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.. I d, in which>... is the mean free path of
the molecules of the gas at the particular altitude or pressure, and d a "'-
characteristic dimension of the moving object.
The latter may be the
diameter of a sphere, the radius of curvature of the leading edge of an airfoil, or in some cases, the thickness of a boundary layer. The mean free path is defined in the kinetic theory of gases as the average Ie; ;.;; it
rf the path travelled by a molecule between successive collisions,
lL,J~~lds
on the nature of the gas molecules, expressed by a collision
cross section cr, and is inversely proportional to the number of particles per unit volume. Since this quantity is , at constant temperature, proportional to the pressure, the mean free path is normally inversely proportional to the pressure .
..
The Knudsen number is related to two more conventional aerodynamic parameters, the Mach number M and the Reynolds Number Re, by the relation K=t MIRe for small values of Re and K:1MI Vife for values of Re large enough to indicate the existence of a boundary layer.
305
- 292 I. Estermann
The Knudsen number as defined in the preceding paragraph permits a division of aerodynamics into several flow regimes (1). For small values of K, conventional fluid mechanics is applicable, while for large values, the so-called free molecular flow conditions prevail. The limits of these flow regimes are somewhat arbitrary, but it is custo\'\')- ary to set the upper limit of the Knudsen number for continuum flow at O. 01 to
O. 05 and the lower limit for free molecular flow at 5 or 10.
The region between .these limits is generally divided into two parts, with that
or KO.l the if.
transition flow regime.
Slip flow is sometimes treated by applying
corrections to the equations of continuum mechanics, but transition and free molecular flow require a different approach which has led to new branch of science called rarefied gas dynamics. The current interest in this new scientific area has been stimulated by missile and satellite technology, which is concerned with flight conditions in the upper atmosphere. Because of the exponential decrease of the atmospheric pressure with altitude, the mean free path of the air molecules increases rapidly with altitude as shown in Fig. 1. It should be noted that the mean free path at sea level is of the order of -6 6 x 10 cm, but that at altitudes above 100 km, the mean free path becomes comparable to the dimensions of man-made objects which may be sent into or through these altitudes and whose aerodynamic behavior is of interest. In· Fig. 2, we show
the Knudsen
~
number relating to a
The boundaries between these regimes are not only somewhat undefined, but depend also on other parameters. It was recently shown, e. g., that at M = 2, a Knudsen number of 5 will be sufficient to provide free molecular flow conditions, while at M = 5, K values as high as 30 or 40 will be required.
306
- 293 1. Estermann
length of 1 cm as function of altitude and a division of atmospheric conditions into the various flow regimes. (In this figure, slip and transition flow are treated together.) It should also be noted that the composition of the atmosphere changes with altitude, and that in the higher regions, the ionosphere, electrically charged particles are also present. A good approach to the flow problems in the upper atmosphere can be made by the design and development of laboratory tools which permit the simulation of some of the most importatlt factors. The combination of the partial results obtainable with these tools with one another and with theoretical considerations can go a long way towards the solution of these problems. The most important of these tools are lowdensity wind tunnels, revolving arms, discs and cylinders, and molecular beam arrangements. Representative examples of these categories will be discussed in the following sections of this paper, as well as some of the important measuring techniques involved. 2.
Low-Density Wind Tunnels These instruments permit the reproduction of flow patterns over
models of tractable size in the slip and transition flow regimes and with some strain, into the beginnings of free molecular flow. The first tunnels of this kind were buill at the Ames Laboratory of the U. S. NASA at Moffet field (2) and the University of California in Berkeley (3) about 1947. .A few years later" a similar installation was started in Toronto,Ca•• -ada, and in the last few years, a number of other insitutions on both sides of the Atlantic began to construct similar facilities. The writer became associated with the Berkeley project in 1947 and will, therefore, use the Berkeley Wind Tunnel as a general example. Details of other tunnels which differ in important features, concepts or specifitations
307
- 294 -
1. Estermann
will be given later. 2.1
The Tunnel at the University of California, Berkeley A schematic drawing of this tunnel, which is very similar to the
Ames tunnel, is shown in Fig. 3. The major components of this, as of other conventional wind tunnels, are a gas supply, a settling chamber a nozzle, an observation section, a pumping system, and control equiDmenL The difference from normal pressure tunnels lies in the operat· -jng pressure in the test chamber, which for Berkeley is from 50 to lOOr Hg. No diffuser is used, as attempts to obtain pressure recovery did not have promising results. The gas supply consists of either atmospheric air or compressed gas cylinders (nitroEien or other gases) , reducing valves, dryers and control valves, all of conventional design. The settling chaml:)er is a cylindrical steel vessel, about 2 m long with a diameter of about 1 m; it is equipped with a side arm of pyrex glass which permits partial optical excitation
of the gas for the purpose of flow visualization (see
section 5. 1). It is separated from the observation section by a steel plate into which various expansion nozzles for different Mach numbers can be inserted. These nozzles are axially symmetric and are made of a plastic material, typical exit diameters are 9" for a M = 2 nozzle and 5" for M = 6 nozzle. The observation chamber is equipped with a three, dimensional traverse system which is driven by electric - motors; the position of models, probes, etc., attached to it can be read on Root- Veeder counters. Large plate glass windows permit optical and photographic observations . The most interesting and unique features of low denSity wind tunnels are the pumping systems. The desired test section pressure, noz-
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- 295 -
1. Estermann
zle size, and Mach number together determine the volumetric capacity (pumping speed) and the equilibrium pressure requirements of the pump-i.ng system. It is obvious that compromises must be made in order to remain within acceptable cost limitations. The Berkeley and Ames tunnels use a mUltistage steam ejector system, consisting of three stages operating from the tunnel into a condensor where most of the steam is removed, and two stages, which compress the air to atmospheric pressure and exhaust., it together with the remainder of the steam. Fig. 4 shows a typical ;, stage ejector. The compression ratio per stage is approximately 1 to 10, permtting an ultimate vacuum of about 10 ~ Hg. This pressure, which is much lower than the vapor pressure of water at the ambient temperature, can be reached because the low pressure stage contains a supersonic section. The steam requirements are about 700'0 lbs /hour at 150 psi for removai of 60 Ibs/hr of air. The volumetric pumping capacity varies; it amount to 60,000 liters/sec at 100~Hg, and about 30,000 l/sec at 50~Hg, permitting the use of a M = 6 nozzle of 5" diameter. The mean free path at
50~
is approximately 1 mm, which is not quite enough for the establi
shment of free molecular flow conditions over models of reasonable size. As a recent addition, the tunnel has been equipped with an electric heater upstream of the nozzle; this permits reaching stagnation temperatures of about 1000 OK. In another modification, a plasma jet heater has been added (Fig. 5) . With this equipment, stagnation tempe ... -atures of 5000 0 K have been obtained at M = 6 and static pressure of 100~
Hg. Under these conditions, the gas leaving the nozzle is partly io-
nized (about 0.2'.) .
309
- 296 1. Estermann
2. 2
The tunnels at Royal the University of Toronto Institute of Aerodynamics, Armament Research and Development Establishment, Fort Halstead, and National Physical Laboratory, Teddington These tunnels are in many respects similar to the Berkeley tun-
nel. The main difference is in the pumping system. UTIA (4) and RARDE (5) use 6 three-stage oil diffusion booster pumps of the type shown in Fig. 6 , giving a total pumping speed of 70001/ sec. The pumps are backed by two 200 cu
ft/ min
mechanical pumps. The operating pres-
sure range is from about 10 to 70
~
Hg. NPL has just completed a so- ..
mewhat larger facility of the same general design, using five four-stage booster pumps with a total pumping speed of20,OPO 1/ sec, backed by 5 Roots blowers and 2 mechanical pumps. The test section pressure ran,· -ed from 10 to 10014' Hg, nozzles for Mach numbers from 2 to 10 are contemplated. The complete arrangement of the NPL tunnel is shown in Fig. 7. 2.3
The Tunnel at the Laboratoire Mediterraneen, Nice The first tunnel for pressures from about 0.1 to
10~Hg
was de-
signed by Devienne (7) at the Laboratoire Mediterraneen in Nice. The pumping system consists of
4 three-stage oil diffusion pumps with a
total capacity of 30,0001/ sec at 0,1 I""Hg, backed by booster and me chanical pumps. It has been reported that Mach numbers of
4 have
been obtained with a nozzle diameter of 4 cm, producing a uniform flow over a core of about 1 cm diameter . A schematic view of the installation is given in Fig. 8. This tunnel did not produce the desired results and is no longer in operation. 2.4. The Two-phase Tunnel at the University of Southern California Engineering Center, los Angeles (8)
310
- 297 I. Estermann
In this tunnel, a novel and radically different pumping system, na., mely the condensation of the tunnel air on a surface cooled to T
< 20 ~
(" cryopumping ") is applied. If every gas molecule striking such a surface is condensed or trapped, each cm
2
provides an equivalent pumping
speed of 10 literl sec. It is, therefore, feasible to reach pumping spe~ eds from 10 5 to 10 6 liter/sec at pressures of 1r Hg or less in the test section. The condenser used in the USC tunnel has six plates, each having an area of 10 ft 2, which are cooled to about 15-20 OJ( by means of helium gas precooled in a helium refrigerator placed outside the tunnel. The latter is a Collins type cryostat employing two reciprocating expansion engines capable of removi ng 350 watts at 20 oK, with a rated power consumption of 50 hp. The tunnel itself consists of a large steel tank
measuring approximately
9 fe et in diameter and 35 feet in
length , with a sump-like appendage at the downstream end housing the condenser (Fig. 9 ). Before entering the nozzle, the nitrogen gas used for tunnel operation is heated by means of a graphite heater to 800 oK; it then passes through a large settling chamber before entering the nozzle (Fig. 10) . The conical nozzle has an angle of 40° ; to exercise control over the boundary laver developing inside the nozzle with high Mach numbers at low pressures, the nozzle walls can be cooled with liquid nitrogen. After about 10 hours of operation,the thickness of the solilj nitrogen deposit on the condenser plates becomes so large that thawing becomes necessary. The nozzle has an exit diameter of 19" and is 12-1/2 11 long, giving a Mach number of 8. It is interesting to note that only a core of 2" diameter is filled with uniform flow (See section 2.5). 2. 5
General Comments on Low Density Wind Tunnels Low density wind tunnels as described
311
in the preceding sec-
- 298 1. Estermann
tion have made it possible to study the basic flow and heat transfer prob-lems in the slip and transition range, with a few stabs into the direction of free molecular flow, for flows up to about M:: 8 . ( Fig. 11 shows the flow regions attainable with the Berkeley tunnel.) The application of plasmajets has made it possible to begin simulation of the temperature and ionization conditions of high altitude flight. Extension of this work into the free molecular flow regime will require much larger installations than those presently in existence or in the construction stage. These, however, do not appear to be impossible. Diffusion pumns with speeds of 50,000 l/sec (32" diameter, 4 stage) are becoming available, and it is to be hoped that cryopumping will be developed sufficiently to permit reliable and continuing performance below the
If Hg pressure ran-
ge. One of the inherent difficulties is the growth of the boundary layer thickness inside a nozzle with decreasing pressure, which reduces the diameter of the uniform core of the airstream flowing from the nozzle to a small part of the nozzle diameter (as shown in Fig. 12 for the UTIA tunnel) . Attempts have been made to reduce the boundary layer thickness by cooling of or by suction through slots in the nozzle walls, but
it ap-
pears certain that complete exploration of the free molecular flow regime requires additional equipments. Another fundamental problem concerning simulation of flow conditions by wind tunnels refers to actual velocity of the air stream with respect to the model. The high Mach numbers in super and hypersonic tunnels do not necessarily indicate high speeds of the air flow, but only a large ratio between this speed and the local velocity of sound. The latter, however, is proportional to the square root of the absolute temper_ -ature. The expansion of air through a nozzle, being largely isentropic,
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- 299 -
1. Estermann
produces a very strong cooling of the effluent gas, and a large part of the high Mach numbers produced is due to the corresponding reduction of the speed of sound and not to the acceleration of the gas flow. Thip effect can be compensated, at least in part, by the installation of plas-roajet or other heaters upstream of the nozzle, but together with the growth of boundary layer thickness mentioned earlier, it severely limits the usefulness of wind tunnels for the simulation of high altitude flight conditions to relatively low speeds and altitudes. In the following paragraphs, we shall give examples of other equipments which are potentially useful for the solution of this problem for higher speeds and altitu~es.
3.
The "Molecular Gun" of the Laboratoire Mediterran~en (9) This newly installed instrument is a combination of a molecular
jet and a wind tunnel and has as its objective the simulation of the intelt.actions between a body moving at a very high speed in a rarefied gas in the free molecular flow regime. While a " normal" molecular beam employs molecules of thermal velocities, which are approximately equal to the speed of sound, this apparatus produces particles of much higher speeds by acceleration of electrically charged particles and their subsequent neutralization. The general design of the apparatus is shown in Fig. 13. The experimental gas, e. g., argon, is admitted through a control valve into a supersonic nozzle where a molecular jet is formed. From there, it passes through a quartz tube, where it is partly ionized by a high-frequency discharge, into the first vacuum chamber. The resulting mixture of electrons, positive and negative ions, and neutral atoms is passed through an electrostatic accelerator and lens system from which a reasonably homogeneous positive ion beam emerges. This
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- 300 -
1. Estermann
beam is deflected through an angle of 90 0 and thereby separated from the neutral and negative particles by means of an electromagnet. A sell-ond electrostatic lens and
decelerator system refoc1.\l>ses the positive
ions and reduces their velocity to the desired value, corresponding to el1\-ergies in the range of 20 to 100 ev.
The ion beam is then intersected
by a second beam of neutral argon atoms. Since the effective cross section for charge exchange is much larger than that for momentum tranl-fer, a fair portion of the ions will be neutralized without ani appreciable change of velocity. A second magnetic field removes the remai,,· ~ing
ions, and the final beam entering the test section consists of near--
ly mono-energetic neutral atoms. Beam densities of 3 x 10 6 molecules per square cm per sec have been reported and their application to aeIP-odynamic measurements is in prospect. Several modifications of this equipment have been constructed recently and have been described at the Fourth International Conference on Rarefied Gas Dynamics in Toronto. 4.
Revolving Arms, Discs, and Cylinders (10) These instruments have been built in various laboratories and are
useful for aerodynamic measurements in the free molecular flow regime under certain precautions . Their main advantage is that there is no fundamental limitation to the Knudsen number which can be obtained since they are, from a vacuum technology standpoint, static systems which can be pumped down without much effort to pressures of 10 and below,
r Hg
-2
providing mean free path lengths of the order of meters.
Their main drawback is their inability to reach high linear velocities , 800 m/ sec being about the top speed that has been reached in actual use. Revolving cylinders are useful for drag and heat transfer measurements in rarefied gases, and revolving arms and discs allow the investigation
314
- 301 -
1. Estermann
of flow patterns over models in various media including ionized gases in the free molecular flow regime. As an example, we show the revolll-ing arm of the Laboratoire Mediterraneen de Recherches Thermodynamiques (Fig. 14), (11) which is arranged for operation at pressure ley.,.els
between O. 25 and 5
r- Hg.
The vacuum tank has a diameter of 1. 5
m and can be evacuated by means of an oil diffusion pump. The arm, made of high-tensile strength duraluminum, has a diameter of 1.25 m and is driven by an external motor at speeds up to 9000 rpm. Ionization up to 10" is obtained by means of an electrodeless high-frequency discharge in a quartz or pyrex tube attached to the top of the tank. Gas is admitted through a controlled leak which also provides pressure regulation. The arm may be used to carry models for aerodynamic tests or Langmuir probes for the exploration of charge exchange. 5.
Measuring Techniques The aerodynamic quantities which are of interest in rarefied gas
dynamics are fundamentally the same elementary physical quantities, such as pressure, force, density and heat transfer rates, etc., which are measured in conventional wind tunnels. Since their magnitudes, however" are much lower than in the conventional case, special techniques and instrumentation are required. Moreover, the interpretation of the measured quantities in terms of the desired information is not always as direct as in the case of higher pressures. In the following sections, we shall give a few examples of the most important procedures which are currently in use. 5.1
Flow Visualization (12,13,14) At normal densities, the various techniques for flow visualization
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- 302 -
1. Estermann
have been extremely valuable. The schlieren method provides a survey of the flow pattern and indicates the areas where more detailed measurements are required . The interferometer methods allow the determina,tion of density distribution, frequently with a high degree of accuracy , over large parts of the flow. With diminished gas density, however, the optical density becomes so low that these methods fail. On the other hand, the increasing mean free path and lifetime of optically excited molecules make it possible to use afterglow phenomena for flow visualization. In the technique used at Berkeley and elsewhere (15, 16) the gas is admitted through the side tube shown in Fig. 3, where it is excited in an electrodeless discharge. The excited stream moves through the nozzle into the test section where a chemical reaction produces lutpinescen(t. Of various afterglows which have been used, the airglow has been found most useful.
