Grundlagen der Ephemeridenrechnung (Astro Praxis)

Grundlagen der Ephemeridenrechnung

Oliver Montenbruck

Grundlagen der Ephemeridenrechnung 7. AuÀage

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5 4 3 2

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover¿lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Katharina Neuser-von Oettingen, Anja Groth Layout: Oliver Montenbruck Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm Titelfotogra¿e: Photodisc ISBN 978-3-8274-2291-0

VI

Vorwort

astronom ischen JahrbUchern. Dem Leser werden dabei alle erforderlichen Werkzeuge und Daten zur Verfügung gestellt: • die grundlegenden Deflnitionen wichtiger Begriffe. insbesondereder verschiedenen Koordinatensysteme. • die notwendigen Formeln und Beziehungen und • die erforderlichen Zahlenwerte, wie Bahnelemente, Massen und astronomische Konstanten. Auf Ableitungen der Fonneln wurde irn Wesentlichen verzichtet, urn die Übersichtlichkeit und den Zusammenhang der Darstellung nicht zu verlieren. Im Anhang istjedoch eine knappe Ableitung des Zweikörperproblems gegeben, die dem interessierten Leser ein tieferes Verständnis und den Einstieg in die weiterführende Literatur ermöglichen. Anstelle fertiger Program me bietet das Buch zahlreiche Beispie1e, die Schrilt fur Schritt die einzelnen Rechenwege illustrieren und den Nutzern von Taschenrechner und Tabellenkalkulation ebenso zu Gute kommen, wie fortgeschrittenen Computernutzern und Softwareentwicklern. FUr die vorliegende Neuauftage wurde das Buch in weiten Teilen Uberarbeitet. Die Zahlenwerte im Text sowic im umfangreichcn Tabellentei l wurden durchgängig aktualisiert und an die derzeit gängigen Standards angepasst. Im gleichen Zuge wurden eine Vielzahl von Beispielen neu gestaltet und fUr aktuelle Epochen umformuliert. Ergänzt wird das Buch dureh ein Glossar. das wichtige Begriffe in kurzer und prägnanler Form erläulerl und mit freundlie her Genehmigung des Springer Verlags, Heidelberg. aufgenommen wurde. HeITn Dr. M. Neumann und Frau B. Wehner vom Verlag Sterne und Weltraum danke ich fUr das Interesse arn Erscheinen dieser Neuauftage und die tatkräftige UnterstUtzung bei der graphischen Gestaltung. Weite Teile des ursprUnglichen Manuskripts wurden dankenswerter Weise von Herrn R. Götz in ~TEX erfasst. FUr die trotz sorgfältiger Durchsieht des Te,({es verbliebenden Schreib- und Reehenfehler liegt die Verantwortungjedoch alleine auf Seiten des AUlors. der hiermit alle Leser urn Verständnis bittet und entsprechende Hinweise gerne entgegennimmt. München, Mai 2001

Oliver MOlltenbruck

Inhaltsverzeichnis

1 Koordinatensysteme 1.1 Grundlagen . . . 1.2 Die verschiedenen astronomischen Koordinatensysteme . 1.2.1 System der Bahnebene .. . . . . . . . . . . . 1.2.2 Heliozentrisches ekliptika les Koordinatensyslem 1.2.3 Geozentrisches ekliplikales Koordinatensystem l.2.4 Geozemrisches äquatoriales Koordinalensyslem . 1.2.5 Topozentrisches äquatoriales Koordinatensystem l.2.6 Horizontales Koordinutensystem . 1.3 Transformation der verschiedenen Systeme

1 1 3 5 6 7 8 9 10 11

1.3.1 8ahnebene - heliozentrisch ekliptikal 1.3.2 Heliozentrisch ekliptika! - geozentrisch ekliptika] . 1.3.3 Geozcntrisch ekliplikal - geozentrisch aquatorial. 1.3.4 Geozentrisch äquatorial - topozentrisch äqualorial 1.3.5 Äquatorial- horizontal . 1.3.6 Refraktion . 1.3.7 Auf- und Untergangszeiten. 1.4 Präzession und Nutation . 1.4. 1 Präzession 1.4.2 NUialion 1.5 Aberration und Lîchtlaurzeit Rechenbeispiele .

11 13 14 15 16 17 18 21 21 28 30 33

2 Zeitrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Das l ulianische Datum . 2.1 .1 Bestimmung des Julianischen Datums . 2.1.2 Bestimmung des Kalenderdatums aus dem Julianischen Datum . . . . 2.2 Die verschiedenen Zeitdefinitionen . . . 2.2. 1 Internationale Atomzeit . . . 2.2.2 Ephemeridenzeil und Dynamische Zeil 2.2 .3 Weltzeit .

41 41 42

43 43 43 43 45

VIII

JnhaJtsverzeiclmis

2.2.4 Koordinierte Weltzeit . 2.2.5 Stemzeit 2.3 Standardepochen und Besseljahr Rechenbei spiele .

46 46 48 49

3 Das Zweikörperproblem 3.1 Der Ort im Zweikörperproblem . 3. l.! Elliptische Bahn . . 3.1.2 Parabolische Bahn 3.1.3 HyperbolischeBahn 3. 1.4 GeradJinige Bahn . 3.1.5 Reihenentwicklungen 3.2 Die zeitliche Änderung des Ortes im Zweikörperproblem 3.2 .1 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . 3.2.2 Vis-v jva-Sa{z 3.2.3 Geschwindigkeitsvektor 3.3 Beslimmung der Bahnelemente aus Ort und Geschwi ndigkeit 3.3. 1 Die Lage de r Bahnebene 3.3.2 Die Bahnform 3.3.3 Perihellänge 3.3 .4 Perihelzeit Rechenbeispiele . .

51 51 52 58 61 64 65 67 67 67 68 69 70 71 72 74 77

4 Das Mehrkörperproblem 4.1 Analytische Methoden . 4.1.1 Grundlagen . . 4.1.2 Die Newcombsche Sonnentheorie 4.1.3 Planetentheorien . . . 4.2 Numerische Integration 4.2. 1 Berechnung der Beschleunigungen Rechenbeispiele .

81 81 81 83

5 Die Mondbahn 5.1 Die mittlere n Längen . . . . . . . 5.2 Die wahre ek lipcikale Länge . 5.3 Die e kl iptikale Breite des Mondes 5.4 Entfemung, Halbmesser und Parallaxe 5.5 Die Lage des Erdmittelpunktes Rechenbeispiele . .

95 95

87 87 89 92

96 97 97 98 100

Inllallsverzeicllnis

6

Physische Ephemeriden . . . . . . . . .

101

6.1 Durchmesser... . . . . . . . . . . . . 6.2 Elongation und Positionswinkel der Sonne 6.3 Beleuchtung der Scheibe 6.3.1 Phasenwinkel . . . . 6.3.2 Phase 6.3.3 Beleuchtungsdefekt. 6.4 Rotation 6.4.1 Lage der Rotationsachse 6.4.2 Lage des Nullmeridians 6.4.3 Positionswinkel der Achse 6.4.4 Planetographische Koordinaten, Zentralmeridian 6.5 Scheinbare HeIligkeiten . Rechenbeispiele .

101 102 103 103 104 104 105 lOS 105 108 109 1i1 112

Anhang .

115

AI A2 A3 A.4

Grundformeln zur Berechnung sphärischer Dreiecke . Aufstell ung von Transformationsformeln liber Drehmatrizen Ableitung der Kegelschnittsgleichungen . . Ableitung der Gesetze der Zweikörperbewegung. . A4.1 Mathematische Hilfsmittel . . . A4.2 Schwerpunktsatz und Übergang ins Relativsystem A.4.3 Bahnform und Energiesatz . . A.4.4 Zeitabhängigkei t der Bewegung . . . A.5 Tabelle des lulianischen Datums von 1900 bis 2075 A.6 Tabel le der Differenz TT- UT . . . . . . . . . . . A.7 Mittlere Bahnelemente der inneren Planeten . . . A.S Oskulierende Bahnelemente der äuBeren Planeten A.9 Bahnelemente periodischer Kometen A.I0WichtigeZahlenwcrte .

liS 116 119 123 123 124 126 128 132 136 137 140 151 158

Glossar

161

literaturverzeichnis

167

Sachwortverzeichnis

171

IX

1 Koordinatensysteme

1.1 Grundlagen

Urn den Ort eines Körpers im Raum zu beschreiben. benötigt man ein Koordi natensystem, das du reh einen Nullpunkt. eine Bezugsrichtung und eine Bezugsebene festgeJegt is\. Man unterscheidet zwischen kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten und sphärischen Koordinaten (Polarkoordi natcn).

