Collana di Fisica e Astronomia

Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini ...

Author: Maurizio Gasperini

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Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Maurizio Gasperini

Lezioni di Relatività Generale e Teoria della Gravitazione Per la Laurea Magistrale in Fisica

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MAURIZIO GASPERINI Dipartimento di Fisica Università di Bari

ISBN 978-88-470-1420-6

e-ISBN 978-88-470-1421-3

DOI 10.1007/978-88-470-1421-3 © Springer-Verlag Italia 2010

Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. Riprodotto da copia camera-ready fornita dall’Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer fa parte di Springer Science+Business Media (www.springer.com)

A mia moglie e mia figlia

Prefazione

Questo libro è basato su lezioni per gli studenti di Fisica tenute in passato all’Universit` a di Torino, e attualmente all’Universit` a di Bari. Tali lezioni, preparate in origine per il corso di Relativit` a del vecchio ordinamento di laurea, sono state recentemente rielaborate e riorganizzate per adattarsi alle esigenze del nuovo ordinamento che ha introdotto la Laurea Magistrale (o Specialistica) in Fisica. ` nato cos`ı un libro di testo che si rivolge in modo specifico agli studenti dei E corsi di Relativit` a Generale e/o Teoria della Gravitazione che oggi compaiono nel piano di studi degli indirizzi Teorico/Generale, Astrofisico, Astroparticellare della Laurea Magistrale in Fisica e in Astronomia. Scopo del testo è quello di rappresentare un riferimento che sia completo e autosufficiente per un corso di tipo semestrale, ma anche facilmente utilizzabile, e accessibile a studenti provenienti da indirizzi diversi. Per realizzare questi obiettivi il libro include una parte tradizionale che presenta la relativit` a generale come teoria geometrica classica del campo gravitazionale macroscopico, e una parte pi` u avanzata che collega la relativit` a generale alle teorie di gauge delle interazioni fondamentali attive a livello microscopico, e che illustra i legami formali (e le differenze fisiche) esistenti tra la gravit` a e le altre interazioni. In questo modo si cerca di raccordare il corso di gravit` a ai corsi sul modello standard, riempiendo un vuoto che non viene colmato dai testi tradizionali di relativit` a generale e che può creare disagio agli attuali studenti. In questo contesto sono state ridotte al minimo le parti formali di geometria differenziale per lasciare pi` u spazio alle moderne problematiche dell’interazione gravitazionale, sia di tipo applicativo (ad esempio: la fenomenologia delle onde gravitazionali), sia di tipo teorico fondamentale (ad esempio: le ` stata però interazioni gravitazionali dei campi spinoriali e la supergravit` a). E inclusa un’Appendice finale che presenta i rudimenti del cosiddetto “calcolo di Cartan” per le forme esterne (o forme differenziali). Tale tecnica risulta di grande utilit` a non solo nel contesto della teoria gravitazionale, ma anche in

VIII

Prefazione

molti altri campi della fisica teorica. Un buon utilizzo di questo testo presuppone che il lettore abbia una conoscenza di base della relativit` a ristretta, dell’elettromagnetismo e della teoria classica dei campi. Al di fuori di questo, per` o, il libro cerca di essere autosufficiente: le nozioni necessarie e le tecniche da utilizzare vengono di volta in volta richiamate o introdotte esplicitamente. Inoltre, per una migliore efficacia didattica, tutti i calcoli necessari vengono svolti in maniera dettagliata nel testo (senza lasciare al lettore “buchi” da riempire), oppure presentati come esercizi proposti e risolti. Per questo motivo la soluzione degli esercizi è stata inserita alla fine di ogni capitolo, e costituisce parte integrante del capitolo stesso. Mi sembra doveroso – anche se ovvio – sottolineare che questo libro è lontano dal rappresentare un riferimento completo per uno studio rigoroso ed esauriente della teoria della gravitazione. Lo stile è quello di note e appunti per lezioni, e lo scopo è quello di fornire agli studenti le nozioni di base che li rendano in grado di approfondire e ampliare autonomamente, in seguito, gli argomenti trattati mediante l’uso di testi pi` u avanzati e professionali (si vedano ad esempio i riferimenti bibliografici finali). Va notato infine che questo libro evita deliberatamente di affrontare temi di cosmologia e astrofisica relativistica, per i quali il nuovo ordinamento di laurea prevede corsi specifici, separati da quello di Relativit` a Generale, ed ai quali è opportuno riservare un testo dedicato. Un apposito libro di cosmologia teorica, che rappresenta la continuazione naturale del presente testo, è attualmente in fase di preparazione da parte del sottoscritto.

Ringraziamenti Desidero ringraziare in primo luogo i molti studenti e i colleghi di Torino e di Bari che nel corso degli anni hanno contribuito, con i loro commenti, suggerimenti e critiche, a correggere e migliorare queste note. Elencarli tutti sarebbe impossibile, per cui mi limito a ringraziarli collettivamente. Faccio un’eccezione per l’amico e collega Stefano Forte, che cura la collana di Fisica e Astronomia della Springer, perchè è anche grazie al suo incoraggiamento se il progetto di questo libro si è finalmente concretizzato. Un dovuto pensiero di riconoscimento va inoltre a Venzo De Sabbata, che è stato un mio professore quando (molti anni fa!) ero studente di Fisica all’Universit` a di Bologna, e che mi ha introdotto allo studio della gravitazione e della cosmologia, stimolando il mio interesse verso questi argomenti di studio e di ricerca.

Prefazione

IX

Sono infine grato alla Springer-Verlag Italia, e in particolare all’Editore Esecutivo Marina Forlizzi, per l’assistenza ricevuta, gli utili consigli e l’ottima riuscita editoriale di questo libro.

Cesena, Ottobre 2009

Maurizio Gasperini

Notazioni e convenzioni

In questo libro useremo l’indice 0 per la coordinata temporale, e gli indici 1, 2, 3 per le coordinate spaziali. Per la metrica gμν dello spazio-tempo adotteremo la segnatura con autovalore temporale positivo, ossia: gμν = diag (+, −, −, −) . Le convenzioni per gli oggetti geometrici sono le seguenti. Tensore di Riemann: Rμνα β = ∂μ Γνα β + Γμρ β Γνα ρ − (μ ↔ ν); tensore di Ricci: Rνα = Rμνα μ ; derivata covariante: ∇μ V α = ∂μ V α + Γμβ α V β ;

∇μ Vα = ∂μ Vα − Γμα β Vβ ;

derivata covariante di Lorentz: Dμ V a = ∂μ V a + ωμ a b V b ;

Dμ Va = ∂μ Va − ωμ b a Vb .

Inoltre, il simbolo 2 denota l’usuale operatore di d’Alembert nello spazio di Minkowski, ossia 2 ≡ η μν ∂μ ∂ν =

1 ∂2 − ∇2 , c2 ∂t2

dove η è la metrica di Minkowski e ∇2 = δ ij ∂i ∂j il Laplaciano dello spazio euclideo tridimensionale. A meno che non sia esplicitamente indicato il contrario, useremo le lettere latine minuscole i, j, k, . . . per indicare gli indici spaziali 1, 2, 3; le lettere greche minuscole μ, ν, α, . . . per gli indici spazio-temporali 0, 1, 2, 3. In

XII


uno spazio-tempo multidimensionale, con d > 3 dimensioni spaziali, indicheremo invece gli indici spazio-temporali con le lettere latine maiuscole, A, B, C, . . . = 0, 1, 2, 3, . . . , d. Gli indici racchiusi in parentesi tonde oppure quadre soddisfano, rispettivamente, le propriet` a di simmetria o antisimmetria definite dalla regola: T(αβ) ≡

1 (Tαβ + Tβα ) , 2

T[αβ] ≡

1 (Tαβ − Tβα ) . 2

Se un oggetto ha pi` u di due indici, e gli indici da simmetrizzare o antisimmetrizzare non sono contigui, tali indici verrano separati dagli altri mediante una barra verticale. Ad esempio: 1 (Tμαν + Tναμ ) , 2 1 ≡ (Tμανβ − Tναμβ ) , 2

T(μ|α|ν) ≡ T[μ|α|ν]β

dove il primo oggetto è simmetrizzato in μ e ν (con α fisso), mentre il secondo oggetto è antisimmetrizzato in μ e ν (con α e β fissi). E cos`ı via. La procedura di simmetrizzazione e antisimmetrizzazione può essere ovviamente estesa a un numero arbitrario di indici n ≥ 2, prendendo tutte le loro possibili permutazioni e dividendo per il numero di permutazioni n!. Nel caso di una simmetrizzazione tutte le permutazioni vanno prese col segno positivo, nel caso di una antisimmetrizzazione le permutazioni pari vanno prese col segno positivo, quelle dispari col segno negativo. Ad esempio: 1 (Tμνα + Tναμ + Tαμν + Tμαν + Tνμα + Tανμ ) , 3! 1 = (Tμνα + Tναμ + Tαμν − Tμαν − Tνμα − Tανμ ) . 3!

T(μνα) = T[μνα]

E cos`ı via. Infine, il tensore completamente antisimmetrico (o simbolo di LeviCivita) nello spazio di Minkowski, μναβ , è definito con le seguenti convenzioni:

0123 = +1,

μναβ = − μναβ .

Il sistema di unit` a che verr` a usato per le stime numeriche è il sistema CGS, dove le equazioni di Maxwell assumono la forma: 4π ν j , c = ∂μ Aν − ∂ν Aμ ,

∂μ F μν = Fμν

Aμ = (φ, A) .

Nella trattazione dei campi scalari e spinoriali useremo invece il cosiddetto sistema di unità “naturali”, nel quale la velocit` a della luce c e la costante di Planck h ¯ sono posti uguale ad uno. In questo sistema la costante di Newton G acquista dimensioni di massa al quadrato (o inverso di lunghezza al quadrato),


XIII

ed è collegata alla massa di Planck MP e alla lunghezza di Planck λP dalla relazione: G−1 = MP2 = λ−2 P . In unit` a CGS: MP = λP =

¯c h G

G¯ h 3 c

1/2 1/2

2 × 10−5 g, 1.6 × 10−33 cm.

L’energia associata alla massa di Planck, EP = MP c2 1019 GeV, dove 1 GeV = 109 eV è la scala di energia associata alla massa di riposo del protone, controlla l’intensit` a dell’accoppiamento gravitazionale relativamente alle altre interazioni attive su scala microscopica, e determina l’importanza delle correzioni quantistiche alle equazioni gravitazionali classiche.

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Notazioni e convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1

Complementi di relativit` a ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Simmetrie e leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Traslazioni globali e tensore canonico energia-impulso . . . . . . . . 1.3 Trasformazioni di Lorentz e tensore momento angolare . . . . . . . 1.3.1 Simmetrizzazione del tensore energia-impulso . . . . . . . . . 1.4 Esempi di tensore energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Campo scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Particella puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Fluido perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 6 10 13 14 14 15 16 19 21 21

2

Verso una teoria relativistica della gravitazione . . . . . . . . . . . . 2.1 I postulati della geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Il principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 31 34 36 37

3

Calcolo tensoriale in una variet` a di Riemann . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Tensori covarianti e controvarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Densità tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Trasformazioni infinitesime, isometrie e vettori di Killing . . . . . 3.3.1 Trasformazioni infinitesime al secondo ordine . . . . . . . . . 3.4 Derivata covariante e connessione affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Curve autoparallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Torsione, non-metricità e simboli di Christoffel . . . . . . . . . . . . . .

39 40 43 46 49 50 54 55

XVI

Indice

3.6 Utili regole di calcolo differenziale covariante . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Esercizi Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4

Equazioni di Maxwell e geometria di Riemann . . . . . . . . . . . . . 4.1 Il principio di minimo accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Accoppiamento tra campo elettromagnetico e geometria . . . . . . 4.3 Le equazioni di Maxwell generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 67 69 72 73

5

Corpi di prova e segnali nello spazio-tempo di Riemann . . . 5.1 Moto geodetico di un corpo libero puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Limite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Spostamento delle frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Spostamento spettrale in un campo Newtoniano . . . . . . . Esercizi Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 78 81 83 84 85

6

Deviazione geodetica e tensore di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 L’equazione di deviazione geodetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Il tensore di curvatura di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Un esempio: variet` a a curvatura costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 93 96 98 99

7

Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale . . . . . . . . . . 109 7.1 Azione gravitazionale ed equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Il tensore dinamico energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.1 Esempi: campo scalare, vettoriale, sorgente puntiforme . 118 7.3 Equazioni di Einstein con costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . 121 7.4 Conservazione dell’energia-impulso e moto dei corpi di prova . . 124 Esercizi Capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

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Approssimazione di campo debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1 Equazioni di Einstein linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1.1 Il “gauge” armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2 Metrica dello spazio-tempo per un campo debole e statico . . . . 136 8.3 Deflessione dei raggi luminosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.4 Ritardo dei segnali radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Esercizi Capitolo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9

Le onde gravitazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.1 Propagazione delle fluttuazioni metriche nel vuoto . . . . . . . . . . . 150

Indice

XVII

9.1.1 Stati di polarizzazione ed elicit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.2 Emissione di radiazione nell’approssimazione quadrupolare . . . . 153 9.2.1 Esempio: sistema stellare binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3 Interazione tra onde polarizzate e materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.4 L’oscillatore smorzato come esempio di rivelatore . . . . . . . . . . . . 166 9.4.1 I rivelatori attualmente operanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Esercizi Capitolo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10 La soluzione di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.1 Equazioni di Einstein a simmetria sferica nel vuoto . . . . . . . . . . 177 10.2 Teorema di Birkhoff e soluzione di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . 179 10.2.1 Limite di campo debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.3 Precessione del perielio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.4 Orizzonte degli eventi e coordinate di Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.4.1 Struttura causale della geometria di “buco nero” . . . . . . 191 Esercizi Capitolo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11 La soluzione di Kasner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.1 Equazioni per una metrica omogenea ma anisotropa . . . . . . . . . 200 11.2 Soluzioni multidimensionali nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Esercizi Capitolo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 12 Tetradi e connessione di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 12.1 Proiezione nello spazio piatto tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 12.1.1 Simmetrie locali e campi di “gauge” . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 12.2 Invarianza locale di Lorentz e derivata covariante . . . . . . . . . . . . 213 12.2.1 La condizione di metricit` a per le tetradi . . . . . . . . . . . . . . 216 12.3 La connessione di Levi-Civita e i coefficienti di Ricci . . . . . . . . . 217 12.3.1 Tensore di curvatura e azione gravitazionale . . . . . . . . . . 219 Esercizi Capitolo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 13 Equazione di Dirac in un campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . 225 13.1 Richiami di formalismo spinoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.2 Equazione di Dirac covariante e localmente Lorentz-invariante . 228 13.3 Accoppiamento geometrico alla corrente assiale e vettoriale . . . 231 13.4 Forma simmetrizzata dell’azione covariante di Dirac . . . . . . . . . 232 Esercizi Capitolo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 14 Supersimmetria e supergravit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 14.1 Supersimmetria globale nello spazio piatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

XVIII Indice

14.1.1 Esempio: il modello di Wess-Zumino . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 14.2 Il campo di Rarita-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 14.2.1 Supersimmetria globale gravitone-gravitino . . . . . . . . . . . 245 14.3 Supergravit` a N = 1 in D = 4 dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 14.3.1 Equazioni di campo per la metrica e il gravitino . . . . . . . 251 Esercizi Capitolo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Appendice. Il linguaggio delle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . 263 A.1 Operazioni con le forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 A.1.1 Prodotto esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 A.1.2 Derivata esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 A.1.3 Duale e co-differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 A.2 Uno-forme di base e di connessione: derivata covariante . . . . . . . 269 A.3 Due-forme di torsione e di curvatura: equazioni di struttura . . . 271 A.3.1 Teoria di gauge per il gruppo di Poincarè . . . . . . . . . . . . . 272 A.3.2 Identit` a di Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 A.4 Equazioni di campo con il metodo variazionale di Palatini . . . . 276 A.4.1 Relativit` a generale ed equazioni di Einstein-Cartan . . . . 277 A.4.2 Sorgenti con spin e geometria con torsione . . . . . . . . . . . . 283 A.4.3 Un semplice modello di supergravit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

1 Complementi di relativit` a ristretta

In questo primo capitolo richiameremo alcuni aspetti formali della teoria classica dei campi, e in particolare del formalismo variazionale covariante ad essa associato, introducendo nozioni che serviranno per il successivo studio di una teoria relativistica del campo gravitazionale. Ci concentreremo sulle simmetrie dello spazio-tempo di Minkowski, e mostreremo come le definizioni del tensore canonico energia-impulso e del tensore densità di momento angolare emergano, rispettivamente, dall’invarianza dell’azione per traslazioni globali e per trasformazioni globali di Lorentz. Presenteremo quindi alcuni esempi espliciti di tensore energia-impulso per semplici sistemi di interesse fisico: campi scalari, vettoriali, masse puntiformi e fluidi perfetti. ` opportuno sottolineare che tutte le considerazioni svolte in questo caE pitolo sono basate sull’ipotesi che l’interazione gravitazionale sia assente (o comunque trascurabile), e che i sistemi fisici considerati possano essere correttamente descritti nel contesto della relatività ristretta e del formalismo tensoriale definito sullo spazio-tempo di Minkowski. Un utile riferimento per tale formalismo è rappresentato dai testi [1]-[5] della Bibliografia finale.

1.1 Simmetrie e leggi di conservazione Consideriamo un generico sistema fisico rappresentato dal campo ψ(x), la cui dinamica è controllata dall’azione S= d4 x L(ψ, ∂ψ, x), (1.1) Ω

dove L è la densit` a di Lagrangiana, funzione del campo e dei suoi gradienti, e Ω un opportuno dominio di integrazione spazio-temporale. Qui, e nel seguito, indicheremo collettivamente col simbolo x una generica dipendenza da tutte

2


le coordinate dello spazio-tempo. Si noti che le dimensioni di L sono quelle di una densit` a d’energia, per cui il funzionale d’azione considerato ha dimensioni di [energia] × [lunghezza] a causa del fattore c contenuto in dx0 = cdt. Le dimensioni canoniche di [energia] × [tempo] dell’azione possono essere facilmente ripristinate moltiplicando l’integrale (1.1) per il fattore 1/c, ma tale fattore risulta irrilevante per la considerazioni svolte in questo capitolo. Ricordiamo, per iniziare, che l’evoluzione di questo sistema fisico è descritta dalle equazioni del moto di Eulero-Lagrange. Esse si ottengono imponendo che l’azione risulti stazionaria rispetto a variazioni locali del campo, effettuate con la condizione che tali variazioni siano nulle sul bordo ∂Ω della regione di integrazione. Consideriamo infatti una trasformazione infinitesima del campo ψ, effettuata a x fissato: ψ(x) → ψ (x) = ψ(x) + δψ(x), (1.2) e calcoliamo la corrispondente variazione δS dell’azione: ∂L ∂L δψ + δ(∂μ ψ) . d4 x δS = ∂ψ ∂(∂μ ψ) Ω

(1.3)

Abbiamo supposto, per semplicit` a, che L dipenda solo dalle derivate prime di ψ e non dalle sue derivate superiori (il calcolo per` o si pu` o facilmente estendere a Lagrangiane contenenti derivate di ordine arbitrario, L = L(ψ, ∂ n ψ)). Poichè la variazione δψ è definita ad x fissato, essa commuta con le derivate parziali del campo, ossia: δ(∂μ ψ) = ∂μ ψ − ∂μ ψ = ∂μ (δψ). Integrando per parti il secondo termine dell’Eq. (1.3) abbiamo quindi ∂L ∂L ∂L 4 4 δS = − ∂ δψ + δψ . d x d x ∂μ μ ∂ψ ∂(∂μ ψ) ∂(∂μ ψ) Ω Ω

(1.4)

(1.5)

Usando il teorema di Gauss possiamo trasformare l’ultimo termine, che contiene una quadri-divergenza, in un integrale di flusso sull’ipersuperficie ∂Ω che delimita il quadri-volume Ω. Si ottiene cos`ı ∂L ∂L ∂L − ∂μ δψ + δψ , (1.6) δS = d4 x dSμ ∂ψ ∂(∂μ ψ) ∂(∂μ ψ) Ω ∂Ω dove abbiamo indicato con dSμ l’elemento di ipersuperficie su ∂Ω, orientato in direzione esterna lungo la normale. Se imponiamo che la variazione del campo sia nulla sul bordo, (1.7) δψ ∂Ω = 0, troviamo infine che l’ultimo termine dell’Eq. (1.6) è identicamente nullo. La condizione di azione stazionaria (o principio di “minima azione”), δS = 0,

1.1 Simmetrie e leggi di conservazione

3

è dunque automaticamente soddisfatta, per qualunque variazione δψ, purchè valgano le equazioni di Eulero-Lagrange: ∂μ

∂L ∂L = . ∂(∂μ ψ) ∂ψ

(1.8)

Consideriamo ora una trasformazione infinitesima del campo e delle coordinate spazio-temporali, ψ(x) → ψ (x) = ψ(x) + δψ(x),

xμ → xμ = xμ + δxμ (x)

(1.9)

(come nel caso precedente, la variazione del campo si ottiene calcolando ψ e ψ nello stesso punto x). Possiamo assumere che δψ e δxμ dipendano da uno o pi` u parametri 1 , . . . , n , che tratteremo come quantità infinitesime del primo ordine, e che sono tipici del gruppo di trasformazioni considerato. Tali parametri possono essere costanti, oppure funzioni continue delle coordinate,

= (x). Nel primo caso le trasformazioni (1.9) si dicono globali, nel secondo caso locali. Calcoliamo la variazione infinitesima dell’azione corrispondente alle trasformazioni (1.9), senza imporre condizioni di bordo. Considerando che stiamo variando anche le coordinate possiamo scrivere, in generale, 4

d x δL + L δ d4 x δS = Ω

∂L ∂L δψ + δ(∂μ ψ) + (∂μ L) δxμ + d4 x L δ d4 x . = ∂ψ ∂(∂μ ψ) Ω Ω (1.10) Valutiamo separatamente l’ultimo contributo, sfruttando il fatto che la trasformazione dell’elemento di quadri-volume è dettata dal determinante Jacobiano |∂x /∂x| della trasformazione di coordinate: 4 4 4 ∂x . (1.11) d x → d x = d x ∂x Nel caso della trasformazione infinitesima (1.9), restando al primo ordine in δxμ , abbiamo μ ∂x ≡ det ∂x = det (δνμ + ∂ν δxμ ) ∂x ∂xν = 1 + ∂μ δxμ + O(δx2 ), e quindi

L δ(d4 x) = L d4 x − d4 x = L d4 x ∂μ (δxμ ).