It is caused by the reaction
for which the 0 atoms are produced by O2 dissociation in the discharge tube and the NO molecules by collisions between these atoms and N atoms which are also produced in the discharge. The glow is enhanced if NO is introduced upstream of the nozzle as shown in Fig. 3 . A representative example of the results attainable by this method is shown in Fig. 15. If a plasmajet is used, no further excitation is required since the gas stream is hot enough to become luminescent by temperature excitation. Attempts to visualize low density flow patterns through light absorption in the U. V. have met with only limited sucess (13,15). 5.2
Force (2) Under conditions existing in most low density wind tunnels,
316
- 303 -
1. Estermann aerodynamic pressures are of the order of gr / cm 2 and their measurement requires more sensitive balances than are usually employed. If one wants to reach the free molecular flow regime, targets should have dimensions of the order of A, i. e., approximately 1 mm or less. As a result forces of the order of milligrams will have to be measured. A small torsion balance capable of the proper sensitivity was used in Berkeley (17) for this purpose. It consisted of a tungsten torsion wire supported by a movable frame which carried a quartz fiber to which the target plate was attached . The free end of this fiber served as a
poin~
-er for indicating the angular twist of the wire. The support fiber was protected from the air stream by a shield which also restricted its motion to a small deviation from the vertical. Fqrces exerted by the gas flow on the target plate were compensated by applying a twist on the torsion wire. The assembly of the balance is shown in Fig. 16, a re,-resentative calibration curve in Fig. 17. For the proper interpretation of the results, knowledge of the accommodation coefficients is necessary. 5.3
Density The most direct approach to the measurement of this quantity is
the attenuation in beams of photons or particles according to the diffell!-ential equation. dI/dX = - P r X where I is the intensity of the beam at the point X inside the gas stream,
t'
the mass absorption coefficient, and p the local density.
None of the gases used in wind tunnels have a suitable absorption coefficient in the visible, and as mentioned before, attempts to use the absorption band of oxygen in the vacuum ultraviolet have only been partly successful. Better results have been obtained with electron beams
317
- 304 -
1. Estermann
of about air is
10 kV energy (18) for which the mass absorption coefficient in 7.4 x 10
5
2
cm / g . It has also been shown that the differential
equation listed above can be integrated for the traverse of an axisymetric air stream. In Fig. 18, we show a schematic drawing of the apparatus, in Fig. 19 the results of a traverse along the axis of the supersonic air flow around a sphere from a point upstream to the stagnation point. It can be seen that the electron current at the collector decreases sharply when the shock wave region is reached, then more slowly to the stagnation point of the model. One
wo~ld
expect this behavior since the
beam must traverse an ever-increasing thickness of relatively dense gas as it moves along the stagnation line. The beam intensity drops sharply to zero as the model intercepts the beam. It appears possible to use the atterruation of a soft X-ray beam, for which
r-:: 10 3 cm 2/ g,
in a simi-
lar way. In another variation the intensity of the light emitted by the atoms which are excited by the electron beam (19) is used for local density determinations. 5.4
Pressure The main difference between static pressure measurement at nor-
mal and low densities lies less in pressure-measuring instruments, which differ mainly in their sensitivity, than in certain peculiar properties of a low pressure system. Among the factors to be considered are the response time of the measuring system (20) , thermal transpiration, and adsorption and desorption of gases. A more fundamental difficulty affec.-ing dynamic measurements arises from viscous effects which require the application of substantial corrections to both static pressure and to impact pressure measurements.
318
- 305 -
1. Estermann
5.5
Free Molecule Probes These instruments have a limited value for measurements in the
free molecular regime. These probes must be so designed that their characteristic dimensions are small compared to the mean free path in the gas flow. For the usual test section pressures of 1 - 100
r Hg,
this
requirement restricts the diameter of a probe to less than one mm. The most important probes of this kind are pressure orifice, (21) temperature, (22) and heat transfer (23) probes. The first type are made from hyperdermic needle tubing, having a hole in the side, which is covered with a very thin foil through which a very small hole has been pierced (Fig. 20) . For equilibrium conditions, the number of molecules emerging from the probe per unit time, 1/4 nc, is equal to the number entering. For a measurement of the molecular speed ratio S which is for all practical purposes approximately equal to the local Mach number, the probe is arranged in the gas stream in three positions as shown in Fig. 21. The molecular speed ratio is then p S=
- pi 0
2f\Y Ps
o=~
C
where Po' plo and ps are the measured equilibrium pressures when the orif'ice faces into the mass flow, away from the flow, and perpendicular to the flow,
v
the speed of the mass flow and
c the mean
mo-
lecular. The thermal probes consist of a thin wire which can be easily so dimensioned that the Knudsen number is large with respect to its diameter.
The
theory shows that a circular cylinder which is
a perfect heat conductor and is protected from heat conduction and radiation losses and is
placed with its
319
axis
perpendicu-
~
306
~
I. Estermann
lar to a uniform stream of gas, is heated to an equilibrium temperature mich is a function of only the Mach number , the stagnation tempe,. -'lture, and the specific heat of the gas. These equilibrium temperatures become insensitive to changes in flow velocity at Mach numbers of about 2; beyond this range, up to about M = 3, the heat transfer chara«-teristics of the probe whith can be measured with the same instrument are more responsive to Mach number changes. Figs. 22 and 23 illustrate this effect. 6.
Summary and Conclusion While complete simulation of high altitude flight conditions may be
considered as impractical, many of the important factors can be reproduced with reasonable approximation in the laboratory. Rarefied gas flow over models can be examined in low density wind tunnels for subsonic, supersonic and low hypersonic speeds (up to Mach number 8) in the slip and transition flow regimes, and the formation and structure of shock waves may be made visible by various techniques. These wind tunnels are also useful for the determination of aerodynamic forces and heat transfer characteristics. Direct extension of these investigations into the free molecular flow regime is still in an esploratory stage, but a good start has already been made. Where direct experimental me .. thods are not yet available, useful results can frequently be obtained by combining theoretical calculation based on kinetic theory with expelP-imental data obtained from the application of molecular beam and other indirect methods.
320
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A/Illude
10'
r-i
l
111--I
la'
V
I
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I 10'
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PartIcle mean Iree palh
Fig. 1. Mean free path as function of altitude.
A.~dud~
1+0
I \
120
I
I '\+---+---'----1--.-""."I°O -t-I_-+-_ - - H --i
ree Molecul
IFlow
I
100 I-t---+--*--+---+--~-+-~
I
.O~--;
I
___--+____~~
Conventlonol
I
I
2O ~FrTr o C--.J._--'-_ _ -+
. - - - - -___
-2
LOQIO~ M F'iQ. 2 • Al ti tude variation of aerodynamic parameters .
323
II
nagnatlM rtglon
Photo rtlt
Fig.
I ""!It= =from supply olldt
V
nltfIC
C, mpra Bpllows
~
~
Pyre I pipe and omllator
"-
3 Schematic of wind tunnel of the University of California, Berkeley.
(Dolin g wat"
our
I
Exhaust stac' and /luff{tr
SubsOniC srctum
(K'f'" BI '
SuptfJonJr urtlon
{Rtglon AJ
~.
W,tp r tubp Inttr rondrnur
6"
Inlt' .....
Stum
Fig. " Three-stage steam ejector system.
-... Wo'~r Row - -- Gas flow
Fig. 5 Plasma generator (schematic diagram).
324
6'$
In
I
Thermal Insulation
Immersion heater unit Fig.
6 Booster
pump.
Fig, 7 . Low·density wind tunnel at National Physical Laboratory, Teddington (Crown copyrigh t · reproduced wi th permissi on of H.M. Government),
Buty' (Jllta/att manomttrr
Fig.
8
Vo lt'm.!rl' mtt"
Schematic view of the low-density wind tunnel of the Laboratoire Mcditerraneen in Nice.
325
; - - - - 2711 - - --'
Fig. 9 Schematic layour of the low-density wind tunnel at the University of Southern California, Los Angeles. 1 = jack, 2 = stainless bellows seal, 3 = modulating valve 10" travel, 4 = floor line, 5 = cryostat, 6 = condenser, 7 = plaIt coils, 8 = heater plug in, 9 = aftereooler, 10 = access PO", 11 = probe mount, 12 = nozzle, 13 = valve.
Fig. 10 Nozzle assembly of the University of Southern California wind tunnel. 1 = probe mount, 2 = nozzle, 3 = stagnation chamber, 4 = valve.
o~
__~~~~~~~~~~
10- 1
10' Reynoids number leading egde lIat piale Base pressure Cone pressure Cone drag
Fig. 11 Mach and Reynolds number range, wind tunnel in Berkeley. Characleristic dimension = 1 ft.
326
• Olslance off axis
Fig. 12 Mach number profiles at exit plane at various operating pressures of the Toronto wind tunnel. Operating static pressure [I'Hg]
o
45 41.1 40.0 34.8 28.8
t::. 'V
!
Fig. 13 Molecular gun at the Laboratoire Mediterraneen. 1 = argon intake, 2 = nozzle, 3 = RF coil, 4 = accelerator, 5 = magnet, 6 = valve, 7 = pump, 8 = decelerator, 9 = magnet, 10 = observation chamber, 11 = detector.
6 o
0
10
Fig.14 Revolving arm at the Laboratoire Mediterraneen. 1 = quartz tube, 2 = RF coil, 3 = pyrex tube, 4 = model, S - JeYOlving arm, 6 = probes, 7 = gas inlet, 8 = pump, 9 = shaft, 10 = seal,
327
Fig. 15 - flow Visualization by Nitrogen Afterglow.
Fig. 16 - Torsion Balance for Low Density Hind Tunnel.
328
06 /
fltilll-
;I
gralllmS
/ /
02
o~
o
__ ____ ____ __ ____ ~
~
10'
40'
~
60'
~
80'
~
100'
Angle 01 twist
Fig 17 Null balance calibration. Tungsten torsion fiber diameter = 0.00064 in. increasing weights, • decreasing weights.
o
._!_ . ,
-- it1t-----jj,I~:,-=-_1l1
n
Fig. 18 Smematic drawing of the electron beam apparatus. A = tuppons. B = cathode, C = heat shield, D = leads, E = anode, F = defining orifice, G and H = aperture plates, I = electron collector.
10
~
- ' -- - 1
I
x ~
~
I
I
I
:
I
~
I
08
C>.
I; ~
~
c
0.6
~ ~
" ~ '"
a
0.4 02 o~~
o
__~__~~~~
86100 86200 86300 86400 86500 Allat position coordinates Ilast figuft ~D.101 inch}
Fig. 19 Density distriburioo ill froot of a sphere.
329
Fig. 20 Orifice probe. 1 = orifice, 2 = cylinder, 3 = end sealed with drop of de KhociaIky cement, 4 = file cut, 5 = 0.00031" thick hard aluminium foil cemented to cylinder.
~Q~---t---t---t---+---+~~---+--~---4---4---4
o
ID
4
Fig. 21 Orientation of orifice probe. • INCHES F"ROM LEAOING EDGE
Fiq. 22 - Lines of constant teD)pel'oture raUo in the vicinity of a wedge.
~~--~r-~~~~~~~'---'-r---+~~I~---+---t---4
o
'"
;0
",Qj---4---4---4---4---4~~~~---4---4~-4~--+
> o
ID
'Q~----~--+---+---~~~~~~~~,i'&II----+---+---~
::: I
u
~Ol~~~~~~~~-T-r~
I
INCHES FROM LEADING EDGE
Fig. 23 - Lines of constant heat transfer ratio in the vicinitY of a wedge.
330
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
SILVIO NOCILLA
SULL'INTERAZIONE TRA FLUSSI DI MOLECOLE LIBERE E SUPERFICIE RIGIDE
Corso tenuto a Varenna (Como) dal 21 al 29 agosto 1964
331
SULL'INTERAZIONE TRA FLUSSI DI MOLECOLE LIBERE E SUPERFICIE RIGIDE di SILVIO NOCILLA (Scuola di Ingegneria Aerospaziale - Politecnico di Torino) 1- Interazione superfidale ed adsorbimento: noz;ioni introduttive. Consideriamo un missile mobile negli alti strati dell'atmosfera terrestre, a quote variabili tra i 150 e i 300 Km circa, doe dove esiste un altissimo grado di rarefazione dell'aria con densite. dell'ordine di 10- 8,
10 -1 0 volte minori di quelle normali, Sappiamo dalla teoria cinetica dei gas che illibero cammino medio
A
delle molecole costituenti l'aria
e da-
to dalla formula: (1. 1)
- 1- .•
V21T
con: m = massa di una molecola
f
= densite.
T = temperatura assoluta KS= costante di Sutherland "j 110 0 K ~ = sezione efficace per gli urti molecolari (diametro di a:z;ione di
una molecola, tale doe che si ha un urto quando la distanza tra i centri di due molecole ~ minore 0 eguale a
f
be),
indipendente da
e da T.
In base alla (1. 1) ed alla cleterminazione di ~ con proceciimen e ti che qui non inciichiamo, si hanno per l'atmosfera tipo internazionale i s~ guenti valori, validi all'equatore (v. Nobile [1
333
J ; parte II):
- 314 S,. Nocilla
quota in km 0 50
pin ~di
Hg(x)
A in
m
T in oK
760.10 3
0,000, 000. 5
293
733
0,000.914
350
100
2, 74
0,021
302
150
0,0856
1,36
528
200
0,0108
17
782
250
0,0025
100
1037
goo
0,0008
392
1291
(X)l~ldi Hg = 10 -3 mm di Hg = 10 -3 torr = 1,3157 10 -6 atm Poiche i1 missile,
0
satellite artificiale che consideriamo, ha
dimensioni d dell'ordine del metro', il numer6 di Knudsen: (1. 2)
K = n
AId
assumendo, tanto per fissare Ie idee, proprio d = 1 m, viene ad avere gli stessi valori numerici indicati nella colonna dei liberi cammini medi
A,
variabili cioe da 1 a 400 circa per quote da 150 a 300 Km. Cia porta alIa fondamenta1e conseguenza, posta a base dello studio delle correnti di mole cole libere, e che ne giustifica la
denominazi~
ne, che agli effetti della interazione superficiale tra molecole e solido si trascurano gli urti tra molecole e molecole, mentre invece si tiene conto degli urti tra molecole e superficie. Ne consegue che i metodi classici del la meccanica dei fluidi, fondati sull' assul'lzione che ogni elemento di fluido di dimensioni piccole fin che si vuole rispetto all'ostacolo contel'lga un numere enormemente grande di molecole urtantesi continuamente S1 da costi tuire un gas soddisfacente alle consuete leggi termo-gas-dinamiche, non sono piu applicabili nelle condizioni presenti.
E' qui necessario impiega-
re dei procedimenti di studio del tutto diversi. Per orientarsi verso questi 334
- 315 -
S. Nocilla
procedimenti si immagini in un primo momento di seguire nel suo movimento una molecola del gas nel quale il missile si muove. Innanzitutto
e bene osse!:.
yare che nonostante il valore del numero di Knudsen enormemente piu
elev~
to rispetto a quello dei gas in condizioni normali di temperatura e pressione, e pur sempre lecito pensare che il gas rarefatto considerato sia in equilibrio Maxwelliano, perc he tale equilibrio e venuto a stabilirsi nel corso di secoH e millenni, indipendentemente dalla presenza
0
meno del satellite artificiale.
