Essay d'analyse sur les jeux de hazard (AMS Chelsea Publishing) (French Edition)

E S SAY

·D'ANALYSE SUR.

LES JEUX D·E

HAZARD~

.

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PARIS,

.Chez JA C les des cart~s que tient Ie Banquier pore.s Tur aJltant de ~olonnes qU'll a de cartes, Be remarquc;r enfuite

.

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PaOBLEMB

que les trois colonnes qui commencerit par Ies Iettres qui expriment Ia carte du Ponte, donnent chacune 2.A au Banquier, aI'exception des arrange mens , ou deux quelconques des trois lettres qui expriment.Ia carte du Ppnte fe trouvent de fuite a la premiere & a la feconde place; ces derniers lui donnent ~ A. Pour trouver combien i1 y a de ces arrangemens dans chacune des trois colonnes) il faut divifer tous les arrangemens qui Ies compofent par Ie nombre des cartes moins un : L'expofant de cette divifion multiplie par deux exprimera Ie nombre des arrangemens qui donnent {A d~ns chacune de ces trois colonnes. Pour determiner ce que donne chacune des trois autres colonnes, on Ies concevra chacune partagee en autant de colonnes moins un, qu'iI y a de cartes; & obfervant un arrangement pareil celui des deux Tables precedentes, on trouvera qu'il y a toujours trois de ces aernieres co. lonnes qui donnent zero au Banquier, les trois Iettres qui expriment la carte du Ponte y occupant la feconde place; & que chacune des autres egales a celle.. ci donnera au Banquier Je marne fort qu'iI avoit dans Ie cas precedent, ou, Ie nombre des cartes du Banquier etant moindre de deux, celie du Ponte y eroit deux fois. 3°, Pour trouver quel eft Ie fort du Banquier, lorfqu'il tient fix cartes, parmi lefquelles celie du Ponte fe trouve quatre fois. On remarquera qU'exprimant comme d-devant Ies fix cartes par Ies lettres ", ", " J" I, g, dont quatre quelcon.. ques, par exemple, ", J" f, g, defignent celIe du Ponte, fa 1'0n difrribue les (ept cens vingt arrangemens poffibles de ces fix cartes fur fix colonnes, done la premiere commence toute par Ia lettre II, la feconde par la lerue ") &c. comme i1 a ete die ci.devant, les quarre colonnes, dont la premiere lettre exprime Ia carte .du Ponte, contiendront' chacune 4-8 arrangemens qui donnent 2.A au Banquier, & foixante & douze qui lui donnent{A. Car des quatrc: . lertres qui expriment la carte du Ponte, il y en a trois qui fuivent la lettrell dans 1a premiere colonne, & il en eft-

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mame des autres colonnes qui commencent par les . lectres J,f,g. . Pour connoitre ce que donnent. les deux autres co-, lonnes, il faut obferver q~e partageant une de ces deux . colonnes de cent. vingt rangs perpendiculaires en cinq aueres de vinge-quatre chacune, par exemple, la colonne qui commence par ", ainfi qutelfe eft reprefentee dans Ia Table page 14; il y en a qlfatre de ces cinq qui donnent zero au Banquier , ~avoir ~ ceUes 00. les lettres ,,~ J" f, g, font a.la feconde place, Be que rautre concient vinge .. quatre arrangemens J qui donnent au Banquier -\" j la raifon en eft evidente. Cela pofe, Ies colonnes qui commencent par les Iettres II,

J, (, g, donneront toutes enfemble -4 x ... x·" A .... 7' x -\A.

aquoi ajoutant +

~ A, pour ce que donnent les deux colonnes qui commencent par les lettres " &: t J OD aura ~:~ A =.A -4- 70 .A, pour Ia valeur qui exprime Ie 2. x

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fort du Banquier dans Ie cas propofe. C

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EL nombre de cartes que tienne Ie Banquier, fi celie du Ponte sty rencontre quatre fois, pour trouver Ie fort du Banquier, il faut concevoir tous les arrangemens poffibles des cartes qutil tient pofes fur autant de colonnes qU'il a de cartes, &: remarquer que les quatre colonnes qui commencent par les lettres qui expriment la carte du Ponte, donnent chacune 1,A au Banquier, a i'exception des rangs, oU. deux quelconques des quatre lettres qui expriment la carte do. Ponte fe trouvent de [nite fa premiere &: la feconde place; ees derniers lUi donnent fA. Pour trouver combien i1 y a de ees arrangemens dans cha.cUne des quatre colonnes, il faUI: divifer tous les urange mens qui les compofent par Ie nombre des cartes moins '. un. L'expofant de cette divifion mulriplie par trois exprimera Ie n.ombre des arrangcmCen~. qui don-

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donnent t.A dans chacune de ces quaere colonn"es. Pour determiner ce que donne chacune des deux autre5 c:olonnes, on les CODcevra chacune partagee en autant de colonnes moins une qu'il y a de cartes; & obfervant un arrangement pareila celui des deux Tables pag. 8 & 14, on trouvera qu'il y a toujours quarre de ces dernieres colonnes qui donnent zero au Banquier, les quatre lettres qui expriment la carte du Ponte y occupant fa feconde place, & que chacune des autres egales celles-ci donnera au Banquier Ie mcme fort qu'on a trouve pour Ie Ban~uier "dans Ie cas, ou Ie Dombre des cartes du Banquier crant moindre de deux, celIe du Ponte y eroit quatre fois.

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PRO P 0 SIT ION T

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I I I. .

CAS.