(1.12) (1.13)

Sostituendo nell’Eq. (1.10), sommando tutti i termini, usando l’Eq. (1.4), e integrando per parti, otteniamo infine l’espressione

4


δS =

4

d x Ω

∂L ∂L − ∂μ ∂ψ ∂(∂μ ψ)

δψ + ∂μ

∂L δψ + L δxμ ∂(∂μ ψ)

, (1.14)

che fornisce la variazione completa dell’azione per la trasformazione considerata in Eq. (1.9). ` opportuno ricordare, a questo punto, come la definizione precisa di simE metria nel contesto della teoria dei campi. Una trasformazione (dei campi e/o delle coordinate) è detta una simmetria del sistema dato se e solo se essa lascia invariate le equazioni del moto del sistema. Possiamo dire, in particolare, che se ψ è una soluzione delle equazioni di campo allora la trasformazione ψ → ψ rappresenta una simmetria se e solo se anche ψ è soluzione delle stesse equazioni di campo. Utilizzando il formalismo variazionale, d’altra parte, si trova facilmente che le equazioni del moto restano invariate sotto una trasformazione infinitesima purchè la corrispondente variazione dell’azione si possa mettere nella forma di una quadri-divergenza, δS = d4 x ∂μ K μ , (1.15) Ω

` immediato verificare, infatti, che le due Lagrangiane dove K = K (ψ, x). E μ L e L+∂μ K (ψ) soddisfano le stesse equazioni del moto, in quanto l’operatore di Eulero-Lagrange applicato a ∂μ K μ (ψ) d` a un risultato identicamente nullo (si veda l’Esercizio 1.1). Pi` u in generale, applicando il teorema di Gauss all’Eq. (1.15), si pu` o notare che il termine correttivo dell’azione assume la forma dSμ K μ (ψ). (1.16) δS = μ

μ

∂Ω

Ne consegue immediamente che non c’è contributo alle equazioni del moto, in quanto esse sono ottenute imponendo δψ = 0 sul bordo ∂Ω. Tale conclusione non è in generale valida se K μ dipende anche dalle derivate del campo (si veda, a questo proposito, il Capitolo 7, Sez. 7.1). Le equazioni del moto restano per` o invariate anche se K μ dipende dalle derivate del campo purchè il campo e le sue derivate siano localizzate in una porzione finita di spazio, in modo tale che K μ risulti identicamente nullo sul bordo ∂Ω del dominio spazio-temporale considerato. Usando la definizione di simmetria, e applicando al risultato (1.14) la condizione (1.15) di invarianza delle equazioni del moto, possiamo quindi concludere che la trasformazione (1.9) rappresenta una simmetria per il nostro sistema fisico purchè valga la condizione: ∂L ∂L ∂L μ − ∂μ δψ + ∂μ δψ + L δx = ∂μ K μ . (1.17) ∂ψ ∂(∂μ ψ) ∂(∂μ ψ) Si noti che l’invarianza dell’azione, δS = 0, richiede in generale una condizione pi` u forte della precedente,

1.1 Simmetrie e leggi di conservazione

5

∂L ∂L ∂L − ∂μ δψ + ∂μ δψ + L δxμ = 0. ∂ψ ∂(∂μ ψ) ∂(∂μ ψ)

(1.18)

Però, se K μ si annulla sul bordo del dominio di integrazione Ω, allora il contributo di ∂μ K μ scompare per il teorema di Gauss – in accordo all’Eq. (1.16) – e la condizione di simmetria (1.17) è sufficiente a garantire anche l’invarianza dell’azione, oltre che l’invarianza delle equazioni del moto. Siamo ora in grado di presentare il risultato – universalmente noto come teorema di N¨ other – che esprime in maniera precisa lo stretto legame esistente tra simmetrie e leggi di conservazione preannunciato dal titolo di questa sezione. Dalla definizione di simmetria (1.17) segue infatti che ad ogni trasformazione di simmetria {δψ, δx}, e ad ogni configurazione di campo che soddisfa le equazioni del moto (1.8), possiamo sempre associare una corrente vettoriale J μ , definita da ∂L Jμ = (1.19) δψ + L δxμ − K μ , ∂(∂μ ψ) che risulta conservata – ossia che soddisfa alla condizione di divergenza nulla – in virt` u della simmetria del sistema dato: ∂μ J μ = 0.

(1.20)

Va notato che la definizione di questa corrente non è univoca, in generale. Infatti, è sempre possibile aggiungere alla Lagrangiana una quadri-divergenza che non cambia le equazioni del moto, e quindi non rompe le simmetria del sistema. La Lagrangiana cos`ı modificata corrisponde ad una nuova corrente che è diversa dalla precedente, e che è anch’essa conservata (si veda la Sez. 1.2 per un esempio esplicito). ` utile osservare, infine, che se la trasformazione di simmetria considerata E dipende da n parametri 1 , . . . , n , indipendenti e costanti, allora esistono in generale n correnti vettoriali, ciascuna delle quali è separatamente conservata. Supponiamo infatti che la trasformazione infinitesima (1.9) si possa fattorizzare come segue: δψ = A δA ψ,

δxμ = A δA xμ ,

A = 1, 2, . . . , n.

(1.21)

μ Ripetiamo i passaggi precedenti, ponendo K μ = A KA e imponendo che le equazioni del moto siano soddisfatte. Fattorizzando i parametri A troviamo allora che la condizione di simmetria (1.17) associa ad ogni parametro una μ , con A = 1, 2, . . . , n, tale che: specifica corrente conservata JA μ JA =

∂L μ δA ψ + L δA xμ − KA , ∂(∂μ ψ)

μ ∂μ JA = 0.

Esempi di questo tipo saranno discussi nelle sezioni successive.

(1.22)

6


1.2 Traslazioni globali e tensore canonico energia-impulso Un semplice e importante esempio di simmetria nello spazio-tempo di Minkowski è costituito dall’invarianza per traslazioni globali delle coordinate spazio-temporali, ed è associato alla trasformazione xμ → xμ (x) = xμ + μ ,

(1.23)

dove μ sono quattro parametri costanti ed infinitesimi. La trasformazione inversa è data da (1.24) xμ (x ) = xμ − μ , e la matrice Jacobiana della trasformazione si riduce alla matrice identit` a, δxμ = xμ − xμ = μ = cost.

=⇒

∂xμ = δνμ , ∂xν

(1.25)

in quanto abbiamo considerato una traslazione “rigida” (cioè indipendente dal punto) delle coordinate. Tutti i campi, indipendentemente dai loro indici di Lorentz tensoriali o spinoriali, si trasformano dunque come scalari rispetto a questa trasformazione, ψ (x ) ≡ ψ (x + ) = ψ(x), (1.26) e la variazione infinitesima dei campi, in un punto di coordinate fissate, si ottiene sviluppando questa condizione in serie di Taylor nel limite → 0. Esprimendo la relazione precedente nel punto di coordinate x − abbiamo, al primo ordine in ,

e quindi

ψ (x) = ψ(x − ) ψ(x) − μ ∂μ ψ(x) + . . . ,

(1.27)

δψ ≡ ψ (x) − ψ(x) = − μ ∂μ ψ.

(1.28)

Chiediamoci ora qual è la corrente conservata nel caso in cui le traslazioni globali (1.23) rappresentino una trasformazione di simmetria per il sistema dato. Per tali trasformazioni l’elemento di quadri-volume resta invariato, d4 x = d4 x, in accordo all’Eq. (1.11). Inoltre, i sistemi invarianti per traslazioni corrispondono ai cosiddetti sitemi “isolati”, per i quali la densit` a di lagrangiana si trasforma anch’essa come uno scalare, L (ψ (x )) = L(ψ(x)), indipendentemente dalla misura di integrazione spazio-temporale. Ne consegue che, per i sistemi invarianti per traslazioni globali, (1.29) d4 x L (ψ (x )) = d4 x L(ψ(x)), ossia l’azione stessa risulta invariante.

1.2 Traslazioni globali e tensore canonico energia-impulso

7

In questo caso possiamo porre K μ = 0 nella definizione generale di simmetria (1.17), e utilizzare la condizione (1.18). Imponendo le equazioni del moto (1.8), sostituendo a δxμ e δψ le espressioni (1.25) e (1.28), e tenendo conto che i parametri sono costanti, arriviamo all’equazione di conservazione

ν ∂μ Θν μ = 0, dove Θν μ ≡

(1.30)

∂L ∂ν ψ − L δνμ ∂(∂μ ψ)

(1.31)

(il segno di Θν μ , in principio arbitrario, è stato fissato in questo modo per ragioni di convenienza futura). Poichè i parametri ν sono arbitrari e indipendenti, l’Eq. (1.30) definisce quattro correnti vettoriali separatamente conservate, Θν μ , ν = 1, . . . , 4, una per ognuna delle quattro componenti di ν . Ritroviamo cos`ı un esempio specifico del caso considerato alla fine della sezione precedente: le traslazioni globali infinitesime appartengono infatti alla classe di trasformazioni (1.21), e corrispondono al caso particolare in cui n = 4, l’indice A è un indice vettoriale ν dello spazio-tempo, e δν ψ = −∂ν ψ.

δν xμ = ∂ν xμ ,

(1.32)

Poichè ν è un indice di tipo vettoriale, l’oggetto conservato Θν μ definito in Eq. (1.31) è un tensore di rango due, chiamato tensore canonico densit` a d’energia-impulso. Per comprendere fisicamente il nome di questo tensore ricordiamo, innanzitutto, che ad ogni corrente J μ che soddisfa l’equazione di continuit` a ∂μ J μ = 0 si pu` o sempre associare una “carica” conservata (o costante del moto), definita integrando sullo spazio-tempo. Consideriamo infatti una porzione Ω di spazio di Minkowski, e supponiamo che tale regione si estenda all’infinito lungo le coordinate spaziali, e sia invece limitata lungo l’asse temporale da due iperpiani paralleli Σ1 e Σ2 , euclidei e tridimensionali, di tipo spazio (cioè con versore normale nμ di tipo tempo, nμ nμ = 1, si veda la Fig. 1.1). Integrando l’equazione di continuit` a ∂μ J μ = 0 sulla regione Ω, applicando il teorema di Gauss, e assumendo che i campi che definiscono J μ siano localizzati a distanza finita dall’origine (ossia che J μ → 0, in modo sufficientemente rapido, per x → ±∞), si ottiene: 4 μ μ μ 0= d x ∂μ J = J dSμ = J dSμ − J μ dSμ . (1.33) Ω

∂Ω

Σ2

Σ1

Il segno opposto dei due integrali a secondo membro è dovuto al fatto che, per il teorema di Gauss, dobbiamo valutare su ∂Ω il flusso di J μ “uscente” da Ω, ossia il flusso orientato lungo la normale in direzione esterna al bordo. L’Eq. (1.33) implica che il flusso di J μ non dipenda dall’ipersuperficie considerata,

8


tempo nM

3

2

infinito spaziale

infinito spaziale

7

nM

3

1

Figura 1.1. La porzione di spazio-tempo Ω è delimitata dai due iperpiani tridimensionali Σ1 e Σ2 che si estendono spazialmente all’infinito

J μ dSμ = Σ2

J μ dSμ .

(1.34)

Σ1

Possiamo valutare, in particolare, il prodotto J μ dSμ nel riferimento di un osservatore inerziale la cui quadri-velocità è parallela a nμ , dove abbiamo nμ = δ0μ , dS0 = d3 x, dSi = 0, e dove gli iperpiani Σ1 , Σ2 sono ipersuperfici a t = costante che intersecano rispettivamente l’asse temporale nei punti t1 e t2 . L’Eq. (1.34) definisce allora una quantit` a Q indipendente dal tempo, e quindi conservata, tale che: 1 1 J μ dSμ ≡ J 0 d3 x = Q(t2 ) = c Σ2 c t2 1 1 = Q(t1 ) = J μ dSμ ≡ J 0 d3 x = cost (1.35) c Σ1 c t1 (il fattore di normalizzazione 1/c è stato inserito per ragioni di convenienza dimensionale, come vedremo in seguito). Il risultato precedente è valido per qualunque corrente J μ a divergenza nulla. Nel caso dell’invarianza per traslazioni abbiamo quattro correnti a divergenza nulla Θν μ , e qunque possiamo definire quattro costanti del moto (o cariche conservate) Pν , 1 1 μ Θν dSμ = Θν 0 d3 x, (1.36) Pν = c Σ c t=cost associate ai quattro parametri ν che specificano la trasformazione di coordinate. D’altra parte, in accordo ai risultati della meccanica analitica elementare,

1.2 Traslazioni globali e tensore canonico energia-impulso

9

è ben noto che l’invarianza per traslazioni lungo un asse spaziale xi è associato alla conservazione dell’impulso (o momento della quantit` a di moto) pi lungo quell’asse, mentre l’invarianza per traslazioni temporali è associata alla conservazione dell’energia. Possiamo dunque interpretare le quattro quantit` a conservate come le quattro componenti del quadrivettore impulso canonico Pν = (pi , E/c), e le componenti del tensore Θν μ – che devono essere integrate a di energia e di impulso. sul volume spaziale per dare Pν – come una densit` ` E opportuno verificare, a questo punto, che il fattore di proporzonalit` a 1/c è necessario per riprodurre il quadrivettore impulso con la corretta normalizzazione mensionale. A questo proposito consideriamo la quarta componente P0 , che deve corrispondere a E/c, dove E è l’energia totale del sistema sistema. Dall’Eq. (1.31) abbiamo ∂L ˙ ψ − L, (1.37) Θ0 0 = ∂ ψ˙ dove ψ˙ = ∂ψ/∂t, e dove ∂L/∂ ψ˙ è il momento canonico coniugato del campo ψ. Quindi Θ0 0 coincide esattamente con la densità di Hamiltoniana H che, per un sistema isolato, è anche la densità d’energia totale del sistema. L’integrale di Θ0 0 su tutto lo spazio, diviso per c, fornisce quindi la corretta espressione per P0 , in accordo all definizione (1.36). Notiamo infine che il tensore canonico energia-impulso (1.31) non è, in generale, un tensore simmetrico nello scambio degli indici, cioè Θνμ = Θμν . a pu` o D’altra parte la definizione di Θμν non è univoca, e questa propriet` essere sfruttata per modificare il tensore in modo da renderlo simmetrico, come vedremo nella Sez. 1.3. Non-univocit` a della definizione Abbiamo gi` a sottolineato, nella sezione precedente, che è sempre possibile modificare la Lagrangiana di partenza aggiungendo un termine di divergenza totale senza per questo influire sulle equazioni del moto, e quindi senza rompere le simmetrie possedute dal sistema. Nel caso delle traslazioni globali possiamo aggiungere a L il temine L = ∂α f α (ψ) senza rompere la corrispondente invarianza. Il nuovo termine ∂α f α fornisce un contributo non-triviale Θν μ al tensore energia-impulso del sistema; tale contributo, per` o, soddisfa automaticamente la condizione di divergenza nulla, ∂μ Θν μ = 0 (si veda l’Esercizio 1.2). Alla nuova Lagrangiana L + L è associato quindi un nuovo tensore canonico energia-impulso Θ + Θ che è ancora conservato,

∂ν Θμ ν + Θμ ν = 0, (1.38) perchè sia Θ che Θ sono separatamente conservati.

10


Il tensore Θ + Θ è ovviamente diverso dal tensore originale Θ. Le costanti del moto associate a Θ e Θ + Θ, per` o, sono le stesse. Infatti, applicando a L la definizione (1.31), abbiamo: Θμ ν = ∂μ f ν − δμν ∂α f α

(1.39)

(si veda l’Esercizio 1.2, Eq. (1.109)). Perci` o: 1 1 d 3 x ∂i f 0 , Pi = Θ i 0 d3 x = c c 1 1 0 3 d3 x ∂i f i . P0 = Θ0 d x = − c c

(1.40) (1.41)

Entrambi questi integrali sono nulli, perchè si riducono a valutare le funzioni f μ (ψ) sul bordo spaziale all’infinito, dove i campi (localizzati in porzioni finite di spazio) vanno rapidamente a zero. Ne consegue che sia Θ che Θ + Θ, integrate su di un’ipersuperficie tridimensionale infinitamente estesa, definiscono le stesse componenti del quadrivettore impulso Pμ , e sono quindi fisicamente equivalenti.

1.3 Trasformazioni di Lorentz e tensore momento angolare Un’altra importante simmetria, tipica dello spazio di Minkowski, è costituita dall’invarianza per trasformazioni globali del gruppo di Lorentz ristretto, ed è associata alla trasformazione di coordinate xμ → xμ = Λμ ν xν ,

(1.42)

dove Λ è una matrice a elementi costanti del gruppo SO(3, 1) ortocrono, ossia una matrice che soddisfa alle condizioni: ημν Λμ α Λν β = ηαβ ,

det Λ = 1,

Λ0 0 ≥ 1

(1.43)

(η è la metrica di Minkowski). Sviluppando l’Eq. (1.42) attorno alla trasformazione identica possiamo porre, al primo ordine, Λμ ν = δνμ + ω μ ν ,

xμ (x) = xμ + ω μ ν xν ,

(1.44)

e imponendo la condizione di gruppo (1.43) troviamo che la matrice ω deve essere antisimmetrica, ωμν = ω[μν] . Possiamo perci` o scrivere δxμ = xμ − xμ = ω μ ν xν ≡

1 μν (ω − ω νμ ) xν , 2

(1.45)

dove le sei componenti indipendenti (e costanti) di ωμν rappresentano i sei parametri infinitesimi della trasformazione di Lorentz considerata.

1.3 Trasformazioni di Lorentz e tensore momento angolare

11

Per ottenere la variazione infinitesima del campo ricordiamo che il gruppo di Lorentz ristretto è un gruppo di Lie, e che una generica trasformazione si pu` o quindi rappresentare in forma esponenziale come segue: ψ (x ) = U ψ(x),

i

μν

U = e− 2 ωμν S .

(1.46)

L’operatore antisimmetrico Sμν = −Sνμ contiene i sei generatori delle trasformazioni del gruppo – che nel nostro caso si possono scomporre in tre rotazioni e tre “boosts” lungo i tre assi spaziali – e soddisfa alla cosiddetta “algebra di Lie” di SO(3, 1), rappresentata dalle regole di commutazione seguenti:

μν αβ = i η να S μβ − η νβ S μα − η μα S νβ + ημβ S να . (1.47) S ,S L’espressione esplicita dei generatori S dipende, ovviamente, dalla rappresentazione di Lorentz del campo considerato. Sviluppando la trasformazione (1.46) attorno all’identit` a, e indicando genericamente con l’indice A l’insieme degli indici di Lorentz (tensoriali o spinoriali) posseduti dal campo, possiamo approssimare la trasformazione, al primo ordine in ω, come i A A μν A ψ (x ) = δB − ωμν (S ) B ψ B (x). (1.48) 2 Per un campo scalare, in particolare, non ci sono indici di Lorentz espliciti e i generatori corrispondenti sono nulli, S μν = 0. Per un campo vettoriale gli indici A, B, . . . coincidono con indici spazio-temporali α, β . . . che variano da 0 a 3, e i generatori sono rappresentati da matrici 4 × 4, (S μν )α β . La loro forma esplicita si pu` o ottenere imponendo che l’Eq. (1.48) si riduca alla (1.45), ossia che i α (1.49) − ωμν (S μν ) β ψ β = ω α β ψ β . 2 Si trova allora l’espressione

(S μν )α β = i η μα δβν − η να δβμ , (1.50) e si può verificare che, per queste matrici, anche l’algebra (1.47) risulta automaticamente soddisfatta. E cos`ı via per le altre rappresentazioni di Lorentz (per i generatori della rappresentazione spinoriale si veda ad esempio il Capitolo 13). La variazione infinitesima di un generico campo, in un punto di coordinate fissato, è fornita dallo sviluppo in serie della relazione generale (1.46). Considerando il punto di coordinate x − δx, omettendo, per semplicità, di scrivere esplicitamente gli indici di Lorentz del campo, e fermandoci al primo ordine, otteniamo: i ψ (x) = U ψ(x − δx) = 1 − ωμν S μν [ψ(x) − δxμ ∂μ ψ(x)] 2 i (1.51) ψ(x) − ωμν S μν ψ(x) − δxμ ∂μ ψ(x). 2

12


Usando l’Eq. (1.45) per δxμ arriviamo infine a δψ = ψ (x) − ψ(x) =

1 ωμν (xμ ∂ ν − xν ∂ μ − iS μν ) . 2

(1.52)

Abbiamo ora tutti gli elementi necessari per calcolare le correnti e le quantità che si conservano in corrispondenza dell’invarianza per trasformazioni globali del gruppo di Lorentz ristretto. In questo caso – cos`ı come per le traslazioni globali – l’elemento di quadri-volume d4 x è invariante, e quindi possiamo assumere che anche la densità di Lagrangiana sia separatamente invariante, ossia che ∂μ K μ = 0. Applicando la condizione di simmetria (1.18), imponendo le equazioni del moto, e usando le variazioni infinitesime (1.45), (1.52), otteniamo:

1 ∂L ωαβ ∂μ −iS αβ + xα ∂ β − xβ ∂ α ψ + L η αμ xβ − η βμ xα 2 ∂(∂μ ψ) 1 ∂L ∂L αβ β μβ S ψ+ ∂ ψ − Lη = ωαβ ∂μ − i xα 2 ∂(∂μ ψ) ∂(∂μ ψ) ∂L α μα (1.53) xβ = 0. ∂ ψ − Lη − ∂(∂μ ψ) Nelle due parentesi tonde, presenti a secondo membro, si può facilmente riconoscere l’espressione del tensore canonico energia-impulso (1.31). Usando l’arbitrariet` a e l’indipendenza dei parametri ωαβ arriviamo quindi all’equazione di conservazione (1.54) ∂μ J μαβ = 0, dove J μαβ = S μαβ + xα Θμβ − xβ Θμα = J μ[αβ] , e dove S μαβ = −i

∂L S αβ ψ = S μ[αβ] . ∂(∂μ ψ)

(1.55) (1.56)

Poichè il tensore J μαβ è antisimmetrico negli ultimi due indici abbiamo 24 componenti indipendenti, ossia sei correnti vettoriali conservate, e quindi sei costanti del moto, 1 Jαβ = J μαβ dSμ = J [αβ] , (1.57) c Σ associati all’invarianza per rotazioni e per boosts effettuati lungo le tre dimensioni spaziali. Ricordando che Θ rappresenta la densit` a di energia ed impulso, è facile riconoscere nel termine Lμαβ = xα Θμβ − xβ Θμα

(1.58)

l’espressione relativistica del tensore densit` a di momento angolare orbitale. Il tensore S μαβ , che dipende esplicitamente dalla rappresentazione di Lorentz –

1.3 Trasformazioni di Lorentz e tensore momento angolare

13

e quindi dalle propriet` a di trasformazione intrinseche del campo considerato – rappresenta invece la densit` a di momento angolare intrinseco (o densità di spin) del campo (per un campo scalare, infatti, S = 0). Il tensore J μαβ rappresenta quindi la densit` a di momento angolare totale del sistema, e il suo integrale spaziale (1.57) il tensore di momento angolare relativistico J αβ , ottenuto sommando le componenti orbitali e quelle intrinseche. 1.3.1 Simmetrizzazione del tensore energia-impulso L’equazione di conservazione di J μαβ chiarisce l’origine della non-simmetria del tensore canonico energia-impulso, Θμν = Θνμ . Scrivendo esplicitamente l’Eq. (1.54), ed usando la condizione ∂μ Θμν = 0, abbiamo infatti: ∂μ S μαβ + Θ μβ δμα − Θμα δμβ = 0,

(1.59)

da cui

1 Θ[αβ] = − ∂μ S μαβ . (1.60) 2 Questa relazione mostra chiaramente come la parte antisimmetrica di Θ sia generata dal tensore densit` a di spin, e sia quindi inevitabilmente presente nel caso di campi dotati di momento angolare intrinseco. La relazione ottenuta suggerisce anche una procedura per ridefinire il tensore canonico energia-impulso, rendendolo simmetrico senza eliminare le sue proprietà di conservazione. Tale procedura, detta “metodo di Belinfante-Rosenfeld”, consiste nel sottrarre i contributi dello spin intrinseco, passando da Θ ad un nuovo tensore T tale che:

1 (1.61) T αβ = Θαβ + ∂μ S μαβ − S αβμ + S βμα . 2 ` facile verificare che E

1 T [αβ] = − ∂μ S [αβ]μ + S [βα]μ ≡ 0, (1.62) 2 e che

1 ∂β ∂μ S μαβ + S βμα = −∂β ∂μ S [μβ]α ≡ 0. (1.63) 2 Il nuovo tensore T risulta quindi simmetrico e automaticamente conservato. Inoltre, la differenza tra T e Θ è un termine di divergenza totale, e quindi non modifica le costanti del moto definite dal loro integrale spaziale, come discusso nella sezione precedente. L’importanza (e la necessit` a) di un’espressione simmetrica per il tensore energia-impulso apparir` a chiara nell’ambito di una teoria relativistica del campo gravitazionale, come vedremo nel Capitolo. 7. In tale ambito verr` a introdotta una conveniente definizione alternativa del tensore energia-impulso che porta automaticamente alla sua versione simmetrizzata (si veda in particolare la Sez. 7.2). ∂β T αβ =

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1.4 Esempi di tensore energia-impulso Nell’ultima sezione di questo capitolo presenteremo alcuni esempi espliciti di tensore canonico energia-impulso, concentrandoci su semplici sistemi fisici che verrano utilizzati anche nei capitoli successivi. Cominciamo col caso di un campo scalare relativistico. 1.4.1 Campo scalare Consideriamo un campo scalare φ, che assumiamo reale – per semplicit` a – e soggetto ad un potenziale di auto-interazione V (φ). La Lagrangiana si ottiene sommando il temine cinetico, quadratico nelle derivate del campo, e il temine potenziale. Usando unit` a naturali (¯ h = c = 1), e normalizzando in maniera canonica il termine cinetico del campo, abbiamo allora la densit` a di di Lagrangiana 1 L = ∂μ φ∂ μ φ − V (φ). (1.64) 2 Il momento canonicamente coniugato al campo, in questo caso, è dato da ∂L = ∂ μ φ, ∂(∂μ φ)

(1.65)

e quindi l’equazione del moto del moto (1.8) assume la forma: ∂μ ∂ μ φ ≡ 2φ = −

∂V . ∂φ

(1.66)

Per un campo libero massivo, in particolare, V = m2 φ2 /2 e l’equazione precedente si riduce alla ben nota equazione di Klein-Gordon:

2 + m2 φ = 0. (1.67) Applicando la definizione generale (1.31) alla Lagrangiana del campo scalare otteniamo il corrispondente tensore canonico energia-impulso: 1 Θν μ = ∂ν φ∂ μ φ − ∂α φ∂ α φ δνμ + V δνμ . 2

(1.68)

` immediato verificare che in questo caso il tensore è simmetrico, in accordo al E fatto che il momento angolare intrinseco di un campo scalare è nullo (si veda ` facile anche verificare, usando l’equazione del moto (1.66), la Sez. 1.3.1). E che in assenza di interazioni esterne questo tensore è conservato. Prendendo la divergenza abbiamo infatti: ∂μ Θν μ = (∂μ ∂ν φ) ∂ μ φ + ∂ν φ2φ − (∂ν ∂α φ) ∂ α φ + ∂ν φ

∂V ≡ 0. ∂φ

(1.69)

Si noti che primo e il terzo termine della divergenza si elidono automaticamente, mentre il secondo e il quarto termine si cancellano grazie all’equazione del moto (1.66).

