Technische Mechanik - Festigkeitslehre - Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und Lösungen

Hans Albert Richard Manuela Sander Technische Mechanik. Festigkeitslehre

Aus dem Programm Grundlagen Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Klausurentrainer Technische Mechanik von J. Berger Lehrsystem Technische Mechanik mit Lehrbuch, Aufgabensammiung, Losungsbuch sowie Formein und Tabellen von A. Boge und W. Schlemmer Vieweg Handbuch i\/laschinenbau herausgegeben von A. Boge Technische Stromungslehre von L. Boswirth Festigkeitslehre und Werkstoffmechanik Band 1 von R. Biirgel Festigkeitslehre und Werkstoffmechanik Band 2 von R. Biirgel Technische i\/lechanik mit iVlathcad, IMIatlab und i\/iaple von G. Henning, A. Jahr und U. Mrowka Werkstoffkunde und Werkstoffprufung von W. WeiBbach Aufgabensammlung Werkstoffkunde und Werkstoffprufung von W. WeiBbach und M. Dahms

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Hans Albert Richard Manuela Sander

Technische Mechanik. Festigkeitslehre Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und Losungen Mit 180 Abbildungen

Viewegs Fachbucher der Technik

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Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber abrufbar.

1. Auflage April 2006 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-528-03984-1 ISBN-13 978-3-528-03984-4

Vorwort Das vorliegende Lehr- und Ubungsbuch „Technische Mechanik - Festigkeitslehre" mit anwendungsnahen Beispielen, Prliftingsaufgaben und Losungen stellt den zweiten Teil eines dreibandigen Lehrbuches der Technischen Mechanik dar. Das didaktische Konzept des ersten Bandes „Technische Mechanik - Statik" wird dabei konsequent fortgesetzt. Unter dem Motto „Lasst Bilder und Skizzen sprechen" werden auch hier in einem Anfangskapitel Fragestellungen und Probleme der Festigkeitslehre dargesteUt und formuHert. Dies soil die Motivation, sich mit dem Inhalt des Buches auseinander zu setzen, erhohen und es dem Leser von Anfang an ermoglichen, auch notwendige Details in einem Gesamtzusammenhang zu sehen. Erst nach diesem Anfangskapitel werden dann alle wesentlichen Grundlagen und ihre Anwendungen dargestellt. Diese Vorgehensweise hat sich in zahlreichen Lehrveranstaltungen, welche von den Autoren an der Universitat Paderbom fiir Ingenieursstudenten der Facher Maschinenbau, Wirtschaftsingenieurwesen, Elektrotechnik und Studierende angrenzender Gebiete, wie Technomathematik und Ingenieurinformatik, gehalten werden, bewahrt. Sie fiihrt zu einer hohen Aufmerksamkeit von Beginn an und einer aktiven Mitwirkung der Studierenden in Vorlesungen und tJbungen. Im Wesentlichen beschaftigt sich dieses Buch mit der Festigkeitsberechnung von Bau- und Maschinenteilen sowie verformbaren tragenden Strukturen. Betrachtet werden Belastungsarten und Belastungsfalle, Spannungen, Verzerrungen und Stoffgesetze. Weiterhin behandelt werden idealisierte Bau- und Maschinenteile wie Zug- und Druckstabe, Stabsysteme, Balken und balkenartige Tragwerke bei Biegebelastung, Stabe und Balken bei Torsionsbelastung und Stabilitatsprobleme bei Staben und Balken. Dem schlieBt sich eine Untersuchung von ebenen Spannungs- und Verzerrungszustanden, von zusammengesetzten Beanspruchungen sowie von Formanderungsarbeit und elastischer Energie an. Das Buch wendet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften und angrenzender Gebiete an Universitaten und Fachhochschulen. Es ist aber auch als Ratgeber fur in der Praxis tatige Ingenieure gedacht, welche die Gelegenheit nutzen wollen, die wichtigen Grundlagen der Mechanik im Hinblick auf ihre derzeitigen Tatigkeiten in der Forschung, Produktentwicklung, Konstruktion und Berechnung aufzufrischen. Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlembar. Notwendig sind das selbstandige Bearbeiten und Losen von Fragestellungen. Dieses Buch soil daher auch als Arbeitsanleitung verstanden werden. Die zahlreichen Beispiele konnen und sollen vom Leser nachvollzogen werden. Durch *** gekennzeichnete Beispiele behandeln priifungsrelevante Inhalte. Des Weiteren wird dem Lemenden anhand von formulierten Klausuraufgaben die Moglichkeit gegeben, vollig selbstandig Fragestellungen und Probleme der Festigkeitslehre zu losen und somit den eigenen Kenntnisstand zu uberprtifen. In diesem Sinne wunschen wir Ihnen viel Freude beim Erlemen und beim Anwenden der Technischen Mechanik.

VI

Vorwort

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau cand.-Ing. Melanie Stephan fur das Zeichnen der Bilder und das Ubertragen der Texte und Formeln in das Manuskript. Den derzeitigen und den ehemaligen Mitarbeitem der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universitat Paderbom danken wir fur die Anregungen zu einigen Beispielen und Prufungsaufgaben. Weiterhin gilt unser Dank dem Vieweg Verlag fur die gewahrte Unterstiitzung und insbesondere Herm Thomas Zipsner fiir das Lektorat und die wertvoUen Hinweise. Paderbom, Marz 2006

Hans Albert Richard und Manuela Sander

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Fragestellungen der Festigkeitslehre

1

2

Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung

6

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5 3

4

Vorgehensweise beim Festigkeitsnachweis AuBere Belastung von Bau- und Maschinenteilen 2.2.1 Gesamtbelastungen 2.2.2 Belastungsarten 2.2.3 Belastungsfalle Wirksame Spannungen Werkstoffkennwerte Zulassige Spannungen

Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze 3.1 Spannung als verteilte innere Kraft 3.2 Allgemeine Spannungsdefmition 3.3 Normal- und Schubspannungen beim Zugstab 3.4 Verschiebungen und Verzerrungen 3.4.1 Verformungen bei einachsigem Zug 3.4.2 Verformungen durch Schubbelastungen 3.4.3 Allgemeine Formanderungen: Verzerrungen 3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze 3.5.1 Zugversuch 3.5.2 Spannungs-Dehnungs-Kurven fiir verschiedene Materialien 3.5.3 Elastisches und nichtelastisches Materialverhalten 3.5.4 HOOKEsches Gesetz bei Zug 3.5.5 Querdehnung 3.5.6 Volumendehnung 3.5.7 HOOKEsches Gesetz bei Schub 3.6 Warmedehnung und Warmespannung

6 7 8 8 9 11 11 11 12 12 13 15 17 17 19 20 21 21 23 24 25 25 26 26 29

Stabe und Stabsysteme

32

4.1

32 32 33 35 38 40 40 42 46 46 48

4.2 4.3

4.4

Spannungen und Verformungen bei Staben 4.1.1 Stabe mit konstanter Normalkraft und konstantem Querschnitt 4.1.2 Stabe mit veranderlichem Querschnitt 4.1.3 Stabe mit veranderlicher Belastung Statisch bestimmte Stabsysteme Statisch unbestimmte Stabsysteme 4.3.1 Verschiebungsmethode 4.3.2 Superpositionsmethode Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme 4.4.1 Reihenschaltung von Staben 4.4.2 Parallelschaltung von Staben

VIII

Inhaltsverzeichnis

4.5 5

4.4.3 Kombinationen Festigkeitsnachweis bei Staben

Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

56

5.1 5.2

56 57 57 61

SchnittgroBen und ihre Wirkung Normalspannung infolge des Biegemoments 5.2.1 Berechnung der Normalspannung 5.2.2 Unterscheidung von einachsiger und/oder schiefer Biegung 5.2.3 Biegespannungsverteilung und maximale Biegespannung bei einachsiger Biegung 5.2.4 Festigkeitsnachweis bei Biegung 5.3 Flachentragheitsmomente 5.3.1 Definition der Flachentragheitsmomente 5.3.2 Berechnung der Flachentragheitsmomente einzelner Querschnittsprofile 5.3.3 Flachentragheitsmomente und Widerstandsmomente bei Biegung 5.3.4 Flachentragheitsmomente fur parallel verschobene Bezugsachsen 5.3.5 Flachentragheitsmomente beliebig zusammengesetzter Querschnittsflachen 5.3.6 Flachentragheitsmomente fur gedrehtes Bezugssystem 5.3.7 Hauptachsen und Haupttragheitsmomente 5.4 Biegeverformungen von Balken 5.4.1 Differentialgleichungen der Biegelinie 5.4.2 Ermittlung der Biegelinie durch Integration der Differentialgleichung 5.4.3 Einbereichsprobleme 5.4.4 Mehrbereichsprobleme 5.4.5 Biegelinien und Verformungen von grundlegenden Balkenproblemen 5.4.6 Ermittlung der Biegelinie durch Superposition grundlegender Belastungsfalle 5.4.7 Federkonstanten fur Balken 5.5 Statisch unbestimmte Balkenprobleme 5.6 Schiefe oder zweiachsige Biegung 5.6.1 Zweiachsige Biegung mit j ; undz als Hauptachsen 5.6.2 Zweiachsige Biegung fur den Fall, dass y und z keine Hauptachsen sind

6

50 53

62 63 66 66 67 70 72 74 78 80 82 83 85 86 90 92 94 98 99 102 103 104

Schubbeanspruchungen

109

6.1 6.2 6.3

109 110 112 113 115

6.4

Schubbeanspruchung beim Abschervorgang Schubspannungen bei Klebverbindungen Schubspannungen beim Balken und bei balkenartigen Strukturen 6.3.1 Balken mit Vollquerschnitt 6.3.2 Balken mit dtinnwandigen Profilen 6.3.3 Lage der Schubmittelpunkte bei dtinnwandigen Querschnittsprofilen Festigkeitsnachweis bei Schub

119 119

Inhaltsverzeichnis 7

Torsion von Wellen und Tragstrukturen

121

7.1

121 122 124 125 127 129 130 130

7.2

7.3 8

Wellen oder Strukturen mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt 7.1.1 Berechnung der Schubspannung 7.1.2 Verdrehwinkel infolge Torsionsbelastung 7.1.3 Kreisringquerschnitt 7.1.4 Torsionsfederkonstanten von Wellen Strukturen mit beliebigem Querschnitt 7.2.1 Schubspannungen und maximale Schubspannungen 7.2.2 Verdrehwinkel und spezifischer Verdrehwinkel 7.2.3 Torsionsflachentragheitsmomente und Torsionswiderstandsmomente fur grundlegende Querschnitte Festigkeitsnachweis bei Torsion

130 133

Mehrachsige und iiberlagerte Beanspruchungen

135

8.1 8.2

135 136 136 137 138 139 140 143 148 149 149 150 151 152 152 153 154 158 162

8.3 8.4

8.5

8.6

9

I^

Einteilung der auftretenden Spannungszustande Ebener Spannungszustand 8.2.1 Spannungen an einem Volumenelement 8.2.2 Spannungen an einem gedrehten Volumenelement 8.2.3 Hauptnormalspannungen 8.2.4 Hauptschubspannung 8.2.5 MOHRscher Spannungskreis 8.2.6 Sonderfalle des ebenen Spannungszustandes Ebener Verzerrungszustand Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz 8.4.1 HOOKEsches Gesetz beim ebenem Spannungszustand 8.4.2 HOOKEsches Gesetz beim ebenen Verzerrungszustand Festigkeitsberechnung bei mehrachsigen Spannungszustanden 8.5.1 Festigkeitsbedingung 8.5.2 Festigkeitshypothesen Uberlagerung grundlegender Belastungen 8.6.1 Zug- und Biegebelastung bei Balken und balkenartigen Strukturen 8.6.2 Biege- und Torsionsbelastung von Wellen 8.6.3 Zug- und Torsionsbelastung in einer Rohrstruktur

Stabilitatsprobleme bei Staben und Balken 9.1 Knicken von Staben 9.1.1 Ermittlung der Knickkraft 9.1.2 Knickfalle nach EULER 9.1.3 Knickkraft, freie Knicklange und Knickspannung 9.2 Kippen von Balken

10 Energiemethoden 10.1 Arbeit der auBeren Krafte: Formanderungsarbeit 10.2 Arbeit der inneren Krafte: Elastische Energie 10.2.1 Elastische Energiedichte beim einachsigen Spannungszustand 10.2.2 Elastische Energiedichte beim ebenen Spannungszustand 10.2.3 Elastische Energiedichte bei reiner Schubbeanspruchung

164 164 165 167 167 171 174 175 175 175 177 177

X

Inhaltsverzeichnis 10.2.4 Elastische Energie bei Zug- oder Druckbelastung eines Stabs 10.2.5 Elastische Energie bei Biegebelastung von Balken und balkenartigen Strukturen 10.2.6 Elastische Energie bei Torsionsbelastung von Wellen und Tragstrukturen 10.2.7 Elastische Energie bei iiberlagerter Belastung 10.3 Arbeitssatz der Elastostatik 10.4 Satz von CASTIGLIANO 10.5 Satz von MENABREA

11 Klausuraufgaben 11.1 Aufgabenstellungen 11.2 Ergebnisse Anhang Al A2 A3

177 178 178 179 179 181 185 187 187 191 197

Werkstoffkennwerte fiir die Festigkeitsberechnung Sicherheitsfaktoren ffir die Festigkeitsberechnung Dichte, Querdehnzahlen und Warmeausdehnungskoeffizienten von Werkstoffen

197 198 198

Literatur

199

Sachwortverzeichnis

200

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre Die Technische Mechanik beschaftigt sich mit der Lehre von den Kraften sowie den Bewegungen, Spannungen und Verformungen welche diese bei Korpem, Bauteilen, Maschinen sowie anderen natiirlichen oder technischen Strukturen hervorrufen. Die Festigkeitslehre ist ein wichtiges Teilgebiet der Technischen Mechanik. Sie beinhahet die Lehre von den Spannungen und Verformungen in Bauteilen und Maschinen und vergleicht diese mit den zulassigen Materialkennwerten und den, z. B. in technischen Regelwerken festgelegten, Verformungsgrenzwerten. Die Festigkeitslehre ist damit ein wichtiges Werkzeug fur die ingenieurtechnische Bestimmung •

der mindestens erforderlichen Bauteilabmessungen,

•

der zulassigen Belastungen von Maschinen und Strukturen,

•

der zu verwendenden Werkstoffe oder

•

der Sicherheiten gegen mogliches Werkstoff- und Bauteilversagen.

Sie baut dabei konsequent auf den Erkenntnissen der Statik auf. Ftir die Ermittlung der Verformungen muss allerdings die in der Statik verwendete Idealisierung der Bauteile und Strukturen als starre Korper aufgegeben werden. Die Grundlagen der Festigkeitslehre dienen dem Ingenieur im Wesentlichen dazu, •

sich einen tJberblick iiber die in einer Maschine oder einer tragenden Struktur vorliegenden Kraft- und Momenteniibertragungsgegebenheiten zu verschaffen,

•

die Spannungsverteilungen und die maximalen Spannungen in Bauteilen zu bestimmen,

•

im Rahmen eines Festigkeitsnachweises die erforderlichen Abmessungen und / oder die zulassigen Belastungen von Maschinen und Anlagen zu ermitteln,

•

die infolge der Belastung entstehenden Verformungen von Strukturen zu ermitteln und mit maximal zulassigen Werten zu vergleichen sowie

•

die Sicherheiten gegen Bruch, Dauerbruch, plastische Verformung oder Instabilitat zu bestimmen.

Bevor die Grundlagen und Methoden der Festigkeitslehre beschrieben werden, soUen die Aufgaben des Ingenieurs im Folgenden anhand von Fragestellungen der Festigkeitslehre erlautert werden. Fragestellung 1-1 beschaftigt sich mit der Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs, Bild 1-la. Diese Radsatzwelle wurde bereits in Band 1: Technische Mechanik - Statik [1], Fragestellung 1-3, Beispiel 4-7 und Beispiel 5-4, eingehend untersucht. Dort wurden mit den Methoden der Statik die Radaufstandskrafte A und B und die Querkraft- und Biegemomentenverlaufe in der Welle ermittek. Das maximale Biegemoment M^ax, Bild 1-lb, tritt beim Lastfall Geradeausfahrt im mittleren Bereich der Welle auf Im Rahmen der Festigkeitslehre gilt es nun zu ermitteln, wie groB die maximale Spannung (Jmax in der Welle ist, Bild 1-lc, und ob das verwendete Material diese Spannung auch aushalt. Es stellt sich also die Frage, ob Bruch oder Dauerbruch im Betrieb mit Sicherheit vermieden wird.

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre Von Bedeutung ist auch die Durchbiegung der Welle und die daraus resultierende Spurweitenanderung, Bild 1-ld, da diese bestimmte Grenzwerte nicht tiberschreiten darf. a)

,

,

I

1

I b)

c)

1 ) M(x) = Mniax

t

Bild 1-1 Bestimmung der Spannungen und Verformungen der Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs a) Belastete Radsatzwelle b) SchnittgroBe M(x) = M^ax in der Radsatzwelle c) Normalspannungsverteilung und maximale Normalspannung in der Radsatzwelle d) Biegeverformung der Radsatzwelle Bei Fragestellung 1-2 soil ein Wandkran, der eine Last F anhebt, Bild 1-2, mit den Methoden der Festigkeitslehre untersucht werden. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik wurden bereits die Auflagerkrafte bei A und B ermittelt (siehe Beispiel 7-3 in [1]). Mit den Methoden der Statik konnten auch die Stabkrafte Si bis Sn bestimmt werden. In diesem Zusammenhang ergeben sich nun weitere Fragen, die mit den Methoden der Festigkeitslehre gelost werden konnen: a)

Wie groB sind die Spannungen in den Staben?

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre b) Welche Sicherheiten gegen plastische Verformung der Stabe bestehen? c)

Kann das Ausknicken der druckbelasteten Stabe sicher verhindert werden?

Bild 1-2 Wandkran hebt eine Last F Bei der Kompressorwelle, Fragestellung 1-3, siehe Bild 1-3, interessieren unter anderem die auftretenden Normal- und Schubspannungen in den Wellenabschnitten sowie Ort und GroBe der maximalen Vergleichsspannung. Von groBer Bedeutung sind auch die im Betrieb auftretenden Spannungsausschlage und die Sicherheiten gegen Gewalt- oder Ermudungsbruch der Welle. Bei der Beantwortung dieser Fragen kann auf den Erkenntnissen der Statik aufgebaut werden. Die Ergebnisse fiir die SchnittgroBen N(x), Q(x) und M(x) sind in [1], Beispiel 5-5, angegeben.

