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1. Zeichnen eines s- yl 2-Koordinatensystems. 2. Eintragen des Bildpunktes P^ (^xlo,5-;^xy) in das Koordinatensystem. Die Dehnung s^ und die Schiebung y^y kennzeichnen die VerformungsgroBen mit der x-Richtung als Bezug. In Analogic zum Mohr'schen Spannungskreis (Kapitel 3.3.4.1) wird bei der Konstruktion des Mohr'schen Verformungskreises die folgende Vorzeichenregelung eingefthrt (siehe auch Bild 4.3): Eiiie Schiebung ist pgsitiv (nqgativ) asztiset^eii, f»ll$ sieh iter w$^iiiigll€h rechte Wiakel de$ betrachl^^ Wmketelementes vergrMert (vertdeiaert). Die Schiebung y^y in Bild 4.9a ist dementsprechend bei der Konstruktion des Mohr'schen Verformungskreises negativ anzusetzen, da sich der ursprCinglich rechte Winkel verkleinert {a< TTI 2). 3. Eintragen des Bildpunktes Py (6^|0,57'yx) in das Koordinatensystem. Die Dehnung Sy und die Schiebung yy^ kennzeichnen die VerformungsgroBen mit der y-Richtung als Bezug. Die Schiebung yy^ ist positiv anzusetzen, da der urspriinglich rechte Winkel vergroBert wird(6r'>;r/2). 4. Die X- und y-Richtung stehen senkrecht zueinander (siehe Lageplan). Da die Bildpunkte zweier senkrechter Richtungen auf einem Kreisdurchmesser liegen, schneidet die Stre-
a'-7c/2>0 Bild 4.9 Konstruktion und Anwendung des Mohr'schen Verformungskreises
eke P^Py die £^Achse im Kreismittelpunkt M 5. Kreis um Mdurch die Bildpunkte P^ oder Py ist der gesuchte Mohr'sche Verformungskreis. Zur Ermittlung der VerformungsgroBen s^ und y^ in beliebiger Richtung cp ubertragt man, ausgehend von einer bekannten Bezugsrichtung (z. B. x-Richtung), den doppelten Richtungswinkel {Icp) in den Mohr'schen Verformungskreis (Bild 4.9b). Der Drehsinn muss dabei dem Lageplan entsprechen. Die Koordinaten des Bildpunktes P^ {c^ I ^^ / 2) kennzeichnen die VerformungsgroBen in ^Richtung (Bild 4.9c).
97
4.3 Mohr'scher Verformungskreis
4.3.2 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen Aus dem Mohr'schen Verformungskreis (z. B. Bild 4.9b) ist ersichtlich, dass eine maximale Dehnung s^i und eine minimale Dehnung Sm existiert (Bildpunkte Pi und P2 in Bild 4.9b). Diese beiden extremalen Dehnungen werden als Hauptdehnungen bezeichnet. Die Richtungen zu den Hauptdehnungen (Winkel (p\ und ^ ) nennt man dementsprechend Hauptdehnungsrichtungen. In Richtung der Hauptdehnungen treten keine Schiebungen (Winkelverzerrungen) auf. Die Hauptdehnungen Su\ und Sni ergeben sich rechnerisch zu (vgl. Bild 4.9b): \2
V
Sx
^v
'xy
s^ +«•„
Sv
Sxi
^xy
X
% i -
^H2=-
(4.28)
(4.29)
Die Winkel (pi und ^ zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen (sm und 6H2) lassen sich auch rechnerisch ermitteln. Man erhalt die Richtungswinkel (pi bzw.
OX)
3
c
a O
OH
C3
CI
T3 bX)
a
3
+
« C3 o ^ ^ O > S (1)
99
4.4 Praktische Anwendung der Mohr'schen Verformungskreises
4.4 Praktische Anwendung des Mohr'schen Verformungskreises Fiir Festigkeitsnachweise ist die Kenntnis des Spannungszustandes an den hochst beanspruchten Stellen eines Bauteils von Interesse. Aufgrund einer kompHzierten Bauteilgeometrie sowie einer mitunter komplexen Beanspruchung durch auBere Krafte oder Momente, konnen die Lastspannungen und damit der Spannungszustand haufig nur mit einem sehr hohen Berechnungsaufwand ermittelt werden. Zur Losung des Problems werden im Rahmen einer experimentellen Spannungsanalyse an der hochst beanspruchten Stelle der Bauteiloberflache Dehnungsmessstreifen (DMS) appliziert, um den Verformungszustand zu ermitteln. Bei bekanntem Verformungszustand kann dann der Spannungszustand ermittelt und ein Festigkeitsnachweis gefiihrt werden (Bild 4.10). Entsprechend den Ausfuhrungen in Kapitel 3 ist der Verformungszustand an einer bestimmten Stelle der Werkstiickoberflache eindeutig gekennzeichnet, falls die VerformungsgroBen (s^ und y^y sowie Sy und /yx) in zwei zueinander senkrechten Bezugsrichtungen bekannt sind (Kapitel 4.3.1). Da Dehnungsmessstreifen allerdings nur Langenanderungen (Dehnungen) nicht jedoch Winkelanderungen (Schiebungen) erfassen konnen, konnen die VerformungsgroBen /^y bzw. /y^ experimentell nicht ermittelt werden. Die Bestimmung des Verformungszustandes ist dennoch moglich, falls die Dehnungen sowie die zugehorigen Richtungswinkel in drei unterschiedlichen Messrichtungen bekannt sind.
hochst beanspruchte Stelle des Bauteils
Dehnungsmessstreifen gemessen:
Spannungen Hooke'sches Gesetz
Bild 4.10 Prinzip der experimentellen Spannungsanalyse mit Hilfe von Dehnungsmessstreifen (schematisch)
Die Vorgehensweise zur graphischen und rechnerischen Ermittlung des Mohr'schen Verformungskreises soil, ausgehend von drei experimentell ermittelten Dehnungen, nachfolgend erlautert werden. ZweckmaBigerweise wird dabei unterschieden, ob die Dehnungsmessstreifen einen Winkel von jeweils 45° (0°-45°-90° DMS-Rosette) oder aber beliebige Winkel zueinander einschlieBen (allgemeiner Fall).
4.4.1 Auswertung dreier beliebig orientierter Dehnungsmessstreifen An der Oberflache eines Bauteils seien die Dehnungen in drei unterschiedliche Richtungen (6A, SB und £c) gegeben. Die Messrichtungen schlieBen zur x-Richtung die Winkel a, J3 und / ein (Bild 4.1 la). Die Auswertung soil graphisch und rechnerisch erfolgen. Graphisches Auswerteverfahren Zur graphischen Bestimmung der Lage des Mohr'schen Verformungskreises aus den drei bekannten Dehnungen sowie der relativen Lage der Messrichtungen zueinander, zeichnet man zunachst die zueinander und zur y I 2-Achse parallelen Geraden (gA, gB und gc) im Abstand £A, ^B und £c von der Ordinate (Bild 4.1 lb).
100
4 Verformungszustand
Auf einer der drei Geraden (z. B. ge) markiert man an einer beliebiger Stelle einen Bezugspunkt P. Ausgehend vom Bezugspunkt P tragt man in der dargestellten Weise die Richtungswinkel (hier: y/p, und y/o) zu den beiden iibrigen Messrichtungen (hier: A- und C-Richtung) ab. Der Drehsinn muss dabei dem Lageplan entsprechen. Die Drehwinkel diirfen auBerdem nicht ver- a) doppelt werden. Die Richtungsgeraden TA und TQ schneiden die Geraden gA und gc in den Punkten PA und Pc- Die Punkte PA und Pc reprasentieren bereits die VerformungsgroBen in A- und C-Richtung. Da die Punkte P, PA und PQ auf dem Mohr'schen Verformungskreis liegen, erhalt man dessen Mittelpunkt M als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Die Lage der sAchse ergibt sich als Senkrechte zur y I 2-Achse durch M und der Mohr'sche Verformungskreis als Kreis um M durch die Punkte PA, PC oder P. Die VerformungsgroBen in B-Richtung werden durch den Bildpunkt PB reprasentiert. Man erhalt ihn als zweiten Schnittpunkt der Geraden ge mit dem Verformungskreis. Die VerformungsgroBen in beliebiger Richtung cp erhalt man, indem man den doppelten Richtungswinkel (p, ausgehend von einer bekannten Messrichtung (hier: A), mit im Vergleich zum Lageplan gleichem Drehsinn abtragt (Bild 4.11a und Bild 4.12). Die Koordinaten s^ und y^l des Punktes P(p kennzeichnen dann die VerformungsgroBen in (pRichtung (Bild 4.12).
b)
Bild 4.11 Konstruktion des Mohr'schen Verformungskreises aus drei behebig orientierten Dehnungsmessstreifen
Zur Priifung der Richtigkeit des Mohr'schen Verformungskreises miissen Betrag und Richtungssinn der Winkel zwischen den Messrichtungen im Lageplan und der (verdoppelten) Winkellage im Verformungskreis iibereinstimmen. Rechnerisches Auswerteverfahren 1st der Verformungszustand {s^^, Sy und y^y) in einem Punkt eines Bauteils bekannt, dann kann mit Hilfe von Gleichung 4.14 die Dehnung in beliebige Bauteilrichtungen (p ermittelt werden. Sind umgekehrt die Richtungswinkel (a, /?, y) und die zugehorigen Dehnungen (^x, ^B, ^C) bekannt, dann erhalt man durch Anwendung von Gleichung 4.14 ein lineares Bild 4.12 Ermittlung der VerformungsgroBen fiir eine behebige Gleichungssystem mit drei Gleichungen fiir die drei Schnittrichtung cp unbekannten GroBen (^^ , Sy und y^y), Bild 4-13:
101
4.4 Praktische Anwendung der Mohr'schen Verformungskreises
(4.32)
Losen des Gleichungssystems liefert die gesuchten VerformungsgroBen (s^, Sy und /xy) und damit den Mohr'schen Verformungskreis. Eine allgemeine Losung soil hier nicht angegeben, sondem stattdessen auf die Aufgaben 4.3 und 4.4 verwiesen werden.
4.4.2 Auswertung einer 0^-45^-90^ DMS-Rosette In der Praxis werden im Rahmen experimenteller Spannungsanalysen haufig handelsiibliche 0°45°-90° DMS-Rosetten verwendet. Ftir diese besonderen Winkel zwischen den Messrichtungen kann der Mohr'sche Verformungskreis auf sehr einfache Weise ermittelt werden. Wie Bild 4.14 zeigt, nutzt man die Tatsache, dass die grau markierten Dreiecke kongruent und rechtwinkelig sind. Damit erhalt man ftir die Lage SM des Mittelpunktes M(Bezeichnungen siehe Bild 4.14):
ill
iMiBii
: 5-71/2 < 0
Bild 4.13 Rechnerische Auswertung dreier beliebig orientierter Dehnungsmessstreifen
(4.33) OMS"-90° DMS-Rosette
und ftir den Radius R durch Anwendung des Satzes von Pythagoras:
ililB^^^^
112.
(4.34) \PA
Ac/2Bei der Konstruktion des Mohr'schen Verformungskreises ist auch hier zu beachten, dass Betrag und Richtungsinn der Winkel zwischen den Messrichtungen im Lageplan und der (verdoppelten) Winkellage im Verformungskreis iibereinstimmen mtissen. Aufgabe 4.2 gibt ein Beispiel fiir die Anwendung des genannten Verfahrens.
kc 11
PCAT"
9y-
1
'
* ^
^p i
CM
ekl
e
•Y(:A/2
BiW 4.14 Anwendung des Mohr'schen Verformungskreises ftir eine 0°-45°90° DMS-Rosette
102
4 Verformungszustand
4.5 Grundlagen der Dehnungsmesstechnik Technische Bauteile unterliegen haufig komplexen und zum Teil unbekannten Beanspruchungen. Sie sind dementsprechend schwierig zu berechnen. Es ist daher zweckmaBig, den Verformungszustand experimentell zu ermitteln und mit Hilfe der gemessenen VerformungsgroBen sowie der elastischen Kennwerte auf den Spannungszustand und damit auf die auBeren Beanspruchungen zu schlieBen (siehe auch Ubungsaufgaben). Zur Ermittlung der VerformungsgroBen (wie z. B. die Dehnung £) stehen unterschiedliche Messverfahren zur Verfugung. Weit verbreitet und in der Anwendung vergleichsweise einfach sind technische Dehnungsmessstreifen (kurz DMS). Ein weite Verbreitung fmden Folien-Dehnungsmessstreifen. Sie bestehen aus einem diinnen Draht, der in der Regel in eine Tragerfolie aus Kunststoff eingebettet ist. Um bei kleiner BaugroBe eine ausreichende EmpfmdHchkeit zu erreichen, ist der Messdraht maanderformig angeordnet und erreicht dadurch eine groBe Leiterlange (Bild 4.15). Als Leiterwerkstoff dient meist Konstantan (60% Cu, 40% Ni) oder eine Cr-Ni-Legierung mit 80% Cr, 20%o Ni. Am Ende der Messdrahte befmden sich elektrische Kontakte zum Anschluss eines Messgerates. Der Dehnungsmessstreifen wird auf die vorbereitete Bauteiloberflache aufgeklebt (Folien-Dehnungsmessstreifen), bei hoheren Betriebstemperaturen auch aufgeschweiBt. Die Langsrichtung des Messgitters entspricht dabei der Messrichtung. Hinsichtlich der unterschiedlichen Messaufgaben (Zug-, Druck-, Biege-, Torsions- oder Schubbeanspruchung) unterscheidet man verschiedene DMS-Formen. Erfahrt die Bauteiloberflache unter dem Dehnungsmessstreifen eine Langenanderung (0,1 jim ... 1 ^m), dann andert sich auch die Lange des Messdrahtes und damit wegen R=p
I
Bild 4.15 Folien-DMS Foto: Fa. HBM, Darmstadt
(4.35)
auch sein elektrischer Widerstand R (p= spezifischer elektrischer Widerstand, / = Drahtlange, A = Querschnittsflache des Drahtes). Die Zuordnung der Widerstandsanderung AR zur Dehnung s erfolgt durch den A:-Faktor (Herstellerangabe). Es gilt: A^ •= R
k'£
(4.36)
Der A:-Faktor eines Dehnungsmessstreifens, seine Empfmdlichkeit also, betragt in der Regel um 2,0. Die Messung der Widerstandsanderung A/? erfolgt mit Hilfe einer Wheatstone'schen Briickenschaltung (Bild 4.16). Aus der Elektrotechnik ist bekannt, dass die Brucke abgeglichen d. h. die Ausgangsspannung Null ist, falls gilt:
Bild 4.16 Wheatstone'sche Bruckenschaltung L^m =^ Messspannung L^s = Speisespannung
103
4.5 Grundlagen der Dehnungsmesstechnik
(4.37) /V9
ivi
Andem sich die Widerstande der Brucke, dann gilt fur die Messspannung [/„ (Bruckenverstimmung): C/n
A/?i
C/Q
Mj
Mj
M4
R^
R-,
R.4
(4.38) ;
Zwischen Messspannung [/„,, Speisespannung Us und den Dehnungen £1 bis £4 an den jeweiligen Messstellen ergibt sicli dann der folgende Zusammenhang (baugleiche Dehnungsmessstreifen vorausgesetzt):
Us
Zusammenhang zwischen Mess- und Speisespannung sowie den Dehnungen bei einer Vollbruckenschaltung
4
(4.39)
Fiir eine Viertelbriicke folgt insbesondere wegen £2 = £3 = £4 = 0. U
k
J/s
4
'
Zusammenhang zwischen Mess- und Speisespannung sowie der Dehnung bei einer Viertelbruckenschaltung
In Abhangigkeit der Anzahl eingesetzter Dehnungsmessstreifen sind die in Tabelle 4.2 zusammengestellten Bezeichnungen fiir die Bruckenschaltungen gebrauchlich. Die VoUbrticke sollte dabei bevorzugt angestrebt werden. Dehnungen eines Bauteils konnen nicht nur durch mechanische Spannungen sondem auch durch Temperaturanderungen hervorgerufen werden. Andert sich die Temperatur wahrend der Messung, dann ist eine eindeutige Zuordnung des Messsignals zur mechanischen Beanspruchung nicht moglich. Dieser Effekt ist beispielsweise bei Langzeitmessungen, oder falls Temperaturanderungen wahrend der Messung auftreten, unerwiinscht. Um den Temperatureinfluss zu kompensieren, wird ein passiver Dehnungsmessstreifen auf einem unbelasteten Vergleichsstuck aus einem dem Bauteil entsprechenden Werkstoff appliziert und entsprechend Bild 4.17 in die Messbrucke geschaltet.
M 4Q\
Tabelle 4.2 Bezeichnung von Bruckenschaltungen Anzahl aktiver DMS
Anzahl Erganzungswiderstande
Bezeichnung derBriickenschaltung
1
3
Viertelbriicke
2
2
Halbbriicke
4
0
VoUbriicke passiver DMS
aktiver DMS
Vergleichsstuck (unbelastet)
Messgerat
Bild 4.17 Versuchsanordnung zur Kompensation von Temperaturanderungen
104
4 Verformungszustand
Aus Gleichung 4.39 folgt mit ^3 = £4 = 0 fur die Messspannung U^v ^ = -M-S2) C/s 4
(4.41)
Fur die Dehnung Sx (aktiver DMS am Bauteil) und £2 (passiver DMS) und gilt: ^1 ~ ^Temp "*• ^Last
(4.42)
^2 ^ ^Temp
Eingesetzt in Gleichung 4.42 folgt: 7 7 ^ " 7 * Wemp + ^Last "
ff
M
Tyx
% = < ^ r x y ^^^
_ ^xy
rxy =
(5.19)
L
X
Hooli^e'sclies Gesetz fiir Schubspannungen fiir den ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand Die Gleichungen 5.17 bis 5.19 besitzen fur praktische Anwendungen eine besonders grofie Bedeutung, da ein zweiachsiger Spannungszustand unter anderem an lastfi-eien Oberflachen vorliegt und insbesondere diese Stellen haufig hochst beansprucht sind (z. B. durch Biege- Oder Torsionsbeanspruchung). Bauteiloberflachen sind auBerdem einer experimentellen Spannungsanalyse (Kapitel 4.4) zuganglich.
C3x
yxy = a-7r/2
Bild 5.6 Formanderung beim ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand
112
5 Elastizitatsgesetze
5.5 Ubungsaufgaben Aufgabe 5 J Eine rechteckige Scheibe aus unlegiertem Baustahl (J^ = 210 000 N/mm^;// = 0,30) mit den Seitenlangen a = 210 mm, b= 125 mm und einer Dicke t = 6 mm wird durch die unbekannten Krafte F^ und Fy statisch belastet (siehe Abbildung). Zwei an der Oberflache der Scheibe applizierte Dehnungsmessstreifen liefem die folgenden Werte:
jFy
y, Y
m
-1---. ._iL._l »i-ex
CM
II -Q
DMSA: £;, = 0,743 %o DMSB: 6^ = 0,124 %o
^
.^Tfe /
0°-90° /
F.
1
DMS-Rosette 1 a = 210
a) Berechnen Sie aus den gemessenen Dehnungen die unbekannten Krafte F^ und Fy. b) Skizzieren Sie den Mohr'schen Spannungskreis fur die x-y-Ebene. Ermitteln Sie auBerdem die Normal- und Schubspannungen in den beiden diagonalen Schnittflachen der Scheibe.
Aufgabe 5.2 Eine Scheibe aus Werkstoff 22NiMoCr3-7 mit einer Dicke von 20 mm wird durch die unbekannten Krafte F^ und Fy statisch beansprucht. Zur Spannungsermittlung wurde eine 0°90° DMS-Rosette appliziert. Die Messrichtung von DMS A schlieBt dabei mit der x-Achse einen Winkel von a = 15° ein (siehe Abbildung). Unter Belastung werden die folgenden Dehnungen gemessen: DMSA: £A= 0,275 %O DMSB: 6B = -0,530 %o Werkstoffkennwerte 15MnNi6-3: R, =400N/mm^ Rm = 580 N/mm^ E = 210000 N/mm^ ju =0,30 a) Skizzieren Sie den Mohr'schen Verformungskreis und berechnen Sie seinen Mittelpunkt (6M) nnd Radius (R). b) Berechnen Sie die unbekannten Krafte F^ und Fy.
113
5.5 Ubungsaufgaben
Attfgabe 53 Ein scheibenformiges Bauteil aus der legierten Einsatzstahlsorte 15MnNi6-3 wird im Betrieb einer statischen Beanspruchung unterworfen. Es herrscht ein ebener Spannungszustand. Werkstoffkennwerte 15MnNi6-3: R, =430N/mm^ Rm = 660 N/mm^ E = 210000 N/mm^ ju =0,30
y, m
i1
^
1
>
l u i f c lliiiliiffl
L2
mg : | f l ^ S f 1 :a • ••f:>'•«;:'''~:"1
Cfx
fxxy
/ 0°-45°-90° DMS-Rosette J
Mit Hilfe einer 0°-45°-90° DMS-Rosette werden bei einer unbekannten Belastung die folgenden Dehnungen gemessen: DMSA: £A= 0,702 %O DMSB: ^B = -0,012 %o DMSC: ^c ^-0,364 %o Errechnen Sie die an der Scheibe angreifenden Spannungen a^, ay sowie r^y.
Attfgabe 5,4 An der Oberflache einer Stahlplatte (E = 210000 N/mm^; ju = 0,30) wurde eine 0°-45°-90° DMS-Rosette appliziert, die mit der x-Richtung einen Winkel von 22° einschlieBt (siehe Abbildung). Unter Belastung wurden die folgenden Dehnungen gemessen: DMSA: £A --0,251 %o DMSB: SB =-0,410 %O DMS C: £c = 0,368 %o
0°-45°-90° DMS-Rosette
a) Ermitteln Sie die Dehnungen s^ und £^ in x- und y-Richtung sowie die Schiebung y^y. b) Berechnen Sie die Hauptdehnungen ^-HI und Sm- Unter welchen Winkeln ^ u n d cpz (zur xRichtung gemessen) wirken die Hauptdehnungen ? c) Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen OHI und OHI in der x-y-Ebene.
114
5 Elastizitatsgesetze
Aufgabe 5.5 Eine Stahlplatte aus Werkstoff S275J0 (Dicke / = 15 mm) wird durch die unbekannten Krafte F^ und Fy belastet (siehe Abbildung). Zur Ermittlung der Krafte wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette in der skizzierten Weise auf der Oberflache appliziert. Werkstoffkennwerte S275J0: R^ = 275N/mm^ Rpo,2 = 520 N/mm^ E = 205000 N/mm^ ju = 0,30 a) Berechnen Sie die unbekannten Krafte F^ und Fy ftir eine Dehnungsanzeige von: DMSA: £A= 0,7551 %o DMSB: £ B = 0 , 7 1 6 0 % O DMS C: ^ = 0,2693 %o b) Berechnen Sie die Dehnungen SA, £B und 6c ftir F^ = Fy = 500 kN. c) Ermitteln Sie die Dickenanderung At der Stahlplatte aufgrund der Beanspruchung gemaB Aufgabenteil b (F^ = Fy = 500 kN).
Aufgabe 5*6 Eine einseitig eingespannte Platte aus der Aluminium-Legierung EN AW-AlCuMgl (Rpo,2 = 250 N/mm^; R^ = 380 N/mm^; F =72000 N/mm^; ju = 0,33) mit der Lange / = 650 mm, der Breite b = 150 mm und der Dicke ^ = 5 mm wird in Langsrichtung durch die Kraft F = 112,5 kN belastet (siehe Abbildung).
r-^-
-^
KN
a) Berechnen Sie die Langenanderung A/ der Platte in x-Richtung. b) Ermitteln Sie die Verlangerung A/* der Platte in x-Richtung ftir den Fall, dass die Langskanten so geftihrt werden, dass die Breite b konstant bleibt.
115
5.5 Ubungsaufgaben
Aiifgabe 5.7 Ein Blechstreifen aus unlegiertem Baustahl (E - 210000 N/mm^; // = 0,30) besitzt eine Dicke von s-2'S mm und eine Breite von Z? = 80 mm (siehe Abbildung). Der Blechstreifen kann sich in xund z-Richtung reibungsfrei verformen, wird aber zwischen zwei starren Flatten so gefuhrt, dass eine Verformung in yRichtung nicht moglich ist.
'A^n^vm'////////////////. Blechstreifan Dickas
z^
^tarre
P\m///////////////A
Berechnen Sie die Spannungen in x- und y-Richtung {a^^ und CTy) sowie die Dehnungen in xund z-Richtung (6^ und s^, falls der Blechstreifen mit einer Zugkraft von F = 420 kN in xRichtung belastet wird.
Anfgabe 5*8 Auf einem polierten Rundstab aus einer Kupfer-Zinn-Legierung mit dem Durchmesser d = 50,00 mm gleitet ein Ring mit dem Innendurchmesser di = 50,015 mm. Der Stab ist durch die axiale Druckkraft F belastet.
Ring polierter Stab
Werkstoffkennwerte der Kupfer-Zinn-Legierung: R, = 250 N/mm^ Rm = 450 N/mm^ E =116000 N/mm^ ju =0,35 Berechnen Sie die Druckkraft F die gerade zu einer Blockierung der Gleitbewegung des Ringes ftihrt.