L'on foppoft qu'il refo huit cartes aans la main Ju Banqui" ~ & que aans ces huit cartes ceUe au Ponte.J eft aeJIX fois; on aemAnde 'Iuel eft dAnS ce"cas l'a'Vantage au BAn'Iuirr. . . 1°. ~

0

.

reprefenrees Ies huit cartes du Banquier far les huit lettres #I, !J ~ e,J ~ f, , h ~ k.; foit aWli de 19nee celle du Ponte par les deux que~conques #I & !J. On f~ait par ce qui a ete dit dans la folution du premier cas pag. 7 & 8, que huit cartes peuvent ctre arran gees en quarante mil trois cens vinge fa~ons difFerentes: Si done 00 place tous ces arrangemeos diffcrens fur hait co.lonnes, qui en contiennent cliacune cinq mil quarante, en forte" que tous les arrangemens de la premiere colonne commencent par la lettre. #I, tous les arrangemens de la ieconde par la lettre ", & ainfi de foite. On remarquera que les deux premieres colonnes contiennent chacune quaere mil trois cens vingt arrangemens qui donnent 7.A au Banquier, & {ept cens virigt arraD~.. mens qui lui donnent A. _ . lEN T

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PHAllAON.

2.1

. Pour determiner ce que donnent chacune des fix autres colonnes, OD les fubdivifera en fept autres compofees ·chacune de fept cens vingt arrangemens felon rordre de Ia Table page 14, & on obfervera que de ces (ept colonnes il y en a deux qui donnent zero, f~a voir celles ou " & " font a Ia feconde place, & que Ies cinq autres cODtiennent chacune deux cens quatre - vingt huit arrangemens qui donnent zero au Banquier, trois cens trente- fix qui lui donnent 1.A, & quatre-viogc feize .qui lui donnent t.A; c'eft a dire que chacune de ces cinq coloDnes donne au Banquier Ie meme fort qu'on a tro~­ ve, lorfque dans fix cartes celIe du Ponte s'y trouvoit deux fois : D'ou il faut condure que chacune des rue colonnes, qui ne commencent ni par #I ni par ", donnera au Banquier 408o..A, & par confequent Ies fix enfemble don. Deront 1#8o.A. Ajoutant donc a cette valeur celIe que donnent Ies deux coionnes dont les arrangemens com.. mencent par" & par" , on aura 2.+410 A)( 1'+40 A -..±.ll.~ -" 4012.0 40 U JZ ..A ... A pour la valeur qui exprime Ie fort du Ban. quier dans Ie cas propofe. 1°. On trouvera de la meme maniere que Ie fort du Banquier, Iorfque dans fes huit cartes celle du Ponte s'y

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trouve trois fois ell: = J )(

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4012.0

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J X 811)( 4)( A =.Hf40A == A -L" +ouo 401.0 LZ-I-I.ILZ 3°. On trouvera pareillement que Ie fort du Banquier, lorfque dans fes huit cirtes celle du Ponte s'y trouve

=

4o)( 2.180 x ",A -I- 1.160 X t A q uatre fois , ell: ~,~ + :c: Uf!gA=..A -I- ;~A.

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+x~,~ 188 " ,·A

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Tel nombre de cartes que ~enne Ie Banquier, &0 tel nombre de fois que la carte du Ponte foit parmi celles du Banquier, on trouvera roujours fon fort en cette forte. 1-. On cherchera par la methode de la page 8 Ie nombre C iij

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U P&O~LIM. de tous· Ies diflerens arrangemens pofiibles des cartes du Banquier. 1.0. On fe reprefenteraces cartes par les Iettres II, II, t, J" f, &c. & on fuppofera que cerraines volonte· dc::iignent celle du Ponte. 3°. On concevra tollS ces arran. gemens differens dill:ribues fur autant de colonnes qu'il y aura de cartes; en forte que la premiere commence route par la Iettrell,la feconde par la"lettrell,la troifieme par la Ietre , , &c. 4·. On remarquera que les colonnes qui com· mencent par les ]ettres qui defignent la carte du Ponte, donnent ~A au Banquier dans tous leurs arrangemens,. l'exception de ceux ou deux quelconques d'entre les lettres qui expriment la carte du Ponte, fe trouvent de . fuite ala premiere & ala teconde place; ceux-ci donne.. ront tA. Pour trouver Ie nombre de ces arrangemens dans cha. rune de ces colonnes, on divifera Ie nombre des arrange. mens dont eftcompofee chaque colonne par Ie nombre des cartes du Banquier moins un, & on multipliera rexpofant par l~ nombre de fois moins un que la carte du Ponte fe rrouve dans celles du Banquier; ce produit donnera tous lesarrangemens de ces colonnes, qui donnent fA. A I'egard des autees colonnes qui commencent par des lettres difFerenres de celles qui expriment la 'carte du Ponte,' il faut, pour y decouvrir les arrangemens favorables, Ies concevoir chacune partagee & fubdivifee en au. tant de colonnes moins une qU'jl y a de cartes, & avoir egard l'ordre marque dans Ies Tables des pages 8 & 14; :oferver que de ces dernieres coJonnes i1 y en a toujours autant qui donnent zefO au Banquier,que la carte du Ponte fe trouve de fois dans celles du Banquier ~ & que. chacune des autres petites colonnes donne au Banqu1er Ie meme fort lu'on a trouve dans Ie cas qui a precede; c'eft dire, dans e cas, Ie nombre des cartes du Banquier crant moiodre de deux, la carte du Ponte s'y trouve un egal Dombre de fois. Ainu 1'00 trouvera entre tous les differens arrangemens pollibles des cartes que rient Ie Banquier, quels fOnt Cf~ q~ lui donnen~ 0114, ou J..,dol ou fA ~ ou.. ~ero i &.