Bild 1-3 Welle eines Kompressors Fragestellung 1-4 beschaftigt sich mit einem Druckbehalter, Bild 1-4, in dem im spateren Betrieb ein Innendruck von 20 bar herrschen soil. Fiir die Konstruktion des Behalters ist nun die erforderliche Wandstarke gesucht, damit eine zweifache Sicherheit gegen das Bersten des Behalters vorliegt.

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre

Bild 1-4 Dmckbehalter Fragestellung 1-5 betrachtet den Bewegungsapparat des Menschen. Bei alteren Menschen, aber auch bei Sportunfallen, kann es im Bereich des Oberschenkelhalses zu Briichen kommen. Es ist daher von Bedeutung zu erfahren, welche maximalen Normalspannungen im Bereich des Oberschenkelhalses auftreten, wenn z. B. infolge einer extremen Sprungbelastung eine Kraft von F = 1500 N auf den Oberschenkel einwirkt, Bild 1-5. gefahrdeter Bereich

Bild 1-5 Oberschenkelknochen (Femur) eines Menschen

Eine Tragstruktur, Fragestellung 1-6, ist an einem Ende an einer Wand befestigt und am anderen Ende durch eine Kraft F belastet, Bild 1-6. Folgende Fragen konnen mit den Methoden der Festigkeitslehre gelost werden: a)

Wie groB sind die maximalen Normal-, Schub- und Vergleichsspannungen in der Tragstruktur?

b) Aus welchem Material muss die Struktur bestehen, damit die auftretenden Spannungen sicher ertragen werden konnen? c)

Wie groB ist die gespeicherte elastische Energie der belasteten Struktur?

d) Welche Verschiebung erfahrt der Lastangriffspunkt infolge der Verformung der Struktur?

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre

^/-

Bild 1-6 Tragstruktur Diese und viele andere Fragestellungen lassen sich mit den Methoden der Festigkeitslehre losen. Dieses Eingangskapitel soil das Interesse weaken, sich mit dem weiteren Inhalt des Buches auseinander zu setzen und auch notwendige Details in einem Gesamtzusammenhang zu sehen. Die Vermittlung der Grundlagen der Festigkeitslehre wird stets begleitet durch anwendungsnahe, aber auch abstrakte Beispiele. Ausgewahlte Klausuraufgaben sollen eine selbstandige LFberpriifiing des bereits gelemten Stoffes ermoglichen und Sicherheit beim Umgang mit ingenieurtechnischen Fragestellungen liefem. Die Festigkeitslehre baut, wie die hier beschriebenen Fragestellungen verdeutlichen, unmittelbar auf den Erkenntnissen der Statik auf. Die Inhalte dieses Buches setzen daher die Kenntnis der Grundlagen der Statik voraus. Sollten diese nicht vorhanden oder bereits in Vergessenheit geraten sein, so sind diese unbedingt nachzuholen bzw. aufzufrischen. Hierbei kann z. B. das im Literaturverzeichnis unter [1] genannte Lehrbuch „Technische Mechanik - Statik" behilflich sein. Zudem wird in diesem zweiten Band der Lehrbuchreihe an mehreren Stellen auf den ersten Teil Bezug genommen. Die Methoden der Statik kommen somit auch in diesem Band zum Einsatz. In der klassischen Festigkeitslehre werden die Verformungen als klein gegeniiber den Bauteilabmessungen betrachtet. Dies stellt eine nachtragliche Rechtfertigung fiir die in der Statik verwendete Idealisierung der Bauteile als „starrer Korper" dar. Das bedeutet, die SchnittgroBen und die Spannungen werden bei statisch bestimmten Problemen am starren Korper betrachtet (Theorie erster Ordnung). Lediglich fur die Ermittlung der Verformungen bei statisch bestimmten Problemen und fiir die Behandlung von statisch unbestimmten Problemen muss die Idealisierung „starrer Korper" aufgegeben werden.

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung Ziel einer Festigkeitsbetrachtung ist es, die strukturmechanische Funktionsfahigkeit einer Maschine oder eines Tragwerks dauerhaft zu sichem. D. h. es sollen im Betrieb weder Gewaltbriiche noch Dauerbriiche auftreten. Weiterhin gilt es, plastische Verformungen und Instabilitaten, wie z. B. das Ausknicken von druckbelasteten Komponenten, zu vermeiden. Eine wichtige Basis um derartiges Versagen zu verhindem, stellen verschiedene Nachweisverfahren, wie der Festigkeitsnachweis, der Verformungsnachweis, der Stabilitatsnachweis und der Standsicherheitsnachweis, dar. Das prinzipielle Vorgehen soil im Folgenden anhand eines Festigkeitsnachweises dargestellt werden.

2.1 Vorgehensweise beim Festigkeitsnachweis Im Rahmen eines Festigkeitsnachweises werden aus den gegebenen Belastungen von Bauteilen und Strukturen zunachst die SchnittgroBen und daraus, mit den vorliegenden Querschnittsabmessungen der untersuchten Bauteile, eine maximal wirksame Spannung ermittelt. Diese wird dann mit der zulassigen Spannung verglichen, die sich prinzipiell aus dem entsprechenden Werkstoffkennwert und dem gewahlten Sicherheitsfaktor ergibt, Bild 2-1. auBere Belastung

Form imd Abmessungen

wirksame Spannung

Werkstoffkennwert

Sicherheitsfaktor

zulassige Spannung

Festigkeitsbedingung: wirksame Spannung < zulassige Spannung Bild 2-1 Grundlegende Vorgehensweise bei einem Festigkeitsnachweis Der Festigkeitsnachweis ist erbracht, wenn die wirksame Spannung kleiner ist als die zulassige Spannung. Dies lasst sich auch wie folgt ausdriicken: „Die Beanspruchung eines Bauteils muss fur alle Belastungssituationen kleiner sein als die Tragfdhigkeit.'' Sind die Belastungen und die Geometric des Bau- oder Maschinenteils bekannt und ist der Werkstoff festgelegt, so ergibt sich mit dem Festigkeitsnachweis der Sicherheitsfaktor gegen Versagen. Werkstoffgrenzwerte sind hierbei z. B. die Streckgrenze oder die Zugfestigkeit des Materials.

2.2 AuBere Belastung von Bau- und Maschinenteilen Mit einer Festigkeitsbetrachtung kann aber auch die zuldssige Belastung bestimmt werden, wenn die Geometrie und der Werkstoff des Bauteils bekannt sind und der Sicherheitsfaktor z. B. durch Regelwerke vorgegeben ist. Bei der Produktentwicklung muss der Ingenieur aus der gegebenen Belastung, dem gewahlten Werkstoff und dem Sicherheitsfaktor die erforderlichen Abmessungen der Maschinenstruktur ermitteln. LetztUch kann es auch die Aufgabe des Konstrukteurs sein, den geeigneten Werkstoff ^x die Konstruktion auszuwahlen, der die Festigkeitsbedingungen und / oder die okonomischen Restriktionen am besten erffillt. Je nach Fragestellung Hefert eine Festigkeitsbetrachtung demnach •

eine zulassige Belastung,

•

erforderliche Bauteilabmessungen,

•

einen geeigneten Werkstoff oder

•

die vorhandene Sicherheit gegen Versagen,

siehe Bild 2-2.

Festigkeitsbetrachtung

zulassige Belastung

erforderliche Abmessungen

geeigneter Werkstoff

vorhandene Sicherheit

Bild 2-2 Ergebnisse einer Festigkeitsbetrachtung Diese Festigkeitsnachweise werden im Allgemeinen an idealisierten Grundstrukturen wie Seilen, Staben, Balken, Bogentragem, Rahmen oder Scheiben (siehe Einzelkomponenten ebener Tragwerke, Kapitel 5.1 in [1]) durchgefuhrt. Dies bedeutet, dass jede Einzelkomponente und die Verbindungselemente einer komplexen Tragstruktur oder einer Maschine die Festigkeitsbedingung, siehe Bild 2-1, erfiillen mtissen, damit die Funktionsfahigkeit der Gesamtstruktur dauerhaft gesichert werden kann.

2.2 AuBere Belastung von Bau- und Maschinenteilen Bei vielen Vorgangen in Natur und Technik treten Krafte und Momente auf. Will man eine Maschine oder eine Tragstruktur sicher dimensionieren, so muss man die wirkenden Belastungen kennen. Diese konnen einzelne auBere Krafte und Momente, aber auch Volumenkrafte sein (siehe z. B. Kapitel 2.1 in [1]: AuBere Krafte und Momente). Die Lasten konnen je nach ihrer Bedeutung, ihrer Wirkung und ihres zeitlichen Verlaufs unterteilt werden in •

Lasten auf Gesamtstrukturen und Maschinen (Gesamtbelastungen),

•

elementare Belastungen auf Einzelkomponenten (Belastungsarten),

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung •

unterschiedlich zeitlich veranderliche Belastungen (Belastungsfalle).

Gesamtbelastungen, Belastungsarten und Belastungsfalle werden im Folgenden erlautert. 2.2.1 Gesamtbelastungen Die auf Gesamtstrukturen einwirkenden Lasten werden eingeteilt in: •

Hauptlasten,

•

Zusatzlasten,

•

Sonderlasten.

Hauptlasten wirken im Allgemeinen permanent. Hierzu zahlen die Eigenlasten (Gewichte), die Nutzlasten bzw. Betriebslasten, die Massenkrafte und die dynamischen Belastungen bzw. StoBkrafte. Zusatzlasten treten im Allgemeinen nicht permanent auf. Hierzu zahlen z. B. die Windlasten, die Schneelasten oder Krafte infolge von Warmeentwicklung. Sonderlasten sind z. B. Priiflasten (vor Inbetriebnahme einer Anlage) oder auch Krafte, die beim Transport oder bei der Montage auftreten. Die Transport- und Montagelasten konnen vollig andere Wirkungen auf Maschinen und Strukturen haben als die Haupt- oder Zusatzlasten. 2.2.2 Belastungsarten Als elementare Belastungs- und Verformungsarten bezeichnet man z. B. die Belastungen von Einzelkomponenten (idealisierte Grundstrukturen) wie Staben, Balken, usw., Bild 2-3. Diese Belastungsarten sind z. B. Zug, Druck, Biegung, Schub und Torsion. Die elementaren Belastungsarten lassen sich wie folgt charakterisieren: Zug:

Zugkrafte wirken in Richtung der Stabachse. Zwei Nachbarquerschnitte entfernen sich voneinander. Der Stab wird verlangert. Zugbelastungen treten z. B. auf bei Spindeln, Fachwerkstaben, Seilen, usw.

Druck:

Druckkrafte wirken in Richtung der Stabachse. Zwei Nachbarquerschnitte nahem sich an. Der Stab wird verkiirzt. Druckbelastungen treten z. B. auf bei Sttitzen, Pfeilem, Fachwerkstaben, usw. Bei langen schlanken Druckstaben muss die Gefahr des Ausknickens gesondert betrachtet werden.

Biegung: Durch Momente bzw. durch Krafte quer zur Balkenachse wird der Balken gebogen, d. h. die Balkenachse wird geknimmt. Dabei werden zwei Nachbarquerschnitte gegeneinander verdreht, d. h. ein Teil des Balkens wird verlangert, ein Teil verkiirzt. Man unterscheidet reine Biegung, bei der das Biegemoment iiber die Balkenlange konstant ist, und Querkraftbiegung, bei der im interessierenden Bereich neben dem Biegemoment noch eine Querkraft auftritt. Biegebelastungen treten z. B. auf bei Balken, Tragem, Wellen, Achsen, Rahmen, Bogentragem, usw. Schub:

Krafte wirken quer zur Balkenachse. Zwei Nachbarquerschnitte werden gegeneinander verschoben. Es tritt eine Abscherbewegung auf Schubbelastungen treten z. B. auf beim Abscheren von Blechen oder bei Niet- oder Schraubenverbindungen sowie bei querkraftbelasteten Balken.

2.2 AuBere Belastung von Bau- und Maschinenteilen Torsion:

Durch Torsionsmomente wird der Stab oder der Balken verdreht, wobei die Stabachse gerade bleibt. Zwei Nachbarquerschnitte vollziehen eine gegeneinander gerichtete Drehbewegung. Torsionsbelastungen liegen unter anderem bei Achsen, Wellen, Rohren, raumlichen Tragstrukturen, usw. vor.

Belastungsart

Einzelkomponente, Belastungssituation

Verformimg

Zug

Verlangerung

^^:iMi:.;i

Verkiirzung M ^

^

a|l^||;,:::

Iciii:^::;:

liiiiii

M

: ZJ^ I

i: f

a

T\

reine Biegung

7777

Durchbiegung Zl

Querkraftbiegung

7777

i^^^

Ml

Abscherung

MT

Verdrehung

Bild 2-3 Elementare Belastungs- und Verformungsarten In der Praxis treten diese elementaren Belastungs- und Verformungsarten haufig auch gleichzeitig auf. Bei linearem Belastungs- und Verformungsverhalten konnen dann die Einzelwirkungen iiberlagert werden. Grundsatzlich gilt: •

Krafte wirken als Normal- und / oder Querkrdfte.

•

Momente wirken als Biege- und / oder

Torsionsmomente.

In den Querschnitten senkrecht zur Stab- oder Balkenachse fuhren •

Normalkrafte und Biegemomente zu Normalspannungen

•

Querkrafte und Torsionsmomente zu

und

Schubspannungen.

2.2.3 Belastungsfalle Belastungsfalle, auch Lastfalle genannt, beschreiben den zeitlichen Verlauf einer Belastung, siehe Bild 2-4. Neben der ruhenden oder konstanten Belastung existieren auch die zeitlich

10

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung

periodischen Belastungen, wie Schwellbelastung, Wechselbelastung und allgemein periodische Belastung. Dabei entspricht die konstante Belastung Fall I nach BACH, die Schwellbelastung Fall II und die Wechselbelastung Fall III nach BACH. Da die zeitliche Veranderung nicht stoBartig, sondem eher kontinuierlich erfolgt, spricht man auch von quasistatischer Belastung. Belastungsfall

zeitlicher Verlauf der Belastung EM^

1

i

nihende, statische Belastung

konstante Belastung Fall I nach BACH

t

1 \ 1\ 1\ l\ 1 \l \ \l \

Schwellbelastung Fall II nach BACH t

zeitlich veranderliche, periodische Belastung

A

A

A

A

Wechselbelastung

\ / \ / l / i ^

Fall III nach BACH

i \ / i / i f i 1 \j \j \j \

allgemeine periodische Belastung t

EMi zeitlich veranderliche, nichtperiodische Belastung

A I AA^IAM

nichtperiodisch ablaufende

A n r r \ h

MI

^

Belastung

V ^ »J

EM^ dynamische, stoBartige Belastung

h 11

dynamische Belastung mit Wellenausbreitungsvorgdngen t

Bild 2-4 Grundlegende Belastungsfalle Nichtperiodisch ablaufende Vorgange, wie sie z. B. bei Verkehrsfahrzeugen vorkommen, konnen entweder als stochastische oder deterministische Belastungen auftreten. Sie konnen quasistatisch verlaufen, aber bei schnell verlaufenden Vorgangen auch mit erheblichen Tragheitswirkungen verbunden sein.

2.3 Zulassige Spannungen

1J_

Bei einer stofiartigen Belastung wird in sehr kurzer Zeit eine hohe Kraft oder ein hohes Moment libertragen. Hierbei sind die Tragheitswirkungen erhebiich und es kommt zu Wellenausbreitungsvorgangen in der Struktur.

2.3 Wirksame Spannungen Die iiber den Bauteilquerschnitt verteilten inneren Krafte, die Spannungen, hangen im Wesentlichen von der Art und Hohe der auBeren Belastung und von den Bauteilabmessungen ab. Dabei sind insbesondere die Form und die Abmessungen der interessierenden Querschnitte von Bedeutung. Wahrend bei Zugbelastung die Querschnittsflache entscheidend ist, siehe Kapitel 3.1 und 4.1.1, spielt bei Biegebelastung das Flachentragheitsmoment oder das Widerstandsmoment der Querschnittsflache eine entscheidende Rolle, siehe Kapitel 5.2.3. Bei Torsionsbelastung hat das Flachentragheitsmoment und das Widerstandsmoment gegen Torsion eine wesentliche Bedeutung, Kapitel 7.1.1 und 7.2.1. Man erkennt also, dass es fiir die Spannungsverteilungen keine allgemeingiiltigen Losungen gibt. Vielmehr muss fiir jede Belastungsart eine spezifischen Losung gefiinden werden.

2.4

Werkstoffkennwerte

Im Rahmen eines Festigkeitsnachweises hat auch der verwendete Werkstoff eine groBe Bedeutung. Das Werkstoffverhalten ist dabei von Werkstoff zu Werkstoff grundsatzlich verschieden. Zudem ist der zu verwendende Werkstoffkennwert auch noch von der Belastungsart und dem Belastungsfall abhangig. Man erkennt, dass auch hier die jeweils vorliegende Belastungs- und Werkstoffsituation die Werkstoffauswahl beeinflusst. Welche Werkstoffkennwerte im Einzelnen zu verwenden sind, geht aus den nachfolgenden Kapiteln hervor. Kennwerte fiir haufig verwendete Werkstoffe sind im Anhang Al angegeben.

2.5 Zulassige Spannungen Werkstoffkennwerte stellen oft Grenzwerte dar. So gibt z. B. die Zugfestigkeit die maximal ertragbare Spannung in einem Zugstab an. Will man nun Gewaltbruch mit Sicherheit vermeiden, so darf der Werkstoff nicht bis zur Zugfestigkeit belastet werden. Abhangig von der Versagensart und dem Gefahrdungspotential werden daher Sicherheitsfaktoren gewahlt, um die der Werkstoffgrenzwert vermindert wird. Man erhalt dann die zulassigen Spannungen. Bekanntlich mussen beim Festigkeitsnachweis, siehe Bild 2-1, die wirksamen Spannungen kleiner sein als die zulassigen Spannungen, die Sicherheitszahlen mussen also groBer eins sein. Die Sicherheitsfaktoren werden im AUgemeinen in technischen Vorschriften fest vorgegeben. Eine Auswahl von Sicherheitsfaktoren fmdet sich in Anhang A2.