116
6 Festigkeitshypothesen Bauteile, die einer einachsigen Zugbeanspruchung unterliegen, versagen unter statischer Beanspruchung, falls die wirkende Spannung im Bauteil die Streck- bzw. Dehngrenze (FlieBen) Oder die Zugfestigkeit (Bruch) erreicht (Kapitel 2.1). Reale Bauteile unterliegen bei Betriebsbeanspruchung meist einem mehrachsigen Spannungszustand (z. B. Biegung mit iiberlagerter Torsion oder mehrachsige Zug- bzw. Druckbeanspruchung). Es stellt sich dabei die Frage, welche der Beanspruchungen bzw. in welcher Kombination die wirkenden Beanspruchungen zu einem Versagen des Bauteils flihren. Eine Versuchsanordnung die es erlaubt, diese Frage allgemein zu beantworten gibt es nicht. Zur Losung des Problems wurden verschiedene Festigkeitshypothesen entwickelt. Eine Festigkeitshypothese ist eine Ubertragungsfunktion (Berechnungsvorschrift), mit deren Hilfe ein mehrachsiger Spannungszustand in einen aquivalenten einachsigen Spannungszustand (ov) iiberfuhrt werden kann (Bild 6.1). Die mit Hilfe einer Festigkeitshypothese berechnete fiktiv einachsige Spannung Oy kann dann, analog zum Zugstab, mit den im einachsigen Zugversuch ermittelten Werkstoffkennwerten {R^ bzw. i?po,2 und i?m) verglichen werden (Bild 6.1). Man nennt sie dementsprechend Vergleichsspannung
Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung ov ist eine Rechengrofie die es erlaubt, auf Basis von Festigkeitshypothesen, mehrachsige Spannungszustande auf eine werkstoffmechanisch aquivalente, einachsige Normalspannung umzurechnen. Ftir Festigkeitsnachweise kann die Vergleichsspannung dann wie eine einachsige Zug- oder Druckspannung behandelt werden. Die Vergleichsspannung reprasentiert also den Gesamtspannungszustand und erlaubt daher einen unmittelbaren Vergleich mit den einachsig ermittelten Kennwerten des Zugversuchs.
(OV).
Spannungszustand
einachsiger Spannungszustand
Bild 6.1 Festigkeitsnachweis mehrachsig beanspruchter Bauteile mit Hilfe einer Festigkeitshypothese
6 Festigkeitshypothesen
117
Damit kein Versagen des Bauteils eintritt, muss gelten: ay < (J^ul
mit
Festigkeitsbedingung mehrachsig beanspruchter Bauteile
(T^ui = —^ Oder ^ ' Op
bzw. cr^ui = —^
(6.1)
(FlieBen)
op
(Bruch).
Zur Ermittlung der Vergleichsspannung av geht man zweckmaBgierweise wie folgt vor (siehe auch Ubungsaufgaben in Kapitel 6.5): 1. Berechnung der Lastspannungen (a^, Oy, a^, r^y, T^^ und ryz) im x-y-z-Koordinatensystem aus der auBeren Belastung (z. B. Zugkraft F, Biegemoment Mb, Torsionsmoment Mt oder Innendruck/>i). 2. Berechnung der Hauptnormalspannungen (OHI, crm und C7H3 ) aus den Lastspannungen (CTX, CTy, (Tz, Txy, Txz und z"yz) beispielsweise mit Hilfe des Mohr'schen Spannungskreises. 3. Ordnen der Hauptnormalspannungen nach ihrer algebraischen GroBe, wobei defmitionsgemaB gelten soil (siehe auch Gleichung 3.78): o-i := maxfo-Hb ^m, oks}
(6.2)
03 := min{crHb oki, 0^3}
(6.3)
tTs < 0*2 < CTi
(6.4)
4. Berechnung der Vergleichsspannung av aus den geordneten Hauptnormalspannungen CTI, 02 und 03 mit Hilfe einer geeigneten Festigkeitshypothese (s. u). Mitunter kann die Vergleichsspannung unter Benutzung der entsprechenden Formeln auch direkt aus den Lastspannungen (a^, CTy, (Tz, Txy, Txz und Tyz) ermittelt werden (Kapitel 6.2 bis 6.4). Die Anwendung von Festigkeitshypothesen setzt die Beriicksichtigung des Werkstoffverhaltens voraus. Dementsprechend werden verschiedene Festigkeitshypothesen unterschieden. Fiir praktische Anwendungen wird in der Regel zwischen sproden Werkstoffen bzw. sprodem Werkstoffverhalten und duktilen Werkstoffen unterschieden. Die fiir praktische Berechnungen wichtigsten Festigkeitshypothesen sind: • Normalspannungshypothese (NH) • Schubspannungshypothese (SH) • Gestaltanderungsenergiehypothese (GEH) Neben den drei genannten Festigkeitshypothesen wurden noch eine Reihe weiterer Hypothesen entwickelt, die jedoch fiir praktische Berechnungen, insbesondere im Bereich des Maschinenbaus, kaum Anwendung fmden und daher nicht besprochen werden soUen.
118
6 Festigkeitshypothesen
6.1 Normalspannungshypothese (NH) Die Anwendung der Normalspannungshypothese (NH), die bereits 1861 von William John Macquorn Rankine (schottischer Ingenieur und Physiker 1820 ... 1872) formuliert wurde und damit die alteste Festigkeitshypothese darstellt, setzt einen sproden Werkstoff (z. B. Grauguss oder keramische Werkstoffe) bzw. sprodes WerkstoffVerhalten (z. B. martensitisch geharteter Stahl) voraus. Zumindest muss jedoch ein eingeschranktes Verformungsvermogen des Werkstoffs vorliegen. Nach der Normalspannungshypothese tritt bei statischer Beanspruchung ein verformungsloser (sproder) Trennbruch ein, sobald die groBte Normalspannung {(j\) die Trennfestigkeit OT, des Werkstoffs erreicht. Die Vergleichsspannung nach der Normalspannungshypothese lautet also (in Hauptnormalspannungen ausgedriickt): (Jy jsjH ^ ^1
Vergleichsspannung nach der NH in Hauptnormalspannungen
(6.5)
Fiir ideal sprode Werkstoffe entspricht die Trennfestigkeit der Zugfestigkeit (OT = i?m)- Die Festigkeitsbedingung nach der Normalspannungshypothese lautet demnach: ^VNH ~ "7r~
(6.6)
Festigkeitsbedingung nach der NH
Fiir die Anwendung der Normalspannungshypothese benotigt man die grofite Normalspannung cTi, die jedoch in der Kegel nicht gegeben ist. Sie muss vor der Anwendung der NH aus den gegebenen Lastspannungen errechnet werden.
6.1.1 Normalspannungshypothese in Lastspannungen fiir den zweiachsigen Spannungszustand Fiir den technisch wichtigen Sonderfall der zweiachsigen Beanspruchung kann die Vergleichsspannung auch direkt in Lastspannungen ((TX, oy und r^y) ausgedriickt werden. Aus dem Mohr'schen Spannungskreis (Bild 6.2) folgt fiir die Hauptnormalspannung (j\ und damit fiir die Vergleichsspannung nach der Normalspannungshypothese (avNH= CTl)*
^mm
0 (siehe auch Kapitel 6.1.3).
~Txy "
Bild 6.2 Herleitung von Gleichung 6.7
6.1 Normalspannungshypothese
119
6.1.2 Normalspannungshypothese bei Zug- oder Biegebeanspruchung mit iiberlagerter Torsion Fur den bedeutsamen Fall einer Zug- bzw. Biegebeanspruchung mit uberlagerter Torsionsoder Abscherbeanspruchung folgt mit a^ = Ob, Rm), sondem es andert sich auch der Versagensmechanismus (Kapitel 2.2.2.2). Unter Druckbeanspruchung tritt bei sproden Werkstoffen ein xxxvs BruchschubspannungsvvvXI Versagen durch Abscherung ein, zunehmende sobald die maximale SchubspanZugspannung nung einen kritischen Wert, die Bruchschubspannung TB, tiberschreitet. Man beobachtet dann einen Scherbruch bzw. Schiebungsbruch (Kapitel 2.2.2.2). Trennfestigkeit Zwischen der Bruchschubspannung TB und der beim Versagen einachsiger einachsiger wirkenden Normalspannung, al- Druckversuch I Zugversuch so die im einachsigen Druckversuch messbare DruckfestigBild 6.3 WerkstoffVersagen unter einachsiger Zug- bzw. Druckkeit (Ode), besteht der Zusambeanspruchung (Zug- bzw. Druckversuch). menhang oae = 2-TB (Bild 6.3). Bei zweiachsigem Spannungszustand ergibt sich dementsprechend im (THi-OH2-Hauptspannungsdiagramm die in Bild 6.4 dargestellte Grenzkurve fiir das Werkstoffversagen. Sind beide Komponenten Zugbeanspruchungen, dann ist mit einem sproden Trennbruch zu rechnen, sobald eine der beiden Hauptnormalspannungen die Zugfestigkeit (Rm) des Werkstoffs erreicht. Sind hingegen beide Komponenten Druckspannungen, dann ist entsprechend der Schubspannungshypothese (Kapitel 6.2) mit einem Scherbruch zu rechnen, sobald die grofite Hauptnormalspannungsdifferenz die Druckfestigkeit (ode) erreicht.
120
6 Festigkeitshypothesen
Wird das Bauteil durch Zug- und Druck beansprucht, dann kann die Grenzkurve fiir Werkstoffversagen als Gerade zwischen der Druckfestigkeit (adB) und der Zugfestigkeit (Rm) angenommen werden. Hauptnormalspannungen die sich innerhalb des grau markierten Feldes in Bild 6.4 befinden, ftihren nicht zu einem Versagen. Versagenskriterium:
ai=C5Hi
Versagenskriterium: Oj =Rfn —•C3Hl = Rm
ai=GH3 = 0 (^=OH2
Versagenskriterium -^aHi=-adB
Oi=C5H3 = ^
^x+; + cos y = cosx cosx _ cos(x - ;;) cosx
(8.13)
Damit lasst sich Gleichung 8.12 (Biegelinie) wie folgt umformen: rj-l
cos w(x) = e'
cos 1'
TJ ' X
_M
= e-
COS
V
cos
(I— V2
^
X
/; -1
(8.14)
n±
Aus Symmetriegrunden erhalt man die maximale Durchbiegung w(x) in der Stabmitte, also fur X = / / 2. Damit folgt aus Gleichung 8.14: cosi(;7 0)
/
x=-
COS -^—
I 2
(8.15)
-e-cos -—
I 2,
Mit einem Versagen des Stabes durch ein seitliches Ausknicken ist dann zu rechnen, sobald >^max „unendlich" w^ird. Dies ist der Fall, sobald gilt: cos
Hi
=0
(8.16)
V2 y
und damit: rjl
_ TT
T " 2" Die Falle « • 7i/2 mit « = 3, 5, usv^. miissen nicht betrachtet v^erden, da nur die kleinste, zum Ausknicken fuhrende Kraft (Knickkraft) ermittelt w^erden soil. Mit 7]--
(Gleichung 8.6) erhalt man damit letztlich diejenige Kraft F = FK die w^
Eh
„unendlich" v^erden lasst, d. h. eine Knickung des Stabes verursacht:
157
8.1 Knickkraft (Euler'sche Knickfalle)
Knickkraft eines beidseitig gelenkig gelagerten und auOermittig beanspruchten Stabes
(8 17)
Man nennt FK nach ihrem Entdecker LeonhardEuler (1707 ... 1783) auch Euler'sche Knickkraft. Lost man Gleichung 8.17 nach E • /y auf und setzt das Ergebnis in Gleichung 8.6 ein, dann erhalt man: 7V_
^=.
F
(8.18)
^E'L^
und damit: rjl _ n
(8.19) IFK
Setzt man Gleichung 8.19 in Gleichung 8.15 ein, dann erhalt man fur die maximale Durchbiegung Wmax:
COS
Maximale Durchbiegung eines an beiden Enden gelenkig gelagerten und auBermittig beanspruchten Stabes
(8.20)
Tragt man die maximale Durchbiegung Wmax ill Abhangigkeit der bezogenen Kraft F/FK fur verschiedene Werte der Exzentrizitat e auf, dann erkennt man, dass mit abnehmender Exzentrizitat der Ubergang zu groBeren Durchbiegungen abrupter erfolgt (Bild 8.2). Im Grenzfall e - 0 beobachtet man mit Erreichen der Knickkraft (F = FK) einen sofortigen, unstetigen Anstieg der Durchbiegung d. h. es sind beliebige Durchbiegungen moglich.
0,4 F/FK
0,6
0,8
1,0
—
Bild 8.2 Maximale Durchbiegung w^ax in Abhangigkeit der bezogenen Dmckkraft fur unterschiedliche Exzentrizitaten e
158
8Knickung von Staben
8.1.2 Knickung bei mittigem Kraftangriff Die Herleitung der Knickkraft FK erfolgte im vorangegangenen Kapitel fur einen auBermittig beanspruchten und beidseitig gelenkig gelagerten Stab (Exzentrizitat e ^ 0). Es ist zu priifen, ob und in welcher Weise sich die Euler'sche Knickkraft (Gleichung 8.17) bei mittigem Kraftangriff (e = 0) andert. Die allgemeine Losung der Differentialgleichung (Gleichung 8.9) lautet fiir e = 0: w{x) = Q • sin(;7 • x) + C2 • cos(;7 • x)
(8.21)
mit den Randbedingungen w(x = 0) = 0 w(x = l) = 0 erhalt man: C2=0
(8.22)
0 = Q j5in(7-/) + C2 •cos(7 • /) 0 = C i Jim{t] • I)
(8.23)
und
Die Bedingung 8.23 kann nui* erflillt werden, fallsgilt": Tj'l = 7r
iJi;
•l = K
F=
7 2 — = ^K
(8.24)
Eine Losung der Differentialgleichung (Gleichung 8.21) kann physikalisch als Beginn des Ausknickens des Stabes gedeutet werden. Dies geschieht mit Erreichen der Kraft FK (Euler'sche Knickkraft). Ein mittig beanspruchter und an seinen beiden Enden gelenkig gelagerter Stab beginnt nach obiger Berechnung also dann auszuknicken, sobald die Druckkraft F die Euler'sche Knickkraft FK erreicht: |H||Hiiii llllill Knickkraft eines beidseitig gelenkig gelagerten und '^^^^ mittig beanspruchten Stabes
r8 25)
Im Falle eines auBermittigen Kraftangriffs {e ^ 0) war der Zusammenhang zwischen Kraft F und Durchbiegung w eindeutig. Das Gleichgewicht war also stabil. Erreichte die Druckkraft F die (Euler'sche) Knickkraft FK, dann wurde w^ax „unendlich". Bei mittigem Kraftangriff {e = 0) ist mit Erreichen von FK das Gleichgewicht indifferent, d. h. jede beliebige Durchbiegung ist moglich. Unabhangig davon, ob ein mittiger oder ein auBermittiger Kraftangriff erfolgt, kennzeichnet die Euler'sche Knickkraft gemaB Gleichung 8.25 diejenige Belastung, bei der ein beidseitig gelenkig gelagerter Stab durch Knickung versagt. '^ Die Losung Ci = 0 wiirde die hier nicht interessierende Gleichgewichtslage des geraden Stabes beschreiben. Die Falle rj • l = n • mit« = 2, 3, usw. miissen nicht betrachtet werden, da nur diejenige Kraft ermittelt werden soil, die zum Ausknicken fiihrt.
159
8.1 Knickkraft (Euler'sche Knickfalle)
Zur Herleitung der Knickkraft FK wurde vorausgesetzt, dass der Druckstab nur in der Ebene senkrecht zur y-Achse des Stabquerschnittes, der Zeichenebene also, ausknicken kann. Bei einem raumlich (z. B. in einer Kugelpfanne) gelagerten Stab kann ein Ausknicken jedoch in jeder die x-Achse beinhaltenden Ebene erfolgen. Falls nicht durch konstruktive MaBnahmen die Biegeebene vorgegeben ist bzw. erzwungen wird, erhalt man die kleinste Knickkraft fiir das Ausknicken senkrecht zur Querschnittsachse mit dem kleinsten axialen Flachenmoment 2. Ordnung(/ = /min). Die Herleitung der Euler'schen Knickkraft (Gleichung 8.25) setzte einen an beiden Enden gelenkig gelagerten Druckstab voraus. Bei veranderten Randbedingungen kann man in analoger Weise ebenfalls Differentialgleichungen aufstellen und die zugehorigen Knickkrafte FK berechnen [9]. Man unterscheidet in der Kegel die vier in Bild 8.3 dargestellten Knickfalle (Einspannbedingungen), die nach Leonhard Euler auch als Euler'sche Knickfalle bezeichnet werden. Knickfall 1
-V///////////A Tl^EI 4
^-^•^
/2
FK =
2 K ^ - ^
FK = 47r2
EI
Bild 8.3 Euler'sche Knickfalle Fall 1: Der Stab ist an einem Ende fest eingespannt. Er kann dort weder zur Seite hin ausweichen noch kann er sich schrag stellen. Die Einspanntangente bleibt vertikal. Das andere Ende des Stabes ist hingegen fi-ei beweglich d. h. ohne auBere Fiihrung oder Einspannung. Die Knickkraft FK berechnet sich unter diesen Bedingungen zu: ...Jill tmmmmM
illll
Knickkraft eines an einem Ende fest eingespannten, am anderen Ende frei beweglichen Stabes
(8.26)
Fall 2: Der Stab ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Er kann dort nicht zur Seite hin ausweichen, wohl aber konnen sich die Stabenden schrag stellen, die Einspanntangente bleibt nicht vertikal. Die Knickkraft berechnet sich in diesem Fall (wie bereits bekannt) zu: Knickkraft eines an beiden Enden gelenkig gelagerten Stabes
(8.27)
160
8 Knickung von Staben
Fall 3: Der Stab ist an einem Ende fest eingespannt und an seinem anderen Ende gelenkig gelagert. Die Knickkraft errechnet sich unter diesen Einspannbedingungen zu: iiiiiiiiSipiii^ii
iPPiiPIBIlBll "^^i^^^^^
i^icl AQ) mit steigender Druckbeanspruchung durch elastische Knickung versagen, werden kurze, dicke Stabe (A < As) mit Uberschreiten der Quetsch- bzw. Stauchgrenze (Odp bzw^. adoa^ siehe Kapitel 2.2.2.1) plastisch verformt (zusammengedriickt) ohne zu knicken. Fiir mittellange Stabe, mit Schlankheitsgraden nur wenig unter AQ(AS< A< AQ) kommt es hingegen zur plastischen Knickung. Experimentelle Untersuchungen ergeben fur diesen Bereich eine Ubergangskurve, die naherungsweise unter anderem durch die Tetmajer-Gleichung {Ludwig von Tetmajer, 1850 ... 1905) beschrieben werden kann. Die empirisch ermittelte Tetmajer-Gleichung schneidet fiir duktile Werkstoffe die Euler-Kurve in /i = AQ und (j= Odp und kann wie folgt beschrieben werden: 2
^K ~ci-b'A^C'A
Tetmajer-Gleichung
Tabelle 8.2 Koeffizienten der Tetmajer-Gleichung Werkstoff
a
\
h
\
c
Gilltigkeit 1
N/mm^ 12
0,053
EN-GJL-200
776
S235JR
310
1,14 0
60 < A. < 104
335
0,62 0
0 < A. < 88
|E335
0 < ^i < 80
(8.46)
165
8.6 Biegeknickung
8.6 Biegeknickung Die bisherigen Betrachtungen sind davon ausgegangen, dass die auf Druck beanspruchten Stabe keine Biegung erfahren, die Exzentrizitat e also Null ist. Durch Fertigungs- oder Montageungenauigkeiten ist in der Praxis jedoch stets mit einer gewissen Exzentrizitat e der Druckkraft zu rechnen. Dann iiberiagert sich der Druckspannung G^^ FI A noch ein Biegeanteil Ob = M^^^^l W\). Die Gesamtspannung cTges ergibt sich dann zu: ges
_F_
ges
M,b max
~ A w^ F F-{ >^max+g) —+ ^ W^
(8.47)
Mit Gleichung (8.15) folgt: F-e
_F_
(8.48)
W^ • cos| V2 und mit Gleichung 8.6 schlieBlich: ^ges=-7 + '
Fe
W^ •cos
(8.49) EI
Gleichung 8.49 gilt zunachst fur den beidseitig gelenkig gelagerten Stab (Knickfall 2). Ersetzt man jedoch die Stablange / durch die Knicklange /K, dann kann die Beziehung unter Beriicksichtigung der Gleichungen 8.35 bis 8.38 flir alle Knickfalle angewandt werden. (8.50)
Gleichung 8.50 zeigt, dass bei Druckstaben mit auflermittigem Kraftangriff (Wirkungslinie der Druckkraft fallt nicht mit dem Flachenschwerpunkt des Stabquerschnitts zusammen) zusatzlich zur Druckspannung noch ein nicht unerheblicher Biegeanteil zu beriicksichtigen ist. Bei groBerer Exzentrizitat e kann daher die Spannung cxges bereits lange vor einer Knickung, unzulassig hohe Werte erreichen. Da bei Druckstaben die Exzentrizitat e nur schwer abzuschatzen ist, wird in der Praxis daher meist mit hohen Sicherheitsbeiwerten gegen Knickung gerechnet (Tabelle 8.1).
166
8 Knickung von Staben
8.7 Ubungsaufgaben Aiifgabe 8«1 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Profilstab aus dem Vergiitungsstahl C22 mit einer Lange von / = 2 m und einer quadratischen Querschnittsflache (a = 50 mm) w^ird durch die im Flachenschv^erpunkt angreifende, statisch w^irkende Druckkraft F^ = 50 kN mittig beansprucht. Werkstoffkennv^erte C22 (vergiitet): Rpo,2 = 320 N/mm^ Rm = 460N/mm^ E = 210000 N/mm^ M = 0,30 Berechnen Sie die Knickkraft FK sow^ie die Sicherheit gegen Knickung (Sy^) und gegen Fliefien (5F).
Aiifgabe 8 J Ein Profilstab aus der unlegierten Baustahlsorte S275JR mit einer Lange von / = 1200 mm und der dargestellten Querschnittsflache, wird durch eine im Flachenschw^erpunkt S angreifende Druckkraft Fd statisch beansprucht. Der Profilstab ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Werkstofflcennv^erte S275JR: i?e = 255 N/mm^ i?in = 510N/mm^ E = 210000 N/mm^ // =0,30
A-A 10
r
777////A
ZZ2Z
I TTZA
n
40 50
a) Berechnen Sie flir den dargestellten Querschnitt die axialen Flachenmomente 2. Ordnung beziiglich der y-Achse (/y) sovv^ie beztiglich der z-Achse {Q. b) Ermitteln Sie die zulassige Druckbelastung F^ des Profilstabes (i^K = 4 und ^F = 1,5). c) Berechnen Sie die Verkiirzung A/ des Profilstabes unmittelbar vor dem Versagen.
167
8.7 Ubungsaufgaben
Aufgabe 83 Die Abbildung zeigt eine einfache hydraulische Hebevorrichtung bestehend aus Tragarm (7), einer beidseitig gelenkig gelagerten Kolbenstange (K) und einem HydraulikzyUnder (Z). Durch Veranderung des Drucks im Zylinder kann die Masse m am Ende des Tragarms angehoben oder abgesenkt werden. Das Eigengewicht von Tragarm und Kolbenstange darf vernachlassigt werden.
2500
Werkstoffkennwerte: Werkstoffkennwerte
Tragarm (S235JR)
Kolbenstange (C35E)
Zylinder (EN-GJL-350)
R,
[N/mm^]
235
355
._-
Rr^
[N/mm^]
360
470
350
E
[N/mm^]
210000
210000
115000
0,30
0,30
0,26
\M
[-]
a) Berechnen Sie die Druckkraft F^ auf die Kolbenstange, falls die an den Tragarm angehangte Masse m = 1000 kg betragt. b) Ermitteln Sie die Sicherheiten gegen FlieBen (Sp) und Knickung (SK) fur die beidseitig gelenkig gelagerte Kolbenstange (K). Sind die Sicherheiten ausreichend ? c) Berechnen Sie fiir die hochst beanspruchte Stelle des Tragarms (7) das Biegemoment M) max- Berechnen Sie auBerdem das MaB a des I-Profils des Tragarms, so dass die Sicherheit gegen FlieBen an der hochst beanspruchten Stelle ^Sp = 1,5 betragt.
168
8 Knickung von Staben
Attfgabe 8.4 2000
Der dargestellte Wandkran ist an seinem linken Ende gelenkig gelagert. An seinem freien, rechten Ende greift eine statisch wirkende Kraft F = 800 kN an. Der Kranausleger wird durch einen Stiitzstab aus unlegiertem Baustahl (S235JR) abgestiitzt und kann als beidseitig gelenkig gelagert angesehen werden. Werkstoffkennwerte S235JR: R, =235N/mm^ Rrn = 440 N/mm^ E = 210000 N/mm^ ju =0,30 a) Berechnen Sie die Druckkraft F^, die auf den Stiitzstab wirkt.
b) Bestimmen Sie fur die Querschnittsflache des Stiitzstabes das axiale Flachenmoment 2. Ordnung bezuglich der y-Achse (/y). c) Ermitteln Sie fiir den Stiitzstab die Sicherheiten gegen FlieBen und gegen Knickung. Sind die Sicherheiten ausreichend ? Aiifgabe 8*5 Eine Stahlstiitze aus der unlegierten Baustahlsorte S235JR mit kreisfbrmigem Querschnitt (di = 50 mm; ^ = 5 mm) und einer Lange von / = 2500 mm wird durch die statisch wirkende, mittig angreifende Druckkraft F beanspmcht. Die Stahlstiitze kann an ihrem unteren Ende als fest eingespannt, an ihrem oberen Ende hingegen als frei beweglich betrachtet werden. Am oberen Ende der Stiitze wurde auBerdem eine Druckplatte montiert, die mittels eines Bolzens mit der Stiitze verbunden ist. Der Bolzen aus dem unlegierten Vergiitungsstahl C45E besitzt einen VoUkreisquerschnitt. Werkstoffkennwerte: S235JR: Re = 235 N/mm' ^m ~ 380 N/mm^ A = 26% E = 210000 N/mm^ C45E:
310N/mm^ 620 N/mm^ = 490 N/mm^ = 16%
^p0,2 = ^m ^aB
A
~
Druckplatte Bolzen
StaWstiJtze
8.7 Ubungsaufgaben
169
a) Berechnen Sie die zulassige Druckkraft Fd, damit FlieBen der Stahlstiitze mit einer Sicherheit von Sp = 1,5 ausgeschlossen werden kann. b) Ermitteln Sie die Druckkraft Fa*, die zu einer Knickung der Stahlstiitze fuhrt. c) Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d des Bolzens, damit bei einer Belastung von F = 25 kN ein Abscheren mit einer Sicherheit von *SB = 2,0 ausgeschlossen werden kann.
