ = 1800

Abb. 2.20. Variation der Bahnkurven mit der Phasendifferenz φ f¨ ur rationale Frequenzverh¨ altnisse (2ωx = 3ωy ) , (Ax = Ay )

φ = 450

φ = 600

φ = 900

φ = 1200

φ = 1350

Abb. 2.21. Variation der Bahnkurven mit der Phasendifferenz φ f¨ ur rationale Frequenzverh¨ altnisse (3ωx = 4ωy ) , (Ax = Ay )

φ = 450

φ = 600

φ = 900

φ = 1200

φ = 1350

Abb. 2.22. Variation der Bahnkurven f¨ ur 3ωx = 4ωy , 2Ax = Ay mit der Phasendifferenz φ

nutzt man einen Oszillographen, an dessen senkrecht zueinander angeordneten Ablenkplatten harmonische Wechelspannungen mit entsprechenden Frequenzverh¨ altnissen angelegt werden. Ist das Verh¨ altnis der Frequenzen (ωx /ωy ) irrational, so sind die Bahnkurven nicht geschlossen. Der Massen- oder der Oszillatorpunkt u ¨ berdeckt im Verlaufe der Zeit das gesamte Rechteck mit den Seitenlängen 2Ax und 2Ay . Da schon kleinste Abweichungen von einem rationalen Verhältnis zu nichtgeschlossenen Kurven f¨ uhren, ergibt sich auf diese Weise eine extrem genaue M¨ oglichkeit des (elektrotechnischen) Frequenzvergleiches.

2.2.2 Dreidimensionale Bewegungsformen Der Satz von Gleichungen {x(t), y(t), z(t)} stellt eine Kurve im dreidimensionalen Raum dar. Die Parametrisierung der Schraubenlinie • x(t) = R cos ωt

y(t) = R sin ωt

z(t) = bt

(2.18)


37

ist ein Beispiel f¨ ur eine derartige Parameterdarstellung. Dabei sind R und b vorgegebene Parameter, t (z.B. mit den Werten 0 ≤ t ≤ ∞) ist die Variable, mit deren Hilfe man die Raumkurve abf¨ ahrt. Die Projektion der Raumkurve auf die x - y Ebene ist ein Kreis, der uniform durchlaufen wird. Während die Projektion eines Massenpunktes auf diese Ebene einmal auf dem Kreis uml¨ auft, ¨ andert sich die z -Komponente linear mit dem Parameter t (zum Beispiel der Zeit) um den Betrag Δz = 2πb/ω. Die vorgegebene Raumkurve ist eine Schraubenlinie mit dem Durchmesser 2R und der Ganghöhe Δz (Abb. 2.23).

z Δz

y

x

Abb. 2.23. Schraubenlinie

•

x(t) = a cos φ sin ωt

y(t) = b sin φ sin ωt

z(t) = c cos ωt .

(2.19)

In diesem Fall sind vier Parameter, a, b, c und φ, vorgegeben, t ist wiederum die unabh¨ angige Variable. Interpretiert man diese Raumkurve als Bahnkurve eines Massenpunktes, so hat man die Aussage: Der Massenpunkt bewegt sich auf der Oberfl¨ ache eines achsenorientierten Ellipsoides und zwar auf einer Kurve, die durch den Nordpol und den S¨ udpol entlang eines ‘Längengrades‘ verl¨ auft (Abb. 2.24). Das folgende Argument illustriert diese Behauptung. Aus den drei Gleichungen der Parameterdarstellung kann man die Zeit eliminieren und zwei implizite Gleichungen in drei Variablen gewinnen

b y2 z2 x2 tan φ x . + 2 + 2 =1 y= a2 b c a Die erste Gleichung stellt die Oberfl¨ ache eines Ellipsoides mit den Halbachsen a, b, c dar. Die zweite Gleichung beschreibt, im dreidimensionalen Raum, eine Ebene durch die z -Achse, die durch Parallelverschiebung einer Geraden in der x - y Ebene (y = Ax) erzeugt wird. Die Bahnkurve ist die Schnittlinie des Ellipsoides mit der Ebene. Die Darstellung einer Raumkurve als Schnittlinie von zwei Flächen im Raum ist eine Alternative zu der Parameterdarstellung durch drei Funktionen einer Variablen t. In der theoretischen Mechanik ist die Parameterdarstellung jedoch die nat¨ urlichere Variante.

38

2 Kinematik

Abb. 2.24. Bewegung auf einem Rotationsellipsoid

Die Darstellung von Flächen im Raum durch Funktionen von mehreren Veränderlichen wird in Math.Kap. 4 erläutert. In diesem Kapitel werden auch die partielle Differentiation und verschiedene Integrale mit Funktionen von mehreren Veränderlichen besprochen. Ist der Satz von Koordinaten als Funktion der Zeit t vorgegeben, so kann man die Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung durch direkte Differentiation berechnen. F¨ ur die Bewegung auf der Raumkurve (2.19) erhält man dann mit x = Ax sin ωt

y = Ay sin ωt

z = Az cos ωt ,

wobei zur Abk¨ urzung Ax = a cos φ

Ay = b sin φ

Az = c

gesetzt wurde, f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten dx dy dz = ωAx cos ωt vy = = ωAy cos ωt vz = = −ωAz sin ωt dt dt dt und f¨ ur die Komponenten der Beschleunigung vx =

ax =

dvx = −ω 2 Ax sin ωt dt

az =

dvz = −ω 2 Az cos ωt . dt

ay =

dvy = −ω 2 Ay sin ωt dt

Dieses Ergebnis zeigt, dass es sich bei diesem Beispiel wieder um ein Oszillatorproblem (in drei Dimensionen) handelt, denn es ist ax = −ω 2 x

ay = −ω 2 y

az = −ω 2 z .

Wie im Fall einer Raumdimension ist die eigentliche Fragestellung jedoch nicht die Berechnung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung aus der Vorgabe der Position als Funktion der Zeit, sondern die Umkehrung: Vorgegeben sind drei Funktionen ax , ay , az und die Anfangsbedingungen x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ), vx (t0 ), vy (t0 ), vz (t0 ). Bestimme aus diesen Vorgaben x(t), y(t), z(t) .


39

Dies bedeutet, dass die L¨ osung eines Satzes von Differentialgleichungen zu finden ist. F¨ ur eine Vorgabe der Funktionen ai mit ˙ x¨ = ax (t, x, x)

y¨ = ay (t, y, y) ˙

z¨ = az (t, z, z) ˙

(2.20)

liegt ein Satz von drei ungekoppelten Differentialgleichungen vor, also drei Bewegungsgleichungen von dem Typ, der bei der Diskussion der eindimensionalen Bewegung in Kap. 2.1 auftrat. Der allgemeinere Fall ist die Vorgabe von drei gekoppelten Differentialgleichungen der Form x¨ = ax (t, x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ ˙ y, ˙ z) ˙ y¨ = ay (t, x, y, z, x,

(2.21)

z¨ = az (t, x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ . Einige Beispiele dieser Art und geeignete Methoden zu ihrer Lösung werden in den sp¨ ateren Kapiteln diskutiert. 2.2.3 Ein Beispiel zur L¨ osung von zweidimensionalen Bewegungsproblemen Das folgende Problem soll die L¨ osung der Bewegungsgleichungen in zwei Raumdimensionen illustrieren. Die Vorgabe ist ax = g − kvx

ay = −kvy .

(2.22)

In der x -Richtung (Vertikale, Orientierung nach unten) wirkt eine konstante Beschleunigung und ein Reibungsterm, in der y -Richtung (Horizontale, Orientierung nach rechts) tritt nur ein Reibungsterm (vom gleichen Typ) auf. Die Vorgabe entspricht einem freien Wurfproblem in einem homogenen, z¨ ahen Medium. Als Anfangsbedingungen werden vorgegeben t0 = 0 : x(0) = y(0) = 0

vx (0) = vx0

vy (0) = vy0 .

Der Massenpunkt befindet sich zur Anfangszeit im Koordinatenursprung, die Anfangsgeschwindigkeit ist beliebig. Der L¨ osungsprozess f¨ ur dieses Bewegungsproblem wurde schon in Kap. 2.1 angedeutet. Man verwendet die Methode der Variablentrennung, die in Math.Kap. 2.2.1 eingehender besprochen wird. F¨ ur die x -Richtung steht die Differentialgleichung dvx = g − kvx dt zur Diskussion. Die allgemeine L¨ osung dieser Differentialgleichung erster Ordnung ist g ˙ = (1 − e−kt ) + vx0 e−kt . vx (t) = x(t) k

40

2 Kinematik

Die L¨ osung dieser zweiten Differentialgleichung erhält man durch direkte Integration, mit der angegebenen Anfangsbedingung also g vx0 −kt g (e − 1) . (2.23) x(t) = t + 2 (e−kt − 1) − k k k F¨ ur die Diskussion der Bewegung in der y -Richtung ist die einfachere Differentialgleichung dvy = −k vy dt zu l¨ osen. Auch hier w¨ are eine Anwendung der Methode der Variablentrennung m¨ oglich. Dies ist jedoch nicht notwendig, da diese Vorgabe der Differentialgleichung f¨ ur die x -Koordinate mit g = 0 entspricht, man also direkt abschreiben kann vy0 −kt (e vy (t) = vy0 e−kt y(t) = − − 1) . (2.24) k Zur Detaildiskussion des Bewegungsablaufes betrachtet man auch hier zunächst Grenzf¨ alle: F¨ ur kleine Zeiten gewinnt man durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion 1 (e−kt − 1) = −kt + k 2 t2 − . . . 2 die N¨ aherungen 1 x(t) ≈ vx0 t + (g − vx0 k)t2 + . . . 2 1 y(t) ≈ vy0 t − vy0 kt2 + . . . . 2 Falls die Reibungseffekte schwach sind (vx0 k ∼ vy0 k g), ähnelt die Bahnkurve der Wurfparabel. F¨ ur große Zeiten, genauer f¨ ur kt groß, erh¨ alt man mit dem asymptotischen Limes der Exponentialfunktion v g vy0 g x0 x(t) −→ t + y(t) −→ − 2 . (2.25) k k k k Die Bewegung geht in eine gleichf¨ ormige Bewegung entlang einer Vertikalen u ur den gesamten Bewegungsablauf ist in Abb. 2.25 ¨ ber. Ein Beispiel f¨ illustriert. Es ist auch m¨ oglich, einen analytischen Ausdruck f¨ ur die Bahnkurve in der Form x = x(y) zu gewinnen. Man benutzt dazu die Auflösung der zweiten Gleichung in (2.24) (e−kt − 1) = −

ky vy0

2.3 Vektorielle Beschreibung von Bewegungen

41

vyo / k y

x

Abb. 2.25. Wurf in einem z¨ ahen Medium

mit der Umkehrung

1 ky t = − ln 1 − , k vy0 so dass aus (2.23)

vx0 ky g g − + y x = − 2 ln 1 − k vy0 vy0 kvy0 folgt. Auch das zweidimensionale Oszillatorproblem aus Kap. 2.2.1, mit den Differentialgleichungen x ¨ = −ωx2 x und y¨ = −ωy2 y und den allgemeinen Lösungen x(t) = Ax sin(ωx t + φx ) y(t) = Ay sin(ωy t + φy )

vx (t) = Ax ωx cos(ωx t + φx ) vy (t) = Ay ωy cos(ωy t + φy )

ist ein Beispiel f¨ ur das einfachere Differentialgleichungssystem (2.20).

2.3 Vektorielle Beschreibung von Bewegungen Die Bewegung eines Massenpunktes im Raum wird durch einen Satz von drei Funktionen, der Parameterdarstellung einer Bahnkurve {x(t), y(t), z(t)}, beschrieben. Fasst man die drei Funktionen als die Komponenten eines (zeitlich ver¨ anderlichen) Vektors auf r(t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez ,

(2.26)

so erh¨ alt man eine vektorielle Darstellung des Bewegungsablaufes. Der Endpunkt des Vektors r(t) f¨ ahrt die Bahnkurve ab (Abb. 2.26a). Die vektorielle Darstellung hat den Vorteil, dass sie die Beschreibung der Bewegung von der Wahl eines bestimmten Koordinatensystems befreit, auch wenn man zur Angabe von Details auf eine bestimmte Komponentenzerlegung zur¨ uckgreifen muss (Abb. 2.26b).

42

2 Kinematik

(a)

(b) z z

r(t)

z’

y’ r(t)

x’

y x Vektorielle Beschreibung einer Bahnkurve im Raum

y x

Unabh¨ angigkeit von Koordinatendreibeinen

Abb. 2.26. Vektorielle Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes

2.3.1 Grundbegriffe So kann man z.B. den Geschwindigkeitsvektor ohne Zuhilfenahme der Komponentenzerlegung diskutieren. Mit den Vektoren, die die Position eines Massenpunktes zur Zeit t und t+ Δt markieren, bildet man den Differenzvektor Δr = r(t + Δt) − r(t) (Abb. 2.27). Multipliziert man diesen Vektor mit Δr

r(t)

r(t + Δt)

Abb. 2.27. Zur Definition des Geschwindigkeitsvektors

dem Skalar 1/Δt, so erh¨ alt man den Vektor f¨ ur die Durchschnittsgeschwindigkeit Δr . Δt F¨ uhrt man den Grenz¨ ubergang Δt → 0 aus, so ergibt sich der Vektor f¨ ur die Momentangeschwindigkeit v ¯(t, Δt) =

dr r(t + Δt) − r(t) = r˙ = lim . (2.27) Δt→0 dt Δt Die drei ersten Aussagen in dieser Gleichungskette entsprechen Varianten der Notation, die eigentliche Definition ist der Grenzwert. Aus geometrischer Sicht ergibt sich die Aussage: Der Vektor v(t) markiert die Tangente an die r¨ aumliche Bahnkurve im Punkt r(t). ¨ Die Ubertragung der vektoriellen Betrachtung in die Komponentenform beinhaltet die Schritte: Beziehe die beiden Vektoren r(t) und r(t + Δt) auf ein Koordinatensystem, das sich nicht mit der Zeit verändert. Es folgt v(t) =

v ¯(t, Δt) =

Δy Δz Δx ex + ey + ez , Δt Δt Δt


43

bzw. im Grenzfall ˙ ey + z(t) ˙ ez . v(t) = x(t) ˙ ex + y(t)

(2.28)

Voraussetzung ist, um es noch einmal zu betonen, Bezug auf ein zeitlich unver¨ anderliches Koordinatendreibein. Die Diskussion ist grundverschieden (siehe z.B. Kap. 6.2, rotierende Koordinatensysteme), falls diese Voraussetzung nicht gegeben ist. Der Beschleunigungsvektor wird entsprechend als die zeitliche Veränderung des Geschwindigkeitsvektors definiert dv d2 r v(t + Δt) − v(t) ˙ = r¨(t) = lim = 2 = v(t) . (2.29) Δt→0 dt dt Δt Wieder ist die eigentliche Definition des Beschleunigungsvektors durch den Grenzwert gegeben, die restlichen Angaben sind gebräuchliche Varianten in der Notation f¨ ur diese Gr¨ oße. Bei Bezug auf ein zeitlich unveränderliches Koordinatensystem gilt a(t) =

a(t) = x ¨(t) ex + y¨(t) ey + z¨(t) ez .

(2.30)

Die Differentiation und die Integration von Vektoren nach einem Parameter (in der Physik meist die Zeit) spielt von nun an immer wieder eine Rolle. Eine Zusammenfassung dieses Themenkreises findet man in Math.Kap. 5. 2.3.1.1 Bogenl¨ ange, Tangenten- und Normalenvektoren. Größen, die Einzelaspekte einer Bahnkurve charakterisieren, lassen sich auf den Geschwindigkeitsvektor zur¨ uckf¨ uhren. • Die Bogenl¨ ange eines Kurvenst¨ ucks, dessen Endpunkte durch die Parameter t0 und t beschrieben werden, ist t 2 1/2 x(t ˙ ) + y(t s(t, t0 ) ≡ s(t) = ˙ )2 + z(t ˙ )2 dt

t0 t

=

[r(t ˙ ) · r(t ˙ )]

1/2

dt .

t0

Diese Vorschrift zur Berechnung der Bogenlänge ergibt sich aus der Zerlegung eines Kurvenst¨ uckes in infinitesimale Elemente mit der Länge 1/2 , ds = dx2 + dy 2 + dz 2 der Verkn¨ upfung mit dem Kurvenparameter mittels dx = x(t)dt ˙

dy = y(t)dt ˙

und anschließender Integration.

dz = z(t)dt ˙

44

2 Kinematik

• Der Tangentenvektor eT ist ein Einheitsvektor in einem Bahnpunkt in Richtung der Tangente an die Kurve mit der Definition eT (t) =

dr dt r(t) ˙ dr = = . ds dt ds |r(t)| ˙

Der zweite Term auf der linken Seite beinhaltet die Definition. Der nächste Schritt folgt mit der Kettenregel, der letzte aus der Definition der Bogenl¨ ange mit ds 1/2 = [r(t) ˙ · r(t)] ˙ = |r(t)| ˙ . dt Offensichtlich ist eT ein Einheitsvektor, denn es gilt eT · eT =

r(t) ˙ · r(t) ˙ =1. |r(t)| ˙ 2

• Der Normalenvektor ist ein Einheitsvektor senkrecht zu eT , der durch deT ds definiert ist. Da die Ableitung des Tangentenvektors nach der Bogenlänge nicht notwendigerweise den Betrag 1 hat, tritt ein Normierungsfaktor auf deT −1 deT −1 deT dt −1 = = |r| ˙ . ρ(t) = ds dt ds dt eN (t) = ρ(t)

Die Inverse des Betrages der Ableitung von eT nach dem Parameter s wird als Kr¨ ummungsradius ρ(t) bezeichnet. Der Betrag selbst κ(t) = ρ(t)−1 heißt Kr¨ ummung. Die Orthogonalit¨ at von eN (t) und eT (t) folgt aus deT (t) d(eT (t) · eT (t)) = 2(eT (t) · )=0. dt dt • Das Komplement zu einem lokalen Koordinatendreibein eB (t) = eT (t) × eN (t) bezeichnet man als den Binormalenvektor. 2.3.2 Vektorielle Fassung von Bewegungen Drei Beispiele sollen die vektorielle Beschreibung von Bewegungsabläufen illustrieren. Ein einfaches Beispiel (Beispiel 2.7) ist die uniforme Kreisbewegung in der x - y Ebene. Der Positionsvektor ist r(t) = (R cos ωt) ex + (R sin ωt) ey + 0 ez oder in der u urzung ¨ blichen Abk¨

(2.31)


r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, 0) .

45

(2.32)

Als Anfangsbedingung wurde r(0) = (R, 0, 0) gewählt. Der Massenpunkt (bzw. der Endpunkt des Positionsvektors) dreht sich gegen den Uhrzeigersinn (Abb. 2.28a). F¨ ur den Geschwindigkeitsvektor erhält man (Abb. 2.28b) v(t) = (−Rω sin ωt, Rω cos ωt, 0) .

(2.33)

Dieser Vektor hat die folgenden Eigenschaften: (a)

(b)

(c) v(t)

r(t)

r(t)

r(0)

Positionsvektor

Geschwindigkeitsvektor

v(t)

a(t’)

a(t)

Zentralbeschleunigung

Abb. 2.28. Kreisbewegung

(1) Der Betrag von v (v = |v| = Rω) ist unabhängig von der Zeit. (2) Mit der Zeit a¨ndert sich nur die Richtung des Vektors. Der Geschwindigkeitsvektor steht wegen r(t) · v(t) = 0 zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf dem Positionsvektor. Tr¨ agt man die Geschwindigkeitsvektoren als feste Vektoren in einem Koordinatensystem ein (Abb. 2.29a), so beschreiben die Endpunkte der Vektoren eine Kurve, die man als Hodograph bezeichnet (hodos ist das griechische Wort f¨ ur Weg). Die Parameterdarstellung des Hodographen im dreidimensionalen Raum ist somit {x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)}. ˙ F¨ ur den Fall der uniformen Kreisbewegung in der Ebene ist der Hodograph wieder ein Kreis. Der Geschwindigkeitsvektor rotiert in diesem Fall im gleichen Sinn wie der Ortsvektor, nur ist er diesem um 90◦ voraus (Abb. 2.29b). Der Beschleunigungsvektor a(t) f¨ ur die uniforme Kreisbewegung ist a(t) = (−ω 2 R cos ωt, −ω 2 R sin ωt, 0) = −ω 2 r(t) .

(2.34)

Der Beschleunigungsvektor ist zu jedem Zeitpunkt dem Positionsvektor entgegengerichtet (d.h. immer auf den Mittelpunkt des Kreises zu). Man spricht deswegen von einer Zentral- (oder Zentripetal-) beschleunigung (Abb. 2.28c). Auch der Betrag des Beschleunigungsvektors ist unabhängig von der Zeit a(t) = |a(t)| = ω 2 R .

(2.35)

46

2 Kinematik

(a)

(b) v(0)

ey

v(t) ex

Hodograph (allgemein)

v(t)

Hodograph der uniformen Kreisbewegung

Abb. 2.29. Hodograph

Oft benutzte Relationen bei der Diskussion der uniformen Kreisbewegungen sind: v2 . (2.36) R F¨ ur den Fall einer allgemeineren Bewegung eines Massenpunktes auf einem Kreis, beschrieben durch eine Funktion ω(t), gelten die folgenden Aussagen: Der Ortsvektor und der daraus resultierende Geschwindigkeitsvektor sind a(t) = ω v =

r(t) = (R cos ω(t), R sin ω(t), 0), v(t) = (−Rω˙ sin ω(t), Rω˙ cos ω(t), 0) . In diesem Fall ist der Betrag von v (v = |Rω|) ˙ eine Funktion der Zeit, es gilt aber immer noch r(t) · v(t) = 0. Der Geschwindigkeitsvektor ist immer noch tangential an dem Kreis. Die Komponenten des Beschleunigungsvektors setzen sich aus zwei Beitr¨ agen zusammen ω cos ω − Rω˙ 2 sin ω, 0) . a(t) = (−R¨ ω sin ω − Rω˙ 2 cos ω, R¨ Die vektorielle Zusammenfassung lautet a(t) =

ω ¨ (t) v(t) − ω(t) ˙ 2 r(t) . ω(t) ˙

(2.37)

In dem allgemeineren Fall liegt keine Zentralbeschleunigung vor. Das n¨ achste Beispiel (Beispiel 2.8) ist die Bewegung auf einer Lissajousellipse mit dem Ortsvektor r(t) = (a cos ωt, b sin ωt, 0) .

(2.38)

Die Anfangsbedingung ist r(0) = (a, 0, 0) , der Umlauf ist wieder gegen den Uhrzeigersinn (Abb. 2.30a). F¨ ur den Geschwindigkeitsvektor erhält man v(t) = (−aω sin ωt, bω cos ωt, 0) und stellt fest


47

r(t) · v(t) = (b2 − a2 ) ω cos ωt sin ωt . Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor stehen nur f¨ ur bestimmte Zeitpunkte senkrecht aufeinander. Diese Aussage entnimmt man auch einer Zeichnung (siehe Abb. 2.30b). Nur in den Achsenabschnittspunkten mit ωt = 0, (a)

(b)

(c) vmax

v(t)

r(t) b

vmin

r(t) a

b

vmin a

r(0)

vmax

Ortsvektor

Geschwindigkeitsvektor

Geschwindigkeitsverh¨ altnisse

Abb. 2.30. Bewegung auf einer Lissajousellipse

π/2, π, 3π/2, 2π, etc. ist v orthogonal zu r. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors v(t) = ω[a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt]1/2 andert sich mit der Zeit. Der Umlauf ist also nicht gleichförmig. Ist (wie ¨ in Abb. 2.30c angedeutet) a > b, so hat der Massenpunkt seine größte Geschwindigkeit in den Punkten mit ωt = π/2, 3π/2, . . . , also in den Punkten mit der k¨ urzesten Entfernung von dem Mittelpunkt der Ellipse (vmax = a ω). Die Geschwindigkeit hat einen Minimalwert (vmin = b ω) f¨ ur ωt = 0, π, . . . . Die Zeit f¨ ur einen gesamten Umlauf ist jedoch wie bei der uniformen Kreisbewegung T = 2π/ω . F¨ ur den Beschleunigungsvektor erhält man a(t) = (−ω 2 a cos ωt, −ω 2 b sin ωt, 0) = −ω 2 r(t) . Die uniforme Kreisbewegung und die Bewegung auf der Lissajousellipse werden durch denselben Satz von Differentialgleichungen x¨(t) = −ω 2 x(t)

y¨(t) = −ω 2 y(t)

z¨(t) = −ω 2 z(t) ,

mit der vektorielle Zusammenfassung r¨(t) = −ω 2 r(t)

(2.39)

beschrieben. Die beiden Bewegungstypen unterscheiden sich nur in den Anfangsbedingungen, z.B. Kreis r(0) = (R, 0, 0) v(0) = (0, ωR, 0)

Lissajousellipse (a, 0, 0) (0, ωb, 0) ,

48

2 Kinematik

wobei ω durch die Differentialgleichung (2.39) vorgegeben ist. Das letzte Beispiel (Beispiel 2.9) ist eine einigermaßen exotische ebene Bahnkurve, charakterisiert durch

3at 3at2 r(t) = , , 0 a>0. (2.40) 1 + t3 1 + t3 Diese Bahnkurve (f¨ ur das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ ∞ ) ist in Abb. 2.31 illustriert. Zur Zeit t = 0 befindet sich der Massenpunkt am Koordinatenursprung. Die Bewegung ist zun¨ achst relativ forsch. F¨ ur die Zeiteinheit t = 1 hat der Massenpunkt die Stelle (3a/2, 3a/2, 0) erreicht. Er wird dann langsamer und langsamer und vollendet die zur unteren Schleife symmetrische Figur, wenn man beliebig lange wartet. Die Bahnkurve ist ein Teil des sogenannten Cartesischen Blattes. Die Diskussion der entsprechenden Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren soll noch eine Weile zur¨ uckgestellt werden.

3a/2

t=1

3a/2

Abb. 2.31. Bewegung auf dem Cartesischen Blatt

2.3.3 Der Fl¨ achensatz Die drei Beispiele 2.7 - 2.9 k¨ onnen benutzt werden, um eine allgemeinere Gesetzm¨ aßigkeit zu erl¨ autern, die in Kap. 3.2.2 unter dem Stichwort ‘Drehimpulserhaltung‘ aus einer anderen Sicht beleuchtet werden wird. Dies ist der Fl¨ achensatz. F¨ ur eine beliebige Bahnkurve im Raum spannen zwei benachbarte Ortsvektoren r(t) und r(t + Δt) (falls das Zeitintervall Δt klein genug

r(t+Δt)

ΔA

r(t)

Abb. 2.32. Zum Fl¨ achensatz


49

ist) in guter N¨ aherung ein ebenes Dreieck auf. Dieses Dreieck kann mit Hilfe des Vektorproduktes charakterisiert werden. Das vektorielle Flächenelement ΔA ist 1 ΔA ≈ (r(t) × r(t + Δt)) . 2 Der Vektor ΔA steht senkrecht auf dem Dreieck, das von den Positionsvektoren aufgespannt ist (Abb. 2.32). Die L¨ ange des Vektors entspricht (bis auf kleine Korrekturen) der Gr¨ oße der von dem Positionsvektor in dem Zeitraum Δt u ache. Einfache Erg¨ anzung dieses Ausdrucks ergibt ¨ berstrichenen Fl¨ 1 (r(t) × (r(t + Δt) − r(t)) . 2 Da das Vektorprodukt r × r den Nullvektor ergibt, hat sich nichts geändert. Man multipliziert diesen Vektor mit dem Skalar 1/Δt und bildet den Grenzwert f¨ ur Δt → 0. Das Ergebnis ist

(r(t + Δt) − r(t) 1 d A(t) = lim r(t) × dt 2 Δt→0 Δt 1 = (r(t) × v(t)) 2 oder kurz (mit einer kleinen Variante der Notation) ΔA ≈

1 ˙ ˙ . A(t) = (r(t) × r(t)) 2

(2.41)

¨ In Worten besagt diese Gleichung: Die Anderung der von dem Positionsvektor u ache mit der Zeit ist gleich 1/2 mal dem Vektorprodukt ¨ berstrichenen Fl¨ ˙ von Positionsvektor und Geschwindigkeitsvektor. Die Vektorgröße A(t) bezeichnet man als Fl¨ achengeschwindigkeit (genauer als den Vektor der Flächengeschwindigkeit). Die Anwendungsm¨ oglichkeiten der obigen Formel sind vielfältig. Liegt die Bahnkurve z.B. in einer Ebene durch den Koordinatenursprung und ist das Vektorprodukt r(t)×v(t) unabh¨ angig von der Zeit (also ein konstanter Vektor C), so gilt f¨ ur den Vektor der Fl¨ achengeschwindigkeit 1 ˙ A(t) = C. 2

(2.42)

Dies bedeutet, dass der Vektor A˙ fest im Raum steht. Mittels Integration gewinnt man dann die Aussage A(t) − A(t0 ) = oder kurz 1 C Δt , 2 bzw. f¨ ur den Betrag ΔA =

1 C (t − t0 ) , 2

(2.43)

50

2 Kinematik

1 |C| Δt . (2.44) 2 Die Interpretation dieser Gleichung ist: In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Fl¨ achenst¨ ucke u ¨ berstrichen. Dies ist die physikalische Formulierung des Fl¨ achenerhaltungssatzes, der oft nur als Fl¨ achensatz bezeichnet wird. Man kann nun die Frage stellen: F¨ ur welche Klassen von Bewegungsformen ist der Fl¨ achensatz g¨ ultig? Zur Antwort differenziert man die Gleichung |ΔA| =

r(t) × v(t) = C nach der Zeit und erh¨ alt (r(t) ˙ × r(t)) ˙ + (r(t) × r¨(t)) = 0 . Der erste Term verschwindet f¨ ur alle Zeiten t. Es bleibt die Aussage: Der Fl¨ achensatz gilt, falls r(t) × a(t) = 0

(2.45)

ist, d.h. falls das Vektorprodukt von Positionsvektor und Beschleunigungsvektor zu jedem Zeitpunkt verschwindet. Setzt man voraus, dass weder r(t) noch a(t) f¨ ur jeden Zeitpunkt verschwinden, so ist dies nur möglich, falls a(t) = λ(t) r(t)

(2.46)

ist, also wenn a(t) f¨ ur jeden Zeitpunkt auf den Koordinatenursprung hin oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Dies ist der Fall einer allgemeinen Zentralbeschleunigung. In Zusammenfassung dieser Diskussion kann man somit festhalten: Die Aussage

˙ A(t) = 12 (r(t) × v(t)) = 12 C ist f¨ ur eine Zentralbeschleunigung g¨ ultig. Die Bewegung läuft in diesem Fall in einer Ebene durch den Koordinatenursprung ab und es gilt der Fl¨ achensatz in der Form ΔA ∝ Δt .

F¨ ur eine etwas allgemeinere Bewegung mit (r(t) × v(t)) = γ(t) C

(2.47)

achengeschwindigkeit mit der Zeit, ändert sich der Betrag des Vektors der Fl¨ hat aber eine zeitlich konstante Richtung. Auch in diesem Fall ist die Bewegung eben. F¨ ur den Betrag der von dem Positionsvektor in einem gegebenen Zeitintervall u ache erh¨ alt man ¨ berstrichenen Fl¨ t C A(t) − A(t0 ) = ΔA = γ(t )dt . 2 t0


51

2.3.3.1 Fl¨ achenberechnung mittels der Fl¨ achengeschwindigkeit. Es ist instruktiv, die drei obigen Bewegungsbeispiele aus dieser Sicht zu betrachten: Im Fall der uniformen Kreisbewegung (Bsp. 2.7) gilt ex ey ez r(t) × v(t) = R cos ωt R sin ωt 0 = ωR2 ez . −Rω sin ωt Rω cos ωt 0 Der Fl¨ achensatz ist (wie f¨ ur ein Bewegungsproblem mit Zentralbeschleunigung zu erwarten) g¨ ultig. Der Fl¨ achenzuwachs in einem Zeitintervall Δt ist (Abb. 2.33a) 1 ωR2 Δt . 2 Nimmt man als Zeitintervall einen vollen Umlauf 2π , Δt → T = ω so erh¨ alt man ΔA =

A(T ) = πR2 , die bekannte Formel f¨ ur die Kreisfl¨ ache. Entsprechend könnte man den Fl¨ acheninhalt von beliebigen Kreissegmenten berechnen. Die Anwendung des Fl¨ achensatzes er¨ offnet eine Möglichkeit, den Inhalt von ebenen Fl¨ achen zu berechnen, indem man die Fläche mit einem Positionsvektor u ¨ berstreicht. F¨ ur die Bewegung auf der Lissajousellipse (Bsp. 2.8) gilt ebenfalls der Fl¨ achensatz, denn es ist ey ez ex r(t) × v(t) = a cos ωt b sin ωt 0 = abω ez . −aω sin ωt bω cos ωt 0 Das bedeutet: Die Zu- und Abnahme des Positionsvektors und des Geschwindigkeitsvektors sind so aufeinander abgestimmt, dass in gleichen Zeitintervallen gleiche Fl¨ achen u ¨ berstrichen werden. Aus diesem Grunde muss die Geschwindigkeit f¨ ur Punkte geringerer Entfernung vom Ursprung größer sein (Abb. 2.33b). F¨ ur den Fl¨ achenzuwachs gilt in diesem Fall 1 abωΔt 2 und man erh¨ alt f¨ ur den vollen Umlauf die Ellipsenfläche ΔA =

1 abωT = abπ . 2 Um sp¨ ateren Missverst¨ andnissen vorzubeugen, ist an dieser Stelle eine kurze Zwischenbemerkung angebracht. Die Lissajousellipsen, die hier betrachtet A(T ) =

52

2 Kinematik

(a)

(b) t2 + Δ t

t+Δ t ΔA t

t2

t 1+ Δ t t1

Kreisfl¨ ache

Ellipsenfl¨ ache

Abb. 2.33. Berechnung von Fl¨ achen mit Hilfe des Fl¨ achensatzes

werden, beruhen auf der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators. Sie sind nicht identisch mit den Ellipsenbahnen der Planetenbewegung (Keplerellipsen), die in Kap. 4.1 ausf¨ uhrlich diskutiert werden. Die Differentialgleichungen (in vektorieller Zusammenfassung) f¨ ur den räumlichen harmonischen Oszillator lauten (vergleiche (2.39), S.47) r¨(t) = −ω 2 r(t) , die Differentialgleichungen f¨ ur die Planetenbewegung dagegen r¨(t) = −

k r(t) . r3 (t)

(2.48)

In beiden F¨ allen ist der Fl¨ achenerhaltungssatz g¨ ultig. Die verschiedene Form des ‘Faktors‘ vor dem Positionsvektor ¨ außert sich jedoch im Detail des Bewegungsablaufes (siehe Abb. 2.34a, b). (a)

Koordinatenursprung im Brennpunkt

(b)

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Abb. 2.34. Vergleich einer Keplerellipse (a) und einer Lissajousellipse (b)

F¨ ur die Bewegung entlang des Randes des Cartesischen Blattes (Bsp. 2.9) gilt (man lese hier die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors ab)


53

ex ey ez 3at2 3at 0 3 3 (1 + t ) r(t) × v(t) = (1 + t ) (1 − 2t3 ) 4 (2t − t ) 3a 3a 0 3 2 3 2 (1 + t ) (1 + t ) und somit 9 t2 ˙ A(t) = a2 ez . 2 (1 + t3 )2 Der Betrag des Fl¨ achengeschwindigkeitsvektors ändert sich mit der Zeit. Der Fl¨ achenerhaltungssatz ist nicht g¨ ultig. Man kann jedoch die Fläche des Cartesischen Blattes ohne Schwierigkeiten berechnen (Abb. 2.35). Es ist zunächst 2 t 9a2 t A(t) = dt . 2 0 (1 + t3 )2 e2 t=1

e1

Abb. Blatt

2.35.

Fl¨ achenberechnung: Cartesisches

F¨ ur die halbe Fl¨ ache ergibt sich 2 2 1 9a t A(1) = dt . 2 0 (1 + t3 )2 Das Integral l¨ asst sich mit der Substitution τ = 1 + t3 ,

dτ = 3t2 dt ,

τ (0) = 1,

τ (1) = 2

behandeln. Es folgt 2 3a2 2 dτ 3a2 3 1 A(1) = = = a2 . − 2 1 τ2 2 τ 1 4 F¨ ur die Berechnung der gesamten Fl¨ ache steht ein uneigentliches Integral an 2 ∞ 2 9a t dt A(∞) = . 2 0 (1 + t3 )2 Auch dies ist kein Problem (uneigentliche Integrale werden in Math.Kap. 1.4.1 diskutiert)

54

2 Kinematik

3 A(∞) = a2 lim 2 b→∞

1

b

dτ 3 2 1 = a lim − + 1 τ2 2 b→∞ b

3 2 a . 2 Nat¨ urlich ist wegen der Symmetrie der Figur =

A(∞) = 2A(1) . Die Berechnung der Blattfl¨ ache mittels anderer Methoden ist schon etwas aufwendiger. Die Frage der Berechnung von ebenen Flächen durch Abfahren der Umrandung und der Zusammenhang mit der u ¨blichen Riemannschen Integration wird in Math.Kap. 5 genauer betrachtet. In diesem Kapitel wird auch der allgemeine Fall diskutiert, dass der Positionsvektor eine gekr¨ ummte Fläche im Raum u ¨berstreicht.

2.4 Krummlinige Koordinaten Als letzter Punkt des Kapitels ‘Kinematik‘ steht noch die Auseinandersetzung mit dem Thema krummlinige Koordinaten an. 2.4.1 Koordinaten in der Ebene Die meisten Bewegungstypen, die sp¨ ater interessieren, spielen sich in der Ebene ab. Aus diesem Grunde soll zun¨ achst der zweidimensionale Fall ausf¨ uhrlich diskutiert werden, zumal er ohne Zweifel u ¨bersichtlicher ist. 2.4.1.1 Ebene Polarkoordinaten. Die Beschreibung einer Kreisbewegung (ob uniform oder nicht) durch eine Zerlegung des Positionsvektors in kartesische Komponenten ist n¨ utzlich, doch nicht optimal. Es ist einfacher, diese Bewegung zu beschreiben, wenn man ebene Polarkoordinaten benutzt. Diese sind durch r(t) = [x2 (t) + y 2 (t)]1/2 y(t) ϕ(t) = arctan x(t)

L¨ ange des Vektors r

(2.49)

Winkel zwischen r und x -Achse

(2.50)

definiert (Abb. 2.36a). Diese Gleichungen sind nat¨ urlich die Umkehrung von x = r cos ϕ

y = r sin ϕ .

(2.51)

Die entsprechenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden durch r(t) ˙ =

dr dt

ϕ(t) ˙ =

dϕ = ω(t) dt

r¨(t) =

d2 r dt2

ϕ(t) ¨ =

d2 ϕ = ω(t) ˙ = α(t) dt2

2.4 Krummlinige Koordinaten

55

definiert. Betrachtet man speziell die uniforme Kreisbewegung ((2.31), S.44), so findet man r(t) = R

r(t) ˙ =0

r¨(t) = 0

ϕ(t) = ωt

ϕ(t) ˙ =ω

ϕ(t) ¨ =0.

Diese Angaben k¨ onnten zu dem Fehlschluss verleiten, dass man es mit einer unbeschleunigten Bewegung zu tun hat. Dies ist jedoch, wie schon diskutiert, nicht der Fall. Der Fehlschluss beruht auf der Vernachlässigung der Tatsache, dass man bei der Einf¨ uhrung der Polarkoordinaten ein zeitlich veränderliches (bewegtes) Koordinatensystem benutzt. Neben dem kartesischen Koordina(a)

(b)

y

y r(t)

ey eϕ

ϕ

er

x

ex

Definition

x

Koordinatenzweibein

Abb. 2.36. Ebene Polarkoordinaten

tensystem, das in der Ebene fixiert gedacht ist, f¨ uhrt man ein Koordinatenzweibein ein, das der Bewegung eines Massenpunktes folgt. Dieses bewegte Koordinatensystem wird von den Einheitsvektoren er (t) −→ in Richtung des momentanen Ortsvektors eϕ (t) −→ (rechtsh¨ andiges) orthogonales Komplement aufgespannt (Abb. 2.36b). Der Zusammenhang zwischen den beiden Koordinatenzweibeinen wird durch die Transformationsformeln er (t) =

cos ϕ(t) ex + sin ϕ(t) ey

(2.52)

eϕ (t) = − sin ϕ(t) ex + cos ϕ(t) ey

(2.53)

vermittelt. Gem¨ aß Definition hat der Ortsvektor in dem zeitabhängigen Koordinatensystem die Form r(t) = r(t) er (t) . Berechnet man den Geschwindigkeitsvektor, so findet man v(t) = r(t) ˙ er (t) + r(t) e˙ r (t) .

(2.54)

56

2 Kinematik

Die zeitliche Ableitung des Einheitsvektors er (t) ergibt sich aus den Transformationsformeln zu e˙ r (t) = −ϕ˙ sin ϕ ex + ϕ˙ cos ϕ ey = ϕ˙ eϕ .

(2.55)

(Diese Aussage kann man auch elementargeometrisch gewinnen.) Es gilt also f¨ ur die Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors in Bezug auf das bewegliche Koordinatenzweibein (Abb. 2.37) v(t) = r˙ er + rϕ˙ eϕ = vr er + vϕ eϕ .

(2.56)

Die Gr¨ oße vr (die Projektion von v auf die er -Achse) bezeichnet man als Radialgeschwindigkeit, die Gr¨ oße vϕ (das ist Radius mal Winkelgeschwindigkeit) als Azimutalgeschwindigkeit. Der erste Term in (2.56) ist die Gevϕ (t) y

v(t) r(t) vr (t)

eϕ er

x

Abb. 2.37. Geschwindigkeitsvektor in ebenen Polarkoordinaten

schwindigkeit, die ein Beobachter registrieren w¨ urde, der von der Bewegung ur diesen befindet sich ein Massenpunkt des er - eϕ Zweibeins nichts weiß. F¨ immer auf der er -Achse. Der zweite Term beschreibt die Relativbewegung der beiden Koordinatenzweibeine. Die Form rϕ˙ unterstreicht die Tatsache, dass die gegenseitige Bewegung umso deutlicher wird, je weiter man von dem gemeinsamen Koordinatenurspung entfernt ist. Die Basisvektoren des beweglichen Koordinatensystems (2.52) und (2.53) erf¨ ullen zu jedem Zeitpunkt er (t) · eϕ (t) = 0 . Es folgt deswegen f¨ ur den Betrag des Geschwindigkeitsvektors 2 2 v(t) = r˙ + r ϕ˙ 2 .

(2.57)

Durch Differentiation des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit erhält man die Komponentenzerlegung des Beschleunigungsvektors a(t) = r¨ er + r˙ e˙ r + (r˙ ϕ˙ + rϕ) ¨ eϕ + rϕ˙ e˙ ϕ .

(2.58)

Aus der Transformationsgleichung (2.53) ergibt sich f¨ ur die Ableitung des Einheitsvektors eϕ e˙ ϕ = −ϕ˙ cos ϕ ex − ϕ˙ sin ϕ ey = −ϕ˙ er .

(2.59)

Setzt man in (2.58) die Ausdr¨ ucke f¨ ur e˙ r und e˙ ϕ ((2.55) und (2.59)) ein und sortiert, so erh¨ alt man


a(t) = (¨ r − rϕ˙ 2 ) er + (2r˙ ϕ˙ + rϕ) ¨ eϕ = ar er + aϕ eϕ .

57

(2.60)

Die Komponente ar bezeichnet man als die Radialbeschleunigung, die Komponente aϕ als die Azimutalbeschleunigung. Aus der Sicht eines (mit)bewegten Beobachters ist der erwartete Term r¨ er ; alle Terme mit Ableitungen der Winkelkoordinate sind Konsequenzen der Relativbewegung der beiden Systeme. Jedes ebene Bewegungsproblem l¨ asst sich in Polarkoordinaten fassen. Die eigentliche Frage lautet jedoch: F¨ ur welche Klassen von Bewegungsproblemen ist diese Zerlegung besonders n¨ utzlich? Einige explizite Beispiele sollen die Antwort auf diese Frage einleiten. (i)

F¨ ur die uniforme Kreisbewegung (noch einmal) ist r(t) = R und ϕ(t) = ωt. Es gilt somit r(t) = R er

v(t) = Rω eϕ

a(t) = −Rω 2 er .

(ii) F¨ ur eine allgemeine Bewegung auf einem Kreis ist r(t) = R mit R˙ = 0, die Winkelkoordinate ϕ(t) kann jedoch eine beliebige Funktion der Zeit sein, zum Beispiel f¨ ur eine Oszillation auf einem Kreisbogen (Abb. 2.38) ϕ(t) = α sin γt . t = π/2γ α

t=0

Abb. 2.38. Oszillation auf einem Kreisbogen

Im Fall einer allgemeinen Kreisbewegung gilt r(t) = R er

v(t) = Rϕ˙ eϕ

a(t) = −R ϕ˙ er + Rϕ¨ eϕ . 2 2

(2.61) (2.62)

Es liegt in diesem Fall keine Zentralbeschleunigung vor, denn es ist a(t) = f (t)r(t) . (iii) Bewegung auf der Lissajousellipse (Details werden in bereitet). Hier ist der Ausgangspunkt r(t) = a2 cos2 ωt + b2 sin2 ωt

b ϕ(t) = arctan tan ωt . a

Aufg. 2.8 auf-

¨ Man erkennt explizit, dass die Anderung des Polarwinkels mit der Zeit nicht durch ωt gegeben ist, sondern ein komplizierteres Verhalten aufweist. F¨ ur die kinematischen Vektoren erhält man

58

2 Kinematik

r(t) = r(t) er 1 abω eϕ v(t) = − (a2 − b2 )ω sin ωt cos ωt er + r r a(t) = −ω 2 r(t) er , wobei die letzte Aussage, falls man die Gleichung (2.60) explizit auswertet, erst nach einer etwas l¨ angeren Rechnung folgt. Es sieht zun¨ achst nicht so aus, als ob f¨ ur das letzte Beispiel die Benutzung von Polarkoordinaten ein Vorteil ist. Trotzdem gilt die Aussage: F¨ ur (Bewegungs-)Probleme mit einer Zentralbeschleunigung (Zentralkraftprobleme) ist die Wahl von Polarkoordinaten optimal. Um diese Aussage zu belegen, betrachtet man zunächst den Flächensatz in Polarkoordinaten. Man ben¨ otigt dazu jedoch ein vollständiges Koordinatendreibein, das von den Vektoren er (t), eϕ (t) und ez aufgespannt wird (Abb. 2.41a, S. 61, die dortige Koordinate ρ entspricht r). Ein solches Dreibein ist, wie unten ausgef¨ uhrt, die Basis f¨ ur die Diskussion von Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum. F¨ ur einen Bewegungsablauf in der x - y Ebene gilt dann er eϕ ez (r × v) = r 0 0 = r2 ϕ˙ ez . r˙ rϕ˙ 0 Die vektorielle Fl¨ achengeschwindigkeit ((2.41), S. 49) ist also 1 ˙ ˙ ez . A(t) = r(t)2 ϕ(t) 2 Ist der Betrag des Fl¨ achengeschwindigkeitsvektors unabhängig von der Zeit 1 ˙ ˙ ˙ = const. , |A(t)| = A(t) = r(t)2 ϕ(t) 2 so folgt f¨ ur die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit

(2.63)

¨ = rr˙ ϕ˙ + 1 r2 ϕ¨ = r (2r˙ ϕ˙ + rϕ) A(t) ¨ =0. 2 2 Vergleich mit der Komponentenzerlegung des Beschleunigungsvektors (2.60) ergibt die erwartete Aussage A˙ = const.

←→

aϕ = 2r˙ ϕ˙ + rϕ¨ = 0 .

(2.64)

Gilt also der Fl¨ achensatz, so liegt eine Zentralbeschleunigung vor und umgekehrt. Aus diesem Grund ist die L¨ osung von Bewegungsproblemen mit einer Zentralbeschleunigung in fast allen praktischen Fällen einfacher, wenn man Polarkoordinaten benutzt. Die Standardform der Beschleunigung ist in diesem Fall


a(t) = −f (r(t)) er ,

59

(2.65)

wobei f eine beliebige Funktion des Abstandes des Massenpunktes von dem Koordinatenursprung ist. Beispiele sind: f (r) = kr : Zweidimensionaler harmonischer Oszillator k f (r) = 2 : Keplerproblem . r F¨ ur eine vorgegebene Funktion f (r) sind die Größen r(t), ϕ(t) zu bestimmen, wobei die Anfangsbedingungen r(0), r(0), ˙ ϕ(0) und ϕ(0) ˙ vorgegeben sind. Zur L¨ osung dieses Problems geht man folgendermaßen vor: (1) Aus aϕ = 0 folgt r2 ϕ˙ = C beziehungsweise C . r2 Bestimme C aus den Anfangsbedingungen. (2) F¨ ur die Funktion r(t) gilt die Differentialgleichung ϕ˙ =

ar = −f (r)

oder r¨ − rϕ˙ 2 = −f (r) .

Setzt man hier ϕ˙ aus Schritt (1) ein, so erhält man C2 . r3 Diese Differentialgleichung f¨ ur r(t) ist zu l¨ osen. Wie man diese löst, wird f¨ ur eine Reihe von F¨ allen von Interesse in Kap. 4 (und in Math.Kap. 2 und 6) diskutiert. Setzt man voraus, dass die Lösung gewonnen wurde, so ist der letzte Schritt (3) Setze r(t) in die obige Gleichung f¨ ur ϕ˙ ein und integriere t C dt . ϕ(t) − ϕ(0) = )2 r(t 0 r¨ = −f (r) +

Der Vorteil des L¨ osungsprozesses mit einer Zerlegung in Polarkoordinaten wird noch einmal deutlich, wenn man ihn mit der Lösung der anstehenden Differentialgleichungen in kartesischen Koordinaten vergleicht. In diesem Fall steht das folgende System von Differentialgleichungen zur Diskussion: x f ( x2 + y 2 ) x¨ = − cos ϕ f (r) = − x2 + y 2 y f ( x2 + y 2 ) . y¨ = − sin ϕ f (r) = − 2 2 x +y Die L¨ osung ist (außer f¨ ur den Fall des zweidimensionalen harmonischen Oszillators) eine wesentlich schwierigere Aufgabe, da ein Satz von gekoppelten Differentialgleichungen vorliegt. Der einfachere Lösungsweg ist eine Entkopplung des Differentialgleichungssystems, die mittels Polarkoordinaten erreicht wird.

60

2 Kinematik

2.4.1.2 Weitere Koordinatens¨ atze in der Ebene. Zur Entkopplung von diversen Differentialgleichungssystemen existiert eine Sammlung1 von krummlinigen Koordinaten (in der Ebene und im Raum). Anstatt diese Sammlung hier im Einzelnen vorzustellen, ist es instruktiver, das Muster, das dahinter steht, kurz zu erl¨ autern: Benutzt man kartesische Koordinaten, so u ¨ berdeckt man die Ebene in Gedanken mit einem Netz von orthogonalen Geraden (x = const., y = const.). Man kann sich dann in jedem Raumpunkt ein lokales Koordinatensystem vorstellen, das aus dem urspr¨ unglichen durch einfache Translation hervorgeht (Abb. 2.39a). Da die Orientierung der lokalen Koordinatensysteme mit dem urspr¨ unglichen Koordinatenzweibein u ¨ bereinstimmt und die kinematischen Vektoren v und a frei beweglich sind, ist die Komponentenzerlegung dieser Vektoren in allen lokalen Systemen gleich. ¨ Benutzt man hingegen Polarkoordinaten, so wird die Uberdeckung der Ebene durch Scharen von konzentrischen Kreisen und Halbgeraden (r = const., ϕ = const.) erreicht (Abb. 2.39b). Die Basisvektoren dieser lokalen Koordi(a)

(b) y

y

x = konstant

ϕ = konstant

y = konstant

x

x r = konstant

¨ Uberdeckung der Ebene mit Geradenscharen

Halbgeraden und Kreise u ¨ berdecken die Ebene

Abb. 2.39. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

natensysteme sind immer noch orthogonal, es ändert sich jedoch von Punkt zu Punkt die Orientierung des lokalen Koordinatenzweibeins. Aus diesem Grund ist die Komponentenzerlegung der kinematischen Vektoren etwas kom¨ plizierter. Hat man jedoch ein Bewegungsproblem, das dieser Uberdeckung angepasst ist (z.B. ein Zentralkraftproblem), so erhält man einen Satz von entkoppelten Differentialgleichungen und somit einen einfacheren Zugang zur Lösung des Problems. Offensichtlich ist es m¨ oglich, jeden anderen Satz von orthogonalen Kurvenscharen zu benutzen, um die Ebene zu u ¨berdecken. So ergibt z.B. ein Netz von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln die sogenannten konfokalen elliptischen Koordinaten (Abb. 2.40). Auch in diesem Fall sind die Basisvektoren der lokalen Koordinatensysteme orthogonal. Der komplizierteren Zerlegung 1

Das in der Literaturliste A[2] angegebene, aber nicht mehr aufgelegte Buch sollte in den Universit¨ atsbibliotheken verf¨ ugbar sein.


61

¨ Abb. 2.40. Konfokale elliptische Koordinaten: Uberdeckung der Ebene mit Ellipsen- und Hyperbelscharen

der kinematischen Vektoren steht wieder ein einfacherer Satz von Differentialgleichungen gegen¨ uber, falls diese Koordinaten der Symmetrie des Problems (z.B. Doppelstern mit einem Mond) angepasst sind. Dem Einfallsreichtum bei der Erfindung solcher orthogonalen Netze sind keine Grenzen gesetzt. 2.4.2 R¨ aumliche Koordinaten Es sind noch die zwei wichtigsten Systeme von krummlinigen Koordinaten im Raum zu erl¨ autern. Diese sind Zylinderkoordinaten und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten). 2.4.2.1 Zylinderkoordinaten. Zylinderkoordinaten stellen die einfachste Erg¨ anzung der ebenen Polarkoordinaten dar. Die Lage eines Punktes P im Raum wird in diesem Fall durch die folgenden Größen charakterisiert (Abb. 2.41b): (a)

(b) z

ez

ρ

P z

e ϕ (t)

O

e ρ (t) Koordinatendreibein

x

y ϕ

P’

Definition

Abb. 2.41. Zylinderkoordinaten

ρ(t) → Abstand von der z -Achse ϕ(t) → Winkel zwischen der Strecke OP ’ und der x -Achse (OP ’ ist die Projektion des Abstandes des Koordinatenursprungs von dem Punktes P in die x - y Ebene) z(t) → Abstand des Punktes von der x - y Ebene . ¨ Analog zu der Uberdeckung der Ebene durch Kurvennetze beschreibt man

62

2 Kinematik

Punkte im Raum als Schnitt von orthogonalen Flächenscharen (Abb. 2.42a). Im Fall von Zylinderkoordinaten ist es der Schnittpunkt einer Zylinderfläche (ρ = const.) mit einer Ebene (z = const.) und einer Halbebene (ϕ = const.). Der Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten ist x = ρ cos ϕ

y = ρ sin ϕ

mit der Umkehrung ρ = x2 + y 2

z=z,

(2.66)

y z=z. (2.67) x Benutzt man diese Koordinaten zur Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes, so bezieht man sich (auch hier) auf ein zeitlich veränderliches (oder lokales) Koordinatendreibein (Abb. 2.41a, 2.42b), charakterisiert durch die Basisvektoren ϕ = arctan

eρ (t) , eϕ (t) , ez .

(2.68)

(a)

(b)

z z = konstant

z

ez P

eϕ ρ = konstant

O x

eρ

y P’

ϕ = konstant

Als Schnitt von Raumfl¨ achen

Lokales Koordinatendreibein

Abb. 2.42. Zylinderkoordinaten

Die Zerlegung der kinematischen Vektoren in Bezug auf dieses Koordinatensystem unterscheidet sich wegen e˙ z = 0 nicht wesentlich von dem Fall der ebenen Polarkoordinaten (vergleiche (2.54), (2.56) und (2.60)). r(t) = ρ eρ (t) + z ez v(t) = ρ˙ eρ (t) + ρϕ˙ eϕ (t) + z˙ ez

(2.69) (2.70)

a(t) = (¨ ρ − ρϕ˙ 2 ) eρ (t) + (ρϕ¨ + 2ρ˙ ϕ) ˙ eϕ (t) + z¨ ez .

(2.71)

Aus der Orthogonalit¨ at des Koordinatendreibeins zu jedem Zeitpunkt folgt f¨ ur die Betr¨ age dieser Vektoren (2.72) r(t) = ρ2 + z 2 2 2 2 2 v(t) = ρ˙ + ρ ϕ˙ + z˙ (2.73) und ein entsprechender Ausdruck f¨ ur a(t).


63

2.4.2.2 Kugelkoordinaten. Bei der Benutzung von Kugelkoordinaten wird ein Punkt P im Raum (Abb. 2.43a) durch die folgenden Angaben charakterisiert: r(t) → Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung θ(t) → Polarwinkel (Winkel zwischen OP und der z -Achse) ϕ(t) → Azimutalwinkel (Winkel zwischen Projektion von P auf die x - y Ebene und der x -Achse).

(a)

(b) z

θ

P r

O ϕ

y

x

Definition

Als Schnitt von Raumfl¨ achen

Abb. 2.43. Kugelkoordinaten

Diese Vorgabe entspricht der Charakterisierung des Punktes als Schnitt folgender Fl¨ achen (Abb. 2.43b): Einer Kugelfl¨ ache (r = const.), einer Kegelfl¨ ache (θ = const., mit dem Wertebereich 0 ≤ θ ≤ π) und einer Halbebene (ϕ = const. , mit dem Wertebereich 0 ≤ ϕ ≤ 2π ). Die Beziehung zwischen den kartesischen Koordinaten und den sphärischen Koordinaten ist x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ .

(2.74)

Die ersten beiden Gleichungen gewinnt man durch Projektion des Positionsvektors in die x - y Ebene und anschließende Projektion auf die jeweiligen Koordinatenachsen. Die letzte entsteht durch direkte Projektion des Positionsvektors auf die z -Achse. Die Umkehrung dieser Transformationsgleichungen lautet x2 + y 2 y θ = arctan . (2.75) ϕ = arctan r = x2 + y 2 + z 2 x z Auch dem Satz von Kugelkoordinaten entspricht ein lokales, orthogonales Dreibein (Abb. 2.44)

64

2 Kinematik

er (t) Einheitsvektor in Radialrichtung eθ (t) Einheitsvektor senkrecht zu er , tangential an die Kugelfl¨ ache entlang eines Längenkreises eϕ (t) orthogonales Komplement mit eϕ = er × eθ , Vektor tangential an die Kugel entlang eines Breitenkreises.

er eϕ eθ

Abb. 2.44. Kugelkoordinaten: lokales Koordinatendreibein

Um die Zerlegung der kinematischen Vektoren in Bezug auf dieses zeitlich ver¨ anderliche Koordinatendreibein zu berechnen, benötigt man die Transformation zwischen den kartesischen Einheitsvektoren und diesem Dreibein. Die erste dieser Transformationsgleichungen ist (Abb. 2.45a) er = (sin θ cos ϕ) ex + (sin θ sin ϕ) ey + (cos θ) ez .

(2.76)

Dies entspricht der vektoriellen Zusammenfassung der kartesischen Komponenten eines Punktes mit (r = 1) in Kugelkoordinaten (2.74). Der Vektor eθ zeigt entlang des L¨ angenkreises und ist um den Winkel π/2 gegen er gedreht (Abb. 2.45b). Ersetzung von θ durch θ + π/2 in (2.76) ergibt (a)

(b)

z

z er

er

θ ϕ

θ+π/2

y

y

x Definition des Vektors er

x

eθ

Definition des Vektors eθ

Abb. 2.45. Definition der Einheitsvektoren er und eθ

eθ = (cos θ cos ϕ) ex + (cos θ sin ϕ) ey + (− sin θ) ez .

(2.77)

F¨ ur den dritten Einheitsvektor (Abb. 2.46, Blick entlang der z -Achse) des lokalen Koordinatendreibeins gilt


eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey .

65

(2.78)

Diese Aussage ergibt sich direkt aus der Relation eϕ = er × eθ oder aus der ¨ Uberlegung: Der Vektor ist tangential an einen Breitenkreis und hat somit eine verschwindende z -Komponente (θ = π/2). Der Vektor eϕ steht senkrecht auf der Projektion des Vektors er in die x - y Ebene. Somit ist der Winkel mit der x -Achse ϕ = ϕ + π/2 . Ersetzung von ϕ durch ϕ und θ durch π/2 in (2.76) ergibt dann z.B. eine x -Komponente mit − sin ϕ (siehe auch Aufg. 2.10).

y eϕ

(e r) xy

ϕ’(t) ϕ (t)

x

Abb. 2.46. Zur Definition des Vektors eϕ

Der Ortsvektor hat (per Definition) bez¨ uglich dieses Koordinatensystems die einfache Zerlegung r(t) = r(t) er .

(2.79)

F¨ ur den Geschwindigkeitsvektor erh¨ alt man zunächst ˙ v(t) = r(t) = r˙ er + r e˙ r . ¨ Die zeitliche Anderung des Basisvektors er berechnet sich aus der Transformationsgleichung (2.76) zu ˙ e˙ r = θ(cos θ cos ϕ ex + cos θ sin ϕ ey − sin θ ez ) +ϕ(− ˙ sin θ sin ϕ ex + sin θ cos ϕ ey ) . Direkter Vergleich mit den Vektoren eθ und eϕ in (2.77) und (2.78) ergibt e˙ r = θ˙ eθ + ϕ˙ sin θ eϕ

(2.80)

und es ist somit v(t) = r˙ er + rθ˙ eθ + rϕ˙ sin θ eϕ .

(2.81)

Bewegt sich ein Massenpunkt in der x - y Ebene, so gilt f¨ ur den Polarwinkel π θ˙ = 0 θ= 2

66

2 Kinematik

und es folgt v(t) = r˙ er + rϕ˙ eϕ . Die Zerlegung f¨ ur den Geschwindigkeitsvektor geht in das Ergebnis (2.56) f¨ ur ebene Polarkoordinaten u ¨ber. ˙ Die Berechnung der Zerlegung des Beschleunigungsvektors a(t) = v(t) folgt dem gleichen Muster. Die Rechnung und der endg¨ ultige Ausdruck ist jedoch etwas l¨ anglich. Aus diesem Grund soll der entsprechende Ausdruck an dieser Stelle nicht angeben werden, sondern erst dann, wenn er wirklich D.tail 2.2). ben¨ otigt wird (siehe Damit wurden die wichtigsten krummlinigen Koordinatensysteme vorgestellt. Diese Koordinatens¨ atze werden in K¨ urze zum Einsatz kommen. Die hier angedeutete elementare Umrechnung von kartesischen Koordinaten in krummlinige Koordinaten ist ohne Zweifel etwas umständlich. Im Rahmen der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik (siehe Kap. 5.3) wird eine elegantere und allgemeinere Methode zur Einf¨ uhrung beliebiger Koordinatens¨ atze vorgestellt werden.

3 Dynamik I: Axiome und Erhaltungss¨ atze

Das Fundament der klassischen Mechanik stellen drei, zuerst von Newton formulierte Axiome dar. Die ersten zwei Axiome sprechen die Frage nach geeigneten Bezugssystemen (Inertialsystemen) und die grundlegenden Bewegungsgleichungen an. Das dritte Axiom ist ein Versuch, eine Aussage u ¨ber die fundamentalen Wechselwirkungen, die man in der Natur antrifft, zu machen. Als neue Begriffe treten in den Axiomen die Masse (zunächst die träge Masse) und Kr¨ afte auf. Ausgehend von diesen kann man dann weitere Grundbegriffe der Physik wie Impuls, Arbeit, Energie, Drehimpuls, Drehmoment etc. erarbeiten. Wenn es nur darum ginge, die Bewegung von Objekten (Massenpunkten bzw. aus Massenpunkten zusammengesetzte Objekte) zu studieren, k¨ onnte man sich auf das zweite Axiom konzentrieren. Die oben genannten Begriffe zeichnen sich jedoch dadurch aus, dass unter bestimmten Umständen Erhaltungss¨ atze gelten, aus denen man (manchmal recht m¨ uhelos) partielle Aussagen u ¨ ber und Einblick in das zu beobachtende System gewinnen kann. Das gegenw¨ artige Kapitel enth¨ alt eine ausf¨ uhrliche Diskussion der drei Axiome und eine stufenweise Erarbeitung der Grundbegriffe der Mechanik.

3.1 Die Axiome der Mechanik Die drei grundlegenden Aussagen der Mechanik, die drei Axiome, wurden 1687 von Isaac Newton in seinem Hauptwerk ‘Philosphiae naturalis principia mathematica‘ ver¨ offentlicht. Vor der Diskussion dieser Axiome sind jedoch noch zwei Grundbegriffe der Physik zu kl¨ aren Kraft und Masse . 3.1.1 Der Kraftbegriff Der Kraftbegriff ist aus der Umgangssprache geläufig. Wenn man an einem Objekt zieht oder es schiebt, sagt man : Man u ¨ bt eine Kraftwirkung auf das ” Objekt aus“. Um den Kraftbegriff zu pr¨ azisieren, könnte man eine Reihe von einfachen Versuchen durchf¨ uhren. 1. Die Kraft ist eine Vektorgr¨ oße F . Es spielt eine Rolle, in welcher Richtung man zieht oder schiebt. Kraftwirkungen heben sich auf, wenn man mit gleicher St¨ arke in entgegengesetzter Richtung zieht oder schiebt.

68


2. Die St¨ arke von verschiedenen Kr¨ aften (den Betrag des Vektors) kann man mittels Sprungfedern vergleichen (Abb. 3.1). Man st¨ utzt sich dabei auf das Hookesche Gesetz. Die Auslenkung einer Sprungfeder ist (falls die Auslenkung nicht zu groß ist) proportional zu der Kraft (x ∝ F ). Dies erlaubt den Vergleich von Kr¨ aften (genauer: den Beträgen von Kräften) durch Vergleich der Auslenkungen F/F = x/x .

x

F

x’

F’

Abb. 3.1. Einfacher Kr¨ aftevergleich

3. Die Anwendung einer Kraft auf ein frei bewegliches Objekt bewirkt eine Bewegung oder eine Bewegungs¨ anderung. Dabei spielt die Masse eine Rolle. Je ‘massiver‘ das Objekt ist, desto geringer ist bei der Einwirkung gleicher Kr¨ afte die Bewegungs¨ anderung. ¨ Solche einfachen Uberlegungen k¨ onnen helfen, den Kraftbegriff etwas zu veranschaulichen. Wenn man jedoch eine quantitative Betrachtung anstrebt, muss man auf das zweite Axiom von Newton zur¨ uckgreifen. Das zweite Axiom besagt in seiner einfachsten Form F = ma .

(3.1)

Diese Gleichung ist folgendermaßen zu lesen: Es gibt einen Leidtragenden: den Massenpunkt m. Wenn eine Kraft F auf dieses Objekt einwirkt, reagiert es mit der Beschleunigung a = F /m. Diese Grundgleichung der Mechanik kann man auf folgende Weise verwerten. Diese Gleichung ist das zentrale Bewegungsgesetz der Mechanik. Aus der Kenntnis der Kraft, die auf einen Massenpunkt einwirkt, kann man die Beschleunigung bestimmen. Kennt man die Beschleunigung und die Anfangsbedingungen f¨ ur den Bewegungsablauf, so kann man (wie in Kap. 2.2 diskutiert) den weiteren Bewegungsablauf berechnen. Die Umkehrung dieser ¨ Uberlegung lautet: Aus der Bewegungsform kann man auf die Beschleunigung schließen. Die Kenntnis der Beschleunigung besagt dann, welche Kraft (genauer: welche Gesamtkraft) auf das Objekt mit der Masse m eingewirkt hat. F

1/m m

a

DGL und Anfangsbed. r(t) . Differentiation

Diese Gleichung erlaubt es, den Kraftbegriff und den Massenbegriff quantitativ zu erfassen.

3.1 Die Axiome der Mechanik

69

3.1.2 Tr¨ age und schwere Massen Zur Pr¨ azisierung des Massenbegriffes kann man den folgenden Gedankenversuch durchf¨ uhren: Beschleunige zwei Massen m1 und m2 jeweils mit der gleichen Kraft F . Es spielt keine Rolle, dass man die Kräfte noch nicht quantitativ charakterisieren kann. Es kommt nur darauf an, dass die Kräfte in den beiden ‘Experimenten‘ gleich sind. Im Vertrauen auf Newton kann man in diesem Fall f¨ ur eine lineare Bewegung schreiben m1 a2 so dass folgt = . F = m1 a1 = m2 a2 , m2 a1 Die jeweilige Beschleunigung kann gemessen werden (z.B. u ¨ ber xi (t)). Die Messung der Beschleunigungen ergibt dann das Massenverhältnis. Um die Massenangabe absolut zu machen, ben¨ otigt man eine Standardmasse. Diese wurde durch internationale Konvention festgelegt. Es ist die Masse 1 kg, die in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird. Mit der Festlegung einer Standardmasse ergibt das zweite Axiom ein dynamisches Verfahren zur quantitativen Massenbestimmung. Je massiver ein Objekt ist, desto kleiner ist bei einer vorgegebenen Kraft seine Beschleunigung. Die Masse ist ein Maß f¨ ur den Widerstand des K¨ orpers (Massenpunktes) gegen Bewegungsänderungen. Die mit diesem Verfahren bestimmte Masse hat einen eigenen Namen: Man bezeichnet sie als tr¨ age Masse. Hat man eine Standardmasse eingef¨ uhrt, so erhält man mit dem zweiten Axiom eine Maßeinheit f¨ ur die St¨ arke der Kraft. Im MKS-System ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt, 1 Newton (N) kg m . s2 Im CGS-System ist die Krafteinheit dyn g cm 1 dyn = 1 2 . s 1N = 1

Der Umrechnungsfaktor ist 1 N = 105 dyn. Es ist notwendig, den Begriff ‘tr¨ age Masse‘ etwas genauer zu diskutieren. Im t¨ aglichen Leben werden Massen in den allerwenigsten Fällen mit der anvisierten dynamischen Methode bestimmt. Gewöhnlich legt man Objekte auf eine Waage (Abb. 3.2a). Man vergleicht damit die Gravitationskräfte, die die Erde auf Objekt und Gewicht aus¨ ubt. F¨ ur die Gravitationswirkung zwischen zwei Massenpunkten m∗1 und m∗2 im Abstand r wurde von Newton die folgende Gleichung angegeben m∗1 m∗2 . (3.2) r2 Die St¨ arke der Wechselwirkung wird durch die allgemeine Gravitationskonstante γ bestimmt. Die Gravitation wird in (Kap. 3.2.4) noch ausf¨ uhrlicher besprochen. F¨ ur den Moment gen¨ ugt die Aussage: Obwohl die Objekte, die F =γ

70


(a)

(b) m* RE m*

M E*

Waage

Erdanziehung

Abb. 3.2. Illustration des Begriffs der schweren Masse

man wiegt, und die Erde keine Massenpunkte sind, kann man diese Formel f¨ ur die Angabe des Gewichtes G benutzen. An der Erdoberfläche gilt (Abb. 3.2b) ∗ ∗ ME γ (3.3) = m∗ g . G=m 2 RE In dieser Gleichung sind die Gravitationskonstante γ und die Gravitationsbeschleunigung g, die schon in Kap. 2.1 angesprochen wurde, u ¨ber die Erdmasse upft. Zu ME∗ und den Erdradius RE (ideale Kugelgestalt vorausgesetzt) verkn¨ beachten ist: Das Gewicht eines Objektes ist die Kraft, die die Erde auf ein ubt. Objekt mit der Masse m∗ aus¨ Es besteht nun kein logisch zwingender Zusammenhang, dass die Masse m∗ , die in die Formel f¨ ur die Gravitationswirkung eingeht, mit der Masse m, die den Widerstand gegen Bewegungs¨ anderungen misst, identisch ist. Man nennt aus diesem Grund die Masse in dem Gravitationsgesetz vorsichtshalber die schwere Masse (zur Unterscheidung charakterisiert durch m∗ ). Die Bewegungsgleichung f¨ ur den freien Fall in der N¨ ahe der Erdoberfläche ist dann ma = m∗ g oder als Differentialgleichung m∗ g. m Seit 1915 (dem Datum der Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie durch A. Einstein) hat man versucht, herauszufinden, ob ein Unterschied zwischen den beiden Massen besteht. Zur Zeit ist die Aussage r¨ =

m = m∗ mit einer Messgenauigkeit von Δm/m = (m − m∗ )/m ≈ 10−10 . Diese Messgenauigkeit entspricht 10−8 Prozent. Man mag sich wundern, warum man solche Anstrengungen in Bezug auf eine anscheinende Haarspalterei unternimmt. Der Grund ist die Frage nach der G¨ ultigkeit der allgemeinen Relativit¨ atstheorie. Es ist nicht opportun, die Grundz¨ uge der allgemeinen Relativit¨ atstheorie an dieser Stelle auszubreiten. Zur Kl¨ arung der implizierten Frage gen¨ ugt es, anhand eines hypothetischen


71

Experimentes (siehe Abb. 3.3) zu schildern, worauf es ankommt: Das ‘Labor‘ ist eine großer, geschlossener Beh¨ alter, in dem ein Objekt (Massenpunkt) und ein Physiker eingeschlossen sind. Das ‘Labor‘ ruht zunächst auf der Erde. Der

a=-g

Erde

g Versuch auf der Erde

Beschleunigung des ‘Labors‘ im Weltall

Versuch im Weltall

Abb. 3.3. Zum Unterschied von schwerer und tr¨ ager Masse

Physiker wiegt das Objekt und notiert G = m∗ g . W¨ ahrend der Physiker nach getaner Arbeit schläft, wird das ‘Labor‘ in das Weltall gebracht und zwar an eine Stelle, an der Gravitationswirkungen vernachl¨ assigbar sind. Man beschleunigt nun das ‘Labor‘ (samt Inhalt) nichtgravitativ mit einer konstanten Beschleunigung a = −g. Der schlafende Physiker und das Objekt schweben in dem All zun¨ achst in dem Behälter. Nachdem die nichtgravitative Beschleunigung eingesetzt hat, treffen beide auf eine Seite des ‘Labors‘ auf und werden mit diesem beschleunigt. Die letzten Aussagen beschreiben die Situation aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters. F¨ ur den Physiker (der in der Zwischenzeit wieder aufgewacht ist) sieht die Situation folgendermaßen aus: Er sp¨ urt eine Scheinbeschleunigung a = +g, die ihn wie die anf¨ angliche Gravitation am Boden der Kiste hält. Wenn er sein Objekt noch einmal ‘wiegt‘ w¨ urde er in diesem Falle feststellen G = mg . Er bestimmt (auch wenn er es nicht weiß) die träge Masse. Wenn beide Massen verschieden sind (m = m∗ ), ist er in der Lage, durch Vergleich der Resultate seiner Messungen (G = G ) die beiden Situationen (Position auf der Erde in Ruhe mit Gravitationswirkung, Position im Weltall mit nichtgravitativer Beschleunigung) zu unterscheiden. Das ist, nach Einstein, jedoch nicht möglich. Die allgemeine Relativit¨ atstheorie basiert auf dem Postulat: Es besteht prinzipiell kein Unterschied zwischen Beschleunigungen aufgrund von Gravitationswirkungen und einer entsprechenden Beschleunigung aufgrund anderer Einwirkungen. Diese Theorie steht oder fällt mit der Aussage

72


m∗ = m , die im Weiteren benutzt werden soll. 3.1.3 Die Axiome Mit diesen Bemerkungen ist die eigentliche Diskussion der drei Axiome vorbereitet. Die Axiome lauten: Axiom 1:

Ein Massenpunkt ist in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, wenn keine Kraft auf ihn einwirkt. Wenn eine Kraft auf einen Massenpunkt einwirkt, so gilt

Axiom 2:

d m=0 ˙ (mv) = F −→ ma = F . (3.4) dt Dies ist eine Variante gegen¨ uber der zunächst angef¨ uhrten einfachen Form, ma = F , die im Falle von zeitlich konstanten Massen g¨ ultig ist. Die jetzige Formulierung deckt auch Situationen mit zeitlich veränderlichen Massen ab. ¨ ein Massenpunkt m1 auf einen Massenpunkt m2 eine Ubt Kraft F 12 aus, dann u ¨bt auch der Massenpunkt m2 auf m1 eine Kraft F 21 aus und es gilt

Axiom 3:

F 12 = −F 21 .

(3.5)

Die beiden Kr¨ afte haben die gleiche Größe und die entgegengesetzte Richtung. Die kompakte Formulierung der drei Axiome verlangt einen deutlich l¨ angeren Kommentar. Zu dem ersten Axiom ist das Folgende zu bemerken. 3.1.4 Zum ersten Axiom, Inertialsysteme Dieses Axiom bezeichnet man auch als das Tr¨ agheitsprinzip. Es wurde schon von G. Galilei in ¨ ahnlicher Weise formuliert. Auf den ersten Blick erscheint es u ussig, denn aus dem zweiten Axiom folgt f¨ ur F = 0 ¨ berfl¨ d (mv) = 0 −→ mv = const . dt Die gesonderte Auflistung hat jedoch durchaus einen Sinn. Das Axiom bringt zum Ausdruck, dass Bewegungsgesetze nur eine Bedeutung haben, wenn man sie auf ein geeignetes Bezugssystem bezieht. Das Axiom stellt den Zustand der Ruhe und den der uniformen Bewegung gleich. Wenn man also die Beschreibung eines Bewegungsablaufes aus der Sicht von zwei Bezugssystemen vergleicht, die sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, so ist die Beschreibung gleichwertig.

3.1 Die Axiome der Mechanik (a)

73

(b)

S2

S1

r 1 (t) r rel

S2

S1 r 2 (t)

vrel t R(t)

R(t)

Relativbewegung

Koordinatentransformation

Abb. 3.4. Die Galileitransformation

¨ Im Detail sieht die entsprechende Uberlegung folgendermaßen aus. Zwei Koordinatensysteme S1 und S2 bewegen sich gleichförmig gegeneinander. Die Position des Ursprungs von System S2 aus der Sicht von S1 ist (Abb. 3.4a) R(t) = r rel + v rel t .

(3.6)

Die Position eines Massenpunktes aus der Sicht der jeweiligen Bezugssysteme kann in einfacher Weise verkn¨ upft werden. Ist r1 (t) die Position zur Zeit t aus der Sicht von S1 , r2 (t) die Position zur Zeit t aus der Sicht von S2 , so gilt gem¨ aß Abb. 3.4b die Relation r 1 (t) = R(t) + r 2 (t) = r rel + v rel t + r2 (t) .

(3.7)

Diese Gleichung, die eine Koordinatentransformation beschreibt, bezeichnet man als Galileitransformation1 . Differenziert man die Transformationsgleichung (3.7) nach der Zeit, so erh¨ alt man eine Relation zwischen den Geschwindigkeiten des Massenpunktes aus der Sicht der beiden Systeme v 1 (t) = v rel + v 2 (t) .

(3.8)

v 1 ist die Geschwindigkeit des Massenpunktes aus der Sicht eines Beobachur v 2 . Die Formel (3.8) (bekannt ters im System S1 , Entsprechendes gilt f¨ als Additionstheorem der Geschwindigkeiten) erlaubt in einfacher Weise eine Umrechnung der beiden Standpunkte. Differenziert man noch einmal, so erh¨ alt man die Aussage a1 (t) = a2 (t) . Aus diesem Ergebnis kann man den folgenden Schluss ziehen. Wenn die Beschleunigungen, die jeder der beiden Beobachter f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes registriert, gleich sind und wenn man annimmt, dass die Größe 1

Eine implizite Annahme bei der Vorgabe dieser Transformation bezieht sich auf die Zeitmessung. Die Zeitmessung wird als unabh¨ angig von den Bezugssystemen unftige Annahme ist, gem¨ aß vorausgesetzt: t1 = t2 = t. Diese anscheinend vern¨ der speziellen Relativit¨ atstheorie, nicht gerechtfertigt, doch soll sie zun¨ achst als ann¨ ahernd g¨ ultig betrachtet werden.

74


der Masse unabh¨ angig von der Betrachtungsweise ist, dann m¨ ussen auch die Kr¨ afte aus der Sicht der beiden Beobachter gleich sein ma1 = ma2

=⇒

F1 = F2 .

F¨ ur jeden Beobachter ist somit die gleiche Form der Bewegungsgleichung zust¨ andig ma1 = F 1

ma2 = F 2 .

Die Bahnkurven, die jeder der Beobachter wahrnimmt, unterscheiden sich nicht aufgrund der Bewegungsgleichung, sondern nur aufgrund der jeweils verschiedenen Anfangsbedingungen. Fallen zum Beispiel die beiden Koordinatensysteme (zweidimensional) zur uber S1 in RichZeit t = 0 zusammen und bewegt sich das System S2 gegen¨ tung der positiven x -Achse mit der Geschwindigkeit vrel , so könnte man das folgende ‘Experiment‘ (Abb. 3.5) durchf¨ uhren. Der Beobachter in dem System S2 wirft (aus seiner Sicht) ein Objekt senkrecht nach oben. Er beobachtet eine lineare freie Fallbewegung, die durch die Differentialgleichung ma2 = mg mit den Anfangsbedingungen r 2 (0) = (0, 0), v 2 (0) = (0, v0 ) charakterisiert wird. Ein Beobachter in dem System S1 sieht diesen Bewegungsablauf als Wurfparabel, die durch die Differentialgleichung ma1 = mg und die Anfangsbedingungen r 1 (0) = (0, 0), v 1 (0) = (vrel , v0 ) beschrieben wird. Die expliziten L¨ osungen der Bewegungsprobleme (jeweils bezogen auf das entsprechende Koordinatenzweibein) sind g v 1 (t) = (vrel , −gt + v0 ) , r1 (t) = (vrel t, − t2 + v0 t) 2 g r2 (t) = (0, − t2 + v0 t) v 2 (t) = (0, −gt + v0 ) . 2 In Zusammenfassung dieser Bemerkungen kann man also feststellen: Die Frage nach Ruhe oder uniformer Bewegung ist eine Frage des Standpunktes. Die eigentliche ‘Physik‘, die Bewegungsgleichung, ist davon nicht betroffen. In diesem Sinne sind alle Bezugssysteme, die sich uniform gegeneinander bewegen, gleichwertig. Man nennt solche Koordinatensysteme Inertialsysteme. Das erste Axiom ist als Definition des Begriffes Inertialsystem anzusehen. S1 / S

2

S1

S2

S1

S2

vrel

S1, S2 zur Zeit t = 0

S1, S2 zur Zeit t ≥ 0

Wurfproblem, Sicht von S1 und S2

Abb. 3.5. Wurf aus der Sicht von zwei Inertialsystemen

Die Situation ist grundverschieden, wenn man ein Inertialsystem S1 und ein dagegen beschleunigtes Koordinatensystem S2 betrachtet. In diesem


75

Fall sind die Bezugssysteme keineswegs gleichwertig. Das einfachste Beispiel ist der Fall von relativer uniformer Beschleunigung in der x -Richtung. In dem Inertialsystem S1 gilt m¨ r1 = F 1 . Die Galileitransformation ist in diesem Fall durch die Transformation arel 2 t + r 2 (t) (3.9) r 1 (t) = r rel + v rel t + 2 zu ersetzen. Eine graphische Darstellung entspricht Abb. 3.4b mit einer anderen Form von R(t). Aus (3.9) folgt direkt r1 = marel + m¨ r2 . r¨1 = arel + r¨2 −→ m¨ Die Umschreibung der Bewegungsgleichung im System S1 ergibt also m¨ r 2 = (F 1 − marel ) = F 2 .

(3.10)

In dem System S2 liegt eine ver¨ anderte Kraftwirkung vor. Da der Zusatzterm einzig eine Konsequenz der relativen Beschleunigung ist, spricht man von Scheinkr¨ aften. Das Thema Scheinkr¨ afte wird in dem Kap. 6.2 ausf¨ uhrlich diskutiert. Beobachtet man Bewegungsabl¨ aufe aus der Sicht eines Koordinatensystems, das mit der Erde fest verbunden ist, so ergeben sich einige Komplikationen. Dieses Koordinatensystem ist kein Inertialsystem. Es rotiert sowohl um die Nord-S¨ ud Achse der Erde als auch um die Sonne. Eine Drehung ist eine beschleunigte Bewegungsform. In vielen F¨ allen kann man jedoch die Effekte der Erdrotation vernachl¨ assigen und ein erdbezogenes Koordinatensystem als (hinreichend) inertial betrachten. Die Effekte der Scheinkräfte, die hier auftreten, sind jedoch durchaus messbar (z.B. beim Foucault-Pendel oder, in der Natur, anhand der verschiedenen Struktur von Zyklonen auf der nördlichen und der s¨ udlichen Erdhalbkugel, siehe Kap. 6.2). Ein Koordinatensystem, das bez¨ uglich der Sonne fixiert ist, ist ebenfalls kein Inertialsystem. Die Sonne rotiert um das Zentrum unseres Sternensystems. Die Bewegung der Sonne ist jedoch geradliniger als die Bewegung der Erde. Das sonnenfeste System ist somit eine bessere N¨ aherung an ein Inertialsystem als ein erdbezogenes System. Die notwendigen Korrekturen der Galileitransformation, die den Zeit- und den Massenvergleich zwischen zwei Inertialsystemen betreffen, fallen unter das Stichwort spezielle Relativit¨ atstheorie (siehe Band 2). Diese Korrekturen beziehen sich jedoch nicht auf den Grundsatz der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme, sondern auf die Form der Transformationsgleichungen. Die Korrekturen kommen nur zum Tragen, wenn wenigstens eine der drei Geschwinoßenordnung der Lichtgeschwindigkeit digkeiten vrel , v1 , v2 in (3.8) von der Gr¨ ist. F¨ ur Geschwindigkeiten aus dem u ¨blichen Erfahrungsbereich können die ‘relativistischen Korrekturen‘ vernachl¨ assigt werden.

76


3.1.5 Zum zweiten Axiom, Impuls Das zweite Axiom wurde schon andiskutiert. Es ist das zentrale Bewegungsgesetz der klassischen Mechanik. Die klassische Mechanik ist eine deterministische Theorie. Wenn man die Kr¨ afte kennt, die auf einen Massenpunkt einwirken, sowie dessen Position und Geschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt, so kann man sowohl den weiteren als auch den vorherigen Bewegungszustand berechnen (Abb. 3.6a). Diese Aussage gilt, wie in dem kurzen Abschnitt u ¨ber ‘chaotische Bewegung‘ in Kap. 5.4.3 angedeutet werden wird, f¨ ur bestimmte Klassen von Problemen oder zumindest f¨ ur einen mehr oder weniger kurzen Zeitraum. (a)

(b) F(t2) F(t1) t0

klassisch

Quanten¨ aquivalent

Abb. 3.6. Zu dem Thema Determinismus

Den deterministischen Standpunkt kann man bei der Formulierung der Dynamik in der Mikrowelt (Quantenmechanik) nicht aufrecht erhalten. So ist es z.B. f¨ ur die Beschreibung der Bewegung eines Elektrons prinzipiell nicht m¨ oglich, die geforderten Anfangsbedingungen vorzugeben (das ist die Aussage der Heisenbergschen Unsch¨ arferelation). Bestimmt man den Ort einigermaßen genau (z.B. durch eine Blende, Abb. 3.6b), so ist eine entsprechend genaue Vorgabe der Geschwindigkeit nicht möglich. Die Unschärferelation bedingt, dass der Bewegungsablauf von Mikroteilchen nur im Rahmen einer Wahrscheinlichkeitsaussage beschrieben werden kann (siehe Band 3). Die Gr¨ oße mv, die in der allgemeinen Form des zweiten Axioms d (mv) = F dt

(3.11)

auftritt, bezeichnet man als den Impuls(-vektor) p = mv .

(3.12)

Das zweite Axiom besagt also: Die auf einen Massenpunkt einwirkende Kraft ¨ bedingt eine Anderung des Impulses mit der Zeit. Diese allgemeine Formulierung des zweiten Axioms wird in der klassischen Mechanik nur f¨ ur spezielle


77

Probleme mit zeitlich variablen Massen ben¨ otigt (z.B. bei der Berechnung der Bewegung einer Rakete unter der Ber¨ ucksichtigung des Brennstoffverlustes, siehe Aufg. 3.3-3.5). Von der Tatsache, dass der Impuls die dynamische Bewegungsgr¨ oße ist und nicht die Geschwindigkeit, könnte man sich leicht u ¨berzeugen, wenn man sich zwei Objekten mit gleicher Geschwindigkeit aber verschiedener Masse (Fliege versus Lastwagen) in den Weg stellt. 3.1.6 Zum dritten Axiom, Wechselwirkungen Das dritte Axiom ist ein Versuch, eine allgemeine Aussage u ¨ ber die fundamentalen Kr¨ afte in der Natur zu machen. Zu Newtons Zeiten kannte man nur die Gravitation. Heute sind vier fundamentale Kräfte bekannt, die - obschon sie die derzeitige Theorie der Elementarteilchen betreffen - kurz und unverbindlich vorgestellt werden sollen. Die Formel (3.2) f¨ ur das Gravitationsgesetz hat Newton aus der Betrachtung der Planetenbewegung gewonnen. Er folgte dabei dem Schema2 Bewegungsform

−→

Beschleunigung

−→

Kraft.

Newton konnte sich auf die Zusammenfassung der Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegung in der Form der Keplerschen Gesetze st¨ utzen. Die Keplerschen Gesetze, die eine jahrtausendlange Beobachtung der Planetenbewegung kr¨ onten, lauten: 1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen (Abb. 3.7). Die Sonne steht in einem der Brennpunkte der Ellipse.

e

b

e

a

Abb. 3.7. Keplerellipse

2. Der Positionsvektor von Sonne zu Planet (Fahrstrahl) u ¨berdeckt in gleichen Zeiten gleiche Fl¨ achen (vergleiche Kap. 2.3.3). 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten sind proportional zu den Kuben der großen Halbachsen a T 2 = κa3 . Die Proportionalit¨ atskonstante κ ist in guter Näherung f¨ ur alle Planeten gleich. 2

Eine vollst¨ andige Diskussion des Planetenproblems (inkl. aller mathematischen Details) findet man in Kap. 4.1.

78


¨ Eine vereinfachte Uberlegung beruht auf der Beobachtung, dass die meisten Planetenellipsen gar keine schlechten Kreise sind. Zur Charakterisierung der Ellipsenform benutzt man den Begriff der Exzentrizit¨ at. Dieser ist folgendermaßen definiert: F¨ ur eine Ellipse mit den Halbachsen a, b (a ≥ b) ist der Abstand der beiden Brennpunkte von dem Mittelpunkt e = [a2 − b2 ]1/2 . Die Exzentrizit¨ at ist 1/2 b2 e = = 1− 2 a a

0≤≤1.