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, S U" L EPHAllA 0 N'r 1f,J ?it -coa{equent on aura par cettemethode Ie [ott duBall~

quier dans tolis les cas peffible, ;_c~'Ru'i1 faUoit ttouver. " " En fuivant l'idce de terre ,demonffration> Ii l'on nomme .p Ie nombre des cartes que tient,le Banquier, f Je noinbr,' de fois'que la'carte du Ponte eft dans celles du Banquier, 's Ie fort du ~anquier dans un no~bre-de cartesexprime (par p ---'1. , 'S Ie fort cherche; 01'1 aura Ie fort du Banql1ier .aprimepar (jetee fermule' . . _ ''1- )C f.,A ... ,'1'1 - '1)( {-..4 .,..-g)( p=f)(.p - '1- ; $= _.. i

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P)(/-I On peut trouver par cette fo;mu.le Ie fort du Banquier, fluelque nombre de cartes qu 11 alt entre les m'ai,ns, ~ quelque nombre de fois que la cartedu Ponte y foit COI1).. prife. Mais cetce formule a eet inconvenient fort grand de ne donner i»avantage d!1 Banquier pour un certain Dom. ore de cartes dcfigne ,par p , que lorfqu'on [~ait deja foa ~van~ge.pour;un nombre de cartes qui [oitp-1.., Ainu .C

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-~.A!"f- " 11. x 16 x + ~)(~.... )( --lA ... ~)( 1+ )( fA -+- 2. x ~ )( 16)( - ~A .... 1 X -

.... , x 3 x· 16 x.if +A.

10815

, ce qui ctane rcduit devient - J~~~; A, & cette fraClion exprime Ie defavantage de Jean. . Maintenant fi l'on ajoute en une fomme les defavan.; rages trouves des trois·joueurs Pa~, Jacques & Jean, - 2.IOH - U610 -197%. xA on trouvera q,ue leur fomme 2.081jXj.

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·PllOBL:!MK ' Ot on a. vii dans Ie fecond cas du Probl!me precedent, que l'avantage de Pierr:e dans chaque main ctoit z.Z::i A~ Be par confequent ces deux termes ctant compares, fc detruifent. . . On a donc la jull:e proportion du defavantage des trois joueurs, &: Ie total de leur defavantage. ainU qu'on a-dd Je trouver. On n'a fait ici attention qu'au defavantage qu'a dans chaque main chacun des trois joueurs Paul, Jacques'&::; Jean. Maintenant fi ron veut avoir egard ce qui leur furvient de defavantage lorfque I'on fuppofe que Pierre recommencera remr les t:artes autant ae fois qu'i! fera la main, on trouvera Ie defavantage de Paul, .

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'012.9 2.Ioq A 104US X 10+Uj

z. '°2.1.9 1041oZ.S

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2.loH A.,..Jt..C

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&: celui de Jacques

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= - 1 ) ( i"O"4iiJ,n ....

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402.:1.9 1041Z.j

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2;02.2.2. 2-972. A 10412.S X 10+US:.tZ

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Q.c.

La fomme de ces trois fuites infinies fera. egale a celle qui exprime ravantage de Pierre,&:lui etantcomparce, eUes fc dctrUiront ayant des ugnes contraires.. COl\.OLLAIl\.E

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I I'on \teut connoitre les valeurs exades des {uites in-finies qui expriment I'avantage de celui qui a la main, en fu~pofant que A qui exprime Ie jeu foit une piftole oa dix livres i on les aura dans cctte table.

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'Pour trois coupeurs fon avantagefera 2.1•.I5f.lod·1t~. Pour quarre coupeurs • • • . 4 L 19 f. 1 d. : ~;~. Pour cinq c~upeurs . 7 1• 14 f. 7 d. H!~~~~ Pour fIX coupeurs • • • • 10 L u f. 10 d-.l~~·~:;:~~~~ i Pour fept coupeurs • • • • 14 1.:i6 f. Sd. 77;6~~~~~;;;:. II fwt de 13. que l·avantage de celui qui a la, main ne crote

•

p~s dans la m~me rallon que Ie nombre des joueurs, ruif..

que fon avanrage qui eft environ 2.liv. 16 fols lorfqu'i ya trois coupeurs,.efi: beau coup plus grand que Sliv. I2. fob, lorfqu'i! y a fIX coupeurs. . COllOLLAIlt:f

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11·on {uppofe que Ie jeu foit a~x piftoles, Be qu~1 yaie quatre cOlipeurs Pierre, Paul, Jacques & Jean, aina "lue dans Ie fecond ProbJeme , ou dans Ie fecond cas du premier, Ie defavantage de Paul fera 2.1. 16 f. I1·d. :~~~; defavantage de Jacques fera ~ ~ 11. 14 f. I d .. :~~:; Ie defavantage de Jean {era . '. 8 f. 0 l~;:; II faut remarquer, 1°, que Ia fomme des trois termes qui expriment les divers defavaritages des joueurs efi: egale c:elui-ci +live 19£ 1 d. :J~: qui exprime I'avantage de Pierre; "D, que Ie raport des defavanrages de Paul, Jacques & Jean efr a peu Pl'CS comme les nombres 7J ~h 1_

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A probabHite qu'il y a que Pierre fera la mailt, dimr.. nue a mefure qu'il y a un plus grand nombre de cou. peurs ~ Et l·~rdre de certe dimi~u[ion depuis trois coupeurs; JUfqu"a {ept lOclufivement~ db& peu pres comme ces frae.. ' JlsJ "i, T, 'i, S-,. , ... uo ~Irll

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IV.

L fe trouve fouvent des coupeurs qui £aute de {~avoir leurs interefts, ou par une imagination qu'i1S.oDt d'avoir . . la main malheureufe , ou enfin pour ne point perdre plus d'argent qu'ils D'ont delfeiA d'en hazarder, paHent leur .main fans quitt.er, pour cela Ie jeu·. Chaque coupeur f~aura par Ie fecond Prooleme·, co~bien celui qui renonce ala main lui fait d'avantage. .

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CO1\. 0 L L A I II E

v.