Ein Wendelbohrer aus Schnellarbeitsstahl HS 6-5-2 (F = 208000 N/mm^) und dem in der Abbildung dargestellten idealisierten Querschnitt besitzt einen Durchmesser \ond= 12 mm. Ermitteln Sie die maximale Lange / des Bohrers, damit die Knickkraft FK mindestens 2 kN betragt. Hinweis: Das kleinste Flachenmoment 2. Ordnung (beziiglich der z-Achse) ergibt sich fur den idealisierten Querschnitt zu: ^4 r. '
64
Attfgabe 8.7 Die Stiitze eines Stahlgeriists aus Werkstoff S275J0 besitzt einen Kreisringquerschnitt und soil eine axiale Druckkraft von F = 150 kN aufnehmen. Die Lange der Stiitze betragt / = 1500 mm und der AuBendurchmesser Ja = 100 mm. Die Stiitze kann an ihrem unteren Ende als fest eingespannt und am oberen Enden als fi*ei beweglich betrachtet werden. a) Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstarke s, damit die Belastung von F= 150 kN mit der notwendigen Sicherheit {S^ = 1,5 und 5'K = 3,0) ertragen werden kann. Die Druckkraft F soil zunachst als mittig angreifend (e = 0) betrachtet werden. b) Aufgrund von Montageungenauigkeiten ist es mitunter moglich, dass die Druckkraft auBermittig angreift (e ^ 0). Bestimmen Sie die maximal zulassige Exzentrizitat e, damit eine Sicheiiieit von S^ = 1,2 gegen FlieBen gegeben ist. Die Wandstarke der rohrfbrmigen Stiitze soil s = 5 mm betragen Werkstoffkennwerte S275J0: R, =290N/mm^ Rm = 560 N/mm^ F = 208000 N/mm^
170
8 Knickung von Staben
Aufgabe8.S Fiir ein Baugeriist werden Rohrstutzen aus S235JR {R, = 240 N/mm^; R^ = 420 N/mm^ und E = 210000 N/mm^) verwendet. Die Lange der Stiitzen betragt / = 3,50 m, der AuBendurchmesser Ja = 60 mm und die Wandstarke s = 5 mm. Die Stiitzen werden statisch auf Druck beansprucht und sind so eingebaut, dass beide Enden als fest eingespannt betrachtet werden konnen (Sf = l,5;S^ = 4,0).
Fd
A-A ' Rohrstutze
i.JL-i
a) Berechnen Sie ist die zulassige Druckkraft Fd auf die Rohrstiitze. b) Ermitteln Sie die Verkiirzung A/ der Rohrstiitze fur die zulassige Belastung aus Aufgabenteil a).
TTTTTTTTTTTTTTTTJ
Aufgabe8.9 Ein warm gewalzter Stahltrager (IPE 300) aus S235JR besitzt eine Lange von / = 3,5 m und wird durch eine statisch wirkende, mittig angreifende, axiale Druckkraft F = 1300 kN belastet. Der Trager ist an seinem unteren Ende in einer Kugelpfanne gelagert und am oberen Ende vertikal gefiihrt. Ermitteln Sie die Sicherheiten gegen Versagen. Werkstoffkennwerte: R, =300N/mm^ Rr^ = 530 N/mm^ E = 210000 N/mm^ Kenndaten zum Stahltrager (IPE 300): h = 300 mm b = 150 mm A = 53,8 cm^ /y = 8360 cm^ L = 604 cm^
L
A-B iZ
izzz^zzzr
T"
i\ [I
IPE 300'
171
9 Sehiefe Biegnng Von schiefer Biegung (mitunter auch als zweiachsige Biegung oder allgemeine Biegung bezeichnet) spricht man, sofem an einem Balken Krafte (Einzelkrafte oder Streckenlasten) oder Momente angreifen, deren Momentenvektor Mb nicht mit einer der beiden Hauptachsen des Balkenquerschnitts zusammenfallt. Dies ist der Fall: • bei Balken mit symmetrischem Querschnitt falls der Biegemomentenvektor schrag zur Symmetrieebene wirkt d. h. nicht mit der Symmetrieebene oder ihrer Senkrechten durch den Flachenschwerpunkt zusammenfallt (Bild 2.18c). • bei Balken mit unsymmetrischem Querschnitt sofem der Biegemomentenvektor nicht mit einer der Hauptachsen zusammenfallt (Bild 2.18d). Ziel dieses Kapitels ist die Ermittlung der Biegespannung in jedem Punkt der Querschnittsflache eines biegebeanspruchten Balkens und damit auch Ort und Betrag der maximalen Biegespannung. Zur Losung dieser Aufgabe ist es zunachst erforderlich, die Begriffe „Flachenmoment" und „Hauptachsen" einer Flache zu erlautem.
9.\ Flachenmomente Flachenmomente sind RechengroBen in Form von Integralen. Ein Flachenmoment kann man sich dadurch veranschaulichen, indem man eine Querschnittsflache A in unendlich viele kleine Flachenelemente dA aufteilt, den Abstand (oder das Quadrat des Abstands) eines jeden Elementes von den Bezugsachsen (z. B. y oder z in Bild 9.1) mit seinem Flacheninhalt multipliziert und alle so gewonnenen Produkte tiber die gesamte Querschnittsflache summiert (integriert). Man unterscheidet: • Flachenmomente 1. Ordnung • Flachenmomente 2. Ordnung
9.1.1 Flachenmomente 1. Ordnung
Bild 9.1 Aufteilung einer Querschnittsflache in unendlich kleine Flachenelemente dA
Unter einem Flachenmoment 1. Ordnung (mitunter auch als statisches Moment bezeichnet) versteht man einen mathematischen Ausdruck der Form:
H, = \z
dA Flachenmoment 1. Ordnung beziiglich der y-Achse
(9.1)
Flachenmoment 1. Ordnung beziiglich der z-Achse
(9.2)
bzw.
H^ = \ydA
Die Flachenmomente sind von erster Ordnung, da die Integranden (z. B. die Koordinaten y oder z) in der ersten Potenz auftreten. Die Dimension des Flachenmomentes 1. Ordnung ist beispielsweise m^, cm^ oder mm^. Fiir praktische Berechnungen verwendet man in der Kegel jedoch mm^
172
9 Schiefe Biegung
Flachenmomente 1. Ordnung benotigt man unter anderem zur Berechnung von Flachenschwerpunkten oder bei der Ermittlung von Schubspannungen, die durch Querkrafte (Querkraftschub) hervorgerufen werden (Kapitel 10.1). Fiir die Ermittlung von Flachenmomenten 1. Ordnung gelten die folgenden Aussagen: 1. Flachenmomente 1. Ordnung konnen in Abhangigkeit der Lage der Bezugsachse positive oder negative Zahlenwerte annehmen. 2. Flachenmomente 1. Ordnung sind von der Lage der Bezugsachsen abhangig. Beztiglich Achsen durch den Flachenschwerpunkt S (Schwereachsen) sind die Flachemomente 1. Ordnung Null. Damit sind bei symmetrischen Querschnittsflachen die Flachenmomente 1. Ordnung auch beztiglich der Symmetrieachse(n) Null. Bild 9.2 verdeutlicht diesen Sachverhalt: fur jedes positive Produkt (y-dA) existiert ein entsprechend negatives Produkt (-y-dA) auf der jeweils der Symmetrieachse gegeniiberliegenden Seite. Nach einer Summation bzw. Integration heben sich die Zahlenwerte gegenseitig auf.
Bild 9.2 Flachenmomente 1. Ordnung bei symmetrischen Querschnittsflachen
9.1.2 Flachenmomente 2. Ordnung Flachenmomente 2. Ordnung kennzeichnen die Steifigkeit einer Querschnittsflache beispielsweise in Bezug auf Biegung, Torsion oder Knickung. Aus Kapitel 2.3 und 2.5 ist bereits bekannt, dass Flachenmomente 2. Ordnung als RechengroBen bei der Spannungsermittlung unter Biege- und Torsionsbeanspruchung benotigt werden. In Kapitel 8 wurden Flachenmomente 2. Ordnung zur Berechnung der Knickkraft benotigt. Flachenmomente 2. Ordnung werden unterschieden in: • Axiale Flachenmomente 2. Ordnung (z. B. /y und I^) • Polare Flachenmomente (z. B. /p) • Gemischte Flachenmomente (z. B. /yz)
9.1.2.1 Axiale Flachenmomente 2. Ordnung Unter einem axialen Flachenmoment 2. Ordnung versteht man einen mathematischen Ausdruck der Form: Axiales Flachenmoment 2. Ordnung bezuglich der y-Achse
(9.3)
Axiales Flachenmoment 2. Ordnung bezuglich der z-Achse
(9.4)
A
bzw.
h = ly'*dA
Die Zahlenwerte axialer Flachenmomente 2. Ordnung sind von der Geometric der Querschnittsflache sowie von der Lage der Bezugsachse abhangig und nehmen stets positive Werte an.
9.1 Flachenmomente
173
Vielfach werden die axialen Flachenmomente 2. Ordnung aufgrund ihrer mathematischen Ahnlichkeit zu den Massentragheitsmomenten der Dynamik als axiale Flachentragheitsmomente bezeichnet. Da Flachen jedoch keine Massentragheit besitzen, soUte diese Bezeichnung vermieden werden. 9.1.2.2 Polare Flachenmomente Addiert man die beiden axialen Flachenmomente /y und /z dann erhalt man: /y+/z
= fz^ 'dA + {y^'dA = [(z^ + / ) • J^ A
2
I
A
2 _
A
2
und wegen / + z = r (Bild 9.1) folgt: 1^+1^=
\r^-dA A
Damit erhalt man das polare Flachenmoment /pi ip = Jr
aA
Polares Flachenmoment
yy--^)
A
Das polare Flachemoment /p hat eine Bedeutung in Bezug auf die Berechnung von Schubspannungen bei Torsion kreissymmetrischer Querschnitte (Kapitel 2.5). 9.1.2.3 Gemischte Flachenmomente Neben den beiden axialen Flachenmomenten (/y und /z) entsprechend Gleichung 9.3 und 9.4 und dem polaren Flachenmoment /p (Gleichung 9.5) unterscheidet man noch das gemischte Flachenmoment /yz: / ^^
= — f V • z»d!^ Gemischtes Flachenmoment beziiglich dem y-z-Koordinaten- /Q r\ r** system ^ '^ A
Die fiir das gemischte Flachenmoment in Anlehnung an die Dynamik mitunter gewahlten Bezeichnungen (Flachen-)Deviationsmoment oder (Flachen-)Zentrifugalmoment sollten aus dem oben genannten Grund ebenfalls nicht verwendet werden. Das gemischte Flachenmoment /yz wird tiblicherweise negativ defmiert. Damit ergibt sich bei tensorieller Darstellung eine formale Obereinstimmung mit dem Spannungs- bzw. Dehnungstensor. Wahrend die axialen Flachenmomente 2. Ordnung und das polare Flachenmoment stets Werte groBer oder gleich Null annehmen, kann das gemischte Flachenmoment, abhangig von der Verteilung der Querschnittsflache iiber die einzelnen Quadranten des Koordinatensystems, Werte annehmen, die groBer, gleich oder kleiner Null sind.
174
9 Schiefe Biegung
Da bei symmetrischen Flachen jedem Flachenelement dA mit positivem gemischtem Flachenmoment ein Flachenelement mit negativem gemischtem Flachenmoment entspricht, ist das gemischte Flachenmoment /yz in Bezug auf ein die Symmetrieachse beinhaltendes Koordinatensystem Null. Dies lasst sich leicht verstehen, da jedem Flachenelement dA (Koordinaten y und z) ein symmetrisch gelegenes Flachenelement (Koordinaten -y und z) entspricht. Bei der Summation bzw. Integration heben sich ihre Beitrage gegenseitig auf (Bild 9.3).
9.1.3 Abhangigkeit der Flachenmomente 2. Ordnung von der Lage des Koordinatensystems Der Betrag eines Flachenmomentes 2. Ordnung hangt von der Lage der Bezugsachsen ab. Bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen oder bei einer Drehung des Koordinatensystems um den Flachenschwerpunkt andert sich auch der Betrag der Flachenmomente /y, I^ und /yz.
Bild 9.3 Gemischtes Flachenmoment bei symmetrischen Querschnittsflachen
9.1.3.1 Parallelverschiebung des Koordinatensystems Durch eine Parallelverschiebung der Koordinatenachsen andert sich der Betrag der axialen und des gemischten Flachenmomentes. Die Zusammenhange werden nachfolgend erlautert. a) Axiale Flachenmomente Es sei (9.7)
Iy=
=j^W'dA
das axiale Flachenmoment 2. Ordnung der in Bild 9.4 dargestellten Flache in Bezug auf die y-Achse durch den Flachenschwerpunkt S. Fiihrt man eine Parallelverschiebung der y'Achse um den Betrag Zg durch (y'-Achse), dann folgt aus Gleichung 9.7 mit der Transformationsgleichung z' = z + zsi /y, = U^'dA= [{z + z^Y 'dA= \z^'dA + A
A
A
Bild 9.4 Parallelverschiebung des Koordinatensystems
2'Z^\z'dA^zl{dA A
A
Da das Flachenmoment 1. Ordnung in Bezug auf das y-z-Koordinatensystem durch den Flachenschwerpunkt Null ist (Kapitel 9.1.1), folgt schlieBlich:
Iy= [z^'dA-^zl'A und damit fur das axiale Flachenmoment 2. Ordnung in Bezug auf die y'-Achse: lyi = / y + 2g * i4
Axiales Flachenmoment 2. Ordnung bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen
(9.8)
Auf analoge Weise kann auch aus dem axialen Flachenmoment 2. Ordnung beziiglich der zAchse (/z), das auf eine beliebige Achse bezogene Flachenmoment (/z) berechnet werden.
9.1 Flachenmomente
HS
b) Gemischte Flachenmomente Eine Parallelverschiebung der Bezugsachsen fuhrt auch zu einer Anderung des Betrags des gemischten Flachenmomentes. Es sei ^yz
=-jy'Z'dA
das gemischte Flachenmoment der in Bild 9.4 dargestellten Flache in Bezug auf das y-z-Koordinatensystem. Fiir das gemischte Flachenmoment in Bezug auf das parallel verschobene y'-z'-Koordinatensystem folgt mit den Transformationsbeziehungeny =y-\-ys und z' =z + zs'. ^yz'=-j(>^ + J^s)-(^ + ^s)-^^ A
= -\y-Z'dAA
\y^'Z'dAA
\z^-y'dAA
= lyz- y^y'
dA- z^p
A
A
- dA- z^'
\y^'Z^'dA A
y^yA A
Da die Flachenmomente 1. Ordnung in Bezug auf das y-z-Koordinatensystem durch den Flachenschwerpunkt Null sind (Kapitel 9.1.1), folgt schHefilich:
/
-/
_^,
7
A
Gemischtes ParallelverOemisciites Flachenmoment Jblacnenmoment bei bei einer emer Farauelverschiebung der Koordinatenachsen
/Q Q\
Bei der Anwendung von Gleichung 9.9 sind die Vorzeichen von ^s und zs in Bezug auf das gewahlte Koordinatensystem zu beriicksichtigen. Die Gleichungen 9.8 und 9.9 wurden bereits um 1850 von Jakob Steiner (1796 ... 1863) formuliert und sind in verbaler Form als „Satz von Steiner" bekannt geworden. Aus Gleichung 9.8 und 9.9 lassen sich die folgenden Erkenntnisse ableiten: 1. Axiale Flachenmomente 2. Ordnung (/y und Ij) besitzen in Bezug auf Achsen durch den Flachenschwerpunkt Kleinstwerte im Vergleich zu parallel verschobenen Bezugsachsen. 2. Das gemischte Flachenmoment (/yz) andert seinen Betrag nicht, falls nur eine Achse parallel verschoben wird. Bei der Anwendung des Steiner'schen Satzes ist weiterhin zu beachten: 1. Axiale Flachenmomente 2. Ordnung, die sich auf dieselbe Achse beziehen bzw. gemischte Flachenmomente die sich auf dasselbe Koordinatensystem beziehen, diirfen addiert oder subtrahiert werden. 2. Der Steiner'sche Satz stellt stets einen Zusammenhang zwischen den Flachenmomenten beztiglich einer Achse durch den Flachenschwerpunkt bzw. eines Koordinatensysterns mit Ursprung im Flachenschwerpunkt und einer dazu parallelen Achse bzw. eines parallel verschobenen Koordinatensystems her. Der Steiner'sche Satz darf hingegen nicht angewandt werden, um eine Beziehung zwischen den Flachenmomenten beztiglich beliebiger Achsen bzw. Koordinatensysteme herzustellen (siehe auch Aufgabe 2.17).
176
9 Schiefe Biegung
9.1.3.2 Drehung des Koordinatensystems um den Flachenschwerpunkt Der Betrag eines Flachenmomentes 2. Ordnung andert sich nicht nur bei einer Parallelverschiebung der Bezugsachsen, sondem auch bei einer Drehung des (rechtwinkeligen) Koordinatensystems um den Flachenschwerpunkt S. Gegeben sei eine Flache A sowie ein rechtwinkliges Koordinatensystem (y und z) durch den Flachenschwerpunkt S. Weiterhin seien die Flachenmomente 2. Ordnung in Bezug auf das y-zKoordinatensystem bekannt (/y, I^ und /yz), Bild 9.5. Bei einer Drehung des Koordinatensystems um den Flachenschwerpunkt S mit Drehwinkel cp andert sich auch der Betrag der Flachenmomente. Ohne auf die Herleitung einzugehen (siehe hierzu beispielsweise [9]) ergeben sich zwischen den Flachenmomenten in Bezug auf das ursprungliche y-z-Koordinatensystem (/y, I^ und /yz) und den Flachenmomenten 2. Ordnung bezogen auf das gedrehte r|-(!^-System (I^^, Ic^ und 7,^;) die folgendenTransformationsbeziehungen: /
_
y ^^
/
:=, _J
^^
•cos2^ + /j,2-sm2^
L —y 2
L. COS 2 ^ - /
* sin 2 ^
(9.10)
(9.11)
2
/y-4 'n^
sin2^-I-/
-cos2^
^ild 9.5 Drehung des Koordinatensystems um den Flachenschwerpunkt
(9.12)
Ftir die Spannungsermittlung, insbesondere bei schiefer Biegung, ist diejenige Lage des Koordinatensystems von Interesse ftir die das gemischte Flachenmoment (7^^) Null wird. Gleichzeitig nehmen beziiglich dieses gedrehten Koordinatensystems die axialen Flachenmomente 2. Ordnung Extremwerte an. Diese neuen Koordinatenachsen werden daher als Hauptachsen der Flache und das aus ihnen gebildete Koordinatensystem als Hauptachsensystem bezeichnet. Die entsprechenden axialen Flachenmomente 2. Ordnung bezeichnet man als Hauptflachenmomente. a) Bestimmung der Richtungswinkel zu den Hauptachsen Den Richtungswinkel zu den Hauptachsen erhalt man aus Gleichung 9.12 mit der Bedingung 0: ^TlC tan 2(77 =
(9.13)
—
Damit ergibt sich der Richtungswinkel ^ zu: ^j.2= —*arctan|
yz
Richtungswinkel zwischen der y-Achse und der ersten oder zweiten Hauptachse
(9.14)
177
9.1 Flachenmomente
Der mit Hilfe von Gleichung 9.14 errechnete Winkel (p kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptachse sein. Eine Entscheidung kann mit Hilfe der zweiten Ableitung von Gleichung 9.10 erfolgen:
d^L
(9.15)
•• - 2 • (/y - / ^ ) • COSl(p-A-Iy^-sin2(p
d^ bzw. z: ^xy
=
m J do — una T^, = dz dy
(11.7)
Die Torsionsfunktion 0(y^) lasst sich anschaulich als Flache liber der tordierten Querschnittsflache interpretieren (Bild 11.4). Die Richtung der Schubspannung in einem beliebigen Punkt P(yp I zp) erhalt man, indem man im DurchstoBpunkt der Senkrechten zur Querschnittsflache (Punkt P*) die Tangente an die entsprechende Hohenlinie /z* ermittelt. Den Betrag der Schubspannungen erhalt man aus der Steilheit der Flache. Die hochste Schubspannung tritt dementsprechend an der steilsten Stelle auf
Bild 11.4 Veranschaulichung der Torsionsfunktion
11.3.1 Membran-Analogie von Prandtl Die mathematische Losung der Poisson'schen Differentialgleichung 11.6 ist im Allgemeinen schwierig und erfordert weiterfiihrende mathematische Kenntnisse. Dennoch ist es mit entsprechenden Analogien moglich, sich einen (Jberblick iiber den Spannungsverlauf und die Orte der groBten Schubspannung, die potentiellen Versagensstellen also, zu verschaffen. Hierzu bedient man sich beispielsweise der Membran-Analogie von Prandtl {Ludwig Prandtl, 1875 ... 1953, Veroffentlichung der Membran-Analogie 1904). Man denkt sich zunachst den Vollkreisquerschnitt beispielsweise aus einer ebenen Blechplatte ausgeschnitten und mit einer Membran (z. B. Seifenhaut) liberspannt. Bei einem geringen Uberdruck wolbt sich diese Membran zu einer raumlich gekriimmten Flache u{y^), die analog der Torsionsfunktion einer Poisson'schen Differentialgleichung geniigt (Bild 11.5): d^u
d^u
5/
dz'
•• Aw = konst.
(11.8)
Bild 11.5 Membran-Analo eie von Prandtl
203
11.3 Torsion beliebiger Vollquerschnitte
Aufgrund der mathematischen Identitat der Gleichungen 11.6 und 11.8 findet man in Analogic zur Torsionsfunktion die hochste Schubspannung an der steilsten Stelle des Seifenhautberges. Der Drillwiderstand k ist proportional zum Volumen der verformten Membran. Ein zunehmender Drillwiderstand flihrt zu einer geringeren Verdrehung des Stabes.
11.3.2 Stromungsanalogie von Thomson Ahnlich der Membran-Analogie von Prandtl lasst sich das Torsionsproblem qualitativ auch mit Hilfe der Stromungsanalogie von Thomson {W, Thomson, 1824 ... 1907) veranschaulichen. Denkt man sich einen tordierten Stab von einer reibungsfreien, inkomprcssiblen Flussigkeit mit konstanter Zirkulation durchstromt, dann stimmen die Richtung der Stromlinien mit der Richtung der resultierenden Schubspannung uberein und die Stromungsgeschwindigkeit (Abstand der Stromlinien) ist proportional zur Schubspannung an derselben Stelle im tordierten Querschnitt. Die Stromungsanalogie zeigt insbesondere, dass mit enger werdendem Querschnitt die Stromungsgeschwindigkeit und dementsprechend die Schubspannung steigt. Die hochsten Schubspannungen treten dabei immer am Querschnittsrand der engsten Stelle auf(Bild 11.6).
Kreis
Ellipse
Rechteck /Xa < Tmax
'^a
^1 1
' ^
T»
^5
1
^
0^
^ ^ ^
43
fN
i:r
N -V
' ^
1
5^"*
1
^°*
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1
+ ^'~' ^
1
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DA
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II
^5
1
o GA
1 =i und die axiale Druckkraft F, die gemeinsam die Dehnungen 6t und £a verursachen. e) Anstelle einer Beanspruchung aus Innendruck pi mit tiberlagerter Druckkraft F, kann derselbe Spannungszustand in der Behalterwand auch durch eine andere Beanspruchungsart erzeugt werden. Nennen Sie eine mogliche Beanspruchung und berechnen Sie deren GroBe.
238
12 Behalter unter Innen- und AuBendruck
Aufgabe 12 J Die Abbildung zeigt einen beidseitig verschlossenen, dtinnwandigen Hochdruckbehalter aus der unlegierten Vergiitungsstahlsorte C45E. Der AuBendurchmesser des Druckbehalters betragt d^= 160 mm und die Wandstarke 5- = 10 mm. An der markierten Stelle ("X") des Druckbehalters wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette appliziert. Der Behalter wird auf unterschiedliche Weise beansprucht.