Supponiamo poi che la molecola presa in considerazione venga ad urtare i1 missile, e chiediamoci cosa puo capitare di essa dopo l'urto. Evidentemente una penetrazione profonda della molecola nel corpo non e possibile perche questa e allo stato solido. D'altra parte la fisica e la chimica hanno dimostrato 1'esistenza sulla superficie dei solidi di campi di forza superficiali che se pur non ancora conosciuti in tutti i dettaglr ci permettono tuttavia di farci un'idea per 10 meno di prima approssimazione delle condizioni ambie!! tali fisico-chimiche sulla superficie. Non e il caso qui di indagare a fondo su queste condizioni, per Ie quali oltre tutto sarebbe necessaria la competenza di un fisico-chimico; basti soltanto segnalare fondamentalmente Ie fo!:. ze di Van der Waals che Ie molecole costituenti il solido si scambiano tra di loro e scambiano con Ie molecole del gas rarefatto incidenti su di esso. In virtu di queste condizioni ambientali fisico-chimiche vi e una certa probabilita che la molecola prima presa in considerazione venga "catturata" dalla superficie del solido, e si trovi a soggiornare su di essa. Ma durante questa periodo di soggiorno altre molecole del gas colpiscono la superficie, seguono vicissitudini analoghe alla precedente, e si trovano
COS!
a soggior-
nare tutte insieme sulla stessa superficie del solido. Ora e chiaro che questa continua cattura di molecole da parte della superficie del solido non puo proseguire indefinitamente, perch?! altrimenti il gas incontrato nel suo mov..! 335
- 316 -
S. Nocilla
mento nell'atmosfera rarefatta si verrebbe continuamente a depositare su di essa. Si
e indotti ad ammettere,
e la esperienza 10 conferma, che Ie molecQ
Ie, dopo un certo periodo di soggiorno sulla superficie, vengano da questa
ri~
messe nel gas circostante, e che in condizioni stazionarie, come supponiamo di trovarci, si venga a stabilire un equilibrio statistico tra ·molecole incidenti, molecole che soggiornano, e molecole che vengono riemesse ( 0 rievaporate) dalla superficie.
n fenomeno che abbiamo ora descritto qualitivamente non differisce sostanzialmente dal ben nota fenomeno della "adsorbimento", e pili pr~ priamente dell'adsorbimento fisico,
0
fisisorpzione, a proposito del quale ci
limiteremo, tra la vastissima letteratura esistente, a segnalare il De Boer [2]. Osserviamo subito che, come appare dalla descrizione precedente, nel fenomeno dell 'adsorbimento tre grandezze intervengono anzitutto nel suo equi librio statistico: - il numero di N di molecole che nell'unita di tempo colpiscono l'unita di superficie rigida
x
- il tempo di soggiorno ""(; delle molecole adsorbite sulla superficie
x
- il numero N di molecole adsorbite sull'unita di superficie.
Queste tre grandezze fisiche in condizioni di equilibrio statistico non sono tra di loro indipendenti, rna legate dalla relazione fondamentale:
(1. 3)
Inoltre, se per Ie molecole adsorbite adottiamo 10 schema di Frenkel [3], secondo il quale esse si comportano come degli oscillatori armonici in moto secondo la normale alIa superficie adsorbente, il tempo di soggiorno
336
e dato
- 317 -
S. Nocilla
dalla formula:
(1. 4)
-r;
if*-
e
Q/RT
w
dove Q e il calore di adsorbimento, RIa costante del gas incidente, T
la w temperatura del solido adsorbente e -r:;** un parametro con la dimensione di un tempo, avente una diretta relazione col periodo di vibrazione delle
m~
lecole od atomi costituenti la superficie adsorbente, ed il suo stesso ordine di grandezza, cioe di 10- 12 , 10-1\ec. L'ordine di grandezza del tempo di soggiorno
"'t:
*
e fortemente variabile, a parita. di temperatura, a seconda
del gas adsorbito. Cosi ad esempio (v. De Boer [2] pag. 35) per temper~ tura ambiente esso e dell'ordine di 10-12sec. per l'idrogeno su varie super-10 fici . e di 10 sec. per l'argon, l'ossigeno, l'azoto, il mossido di carbonic su varie superfici (dunque circa mille volte il periodo di oscillazione
-,;*\
Per gas formati da molecole piu pesanti si possono avere tempi di soggiorno di un or dine di grandezza molto maggiore, nno a 10
-2
sec.
Cib premesso possiamo porci la seguente domanda. Visto che la descrizione qualitativa del fenomeno dell'interazione tra flusso di mole cole libere e superficie non differisce sostanzialmente dal fenomeno classico dell'adsorbimento, quali sono gli elementi comuni ai due fenomeni e quali invece differiscono? E' chiaro che nello studio del fenomeno che ci interessa giovera valersi del bagaglio di conoscenze, invero notevole, sia teoriche che sperimentali oggi acquistate sull'adsorbimento, e su di esse inserire i nuovi
pr~.
blemi che il fenomeno aerodinamico pone. Riguardo agli elementi comuni sono da annoverarsi Ie condizioni fisico-chimiche superficiali, come i campi di forza superficiali, Ie costanti geometric he dei reticoli cristallini costitue!! ti il solido, i moti vibratori termici di tali reticoli, Ie proprieta. delle mole-
337
- 318 -
S. Nocilla
cole adsorbite assimilabili, in certe condizioni, ad un gas con struttura bidimensionale, anziche tridimensionale come di solito. Tali condizioni superficiali molto verosimilmente non sono influenzate dalla funzione di distribuzione delle velocita delle molecole incidenti (v. prossimo numerol e quindi dal fatto che la superficie adsorbente sia in quiete oppure in moto rispetto al gas rarefatto circostante. Tra Ie grandezze fisiche che intervengono in entrambi i fenomeni vanno evidentemente annoverate Ie variabili di stato T,
J' ' p del
gas e Ie tre grandezze gia ricordate N, -r;* e N* e la temperatura T della . w superficie solida. Particolare importanza hanno poi in entrambi i fenomeni" anche se in misura diversa nell'uno
0
nell'altro, i seguenti altri elementi, e
cioe la legge di distribuzione spaziale delle molecole riemesse da
o~mento
di superfi-
..
cie e gli scambi di quantita di moto e di energia tra superfi-
normale es lerna a
U= velocH"
dA
del missile
cie del solido e gas, nonche la loro dipendenza in modo
part~
colare dalla temperatura T
w del solido. Viceversa un elemento del tutto nuovo rispetto ai fenomeni classici di adsorbimento
superficie esterna
del missile
e l'influenza suI feno-
-
meno dell' inter azione della velocita U del missile (v. fig. 1), o meglio del suo rapporto s= UIc
Fig. I
con la velocita piu probabile
338
- 319 -
S. Nocilla c = V2RT del gas rarefatto, e della sua direzione rispetto all'elemento superficiale dA di missile che si considera, che caratterizzeremo mediante
~ da esso formato con la normale esterna a dA. Per questa moti-
I'angolo
vo dovremo prendere in considerazione anche Ie seguenti grandezze, tutte funzioni note di s e
~
, come verra precisato nel n. 2:
N. = numero di molecole che nell'unita di tempo colpiscono I'unita di 1
superficie rigida = portata numerica incidente
- ...... Q.
1
= p. n + 'to t = quantiU, di moto complessiva da esse posseduta = 1
1
= portata di quantiU, di moto incidente
E. = energia cinetica complessiva da esse posseduta = portata di ener 1
-
gia cinetica incidente
nonche Ie seguenti altre, a -priori sconosciute, tranne Nr = Ni .. N = numero di molecole che nell'unita di tempo sono riemesse dalla r
unita di superficie = portata numerica riemessa
Qr = -p r rr +L'r "1 = quantita di mota complessiva da esse posseduta = = portata di quantita di mota riemessa
E = energia cinetica complessiva da esse posseduta = portata di ener r
-
gia cinetica riemessa Prima di procedere oltre nello studio dell'interazione sara pero opportuno soffermarsi su alcuni particolari aspetti dei gas in equilibrio maxwel. Hano alle bassissime densita. Nella teoria cinetica dei gas perfetti si assu-
339
- 320 -
S. Nocilla
mono solitamente come variabili di stato la temperatura assoluta, T, la densita
9 e la pressione p,
(1. 5)
tra loro legate dalla equazione di stato:
p =
fRT
Ora di tali tre grandezze Ie prime due mantengono un preciso significato anche se la densita
.f
e piccola fill che
si vuole, purche naturalmente il
num~
ro di molecole per unita di volume sia ancora tale da poter applicare i metodi statistici, il che nei problemi in studio
e senz' altro vero.
11 concetto di
pressione invece perde in parte il suo consueto significato, fO:J.dato sull'assunzione che gli urti tra molecole del gas e parete siano perfettamente elast!. ci di guisa che la pressione p. dovuta aHe molecole incidenti su di un elemen 1
-
to di superficie dA e quella p dovuta aIle stesse molecole dopo l'urto siano r
tra di loro eguali, ed eguali aHa meta della pressione del gas:
(1. 6)
p. = p = 1/2 P 1
r
p = p. + P = 2 p. r
1
1
Ora alle bassissime densita che noi consideriamo questo schema di interaziQ ne superficiale
e da rimettersi in discussione, anzi e proprio uno dei princi-
pali problemi aperti del fenomeno stesso. Per superare questa difficolta ci pare spontaneo proporre di assumere come terza variabile del gas, in luogo della pressione p, il numero N di molecole incidenti nell'unita di tempo sull'unita di superficie del recipiente contenente il gas, numero che in equilibrio statistico
e anche eguale a quello delle molecole riemesse dalla stessa super-
ficie. Tale numero da anche la portata numeric a da una faccia all'altra di un qualunque elemento di superficie interno al fluido e puo valutarsi
indipe~
dentemente dal concetto di pressione in funzione della temperahra e della 340
- 321 8. Nocilla
densit9. del 'gas. Introducendo per maggiore omogeneit9. di formule la dens ita numerica
V anziche la densita
j,
ossia:
)) =
s> 1m =
numero di mol~
cole contenute nell'unita di volume del gas, coi metodi della teoria cinetica dei gas si ricava:
N :;
(1. 7)
~a
v ~ RT 21T
:;
).I . c
2{rr
(1. 7) pub essere assunta, come nuova equazione di stato nelle variabili T
10ppure c), V ed N in luogo della (1,6). Poiche Ie quantitA N e V sono dell'ordine di grandezza del numero di Avogadro NAv :; 6,023 x 10 23 mQlecole per mole, potra essere piu comodo ai fini pratici considerare in luogo di N e
))
i loro rapporti con detto numero di Avogadro. Anche con questa m£
difica la (1. 7), data la sua struttura, continua a valere immutata. 8i osservi poi che dalla (1. 7) risulta che essendo:
(1. 8)
R = RM
1M,
con RM = costante universale dei gas = 1,9864 cal
10 K
M = peso molecolare del gas la quantita N, a paritA di temperatura assoluta T e di dens ita numerica
V,
risulta inversamente proporzionale alla radice quadrata del peso molecolare M.
A titolo di esmpio riportiamo alcuni valori numerici delle quantita so-
pra considerate. In condizioni normali (temperatura di 20 0 C e pressione
760 mm. di Hg) abbiamo (De Boer idrogeno (H 2) : N :; 11,0 x 10
N/N Av = 1,82
23
[2]
molecole moli
pag. 7):
I cm.2
I cm 2 sec.
341
sec.
- 322 -
S. Nocilla
azoto
2 molecole / cm sec.
N = 2,94 x 10 23
(N 2):
. 2 moll / cm sec.
N/N Av = 0, 487
. (° ) : osslgeno 2
2 molecole / cm sec.
N = 2,75 x 10 23
moli / c m 2 sec.
N/N Av = 0,456
Alla quota di 250 Km. alliequatore, assumendo per la temperatura T i1 valore di 1036 oK e per la densita
.9 un valore 0,79 x 10- 9 volte minore di quello
corrispondente alle condizioni normali di cui sopra (valori dati in [1] , pa£ te II, per 11 atmosfera tipo internazionale a quella quota) si ottiene che i valori pitt sopra riportati devono essere molpiplicati tutti per i1 fattore numerico:
0,79 x 10 -9 xtf2 93 I 1036
= 0,42 x 10 -9
Si ha cosi in definitiva, limitandoci a riportare Ie frazioni molari: -9
idrogeno (H 2)
: N/N Av = 0,76 x 10
(N 2)
: N/N Av =0,20x10
ossigeno (°2)
: N/N Av =0,19x10
azoto
moli / cm.
2
-9
"
"
-9
"
"
-
sec.
Accanto alla portata numerica N converra associare Ie
corrisponde~
ti portate di quantita di moto Q e di energia cinetica E, che valgono:
-+.. ... Q = 1/2 P n, con p dato dalla (1. 5) ed n normale alla superficie attraversata
342
- 323 -
S. Nocilla
E = NkT (2 + ~ ), con mono- , bi- ,
0
~ = 0,
1, 3/2 rispettivamente per gas
pluriatomici
La considerazione delle grandezze T, V ed N come variabili di stato permette di dare in modo semplice e completo il concetto di rieniissione diffusa per qualunque valore di s e
S.
Precisamente diremo che Ie molecole
cadute sull'elemento dA ne sono riemesse in modo diffuso se esse si
comport~
no come la parte che attraversa dA in un solo verso di un gas in equilibrio maxwelliano in cui Ie due variabili di stato T ed N valgono rispettivamente:
(1. 9)
Tw = temperatura della parete {
N i
= numero delle molecole incidenti nell'unitA di tem-
po sull'unitA di superficie
Le altre grandezze che caratterizzano il gas di cui sopra, che contraddistingueremo con l'indice w, valgono:
V2 R T w
c w
()
)W
"'t"
w
E
w
=0
=
N~k T
w
(2 + d) 343
=m.)}
w
- 324 -
S. Nocilla
,-c.
,E abbiamo indicato rispettivamente la pressione normadove con p w w w Ie, 10 sforzo tangenziale e la portata di energia cinetica dovute aIle sole molecole riemesse in modo diffuso. Vediamo aHora come Ie prime idee che furono poste alIa base della teoria dell'adsorbimento aIle bassissime pressioni possano essere utilizzate ed estese allo studio dell'interazione di un flusso di mole cole libere con una superficie rigida. Anzitutto osserviamo che data la estrema rarefazione del gas possiamo riferirci senz'altro all'adsorbimento fisico (e non chimico ) unimolecolare, con superficie adsorbente lontana dalle condizioni di saturazione. Usando illinguaggio delle isoterme di adsorbimento di Langwluir (v. fig. 2) in cui
S*
e riportato il rapporto
tra superficie ricoperta da gas ad-
sorbito e superficie esposta al gas in funzione della pressione p di questo ultimo, ci troviamo in corrispondenza della parte iniziale di tali isoterme, dove la relazione tra p e
V* e
fl'1
con ottima approssimazione lineare. Un'idea introdotta gia fin da Maxwell
e,
come ben noto, che tra tutte Ie
m~
lecole incidenti sulla superficie una
o
certa frazione, che chiameremo a,
1 mm al Hg
sia trattenuta per un certo periodo di tempo su di essa, per venirne poi
Isoterma ai. aasorbimenlo di LangMuir
riemessa in modo diffuso nel modo precisato precedentemente, mentre la rimanente frazione 1 - a subisca
Fig 2
344
p
- 325 -
S. Nocilla
un urto elastico sulla superficie, ossia subisca quella che viene denominata riemissione speculare, mantenendo proprieta identiche a quelle del gas incidente Secondo questa modello di interazione, che chiameremo brevemente maxwelliano, Ie grandezze p , "V ,E definite a pag. 1, relative a tutte Ie r r r molecole riemesse, essendo funzioni additive delle molecole stesse, in virtu di tutto quanta detto precedentemente hanno Ie espressioni seguenti, valide sia per s= 0, sia per s
f0:
p = (1 - a) r
p. + a p 1 w
'"t' = (1 - a) "'C.
(1. 11)
r
E
1
= (1 - a) E.
r
1
+a E
w
dove p., 1:., E. sono definite a pag. 1
1
1
t.
Tenuto conto delle (1. 11) si ricava Ia conseguenza degna della massJ:. ma attenzione che secondo questa modello sia il coefficiente di accomodamento per l'energia (X, introdotto da Knudsen [4 j, sia gli altri due coefficienti di accomodamento 6' e 6", introdotti piu recentemente da Bell e Schaaf[ 5 ] e cioe:
a
E. - E =
1
E.
1
- E
r w
(1. 12)
~=
Ti -1r
ff' =
1:.1 risultano eguali tra di loro ed eguali ad a: 345
Pi
- Pr
Pi
- Pw
- 326 -
S. Nocilla
(1. 13)
Infine, sempre secondo questo modello di interazione, il tempo di soggiorno
-.;
:If
relativo a tutte Ie molecole incidenti si calcola nel modo
seguente. Per Ie molecole riemesse specularmente esso
e ovviamente nullo.
Per queHe riemesse in modo diffuso si pub adottare 10 schema di Frenkel, descritto a pag. 4, e quindi applicare per esse la formula (1. 4) che ora scriveremo:
dove
Q/RT
• e
(1. 14)
"'C'
*w
w
rappresenta il tempo di soggiorno delle sole mole-cole riemes-
se in modo diffuso. Appare poi verosimile che, d'accordo con quanto gia de,! to a pag. 5, tanto Q che
-r;llf.'1f
solido, e non dai parametri
dipendano solo dalle condizioni superficiali sul s e
~
. Al calcolo del numero N* di moleco-
Ie adsorbite per unita di superficie contribuiscono soltanto Ie molecole
rieme~
se in modo diffuso, e pertanto applicando la (1. 3) a queste ultime soltanto abbiamo:
(1.15)
:If'
N
=
aN.