L en eft de meme quand un coupeur quitte Ie jeu, ch~ cun des autr,s coupeurs pourra decouvrir par Ie mcme Probleme, combien celiJ. lui ell: avantageux ou prejudi. ciable. . RBM.ARQ..VB I. 'E STun prcjuge commun parmi les Toueurs, que Ii carte de Ia rejouilfance ell: favorable a ceux qui y mettent. Pour fedetab~ferde cette opinion,ilfaut prendre ga~de que Gla ca.rte ~e la rejouilfance a de l'avantage dans certaines difpoGtions des c~rtes des coupeurs, elfe a du . defavantage en d'autres, & que ceIa fe compenfe toujours exad:ement. . Suppofons, pal'exemple, qu'il yait trois coupeurs comme dans Ie premier cas du premier Problcme,&que l'argent de Ia. rcjoujlfance foit nomme il eft bien vrai que l'avan. tage de Ia rejoullfance fera :a.4~" lorfque Ies cartes des trois coupeurs feron~ .Gmples~& 4~" lorfque la carte de Jacques fera double: mais en rccompenfe fon defavantage fera ,ft " 'lorfqwe la carte de Pierre {era double, at lorfqu'elle {era triple. Multipliant done ees nombres par ceux qui expriment les differentes probabilites qu'il y a que telle ou telIe de I!' fce.rencontrera,on aur.a:r.HX 6 X H' l ,~ . ces d1'lipounons ...'S"'" .'X4J.S' 44 X 48 l 2.1. I. • £. • • ....., d - ' 4 f X+J.f"- ..., x 'U1"=0; ce qUlrattvouqu j j n y a ans ce cas ni ..vantage, ni dcfavantage pour la carre de 1&

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~ jJ Cnpourra decouvrir la. meme chofe par raport a tout .autre nombre de coupeurs.

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un Jeu afIes connu qU'onnomme la Duppe, c'ell: une efpece de Lanfquenet renverfe. La difference .de ce Jeu acelui duLanfquenet confdle encequifuit; 1°. celui qui tient 130 Duppe, fe donne 130 premiere carte; ,.0. celui qui.a coupe Ies cartes eLl oblige de prendre 130 feconde ; 3°. les autres Joueurs peuvent prendre ou refufer 130 carte 9u1 leur eLl prefentee; 4°. celui jui prend une carte ·douhIe eO: oblige d'en faire Ie pard; 5 • celui qui tient 130 Duppe ne quitte point les cartes, &. coruerve toujours 130 main. La refremblance qu'il y a de ce Jeu a celui du Lanfquenet, a , fait imaginer aux Joueurs qu'il y a du defavantage poar celui qui tient 130 main, & d'autant plus, qu'a ce Teu Ia. main ne change point, au lieu qu'au Lanfquenet chacun 130 tient.a fon tour. Sur ce' fondement ils lui ont donne Ie nom de 130 Du,Ppe: mais il ne lui convient nullement, car il eft aife de dccouvrir que l'egalite eft parfaite dans ceJeu & pour Ies Toueurs eoer'eux, & pour celui qui dent la main aregard des Joueurs. 11 me fuffit de faire ceete remarque~ un peu d'attennon en convaincra ceux qui voudront preo. dre 130 peine de rexaminer. .

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PROB.LEMES DIVERS SUR ·LE

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DU T REI Z E· EXPLICATION DV JEV.

k (ons que ce foit Pierre, & que Ie nombre des J0':!eurs. E~

Joueurs tirenr d'abord iqui aura la main. Suppo,;

it tel qu'on vo~dra. Pierre ayant un jeu entier compo(e de cinquante - deux cartes m~lees di(cretion., Ies tire rune apres I'autre. Nommant & pronon,?nr un Ior(qu'il tire la premiere carte, deux lorfqu'il tire la feconde, trois. lorfqu'il tire la troilieme J & ainli de (uite ju(qu'a la trei. zieme qui eft un Roy. Alors fi dans toute cerre fuite de cartes il n'en a tire aucuile felon Ie rang qu'illesa nom.. mees, il paye ce que chacun des Toueurs a nUs au jeu, k cede la main a celui qui Ie fuit a fa droite. . Mais s'illui arrive dans la fuire des treize cartes, de tirer la carte qu'il nomme, par exemple de tirer un as dans Ie IIelnps qu'il nomme un, ou un aeux dans Ie temps qu'll n6mme deux, ou un trois dans Ie temps qu~l nom me trois, ~c. il prend tout ce qui eft au j'eu, & recommence comme auparavanr, nommant UD, enfuite deux, ~c. II pent arriver que Pierre ayant gagne plufieurs fois ~ &. recommenCjant par u~, n'ait pas alfez de cartes dans fa main pour aller jufqu'a, treize ,. alors il doit, lofque Ie jeu lui manque, meier les canes, donner couper, & enfDite tirer du jeu entier Ie nombre de cartes qui lui eft necer.. 1aire ,Pour "ntinuer Ie jeu) en commen~ant par celIe o{i

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. , s' u i l t B 1;' R. it I Z E. 11 11 ell: demeure dans la ptccedtnte main. Par exemple fi

en tirant la derniere carte il a Domrile {ept, il doit en tirant Ia premitre (arte .dans Ie jeu entier, apres qu'on a coupe, Dommer huir, & enfuite neuf, &c. jufqu'i treize, ,a moins qU'il ne gagne plurot, auquel cas il recommeneeroit, nommant d'abord un, enruire deux, & Ie refte comme on vient de l'expliquer. D'oD: iI par01t que Pierre peut faire pluGeurs mains de fuire, & meme qu'il peut continuer Ie jeu al'infini. . L'avanrage ell: fort confiderable aee Jeu en faveur de celui qui a Ia main, & ceux qui Ie jouent {ouvent peuvent s'en appercevoir par pratique; mais il ell: extremement. diffieife d.e determiner eet avantage: I'AnaIyfe y pourroi~ .conduire, mais certe route feroit extremement longue, & je trouve qu'jJ faudroit refoudre plus de mille egalites pour determiner taus Ies cas poffibles de ce leu. On en ~ pourroit plutot efperer Ia folution en ~ond'der~t tous Ies a~rangemens poffibies des cinquante-deux cartes, & dckouvrant comme I'on a fait pour Ie Pharaon, & comme '1'on fera dans·le Probleme fuivant pour Ie jeu de la Bar.. feete, quelque Ioi uniforme , qui des cas limples conduife des ,cas plus compofes, & fournilfe ainfi une {olution ~enerale. Je ne donnerai point ici ~a folution de ce Pro. bleme, mais en fa place en void deux qui y ant beaucoup de raport, & dont Ia foIl1rion pourra fadliter celie du jell du Treize a ceux d'entre mes Led:eurs qui voudront fe -donner la peine d'en faire Ia recherche.