12

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze Bei Bauteilen, Maschinen und Strukturen treten infolge auBerer Belastung, Kapitel 2.2, innere Spannungen und Verzerrungen auf. Diese gilt es mit den Methoden der Festigkeitslehre zu ermitteln und mit entsprechenden Grenzwerten zu vergleichen, siehe z. B. Kapitel 2.1. In der Statik wurden die Resultierenden der inneren Krafte, die so genannten SchnittgroBen, bestimmt, siehe Kapitel 5.6 in [1]. Beim Zugstab ist dies die Normalkraft A^ (Kapitel 5.6.4 in [1]). Bei Balken und Rahmen konnen bei ebener Belastung die Normalkraft TV, die Querkraft Q und das Biegemoment Mais SchnittgroBen ermittelt werden, Kapitel 5.6.5 in [1]. Bei raumlicher Belastung kommen i. Allg. noch eine Querkraft, ein Biegemoment und ein Torsionsmoment hinzu (vgl. Kapitel 8.3.4 in [1]). Im Rahmen der Festigkeitslehre gilt es nun, aus diesen SchnittgroBen die verteilten inneren Krafte, die Spannungen, zu ermitteln. AuBere Krafte und Momente rufen aber neben den inneren Spannungen auch Verformungen oder Verzerrungen des Bauteils bzw. der Struktur hervor. Die Verformungen sind dabei abhangig von der Elastizitat bzw. der Nachgiebigkeit des Materials. Der Zusammenhang zwischen Kraften und Verformungen bzw. zwischen Spannungen und Verzerrungen wird durch das so genannte Werkstoffgesetz oder Stoffgesetz beschrieben. Spannungen, Verzerrungen und Stoffgesetze werden nun eingehender untersucht.

3.1 Spannung als verteilte innere Kraft spannungen sind verteilte innere Krafte, die in der klassischen Festigkeitslehre unmittelbar aus den SchnittgroBen ermittelt werden. Beim Zugstab, der durch die Kraft F belastet ist, erhalt man im interessierenden Stabquerschnitt als SchnittgroBe die Normalkraft N=N(x), Bild 3-la, b. Die Normalkraft lasst sich mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik ermitteln, siehe z. B. Kapitel 5.6.4 in [1]. Man erhalt mit 2Fix = 0 N(x) = F

(3.1)

als liber die Stablange konstante Normalkraft. Mit der Querschnittsflache A lasst sich die Spannung cr ermitteln: N(x) A

F A

(3.2).

Die Spannung ergibt sich somit als Kraft durch Flache. Sie stellt die Intensitat der inneren Kraft pro Flacheneinheit dar. Als Einheit far die Spannung kann z. B. N/m^, N/mm^ oder MPa gewahlt werden. Fixr die gegebene Stabbelastung und flir den Fall, dass die Querschnittsflache iiber die gesamte Stablange konstant ist, ist die Spannung gleichmaBig tiber den Stabquerschnitt, Bild 3-lc, und die Stablange verteilt.

3.2 Allgemeine Spannungsdefmition

13

konstanter Stabquerschnitt A a)

gedachter Schnitt 4 N(x) = F

N{x)

~& d) ^

A

J. \4

Bild 3-1 Ermittlung der Normalspannung beim Zugstab a) Belasteter Zugstab mit den Kraften F und dem Stabquerschnitt A b) Ermittlung der Normalkraft im Stab c) Normalspannung crist konstant iiber den Stabquerschnitt und die Stablange d) Mogliche Querschnittsprofile des Stabs Wirkt, wie in Bild 3-1 dargestellt, auf den Stab eine Zugkraft, so entstehen im Stabquerschnitt Zugspannungen und bei elastischen Staben kommt es zu einer Stabverlangerung. Eine Druckkraft ruft dagegen eine Druckspannung und eine Stabverkiirzung hervor. Die errechnete Spannung (jist eine Normalspannung, denn sie wirkt, wie in Bild 3-lc dargestellt, senkrecht oder normal zur Querschnittsflache. Nach Gleichung (3.2) hangt die Spannung lediglich von der GroBe der wirkenden Kraft und von der Grofie der Querschnittsflache ab. Die Form der Querschnittsflache ist dagegen nicht von Bedeutung. Bild 3-Id zeigt Querschnittsprofile mit gleichem Flacheninhalt. Bei gleich groBer auBerer Kraft ist die Spannung a far diese Profile gleich groB. Grundsatzlich gilt: „Aufiere Krdfte rufen infesten Korpern verteilte innere Krdfte, die Spannungen hervor. Diese sind, wie die Schnittgrofien, fur sich im Gleichgewicht und konnen mit dem Schnittprinzip der Mechanik sichtbar gemacht werden. "

3.2 Allgemeine Spannungsdefinition Bei allgemeiner Belastung eines Bauteils sind die Spannungen beliebig iiber den Querschnitt verteilt. Der in Kapitel 3.1 betrachtete Zugstab mit der konstanten Normalspannung crstellt insofem einen Sonderfall dar. Bereits die Biegebelastung eines Balkens flihrt zu ungleichmaBiger Spannungsverteilung, Bild 3-2a. Auch Storungen im Spannungsverlauf, z. B. durch Kerben, geknimmte Randkonturen oder Locher im betrachteten Bauteil, fuhren zu lokalen Spannungserhohungen und somit zu ungleichmaBigen Spannungsverteilungen, siehe Bild 3-2b, c.

3 Spannungen, Verzemingen, Stoffgesetze

14 a)

{El

a - a(z)

c)

gedachter Schnitt Bild 3-2 Beispiele fur ungleichmaBige Spannungsverlaufe in Bauteilen und Strukturen a) Linear iiber den Querschnitt verlaufende Normalspannung infolge der Biegebelastung eines Balkens b) Spannungserhohung an Kerben c) Randspannungsverlauf bei einem Zahnrad d) Schubspannungsverteilung infolge einer Querkrafl beim Balken Neben den Normalspannungen treten auch Schubspannungen in entsprechend belasteten und/oder beliebig geformten Bauteilen auf. Die Schub- oder Tangentialspannungen wirken dabei tangential zur Querschnittsflache. Beim Balken werden die Schubspannungen z. B. durch Querkrafte erzeugt, Bild 3-2d. Eine allgemeine Spannungsdefinition geht von einem Spannungsvektor & aus, der sich fur ein Flachenelement AA aus der dort wirkenden inneren Kraft AF berechnen lasst: lim AA-^0 AA

dF_ dA

(3.3).

Der Spannungsvektor a ist dabei von der GroBe und der Richtung der Kraft und der GroBe und der Orientierung des Flachenelements abhangig. a)

b)

ATl^

Bild 3-3 Zur Definition von Spannungsvektor G , Normalspannung cr und Schubspannung r a) Beliebig belasteter Korper mit Kraftvektor AF , der an dem Flachenelement AA angreift b) Zerlegung von AF in eine Komponente AN normal zur Schnittflache und eine Komponente AT tangential zur Schnittflache am vergroBert dargestellten Flachenelement AA

3.3 Normal- und Schubspannungen beim Zugstab

15_

Zerlegt man die innere Kraft AF in eine Komponente AN normal zu AA und eine Komponente AT tangential zu AA, so erhalt man als Komponenten des Spannungsvektors a die Normalspannung .=

hm ^ = ^ AA-^^ AA dA

(3.4)

und die Tangential- oder Schubspannung

, = lim i z : = ^ AA-^O AA

(3.5).

dA

Die Normal- und die Schubspannung konnen bei allgemeiner Belastung und bestimmter Bauteilgeometrie beliebig tiber den Querschnitt verteilt sein. Nur in Sonderfallen, d. h. bei gleichmaBiger Krafttibertragung, gelten die einfachen Beziehungen (j = — A

(3.6)

r=4

(3-7),

und

A wobei N die Normalkraft und Q die Querkraft bedeuten.

3.3

Normal- und Schubspannungen beim Zugstab

Ftir den in Bild 3-4a dargestellten Zugstab soUen die Spannungen in verschiedenen Schnittebenen ermittelt werden. Im Schnitt A - A wirkt die konstante Normalspannung a, die sich aus der Kraft Fund der Schnittflache A errechnen lasst (siehe auch Kapitel 3.1):

cT = 4

(3.8),

A Bild 3-4b. Im Schnitt A - A tritt keine Schubspannung auf Im Schnitt B - B tritt weder eine Normalkraft N noch eine Querkraft Q auf Dementsprechend existiert auch keine Normalspannung <j und keine Schubspannung r: cr = 0

T=Q

Besonders interessant ist der Schnitt C - C, bei dem die Schnittebene um einen beliebigen Winkel a geneigt ist. In diesem Schnitt lasst sich die Kraft F in eine Komponente F^ normal und eine Komponente Fj tangential zur Schnittflache zerlegen. Dabei ist F^-Fcosa

(3.9)

und FT=F-sina

^^ ^^^

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

16 a) . _ J - _

I

\

A'

d)

C

T C

Bild 3-4 Normal- und Schubspannungen in verschiedenen Schnitten eines Zugstabs a) Zugstab mit den Schnitten A - A, B - B und C - C b) Konstante Normalspannung cr im Schnitt A - A c) Zerlegung der Kraft F in die Komponenten F^ normal und FT tangential zur Schnittflache C-C d) Normalspannung a^ und Schubspannung r^ im Schnitt C - C Der Flacheninhalt A* der Schnittflache lasst sich aus der Querschnittflache A und dem Winkel 6irbestimmen: (3.11).

A =cos a

Mit den Gleichungen (3.9), (3.10) und (3.11) erhalt man dann die Normalspannung cTa und die Schubspannung Ta im Schnitt C - C : (Ta =^^ A

= A

FT F-sina-cosa T^ =—^ = A A

= cr-COS ^a = — (l + cos2aj 2 . = a'Sma'Cosa

a . ^ = —•sm2a 2

Die Normalspannung cTa ist maximal fur a = 0°. In diesem Fall ist F (siehe auch Gleichung (3.8)) und Ta = 0. Die Schubspannung Ta erreicht bei a = 45° ihren Maximalwert. In diesem Fall gilt

(3.12),

zo io\ (3.13).

3.4 Verschiebungen u n d Verzerrungen

VJ_

und ^a=cr45o=-^

(3.16).

Versagt ein Stab durch Gewaltbruch, so tritt Trennbruch ein, w e n n cTmax fiir den Bruch verantwortlich ist. In diesem Fall wird der Stab senkrecht zur Stabachse durchtrennt. Gleitbruch tritt dagegen auf, w e n n die maximale Schubspannung fiir d e n Bruch verantwortlich ist. In diesem Fall gleitet das Material unter a = 45°, d. h. in d e n E b e n e n der maximalen Schubspannung, bis z u m Bruch.

a)

F

x:

b)

Bild 3-5 Trenn- und Gleitbruch beim Zugstab a) Bei sprodem Material fiihrt die maximale Normalspannung zum Trennbruch b) Bei zahem Material bewirkt die maximale Schubspannung einen Gleitbruch O b bei einem Zugstab im Grenzfall ein Trennbruch oder ein Gleitbruch entsteht, hangt davon ab, ob es sich u m ein sprodes oder ein zahes Material handelt.

3.4 Verschiebungen und Verzerrungen Alle festen Korper a n d e m unter der Einwirkung v o n Kraften u n d M o m e n t e n ihre GroBe u n d ihre Gestalt. D . h. bei Belastung treten in alien Bauteilen u n d Strukturen Verformungen auf. Die Art der Verformung hangt v o n den globalen Belastungen u n d d e n daraus resultierenden lokalen Spannungen ab. Grundsatzlich gilt: „Normalspannungen Schubspannungen

erzeugen bewirken

Ldngendnderungen, Winkeldnderungen.''

Bei der Betrachtung der Verformungen geht m a n idealerweise davon aus, dass es sich bei d e m Material u m ein stetiges M e d i u m , ein Kontinuum, handelt, bei d e m die Verformungen ebenfalls stetig sind. D i e Untersuchung der Verformungen ist dabei ein rein geometrisches Problem. M a n vergleicht die Situation nach der Verformung mit d e m Zustand v o r der Verformung.

3.4.1 Verformungen bei einachsigem Zug Die VerformungsgroBen eines Zugstabs k o n n e n durch den Vergleich des belasteten u n d verformten Stabs mit der unbelasteten u n d unverformten Situation ermittelt werden, Bild 3-6. B e i Belastung durch die Kraft F verlangert sich der Stab. Dabei erfahren alle Stabquerschnitte eine Verschiebung u(x). D e r Kraftangriffspunkt verschiebt sich dabei u m u(x = I) = Al, w a s der Gesamtverlangerung des Stabs u m Al entspricht.

18

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

V

1^

^

A

B

\ ^

to.

^^^^^ u(x^

h)

u+du

\ w^'

'A

1

A'

1

B' dx+du ^

•

^—^—•^

Bild 3-6 Verformungen beim Zugstab a) Unbelasteter und unverformter Stab mit den Messpunkten A und B im Abstand dx b) Belasteter und verformter Stab mit den verschobenen Messpunkten A' und B' im Abstand dx + du und der Gesamtverlangerung Al des Stabes Bringt man am unverformten Stab, Bild 3-6a, zwischen den Punkten A und B einen Messaufnehmer mit der Messlange dx an, so kann man mit diesem Messgerat am belasteten und verformten Stab eine Lange dx + du messen. Um ein VerformungsmaB zu erhalten, muss man den Abstand der Punkte A' und B' mit dem Abstand der Punkte A und B, d. h. die Messlange dx -^du mit der Ausgangsmessstrecke dx, vergleichen. Dazu fiihrt man als VerformungsmaB die Dehnung als bezogene Langenanderung ein, die sich allgemein wie folgt darstellen lasst: Lange nach der Verformung - Lange vor der Verformung Lange vor der Verformung

Dehnung =

Fiir das betrachtete Stabelement (mit der Ausgangslange dx) ergibt sich somit: £^{x).

A'B'-AB

dx + du-dx

AB

dx

und daraus die allgemeingiiltige Definition fiir die Dehnung: du

(3.17).

£ = £{X) =

dx Die Dehnung 6-ist eine dimensionslose GroBe, die meist in % oder in %o angegeben wird. Gleichung (3.17) zeigt, dass es sich bei der Dehnung um die Ableitung der Verschiebungsfimktion u(x) nach der Stabkoordinate x handelt. Die Gesamtverlangerung Al eines in Stabrichtung belasteten Stabs ergibt sich durch Integration von Gleichung (3.17) nach Trennung der Variablen: A/

/

jdu-u=0

)dx x=0

it der Beziehung

3.4 Verschiebungen und Verzerrungen

19

(3.18). Fiir den Fall einer konstanten Dehnung tiber die Stablange gilt fur Stabverlangemng M = 6'l

(3.19)

bzw. die Dehnung A/ £ =

(3.20).

/ Die Gleichungen (3.19) und (3.20) gelten fur den mit einer Zugkraft belasteten Zugstab, Bild 3-6 und z. B. fiir die Langenanderung von Fachwerkstaben, bei denen die Dehnung iiber die Stablange ebenfalls konstant ist. Falle mit nichtkonstanter Dehnung werden z. B. in den Kapiteln 4.1.2 und 4.1.3 behandek. Ist ein Stab durch eine Druckkraft belastet, so verktirzt er sich. Negative Dehnungen werden haufig auch als Stauchungen bezeichnet. 3.4.2 Verformungen durch Schubbelastungen Eine quadratische Scheibe, Bild 3-7a, die durch zwei entgegengesetzt gerichtete, gleich groBe Kraftepaare (siehe Kapitel 3.3 in [1]) belastet ist, erfahrt eine Schubbeanspruchung. Durch die entgegengesetzt wirkenden Krafte am oberen und am unteren Rand der Scheibe liegt Gleichgewicht in horizontaler Richtung (x-Richtung) vor. Die entgegengesetzt wirkenden Krafte am linken und am rechten Rand der Scheibe liefem Gleichgewicht in vertikaler Richtung (yRichtung). Alle Krafte zusammen erfuUen das Momentengleichgewicht (siehe Kapitel 4.1 in [I])Infolge der Belastung andert die Scheibe ihre Gestalt. Die Scheibe erfahrt eine Winkelanderung um den Winkel y, Bild 3-7b. Im Inneren der Scheibe entsteht ein reiner Schubspannungszustand. Dies wird an dem Scheibenelement in Bild 3-7c deutlich. Die Schubspannungen, die im AUgemeinen mit r bezeichnet werden, treten immer paarweise auf, siehe auch Bild 3-7e. Aus Gleichgewichtsbetrachtungen fur das Scheibenelement erhalt man den Satz von den zugeordneten Schubspannungen: „ Schubspannungen auf senkrechten Ebenen sind stets gleich grofi und paarweise zu einer Kante hin oder von einer Kante weggerichtet. " Infolge der Belastung erfahrt die Scheibe und somit auch das Scheibenelement eine Winkelanderung um den Winkel /, Bild 3-7b und Bild 3-7d. Es wird somit deutlich, dass Schubspannungen, Bild 3-7c, Winkelanderungen, Bild 3-7d, hervorrufen. Als MaB fur die Winkelanderung gilt DD' Y^idiny = ^=^ (3.21). CD Diese Beziehung gik fiir kleine Winkel. y wird Schubverformung oder auch Schiebung genannt.

20

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze b)

'

F

y^

c)

c

F

u

d)

e)

43 ; I

V-A

t

^Scheibenelement

Bild 3-7 Verformungen durch Schubbelastung a) Zwei entgegengesetzt wirkende Kraftepaare bewirken eine Schubbelastung der Scheibe b) Winkelandemng der Scheibe infolge einer Schubbelastung c) Schubspannungen an einem Scheibenelement d) Winkelandemng am Scheibenelement infolge der Schubspannungen e) Zugeordnete Schubspannungen an einem Volumenelement

3.4.3 AUgemeine Formanderungen: Verzerrungen Bei allgemeiner Belastung eines Bauteils treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungen auf, Bild 3-8a. Diese fuhren gleichzeitig zu Langen- und Winkelanderungen und somit zu Dehnungen und Schubverformungen, Bild 3-8b. Zusammengenommen werden Dehnungen und die Schubverformungen (Schiebungen) als Verzerrungen bezeichnet, Bild 3-8c. a)

b)

r ^

! ^

o

}

Verzerrungen

r Dehnunpen

1

1

Schubverforr nungenj

Bild 3-8 AUgemeine Verformungen a) Am Scheibenelement wirken Normal- und Schubspannungen b) Infolge der Belastung verzerrtes Scheibenelement (Uberlagerung von Dehnung und Schubverformung) c) Einteilung der Verzerrungen Auch bei allgemeiner Belastung bzw. allgemeiner Formanderung bewirken die Normalspannungen die Dehnungen und die Schubspannungen die Schubverformungen.