1
-r: :Ifw
a N. "t" 1
:If*'
e
Q/RT
w
Applicando invece la stessa formula (1. 3) a tutte Ie molecole incidenti, e riemesse in parte in modo diffuso, in parte in modo speculare, abbiamo:
(1. 16)
346
- 327 -
S. Nocilla
Confrontando le (1. 15) e (1. 16), si ricava in definitiva:
(1.
17)
-,;
*"
=a-c K*
e
che stabilisce una relazione lineare tra il tempo di soggiorno medio complessivo
-,;* ed i coefficienti di accomodamento (1. 13) , d'accordo con quanta
gia avemmo occasione di mettere in luce in [8], valendoci di risultati sperimentali. Dalla (1. 17) consegue pure, in base alle (1. 12) ed (1. 13), una rela E. - E ,-C. - "C ,p. - p ed il 1 r 1 r 1 r il che presenta un espressivo significato fisico.
zione line are tra le differenze tempo di soggiorno "C *,
In conclusione il modello di interazione maxwelliano, adattato "eli fenomeni aerodinamici che ci interessano, riconduce tutto il problema dell'interazione alla determinazione del solo parametro a , di cui interesserebbe cQ noscere in particolare la dipendenza dalla temperatura del solido T , dal pa w rametro di velocita s e dall'angolo di incidenza ~ formato tra la velocita del missile e la normale all'elemento di superficie dA:
(1. 18)
a = a(T , s, w
e)
La determinazione teorica di ques1adipendenza,
COS!
come il perfezionamento
del modello stesso richiederebbero uno studio molto pili approfondito e diffici. le, che dalla letteratura a noi nota non risulta sia ancora stato affrontato in modo convincente. Pensiamo che uno studio di questa genere, se davvero deve costituire un sostanziale passo avanti rispetto al modello di prima approssimazione maxwelliano, dovrebbe intanto conservare quelli che riteniamo si.a:. no i suoi caratteri qualitativi fondamentali, e cioe: 347
- 328 -
S. Nocilla
10 ) prevedere uno scambio di quantita di moto e di energia tra molecole incidenti e riemesse e Ia superficie rigida; o 2) prevedere un fenomeno almeno parziale di adsorbimento delle molecole del gas incidente da parte del solido, con relativo tempo di soggiorno.
Inoltre in armonia con una proprieta chiaramente messa in luce dai risultati sperimentali ottenuti coi raggi molecolari, dovrebbe soddisfare ad una terza esigenza, e cioe:
30 ) prevedere una riemissione in tutte Ie direzioni rispetto alla normale a dA anche se tutte Ie molecole incidono secondo la stessa direzione, come avviene appunto coi raggi molecolari.
Naturalmente tutti questi aspetti parziali del fenomeno dovrebbero essere as: cessibili ad una valutazione quantitativa, ed essere collegati logicamente tra di loro. 11 che ci pare impresa tutt'altro che facile.
348
- 329 -
S. Nocilla
2. Calcolo delle grandezze fisiche fondamentali che intervengono nei fenomeni d'interazione.
Per dare piu solido fondamento allo studio del problema dell'interil.zione introduciamo, accanto allo spazio fisico
(Oxyz) nel quale si muove
il missile (v. fig. 3), anche 10 spazio delle velocita assolute delle molecole costituenti l'atmosfera rarefatta, che chiameremo (Ou ..
0
v w ), essendo u , 0
0
0
v , w Ie componenti della velocita assoluta V di una molecola secondo gli o
0
0
(~ =
w
z
o
'_.'--y
~------~--~----v
x spazlo lislco
u spazio aelle velocita
Fig. 3
349
versore ai
V
- 330 -
S. Nocilla -+
assi Oxyz; ed inoltre 10 spazio (Auvw) delle velocita V relative al missile. Porremo cioe:
V
=
velocita assoluta di una molecola
D
=
velocita assoluta del missile
o
-
o
V
(rispetto all' atmosfera) II
II
velocita relativa della stessa molecola rispetto ad una terna di assi che si trasli con velocita D.
In base al teorema di composizione delle velocita risulta ovviamente:
(2. 1)
- -Vo
=
V +D
-
-
V = -.. V - D o
ossia
Se in particolare ci riferiamo aIle molecole incidenti suI missile, ponendo: -+ D =- D i
~
la (2. 1) diventa: (2.2)
-- V = V + Do, o
1
Essa mostra come nel moto relativo al missile Ie molecole incidenti sono a-+
nimate da una velocita d'insieme Do comune a tutte Ie molecole, pili la velo1
cita "termica"
Vo , variabile da molecola a molecola.
una superficie elementare del missile ed
rt
Sia poi (v. fig. 4) dA
la sua normale rivolta verso 10
interno del missile. Limita.tldoci allo studio dell'interazione col solo elemen to dA assumeremo l'asse z con direzione eguale rna verso contrario ad
...,.
...,.
It
e l'asse x, di versore t, nel piano formato tra Do e l'asse z, orientato in mo 1
350
- 331 -
S. Noci1la -+
do che U. abbia componente 1
positiva secondo esso. Essendosi supposta z
maxwelliana la distribuzione delle velocita delle molecole costituenti l'atmosfera rarefatta, la probabilitA 1Ti( u , v • w )
o
0
0
che una molecola di tale atmosfera abbia velocita assox t
luta contenuta nell'elemento di volume du dv dw della o
0
n =nor'nale
Interna al missile
Fig. 4
0
spazio delle velocita assolute vale: d
(2. 3)
0
0
Y.
1
TT.(u ,v ,w ) 1
(u ,v ,w )
,I
0
0
0
v
0
1
du dv dw
o 0 f.(Q)-1 3 c
0
dove: _V2 / c 2 (2. 4)
f.(Q) = e
0
1
e la ben nota funzione di distribuzione di velocita maxwelliana,
definita in tut
to 10 spazio delle velocita. e c la velocita pili probabile legata alIa temperatura assoluta T dalla relazione: (2.5)
c
2
= 2R T
con R = costante del gas considerato =
~/m i
.~ = costante di Boltzmann ed m massa di una molecola. 351
- 332 -
S. Nocilla
Nella (2. 3) Vela dens ita numeric a, cioe il numero di molecole per unita di volume dell'atmosfera ambiente, e d'1(u O' vo, wo) e il numero di molecole con velocita nell'elemento duo dvo dw 0' tra Ie V sopra considerate. Tenuto conto delle (2.1) e (2.2) la (2.4) diventa:
(2.6)
-
dove V ha,come si disse, componenti u, v, w, e ....... Ui si pub esprimere nel modo seguente:
~ i essendo l'angolo di incidenza formato tra u;. ed n.
Da tutto quanto sopra
detto consegue che, essendo 1'elemento di volume dS Q relativo ad un medesi mo punto Q 10 stesso sia che 10 si consideri appartenente allo spazio Ouovowo oppure allo spazio Auvw:
(2. 8)
dudvdw
con evidente significato dei simboli si ha pure: d ' •. (u, v, w)
(2.9)
(
IT.1(u,v,w ) = _"I _))_ _ -- 1T1. uo 'vo,wo
)
1
-
11' con fi(Q) dato dalle (2.6) e (2.7).
352
f (Q) ddd u v W 3 c
-~.
- 333 -
S. Noeilla
In virtu della (2. 9) si possono esplicitamente ealeolare Ie grandezze
-
fondamentali relative al gas incidente, e cioe la portata numeriea Ni , la portata di quantita di moto Qi e la portata di energia Ei relative all'elemento dA, gia definite nel numero preeedente. Infatti se tutte Ie moleeole avessero egual velocita si avrebbe ad esempio: Ni dA = - w V dA Poichl! Ie" molecole non hanne tutte egual velecita, bisogna sostituire nella formula precedente d Vi (u, v, w)
al paste di
)J,
e poi sommare i1 contribute
di tlltte Ie molecele cui corrisponde -w ~ 0. Si deve doe calcolare l'integrale:
(2.10)
N. =j(_W)d)).(U'V'W) 1
1
-"'~O
=_v_j 11"3/2
r'"
(-w)f.{Q) 1
dS Q e3
t-
ehe deve essere inteso nel modo seguente:
(2.11)
j(. . )
dSQ =
j"'dU
~
-ro
dvl O(... )
-~
dw
-00
In modo perfettamente analogo si rieava:
(2. 12)
(2. 13)
-Qi --
E. = 1
J ()
-w m
j
9 = m)/
{..l 2
(-w)
J
3/2
11" con
(u, v, w, )
-w~ 0
-T/l~o
=
V d Vi
j
m V2 +
~ ~ T)d)l. (u,v,w) 1
V2 dS Q (-w) (-2- + ~ 'R T) fi (Q) - 3
J..
e
e [=0, 1, 3/2 rispettivamente per gas mono-, bi-
353
0
pluri-
- 334 -
S. Nocilla
atomici. Sostituendo Ie espressioni (2. 6) e (2.7) ed effettuando Ie
integraz~
ni in coordinate cartesiane secondo Ia (2. 11) si ottiene (v. ad esempio [6) e
[7 ]):
(2.14) (2. 15)
con:
Pi = 1/2'JRT [1 +erut+ 2.frr (2. 17)
{
"'[;. = _1_
lfi
(2. 18)
J RT I (&") • s·
A. ( fI)l
sin Q
E. =NkTf(s,Q) 1
e con:
(2. 19)
(2.20)
Tutti gli altri simboli furono gia definiti nel numero precedente. Per quanta concerne Ie molecole riemesse
si presenta Ia sostan-
ziale difficolta che non si conosce a priori Ia Iegge di riemissione, che anzi 354
- 335 -
S. Nocilla
costituisce l'incognita principale del problema. Sono stati proposti diversi modelli di riemissione che consistono nell'assumere certe leggi di riemissio. ne, in modo tale da lasciare liberi, possibilmente, certi parametri da determinarsi mediante confronto con risultati sperimentali. Tra questi modelli di riemissione ci sembrano degni di particolare menzione quelli in cui Ie molecole riemesse sono considerate come facenti parte di opportuni gas in equilibrio maxwelliano, in opportuno movimento rispetto adA. Questi modelli, su cui naturalmente si possono fare molte riserve, presentano il pregio essenziale, a parte motivi di carattere storico, di permettere di adottare per Ie molecole riemesse gli stessi metodi di calcolo, se non addirittura Ie stesse formule, impiegate per il gas incidente. Infatti, detta V r la dens ita numerica del gas fittizio in discorso, abbiamo: d (u,v,w) (2.21) rTr (u, w) = _Y....;..I'f._ __ 'J r
v,
dSQ _1_ rr 3/ 2
3
f (Q)
r
c r
con:
f
(2.22)
r
(Q) = e
,- - I r
- V -U
2 c2
/ r
--.
e dove Ur e c r sono parametri da fissarsi di volta in v olta. La costante Yr si determina in funzione di essi e delle grandezze relative al gas incidente mediante la condizione: (2. 23) Nr = Ni che essendo, in base aIle (1. 7) e (2.14) : ,\ .c N. =Y. _c X(G"); Nr = vr, __r 1
2;;
2
\/tr
355
X(,'l) ,
- 336 -
S. Nocilla con fi
U /e . cos r r
r
(2.23')
3r
(cfr. (2.19)), d lventa : =
YCA,(C')
• e ; 'Y ((i' ) r /"r
)}
r
-
Le grandezze fisiche fondamentali relative al gas riemesso, e cioe Nr' Qr ed E , si esprimono per mezzo della funzione f (Q) nel modo seguente: r
(2.24)
N = r
\V~o
r
(2. 26) E = r
dove si
j
w dlJ
w~O
=j
Q
(2. 25)
j
r
r
=
j'
)l3/r 2
1J'
wmV'd Y
wf (Q) dS Q /c 3 r r
rtf
v+ =
1
~
w
'It
1T'3/2
r
w(mV 2/ 2+ dkT)d))
w~o
=
r
Vfr (Q)
dS Q /c!
~3r/2 J W(V 2/2+ rRT)fr (Q)dSQ/C r3
11'~
v+
e introdotta la dens ita del gas fittizio
Jr = m Vr , e dove gli integrali
tripli devono essere intesi nel modo seguente:
(2.27)
J(. . ~+
I dSQ '
J:
j+CO dv
-00
-co
j
(Xl (. •• )
'dw
0
~
Anche qui poi eonverra seomporre la Qr nelle sue due componenti normale e tangenziale a dA nel modo seguente:
(2. 28)
Riguardo alla (2. 26) si osservi ehe il termine
dRT che vi compare implica (he.
I' assunzione, invero discutibile, che I' energia cineticarcorrisponde ai gradi di liberta rotatori delle molecole non vari durante durante il fenomeno d'interazione. Non vogliamo qui diseutere tale assunzione: ci limitiamo a dire che per Ie molecole monoatomiche
e ~ = 0 e quindi 356
la difficolta non sorge,
- 337 -
S. Nocilla
mentre per Ie molecole bi-
0
pluriatomiche l'assunzione stessa pUG essere
considerata come una prima approssimazione. A titolo di esempio indichiamo come vengono trattati i parametri
ITr e cr
nei modelli di riemissione se-
guenti: a) riemissione speculare
(2.29)
{
~
q . . . . q~ Ur = -U i cos lJin + Ui sm Vi t
-
-
(U r e il simmetrico di U rispetto aUa normale a
cr = c
dA)
b) riemissione diffusa
(2.30)
(T
w
= temperatura della parete)
c) riemissione maxwelliana Delle Nr = Ni molecole riemesse si ammette che una parte (l-a)N r sia riemessa specularmente, secondo Ie (2. 29), e la rimanente parte a Nr sia riemessa in modo diffuso, secondo Ie (2. 30) d) riemissione come parte di un gas in equilibrio maxwelliano con opportuno moto di insieme (v. Nocilla [9 ]). I parametri Ur'
~r'
c r non sono fissati a priori. 11 calcolo mostra
che secondo questo modello intervengono in modo essenziale solo due parametri, e cioe sr = ur/c r
e
~r'
Le formule finora riportate, anche se di fondamentale importanza,
357
- 338 -
S. Nocilla
non si prestano al confronto con la maggior parte dei risultati sperimentali oUenuti con la tecnica dei raggi molecolari, che costituiscono oggi una delle fonti sperimentali pili importanti per 10 studio dei fenomeni dell'interazione. Infatti tali formule danno, per ogni elemento superficiale dA, il valore globale delle diverse grandezze, senza precis are quale sia il contributo ad esse apportato dalle molecole incidenti
0
riemesse nelle diverse
direzioni,
mentre i risultati sperimentali sopra ricordati fanno intervenire in modo essenziale tali direzioni. Per poter confrontare la teoria con queste esperienze ~
bisogna riprendere il calcolo delle stesse grandezze N., Q., E 1· facendo uso 1
1
nella spazio delle velocita (Auvw), anziche delle coordinate cartesiane, delle coordinate polari V,
(2. 31)
r~
e,
V sin
~ cosi definite (v. fig. 3): o~8~;r
e cos ~
v = V sin
G sin
w = Vcos
e
_7r~¢S,+n-
~
In coordinate polari l'elemento di volume dS Q vale:
(2. 32) ~
e inoltre la velocita V si pub esprimere nel modo seguente:
(2.33)
V
V W. con
0 = W(Gl, ~)
: (sin (2) cos ~, sin f) sin~, cos te)
La formula (2. 9) diventa: dN.(Q) (2.34)
11,(Q) _ 1
-
1 '\ I
.I
1 n3/ 2 358
f.(Q) 1
V2 sin (9 dV d Gl d@ c3
- 339 -
S. Nocilla
data dalla (2. 6) deve essere pensata come funzione di dove la funzione f.(Q) 1
v, 6l, ¢: (2.35)
fi (Q)
¢)
= fi (V /c,@,
Gli integrali tripli del tipo (2. 11) si calc olano nel modo seguente: (2. 36)
j (. ..