Ansicht'T
0°-45°-90° DMS-Rosette Bei einem ersten Versuch wird der (drucklose) Behalter mit einer statischen Zugkraft von F=500kNbelastet. a) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. b) Zeichnen Sie flir die Beanspruchung durch die Zugkraft F den Mohr'schen Spannungskreis sowie den Mohr'schen Verformungskreis. Bei einem zweiten Versuch wird der Hochdruckbehalter mit einem statischen Innendruck von P\=\5 MPa beaufschlagt. c) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. d) Zeichnen Sie fiir die Beanspruchung durch den Innendruckpi den Mohr'schen Spannungskreis sowie den Mohr'schen Verformungskreis. Bei einem dritten Versuch wird der Behalter mit einem statisch wirkenden Biegemoment von Mb=13500Nmbelastet. e) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. f) Zeichnen Sie fiir die Beanspruchung durch das Biegemoment Mb den Mohr'schen Spannungskreis sowie den Mohr'schen Verformungskreis. Bei einem vierten Versuch wird der Behalter schlieBlich mit einem statischen Torsionsmoment von M = 15000 Nm belastet. g) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. h) Zeichnen Sie fiir die Beanspruchung durch das Torsionsmoment M den Mohr'schen Spannungskreis sowie den Mohr'schen Verformungskreis.
239
12.3 Ubungsaufgaben
Attfgabe 12.8 Am Umfang eines diinnwandigen, beidseitig verschlossenen Hohlzylinders aus Werkstoff 34CrNiMo6 wurden an vier jeweils um 90° zueinander versetzten Stellen Dehnungsmessstreifen in gleicher Weise appliziert (siehe Abbildung). Der Hohlzylinder wird durch den Innendruck /?!, das Biegemoment Mb und das Torsionsmoment M^ statisch beansprucht.
Messstelle
1
2 und 4
3
^a
[%o]
0,449
0,146
-0,156
£t
[%o]
0,531
0,622
0,713
SAS
[%O]
0,785
0,679
0,573
Werkstoffkennwerte 34CrNiMo6: R^ =270N/mm^ R^ = 420 N/mm^ E = 205000 N/mm^ // =0,30
Berechnen Sie aus den Messergebnissen (siehe Tabelle) den Innendruck pi, das Biegemoment Mb und das Torsionsmoment Mt.
Aiifgabe 12.9 Ein dickwandiges, an beiden Enden verschlossenes Rohrstiick aus dem niedrig legierten Vergiitungsstahl 20MnMoNi5-5 wird durch einen statischen Innendruck beansprucht. Zur tJberwachung des Innendrucks sind auf der AuBenoberflache des Rohres zwei Dehnungsmessstreifen in der dargestellten Weise appliziert worden (siehe Abbildung).
240
12 Behalter unter Innen- und AuBendruck
Werkstoffkennwerte 20MnMoNi5-5: i?po,2 = 340 N/mm^ i?n, = 650 N/mm^ E = 210000 N/mm^ fi = 0,30 a) Berechnen Sie den statisch wirkenden Innendruck, falls an der AuBenoberflache die Dehnungen ^x = 0,158 %o und SQ = 0,042 %o gemessen werden. Bestimmen Sie auBerdem die Hauptnormalspannungen sowie die Hauptspannungsrichtungen. Das Rohrsttick kann zunachst als elastisch beansprucht angesehen werden. b) Ermitteln Sie den Innendruck/?iFB bei FlieBbeginn des Rohres. c) Um das Rohr hoher auszunutzen, wird ein plastischer Bereich bis zum Radius c = 30 mm zugelassen. Berechnen Sie den nunmehr zulassigen Innendruck/?ic. Es kann ein linear-elastisch ideal-plastisches Werkstoffverhalten angenommen werden. d) Ermitteln Sie die Messwerte der Dehnungsmessstreifen an der AuBenoberflache ( / A und £ B) sofem der Innendruck/?ic aus Aufgabenteil c) wirkt. e) Skizzieren Sie mit Hilfe der Spannungswerte am Innenrand, am Radius c und am AuBenrand, maBstablich den Verlauf der Tangential-, Axial- und Radialspannung iiber der Wanddicke bei der Beanspruchung mitpic. f) Berechnen Sie die Eigenspannungen nach dem Entlasten an der Innenseite sowie an der AuBenseite des Rohres.
Aufgabe 12.10 Ein dickwandiger Druckbehalter aus Werkstoff 30CrNiMo8 wird durch einen unbekannten statischen Innendruck pi und ein unbekanntes statisches Torsionsmoment Mt belastet. Zur Ermittlung der Belastung wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette unter 45° zur Rohrachse appliziert (siehe Abbildung). Nach dem Aufbringen der Belastung (pi und Mt) werden die folgenden Dehnungen ermittelt: DMSA: £A = 0,1496 %o DMSB: £B = 1,1657 %o DMSC: 6c = 1,2904 %o Werkstoffkennwerte 30CrNiMo8: 980 N/mm' R p0,2 Rrr, =1450N/mm' E = 210000 N/mm^ ju = 0,30
241
12.3 Ubungsaufgaben
a) Berechnen Sie aus den experimentell ermittelten Dehnungen den Innendruck p\ und das Torsionsmoment M unter der Voraussetzung eines elastisch beanspmchten Druckbehalters. b) Uberpnifen Sie, unter Zugrundelegung der Gestaltanderungsenergiehypothese, ob bei der Belastung gemaB Aufgabenteil a), der Behalter iiberhaupt noch vollelastisch beansprucht war. Fiihren Sie den Nachweis fiir die Innen- und die AuBenoberflache des Rohres durch. Der Druckbehalter wird in einer zweiten Versuchsreihe nur noch durch einen statisch wirkenden Innendruck Pi beaufschlagt. Das Torsionsmoment M wirkt nicht mehr ( M ^ 0) c) Ermitteln Sie den Innendruck p\ FB der zum FlieBen des Druckbehalters fiihrt. Verwenden Sie fiir Ihre Berechnung die Gestaltanderungsenergiehypothese. d) Bestimmen Sie den Innendruck p^^ der erforderlich ist, um den inneren Teil der Behalterwand bis in eine Tiefe von 10 mm {c = 60 mm) zu plastifizieren. Es kann ein linear-elastisches ideal-plastisches Werkstoffverhalten angenommen werden. e) Bestimmen Sie fiir den Innendruck p^^ (siehe Aufgabenteil d) die Dehnungsanzeigen von DMS A, DMS B und DMS C.
Aufgabe 12.11 Ein Druckbehalter mit d\ = 600 mm und s = 12 mm aus dem legierten Vergtitungsstahl 50CrMo4 wird im Betrieb durch den statisch wirkenden Innendruck/?! = 20 MPa sowie durch die statisch wirkenden Krafte Fi = 900 kN und F2 = 1500 kN belastet. Im Rahmen einer experimentellen Spannungsanalyse werden vier Dehnungsmessstreifen appliziert. Die Messebenen von DMS B und DMS C fallen hierbei mit der neutralen Faser zusammen (siehe Abbildung). Werkstoffkennwerte 50CrMo4: ^po,2 = 870 N/mm^ Rr^ -1080N/mm^ E = 210000 N/mm^ IX = 0,30
a = 850
"*
ZT ^
\/////rr/. SD
1700
a) Berechnen Sie die Dehnungsanzeigen der vier Dehnungsmessstreifen, falls der Druckbehalter durch den Innendruck pi sowie durch die Krafte Fi und F2 beansprucht wird. Schubspannungen durch Querkrafte sollen vemachlassigt werden. b) Berechnen Sie, unter Verwendung der Schubspannungshypothese, die Sicherheit gegen FlieBen an der hochst beanspmchten Stelle der AuBenoberflache. Ist die Sicherheit ausreichend ? Hinweis: Versuchen Sie, zur weiteren Ubung, aus den in Aufgabenteil a) errechneten Dehnungen die Krafte Fi und F2 sowie den Innendruck/>i zu berechnen.
242
12 Behalter unter Innen- und AuBendruck
Aufgabe 12.12 Zur Ermittlung des unbekannten Innendrucks p\ werden an einem diinnwandigen Hochdruckbehalter {d\ = 450 mm; ^ = 15 mm) aus Werkstoff P355GH zwei Dehnungsmessstreifen appliziert (siehe Abbildung). Ermitteln Sie den statisch wirkenden Innendruck /?i fur die folgenden Dehnungswerte: DMSA: £A = 0,1972 %O DMS B: £B = 0,5528 %o Werkstoffkennwerte P355GH: ^po,2 = 400 N/mm^ R^ =630N/mm^ E = 210000 N/mm^ // = 0,30
Aufgabe 12.13 Ein Druckbehalter aus Werkstoff 16Mo3 {d^ = 300 mm; ^ = 15 mm) wird durch einen unbekannten Innendruck p^ und ein zusatzliches, unbekanntes Torsionsmoment M^ statisch beansprucht. Ermitteln Sie den Innendruck/?! sowie den Betrag und die Wirkungsrichtung des Torsionsmomentes Mt, falls die auf der Behalteroberflache applizierte DMS-Rosette (siehe Abbildung) die folgenden Messwerte liefert: £h = ^B =
£c =
0,2011 %o 0,5715 %o 0,3989 %o
Werkstoffkennwerte 16Mo3 ^p0,2 = 275 N/mm^ = 510N/mm^ ^m = 210000 N/mm^ E M = 0,30
0°-45°-90°DMS-Rosette
Aufgabe 12 J4 Fiir den Teleskopzylinder einer Aufzugsanlage soil ein Festigkeitsnachweis fur die Stellen 1 bis 4 (siehe Abbildung) erbracht werden. Der Teleskopzylinder besteht im Wesentlichen aus zwei ineinander gefiihrten Stahlrohren aus Werkstoff 42CrMo4 {dn = 60 mm; ^i = 5 mm; di2 = 80 mm). Reibung sowie radiale Druckkrafte im Bereich der Dichtstellen konnen vemachlassigt werden. AuBerdem soil das Eigengewicht vemachlassigt werden. Werkstoffkennwerte 42CrMo4: ^po,2 = 780 N/mm^ i?n,' = 1090 N/mm^ E = 208000 N/mm^ ju = 0,30
243
12.3 Ubungsaufgaben a) Berechnen Sie den erforderlichen Innendruck Pi, um die Last F = 150 kN in einer Hohe von h = 500 mm im Gleichgewicht zu halten. b) Ermitteln Sie unter Verwendung der Schubspannungshypothese die Sicherheit gegen FlieBen {S^) in der Zylinderwand an der Stelle 1 fur den Innendruck p\ (siehe Aufgabenteil a). 1st die Sicherheit ausreichend, falls 5'F> l,5gefordertwird?
Dichtungen
c) Dimensionieren Sie fur den in Aufgabenteil a) errechneten Innendruck/?i, die Dicke ^2 der auCeren Zylinderwand so, dass die Sicherheit gegen FlieBen an der Stelle 4 der Sicherheit gegen FlieBen an der Stelle 1 entspricht. d) Ermitteln Sie fiir den in Aufgabenteil a) errechneten Innendruck p^ und die in Aufgabenteil c) berechnete Wanddicke ^2 die Sicherheit gegen Versagen an der Stelle 3 des auBeren Zylinders.
Dichtungen
Zur Kontrolle des Innendrucks wird auf der AuBenoberflache des inneren Zylinders ein Dehnungsmessstreifen (DMS) appliziert. Durch eine Montageungenauigkeit schlieBt der DMS mit der Zylinderlangsachse einen Winkel von a = 15° ein (siehe Abbildung). e) Berechnen Sie den Messwert des Dehnungsmessstreifens fiir den Innendruck p\ aus Aufgabenteil a).
W////////AW/////M
Der maximale Innendruck wird durch ein Oberdruckventil auf p^ax = 40 MPa begrenzt. Die Wanddicke des auBeren Zylinders wird zu ^2 ^ 6 mm gewahlt. f) Berechnen Sie fur den Innendruck/?max = 40 MPa und eine Last von F = 150 kN die Sicherheiten gegen FlieBen an den Stellen 1 und 4. Sind die Sicherheiten ausreichend, falls S^> 1,50 gefordert wird? Hinweis: Beriicksichtigen Sie bei der Berechnung der Sicherheiten gegen FlieBen die neue Position des inneren Zylinders und die mogliche Auswirkung auf die Spannungskomponenten. Fiir den Radius an der Stelle 2 kann eine Formzahl von a^ = 2,25 angenommen werden, die sich auBerdem nur auf die Axialspannung iiberhohend auswirken soil. g) tiberpnifen Sie, ob fiir den Innendruck/>niax = 40 MPa an der Kerbstelle 2 noch eine ausreichende Sicherheit gegen FlieBen gegeben ist.
244
12 Behalter unter Innen- und AuBendruck
Aufgabe 12.15 Weisen Sie rechnerisch fiir die AuBenoberflache eines dtinnwandigen Druckbehalters aus einem duktilen Werkstoff (Streckgrenze RQ) unter Innendruck nach, dass FlieBen erst eintritt, falls die Tangentialspannung das 1,155-fache der Streckgrenze des Behalterwerkstoffs erreicht.
245
13 Werkstoffermiidung und Schwingfestigkeit In den vorangegangenen Kapiteln wurde ausschlieBlich eine statische (ruhende) Beanspruchung zugrunde gelegt. Die au6ere Belastung wird einmal aufgebracht und wirkt dann mit konstanter, zeitlich unveranderlicher GroBe.
Festigkeitsnachweise
statische oder quasi-stattsche Beanspruchung
zeitlich veranderliche Beanspruchung
r0,4Ts T^OA'Ts T>0.4Ts Wahrend bei statischer oder Dauerfestigkeit unzulassige Zeitstand- oder - Zeitfestigkeit quasi-statischer Beanspruchung ptastische Kriechbruch und Temperaturen (7) die etwa Verformungen |- Zeitfestigkeit 40% der absoluten SchmelzGewaltbnjch Betriebsfestigkeit temperatur (Ts) des Werkstoffs nicht uberschreiten, ein Festig- Bild 13.1 Festigkeitsnachweise ftir metallische Werkstoffe in keitsnachweis gegen unzulasAbhangigkeit von Beanspmchungsart und Temperatur sige plastische Verformungen oder Gewaltbruch erfolgt, muss bei zeitlich veranderlicher Beanspruchung ein 10^ Nachweis der Dauer-, Zeit- oder Betriebsfestigkeit gefiihrt werden (Bild 13.1). Hz Resonanzschwingungen
Die Mehrzahl der technischen Bauteile unterliegt im Betrieb einer zeitlich veranderlichen Beanspruchung. Eine derartige Schwingbeanspruchung kann entstehen durch: • Umlaufbiegung rotierender Wellen, • Vibrationen, insbesondere in oder in der Nahe der Resonanzfrequenz, • An- und Abfahrvorgange von Maschinen und Anlagen, • StraBenunebenheiten bei Fahrzeugen, • Seegang bei Schiffen und Off-ShoreStrukturen, • Turbulenzen, Start- und Landevorgange bei Flugzeugen. Haufig beobachtet man eine statische Grundbeanspruchung, der sich eine zeitlich veranderliche Beanspruchung liberlagert. Die Frequenz einer solchen Schwingbeanspruchung kann sich dabei von einer Schwingung pro Tag (z. B. Temperaturschwankungen) bis in den kHz-Bereich (z. B. Resonanzschwingungen) erstrecken (Bild 13.2).
10^ Schallschwingungen
10N Fahrzeugbeanspruchungen durch Stralienunebenheiten
10^ 100|l/s
Roll- und Schlingerbewegungen von Schiffen
I
101/min
Boen- und Manoverbewegungen von Flugzeugen
10"' Windlasten an Bauwerken
10"^ l/h
10"' 10"^
M/d
Temperaturschwankungen Schneelasten
Bild 13.2 Frequenzbereiche schwingbruchgefahrdeter Maschinenteile und Bauwerke (nach Jacoby)
246
13 Werkstoffermiidung und Schwingfestigkeit
Die Erfahrung zeigt, dass Bauteile unter schwingender Beanspruchung bereits bei weitaus geringeren Belastungen als der im (quasi-)statischen Zugversuch ermittelten Zugfestigkeit zu Bruch gehen konnen. Man spricht dann von einem Ermiidungsbruch. Werkstoffkennwerte, die mit statischen PriifVerfahren ermittelt wurden, diirfen daher keinesfalls zur Dimensionierung zeitlich veranderlich beanspruchter Bauteile herangezogen werden. Ein Nachweis der Dauer-, Zeit- oder Betriebsfestigkeit muss in diesem Fall separat gefflhrt werden. Den beschriebenen Sachverhalt veranschaulicht Bild 13.3 am Beispiel eines Bauteils aus S235JR. Wahrend die vom Hersteller angegebene statische Zugfestigkeit bei etwa 340 N/mm^ liegt, muss bei schwingender Beanspruchung bereits bei Spannungen oberhalb der Dauerfestigkeit des Bauteils von etwa 60 N/mm^ nach einer endlichen Schwingspielzahl mit einem Bruch gerechnet werden. Die auf Dauer ohne Versagen ertragbare Nennspannung liegt damit deutlich unter der statischen Festigkeit! Im Gegensatz zu einem Gewaltbruch, der bei einer einmaligen Oberbeanspruchung auftreten kann, ist es fur den Schwingbruch kennzeichnend, dass er im Laufe der Zeit unter zeitlich veranderlicher Betriebsbeanspruchung entsteht. Die Zeit, die das Bauteil unter Einwirkung der Schwingungsbeanspruchung bis zum Bruch ertragt, wird als Lebensdauer bezeichnet.
350j ^m j
S Zugfestigkeit des Werkstoffs I ermittelt an Zugproben
300 j N/mm^
250 J 200 - | — 3 — Dauerfestigkeit des Werkstoffs — ermittelt an polierten, ungekerbten aAD_|.__M_.._Proben
-
150
€| a&v
in .^^.
100_-
Dauerfestigkeit des Werkstoffs ermittelt an polierten, gekerbtenl - Proben Dauerfestigkeit des Bauteils
50-
0
Bild 13.3 Bruchnennspannungen am Beispiel eines Bauteils aus S235JR
13.1 Schadensfalle infolge Werkstoffermiidung Mehr als ein Drittel aller bekannten Werkstoffschaden konnen auf Materialermudung zuriickgefiihrt werden (Bild 13.4). Die ersten durch Werkstoffermiidung verursachten Schaden an Eisenbahnachsen wurden bereits Mitte des 19. Jahrhunderts beschrieben. Bis heute ereigneten sich eine Vielzahl ermiidungsbedingter Schaden mit zum Teil katastrophalem AusmaB (Tabelle 13.1).
Thermoschock Tennperaturwechsel Ubertemperatur
O (0
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o
r
0-0—O
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-©--oooooQrnxa>o-o-o--oHD-o-ooocxiricc©o-o---O—0-0-OOOCXKXLC©000-0—©—————O—^0-OOOOQ3323QDOOO-0—O1 Dauerlaufer
O—O-OOOOOOECDOOOO-O-O—©~
. 10 Dauerlaufer
_0._0—QO-O-O-OO—©—•©—
CD - 1 9 Dauerlaufer
Schwingspielzahl N (log.)
NG
Bild 13.21 Streuung der Ergebnisse eines Wohlerversuchs (Beispiel)
13.5 WerkstoffVerhalten und Kennwerte
259
Wechsel von 100% Briichen zu 100% Dauerlaufem. Vielmehr nimmt die Anzahl der Dauerlaufer stetig zu, bis schlieBlich alle gepruften Proben oder Bauteile die Grenzschwingspielzahl NQ bzw. N*G ohne Bmch erreichen (Bild 13.21). Die Ursachen der genannten Streuungen liegen einerseits in einer unvermeidlichen, zufalligen Abweichung der Priifstucke zueinander (z. B. unterschiedliche Oberflachenrauigkeiten, Werkstoffinhomogenitaten) und andererseits in gewissen Ungenauigkeiten bei der Lastaufbringung (z. B. Einspannung und Lastregelung). Dies bedeutet, dass die Schwankungen der Versuchsergebnisse nicht das Resultat einer einzigen Veranderlichen sondem vielmehr das Produkt einer Vielzahl von Zufallsvariablen ist, deren Beitrag zur resultierenden Streuung von Fall zu Fall unterschiedlich sein kann. Frtiher entsprach es dem Stand der Technik, die Versuchsergebnisse durch eine mittelnde Kurve anzugeben und versuchte die Unsicherheiten durch Sicherheitsfaktoren abzudecken. Je nach Auswertungsmethodik kann es dabei zu sehr unterschiedlichen Einschatzungen des Kurvenverlaufs und damit letztlich auch zu verschiedenen Versuchsergebnissen kommen. Um der wachsenden Forderung nach zuverlassigen Unterlagen fflr die sichere Bemessung tragender Bauteile gerecht zu werden, wurden von einer Reihe von Forschem wie z. B. W. Weibull etwa ab 1950 statistische Verfahren ftir die Auswertung der Versuchsergebnisse eingefiihrt. Um die Ergebnisse einer statistischen Auswertung nach Mittelwert und Streubreite unterziehen zu konnen, ist man zunachst gezwungen, eine Mindestanzahl gleicher Proben unter gleichen Bedingungen (z. B. gleicher Belastungshorizont) zu priifen. Heute priift man je Spannungshorizont etwa 10 bis 20 Proben d. h. 100 bis 200 Proben fiir den gesamten Wohlerversuch (DIN 50 100 fordert hingegen nur 6 bis 10 Proben fiir den gesamten Wohlerversuch). Ftihrt man mit den experimentellen Ergebnissen des Wohlerversuches eine statistische Auswertung durch, dann gewinnt man Ergebnisse tiber den prozentualen Anteil der Proben, die bei konstanten Bedingungen eine bestimmte Schwingspielzahl mindestens ertragen, man nennt sie die Uberlebenswahrscheinlichkeit P t der gepruften Probe bzw. des Werkstiicks, den dazu komplementaren Prozentsatz bezeichnet man als Bruch- oder Ausfallwahrscheinlichkeit PAEs ist heute Stand der Technik, Wohlerversuche statistisch auszuwerten und den Ergebnissen durch Angabe der tJberlebenswahrscheinlichkeit Po (oder der Ausfallwahrscheinlichkeit PA = 100%) - Po) eine groBere Aussagefahigkeit zu verleihen. Es hat sich dabei eingebiirgert, eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 10% als untere Streugrenze und eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 90%) als obere Streugrenze anzugeben. Die Streugrenzen konnen nur durch eine statistische Auswertung der experimentellen Ergebnisse ermittelt werden. Hierzu sucht man im Zeitfestigkeitsgebiet nach einem geeigneten Verteilungsgesetz far die Streuung der Bmchschwingspielzahlen, am tJbergang zur Dauerfestigkeit dagegen nach einem entsprechenden Verteilungsgesetz fiir das Verhaltnis der Anzahl der Bruche je Lasthorizont zur Gesamtzahl der Priifkorper (auf diesem Lasthorizont). Haufig fmdet man als Verteilungsgesetz eine logarithmische Normalverteilung. Die Angabe einer Wahrscheinlichkeit hat im Gebiet der Zeitfestigkeit eine voUig andere Bedeutung als am tJbergang zur Dauerfestigkeit. Wahrend die prozentuale Angabe im Bereich der Zeitfestigkeit die Ausfallwahrscheinlichkeit bei einer bestimmten Schwingspielzahl kennzeichnet (das statistische Merkmal ist dort also die Bruchschwingspielzahl), gibt die Prozentzahl im Ubergangsgebiet die Haufigkeit des Auftretens von Briichen bei einem bestimmten
260
13 Werkstoffermiidung und Schwingfestigkeit
Belastungsniveau an (als statistisches Merkmal dient hier also das Verhaltnis der Anzahl der Briiche je Lastebene zur Gesamtzahl der Priifkorper auf dieser Lastebene). Eine Wohlerkurve, die durch Angabe der Ausfallwahrscheinlichkeiten (z. B. 10%, 50% und 90%)) erganzt ist, zeigt Bild 13.22. Demzufolge erreichen beispielsweise bei der Spannungsamplitude oxi 90% aller Pruflinge Ni Schwingspiele. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%) konnen bei dieser Beanspruchung N2 Schwingspiele ertragen werden. A^3 Lastwechsel werden bei dieser Belastungsamplitude nur noch von \0% aller Pruflinge tiberschritten, d. h. bereits 90% der Proben sind bis dahin gebrochen. t Ausfallwahrscheinlichkeit 10% 50% 90% Verteilungsdichte " Stat. Merkmal: Bruchlastspielzahl Verteilungsdichte Stat. Merkmal: Verhaltnis der Anzahl der Briiche je Lasthorizont zur Gesamtzahl der Priifkorper
A/2
A/3
A/D
Schwingspielzahl N (log.) Bild 13.22 Statistisch ausgewertete Wohlerkurve (Beispiel)
Bruch • = Dauerlaufer
Fehlt die Angabe der Ausfall- oder Uberlebenswahrscheinlichkeit einer Wohlerkurve (z. B. in alteren Veroffentlichungen), dann kann giinstigstenfalls mit einer Uberlebenswahrscheinlichkeit von 50% gerechnet werden. Auf die Verfahren der statistischen Auswertung von Wohlerversuchen kann im Rahmen dieses einfuhrenden Lehrbuches nicht naher eingegangen werden. Statt dessen wird auf die weiterfiihrende Literatur zur Ermiidungs- bzw. Betriebsfestigkeit verweisen [11,13,16 bis 18, 21].