3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

21

3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze Die bisher verwendeten Definitionen fiir Spannungen und Verzerrungen gelten unabhangig vom Materialverhalten. Bei einem Zugstab ist die Spannung lediglich abhangig von der wirkenden Last F und der Querschnittsflache A, siehe Kapitel 3.2. Die Dehnung s ergibt sich durch rein geometrische Betrachtungen mit dem Quotienten aus der Stabverlangerung Al und der Ausgangslange / des Stabes, siehe Kapitel 3.4.1. Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ist jedoch materialabhangig. Er muss experimentell durch geeignete Versuche ermittelt werden. Die Relation zwischen der Spannung a und der Dehnung s wird im einachsigen Fall im Rahmen der Werkstoffprtifung durch einen Zugversuch ermittelt. 3.5.1 Zugversuch Beim Zugversuch nach DIN-EN 10002-1 wird ein genormter Probestab, siehe Bild 3-9a, in einer Prufmaschine durch kontinuierliche Erhohung der Zugkraft bis zum Bruch belastet, Bild 3-9b. Wahrend dieses Versuches wird permanent die Kraft F sowie die Stabverlangerung Al gemessen und in einem Kraft-Verlangemngs-Messschrieb dargestellt, Bild 3-9c. c)

Bild 3-9 Durchfiihrung eines Zugversuches a) Unbelastete Zugprobe mit der Messlange /Q und dem Querschnitt A^ b) Beim Zugversuch wird die Probe durch kontinuierhche Erhohung der Kraft F bis zum Bruch belastet und dabei die Langenanderung Al gemessen c) Kraft-Verlangerungs-Diagramm fiir einen zahen Stahl Aus diesen Messdaten erhaft man mit a= F/AQ, siehe Kapitel 3.2, und £= AI/IQ, siehe Kapitel 3.4.1, ein a- ^-Diagramm als so genannte Spannungs-Dehnungs-Kurve, Bild 3-10.

22

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze (J

i

\

P4

'P5

Rt

P2/

j j

j

1 1 1

1j

1 1

\ \

Fliefi-' bereich

{ *

j Verfestigungs- f 1 bereich \

h"1 1

-^ _>_-™

^

elastisches Materialverhalten

nichtelastisches oder plastisches Materialverhalten — • — — ii». ^—.—_ __ _—_ Bild 3-10 Charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurve fur einen Stahl S235JR Pi! Proportionalitatsgrenze, P2: Elastizitatsgrenze, P3: Streckgrenze oder FlieBgrenze, P4: Bruchgrenze, P5: ZerreiBgrenze; R^. Zugfestigkeit, R^\ Fliefigrenze oder Streckgrenze Im Verlauf der Kurve sind verschiedene Punkte Pi bis P5 gekennzeichnet, die wichtig fiir die Beurteilung des Materialverhaltens sind. Bis zur Proportionalitatsgrenze Pi existiert ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung. Bei Belastung bis zur Elastizitatsgrenze liegt elastisches Materialverhalten vor. Dies bedeutet, nach einer Belastung bis zum Punkt P2 verschw^indet die Verformung nach Entlastung v^ieder vollstandig. Es ergeben sich keine bleibenden Dehnungen. Die Punkte Pi und P2 liegen i. AUg. dicht beieinander. Beim Erreichen der FlieBgrenze oder Streckgrenze P3 tritt verstarkt plastisches Materialverhalten ein. Die Dehnung nimmt deutlich zu, w^obei es im Kraftschrieb zu gewissen Schwankungen kommen kann (obere und untere Streckgrenze). Der Spannungswert, bei dem FlieBen einsetzt, bezeichnet man mit R^ (FlieBgrenze oder Streckgrenze). Bei Entlastung nach tJberschreiten der Streckgrenze ergeben sich bleibende Dehnungen und somit bleibende Verformungen. Nach dem FlieBbereich schlieBt sich ein Verfestigungsbereich an, bei dem sov^ohl die Spannung als auch die Dehnung zunehmen. Die Bruchgrenze P4 beschreibt den maximal erreichbaren Spannungswert. Diesen nennt man Zugfestigkeit und bezeichnet ihn mit R^^. Nach tJberschreiten der Bruchgrenze schniirt sich der Stab an einer Stelle merklich ein. Die Kraft und die auf den Ausgangsquerschnitt A^ bezogene Spannung fallt ab und es kommt zum ZerreiBen des Stabs, P5. Die Bruchdehnung s^, vielfach auch mit^ bezeichnet^ ist dabei ein MaB fiir die Verformbarkeit des Materials.

^ Die Bruchdehnung wird haufig mit A bezeichnet. Um aber eine Verwechslung mit der Querschnittsflache A zu vermeiden, wird hier fur die Bruchdehnung die Bezeichnung s^ verwendet.

3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

23

Die fiir die Festigkeitsbetrachtung wichtigen Kennwerte sind R^ und RQ. Sie werden i. Allg. in N/mm^ Oder MPa angegeben. Der Wert der Bruchdehnung s^ in % zeigt, ob es sich um ein zahes oder ein sprodes Material handelt. Fiir den Werkstoff S235JR ergeben sich die Festigkeitskennwerte R^ = 360 N/mm^ = 360 MPa und RQ = 235 N/mm^ = 235 MPa. Die Bruchdehnung 6B betragt 26%, was auf sehr zahes Materialverhalten hinweist. Dagegen Uegen bei dem Werkstoff EN-GJL-250 die Werte bei Rm = 250 N/mm^ und SB "" 0,5%. Es handeh sich somit um ein sehr sprodes Material. 3.5.2 Spannungs-Dehnungs-Kurven fiir verschiedene Materialien Bild 3-10 zeigt die charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurve fiir einen zahen Stahl. Hochfeste Stable zeigen dagegen ein vollig anderes Verhalten, Bild 3-1 la. b)

c)

ak

d)

Eisenguss

Bild 3-11 Charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurven fiir unterschiedliche Materialgruppen i?m- Zugfestigkeit, /^po,2' 0,2%-Dehngrenze (technische Streckgrenze) a) hochfester Stahl b) Aluminium-Knetlegierung c) Eisenguss d) Kunststoff Der Ubergang vom elastischen in das plastische Materialverhalten ist bei diesen Stahlen nicht durch einen ausgepragten FlieBbereich gekennzeichnet. Zur Festlegung eines entsprechenden Festigkeitswertes verwendet man die Spannung, bei der eine 0,2%)-ige bleibende Dehnung (plastische Verformung) vorliegt. Den Kennwert bezeichnet man dann mit i?po,2Auch bei den anderen in Bild 3-11 dargestellten Materialgruppen liegt keine ausgepragte Streckgrenze vor. Auch hier gelten die Festigkeitskennwerte R^ und R^o,!- Zudem fallt auf,

24

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

dass der Anstieg der Kurve im elastischen Bereich bei Aluminium und Kunststoff sehr viel flacher ist als bei Stahl. Festigkeitskennwerte und Bruchdehnungen fiir zahlreiche Materialien sind im Anhang Al und in [2] und [3] angegeben. 3.5.3 Elastisches und nichtelastisches Materialverhalten Bei elastischem Materialverhalten treten keine Plastifizierungen und somit bei Entlastung keine bleibenden Verformungen auf. Es handelt sich bei Be- und Entlastung um einen reversiblen Vorgang, bei dem Belastungs- und Entlastungskurve stets identisch sind, Bild 3-12. b)

a)

o

^

Bild 3-12 Elastisches Materialverhalten a) Linear-elastisch b) Nichtlinear-elastisch Im Gegensatz dazu kommt es beim nicht-elastischen Materialverhalten nach tJberschreiten der Elastizitatsgrenze zu ausgepragten plastischen Verformungen. Tritt ab dem FlieBbeginn keine Spannungserhohung mehr auf, spricht man von ideal-plastischem Materialverhalten, Bild 3-13a. a)

b)

A

1 _^ /

I /^^ /

/

*

rL-^L_^' -

/ /

^

^

f

''*

/ 8

i:

N—-^—•^

Bild 3-13 Nicht-elastisches Verhalten a) Elastisch/ideal-plastisch b) Elastisch/plastisch mit Verfestigung Erhoht sich die Spannung bei zunehmender plastischer Verformung, bezeichnet man das Materialverhalten als plastisch mit Verfestigung, Bild 3-13b. Charakteristisch fiir nicht-elastisches Materialverhalten ist, dass Belastungs- und Entlastungskurve nicht mehr zusammenfallen und bleibende Verformungen auftreten.

3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

25

3.5.4 HOOKEsches Gesetz bei Zug Bei technischen Bauteilen soli Bruch und bleibende Verformung vermieden werden. Die Belastung wird dabei so gewahlt, dass eine ausreichende Sicherheit gegen plastische Verformungen vorliegt. In diesem Bereich verhalten sich die meisten Materialien linear-elastisch, Bild 3-14.

Bild 3-14 Linear-elastischer Bereich der Spannungs-DehnungsKurve Elastizitatsmodel E = tan a Es existiert also ein eindeutiger und linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung, der durch das HOOKEsche Gesetz <J =

(3.22)

E'£

beschrieben werden kann. Die Spannung <j ist also der Dehnung s proportional. Proportionalitatsfaktor ist der Elastizitatsmodul E, der ein MaB fur den Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Kurve darstellt, Bild 3-14. Der Elastizitatsmodul von Stahl ist fur alle Stahlsorten weitgehend konstant und betragt 210000 N/mm^. Bei Aluminiumlegierungen ist E erheblich kleiner mit « 70000 N/mm^. Die Werte fur Kunststoffe sind sehr stark materialabhangig. Sie liegen im Mittel bei 10003000 N/mm^. Detailliertere Angaben konnen dem Anhang Al sowie [2] und [3] entnommen werden. Gleichung (3.22) ist giiltig fur einachsige Zug- oder Druckbelastung. Bei Schubbelastung und bei mehrachsiger Belastung gelten andere GesetzmaBigkeiten, siehe Kapitel 3.5.7 und 8.4. Der lineare Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist mathematisch sehr viel einfacher zu behandeln als nichtlineares Materialverhalten. Dies kommt den weiteren Betrachtungen in diesem Buch zu Gute, in denen iiberwiegend lineares Material- und Bauteilverhalten untersucht wird. 3.5.5 Querdehnung Beim Zugversuch, Kapitel 3.5.1, werden neben der axialen Dehnung auch Querdehnungen festgestellt. Wird ein Stab, Bild 3-15, in x-Richtung verlangert, zieht er sich in y- und in zRichtung zusammen. >'*

^ JS

\y

^x

Bild 3-15 Zugstab mit einachsiger Zugbelastung zur Verdeutlichung der Querdehnung

26

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Fiir die Dehnung s^ in Langsrichtung ergibt sich dann mit dem HOOKEschen Gesetz, Gleichung (3.22), ^x= —-^x E Fiir die Querdehnungen in;;- undz-Richtung gilt

(3.23).

Die Querdehnungen Sy und s^ sind negativ (Querkontraktionen). Sie stehen im direkten Zusammenhang mit der Langsdehnung s^. Proportionalitatsfaktor ist die Querdehnzahl v, die sich im Giiltigkeitsbereich des HOOKEschen Gesetzes als Materialkonstante erweist. Fiir technische Werkstoffe liegen die Werte zwischen 0,25 und 0,36, wobei fur Stahl v= 0,3 gilt. Gummi nimmt mit v= 0,5 eine Sonderstellung ein. Weitere v-Werte sind in Anhang A3 und in [4] angegeben. 3.5.6 Volumendehnung Bei der Verformung von technischen Bauteilen tritt i. Allg. eine Volumenanderung ein. Die Volumendehnung ergibt sich als Dehnungssumme e der Dehnungen 6^, Sy und s^ in x-, y- und z-Richtung: e —

(3.25).

— 6y^-\- £y + Sr^

ZlFist hierbei die Volumenanderung und Kdas Volumen des Korpers. Fiir den Zugstab in Bild 3-15, Kapitel 3.5.5, ergibt sich eine Volumendehnung von e = £y^+£y+ £j^ =£^-V'£^-V'£^

=(\- 2v) • £^

(3.26).

Man erkennt, dass die Volumendehnung u. a. von der Querdehnzahl abhangt. Fiir technische Werkstoffe mit v= 0,25...0,36 ergibt sich somit bei elastischer Verformung eine Volumendehnung. Nur ftir Gummi und far Fliissigkeiten ist ^ = 0. 3.5.7 HOOKEsches Gesetz bei Schub Infolge von Schubbelastungen treten Winkelanderungen und somit Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden, Kapitel 3.4.2. Der Zusammenhang zwischen der Schubspannung r und der Schubverformung y wird durch das HOOKEsche Gesetz fiir Schubbelastung beschrieben: G-y\

(3.27).

G ist hierbei der Schubmodul mit der Einheit N/mm^ oder MPa. Er steht iiber die Gleichung G =-

^

(3.28)

3.5 Zusammenhange zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

27

in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Elastizitatsmodul E (siehe Kapitel 3.5.4 und Anhang Al). Ftir Stable und viele Metalle ist v « 0.3 und somit

GJ-E

(3.29).

Man erkennt, ein isotroper, elastischer Korper hat zwei unabhangige Materialkonstanten, namlich E und G oder E und v. Beispiel 3-1

^ /

Ein Stab aus Stahl mit der Lange / und der Quersehnittsflache A ist mit einer Kraft F belastet Man bestimmeflirden belasteten Stab: a) die wirkende Spamiung o; b) die Dehnung ^und die Stabverlangenmg Al, c) die Querdetaimg ^ und d) die Volumendehnung. Wie indem sich die Werte, wenn der Stahlstab durch einen Stab aus Aluminium ersetzt wird? geg.: F = 16 kN, ^ = 100 mm^ / = 1 m, £'stahi = 210000 N/mm^ EpamBmrnm = 70000 N/mm^ %ahl = 0 , 3 , FAiuminmm ^ 0 ^ 4

Losung: a) Wirkende Spannung a Stahl: Aluminium:

F A

16000N lOOmm^

,^^ N mm

F N 0- = —= 160—^ A mm"

b) Dehnung ^und Stabverlangemng S Stahl:

a ^ =„ = E

160N/mm

^r^r^r.r,r /.^^A/ = 0,00076 = 0,76 %o

210000 N/mm^

Al = e^l = 0,00076 ^ 1000mm = 0,76 mm

28

3 Spannungen, Verzemingen, Stoffgesetze 9

Ai • Alumimum:

^ 160N/mm ^^^^>. ^^^, ^ == — = = 0,0023 = 2,3 %o ^^ 70000 N/mm^ Jl = s*l = 0,0023 - lOOOmm = 2,3 mm

c) Querdehnung ^q V 0,3 • 160 N/mm^ ^ ^^^.^ ^ ^^ ^. -V. £- = ^—»(J = r- = -0,00023 = -0,23 %o E 210000N/mm^

Stahl: Aluminium:

s^=^V'e =

(7 = -0,00078 = -0,78 %o E

d) VolumeBdehnimg e Stahl:

e =- (l - 2vy s^--{l-2'

0,3)- 0,76 %o^ 0,30%o

Aluminium:

e = (l - 2v)- % = (l - 2 • 0,34) • 2,3 %o = 0,73 %o

Beispiel 3-2

I f

i n

I T ^^

^

^d '"^

Bin Stahlstab mit einer kreisformigen Querschnittsflache, Durchmesserrf,ist durch die Krafte Fi und F2 belastet. Man bestimme a) die Normalkrafte im gesamten Stab, b) die Spannungen in den Stabbereichen, c) die Gesamtverkurzung des Stabs und d) die maximale Dickenandemng.

f

geg.: Fi=F, F2-2F, F=50kN, a = 0,5m,fe= 0,3m, ^=50mm, £-210000N/mm^ v=0,3 Losung: a) Normalkrafte im gesamten Stab Bereichl:0<jc2m Mo = ^ , = :; T = 1,9 mm E*^ 210000N/mm^ • 250mm^ 5n-^^'H-(.r/2f Aqi =

'56kN^V4m^^lm^ =

E' A

r

^ T- = —2,4 mm

210000 N/mm^ - 250 mm^

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme Bei statisch unbestimmten Systemen reichen die Gleichgewichtsbedingungen zur Ermittlung der Stabkrafte nicht aus. Es muss zusatzlich die Verformungsfahigkeit der Stabe betrachtet werden. Zur Ermittlung der gesuchten GroBen stehen mit der Verschiebungsmethode und der Superpositionsmethode zwei Konzepte zur Verfiigung. Diese werden nachfolgend anhand eines Stabsystems mit drei Staben, die am gemeinsamen Gelenkpunkt durch eine Kraft F belastet sind, Bild 4-6a, verdeutlicht. 4.3.1 Verschiebungsmethode Fiir das in Bild 4-6a gezeigte Stabsystem wird angenommen, dass die Querschnittsflachen aller Stabe gleich groB sind, d.h. Ai=A2=A2=A, und die Stabe alle aus dem gleichem Material bestehen, d. h. Ei=E2 = Es= E. Die Stablangen ergeben sich mit der Hohe a und dem Winkel a zu: h -h ~

'

l2=ci-

Die Losung dieses Problems erfolgt mit der Verschiebungsmethode unter Beriicksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen, der Stabverlangerungen und der Betrachtung der Zusammenhange zwischen den Verformungen (Kinematik, Kompatibilitat).

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme

y/////////

41

b)

c)

A/2 = V

Bild 4-6 Ermittlung der Krafte und Verformungen bei einem statisch unbestimmten Stabsystem a) Stabsystem mit drei Staben, das durch eine Kraft F belastet ist b) Freischnitt mit den Stabkraften S\, S2 und *S3' c) Verformungen des Stabsystems Fiir das freigeschnittene System erhalt man mit den Gleichgewichtsbedingungen CKI

h>h

b^'h^

2 2

5.3.5 Flachentragheitsmomente beliebig zusammengesetzter Querschnittsflachen Die Ermittlung der Flachentragheitsmomente von beliebig zusammengesetzten Querschnittsflachen, siehe z. B. Bild 5-18a erfolgt in zwei Schritten. Zunachst wird die Gesamtflache in Teilflachen Au A2 ...Ai eingeteilt, Bild 5-18b, fiir die die Flachenschwerpunkte und die Flachentragheitsmomente beziiglich der jeweiligen Schwerpunktsachsen bekannt sind. Danach erfolgt die Ermittlung des Gesamtschwerpunkts S. Die Flachentragheitsmomente beziiglich der Gesamtschwerpunktskoordinaten j^ und z, Bild 5-18c, erhalt man dann unter Anwendung des Satzes von STEINER, Kapitel 5.3.4, aus den Flachentragheitsmomenten /yi, I^i der Teilflachen. Die Ermittlung der Schwerpunktskoordinaten des Gesamtschwerpunkts erfolgt in einem sinnvollen Koordinatensystem, z. B. y*, z (Bild 5-18b), mit den Beziehungen y^

lA

•y\

Z4

(5.54),

5.3 Flachentragheitsmomente

zs

75

Z^i-i* HA

(5.55),

siehe auch Kapitel 9.2.3 in [1]. Teilflache A

a)

c)

b)

^

1

Teilflache Aj

^

>'l

^1 3^2

y=y

\>2Z^Z_J

^Sil

,y3L >'i

Teilflache ^^

fz*

Bild 5-18 Berechnung der Flachentragheitsmomente beliebig zusammengesetzter Querschnittsflachen a) Querschnittsflache eines Balkens b) Einteilung der Querschnittsflachen in Teilflachen, fiir die die Schwerpunkte und die Flachentragheitsmomente bekannt sind, zur Bestimmung der Koordinaten ys und zs des Gesamtschwerpunkts S c) Berechnung der Flachentragheitsmomente beziiglich der Schwerpunktsachsen y und z des Gesamtschwerpunkts mit den Flachentragheitsmomenten /y^ und 4i der Teilflachen A[ (y{, z-{. Schwerpunktskoordinaten der Teilflachen) Fiir die Flachentragheitsmomente beziiglich der Schwerpunktsachsen y und z des Gesamtschwerpunkts gilt: ^y = X ! v y i + ^ s i ^ - ^ i )

(5.56),

(5.57),

(5.58).