1.4 Esempi di tensore energia-impulso

15

1.4.2 Campo elettromagnetico Il campo elettromagnetico è un campo di tipo vettoriale, rappresentato dal potenziale vettore Aν . Il termine cinetico del campo libero è quadratico nelle derivate di Aν , ed è rappresentato dalla cosiddetta densit` a di Lagrangiana di Maxwell: 1 (∂μ Aν − ∂ν Aμ ) (∂ μ Aν − ∂ ν Aμ ) . (1.70) L=− 16π Le relazioni generali fornite in precedenza per le equazioni del moto, il tensore energia-impulso, etc . . . , scritte in termini del campo ψ, si applicano dunque con la sostituzione ψ → Aν . Per il momento coniugato del campo, in particolare, abbiamo 1 ∂L = − F μν , ∂(∂μ Aν ) 4π

Fμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ ,

(1.71)

dove Fμν è il tensore del campo elettromagnetico. In assenza di sorgenti le equazioni del moto (1.8) riproducono quindi le ordinarie equazioni di Maxwell nel vuoto, ∂μ F μν = 0. Dalla definizione (1.31) otteniamo inoltre il corrispondente tensore canonico energia-impulso, Θα μ = −

1 μν 1 2 μ F ∂α Aν + F δα , 4π 16π

(1.72)

che non è simmetrico, in accordo al fatto che un campo vettoriale possiede momento angolare intrinseco. Tale tensore pu` o essere simmetrizzato, come discusso nella Sez. 1.3.1, mediante l’aggiunta di un termine a divergenza nulla che cancelli i contributi dello spin del campo. In questo caso il termine aggiuntivo ha la forma 1 μν F ∂ν Aα , Θα μ = (1.73) 4π e ci porta al nuovo tensore: 1 1 2 μ μν μ μ μ (1.74) F Fαν − F δα . Tα = Θα + Θα = − 4π 4 ` facile verificare che questo tensore è simmetrico, Tαμ = Tμα , e che la sua E traccia è nulla, Tμ μ = 0. Possiamo inoltre calcolare esplicitamente le sue componenti in funzione del campo elettrico e magnetico, usando la definizione di Fμν : F ij = − ijk Bk = Fij , F i0 = E i = −Fi0 ,

F 2 ≡ Fμν F μν = 2 B 2 − E 2 .

(1.75)

Troviamo allora che T00 fornisce la corretta densità d’energia canonica del campo elettromagnetico,

16


T0 0 =

1 2 E + B2 , 8π

(1.76)

mentre le componenti miste T0i riproducono le componenti del ben noto vettore di Poynting, 1 ijk 1 i (1.77) T0 i =

Ej Bk = (E × B) , 4π 4π che controlla la densit` a di flusso d’energia. Notiamo infine che il tensore energia-impulso (1.74) è stato ottenuto partendo dalla Lagrangiana del campo elettromagnetico libero, e quindi è conservato solo in assenza di interazioni esterne. Per chiarire bene questo punto prendiamo la sua divergenza, ∂μ T αμ , e utilizziamo le equazioni di Maxwell complete, 4π ν ∂[μ Fνα] = 0, (1.78) ∂μ F μν = J , c includendo la possibile presenza di correnti elettromagnetiche (la seconda equazione è un’identit` a, che segue dalla definizione di F in funzione di A). Si ottiene allora: 1 4π ν 1 ∂μ Tα μ = − J Fαν + F μν ∂μ Fαν − F μν ∂α Fμν 4π c 2 1 1 = − Fαν J ν − F μν (∂μ Fαν − ∂ν Fαμ − ∂α Fμν ) c 8π 1 1 μν F ∂[μ Fνα] = − Fαν J ν + c 16π 1 = − Fαν J ν . (1.79) c Dunque la divergenza di Tαμ è nulla, e l’energia e l’impulso del campo elettromagnetico sono separatamente conservati, solo in assenza di accoppiamento alla densit` a di corrente J μ delle sorgenti cariche. In presenza di sorgenti cariche sarà il tensore energia impulso totale – ossia quello del sistema “campi pi` u sorgenti” – ad avere divergenza nulla, e dunque a essere conservato. Un esempio che illustra esplicitamente questo punto sarà discusso nella sezione seguente. 1.4.3 Particella puntiforme Consideriamo una particella libera e puntiforme, di massa m e spin zero. Il tensore canonico energia-impulso ad essa associato sarà automaticamente simmetrico, e può essere ricavato dall’invarianza dell’azione per traslazioni globali, seguendo la procedura gi` a adottata nei casi precedenti. La procedura canonica, basata sull’azione della particella puntiforme, sar` a illustrata nell’Esercizio 1.4. In questa sezione arriveremo direttamente al tensore energia-impulso osservando che, per una particella puntiforme in moto


17

lungo la traiettoria x = x(t), dove t è la coordinata temporale di un generico osservatore inerziale, la distribuzione spaziale della densit` a di massa ρm è data da: (1.80) ρm = m δ 3 (x − x(t)). La delta di Dirac localizza, istante per istante, la posizione della massa nel punto occupato dalla particella. Il quadrivettore impulso della particella, in funzione del tempo, si pu` o quindi scrivere come dxμ dxμ μ μ 3 = m d3 x δ 3 (x − x(t)) , (1.81) P = mu = d x ρm (x) dτ dτ dove uμ = dxμ (t)/dτ è la quadri-velocit` a della particella localizzata lungo la sua traiettoria, e τ è il tempo proprio. Confrontando con l’Eq. (1.36), che stabilisce la relazione tra il vettore impulso P e il tensore canonico Θ, si ottiene subito dxμ . (1.82) Θ μ0 = mc δ 3 (x − x(t)) dτ D’altra parte, c = dx0 /dt, per definizione di x0 . Estendendo a tutte le coordinate la relazione precedente arriviamo cos`ı all’espressione finale del tensore energia-impulso di una particella puntiforme: Θ μν = m δ 3 (x − x(t))

dxμ dxν . dτ dt

(1.83)

Il tensore ottenuto, in questa forma, non è esplicitamente simmetrico e neanche ` facile però verificarne la simmetria ricordando esplicitamente covariante. E che, per una particella libera, dt E =γ= , dτ mc2

(1.84)

dove γ è il fattore di Lorentz e E l’energia totale della particella. Moltiplicando e dividendo per γ si pu` o quindi mettere Θ nella forma seguente, Θ μν = m2 c2 δ 3 (x − x(t))

uμ uν , E

(1.85)

che è equivalente alla (1.83), ma che risulta evidentemente simmetrica nei due indici μ e ν. Per riscrivere l’Eq. (1.83) in forma esplicitamente covariante, invece, sfruttiamo le propriet` a della delta di Dirac, che ci fornisce l’identit` a Θμν (x, t) = c dt δ(ct − ct )Θμν (x, t ) dxμ dxν , (1.86) = mc dt δ 4 (x − x(t )) dτ dt

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dove t è una generica variabile di integrazione. Parametrizzando la traiettoria in tempo proprio, x = x(τ ), ed integrando quindi sulla variabile t = τ , otteniamo infine: (1.87) Θμν = mc dτ δ 4 (x − x(τ ))uμ uν . Questa espressione del tensore energia-impulso è non solo simmetrica ma anche esplicitamente covariante, in quanto δ 4 (x) è uno scalare per trasformazioni globali del gruppo SO(3, 1), e il prodotto dei due quadrivettori velocit` a è chiaramente un tensore. Questa forma di Θ pu` o anche essere direttamente ottenuta dall’azione della particella puntiforme, come mostrato nell’Esercizio 1.4. Consideriamo infine la divergenza covariante di Θ, che possiamo spezzare in parte spaziale e parte temporale come segue: ∂ν Θμν = ∂i Θμi + ∂0 Θμ0 .

(1.88)

` conveniente usare per Θ l’espressione (1.83). Per le derivate fatte rispetto E alle coordinate spaziali contribuisce solo la delta, quindi: dxi (t) ∂ 3 δ (x − x(t)) dt ∂xi dxi (t) d δ 3 (x − x(t)) = −muμ dt dxi (t) d = −muμ δ 3 (x − x(t)). dt

∂i Θμi = muμ

(1.89)

Si noti che, nel secondo passaggio, abbiamo sostituito il gradiente relativo ad una generica direzione xi col gradiente preso lungo la traiettoria della particella, xi (t), sfruttando la regola ∂x f (x − y) = −∂y f (x − y), valida per qualunque funzione f che dipenda dalla differenza di due variabili. Per la parte temporale abbiamo invece: ∂0 Θμ0 =

d d (muμ ) δ 3 (x − x(t)) + muμ δ 3 (x − x(t)). dt dt

(1.90)

Sommando i due contributi (1.89), (1.90) arriviamo infine a: ∂ν Θμν = m

duμ 3 δ (x − x(t)). dt

(1.91)

Possiamo concludere che il tensore energia-impulso della particella ha divergenza nulla – e quindi è separatamente conservato – solo per una particella libera che ha equazione del moto duμ /dt = 0. In presenza di forze esterne si genera invece un trasferimento di energia e impulso tra il sistema esterno e la particella: ci` o che si conserva, in questo caso, è il tensore energia-impulso totale del sistema “particella pi` u campi esterni”.


19

Un esempio istruttivo, a questo riguardo, si pu` o ottenere supponendo che la particella considerata abbia una carica elettrica e, e sia soggetta all’azione di un campo elettromagnetico esterno descritto dal tensore Fμν . La particella si muover` a in accordo alla ben nota equazione della forza di Lorenz relativistica (si veda ad esempio il testo [3] della Bibliografia finale): m

duμ dxν e = F μν . dt c dτ

(1.92)

Parametrizzando la traiettoria col tempo t di un generico sistema inerziale, moltiplicando per dτ /dt la precedente equazione del moto, e sostituendo nell’equazione di conservazione (1.91), otteniamo: e dxν ∂ν Θμν = F μ ν δ 3 (x − x(t)) . c dt

(1.93)

` facile riconoscere nel membro destro l’accoppiamento tra il campo esterno E Fμν e la densità di corrente elettromagnetica J ν della carica puntiforme, J ν = ρem

dxν dxν = eδ 3 (x − x(t)) . dt dt

(1.94)

La divergenza di Θ si pu` o quindi riscrivere come ∂ν Θμν =

1 μ ν F νJ . c

(1.95)

Il confronto con la divergenza del tensore energia-impulso del campo elettromagnetico, Eq. (1.79), mostra immediatamente che la somma delle due divergenze è automaticamente nulla. Viene cos`ı confermato il principio di conservazione del tensore energia-impulso totale, T μν + Θμν , contenente il contributo sia dei campi che delle sorgenti. 1.4.4 Fluido perfetto Come ultimo esempio consideriamo un fluido perfetto, ossia un fluido per il quale le particelle che lo compongono hanno interazioni trascurabili. Questo tipo (ideale) di fluido non presenta viscosit` a o attriti interni, e la sua distribuzione appare isotropa a qualunque osservatore localmente a riposo con un elemento di fluido dato. Inoltre, se le particelle che compongono il fluido non sono dotate di spin, il suo tensore energia-impulso risulter` a simmetrico. Nel sistema a riposo (o “comovente”) col fluido le componenti del tensore energia-impulso assumono dunque la forma seguente: T0 0 = ρ,

Ti j = −pδij ,

Ti 0 = 0.

(1.96)

Abbiamo chiamato ρ la densit` a d’energia propria del fluido, mentre il coefficiente p rappresenta la pressione. In un generico sistema di riferimento, dove il

20


fluido si muove con velocit` a rappresentata dal quadrivettore uμ , le componenti di Tμν sono date da: u μ uν (1.97) Tμ ν = (ρ + p) 2 − pδμν . c Si verifica facilmente che nel sistema a riposo, dove ui = 0 e u0 = c, le componenti di Tμν si riducono a quelle dell’Eq. (1.96). Il moto libero del fluido perfetto è caratterizzato dall’equazione di conservazione dell’energia-impulso, ∂ν Tμ ν = 0, unitamente all’equazione di conservazione del numero di particelle di fluido per unit` a di volume. Questa seconda propriet` a è espressa dalla conservazione della corrente N μ , N μ = nuμ ,

∂μ N μ = 0,

(1.98)

dove n è il numero di particelle per unit` a di volume proprio, ossia la densit` a di ` interessante osservare che, come particelle nel sistema di riposo del fluido. E conseguenza di queste due leggi di conservazione, il fluido evolve in modo adiabatico. Dalla conservazione dell’energia-impulso (ponendo per semplicit` a c = 1) otteniamo infatti 0 = uμ ∂ν Tμ ν = uμ ∂ν [(ρ + p) uμ uν ] − uμ ∂μ p = ∂ν [(ρ + p) uν ] − uν ∂ν p,

(1.99)

perchè 1 (1.100) ∂ν (uμ uμ ) ≡ 0. 2 Moltiplicando e dividendo per n, e sfruttando la (1.98), abbiamo allora uμ ∂ν uμ =

nuν ∂ν da cui ν

nu ∂ν

(ρ + p) − uν ∂ν p, n

1 + nu p ∂ν = 0, n n

ρ

ν

(1.101)

(1.102)

ossia, in forma differenziale, d

ρ n

+ pd

1 = 0. n

(1.103)

Ricordiamo adesso che ρ è l’energia per unit` a di volume proprio, ρ = E/V , e n il numero di particelle per unit` a di volume, n = n0 /V , dove n0 = costante in virt` u della legge di conservazione (1.98). L’equazione precedente si pu` o riscrivere dunque in forma esplicitamente termodinamica come dE + p dV = cost,

(1.104)

Esercizi Capitolo 1

21

ossia – usando il secondo principio della termodinamica – come una condizione di entropia costante (ovvero, di evoluzione adiabatica). Concludiamo osservando che l’evoluzione libera di un fluido perfetto pu` o rimanere adiabatica anche in presenza di un campo gravitazionale esterno, come si può verificare, ad esempio, nell’ambito dei modelli cosmologici basati sulla teoria gravitazionale di Einstein (si veda ad esempio il testo [6] della Bibliografia finale

Esercizi Capitolo 1 1.1. Equazioni del moto e divergenza totale Dimostrare che le due Lagrangiane L1 = L e L2 = L + L, dove L = L(ψ, ∂ψ),

L = ∂α f α ,

f α = f α (ψ),

(1.105)

portano alle stesse equazioni del moto per il campo ψ. 1.2. Tensore energia-impulso per una divergenza totale Dimostrare che il tensore canonico energia-impulso Θμ ν associato alla densità di Lagrangiana L(ψ, ∂ψ) = ∂α f α (ψ) risulta automaticamente conservato, qualunque sia f α (ψ). 1.3. Il quadrivettore di spin In un opportuno riferimento inerziale R un sistema fisico ha il centro di massa a riposo, posizionato nell’origine delle coordinate. In questo riferimento il momento angolare orbitale è nullo, e il momento angolare instrinseco è orientato nel piano (x , y ), con componenti Jx e Jy . Determinare il momento angolare intrinseco del sistema nel riferimento R, rispetto al quale il sistema si muove con velocit` a v lungo la direzione positiva dell’asse x. 1.4. Invarianza dell’azione per una particella libera puntiforme Ricavare il tensore canonico energia-impulso di una particella libera, massiva e puntiforme partendo dall’azione ad essa associata, e imponendo l’invarianza per traslazioni globali infinitesime.

Soluzioni 1.1. Soluzione Variando l’azione corrispondente a L1 e L2 si ottengono le equazioni del moto di Eulero-Lagrange (1.8), sia per L1 che per L2 . La differenza tra le due equazioni è rappresentata dal termine

22


∂ ∂ − ∂μ ∂α f α , Δ= ∂ψ ∂(∂μ ψ)

che però è identicamente nullo, qualunque sia f α (ψ). Infatti: ∂ ∂ ∂f α ∂2f α (∂α f α ) = ∂α ψ = ∂α ψ , Δ1 = ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ 2 ∂f μ ∂ ∂f α (∂α f α ) = δαμ = , Δ2 = ∂(∂μ ψ) ∂ψ ∂ψ μ ∂ ∂f ∂2f μ Δ3 = ∂μ ∂μ ψ, (∂α f α ) = ∂μ = ∂(∂μ ψ) ∂ψ ∂ψ 2

(1.106)

(1.107)

e la differenza tra Δ1 e Δ3 fornisce Δ = Δ1 − Δ3 ≡ 0. 1.2. Soluzione Per la Lagrangiana L abbiamo: ∂f α ; ∂ψ ∂ ∂f α ∂f ν L = δαν = . ∂(∂ν ψ) ∂ψ ∂ψ

L = ∂α f α = ∂α ψ

(1.108)

Applicando la definizione (1.31) otteniamo il tensore energia-impulso: ∂f ν ∂μ ψ − δμν ∂α f α ∂ψ = ∂μ f ν − δμν ∂α f α .

Θμ ν =

(1.109)

La sua quadri-divergenza è quindi automaticamente nulla: ∂ν Θμ ν = ∂ν ∂μ f ν − ∂μ ∂α f α ≡ 0,

(1.110)

perchè ∂μ ∂α = ∂α ∂μ . 1.3. Soluzione Scomponiamo il momento angolare totale (1.57) in parte intrinseca e parte orbitale, J αβ = Σ αβ + Lαβ , Lαβ = xα P β − xβ P α , (1.111) dove Σ e L sono ottenuti integrando spazialmente le relative densit` a S μαβ μαβ e L (si veda l’Eq. (1.55)). A causa della presenza della parte orbitale il tensore J non è invariante per traslazioni del tipo xμ → xμ + aμ . Infatti: J αβ → J αβ + aα P β − aβ P α .

(1.112)

Per isolare la parte intrinseca – che non deve risentire di queste trasformazioni di coordinate – è conveniente considerare il quadrivettore di spin Sμ (detto anche vettore di Pauli-Lyubarskii), definito da

Esercizi Capitolo 1

Sμ =

1

μαβν J αβ uν , 2c

23

(1.113)

dove uν è la quadri-velocit` a del sistema considerato. Se P μ = muμ la parte orbitale Lαβ non contribuisce a Sμ poichè P [β uν] = 0 = P [α uν] . Il quadrivettore Sμ contiene solo tre componenti indipendenti, in quanto soddisfa alla condizione uμ Sμ ≡ 0. Nel riferimento R , dove il sistema fisico è a riposo, si ha ui = 0, u0 = c, e le componenti del momento angolare instrinseco sono date da: S1 = J 23 = Jx ,

S2 = J 31 = Jy ,

S3 = J 12 = 0,

S0 = 0.

(1.114)

Le componenti di Sμ in un diverso riferimento inerziale R sono collegati alle componenti di Sμ dalla trasformazione di Lorentz S μ = Λμ ν S ν . Nel nostro caso R è in moto rispetto a R lungo la direzione positiva dell’asse x. Considerando la trasformazione di Lorentz inversa abbiamo dunque:

S 1 = γ S 1 + βS 0 , S 2 = S 2 ,

(1.115) S 3 = S 3 , S 0 = γ S 0 + βS 1 , o: dove β = v/c e γ = (1 − β 2 )−1/2 . Perci` S1 = Jx = γJx ,

S2 = Jy = Jy ,

S3 = Jz = 0,

S0 = βγS 1 = −βγJx .