Sie ist ein Maß f¨ ur die ‘Flachheit‘ der Ellipse. Ein Kreis wird durch = 0 beschrieben. Je mehr sich dem Wert 1 n¨ ahert, desto flacher ist die Ellipse. Die Umkehrung der obigen Definition lautet b 1 = [1 − 2 ]1/2 ≈ 1 − 2 , a 2 wobei die Entwicklung f¨ ur 1 gilt. Die Daten f¨ ur die Exzentrizitäten der neun Planeten sind in der kleinen Tabelle (Tab. 3.1) zusammengestellt. Tabelle 3.1. Planetendaten: Verh¨ altniss der Halbachsen Planet

Exzentrizit¨ at

b/a

Merkur

0.206

0.978552

(kein schlechter Kreis)

Venus

0.007

0.999975

(ein ausgezeichneter Kreis)

Erde

0.017

0.999855

Mars

0.093

0.995666

Jupiter

0.048

0.998847

Saturn

0.056

0.998431

Uranus

0.046

0.998941

Neptun

0.009

0.999959

Pluto

0.249

0.968503

Bis auf Merkur und Pluto ist die Annahme einer Kreisform durchaus vertretbar, auch in diesen beiden F¨ allen ist sie gar nicht so schlecht. Um die Situation f¨ ur die Erdbahn noch einmal zu verdeutlichen: Skaliert man die kleine Halbachse auf 4 cm, so ist die große Halbachse mit 4.0006 cm anzugeben. Mit der Vorgabe von Kreisbahnen kann man wie folgt argumentieren:


79

(i) F¨ ur eine uniforme Kreisbewegung (Radius R) gilt die Formel f¨ ur die Radialbeschleunigung (siehe (2.36)) v2 . R (ii) Die Geschwindigkeit v f¨ ur die uniforme Kreisbewegung ist Kreisumfang geteilt durch Umlaufzeit (das zweite Keplergesetz) aR =

R 2πR =⇒ aR = (2π)2 2 . T T (iii) Mit dem zweitem Axiom erh¨ alt man f¨ ur den Betrag der Zentralkraft, die die Sonne auf einen Planeten aus¨ ubt v=

F = mp aR = m p

4π 2 R . T2

(iv) Benutzt man nun das dritte Keplergesetz (T 2 = κR3 ), so erhält man 4π 2 1 . κ R2 Die Abh¨ angigkeit der Kraft auf den Planeten von dem Abstand Sonne-Planet ist ein 1/R2 -Gesetz. Nachdem Newton mit einer ähnlichen Argumentation das Kraftgesetz, das die Planetenbewegung dirigiert, gefunden hatte, stellte er fest, dass die gleiche Gesetzm¨ aßigkeit auch f¨ ur die Bewegung der Monde um die Planeten zust¨ andig ist (nur wenige der Monde waren zu Newtons Zeit bekannt). Es war dann immer noch ein deutlicher Schritt zu der Erkenntnis, dass dieses Gesetz allgemeine G¨ ultigkeit hat. Die vollständige Form des Gravitationsgesetzes f¨ ur die Kraftwirkung zwischen zwei Massenpunkten m1 und m2 lautet (Abb. 3.9a) m1 m2 F 1 auf 2 = γ (r 1 − r2 ) (3.13) |r1 − r 2 |3 F = mp

F 2 auf 1 = γ

m1 m2 (r 2 − r1 ) . |r1 − r 2 |3

(3.14)

Das dritte Axiom F 12 = −F 21 ist offensichtlich erf¨ ullt (Abb. 3.8). Die m1

m2 F21

F12

Abb. 3.8. Drittes Axiom: Actio = Reactio

Gravitationskonstante γ wurde zuerst 1798 von Cavendish bestimmt. Sie hat den (ungef¨ ahren) Wert γ = 6.67 · 10−11

3 m3 −8 cm . 2 = 6.67 · 10 2 gs kg s

80


Infolge dieses ‘niedrigen‘ Wertes ist die Gravitationswirkung zwischen zwei Massen(-punkten), die einige Kilogramm schwer sind und einige Meter voneinander entfernt sind, recht bescheiden. Die Bestimmung der Gravitationskonstante ist u ur die Bestimmung der Erdmasse von Interesse. Aus ¨brigens f¨ dem Gravitationsgesetz und der Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche folgt ME =

gRe2 . γ

(3.15)

Alle Gr¨ oßen auf der rechten Seite dieser Gleichung können experimentell bestimmt werden. Das zweite fundamentale Kraftgesetz wurde ca. 100 Jahre nach der Gravitation entdeckt (1785). Es ist die Coulombkraft (elektrostatische Kraft) zwischen zwei Punktladungen. Das Kraftgesetz zwischen zwei Punktladungen q1 und q2 hat die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz q1 q2 (3.16) F el,1 auf 2 = k 3 (r 2 − r1 ) . r12 Die Massen sind durch die Ladungen ersetzt, die Konstante k hat eine andere 2 -Gesetz f¨ ur die Abhängigkeit Bedeutung, es gilt aber immer noch das 1/r12 von dem Abstand der beiden Ladungen. Auch die elektrostatischen Kräfte erf¨ ullen das 3. Axiom. In diesem Falle ist jedoch wegen der zwei möglichen Vorzeichen der Ladungen sowohl Anziehung als auch Abstoßung möglich. Kurze Zeit nach der elektrischen Kraftwirkung wurden die magnetischen Kraftwirkungen vollst¨ andig erforscht. Das magnetische Kraftgesetz ist etwas komplizierter. In der einfachsten Situation, in der sich zwei Punktladungen q1 und q2 mit konstanten Geschwindigkeiten v 1 und v 2 bewegen, wird die wechselseitige magnetische Kraft durch die folgende Formel beschrieben (elektromagnetische CGS-Einheiten, siehe Band 2) (a)

(b)

m1

F 21

v1

r1(t)

q1

F12 r2(t)

m2

Gravitation zwischen zwei Massenpunkten Abb. 3.9. Kraftwirkungen

F21

q2 r 12 v2

F12

Magnetische Kr¨ afte zwischen zwei bewegten Ladungen


F 12 =

q1 q2 3 [v 2 × (v 1 × r 12 )] c2 r12

F 21 =

q1 q2 3 [v 1 × (v 2 × (−r 12 ))] . c2 r12

81

(3.17)

Der Vektor r12 = r 2 − r1 charakterisiert den Abstand zwischen den beiden Ladungen, c die Lichtgeschwindigkeit. F¨ ur gleiches Ladungsvorzeichen erhält man die in Abb. 3.9b eingezeichneten Kraftvektoren. Die magnetischen Kraftvektoren erf¨ ullen das dritte Axiom nicht direkt. In dem letzten Jahrhundert sind noch zwei fundamentale Kraftwirkungen hinzugekommen. Man unterscheidet heute vier fundamentale Wechselwirkungen in der Natur: • Gravitation lange • elektromagnetische Wechselwirkung Reichweite . • schwache Wechselwirkung kurze • starke Wechselwirkung Die letzten zwei Wechselwirkungen vermitteln die Kraftwirkungen zwischen den Elementarteilchen. Ihre explizite Form ist nicht ohne weiteres in einfachen Gleichungen zu beschreiben. Man geht davon aus (und es gibt bisher keine gegenteiligen experimentellen Hinweise), dass alle vier Wechselwirkungen eine erweiterte Form des dritten Axioms erf¨ ullen. Um diese Aussagen wenigstens andeutungsweise zu unterlegen, muss man auf die Frage eingehen: Wie entsteht eine Kraftwirkung? Was ist der Mechanismus mit dem z.B. ein Massenpunkt m1 einem Massenpunkt m2 , der sich in der Entfernung r12 befindet, mitteilt, dass er dessen Bewegung beeinflussen wird? Dass eine Antwort auf diese Frage nicht einfach ist, verdeutlicht eine ‘Theorie‘ der Gravitation aus dem 16. Jahrhundert, also vor der abstrakteren Gravitationstheorie von Newton. Nach dieser Theorie werden die Planeten auf ihren Bahnen von Engeln geschoben (Abb. 3.10).

Abb. 3.10. Gravitationsmodell, 16. Jahrhundert

Unser derzeitiges Verst¨ andnis von Kraftwirkungen basiert auf der Quantenfeldtheorie. Gem¨ aß dieser Theorie werden die vier fundamentalen Wechselwirkungen durch den Austausch von f¨ ur die Wechselwirkung charakteristischen Feldquanten (den sogenannten Eichteilchen) zwischen den wechselwirkenden Partnern vermittelt. Die Wechselwirkung entspricht quasi dem Austausch von ‘B¨ allen‘ zwischen zwei Personen, wobei jedoch nicht klar ist, wie man bei dieser Vorstellung zwischen Abstoßung und Anziehung unterscheiden k¨ onnte. In der Quantenfeldtheorie werden die Wechselwirkungen durch

82


die sogenannten Feynmandiagramme dargestellt. Diese Bilder können direkt in einschl¨ agige, mathematische Ausdr¨ ucke u ¨ bersetzt werden. Die einfachsten Feynmangraphen f¨ ur die vier fundamentalen Wechselwirkungen, die den Austausch von genau einem Eichteilchen zwischen den Elementarteilchen beschreiben, haben die angedeutete Form: Zwei Elementarteilchen mit den Impulsen p1 und p2 tauschen ein Eichteilchen aus und erhalten die Impulse p1 und p2 : p1 p2 Eich−

teilchen

p1

p2

Bis zum Jahre 1970 benannte man als Eichteilchen: Gravitonen, Photonen, hypothetische intermedi¨ are Vektorbosonen und diverse Mesonen im Falle von Gravitation, Elektromagnetismus, der schwachen und der starken Wechselwirkung. Die Gravitation wirkt zwischen allen Teilchen, die schwache Wechselwirkung zwischen allen Elementarteilchen. Photonen werden zwischen geladenen Teilchen ausgetauscht, die starke Wechselwirkung ist auf Baryonen, wie Proton und Neutron beschr¨ ankt. Das dritte Axiom tritt in diesem Rahmen in einer abgewandelten Form auf: F¨ ur jeden Elementarprozess (charakterisiert durch einen ‘Vertex‘, dem Punkt in den Feynmandiagrammen, in dem die Eichteilchen emittiert oder absorbiert werden) gilt Impulserhaltung in der Form pein = paus + pEichteilchen . Die Impulsbilanz zwischen den in den Wechselwirkungspunkt ein- und auslaufenden Teilchen und den Eichteilchen muss stimmig sein. Diese Aussage gilt insbesondere auch f¨ ur (elektro-)magnetische Wechselwirkungen, so dass man anhand der G¨ ultigkeit des Impulserhaltungssatzes auch f¨ ur diese Wechselwirkungen auf die G¨ ultigkeit des dritten Axioms in einer erweiterten Form schließen kann (vergleiche Kap. 3.2.1). Die Aussagen u ¨ber die Eichteilchen, die bis 1970 akzeptiert wurden, sind in der Zwischenzeit revidiert worden: Es gibt keine neue Erkenntnis bez¨ uglich der (immer noch hypothetischen) Gravitonen. Die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung sind vereinigt worden: Es werden entweder zwei elektrisch neutrale Eichteilchen (Mischungen aus Photon und dem auf den Namen Z 0 getauften Vektorboson) oder zwei entgegengesetzt geladene W Bosonen ausgetauscht. Die Vorstellung bez¨ uglich der starken Wechselwirkung hat sich vollst¨ andig ge¨ andert. Die alte Mesonaustauschtheorie wurde durch die Quantenchromodynamik ersetzt. Die fundamentalen Teilchen, die wechselwirken, sind die Quarks, die ‘B¨ alle‘ entsprechen 8 verschiedenen Gluonen. Die Teilchen, denen man zuvor die starke Wechselwirkung zugeschrieben hat, setzen sich aus den Quarks zusammen: die Mesonen bestehen aus einem Quark-Antiquark Paar, die Baryonen (wie Neutron und Proton) aus


83

drei Quarks. Die urspr¨ unglich als starke Wechselwirkung bezeichnete Kraft ist sozusagen nur ein nach außen greifender Abklatsch der starken Wechselwirkung im Innern der Hadronen. p1

p2

q1

q2

γ ± Zo

oder W ±

p1

Gluonen

p2

q1

q2

Inwieweit diese Vorstellungen von der Natur der fundamentalen Kräfte sich in 500 Jahren genauso naiv anh¨ oren wird wie heute die Geschichte mit den schiebenden Engeln, sollte man vielleicht dahingestellt lassen. Nach diesem Kommentar zu den drei Axiomen der Mechanik steht die Frage nach ihrer praktischen Verwendung an. Dabei werden zwei Themenkreise angesprochen: 1. Die L¨ osung der zentralen Bewegungsgleichung f¨ ur vorgegebene Kräfte. F¨ ur den Fall eines Massenpunktes ist der folgende Satz von Differentialgleichungen zu diskutieren ˙ y, ˙ z) ˙ m¨ x = Fx (t, x, y, z, x, m¨ y = Fy (t, x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ m¨ z = Fz (t, x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ , beziehungsweise in vektorieller Zusammenfassung m¨ r = F (t, r, r) ˙ .

(3.18)

Die rechte Seite (drei Funktionen von je 7 Variablen im allgemeinen Fall) ist vorgegeben. Zu bestimmen sind die Funktionen r(t). F¨ ur einfache F¨ alle wurde die L¨ osung solcher Aufgaben unter dem Stichwort Kinematik schon in Kap. 2 ge¨ ubt. 2. Es ist jedoch auch n¨ utzlich, die Frage zu stellen: Kann man aufgrund der drei Axiome allgemeine Aussagen u ¨ ber mechanische Systeme machen, ohne dass man sich auf spezifische Situationen bezieht? Die Antwort auf diese Frage f¨ allt unter das Stichwort Erhaltungssätze (und zwar f¨ ur Impuls, Drehimpuls und Energie). In der Mechanik werden die Erhaltungssätze als Konsequenz der Axiome (plus generellen Aussagen u ¨ ber die Kräfte) dargestellt. Die Erhaltungss¨ atze sind jedoch aus experimenteller Sicht viel zug¨ anglicher und einsichtiger als die Axiome. Es ist deswegen in der Physik durchaus u atze als die erste Erkenntnis an den ¨blich, die Erhaltungss¨ Anfang zu stellen und zu versuchen, das Lehrgebäude der Physik mit der Forderung der Erhaltungss¨ atze axiomatisch zu begr¨ unden. Dies ist insofern n¨ utzlich, als die Erhaltungss¨ atze auch in der Quantenwelt G¨ ultigkeit haben. Das zweite Axiom ist hingegen in der Quantenwelt nicht g¨ ultig.

84


Die explizite Umsetzung der Axiome der Mechanik beginnt mit der Diskussion der Erhaltungss¨ atze.

3.2 Die Erhaltungss¨ atze der Mechanik Erhaltungss¨ atze der Mechanik sind pauschale Aussagen u ¨ ber Systeme von Massenpunkten, die ¨ außeren Einfl¨ ussen unterworfen sind (man spricht dann von ¨ außeren Kr¨ aften) und die miteinander wechselwirken (¨ uber innere Kr¨ afte). Von den drei grundlegenden Erhaltungssätzen der klassischen Mechanik ist der Impulssatz der zug¨ anglichste. Aus diesem Grund ist es zweckm¨ aßig, die Diskussion mit diesem Thema zu beginnen. 3.2.1 Der Impulssatz und der Impulserhaltungssatz Das einfachste ‘System‘, das man betrachten kann, ist ein System aus zwei Massenpunkten. 3.2.1.1 Systeme mit zwei Massenpunkten. Als Bezugspunkt f¨ ur die vektorielle Beschreibung des Systems benutzt man den Schwerpunkt. Die Position des Schwerpunktes in Bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem ist durch den Vektor 1 (m1 r1 (t) + m2 r 2 (t)) M = m1 + m2 (3.19) R(t) = M definiert (Abb. 3.11). M ist die Gesamtmasse des Systems. Der Schwerpunkt m1 r1(t)

R m2 r2(t)

Abb. 3.11. Definition des Schwerpunktes von zwei Massenpunkten

liegt auf der Verbindungslinie der beiden Massen und unterteilt diese im Verh¨ altnis der Massen m1 + m2 m1 r 1 + m2 r 2 m2 R(t) − r 1 = − r1 = (r2 − r 1 ) M M M m1 + m2 m1 r 1 + m2 r 2 m1 − r2 = (r1 − r 2 ) . R(t) − r 2 = M M M Die zeitliche Ableitung des Schwerpunktvektors ergibt die Schwerpunktgeschwindigkeit 1 (m1 r˙ 1 + m2 r˙ 2 ) . (3.20) V = R˙ = M

3.2 Die Erhaltungss¨ atze der Mechanik

85

Der Impuls des Schwerpunktes ist somit gemäß der allgemeinen Definition (Masse mal Geschwindigkeit) P = M V = m1 r˙ 1 + m2 r˙ 2 = p1 + p2 .

(3.21)

Der Impuls des Schwerpunktes ist mit dem Gesamtimpuls des Systems (Summe der Einzelimpulse) identisch. Falls die beiden Massenpunkte von allen ¨ außeren Einfl¨ ussen isoliert werden k¨ onnen, liegt die Idealsituation eines abgeschlossenen Systems vor. In einem abgeschlossenen System wirken keine äußeren Kräfte (die mit F bezeichnen werden) auf die Massen F1 = F2 = 0 . Die zwei Massen bewegen sich einzig unter dem Einfluss der gegenseitigen Wechselwirkung, den inneren Kr¨ aften (gekennzeichnet durch f ). Diese sollen das dritte Axiom erf¨ ullen f 12 + f 21 = 0 . Betrachtet man nun die Bewegungsgleichungen f¨ ur die beiden Massenpunkte d d p1 = f 21 p2 = f 12 dt dt und addiert diese beiden Vektorgleichungen, so erhält man d d P (t) = (p1 + p2 ) = f 21 + f 12 = 0 . (3.22) dt dt Bei G¨ ultigkeit des dritten Axioms f¨ ur die inneren Kräfte ergibt die Anwendung des zweiten Axioms somit die Aussage: F¨ ur ein abgeschlossenes System von (zwei) Massenpunkten verschwindet die zeitliche Ableitung des Gesamtimpulses. Eine direkte Konsequenz dieser Aussage ist P (t) = P (t0 ) bzw. R(t) = R(t0 ) + V (t0 ) t .

(3.23)

Der Gesamtimpuls ist f¨ ur jeden Zeitpunkt gleich, bzw. der Schwerpunkt ist, je nach Anfangsbedingungen, in Ruhe oder bewegt sich uniform. Diese Aussagen sind a ¨quivalente Formen des Impuls(erhaltungs)satzes. Ist z.B. f¨ ur zwei Massen zu dem Zeitpunkt t0 der Schwerpunkt in Ruhe (V (t0 ) = 0), so bleibt der Schwerpunkt f¨ ur alle Zeiten an der gleichen Stelle, wie immer sich die zwei Massen unter dem Einfluss der inneren Kräfte bewegen (siehe Abb. 3.12a). Ein Punkt ist noch zu betonen: Das dritte Axiom, dessen G¨ ultigkeit bei der Aufstellung des Impulssatzes benutzt wurde, verlangt nur, dass die inneren Kr¨ afte antiparallel und gleich stark sind. Es ist nicht nötig, dass die Kraftvektoren entlang der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte gerichtet sind (Abb. 3.12b).

86


(a)

(b)

f 12

t1

f 12

S

f 21 t2

m1

Relativbewegung

m2

f 21

innere Kr¨ afte

Abb. 3.12. Zum Impulssatz

3.2.1.2 Beispiele zur Impulserhaltung. Mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes kann man partielle Aussagen u ¨ ber Bewegungsprobleme machen, ohne dass man die inneren Kr¨ afte explizit angeben oder kennen muss. Zwei einfache Beispiele sollen diese Aussage verdeutlichen. Zwischen zwei Massen m1 und m2 (Beispiel 3.1) ist eine Sprungfeder zusammengepresst (Abb. 3.13). Die Sprungfeder soll eine gegenseitige Wechselwirkung nach dem dritten Axiom simulieren. Zur Zeit t = 0 ist v 1 (0) = v 2 (0) = 0 und somit P (t = 0) = 0. L¨ asst man die Sprungfeder wirken, so laufen die m1

m2 v1

t=0

v2 t≥0

Abb. 3.13. ‘Experiment‘ zum Impulserhaltungssatz

Massen (nach einem anf¨ anglichen Beschleunigungsprozess) mit konstanter Geschwindigkeit auseinander. Nach dem Erhaltungssatz gilt m1 v 1 + m2 v 2 = 0 . Man kann also z.B. auf v 2 schließen, wenn man die beiden Massen und v 1 kennt. Misst man v 1 und v 2 und eine der Massen, so kann man die an¨ dere Masse bestimmen, etc. Uber die detailliertere Kraftwirkung der Feder ben¨ otigt man keine Angaben, solange man sicherstellt, dass die Feder mit der gleichen St¨ arke in genau entgegengesetzter Richtung auf jede der Massen einwirkt. Methoden zur Bestimmung der Massen von Elementarteilchen mittels Stoßprozessen beruhen auf diesem einfachen Prinzip. Ein weiteres Beispiel (Beispiel 3.2) ist das (vereinfachte) ballistische Pendel (Abb. 3.14). Eine Masse m2 wird mit der Geschwindigkeit v 2 auf eine Masanglich in Ruhe ist, geschossen. Nachdem sich die Masse m2 se m1 , die anf¨ in die Masse m1 gebohrt hat, bewegt sich das Gesamtsystem mit der Geschwindigkeit v. Es ist bestimmt nicht einfach, die Kraftwirkung während des Einschlags zu analysieren. Solange man jedoch voraussetzen kann, dass


87

diese Kraftwirkungen das dritte Axiom erf¨ ullen (sie sind im Endeffekt von atomarer also elektrostatischer Natur), gilt m2 v 2 = (m1 + m2 ) v . Bestimmt man z.B. die Massen und die Endgeschwindigkeit v, so kann man mit Hilfe dieser Gleichung(en) die Anfangsgeschwindigkeit v 2 der Masse m2 berechnen ( Aufg. 3.8).

m2 m1 v2

v

v1 = 0

Abb. 3.14. Zum Impulserhaltungssatz: Ballistisches Pendel

Falls auf jeden der beiden Massenpunkte auch eine äußere Kraft wirkt (F 1 , F 2 ), so liegt ein offenes System vor. Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die einzelnen Massen lauten in diesem Fall d d (p1 ) = F 1 + f 21 (p2 ) = F 2 + f 12 . dt dt Gilt f¨ ur die inneren Kr¨ afte wieder das dritte Axiom, so folgt f¨ ur die Summe der beiden Bewegungsgleichungen d P = F1 + F2 = F . (3.24) dt Diese Aussage ist wie folgt zu interpretieren: Das System von zwei Massenpunkten verh¨ alt sich gegen¨ uber a aften, als ob die gesamte Masse in üßeren Kr¨ dem Schwerpunkt vereinigt w¨ are. Die Vektorsumme der aüßeren Kräfte (die gesamte a üßere Kraft) greift an dem Schwerpunkt an und bestimmt dessen Bewegung. Man bezeichnet auch diese Aussage als den Impulssatz. Ist f¨ ur jeden Zeitpunkt F (t) = 0, so geht der Impulssatz in den Impulserhaltungssatz u ¨ber. Eine direkte Anwendung des Impulssatzes verdeutlicht das folgende Beispiel 3.3. Ein Projektil bewegt sich unter dem Einfluss der einfachen Gravitation auf einer Wurfparabel (Abb. 3.15). Zum Zeitpunkt t0 zerplatzt es durch Explosionswirkung in zwei St¨ ucke. Die beiden St¨ ucke stellen das System dar,

t0 m1 m m2

Abb. 3.15. Wurfexperiment in einem offenen System

88


wobei die Kraftwirkungen zwischen den St¨ ucken als innere Kräfte gelten und die Gravitationswirkung der Erde auf die St¨ ucke als äußere Kräfte. Vor dem Zeitpunkt t0 (t ≤ t0 ) bewegen sich die beiden St¨ ucke zusammen, gemäß der Bewegungsgleichung d d (m1 + m2 )V = (m1 + m2 )g −→ P = Mg . dt dt Da die St¨ ucke zusammenbleiben, m¨ ussen die inneren Kräfte im Gleichgewicht sein. Die Explosionswirkung bedingt einen Kraftstoß von kurzer Dauer auf jedes der Teilst¨ ucke. Nach einer entsprechenden Beschleunigungsphase gelten f¨ ur t > t0 die Bewegungsgleichungen d d (m1 v 1 ) = m1 g + f 21 (m2 v 2 ) = m2 g + f 12 . (3.25) dt dt Anfangsbedingungen ergeben sich aus der Natur des Kraftstoßes. Aus diesen Angaben folgt f¨ ur Zeiten nach der Explosion: 1. Der Schwerpunkt gehorcht derselben Bewegungsgleichung wie vor der Explosion. Mit den Anfangsbedingungen f¨ ur den Schwerpunkt zu dem Zeitpunkt t0 bewegt sich der Schwerpunkt weiterhin auf der Wurfparabel d (P ) = M g P = m1 v 1 + m2 v 2 = M V . (3.26) dt 2. F¨ ur die Beschreibung der Bewegung der St¨ ucke gegeneinander ist es zweckm¨ aßig ein Koordinatensystem zu benutzen, dessen Ursprung zu jedem Zeitpunkt mit dem Schwerpunkt zusammenf¨ allt. Man nennt dieses KoordinaS

S’

r 2’

R r2

Abb. 3.16. Relation zwischen Laborsystem S und Schwerpunktsystem S’

tensystem das Schwerpunktsystem. Da der Schwerpunkt in diesem Beispiel eine beschleunigte Bewegung ausf¨ uhrt, ist das Schwerpunktsystem in der vorliegenden Situation kein Inertialsystem. Die Position der beiden Massen in Bezug auf den Schwerpunkt (r ) sind (Abb. 3.16) r1 = R + r 1

r 2 = R + r2 .

¨ F¨ ur die zeitliche Anderung gilt dann v 1 = V + v 1

v 2 = V + v 2 .


89

Setzt man diese Transformation in die Bewegungsgleichungen (3.25) f¨ ur die erste Masse ein, so erh¨ alt man mit dem Impulssatz (3.26) z.B. f¨ ur die linke Seite d d d m1 d (m1 v 1 ) = m1 (V + v 1 ) = (P ) + (m1 v 1 ) dt dt M dt dt d = m1 g + (m1 v 1 ) . dt Vergleich mit der rechten Seite der Bewegungsgleichung ergibt dann d (m1 v 1 ) = f 21 . dt Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die zweite Masse die Aussage d (m2 v 2 ) = f 12 . dt Diese Gleichungen besagen, dass die Bewegung der beiden Fragmente gegen¨ uber dem Schwerpunkt nur durch die inneren Kräfte bestimmt wird. 3.2.1.3 Systeme von N Massenpunkten. Die Erweiterung der Diskussion auf den allgemeinen Fall, ein System von N Massenpunkten mit den Massen m1 , m2 , m3 , . . . , mN , ist nicht schwierig. Die Massenpunkte k¨ onnen frei beweglich sein wie z.B. Sonne, Planeten, Monde, Asteroiden etc. in dem Planetensystem oder auch die ca. 1024 Molek¨ ule in einem bestimmten Gasvolumen. Die Massenpunkte k¨ onnen auch eine feste Lage gegeneinander haben. Man spricht dann von einem festen oder starren Körper. In einem starren K¨ orper m¨ ussen die inneren Kr¨ afte im Gleichgewicht sein (in einem Molek¨ ul oder Kristall sind es Coulombkräfte plus einige Feinheiten), da sich sonst die Massenpunkte gegeneinander bewegen w¨ urden. Wie ‘starr‘ ein K¨ orper ist, wird von seinem Verhalten gegen¨ uber zusätzlichen äußeren Kr¨ aften abh¨ angen. Man kann solange von einem starren Körper sprechen, als er unter dem Einfluss von a aften seine Form beibehält. üßeren Kr¨ F¨ ur ein solches System von N Massenpunkten (ob starr, deformierbar oder aus frei beweglichen Massenpunkten bestehend) benutzt man die folgenden Definitionen: Gesamtmasse: M=

N

mi = m1 + m2 + . . . + mN ,

(3.27)

i=1

Position des Schwerpunktes: 1 mi r i , R= M i Schwerpunktgeschwindigkeit:

(3.28)

90


1 V = R˙ = mi v i , M i

(3.29)

Schwerpunktimpuls oder Gesamtimpuls: mi v i = pi , P = MV = i

(3.30)

i

Position eines Massenpunktes in Bezug auf den Schwerpunkt: ri = r i − R .

(3.31)

Die Bewegungsgleichung des k -ten Massenpunktes in dem System hat die Form d pk = F k + f 1k + f 2k + . . . + f N k dt N = Fk + f i,k . (3.32) i=1 i=k

Neben der ¨ außeren Kraft Fk wirken auf den k-ten Massenpunkt die (N − 1) inneren Kr¨ afte der anderen Massenpunkte. Mit der Verabredung f kk = 0

(k = 1 . . . N ) ,

die wegen f ik = −f ki f¨ ur i = k in dem dritten Axiom enthalten ist, kann man die Summe in (3.32) ohne Einschr¨ ankung von 1 bis N laufen lassen N

−→

i=1 i=k

N

.

i=1

Addiert man die vektoriellen Bewegungsgleichungen (3.32) f¨ ur alle Massen, so erh¨ alt man N N N N d (pk ) = Fk + f ik . dt i=1 k=1

k=1

k=1

Auf der linken Seite steht die zeitliche Ableitung des Gesamtimpulses N N d d d (pk ) = (pk ) = P (t) . dt dt dt k=1

k=1

Der erste Term auf der rechten Seite ist die Summe aller äußeren Kräfte F ext = Fk . k

Der zweite Term auf der rechten Seite verschwindet, falls die inneren Kräfte das dritte Axiom erf¨ ullen, denn es gilt


f ik = −

ik

f ki

(nach dem dritten Axiom)

f ik

(nach Umbenennung der Indices) .

91

ik

=−

ik

Die Aussage Vektor = − Vektor ist offensichtlich nur f¨ ur den Nullvektor m¨ oglich. F¨ ur ein beliebiges System von Massenpunkten, in dem die inneren Kräfte das dritte Axiom erf¨ ullen, gilt also die Aussage P˙ =

k

F k = F ext .

(3.33)

¨ Das ist der allgemeine Impulssatz: Die zeitliche Anderung des Gesamtimpulses f¨ ur ein System von N Massenpunkten, dessen innere Kräfte das dritte Axiom erf¨ ullen, wird durch die Summe der äußeren Kräfte, die auf die Massen des Systems einwirken, bedingt. Ist die Summe der äußeren Kräfte zu jedem Zeitpunkt gleich Null, so gilt der Impulserhaltungssatz F k = 0 −→ P˙ = 0 −→ P (t) = P (t0 ) . (3.34) k

Diese Aussage ist insbesondere in einem abgeschlossenen System, in dem ultig. Der keine ¨ außeren Kräfte vorhanden sind (F k = 0 (k = 1, 2, . . .)), g¨ Impulssatz l¨ asst sich auch in der folgenden Form ausdr¨ ucken: Der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten, dessen innere Kr¨ afte das dritte Axiom erf¨ ullen, bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in dem Schwerpunkt vereinigt wäre und als ob die außeren Kr¨ afte gemeinsam an dem Schwerpunkt angreifen. ¨ Eine weitere Variante des Impulserhaltungssatzes lautet: In einem abgeschlossenen System ist der Schwerpunkt in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung. Der Impulssatz wird sich im Endeffekt als ein recht n¨ utzliches Instrument f¨ ur die Diskussion von mechanischen Systemen herausstellen. Da der Impulssatz meist in Verbindung mit dem Energiesatz (siehe Kap. 3.2.3ff) zur Anwendung kommt, soll an dieser Stelle auf weitere Beispiele verzichtet werden. Das Moment des Impulses ist der Drehimpuls. Auch f¨ ur diese dynamische Bewegungsgr¨ oße erh¨ alt man unter bestimmten Voraussetzungen einen Erhaltungssatz. Die Diskussion ist jedoch, infolge des bei der Momentbildung auftretenden Vektorproduktes, ein wenig aufwendiger. 3.2.2 Der Drehimpulssatz und der Drehimpulserhaltungssatz Auch bei der Diskussion des Drehimpulses ist es n¨ utzlich, mit der einfachsten Situation zu beginnen.

92


(a)

(b)

γ r(t)

r

v(t)

Grundgr¨ oßen

p

Momentbildung

Abb. 3.17. Zur Definition des Drehimpulses eines Massenpunktes

3.2.2.1 Der Drehimpuls f¨ ur einen Massenpunkt. Betrachtet man zun¨ achst wieder einen einzelnen Massenpunkt, der sich auf einer beliebigen Bahnkurve bewegt, so lautet die Definition des Bahndrehimpulses (Abb. 3.17a) l(t) = m[r(t) × v(t)] = r(t) × p(t) .

(3.35)

Der Drehimpuls stimmt bis auf einen einfachen Faktor mit dem schon diskutierten Begriff des Fl¨ achengeschwindigkeit 1 ˙ ˙ l(t) = 2mA(t) A(t) = (r(t) × v(t)) 2 (siehe Kap. 2.3.3) u ¨ berein. Trotz der vorangegangenen Diskussion der Flächengeschwindigkeit ist es angebracht, den Drehimpuls noch einmal als eigenständige Gr¨ oße zu betrachten, der Einfachheit halber f¨ ur ebene Bewegungsformen. Liegt zu dem Zeitpunkt t die in Abb. 3.17b angedeutete Situation vor, so lautet die Zerlegung des Impulsvektors in eine radiale und eine azimutale Komponente p = (p cos γ)er + (p sin γ)eϕ , wobei γ der Winkel zwischen r und p ist. Da er × er = 0 und er × eϕ = ez ist, folgt l = (rp sin γ)ez = rpϕ ez . Der Betrag des Drehimpulses |l| = rp| sin γ| ist ein Maß f¨ ur die Größe der momentanen Drehung um den Koordinatenursprung. Dieses Maß wächst proportional mit der Entfernung von dem Koordinatenursprung. Die Richtung des Drehimpulsvektors (in dem Beispiel ±ez ) gibt den Umlaufsinn der momentanen Drehung (gem¨ aß der rechten Handregel, siehe Math.Kap. 3.1.1) an. F¨ ur die Situation in Abb. 3.18a ist diese Richtung aus dem Blatt heraus3 , f¨ ur die Situation in Abb. 3.18b in das Blatt hinein. Eine Gr¨ oße der Form r × Vektor bezeichnet man als Moment des Vektors. Der Betrag dieser Gr¨ oße entspricht der Projektion des Vektors auf eine Richtung senkrecht zu r. 3

markiert durch eine ‘Pfeilspitze‘, im gegenteiligen Fall durch ein ‘Pfeilende‘.

3.2 Die Erhaltungss¨ atze der Mechanik (a)

93

(b) p

r

r

p

Abb. 3.18. Zur Definition des Drehimpulsvektors

Eine einfache Situation, mit deren Hilfe sich der Begriff des Drehimpulses gut erl¨ autern l¨ asst, ist die gleichf¨ ormige Bewegung eines Massenpunktes entlang einer Geraden. Eine solche Bewegung wird durch die Vektorgleichung r(t) = r 0 + v 0 t beschrieben. Es gilt deswegen l = m(r(t) × v 0 ) = m(r0 × v 0 ) = const . F¨ ur das in Abb. 3.19a angedeutete Beispiel zeigt der (zeitlich konstante) Drehimpulsvektor in das Blatt hinein. Die Bewegung entlang einer Geraden w¨ urde man auf den ersten Blick vielleicht nicht mit einer Drehung in Verbindung bringen. Spätestens beim zweiten Blick wird jedoch klar, dass sich der Massenpunkt doch um den Koordinatenursprung dreht, wenn auch nur um 180◦ . Man erkennt eine weitere Eigenschaft des Drehimpulses. Der Drehimpuls h¨ angt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Beschreibt man die Bewegung aus der Sicht eines Koordinatensystems S’, dessen Ursprung auf der Geraden liegt (Abb. 3.19b), so gilt r (t) = r0 + v 0 t , wobei r 0 = Cv 0 und somit l = m(C + t)(v 0 × v 0 ) = 0 . ist. Aus der Sicht von S’ liegt nur eine radiale Bewegung und keine Drehung um den Koordinatenursprung vor. Zur weiteren Illustration dieses Punktes kann man die uniforme Kreisbewegung betrachten. F¨ ur ein Koordinatensystem mit Ursprung im Kreismittelpunkt (Abb. 3.20a) gilt r = Rer

v = Rωeϕ

und somit l = mR2 ωez = const .

94


(a)

(b) S’

S v0

r0’

r(t)

r(t) r0

r0

aus der Sicht des Systems S

aus der Sicht des Systems S’

Abb. 3.19. Drehimpuls bei der Bewegung entlang einer Geraden (a)

(b) S’

S

v

v

r’

r

aus der Sicht des Mittelpunktes

aus der Sicht eines Kreispunktes

Abb. 3.20. Drehimpuls bei der Kreisbewegung

Beschreibt man die gleiche Situation aus der Sicht eines Koordinatensystems mit Ursprung auf dem Kreis (z.B. auf der x -Achse, Abb. 3.20b), so gilt f¨ ur die Koordinaten x =x − R = R(cos ωt − 1)

y = R sin ωt

x˙ =−Rω sin ωt

y˙ = Rω cos ωt .

|l’|

π /2

ωt

π

3π /2

2π

Abb. 3.21. Zeitliche Variation des Drehimpulses aus der Sicht eines Kreispunktes

Der Drehimpuls aus der Sicht dieses Koordinatensystems ist l = m(x y˙ − y x˙ )ez = mR2 ω(1 − cos ωt)ez . Der Betrag des Drehimpulses l a ¨ndert sich in diesem Fall, wie in Abb. 3.21 angedeutet, mit der Zeit. Es ist somit die wichtige Aussage festzuhalten: Der Drehimpuls eines Massenpunktes (Objektes) ist nur dann vollst¨ andig definiert, wenn man den Bezugspunkt f¨ ur die Momentbildung (in dem Normalfall den Ursprung eines Koordinatensystems) festlegt.


95

Um den Aspekt, der f¨ ur die Drehbewegung zust¨ andig ist, aus der Bewegungsgleichung f¨ ur einen Massenpunkt d p=F dt zu isolieren, bildet man das Moment dieser Gleichung r × p˙ = r × F . Die linke Seite ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses, denn es gilt l˙ = (r˙ × p) + (r × p) ˙ = (r × p) ˙ , da der erste Term wegen (r˙ × p) = m(r˙ × r) ˙ = 0 verschwindet. Auf der rechten Seite steht das Moment der Kraft oder das Drehmoment M =r×F

|M | = rF sin θr,F .

(3.36)

Den Faktor r in dem Betrag des Drehmomentes bezeichnet man als den Arm der Kraft. Folglich ist die Auswirkung einer Kraft auf eine Drehbewegung umso größer, je weiter der Angriffspunkt der Kraft von dem Bezugspunkt entfernt ist. Diese Aussage entspricht der alltäglichen Erfahrung: Man w¨ urde nicht versuchen, eine T¨ ur zu ¨ offnen, indem man die Kraft in der N¨ ahe der Angeln ansetzt, sondern m¨ oglichst weit von den Angeln entfernt (Abb. 3.22).

Drehmoment groß

Drehmoment klein

Abb. 3.22. Illustration des Drehmomentes

Aus der Bewegungsgleichung folgt somit f¨ ur den Fall eines Massenpunktes der Drehimpulssatz d l(t) = M (t) . dt

(3.37)

Das Drehmoment bewirkt eine zeitliche Ver¨ anderung des Drehimpulses. Verschwindet das Drehmoment f¨ ur alle Zeiten, so gilt der Drehimpulserhaltungssatz M =0

−→

l˙ = 0

−→

l(t) = l(t0 ) .

(3.38)

96


Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgr¨ oße, wenn das Drehmoment der angreifenden Kraft verschwindet. Das Drehmoment verschwindet, wenn 1. keine Kraft wirkt (siehe uniforme Bewegung entlang einer Geraden), 2. die angreifende Kraft eine Zentralkraft ist (siehe Diskussion des Flächensatzes in Kap. 2.3 oder das Beispiel der einfachen uniformen Kreisbewegung). Drehmoment und Drehimpuls h¨ angen wegen der Form r×Vektor von der Wahl des Koordinatensystems bzw. des gemeinsamen Bezugspunktes ab. Nur in einem Koordinatensystem, in dem der Vektor M (t) f¨ ur alle Zeiten verschwindet, gilt der Erhaltungssatz. 3.2.2.2 Der Drehimpuls f¨ ur Systeme von N Massenpunkten. Die ¨ Uberlegungen f¨ ur den Fall eines Massenpunktes m¨ ussen auf die Betrachtung eines Systems von N Massenpunkten verallgemeinert werden. Infolge der Momentbildung ist die Diskussion ein wenig aufwendiger. Alle N Massenpunkte des Systems sind aus der Sicht eines einzigen Bezugsystems zu charakterisieren. Der Drehimpuls des k -ten Teilchens ist (Abb. 3.23a) (a)

(b) pk rk

rk’

lk rk

R

Einzeldrehimpuls

Bezug auf Schwerpunkt

Abb. 3.23. Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten

lk (t) = r k (t) × pk (t) . Als Gesamtdrehimpuls des Systems bezeichnet man die Vektorsumme aller Einzeldrehimpulse L(t) =

N

lk (t) =

k=1

N

r k (t) × pk (t) .

(3.39)

k=1

F¨ ur den linearen Impuls galt die Aussage Gesamtimpuls

=

Impuls des Schwerpunktes .

Die folgende Argumentation zeigt, dass eine entsprechende Aussage f¨ ur den Drehimpuls nicht zutrifft. Man bezieht sich auf den Schwerpunkt mittels (Abb. 3.23b) rk = rk + R

v k = v k + V


97

und erh¨ alt durch Einsetzen in (3.39) L= mk [(R + rk ) × (V + v k )] k

=

mk (R × V ) + (R × v k ) + (rk × V ) + (r k × v k ) .

k

In dem ersten Term ist k mk = M und somit entspricht dieser Term dem Drehimpuls des Schwerpunktes in Bezug auf das vorgegebene Koordinatensystem LSP = R × P . F¨ ur den dritten Term folgt aus der Transformationsgleichung mk rk = (mk rk − mk R) = M R − M R = 0 . k

Es gilt dann auch f¨ ur den zweiten Term d mk v k = mk rk = 0 . dt k

k

Diese Terme ergeben keinen Beitrag. Der letzte Term entspricht der Summe der Einzeldrehimpulse bezogen auf das Schwerpunktsystem lk = mk (r k × v k ) . k

k

F¨ ur den Gesamtdrehimpuls gilt somit die Zerlegung (rk × pk ) L = (R × P ) + k

L(t) = LSP (t) +

lk (t) .

(3.40)

k

Der Gesamtdrehimpuls eines Systems von N Massenpunkten ist gleich dem Drehimpuls des Schwerpunktes (bezogen auf ein vorgegebenes Koordinatensystem) plus der Summe der Drehimpulse der Massenpunkte in Bezug auf den Schwerpunkt. Zur Betrachtung des Drehimpulssatzes in der allgemeinen Situation be˙ nötigt man eine Aussage u ¨ber L(t) ˙ l˙k (t) . L(t) = k

¨ F¨ ur die zeitliche Anderung der Einzeldrehimpulse gilt l˙k = rk × p˙ k . Setzt man hier die Bewegungsgleichung (3.32) ein, so erhält man ˙ L(t) = (r k × F k ) + (r k × f ik ) . k

ik

(3.41)

98


Der zweite Term auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwindet, wenn die inneren Kr¨ afte f ik das 3. Axiom erf¨ ullen und wenn sie entlang den Verbindungslinien der jeweiligen Paare von Massenpunkten zeigen. Um diese Aussage zu beweisen, benutzt man die Tatsache, dass die Summationsindices umbenannt werden k¨ onnen (r k × f ik ) = (r i × f ki ) , ik

ik

so dass man schreiben kann 1 (r k × f ik ) = {(r k × f ik ) + (r i × f ki )} . 2 ik

ik

F¨ ur Kr¨ afte, die das 3. Axiom erf¨ ullen, gilt somit 1 (r k × f ik ) = [(r k − ri ) × f ik ] . 2 ik

ik

Dieser Ausdruck verschwindet im Allgemeinen nicht. Haben die inneren Kr¨ afte jedoch die Form f ik = fik (r i , r k ) · (r k − r i ) , also eine skalare Funktion der beiden Vektoren multipliziert mit dem vektoriellen Abstand der beiden Massenpunkte, so verschwindet der zweite Term. Diese Forderung an die inneren Kr¨ afte ist weitergehender als die Forderung, die zu dem Impulssatz f¨ uhrte. Sie ist f¨ ur die Gravitation und f¨ ur elektrostatische Kr¨ afte erf¨ ullt. Der erste Term auf der rechten Seite von (3.41) ist die Summe der Drehmomente der ¨ außeren Kr¨ afte. Man bezeichnet diese Größe als das Gesamtdrehmoment (r k × F k ) = Mk . (3.42) M= k

k

Analog zu dem Gesamtdrehimpuls kann man das Gesamtdrehmoment in der folgenden Weise zerlegen. Man benutzt wieder rk = R + rk und schreibt (R × F k ) + (r k × F k ) M = k

= (R × F ) +

(r k × F k )

k

= M SP + M ext .

(3.43)

Das Gesamtdrehmoment ist die Summe aus dem Drehmoment des Schwerpunktes und dem Drehmoment der ¨ außeren Kräfte in Bezug auf das Schwerpunktsystem.


99

In Zusammenfassung dieser Argumente kann man den Drehimpulssatz eines Systems von N Massenpunkten notieren: Erf¨ ullen die inneren Kr¨ afte eines Systems von N Massenpunkten das dritte Axiom und sind sie entlang der Verbindungslinie der jeweiligen Massenpaare gerichtet, so gilt f¨ ur ein beliebiges System von Massenpunkten ˙ L(t) = M (t) und l˙k = (r k × F k ) . (3.44) k

k

¨ In Worten: Die zeitliche Anderung des Gesamtdrehimpulses ist gleich der Summe der Momente der ¨ außeren Kräfte. Verschwindet das Gesamtdrehmoment (z.B. f¨ ur ein abgeschlossenes System ur alle k), so folgt daraus der Drehimpulserhaltungssatz mit F k = 0 f¨ M (t) = 0

−→

˙ L(t) =0

−→

L(t) = L(t0 ) .

(3.45)

Zu betonen ist die Aussage: Der Drehimpulssatz ist (wie der Impulssatz) eine Vektorgleichung. Jede dieser Vektorgleichungen ist eine Zusammenfassung von drei skalaren Gleichungen. 3.2.2.3 Beispiele zum Drehimpulssatz. Die allgemeine Form des Drehimpulssatzes wird in Kap. 6.3 bei der Diskussion der Bewegung starrer Körper eine zentrale Rolle spielen. F¨ ur den Moment sollen zur Erläuterung einige einfache Beispiele gen¨ ugen. Das erste Beispiel (Beispiel 3.4) ist eine kurze Bemerkung zu den Hebelgesetzen, die schon in der Antike (von Archimedes entdeckt) angewandt wurden. Ein Hebel ist eine primitive Maschine, die aus einer starren, um eine Achse drehbare Stange besteht, an der zwei oder mehrere Kraftvektoren angreifen. Hat man, wie in Abb. 3.24a angedeutet, zwei konstante Kräfte mit den Armen r 1 und r 2 , die in einer Ebene senkrecht zu der Drehachse liegen, so lautet die Gleichgewichtsbedingung M 1 + M 2 = (r1 × F 1 ) + (r2 × F 2 ) = 0 .

(3.46)

Die Summe der Drehmomente in Bezug auf die Drehachse verschwindet in der Gleichgewichtssituation. Liegen die beiden Kraftvektoren nicht in einer Ebene senkrecht zu der Drehachse (Abb. 3.24b, D.tail 3.1), so wird entweder ein Teil der Momentwirkung von der Lagerung aufgefangen oder die gesamte Maschine setzt sich in Bewegung. Die Anwendung der Hebelgesetze erläutert die Abb. 3.25. Um ein Objekt der Masse M zu heben, ben¨ otigt man ohne Hilfsmittel wenigstens die Kraft −M g. Mit Hilfe eines Hebels kann man durch die Armwirkung mit kleineren (f¨ ur einen sehr langen Hebelarm im Prinzip mit beliebig kleinen) Kräften auskommen.

100


(a)

(b) F2

F2

F1

F1

M2

M2 M1

M1

Drehung um Achse

Allgemeine Situation

Abb. 3.24. Hebelgesetze

M

-Mg Abb. 3.25. Hebelanwendung

In dem n¨ achsten Beispiel (Beispiel 3.5) werden einige Bewegungsformen des einfachsten Modelles eines starren K¨ orpers, der Hantel, vorgestellt. Die Hantel besteht aus zwei Massenpunkten m1 und m2 , die durch eine starre, gewichtslose Stange verbunden sind. Die Hantel soll sich zunächst gleichförmig (a)

(b)

F2

l ω m1

r2

r1

r2

m2

β

m2

m1

r1

F1

Illustration der Variablen

SP

Kr¨ aftepaar

Abb. 3.26. Hantelbewegung

um eine Achse, die senkrecht auf der Hantelstange steht und die durch den Schwerpunkt verl¨ auft, drehen (Abb. 3.26a). Zur Beschreibung der Bewegung benutzt man zweckm¨ aßigerweise Zylinderkoordinaten bezogen auf den Schwerpunkt. Es gilt dann f¨ ur die erste Masse: r 1 (t) = r1 er1 v 1 (t) = r1 ωeϕ1

(r˙1 = 0)

(r1 ist der Abstand der Masse m1 von dem Schwerpunkt der Hantel) und somit f¨ ur den Drehimpuls


101

er 1 e ϕ 1 e z 0 0 = m1 r12 ωez . l1 = r1 × p1 = r1 0 m1 r1 ω 0 Die Winkelgeschwindigkeit kann durch einen Vektor charakterisiert werden, der die momentane Drehachse markiert und in dem vorliegenden Fall die Form ω = ωez hat. F¨ ur den zweiten Massenpunkt erh¨ alt man ein entsprechendes Ergebnis l2 = r2 × p2 = m2 r22 ω . Der Gesamtdrehimpuls des Systems ist somit L = l1 + l2 = (m1 r12 + m2 r22 )ω .

(3.47)

Dieser Vektor ¨ andert sich nicht mit der Zeit (L˙ = 0). An einer Hantel, die sich gleichf¨ ormig dreht, greift kein Drehmoment an. Den Faktor der Drehgeschwindigkeit, der in dieser Gleichung auftritt, bezeichnet man als das Tr¨ agheitsmoment der Hantel I = (m1 r12 + m2 r22 ) .

(3.48)

Das Tr¨ agheitsmoment ist (wie der Drehimpuls) in Bezug auf ein vorgegebenes Koordinatensystem definiert, in dem vorliegenden Beispiel in Bezug auf den Schwerpunkt. Die Relation zwischen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit ist hier L = Iω , eine Verallgemeinerung dieser Relation wird in Kap. 6.3.3 im Rahmen der Diskussion der Bewegung starrer K¨ orper vorgestellt. ¨ Aus der Ahnlichkeit mit der Definition des linearen Impulses p = mv folgt die Bemerkung: Das Tr¨ agheitsmoment beschreibt den Widerstand des ¨ starren K¨ orpers gegen¨ uber einer Anderung der Drehbewegung. Die Armwirkung jeder der Massen wird dabei durch eine quadratische Abhängigkeit von dem Abstand von der Drehachse betont. Eine beschleunigte Drehbewegung ergibt sich, wenn an jeder Masse der Hantel eine gleich große, konstante Kraft angreift. Die beiden Kraftvektoren sollen antiparallel und zu jedem Zeitpunkt den gleichen Winkel (β) mit der Hantelachse einschließen. Eine solche Kombination von Kraftvektoren bezeichnet man als ein Kr¨ aftepaar (siehe Abb. 3.26b). Der Schwerpunkt der Hantel bleibt in Ruhe, falls er anf¨ anglich in Ruhe ist, denn es gilt der Impulssatz P˙ = F 1 + F 2 = F = 0 , R(t) = R(0) + V (0)t . ˙ F¨ ur die Anwendung des Drehimpulssatzes L(t) = M benutzt man zweckmäßigerweise die Zerlegungen

102


lk = R × P + lk = lk (da M = R×F + (r k × F k ) = (r k × F k ) L=

P = 0) (da

F = 0) .

Die beiden Gr¨ oßen sind auf den Schwerpunkt bezogen. Das Drehmoment M steht senkrecht auf der von der Hantelachse und dem Kräftepaar aufgespannten Ebene und ist zeitlich konstant. Die St¨ arke des Drehmomentes wird durch den Betrag |M | = (r1 + r2 )F sin β charakterisiert. Nur die Komponenten von F 1 und F 2 senkrecht zu der Hantelachse tragen zu dem Drehmoment bei. Benutzt man (f¨ ur Drehungen um eine Achse senkrecht zu der Hantelachse) in Erweiterung der Betrachtung f¨ ur uniforme Drehungen (siehe 3.48) L(t) = Iω(t) , so lautet der Drehimpulssatz Iω ˙ =M . Die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit in dieser Bewegungsgleichung der Hantel bei Einwirkung eines Kr¨ aftepaares ist eine Winkelbeschleunigung (ω˙ = α). Die Bewegungsgleichung lautet somit ‘Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung ist gleich dem vorgegebenen Drehmoment‘. Das letzte Beispiel (Beispiel 3.6) zu dem Thema Drehimpuls betrifft eine einfache Anwendung des Drehimpulserhaltungssatzes. Eine Hantel mit gleichen Massen m1 = m2 = m, soll sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch den Schwerpunkt, die senkrecht auf der Hantelachse steht, drehen. Die Massen sind in diesem Beispiel auf der fiktiven Stange verm

m

Abb. 3.27. Pirouetteneffekt

schiebbar und zwar so, dass die Verschiebung durch ‘innere Kräfte‘ (jeweils in Richtung auf den Schwerpunkt, erzeugt durch einen geeigneten Mechanismus) entlang der Stange bewerkstelligt wird (Abb. 3.27). Da keine äußeren Kr¨ afte angreifen, gilt Drehimpulserhaltung L(t) = L(0) , im Detail mit (3.47) [2mr(t)2 ]ω(t) = [2mr(0)2 ]ω(0) . ¨ Andert sich das Tr¨ agheitsmoment mit der Zeit, so ändert sich auch die Winkelgeschwindigkeit und zwar gem¨ aß


ω(t) =

103

I(0) ω(0) . I(t)

Zieht man z.B. die Massen nach innen, so verkleinert sich das Trägheitsmoment. Die Hantel dreht sich dann schneller. Man beobachtet einen Pirouetteneffekt. Die dritte dynamische Bewegungsgr¨ oße, die Energie, ist eine der zentralen Gr¨ oßen der Physik. Sie spielt nicht nur in der Mechanik eine Rolle, sondern tritt in verschiedenen Varianten in allen Bereichen der Physik auf. Die Fundierung dieses Begriffes und des verwandten Begriffes der Arbeit ist eines der Hauptanliegen der theoretischen Mechanik. 3.2.3 Die Energie und der Energieerhaltungssatz f¨ ur einen Massenpunkt Es ist notwendig, den Feldbegriff der Physik kurz zu beleuchten, bevor die eigentliche Diskussion der Begriffe Arbeit und Energie in Angriff genommen werden kann. 3.2.3.1 Vektorfelder. Dieser Vorspann betrifft das Thema Vektorfelder (siehe auch Math.Kap. 5.1), insbesondere Kraftfelder. Es soll anhand des folgenden Beispiels eingef¨ uhrt werden: In dem Ursprung eines Koordinatensystems befindet sich ein Massenpunkt M . Bringt man nun in einem anderen Raumpunkt r eine ‘Probemasse‘ m an (Abb. 3.28a), so erfährt diese die Gravitationswirkung (siehe (3.13), S. 79) mM r. r3 Man kann sich vorstellen, dass der gesamte Raum mit der Probemasse abgefahren (die Masse M bleibt im Koordinatenursprung) und in jedem Raumpunkt der entsprechende Kraftvektor angeheftet wird. Alle Kraftvektoren auf F = −γ

(a)

(b)

m

r

F

F M

Kraftvektor

M

Vektorfeld

Abb. 3.28. Illustration des Schwerekraftfeldes

104


einer Kugelschale haben die gleiche L¨ ange und sind radial nach innen gerichtet. Je gr¨ oßer der Radius der Kugelschale ist, desto k¨ urzer sind die Kraftvektoren. Eine derartige Zuordnung von Vektoren zu Raumpunkten bezeichnet man als Vektorfeld (Abb. 3.28b), in dem vorliegenden Fall als Kraftfeld (3.49) F (r) = Fx (x, y, z), Fy (x, y, z), Fz (x, y, z) . Ein station¨ ares (zeitunabh¨ angiges) Vektorfeld wird durch die vektorielle Zusammenfassung von drei Funktionen von drei Veränderlichen charakterisiert. F¨ ur das obige Beispiel gilt explizit mM (x, y, z) r = [x2 + y 2 + z 2 ]1/2 . (3.50) r3 Man kann die gleiche Situation in einer alternativen Weise beschreiben. Die Gr¨ oße 1 M G(r) = F (r) = −γ 3 r (3.51) m r ist ebenfalls ein Vektorfeld, das man als das Gravitationsfeld der Masse M bezeichnet. Man kann dann folgende Modellvorstellung der Kraftwirkung zwischen zwei Massen entwickeln (Abb. 3.29): Zunächst ist nur der leere Raum vorhanden. Bringt man die Masse M an die Stelle (0, 0, 0), so wird der Raum ‘modifiziert‘. Die Anwesenheit der Masse M äußert sich in dem Aufbau des Gravitationsfeldes G. Bringt man im nächsten Schritt an die Stelle r eine Masse m, so erf¨ ahrt diese eine Kraftwirkung, die sich durch F = mG ergibt. Die Kraftwirkung wird also unterteilt in F (r) = −γ

(i) die Forderung der Existenz des Gravitationsfeldes, (ii) die Sondierung dieses Feldes mit der ‘Probemasse‘. Die naheliegende Frage: ‘Existiert das Feld G?‘, kann nicht beantwortet werden, da sich dieses Feld experimentell nur u ¨ ber die Kraftwirkung F nachweisen l¨ asst. Die Modellvorstellung eines Gravitationsfeldes (und eine gute Anzahl von vergleichbaren Feldern) hat sich jedoch als sehr n¨ utzlich erwiesen.

m F

G(r)

Der Raum

M

M

Das Gravitationsfeld

Die Kraftwirkung

Abb. 3.29. Der Begriff des Gravitationsfeldes

Anstatt ein Vektorfeld durch eine Sammlung von Vektorpfeilen, die an Raumpunkte angeheftet werden, zu charakterisieren, kann man eine Darstel-


105

lung durch Feldlinien benutzen. Diese entsprechen Tangenten an die Feldvektoren. Die Feldliniendarstellung wird im Rahmen der Elektrostatik (siehe Band 2) ausf¨ uhrlich besprochen. Ein weiteres Beispiel, neben den erw¨ ahnten Zentralkraftfeldern, ist das uniforme Kraftfeld der Gravitation in der N¨ ahe der (flachen) Erdoberfläche F = (0, 0, −mg) bzw. das entsprechende Gravitationsfeld G = (0, 0, −g) . 3.2.3.2 Der Arbeitsbegriff und die kinetische Energie f¨ ur einen Massenpunkt. Um die beiden grundlegenden Begriffe Arbeit und kinetische Energie zu erl¨ autern, beginnt man zweckmäßigerweise mit einer einfachen Situation, der Bewegung eines Massenpunktes m in einem konstanten Kraftfeld. In jedem Raumpunkt ist ein Kraftvektor der gleichen Länge und der gleichen Richtung angeheftet. Der Einfachheit halber wählt man das Koordinatensystem so, dass gilt F = (F, 0, 0) . Eine Bewegung des Massenpunktes in der x -Richtung von der Stelle x0 zum Zeitpunkt t = 0 zu der Stelle x(t) unter dem Einfluss der konstanten Kraft (mit den expliziten Anfangsbedingungen r(0) = (x0 , 0, 0) und ormig beschleunigte Bewegung v(0) = (v0 , 0, 0) ) ist eine geradlinige, gleichf¨ entlang der x -Achse. Die L¨ osung der Bewegungsgleichung F = ma lautet F F 2 t x − x0 = v0 t + t . m 2m Durch Elimination der Zeit aus diesen beiden Gleichungen erhält man

2

1 F F 1 F (x − x0 ) = v0 t + t = v0 (v − v0 ) + (v − v0 )2 m m 2 m 2 oder m m F (x − x0 ) = v 2 − v02 . (3.52) 2 2 Dieses Ergebnis kann folgendermaßen interpretiert werden. Auf der linken Seite steht die einwirkende Kraft multipliziert mit dem zur¨ uckgelegten Weg. Diese Gr¨ oße bezeichnet man als die Arbeit. Etwas präziser muss man sagen: Es ist die Arbeit, die das Kraftfeld an der Masse leistet, indem es die Masse um die Strecke x − x0 verschiebt (und dabei beschleunigt). Die rechte Seite ¨ beschreibt die Anderung der Gr¨ oße mv 2 /2, die nur von den Eigenschaften des Objekts (Masse und Geschwindigkeit) abh¨ angt. Diese Größe bezeichnet man als die kinetische Energie des Massenpunktes v − v0 =

Ekin = T =

m 2 p2 v = ≥0. 2 2m

(3.53)

106


Die Implikation dieses Begriffes ist: Ein Objekt, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat eine kinetische Energie T ≥ 0. Man kann das gewonnene Ergebnis in einer suggestiveren Form schreiben T (t) = T (0) + A(0 → t)

(3.54)

und diese Gleichung symbolisch in der in Abb. 3.30a angedeuteten Form darstellen: Zur Zeit t = 0 hat das Objekt die kinetische Energie T(0). Durch Anwendung der Kraft F (hier einer konstanten Kraft, die in Richtung des zur¨ uckgelegten Weges zeigt) leistet man an dem Objekt Arbeit. Dadurch wird die kinetische Energie um den Betrag A erh¨ oht. Betrachtet man den gleichen Bewegungsablauf von x0 bis x in einem Kraftfeld mit umgekehrter Richtung F = (−F, 0, 0), so gilt m m 2 v = v02 − F (x − x0 ) . 2 2 Das Objekt wird gebremst und die an dem Objekt geleistete Arbeit ist negativ. Symbolisch kann man diese Situation, wie in Abb. 3.30b gezeigt, darstellen. Das System (der Massenpunkt) verliert kinetische Energie. (a)

(b)

T(0)

T(t)

T(0)

A

Positive Arbeit

T(t) A

Negative Arbeit

Abb. 3.30. Arbeitsbegriff: Flussdiagramme

Eine dritte Variante der Energiezufuhr ergibt sich, wenn man die Situation betrachtet, dass sich die Masse parallel zu der x -Achse in einem konstanten Kraftfeld bewegt, das jedoch eine Richtung α mit der x -Achse einschließt, z.B. F = (F cos α, 0, −F sin α) . Aus praktischer Sicht ist diese Bewegung nur möglich, wenn sich das Objekt (ohne Reibung) auf einer Unterlage bewegt. Die Komponente der Kraft senkrecht zu der Bewegungsrichtung wird durch den Druck der Unterlage kompensiert (Abb. 3.31). F¨ ur die Bewegung in x -Richtung ist nur die x Komponente der Kraft zust¨ andig und man erhält entsprechend m 2 m v = v02 + F (x − x0 ) cos α . 2 2 Diesen drei speziellen Situationen kann man die folgende Definition der Arbeit entnehmen Arbeit ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren f¨ ur Kraft und Weg: A=F ·r .


107

FUnterlage

Fx

F

Fz

Abb. 3.31. Arbeit in einem homogenen Kraftfeld mit beliebiger Richtung

Diese Definition gilt jedoch nur, wenn das Kraftfeld konstant und der Weg geradlinig ist. Diese vorl¨ aufige Definition muss verallgemeinert werden. Zuvor sind jedoch einige Randbemerkungen zu der einfachen Definition angebracht: (1) Damit Arbeit an einem Objekt (Massenpunkt) geleistet wird, m¨ ussen die folgenden Voraussetzungen gegeben sein: a) Das Objekt muss seine Position ver¨ andern. b) Die angreifende Kraft muss eine nicht verschwindende Komponente in der Bewegungsrichtung haben. Zur Verdeutlichung dieser Aussage kann man das folgende Beispiel betrachten: Eine Person h¨ alt einen 20 kg schweren Stein mit ausgestrecktem Arm. Auch wenn die Person den Eindruck hat, dass sie schwer arbeitet, so leistet sie (solange sie den Stein nicht bewegt) im Sinne der obigen Definition keine Arbeit an dem Objekt r = 0 −→ A = 0 . . (2) F¨ ur eine uniforme Kreisbewegung eines Massenpunktes (Abb. 3.32) ist die y ds F x

Abb. 3.32. Arbeit bei der uniformen Kreisbewegung

Situation schon komplizierter als in der obigen Definition vorgesehen. Es liegt weder ein geradliniger Weg noch ein konstantes Kraftfeld vor. Man kann die Situation jedoch folgendermaßen diskutieren. Die Zentralkraft, die notwendig ist, um den Massenpunkt auf der Kreisbahn zu halten, steht zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf der momentanen Verschiebung F ⊥ dr

dr = v dt .

108


Man wird also erwarten, dass diese Kraft keine Arbeit an dem Massenpunkt leistet. In der Tat findet man aufgrund der Geschwindigkeitsformel (2.33) v(t) = (−Rω sin ωt, Rω cos ωt, 0) , die der Anfangsbedingung v(0) = (0, Rω, 0) entspricht, m 2 m m v (t) = v 2 (0) = R2 ω 2 . 2 2 2 Es wird (im Sinne der obigen Betrachtung) keine Energie zu- oder abgef¨ uhrt. Es wird keine Arbeit an der gleichförmig rotierenden Masse geleistet. (3) Die kinetische Energie (eine positiv definite Größe) kann auch als Skalarprodukt geschrieben werden 1 m (v · v) = (p · p) . (3.55) 2 2m Diese Schreibweise erweist sich auch im allgemeinen Fall als korrekt und ist z.B. n¨ utzlich, falls man zu krummlinigen Koordinaten u ¨ bergehen m¨ ochte. (4) Man misst die Energie und die Arbeit in den Einheiten kg m2 MKS System: 1 Joule = 1 N m = 1 s2 g cm2 CGS System: 1 erg = 1 dyn cm = 1 2 . s T =

Der Umrechnungsfaktor ist 1 Joule = 107 erg . Zur Verallgemeinerung des Arbeitsbegriffes beginnt man zweckmäßigerweise noch einmal mit dem Fall einer geradlinigen Verschiebung in der x Richtung jedoch in einem variablen Kraftfeld der Form F (r) = (F (x), 0, 0) .

(a)

(b)

F(x 0 )

F

F(x)

+

dx’ x0

x

t0

t

Infinitesimale Verschiebung

x’

x0

Arbeitsbilanz

Abb. 3.33. Arbeit in variablen Kraftfeldern

x

-

x’


109

Hier zerlegt man (Abb. 3.33a) die Gesamtverschiebung in differentielle Verschiebungen dx und addiert die infinitesimalen Arbeitsbeiträge dA = F (x ) dx . Die gesamte Arbeit f¨ ur die Bewegung von der Stelle x0 nach der Stelle x wird im Grenzfall durch das Integral gegeben x F (x ) dx . A= x0

Hat die Kraft entlang des geraden Weges zum Beispiel den in Abb. 3.33b dargestellten Verlauf, so wirkt sie (Verschiebung in positiver x -Richtung vorausgesetzt) zun¨ achst beschleunigend und dann abbremsend. Die Arbeitsbeitr¨ age sind zun¨ achst positiv, dann negativ. Alle möglichen Varianten (auch die Reihenfolge der Grenzen) sind durch die u ¨bliche Definition des Integrals abgedeckt. ¨ Um eine Beziehung zwischen der geleisteten Arbeit und der Anderung der kinetischen Energie zu gewinnen, benutzt man wieder die Bewegungsgleichung. F¨ ur eine eindimensionale Bewegung gilt dv = F (x) . dt Nach Multiplikation dieser Gleichung mit dx und Integration von Anfangsbis zur Endsituation erh¨ alt man x x v˙ dx = F (x ) dx . m m

x0

x0

Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die geleistete Arbeit. Die linke Seite schreibt man folgendermaßen um x v˙ dx = x0

[ Substitution : x = x(t ), t = t0

dx = v(t ) dt ]

d v(t ) v(t ) dt dt

[ Zusammenfassung des Integranden ] d 2 1 v (t ) dt = 2 t0 dt

t

[ direkte Integration ] 1 2 = (v (t) − v 2 (t0 )) . 2 Es folgt wie zuvor die Relation

110


m 2 m m m v (t) − v 2 (t0 ) = v 2 − v02 = A = 2 2 2 2

x

F (x ) dx .

(3.56)

x0

Die Diskussion des allgemeinen Falles (Abb. 3.34), die Berechnung der Arbeit f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes entlang einer beliebigen Bahnkurve durch ein beliebiges Kraftfeld, folgt dem gleichen Muster. Die Bahnkurve z

F(r)

t1

dr

t2 y

Abb. 3.34. Arbeit im allgemeinen Kraftfeld

x

wird durch die Parameterdarstellung r(t) = (x(t), y(t), z(t))

mit t1 ≤ t ≤ t2

beschrieben, das Kraftfeld hat die Form (3.49) F (r) = (Fx (x, y, z), Fy (x, y, z), Fz (x, y, z)) . Man definiert zun¨ achst mit Hilfe der Parameterdarstellung f¨ ur jeden Zeitpunkt eine infinitesimale Verschiebung entlang der Kurve dr = (dx, dy, dz) = (x(t)dt, ˙ y(t)dt, ˙ z(t)dt) ˙ .

(3.57)

Jedes Linienelement dr liefert einen infinitesimalen Arbeitsbeitrag der Form dA = F (r) · dr .

(3.58)

Die Gesamtarbeit entlang des Kurvenst¨ uckes ergibt sich wiederum als Integral, in expliziter Form t2 ˙ + Fy (x(t), y(t), z(t)) y(t) ˙ A = dt Fx (x(t), y(t), z(t)) x(t) t1

˙ . + Fz (x(t), y(t), z(t)) z(t)

Die entsprechende Kurzform lautet 2 A= (Fx dx + Fy dy + Fz dz) 1 = F · dr .

(3.59)

(3.60) (3.61)

K12

Die allgemeine Definition der Arbeit entspricht einem Kurvenintegral u ¨ber ein Kraftfeld. Die eigentliche Berechnungsvorschrift (3.59) basiert auf der vorgegebenen Parameterdarstellung. Die Notation impliziert, dass von dem


111

Raumpunkt zur Zeit t1 bis zu dem Raumpunkt zu der Zeit t2 entlang einer vorgegebenen Raumkurve zu integrieren ist. In der Form (3.60) wird diese Vorschrift kompakter zum Ausdruck gebracht, in der Variante (3.61) wird der Integrand mittels des Skalarproduktes der beiden Vektoren zusammengefasst. Zusätzliche Information u ¨ber Kurvenintegrale findet man in Math.Kap. 5.3.1. Der Ausgangspunkt f¨ ur die Herleitung der Arbeit-Energie Relation ist wiederum die Bewegungsgleichung f¨ ur einen Massenpunkt, dieses Mal im dreidimensionalen Raum mv˙ = F (r) . Man bildet das Skalarprodukt mit dr und benutzt auf der linken Seite die Substitution dr = v dt mv˙ · v dt = F (r) · dr . Integration von Anfangszeit bis zur Endzeit ergibt auf der linken Seite t2 1 1 t2 d (v · v) dt = (v(t2 )2 − v(t1 )2 ) . v˙ · v dt = 2 t1 dt 2 t1 Auf der rechten Seite steht die Arbeit, die das Kraftfeld an der Masse leistet. Die gesuchte Relation lautet also auch in diesem Fall 2 m m A= F · dr = v22 − v12 . (3.62) 2 2 1 ¨ Die an dem Massenpunkt geleistete Arbeit ¨ außert sich in einer Anderung der kinetischen Energie. Die endg¨ ultige Formulierung des Energiesatzes f¨ ur den Fall eines Massenpunktes in einem Kraftfeld basiert, falls die entsprechenden Bedingungen erf¨ ullt sind, auf dem Begriff der potentiellen Energie. Zwei Beispiele sollen die Arbeit-Energie Relation genauer erl¨ autern und das Konzept der potentiellen Energie einf¨ uhren. 3.2.3.3 Konservative Systeme, Potentielle Energie und Energieerhaltung. Recht durchsichtig ist die Situation f¨ ur den eindimensionalen harmonischen Oszillator (Beispiel 3.7). Eine Masse m an einer Feder (mit der Federkonstanten k) hat die Ruhelage x = 0. Die Kraft, die auf die Masse wirkt, wenn sie um die Strecke x ausgelenkt ist, ist (Abb. 3.35a) F = −kx . Bewegt sich die Masse unter dem Einfluss der Federkraft von der Stelle x0 zu der Stelle x, so leistet die Feder an der Masse die Arbeit x k k A= (−kx ) dx = x20 − x2 . 2 2 x0

112


(a)

(b) A

k

x0

m

B

0

x

x=0 m x

Auslenkung

Arbeitsbilanz

Abb. 3.35. Arbeitssituation f¨ ur den harmonischen Oszillator

Die Benutzung einer Parameterdarstellung der Bewegung ist hier nicht notwendig. Bei der Integration wird die relative Orientierung von Kraft und Verschiebung automatisch eingearbeitet. Betrachtet man z.B. (siehe Abb. 3.35b) einen Weg von x0 u ¨ ber die rechte maximale Auslenkung (B) bis zu der Stelle x auf der linken Seite der Gleichgewichtslage, so werden an der Masse die folgenden Teilarbeiten geleistet: x0 −→ B

negative Arbeit (die Feder wird gespannt)

B −→ 0

positive Arbeit (die Feder wird kontrahiert)

0 −→ x

negative Arbeit (die Feder wird gestaucht) .

¨ Die Gesamtarbeit ist gleich der Anderung der kinetischen Energie k 2 k 2 m 2 m 2 x − x = v − v0 . 2 0 2 2 2 Dabei beschreiben die mit Null indizierten Größen die Anfangssituation, die nicht indizierten Gr¨ oßen die Endsituation. Diese Relation erlaubt es, z.B. bei Kenntnis der Anfangsgr¨ oßen, f¨ ur jede Auslenkung den Betrag der entsprechenden Geschwindigkeit |v| zu berechnen. F¨ ur eine weitere Interpretationsm¨ oglichkeit sortiert man das Ergebnis in der Form m k m 2 k 2 v + x = v02 + x20 . (3.63) 2 2 2 2 Der Term mv02 /2 auf der rechten Seite dieser Gleichung ist die kinetische Energie des Massenpunktes zur Zeit t0 . Den Term kx20 /2 kann man als den Energieinhalt der anf¨ anglich gespannten (oder gestauchten) Feder auffassen. Eine etwas abstraktere Sprechweise ist: Aufgrund der Position an der Stelle x0 in dem (eindimensionalen) Kraftfeld hat der Massenpunkt die potentielle Energie k (3.64) Epot (x0 ) = U0 = x20 . 2 Die potentielle Energie ist die Energie, die ein Massenpunkt aufgrund seiner Lage in einem Kraftfeld hat. Auf der linken Seite der Gleichung (3.63) steht die Summe von kinetischer und potentieller Energie zu dem Zeitpunkt t.


113

Die umgeschriebene Version der Arbeit-Energie Relation ist der Energiesatz bzw. Energieerhaltungssatz f¨ ur die vorliegende Situation: Die Gesamtenergie des Massenpunktes, die Summe von kinetischer und potentieller Energie, ist zu jedem Zeitpunkt gleich dE =0. (3.65) dt Die beiden Betrachtungsweisen (Arbeit-Energie Relation versus Energiesatz) sollen f¨ ur einen konkreten Satz von Anfangsbedingungen noch einmal gegen¨ ubergestellt werden. F¨ ur die Anfangsbedingungen E = Ekin + Epot −→ E(t) = E(t0 ) oder

t0 = 0

x0 = B

v0 = 0

lautet die L¨ osung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators k . (3.66) x(t) = B cos ωt v(t) = −Bω sin ωt ω= m Die Relation T − T0 = A beschreibt den Standpunkt: Die kinetische Energie der Masse ¨ andert sich aufgrund der Arbeitsleistung eines äußeren Agenten (der Feder oder allgemeiner des Kraftfeldes). Da die Kraft (als Vektor) teils gegen die Richtung der Bewegung wirkt, teils in Richtung der Bewegung, liegt eine zeitlich oszillierende Arbeitsleistung vor A=

k k k 2 (x − x2 ) = B 2 (1 − cos2 ωt) = B 2 sin2 ωt . 2 0 2 2

¨ Die Anderung der kinetischen Energie ist entsprechend m 2 m k (v − v02 ) = B 2 ω 2 sin2 ωt = B 2 sin2 ωt = A . 2 2 2 Man kann auch, mittels der Vorgabe (3.66), die Berechnung der Arbeit noch einmal nachvollziehen t t k (−kx(t ))v(t )dt = kB 2 ω cos ωt sin ωt dt = B 2 sin2 ωt . A= 2 0 0 T − T0 =

Die Relation T + U = T 0 + U0

(3.67)

beschreibt den Standpunkt: Die Masse plus die Feder bilden ein abgeschlossenes System. In diesem System ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße. Es findet jedoch (als Funktion der Zeit) ein Austausch zwischen den beiden Energieformen statt (Abb. 3.36a) m 2 k k k v = B 2 sin2 ωt U = x2 = B 2 cos2 ωt . 2 2 2 2 Die Gesamtenergie (unabh¨ angig von t) T =

E =T +U =

k 2 B 2

114


(a)

(b) E

E

T

U

E0

T

U0

U

t

Energie als Funktion der Zeit

x B

Energie als Funktion des Ortes

Abb. 3.36. Beispiel zu der Energiesituation f¨ ur den harmonischen Oszillator

entspricht, in diesem Beispiel, der anf¨ anglich in der gedehnten Feder gespeicherten Energie. Eine alternative Charakterisierung k¨ onnte folgendermaßen lauten: Der Massenpunkt hat anf¨ anglich aufgrund seiner Lage in dem Kraftfeld die pour die Anfangssituation ist gleich tentielle Energie U0 . Die kinetische Energie f¨ Null. Bei der Bewegung in dem Kraftfeld findet ein Austausch zwischen beiden Energieformen statt. Potentielle Energie wird in kinetische umgewandelt und umgekehrt (Abb. 3.36b). Die beiden Standpunkte werden durch die Relation A = U0 − U = U (x0 ) − U (x)

(3.68)

verkn¨ upft. Diese Gleichung besagt: Die Arbeitsleistung der Feder an der Masse wird durch die Ver¨ anderung der potentiellen Energie aufgebracht, f¨ ur das konkrete Beispiel liegt zun¨ achst ein Verlust an potentieller Energie vor. Eine Relation der Form (3.68) ist nur f¨ ur einen bestimmten Typ von Kraftfeldern, den konservativen Kraftfeldern, möglich. F¨ ur konservative Kraftfelder ist das Arbeitsintegral unabh¨ angig von dem Weg, der Anfangsund Endpunkt verkn¨ upft. Das Arbeitsintegral wird durch die Differenz der potentiellen Energien in diesen Punkten bestimmt. Im allgemeinen Fall kann das Kraftfeld von allen relevanten Variablen abhängen ˙ y, ˙ z, ˙ t)), Fy (. . .), Fz (. . .)) . F = (Fx (x, y, z, x, Die Berechnung des Arbeitsintegrales t2 A= dt Fx (x(t), . . .) x(t) ˙ + Fy (. . .) y(t) ˙ + Fz (. . .) z(t) ˙ t1

ist nur bei Vorgabe der Parameterdarstellung möglich. Das Ergebnis kann von der Wahl des Integrationsweges zwischen Anfangs- und Endpunkt abhängen. Ist dies der Fall, so liegt ein nichtkonservatives Kraftfeld vor. (Siehe Kap. 3.2.4 f¨ ur eine weitere Charakterisierung von konservativen und nichtkonservativen Kraftfeldern.) ultig. Sie wird aus der BewegungsDie Relation T − T0 = A ist allgemein g¨ gleichung (dem zweiten Axiom) durch direkte mathematische Manipulation (und der Definition der entsprechenden Gr¨ oßen) gewonnen.


115

In dem Beispiel 3.8 wird eine Projektilbewegung (ein zweidimensionales Bewegungsproblem) in dem Kraftfeld F = (0, −mg) analysiert. Die L¨ osung der Bewegungsgleichungen f¨ ur die Anfangsbedingungen t1 = 0

r(0) = (0, y1 )

v(0) = (v1 , 0)

lautet 1 y(t) = y1 − gt2 . 2 Die Berechnung der Arbeitsleistung der Schwerkraft während der Fallbewegung von der Stelle r(0) bis einer Stelle r(t2 ) mittels Standardauswertung des Kurvenintegrals (3.59) ergibt t2 t2 m (Fx x˙ + Fy y) ˙ dt = (−mg)(−gt)dt = g 2 t2 2 . A= 2 0 0 vx (t) = v1

vy (t) = −gt

x(t) = v1 t

Mit Hilfe der L¨ osung der Bewegungsgleichungen kann man dies in der Form schreiben

1 2 gt2 = mg (y1 − y(t2 )) = mg (y1 − y2 ) . A = mg 2 Man kann dieses Ergebnis direkt erhalten y2 2 (Fx dx + Fy dy) = (−mg)dy = mg (y1 − y2 ) . A= 1

y1

Diese Ergebnisse kann man noch etwas anders deuten (Abb. 3.37). Anstatt von der Stelle (0, y1 ) entlang der Fallkurve bis zu dem Punkt (x2 , y2 ) zu integrieren (Abb. 3.37a), wurde nur das Integral von (0, y1 ) entlang einer Geraden bis zu dem Punkt (0, y2 ) ausgewertet (Abb. 3.37b). F¨ ur das Wegst¨ uck von (a)

(b)

y

y

(c) y

r(0) y

2

r(t 2 ) x2

y2

y2

x

Weg entlang Fallkurve

x2

Einfacher Weg

x

x2

x

Kompliziertere Option

Abb. 3.37. Arbeit im Gravitationsfeld

dem Punkt (0, y2 ) bis zu dem Punkt (x2 , y2 ) gilt in diesem Beispiel F ·dr = 0.

116


Die Schwerkraft leistet entlang dieses Weges keine Arbeit. Man könnte somit auch einen beliebigen Weg von dem Punkt (0, y1 ) zu dem Punkt (x2 , y2 ) wählen (Abb. 3.37c). Unterteilt man diesen Weg in infinitesimale Wegst¨ ucke, so stellt man fest: Nur die Wegst¨ ucke parallel zu der y -Achse tragen zu dem Arbeitsintegral bei. Man erh¨ alt deswegen f¨ ur alle Wege K12 zwischen Anfangs- und Endpunkt das gleiche Resultat A= F · dr = mg(y1 − y2 ) = U (1) − U (2) . alle K12

Auch in diesem Beispiel ist das Kraftfeld konservativ. Die Tatsache, dass die Differenz potentielle Energie am Anfangspunkt minus die potentielle Energie am Endpunkt (und nicht U (2) − U (1)) vorliegt, ist im Endeffekt eine Frage der Konvention. Mit dieser Konvention ergibt sich dann aus A = U1 − U2 = T 2 − T 1 die u ¨bliche Form des Energiesatzes T 1 + U1 = T 2 + U2 = E .

(3.69)

F¨ ur einen Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld gilt der Energiesatz in der Form T + U = E = const . F¨ ur das Beispiel einer Masse im Schwerefeld der Erde (Erdnähe vorausgesetzt) gilt U = mgy

(3.70)

und der Energiesatz lautet m 2 v + mgy = E = const . 2 Zwei Zusatzbemerkungen bieten sich trotz dieser einfachen Ergebnisse an: (1) Das Arbeitsintegral macht nur eine Aussage u ¨ ber die Differenz der potentiellen Energien. Man h¨ atte mit dem gleichen Recht sagen können U = mgy + const . Die potentielle Energie ist nur bis auf eine (Integrations-) Konstante festgelegt. Die Konstante hat keine physikalische Bedeutung. Setzt man (wie oben) const. = 0, so legt man (willk¨ urlich) fest, dass die potentielle Energie an der Erdoberfl¨ ache (y = 0) den Wert 0 hat. (2) Die Tatsache, dass das Arbeitsintegral in dem Schwerefeld unabhängig von dem Weg ist, kann man nutzbringend verwerten. Gleitet z. B. eine Masse unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer beliebig geformten Rutsche (unter Vernachl¨ assigung eventueller Reibungseffekte) herunter, so m¨ usste man zur Berechnung des Bewegungsablaufes auf der vorgegebenen Bahnkurve neben der Schwerkraft auch F¨ uhrungskräfte durch


117

die Rutsche ber¨ ucksichtigen. Die vorgeschriebene Bahnkurve wird durch diese beiden Kr¨ afte bestimmt4 Die F¨ uhrungskräfte sind im Allgemeinen einigermaßen kompliziert, sie haben jedoch eine n¨ utzliche Eigenschaft. Der Kraftvektor steht zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf dem momentanen Verschiebungsvektor (Abb. 3.38a). Die Zwangskräfte spielen aus diesem Grund bei der Arbeitsbilanz keine Rolle. Auch f¨ ur die Bewegung entlang der Rutsche gilt der Energiesatz in der Form m m 2 v + mgy = v02 + mgy0 2 2 (falls Reibungseffekte vernachl¨ assigbar sind).

(a)

(b)

Fz Faktiv F

v0 = 0

h=? mg

Fg Kraftsituation

2R

Die Problemstellung

¨ Abb. 3.38. Reibungsfreie Rutsche mit Uberschlag

Ein typisches Beispiel (Beispiel 3.9) f¨ ur die Anwendung des Energiesatzes ¨ in solchen Situationen ist die Aufgabe: Man betrachte eine Rutsche mit Uberschlag in der Form eines Kreises mit dem Radius R (Abb. 3.38b). Die Frage lautet: Wie hoch u ¨ber dem Boden muss eine Masse m mit v0 = 0 beginnen, ¨ damit sie sich gerade noch durch den Uberschlag bewegt, ohne abzust¨ urzen? Zu der Antwort ben¨ otigt man zwei Zutaten: Die Geschwindigkeit im höchsten Punkt der Schleife kann man u ¨ber den Energiesatz mit der Anfangsh¨ ohe verkn¨ upfen m 2 v + mg(2R) = mgh . 2 Außerdem muss Masse mal Radialbeschleunigung einer ‘Zentralkraft‘ entsprechen, damit die Masse sich auf einer Kreisbahn bewegt. In dem höchsten Punkt ist die Zentralkraft gleich der Schwerkraft, da keine F¨ uhrungskraft notwendig ist, wenn sich die Masse gerade noch durch den höchsten Punkt bewegen soll. Es ist somit im h¨ ochsten Punkt der Schleife m 4

v2 = mg . R

Die offizielle Bezeichnung der F¨ uhrungskr¨ afte (siehe Kap. 5), ist Zwangskr¨ afte.

118


Schreibt man diese Bedingung in der Form 1 m 2 v = mgR 2 2 und setzt sie in den Energiesatz ein, so erh¨ alt man 1 mgR + 2mgR 2 oder aufgel¨ ost mgh =

5 R. 2 Dies gilt, wie gesagt, f¨ ur den Fall, dass Reibungseffekte vernachlässigt werden k¨ onnen. Ersetzt man die reibungsfrei gleitende Masse durch eine rollende Kugel, so muss man die kinetische Energie der Drehbewegung in die Energiebilanz einbeziehen ( Aufg. 3.10). Mit Hilfe des Energiesatzes kann eine partielle Antwort f¨ ur ein relativ kompliziertes Bewegungsproblem gewonnen werden. Die vollständige Beschreibung der Bewegung (Position als Funktion der Zeit) erhält man nur, wenn man die Bewegungsgleichung unter Einbeziehung der Zwangskräfte löst. Dies ist m¨ oglich, jedoch wesentlich schwieriger (siehe Kap. 5). Die mehr an Beispielen orientierte Diskussion der Energiesituation f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes soll nun in formalerer Weise zusammengefasst werden. h=

Um den Energiesatz in allgemeiner Form zu diskutieren, sind einige Konzepte der Vektoranalysis notwendig. Diese werden in Math.Kap. 5 eingef¨ uhrt und erläutert. 3.2.3.4 Formale Fassung des Energiesatzes. Die Bewegungsgleichung eines Massenpunktes lautet d p = F (x, y, z) . dt Ein konservatives Kraftfeld wird durch die Aussage rot F = ∇ × F = 0 charakterisiert. Ein derartiges Kraftfeld wird auch als wirbelfrei bezeichnet. Es kann als Gradient (Richtungsableitung) einer skalaren Funktion dargestellt werden F (x, y, z) = −∇U (x, y, z) .

(3.71)

Diese Skalarfunktion ist die potentielle Energie. Die Wahl des Vorzeichens ist eine Frage der Konvention. Die Umkehrung dieser Relation (die Umkehroperation zu einer Richtungsableitung ist eine Kurvenintegration) lautet r F (r ) · dr . (3.72) U (x, y, z) = −


119

Integriert man die Bewegungsgleichung f¨ ur ein konservatives Kraftfeld (auch hier Kurvenintegration) zwischen den Punkten r 1 und r2 r2 r2 d p · dr = F (r) · dr , r 1 dt r1 so erh¨ alt man m 2 m v1 + U (r 1 ) = v22 + U (r2 ) = const. , 2 2 bzw. wenn man die Anfangs- und Endsituation explizit durch entsprechende Zeiten charakterisiert m m v(t1 )2 + U (r(t1 )) = v(t2 )2 + U (r(t2 )) . (3.73) 2 2 Die Gesamtenergie (Summe von kinetischer und potentieller Energie) ist f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes in einem konservativen Kraftfeld eine Erhaltungsgr¨ oße. 3.2.3.5 Konservative Kraftfelder und Potentiale. Im Sinne der obigen Manipulation der Bewegungsgleichung bezeichnet man den Energiesatz als das erste Integral der Bewegungsgleichung. Die einfachsten, konservativen Kraftfelder sind 1. Homogenes Schwerefeld in Erdn¨ ahe mit F = (0, 0, −mg) . Die potentielle Energie ist dann U = mgz + U0 , wobei u ¨blicherweise U0 = 0 gesetzt wird. Der Energiesatz lautet m 2 (x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 ) + mgz = E0 . 2 Die konstante Energie wird durch Anfangsbedingungen festgelegt. 2. Der anisotrope harmonische Oszillator mit

(3.74)

F = (−kx x, −ky y, −kz z) . Man kann leicht nachrechnen, dass dieses Kraftfeld konservativ ist e x ey ez rot F = ∂x ∂y ∂z = 0 . kx x ky y kz z Die potentielle Energie ist 1 (3.75) U = (kx x2 + ky y 2 + kz z 2 ) . 2 Zu beachten ist noch: Nur f¨ ur kx = ky = kz liegt ein Zentralkraftfeld vor. F¨ ur den anisotropen Oszillator (mit verschiedenen Kraftkonstanten ki ) gilt der Energiesatz, nicht aber der Drehimpulssatz.