=
)dSQ
$_
1 11
d
¢
[0 h
-1T
sin
e
d 0'
jO.:l
(... ) v2 dV
0
che introducendo l'angolo solido dSl relativo all'origine A: (2.37)
dJ2. = sinGld (i) d¢
si possono scrivere:
(2. 38)
j
I... ) dS Q
dfl
Ir-
=1
lif
7r
d¢ F( -1T lTifL
e,
¢ ) sin g
d 6:
con
Di conseguenza Ie formule (2. 10), (2.12) e (2. 13) diventano rispettivamente: N·1 =
J
con:
N.(.I1)
N. (Jl)
dJ2
~_l
(2.40)
-j Qi =
(2.41)
Vc
=
1
- Tr3/2
6J
{ilQI
V3dV 4 c
Q.(Jl) dil
U'2-
1
-(.Q)
con: Qi
cO'
.f c -
CO
2
11 3/ 2
cos @ ( fi(Q) "'0
359
V4dV
C5
LJ
- 340 -
S. Nocilla
E
i
J
E.(..i2) dJ2 :.;1- 1
=
(2.42)
con Ei Ul)
= --
.f c 3
cos
g
11 3/ 2
fl( y22 + ~ RT) f (Q) r
"0
In modo perfettamente analogo si possono trattare Ie molecole riemesse secondo i modelli precedentemente descritti, ottenendosi Ie formule seguenti, analoghe alle (2.40), (2.41), (2.42):
N
r
J
=
N (J2) d.1l
~+ r
(2.43)
con: N
W..l
r
(2.44)
1 (XJ
(2.45)
con: E
y2
(iZ) r
cos
ltV 0 (-2-
dove gli integrali rispetto all' angolo solido devono essere calcolati nel modo seguente:
360
- 341 -
S. Nocilla
(2.46)
j
FI-") dJl 'il.+
~
1i ( d,
1f/t
f FIISI, ;)
J-lT)o
Tra gli integrali sopra riportati finora
sine d lSI
e stato calcolato in modo esplicito, in
[ 9 ] , soltanto quello che nella (2. 43) de. la funzione Nr (ll) nel caso che la fr (Q) sia data dalla (2. 22). E' interessante osservare che, come risulta dalle ultime formule scritte, nel caso della riemissione diffusa nel senso da noi precisato in precedenza, tutte e tre Ie funzioni Nr (11) a cos
e,
,Qr (il),
Er Cal risultano proporzionali
con costanti di proporzionalite. esplicitamente indicate nelle for mule
stesse. Cib giustifica la denominazione di "riemissione secondo la legge del coseno" che si attribuisce a tale legge di riemissione, anche se solitamente nella letteratura quando si parla di legge del coseno ci si riferisce solo alIa funzione Nr (Jl.) e non aIle altre due. Prima di lasciare l' argomento dei modelli di z
riemissione vogliamo ri-
asse riel cone di riemissione
cordare un modello molto dO
interessante proposto recentemente da Schamberg
[101, che non rientra ne..! 10 schema di quelli sopra discussi(v. fig. 5). Secondo esso si ammette
Schema ai riernissione ai Schamberg [10]
che Ie molecole siano riemesse entro un opportuno Fig. 5
cono di semiapertura ~o'
361
- 342 -
S. Nocilla
entr~ il quale i1 numero di molecole Nr (Q) e proporzionale a cost rr/2. tI 'fc> ). con
contenute nell'angolo solido dll
r ~ 'Po.
Mediante opportune ipo-
tesi sulle velocita delle molecole riemesse vengono calcolati i coefficienti aerodinamici per corpi di varia forma. Quanto abbiamo finora esposto costituisce un contribl;.to preliminare allo studio teorico dell'interazione. Per procedere ulteriormente
nell'a~
profondimento di tale studio conviene passare da quelli che abbiamo
deno~
nato "modelli di riemissione" a quelli che possiamo definire "modelli di interazione", ossia a teorie che spieghino anche la genesi fisica delle funzioni di distribuzione di velocita delle molecole riemesse, tenedo conto delle CO!! dizioni fisico-chimiche superficiali e delle proprieta delle molecole incide!! ti. Studi in tal senso furono gia effettuati da diversi Autori, come LennardJones e sua scuola
[14]
[l1J,
Bonch-Bruevich
[12J,
Zwanzig [13), Erofeev
ed altri. Ci pare perC> importante sottolineare che per orientarsi ve!'.
so la scelta di un modello di interazione atto a calcolare in modo convincen te Ie grandezze fondamentali dell'interazione si debba innanzitutto fare in modo che siano soddisfatte Ie condizioni generali indicate alla fine del nume1'0
precedente. In secondo luogo ci pare sia tuttora da risolvere il problema
pregiudiziale, che riteniamo di fondamentale importanza, di deCidere se nell'equilibrio statistico che regge i1 fenomeno sia sufficiente considere separatamente ogni singola mole cola che interagisce con la superficie per poi venirne riemessa, oppure se sia necessario tenere anche conto dell'azione prodotta sulle molecole adsorbite dalle molecole successivamente incidenti. In altri termini se, sempre statisticamente parlando, la riemissione delle molecole adsorbite avviene indipendentemente dall'arrivo di nuove molecoIe e quindi i1 tempo di soggiorno
-c+ non dipende 362
sostanzialmente da N, 0E.
- 343 -
S. Nocilla
pure se sono Ie nuove molecole arrivate che cacciano via Ie precedenti e
qui~
di il tempo di soggiorno dipende da N. 11 fatto che nella adsorbimento fisico alle bassissime pressioni Ie isoterme di adsorbimento mostrino una dipen
*' -
Cj~
denza lineare tra la quantita di gas adsorbito /), proporzionale ad N , e la pressione p, proporzionale ad N , alla luce della (1. 3) appare una prova in favore della prima tesi. Non vogliamo qui spingerci in una discussione
pili approfondita della questione che, come abbiamo detto, riteniamo tutt'ora aperta tanto pili se si tiene anche conto del moto d'insieme delle molecole if.!. cidenti. Per terminare, un breve cenno alla letteratura sperimentale, che negli ultimi anni ha ricevuto un impulso assai notevole sviluppandosi a terra con la tecnica dei raggi molecolari e con la tecnica del braccio ruotante per Ie quali rima ndiamo alle conferenze del Prof. Estermann, e nell' alta atmosfera coi missili e coi satelliti artificiali. Dal complesso dei risultati sperl. mentali ottenuti a terra ci pare concordemente messo in luce dai vari sperimantato ri il fatto che alle temperature superficiali ambienti ( N vi
e la tendenza alIa riemissione
diffusa indipendentemente
0
300 oK)
quasi dalle
pr~
prieta del raggio incidente, mentre per temperature maggiori (ad esempio dell'ordine di 1000 oK) vi ne di tipo speculare,
0
e una molto pili spiccata tendenza ad una riemissi~
pili precisamente, usando la terminologia del nostro
modello di riemissione [ 9 ] (caso d; pag.2.51, nel primo caso si hanno valori di sr all'unita
0
=
Uri c r prossimi allo zero; nel secondo caso val~ri pros simi
maggiori. Si tenga perb presente che tutto cib
e fondato soltanto
. d·I NUL). .. t 0 ch e per mIg . 1·lOrare 111 . mo d0 sosu mlsure r ; t: nos t ro conv111clmen
stanziale Ie nostre conoscenze in merito sarebbe misura non solo di Nr
Ln.) ,rna anche dl. -. Ln.) Q r
363
neces_~~.Lo
10)
ed Er
procedere alIa
,se non addiritura
- 344 -
S, Nocilla
della funzione di distribuzione della velocita delle molecole riemesse, Queste misure dovrebbero fornire il criterio fondamentale per decidere quale dei diversi modelli di riemissione giormente al vero,
364
0
di interazione si avvicina mag-
- 345 -
S. Nocilla
BIBLIOGRAFIA
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[ 2]
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Univer. Press, London and New York (1953)]. [ 3]
.J. R. Frenkel "Theorie der Adsorption und verwandter Erscheinungen"
[Zeitsch. fUr Physik, ~ (1924) , pag. 117 J. [4)
M. Kundsen [Ann. Physik,1£ (1911), pag. 593]
[ 5]
S. Bell e S. A. Schaaf "Aerodynamic forces on a cylinder for the free molecule flow of a non-uniform gas" [Jet Propulsion, ~ (1953) pag. 314).
[6J
S. Nocilla "Sull' interazione tra un corpo rigidoeduna corrente di m£ lecole libere " Parte I - Scambi di energia [Atti Acc. Scienze Torino, 94 (1959-60), pag. 445J.
[7]
idem, Parte II - Scambi di quantita di moto [ibidem, 94 (1959-60) pag.595}.
[ 8]
idem, Parte III - Relazione tra i coefficienti d'interazione ed il tempo di soggiorno delle molecole sulla superficie [ibidem, 94 (1959-60), pag. 782].
[9]
S. Nocilla " The surface Re-Emission Law in Free Molecule Flow" [3rd Int. Rarefied Gas Dynamics Symposium, vol I (1963), Academic Press Inc., New York, pag. 327]'
[10]
~ Schamberg "A new analytic representation of surface interaction
for hyperthermal free-molecu Ie flow with application to satellite drag" [Heat Trans. and Fluid Mech. Inst., University of California, Los Angeles (1959), pag.
1). 365
- 346 -
S. Nocilla
[11]
J. E.Lennard Jones eA. F. Devonshire
li!! [12]
[Proc. Roy. Soc., vol. A
(1937), pag. 894).
B. L. Bonch-Bruevich "Quantum Theories of adsorption 11 [National Res. Council of Canada, Tech. Translation TT-509, (Ottawa 1954) da Upsekhi Fiz. Nauk. 40 (3) (1950), pag. 369].
[13 ]
R. W. Zwanzig "Collision of a gas atom with a cold surface" [JOll!:. nal of Chemical Physics, 32 (1960), pag. 1173J.
/14 /
A. I. Erofeev
" A proposito dell'azione reciproca tra gli atomi a
superficie di un corpo solido (titolo tradotto in italiano dal russo a cura del nostro Istituto)" [Inzhenernii Zhurnal, Torno IV (1960), pag. 36]'
366
eO.
CENTRO INTERNAZIONALE MA TEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)
F. SERNAGIOTTO
"SOLUTION OF RAYLEIGH'S PROBLEM FOR THE WHOLE KliNGE OF KNUDSEN NUMBERS"
Corso tenuto a Varenna (Como) dal
367
21 al 29 agosto 1964
"SOLUTION OF RAYLEIGH'S PROBLEM FOR THE WHOLE RANGE OF KNUDSEN NUMBERS" by Franco Sernagiotto (Universita- Milano) The aim of my talk is to give an exposition of a paper presented by Dr. Cercignani and me at the Forth International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, held at Toronto, Canada, last july
(..!.l .
Time-dependent problems have been scarcely investigated in Rarefied Gas Dynamics for an arbitrary Knudsen number. In fact, only a problem not spatially homogeneous appears to have been considered: the Rayleighls problem. Also, for this typical problem, only approximate solutions have been given, in the frame of the kinetic theory of gases, by Yang and Lees in 1956 and 1960 1958
(~).
and by Gross and Jackson in
Exact solutions have been given in the limiting cases of con-
tinuum theory velocity
(~),
(Rayleigh, 1911 (!) ) , also with the correction for slip
(Schaaf, 195 0
(~)).
The classical Rayleigh IS problem is as follows: let a half space be filled with a gas of density
~o
and temperature To ' and bounded
by an infinite plane wall; the gas is initially in absolute equilibrium and the wall is at rest. Then the plate is set impulsively in motion in its plane with uniform velocity
Uo
. The propagation into the gas of.
the disturbance produced by the motion of the plate is to be studied. There are two independent variables, the time
t
and the ordi-
nate x, which measures distance from the plate. Now I want to say some words about Knudsen number in this problem. As usual, Knudsen number (1)
K
h
(~)
is defined in the following manner,
.1d 369
- 352 F. Sernagiotto
where
?.
is the
mean free
path and
d
is a characteristic
length. However, in this problem, because the plate is infinite there is no fixed characteristic length, as e. g. in plane Couette flow the diA definition of Knudsen number must necessa-
stance from the plates. rily be based on time. Calling
8 the
mean free time, i. e. the average time elapsed
between two successive collisions, we have: 2 2 out a To 0 0 t = (2) 8
( )A. is viscosity coefficient, and a o
is sound
tubed gas). From Eq. (2) one sees easily that
velocity in the imper-
..!
gives the degree of 8 rarefaction of the gas. This is quite obvious, if one thinks that at the
start of the motion,
the collisions between the gas molecules and
the plate surface predominate over those between gas molecules themselves. This regime is essentially the free molecules flow, no matter what the density of the undisturbed gas is . Let us now pass to give a sketch of our technique of solution . We have used Boltzmanp equation, with the only restrictions of linearization and use of the B. G. K. model
en to
des.cribe collisions.
Owing to the linearization we can write for the distribution function (3)
f(x, t,
.~)
= fo [1
3 2
where
fJ£.)
=~Q 1T
-c e
+ h(x, t, £.)J
2
is the
unperturbed Maxwellian state, and c
is the molecular velocity.
370
- 353 F. Sernagiotto
Boltzmann equation takes up the form
+ c
(5)
=
x
(..!.):
L (h)
with the initial and boundary conditions:
°
h(x, 0, ~ ) =
h(O, t, c ) = 2 u c
(6)
-
Besides, when and
0
z
x ..... 00, h(x, t, .£) must be limited for every fixed t
c. Now, if the B. G. K. model is introduced to describe collisions,
the Boltzmann equation becomes:
-dh + c
at
(7)
where
e is
2c z
ah 1 [ " = -
-
e
xox
ill
I+
OO
c
-00
_c 2 ] h e 1 dc - h zl l 1
the mean free time. It is easily seen that the solution
has the following form:
(8)
where
h(x, t, c ) = 2 c
-
z
Y(x, t, c )
x
Y satisfies the following integro-differential equation +00
(9)
dY
dY
~ + cx
~=
rrr J 1
-00
with the initial and boundary conditions:
(10)
Y ( x, 0,
C
Y ( 0, t,
C
x) =
x
)
°
= uo
371
2
-~1
e
.J Y (x, t, Cxi\ Y
- 354 -
F. Sernagiotto
Taking the Laplace transform of Eqs. (9) and (10') we get:
(st1)Ytc
(11)
Y( x,s ,c
x
Y(O,s,c)=
(12)
x
where s
xl
) dc
xl
s
is the Laplace parameter. In order to solve this equation,
we have followed the method of the elementary solutions (!.Q), (.!.). This method, firstly introduced by Case
(~)
in 1960, was used by Cer-
cignani in the solution of stationary problems in 1962 and 1964
(~).
Recently this method was extended to time dependent problems by Cercignani and me
(~).
Briefly described it constists in finding separate-
variables solutions of Eq. (11) and then constructing the general solution by superpos i. hon. It is easily seen that separate-variables solutions of Eq. (11) can
be written as follows: -(stl) (13)
Y (x, s, c )
x
where
f (ex' s )
e
v
f (c ,s) satisfies the equation: v x c
(14)
=
vx
(1 -
x
v ) fv (
Cx
, s)
1 (s t l)rrT
(
_c fv(c x ' s) e 1
2 xl
dc x
1
A careful discussion of this integral equation leads to the following results (10) 1)
For every s
there is
a continuous spectrum of values of v conve-
ring the full real axis. The corresponding solutioljs of
Eq. (11) are not
ordinary functions but generalized functions or distributions :
372
- 355 -
F. Sernagiotto
f (c , s) v x
(15 )
= P _v_ + P (v, s) v -
~
S(v - c x )
where pry, s) is given by :
2
v p(v, s) = lIT [(s+l) e - 2 v
and the symbol P means Cauchy principal value when integrals involving
f (c ) v x
are considered .
2) Besides, for complex values of s inside a curve
0 having
the fol-
lowing parametric representation
Re s
= - 1 + 2v e
(16)
1m s
= - lIT
ve
-v
-v
2
2
IV eu2
du
0
there are two complex values of v , opposite
± v(s), such that Eq. (14) is satisfied by: o ( 17)
f (c ,s) = v x
± Vo
(s) - Cx
(s) is fixed by the following relation: +OO _u 2 • 1 Vo e --- - - - du = 1 (18) (S+1){rT -00 Vo - U Vo
J
The
t· curve is sketched in Fig.!.
373
to each other,
- 356 F. Sernagiotto
-1
Res
Fig. 1 It is an easy
matter to prove that the set of the elementary solutions
has properties of full and partial range completeness. Particular enphasis is to be given to the half-range completeness, since it is well known that boundary conditions for the Boltzmann equation are given only for molecules leaving a physical wall which bounds the gas. I\ccording to the method of the elementary solutions, the general solution. of Eq. (11) and (12)will be:
x
e-(s+1)
Uo
(19) Y(x, s, c)=
x
for
s
( Vo
) ~( -c xB ",
inside the region
Instead, line
s
Res
for
s outside
= -1,
x
A of the complex s-plane (see Fig. 2) ;
A and at the right of the straight
the region
the general solution will be : co
(20) Y(x, s, c )
v:(s)
=
u
0
fTf
f o
x
fv(cx' s) XA(- v, s) e
-(s+I)- + v v
2 dv
[P(V,
s~2 + n2 v2
374
3~7
-
F. Sernagiotto
In Eq. (19) v 0 ding to:
Re
(s) is selected between the two possible values accor-
r.~]
~
>
vo(s)
0
t;Im s
:1
(~\
1-. . - - . . . . ., -.--"~..