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O I E NT .I~scarres avec lefquelles Pierre fait Ie parti, . reprefenrces par lcs letrres III, 0, c, Bec. Si ron nomme m Ie nombre des cartes qU'il dent, Be 11 Ie nombre qui exprirw tous les arrangemens poffibles de ces cartes, l~ f~ad:ion.; exprimera comb~en de differenres fois chaque letrre accupera.chacune des places. Or il faut remarquer que Ieftres ne fe rencontrent pas toujours leur prace utiJement pour Ie Banquier; par exempJe ", II, c ne donne qU'un coup pour gagner a celui qui a la main, quoique chacune des trois lettres y foit a fa place; Et de meme "," , c, J ne donne qU'un coup aPierre pour gagner, quoique chacune des lettres c Be tl Yfoir afa place. Ladifficulte de ce Probleme conftfte donc a demeler combien de fois chaque lettre ell: afa place utilement pour Pierre, Be combien de fois eIle y ell: inutilement. II feroit trop long de mettre en detailles reRexions qui m'ont conduit ala folution de ce Probleme. Je vas donner d'abord fuccinClement la folution des premiers cas qui font les plus fimples, enfuite je donnerai une formute generale, & je formerai une' table .qui exprimera Ie fort de Pierre dans tous les djfferens cas, depuis deux cartes 'jufqu~a treize inclufivement.

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'Pitm tilllt fln 114' do "" J do ' 4 ';1 tml" PIl,,1 J '1,lIlY4111 mite ttS Jnx tllrtes, & 7JfJ1fUNlnt n Iorfq.';llirera la premiere, & de.x 10rJiJtlilnommerll la ftt-:I ;1111; atrivetll ", Je lirer lin M po.r la premiere tafte J IJ'II de tirer n u.x pili' la ficmae t4rte. L'4tglnt d. je. eft exprimJ lar A.

D

Eux cartes ne peuvent s'arrangerque de deux fa~ons differentes : l'une falt gagner Pierre; I'autre Ie fait

perdre, do;c fon forr fera~ .~ SE co

N D

= i A. CAS.

•

Pierre timl trois &4rtIS.

S

O lEN Tees trois cartes repre(entees par les lettres I, ", t: on obfervera que des fix arrangemens differens que ces trois lettres peuvent recevoir J il Yen a deux ou " ell: a la premiere place ; ~u'il y en a un ou" eft a la feconde place, II n',ctant point a la premiere,. & un ou & ell: a la troifieme place, 4 n'erant point ala premiere, n'etant point ala feconde; d'oo il fuit qu'on aura S = TA; & par confequent que Ie fort de Pierre eft a celui de Paul comme deux eft a un.

&"

T

S·

0

-

1l 0 I S I E' M l!

CAS.

Pit", tient '1llatrt &arlIS. lEN TIes. quatre

11:1 ",

t,

cartes repre[entees par les,lettres

e!: on obfervera que des vingt-quatre arrange..

mens .differens que ces quatre lettres peuvent recevoir , il 'yen a fix OU 4 occupe la premiere place; qu'il y en a quatre ou!J ell: ala feconde, II n'ctant pas a Ja premiere; trois ou t en a Ja troificme, II n'etant pas aJa premiere, & " n'etant pas ala feconde ; enfin deux ou J ell: ala quatricme, II n'etant pas a Ja premiere, " n·ctant pas a la {econde, &, ~"et~t pas ala troifieme s d'ou il fuit qu'on

H

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·sg

B L ~ l4 B aura Ie fort de Pierre =$ 6+\~J .•hA= !~A=fA;

Pll 0

=

& par confequent q:ue Ie {ort de Pierre efl: au fort de Paul comme cinq a trois. •

Q..U A Till It' AI E

CAs..

Pilm timt ';1lI[ ,a1tIS.

S

O lEN TIes cinq cartes reprefentees par Ies lettres ". ", " d,f: on obfervera que des 110 arrange mens dif. ferens que cinq lettres peuvent recevoir, il y en a vingt.. quaere ou a occupe la premiere place, dix-huit ou " oc. cupe la feconde , a n'occupant pas Ia: premiere; quatorze ou, eft a la troifieme place, #I n'ctant pas a Ia premiere place, ni " ala feconde ; onze ou Ii eft ala quatrieme place, a n'ctant pas a Ia premiere, .oi "a Ia feconde, ni , a la troificme ; enfin neuf arrangemens OU f eft a la cillquieme a la feconde, ni , place, a n'etant pas ala premiere, ala troifieme, ni Ii ala quatricme ; d'ou il fuit qu'on aura Ie fort de Pierre = $=14+18 +/~~+ JI+'A= I~~ A~.A; & par confequent que Ie fort de Pierre eft au fort de Paul comme dix.neuf eft a onze.

ni"

G I 1"on nom me $

ENE R. ALE MEN T.

~ canes que Pierre tient ctant exprime par p ; 1, Ie fort

Ie fort que l'on cherche, Ie nombre des

e Pierre, Ie nombre

des cartes ctant p - I; Ii 10n fort·, Ie nombre des cartes qU'il ~ient ctant p - ~, on aura

S

= g )( P -p

J ....

Ii. erne formule, qui eft tres limple Be

tres generale, donnera fans peine rous Ies cas, ainfi qu'oD Ies voit refolus dans Ia Table ci. jointe.