, ,

Null

unkt;O'E - - - -i----,f.+ y

,

-

NuIlPun:~~,t;;;:::b::--i-:T~ Bezugsrichtung

Abb. 1.1: Dan;tellung eines Punkies in kartesischen Koordinalcn

Abb.1. 2: Darstcllung cincs Punkies in I'olarkoordinalen

Grundlagedes kartesischen Systems sind diedrei Koordinatenachsen (x-, y- und z-Achse), die sich im Nullpunkt schnciden. Bezugsrichlung

is! die x-Achse, Bezugsebene die x-y-Ebene. Die Koord inaten x. y und Z, die ei nen bestimmten Pu nkt beschreiben, sind die Ulngen der Projektion des Punkies uuf die entsprechenden Achsen. Im Polarkoordinatensystem werden der Winkel zwischen der Grundebcne und der Verbindung Nullpunkt-Punkl ({3), der Winkel zwischen der Projektion dieser Verbindung uuf die Grundebene und de r Bezugsrichtung (.>') sowie die Entfern ung r des Punktes vom Nullpu nkl angegeben. lm Pri nzip sind beide Darstellungen des Ortes eines Punkies im Raum völlig gleichwertig, die sphärischen Koordinaten bielen aber gerade in der Astronomie den Varteil. dass man sich auf die Angabe van zwei Koordinaten beschränken kann, wenn man nichts über die Entfer-

8

I

Koordinatensysteme

1.2.4 Geozentrlsches äquatorlales Koordlnatensystem

Gibt man den Ort des Planeten vom Erdmittelpunkt aus gesehen in Bezug auf den Himmelsäquator an, dann erhält man die in der Astronom ie al lgemein Ublichen Koordinaten Rektaszension und Deklinariolt. Urspnmg: Bewgsebene: Bezugsrichlllng: Koordinale/l:

Erdmittelpunkt Äquator eines festen Äquinoktiu ms Frühlingspunkt eines festen Äquinoktiums Ll: Entfemung von der Erde ó: Deklination; Winkel zwischen der Linie ErdePlanct und dem Himmeisliquator. gemessen van Süden (_90°) nach Norden (+90~). Rektaszension: Winkel zwisehen dem Frühlingspunk! und der Projcktion der Linie Erdc-Planct auf den Äqualor. gemessen von Oh bis 2 0 (z > 0) liegen nördlich des Äquators.

z = Llsin(ó)

Àquator

18"

Narden

~

l-Aehse

12" Ekliplik

Abb.1.7:

...

x-Aehse

......

Frilhllngspunkt y

y-Aehse

DaJSteUung cines Punktes in geozcntrischen äquatoriaJen Koordinaten

6n

1.2

Die verscbiedenen astronomiscben Koordinalensyslcme

1.2.5 Topozentrlsches äquatoriaies Koordinatensystem

Unter einem lopozentrischen Koordinatensyslem verSlehl man ein Koordinatensyslem, dessen Ursprung auf der Oberfläche der Erde liegt. Als Bezugsebene wird eine Ebene verwendet, die parallel zum Äquator liegt und durch den ausgewählten Punkt der Erdoberfl äche gehl. Bezugsrichtung ist wieder der Frühlingspunkt. Das topozentrische Koordinatensystem ist damit bis auf die Verlagerung des Nullpunktes mit dem geozentrischen äq uatorialen System identisch. Abgesehen van sehr kleinen Erdentfernungen (Mond, Satelliten) unterscheiden sich auch die Koordi naten eines Objektes in den beiden Systemen nur unwesentlich. In jedem Fal! sind in Abschn. 1.3.4 die entsprechenden Transformationen zu fi nden. Man sollte sich allerdings klar darüber sein, dass man zur Berechnung der horizontalen Koordinaten (siehe Absch n. 1.2.6) eigentl ich van topozentrischen Koordi naten ausgehen muss. In diesem Zusammenhang sollen hier noch einige Punkte bemerkt werden: • die Dekli nation des Zellits (d .h. des Punktes senkrecht über dem Beobachter) ist (topozentrisch und geozentrisch) gleich der geographischen S reite des Seobachters, wenn man ei nmal van der leichten Abplattung der Erde absicht: • die Rektaszension des Zenits hängt dagegen von der geographischen Länge und der Uhrzeit, nicht aber von der Breite des Bcobachters ab. Man kann damit die wichtigen Begriffe Sternzeit und Stundenwinkel einführen: • Die Stemzeit () iSI die auf den momentanen Frühlingspunkt und Äquator bezogene Rektaszension des Zenitpunktes. Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat sie fUr alle Beobachter auf gleicher geographischer Länge de n gleichen WeTt. • Der StulldellwillkeJ t is! die Differenz zwischen der Sternzeit und der auf den momentanen Frühlingspunkt und Äquator bezogenen Rektaszension eines Sterns: t = () - Q. Die Slernzeil ist damil der Stundenwinkel des Früh lingspunktes (vg!. Abb. 1.2.5). Die Grölkn () und t werden wie Q im ZeitmaB gemessen. Meridlan

Osten --jI==i==~.~'Si,,~·~=~"~==;·~'Y'T-westen Abb. l .8: Zusammenhang l:wischen Slcrmcil (0), Rektaszcnsion (cr) und Smndcnwinkel (t)

9

14

1 Koordina!Cnsysleme

1.3.3 Geozentrlsch ekllptlkal- geozentrlsch äquatorlal

Mit Hilfe der folgenden Formeln lassen sich geozentrische e kliptikale Koordinaten in äquatoriale verwandein. Daw benötigt man noch den Wert der sa genannten Schiefe der Ekliptik, die die relative Lage van Äquator und Ekliplik fesllegl: e Winkel. unter dem sich Äquator und Ekliptik schneiden. Der Winkel ist zeitlich veränderlich und muss entsprechend dem Äq uinoktium der Ausgangsdaten berechnet werden. Z .B. is! eB1950 = 23°26'44~'86, eJ2000 = 23°26'21 ~'45.

HilfsgröfJeli T ~ (JD - 2451545.0)/36525 e = 23 0 26'21 ~'45 ~ 23~439291

46~/82T

- 0'013004 T

Ekliptikaf jn äquarorial

co,(ó) co,(a) ~ cos(P) co,(.\) cos( ó) sin(o:) = COg(g) cos{fj) sin(..\) - sin(g) sin(fj) = sin(g)cos(fj)sin(..\)+cos(e)sin{fj) sin(ó) Äqualorial

jn

ekliptika!

co'(P)co,(.\) ~ co,(ó)co,(a) cos({3) sin(..\) = COS(e) cos{ó) sin(a) + sin(e) sin(ó) sin({3) = Cos(e)sin(ó) -sin(e) cos(ó) sin (a) JD T e a, Ij

..\, {3

Julianisches Datum des Äquinoktiums Jahrhunderte scil 1. Jan. 2000, 12 h Ekliptikschiefe; muss fUr das Äquinoktium der Ausgangsdaten berechnet werden äquatoriale geozentrische Koordinalen ekliplikale geozentrische Koordinaten

Ll bezeichnet in beiden Systemen die Entfernung vam Erdmittelpunkt und wird nichl lransformiert. Das Äquinoktium der Ausgangsdaten ist gleich dem der lransformierten Werte.