(1.116)

Si noti che la trasformazione di Lorentz produce una deformazione del vettore S nel piano (x, y), ma il modulo del quadrivettore di spin rimane invariato. Infatti Sμ S μ = −(Jx2 + Jy2 ) Sμ S μ = S02 − S12 − S22 = −Jx2 γ 2 (1 − β 2 ) − Jy2 = −(Jx2 + Jy2 ). (1.117) = Sμ S μ 1.4. Soluzione L’evoluzione temporale di un corpo puntiforme descrive nello spazio-tempo una traiettoria unidimensionale xμ = xμ (τ ), detta “linea d’universo” e l’azione che descrive il moto libero del corpo puntiforme è proporzionale all’integrale di linea lungo tale traiettoria, τ2 τ2 dxμ dxμ = −mc x˙ μ x˙ μ dτ ≡ L(x, x)dτ, ˙ (1.118) S = −mc τ1

τ1

dove L è la lagrangiana, e x˙ = dx/dτ . Abbiamo parametrizzato la traiettoria con la coordinata temporale τ che supponiamo invariante per trasformazioni

24


di Lorentz, e abbiamo normalizzato S in modo da riprodurre l’azione canonica non-relativistica nel limite |dxi /dτ | c. Variando rispetto a xμ con la condizione di estremi fissi, δxμ (τ1 ) = 0 = δxμ (τ2 ), e imponendo che l’azione sia stazionaria, δS = 0, otteniamo facilmente l’equazione del moto nella forma: x˙ μ d ∂L d √ = = 0. (1.119) dτ ∂ x˙ μ dτ x˙ α x˙ α Se identifichiamo infine τ con il tempo proprio della particella otteniamo il vincolo x˙ α x˙ α = c2 = costante, e l’equazione del moto libero si riconduce alla ben nota condizione di accelerazione covariante nulla, x ¨μ = 0. Osserviamo ora che la posizione della particella puntiforme è localizzata nello spazio-tempo lungo la traiettoria unidimensionale xμ (τ ), e che l’azione (1.118) pu` o essere riscritta mediante un integrale sul quadri-volume d4 x, purchè associamo alla particella una densit` a di Lagrangiana “deltiforme”, ponendo: ˙ S = d4 x L(x, x), (1.120) L(x, x) ˙ = −mc dτ x˙ μ x˙ μ δ 4 (x − x(τ )). Si noti che le dimensioni di questa Lagrangiana differiscono da quelle canoniche di densità d’energia per un fattore c−1 , che però è compensato dal fattore c contenuto nella misura d4 x dell’integrale d’azione. Il risultato finale che si ottiene per il tensore energia-impulso è quindi dimensionalmente corretto. Se usiamo questa azione, ed effettuiamo una variazione infinitesima delle coordinate, xμ → xμ + δxμ , dobbiamo tener presente che L dipende non solo da x, ˙ ma anche da x, Perci` o abbiamo, in generale: ∂L d ∂L μ δx + (δxμ ) μ μ dτ ∂x ∂ x ˙ ∂L μ ∂L d ∂L d μ δx + = − δx . ∂xμ dτ ∂ x˙ μ dτ ∂ x˙ μ

δL =

(1.121)

Imponendo che le equazioni del moto siano soddisfatte (ossia che l’argomento delle parentesi quadre sia nullo), ne consegue che la Lagrangiana è invariante sotto la trasformazione considerata purchè si annulli l’ultimo termine dell’equazione precedente. Per la nostra Lagrangiana, in particolare, abbiamo: ∂L μ x˙ μ δx = −mc dτ √ δ 4 (x − x(τ )) δxμ . (1.122) ∂ x˙ μ x˙ α x˙ α Derivando questo termine rispetto a τ , lungo la traiettoria della particella, la delta di Dirac d` a il contributo:

Esercizi Capitolo 1

25

d 4 δ (x − x(τ )) = x˙ ν ∂ν δ 4 (x − x(τ )). (1.123) dτ √ u delle equazioni del moto La derivata di x˙ μ / x˙ α x˙ α è nulla, invece, in virt` (1.119). Se consideriamo una traslazione globale, δxμ = μ = costante, e identifichiamo τ col tempo proprio, la condizione di invarianza si riduce allora a μ (1.124) dτ x˙ μ x˙ ν ∂ν δ 4 (x − x(τ )) ≡ − μ ∂ν Θμ ν = 0, −mc

dove il tensore conservato

Θμ ν = mc

dτ δ 4 (x − x(τ ))uμ uν

(1.125)

coincide esattamene col tensore energia-impulso della particella puntiforme già presentato in Eq. (1.87). Verifichiamo infine che le equazioni di Eulero-Lagrange per la densit` a di Lagrangiana (1.120) corrispondono a quelle della particella libera, Eq. (1.119). Abbiamo infatti: d d ∂L x˙ μ μ √ δx = − mc dτ δ 4 (x − x(τ )) dτ ∂ x˙ μ dτ x˙ α x˙ α x˙ μ ν 4 + √ x˙ ∂ν δ (x − x(τ )) δxμ , x˙ α x˙ α (1.126) ed inoltre ∂L μ δx = −mc ∂xμ

dτ

x˙ α x˙ α ∂ν δ 4 (x − x(τ )) δxν .

(1.127)

Lungo la traiettoria della particella δxμ = x˙ μ dτ . Facendo la differenza delle due espressioni (1.126), (1.127) si trova perci` o che i termini contenenti la derivata della delta si elidono, e si riottiene l’equazione del moto (1.119).

2 Verso una teoria relativistica della gravitazione

La equazioni gravitazionali di Newton, che forniscono la base teorica per la descrizione Kepleriana del moto dei corpi celesti, e che sembrano prestarsi cos`ı bene a rappresentare le forze gravitazionali anche su scala macroscopica di laboratorio, non sono compatibili con i principi della relativit` a ristretta. Le equazioni di Newton prevedono che gli effetti dell’interazione gravitazionale si propaghi con velocit` a infinita; inoltre, non ci dicono come tale interazione si trasformi passando da un sistema di riferimento ad un altro. La teoria Newtoniana definisce infatti la forza gravitazionale generata da una sorgente statica, ma non ci dà la forza prodotta da sorgenti in movimento. La teoria pu` o descrivere il campo gravitazionale di una massa M , utilizzando il potenziale statico φ(r) = −GM/r, solo nell’approssimazione non-relativistica in cui l’energia potenziale mφ di una massa di prova m è trascurabile (in valore assoluto) rispetto alla sua energia di riposo mc2 . Ossia nel regime in cui GM 1. (2.1) rc2 Per descrivere la gravit` a nel regime relativistico è dunque necessario generalizzare la teoria di Newton. In che modo? Una via naturale sembrerebbe suggerita dalla stretta analogia formale che esiste tra la forza gravitazionale tra due masse statiche e la forza di Coulomb tra due cariche elettriche. Cos`ı come il potenziale di Coulomb corrisponde alla quarta componente del quadrivettore potenziale, anche il potenziale di Newton potrebbe essere la componente di un quadrivettore, e anche l’interazione gravitazionale potrebbe essere rappresentata da un campo vettoriale relativistico, come l’interazione elettromagnetica. Questa suggestiva speculazione va per` o immediatamente scartata, perchè interazioni di tipo vettoriale prevedono forze statiche repulsive tra sorgenti dello stesso segno mentre, come ben noto, la gravità è attrattiva tra masse dello stesso segno.

28


Una seconda possibilit` a, anche questa perfettamente consistente da un punto di vista formale, è che il potenziale di Newton si comporti come un oggetto scalare rispetto alle trasformazione di coordinate, ossia che l’interazione gravitazionale relativistica sia correttamente descritta da un campo scalare. Anche quest’ipotesi è da scartare sulla base dei risultati sperimentali, ma le motivazioni, in questo caso, sono meno evidenti che nel caso precedente. Vale la pena – anche in vista di applicazioni successive – di discutere brevemente una di queste motivazioni che riguarda la precessione del perielio delle orbite planetarie. Consideriamo il moto di un corpo di prova relativistico, di massa m, che interagisce con una forza centrale (cioè diretta radialmente) descritta dal potenziale scalare U = U (r). Il moto è governato dalla Lagrangiana relativistica v2 2 (2.2) L = −mc 1 − 2 − mU, c dove v 2 = vi vi , e vi = dxi /dt. Il termine cinetico di questa Lagrangiana si ottiene direttamente dall’azione libera (1.118) usando come parametro della traiettoria il tempo t di un generico osservatore inerziale, xμ = xμ (t). Si pu` o facilmente dimostrare che per questo sistema dinamico il momento angolare si conserva e il moto è confinato su di un piano, in quanto r×∇U = 0. Introducendo su questo piano coordinate polari, x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

(2.3)

e prendendo per U il potenziale gravitazionale prodotto da un corpo centrale di massa M , si arriva alla Lagrangiana:

1/2 GM m 1 + L = −mc2 1 − 2 r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 , c r

(2.4)

dove il punto indica derivata rispetto a t. Questa Lagrangiana è ciclica rispetto alle coordinate ϕ e t, ed è quindi caratterizzata da due costanti del moto: il momento canonicamente coniugato alla variabile angolare (cioè il momento angolare) e l’energia totale (associata all’Hamiltoniana). Possiamo quindi porre ∂L = mγr2 ϕ˙ = mh = cost, ∂ ϕ˙ ∂L − L = mγc2 + mU = mα = cost, ∂v i dove γ è il fattore di Lorentz H = vi

−1/2 1 γ = 1 − 2 r˙ 2 + r 2 ϕ˙ 2 , c

(2.5) (2.6)

(2.7)


29

e dove h e α sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali. Combiniamo ora le due relazioni (2.5), (2.6), deriviamo rispetto a ϕ, e poniamo u = 1/r. Escludendo il possibile caso di orbite circolari, r = cost, si arriva cos`ı alla seguente equazione del moto in coordinate polari (si veda l’Esercizio 2.1): k2 , (2.8) u + k 2 u = p dove il primo indica la derivata rispetto a ϕ, e dove le costanti k e p sono definite da: k2 = 1 −

c2 r02 , 4h2

αr0 k2 = 2, p 2h

r0 =

2GM . c2

(2.9)

La soluzione generale di questa equazione è data alla soluzione generale dell’equazione omogena pi` u una soluzione particolare dell’equazione non-omogenea, e dipende da due costanti in integrazione che chiameremo e e ϕ0 . Se prendiamo delle condizioni iniziali per le quali il moto rimane confinato in una porzione finita di spazio è conveniente scrivere la soluzione generale nella forma seguente, 1 u = [1 + e cos k(ϕ − ϕ0 )] , (2.10) p con 0 < e < 1. Nel limite non-relativistico, in cui c → ∞, si ottiene k → 1, e la (2.10) si riduce all’equazione che descrive (in coordinate polari) un’ellisse di eccentrincità e e posizione del perielio ϕ = ϕ0 . Se non trascuriamo le correzioni relativistiche, e prendiamo per k il valore prescritto dall’Eq. (2.9), troviamo che il moto è ancora compreso tra una posizione di minima e massima distanza dall’origine, ma l’orbita non è pi` u chiusa: non descrive un’ellisse, bens`ı una curva detta “rosetta”. Il punto di minima distanza dalla sorgente, o perielio, non viene pi` u raggiunto periodicamente dopo che il moto del corpo ha sotteso un angolo ϕ − ϕ0 = 2π, bens`ı dopo un o, ad ogni giro, c’è uno spostamento angolare del angolo k(ϕ − ϕ0 ) = 2π. Perci` perielio dato da 2 2 2π πG2 M 2 1 c r0 Δϕ = (2.11) = − 2π = 2π − 1 2π k k 8h2 c2 h2 (abbiamo usato per k la definizione (2.9) nell’approssimazione c2 r02 /h2 1, che è ben soddisfatta nel caso delle orbite planetarie del nostro sistema solare). Una teoria che descrive l’interazione gravitazionale mediante un potenziale scalare relativistico prevede dunque che le orbite planetarie, anzichè descrivere delle perfette ellissi Kepleriane come prescritto dalla meccanica di Newton, siano soggette ad una (piccola) precessione del perielio, in accordo all’Eq. (2.11). Un moto di precessione di questo tipo in effetti esiste realmente, ed è stato messo in evidenza e misurato da una lunga serie (pi` u che secolare) di accurate osservazioni astronomiche.

30


Però, la predizione (2.11) basata su di un modello di gravit` a scalare è in netto disaccordo con la precessione che viene osservata: per il pianeta Mercurio, ad esempio, l’Eq. (2.11) fornisce uno spostamento del perielio di circa 7 secondi d’arco per secolo, mentre lo spostamento osservato è di circa 43 secondi d’arco per secolo. Una discrepanza che va molto al di l` a dei possibili errori sperimentali1 . Un modello gravitazionale basato su di un campo scalare non pu` o quindi rappresentare una soddisfacente generalizzazione relativistica della teoria Newtoniana. Un approccio alternativo ad una teoria relativistica della gravit` a, che non fa uso di campi scalari o vettoriali, e che si confronta favorevolmente con tutte le osservazioni finora disponibili, è il modello di interazione tensoriale che viene adottato dalla teoria della relativit` a generale di Einstein e che permette, a livello classico, di descrivere e interpretare le forze gravitazionali anche in modo geometrico. Il punto di partenza di questo efficiente approccio geometrico è una radicale estensione del principio che sta alla base della relativit` a ristretta e che sancisce l’equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali. Tale principio viene generalizzato dalla seguente assunzione: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, senza restringersi alla classe dei riferimenti inerziali. Questa assunzione porta, come conseguenza, al cosiddetto “principio di general-covarianza”: le leggi della fisica sono covarianti rispetto a trasformazioni generali di coordinate, e non solo rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Queste due assunzioni, che rappresentano una generalizzazione naturale (e piuttosto innocua, all’apparenza) dei postulati della relativit` a ristretta, e che stanno alla base della teoria della relativit` a generale, hanno una portata rivoluzionaria. In questo contesto, infatti, diventa inevitabile rinunciare alla struttura rigida e pseudo-euclidea dello spazio-tempo di Minkowski a favore di una struttura geometrica pi` u generale. Per illustrare questo punto ricordiamo che per una generica trasformazione xμ → xμ il differenziale delle coordinate si trasforma come μ ∂x μ dxν , dx = (2.12) ∂xν dove il termine in parentesi tonde rappresenta la matrice Jacobiana inversa della trasformazione. Supponiamo, per semplicit` a, che le coordinate di partenza xμ si riferiscano ad un sistema inerziale, caratterizzato da un intervallo spazio-temporale infinitesimo di tipo Minkowskiano: 1

Come vedremo nel Capitolo 10, la teoria della relativit` a generale prevede che lo spostamento del perielio sia controllato da un’espressione che coincide approssimativamente con la (2.11) moltiplicata per 6, e che produce quindi un accordo molto migliore con le osservazioni.

2.1 I postulati della geometria Riemanniana

ds2 = ημν dxμ dxν .

31

(2.13)

Lo stesso intervallo, espresso in funzione delle nuove coordinate xμ , assumerà una forma non pi` u Minkowskiana. Dalle legge di trasformazione (2.12) otteniamo infatti ds2 = ημν

∂xμ ∂xν α β dx dx ≡ gαβ (x )dxα dxβ , ∂xα ∂xβ

(2.14)

dove abbiamo posto

∂xμ ∂xν . (2.15) ∂xα ∂xβ Questo risultato mostra esplicitamente che una generica trasformazione di coordinate – al contrario delle trasformazioni di Lorentz – non preserva la metrica di Minkowski. Se estendiamo la classe dei sistemi fisicamente equivalenti anche ai sistemi non-inerziali dobbiamo allora necessariamente introdurre nella variet` a spazio-temporale un intervallo (o “elemento di linea”) ds2 che non è pi` u rigidamente fissato come combinazione pseudo-euclidea dei differenziali dx2 , ma che dipende in generale dal punto in cui viene calcolato. gαβ (x ) = ημν

2.1 I postulati della geometria Riemanniana Il principio di relativit` a generale, o di general-covarianza, ci porta ad uno spazio-tempo con una geometria diversa da quella di Minkowski, e pi` u ricca di possibili strutture. Per poter formulare dei modelli fisicamente predittivi diventa allora necessario fare alcune “ipotesi di lavoro” sulla geometria dello spazio-tempo, cos`ı da fissare meglio il modello che si assume valido. A questo proposito è opportuno considerare le due ipotesi seguenti: •

l’intervallo ds2 è una forma quadratica omogenea (in generale con coefficienti non costanti) nei differenziali delle coordinate: ds2 = gμν (x)dxμ dxν ;

•

(2.16)

l’intervallo ds2 è invariante per trasformazioni generali di coordinate: ds2 = gμν (x)dxμ dxν = gμν (x) = ds2 = gαβ (x )dxα dxβ .

∂xμ ∂xν α β dx dx = ∂xα ∂xβ (2.17)

Questa seconda ipotesi è esattamente equivalente alla richiesta che i coefficiena spazioti gμν della forma quadratica – la cosiddetta “metrica” della variet` temporale – si trasformino come le componenti di un tensore covariante di rango due, ossia che:

32

2 Verso una teoria relativistica della gravitazione gαβ (x ) = gμν (x)

∂xμ ∂xν ∂xα ∂xβ

(2.18)

(si veda il Capitolo 3). Con queste due ipotesi il modello geometrico prescelto risulta essere di tipo Riemanniano: un modello che estende allo spazio-tempo a quattro (o pi` u) dimensioni il metodo suggerito da Gauss per descrivere in modo intrinseco la geometria delle superfici bidimensionali. ` opportuno ricordare, infatti, che le propriet` E a geometriche di una generica ipersurperficie n-dimensionale Σn possono essere descritte in due modi. Un modo si basa su di un approccio estrinseco, che consiste nell’immergere la varietà in uno spazio esterno euclideo (o pseudo-euclideo) n + 1-dimensionale Mn+1 , parametrizzato dalle coordinate X A , con elemento di linea ds2 = ηAB dX A dX B ,

A, B = 1, . . . , n + 1.

(2.19)

L’ipersuperficie pu` o essere allora rappresentata come un sottospazio di Mn+1 individuato da una relazione che collega tra loro le n + 1 coordinate X A , del tipo f (X A ) = 0. Possiamo pensare, come esempio, alla superficie bidimensionale S2 di una sfera di raggio a = costante, che immaginiamo immersa nello spazio euclideo tridimensionale R3 , parametrizzato dalle coordinate cartesiane X i , i = 1, 2, 3. La superficie data è allora individuata dall’equazione f (X i ) ≡ X12 + X22 + X32 − a2 = 0.

(2.20)

Ma c’è anche un secondo, possibile approccio, di tipo intrinseco, che descrive la geometria di Σn senza far riferimento alle coordinate X A dello spazio esterno, utilizzando invece un sistema di coordinate ξ μ definite sull’ipersuperficie stessa. A questo scopo si considerano le equazioni parametriche X A = X A (ξ μ )

μ = 1, . . . , n,

(2.21)

che descrivono l’immersione di Σn in Mn+1 , e si scrive l’elemento di linea (2.19) ristretto all’ipersuperficie Σn , imponendo cioè che le coordinate X A soddisfino le equazioni parametriche (2.21): ∂X A (ξ) ∂X B (ξ) (2.22) ds2 = ηAB dξ μ dξ ν = gμν (ξ)dξ μ dξ ν . ∂ξ μ ∂ξ ν La variabile gμν (ξ), definita dai termini in parentesi quadra dell’equazione precedente, è la cosiddetta “metrica indotta” sull’ipersuperficie. Si pu` o quindi descrivere la geometria di Σn facendo unicamente riferimento alle sue coordinate intrinseche ξ μ , a patto di definire su Σn un elemento di linea che – a differenza di quanto avviene per Mn+1 – non è in generale euclideo (o pseudo-euclideo). Prendiamo ancora, come esempio, la superficie sferica S2 immersa in R3 . Se scegliamo come coordinate intrinseche su S2 i due angoli delle coordinate

2.1 I postulati della geometria Riemanniana

33

sferico-polari, ξ μ = {θ, ϕ}, le equazioni parametriche X i (ξ μ ) che collegano le coordinate cartesiani di R3 a quelle di S2 sono allora date da X1 = a sin θ cos ϕ,

X2 = a sin θ sin ϕ,

X3 = a cos θ.

(2.23)

Differenziando queste relazioni, e sostituendo nell’elemento di linea euclideo di R3 , si ottiene l’elemento di linea sulla superficie sferica nella forma seguente:

(2.24) ds2 = dX12 + dX22 + dX32 = a2 dθ2 + sin2 θdϕ2 . Rispetto alle coordinate intrinseche {θ, ϕ} della sfera abbiamo quindi una geometria non-euclidea, descritta dalla metrica Riemanniana gμν (θ, ϕ) con componenti g11 = a2 ,

g22 = a2 sin2 θ,

g12 = g21 = 0.

(2.25)

Le due ipotesi presentate all’inizio di questa sezione permettono dunque di determinare in modo intrinseco le propriet` a geometriche dello spazio-tempo, introducendo su di esso una struttura metrica Riemanniana che generalizza la descrizione usata da Gauss per le superfici, indipendentemente dal numero di dimensioni attribuite alla variet` a spazio-temporale. Va osservato, però, che le ipotesi fatte non sono le uniche possibili: ci sono anche ipotesi meno restrittive, e quindi pi` u generali. Potremmo pensare, ad esempio, di richiedere semplicemente che ds sia una forma omogenea di grado uno nei differenziali delle coordinate. Questo ci permette di scrivere, in generale, ds = F (x, dx), dove la funzione F soddisfa alla condizione F (x, λdx) = λF (x, dx), (2.26) qualunque sia il parametro λ. Come particolare esempio di intervallo che soddisfa questa condizione potremmo prendere la seguente espressione:

1/4 ds = dx41 + dx42 + . . . . (2.27) L’ipotesi fatta caratterizza una struttura geometrica nota sotto il nome di geometria di Finsler, diversa da quella di Riemann e pi` u generale di quest’ultima. L’ipotesi (2.16), che caratterizza la geometria di Riemann, soddisfa infatti la condizione (2.26) come caso particolare, per cui la geometria di Riemann è un caso particolare di quella di Finsler (analogamente, la geometria di Minkowski è un caso particolare di quella di Riemann, e quindi di quella di Finsler). Viceversa, esistono intervalli ds – come quello definito in Eq. (2.27) – che soddisfano alle ipotesi di Finsler, ma non a quelle di Riemann. In vista di questi (ed altri) possibili tipi di struttura geometrica, che includono i casi di Riemann e Minkowski all’interno di schemi con livello di generalit` a crescente, diventa lecito chiedersi quale sia il modello geometrico pi` u appropriato da applicare allo spazio-tempo. Il principio di general-covarianza ci dice che la geometria di Minkowski va generalizzata, ma non ci dice come. C’è qualche altro principio che ci può fornire indicazioni utili al riguardo? Una risposta a questa domanda verr` a presentata nella sezione successiva.