S

TABLB.

Ip = r, on aura $ = A. . Ip =~, on aura $=tA.

Si P=3, on auraS=jJt=fA+i A •

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S U 1 L B' T R. E I Z B. 19 Si P == 4, on aura S fA fA ... tA. Si P S, on aura S Po A = t A + I ~ A. Si P== 6, on aura S I~~.A iA ... I~!A. Si P -- 7 , on aura S -- .ll.!. .!.A ... !..!..! A 84-0 A I. 840 JZ • Si P 8, on aura S \~!~A = fA -I- r~;~ A. Si P = 9, on aura S = ~'f~~ A t A -I-4~~:~ A. Si P 10, on aura S :::~~.A f 4 .....!I~~ A. · S z.f2.tl1t A . • A f2.71 U A S1 P = 11, OD aura 49j1680 JZ "i' ... "'1680 n. Si p =u., on aura S= !7;~~::~~A==fA'" ..~!~~~;~~A. 10 'H9 6 6t A=J..A+_ u 8tU, 61 .A Sip=13 , onauraS172.972.800 ~ 172.9711100· 11 ell: aife de voir que cette formule donneroit de me me l'avantage de Pierre, fi 1'0n fuppofoit qU'il y edt un plus grand nombre de cartes de differente efpece.

=

== = =

=

=

=

= =

== ==

= =

=

REAl A R. Q....U E

L

I.

A folution precedente fournit un urage lingulier des . nombres figures, dont je parlerai dans la Tuite, car je ttouve en examinant la formule, que Ie fort de Pierre ell exprime par une fuite infinie de termes qui ont alternativement ...... & - , & tels que Ie numerateur ell la fuite des nombres qui compofent dans la Table, page 80, la colo nne perpendiculaire qui repond ap, en comD1en~ant par p, & Ie denominateur la fuite des produits p x p - I )( P- " x P- 3 x P- 4- x P- 5; en forte que ces produits qui fe trouvent dans Ie numerateur & dans Ie denomina.teur fe detruifants, il rell:e pour expreffion du fort de Pierre cette fuite tres fimple f-I:z. ... 1.'.".4 -+- 1.'.;.4.' 1 6 ... &c. ( ces points font ici & {eront dans la I. ,. J.4. r. (uite la marque de produits). Si 1'on forme une logarithmique dont la foutangente foit runitc, & que I'on prenne deux ordonnees, dont rune foit runite, & l'autre foit eloignee d~ cette premiere d 'une quantirc cgale a la foutangente, l'exd:s de 1'0rdonnCe conll:ante fur la dcrniere {era egal acette fuite.

I.:., -

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P II 0 B L' l!

60

MES

Pour Ie demonrrer foir la formule generale des (OIJ.; tan gentes s =.:!: ~~Jt, la fourangente erant nommee s',. l"abciffe x, l''ordonnee f. On fuppofera, egale aune fuire' d'expofants de x affed:es de coeficients inderermines, par exel:l1ple, = 1+ IIIX +6xx + exl -+- ax· -+- &c. & prenant' de part & drautre fa difference, divifant enfuite par tlx,. & multipliant par s, on trouvera .:!: ';; = .1 = I + II JC ... 6xx -+- ex' -+- tlx· -+- &c. ~IIS .:t 16sx .... 3CSXX .... ¥sx J ... &c. Si ron comp~re les termes omologues de ces deux fuires, & que ron tire de cette coinparaifon la valeur des . 1 JI IJlJI.... t x' coe'fiClents 11,11, t, d on aUf'a.1 I .:t - + ,

=

a:

=

x4,'

,

.'.

ISS

I.&.JS

ce qui fait voir que fi ron determine y i etreI"ordonnee d'une Iogarithmique dont la foutangente confi:ante foit I , on aura l'OJ:donnee qui correfpond a x pris du cote que les ordonnees diminuent, = I - -: 4 .... ==- ~ + 1.&.,.+ :11 &c. on peut voir cette demon.· I.a. I.Zo., . . . I.

J. 4S4 .:!: &c.

=

Ilration dans Ies Ad:es de Leiplic de l·annce- r693, p. ]7', oule celebre M[ de Lcibnitz; .refoud ce Probleme : V" logllrithme ;illnl Ionn;, t'fJUver Je nombre 'III; Illi e,,,t'/p,nJ. Or il eft dair que 11dans cette fuite on fuppofe X = T, c'ell: a dire egaIe ala foutangente ou a l'ordonnee' conftante, & qu'on retranche cette {uite de l'unite , elle deviendra la fuite du prefent Probleme~ On peut encore Ie demontrer prus {implement en certe forte. Soit'con~ue une logarithmique dont la foutangente' foit l'unire ; on prendra fur cecte courbe une ordonnee conllante = 1, & une autre ordqnnee plus petite'=] - y; l"'on nommera Jt l'ilbcilfe comprife entre ces deux ordon:. nees', on aurad%= /!..y, &x=.1+ty'+fY' .... .... &c. & par Ia methode pour Ie retour des {uires,'y = '" X1l" ~J' x4 x' & . - -1• ." ... -J...2.~J, - 1.2.'J·+ ... 1 02··J·4·$ c. ce qUI , elll r. r. d' I 1 I . luppolant K = I, eVlent 1 - W' + ~ 1 ..2..5;'-"

i'·

=

~

1'&';,4',,1 -

&-c. C.I1.:B.,D ..

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f

S U II L B

T II BIZ E.

REM .A II Q...U E

Q

61

I I.

80 I Q.!J E la fuite du Problame foit comp(\fee d'un _nombre infini de termes, eUe n'ell: point egale I'unite; on trouvera meme qU'elle ne fera jamais u grande que i +1., eXCepte Ie feul cas ou il y a trois cartes, en forte que res limites de la fuite font entre ! ~ & j~. On pourra encore les trouver plUs jull:es u ron ajoute en une meme fomme un plus grana nombre des termes de la fuite, c~ qui fe fait fans peine, en employant la Table des loga· nthmes; & ainfi Pexces ou Ie defaut de cette fomme fur la valeur de la [uite diminuera al"infini. On peut obfervcr que la {uice 1. _ I -+- _ I_ _ _ I + I _ r + Sec

b. I

a.