13.5.6 Dauerfestigkeitskennwerte Der wichtigste Kennwert zum Nachweis der Dauerfestigkeit eines Bauteils ist die Wechselfestigkeit Ow. Die Wechselfestigkeit a^ ist die auf Dauer ertragbare Spannungsamplitude OXD bei rein wechselnder Beanspruchung (a^ = 0). Zur Ermittlung der Wechselfestigkeit werden eine Reihe von Wohlerversuchen mit unterschiedlich hoher Spannungsamplitude a^ und Mittelspannung am = 0 durchgefiihrt. Diejenige Spannungsamplitude die „unendlich oft" d. h. praktisch bis zur Grenzschwingspielzahl A^G bzw. N*G ohne Bruch ertragen werden kann, wird als Wechselfestigkeit a^ bezeichnet. In Bild 13.16 entspricht die Dauerfestigkeitsamplitude OXD der Wechselfestigkeit Ow, also (TAD - CTW (da (Tm = 0). Zur Durchfiihrung der Versuche verwendet man in der Regel glatte, polierte
261
13.5 WerkstoffVerhalten und Kennwerte
Kleinproben. Die Wechselfestigkeit kann unter Zug-, Druck-, Biege-, Schub- oder Torsionsbeanspruchung ermittelt werden. Dementsprechend unterscheidet man die Zug-Druck-Wechselfestigkeit oidw, die Biegewechselfestigkeit obw, die Schubwechselfestigkeit T^W und die Torsionswechselfestigkeit rtwStehen experimentell ermittelte Dauerfestigkeitskennwerte nicht zur Verfflgung, dann kann auch eine Abschatzung unter Verwendung der Streck- bzw. Dehngrenze oder der Zugfestigkeit des Werkstoffs durchgefiihrt werden. Hierzu fmdet man in der Literatur verschiedene Vorschlage. In Tabelle 13.2 sind die wichtigsten Korrelationsvorschlage zusammengestellt. Hierbei handelt es sich um empirisch ermittelte Nahemngswerte. Teilweise werden allerdings erhebliche Abweichungen von den angegebenen Werten festgestellt, sodass eine experimentelle Ermittlung der Wechselfestigkeit empfehlenswert ist. Tabelle 13.2 Empirisch ermitteke Beziehungen zur Abschatzung von Dauerfestigkeitskennwerten unter rein wechselnder Beanspruchung (Anhaltswerte fur ungekerbte Proben mit polierter Oberflache) Werkstoffsorte / Werkstoffgruppe
Dauerfestigke itskennwert ^^ Zug-DruckBiegeSchubTorsionsWechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit ^zdW
^
ObW
7)8)9)
Walzstahl, allgemein ^^ ^^
0,45
Einsatzstahl ^^
0,40 R ^^
1,1 ... 1,3 • (TzdW
0,577. cJzdw'^
0,577. Obw
Nichtrostender Stahl
0,40 R ^^
1,1 ... 1,3 • (TzdW
0,577 • cTzdw
0,577 . (Tbw
Schmiedestahl ^^
0,40 R ^^
1,1 ... 1,3 • (Jzdw
0,577 • o-zdw
0,577 • (Tbw
Stahlguss
0,34
^m
1,15 • (TzdW
0,577 • (TzdW
Gusseisen mit Lamellengraphit
0,30
^m
1,50 • (TzdW
0,850 • cTzdw
Gusseisen mit Kugelgraphit
0,34
^m
1,30 • CTzdW
0,650 • (Tzdw
k.A.
Temperguss
0,30
^m
1,40 • o-,dw
0 , 7 5 0 • (TzdW
k.A.
Al-&e/legierungen
0,30
^m
1,1 ... 1,3 • (TzdW
0 , 5 7 7 • (TzdW
k.A.
Al-Gw55legiemngen
0,30
^m
k.A.
0 , 7 5 0 • (TzdW
k.A.
^m
1,1 ... 1,3 • cr^dw 0,577 • cjzdw
0,577 • Obw
k.A. 0,8 ... 0,9 • o-zdw
'^ Werkstoffkennwerte sind in N/mm^ einzusetzen. ^^ Werte nach [2]. Fiir A^= 10^ Schwingspiele. ^^ AuBer Einsatzstahl, nichtrostender Stahl und Schmiedestahl. "^^ Nach DIN 743-3: (T^dw ~ 0,4-Rm, ohw ~ 0,5-Rm', rtw ~ 0,3-T^m (Torsionswechselfestigkeit). ^^ Blindgehartet. Der Einfluss einer Einsatzhartung wird durch den Randschichtfaktor (Tabelle 13.4) beriicksichtigt. ^^ Vorlaufiger Wert. ^^ Anhaltswerte fiir zahe Werkstoffe [22]. ^^ 0,577 = I/V3 (Gestaltanderungsenergiehypothese). ^^ Experimentelle Ergebnisse deuten eher auf ein Verhaltnis von rtw = 0,62obwhin [22]. k. A. = keine Angabe
Es bleibt anzumerken, dass in der FKM-Richtlinie [2] ein Verfahren zur Ermittlung der Biegewechselfestigkeit (cTbw) aus der Zug-Druck-Wechselfestigkeit (cjzdw) bzw. der Torsionswechselfestigkeit (rtw) aus der Schubwechselfestigkeit (TSW) genannt wird. Hierauf soil jedoch im Rahmen dieses einflihrenden Lehrbuches nicht naher eingegangen werden. Neben den in Tabelle 13.2 zusammengestellten Korrelationsgleichungen sind in der Literatur fiir nicht geschweiBte Bauteile noch weitere Beziehungen bekannt geworden.
262
13 Werkstoffermudung und Schwingfestigkeit
Stdhle [16] bzw. [20]: okw = 0385*i?«, + 30 N/mm^
(Streubreite ± 15%) bzw.
(T^m = 0,436*i2po^ + 77 N/mm^
(13.18) (13.19)
Stahlguss[\5,l^]\ (T^^ = 0,27-^«, + 85 N/mm^
(13.20)
Graues Gusseisen mit Lamellengraphit [15,20]: 330 N/mm^:
cr^dw « 0,35'i?„,... 0,50-^^1 (A^D = 10^) a,dw « 130 N/mm^
(13.24) (13.25)
Titan und Titanlegierungen [16] i?„,1100N/mm^: o-^dw ^ 620N/mm^
(13.27)
Kupfer und Kupferlegierungen [16] i?n, 2,5)
Fur die Sicherheit gegen Dauerbruch sollte in der Regel ein Wert von S^ > 2,5 gewahlt werden. Gleichung 13.38 kann in dieser Form nur fiir ungekerbte Bauteile mit polierter Oberflache unter reiner Wechselbeanspruchung angewandt werden. In der Regel treten jedoch eine Vielzahl von Einflussfaktoren auf, die sowohl die (Last-)Spannungsamplitude cTa (Beanspruchung) als auch die dauemd ertragbare Spannungsamplitude OXD (Beanspruchbarkeit) beeinflussen. Die wichtigsten Einflussfaktoren soUen nachfolgend besprochen und quantifiziert werden.
13.7 EinflussgroBen auf die Schwingfestigkeit von Metallen Eine Reihe von Einflussfaktoren konnen zu einer teilweise erheblichen Veranderung (zumeist Verminderung) der Dauerfestigkeit fiihren. Die wichtigsten herstellungs-, konstruktions- und einsatzbedingten EinflussgroBen sind in Bild 13.23 zusammengesteUt. Herstellung • Werkstoffart • Werkstoffzustand • Oberflachenrauigkeit ' Eigenspannungen
Betriebsbedingungen
Konstruktion und Fertlgung ' Bauteilgeometrie (techn. Kerben) • Bauteilverbindung (z. B. Schweifinahte) • Krafteinleitung • Oberflachenrauigkeit • Eigenspannungen
mechanisch • Hohe der Beanspruchung ( 1800 MPa) zeigen daher hohe Mittelspannungsempflndlichkeiten von M= 0,5 ... 0,7 (Bild 13.30). Die Mittelspannungsempflndlichkeit ist streng genommen kein echter Werkstoffkennwert, da insbesondere bei gekerbten Bauteilen aus Werkstoffen mit niedriger und mittlerer Festigkeit im Kerbgrund mit zunehmender Mittelspannung ortliches FlieBen eintritt. Dies fiihrt zur Ausbildung von Druckeigenspannungen, deren GroBe u. a. von der Hohe der Mittelspannung abhangen. Diese Druckeigenspannungen tiberlagem sich der Zugmittelspannung aus der auBeren Belastung und vermindem dementsprechend deren Wirkung im Bereich des Kerbgrundes. Zur rechnerischen Ermittlung der Mittelspannungsempflndlichkeit muss zwischen der Wirkung von Normalspannungen und Schubspannungen unterschieden werden.
13.7 EinflussgroBen auf die Schwingfestigkeit von Metallen
271
Wirkung von Normalspannungen: Unter der Wirkung von Normalspannungen errechnet sich die Mittelspannungsempfmdlichkeit M^ fur nicht geschweifite Bauteile zu [2]: • Stahl: '^
Mr = 0,00035-i^n,-0,10 Mr = 0,00035 • R^ + 0,05 Ma = 0,5
• Stahlguss:
(13.43) (13.44) (13.45) (13.46) (13.47) (13.48) (13.49)
»GJS: ^^ Mr = 0,00035 • R^ + 0,08 • Temperguss: Mr = 0,00035 •/?„, +0,13 » Al-Knetlegierungen M^ = 0,001 • R^ - 0,04 • Al-Gusslegierungen Mr = 0,001 • R^ + 0,20
In Bild 13.30 ist die Mittelspannungsempfmdlichkeit unter der Wirkung von Normalspannuungen (M^) technisch wichtiger Konstruktionswerkstoffe veranschaulicht. Mit eingezeichnet sind die gemafi FKM-Richtlinie [2] vorgeschlagenen Gleichungen 13.43 bis 13.45 und Gleichungen 13.47 bis 13.49. (^
' I
0,8
Al-Gusslegierungen
- 5
0,7 0,6 •a c Q.
0,5-1
E
0) (A O)
0,4
c 3 C C CO
0,3
tn a>
0,2
a.
0,1 0 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
N/mm' 2000
Zugfestigkeit f?m 1)
etwa 0,3% C, 2% Cr, 2% Ni, 0,4% Mo
^H5%Cr, 7%Ni, 2,2%Mo ^^ 15,5% Cr, 4,25% Ni, 2,75% Mo T4 = kalt ausgehartete Al-Legierung T6 = warm ausgehartete Al-Legierung
Streubereich fur: gekerbte Flachstabe {a^- 1,0... 5,0) U - axiale Beanspruchung A / D = 1 0 4 . . 10^ ( P A = 5 0 % )
Bild 13.30 Mittelspannungsempfmdlichkeit M^ wichtiger Konstruktionswerkstoffe mit Beispielen (Anhahswerte). Durchgezogene Linien nach FKM-Richtlinie [2]. '^ auch fiir nichtrostende Stable ^^ GJL: Graues Gusseisen mit Lamellengraphit (Grauguss) ^^ GJS: Graues Gusseisen mit Kugelgraphit
272
13 Werkstoffermudung und Schwingfestigkeit
Wirkung von Schubspannungen: Unter der Wirkung von Schubspannungen errechnet sich die Mittelspannungsempfindlichkeit MT; fur nicht geschweiBte Bauteile zu [2]: Stahl '^ M = 0,577 • Ma (13.50) M, = 0,577 • Ma Stahlguss: (13.51) GJL: ^' M, = 0,85 • Ma (13.52) M, = 0,65 • Ma GJS: ^* (13.53) Temperguss: M, = 0,75 • Ma (13.54) Al-Knetlegierungen M^ = 0,577 • M^ (13.55) ' Al-Gusslegierungen M^ = 0,75 • M^ (13.56) c) Naherungskonstruktion fiir das Dauerfestigkeitschaubild nach Haigh Auch fiir das Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh kann eine Naherungskonstruktion bzw. eine Naherungsgleichung angegeben werden. Hierbei ist ebenfalls zu unterscheiden zwischen duktilen und sproden Werkstoffen sowie zwischen Normal- und Schubspannungen. Wirkung von Normalspannungen: Fiir duktile Werkstoffe kann unter der Wirkung von Normalspannungen das DFS nach Haigh durch eine Parabel mit Scheitel im Punkt (i?m I 0) angenahert werden (Bild 13.31a). ")
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1
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J /
duktile Werkstoffe (zum Vergleich)
e CD L^^
Mittelspannung im
Bild 13.32 Naherungskonstruktionen fiir das DFS nach Haigh fiir duktile und sprode Werkstoffe unter der Wirkung von Schubspannungen
274
13 Werkstoffermudung und Schwingfestigkeit
Fiir duktile Werkstoffe kann unter der Wirkung von Schubspannungen die dauemd ertragbare Schubspannungsamplitude ZAD im DFS nach Haigh durch eine Ellipse angenahert (Bild 13.32a) und dementsprechend durch die folgende Gleichung beschrieben werden: (^
\
^AD ~ % * - i f l " "
Dauernd ertragbare Schubspannungsamplitude fiir duktile Werkstoffe
(13.62)
rw = Schub-Oder Torsionswechselfestigkeit(Kapitel 13.5.6) TAD = dauemd ertragbare Schubspannungsamplitude Tm = Schubmittelspannung TB = Torsionsfestigkeit bei Torsionsbeanspruchung (Kapitel 2.5.3) bzw. Abscherfestigkeit bei Abscherbeanspruchung (Kapitel 2.4.5) Fiir sprode Werkstoffe wird unter der Wirkung von Schubspannungen die dauemd ertragbare Spannungsamplitude TAD in DFS nach Haigh ebenfalls durch eine Gerade durch die Punkte (0 I rw) und (R^ \ 0) angenahert (Bild 13.32b). Die Grenzkurve kann dementsprechend fiir sprode Werkstoffe unter der Wirkung von Schubspannungen wie folgt beschrieben werden: / ^AD - %
I
i\
Dauernd ertragbare Schubspannungsamplitude fiir sprode Werkstoffe
. (13 63)
Das DFS nach Haigh lasst sich aus dem DFS nach Smith ableiten, falls man bei einer gegebenen Mittelspannung die dauemd ertragbare Amplitude nicht an der 45°-Linie sondem an der Abszisse auftragt. Die Vorteile des DFS nach Haigh sind eine einfache analytische Formuliemng der Grenzkurven und ein einfaches Eintragen von Betriebspunkten. Das DFS in der Darstellung nach Smith erlaubt hingegen eine anschauliche Zuordnung des Beanspmchungsniveaus der Schwingung zum Schaubild. AuBerdem erscheinen die Grenzlinien fur plastische Verformung in der Darstellung nach Smith anschaulich als Parallelen zur Abszisse. 13.7.1.3 Neue Vorschlage fiir das Dauerfestigkeitsschaubild fiir duktile Stable Das Dauerfestigkeitsschaubild in der Darstellung nach Haigh wurde fur duktile Stdhle zwischenzeitlich weiterentwickelt. Anstelle eines parabolischen oder elliptischen Verlaufes der Grenzkurven (Bild 13.31a und 13.32a) ist es heute in Ubereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen iiblich, das Dauerfestigkeitsschaubild durch Geradenstiicke anzunahem. Hierbei ist zu unterschieden zwischen der Wirkung von Normal- und Schubspannungen. Wirkung von Normalspannungen Fiir duktile Stable unter der Wirkung von Normalspannungen ist in Bild 13.33 eine neuere Variante des DFS nach Haigh [2] wiedergegeben. Im Bereich zwischen reiner Dmckschwellbeanspmchung {R = -oo) und reiner Zugschwellbeanspmchung {R = 0), also im Zug-Dmck-Wechselbereich, wird das DFS durch eine Gerade mit der Steigung -M^ {M^ = Mittelspannungsempfmdlichkeit fiir Normalspannungen, Kapitel 13.7.1.2) angenahert. Oberhalb von 7? = 0 (niedriger Zugschwellbereich) treten zunehmend Plastifiziemngen auf, da die Oberspannung CTQ die Streck- bzw. Dehngrenze lokal iiberschreitet. In der Folge entstehen Dmckeigenspannungen, die sich der Zugmittelspannung iiberlagem und dementsprechend zu
275
13.7 EinflussgroBen auf die Schwingfestigkeit von Metallen
einer Verbesserung der Schwingfestigkeit flihren. Daher verlauft das DPS oberhalb von R = 0 mit einer geringeren Steigung M'^ < M^. Haufig wird M'^ = M^/ 3 vorgeschlagen (z. B. [2]). Mit tJberschreiten von R = 0,5 (hoher Zugschwellbereich) ist schlieBlich keine signifikante Abhangigkeit der dauemd ertragbaren Spannungsamplitude von der Mittelspannung mehr zu beobachten, so dass sich ein horizontaler Verlauf einstellt (M^ = 0). Nach oben wird das DPS durch die Pormdehngrenze (Pliefibeginn) bzw. durch den Zahbruch begrenzt. Im Druckschwellbereich (1 < R ! i i i
0,6
0,5J
I I I I
0,5
\
0,7
11 Rz = 200 |jm] i ! i |Rz = 200|jm j j —— 1 0,4 1 = i • i — I 0,4 -j 300 500 700 1000 100 150 200 300 400 Zugfestigkeit Rm N/mm^ Zugfestigkeit Rm N/mm^
Bild 13.35 Oberflachenfaktor CQO unter der Wirkung von Normalspannungen fiir Walzstahl, Temperguss, graues Gusseisen mit Kugelgraphit (GJS), Stahlguss (GS) und Grauguss [2]
278
13 Werkstoffermudung und Schwingfestigkeit
Altemativ kann der Oberflachenfaktor Coa fur Stable und Eisengusswerkstoffe auch mit Hilfe der nachfolgenden der Korrelationsgleichung nach Huck [20] abgeschatzt werden: Co-100°C)
Graues Gusseisen mit Lamellengrapbit
100... 500
CT=1-(10-^-.9)^
Graues Gusseisen mit Kugelgrapbit
100... 500
CT=1-1,6-(10-^-,9)^
Temperguss
100... 500
CT=1-1,3-(10"^-.9)^
Aluminiumwerkstoffe
50...200
'^ Bereich der Giiltigkeit des Temperaturfaktors Cj ^^ 0 = Betriebstemperatur in °C ^^ Fiir nichtrostende Stable sind keine Temperaturfaktoren bekannt
CT=1-1,2-10-^-(»9-50°C)
284
13 Werkstoffermudung und Schwingfestigkeit
Analog zum Oberflachen- bzw. zum GroBeneinfluss (Kapitel 13.7.2 und 13.7.3) fuhrt auch der Temperatureinfluss zu einer Verminderung der dauemd ertragbaren Amplitude. Dementsprechend erhalt man die korrigierte Wechselfestigkeit a\ bzw. r*w durch Multiplikation der Wechselfestigkeit Ow bzw. rw mit dem Temperaturfaktor Cj. Bei erhohter Temperatur und insbesondere einer Zugmittelspannung (cTm > 0) ist auBerdem zu berucksichtigen, dass die maximale Spannung (Oberspannung) die statischen Werkstoffkennwerte d. h. die Warmdehngrenze bzw. die Warmzugfestigkeit oder sogar die Zeitdehngrenze bzw. die Zeitstandfestigkeit iiberschreiten und damit Bauteilversagen auslosen kann.
13.7.5 Einfluss einer Oberflachenverfestigung (Randschichteinfluss) Der Zustand der Bauteiloberflache (bis in eine Tiefe, die der technischen Anrissphase entspricht, also etwa 0,5 mm ... 1 mm) hat einen erheblichen Einfluss auf die Schwingfestigkeit, da Ermiidungsrisse meist von der Oberflache bzw. der oberflachennahen Schicht ausgehen. Mit einer Verbesserung der Schwingfestigkeit ist dann zu rechnen, falls durch das angewandte Verfahren in der Oberflachenschicht die Werkstofffestigkeit ortlich verbessert und Druckeigenspannungen eingebracht werden. Hierzu zahlen insbesondere die folgenden Verfahren: • • • •
Nitrieren und Nitrocarburieren Einsatzharten und Carbonitrieren Flamm- und Induktionsharten Festwalzen und Kugelstrahlen
Der Einfluss einer Oberflachenverfestigung (Randschichteinfluss) wird durch den Randschichtfaktor Cy erfasst. Ubliche Werte des Randschichtfaktors nach DIN 743-2 sind in Abhangigkeit des angewandten Verfahrens fiir ungekerbte und gekerbte Proben in den Tabellen 13.4 und 13.5 zusammengestellt. Vergleichbare Zahlenwerte finden sich auch in [2]. Die erzielbare Steigerung der Beanspruchbarkeit durch die genannten Verfahren der Oberflachenverfestigung ist umso ausgepragter, je steiler der Spannungsgradient senkrecht zur Oberflache ist. Die genannten Verfahren der Oberflachenverfestigung sind demnach, wie die Zahlenwerte in den Tabellen 13.4 und 13.5 zeigen, bei gekerbten Proben oder Bauteilen deutlich wirkungsvoller. Die Ursachen sind, wie bereits erwahnt, einerseits in einer signifikanten Anhebung der lokalen Werkstofffestigkeit und andererseits in der Einbringung hoher Druckeigenspannungen im Kerbgrund zu sehen. Auch bei dtinnen, auf Biegung oder Torsion beanspruchten Bauteilen ist aus den genannten Grtinden eine signifikante Steigerung der Beanspruchbarkeit festzustellen. In der Praxis konnen jedoch auch Oberflachenzustande auftreten, die zu einer Verschlechterung der Schwingfestigkeit fuhren. Dies ist insbesondere immer dann der Fall, falls Zugeigenspannungen eingebracht werden. Hierzu zahlen die folgenden Verfahren: • • •
Umformen GieBen spanende Bearbeitung wie Drehen oder Frasen (sofem Zugeigenspannungen entstehen)
Die Berucksichtigung eines Randschichteinflusses im Rahmen eines Festigkeitsnachweise erfolgt in analoger Weise zum Oberflachen-, GroBen- oder Temperatureinfluss durch Multiplikation der Wechselfestigkeit ow bzw. rw mit dem Randschichtfaktor Cy.
285
13.7 EinflussgroBen auf die Schwingfestigkeit von Metallen
Abschliefiend bleibt noch anzumerken, dass die Verfahren der Oberflachenverfestigung im Bereich der Dauerfestigkeit besonders effektiv sind. Im Bereich der Zeit-, Kurzzeit- oder Betriebsfestigkeit liegen hingegen deutlich hohere Beanspruchungen vor, die zu einem teilweisen Abbau der durch diese Verfahren eingebrachten Druckeigenspannungen fuhren. Tabelle 13.4 Kennzahlen zum Einfluss einer Oberflachenhartung fiir Stable nach DIN 743-2 Verfahren
Randschichtfaktor Cy ^^ ungekerbt gekerbt
Nitrieren 1,10... 1,15 1,20 ...2,00 Nitrierhartetiefe: 0,1 ... 0,4 mm (1,15... 1,25) (1,50 ...2,50) Oberflachenharte: 700 ... 1000 HVlOl
Bemerkungen
Aufbau hoher Druckeigenspannungen. Steigerung der Dauerfestigkeit mit zunehmender Nitrierhartetiefe erzielbar.
Einsatzharten • Aufbau hoher Druckeigenspan1,10... 1,50 1,20 ...2,00 Einsatzhartetiefe: 0,2 ... 0,8 mm nungen. Oberflachenharte: 670 ... 750 HVIO (1,20 ...2,10) (1,50 ...2,50) • Steigerung der Dauerfestigkeit mit zunehmender EinsatzharCarbonitrieren tungstiefe erzielbar. 1,10... 1,80 1,00... 1,40 Einsatzhartetiefe: 0,2 ... 0,4 mm (1,10... 1,90) (1,40 ...2,25) Oberflachenharte: 670 HVIO Flamm- und Induktionsharten Einhartungstiefe: 0,9 ... 1,5 mm Oberflachenharte: 51 ... 64 HRC
1,10... 1,40 1,20... 1,80 (1,20... 1,60) (1,40 ...2,00)
• Aufbau hoher Druckeigenspannungen durch Austenit-MartensitUmwandlung (effektive VolumenvergroBerung 1% ... 2%) • Achtung: Anrissbildung moglich!
'^ Richtwerte, gtiltig fiir die Bauteil-Dauerfestigkeit Werte ohne Klammem: Probendurchmesser 25 mm .. 40 mm Werte in Klammem: Probendurchmesser 8 mm .. 25 mm fiir Nitrieren, Einsatzharten und Carbonitrieren Probendurchmesser 7 mm.. 25 mm fiir Flamm- und Induktionsharten
Tabelle 13.5 Kennzahlen zum Einfluss einer mechanischen Verfestigung der Bauteiloberflache fur Stable nach DIN 743-2 Verfahren
Randschichtfaktor Cy ^^ ungekerbt gekerbt
Bemerkungen
Festwalzen (Rollen)
1,10... 1,25 (1,20... 1,40)
1,30... 1,80 Wirkungsweise: (1,50 ...2,20) • Aufbau hoher Druckeigenspannungen. • Glattung der Oberflache (Rauigkeit). • Zusammendrucken von Poren. • Achtung: Anrissbildung moglich !
Kugelstrahlen
1,10... 1,20 (1,10... 1,30)
1,10... 1,50 • Stahl-, Keramik-, Glaskugeln (0,2 ... 4 mm). (1,40 ...2,50) • Druckeigenspannungsschicht: 0,02 ... 0,2 mm. • Druckeigenspannungen konnen bis zur Halfte der WerkstoffflieBgrenze erreichen. • Hoherfeste Werkstoffe besser geeignet, da Druckeigenspannungszustand dort besser aufgebaut und erhahen wird.