Die konkrete Vorgehensweise ist in Beispiel 5-3 verdeutlicht.

*** Beispiel 5-3 Fur das dargestellte Profil, das aus Flacheise» der Dicke t ziisammeBgesetzt ist, bestimme man die Flachentmgheitsmomente /y und 4. geg,: a = 40 mm, t = 0,5a - 20 mm

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

76 9a

Einteilung in Bereiche: IZZZZZZZ2ZZ^^Z2-(D apES

m^

^^^('.^/^^ i(^.ii(iji^,^^

EZZ

?^^W@

L6simg: Flachentragheitsmomente:

= 2-

9a-/^ r^ 12

I

?f-

+4

2

3a-/^

3,5a — • 3a • / 2'

12

12

= 2• [240000mm'* + (150mm)^ • 7200rtun^] + 4-[80000mm'* +(130mm)2 •2400mm2] + 36586666,7mm'* = 523,627 • 10^ mm"* = 52362,7 cm"*

r=2.LM.,4 12

I 12

1^

2J

J + - IT

= 2'77760000mm^ +4.[2880000mm^ +(70mmf • 2400mm^] +186666,7mm"^ = 214,267-10^ =21426,7 cm"^

Beispiel 5-4 *** Bin eitiseitig fest eingespannter Balken wird durch ein Biegemoment M belastet. Vier flachengleiche Profilvarianten stehen zur Auswahl. Man bestimme a) die SchnittgroBen im Balken, b) die Flachentragheitsmomente /y und die Widerstandsmomente Wyfiirdie vier Profilvarianten sowie c) diejeweiligenMaximalwertederBiegespannungen. geg.: M,a

77

5.3 Flachentragheitsmomente

'A

M

i.

%—fc-

)

25a

zf

0)

2a

^ 4a^ /////

i

''/K//

@

@

^ ®

2a

^ 2a

2a

M ^"'

5a

y* yZ/YTTrm

T

^ N 3a 1 +

5a

Losimg: a) SchnittgroBen im Balkan

t: S = 0

i\r=o.

M

^•^)

I : My-M

=0

My=M

b) FMchentitgheitsmomente /y und Widerstandsmomente FFy Profil (D:

Profil®:

8 4 = ^2,67a .^ 4 /. J = d-A^ = 4a-(la)^ ;^—^_ = —a ^ 12 12 3

/y2 =

r,yi

,\

2a-(40)^

8a 83 3 = —a = 2,0 la 3a 3

^

12

3-2a

32 4

= —a^=10,67a^ 3

3

Profil (D: j'S = 0 (Symmetrie)

ESZZI

^S

X^Si-^i _(3a/2)-3a^+(7a/2)-5a^ X^i

= l : ^ + ( l , 5 a - 2 , 7 5 a ) 2 .3a2 + ^ f : ^

Wy,=Jy^ = im^

= 2,75a

3a^ + 5a^

+ (3,5a-2,75a)2 -Sa^

=^a'=W,na'

= 3,70a'

Profil ®: r

^

r

X^(T

_ 2 ^ \ 3 a - a

= ^ ^ 3 = _ ^ = l M Z ^ = 4,27a2 |>'njax| 2,5a

^

a-(5a)

^

32 4

.^^„ 4

78

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

c) Maximalwerte der Biegespanmmg Profil ®:

ProfiKD: _ M _3M

M

_..^M

f^y2 Profil (D:

3M.^^^^

M

16«3

Profil (3): M

^y3

M

M

WyA

4,27a^

^ =0^74 3,7a^

0,23

M

5.3.6 Flachentragheitsmomente fiir gedrehtes Bezugssystem Die Flachentragheitsmomente I^ und /^ fiir ein gedrehtes Koordinatensystem mit den Koordinaten TJ und ^ Bild 5-19b, lassen sich aus den Flachentragheitsmomenten /y und 4 (fur die Koordinaten y und z, Bild 5-19a) ermitteln. Vergleicht man die Koordinatensysteme in Bild 5-19c, so erhalt man die Formeln fur die Koordinatentransformation: ;/ = j-cosor + z-sma

(5.59),

^ = ->'-sinc!r + z-cosa

(5.60).

c)

y' sma

Bild 5-19 Berechnung der Flachentragheitsmomente fur ein gedrehtes Bezugssystem a) Querschnitt mit den Bezugsachsen y und z b) Gedrehtes Bezugssystem mit den Koordinaten rj und (^ c) Darstellung des Zusammenhangs der Koordinaten rj und ^ sowie y und z zum Zwecke der Koordinatentransformation Mit der allgemeinen Definition der axialen Flachentragheitsmomente, Kapitel 5.3.1.1, und Gleichung (5.60) ergibt sich fur die //-Achse das Flachentragheitsmoment: Iy^= \^^dA = ^\n^ a\y^dA + co^ a\z

dA-lsina-cosa

ly-zdA

(5.61).

Hierin entspricht iy^dA = I^, jz^dA = ly und \y-z dA = ly^, siehe auch Kapitel 5.3.1. Zudem gilt sin^a=(l - cos2a)/2, cos^a= (1+cos26ir)/2 und 2sina c o s a ^ sin26ir. I^^ lasst sicht somit unmittelbar aus /y, 4, /yz und dem Winkel a ermitteln, siehe Gleichung (5.62). Die Flachentragheitsmomente /^ und ly^c^ ergeben sich analog. Somit gelten folgende Transformationsgleichungen:

5.3 Flachentragheitsmomente

V

V Z

/„ = — ^ 1

Z

+~ 1

• ' y z

1Q

79

COS 2a + /v7 • sin la ^^ V

z

=

cos 2a - /yz • sin 2a

h-Iz

'ni

(5.62),

(5.63),

(5.64).

' sin 2a + /yz • cos 2a

Zudem ergibt sich, dass die Summe der axialen Flachentragheitsmomente (5.65) stets konstant und gleich dem polaren Flachentragheitsmoment /p ist. Beispiel 5-5

*

*

•

*

Fur das dargestellte Querschnittsprofil bestimme man a) die Flachentragheitsmomente /y, 4 und /yz sowie b) die Flachentragheitsmomente Ifj, /^ und Ifl^ fiir den Winkel a. geg.r a, a = 45^. L5sung: a) Flachentragheitsmomente /y und 4

= 20,25;r • a"^ - 2,5;r • a"* = 17,75;r • a"* = 4 -^yz =2vyz«~^Si -zsi -A^^-la^

-a^ •n = -27t-a^

b) Flachentragheitsmomente /,, und /^ ftr a = 45° /«=-

iy +iz

i y —iz

cos2a + /yz * sin 2a

= 17,75;r.a^-2;r.a^-sin90^ = 15,75;r-a'^ Iy -^ I^,

/^ =:

^

/^^ = —£

iy

iz

^

cos 2a - /yz * sin 2a = 19,75;r • a

3in 2a + /yz • cos 2a = 0

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

80

5.3.7 Hauptachsen und Haupttragheitsmomente Die Flachentragheitsmomente /r^, /; und /^^, siehe Gleichungen (5.62), (5.63) und (5.64), andem sich mit dem Winkel a. Fur einen bestimmten Winkel a ist /^ maximal, /^ minimal und /^^^ = 0. Bezugsachsen, die durch den Winkel a beschrieben werden, nennt man Hauptachsen. Den Hauptachsenwinkel a erhalt man fur 1^^^^ mit den Bedingungen 5/.

=0

(5.66)

7,^=0

(5.67),

da Oder

wie folgt: —

sin la + /v7 • cos la 1 y^ bzw. nach Umformung mit

=^

IL yz

t2in la

(5.68).

ly-^z Wegen tan la 2.

= tan l(a

+7T II) sind a

und a +7r/l diQ Winkel der Hauptachsen 1 und

Die Flachentragheitsmomente beziiglich der Hauptachsen bezeichnet man als Haupttragheitsmomente. Sie errechnen sich nach Einsetzen von a , Gleichung (5.68), in die Gleichungen (5.62) bzw. (5.63) mit nachfolgenden Beziehungen: 2

'

2

\bLZll] +^ /^ yz 2 = 7^ max

(5.69),

1^:

(5.70).

\2

^

2

""1

^

+/ ^=7 • ^ yz ^ mm

Das zentrifugale Flachentragheitsmoment ist beziiglich der Hauptachsen null. I\ bezeichnet stets das groBte Flachentragheitsmoment und I2 stets das kleinste Flachentragheitsmoment. Bei dem doppelsymmetrischen Querschnitt in Bild 5-20a sind beide Symmetrieachsen Hauptachsen, wobei die 1-Achse dem groBten Flachentragheitsmoment /i und die 2-Achse dem kleinsten Flachentragheitsmoment I2 zugeordnet sind. Bei einfachsymmetrischen Querschnitten sind die Symmetrieachse und die dazu senkrechte Schwerpunktsachse Hauptachsen, Bild 5-20b. Bei nichtsymmetrischen Querschnitten, /yz ^ 0, sind die Hauptachsen und die Haupttragheitsmomente mit den entsprechenden Formeln, Gleichungen (5.68), (5.69) und (5.70), aus den Flachentragheitsmomenten /y, I^ und /yz zu errechnen, Bild 5-20c. Biegung um nur eine Hauptachse nennt man einachsige oder gerade Biegung. Biegung um zwei Hauptachsen entspricht zweiachsiger oder schiefer Biegung.

5.3 Flachentragheitsmomente

81

Symmetrieachse

a)

Symmetries achse

b)

s y

1

^^^X SymmetrieCA achse

1222^1 .F\qJ f

^

Bild 5-20 Hauptachsen verschiedener Querschnittsprofile a) Doppelsymmetrischer Querschnitt: Symmetrieachsen sind Hauptachsen; 1\ = /y, I2 = h, /yz-0

b) Einfachsymmetrischer Querschnitt: Symmetrieachse und die dazu senkrechte Schwerpunktsachse sind Hauptachsen; Ix = /y, I2 = /z, /yz = 0 c) Unsymmetrischer Querschnitt: Hauptachsenwinkel a nach Gleichung (5.68), 7i nach Gleichung (5.69), h nach Gleichung (5.70), /y, i^ 0

Beispiel 5-6 -

^

•

i

la

^

f

/ / / /

/?/

A

a) die Schwerpijnktskoordmaten>?s* und 2s*, 7a

%

Ftir das dargestellte L-Profil bestimme man b) die Flachentragheitsmomente / y , 4 und /yx bezuglich des Schwerpunkts sowie c) die Hauptachsen 1,2 und die Hauptflachentragheitsmomente I\ und h.

/ / / - 3a ^

geg.: a \z*

1

Losung: Einteilung des L-Profils in zwei Teilflachen mit bekannten Schwerpunktskoordinaten und Fl^chentrigheitsmomenten a) Schwerpunktskoordinaten y*

y% IN \ 1^ N \\A /

^^l$Ai A

_ 5a-8a^+l,5a-21a^ = 2,47a

* a-Sa^ +3,5a-2la^ zs = 8a^+21a2 = 2,81a

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

82

b) FlachenMgheitsmomente /y, I^, und /y^

= i £ j f f . + ( a _ 2 , 8 1 a ) 2 -Sa^ + 3 £ : M . +(3,5^-2,8la)^ -lla^

=mfia'

= 2 £ : M + (5a-2,47a)2 -Sa^ + l i M . + (1,5a-2,47a)2 .21a2 = 9 7 V

= 0-{5a-2,47a){a-2,81a)-8a2+0-(l,5a-2,47a)(3,5a-2,81a)-21a^=50,7a'^ c) Hauptachsen und Haiq)tflachentragheitsmomente toi2a

=

2/.yz ^y-'^'z

2-50,7a^ = 3,73 \24,6a^-97,4a*

a =37,5°

h - ^ * ,

^ y ^ t .r 2

124,6a^+97,4a'^

_/y^/z

h=

|l24.6.^^^97,4a-^f

(/y-/z

( 3 ^ ^

^

N^ + /yz

= 58,5a

= /jjjjH

5,4 Biegeverformungen von Balken Die bisher gewonnenen Erkenntnisse sind von groBer Bedeutung fiir den Festigkeitsnachweis bei Balken und balkenartigen Tragwerken. Daruber hinaus ist haufig auch ein Verformungsnachweis erforderlich. D. h. die Durchbiegung des Balkens darf bestimmte Grenzwerte nicht iiberschreiten. Zudem konnen statisch unbestimmte Balkenprobleme nur mit Hilfe der Verformungen gelost werden. Daher kommt der Untersuchung der Balkenverformung infolge Biegebelastung eine besondere Bedeutung zu.

5.4 Biegeverformungen von Balken

83

5.4.1 Differentialgleichungen der Biegelinie Bin belasteter Balken, siehe z. B. Bild 5-2la, biegt sich durch, Bild 5-2Ic. Die verformte Balkenachse nennt man Biegelinie. Die Durchbiegung w = w(x) stellt dabei die Verschiebung einzelner Balkenelemente in z-Richtung dar, siehe Bild 5-2Ic und Bild 5-2Id. Bei langen, schlanken Balken wird die Durchbiegung allein durch das im Balken auftretende Biegemoment M(x), Bild 5-2lb, hervorgerufen. Fur h « /, Bild 5-2la, kann der Einfluss der Querkraft Q(x), Bild 5-2lb, vemachlassigt werden. Fur belastete Balken gilt es, die Durchbiegungsfunktion w = w(x) in Abhangigkeit von M(x) und der Biegesteifigkeit Ely zu bestimmen. Grundlage ist eine Differentialgleichung der Biegelinie, die man mit den nachfolgenden LFberlegungen erhalt. a) q^

t 11 T t

I T -^Q(x) unverformte 'Balkenachse

d)

w(x) —T • - ^

Balkenelement

unverformte Balkenachse

7777> 7777>

gebogene Balkenachse (Biegelinie)

\v ~ w(x) 1

Balken- /1 ^^'^ element/ '

1,

Biegelinie

Bild 5-21 Balkenverformung infolge des Biegemomentes a) Belasteter Balken b) SchnittgroBen M(x) und Q(x) beim Balken c) Vergleich von unverformter und verformter Balkenachse d) Definition der Durchbiegung w = w(x) und des Neigungs- bzw. Verdrehwinkels an einem vergroBert dargestellten Balkenelement Nach Gleichung (5.6) ist die Krummung der gebogenen Balkenachse wie folgt defmiert: p

dx

(5.71).

Mit Gleichung (5.12) folgt auBerdem: 1 _

M

P

EI^

(5.72).

In Anlehnung an die Definition der Krummung einer Kurve in der Mathematik lasst sich die Krummung der Balkenachse auch wie folgt beschreiben:

84

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken 1

w"

Fiir kleine Durchbiegungen w und somit kleine Verdrehwinkel (p=w\ Bild 5-2Id, ergibt sich mit w' < 1 und w'^ « \ die Knimmung A: = 1 = - W " P

(5.74).

Mit den Gleichungen (5.72) und (5.74) erhalt man nun die Differentialgleichung der Biegelinie:

V'=-^W E-Iy

(5.75).

Es handelt sich hierbei um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit dem Biegemoment (Schnittmoment) M(x), dem Elastizitatsmodul E des Balkenmaterials und dem Flachentragheitsmoment /y des Balkenquerschnitts. Gleichung (5.75) ist geeignet fiir die Bestimmung der Biegelinie von statisch bestimmt gelagerten Balken. Fiir ein positives Biegemoment M(x), zur Definition und zur Ermittlung siehe z.B. die Kapitel 5.6.2 und 5.6.5 in [1], ist w'' < 0. Zudem gilt mit den Gleichungen (5.71) und (5.74) /c = ^

= ^'=-w"

(5.76),

dx und somit ergibt sich der Neigungswinkel (p = -W\ (5.77) durch Integration der Differentialgleichung der Biegelinie, Gleichung (5.75). Die Biegelinie w = w(x) erhalt man dann durch nochmalige Integration, siehe Kapitel 5.4.2. Nutzt man die aus der Statik bekannten Zusammenhange zwischen den Belastungs- und SchnittgroBen beim Balken, siehe Kapitel 5.7.4 in [1], so lasst sich Gleichung (5.75) auch wie folgt umformen: M{x) = -E'Iy-w''

(5.78),

Q{x) = ^ = M'=-{E'Iy'w'y dx

(5.79),

q{x) = - ^ = -Q={E'Iy'WT (5.80). dx Ftir den Fall, dass E-Iy iiber die Balkenlange konstant ist, folgt eine alternative Formulierung der Differentialgleichung der Biegelinie als Differentialgleichung vierter Ordnung: E-I^-w^"^ =q{x)

(5.81).

Diese Differentialgleichung ist auch zur Bestimmung der Biegelinie von statisch unbestimmt gelagerten Balken geeignet.

5.4 Biegeverformungen von Balken

85

5.4.2 Ermittlung der Biegelinie durch Integration der Differentialgleichung Die Differentialgleichungen der Biegelinie, Kapitel 5.4.1, Gleichung (5.75) und Gleichung (5.81), stellen die Grundlage fiir die Bestimmung der Biegelinie vom Balken dar. Die Biegelinien lassen sich durch Integration der Differentialgleichungen ermitteln. Bei der Integration erhalt man Integrationskonstanten, die sich mit Hilfe von Rand- und Ubergangsbedingungen far die speziellen Probleme ermitteln lassen. 1st bei statisch bestimmten Balkenproblemen der SchnittgroBenverlauf M(x) bekannt, fmdet Gleichung (5.75) Anwendung. Fur den Fall, dass die Streckenlast q(x) bekannt ist oder bei statisch unbestimmten Problemen, eignet sich Gleichung (5.81). Grundsatzlich ist auch zwischen Ein- und Mehrbereichsproblemen zu unterscheiden. 5.4.2.1

Integration der Differentialgleichung

zweiter

Ordnung

Ist der SchnittgroBenverlauf M(x) bekannt, oder kann dieser mit den Methoden der Statik bestimmt werden, so ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung, Gleichung (5.75), Ausgangspunkt fiir die Ermittlung der Biegelinie. Durch Integration von E-Iy erhalt man den Neigungswinkel (p = -w' der Biegelinie gegen die x-Achse: {

v'=-[

M_ M

h

dx + Ci

(5.82).