: "'-
/t
.
I
B
Re ,
1--1
Fig. 2 XA(-v, s) and XB(-v, s) in E qs.(li)and2
For the explicit expressions of
IT
(20) see ref. (10). By integration with respect to the weights '2 e- c x .L - 2 and 0 TT -~ c e -c x we find u(x, s) the Laplace transform of the mass 10
x
velocity, and f(x, s) the Laplace transform of the shearing:stress :
_
-(s+l) ~ u(s+1) e Vo 0
00
(21) u(x, s) = --~~-~ s Vo XB(vo ' s)
J
o
= u.vi (s+l)
J o
S)]
x
00
(22) u(x, s)
x 2
-(s+1)-+v (vo tv) XB( -v, s) e v 2 2 2 dv lp(V" +TI v
e
-
-(s+l)- + v
Lp (v, s)_12 + 1T 2 v2
375
2
v
dv
- 358 F. Sernagiotto
(23)
T(x,s)
=
x -(s+1)e Vo ~.uo XB(vo ' s)
- PU
1.
0
x 2 co -(s+1)- +v fV(VO+V)XB(-V, s)e v .r;; Syrr dv p V,s 2 + 112 v 2
[()J
o
co
(24)
t(x,s)=
~oUosrrrf
x
-(s+1)- + v vXA(-v,s)e v
2
--------~--~~
"o
[P(V, s)
J2 + 112 v 2
dv
Eqs. (21) and (23) are valid for s in the region A of Fig. 2; Eqs. (22) and (24) are valid for s in the region
B of Fig. 2.
According to well known theorems on Laplace transform, the z-component of the mass velocity and the xz-component of the stress tensor are given by the integrals: a + i co
(25)
u(x, t) =
2rri
f
est ii (x, s) ds
a - ico a + ico
(26)
1 t(x, t) =2T1i
r
e
st
t(x, s) ds
.I
a - i co where ii(s, x) and 1:'(x, st are given
py Eqs
(21) and (23,), and the path of
integration is a vertical straight line at the right of
376
f.
(see Fig. 3)
~
359 F. Sernagiotto
i
1m s
A
AI
.,- - ..... \
I
,
\
i
---------
-1 ,
A
:a.
,
,!
Re s
I
\
Ii; '\
t . . --'"
I
I
Fig. 3 Owing to the analyticity properties of u(x, s} and
'r(x, s} , the previous
path of integration in the s-plane can be deformed to a path indented on the segment (-1, O) of the real axis and along the vertical straight line
= 0 (see Fig.
Re(s+l}
3) • Therefore we shall have:
(27)
u(x, t}
=
2 TT i
r
J
y 0
-1 +i co 1 sL e u(x, s} ds - - - . 2 IT 1
-l-i co
eD(x, s} ds
-1
-1 +i co
(28)
t'(x, t}
2 TT i
J
(I
eS'
'i: (x,
-l-ico where D(x, s} and
t
IJ
211' i
f
e
st
Ll (x,
s) ds
-1
(x, s) are the jumps respectively of ii(x, s} and
(x, s) through the segment ( - 1, O) of the real axis in the s-plane. For the explicit expression of
ref.
s) ds
C!J. 377
D(x, s} and of /:). (x, s), see
- 360 -
F. Sernagiotto
By the method I have described, the solution of the problem was reduced to quadratures. For general
x and t
however, the solu-
tion cannot be reduced to a simpler form. Instead, for
x=O, i. e. at
the plate, it was possible to get simpler expressions for mass velocity and shearing stress, quite suitable to numerical calculations.
In fact we have: t
u(
(29)
0,
t)
Uo
=
1
- + -1 2 2
r
-x e 11 (x) dx x
0
and
co
t( 0, t)
(30)
~o
1
uoTT-
J
[1 -
~(x)
(1+2X2)]
~ fo(x)t/e
dx
0
where
fl (x)
(31)
Here, as usual,
=1-{rFx e
x
2
erfc (x)
I (x) denotes the modified first kind Bessel funtion of 1
order one, and erfc (x) is defined by:
2 erfc (x) = fiT
(32)
The behavior of the velocity and the stress at the plate is shown in Figs. 4 and 5 respectively. /10
1. - -- - - -u(o,t) - -- _____ ~.
'r:(
0,
tt)/( q.u
Uo \
0.'S
o
/2fTf)
,
~~-- -
. ' - .. ~':''':.-:-:
--,·------.. --T'--.. ----" 7J
t
Fig.4
T7r
Fig. 5
378
- 361 F. Sernagiotto
For general
x and
t we have given asymptotic expansions, both for
large and small Knudsen numbers .. Agreement was found with Yang and Lees (1960) (~) in the range of small t/ e and with Gross and Jackson (1958)
(~)
in the range of large t/ e . Besides, for large
~
we have
found: a) a slip correction to the expression of the mass velocity, with
a
slip coefficient equal to that derived from the solution of the stationary slip flow problem (l..!.) . b) A boundary layer term which has not the simple exponential decaying form, as in Gross and Jackson (see ref.
(~)),
and which is exactly desc-
ribed by the same function as in steady problems. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
References
UJ
C. Cercignani and F. Sernagiotto : " Rayleigh's problem at low Mach numbers according to kinetic theory" (paper presented at the IV Internaz. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Toronto, Canada, july 1964).
(~)
H. T. Yang and L. Lees (1956) J. Math. and Phys.
~,
195 ; and in
" Rarefied Gas Dynamics" (F. M. Devienne, ed.) p. 201 , Pergamon Press, London (1960) . (~)
E.P. Gross and E.A. Jackson (1958) Phys . Fluids .!,,318.
(~)
Rayleigh, J.W. Strutt, Lord (1911), in "Scientific Papers" , Vol. VI, p.29, Cambridge University press, Cambridge.
(~)
S. A. Schaaf (1950) Univ. of Calif. Inst. of Eng. Research, Rept. NO HE-150-66.
(~)
M. Knudsen (1950) "Kinetic theory of gases" , Methuen, London.
379
- 362 F. Sernagiotto
en
P. L. Bhatnagar, E. P. Gross, and Krook, Phys. Rev. 94, 511,
(.!!)
K. M. Case, Ann. Phys. (N. Y.)~, 1, 1960.
(~)
C. Cercignani, Ann. Phys. (N. Y.) 20,219,1962. C. Cercignani, (1964a) "The Kramers problem for a not completely diffusing wall "(to appear in the J. of Math. Anal. and Appl. ) C. Cercignani, (1964b) "Plane Couette flow according to the method of elementary solutions" (to appear in the J. of Math. Anal. and ApI. ) C. Cercignani, (1964c) "Plane Poiseuille flow according to the method of elementary solutions" (to appear in the J. of Math . Anal. and Appl.).
(.!,Q) C. Cercignani and F. Sernagiotto (1964)
"The method of elementary solutions for time-dependent problems in linearized kinetic theory" Ann. Phys (N. Y.) 30,154,1964. (~)
S. Albertoni, C. Cercignani, and L. Gotusso, Phys, Fluids 2,.933,1963.
====================
Acknowledgment The author is indebted to Dr. Cercignani for many suggestions in preparing this seminar.
380
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO
EST~VO
(C.I.M.E.)
GINO TIRONI
LINEARIZED RAYLEIGH'S PROBLEM IN MAGNETOGASDYNAMICS.
Corso tenuto a Varenna (Como) dal 21 al 29 agosto 1964
381
LINEARIZED RAYLEIGH'S PROBLEM IN MAGNETOGASDYNAMICS . by Gino Tironi (Universita- Milano) 1. -
Introduction and position of the problem This paper presents some results obtained on Rayleigh's problem
in Magnetogasdynamics. A more comprehensive and full treatement of this subject will follow elsewhere. Rayleigh's problem is a standard one in the theory of incompressible viscous fluids. The problem is related to the evaluation of the unsteady motion of a semi -infinite fluid, when a plate, submerged in it and originally at rest, is set impulsively in motion in its own plane with constant velocity. For incompressible viscous fluids the problem was first formulated by Stokes in
1850 [12J ,and generalized by Rayleigh
(8)
The problem which is easily solved for an incompressible viscoud fluid greatly complicates when compressibility is taken into account. Various approximate solutions of the problem were obtained with the aid of the boundary - layer theory by Illingworth Stewarts on
[1 ~
[7J
,Van Dyke
, or by linearization: Howarth
[6]
[13J and Hanin [4J.
Recently numerical calculations were performed by Harlow and Meixner
In the last years, owing to the increasing interest in plasma physics, extensions of the problem have been made to Magnetohydrodynamics. Rossow wski
[1 OJ
,Chang and Yen
[3]
Bryson and Roscisze-
[2J, have studied the problem for an incompressible conducting
fluid, when a constant magnetic field is applied perpendicularly to the plate. We will examine here the above problem for a compressible viscous fluid of finite conductivity in which a perfectly conducting plate 383
- 368 G. Tironi
is submerged. By li!learization, an equation is obtained for the pressure behaviour, which was previously obtained by Cole-Largerstrom-Trilling G. A. L. C. I. T. Report
(1949), and Howarth. General expressions
for the solution in operational form are given. However owing to the fact that these expressions are quite intractable for obtaining numerical results, the equation is solved by a finite-differences method. The existence and unicity of the solution in a non-cylindrical domain (the same we used for numerical integration of the equation) together with a detailed discussion of the stability of the finite-differences scheme was given in a recent paper by Albertoni and Cercignani .
[lJ .
Basic equations are the ordinary Navier-Stokes equations and Maxwell equations, where the force term is of electro-magnetic nature and the displacemer.t current is neglected according to ordinary magnetogasdynamics approximation.
%t
(1)
(2)
(3)
(4)
o D.!.l r Dt
CPI
ot
Dh PDt
+ div (
~
~!:!.)
\l ) H =
_
(H. (e -
=
rot ( .!:!!\
_0 =
o
-
m- rot
d
~ + at
- grad ( p +
di v (.!:!
( "VH rot
.~) + di v ( l:?
384
r-e
H2
2) + \l. ·t
m grad
T)+
- 369 G. Tironi
~ H rot!! - f-e
+ rot H· [ fA' e
J!
AH ]
(5)
These are respectively:(l) the equation of continuity, (2) the equation of momentum, (3) the equation of magnetic field (displacement current has been neglected), (4) the equation of energy and (5) the equation of state.
f- e
is the magnetic permeability of vacuum . ~ H
so called "magnetic viscosity" of the medium, and
1
=5'" fe
(5
is the
is its specific
conductivity. p,
p,
T, J! indicates respectively pressure, density, temperature, and
velocity of the medium.
!! denotes the magnetic field. 1 2 is the "stagnation enthalpy" and 't' is the stress p 2 tensor related to the strain tensor by ordinary Navier-Stokes assumpho
=C T +- u
tions :
t"
dUo
ij
oU
2
j =~(_1 + - ) _-
I
OXj
0\
au c 0 aXil ij
lot - .
3(
choice of coordinates is specified in the following figure
1~
y
z
f
plate
•
x
/-y 385
velocity of the plate.
- 370 -
G. Tironi
Symmetry properties show that the applied magnetic field does not z ~ component of induced field is zero. Moreover
change and that
spa~
tial dependence is only through the distance from the plate, y. Thus, considering temperature in place of enthalpy in equation (4), Eq. s (1)
~
(5) become;
aP ~ = IT + o y
( 6)
(7)
P(~ ot
~) (; Y
+v
=
0
~e Hy
"0
Hx
" y
(8)
(10)
p
(;
ay (-tH
(11)
where
RpT
u
is the
dHx
a
~) + ~ (u Hy - v Hx)
x~component
of velocity and
v the
y~component.
To the above equations boundary and initial conditions must be attached. These can be divided into electromagnetic and
fluid~dynamic.
In order to obtain proper boundary electromagnetic conditions at the plate, the electromagnetic problem must be solved both in the plate and in the fluid ; the two solutions must then be matched at the plate by ordinary, well known conditions for the electromagnetic vectors. Let us have perfectly conducting plate moving with a constant velocity
386
- 371 G. Tironi
U in the x -direction. At the plate (y = 0) the following conditions must be satisfied :
(12)
Byly=o+
By/y=O-
( 13)
= Ezlz=o+
E/ z
z=O
-
(In fact the only non-vanishing component of the electric field can be shown to be E ). The plate is supposed to extend from 0 to -
z
Maxwell equations
(14)
inside the plate will be :
OB
ot
E.
= - rot
I = rot !!
(15)
But for
00 •
a perfect conductor we have
(16)
Substituting (16) into equation (14) we can conclude that inside the plate we have: (17)
B x =0 •
B z =0 •
B =B
y
0
Then the electric field will be : ( 18)
E
z
=-
UB
Y
Into the fluid the electric field is given by
1 0 Bx E =- - - - - - -u B +vB z y y x
re5' ()
387
= const.
- 372 G. Tironi
As
+ y-- 0
u_u
E
(19)
v -+ 0
so that
- -1-
=
I
z
and
"Bx
oy
~e ()
y=O+
I
y=O +
U B
Y
Comparison of (19) and (18) gives the required boundary condition:
OB x
(20a)
~
=0
y=O
Analogously it can be shown [lOJ that for a perfectly insulating plate with a magnetic field fixed with the observer we have
(20b)
oRx '0
= 11.
y y=O
rYe
Rxly=O
fS U R y
=0
For a perfectly conducting plate and an applied field fixed with it, we find:
(20c)
Hx
ORx
o Y t=O
I'
=0;
y=O
=
-0'101- U R Ie
y
Gasdynamic boundary conditions at the wall are
(21)
vI
; ul y=O = U
=0
y=O
The heat flux is assigned:
(22)
q
= o
~T
R (~) y
= const. y=O
388
- 373 G. Tironi
(possibly
~ TI = 0) u y y=O
. This condition will further be investigated in the
following section. Initial conditions are:
(23)
~ = Po
u
=0
= Po
v
=0
T = To
H
P
x
=0
at t = 0 • The standard coordinates tranformation for this problem is one of the Von Mises' type. We put:
f
y
(24)
i
=
dy
o so that operations of partial differentiation become :
(25)
9
"0
To ~
Oy (:)
~
()
=
0
ot
L
~D
v
0
o'f
The total derivative is (26)
D = Dt
0
ot
in the new set of variables. Introducing the following dimensionless variables
389
- 374 G. Tironi
P= Po pi
(27)
=
a o v'
=
H hi Y
p
= P0
pi
H
T
= To
TI
'\f = '1,101 ao'V' I
=
u where subscript
V
X
t
Uu l
zero
= -v.o /a02
denotes values of quantities in the unperturbed
standard state and U is the plate velocity; a ~ = 0Pol 90 = '6 R To
tl
~ = /A-,,jpo
is the sound velocity , we finally obtain the
dimensionless form of the equations of motion:
o
(.!.)
"Ft?
=
p =
av
o"f
PT
1 ah
pTI" OU '0 ~ = 0"/1
(28)
-ov '0 t
4 3
au
(fP Of a
)+
OV
1
'0 h
R'H
01
o~ (ff~)
1
1 "0 h 2 '0 p . -(-)
~ ~f
RHO~ 2
Various characteristic numbers have been introduced:
x = "HI VO
: ratio of magnetic to kinematic viscosity ( Chang and Yen number)
390
- 375 G. Tironi
: Mach number M = U/a 0 2 2 RH= ~ a /~eH : Ruark magnetic number (the inverse of Cowling
number)
RH = Po ao U/~ H2 = ~ • M Pr =
II / ~ C:p : Prandtl
3. -
Initial Behaviour.
number
FUrther discussion of the linearized problem will show that a relevant choice of indipendent variables is :
(29)
Then, following Howarth, we will develop the general quantity
A in
a series of the type : (30)
A
We will consider
f"
and
k as constants (not depending on temperature)
and solve "by such a series expansion the full system (28) . This will give rise to the solution of an infinity of ordinary differential equations systems. We will find that, owing to their nature of induced quantities, the series for
v and h will not have the zero-th term. However we
cannot, as Howarth did, separate quantities such as u, p, T which are given by even power series, by v and
,p ,
h given by odd power
series. In fact the presence of an applied magnetic field mixes up terms of different parities, and the simmetry in series is no more so simple. Space and time derivatives now become:
391
- 376 -
G. Tironi
.l.
(31)
1
2 ~2
'0 t
o 0 (~"ij-f~);
1 0 =?J"{J ry
-'0
?J'5
Substituting in system (28) appropriate series expansions of type (30) we find at the lowest order:
Po
=
1
Po
=
To
111M
+ ~ hI -
hI
2t hI
- -
'i
u~
(32)
-83
VII
1
2
Tn
pr
+
$vI - v1 =
+
.!.