1.2.

1.2.03

'.2..1.-4

1.1" ..... $

1.1,J .....

f.'

.'

ell: egale a chacune des trois qui fuivent C, D, F, lefquelles fous des formes tres dUFerentes ne laiifent pas d'avoir la meme valeur, en forte que tout ce qui convient la foite B leur convient auffi. C -!.. -+- I."i:1 ... + 1.1.).... 9 + 1.2..)I..... ' 2.J " $.6.7 1.2. 1 ... 1.2..3 ..... $.' + 1.2.d ..... ... &c• - 1 X .!.2. + 1.2..3.... 1 *" 1.1.'I..... $., + 1.2..' .....~:--='-=-':" f.'.7 •• ... 1 -+-&c •. J.1·~· ... ·1·'·7·8.'.IO

a

D

•

.!... ~ -+- 1 _ + 1.2..J ..... 7J'.'.7.8 -+- 1.2.01 ..... $.'.7.8.'01 "-=-"'~=• 2. 1.30.'.... 1.2..) ..... J'.,

..... &c.

F

...!..+-I-+

1.2.

1.2..,

r + 1.2..'1..... 1 ... I.~"."'.f.', I ... I 1.2..1.... 1.2." ..... $.'.7

__ I _ _1 _ _

J....

3..... $.'

1

,· .... $·'·7.8

-

I

' .... :1.'.7.8.'.10

-

1

'

+&c• -&c

,· .... $·'·7.8.'.10.1J,J2.

•

On pourroit faire pluueurs remarques curieufes par raport c'es fuites; mais ceia nous ecarteroit de notre fujet, & nous mener()it trop loin. On a fuppofc dans ce Probleme, que Pierre iyanr gagnc ou perdu, fe jeu finHfoit. Mais fi ron fuppofoit, ain6 qu'il fe pratique dans Ie jeu du Treize, que ,Paul ayant perdu une fois, rem1t encore au jeu, & qu'a yant perdu une feconde fois, il remit encore la meme fomme au jeu , & ainu de {uite , jufqu'a ce que Pierre eut perdu en tirant toutes fes cartes faDs en nommer une {eule fon rang: Ce feroit un . . H iij

a

a

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, 6'"

PRO B L E M E

nouveau Probleme qui auroit plus de difficu)te que ceJui dont on vient de donner une {olutton generale ~ & qui auroit plus de raport au jeu du Treize. En voiclles cas les plus funples. A

PROBLEME. PRO P 0 S. I T ION V I I I. Pie"e jotte con/Ie PattI aflx memes conditionS"'1,lA. je. J. 'rrei7.! ci-de./Jus expliqlle, avec celte (ellie difference, '1tt'allliell. 'i,iall jeu till TreiZl Piem j(Jllc IIvec un jell ae tin'lunte.defl" cartes, compoj6 de 'Jllatre as, 'Jllatre dellx~ qllatfl trois, &c. ici· Pie"e lIe jOlle 'I"'avec t'~iZl cartes, /fa voir 1111 as, 1111 dellX ,._ • Irois, lin 'l"alfe, doc. jtlfq,iall Roy incltlJivement.,

P

J

&. E M I E 1l

Pie"e tifnt 1111 liS

CAS.,

do lin dellx.,

E {uppofe que Pierre & Paul mettent· clia.crm a.u jeu' une certaine fomme que je nommeA, j'exprime les deux' cartes par deux lettres, f~avoir l'as par la le[[re tl, & Ie deux par la lettre 6. Cela pofe, fexamine ce que les deux: arrangemens differens, a ", "a donnent aPierre. Or je vois que I'arrangement "" fait perdre Pierre, & que I'autre arrangement a " Ie met dans une lituation que je vois aIa verite lui etre favorable, mais qui m'eft encore inconnue, puifque Pierre pour achever eft oblige de meIer les cartes & de retirer. Or en retirant il peut egalement lui arriver ou de reperdre' ce qu'il auroit deja gagne Ii Ies cartes fe trouvent arrangees ainli que Ie reprefente r'arrangement it !J.,ou de gagner de nouveau 1A avec Ie droit de recommencer Ii les cartes font di[polees ainfi que Ie repre{ente l'arrangement" a, car dans cette difpolition il gagneroit par" ayant anommer un deux, & enfuite par II ayant Dommer un as, & iI auroit· encore Ie droit de continuer Ie jeu apres avoir melc. de nouveau les cartes. Nommant done S Ie fort cherche de Pierre ~It {on:{ort

a

...

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.

,

........

:

s U :R.

L B

T REI Z E.

"I

lor[qu·il a amene pour premiere carte un as, on aura 8=ix+ i x 0, x =f)C 4-A ... S +ix A, d·oD. ron tire S = -fA; ce qui fait voir q"e dans la [uppo.. fition de ce premier cas l'avantage de Pierre {eroit exprime par t A. _. ' SEC 0 N D '

.Pi,,,, tinu n

E

as,

CAS.

•

8" de8x & 8" trois.