Die Integration von Gleichung (5.82) liefert die Durchbiegung w = w(x)\ M_ ' = - j[ ^-^dx]

dx + Cx'X + Ci

(5.83).

Allerdings miissen die Integrationskonstanten Ci und C2 noch durch Randbedingungen, siehe Kapitel 5.4.2.3, bestimmt werden. 5.4.2.2

Integration der Differentialgleichung

vierter Ordnung

Ist die Streckenlast q(x) bekannt, so kann der Querkraftverlauf, der Biegemomentenverlauf, der Neigungswinkelverlauf und die Biegelinie w = w(x) mit der Differentialgleichung vierter Ordnung, Gleichung (5.81), ermittelt werden. Durch Integration von E'lyw^^

=q{x)

erhalt man E'Iy'W''=-Q{x)^

^q{x)dx + Ci

(5.84),

EIyW'=-M{x)^

\{\q{x)dx)dx + Ci 'x + C2

(5.85),

86

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

E'Iy'W=

j[j(j^(x)A:)^x]A: + Ci- — + C2-X + C3

(5.86),

E'Iy'W=

j{j[j(j^(x)Jx)(i\:]Jx}A: + Ci- — + C2- — + C3-X + C4

(5.87).

Die Integration kann fur jede stetige Funktion q(x) durchgefuhrt werden. Die Integrationskonstanten Ci, C2, C3 und C4 sind mit den Randbedingungen, Kapitel 5.4.2.3, fiir das spezielle Balkenproblem zu ermitteln. 5.4.2.3

A uflager- und Randbedingungen

bei

Biegebelastung

Grundsatzlich unterscheidet man geometrische (kinematische) und statische Randbedingungen. Bei den geometrischen Randbedingungen ist die Durchbiegung w oder der Neigungs- oder Verdrehwinkel w' vorgegeben. Bei den statischen Randbedingungen ist M oder Q bzw. w'' oder w'" vorgegeben. Eine tJbersicht iiber haufig vorkommende Randbedingungen zeigt Bild 5-22. Lagenmgsart

M'^w''

Gelenkiges Lager (Los- Oder Festlager)

e-w'" ^0

7^0

w^

Einspamiimg

a

Parallelflihrung

I

^0

^0

^

Freies Baikeuende

7^0

7^0

7^0

^0

Bild 5-22 Auflager- und Randbedingungen bei Balkenbiegung

5.4.3 Einbereichsprobleme Einbereichsprobleme liegen vor, wenn im Definitionsbereich der Differentialgleichungen, Gleichung (5.75) und Gleichung (5.81), keine Unstetigkeitsstellen wie Einzellasten, Auflager, Zwischengelenke sowie keine Richtungsanderungen des Balkens vorkommen. Dies bedeutet, im betrachteten Bereich sind q(x), Q(x), M(x), w'(x) und w(x) stetig. 5.4.3.1

Balken mit Einzellast

Die Ermittlung der Biegelinie fur den in Bild 5-23a dargestellten Balken erfolgt mit der Differentialgleichung der Biegelinie, Gleichung (5.75). Zunachst ist der SchnittgroBenverlauf M(3c) zu bestimmen. Mit der Momentenbedingung um den Schnittpunkt I erhalt man

M{x) =

-F'{l-x)

(5.88).

Da £• • /y konstant iiber die Balkenlange ist, lautet die Differentialgleichung fur diesen Balken

5.4 Biegeverformungen von Balken

87 (5.89).

E-Iy-w"=F-il-x) Die Integration dieser Differentialgleichung liefert x^

E-Iy-W=F-{l-x 2

E-I^-w y

(5.90),

) + Ci 3

= F-i———) ' 2 6

(5.91).

+ C,-x + C, ' ^ b)

F 1

M(x)^ l-x

c)

7^-

Biegelinie w = w(x)

Bild 5-23 Ermittlung der Biegelinie fur einen Balken mit Einzellast a) Belasteter Balken b) Freischnitt mit dem Schnittmoment M(x) c) Biegelinie w = w(x) mit der maximalen Durchbiegung w^ax und dem maximalen Neigungswinkel cp^^^ Mit den Randbedingungen w(x = 0) = 0 und w' (x = 0) = 0, erhalt man die Integrationskonstanten Ci = 0 und C2 = 0. Somit ergibt sich die Biegelinie, d. h. der Durchbiegungsverlauf w - w(x) -

I'X^

X^

E'L,

(5.92),

siehe auch Bild 5-23c. Die maximale Durchbiegung w^ax ergibt sich an der Stelle x = I und betragt: :W(/):

F-l' ^E'L,

(5.93).

Den Neigungswinkel- oder Verdrehwinkelverlauf erhak man mit Gleichung (5.90) oder durch Differentiation von Gleichung (5.92): F x^ ^(x) = w'(x) = - — - - ( / - x - — ) Der maximale Neigungswinkel ^max, Bild 5-23c, tritt an der Stelle x = l auf und betragt

(5.94).

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

^max= 0,00652 EI 36QEI-1 ' bei x = 0,5193/

w{x)--

Fa' 2EI

(3a^x-a^)

H-) w(x) =

(p{a) = (p{l)

HO = >^max

fur a = b = I/2:

(p{l) = ^max Fab{l + a)\ 6EI-1

4^EI

Biegelinien, maximale Durchbiegungen und maximale Neigung von Balken

94

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

Beispiel 5-9

~l z

_5

Zeigerquerschnitt:

j 5mm|

A

Die skizzierte Vorrichtung soil zur Kraftmessung verwendet werdeti. Man bestimme den Durchmesser d des Zeigers so, dass 5 mm auf der Skala einer Kraft F von 500 N entsprechen, geg.: F = 500 N, a - 50 mm, * = 150mm, E = 2l0000 N/mm^ Losung: F

w(x = 6) = w„

/=

6E'I

• (3i • a^ - a-^) = 5 mm (siehe Bild 5-25)

(1) (2)

64

aus (1) mit (2) folgt: 64F

,^,

2

3x

^

A

6E'7C'cl'^ 64F _, VSE'TT^ 5mm = 4

2

64F L, SE'TT'S mm

2

s)

3x

64-500N •[3 450mm-(50mmf •"(50mmf] = 6,34 mm 6• 210000N/mm^ •;?• 5mm

5.4.6 Ermittlung der Biegelinie durch Superposition grundlegender Belastungsfalle Bei mehrfach belasteten Balken oder balkenartigen Strukturen kann die Biegelinie bzw. die maximale Durchbiegung oder die maximale Verdrehung durch Uberlagerung von grundlegenden Balkenproblemen ermittelt werden. Dies ist moglich bei kleinen Balkendurchbiegungen (klein gegeniiber den Balkenabmessungen), da in diesem Fall die Differentialgleichung der Biegelinie linear ist (siehe auch Kapitel 5.4.1). Die Vorgehensweise soil an einem eingespannten Balken, der mit einer Streckenlast q und einem Biegemoment Mbelastet ist, verdeutlicht werden. Fiir den Balken in Bild 5-26 kann die Biegelinie durch Uberlagerung (Superposition) der grundlegenden Belastungsfalle ermitteh werden. Die Durchbiegungsfunktionen der grundlegenden Balkenprobleme ergeben sich dann z. B. aus Bild 5-25. So wird die Durchbiegungsfunktion fiir den Balken mit Streckenlast (Bild 5-25) der Durchbiegungsfimktion fiir den Balken mit Biegemoment (Bild 5-25) tiberlagert.

95

5.4 Biegeverformungen von Balken b)

c)

^yJZA ^ ^ ^ ^ ^ M I —

''yjl.l ^ ^ ^ T T T y _i_ ,/,j

tmtbmAmmmlmmtmtli^gmmmmmmmmmmmmmmmmmimmmmml

imimmiLmmmmmmtMmmmmmmmmmmmmmmmmmmm^^

§

aMMMw

\

^ i

wf^mffimmmmmaMmmmirmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmi

§

/ Bild 5-26 Superposition grundlegender Belastungsfalle a) Balken mit Streckenlast und Biegemoment belastet b) Balken mit Streckenlast c) Balken mit Biegemoment Die Gesamtdurchbiegung w(x) ist somit w{x) = w^{x) + wyi{x)

rj2

24E

7('

2

Ai

3

A

^'X

lE'I

(5.108).

Die Durchbiegung ist maximal fiir x = /: //A

//X

/7X

^

^'^^

^ ' l ^

%E-I

lE'I

(5.109).

Die maximale Balkenneigung bzw. Querschnittsverdrehung errechnet sich dann mit ^max

^qmax "*" ^Mmax

q-r 6EI

M-l E'l

(5.110).

Auf ahnliche Weise lassen sich auch Balken mit abschnittsweise unterschiedlicher Biegesteifigkeit und auch einfache Rahmen behandeln, siehe Beispiel 5-10. Beispiel 5-10

^

-f>- + EL

E'h

Fur den nebenstehend skizzierten Balken bestimme man mittels der Superpositionsmethode die Absenkung des Kraftangriffspunkts.

geg.:

F,a,b,E'I^,E'l2

Losung: Durchbiegung von Balkenabschnitt 1: 3£-/i

lE'h

Verdrehung von Balkenabschnitt 1: mi{a) =

+

lE^h

E'h

(Superposition der Belastungsfalle Balken mit Kraft und Balken mit Moment, siehe Bild 5-25) Durchbiegung von Balkenabschnitt 2:

W2 (b) =

F'b'

L3

3^/2

96

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

L

A

I

1

^ I Absenkung des KraftangriffsAbschnitt 1

+

\ \

)

n

Abschnitt 2

W

punkts:

H'max = Ha + b) = wi (a) + 5 • ^i(a) + W2(b)

M=F'b

(siehe nebenstehende Biegelinie) 1 w^fa;

7^Biegelinie

Gesamtdurchbiegung: w^u^t =3- £ * / i

-+b

25-/1 'H

***

Beispiel 5-11 }

rf f f f f f f f t f f t t y JB

i

E' 1= konst

A|

1 1\

v///

/////////,

Losrnig:

Im Winter ist das skizzierte Stadiondach durch eine Schneelast ^o belastet. Die Querschnittsflache A und die Biegesteifigkeit E • / kann idealisiert als konstant in der gesamten Stadiondachkonstruktion angenommen werden. Bestimmen Sie die Absenkung des Stadiondachs im Punkt B.

geg,:

r

Superposition der drei nebenstehenden Belastungsfalle:

.M

+ ^

^

qo,a,b,h,A,E,I

+ i ^

t

t

t

t

*0

97

5.4 Biegeverformungen von Balken a) Normalkraft im Pfeiler N = qQ-b

b) Schnittmoment im Pfeiler

a

..

. (

[b-af

b)

Ermittlung der Schnittkxafte siehe auch Beispiel 5-9 in [1] c) Ungenanderung des Pfeilers aufgnmd der Normalkraft A/ =

N-h

_qQ-b-h

EA

EA

d) Durchbiegung imd Verdrehung des Pfeilers aufgnmd des Moments bei Xi = h , Wp{xi =/j)=H'Pmax =

M-h 'PVnm. E-I

qn-b-\a

2E-I

—

lEI

qo-b 1. EI

e) Durchbiegung des Dachs aufgrund der Streckenlast ^o bei Xn = a ( WD{XII

\ ?0 • a'* = a)= WDmax = „ „ ,

f) Absenkung des Stadiondachs

Ja-^p

>^max =M + a'(p^{xi= h)+ WD{XII =a) = M + a' ^p •h

EA

EI

SE-I

+ WD„

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken 5.4.7 Federkonstanten fiir Balken Ahnlich wie bei Staben, Kapitel 4.1, lassen sich auch fiir Balken, die mit einer Einzelkraft belastet sind, Federkonstanten defmieren. Vergleicht man die Beziehung fur die Federverlangerung, Gleichung (4.3), mit der Formel fur die maximale Durchbiegung eines eingespannten Balkens mit Einzellast (Bild 5-25) F-/^

(5.111),

so erhalt man als Federkonstanten fiir diesen Balken 3F./ ^B=-

(5.112),

/3

siehe auch Bild 5-27a. a)

F ^

b)

EI

E-I

I

f/2

('

7A 111

Bild 5-27 Beispiele fur Federkonstanten von einzelkraftbelasteten Balken a) Eingespannter Balken mit Einzellast b) Zweifach gelagerter Balken mit Einzellast Fur den zweifach gelagerten Balken mit Einzellast, Bild 5-27b, gilt fur die maximale Durchbiegung F-r

_ F

(5.113).

48F./~CB

Somit ergibt sich die Federkonstante 48^./ ^B

(5.114).

I'

Sind mehrere Fedem miteinander gekoppelt, so kann eine Reihenschaltung oder eine Parallelschaltung vorliegen. Bei einer Reihenschaltung gelten die GesetzmaBigkeiten nach Kapitel 4.4.1. Bei einer Parallelschaltung fmden die GesetzmaBigkeiten nach Kapitel 4.4.2 Anwendung. Fiir die Kombination eines Balkens mit einem Stab kann eine Reihenschaltung, Bild 5-28a, oder eine Parallelschaltung, Bild 5-28b, vorliegen. Fiir die Reihenschaltung ergibt sich die Gesamtfederkonstante

i-_L 1. c oder

CB

CS

(5.115)

99

5.5 Statisch unbestimmte Balkenprobleme

(5.116) CB+cs a)

b)

a

i

7/ 7',

yX

r

^

c ^

J

f

V.

A

Bild 5-28 Reihen- und Parallelschaltung von Balken und Stab a) Reihenschaltung b) Parallelschaltung

Fiir die Parallelschaltung gilt (5.117). Die Federkonstanten CB und cs lassen sich wie folgt berechnen: _3£B-/B

^B-

cs =

(5.118),

\ 3£'s-^s

(5.119).

5.5 Statisch unbestimmte Balkenprobleme Ein Balken ist statisch unbestimmt gelagert, wenn die Zahl der Auflagerbindungen die Anzahl der verwertbaren Gleichgewichtsbedingungen ubersteigt (siehe hierzu auch Kapitel 5.3 in [1]). Bei dem in Bild 5-29a dargestellten Balken liegt ein einfach statisch unbestimmtes Problem vor. Zur Losung kann die Superpositionsmethode (siehe auch Kapitel 4.3.2) herangezogen werden. Die Gleichgewichtsbedingungen der Statik liefem, Bild 5-29b, t:

A + B-q-l

=0

A:

Mj^-q — + B-l = 0

(5.120), (5.121).

Es liegen somit nur zwei Gleichungen fur die Bestimmung der Auflagerreaktionen MA, A und B vor. Die Auflagerkraft B kann als statisch uberzahlige JCraft angesehen werden. Entfemt man Auflager B, so erhalt man einen statisch bestimmt gelagerten Balken als Grundsystem, das sowohl durch die auBere Last (Streckenlast, Bild 5-29c) und die statisch Uberzahlige X zu belasten ist.

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

100 a)

[mm'

iUiUiUui

ffffVffyff

^ ^ ZTA

i

X

c)

El B=X

d)

ffyffyfffff

^a Z\

^

I

Bild 5-29 Losung des statisch unbestimmten Balkenproblems mit der Superpositionsmethode a) Belasteter und gelagerter Balken b) Freischnitt des Balkens mit den Auflagerreaktionen MA, A und B=X c) Statisch bestimmt gelagerter Balken (Grundsystem), belastet mit der Streckenlast q d) Statisch bestimmt gelagerter Balken, belastet mit der statisch Uberzahligen X Die Durchbiegungen an der Stelle x = / fur das Grundsystem konnen nach Bild 5-25 ermittelt werden. Ftir die Belastung mit der Streckenlast gilt WQ

= W(/) :

q^l 4

(5.122).

Die Belastung mit der statisch uberzahligen Kraft X = B, Bild 5-29d, liefert 3

Wx = W(l) =

X-l 3E-I

(5.123).

Aufgrund kinematischer Uberlegungen, dass die Durchbiegung am Auflager B null ist, gilt:

w^-wx=0

(5.124).

Setzt man nun die Durchbiegungen Wq und Wx, Gleichungen (5.122) und (5.123), in Gleichung (5.124) ein, so erhalt man q^l' ^E'l

X-l' =0 3EI

und daraus X = B = -q'l

(5.125).

Mit den Gleichgewichtsbedingungen, Gleichungen (5.120) und (5.121), kann man jetzt auch die Auflagerkraft A und das Einspannmoment MA ermitteln: A=

q'l-X^-q'l

(5.126),

101

5.5 Statisch unbestimmte Balkenprobleme

M^=^-X-l

=

^

(5.127).

Die Anwendung der Superpositionsmethode liefert auch die Biegelinie fur das statisch unbestimmte Problem. Diese ergibt sich unter Zuhilfenahme der Formeln fur die Grundsysteme (Bild 5-25): w(x) = W q ( x ) - W x ( x ) :

—^ 24E-I

(6/^ -x^ - 4 / . x ^ +x^)

—'{V'X^ 6EI

-x^)

als (5.128).