120


3. Beliebige Zentralkraftfelder mit x y z , , = f (r)er . F = f (r) r r r Der erste Faktor ist die eigentliche Kraft, der zweite Faktor beschreibt die Richtung des Kraftvektors (bis auf das Vorzeichen). Auch in diesem Fall kann man noch einmal die Wirbelfreiheit u ufen ¨ berpr¨ e x ey ez

∂ z ∂ y f − f rot F = ∂x ∂y ∂z = ex + ... . ∂y r ∂z r x y z f f f r r r Mit den Aussagen

d f (r) ∂r ∂ z zy f f =z = ∂y r dr r ∂y r r

d f (r) ∂r ∂ y yz f f =y = ∂z r dr r ∂z r r folgt sofort (rot F )x = 0 . Entsprechendes gilt f¨ ur die anderen Komponenten. Zur Diskussion der potentiellen Energie ist das Arbeitsintegral in der Form 2 2 x y z dx + dy + dz F · dr = f (r) A= r r r 1 1 zu betrachten. Der Ausdruck in der Klammer ist das totale Differential der Abstandsfunktion r = [x2 + y 2 + z 2 ]1/2 , denn es gilt dr =

∂r ∂r x y z ∂r dx + dy + dz = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z r r r

Es verbleibt somit nur die Auswertung von 2 A= f (r)dr , 1

das heißt eine gew¨ ohnliche Integration in Radialrichtung. Man kann dieses Ergebnis wie folgt verstehen (Abb. 3.39): Zur Berechnung des Arbeitsintegrals w¨ ahlt man ein Wegst¨ uck in Radialrichtung von 1 nach 2 (dieses Wegst¨ uck ergibt den obigen Beitrag) und kann den Gesamtweg von 2 entlang einer Kugelschale nach 2 abschließen. F¨ ur dieses Wegst¨ uck ist F orthogonal zu dr und man erh¨ alt deswegen keinen Beitrag zu dem Arbeitsintegral. Die potentielle Energie eines Zentralkraftfeldes kann also in der Form r f (r )dr (3.76) U (r) = −


121

2’

1 2

Abb. 3.39. Berechnung der potentiellen Energie in einem Zentralkraftfeld

dargestellt werden. Sie ist eine Funktion des Abstandes von dem Kraftzentrum (hier dem Koordinatenursprung). Die nicht festgelegte untere Grenze entspricht der frei w¨ ahlbaren Konstanten. Einige Spezialf¨ alle sind (3a) Der isotrope harmonische Oszillator 1 2 kr + U0 . 2 (3b) Die Gravitationswirkung einer Punktmasse M (die fest im Ursprung angebracht ist) auf einen Massenpunkt m F = −(kr)er

U (r) =

mM er r2 mit der potentiellen Energie r dr mM + U0 . = −γ U (r) = +γmM r 2 r F = −γ

Die Konstante wird gew¨ ohnlich Null gesetzt, so dass gilt mM mit U (r → ∞) = 0 . (3.77) r Stellt man die Kraftwirkung durch das Gravitationsfeld der großen Masse dar U (r) = −γ

F (r) = m G(r) , so bietet es sich an, die potentielle Energie in analoger Weise zu zerlegen M U (r) = m Φ(r) = m −γ . (3.78) r Man bezeichnet die so definierte Gr¨ oße Φ als das Potential des Gravitationsfeldes (kurz: Gravitationspotential). Die Verkn¨ upfung von Gravitationsfeld und Gravitationspotential ist G(r) = −∇Φ(r)

(3.79)

beziehungsweise im Fall eines Zentralfeldes ∂ Φ(r) . G(r) = −er ∂r Da die Angabe und die Behandlung von Skalarfunktionen einfacher ist als die Angabe und die Verarbeitung von Vektorfunktionen, ist (falls möglich)

122


eine Beschreibung der Mechanik mittels Skalarfunktionen vorzuziehen. Dies ist ein Aspekt, der bei der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik (siehe Kap. 5.3) ber¨ ucksichtigt wird. (3c) Die Gravitationswirkung einer homogenen Massenverteilung in Kugelform (Radius R) mit der Gesamtmasse M auf eine Punktmasse m. Ausgangspunkt ist das Gravitationsfeld einer homogenen Kugel, das in Kap. 3.2.4.1, S. 128 berechnet wird. ⎧ M ⎪ r≥R ⎨ −γ 2 er r G(r) = ⎪ ⎩ −γ M re r≤R. r R3 Das entsprechende Gravitationspotential ist ⎧ r γM γM ⎪ ⎪ + C1 dr = − r≥R ⎪ ⎨ r 2 r Φ(r) = r ⎪ γM 1 γM 2 ⎪ ⎪ ⎩ r dr = r + C2 r≤R. 3 R 2 R3 Setzt man C1 = 0 (die u ¨ bliche Wahl, wie oben schon bemerkt), so ist die zweite Konstante durch den stetigen Anschluss der Potentiale an der Kugeloberfl¨ ache Φinnen (R) = Φaußen (R) zu bestimmen γM 1 γM 3 γM =− −→ C2 = − . C2 + 2 R R 2 R Zusammenfassend kann man das Ergebnis notieren ⎧ γM ⎪ ⎪ r≥R ⎨− r Φ(r) = 3 1 r2 ⎪ ⎪ ⎩ −γM − r≤R. 2R 2 R3

(3.80)

Diese Funktion ist in Abb. 3.40 dargestellt. Sie besteht aus einem ParabelΦ (r)

R

1/r

Abb. 3.40. Das Gravitationspotential einer homogenen Massenverteilung in Kugelform

bogen an den sich stetig ein Hyperbelbogen anschließt. Die Ableitung des Potentials ist in dem Anschlusspunkt stetig. Die potentielle Energie der kleinen Masse im Kraftfeld der homogenen Kugelmasse ist


123

U (r) = mΦ(r) . Nichtkonservative Kraftfelder werden durch die Aussage rot F = 0 charakterisiert. F¨ ur solche Kraftfelder ist der Energiesatz nicht g¨ ultig. Als ein Beispiel f¨ ur eine Bewegung in einem nichtkonservativen Kraftfeld kann man eine Projektilbewegung mit Reibung betrachten F = (−k x, ˙ −k y, ˙ −k z˙ − mg) = −kv − mg . F¨ ur dieses Kraftfeld ist z.B. die x -Komponente der Rotation (rot F )x =

∂ ∂ (−k z˙ − mg) − (−k y) ˙ . ∂y ∂z

Dies kann man in der Form auswerten (Kettenregel) dz˙ dt dy˙ dt z¨ y¨ (rot F )x = −k − = −k − = 0 . dt dy dt dz y˙ z˙ Das Arbeitsintegral ist somit wegabh¨ angig und eine Potentialfunktion kann (im Allgemeinen) nicht definiert werden5 . Es steht noch die Diskussion des Energiesatzes f¨ ur den Fall eines Systems von Massenpunkten an. 3.2.4 Der Energieerhaltungssatz f¨ ur Systeme von Massenpunkten Als Vorspann soll ein System von zwei Massenpunkten, das durch die Bewegungsgleichungen m1 v˙ 1 = f 21

m2 v˙ 2 = f 12

charakterisiert wird, betrachtet werden. Die Massen bewegen sich unter dem Einfluss von inneren Kr¨ aften. Jede der Kr¨ afte könnte eine Vektorfunktion von 13 Variablen sein, im Allgemeinen also f 12 = f (r 1 , v 1 ; r2 , v 2 ; t)

f 21 = g(r2 , v 2 ; r 1 , v 1 ; t) .

Es gibt jedoch einige Einschr¨ ankungen: (1) Die Forderung nach der G¨ ultigkeit des 3. Axioms bedingt f 12 = −f 21

=⇒

f (r 1 , v 1 ; r 2 , v 2 ; t) = −g(r 2 , v 2 ; r1 , v 1 ; t)

oder abgek¨ urzt geschrieben f 12 = −f 21

=⇒

f (1, 2, t) = −g(2, 1, t) .

Man ben¨ otigt nur eine Vektorfunktion, die bei Vertauschung der Koordinaten ihr Vorzeichen wechselt f 12 = f (1, 2, t) f 21 = f (2, 1, t) = −f(1, 2, t) . 5

Siehe jedoch Kap. 5.3.1 bez¨ uglich der Definition verallgemeinerter Potentiale.

124


(2) Die Forderung nach der G¨ ultigkeit des ersten Axioms beinhaltet die Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme. Diese ist gewährleistet, wenn die Kr¨ afte gegen¨ uber Galileitransformationen (3.7) forminvariant sind. In Formeln bedeutet dies: Transformiert man die Koordinaten und die Zeit gem¨ aß ri = ri + v rel t + r rel

(i = 1, 2) und t = t ,

so muss gelten f (1, 2, t) = f (1 , 2 , t ) . Dies ist nur m¨ oglich, wenn die Vektorfunktion von der Differenz der Koordinaten und Geschwindigkeiten abh¨ angt f 12 = f (r 1 − r2 , v 1 − v 2 , t) f 21 = f (r 2 − r1 , v 2 − v 1 , t) . Es soll im Folgenden jedoch nicht die allgemeinste Situation ins Auge gefasst, sondern nur eine Abh¨ angigkeit von den Koordinaten vorausgesetzt werden f 12 = f (r 1 − r2 ) = {fx (r 1 − r2 ), fy (r 1 − r2 ), fz (r1 − r 2 )} f 21 = f (r 2 − r1 ) = −f (r 1 − r2 ) . Man bezeichnet die Wechselwirkung zwischen den Massenpunkten als konservativ, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind rot1 f 21 = rot2 f 12 = 0 ,

(3.81)

wobei der Rotationsoperator auf die indizierte Koordinate wirkt. In diesem Fall ist es m¨ oglich, die wechselseitige Kraftwirkung als Gradienten einer Skalarfunktion darzustellen f 12 = −∇2 V (r 1 − r2 )

f 21 = −∇1 V (r1 − r 2 ) .

(3.82)

Das dritte Axiom sortiert sich automatisch. Bezeichnet man den Abstand mit r = r 1 − r 2 , so gilt ∇1 =

3

ei

∂ ∂ ∂xi ∂ = ei = ei =∇ ∂xi1 ∂xi ∂xi1 ∂xi i i

ei

∂ ∂ ∂xi ∂ = ei =− ei = −∇ . ∂xi2 ∂x ∂x ∂x i i2 i i i

i=1

∇2 =

3 i=1

F¨ ur eine konservative Wechselwirkung erh¨ alt man mit dem folgenden Argument einen Energiesatz. Man betrachtet eine Verschiebung von m1 um dr 1 m1 v˙ 1 · dr 1 = f 21 · dr 1 , sowie eine Verschiebung der zweiten Masse m2 um dr2


125

m2 v˙ 2 · dr2 = f 12 · dr 2 . Addition dieser beiden Gleichungen und Kurvenintegration von einer Anfangssituation ti

mit

r1 (ti ), r 2 (ti )

bis zu einer Endsituation tf ergibt f

mit

r1 (tf ), r 2 (tf )

(m1 v˙ 1 · dr 1 + m2 v˙ 2 · dr 2 ) =

i

f

(f 21 · dr 1 + f 12 · dr 2 ) .

i

Auf der linken Seite (LS) erh¨ alt man (analog zu dem Fall eines Massenpunk¨ tes) die Anderung der kinetischen Energie m m m2 m2 1 1 LS = v1 (tf )2 + v2 (tf )2 − v1 (ti )2 + v2 (ti )2 . 2 2 2 2 Auf der rechten Seite (RS) setzt man die Darstellung der Kräfte durch die Potentialfunktion V ein f RS = − (∇1 V (r1 − r 2 ) · dr 1 + ∇2 V (r 1 − r2 ) · dr2 ) . i

Der Ausdruck in der Klammer ist das totale Differential der Funktion V f =− dV = V (i) − V (f ) . i

Der Energiesatz f¨ ur ein System von zwei Massen mit einer konservativen, wechselseitigen Kraftwirkung hat demnach die Form m m2 2 1 2 v1 + v2 + V (r 1 − r 2 ) = E0 . (3.83) 2 2 f¨ ur jedes t Die Summe der kinetischen Energie der beiden Massen plus die potentielle Energie zwischen den zwei Massen ist zeitlich konstant. Ein Paradebeispiel ist nat¨ urlich die Gravitation f 21 = −f 12 = −γm1 m2 oder im Detail

(r 1 − r 2 ) |r 1 − r 2 |3

x1 − x2 y1 − y2 z1 − z2 = −γm1 m2 , , r3 r3 r3 1/2 mit r = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 .

Man kann nachrechnen, dass die Bedingung rot1 f 12 = rot2 f 12 = 0

126


erf¨ ullt ist. Die potentielle Energie der beiden Massen ist m1 m2 m1 m2 = −γ , V (r 1 − r 2 ) = −γ r |r 1 − r 2 |

(3.84)

wobei wieder V (r → ∞) = 0 gesetzt wurde. Die potentielle Energie aufgrund der relativen ‘Lage‘ der beiden Massen ist eine Funktion des Abstandes der Massen. Als N¨ achstes werden ¨ außere konservative Kräfte einbezogen d p1 = F 1 (r 1 ) + f 21 dt F¨ ur diese soll

d p2 = F 2 (r 2 ) + f 12 . dt

(3.85)

rot1 F 1 (r 1 ) = rot2 F 2 (r 2 ) = 0 gelten, so dass man die ¨ außeren Kr¨ afte als Gradienten von Skalarfunktionen darstellen kann F 1 = −∇1 U1 (x1 y1 z1 )

F 2 = −∇2 U2 (x2 y2 z2 ) .

Integration der Bewegungsgleichungen (3.85) ergibt mit den gleichen Schritten wie zuvor f (F 1 · dr 1 + F 2 · dr 2 ) . (T1 + T2 )f − (T1 + T2 )i = V (1, 2)i − V (1, 2)f + i

Die beiden verbleibenden Integrale ergeben f − (dU1 + dU2 ) i

und der Energiesatz lautet deswegen [T1 + T2 + U1 (r 1 ) + U2 (r 2 ) + V (r1 − r 2 )]t = E0 .

(3.86)

Die Summe der kinetischen Energien plus die Summe der externen potentiellen Energien plus die interne potentielle Energie zwischen den Massen ist eine Erhaltungsgr¨ oße. Als Beispiel kann man das System Erde-Mond betrachten, das sich im Gravitationsfeld der Sonne (die somit die ¨ außere Kraft liefert) bewegt. In diesem Fall gilt mE 2 mM 2 mE mS mM mS mE mM v + v −γ = E0 . −γ −γ 2 E 2 M rE rM |r E − r M | Die Vektoren r E und r M verbinden den Schwerpunkt der Sonne mit dem Schwerpunkt des jeweiligen Himmelsk¨ orpers. F¨ ur eine beliebige Anzahl von Massenpunkten ist der Ausgangspunkt der Satz von Bewegungsgleichungen d pi = F i (r i ) + f ki (r k − ri ) dt N

k=1

(i = 1, 2, 3 . . . N ) .


127

Zur Indizierung der verschiedenen Kr¨ afte ist Folgendes zu bemerken: Die außeren Kr¨ afte hängen nur von den Koordinaten der jeweiligen Masse ab. ¨ Nat¨ urlich kann f¨ ur jede Masse eine andere Funktion auftreten. Bei der Gravitation (siehe obiges Beispiel) ergibt sich der Unterschied nur aus dem Massenfaktor. Die inneren Kr¨ afte sind ebenfalls indiziert. Es könnte z.B. der Fall sein, dass einige der Massen auch Ladung tragen, so dass z.B. f 12 , f 21 nur Gravitation beinhalten, w¨ ahrend f 13 , f 31 Gravitation plus elektrische Kräfte darstellen. Die inneren Kr¨ afte zwischen jedem Massenpaar werden durch eine Vektorfunktion beschrieben, falls diese Kr¨ afte das dritte Axiom erf¨ ullen f ik = g (ik) (r 1 , r2 ) (r i − r k ),

f ki = g (ik) (r 1 , r 2 ) (r k − r i ) .

Setzt man voraus, dass alle auftretenden Kr¨ afte wirbelfrei sind ∇i × F i = 0

∇i × f ki = ∇k × f ik = 0 ,

so kann man die Argumentation f¨ ur den Fall von zwei Massen wiederholen: Multipliziere die Bewegungsgleichung der i-ten Masse skalar mit dri , addiere diese Gleichungen und integriere von der Anfangs- bis zu der Endsituation. Das Ergebnis dieser Rechnung, die nicht im Detail vorgef¨ uhrt werden soll, ist der allgemeine Energiesatz in der Form E=

T1 + +U1 +

T2 + U2 + +V12 +

T3 + . . . +TN U3 + . . . +UN V13 + . . . +V1N +V23 + . . . +V2N

(3.87)

.. . +VN −1,N = E0 . Die gesamte Energie setzt sich zusammen aus 1. der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massen T =

N

Ti =

i=1

N mi i=1

2

vi2 =

p2 i , 2m i i

(3.88)

2. der Summe der potentiellen Energien der einzelnen Massen in einem äußeren Kraftfeld U=

N i=1

Ui =

N

Ui (r i ) ,

(3.89)

i=1

3. der Summe der internen potentiellen Energien zwischen allen Paaren von Massenpunkten

128


V =

Vik =

i R), so gilt 1 R ρ(r )r 2 dr U (r) = (−γm)(4π) r 0 oder mM r ≥ R, (3.91) r unabh¨ angig von der radialen Variation der Massenverteilung. Ist die Position der Masse m innerhalb der Kugel, so ist U durch das Integral R 1 r ρ(r )r 2 dr + ρ(r )r dr U (r) = (−γm)(4π) r 0 r U (r) = −γ

zu berechnen. Eine weitere Aussage ist nur m¨ oglich, wenn ρ(r ) bekannt ist. ur den die Der einfachste Fall ist die homogene Massenverteilung ρ(r ) = ρ0 , f¨ potentielle Energie zu R 1 r 2 r dr + r dr U (r) = (−γm)(4πρ0 ) r 0 r 1 2 1 2 1 2 = (−γm)(4πρ0 ) r + R − r 3 2 2 1 2 1 2 = (−γm)(4πρ0 ) R − r 2 6


131

bestimmt werden kann. Setzt man hier anstelle der Dichte die Gesamtmasse 3 M ρ0 = 4π R3 ein, so erh¨ alt man 31 1 r2 − U (r) = (−γmM ) r≤R. (3.92) 2 R 2 R3 F¨ ur Punkte außerhalb der Kugel verh¨ alt sich die Massenverteilung so, als ob die gesamte Masse in dem Schwerpunkt vereinigt wäre (unabhängig von der radialen Form der Verteilung). Im Innern hat die potentielle Energie bei einer homogenen Verteilung eine Parabelform6. Man kann aus diesen Ergebnissen die Formeln f¨ ur das Gravitationsfeld der Erde gewinnen r≥R

G=−

M 1 ∇U = −γ 2 er m r

(3.93)

M 1 ∇U = −γ 3 rer . (3.94) m R F¨ ur einen Massenpunkt außerhalb der Erde kann man das Gravitationspotential (3.91) mit r = RE + h

1 mME U = −γ RE 1 + h/RE r≤R

G=−

f¨ ur Punkte in der N¨ ahe der Erdoberfl¨ ache mit h RE ≈ 6370 km in einer binomischen (oder geometrischen) Reihe entwickeln

mME h2 h = −γ + 2 − ... 1− RE RE RE ME ME 2 = const + m γ 2 h − m γ 3 h + . . . = U0 + mgh + . . . . RE RE Der Ausdruck in der ersten Klammer entspricht mgh und ergibt somit als Zusammenhang zwischen den beiden Gravitationskonstanten g und γ g= 6

γME 2 . RE

(3.95)

Man vergleiche Abb. 3.40, in der das Gravitationspotential einer homogenen Massenverteilung in Kugelform gezeigt wird.

132


3.2.5 Anwendung: Stoßprobleme Die Erhaltungssätze (vor allem Energiesatz (in einfacher Form) und Impulssatz) spielen bei der (pauschaleren) Diskussion von Stoßproblemen eine besondere Rolle. Die Standardsituation sieht folgendermaßen aus: Zwei Massen bewegen sich (gleichf¨ ormig) aufeinander zu, so dass sie zu irgendeinem ¨ Zeitpunkt zusammenstoßen. Außere Kr¨ afte sollen in dem Experiment ausgeschaltet sein (eventuell durch Luftkissenschiene etc.). Solange die Massen gen¨ ugend weit voneinander entfernt sind, kann man die wechselseitige Gravitation vernachl¨ assigen. Es gilt dann f¨ ur das System vor dem Stoß Gesamtimpuls: P ein = m1 v 1 + m2 v 2 m1 2 m2 2 v + v . 2 1 2 2 Der Stoßprozess ist einigermaßen kompliziert. Die Massen können deformiert werden, ihre urspr¨ ungliche Form wiedergewinnen, etc. Energie wird in der Form von Schall und W¨ arme an die Umgebung abgegeben. Unabhängig von den Details der Stoßsituation kann man jedoch sagen: Der Stoßprozess wird von inneren Kräften (in der Hauptsache von interatomaren oder intermolekularen, also elektrischen Kr¨ aften) beherrscht. Setzt man voraus, dass die inneren Kr¨ afte das 3. Axiom erf¨ ullen, so gilt unabhängig von den Details des Stoßes der Impulssatz Gesamtenergie: E ein =

P ein = P aus .

(3.96)

Zur weiteren Charakterisierung der Stoßsituation unterscheidet man die Fälle 3.2.5.1 Der vollst¨ andig elastische Stoß. Die Massen gewinnen nach dem Stoß ihre Gestalt wieder und bewegen sich auseinander. Bei der Diskussion dieser Stoßsituation wird vorausgesetzt, dass kein Energieverlust auftritt. Diese Voraussetzung ist f¨ ur den Stoß von Billard- oder Stahlkugeln (ohne Drehbewegung) recht gut realisiert. Es gilt dann m1 m2 (3.97) v1 + v = P ein . P aus = 2 2 2 Falls die Massen nach dem Stoß wieder weit genug voneinander entfernt sind, ist die Gesamtenergie wieder kinetisch und es ist m1 2 m2 2 Eaus = v + v = Eein . (3.98) 2 1 2 2 Sind die Geschwindigkeitskomponenten vor dem Stoß (sowie die Massen) bekannt, so kann man die Frage stellen, inwieweit die Geschwindigkeitskomponenten nach dem Stoß durch die Erhaltungssätze bestimmt sind. Im dreidimensionalen Raum m¨ ussten sechs unbekannte Größen bestimmt werden, es stehen jedoch nur vier Gleichungen (drei Gleichungen des Impulssatzes und eine Gleichung des Energiesatzes) zur Verf¨ ugung. Zwei Geschwindigkeitskomponenten nach dem Stoß sind unbestimmt. Setzt man zusätzlich voraus, dass


133

die inneren Kr¨ afte, die w¨ ahrend des Stoßprozesses wirken, so geartet sind, dass auch Drehimpulserhaltung gilt, so kann man sich auf eine Diskussion in der Ebene (zweidimensional) beschr¨ anken. In der zweidimensionalen Welt stehen drei Gleichungen (zwei Gleichungen des Impulssatzes, eine Gleichung Energiesatz) f¨ ur die Bestimmung von vier unbekannten Größen nach dem Stoß zur Verf¨ ugung. Die Endsituation ist immer noch nicht vollständig durch die Erhaltungss¨ atze bestimmt. Man kann nur partielle Aussagen u ¨ ber die ur den zentralen elastischen Stoß (eindimenEndsituation (v 1 , v 2 ) machen. F¨ sional) ist die Endsituation jedoch eindeutig bestimmt, denn man hat zwei Gleichungen f¨ ur die Bestimmung von zwei Gr¨ oßen. 3.2.5.2 Der zentrale elastische Stoß. F¨ ur die eindimensionale Bewegung lauten die Erhaltungss¨ atze m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 v12 + m2 v22 . 2 2 2 2 Die Bewegungsrichtung ¨ außert sich in dem Vorzeichen der Geschwindigkeiten. Nimmt man an, dass die Geschwindigkeiten vor dem Stoß (und die Massen) bekannt sind, so kann man mit Hilfe dieser beiden Gleichungen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bestimmen. Geeignete Kombination dieser Aufg. 3.19) Gleichungen ergibt (siehe

m1 − m2 2m2 (3.99) v1 + v2 v1 = m1 + m2 m1 + m2

v2 =

2m1 m1 + m2

v1 −

m1 − m2 m1 + m2

v2 .

(3.100)

Anhand dieser Formeln kann man eine Reihe von Spezialfällen diskutieren. So ist zum Beispiel f¨ ur m1 = m2 = m v1 = v2 ,

v2 = v1 .

Die beiden Massen tauschen ihre Geschwindigkeiten aus. Wird eine ruhende Masse m2 = m von einer gleich großen Masse m1 = m mit der Geschwindigkeit v1 gestoßen, so bleibt nach dem Stoß die Masse m1 in Ruhe, die Masse m2 bewegt sich mit v1 weiter. F¨ ur m1 >> m2 erh¨ alt man v1 ≈ v1 ,

v2 ≈ 2v1 − v2 .

St¨ oßt z.B. eine kleine Masse gegen eine ruhende große Masse (v1 = 0), so wird die kleine Masse total reflektiert. Laufen die beiden Massen mit gleichgroßer Geschwindigkeit aufeinander zu (v1 = −v2 = v), so bewegt sich die kleine Masse nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit 3v in der gleichen Richtung wie die Große. Die große Masse l¨ auft unbeeinflusst weiter.

134


3.2.5.3 Der nichtzentrale elastische Stoß. Die entsprechende zweidimensionale Situation ist in Abbildung 3.42a angedeutet. Die Erhaltungssätze lauten in diesem Fall m1 v 1 + m2 v 2 = m1 v 1 + m2 v 2

(2 Gleichungen)

(3.101)

m1 2 m2 2 m1 2 m2 2 v1 + v2 = v + v (1 Gleichung) . (3.102) 2 2 2 1 2 2 Eine vollst¨ andige Bestimmung der vier Komponenten der Endgeschwindigkeiten (v1x , v1y , v2x , v2y )

aus den Anfangsbedingungen ist nicht m¨ oglich. Es sind jedoch durchaus n¨ utzliche partielle Aussagen m¨ oglich, die anhand des Spezialfalles v 2 = 0 (die zweite Masse ruht vor dem Stoß) etwas genauer analysiert werden sollen. Dem (a) m2

(b) p2

p’2

m2 v 2’ m1 v1’

y x

p’1

p1

m1

Illustration

m1 v1

Impulsdiagramm f¨ ur v2 = 0

Abb. 3.42. Nichtzentraler elastischer Stoß

Impulssatz entnimmt man die Aussage: F¨ ur den Endpunkt des Impulsvektors p2 , dessen Koordinaten mit (x, y) bezeichnet werden, gilt (Abb. 3.42b)

x2 + y 2 = m22 v22 ,

(m1 v1 − x)2 + y 2 = m21 v12 .

Setzt man diese Aussage in den Energiesatz ein, so folgt 1 2 1 m1 v12 = (m1 v1 − x)2 + y 2 + [x + y 2 ] . m1 m2 Sortiert man diese Gleichung, so erh¨ alt man 2 2 m1 m2 m1 m2 v1 + y 2 = v1 . x− m1 + m2 m1 + m2 Dies ist die Gleichung eines Kreises mit den Koordinaten des Mittelpunktes

m1 m2 PM = v1 , 0 m1 + m2 und dem Radius m1 m2 v1 . R= m1 + m2


135

Die Spitze des Impulsvektors p2 liegt auf einem Kreis durch den Endpunkt des Impulsvektors p1 . Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf dem Vektor p1 , der Radius des Kreises ist der m2 /(m1 + m2 )-te Teil dieses Vektors (Abb. 3.43a). Bestimmt man in diesem Fall nach dem Stoß die Richtung oder den Betrag eines der beiden Impulsvektoren, so liegen alle weiteren Größen fest. Als Folge der Erhaltungss¨ atze ist die Situation nach dem Stoß eingeschränkt. F¨ ur den Stoß von zwei gleichen Massen (Abb. 3.43b) halbiert der Mittelpunkt des Kreises den Impulsvektor p1 . In diesem Fall findet man nach dem (a)

(b) p’

p’

p’

p’

1

1

2

2

p

p 1

Geometrischer Ort f¨ ur p2

1

Entsprechende Situation f¨ ur m1 = m2

Abb. 3.43. Nichtzentraler elastischer Stoß

Stoß immer einen rechten Winkel zwischen den auslaufenden Massen. 3.2.5.4 Der inelastische Stoß. Die Massen behalten teilweise die Deformation bei oder es geht auf andere Weise (z.B. Schall) während des Stoßprozesses Energie aus dem System der beiden stoßenden Massen verloren. Es gilt dann der Impulssatz P aus = m1 v 1 + m2 v 2 = P ein , f¨ ur die Energiebilanz muss man schreiben m1 2 m2 2 E aus = v + v + Q = E ein , 2 1 2 2 wobei Q der Energieverlust ist, der in andere Energieformen umgesetzt wird. Auch f¨ ur den zentralen Stoß (eindimensional) ist in diesem Fall die Endsituation nicht vollst¨ andig bestimmt, denn es sind drei Größen (v1 , v2 , Q) aus zwei Gleichungen zu bestimmen. Man kann trotzdem einige interessante Aussagen machen, wie z.B. in dem ur den gilt Spezialfall m1 = m2 = m, v2 = 0, f¨ Impulserhaltung : v1 − v1 = v2 2Q . m Nach Division der beiden Gleichungen mit dem Resultat

Energiebilanz

: (v1 − v1 )(v1 + v1 ) = v22 +

(v1 + v1 ) = v2 +

2Q v2 m

(3.103)

(3.104)

136


ergibt Addition der ersten Gleichung von (3.103) und der Gleichung (3.104) mit Aufl¨ osung nach v2 die Aussage 2 1/2 v1 Q v1 ± − . (3.105) v2 = 2 4 m Diese Aussage ist nur sinnvoll, wenn der Radikand positiv, also wenn v12 Q 1 − ≥ 0 oder T1 ≥ Q 4 m 2 ist. Der Energieverlust kann h¨ ochstens die Hälfte der Energie der stoßenden Kugel betragen. Diese Einschr¨ ankung ist eine direkte Konsequenz der Erhaltungss¨ atze. 3.2.5.5 Der vollst¨ andig inelastische Stoß. Die deformierten Massen bleiben nach dem Stoß zusammen und bewegen sich gemeinsam weiter (z.B. Stoß von Kittkugel auf Stahlkugel oder von Kittkugel auf Kittkugel). F¨ ur die Situation nach dem Stoß gilt P aus = (m1 + m2 )v = P ein E aus =

1 (m1 + m2 )v 2 + Q = E ein . 2

Sowohl im eindimensionalen Fall (zentraler Stoß) als auch im zweidimensionalen Fall (allgemeiner Stoß) ist die Endsituation eindeutig bestimmt. Im eindimensionalen Fall stehen zwei Gleichungen f¨ ur die Bestimmung von zwei Gr¨ oßen (v , Q), im zweidimensionalen Fall drei Gleichungen f¨ ur die Bestimmung von drei Gr¨ oßen (v , Q) . zur Verf¨ ugung. F¨ ur einen zentralen Stoß findet man z.B. 1 (m1 v1 + m2 v2 ) v = m1 + m2 m1 m2 Q= (v1 − v2 )2 , 2(m1 + m2 ) so dass z.B. f¨ ur den Fall gleicher Massen (m1 = m2 ) und entgegengesetzten Anfangsgeschwindigkeiten (v2 = −v1 ) die zusammengesetzte Masse M = 2m1 stehen bleibt (v = 0) und die gesamte anfängliche kinetische Energie in Deformationsenergie etc. umgesetzt wird (Q = m1 v12 ). Ein konkretes Beispiel f¨ ur ein zweidimensionales Stoßproblem ist das Folgende: Zwei Massen stoßen senkrecht aufeinander (Abb. 3.44a). Aus dem Impulssatz folgt dann m1 m1 |v1 | + 0 = (m1 + m2 )vx −→ vx = | v1 | M m2 | v2 | . 0 − m2 |v2 | = (m1 + m2 )vy −→ vy = − M

3.2 Die Erhaltungss¨ atze der Mechanik (a) y

137

(b)

m

2

m

v

Q/Tvor 2

1

v 1 x Stoßsituation

1

m 2 /m 1

Relativer Energieverlust

Abb. 3.44. Inelastischer Stoß

Nach dem Stoß bewegen sich beide Massen gemeinsam im vierten Quadranten. F¨ ur gleiche Massen und gleiche Geschwindigkeitsbeiträge vor dem Stoß w¨ are z.B. die Endgeschwindigkeit v = (0.5|v|, −0.5|v|). Der Energieverlust ist: Q = Tvor Stoß − Tnach Stoß

m1 2 m2 2 M m21 2 m22 2 v1 + v2 − = v + v 2 2 2 M2 1 M2 2 1 m1 m2 2 (v1 + v22 ) . = 2 M Ist m2 vor dem Stoß in Ruhe v2 = 0 (und wird von der ersten Masse getroffen und mitgenommen), so gilt Q m2 /m1 = . Tvor 1 + m2 /m1 Der Energieverlust w¨ achst mit dem Massenverhältnis und ist fast total wenn eine kleine Masse auf eine ruhende große Masse stößt (Abb. 3.44b). Die Entdeckung des Neutrons durch Chadwick im Jahre 1931 ist ein historisches Beispiel f¨ ur die Anwendung der einfachen Stoßtheorie. Im Jahre 1931 kannte man 2 Elementarteilchen, das Elektron e und das Proton p. Beides sind geladene Teilchen, die man durch Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern identifizieren kann. Man kannte auch eine neutrale Kernstrahlung, die γ -Strahlung. γ -Strahlen fallen wie Licht oder Radiowellen unter den Begriff elektromagnetische Strahlung. Die verschiedenen Strahlungstypen unterscheiden sich durch die Wellenl¨ ange λγ ≈ 10−10 cm

λLicht ≈ 10−5 cm

λRadio ≈ 104 cm .

Im Jahre 1931 untersuchten verschiedene Gruppen die Kernreaktion 4 2 He

+ 94 Be −→ 12 6 C+A,

in der ein Heliumkern auf einen Berylliumkern stößt. Es traten zwei Reaktionsprodukte auf, ein Kohlenstoffkern und eine elektrisch neutrale Komponente A. Man konnte sich relativ schnell davon u ¨ berzeugen, dass diese Komponente keiner γ -Strahlung (Photonen) entsprach. Die Energiebilanz stimmte

138


nicht. Chadwick schlug vor, dass es sich bei dieser Strahlung um ein neues, neutrales und massives Teilchen handeln könnte. Um diese Hypothese zu verifizieren, f¨ uhrte er zwei Experimente durch, die in vereinfachter Form so aussahen: Experiment 1: Stoß des neutralen ‘Teilchens‘, das die (unbekannte) Geschwindigkeit v hat, mit ruhenden Protonen Av + pvp =0 −→ Av + pvp . Zur Analyse des Stoßes benutzt man Energie- und Impulserhaltung in der Form m mp 2 m 2 v = v2+ v . mv = mv + mp vp 2 2 2 p Dies liefert die Beziehung vp =

2m v. (mp + m)

Da jedoch weder die Masse m noch die Geschwindigkeit v des neuen Teilchens bekannt waren, war ein zweites Experiment notwendig. Experiment 2: Stoß von A mit einem ruhenden Stickstoffkern 14 N mit der Masse MN ≈ 14mp 14 . Av + 14 7 NvN =0 −→ Av + 7 NvN

Anwendung der Erhaltungss¨ atze ergibt hier vN =

2m v. (MN + m)

Kombination der beiden Aussagen ergibt vp 14mp + m = (m + m) . vN p Aus dem Verh¨ altnis der Geschwindigkeiten der gestoßenen Teilchen kann man die unbekannte Masse m bestimmen. Die Geschwindigkeiten (der geladenen Teilchen) wurden mittels der Analyse von Nebelkammerspuren vermessen. Man fand vp ≈ 7, 5 vN und somit m ≈ mp . Die Gleichung der Kernreaktion, die zur Identifizierung des Neutrons f¨ uhrte, lautet 4 2 He

12 1 + 94 Be −→ 13 6 C −→ 6 C + 0 n .

Der erste Reaktionsschritt ist eine Fusionsreaktion, die zu der Bildung des Kohlenstoffisotops 13 uhrt. Dieser Kern zerfällt unter Aussendung eines 6 C f¨ Neutrons in das Kohlenstoffisotop 12 6 C.

4 Dynamik II: Bewegungsprobleme

Newtons Bewegungsgleichungen erm¨ oglichen im Prinzip die Berechnung des Bewegungsablaufes f¨ ur ein System von Massenpunkten (oder f¨ ur einen Massenpunkt) falls alle Kr¨ afte (zum Beispiel als Funktion der Position der Massen) und die Anfangsbedingungen f¨ ur alle Massen vorgegeben sind. Unabh¨ angig von der Frage, ob sich diese prinzipielle Möglichkeit rechentechnisch umsetzen l¨ asst, unterscheidet man zwischen integrablen und chaotischen Bewegungsproblemen. Einige weitere Details zu dieser Unterscheidung werden in Kap. 5.4.3 erl¨ autert. Der Unterschied beruht letztlich darauf, dass in dem ersten Fall infinitesimal benachbarte Anfangsbedingungen zu infinitesimal benachbarten L¨ osungen f¨ uhren. In dem zweiten Fall divergieren die Lösungen (und zwar exponentiell), auch wenn infinitesimal benachbarte Anfangsbedingungen vorliegen. In diesem Kapitel wird ein Grundstock von Beispielen f¨ ur die Lösung von integrablen Bewegungsproblemen f¨ ur einen Massenpunkt m¨ r=F vorgestellt. Weitere Beispiele f¨ ur die L¨ osung von Bewegungsproblemen werden nach der Aufbereitung der ‘h¨ oheren Mechanik‘ in den Kap. 5 und 6 diskutiert. Das erste Problem, das hier betrachtet werden soll, ist die einfachst m¨ ogliche Behandlung der Planetenbewegung, bekannt unter der Bezeichnung Keplerproblem. In der Folge werden dann einige direkte Varianten des Oszillatorproblems (mathematisches Pendel, gedämpfte Schwingungen, erzwungene Schwingungen) aufbereitet.

4.1 Das Keplerproblem Eine Problem, das die Menschheit seit der Fr¨ uhzeit beschäftigt, ist das Verst¨ andnis der regelm¨ aßigen Bewegung der Himmelskörper in unserem Sonnensystem. Eine gen¨ ugend exakte Berechnung dieser Bewegung muss infolge der Vielzahl von wechselwirkenden Objekten letztlich durch aufwendige Integration der gekoppelten Bewegungsgleichungen erfolgen. Das Ziel, das in diesem Abschnitt verfolgt wird, ist bescheidener. Die auf S. 77ff zitierten Keplerschen Gesetze f¨ ur die Planetenbewegung sollen eine einfache, nat¨ urli-

140


che Erkl¨ arung finden und die Bewegung von Kometen und Meteoriten soll auf der gleichen Basis untersucht werden. 4.1.1 Vorbemerkungen Es ist eine bekannte Tatsache, dass die Sonnenmasse die dominante Masse in unserem Planetensystem ist. Der folgende Vergleich mit der Masse der Erde (mE ) verdeutlicht diese Aussage Sonnenmasse

M

≈ 333000 mE 1 mE 20 ≈ 320 mE .

Masse des leichtesten Planeten (Merkur) mMe ≈ Masse des schwersten Planeten (Jupiter) mJu

Die Dominanz der Sonnenmasse bedingt, dass die Bahn eines jeden Planeten in der Hauptsache durch die Gravitationswirkung der Sonne bestimmt wird. Die Kraft, die ein Himmelsk¨ orper X auf die Erde aus¨ ubt, ist (vergleiche (3.2)) mX mE FXE = γ 2 . RXE Das Verh¨ altnis der Gravitationswirkung der Sonne auf die Erde im Vergleich zu der Gravitationswirkung eines anderen Himmelskörpers ist also 2 M RXE FSE = . 2 FXE mX RSE

F¨ ur die der Erde benachbarten Himmelsk¨ orper findet man die in den ersten zwei Zeilen der Tabelle 4.1 angegebenen Werte. Daraus ergeben sich mit uhrten dem exakteren Wert M = 332 942 mE die in der letzten Zeile aufgef¨ Kr¨ afteverh¨ altnisse (gerundet). Tabelle 4.1. Zur Gravitationswirkung von Sonne und weiteren Himmelsk¨ orpern auf die Erde

mX RXE (min) FSE /FXE

Mars

Venus

Jupiter

Mond

[Einheiten]

0.107 0.524

0.815 0.277

318 4.20

0.0123 0.00257

mE RSE

852 000

31 300

18 500

178

Das einzige Objekt, das eine vergleichbare Kraftwirkung wie die Sonne (wenn auch nur entfernt) aufweist, ist der Erdmond. In erster Näherung kann man aus diesem Grund die Bewegung der Erde, wie auch die Bewegung jedes

4.1 Das Keplerproblem

141

anderen Planeten, als Zweik¨ orperproblem zwischen Sonne und dem Himmelsk¨ orper behandeln. Die dominante Sonnenmasse erlaubt noch eine weitere Vereinfachung. Es ist m¨ oglich, zun¨ achst die Mitbewegung der Sonne zu vernachl¨ assigen, so dass das Zweik¨ orperproblem auf ein Einkörperproblem reduziert werden kann. Diese N¨ aherung kann, wie auf S. 152ff gezeigt wird, ¨ durch Ubergang zu Relativ- und Schwerpunktkoordinaten leicht korrigiert werden. 4.1.2 Planetenbewegung Mit den genannten Annahmen gilt f¨ ur die Bewegung jedes Planeten die Bewegungsgleichung M mP r. (4.1) r3 Dabei ist M die Sonnenmasse, mP die Masse des Planeten und r der Abstandsvektor von der Sonne zu dem Planeten. Diese (vektorielle) Differentialgleichung charakterisiert das einfache Keplerproblem. mP r¨ = −γ

4.1.2.1 Die L¨ osung der Bewegungsgleichungen. Als Erstes ist zu bemerken, dass sich die Planetenmasse herausk¨ urzt. Dies bedeutet, dass die Bahnen nicht spezifisch f¨ ur einen speziellen Planeten sind. Bringt man zum Beispiel die Erde auf die Bahn der Venus und gibt ihr die entsprechenden Anfangsbedingungen, so bewegt sich die Erde genau wie die Venus um die Sonne. Die zweite Bemerkung betrifft die Wahl von geeigneten Koordinaten. Bei dieser Wahl (und bei der weiteren Diskussion) sind die Erhaltungssätze eine Hilfe. Das einfache Keplerproblem (4.1) ist ein Zentralkraftproblem. Es gilt der Drehimpulserhaltungssatz. Die Bewegung läuft in einer Ebene ab, die durch die Vektoren r(0) und v(0) festgelegt ist. Infolge der vorgegebenen Zentralkraft bieten sich nat¨ urlich ebene Polarkoordinaten an. Die entsprechende Zerlegung der vektoriellen Bewegungsgleichung ist (siehe (2.60)) ar = r¨ − rϕ˙ 2 = −γ

M r2

aϕ = rϕ¨ + 2r˙ ϕ˙ = 0 ,

(4.2) (4.3)

wobei als Anfangsbedingungen f¨ ur t0 = 0 die Werte von r0 , r˙0 , ϕ0 , ϕ˙ 0 vorzugeben sind. Aus der zweiten Gleichung gewinnt man (siehe (2.63)) den Drehimpulserhaltungs- oder Fl¨ achensatz r2 (t)ϕ(t) ˙ =A.

(4.4)

Die Gr¨ oße A bestimmt sich aus den Anfangsbedingungen zu A = r02 ϕ˙ 0 =

l0 . mP

(4.5)

Falls r(t) bekannt ist, kann man ϕ(t) durch Variablentrennung bestimmen

142


ϕ(t) − ϕ0 =

t

0

A dt . r(t )2

(4.6)

F¨ ur die Bestimmung von r(t) ist die Differentialgleichung (4.2) zuständig. Da die Gravitationskraft konservativ ist, kann man f¨ ur eine ‘erste Integration‘ dieser Bewegungsgleichung auf den Energieerhaltungssatz zur¨ uckgreifen mP M mP 2 v −γ = E0 . (4.7) 2 r F¨ ur v 2 gilt in Polarkoordinaten (2.57) v 2 = r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 . Ersetzt man hier ϕ˙ durch A/r2 und k¨ urzt in dem Energiesatz die Planetenmasse heraus, so erh¨ alt man E0 M 1 2 1 A2 r˙ + =B= −γ . 2 2 2r r mP

(4.8)

Die Konstante B ist durch die anf¨ angliche Energie (dividiert durch die Planetenmasse) bestimmt. Der Energiesatz f¨ uhrt mittels Variablentrennung auf das folgende Integral r dr t=± (4.9) 1/2 . r0 A2 M 2B + 2γ − 2 r r Das Vorzeichen ist so zu w¨ ahlen, dass die resultierende Funktion t = t(r) eine monoton wachsende Funktion ist. Setzt man die Umkehrung r = r(t) in den Drehimpulssatz (4.6) ein und f¨ uhrt die Integration aus, so erhält man ϕ(t) . Das Bewegungsproblem w¨ are somit gel¨ ost. Entsprechend gilt f¨ ur ein beliebiges Zentralkraftproblem (die Bewegung einer Masse m in einem Potential Φ(r) = U (r)/m) r m dr t=± (4.10) 1/2 . 2 r0 mA2 E0 − U (r ) − 2 2r Das angedeutete L¨ osungsschema ist jedoch analytisch nicht so direkt durchf¨ uhrbar. Dies kann man zum Beispiel der Diskussion des einfacheren Meteoritenproblems in Kap. 4.1.3 oder den Ausf¨ uhrungen am Ende dieses Abschnittes auf S. 153ff entnehmen. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig, zun¨ achst einen einfacheren Zugang zu betrachten. Anstatt zu versuchen, den expliziten, zeitlichen Ablauf der Bewegung (die Funktionen r(t) und ϕ(t)) zu berechnen, kann man sich darauf beschr¨ anken, die möglichen Bahnkurven des Keplerproblems zu bestimmen. Die Bahnkurven werden durch Funktionen r = r(ϕ) oder ϕ = ϕ(r) beschrieben, die man im Prinzip aus den Funktionen r(t) und ϕ(t) durch Elimination des ‘Kurvenparameters‘ t erhält. Die folgende Umschreibung erlaubt eine direkte Berechnung der Bahnkurven. Differenziere die Funktion r = r(ϕ) nach der Zeit unter Benutzung der Kettenregel


r˙ =

143

dr A dr d r(ϕ) = ϕ˙ = 2 . dt dϕ r dϕ

Einsetzen in den Energiesatz (4.8)

2 1 A2 dr 1 A2 M =B + −γ 4 2r dϕ 2 r2 r

(4.11)

und Aufl¨ osen nach dr/dϕ ergibt 1/2 r2 dr 1 A2 =± . 2B + 2γM − 2 dϕ A r r ¨ Das Vorzeichen in dieser Gleichung markiert die Richtung der Anderung des Winkels ϕ mit dem Abstand r. Variablentrennung f¨ uhrt auf das Integral −1/2 r Adr A2 2γM ϕ(r) − ϕ0 = ± − 2 . (4.12) 2B + 2 r r r0 r Dieses Integral unterscheidet sich von dem Integral (4.9) zwar nur um einen Faktor 1/r 2 im Integranden, ist aber elementar auswertbar. Die Substitution 1 dr −→ ds = − r r 2 ergibt in diesem Fall s A ds ϕ(s) − ϕ(s0 ) = ∓ . 1/2 s0 [2B + 2γM s − A2 s 2 ] s =

Jeder Standardintegraltafel1 entnimmt man das benötigte Integral ! s −A2 s + γM ϕ(s) − ϕ(s0 ) = ± arcsin . 1/2 γ 2 M 2 + 2A2 B s0

(4.13)

Um die weitere Diskussion der Bahnkurven möglichst einfach zu gestalten, w¨ ahlt man die x -Achse so, dass der Radiusvektor und der Geschwindigkeitsvektor in den Schnittpunkten von x -Achse und Bahnkurve senkrecht aufeinander stehen (Abb. 4.1). F¨ ur solche Punkte, die durch dr/dϕ = 0 charaktey v x r

Abb. 4.1. Keplerproblem: Wahl des Koordinatensystems 1

Siehe Literaturliste A[3].

144


risiert sind, ergibt sich aus dem Energiesatz (4.11) dr =0 dϕ

−→

1 2 2 A s0 − γM s0 = B 2

(s0 =

1 ) r0

oder durch Aufl¨ osung dieser quadratischen Gleichung 1/2 . A2 s0 = γM ± γ 2 M 2 + 2A2 B Der Radikand muss gr¨ oßer als oder gleich Null sein (B kann negative Werte annehmen), damit reelle Anfangswerte s0 vorliegen. Es stellt sich heraus, dass D.tail 4.1), eine explizite Bestätigung diese Bedingung erf¨ ullt ist (siehe kann jedoch erst gegeben werden, wenn der Lösungsprozess abgeschlossen ist. Die Schnittpunkte auf der x -Achse entsprechen den Winkeln ϕ0 = 0 und/oder ϕ0 = π. Setzt man diese unteren Grenzen in (4.13) ein, so folgt ! −A2 s + γM π −1 ϕ(s) − = ± arcsin − arcsin 1/2 0 +1 [γ 2 M 2 + 2A2 B] ! −A2 s + γM π = ± arcsin . ± 1/2 2 [γ 2 M 2 + 2A2 B] Aufl¨ osung nach s bzw. nach r ergibt dann 1/2 A2 1 2A2 B =1± 1+ 2 2 cos ϕ . γM r γ M Die Bahngleichung des einfachen Keplerproblems in ebenen Polarkoordinaten hat die Form p = 1 ± cos ϕ , r wobei die Parameter durch die Anfangsgr¨ oßen A und B als 1/2 2A2 B A2 und = 1 + 2 2 p= γM γ M

(4.14)

(4.15)

gegeben sind. 4.1.2.2 Kegelschnitte. Die Gleichung (4.14) beschreibt die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel in einem Koordinatensystem, dessen ¨ Ursprung in einem der Brennpunkte liegt. Zur Uberpr¨ ufung dieser Aussage kann man die kartesische Darstellung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten umschreiben. Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einer vorgegebenen Geraden (der Leitlinie) und einem vorgegebenen Punkt (Brennpunkt) den gleichen Abstand haben (Abb. 4.2). Die Normalform ist die Gleichung


145

y r ϕ x

F

p

Abb. 4.2. Definition: Parabel

y 2 = ±2px, wobei p der Abstand der Geraden von dem Brennpunkt ist. Die Vorzeichen beschreiben eine nach rechts (Pluszeichen) bzw. eine nach links offene Parabel. F¨ ur brennpunktbezogene Polarkoordinaten gelten die Transformationsgleichungen p y = r sin ϕ , x = ± + r cos ϕ 2 wobei die Vorzeichen mit den Vorzeichen in der Normalform korrespondieren. Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt r2 sin2 ϕ = p2 ± 2pr cos ϕ

r2 = r2 cos2 ϕ ± 2pr cos ϕ + p2

r = ±(p ± r cos ϕ) . Aufl¨ osung in der Form2 p = 1 ± cos ϕ r zeigt, dass eine Parabel vorliegt falls der Parameter in (4.14) den Wert 1 hat. Eine Ellipse ist definiert als der geometrische Ort aller Punkte, f¨ ur die die Summe der Abst¨ ande von zwei gegebenen Punkten gleich ist (Abb. 4.3). Die kartesische Hauptachsengleichung lautet P1

P2 b e a

2

Abb. 4.3. Definition: Ellipse

Das positive Vorzeichen vor der Klammer wurde benutzt, das negative Vorzeichen liefert ein entsprechendes Paar von nach rechts bzw. links orientierten Parabeln, wenn auch mit vertauschten Rollen.

146


x2 y2 + 2 =1. 2 a b Die Lage der Brennpunkte3 entlang der großen Halbachse ist f¨ ur a > b xB = ±e mit

e = [a2 − b2 ]1/2 .

Bezieht man die Polarkoordinaten auf die Brennpunkte, so gilt x = ±e + r cos ϕ

y = r sin ϕ .

Damit folgt b2 (e2 ± 2er cos ϕ + r2 cos2 ϕ) + a2 r2 sin2 ϕ = a2 b2 b4 ∓ 2eb2 r cos ϕ + e2 r2 cos2 ϕ = a2 r2 ±(b2 ∓ er cos ϕ) = ar . Wieder ist das Gesamtvorzeichen nicht relevant und man erhält b2 /a = 1 ± cos ϕ , r wobei die numerische Exzentrizit¨ at 1/2 b2 e = = 1− 2 a a einen Kreis ( = 0) oder eine Ellipse (0 < < 1) beschreibt. Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, f¨ ur die die Differenz der Abst¨ ande von zwei Punkten konstant ist (Abb. 4.4). Die Hauptachsen-

r

e b a

Abb. 4.4. Definition: Hyperbel

gleichung lautet y2 x2 − =1. a2 b2 Die Position der Brennpunkte auf der x -Achse ist in diesem Fall xB = ±e mit

(4.16)

e = [a2 + b2 ]1/2 .

Einsetzen der Transformationsgleichung 3

√ Zur Herleitung dieser Relation benutzt man 2 e2 + b2 = (a + e) + (a − e) (siehe Abb. 4.3), also Vergleich der Summe der Abst¨ ande des geometrischen Ortes P 1 auf der y -Achse von den Brennpunkten mit der Summe der Abst¨ ande von P 2 auf der x -Achse.


x = ±e + r cos ϕ

147

y = r sin ϕ

in die Hauptachsengleichung ergibt a2 b2 = b2 e2 ± 2b2 er cos ϕ + b2 r2 cos2 ϕ − a2 r2 sin2 ϕ a2 r2 = b4 ± 2eb2 r cos ϕ + e2 r2 cos2 ϕ ar = ±(b2 ± er cos ϕ) . Die Darstellung der Hyperbel in brennpunktbezogenen Polarkoordinaten ist somit 1/2 b2 /a b2 = 1 ± cos ϕ , = 1+ 2 , r a wobei der Parameter Werte gr¨ oßer als 1 annimmt. ¨ 4.1.2.3 Bahntypen. Der Parameter p (= b2 /a) in (4.14) beschreibt die Offnung der Parabel oder der Hyperbel, bzw. die ‘Größe‘ der Ellipse. Die numerische Exzentrizität legt den Kurventyp fest. Das Vorzeichen in 1 ± cos ϕ gibt an, ob die Kegelschnitte nach links (Pluszeichen) oder nach rechts orientiert sind (Abb. 4.5). Die Winkelbereiche f¨ ur die einzelnen Kegelschnitte

Abb. 4.5. Vorzeichen in der Kegelschnittgleichung (4.14)

sind: • F¨ ur die Ellipse ist es der Standardbereich 0 ≤ ϕ ≤ 2π . • F¨ ur die Parabel und das positive Vorzeichen hat man −π ≤ ϕ ≤ π , im Fall des negativen Vorzeichens jedoch 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Die unterschiedliche Wahl ist dadurch bedingt, dass die Nullstellen von 1 ± cos ϕ nur am Rand der Intervalle auftreten d¨ urfen. • F¨ ur die Hyperbel und + gilt − arccos (−1/) ≤ ϕ ≤ arccos (−1/) , in dem Fall − ist der Bereich arccos (1/) ≤ ϕ ≤ 2π − arccos (1/) . Die Intervalle werden durch die Steigungen der Asymptoten begrenzt.

148


F¨ ur die Kegelschnittparameter des Keplerproblems findet man im Detail

1 l02 A2 = p= (4.17) γM mP mP M γ 1/2 1/2 l02 1 2A2 B = 1 + 2E0 . (4.18) = 1+ 2 2 γ M mP (mP M γ)2 Der Bahntyp wird durch die Anfangswerte von Energie und Drehimpuls be¨ stimmt, die Details (Offnung, Achsenverh¨ altnisse, Radius) durch den Drehimpuls alleine. Eine Kreisbahn liegt vor, wenn = 0, beziehungsweise wenn mP E0 = − 2 (mP M γ)2 2l0 ist. Der Drehimpuls und die (negative) Energie m¨ ussen f¨ ur eine Kreisbahn genau aufeinander abgestimmt sein. Wenn man f¨ ur einen vorgegebenen Wert des Drehimpulses einen kleineren Energiewert als den der Kreisbahn annimmt, wird imagin¨ ar. Dies bedeutet: F¨ ur einen gegebenen Drehimpulswert gibt es keine Bahn mit einer geringeren Energie als die der Kreisbahn. Eine Ellipsenbahn ist durch die Werte 0 < < 1 gekennzeichnet. Diesen Werten von entspricht der Energiebereich E0 (Kreis) < E0 < 0 . Kreis und Ellipse sind die m¨ oglichen Bahnformen f¨ ur Planeten. Es sind Bahnen, bei denen der Planet an die Sonne gebunden ist (E0 < 0). Die ur > 1 Parabel erh¨ alt man f¨ ur = 1 oder E0 = 0, Hyperbelbahnen f¨ oder E0 > 0. Dies sind die beiden m¨ oglichen Kometenbahnen. Ein Objekt ger¨ at (in sehr großer Entfernung) in den Bereich der Gravitationswirkung des Zentralk¨ orpers, l¨ auft mehr oder weniger nah an ihm vorbei und verschwindet wieder im Weltraum. Dazu ist zu bemerken, dass es auch Objekte in unserem Planetensystem gibt, die auf parabelnahen Ellipsenbahnen umlaufen. Diese werden als wiederkehrende Kometen bezeichnet. Das bekannteste Beispiel ist der Halleysche Komet (mit einer Umlaufzeit von ca. 76 Jahren). F¨ ur diesen ‘Kometen‘ ist der maximale Abstand von der Sonne ungefähr 60 mal so groß wie der minimale. Die Bahntypen des Keplerproblems werden in der Hauptsache durch die Gesamtenergie bestimmt. Aus diesem Grund ist eine einfachere (aber noch weniger detaillierte) Diskussion des Keplerproblems auf dieser Basis möglich. Die Gesamtenergie l¨ asst sich in der Form schreiben E=

1 l02 mP M mP r˙ 2 + . −γ 2 2 mP r 2 r

(4.19)

Die einzelnen Terme sind kinetische Energie der Radialbewegung, kinetische Energie der Drehbewegung und potentielle Energie der Gravitation. Da der Drehimpuls eine Erhaltungsgr¨ oße (eine Konstante der Bewegung) ist, kann


149

man den zweiten Term als eine potentielle Energie bez¨ uglich der Radialbewegung interpretieren und diesen Zentrifugalterm zusammen mit der Gravitationsenergie als eine effektive potentielle Energie bezeichnen E = Trad + Uzent + Ugrav = Trad + Ueff . Das Schaubild f¨ ur Ueff (r) hat (falls l0 = 0 ist) den in Abb. 4.6a angedeuteten Verlauf. F¨ ur r → 0 dominiert der Zentrifugalterm (wie 1/r2 ), f¨ ur r → ∞ schmiegt sich die effektive potentielle Energie von oben an den reinen Gravitationsterm an, der mit 1/r langsamer abf¨ allt als der Zentrifugalterm. F¨ ur jeden Wert der Variablen r setzt sich die gesamte vorgegebene Energie E0 aus einem (negativen) Potentialbeitrag und einem (positiven) kinetischen Energiebeitrag zusammen. (a)

(b)

E E 0 (Hyp.)

U eff E0

r

E

E 0 (Par.)

r

E 0 (Ell.)

Trad

E 0 (K.)

Effektives Potential

Energie und Kegelschnitte

Abb. 4.6. Keplerproblem: Energie als Funktion des Abstandes

Die Korrelation von Bahntyp und Gesamtenergie ist in Abb. 4.6b dargestellt. Die Kreisbahn, die durch einen festen Abstand von dem Koordinatenursprung ausgezeichnet ist (r˙ = 0), entspricht dem tiefstmöglichen Wert von E0 . Es gilt dann E0 (min) = Ueff (R)

Tr = 0 .

F¨ ur Energiewerte E0 zwischen dem Minimalwert und 0 gibt es zwei Umkehrpunkte mit r˙ = 0 . In diesen Punkten ist die Gesamtenergie gleich der effektiven potentiellen Energie. F¨ ur jeden m¨ oglichen Abstand zwischen dem sonnenn¨ achsten und dem sonnenfernsten Punkt ist die Gesamtenergie (negativ) die Summe aus Ueff (negativ) und Trad (positiv). Die Bahnkurve mit zwei Umkehrpunkten und einem endlichen Entfernungsbereich entspricht der Ellipse (obwohl die explizite Bahnform aus dem Energieerhaltungssatz alleine nicht abgeleitet werden kann). F¨ ur E0 ≥ 0 besteht keine Bindung an den Zentralk¨ orper. F¨ ur die Parabel mit E0 = 0 gibt es noch zwei Umkehrpunkte: einen in Sonnenn¨ ahe, einen im Unendlichen. Die Parabelbahn ist somit der Grenzfall einer unendlich lang gestreckten Ellipse. Die Hyperbel mit E0 > 0 ist durch einen einzigen Umkehrpunkt in Sonnennähe ausgezeichnet.

150


Bez¨ uglich des Drehimpulses kann man der Abb. 4.7 die folgenden Aussagen entnehmen (1) Je gr¨ oßer l0 ist, desto weiter sind die inneren Umkehrpunkte von der Sonne entfernt und desto schw¨ acher ist die Bindung (gemessen durch den Betrag der negativen Energie) auf einer Kreisbahn (Abb. 4.7a). (2) Ist l0 = 0, so reduziert sich das effektive Potential auf das Gravitationspotential. Die m¨ oglichen Bahnformen sind Geraden radial auf die Sonne zu oder in umgekehrter Richtung (Abb. 4.7b). Sowohl der Fall E0 < 0 (das Objekt steigt oder f¨ allt) als auch der Fall E0 ≥ 0 (das Objekt entfernt sich z.B. beliebig weit von der Sonne) sind möglich.

(a)

(b)

E

E

l(0) =/ 0

r

r l(0) = 0

Variation der Energie mit dem Drehimpuls

Fall-/Raketenproblem

Abb. 4.7. Keplerproblem: Drehimpulsfragen

Mit der L¨ osung des einfachen Keplerproblems wurden zwei der Keplergesetze verifiziert: Die Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen. Es gilt der Fl¨ achensatz. 4.1.2.4 Das dritte Keplersche Gesetz. Zur Diskussion des dritten Gesetzes T 2 ∝ a3

fu ¨r Planeten mit a > b

ben¨ otigt man einen Zusammenhang zwischen den Ellipsendaten und den Anfangsbedingungen. Aus den Definitionen (4.17) und (4.18) 2 = 1 −

b2 2A2 B b2 2A2 B = 1 + −→ = − a2 γ2M 2 a2 γ 2M 2 2 2 2 A b A2 b = −→ = p= a γM a γM

ergibt sich 1 2B 2E0 =− =− . a γM γM mP

(4.20) (4.21)


151

Die große Halbachse der Planetenbahn wird nur durch die Anfangsenergie (und die Massen) bestimmt. Eine Aussage u ¨ ber die Umlaufzeit T auf einer Ellipsenbahn gewinnt man aus dem Fl¨ achensatz 1 dF = A, dt 2 wobei F f¨ ur ‘Fl¨ ache‘ steht und A durch (4.5) gegeben ist, mittels Integration T 1 1 dF = πab = A dt = AT . 2 2 0 Ellipse Daraus folgt das dritte Keplersche Gesetz

4π 2 3 4π 2 a2 2 4π 2 a2 A2 2 T = a = a . b = A2 A2 γM γM

(4.22)

Folgende Bemerkungen bieten sich an: 1. Die Umlaufzeit des Planeten wird durch die Energie bestimmt. Sie ist unabh¨ angig von dem Drehimpulswert. 2. Die Proportionalit¨ atskonstante h¨ angt nur von der Sonnenmasse (und der Gravitationskonstanten) ab, sollte also f¨ ur alle Planeten gleich sein. Dies wird experimentell recht gut best¨ atigt. Man findet T 2 T 2 −→ (0.985 − 1.005) . a3 Planeten a3 Erde Innerhalb der angegebenen Abweichung kann man damit die Sonnenmasse aus den Planetendaten (a, T ) bestimmen. Die angedeuteten Abweichungen sind auf zwei Gr¨ unde zur¨ uckzuf¨ uhren: Die Vernachlässigung der Mitbewegung der Sonne und die ‘St¨ orung‘ der Bahn durch benachbarte Planeten, Monde, etc. 4.1.2.5 Mitbewegung der Sonne. Die Mitbewegung der Sonne lässt sich in einfacher Weise diskutieren. Behandelt man das System Sonne-Planet S r

rS rP

P

Abb. 4.8. Keplerproblem: Zweik¨ orperproblem

(Abb. 4.8) als ein Zweik¨ orperproblem (und nicht mittels der zusätzlichen Annahme einer ruhenden Sonne als Eink¨ orperproblem), so lauten die Bewegungsgleichungen

152


M mP r r = r P − rS r3 M mP mP r¨P = −γ r. r3 F¨ ur die Bewegung des Schwerpunktes M r¨S = γ

R=

(4.23) (4.24)

1 (mP rP + M r S ) mP + M

folgt direkt ¨ = 0 −→ R˙ = const . R Die Schwerpunktbewegung ist (wie erwartet) uniform und somit nicht von Interesse. F¨ ur die Relativbewegung findet man (mP + M ) r. (4.25) r3 Diese Gleichung unterscheidet sich nicht wesentlich von der Differentialgleichung (4.1) des einfachen Keplerproblems. In den Endformeln des einfachen Keplerproblems ist die Sonnenmasse M durch die Gesamtmasse M + mP zu ersetzen, um die Mitbewegung der Sonne korrekt zu beschreiben. Das f¨ ur die Sonnenmitbewegung korrigierte dritte Gesetz von Kepler lautet dann r¨ = −γ

T2 =

4π 2 a3 . γ(M + mP )

(4.26)

Der Unterschied gegen¨ uber (4.22) ist wegen der dominierenden Sonnenmasse offensichtlich klein. Die Formel erkl¨ art zum großen Teil die oben angedeutete Variation des Proportionalit¨ atsfaktors. Die Mitbewegung der Sonne erkennt man am einfachsten im Schwerpunktsystem, das durch mP rP R = 0 −→ rS = − M charakterisiert ist. Es folgt dann: Die Sonne bewegt sich wie der Planet auf einer Ellipse, jedoch wegen des Vorfaktors −mP /M auf der anderen Seite des Schwerpunktes auf einer Miniaturellipse (Abb. 4.9).

S

P

Abb. 4.9. Keplerproblem: Mitbewegung der Sonne


153

4.1.2.6 Zusatzbemerkungen. Um die Diskussion abzuschließen, folgen noch einige Bemerkungen: 1. Die Betrachtungen zu dem Zweik¨ orperproblem Sonne-Planet kann man direkt auf das System Planet-Mond u ¨bertragen. Auf diese Weise kann man u ¨ ber das dritte Keplersche Gesetz aus den Monddaten (Umlaufzeit und L¨ ange der großen Halbachse) die Planetenmasse (zum Beispiel die Erdmasse) bestimmen ( Aufg. 4.1). 2. Die Berechnung der Bewegung aller Planeten des Sonnensystems unter Einbeziehung der wechselseitigen Kraftwirkungen ist eine größere Aufgabe. Schon das Dreik¨ orperproblem Sonne plus zwei Planeten kann nicht exakt analytisch gel¨ ost werden. Man geht aus diesem Grund folgendermaßen vor: In einem ersten Schritt betrachtet man, wie oben ausgef¨ uhrt, die Teilsysteme Sonne und jeweils einen Planeten. In einem zweiten Schritt wird dann die St¨ orung der Bahnen eines jeden Planeten durch die anderen Planeten in sukzessiver N¨ aherung berechnet4 . 3. Es kann die Frage gestellt werden, ob die 1/r2 -Form des Gravitationsgesetzes korrekt ist. Zu diesem Zwecke betrachtet man den allgemeineren Ansatz F ∝ −rα r

(α beliebig) .

Der Fl¨ achensatz gilt f¨ ur jeden Wert des Parameters α. Die entsprechenden Bahnkurven des Zweik¨ orperproblems können berechnet werden. Ellipsenbahnen sind nur f¨ ur α = −3 und 0 möglich. Nur f¨ ur α = −3 sind die Ellipsen auf den Brennpunkt bezogen. Außerdem sind f¨ ur das Oszillatorproblem (α = 0) keine Kometenbahnen möglich. Die Beobachtung der brennpunktsbezogenen Ellipsenbahn f¨ ur Planeten ergibt einen Beweis f¨ ur die G¨ ultigkeit des 1/r2 Gravitationsgesetzes. 4. Die direkte Integration der Grundgleichung (4.9) des einfachen Keplerproblems r dr t=± 1/2 r0 A2 M 2B + 2γ − 2 r r ist m¨ oglich, wenn auch nur in der Form einer Parameterdarstellung r = r(ψ), t = t(ψ). So ist zum Beispiel f¨ ur Ellipsenbahnen (mit einer negativen Gesamtenergie) das Integral r dr 1 (4.27) t = ± 2 1/2 2|B| A M r − −r2 + γ |B| 2|B| auszuwerten. Die Notation ist die gleiche wie bei der Aufbereitung von (4.9) 4

¨ Eine Ubersicht zur Berechnung der Planetenbewegung findet man unter A[4] in der Literaturliste.

154


B=

E0 mP

A=

l0 . mP

Benutzt man zus¨ atzlich die Definitionen 1/2 2 2A |B| = 1− 2 2 γ M f¨ ur die Exzentrizit¨ at und γM A b = a 1 − 2 = a= 2|B| 2|B| f¨ ur die große und kleine Halbachse, so kann man den Radikanden der Wurzel in (4.27) umschreiben −r2 + 2ar − b2 = a2 2 − (r − a)2 . Das resultierende Integral a r dr t=± 1/2 γM [a2 2 − (r − a)2 ] kann mit der Substitution (r − a) = −a cos ψ

dr = a sin ψdψ

behandelt werden. Das elementare Integral kann direkt ausgewertet werden a3 t=± dψ (1 − cos ψ) γM # " a3 (ψ − sin ψ) + const. . =± γM Setzt man die Konstante gleich Null, so erhält man als Parameterdarstellung der Funktion r = r(t) (das positive Vorzeichen ist dann relevant) a3 r = a(1 − cos ψ) t= (ψ − sin ψ) . (4.28) γM Diese Wahl der Anfangsbedingungen entspricht t = 0 f¨ ur ψ = 0 und somit r(0) = a(1 − ) = a − e

sowie r(0) ˙ =0,

wobei die zweite Aussage aus der Kettenregel folgt. Anhand der Darstellung der Bahnkurve durch brennpunktbezogene Polarkoordinaten (4.14) kann man einen Ausdruck f¨ ur cos ϕ und somit letztlich auch eine Parameterdarstellung der kartesischen Beschreibung der Keplerellipsen gewinnen. Es ist


cos ϕ = ±

155

(cos ψ − ) , (1 − cos ψ)

so dass man f¨ ur die kartesischen Koordinaten das Resultat x = ± a + r cos ϕ = ± a cos ψ y = r sin ϕ = a 1 − 2 sin ψ = b sin ψ gewinnt. Man erkennt in diesen Gleichungen die Standardparameterdarstellung einer Ellipse, die auf den Koordinatenursprung (der die Strecke zwischen den beiden Brennpunkten halbiert) bezogen ist. Das Vorzeichen der x -Koordinate reguliert den Umlaufsinn. Bei einem vollen Umlauf auf der Ellipse w¨ achst der Parameter ψ um 2π. Die Gleichung f¨ ur die Zeit t in (4.28) enthält somit explizit das dritte Keplergesetz (4.22). Eine ¨ ahnliche Diskussion kann f¨ ur Parabel- oder Hyperbelbahnen gef¨ uhrt Aufg. 4.5). werden (siehe 5. Von Interesse (im Rahmen der Elektrodynamik) ist auch die Frage nach den L¨ osungen des Keplerproblems f¨ ur eine repulsive Kraft α F = 3 r, α > 0 . r Man u ¨berzeugt sich leicht davon, dass nur Bahnen mit positiver Energie m¨ oglich sind. Die Aussagen f¨ ur diese Bahnen ergeben sich aus den Formeln des normalen Keplerproblems mittels der Ersetzung von |γ mP M | durch −α . 4.1.3 Kometen und Meteoriten W¨ ahrend die maximale Entfernung der Planeten von dem Zentralkörper einen endlichen Wert hat, k¨ onnen Kometen und Meteoriten aus sehr großer Entfernung in das Schwerefeld eines anderen Himmelskörpers eindringen. 4.1.3.1 Meteoriten. Das Meteoritenproblem, der freie Fall eines Körpers aus großer Entfernung vom Erdmittelpunkt, kann folgendermaßen diskutiert werden. Beschreibt man die Erde als eine Kugel mit homogener Massenverteilung, so ist die potentielle Energie eines Objektes mit der Masse m in Punkten außerhalb der Erde (siehe (3.91)) mME r ≥ RE . r ur das freie Fallproblem kann man ansetAls Anfangsbedingungen (t0 = 0) f¨ zen Ugrav (r) = −γ

r(0) = r0 er

v(0) = 0 .

Diese Vorgabe entspricht in ebenen Polarkoordinaten r0 = r0

ϕ0 = beliebig

r˙0 = 0

ϕ˙ 0 = 0 .

156


Aus dem Drehimpulserhaltungssatz (4.4) gewinnt man zunächst die Aussage ˙ = r02 ϕ˙ 0 = l0 /m = 0 . r(t)2 ϕ(t) F¨ ur r(t) > RE = 0 folgt sofort ϕ(t) ˙ = 0. Bei den gegebenen Anfangsbedingungen f¨ allt das Objekt radial auf die Erde zu. F¨ ur verschwindenden Drehimpuls entspricht der Energiesatz (4.19) E0 1 2 ME ME r˙ − γ = = −γ . 2 r mp r0 Mit Hilfe des Energiesatzes kann man in direkter Weise einfache Fragen beantworten, wie z.B.: Mit welcher Geschwindigkeit trifft ein Objekt auf der Erde auf, wenn es aus der Ruhelage aus großer Entfernung (r0 → ∞) auf die Erde f¨ allt? Die Antwort (bei Vernachl¨ assigung von möglichen Reibungseffekten) ist vE = [2gRE ]1/2 ≈ 40250 km/h . Dies folgt aus 1 2 ME vE − γ =0 2 RE und der Definition (3.95) g=γ

ME 2 . RE

Zur Bestimmung des expliziten Bewegungsablaufes ist die Integration der Differentialgleichung (4.8) notwendig. Mittels Variablentrennung (die Konstante A hat den Wert Null)

1/2 1 1 dr = ± (2γME ) − , dt r r0 sowie Umformung und Integration erh¨ alt man 1/2 r 1/2 r0 r /r0 t=± dr . 2γME 1 − r /r0 r0 Das Integral auf der rechten Seite kann einer Integraltafel entnommen oder direkt berechnet werden. Mit der Substitution (sinnvoll, da 0 < r /r0 ≤ 1)

1/2 r = cos α −→ r = r0 cos2 α r0 und dr = −2r0 cos α sin α dα αmin = arccos 1 = 0 αmax = arccos r/r0 erh¨ alt man


t=∓

2r03 γME

1/2 0

αmax

157

cos2 α sin α dα . sin α

Das verbleibende Integral ist 1 cos2 αdα = (α + cos α sin α) , 2 so dass man nach Einsetzen der Grenzen das Ergebnis erhält 3 1/2 !

r0 r r r t=∓ arccos + 1− . 2γME r0 r0 r0

(4.29)

Da t > 0 ist, kommt nur das untere Vorzeichen in Frage. Das Resultat in der Form t = t(r) kann nicht analytisch in der gew¨ unschten Weise nach r = r(t) aufgel¨ ost werden. Man muss also einen Teil des Keplerproblems (wenn man an der Diskussion des expliziten Zeitablaufes interessiert ist) numerisch behandeln. Die numerische Verwertung wird in Abb. 4.10 verdeutlicht, in der t = t(r) f¨ ur das Meteoritenproblem dargestellt ist. Man kann f¨ ur jeden Abt

t(r’)

RE

r’

r0

r

Abb. 4.10. Meteoritenproblem: Variation der Fallzeit t mit dem Abstand r

stand RE ≤ r ≤ r0 die zugeh¨ orige Fallzeit ablesen. Anstelle der graphischen Darstellung k¨ onnte man auch eine Wertetabelle des funktionalen Zusammenhanges r = r (t) (oder einer Parameterdarstellung wie in 4.1.2.6) mit beliebiger Genauigkeit aufbereiten. Solche Tabellen werden in der Astronomie in großem Umfang genutzt. Das Ergebnis des Meteoritenproblems (4.29) geht in die Aussagen des einfachen freien Falls u ¨ber, wenn man r0 = RE + h0

r = RE + h

setzt und nach h (≤ h0 RE ) entwickelt. 4.1.3.2 Das klassische Streuproblem: Kometenbahnen. Bewegt sich eine Masse (mit E0 > 0) nicht direkt auf einen Zentralkörper zu, sondern passiert ihn in einem gewissen Abstand, so ergibt sich eine Kometenbahn. Dieses Streuproblem kann man folgendermaßen präzisieren: Eine Punktmasse m bewegt sich aus großer Entfernung r0 = ∞ mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 im Abstand ρ auf eine ‘schwere‘ Punktmasse M zu (Abb. 4.11a).

158


(a)

(b)

m

a

b

m

ϕ

M

θ

M

rmin ρ Stoßgeometrie

Streuwinkel

Abb. 4.11. Kometen: Das Streuproblem

Infolge der attraktiven, gravitativen Wechselwirkung beschreibt die Masse m eine Hyperbelbahn. Die Masse m soll sich zu der Anfangszeit auf einer der Asymptoten der Hyperbel befinden. Sie läuft in einem Minimalabstand rmin an der großen Masse vorbei und setzt ihre Bewegung auf der Hyperbel in Richtung der anderen Asymptoten fort. Der Winkel zwischen der einlaufenden Asymptoten und der x -Achse, auf der sich die Masse M befindet, wird mit ϕ bezeichnet. Ein entsprechender Winkel tritt, infolge der Symmetrie der Hyperbel, zwischen der auslaufenden Asymptoten und der x -Achse auf. Der Streuwinkel θ, der Winkel zwischen der auslaufenden Asymptoten und der Verl¨ angerung der einlaufenden Asymptoten (Abb. 4.11b), ist somit θ = π − 2ϕ. Die genannten Anfangsbedingungen entsprechen m l0 = mρv0 , E0 = v02 2 beziehungsweise f¨ ur die Parameter A und B des Keplerproblems v02 . 2 Der Abstand ρ wird als Stoßparameter bezeichnet. Der Winkel ϕ wird durch die Hyperbelparameter a und b (siehe (4.16)) bestimmt und zwar in der Form tan ϕ = b/a. Die Hyperbelparameter sind u ¨ ber (4.20) und (4.21) mit den Anfangswerten des Keplerproblems verkn¨ upft, so dass man die Relation √ A 2B ρv 2 b = 0 (4.30) tan ϕ = = a γM γM A = ρv0

B=

erh¨ alt, anhand derer man f¨ ur einen vorgegebenen Stoßparameter ρ den Winkel ϕ (bzw. den Streuwinkel θ) bestimmen kann. Man erhält eine Beziehung zwischen Streuwinkel θ und Stoßparameter ρ mittels

π−θ θ tan ϕ = tan = cot . 2 2


159

Die Relation (4.30) kommt, mit Modifikationen, auch in der Streutheorie der Quantenmechanik zur Anwendung, da in dem Fall eines 1/r Potentials klassische und quantenmechanische Rechnungen das gleiche Ergebnis liefern. In quantenmechanischen Streuexperimenten betrachtet man weniger die Streuung eines einzelnen Teilchens, sondern die Streuung von Teilchen aus einem Strahl von Teilchen, die mit gleicher Geschwindigkeit und verschiedenen Stoßparametern auf das Streuzentrum zulaufen (Abb. 4.12). Die Teilchen in dem Strahl werden je nach Stoßparameter unter verschiedenen Winkeln θ gestreut. Zur Charakterisierung der Situation definiert man den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Streuung dσ . Der differentielle Wirkungsquerschnitt entspricht der Anzahl der Teilchen dN, die pro Zeiteinheit in das Intervall zwischen θ und θ + dθ gestreut werden. Diese Größe wird noch auf die Anzahl der Teilchen N , die pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit des Strahlquerschnittes hindurchtreten, bezogen. Die Zahl dN entspricht dem Produkt von N mit dem Fl¨ acheninhalt eines Kreisringes mit den Radien ρ und ρ + dρ. Somit hat der differentielle Wirkungsquerschnitt dN = 2πρdρ N die Dimension einer Fl¨ ache (Abb. 4.12). Die Abhängigkeit des differentiellen Wirkungsquerschnitts von dem Streuwinkel θ ergibt sich dann mit Hilfe der Kettenregel zu dρ dσ = 2πρ(θ) dθ , dθ wobei der Absolutwert der Ableitung einzusetzen ist, um eine positive Größe zu gewinnen. Benutzt man nun die Relation (4.30) in der Form dσ =

ρ=

θ γM cot , v02 2

so folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ = π

(γM )2 cos(θ/2) dθ . v04 sin3 (θ/2)

dΘ

dσ

M

Abb. 4.12. Illustration der Geometrie des differentiellen Wirkungsquerschnitts

160


¨ Ublicherweise bezieht man den differentiellen Wirkungsquerschnitt wegen der Zylindersymmetrie des Streuproblems auf den Raumwinkel5 dΩ dΩ = 2π sin θ dθ = 4π sin(θ/2) cos(θ/2) dθ , so dass man als Endformel f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt

2 γM dΩ dσ = (4.31) 2v02 sin4 (θ/2) erh¨ alt. Dies ist die Rutherfordformel, die in der Entwicklung der Quantenmechanik eine besondere Rolle gespielt hat. Sie wurde eingesetzt, um die Streuung von α -Teilchen an Goldkernen zu interpretieren und daraus eine Modellvorstellung des Atoms zu gewinnen. In diesen Streuexperimenten bewirken die Coulombkr¨ afte (3.16) die Streuung. Da die Gravitation und die elektrischen Kr¨ afte ein vergleichbares Kraftgesetz erf¨ ullen, muss man nur den Faktor γM durch den entsprechenden Faktor ±ke2 /m ersetzen, der sich auf der Basis des Coulombgesetzes ergibt. Die Rutherfordformel ist sowohl f¨ ur abstoßende als auch anziehende Kraftwirkungen g¨ ultig, da dieser Faktor quadratisch eingeht. Zu beachten ist noch, dass die Rutherfordformel in Bezug auf das Schwerpunktsystem hergeleitet wurde. Zur Interpretation des Experimentes in dem Laborsystem (dem System, in dem die Targetmasse M anfänglich ruht) muss noch eine kinematische Umschreibung vorgenommen werden ( Aufg. 4.10).

4.2 Oszillatorprobleme Der harmonische Oszillator wird in vielen Gebieten der Physik (von der Mechanik bis zu der Quantenfeldtheorie) diskutiert. Es stellt sich somit die Frage nach dem Grund f¨ ur diese außergew¨ ohnliche Popularität. Zur Antwort kann man eine Funktion U (x) (der Einfachheit halber in einer eindimensionalen Welt) betrachten (Abb. 4.13a). Diese potentielle Energie eines Massenpunktes soll ein deutliches Minimum aufweisen. Es ist immer m¨ oglich ein Koordinatensystem so zu wählen, dass die Minimalstelle und der Koordinatenursprung zusammenfallen. Jede Potentialfunktion ist nur bis auf eine willk¨ urliche Konstante bestimmt, die so gewählt werden kann, dass U (0) = 0 ist. Ist f¨ ur einen Massenpunkt in der Potentialmulde die kinetische Energie geringer als die angrenzenden Maxima der potentiellen Energie, so bewegt sich der Massenpunkt nur in einem begrenzten Bereich. Die Taylorentwicklung der potentiellen Energie um die Stelle x = 0 ist 1 d2 U 2 1 d3 U 3 dU x + x + x ... . U (x) = U (0) + dx 0 2! dx2 0 3! dx3 0 5

¨ Dies ist der Raumwinkel zwischen zwei Kegeln mit den Offnungswinkeln θ und θ + dθ.

4.2 Oszillatorprobleme

161

Der erste Term und der zweite Term verschwinden per Konstruktion, der dritte Term ist positiv, da f¨ ur x = 0 eine Minimalstelle vorliegen soll. Schematisch kann man also schreiben U (x) = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + . . . (a)

a2 > 0 .

(b)

U(x)

U(x) T

a 2x 2

a 2 x2+ a 4 x

x allgemein

symmetrisch, U (0) = 0

Abb. 4.13. Eindimensionale Potentialmulden

Ist die Potentialmulde symmetrisch in Bezug auf die Stelle x = 0 (Abb. 4.13b), so gilt U (x) = U (−x) und alle ungeraden Potenzen verschwinden. In diesem Fall ist U (x) = a2 x2 + a4 x4 + . . . . Die Taylorentwicklung besagt: Jede Potentialmulde sieht in erster Näherung (f¨ ur kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage) wie ein harmonischer Oszillator aus. Man kann diesen Sachverhalt auch anders ausdr¨ ucken. Die entsprechende Kraftwirkung auf den Massenpunkt ist dU = −2a2 x − 3a3 x2 . . . . F (x) = − dx Jedes System mit einer Potentialmulde wird in erster Näherung durch eine R¨ uckstellkraft nach dem Hookeschen Gesetz charakterisiert. Die Stabilität, die man in der Natur vorfindet, weist auf die Verbreitung von derartigen R¨ uckstellkr¨ aften hin. In der Mechanik kann man diverse Pendel, angestoßene Fl¨ ussigkeitstropfen, Federsysteme, Stimmgabeln, Musikinstrumente, in der Elektrodynamik schwingende Systeme vom einfachen Schwingkreis bis zu Sendern betrachten. Im Bereich der Molek¨ ulphysik stellen gegeneinander schwingende Atome in erster N¨ aherung einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator dar, der sich jedoch durchaus von dem klassischen Oszillator unterscheiden kann. F¨ ur gr¨ oßere Auslenkungen sind nat¨ urlich die höheren Potenzen der Taylorentwicklung zu ber¨ ucksichtigen. Der Oszillator ist dann anharmonisch. Hat der Massenpunkt eine zu hohe kinetische Energie, so kann er die Potentialmulde verlassen. Die Potenzreihenbetrachtung ist in diesem Falle nicht angemessen. Ein explizites Beispiel f¨ ur ein klassisches, oszillierendes System ist das mathematische Pendel.

162


4.2.1 Das mathematische Pendel Ein mathematisches Pendel besteht aus einer fiktiven Stange der Länge l, die sich um einen Aufh¨ angepunkt drehen kann und an deren Ende sich ein Massenpunkt m befindet. Fiktiv bedeutet: Die Stange ist gewichtslos und absolut starr. An dem Massenpunkt greifen die folgenden Kräfte an (Abb. 4.14a) (i) die Schwerkraft mg. (ii) Die (zun¨ achst unbekannte) F¨ uhrungskraft der Stange S.

(a)

(b)

(c) ϕ

S

l

l

eϕ

ϕ l

S

er

m

mg

er

m

Kr¨ afte

m

Koordinaten

eϕ

mg

Zerlegung der Kr¨ afte

Abb. 4.14. Mathematisches Pendel

Falls man die Anfangsbedingungen geeignet w¨ ahlt, f¨ uhrt das Pendel eine ebene Bewegung aus (bei beliebigen Anfangsbedingungen hat man ein sphärisches Pendel, siehe Kap. 5.3.2). F¨ ur die Diskussion der ebenen Bewegung benutzt man Polarkoordinaten (Abb. 4.14b). Die Zerlegung der angreifenden Kr¨ afte in Radial- und Winkelanteil ist (Abb. 4.14c) Fr = −S + mg cos ϕ

Fϕ = −mg sin ϕ ,

(4.32)

die entsprechende Zerlegung des Beschleunigungsvektors (siehe (2.60)) ar = r¨ − rϕ˙ 2

aϕ = rϕ¨ + 2r˙ ϕ˙ .

F¨ ur eine starre Stange ist r = l und r˙ = 0, r¨ = 0. Die Komponentenzerlegung der vektoriellen Bewegungsgleichung m¨ r = F ergibt somit Azimutalanteil : Radialanteil :

mlϕ ¨ = −mg sin ϕ −mlϕ˙ 2 = −S + mg cos ϕ .

(4.33)

¨ Die zeitliche Anderung des Winkels mit der Anfangsbedingung ϕ(0) = ϕ0 , ϕ(0) ˙ = ω0 wird alleine durch die erste Differentialgleichung bestimmt. Ist die L¨ osung dieser Differentialgleichung bekannt, so kann man aus der zweiten Gleichung die F¨ uhrungskraft S(t) = mlϕ˙ 2 + mg cos ϕ berechnen. Es gilt offensichtlich nicht S(t) = mg cos ϕ, wie man anhand einer statischen Betrachtung erwarten w¨ urde.


163

4.2.1.1 L¨ osung der Pendelgleichung. Die Pendelgleichung in (4.33) g (4.34) ϕ¨ + sin ϕ = 0 l hat nicht die Form der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators. Nur f¨ ur kleine Ausschl¨ age gilt die harmonische Näherung sin ϕ ≈ ϕ mit der Differentialgleichung ϕ¨ + ω 2 ϕ = 0 und der allgemeinen L¨ osung ϕ(t) = α sin(ωt + β) . Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels ugend ergibt sich bei gen¨ kleinen Ausschl¨ agen aus der Kreisfrequenz ω = g/l zu l 2π = 2π . (4.35) T = ω g Diese Schwingungsdauer h¨ angt nur von der Pendellänge und der Konstanten g ab und nicht von der Gr¨ oße der (kleinen) anfänglichen Auslenkung. Man sagt: Pendel gleicher L¨ ange sind bei kleinen Ausschlägen (nahezu) isochron. Die Hersteller von Pendeluhren nutzen diese Tatsache. F¨ ur die L¨ osung der vollst¨ andigen Pendelgleichung (4.34) mit der Form ϕ¨ = F (ϕ) ist die Substitution ϕ˙ = γ

ϕ¨ =

dγ dγ dϕ dγ = =γ dt dϕ dt dϕ

zust¨ andig (siehe Math.Kap. 2.2.1). Damit ergibt sich γ

dγ = −ω 2 sin ϕ dϕ

und nach Integration mittels Variablentrennung (die Substitution wurde r¨ uckg¨ angig gemacht) 1 2 1 ϕ˙ (t) − ϕ˙ 2 (0) = ω 2 (cos ϕ(t) − cos ϕ(0)) . 2 2

(4.36)

Dieses Ergebnis ist (bis auf einen Faktor ml2 ) der Energiesatz. Da S zu jedem Zeitpunkt senkrecht zu der momentanen Verschiebung dr ist, trägt die F¨ uhrungskraft nicht zu der Energiebilanz bei. Man hätte somit direkt mit dem Energiesatz m 2 v + mgh = E0 2 beginnen und die Geometrie des Problems an dieser Stelle einf¨ uhren können. Der weitere Lösungsprozess soll f¨ ur die speziellen Anfangsbedingungen

164


t=0

ϕ(0) = 0

ϕ(0) ˙ = ω0

durchgef¨ uhrt werden. Das Pendel befindet sich zu der Zeit t = 0 in dem tiefsten Punkt und hat die Winkelgeschwindigkeit ω0 . Bez¨ uglich der anfänglichen Winkelgeschwindigkeit muss man zwei M¨ oglichkeiten unterscheiden. (1) ω0 ist so groß, dass das Pendel u ¨ berschlägt und im Weiteren eine Drehung um den Aufh¨ angepunkt ausf¨ uhrt. In diesem Falle ist im zweiten Integrationsschritt die Differentialgleichung 1/2 ϕ˙ = ± 2ω 2 (cos ϕ − 1) + ω02 zu l¨ osen. Die Vorzeichen beschreiben eine Drehung im oder gegen den Uhrzeigersinn (siehe Aufg. 4.12). (2) ω0 ist klein genug, so dass das Pendel nur einen Maximalausschlag ϕm (0 ≤ ϕm ≤ π) erreicht. F¨ ur den Umkehrpunkt mit ϕ˙ = 0 folgt aus dem Energiesatz (4.36) −ω02 = 2ω 2 (cos ϕm − 1) . Diese Aussage kann man verwenden, um ω0 aus der Differentialgleichung (4.36) zu eliminieren √ 1/2 ϕ˙ = ± 2ω [cos ϕ − cos ϕm ] . (4.37) Mittels der Vorzeichen in dieser Gleichung kann man den Wechsel in der Bewegungsrichtung beschreiben. Ist f¨ ur die erste Schwingungsphase (0 ≤ ϕ ≤ ϕm ) die Winkelgeschwindigkeit positiv (ϕ˙ ≥ 0), so gilt das positive Vorzeichen. In der n¨ achsten Schwingungsphase (ϕm ≥ ϕ ≥ −ϕm ) ist f¨ ur die r¨ uckschwingende Masse das negative Vorzeichen zu benutzen, f¨ ur die letzte Phase einer vollen Schwingung wieder das positive Vorzeichen. Nur die zweite Situation soll im Detail diskutiert werden6 . Die Bewegung des Pendels ist in diesem Fall periodisch (aber nicht harmonisch). Man erhält mittels Variablentrennung f¨ ur die vier Schwingungsphasen ϕm τ1 dϕ 1 dt = √ 1/2 2ω 0 0 [cos ϕ − cos ϕm ]

τ2

τ1

τ3

τ2 6

0 dϕ 1 dt = − √ 2ω ϕm [cos ϕ − cos ϕm ]1/2 ϕm dϕ 1 = √ 1/2 2ω 0 [cos ϕ − cos ϕm ] 1 dt = − √ 2ω

0

−ϕm

dϕ [cos ϕ − cos ϕm ]1/2

Eine zus¨ atzliche Diskussion des mathematischen Pendels findet man unter der ¨ Uberschrift ‘Ein Blick in den Phasenraum‘ in Kap. 5.4.3.