Xp R. I M A NT comme ci.defi"us l'as,Ie deux & Ie trois par les Iettres a,", " & Ie fort cherche de Pierre par S, je range pour me faire entendre en moins de paro.. les & plus facilement, les fix arrangemens dHFerens que ces trois lettres peuvent recevoir fur trois colonnes , & je mets a. cote ce que chacun de ces arrangemens donne a. , '3. Pierre de gain, de perre, ou d·efperance~ Or il yen a qui laUrent la fortune de Pierre indecife. Pierre ctant oblige pour achever, de meIer les cartes, & de continuer a. tirer ou une carte s'illui refte trois a. nom mer , ou deux cartes s'illui refte deux & trois a nom mer. En ce cas j'exprime • Ie fort de Pierre par une variable, & pour la determiner je remets de nouveau ces memes arrangemens, & j'exprime acote ce que chacun donne a Pierre. II feroit trop long de rendre raifon de tout en detail, il fuffira "au Lect~ur de regarder la Table, & de confiderer avec attention Ii la valeur de chaque arrangement eft bien determinee. x .a " c 1A ... S ."" c o . '" !J 3A+S.ac/J o.",a 3A+S.,"a Je nomme x Ie fort de Pierre Iorfque fes cartes fe font trouvees difpofees ainu que Ie repre{ente l'arrangement ,,/J G. Pour Ie determiner je &is cette nouvelle T~bIe,

,.G""

A.a"c .A."ac A . a , " .A ." G a A +J& • , " " . Je nomme j Ie fort de Pierre lorfque fes cartes s'etant trouvees d'abord d~fpofees ainu que Ie reprefente rarrangement a " " eUes Ie font ala {econde fois , ainu que Ie reprefente l'arrangement IJ. /

,a

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..

64

•

PRO B L EM B

Pour determiner cette inconnue je fais cette troifieme Table. ,.A+!./NtC 3A+x.b&" De tout cela on tire ·S _ I x ~A -+- s .... 'x ,A -+- $ .... 'x 0 + r X x

-

,

.~= fA .... : .... !. J X 'A ..... IX ,A""&J"",+lx',A""X=Irangemens chacune ~s trois 'lui comme.ricent par 101ettres '11, d, f donnent ..; 2.0 •

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BA 5'S.·,. E.

SU'A' LA

.

'71

f'All'Banquier "ce qui.ea evident. ~o. ~e dilhiooant chacune des,quaere autres eo fept colonnes qe cent .v.lngt arrangemens chacune, Ies trois colonnes d'entre ces fix ou' -Ies fettres .,J,ftiendront la [econde place, donnent t A ,~u.B,anquier. )0. Que chacune des trois autres colonnes .cOhtiendra trente hX arrangemens qui donneront 1A au 'Banquier. Pour s'en ~iI'urer, on peut confulter la Table de la page 68,& remarquer que chacundes arrangemens de la feconde colonne, de Ia Table, eft a la premiere place, & , a'la feconde, ne petit par Ie melange des dellX 'nouvelles lettres g Be h, recevoirque fix arrangemens qui .,donnent 'I.A au Banquier, les deux y.remieres renant leur place. Ce quiparoltra e.vident, fi ·on.confidere. q9e. dans. Ies fix arrange mens

ou "

a

r

~,,,Jf

I"d"

"'''Itl,

",dl"

lIe/"tl· Iltld,,~

gou h crant devant rune des trois lettres",·J~f,

h' ou'g' avec les

peuvent s'arranger en trois fa~ons c:illferen~es .ilcux derllier~. 11 ea vifible qu'll en [eroit de. meqtedes' ~is autr~s co.;. lonnes de cent vingt arrangemens.ou. les deux premieres kures [eroieot.."", "g, Detout'celail [uitqu·on.aura.

"h.

._ 3 )( 72.0 +- 4

.8 -

,

)t

JX

.

12.0 )(

tA +

S~O i

J )( " )( 2.A _ .

..L A.'

A

-.n.+ lOf.n·

30. Pour trouver que! effIe fort du 'Banquier lor{que Ie' ttalon CtaDt compo[e. de [ept cartes couvertes, Ie Ponte en' ;prend une qui eft quatrefois dans ces {ept cartes; 00 ob[er·_vera, JO, que'concevant' les cinq mil quarantearrangemens !}'offibles de:fept cartes po[cs fur {ept coloones de fept cens· .Yingt arrange mens c4acune, -dont·l'unecommence. 'par", la feconde. par" ,.&c. comme ci.devant', il yen aura quatre, .deces {ept quidonneront A all Banquier. '1.0. ~e diari.. ;buant cliacunedes trois aurres,[llr fix colonnes decent "jngt arrangemen$ chacune, quaere de ces fix foumiront· chatune. cent vin~ arraDgemcns qui dODDerODt A au

t

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1'4

L

MIt

Bailquxer, &: aueres ilin:&:le-

&e •. &eArlilfiaBoittmwe, Etpat' ~ , •

confequent me voila retombe par la methode des chan.: gemens d'ordre dans celIe. des cO,mbinaifons, & dans 1& m8me formule des llOmbres figures que nous avom trOIJi ~Cs ei..devant en tenant une route fort difFerente.

P R.OPO SIT IO'·N XIIL. L

E M ¥ E••

liem tenantmtn ps 1I1lIills tm nnn/in If"elemtJ- Ji iettlJ1lS J4. . to.tes to.Je.,s, "lIIntS, noirs "rtmges, dot. I'a,ie tontre PaJ' 'i.e tirant a ha~rd lin 1IIJm"" tJ~eltll1ltJ'le dJtermint Ujettons, il en tirer" tdnt Je"lIInes, tllnt de "oi,s , .ta1lt de nmges, doc. On tiem4"u 'i. el eft Ie flrttk Pilm do "I,,;. de Ra.J tittnJ to.s les cas polP"les•.

I

L faut multiplier Ie nombre qui exprime en com bien. de fa~ons les jettons blanes 9ue Pierre doit .prendre au· hazard, ~uvent !tre pris dHferemment dans Ie nombre de jettons blanes propofes , .par Ie nombre qui exprime en combien.de.fa~ons IFsJCttons n(li~s ~e.Pierre·doit pren~ dre all hazard:,. peuvent 8tre pns dlfferemment dans Ie' nombre entier de jettons noirs propoCes; multiplier enfuite ce produit par Ie nombre qui exprime en eombien de fa~ons diff'erentesles jett