I.) Transformaûon der verschiedencn Systeme 1.3.5 Refraktlon

Beim Eintritt in die optisch dichtere Erdatmosphäre wird das Licht eines Himme lskörpers zur Lotrichtung hin abgelenkt. Diese als Refrakriol! bezeichnete Lichtbrechung fUhrt dazu, dass die vam Boden aus beobachtete Höhe über dem Horizon! immer gröBer als die geometrische Höhe des Objektes is!. Beobachtungsrichtung

Uchtweg

Abb. l .14: Li chtablenkung in der Atmo· sph:!re (Refraktion)

Beobachter

Aufgrund des längeren Lichtwegs iSI die Refraktion in Horizontnähe arn gröBlen. Sie beträgl hier rund ein halbes Grad und verändert so auch maBgeblich den Zeitpunkl des Auf- und Untergangs. Der genaue Wen der Refraktion häng! vom jeweiligen Brechungsindex der Atmosphäre und damit van Temperatur und Lufld ruck ab. TaOOllo1.1: Normatrdrakûon tion der scheiDbaren Höhe h'

h'

r

0 36'36" 0

}O

20 30

25'37" 19'07" 14'59"

r

5 10'15" 0

100 200 30 0

5'30" 2'44" 1'44"

.1, Funk·

h'

r

50° 0'50" 70° 0'22" 90° 0'00"

r P [3.430289(Z' - arcsin[O.9986047 sin(O.9967614z')]) - 273 + T -O.Oll15929z'

h, h'

z'

T p r

1

Geometrische und scheinbare Höhe über dem Horizont Scheinbare Zenitdistanz in Grad (z' = 90° -h') Temperatur am Boden in (0C] Luftdruck in (hPa (= mbar)] Refraktion (r = h'-h) in Bogenminuten

Für Höhen über 5° kann auch die einfache Näherung r = I' /tan(h') verwendet werden.

17

18

I

Koordinalensyslerne

1.3.7 Auf- und Untergangszeiten Der Stundenwinkel, bei dem ein Himmelskörper gegebener Deklination eine bestÎmmte Höhe h tiber dem Horizont erreicht, lässl sich durch Aunösung der obigen Gleichung fUr sin(h) nach cos(t) ermitteln. Bei der Berrechnung von Auf- und Untergangszeiten ist allerdi ngs zu beachten, dass das Sichtbarwerden eines Gestirns von seinem Durchmesser, der Refraktion und de r Parallaxe am Horizont abhängt. Man verwendet übl icherweise fo lgende WeTte: h = -0°50' Sonnenauf- oder -untergang h = + ooOS' Mondauf- oder -untergang h = - 0°34' bei Sternen oder Planeten astrOl/omische Dämmerung h = _ 180 h = _ 12 0 nautische Dämmerung h = _ 60 bürgerliche Dämmerung Die Uhrzeit, zu der ein Himmelskörper ei ne bestimmte Höhe Uber dem Horizont crreicht, lässt sich nur näherungsweise berechnen, wenn sich seine Rektaszension und seine Dekl ination im Laufe der Zeil verände mo Hierzu eignet sich das folgende Schema:

Bezeiclmungen

>., 'P h

T, 8, a i.ói

geographische Länge und Breile des Beobachtungsortes gesuchte Höhe Uber dem Horizont i-te Näherung fUr die lokale Uhrzeit (z.B. Mitteleuropäische Zeit), zu der der Himmelskörper die Höhe h über dem Horizont erreicht zugehörige Ortssternzeit (mittlere genug\) Rektaszension und Deklination zur Zeit Ti bezogen auf das Äquinoktium des Datums

AnfalJgsnäherulIgel1

Ta = 6 h Ta = 12 h Ta = IS h

Sonnenaufgang. Morgendämmeru ng Auf- und Untergang von Sternen und Planeten Sonnenuntergang. Abenddämmerung

Verbesse rUI/gsschritt

• Berech nung der Sternzeit Oi aus der Uhrzeit Ti, dem Datum und der geographischen Länge >. (siehe Abschn. 2.2.5). Ab dem zweiten Schrin genUgt die Formel

Oi = Oi_ 1 +1.0027379· (Ti - Ti_I)

1.3

Transforrnation der verschiedenen Sysleme

• Berechnung der Koordinaten O'i und 6i ohnehin konstant sind (Fixsterne).

ZUT Zeit Ti, soweit

diese nicht

• Berechnung des Stundenwinkels Ti , den der Himmelskörper zur Zeil Ti hat: T;

= 0; -

0' ;

Durch Addition oder Subtraktion von 241> sorgt man dafüT, dass zwischen _ 12 h und + 12h liegt.

Ti

• Berechnungdes Stundenwinkels t i , den der Himmelskörper bei einer Deklination Ói hal, wenn er in der Höhe h liber dem Horizont steht: sin (h ) - sin(rp) sin (6;)

x ti

CO,(",) co, (b,)

=

±

Cl;o)

arccos(x)

Das Vorzeichen van t i ist positiv für Ereignisse in der westlichen Himmelshälfte (Untergänge, Abenddämmerung) und negativ fUr Ereignisse in der östlichen Himmelshälfte. • Berechnung der zeitlichen Änderung des Stundenwi nkcls: n = 1.0027379 Sterne n = 1.0 Sonne n = 1.0027 - (dajdT ) Mond, Planeten. Beim Mond setzt man im eTsten Schriu da j dT = 0.0366, bei den Planeten da j cfI' = O. In allen weiteren Schrilten wählt man do a i - O'i_ 1 dT ti - T i _ 1 • Hiermit ergibl sich schlieBlich der verbessene Wen Ti+l

ti - Ti

= Ti + ---

n

fUr die gesuchte Auf- bzw. Untergangszeit. Isi Ti im Laufe der Iteralion negaliv oder gröBer als 24 h, so findet das gesuchte Ereignis am Vortag bzw. am nächslen Tag statt. Gegebenenfalls kann man einen urn 24 h /n vergröBerten oder verkleinerlen Werl von T; zur Fortsetzung der Iteralion verwenden. Bei Sternen lierert bereits die erste Iteration die gesuchte Zeil T . da hier keine Bewegung in Deklination slalfindet. Bei anderen Himmel skörpern genUgen - von Ausnahmen (Mond! ) abgcsehen - meisl zwei Iterationen.

19

20

I

KoordillalclIsysteme

Problemfiille

• Ist während der heration die Grö!3e Ix;! in einem der Rechenschrilte gröBer als Eins, dann bedeutet dies, dass der Himmelskörper die gesuchte Höhe bei einer Deklination Ói nicht erreichen kann. Beispiele hierzu sind Polartag und Polarnacht. Da sich die Deklination von Sonne, Mond und Planeten im Laufe eines Tages verändert. kann das gesuchte Ereignis aber möglîcherweise den noch stattfinden. Es empfiehlt sich dann, einen anderen Startwert To zu verwenden . • Die Zeit zwischen zwei Sternauf- ader -untergängen ist mil 23 11 56'" etwas kürzer als 24 h , so dass das gleiche Ereignis an einem Kalendertag zweimal auftreten kann. • Die Zeit zwischen zwei Mondauf- ader -untergängen beträgl im Miltel elwa 25 h. Aus diesem Grunde gibt es im All gemeinen in jedem Monat einen Tag, an dem kein Mondaufgang stattfi ndel, und einen weiteren Tag, an dem der Mond nicht untergeht.

22

I

Koordin31ensysleme

Die Bewegung des Äquators

Die Erdachse weicht der aufrichlenden Kraft van Sonne und Mond auf den Äqualorwulst der Erde aus und dreht sich in 26000 Jahren einmal rückläufig um den miltleren Pol der Ekliptik. Der Erdäqualor schlie!lt dabei mit der Ekliptik van 12000 den nahezu festen Winkel

w = 23°26'21"

+ O~'05 . T 2

ein. Allerdings ist der Schnittpunkl i' 1 zwischen dem Äqualor (t) und der Ekliplik(J2000) gegenüber dem Schnittpunkt i' 0 van Äqualor(12000) und Ekliptik(12ooo) um den Winkel

1/1 =

5038~'8· T - l~'l· T 2

zurückgewandert. Man bezeichnel ihn allgemein als Lllllisolarpräzes5;0/1.