0"6
5 TI
0
2 - P~ 0 2
= - 2(0' -1) M (u~
)2
Condition (20. a) written for the new coordinates gives :
~ ~;
=
0
so that we get h~ = 0
hI
1
=
0
Having assigned the heat flux (k constant) we have :
aT = - ~ ClY
(constant)
at
y =0
Then
o (..£...:!' }
_
O/;.yo
"'I))) ,1, = v""- - rr -a
() I
r
Lo
- ~ (constant)
0
392
- 377 -
G. Tironi
And finally
=
T'0
0
= -~ T' = 0 2 T'
1
Taking into account the obvious condition at the infinity we get:
e
2 - 3z /16
-"2 z
These results are equal to the ones given 'by Howarth
[6J
For the initial behaviour of the magnetic field we find:
(33)
In particular initially, at the wall, the magnetic field grows as : h (0)
"'-
2
(t + ...
M
m(l +{I)
Lastly we give the limit for
t ~ 0 of
(~!)
the next paragraph. It is easily seen that ( 34)
((} p~
- 1
~Jt=() - ~
which will be requested in
I,/,= 0
po T~ )~ =0 + ( po T1 + p1 T6 + PI T6 )~ =0 + 0 ( 7)
= T~ 393
(0)
- 378 G. Tironi
( In fact solving the equation of continuity to higher order shows that
91 ==
0).
Then we have
lim
(35)
t --- ~'
4.·
(0 p)
- TI ( ) 1 0
~ '?=O
- - (3
Linearization of the problem. We now put:
p= (36)
1+
P
I
v = VI
P =1 +pl
=1 + T'
T
where primed quantities represent small perturbations of standard conditions . After dropping primes we get:
12+ OV =
at
01jl
p =f ah t
(37)
+ T 02h
'0 lL 'tv d~2 + M o'/J
o
=
ou
= (}2U
(It
?y2
~
--oaT t
oh
+ RI
H
o~
2 OV • .!0p 3 II t
ov =i
ot
0
'(- 1 =--
'6
a
df
oP
+ p1 ~ r
RH
1 2
at£... (h ) 2
;~;: + 13" -1) M2 # 2 + 1~ -1) ~H~)' 394
- 379 -
G. Tironi
The Eq. s of magnetic field and of x -component of velocity are coupled each '. with the other but not with remaining Eq. s of the system. Solving them corresponds to solving the ordinary Rayleigh's problem in magnetohydrodynamics. Operational solutions for
u and
h are easily obtained
(see for ex. [3J)
X-I - S/RH 2 2
(eri( /2~
r1 - r2
(38)
e r
q'P
- e
2
- r
r 2;f
)
1
Where we denote by a tilde image quantities in the Laplace transform space and
s
is the transformation parameter.
~
_: lU~'
+, ~ IfRH) , + "f.!,
{(is +'+,~RHl' -,
(39)
] 1/'
,Ii f/')
The antitransformation of expression (38) is not possible in the general
"t = I,
case but it is rather simple when
as wa's first noted by Chang
and Yen [3J In what follows the condition
X= 1
will be considered fullfilled.
This correspond to a gas highly conducting ; such conditions are easily obtained in shock tubes . For
'X = 1
we have:
1 [ 1 .Ii {t ) + erfc (-1 ...I"Ii IT )~ u = - erfc (- .L- + - 2 2 2lRH 2 {t 2~RH
rr
(40)
h = ~ M/R, ferfc 2 HL.
(~ :L + 2
{T
rr )-erfc (.!.2 1_ ~)J {t 2{RH
2/RH 395
- 380 G. Tironi
From the remaining of system (37) we obtain in the case Pr = 3/4 the pressure equation:
.i 3
'O3 p
0r,;t
(41)
1
-
o2p
7f o~2
02 .!. ~ 0
+ ( i . 1) .
+
M
'0 t 2
20 -
0t
Qu2 (iJ)
0
-1
RH
02
oy2
+ (6 ·1) -
h2 (- ) + 2
1 RH
£..
(0 h)2
o t of'
In the general case a fifth order equation could be obtained
We will discuss Eq.
(41). This corresponds to choose Pr = 3/4 .
The particular value of the Prandtl number is not without interest sin· ce for air we have Pr = 0.72 • 0.73. Eq. (41) is a well known equation first proposed by Stokes for describing the motion of sound waves in a viscous fluid. The boundary condition at
y=
0 is
(42) where (35) has been taken into account. Regularity conditions are assumed at infinity. It is not difficult to write down the operational solution of Eq. (41) with
boundary condition (42) . If we call
must be a small quantity of the type
~ = M2 b.
Besides,
owing to the linearity of the equation, as the source term (44) and the 2 boundary condition are proportional to M , then also the solution will proportional to M2. So that we will write in whllt 2 (The true pressure is indeed: P=Po (1+M p)). be
The equation for P is :
(45)
where
4
'03 p
3
~yh
02p
--0-
t
01
2 + Cl P
o
t2
2
=OH
H = M2¢ .
The boundary condition is : (46)
Now with the substitution (47)
oP
u
= ?J'/l
v
= 398
op
ot
follqws p= M2p.
- 383 G, Tironi
we get the following system:
ou ov
(48)
~
01
t
ov ot
4 '(} v -0- +
ol
3
au oy;
oH
+
Initial and boundary conditions are: _ b e- 3t / 40 ,.
(u)
'1=00
ov
3b
=(O'/J) V' =0 40
(49)
(u)
=0
(u)
t=O
==
e
-3t!41 ;
(v)
~=oo
0
o
0
t=o
In order to numerically calculate the solution, system (48) is put in the following finite-differences form
(50)
n+1 n u. - u J j
=
n n v j+1/2 - v j-l/2
~'f
At v
n+l j+l/2
- v
6t where
n j+1/2
n
4
=-
3
u
+ j+l
'6
AY;
is the space subscript and n
n
-u
j + oHn j+l/2
the time superscript. This sche-
me is an explicit one and emploies a "double - network"; u is calculated at points having an integer index and v at points denoted by fractional subscripts [9], This choice gives the scheme a better symmetry and elegance, A look to the source term (44) shows that a relevant parameter is RH' It represents the
square
399
of the ratio of the sound speed
- 384 G. Tironi
to the
Alfv~n
speed. Then it gives a measure of the importance of the
magnetic effects on the phenomenon. RH = 00 corresponds to a vanishing magnetic field, i. e. to purely gasdynamic situation. Calculations performed for such a case can be checked with graphs given in the same case by Hanin [4J, who numerically inverted Fourier transforms of pressure. This check reveals a very good agreement with Hanin's graphs. (See Fig. 1 ) . Fig. s 2,3 and 4 show the behaviour of P for different values of RH (=100, 2, 1) . All this calculations refer to the case b=O. Fig. 2 (R H=100), Shows a very little difference with Fig. 1 (purely gasdynamical case). However it seems likely that if one lets
enough time go by
the same
particularities shown by Fig. s 3 and 4 will appear. These are: the impulse of pressure (the compression wave) which develops also in the gasdynamical case, now seems to appear earlier as the applied magnetic field is stronger. Further more whilst for RH = 00 the impulse after its appearence soon begins to decrease, now up to the time reached in calculations the compression wave presents an increasing amplitude. Common sense would suggest that after having increased the amplitude would finally decrease. However this point has not yet been fully investigated. Finally we can note a last difference with Hanin's graphs. Whilst in the gasdynamical case P is always positive (also in the depression wave facing to the plate ), now a negative value of P appears at the plate. That is to say, in the magnetogasdynamical case, the pressure in the depression wave is below the undisturbed value. (Remember that the true pressure is given by p = Po (1 + M2p)). Probably this is the effect of the Maxwell stress tensor.
400
- 385 -
G. Tironi
It is shown elsewhere , that, as time progresses, a negative contribution to the (51 )
pressure given by 1
--IJJ
2
r-
e
H
2
x
appears. At a given station the asymptotic value of the H component is given x (expressed in dimensional form) by : (52)
Then at a given station the final contribution to the pressure by the Maxwell stress tensor is :
(53)
1 2
When dimensionless form is used one finds that the magnetic contribution to the pressure at any fixed station is
(54)
1 2
~-
D
401
- 386 G. Tironi
Acknowledgment The author wishes to thank prof. Sergio Albertoni for his valuable suggestions. He is grateful to dr. Carlo Cercignani for having suggested the problem and followed the research. Is also indebted to the C. N. R. for having partially supported this work. Calculations, if not otherwise stated, were performed by an IBM 7040 computer at the Centro di Calcolo dell'UniversitA. di Milano.
403
- 387 BIBLIOGRAPHY
G. Tironi
[1]
S. Albertoni and C. Cercignani
: "Su un problema misto in fluidodinamica" - Tamburini Editore Milano (1964
[2J
A.E. Bryson and J.Rosciszewski
Phys. of Fluids 5, 175(1962)
[3J
C.C. Chang and J.T.Yen
Phys. of Fluids 3,395(1960)
[4]
M.Hanin
Quart. J. Mech. App. Math. 13, 184 (1960
~]
F. H. Harlow and B.D. Meixner
Phys. of Fluids 4,1202(1961)
~J
L. Howarth
Quart. J. Mech. App. Math. 4,157 (1951)
~]
C. R. Illingworth
Proc. Camb. Phil. Soc. 46,603(1950)
l~l
Rayleigh, J. W. Strutt Lord
Scientific Papers, 6 vols., Camb. Univ. Press. 1899-1920 Vol. 6 p. 29
~] R. D. Richtmyer
"Difference Methods for Initial Value Problems" Interscience Pubbl. s Inc. (1962)
[lOJ ~n
K. Stewartson
~2J
Stokes, Sir George
Camb.Phil. Trans. Vol. IX(1850) Math. and Phys. Papers - Camb. Univ. Press, 1880-1905 - Vol. III p. 1
~3]
M.D. Van Dyke
Z. angew. Math. Phys. (ZAMP) 3,343 (1952)
Phys. of Fluids 3,395 (1960)
W.J.Rossow
. Proc. Camb. Phil. Soc. 46,603(1950)
405
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMA TICO ESTIVO C.I.M.E.)
DARIO GRAFFI
ALCUNI RICHIAMI SULLA IONOSFERA
Corso tenuto a Varenna (Como) dal 21 al 29 agosto 1964
407
ALCUNI
RICHIAMI SULLA
IONOSFERA
di Dario Graffi Universita di Bologna 1.
Nell'introduzione a questo corso sulla dinamica dei gas rarefatti il
prof. Ferrari ha esposto notevoli caratteristiche dell'alta atmosfera. In particolare, ha osservato come ad altezze comprese fra 70-80 chilometri e qualche migliaio di chilometri esista la cosidetta ionosfera,perche a quelle altezze (sia pure con intensita divers a con I'altezza) i gas che costituiscono l'atmosfera sono notevolmente ionizzati.
Poich~
anche il
prof. Krzywoblocki, nelle sue Iezioni, ha accennato aHa ionosfera, ho accettato il cortese invito del prof. Ferrari (che vivamente ringrazio) di richiamare, sia pure brevemente, alcuni metodi radioelettrici con cui sono state messe in evidenza qualche proprieta di quella regione ; soffermandomi in particolare su questioni che presentano un certo interesse anche matematico. Comunque prego i miei benevoli ascoltatori di scusarmi se dirb cose, sostanzialmente, ben note.
2.
Comincerb con I'esporre, sia pure in maniera rapidissima, la
storia dellaionosfera. Nel 1884 uno scienziato inglese, Balfour Stewart, per spiegare alcune anomalie del magnetismo terrestre avanzb, in sostanza, l'ipotesi della ionosfera. Ma questa ipotesi sarebbe perb rimasta poco conosciuta se , nel 1901, Marconi, con Ie sue celebri esperienze, non avesse provato Ia possibilita di trasmissione mediante Ie onde radio fra 11 Inghilterra e 11 America, ossia Ia trasmissione fra due localita anche molto lontane. Ora poiche il successo di Marconi non era spiegabile (come del resto fu confermato da precise ricerche matematiche compiute in seguito) ammettendo llatmosfera omogenea, fin cial 1902 llinglese Heaviside e l lamericano Kennelly avanzarono di nuovo llipotesi 409
- 392 D. Graffi
dell 'esistenza di una regione ionizzata nell 'alta atmosfera, regione che avrebbe avuto 1'ufficio di rinviare a1 suo10 Ie onde radio menti si sarebbero disperse nello spazio)
(che altri-
rendendo cosi possibile Ie
trasmissioni a grande distanza. Ne1 1913 l'ing1ese Eccles sviluppo e applica alIa ionosfera una teoria della propagazione delle onde elettromagnetiche in un gas ionizzato ; di questa teoria, riporteremo fra poco alcuni risultati. Nel 1924, 10 scienziato Appleton di Cambridge inizia con diversi metodi sperimentali Ie sue ricerche sulla ionosfera (ricerche che pili tardi gli meritarono il premio Nobel) e che proseguite da Lui, dalla sua scuola e da un gran numero di studiosi di tutte Ie nazioni (fra gli italiani ricordera il Ranzi) dimostrarono direttamente 1'esistenza della ionosfera e permisero di conoscerne varie proprieta. E ormai, come ben not 0, sono disposte in diversi luoghi della terra stazioni trasmittenti e riceventi attrezzate appunto per misure ionosferiche. Piu di recente I 'uso dei razzi e dei satelliti artificiali ha contribuito ad allargare Ie nostre conoscenze sulla ionosfera. Pera, per brevita, in seguito mi limitera alle misure ionosferiche piu comuni cioe eseguite con trasmittente e ricevente alIa superficie terrestre (1) .
(1) Per ricerche sulla ionosfera mediante satelliti artificiali si veda: B. Rossi - Risultati e prospettive delle ricerche scientificp,e nella spazio-Supplemento al vol. XIX serie X del Nuovo Cimento (I sem. 1961) pag. 194, F. P. Checcaa::i - Ricerche ionosferiche a mezzo dei satelliti artificiali - idem serie I vol. I (1963) pag. 253.
410
- 393 D. Graffi
3. E' opportuno, prima di procedere,richiamare Ie formule usuali che esprimono la costante dielettrica E e la conduttivita zato (la permeabilita
~
r di
un gas ioniz-
del gas si puo supporre uguale a quella del vuo-
to) qualora sia attraversata da un campo elettromagnetico sinoidale di frequenza
f e quindi di pulsazione w = 2Tr
l-
Con alcune approsimazioni si trova ( 1) :
£ = Eo -
(1)
dove
£0
Ne
2
2 2 m(w +U)
(2)
Y=
e la costante dielettrica del vuoto, e ed m rispettivamente la
carica e la massa dell 'elettrone, N il numero di elettroni contenuto nel gas per unita di volume (2),
V
la frequenza colli sion ale cioe il numero
degli urti compiuti da un elettrone nell'unita di tempo, s'intende che questa ultima nozione ha carattere statistico. Ora Ie misure ivnosferiche si svolgono spesso con onde corte cioe con onde di lunghezza eompresa fra 100 e 10 metri ossia con frequenza com6 7 presa fra 3.10 e 3.10 hertz, talvolta si usano pero anche frequenze inferiori, rna non di molto, a 3,10 6 .
( 1) Cfr. per esempio l'articolo di H. Bremmer inserito in S. Fltlgge -Handbuch del' Physik vol. 16(Springer Verlag, Berlino, 1958) pag. 546. Si noti che Bremmer usa Ie unita di Gauss mentre noiusiamo"unita Giorgi razionalizzate . Percio nelle formule del testo la cost ante die lett rica del vuoto non ha valore unitario ed e indieata con Eo, inoltre, sempre nelle formule del testo, non compare il fattore 47r (2) Se nel gas sono presenti anehe ioni, per fissare Ie idee uno sola specie di ioni di massaM,N sarebbe, a rigQre, la somma degli elettroni per unita di volume col numero di ioni, pure per unita di volume, moltiplicato per;' . Poiehe 111/11 e al massimo. il contributo degli ioni al valore di N si puo ritenere trascurabile.
411
- 394 -
D. Graffi
Si pub allora studiare la propagazione nella lonosfera di tali onde applicando i procedimenti dell 'ottica geometrica.
Cio~,
in sostanza, si
considera I 'antenna trasmittente (per Ie nostre ipotesi nella Qassa atmosfera) come una sorgente luminosa che emette raggi in tutte Ie direzioni comprese nella atmosfera, raggi che poi si rifrangono
0
si riflettono
nella ionosfera secondo Ie leggi dell 'ottica geometrica. Ora per applicare tali leggi ricordiamo che se (come nel nostro caso) (" ~ abba stanza piccolo rispetto a £W si pub scrivere l'indice di rifrazione n di un gas ionizzato mediante la nota formula di Maxwell :
,n=
(3)
it
poich~
nella ionosfera U risulta dell' ordine di 10 4 mentre W, come 6 7 s1 ~ visto varia nel nostro caso fra 2 3. 10 e 2 O. 3. 10 si pub tra2 2 scurate /) rispetto awe si ha : Ora
n.