'^ Richtwerte, gtiltig fur die Bauteil-Dauerfestigkeit Werte ohne Klammem: Probendurchmesser 25 mm . 40 mm Werte in Klammem: Probendurchmesser 7 mm. 25 mm
286
13 Werkstoffermiidung und Schwingfestigkeit
13.7.6 Einfluss von Eigenspannungen Eigenspannungen sind Spannungen im Innem eines Bauteils, ohne das Vorhandensein einer auBeren Beanspruchung. Eigenspannungen befinden sich stets im inneren Gleichgewicht und sind daher inhomogen verteilt. Eigenspannungen iiberlagem sich den Lastspannungen. Hinsichtlich der raumlichen Ausdehnung unterscheidet man Eigenspannungen erster Art (Ausdehnung iiber makroskopische Bereiche), Eigenspannungen zweiter Art (Ausdehnung uber einige Kristallite) und Eigenspannungen dritter Art (wirken innerhalb eines Kristalliten). Im HinbHck auf die Schwingfestigkeit sind insbesondere Eigenspannungen erster Art von Bedeutung. Anstelle einer pauschalen Beriicksichtigung von Eigenspannungen mit Hilfe entsprechender Kennzahlen, kann bei bekannter oder abschatzbarer GroBe der Eigenspannungen (oEi), ihr Einfluss auch mit Hilfe des Dauerfestigkeitsschaubildes quantifiziert werden. Entscheidend ist hierbei der Betrag der Eigenspannungen im Bereich der Oberflache, da Ermtidungsrisse in der Kegel von der Probenoder Bauteiloberflache ausgehen.
| I g 0,8
My
n
0.6
11 0,4 ] It "I
]
"MTE
0,2 —1—1—1—1—
500
1000
1500
N/mm2
2500
Zugfestigkeit
Analog zur Mittelspannungsempfmdlichkeit M (Kapitel 13.7.1.2) nimmt die Ei- Bild 13.43 Mittelspannungs- und Eigenspannungsempfindlichkeit [ 16] genspannungsempfmdlichkeit M^i mit steigender Zugfestigkeit des Werkstoffs zu, da der Abbau von Eigenspannungen mit zunehmender Werkstofffestigkeit erschwert wird (Bild 13.43). Im Vergleich zur Mittelspannungsempfmdlichkeit Mist der Betrag der Eigenspannungsempfmdlichkeit MEI etwas geringer. Eine Erklarung fur diese Beobachtung ist in einer lokalen Plastifizierung des Werkstoffs, verbunden mit einem Abbau der inhomogen verteilten Eigenspannungen zu sehen. Die besonders starke Verminderung der Mittelspannungsempfmdlichkeit bei hochfesten Stahlen (R^n > 1500 N/mm^) ist ungeklart. Bild 13.44 zeigt den Einfluss von Eigenspannungen (OEI) auf die dauemd ertragbare Spannungsamplitude. Liegt eine eigenspannungsbehaftete Schwingbeanspruchung vor, der sich ggf noch eine Mittelspannung aus der auBeren Belastung iiberlagert, dann wird ausgehend von der Wechselfestigkeit Ow mit Hilfe des Dauerfestigkeitsschaubildes zunachst die dauemd ertragbare Spannungsamplitude OAD fur die gegebene Mittelspannung bestimmt (Punkt A in Bild 13.44). Die dauemd ertragbare Spannungsamplitude unter zusatzlicher Beriicksichtigung des Eigenspannungseinflusses (OXD EI) erhalt man schlieBlich, indem man ausgehend vom Punkt A und unter Beriicksichtigung der Eigenspannungsempfmdlichkeit M^i gemaB Bild 13.43 eine weitere Spannungstransformation durchflihrt. Fiir die dauemd ertragbare Spannungsamplitude gilt dann: Dauernd ertragbare Spannungsamplitude /i^ nc,\ ^ADEi - ^ W •M. • ^ m * ^ ^ 0 E r < ^ E i unter Mittel- und Eigenspannungseinfluss Fiir Zugeigenspannungen ist OEi in Gleichung 13.78 positiv und fiir Dmckeigenspannungen negativ einzusetzen.
287
13.7 EinflussgroBen auf die Schwingfestigkeit von Metallen GAD
bzw. Gg
C5m -cJ"Ei
Druckeigen-' Zugeigen- +crAD/ak). Aus dieser Beobachtung schlieBt man, dass die Maximalspannung a^ max bei schwingender Beanspruchung im Gebiet der Dauerfestigkeit nicht mit dem „statischen" Wert a^ max = dfk • (Tan, sondem mit einem verminderten Betrag cja max ^ A ' ^an schadiguugswirksam wird (Bild 13.46). Die effektive Spannungstiberhohung bei Schwingbeanspruchung ist dementsprechend geringer als die theoretische Spannungsiiberhohung bei statischer Beanspruchung. Den Faktor A nennt man Kerbwirkungszahl. Anstelle von A wird fiir die Kerbwirkungszahl mitunter auch das Formelzeichen K^ (/"steht fiir fatigue, engl.: Ermtidung) [2] oder A bzw. A [4] verwendet. Fiir die Dauerschwingfestigkeit von gekerbten Bauteilen ist dementsprechend nicht die Formzahl a^ sondem die Kerbwirkungszahl A maBgebend.
statische Beanspruchung
schwingende Beanspruchung
i ' i h
akGn
iH F(t)l
Bild 13.46 Schadigungswirksame Spannungsverteilung unter statischer und schwingender Beanspruchung am Beispiel eines gekerbten Rundstabes unter Zugbeanspruchung 13.7.8.1 Definition der Kerbwirkungszahl Die Kerbwirkungszahl P^ ist defmiert als das Verhaltnis der Dauerfestigkeit \ \ ohne Kerbe >A^ der ungekerbten, polierten Probe (oADC^k ^ 1)) zur Dauerfestigkeit der gekerbten, polierten Probe, ausgerr.r^ \ >^ drtickt durch die Nennspannung \ mit Kerbe An (c7ADn(crk>l)), Bild 13.47: 1
V
\ \ ^f
l^ \
'^AD •
A=
100 mm siehe DIN EN 10025-2. ^^ Kurzer Proportionalstab (LQ = 5,65-^So). Kennwerte gultig flir Nenndicken von 3 mm ... 40 mm. Kennwerte fur Nenndicken > 40 mm siehe DIN EN 10025-2. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle Al-2 Mechanische Eigenschaften fiir normalgegluhte, schweiBgeeignete Feinkornbaustahle nach DIN EN 10025-3 Mec hanisch e Eigens chaften
V^erkstoffsorte Kurz name neu ^^
alt^>
Werkstoff nummer N/mm^ min.
S275N S275NL S355N S355NL S420N S420NL S460N
StE 285 TStE 285 StE 355 TStE 355 StE 420 TStE 420 StE 460
1.0490 1.0491 1.0545 1.0546 1.8902 1.8912 1.8901
S460NL
TStE 460
1.8903 ^
Oi,w^^
r,w^^
N/mm^ N/mm^ N/mm^
N/mmH
OidW
N/mm^
% min.
275
370... 510
24
165
185
110
95
355
470... 630
22
210
235
140
120
420
520... 680
19
235
260
150
135
460
550... 720
17
245
275
160
140
" nach DIN 10027-1 ^^ nach DIN 17006 ^^ Kennwerte fiir Nenndicken < 16 mm. Kennwerte fiir Nenndicken > 16 mm siehe DIN EN 10025-3. "•^ Kennwerte fiir Nenndicken < 100 mm. Kennwerte ftir Nenndicken > 100 mm siehe DIN EN 10025-3. ^^ Kennwerte flir Nenndicken < 16 mm. Kennwerte fur Nenndicken > 16 mm siehe DIN EN 10025-3. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
313
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Tabelle Al-3 Mechanische Eigenschaften fur thermomechanisch gewalzte, schweilJgeeignete Feinkornbaustahle nach DIN EN 10025-4 Mechanische Eigenschaften
VV^erkstoffsorte Kurz name
Werkstoff nummer N/mm^
neu ^^
N/mm^
____ —
1.8818
S355M
StE 355 TM
1.8823
S355ML
TStE 355 TM
1.8834
S420M
StE 420 TM
1.8825
S420ML
TStE 420 TM
1.8836
S275M S275ML
1.8819
S460M
StE 460 TM
1.8827
S460ML
TStE 460 TM
1.8838
%
N/mmNN/mm^ N/mm^ N/mmH
min.
min. 275
370 ...530
24
160
180
105
95
355
470 ...630
22
205
225
130
115
420
520 ...680
19
225
250
145
130
460
550 ...720
17
240
265
155
140
'^ nach DIN 10027-1 2^ nach DIN 17006 ^^ Kennwerte fiir Nenndicken < 16 mm. Kennwerte fiir Nenndicken > 16 mm siehe DIN EN 10025-4. '^^ Kennwerte fiir Nenndicken < 40 mm. Kennwerte fiir Nenndicken > 40 mm siehe DIN EN 10025-4. ^^ Kurzer Proportionalstab (LQ = 5,65V5'o). ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle Al-4 Mechanische Eigenschaften fur Vergiitungsstahle im vergiiteten Zustand nach DIN EN 10083-2 und-3 Me
Werkstoff nummer N/mm^
n 3) ^ 3 ) 4 )
N/mm'
min.
%
OzdW r.w^^ N/mm^ N/mm^ N/mm^ N/mmH
min.
Unlegierte Vergiitungsstahle C22E C22R
Ck22 Cm 22
1.1151 1.1149
C35E C35R C35 C40E C40R C40 C45E C45R C45
Ck35 Cm 35 C35 Ck40 Cm 40 C40 Ck45 Cm 45 C45
1.1181 1.1180 1.0501 1.1186 1.1189 1.0511 1.1191 1.1201 1.0503
C50E C50R
Ck50 Cm 50
1.1206 1.1241
C55E C55R C55 C60E C60R C60 28Mn6
Ck55 Cm 55 C55 Ck60 Cm 60 C60 28Mn6
1.1203 1.1209 1.0535 1.1221 1.1223 1.0601 1.1170
340
500 ...650
20
225
250
145
130
430
630 ...780
17
285
310
185
165
460
650 ...800
16
295
320
190
170
490
700 ...850
14
315
345
205
185
520
750 ...900
13
340
365
215
195
550
800 ...950
12
360
390
230
210
580
850 ...1000
11
385
415
245
220
590
800 ... 950
13
360
390
230
210 1
314
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Fortsetzung Tabelle Al-4 Mechanische Eigenschaften fur Vergiitungsstahle im vergiiteten Zustand nach DIN EN 10083-2 und -3 Werkstoffsorte Kurzname
Mechanische Eigenschaften ^
Werkstoff nummer N/mm^ min.
N/mm^
% min.
5) 1 ^
5)
N/mmMN/mm^ N/mm^ N/mm^
Legierte Vergiitungsstahle 38Cr2
38Cr2
38CrS2
38 CrS 2 46Cr2 46 CrS 2 34Cr4 34 CrS 4 37Cr4 37 CrS 4 41Cr4 41 CrS 4 25 CrMo 4 25 CrMoS 4 34 CrMo 4 34 CrMoS 4 42 CrMo 4 42 CrMoS 4 50 CrMo 4 34 CrNiMo 6 30 CrNiMo 8
46Cr2 46CrS2 34Cr4 34CrS4 37Cr4 37CrS4 41Cr4 41CrS4 25CrMo4 25CrMoS4 34CrMo4 34CrMoS4 42CrMo4 42CrMoS4 50CrMo4 34CrNiMo6 30CrNiMo8 36CrNiMol6 39NiCrMo3 30NiCrMol6-6 51CrV4 20MnB5 1 30MnB5
— - „ _
50CrV4
— —
1.7003 550 1.7023 1.7006 650 1.7025 1.7033 700 1.7037 1.7034 750 1.7038 1.7035 800 1,7039 1.7218 700 1.7213 1.7220 800 1.7226 1.7225 900 1,7227 1.7228 ^ 900 1000 1.6582 1050 1.6580 740 1.6773 785 .___ 880 1.6747 900 1.8159 700 1.5530 800 1.5531
800... 950
14
360
390
230
210
900... 1100
12
405
435
260
235
900... 1100
12
405
435
260
235
950... 1150
11
430
460
270
245
1000... 1200
11
450
480
285
260
900... 1100
12
405
435
260
235
1000... 1200
11
450
480
285
260
1100... 1300
10
495
525
315
285
1100... 1300 1200... 1400 1250 ... 1450 880... 1180 980... 1180 1080... 1230 1100... 1300 900 ... 1050 950... 1150
9 6 9 12 11 10 9 14 13
495 540 565 565
525 570 595 595
315 340 355 355
285 310 325 325
— —
— —
— —
— —
495
525
315
285
— —-
— —
- _ „
—
— —-
'^ nach DIN 10027-1 2^ nach DIN 17006 ^^ Kennwerte fur maBgebliche Querschnitte < 16 mm bzw. fur Flacherzeugnisse mit Dicken < 8 mm. Kennwerte fur Querschnitte > 16 mm bzw. Dicken > 8 mm siehe DIN EN 10083-2 bzw. -3. "^^ Kurzer Proportionalstab (LQ = 5,65-^lSo). Kennwerte fiir Nenndicken von 3 mm ... 40 mm. Kennwerte ftir Nenndicken > 40 mm siehe DIN EN 10083-2 bzw.-3. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2]. Falls keine Werte angegeben, erfolgt die Berechnung gemafi Tabelle 13,2.
315
Anhang 1: Werkstoffkennwerte Tabelle A l - 5 Mechanische Eigenschaften fur Einsatzstahle nach DIN EN 10084 (Auswahl) Mechanische Eigenschaften
Werkstoffsorte Kurzname
Werkstoff nummer N/mm^ J?
3)
N/mmnN/mm^ N/mm^ N/mmH
N/mm^
%
min.
min.
min.
310
500
k.A.
200
220
130
115
545
750
k.A.
320
345
205
185
545
780
k.A.
320
345
205
185
Uniegierte Einsatzstahle CklO
1.1121
—
1.1207
C15E
Ckl5
1.1141
C15R
Cm 15
1.1140
C16E
——
1.1148
ClOE |C10R
C16R
1.1208
Legierte Einsatzstahle
16MnCr5
16MnCr5
1.7131
695
1000
k.A.
400
430
255
1 20MnCr5
20 MnCr 5
1.7147
850
1200
k.A.
480
510
305
185 210 230 280
18CrMo4
—
1.7243
775
1100
k.A.
440
470
280
255
22CrMoS3-5
22 CrMoS 3-5
1.7333
775
1100
k.A.
440
470
280
255
1 17Cr3
17Cr3
1.7016
545
780
k.A.
320
345
205
1 28Cr4
28Cr4
1.7030
620
870
k.A.
360
385
230
1 1 1 1
20MoCr3
—
1.7320
620
880
k.A.
360
385
230
210
20MoCr4
20MoCr4
1.7321
620
880
k.A.
360
385
230
210
16NiCr4
1.5714
695
950
k.A.
400
430
255
1.5805
620
850
k.A.
360
385
230
230 1 210 1
1.5810
850
1200
k.A.
480
510
305
280
1.5918
850
1200
k.A.
480
510
305
15NiCrl3
— ... ... — ...
1.5752
695
1000
k.A.
400
430
255
20NiCrMo2-2
21NiCrMo2
1.6523
775
1100
k.A.
440
470
280
17NiCrMo6-4
1.6566
850
1200
k.A.
480
510
305
20NiCrMoS6-4
— —
1.6571
850
1200
k.A.
480
510
305
18CrNiMo7-6
17CrNiMo6
1.6587
850
1200
k.A.
480
510
305
280 230 255 280 280 280
14NiCrMol3-4
...
1.6657
850
1200
k.A.
480
510
305
280
10NiCr5-4 . ll8NiCr5-4 17CrNi6-6
'^ nach DIN 10027-1 2^ nach DIN 17006 ^^ Kennwerte fiir nach FKM-Richtlinie [2]. k.A. = keine Angabe
1 1 1 1 1 1
316
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Tabelle Al-6 Mechanische Eigenschaften fiir Nitrierstahle nach DIN EN 10085 Werkst offsorte Kurzname
24CrMo3-6 31CrMol2 32CrAlMo7-10 31CrMoV9 33CrMoV12-9 34CrAlNi7-10 41CrAlMo7-10 40CrMoV13-9 34CrAlMo5-10
Mechanische Eigenschaften (im vergiiteten Zustand) r,:
Werkstoff nummer
1.8516 1.8515 1.8505 1.8519 1.8522 1.8550 1.8509 1.8523 1.8807
N/mm' min. 800 835 835 900 950 680 750 750 600
N/mm^
%
N/mm^
2) 1
_
2)
N/mm^ N/mm^
N/mm^
1 min. 1 1000... 1030... 1030... 1100... 1150... 900... 950... 950... 800...
1200 1230 1230 1300 1350 1100 1150 1100 1000
10 10 10 9 11 10 11 11 14
450 465 465 495 520 405 430 430 360
285 295 295 315 330 260 275 275 230
260 270 270 285 300 235 250 250 210
N/mm^
r.w^^ N/mm^
480 495 495 525 550 435 460 460 390
'^ Kennwerte ftir Dicken von 16 mm ... 40 mm. Kennwerte fur Dicken > 40 mm siehe DIN EN 10085. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle A l - 7 Mechanische Eigenschaften fur nichtrostende Stable nach DIN EN 10088 Werkstoffs 9rte Kurzname
Werkstoffnummer
Met hanische Eigenschaften ^^ n
2) ^2)3)
N/mm^ min.
N/mm^
Nichtrostende ferritische StMhle (gegluhter Zustand)
% min.
X2CrNil2 250 450... 650 1.4003 18 X6CrA113 1.4002 210 400... 600 17 X6Crl7 1.4016 240 430... 630 20 X6CrMol7-l 1.4113 260 450 ... 630 18 1.4017 330 500 ... 750 X6CrNil7-l 12 1.4509 230 430... 630 X2CrTiNbl8 18 1 Nichtrostende austenitische StMhle (losungsgegliihter Zustand) 40 600... 950 250 1.4310 X10CrNil8-8 40 550 ... 750 270 X2CrNiN18-10 1.4311 45 520... 720 1.4301 210 X5CrNil8-10 1.4541 40 500 ... 700 200 X6CrNiTil8-10 40 X6CrNiMoTil7-12-2 520 ... 670 220 1.4571 40 580... 780 270 1.4439 X2CrNiMoN17-13-5 40 650... 850 300 1.4529 XlNiCrMoCuN25-20-7 1 Nichtrostende austenitisch>ferritische Stable (losungsgegluhter Zustand) 25 X2CrNiN23-4 1.4362 400 630... 800 20 530 730... 930 X2CrNiMoN25-7-4 1.4410 1 Nichtrostende martensitische StShle (vergiiteter Zustand) 1.4021 550 750... 950 X20Crl3 840... 1100 1.4418 660 1 X4CrNiMo 16-5-1
10 14
OidW
ObW
N/mm^ N/mm^
180 160 170 180 260 170
205 180 195 205 290 195
120 110 115 120 175 115
105 1
240 220 230 200 210 230 260
270 245 235 225 235 260 290
160 145 140 135 140 155 170
140 1
250 290
280 320
165 190
145 170
300 335
330 410
195 220
175 195
90 100 105 150
100 1 | 125 120 115 120 135 150 |
'^ Fiir Blech und Band fur die allgemeine Verwendung. ^^ • Ferritische Stable: Warmgewalztes Blech bis 25 mm Dicke. Langsproben. Fiir X6CrNil7-l warmgewalztes Band bis 13,5 mm Dicke. • Austenitische Stable: Warmgewalztes Blech bis 75 mm Dicke. Querproben. Fur X10CrNil8-8 kaltgewalztes Band bis 8 mm Dicke. Querproben. • Austenitisch-ferritische Stable: Werte giiltig fur warmgewalztes Band bis 75 mm Dicke. Querproben. • Martensitische Stable: fur X20Crl3 verguteter Zustand (+QT750) und fiir X4CrNiMo 16-5-1 verguteter Zustand (+QT840). Warmgewalztes Band mit Dicken bis 75 mm. Langsproben. ^^ Kurzer Proportionalstab (LQ = 5,65V5'o). Kennwerte fur Dicken > 3 mm. "^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
317
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Tabelle Al-8 Mechanische Eigenschaften fur Stahlguss fiir allgemeine Anwendungen nach DIN EN 10293 Mechanische Eigenschaften
¥erkstoffsorte Kur zname
WerkstofI ^P0,2 nummer N/mm^ min.
neu ^^
N/mm'
% min.
N/mm^N/mm^ N/mm^ N/mm^
GE200
GS-38
1.0420
200
380 ... 530
25
130
150
90
75
GE240
GS-45
1.0446
240
450 ... 600
22
150
180
105
90
GE300
GS-60
1.0558
300
600... 750
15
205
235
140
120
G28Mn6
GS-30 Mn 5
1.1165
260
520... 670
18
175
205
125
100
1 G26CrMo4
GS-25 CrMo 4
1.7221
300
550 ... 700
14
185
215
130
110
1 G34CrMo4
GS-34 CrMo 4
1.7230
480
620 ... 770
10
220
250
150
130
G42CrMo4
GS-42 CrMo 4
1.7231
550
700... 850
10
240
270
160
135
G30CrMoV6-4
GS-30 CrMoV 6 4
1.7725
550
750 ... 900
12
220
250
150
130
G35CrNiMo6-6
GS-34 CrNiMo 6
1.6579
650
800 ... 950
12
270
305
185
155
G32NiCrMo8-5-4
GS-30 NiCrMo 8 5
1.6570
650
820 ... 970
14
270
305
185
155
" nach DIN EN 10027-1 2' nach DIN 17006-4 ^^ GE200, GE240: normalgegliiht, Kennwerte fiir Nenndicken bis 300 mm. GE300: normalgegliiht, Kennwerte fur Nenndicken bis 30 mm. G28Mn6: normalgegliiht, Kennwerte fur Nenndicken bis 250 mm. G26CrMo4: vergiitet (+QT1), Kennwerte fiir Nenndicken bis 250 mm. G34CrMo4, G42CrMo4, G30CrMoV6-4 und G35CrNiMo6-6: vergutet (+QT1), Kennwerte fur Nenndicken von 100 mm ... 150 mm. G32NiCrMo8-5-4: vergiitet (+QT1), Kennwerte fur Nenndicken von 100 mm ... 250 mm. '^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle Al-9 Mechanische Eigenschaften fur graues Gusseisen mit Lamellengraphit nach DIN EN 1561 VV^erkstoffsort e Kurzna me neu '^
M echanische Eigenscllaften Werkstoff
alt^^
nummer
EN-GJL-100
GG-10
EN-JL-1010
EN-GJL-150
GG-15
EN-JL-1020
EN-GJL-200
GG-20
EN-JL-1030
EN-GJL-250
GG-25
EN-JL-1040
EN-GJL-300
GG-30
EN-JL-1050
EN-GJL-350
GG-35
EN-JL-1060
OidW
%
ObW
N/mmH
N/mm' min.
N/mm'
— — — ... — ...
100... 200
0,3 ...0,8
30
45
40
25
150...250
0,3 ...0,8
45
70
60
40
200... 300
0,3 ...0,8
60
90
75
50
N/mm^ N/mm^ N/mm^
min.
250... 350
0,3 ...0,8
75
110
95
65
300... 400
0,3 ...0,8
90
140
115
75
350...450
0,3 ...0,8
105
145
130
90
'^ nach DIN EN 1560 2^ nach DIN 17006-4 ^^ Mechanische Eigenschaften gemessen an Proben aus getrennt gegossenen Probestiicken. Rohgussdurchmesser 30 mm bzw. mafigebende Wanddicke 15 mm. Kennwerte ftir abweichende Wanddicken siehe DIN EN 1561. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2]. ^^ Weitere Kennwerte siehe DIN EN 1561. Naherungsweise wird dort angegeben: (Jzdw = 0,26-Rm ^^ Weitere Kennwerte siehe DIN EN 1561. Naherungsweise wird dort angegeben: Obw = 0,35 ... 0,5-Rm
318
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Tabelle A l - 1 0 Mechanische Eigenschaften ftir graues Gusseisen mit Kugelgraphit nach DIN EN 1563 /erkstoffsorte
Mechanische Eigenschaften Werkstoff
n 3) ^p0,2
nummer
N/mm^ min.
N/mm^ min.
% min.
EN-JS-1010 EN-JS-1020 EN-JS-1030 EN-JS-1040 EN-JS-1050 EN-JS-1060 EN-JS-1070 EN-JS-1080 EN-JS-1090
220 250 250 310 320 370 420 480 600
350 400 400 450
22 18 15 10 7 3 2 2 2
Kurzna me neu ^^ ^N-GJS-350-22 EN-GJS-400-18 ' EN-GJS-400-15 1 EN-GJS-450-10 EN-GJS-500-7 1 EN-GJS-600-3 EN-GJS-700-2 EN-GJS-800-2 [ EN-GJS-900-2
„ .
„ .
GGG-40 „ _
GGG-50 GGG-60 GGG-70 GGG-80
—
500 600 700 800 900
N/mm^ N/mm^ N/mm' 120 135 135 155 170 205 240 270 305
110 120 120 135 150 180 205 235 260
160 185 185 205 225 265 305 340 380
N/mm^ 75 90 90 100 j
no 135 155 175 200 1
'^ nach DIN EN 1560 ^^ nach DIN 17006-4 ^^ Mechanische Eigenschaften gemessen an Proben aus getrennt gegossenen Probestucken. ^' ^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle A l - 1 1 Mechanische Eigenschaften fiir Temperguss nach DIN EN 1562 V^erkstoffsorte Kurzna me alt^>
neu ^^
IV [echanische Eigenschaften
Werkstoff nummer
4) 1
If 3) ^p0,2
^zdW
N/mm^ N/mm^ min. min.