34


2.2 Il principio di equivalenza Se vogliamo formulare una teoria relativistica della gravitazione allargando il principio di relativit` a, e generalizzando la geometria dello spazio-tempo, dobbiamo scegliere una struttura geometrica che sia compatibile con le propriet` a dell’interazione gravitazionale. Una delle propriet` a pi` u caratteristiche di tale interazione è riassunta dal cosiddetto “principio di equivalenza”: l’interazione gravitazionale è sempre localmente eliminabile, dove localmente significa in un punto dato dello spazio-tempo e nel suo intorno infinitesimo. Tale propriet` a è basata sul fatto che gli effetti dell’interazione gravitazionale sono indistinguibili, localmente, da quelli di un sistema accelerato, per cui le forze gravitazionali possono essere localmente eliminate semplicemente applicando un’accelerazione uguale e contraria. ` importante sottolineare che questa completa eliminazione delle forze, E per qualunque sistema fisico dato, è possibile solo in virt` u dell’universalit` a dell’accoppiamento gravitazionale. Come ben noto sin dai tempi di Galileo, infatti, tutti i corpi rispondono ad un campo gravitazionale esterno con la stessa accelerazione, il che significa che il rapporto tra la “carica” gravitazionale (cioè la massa gravitazionale) e la massa inerziale ha lo stesso valore per tutti i corpi. La gravitazione è l’unica, tra le interazioni fondamentali, a godere di questo tipo di universalit` a. Per l’interazione elettromagnetica, ad esempio, il principio di equivalenza non è valido, perchè corpi con cariche diverse rispondono in maniera diversa ai campi applicati: scegliendo un opportuno sistema accelerato possiamo eliminare localmente la forza che agisce su di una certa carica, ma non su tutte le altre cariche del sistema, che in generale sono soggette ad accelerazioni diverse. Perci` o l’interazione elettromagnetica non è localmente eliminabile, al contrario di quella gravitazionale. Se vogliamo rappresentare l’interazione gravitazionale introducendo nello spazio-tempo una struttura geometrica diversa da quella di Minkowski dobbiamo dunque richiedere – in accordo al principio di equivalenza – che gli effetti di questa nuova struttura siano localmente elminabili, ossia che la nuova geometria possa sempre ridursi, localmente, a quella di Minkowski. Questa propriet` a non è soddisfatta, in generale, dalla geometria di Finsler, mentre è sempre soddisfatta dalla geometria di Riemann. Infatti, se l’elemento di linea soddisfa alle propriet` a (2.16), (2.17), è sempre possibile scegliere un opportuno sistema di coordinate, detto “sistema localmente inerziale”, rispetto al quale la metrica di Riemann gμν si riduce localmente a ημν in corripondenza di un punto dato e la geometria, nell’intorno di quel punto, ritorna ad essere di tipo Minkowskiano. Per visualizzare geometricamente questa proprietà possiamo ricordare l’esempio della superficie sferica S2 , introdotto nella sezione precedente. La geo-

2.2 Il principio di equivalenza

35

metria intrinseca di S2 non è euclidea; in ogni punto di S2 , però, possiamo sempre introdurre un piano tangente, e approssimare la geometria della sfera, nell’intorno di quel punto, con la geometria euclidea del piano. Allo stesso modo, se abbiamo uno spazio-tempo di Riemann a quattro dimensioni, possiamo sempre introdurre in ogni punto uno spazio-tempo “piatto” tangente dotato della metrica di Minkowski, e approssimare localmente la geometria di Riemann con quella tangente di Minkowski. Per illustrare in modo pi` u esplicito la riduzione locale di una metrica di Riemann alla forma Minkowskiana consideriamo una metrica g che soddisfa alle condizioni (2.16), (2.17), e mostriamo che possiamo sempre trovare una trasformazione di coordinate x → x (x) tale che la metrica trasformata coincida con quella di Minkowski in un punto dato x0 , cioè: g (x0 ) = η. Possiamo prendere, per semplicit` a, un sistema di coordinate x che coincida con x nel punto di riferimento x0 . Consideriamo la trasformazione di coordinate inversa, x = x(x ), e sviluppiamola in serie di Taylor attorno a x = x0 : μ ∂x μ μ (xν − xν0 ) + x (x ) x0 + ∂xν x =x0 ∂xμ 1 β β + (xα − xα (2.28) 0 )(x − x0 ) + . . . 2 ∂xα ∂xβ x =x0 Tale trasformazione risulta determinata al prim’ordine, nell’intorno di x0 , qualora siano noti i coefficienti (costanti) della matrice μ ∂x I μν = . (2.29) ∂xν x =x0 La trasformazione della metrica per un generico cambio di coordinate, d’altra parte, è fissata dall’Eq. (2.18). Se valutiamo tale trasformazione nel punto x = x = x0 , ed imponiamo la condizione g (x0 ) = η, otteniamo gαβ (x0 ) = I μ α I ν β gμν (x0 ) = ηαβ .

(2.30)

Poichè la metrica di partenza gμν è nota dappertutto, questa condizione fornisce un sistema di 10 equazioni per le 16 incognite che sono le componenti della matrice I μ ν . Tale sistema ammette sempre soluzioni (non tutte nulle) per i coefficienti I μ ν , per cui è sempre possibile determinare, nell’intorno del punto scelto, una trasformazione di coordinate che riduca in quel punto la metrica di partenza in forma Minkowskiana. Si noti che il sistema di equazioni (2.30) non fissa completamente i coefficienti I μ ν , ma piuttosto determina una classe di soluzioni che dipende da 16 − 10 = 6 parametri. La trasformazione di coordinate che ci porta alla metrica di Minkowski viene quindi definita a meno di 6 gradi di libert` a arbitrari. Questa arbitrariet` a corrisponde, fisicamente, alla possibilit` a di cambiare localmente sistema di riferimento – anche dopo aver fissato g = η – mediante

36


una generica trasformazione di Lorentz che dipende appunto da 6 parametri e che, come ben noto, non modifica la metrica di Minkowski. Pi` u in generale, se non avessimo imposto la coincidenza dei due sistemi di coordinate in x0 , avremmo determinato la trasformazione a meno di 4 ulteriori parametri costanti, xμ (x0 ), che avrebbero sostituito il termine di ordine zero dello sviluppo di Taylor (2.28), e che si sarebbero aggiunti ai 6 parametri precedenti. E infatti le trasformazioni pi` u generali che preservano la geometria di Minkowski sono quelle del gruppo di Poincarè, che include oltre alle trasformazioni di Lorentz anche le traslazioni, e che dipende appunto da 6 + 4 = 10 parametri. In conclusione possiamo dire che la geometria Riemanniana, grazie alle sue propriet` a locali, si presenta come uno strumento idoneo a descrivere una struttura spazio-temporale che inglobi e generalizzi quella della relativit` a ristretta in modo compatibile con il principio di equivalenza, e quindi adatta, per lo meno in linea di principio, ad un’eventuale rappresentazione geometrica dell’interazione gravitazionale. Alcuni utili aspetti del formalismo e delle tecniche necessarie per lo studio delle variet` a Riemanniane verrano presentati nel prossimo capitolo.

Esercizi Capitolo 2 2.1. Moto relativistico in un campo gravitazionale centrale Ricavare l’equazione del moto (2.8) combinando le equazioni (2.6) e (2.7) che definiscono, rispettivamente, le costanti h e α. 2.2. Pseudo-sfera a quattro dimensioni Si consideri una ipersuperficie a 4 dimensioni (con segnatura pseudo-euclidea, gμν = (+, −, −, −)), parametrizzata dalle coordinate intriseche xμ = (ct, xi ), e immersa in uno spazio-tempo di Minkowski a 5 dimensioni con coordinate z A , A = 0, 1, 2, 3, 4. L’ipersuperficie è descritta dalle seguenti equazioni parametriche c H sinh(Ht) + eHt xi xi , H 2c z i = eHt xi , H c cosh(Ht) − eHt xi xi , z4 = H 2c z0 =

(2.31)

dove H è una costante. Si verifichi che tale ipersuperficie rappresenta una pseudo-ipersfera (o iperboloide) a 4 dimensioni, e si determini la sua metrica intrinseca, ovvero la metrica indotta su questa ipersuperficie dalle equazioni di immersione (2.31).

Esercizi Capitolo 2

37

Soluzioni 2.1. Soluzione Ponendo r˙ = r ϕ, ˙

r =

dr , dϕ

possiamo riscrivere l’Eq. (2.5) nel modo seguente, r 2 2 r2 2 h2 2 ϕ˙ = 4 1 − 2 ϕ˙ − 2 ϕ˙ , r c c e ricavare quindi ϕ˙ 2 nella forma:

−1 h2 2 h2 2 2 ϕ˙ = 4 1 + 4 2 r + r . r r c

(2.32)

(2.33)

(2.34)

` conveniente inoltre ricavare l’inverso di γ 2 dall’Eq. (2.6): E

2 1 1 2 c4 2 ≡ 1 − + r = r ϕ ˙

2 . γ2 c2 α + GM r Sostituendo ϕ˙ 2 , ed invertendo la relazione precedente, otteniamo: 2

GM 1 h2 α + = 1 + 4 2 r 2 + r 2 . 4 c r r c

(2.35)

(2.36)

Sostituiamo ora la variabile r con la variabile u = 1/r, tale che r = −u /u2 , e deriviamo rispetto a ϕ entrambi i membri dell’equazione precedente. Otteniamo cos`ı una condizione che si pu` o scrivere: r0 α r02 c2 u (u + u) = u + u , (2.37) 2h2 4h2 dove r0 = 2GM/c2 . Questa condizione ammette la soluzione banale u = 0, ossia r = cost, che descrive una traiettoria circolare nel piano dell’orbita. Se escludiamo il caso di orbite circolari, e supponiamo u = 0, possiamo dividere per u e arriviamo infine all’equazione u + u =

r0 α r02 c2 + u, 2h2 4h2

(2.38)

che con le definizioni (2.9) si riduce esattamente all’equazione del moto (2.8). 2.2. Soluzione Elevando al quadrato le coordinate z A definite in Eq. (2.31), e contraendole con la metrica di Minkowski della variet` a a 5 dimensioni, si trova facilmente che l’ipersuperficie considerata soddisfa l’equazione

38


2 2 2 2 2 c2 ηAB z A z B = z 0 − z 1 − z 2 − z 3 − z 4 = − 2 = cost. H

(2.39)

Questa equazione descrive una pseudo-sfera a 4 dimensioni di raggio R = c/H (si confronti infatti questo risultato con l’Eq. (2.20) che descrive una superficie sferica bidimensionale). A causa del carattere pseudo-euclideo della metrica esterna, le sezioni spazio-temporali di questa ipersuperficie – ad esempio, le sezioni con z 2 = z 3 = z 4 = 0 – rappresentano iperboli anzichè cerchi. L’ipersuperficie considerata pu` o quindi essere interpretata come un iperboloide di rotazione a 4 dimensioni. La sua metrica intrinseca gμν indotta dalle equazioni parametriche z A = A μ z (x ) è definita, in accordo all’Eq. (2.22), come gμν =

∂z A ∂z B ηAB . ∂xμ ∂xν

(2.40)

Derivando le equazioni (2.31) rispetto a xμ otteniamo facilmente g00

1 = 2 c

gij =

∂z 0 ∂t

2

2 2 1 ∂z i 1 ∂z 4 − 2 − 2 = 1, c ∂t c ∂t

∂z 0 ∂z 0 ∂z k ∂z l ∂z 4 ∂z 4 − δkl − = −δij e2Ht , i j i j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi ∂xj

g0i = 0.

(2.41)

L’elemento di linea intrinseco dell’iperboloide a 4 dimensioni, nelle coordinate prescelte, è dunque dato da 2

ds2 = gμν dxμ dxν = c2 dt2 − e2Ht |dx| .

(2.42)

Esso rappresenta una possibile parametrizzazione della cosiddetta geometria di de Sitter (si veda ad esempio il testo [2] della Bibliografia finale), che ha importanti applicazioni in un contesto cosmologico (si veda ad esempio il testo [14]).

3 Calcolo tensoriale in una variet` a di Riemann

Motivati dalla discussione del capitolo precedente supponiamo dunque che lo spazio-tempo abbia la struttura geometrica di una variet` a Riemanniana, a quattro dimensioni, con segnatura pseudo-euclidea. Descriviamo cioè lo spazio-tempo come una variet` a differenziabile1 dotata di una metrica g che definisce i prodotti scalari in accordo ai postulati enunciati nella Sez. 2.1, e che può essere rappresentata da una matrice 4 × 4 reale e simmetrica, con autovalori spaziali e temporali di segno opposto. Con le nostre convenzioni prenderemo positivo l’autovalore di tipo tempo: gμν = diag (+, −, −, −) .

(3.1)

Per essere Riemanniana la varietà deve essere inoltre dotata di una “connessione affine”’ che sia simmetrica e compatibile con la metrica (si veda la Sez. 3.5). ` importante osservare che gli autovalori della metrica – cos`ı come quelli E di qualunque matrice – restano invariati per le cosiddette “trasformazioni di similarità”, ossia per le trasformazioni del tipo g → g = U −1 gU . Gli autovalori di g possono cambiare, per` o, se applichiamo una generica trasformazione di coordinate. In quel caso infatti la trasformazione della metrica è fissata dall’Eq. (2.18), che si pu` o riscrivere in forma pi` u compatta introducendo la matrice Jacobiana J μ ν , definita da: J μν =

∂xμ , ∂xν

J −1

μ ν

=

∂xμ . ∂xν

(3.2)

L’Eq. (2.18) diventa allora

μ

ν

T = J −1 α gμν J −1 β ≡ J −1 gαβ

α

μ

ν gμν J −1 β ,

(3.3)

ovvero, utilizzando il prodotto matriciale righe per colonne: 1

Variet` a differenziabile: spazio topologico di Hausdorff localmente isomorfo a Rn .

40


g = (J −1 )T g J −1 .

(3.4)

Una trasformazione di questo tipo è detta “congruenza”, qualunque sia la matrice J −1 , e non preserva gli autovalori della matrice g. Essa preserva per` o il numero degli autovalori di un dato segno (in accordo al cosiddetto teorema di Sylvester), per cui la segnatura 3 + 1 della metrica non cambia per trasformazioni di coordinate. Nel contesto della geometria di Riemann la nozione di osservatore (o sistema di riferimento) inerziale, tipica della relativit` a ristretta, viene sostituita dalla nozione pi` u generale di sistema di coordinate, anche detto “carta” nel linguaggio della geometria differenziale. La relazione tra le varie carte non è pi` u lineare come nel caso delle trasformazioni di Lorentz. Inoltre, una singola carta pu` o non essere sufficiente a ricoprire l’intera varietà Riemanniana. In quel caso si ricorre ad un insieme di carte, detto “atlante”. Nella regione in cui due carte si intersecano ogni punto della variet` a è individuato da due differenti sistemi di coordinate, {x} e {x }. In quella regione diventa possibile definire la trasformazione di coordinate x → x . Per le ipotesi fatte sulla variet` a spazio-temporale tale trasformazione deve corrispondere a un diffeomorfismo, ossia deve essere rappresentata da una funzione biunivoca, differenziabile, invertibile, e con l’inverso differenziabile. La trasformazione deve essere quindi caratterizzata da un determinante Jacobiano non singolare. Possiamo considerare, come semplice esempio, la trasformazione di coordinate dal sistema polare {r, ϕ} a quello cartesiano {x, y}, definita in Eq. (2.3). ` facile verificare che il determinante Jacobiano di tale trasformazione vale E det J ≡ |∂x /∂x| = r, per cui la trasformazione è definita dappertutto tranne che per r = 0, dove non è invertibile. Le coordinate polari non sono quindi definite nell’origine, e la carta polare non è sufficiente a ricoprire completamente il piano euclideo R2 (a differenza delle coordinate cartesiane, che forniscono invece un ricoprimento completo di R2 ). L’utilizzo di uno schema geometrico Riemanniano, e l’introduzione di un principio di relativit` a generalizzato che pone sullo stesso piano fisico tutte le carte, richiede, per consistenza, che gli oggetti geometrici definiti sullo spaziotempo siano classificati in base alle trasformazioni generali di coordinate (e non solo rispetto alle trasformazioni di Lorentz come nel caso particolare della relativit` a ristretta). Il resto di questo capitolo sarà dedicato a introdurre ed illustrare alcuni importanti aspetti di questo formalismo geometrico.

3.1 Tensori covarianti e controvarianti Un oggetto geometrico y definito su una variet` a Riemanniana è rappresentato da un insieme di funzione differenziabili yA (x), dette “componenti”, che per un cambio di carta x → x si trasformano nel modo seguente: (x ) = YA [yA (x), x (x)] . yA (x) → yA

(3.5)

3.1 Tensori covarianti e controvarianti

41

Se la trasformazione è omogenea le componenti formano la base per la rappresentazione di un gruppo di trasformazioni definito sulla variet` a. In generale , relative alla nuova carta x , dipendono dalle vecchie le nuove componenti yA componenti e dalle nuove coordinate tramite una funzione YA la cui forma è rigidamente ed unicamente prescritta dal tipo di oggetto considerato. Un oggetto φ di tipo scalare, ad esempio, si trasforma semplicemente come φ (x ) = φ(x).

(3.6)

Un oggetto A di tipo vettoriale controvariante (anche detto tensore di tipo (1, 0)) si trasforma come il differenziale delle coordinate, dxμ = e quindi:

∂xμ ν dx , ∂xν

Aμ (x ) = J μ ν Aν (x),

(3.7)

(3.8)

dove J è la matrice Jacobiana (3.2). Un oggetto B di tipo vettoriale covariante (anche detto tensore di tipo (0, 1)) si trasforma come il gradiente,

e quindi:

∂ ∂xν ∂ = , μ ∂x ∂xμ ∂xν

(3.9)

Bμ (x ) = (J −1 )ν μ Bν (x).

(3.10)

Accanto alle trasformazioni dirette, che esprimono le componenti sulla nuova carta in funzione delle vecchie componenti, possiamo ovviamente considerare le trasformazioni inverse, che si ottengono invertendo le equazioni (3.8), (3.10). Per un vettore controvariante e covariante otteniamo, rispettivamente: Aμ (x) = (J −1 )μ ν Aν (x ), Bμ (x) = J ν μ Bν (x ).

(3.11) (3.12)

La definizione di vettore (o tensore di rango uno) si estende facilmente a quella di tensore di rango generico osservando che un tensore covariante (o controvariante) di rango r si trasforma come il prodotto diretto di r vettori covarianti (o controvarianti). In particolare, un tensore “misto” T di tipo (n, m) ha rango n rispetto ai vettori controvarianti e rango m rispetto ai vettori covarianti, ed è un oggetto geometrico con 4n+m componenti che si trasforma nel modo seguente: T μ1 ···μn ν1 ···νm (x ) = = J μ1 α1 · · · J μn αn (J −1 )β1 ν1 · · · (J −1 )βm νm T α1 ···αn β1 ···βm (x). (3.13) Si noti che per un tensore misto di rango r = 2 l’Eq. (3.13) assume la forma di una trasformazione di similarit` a. Abbiamo infatti

42


ossia, in forma matriciale:

T μ ν = J μ α T α β (J −1 )β ν ,

(3.14)

T = JT J −1 .

(3.15)

Per questo caso speciale gli autovalori della matrice T μ ν sono dunque preservati, qualunque sia la trasformazione data. La differenza geometrica tra componenti covarianti e controvarianti pu` o essere facilmente illustrata introducendo sulla variet` a spazio-temporale quattro vettori di base eμ , μ = 1, . . . , 4, definiti in modo da essere “ortonormali” rispetto alla metrica di Riemann data, ossia definiti in modo tale che il loro prodotto scalare soddisfi alla condizione eμ · eν = gμν

(3.16)

(strettamente parlando, tale condizione si riduce ad una vera e propria relazione di ortonormalit` a solo nel caso particolare di una variet` a euclidea o allora rappresentare come con gμν = δμν ). Un generico vettore A si pu` combinazione lineare di questi vettori di base, A = A μ eμ ,

(3.17)

e i coefficienti Aμ di questa combinazione lineare rappresentano le componenti controvarianti del vettore (ossia le componenti che, in uno spazio euclideo, riproducono il vettore se sommate tra loro mediante la cosidetta “regola del parallelogrammo”). Le componenti covarianti, invece, sono quelle che si ottengono proiettando scalarmente il vettore A sui singoli vettori di base: Aμ = A · eμ .

(3.18)

Risulta chiaro che le quantit` a Aμ e Aμ coincidono solo se la base scelta individua un sistema di riferimento di tipo cartesiano, con “assi” ortogonali. In un generico sistema “curvilineo”, combinando le relazioni precedenti, otteniamo invece (3.19) Aμ = Aν eν · eμ = gμν Aν , che generalizza al caso di Riemann la ben nota propriet` a della metrica di Minkowski di trasformare indici controvarianti in covarianti. D’altra parte, se gμν “abbassa gli indici”, le componenti controvarianti della metrica eseguono l’operazione inversa. Possiamo arrivare a questa coneμ · eν = δνμ , e clusione in due modi: i) definendo una base “duale eμ , tale che ripetendo gli argomenti precedenti; oppure ii) osservando che le componenti controvarianti g μν rappresentano le componenti della matrice inversa rispetto a gμν . In accordo allo spirito introduttivo e poco formale di questo capitolo adotteremo il secondo metodo, anche perchè la discussione dettagliata dei vari passaggi ci darà il modo di effettuare un utile esercizio. A questo scopo notiamo, innanzitutto, che le componenti miste della metrica coincidono con le componenti dell’identit` a,

3.2 Densit` a tensoriali

gμ ν = δμ ν .

43

(3.20)

Infatti, in accordo alle propriet` a della geometria Riemanniana, la metrica si trasforma come un tensore di rango 2 (si veda Eq. (2.18)); inoltre, come discusso nella Sez. 2.2, è sempre possibile trovare una trasformazione di coordinate che riduce localmente la metrica gμν alla forma ημν , e quindi le componenti miste gμ ν alla forma ημν = δμν . Ma δμν si trasforma secondo l’Eq. (3.14), e quindi è invariante rispetto a qualunque trasformazione di coordinate: perci` o, se la relazione (3.20) è valida in una carta allora è valida in qualunque carta. o ottenere abbassando D’altra parte, in accordo all’Eq. (3.19), gμ ν si pu` un indice delle componenti controvarianti. Abbiamo perci` o gμα g αν = gμ ν = δμ ν ,

(3.21)

che si riscrive, in forma matriciale, gg −1 = I, a conferma del ruolo di matrice inversa per la rappresentazione controvariante della metrica. Applicando gρμ a entrambi i membri dell’Eq. (3.19), e sfruttando la (3.21), otteniamo infine g ρμ Aμ = Aρ ,

(3.22)

che rappresenta la controparte “duale” della relazione (3.19). Concludiamo la sezione osservando che – grazie ai risultati precedenti – il prodotto scalare tra due vettori si pu` o scrivere in vari modi equivalenti e, in particolare, come un’operazione di saturazione tra indici covarianti e controvarianti: A · B = Aμ eμ · B ν eν = Aμ B ν gμν = Aμ Bμ = g μν Aμ Bν = Aμ B μ ,

(3.23)

(come già noto dalle propriet` a degli oggetti tensoriali nello spazio di Minkowski). Ulteriori aspetti della geometria di Riemann, anche di tipo concettualmente nuovo rispetto al caso di Minkowski, verranno illustrati nelle sezioni successive.

3.2 Densit` a tensoriali I tensori introdotti nella sezione precedente rappresentano un caso particolare di una classe pi` u generale di oggetti geometrici: la classe delle densit` a tensoriali, caratterizzate dal rango r e dal peso w. Una densit` a tensoriale di rango r (ad esempio di tipo controvariante) e di peso w è un oggetto geometrico A con 4r componenti, che per un cambio di carta x → x si trasforma nel modo seguente: Aμ1 ···μr = J μ1 ν1 · · · J μr νr Aν1 ···νr (det J) . w

(3.24)

44


La densità A si trasforma dunque come un tensore rispetto ai suoi r indici; a differenza dei tensori, per` o, le vecchie componenti di A(x) vengono moltiplicate per il determinante Jacobiano elevato alla potenza w. Il peso w è un numero intero positivo (o negativo) che conta il numero di volte che det J (o il suo inverso) entra nella legge di trasformazione. Notiamo dunque che un tensore pu` o essere classificato come una particolare forma di densit` a tensoriale di peso w = 0 (se ci limitiamo a considerare le trasformazioni del gruppo di Lorentz ristretto, come nel caso della relatività speciale, abbiamo sempre det J = 1 e la differenza tra tensori e densit` a scompare). Notiamo anche che, accanto alle densità di tipo controvariante, esistono ovviamente quelle covarianti e quelle miste. Una generica densità T di tipo misto (n, m) e peso w trasforma gli indici secondo la regola tensoriale (3.13), ma le vecchie componenti, nell’equazione di trasformazione, vanno moltiplicate per (det J)w . Un semplice esempio di densit` a è fornito dall’elemento di quadri-volume a scalare di peso w = 1. Per una generica d4 x, che si trasforma come una densit` trasformazione di coordinate, infatti, abbiamo: ∂x 4 4 4 d x = det J d4 x. (3.25) d x → d x = ∂x Un altro esempio è fornito dal determinante di un tensore di rango due, e in particolare dal determinante del tensore metrico, che si trasforma come una densit` a scalare di peso w = −2. Se prendiamo il determinante della trasformazione (2.18) otteniamo infatti: ∂x 2 det g = det g ≡ (det J)−2 det g. ∂x

(3.26)

Ne consegue che la radice quadrata di det gμν è una densit` a scalare di peso w = −1, e quindi la quantit` a √ (3.27) d4 x −g si trasforma come uno scalare, in quanto ha peso w = 0. Si noti che abbiamo adottato la notazione standard g ≡ det gμν (che useremo sempre d’ora in avanti), e abbiamo posto −g sotto radice perchè g < 0. Consideriamo infine le propriet` a di trasformazione di un oggetto frequentemente usato nei calcoli tensoriali: il cosiddetto simbolo di Levi-Civita

μνρσ = [μνρσ] , completamente antisimmetrico in tutti i suoi indici, normalizzato con la condizione 0123 = 1. In una variet` a di Riemann questo oggetto si comporta come una densità di rango 4 e peso w = −1. Per verificare questa affermazione osserviamo che il determinante Jacobiano – cos`ı come il determinante di qualunque matrice 4 × 4 – pu` o essere sviluppato come prodotto dei minori associati agli elementi di una riga o di una colonna, e pu` o essere quindi rappresentato nella forma compatta seguente,

3.2 Densit` a tensoriali

det J = J 0 μ J 1 ν J 2 ρ J 3 σ μνρσ = 0123 det J,

45

(3.28)

che implica la relazione tensoriale:

αβγδ det J = J α μ J β ν J γ ρ J δ σ μνρσ .