Die Bewegung der Ekiiptik

Ursache für die Verschiebung der Ekliptik sind nicht wie bei der des Äq uators Sonne und Mond , sondern die Planelen. Sie bewirken durch ihren wechselnden Einftuss ei ne Schwingung der Ekl iplik um die mi ttlere Lage mit einer Periode van 41000 Jahren und einer Auslenkung van etwa Q?85 . Über einige Jahrhunderte hinweg Jässt sich die Neigung der Ekliptik(t) gegenilber der Ekliptik von 12000 jedoch durch die vereinfachte Beziehung 1T

= 47~'OO· T - O~'03· T 2

darste[[en. Die Schningerade Ekliptik(12000)-Ekliptik(t) schlie!ll mit dem FrOhlingspunkl i' 0 van 12000 dabei den veränderlichen Winkel

17 = 174°52'35" -

869~'8·

T

ein. FUr T > 0 bezeichnet [[ den Punkl. in dem die Erde im jeweiligen lahr die Ekliptik van J2000 im aufsteigenden Sinn durchquert. fUr T < oentsprechend den Punkt des absteigenden Durchgangs. Weltere OröBen

Obwohl die Lage der verschiedenen Ebenen durch die obigen vier Winkel bereits eindeutig festgelegt iSI, gibl es eine Reihe weiterer Grö!len für den praktischen Gebrauch in den nachfolgenden Transformationsformeln. Besanders wichtig ist hierbei der Winkel é

= 23°26'21" - 46~'8 2· T

1.4

Präzession und Nutation

zwischen Ekliptik(t) und Äquator(t). Weiterhîn kann man den Betrag der (rechtläufigen) Verschiebung des Schnittpunktes T von Eklîptik(t) und Äquator(t) gegenüber dem Schnittpunkt Tl von Ekliptik(J2000) und Äquator(t) angeben. Da diese Verschiebung durch die Bewegung der Ekliptik bewirkt wird, deren Ursache wiederurn die Planeten sind. bezeichnet man den Winkel

x=

1O~'55 . T - 2~'38· T 2

auch als pfallerare Präzessioll. daraus ergibt sich schlieBlich der Begriff der allgemeill€1I Präz€ssioll illliillge. unter dem man die Differenz p= A-

n=

5029~'1O· T + 1~/l1· T 2

der Winkel LNT0 und L NT versteht. In Abb. 1.15 sind darüberhinaus noch einige weiter GröBen gekennzeichnet, die in den folgenden Transformationsformeln Verwendung finde n. 8 bezeichnet dabei den Winkel zwischen dem Äquator von J2000 und dem Äquator(t), 90° - ç den Winkel L MT 0 und 90° + z den Winkel L MT.

23

30

1 Koordinatcnsystcme

1.5 Aberratlon und lIchtlaufzelt

Aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit stimmen die bisher betrachteten geomerrischen Koordinaten eines Planeten nicht mit den tatsächlich beobachteten und am Fernrohr gemessenen Koordinaten überem.

Aberratio,,: Bisher wurde der Beobachter als im Bezugssystem der Sonneruhend angenommen. Er nimmtjedoch an der täglichen Drehung der Erde und ihrem Umlaufum die Sonne tei l. Somit ist der Beobachter in jedem Momenl relativ zur Sonne in Bewegung. Das hat zur Folge, dass er eine andere Einfallsrichtung des Lichts feststellt. Man kann dies mit einem FuBgängerbei Regen vergleichen,der seinen Schirm im Laufen etwas nach vorne neigt, während er ihn im Stehen senkrecht nach oben hält. Lichtlaufzeir: Während sich das vom Planeten reflektierte Licht zur Erde ausbreitet. bewegt sich der Planet bereits weÎter. Der Planet wird also nicht dort beobachtet. wo er sich zum Beobachtungszeitpunkt befindet, sondern dort, wo er sich zum Zeitpunkt der Lichlaussendung befand. Will man die beobachtete Position eines Planeten zum Zeitpunkt t berechnen, dann sind fol gende Schritte nötig: I. Berechnung der heliozentrischen Position der Erde zum Beobachtungszeitpunkt t. 2. Berechnung der helîozentrischen Position des Planeten zum Zeitpunkt t ~ T der Uchtaussendung. Hierzu muss durch schrittweise Verbesserung der Wert der Lichtlaufzeit T beslimml werden. FUr ihn gilt, dass die Entfernung des Planelenortes zur Zeil t ~ T vom Erdort zur Zeil t gleich der Strecke ist, die das Licht in der Zeit T zurUck legt. In erster (und meist ausreichender) Näherung is! die Lichtlaufzeil T gleich dem Verhältnis aus der geometrischen Entfernung L1(t) des Planeten von der Erde und der Lichtgeschwindigkeit c= I73.14AEjd. 3. Die geozentrischen Koordinaten des Planelenorles zurZeit t ~ T (bezogen auf den Erdort zur Zeit t) geben die Richtung an, aus der das Licht des Planeten auf die Erde triff!. Diese Koordinaten sind nun wegen jährlicher und läglicher Aberration zu korrigieren. Durch BerUcksichtigungder Lichtlaufzeit im zweiten Schriu erhält man die so genannlen astromerrÎschell Koordinaten des Planeten. Bei passender Wahl des Äquinoktiums (z. B. 12000) können diese direkt in ei ne Sternkarte eingezeichnct ader mit katalogisicrten Sternpositionen verglichen werden. Die zusätzliche BerUcksichtigung der jährl ichen und

32

Koordinat.)

=

= 5 AE. Man bestimme

,o,( ~) ~ + 0.500000 sin((3) = + 0.866025

-0.500000 + 0.866025

x = - 1.250000AE Y = + 2.165064AE z = + 4.330127 AE

(b) Gegeben seien die kartesischen Koordinaten x = - l.O AE, Y = - 2.5 AE und z = + 0.5 AE. Man bestimme die zugehörigen sphärischen Koordi naten.

x 2 = + 1.000000AE2

+ 6.250000AE2 = + 0.250000 AE 2

folgt:

y2 = z2

zi p = + 0.185695

(3

= + 1O?5197

r.p

=

Wegen x

r = 2.738613 AE p =

2.692582 AE

10°31'11/1

-68?1986

< 0 folgt:

>. = 248? 1986 = 248° 11 '55/1.

Zu 1.3.1: Reduktlon auf die EklIptik

(a) Ei ne Bahnebene sei urn i = 20° gegen die Ekliptik geneigt, die Knotenlänge sei n = 30°. Man bestimme die ekliptikale Länge und Breite des umlaufenden Körpers, wenn das Argument der Breite u = 210° beträgt. cos( b) cos(l - !7) = - 0.866025 cos(b)sin(I - !7) = - 0.469846 sin (b) = -0.171010 b = - 9?8466 l = 238?4812

1 - fI

~

208e4812

33

34

I

Koordinatensysteme

(b) wie lauten die kartesischen Koordinaten des Körpers, wenn die Sonnenentfernung 5 AE beträgt (Ubrige Daten wie im obigen Beispiel)?

x = 1'·( - 0.750000 + 0.234923) = - 2.5754AE ~ r·( - 0.433013 - 0.406899) ~ -4.1996 AE Z = 1'·(-0.171010) = -0. 8551AE

Y

(c) Die Koordinaten eines Planeten in seiner Bahn seien r·cos(v) = - 4.330127 AE und r·sin (v) = + 2.50000 AE (entsprechend r = 5 AE und v = 150°) . Das Argument des Perihels sei w = 60°, die Bahnneigung i = 20° und die Länge des aufsteigenden Knotens fl = 30°. Man berechne die kartesischen ekliptikalen Koordinaten unter Verwendung der GauBschen Vektoren.

Q. ~ - 0.984923 QlI = - 0.0261 14 Q, ~ + 0.171010

Px = + 0.026 11 4

Py = + 0.954769 Pz = + 0.296198

x = - 2.5754 AE Y = - 4.1996 AE z = - 0.8551 AE

Zu 1.3.2: Hellozentrlsche und geozentrlsche Koordinaten

Die ekliptikalen heliozentrischen Koordinaten der Erde seien L = 150°. B = 0° und R = 1 AE. die des Jupiter 1 = 100°. b = 1':'3 und r = 5 AE. Man bestimme die geozentrischen ekliptikalen Jupiterkoord inaten.

