Resumen derivación e integración para la física juan coll soler
[email protected] 2003-2004
Índice 1.
2.
Introducción______________________________________________________ 3 1.1.
Derivación _________________________________________________________ 3
1.2.
Integración_________________________________________________________ 4
1.3.
Calculo diferencial __________________________________________________ 5
Maneras diferentes de integrar _______________________________________ 6 2.1.
Integrales Definidas _________________________________________________ 6
2.2.
Indefinidas _________________________________________________________ 7
2.2.1. 2.2.2.
Sin límites ______________________________________________________________7 Con un límite ____________________________________________________________7
3.
Utilización de la notación derivada como objeto matemático_______________ 7
4.
Tablas de derivadas e integraciones ___________________________________ 8
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1. Introducción Historia de las matemáticas: http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/index.html
1.1.
Derivación
Definición: Buscar la variación de una función respecto de una variable. Ejemplo: ¿como cambia la velocidad de un objeto en función del tiempo? Si la velocidad es constante no hay variación y por los tanto su derivada es nula. La variación de una función no depende de su lugar geométrico: f (t ) y f (t ) + 5 varían de la misma manera por lo tanto en el momento de integrar necesitaremos mas información (condiciones iniciales) para saber a que función nos referimos.
Intuitivamente: La derivación de una recta es una constante porque siempre varia igual. Para calcular la variación miramos el incremento de la función en un intervalo.
Escogiendo un mismo intervalo de tiempo la recta varia de la misma manera, por lo tanto su derivada es constante. En física, para el estudio de la cinemática se utilizan 4 magnitudes, la posición, la velocidad, la aceleración y el tiempo. La variación de la posición de un objeto en función del tiempo es la velocidad. La variación de la velocidad de un objeto en función del tiempo es la aceleración. posición Æ velocidad Æ aceleración. Formula:
lim ∆t →0
∆f (t ) f (t + h) − f (t ) = lim h→0 ∆t h 3
Notación:
Si x(t ) es una función, su primera derivada se puede escribir de las maneras siguientes: dx = x ′(t ) = x& dt Segunda derivada: d 2x = x ′′(t ) = &x& dt 2 Las últimas notaciones solamente se utilizan en física para definir las derivadas respecto del tiempo.
1.2.
Integración
Definición: A partir de una variación f (t ) , encontrar el conjunto de funciones F (t ) que varían de esta forma. Si se quiere encontrar una en concreto aparece la constante que viene definida por una condición inicial del tipo f (t 0 ) = x0 . Conociendo f (t ) buscamos F (t ) tal que F ′(t ) = f (t ) . Notación:
∫ f (t )dt = F (t ) + k t
∫ f (t )dt = F (t ) − F (t
0
)
t0 t1
∫ f (t )dt = F (t ) − F (t 1
0
)
t0
Ejemplo:
Si la variación que tememos es a constante, la función integral será una recta del tipo y = ax . Todas las rectas de variación a , y = ax + k verifican F ′(t ) = f (t ) por lo tanto la integral define la familia de funciones y = ax + k . Si queremos un sola recta en concreto necesitamos mas información del tipo f (t 0 ) = x0 . Dicho de otra manera, de todas las rectas queremos la que pasa por el punto P (t 0, f (t 0 )) .
Todas las rectas de la figura tienen la misma derivada pero solo una pasa por el punto P.
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P (x,y)
1.3.
Calculo diferencial
El cálculo diferencial consiste en encontrar a la función o familia de funciones que verifiquen una ecuación que relacione dicha función y sus derivadas. La resolución de ecuaciones diferenciales no es inmediata y necesita un estudio que no se dará en es curso. Ejemplo de ecuaciones diferenciales:
y (t ) + 5 y ′(t ) + 15 y ′′(t ) = 3t + 4 dy = 4 y + 3t dt y (t ) = 3t 2 y ′′(t ) ¿Dónde a parecen en física y porque? La física utiliza el calculo diferencial ya que como hemos visto anteriormente las magnitudes que se utilizan son derivadas unas de las otras. Frecuentemente se relacionan en una ecuación diferencial.
supongamos que tenemos la ecuación siguiente que relaciona posición, velocidad y aceleración: x(t ) + 4v(t ) + 2a(t ) = 0 considerando la velocidad como la primera derivada de la posición y la aceleración como la segunda derivada podemos escribir la ecuación anterior como x(t ) + 4 x ′(t ) + 2 x ′′(t ) = 0 que es una ecuación diferencial.