(3.29)

D’altra parte, se consideriamo il cambio di carta associato alla matrice Jacobiana J, e se vogliamo che le componenti ±1, 0 del simbolo completamente antisimmetrico restino le stesse in tutte le carte, dobbiamo imporre che nelle nuove coordinate si abbia αβγδ = αβγδ . Sostituendo questa condizione nell’equazione precedente otteniamo la legge di trasformazione

αβγδ = J α μ J β ν J γ ρ J δ σ μνρσ (det J)−1 ,

(3.30)

che caratterizza appunto una densit` a tensoriale di rango 4 e peso w = −1. √ a scalare con lo stesso peso possiamo Ricordando che −g è una densit` allora definire per le variet` a Riemanniane un “vero” tensore ( di peso w = 0) completamente antisimmetrico nel modo seguente:

μνρσ η μνρσ = √ . −g

(3.31)

La versione covariante di questo tensore si ottiene operando con la metrica sui quattro indici, in accordo alla propriet` a metrica (3.19):

μνρσ ηαβγδ = gαμ gβν gγρ gδσ √ . −g

(3.32)

D’altra parte, applicando al determinante della matrice gμν il generico sviluppo in minori (3.29), abbiamo anche −g αβγδ = gαμ gβν gγρ gδσ μνρσ

(3.33)

0123 = −1, si veda la sezione (il segno meno viene dalla convenzione √ 0123 = −

iniziale sulle notazioni). Dividendo per −g otteniamo infine la relazione: √ (3.34) ηαβγδ = −g αβγδ ,

che definisce il tensore completamente antisimmetrico in forma covariante. Si noti che il simbolo αβγδ presente al membro destro di questa equazione si trasforma come una densit` a tensoriale covariante di peso w = 1 (e cioè peso opposto a quello del simbolo di Levi-Civita controvariante). Si noti anche che nella contrazione di ηαβγδ con η μνρσ il determinante della metrica scompare, e il risultato viene ad essere completamente determinato dalla contrazione dei simboli di Levi-Civita come nello spazio-tempo di Minkowski.

46


Regole di prodotto tra tensori completamente antisimmetrici Riportiamo qui di seguito, per comodit` a futura, le regole di prodotto tra ten···μn ` conveniente definire il simbolo δνμ11···ν sori completamente antisimmetrici. E n , che indica il determinante della seguente matrice n × n: ⎛ μ1 ⎞ δν1 · · · δνμn1 ⎜ δ μ2 · · · δνμn2 ⎟ ···μn = det ⎝ ν1 (3.35) δνμ11···ν ⎠. n ··· ··· ··· δνμ1n · · · δνμnn Usando la definizione esplicita dei tensori completamente antisimmetrici si ottiene: ημνρσ η μνρσ = −4! , ημνρα η μνρσ = −3! δασ ,

ρσ ημναβ η μνρσ = −2! δαβ ≡ −2! δαρ δβσ − δασ δβρ , νρσ , ημαβγ η μνρσ = −δαβγ

ηαβγδ η

μνρσ

=

μνρσ −δαβγδ

(3.36) (3.37) (3.38) (3.39)

.

(3.40)

3.3 Trasformazioni infinitesime, isometrie e vettori di Killing Le trasformazioni degli oggetti geometrici considerati nelle sezioni precedenti non sono trasformazioni locali, se interpretate in base alle coordinate di un’unica carta. Infatti, per una data trasformazione x → x = f (x) le vecchie componenti dell’oggetto tensoriale A, valutate nel punto P di coordinate x, vengono collegate alle nuove componenti A valutate nel punto di coordinate x = f (x). Quest’ultimo punto coincide con P se le coordinate sono riferite alla nuova carta, e corrisponde invece a un punto diverso dello spazio-tempo, di coordinate f (x) = x, se riferito alla vecchia carta. In sintesi, abbiamo una trasformazione del tipo A(x) → A (f (x)) . (3.41) La variazione locale dell’oggetto geometrico, ossia la differenza delle compoo per` o essere facilmente definita per le nenti a x fissato, A (x) − A(x), pu` trasformazioni di coordinate sviluppabili in serie attorno alla trasformazione identica. Tali trasformazioni possono essere parametrizzate, al primo ordine dello sviluppo, da un parametro vettoriale ξ μ – detto generatore della trasformazione infinitesima – come segue: xμ = f μ (x) xμ + ξ μ (x) + O(ξ 2 ).

(3.42)

3.3 Trasformazioni infinitesime, isometrie e vettori di Killing

47

La trasformazione inversa, al primo ordine in ξ, è data da: xμ = (f −1 )μ (x ) xμ − ξ μ (x ) + O(ξ 2 ).

(3.43)

Lo sviluppo in serie di Taylor delle componenti A (x ) nell’intorno di x = x (ossia nel limite ξ → 0) fornisce allora A (x), e permette di calcolare la corrispondente variazione locale δA = A (x) − A(x), detta anche variazione “funzionale”, oppure trasformazione di gauge (dove col termine “gauge” si fa riferimento alle proprietà di invarianza del modello geometrico rispetto a trasformazioni generali di coordinate). Tale procedura pu` o ovviamente essere estesa a ordini superiori al primo (e arbitrariamente elevati) dello sviluppo in serie. Per fare un semplice esempio prendiamo la trasformazione di un campo scalare φ, data in generale dall’Eq. (3.6), e poniamo x = f (x): φ (f (x)) = φ(x).

(3.44)

Per valutare la variazione locale è conveniente esprime la legge di trasformazione non nel punto di coordinate x ma nel punto di coordinate f −1 (x), dove la trasformazione assume la forma (esatta) equivalente:

φ (x) = φ f −1 (x) . (3.45) Consideriamo ora una trasformazione del tipo (3.42), (3.43), ed espandiamo in serie di Taylor il membro destro dell’equazione precedente:

φ (x) = φ f −1 (x) φ(x − ξ) φ(x) − ξ μ ∂μ φ(x) + . . . , (3.46) dove abbiamo omesso termini di ordine ξ 2 e superiore. La variazione locale (o funzionale) del campo scalare per una trasformazione infinitesima di coordinate generata da ξ, al primo ordine, è dunque: δξ φ ≡ φ (x) − φ(x) = −ξ μ ∂μ φ.

(3.47)

Si noti che questo risultato differisce da quello dell’Eq. (1.28), relativo alle traslazioni globali, per il fatto che il generatore della trasformazione non è costante ma dipende anch’esso dalle coordinate, ξ μ = ξ μ (x). Gli effetti di tale dipendenza dalle coordinate, ossia gli effetti della localit` a della trasformazione, diventano pi` u evidenti se consideriamo la variazione di un oggetto tensoriale di rango superiore, ad esempio di un campo vettoriale controvariante Aμ (x). Applicando la regola generale (3.8) – valutata nel punto di coordinate f −1 (x) – alla trasformazione infinitesima (3.42), sviluppando in serie, e fermandoci al primo ordine in ξ, otteniamo Aμ (x) =

∂xμ ν A (x − ξ) = (δνμ + ∂ν ξ μ + . . .) (1 − ξ α ∂α + . . .) Aν (x) ∂xν (3.48) = Aμ (x) − ξ α ∂α Aμ + Aν ∂ν ξ μ + . . .

48


da cui:

δξ Aμ ≡ Aμ (x) − Aμ (x) = −ξ α ∂α Aμ + Aν ∂ν ξ μ .

(3.49)

Il secondo contributo a questa variazione, proporzionale alle derivata di ξ, è una conseguenza del carattere locale della trasformazione considerata. Tale contributo scompare nel limite di traslazioni rigide con ξ μ = const. Con la stessa procedura possiamo valutare la variazione locale di un vettore di tipo covariante, partendo dalla regola di trasformazione (3.10), e tenendo conto che la matrice Jacobiana inversa si ottiene derivando l’Eq. (3.43) rispetto a x . Abbiamo allora Bμ (x) =

da cui:

∂xν Bν (x − ξ) = δμν − ∂μ ξ ν + . . . (1 − ξ α ∂α + . . .) Bν (x) ∂xμ = Bμ (x) − ξ α ∂α Bμ − Bν ∂μ ξ ν + . . . (3.50) δξ Bμ ≡ Bμ (x) − Bμ (x) = −ξ α ∂α Bμ − Bν ∂μ ξ ν .

(3.51) ν

μ

Si noti che, al primo ordine in ξ, abbiamo identificato ∂ξ (x )/∂x con ∂ξ ν (x)/∂xμ . Va anche notata la differenza di segno dell’ultimo termine dell’Eq. (3.51) rispetto al termine corrispondente dell’Eq. (3.49). ` utile valutare anche la variazione locale del tensore metrico. AppliE cando la regola generale (3.3) al caso di una trasformazione infinitesima, e sviluppando in serie, otteniamo

gμν (x) = δμα − ∂μ ξ α + . . . δνβ − ∂ν ξ β + . . . (1 − ξ ρ ∂ρ + . . .) gαβ (x), (3.52) da cui, al primo ordine in ξ, δξ gμν ≡ gμν (x) − gμν (x) = −ξ α ∂α gμν − gμα ∂ν ξ α − gαν ∂μ ξ α .

(3.53)

Ripetendo la procedura per le componenti controvarianti della metrica arriviamo invece all’espressione: δξ g μν = −ξ α ∂α g μν + g μα ∂α ξ ν + g αν ∂α ξ μ .

(3.54)

Le trasformazioni di coordinate che lasciano la metrica localmente invariante, ossia che soddisfano alla condizione2 gμν (x) = gμν (x), sono dette isometrie, e il generatore vettoriale ξ μ della corrispondente trasformazione infinitesima è detto vettore di Killing. I vettori di Killing sono dunque determinati dalla condizione δξ gμν = 0 (o, equivalentemente, δξ g μν = 0) che, una volta fissata la metrica, diventa un’equazione differenziale alle derivate parziali per le componenti del vettore ξ μ : ξ α ∂α gμν + gμα ∂ν ξ α + gαν ∂μ ξ α = 0. 2

(3.55)

Quando la metrica soddisfa tale condizione si dice anche che la metrica è “invariante in forma”.

3.3 Trasformazioni infinitesime, isometrie e vettori di Killing

49

Come vedremo in seguito, tale equazione si può scrivere anche in forma pi` u compatta utilizzando la nozione di derivata covariante che introdurremo nella prossima sezione. Utilizzando questa condizione differenziale si pu` o facilmente verificare, ad esempio, che le trasformazioni del gruppo di Poincarè sono isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, ovvero che i generatori delle rotazioni di Lorentz e delle traslazioni rigide infinitesime sono vettori di Killing per la metrica di Minkowski (si vedano gli Esercizi 3.1 e 3.2). L’insieme delle isometrie associate a un tensore metrico dato costituisce un importante gruppo di simmetria per la variet` a descritta da quella metrica. La conoscenza di tali simmetria (ossia, la conoscenza dei corrispondenti vettori di Killing) permette di scegliere il sistema di coordinate pi` u conveniente per semplificare la descrizione geometrica della varietà data. Supponiamo, ad esempio, che la variet` a ammetta un vettore di Killing ξ μ di tipo tempo. Scegliendo una carta con la coordinata temporale allineata lungo la direzione di ξ μ , e nella quale ξ μ = δ0μ , troveremo, in questa carta, che la condizione di Killing δgμν = 0 si riduce a ∂0 gμν = 0 (si veda Eq. (3.55)), e quindi avremo una carta con la metrica indipendente dal tempo. In questa carta ξμ = gμ0 , e ξ μ ξμ = g00 . Analoghe semplificazioni si ottengono per vettori di Killing di tipo spazio o nulli. Osserviamo infine che la variazione locale di un oggetto tensoriale T lungo la direzione spazio-temporale individuata da un vettore ξμ è anche chiamata derivata di Lie di T rispetto a ξ, e individuata dal simbolo Lξ T . L’azione di tale derivata sugli oggetti tensoriali coincide (ma col segno opposto) con quella o vedere dell’operatore differenziale δξ T definito in precedenza, come si pu` interpretando geometricamente la variazione funzionale generata da ξμ come l’effetto di una traslazione locale infinitesima lungo la curva con equazione parametrica xμ = xμ (λ) e tangente ξ μ = dxμ /dλ. Se ξ è un vettore di Killing deve quindi valere la condizione Lξ gμν = 0 = Lξ g μν .

(3.56)

3.3.1 Trasformazioni infinitesime al secondo ordine Concludiamo la sezione illustrando brevemente come estendere al secondo ordine il calcolo delle variazioni locali. Tale estensione risulta di importanza cruciale in alcune moderne applicazioni della teoria delle perturbazioni cosmologiche – si vedano ad esempio i testi [15, 19, 20] della Bibliografia finale – ai fini della corretta interpretazione fisica di dati osservativi che stanno diventando sempre pi` u precisi . Al secondo ordine lo sviluppo della trasformazione di coordinate x = f (x) attorno alla trasformazione identica è caratterizzato in generale da due generao essere parametrizzato tori vettoriali, ξ1μ (del I ordine) e ξ2μ (del II ordine), e pu` come segue:

50


1 1 xμ = f μ (x) xμ + ξ1μ (x) + ξ2μ (x) + ξ1ν ∂ν ξ1μ (x) + . . . , 2 2

(3.57)

dove ξ2 e ξ12 sono dello stesso ordine. La trasformazione inversa, al secondo ordine, è data da: 1 1 xμ = (f −1 )μ (x ) xμ − ξ1μ (x ) − ξ2μ (x ) + ξ1ν ∂ν ξ1μ (x ) + . . . 2 2

(3.58)

(si veda l’Esercizio 3.3). Applicando a questa particolare trasformazione di coordinate le regole generali di trasformazione degli oggetti tensoriali, e sviluppando in serie di Taylor, si possono facilmente estendere al secondo ordine i risultati dei calcoli precedenti. Consideriamo ad esempio il caso di un campo scalare, e sviluppiamo il membro destro dell’Eq. (3.45) tenendo tutti i termini fino al secondo ordine compreso. Utilizzando il risultato (3.58) abbiamo

1 1 φ(x) + −ξ1μ − ξ2μ + ξ1ν ∂ν ξ1μ ∂μ φ φ f −1 (x) 2 2 f −1 (x)=x 1 + (−ξ1μ + . . .) (−ξ1ν + . . .) ∂μ ∂ν φ + . . . 2 1 1 = φ(x) − ξ1μ ∂μ φ − ξ2μ ∂μ φ + ξ1ν ∂ν (ξ1μ ∂μ φ) + . . . . (3.59) 2 2 Confrontando con φ (x) otteniamo infine la variazione locale, al secondo ordine, nella forma: 1 1 (2) (3.60) δξ φ ≡ φ (x) − φ(x) = − ξ1μ + ξ2μ ∂μ φ + ξ1ν ∂ν (ξ1μ ∂μ φ) . 2 2 Procedendo allo stesso modo si possono generalizzare i risultati ottenuti in questa sezione relativi agli altri oggetti tensoriali.

3.4 Derivata covariante e connessione affine Per formulare modelli fisici nell’ambito di una variet` a Riemanniana non basta aver introdotto una metrica (che consente di definire i prodotti scalari), ma è necessario introdurre un ulteriore oggetto geometrico, detto connessione affine (o affinit` a), che consente di definire il differenziale e la derivata parziale in modo covariante rispetto a trasformazioni generali di coordinate. Infatti, contrariamente al differenziale delle coordinate, dxμ , che si trasforma come un vettore (si veda l’Eq. (3.7)), il differenziale ordinario di un generico vettore Aμ non si comporta, in generale, come un vettore. Per verificarlo basta semplicemente differenziare la trasformazione vettoriale inversa (3.11). Utilizzando la definizione esplicita (3.2) della matrice Jacobiana otteniamo:

3.4 Derivata covariante e connessione affine

μ dAμ = J −1 ν dAν +

∂ 2 xμ Aν dxα . ∂xα ∂xν

51

(3.61)

L’ultimo termine, che si annulla solo per matrici Jacobiane costanti – ossia per il caso particolare di trasformazioni di coordinate lineari – modifica in generale la corretta forma di una trasformazione vettoriale, e rompe la generalcovarianza del modello geometrico. Per compensare tale correzione, e ripristinare le propriet` a di generalcovarianza, generalizziamo la nozione di differenziale aggiungendo a dAμ un nuovo termine δAμ , che supponiamo dipenda linearmente dal vettore A e dallo spostamento infinitesimo considerato, e che renda conto di un’eventuale variazione di A associata al suo trasporto dal punto x al punto x + dx (variazione intrinsecamente dovuta alla geometria della variet` a Riemanniana). Pi` u precisamente, definiamo un differenziale generalizzato, DAμ , tale che: DAμ = dAμ + δAμ ≡ dAμ + Γαβ μ dxα Aβ .

(3.62)

I coefficienti Γαβ μ del nuovo termine rappresentano le componenti di un opportuno “campo compensativo” (o “campo di gauge”), che si trasforma in modo da ripristinare la corretta legge di trasformazione vettoriale per l’espressione (3.62). Poichè A e dx sono vettori, mentre dA non è un vettore, è evidente che Γ non è un oggetto di tipo tensoriale, ma un nuovo tipo di oggetto geometrico chiamato “connessione affine”. Le propriet` a geometriche di Γ sono fissate dalla sua legge di trasformazione, che a sua volta risulta fissata dalla richiesta che DAμ si trasformi come un vettore controvariante. Imponiamo dunque che valga la legge di trasformazione

μ DAμ = J −1 ν (DAν ) , (3.63) e scriviamo esplicitamente il membro sinistro e il membro destro di questa equazione in funzione di Γ e Γ . Usando le equazioni (3.61), (3.62) il membro sinistro si pu` o riscrivere come

J −1

μ

ν dA

ν

+

λ

σ ∂ 2 xμ dxα Aβ + Γλσ μ J −1 α J −1 β dxα Aβ , (3.64) α β ∂x ∂x

e il membro destro come −1 μ ν

ν α β J . ν dA + Γαβ dx A

(3.65)

Uguagliando i coefficienti di dxα Aβ che appaiono nei due membri, semplificando i termini simili, e moltiplicando per J ρ μ , arriviamo cos`ı alla legge di trasformazione della connessione affine: ρ

λ

σ ∂x ∂ 2 xμ ρ Γαβ = J ρ μ J −1 α J −1 β Γλσ μ + . (3.66) ∂xμ ∂xα ∂xβ Per trasformazioni di coordinate lineari il termine con le derivate seconde si annulla, e Γ si trasforma come un tensore di rango 3. Per una generica

52


trasformazione di coordinate, invece, la relazione Γ (Γ ) non è omogenea, a conferma del carattere non-tensoriale dell’oggetto. Si noti, per` o, che la parte antisimmetrica della connessione, Qαβ ρ = Γ[αβ] ρ ,

(3.67)

chiamata torsione, si trasforma sempre come un tensore: prendendo la parte antisimmetrica in α e β dell’Eq. (3.66) il termine non-omogeneo scompare infatti automaticamente, essendo simmetrico. La connessione affine contiene dunque in generale 43 = 64 componenti, di cui solo 6 × 4 = 24 (le componenti di Q) sono di tipo tensoriale. La parte simmetrica Γ(αβ) μ della connessione contiene 40 componenti, di tipo non-tensoriale, e gode di un’interessante proprietà (che ha un’importante significato fisico, come vedremo in seguito): pu` o essere posta uguale a zero in una speciale carta, senza per questo essere zero in tutte le carte. Possiamo sempre trovare, in particolare, una carta detta “localmente inerziale” (si veda la Sez. 2.2) dove la metrica si riduce localmente a quella di Minkowski, e la parte simmetrica di Γ è localmente nulla, in un punto di coordinate x0 arbitrariamente dato. Per verificare questa importante propriet` a della connessione affine consideriamo la trasformazione di coordinate (2.28) gi` a introdotta nel Capitolo 2, e imponiamo che nella carta x la parte simmetrica di Γ si annulli nel punto x0 . ρ Utilizzando la legge di trasformazione (3.66), ed imponendo Γαβ (x0 ) = 0, otteniamo allora la condizione ∂ 2 xμ = −I λ (α I σ β) Γλσ μ (x0 ), (3.68) ∂xα ∂xβ x0 (abbiamo usato la definizione (2.29) della matrice I μ ν ). A questo punto possiamo osservare che le componenti della connessione Γ nella carta di partenza sono note dappertutto, e che le componenti della matrice I possono essere fissate dalla condizione locale sulla metrica, g(x0 ) = η (si veda l’Eq. (2.30)). Ne consegue che l’Eq. (3.68) determina completamente, in funzione di quantit` a note, i 40 coefficienti del termine del secondo ordine ` sempre della trasformazione di coordinate cercata (si veda l’Eq. (2.28)). E possibile, quindi, introdurre localmente un sistema di riferimento nel quale si annulla la parte simmetrica della connessione e la geometria dello spaziotempo si riduce localmente a quella di Minkowski. Una volta definito il differenziale in forma covariante è immediato introdurre la corrispondente derivata parziale covariante (che indicheremo col simbolo ∇α Aμ ), facendo il limite del rapporto incrementale tra DAμ e lo spostamento infinitesimo dxα . Si ottiene: ∇α Aμ = ∂α Aμ + Γαβ μ Aβ .

(3.69)

Il primo termine, ottenuto dal differenziale ordinario, coincide con l’ordinaria derivata parziale. Si noti che i due termini che contribuiscono a ∇α Aμ non si

3.4 Derivata covariante e connessione affine

53

comportano, separatamente, come oggetti tensoriali, ma la loro somma è un tensore a tutti gli effetti, in quanto DAμ e dxα hanno le corrette propriet` a di trasformazione vettoriale. L’operatore differenziale covariante ∇α (il cosiddetto gradiente covariante) si comporta dunque come un vettore rispetto a trasformazioni generali di coordinate. Nota l’azione di ∇α sul vettore controvariante Aμ , la corrispondente azione su un oggetto di tipo covariante Bμ si ottiene considerando il prodotto scalare Bμ Aμ , e osservando che la trasformazione di uno scalare non coinvolge la matrice Jacobiana, per cui il differenziale covariante di uno scalare coincide col suo differenziale ordinario. Applicando la regola di Leibnitz alla derivata di un prodotto abbiamo quindi ∇α (Bμ Aμ ) = (∇α Bμ )Aμ + Bμ ∇α Aμ ≡ ∂α (Bμ Aμ ) = (∂α Bμ )Aμ + Bμ ∂α Aμ .

(3.70)

Sostituendo a ∇α Aμ l’espressione (3.69), e semplificando, si ottiene Aμ ∇α Bμ + Γαβ μ Aβ Bμ = Aμ ∂α Bμ ,

(3.71)

da cui, uguagliando i coefficienti di Aμ , ∇α Bμ = ∂α Bμ − Γαμ β Bβ .