- 0.868017 AE ~ -0.866025 AE + Ll·co,(P) co,(.\) +4.922771 AE = + 0.500000 AE + Ll· cos(J3) sin(.\) +0.113437 AE ~ + 0.000000 AE + Ll ·,in(p) .\

~

90' 0258

J3 = + 1':'4692

Ll = 4.424226 AE

Zu 1.3.3: Ekliptikale und äquatorlale Koordinaten

(a) Man bestimme Rektaszension und Deklination eines Sterns mit ekliptikalen Koordinaten >. = 290° und f3 = 50° arn I. Januar 1982 (JO

2444970.5) . - 6574.5(36525

T

~

é

= +23':'441633

~

-0 .1 8000

cos(ó) cos(ct) = +0.219846 cOS(Ó)SÎll(ct) = - 0.858914 sin (ó) = +0.462530 ct = 284':'3571 = l Sh57rn 268 Ó = + 27':'5505 = 27°33'02/1

36

1 Koordinatcnsystcme

Zu 1.3.7: Aut- und Untergangszeilen (a) Man berechne den Zeitpunkt des So nnenuntergangs und des Endes der astronomischen Dämmerung am 21. Juni (Deklination der Sonne Ó = +23~ 4) fUr e ine geographische Sreite von 48°. Die Sonne kuIminiere um 12 11 . SOlllteltulltergallg

hj =

-O ~8333

tj

120 ~ 2841 =

=

cos(td = -0.504288 8b Ol m

Dämmerultg

h 2 = - 18~O COS(t2) = - 0.983810 t 2 = 169%759 = n b19!n t j und t2 sind die Stundenwinkel der Sonne zu den betreffenden Ereig-

nissen. Im Falie eines Sternes wären sie gleich der seit dem Meridiandurchgang verfiossenen Sternzeit. Da sich die Rektaszension der Sonne jedoch täglich urn 4 Minuten vergröBerl, entsprechen t j und t2 der seit dem Meridiandurchgang vergangenen Sonnenzeit (Weltzeit). Man erhlilt aloo: Zeitpunkt des Sonnenumergangs: Zeitpunkt des Dämmerungsendes: (b) Man berechne den Zei tpunkt des Mondaufgangs (h = +0°08') fUr eÎnen Ort der geographischen Länge >. = + 15° (östl. von Greenwich) und einer geographische n 8reile 'P = +50° am 16. Januar 2001 in Mitteleuropäischer Zeit (MEZ=UT+ 1h).

MEZ

UT

ó

12~000 11 ~OOO 19~730

-

0.015 0.196 0.199 0.199

-

1.015 1.196 1.199 1.199

7.682 7.501 7.498

131.'707 13.295 13.288 13.288

T

n

- 5 ~ 026 +6~'023 -5~585 0.9661

- 2.500 - 5.613 - 5.7870.9684 - 2.461 - 5.787 - 5.7900.9682 - 2.460 - 5.790 - 5.7900.9682

Die Iteration liefert somit fUr den Zeitpunkt des Mo ndaufgangs den 15. Januar 200 I, 23 h 4S m. Geh! man dagegen vom Startwert 17. Januar, 1211. aus, dann erhält man als Aufgangszeilpunkt 1hOI'° dieses Tages. Am 16. Januar lindet kein Mondaufgang stalt. Allm.: Die 8erechnung der $temzeit und der Mondkoordinaten ist in

Abschn. 2.2.5 und Kap. 5 beschrieben.

Rechcnbeispiele

Zu 1.4.1.2: Präzession in äquatorialen Koordin aten

Man transformiere die Koordinaten 0'0 = 4 h und 60 = 500 (Äquinoktîum 81950.0 = JO 2433282.423) ins Äquinoktium J2ooo.0 (JO

245 1545.0).

To = - 0.500002

T = + 0.500002

( = + 1152~'842 = +0~320234 z = +1153~'041 = + 0~320289 () = + 1002~'261 = + O~278406

cos(ó)cos(a - z) = + 0.314551 cos(ó)sin(a - z) = + 0.558458 sin{ó) = + 0.767582

ó=

+50~ 1372

0: -

z=

+60~6096

o=

+ 60 ~ 9299

Die Näheru ngsformelliefert ein geringfilgig abweichendes Ergebnis: a - ao=

+0~ 9279

6 - óo =

+ 0~1392

.

Zu 1.4.1.3: Präzession in ekllptikalen Koordinaten

Man transformiere die Koordinaten Ao = 2100 und /30 = 50 (Äquinoktium 12000.0 = JD 2451545.0) ins Äquinoktium B1950.0 (JD 2433282.423).

Ta = 0.0

T = - 0.500002

Jl = =

+174 ~ 99719

1r

- O ~ 006531

P =

-0~ 69 841l

cos(f3)cos(Jl + p - A) = + 0.816007 cos(f3) sin (Jl + p - A) = - 0.571424 sin(f3) = + 0.087221

IJ =

+5~ 0037

IJ + P - A =

A=

- 35 ~ 0023

+ 209 ~ 3011

Das gleiche Ergebnis erhält man in diesem Fait auch mit Hilfe der Näherungsformel : A - Ao =

- 0~6989

iJ- Ilo =

+ 0~0037

.

37

38

I

Koordinalcnsysteme

Zu 1.4.1.3: Transformation von Bahnelementen

Die miuleren Bah nelemente des Merkur zur Epoche 1950.0 bezagen aufFrUhlingspunkl und Ekliptik van 12000.0 lauten: io =

7~0078

n=

4 8~ 394

tv

= 77 ~ 3761

Man transform iere die Elemente ins Äquinoktium B 1950.0 (Werte van n, 11" und p wie im obigen Beispiel).

f30

À o = - 41 ~ 606

Wo = 28 ~ 9821

~ 82 ~ 9922

cos(fJ) co,(il + p - À) ~ - 0.097943 cos(j3) sin(fl + p - À) = - 0.072634 sin (,B) = fl =

À

= - 42~2617

+ 47~7383

(J = i =

+ 0.992538

+82 ~ 9961

+ 7 ~ 0039

sin{i ) cos(w - wo) = + 0. 121937 sin{i) sin{w - wo) = - 0.000092

w - Wo =

w=

- 0~ 0430

+ 28~9391

tv

=

+ 76~6774

Die Näherungsformelliefert nahezu identische Ergebnisse:

i = +7':'0039 fI ~ +47~7382 w = + 28':'9391

tv

= + 76':'6774

Zu 1.4.1.5: Transformatlonsmatrlzen

(a) Man führe die Rechnung aus Beispiel 1.4.1.2 in kartesischen Koordinaten durch. A =

+0.9999257080 -0.0111789373 - 0.0048590033) +0.0111789373 +0.9999375134 -0.0000271626 ( +0.0048590033 -0.0000271579 +0.9999881946

x=

+ 0.321394) + 0.556670 ( + 0.766044

x' = B191'>O

+0 .311425) +0.560208 ( +0.767582

J20Q0

(b) Man führe die Rechnung aus Beispiel 1.4. 1.3 in kartesischen Koord inaten durch.

A =

+ 0.9999257079 + 0.0121892775 +0 .0000113228) - 0.0121892787 + 0.9999257016 + 0.0001134152 ( - 0.0000099395 - 0.0001135448 +0 .9999999935

Rechenbeispielc:

x=

- 0.862730) - 0.498097 ( + 0.087156 J2000

- 0.868736) - 0.487534 ( + 0.087221

x' =

B I950

Zu 1.4.2: Nutatlon

(a) Man bestimme die Lage des mittleren Frühli ngspunkles bezogen auf den wahren Frühlingspunkl sowie die wahre Ekliptikschiefe am I. Januar 2005 (JD 2 453 37 1.5).

T = +0.050007 I' F

D fI

~

~

~

~

+ 357.724 + 136.681 + 244.253 + 28.325

ó

c,,p c,ó

ó'

~

+ 23"26'19;'11

~ - 7~'40 ~

~

+ 7;'60 + 23"26'26;'71

(b) Mil den obigen Werten bestimme man die wahren äqualorialen Koordinaten eines Slerns, dessen miltlere äqualoriale Koordinaten 0:' = 4 h und ó = 30" sind.

Ll1jJ ·1.116 - Llé ·0.289 = &' - ó = .11jJ ·0.199 + Llé ·0.866 =

et'-et =

ei =

+ 3h59m59 ~ 30

&' =

+30" OO'05~'l1

- 10~'45

+ 5;'11

Zu 1.5: Aberration

Die geometrischen Koordinaten der Erde und des Planeten Jupiter am 2. und 3. Februar 2003 Ueweils Oh TI) lauten: Heliozentr.

x [AE[ y [AE[

,[AE[

Geozentr.

a ; C, [AE[

Erde Feb. 2.0 Feb. 3.0

- 0.668008 -0.680836 + 0.664692 + 0.653825 + 0.288175 + 0.283464

Jupiter Feb. 2.0

- 3.624933 + 3.536817 + 1.604263 Feb. 2.0

Feb. 3.0 - 3.630544 + 3.532353 + 1.602486 Feb. 3.0

+9h03m20 ~ 03 + 9h02m47~93

+ 17"42'23;'9 + 4.327192

+ 17" 44'47~'4

+ 4.327415

Alle Angaben beziehen sich auf den Äquator und Frühlingspunkt van

J2ooo.