1 = √ 2ω

τ4

τ3

1 dt = √ 2ω 1 = √ 2ω

[cos ϕ − cos ϕm ]1/2

0

165

dϕ

ϕm

dϕ

0

1/2

−ϕm ϕm

[cos ϕ − cos ϕm ] dϕ

0

[cos ϕ − cos ϕm ]

1/2

.

Die Schwingungsdauer f¨ ur jede der vier Phasen ist gleich τ1 = τ2 − τ1 = τ3 − τ2 = τ4 − τ3 . F¨ ur die Integration bis zu einem Zeitpunkt t ≤ τ1 gilt ϕ dϕ 1 0 ≤ ϕ ≤ ϕm ≤ π . ωt = √ 2 0 [cos ϕ − cos ϕm ]1/2

(4.38)

Das Integral auf der rechten Seite l¨ asst sich nicht elementar auswerten. Es ist ein unvollst¨ andiges elliptisches Integral erster Art (Math.Kap. 4.3.4). Eine Normalform dieser speziellen Funktion erhält man mit der folgenden Substitution 1. Benutze cos ϕ = 1 − 2 sin2 (ϕ/2) und setze k = sin(ϕm /2). Es folgt cos ϕ − cos ϕm = 2(k 2 − sin2 (ϕ/2)) . 2. Substituiere sin(ϕ/2) = k sin s. Es entspricht dann ϕ=0→s=0,

ϕ = ϕm

→ s = π/2 .

Die Details der Substitution sind 1 cos(ϕ/2) dϕ = k cos s ds 2 2k cos s dϕ = 1/2 ds . 1 − k 2 sin2 s F¨ ur den Integranden gilt 1 1/2

[cos ϕ − cos ϕm ]

1 1 1 =√ =√ . 1/2 2 k 2 − k 2 sin2 s 2 k cos s

Setzt man diese Zutaten zusammen, so findet man s ds ωt = 1/2 ≡ F (s, k) . 0 1 − k 2 sin2 s

(4.39)

166


2

F 1

0 0

s

1

Abb. 4.15. Das elliptische Integral F (s, ϕm ) f¨ ur verschiedene Maximalausschl¨ age ϕm

4.2.1.2 Diskussion des Pendelproblems. F¨ ur das elliptische Integral F (s, k) existieren Wertetabellen. Eine graphische Darstellung der Funktion F in Abh¨ angigkeit von der Variablen s in dem Bereich 0 ≤ s ≤ π/2 und dem Parameter ϕm = 2 arcsin k zeigt die Abb. 4.15. Die verschiedenen Kurven entsprechen den Werten ϕm = 0◦ , 60◦ , 90◦ , 120◦ , 150◦ , 180◦ , beginnend mit der untersten Kurve f¨ ur ϕm = 0◦ . Umkehrung dieser numerischen Resultate ergibt mit (4.39) letztlich ϕ(t) f¨ ur vorgegebene Werte von ϕm . Die Zeit f¨ ur die Dauer einer gesamten Schwingung T berechnet sich infolge der Periodizit¨ at der Viertelschwingungen zu π/2 4 ds 4 T = (4.40) = F (π/2, k) . 2 1/2 ω 0 ω 2 1 − k sin s Das Integral mit der oberen Grenze π/2, das hier auftritt, bezeichnet man als vollst¨ andiges elliptisches Integral. Seine Werte sind in der Abb. 4.15 f¨ ur s = π/2 abzulesen. F¨ ur den etwas extremen Grenzfall k = 0, der ϕm = 0 entspricht, ist π/2 π ds = . F (π/2, 0) = 2 0 Damit erh¨ alt man T = 2π/ω, die Schwingungsdauer in der harmonischen N¨ aherung (4.35). Da sich die Funktion F (π/2, k) f¨ ur kleine Werte von k (also f¨ ur kleine Maximalausschl¨ age) nur langsam mit k a ndert, ist diese N¨ a herung (wie die kleine ¨ Tabelle 4.2 zeigt) f¨ ur einen relativ großen Bereich von Maximalausschlägen akzeptabel. Infolge dieser schwachen Abh¨ angigkeit von der Variablen k kann das elliptische Integral in guter N¨ aherung mit Hilfe einer Reihenentwicklung ausgewertet werden. Die binomische Reihe 3 1 = 1 + x + x2 + . . . 2 8 entspricht in dem vorliegenden Fall −1/2

[1 − x]


167

Tabelle 4.2. Variation des vollst¨ andigen elliptischen Integrals F (π/2, k) mit dem Maximalausschlag k = sin ϕm /2 0◦

20◦

40◦

60◦

90◦

1.571

1.583

1.620

1.686

1.854

ϕm F (π/2, k)

−1/2

1 3 = 1 + k 2 sin2 s + k 4 sin4 s + . . . . 2 8 Integriert man Term f¨ ur Term, so ben¨ otigt man die Einzelintegrale π/2 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) π n≥1, sin2n s ds = 2 · 4 · 6 · · · 2n 2 0 1 − k 2 sin2 s

(4.41)

die in elementarer Weise rekursiv berechnet werden können ( D.tail 4.2). Die Entwicklung f¨ ur die Schwingungsdauer bis zu der vierten Potenz in k ist somit 2π 9 1 T = TO(k4 ) + · · · TO(k4 ) = (4.42) 1 + k2 + k4 . ω 4 64 Die Schwingungsdauer h¨ angt von dem Maximalausschlag ab. Das mathematische Pendel ist nicht isochron. Eine Vorstellung von der Größenordnung der Korrektur und von der G¨ ute der N¨ aherungsformel bis zu Termen mit k 4 gibt die folgende Tabelle 4.3. Bei einem Maximalauschlag von 90◦ ist die Tabelle 4.3. Vergleich der exakten Schwingungsdauer des mathematischen Pendels mit der N¨ aherung bis zur vierten Ordnung ϕm

0◦

20◦

40◦

60◦

90◦

k = sin ϕm /2

0

0.174

0.342

0.500

0.707

TO(k4 )

1

1.0077

1.0312

1.0713

1.1602

Texakt

1

1.0077

1.0313

1.0732

1.1803

Abweichung von dem harmonischen Grenzfall 18%, die Näherungsformel ist auf 1.7 % genau. Die Korrektur zu der harmonischen Näherung findet Anwendung bei der Konstruktion mechanischer Uhren mit hoher Präzision (den alten astronomischen Uhren) und bei Pr¨ azisionsmessungen der Erdbeschleunigung g. Der Grenzfall k = 1 → ϕm = π ist ebenfalls von Interesse. Man findet π/2 ds F (π/2, 1) = →∞. cos s 0

168


Wenn das Pendel so angestoßen wird, dass es gerade in die aufrechte Lage schwingt, dauert der Prozess unendlich lange. Die entsprechende anfängliche Winkelgeschwindigkeit ist ω0 = ±2ω = ±2 g/l. Es bleibt noch die Frage nach der zeitlichen Variation der F¨ uhrungskraft, die durch die radiale Bewegungsgleichung in (4.33) bestimmt wird S(t) = mg cos ϕ(t) + mlϕ˙ 2 (t) . Um den Massenpunkt auf dem Kreisbogen zu halten, ist eine recht komplizierte F¨ uhrungskraft notwendig. Benutzt man den Energiesatz (4.36) 2g (cos ϕ − cos ϕm ) , l so ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungskraft als Funktion des Ausschlages ϕ˙ 2 =

S = mg(3 cos ϕ − 2 cos ϕm ) .

(4.43)

Die Funktion S(ϕ) ist f¨ ur ϕm = 60◦ in Abb. 4.16 dargestellt. Ist ϕm ≤ 90◦ , so ist dieser Ausdruck immer positiv. Dies bedeutet, dass die Masse durch die F¨ uhrungskraft nach innen gezogen wird. Ersetzt man die fiktive Stange durch einen festen Faden (man spricht dann von einem Fadenpendel), so ergibt sich der gleiche Bewegungsablauf. Ist ϕm > 90◦ , so nimmt S auch S/mg 2

1

o

–60 –30

o

30

o

60

o

Abb. 4.16. Variation der F¨ uhrungskraft mit der Auslenkung f¨ ur ϕm = 60◦

negative Werte an. Die Abb. 4.17a zeigt die Funktion S(ϕ) f¨ ur ϕm = 180◦ . ◦ Bei Auslenkungen, die gr¨ oßer als 132 (cos ϕ = −2/3) sind, ist S negativ. F¨ ur solche Winkel muss man die Masse nach außen ziehen, um sie auf der Kreisbahn zu halten. Ein Fadenpendel w¨ urde bei diesen Winkeln einschlagen (Abb. 4.17b). Weitere Pendeltypen (bzw. Schwingungsformen) können diskutiert werden, wie zum Beispiel: 1. Das sph¨ arische oder Kugelpendel: ein mathematisches Pendel mit allgemeinen Anfangsbedingungen, so dass die Schwingung nicht auf eine Ebene beschr¨ ankt ist (siehe Kap. 5.3.2). 2. Pendel mit speziellen F¨ uhrungskurven, wie das Zykloidenpendel, das f¨ ur beliebige Maximalausschl¨ age isochron schwingt ( Aufg. 4.13). 3. Das physikalische Pendel: die Drehbewegung eines starren Körpers um eine beliebige Achse (siehe Kap. 6.3.7).

4.2 Oszillatorprobleme (a)

169

(b) S/mg

ϕ >132o ϕ =132o

30 o 90 o

180o

–1

Die Funktion S(ϕ)

Illustration des Bewegungsablaufes f¨ ur ein Fadenpendel

Abb. 4.17. Variation der F¨ uhrungskraft mit der Auslenkung f¨ ur ϕm = 180◦

Einige dieser Beispiele werden nach der Aufbereitung der Lagrangeformulierung (Kap. 5) der Mechanik betrachtet. Eine direktere Variante des (eindimensionalen) harmonischen Oszillatorproblems mit einigen Anwendungen in der Messtechnik ist der gedämpfte harmonische Oszillator. 4.2.2 Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator Die eindimensionale Bewegungsgleichung, die hier zur Diskussion steht, lautet m¨ x + bx˙ + kx = 0 .

(4.44)

˙ der dritDer zweite Term ist die Reibungskraft nach Stokes (FS = −bx), te Term die R¨ uckstellkraft nach dem Hookeschen Gesetz (FH = −kx). Die Gesamtkraft ist nicht konservativ, so dass der Energiesatz in der direkten Form nicht g¨ ultig ist (siehe jedoch S. 172). Die Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung bereitet keine Schwierigkeiten. Zur Aufbereitung f¨ uhrt man die Standardabk¨ urzungen k 1 b ω0 = β= 2m m ein. Die Differentialgleichung lautet dann x¨ + 2β x˙ + ω02 x = 0 . Der Exponentialansatz x = e

(4.45) αt

f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung

α2 + 2βα + ω02 = 0 , mit den Wurzeln

1/2 α1,2 = −β ± β 2 − ω02 .

(4.46)

170


4.2.2.1 Diskussion der Bewegungsformen. Drei physikalisch unterschiedliche L¨ osungstypen sind zu unterscheiden: 1. Die schwache Dämpfung wird durch ω02 > β 2 charakterisiert. Der Radikand in (4.46) ist negativ, so dass die Wurzeln der quadratischen Gleichung komplex sind α1,2 = −β ± iω1

(ω12 = ω02 − β 2 ) .

Die allgemeine L¨ osung ist −βt C1 eiω1 t + C2 e−iω1 t , x(t) = e beziehungsweise in reeller Form x(t) = Ae−βt cos(ω1 t + δ) .

(4.47)

Die zwei Integrationskonstanten werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. So erh¨ alt man z.B. f¨ ur die Anfangsbedingungen x(0) = 0

x(0) ˙ = v0

(4.48)

die explizite L¨ osung (Abb. 4.18) v0 −βt e sin ω1 t , x(t) = ω1 x

t

Abb. 4.18. Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator: schwache D¨ ampfung

die eine durch den abfallenden Exponentialfaktor gedämpfte Sinusschwingung mit der Kreisfrequenz ω1 darstellt. Der Durchgang durch die Gleichgewichtslage findet f¨ ur die Zeiten ω1 t = nπ statt. Die Schwingung ist also trotz D¨ ampfung periodisch. Die lokalen Maxima und Minima entsprechen den Ber¨ uhrungspunkten der L¨ osungskurve mit der exponentiellen Enveloppe. 2. F¨ ur den Fall der Doppelwurzel β 2 = ω02 liegt ein bestimmtes Verhältnis von Reibungskoeffizient zu R¨ uckstellkonstante vor. Man bezeichnet diesen Fall als den aperiodischen Grenzfall. Die allgemeine Lösung hat hier die Form (siehe Math.Kap. 2.2.2) x(t) = (C1 + C2 t)e−βt . F¨ ur die Anfangsbedingungen (4.48) folgt x(t) = v0 te−βt .

(4.49)


171

Diese Funktion beschreibt eine anf¨ angliche (zunächst linear) wachsende Auslenkung bis zur Zeit t = 1/β und nach Umkehrung der Bewegungsrichtung eine exponentielle R¨ uckkehr in die Gleichgewichtslage (Abb. 4.19). x

1/β

t

Abb. 4.19. Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator: aperiodischer Grenzfall

3. Eine starke Dämpfung wird durch die Ungleichung ω02 < β 2 charakterisiert. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind in diesem Fall reell. Da β ≥ β 2 − ω02 ist, sind sowohl α1 als auch α2 negative Zahlen. Die allgemeine L¨ osung x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t

α1 , α2 < 0

¨ ist also eine Uberlagerung von zwei Termen, die exponentiell mit der Zeit abnehmen. Der Bewegungsablauf ist demnach auch keine Schwingung (er wird oft als Kriechbewegung bezeichnet). F¨ ur die Anfangsbedingung (4.48) ergibt sich die spezielle L¨ osung v0 −βt e sinh( (β 2 − ω02 ) t) (4.50) x(t) = β 2 − ω02 mit der hyperbolischen Sinusfunktion 1 sinh x = (ex − e−x ) . 2 Die entsprechende x(t) -Kurve (Abb. 4.20) ist vergleichbar mit der Kurve des aperiodischen Grenzfalles: Ausschlag bis zu einem Maximum und dann x

t

Abb. 4.20. Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator: starke D¨ ampfung

exponentielles R¨ uckschwingen in die Gleichgewichtsposition. Der Unterschied gegen¨ uber dem aperiodischen Grenzfall ist eine langsamere R¨ uckbewegung in die Gleichgewichtslage. Zu der Energiesituation des ged¨ ampften Oszillators ist das Folgende zu bemerken. Aus der Bewegungsgleichung (4.44) folgt nach Multiplikation mit x˙ m¨ xx˙ + kxx˙ = −bx˙ 2 ,

172


beziehungsweise nach Zusammenfassung der linken Seite dieser Gleichung

d m 2 k 2 x˙ + x = −bx˙ 2 . dt 2 2 Zur Interpretation dieses Ausdrucks kann man sich vorstellen, dass der Oszillator ein Masse-Feder System ist, das in einer viskosen Fl¨ ussigkeit schwingt (Abb. 4.21). Der Ausdruck in der Klammer stellt dann die kinetische Energie

m k

Abb. 4.21. Der ged¨ ampfte harmonische Oszillator: ‘Gesamtsystem‘

der Masse sowie die potentielle Energie, die in der Feder gespeichert ist, dar. ¨ Die zeitliche Anderung der gesamten mechanischen Energie des Masse-Feder Systems ist negativ. Die mechanische Energie nimmt also mit der Zeit ab und zwar gem¨ aß ( Aufg. 4.14) t x(t ˙ )2 dt . Emech(t) = Emech (0) − b 0

Die mechanische Energie, die dem Masse-Feder System entzogen wird, findet sich haupts¨ achlich in der Form von W¨ arme (einer anderen Energieform) des Systems Masse-Feder-Fl¨ ussigkeit wieder. Man kann also den Energiesatz f¨ ur dieses Gesamtsystem (vorausgesetzt es ist gegen die weitere Umwelt thermisch isoliert) in der Form d Emech (t) + Q(t) = 0 dt wieder in Ordnung bringen, wobei Q den zeitlich variablen Wärmeinhalt des Gesamtsystems darstellt. Eine weitere Variation des Oszillatorproblems stellen erzwungene Schwingungen dar, die durch eine Differentialgleichung der Form m¨ x + bx˙ + kx = F (t) oder x ¨ + 2β x˙ + ω02 x = f (t)

f = F/m

(4.51)

charakterisiert werden. Die Gr¨ oße ω0 bezeichnet man als die Eigenfrequenz des Systems. Das Masse-Feder System wird nicht nur angestoßen, sondern einer zus¨ atzlichen, zeitabh¨ angigen, ¨ außeren Kraft unterworfen. Auch in diesem Fall kann man zwischen einer freien (β = 0) und einer gedämpften (β = 0) Schwingung unterscheiden. Der einfachste Fall liegt vor, wenn die aüßere Kraft harmonisch ist.


173

4.2.3 Erzwungene Schwingungen: Harmonische Kraft F¨ ur die ¨ außere Kraft kann man hier zum Beispiel f (t) = γ cos ωt

(4.52)

ansetzen. Die schwingende Masse wird mit der Frequenz ν = ω/2π periodisch angetrieben. Die L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung (4.51) hat die Form (Math.Kap. 2.2.2) x(t) = xhom (C1 , C2 , t) + xpart (t) . Die allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung wurde in dem vorangehenden Abschnitt besprochen. Die noch ausstehende Partikulärlösung der inhomogenen Differentialgleichung gewinnt man f¨ ur die einfache kosinusf¨ ormige Kraft u ber einen einfachen Ansatz mit trigonometrischen Funk¨ tionen xpart (t) = A cos ωt + B sin ωt . Eine Anwendung der allgemeinen Methode der ‘Variation der Konstanten‘ ist auch m¨ oglich, doch ein wenig aufwendiger. Um die unbekannten Koeffizienten A und B zu bestimmen, setzt man den Ansatz in die Differentialgleichung ein. Mit x˙ part = −Aω sin ωt + Bω cos ωt

x ¨part = −Aω 2 cos ωt − Bω 2 sin ωt

erh¨ alt man cos ωt −Aω 2 + 2βBω + Aω02 + sin ωt −Bω 2 − 2βAω + Bω02 = γ cos ωt . Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem (−2βω)A + (ω02 − ω 2 )B = 0 (ω02 − ω 2 )A + (2βω)B = γ mit der L¨ osung A=

γ(ω02 − ω 2 ) [(ω02 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2 ]

B=

2βγω . [(ω02 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2 ]

Es ist n¨ utzlich, die Partikul¨ arl¨ osung in die Form xpart = a cos(ωt − ϕ) (Amplitude und Phase) zu bringen. Die Standardumschreibung ist a = [A2 + B 2 ]1/2 A cos ϕ = √ 2 A + B2 Damit erh¨ alt man explizit

B sin ϕ = √ 2 A + B2

tan ϕ =

B . A

(4.53)

174


a=

tan ϕ =

γ [(ω02

−

ω 2 )2

(4.54)

1/2

+ 4β 2 ω 2 ]

2βω . − ω2

(4.55)

ω02

Die Phase ist unabh¨ angig von der St¨ arke der äußeren Kraft. ¨ Uber die Gesamtl¨ osung x(t) = xhom (C1 , C2 , t) + xpart (t) kann man zun¨ achst die folgenden pauschalen Aussagen machen: 1. Die Integrationskonstanten C1 und C2 der Gesamtlösung sind aus vorgegebenen Anfangsbedingungen zu bestimmen. Die endg¨ ultige Form der L¨ osung kann unter Umst¨ anden einigermaßen kompliziert aussehen. 2. Wenn die homogene L¨ osung einen Schwingungsvorgang beschreibt, der mit der Zeit exponentiell abklingt, wird f¨ ur große Zeiten der zweite Term dominieren lim x(t) = xpart (t)

t groß

falls

lim xhom (t) = 0 .

t groß

Nach einem komplizierten ‘Einschwingvorgang‘ folgt die Bewegung der aufgepr¨ agten ¨ außeren Kraft mit xpart (t) = a cos(ωt − ϕ) . Die Phasenverschiebung ϕ zeigt an, dass der Oszillator nicht synchron mit der a üßeren Kraft, sondern mit einer Phasendifferenz schwingt. In dem Fall β = 0, das heißt einer erzwungenen Schwingung ohne Dämpfung, ist γ a= 2 und ϕ = 0 . |ω0 − ω 2 | Da die Amplitude eine positive Gr¨ oße ist, muss hier der Betrag benutzt werden. Die allgemeine L¨ osung hat die Form x(t) = a0 cos(ω0 t − δ0 ) + a(γ, ω, ω0 ) cos ωt , ¨ a0 und δ0 sind die Integrationskonstanten. Die Lösung entspricht einer Uberlagerung von zwei harmonischen Schwingungen, einmal mit der Eigenfrequenz des Systems (ω0 ), zum anderen mit der Frequenz der aufgeprägten Kraft (ω). F¨ ur die speziellen Anfangsbedingungen x(0) = 0

x(0) ˙ =0

w¨ urde sich die Masse ohne die aufgepr¨ agte Kraft nicht bewegen. F¨ ur diese Anfangswerte erh¨ alt man die Bedingungen a0 cos δ0 + a = 0 {−a0 ω0 sin(ω0 t − δ0 ) − a ω sin ωt}t=0 = a0 ω0 sin δ0 = 0 ,


175

aus denen δ0 = 0

a0 = −a

und

folgt. Die spezielle L¨ osung ist also x(t) = a (cos ωt − cos ω0 t) . 4.2.3.1 Beispiele f¨ ur erzwungene Schwingungen. Die Vielfalt von ¨ Schwingungsformen, die durch die Uberlagerung dieser zwei Kosinusschwingungen entstehen k¨ onnen, wird durch die folgenden Beispiele angedeutet. • Ist die Eigenfrequenz des Systems doppelt so groß wie die Frequenz der aufgezwungenen Kraft ω0 = 2ω (Beispiel 4.1), so erhält man die Amplitude a = γ/3ω. Die grauen Kurven in Abb. 4.22 zeigen die beiden separaten Anteile. Die Kurve cos ωt und eine Kosinuskurve, die mit der doppelten Frequenz oszilliert. Addition ergibt die schwarze Kurve. Der Bewegungs-

x cos ω t

π

ωt

2π

-cos 2 ω t

Abb. 4.22. Erzwungene Schwingungen mit harmonischer Kraft: Eine Partikul¨ arl¨ osung f¨ ur ω0 = 2 ω

ablauf ist periodisch (das Muster wiederholt sich), jedoch nicht harmonisch. Der Maximalausschlag in der negativen Richtung ist doppelt so groß wie der Maximalausschlag in der positiven x -Richtung. • Die Eigenfrequenz unterscheidet sich nur minimal von der Frequenz der aufgezwungenen Schwingung (Beispiel 4.2) ω0 = ω + Δω

mit

ω Δω > 0 .

Die Amplitude ist in diesem Fall γ γ a= ≈ . (2ωΔω + Δω 2 ) 2ωΔω Falls Δω sehr klein ist, kann die Amplitude sehr groß werden. F¨ ur Zeiten, die die Bedingung Δω t < 1 erf¨ ullen, gilt die Näherung cos ωt − cos ω0 t = cos ωt − cos ωt cos Δωt + sin ωt sin Δωt ≈ cos ωt − cos ωt + (Δωt) sin ωt = (Δωt) sin ωt + O((Δωt)2 ) . Es folgt somit

176


γ t sin ωt g¨ ultig f¨ ur Δωt < 1 . 2ω Diese Gleichung beschreibt (Abb. 4.23a) eine Sinusschwingung zwischen den Enveloppen ± γ t/(2 ω). Das System schwingt aus der vorgegebenen Anfangssituation bis zu einer großen Amplitude auf. Man bezeichnet dieses Ph¨ anomen als Resonanz. x(t) ≈

Betrachtet man, etwas allgemeiner, die Amplitude als Funktion der Frequenz der ¨ außeren Schwingung γ , a(ω) = 2 |ω0 − ω 2 | so findet man das folgende Verhalten (Abb. 4.23b): Die Kurve a(ω) ist f¨ ur (a)

(b)

a(ω)

x

ωt

ωo Auslenkung als Funktion der Zeit

ω

Amplitude als Funktion der Kreisfrequenz

Abb. 4.23. Resonanzkatastrophe: unged¨ ampfter Oszillator

ω = ω0 singul¨ ar. Die Singularit¨ at ist durch eine extreme Kopplung zwischen der Eigenschwingung und der aufgezwungenen Schwingung bedingt. Das System folgt der aufgezwungenen Schwingung um so williger, je näher die Frequenz ω an die Eigenfrequenz ω0 herankommt. Sind beide Frequenzen gleich, so ist die Amplitude (formal) unendlich groß. In der Realität ist jedoch das Folgende zu bedenken: Der Ansatz f¨ ur die R¨ uckstellkraft ist nur f¨ ur kleine Ausschl¨ age g¨ ultig. Wenn man die ‘Resonanzkatastrophe‘ wirklich berechnen m¨ ochte, m¨ usste man einen realistischeren Ansatz f¨ ur die R¨ uckstellkraft, der auch f¨ ur gr¨ oßere Ausschl¨ age g¨ ultig ist, benutzen. Resonanzkatastrophen von mechanischen Systemen, die periodischen Kraftwirkungen ausgesetzt sind, treten jedoch durchaus auf. Ein sehr dramatisches Beispiel ist der Einsturz der Tacomabr¨ ucke in der Nähe von Seattle (USA) in den 40er Jahren des 20. Jahrhunderts. Es existiert ein kurzer Film, der zeigt, wie die Br¨ ucke (eine H¨ angebr¨ ucke) w¨ ahrend eines Sturmes von periodischen Windst¨ oßen, deren Frequenz nahe der Eigenfrequenz der Br¨ ucke lag, aufgeschaukelt wird. Das Aufschwingen war so stark, dass die Br¨ ucke einst¨ urzte.


177

Ist ω ω0 , so kann das System (infolge seiner Trägheit) der äußeren Einwirkung nicht so recht folgen. Es reagiert, indem es die wilden Schwingungen gar nicht mitmacht (a −→ 0). 4.2.3.2 Detaildiskussion des Resonanzph¨ anomens. Ist der Oszillator ged¨ ampft (β = 0), so hat die Amplitudenfunktion (4.54) γ a(ω) = (4.56) 1/2 2 2 2 [(ω0 − ω ) + 4β 2 ω 2 ] ungef¨ ahr den folgenden Verlauf (Abb. 4.24): F¨ ur ω = 0 hat sie den Wert γ/ω02 . Sie w¨ achst dann mit ω ebenfalls an, die Amplitude bleibt jedoch endlich. Die a amax

Δω

γ ωo2

ω

ωR

Abb. 4.24. Resonanz: Amplitude als Funktion der Kreisfrequenz bei D¨ ampfung

Funktion hat an der Stelle 1/2 ωR = ω02 − 2β 2

(4.57)

ein Maximum, das aus der Bedingung 2 da 2ωγ 2 2 =− ω =0 − ω − 2β 0 3/2 dω [(ω 2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2 ] 0

bestimmt werden kann. Die Resonanzstelle ist im Vergleich zu dem unged¨ ampften Fall zu kleineren ω -Werten verschoben. Nach dem Durchgang durch die Resonanzstelle f¨ allt die Funktion a(ω) letztlich wie 1/ω 2 ab. Die Resonanzstruktur kann (grob) durch die folgenden Angaben charakterisiert werden: 1. die Resonanzfrequenz ωR . 2. Die maximale Amplitude a(ωR ) = amax =

γ . 2β(ω02 − β 2 )1/2

(4.58)

3. Die Halbwertsbreite a a max max −ω , (4.59) Δω1/2 = ω 2 oberhalb 2 unterhalb die einem Intervall um die Resonanzstelle ωR zwischen den Punkten, an denen die Amplitude die H¨ alfte des Maximalwertes annimmt, entspricht

178


(Abb. 4.24). Eine explizite Formel f¨ ur die Halbwertsbreite als Funktion von β und ω0 kann angegeben werden ( D.tail 4.3). Man begn¨ ugt sich jedoch meist mit Absch¨ atzungen. So gilt z.B. √ f¨ ur den Fall der schwachen aherung Δω1/2 ≈ 2 3 β . D¨ ampfung (ω0 > β) die N¨

a Q = oo

Q=0 ω

Abb. 4.25. Variation der Resonanzkurven mit dem G¨ utefaktor

Die Variation der Resonanzkurven mit dem Grad der Dämpfung zeigt die Abb. 4.25. Der relevante Parameter ist der G¨ utefaktor 2 2 ωR ω0 − 2β Q= = . (4.60) 2β 2β Der Wert Q → ∞ entspricht einer verschwindenden Dämpfung (β → 0). W¨ achst die D¨ ampfung an, so verschiebt sich das Maximum langsam nach links, der maximale Amplitudenwert wird kleiner und die Resonanzstruktur wird breiter. F¨ ur Q =√1 ist die Resonanzstelle kaum ersichtlich, f¨ ur Q = 0 (dies entspricht ω0 = 2β) ist sie nicht mehr evident. Auch die Phasenfunktion (4.55)

2βω 2βω tan ϕ(ω) = 2 bzw. ϕ(ω) = arctan ω0 − ω 2 ω02 − ω 2 zeigt einen f¨ ur Resonanzeffekte charakteristischen Verlauf (Abb. 4.26). Die tan ϕ

ωo

ω

Abb. 4.26. Die Phasenfunktion tan ϕ(ω)

Kurve tan ϕ(ω) beginnt bei ω = 0 mit dem Wert 0. Sie steigt mit wachsendem ω an und wird f¨ ur ω → ω0 unendlich groß. Wenn man diese Stelle passiert


179

hat, springt der Tangens auf den Wert −∞ und nähert sich f¨ ur größere Werte von ω dem Wert tan ϕ = 0 von unten. F¨ ur das entsprechende Verhalten von ϕ(ω) selbst ergibt sich das folgende Bild (Abb. 4.27): ϕ(ω) wächst von dem ur große Werte Wert Null bis zu dem Wert π/2 an der Stelle ω0 und erreicht f¨ von ω den Wert π. Betrachtet man die Variation der Phasenfunktion mit dem G¨ utefaktor, so findet man die folgenden Charakteristika: F¨ ur starke Reibung ϕ Q oo Q klein

ωo

ω

Abb. 4.27. Variation von ϕ mit dem G¨ utefaktor

(Q klein) ist der Durchgang durch die Stelle ω0 recht flach. Je größer Q ist, (je kleiner die Reibung), desto sch¨ arfer wird der Wechsel von ϕ = 0 zu ϕ = π. In dem Grenzfall Q → ∞ (keine Reibung) erhält man eine Sprungfunktion. Die vollst¨ andige L¨ osung x(t) = xhom (C1 , C2 , t) + a(ω) cos(ωt − ϕ(ω)) (z.B. f¨ ur die Anfangsbedingung x(0) = 0, x(0) ˙ = 0, siehe Aufg. 4.15) ist infolge des Einschwingvorgangs meist recht kompliziert. Dämpfungseffekte (falls vorhanden) bedingen jedoch, dass die L¨ osung letztlich in lim x(t) = a cos(ωt − ϕ)

t groß

u ¨bergeht. Der Massenpunkt schwingt dann mit der gleichen Frequenz wie die anregende Kraft. Die Amplitude a beschreibt, wie stark das System auf die Anregung reagiert. In jedem Fall ist die Amplitude proportional zu γ, d.h. der St¨ arke der anregenden Kraft. Die Phase beschreibt, wie der Massenpunkt der Anregung folgen kann. Ist die Frequenz klein, so ist auch ϕ(ω) klein und die Oszillation folgt (nach dem Einschwingvorgang) der äußeren Kraft ohne gr¨ oßere Verz¨ ogerung. Ist ω = ω0 , so ist der Phasenunterschied (unabhängig von dem Grad der D¨ ampfung) 90◦ . Die Masse schwingt gemäß einer Sinuskurve, wenn die Anregung durch eine Kosinuskurve beschrieben wird. F¨ ur große ω -Werte ist der Phasenunterschied π. Der Oszillator schwingt (mit kleiner Amplitude) entgegengesetzt zu der ¨ außeren Kraft. Neben der Realisierung in mechanischen Systemen spielt der gedämpfte, erzwungene Oszillator in der Elektrotechnik eine Rolle (siehe Band 2). Ein Stromkreis (Abb. 4.28) aus Wechselspannungsquelle (U ), Spule (mit der Induktion L), Kondensator (mit der Kapazit¨ at C) und Widerstand (R) wird als Schwingkreis bezeichnet. Ein Strom i, der durch den Schwingkreis fließt, wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben

180


L U(t)

C

R

Abb. 4.28. Elektrischer Schwingkreis

i dU d2 i di + = . +R 2 dt dt C dt Die L¨ osungen dieser Differentialgleichung entsprechen, unabhängig von der Interpretation der einzelnen Terme, genau dem Fall des mechanischen Oszillators. L

4.2.4 Erzwungene Schwingungen: Allgemeine Anregungen Nach der Diskussion der Respons eines Masse-Feder Systems auf eine harmonische Anregung stellt sich die Frage: Wie gewinnt man die Lösung der Schwingungsgleichung a¨ x + bx˙ + cx = F (t)

(4.61)

im Fall einer allgemeinen ¨ außeren Anregung F (t)? Eine Antwort auf diese Frage findet man mit Hilfe des Superpositionsprinzips, das man in der folgenden Weise formulieren kann: N Sei F (t) = n=0 Fn (t) und xn (t) eine Partikulärlösung der DifferenN tialgleichung a¨ xn +bx˙ n +cxn = Fn (t). Dann ist xpart (t) = n=0 xn (t) eine Partikul¨ arl¨ osung der Differentialgleichung a¨ x + bx˙ + cx = F (t). Der Beweis dieser Aussage ist einfach: Setze xpart in die zugehörige Differentialgleichung ein, sortiere linke und rechte Seite und benutze die Voraussetzung. Das Superpositionsprinzip erlaubt die Zusammensetzung der Partikul¨ arl¨ osung von linearen, inhomogenen Differentialgleichungen im Falle eines komplizierteren inhomogenen Termes aus einfacheren Bestandteilen. Das Theorem ist (unter geeigneten Voraussetzungen, siehe Math.Kap. 1.3.4) auch in dem Grenzfall N → ∞ g¨ ultig. Es ist dann F (t) =

∞ n=0

Fn (t)

xpart (t) =

∞

xn (t) .

n=0

Eine Voraussetzung ist: Die Funktionenreihen m¨ ussen (in einem Intervall) absolut und gleichm¨ aßig konvergieren. In dieser Form bietet das Theorem die M¨ oglichkeit, exotischere periodische Anregungen zu diskutieren, so z.B. diverse ‘Sägezahnkräfte‘ (Abb. 4.29a) oder eine Kraft, die aus Parabelst¨ ucken zusammengesetzt ist (Abb. 4.29b).

4.2 Oszillatorprobleme (a)

181

(b)

T

F(t)

t F(t)

T F(t)

t durch S¨ agezahnkr¨ afte

T

t durch eine Kraft aus Parabelst¨ ucken

Abb. 4.29. Periodische Anregungen (mit der Periode T )

Die periodischen Funktionen in diesen Beispielen sind zwar stetig aber nicht stetig differenzierbar. Solche Anregungen werden in der Elektrotechnik verwendet. F¨ ur die Darstellung der in der Abbildung gezeigten, periodischen Funktionen ist die Theorie der Fourierreihen zust¨ andig: Man versucht solche Funktionen darzustellen, indem man Sinus- und Kosinusfunktionen mit Perioden, die genau in das Grundintervall der unabh¨ angigen Variablen eingebettet werden k¨ onnen, u ur den Fall der S¨ agezahnkraft in Abb. 4.30a sieht ¨berlagert. F¨ die naive Umsetzung des entsprechenden Verfahrens folgendermaßen aus: In einem Grundintervall −a ≤ t ≤ a wird die Funktion F (t) durch F (t) = t beschrieben. Die periodische Fortsetzung in benachbarten Intervallen erfordert F (t ± 2a) = F (t) . Zur Darstellung dieser ungeraden, periodischen Funktion durch trigonometrische Funktionen bietet sich als erste Näherung eine Sinusfunktion der Form π 2a sin t F1 (t) = π a an. Mit dem Faktor π/a in dem Argument der Sinusfunktion wird erreicht, dass die Sinuskurve genau in das Grundintervall passt. Die Amplitude der ¨ Sinusfunktion ergibt sich durch optimale Anpassung des Uberbzw. Unterschwingens (Abb. 4.30b). Zu dieser N¨ aherung addiert man mit geeigneter Amplitude und Vorzeichen, eine Sinusfunktion mit der doppelten Frequenz. Die Amplitude wird so gew¨ ahlt, dass die Abweichung der ersten Näherung von der Funktion F (t) = t optimal reduziert wird. Man erhält auf diese Weise

1 2π 2a π t . F2 (t) = sin t − sin π a 2 a Die Darstellung der S¨ agezahnfunktion in dieser Näherung ist in Abb. 4.30c wiedergegeben. Die Fortsetzung dieses Verfahrens ist im Prinzip einfach. In der n¨ achsten N¨ aherung benutzt man einen Beitrag mit drei Schwingungen

182


(a)

(b) F

F

-a

-a a t

Kraftwirkung in dem Grundintervall (c)

a t

Erste N¨ aherung (d)

F

F

-a

-a a t

Zweite N¨ aherung

a t

N¨ aherung mit N Termen

Abb. 4.30. Fourierdarstellung einer S¨ agezahnkraft

im Grundintervall, etc. F¨ ur jeden zus¨ atzlichen Beitrag wird die Amplitude so angepasst, dass die Abweichungen von dem Geradenst¨ uck reduziert werden. Eine N¨ aherung mit N Termen ist in Abb. 4.30d angedeutet. Im Endeffekt gewinnt man (im Grenzfall N → ∞) auf diese Weise die Fourierdarstellung der S¨ agezahnfunktion, die eine periodische Fortsetzung der in Abb. 4.30a gezeigten Grundfunktion ist

∞ nπt 2a n+1 1 sin (−) F (t) = . (4.62) π n=1 n a Diese Funktion ist offensichtlich periodisch, denn es gilt F (t) = F (t ± 2a). Die Darstellung in dem Grundintervall wiederholt sich f¨ ur alle benachbarten Intervalle. Diese verbale Beschreibung der Konstruktion einer Fourierreihe wird in Math.Kap. 1.3.4 genauer fundiert. In diesem Kapitel wird auch die explizite Herleitung der Darstellung der Sägezahnkraft (4.62) gegeben. Die Antwort auf die anfangs gestellte Frage lautet somit: Falls man die außere Kraft in der Form ¨ F (t) =

N n=0

Fn (t)


183

mit einem endlichen Wert von N darstellen kann und wenn man die Partikul¨ arl¨ osungen xn (t) der entsprechenden individuellen Schwingungsgleichungen a¨ xn (t) + bx˙ n (t) + cxn (t) = Fn (t) kennt, so lautet die allgemeine L¨ osung des getriebenen Oszillatorproblems x(t) = xhom (C1 , C2 , t) +

N

xn (t) .

n=0

Falls man den Grenzfall N → ∞ in Betracht zieht, wie zum Beispiel bei der Darstellung einer periodischen a üßeren Kraft durch eine Fourierreihe, ist diese Aussage immer noch g¨ ultig, vorausgesetzt die relevanten mathematischen Bedingungen sind erf¨ ullt.

5 Allgemeine Formulierungen der Punktmechanik

Das zweite Newtonsche Axiom besagt, dass der zeitliche Bewegungsablauf eines Massenpunktes berechnet werden kann, wenn die Kräfte, die auf den Massenpunkt einwirken, vorgegeben sind. Neben der Tatsache, dass die Lösung der Bewegungsgleichung unter Umst¨ anden nicht einfach ist, können sich andere Schwierigkeiten einstellen. Es ist m¨ oglich, dass die Kräfte (als Kraftfeld oder als Funktion der Zeit oder . . .) gar nicht explizit bekannt sind, sondern dass geometrische Bedingungen vorliegen, die die Bewegung einschränken. Ein Beispiel dieser Art ist die Fallbewegung auf einer schiefen Ebene. Offensichtlich kompensiert eine Kraftwirkung, die durch den Druck eines Objektes (im Idealfall eines Massenpunktes) auf die ‘starre Unterlage‘ zustande kommt, einen Teil der (einfachen) Schwerkraft. Diese Zwangskraft kann man im Fall der schiefen Ebene mit elementaren Mitteln bestimmen, im Allgemeinen ist jedoch ein weitergehender Ansatz erforderlich. Die Diskussion von Bewegungsproblemen mit Einschr¨ ankungen allgemeiner Art geht auf Lagrange zur¨ uck. Der entsprechende Satz von Bewegungsgleichungen, in denen die Zwangskr¨ afte explizit auftreten, ist unter der Bezeichnung Lagrangegleichungen erster Art (kurz Lagrange I) bekannt. Eine formale Fundierung dieser Gleichungen liefert das Prinzip von d’Alembert, das man als eine präzise Erweiterung des zweiten Axioms bei Anwesenheit von Einschränkungen der Bewegung auffassen kann. Das d’Alembertsche Prinzip kann auch als Grundlage zu der Aufstellung der Lagrangegleichungen zweiter Art (kurz Lagrange II) dienen, in denen eine bestimmte Klasse von einschr¨ ankenden Bedingungen durch eine optimale Koordinatenwahl (Wahl von generalisierten Koordinaten) einbezogen wird. ¨ Diese Bewegungsgleichungen zeichnen sich durch Okonomie in der Formulierung und Flexibilit¨ at in der Handhabung aus. Sie stellen ein Kernst¨ uck der ‘h¨ oheren Mechanik‘ dar. Das Kapitel beginnt mit der Diskussion der Bewegungsgleichungen unter expliziter Einbeziehung der Zwangskr¨ afte, also mit den Lagrangegleichungen erster Art.

186


5.1 Die Lagrangegleichungen erster Art (Lagrange I) Die Thematik dieses Abschnittes l¨ asst sich am einfachsten durch die Betrachtung einiger Beispiele vorstellen. Anhand dieser Beispiele wird es möglich sein, ausreichende Information u ¨ ber die Eigenschaften der Zwangs- oder F¨ uhrungskr¨ afte und somit eine allgemeine Formulierung von Bewegungsproblemen mit einschr¨ ankenden Bedingungen zu gewinnen. 5.1.1 Beispiele f¨ ur Bewegungen unter Zwangsbedingungen Ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss der einfachen Schwerkraft auf einer beliebigen Fl¨ ache im Raum (Beispiel 5.1, siehe Abb. 5.1). Eventuelle Reibungseffekte werden vernachl¨ assigt. Damit die Bewegung wirklich auf dieser Fl¨ ache abl¨ auft, m¨ ussen die folgenden Anfangsbedingungen vorgelegen haben: Zu dem Anfangszeitpunkt t = 0 befand sich der Massenpunkt auf der Fl¨ ache und hatte eine Anfangsgeschwindigkeit v 0 in Richtung einer Tangente an die Fl¨ ache. Es ist klar, dass die Schwerkraft F = mg nicht die einzige

mg

Abb. 5.1. Bewegung mit Zwangsbedingungen

Kraft ist, die auf den Massenpunkt einwirkt. Wäre dies der Fall, so w¨ urde, je nach Anfangsbedingung, eine Wurfparabel oder eine geradlinige, gleichförmig beschleunigte Bewegung vorliegen. Es treten Kräfte auf, die die Unterlage auf die Masse aus¨ ubt. Diese F¨ uhrungskr¨ afte sind letztlich atomaren Ursprungs. Durch die Belastung werden die Atome der Unterlage aus ihren Gleichgewichtslagen gedr¨ uckt. Sie reagieren mit einer R¨ uckstellkraft auf das belastende Objekt. Es ist gl¨ ucklicherweise m¨ oglich, Aussagen u ¨ ber diese Kräfte zu Z=-F

F F F

Abb. 5.2. Bewegung mit Zwangsbedingungen: Betrachtung der Kr¨ afte

machen, ohne Atom- oder Festk¨ orperphysik zu betreiben. Die folgende einfa¨ che Uberlegung (Abb. 5.2) hilft weiter: Man zerlege die Schwerkraft (F ) f¨ ur

5.1 Die Lagrangegleichungen erster Art (Lagrange I)

187

jeden Punkt der Fl¨ ache in eine Komponente tangential an die Fläche und eine Komponente senkrecht dazu. Die Tangentialkomponente reguliert die Bewegung entlang der Fl¨ ache. Da keine Verschiebung (makroskopisch) der Masse in der Normalenrichtung auftritt, muss die Komponente der Schwerkraft in dieser Richtung (F ⊥ ) durch eine Zwangskraft Z kompensiert werden F⊥ + Z = 0 .

(5.1)

Die geschickte Handhabung dieser Kompensation ist der Kernpunkt der zu besprechenden Lagrangegleichungen erster Art. In dem Beispiel 5.2 soll der Massenpunkt (in Realität eine durchbohrte Kugel) unter dem Einfluss der einfachen Schwerkraft reibungsfrei an einem steifen F¨ uhrungsdraht herunterrutschen (Abb. 5.3). Es liegt eine erzwungene Bewe-

Z1 Z2

mg

Abb. 5.3. Eindimensionale Bewegung mit Zwangsbedingungen: Zwangskr¨ afte

gung entlang einer Raumkurve vor. Die Situation bez¨ uglich der Zwangskräfte ist in diesem Fall etwas komplizierter, denn es ist nicht ausreichend, nur einen Anteil der Schwerkraft zu kompensieren (Z 1 ). Damit der Massenpunkt einen Bogen durchl¨ auft, muss eine zus¨ atzliche Zwangskraft in Richtung des momentanen Kr¨ ummungsmittelpunktes der Kurve (Z 2 ) angreifen. Die beiden Zwangskr¨ afte (und somit auch ihre Vektorsumme, die gesamte Zwangskraft) zeichnen sich auch in diesem Beispiel dadurch aus, dass sie zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf der momentanen Bewegungsrichtung stehen Z · dr = (Z 1 + Z 2 ) · dr = 0 .

(5.2)

Dies bedingt, dass auch bei der Anwesenheit von Zwangskräften nur die offen angreifenden Kr¨ afte (F ) zu der Energiebilanz beitragen. Aus der Bewegungsgleichung f¨ ur einen Massenpunkt m¨ r =F +Z mit konservativen Kr¨ aften F und (im Detail zunächst nicht bekannten) Zwangskr¨ aften Z erh¨ alt man durch Kurvenintegration den Energiesatz m 2 v + U (r) = E0 2 $ $ mit U = − F · dr. Das Kurvenintegral Z · dr verschwindet. Zwangskräfte tragen wegen der Bedingung (5.2) nicht bei.

188


Die Bewegung entlang einer Raumkurve, ein Bewegungsproblem mit einem Freiheitsgrad, wird durch eine Differentialgleichung vollständig charakterisiert. Aus diesem Grund ist der Energiesatz zur Berechnung des Bewegungsablaufes ausreichend, obschon die Situation bez¨ uglich der Zwangskräfte komplizierter ist. Als relevante Gr¨ oße zur Beschreibung des einzigen Freiheitsgrades bietet sich die Bogenl¨ ange entlang der vorgegebenen Kurve an. Die Länge eines infinitesimalen Kurvenst¨ uckes kann man in kartesischen Koordinaten in der Form 1/2 (5.3) ds = dx2 + dy 2 + dz 2 darstellen. Wird die Kurve durch eine Parameterdarstellung x = x(q)

y = y(q)

z = z(q)

beschrieben, so berechnet sich die Bogenl¨ ange des Kurvenst¨ uckes zwischen zwei Punkten, die durch q0 und q charakterisiert sind, als

2

2

2 1/2 q dy dz dx s(q, q0 ) = dq + + . (5.4) dq dq dq q0 F¨ ur ein Bewegungsproblem muss man die Zeit ins Spiel bringen. Aus der Vorgabe (5.3) folgt zun¨ achst

2 2 1/2 2 dx dy dz ds = + + =v. dt dt dt dt Wird der Bewegungsablauf durch q = q(t) beschrieben, so erhält man mit der Kettenregel ds ds dq = . dt dq dt Der erste Faktor kann mit (5.4) berechnet werden (Ableitung nach der oberen Grenze eines Integrals). Zusammenfassung mit dem zweiten Faktor liefert dann, entsprechend der schon diskutierten Unabhängigkeit eines Kurvenintegrals von der Wahl des Kurvenparameters, wiederum die Aussage s˙ = v. Gelingt es nun, auch die potentielle Energie durch die Bogenlänge auszudr¨ ucken (U (r) −→ U (s)), so lautet der Energiesatz m 2 (5.5) s˙ + U (s) = E0 . 2 Es liegt ein eindimensionales Bewegungsproblem vor, dessen Lösung s = s(t) die Bewegung entlang der vorgegebenen Raumkurve beschreibt. Die folgenden Beispiele sollen diese Aussage illustrieren. In dem n¨ achsten Beispiel (Beispiel 5.3) wird die Bewegung eines Massenpunktes m entlang einer Geraden in der x - z Ebene mit dem Steigungswinkel −α unter dem Einfluss der (einfachen) Schwerkraft betrachtet (Abb. 5.4). Die erzwungene Bahn wird durch die Parameterdarstellung


189

z h

x

−α

Abb. 5.4. Bewegung entlang einer vorgegebenen Geraden unter dem Einfluß der Schwerkraft

mg

z = −(tan α) q

x=q

(y = 0)

beschrieben. Die Anfangsbedingungen, im Einklang mit der eingeschränkten Bewegung, seien ⎫ h h z(0) = h ⎬ q(0) = − x(0) = − tan α tan α ⎭ vx (0) = 0 q(0) ˙ =0. vz (0) = 0 Der Energiesatz lautet dann m 2 s˙ + mgz = 0 + mgh 2 oder 1/2

s˙ = ± [2g(h − z)]

.

Die noch ben¨ otigte Relation zwischen s und z kann man f¨ ur dieses Beispiel direkt aus einer geometrischen Betrachtung (Abb. 5.5) gewinnen (es spielt nur der Betrag des Winkels α eine Rolle) z h-z

h

−α s

x Abb. 5.5. Geometrie des Beispiels 5.3

h−z (h − z) = s sin α . s Alternativ kann man die Bogenl¨ ange s u ¨ ber das Integral (5.4) (zweidimensional) berechnen, auch wenn dies umst¨ andlich ist

2

2 1/2 q 1/2 q dz dx 2 s= dq + = 1 + tan α dq dq dq q0 −h/ tan α

1 1 h 1 (q tan α + h) = (−z + h) . = q+ = cos α tan α sin α sin α sin α =

In jedem Fall lautet die Differentialgleichung √ s˙ = + 2g sin α s .

(5.6)

190


Es ist nur das Pluszeichen zust¨ andig, da die Bogenlänge mit der Zeit zunimmt. Direkte Integration (mit Variablentrennung) liefert (s(0) = 0 !) g sin α t2 . s(t) = 2 Die Zeitabh¨ angigkeit der kartesischen Koordinaten ist somit g z = h − s sin α = h − (sin2 α)t2 2 h g z =− + (cos α sin α) t2 . x=− tan α tan α 2 Dieses Ergebnis gilt auch f¨ ur den freien Fall auf einer schiefen Ebene, falls die Anfangsbedingungen geeignet (y(0) = 0, y(0) ˙ = 0) gewählt werden. Das folgende Beispiel (Beispiel 5.4) wird sich im Endeffekt als wohl bekannt herausstellen. Ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerz x m

mg

Abb. 5.6. Bewegung auf einem Halbkreis

kraft in der unteren x - z Ebene auf einem Halbkreis (Radius R) um den Koordinatenursprung (Abb. 5.6). Als Anfangsbedingungen werden x(0) = R vx (0) = 0

z(0) = 0 vz (0) = 0

vorgegeben. Der Energiesatz lautet in diesem Fall (beinahe wie zuvor) 1 2 s˙ + gz = 0 . 2 Die ben¨ otige Relation zwischen z und s gewinnt man in der folgenden Weise: Eine Parameterdarstellung der Bahnkurve ist x = R cos q

z = −R sin q

(0 < q < π) .

Daraus ergibt sich q 1/2 dq R2 sin2 q + R2 cos2 q =R s= 0

q

dq = Rq .

0

Dieses Resultat h¨ atte man mit der Bemerkung ‘Bogenlänge entspricht Radius mal Winkel‘ direkt hinschreiben k¨ onnen. Setzt man q in die Parameterdarstellung f¨ ur die z -Koordinate ein, so folgt s z = −R sin , R sowie der Energiesatz


191

s =0. R Benutzt man anstelle der Bogenl¨ ange s den Winkel ϕ (gemessen von dem tiefsten Bahnpunkt, siehe Abb. 5.7) mit s˙ 2 − 2gR sin

ϕ

s R Abb. 5.7. Relation zwischen Bogenl¨ ange und Winkel des Ausschlages

π

−ϕ

und 2 so lautet der Energiesatz s=R

s˙ = −Rϕ˙ ,

2g cos ϕ = 0 . R Dies ist der Energiesatz des mathematischen Pendels (f¨ ur die gewählten Anfangsbedingungen), der in Kap. 4.2.1 diskutiert wurde. Es spielt also keine Rolle, ob die F¨ uhrungskraft durch eine fiktive Stange, einen F¨ uhrungsdraht oder durch eine anderweitige Anordnung zustande kommt. Allein die Geometrie der F¨ uhrungskurve ist ausschlaggebend. Dieses Beispiel (Beispiel 5.5) soll aufzeigen, dass man bei der Darstellung der potentiellen Energie durch die Bogenl¨ ange auch f¨ ur relativ einfache geometrische Situationen leicht in rechentechnische Schwierigkeiten geraten kann. F¨ ur eine ¨ ahnliche Situation wie in dem Beispiel 5.2 (S. 187), jedoch mit einer F¨ uhrungskurve in der Form der Parabel z = x2 , erhält man die folgende Darstellung der Bogenl¨ ange: Ausgehend von der Parameterdarstellung x = q, z = q 2 berechnet man q s= dq (1 + 4q 2 ) ϕ˙ 2 −

q0

1 = 4

q 2 2 2q (1 + 4q ) + ln 2q + (1 + 4q ) . √

q0

√ Setzt man hier q = z bzw. q0 = z0 ein, so sieht man, dass die erforderliche Umkehrung z = z(s) offensichtlich Schwierigkeiten bereitet. Man stellt fest, dass der Energiesatz im Prinzip zur Diskussion des Bewegungsablaufes entlang einer vorgegebenen Raumkurve ausreicht, jedoch nicht notwendigerweise einen optimalen Zugang zur Lösung des anstehenden Bewegungsproblems darstellt. Unter Umst¨ anden kann man diese Schwierigkeiten

192


durch eine flexiblere Wahl der Variablen, die in den Lagrange Bewegungsgleichungen zweiter Art vorgesehen ist, umgehen. F¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes entlang einer vorgegebenen Fl¨ ache im Raum (ein Bewegungsproblem mit zwei Freiheitsgraden) ist der Energiesatz (eine Differentialgleichung) nicht ausreichend. Es ist ein allgemeiner Zugang zu Bewegungsproblemen mit Zwangsbedingungen erforderlich. 5.1.2 Lagrange I f¨ ur einen Massenpunkt Die Formulierung, die unter dem Namen Lagrange I bekannt ist, stellt eine Erweiterung der Newtonschen Bewegungsgleichungen dar. Sie bietet die folgenden Vorteile: (1) Alle Bewegungsprobleme mit Zwangskr¨ aften werden in einer einheitlichen Weise behandelt. (2) Die Zwangskr¨ afte k¨ onnen in allen F¨ allen explizit berechnet werden. Der letzte Punkt ist unter Umst¨ anden erw¨ unscht. Bei der Konstruktion von mechanischen Apparaten (Maschinen) ist die Frage nach der Materialbelastung (d.h. die Zwangskr¨ afte, denen die Maschine ausgesetzt ist) ohne Zweifel wichtig. Ein Nachteil der Bewegungsgleichungen in der Form von Lagrange I ist, wie oben gesehen, die mangelnde Flexibilität. 5.1.2.1 Bewegung auf einer Fl¨ ache. F¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes auf einer vorgegebenen Fl¨ ache gewinnt man diese Bewegungsgleichungen mit dem folgenden Argument: Eine Fläche im dreidimensionalen Raum (Abb. 5.8) kann durch eine implizite Gleichung der Form f (x, y, z) = 0 beschrieben werden (Math.Kap. 4.1.1). Beispiele sind Kugelfl¨ ache: x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0 Ebene: z − ax − b = 0 . z f

y x

Abb. 5.8. Andeutung einer Fl¨ ache im Raum

Das totale Differential der Funktion f = 0 ist df =

df df df dx + dy + dz = 0 dx dy dz

oder in vektorieller Form


193

df = ∇f · dr = 0 . Der infinitesimale Verschiebungsvektor dr zeigt in jedem Punkt der Fläche in Richtung einer Tangente. Die Gleichung besagt somit: Der Gradientenvektor ∇f steht senkrecht auf der Fl¨ ache f = 0. Die gleiche Eigenschaft sollen auch die Zwangskr¨ afte besitzen, f¨ ur die man somit den Ansatz Z = λ(x, y, z) ∇f

(5.7)

machen kann. Der Proportionalit¨ atsfaktor beschreibt die Variation der Stärke der Zwangskraft mit der Position auf der Fl¨ ache. Er ist zunächst nicht bekannt, sondern muss im Rahmen der L¨ osung des Bewegungsproblems bestimmt werden. Man bezeichnet den Faktor λ als den Lagrangemultiplikator. Die Bewegungsgleichungen nach Newton mit offen wirkenden Kräften und mit Zwangskr¨ aften lauten somit m¨ r = F + λ∇f

(5.8)

oder im Detail m¨ x = Fx + λ(x, y, z)

∂f ∂x

m¨ y = Fy + λ(x, y, z)

∂f ∂y

∂f . (5.9) ∂z Diese drei Gleichungen reichen zur Bestimmung der vier unbekannten Funktionen m¨ z = Fz + λ(x, y, z)

x(t), y(t), z(t) und λ(x(t), y(t), z(t)) noch nicht aus. Die ben¨ otigte vierte Gleichung entspricht der Aussage: Die Flächengleichung muss erf¨ ullt sein, wenn man die Lösung einsetzt: f (x(t), y(t), z(t)) = f (r(t)) = 0 .

(5.10)

Diese Bedingung besagt, dass sich die Masse wirklich auf der Fläche bewegt. Diesen Satz von vier (eingerahmten) Gleichungen f¨ ur vier unbekannte Funktionen bezeichnet man als die Lagrangegleichungen erster Art (f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes auf einer vorgegebenen Fläche). Die Gleichungen erlauben, im Prinzip, die Berechnung des Bewegungsablaufes auf der Fläche sowie der St¨ arke der Zwangskr¨ afte in jedem Bahnpunkt.

194


5.1.2.2 Bewegung entlang einer Raumkurve. F¨ ur die Diskussion der Bewegung entlang einer vorgegebenen Raumkurve im Rahmen der Lagrangeformulierung ist die Darstellung der Kurve als Schnitt zweier Flächen im Raum n¨ utzlich: f1 (x, y, z) = 0

f2 (x, y, z) = 0 .

Beispiele sind: Eine schief im Raum liegende Ellipse (Beispiel 5.6, siehe Abb. 5.9a) lässt sich als Schnittkurve einer Ebene, z.B. f1 = z − x = 0

oder z = x ,

und einem Zylinder um die z -Achse f2 = x2 + y 2 − R2 = 0 darstellen (siehe D.tail 5.1). Eine etwas exotischere Raumkurve (Beispiel 5.7) ergibt sich als Schnitt einer ‘abfallenden Wellblechfl¨ ache‘ f1 = z + x − sin x = 0 mit der x - z Ebene f2 = y = 0 . Die Schnittkurve ist eine Berg- und Talbahn mit uniformer Neigung (Abb. 5.9b). (a)

(b)

z

z y x

Ellipse

Berg- und Talbahn

Abb. 5.9. Raumkurven als Schnitt von Fl¨ achen

Die Forderung bez¨ uglich der Zwangskr¨ afte lautet: Sie sollen in jedem Punkt senkrecht auf der vorgegebenen Kurve stehen. Ein Ansatz f¨ ur einen Vektor mit diesen Eigenschaften ist Z = λ1 (r) ∇f1 (r) + λ2 (r) ∇f2 (r) .

(5.11)

Die Summe der mit Lagrangemultiplikatoren multiplizierten (voneinander unabh¨ angigen) Gradientenvektoren, die senkrecht auf den jeweiligen Flächen stehen, ergibt einen Vektor mit den gew¨ unschten Eigenschaften.


195

Zur Bestimmung der f¨ unf Gr¨ oßen x(t), y(t), z(t), λ1 (t), λ2 (t) stehen die folgenden f¨ unf Gleichungen zur Verf¨ ugung m¨ r = F + λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 , sowie f1 = 0 und f2 = 0 .

(5.12)

Die drei Bewegungsgleichungen f¨ ur die Komponenten des Positionsvektors und die zwei Fl¨ achengleichungen, die die vorgegebene Raumkurve charakterisieren, stellen die Lagrangegleichungen erster Art f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes auf dieser Kurve dar. Sind die expliziten Kr¨ afte F konservativ, so gilt sowohl f¨ ur die Bewegung auf einer Raumfläche als auch f¨ ur die Bewegung auf einer Raumkurve der Energiesatz m 2 v + U (r) = E0 , 2 da die Zwangskräfte bei Verschiebungen entlang der Kurve oder der Fläche keinen Energiebeitrag ergeben. Die zentralen Annahmen bei der Aufstellung der Lagrangegleichungen erster Art sind: (a) Die G¨ ultigkeit des zweiten Axioms, wobei f¨ ur die Kraft die Summe der offen wirkenden Kr¨ afte (auch eingepr¨ agte Kräfte genannt) und der Zwangskr¨ afte einzusetzen ist. (b) Die Zwangskr¨ afte stehen zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf der vorgegebenen Kurve oder Fl¨ ache. Die zweite Annahme ist nicht Bestandteil der Newtonschen Axiome. Sie muss, ebenso wie die Axiome, durch Vergleich von Theorie und Experiment u ¨berpr¨ uft werden. Da bei der Aufstellung der Lagrange Bewegungsgleichungen erster Art Annahmen oder Erfahrungen eingebracht werden, die u ¨ ber Newtons Axiome hinausgehen, stellt sich die Frage: Ist es möglich die zusätzliche Erfahrung und die alten Axiome zu einem allgemeineren Prinzip der Mechanik zusammenzufassen? Diese Frage wird in Kap. 5.2.1 mit dem d’Alembertschen Prinzip (dem Prinzip der virtuellen Arbeit) positiv beantwortet werden. 5.1.2.3 Zeitlich ver¨ anderliche Kurven und Fl¨ achen. Die bisher betrachteten Bewegungsabl¨ aufe wurden durch zeitlich unveränderliche Kurven oder Fl¨ achen eingeschr¨ ankt. Man kann jedoch auch Fragen der folgenden Art stellen: Wie beschreibt man die Bewegung eines Massenpunktes, der unter dem Einfluss der Schwerkraft an einem oszillierenden (oder sich in anderer Weise bewegenden) Draht reibungsfrei heruntergleitet? Eine Fläche bzw. eine Kurve, die sich mit der Zeit ¨ andert, wird durch Gleichungen der folgenden Form beschrieben

196


Fl¨ ache : Kurve :

f (x, y, z, t) = 0 f1 (x, y, z, t) = 0

(5.13)

f2 (x, y, z, t) = 0 .

Einige Beispiele f¨ ur derartige Vorgaben sind: Eine sich hebende oder senkende schiefe Ebene (Beispiel 5.8) wird durch eine Funktion z − h(t) + (tan α)x = 0 beschrieben. So ergibt z.B. die Funktion h(t) = v0 t eine uniforme Bewegung der gesamten Ebene, h(t) = a0 t2 eine gleichmäßig beschleunigte Ebene und h(t) = a0 cos ω0 t eine Ebene, die sich periodisch hebt und senkt. Eine sinusf¨ ormige Wellenfl¨ ache (Beispiel 5.9), die sich uniform nach rechts bewegt (Abb. 5.10a), entspricht einer Funktion der Form

2π x − ω0 t = 0 . z − A sin L

(a)

(b) z

z ϕ=0

ϕ=0

x

x

L

Abb. 5.10. Laufende Wellenfl¨ ache

Ist ω0 = 0, so stellt die Funktion im dreidimensionalen Raum eine stationäre sinusf¨ ormige Fl¨ ache dar, deren Periodizit¨ at in der x -Richtung durch die Wellenl¨ ange L charakterisiert wird. Die zeitabh¨ angige Phase ϕ = ω0 t gibt an, wie weit die bewegte Sinusfl¨ ache gegen¨ uber der Referenzfläche (ϕ = 0) verschoben ist (Abb. 5.10b). Falls die Phase, wie angenommen, linear mit der Zeit w¨ achst, ist es eine uniform bewegte Wellenfläche, die als ein einfaches Modell einer Wasserwelle dienen k¨ onnte. Das in Abb. 5.11 angedeutete Beispiel 5.10 stellt einen geraden Draht in der x - z Ebene dar, der sich um die y -Achse dreht. Diese Kurve kann als Schnittlinie der zeitabh¨ angigen Fl¨ achen z − (tan α(t))x = 0

y=0

vorgegeben werden. Ist z.B. α(t) = ω0 t, so rotiert der Draht gleichförmig um die y -Achse. F¨ ur α(t) = α0 sin ω0 t oszilliert der Draht mit der Frequenz f0 = ω0 /2π zwischen den Maximalwinkeln ±α0 .


197

z α

x

Abb. 5.11. Rotierender, gerader Draht

5.1.2.4 Klassifikation der Zwangsbedingungen. Alle bisher betrachteten Zwangsbedingungen (ob zeitabh¨ angig oder nicht), können auch in differentieller Form vorgegeben werden. So kann z.B. eine Fläche f (x, y, z, t) = 0 durch das totale Differential ∂f ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz + dt = 0 (5.14) df = ∂x ∂y ∂z ∂t charakterisiert werden. Sind die Koeffizientenfunktionen ai einer allgemeinen Differentialform a1 (x, y, z, t)dx + a2 (x, y, z, t)dy + a3 (x, y, z, t)dz + a0 (x, y, z, t)dt = 0 ,

(5.15)

wie in (5.14), die partiellen Ableitungen einer Funktion f (x, y, z, t) nach den jeweiligen Variablen, so bezeichnet man die Zwangsbedingung als holonom. Holonom bedeutet ‘ganz‘ oder ‘vollst¨ andig‘. Diese Bezeichnung bezieht sich auf die Aussage, dass ein vollst¨ andiges Differential vorliegt, aus dem die Funktion f mittels Kurvenintegration zur¨ uckgewonnen werden könnte. Ist die Funktion f (x, y, z, t) zweimal stetig differenzierbar, so kann man sich auf den Satz von Schwarz (Math.Kap. 4.2.2) berufen und die offizielle Definition einer holonomen Zwangsbedingung folgendermaßen zum Ausdruck bringen: Eine Zwangsbedingung in differentieller Form a1 (x, y, z, t)dx + a2 (. . .)dy + a3 (. . .)dz + a0 (. . .)dt = 0 heißt holonom, wenn die Bedingungen erf¨ ullt sind: ∂a2 ∂a1 = , ∂y ∂x

...

∂a0 ∂a1 = , ∂x ∂t

... .

Die beiden M¨ oglichkeiten, die oben unterschieden wurden, ∂f ∂f =0 bzw. a0 = = 0 ∂t ∂t (ob also eine ruhende oder eine bewegte Fl¨ ache vorliegt), unterscheidet man durch die Bezeichnungen skleronom (starr) beziehungsweise rheonom (fließend). F¨ ur die Diskussion von rheonomen Zwangsbedingungen stellt sich die Frage nach einem Ansatz f¨ ur die Zwangskr¨ afte. Auch in diesem Fall muss man a0 =

198


auf die Erfahrung (falls vorhanden) zur¨ uckgreifen. Die Antwort, die sich aufgrund der Erfahrung ergibt, lautet: Auch in dem rheonomen Fall stehen die Zwangskr¨ afte zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf den vorgegebenen geometrischen Gebilden. Es gilt also Z = λ ∇f (x, y, z, t) (Fl¨ ache)

(5.16)

Z = λ1 ∇f1 (x, y, z, t) + λ2 ∇f2 (x, y, z, t)

(Kurve) ,

(5.17)

wobei die Abh¨ angigkeit der Lagrangemultiplikatoren von den Koordinaten und der Zeit unterdr¨ uckt wurde. Diese Ans¨ atze bedingen die Aussagen: (1) Die Lagrangegleichungen erster Art haben die gleiche Form f¨ ur rheonomholonome und f¨ ur skleronom-holonome Zwangsbedingungen. (2) Die Zwangskr¨ afte leisten an einem Massenpunkt, der sich auf einer zeitlich ver¨ anderlichen Kurve/Fl¨ ache bewegt (das heißt: der rheonomen Zwangsbedingungen unterworfen ist), Arbeit. ¨ Die zweite Aussage ergibt sich aus der folgenden Uberlegung: Betrachte einen Massenpunkt, dessen Position zu dem Zeitpunkt t auf der Fläche f (t) durch den Vektor r(t) markiert wird. In dem Zeitintervall dt bewegt sich der Masf(t+dt) dr

f(t)

r(t)

Abb. 5.12. Zu dem Thema: Rheonome Zwangsbedingungen

senpunkt auf der Fl¨ ache, diese bewegt sich jedoch ebenfalls. Die Position auf der Fl¨ ache f (t + dt) zu einem infinitesimal benachbarten Zeitpunkt t + dt kann man durch den Vektor r + dr beschreiben (Abb. 5.12). Auf der anderen Seite entsprechen die Zwangsbedingungen der Aussage ∂f dt . (5.18) ∂t Diese Gleichung besagt, dass die an dem Massenpunkt geleistete (infinitesimale) Arbeit (proportional zu ∇f · dr) bei rheonomen Zwangsbedingungen ungleich Null ist (rechte Seite). Zwangsbedingungen der Form (5.15), die nicht einem totalen Differential entsprechen, bezeichnet man als nichtholonom ∇f · dr = −

a1 (x, y, z, t)dx + a2 (x, y, z, t)dy + a3 (x, y, z, t)dz + a0 (x, y, z, t)dt = 0 mit ∂a2 ∂a1 = ∂y ∂x

∂a1 ∂a3 = ∂z ∂y

... ,


199

wobei es ausreicht, wenn eine der m¨ oglichen Ungleichungen erf¨ ullt ist. Man unterscheidet auch hier die F¨ alle 1. Ist a0 = 0 und wenigstens einer der Koeffizienten keine partielle Ableitung einer Funktion f (x, y, z, t) nach der entsprechenden Koordinate, so bezeichnet man die Zwangsbedingungen als nichtholonom-rheonom. 2. Ist wenigstens eine der Koeffizientenfunktionen keine partielle Ableitung einer Funktion f (x, y, z, t), jedoch a0 = 0, so liegt eine nichtholonomeskleronome Zwangsbedingung vor. Nichtholonome Bedingungen entstehen, wenn Geschwindigkeiten und Koordinaten in irgendeiner Weise verkn¨ upft werden. So kann man z.B. die Bedingung dx − g(x, y, z) = 0 dt in der nichtholonomen Form schreiben dx − g(x, y, z)dt = 0 . Mehr anschauliche Beispiele sind Aufg. 5.1), - die Bedingungen f¨ ur das Rollen eines Rades (siehe - die Bedingungen f¨ ur die F¨ uhrung einer Schlittschuhkufe. Eine letzte Variante von m¨ oglichen Bedingungen ist die Vorgabe einer Ungleichung. Die Einschr¨ ankung f¨ ur die Bewegung eines Fadenpendels ist genau genommen x2 + y 2 + z 2 ≤ l2 . Das Pendel kann einknicken, aber, falls der Faden nicht dehnbar ist, nicht weiter als die Fadenl¨ ange l von dem Aufh¨ angepunkt entfernt sein. Solche Bedingungen bezeichnet man als einseitige Bindung. Sie können nicht in einfacher Weise in die Bewegungsgleichungen eingef¨ ugt werden. Der Unterschied zwischen skleronomen und rheonomen Zwangsbedingungen (in der Form einer einseitigen Bindung) kann beim Tennisspielen beobachtet werden: Hält man den Schl¨ ager in die Bahn des Balles (starre Bedingung), so wird der Ball reflektiert und ¨ andert seine kinetische Energie (bis auf Nebeneffekte bedingt durch Schallerzeugung etc.) nicht. Schlägt man in u ¨blicher Weise zu (fließende Bedingung), so leistet man an dem Ball Arbeit, die in eine Erh¨ ohung der kinetischen Energie umgesetzt wird. 5.1.2.5 Zur L¨ osung der Bewegungsgleichungen nach Lagrange I. Das Muster zur Lösung von Bewegungsproblemen vom Typ Lagrange I lässt sich vorz¨ uglich anhand des Beispiels 5.11, dem freien Fall auf der schiefe Ebene, illustrieren. Dieses Beispiel ist ein einfaches, skleronom-holonomes Problem, das auch in elementarer Weise diskutiert werden kann. Die Resultate unterscheiden sich somit (nicht wesentlich) von den Resultaten des Beispiels

200


5.3. Die Ebene wird durch die Gleichung (Abb. 5.4 gibt die Situation im Schnitt wieder) f = z + (tan α)x = 0 beschrieben, so dass man f¨ ur den Gradienten ∇f = (tan α, 0, 1) erh¨ alt. Die Bewegungsgleichungen lauten also ⎫ x ¨ = λ tan α m¨ x = λ tan α ⎪ ⎬ m¨ y =0 −→ y¨ = 0 ⎪ ⎭ z¨ = −g + λ . m¨ z = −mg + λ

(5.19)

(5.20)

Es ist zweckm¨ aßig, die Masse in die Definition des Multiplikators einzubeziehen: λ /m = λ . Zur Bestimmung der L¨ osung dieses Systems von Bewegungsgleichungen differenziert man zun¨ achst die Ebenengleichung zweimal nach der Zeit z¨ + tan α x¨ = 0 und setzt diese Relation in die letzte der Bewegungsgleichungen (5.20) ein −(tan α)¨ x = −g + λ . Aufl¨ osen nach λ und Einsetzen in die erste Bewegungsgleichung (5.20) ergibt x ¨ = −(tan2 α)¨ x + g tan α . Sortiert man dies unter Benutzung von 1 , cos2 α so erh¨ alt man als Differentialgleichung f¨ ur die x -Koordinate 1 + tan2 α =

x ¨ = g sin α cos α . Die allgemeine L¨ osung ist 1 x(t) = x(0) + vx (0)t + g(sin α cos α)t2 . 2 Die L¨ osung der Differentialgleichung (5.20) f¨ ur die y -Koordinate ist offensichtlich y(t) = y(0) + vy (0)t . Der Massenpunkt kann eine vorgegebene Position und Geschwindigkeit in der y -Richtung haben. Zur Bestimmung der Funktion z(t) benutzt man dann die Ebenengleichung z(t) = −(tan α)x(t) und erhält 1 z(t) = −(tan α)x(0) − (tan α)vx (0) t − g(sin2 α)t2 . 2


201

F¨ ur die z -Komponente k¨ onnen infolge der Zwangsbedingung keine unabhängigen Anfangsbedingungen vorgegeben werden, falls der Massenpunkt anfangs in der Ebene liegen und sich auf der Ebene bewegen soll. Zur Bestimmung des Lagrangemultiplikators kann man z.B. die letzte der Gleichungen (5.20) λ = g + z¨ = g(1 − sin2 α) = g cos2 α benutzen und erh¨ alt f¨ ur die Zwangskraft Z = mλ∇f = mg(cos α sin α, 0, cos2 α) . Dies entspricht genau der Zerlegung des Vektors F ⊥ = mg cos α e⊥ in kartesische Komponenten. Ein Bewegungsproblem mit einer rheonom-holonomen Bedingung ist Beispiel 5.12, der freie Fall auf einer sich bewegenden schiefen Ebene, die durch f = z − h(t) + (tan α)x = 0

∇f = (tan α, 0, 1)

charakterisiert wird (eine zus¨ atzliche Diskussion dieses Problems bietet Aufg. 5.2). Die Funktion h(t), die die Bewegung der Ebene in der z -Richtung ˙ beschreibt, soll zur Zeit t = 0 die Werte h(0) = 0 und h(0) = v annehmen. Die Bewegung der Ebene beginnt zur Zeit t = 0 mit der Geschwindigkeit v (nach oben, falls v eine positive Zahl ist). Die eingeprägte Kraft ist wieder die einfache Schwerkraft, die Bewegungsgleichungen sind somit gegen¨ uber dem skleronomen Fall unver¨ andert x¨ = λ tan α

y¨ = 0

z¨ = −g + λ .

Bei der Elimination des Lagrangemultiplikators ergibt sich jedoch ein Unterschied. Bei der zweimaligen Differentiation der Flächengleichung erhält man ¨ −x z¨ = h ¨ tan α und es folgt λ=g+¨ h−x ¨ tan α

und somit

¨ cos α sin α . x¨ = (g + h)

Die L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur x ist g x(t) = C1 + C2 t + t2 + h(t) cos α sin α . 2 Außerdem erh¨ alt man

(5.21)

¨ cos2 α λ = (g + h) f¨ ur den Multiplikator und g z(t) = −(C1 + C2 t) tan α − t2 sin2 α + h(t) cos2 α 2

(5.22)

202


f¨ ur die z -Koordinate. Als Anfangsbedingungen f¨ ur die Bewegung der Masse in der x -Richtung sollen als Beispiel x(0) = 0 und x(0) ˙ = 0 gewählt werden. Die speziellen Lösungen sind dann g x(t) = (−vt + t2 + h(t)) sin α cos α 2 g z(t) = (+vt − t2 − h(t)) sin2 α + h(t) . 2 Die Bewegung in den beiden Koordinatenrichtungen entspricht den relevanten Komponenten des freien Falls plus einem ‘Antrieb‘ durch die bewegte Ebene. Bez¨ uglich der Energiesituation ist das Folgende zu bemerken. Die Zwangskraft ist durch ¨ Z = m(g + h(t))(sin α cos α, 0, cos2 α) gegeben. Die Gesamtkraft, die auf die Masse wirkt, ist F + Z = −mgez + Z . Ist die Ebene waagrecht (α = 0), so hat die Zwangskraft nur eine z Komponente, die durch die zweite Ableitung der Funktion h(t) bestimmt wird. Integriert man die Bewegungsgleichung (Kurvenintegration) entlang der Bahnkurve zwischen Anfangs- und Endpunkt f f f m¨ r · dr = F · dr + Z · dr , i

i

i

so erh¨ alt man die Aussage m m vf2 + Uf − vi2 + Ui = ΔA , 2 2 wobei f U =− F · dr i

die potentielle Energie im Schwerefeld ist. ΔA ist die Arbeit, die die Zwangskraft an dem Massenpunkt leistet, da in dem vorliegenden Beispiel das Skalarprodukt von Z und dr nicht verschwindet. F¨ ur die kinetische Energie ergeben die speziellen L¨ osung der Bewegungsgleichungen ) m 2 m( 2 T (t) = x˙ + z˙ 2 = (v − 2vgt + g 2 t2 ) sin2 α + h˙ 2 (t) cos2 α . 2 2 Die potentielle Energie im Schwerefeld ist g U = mgz = mg (vt − t2 ) sin2 α + h(t) cos2 α . 2 Somit erh¨ alt man f¨ ur die Gesamtenergie der Masse zum Zeitpunkt t = 0 und zum Zeitpunkt t


(T + U )t =

m

203

˙ 2 + 2gh(t)) cos2 α v 2 sin2 α + (h(t)

2 m 2 (T + U )0 = v . 2 Daraus folgt f¨ ur die an der Masse in dem Zeitintervall [0, t] geleistete Arbeit m ˙ 2 − v 2 + 2gh(t)) cos2 α . ΔA = E(t) − E(0) = (h(t) 2 Man kann dies auch explizit durch Auswertung des Arbeitsintegrals nachrechnen, wobei zur Auswertung des (im Allgemeinen wegabhängigen) Kurvenintegrals die Zeit als Parameter benutzt werden kann f t ΔA = (Zx dx + Zz dz) = (Zx x˙ + Zz z) ˙ dt . i

0

Die Gesamtenergie des Massenpunktes E = T + U ändert sich bei rheonomen Zwangsbedingungen mit der Zeit, da die Masse durch die Wirkung der Zwangskraft gehoben oder abgesenkt wird. F¨ ur den skleronomen Fall (h(t) ≡ 0) ist die Energie erhalten, f¨ ur die gewählten Anfangsbedingungen gilt E(t) = E(0) = 0 . In dem Grenzfall α = π/2 (die Ebene steht senkrecht auf der x -Achse) ergibt sich f¨ ur die x -Koordinate x(t) = 0. Die Bewegung ist auf die y - z Ebene beschr¨ ankt, in der, f¨ ur die angedachten Anfangsbedingungen, eine gewöhnliche Fallbewegung ablaufen kann. Das letzte Beispiel verdeutlicht, dass rechentechnische Schwierigkeiten die analytische Lösung der Lagrange Bewegungsgleichungen erster Art verhindern k¨ onnen. Dazu dient (Beispiel 5.13) wiederum eine parabolische Beschr¨ ankung, die Bewegung auf einer parabolischen Wanne (Abb. 5.13), die durch f = z − x2 = 0

(5.23)

beschrieben wird. Diese Fl¨ ache (eine quadratische Funktion anstatt einer liz

y x

Abb. 5.13. Bewegung auf einer parabolischen Wanne

nearen) ist nicht sonderlich kompliziert. Der Gradient der Flächenfunktion ist

204


∇f = (−2x, 0, 1) und die Bewegungsgleichungen lauten x ¨ = −2λx

y¨ = 0

z¨ = λ − g

λ = λ /m .

(5.24)

Der erste Schritt ist wieder die Elimination des unbekannten Multiplikators. Zu diesem Zweck differenziert man die Fl¨ achengleichung (5.23) nach der Zeit z˙ = 2xx˙

x z¨ = 2x˙ 2 + 2x¨

und ersetzt x˙ in der zweiten Gleichung durch die erste z˙ 2 = 2x¨ x. (5.25) 2z Man multipliziert dann die Bewegungsgleichung f¨ ur die x -Komponente (5.24) mit 2x z¨ −

2x¨ x = −4λx2 = −4λz

(5.26)

und erh¨ alt durch Vergleich von (5.25) und (5.26) z˙ 2 = −4λz . (5.27) 2z Entsprechend multipliziert man die Bewegungsgleichung f¨ ur die z -Komponente mit −4z z¨ −

−4¨ zz = −4λz + 4gz und eliminiert λ mit Hilfe von (5.27) z˙ 2 + 4gz = 0 . (5.28) 2z Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung f¨ ur z(t) ist nicht (in einfacher Weise) analytisch l¨ osbar. Man ist auf numerische Lösungsmethoden (siehe Math.Kap. 6.4) angewiesen. Bei der Umsetzung der Lagrangegleichungen erster Art f¨ ur das Problem mit der parabolischen Wanne trifft man auf die gleichen Schwierigkeiten wie in dem verwandten Beispiel 5.5 (S. 191), der Bewegung entlang eines parabelf¨ ormigen Drahtes, das mit Hilfe des Energiesatzes diskutiert wurde. Auf der anderen Seite ist noch zu bemerken: Mit einer auf numerischem Weg gewonnenen L¨ osung der Differentialgleichung (5.28) kann man den Multiplikator (und damit die Zwangskraft) u ¨ ber λ = z¨ + g und die √ x - Koordinate mit x = ± z bestimmen. Die Situation ist symptomatisch: Sobald die Zwangsbedingungen etwas aufwendiger sind, sind die Bewegungsgleichungen mit (zunächst unbekannten) Zwangskr¨ aften in vielen Situationen nicht einfach zugänglich. Dies ist eine ausreichende Motivation, eine flexiblere Formulierung, die Lagrangegleichungen zweiter Art, zu betrachten. Zuvor steht jedoch die Diskussion des Prinzips von d’Alembert und ein Blick auf die Formulierung der Lagrangegleichungen erster Art f¨ ur Systeme von Massenpunkten an. (4z + 1)¨ z−

5.2 D’Alemberts Prinzip

205

5.2 D’Alemberts Prinzip Die anschaulichen Betrachtungen, die zu der Formulierung der Lagrangegleichungen erster Art f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes bei der Anwesenheit von Zwangskr¨ aften f¨ uhren, k¨ onnen nicht in einfacher Weise auf die Diskussion von Systemen von Massenpunkten verallgemeinert werden. F¨ ur die Aufbereitung von Bewegungsproblemen mit Zwangsbedingungen f¨ ur solche Systeme ist es zweckm¨ aßig, einen alternativen, durchaus nicht gewöhnlichen, Standpunkt einzunehmen, der in dem Prinzip von d’Alembert zusammengefasst werden kann. Dieses Prinzip wird zunächst f¨ ur den Fall eines Massenpunktes formuliert. 5.2.1 Formulierung f¨ ur einen Massenpunkt Ausgangspunkt ist Newtons einfache Bewegungsgleichung f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes ohne Zwangsbedingungen m¨ r−F =0,

(5.29)

die in der folgenden Weise interpretiert werden kann: Man bezeichnet die Gr¨ oße m¨ r (eine Kraft) als den Tr¨ agheitswiderstand und sagt: Der Trägheitswiderstand und die eingepr¨ agten Kr¨ afte sind im Gleichgewicht. 5.2.1.1 Die virtuelle Verschiebung und die virtuelle Arbeit. Der Vorteil dieser Betrachtungsweise ist zun¨ achst minimal: Ein dynamisches Problem wurde formal auf ein statisches Problem (zwei Kräfte, eine wirkliche und eine fiktive, sind im Gleichgewicht) zur¨ uckgef¨ uhrt. Diese Interpretation wird sich jedoch als n¨ utzlich erweisen. Man definiert als nächstes den Begriff der virtuellen Verschiebung. Das ist eine m¨ ogliche, aber nur gedachte, infinitesimale Verschiebung des Massenpunktes. Diese Verschiebung wird mit dem Symbol δs = (δx, δy, δz)

mit δt = 0

(5.30)

bezeichnet. Sie unterscheidet sich von der wirklichen Verschiebung ds = (dx, dy, dz)

mit

dt = 0

in der folgenden Weise: Eine wirkliche Verschiebung benötigt immer eine gewisse Zeit. Die virtuelle Verschiebung ist instantan. Die Geschwindigkeit, mit der die virtuelle Verschiebung ‘durchgef¨ uhrt‘ wird, ist unendlich groß. Auch wenn sich diese Definition etwas absurd ausnimmt, sollte ihr Sinn bald klar werden. Formal ist gegen die Definition nichts einzuwenden. Man kann sich vieles ausdenken, auch instantane Verschiebungen. Akzeptiert man diesen Begriff, so kann man die Gleichgewichtsbedingung (5.29) in der Form einer Arbeitsaussage schreiben δA = (m¨ r − F ) · δs = 0 .

(5.31)

206


In Worten: Die virtuelle Arbeit, die man an dem System im formalen Gleichgewicht bei einer virtuellen Verschiebung verrichtet, ist gleich Null. Diese Aussage ist das Prinzip von d’Alembert, das auch als Prinzip der virtuellen Arbeit bezeichnet wird, in der einfachsten Form. F¨ ur den Fall eines freien Massenpunktes ist es nichts anderes als eine Reformulierung des zweiten Axioms und zwar in dem Sinn, dass das Prinzip aus dem Axiom folgt Bewegungsgleichungen

−→

d Alembert Prinzip .

Die Umkehrung ergibt sich mit dem Argument: Die drei virtuellen Verschiebungen (δx, δy, δz) sind beliebig w¨ ahlbar, also kann die virtuelle Arbeit nur verschwinden, falls m¨ r−F =0 ist, d.h. die Bewegungsgleichungen gelten. 5.2.1.2 Formulierung des d’Alembertschen Prinzips. Die Aussage gewinnt mehr Substanz, wenn man eine Situation mit Zwangsbedingungen betrachtet. Wenn sich der Massenpunkt auf einer Kurve oder einer Fläche bewegen soll, sind die virtuellen Verschiebungen δx, δy, δz nicht unabhängig voneinander. Sie m¨ ussen aufeinander abgestimmt sein. Die Zwangsbedingung f¨ ur die Bewegung auf einer Fläche, eine holonome Zwangsbedingung, lautet in differentieller Form ∂f ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz + dt = 0 . ∂x ∂y ∂z ∂t W¨ ahrend nun bei einer wirklichen Verschiebung diese Bedingung gelten muss, gilt f¨ ur eine virtuelle Verschiebung die Gleichung ∂f ∂f ∂f δx + δy + δz = 0 , ∂x ∂y ∂z da δt = 0 vorausgesetzt wird. Die Arbeitsaussage mit der virtuellen Verschiebung (5.31) gilt sowohl f¨ ur skleronome als auch f¨ ur rheonome Situationen. Hier erkennt man den Zweck der Definition der virtuellen Verschiebungen. Die Definition erlaubt eine kompakte Fassung der Erfahrungstatsache, dass Zwangskr¨ afte sowohl im skleronomen Fall als auch im rheonomen Fall senkrecht auf der Fl¨ ache stehen. Es ist gem¨ aß Definition ∇f (x, y, z, t) · δs = 0 .

(5.32)

Aufgrund dieser Aussage sind die drei Komponenten der virtuellen Verschiebung voneinander abh¨ angig. Kombination mit der Aussage bez¨ uglich der virtuellen Arbeit (5.31) kann auf zwei verschiedenen Wegen geschehen1 . 1

Im Folgenden werden partielle Ableitungen in der Form f[x] etc. notiert, um eine Verwechslung mit Komponentenangaben wie Fx zu vermeiden.


207

(1) Stelle eine der Verschiebungen durch die anderen dar, z.B. f¨ ur

f[y] f[z] ∂f = f[x] = 0 =⇒ δx = − δy − δz ∂x f[x] f[x] und setze den Ausdruck f¨ ur δx in die Gleichung (5.31) ein f[y] + (m¨ y − Fy ) δy + − (m¨ x − Fx ) f[x] f[z] − (m¨ x − Fx ) + (m¨ z − Fz ) δz = 0 . f[x] Die beiden verbleibenden virtuellen Verschiebungen sind unabhängig. Die obige Aussage kann also nur erf¨ ullt sein, wenn gilt f[y] + (m¨ y − Fy ) = 0 − (m¨ x − Fx ) f[x] f[z] − (m¨ x − Fx ) + (m¨ z − Fz ) = 0 . f[x] Dies w¨ aren die Bewegungsgleichungen f¨ ur die y - und z -Komponenten, wenn man die Variable x mit der Nebenbedingung f (x, y, z, t) = 0 eliminiert. (2) Dieser Weg ist zu dem ersten v¨ ollig ¨ aquivalent und f¨ uhrt direkt zu den Lagrangegleichungen erster Art f¨ ur die vorliegende Situation. Man multipliziert die Gleichung (5.32) mit −λ (dem Lagrangemultiplikator) und addiert sie zu der Gleichung (5.31). Man erhält ) ( ) ( y − Fy − λf[y] δy + m¨ x − Fx − λf[x] δx + m¨ ) ( m¨ z − Fz − λf[z] δz = 0 und argumentiert: W¨ ahle die frei verf¨ ugbare Größe λ so, dass einer der Ausdr¨ ucke in den runden Klammern verschwindet, so z.B. m¨ x − Fx − λf[x] = 0 . Es bleibt dann ( ) ( ) m¨ y − Fy − λf[y] δy + m¨ z − Fz − λf[z] δz = 0 . Da zwei der drei m¨ oglichen virtuellen Verschiebungen frei wählbar sind, m¨ ussen die entsprechenden Faktoren verschwinden. Das Ergebnis der Argumentation ist das Gleiche, das auf der Basis des direkten geometrischen Argumentes in Kap. 5.1 gewonnen wurde m¨ r = F + λ∇f .