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Movimiento sinusoidal:
La posición de un objeto sigue la función x(t ) = cos(ωt + ϕ ) donde ω y φ son constantes. Calculemos la velocidad y la aceleración del objeto: v(t ) = x ′(t ) = −ω sin(ωt + ϕ ) a(t ) = v ′(t ) = −ω 2 cos(ωt + ϕ ) = −ω 2 x(t ) Ecuación diferencial: &x& + ω 2 x = 0 Fuerza de muelle:
La fuerza de un muelle es del tipo F = − kx . Como veremos mas tarde la fuerza y la F k aceleración esta relacionadas por F = ma ⇒ a = = − x. La aceleración es la m m derivada segunda de la posición, por lo tanto podemos escribir: a=−
k k x = &x& ⇒ &x& + = 0 m m
El movimiento que soluciona esta ecuación es un movimiento sinusoidal como hemos podido ver anteriormente.
2. Maneras diferentes de integrar 2.1.
Integrales Definidas
Conociendo una función f (t ) su integral F (t ) entre los límites t1 y t 2 , define el área de la función f (t ) con el eje x entre esos límites. El resultado es un número no una función. b
∫ f ( x)dx = [F ( x)]
b a
= F (b) − F (a ) donde F ′( x) = f ( x)
a
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2.2.
Indefinidas
Conociendo una función, f (t ) buscamos la función F(t) (no un simple valor numérico) que verifique F ′(t ) = f (t ) . Aparición de una constante. Necesitamos una condición inicial del tipo y 0 = F ( x0 ) .
2.2.1. Sin límites Hemos de añadir una constante que encontraremos mediante la condición inicial.
∫ f ( x)dx = F (x ) + k 2.2.2. Con un límite No hace falta añadir la constante ya que aparece naturalmente. x
∫ f ( x)dx = [F ( x)]
x x0
= F ( x) − F ( x0 )
x0
3. Utilización de la notación derivada como objeto matemático La notación derivada no solamente es una notación sino que es un objeto matemático. Su utilización en física y sobretodo en cinemática es muy importante. Ejemplos:
dy = 4 x + 4 ⇒ dy = (4 x + 4)dx ⇒ dx
y
x
y0
x0
∫ dy = ∫ (4 x + 4)dx
⇒
y − y 0 = F ( x) − F ( x0 )
Solo podemos integrar variables iguales: dv = −kv ⇒ dv = −kvdt ⇒ dt
dv = −kdt ⇒ v
1
∫ v dv = −k ∫ dt
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4. Tablas y propiedades 4.1.
derivadas
Propiedades:
Sean f y g funciones derivables en un dominio común, entonces: 1 2 3 4 5
6
[kf ( x)]′ = kf ′( x) [ f ( x) + g ( x)]′ = f ′( x) + g ′( x) [ f ( x) − g ( x)]′ = f ′( x) − g ′( x) [ f ( x) ⋅ g ( x)]′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) ′ f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) g ( x) = g 2 ( x) ′ ( f ( x) )n = n( f ( x) )n−1 ⋅ f ′( x) para n Real
[
]
tabla:
d n x = nx n −1 dx
d x e = ex dx
d x b = ln (b )b x dx
d cos( x) = − sin( x) dx
d sin( x) = cos( x) dx
d tan( x) = 1 + tan 2 ( x) dx
4.2.
d 1 ln ( x ) = dx x
Integrales principales
Propiedades:
Linealidad Integración por partes Cambio de variable
∫ [λf ( x) + µg ( x)]dx = λ ∫ f ( x)dx + µ ∫ g ( x)dx b
b
a
a
∫ udv = uv − ∫ vdu
b ∫ uv′dx = [uv]a − ∫ vu ′dx
∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t )) ⋅ϕ ′(t ) ⋅ dt
⇒ x = ϕ (t ) ⇒
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Tabla:
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