39

2 Zeitrechnung

2.1 Oas Julianische Datum Das l ulianische Datum is! definiert als die Anzahl der Tage, die seit dem eTsten Januar des Jahres 4713 v. Chr. 12 UhT Wel!zcit vergangen sind. Bis zum vieTten Oktober 1582 n. Chr. galt der l ulianische Kalender, demzufolge in denjenigen Jahren ein 29. Februar als Scha[ttag eingefügt wurde. deren astronomische Jahreszahl dureh vier teilbar war (Anm.: das astronomische l ahT - 4712 entspricht dabei dem lahT 4713 v. Chr., das Jahr Odem l ahT I. v. Chr.; darauffolgen die Jahre nach Christi Geburt, die in der astronom ischen unrl in der chrisiliehen Zählung gleieh lalllen, z.S . l ahT 1 unrl lahT I n. Chr.). Am Miltag des vierten Oktobers waren also insgesamt 2 299 160.0 lulianische Tage vergangen. Die gregorianische Kalenderreform lieG auf diesen Tag safari den 15. Okiober 1582 fa lgen, dessen Beginn somit auf das l ulianische Dalum 2299160.5 tieL Sei! diesem Zeitpunkt gilt die bekannte Schaltjahresregel: Sch al ~ ahr istjedes Jahr, dessen Jahreszahl - durch vier, aber nicht durch hunden - ader durch vierhunden te ilbar is!.

In diesen Jahren wird zwische n 28. Februar und I. Märzein 29. Februar als Schalttag eingeschoben . Für die im Folgenden verwendeten Transformationsformeln geiten die hier angegebenen Bezeichnungen:

m y

M D UT int(x) 8oor(x)

Jul ianisches Datum Jahr Monat

Tag Weltzeit ganzzahl iger Teil einer Zahl (int(1.3) = 1.0; int( - 1.3) = - 1.0) gröBte ganze Zahl , die kleiner ader gleich x ist (800r(1.3) = 1.0; 800r( - 1.3) = -2.0)

44

2

Zeitrecbnung

hels) der Sonne als

L = 279"41'48~'04

+ 129 602 768~'13·T + 1 ~'089·T2

T bezeichnet darin die Anzahl der lahrhunderte seit dem Mittag des nullten Januar 1900. Da die obige Formel eine direkte Folgerung aus dem Gravilationsgesetz darstellt, ist T eine unabhängige Variabie der zugrunde liegenden Theorie. Man kann deshalb den Ausdruck für L benutzen, urn mit seiner Hilfe die so genannte Ephemeridenzeit (die Zeit. die die Grundlageder Ephemeridenrechnungbi ldet) zu definieren. Ausgangspunkt der Zählung ist der als Jan. 0., 1900 12 h Ephemeridenzeit (ET) bezeichnete Moment, in dem die miulere Uinge der Sonne 279"41'48~'04 beträgl (T = 0) . Die Änderung dLj dT beträgt zu diesem Zeitpunkt 129602768~'13. Defi niert man femer die Einheit von T als 100 Ephemeridenjahre à 365.25 Ephemeridentage à 86400 Ephemeridensekunden , insgesamt also 3155760000 Ephemeridensekunden. dann vergingen 360·3600" 129 602 768~'13 . 3 155760 000 s = 31 556 925.9747s Ephemeridenzeit, bis sÎch die Sonnenlänge urn 360" geändert hätte, falls die obige Geschwindigkeit konstant wäre. Da es sich hierbei um einen Umlauf von FTÜhlingspunkt zu Frühlingspunkt handelt, entspricht dieser Zeitraum einem tropischen lahr. Ausgehend von den angeführten Überlegungen gelangl man schlieB· lich zu der folgenden, von der lAU verabschiedeten, Detlnilion der Ephemeridensekunde: Eine Ephemeridensekunde is! der 31 556 925.9747-te Teil der Länge eines tropischen Jahres am Jan. 0,1900 12 h Ephemeridenzeit. Eine Ephemeridensekunde hat praktisch die gleiche Länge wie eine SISekunde, so dass sich ET und TAl im Wesentlichen nur urn ei ne Konstante unterscheiden. ET = TAl

+ 32.184s

Seit 1984 werden stalt der Ephemeridenzeit die Terrestrische (Dynamische) Zeil (TI) und die Baryzentrische Dynamische Zeit (TDB) verwende!. Einheit der TI ist die SI-Sekunde und aus Gründen einer kontinuierlichen Zeilzählung wird TT = TAI + 32.184s

2.2

Die vcrschiedcllcn Zcitdcfillitiollell

gesetzt. Zur Darstellung von auf den Schwerpunkt des Sonnensystems bezogenen Bewegungen wird die TDB verwendet, da aufgrund relativistischer Effekte ein Beobachter auf der Erde eine andere Eigenzeit (TI) misst. TDB und TI unterscheiden sich urn maximal 0.002 s, was im Rahmen der meisten Rechnungen vemachlässigt werden kann. 2.2.3 Weltzelt

Im Gegensatz zur Atom- und Ephemeridenzeit ist die im Folgenden besprochene Weltzeit kein gleichförmiges ZeitmaB. Ihr Ziel ist vielmehr. langfrisli g in gutem Einklang mit der täglichen und jährHchen Bewegung der Sonne zu stehen. Der Lauf der Sonne als Ursache van Tag und Nacht ist ja immer noch das bestimmende Element unseres Lebens. Würde sich die Sonne nicht vor dem Stemenhintergrund verschieben, dann wäre die Stemzeit ein Mail, das den gewünschten Zweck erfül len würde. Urn die Zeit dem Son nenlauf anzupassen, ging man folgenden Weg: Die Bewegung der wahren Sonne wurde zuerst durch eine so genannte mittlere Sonne mit definiener, gleichförmig anwachsender Rektaszension A ersetzl. Als mittlere Sonnenzeit definierte man dann den urn I2 h vergTÖBerten Slundenwinkel dieser mitderen Sonne, da der Moment des Meridiandurchgangs (Stundenwinkel Oh) mit dem Mittag (l2 h) zusammenfallen sollte. Durch die Einführung der mittleren Sonne erhielt man ein ZeitmaB, das von kurzen Schwankungen (sog. Zeitgleichung) durch die Projektion der Sonnenbahn auf den Äquator und die elliptische Bahn befTei! war. Die mittlere Sonnenzeit war damit annähernd gleichförmig und an den Sonnenlauf angepaSSI. Da urn I2 h Sonnenzeit der Stundenwinkel der miltleren Sonne Oh betrug, war in diesem Moment der Stundenwinkel des Frühlingspunkles (also die Slemzeil) gleich der Rektaszension A der miltleren Sonne. Aus diesen Überlegungen heraus kam man sch lieBlich zur heuligen Wellzeit. Nach Definition der lAU von 1981 iSI die mittlere Slernzeil von Greenwich (siehe 2.2.5) urn Oh Weltzeit (UT) gegeben durch:

+ 8640 1 84~812866·T + 0~093104 · T2 - 0~0000062·T3

e(UT = Oh) = 24110~54841

Dabei iSI T die seit dem ersten lanuar 2000, 12 h UT (ID 245 1545) vergangene Zeit, gemes sen in lahrhunderten zu je 36525 Tagen Weltzeit. Da die Greenwich-Slemzeit aus Beobachlungen von Meridiandurchgängen bestimmbar iSI. lässt sich durch diese Beziehung auch die Wellzeil in jedem Augenblick berechnen. Die Definition der Terrestrischen

45

46

2 Zeitrechnung

Zeit wurde sa auf die der Weltzeit abgestimmt, dass die Differenz .tJ.T = TT - UT zu Beginn dieses Jahrhunderts annähemd gleich Null war. Der genaue Wert .tJ.T ist nur im nachhinein hestimmbar. Es ist jedoch der allgemeine Trend festzustellen , dass .tJ.T um etwa 0.5 bis I Sekunde pro Jahr zunimmt. Dieser Wert entspricht der Verzögerung der Erdrotation durch die Gezeitenreibung. Der restliche Betrag ist nicht vorhersehbar und wird wahrscheinlich durch Massenverschiebungen im Erdinneren sowie durch den Einfluss der Atmosphäre verursacht. Eine Tabelle der bisherigen Werte ist irn Anhang A.6 gegeben. FUr Zeiträume zwischen 1825 und 2000 kano man darUberhinaus die nachfolgenden Approximationen verwenden, die jeweils Abschnitte von 25 Jahren mit einer typischen Genauigkeit von I s abdecken. Tabelle2.1: Polynomapproximationen der DilTerenz tlT = TI - UT von Terrestrj· scherZeÎt und Wcl lUÎ1 (T::: (JO - 2451545)/36525)