(5.33)

208


5.2.1.3 Vergleich von Lagrange I und d’Alembert. Es ist n¨ utzlich, die Diskussion des d’Alembertschen Prinzips und der Lagrangegleichungen erster Art (f¨ ur den Fall einer holonomen Zwangsbedingung) noch einmal gegen¨ uberzustellen. (i) Zur Gewinnung der Lagrangegleichungen benutzt man die (experimentell nachvollziehbare) Aussage: Die Zwangskraft steht zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf der vorgegebenen Fl¨ ache. Da die Stärke der Zwangskräfte nicht bekannt ist, f¨ uhrt dies zu dem Ansatz Z = λ∇f . Das zweite Axiom mit einer Gesamtkraft, die sich aus eingeprägter und Zwangskraft zusammensetzt, ergibt dann m¨ r =F +Z . (ii) Das System wird mit virtuellen Verschiebungen getestet. Der Ausgangspunkt ist dann das d’Alembertprinzip in der Form δA = (m¨ r − F ) · δs = 0 . In Worten: die virtuelle Arbeit von Tr¨ agheitswiderstand und eingeprägten Kr¨ aften ist gleich groß. F¨ ur den Fall eines freien Massenpunktes ist diese Aussage mit dem zweiten Axiom identisch δA = 0

←→

m¨ r=F .

F¨ ur den Fall eines Massenpunktes mit einer holonomen Zwangsbedingung kommt die Aussage hinzu: Die virtuellen Verschiebungen sollen auf der vorgegebenen Fl¨ ache stattfinden und sind deswegen durch die Bedingung ∇f · δs = 0 verkn¨ upft. Kombination der beiden Aussagen liefert dann m¨ r = F + λ∇f . uhren zu dem gleichen Endergebnis. Sie m¨ ussen also völlig Beide Ansätze f¨ äquivalent sein. Der Unterschied besteht darin, wie man die Erfahrung u ¨ber die (Richtung der) Zwangskr¨ afte einbringt: Im ersten Fall wird ein direkter Ansatz benutzt, im zweiten Fall wird die Erfahrung durch die Definition der virtuellen Verschiebung ausgedr¨ uckt, und zwar in der Form λ∇f · δs = Z · δs = 0 . Die virtuelle Arbeit, die durch die Zwangskr¨ afte geleistet wird, verschwindet (immer). Im Gegensatz dazu verschwindet die wirkliche Arbeit dA nur bei skleronomen Zwangsbedingungen. Die zweite Betrachtungsweise ist wesentlich flexibler. So lassen sich nichtholonome Systeme, wenn nicht gerade eine einseitige Bindung vorliegt, in gleicher Weise diskutieren und die Erweiterung der Diskussion auf Systeme von Massenpunkten folgt dem gleichen Muster. Die Argumentation mit Hilfe des d’Alembertschen Prinzips ist zwar formal, f¨ uhrt aber direkt zum Ziel.


209

5.2.1.4 Varianten und Erg¨ anzungen. Es bleiben in diesem Abschnitt noch zwei kleine Aufgaben zu erledigen. 1. F¨ ur das d’Alembertsche Prinzip existiert eine alternative Formulierung. Es wurden drei ‘Kr¨ afte‘ ins Spiel gebracht, die durch die Vektorgleichung F − m¨ r = −Z verkn¨ upft sind. Die negative Zwangskraft ist der Anteil der eingeprägten Kraft F , der nicht in Bewegung umgesetzt wird. Man bezeichnet diesen Anteil als die verlorene Kraft. Die alternative Formulierung des Prinzips lautet dann Z · δs = (m¨ r − F ) · δs = 0 ,

(5.34)

in Worten: Ein Massenpunkt bewegt sich so, dass die virtuelle Arbeit der verlorenen Kraft zu jedem Zeitpunkt verschwindet. 2. F¨ ur die Bewegung entlang einer Kurve verläuft die Herleitung der Lagrangegleichungen aus dem d’Alembertschen Prinzip folgendermaßen: Neben dem Prinzip der virtuellen Arbeit (m¨ r − F ) · δs = 0 sind zwei Einschr¨ ankungen zu ber¨ ucksichtigen ∇f1 · δs = 0

und

∇f2 · δs = 0 .

Nur eine der virtuellen Verschiebungen ist frei wählbar. Multipliziert man jede der einschr¨ ankenden Bedingungen mit einem geeigneten Multiplikator und subtrahiert sie von dem Prinzip der virtuellen Arbeit, so erhält man im Detail y − Fy − λ1 f1y − λ2 f2y ) δy (m¨ x − Fx − λ1 f1x − λ2 f2x ) δx + (m¨ + (m¨ z − Fz − λ1 f1z − λ2 f2z ) δz = 0 . Drei Gr¨ oßen (zwei Multiplikatoren und eine der Verschiebungen) können frei gew¨ ahlt werden. W¨ ahlt man z.B. die beiden Multiplikatoren so, dass die ersten zwei Klammerausdr¨ ucke verschwinden, so f¨ uhrt dies zusammen mit der freien Wahl von δz auf drei Bewegungsgleichungen, die in vektorieller Zusammenfassung als m¨ r − F − λ1 ∇f1 − λ2 ∇f2 = 0

(5.35)

geschrieben werden k¨ onnen. Auch in dieser Situation gewinnt man mit den Konzepten der virtuellen Verschiebung und der virtuellen Arbeit das gleiche Ergebnis wie mit einer geometrischen Betrachtung.

210


5.2.2 Formulierung und Anwendung f¨ ur Systeme von Massenpunkten Das d’Alembertsche Prinzip f¨ ur Systeme von Massenpunkten stellt eine grundlegende Basis der klassischen Mechanik dar. Es wird hier, in kompakter Schreibweise, formuliert. Aus dem Prinzip kann man sowohl die Lagrangegleichungen erster als auch zweiter Art herleiten. F¨ ur die Lösung von Problemen mit den Lagrangegleichungen erster Art werden noch zwei zusätzliche Beispiele betrachtet. 5.2.2.1 Formulierung. W¨ urde man s¨ amtliche Zwangskräfte in dem System kennen, so w¨ urde man mit Newton f¨ ur ein System von Massenpunkten ansetzen mi rï = F i + Z i

(i = 1, 2, . . . N ) .

Die eingepr¨ agten Kr¨ afte F i beinhalten summarisch die inneren und die äußeren Kr¨ afte, die auf den i-ten Massenpunkt in dem System wirken. F¨ ur die virtuelle Verschiebung eines jeden Massenpunktes des Systems δsi = (δxi , δyi , δzi )

(i = 1 . . . N )

kann man die virtuelle Arbeit der verlorenen Kraft f¨ ur die einzelnen Massen berechnen δAi = (mi rï − F i ) · δsi = 0 . Da die Arbeit eine skalare Gr¨ oße ist, addieren sich die einzelnen virtuellen Arbeitsbeitr¨ age zu einer virtuellen Gesamtarbeit N

(mi rï − F i ) · δsi = 0 .

(5.36)

i=1

Es ist bei der folgenden Diskussion n¨ utzlich, die Notation mittels Durchnummerierung der Koordinaten und der Massen einheitlicher zu gestalten. Man benutzt die Zuordnungen x1 y1 z1 ↓ ↓ ↓ x1 x2 x3

x2 y2 z2 ↓ ↓ ↓ x4 x5 x6

...

m1 m1 m1 ↓ ↓ ↓ m1 m2 m3

m2 m2 m2 ↓ ↓ ↓ m4 m5 m6

...

xN ↓

yN ↓

x3N −2 x3N −1

zN ↓ x3N

mN mN mN ↓ ↓ ↓ m3N −2 m3N −1 m3N

und verf¨ ahrt entsprechend f¨ ur die Komponenten der Kraft F1x F1y F1z ↓ ↓ ↓ F1 F2 F3

F2x F2y F2z ↓ ↓ ↓ F4 F5 F6

...

FN x FN y FN z ↓ ↓ ↓ . F3N −2 F3N −1 F3N


211

Das d’Alembertsche Prinzip f¨ ur ein System von Massenpunkten lautet dann 3N

(mi x ï − Fi ) δxi = 0 .

(5.37)

i=1

Einzelne Massen des Systems k¨ onnen an Kurven oder Flächen gebunden sein oder Abst¨ ande zwischen den Massen k¨ onnen vorgegebene Werte haben. F¨ ur zwei Massen h¨ atte man z.B. bei festem Abstand l n = 2 −→ (x1 − x4 )2 + (x2 − x5 )2 + (x3 − x6 )2 − l2 = 0 . Sind r einschr¨ ankende Bedingungen f¨ ur das System von Massenpunkten vorgegeben, so kann man, bis auf den Fall der einseitigen Bindung, die Zwangsbedingungen in der Form angeben ak,1 (x1 . . . x3N , t) dx1 + ak,2 (x1 . . . x3N , t) dx2 + . . . + ak,3N (x1 . . . x3N , t) dx3N + ak,0 (x1 . . . x3N , t) dt = 0 (k = 1, 2, . . . r) . Man kann wieder die F¨ alle unterscheiden:

ak,i

ak,0

∂fk (x1 , . . . x3N , t) ∂xi

0

holonom − skleronom

∂fk (x1 , . . . x3N ) ∂xi

∂fk (x1 , . . . x3N , t) ∂t

holonom − rheonom

beliebig

0

nichtholonom − skleronom

beliebig

beliebig

nichtholonom − rheonom

F¨ ur die virtuellen Verschiebungen δxi (alle sind instantan) gelten die entsprechenden, einschr¨ ankenden Bedingungen 3N

ak,i (x1 . . . x3N , t) δxi = 0

(k = 1, 2, . . . r) .

(5.38)

i=1

Um die Bewegungsgleichungen zu gewinnen, argumentiert man wie zuvor: Multipliziere jede der Zwangsbedingungen mit einem Lagrangemultiplikator und addiere sie zu der Aussage des d’Alembertschen Prinzips 3N i=1

{mi x ï − Fi − λ1 a1,i − λ2 a2,i . . . λr ar,i } δxi = 0 .

212


W¨ ahle die r Multiplikatoren so, dass r Klammerausdr¨ ucke verschwinden. Die restlichen 3N − r Verschiebungen sind frei wählbar, also m¨ ussen die restlichen Klammerausdr¨ ucke ebenfalls Null ergeben. Man erhält somit die Lagrange Gleichungen erster Art f¨ ur ein System von N Massenpunkten. Liegen r holonome Bedingungen vor, so lauten sie r

∂fk ∂xi

(i = 1, 2, . . . , 3N )

fk (x1 . . . x3N , t) = 0

(k = 1, 2, . . . , r) .

ï = Fi + mi x

k=1

λk

(5.39)

Sind als Zwangsbedingungen r nichtholonome Differentialformen vorgegeben, so lauten die entsprechenden Gleichungen ï = Fi + mi x

r

λk ak,i (x1 . . . x3N , t)

(i = 1, 2, . . . , 3N )

(5.40)

k=1 3N

ak,i (x1 . . . x3N , t)

i=1

dxi = −ak,0 (x1 . . . x3N , t) dt

(k = 1, 2, . . . , r) .

Es k¨ onnen auch Bewegungsprobleme mit einem gemischten Satz von Zwangsbedingungen (holonom und nichtholonom) diskutiert werden. Die Aufgabe ist in jedem Fall: Bestimme die 3N Funktionen xi (t) sowie die r Lagrangemultiplikatoren λk . Hat man das System von Gleichungen gelöst (dies ist unter Umst¨ anden keine einfache Aufgabe), so kann man die Komponenten der Zwangskr¨ afte angeben Zi =

r

λk (x1 . . . x3N , t)ak,i (x1 . . . x3N , t)

(i = 1, . . . 3N ) .

k=1

Die Grundaussage des d’Alembertschen Prinzips, das Prinzip der virtuellen Arbeit 3N

(mi x ï − Fi ) δxi = 0

i=1

f¨ uhrt bei expliziter Einbeziehung der Zwangsbedingungen zu den Lagrangegleichungen erster Art. Es ist jedoch auch m¨ oglich, die gleiche Information in anderer Weise zu verarbeiten. Eliminiert man die Zwangsbedingungen durch eine geschickte Wahl der Koordinaten, so gewinnt man die Lagrangegleichungen zweiter Art. In diesem Falle wird die Anzahl der zu diskutierenden Gleichungen erniedrigt. Im Gegensatz zu Lagrange I stehen bei Lagrange II nur 3N − r (anstatt 3N + r) Gleichungen zur Diskussion. 5.2.2.2 Anwendungen. Da die Lagrangegleichungen zweiter Art in der Anwendung handlicher sind, sollen an dieser Stelle nur noch zwei einfache Beispiele zur L¨ osung von Bewegungsproblemen mit den Lagrangegleichungen erster Art vorgestellt werden.


213

Atwoods Fallmaschine (Beispiel 5.14) kann folgendermaßen beschrieben werden: Zwei Massen m1 und m2 sind durch einen festen Faden u ¨ ber eine Rolle verbunden (Abb. 5.14). Die Masse der Rolle und des Fadens wird vernachl¨ assigt. Unter dem Einfluss der Schwerkraft setzt sich das System in

z

m1

m2

m1g

m2g

Abb. 5.14. Atwoods Fallmaschine

Bewegung. Die Frage lautet: Wie bewegt es sich? Es gen¨ ugt, eine Koordinatenrichtung zu betrachten: die z -Richtung, die in Richtung der Schwerkraft orientiert wird. Die (holonome) Zwangsbedingung, die den nicht dehnbaren Faden beschreibt, lautet z1 + z2 = const. Damit ergeben sich die Lagrangegleichungen m1 z¨1 = m1 g + λ

m2 z¨2 = m2 g + λ .

Elimination des Multiplikators ergibt m1 z¨1 − m1 g = m2 z¨2 − m2 g . Da aus der Zwangsbedingung z¨2 = −¨ z1 folgt, entspricht dies m1 − m2 g. z¨1 = m1 + m2 Die Masse m1 bewegt sich gleichf¨ ormig beschleunigt nach unten, wenn m1 > m2 ist. Die Beschleunigung ist gegen¨ uber g reduziert. Ein Zahlenbeispiel, wie m1 = 16 m2 = 14 mit z¨1 = g/15, erläutert den Zweck der Fallmaschine: Die beschleunigte Fallbewegung wird verlangsamt und kann somit einfacher beobachtet werden. Die Zwangskraft ist f¨ ur beide Massen gleich und hat den Wert ! m1 z¨1 − m1 g 2m1 m2 g. =− Z1 = Z2 = λ = (m1 + m2 ) m2 z¨2 − m2 g Sie ist f¨ ur beide Massen nach oben gerichtet. Eine Variante der Fallmaschine wird in Aufg. 5.3 angesprochen. Das Beispiel 5.15 erl¨ autert die Anwendung des d’Alembertschen Prinzips f¨ ur statische Probleme. Ein System mit N stationären Massenpunkten wird durch das statische Prinzip der virtuellen Arbeit charakterisiert

214

5 Allgemeine Formulierungen der Punktmechanik N

F i · δsi = 0 .

(5.41)

i=1

Aus dieser Bedingung kann man, als Beispiel, das Hebelgesetz gewinnen (vergleiche Kap. 3.2.2): Bei der Anwendung auf einen Hebel (ein ebenes System aus zwei Massen m1 und m2 mit festem Abstand l1 und l2 von dem gemeinsamen Drehpunkt (Abb. 5.15)) sind die Zwangsbedingungen

y

x2 y

F1

l1 α

y

1

x1

2

x

l2

F2

Abb. 5.15. Hebel: Koordinaten

x21 + y12 = l12

x22 + y22 = l22 .

und

Außerdem wird jede der Massen um den gleichen Winkel gedreht x1 x2 1 . = = y1 y2 tan α In differentiell, virtueller Form (5.38) lauten diese drei Bedingungen x1 δx1 + y1 δy1 = 0 y2 δx1 − x2 δy1 − y1 δx2 + x1 δy2 = 0 .

x2 δx2 + y2 δy2 = 0

Die station¨ aren Lagrangegleichungen des Systems (5.39) sind somit F1,x + λ1 x1 F1,y + λ1 y1 F2,x + λ2 x2 + λ2 y2 F2,y

+ − − +

λ3 y2 λ3 x2 λ3 y1 λ3 x1

= = = =

0 0 0 0.

Elimination von λ1 aus den ersten beiden und von λ2 aus den letzten Gleichungen ergibt F1,x y1 − F1,y x1 + λ3 (y2 y1 + x2 x1 ) = 0 F2,x y2 − F2,y x2 − λ3 (y2 y1 + x2 x1 ) = 0 . Daraus folgt die (schon bekannte) Hebelbedingung (3.46) r1 × F 1 + r 2 × F 2 = 0 , die Summe der Drehmomente der angreifenden Kräfte muss verschwinden.

5.3 Die Lagrangegleichungen zweiter Art (Lagrange II)

215

5.3 Die Lagrangegleichungen zweiter Art (Lagrange II) Benutzt man die Grundgleichungen der Mechanik in der Form der Lagrangegleichungen erster Art, so sind f¨ ur ein System von N Massenpunkten mit r Zwangsbedingungen 3N + r Gleichungen zu l¨ osen. Die erhöhte Zahl von Gleichungen ist der Preis, den man f¨ ur die explizite Einbeziehung der Zwangskr¨ afte bezahlen muss. Das Ziel, das man mit der Formulierung der Lagrangegleichungen zweiter Art anstrebt, ist: 1. In den Gleichungen sollen die Zwangskr¨ afte nicht explizit auftreten. 2. Die Zahl der zu l¨ osenden Gleichungen soll der Zahl der verbleibenden Freiheitsgrade entsprechen. Diese ist 3N − r. Die einfachste Variante der Lagrangegleichungen zweiter Art beschreibt die Bewegung eines einzigen Massenpunktes. Es bietet sich an, mit der Betrachtung dieser Gleichungen zu beginnen. 5.3.1 Lagrange II f¨ ur einen Massenpunkt Die Methode, mit der man das gesteckte Ziel erreicht, ist die Einf¨ uhrung von generalisierten Koordinaten. In kleinem Rahmen wurde diese Methode schon benutzt: So wurden z.B. in Kap. 4 die Bewegungsgleichungen f¨ ur das mathematische Pendel und f¨ ur das Keplerproblem nicht in kartesischen Koordinaten, sondern in Polarkoordinaten diskutiert. Es geht nun um die Frage: Wie w¨ ahlt man einen m¨ oglichst geschickten Satz von Koordinaten f¨ ur ein vorgegebenes Problem (mit oder ohne Zwangsbedingungen)? 5.3.1.1 Generalisierte Kooordinaten. Die Aufbereitung sieht folgendermaßen aus: Anstelle der Beschreibung der Bewegung durch kartesische Koordinaten x(t), y(t), z(t) geht man zu einem beliebigen Satz von Koordinaten q1 (t), q2 (t), q3 (t) u ¨ ber. Die allgemeine Form eines solchen Satzes von Transformationsgleichungen ist x(t) y(t) z(t)

= x(q1 (t), q2 (t), q3 (t), t) = y(q1 (t), q2 (t), q3 (t), t) = z(q1 (t), q2 (t), q3 (t), t)

(5.42)

oder in Kurzform xi = xi (q1 , q2 , q3 , t) (i = 1, 2, 3) . In Gleichung (5.42) wurde von Anfang an die Möglichkeit im Auge behalten, dass die Transformationsgleichungen explizit von der Zeit abhängen können. Es wird außerdem vorausgesetzt, dass die Umkehrung der Transformationsgleichungen existiert qμ = qμ (x1 , x2 , x3 , t)

(μ = 1, 2, 3) .

Zur Illustration m¨ ogen die folgenden zwei Beispiele dienen:

(5.43)

216


In dem Beispiel 5.16 wird die schon benutzte Koordinatentransformation (siehe (2.74), S. 63) x1 = q1 sin q2 cos q3

x2 = q1 sin q2 sin q3

x3 = q1 cos q2

angesprochen, wobei die generalisierten Koordinaten qμ f¨ ur die Kugelkoordinaten stehen q1 → r,

q2 → θ,

q3 → φ .

y x z

Abb. 5.16. Uniform um die y -Achse rotierende Ebene

Betrachtet man eine Bewegung auf einer Ebene, die gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die y -Achse rotiert (Beispiel 5.17, siehe Abb. 5.16), so bieten sich die folgenden Koordinaten an: q1 q2 q3

= = =

z− x tan ωt (x2 + z 2 ) y

Gleichung der rotierenden Ebene Abstand von der y -Achse y -Koordinate .

(5.44)

Die Umkehrung dieser Transformation sieht zunächst etwas erschreckend aus, man findet z.B. f¨ ur die x -Koordinate x = cos ωt − q1 sin ωt + q22 − q12 cos2 ωt . Trotzdem ist dieser Satz von generalisierten Koordinaten f¨ ur die skizzierte Situation sehr brauchbar. Die generalisierte Koordinate q1 dr¨ uckt gerade die Zwangsbedingung aus. Es ist also q1 = 0 ( und somit auch q˙1 = q¨1 = 0). Man kann diese Koordinate bei der weiteren Betrachtung ignorieren (Bezeichnung: ignorable Koordinate). Benutzt man die Zwangsbedingung q1 = 0, so ist die Umkehrung der Transformation recht einfach: x = q2 cos ωt

y = q3

z = q2 sin ωt .

Die drei kartesischen Koordinaten werden (wegen der Zwangsbedingung) durch zwei generalisierte Koordinaten (und die vorgegebene Zeitentwicklung) dargestellt. Die Zahl der generalisierten Koordinaten entspricht der Zahl der Freiheitsgrade.


217

5.3.1.2 Von d’Alemberts Prinzip zu Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten. Um einen Satz von Bewegungsgleichungen in den generalisierten Koordinaten zu gewinnen, muss man auf das d’Alembertsche Prinzip (Kap. 5.2) zur¨ uckgreifen und eine Umschreibung in diese Koordinaten vornehmen. Dazu sind einige Vorbereitungen notwendig, die allesamt auf der Anwendung der Rechenregeln f¨ ur die partielle Differentiation beruhen. 1. F¨ ur die Ableitung der kartesischen Koordinaten nach der Zeit (totale Ableitung) gilt mit den angesetzten Transformationsgleichungen x˙ i =

3 ∂xi dxi ∂xi = . q˙μ + dt ∂q ∂t μ μ=1

(5.45)

Die Ableitung einer generalisierten Koordinate nach der Zeit bezeichnet man als generalisierte Geschwindigkeit, beziehungsweise präziser als generalisierte Geschwindigkeitskomponente. 2. F¨ ur die kinetische Energie m 2 x˙ 2 i=1 i 3

T =

ergeben sich direkt die Ableitungen ∂ x˙ i ∂T =m x˙ i ∂qν ∂qν i=1

(5.46)

∂ x˙ i ∂T =m x˙ i . ∂ q˙ν ∂ q˙ν i=1

(5.47)

3

3

3. Aus der differenzierten Transformationsgleichung (5.45) folgt f¨ ur die partiellen Ableitungen ∂ x˙ i ∂xi = . ∂ q˙ν ∂qν

(5.48)

Einsetzen in (5.47) ergibt dann 3 ∂xi ∂T =m x˙ i . ∂ q˙ν ∂qν i=1

(5.49)

4. Es ist nun die totale Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit zu berechnen " " # #! 3 d ∂T ∂xi d ∂xi + x˙ i =m x ï . (5.50) dt ∂ q˙ν ∂qν dt ∂qν i=1

218


5. In dem letzten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man die Reihenfolge der Differentiationen vertauschen, falls die Transformationsgleichungen zweimal stetig differenzierbar sind. Zum Beweis dieser Aussage ben¨ otigt man die Schritte " # 3 ∂ 2 xi ∂ 2 xi d ∂xi q˙μ + . = dt ∂qν ∂qμ ∂qν ∂t∂qν μ=1 Vertauschung der Reihenfolge der partiellen Differentiationen gemäß Voraussetzung ergibt " ! # 3 ∂xi d ∂xi ∂xi ∂ . q˙μ + = dt ∂qν ∂qν μ=1 ∂qμ ∂t Der Ausdruck in der Klammer ist aber gerade x˙ i (siehe (5.45)), also folgt =

∂ x˙ i . ∂qν

6. Damit ergibt sich f¨ ur den zweiten Term in (5.50) gemäß (5.46) " # 3 3 d ∂xi ∂ x˙ i ∂T x˙ i x˙ i = =m m dt ∂qν ∂qν ∂qν i=1 i=1

(5.51)

und man kann das Endziel dieser Vorbereitung nach Sortierung des Ergebnisses von (5.50) in der Form notieren " # 3 ∂xi d ∂T ∂T x ï = . (5.52) − m ∂q dt ∂ q ˙ ∂q ν ν ν i=1 Mit Hilfe dieser Gleichung kann man nun das d’Alembertsche Prinzip in eine geeignete Form bringen. Der Ausgangspunkt ist die kartesische Form (5.37) 3 (m¨ xi − Fi )δxi = 0 .

(5.53)

i=1

(Noch einmal in Worten: die virtuelle Arbeit der verlorenen Kräfte verschwindet.) Man ben¨ otigt eine Relation zwischen den virtuellen Verschiebungen in den kartesischen Koordinaten und den virtuellen Verschiebungen in den generalisierten Koordinaten. Dazu bildet man das totale Differential der Transformationsgleichungen (5.42) 3 ∂xi ∂xi dt dqμ + dxi = ∂q ∂t μ μ=1

und geht von der wirklichen Verschiebung d zu der virtuellen Verschiebung δ u ¨ber. Auf diese Weise ergibt sich


δxi =

3 ∂xi δqμ , ∂qμ μ=1

219

(5.54)

da δt gem¨ aß Definition gleich Null ist. F¨ ur die Grundgleichung des d’Alembertschen Prinzips erh¨ alt man damit " #! ∂xi ∂xi − Fi (5.55) m¨ xi δqμ = 0 . ∂qμ ∂qμ μ i Man erkennt hier den Zweck der Vorbereitung in den Punkten 1 bis 6. Der erste Term in (5.55) l¨ asst sich mit (5.52) durch die Ableitungen der kinetischen Energie ausdr¨ ucken. Der zweite Term entspricht einer Transformation von den kartesischen Kraftkomponenten Fi auf generalisierte Kraftkomponenten Qμ Qμ =

3 i=1

Fi

∂xi ∂qμ

(μ = 1, 2, 3) .

(5.56)

Benutzt man diese Definition zur Abk¨ urzung und setzt den bereitgestellten Ausdruck (5.52) f¨ ur den ersten Term ein, so erhält man " # ! 3 d ∂T ∂T − Qμ δqμ = 0 . (5.57) − dt ∂ q˙μ ∂qμ μ=1 Es k¨ onnen drei verschiedene Situationen vorliegen: 1. Der Massenpunkt ist frei beweglich, d.h. es besteht keine Zwangsbedingung. In diesem Fall hat man drei unabh¨ angige virtuelle Verschiebunullt sein, wenn jeder der gen δqμ . Das d’Alembertsche Prinzip kann nur erf¨ Klammerausdr¨ ucke verschwindet. Man erhält drei Bewegungsgleichungen # " d ∂T ∂T − − Qμ = 0 (μ = 1, 2, 3) . (5.58) dt ∂ q˙μ ∂qμ 2. Es ist eine Zwangsbedingung vorgegeben, von der vorausgesetzt werden soll, dass sie holonom ist (f (x, y, z, t) = 0). Man kann dann als eine der generalisierten Koordinaten q1 = f (x, y, z, t) = 0 festlegen. Die entsprechende virtuelle Verschiebung verschwindet somit (δq1 = 0), w¨ ahrend die anderen Verschiebungen δq2 und δq3 beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen. Dies liefert dann zwei Bewegungsgleichungen " # ∂T d ∂T − Qμ = 0 (μ = 2, 3) . (5.59) − dt ∂ q˙μ ∂qμ

220


3. Es sind zwei holonome Zwangsbedingungen vorgegeben. Eine zweckmäßige Wahl der generalisierten Koordinaten ist in diesem Fall q1 = f1 (x1 , x2 , x3 , t) = 0 ,

q2 = f2 (x1 , x2 , x3 , t) = 0 .

Es verbleibt im Endeffekt nur eine Bewegungsgleichung, die nur noch die Koordinate q3 enth¨ alt. Die vorliegenden Bewegungsgleichungen d dt

"

∂T ∂ q˙μ

# −

∂T − Qμ = 0 ∂qμ

(μ = 1, . . .)

(5.60)

sind die Lagrangegleichungen zweiter Art f¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes ohne beziehungsweise mit holonomen Zwangsbedingungen. Das gesteckte Ziel wurde erreicht: Zwangskräfte treten nicht explizit auf. Die Zahl der Gleichungen entspricht der Zahl der Freiheitsgrade. Man könnte diese Gleichungen, die wesentlichen Grundgleichungen der ’höheren’ klassischen Mechanik, als eine mehr praxisorientierte Form des d’Alembertschen Prinzips bezeichnen. 5.3.1.3 Zur L¨ osung der Bewegungsgleichungen nach Lagrange II. Die allgemeinere Betrachtung dieser Gleichungen soll durch zwei anschauliche Anwendungsbeispiele vorbereitet werden. Zur Aufstellung der Lagrange Bewegungsgleichungen (5.60) benutzt man einen Satz von Standardschritten: • Man beginnt mit der Wahl der generalisierten Koordinaten xi = xi (q1 , q2 , q3 , t) ,

(i = 1, 2, 3)

und berechnet deren Zeitableitungen ∂xi ∂xi = vi (q1 , . . . , q˙1 , . . . , t) . q˙μ + x˙ i = ∂q ∂t μ μ Auf der rechten Seite dieser Gleichungen treten nur die generalisierten Koordinaten qμ (gegebenenfalls zum Teil ignorabel), die generalisierten Geschwindigkeiten q˙μ und (gegebenenfalls) die Zeit auf. • Die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten setzt man in den Ausdruck f¨ ur die kinetische Energie ein m 2 x˙ 2 i=1 i 3

T =

und erh¨ alt somit die kinetische Energie in der Form T = T (q1 , q2 , q3 , q˙1 , q˙2 , q˙3 , t) .


221

• Zur eigentlichen Aufstellung der Bewegungsgleichungen gemäß Lagrange II bildet man die geforderten Ableitungen von T nach den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Geschwindigkeiten

∂T d ∂T , ∂qμ dt ∂ q˙μ und berechnet die Komponenten der generalisierten Kraft Qμ nach Gleichung (5.56). • Die aus diesen Zutaten gewonnenen Gleichungen stellen einen Satz von Differentialgleichungen f¨ ur die Funktionen qμ (t) dar. Nach deren Lösung erh¨ alt man u unscht, ¨ ber die Transformationsgleichungen (5.42), falls erw¨ die Zeitentwicklung der kartesischen Koordinaten xi (t) . 5.3.1.4 Erste L¨ osungsbeispiele. Das erste Beispiel zur Illustration dieses Schemas ist die Aufgabe: Berechne den Bewegungsablauf f¨ ur einen Massenpunkt m, der sich auf einer Zylinderfl¨ ache x2 + y 2 − R2 = 0 unter dem Einfluss einer harmonischen Zentralkraft F = −kr = −k(x, y, z) bewegt (Beispiel 5.18, siehe Abb. 5.17a). (a)

(b) z

z

m F

q1 y q

q

3

y 2

x

x

Kraftvektor

generalisierte Koordinaten

Abb. 5.17. Ein Massenpunkt m auf einer Zylinderfl¨ ache unter dem Einfluss einer harmonischen Zentralkraft

Der Kraftvektor zeigt zu jedem Zeitpunkt auf den Koordinatenursprung. Der erste Schritt ist die Wahl der generalisierten Koordinaten. Man hat einige Freiheit, doch sollte man nach der Devise verfahren: Je geschickter die Wahl, desto einfacher die Differentialgleichungen, die letztlich zur Diskussion stehen. Die geschickteste Wahl orientiert sich in den meisten Fällen an der Symmetrie des Problems und (falls vorgegeben) den Zwangsbedingungen. In dem vorliegenden Beispiel w¨ urde man w¨ ahlen q1 = x2 + y 2 − R2 = 0

(die Zwangsbedingung)

222


und infolge der Zylindersymmetrie (Abb. 5.17b) y (Winkel) q2 = arctan x q3 = z (Koordinate, H¨ ohe u ¨ ber x - y Ebene) .

(5.61)

Wegen der Aussage q1 = 0 lautet die Umkehrung dieser Gleichungen x = R cos q2

y = R sin q2

z = q3 .

(5.62)

Es sind nun die Zeitableitungen zu berechnen x˙ = −R q˙2 sin q2

y˙ = R q˙2 cos q2

z˙ = q˙3 .

(5.63)

Damit erh¨ alt man f¨ ur die kinetische Energie m m T = (x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) = (R2 q˙22 + q˙32 ) . 2 2 Man berechnet nun die geforderten Ableitungen der kinetischen Energie ∂T ∂T = =0 ∂q2 ∂q3 und ∂T = mR2 q˙2 ∂ q˙2 ∂T = mq˙3 ∂ q˙3

−→

d dt

−→

d dt

" "

∂T ∂ q˙2 ∂T ∂ q˙3

# = mR2 q¨2 # = m¨ q3 .

Zur Berechnung der generalisierten Kraft benötigt man ∂x = −R sin q2 ∂q2

∂y = R cos q2 ∂q2

∂z =0 ∂q2

∂x =0 ∂q3

∂y =0 ∂q3

∂z =1. ∂q3

Die generalisierte Kraftkomponente Q1 verschwindet, da q1 in den Transformationsgleichungen (5.61) nicht auftritt. F¨ ur die anderen Komponenten erh¨ alt man ∂x ∂y ∂z + Fy + Fz Q2 = Fx ∂q2 ∂q2 ∂q2 = −k{(R cos q2 )(−R sin q2 ) + (R sin q2 )(R cos q2 ) + 0} =0 ∂x ∂y ∂z + Fy + Fz ∂q3 ∂q3 ∂q3 = −kq3 .

Q3 = Fx

Die Lagrange Bewegungsgleichungen des gestellten Problems sind also


223

m¨ q2 = 0 m¨ q3 + kq3 = 0 . Sie sind wider Erwarten sehr einfach. Man kann die allgemeine Lösung direkt angeben q2 (t) = C1 + C2 t

(5.64) k . m oße q3 ist die z -Koordinate eines Die Gr¨ oße q2 ist der Polarwinkel, die Gr¨ Punktes auf dem Zylindermantel. Die Winkelbewegung ist uniform, in der z ¨ Richtung liegt eine harmonische Oszillation vor. Die Uberlagerung der beiden q3 (t) = C3 cos ω0 t + C4 sin ω0 t

mit

ω0 =

Abb. 5.18. Bewegung auf einer Zylinderfl¨ ache: L¨ osung

Bewegungsformen ergibt eine trigonometrische Kurve (die Oszillation), die auf dem Zylindermantel ausgebreitet (die uniforme Drehung) ist (Abb. 5.18). Man kann den Bewegungsablauf etwas detaillierter studieren, wenn man einen Satz von Anfangsbedingungen vorgibt, so z.B. x(0) = R vx (0) = 0

y(0) = 0

z(0) = h

vy (0) = v0

vz (0) = 0 .

Die Anfangsposition befindet sich (nat¨ urlich) auf dem Zylindermantel, in der H¨ ohe h u ¨ber der x -Achse. Die Anfangsgeschwindigkeit zeigt in die y Richtung. Damit folgt aus den Transformationsgleichungen (5.61) q2 (0) = 0

q3 (0) = h

und aus der Geschwindigkeitstransformation (5.63) q˙2 (0) = v0 /R

q˙3 (0) = 0 .

Benutzt man diese Vorgaben zur Bestimmung der Integrationskonstanten, so findet man die spezielle L¨ osung v0 q2 (t) = t q3 (t) = h cos ω0 t . (5.65) R Auf dem Zylindermantel ist eine Kosinuskurve ausgebreitet. Da im Allgemeinen die Umlauffrequenz ω = v0 /R (Umlaufzeit T = 2πR/v0 ) und die Oszillatorfrequenz ω0 = k/m nicht u ¨ bereinstimmen, ist die Kosinuskurve auf dem Zylindermantel nicht geschlossen. Spezialfälle, die auftreten können, sind: h = 0: Es liegt nur eine uniforme Kreisbewegung der Masse in der x - y Ebene

224


vor. v0 = 0: Die L¨ osung (5.65) beschreibt in diesem Fall eine harmonische Oszillation um den Punkt (x, y, z) = (R, 0, h) in z -Richtung. Das Beispiel 5.19 stellt ein Bewegungsproblem dar, das u ¨ ber die Bewegungsgleichungen gem¨ aß Lagrange I nicht ohne numerischen Aufwand gelöst werden k¨ onnte. Man betrachtet die Bewegung einer Masse m unter dem Einfluss der Schwerkraft F = (0, 0, −mg) auf einer Schraubenlinie, die sich uniform in der z -Richtung hebt oder absenkt. Eine nichtbewegte Schraubenlinie

z

h x

y Abb. 5.19. Darstellung der Schraubenlinie

(Abb. 5.19) wird durch die Gleichungen x2 + y 2 − R2 = 0 z=

h y h φ= arctan 2π 2π x

(5.66) (5.67)

beschrieben (siehe Kap. 2, S. 36). Die erste Gleichung (5.66) charakterisiert die Zylinderfl¨ ache, die zweite (5.67) beschreibt die Schraubenlinie auf dieser Fl¨ ache. F¨ ur eine volle Drehung in der x - y Ebene ändert sich der Winkel φ um den Betrag 2π. F¨ ur jeden Umlauf vergr¨ oßert sich die z -Koordinate um die Gangh¨ ohe der Schraube (h). Im Falle einer uniform rotierenden Schraube ist die zweite Gleichung durch y 2π h arctan ± ωt ω= (5.68) z= 2π x T zu ersetzen. Das Pluszeichen entspricht einer Schraubenlinie, die sich hebt, das Minuszeichen einer Schraubenlinie, die sich senkt. Die Wahl der ignorablen Koordinaten f¨ ur das vorliegende Problem ist demnach q1 = x2 + y 2 − R2 = 0 y h arctan ± ωt = 0 . q2 = z − 2π x

(5.69) (5.70)

Diese Koordinaten treten in den Bewegungsgleichungen nicht auf. Zur Charakterisierung der eigentlichen Bewegung benutzt man q3 = z .

(5.71)


225

Um die Umkehrung dieser Transformationsgleichungen zu gewinnen, löst man die Gleichung (5.70) f¨ ur die Koordinate q2 nach dem Polarwinkel φ(t) auf φ(t) = arctan

2π y(t) = q3 (t) ∓ ωt x(t) h

(5.72)

und setzt diesen Ausdruck in die Relation zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten ein ((2.66), S. 62) x(t) = R cos φ(t)

y(t) = R sin φ(t)

z(t) = q3 (t) .

(5.73)

Da zwei Zwangsbedingungen vorgegeben sind, tritt nur eine nichtignorable generalisierte Koordinate auf. Eine der holonomen Zwangsbedingungen ist rheonom, somit sind die Transformationsgleichungen explizit zeitabhängig. Zur Angabe der kinetischen Energie als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten ben¨ otigt man die Zeitableitungen x˙ = −Rφ˙ sin φ y˙ = Rφ˙ cos φ z˙ = q˙3 . Die kinetische Energie ist wegen 2π q˙3 (t) ∓ ω φ˙ = h somit

2 2π m R2 q˙3 ∓ ω + q˙3 2 T = 2 h

.

(5.74)

Die einzige generalisierte Kraftkomponente, die in diesem Fall auftritt, ist Q3 = Fz

∂z = −mg , ∂q3

da Fx = Fy = 0 .

F¨ ur die Aufstellung der Bewegungsgleichungen benötigt man noch die Ableitungen

∂T 2πR2 2π ∂T q˙3 ∓ ω + q˙3 , =0 =m ∂q3 ∂ q˙3 h h sowie

2 2

4π R d ∂T + 1 . = mq¨3 dt ∂ q˙3 h2 Die Bewegungsgleichung lautet demnach

2 2 4π R mq¨3 + 1 + mg = 0 , h2

(5.75)

beziehungsweise nach einfacher Sortierung gh2 = −geff . + h2 Die Bewegung auf der uniform rotierenden Schraubenlinie unter dem Einfluss der Schwerkraft ist eine gleichf¨ ormig beschleunigte Fallbewegung. Die q¨3 = −

4π 2 R2

226


Beschleunigung ist gegen¨ uber dem freien Fall reduziert. Die Reduktion ist umso gr¨ oßer je gr¨ oßer der Radius der Schraube ist. Die Reduktion verringert sich mit wachsender Gangh¨ ohe, die effektive Beschleunigung kann auch in der Form g geff =

4π 2 R2 1+ h2 geschrieben werden. Die Winkelgeschwindigkeit ω, die die uniforme Drehung charakterisiert, tritt in der Bewegungsgleichung nicht auf. Die zeitabhängigen Zwangskr¨ afte leisten bei einer uniformen Rotation, wie f¨ ur das Beispiel einer uniform bewegten schiefen Ebene (vergleiche Kap. 5.1, S. 201 f¨ ur den Spezialfall h(t) = v0 t), keine Arbeit. Die allgemeine L¨ osung der Bewegungsgleichung (5.75) ist 1 q3 (t) = C1 + C2 t − geff t2 . 2 Gibt man Anfangsbedingungen f¨ ur die generalisierte Koordinate vor, wie z.B. q3 (0) = 0

q˙3 (0) = 0 ,

so erh¨ alt man f¨ ur die entsprechenden Anfangsbedingungen in den kartesischen Koordinaten x(0) = R x(0) ˙ =0

y(0) = 0 y(0) ˙ = ∓Rω

z(0) = 0 z(0) ˙ =0.

Der Massenpunkt befindet sich anf¨ anglich auf der Schraubenlinie und bewegt sich mit ihr. Die Anfangsbedingungen entsprechen C1 = C2 = 0, so dass sich durch Einsetzen von q3 in die Transformationsgleichungen die explizite L¨ osung in kartesischer Schreibweise zu πhg 2 t ± ωt x(t) = +R cos 4π 2 R2 + h2 πhg 2 t ± ωt (5.76) y(t) = −R sin 4π 2 R2 + h2 1 gh2 z(t) = − t2 2 4π 2 R2 + h2 ergibt. Es kann direkt u uft werden, dass diese Lösung die Bedingungen ¨berpr¨ q1 (t) = q2 (t) = 0 erf¨ ullt. 5.3.1.5 Zwangskr¨ afte und Lagrange II. In den Lagrangegleichungen zweiter Art treten, per Konstruktion, die Zwangskräfte nicht auf. Ist man jedoch neben der Charakterisierung des Bewegungsablaufes an einer Aussage u afte interessiert, so bietet sich das folgende Vorgehen an: ¨ber die Zwangskr¨ (a) L¨ ose das gestellte Bewegungsproblem mit Zwangsbedingungen gemäß Lagrange II, gegebenenfalls mit numerischen Methoden.


227

(b) Stelle die Bewegungsgleichungen gem¨ aß Lagrange I auf, setze die Lösung aus Schritt (a) ein und bestimme die Lagrangemultiplikatoren (und somit die Zwangskräfte). F¨ ur die zwei obigen Beispiele ergeben sich mit diesen beiden Schritten die folgenden Aussagen u afte: ¨ ber die Zwangskr¨ Die Zwangsbedingung (siehe Bsp. 5.18, S. 221) x2 + y 2 − R2 = 0 ergibt nach der Vorschrift (5.33) die Bewegungsgleichungen m¨ x = −kx + 2λx

m¨ y = −ky + 2λy

m¨ z = −kz .

(5.77)

Aus der ersten Gleichung folgt z.B.

1 m¨ x +k . λ= 2 x Setzt man in diese Gleichung die L¨ osung (5.65) mit den benutzten Anfangsbedingungen ein

v0 t v0 t x = R cos y = R sin z = h cos ω0 t , R R so findet man f¨ ur λ

v 2 1 0 λ= . k−m 2 R Die zweite Bewegungsgleichung ist automatisch erf¨ ullt. F¨ ur die Zwangskraft ergibt sich

v0 t v0 t v2 v2 Z= k − m 02 R cos , k − m 02 R sin ,0 . R R R R Die Zwangskraft ¨ andert sich periodisch mit der Winkelkoordinate q2 (t). Sie ist, je nach Verhältnis der Kraftkonstanten und der Umlaufgeschwindigkeit (bezogen auf Masse und Radius) radial nach innen oder außen gerichtet. In dem zweiten Beispiel (Bsp. 5.19, S. 224) sind die Zwangsbedingungen y h (arctan ± ωt) = 0 2π x vorgegeben. Mit dem Ansatz f¨ ur die Zwangskraft x2 + y 2 − R2 = 0 und z −

Z = λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 lauten die Bewegungsgleichungen nach Lagrange I bei Benutzung von (5.35) h yλ2 2πR2 m¨ z = −mg + λ2 .

m¨ x = 2λ1 x +

m¨ y = 2λ1 y −

h xλ2 2πR2 (5.78)

F¨ ur die spezielle L¨ osung des Bewegungsproblems in der Form (5.76) x = R cos φ

y = R sin φ

1 z = − geff t2 2

228


mit φ=−

π

geff t2 ± ωt

h liefert die dritte Bewegungsgleichung direkt λ2 = m(g − geff ) =

4π 2 R2 4π 2 R2 m g = m geff . 4πR2 + h2 h2

Aus einer der ersten beiden Bewegungsgleichungen in (5.78) kann man dann λ1 gewinnen 2

m m 2π λ1 = − φ˙ 2 = − geff t ± ω . 2 2 h 5.3.1.6 Konservative Systeme. Nach dieser ersten Anwendung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art f¨ ur die Lösung von komplizierteren Bewegungsproblemen soll die allgemeine Diskussion fortgesetzt werden. F¨ ur den Fall, dass die eingepr¨ agten Kr¨ afte konservativ sind, kann man bei holonomen Zwangsbedingungen eine n¨ utzliche Umschreibung vornehmen. In diesem Fall sind die kartesischen Kraftkomponenten als Gradient der potentiellen Energie darstellbar F = −∇U (x, y, z) und die Komponenten der generalisierten Kraft können, unter Benutzung der Kettenregel f¨ ur die partielle Differentiation, in der Form ∂xi ∂U ∂xi ∂U Fi =− =− (μ = 1, . . .) (5.79) Qμ = ∂q ∂x ∂q ∂q μ i μ μ i i geschrieben werden. Diese Gleichung besagt: Im Fall von konservativen Kr¨ aften kann man die generalisierten Kraftkomponenten auch berechnen, indem man zuerst die potentielle Energie durch die generalisierten Koordinaten ausdr¨ uckt U (x1 , x2 , x3 ) −→ U (q1 , q2 , q3 , t) und dann die Kraftkomponenten als generalisierten Gradienten berechnet. F¨ ur das Beispiel 5.18 (S. 221) mit der Transformation (5.62) x = R cos q2

y = R sin q2

z = q3

ist die potentielle Energie k 2 k (x + y 2 + z 2 ) = (R2 + q32 ) . 2 2 Damit ergibt sich, wie zuvor, f¨ ur die generalisierten Kraftkomponenten U=

Q1 = Q2 = 0

Q3 = −kq3 .

Der Zusammenhang zwischen generalisierten Kraftkomponenten (5.79) und potentieller Energie ist auch anwendbar, wenn die potentielle Energie


229

nach der Transformation auf generalisierte Koordinaten explizit von der Zeit abh¨ angt. Als Variante des Beispiels 5.18 kann man die Bewegung eines Massenpunktes betrachten, der sich unter dem Einfluss einer harmonischen Kraft auf einem ’pulsierenden’ Zylinder bewegt (Abb. 5.20). z

m y x

Abb. 5.20. Pulsierender Zylinder

Die Zwangsbedingung lautet dann x2 + y 2 − R(t)2 = 0 , ein Beispiel f¨ ur die Vorgabe einer Pulsation wäre R(t) = R0 + a sin bt . Die potentielle Energie hat die gleiche Form wie zuvor k (R(t)2 + q32 ) , 2 so dass man trotz der expliziten Zeitabh¨ angigkeit der potentiellen Energie f¨ ur die einzige Komponente der generalisierten Kraft wieder U=

Q = (Q1 , Q2 , Q3 ) = (0, 0, −kq3 ) erh¨ alt. Die Zeitabh¨ angigkeit der Transformationsgleichungen f¨ uhrt jedoch u ¨ber die kinetische Energie auf einen modifizierten Satz von Bewegungsgleichungen. Die Zeitableitungen der Transformationsgleichungen sind im Fall des ’pulsierenden’ Zylinders anstelle von (5.63) x˙ = R˙ cos q2 − Rq˙2 sin q2

y˙ = R˙ sin q2 + Rq˙2 cos q2

z˙ = q˙3 .

Damit ergibt sich m T = (R˙ 2 + R2 q˙2 2 + q˙3 2 ) , 2 sowie

d ∂T ∂T 2 = m(2RR˙ q˙2 + R2 q¨2 ) . = mR q˙2 und ∂ q˙2 dt ∂ q˙2 Die Differentialgleichungen f¨ ur die Bewegung auf dem ’pulsierenden’ Zylinder sind R˙ k q¨3 + q3 = 0 . q¨2 + 2 q˙2 = 0 R m

230


Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die beiden generalisierten Koordinaten sind immer noch entkoppelt, die Winkelbewegung ist jedoch nicht mehr uniform. Infolge der Zeitabh¨ angigkeit der Zwangsbedingung ist eine Art von ’Reibungsterm’ aufgetreten. Die Differentialgleichung f¨ ur q2 kann man mit Standardmethoden l¨ osen ( Aufg. 5.7, siehe auch Math.Kap. 6.3) t t1 ˙ R(t2 ) dt2 dt1 exp −2 q2 (t) = C1 + C2 R(t2 ) t 1 = C1 + C2 dt1 . R(t1 )2 ¨ Andert sich der Zylinderradius nicht mit der Zeit (R˙ = 0), so erhält man wieder die L¨ osung f¨ ur das urspr¨ ungliche Beispiel 5.18 q2 (t) = C1 +

C2 t = C1 + C2 t . R2

5.3.1.7 Formulierung von Lagrange II mittels einer Lagrangefunktion. Falls die generalisierten Kraftkomponenten durch eine Potentialfunktion dargestellt werden k¨ onnen, benutzt man eine Standardform der Lagrangegleichungen zweiter Art. Zu diesem Zwecke definiert man die Lagrangefunktion L = T (q1 , q2 , q3 , q˙1 , q˙2 , q˙3 , t) − U (q1 , q2 , q3 , t) .

(5.80)

Diese Gr¨ oße hat die Dimension einer Energie, ist aber nicht mit der Energie des Systems identisch. Die f¨ ur die Energie zuständige Größe ist die Hamiltonfunktion (siehe (5.100) und Kap. 5.4). Die Lagrangefunktion ist nichtsdestoweniger eines der zentralen Konzepte der theoretischen Physik, das bis zu der Formulierung von Quantenfeldtheorien eine markante Rolle spielt. Die folgenden Ableitungen der Lagrangefunktion (5.80) sind im Weiteren von Interesse ∂U ∂T ∂L = =0. ∂ q˙μ ∂ q˙μ ∂ q˙μ Die potentielle Energie h¨ angt nur von den generalisierten Koordinaten und der Zeit ab, ergibt also bei Ableitung nach den generalisierten Geschwindigkeiten keinen Beitrag ∂L ∂T ∂U ∂T = − = + Qμ . ∂qμ ∂qμ ∂qμ ∂qμ Benutzt man diese Ausdr¨ ucke, so kann man die urspr¨ ungliche Fassung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art ((5.60), S. 220)

d ∂T ∂T − Qμ = 0 (μ = 1, . . .) − dt ∂ q˙μ ∂qμ in der Form


d dt

∂L ∂ q˙μ

−

∂L =0 ∂qμ

(μ = 1, . . .)

231

(5.81)

zusammenfassen. Es ist zu beachten, dass die urspr¨ unglichen Bewegungsgleichungen (5.60) f¨ ur den Fall von holonomen Zwangsbedingungen und beliebigen Kr¨ aften gilt. Die zweite Form (5.81) kann nur auf Situationen mit konservativen Kr¨ aften und holonomen Zwangsbedingungen angewandt werden. 5.3.1.8 Verallgemeinerte Potentiale. Unter gewissen Bedingungen ist jedoch die Benutzung einer Lagrangefunktion möglich, auch wenn die Kräfte nicht konservativ sind. Man ben¨ otigt dann eine verallgemeinerte Potentialfunktion. Ein Beispiel, das zur Illustration dieses Themenkreises dienen kann, ist der Fall, dass neben konservativen Beiträgen zu F auch dissipative Anteile, wie z.B. eine geschwindigkeitsabh¨ angige Kraft mit Komponenten ur diesen dissipativen Anteil die Fidis = −κi x˙i , vorliegen. Berechnet man f¨ generalisierten Kr¨ afte nach Vorschrift, so ergibt sich Qdis μ =

3

Fidis

i=1

3 ∂xi ∂xi =− κi x˙ i . ∂qμ ∂q μ i=1

Benutzt man hier die Relation (5.48) ∂xi ∂ x˙ i = , ∂qμ ∂ q˙μ die aus der Transformationsgleichung (5.42) folgte, so erhält man Qdis μ

=−

3 i=1

κi x˙ i

∂ x˙ i , ∂ q˙μ

bzw. bei Umschichtung der partiellen Ableitung 3 ∂ κi 2 dis x˙ . Qμ = − ∂ q˙μ i=1 2 i Dieses Ergebnis legt es nahe, eine (Rayleighsche) Dissipationsfunktion R=

3 κi i=1

2

x˙ 2i = R(q1 , . . . ., q˙1 , . . . ., t)

(5.82)

zu definieren, so dass man die Gleichungen nach Lagrange II in der Form

∂R ∂L d ∂L + =0 (5.83) − dt ∂ q˙μ ∂qμ ∂ q˙μ mit einem konservativen und einem dissipativen Anteil schreiben kann. Allgemein kann man die Aussage machen: Ist es möglich, eine Potentialfunktion

232


U = U (q1 , . . . , q˙1 , . . . , t)

(5.84)

zu definieren, so dass die generalisierten Kr¨ afte in der Form

∂U d ∂U Qμ = − − ∂qμ dt ∂ q˙μ

(5.85)

geschrieben werden k¨ onnen, dann kann man die Lagrangegleichungen in der Standardkurzform (5.81) mit der Lagrangefunktion L = T − U

(5.86)

benutzen. Die Gr¨ oße U bezeichnet man als verallgemeinertes Potential. Dieses Potential kann, wie angedeutet, von den generalisierten Koordinaten, den generalisierten Geschwindigkeiten und der Zeit abhängen. Liegen nichtholonome Zwangsbedingungen (bzw. holonome und nichtholonome Zwangsbedingungen) vor, so ist es nicht möglich, entsprechende ignorable generalisierte Koordinaten zu w¨ ahlen, da ein funktionaler Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten nicht vorgegeben ist. Die Zwangsbedingungen in virtueller Form (5.38) 3

ak,i (x1 , x2 , x3 , t) δxi = 0,

(k = 1, . . .)

i=1

k¨ onnen jedoch auf generalisierte Koordinaten umgeschrieben werden 3 3 μ=1 i=1

ak,i (q1 , q2 , q3 , t)

3 ∂xi δqμ = Ak,μ (q1 , q2 , q3 , t)δqμ . ∂qμ μ=1

Diese Bedingungen sind dann mittels Lagrangemultiplikatoren in das d’Alembertsche Prinzip (5.37) einzubeziehen, so dass sich bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen gem¨ aß Lagrange II im Endeffekt eine Mischform ergibt

d ∂T ∂T − Qμ − λk Ak,μ = 0 . (5.87) − dt ∂ q˙μ ∂qμ k

5.3.2 Lagrange II und Erhaltungss¨ atze f¨ ur einen Massenpunkt Erhaltungss¨ atze spielen in der Newtonschen Formulierung der Mechanik eine besondere Rolle. Es ist somit die Frage zu beantworten, in welcher Weise Erhaltungss¨ atze im Rahmen der Lagrangeschen Formulierung zum Ausdruck kommen. 5.3.2.1 Generalisierte Impulse in Theorie und Praxis. In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, dass nur konservative Kräfte auf den Massenpunkt einwirken und dass holonome Zwangsbedingungen vorliegen. Die Bewegungsgleichungen lauten dann (siehe (5.81))

d ∂L ∂L =0 (μ = 1, . . .) . (5.88) − dt ∂ q˙μ ∂qμ


233

Hängt die Lagrangefunktion nicht von einer der generalisierten Koordinaten ab, gilt also gemäß der Definition der partiellen Ableitung ∂L =0, ∂qν so folgt

d ∂L =0 dt ∂ q˙ν

oder

∂L = const. ∂ q˙ν

Die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach der entsprechenden generalisierten Geschwindigkeit ist zeitlich konstant, also eine Erhaltungsgröße. Man bezeichnet diese partielle Ableitung der Lagrangefunktion als generalisierten Impuls pν =

∂L . ∂ q˙ν

(5.89)

Die Bezeichnung entspricht einer Verallgemeinerung des Impulses in kartesischen Koordinaten. F¨ ur die Lagrangefunktion m 2 L = (x˙ 1 + x˙ 22 + x˙ 23 ) − U (x1 , x2 , x3 ) 2 ist die Ableitung nach den Geschwindigkeitskomponenten pi =

∂L = mx˙ i . ∂ x˙ i

Der generalisierte Impuls und der u ¨bliche Impuls sind in diesem Fall identisch. Eine Koordinate qν , die in der Lagrangefunktion nicht auftritt, bezeichnet man als zyklische Koordinate. Man kann somit den Erhaltungssatz, der sich im Wesentlichen aufgrund einer Definition ergeben hat, folgendermaßen formulieren: Ist eine der generalisierten Koordinaten zyklisch, so ist der zugeh¨ orige generalisierte Impuls eine Erhaltungsgröße. In der Form von Gleichungen w¨ urde man schreiben ∂L =0 ∂qν

−→

pν =

∂L = const. ∂ q˙ν

(5.90)

Als illustratives Beispiel (Beispiel 5.20) soll ein System ohne Zwangsbedingungen dienen, das mit Hilfe von Kugelkoordinaten beschrieben wird. Die Transformationsgleichungen (siehe (2.74), S. 63) unter Beibehaltung der Schreibweise r, θ, ϕ sind x = r cos ϕ sin θ

y = r sin ϕ sin θ

z = r cos θ .

Zur Berechnung der kinetischen Energie in diesen Koordinaten und den zugeh¨ origen generalisierten Geschwindigkeiten kann man auf ((2.81), S. 65)

234


zur¨ uckgreifen und das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors in Kugelkoordinaten mit sich selbst bilden. Man erh¨ alt dann die Lagrangefunktion m 2 L = T − U = (r˙ + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ) − U (r, θ, ϕ) (5.91) 2 und daraus die generalisierten Impulse pr =

∂L = mr˙ ∂ r˙

pθ =

∂L = mr2 θ˙ ˙ ∂θ

pϕ =

∂L = mr2 ϕ˙ sin2 θ . ˙ ∂φ

(5.92)

Bez¨ uglich der physikalischen Interpretation der generalisierten Impulse kann man feststellen: Entspricht die generalisierte Koordinate einer Länge, so hat der generalisierte Impuls die u ¨bliche Dimension [M L/T ]. Ist die generalisierte Koordinate ein Winkel, so ist der generalisierte Impuls ein Drehimpuls mit der Dimension [M L2 /T ]. Etwas allgemeiner folgt aus der Definitionsgleichung (5.90) die Dimensionsaussage pν =

∂L ∂ q˙ν

−→

[pν · qν ] = [E T ] .

Die Gr¨ oße Energie mal Zeit bezeichnet man als Wirkung. Es ist also M L2 [p · q] = = Wirkung . T

y x l

θ z

Abb. 5.21. Das sph¨ arische Pendel: Geometrie

Ein direktes Beispiel f¨ ur die Anwendung der Lagrangefunktion (5.91) ist das sph¨ arische Pendel. Ein Massenpunkt m ist an einer starren (gewichtslosen) Stange aufgeh¨ angt, so dass er sich unter dem Einfluss der (einfachen) Schwerkraft auf einer Kugelschale bewegen kann (Abb. 5.21). Bei diesem Problem ist der Abstand von dem Aufh¨ angepunkt eine ignorable Koordinate r = l mit r˙ = 0. Die potentielle Energie ist bei Wahl des Koordinatendreibeins wie in Abb. 5.21 angedeutet U = mgz = mgl cos θ . Die Lagrangefunktion des sph¨ arischen Pendels lautet somit L=

ml2 ˙2 (θ + ϕ˙ 2 sin2 θ) − mgl cos θ . 2

(5.93)


235

Offensichtlich ist der Winkel ϕ eine zyklische Koordinate und es gilt der Drehimpulserhaltungssatz ˙ sin2 θ(t) = C . pϕ = ml2 ϕ(t) F¨ ur eine Anfangsbedingung mit ϕ(0) ˙ = 0 folgt ϕ(t) ˙ = 0. Das Pendel schwingt in einer Ebene, die durch ϕ(t) = ϕ(0) charakterisiert wird und entspricht (bei Umbenennung der Variablen) dem mathematischen Pendel, das in Kap. 4.2.1 aus der Sicht der Newtonschen Formulierung der Mechanik diskutiert wurde. Ist anf¨ anglich ϕ(0) ˙ = 0 und θ(0) = 0, π, so ist ϕ(t) ˙ = 0. Es sind dann eine erweiterte Bewegungsgleichung in dem Winkel θ und der Flächensatz zu diskutieren. Bildet man die Lagrangegleichung f¨ ur den Winkel θ nach Vorschrift und ersetzt ϕ(t) ˙ mit Hilfe des Fl¨ achensatzes, so erhält man C 2 cos θ − mgl sin θ = 0 . ml2 sin3 θ Dies entspricht der Zeitableitung des Energiesatzes

C2 ml2 ˙2 + mgl cos θ = E0 . θ + 24 2 2 m l sin θ ml2 θ¨ −

(5.94)

Dieses erste Integral der Bewegungsgleichung wird unter der Bezeichnung Hamiltonfunktion weiter unten diskutiert. F¨ ur den Moment interessiert nur die Aussage, dass die Gleichung (5.94) mit der Substitution q = cos θ

q˙ = −θ˙ sin θ

weiter bearbeitet werden kann. Die (5.94) entsprechende Differentialgleichung in der Variablen q

2 dq 2 C2 = Ueff (q) = (E0 − mglq) (1 − q 2 ) − 2 4 2 dt ml m l kann mittels Variablentrennung behandelt werden. Benutzt man die Abk¨ urzungen C2 2g 2E0 c= 2 4 , b= 2 ml l m l so erh¨ alt man die Relation q q 1 dq t=± dq . =± 1/2 Ueff (q ) q(0) q(0) [(a − bq )(1 − q 2 ) − c] a=

(5.95)

Das effektive Potential ist ein Polynom dritten Grades in der Variablen q. Dies bedingt, dass das Integral auf der rechten Seite von (5.95) ein elliptisches Integral ist. F¨ ur eine mehr qualitative Diskussion ist es ausreichend, das Polynom Ueff (q) zu betrachten. Liegt eine physikalisch sinnvolle Situation vor, so muss Ueff in dem Intervall −1 < q < 1 positive Werte annehmen. ur große, negative Werte von q negativ, so dass der Da b > 0 ist, ist Ueff (q) f¨

236


U eff

–1

q

1

Abb. 5.22. Das sph¨ arische Pendel: Effektives Potential

in Abb. 5.22 angedeutete Kurvenverlauf vorliegen muss. Es gibt in dem physikalisch zul¨ assigen Bereich zwei Nullstellen des Polynoms, die Breitenkreisen mit θ1 = arccos q1

θ2 = arccos q2

entsprechen, zwischen denen sich das Pendel bewegen kann. Der Flächensatz kann mit dϕ dt C dϕ 1 = = 2 2 dq dt dq m l (1 − q ) Ueff (q) umgeschrieben werden. Integration f¨ uhrt auch hier auf ein elliptisches Integral (dritter Art) q C dq 1 . (5.96) ϕ(q) − ϕ(q(0)) = 2 m l q(0) Ueff (q ) (1 − q 2 ) W¨ ahrend das Pendel zwischen den beiden Breitenkreisen schwingt, ändert sich der Azimutalwinkel. Das Pendel pr¨ azediert. Die Bewegung des sphärischen Pendels ist periodisch in dem Sinne, dass (analog zu dem Schwingungsmuster des mathematischen Pendels (Kap. 4.2.1)) das Pendel u ¨ber die Winkelsequenz τ

τ

τ

τ

θ1 −→ θ2 −→ θ1 −→ θ2 −→ θ1 zu dem Ausgangswinkel zur¨ uckkehrt und die vier Zeitintervalle τ gleich groß sind. Diese Aussage ergibt sich aus (5.95). Die Schwingungsdauer ist somit durch q2 dq (5.97) T =4 Ueff (q ) q1 gegeben. Der Winkel Δϕ, um den das Pendel während dieses Zeitintervalls pr¨ azediert, kann aus (5.96) berechnet werden. 5.3.2.2 Energie und die Hamiltonfunktion. Da die Lagrangefunktion nicht die Gesamtenergie darstellt, bedarf der Energiesatz einer besonderen Diskussion. Die Lagrangefunktion ist f¨ ur den Fall eines Massenpunktes eine Funktion von bis zu sieben Variablen L = L(q1 , q2 , q3 , q˙1 , q˙2 , q˙3 , t) .


Die totale Ableitung dieser Funktion nach der Zeit ist 3 dL ∂L ∂L ∂L = . q˙μ + q¨μ + dt ∂q ∂ q ˙ ∂t μ μ μ=1

237

(5.98)

Der Faktor von q˙μ kann mittels der Lagrangegleichung (5.81) ersetzt

d ∂L ∂L q˙μ = q˙μ ∂qμ dt ∂ q˙μ und die Terme in der eckigen Klammer der Gleichung (5.98) können anschließend zusammengefasst werden 3

d ∂L ∂L dL = . q˙μ + dt dt μ=1 ∂ q˙μ ∂t F¨ uhrt man in dieser Gleichung den generalisierten Impuls ein, so erhält man das Resultat 3 d ∂L . (5.99) pμ q˙μ − L = − dt μ=1 ∂t Der Ausdruck in der Klammer ist eine weitere zentrale Größe der klassischen Mechanik. Man bezeichnet H=

3

pμ q˙μ − L

(5.100)

μ=1

als die Hamiltonfunktion. Zwei Eigenschaften dieser Funktion kann man direkt notieren: • Die Hamiltonfunktion hat (wie die Lagrangefunktion) die Dimension einer Energie. • Die Gleichung (5.99) besagt: Wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abh¨ angt, ist die Hamiltonfunktion eine Erhaltungsgröße. ∂L dH =0 → = 0 → H(t) = H(0) . ∂t dt Etwas weniger offensichtlich ist die Aussage

(5.101)

• Die Hamiltonfunktion ist mit der Gesamtenergie des Systems identisch, falls das System konservativ ist und falls die Transformation zwischen den kartesischen und den generalisierten Koordinaten nicht explizit von der Zeit abh¨ angt H ≡E

falls und

∂U =0, ∂ q˙μ ∂xi =0, ∂t

(μ = 1, . . .) (5.102) (i = 1, 2, 3) .

238


Zum Beweis dieser Aussage stellt man zun¨ achst fest, dass man bei den genannten Voraussetzungen f¨ ur die kinetische Energie m 2 x˙ T = 2 i i mit der Ableitung der Transformationsgleichung (5.45) ∂xi x˙ i = q˙μ ∂qμ μ die allgemeine Form m ∂xi ∂xi T = q˙ν q˙μ 2 i ν,μ ∂qμ ∂qν erh¨ alt. Die kinetische Energie ist eine homogene Funktion zweiten Grades in den generalisierten Geschwindigkeiten. F¨ ur homogene Funktionen m -ten Grades, charakterisiert durch f (λx1 , · · · , λxn ) = λm f (x1 , · · · , xn ) , gilt der Satz von Euler n

xi

i=1

∂f = mf . ∂xi

Wendet man diesen Satz auf die kinetische Energie an, so folgt ∂T q˙μ = 2T . ∂ q˙μ μ Infolge der Voraussetzung ∂U /∂ q˙μ = 0 ist der generalisierte Impuls (5.89) nur durch die Ableitung der kinetischen Energie bestimmt pμ =

∂L ∂T = . ∂ q˙μ ∂ q˙μ

Somit ist ∂T q˙μ = pμ q˙μ = 2T ∂ q˙μ μ μ und man findet f¨ ur die Hamiltonfunktion unter den genannten Voraussetzungen H= pμ q˙μ − L = 2T − T + U = T + U = E . (5.103) μ

Einige zus¨ atzliche Bemerkungen zu der Hamiltonfunktion sind: 1. Die genannten Voraussetzungen sind hinreichend aber nicht notwendig. Die Hamiltonfunktion kann die Gesamtenergie darstellen, ohne dass die Kr¨ afte konservativ oder die Transformationsgleichungen zeitunabhängig sind.


239

2. Die Frage, ob die Hamiltonfunktion die Gesamtenergie darstellt oder nicht, ist unabh¨ angig von der Frage, ob die Hamiltonfunktion eine Konstante der Bewegung ist. Die Hamiltonfunktion kann eine Erhaltungsgr¨ oße sein, ohne dass sie die Gesamtenergie darstellt. 3. Die Relation (5.100) zwischen der Hamiltonfunktion und der Lagrangefunktion bezeichnet man als eine Legendretransformation2. 5.3.2.3 Beispiele zu dem Thema Erhaltungss¨ atze. Einige Beispiele sollen diese generellen Aussagen u ber Erhaltungss¨ a tze im Rahmen der For¨ mulierung der Lagrangetheorie illustrieren. Das erste Beispiel (Beispiel 5.21) ist der eindimensionale harmonische Oszillator. Mit m k m k T = x˙ 2 U = x2 L = x˙ 2 − x2 2 2 2 2 folgt f¨ ur den generalisierten Impuls px = mx˙ und f¨ ur die Hamiltonfunktion m 2 k 2 x˙ + x = E . 2 2 Der generalisierte Impuls ist (nat¨ urlich) keine Erhaltungsgröße, H stellt die Energie dar und ist erhalten. F¨ ur die Bewegung einer Masse unter dem Einfluss einer Zentralkraft (Beispiel 5.22, siehe auch Kap. 2.2.1) mit den generalisierten Koordinaten r, θ und ϕ und der Lagrangefunktion (siehe 5.91) m L = (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ) − U (r) 2 wurden die generalisierten Impulse schon in (5.92) berechnet H = (mx) ˙ x˙ −

pr = mr˙

pθ = mr2 θ˙

pϕ = mr2 ϕ˙ sin2 θ .

Die Hamiltonfunktion ist also H = m(r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ) − L m = (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ) + U (r) = E . 2 Wie zuvor bemerkt, ist ϕ eine zyklische Koordinate pϕ = const.

−→

pϕ (t) = pϕ (0) .

Wenn man das Koordinatensystem so w¨ ahlt, dass der Massenpunkt zum Zeitpunkt t = 0 auf der z -Achse liegt, so folgt mit θ(0) = 0 auch sin θ(0) = 0 und pϕ (t) = pϕ (0) = 0. Diese Gleichung kann f¨ ur Zeiten mit t > 0 nur erf¨ ullt sein, wenn ϕ˙ = 0 ist, es sei denn es findet keine Bewegung statt (r(t) = 0) oder der Massenpunkt bewegt sich entlang der z -Achse (θ(t) = 0). Ist ϕ˙ = 0, so findet die Bewegung in einer Ebene statt, die die z -Achse und die Gerade 2

Siehe Kap. 5.4.2 f¨ ur zus¨ atzliche Bemerkungen zu dem Begriff Legendretransformation.

240


y = x(tan ϕ) enth¨ alt (Abb. 5.23). Dies entspricht der Aussage des Flächensatzes bez¨ uglich der festen Richtung des Vektors der Flächengeschwindigkeit.

z

y ϕ x

Abb. 5.23. Lagrange II: Zum Fl¨ achensatz

F¨ ur diese Wahl des Koordinatensystems vereinfacht sich die Lagrangefunktion (5.91) zu m L = (r˙ 2 + r2 θ˙2 ) − U (r) 2 und man erkennt, dass der Winkel θ ebenfalls eine zyklische Koordinate ist. Der entsprechende generalisierte Impuls (ein Drehimpuls) ist eine Erhaltungsgr¨ oße pθ ≡ l = mr2 θ˙ = const. Dies entspricht der Aussage des Fl¨ achensatzes u ¨ ber die Erhaltung des Betrages des Fl¨ achengeschwindigkeitvektors. Die Lagrangesche Bewegungsgleichung ∂U (r) m¨ r − mrθ˙2 + =0 ∂r geht nach Ersetzung von θ˙ in l2 ∂U (r) =0 + 2mr2 ∂r u ¨ber. Dies entspricht zum Beispiel der Bewegungsgleichung, die unter dem Stichwort ’Keplerproblem’ in Kap. 4.1 diskutiert wurde. Die entsprechende Hamiltonfunktion stellt die Gesamtenergie dar und ist Erhaltungsgr¨ oße, denn es gilt m¨ r−

∂U ∂L = 0 und =0. ∂t ∂t F¨ ur die schon diskutierte Bewegung eines Massenpunktes auf einer Zylinderfläche (Bsp. 5.18, S. 222) unter dem Einfluss einer harmonischen R¨ uckstellkraft kann man das Folgende bemerken: Ist die Fläche starr, so lautet die Lagrangefunktion mit den Koordinaten ϕ und z


241

m 2 2 k (R ϕ˙ + z˙ 2 ) − (R2 + z 2 ) = T − U . 2 2 Die Lagrangefunktion h¨ angt nicht von der Koordinate ϕ ab, der entsprechende generalisierte Impuls pϕ = mR2 ϕ˙ ist erhalten. Dies entspricht der uniformen Kreisbewegung auf dem Zylinder. Es liegen auch die hinreichenden Bedingungen vor, dass die Hamiltonfunktion eine Erhaltungsgröße ist und dass sie die Gesamtenergie darstellt L=

˙ ϕ˙ + (mz) ˙ z˙ − L = T + U = E . H = (mR2 ϕ) Eine andere Situation liegt vor, wenn sich der Zylindermantel global mit der Zeit ¨ andert. In diesem Fall gilt m ˙ 2 k (R(t) + R(t)2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 ) − (R(t)2 + z 2 ) = T − U , 2 2 wobei R(t) eine vorgegebene Funktion der Zeit ist. Die Koordinate ϕ ist auch in diesem Fall zyklisch L=

˙ = const. , pϕ = mR(t)2 ϕ(t) doch ist die Kreisbewegung nicht mehr uniform, sondern wird durch die zeitliche Ver¨ anderung des Zylindermantels beeinflusst. Die Hamiltonfunktion ist keine Erhaltungsgr¨ oße, da die Zwangsbedingung rheonom ist. Die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach der Zeit verschwindet nicht ∂L ¨ + (mϕ˙ 2 − k)RR˙ = 0 . = mR˙ R ∂t Berechnung der Hamiltonfunktion nach Vorschrift ergibt m H = (mR2 ϕ) ˙ ϕ˙ + (mz) ˙ z˙ − L = T + U − R˙ 2 , 2 eine Gr¨ oße, die nicht der (zeitlich ver¨ anderlichen) Gesamtenergie entspricht. F¨ ur die Bewegung auf der rotierenden Schraube bei Einwirkung der Schwerkraft (Bsp. 5.19) ist der einzige relevante Freiheitsgrad die Höhe z. Zieht man die M¨ oglichkeit in Betracht, dass die Drehung nicht unbedingt uniform ist, so lautet die Lagrangefunktion (vergleiche 5.74) f¨ ur eine sich hebende Schraubenlinie

2 2π m 2 R z˙ + ω(t) + z˙ 2 − mgz = T − U . L= 2 h Zur Berechnung der Hamiltonfunktion bildet man den generalisierten Impuls " 2 #

2π 2π 2 R ω + z˙ 1 + R pz = m h h und findet

" 2 #

2π m 2 H = pz z˙ − L = z˙ 1 + R − R2 ω(t)2 + mgz = T + U . 2 h

242


Die Hamiltonfunktion entspricht nicht der Gesamtenergie, ist aber im Fall der uniformen Drehung eine Erhaltungsgr¨ oße, da dann ∂L/∂t = 0 ist. Ist die Drehung nicht uniform, so verschwindet die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach der Zeit nicht, und die Hamiltonfunktion ist auch keine Konstante der Bewegung. 5.3.3 Lagrange II f¨ ur ein System von Massenpunkten Die Diskussion der Lagrangegleichungen zweiter Art f¨ ur ein System von Massenpunkten unterscheidet sich nicht prinzipiell von den Betrachtungen f¨ ur einen Massenpunkt. Die Situation, die angesprochen wird, kann man folgendermaßen skizzieren: Die Kr¨ afte, die in dem System mit den Massen außere Kräfte F i und in inne{m1 , . . . , mN } wirken, werden aufgeteilt in ¨ re Kr¨ afte f ji . Liegen zus¨ atzlich geometrische Einschränkungen vor, so treten Zwangskr¨ afte auf, die mit Z i (Zwangskraft auf die i-te Masse), ohne sie im Moment n¨ aher festzulegen, bezeichnet werden. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen f¨ ur dieses System lauten mi rï = K i + Z i

(i = 1, 2, . . . N )

mit K i = F i +

N

f ji

(f ii = 0) .

j=1

Zur Formulierung des entsprechenden d’Alembertschen Prinzips benutzt man wieder die Durchnummerierung der Koordinaten, Massen und Kraftkomponenten von 1 bis 3N . Das Prinzip lautet dann 3N

(mi x ï − Ki ) δxi = 0 .

i=1

Die Zwangskr¨ afte werden durch einen Satz von Zwangsbedingungen erzeugt, wobei angenommen werden soll, dass das System r holonomen (rheonomen oder skleronomen) Zwangsbedingungen unterworfen ist f1 (x1 , . . . , x3N , t) = 0

...

fr (x1 , . . . , x3N , t) = 0 .

Die Schritte, die nun folgen, entsprechen dem Vorgehen f¨ ur den Fall eines Massenpunktes in Kap. 5.3.1: (1) In dem ersten Schritt ist eine geeignete Transformation zwischen kartesischen und generalisierten Koordinaten xi = xi (q1 , . . . , q3N , t)

(i = 1, 2, . . . 3N )

mit der Umkehrung qμ = qμ (x1 , . . . , x3N , t)

(μ = 1, 2, . . . 3N )

zu w¨ ahlen. Als die letzten r generalisierten Koordinaten benutzt man die Zwangsbedingungen


243

q3N −r+1 = f1 (x1 , . . . , x3N , t) = 0 .. . q3N = fr (x1 , . . . , x3N , t) = 0 . Diese Koordinaten sind ignorabel, sie k¨ onnen von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden. (2) Im zweiten Schritt wird die kinetische Energie 1 mi x˙ 2i 2 i=1 3N

T =

mit Hilfe der Zeitableitung der Transformationsgleichung x˙ i =

3N −r μ=1

∂xi ∂xi q˙μ + ∂qμ ∂t

als Funktion der generalisierten Koordinaten, Geschwindigkeiten und gegebenenfalls der Zeit umgeschrieben. (3) F¨ ur die kinetische Energie berechnet man ∂T ∂ x˙ i = mi x˙ i ∂qμ ∂qμ i=1 3N

und d dt

∂T ∂ q˙μ

=

3N

mi x ï

i=1

∂T ∂xi + ∂qμ ∂qμ

(μ = 1, 2, . . . 3N − r) .

Die Herleitung dieser Relationen verl¨ auft Schritt f¨ ur Schritt wie die Rechnung f¨ ur einen Massenpunkt. Der einzige Unterschied ist: Summen u ¨ ber die Indices der generalisierten Koordinaten laufen bis (3N − r) anstatt bis (3 − r). (4) Die Relationen zwischen den virtuellen Verschiebungen f¨ ur die beiden S¨ atze von Koordinaten sind δxi =

3N −r μ=1

∂xi δqμ . ∂qμ

(5) Das transformierte d’Alembertprinzip lautet somit 3N 3N −r ∂xi ∂xi ï − Ki mi x δqμ = 0 . ∂qμ ∂qμ i=1 μ=1

244


(6) Generalisierte Kr¨ afte werden wie zuvor durch Qμ =

3N

Ki

i=1

∂xi ∂qμ

mit Ki = Fi +

3N

fji

j=1

eingef¨ uhrt. j\i

1

2

3

4

5

6

7 ...

1 2 3

o o o

o o o

o o o

x o o

o x o

o o x

x o ... o

x o o

o x o

o o x

4 5 6

x o o

o x o

o o x

o o o

o o o

o o o

x o ... o

x o o

o x o

o o x

7 .. .

x

o o .. .

x

o o .. .

o

x

o .. .

o

..

.

3N-2 3N-1 3N

Die Durchnummerierung der Kraftkomponenten f¨ uhrt zu einem bestimmten Muster f¨ ur die Struktur der Matrix fji . Infolge der vektoriellen Bedingung f kk = 0 mit (k = 1, . . . , N ) und der Tatsache, dass die Komponentenzerlegung der wechselseitigen Kräfte f kl mit (k, l = 1, . . . , N ) ber¨ ucksichtigt werden muss, ist eine gewisse Anzahl der Beiträge fji mit (j, i = 1, . . . , 3N ) gleich Null. Es sind, wie in dem Diagramm der Matrix fji angedeutet, nur nichtverschwindende Beiträge möglich, wenn 1 ≤ j = i ± 3n ≤ 3N

(n = 1, 2, . . . , N − 1)

ist. (7) Das d’Alembertprinzip (5) l¨ asst sich mit den Schritten (6) und (3) in der Form schreiben

3N −r d ∂T ∂T − Qμ δqμ = 0 . − dt ∂ q˙μ ∂qμ μ=1 Da alle 3N − r generalisierten Koordinaten unabhängig sind, erhält man wie zuvor den Satz von Bewegungsgleichungen

d ∂T ∂T − Qμ = 0 (μ = 1, 2, . . . 3N − r) . (5.104) − dt ∂ q˙μ ∂qμ


245

Dieser Satz von Bewegungsgleichungen ist f¨ ur konservative sowie f¨ ur nichtkonservative, eingepr¨ agte Kr¨ afte g¨ ultig. F¨ ur ein konservatives System (innere und ¨ außere Kräfte) kann man die Gleichungen mittels der Definition einer geeigneten Lagrangefunktion umschreiben. Mit der Durchnummerierung der Koordinaten kann man die gesamte potentielle Energie des Systems in der folgenden Form angeben U + V = U1 (x1 , x2 , x3 ) + U2 (x4 , x5 , x6 ) + . . . UN (x3N −2 , x3N −1 , x3N ) + V12 (x1 x2 x3 , x4 x5 x6 ) + V13 (x1 x2 x3 , x7 x8 x9 ) + . . . +VN −1,N (x3N −5 x3N −4 x3N −3 , x3N −2 x3N −1 x3N ) . F¨ ur U , die potentielle Energie der ¨ außeren Kr¨ afte, werden die Koordinaten in Dreierpakete aufgeteilt, f¨ ur V , die potentielle Energie der inneren Kräfte, treten alle zul¨ assigen Paare von Dreierpaketen der Koordinaten auf. Die kartesischen Kraftkomponenten sind dann ∂U ∂V − ∂xi ∂xi und man findet f¨ ur die generalisierten Kraftkomponenten Ki = −

Qμ = −

3N ∂(U + V ) ∂xi ∂(U + V ) =− ∂x ∂q ∂qμ i μ i=1

(μ = 1, 2, . . . 3N − r) .

Diese k¨ onnen ebenfalls berechnet werden, indem man die gesamte potentielle Energie in generalisierte Koordinaten umschreibt U + V = U (q1 , . . . q3N −r , t) + V (q1 , . . . q3N −r , t) und die generalisierten Gradienten dieser Funktionen bestimmt. Definiert man nun eine erweiterte Lagrangefunktion L=T −U −V

(5.105)

und beachtet die Aussage, dass die gesamte potentielle Energie nicht von den generalisierten Geschwindigkeiten abh¨ angt, so erhält man die ‘Standardform‘ der Lagrangegleichungen zweiter Art f¨ ur ein System von Massenpunkten mit konservativen Kräften, das r einschr¨ ankenden holonomen Zwangsbedingungen unterworfen ist d dt

∂L ∂ q˙μ

−

∂L =0 ∂qμ

(μ = 1, 2, . . . 3N − r) .

(5.106)

Diese Gleichungen stellen einen optimalen Ansatz f¨ ur die Diskussion von beliebigen (holonomen, konservativen) Bewegungsproblemen dar. Eine Auswahl von derartigen Problemen wird in Kap. 6 besprochen. Die an sich unver¨ anderte Form der Lagrangegleichungen erlaubt es, die bisherigen Aussagen u ogliche Erhaltungssätze direkt zu u ¨ ber m¨ ¨bertragen.

246


1. Ist eine der generalisierten Koordinaten zyklisch, so ist der entsprechende generalisierte Impuls erhalten ∂L ∂L = 0 ⇒ pμ = = const . ∂qμ ∂ q˙μ 2. Die Hamiltonfunktion ist definiert durch 3N −r H= pμ q˙μ − L . μ=1

3. Die totale Zeitableitung der Hamiltonfunktion ist gleich der negativen partiellen Zeitableitung der Lagrangefunktion dH ∂L =− . dt ∂t Daraus folgt: H¨ angt L nicht explizit von der Zeit ab, so ist H eine Erhaltungsgr¨ oße ∂L dH = 0 =⇒ = 0 =⇒ H(t) = H(0) . ∂t dt 4. Gilt ∂(U + V ) ∂xi =0, =0 sowie ∂ q˙μ ∂t so ist die Hamiltonfunktion identisch mit der Gesamtenergie des Systems H =T +U +V =E . Mit der Gewinnung der Lagrangegleichungen zweiter Art f¨ ur Systeme von Massenpunkten ist das Handwerkszeug f¨ ur die Diskussion von mechanischen Bewegungsproblemen aufbereitet. Eine alternative Formulierung verdanken wir Hamilton. Obschon Hamiltons Formulierung alternative Zugänge zur Diskussion von Bewegungsproblemen (unter dem Stichwort kanonische Transformationen) er¨ offnet, liegt die Bedeutung der Hamiltonschen Formulierung weniger in der praktischen Anwendung auf mechanische Probleme, sondern vor allem darin, dass sie die Verkn¨ upfung mechanischer Grundlagen mit weitergehenden Theorien vermittelt. So dient Hamiltons Prinzip zur Fundierung von Grundgleichungen der Feldtheorie (klassisch und quantenmechanisch). Hamiltons Bewegungsgleichungen stellen (in modifizierter Form) einen pragmatischen Einstieg in die statistische Mechanik (und damit in die Thermodynamik) sowie in die Quantenmechanik dar.

5.4 Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik Die Lagrange Bewegungsgleichungen k¨ onnen auch aus dem Hamiltonschen Prinzip gewonnen werden. In diesem Sinne kann man dieses Prinzip als eine alternative M¨ oglichkeit betrachten, die Mechanik axiomatisch zu fundieren. Im Vergleich mit dem d’Alembertschen Prinzip stellt man fest: Es ist

5.4 Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

247

m¨ oglich, die h¨ ohere Mechanik aus zwei Blickwinkeln zu begr¨ unden. Während d’Alemberts Prinzip ein Differentialprinzip ist, ist Hamiltons Prinzip ein Integralprinzip. Das Differentialprinzip ist etwas flexibler. F¨ ur Systeme (z.B. f¨ ur konservative, holonome), f¨ ur die eine Lagrangefunktion definiert werden kann, sind beide Prinzipien ¨ aquivalent. Die Variationsrechnung, auf der das Hamiltonprinzip beruht, ist jedoch durchaus außerhalb des engeren Bereiches der Mechanik einsetzbar. Aus diesem Grund wird, nach einem anfänglichen Blick auf die physikalischen Aspekte, die Variationsrechnung zunächst etwas allgemeiner aufbereitet und durch einige Beispiele illustriert. Es folgt eine ausf¨ uhrlichere Betrachtung des Hamiltonprinzips in der Mechanik. In dem zweiten Teil dieses Kapitels werden die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen vorgestellt. Der Ausgangspunkt f¨ ur deren Diskussion ist die schon diskutierte Hamiltonfunktion, die als eine Funktion der generalisierten Koordinaten und der generalisierten Impulse betrachtet werden muss. 5.4.1 Hamiltons Prinzip Die Formulierung dieses Prinzips in der Mechanik lautet: Die Bewegung der Massen in einem (konservativen) System von Massenpunkten zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 l¨ auft derart ab, dass das Integral t2 I= L(q1 (t) . . . qn (t), q˙1 (t) . . . q˙n (t), t) dt

(5.107)

t1

f¨ ur die ‘durchlaufene Bahn‘ einen Extremwert hat. Der Begriff ‘Bahn‘ ist dabei folgendermaßen zu verstehen. Die n generalisierten Koordinaten spannen einen n -dimensionalen Raum auf. Ein nTupel in diesem Raum {q1 (t0 ) . . . qn (t0 )} beschreibt eine momentane Konfiguration des Systems. Man nennt diesen Raum den Konfigurationsraum. Eine Kurve in dem Konfigurationsraum mit der Parameterdarstellung {q1 (t) . . . qn (t)} t1 ≤ t ≤ t2 ist eine durchlaufene Bahn. Die Aussage des Hamiltonprinzips ist somit: Von allen m¨ oglichen Kurven, die eine vorgegebene Anfangskonfiguration mit einer vorgegebenen Endkonfiguration verbinden, ist genau eine ausgezeichnet. Das ist die Kurve, f¨ ur die das obige Integral ein Extremum (Minimum oder Maximum) hat. Diese Kurve beschreibt die wirklich stattfindende, zeitliche Entwicklung des Systems. Um diese ausgezeichnete Kurve aufzufinden, kann man sich vorstellen, dass man geeignete (m¨ oglichst benachbarte) Kurven ‘durchspielt‘ bis man die Extremalkurve gefunden hat. Die mathematische Fassung dieses ‘Durchspielens‘ ist der Inhalt der Variationsrechnung, die anhand einer einfachen Situation vorgestellt werden soll.