(3.72)

Si noti che il contributo della connessione alla derivata di un oggetto covariante è di segno opposto a quello che appare nella derivata di un oggetto controvariante, Eq. (3.69). In modo analogo possiamo ottenere la prescrizione covariante per la derivata di un oggetto tensoriale di rango e tipo arbitrario, osservando che un tensore di rango n sugli indici controvarianti e rango m sugli indici covarianti si comporta (rispetto alle trasformazioni di coordinate) come il prodotto di n vettori controvarianti e m vettori covarianti, T μ1 ···μn ν1 ···νm ≡ Aμ1 · · · Aμn Aν1 · · · Aνm .

(3.73)

Perciò, applicando la regola di Leibniz alla derivata del prodotto: ∇α T μ1 ···μn ν1 ···νm = (∇α Aμ1 )Aμ2 · · · Aμn Aν1 · · · Aνm + +Aμ1 (∇α Aμ2 ) · · · Aμn Aν1 · · · Aνm + · · · + Aμ1 · · · Aμn (∇α Aν1 )Aν2 · · · Aνm +···. (3.74) Usando le prescrizioni note (3.69) e (3.72) otteniamo dunque: ∇α T μ1 ···μn ν1 ···νm = = ∂α T μ1 ···μn ν1 ···νm + +Γαβ μ1 T βμ2 ···μn ν1 ···νm + Γαβ μ2 T μ1 β···μn ν1 ···νm + · · ·

−Γαν1 β T μ1 ···μn βν2 ···νm − Γαν2 β T μ1 ···μn ν1 β···νm − · · · . (3.75)

54


Possiamo riassumere dicendo che la derivata covariante di un oggetto tensoriale si costruisce dalla sua derivata parziale aggiungendo un termine di contrazione con la connessione affine per ognuno dei suoi indici. Tale termine aggiuntivo va preso col segno + e con la prescrizione dell’Eq. (3.69) per indici di tipo controvariante, col segno − e con le prescrizioni dell’Eq. (3.72) per indici di tipo covariante. Per un tensore misto di rango 2, ad esempio, otteniamo la seguente derivata covariante: ∇α T μ ν = ∂α T μ ν + Γαβ μ T β ν − Γαν β T μ β .

(3.76)

L’illustrazione di alcune semplici regole di calcolo differenziale covariante è rimandata alla Sez. 3.6, per farla precedere da un necessario approfondimento delle propriet` a della connesssione affine che verrà effettuato nella Sez. 3.5. 3.4.1 Curve autoparallele La nozione di differenziale covariante di un vettore, introdotta in Eq. (3.62), pu` o essere applicata in particolare al vettore tangente di una curva, e alla sua variazione lungo la curva stessa. Consideriamo una curva immersa in una varietà Riemanniana, con equazione parametrica xμ = xμ (τ ), e tangente uμ = dxμ /dτ . Si noti che uμ è un vettore, in quanto il parametro τ è scalare. Uno spostamento infinitesimo lungo la curva si pu` o esprimere come dxμ = uμ dτ , e il differenziale covariante (3.62), per uno spostamento lungo la curva, diventa DAμ = dAμ + Γαβ μ uα Aβ dτ.

(3.77)

Il limite del rapporto incrementale DAμ /dτ definisce la derivata covariante di Aμ lungo la curva, dAμ DAμ = + Γαβ μ uα Aβ . (3.78) dτ dτ Tale derivata pu` o anche essere scritta, in modo equivalente, come la derivata parziale covariante di Aμ proiettata sulla tangente uμ , ossia:

DAμ uα ∇α Aμ = uα ∂α Aμ + Γαβ μ Aβ ≡ . dτ

(3.79)

Consideriamo ora il differenziale covariante della tangente, Duμ . Una curva si dice autoparallela (o anche geodetica affine) se la derivata covariante della tangente lungo la curva stessa è nulla, ossia se Duμ duμ = + Γαβ μ uα uβ = 0. dτ dτ

(3.80)

Questa condizione esprime il fatto che la tangente è “covariantemente costante” lungo la curva, e generalizza la condizione di tangente costante,

3.5 Torsione, non-metricit` a e simboli di Christoffel

55

duμ /dτ = 0, che caratterizza le traiettorie rettilinee dello spazio euclideo. La curva autoparallela generalizza dunque la nozione di retta al caso di variet` a dotate di connessione affine diversa da zero. ` importante notare che l’Eq. (3.80) contiene solo la parte simmetrica E della connessione, in quanto il tensore uα uβ è simmetrico. Come visto in precedenza tale parte non è di tipo tensoriale, e pu` o essere localmente eliminata. Questo significa che l’equazione della geodetica affine si pu` o sempre ridurre, localmente, all’equazione di una retta.

3.5 Torsione, non-metricit` a e simboli di Christoffel Fino a questo punto abbiamo trattato la connessione affine come un oggetto geometrico definito sulla varità spazio-temporale in modo indipendente dalla metrica, e necessario, al pari della metrica, per descrivere la struttura geometrica dello spazio-tempo. La metrica serve a definire i prodotti scalari e rende conto della distorsione del modulo di un vettore, punto per punto, rispetto alla spazio euclideo; la connessione serve a definire il differenziale covariante e rende conto della deformazione di un vettore, in direzione e modulo, dovuta al suo trasporto da un punto ad un altro. In generale, entrambi gli oggetti g e Γ vanno dunque specificati per caratterizzare in modo completo la geometria della variet` a data. Ci possono essere allora due situazioni alternative. Se g e Γ sono indipendenti si dice che la variet` a possiede una struttura geometrica metrico-affine. Invece, se Γ pu` o essere espresso in funzione di g e delle sue derivate parziali, allora la metrica – da sola – è sufficiente a descrivere la geometria della varietà, e si dice che la variet` a possiede una struttura di tipo metrico. Questa seconda situazione è quella che si realizza nel contesto della geometria Riemanniana, dove si impongono delle opportune condizioni sulle 64 componenti indipendenti di Γ in modo tale che le componenti residue siano completamente calcolabili in funzione della metrica. Tali condizioni, come vedremo, sono motivate da considerazioni di carattere fenomenologico strettamente legate all’interazione gravitazionale classica dei corpi macroscopici. Per determinare l’eventuale relazione tra connessione e metrica consideriamo la derivata covariante del tensore metrico, ∇α gμν , e scriviamola esplicitamente tre volte permutando ciclicamente i tre indici α, μ, ν. Applicando le regole di derivazione covariante di Sez. 3.4 abbiamo: ∇α gμν = ∂α gμν − Γαμ β gβν − Γαν β gμβ ≡ Nμνα ,

(3.81)

∇μ gνα = ∂μ gνα − Γμν gβα − Γμα gνβ ≡ Nναμ ,

(3.82)

∇ν gαμ = ∂ν gαμ − Γνα gβμ − Γνμ gαβ ≡ Nαμν .

(3.83)

β

β

β

β

Abbiamo introdotto, per comodit` a, il tensore Nμνα = ∇α gμν , simmetrico nei primi due indici.

56


Moltiplichiamo ora la prima equazione per 1/2, la seconda e la terza per −1/2, e sommiamole tra loro. In questo modo alcuni termini si combinano in modo da dare la parte simmetrica e antisimmetrica della connessione, e otteniamo: 1 (∂α gμν − ∂μ gνα − ∂ν gαμ ) + Γ(μν)α − Γ[αμ]ν − Γ[αν]μ 2 1 = (Nμνα − Nναμ − Nαμν ) . 2

(3.84)

Ricordando la definizione (3.67) di torsione aggiungiamo Qμνα = Γ[μν]α ad entrambi i membri, e portiamo al membro destro le derivate parziali della metrica, cos`ı da ricostruire e isolare, al membro sinistro, la connessione affine completa: 1 (∂μ gνα + ∂ν gαμ − ∂α gμν ) 2 1 + Qανμ + (Nμνα − Nναμ − Nαμν ) . 2

Γ(μν)α + Qμνα ≡ Γμνα = +Qμνα + Qαμν

(3.85)

Moltiplicando per gρα per riportare la connessione alla sua forma canonica (con il terzo indice in alto) otteniamo infine Γμν ρ = {μν ρ } − Kμν ρ + Wμν ρ ,

(3.86)

dove

1 ρα g (∂μ gνα + ∂ν gαμ − ∂α gμν ) 2 definisce i cosiddetti simboli di Christoffel, {μν ρ } =

Kμν ρ = − (Qμν ρ − Qν ρ μ + Qρ μν )

(3.87)

(3.88)

definisce il tensore di contorsione, costruito con la torsione, e Wμν ρ =

1 (Nμν ρ − Nν ρ μ − N ρ μν ) 2

(3.89)

definisce il cosiddetto tensore di non-metricit` a. Il risultato di questo semplice calcolo è molto importante e istruttivo perchè illustra chiaramente la possibilit` a di ottenere, in generale, tre diversi tipi di contributi indipendenti alla connessione affine: i) dalle derivate parziali della metrica, ii) dalla torsione, e iii) dalle derivate covarianti della metrica. Il primo e il terzo termine, {} e W , sono simmetrici in μ, ν, e contribuiscono solo alla parte simmetrica Γ(μν) ρ della connessione. Il secondo termine, −K, ha la torsione come parte antisimmetrica, −K[μν] ρ = Qμν ρ = Γ[μν] ρ , e fornisce anche un contributo simmetrico del tipo −K(μν) ρ = Qρ μν + Qρ νμ . Esistono quindi varie possibili classi di connessione, che differiscono per le condizioni che imponiamo sulle sue componenti. In particolare, una connessione è detta simmetrica se Qμν ρ = Γ[μν] ρ = 0, ed è detta metrico-compatibile

3.5 Torsione, non-metricit` a e simboli di Christoffel

57

se Nμνρ = ∇ρ gμν = 0. Connessione diverse corrispondono a variet` a spazio` temporali con strutture geometriche diverse. E opportuno presentare, in questo contesto, tre esempi di connessione caratterizzate da livelli di generalità crescente. •

Nell’ambito della geometria di Riemann e della teoria della relativit` a generale di Einstein si fa l’ipotesi che la torsione sia simmetrica (Q = 0) e metrico-compatibile (∇g = 0). In questo caso K = 0 = W , e la connessione si riduce a quella di Christoffel, Γμν ρ =

1 ρα g (∂μ gνα + ∂ν gμα − ∂α gμν ) ≡ {μν ρ }. 2

(3.90)

In questo contesto è sufficiente la metrica a determinare completamente la geometria dello spazio-tempo. Inoltre, la connessione è simmetrica, non contiene parti tensoriali, e pu` o essere sempre localmente eliminata in un’opportuna carta inerziale, in accordo al principio di equivalenza. • Se la connessione è metrico-compatibile (∇g = 0), ma non simmetrica (Q = 0), siamo nel caso della cosiddetta struttura geometrica di RiemannCartan, che serve da base per una teoria gravitazionale generalizzata detta “teoria di Einstein-Cartan”. In questo caso la connessione Γ = {}−K contiene anche un contributo tensoriale, la cui parte antisimmetrica Q non pu` o essere eliminata neppure localmente, in quanto evade gli argomenti presentati in Sez. 3.4. Tale struttura geometrica sembra essere in contrasto con le propriet` a tipiche dell’interazione gravitazionale, e quindi inadatta a una teoria geometrica che descriva il campo gravitazionale classico, perlomeno a livello macroscopico. Come vedremo nel Capitolo 14, però, una connessione con torsione sembra necessaria nel contesto di teorie supersimmetriche che includono campi spinoriali e che unificano la gravit` a con le altre interazioni. • Infine, se la connessione non è nè simmetrica (Q = 0) nè metricocompatibile (∇g = 0) abbiamo una struttura geometrica di tipo metricoaffine, con una connessione che contiene tutti e tre i contributi dell’Eq. (3.86). Un possibile esempio di questa geometria è il cosiddetto modello di Weyl (costruito, per` o, con torsione nulla), suggerito in passato per cercare di inglobare il campo elettromagnetico nella geometria dello spazio-tempo, ma successivamente abbandonato. Al contrario della torsione, i contributi di W alla connessione non sembrano trovare attualmente motivazioni fisiche convincenti. Nel seguito di questo capitolo e nei capitoli successivi assumeremo sempre – a meno che non sia esplicitamente affermato il contrario – che la connessione con cui lavoriamo è simmetrica e metrico-compatibile, e dunque esprimibile nella forma di Christoffel (3.90).

58


3.6 Utili regole di calcolo differenziale covariante In alcune importanti applicazioni fisiche del formalismo differenziale covariante è necessario calcolare la traccia della connessione di Christoffel che, dall’Eq. (3.90), è data data: 1 να 1 g (∂μ gνα + ∂ν gμα − ∂α gμν ) ≡ g να ∂μ gνα (3.91) 2 2 (gli ultimi due termini si cancellano perchè sono antisimmetrici in ν, α, mentre o g να è simmetrico). In questa sezione mostreremo che la traccia Γμν ν si pu` riscrivere in una forma che coinvolge il determinante del tensore metrico, e che tale forma risulta particolarmente conveniente nel calcolo della derivata covariante di densit` a tensoriali, della divergenza covariante e del D’Alembertiano covariante. Γμν ν =

Traccia della connessione di Christoffel Partiamo dalle equazioni (3.32)-(3.34), che collegano il determinante del tensore metrico al tensore completamente antisimmetrico. Differenziando l’Eq. (3.33) otteniamo −dg αβγδ = d (gαμ gβν gγρ gδσ ) μνρσ = μνρσ (dgαμ ) gβν gγρ gδσ + · · · . (3.92) Dentro la parentesi quadra abbiamo omesso, per semplicit` a, i restanti tre termini che sono simili al primo, e che contengono i differenziali dgβν , dgγρ , √ dgδσ . Dividendo per −g entrambi i membri, e ricordando le definizioni (3.31), (3.34), possiamo riscrivere la precedente equazione nella forma: √ dg dg ≡ ηαβγδ = η μ βγδ (dgαμ ) + · · · . −g αβγδ (3.93) g g Moltiplicando per η αβγδ , e usando le relazioni (3.36), (3.37), abbiamo infine dg 4! = 3! g αμ dgαμ + g βν dgβν + · · · g (3.94) = 3! 4g αμ dgαμ , da cui

√ dg 2 = √ d( −g) = g αβ dgαβ = −gαβ dg αβ g −g

(3.95)

(nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato la condizione d(g αβ gαβ ) ≡ 0). In forma finita: √ 2 √ ∂μ ( −g) = g αβ ∂μ gαβ . (3.96) −g Per la traccia (3.91) della connessione di Christoffel otteniamo quindi: √

√ 1 Γμν ν = √ ∂μ ( −g) = ∂μ ln −g . (3.97) −g

3.6 Utili regole di calcolo differenziale covariante

59

Derivate di densit` a tensoriali Per definire la derivata covariante di una densit` a tensoriale V μν··· , di rango r e peso w, osserviamo innanzitutto che il gradiente covariante, ∇α , si comporta come un vettore rispetto a trasformazioni generali di coordinate: l’operazione di derivata covariante deve quindi produrre un oggetto di rango r + 1 e peso w invariato. √ Ricordiamo, a questo proposito, che −g è una densit` a scalare di peso μν··· ha peso w, allora (−g)w/2 V μν··· ha peso w = 0, w = −1, per cui, se V ed è un tensore. La derivata covariante di questo oggetto pu` o quindi essere calcolata con le ordinarie regole tensoriale presentate in Sez. 3.4, e fornisce un tensore di rango r + 1 e peso 0. Se il risultato viene poi moltiplicato per a infine una densit` a di rango r+1 e peso w, come desiderato. (−g)−w/2 si otterr` Adottando tale procedura, la derivata covariante di una densit` a di peso w viene dunque definita come segue: (w) ∇α V μν··· ≡ (−g)−w/2 ∇α (−g)w/2 V μν··· , (3.98) dove ∇α è l’ordinario gradiente covariante che opera su oggetti tensoriali, a di peso w. Effetmentre (w) ∇α è il gradiente covariante che opera su densit` tuando esplicitamente la derivata covariante del termine in parentesi quadra, secondo le regole della Sez. 3.4, possiamo allora scrivere: (w)

∇α V μν··· = ∂α V μν··· + Γαβ μ V βν··· + Γαβ ν V μβ··· + · · · +(−g)−w/2 ∂α (−g)w/2 V μν··· .

(3.99)

A questa equazione vanno ovviamente aggiunti tutti gli eventuali termini di connessione associati agli eventuali ulteriori indici (covarianti o controvarianti) posseduti dall’oggetto V (in questo esempio ne abbiamo considerati esplicitamente solo due, per semplicit` a). L’operazione cos`ı definita differisce dall’ordinaria derivata covariante per la presenza dell’ultimo termine, che contiene il determinante della metrica, ` facile e che sembra qualitativamente diverso dai termini che lo precedono. E però verificare che anche quest’ultimo termine pu` o essere espresso mediante la connessione di Christoffel. Sfruttando i risultati (3.96), (3.97) abbiamo infatti: (−g)−w/2 ∂α (−g)w/2 =

√

w ∂α g = w ∂α ln −g = wΓαβ β , 2g

(3.100)

e la derivata covariante di una densit` a si pu` o mettere nella forma: (w)

∇α V μν··· = ∇α V μν··· + wΓαβ β V μν··· .

(3.101)

Per w = 0 l’oggetto è di tipo tensoriale, e si ritrova l’ordinaria derivata covariante.

60


Divergenza e D’Alembertiano covariante Conviene infine presentare un’espressione compatta per la divergenza covariante di un vettore, ∇μ Aμ . Applicando le regole della Sez. 3.4 abbiamo: ∇μ Aμ = ∂μ Aμ + Γμα μ Aα . D’altra parte, usando l’Eq. (3.97) per la traccia di Γ , √ α √

1 1 −g A ≡ √ ∂α −gAα . ∇μ Aμ = ∂μ Aμ + √ ∂α −g −g

(3.102)

(3.103)

Questa espressione permette di esprimere in forma covariante il teorema di Gauss nel contesto di uno spazio-tempo Riemanniano. Infatti, se integriamo su di una regione spazio-temporale Ω la divergenza covariante (3.102) non sembra possibile applicare direttamente l’ordinario teorema di Gauss, a causa della presenza del termine di connessione. L’elemento di quadri-volume d4 x, d’altra parte, non è uno scalare per trasformazioni gene√ rali di coordinate, mentre la quantit` a d4 x −g costituisce invece una corretta misura d’integrazione scalare su di una variet` a Riemanniana (si veda l’Eq. (3.27)). Introducendo questa misura di integrazione, ed usando per la divergenza l’Eq. (3.103), possiamo allora esprimere l’integrale in una forma che – pur essendo covariante – si riconduce esplicitamente ad una divergenza ordinaria. Questo ci permette di riformulare l’usuale teorema di Gauss (si veda ad esempio l’Eq. (1.33)) come segue: √

√ √ d4 x −g ∇μ Aμ = d4 x ∂μ −gAμ = −gAμ dSμ , (3.104) Ω

Ω

∂Ω

√ dove −gdSμ è la misura di integrazione covariante per il flusso di Aμ uscente dal bordo ∂Ω della regione spazio-temporale considerata. Come seconda applicazione dell’Eq. (3.103) possiamo considerare l’espressione del D’Alembertiano covariante, ∇μ ∇μ , per una funzione scalare ψ. Per definizione, il D’Alembertiano è la divergenza del gradiente: quindi, applicando l’Eq. (3.103), √ √

1 1 ∇μ ∇μ ψ = ∇μ ∂ μ ψ = √ ∂μ −g∂ μ ψ = √ ∂μ −gg μν ∂ν ψ . (3.105) −g −g Scrivendolo in forma pi` u esplicita otteniamo √

1 −gg μν , g μν ∂μ ∂ν ψ + ∂ν ψ √ ∂μ −g

(3.106)

ed è facile vedere tale espressione risulta molto semplificata se la metrica soddisfa alla condizione di “gauge armonico”, ossia soddisfa alla propriet` a √ differenziale ∂μ ( −ggμν ) = 0. Tale semplificazione risulta particolarmente utile, come vedremo nel Capitolo 9, per discutere la propagazione di onde gravitazionali nell’approssimazione lineare.

Esercizi Capitolo 3

61

Esercizi Capitolo 3 3.1. Isometrie dello spazio-tempo di Minkowski Determinare i vettori di Killing della metrica di Minkowski. 3.2. Boost e vettore di Killing Determinare il vettore di Killing associato ad un “boost” lungo l’asse z nello spazio di Minkowski. 3.3. Trasformazione infinitesima inversa Verificare che l’Eq. (3.58) rappresenta esattamente, al secondo ordine, l’inverso della trasformazione di coordinate (3.57). 3.4. Equazione di Killing Dimostrare che l’equazione di Killing (3.55) si pu` o scrivere in forma esplicitamente covariante come segue: ∇(μ ξν) = 0.

(3.107)

3.5. Traccia della connessione di Christoffel Ricavare l’Eq. (3.95) sfruttando la formula per il determinante di una generica matrice M , (3.108) det M = eTr ln M . 3.6. Derivata covariante di g Verificare che la derivata covariante del determinante della metrica, fatta rispetto alla connessione di Christoffel, è identicamente nulla. 3.7. Derivata covariante di η Dimostrare che per la connessione di Christoffel vale la relazione ∇α η μνρσ = 0,

(3.109)

dove η è il tensore completamente antisimmetrico definito in Eq. (3.31).

Soluzioni 3.1. Soluzione Ponendo gμν = ημν nell’equazione di Killing (3.55) otteniamo la condizione ∂(μ ξν) = 0.

(3.110)

Derivando, e usando la propriet` a ∂α ∂μ = ∂μ ∂α , arriviamo all’equazione

62


∂(α ∂μ ξν) = 0.

(3.111)

D’altra parte, per la propriet` a precedente, deve anche valere ∂[α ∂μ ξν] = 0.

(3.112)

Sommando le ultime due equazioni, e utilizzando la (3.110), otteniamo ∂μ ∂ν ξα = 0,

(3.113)

∂ν ξα = ωνα = cost.

(3.114)

la cui integrazione fornisce

Integrando una seconda volta si arriva infine alla soluzione generale ξα = cα + ωμα xμ ,

(3.115)

dove cα = cost, e dove la matrice ω deve essere antisimmetrica affinchè l’equazione di Killing (3.110) sia soddisfatta. Al variare delle componenti indipendenti di cα e di ωμν = ω[μν] si ottengono, rispettivamente, i 4 generatori delle traslazioni globali (si veda l’Eq.(1.23)) e i 6 generatori delle traslazioni globali di Lorentz (si veda l’Eq.(1.44)). Si ritrova cos`ı il gruppo di Pouncarè come gruppo massimo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski. 3.2. Soluzione La matrice di Lorentz per un boost lungo l’asse z ha componenti non nulle Λ0 0 = Λ3 3 = γ, Λ0 3 = Λ3 0 = −βγ, Λ1 1 = Λ2 3 = 1. Sviluppandola attorno all’identit` a, per piccole velocit` a, e ponendo Λμ ν δνμ + ω μ ν ,

(3.116)

troviamo che le componenti di ω diverse da zero sono ω 0 3 = ω 3 0 = −β = −v/c. Sfruttando il risultato dell’esercizio precedente, Eq. (3.115), troviamo subito che il corrispondente vettore di Killing ha componenti non nulle ξ0 = ω3 0 x3 = βz,

ξ3 = ω 0 3 x0 = −βct.