%
4) 1
ObW
4) ^W
N/mm^ N/mm^ N/mm^
N/mmH
min.
Weifier Temperguss EN-GJMW-350-4 EN-GJMW-360-12 EN-GJMW-400-5 EN-GJMW-450-7 EN-GJMW-550-4
GTW-35-04 GTW-S-38-12 GTW-40-05 GTW-45-07
___
EN-JM-1010 EN-JM-1020 EN-JM-1030 EN-JM-1040 EN-JM-1050
.._ 190 220 260 340
350 360 400 450 550
4 12 5 7 4
105 110 120 135 165
150 155 170 190 230
115 120 130 145 175
300 350 450 500 550 600 650 700 800
6 10 6 5 4 3 2 2 1
90 105 135 150 165 180 195 210 240
130 150 190 210 230 250 265 285 320
100 115 145 160 175 190 205 220 250
80 1 80 90 100
125 1
Schwarzer Temperguss EN-GJMB-300-6 EN-GJMB-350-10 EN-GJMB-450-6 EN-GJMB-500-5 EN-GJMB-550-4 EN-GJMB-600-3 EN-GJMB-650-2 EN-GJMB-700-2 1 EN-GJMB-800-1
„ _
GTS-35-10 GTS-45-06
__. GTS-55-04
___ GTS-65-02 GTS-70-02
—
EN-JM-1110 EN-JM-1130 EN-JM-1140 EN-JM-1150 EN-JM-1160 EN-JM-1170 EN-JM-1180 EN-JM-1190 EN-JM-1200
„ _
200 270 300 340 390 430 530 600
70 1 80 100 115 125 135 145 160 180
'^ nach DIN EN 1560 2^ nach DIN 17006-4 ^^ Mechanische Eigenschaften fiir einen Probendurchmesser von 12 mm bei weifiem Temperguss und 12 mm oder 15 mm bei schwarzem Temperguss. Kennwerte fiir abweichende Probendurchmesser siehe DIN EN 1562. "^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
319
Anhang 1: Werkstoffkennwerte
Tabelle Al-12 Mechanische Eigenschaften fur Aluminiumknetlegierungen nach DIN EN 485-2 (Auswahl) lechanis che Eigenschafte n
Werkstof]fsorte n 4) Wst- ^pO,2 Numerische Bezeichnung ^^ zustand N/mm' N/mm^ min. min. 3)
Kurzname ^^
EN-AW Al Cu4SiMg
ENAW-2014
EN-AW Al Cu4Mg
EN AW-2024
EN-AW Al Si IFe
EN AW-4006
EN-AW Al Mg2,5
EN AW-5052
EN-AW Al Mg3
EN AW-5754
EN-AW Al Mg4,5MnO,7
EN AW-5083
EN-AW Al Si IMgMn
EN AW-6082
EN-AW AlZn4,5Mgl
EN AW-7020
1 EN-AW Al Zn5,5MgCu
T451 T651 T4 T62 H14 T4 0 H12 H18 0 H12 H18 0 H12 H16 T451 T651 T451 T651 T62
EN AW-7075
240 390 275 345 120 55 65 160 240 80 170 250 125 250 300 110 260 210 280 470
OzdW
N/mm^ N/mm^ N/mm^ N/mm^l
% min. 14 7 14 5 3 18 16 8 2 16 6 2 13 5 2 14 7 12 8 7
395 440 425 440 140 120 170 210 270 190 220 290 275 315 360 205 310 320 350 540
120 130 130 130 40 35 50 65 80 55 65 85 85 95 110 60 95 95 105 160
140 150 145 150 55 50 65 85 100 75 85 105 100 115 130 80 110 115 125 180
85 95 90 95 35 30 40 50 60 45 50 65 60 70 80 50 70 70 75 115
70 75 75 75 25 20 30 35 45 35 40 50 45 55 60 35 55 55 60 95
'^ nach DIN EN 573-2 ^^ nach DIN EN 573-1 '> nach DIN EN 515 '^^ Kennwerte fur Bander, Bleche und Flatten mit einer Nenndicke von 1,5 mm ... 3mm. Fiir EN AW Al Cu4SiMg-T451 und -T651 sowie EN-AW Al Cu4Mg-T4 Nenndicke 1,5 mm ... 6 mm. Fiir EN-AW Al Cu4Mg- •T62 Nenndicke 0,4 mm ... 12,5 mm. ^^ Kennwerte nach FKM-Richtlinie [2].
Tabelle Al-13 Mechanische Eigenschaften fiir Aluminiumgusslegierungen nach DIN EN 1706 (Auswahl) ]Mechanis che
Werkstoffsorte Kurzname ^^
WstNumerische Bezeichnung ^^ zustand 3)
EN-AC Al Cu4MgTi EN-AC Al Cu4Ti EN-AC Al Si7Mg EN-AC Al Si lOMg EN-AC Al Si9Mg EN-ACAlSill EN-ACAlSil2
AC-21000 AC-21100 AC-42000 AC-43000 AC-43300 AC-44000 AC-44100
EN-AC Al Si5CulMg
AC-45300
EN-AC Al Mg3 EN-AC Al Mg5 EN-AC Al Zn5Mg
AC-51100 AC-51300 AC-71000
T4 T6 T6 T6 T6 F F T4 T6 F F L Tl
Eigeiischaften
n 4) ^pO,2
ObW
N/mm^ min.
N/mm^ min.
% min.
N/mm^
N/mm^
N/mm^
N/mm^
200 220 220 220 210 80 80 140 210 70 100 130
320 330 260 260 290 170 170 230 280 150 180 210
8 7 1 1 4
95 100 80 80 85 50 50 70 85 45 55 65
140 145 115 115 130 75 75 105 125 70 80 95
105 110 90 90 100 60 60 80 95 50 60 70
70 75 60 60 65 40 40 50 65 35 40 45
7 5 3
o
B
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10
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CD
CD"
o
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CD in
^10 iqezLUJOj
in
o
in^ co"
o
Q .2 o
329
Anhang 3: Formzahldiagramme
b
H^
Y/Mmv//. a F\1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 alh—-
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Bild A2.15 Formzahldiagramm fur Flachstab mit Querbohrung unter Zugbeanspruchung nach [1]
330
Anhang 4; Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben Die ausftihrlichen Losungen sowie alternative Losungsvorschlage fmden Sie im separaten Losungsband.
Kurzlosungen zu Kapitel 2 Losung zu Aiifgabe 2.1 a) a-= 339,53 N/mm^ b) 5'F = 2,00 (ausreichend, da 5F > 1,20) SB = 3,09 (ausreichend, da SB > 2,00) c) A/= 1,96 mm d) F = 49008 N « 49 kN Q)
s = 4,89 mm
Ldsung zu Attfgabe 2.2 2i) d= 8,29 mm (Berechnung gegen Fliefien) b) f=l,37%o A/ = 2,05 mm c) FB = 34064 N Ldsung zu Aufgabe 2 3 a) Leerer Wassertank: OL = 49,05 N/mm^ Voller Wassertank: ov = 88,29 N/mm^ b) ^F = 3,00 (ausreichend, da S^ > 1,20) SB = 5,32 (ausreichend, da ^B > 2,00) c) A/= 0,28 mm Ldsuitg zu Aufgabe 2.4 a) d= 13,42 mm b) SB = 3,84 (nicht ausreichend, da SB < 4,0) c) w = 2402 kg Ldsung zu Aufgabe 2.5 a) Fs = 35195 N b) Os = 49,8N/mm^ c) Stahl: A/= 0,64 mm Al-Legierung: A/=l,91mm
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben d) Stahl: mi = 15364 kg Al-Legierung: m\ = 10544 kg e) Stahl: ^ = 3,07 mm Al-Legierung: >s = 3,21mm Losung zu Aiifgabe 2.6 F = 2090,4 N
Ldsuiig ^u Aufgabe 2.7 a) F i = 428,6 kN b) F2 = 600kN c) crpL=240N/mm^ avK= 394,32 N/mm^ d) F4 = 783,5 kN
Losung zu Aufgabe 2.8 A/ = 221,9 mm Ok = 627,2 N/mm^ (TM = 37,0 N/mm^
Ldsung zii Aufgabe 2.9 a) FlieBen oder Knickung b) ^ = 2,5 mm c) A / - 1,19mm Losung zu Aufgabe 2.10 a)
d=2S,lmm
b) A/= 3,45 mm c) w*-21065 kg Losung zu Aufgabe 2.11 a) F = 349,2 kN b) (Td = (Tdi = (Td2 = Od3 = 177,8 N / m m ^
c) Scheibe 1 (Mg): A/, = 0,148 mm Scheibe 2 (Cu): Ah = 0,075 mm Scheibe 3 (Stahl): A/3 = 0,027 mm
331
332
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Losung zu Aufgabe 2.12 s = 15,3 mm Ldsiing ztt Aufgabe 2.13 a) zs = 38 mm /ys = 578667 mm^ ^by= 15228 mm^ b) 5'F = 5,41 (ausreichend, da Sp > 1,20) c) PF*by = 6338,0 mm^ Ldsung zu Aufgabe 2.14 a) Mb„,ax = i ^ - / / 4 F
'f A
i^kM
F/2 My'bmax
Mb
b)/max = 9,09 mm c) /max =18,23 mm Ldsung zu Aufgabe IAS 1= 16630 mm Ldsung zu Aufgabe 2.16 a) ^ b = 14,9610'^ mm^ b) m* = 47,95 kg
1 1 1 1 1 1 1 1 1 \\^\ \y^
F/21
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben Ldsiing zu Aufgabe 217
a) '~
36
"^
b)
24
7 = ^ ^ 32V3 W
-^^
c) ,
b-h^
by'
,0
Ldsuiig zu Aufgabe 2*18
a)
h
b-h^ = 12 b-h^ 6
b)
4=
h-b^ 12 h-b^
'^bz^
6
Ldsung zu Aufgabe 2.19 ^vb ==
1152 cm'*
Ldsung zu Aufgabe 2.20 a) zs = 43,33 mm b) /ys = 4426667 mm^ Lgsung zu Aufgabe 2.21 a) /ys =1568cm^ ffbys = 224 cm^ b) /,s = 2368 cm' ^bzs = 338,3 cm^
333
334
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsung m Aiifgabe 2 J 2 a) zs = 14,11 mm /y = 180721 mm^ h) F = 69,6 kN c) F = 12,1 kN Lo$ang zu Aufgabe 2.23 a) d= 17,24 mm b) Ob = 696,2 N/mm^(>i?e) c) ;?= 101,5 N/mm^ Ldsuag zu Aufgabe 2.24 a) SB = 3,04 (ausreichend, da SB > 2,0) Fiir TaB wurde gewahlt: T^B = 0,8-jRm = 464 N/mm^ b)
/K = 53,1
mm
Ldsuug zu Aufgabe 2.25 h = 26,0 mm Fiir TaB wurde gewahlt: TSB = 0,8i?m = 600N/mm^ Losung zu Aufgabe 2.26 Fs = 226,2 kN Ldsuug zu Aufgabe 2.27 J = 19,60 mm Ldsuug zu Aufgabe 2.28 J = 22,42 mm Ldsung zu Aufgabe 2.29 a)
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben b) Mt = 2010Nm c) rt=122,9N/mm2 Ldsung 2u Aufgabe 2 JO a) d =44,31 mm b) / = 47,47 mm c) S275JR: ^=4,72° EN-GJL-300:^-6,58° Losung zu Attfgabe 2.31 a) F = 21530N b) 1. Abschnitt: S^x = 4,08 (ausreichend, da ^'F > 1,20) 2. Abschnitt: 8^2 = 4,16 (ausreichend, da SY> 1,20) 3. Abschnitt: S^^ = 1,02 (nicht ausreichend, da S^ < 1,20) Ldsung zu Attfgabe 2.32 a)
K
P~32 16 b)
7t
,
•d'
•d'
(4-4) dt-df
'
16
dn
Ldsung zu Aufgabe 2 3 3
b) M2 = 2054Nm Ldsung zu Aufgabe 2.34 M = 1328,9 Nm Ldsung zu Aufgabe 2.35 Mzui = 402,6 Nm ^zui= 1,435°
335
336
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Kurzldsungeii zu Kapitel 3 L5$iing zii Aufgabe 3.1 a)
b)
240,1 N/mm' am= 59,9 N/mm^
OHI =
^1 =-28,15° ^ = 61,85°
c) crcp=110,0N/mm^ z-cp = 80,8 N/mm^
Losung zu Aufgabe 3.2 a) Lastspannungen: a^ = 150,3 N/mm^ rt = 79,8 N/mm^ Mohr'scher Spannungskreis
b) ani= 184,8 N/mm' ^1 = 23,4° o-m = - 34,5 N/mm^ ^ - 113,4° (Oder-66,6°) ^ ± 109,6 N/mm^ ^ = 68,4° und ^4 = -21,6°
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
337
L5suDg m Aufgabe 3.3 a) O H I = 205,24 N/mm^ OH2 =-105,20 N/mm^
b) (pi= -7,47° 9 i = 82,53° Ldsung ZH Aufgabe 3.4 a) Zug und Biegung b) F=1000kN c) 5'B = 1,91 (nicht ausreichend, da ^B < 4,0) Ldsung zu Aufgabe 3.5 a) CT = 803,55 N/mm^ T = 296,77 N/mm^ b) or = 907,63 N/mm^ r =0 c) o-i = 907,63 N/mm^ 02= 138,21 N/mm^ 03 = - 45,84 N/mm^ d) RichtungswinkelzurerstenHauptnormalspannung(cri):
a^ = 40,83° A = 69,79° n = 56,29°
Richtungswinkel zur zweiten Hauptnormalspannung (02): ai = 89,78° y^ = 32,17° n = 122,16° Richtungswinkel zur dritten Hauptnormalspannung (C73): a^ = 49,17° A = 113,89° n = 50,27° e) Rechnerische Losung
C7= 424,17 N/mm^ T = 410,74 N/mm^
338 Graphische Losung T
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
abgelesen: (7^p = 425 N/mm^ T^ =410N/mm'
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Kurzlosungen zu Kapitel 4 L5$iiiig m Aafgabe 4.1 a) s^ =2%o £y =1,25%0 Xxy = -4,36 %o b) £^ =3,7%o Xcp = -1,53 %o (Winkelverkleinemng gemaB Vorzeichenregelung fiir Schiebungen) c) r =5,0185 mm S =89,91°
Ldsung m Aafgabe 4.2 a) Y/2
6-, = 0,977 %o £V = 0,357 %o Xxy = 0,744 %o (WinkelvergroBerung gemaB spezieller Vorzeichenregelung) b) £-Hi= 1,151 %o ^1^-25,12° ^H2 = 0,183 %o (p2= 64,88°
339
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
340 Ldsung zu Anfgabe 4.3 a) + b) Mohr'scher Verformungskreis Y/2j
9A
Lageplan
9c
'B
%0
Pi
Asj ^m 1
'T'
-0,51
'
'
VB=120"
\2:30VAN
J1 1
^ p.
Ey pA/2-^ ,£x
F^ £HI
"ois/^M '1,0' '%o'l,'5'
0
'Py^
fe ^
8
abgelesen: Dehnungen s^ und £y sowie Schiebung y^y. 6k = 1,01 %o 6^ =£c = 0,26%o ^xy = 1,84 %o (WinkelvergroBerung gemaB Vorzeichenregelung fflr Schiebungen) Hauptdehnungen und Richtungswinkel: £HI = 1,63%O
^I = - 3 4 °
£H2 =
^ = 56°
- 0,36 %o
c) Rechnerische Losung: £k = 1,004 %o €y - 0,2619 %o ;Kxy = 1,8572 %o (WinkelvergroBerung gemaB Vorzeichenregelung fiir Schiebungen) 6HI = 1,6332 %o ^1 =-34,10° 6-H2 =-0,3669 %o (p2= 55,90°
341
Anhang 4: KurzlOsungen zu den Ubungsaufgaben
LdsDBg ZU Aufgat^ 4A a) + b) Mohr'schejr Verformurigskreis Y/2 9B 1
Lageplan fi^A
]
%o: 1 1 •'y^
Pc)
(PA
X
iibgelesen:
l^H2 = £y
-1^0|
0
Vji,'o
4,0 £
Vc
7
/
Dehnungen 6^ und 6^ sowie Schiebung Xxy£^ = 4 % o rxy=0%o Hauptdehnungen und Richtungswinkel: ^Hi = ^ = 4 %o
^1 = 0
%2 = -% = - 1 %o ^ = 90° c) Re chn erische LOJ5ung. = zP/oo 1%0
= ()%0 = I ^ = 4 %o Sy = -l%o ^H2
^1 = 0° ^ = 90°
342
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Kurzlosungen zu Kapitel 5 Ldsu0g zu Ayfgabe 5.1 a) F , = 135,0 kN Fy= 100,9 kN b) Diagonalflache I: a^i = 106,2 N/mm^ T^i= 44,0 N/mm^
50 H N/mm^
Diagonalflache II: or^2= 106,2 N/mm^ T^2= -44,0 N/mm^
L$$uiig zu Aufgabe 5.2 a) £M =-0,1275 %o R = 0,4648 %o b) F^= 220,8 kN Fy= -1359,6 kN
PB
(DMS B)
Losung zu Aufgabe 5.3 o-x = 128,4 N/mm^ CTy = -27,0 N/mm^ rxy= -47,2 N/mm^
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsuag zn Att^abe 5.4 0,161 %o -0,044 %o 1,104 %o ~
a) £^ = Sy
Yxy
=
0,620 %o ^va- -0,503 %o (p\ = -39,72° 9i = 50,28°
b)
£HI =
c)
<JHI = CHI
=
108,3 N/mm^ -73,2 N/mm^
Ldsttiig zu Attfgabe 5.5 a) Fx = 750kN Fy = 750kN b) ^A = 0,503 %o ^B = 0,477 %o £c = 0,179 %o c) A/ = -4,4 ^ m Lftsang Wi Attfgabe SA a) A/ = 1,354 mm b) A/* = 1,207 m m Ldsuttg Ztt Aiifgabe 5.7 Ok = 210N/mm^ CTy =
63 N/mim^
^k = 0,91 %o ^•z = - 0 , 3 9 % o Ldsung zo Attfgabe 5.8 F=-195,2 kN
343
344
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Kurzlosiingeii zu Kapitel 6 LSsung Eu Aiifgabe &1 a) Die hochst beanspruchten Stellen befinden sich an der AuBenoberflache, da die Torsionsschubspannung r^ nach auBen hin linear zunimmt. b) Ok=c7,= 70,7N/inm^ c) rxy = zi = 84,9 N/mm^ d)
Lageplan
Mohr'scher Spannungskreis X
1 L
Grenzlinie fiir Versagen
/
^"^s^o Versagen X t J .^rrrrrr-^-v^.
^
/
^OHI\
k
^^ / p^^-^ ^
-Xt^
^ T ^ - ^
r
e) ^B = 2,91 (nicht ausreichend, da SB < 4,0) f) F2 = 247,8 kN g) M2= 1764,1 Nm
Grenzlinie siehe Aufgabenteil d) Ldsiing zu Aafgabe 62 a) C7x = (Jz = cr^=Od= % = Tt = crx=crb=
50,9 N/mm^ -50,9 N/mm^ 61,1 N/mm^ 81,5 N/mm^
345
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben b) Lageplan
Mohr'sche
Lastfall 2
Lastfall 1
c)
Lastfall 1
Lastfall 2
CJHI
91,7 N/mm^
40,7 N/mm^
114,2 N/mm^
0'H2
-40,7 N/mm^
-91,7 N/mm^
-37,2 N/mm^
Hauptnormalspannung
CTHS
Lastfall 3
0
0
0
d) + e) Lastfall 1 0-1 = 91,7^111111^
Lastfall 2 cTi = 40,7 N/mm^
Lastfall 3
cr2 = 0
0-1 = 114,2^111111^ 0-2 = 0
(T3 = -40,7 N/mm^
cr3 = -91,7N/mm^
03 = -32,7 N/mm^
CTVSH
132,4 N/mm^
132,4 N/mm^
146,9 N/mm^
CTV GEH
117,5 N/mm^
117,5 N/mm^
133,6 N/mm^
iSp = Rp0,2 1 CTy GEH
3,49
3,49
3,07
Ldsung zu Attfgabe 6 J a) Sp = 2,04 unter Verwendung der SH (ausreichend, da S^ > 1,20) falls mit der GEH gerechnet wurde: iSpcEH = 2,23 (ausreichend, da 5p> 1,20) b) M* = 29 946,9 Nm unter Verwendung der SH falls mit der GEH gerechnet wurde: M* = 31 286,1 Nm
346
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsang zu Aufgatie 6.4 a) Ok = o i = 396,1 N/mm^ A/=1,226 mm b) rxy=rt= 377,3 N/mm^ c) OH, = 624,2 N/mm^ crH2 =-228,1 N/mm^ OH3=0
d) M = 8427,5 Nm
L^suBg zu Attfgabe 6.5 a) Ok = 200N/mm^ oy = lOON/mm^ T-xv = -lOON/mm^ b) 1,20) c) FF = 49143 N d) Fpi = 59484 N e) Fvpi = 86000 N
Kerbgrunddehnung 8max
Lfisung EU Aiifgabe 7.4 a) Zl/i = 0,129 mm AI2 = 0,038 mm Schraube plastifiziert zuerst. b) MA = 105,33 Nm c) Fpi = 46408 N Wird eine Sicherheit von Sp\ = 1,5 gefordert, dann ist die Beanspruchung auf Fzui = Fpi / Sp\ = 46408 / 1,5 = 30939 N zu begrenzen. Da die Betriebsbeanspruchung F = 36500 N betragt, ist ein sicherer Betrieb nicht moglich. Ldsiing zu Aiifgabe 7.5 a) FF = 33793 N b) a-„ = 211,2N/mm^
/4H On
c) F^, = 32979 N d) F B =113600 N
f-K--
351
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
LSsuttg m Aufgabe 7.6 a) ^A = 0,783 %o ^B = -0,389 %o b) 5F = 1,95 (ausreichend, da 5F> 1,20) c) M* = 167,7 Nm Ldsuag 211 Aufgabe 7*7 a) Ob = 163,2 N/mm^ £ =0,78%o b) ^F = 1,60 (ausreichend, da 5'F > 1,20) c) F3
= 1715,7 N
d) Fp„,i = 2338,5 N Ldsung ztt Aufgabe 7«8 a) Mb = 52,5Nm b) SF = 2,33 (ausreichend, da 5F > 1,20) SB = 4,25 (ausreichend, da SB> 1,20) c) Mt* = 580,9 Nm d) F2 = 83723 N e) Fi = 1610,1 N f) Mt = 96,6Nm Die Drehrichtung des Torsionsmomentes M ist bei Blick von rechts auf den Wellenzapfen im Uhrzeigersinn (also entsprechend der Richtung der eingezeichneten Momentenpfeile in der Aufgabenstellung). g) iSp = 1,55 (ausreichend, da iS'F> 1,20) LdsiiBg ^11 Aufgabe 7.9 a) a^= lOON/mm^ Al = 0,024 mm b) rt = 60N/mm^ (p = 0,4256° c)
= 128,1 N/mm^ -28,1 N/mm^ (Pi =-25,1° ^ = 64,9° OHI
OH2 =
d) M2 = 41,06 Nm e) a]^= 1,75 F2 = 6304N f) F3 = 9897N
Py(Langsachse der Schraube)
352
Anhang 4: Kurzl6sungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsung zu Aafgabe 7.10 a) /y = 2 400 833 mm'* Wby= 60 020,8 mm^ b) Ff = 8853,1 N c) Fp, = 10361,9 N d) F'p,= 11279,2 N e) Fvpi= 11843,1 N f) f, = 1,411 %o £-2 = 1,881 %o £3 = 3,508 %o ^vpl = 2,50) iSp = 16 (ausreichend, da 5F > 1,20) Ldsung Z1I Aufgabe 8.2 a) /ys= 179479,2 mm^ /zs= 182916,7 mm^ b) Knickung:Fd = 64582 N FlieBen: F^ =161500 N Die zulassige Druckkraft betragt damit F^ = 64582 N c) A/= -1,46 mm Ldsiing zu Aufgabe 8.3 a) Fd = 24525 N b) Sf = 2,56 (ausreichend, da S^ > 1,20) 5K = 1,18 (nicht ausreichend, da 5K < 2,50) c) Mbmax= 14715 Nm a = 91,0 mm L$$ung zu Aufgabe 8.4 a) Fd = 1616,2 kN b) /y = 11699,75 cm^ c) Sf =1,57 (ausreichend, da 5F > 1,20) 5K = 55,1 (ausreichend, da 5K > 2,50) Ldsuug zu Aufgabe 8.5 a) Fd = 135,35 kN b) Fd* = 27,307 kN c) J = 8,06 mm Ldsung zu Aufgabe 8.6 /< 616,2 mm
353
-1-
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsuiig m Aiifgabe 8 J a) FlieBen: ^ = 2,53 mm Knickung: s = 6,03 mm b) ^ = 17,69 mm Ldsung zu Aiifgabe 8,8 a) FlieBen: F = 138,2 kN Knickung: F = 55,73 kN Zulassige Druckkraft: F^ = 55,73 kN b) Al= -1,075 mm Ldsiing zu Attfgabe 8.9 FlieBen: S^ = 1,24 (ausreichend, da ^p > 1,20) Knickung: ^K = 1,57 (nicht ausreichend, da ^SK < 2,50)
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
355
Kurzldsungen zii Kapitel 9 Ldsiing 2Xk Aufgabe 9.1 a) Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittsflache): Hauptachsen fallen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem (y-Achse = groBe Hauptachse; z-Achse = kleine Hauptachse). b) /i=/y =215 653 333 mm^ /2 = /z =111 253 333 mm"^ c) y0=-48,22°
okA = 525,89 N/mm^ d) SY = 1,69 (ausreichend, da 5F > 1,20) Ldsung zii Aufgabe 9.2 a) Mb„,ax=9 375Nm Das maximale Biegemoment wirkt in der den Kraftangriffspunkt beinhaltenden Ebene. b) Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittsflache): Hauptachsen fallen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem (y-Achse = groBe Hauptachse; z-Achse = kleine Hauptachse). Ii=Iy= 5-10^ mm^ /2 = /z = 1,8-10^ mm^ c) yff =-48,29° o-^e^ 145,46 N/mm^ c^xA= -CTxB = -145,46 N/mm^ d) SY = 1,68 (ausreichend, da S^ > 1,20) Ldsung zu Aufgabe 9.3 a) Da es sich um eine symmetrische Querschnittsflache handelt, fallt eine der beiden Hauptachsen mit der Symmetrieebene zusammen. Die zweite Hauptachse ergibt sich als Senkrechte zur ersten Hauptachse durch den Flachenschwerpunkt. zs =28,17 mm b) / i = / y =55 614,6 mm^ /2 = /z =27 031,3 mm^ c) y3= 36,83° cJxA^ 226,5 N/mm^ (7x6=-253,8 N/mm^ d) 5F = 1,42 (ausreichend, da S^ > 1,20)
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben Ldsiing zu Aiifgabe 9 4 a) ys =24,81 mm zs =80,19 mm (Pi= 28,49° ^2=118,49° b) /i = 4 976 871,6 mm' h =1075 412,1 mm' fi =-68,29° c) Profileckpunkt^: CT^A = 388,17 N/mm^ Profileckpunkt^: O-^B =-462,26 N/mm^ d) SY = 1,28 (ausreichend, da S^ > 1,20) Ldsong zu Aufgabe 93 S^ = 1,24 (ausreichend, da S^ > 1,20)
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
KurzlSsungeii zu Kapitel 10 LSsBBg zn Attfgabe 10.1 1-
'^ 1,20)
e) F = 1672,9 kN f) CTt = 250N/mm^ <Jr = -4N/mm^ g) ^maxi= 62,5 N/mm^ ^max2= 125N/mm^
Behalter mit Deckel
360
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsuag zu Atifgabe 12,5 a) cTt = lOON/mm^ CTa = 50N/inm^ b) Pi = 13,33 MPa c) Pi = 21,88 MPa d) SY: = 1,31 (ausreichend, da 5'F> 1,20) ^-p, = 2,37 Ldsung zu Aufgabe 12,6 a) o-t = 150,1 N/mm^ o-a =-150,1 N/mm^ b) • Ebene 1 und Ebene 2 sind schubspannungsfrei. • Ebene 3 und Ebene 4 sind frei von Normalspannungen.