(4)
n
- J V1-kN
(4')
=
dalla formula (4) I in sostanza dovuta a Eccles, segue che l'indice di rifrazione di un gas ionizzato la frequenza f. del vuoto ed
~
~
minore dell 'unita e varia con w
In altre parole un gas ionizzato
~
cio~
con
meno rifrangente
un mezzo dispersivo.
4. Nelle misure ionosferiche la trasmittente T
~
la ricevente R (che
conviene considerare puntiformi) sono di solito molto vicine anzi spesso nella stesso luogo. Si pub allora, per semplificare, ritenere la terra piana e la ionosfera stratificata orizzontalmente parallelamente aHa
terra~l)
(1) Intendiamo per strato una regione in cui n(oN) ~ costante.Se n varia con continuita con l'altezza z, uno sirato generieo si riduce ana regione compresa fra i piani z e z + dz. 412
- 395 D, Graffi
In altre parole si suppone N (e quindi n) funzione solo dell 'altezza z dal suo10, cioe si considera la ionosfera formata da una successione finita 0 1 , f'm 't m L a d'1 s t ra t"1 orlzzontaI'1 ( )•
J'
Cib posto consideriamo (Figura 1 ) un raggio emesso da T e sia i 1'an-
:s~
-p
\
"
go10 che il raggio ( 0 meglio 1a sua tangente) forma in suo punto generico P, con 1a
\
verticale ossia con 1a norma1e agli strati ; diremo poi inclinazione iniziale del raggio
\. ________ w come si e vie c c sto la ionosfera e trasparente per i raggi vertic ali. Con opportuni
415
- 398 D. Graffi
artifizi si determina questa funzione ottenendo in tal modo
cosidetti
ionogrammi. Tornando al caso generale di trasmittente e ricevente poste in localita diverse cerchiamo qualche relazione fra I' altezza equivalente, definita da (8) e il raggio TSR che attraverso la ionosfera congiunge T con R. E' assai interessante a questa proposito il seguente teorema di Breit. L'altezza equivalente coincide con I' altezza del punto (che chiameremo aneora M) in cui si incontrano Ie tangenti tirate al raggio nei suoi estremi T e R 0, che e
/ / i
/
stesso, dove si incontrano i tratti rettilinei del raggio
10
~1
nella bassa atmosfera(l) (fig. 3) • Per di-
\\
mostrare il teorema enunciato osservia-
t\ .
~\
·1--';:,
I.S '\-
mo
che i1 segnale si propaga con la
"
velocita di gruppo, uguale, nel nostro caso, a nc(2) quindi , mentre i1 segna-
:/
Ie percorre nel tempo t: il tratto TS del
-1. __,._
'-
R
'T'
Fig. 3 (C punto di mezzo fra
T
raggio la sua proiezione sull 'orizzontale percorre ogni elemento del segmento TC
ed R) con velocita cnseni = cseni . Quindi
(1) Qualora si ammetta nella bassa atmosera n= 1. (2) Infatti la velocita di gruppo u e data dalla formula (cfr. E. PeruccaFisica generale e sperimentale - VIII edizione vol. II pag. 213-215, al posto della frequenza abbiamo la pulsazione w) : 1 U
d
W
ct; (-;-)
dove vela velocita di fase, uguale a ~ . Nel nostro caso ricordando . n (4) Sl ha . 1 1 . .!. =.!. d(nw) = .!..i. (, w2 _ k N = w U c dw c dw i' kN =~
r--'-'- -----
-; - (Zt-
quindi u = cn conforme al teste . 416
- 399 -
D. Graffi
t-
d , c semo
e di conseguenza per la (8) h
e
=
d cot io
= TC cot io = CM
conforme al teorema di Breit. Diremo altezza vera, l'altezza h del punto S pili elevato del raggio; dal teorema di Breit si ha che l'altezza vera e inferiore all 'altezza equivalente. E' bene notare che variando la distanza 2d fra trasmittente e ricevente potrebbero variare h e h, perb, se rimane costante h (il che come vee dremo fra poco si ottiene variando w con legge opportuna), anche h
e
rimane costante. Piu in breve, si pub dire che ad uguale altezza vera corrisponde uguale altezza equivalente. Per provare il teorema ora enunciato scriviamo la (6) ponendo in luogo di nth) il suo valore dato da (4) : (9)
Ora se un raggio verticale giunge fino all'altezza h deve essere n(h) cioe la sua frequenza
w1'l
vale
rk N(h)·.
=0
Se invece 1'inclinazione ini-
ziale e io dalla (9) si ha subito che giunge fino all 'altezza h il raggio di pulsazione wtale che : , 1 - sen 2 10
cos
2
io
ossia vale la relazione :
wn
(10)
w = --, cos 10
Cib posto, consideriamo il moto della proiezione P, del segnale sulI "asse z asse che supporremo verticale e nel piano del raggio. La
417
~
400 D. Graffi
'1
velocita
di), vale ( ricordando che i e l'angolo fra il raggio e
l'asse z) tenenclo presente (10) v
2
1
, 2-----:;---KN :),. = c,! n -sen" io = c 1 - - -sen 10 " w2
2·
2
= n c cos i = c" n - n sen ( i
= c cos
=c
. /'1 10 ,. -
KN 2 ,J w cos
,
I
•
10
c cos io 111 V
KN
- ,.. wh..
quindi 1 c cos it>
(11)
Ora nel caso dell'incidenza verticale i
o
=0
'
h
e
=h
en
= c t; quindi da
(11) (12)
Cioe in generale : h
elJ'L.
ct =
cos
io
e sostituendo nella (8) poiche (fig. 2) d = TM sen io h -,'
e -
J I
h2
en. cos'l.io
h
2
sen e II cos io
= c ~sen iD si ha :
.10
= he1'l.-
cioe he. e costante conforme al teorema enunciato.
6. Proseguendc Ie nostre considerazioni osserviamo anzitutto che nota e nota senio e percio per la (6) si puo ricavare il valore di n ossia e di N all'altezza vera h. Ma, come ora vedremo, e possibile, almena in h
linea concettuale, ottenere da misure di h
418
e
0
di
t
la legge di variazione
- 401 -
D. Graffi
di N con l'altezza zein particolare per la (11 ),la relazione fra h e
e
I
h, perb e necessario notare che Ie onde arrivano fino ad altezza h 0
. Allora,supposto che la
resti finito , abbiamo dalla (3) lim h-)O e la formula
-d / F(t) dt. E(t)
dr
=
(2) conduce aHa
429
ddt
(F 1 + F 2) d,r s(t)
- 414 -
C. Agostinelli
~.! F d't
lim
h~O
dt JD(t)
poiche per il teorema della media risulta
lim h-'l> 0
J
~ jl) x ~d~=
F(
S3(t)
0
Segue pertanto lim hotO
(4)
~
....
-+
dove vIe v 2 sono i valori di v sui due lati dello strato d'urto,
.
Una relazione analoga vale se in luogo di un campo scalare F(P t), si ha un campo vettoriale F( P t) che presenta una discontinuita attraverso 10 strato d 'urto. 2. -
Le equazioni fondamentali delle onde d 'urto Per stabilire Ie equazioni fondamentali della discontinuita attraver-
so 10 strato d'urto nel moto di una corrente gassosa elettricamente conduttrice, in cui si genera un campo magnetico, utilizzeremo i risultati del numero precedente, applicando il principio della conservazione della massa, il teorema della quantita di mota (
0
del momento), quello della
energia, nonche l'equazione del campo magnetico. a) Principio di conservazione della massa contenuta in un dominio variabile D(t):e espresso dall'equazione
~
(5)
dove
f
Ir
D(t)
d'"t
= o,
e la densita del gas. In virtu della (4) avremo
430
~
415 -
C. Agostinelli
j
f,
-Y I x:'. dO.! r1 (:;I· VI xil.
(:;2
s(t)
d'" • 0
s(t)
da cui, per l'arbitrarieta della porzione s(t) della superficie d 'urto considerata , si ha, in ogni punto di questa superficie, ~
che
\\(~1
Y
12(;2- ')xJ -
(6)
e l'equazione
-V)xn
= 0,
di discontinuita derivante dal principio di conservazio-
ne della massa.
11 teorema della quantita di moto ( 0 del momento), si deduce facil-
b)
mente dall'equazione del moto, che, nel caso pii'l generale di un gas viscoso e radiativo, risulta
dove
p
e l'energia
all'unita di massa ;
potenziale dovuta
aIle azioni esterne, rife rita
h e la pressione totale,
del gas e della pressione di radiazione
,~
somma della pressione p 1 4 :: 'i' aT, essendo a la 4
OJ
.t,
costante di Stefan - Boltzmann e T la temperatura assoluta ; mentre I
A
7
e ~ sono i coefficienti di viscosita, che supponiamo cost anti, B
il flusso magnetico
e
r-
e
la permeabilita magnetica.
Integrando ambo i membri della (7) rispetto al dominio variabile D(t), si ottiene
I
i
(8)
I ,:D(t) \
+
d --v d,~= dt '
1
'.(' D(t)
rot.~
, f grad
,
t _
G. d -
D(t)
d ,: +
r./
I'
A (.I
D(t)
431
->
j
grad , D(t) ,
2 v. d
-,> c:>
\'
f t' I
d;-+
+ (, + ti ),' grad div v d D(t)
- 416 C. Agostinelli
Ora, tenendo conto dell'equazione di continuita, si ha
tJ(f ~)
-t
(r v,~)
dove grad l~
dV
-.
+ div (\' v), v +
= IJ t
.,.
d? (I'v)
~ i1 gradiente della diade
JG (l~'
si indica con S(t) la superficie che limita il dominio
I
"'D(t) essendo D(t),
ri
dv,/0 d't' =
r
dt
11""1~ ," '~ t
, D(t)
"
f
l
. Se percib
D(t), si ha :.-+
..,
\. v x n. v d Go' ,
S(t) , diretta esternamente a
nella quale si ponga
F
= \ V, si ha
,~
dv db dt
r D(t)
I
+
~)
, S(t)
il sersore della normale ad
cioe per l'equazione (1),
(9)
d~
. V
'I.I
=
d
j
dt ;' jv , d
,.,.
G
D(t)
il cui secondo membro rappresenta la derivata rispetto al tempo della
quantita di moto del fluido contenuto nel dominio D(t) . -'.
Tenendo conto che div,l1 ._\.
~
roF \~i.'
d ... : = dP -f'
'III
~
.•_>
p\ 2 v.2 (v 2- V) x n -
, 2.2 2 -+ -, > I .~ + .,; I v' (v - V) x n = .' P + - ,+ -.Bx n ..f;: + 1 I l L t 21 \ , J . -I
II"'"
j
I
• -t
.' I -, dV + ~ f\.' div v+ 2 riD d P
'I
2
J
n, 1
e questa
e l'equazione
di discontinuita derivante dal teorema della quan·
tita di moto. c)
II teorema dell'energia. Ricordiamo ora che trascurando l' ener-
gia dovuta alle reazioni chimiche, l'equazione dell'energia, nel movimento di un gas, risulta
(14)
d
1
Z
1.
E,
P -dt \ C T + _VH7 + -" ) 2' i \ v
= div ('/
+.!. rot [-l dove (15)
\,' div v + 2 ., D
~~~
dV dP
434
v-p
'.
t
x('1 roU
V+
c:. k grad Tt ,.- grad p ) +
- ::'//1 B )
-Xi
~
- 419 C. Agostinelli
1
e l'omografia degli sforzi dovuti alla viscosita, coefficiente di diffusivita magnetica /
k
=
0f
0') e il
e il coefficiente di conduci-
bilita termica, E = S, P = (l.. T4 e l'energia di radiazione, c la r r r velocita della luce e :til cosidetto coefficiente di opacita. Integrando ambo i membri della (14) rispetto al volume D(t), con calcoli analoghi a quelli precedenti si ottiene
f
rJ
E -+... p) d'6 = - ('I' v-p v.t;*grad T+ I 'S(t) t I.
(16)
+ ~ grad p ) x ri.d co" +
«.f
'1 f
"?
+-
r-. D(t)
1
--
+-
rot,Ex rot B.d'C-
f'l
1 ." .,
r
rot,Bi\_Hx';, de.
D(t)
ora risulta
.
rot _R x
rot'S
= rot
,',
rotBx"~: -diV(rot.BII,B)=-j:?x,b
-div
(rot"~
e
Ne segue
1rot J3-+
~
x
rotjS
...?...
[. .
~
+ rot]3 AB x v = div :BA -~
+ rot ( i"
:\
,..'
(BA v) - ~ rot)-: 'I"j+
~") x ,~,
I
-1.!.12 '-,
••, '
~ 1-: ,
cioe, per l'equazione )
,,', B
,7t + rot
~
(.B A v)
-,~
=
i IJ 2 R ,
cui soddisfa il campo magnetico, si ha ~
1/ rot}3
X
B+
~
rotr~,\ i
';,.
':1
x; = div;"
I
435
. (/,v)- ',rot' ,\',,_ ..
>
,,_,
,~
•
,
.,
'12 v 2 (v 2-V) xn - (I V l'(v 1- V) x n = - ~ p 1 ~ t
438
B2 +-
]2
2i', 1
1::
n
+ -I' /{ I
.' I 2 x ri ,1,,1
1
+
- 423 C. Agostinelli
f div v+ 2tl ' +./l' l
,>
2
dv'/' D d l:' _ 1 n,
= , I V - Pt; + k grad T +.-S grad PrJ 21 x ~ ~ 1, '" f"
+
1\ -+ ,~'~ 1 ,2 .... Hxv /'--2' v q
-i
?rotE... 13J1 x ..n ~)'12
A
I
2
2
dove i simboli hanno i1 significato stabilito precedentemente. Osserviamo che moltiplicando scalarfnente per ii ambo i membri dell'ultima delle equazioni (23), e indicando semplicemente con Via componente normale della velocita dei punti della superficie diurto, si ha, con evidente significato dei simboli
e quindi
o la quale mostra la proprieta ben nota che la componEmte normale del campo magnetico
e continua
attraverso il fronte d'urto.
II sistema di equazioni (23) si puo scrivere ora pil:i semplicemente
2 [
(v - V)] \
,l
1
=
0 ,
439
- 424 C. Agostinelli
(23')
.~
Se i1 campo magnetico e longitudinale , ciol! prime tre
B - .B'1I it
i1 sistema delle
equazioni precedenti si riduce al seguente
n ,
(23")
J
\"(v - V) (C \" T + -1 \)v 2 + E ) + p v 2 II. V 2 r t ~ 1
-) + k grad T +c grad p ~r r
=[tv
che
e esattamente
"12
...
x n,
1
10 stesso di quello che si ha neU;ordinaria gas
dinamica quando si tenga conto ancora dell 'effetto radiativo. Se il campo magnetico e trasversale, cioe 13'Y\.. (23) si riducono aIle seguenti
440
= 0 , Ie equazioni
- 425 C. Agostinelli
(23 "')
c '1'> "~12 x .n', =[,,/,v + k grad T...grad p • - rotJJ;A.P ~r
I (Vol.
•
2 V) i; 1 1
r
r
,2
= I"J.! rotn I, I
-1
n.
1
Osserviamo infine che se si ammette che nello strato d'urto tutti gli elementi variano con a
continuit~
a partire dai valori a valle fino ~
quelli a monte, e intendiamo ora che n-sia il versonre tangente
delle linee ortogonali aHe superficie che limitano 1'onda d 'urto, dalle equazioni (23 ') si deducono Ie seguenti equazioni per 10 strato di transi:done ( (v I
h
-V)
=M
t'
)
,
.~ !~ 2 -> dv'I' j(v'V\.-V)v+(Pt+'2r) n-,\ divv+2i' D dP.Jn = AI'
(V
1\
12 1,\2 ,(32 l' V) (Cv \ T "" -2 \. v + E +........ ) +(p + ) v - - !-: x r 2« t 2( " 1"
c - ./ v + k grad T +........ grad p r " j ~.(
;'.
'L tt
-.'?
V
,
rotB '\ \.: x n = N
"
(v"Yt - V)J3 - J; v - n rot.i) i\ n = A 2 , ~11
'?>
dove M, N sono quantita scalari costanti, ed AI' A2 vettori costanti dipendenti dai valori dei primi membri suI fronte d'urto.
441