.:lT_TT

UT

ZeiU'llum 1825 - 1850 1850 - 1875 1875 - 1900 1900 - 1925 1925 - 1950

1O~4- 80~8 t +413~9t2- 572~3t3 6 ~ 6+ 46~3t-358 ~4t2+ 18 ~8e3 -3~ 9 - 1O ~8t-1 66 ~ 2t2 + 867 !4t 3 - 2 ~ 6+ 114 ! lt+327~5t2_1467~4t3 24 ~ 2- 6~3t- 8~2t2+ 483~4t3

1950 - 1975

29~3+ 32~5t-

1975 - 2000

3~8t2+ 550~ 7 t3

45 ~ 3+ 130~5t-570~5t2

+15 t 6 ~7t3

Argumenl t_T+i.75 t = T +1.50 t=T+1.25 t=T+l.oo t=T+0.75

t=T+O.sO t=T+O.25

2.2.4 Kootdinierte Weltzeit

Als Verknüpfung von UT und TAl wurde die UTC eingeführt, die vo n den Zeitzeichensendern ausgegehen wird. Sie weicht von der TAl urn ganze Sekunden und von der UT urn nicht mehr als 0.9 s ab. Dies wird durch Schallsekunden erreicht, die bei Bedarf Ende Juni oder Ende Dezernher eingelegt werden. Die UTC ist somit die Zeil, die eine »richtiggehende« Uhr anzeigt, wenn man die entsprechende Zeitzone berücksichtigt. 2.2.5 Sternzeit

In 1.2.6 wurde die Sternzeit definiert als die auf den momentanen Frühlingspunkl bezogene Rektaszension des Zenitpunktes. Anstelle des Zenitpunktes kann dabei natilrlich auch jeder andere Punkt des Meridians treten. In Strenge unterscheidel man zwischen wahrer und mittlerer Stemzeit.je nachdem, ob man sich auf den wahren oder mittleren Frühlingspunkt bezieht (vgl. 1.4.2). Der Unterschied zwischen e"pp (apparent sidereal time) und ergibt sich entsprechend aus der Differenz der Rektaszensionen von wahrem und mittlerem Frühlingspunkt.

e

48

2

Zeitrechllullg

Anmerkung

24 h Sternzeit entsprechen nicht exakt der Zeit einer (siderischen) Erdumdrehung. Da der Frühlingspunkt an einem Tag etwa 0.008s in Rektaszension zurückwandert. vergehen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Meridiandurchgängen des FfÜhlingspunktes (ein Sterntag) 0.008s weniger. als die Erde für eine Umdrehung benöligl.

2.3 Standardepochen und Besseljahr In der astronomischen Zeitrechnung hat sich besonders bei der Angabe von Äq uinoktien die Verwendung bestimmter Standardepochen eingebürgerl. Sie unterscheiden sich um ganze 1ulianische 1ahrhunderte zu je 36525 Tagen und sind durch den Vorsatz »h gekennzeichnel. Zur Zeit is! im Wesentlichen die Epoche 12000 in Gebrauch: 11900: 12000:

10 24 15020.0=lan.O') cos{b) i

(0' :s E :s 180') (0° ::; a ::; 180°)

= 1800 -0"-E

ode,

l, b, r À, {3, f).

L,- , R i

E

heliozentnsche ekJiptikale Koordinaten des Planeten geozentrischeekliptikale Koordinaten des Planeten geozentrische ekliptikale Koordinaten der Sonne Phasenwinkel Elongation

Da in dem ersten Gleichungssystem davon ausgegangen wird, dass die ekliptikale Breite der Sonne gleich NuH ist, mUssen sich dort streng genommen atle Koordinaten auf den Frilhl ingspunkt und die Ekliptik des Datums beziehen.

103

106

6

Physische Ephemeriden

,

... Erdàquator 'Û'{}.\cf. ptanetef1~o;

Abb. 6.4:

Lage des Nullmeridians

Oamit ist die Messung von W unabhängig vom tatsächlichen Drehsi nn des Planeten. Für die einzelnen Planeten geIten die in TabelIe 6.3 zusam mengestellten Werte. Darin bezeichnen d = JO - 2451545 .0 und T = d/36525 die Anzahl der seit J2000 vergangenen Tage bzw, Jahrhunderte. Tabelle6.3:

Lage des Nullmeridians der Sonne und der Planeten (lAU 1994, 111 J) W(J2000)

84? 182 329?68 160?20

Sonne Merkur Venus M~,

Jupiter

Satum Uranus Ncptun Pluto

176~901

System I Systcm II System (J( Systcm I System (J( System (J( System [1\

67~1

43?3 284?695 227~ 2037

38?90 203%1 253~ 18

236?77

+ +

6W

14? 1844000d 6? 1385025d 1?4813688d

+1? 222 + 1 ~ 145

+ 1?436

+350~891983Od

+O~620

+ 877?9OOd + 870?27Od

+l ~291

+870~ 536d

+ 1?291

+ 844 ~3OOd + 8\O?7939024d - SOl ? 1600928d + 536~3128492d - 0?48sin(N ) N = 357~85 + 52~ 316T - 56?3623195d

+1~291 -3~ 470

-3?470 + 0?564 + 0%62 +0?413

Dabei ist folgendes zu beachten: • Zur Berechnung des Julianischen Datums ist anslelle der Weltzeit (UT) die Ephemeridenzeit (ET) beziehungsweise Terrestrische oder Baryzenlrische Dynamische Zeil (TI, TDB) einzuselzen (siehe Abschn. 2.1 und 2.2) . • Aufgrund der Lichtlaufzeit ist W für den Zeitpunkl zu berechnen, an dem das Licht vom Planeten ausgesendet wird. Oeht man davon aus, dass sich die Entfernung Erde- Planet (A.) während der Lichtlaufzcit

6.4 Roution

nur unwesentl ich verändert, dann liegt der Zeitpunkt der Lichtaussendung urn (499.005 s) . (LJ. j AE) vor dem der Beabachtung. Beide Punktesind wegen der zum Teil sehr hohen Drehgeschwindigkeit der Planeten für eine genaue Rechnung unhedingl zu berücksichtigen (der Nullmeridian von Jupiter verschieht sich in 50s urn etwa ein halbes Gmd!) Die Werte der Spalte W(J2000) beziehen sich auf die Lage des Erdäquators vom I. Januar 2000, 12 h (J2ooo). Addiert man dazu den Wert LlW, dann erhält man die auf den Erdliquatar des jeweiligen Berechnungszeilpunkls bezogenen WeTte, die fUr d ie spälere Rechnung benötigt werden. Für eine genaue Rechnung gilt:

sin(LlW) = - 8in(8) 8i11(0:0

+ Ç)j C08{JÓ)

8

= 2004~'311·T-O~'427·T2-0~'042·T3

ç

= 2306~'218·T + O~'302·T2 + O~'018·T3

T

Äquinoklium in 1ahrhunderten seit 12000

T ao

~

(JD -245 1545.0 )j36525

Reklaszension der Drehachse (Äquinoktium 12000) Deklination der Drehachse (momentanes Äqu inoktium)

Jó

Bei Jupiter und Saturn sind verschiedene Nullmeridiane im Gebrauch, da nicht alle Bänder mil der gleichen Geschwindigkeit rolieren: System I

Rotalion im Bereich des Äquators

System 1I Rotatian nördlich der Südkomponentedes nördlichen Äquatorialbandes und südlich der Nordkomponente des südlichen Äquatorialbandes System III Rotation von Radioemissionen Auch bei der Sonne giht es keine starre Rotatian. Die angegebene Bewegung des Nullmeridians bezieht sich auf ungefáhr 16° heliographische Breite. FUreinen beliebigen Punktder BTeile B beträgl die tägliche siderische Bewegung einer empirischen Formel zufolge

n

=

14?37 - 2?60.sin 2 (B)

107

6.4

RotaLiol\

6.4.4 Planetographlsche Koordinaten, Zentralmerldlan

Analog zur geographischen Länge und Breite hat man auch fUr andere Planeten so genanme planelOgraphische Koordinaten eingeführt: • Die planetographische 8reite ({) gibt an, um welchen Winkel sich ein Punk! über den Äquator des Planeten erhebt. Sie wird von _90 0 (Südpol) bis + 90 0 (Nordpol) gemessen . • Die planelOgraphische Länge gibt an, um welchen Winkel sich der Meridian durch den betrachteten Punkt vom Nullmerid ian unterscheidet. >. wird von 00 bis 3600 entgegen der Rotationsrichlung gemessen.