•(3/^-x^-5/-x^+2x'^)

w(x):

4M'I Beispiel 5-12

Die dargestellte BrOcke, die im mittleren Bereich dutch eiuen Pfeiler gestiitzt ist, uberspannt ein TaL Sie ist mit einer konstanteu Streckenlast q, die das Eigengewicht und die Verkehrslast widerspiegelt, belastet. Der Pfeiler kann als starr angesehen werden. Man bestimme die Auflagerreaktionen in A, B und C.

q

geg,: q = 25 kN/m, a = 8 m Losung: Freischnitt t: V f f

A^B + C-q'2a

=0

(1)

* * * * * * * * * j ^ B-a-hC^la-q-la-a^O

\A

\B = X

(2)

\C

Superposition zweier statisch bestimmter Balkenprobleme Grundsystem I Grundsystem II 1^

ttftttftfffff

+

777^/

TH^

\B^X Durchbiegung an der Stelle x = a des Grundsystems I Wq (x = a) = Wq^ niax = l^^J

(^i^*^^ ^^Id ^-25)

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

102

Durchbiegimg an der Stelle x = a des Grundsystems 11 wx(jc = a) = ^ i M . (siehe Bild 5-25)

x^

^

48EI

^

'

Kinematische Randbedingung: Wq(x = a) - wx(x = a) = 0

5g-(2a)^

^-W^O

nAE-I

^

A%E1

X = l i M 4 ! ^ = 5 ^ . « = 1.25kN/m.8m = 250kN 384£-/-(2a)r'

4

4

Mit (2) folgt:

C = - ^ • a = - • 25kN/m • 8m = 75kN

Mit(l)folgt:

A = q-a-X-C

5.6

= -q-a = lS^^

Schiefe oder zweiachsige Biegung

Der Unterschied zwischen einachsiger und schiefer (zweiachsiger) Biegung wurde bereits in Kapitel 5.2.2 erlautert (siehe auch Bild 5-6). Bei schiefer oder zweiachsiger Biegung findet Biegung um zwei Hauptachsen start. D. h. die Lastebene und der Momentenvektor fallen nicht mit einer Hauptachse zusammen. Dies ist z. B. der Fall bei dem in Bild 5-6e dargestellten Querschnittsprofil eines Balkans. Hier sind die Schwerpunktsachsen y und z zwar Hauptachsen (siehe Kapitel 5.3.7), die Lastebene, L.E., und der Momentenvektor Mliegen aber schief a)

b)

L.E. ,

\

I//X// y^

y M .

>

1

/

Y

y/A

/

^H

i\

Bild 5-30 Schiefe Biegung bei einem Rechteckquerschnitt und einem Z-Profil a) Rechteckquerschnitt mit y und z als Symmetrie- und Hauptachsen und einem Momentenvektor, der weder mit der j - noch mit der z-Achse zusammenfallt b) Z-Querschnitt, bei dem y und z keine Hauptachsen sind und der Momentenvektor weder mit der 1-noch mit der 2-Achsezusammenfant(l: Hauptachse mit dem groBten Flachentragheitsmoment, 2: Hauptachse mit dem kleinsten Flachentragheitsmoment) Schiefe oder zweiachsige Biegung liegt aber auch bei den Querschnittsprofilen in Bild 5-6c und Bild 5-6d vor. Hier fallt zwar die Lastebene mit der z-Achse und der Momentenvektor mit

103

5.6 Schiefe oder zweiachsige Biegung

der j^-Achse zusammen, y und z sind aber keine Hauptachsen. Zweiachsige oder schiefe Biegung liegt auch bei dem in Bild 5-30 gezeigten Profilen vor. An diesen soil die Problemlosung verdeutlicht werden. 5.6.1 Zweiachsige Biegung mit j und z als Hauptachsen Schiefe oder zweiachsige Biegung liegt bei dem in Bild 5-30a gezeigten Rechteckquerschnitt eines Balkens vor, bei dem y und z zwar Hauptachsen sind, der Momentenvektor jedoch „schief' zu den Hauptachsen liegt. Die Losung dieses Problems ergibt sich, in dem man den Momentenvektor in Komponenten zerlegt und die Wirkung der zweiachsigen Biegung iiberlagert, siehe Bild 5-31. Es fmdet somit eine Biegung mit My um die j-Achse und eine Biegung mit My um die z-Achse statt. b)

a)

li7^x(^y) d)

c)

XNeutrale Schicht(N.S.)

©

(TJMJ)

a^(M^, M.^) Bild 5-31 Zweiachsige Biegung bei einem Balken mit Rechteckquerschnitt a) Raumliche Darstellung des Balkens mit den Komponenten My und M^ des Momentenvektors und der zu bestimmenden Normalspannung (Biegespannung) G= a^ im ersten Quadranten des j^-z-Koordinatensystems b) Biegespannungsverteilung infolge des Momentes My c) Biegespannungsverteilung infolge des Momentes M^ d) Biegespannungsverteilung fur die zweiachsige Biegung mit der maximalen Biegespannung cTmax und der neutralen Schicht N.S. Der Momentenvektor M, Bild 5-30a, wird in die Komponenten My und M^ zerlegt, Bild 5-3la. Das Moment My bewirkt dann, wie bei der einachsigen Biegung, Bild 5-5, eine Biegespannungsverteilung, die als a"x(My) in Bild 5-3 lb dargestellt ist. Die durch das Moment Mz bei Biegung um die z-Achse hervorgerufene Spannung <Jy{M^ ist in Bild 5-3 Ic gezeigt. Superpo-

104

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

niert man nun beide Normalspannungsverteilungen, so erhalt man die Spannungsverteilung crx(My, Mz) fur die zweiachsige oder schiefe Biegung. Formelmafiig ergibt sich, bei Beachtung der Spannung a= a^im ersten Quadranten des y-zKoordinatensystems M^,

M^

-•y

(5.129).

Charakteristische Werte der Biegespannung erhalt man durch Einsetzen von y- und z-Werten des Querschnitts. Die maximale Biegespannung, cTmax? tritt bei dem Beispiel in Bild 5-31 fur y = -b/2 und z = -\-hl2 auf. Sie betragt M y h ^M^ b

/1

l/ 1

(5.130).

Die Lage der neutralen Schicht kann fur cr^ = 0 ermittelt werden. Die maximale Biegespannung tritt dann an der Stelle mit dem groBten Abstand von der neutralen Schicht auf. Die Gesamtdurchbiegung des Balkens erhalt man bei zweiachsiger Biegung ebenfalls durch Superposition der Durchbiegungen w und v infolge von My und M^. Die Durchbiegungen w(My) und v(Mz) lassen sich in Bild 5-25 far die jeweiligen Belastungsfalle ablesen. 5.6.2 Zweiachsige Biegung fiir den Fall, dass y und z keine Hauptachsen sind Biegung fmdet stets um die Hauptachsen der Querschnittsflache des Balkens statt. Bei dem Querschnittsprofil in Bild 5-30b faUt der Momentenvektor weder mit der Hauptachse 1 noch mit der Hauptachse 2 zusammen. Es liegt somit ebenfalls schiefe Biegung vor. Dies gih auch dann, wenn der Momentenvektor mit der j-Achse zusammenfallt, da /yz ^ 0 und JF keine Hauptachse ist.

Bild 5-32 Zerlegung des Momentenvektors M in die Komponenten Mx und M^ in Richtung der Hauptachsen 1 = m und l = n Fiir diesen Fall ergibt sich folgende Vorgehensweise: •

Ermittlung der Lage der Hauptachsenwinkel a* und o^ + nil (siehe Kapitel 5.3.7)

•

Bestimmung der Haupttragheitsmomente /i und h (siehe Kapitel 5.3.7)

•

Zerlegung von Min die Komponenten Mx und M2 in Richtung der Hauptachsen (siehe Bild 5-32)

105

5.6 Schiefe oder zweiachsige Biegung

Ermittlung der Spannung (T= oi unter Beachtung des ersteti Quadranten des 1-2- oder w-«-Koordinatensystems: (T = cr^

My 1 ^^^2 -•w + — h h--m

(5.131).

Im ersten Quadranten des Koordinatensystems (siehe Flachenelement dA) bewirken sowohl Mi als auch M2 eine Zugspannung (daher die positiven Vorzeichen in Gleichung (5.131)). Der Wechsel der Koordinatenbezeichnungen erfolgt von 1 in m und 2 in n, um die Koordinaten 1 und 2 nicht mit Zahlenwerten zu verwechseln. Altemativ kann die Normalspannungsverteilung auch mit der Beziehung (My • /yz - Mz • /y ) • J + (My ' I^ ' M^ ' Iy^) ' Z o- = cr^

I

I -I

^z

^y

(5.132)

^ ^ yz

berechnet werden. Ftir das in Bild 5-32 gezeigte Beispiel ist My = Mund M^ = 0. Somit vereinfacht sich die Formel wie folgt: a = a^

(5.133). I 'I -I ^z ^y

^ ^ yz

Die maximale Biegespannung ergibt sich durch Einsetzen von y- und z-Werten des Querschnittsprofils.

Beispiel 5-13

***

Fur einen Stahltrager, der wie dargestellt durch ein Moment belastet ist, sollen die Spannungen in den Punkten A und B bestimmt werden. geg.: M= 1 kNm, a = 5 mm, J3= 60'' Losung: a) Hauptachsenwinkel: or* = 37,5"^ (siehe Beispiel 5-6) Haupttragheitsmomente: /^ = 163,5^"^,

I2 = SS.Sa'^

106

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken

b) ZerleguttgvonMinMiiindMi Ml-

M' oos(j3-a

),

M2-M

- sm(j3 -a

)

c) Spannungsverteilung im Querschnitt ^ ^ Af-cos(yg-a*) ^ ^ Af'sm(yg-a*) ^ 163 5^"* 5?^5a^

(Betrachtung des ersten Quadranten ^^^ m-n-Koordinatensystems)

d) Bestimmung der Koordinaten im m-n-Koordinatensystem Abstande:

m = j • s m « % z • sin a* * * n = -y-^ma

Punkt A:

Punkt B:

(Koordinatentransformation in Anlehnung an die Gleichungen (5.59) und (5.60))

+ z • cos^if

© \

/

v

m A = (7a ~ 2,5a) • cos a - 2,8a * sin a

= 1,9a = 9,3 3 mm

«A = --(^a - 2,5a) • sin a - 2,8a * cos a

= -5,0a = -24,80 mm

m^ = -2,5a • cos a + (7a - 2,8a) • sin a

= 0,6a = 2,87 mm

«B = 2,5a • sin a + (7a - 2,8a) • cos a

//

= 4,9a = 24,27 mm

e) Spannungen lkNm-cos(60^-37,5^) in den Punkten A und / ^B ^ ^ A \ lkNm^sin(60^-37,5^) ^^^ ^^ -^—^ • (- 24,80 mm) -^^ 9,33mm 163,5'(5 mm)^ 58,5-(5 mm)"^ =-321,9 N/mm'2 lkNm-cos(60-^37,5<xb<xxxxxxxxxxxxxxxx> Bin Balken der Latige /, der Breite b und der Hohe h ist an der oberen und der unteren Oberflache mix einer Schicht der Dicke / versehen. Der Elastizitatsmodul fiir den Mittenbereich des Balkens betragt Eu, der Elastizitatsmodul der Schichten ist mit E^ angegeben> Unter der Amiahme, dass die Schichten ideal miteinander verklebt sind und der Balken mit den Biegemomenten M belastet ist, bestimme man a) die Dehnungs- und Spannungsverteilung im Balken und b) die jeweils maximale Spannung im Mittenbereich des Balkens und in der Beschichtung, geg.: M, h b, h, t,

EM, Es

Losung: a) Dehnungs- und Spannungsverteilung im Balken Ftir die Krummung des Balkens gilt mit Gleichung (5.12) und Gleichung (5.6) 1

M

(1).

/r = — =

P

Ely

Die Biegesteifigkeit E • /y setzt sich aus dem Anteil Eyi • / y ^ fur den Mittenbereich und E^ • /ys fur die Beschichtung zusammen:

b'{h-^2tf ^M ' ^yU = ^1M "

b^P ^ S • ^yS = ^ S

(2)

12

.

12

fh 2

(3)

1

E'Iy=Eu'IyM+Es'IyS=Eu

^^

+^S

b'p 6

b'tjh-^tf ^

2

(4).

Mit Gleichung (5.9) sowie den Gleichungen (1) und (4) erhMt man somit die Dehnungsverteilung liber die Hohe des Balkens: Sy

=fC'Z

= — = -

P

M

E'h

M'Z •Z='

^M • ^yM + ^S • ^yS

(5).

108

5 Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken Mit dem HOOKEschen Gesetz, Gleichung (5.4), erhalt man fur den Mittenbereich des h Balkens(|z|< — 1 ) \ au{z)^Eu^^x

M Eyi 'Z

= EM

(6)

* lyU + ^S • ^yS

h h Fiir die Beschichtung ( — / < |z| < —) gilt: M 'E^^z

c^s(^) = ^ S ' ^ x =-

(7)

b) Maximale Spannungen Mittenbereich des Balkens:

M'Eu^--t ^Mn,ax = 0 - M U = ^ - n

= EM

' ^yM + ^S • ^yS

M.^M-||-^

12

Es

b-P 6

b't'{h-tf ^

2

Beschichtung:

^Smax = ^ S ^ = T = 2)

M EsL — 2 Eu'iyM-^Es'IyS M'Es'-

EM—

^^

+Es

Prinzipielle Dehnungs- und Spannungsverteilung im beschichteten Balken

b'P 6

b't'{h'-tf ^

2

:v-4-U sf

b

^max

M' '

zi ^'^Smax

Ftir M = 5000 Nm, 6 = 60 mm, /? = 60 mm, t = 2 mm, Eu = 210000 N/mm^ und Es = 6000 N/mm^ errechnet sich: ^Mmax=i58,4N/mm^ c^smax = 4,8 N/mm^

109

6 Schubbeanspruchungen Bei vielen technischen Vorgangen und in zahlreichen Bauteilen und Strukturen treten Schubbeanspruchungen auf. Zu nennen sind hier z. B. Abschervorgange von Blechen. Auch bei Niet-, Kleb- und SchweiBverbindungen sowie bei Balken unter Querkraftbelastung treten Schubbeanspruchungen auf. Zudem ist das Gleitversagen von zahen MateriaHen schubspannungsgesteuert. Einige wichtige Beanspruchungsfalle sollen eingehender untersucht werden.

6.1 Schubbeanspruchung beim Abschervorgang Beim Abschervorgang eines Bleches, Bild 6-la, tritt in der Schnittebene eine Querkraft Q = F, Bild 6-lb, und somit eine mittlere Schubspannung r^, Bild 6-lc, auf. Die iiber die Blechhohe konstante mittlere Schubspannung errechnet sich aus der Querkraft Q = Fund der Schnittflache A\ (6.1). Bei dem vorliegenden Abschervorgang, Bild 6-1, ist Q = F und A = b • t. Wird dagegen ein Kreisloch mit dem Durchmesser d in das Blech der Dicke / gestanzt, so ergibt sich die Schnittflache A = U-1= TT' d' t, wobei mit Uder Umfang des Kreislochs bezeichnet wird. a)

b)

c)

Bild 6-1 Schubbeanspruchung beim Abschervorgang eines Bleches a) Darstellung des Abschervorganges b) Querkraft g = F in der Schnittebene c) Mittlere Schubspannung in der Schnittflache Eine Abscherbeanspruchung kann auch bei Nietverbindungen auftreten, wenn die Niete sich gelockert haben und eine Reibung zwischen den genieteten Teilen nicht mehr stattfmdet. Auch in diesem Fall lasst sich die mittlere Schubspannung mit Gleichung (6.1) errechnen. Die Querschnittsflache A entspricht hier dem Bolzenquerschnitt und fiir den Fall, dass die genieteten Telle nur mit einem Niet verbunden sind, gik Q = F/2, Bild 6-2. Fiir Verbindungen mit n Nieten gik Q = Fl{2n).

110 a)

6 Schubbeanspruchungen

'W m

b)

t3l

Q = F/2

c) Bild 6-2 Abscherbeanspruchung einer Nietverbindung a) Darstellung der Nietverbindung b) Querkraft Q = F/2 im Bolzen c) Mittlere Schubspannung im Bolzen

nh

I Beispiel 6-1

*1 /^ ^

1 ^1 /

4a\

"1

f J

^ Dicker

« /

'/

T—n

Q

^

Aus einem Blech der Dicke t soil das dargestellte Blechteil ausgestanzt werden. Man bestimme die erforderliche Stanzkraft F fiir den Fall, dass die Schetfestigkeit rs betragt. geg.: a =10 mm, i? = a/2 = 5 mm, t = 2 mm,

TB

= 200 N/mm^

Losung: 1 f 3 ^ Umfang: C/ = 2-(a + a + 2a + 4a + a + a4'2a + 6-—i?-;?r) = 2- 12a +—a-;?r = 334,2mm StanzkraftF: F = g = TB • ^ = ^B • C/ • / = 200N/mm^ • 334,2mm• 2mm = 133,7kN

6.2 Schubspannungen bei Klebverbindungen Bei der dargestellten Klebverbindung, Bild 6-3a, errechnet sich die mittlere Schubspannung Tm, Bild 6-3c, ebenfalls mit Gleichung (6.1), wobei g = F die in der Klebschicht iibertragene Kraft und.4 die Klebflache darstellt, Bild 6-3b.

6.2 Schubspannungen bei Klebverbindungen

111

Bild 6-3 Schubbeanspruchung einer Klebverbindung a) Klebverbindung, bestehend aus zwei gefiigten Blechen b) Querkraft Q = F in der Klebflache c) Mittlere Schubspannung r^ in der Klebschicht Schubbeanspruchungen treten auch bei anderen Fiigeverbindungen, wie z. B. SchweiBverbindungen, auf (siehe z.B.[2]-[4]).

Beispiel 6-2

Eine EisenbahnbrCicke ist als genietete Fachwerkskonstenktion aufgebaut. Die Stabe sind uber eio Knotenblech mit vier Nieteu verbunden. Man bestimme fur die Stabe 3 imd 6 den mindestens erforderlichen Nietdurchmesser, damit zweifache Sicherheit gegen Abscheren gewahrleistet ist. geg.: F = 80kN, % = 280 Wmm\ 4 = 6mm, 4 = 10mm Losung: Stabkxafte: ^3 = V2F = 113,1 kN 5^ ^ 2F = 160kN

(Ermittlung der Stabkrafte ^^^^^ Beispiel 7-2 in [1])

112

6 Schubbeanspruchungen

TB 280N/mm^ , , ^ ^ , , 2 ^ 140N/mm^ ^zul : --^ = ^B

0

StabS: d>_l.

o. , . . ^ ^. Stab6: c/>2*

S

i s

^•^QQf^ ^16,0mm V140N/mm^-;r-4 2-80000N = 194mm V140N/mm^-;r-4

Beispiel 6-3 'n~ —X-

0^

0D

Zwei Rohre sind, wie gezeichnet, ineinander gesteckt und miteinander verklebt. Man berechne die maximale Kraft F, bei der die zulassige Schubspannung t^^i der Klebschicht nicht tiberschritten wird. geg.: D = 100 mm, d = 80mm, a = 30 mm, fz^i =10 N/mm^ Ldsimg: F = r ^ l 'A^t^i

'U-a^tr^i

• J*;?r-a = 10N/mm *80mm-;r-30mm = 75,4kN

6.3 Schubspannungen beim Balken und bei balkenartigen Strukturen Bei vielen Belastungssituationen treten in Balken, Rahmen, Bogen und Gelenktragem neben den Biegemomenten auch Querkrafte auf (siehe z. B. Kapitel 5.6 und 5.7 sowie Kapitel 6 in [1]). Wahrend die Biegemomente Normalspannungen in den Querschnitten dieser Strukturen erzeugen, siehe u. a. Kapitel 5.2, fuhren die Querkrafte Q = Q(x) zu Schubspannungen. Diese sind i. Allg. nicht konstant iiber die Hohe des Querschnitts. Ftir die Ermittlung der Schubspannungsverteilungen geht man von der im Balken herrschenden Querkraft Q(x) aus, siehe z. B. Bild 5-1 und Bild 6-4a. Die Querkraft ruft im Querschnitt eine Schubspannung T= T^T(Z) hervor. Schubspannungen treten aus Gleichgewichtsgriinden stets paarweise auf (vgl. Kapitel 3.4.2). Dies wird auch bei dem Volumenelement in Bild 6-4c deutlich. Die Verwendung der Indizes ist in Bild 6-5 verdeutlicht.