248


5.4.1.1 Die Euler-Lagrange Variationsgleichungen. Gegeben ist eine Funktion f (t, x, x) ˙ von drei Variablen t, x, x. ˙ Die Variable t ist die unabh¨ angige Variable, x(t) ist die abh¨ angige Variable und x˙ die Ableitung von x nach t. Der funktionale Zusammenhang zwischen x und t ist zunächst nicht bekannt. Die Aufgabe lautet vielmehr: Bestimme x(t) durch die Forderungen 1. Die Kurve x(t) soll durch zwei vorgegebene Punkte (t1 , x1 ) und (t2 , x2 ) verlaufen. 2. Das Integral t2 f (t, x, x) ˙ dt I= t1

soll einen Extremwert annehmen. Zur mathematischen Nomenklatur ist noch zu bemerken: Eine Vorschrift, die einer Funktion eine Zahl zuordnet, bezeichnet man als Funktional. Im Sinne dieser Definition ist I ein Funktional von x t, x(t) −→ Vorschrift : f (t, x, x) ˙ dt −→ I = I[x] . Grob gesagt, ist also ein Funktional die ‘Funktion‘ einer Funktion, wobei (in dem Beispiel) jeder Funktion x(t) eine Zahl zugeordnet ist. Die ‘Vorschrift‘ kann durchaus komplizierter sein als das Integral einer Funktion. ¨ Zur L¨ osung der gestellten Aufgabe kann man die folgende Uberlegung anstellen. Unter der Annahme, dass x(t) die gesuchte Relation ist, kann man eine beliebige ‘Variation‘ dieser Kurve betrachten. Diese Variation kann man in der Form ansetzen xv (t) = x(t) + ϕ(t) . Die Funktion ϕ(t) ist beliebig w¨ ahlbar. Um jedoch die Forderung (1) zu erf¨ ullen, verlangt man, dass ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ) = 0 ist. ist eine Konstante (im Endeffekt infinitesimal). Es gilt deswegen ˙ + ϕ(t) ˙ . x˙ v (t) = x(t) Berechne nun das Integral mit der Versuchsfunktion t2 f (t, xv , x˙ v )dt = I([x, ϕ], ) ≡ I() . t1

I ist ein Funktional von x und ϕ, jedoch eine Funktion von , die Notation I() ber¨ ucksichtigt nur diesen Sachverhalt. Betrachtet man I() genauer, so stellt man fest: Ist x(t) die gesuchte L¨ osung, so muss I() f¨ ur = 0 ein Extremum haben. In Formeln entspricht dies dI() =0. d =0


249

Diese Bedingung kann man wie folgt auswerten. Entwickle den Integranden in eine Taylorreihe um die Stelle = 0 ∂f ∂xv ∂f ∂ x˙ v f (t, xv , x˙ v ) = f (t, x, x) + ˙ + ∂xv ∂ ∂ x˙ v ∂ =0 2 {. . .}=0 + . . . 2! und setze diese Entwicklung in das Integral ein t2 t2 ∂f ∂f ϕ+ ϕ˙ dt I() = f (t, x, x)dt ˙ + ∂x ∂ x˙ t1 t1 2 t2 + {. . .} dt + . . . . 2! t1 +

Differentiation ergibt dann t2 ∂f ∂f dI() ! ϕ + ϕ ˙ dt = 0 . = d =0 ∂x ∂ x ˙ t1 Durch partielle Integration des zweiten Termes in der Klammer erhält man t t2 t2 d ∂f ∂f 2 ∂f ϕ˙ dt = ϕ − ϕ dt . ∂ x ˙ ∂ x ˙ dt ∂ x˙ t1 t1 t1 Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet, da ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ) = 0 ist. Es verbleibt also

t2 ∂f d ∂f − dt ϕ(t) = 0 . (5.108) ∂x dt ∂ x˙ t1 Die Variationsfunktion kann bis auf die Einschränkung, dass sie stetig sein und f¨ ur t1 und t2 den Wert Null annehmen soll, beliebig gewählt werden. Die Integralbedingung kann also nur erf¨ ullt sein, wenn der Klammerausdruck selbst verschwindet

d ∂f ∂f − =0. ∂x dt ∂ x˙ Man findet also genau den Typ einer Lagrangegleichung, die allgemeine Bezeichnung ist Euler-Lagrange Variationsgleichung. 5.4.1.2 Beispiele aus der Variationsrechnung. Eine der vielen Anwendungsm¨ oglichkeiten der Variationsrechnung ist die Lösung von geometrischen Aufgaben. Einige klassische Beispiele f¨ ur diesen Aufgabentyp sind durchaus beachtenswert. Gegeben sind zwei Punkte in der x - t Ebene (Beispiel 5.23). Die Aufgabe lautet : Bestimme die Gleichung des Kurvenst¨ ucks, das die k¨ urzeste Verbindung der beiden Punkte ergibt (Abb. 5.24). Die Antwort ist an sich bekannt, zur ihrer expliziten Verifizierung muss man auf die oben skizzierte Variationsrechnung zur¨ uckgreifen. Der Ansatz sieht folgendermaßen aus: F¨ ur eine

250


x P2 P1

t1

t2

t

Abb. 5.24. Illustration der Variationsaufgabe 5.23

beliebige Kurve, die durch die Punkte 1 und 2 gehen soll, gilt f¨ ur die Bogenl¨ ange zwischen den Punkten t2 t2 2 1/2 1/2 S[x] = = dt . dx + dt2 1 + x˙ 2 t1

t1

Die vorgelegte Funktion f entspricht also 1/2 f = 1 + x˙ 2 . Die Aufstellung der Variationsgleichung zur Bestimmung des Extremums des Funktionals S[x] erfordert die Berechnung von ∂f =0 ∂x

und

∂f x˙ = . ∂ x˙ [1 + x˙ 2 ]1/2

Die zu l¨ osende Euler-Lagrange Gleichung ist somit d x˙ =0. dt [1 + x˙ 2 ]1/2 Erste Integration ergibt 1/2 . x˙ = C1 1 + x˙ 2 Aufl¨ osung nach x˙ liefert 1/2 C12 x˙ = ± = C2 , 1 − C12 so dass man nach nochmaliger Integration x(t) = C3 + C2 t erh¨ alt. Das ist die erwartete Gerade. Die beiden Konstanten werden durch x(t1 ) = x1 und x(t2 ) = x2 festgelegt. Gegeben sind zwei Punkte in der x - y Ebene, die durch einen fiktiven Draht verbunden werden (Beispiel 5.24). Die Frage lautet: Welche Form muss man dem Draht geben, so dass ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Schwerkraft in k¨ urzester Zeit von dem Punkt 1 zu dem Punkt 2 gelangt (Abb. 5.25)?


251

y P1 ds

P2 x

Abb. 5.25. Das Brachystochronenproblem

Diese Aufgabe ist unter dem Namen Brachystochronenproblem (Problem der k¨ urzesten Zeit) bekannt. Es ist eine der ersten Variationsaufgaben, die in der Literatur diskutiert wurde (J. Bernoulli, 1696). Falls der Massenpunkt die Geschwindigkeit v(t) hat, ist die Fallzeit entlang eines infinitesimalen Kurvenst¨ ucks ds dt =

ds . v(t)

Damit erh¨ alt man f¨ ur die Fallzeit entlang der gesamten Kurve zwischen zwei Punkten 2 ds . T = v(t) 1 Dieses Integral soll durch die Wahl der Kurve y(x) zu einem Extremum gemacht werden. Man ben¨ otigt dazu noch die Zerlegung von ds in kartesische Komponenten 1/2 ds = dx2 + dy 2 , sowie eine Verkn¨ upfung von Momentangeschwindigkeit und Bahnkurve. Diese Verkn¨ upfung ergibt sich aus dem Energiesatz m 2 v + mgy = E1 (= mgy1 ) 2 zu 1/2 2E1 1/2 − 2gy v(t) = = [C0 − 2gy] . m Der Ausdruck f¨ ur die gesamte Fallzeit ist dann 1/2 2 dx2 + dy 2 T = . 1/2 1 [C0 − 2gy] An dieser Stelle ist noch nicht festgelegt worden, welche der Variablen die abh¨ angige bzw. unabh¨ angige sein soll. Die Variationsgleichungen werden einfacher, wenn man y als unabh¨ angige Variable und x als abhängige Variable w¨ ahlt. Es ist dann

252


y2

T = y1

1/2 2 1 + x 1/2

[C0 − 2gy]

x =

dy

dx . dy

Hier kommt nun die Variationsrechnung zum Einsatz. Die vorgegebene Funktion f ist 1/2 2 1 + x f (y, x, x ) = . C0 − 2gy Damit erh¨ alt man ∂f =0 ∂x

∂f x = . 1/2 ∂x [(1 + x 2 )(C0 − 2gy)]

Eine erste Integration der entsprechenden Euler-Lagrange Variationsgleichung

d ∂f =0 dy ∂x ergibt x 2

1/2

[(1 + x )(C0 − 2gy)]

= C1 .

Zur weiteren Auswertung l¨ ost man diese Gleichung nach x auf und findet 1/2 1 − C12 C0 A−y C0 B= . x = ± mit A = B+y 2g 2C12 g Die L¨ osung dieser linearen Differentialgleichung f¨ ur die Funktion x(y) erhält man durch direkte Integration 1/2 y2 A−y dy . x2 − x1 = ± B+y y1 Um das Integral zu berechnen, empfiehlt sich die Substitution y = A − R(1 − cos α)

R=

1 (A + B) 2

(5.109)

mit dy = −R sin α dα

B + y = R(1 + cos α) =

R sin2 α . 1 − cos α

Das Integral, das bei der Substitution entsteht x = ±R (1 − cos α)dα , kann man elementar auswerten, so dass sich f¨ ur die x -Koordinate (vor Einsetzen der Grenzen) das Resultat


x = x0 ± R(α − sin α) .

253

(5.110)

ergibt. Die Ausdr¨ ucke y = y(α) und x = x(α) sind die Parameterdarstellung ur die die Fallzeit ein Extreeiner Zykloide3 (Abb. 5.26). Die Bahnkurve, f¨

Abb. 5.26. Zykloide

mum (ein Minimum) hat, ist eine Zykloide bzw. ein Teilst¨ uck einer Zykloide. 5.4.1.3 Variationsprinzip kurz gefasst. Die zentrale Aussage der Variationsrechnung f¨ ur den Fall einer Variablen x ist: Das Funktional I[x] =

$ t2

f (t, x, x)dt ˙

t1

hat einen Extremwert, wenn die Funktion x(t) durch die Variationsgleichung

d ∂f ∂f − =0 ∂x dt ∂ x˙ bestimmt wird.

(5.111)

Sie wird in der Praxis oft in einer Kurzform abgeleitet. Ausgangspunkt ist t2 I= f (t, x, x)dt ˙ . t1

Die Variation wird in der Form t2 f (t, x, x)dt ˙ = δI = δ t1

t2

δf (t, x, x)dt ˙

t1

angegeben. Das Variationssymbol kann unter das Integralzeichen gezogen werden, da die Grenzen von der Variation nicht betroffen sind. Mit den folgenden Rechenregeln l¨ asst sich die Herleitung der Variationsgleichungen abk¨ urzen: ∂f ∂f δx + δ x˙ entspricht der Kettenregel (a) Die Regel δf = ∂x ∂ x˙ ∂f ∂f ∂x ∂f ∂ x˙ = + . ∂ ∂x ∂ ∂ x˙ ∂ 3

Die Zykloide ist eine Kurve, die sich ergibt, wenn man ein Rad (Radius R) entlang einer Geraden abrollt und die Bahnkurve eines Punktes auf der Peripherie des Aufg. 4.13 Rades verfolgt. Die Parameterdarstellung dieser Kurve wird in aufbereitet.

254


(b) Variation und Zeitdifferentiation k¨ onnen vertauscht werden d (δx) , dt denn es ist

∂ dx d ∂x ∂x d d δ x˙ = d = d = d = (δx) . ∂ dt dt ∂ dt ∂ dt δ x˙ =

Mit den beiden Regeln folgt t2

∂f ∂f d δI = δx + (δx) dt = 0 . ∂x ∂ x˙ dt t1 Partielle Integration des zweiten Termes mit δx = 0 an den Integrationsgrenzen ergibt

t2

∂f d ∂f δI = − δx dt = 0 . ∂x dt ∂ x˙ t1 Die angedeutete symbolische Manipulation kann zu einem vollständigen Variationskalk¨ ul ausgebaut werden. Hinter der Kurzform steht jedoch in jedem Fall die vorher benutzte, pr¨ azise mathematische Formulierung, auf die im Zweifelsfall zur¨ uckgegriffen werden muss. Das Hamiltonprinzip der Mechanik f¨ ur den Fall eines Freiheitsgrades ergibt sich direkt aus der Variationsaussage (5.111), wenn man anstelle der Funktion f die Lagrangefunktion L und anstelle der Koordinate x eine generalisierte Koordinate q einsetzt. Damit ist offensichtlich, dass (f¨ ur den Fall eines Freiheitsgrades) die Lagrangegleichung aus Hamiltons Prinzip folgt. 5.4.1.4 Formulierung des Hamiltonschen Prinzips. Die Erweiterung der Diskussion auf den Fall von mehreren Freiheitsgraden q1 . . . qn folgt dem gleichen Muster. Man beginnt mit dem Funktional von n Funktionen t2 L(t, q1 . . . qn , q˙1 . . . q˙n )dt . (5.112) I[q1 . . . qn ] = t1

Zur Variation benutzt man f¨ ur jede der Funktionen den Ansatz qμ, v (t) = qμ (t) + ϕμ (t)

(μ = 1, 2, . . . n)

mit ϕμ (t1 ) = ϕμ (t2 ) = 0 . Man entwickelt zun¨ achst L in eine Taylorreihe um die Stelle = 0 L(t, q1, v . . . qn, v , q˙1, v . . . q˙n, v ) = L(t, q1 . . . qn , q˙1 . . . q˙n ) ∂L ∂L ∂L ∂L ϕ1 + ϕ˙ 1 + . . . + ϕn + ϕ˙ n + + ... ∂q1 ∂ q˙1 ∂qn ∂ q˙n und betrachtet die Ableitung


dI() d

=

=0

n t2

t1

μ=1

255

∂L ∂L ϕμ + ϕ˙ μ dt = 0 . ∂qμ ∂ q˙μ

Partielle Integration des zweiten Termes in jedem der Summanden mit ϕμ (t1 ) = ϕμ (t2 ) = 0 ergibt

t2 n ∂L dI() d ∂L = − (5.113) ϕμ dt = 0 . d =0 ∂qμ dt ∂ q˙μ t1 μ=1 Da alle Funktionen ϕμ frei w¨ ahlbar sind, folgen die Variationsgleichungen

∂L d ∂L − =0 (μ = 1, 2, . . . n) . ∂qμ dt ∂ q˙μ Damit ist gezeigt, dass die Lagrangegleichungen (f¨ ur den Fall, dass eine Lagrangefunktion des Systems definiert werden kann) aus dem Hamiltonschen Prinzip folgen. Die Gr¨ oße [Lagrangefunktion mal Zeit] hat die Dimension einer Wirkung. Man bezeichnet deswegen das Hamiltonprinzip auch als das Wirkungsprinzip oder (da in der Mechanik in den meisten Fällen das Extremum ein Minimum ist) als Prinzip der kleinsten Wirkung. Die Lagrangefunktion, eine Funktion der generalisierten Koordinaten, der generalisierten Geschwindigkeiten und der Zeit, ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Lagrangeform der Bewegungsgleichungen. Bei Hamiltons Bewegungsgleichungen spielt die Hamiltonfunktion die zentrale Rolle. Diese Funktion stellt, unter bestimmten (schon genannten) Bedingungen, die Gesamtenergie eines Systems von Massenpunkten dar. Dies betont die zentrale Rolle dieser Größe in fast allen Bereichen der Physik. 5.4.2 Hamiltons Bewegungsgleichungen Die Hamiltonfunktion ist mit der Lagrangefunktion L = L(q1 (t) . . . qn (t), q˙1 (t) . . . q˙n (t), t) durch eine Legendretransformation H= pμ q˙μ − L μ

verkn¨ upft. Einen Satz von Bewegungsgleichungen, der auf diese Grundgrößen Bezug nimmt, kann man mit dem folgenden Argument gewinnen. Betrachte als erstes das totale Differential der Hamiltonfunktion, das sich aufgrund der Definitionsgleichung zu ∂L ∂L ∂L dt pμ dq˙μ + q˙μ dpμ − dqμ − dq˙μ − dH = ∂q ∂ q ˙ ∂t μ μ μ μ μ μ =

μ

q˙μ dpμ −

∂L ∂L dt dqμ − ∂q ∂t μ μ

256


ergibt. Der erste und der vierte Term heben sich heraus, da pμ =

∂L ∂ q˙μ

ist. Benutzt man noch die Lagrangegleichungen in der Form ∂L p˙ μ = ∂qμ so erh¨ alt man ∂L dt . q˙μ dpμ − p˙ μ dqμ − dH = ∂t μ μ

(5.114)

An dieser Form des totalen Differentials erkennt man explizit, dass H eine Funktion der generalisierten Koordinaten, der generalisierten Impulse und (gegebenenfalls) der Zeit ist H = H(q1 (t) . . . qn (t), p1 (t) . . . pn (t), t) . ¨ Die Legendretransformation vermittelt also einen Ubergang von einer Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten (L) zu einer Funktion der generalisierten Koordinaten und Impulse (H). Eine alternative Darstellung des totalen Differentials ergibt sich auf der Basis der Form H = H(q, p, t) zu ∂H ∂H ∂H dt . (5.115) dqμ + dpμ + dH = ∂qμ ∂pμ ∂t μ Da die Differentiale der Grundgr¨ oßen unabh¨ angig voneinander sind, gewinnt man durch Vergleich der beiden Aussagen (5.113) und (5.115) den folgenden Satz von Bewegungsgleichungen p˙μ = −

∂H ∂qμ

q˙μ =

∂H ∂pμ

∂L ∂H =− ∂t ∂t

(μ = 1, 2, . . . n) (5.116)

Diesen Satz von Differentialgleichungen bezeichnet man als Hamiltons Bewegungsgleichungen. Das altbekannte Beispiel des einfachen linearen harmonischen Oszillators sieht in diesem Gewande folgendermaßen aus. Die Hamiltonfunktion ist k p2 + x2 . H= 2m 2 Die Bewegungsgleichungen nach Hamilton sind dann ∂H ∂H p ∂H p˙ = − = −kx x˙ = − = =0. (5.117) ∂x ∂p m ∂t Es liegt ein Satz von zwei Bewegungsgleichungen erster Ordnung f¨ ur die zwei Funktionen x(t) und p(t) vor. Ein praktischer Lösungsweg ist jedoch: Differenziere die zweite Gleichung nach der Zeit


257

1 p˙ m und ersetze p˙ in der ersten. Man erh¨ alt x¨ =

k x = −ω 2 x m d.h. die Lagrangesche oder Newtonsche Bewegungsgleichung. Die Aussage, die dieses Beispiel vermittelt, gilt allgemein: Lagranges Bewegungsgleichungen und Hamiltons Bewegungsgleichungen sind völlig äquivalent. Man kann z.B. zeigen, dass Hamiltons Bewegungsgleichungen aus dem Hamilton Prinzip hergeleitet werden k¨ onnen. Der formale Unterschied zwischen den beiden S¨ atzen von Bewegungsgleichungen ist: Die Bewegungsgleichungen von Lagrange stellen einen Satz von n Differentialgleichungen zweiter Ordnung f¨ ur die generalisierten Koordinaten qμ (t) dar. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind ein Satz von 2n Differentialgleichungen erster Ordnung f¨ ur die generalisierten Koordinaten qμ und die generalisierten Impulse pμ . ¨ Die Aquivalenz der beiden S¨ atze von Bewegungsgleichungen entspricht einem Standardtheorem aus der Theorie der Differentialgleichungen, das besagt: Man kann ein System von n Differentialgleichungen zweiter Ordnung f¨ ur n Funktionen in ein System von 2n Differentialgleichungen erster Ordnung f¨ ur 2n Funktionen umschreiben (siehe Math.Kap. 6.1). Man k¨ onnte somit meinen, dass man durch die Einf¨ uhrung der neuen Gleichungen nicht viel gewonnen hat. Sie er¨ offnen jedoch zusätzliche Möglichkeiten: 1. Da H in den meisten F¨ allen der Energie entspricht (und die Energie in der Physik eine besondere Rolle spielt), sind diese Gleichungen ein geeigneter Ausgangspunkt f¨ ur die Erweiterung der Mechanik (so z.B. zur Quantenmechanik). 2. Es existieren eigenst¨ andige L¨ osungsmethoden f¨ ur die Hamiltonschen Gleichungen, die auf dem Konzept der kanonischen Transformationen basieren. Vor einer kurzen Betrachtung dieser Methode sind noch zwei neue Begriffe einzuf¨ uhren, die in der Hamiltonmechanik eine besondere Rolle spielen. x¨ = −

5.4.2.1 Der Phasenraum. Die zeitliche Entwicklung eines Systems wird im Sinne der Hamiltonschen Formulierung durch das 2n -Tupel von Größen {q1 (t) . . . qn (t), p1 (t) . . . pn (t)} beschrieben. Dies legt es nahe, einen 2n - dimensionalen Raum einzuf¨ uhren, der von den (generalisierten) Koordinaten und Impulsen aufgespannt wird. Dies ist der Phasenraum. Jeder Punkt des Phasenraumes charakterisiert einen momentanen Zustand des Systems. Die zeitliche Folge wird durch eine Kurve (eine eindimensionale Mannigfaltigkeit) in diesem (2n - dimensionalen)

258


Raum beschrieben. Man nennt solche Kurven Phasen(raum)bahnen. Die Bewegungsgleichungen nach Hamilton und die Anfangsbedingungen bestimmen die Phasenbahnen des Systems eindeutig4 . So sind zum Beispiel die Phasenbahnen des eindimensionalen harmonischen Oszillators wegen k p2 + q 2 = E0 2m 2 Ellipsen. Die vorgegebene Energie bestimmt die ‘Größe‘ der Ellipsen, das Produkt km die Exzentrizit¨ at. F¨ ur eine vorgegebene Energie liegen alle Bewegungszust¨ ande des Systems auf einer der Ellipsen. Die in sich geschlossenen Phasenbahnen beschreiben den oszillatorischen Charakter. H=

5.4.2.2 Die Poissonklammern. Die Poissonklammern sind ein Hilfsmit¨ tel, mit dem man die zeitliche Anderung physikalischer Größen in kompakter Form darstellen kann. Sie werden sich sp¨ ater als ein wichtiges Bindeglied zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik herausstellen. F¨ ur zwei beliebige Gr¨ oßen, die von den generalisierten Koordinaten, den generalisierten Impulsen und der Zeit abh¨ angen u = u(q1 . . . qn p1 . . . pn t) v = v(q1 . . . qn p1 . . . pn t) , definiert man die Poissonklammer durch n

∂u ∂v ∂u ∂v − {u, v} = . ∂qμ ∂pμ ∂pμ ∂qμ μ=1

(5.118)

Man kann eine Reihe von Rechenregeln f¨ ur den Umgang mit diesen Klammern aufstellen. Die Definition (5.118) liefert direkt die Aussage, dass die Klammern antisymmetrisch gegen¨ uber Vertauschung der Reihenfolge sind {u, v} = − {v, u} . Außerdem erf¨ ullen sie die Jacobi-Identit¨ at {u {v, w}} + {v {w, u}} + {w {u, v}} = 0 .

(5.119)

Diese Relation kann man (wenn auch in etwas m¨ uhseliger Weise) durch Einsetzen der Definition beweisen. Ebenfalls durch direkte Rechnung gewinnt man die Produktregel {vw, u} = w {v, u} + v {w, u} .

(5.120)

Von Interesse sind auch die fundamentalen Poissonklammern {qμ , pν } = δμν

{qμ , qν } = {pμ , pν } = 0

(μ , ν = 1, . . . n) , (5.121)

die ein (oben erw¨ ahntes) Bindeglied zwischen der klassischen und der Quantenphysik ergeben. 4

Zus¨ atzliche Bemerkungen zu dem Thema Phasenraum findet man in Kap. 5.4.3.


259

¨ Berechnet man die totale zeitliche Anderung einer Größe u(q, p, t) mit Hilfe der Kettenregel

∂u ∂u dqμ ∂u dpμ du = + + dt ∂t ∂qμ dt ∂pμ dt μ und benutzt die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen q˙μ =

∂H ∂pμ

p˙ μ = −

∂H ∂qμ

zur Elimination der Zeitableitungen der generalisierten Koordinaten und Impulse, so folgt

du ∂u ∂u dH ∂u dH = + − , dt ∂t ∂qμ dpμ ∂pμ dqμ μ bzw. in Zusammenfassung ∂u du = + {u, H} . dt ∂t

(5.122)

Die Bewegungsgleichung (5.122) charakterisiert die Zeitentwicklung einer Funktion u der generalisierten Koordinaten, generalisierten Impulse und der Zeit. Die Funktion ist ein Integral der Bewegung, falls die totale Zeitableitung du/dt identisch verschwindet. H¨ angt die Funktion u nicht explizit von der Zeit ab (∂u/∂t = 0), so ist u ein Bewegungsintegral, wenn die Poissonklammer mit der Hamiltonfunktion verschwindet, also wenn {u, H} = 0 ist. Man kann auch ablesen, dass die partielle Ableitung der Hamiltonfunktion nach der Zeit gleich der totalen Ableitung ist. Betrachtet man insbesondere u = qμ oder u = pμ , so ergeben die Bewegungsgleichungen (5.122) eine symmetrische Form der Hamiltongleichungen (5.116) q˙μ = {qμ , H}

p˙ μ = {pμ , H} .

(5.123)

Weitere in der Praxis n¨ utzliche Poissonklammern sind n

∂u ∂qμ ∂u ∂qμ ∂u − {u, qμ } = =− ∂q ∂p ∂p ∂q ∂p ν ν ν ν μ ν=1 und entsprechend {u, pμ } =

∂u . ∂qμ

Aus diesen Relationen kann man ebenfalls die fundamentalen Poissonklammern (5.121) gewinnen.

260


¨ 5.4.2.3 Uber kanonische Transformationen. Es gibt f¨ ur die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine eigenst¨ andige Lösungsmethode, die jedoch nur anhand einer einfachst m¨ oglichen Situation mit einem Freiheitsgrad skizziert werden soll. Die zust¨ andigen Gleichungen sind p˙ = −

H = H(q, p, t)

∂H ∂q

q˙ =

∂H . ∂p

Die Grundidee ist, eine Transformation der Phasenraumkoordinaten zu finden, so dass m¨ oglichst viele der transformierten Koordinaten zyklische Koordinaten sind. Im Fall einer generalisierten Koordinate betrachtet man eine Transformation der Form q = f (Q, P )

p = g(Q, P ) .

(5.124)

Diese Transformation ist nicht die allgemeinst mögliche, da eine zusätzliche Zeitabh¨ angigkeit denkbar w¨ are, doch gen¨ ugt diese einfachere Form zur Illustration. Aus der allgemeinen Klasse der Phasenraumtransformationen interessieren zun¨ achst solche Transformationen, die die Form der Bewegungsgleichungen erhalten. Dies bedeutet: Nachdem man die Transformationsgleichung in die vorgegebene Hamiltonfunktion eingesetzt hat H(q, p, t) = H(f (Q, P ), g(Q, P ), t) ≡ K(Q, P, t) , sollen bez¨ uglich der neuen Phasenraumkoordinaten Q und P die Bewegungsgleichungen ∂K P˙ = − ∂Q

∂K Q˙ = ∂P

(5.125)

gelten. Transformationen im Phasenraum, die die Forminvarianz der Bewegungsgleichungen garantieren, bezeichnet man als kanonische Transformationen. Die Frage, die zun¨ achst ansteht, lautet: Wie erkennt man, ob eine vorgegebene Transformation kanonisch ist? Zur Beantwortung dieser Frage ¨ kann man die folgende Uberlegung durchf¨ uhren: Differenziere die Transformationsgleichungen (5.124) mittels der Kettenregel nach der Zeit q˙ =

∂f ˙ ∂f ˙ Q+ P ∂Q ∂P

p˙ =

∂g ˙ ∂g ˙ Q+ P . ∂Q ∂P

Dieses Gleichungssystem kann nach Q˙ bzw. P˙ aufgelöst und das Ergebnis in der Form notiert werden

∂f ∂g ∂f ∂f ∂g ∂g q˙ − p˙ = − Q˙ (5.126) ∂P ∂P ∂Q ∂P ∂P ∂Q ∂f ∂g q˙ − p˙ = − ∂Q ∂Q Betrachte dann

∂f ∂g ∂f ∂g − ∂Q ∂P ∂P ∂Q

P˙ .

(5.127)


261

∂H ∂f ∂H ∂g ∂K = + ∂P ∂q ∂P ∂p ∂P und setze die Bewegungsgleichungen in den alten Koordinaten ein ∂K ∂g ∂f = q˙ − p˙ ∂P ∂P ∂P

∂f ∂g ∂f ∂g = − Q˙ . ∂Q ∂P ∂P ∂Q Die zweite Zeile folgt aus der Gleichung (5.126). Entsprechend berechnet man ∂K ∂H ∂f ∂H ∂g ∂g ∂f = + = q˙ − p˙ ∂Q ∂q ∂Q ∂p ∂Q ∂Q ∂Q

∂f ∂g ∂f ∂g =− − P˙ . ∂Q ∂P ∂P ∂Q Man entnimmt diesen Rechnungen: Die Forminvarianz der Bewegungsgleichungen ist gegeben, falls die Relation

∂f ∂g ∂f ∂g − =1 (5.128) ∂Q ∂P ∂P ∂Q erf¨ ullt ist. Der Ausdruck auf der linken Seite erinnert an die Poissonklammer. Man schreibt ihn auch in der Form ∂q ∂p ∂q ∂p − (5.129) {q, p}Q, P = ∂Q ∂P ∂P ∂Q und bezeichnet diese Variante als eine Lagrangeklammer. Man erkennt eine kanonische Transformation also daran, dass die Lagrangeklammer der Transformation den Wert 1 hat. Die n¨ achste Frage lautet: Wie kann man kanonische Transformationen gewinnbringend einsetzen? Eine Antwort auf diese Frage gibt das folgende Argument. Man nimmt an, dass man eine Transformation finden kann, so dass die transformierte Hamiltonfunktion nicht von der Koordinate Q abhängt K = K(P, t) . Es folgt dann ∂K P˙ = − =0 ∂Q

−→

∂K Q˙ = = G(P, t) = G(C, t) ∂P

−→

P = const. t Q(t) = G(C, t )dt .

Die Variable Q ist zyklisch, die Integration der Bewegungsgleichung ist somit recht einfach. Zur Illustration soll noch einmal der eindimensionale harmonische Oszillator dienen

262


k p2 + x2 . 2m 2 Die Transformation 1/2 2P x= sin Q mω H=

1/2

p = [2mωP ]

ω=

k m

cos Q

ist kanonisch, denn es gilt ∂x ∂p ∂x ∂p − = cos2 Q + sin2 Q = 1 . ∂Q ∂P ∂P ∂Q Die transformierte Hamiltonfunktion ist

k 2P 1 2 (2mωP ) cos Q + K= sin2 Q = ωP . 2m 2 mω Damit erh¨ alt man die Bewegungsgleichungen P˙ = 0

P = const. =

E0 ω

∂K =ω Q = ωt + δ Q˙ = ∂P mit der altbekannten L¨ osung in kartesischen Koordinaten 1/2 2E0 x(t) = sin(ωt + δ) mω 2 p(t) = [2mE0 ]1/2 cos(ωt + δ) . Die Integrationskonstanten sind E0 und δ. ¨ Eine Ubertragung dieser Betrachtungen auf den Fall eines n -dimensionalen Phasenraumes kann relativ direkt vorgenommen werden, indem man die Gr¨ oßen q und p als Vektoren in einem n -dimensionalen Raum interpretiert und bei der Anwendung der Kettenregel die entsprechenden Summen ansetzt. Eine Antwort auf die Frage: ‘Ist es m¨ oglich, Methoden anzugeben, die es erlauben, kanonische Transformationen mit einer zyklischen Struktur der transformierten Hamiltonfunktion zu bestimmen?‘ gibt in gewissem Sinn die Hamilton-Jacobi Theorie5 . Diese Theorie bietet ohne Zweifel eigenständige Einblicke in die Struktur mechanischer Systeme, aus praktischer Sicht aber keine wesentlichen Vorteile gegen¨ uber der Lagrangeformulierung. Aus diesem Grund sollen die formalen Aspekte der theoretischen Mechanik an dieser Stelle abgeschlossen werden. 5

In der Literaturliste werden unter A[5] entsprechende Kapitel aus zwei Lehrb¨ uchern benannt.


263

5.4.3 Ein Blick in den Phasenraum Das Studium der Phasenbahnen ist die Grundlage f¨ ur die Analyse von integrablen bzw. chaotischen Bewegungsformen. Chaotische Bewegungsformen zeichnen sich dadurch aus, dass das ‘Langzeitverhalten‘ der Bewegung praktisch nicht gen¨ ugend genau vorausberechnet werden kann. Diese Unbestimmtheit ist durch eine a angigkeit von den Anfangsbedingunüßerst sensitive Abh¨ gen bedingt. Diese Abh¨ angigkeit f¨ uhrt dazu, dass die Lösungen der Bewegungsgleichungen f¨ ur infinitesimal benachbarte Anfangswerte (auf entsprechend großer Zeitskala) exponentiell auseinanderlaufen können. Eine Konsequenz zeigt sich zum Beispiel in der ‘Beobachtung‘ der Rotationsbewegung von Planetensatelliten (zum Beispiel des Saturn). Einer der Saturnmonde (Hyperion) f¨ uhrt eine chaotische Torkelbewegung aus, f¨ ur die bei einer Kenntnis der Anfangsorientierung mit einer Genauigkeit von zehn Stellen die Orientierung nach einigen Jahren nicht mit der notwendigen Genauigkeit berechnet werden kann. 5.4.3.1 Grundbegriffe. Eine vollst¨ andigere Diskussion der Dynamik nichtlinearer Systeme ist in dem vorgegebenen Rahmen nicht möglich, doch sollen wenigstens die Grundz¨ uge und einige Grundbegriffe anhand der einfachsten Situation, eindimensionale Systeme, erl¨ autert werden. Ist ein eindimensionales System durch eine Hamiltonfunktion p2 + U (q) = E0 2m charakterisiert, so beschreibt die Gleichung H=

p = m q˙ = ± [2m(E0 − U (q))]

1/2

(5.130)

f¨ ur jeden Wert der Anfangsenergie E0 eine Phasenbahn. Die Gesamtheit der Phasenbahnen bezeichnet man als Phasenraumportrait des Systems. Das Phasenraumportrait des harmonischen Oszillators, eine Schar von konzentrischen Ellipsen, ist ein Beispiel f¨ ur ein System, in dem jede der Phasenbahnen auf ein endliches Gebiet des Phasenraumes beschränkt ist. Deutlich strukturierter ist der Phasenraum des mathematischen Pendels (siehe Kap. 4.2.1), das ein Beispiel f¨ ur einen nichtlinearen Oszillator darstellt. Das Phasenraumportrait dieses Systems ist, in der Form q˙ ≡ ϕ˙ versus q ≡ ϕ (anstelle von p versus q), in Abb. 5.27a f¨ ur sieben verschiedene Werte der Gesamtenergie angedeutet. Die Einheiten der Winkelgeschwindigkeit entsprechen s−1 bei einem beliebig vorgegebenem Parametersatz. Die Phasenbahnen des mathematischen Pendels sind entweder (wie bei dem harmonischen Oszillator) auf ein Gebiet −π < q < π beschränkt oder sie erstrecken sich u ¨ ber den gesamten Bereich der Variablen −π ≤ q ≤ π. Im ersten Fall f¨ uhrt die Anfangsenergie zu einer eigentlichen Pendelbewegung, wobei der Koordinatenbereich mehrfach u ¨ berstrichen wird. Die Bewegung mit ¨ Uberschlag bei h¨ oheren Energien wird realistischer dargestellt, wenn man

264


(a)

(b) 4

dq/dt 4

dq/dt

0

0 –4 − 3π − 2π

–4 −π

0

einfach

π

−π

0

π

2π

3π

q

q

mit periodischer Struktur

Abb. 5.27. Phasenraumportrait des mathematischen Pendels

das Phasenraumportrait periodisch fortsetzt (Abb. 5.27b) oder auf einem Zylindermantel ausbreitet, so dass die Stellen q = ±π aneinanderschließen. Anstatt die Phasenbahnen explizit durch L¨ osung der Differentialgleichung (5.130) zu berechnen, kann man versuchen, eine mehr qualitative Analyse der Bewegungsformen durchzuf¨ uhren. Liegen, wie im Fall des mathematischen Pendels, ‘offene‘ und ‘geschlossene‘ Phasenbahnen vor, so werden diese durch eine Kurve, die Separatrix, getrennt (Abb. 5.27). Die Separatrix verl¨ auft durch (bei dem mathematischen Pendel: in) Gleichgewichtspunkte, in denen die Geschwindigkeit den Wert Null und das Potential bestimmte Eigenschaften hat. Im Allgemeinen werden Gleichgewichtspunkte durch die Vorgaben p ∂U =0 q˙ = =0, p˙ = ∂q m beziehungsweise dU (q) pG = 0 =0 dq G charakterisiert. Die Geschwindigkeit hat den Wert Null und das Potential ist extremal. Entwickelt man beide Seiten der Phasenbahngleichung (5.130) in der Umgebung eines Gleichgewichtspunktes, so erhält man p − pG + . . . = ±(2m)1/2 [E0 − H(qG , pG ) 1 − U (qG , pG )(q − qG )2 + . . .]1/2 2 oder nach konsistenter Sortierung in zweiter Ordnung (p − pG )2 + mU (qG , pG )(q − qG )2 = 2m(E0 − H(qG , pG )) .

(5.131)

Diese Gleichung stellt Geraden, Ellipsen oder Hyperbeln dar, und zwar: • Zwei sich schneidende Geraden durch den Gleichgewichtspunkt, falls die Energie in diesem Punkt H(qG ) mit der Anfangsenergie E0 u ¨bereinstimmt und U (qG ) < 0 ist. Diese Geraden sind Teile einer Separatrix (Abb. 5.28a).


265

• Es liegen Hyperbeln vor, wenn die Ableitung U (qG ) kleiner als Null ist (Abb. 5.28a) und die beiden Energiewerte nicht u ¨ bereinstimmen. Der Gleichgewichtspunkt wird dann als eine hyperbolische Singularit¨ at bezeichnet. Die Bewegung in der N¨ ahe des Maximums des Potentials ist offensichtlich instabil. • Entsprechend bezeichnet man einen Gleichgewichtspunkt mit U (qG ) > 0 als eine elliptische Singularit¨ at (Abb. 5.28b). Die Bewegung in der Nähe eines solchen Gleichgewichtspunktes ist stabil.

(a)

(b)

3

p

4

p

1.5

2

0

0

–1.5

–2

–3 − 3π/2

–4

q −π

− π/2

q –3

Hyperbolische Singularit¨ at (mathematisches Pendel)

0

3

Elliptische Singularit¨ at (harmonischer Oszillator)

Abb. 5.28. Phasenraumportraits

F¨ ur das mathematische Pendel kann man auf der Basis dieser Definitionen die folgenden Aussagen machen: Anhand der Hamiltonfunktion m H = l2 q˙2 − mgl cos q = E0 2 bestimmt man die Gleichgewichtspunkte pG = ml2 q˙G = 0

sin qG = 0 −→ qG = kπ

(k = 0, ±1, ±2, . . .) .

Die zweite Ableitung des Potentials ist U (qG ) = +mgl cos q, es liegen somit f¨ ur gerade Werte von k elliptische und f¨ ur ungerade Werte hyperbolische Singularit¨ aten vor. Die Separatrix schließt die Punkte (q, q) ˙ = (±π, 0) ein, die entsprechende Energie ist H(qG ) = E0 = mgl. Die Separatrix wird somit (benutze (1 + cos q) = 2 cos2 (q/2)) durch die Gleichung q g (5.132) q˙ = ±2ω cos ω= 2 l beschrieben. Ist E0 < mgl, so sind die Phasenbahnen geschlossene Kurven, die den in Kap. 4.2.1 diskutierten periodischen L¨ osungen entsprechen. Bei Werten der

266


Anfangsenergie, die gr¨ oßer als mgl sind, rotiert das Pendel um den Aufhängepunkt. Die Bewegung, die durch die Separatrix charakterisiert wird, entspricht bei den Anfangsbedingungen q(0) = 0, q(0) ˙ = 2ω einer Bewegung des Pendels von dem tiefsten zu dem h¨ ochsten Punkt, bei der Anfangsbedingung q(0) = π, q˙ = 0 von dem h¨ ochsten zur¨ uck zu dem höchsten Punkt. Die Gleichung f¨ ur die Bewegung auf der Separatrix gewinnt man durch Integration der Differentialgleichung (5.132) mittels Variablentrennung als

q q π + . ±ωt = ln tan 4 4 q(0) Benutzt man (hier und im Weiteren) die Anfangsbedingungen q(0) = 0, q(0) ˙ = 2ω , so erh¨ alt man durch Aufl¨ osung nach der Koordinate die Gleichung f¨ ur die Bewegung auf der Separatrix zu ( ) q(t) = +4 arctan eωt − π . Hier erkennt man explizit, dass das Pendel eine unendlich große Zeit benötigt, um von der Ruhelage q = 0 genau bis zu dem höchsten Punkt q = π zu gelangen (arctan ∞ = π/2). Die Winkelgeschwindigkeit auf der Separatrix ist (differenziere die Gleichung f¨ ur q(t)) 2ω . cosh ωt Sie n¨ ahert sich, entsprechend dem Zeitverlauf f¨ ur die Koordinate, dem Grenzwert Null. Bahnkurven f¨ ur eine periodische Bewegung, die fast der Separatrix entsprechen, zeigen eine gewisse Instabilit¨ at, die durch die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude (siehe (4.42), S. 167) bedingt ist. In dem Phasenraumportrait driften benachbarte Phasenbahnen leicht auseinander, n¨ ahern sich jedoch wieder. Das mathematische Pendel ist, wie der harmonische Oszillator (unged¨ ampft oder gedämpft) ein integrables System. Im Fall des ged¨ ampften Oszillators, einem dissipativen System (siehe Kap 4.2.2), ist es am einfachsten das Phasenraumportrait direkt anhand der L¨ osungen der Differentialgleichung q˙ =

m¨ q + bq˙ + kq = 0 zu konstruieren. F¨ ur eine schwache D¨ ampfung ist die Phasenbahn eine Spirale (Abb. 5.29a), die sich asymptotisch dem stabilen Gleichgewichtspunkt (q, p) = (0, 0) n¨ ahert. Man bezeichnet in diesem Fall das Phasenraumportrait aus sich nicht kreuzenden Spiralen6 als einen Fokus, den Gleichgewichtspunkt als einen Punktattraktor. Ein Punktattraktor zieht alle Trajektorien des umgebenden Phasenraums (des sogenannten Attraktorbeckens) an. 6

Kreuzung von Phasenbahnen w¨ urde bedeuten, dass keine eindeutige L¨ osung der Bewegungsgleichung m¨ oglich ist.

5.4 Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik (a)

267

(b) 1 1

ω

0

dq/dt

–1

0

–1

0

θ

1

2

schwache D¨ ampfung

–1

0

q

1

starke D¨ ampfung

Abb. 5.29. Phasenraumportrait des ged¨ ampften Oszillators

F¨ ur st¨ arkere D¨ ampfung n¨ ahern sich die Phasenbahnen ohne Oszillationen dem Gleichgewichtspunkt (Abb. 5.29b). Das entsprechende Phasenraumportrait wird als Knoten bezeichnet. 5.4.3.2 Nichtlineare Systeme und Chaos. Die Situation ist grundverschieden, wenn man nichtlineare Systeme betrachtet, denen noch eine äußere Kraft aufgepr¨ agt wird. Ein Beispiel ist das getriebene, mathematische Pendel mit D¨ ampfung. Die Bewegungsgleichung q¨ + bq˙ + ω 2 sin q = d sin Ωt

(5.133)

enth¨ alt neben den Termen des mathematischen Pendels einen Stokeschen Reibungsterm und einen Term, der den periodischen Antrieb darstellt. Diese Differentialgleichung kann nicht analytisch gel¨ ost werden, doch sind umfangreiche numerische Untersuchungen m¨ oglich. Zwei Beispiele f¨ ur die numerische Integration der Differentialgleichung sind in Abb. 5.30 zu sehen. Das Beispiel in Abb. 5.30a, das mit den Parametern b = 0.5, ω = 1, Ω = 2/3, d = 0.5, erhalten wurde, kann, nach einer Einschwingphase, durch einen periodischen Bewegungsablauf charakterisiert werden. In dem zweiten Beispiel (mit den gleichen Parametern außer dem Wert d = 1.2, Abb. 5.30b) ist der Bewegungsablauf offensichtlich nicht periodisch. Man kann also f¨ ur bestimmte Wertebereiche des Parameters d durchaus unterschiedliche Lösungstypen haben. Falls man die Integration der Differentialgleichung mit identischen Anfangsbedingungen (und dem gleichen numerischen Verfahren) wiederholt, erh¨ alt man aufgrund des deterministischen Charakters des Problems das gleiche Ergebnis. Im Fall des zweiten L¨ osungstyps ergeben benachbarte Anfangswerte jedoch L¨ osungen die exponentiell auseinanderlaufen. Eine Andeutung dieses Ph¨ anomens zeigen die Phasenbahnen in Abb. 5.31. Die Phasenbahnen, die hier verglichen werden, benutzen den gleichen Satz von Parametern (des zweiten Beispiels mit d = 1.2), unterscheiden sich jedoch in dem Anfangswinkel um einen Faktor von 1.00001. In Abb. 5.32 ist die Differenz der beiden L¨ osungen in einem halblogarithmischen Maßstab aufgetragen. Man erkennt, dass die beiden L¨ osungen im Mittel nach einem Exponentialgesetz auseinanderlaufen. Ein solches Verhalten bezeichnet man

268


(a)

q

(b) 4

4

2

2

q

0

–2

0

–2

–4

20

40

–4

60

20

t d = 0.5

40

60

t d = 1.2

Abb. 5.30. Bewegungsablauf (q(t)) f¨ ur das ged¨ ampfte, getriebene Pendel bei verschiedenen Parametern (d)

als chaotisch. Da eine gewisse Unbestimmtheit der Anfangswerte bei der Betrachtung von realen physikalischen Systemen unvermeidbar ist, bedingt dieses chaotische Verhalten die Unm¨ oglichkeit einer genauen Vorhersage der Zeitentwicklung. (a)

(b) 2

dq/dt

2

dq/dt

0

–2

0

–2

0

20

q(0) = π/2

q

40

60

0

20

q q(0) = 1.00001(π/2)

40

60

Abb. 5.31. Phasenraumbahnen des ged¨ ampften, getriebenen Pendels (d = 1.2) f¨ ur zwei infinitesimal verschiedene Anfangsbedingungen

Eine Darstellung des Bewegungsablaufs in einem Phasenraumbild, wie in Abb. 5.31a,b, vermittelt kaum einen Einblick in die Struktur des Problems. Eine u ¨bersichtlichere Darstellung gewinnt man durch die Betrachtung von Poincar´ eschnitten, in denen (in Bezug auf die Anfangszeit t = 0) nur die Phasenbahnpunkte mit tk = 2πk/ω eingetragen werden. In einer derartigen, stroboskopischen Darstellung w¨ urde bei einer periodischen Bewegung mit der Frequenz der anregenden Kraft der Poincaréschnitt einer Phasenbahn nur einen Punkt enthalten (das Pendel befindet sich nach Δt = 2πk/ω stets am gleichen Punkt und hat die gleiche Geschwindigkeit). In Abb. 5.33a ist


269

2

0

–2

delta q –4

–6

–8

20

40

60

80

100

t

Abb. 5.32. Abweichung der L¨ osungen von Abb. 5.31 bei infinitesimal verschiedenen Anfangsbedingungen

das Phasenraumportrait einer weiteren, oszillatorischen Lösung der Differentialgleichung (5.133) (f¨ ur die Parameter b = 0.5, ω = 1, Ω = 2/3, d = 1.1) dargestellt. Der Poincaréschnitt mit Δt = 2π/3ω enthält f¨ ur dieses Beispiel 6 Punkte, die bei dem Zeitablauf der Bewegung in der gleichen Reihenfolge wiederholt ‘beleuchtet‘ werden (Abb. 5.33b). (a)

(b) 1

2

0

dq/dt

dq/dt

0

–1 –2

0

q

–2

10

5

Phasenraumbild

–2

0

q

2

Poincaréschnitt

Abb. 5.33. Phasenraumbild und Poincaréschnitt einer speziellen L¨ osung des getriebenen Oszillatorproblems (5.133)

1

0

dq/dt –1

–2

–2

0

q

2

Abb. 5.34. Poincaréschnitt f¨ ur eine chaotische L¨ osung

270


Bei einer chaotischen Bewegung gibt es keine derartige Wiederholung, doch zeigen die Poincaréschnitte erstaunlich regelmäßige Strukturen (Abb. 5.34), deren Analyse eine Aufgabe der Dynamik nichtlinearer Systeme ist.

6 Praktische Anwendungen der Lagrangegleichungen

Von den vielf¨ altigen Anwendungsm¨ oglichkeiten der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art k¨ onnen nur einige ausgew¨ ahlte Beispiele aufgef¨ uhrt werden. Neben Systemen von gekoppelten harmonischen Oszillatoren werden zwei Themen ausf¨ uhrlicher dargestellt. Diese sind die Behandlung rotierender Bezugssysteme und die Beschreibung der Bewegung starrer Körper, auch bekannt unter der Bezeichnung Kreiseltheorie.

6.1 Gekoppelte harmonische Oszillatoren Die einfachste Anordnung f¨ ur einen linearen gekoppelten Oszillator besteht aus zwei Massen, die durch eine Feder verbunden sind und durch zwei weitere Federn an einer geeigneten Vorrichtung befestigt werden (Abb. 6.1). F¨ ugt man weitere Masse-Feder Einheiten hinzu, so entsteht eine lineare Oszillatorkette. Ein solches System ist f¨ ahig, sowohl in der Longitudinal- (in Richtung der Kette) als auch in der Transversalrichtung (senkrecht zu der Kette) Schwingungen auszuf¨ uhren. Im Folgenden werden, beginnend mit dem einfachsten System aus zwei Massen, die Longitudinalschwingungen einer solchen linearen Anordnung n¨ aher untersucht. F¨ ur nicht zu große Auslenkungen aus der jeweiligen Ruhelage sind die zugehörigen Bewegungsgleichungen (entsprechend dem Hookeschen Gesetz) linear in den Auslenkungen. Diese Eigenschaft erlaubt es, durch eine lineare Koordinatentransformation zu geeigneten generalisierten Koordinaten, den Normalkoordinaten u ¨berzugehen. Auf diese Weise ist es m¨ oglich, auch komplizierte schwingungsfähige Systeme, die als Grundmodelle der Festk¨ orperphysik dienen können, zu analysieren. Anschließend werden Transversalschwingungen betrachtet. Man stellt fest, dass die Struktur der Lagrangefunktion die gleiche ist, so dass Methoden und Erkenntnisse aus der Diskussion der Longitudinalschwingungen u ¨ bertragen werden k¨ onnen. Mittels einer geeigneten Grenzbetrachtung kann man von der Diskussion eines Systems aus N transversal schwingenden Massenpunkten zu der Diskussion der Bewegungsgleichung einer uniformen Saite u ¨bergehen. Die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Saite beschreibt, bezeichnet man als Wellengleichung.

272


6.1.1 Das einfachste gekoppelte Schwingungssystem Das einfachste gekoppelte Schwingungssystem besteht aus zwei gleichen Massen und drei gleichen Federn. In der Ruhelage sind alle drei Federn entspannt. Es interessieren die Schwingungen dieses Systems in Richtung der Kette, der

x 10

x 20

x1

x2

Abb. 6.1. Gekoppelte Oszillatoren: Ruhelage und Auslenkung

x -Richtung (Abb. 6.1). Die Auslenkungen aus den Ruhelagen x10 , x20 werden mit den kartesischen Koordinaten x1 und x2 bezeichnet. Als formale Zwangsbedingung k¨ onnte man yi = zi = 0 mit i = 1, 2 angeben. F¨ ur die Aufstellung der Lagrangefunktion ben¨ otigt man (1) Die kinetische Energie m m T = x˙ 21 + x˙ 22 . 2 2 (2) Die potentielle Energie: Die beiden Endfedern wirken wie aüßere Kräfte. Die a üßere potentielle Energie ist also k U = (x21 + x22 ) . 2 Die innere Feder bewirkt eine Kopplung der beiden Massen. Sie wirkt wie eine innere Kraft. Verschiebt man die Masse m1 um x1 (positiv oder negativ) und die Masse m2 um x2 (positiv oder negativ), so wird diese Feder um den Betrag |x1 − x2 | gestaucht oder gestreckt. Man kann somit dieser Feder die innere potentielle Energie k V = (x1 − x2 )2 2 zuordnen. Aus der Lagrangefunktion des Federn-Massen Systems m L = T − U − V = (x˙ 21 + x˙ 22 ) − k(x21 − x1 x2 + x22 ) 2 gewinnt man die entsprechenden Bewegungsgleichungen

d ∂L ∂L = m¨ x1 + 2kx1 − kx2 = 0 − dt ∂ x˙ 1 ∂x1 d dt

∂L ∂ x˙ 2

−

∂L = m¨ x2 − kx1 + 2kx2 = 0 . ∂x2

(6.1)

6.1 Gekoppelte harmonische Oszillatoren

273

Man stellt fest: Die beiden Differentialgleichungen sind gekoppelt. Die direkte L¨ osung ist nicht so einfach. Als Alternative bietet sich die Möglichkeit an, nach geschickteren Koordinaten q1 und q2 zu suchen, f¨ ur die die Bewegungsgleichungen entkoppelt sind. 6.1.1.1 Eigenmoden. Eine M¨ oglichkeit f¨ ur die Wahl dieser generalisierten Koordinaten, die sich durch Betrachtung der potentiellen Energie anbietet, ist die Differenz der kartesischen Koordinaten. Es liegt deswegen nahe, als generalisierte Koordinaten die Summe und die Differenz der kartesischen Koordinaten anzusetzen q1 = x1 + x2

q2 = x1 − x2 .

Die Umkehrung dieser linearen Transformation ist 1 1 x2 = (q1 − q2 ) . (6.2) x1 = (q1 + q2 ) 2 2 Damit ergibt sich die Umschreibung der Terme der Lagrangefunktion in generalisierte Koordinaten zu m m T = (x˙ 21 + x˙ 22 ) = (q˙12 + 2q˙1 q˙2 + q˙22 + q˙12 − 2q˙1 q˙2 + q˙22 ) 2 8 m 2 2 = (q˙1 + q˙2 ) 4 ) k( 2 q + 2q1 q2 + q22 + 4q22 + q12 − 2q1 q2 + q22 8 1 ) k( 2 q1 + 3q22 . = 4 Aus der Lagrangefunktion ) m k( 2 L = (q˙12 + q˙22 ) − q1 + 3q22 4 4 folgen dann die Bewegungsgleichungen m k k 2 q¨1 + q1 = 0 −→ q¨1 + ω1 q1 = 0 mit ω1 = 2 2 m U +V =

(6.3)

(6.4)

3k 3k m q¨2 + q2 = 0 −→ q¨2 + ω22 q2 = 0 . mit ω2 = 2 2 m Die Differentialgleichungen in den generalisierten Koordinaten sind entkoppelt. Sie beschreiben zwei harmonische Oszillatoren mit verschiedenen Frequenzen. Die allgemeine L¨ osung l¨ asst sich sofort angeben q1 (t) = A1 cos(ω1 t + δ1 )

q2 (t) = A2 cos(ω2 t + δ2 ) .

(6.5)

Die Koordinaten q1 und q2 bezeichnet man als die Normalkoordinaten oder Eigenmoden des Schwingungssystems. Die entsprechenden Frequenzen ω1 und ω2 heißen Normalfrequenzen oder Eigenfrequenzen.

274


Eine anschauliche Vorstellung von den Normalkoordinaten gewinnt man durch die Betrachtung spezieller Anfangsbedingungen. Die symmetrische Normalschwingung entspricht den Anfangsbedingungen x1 (0) = x2 (0) = A

x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = 0 .

Die beiden Massen sind anf¨ anglich um den gleichen Betrag nach rechts ausgelenkt (Abb. 6.2). Die linke Feder ist gedehnt, die rechte gestaucht. Die mittlere Feder ist entspannt. F¨ ur die Normalkoordinaten ergeben sich die k

m

A

k

m

k

Abb. 6.2. Symmetrische Normalschwingung: Anfangsbedingungen

A

Anfangsbedingungen q1 (0) = 2A q2 (0) = 0

q˙1 (0) = q˙2 (0) = 0 ,

so dass die spezielle L¨ osung q1 (t) = 2A cos ω1 t

q2 (t) = 0

lautet. Die Bewegung der einzelnen Massen wird durch die kartesischen Koordinaten 1 1 x2 (t) = q1 (t) = A cos ω1 t x1 (t) = q1 (t) = A cos ω1 t 2 2 beschrieben. Die beiden Massen schwingen synchron mit der Frequenz ω1 in der gleichen Richtung. Die antisymmetrische Normalschwingung wird durch die Anfangsbedingungen x1 (0) = −x2 (0) = A

x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = 0

bestimmt. In diesem Fall sind die beiden Endfedern zunächst gestreckt, die mittlere Feder ist gestaucht (Abb. 6.3). Die entsprechenden Aussagen f¨ ur den Bewegungsablauf sind q1 (0) = 0

q2 (0) = 2A

q1 (t) = 0

q2 (t) = 2A cos ω2 t ,

x1 (t) = A cos ω2 t

q˙1 (0) = q˙2 (0) = 0 ,

x2 (t) = −A cos ω2 t .

Die beiden Massen schwingen mit der Frequenz ω2 gegeneinander.


k

m

k

A

m

275

k

Abb. 6.3. Antisymmetrische Normalschwingung: Anfangsbedingungen

A

Die antisymmetrische Normalschwingung hat eine größere Frequenz k 3k < ω2 = . ω1 = m m Man kann den Frequenzunterschied direkt mit der anfänglich in dem System gespeicherten Energie in Verbindung bringen. Es gilt f¨ ur die symmetrische (s) und f¨ ur die antisymmetrische (a) Normalschwingung Es (0) = Ts (0) + Us (0) + Vs (0) k k = 0 + A2 + A2 + 0 = kA2 = ω12 (mA2 ) 2 2 Ea (0) = Ta (0) + Ua (0) + Va (0) k k k = 0 + A2 + A2 + (2A)2 = 3kA2 = ω22 (mA2 ) . 2 2 2 In dem zweiten Fall ist anf¨ anglich eine gr¨ oßere potentielle Energie in den drei Federn gespeichert. Dies ¨ außert sich in der h¨ oheren Frequenz. 6.1.1.2 Allgemeine Schwingungsformen. Jede andere Schwingungsform ¨ dieses Federn-Massen Systems ist eine Uberlagerung dieser beiden Grundschwingungen, zum Beispiel f¨ ur den Satz von Anfangsbedingungen x1 (0) = A x2 (0) = 0

x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = 0 .

(6.6)

Die Masse m1 ist anf¨ anglich um den Betrag A nach rechts ausgelenkt. Die zweite Masse befindet sich in der Ruhelage. Eine der äußeren Federn ist gespannt, die innere Feder ist gestaucht. In Normalkoordinaten lauten die Anfangsbedingungen q1 (0) = q2 (0) = A

q˙1 (0) = q˙2 (0) = 0 .

Daraus ergibt sich q1 (t) = A cos ω1 t

q2 (t) = A cos ω2 t

und somit A A (cos ω1 t + cos ω2 t) x2 (t) = (cos ω1 t − cos ω2 t) . 2 2 Das Resultat ist in Abb. 6.4 skizziert. In Abb. 6.4a sieht man die beiden Normalschwingungen: Die langsamere symmetrische Normalschwingung q1 (t) x1 (t) =

276


(a) q(t) A

(b) q2 (t)

x(t) A

x2 (t) x1 (t)

ω1 t

q1 (t)

-A Normalschwingungen

ω1 t

-A Wirklicher Bewegungsabauf

Abb. 6.4. Gekoppelter Oszillator (zwei gleiche Massen, drei gleiche Federn) mit den Anfangsbedingungen (6.6)

√ und die schnellere (mit dem Faktor 3 ≈ 1.7) antisymmetrische q2 (t). Die Superposition dieser beiden Grundschwingungen zu x1 oder x2 ergibt keine harmonische Bewegung, sondern einen recht komplexen Schwingungsvorgang (Abb. 6.4b). Man erkennt einen periodischen Wechsel in der Stärke der Schwingungen der beiden Massen. Bei kleinen Auslenkungen von m1 ist (infolge von Energieerhaltung) die Auslenkung von m2 groß oder umgekehrt. Die Schwingungsform, die dieses Beispiel aufzeigt, ist von gewissem technischen Interesse. Man bezeichnet den Wechsel in den Schwingungsstärken als Schwebung. 6.1.2 Schwebungen Schwebungen werden besonders deutlich, wenn die Federn des zwei Massendrei Federn Systems verschieden sind, zum Beispiel wenn die innere Feder eine andere Federkonstante (k2 ) hat als die beiden äußeren (k1 ). Die Massen m k1

m k2

k1

Abb. 6.5. Gekoppelter Oszillator (zwei gleiche Massen, verschiedene Federn)

sollen auch in diesem Beispiel gleich sein. Die Lagrangefunktion f¨ ur dieses System (Abb. 6.5) lautet ) k1 ( 2 ) k2 m( 2 2 x˙ 1 + x˙ 22 − x1 + x22 − (x1 − x2 ) . L= (6.7) 2 2 2 Mit den generalisierten Koordinaten q1 = x1 + x2

q2 = x1 − x2

erh¨ alt man auch f¨ ur dieses Beispiel ein ungekoppeltes System von Bewegungsgleichungen. Die Umschreibung der Lagrangefunktion ergibt


277

) k1 ( 2 ) k2 m( 2 q˙1 + q˙22 − q1 + q22 − q22 . (6.8) 4 4 2 Dies f¨ uhrt auf die Bewegungsgleichungen k1 2 q¨1 + ω1 q1 = 0 (6.9) mit ω1 = m k1 + 2k2 q¨2 + ω22 q2 = 0 . mit ω2 = m Die Normalschwingungen sind wieder harmonische Oszillationen. Die Frequenz der antisymmetrischen Normalschwingung geht f¨ ur k1 = k2 in das Resultat f¨ ur das einfachste, in Kap. 6.1.1 diskutierte, System u ¨ber. Auch f¨ ur dieses Beispiel soll der Satz von Anfangsbedingungen (6.6) betrachtet werden. Die Bewegung der einzelnen Massen wird dann wie zuvor durch die Gleichungen L=

A A (cos ω1 t + cos ω2 t) x2 (t) = (cos ω1 t − cos ω2 t) (6.10) 2 2 beschrieben. Falls die innere Feder sehr weich ist (k2 k1 ), liegt eine schwache Kopplung der beiden Massen vor (eine kleine Federkonstante entspricht bei einer vorgegebenen Kraft einer gr¨ oßeren Auslenkung). In diesem Fall kann man mit Hilfe der binomischen Reihe die N¨ aherung 2k2 k1 k1 2k2 1 k2 + = ω2 = 1+ ≈ ω1 + 2Δ , Δ = ω1 (6.11) m m m k1 2 k1 x1 (t) =

ansetzen. F¨ ur die Summe und Differenz der Kosinusfunktionen benutzt man

α+β α−β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2

α+β α−β cos α − cos β = −2 sin sin , 2 2 Relationen, die man direkt aus den Additionstheoremen der trigonometrischen Funktionen gewinnen kann. Mit α = ω1 t und β = ω2 t erhält man 1 1 (ω1 − ω2 ) t ≈ −Δ t (ω1 + ω2 ) t ≈ ω1 t . 2 2 Der Term in Δ ist klein und kann deswegen in der zweiten Gleichung gegen¨ uber ω1 vernachl¨ assigt werden. Die zeitliche Veränderung der kartesischen Koordinaten ist somit durch x1 (t) ≈ [A cos Δ t] cos ω1 t

x2 (t) ≈ − [A sin Δ t] sin ω1 t

(6.12)

gegeben. Die entsprechenden Bewegungsabl¨ aufe kann man folgendermaßen diskutieren. Der Term cos Δt beschreibt eine langsame Kosinusschwingung, der Term cos ω1 t eine schnelle. Wenn der Frequenzunterschied Δ (wie angenommen) klein genug ist, kann man das Produkt von Amplitude A und der langsamen Komponente als eine zeitlich variable Amplitude auffassen. Diese

278


(a) x1

(b) x2

t

Realschwingung, Koordinate x1

t

Realschwingung, Koordinate x2

Abb. 6.6. Schwebung (k2 < k1 )

ist dann die Enveloppe der schnelleren Kosinusschwingung (Abb. 6.6a). F¨ ur die Masse m2 ergibt sich eine entsprechende Situation mit einer Sinusschwingung und einer sinusf¨ ormigen Enveloppe (Abb. 6.6b). Vergleich der beiden L¨ osungen ergibt die folgenden Aussagen. Gemäß den Anfangsbedingungen ist zun¨ achst die Masse m1 ausgelenkt und die Masse m2 in der Ruhelage. Durch die schwache Kopplung wird die Amplitude der zweiten Masse langsam aufgeschaukelt, die Amplitude der ersten Masse klingt ab. Die Masse m1 ist zu dem Zeitpunkt beinahe in Ruhe, zu dem die zweite Masse voll ausschwingt. Danach kehrt sich der Energieaustausch zwischen den beiden Massen um und wiederholt sich periodisch. Es findet ein periodischer Energieaustausch (mit der Frequenz Δ) zwischen den beiden Massen statt. Das Ph¨ anomen der Schwebung tritt auch auf, wenn die beiden Außenfedern und Massen verschieden sind, nur ist der Energieaustausch dann nicht vollst¨ andig. Beobachtet wurde das Ph¨ anomen zuerst (um 1900) in der Elektrotechnik. Man hatte versucht, zwei Wechselstromgeneratoren (elektrische Oszillatoren) parallel zu schalten. Die entsprechend der obigen Betrachtung auftretenden Strom- und Spannungsschwankungen waren in diesem Fall nat¨ urlich unerw¨ unscht. 6.1.3 Die lineare Oszillatorkette Nach diesen speziellen Beispielen soll ein allgemeineres Schwingungsproblem diskutiert werden: die lineare Oszillatorkette aus N Massen. Die lineare Oszillatorkette ist ein klassisches Beispiel f¨ ur die Anwendung der Lagrangetheorie auf kompliziertere Bewegungsprobleme. Sie hat bei der Fundierung der (klassischen) Festk¨ orpertheorie eine Rolle gespielt. Aus rechentechnischer Sicht handelt es sich um die Diskussion eines (algebraischen) Eigenwertproblems. Eigenwertprobleme treten in der Physik in verschiedenen Formen auf, sowohl bei der Diskussion der L¨ osung von Differentialgleichungen mit entsprechenden


279

Randbedingungen als auch bei der Betrachtung von linearen Abbildungen, die durch homogene, lineare Gleichungssysteme beschrieben werden. Algebraische Eigenwertprobleme werden in Math.Kap. 3.2.4 besprochen. Bei der einfachsten Variante der Kette sind nur die nächsten Nachbarn durch Federn verbunden, wobei eine Kette aus N verschiedenen Massen und (N +1) verschiedenen Federn betrachtet werden soll (Abb. 6.7). Zu berechnen sind die longitudinalen Schwingungsmoden dieser Anordnung. Benutzt man k1

k2

kN

m1

m2

k N+1

Abb. 6.7. Die Oszillatorkette mit N Massen und verschiedenen Federn: Kopplung n¨ achster Nachbarn

mN

zun¨ achst kartesische Koordinaten (zur Beschreibung der Auslenkung aus der Gleichgewichtslage), so lautet die Lagrangefunktion f¨ ur dieses System mN 2 m1 2 x˙ + . . . + x˙ (6.13) L= 2 1 2 N 1 1 1 k1 x21 + k2 (x2 − x1 )2 + k3 (x3 − x2 )2 − 2 2 2 1 1 2 2 + . . . + kN (xN − xN −1 ) + kN +1 xN . 2 2 ¨ Der besseren Ubersicht wegen stellt man sich vor, dass die Terme f¨ ur die potentielle Energie ausmultipliziert und sortiert werden. Die Lagrangefunktion hat dann die Form L=

N mi i=1

2

1 Bil xi xl . 2 i=1 N

x˙ 2i −

N

(6.14)

l=1

Diese Form ist auch f¨ ur die Beschreibung von komplizierteren Kopplungen zwischen den Massen (nicht nur f¨ ur Kopplungen zwischen nächsten Nachbarn) zust¨ andig. F¨ ur die lineare Kette mit Kopplung zwischen nächsten Nachaß (6.13), den folgenden Kombibarn entsprechen die Koeffizienten Bil , gem¨ nationen der Federkonstanten Bii = ki+1 + ki Bi+1,i = Bi,i+1 = −ki+1 Bil

=0

(6.15)

falls l = i oder

l = i ± 1 .

Aus der Lagrangefunktion (6.14) gewinnt man in dem allgemeinen Fall die Bewegungsgleichungen mi x ï +

N l=1

Bil xl = 0

(i = 1, 2, . . . N ) .

(6.16)

280


6.1.3.1 Bestimmung der Eigenmoden. Diesen Satz von gekoppelten homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) gilt es zu l¨ osen, bzw. zu diskutieren. Die Diskussion der einfacheren Beispiele legt die Hoffnung nahe, dass man die Angelegenheit durch Einf¨ uhrung von Normalkoordinaten entkoppeln kann. Man macht deswegen den Ansatz xi (t) =

N

aiμ qμ (t) .

(6.17)

μ=1

F¨ ur die Normalkoordinaten erwartet man die Form qμ (t) = Aμ cos(ωμ t + δμ ) .

(6.18)

Die Amplituden Aμ und die Phasen δμ werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Es gilt die folgenden Gr¨ oßen zu berechnen (1) Die Eigenfrequenzen ωμ . (2) Die Entwicklungskoeffizienten aiμ . Dass eine lineare Transformation zwischen den qμ und den xi angemessen ist, ergibt sich aus der Linearität des Differentialgleichungssystems (6.16) f¨ ur die Koordinaten xi . (3) Außerdem ist die Konsistenz des Ansatzes (6.18) zu u ufen. ¨ berpr¨ Geht man mit dem Ansatz (6.17) in das Differentialgleichungssystem (6.16) ein und benutzt, entsprechend (6.18) q¨μ (t) = −ωμ2 qμ , so erh¨ alt man zun¨ achst die Aussagen ! N N 2 Bil alμ − ωμ mi aiμ qμ (t) = 0 μ=1

(i = 1, 2, . . . N ) .

l=1

Unter der Voraussetzung, dass die Frequenzen verschieden sind1 ω 1 < ω2 < . . . < ωμ , kann man wie folgt argumentieren: Da die Größen qμ (t) linear unabhängige Funktionen sind, kann jede der obigen Gleichungen nur erf¨ ullt sein, wenn die Koeffizienten von qμ (t) in jeder der Gleichungen verschwinden2 . Man findet dann f¨ ur jedes μ ein Gleichungssystem der Form N

Bil alμ − ωμ2 mi aiμ = 0

(i = 1, 2, . . . N ) ,

(6.19)

l=1

oder ausgeschrieben 1 2

Der Fall, dass einige der Frequenzen gleich sind, l¨ asst sich auch diskutieren. Die Diskussion ist jedoch etwas aufwendiger. Die Frage der linearen Unabh¨ angigkeit wird in Math.Kap. 3.2.4 diskutiert.


(B11 − m1 ωμ2 )a1μ + B12 a2μ +. . . B21 a1μ + (B22 − m2 ωμ2 )a2μ +. . . .. . ... BN 1 a1μ +

281

B1N aN μ = 0 B2N aN μ = 0

BN 2 a2μ +. . .(BN N − mN ωμ2 )aN μ = 0 .

Dieses homogene lineare Gleichungssystem f¨ ur die Koeffizienten a1μ . . . aN μ hat, nach einem Satz der linearen Algebra (siehe Math.Kap. 3.2.4), dann und nur dann eine nichttriviale L¨ osung, wenn die Determinante der Koeffizienten des Systems verschwindet. Diese Forderung bietet die Möglichkeit zur Bestimmung aller Frequenzen (der Eigenfrequenzen des Systems). Zur Diskussion des Punktes 1 setzt man die Determinante der Koeffizientenmatrix mit nichtindiziertem ω an (6.20) det Bil − ω 2 mi δil = 0 , bzw. im Detail (B11 − m1 ω 2 ) B12 B13 B21 (B22 − m2 ω 2 ) B23 .. . BN 2 BN 3 BN 1

... ... ... . . . (BN N

=0. 2 − mN ω )

B1N B2N

Wertet man diese Determinante aus, so erh¨ alt man eine Gleichung N -ten Grades in ω 2 α1 (ω 2 )N + α2 (ω 2 )N −1 + . . . αN (ω 2 ) + αN +1 = 0 .

(6.21)

Diese Gleichung (sie wird charakteristische Gleichung oder S¨ akulargleichung genannt) hat im Allgemeinen N Wurzeln: die Quadrate der Eigenfrequenzen (oder charakteristischen Frequenzen) ωμ2 . Durch Lösung der Gleichung N -ten Grades werden also N Gr¨ oßen ωμ2 bestimmt, f¨ ur die die Transformation zwischen den qμ und den xi nichttrivial ist. Damit die Lösungen der S¨ akulargleichung physikalisch interpretierbar sind, muss f¨ ur alle μ ωμ2 ≥ 0 gelten. Nur dann ist ωμ reell (und positiv), wie man es von einer anständigen Frequenz erwartet. Die Erf¨ ullung dieser Erwartung folgt aus einem zweiten Satz der linearen Algebra: Die Wurzeln der Säkulargleichung sind positiv ¨ und reell, falls die Koeffizientenmatrix (in Ubereinstimmung mit dem dritten Axiom) reell und symmetrisch ist. Hat man auf diese Weise die Eigenfrequenzen (bzw. deren Quadrate) bestimmt, so kann man den Punkt 2, die Berechnung der Entwicklungskoeffizienten, in Angriff nehmen. Da das Gleichungssystem homogen ist, sind nur Koeffizientenverh¨ altnisse bestimmt, so z.B. aN −1μ a1μ a2μ , , ..., fu ¨r aN μ = 0 . aN μ aN μ aN μ

282


Diese Unbestimmtheit hat keine physikalischen Konsequenzen. Man umgeht sie durch eine zus¨ atzliche Forderung. Es gilt zunächst mi a2iμ > 0 . i

Man kann diese Summe von positiven Gr¨ oßen skalieren, indem man fordert mi a2iμ = 1 (μ = 1, 2, . . . N ) . (6.22) i

Damit sind die aiμ eindeutig festgelegt. Man kann eine weitere Eigenschaft der Koeffizienten beweisen, die zu einer direkten geometrischen Interpretation der L¨ osung f¨ uhrt. Dazu betrachtet man die Gleichungen (6.19) f¨ ur eine Frequenz ωμ ωμ2 mi aiμ = Bil alμ (i, μ = 1, 2, . . . N ) , (6.23) l

sowie die Gleichungen f¨ ur eine andere Frequenz ων 2 Bil alν (i, ν = 1, 2, . . . N ) . ων mi aiν =

(ν = μ) (6.24)

l

Die i-te Gleichung aus dem Satz von Gleichungen (6.23) wird mit aiν multipliziert und es wird u ¨ ber i summiert. ωμ2 mi aiμ aiν = Bil alμ aiν . i

il

Desgleichen wird die i-te Gleichung des zweiten Satzes (6.24) mit aiμ multipliziert und die Summe u ¨ ber i gebildet. Subtrahiert man die beiden Ausdr¨ ucke voneinander, so erh¨ alt man mi aiμ aiν = (Bil aiν alμ − Bil aiμ alν ) . (ωμ2 − ων2 ) i

il

Die rechte Seite verschwindet infolge der Symmetrie der Koeffizienten Bil (Bil aiν alμ − Bil aiμ alν ) = aiν alμ (Bil − Bli ) = 0 . il

il

Da vorausgesetzt wurde, dass ωμ = ων ist, folgt mi aiμ aiν = 0 f¨ ur (μ = ν, μ, ν = 1, 2, . . . N ) .

(6.25)

i

Die Festlegung der Skalierung (6.22) und diese Eigenschaft der Lösungen erlauben dann die folgende Interpretation. Man kann die Koeffizienten √ √ √ ( m1 a1μ , m2 a2μ , . . . , mN aN μ ) = aμ als die Komponenten eines Vektors in einem N -dimensionalen Vektorraum (siehe Math.Kap. 3.1.3) auffassen. Man bezeichnet den Vektor aμ als den Eigenvektor zu dem Eigenwert (Eigenfrequenz) ωμ . Die obigen Aussagen lassen sich dann in der Form zusammenfassen


aμ · aν = δμν .

283

(6.26)

Ein derartiges Skalarprodukt von Eigenvektoren stellt eine Orthonormalit¨ atsrelation dar. Die geometrische Interpretation ist: Die N Eigenvektoren haben die L¨ ange 1 und stehen senkrecht aufeinander. ¨ Es bleibt die Uberpr¨ ufung der Konsistenz des Ansatzes. Dazu betrachtet man die Umschreibung der Lagrangefunktion in die Normalkoordinaten. Aus den Transformationsgleichungen (6.17) folgt aiμ q˙μ (t) , x˙ i (t) = n

da die Entwicklungskoeffizienten aiμ zeitunabhängig sind. Man erhält somit f¨ ur die kinetische Energie mi 1 x˙ 2i = (mi aiμ aiν ) q˙μ q˙ν , T = 2 2 i,μ,ν i bzw. bei Benutzung der Orthogonalit¨ atsrelation ( i ) 1 2 1 δμ,ν q˙μ q˙ν = q˙ . T = 2 μ,ν 2 μ μ Entsprechend findet man f¨ ur die potentielle Energie in (6.14) 1 1 U +V = Bil xi xl = (Bil aiμ alν ) qμ qν . 2 2 il

ilμν

Benutzt man hier die Bewegungsgleichungen (6.19) (Bil alν ) aiμ = ων2 mi aiν aiμ = ων2 δμν , i

il

so erh¨ alt man 1 2 2 ω q . U +V = 2 μ μ μ Die Lagrangefunktion in den Normalkoordinaten lautet also ) 1 ( 2 q˙μ − ωμ2 qμ2 . L= 2 μ

(6.27)

Es ist offensichtlich, dass daraus die Bewegungsgleichungen q¨μ + ωμ2 qμ = 0

(μ = 1, 2, . . . N )

folgen, der angegebene Ansatz also konsistent ist.

(6.28)

284


6.1.3.2 Zusammenfassung des L¨ osungsprozesses. Der Lösungsprozess des Problems der linearen Oszillatorkette l¨ asst sich folgendermaßen zusammenfassen: Ausgangspunkt ist die Lagrangefunktion (6.14) L=

N mi i=1

2

x˙ 2i −

N 1 Bil xi xl . 2 il=1

Es sind dann die folgenden L¨ osungsschritte durchzuf¨ uhren: Schritt 1: Man stelle die charakteristische Gleichung (Säkulargleichung) (6.20), (6.21) auf det Bil − ω 2 mi δil = 0 und bestimme die Eigenfrequenzen ω1 . . . ωN . Damit kennt man die Normalschwingungen (6.18) des Systems qμ (t) = Aμ cos (ωμ t + δμ ) . Schritt 2: F¨ ur jede der Eigenfrequenzen l¨ ose man das lineare Gleichungssystem (6.19) N ( ) Bil − ωμ2 mi δil alμ = 0

(i = 1, 2, . . . N

f¨ ur jedes μ)

l=1

unter Einbeziehung der Normierungsbedingung (6.22) N

mi a2iμ = 1 .

i=1

Die eindeutige L¨ osung ergibt die Eigenvektoren und somit die Transformation (6.17) zwischen den kartesischen und den Normalkoordinaten xi (t) =

N

aiμ qμ (t) .

μ=1

Schritt 3: Aus der Vorgabe von Anfangsbedingungen {x1 (0), x˙ 1 (0), . . . xN (0), x˙ N (0)} bestimme man die Integrationskonstanten {A1 , δ1 , . . . AN , δN } . Diese Schritte sollen durch einige Beispiele erläutert werden. 6.1.3.3 Beispiele zur linearen Oszillatorkette. Das erste Beispiel (Beispiel 6.1) ist die kurze Kette, jedoch mit zwei verschiedenen Massen und drei verschiedenen Federn. Ausgehend von der Lagrangefunktion ) 1( ) 1( L= m1 x˙ 21 + m2 x˙ 22 − k1 x21 + k2 (x1 − x2 )2 + k3 x22 (6.29) 2 2 findet man f¨ ur die Quadrate der Eigenfrequenzen (siehe

Aufg. 6.1)


(ω 2 )1,2 =

k1 + k2 k2 + k3 + m1 m2

2 k1 + k2 1 k2 + k3 4k22 ± − + 2 m1 m2 m1 m2

1 2

285

(6.30) 1/2

>0.

Die Eigenfrequenzen selbst entsprechen den positiven Wurzeln aus diesen (positiven) Ausdr¨ ucken. Die Resultate der schon diskutierten, einfacheren F¨ alle sind in diesem Ergebnis enthalten. Die Bestimmung der Eigenvektoren ist mit einiger Schreibarbeit verbunden. F¨ ur den Spezialfall von gleichen Massen und Federn sind die Gleichungssysteme einfach +ka11 − ka21 = 0 k fu ¨ r ω1 = −ka11 + ka21 = 0 , m −ka12 − ka22 = 0 −ka12 − ka22 = 0

fu ¨ r ω2 =

3k . m

Diese L¨ osung entspricht (bis auf den durch die Normierung bedingten Vorfaktor) dem Ansatz (6.2) des einfachsten Falls 1 x1 = a11 q1 + a12 q2 = √ (q1 + q2 ) 2m 1 x2 = a21 q1 + a22 q2 = √ (q1 − q2 ) . 2m

(6.31)

Das Beispiel 6.2 ist eine Kette mit drei gleichen Massen und vier gleichen Federn. Die Lagrangefunktion ist ) m( 2 x˙ + x˙ 22 + x˙ 23 (6.32) L= 2 1 ) 1( − 2kx21 − kx1 x2 − kx2 x1 + 2kx22 − kx2 x3 − kx3 x2 + 2kx23 . 2 Damit gewinnt man die S¨ akulargleichung 2 2k − mω −k 0 2 −k −k 2k − mω =0. 2 0 −k 2k − mω Auswertung der Determinante f¨ uhrt auf 2 2 2 (2k − mω ) (2k − mω ) − 2k 2 = 0 . Die Wurzeln dieser kubischen Gleichung in ω 2 sind √ k √ k k ω2 = 2 ω3 = (2 + 2) . ω1 = (2 − 2) m m m

(6.33)

286


In den n¨ achsten Schritten sind die Eigenvektoren zu bestimmen und vorgegebene Anfangsbedingungen umzusetzen (siehe D.tail 6.1). Zur Bestimmung der Transformationskoeffizienten m¨ ussen drei lineare Gleichungssysteme gel¨ ost werden. Die Struktur ist in jedem Fall (2k − ωμ2 m)a1μ −

ka2μ

=0

−ka1μ + (2k − ωμ2 m)a2μ −

ka3μ = 0

−ka2μ + (2k − ωμ2 m)a3μ = 0 . Lösung dieser Gleichungssysteme f¨ ur die Eigenwerte (6.33) ergibt die normierten Eigenvektoren

1 1 1 1 √ , √ , a1 (t) = 2 2 m 2

1 1 1 √ 0 ,−√ a2 (t) = √ , 2 m

2 1 1 1 1 √ . a3 (t) = , −√ , 2 2 m 2 F¨ ur den speziellen Satz von Anfangsbedingungen x1 (0) = x0

x2 (0) = x3 (0) = 0

x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0) = x˙ 3 (0) = 0

(die erste Masse ist anf¨ anglich nach rechts aus der Ruhelage ausgelenkt, die anderen befinden sich in der Ruhelage) erh¨ alt man durch Lösung eines Systems von sechs Gleichungen f¨ ur die Amplituden der Normalschwingungen in (6.18) √ √ x0 m A2 = 2A1 A1 = A3 = A1 2 ur dieses Beispiel und f¨ ur die Phasen δ1 = δ2 = δ3 = 0. Die spezielle Lösung f¨ lautet also

x0 1 1 cos ω1 t + cos ω2 t + cos ω3 t x1 (t) = 2 2 2 x0 x2 (t) = √ (cos ω1 t − cos ω3 t) 2 2

x0 1 1 cos ω1 t − cos ω2 t + cos ω3 t . x3 (t) = 2 2 2

(6.34)

Die resultierenden, relativ komplexen Schwingungsformen sind in Abb. 6.8 dargestellt. Die lineare Oszillatorkette mit einer großen Anzahl von longitudinal schwingenden Massen (Beispiel 6.3) kann als ein Modell f¨ ur ein eindimensionales Kristallgitter dienen. Ausgangspunkt f¨ ur die Diskussion solcher Modelle ist eine Kette mit N gleichen Massen und (N + 1) gleichen Federn zwischen


287

x/x 0 1

x1 x2

x3

√ k/m

t

Abb. 6.8. Gekoppelter Oszillator (drei gleiche Massen, vier gleiche Federn)

–1

n¨ achsten Nachbarn. Infolge der einfachen Struktur der Matrix Bil (Diagonale und eine symmetrische Nebendiagonale) kann man die Eigenfrequenzen und die Transformation zwischen kartesischen und Normalkoordinaten f¨ ur diese Kette analytisch bestimmen. Zur Festlegung von Randbedingungen wird die Lagrangefunktion (6.13) mit mi = m und ki = k durch Hinzunahme der festen Endpunkte x0 (t) = 0

und xN +1 (t) = 0

(6.35)

erg¨ anzt. Die Bewegungsgleichungen, die man aus der Lagrangefunktion L=

N +1 1 {mx˙ i + k(xi − xi−1 )2 } 2 i=1

gewinnt, lauten m¨ xl − k(xl−1 − 2xl + xl+1 ) = 0

(l = 1, . . . , N ) .

(6.36)

Mit dem Ansatz (6.17) und einer Darstellung der Normalschwingungen (6.18) durch linear unabh¨ angige Sinus- und Kosinusfunktionen (anstelle von einer trigonometrischen Funktion mit Amplitude und Phase) xl (t) =

N

(alμ cos ωμ t + blμ sin ωμ t)

(6.37)

μ=1

erh¨ alt man nach Einsetzen in die Bewegungsgleichung f¨ ur jedes l = 1, . . . , N die Aussage N

{ (−kal−1,μ + (2k − mωμ2 )alμ − kal+1,μ ) cos ωμ t

μ=1

+ (−kbl−1,μ + (2k − mωμ2 )blμ − kbl+1,μ ) sin ωμ t} = 0 .

(6.38)

ur l = 0 und (N + 1), Die ‘Randbedingung‘ (6.35) erfordert alμ = blμ = 0 f¨ sowie alle μ = 1, . . . , N .

288


Die Gleichungen (6.38) k¨ onnen nur erf¨ ullt sein, falls die einzelnen Faktoren der Sinus- und der Kosinusfunktion verschwinden3. Die resultierenden linearen Gleichungssysteme f¨ ur die Koeffizienten alμ und blμ sind identisch. Es gen¨ ugt eines dieser Gleichungssysteme zu betrachten. Eine nichttriviale ucke den Index μ) Lösung des Systems f¨ ur die alμ (man unterdr¨ −kal−1 + (2k − mω 2 )al − kal+1 = 0

(6.39)

ist nur gegeben, wenn die N ×N Determinante der Koeffizienten verschwindet 2k − mω 2 −k 0 0 ··· ··· 0 2 −k 2k − mω −k 0 · · · · · · 0 .. .. .. .. .. .. .. =0. . . . . . . . . ... ... ... . . −k 0 ··· · · · · · · 0 −k 2k − mω 2 Die Auswertung der charakteristischen Gleichung N -ten Grades auf direktem Wege ist f¨ ur große Werte von N recht m¨ uhselig. Einen geschickteren Zugang zur L¨ osung des Gleichungssystems (6.39) bietet der Ansatz al = aei(lα−β) .

(6.40)

Die Benutzung der komplexen Exponentialfunktion verk¨ urzt das Argument. Nur der Realteil ist letztlich von Interesse. Geht man mit diesem Ansatz in die Gleichungen des Systems (6.39) ein, so erh¨ alt man nach K¨ urzung der gemeinsamen Faktoren m −e−iα + (2 − ω 2 ) − eiα = 0 . k Die Aufl¨ osung nach ω 2 ergibt ) k ( 2 − e−iα − eiα ω2 = m k α k (6.41) = 2 (1 − cos α) = 4 sin2 . m m 2 In dem letzten Schritt wurde ein Spezialfall des Additionstheorems benutzt. 3

Ein formaler Nachweis dieser Aussage basiert auf der Benutzung des Integrals

∞

dt ei(ω1 −ω2 )t = 2π δ(ω1 − ω2 )

−∞

und dessen Zerlegung in Real- und Imagin¨ arteil. Die hier auftretende Deltafunktion, eine sogenannte Distribution oder verallgemeinerte Funktion, wird jedoch erst im Rahmen von Band 2 eingef¨ uhrt werden. Eine weniger formale Begr¨ undung benutzt die Tatsache, dass trigonometrische Funktionen linear unabh¨ angig sind, so dass die Relation (6.38) f¨ ur alle Werte der Variablen t nur erf¨ ullt sein kann, wenn die Koeffizienten der Funktionsreihe verschwinden.


289

Die Relation (6.41) gilt f¨ ur jede der N Wurzeln der charakteristischen Gleichung. F¨ uhrt man somit an dieser Stelle wieder den Index μ ein, so kann man schreiben alμ = aμ ei(lαµ −βµ ) und

(l = 0, 1, . . . , (N + 1); μ = 1, . . . , N )

k αμ sin (μ = 1, . . . , N ) . m 2 onnen u Die Parameter αμ und βμ k¨ ¨ber die Randbedingungen, die ωμ = 2

(6.42)

a0μ = aN +1,μ = 0

(6.43)

erfordern, bestimmt werden. Setzt man (ohne Einschränkung der Allgemeinheit) aμ als reell voraus und benutzt die Tatsache, dass f¨ ur eine Entwicklung der kartesischen Koordinaten nach den trigonometrischen Funktionen die Entwicklungkoeffizienten reell sein m¨ ussen, so lautet die erste der Bedingungen (6.43) aufgrund von (6.40) 0 = a0μ = aμ cos βμ . Diese Gleichungen erfordern βμ = π/2 (modulo einer ungeraden Zahl mal π). Die zweite der Bedingungen (6.43) entspricht dann π 0 = aN +1,μ = aμ cos (N + 1)αμ − = aμ sin [(N + 1)αμ ] , 2 mit den L¨ osungen μπ . αμ = N +1 Mit diesen Resultaten findet man die allgemeine Frequenzformel μπ k ωμ = 2 sin (6.44) m 2(N + 1) und, auf der Basis einer vergleichbaren Rechnung f¨ ur den Sinusanteil, die Darstellung der kartesischen durch die generalisierten Koordinaten

N lμπ sin (6.45) (aμ cos ωμ t + bμ sin ωμ t) . xl (t) = N +1 μ=1 Die verbleibenden Entwicklungskoeffizienten aμ , bμ werden durch die Anfangsbedingungen {xl (0), x˙ l (0)}

(l = 1, . . . , N )

festgelegt ( D.tail 6.2). Die periodische Struktur der Frequenzformel (6.44) bedingt, dass nur eine endliche Zahl von Eigenwerten auftritt. Das Additionstheorem f¨ ur die Sinusfunktion ergibt

290


sin

(N + 1 + r)π 2(N + 1)

= sin

(N + 1 − r)π 2(N + 1)

.

Daraus folgt ωN +1+r = ωN +1−r ,

(6.46)

das Frequenzspektrum wiederholt sich, wenn auch in umgekehrter Reihenfolge, wenn man Werte mit μ > (N + 1) betrachtet. Es gibt genau (N + 1) Eigenfrequenzen, falls man die Moden mit μ = 0 und μ = (N + 1) als eine gleichwertige Nullmode einbezieht (siehe (6.45)). Die hier gewonnenen Formeln reproduzieren die Ergebnisse, die vorher f¨ ur die spezielleren Beispiele gewonnen wurden. So ergibt zum Beispiel die Frequenzformel (6.44) mit N = 2 π π k k k 3k sin = ω2 = 2 sin = . ω1 = 2 m 6 m m 3 m Neben den longitudinalen Schwingungen der linearen Oszillatorkette sind transversale Schwingungen der Kette von Interesse. Mit Hilfe der Betrachtung dieser Schwingungsformen kann man eine Differentialgleichung f¨ ur eine transversal schwingende Saite gewinnen. Diese Wellengleichung, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit und der Ortskoordinate, beschreibt die Ausbreitung von transversalen Wellenformen entlang der Saite. 6.1.4 Die Differentialgleichung einer schwingenden Saite Die Modellierung der Saite beginnt mit der Aussage: Man stelle sich ein System von N identischen Massenpunkten vor, die linear (in x -Richtung) in gleichen Abst¨ anden auf einem elastischen Faden aufgereiht sind (Abb. 6.9). In der Gleichgewichtssituation sei der Abstand der ‘Teilchen‘ gleich d. Die mmm

m

y d L=(N+1)d

Abb. 6.9. Modellierung der schwingenden, uniformen Saite

Gesamtl¨ ange des gespannten Fadens ist dann L = (N + 1) d . Anstelle der longitudinalen Schwingungen sollen transversale Schwingungen (in der y Richtung) bei kleinen Auslenkungen betrachtet werden (Abb. 6.10a). Die R¨ uckstellkraft auf das k -te Teilchen, die durch die Fadenspannung der n¨ achsten Nachbarn hervorgebracht wird, kann folgendermaßen bestimmt werden. Man zerlegt die Kr¨ afte durch die n¨ achsten Nachbarn in x - und y Komponenten (siehe Abb. 6.10b) F k−1,k = −τ sin θk−1 ey − τ cos θk−1 ex F k+1,k = −τ sin θk+1 ey + τ cos θk+1 ex .