Nuflmeridian

'P)1::.::::-:-:7,~~~zentralmeridian 1

Abb.6.6:

Planctographische Koordinatcn eines PunkIes P auf der PlanctcnobcrHlicbc

Von besonderem Inleresse ist die Längedes so genannlen Zentralmeridians, also des Meridians der in einer Ebene mil der Rotationsachse und der Erde auf der der Erde zugewandten Seite liegt. Er erscheint dem 8eobachter als gerade Li nie in der Mitte der Planetenscheibe. Dazu berechnet man zuerst den Winkel I< zwischen dem Sch niupunkt ErdaquatorlPlanetenäquator und dem Sch nittpunkt Zentralmeridian/PlanetenaqualOr (vgl. Abschn. 6.4.2). Die Differenz zwischen K und W ergibt dann die planetographische Länge des Zentralmeridians, wobeijedoch der Rotationssi nn des Planeten zu beachten is!. Daneben erhält man aus der nachstehenden Formel noch die planelographische Breite desjenigen Punkies der PJanetenoberftäche, der auf der Verbindungsl in ie von 8 eobachter und Planetenmillelpunklliegt. sozusagen die Deklination der Erde bezogen auf den Mittelpunkt und den Äquator des Planeten.

109

6.5 Sdleinbare Hclligkei!en

6.5 Scheinbare HeIligkelten

Die scheinbareHetligkeit eines Planeten hängt in erster Linie van seiner Entfemung van Sonne und Erde ab: m = mo m mo r .1

r.L!)2 + 5·!oglO (AE

scheinbare Helligkeit scheinbare Helligkeit bei r = .1 = 1 AE Entfemung Sonne-PJanet Entfernung Erde-Planel

Die Einheitshelligkeit mo iSI allerdings noch van einigen anderen Parametern abhängig. Im AlIgemeinen genügt es dabei, die Phase des Planeten zu berücksichtigen, nUT bei Salurn benötigt man noch Angaben über die planetographischen Koordinaten van Sonne und Erde. Merkur ma =-(1."42+3""80 '(-'-) _T.'73.(_,_)2 +T.'OO'(-'-)' 100°

100°

1000

100°

100°

1000

V'"" mO~-"'40+CI"09'f-'j+",39.(_')' -...".(-')' M~ mo = -1~52 + 1'."60·

,

-'-

UJO'

Jupiter mo = -9!"40 +(1."50· 1000

Salilm ma =

-8~88 -

Uranus ma =_7':"19 Ncptun ma = -6?'87 PJlI!a ma =-I?'Q

mo i D

.1>'

2'."60·lsin D I +

1~25·lsill DI2 + 4~40· 1 100' ," I

scheinbare Helligkeil für R = .1 = 1 AE Phasenwinkel planetographische Breile der Erde (nur bei Satum) Positive Differenz der planetographischen Längen van Sonne und Erde (0 ::;: .1>. ::;: 180°). In erster Näherung kann .1.,\ durch den Belrag des Phasenwinkels ersetzt werden.

111

Rechenbeispiele

Zu 6.3.1: Phasenwinkei (a) cosE = + 0.28ll

(b)

E =

73~68

cosu = + 0.4390 i = 42~37

u = 63~ 96

cos i

1

= + 0.7388

=

42~37

Zu 6.3.2: Phase

k

~

0.87

.

Zu 6.3.3: Beieuchtungsdefekt

d=

0~/9

Zu 6.4.1 : Lage der Rotat ionsach se

Bei einer Entfemung von 1.3135 AB benötigt das Licht rund 655 s vam Mars zur Erde. Die Rotationselemente werden entspreche nd für den

Zeitpunkt der Lichtaussendung (6, Dezember 2001 23 h SOm 10""TT) berechne!: T = +705.493166/ 36525 = + 0.01931535 0"0 = 317 ~ 68 - O ~ OO + 0~ 02 = 317 ~ 69 Jo = 52 ~ 89 - O ~ OO + 0~ 01 = 52 ~ 89 Zu 6.4.2: lage des Nullmeridians

= + 705.493166 W = 176~90+247551 ~ 90 = 247728~81 = 48~81

d

+ 0~01

Zu 6.4.3: Positionswinkei der Achse

cos D cosP = +0 .9098 cosDsinP = - 0.1410

cosD = 0.9206 P = - 8':'81 = 351 ':'19

Zu 6.4.4: Pianetographische Koord inaten, Zentralmeridlan

cosDcosK = - 0,2276 cos Dsin K = + 0.8921 sin D = -0.3904

J( = 104':' 31 D = -22':'98

Der Rotationssinn is! positiv (W = 350':'892/ d > 0). Damit falgt:

>'0

= 304.50

.

Setzt man für 0" und J stat! der geozentrischen Marskoordi naten die heliozentrischen Marskoordinaten ein, dann ergibt sich cosD' coSJ(1 = - 0.7959 cosD' sinJ(1 = + 0.4460 sin D' = - 0.4094

K' = 150.73 D' = - 24.16 ),ó = 258':'07

113

114

6

Physische Ephemeriden

Aó und D' sind die planelOgraphische Länge und Sreile des Punkies der Marsoberftäche, der die Sonne im Zenil slehl. Zu 6.5: Schelnbare HeIligkelt

ma m

=

- 0'.nS4 +if.!49

Anhang

A.1 Grundformeln zur Berechnung sphärlscher Dreiecke Gegeben sei ein sphl1risches Dreieck mil den Seitcn a, b. c und den entsprechenden gegenllberliegenden Winkeln 0, f3 und -y. Dann gellen die Bezichungen: Sinussatz

sinn sinb sin e sina - sin {3 = sin ; Seltencoslnussatz

oosc = cosa· cosb + sin a· sin b· COS; Wlnkelcosinussatz COS,,!

= sin a: . sin p · eose - eosa· cos/3

Sinus..coslnussatz

sina-cosfJ = cosb·sinc-sin b·cosc'oosa sina · cosb = cos,B·sin-y+sin,B·oos'Y,cosa a Abb. A.l : Verbindtl JlWl drci Punkie aur cinl:r KugeloberH:lche

•

durch GroBl:rcise. so crh!lh man CiD sph:lriscbes Dreicek. Es wird bescluicben durch die Winkel (1, b und c. untef denen die Ecl::punl::te vom Kugclmittelpunkt aus erschei·

ncn (kurz "Seitcn~) und die Win· kei Q, fJ und "I unler denen skll die Gro6krcisc in den Eclr.punklcn

sclmeidcn.

116

Anhang

A.2 Aufstellung von Transformationsformeln ûber Orehmatrlzen

Die irn ersten Kapitel vorgestellten Transformationsformel n zwischen den verschiedenen Koordinatensysternen können auBer über sphlirische Dreiecke auch über Drehungen der Koordinatenachsen abgeleitet werden . Dieses Verfahren ist irn Aligerneinen durchsichtiger und liefert sofort alle drei Gleichungen, die fUr eineeindeutige Transformation benötigt werden. Im Aligemeinen genügt es, Drehungen zu betrachten, bei denen ei ne Koordinatenachse erhalten bleibt.

"

,

Abb. A .2:

x(x"')

Drehung eines Koordinalensy-

slems urn die a;-Achse

Gegeben seien zwei Koordinatensysterne mit gerneinsamen Ursprung und gemeinsamer x(x')-Achse. Die y'-Achse gehe aus der yAchse durch eine Drehung urn den Winkel I{) urn die x(x')-Achse hervar. Der Drehsinn entspricht wie in der Abbildung angegeben dern einer Rechtsschraube in x-Richtung. Betrachtet man nur die y-z-Ebene. dann ergeben sich fUr die Punkte (1, 0) und (0, 1) im y'-z'-System die Koordinaten y-z-Systern: y'_z'-Systern:

W

(n (+