6.3 Schubspannungen beim Balken und bei balkenartigen Strukturen b)

113

c)

Bild 6-4 Ermittlung der Schubspannungen beim Balken und bei balkenartigen Strukturen a) Balken oder Struktur mit der Querkraft Q(x) im Querschnitt b) Schubspannung r= T^.^(Z) an einem Flachenelement des Querschnitts c) Paarweises Auftreten der Schubspannungen an einem vergroBert dargestellten Volumenelement Die Schubspannungsverteilung im Querschnitt hangt in besonderer Weise von dem Querschnittsprofil ab. Daher werden nachfolgend verschiedene Querschnittsflachen betrachtet. ^XZ

Querschnittsflache: X = konstant

Richtung der Schubspannung: z-Richtung

Bild 6-5 Verdeutlichung der Indizes der Schubspannung

6.3.1 Balken mit Vollquerschnitt 1st die Querkraft Q(x) und die Funktion b(z) fur die Breite des Querschnitts bekannt, so lasst sich die Schubspannungsverteilung T(Z) = T^Z(^) mit der Beziehung ^(^) = ^xz(^)^

Q{x)Sy{z) lyb(z)

(6.2)

berechnen, Bild 6-6.

Bild 6-6 Vollquerschnitt eines Balkens oder einer balkenartigen Struktur mit der Querkraft Q(x), den Koordinaten y, z und (^ sowie der Gesamtflache A und den Teilflachen dA und A*

114

6 Schubbeanspruchungen

Sy(z) stellt hierbei das statische Moment der Teilflache ^* beziiglich der j^-Achse dar. Es lasst sich mit der Formel

Sy(z)= jCdA

(6.3)

A*

berechnen. /y ist bereits als axiales Flachentragheitsmoment, siehe Kapitel 5.3, bekannt.

6.3.1.1

Rechteckquerschnitt

Fiir den Rechteckquerschnitt, Bild 6-7a, gilt b(z) = b, A = b- h und Iy = b- h^/l2, siehe auch Kapitel 5.3.2.1. Sy(z) kann nach Gleichung (6.3) ermittelt werden: \h/2

hll

5y(z)= l^dA^

b-h'

lC-bdC = --C

1-

4z'

(6.4).

b)

'^ = ^xz(z)

d)

c)

i

Bild 6-7 Schubspaimungen infolge der Querkraft beim Rechteckquerschnitt a) Rechteckquerschnitt mit den Koordinaten und Teilflachen b) Schubspannungsverteilung r = T^/^) im Querschnitt c) Seitenansicht mit Schubspannung im Balkenquerschnitt d) Verteilung der Schubspannungen iiber die Balkenhohe mit der maximalen Schubspannung ^max

Somit folgt mit Gleichung (6.2): 3 Q 4z' /,

7T7I

S = SM

i S = SM 122231!

{ { { { { £ ,

yn n

SMjk/

UA

*/////

n

SM

J / J / J ^i

EZ2ZffZZ2i

S = SM

r/'77"7:'/J

U/ / / A/

TZZZ2L

hll SM -:«»-"#•

S

/^

SM

^b' h + 6b

1

hll 7TT

ZZ2

t. .4

-zz.

2a-(sinyg-yg-cosyg) e =

J3 -sin J3 • cos /?

flir y^= ;r= 180° (geschlitztes Kreisrohr): e = 2a

Bild 6-13 Lage der Schubmittelpunkte bei dunnwandigen Profilen (SM: Schubmittelpunkt, S: Schwerpunkt)

e=

b-{2h + 3b) 2h + 6b

t = konst. « h, b

121

7 Torsion von Wellen und Tragstrukturen Als Wellen bezeichnet man stabartige Strukturen, die als wichtige technische Bauteile, z. B. fur die Ubertragung von Drehmomenten (Torsionsmomenten), dienen. Torsionsmomente und Torsionsverformungen (Verdrehungen) von Strukturen treten auch bei raumlichen Tragwerken auf, siehe z. B. das Moment M^ in Kapitel 8.3.4 in [1]. b)

a)

TX ^i

^

c)

d)

MT

^

M^x)-Mj

- * • • PI

M(x)L Mn

S2

M-T

X" Bild 7-1 Torsionsbelastung einer stab- oder balkenartigen Struktur a) Belastung der Struktur durch ein Torsionsmoment Mp b) Freischnitt mit dem Schnittmoment My

(7.12)

2/. W^=P d

(7.13)

bzw.

lasst sich die maximale Schubspannung (Torsionsspannung) auch wie folgt berechnen: (7.14). Polare Flachentragheitsmomente /p und polare Widerstandsmomente W^ sind in Bild 7-7 angegeben.

7.1.2 Verdrehwinkel infolge Torsionsbelastung Infolge Torsionsbelastung wird die Welle tordiert (siehe Bild 7-3a und Bild 7-3b). Nach Gleichung (7.9) lasst sich der spezifische Verdrehwinkel errechnen: (7.15).

3= Mit Gleichung (7.5) gih fur eine Wellenelement der Lange dx d(p = 9'dx--

-•dx

(7.16).

Durch Integration von Gleichung (7.16) erhalt man den Verdrehwinkel cp fiir die Welle (Bild 7-3a):

125

7.1 Wellen oder Strukturen mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt

(7.17).

-dx

(p-. x=0

Fiir den Fall, dass Mr und G • /p uber die Stablange konstant sind (Stab mit konstantem Torsionsmoment und konstantem Querschnitt), gilt fiir den Verdrehwinkel (p^

MT'I

(7,18).

G'lv

7.1.3 Kreisringquerschnitt Fiir den Kreisringquerschnitt gelten die Zusammenhange und Formeln ebenso wie flir den Kreisquerschnitt. Lediglich das polare Flachentragheitsmoment und das polare Widerstandsmoment andem sich:

h-0'-d.') ^

(7.19),

(7.20).

16J ^

Die Schubspannung T= T(r) steigt vom Innen- zum Aufienrand mit dem Radius r linear an. Die maximale Schubspannung r^ax tritt am Aufienrand auf, siehe Bild 7-4.

/

'[ ^max

^:7^

T

rs

K 'r^/.

?

b

Bild 7-4 Schubspannungsverteilung beim Kreisringquerschnitt

Beispiel 7-1

***

Die dargestellte Antriebswelle wird dutch einen Eiektromotor mit einer Leistung P und einer Drehzahl n angetrieben. Im Bereich des Anschlusses der Welle an eine Pumpe ist die Welle als Hohlwelle ausgefuhrt worden. Fiir den Fall, dass die Pumpe blockiert (feste Einspannung) bestimme man a) das Antriebsmoment MA, b) die Torsionsflachentragheitsmomente und die Torsionswiderstandsmomente, c) die maximale Schubspamiung in der Antriebswelle sowie d) die Verdrehung am freien Ende. geg,: P = 7,5 kW, n = 300 min ^ a = 70 mm, i = 80 mm, \

3

/T •1

A^: vonderMittellinie eingeschlossene Flache;

=ci-h-b^

Wj =C2 • h-b

/;

T^=0

//

hib £i.

'7

Cl

£l-

0,141 0,208 1,000

ii=fi:K-f^

1,5 0,196 0,231 0,858

Wj =

8 0,263 0,267 0,753

0,307 0,307 0,743

0,333 0,333 0,743

Tmax in der Mitte der Langsseite des Rechtecks

IT

m i t ^max

Profil diinnwandige Profile:

t:/h:«\

t 0,99

i 1,12

1,12

IPB 1,32

1,29

Bild 7-7 Torsionsflachentragheitsmomente Ij und Torsionswiderstandsmomente Wj mit r^ax ^ Mj/Wj

7 Torsion von Wellen und Tragstrukturen

132

Beispiel 7-3 Ein einseitig fest eingespannter Balken wird am freien Ende durch ein Torsionsmoment Mj belastet. Zwei Profilvarianten stehen zur Verfligung: Profill: Profil2: r=r;r y-T^r^r^/li

•'7"ir,i^„^-Richtung Txy: Schubspannung in der Flache x = konst. in j^-Richtung Tyx! Schubspannung in der Flache y = konst. in x-Richtung

137

8.2 Ebener Spannungszustand Das betrachtete Element befmdet sich im Gleichgewicht. Somit gilt auch

Dieser Zusammenhang ist bereits als Satz von den zugeordneten Schubspannungen bekannt (sieheKapitel 3.4.2). 8.2.2 Spannungen an einem gedrehten Volumenelement Die Spannungen cTa und r^ an einem gedrehten Volumenelement, Bild 8-3c, erhalt man durch Gleichgewichtsbetrachtungen an einem aus dem Volumenelement in Bild 8-2 herausgeschnittenen Dreieck, Bild 8-3a. Die Gleichgewichtsbedingungen verlangen, dass die Spannungen zunachst in Krafte umgerechnet, d. h. mit der Angriffsflache der Spannung multipliziert werden miissen. Die Kraft in cTa-Richtung ist somit cja' A, die Kraft in x-Richtung ergibt sich als (J^- A'coscir, usw., Bild 8-3b. a)

b)

gedachter Schnitt V

A.' cosa ^

"

yi' sma

Bild 8-3 Spannungen an einem gedrehten Volumenelement a) Gedachter Schnitt durch ein Volumenelement, Bild 8-2, unter einem Winkel a b) Ermittlung von aa und r^ an der um a geneigten Schnittflache c) Um den Winkel a gedrehtes Volumenelement mit den Normalspannungen cja und a^ sowie den Schubspannungen r^ = r^ Somit folgt fiir die Gleichgewichtsbedingung in CTa-Richtung: ^,

cjfj^' A-(7^- cos a- A- cos a-<jy • sin 6ir • ^ • sin a - Tyx • cos a- A-s\na-

r^y -sina- A- cos a = Q

(8.1).

Die Gleichgewichtsbedingung in ra-Richtung lautet: \i\

Ta • A-a^

- s i n a - ^ - c o s a + cTy - c o s a - ^ - s i n a

-Tyx -sina-^-sincir + rxy cosa- Acosa

=0

(8.2).

2 2 Mit 2cos (2 = l + c o s a , 2sin a = l - c o s 2 a und 2sina-coS(2 = sin2a erhalt man die Spannung (Ta und Ta fur ein gedrehtes Volumenelement, Bild 8-3c: •cos2a + rxy •sin2of

(8.3),

138

8 Mehrachsige und tiberlagerte Beanspruchungen

^a =

-'Sinla-T^y

-cosla

(8.4),

aa und Ta sind somit abhangig von den Spannungen a^, cTy und r^y des nichtgedrehten Elements, Bild 8-2, sowie vom Drehwinkel a, Bild 8-3c. Die Spannungen aa und Za ergeben sich fiir den Winkel a+ 90°: o-a'=o-a(a + 90°)

(8.5),

r a ' = r a ( a + 90°)

(8.6).

Fiir den Winkel a=0° erhalt man somit

und fur a =90° (Tot = CTy , 0-0^'= ^ x ' ^a = V

™ ^ ^ct'" ^xy •

8.2.3 Hauptnormalspannungen (Ta und Ta audem ihre Werte mit a. Maximal- und Minimalwerte der Normalspannungen nennt man Hauptnormalspannungen. Diese werden mit Oi und 0*2 bezeichnet und treten senkrecht zu den so genannten Hauptnormalspannungsebenen auf, Bild 8-4. In diesen Ebenen wirken keine Schubspannungen. Der Hauptnormalspannungswinkel au gibt die Richtung von Oi an. Durch die Extremwertbedingung fiir a^, Gleichung (8.3), :0

da

Oder mit ^-^^ = 0 , Gleichung (8.4), erhalt man (J^-CTy

•sin2a-r^v •cos2a = 0 2 ^ Daraus lasst sich der Hauptspannungswinkel a^, Bild 8-4, ermitteln: tanlan -

IT

(8.7).

(8.8).

^^

cr^-cTy

Setzt man in Gleichung (8.3) die Winkel a^ und a^ + 90° ein, so erhalt man nach einigen Umformungen die Hauptnormalspannungen ai und 02: (Tx +C7y G\ =

+.

O-x+CTy ^2

=

CTv

+ r xy

CTY

- 0 " V

+ rxy

(8.9),

(8.10),

139

8.2 Ebener Spannungszustand

Oi ist stets die groBte und 02 die kleinste Normalspannung, die am Volumenelement angreift, Bild 8-4.

Bild 8-4 Hauptnormalspannungen Oi und 02 und Hauptspannungswinkel an am Volumenelement

8.2.4 Hauptschubspannung Die an einem gedrehten Element, Bild 8-3c, auftretende maximale Schubspannung nennt man Hauptschubspannung %. Die Ebenen der Hauptschubspannung, Bild 8-5, erhalt man mit Gleichung (8.4) und der Bedingung dr

^ = 0. da

Ftir den Winkel as, Bild 8-5, gilt somit cot 2^5

2 r xy

(8.11)

cr^-(7y und mit Gleichung (8.4) erhalt man die Hauptschubspannung

(8.12).

a(a^ - W)

Bild 8-5 Hauptschubspannung TH und Winkel as Die Hauptschubspannungsebenen sind jedoch nicht normalspannungsfrei. Es treten die Normalspannungen <j{a^) und cr(as+90°) auf. Diese lassen sich mit Gleichung (8.3) berechnen.

140

8 Mehrachsige und tiberlagerte Beanspmchungen

8.2.5 MOHRscher Spannungskreis Der MOHRsche Spannungskreis, Bild 8-6b, erlaubt die grafische Darstellung des Zusammenhangs zwischen den Spannungen a^, Oy, r^y und den Spannungen cja, r^ sowie den HauptspannungenoT], (T2, % in einem einzigen (Ta-ra-Diagramm. Ausgangspunkt fur die Konstruktion des MOHRschen Kreises ist ein Volumenelement mit den bekannten Spannungen CTX, cjy und r^y sowie den gesuchten Spannungen cja und ta, Bild 8-6a. a) Schnitt unter einem Winkel a

1

%

I (a = 0^; Bild 8-6 Konstruktion des MOHRschen Spannungskreises a) Volumenelement mit den bekannten Spannungen a^, Oy und r^y sowie den zu ermittelnden Spannungen a^ und Ta b) MOHRscher Spannungskreis im cTa-^a-Diagramm mit den Hauptnormalspannungen Oi und 02, der Hauptschubspannung ZH, dem Hauptspannungswinkel a^ und dem Hauptschubspannungswinkel ^s Dargestellt werden alle Spannungen in einem cTa-ra-Diagramm, Bild 8-6b. Dort tragt man zunachst die Spannungen a^ und Oy ein. Vergleicht man nun in Bild 8-6a cTa und Ta mit a^ und z-xy, so erhalt man fixr a=0° (Ta= a^, und Ta = -T^y. Dieses Spannungspaar ergibt im (Ja-TaDiagramm, Bild 8-6b, den Punkt I. Mit der gleichen Uberlegung erhalt man fiir a =90° (Ta = Oy und Ta = T^y uud somit Punkt II im cTa-^a-Diagramm. Die Verbindungslinie z w i ^ e n I und II, Bild 8-6b, flihrt zum Mittelpunkt M des MOHRschen Kreises. Mit dem Radius IM des Kreises kann der MOHRsche Spannungskreis nun gezeichnet werden. Der groBte Spannungswert auf der Oa-Achse entspricht der Hauptnormalspannung CTI, der kleinste Spannungswert der Hauptnormalspannung 02. Aus dem Winkel la^, der zwischen der Geraden IM und der CTa-Achse abgelesen werden kann, lasst sich der Hauptspannungswinkel OTH ermitteln. Der groBte Wert der Schubspannung Ta entspricht der Hauptschubspannung TR. Er ist in Bild 8-6b als Punkt III gekennzeichnet. Den Hauptschubspannungswinkel as erhalt man ebenfalls aus dem MOHRschen Spannungskreis (las'. Winkel zwischen IM und IIIM). Fiir einen beliebigen Winkel 6^ kann man die Werte fiir cja und Ta auf dem Umfang des Kreises ablesen. Vergleicht man die Gegebenheiten beim MOHRschen Spannungskreis mit den Formeln fiir Oi, a2 und Tu, Gleichungen (8.9), (8.10) und (8.12), so erkennt man, dass der Term o-^+o-y

8.2 Ebener Spannungszustand

141

den Mittelpunkt des Kreises beschreibt und der Ausdruck (Tx-o-y

+ rxy

dem Radius des Kreises und somit der Hauptschubspannung % entspricht.

Beispiel 8-1

y//////////:\ W^YTTm. Y///y/////A a#>ilUlkl

d^

Mn

%

0d\

D

y//////m\\\\\y^^^^

s:

1/2

^s:

Die Welle eines Mischers, an der vier Schaufeln befestigt sind, wird durch ein Antriebsmoment MA angetrieben. Die dargestellten Schaufelpaare nehmen Jewells die Torsionsmomente Mj\ und MT2 ab. Das Gewicht G der Welle und der Schaufeln karni als Einzelkraft ira Schwerpunkt bei 1/2 angenommen werden.

1/2

Man bestimme a) den Biege- und Torsionsmomentenverlauf entlang der Mischerwelle, b) die Biegespannungen in den Punkten D und F, c) die Schubspannungen in den Punkten D und F , d) die Hauptnormalspannung Oi und die Hauptschubspannung % in den Punkten D und F sowie e) die MOHRschen Spannungskreise fur die Punkte D und F. geg.: MA = 14000 Nm, Mn = MT2 = 7000 Nm, G - 5 0 0 0 N , a = 800 mm, 6 =1000 mm, / = 3000mm,:

N =0

T:

M=0

147

8.2 Ebener Spannungszustand

b) Maximale Schubspannixng (siehe Kapitel 6.3.1.1) _3

_3e_3

2 '"

lA

-15000N

N

2 9Gmml0mm

xmrr

c) Hauptnormalspaimung 01 und HauptschubspatiBung TH. 1/