291

τ ist die Fadenspannung, die bei kleinen Auslenkungen f¨ ur beide Nachbarn als gleich angenommen werden kann. F¨ ur kleine Auslenkungen gilt auch yk − yk−1 sin θk−1 ≈ tan θk−1 = d yk − yk+1 sin θk+1 ≈ tan θk+1 = d cos θk−1 ≈ cos θk+1 ≈ 1 . Die x -Komponenten der Kr¨ afte der Nachbarn heben sich auf. Die R¨ uckstellkraft auf die k -te Masse ist somit τ F k = F k−1,k + F k+1,k = − {(yk − yk−1 ) + (yk − yk+1 )} ey . (6.47) d (a)

(b) mk

k

Fk–1

m k+1

m k–1

yk

yk–1

yk+1

θ k–1 k–1

d d vertikale Auslenkung

d

Kraftsituation

Abb. 6.10. Schwingende Saite

Die Randpunkte k¨ onnen einbezogen werden, indem man dort unbewegte Teilchen anbringt y0 (t) = yN +1 (t) = 0 ,

y˙ 0 (t) = y˙ N +1 (t) = 0 .

Die potentielle Energie der transversal schwingenden Kette ist U=

N 1 τ (yi+1 − yi )2 , 2 d i=0

denn Fk = −

∂U ey ∂yk

entspricht der Kraft (6.47). Die Lagrangefunktion f¨ ur die transversal schwingende Teilchenkette kann in der Form L=

N +1 N m 2 1τ y˙ i − (yi+1 − yi )2 2 i=0 2 d i=0

(6.48)

geschrieben werden. Diese Lagrangefunktion unterscheidet sich formal nicht von der Lagrangefunktion f¨ ur longitudinale Schwingungen bei Kopplung zwischen n¨ achsten Nachbarn. Man k¨ onnte, wie zuvor, Normalschwingungen etc. berechnen.

292


Um von diesem Modell zu einer realen Saite u ¨ berzugehen, ist die folgende Grenzbetrachtung notwendig N −→ ∞ , d −→ 0 , so dass (N + 1)d = L = const. m −→ 0 , d −→ 0 , so dass m/d = ρ = const. Man l¨ asst N gegen ∞ und d gegen Null gehen, und zwar so, dass das Produkt (N + 1)d konstant bleibt. Gleichzeitig lässt man die Masse gegen Null gehen, so dass das Verh¨ altnis m/d konstant bleibt. Dieses Verhältnis ist die lineare Massendichte ρ einer uniformen (kontinuierlichen) Saite4 . Aus der Lagrangefunktion (6.48) folgen (nach Division durch d) die Bewegungsgleichungen yi+1 − 2yi + yi−1 Fi m yï = =τ (i = 1, . . . N ) . (6.49) d d d2 Man misst die Position der i -ten Masse vom Anfang der Kette an und schreibt im Sinne der Grenzbetrachtung yi (t) −→ y(x, t) . Die Zeitableitung in (6.49) ist durch eine partielle Ableitung zu ersetzen, da y nun eine Funktion von zwei Variablen ist. Die Bewegungsgleichung f¨ ur jedes Linienelement der Saite lautet dann y(x + d, t) − 2y(x, t) + y(x − d, t) m ∂ 2 y(x, t) =τ . d ∂t2 d2 Auf der rechten Seite der Gleichung ergibt sich im Grenzfall y(x + d, t) − 2y(x, t) + y(x − d, t) ∂ 2 y(x, t) , lim = d→0 d2 ∂x2 da die eckige Klammer genau der Darstellung der zweiten partiellen Ableitung nach x durch einen Differenzenquotienten entspricht. Ersetzt man noch in dem Grenzfall m/d durch ρ, so lautet die Differentialgleichung f¨ ur die ¨ Anderung der Auslenkung y als Funktion von Zeit t und Position x entlang der Saite ∂ 2 y(x, t) τ ∂ 2 y(x, t) − =0. ∂t2 ρ ∂x2

(6.50)

Dies ist die gesuchte Wellengleichung f¨ ur ein kontinuierliches, eindimensionales System. Es ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die eigentlich anstehende Diskussion von partiellen Differentialgleichungen, einschließlich der Wellengleichung und deren Lösung, wird erst in dem Band 2 aufgegriffen. 4

Die Modellierung einer nichtuniformen Saite durch Vorgabe einer Funktion ρ(x) ist ebenfalls m¨ oglich.


Die Standardform der Wellengleichung beinhaltet die Größe τ v= ρ

293

(6.51)

mit der Dimension 1/2 ML L L [v] = · = , 2 T M T einer Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit entspricht (wie in Band 2 diskutiert wird) der Phasengeschwindigkeit der Welle. Die Standardform der Wellengleichung ist also 1 ∂ 2 y(x, t) ∂ 2 y(x, t) − =0. ∂x2 v 2 ∂t2 Zur Festlegung der L¨ osung sind im Fall einer eingespannten Saite der L¨ ange L Randbedingungen vorzugeben, so zum Beispiel y(0, t) = 0 ,

y(L, t) = 0 .

(6.52)

Zus¨ atzlich ben¨ otigt man zur Festlegung einer speziellen Lösung noch Anfangsbedingungen wie ∂y(x, t) = g(x) . (6.53) y(x, 0) = f (x) ∂t t=0 (a)

(b) t=0

t=0

t>0

t>0

Stehende Welle

Wandernde Wellenstruktur

Abb. 6.11. Illustration zur schwingenden Saite

Die Saite hat zu dem Zeitpunkt t = 0 eine bestimmte Form und jeder ‘Punkt‘ hat eine bestimmte Geschwindigkeit in transversaler Richtung. Je nach Vorgabe der Anfangs- und Randwerte kann man verschiedene Situationen (Abb. 6.11) beschreiben. Die Vorgabe der Randbedingungen (6.52) f¨ uhrt auf stehende Wellen mit Frequenzen bzw. Wellenlängen, die genau auf die L¨ ange der Saite abgestimmt sind (Abb. 6.11a). F¨ ur beliebige, anfängliche Wellenformen (6.53) findet man Wellenstrukturen, die die Saite entlang wandern (Abb. 6.11b).

294


Das n¨ achste Thema zu den Anwendungen der Lagrangegleichungen ist die Betrachtung rotierender Koordinatensysteme, ein Paradebeispiel f¨ ur die Illustration von Nichtinertialsystemen. Es wird zunächst die Frage nach der Natur und Struktur der dabei auftretenden Scheinkräfte untersucht. Als spezielle Anwendung wird die Auswirkung dieser Scheinkräfte auf der rotierenden Erde etwas eingehender diskutiert.

6.2 Rotierende Koordinatensysteme Die Erde stellt ein rotierendes Koordinatensystem dar. Es erhebt sich die Frage, in welcher Weise die Beschreibung von Bewegungsabläufen aus der Sicht der rotierenden Erde durch die beschleunigte Bewegung des Bezugssystems beeinflusst wird. Die allgemeine Problemstellung lässt sich folgendermaßen pr¨ azisieren (Abb. 6.12). Ein Beobachter in einem Inertialsystem S (mit den Koordinaten (x1 , x2 , x3 )) betrachtet einen physikalischen Vorgang (hier Bewegungsablauf) aus der Sicht seines Koordinatensystems. Ein x3 S ω

S’

q2

q3

x2 x1

q1

Abb. 6.12. Inertialsystem S und rotierendes Koordinatensystem S

zweiter Beobachter verfolgt den gleichen Vorgang, jedoch aus der Sicht eines Koordinatensystems S (Koordinaten (q1 , q2 , q3 )), das gegen¨ uber dem Inertialsystem um eine vorgegebene Achse rotiert. Die Rotationsachse verläuft durch den gemeinsamen Ursprung der beiden Koordinatensysteme. Die Frage lautet: Wie kann man die Beschreibung eines Bewegungsablaufes aus der Sicht von S in die Beschreibung aus der Sicht von S umrechnen? Insbesondere sollte man fragen: Wie transformieren sich die Bewegungsgleichungen des Beobachters in dem Inertialsystem S in Bewegungsgleichungen f¨ ur den Beobachter in S ? Eine erste Antwort ist: F¨ ur den Beobachter in S treten Scheinkräfte auf. Man kann sich diesen Sachverhalt anhand einer einfachen Situation, einer uniformen Drehung des Systems S um eine gemeinsame 3 -Achse, klarmachen.

6.2 Rotierende Koordinatensysteme

295

6.2.1 Einfache Betrachtung von Scheinkr¨ aften Der Beobachter in S beobachtet einen Massenpunkt, der aus seiner Sicht in der x1 - x2 Ebene ruht (Abb. 6.13a). Dies ist zwar kein sonderlich interessantes Experiment, es gen¨ ugt jedoch f¨ ur die gew¨ unschte Illustration. Der Beobachter in S folgert gemäß dem ersten Newtonschen Axiom: Auf den Massenpunkt wirken keine Kr¨ afte. Aus der Sicht von S bewegt sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn (Abb. 6.13b). Ein Beobachter in diesem System wird also gemäß dem ersten Axiom folgern: Der Massenpunkt ist weder in Ruhe, noch bewegt er sich gleichf¨ ormig, also wirkt auf ihn eine Kraft. Da Inertialsysteme nach Newton (a)

(b) x3=q 3 q3

ω

q2 m x1

x2

q1

aus der Sicht des Inertialsystems S

m

q2

q1

aus der Sicht des rotierenden Systems S’

Abb. 6.13. Zu dem Thema Scheinkr¨ afte

(und nach Einstein) die f¨ ur die Beurteilung von Kräften zuständigen Bezugssysteme sind, ist diese Kraftwirkung einzig und allein auf die nichtinertiale Bewegung des Systems S zur¨ uckzuf¨ uhren. F¨ ur eine quantitative Fassung der auftretenden Scheinkräfte benutzt man zweckm¨ aßigerweise die Lagrangeformulierung, wobei die kartesischen Koordinaten xi auf das Inertialsystem und die generalisierten Koordinaten qμ auf das rotierende System Bezug nehmen. F¨ ur den einfachen Fall der Rotation um eine gemeinsame 3 -Achse gilt x1 (t) = q1 (t) cos α(t) − q2 (t) sin α(t) x2 (t) = q1 (t) sin α(t) + q2 (t) cos α(t)

(6.54)

x3 (t) = q3 (t) . Dies entspricht einer Drehung von S gegen¨ uber S gegen den Uhrzeigersinn, denn es ist q2 = x2 , fu ¨ r α = 0 : q1 = x1 fu ¨r α = π/2 : q1 = −x2 q2 = x1 . Die weitere Rechnung folgt dem Standardmuster. Die Lagrangefunktion des Massenpunktes aus der Sicht von S ist

296


L=

m 2 x˙ − U (x1 , x2 , x3 ) . 2 i i

Zur Umschreibung der Lagrangefunktion in die generalisierten Koordinaten (die Koordinaten des rotierenden Systems) benötigt man x˙ 1 = q˙1 cos α(t) − q˙2 sin α(t) − q1 ω(t) sin α(t) − q2 ω(t) cos α(t) x˙ 2 = q˙1 sin α(t) + q˙2 cos α(t) + q1 ω(t) cos α(t) − q2 ω(t) sin α(t) x˙ 3 = q˙3 . Dabei ist ω(t) = α(t) ˙ die Winkelgeschwindigkeit der Drehung. Die Lagrangefunktion als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten ergibt sich nach direkter Rechnung zu m 2 q˙1 + q˙22 + q˙32 + 2ω(q1 q˙2 − q2 q˙1 ) (6.55) L= 2 +ω 2 (q12 + q22 ) − U (q1 , q2 , q3 , α) . Die ersten drei Terme stellen die kinetische Energie des Massenpunktes aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems dar ) m( 2 q˙ + q˙22 + q˙32 . (6.56) TR = 2 1 Die restlichen Terme in der geschweiften Klammer und das Potential U kann man zu einem verallgemeinerten Potential zusammenfassen m 2ω(q1 q˙2 − q2 q˙1 ) + ω 2 (q12 + q22 ) + U (q1 q2 q3 , α) , (6.57) U∗ = − 2 so dass die zus¨ atzlichen Terme im Endeffekt als Kraftwirkung (Scheinkraft) aufgefasst werden k¨ onnen. F¨ ur die Aufstellung der Bewegungsgleichungen

∂L d ∂L =0 (μ = 1, 2, 3) − dt ∂ q˙μ ∂qμ ben¨ otigt man die Ableitungen ∂L = mq˙1 − mωq2 ∂ q˙1 ∂L = mq˙2 + mωq1 ∂ q˙2

∂L ∂U = mω q˙2 + mω 2 q1 − ∂q1 ∂q1 ∂L ∂U = −mω q˙1 + mω 2 q2 − ∂q2 ∂q2

(sowie Relationen mit q3 ). Damit erh¨ alt man die Bewegungsgleichungen ∂U =0 ∂q1 ∂U m¨ q2 +mωq ˙ 1 + 2mω q˙1 − mω 2 q2 + =0 ∂q2 ∂U + =0. m¨ q3 ∂q3

m¨ q1 −mωq ˙ 2 − 2mω q˙2 − mω 2 q1 +

(6.58)


297

Man erkennt drei Typen von Kr¨ aften: Die Terme m¨ qi stellen die Trägheitskräfte aus der Sicht des Beobachter in S dar. Die eingeprägten Kräfte entsprechen den partiellen Ableitungen der Potentialfunktion −∂U/∂qi . Die restlichen Terme kann man als Scheinkr¨ afte interpretieren, die sich aufgrund der Bewegung des Koordinatensystems gegen¨ uber einem Inertialsystem ergeben. Die Scheinkr¨ afte, die in dem n¨ achsten Abschnitt näher betrachtet werden, korrigieren sozusagen die Bewegungsgleichungen f¨ ur einen Beobachter in dem Nichtinertialsystem. 6.2.2 Allgemeine Diskussion von Scheinkr¨ aften F¨ ur die allgemeine Situation (eine beliebige Drehachse durch den gemeinsamen Koordinatenursprung) ist eine vektorielle Fassung der Transformationsgleichungen und der Bewegungsgleichungen vorzuziehen. Man benutzt dazu die Komponentenzerlegung des Positionsvektors in Bezug auf das Koordinatendreibein des Inertialsystems (Abb. 6.14) S:

r(t) = x1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3 .

(6.59)

e3 r

ε2

ε3

e2 e1

ε1

Abb. 6.14. Basis der beiden Koordinatensysteme

Die Basisvektoren des Inertialsystems sind (per Definition) zeitunabhängig. Die Komponentenzerlegung des Positionsvektors in Bezug auf das rotierende Koordinatensystem ist S :

r(t) = q1 (t)ε1 (t) + q2 (t)ε2 (t) + q3 (t)ε3 (t) .

(6.60)

Die Einheitsvektoren des rotierenden Koordinatensystems ändern sich mit der Zeit. In dem Beispiel einer Drehung um die gemeinsame 3 -Achse ist ε3 (t) = e3 . Bez¨ uglich der Geschwindigkeit eines Massenpunktes gelten die folgenden Aussagen. Aus der Sicht des Inertialsystems S ist die Geschwindigkeit wie u ¨blich v(t) = r(t) ˙ = x˙ 1 (t)e1 + x˙ 2 (t)e2 + x˙ 3 e3 . Eine entsprechende Definition ist f¨ ur die Geschwindigkeit aus der Sicht von S anzusetzen

298


v R (t) = q˙1 (t)ε1 (t) + q˙2 (t)ε2 (t) + q˙3 (t)ε3 (t) .

(6.61)

¨ Der rotierende Beobachter registriert die zeitliche Anderung der Koordinaten aus seiner Sicht. Er ist sich der Tatsache, dass sich sein Koordinatensystem dreht, nicht bewusst. Berechnet man auf der anderen Seite die zeitliche Ableitung der Komponentenzerlegung des Positionsvektors (6.60), so findet man r(t) ˙ = q˙1 (t)ε1 (t) + q˙2 (t)ε2 (t) + q˙3 (t)ε3 (t) +q1 (t)ε˙1 (t) + q2 (t)ε˙2 (t) + q3 (t)ε˙3 (t) oder v(t) = v R (t) + Δv(t) .

(6.62)

Die Deutung dieser Gleichung ist: Die Geschwindigkeiten, die von den jeweiligen Beobachtern gemessen werden (v bzw. v R ), sind nicht gleich. Sie unterscheiden sich durch einen Zusatzterm. Dieser Term entsteht dadurch, dass sich das Koordinatensystem des rotierenden Beobachters während der Geschwindigkeitsmessung (in dem Zeitintervall von t bis t + dt) bewegt. Liegt eine Drehung um eine gemeinsame 3 -Achse vor, so lauten die Transformationsgleichungen zwischen den Basisvektoren der beiden Koordinatensysteme (vergleiche (2.52) und (2.53)) ε1 (t) = e1 cos α(t) + e2 sin α(t) ε2 (t) = −e1 sin α(t) + e2 cos α(t)

(6.63)

ε3 (t) = e3 , die Zeitableitung dieser Gleichungen ist ε˙1 = ω(−e1 sin α + e2 cos α) = ωε2 ε˙2 = −ω(e1 cos α + e2 sin α) = −ωε1 ε˙3 = 0 . Der Zusatzterm hat in diesem Fall die Form Δv = −ωq2 ε1 + ωq1 ε2 . F¨ uhrt man f¨ ur dieses einfache Beispiel noch den Vektor f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit ein ω = ωe3 = ωε3 (die Drehrichtung und der zugeh¨ orige Vektor der Winkelgeschwindigkeit werden gem¨ aß der Schraubenregel zugeordnet), so kann man den Zusatzterm in der vektoriellen Form zusammenfassen ε1 ε2 ε3 Δv = ω × r = 0 0 ω = −q2 ωε1 + q1 ωε2 . q1 q2 q3


299

Die vektorielle Zusammenfassung der Transformationsgleichungen zwischen den kartesischen und den generalisierten Geschwindigkeitskomponenten lautet somit v(t) = v R (t) + ω(t) × r(t) .

(6.64)

Diese Vektorgleichung geht auf, wenn man die linke Seite bez¨ uglich S, die rechte Seite bez¨ uglich S in Komponenten zerlegt und die Transformation zwischen den Einheitsvektoren benutzt. Diese vektorielle Beziehung ist, wie unten gezeigt wird, auch im Fall beliebiger Drehungen g¨ ultig. Zun¨ achst sollen jedoch noch einmal die Bewegungsgleichungen f¨ ur den Fall einer Drehung um die gemeinsame 3 -Achse betrachtet werden. Die Beschleunigungsvektoren aus der Sicht der beiden Koordinatensysteme sind S:

¨2 (t)e2 + x ¨3 (t)e3 a(t) = x ¨1 (t)e1 + x

S :

aR (t) = q¨1 (t)ε1 (t) + q¨2 (t)ε2 (t) + q¨3 (t)ε3 (t) .

Die transformierten Bewegungsgleichungen (6.58) aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems kann man in der vektoriellen Form ˙ × r) − 2m(ω × v R ) − m(ω × (ω × r)) + Q maR (t) = −m(ω

(6.65)

zusammenfassen. Die generalisierte Kraft Q entspricht den Ableitungen des Potentials U in (6.57) nach den Koordinaten qμ ∂U ∂U ∂U Q= − ,− ,− . ∂q1 ∂q2 ∂q3 Den Nachweis, dass die Zusammenfassung der einzelnen Terme in (6.65) korrekt ist, ergeben die folgenden Zeilen: ε1 ε2 ε3 ˙ 1 )ε2 ω ˙ × r = 0 0 ω˙ = (−ωq ˙ 2 )ε1 + (ωq q1 q2 q3 ε1 ε2 ε3 ω × v R = 0 0 ω q˙1 q˙2 q˙3

= (−ω q˙2 )ε1 + (ω q˙1 )ε2

(6.66)

ε1 ε2 ε3 ω × (ω × r) = 0 0 ω = (−ω 2 q1 )ε1 + (−ω 2 q2 )ε2 . −ωq2 ωq1 0 Auch die Gleichung (6.65) ist, wie unten gezeigt wird, f¨ ur allgemeine Drehungen g¨ ultig. Drei der Terme in (6.65) entsprechen Scheinkräften. Der erste Term, der nur auftritt, wenn die Drehung winkelbeschleunigt ist, trägt keinen Namen ˙ × r) . F ω˙ = −m(ω

(6.67)

300


Der Term, der von der Geschwindigkeit der Masse aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystem abh¨ angt, heißt Corioliskraft F C = −2m(ω × v R ) .

(6.68)

Der Term mit dem doppelten Vektorprodukt ist die Zentrifugalkraft F Z = −m(ω × (ω × r)) .

(6.69)

Die Ergebnisse in vektorieller Form, die f¨ ur den Spezialfall gewonnen wurden, sind allgemein g¨ ultig. Wollte man den Nachweis u ¨ ber die Lagrangesche Formulierung f¨ uhren, so m¨ usste man eine Darstellung einer allgemeinen Drehung benutzen. Dies ist m¨ oglich, die entsprechende Rechnung ist jedoch einigermaßen langwierig. Bei der Diskussion der Drehbewegung eines starren K¨ orpers (siehe Kap. 6.3) l¨ asst sich dies nicht vermeiden. In dem jetzigen Kontext ist es m¨ oglich, mit Hilfe der vektoriellen Formulierung eine etwas k¨ urzere Diskussion durchzuf¨ uhren. Man betrachtet einen beliebigen Vektor A, der in Bezug auf die beiden Koordinatensysteme (inertial und rotierend) zerlegt wird A(t) = a1 (t)e1 + a2 (t)e2 + a3 (t)e3 = A1 (t)ε1 (t) + A2 (t)ε2 (t) + A3 (t)ε3 (t) . Wie schon diskutiert, gilt f¨ ur die Zeitableitung ˙ A(t) = a˙ 1 (t)e1 + a˙ 2 (t)e2 + a˙ 3 (t)e3 = A˙ 1 (t)ε1 (t) + A˙ 2 (t)ε2 (t) + A˙ 3 (t)ε3 (t) + A1 (t)ε˙1 (t) + A2 (t)ε˙2 (t) + A3 (t)ε˙3 (t) . Es ist notwendig, einen allgemeinen Ausdruck f¨ ur die Vektoren ε˙i anzugeben. Man orientiert sich zu diesem Zweck an dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω: Dessen Richtung markiert die Drehachse, der Betrag die Größe der Winkelgeschwindigkeit. Aus der Sicht der Drehachse bewegen sich die Ein¨ 2Θi um heitsvektoren εi auf Kegeln (Abb. 6.15) mit den Offnungswinkeln (a)

(b) ω

ε i(t+dt) ε i(t+dt) − ε i(t) θi

¨ Uberblick

ω ω x εi

r

ε i(t)

εi(t)

Details

Abb. 6.15. Zur Zeitableitung der Vektoren εi


301

¨ diese Achse. Die folgende elementare Uberlegung f¨ uhrt auf die gew¨ unschte Aussage u ¨ ber die Zeitableitung der Vektoren ε˙i : Der Endpunkt des Vektors εi (t) beschreibt einen Kreis um die ω -Achse (Abb. 6.15a). Die Bahngeschwindigkeit (siehe (2.56), S. 56) dieses Punktes ist |ε˙i (t)| = rω(t). Der Radiusvektor r, der senkrecht auf der ω -Achse steht, hat die L¨ ange r = sin θi , da εi (t) ein Einheitsvektor ist (Abb. 6.15b). Die aß der Schraubenregel mit der Richtung Richtung des Vektors ω × εi ist gem¨ des Vektors ε˙i (t) identisch (Abb. 6.15b). Da der Betrag des Vektorproduktes (sin θi ω(t)) ebenfalls mit dem Betrag des Vektors ε˙i (t) identisch ist, erkennt man direkt, dass die Relation ε˙i = ω × εi allgemein g¨ ultig ist. Damit folgt aber auch die allgemeine Relation zwischen den Zeitableitungen eines Vektors A(t) aus der Sicht der beiden Bezugssysteme d d A = A + ω × A . (6.70) dt I dt R Diese Relation gilt f¨ ur jeden Vektor und wird deswegen oft in der Merkregel d d = + ω× (6.71) dt dt I

R

zusammengefasst (mit der Verabredung, dass die Formel auf jeden Vektor angewandt werden kann). Insbesondere folgt daraus (1) Die Geschwindigkeitstransformation (6.64) ist allgemeing¨ ultig. (2) Die Winkelbeschleunigung ist f¨ ur beide Koordinatensysteme gleich ˙ R=ω ˙ . ω| ˙ I = ω|

(6.72)

(3) Differentiation der Geschwindigkeitstransformation liefert die Umschreibung der Bewegungsgleichungen von dem Inertialsystem in das rotierende System ) ( ) d( ) d( vI I = v R + (ω × r) R + ω × v R + (ω × r) dt dt a = aR + ω ˙ × r + ω × v R + ω × v R + ω × (ω × r) , (6.73) die schon anhand des einfachen Beispiels gewonnen wurde. Auch diese Aussage ist somit allgemeing¨ ultig. Zwei direkte Beispiele sollen die Wirkung der Scheinkräfte noch einmal verdeutlichen.

302


x3 ω x2

ωI r

x1

Abb. 6.16. Illustration des Beispiels 6.4

6.2.2.1 Beispiele zu dem Thema Scheinkr¨ afte. In dem Beispiel 6.4 ist die Relativbewegung der Koordinatensysteme eine uniforme Drehung (ω˙ = 0) um die gemeinsame 3 -Achse ω = ωe3 = ωε3 . Aus der Sicht des Inertialsystems soll der Massenpunkt uniform auf einer beliebigen Kreisbahn in der x1 - x2 Ebene umlaufen (Abb. 6.16). Diese Drehbewegung wird durch die vektorielle Winkelgeschwindigkeit ω I = ωI e3 , beschrieben, wobei v = ωI × r die u ¨bliche Relation zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ist (in diesem Beispiel mit ω I ⊥ r). Die Kreisbewegung wird durch eine Zentralkraft F bedingt, f¨ ur die die Stabilit¨ atsbedingung F = m ωI × (ω I × r) , (die Masse multipliziert mit der Zentralbeschleunigung ist gleich der angreifende Kraft) gelten muss. Aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems kann man die folgenden Aussagen notieren • Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist v R = v − ω × r = (ω I − ω) × r . Die Bahngeschwindigkeit aus der Sicht des rotierenden Beobachters ergibt sich aus der Differenz der beiden Drehgeschwindigkeitsvektoren. Rotieren zum Beispiel Massenpunkt und Koordinatensystem gleich schnell und in gleicher Richtung ω = ωI , so ist der Massenpunkt aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems in Ruhe. Ruht der Massenpunkt in dem Inertialsystem ω I = 0, so gilt v R = −ω × r. Der Massenpunkt bewegt sich aus der Sicht von S , als ob er die Winkelgeschwindigkeit −ω hätte. • Die Kr¨ afte auf den Massenpunkt aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems sind FR = F + FC + FZ = m ωI × (ω I × r) − 2 m ω × ((ω I − ω) × r) − m ω × (ω × r) .


303

Sind (wie in dem Beispiel vorgesehen) die beiden Winkelgeschwindigkeitsvektoren zueinander proportional ω I = a ω (gleiche oder entgegengesetzte Richtung), so kann man diese Aussage in der Form zusammenfassen F R = m(ωI − ω) × [(ω I − ω) × r] . Der rotierende Beobachter registriert eine Kreisbewegung, die durch die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten bestimmt wird. Die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft setzen sich zu einer scheinbaren Zentralkraft zusammen. In dem n¨ achsten Beispiel (Beispiel 6.5, siehe Abb. 6.17) liegt die gleiche Relativbewegung der Koordinatensysteme vor, der Massenpunkt soll sich jedoch in dem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit entlang der x1 Achse bewegen. Die Frage lautet: Wie bewegt sich der Massenpunkt aus der x3 ω x2 v x1

Abb. 6.17. Illustration des Beispiels 6.5: Anfangssituation

Sicht des rotierenden Beobachters? Die Frage wird dieses Mal durch Lösung der Bewegungsgleichungen in dem rotierenden Koordinatensystem beantwortet. Die Bewegungsgleichungen (6.65) f¨ ur die Koordinaten q1 und q2 lauten q¨1 = 2ω q˙2 + ω 2 q1 q¨2 = −2ω q˙1 + ω 2 q2 .

(6.74) (6.75)

Die Koordinate q3 ist f¨ ur dieses Beispiel nicht von Bedeutung. Da in dem Inertialsystem keine eingepr¨ agten Kr¨ afte wirken, treten nur die Corioliskraft und die Zentrifugalkraft auf. Die Anfangsbedingungen f¨ ur die Bewegung aus der Sicht des rotierenden Koordinatensystems sind q1 (0) = q2 (0) = 0, die Masse beginnt im Koordinatenursprung, und q˙1 (0) = v, q˙2 (0) = 0, die Masse bewegt sich zun¨ achst in der q1 -Richtung, die f¨ ur t = 0 mit der x1 -Richtung zusammenf¨ allt. Die beiden Differentialgleichungen sind gekoppelt. Zur Entkopplung differenziert man die erste Gleichung zweimal und die zweite Gleichung einmal nach der Zeit .... q1 ... q2

...

= 2ω q2 +ω 2 q¨1 = −2ω q¨1 + ω 2 q˙2 .

(6.76) (6.77)

Um in der zweiten Gleichung q˙2 zu eliminieren, benutzt man (6.74) in der Form

304


1 ω q¨1 − q1 2ω 2 und erh¨ alt q˙2 =

ω ω3 3 ω3 q¨1 − q1 = − ω q¨1 − q1 . 2 2 2 2 Einsetzen in (6.76) ergibt ...

q2 = −2ω q¨1 + .... q1

+2ω 2q¨1 + ω 4 q1 = 0 .

(6.78)

Dies ist eine homogene lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Zur L¨ osung macht man den Ansatz q1 = exp(λt) und findet die charakteristische Gleichung λ4 + 2ω 2 λ2 + ω 4 = 0 . Diese hat die Doppelwurzeln λ1 = λ2 = iω

λ3 = λ4 = −iω .

Die allgemeine L¨ osung lautet also q1 (t) = (C1 + C2 t) eiωt +(C3 + C4 t) e−iωt .

(6.79)

Die L¨ osung einer Differentialgleichung vierter Ordnung enthält, wie erwartet, vier Integrationskonstanten. Die Anfangsbedingungen q1 (0) = 0 und uhren in der vorliegenden Situation auf zwei weitere Aussagen, q˙1 (0) = v f¨ ... da sowohl q¨1 als auch q1 gem¨ aß (6.74) und (6.75) durch Ableitungen niedrigerer Ordnung bestimmt sind: q¨1 = 2ω q˙2 + ω 2 q1 −→ q¨1 (0) = 0 ... ... q1 = 2ω q¨2 + ω 2 q˙1 = −3ω 2 q˙1 + 2ω 2 q2 −→ q1 (0) = −3ω 2 v . Die Implementierung der Anfangsbedingungen ist etwas umständlich. Man muss die allgemeine L¨ osung dreimal differenzieren, t = 0 setzen und das dabei auftretende lineare Gleichungssystem f¨ ur C1 . . . C4 lösen. Das Endergebnis (reell!) dieser elementaren Rechnung (siehe D.tail 6.3) ist q1 (t) = vt cos ωt . Die Berechnung von q2 (t) beinhaltet nur eine geeignete Kombination der Grundgleichungen (6.74) und (6.75) ⎫ 1 2 q2 (t) = 2 q¨2 (t) + q˙1 (t) ⎪ ⎬ 1 ... 3 1 ω ω → q2 = q1 + q˙1 = −vt sin ωt . ⎪ 1 ... ω 2ω 3 2ω q¨2 (t) = q1 − q˙1 (t) ⎭ 2ω 2 Die Bahnkurve, die durch diese beiden Gleichungen beschrieben wird, ist eine Spirale. Die Spirale wird, wie in Abb. 6.18 angedeutet, durchlaufen. Die Entfernung von dem Ursprung w¨ achst linear mit der Zeit. Man kann das Ergebnis jedoch auch auf sehr einfache Weise gewinnen. In dem Inertialsystem gilt (entsprechend den Anfangsbedingungen)


305

q2

q1

Abb. 6.18. Illustration des Beispiels 6.5: Bahnkurve aus der Sicht des rotierenden Systems

r(t) = vte1 . Die Transformationsgleichung des Vektors e1 ist f¨ ur die vorgegebene Situation e1 = ε1 (t) cos ωt − ε2 (t) sin ωt , so dass man direkt das Ergebnis r(t) = (vt cos ωt)ε1 + (−vt sin ωt)ε2

(6.80)

aus der Sicht von S erh¨ alt. Die Folgerung, die man aus dieser Betrachtung ziehen kann, lautet: Man sollte sich in jedem Fall u ¨berlegen, ob man die Bewegungsgleichungen im rotierenden Koordinatensystem l¨ ost oder ob man die Lösung der Bewegungsgleichungen in dem Inertialsystem in das rotierende System transformiert. In dem vorliegenden Beispiel ist die zweite Option wesentlich einfacher. 6.2.3 Scheinkr¨ afte auf der rotierenden Erde Die Diskussion der Scheinkr¨ afte in einem Koordinatensystem, das mit der Erde verkn¨ upft ist, w¨ are recht kompliziert, wenn man es ganz genau machen m¨ ochte. Die Erde f¨ uhrt eine komplizierte Drehbewegung aus, die sich aus drei Einzeldrehungen zusammensetzt: (1) Rotation der Erde um die Nord-S¨ ud Achse (ω). (2) Rotation der Erde um die Sonne (ω ES ). Dabei ist zu beachten, dass die Erdachse gegen die Bahnebene der Erde geneigt ist (Deklination) und die Rotation der Erde um die Sonne winkelbeschleunigt ist. (3) Rotation des gesamten Planetensystems um das Zentrum des Spiralnebels Milchstraße (ω S ). Man kann jedoch den Einfluss der Drehungen (2) und (3) in guter Näherung gegen¨ uber Effekten der Drehung (1) vernachlässigen. Die Winkelgeschwindigkeit der Drehung (1) ist ω=

2π 2π = s−1 = 7.272 · 10−5 s−1 Tag 24 · 3600

ω˙ ≈ 0 .

Diese Zahl sieht nicht sonderlich eindrucksvoll aus. Betrachtet man jedoch ¨ die Geschwindigkeit eines Objektes am Aquator, so findet man die ganz beachtliche Geschwindigkeit von

306


km . h Die Erddrehung ist von Westen nach Osten (die Sonne geht im Osten auf), der Vektor ω zeigt demnach nach Norden. Betrachtet man eine Masse m, die auf der Erdoberfläche ruht, so wirken auf diese Masse aus der Sicht eines Koordinatensystems, das mit der Erde verbunden ist, die folgenden Kr¨ afte (Abb. 6.19, ω ˙ = 0 wird in guter Näherung vorausgesetzt). 3 vAq ¨ = RE ω = (6.38 · 10 km) ω ≈ 1670

ω

FG

ϕ

Fz

ϕ

Abb. 6.19. Kr¨ afte auf eine ruhende Masse auf der Erdoberfl¨ ache

(1) Die Gravitation F G = −mg mit der Richtung gegen den Erdmittelpunkt. |r| = RE . (2) Die Zentrifugalkraft F Z = −mω × (ω × r) ¨ und nach außen gerichtet. Der Vektor F Z ist parallel zu der Aquatorialebene Der Betrag dieses Vektors h¨ angt von der geographischen Breite ϕ ab FZ = mRE ω 2 cos ϕ . Diese Abh¨ angigkeit ergibt sich aus |ω × r| = RE ω sin(90◦ − ϕ) = RE ω cos ϕ und der Aussage, dass der Winkel zwischen den Vektoren ω × r und ω gleich 90◦ ist. Mit den angegebenen Werten f¨ ur RE und ω findet man f¨ ur die Zentrifugalbeschleunigung cm aZ = 3.4 cos ϕ 2 . s Im Vergleich zu der Gravitation mit cm aG = 980 2 s ist die Zentrifugalwirkung schwach (sie betr¨ agt höchstens 0.35 % der Gravitation), doch sind ihre Auswirkungen durchaus beobachtbar. Bei der Zerlegung von F Z in Komponenten in Richtung der Schwerkraft und einer dazu senkrechten Komponente (Abb. 6.19) findet man f¨ ur die Gesamtbeschleunigung in der Vertikalen g eff = g + aZV = −(g − ω 2 RE cos2 ϕ)er .


307

Die Erdbeschleunigung wird in Abh¨ angigkeit von der geographischen Breite geringf¨ ugig abgeschw¨ acht. Die Abschw¨ achung verschwindet an den Polen (ϕ = ±π/2). Der Betrag der Horizontalkomponente ist aZH = ω 2 RE cos ϕ sin ϕ . Die Richtung ist nach S¨ uden auf der n¨ ordlichen Halbkugel und nach Norden auf der s¨ udlichen Halbkugel. Die Abh¨ angigkeit von der Breite (nördliche Halbkugel) ist in Abb. 6.20 illustriert. Unter dem Einfluss dieser Kraftkoma ZH

45 0

0

900

ϕ

Abb. 6.20. Horizontalkomponente der Zentrifugalbeschleunigung auf der n¨ ordlichen Halbkugel

¨ ponente sollten sich Objekte in Richtung des Aquators bewegen. Dies findet jedoch nicht statt. Ein Grund (neben Reibung) ist: Die Erde ist keine Kugel, sondern ein Geoid. Die Erde hat plastische Eigenschaften und hat sich im Laufe ihrer Existenz schon den Zentrifugalkr¨ aften angepasst. Die Massenverteilung der Erde ist n¨ aherungsweise so, dass der Vektor g − ω × (ω × r) immer senkrecht auf der Tangentialebene an die Erdoberfläche steht. 6.2.3.1 Der freie Fall auf der rotierenden Erde. Die Beschreibung des freien Falls aus der Sicht der rotierenden Erde muss die Scheinkäfte einbeziehen. Ein Objekt, das aus der H¨ ohe h auf die Erde fällt, erfährt aufgrund der Corioliskraft eine Abweichung von der Vertikalen. Diese Abweichung soll berechnet werden. Man benutzt dazu (wie in dem eigentlichen Experiment) ein lokales Koordinatensystem (Abb. 6.21). Das Koordinatensystem sitzt auf ω

q3 90- ϕ

q1 ϕ

Abb. 6.21. Lokales Koordinatendreibein, angedeutet

der Oberfl¨ ache des Geoids und zwar so, dass die q1 -Richtung die Nord-S¨ ud

308


Tangente, die q2 -Richtung die West-Ost Tangente und die q3 -Richtung die Vertikale darstellt. Die Bewegungsgleichungen f¨ ur den freien Fall auf der rotierenden Erde (ω˙ = 0) sind maR = mg eff − 2m(ω × v R ) .

(6.81)

Zentrifugaleffekte sind in g eff einbezogen. F¨ ur die Zerlegung der Vektoren in Komponenten in Bezug auf das lokale Koordinatensystem ist die Annahme einer Kugelgeometrie akzeptabel. Man findet in Abhängigkeit von der geographischen Breite ϕ ω = −ω cos ϕε1 + ω sin ϕε3

(6.82)

und erh¨ alt f¨ ur den relevanten Faktor der Corioliskraft ε1 ε2 ε3 ω × v R = −ω cos ϕ 0 ω sin ϕ q˙1 q˙2 q˙3 = (−ω q˙2 sin ϕ)ε1 +(ω q˙1 sin ϕ + ω q˙3 cos ϕ)ε2 + (−ω q˙2 cos ϕ)ε3 . Die Komponentendarstellung der Bewegungsgleichungen ist also 2ω q˙2 sin ϕ q¨1 = q¨2 = −2ω q˙1 sin ϕ −2ω q˙3 cos ϕ 2ω q˙2 cos ϕ −geff . q¨3 =

(6.83)

Die offensichtliche Symmetrie dieses Gleichungssystems ist kein Zufall, sondern eine Konsequenz des Energiesatzes. Multipliziert man die i-te Gleichung ucke, so ergibt sich mit q˙i und addiert diese Ausdr¨ 3

q˙i qï + geff q˙3 = 0 .

i=1

Dies kann man auch in der Form schreiben " # d 1 2 1 d q˙ + geff q3 = (T + Ueff ) = 0 . dt 2 i m dt i

(6.84)

Die Corioliskraft leistet keine Arbeit, da sie zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf der momentanen Bewegungsrichtung steht. Eine gen¨ aherte L¨ osung der Differentialgleichungen (6.83) f¨ ur den freien Fall auf der rotierenden Erde kann man mit dem folgenden Argument gewinnen: Es ist wegen des kleinen Wertes von ω zu erwarten, dass die Abweichungen von der Vertikalen gering sind. Man kann also q˙1 und q˙2 in den Bewegungsgleichungen im Vergleich zu q˙3 vernachlässigen. Die genäherten Bewegungsgleichungen sind somit


309

q¨1 = 0 q¨2 = −2ω q˙3 cos ϕ

(6.85)

q¨3 = −geff . Zur Interpretation des ‘Standardfallexperimentes‘ benutzt man die Anfangsbedingungen q1 (0) = q2 (0) = 0

q3 (0) = h

q˙i (0) = 0

(i = 1, 2, 3) .

Das Objekt befindet sich anf¨ anglich in der H¨ ohe h u ¨ber der Erdoberfläche (in Ruhelage in Bezug auf die rotierende Erde). Die Lösungen der ersten und der dritten Gleichung in (6.85) sind dann 1 q3 (t) = h − geff t2 . (6.86) 2 Setzt man die L¨ osung f¨ ur q3 in die zweite Differentialgleichung ein, so erhält man mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen q1 (t) = 0

1 3 ωt geff cos ϕ . (6.87) 3 Man findet eine Abweichung von der Vertikalen in östlicher Richtung auf der nördlichen wie auf der s¨ udlichen Halbkugel (−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2). Setzt man z.B. die Werte h = 100 m und geff = 9.8 m/s2 ein, so erhält man aus der Lösung f¨ ur q3 q2 =

q3 (T ) = 0 = 100 − 4.9 T 2 die Fallzeit zu T = 4.52 s und f¨ ur die Ostabweichung bei einer geographischen Breite ϕ von 45◦ q2 (T ) ≈ 1.6 cm . Die Abweichung ist zwar klein, aber messbar. Man kann durch Messung der Ostabweichung einen experimentellen Nachweis der Erdrotation erbringen. Die Schritte f¨ ur die exakte L¨ osung der Differentialgleichungen (6.83) sind D.tail 6.4 (Teil 1) zusammengestellt. Mit den Anfangsbedingungen f¨ ur in den freien Fall aus der Ruhelage findet man die Lösung ABg 1 2 q1 (t) = (ωt) + (cos 2ωt − 1) 8ω 4 2 Bg q2 (t) = 4ω 3

1 (ωt) − sin 2ωt 2

1 B2g q3 (t) = h − gt2 + 2 8ω 4

1 (ωt)2 + (cos 2ωt − 1) . 2

Die Gr¨ oßen A und B stehen f¨ ur

(6.88)

310


A = 2ω sin ϕ

B = 2ω cos ϕ .

(6.89)

Zu dieser L¨ osung bieten sich die folgenden Bemerkungen an: 1. Mit der Reihenentwicklung f¨ ur sin ωt und cos ωt erhält man in niedrigster Ordnung die zun¨ achst gewonnene N¨ aherung. Bei Einbeziehung weiterer Terme der Entwicklung kann man etwas genauere Näherungsformeln gewinnen. 2. Zus¨ atzlich zu der Ostabweichung gibt es auf der nördlichen Halbkugel (0 < ϕ < π/2) eine S¨ udabweichung. F¨ ur die Werte h = 100 m und ϕ = 45◦ ist diese 1.8 10−4 cm, also praktisch nicht messbar. Das Auftreten der Ostabweichung kann man in qualitativer Weise auch folgendermaßen einsehen: Aus der Sicht eines Inertialsystems hat der Auftreffpunkt die Bahngeschwindigkeit vauf = RE ω cos ϕ. Die Masse in der Höhe h hatte jedoch die Bahngeschwindigkeit vm = (RE + h)ω cos ϕ. Das fallende Objekt hat also gegen¨ uber dem Auftreffpunkt eine etwas größere Anfangsgeschwindigkeit in Ostrichtung und wird somit nach Absolvierung der Fallbewegung ¨ ostlich von diesem auftreffen. 6.2.3.2 Der freie Wurf auf der rotierenden Erde und verwandte Effekte. Ein zweiter Satz von Anfangsbedingungen q1 (0) = q2 (0) = q3 (0) = 0 q˙1 (0) = v1

q˙2 (0) = 0

q˙3 (0) = v3 > 0

beschreibt eine Projektilbewegung auf der rotierenden Ebene mit anfänglicher ud-Nord (v1 < 0) Richtung. Die Bewegung in der Nord-S¨ ud (v1 > 0) oder S¨ Aufg. 6.4) spezielle L¨ osung ist in diesem Fall (siehe ABg 1 2 (cos 2ωt − 1) q1 (t) = v1 t + + (ωt) 8ω 4 2 1 A + 3 (Av1 + Bv3 ) sin 2ωt − (ωt) 4ω 2 Bg 1 sin 2ωt (ωt) − 4ω 3 2 1 + 2 (Av1 + Bv3 ) {cos 2ωt − 1} 4ω 1 2 B2g 1 2 q3 (t) = v3 t − gt + (ωt) + (cos 2ωt − 1) 2 8ω 4 2 B 1 + 3 (Av1 + Bv3 ) sin 2ωt − (ωt) . 4ω 2

q2 (t) =

(6.90)

Auch hier gibt es eine Ost- oder West-Abweichung. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von v1 = 500 m/s und v3 = 100 m/s in nördlicher Richtung,


311

mit einer Wurfweite von ca. 10 km betr¨ agt diese Abweichung von der Zielrichtung bis zu 15 m. Es ist also nicht verwunderlich, dass die Zielberechnungen f¨ ur die ersten Gesch¨ utze mit einer gr¨ oßeren Reichweite, die ohne die Einbeziehung der Erdrotation durchgef¨ uhrt wurden, nicht den gew¨ unschten Erfolg hatten. Effekte der Corioliswirkung sind außerdem bei den folgenden Phänomenen zu beobachten: (1) (2) (3) (4) (5)

Die Bildung von Zyklonen. Der Verlauf des Golfstromes. Der Verlauf von Fl¨ ussen. Die Wirbelbildung beim Entleeren einer Badewanne. Das Foucaultsche Pendel.

In den ersten beiden Beispielen orientiert sich der Drehsinn an der Wirkung der Scheinkr¨ afte. Zyklone auf der n¨ ordlichen Halbkugel drehen sich, ebenso wie der Golfstrom, im Mittel im Uhrzeigersinn. Die Wirkung der Ostabweichung wird (cum grano salis) an der Abweichung der nach Norden fließenden sibirischen Fl¨ usse in ¨ ostlicher Richtung sichtbar, da in der nordsibirischen Ebene nur geringe geographische Hindernisse der Wirkung der Corioliskraft entgegenstehen. Die unterschiedliche Richtung der Wirbel beim Entleeren einer Badewanne auf der n¨ ordlichen und der s¨ udlichen Halbkugel ist oft diskutiert, doch, infolge ‘technischer Schwierigkeiten‘ nie eindeutig beobachtet worden. Das Foucaultpendel ist ein mathematisches Pendel (ein Pendel mit einer konstanten Schwingungsebene), dessen Bewegung aus der Sicht der rotierenden Erde betrachtet wird. Es kann somit zum Nachweis der Auswirkungen der Corioliskraft bzw. der Erdrotation dienen. 6.2.3.3 Das Foucaultpendel. Die zust¨ andigen Bewegungsgleichungen (und Anordnung des lokalen Koordinatensystems) entsprechen den Gleichungen (6.83) des freien Falls auf der rotierenden Erde. Um die Zwangsbedingung der festen Fadenl¨ ange ( ) m 2 q1 + q22 + q32 − l2 = 0 2 einzubeziehen, bietet sich eine Formulierung nach Lagrange I an 2ω q˙2 sin ϕ +λq1 q¨1 = q¨2 = −2ω q˙1 sin ϕ −2ω q˙3 cos ϕ +λq2 q¨3 = 2ω q˙2 cos ϕ −geff +λq3 .

(6.91)

F¨ ur kleine Auslenkungen des Pendels aus der Ruhelage gelten bei gen¨ ugend großer Fadenl¨ ange die Aussagen q1 q2 , 1. l l Die Zwangsbedingung

312


q3 = ±l 1 −

q 2 1

l

−

q 2 1/2 2

l

ergibt nach Entwicklung mit der binomischen Reihe

1 q1 2 q2 2 q3 = ±l 1 − − + ... . 2 l l Man kann somit (unter Beachtung der Orientierung von q3 ) in nullter Ordnung q3 = −l setzen, die Gr¨ oßen (q1 /l) und (q2 /l) gelten als Größen erster Ordnung. Die dominanten Beitr¨ age in der dritten der Bewegungsgleichungen (6.91) sind die Schwerkraft (setze gef f ≡ g) und die Zwangskraft, die Ableitung q¨3 ist von zweiter und der Coriolisterm von erster Ordnung. Es ist also in nullter Ordnung λ = −(g/l) und in konsistenter erster Ordnung verbleiben die Bewegungsgleichungen g q¨1 = 2ω q˙2 sin ϕ − q1 l (6.92) g q¨2 = − 2ω q˙1 sin ϕ − q2 , l oherer Ordnung vernachlässigt werden kann. da der Term in q˙3 als Beitrag h¨ Zur weiteren Diskussion des Gleichungssystems (6.92) ist eine komplexe Zusammenfassung mit u = q1 + i q2 und die Abk¨ urzung R = ω sin ϕ n¨ utzlich. Die resultierende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten g (6.93) u ¨ + 2 i R u˙ + u = 0 l kann mit dem Standardexponentialansatz gelöst werden. Die allgemeine L¨ osung ist u(t) = C1 ei α1 t + C2 ei α2 t mit den Wurzeln α1,2 = −R ±

(6.94)

R2 + (g/l)

der charakteristischen Gleichung. Das urspr¨ ungliche Foucaultexperiment wurde 1851 durchgef¨ uhrt. Das Pendel wurde nach S¨ uden ausgelenkt (q1 (t = 0) = C, q2 (t = 0) = 0) und ohne Anstoß (q˙1 (0) = q˙2 (0) = 0) in Bewegung gesetzt. Mit diesen Anfangsbedingungen findet man u ¨ ber C1 + C2 = C

α1 C1 + α2 C2 = 0

f¨ ur die Integrationskonstanten " # C R Cα2 = 1+ C1 = − (α1 − α2 ) 2 R2 + (g/l) # " C R Cα1 . = 1− C2 = (α1 − α2 ) 2 R2 + (g/l)


313

Das Pendel f¨ uhrt bei diesen Anfangsbedingungen aus der Sicht der rotierenden Erde eine Rosettenbewegung (Abb. 6.22) aus. Um diese Aussage zu belegen, berechnet man zun¨ achst die Zeitableitung der Funktion u(t) ( i α1 t ) i α2 t u˙ = i α1 C1 e −e

g 1/2 Cg −i R t 2 =− e sin R + t . (6.95) l l R2 + (g/l) Diese Ableitung hat den Wert Null, falls das Argument der Sinusfunktion ein Vielfaches von π ist, also wenn 2 1/2 R + (g/l) t = kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .) ist. Mit der Ableitung der komplexen Funktion u sind auch die Zeitableitungen der Koordinaten q1 und q2 gleich Null. Dies bedingt das Auftreten von Spitzen in der Bahnkurve f¨ ur kπ τk = R2 + (g/l)

(k = 0, ±1, ±2, . . .) .

Diese Zeiten entsprechen bei Abwesenheit der Corioliskraft (R = 0) genau den Umkehrzeiten des gew¨ ohnlichen mathematischen Pendels in der harmonischen N¨ aherung (4.35). In dem Zeitintervall von 0 bis τ1 bewegt sich das Pendel (aus der Sicht der rotierenden Erde) nicht genau nach Norden, sondern erreicht einen Punkt, der durch u(τ1 ) = C1 e−i(R τ1 −π) + C2 e−i(R τ1 +π) = −Ce−iR τ1 ,

(6.96)

beziehungsweise durch q1 (τ1 ) = −C cos(R τ1 )

q2 (τ1 ) = C sin(R τ1 )

gekennzeichnet ist (Abb. 6.22a). Der erste Umkehrpunkt des Pendels liegt im (a)

(b)

(c)

τ1

τ1

q2

q2

τ2 q1

Umkehrpunkte f¨ ur eine Periode

q1

Rosettenmuster

Abb. 6.22. Das Foucaultpendel

q2

90 o o 60 o 45 o 30

q1

Erste Periode f¨ ur ϕ = 30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦

314


Nordosten. Dieser Punkt ist um den Winkel Δφ1 (abhängig von der geographischen Breite ϕ) mit Δφ1 = ωτ1 sin ϕ gegen die Nord-S¨ ud Richtung gedreht. Allgemein werden die Umkehrpunkte durch die Koordinaten q1 (τk ) = (−1)k C cos(R τk )

q2 (τk ) = (−1)k+1 C sin(R τk )

beschrieben. So liegt der zweite Umkehrpunkt (mit k = 2) im S¨ udwesten. Diese Rotation der Schwingungsebene, die sich nach dem angedeuteten Muster fortsetzt (Abb. 6.22b), ist einzig auf die Wirkung der Corioliskraft zur¨ uckzuf¨ uhren (sie verschwindet f¨ ur R = 0). Ihre experimentelle Verifikation5 ist somit ein Nachweis der Erdrotation. Die Variation der Rotation der Schwingungsebene des Pendels mit der geographischen Breite ist in Abb. 6.22c zu erkennen, die die erste Schwingungsperiode f¨ ur ϕ -Werte von 30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦ (von links nach rechts) zeigt. Das letzte Thema unter dem Stichwort ‘Anwendungen der Lagrangegleichungen‘ ist die Bewegung starrer K¨ orper. In der Hauptsache geht es um die Drehung starrer K¨ orper in der Kreiseltheorie. Von den zahlreichen, interessanten Aspekten dieser Theorie werden jedoch nur die einfachsten angesprochen.

6.3 Die Bewegung starrer K¨ orper Die Beschreibung der Bewegung von ausgedehnten Objekten ist aufwendiger als die Beschreibung der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes. Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn man voraussetzt, dass der Körper starr ist. Als einen starren K¨ orper bezeichnet man ein System von Massenpunkten, deren Abst¨ ande sich nicht mit der Zeit ver¨ andern. Ein starrer Körper besitzt (außer f¨ ur eine Hantel aus zwei Massenpunkten) 6 Freiheitsgrade, die der Translation eines Bezugspunktes in dem Körper (oft zweckm¨ aßigerweise der Schwerpunkt) und einer Drehung des Gesamtkörpers entsprechen. Die mathematische Fassung der Drehbewegung erfordert einigen Aufwand. Man kann (wie in Kap. 6.3.2 gezeigt) diese Bewegung durch die Komponenten der Drehgeschwindigkeit (ωμ , μ = 1, 2, 3) in einem körperfesten Koordinatensystem charakterisieren. Die kinetische Energie der Rotation hat dann die Form Trot = 5

3 1 Iμν ωμ ων , 2 μ,ν=1

Im Deutschen Museum in M¨ unchen nachzuempfinden. D.tail 6.4 (Teil 2) enth¨ alt ein Applet zur Illustration der Zeitentwicklung des Foucaultpendels

6.3 Die Bewegung starrer K¨ orper

315

wobei die 3 × 3 Matrix Î = [Iμν ] das Tr¨ agheitsverhalten des Körpers bei Drehungen bestimmt. Details zu dem Thema ‘Trägheitsmatrix‘ werden in Kap. 6.3.2 vorgestellt. Die Tatsache, dass das Tr¨ agheitsverhalten durch eine Matrix (und nicht wie bei der Translation durch eine Zahl, einen Skalar) bestimmt wird, bedingt unter anderem eine Matrixbeziehung zwischen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit (Kap. 6.3.3). Daraus ergibt sich auch f¨ ur einfache Situationen (wie den kr¨ aftefreien symmetrischen Kreisel) ein komplexeres Bewegungsmuster. Da zu den Drehgeschwindigkeitskomponenten ωμ keine generalisierten Koordinaten gefunden werden k¨ onnen, m¨ ussen diese mit der expliziten Beschreibung der Drehbewegung (meist mittels der sogenannten Eulerwinkel als generalisierten Koordinaten) in Verbindung gebracht werden. Die aus ¨ diesen Uberlegungen resultierenden Bewegungsgleichungen (Kap. 6.3.4) sind nicht einfach zu handhaben. Trotzdem werden nach der Aufstellung dieser ‘Kreiselgleichungen‘ eine kleine Auswahl von Anwendungsbeispielen diskutiert werden (Kap. 6.3.5). 6.3.1 Vorbereitung Der erste Punkt, der zu kl¨ aren ist, ist die Charakterisierung eines starren K¨ orpers. Es ist offensichtlich, dass es in der Natur keine absolut starren K¨ orper gibt. Alle Objekte sind bei gen¨ ugend starker Einwirkung deformierbar. Doch ist das Konzept in vielen Situationen eine ausgezeichnete Näherung. Man kann sich durch einfaches Abz¨ ahlen davon u ¨berzeugen, dass die Zahl der Freiheitsgrade eines starren K¨ orpers immer 6 ist, solange die Zahl der Massenpunkte größer oder gleich 3 ist (Abb. 6.23). Ist die Anzahl der Mas-

N=2

N=3

N=4

N=5

Abb. 6.23. Einfache starre K¨ orper

senpunkte N gleich 2, so entsteht ein starrer Körper, wenn die beiden Massenpunkte durch eine feste Stange verbunden werden. Die Zahl der Freiheitsur grade NF = 6 wird durch eine Zwangsbedingung auf 5 eingeschränkt. F¨ einen starren K¨ orper mit drei beziehungsweise vier Massenpunkten benötigt man drei (Dreieck) beziehungsweise sechs (Tetraeder) Stangen. Die Zahl der allen auf 6 reduziert. Von diesem Freiheitsgrade NF = 3 × N wird in beiden F¨ Punkte an wird die Situation folgendermaßen u ur jede weitere ¨berschaubar: F¨ Masse ben¨ otigt man drei neue Bedingungen, um die Position der zusätzlichen

316


Masse in Bezug auf den Restk¨ orper festzulegen. Hätte man zum Beispiel nur zwei zus¨ atzliche Bedingungen, so k¨ onnte der zusätzliche Massenpunkt gegen den Restk¨ orper eine schwingende Bewegung ausf¨ uhren, wäre also nicht starr. Die drei neuen Freiheitsgrade werden sofort durch die drei Bedingungen eingefroren, und es ist immer NF = 6

fu ¨r alle

N ≥3.

¨ Im Endeffekt interessiert insbesondere ein Ubergang von einer diskreten zu einer kontinuierlichen Massenverteilung (vergleiche Kap. 3.2.4.1, S. 128). Um Bewegungsgleichungen f¨ ur einen starren Körper zu gewinnen, kann man den Lagrangeformalismus benutzen. Dazu muss man die folgenden Schritte ins Auge fassen: (1) Betrachte die Lagrangefunktion f¨ ur ein System von N Massenpunkten mit (3N − 6) Zwangsbedingungen. W¨ ahle sechs nichttriviale, generalisierte Koordinaten. (2) Stelle die Lagrangefunktion als Funktion der generalisierten Koordinaten dar und berechne die Bewegungsgleichungen nach Standardvorschrift. ¨ (3) Gegebenenfalls folgt noch der Schritt: Vollziehe den Ubergang von einer diskreten zu einer kontinuierlichen Massenverteilung. Setzt man die Lagrangefunktion f¨ ur einen starren Körper aus N Massenpunkten in der Form an 1 1 mi vi2 − U (r i ) − V (|r i − rk |) , (6.97) L= 2 i 2 i i=k

so ist Folgendes zu bemerken: H¨ angt die innere potentielle Energie (wie angedeutet) nur von den Abst¨ anden der Massenpaare ab, so gilt wegen der Konstanz der Abst¨ ande 1 Vi,k = const. V = 2 i,k

Die innere potentielle Energie ist demnach nicht von Interesse und man kann sich auf die Betrachtung von L = T − U beschränken. Die Wahl der (3N − 6) ignorablen generalisierten Koordinaten ist trivial 2 q7 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 − l12 =0

.. .

.. .

.. .

2 q3N = (xN − xN −1 )2 + . . . + (zN − zN −1 )2 − lN −1,N = 0 ,

ande zwischen den Massenpaaren darwobei die Gr¨ oßen lik die festen Abst¨ stellen. Eine m¨ ogliche Wahl der verbleibenden, sechs nichttrivialen generalisierten Koordinaten kommt in dem Theorem von Chasles zum Ausdruck: Die allgemeine Bewegung eines starren K¨ orpers setzt sich aus einer Translation und einer Drehung des Gesamtsystems zusammen.


317

Zur Illustration dieses Theorems (Abb. 6.24) gen¨ ugt es, in einem starren K¨ orper drei Punkte zu betrachten. Diese drei Punkte kann man von einer gegebenen Anfangssituation in eine gegebenen Endsituation u uhren, indem ¨ berf¨ man die drei Punkte um eine geeignete Achse dreht und dann parallelverschiebt. Die Reihenfolge dieser Schritte ist offensichtlich vertauschbar. (a)

(b)

(c)

m3

m2

m3

m2

m2

m1

m1

m1

m2

m1

m2 m3

Ausgangsposition

m1

Drehung

m3

m3

Translation

Abb. 6.24. Illustration des Theorems von Chasles

6.3.2 Die kinetische Energie eines starren K¨ orpers F¨ ur die Beschreibung der Translation ben¨ otigt man einen geeigneten Bezugspunkt in dem K¨ orper. Es bietet sich der Schwerpunkt an R=

N 1 mi r i M i=1

M=

mi .

i

Die drei Schwerpunktkoordinaten k¨ onnen als die ersten drei, relevanten generalisierten Koordinaten dienen. Die Beschreibung der Drehung ist etwas komplizierter. Die generalisierten Koordinaten zur Beschreibung der Drehbewegung werden erst in Kap. 6.3.4 festgelegt. Man charakterisiert die Bewegung eines starren K¨ orpers zun¨ achst durch die Wahl von zwei geeigneten Koordinatensystemen. 6.3.2.1 Das k¨ orperfeste Koordinatensystem. Koordinatensystem 1 ist ein Inertialsystem, das raumfeste Koordinatensystem. Es entspricht dem Standpunkt eines außenstehenden Beobachters. Koordinatensystem 2 ist ein k¨ orperfestes Koordinatensystem. Dieses ist fest mit dem starren Körper verbunden. Als Ursprung dieses Koordinatensystems kann man den Schwerpunkt w¨ ahlen. Diese Wahl ist nicht notwendig, vereinfacht jedoch (wie gezeigt wird) die Diskussion. Dieses Koordinatensystem ist, infolge der möglichen Drehbewegung des K¨ orpers, kein Inertialsystem. F¨ ur die Position jeder Masse gilt r i (t) = RS (t) + r iS (t) .

(6.98)

318


z riS RS

ri y Abb. 6.25. Position eines Massenelementes aus der Sicht des k¨ orperfesten Schwerpunktsystems

x

Die Position des i -ten Massenpunktes aus der Sicht des raumfesten Systems r i ist gleich der Position des Schwerpunktes RS und der Position in Bezug auf ¨ ur die zeitliche Anderung der Koordinaten den Schwerpunkt riS (Abb. 6.25). F¨ (die Geschwindigkeit) gilt im Einklang mit dem Theorem von Chasles v i (t) = V S (t) + ω(t) × riS (t)

V S = R˙ S .

(6.99)

Die Geschwindigkeit jeder Masse aus der Sicht des raumfesten Systems ist gleich der Geschwindigkeit des Schwerpunktes plus einer Drehbewegung. Zur Begr¨ undung dieser Relation benutzt man das folgende eigenständige Argument: Man setzt sich zun¨ achst in den Schwerpunkt und bringt dort ein Inertialsystem (I) an. Die Geschwindigkeit der i -ten Masse aus der Sicht von I ist (vergleiche (6.64), S. 299) (I)

(K)

vi = v i

+ ω × r iS .

(K)

v i ist die Geschwindigkeit der Masse aus der Sicht des körperfesten Systems. Da sich der K¨ orper jedoch mit dem System dreht, ist per Definition (K) atzliche Translation des Schwerpunkv i = 0. Betrachtet man nun eine zus¨ tes, so folgt (I)

v i (t) = V S (t) + v i (t) = V S (t) + ω(t) × r iS . Man beachte, dass der Vektor riS in dem rotierenden System nicht von der Zeit abh¨ angt. Die momentane Drehachse (beschrieben durch den Vektor ω(t)) kann ihre Richtung (und ihren Betrag) mit der Zeit a¨ndern. 6.3.2.2 Die kinetische Energie der Drehbewegung im schwerpunktbezogenen, k¨ orperfesten Koordinatensystem. Nach der Wahl der Bezugssysteme kann man die kinetische Energie des starren Körpers durch die Schwerpunktgeschwindigkeit und die Drehgeschwindigkeit darstellen. Der Ausgangspunkt ist 1 T = mi v 2i 2 i 1 = mi V 2S + 2V S · (ω × riS ) + (ω × riS ) · (ω × r iS ) . (6.100) 2 i Der erste Term beschreibt die kinetische Energie der Translation


319

M 2 V . (6.101) 2 S Der zweite Term verschwindet f¨ ur das schwerpunktbezogene körperfeste System, denn es gilt gem¨ aß der Definition des Schwerpunktes als Ursprung dieses Systems mi riS = 0 . Ttrans =

i

Der dritte Term, der im Endeffekt als kinetische Energie der Rotation interpretiert werden kann, erfordert eine etwas l¨ angere Diskussion. Zur ersten Umschreibung benutzt man eine Standardformel aus der Vektorrechnung (siehe Math.Kap. 3.1.2) (a × b) · (a × b) = a2 b2 − (a · b)2 . Aufgrund dieser Relation ergibt sich 1 Trot = mi r2iS ω 2 − (r iS · ω)2 . 2 i Zur detaillierten Auswertung zerlegt man dann die beiden Vektoren ω und r iS in Bezug auf das körperfeste Bezugssystem. Komponenten der Vektoren in dem k¨ orperfesten System werden vorl¨ aufig durch einen Strich ( ) gekennzeichnet 1 mi (xi2 + yi2 + zi 2 )(ωx2 + ωy2 + ωz2 ) Trot = 2 i −(xi ωx + yi ωy + zi ωz )2 . Sammelt man die Faktoren der Produkte der Drehgeschwindigkeitskomponenten, so erh¨ alt man im Detail 1 2 2 mi (yi + zi ) ωx + − mi xi yi ωx ωy Trot = 2 i i + − mi xi zi ωx ωz + − mi xi yi ωx ωy +

mi (xi + zi )2 ωy2 + −

i

i

i

+ − +

i

mi xi zi ωx ωz + −

i

i

!

mi (xi2 + yi 2 ) ωz2

mi y i z i ω y ω z

i

.

mi y i z i ω y ω z

320


Die Faktoren vor den Produkten der Drehgeschwindigkeitskomponenten sind zeitunabh¨ angig. Sie h¨ angen nur von der Geometrie und der Massenverteilung des starren K¨ orpers ab. Um die obige Gleichung in eine kompaktere Form zu bringen, nummeriert man die k¨ orperfesten Koordinaten durch (xi → x1i , yi → x2i , . . . ωx → ω1 , etc.) und fasst die Faktoren als Elemente einer 3 × 3 Matrix auf N 3 mi δμν x2λi − xμi xνi (μ, ν = 1, 2, 3) . (6.102) Iμν = i=1

λ=1

Dies entspricht im Detail I11 =

N

mi (x22i + x23i )

I12 = −

i=1

Die Matrix Î(S)

N

mi (x1i x2i )

etc.

i=1

⎞ I11 I12 I13 ≡ Î = ⎝ I21 I22 I23 ⎠ I31 I32 I33 KF ⎛

(6.103)

bezeichnet man als die Tr¨ agheitsmatrix oder den Trägheitstensor6. Die diagonalen Elemente der Matrix sind die Tr¨ agheitsmomente in Bezug auf die drei Achsen des k¨ orperfesten Koordinatensystems. Die außerdiagonalen Elemente bezeichnet man als Deviationsmomente. Man findet Iμν = Iνμ , die Matrix ist symmetrisch. Es gibt also sechs unabhängige Größen, die das Tr¨ agheitsverhalten des starren K¨ orpers bei Drehbewegungen beschreiben. Die gesamte kinetische Energie des starren Körpers ist somit M 2 1 V + Iμν ωμ ων . (6.104) T = Ttrans + Trot = 2 S 2 μν Der zweite Term ist auf das k¨ orperfeste schwerpunktorientierte Koordinatensystem bezogen, das nunmehr durch griechische Indices gekennzeichnet ist. Um diesen Term in noch kompakterer Form zu schreiben, benutzt man die Matrix (6.103) und den Vektor ⎛ ⎞ ω1 . ω = ⎝ ω2 ⎠ ω3 KF Es ist dann 6

Die Bezeichnung Tensor spricht, wie auf S. 330 kurz erl¨ autert wird, die Transformationseigenschaften gegen¨ uber linearen Transformationen an. Falls nicht anders durch Superskripte vermerkt, sind die Elemente auf das k¨ orperfeste Schwerpunktsystem bezogen.


Trot =

1 Tˆ ω Iω 2

⎛

⎞ ⎛ ⎞ I11 . . . I13 ω1 1 ⎜ ⎟ . = (ω1 , ω2 , ω3 )KF ⎝ ... . . . ... ⎠ ⎝ ω2 ⎠ 2 ω 3 I31 . . . I33 KF KF

321

(6.105)

6.3.2.3 K¨ orperfeste Koordinatensysteme mit beliebigem Bezugspunkt. H¨ atte man anstelle des Schwerpunktes einen anderen Bezugspunkt O gew¨ ahlt (Abb. 6.26a), der fest mit dem starren Körper verbunden ist, so gilt immer noch eine Relation der Form (6.99) v i = V O + (ω × r iO ) .

(6.106)

Zum Beweis beginnt man mit v i = V S + (ω × r iS ) . Die Position des Schwerpunktes und des neuen Bezugspunktes ist durch RS (t) = a(t) + RO (t)

(6.107)

verkn¨ upft (Abb. 6.26b). Der Vektor a ¨ andert seine Richtung mit der Zeit, (a)

(b) I

K

z

riO a

r iS

RO RS

S

y x

Koordinatensysteme

Positionsvektoren

Abb. 6.26. Beliebiger Bezugspunkt im k¨ orperfesten System

sein Betrag ist jedoch zeitunabh¨ angig (|a(t)| = const.), da Anfangs- und Endpunkt dieses Vektors fest mit dem starren Körper verbunden sind. Es gilt außerdem r iO = a + r iS .

(6.108)

Die Geschwindigkeit des Punktes O aus der Sicht des raumfesten Koordinatensystems wird durch V O = V S − (ω × a) beschrieben. Der Punkt O bewegt sich translativ mit dem Schwerpunkt und dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω (wie jeder körperfeste Punkt) um diesen. Mit den bereitgestellten Aussagen erhält man

322


v i = V S + (ω × riS ) = V O + (ω × a) + ω × (riO − a) = V O + (ω × r iO ) . Das schwerpunktbezogene k¨ orperfeste Koordinatensystem und ein auf einen beliebigen Punkt bezogenes k¨ orperfestes Koordinatensystem sind gleichberechtigt. Die Geschwindigkeit eines Punktes des starren Körpers ergibt sich aus der Geschwindigkeit des Ursprungs des k¨ orperfesten Koordinatensystems plus einer Drehung um eine (momentane) Achse durch den Bezugspunkt. In der Gleichung (6.99) als auch in der Gleichung (6.106) tritt der gleiche Vektor ω auf. Dies bedeutet, dass die Drehachsen durch die zwei verschiedenen Bezugspunkte in dem starren K¨ orper zu jedem Zeitpunkt parallel orientiert sind. Zu der Diskussion der kinetischen Energie ist jedoch zu bemerken: Die Summe i mi riO verschwindet nicht. Aus diesem Grund ist die Zerlegung der kinetischen Energie eines starren K¨ orpers, dargestellt in einen körperfesten Koordinatensystem mit beliebigem Bezugspunkt, im Allgemeinen nicht in einen Translations- und einen Rotationsanteil zerlegbar. 6.3.3 Die Struktur der Tr¨ agheitsmatrix Vor der Festlegung der generalisierten Koordinaten zur Beschreibung der Drehbewegung und der Diskussion der Bewegungsgleichungen ist ein näherer Blick auf die Trägheitsmatrix notwendig. Hat man eine kontinuierliche Massenverteilung so gilt f¨ ur die Gesamtmasse des starren K¨ orpers M= mi → ρ(r)dV V

i

und f¨ ur die Elemente der Tr¨ agheitsmatrix in dem körperfesten System ! 3 2 ρ(r) δμν xλ − xμ xν dV . (6.109) Iμν = V

λ=1

Die Berechnung der Elemente der Tr¨ agheitsmatrix einer kontinuierlichen Massenverteilung beinhaltet somit die Auswertung von Dreifachintegralen (siehe Math.Kap. 4.3.3). 6.3.3.1 Beispiele f¨ ur die Berechnung der Elemente der Tr¨ agheitsmatrix. Ein einfaches Beispiel (Beispiel 6.6) ist die Trägheitsmatrix einer Kugel (Radius R) mit einer homogenen Massenverteilung (Abb. 6.27a) ρ fu ¨r r ≤ R ρ(r) = 0 fu ¨r r > R .


323

Der Schwerpunkt ist offensichtlich der Mittelpunkt der Kugel. Wegen der Symmetrie spielt die Orientierung der Achsen keine Rolle. Zur Auswertung der Dreifachintegrale benutzt man zweckm¨ aßigerweise Zylinderkoordinaten Aufg. 6.6), da in dem Integranden der Abstand von (siehe jedoch auch der jeweiligen Koordinatenachse auftritt und nicht der Abstand von dem Schwerpunkt (Abb. 6.27b). So ist z.B. (a)

(b) x3

x3 r rS

x2 x1

K¨ orperfeste Koordinatenachsen

Wahl der Integrationsvariablen

Abb. 6.27. Berechnung der Tr¨ agheitsmatrix einer Kugel (homogene Massenverteilung)

( ) ρ(r) x21 + x22 dx1 dx2 dx3

I33 =

in Zylinderkoordinaten x1 = r cos ϕ

x2 = r sin ϕ

x3 = z

f¨ ur die vorgegebene homogene Massenverteilung R √(R2 −z2 ) 2π 3 dz r dr dϕ . I33 = ρ −R

0

0

Die Auswertung dieses Integrals ist eine Standardangelegenheit. Das Resultat ist 8 2 ρπR5 = M R2 , I33 = 15 5 wenn man den Ausdruck f¨ ur die Masse der Kugel 4 M = πρR3 3 benutzt. Die Berechnung der Deviationsmomente verläuft analog, so z.B. f¨ ur I23 = − ρ(r)x2 x3 dx1 dx2 dx3 √ 2 2 = −ρ =0

(R −z )

R

zdz −R

0

2π

r2 dr

sin ϕdϕ 0

2π

sin ϕdϕ = 0) .

(wegen 0

324


Infolge der Symmetrie gilt dann f¨ ur die gesamte Trägheitsmatrix ⎞ ⎛2 M R2 0 0 ⎟ ⎜5 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ Îhom. Kugel = ⎜ 0 (6.110) M R2 0 ⎟ . ⎟ ⎜ 5 ⎠ ⎝ 2 M R2 0 0 5 Alle Deviationsmomente verschwinden. Die Trägheitsmomente bzgl. der drei k¨ orperfesten Achsen sind, wie infolge der Symmetrie des Körpers zu erwarten, alle gleich. Die Berechnung der Tr¨ agheitsmomente ist einfacher, wenn man das folgende Argument benutzt. Da infolge der Symmetrie alle Trägheitsmomente gleich sind, kann man 6 R5 I11 + I22 + I33 = 3I = 2ρ = M R2 r2 dV = 8πρ 5 5 schreiben und das obige Ergebnis ablesen. Ein weiteres einfaches Beispiel (Beispiel 6.7) ist ein homogener W¨ urfel mit der Kantenl¨ ange a. Hier spielt die Orientierung der Achsen eine Rolle. Falls die Achsen senkrecht durch die Mitte der Seitenflächen verlaufen (Abb. 6.28a), findet man f¨ ur die Tr¨ agheitmatrix (als Spezialfall des Quaders in dem folgenden Beispiel) ⎞ ⎛1 0 M a2 0 ⎟ ⎜6 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 2 Îhom. Würfel = ⎜ (6.111) ⎜ 0 Ma 0 ⎟ . ⎟ ⎜ 6 ⎠ ⎝ 1 M a2 0 0 6 Eine explizite Rechnung f¨ ur eine beliebige Orientierung der Achsen durch den Schwerpunkt ist recht m¨ uhselig. Sie ist jedoch gemäß den Ausf¨ uhrungen in dem folgenden Abschnitt nicht notwendig. Die Berechnung der Tr¨ agheitsmatrix f¨ ur einen homogenen Quader (Beispiel 6.8) mit den Seitenl¨ angen a, b, c in den 1, 2, 3 -Richtungen ist ebenfalls einfach, falls die Achsen durch den Schwerpunkt senkrecht durch die Seitenflächen verlaufen (Abb. 6.28b). Man findet ( Aufg. 6.6) ⎞ ⎛ 1 M (b2 + c2 ) 0 0 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 2 2 Îhom. Quader = ⎜ ⎟ . (6.112) ⎜ M (a + c ) 0 0 ⎟ ⎜ 12 ⎠ ⎝ 1 2 2 M (a + b ) 0 0 12 Akzeptiert man die Aussagen zu dem Beispiel des W¨ urfels und des Quaders, so stellt man fest: Ob die Tr¨ agheitsmatrix eine Diagonalmatrix ist oder

6.3 Die Bewegung starrer K¨ orper (a)

325

(b)

c

a

a

a b

a

W¨ urfel

Quader

Abb. 6.28. Zur Berechnung der Tr¨ agheitsmatrix (homogene Massenverteilung)

nicht, scheint von der Orientierung der Achsen des körperfesten Koordinatensystems abzuh¨ angen. Sind die Achsen Symmetrieachsen, so ist die Trägheitsmatrix diagonal, im anderweitigen Fall treten Deviationsmomente auf. Einen Satz von k¨ orperfesten Achsen, f¨ ur den die Tr¨ agheitsmatrix diagonal ist, bezeichnet man als Haupttr¨ agheitsachsen. Die entsprechenden Trägheitsagheitsmomente. F¨ ur ein momente (Bezeichnung Iμ ) nennt man Haupttr¨ Hauptachsensystem vereinfacht sich der Ausdruck f¨ ur die kinetische Energie der Rotation 1 Iμ ωμ2 . (6.113) Trot = 2 μ 6.3.3.2 Das Hauptachsentheorem. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, f¨ ur jeden (beliebig geformten) starren K¨ orper ein körperfestes Koordinatensystem zu finden, so dass nur Hauptachsenträgheitsmomente auftreten. Die Antwort gibt das Hauptachsentheorem: F¨ ur jeden starren K¨ orper gibt es (mindestens) einen Satz von Hauptachsen. Der Beweis dieses Theorems soll in einigem Detail vorgestellt werden. Der ¨ Ubergang von einem beliebigen k¨ orperfesten System (1, 2, 3) zu einem potentiellen Hauptachsensystem (˜ 1, ˜ 2, ˜ 3) entspricht einer Drehung um eine Achse durch den gemeinsamen Koordinatenursprung (Abb. 6.29). Die Komponentenzerlegung eines Positionsvektors bez¨ uglich der beiden Koordinatensysteme wird durch eine Transformationsmatrix verkn¨ upft ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ D11 D12 D13 x1 x ˜1 ⎝x ˜2 ⎠ = ⎝ D21 D22 D23 ⎠ ⎝ x2 ⎠ , x ˜3 D31 D32 D33 x3 symbolisch ˆr. r˜ = D ˆ benötigt, ist: DrehunDie einzige Aussage, die man u ¨ ber die Drehmatrix D gen stellen orthogonale Transformationen dar. Diese werden durch (siehe Math.Kap. 3.2.3)

326


⇐⇒

Dki Dil = δkl

ˆT D ˆ ˆ =D ˆD ˆT = E D

ˆT = D ˆ −1 oder D

i

charakterisiert. Die gleiche Transformation gilt f¨ ur die Komponenten jedes anderen Vektors, so zum Beispiel f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit7 (zu jedem Zeitpunkt) ˆ ω(t) . ω ˜ (t) = D

(6.114)

3

~ 3

~ ω=ω

~ 2 2

1

~ 1

Abb. 6.29. Zu dem Hauptachsentheorem

Es folgt dann durch Einf¨ ugen der Einheitsmatrix und geeignete Auffächerung 1 1 ˆ Î E ˆω Trot = ω T Î ω = ωT E 2 2 1 ˆT D ˆ Î D ˆT D ˆ ω = 1ω ˆ Î D ˆT ω ˜. ˜T D = ωT D 2 2 ˆ Î D ˆ T entspricht der Tr¨ Die Matrix D agheitsmatrix in dem potentiellen Hauptachsensystem 1 T˜ ˜ Iω Trot = ω ˜. (6.115) 2 Die kinetische Energie als eine skalare Gr¨ oße hat in jedem Bezugssystem die gleiche Form. Die Relation ˆ Î D ˆ T = ˜I , (6.116) D ˆ von rechts ˆ T von links oder mit D oder nach Multiplikation mit D ˆ T ˜I ˆ Î = ˜I D ˆ, Î D ˆT = D bzw. D lautet, falls das zweite System ein Hauptachsensystem ist, im Detail ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ I11 I12 I13 D11 D21 D31 D11 D21 D31 I1 0 0 ⎝ I21 I22 I23 ⎠ ⎝ D12 D22 D32 ⎠ = ⎝ D12 D22 D32 ⎠ ⎝ 0 I2 0 ⎠ . 0 0 I3 I31 I32 I33 D13 D23 D33 D13 D23 D33 7

Auch die Gleichung (6.114) bezieht sich auf die Komponentenzerlegung des identischen Vektors ω in Bezug auf die beiden Koordinatensysteme.


327

Diese Matrixgleichung entspricht 9 (linearen) Gleichungen. Die erste Spalte der Produktmatrix auf der rechten und linken Seite ergibt z.B. I11 D11 + I12 D12 + I13 D13 = I1 D11 I21 D11 + I22 D12 + I23 D13 = I1 D12 I31 D11 + I32 D12 + I33 D13 = I1 D13 . Analoge Gleichungen mit D2μ und I2 sowie mit D3μ und I3 entsprechen der zweiten und der dritten Spalte der Produktmatrix. Man kann diese Gleichungen zusammenfassen, indem man den Index der Hauptträgheitsmomente und den ersten Index der Drehmatrix unterdr¨ uckt I12 D2 + (I11 − I)D1 + I21 D1 + (I22 − I)D2 + I31 D1 + I32 D2 +

I13 D3 = 0 I23 D3 = 0 (I33 − I)D3 = 0 .

(6.117)

Dieses Gleichungssystem entspricht einem Eigenwertproblem. Gegeben ist die Matrix [Iμν ]. Gesucht sind die Eigenwerte Iκ und die zugehörigen Eigenvektoren (Dκ1 , Dκ2 , Dκ3 ). Das Hauptachsentheorem ist bewiesen, wenn man zeigen kann, dass eine physikalisch sinnvolle L¨ osung dieses Eigenwertproblems existiert. Die weitere Diskussion folgt dem Muster, das anhand des gekoppelten Oszillatorproblems (vergleiche (6.19)) vorgestellt wurde. Die Bedingung f¨ ur die Existenz einer nichttrivialen L¨ osung ist ˆ =0. det(Î − I E)

(6.118)

Die entsprechende S¨ akulargleichung ist eine kubische Gleichung I 3 + aI 2 + bI + c = 0 mit drei Wurzeln. Diese sind reell, wenn die Matrix symmetrisch ist. Die Bedingung Iμν = Iνμ ist aufgrund der Definition der Deviationsmomente erf¨ ullt. Die Wurzeln sind außerdem positiv (Iμ > 0) falls gilt I11 + I22 > I33

(und alle zyklischen Vertauschungen) ,

(6.119)

das heißt, wenn die Summe zweier Diagonalelemente der Matrix Î größer als das dritte Matrixelement ist. Diese Bedingung ist ebenfalls erf¨ ullt, denn es gilt z.B. I11 + I22 = ρ(r) x22 + x23 + x21 + x23 dV = I33 + 2 ρ(r) x23 dV > I33 . Die drei reellen, positiven Wurzeln sind die Hauptträgheitsmomente des starren K¨ orpers, der zun¨ achst durch die Tr¨ agheitsmatrix Î charakterisiert wurde. Damit ist das Hauptachsentheorem bewiesen. Es gibt immer einen Satz von

328


k¨ orperfesten Achsen, f¨ ur die die Tr¨ agheitsmatrix diagonal ist. Ist der Körper symmetrisch, so sind die Hauptachsen die Symmetrieachsen des Körpers. M¨ ochte man nicht nur die Haupttr¨ agheitsmomente bestimmen, sondern auch die relative Orientierung der beiden k¨ orperfesten Koordinatensysteme, so muss man in einem zweiten Schritt die Drehmatrix berechnen. Diese kann man aus den Eigenvektoren zusammensetzen. Die Lösung des linearen Gleichungssystems (6.117) mit den Eigenwerten Iμ ergibt den Eigenvektor (Dμ1 , Dμ2 , Dμ3 ), im Detail also I1 −→ (D11 , D12 , D13 ) I2 −→ (D21 , D22 , D23 ) I3 −→ (D31 , D32 , D33 ) . Die Drehmatrix beschreibt, wie man das urspr¨ ungliche Koordinatensystem drehen muss, um in das Hauptachsensystem zu kommen. 6.3.3.3 Illustration des Hauptachsentheorems. Ein explizites Beispiel (Beispiel 6.9) k¨ onnte folgendermaßen lauten: Gegeben ist die Trägheitsmatrix (in geeigneten Einheiten) √ √ ⎞ ⎛ 9 −2 2 −2 2 ⎜ √ 1 ⎟ 19 ⎜ ⎟ − ⎟ . Î = ⎜ −2 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ √ ⎠ 19 1 −2 2 − 2 2 Zu bestimmen sind die Haupttr¨ agheitsmomente und die Orientierung des Hauptachsensystems bez¨ uglich des urspr¨ unglichen Koordinatensystems (sieD.tail 6.5). Auswertung der Determinante (6.118) ergibt die Säkularhe gleichung I 3 − 28I 2 + 245I − 650 = 0 , mit der L¨ osung I1 = 5

I2 = 10

I3 = 13 .

Die Nummerierung der Wurzeln ist willk¨ urlich. Eine Umnummerierung entspricht einer Umbenennung der Achsen. Zur Berechnung der Drehmatrix m¨ ussen drei lineare Gleichungssysteme gel¨ ost werden. Das Endergebnis f¨ ur die Drehmatrix ist ⎛ ⎞ 1 1 1 √ ⎞ ⎜ 2 2 ⎛ 2 ⎟ ⎜ ⎟ D11 D12 D13 ⎜ ⎟ 1 ˆ = ⎝ D21 D22 D23 ⎠ = ⎜ 0 √ − √1 ⎟ . D ⎜ 2 2⎟ ⎜ ⎟ D31 D32 D33 ⎝ 1 1 1 ⎠ −√ 2 2 2


329

ˆ beschreibt die Uberf¨ ¨ Die Matrix D uhrung des urspr¨ unglichen Systems in das ˆ −1 = D ˆ T beschreibt die DreHauptachsensystem, die inverse Drehmatrix D hung, die das Hauptachsensystem in das urspr¨ ungliche zur¨ uckf¨ uhrt. ˆ in der Mit etwas Geduld kann man sich vergewissern, dass die Matrix D Form ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 0 0 √ 0 √ ⎜ 2 ⎜ 2⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ ˆ1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 √ −√ ⎟ ˆ =D ˆ 2D D 2 2⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1 1 ⎠⎝ 1 1 ⎠ 0 √ √ −√ 0 √ 2 2 2 2 ˆ 1 ) um einen Winkel von faktorisiert. Das bedeutet: Man dreht zun¨ achst (D ◦ −45 um die 1 -Achse (Abb. 6.30a) und dann um den Winkel von 45◦ um die 2 -Achse des zwischenzeitlichen Koordinatensystems (Abb. 6.30b). (a)

(b) 3

3’ 3’

1’’

3’’

2

1’

1= 1’

2’

Drehung 1

2’= 2’’

Drehung 2

Abb. 6.30. Illustration des Hauptachsentheorems

Zum Abschluss des Themas ‘Tr¨ agheitsmatrix‘ stehen noch drei k¨ urzere und eine l¨ angere Bemerkungen an. 6.3.3.4 Zus¨ atzliches. Die k¨ urzeren Bemerkungen sind: 1. Die Angabe von drei Zahlenwerten f¨ ur die Hauptträgheitsmomente bestimmt die Gestalt des K¨ orpers in keiner Weise. So sind z.B. die Haupttr¨ agheitsmomente eines homogenen Quaders (6.112) M 2 M 2 M 2 (b + c2 ) (a + c2 ) (a + b2 ) . I2 = I3 = 12 12 12 Die Haupttr¨ agheitsmomente eines homogenen Ellipsoides mit den AchAufg. 6.6) senl¨ angen a, b, c in den 1 -, 2 -, 3 -Richtungen sind (siehe I1 =

M 2 M 2 M 2 I2 = I3 = (b + c2 ) (a + c2 ) (a + b2 ) . (6.120) 5 5 5 Bei gleicher Masse haben Ellipsoid und Quader die gleichen Haupttr¨ agheitsmomente falls gilt I1 =

330


12 aE etc. 5 Da jeder starre K¨ orper genau drei Hauptträgheitsmomente hat und sich jeder Satz von drei positiven Zahlen durch die Ellipsoidformel (6.120) darstellen lässt, kann jeder starre K¨ orper durch ein Trägheitsellipsoid (unter Umständen mit 2 oder 3 gleichen Achsen) charakterisiert werden. 2. Alle Formeln f¨ ur Haupttr¨ agheitsmomente haben die Form [ (geometrischer Faktor) mal Masse mal (charakteristischer Abstand von der Drehachse zum Quadrat) ]. Die Gestalt wird in gewissem Rahmen durch den Faktor charakterisiert, so z.B. 2/5 f¨ ur eine Kugel, 1/6 f¨ ur einen W¨ urfel, etc. 3. Die Unterscheidung von Skalaren, Vektoren und Tensoren orientiert sich an deren Verhalten gegen¨ uber linearen Transformationen. Einen Satz von aß drei Gr¨ oßen (x1 , x2 , x3 ), der sich gem¨ ˆ x mit A ˆ = [aik ] aik xk −→ x = A xi = aQ =

k

transformiert, bezeichnet man als einen Vektor. Einen Satz von 9 Größen aß {yik }, der sich gem¨ = ail akm ylm (6.121) yik lm

transformiert, bezeichnet man als Tensor zweiter Stufe. Die entsprechende Matrixgleichung lautet ˆ yˆ A ˆT . yˆ = A

(6.122)

Genau dieses Transformationsverhalten ist f¨ ur die Trägheitsmatrix (6.116) zust¨ andig. Aus diesem Grund kann man die Trägheitsmatrix als einen Tensor bezeichnen8 . 6.3.3.5 Der Satz von Steiner. F¨ ur die Diskussion der Bewegung eines starren K¨ orpers ist das schwerpunktbezogene körperfeste Koordinatensystem fast immer eine gute Wahl, es sei denn ein Punkt des starren Körpers, der nicht der Schwerpunkt ist, ist in Ruhe. In diesem Fall ist ein körperfestes Koordinatensystem, dessen Ursprung dieser Punkt ist, vorzuziehen. Diese Aussage kann man folgendermaßen begr¨ unden. F¨ ur jeden körperfesten Bezugspunkt gilt, wie gezeigt, die Geschwindigkeitstransformation (6.106) v i = V O + (ω × riO ) . Mit der ebenfalls schon benutzten Relation (6.108) riO = r iS + a 8

Man beachte: Ein Tensor zweiter Stufe u ¨ ber dem R3 ist immer eine 3 × 3 Matrix. Eine 3 × 3 Matrix ist nicht unbedingt ein Tensor.