c) Sp = 1,27 (ausreichend, da 5'F> 1,20) d) Pi = 7,50 MPa F =-2899,5 N e) Mogliche Beanspruchung zur Erzeugung desselben Spannungszustandes: Torsion (siehe Mohr'scher Spannungskreis in Aufgabenteil b) M = 387,1 kNm
361
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
L$$tt0g im Aufgabe 12.7 a) s^ =
0,505 %o
£t = - 0 , 1 5 2 %o £45=
0,177 %o
b ) Mohr'scher Spannungskreis
Mohr'scher Verformungskreis yl2, ' "^^
M Etl
c) ^-a =
M ^ £45
0,1 %o
6t - 0,425 %o £45 = 0,263 %o d ) Mohr'scher Spannungskreis
Mohr'scher Verformungskreis Y/2A
M
e) £^ =
Ct
G
0,386 %o
6^ =-0,116%o £45 = 0,135 %o f)
Mohr'scher Spannungskreis
Mohr'scher Verformungskreis
V^.
fea e
362
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Obungsaufgaben
g) ^a = 0 s, = 0 645 = 0 , 2 7 9 %o h)
Mohr'scher Verformungskreis
Mohr'scher Spannungskreis
Y/2i
^
/
M /
£456
^
- I t Pa
^=a=»=ry-
YatlPa
''1
.M ^
Ldsnng zo Aufgabe 12.8 Pi =7,50MPa M = 14998 Nm M = 10000 Nm LfisuDg zu Aufgabe 12.9 a) o; ^(j\= 39,97 N/mm^ oi = 02 = 20,03 N/mm^ (Tr = 03 = 0 N/mm^
Da keine Schubspannungen wirken, fallen die Hauptnormalspannungen mit der Tangential-, der Axial- und der Radialrichtung des Behalters zusammen. p; = 159,88 MPa b) piFB= 174,49 MPa c) j3ic = 306,41 MPa d) £A* = 0,388 %o £-B' = 0,103 %o e) Spannungskomponente
voUplastisch er Innenring
elastischer AuOenring
r = n = 20 mm
r = c = 30mm
r = c = 30 mm
r = ra = 60 mm
86,19 N/mm^
245,37 N/mm^
245,37 N/mm^
98,15 N/mm^
Axialspannung
-110,11 N/mm^
49,07 N/mm^
49,07 N/mm^
49,07 N/mm^
Radialspannung
-306,41 N/mm^
-147,22 N/mm^
-147,22 N/mm^
ON/mm^
Tangentialspannung
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
30 40 Radius — •
363
50 mm 60
f) Innenrand a-tei = -296,86 N/mm^ cr,,i = -148,41 N/mm^ CTrei =
0
Aufienrand (Ttei = 21,55 N/mm^ (Taei = 10,77 N/mm^ O-rei =
0
Ldsung xu Aafgabe 12.10 a) Pi =180MPa M = 49000 Nm b) Innenrand: ov GEH = 571,91 N/mm^ AuBenrand: cry GEH = 296,10 N/mm^ c) ;?iFB= 314,4 MPa d) Pi, = 410,0 MPa e) ^A = 6c = 1,8106 %o ^B = 2,9314 %o
da ov GEH < ^po,2 ist der Behalter am Innenrand elastisch beansprucht. da av GEH < ^po,2 ist der Behalter am AuBenrand elastisch beansprucht.
364
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Ldsuiig 2tt Aiifgabe 12*11 a) Sf, ^B 6c ^D
= = = =
0,2599 %o 1,9309 %o 0,7858 %o 1,3117 %o
b) ^F = 1,74 (ausreichend, da5'F> 1,20) L&sang zu Aufgabe 12.12 /7i=10MPa Ldsttng zu Aufgabe 12 J 3 p; =12MPa M = 80000 Nm Das Torsionsmoment wirkt entgegen der in der Aufgabenstellung eingezeichneten Richtung. Ldsuug zu Aufgabe 12«14 a) p, = 29,84 MPa b) SY = 3,21 (ausreichend, da S^ > 1,50) c) 5-2 = 5,23 mm d) An der Stelle 3 herrscht kein Innendruck (Dichtungen), daher sind dort keine Spannungskomponenten aus Innendruck vorhanden. Da voraussetzungsgemaB auBerdem keine Reibung auftritt, liegen auch keine Axialspannungen vor. Die Stelle 3 ist also spannungsfrei, d. h. Oy = 0. Die Sicherheit gegen FlieBen ist dementsprechend unendlich. e) ^DMs =-0,465 %o f) Stelle 1: 5F = 2,83 (ausreichend, da 5'F > 1,50) Stelle 4: S^ = 2,72 (ausreichend, da S^ > 1,50) g) Sf = 2,43 (ausreichend, da SY > 1,50) Ldsung zu Aufgabe 12,15
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben
Kurzidsungen zn Kapitel 13 Losang zu Aufgatie 13.1 a) (Tzdw = 407,4 N/mm^ b) A: =12,43 c) FADI = 26337 N d)
a = arctan 0,215 = 12,13° c^dw= 407,4 N/mm2
500 ^ N/mm^ C^dW 400
€ Q.
E
03 (O O)
200
c
=3 C C 1,20) b) SD = 4,00 (ausreichend, da S^ > 2,50) c) SF = 1,78 (ausreichend, da 5F > 1,20) So = 3,45 (ausreichend, da So > 2,50) d) Mt = 13147,6 Nm (p =1,32° e) Mt= 7018,9 Nm f) R =2,5 mm g) So = 4,27 (ausreichend, da ^D > 2,50) Ldsung m Aufgabe 13,20 a) Mbi = 2500 Nm b) M = 4334,6 Nm C)
Gi
Anhang 4: Kurzlosungen zu den Ubungsaufgaben d) Ab=l,59 e) Su = 1,36 (nicht ausreichend, da ^D < 2,50) Ldsung zii Attfgabe 13«21 a)
GA
(Tm = (Tz = 61,12 N/mm^ (Ta = Ob = 178,25 N/mm^ b)
SY = 3,76 (ausreichend, da 5 ' F > 1 , 2 0 ) Su = 2,85 (ausreichend, da ^D ^ 2,50)
c) Ab = 2,28 d) SD = 1,35 (nicht ausreichend, da ^D < 2,50) Ldsung m Aufgabe 13.22 a) ^'DMs^ 1,766 %o b)
FB
= 41551
N
c) FBI= 64934 N
d) A =1,59 e) SD = 2,22 (nicht ausreichend, da Sj) < 2,50) f) FB3= 35596 N
Ldsu»g ^m Aufgabe 13,23 a) ^DMSA = -0,546%o ^DMSB = 0,885 %o b) akz = 2,30 «kt = 1,55 c) M2 = 395,6 Nm d) Ab = l,91 e) 5*0 = 1,40 (nicht ausreichend, da Ldsung m Aufgabe 13.24 a) C7zi = 51,96 N/mm^ £u = 0,248 %o
5'D 1,20) Querschnittsflache II: S^= 10,81 (ausreichend, da 5F > 1,20) b) Ob, = 252,42 N/mm^ Obm= 118,79 N/mm^ c) /?= 1,4 mm d) ^2 =2360N L6sung zu Aufgabe 13.25 a)
£A= 1,649 %O £B= -0,833 %O £c= 0,915 %o b) F,2= 185,3 kN A/t2= 441,2 Nm
c) 5F = 1,83 (ausreichend, da S^ > 1,20) d) 5D = 5,18 (ausreichend, da Su > 2,50) LSsung zu Aufgabe 13,26 a) b) c) d)
5F = 1,26 (ausreichend, da 5 F > 1,20) SD = 1,36 (nicht ausreichend, da -So < 2,50) FQ, = 24,7kN FHI = 356,9 kN
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376
Sachwortverzeiclinis 0,01%-Dehngrenze -^ Elastizitatsgrenze 0,2%-Dehngrenze 0,2%-Stauchgrenze 2%-Stauchgrenze
12 24 24
A Abscherspannung, mittlere Abscherung -^ Schub Anriss-Wohlerkurve Ausfallwahrscheinlichkeit Axialspannung
46 254 259 207
B Balken 28 Balkenachse 28 BauteilflieBkurve 145 Bauteil-Wohlerkurve 252 Beanspruchbarkeit 1 Beanspruchung 1 Behalter • - dickwandig 213 - dickwandig, elastischer Zustand 213 - dickwandig, teilplastischer Zustand ...227 - dickwandig, vollplastischer Zustand ..224 - diinnwandig 207 - dunnwandig, unter AuBendruck 210 - diinnwandig, unter Innendruck 207 - elastischer AuBenring 228 - Spannungsverlauf i. d. Behalterwand .210 - unrunder 212 - unter Innen- und AuBendruck 207 - vollplastischer Innenring 229 - zusammenfassende Tabellen 232 Bemoulli'sche Hypothese 29 Betriebsfestigkeit 250, 255 Betriebsfestigkeitsversuch 256 Biegefestigkeit 38 BiegeflieBgrenze 37 Biegeknickung 165 Biegewechselfestigkeit 261 Biegung 28 - gerade 28 - mit Schub- und Normalspannungen ... 195 - reine 29 - schiefe 171 - Spannungsermittlung, gerade Biegung .29 - Spannungsermittlung, schiefe Biegung 178
- Werkstoffkennwerte 37 - WerkstoffVerhalten 37 - zulassige Spannung 38 Biegung, allgemeine -^ Biegung, schiefe Biegung, einachsige -^ Biegung, gerade Biegung, querkraftfreie -> Biegung, reine Biegung, zweiachsige -^ Biegung, schiefe Bredt'sche Formel, erste 201 Bruchbahn 250 Bruchdehnung 10 Brucheinschnlirung 10 Bruchschubspannung 119 Bruchwahrscheinlichkeit -> Ausfallwahrscheinl. Bruch-Wohlerkurve 254 C charakteristische Gleichung
79
D Dauerfestigkeit 255 Dauerfestigkeitskennwerte 260 Dauerfestigkeitsschaubilder (DFS) 266 - DFS nach Smith 266 - DFS nach Haigh 269 - DFS nach FKM-Richtlinie 274 Dauerlaufer 256 Durchlaufer -> Dauerlaufer Dauerschwingfestigkeit -^ Dauerfestigkeit de Saint-Venant, Prinzip von 4 Dehngrenze 11 Dehnung, technische 5, 89 - Indizierung 90 - Vorzeichenregelung 89 Dehnungsmessstreifen 102 - aktiver 103 -passiver 103 Dehnungsmesstechnik 102 Dehnungs-Wohlerkurve 254 Dehnungszustand, ebener 97 Deviationsmoment -> Flachenmoment, gemischtes DMS -> Dehnungsmessstreifen DMS-Rosette, Auswertung 101 Drillwiderstand 201 Druck 22 - Spannungsermittlung 22 - Werkstoffkennwerte 22
377
Sachwortverzeichnis - Werkstoffverhalten - zulassige Spannung Druckbehalter -^ Behalter Druckfestigkeit DruckflieBgrenze -^ Quetschgrenze Druckspannung Druckspannung-Stauchungs-Kurve Druckversuch Dynamische Stutzziffer -^ Stutzziffer, dyn.
22 25 24 22 22 22
ii!iiiiiii::iM^^^^^ EDZ -^ Dehnungszustand, ebener Eigenspannungen -l.Art - 2 . Art - 3 . Art Eigenspannungseinfluss Eigenspannungsempfindlichkeit Eigenwertgleichung Einschnurdehnung Elastizitat, nicht linear Elastizitatsgesetze Elastizitatsgrenze - technische Elastizitatsmodul E-Modul -^ Elastizitatsmodul Ermtidungsbruch Ermudungsbruchflache Ermudungsfestigkeit Ermtidungsgleitband Ermiidungsriss - Entstehungsmechanismus Euler'sche Knickfalle Euler'sche Knickkraft -> Knickkraft Euler-Kurve Extrusion
Folien-Dehnungsmessstreifen Formanderung - bei dreiachsigem SPZ - bei einachsigem SPZ - bei zweiachsigem SPZ - durch Schubspannungen Formzahl Formzahldiagramm Frequenzeinfluss
102 108 107 111 108 140 142, 322 287
G
286 286 286 286 286 80 9 15 107 8 8 10, 15 246 250 250 248 247 247 159 163 248
F Feindehnungsdiagramm 12 Festigkeitshypothese 116 Flachenmoment - l.Ordnung 171 - axiales, 2. Ordnung 31,172 - axiales, Tabelle 33 - bei Drehung der Achsen 176 - bei Parallelverschiebung der Achsen . 174 - polares, 2. Ordnung 52,173 - polares, Tabelle 53 - gemischtes 173 FlieBen 8
Geometrischer GroBeneinfluss 280 Gestaltanderungsarbeit 125 Gestaltanderungsenergie 125 Gestaltanderungsenergiehypothese 125 - bei zweiachsigem Spannungszustand . 126 - bei Zug, Druck, Biegung mit Torsion . 127 - Grenzkurve flir WerkstoffVersagen .... 127 - in Hauptnormalspannungen 126 GleichmaBdehnung 9 Gleitmodul -> Schubmodul Gleitung 45 Goodman-Gerade 273 Grenzschlankheitsgrad 163 Grenzschwingspielzahl 256 GroBeneinfluss 280 GroBenfaktor 282 Grundbelastungsarten 2 - Ubersicht 2 - Zusammenfassung 61
H Halbbrucke 103 Hauptachse 176 Hauptachsensystem 176 Hauptdehnung 97 Hauptdehnungsrichtung 97 Hauptebene -^ Hauptspannungsebene Hauptflachenmoment 176 Hauptnormalspannung 72 Hauptnormalspannungsrichtung 72 Hauptrichtung -^ Hauptnormalspannungsrichtung Hauptschubspannung 73, 83 Hauptspannungselement 78 Hauptspannung -> Hauptnormalspannung Hauptspannungsebene 73 Hauptspannungsrichtung -^ Hauptnormalspanungsrichtung Hohlkugel, diinnwandig 211
378
Sachwortverzeichnis
Hooke'sche Gerade Hooke'sches Gesetz - bei ebenem Spannungszustand - fiir Normalspannungen - fiir Schubbeanspruchung - verallgemeinertes
7 7, 15 Ill 15 45 108
I Intrusion Invariante
248 80
K Kerbe, technische - Auswirkung - Bauteilverhalten Kerbgrund Kerbwirkung - bei duktilen Werkstoffen - bei sproden Werkstoffen - bei statischer Beanspruchung - bei schwingender Beanspruchung Kerbwirkungszahl Kesselformel k-Faktor (fur DMS) k-Faktor -^ Neigungsexponent Knickkraft Knicklange Knickspannung Knickspannungsdiagramm Knickung - bei auBermittiger Belastung - bei mittiger Belastung - elastische - plastische - Spannungsermittlung - zulassige Spannung Korrosionsermiidung Kraft-Verlangerungs-Diagramm Kurzriss -> Mikroriss Kurzzeitfestigkeit
138 139 143 139 138 143 143 138 288 288 208 102 154 161 160 163 154 154 158 164 164 160 161 287 4 254
L Langsspannung -^ Axialspannung Lastebene Lastspiel -> Schwingspiel Lastspielzahl -^ Schwingspielzahl Lebensdauer Liiders-Dehnung
28
246 8
M Makroriss 249 Membrananalogie 202 Mikroriss 248 Mikrostiitzwirkung, Konzept der 289 Mittelspannung 251 Mittelspannungseinfluss 266 Mittelspannungsempfindlichkeit 270 Mohr'scher Spannungskreis 67, 70 - bei ebenem Spannungszustand 70 - bei dreichsigem Spannungszustand 82 - Hauptkreis 82 - Mittelpunkt und Radius 71 - Konstruktion 71 - Nebenkreis 82 Mohr'scher Verformungskreis 95 - Anwendungen 99 - Radius und Mittelpunkt 95 - Konstruktion 96
N Neigungsexponent 257 Nennspannung 140 neutrale Faser 30 Normalspannung - Definition 63 - Indizierung 64 - Vorzeichenregelung 64 Normalspannungshypothese 118 - bei zweiachsigem Spannungszustand .118 - bei Zug Oder Biegung mit Torsion 119 - Grenzkurve fur WerkstoffVersagen .... 119 - in Hauptnormalspannungen 118 Nulllinie 180
o Oberflachenfaktor - Wirkung von Nomalspannungen - Wirkung von Schubspannungen Oberflachenrauigkeit Oberspannung
277 277 278 277 251
P Plastische Stiitzziffer -> Stiitzziffer, plastische Poisson-Zahl 16 Poisson'sches Gesetz 16 Proportionalitatsgrenze 8
379
Sachwortverzeichnis
Quasi-statische Festigkeit -> Kurzzeitfestigkeit Querdehnungsbehinderung 97 Querkontraktionszahl 11, 16 Querkraftschub 186 - Spannungsermittlung 186 - Spannungsverteilung 189 Querzahl -^ Querkontraktionszahl Quetschgrenze, natiirliche 23
R Radialspannung Randschichteinfluss Randschichtfaktor Rauheitsfaktor -^ Oberflachenfaktor Risseinleitung Risskeimbildung - technisch - physikalisch Risswachstum, stabiles
Scherbruch Scherfestigkeit Scherung -^ Schiebung Scherversuch Schiebung - Definition - Indizierung - Vorzeichenregelung Schiebungsbruch -^ Scherbruch Schlankheitsgrad Schnittprinzip Spannungsamplitude Schub - Spannungsermittlung - Werkstoffkennwerte - zulassige Spannung Schubfluss Schubmittelpunkt Schubmodul Schubspannung - Definition - durch Querkrafte bei Biegung - Formanderung - in diinnwandigen Profiltragem - in geschweiBten Profiltragem - in genieteten Profiltragem - Indizierung - Vorzeichenregelung, allgemein
207 284 284 247 249 248 248
24, 119 47 46 45 90 89 163 3 251 44 46 46 47 200 192 45 44, 63 186 45 190 193 194 64 64
- Vorzeichenregelung, speziell 64 - zugeordnete 45, 65 Schubspannungshypothese 120 - bei zweiachsigem Spannungszustand . 122 - bei Zug, Druck, Biegung mit Torsion . 124 - Grenzkurve fiir WerkstoffVersagen .... 124 - in Hauptnormalspannungen 121 Schubverformung 196 Schubverzerrung -^ Schiebung Schubwechselfestigkeit 261 Schwingbeanspruchung - Spannungsermittlung 263 - Kennwerte 261 Schwingbreite 251 Schwingfestigkeit - Definition 245, 250 - EinflussgroBen 265 - Einfluss von Eigenspannungen 286 - Einfluss der Mittelspannung 266 - Einfluss der Oberflachenrauigkeit 277 - Einfluss einer Oberflachenverfest 284 - Einfluss der Proben-ZBauteilgroBe 280 - Einfluss der Temperatur 283 - Frequenzeinfluss 287 Schwingspiel 251 Schwingspielfrequenz -^ Schwingungsfrequenz Schwingspielzahl 251 Schwingungsfrequenz 251 Schwingungsrisskorrosion -> Korrosionsermiid. Schwingungsstreifen 250 Sicherheitsbeiwert 1, 61, 321 Spannung, Definition 4, 63 Spannungsanalyse, experimentelle 99 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 5 - Grundtypen 6 - mit ausgepragter Streckgrenze 8 - ohne ausgepragte Streckgrenze 11 Spannungsgradient, bezogener 290 Spannungsgradientenansatz 289 Spannungsmechanischer GroBeneinfluss ...280 SpannungsnuUlinie -^ Nulllinie Spannungstensor 75 Spannungsverhaltnis 251 Spannungszustand 62 - dreiachsig 75 - ebener 68 - einachsig 65 - hydrostatisch 126 - zweiachsig 68 SPZ -> Spannungszustand Stab 2 Statistischer GroBeneinfluss 281 Stauchgrenze 23
380
Sachwortverzeichnis
Stauchung 89 Steiner, Satz von 36, 175 Streckgrenze 8 -obere 9 - untere 9 Stromungsanalogie 203 Stutzfaktor -> Stiitzziffer, dynamische Stutzwirkung 37, 144 Stiitzziffer, dynamische 290 Stiitzziffer, plastische 145 Stutzzahl -> Stiitzziffer, plastische
T Tangentialspannung 207 Technologischer GroBeneinfluss 281 Teilschwerpunktsatz 35 Temperatureinfluss 283 Temperaturfaktor 283 Tetmajer-Gleichung 164 Torsion 50 - beliebiger Vollquerschnitte 202 - diinnwandiger, geschl. Hohlprofile ....200 - diinnwandiger, offener Hohlprofile ....201 - nicht kreisfbrmiger Querschnitte 200 - reine 200 - Saint-Venant'sche -^ Torsion, reine - Spannungsermittlung 50 - Verdrehwinkel 53 - Werkstoffkennwerte 54 - Werkstoffverhalten 54 - zulassige Spannung 56 Torsionsfestigkeit 55 Torsionsflachenmoment 201 Torsionsfliefigrenze 55 Trosionsfunktion 202 Torsionsversuch 54 Torsionswiderstandsmoment 201 Trennbruch 24 Tresca-Sechseck 124
U Uberlebenswahrscheinlichkeit 259 Umfangsspannung -^ Tangentialspannung Unterspannung 251 Unrundheit, elliptische 212
Verdrehversuch -> Torsionsversuch Verdrehwinkel
53
VerformungsgroBe Verformungszustand - dreiachsig - einachsig - zweiachsig Vergleichsspannung Viertelbriicke Vollbriicke
89 88 97 97 97 116 103 103
W Wechselfestigkeit Werkstoffermudung - Schadensfalle - WerkstoffVerhalten Wheatstonesche Brucke Widerstandsmoment - axiales - polares Winkelverzerrung -^ Schiebung Wohler, August Wohlerdiagramm Wohlerkurve - analytische Beschreibung - Bereichseinteilung - statistische Auswertung -TypI - Typ II Wohlerlinie -^ Wohlerkurve Wohlerversuch Wolbkrafttorsion
260 245 246 252 102 32 53 252 252 252 256 254 258 254 254 252 200
Zeitfestigkeit 255 Zentrifugalmoment -^ Flachenmoment, gemischtes Zug 3 - Formanderung 15 - Spannnungsermittlung 3 - Werkstoffkennwerte 7 - Werkstoffverhalten 4 - zulassige Spannung 13 Zug-Druck-Wechselfestigkeit 261 Zugfestigkeit 9 Zugspannung 4 Zugversuch 4