331

findet man f¨ ur die kinetische Energie 1 T = M V 2O + 2 mi V O · (ω × riO ) 2 i +

mi (ω × riO ) · (ω × r iO )

.

i

Der zweite Term verschwindet im Allgemeinen nicht. Ist der Punkt O jedoch in Ruhe (V O = 0), so vereinfacht sich der Ausdruck f¨ ur die kinetische Energie zu 1 T = Trot = mi (ω × r iO )2 . (6.123) 2 i Die Komponentenzerlegung bez¨ uglich des Systems O ergibt wie im Falle des Schwerpunktsystems 1 (O) (O) (O) Trot = I ω ω . (6.124) 2 μ, ν μν μ ν Der Tr¨ agheitstensor und die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit sind auf ein Koordinatensystem mit dem Ursprung in dem Punkt O bezogen. Wählt man die Achsen des Systems in O parallel zu den Achsen des Schwerpunktsystems, so gilt ωμ(O) = ωμ(S) = ωμ . Den Ausdruck f¨ ur die Elemente des Tr¨ agheitstensors im System O 3 (O)2 (O) (O) (O) = mi δμν xλi − xμi xνi Iμν i

λ=1

kann man mit der Relation (O)

(S)

xμi = xμi + aμ in der folgenden Weise umschreiben (S)2 (S) (S) (O) Iμν = mi δμν xλi − xμi xνi i

+

λ

mi δμν

i

(S)

(S)

(S)

(2xλi aλ + a2λ ) − (aμ xνi + aν xμi + aμ aν )

.

λ (S)

Alle Terme linear in xμi verschwinden, da die Summe (S) mi xμi = 0 i

den Koordinaten des Schwerpunktes in dem Schwerpunktsystem entspricht. Es bleibt somit

332


(O) Iμν

=

(S) Iμν

+ M δμν

a2λ − aμ aν

.

(6.125)

λ

Dieser Satz von Gleichungen ist als Steiners Parallelachsentheorem bekannt. Er erlaubt die Berechnung der Tr¨ agheitsmatrix in einem beliebigen körperfesten Koordinatensystem, wenn die Trägheitsmatrix in dem achsenparallelen Schwerpunktsystem gegeben ist (und umgekehrt). Ein Beispiel f¨ ur die Anwendung dieses Theorems ist die Aufgabe (Beispiel 6.10): Berechne den Tr¨ agheitstensor eines homogenen W¨ urfels mit der Kantenlänge b f¨ ur den Fall, dass der Ursprung des Koordinatensystems in einem Eckpunkt liegt und die Achsen parallel zu den Kanten verlaufen. F¨ ur das achsenparallele Schwerpunktsystem gilt (6.111) M 2 b . 6 Der Vektor a von dem Schwerpunkt zu dem Ursprung von O ist z.B.

1 1 1 a = − b, − b, − b . 2 2 2 Iμν = δμν

Damit erh¨ alt man

1 3 2 1 2 2 (O) 2 b − b = M b2 I11 = M b + M 6 4 4 3 und wegen der Symmetrie (O)

(O)

(O)

I11 = I22 = I33 . F¨ ur die Deviationsmomente in dem System durch O berechnet man 1 1 (O) I12 = 0 + M (− b2 ) = − M b2 4 4 (O) (O) = I13 = I23 . Das parallelverschobene Koordinatensystem ist nicht unbedingt eine Hauptachsensystem, selbst wenn das Schwerpunktsystem ein Hauptachsensystem ist. Falls gew¨ unscht, kann man (durch L¨ osung des entsprechenden Eigenwertproblems) das Hauptachsensystem in dem Punkt O bestimmen. 6.3.4 Der Drehimpuls des starren K¨ orpers Die Drehgeschwindigkeit stellt eine kinematische Grundgröße f¨ ur die Beschreibung der Bewegung starrer K¨ orper dar, eine verwandte Größe ist der Drehimpuls. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen ist f¨ ur einen starren K¨ orper keineswegs trivial. Der Drehimpuls (eines Systems von Massenpunkten) h¨ angt (siehe Kap. 3.2.2) von dem Bezugspunkt ab. Ein geeigneter Bezugspunkt ist der Schwerpunkt, der Ursprung des u ¨blichen körperfesten Koordinatensystems. In diesem Koordinatensystem gilt dann f¨ ur den Gesamtdrehimpuls des starren K¨ orpers


lS =

333

mi (r iS × v iS ) .

Die Geschwindigkeit der i -ten Masse aus der Sicht des Schwerpunktes bei einer Drehbewegung ist v iS = (ω × riS ) . Damit ergibt sich zun¨ achst lS = mi (r iS × (ω × riS )) . i

Zur Aufl¨ osung des doppelten Vektorproduktes benutzt man die Formel (Math.Kap. 3.1.2) a × (b × a) = a2 b − (a · b)a und erh¨ alt mi r 2iS ω − (r iS · ω)r iS . lS = i

Die Komponentenzerlegung dieses Ausdrucks (in Bezug auf das körperfeste System, in Standardnotation) ist " # 2 mi ω μ xλi − xνi ων xμi , lμ = i

ν

λ

beziehungsweise etwas anders sortiert ! ων mi δμν x2λi − xνi xμi lμ = ν

i

.

λ

In dem k¨ orperfesten System gilt also die Relation zwischen den Komponenten des Drehimpulses und der Drehgeschwindigkeit lμ =

3 ν=1

(S) Iμν ων ≡

3

Iμν ων

(μ = 1, 2, 3) .

(6.126)

ν=1

Diese drei Gleichungen kann man in Matrixform zusammenfassen lS = Î ω

(6.127)

und daraus direkt die folgenden Aussagen entnehmen: 1. Ist das schwerpunktbezogene Koordinatensystem kein Hauptachsensystem, so zeigen die Vektoren lS und ω unter keinen Umständen in die gleiche Richtung. Selbst f¨ ur den Fall der Drehung um eine der körperfesten Koordinatenachsen, zum Beispiel f¨ ur ω = (ω, 0, 0) folgt ⎞ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ω I11 ω I11 I12 I13 lS = ⎝ I21 I22 I23 ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ I21 ω ⎠ = a ω . I31 ω I31 I32 I33 0

334


2. In einem Hauptachsensystem ist der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit einfacher ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ω1 I1 ω1 I1 0 0 lS = ⎝ 0 I2 0 ⎠ ⎝ ω2 ⎠ = ⎝ I2 ω2 ⎠ . ω3 I3 ω3 0 0 I3 Aber auch in diesem Fall sind die beiden Vektoren im Allgemeinen nicht kolinear. Nur f¨ ur einen Kugelkreisel (das heißt einen Körper mit drei gleichen Haupttr¨ agheitsmomenten I1 = I2 = I3 = I) oder bei der Drehung um eine k¨ orperfeste Hauptachse z.B. die k¨ orperfeste 1 -Achse mit ω = (ω, 0, 0) gilt lS = I ω

bzw. lS = I1 ω .

Die allgemeine Relation zwischen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit bedingt, dass die Drehbewegung eines starren Körpers eine einigermaßen komplizierte Angelegenheit ist. Mit Hilfe des Drehimpulses kann man einige n¨ utzliche alternative Formen f¨ ur die kinetische Energie der Rotation notieren. Ersetzt man in dem bisherigen Ausdruck 1 Iμν ωμ ων Trot = 2 μ, ν eine der Summen, z.B. ν . . ., durch den Drehimpuls (6.126), so findet man 1 1 ω μ lμ = ω · l S . (6.128) Trot = 2 μ 2 Im Fall eines Hauptachsensystems hat man die Möglichkeiten Trot =

1 1 1 lμ2 Iμ ωμ2 = lμ ω μ = . 2 μ 2 μ 2 μ Iμ

(6.129)

Die letzte Variante wird besonders einfach f¨ ur einen Kugelkreisel Iμ = I 1 2 l . (6.130) 2I S Damit sind sowohl die Wahl der f¨ ur die Beschreibung der Bewegung eines starren K¨ orpers notwendigen Koordinatensysteme als auch die Einf¨ uhrung der kinematischen Gr¨ oßen (Drehgeschwindigkeit, Trägheitstensor, Drehimpuls) abgeschlossen. Um die Aufstellung der expliziten Bewegungsgleichungen und deren L¨ osung in Angriff zu nehmen, m¨ ussen noch die generalisierten Koordinaten f¨ ur die Drehbewegung angegeben werden. Trot =

6.3.5 Die Eulerwinkel Der Ausgangspunkt f¨ ur die Diskussion der Bewegungsgleichungen des starren K¨ orpers ist die Lagrangefunktion


L=T −U =

mi

335

v2 − U (r i ) . 2 i Die bisherige Diskussion konzentrierte sich auf die Umschreibung der kinetischen Energie T = Ttrans + Trot M ˙2 1 (X + Y˙ 2 + Z˙ 2 ) + = Iμν ωμ ων . 2 2 μ, ν

(6.131)

Drei der sechs zu w¨ ahlenden generalisierten Koordinaten sind die Schwerpunktkoordinaten X, Y, Z f¨ ur die Translationsfreiheitsgrade. Es sind noch drei generalisierte Koordinaten f¨ ur die explizite Beschreibung der Rotation anzugeben. Die u ¨ bliche Wahl ist ein Satz von drei Winkeln, die Eulerwinkel α(t), β(t), γ(t), die die zeitlich ver¨ anderliche Orientierung des körperfesten Koordinatensystems gegen¨ uber dem raumfesten System beschreiben. Die ent˙ γ. sprechenden generalisierten Geschwindigkeiten sind α, ˙ β, ˙ Es ist dann notwendig, die drei Komponenten ωμ der Winkelgeschwindigkeit in dem körperfesten System durch die generalisierten Geschwindigkeiten (und die entsprechenden generalisierten Koordinaten) der Drehbewegung darzustellen. Man erh¨ alt somit ˙ γ˙ − U (X, Y, Z, α, β, γ) . ˙ Y˙ , Z, ˙ α, β, γ, α, L = T X, ˙ β, Aus dieser Lagrangefunktion ergeben sich die Bewegungsgleichungen nach der Standardvorschrift. Die Definition der Eulerwinkel ist etwas umständlich, doch nicht sonderlich schwierig. Man betrachtet die beiden Koordinatensysteme raumfest : (x, y, z),

k¨ orperfest : (x1 , x2 , x3 )

und stellt sich vor, dass diese urspr¨ unglich in Deckung sind9 . Eine beliebige Orientierung des k¨ orperfesten Koordinatensystems gegen¨ uber dem raumfesten beschreibt man durch drei Drehungen um Achsen durch den gemeinsamen Koordinatenursprung, die hintereinander ausgef¨ uhrt werden. Drehung 1: Man drehe das k¨ orperfeste Koordinatensystem gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α um die z -Achse (Abb. 6.31). F¨ ur diese Drehung gilt dann ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ x1 cos α sin α 0 x ⎝ x2 ⎠ = ⎝ − sin α cos α 0 ⎠ ⎝ y ⎠ . (6.132) x3 0 0 1 z RF Die Komponenten eines Vektors (z. B. des Positionsvektors) in dem raumfesten Koordinatensystem und dem einmal gedrehten Koordinatensystem (einfach gestrichen) werden durch eine einfache Drehmatrix verkn¨ upft. Der Bereich des Winkels α ist 0 ≤ α ≤ 2π. 9

Eine Translation des k¨ orperfesten Systems gegen¨ uber dem raumfesten spielt bei der folgenden Argumentation keine Rolle.

336

6 Praktische Anwendungen der Lagrangegleichungen 3 = 3’

α

1

2’ 2 1’

Abb. 6.31. Der Eulerwinkel α

Drehung 2: Drehe um die x1 -Achse (die man als Knotenlinie bezeichnet) ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel β (Abb. 6.32). Zwischen den beiden Koordinatensystemen (einfach und doppelt gestrichen) gilt die Transformationsgleichung ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 0 0 x1 x1 ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 cos β sin β ⎠ ⎝ x2 ⎠ . (6.133) x3 x3 0 − sin β cos β Der Bereich des Winkels β ist (siehe Kugelkoordinaten) 0 ≤ β ≤ π . 3’’

3’

β

2’’ 2’

1’= 1’’

Abb. 6.32. Der Eulerwinkel β

Drehung 3: Die dritte Drehung ist eine Drehung um die x3 -Achse gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel γ (Abb. 6.33). Es gilt f¨ ur diese Drehung ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 cos γ sin γ 0 x1 ⎝ x2 ⎠ = ⎝ − sin γ cos γ 0 ⎠ ⎝ x2 ⎠ . (6.134) x3 KF x3 0 0 1 Der Bereich des Winkels γ ist 0 ≤ γ ≤ 2π . Die Gesamtdrehung, die sich aus den drei Einzeldrehungen ergibt, gewinnt man durch Multiplikation der drei Transformationsmatrizen ˆγ D ˆ rRF . ˆβ D ˆ α rRF = D rKF = D Dabei ist zu beachten, dass die Reihenfolge der Operationen nicht vertauscht werden darf. Die Auswertung des Matrixproduktes ergibt die Endformel f¨ ur ˆ die Drehmatrix D

6.3 Die Bewegung starrer K¨ orper 3’’=

337

3’’’ 2’’’ 2’’ γ

1’’’

1’’

⎛

Abb. 6.33. Der Eulerwinkel γ

− sin α cos β sin γ+cos α cos γ, cos α cos β sin γ+sin α cos γ, sin β sin γ

⎞

ˆ = ⎝ − sin α cos β cos γ−cos α sin γ, cos α cos β cos γ−sin α sin γ, sin β cos γ ⎠ (6.135) D sin α sin β,

− cos α sin β,

cos β

Die Drehmatrix beschreibt den Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in dem raumfesten und dem k¨ orperfesten Koordinatensystem. Die inverse Transformation wird durch die transponierte Matrix vermittelt ˆ T r KF . (6.136) r RF = D Die drei Eulerwinkel stellen die generalisierten Koordinaten zur Beschreibung der Drehbewegung dar10 . Im n¨ achsten Schritt sind die drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit durch die Zeitableitungen der Eulerwinkel auszudr¨ ucken. Diese Relationen gewinnt man, indem man die Zeitableitung jeder Einzeldrehungen durch einen Vektor darstellt und diesen dann in Bezug auf das körperfeste Koordinatensystem in Komponenten zerlegt. 1. α ˙ ist ein Vektor in der z -Richtung des raumfesten Koordinatensystems. Die Komponenten dieses Vektors im k¨ orperfesten Koordinatensystem ˆ in (6.135). Es gilt gewinnt man durch Transformation mit der Drehmatrix D deswegen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 α˙ sin β sin γ α˙ 1 ˆ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ α˙ sin β cos γ ⎠ ⎝ α˙ 2 ⎠ = D . (6.137) α˙ 3 KF α˙ RF α˙ cos β KF 2. β˙ ist ein Vektor in Richtung der Knotenlinie. Seine Komponentenzerlegung im k¨ orperfesten Koordinatensystem erh¨ alt man durch Drehung mittels ˆ γ aus Gleichung (6.134) um den Winkel γ D ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ˙ ⎞ β1 β˙ cos γ β˙ ˆ γ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ −β˙ sin γ ⎠ ⎝ β˙ 2 ⎠ = D . (6.138) 0 0 β˙ 3 KF KF 10

In der Literatur findet man Varianten in der Definition. Sie unterscheiden sich im ahlt Drehsinn und in der Wahl der Knotenlinie, f¨ ur die auch die x2 -Achse gew¨ ¨ wird. Bei der Ubernahme von Bewegungs- und anderen Gleichungen aus der Literatur ist daher Vorsicht geboten.

338


3. γ˙ ist ein Vektor entlang der x3 -Achse des körperfesten Koordinatensystems mit der Zerlegung ⎛ ⎞ 0 γ˙ = ⎝ 0 ⎠ . (6.139) γ˙ KF Addition der Komponenten der Einzeldrehgeschwindigkeiten im körperfesten Koordinatensystem ergibt die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ωμ ωμ = α˙ μ + β˙ μ + γ˙ μ

(μ = 1, 2, 3) .

Der Zusammenhang zwischen den Drehgeschwindigkeitskomponenten in dem körperfesten Koordinatensystem und den generalisierten Geschwindigkeiten ˙ γ˙ ist somit durch α, ˙ β, ω1 = α˙ sin β sin γ +β˙ cos γ ω2 = α˙ sin β cos γ −β˙ sin γ +γ˙ ω3 = α˙ cos β

(6.140)

gegeben. Diese Relationen sind in den Ausdruck f¨ ur die kinetische Energie der Rotation einzusetzen. Man benutzt dazu zweckmäßigerweise eine Hauptachsenform 1 ˙ γ) Trot = Iμ ωμ2 = Trot (β, γ, α, ˙ β, ˙ . (6.141) 2 μ 6.3.6 Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Rotation Die Aufstellung der Bewegungsgleichungen folgt der Standardvorschrift. Ausgangspunkt ist die Lagrangefunktion M ˙2 ˙ γ) X + Y˙ 2 + Z˙ 2 + Trot (β, γ, α, ˙ β, ˙ L= 2 −U (X, Y, Z, α, β, γ) . (6.142) Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Schwerpunktkoordinaten sind einfach ∂U ∂U ¨ = − ∂U M Y¨ = − M Z¨ = − . (6.143) MX ∂X ∂Y ∂Z Auf der rechten Seite stehen die generalisierten Kraftkomponenten, die die Schwerpunktbewegung kontrollieren. Die Schritte zu der Aufstellung der Bewegungsgleichungen, die die Drehbewegung charakterisieren, sollen nicht vollständig ausgef¨ uhrt werden11 . Die einfachste Rechnung liegt f¨ ur die generalisierte Koordinate γ vor. Auszuwerten ist 11

Eine ausf¨ uhrlichere Beschreibung der Rechenschritte f¨ ur die Herleitung aller BeD.tail 6.6. wegungsgleichungen in den Eulerwinkeln findet man in


d dt

∂Trot ∂ γ˙

−

∂U ∂Trot =− . ∂γ ∂γ

339

(6.144)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die entsprechende generalisierte Kraft. Da die Koordinate ein Winkel ist, entspricht die generalisierte Kraft einem Drehmoment. Zur Auswertung der linken Seite (LS) benutzt man die Kettenregel " # ∂Trot ∂ωμ d ∂Trot ∂ωμ LS = − . dt ∂ωμ ∂ γ˙ ∂ωμ ∂γ μ μ Man ben¨ otigt die Ableitungen ∂Trot = Iμ ωμ ∂ωμ ∂ω1 ∂ γ˙ ∂ω1 ∂γ ∂ω2 ∂γ ∂ω3 ∂γ

=

∂ω2 =0 ∂ γ˙

∂ω3 =1 ∂ γ˙

= α˙ sin β cos γ − β˙ sin γ = ω2 = −α˙ sin β sin γ − β˙ cos γ = −ω1 =0

und erh¨ alt damit direkt f¨ ur die linke Seite d (I3 ω3 ) − (I1 ω1 ω2 − I2 ω2 ω1 ) LS = dt und somit f¨ ur die Bewegungsgleichung I3 ω˙ 3 − (I1 − I2 )ω1 ω2 = −

∂U . ∂γ

(6.145)

Zu diesem Resultat ist Folgendes bemerken: Benutzt man die Darstellung durch die Eulerwinkel anstelle der Zusammenfassung mit den Drehgeschwindigkeiten ωμ , so lautet der Ausdruck f¨ ur die Bewegungsgleichung

α cos β − α˙ β˙ sin β + γ¨ ) − (I1 − I2 ) I3 (¨

∂U [α˙ 2 sin2 β − β˙ 2 ] sin γ cos γ + α˙ β˙ sin β(cos2 γ − sin2 γ) = − . ∂γ

(6.146)

Man stellt fest, dass die Bewegungsgleichungen in den Eulerwinkeln (in komplizierter Form) verkoppelt sind. F¨ ur die Detaildiskussion muss man sich jedoch mit diesen Gleichungen auseinandersetzen. F¨ ur viele Zwecke ist auf der anderen Seite die Form in den Drehgeschwindigkeitskomponenten im körperfesten System ausreichend.

340


Die entsprechenden Lagrangeschen Gleichungen f¨ ur die Koordinaten α und β sind noch etwas aufwendiger. Eine l¨ angere Rechnung liefert das Ergebnis

d ∂T ∂U ∂T =− − dt ∂ α˙ ∂α ∂α ) ( = α ¨ I1 sin2 γ + I2 cos2 γ sin2 β + I3 cos2 β + 2α˙ β˙ I1 sin2 γ + I2 cos2 γ − I3 sin β cos β + 2α˙ γ˙ [I1 − I2 ] sin2 β sin γ cos γ + β¨ [I1 − I2 ] sin β sin γ cos γ

(6.147)

+ β˙ 2 [I1 − I2 ] cos β sin γ cos γ + β˙ γ˙ (I1 − I2 )(cos2 γ − sin2 γ) − I3 sin β + γ¨ I3 cos β und d dt

∂T ∂ β˙

−

∂U ∂T =− ∂β ∂β = α ¨ [I1 − I2 ] sin β sin γ cos γ + α˙ 2 I3 − I1 sin2 γ − I2 cos2 γ sin β cos β + α˙ γ˙ I3 + (I1 − I2 )(cos2 γ − sin2 γ) sin β + β¨ I1 cos2 γ + I2 sin2 γ

(6.148)

− 2β˙ γ˙ [I1 − I2 ] sin γ cos γ . Terme der Form Iμ ω˙ μ , wie man vielleicht anhand des Ausdrucks (6.131) f¨ ur die kinetische Energie der Rotation erwarten könnte, treten in diesen Gleichungen nicht direkt auf. Der Grund ist die etwas aufwendigere Relation (6.140) zwischen den Drehgeschwindigkeitskomponenten ωμ und den Zeitableitungen der Eulerwinkel. Zu den Gr¨ oßen ωμ selbst existieren keine generalisierten Koordinaten. Die Differentialgleichungen f¨ ur die Drehgeschwindigkeitskomponenten ω1 und ω2 , die (6.145) entsprechen, ergeben sich aus den Gleichungen (6.146), (6.147) und (6.148) f¨ ur die einzelnen Eulerwinkel durch die Bildung von geeigneten Linearkombinationen zu 1 I1 ω˙ 1 − (I2 − I3 ) ω2 ω3 = sin β ∂U ∂U ∂U − sin β cos γ + cos β sin γ − sin γ ∂α ∂β ∂γ

(6.149)


I2 ω˙ 2 − (I3 − I1 ) ω1 ω3 =

1 sin β

341

(6.150)

∂U ∂U ∂U + sin β sin γ + cos β cos γ − cos γ . ∂α ∂β ∂γ Die Terme auf der rechten Seite entsprechen den Komponenten des Drehmomentes entlang den k¨ orperfesten 1 - und 2 -Achsen. Deren Form deutet an, in welcher Weise die Bewegungsgleichungen in den generalisierten Koordinaten D.tail 6.7). α, β und γ zu kombinieren sind (siehe Die Gleichungen f¨ ur die Drehbewegung eines starren Körpers (in ‘Kurzform‘) sind I1 ω˙ 1 − (I2 − I3 ) ω2 ω3 = M1 I2 ω˙ 2 − (I3 − I1 ) ω3 ω1 = M2 I3 ω˙ 3 − (I1 − I2 ) ω1 ω2 = M3 .

(6.151)

Infolge der zyklischen Struktur kann man diese Gleichungen auch in der kompakten (aber relativ un¨ ubersichtlichen) Form zusammenfassen μνλ (Iλ ω˙ λ − Mλ ) − (Iμ − Iν ) ωμ ων = 0 λ

mit (μ, ν) = (1, 2), (2, 3), (3, 1) .

(6.152)

Die Gr¨ oße μνλ ist das Levi-Civita Symbol (siehe Math.Kap. 3.1.2). Diesen Satz von Differentialgleichungen bezeichnet man als die Eulerschen Gleichungen. In dem kr¨ aftefreien Fall (U = 0) ist die Schwerpunktbewegung trivial, da uniform, in den Eulergleichungen treten die Drehmomentkomponenten nicht auf. Die L¨ osung der Eulerschen Gleichungen (mit oder ohne die Einwirkung von Drehmomenten), beziehungsweise der expliziten Bewegungsgleichungen in den Eulerschen Winkeln, beschreibt im Allgemeinen komplizierte Bewegungsabl¨ aufe. Der n¨ achste Abschnitt illustriert diese Aussage. 6.3.7 Drehbewegung starrer K¨ orper Mittels der Eulerschen Gleichungen (6.151) (in Kurz- oder Langform) kann man die Bewegung des physikalischen Pendels und diverser Kreisel berechnen. 6.3.7.1 Das physikalische Pendel. Das physikalische Pendel ist dadurch charakterisiert, dass ein starrer K¨ orper um eine Achse durch einen beliebigen k¨ orperfesten Punkt drehbar ist. Setzt man voraus, dass die Drehachse einer Hauptachse entspricht (z.B. der 1 -Achse), so reduzieren sich die Eulergleichungen mit ω2 = ω3 = 0 auf (O)

I1 ω˙ 1 = M1 . (O)

Das Tr¨ agheitsmoment I1 ist mit dem Parallelachsentheorem (6.125) zu berechnen. Das Drehmoment (aufgrund der Erdanziehung) hängt von dem

342


Sinus des Auslenkwinkels ab, so dass die Diskussion des mathematischen Pendels (Kap. 4.2.1) direkt u ¨bertragen werden kann, wobei [g/l]1/2 durch (O) 1/2 [M gs/I1 ] zu ersetzen ist (M ist die Masse des starren Körpers, s der k¨ urzeste Abstand Schwerpunkt-Drehachse). 6.3.7.2 Berechnung der Drehbewegung des kr¨ aftefreien, symmetrischen Kreisels. Das einfachste Beispiel eines Kreisels, das betrachtet werden kann, ist der kr¨ aftefreie Kugelkreisel mit I1 = I2 = I3 . Die Drehachse und Drehgeschwindigkeit ¨ andern sich mit der Zeit nicht. Dies ergibt sich aus den einfachen Bewegungsgleichungen ω˙ μ = 0

(μ = 1, 2, 3)

mit der L¨ osung ωμ (t) = ωμ (t = 0). Die Angelegenheit wird schon nichttrivial f¨ ur den kräftefreien symmetrischen Kreisel, zum Beispiel mit I1 = I2 = I , I3 = I. In diesem Falle bezeichnet man die 3 -Achse, die eine Symmetrieachse ist, als Figurenachse. Als Stellvertreter eines symmetrischen Kreisels kann man sich ein Rotationsellipsoid vorstellen, wobei die Fallunterscheidungen zu treffen sind: Die Massenverteilung ist um die 3 -Achse konzentriert. Der (a) I > I3 Kreisel hat, bez¨ uglich der 3 -Achse, eine Zigarrenform (Abb. 6.34a). Einen solchen Kreisel nennt man prolat. (b) I < I3 Hier ist die Form abgeflacht, pfannkuchenähnlich (Abb. 6.34b). Einen solchen Kreisel nennt man oblat. (a)

(b) 3

3

prolat

oblat

Abb. 6.34. Symmetrischer Kreisel

F¨ ur einen symmetrischen Kreisel mit I1 = I2 = I lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur die 3-Komponente der Winkelgeschwindigkeit I3 ω˙ 3 = 0

−→ ω3 (t) = ω3 (0) .

Die Komponente der Drehgeschwindigkeit bez¨ uglich der 3 -Achse des körperfesten Koordinatensystems ist zeitlich konstant. Die Bewegungsgleichungen


343

f¨ ur die anderen Komponenten k¨ onnen dann in direkter Weise sortiert werden. Aus I ω˙ 1 − (I − I3 ) ω2 ω3 = 0 I ω˙ 2 − (I3 − I) ω3 ω1 = 0 folgt mit der Definition

I3 − I Ω= ω3 = const. I

(6.153)

ein relativ einfaches System von gekoppelten Differentialgleichungen ω˙ 2 − Ω ω1 = 0 .

ω˙ 1 + Ω ω2 = 0

Zur L¨ osung differenziert man z.B. die erste Gleichung nach der Zeit und setzt die zweite Gleichung in die differenzierte Gleichung ein ¨ 1 + Ω 2 ω1 = 0 . ω ¨ 1 + Ω ω˙ 2 = ω Dies ist die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators mit der allgemeinen L¨ osung ω1 (t) = C1 cos Ωt + C2 sin Ωt .

(6.154)

Die Funktion ω2 (t) erh¨ alt man aus 1 ω˙ 1 = C1 sin Ωt − C2 cos Ωt . Ω Als Anfangsbedingung f¨ ur die weitere Diskussion soll ω2 = −

ω1 (0) = A

(6.155)

ω2 (0) = 0

angenommen werden. Es liegt anf¨ anglich eine Drehung um die 1 -Achse und, da Ω als ungleich Null vorausgesetzt wird, um die 3 -Achse vor. Die Lösung ω1 (t) = A cos Ωt

ω2 (t) = A sin Ωt

(6.156)

¨ beschreibt die zeitliche Anderung des Drehgeschwindigkeitsvektors aus der Sicht des k¨ orperfesten Koordinatensystems (Abb. 6.35a). Die Projektion des Drehgeschwindigkeitsvektors auf die 3 -Achse ist konstant. Die Projektion von ω in die 1 - 2 Ebene rotiert uniform auf einem Kreis mit der Frequenz Ω. Der Vektor ω rotiert also mit der gleichen Frequenz auf einem Kegel um die Figurenachse. Man bezeichnet diese Bewegung des ω -Vektors als regul¨ are Pr¨ azession. Ω ist die Pr¨ azessionsfrequenz. Ist Ω positiv, so ist der Umlaufsinn positiv (gegen die Uhrzeigerrichtung). Die entsprechenden Komponenten des Drehimpulsvektors in dem körperfesten System sind gem¨ aß (6.126) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ IA cos Ωt I1 ω1 (6.157) lS = ⎝ I2 ω2 ⎠ = ⎝ IA sin Ωt ⎠ . I3 ω3 I3 ω3

344


(a)

(b) 3

3

ω

ω (t)

lS

ω (0)

2

2

1

1

ω-Kegel

Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit

Abb. 6.35. Regul¨ are Pr¨ azession eines prolaten, symmetrischen Kreisels aus der Sicht des k¨ orperfesten Systems

Der Drehimpulsvektor rotiert also aus der Sicht des körperfesten Systems mit der gleichen Frequenz um die Figurenachse, jedoch auf einem Kegel mit ¨ einem anderen Offnungswinkel (Abb. 6.35b). Die Vektoren ω, lS liegen zu jedem Zeitpunkt in einer Ebene durch die Figurenachse. F¨ ur einen prolaten ur die Amplitudenverh¨ altnisse Kreisel (I > I3 ) gilt f¨ I3 ω3 ω3 < . IA A ¨ Der Offnungswinkel des l -Kegels ist gr¨ oßer als der des ω -Kegels (Abb 6.36a). F¨ ur einen oblaten Kreisel liegt der l -Kegel innerhalb des ω -Kegels (Abb 6.36b). Die kinetische Rotationsenergie des Kreisels ist (a)

(b) 3

3 ω

lS lS

Prolater Kreisel

ω

Oblater Kreisel

Abb. 6.36. Regul¨ are Pr¨ azession aus der Sicht des k¨ orperfesten Systems

1 1 lω = (IA2 + I3 ω32 ) = const. 2 2 Da keine Kr¨ afte auf den starren K¨ orper wirken, gilt Energieerhaltung. Trot =

6.3.7.3 Veranschaulichung der Rotation des kr¨ aftefreien, symmetrischen Kreisels. Die Betrachtung der Vektoren ω und l aus der Sicht des k¨ orperfesten Koordinatensystems vermitteln noch keinen Eindruck von der Bewegung des Objektes. Zu diesem Zweck muss der Bewegungsablauf aus der Sicht des raumfesten Inertialsystems diskutiert werden. Da eine mögliche, uniforme Translation nicht interessiert, kann man als gemeinsamen Ursprung


345

der beiden Koordinatensysteme den Schwerpunkt wählen. F¨ ur jeden Vektor, so auch f¨ ur den Drehimpuls, gilt die Relation (siehe Kap. 6.2, rotierende Koordinatensysteme) zwischen den Ableitungen im raumfesten und im rotierenden Koordinatensytem l˙RF = l˙KF + (ω × lKF ) . Setzt man auf der rechten Seite die erforderlichen Größen (lKF ≡ lS ) ein (siehe D.tail 6.8), so findet man (wie zu erwarten) l˙RF = 0 .

(6.158)

Der Drehimpuls ist (aus der Sicht des Inertialsystems) f¨ ur den kräftefreien Fall eine Erhaltungsgr¨ oße. Der Drehimpulsvektor steht aus der Sicht des Inertialsystems fest im Raum, so dass, aus dieser Sicht, Figurenachse und der Drehgeschwindigkeitsvektor um die feste Drehimpulsachse präzedieren (Abb. 6.37). RF

l 3 ω

Abb. 6.37. Regul¨ are Pr¨ azession: Aus der Sicht des raumfesten Systems

Die eigentliche Bewegung kann man mit der sogenannten Poinsotschen Darstellung nachempfinden. F¨ ur einen prolaten Kreisel ergibt sich das folgende Bild (Abb. 6.38): Der Kegel des ω -Vektors (ω ist die momentane Drehl ω

3

Abb. 6.38. Regul¨ are Pr¨ azession: Poinsotsche Darstellung f¨ ur den prolaten Fall

achse) um den fest im Raum stehenden Drehimpulsvektor heißt der Spurkegel. Auf dem Spurkegel rollt ein weiterer Kegel ab, dessen Achse die Figurenachse ist. Dieser Kegel heißt Polkegel. Das Abrollen des Polkegels auf dem Spurkegel verl¨ auft so, das die Ber¨ uhrungslinie der beiden Kegel dem ω Vektor entspricht. Die drei Vektoren (Drehimpuls, Drehgeschwindigkeit und

346


Figurenachse) liegen zu jedem Zeitpunkt in einer Ebene. Die resultierende Bewegung der Figurenachse und die Rollbewegung des Polkegels vermitteln einen Eindruck von der Drehbewegung eines kräftefreien starren Körpers mit den Tr¨ agheitscharakteristika eines (symmetrischen) Rotationsellipsoides. F¨ ur

l

3

ω

Abb. 6.39. Regul¨ are Pr¨ azession: Poinsotsche Darstellung f¨ ur den oblaten Fall

den oblaten Kreisel rollt, bei einer entsprechenden Konstruktion, der Polkegel auf der Innenseite des Spurkegels ab (Abb. 6.39). Die Theorie des kr¨ aftefreien, symmetrischen Kreisels findet bei der Diskussion der Erdrotation Anwendung. Die Erde ist in guter Näherung ein ¨ oblater, kr¨ aftefreier Kreisel mit den Achsen a = b = 6377 km (Aquator) und c = 6356 km (Pol). Wie oben ausgef¨ uhrt, ist der Durchstoßpunkt der 3 ω

Abb. 6.40. Regul¨ are Pr¨ azession der Erdachse

Figurenachse (geometrischer Nordpol) von dem Durchstoßpunkt der Drehachse ω verschieden. Der kinematische Nordpol beschreibt einen Kreis um den geometrischen Nordpol (Abb. 6.40). Die Präzessionsfrequenz ist I3 − I ω3 . |Ω| = I Berechnet man die Tr¨ agheitsmomente der Erde (unter der Annahme einer ur die homogenen Massenverteilung) und setzt ω3 = 2π/Tag, so erhält man f¨ Periode der Pr¨ azessionsbewegung 2π ≈ 305 Tage ≈ 10 Monate . Ω Die entsprechenden ‘experimentellen‘ Daten sehen folgendermaßen aus: T =


347

(i) Die Pr¨ azession ist etwas unregelm¨ aßig. Die Schwankungen sind mit meteorologischen und geologischen Ereignissen korreliert. (ii) Die gemittelte Periode ist nicht 10 sondern ungefähr 14 Monate (Chandlerperiode). F¨ ur die Erkl¨ arung dieser Diskrepanz gibt es eine detaillierte Theorie, die ber¨ ucksichtigt, dass die Erde nicht vollkommen starr ist, sondern quasifl¨ ussig12 . (iii) Der Radius des Durchstoßkreises des ω -Kegels ist im Mittel ca. 4 m. 6.3.7.4 Die Zeitentwicklung der Eulerwinkel f¨ ur den kr¨ aftefreien, symmetrischen Kreisel. Man kann die Diskussion der Kreiselbewegungen quantitativer fassen, wenn man die explizite Beschreibung durch die Eulerwinkel benutzt. Dies soll f¨ ur das einfachere Beispiel des symmetrischen ur die Kreisels (I1 = I2 = I = I3 ) noch angedeutet werden. Der Ausdruck f¨ kinetische Energie der Rotation (6.141) vereinfacht sich zu 1 ˙2 (6.159) I(β + α˙ 2 sin2 β) + I3 (γ˙ + α˙ cos β)2 . Trot = 2 Eine entsprechende Vereinfachung erfahren die Eulergleichungen (6.146), (6.147) und (6.148), doch es ist m¨ oglich, die L¨ osung von Bewegungsproblemen des symmetrischen Kreisels direkter anzugehen. Die Lagrangefunktion des freien Kreisels Lfrei ≡ T enthält die Winkel α und γ nicht. Die entsprechenden generalisierten Impulse pα =

∂T = I α˙ sin2 β + I3 (γ˙ + α˙ cos β) cos β = C1 ∂ α˙

(6.160)

pγ =

∂T = I3 (γ˙ + α˙ cos β) = C2 ∂ γ˙

(6.161)

und

sind somit Erhaltungsgr¨ oßen, wobei die Konstanten C1 und C2 durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Aus (6.140) und (6.161) folgt auch die Aussage I3 ω3 = C2 ,

(6.162)

die Projektion des Drehgeschwindigkeitsvektors auf die Figurenachse ändert sich nicht mit der Zeit. Kombination der Gleichungen (6.160) und (6.161) ergibt γ˙ + α˙ cos β = C2 /I3

I α˙ sin2 β = C1 − C2 cos β .

(6.163)

Benutzt man diese Konstanten der Bewegung, um aus der Lagrangefunktion die Ableitungen α˙ und γ˙ zu eliminieren, so erhält man einen Ausdruck, der nur noch von dem Winkel β und dessen Ableitung abhängt 1 (C1 − C2 cos β)2 C22 Lfrei = . (6.164) + I β˙ 2 + 2 I3 I sin2 β 12

Interessenten finden einen Hinweis auf eine weiterf¨ uhrende Ver¨ offentlichung unter A[6] der Literaturliste.

348


Das gleiche Ergebnis k¨ onnte gewonnen werden, indem man in der Bewegungsgleichung f¨ ur den Winkel β die Abh¨ angigkeit von den anderen Winkeln eliminiert und die resultierende Gleichung integriert. Offensichtlich ist (wie bei der Behandlung des freien symmetrischen Kreisels mittels der kartesischen Winkelgeschwindigkeiten im körperfesten Syoße. Der Term C22 /I3 kann in die (erhaltene) stem) ω3 eine Erhaltungsgr¨ Energie Lfrei = E0 = E(t = 0) einbezogen werden E = E0 −

C22 . 2I3

(6.165)

Der Energieausdruck (6.164) entspricht der Differentialgleichung 2E (C1 − C2 cos β)2 1/2 − β˙ = ± I I 2 sin2 β

(6.166)

f¨ ur die Funktion β(t). Zur Vereinfachung bieten sich die Definitionen a = 2E/I

a1 = C1 /I

a2 = C2 /I

(6.167)

an. Die Variablensubstitution q = cos β mit q˙ = −β˙ sin β (vergleiche die Behandlung des sph¨ arischen Pendels) f¨ uhrt mittels Variablentrennung auf das Integral (die L¨ osung) q dq . (6.168) t= a(1 − q 2 ) − (a1 − a2 q‘)2 q(0) Der Radikand in diesem Integral ist eine quadratische Funktion, das Integral kann elementar ausgewertet werden13 . Setzt man das Resultat f¨ ur β(t) in die Gleichungen (6.160) und (6.161) ein, so kann man durch direkte Integration (gegebenenfalls numerisch) die Funktionen α(t) und γ(t) bestimmen. Damit ist die Zeitabh¨ angigkeit der Drehmatrix (6.135), d.h. die nötige Information f¨ ur die Transformation zwischen dem raumfesten und dem körperfesten Koordinatensystemen ermittelt. Beschreibt man die Richtung der Figurenachse aus der Sicht des k¨ orperfesten Systems durch einen Vektor r KF = (0, 0, 1), so erh¨ alt man mit der Transformation (6.136) die Komponenten der Figurenachse in dem raumfesten System (x, y, z)Fig, RF = (sin α(t) sin β(t), − cos α(t) sin β(t), cos β(t)) . (6.169) Diese Gleichung besagt, dass β(t) der zeitlich variable Winkel zwischen der Vertikalen (z -Achse des raumfesten Systems) und der Figurenachse ist und dass die Projektion der Figurenachse in die x - y Ebene f¨ ur positiv wachsende Werte des Winkels α(t) gegen den Uhrzeigersinn in dieser Ebene rotiert. Die zus¨ atzliche Drehung des Kreisels um die Figurenachse (die Drehung um den Winkel γ) kommt in (6.169) nat¨ urlich nicht zum Tragen. 13

Zus¨ atzliche Information u ¨ ber die explizite Berechnung der Bewegung eines freien, D.tail 6.9 zusammengestellt. symmetrischen Kreisels ist in


349

Alternativ, kann man einen Hinweis auf die Form der regulären Präzession aus der Zerlegung der Lagrangefunktion (6.164) in einen kinetischen Anteil des Winkels β und ein effektives Potential gewinnen. Das effektive Potential Ueff =

(C1 − C2 cos β)2 2I sin2 β

(6.170)

hat in dem relevanten Intervall 0 ≤ β ≤ π den in Abb. 6.41 angedeuteten Verlauf. Die Abbildung verdeutlicht, dass bei einer vorgegebenen Energie E ur die Variation des Winkels β ein eingeschr¨ ankter Bereich β1 ≤ β ≤ β2 f¨ vorliegt. U eff

β

Abb. 6.41. Effektives Potential des freien Kreisels

6.3.7.5 Der schwere symmetrische Kreisel. Als einen schweren (symmetrischen) Kreisel bezeichnet man einen Kreisel, f¨ ur den ein St¨ utzpunkt auf der Figurenachse vorhanden ist, der nicht mit dem auf dieser Achse liegenden Schwerpunkt zusammenf¨ allt (Abb. 6.42). In dieser Situation u ¨bt die (konstante) Schwerkraft ein Drehmoment auf den Kreisel aus. Wählt man als gemeinsamen Koordinatenursprung des raum- und des körperfesten Koordinatensystems den zeitlich festen St¨ utzpunkt, so gilt mit (6.123), dass die gesamte kinetische Energie des Kreisels nur aus einem Rotationsanteil besteht, der auf den St¨ utzpunkt bezogen ist. An dem Kreisel greift ein Drehmoment M = MK (s × g) an, wobei MK die Masse des Kreisels und s der Vektor von dem St¨ utzpunkt zu dem Schwerpunkt ist. Der Drehmomentvektor steht (siehe Abb. 6.42) senkrecht auf der Vertikalen und der Figurenachse. Er zeigt somit in Richtung der Knotenlinie ( D.tail 6.10) und bewirkt eine Rotation der Drehimpulsachse. Die quantitative Beschreibung der Bewegung des schweren Kreisels unterscheidet sich formal zun¨ achst nur wenig von dem Fall des freien Kreisels. Die Lagrangefunktion muss um die potentielle Energie Ugrav (β) = MK gs cos β

(6.171)

erg¨ anzt werden. Die Koordinaten α und γ sind auch in diesem Fall zyklisch. Ebenso ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße. Anhand dieser Aussagen

350


M mg

s

Abb. 6.42. Schwerer Kreisel

kann man die Schritte zwischen den Gleichungen (6.160) und (6.168) mit der Lagrangefunktion14 1 ˙2 I(β + α˙ 2 sin2 β) + I3 (γ˙ + α˙ cos β)2 − MK gs cos β (6.172) Lschwer = 2 wiederholen. Die Substitution q = cos β mit den Definitionen (6.167) ergibt dann die integrierte Bewegungsgleichung f¨ ur den Winkel β q dq , (6.173) t= (a − bq )(1 − q 2 ) − (a1 − a2 q‘)2 q(0) wobei der zus¨ atzliche Parameter b durch b = 2MK gs/I definiert ist. An dieser Stelle unterscheidet sich der schwere Kreisel deutlich von dem freien. Anstelle eines Radikanden mit einer quadratischen Funktion von q tritt hier ein Polynom dritten Grades auf. Dies bedingt, dass das Integral in (6.173) einem elliptischen Integral der ersten Art entspricht15 . Die weitere Diskussion entlang der angedeuteten Linie erfordert somit einigen Aufwand. Auch f¨ ur den schweren Kreisel kann man aber u ¨ber die Betrachtung des Polynoms in (6.173) und u ¨ ber die Diskussion eines effektiven Potentials analog (6.170) einige Einblicke gewinnen. Das effektive Potential, das der Lagrangefunktion (6.172) entnommen werden kann Ueff, schwer (β) =

(C1 − C2 cos β)2 + MK gs cos β , 2I sin2 β

(6.174)

ist in Abb. 6.43 dargestellt. Wie bei dem freien Kreisel ist f¨ ur eine vorgegebene Energie der Winkel β auf ein Intervall β1 ≤ β ≤ β2 beschränkt. Es existiert ein Minimalpunkt des Potentials bei β0 (der infolge des zusätzlichen Terms in cos β bei dem schweren Kreisel etwas deutlicher ausgeprägt ist), in dem dieser Neigungswinkel der Figurenachse in Bezug auf die Vertikale zeitlich konstant bleibt. Dieser Winkel ist durch dU =0 dβ β0 14 15

Die Tr¨ agheitsmomente sind hier auf das Koordinatensystem mit dem St¨ utzpunkt als Ursprung bezogen. F¨ ur einen Vergleich mit dem elliptischen Integral in Kap. 4.2.1 siehe Math.Kap. 4.3.4.


351

U eff

β

Abb. 6.43. Effektives Potential des schweren Kreisels

bestimmt. Direkte Auswertung ( (C1 − C2 cos β0 ) =

C2 sin2 β0 2 cos β0

D.tail 6.11) ergibt die Bedingung 4MK gsI cos β0 1± 1− . (6.175) C2 2

Falls β0 ≤ π/2 ist, kann der Radikand nur positiv sein, wenn die Bedingung C22 ≥ 4MK gsI cos β0 , beziehungsweise mit (6.162) 2 ω3 ≥ MK gsI cos β0 I3 erf¨ ullt ist. F¨ ur einen konstanten Winkel mit β0 ≤ π/2 ergibt sich, wenn zus¨ atzlich ω3 die obige Ungleichung erf¨ ullt, eine quasireguläre Präzession des schweren Kreisels, die durch den Winkel α beschrieben wird. Die Figurenachse dreht sich um die Vertikale mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit (benutze (6.163)) α˙ =

C1 − C2 cos β0 . I sin2 β0

(6.176)

Der Bedingung (6.175) entnimmt man zwei verschiedene Wurzeln β0 , so dass diese Pr¨ azession in einer langsameren und einer schnelleren Variante auftreten kann. Der Fall, dass β0 ≥ π/2 ist, entspricht einer Situation, in der sich der Auflagepunkt (Aufh¨ angepunkt) oberhalb des Schwerpunktes befindet. Eine derartige Situation erfordert eine gyroskopische Aufhängung. Da f¨ ur diesen Winkelbereich cos β0 negativ ist, ergibt die Bedingung (6.175) keine Einschr¨ ankung f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit ω3 . Die Bedingung liefert jedoch zwei Werte f¨ ur (C1 − C2 cos β0 ), die ein unterschiedliches Vorzeichen tragen. Aus der Relation (6.176) folgt dann, dass der Kreisel sich f¨ ur die schnellere Komponente im gleichen Sinn und f¨ ur die langsamere Komponente im entgegengesetzten Sinn zu dem Fall β0 < π/2 dreht. Ist man nicht im Minimum des effektiven Potentials, so kann das Vorzeichen von α˙ gemäß (6.176) wechseln, während der Winkel β zwischen den beiden Grenzwerten variiert. Details hängen von den Werten der Integrationskonstanten C1 und C2 ab. Tritt kein Vorzeichenwechsel auf, so pr¨ azediert der Kreisel monoton. Die Projektion der Figurenachse auf eine Einheitskugel beschreibt eine Art von Oszillation

352


in dem Band zwischen den Winkeln β1 und β2 (Abb. 6.44a). Man bezeichnet eine derartige Bewegung als Nutation. Bei einem Vorzeichenwechsel von α˙ tritt anstelle der Oszillation eine schleifenförmige Bewegung (Abb. 6.44b) auf, da die Pr¨ azession f¨ ur den unteren und den oberen Wert von β ein verschiedenes Vorzeichen hat. Ein besonderer Fall kann eintreten, wenn (C1 − C2 cos β)|βi = 0

(i = 1 oder 2)

ist. Aus dieser Bedingung folgt α| ˙ βi = 0

˙ β =0 β| i

(i = 1 oder 2) .

Es ergibt sich eine Projektion der Bewegung auf die Einheitskugel mit Spitzen und B¨ ogen (Abb. 6.44c). (a)

(b)

(c)

Abb. 6.44. Bewegungsformen des schweren Kreisels: Projektion der Figurenachse auf eine Einheitskugel f¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse der Integrationskonstanten C1 /C2

Eine entsprechende Diskussion kann anhand des Radikanden in dem Integral (6.173) gef¨ uhrt werden. Der qualitative Verlauf der Funktion f (q) = (a − bq)(1 − q 2 ) − (a1 − a2 q)2 ahnelt dem Verlauf der entsprechenden Funktion in (5.95) bei der Diskussion ¨ des sph¨ arischen Pendels. Die Funktion f (q) hat im Allgemeinen drei Nullstellen. Der physikalisch interessante Bereich ist −1 ≤ q ≤ 1. In diesem Bereich m¨ ussen zwei der Nullstellen vorkommen, die einen Bereich von positiven f Werten begrenzen. Diese Nullstellen entsprechen den beiden Grenzwinkeln β1 und β2 . Die Diskussion des asymmetrischen Kreisels (kräftefrei oder nicht) ist noch etwas aufwendiger. Auch bei der Diskussion des kräftefreien asymmetrischen Kreisels treten elliptische Integrale auf. Auf der Basis der Bewegungsgleichungen (6.151) kann man die diversen Kegelkonstruktionen u ¨bertragen, doch sind die F¨ uhrungskurven keine Kreise wie im Fall des symmetrischen, kr¨ aftefreien Kreisels, sondern transzendente Kurven, die sich im Allgemeinen nicht schließen16 . 16

Das Standardwerk (Literaturliste A[7]) wurde schon vor mehr als hundert Jahren ver¨ offentlicht.

7 Literaturverzeichnis

In dem folgenden Verzeichnis findet man die in dem Text zitierten Literaturstellen, eine wahrscheinlich nicht vollst¨ andige Liste der im Handel und in den Bibliotheken verf¨ ugbaren Lehrb¨ ucher der Theoretischen Mechanik, sowie eine noch weniger vollst¨ andige Angabe der relevanten mathematischen Lehrb¨ ucher und Formelwerke. Eine ausf¨ uhrlichere Dokumentation der mathematischen Literatur ist in den ‘Mathematischen Ergänzungen‘ auf der enthalten. zugeh¨ origen Die Lehrb¨ ucher sind alphabetisch aufgef¨ uhrt, die Reihenfolge nimmt also keinen Bezug auf das Niveau oder die Schwierigkeit der Darstellung. Werke, die (soweit den Internet-Seiten der Verlage entnehmbar) nicht mehr im Handel erh¨ altlich sind, sind durch (*) markiert.

Zitierte Literaturstellen [1] K. Bethge, U.E. Schr¨ oder: ‘Elementarteilchen und ihre Wechselwirkung‘ (Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1991) (*) H.J. Lipkin: ‘Lie Groups for Pedestrians‘ (North Holland Publ. Co, Amsterdam, 1965) [2] (*) P. Moon, D. Eberle: ‘Field Theory Handbook‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 1961) [3] Siehe unter dem Eintrag ‘Integraltafeln‘ [4] A. Guthmann: ‘Einf¨ uhrung in die Himmelsmechanik und die Ephemeridenrechnung‘ (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000) [5] Kap. 8 und 9 aus (*) H. Goldstein: ‘Klassische Mechanik‘ (Aula Verlag, Wiesbaden, 1991) Kap 2.35 bis 2.37 aus F. Scheck: ‘Theoretische Physik: Mechanik‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 2002) [6] D.J. Inglis: ‘Shifting of the Earth’s Axis of Rotation‘ (in Reviews of Modern Physics, Band 29, 1957) S. 9 ¨ [7] (*) F. Klein, A. Sommerfeld: ‘ Uber die Theorie des Kreisels‘ Band 1-4 (Teubner Verlag, Leipzig, 1897-1910)

354


Einfu ¨ hrende Texte • R. Feynman, R.B. Leighton, M Sands: ‘Feynman Vorlesungen u ¨ ber Physik‘ Band 1 (Verlag Oldenbourg, M¨ unchen, 2001) • C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman: ‘Berkeley Physikkurs‘ Band 1 (Springer Verlag, Berlin, 1994)

Theoretische Mechanik • • • • • • • • • • • • • • •

S. Brandt, H.D. Dahmen: ‘Mechanik‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 1996) A. Budo: ‘Theoretische Mechanik‘ (Wiley-VHC, Weinheim, 1990) A.P. French: ‘Newtonsche Mechanik‘ (Verlag de Gruyter, Berlin, 1996) (*) H. Goldstein: ‘Klassische Mechanik‘ (Aula Verlag, Wiesbaden, 1991) H. Goldstein, C.P. Poole, J.L. Safko: ‘Classical Mechanics‘ (Addison Wesley, Baltimore, 2001) W. Greiner: ‘Theoretische Physik: Mechanik‘ Band I und II (Verlag H. Deutsch, Frankfurt, 1992 und 1989) M. Heil, F. Kitzka: ‘Grundkurs Theoretische Mechanik‘ (Teubner Verlag, Stuttgart, 1984) R. Jelitto: ‘Theoretische Physik: Mechanik‘ Band I und II (Aula Verlag, Wiesbaden, 1991 und 1995) J. M. Knudsen, P.G. Hjorth: ‘Elements of Newtonian Mechanics‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 2002) F. Kuypers: ‘Klassische Mechanik‘ (Wiley-VHC, Weinheim, 1997) L. Landau, E. Lifschitz: ‘Lehrbuch der Theoretischen Physik: Mechanik‘ (Verlag H. Deutsch, Frankfurt, 1997) J.B. Marion, S.T. Thornton: ‘Classical Dynamics of Particles and Rigid Bodies‘ (Saunders, Philadelphia, 1988) W. Nolting: ‘Grundkurs Theoretische Physik‘ : Band 1: ‘Klassische Mechanik‘ Band 2: ‘Analytische Mechanik‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 2002) F. Scheck: ‘Theoretische Physik: Mechanik‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 2002) A. Sommerfeld: ‘Vorlesungen u ¨ber Theoretische Physik: Mechanik‘ (Verlag H. Deutsch, Frankfurt, 1994) K.R. Symon ‘Mechanics‘ (Addison-Wesley, Baltimore, 1971)

Mathematik • H. Anton: ‘Lineare Algebra‘ (Verlag Spektrum der Wissenschaften, Heidelberg, 1995) • R. Courant, F. John: ‘Introduction to Calculus and Analysis‘ Band I und II/1, II/2 (Springer Verlag, Heidelberg, 1989) • G. Fischer: ‘Lineare Algebra‘ (Vieweg Verlag, Braunschweig, 2002)


355

• O. Forster: ‘Analysis‘ Band 1 und 2 (Vieweg Verlag, Braunschweig, 2001 und 1984) • S. Großmann: ‘Mathematischer Einf¨ uhrungskurs f¨ ur die Physik‘ (Teubner Verlag, Stuttgart, 2000) • K. J¨ anisch: ‘Lineare Algebra‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 2002) • K. K¨ onigsberger: ‘Analysis‘ Band 1 und 2 (Springer Verlag, Heidelberg, 2001 und 2002) • W. Walter: ‘Analysis‘ Band 1 und 2 (Springer Verlag, Heidelberg, 2001 und 2002) • R. W¨ ust: ‘Mathematik f¨ ur Physiker und Mathematiker‘ Band 1 und 2 (Wiley-VHC, Berlin, 2002)

Tabellen und Formelsammlungen Allgemeine Formelsammlungen • H.-J. Bartsch: ‘Kleine Formelsammlung Mathematik‘ (Hanser Verlag, Leipzig, 1995) • I. Bronstein, I. Semendjajew, G. Musiol, H. M¨ uhlig: ‘Taschenbuch der Mathematik‘ (Verlag H. Deutsch, Frankfurt, 2000) • H. St¨ ocker: ‘Mathematische Formeln und Moderne Verfahren‘ (Verlag H. Deutsch, Frankfurt, 1995) • E. Hering, R. Martin, M. Stohrer: ‘Physikalisch-Technisches Taschenbuch‘ (VDI Verlag, D¨ usseldorf, 1994) Spezielle Funktionen • M. Abramovitz, I. Stegun: ‘Handbook of Mathematical Functions‘ (Dover Publications, New York, 1974) • (*) W. Magnus, F. Oberhettinger: ‘Formeln und Sätze f¨ ur die speziellen Funktionen der mathematischen Physik‘ (Springer Verlag, Heidelberg, 1948) Integraltafeln • I. Gradstein, I. Ryshik: ‘Summen-, Produkt- und Integraltafeln‘ Band I und II (Verlag H.Deutsch, Frankfurt, 1981) • W. Gr¨ obner, N. Hofreiter: ‘Integraltafel‘ Band I und II (Springer Verlag, Wien, 1975 und 1973) • sowie die entsprechenden Abschnitte der Formelsammlungen

Anhang

Einige, hoffentlich n¨ utzliche Angaben sind in dem Anhang zusammengestellt. Die Liste der Lebensdaten der in dem Text erwähnten Wissenschaftler soll die Einordnung der verschiedenen Themenkreise, die mit diesen Namen verkn¨ upft sind, in ein zeitliches Raster erm¨ oglichen. Das griechische Alphabet spielt in der Notation der Physik eine wichtige Rolle und ist aus diesem Grund, ebenso wie eine kurze Liste der verwendeten Symbole, angef¨ ugt. Die f¨ ur die Mechanik relevanten physikalischen Gr¨ oßen sind, zusammen mit Umrechnungsfaktoren und den Bezeichnungen im CGS- und MKS-System, in drei Tabellen zusammengestellt. Es folgen eine Auswahl von astronomischen Daten (Planetenbewegung) und eine rudiment¨ are Formelsammlung.

A Lebensdaten

d’Alembert, Jean-Baptiste frz. Philosoph ∗ 16.11.1717 Paris (Frankreich) † 29.10.1783 Paris (Frankreich) Archimedes

gr. Mathematiker ∗ 287 v. Chr. Syrakus (Griechenland) † 212 v. Chr. Syrakus (Griechenland)

Atwood, George

engl. Mathematiker und Physiker ∗ 1745 London (England) † 11.07.1807 London (England)

Bernoulli, Jacob

schw. Mathematiker ∗ 27.12.1654 Basel (Schweiz) † 16.08.1705 Basel (Schweiz)

Bernoulli, Johann

schw. Mathematiker ∗ 06.08.1667 Basel (Schweiz) † 01.01.1748 Basel (Schweiz)

Cavendish, Henry

engl. Chemiker ∗ 10.10.1731 Nizza (Frankreich) † 24.02.1810 London (England)

Chandler, Seth Carlo

am. Astronom ∗ 17.9.1846 Boston (USA) † 13.12.1913 Wellesley Hills (USA)

Chasles, Michel

frz. Mathematiker ∗ 15.11.1793 Epernon (Frankreich) † 18.12.1880 Paris (Frankreich)

Chadwick, Sir James

engl. Physiker Nobelpreis 1935 ∗ 20.10.1891 Manchester (England) † 23.07.1974 Pinehurst (England)

360

A Lebensdaten

de Coriolis, Gaspard Gustave frz. Physiker ∗ 21.05.1792 Paris (Frankreich) † 19.09.1843 Paris (Frankreich) Cockroft, Sir John Douglas

engl. Physiker Nobelpreis 1951 ∗ 27.05.1887 Todmorden (England) † 18.09.1967 Cambridge (England)

de Coulomb, Charles Augustin frz. Physiker ∗ 14.06.1736 Angoulême (Frankreich) † 23.08.1806 Paris (Frankreich) Descartes, Ren´ e, (Renatus Cartesius)

frz. Philososoph und Mathematiker, ∗ 31.03.1596 La Haye (Frankreich) † 11.02.1650 Stockholm (Schweden)

Einstein, Albert

dt. Physiker Nobelpreis 1921 ∗ 14.03.1897 Ulm (Deutschland) † 18.04.1955 Princeton (USA)

Euler, Leonhard

schw. Mathematiker ∗ 15.04.1707 Basel (Schweiz) † 18.09.1783 St Petersburg (Russland)

Feynman, Richard Phillips

am. Physiker Nobelpreis 1965 ∗ 11.05.1918 Far Rockway (USA) † 15.02.1988 Los Angeles (USA)

Foucault, Léon Jean Bertrand frz. Physiker ∗ 18.09.1819 Paris (Frankreich) † 11.02.1868 Paris (Frankreich) Fourier, Jean Baptiste Joseph frz. Mathematiker ∗ 21.03.1768 Auxerre (Frankreich) † 16.05.1830 Paris (Frankreich) Galilei, Galileo

it. Physiker ∗ 15.02.1564 Pisa (Italien) † 08.01.1642 Arcetri (Italien)

Geiger, Hans Wilhelm

dt. Physiker ∗ 30.09.1882 Neustadt (Deutschland) † 24.09.1945 Potsdam (Deutschland)

A Lebensdaten

Halley, Edmond

361

engl. Astronom ∗ 08.11.1656 Haggerston (England) † 14.01.1742 Greenwich (England)

Hamilton, Sir William Rowan ir. Mathematiker, ∗ 04.08.1805 Dublin (Irland) † 02.09.1865 Dunsink (Irland) Heisenberg, Werner Karl

dt. Physiker Nobelpreis 1932 ∗ 05.12.1901 W¨ urzburg (Deutschland) † 01.01.1976 M¨ unchen (Deutschland)

Hooke, Robert

engl. Physiker ∗ 18.07.1635 Freshwater (England) † 03.03.1703 London (England)

Hubble, Edwin Powell

am. Astronom ∗ 20.11.1889 Marshfield (USA) † 28.09.1953 San Marino (USA)

Huygens, Christiaan

niederl. Physiker und Astronom ∗ 14.04.1629 Den Haag (Holland) † 08.07.1695 Den Haag (Holland)

Jacobi, Karl Gustav Jacob

dt. Mathematiker ∗ 10.12.1804 Potsdam (Deutschland) † 18.02.1851 Berlin (Deutschland)

Joule, James Prescott

engl. Physiker ∗ 24.12.1818 Salford (England) † 11.10.1889 Sale (England)

Joyce, James Augustine

ir. Autor ∗ 02.02.1882 Rathgar (Irland) † 13.01.1941 Z¨ urich (Schweiz)

Kepler, Johannes

dt. Astronom ∗ 27.12.1571 Weil der Stadt (Deutschland) † 15.11.1630 Regensburg (Deutschland)

de Lagrange, Joseph-Louis

it.-frz. Mathematiker und Physiker ∗ 25.01.1736 Turin (Italien) † 10.04.1813 Paris (Frankreich)

362

A Lebensdaten

Legendre, Adrien Marie

frz. Mathematiker ∗ 18.09.1752 Paris (Frankreich) † 10.01.1833 Paris (Frankreich)

Lissajous, Jules Antoine

frz. Physiker, ∗ 04.03.1822 Versailles (Frankreich) † 24.06.1880 Plombli` eres-les-Dijon (Frankreich)

Marsden, Sir Ernest

engl. Physiker ∗ 19.02.1889 Lancashire (England) † 14.12.1970 Wellington (Neuseeland)

Michelson, Albert Abraham am. Physiker Nobelpreis 1907 ∗ 19.12.1852 Strelno (Posen) † 09.05.1931 Pasadena (Californien) Morley, Edward E.

am. Chemiker ∗ 29.01.1838 Newark (USA) † 24.02.1923 West Hartford (USA)

Newton, Sir Isaac

engl. Physiker und Mathematiker ∗ 04.01.1643 Woolsthorpe (England) † 31.03.1727 Kensington (England)

Poincaré, Jules Henri

frz. Mathematiker und Philosoph ∗ 29.04.1854 Nancy (Frankreich) † 17.07.1912 Paris (Frankreich)

Poisson, Siméon Denis

frz. Mathematiker und Physiker ∗ 21.06.1781 Pithiviers (Frankreich) † 25.04.1840 Sceaux (Frankreich)

Poinsot, Louis

frz. Mathematiker ∗ 03.01.1777 Paris (Frankreich) † 05.12.1859 Paris (Frankreich)

Lord Rayleigh, John William engl. Physiker Nobelpreis 1904 ∗ 12.11.1842 Langford Grove (England) † 30.06.1919 Terling Place (England) Riemann, Georg Friedrich

dt. Mathematiker ∗ 17.09.1826 Breselenz (Deutschland) † 20.07.1866 Selasca (Italien)

A Lebensdaten

Rutherford, Ernest

engl. Physiker Nobelpreis 1908 ∗ 30.08.1871 Brightwater (Neuseeland) † 10.10.1937 Cambridge (England)

Steiner, Jakob

schw. Mathematiker ∗ 18.03.1796 Utzenstorf (Schweiz) † 01.04.1863 Bern (Schweiz)

Stokes, Sir George Gabriel engl. Mathematiker und Physiker ∗ 13.08.1819 Skreen (Irland) † 01.02.1903 Cambridge (England) Taylor, Brook

engl. Mathematiker ∗ 18.08.1685 Edmonton (England) † 29.12.1731 London (England)

Walton, Ernest Thomas

ir. Physiker Nobelpreis 1951 ∗ 06.10.1903 Dungarvan (Irland) † 25.06.1995 Belfast (Irland)

363

B Das griechische Alphabet

α β γ δ , ε ζ η θ, ϑ ι κ λ μ ν ξ o π ρ# σ, ς τ φϕ χ ψ ω υ

A B Γ Δ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π R Σ T Φ X Ψ Ω Υ

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda M¨ u N¨ u Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Phi Chi Psi Omega Upsilon

C Nomenklatur

Symbole ≡ ≈ ∝ v ˆ A mod x·y x×y grad φ = ∇φ div f = ∇ · f rot f = ∇ × f

aquivalent ¨ ungef¨ ahr gleich proportional Vektor v Matrix A Modulo Skalarprodukt der Vektoren x und y Vektor (Kreuz-)produkt von x und y Gradient von φ Divergenz von f Rotation von f

[] O

Einheit/Dimension Ordnung einer Entwicklung

D Physikalische Gr¨ oßen

Tabelle D.1. Physikalische Systeme Bezeichnung

Erkl¨ arung

Einheiten

CGS-System

Zentimeter-Gramm-Sekunden-System

cm, g, s

MKS-System

Meter-Kilogramm-Sekunden-System

m, kg, s

Tabelle D.2. Vorsilben f¨ ur Zehnerpotenzen Bezeichnung

Abk¨ urzung

Zehnerpotenz

Tera

T

1012

Giga

G

109

Mega

M

106

Kilo

k

103

Dezi

d

10−1

Zenti

c

10−2

Milli

m

10−3

Mikro

μ

10−6

Nano

n

10−9

Piko

p

10−12

Femto

f

10−15

Atto

a

10−18

Tabelle D.3. Physikalische Einheiten im CGS- und MKS-System Physikalische Gr¨ oße

Abk¨ urzung

Einheiten im CGS-System

MKS-System

L¨ ange

L

cm

m

Masse

M

g

kg

Zeit

T

s

s

Geschwindigkeit

L/T

cm/s

m/s

Beschleunigung

L/T2

cm/s2

m/s2

Kraft

ML/T2

g cm/s2 =

kg m /s2 =

dyn

N

Impuls, Kraftstoß

ML/T

g cm/s =

Energie, Arbeit

ML2 /T2

g cm2 /s2 =

dyn s

Ns

dyn cm = erg Leistung

2

3

ML /T 3

2

kg m /s =

Nm=J

g cm / s =

kg m2 /s3 =

dyn cm/s

J/s=W

cm

3

kg m2 /s2 =

3

m3

Volumen

L

Dichte

M/L3

g/cm3

kg/m3

Winkel

–

rad

rad

Winkelgeschwindigkeit

1/T

rad/s 2

rad/s 2

Winkelbeschleunigung

1/T

rad/s

rad/s2

Drehmoment

ML2 /T2

g cm2 /s2

kg m2 /s2

Drehimpuls

ML2 /T

g cm2 /s

kg m2 /s

Tr¨ agheitsmoment

ML2

g cm2

kg m2

Druck

M/(LT2 )

g/(cm s2 )= dyn/cm

2

kg/(m s2 )= N/m2

368

D Physikalische Gr¨ oßen

Tabelle D.4. Einige Umrechnungsfaktoren I physik.

Einheit

Abk. der

Wert in

Einheit

anderer Einheit

1 Kilometer

km

1000 m

1 Meter

m

100 cm

1 cm

cm

10−2 m

1 Millimeter

mm

10−3 m

1 Mikrometer

μm

10−6 m

1 Nanometer

nm

10−9 m

1˚ Angstr¨ om

˚ A

10−10 m

1 Quadratkilometer

km2

Gr¨ oße L¨ ange

Fl¨ ache

Volumen

Masse

Geschwindigkeit Dichte

106 m2

2

104 cm2

1 Quadratmeter

m

1 Ar

a

102 m2

1 Liter

l

1000 cm3

1 Kubikmeter

m3

1000 l

1 Kilogramm

kg

1000 g

1 Tonne

t

1000 kg

1 Stundenkilometer

km/h

1 Gramm pro

g/cm

3

0.2778 m/s 103 kg/m3

Kubikzentimeter Kraft

1 dyn

dyn

1 g cm/s2

1 Kilopond

kp

9.807 N =

1 Newton

N

105 dyn= 0.1202 kp

D Physikalische Gr¨ oßen Tabelle D.5. Einige Umrechnungsfaktoren II physik.

Einheit

Gr¨ oße Energie

1 Joule

Abk. der

Wert in

Einheit

anderer Einheit

J

1Nm=107 erg =0.2389 cal

1 Kilokalorie

kcal

1000 cal = 4.187 J

1 Kilowattstunde

kWh

3.6 · 106 J = 860 kcal

Leistung

1 Elektronenvolt

eV

1.602 10−19 J

1 Watt

W

1 J/s= 107 erg/s = 0.2389 cal/s

1 Pferdest¨ arke

PS

75 kp m/s = 735.5 W

1 Kilowatt

kW

1.360 PS 1 N/m2 =

Druck

10 dyn/cm2 1 Bar

bar

105 N/m2

1 phys. Atmosph¨ are

atm

1.013 bar

1 Torr

1/760 atm

1 techn. Atmosph¨ are

at

1 Hektopascal

...

1 Radiant

rad

1◦

0.017453 rad

1kp/cm2 = 0.9807 bar

Winkel

57.296◦

369

E Einige Konstante und astronomische Daten

Tabelle E.1. Konstante Bezeichnung

Abk¨ urzung

Wert

universelle Gravitationskonstante

γ

6.673 · 10−8 cm3 /(g s2 )

mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfl¨ ache

g

9.81 m/s2

Lichtgeschwindigkeit

c

2.997925 · 108 m/s

E Einige Konstante und astronomische Daten Tabelle E.2. Astronomische Daten I Masse *

kg

Sonne

1.99 · 1030

Erde

5.98 · 1024

Erdmond

7.35 · 1022

Jupiter

1.90 · 1027

Saturn

5.69 · 1026

Venus

4.87 · 1024

Mars

6.42 · 1023

¨ Radius (am Aquator) *

km

Sonne

6.95 · 105

Erde

6.38 · 103

Erdmond

1.74 · 103

Jupiter

7.14 · 104

Saturn

6.00 · 104

Venus

6.05 · 103

Mars

3.40 · 103

große Halbachse der Bahn *

km

Erde

1.50 · 108

Erdmond

3.84 · 105

Jupiter

7.78 · 108

Saturn

1.43 · 109

Venus

1.08 · 108

Mars

2.28 · 108

Periode der Eigendrehung (mittlere)

s

Erde

8.62 · 104

Erdmond

2.36 · 106

Jupiter

3.57 · 104

Saturn

3.83 · 104

Venus

2.10 · 107

Mars

8.86 · 104

371

372

E Einige Konstante und astronomische Daten

Tabelle E.3. Astronomische Daten II Gravitationsbeschleunigung (mittlere)

m/s2

Erde

9.81

Erdmond

1.62

Jupiter

24.86

Saturn

10.54

Venus

8.87

Mars

3.72

Umlaufdauer (mittlere) *

s

Erde

3.16 · 107

Erdmond

2.36 · 106

Jupiter

3.74 · 108

Saturn

9.28 · 108

Venus

1.94 · 107

Mars

5.94 · 107

* Daten adaptiert aus R. Wielen (ed.): ’Planeten und ihre Monde’ (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1997)

F Formelsammlung

F.1 Ebene Polarkoordinaten Definition x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

Länge des Vektors r r(t) = [x2 (t) + y 2 (t)]1/2 Winkel zwischen r und x -Achse y(t) ϕ(t) = arctan x(t) r(t) = r(t)er (t) v(t) = r˙ er + rϕ˙ eϕ = vr er + vϕ eϕ vr : Radialgeschwindigkeit vϕ : Azimutalgeschwindigkeit ¨ ϕ = a r er + a ϕ eϕ a(t) = (¨ r − rϕ˙ 2 )er + (2r˙ ϕ˙ + rϕ)e ar : Radialbeschleunigung aϕ : Azimutalbeschleunigung er (t) = cos ϕ(t)ex + sin ϕ(t)ey eϕ (t) = − sin ϕ(t)ex + cos ϕ(t)ey ex = cos ϕ(t)er (t) − sin ϕ(t)eϕ (t) ey = sin ϕ(t)er (t) + cos ϕ(t)eϕ (t) dx dy = r dr dϕ

374

F Formelsammlung

F.2 Zylinderkoordinaten x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z=z y ρ = x2 + y 2 ϕ = arctan z=z x r(t) = ρeρ (t) + zez v(t) = ρe ˙ ρ (t) + ρϕe ˙ ϕ (t) + ze ˙ z a(t) = (¨ ρ − ρϕ˙ 2 )eρ (t) + (ρϕ¨ + 2ρ˙ ϕ)e ˙ ϕ (t) + zëz ρ2 + z 2 v(t) = ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 a(t) = (¨ ρ − ρϕ˙ 2 )2 + (ρϕ¨ + 2ρ˙ ϕ) ˙ 2 + z¨2 r(t) =

eρ (t) =

cos ϕ(t)ex + sin ϕ(t)ey

eϕ (t) = − sin ϕ(t)ex + cos ϕ(t)ey ez (t) = ez ex = cos ϕ(t)eρ (t) − sin ϕ(t)eϕ (t) ey = sin ϕ(t)eρ (t) + cos ϕ(t)eϕ (t) ez = ez (t) dx dy dz = r dρ dϕ dz

F.3 Kugelkoordinaten x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ r=

x2

+

y2

+

z2

y ϕ = arctan x

˙ θ + (rϕ˙ sin θ)eϕ v(t) = (r)e ˙ r + (rθ)e

x2 + y 2 θ = arctan z

F.4 Additionstheoreme / Moivreformel

a(t) = er r¨ − rθ˙2 − rϕ˙ 2 sin2 θ +eθ rθ¨ + 2r˙ θ˙ − rϕ˙ 2 sin θ cos θ +eϕ rϕ¨ sin θ + 2r˙ ϕ˙ sin θ + 2rθ˙ ϕ˙ cos θ er = (sin θ cos ϕ)ex + (sin θ sin ϕ)ey + (cos θ)ez eθ = (cos θ cos ϕ)ex + (cos θ sin ϕ)ey + (− sin θ)ez eϕ = − sin ϕex + cos ϕey ex = (sin θ cos ϕ)er − sin ϕeϕ + (cos θ cos ϕ)eθ ey = (sin θ sin ϕ)er + cos ϕeϕ + (cos θ sin ϕ)eθ ez = cos θer − sin θeθ

dx dy dz = r2 dr sin θ dθ dϕ

F.4 Additionstheoreme / Moivreformel x, y reell sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y tan(x ± y) =

tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y

sin 2x = 2 cos x sin x =

2 tan x 1 + tan2 x

cos 2x = cos2 x − sin2 x = tan 2x =

1 − tan2 x 1 + tan2 x

2 tan x 1 − tan2 x

a = |a|(cos ϕ + i sin ϕ) = x + iy an = (|a|(cos ϕ + i sin ϕ))n = |a|n (cos nϕ + i sin nϕ) = |a|n einϕ

375

376

F Formelsammlung

F.5 Hyperbelfunktionen sinh x =

1 x (e − e−x ) 2

cosh x =

1 x (e + e−x ) 2

tanh x =

(ex − e−x ) (ex + e−x )

F.6 Reihenentwicklungen ∞

sin x =

(−1)n

n=0

cos x =

∞

(−1)n

n=0

ex =

x2n+1 (2n + 1)! x2n (2n)!

∞

xn n! n=0

n n n 2 (1 ± x) 1 ± x+ x + x3 + . . . 1 2 3

n(n − 1) . . . (n − m + 1) n = m m! =

F.7 N¨ aherungsformeln (δ klein) (1 ± δ)α ≈ 1 + α δ eδ ≈ 1 + δ ln(1 + δ) ≈ δ sin δ ≈ δ 1 cos δ ≈ 1 − δ 2 2 tan δ ≈ δ

|x| ≤ 1

Index

Abweichung – Ost, 309 – S¨ ud, 310 Additionstheorem – Geschwindigkeiten, 73 Amplitude, 17 Anfangsbedingungen, 38, 186, 263, 267 Anfangswertproblem, 26 Arbeit, 105 – Arbeit-Energie Relation, 111 – virtuelle, 206, 213 Attraktorbecken, 266 Atwoodsche Fallmaschine, 213 Azimutal– beschleunigung, 57 – geschwindigkeit, 56 Bahnkurve – Cartesisches Blatt, 48 – Gleichung, 29 – Parameterdarstellung – – dreidimensional, 41 – – zweidimensional, 29 Beschleunigung, 22 – Azimutal-, 57 – Durchschnitts-, 22 – Gravitations-, 23, 70 – Momentan-, 23 – Radial-, 57 – vektorielle, 43 – Zentral-, 50, 58 – Zentripetal-, 45 Bewegung – chaotisch, 263 – dreidimensional, 41 – Pr¨ azessions-, 236 – zweidimensional, 28 Bewegungsgleichungen

– Euler, 341 – Hamilton, 256 – in Eulerwinkeln, 339 – Lagrange I, 193 – Lagrange II, 220, 245 – Planetenbewegung, 141 – rotierendes Koordinatensystem, 299 Bezugssystem, 72, siehe auch Koordinatensystem Binormalenvektor, 44 Bogenl¨ ange, 43, 188 Brachystochronenproblem, 251 Cartesisches Blatt, 48 – Fl¨ achenberechnung, 53 – Geschwindigkeitsvektor, 52 Chandlerperiode, 347 Chaos, 267 Corioliskraft, 300 Coulombkraft, 80 D’Alembertprinzip, 205 Deltafunktion, 288 Deviationsmoment, 320 Differentialgleichung, 27 – erzwungene Schwingungen, 172 – gekoppelt, 39 – gekoppelte Oszillatoren, 280 – harmonischer Oszillator, 23 – Keplerproblem, 141 – mathematisches Pendel, 162 – Methode der Variablentrennung, 40 – Superpositionsprinzip, 180 – Variation der Konstanten, 173 Dreh– matrix, 328, 336 – moment, 95, 349 Drehimpuls, 91

378

Index

– erhaltungssatz, 95, 99 – satz, 95 Drehimpulssatz, 99 Eigenfrequenz, 172, 273 Eigenmode, 273 Eigenwertproblem, 278, 327 Energie – erhaltungssatz, 113, 118, 126 – kinetisch, 105, 127 – kinetisch, Rotations-, 319, 334 – kinetisch, Translations-, 318 – potentiell, 112, 126, 127, 188 – potentiell, effektiv, 149, 235, 349, 350 – potentiell, Massenverteilung, 128 – Zentrifugal-, 149 Erhaltungssatz – Drehimpuls-, 95 – Energie-, 113, 118 – Fl¨ achen-, 50 – Impuls-, 85 erzwungene Schwingungen – Amplitude, 173 – Amplitudenfunktion, 177 – Differentialgleichung, 172 – Eigenfrequenz, 172 – G¨ utefaktor, 178 – Halbwertsbreite, 177 – Phase, 173 – Phasenfunktion, 178 – Resonanz, 176 – Resonanzfrequenz, 177 Euler-Lagrange – Variationsgleichungen, 249 Eulersche Bewegungsgleichungen, 341 Eulerwinkel, 335 Exponentialfunktion, 17 Exzentrizit¨ at, 78 Fahrstrahl, 77 Feld – Gravitations-, 104 – Gravitations-, Erde, 131 – konservatives Kraft-, 114 – Kraft-, 103 – Vektor-, 103 – Zentralkraft-, 105 Feynmandiagramm, 82 Figurenachse, 342

Fl¨ achen– berechnung, 51 – erhaltungssatz, 50 – geschwindigkeit, 49 – satz, 48 Fokus, 266 Foucaultpendel, 311 Fourier– darstellung, 182 – reihen, 181 freier Fall – auf bewegter Ebene, 201 – auf parabolischer Wanne, 203 – auf rotierender Erde, 307 – auf schiefer Ebene, 190, 199 – aus Ruhelage, 14, 21 – mit Reibung, 18, 21 – Wurfsituation, 28, 39 Freiheitsgrad, 188 Frequenz, 17 F¨ uhrungskraft, 162, 168, 186 Funktion – Exponential-, 17 – Hamilton-, 237 – homogene, 238 – Lagrange-, 230 Funktional, 248 Galileitransformation, 73 ged¨ ampfter Oszillator – D¨ ampfung, schwach, 170 – D¨ ampfung, stark, 171 – Energieverlust, 171 – Grenzfall, aperiodisch, 170 – Phasenraumportrait, 266 Geoid, 307 Geschwindigkeit, 19 – Additionstheorem, 73 – Azimutal-, 56 – Durchschnitts-, 19 – Fl¨ achen-, 49 – generalisierte, 217 – Momentan-, 20 – Phasen-, 293 – Radial-, 56 – Schwerpunkt-, 84 – vektorielle, 42 Gleichgewichtspunkte, 264 Gleichung

Index – charakteristische, 169, 281, 288, 327 Gravitationsbeschleunigung, 70 Gravitationskonstante, 70, 79 Gravitationspotential, 121 Hamiltonfunktion, 237 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen, 256 Hamiltonsches Prinzip, 247 Hantel, 100 – Tr¨ agheitsmoment, 101 harmonischer Oszillator, 15, 21, 23, 111, 160, 261 – erzwungen, 172, 174 – ged¨ ampft, 169 Haupt– achsentheorem, 325 – tr¨ agheitsachsen, 325 – tr¨ agheitsmomente, 325 Hebel, 99, 214 Hodograph, 45 Hookesches Gesetz, 68 Impuls– erhaltungssatz, 85 – generalisierter, 233 – satz, 85 – satz, allgemein, 91 – Schwerpunkt, 85 – vektor, 76 Inertialsystem, 74 Integral elliptisches, 235, 350 – unvollst¨ andig, 165 – vollst¨ andig, 166 Kegelschnitte, 144 – Ellipse, 145 – Hyperbel, 146 – Keplerproblem, 148 – Parabel, 144 Keplerproblem, 139 – 3. Keplergesetz, 150 – Bahngleichung, 144 – Bahnparametrisierung, 153 – Drehimpuls, 150 – Eink¨ orperproblem, 141 – Kometenbahnen, 157 – Meteoriten, 155 – Mitbewegung der Sonne, 151

379

– Planetenbewegung, 141 – Vielk¨ orperproblem, 153 – Zweik¨ orperproblem, 151 Keplersche Gesetze, 77, 150 Knoten, 267 Knotenlinie, 336 Komet – Halleyscher, 148 Konfigurationsraum, 247 Koordinaten – eben, polar, 54 – generalisierte, 215 – ignorable, 216 – konfokal, elliptische, 60 – Kugel-, 63 – Normal-, 273 – zyklische, 233 – Zylinder-, 61 Koordinatendreibein, 58, 62, 63 Koordinatensystem – beschleunigt, 74 – inertial, 74 – k¨ orperfest, 317, 321 – raumfest, 317 – rotierend, 294 – Ursprung, 15 Kraft, 67 – Coriolis-, 300 – Coulomb-, 80 – generalisierte, 219 – innere, 123 – konservativ, 114, 119 – magnetische, 80 – nichtkonservativ, 114, 123 – verlorene, 209 – Zentral-, 58, 79, 96, 105, 117, 120, 141, 239 – Zentrifugal-, 300 Kraftfeld, 103 Kreisel – kr¨ aftefrei, symmetrisch, 342, 347 – Kugel-, 334, 342 – Nutation, 352 – oblat, 342 – prolat, 342 – schwer, symmetrisch, 349 Kreisfrequenz, 17 krummlinige Koordinaten

380

Index

– ebene Polarkoordinaten, 54 – konfokal, elliptische Koordinaten, 60 – Kugelkoordinaten, 63 – Zylinderkoordinaten, 61 Kr¨ ummungsradius, 44 Kurvenintegral, 110 Lagrangefunktion, 230 – erweitert, 245 Lagrangeklammer, 261 Lagrange I, 192 – Bewegungsgleichungen, 193 – Lagrangemultiplikator, 193 – Zwangskr¨ afte, 192 Lagrange II, 215 – Bewegungsgleichungen, 220, 245 – generalisierte Geschwindigkeit, 217 – generalisierte Koordinaten, 215 – generalisierte Kraft, 219 – generalisierter Impuls, 233 – ignorable Koordinaten, 216 – Lagrangefunktion, 230, 245 – verallgemeinertes Potential, 231 – Zwangskr¨ afte, 226 – zyklische Koordinaten, 233 Legendretransformation, 239, 255 Lissajousellipse – Bewegung auf, 46 Lissajousfiguren, 30 Masse – schwere, 70 – tr¨ age, 69 Massenpunkt, 15 Moment – einer Kraft, 95 – eines Vektors, 92 Newtons Axiome, 72, 123 Nichtlineare Systeme, 267 Normalenvektor, 44 Normalkoordinaten, 273 Normalschwingung – antisymmetrisch, 274 – symmetrisch, 274 Nutation, 352 Orthonormalit¨ atsrelation, 283 Oszillator

– anharmonisch, 161, 164, 267 – harmonisch, 15, 21, 23, 111, 160, 261 – harmonisch, erzwungen, 172, 174 – harmonisch, ged¨ ampft, 169 Oszillatorkette linear, 278 – N Massen, (N + 1) Federn, 286 – 2 Massen, 3 Federn, 284 – Nullmode, 290 Parameterdarstellung – Bahnkurve, 29 – Hodograph, 45 – Keplerellipsen, 153 – Raumkurve, 36, 41 Pendel – ballistisches, 86 – F¨ uhrungskraft, 162, 168 – Faden-, 168 – Foucault-, 311 – mathematisches, 162, 191, 263 – mathematisches ged¨ ampft, 267 – physikalisches, 168, 341 – Schwingungsdauer, 165, 236 – sph¨ arisches (Kugel-), 168, 234 – Zykloiden-, 168 Phasen– (raum)bahn, 258 – geschwindigkeit, 293 – raum, 257 – raumportrait, 263 Pirouetteneffekt, 103 Planetensystem, 128, 140 Poincaréschnitt, 268 Poinsotsche Darstellung, 345 Poissonklammern, 258 – Jacobi-Identit¨ at, 258 Polkegel, 345 Potential, 119 – effektives, 149, 235, 349, 350 – Gravitation, 121 – verallgemeinertes, 231 Pr¨ azession, 236 – regul¨ ar, 343, 349 Prinzip – d’Alembert, 205, 210 – Hamilton, 247, 255 – kleinste Wirkung, 255 Punktattraktor, 266

Index Radial– beschleunigung, 57 – geschwindigkeit, 56 Reibung – Stokessche, 18 Resonanz, 176 Saite – schwingende, 290 S¨ akulargleichung, 169, 281, 288, 327 Scheinkr¨ afte, 75, 295 – auf rotierender Erde, 305 – allgemein, 297 schiefe Ebene – Anfangsbedingungen, 189 – Differentialgleichung, 189 – freier Fall, 190 Schraubenlinie, 37, 224 Schwebung, 276 Schwerpunkt-, 84 – geschwindigkeit, 84 – impuls, 85 – system, 88 Schwingkreis, 179 Schwingungsdauer, 17 Schwingungssystem – gekoppelt, 272 Separatrix, 264 Singularit¨ at – elliptische, 265 – hyperbolische, 265 Spurkegel, 345 starrer K¨ orper, 100, 314 – Charakterisierung, 315 – Drehimpuls, 332 – Freiheitsgrade, 315 Steiners Parallelachsentheorem, 332 Stoß – elastisch, 132 – inelastisch, 135 – mit Neutron, 137 Streuproblem, 157 – Rutherfordformel, 160 – Stoßparameter, 158 – Streuwinkel, 158 – Wirkungsquerschnitt, 159 Superpositionsprinzip, 180 System – abgeschlossen, 85

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– offen, 87 System von Massenpunkten – Drehimpulserhaltungssatz, 99 – Energieerhaltungssatz, 127 – Impulserhaltungssatz, 91 Tangentenvektor, 44 Tensor zweiter Stufe, 330 Theorem – Fourier, 180 – Hauptachsen, 325 – von Chasles, 316 – von Steiner, 332 Tr¨ agheits– ellipsoid, 330 – matrix, 320 – matrix, Beispiele, 322 – tensor, 320 Transformation – Galilei, 73 – kanonische, 260 – Legendre, 239, 255 Variationsgleichungen – Euler-Lagrange, 249 Variationsrechnung, 249 Vektorfeld, 103 virtuelle – Arbeit, 206, 213 – Verschiebung, 205 Wechselwirkungen, 77 Wellengleichung, 292 Winkelbeschleunigung, 301 Wirkungsprinzip, 255 Wurf – auf rotierender Erde, 310 – frei, 28 – mit Reibung, 39 Zentralbeschleunigung, 45, 50, 58 Zentralkraft, 58, 79, 96, 105, 117, 120, 141, 239 Zentrifugalkraft, 300 Zentripetalbeschleunigung, 45 Zwangsbedingungen, 186 – einseitige Bindung, 199 – gemischt, 212 – holonom-rheonom, 197

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Index

– holonom-skleronom, 197 – Klassifikation, 197 – nichtholonom, 198

Zwangskr¨ afte, 117, 187 Zykloide, 253

Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

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