(3.117)

` facile verificare che per il vettore ξμ = (βz, 0, 0, −βct) l’equazione di Killing E (3.110) è identicamente soddisfatta. 3.3. Soluzione Sostituiamo nei vari termini della (3.58) l’espressione di xμ fornita dalla (3.57), omettendo contributi di ordine superiore al secondo. Si ottiene: 1 1 (f −1 )μ (x ) xμ + ξ1μ (x) + ξ2μ (x) + ξ1ν ∂ν ξ1μ (x) 2 2 1 μ 1 μ −ξ1 (x + ξ1 ) − ξ2 (x) + ξ1ν ∂ν ξ1μ (x). 2 2

(3.118)

Esercizi Capitolo 3

63

Sviluppiamo in serie di Taylor, nell’intorno di x, il quinto termine di questa espressione: (3.119) ξ1μ (x + ξ1 ) ξ1μ (x) + ξ1ν ∂ν ξ1μ (x) + . . . . Sostituendo nell’equazione precedente si semplificano tutti i termini tranne il primo, e si ottiene: (f −1 )μ (x ) = xμ , (3.120) ossia esattamente l’inverso dell’espressione (3.57). 3.4. Soluzione Sfruttando le propriet` a metrico-compatibili della connessione di Christoffel (∇g = 0) possiamo scrivere:

(3.121) ∇μ ξν = ∇μ (gνα ξ α ) = gνα ∇μ ξ α = gνα ∂μ ξ α + Γμβ α ξ β . Perciò 2∇(μ ξν) = gνα ∂μ ξ α + gμα ∂ν ξ α + (gνα Γμβ α + gμα Γνβ α ) ξ β .

(3.122)

D’altra parte, imponendo che valga la condizione ∇β gμν = 0, abbiamo anche ∂β gμν = Γβμ α gαν + Γβν α gμα .

(3.123)

Sostituendo nella (3.122), ed usando la simmetria di g e dei primi due indici di Γ , troviamo 2∇(μ ξν) = gνα ∂μ ξ α + gμα ∂ν ξ α + ξ α ∂α gμν ,

(3.124)

e quindi

dove δξ gμν

1 ∇(μ ξν) = − δξ gμν , 2 è definito in Eq. (3.53). In modo analogo si trova ∇(μ ξ ν) =

1 δξ g μν , 2

(3.125)

(3.126)

dove δξ g μν è definito in Eq. (3.54). La condizione ∇(μ ξν) = 0 (oppure ∇(μ ξ ν) = 0) è quindi equivalente all’equazione di Killing δξ gμν = 0 (oppure δξ g μν = 0) che garantisce l’invarianza locale della metrica per trasformazioni generate dal vettore ξ μ . 3.5. Soluzione Differenziando l’Eq. (3.108) abbiamo

d (det M ) = det M Tr M −1 dM .

(3.127)

Sostituiamo M con la matrice gμν , e ricordiamo che in questo caso la matrice inversa è rappresentata dalle componenti controvarianti g μν (si veda l’Eq. (3.21). Perciò:

64


dg = Tr gαβ dgβν = gαβ dgαβ , g

(3.128)

in accordo all’Eq. (3.95). 3.6. Soluzione Il determinante g della metrica è una densit` a scalare di peso w = −2. Applicando la regola (3.101) di derivata covariante, e l’Eq. (3.97) per la traccia della connessione di Christoffel, otteniamo quindi (w)

∇α g = ∂α g − 2Γαβ β g √ 1 = ∂α g − 2g √ ∂α −g −g 1 = ∂α g − 2g ∂α g ≡ 0. 2g

(3.129)

Tale risultato è un’ovvia conseguenza del fatto che la connessione di Christoffel è metrico-compatible, ∇α gμν = 0. 3.7. Soluzione Applicando la definizione (3.31) di ημνρσ , e la definizione (3.75) di derivata covariante, abbiamo −1/2

∇α η μνρσ = μνρσ ∂α (−g)

+ Γαβ μ η βνρσ

+Γαβ ν η μβρσ + Γαβ ρ η μνβσ +Γαβ σ η μνρβ .

(3.130)

Poichè η è un tensore completamente antisimmetrico, le sue componenti sono diverse da zero solo se i quattro indici sono tutti diversi tra loro. In uno spazio tempo a 4 dimensioni, d’altra parte, ci sono solo 4 valori disponibili per gli indici. Questo implica che i termini contenenti la connessione, nell’equazione precedente, sono diversi da zero solo se β = μ nel primo termine, β = ν nel secondo termine, β = ρ nel terzo termine e β = σ nel quarto termine. La somma dei quattro termini riproduce quindi la traccia della connessione. Usando l’Eq. (3.97) per la traccia otteniamo allora: 1/2

−1/2

+ Γαβ β η μνρσ ∇α η μνρσ = η μνρσ (−g) ∂α (−g) 1/2 −1/2 −1/2 1/2 = η μνρσ (−g) ∂α (−g) + (−g) ∂α (−g) ≡ 0.

(3.131)

4 Equazioni di Maxwell e geometria di Riemann

Se accettiamo un modello di spazio-tempo basato su di una struttura geometrica Riemanniana dobbiamo chiederci, innanzitutto, come trasferire in tale contesto i risultati della fisica Minkowskiana. Il principio di equivalenza ci dice che le equazioni della relativit` a ristretta rimangono localmente valide in un’opportuna carta inerziale e in una regione dello spazio-tempo sufficientemente limitata (si veda la Sez. 2.2). Per` o, per essere globalmente estese su di una variet` a Riemanniana diversa da quella di Minkowski, tali equazioni devono essere opportunamente generalizzate. La procedura che ci permette di farlo correttamente è il cosiddetto principio di minimo accoppiamento, che introdurremo nella sezione seguente, e ` che in questo capitolo applicheremo al caso della teoria elettromagnetica. E opportuno sottolineare che la validit` a di tale procedura non è limitata all’elettromagnetismo ma si estende, in generale, a tutti i sistemi fisici e a tutte le inerazioni. Tale procedura verr` a utilizzata a pi` u riprese anche nei capitoli successivi, e in situazioni fisiche molto diverse tra loro.

4.1 Il principio di minimo accoppiamento In accordo al principio di relativit` a generalizzato introdotto nel Capitolo 2 le leggi fisiche devono essere rappresentate da equazioni che risultino covarianti rispetto a trasformazioni generali di coordinate. Se consideriamo, in particolare, sistemi fisici descritti da equazioni che sono già covarianti nello spazio-tempo di Minkowski, possiamo allora immergere tali sistemi in un contesto geometrico Riemanniano – ossia rendere le loro equazioni general-covarianti – mediante una semplice procedura detta “principio di minimo accoppiamento”. In pratica, questa procedura consiste nell’effettuare le seguenti operazioni:

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•

sostituire nei prodotto scalari la metrica di Minkowski con la metrica di Riemann, ημν → gμν ; • sostituire ovunque le derivate parziali con le derivate covarianti, ∂μ → ∇μ ; √ • usare opportune potenze di −g per saturare a zero i pesi delle densità tensoriali. √ In particolare, nell’integrale di azione, usare la prescrizione d4 x → d4 x −g. Con questa procedura, effettuata direttamente nelle equazioni del moto oppure – pi` u correttamente – nell’azione che descrive il sistema, si “accoppia” il sistema alla geometria della variet` a Riemanniana. L’accoppiamento è minimo nel senso che dipende solo dalla metrica e dalle sue derivate prime (la connessione), e quindi scompare nel limite in cui, localmente, g → η e Γ → 0, in accordo al principio di equivalenza. Termini geometrici contenenti derivate della metrica di ordine superiore al primo coinvolgerebbero la curvatura dello spazio-tempo (si veda il Capitolo 6), e non potrebbero essere eliminati neppure localmente. Inoltre, tale accoppiamento è universale, nel senso che coinvolge necessariamente e allo stesso modo tutti i sistemi fisici, senza eccezioni. Ovviamente, oggetti geometrici di tipo diverso realizzzano l’accoppiamento con regole diverse (la derivata covariante, ad esempio, dipende dal tipo di oggetto considerato). Non esistono, per` o, sistemi fisici “geometricamene neutri”, ossia insensibili alla metrica della variet` a Riemanniana. Osserviamo infine che il principio di minimo accoppiamento non costituisce un aspetto esclusivo dei modelli geometrici Riemanniani, ma è un ingrediente tipico di tutte le cosiddette teorie di gauge, dove tale principio viene usato per ripristinare l’invarianza della teoria rispetto ad un gruppo di simmetria locale. Anche in un contesto geometrico, d’altra parte, l’accoppiamento viene introdotto per rendere il modello invariante rispetto a trasformazioni generali di coordinate, x → x (x), estendendo cos`ı l’invarianza rispetto alle trasformazioni “rigide” di Lorentz, tipiche dello spazio di Minkowski. In questo senso, come già osservato nella Sez. 3.4, la connessione Γ rappresenta il “campo di gauge” associato a una simmetria locale. Chiariremo meglio questo punto nel Capitolo 12. Qui ci limitiamo a notare che le teorie di gauge forniscono il modello pi` u adatto per descrivere gli effetti delle interazioni fondamentali presenti in natura: questa analogia tra teorie di gauge e struttura geometrica Riemanniana suggerisce dunque che anche un opportuno modello geometrico potrebbe essere usato per rappresentare un’interazione di tipo fondamentale come, in particolare, quella gravitazionale.

4.2 Accoppiamento tra campo elettromagnetico e geometria

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4.2 Accoppiamento tra campo elettromagnetico e geometria Applicando il principio di minimo accoppiamento alla definizione del tensore elettromagnetico, Fμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ , possiamo innanzitutto osservare che la relazione tra campi e potenziali resta invariata, ossia che: Fμν → ∇μ Aν − ∇ν Aμ = ∂μ Aν − ∂ν Aμ − (Γμν α − Γνμ α ) Aα = ∂μ Aν − ∂ν Aμ ≡ Fμν .

(4.1)

I termini di connessione si cancellano a causa della propriet` a di simmetria Γ[μν] α = 0. ` opportuno sottolineare che l’universalit` E a della relazione tra campi e potenziali non è peculiare di un modello geometrico basato sulla connessione di Christoffel – come sembrerebbe dall’equazione precedente – ma è in realtà pi` u generale, valido anche in presenza di torsione. Questo dipende dal fatto che il potenziale elettromagnetico (cos`ı come tutti i potenziali associati a campi di gauge, Abeliani e non-Abeliani) è rappresentato geometricamente dalla 1-forma differenziale A = Aμ dxμ (si veda l’Appendice finale), che si comporta come uno scalare nello spazio di Minkowski localmente tangente alla variet` a Riemanniana data (si veda il Capitolo 12): perciò, le derivate covarianti esterne della 1-forma A si riconducono sempre a derivate ordinarie. Se la connessione è simmetrica, come nel nostro contesto, la distinzione tra vettore covariante e 1-forma diventa per` o irrilevante. In ogni caso, il fatto che la relazione tra Fμν e Aν resti invariata ha due conseguenze importanti. La prima conseguenza è che il principio di minimo accoppiamento lascia invariate anche le equazioni di Maxwell che riguardano la divergenza del campo magnetico e il rotore del campo elettrico, ∂[α Fμν] = 0. Calcoliamo infatti il gradiente covariante di Fμν : ∇α Fμν = ∂α Fμν − Γαμ β Fβν − Γαν β Fμβ .

(4.2)

Prendendo la parte completamente antisimmetrica di questa equazione otteniamo, identicamente, (4.3) ∇[α Fμν] = ∂[α Fμν] = 0, dove i termini con la connessione sono scomparsi, anche stavolta, a causa della simmetria Γ[μν] α = 0. L’accoppiamento alla geometria non modifica quindi questo settore delle equazioni di Maxwell. La seconda, importante conseguenza riguarda l’invarianza di Fμν per trasformazioni di gauge, (4.4) Aμ → Aμ + ∂μ f.

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Tale invarianza rimane valida, e continua a implicare la conservazione della carica elettrica, indipendentemente dalla geometria nella quale i campi elettromagnetici si trovano immersi. Consideriamo infatti l’azione che descrive il campo elettromagnetico e la densità di corrente delle sorgenti. Usando il principio di minimo accoppiamento l’azione si pu` o scrivere 1 1 μ 4 √ μν d x −g (4.5) S=− Fμν F + J Aμ , 16π c Ω dove i prodotti scalari sono effettuati mediante la metrica di Riemann, e J è la corrente ottenuta col principio di minimo accoppiamento dalla corrispondente corrente J definita nello spazio-tempo di Minkowski. La variazione di questa azione per una trasformazione di gauge (4.4) è data da √ 1 d4 x −g Jμ ∂μ f δS = − c Ω

1 √ √

1 d4 x ∂μ −g Jμ f + d4 x f ∂μ −g Jμ . =− (4.6) c Ω c Ω Applicando il teorema di Gauss al primo di questi due integrali si trova che questo integrale non contribuisce a δS, purchè la corrente J vada a zero abbastanza rapidamente sul bordo ∂Ω del quadri-volume di integrazione (cosa che ci aspettiamo se le sorgenti sono localizzate in una porzione finita di spazio). In questo caso, poichè la funzione scalare f che genera la trasformazione di gauge è arbitraria, possiamo concludere che l’azione risulta invariante per trasformazioni di gauge purchè: √

(4.7) ∂μ −g Jμ = 0. Utilizzando la definizione (3.103) di divergenza covariante tale equazione si pu` o anche riscrivere come: ∇μ Jμ = 0. (4.8) L’invarianza di gauge implica ancora l’esistenza di una corrente conservata, ma tale corrente sembra essere diversa da quella di Minkowski. Correnti diverse, d’altra parte, definiscono cariche conservate che in generale sono differenti (ricordiamo le equazioni (1.33)–(1.35), che mostrano come ottenere la carica conservata dall’equazione di continuità per la corrente). Sembrerebbe dunque che la quantit` a conservata dipenda non solo dalle propriet` a intrinseche della sorgente elettromagnetica, ma anche dalla metrica, e quindi dalle propriet` a geometriche dello spazio-tempo in cui la sorgente è immersa. In realtà, invece, questa influenza della geometria sulla conservazione della carica elettrica non esiste, come si pu` o verificare ricordando la relazione esplicita tra J e J fornita dal principio di minimo accoppiamento.

4.3 Le equazioni di Maxwell generalizzate

69

Osserviamo infatti che nello spazio-tempo di Minkowski la densit` a di corrente è definita dalla ben nota espressione J μ = ρdxμ /dt, dove ρ è la densità di carica elettrica. Integrando la corrente J μ in d4 x (che è una misura di integrazione scalare per trasformazioni del gruppo di Lorentz ristretto) si ottiene allora il quadrivettore J μ d4 x = cdqdxμ , (4.9) dove dq = ρd3 x è la carica per elemento di volume infinitesimo, e dxμ è lo spostamento infinitesimo lungo la “linea d’universo” tracciata dalla carica dq. In un contesto Riemanniano, applicando il principio di minimo accoppiamento all’equazione precedente, si avr` a invece √ Jμ d4 x −g = cdqdxμ , (4.10) √ da cui Jμ = J μ / −g. Ne consegue che le equazioni (4.7), (4.8) non sono altro che una trascrizione in forma esplicitamente covariante dell’equazione di conservazione ∂μ J μ = 0 per la stessa corrente J μ dello spazio-tempo di Minkowski. La carica elettrica q conservata nella variet` a Riemanniana coincide dunque esattamente con quella conservata nello spazio-tempo di Minkowski.

4.3 Le equazioni di Maxwell generalizzate Nella sezione precedente abbiamo visto che l’introduzione di una struttura geometrica Riemanniana nello spazio-tempo non cambia la relazione tra campi e potenziali elettromagnetici, e non cambia la legge di conservazione della carica elettrica. Possiamo chiederci, allora, se c’è qualcosa che cambia. La risposta è affermativa: viene modificata l’equazione dinamica che descrive la propagazione dei campi elettromagnetici nello spazio-tempo. Tale equazione diventa crucialmente dipendente dalle propriet` a geometriche dello spazio-tempo stesso. Per illustrare questo effetto ricordiamo l’azione (4.5), che riscriviamo come √ S= d4 x −g L(A, ∂A), (4.11) Ω

dove L è il termine in parentesi tonde dell’Eq. (4.5). Variando rispetto ad Aν , ed imponendo che l’azione sia stazionaria, otteniamo le equazioni di EuleroLagrange √ √ ∂ ( −gL) ∂ ( −gL) ∂μ = , (4.12) ∂ (∂μ Aν ) ∂Aν √ u uno scalare, ma scritte per la Lagrangiana “effettiva” −gL (che non è pi` una densit` a scalare di peso w = −1). Effettuando le derivate, e dividendo per √ −g, si arriva facilmente all’equazione del moto

70


√

4π ν 1 √ ∂μ J . −gF μν = −g c

(4.13)

Notiamo ora che ∇μ F μν = ∂μ F μν + Γμα μ F αν + Γμα ν F μα √ αν 1 = ∂μ F μν + √ ∂α −g F −g √

1 = √ ∂μ −gF μν , −g

(4.14)

dove l’ultimo termine della prima riga si annulla perchè F μα = F [μα] , e dove abbiamo usato l’Eq. (3.97) per la traccia della connessione. L’Eq. (4.13) si pu` o allora riscrivere come: ∇μ F μν =

4π ν J . c

(4.15)

In questa forma, l’equazione coincide esattamente con quella che si sarebbe ottenuta applicando il principio di minimo accoppiamento direttamente alle equazioni di Maxwell della relatività ristretta (si veda l’Eq. (1.78)). Per riassumere i risultati ottenuti, e per meglio evidenziare gli effetti dell’accoppiamento minimo dei campi elettromagnetici alla geometria di una varietà Riemanniana, è conveniente a questo punto scrivere l’insieme completo delle equazioni di Maxwell generalizzate in funzione delle variabili che non cambiano rispetto allo spazio di Minkowski. Queste variabili sono il tensore √ Fμν (si veda l’Eq. (4.1)) e la corrente J μ = −g Jμ (si vedano le equazioni (4.9) e (4.10)). Dalle equazioni (4.3), (4.13) otteniamo allora: ∂μ

√

Fαβ

4π ν −gg μα g νβ Fαβ = J , c = ∂α Aβ − ∂β Aα .

∂[μ Fαβ] = 0, (4.16)

In queste equazioni tutti i contributi di origine geometrica appaiono esplicitamente. Questa forma esplicita suggerisce l’esistenza di una stretta analogia formale tra le equazioni elettromagnetiche scritte in una variet` a Riemanniana e le stesse equazioni scritte in un mezzo ottico continuo. Analogia con le equazioni di Maxwell in un mezzo ottico ` ben noto che, in presenza di un mezzo dielettrico continuo, e nel conteE sto dello spazio-tempo di Minkowski, le equazioni di Maxwell possono essere scritte introducendo due diversi tensori per il campo elettromagnetico. L’usuale tensore Fμν , le cui componenti F0i = Ei e Fij = − ijk B k descrivono il campo elettromagnetico del vuoto, correlato alla densit` a di carica totale e alla corrente totale; e un secondo tensore Gμν , le cui componenti Gi0 = D i e

4.3 Le equazioni di Maxwell generalizzate

71

Gij = − ijk Hk descrivono il campo di induzione elettromagnetica del mezzo, correlato alla densit` a di carica libera e alla corrente libera. I due campi F e G soddisfano le equazioni seguenti, 4π ν J , c = ∂α Aβ − ∂β Aα .

∂μ Gμν = Fαβ

∂[μ Fαβ] = 0, (4.17)

e sono collegati tra loro dalla cosiddetta “relazione costitutiva”, Gμν = χμναβ Fαβ ,

(4.18)

che descrive le popriet` a elettromagnetiche intrinseche del mezzo considerato. Il tensore χ gode in generale delle seguenti propriet` a: χμναβ = χ[μν][αβ] = χαβμν ,

χ[μναβ] = 0.

(4.19)

Per fare un semplice esempio possiamo considerare un mezzo isotropo, non conduttore, con costante dielettrica e permeabilità magnetica μ. In questo caso, e nel sistema a riposo con il mezzo, abbiamo χi0j0 = − δ ij ,

χijkl =

1 ik jl δ δ − δ il δ jk , 2μ

(4.20)

e l’Eq. (4.18) fornisce la ben nota relazione costitutiva D = E,

B = μH.

(4.21)

Il confronto delle equazioni (4.16), (4.17) mostra chiaramente che una variet` a Riemanniana, da un punto di vista elettrodinamico, si comporta formalmente come un mezzo ottico continuo le cui propriet` a dielettriche sono determinate dalla metrica mediante il seguente tensore costitutivo: χμναβ =

1 √ μα νβ −g g g − g μβ g να . 2

(4.22)

Questa analogia non è solamente formale. Infatti, come vedremo in seguito nel Capitolo 8, una geometria spazio-temporale descritta da un’opportuna metrica Riemanniana è in grado di deflettere e rallentare i raggi luminosi – e, pi` u in generale, i segnali elettromagnetici – esattamente come può fare un dielettrico trasparente non-omogeneo. E ancora: una metrica di tipo non-omogeneo e non statico, con componenti g 0i = 0, si comporta esattamente come un mezzo otticamente attivo, capace di far ruotare il piano di polarizzazione di un’onda elettromagnetica. Ulteriori effetti della geometria sulla propagazione dei segnali luminosi ed elettromagnetici saranno illustrati nel capitolo seguente. Concludiamo il capitolo osservando che sarebbe sbagliato, per` o, prendere troppo sul serio questa analogia tra mezzi ottici e geometria. Ci sono infatti differenze sostanziali tra le equazioni (4.16) – valide per i campi nel vuoto,

72


immersi in uno spazio-tempo di Riemann – e le equazioni (4.17) – valide per i campi immersi in un mezzo, nello spazio-tempo di Minkowski – che impediscono un’analogia completa. Al contrario di un dielettrico reale, infatti, il “mezzo geometrico” soddisfa al principio di equivalenza, e agisce in maniera universale su tutti i sistemi fisici. Possiamo fare, a questo proposito, un importante esempio fisico che riguarda l’effetto Cherenkov. In un dielettrico reale la velocit` a dei fotoni viene rallentata, e diventa quindi possibile che una particella carica si propaghi con velocità superiore a quella della luce in quel mezzo. In quel caso, come ben noto, viene emessa radiazione Cherenkov. Nell’analogo geometrico del dielettrico, invece, l’effetto Cherenokov non pu` o verificarsi1 . Infatti la geometria, oltre a rallentare la propagazione della luce, rallenta anche – e nella stessa identica misura – la velocità di propagazione di qualsiasi altro segnale e/o particella. Se una particella è pi` u lenta dei fotoni nello spazio vuoto di Minkowski rimar` a dunque pi` u lenta dei fotoni anche nello spazio vuoto di Riemann, qualunque sia il tipo di metrica introdotto. Solo un mezzo dielettrico reale pu` o agire in modo non-universale, rallentando maggiormente la luce delle altre particelle, e rendendo cos`ı possibile l’effetto Cherenkov.

Esercizi Capitolo 4 4.1. Campo elettrostatico in una geometria sfericamente simmetrica Determinare il campo elettrostatico di una carica e puntiforme immersa in una varietà Riemanniana con metrica g00 = f (r),

gij = −δij ,

gi0 = 0,

(4.23)

dove r = (xi xi )1/2 . 4.2. Invarianza conforme delle equazioni di Maxwell Scrivere l’equazione di propagazione del potenziale vettore A in assenza di sorgenti, nel gauge di radiazione (∇ · A = 0, A0 = 0), e in uno spazio-tempo la cui geometria è descritta dalla metrica g00 = 1,

gij = −a2 (t)δij ,

gi0 = 0

(4.24)

(si usino, per semplicit` a le unit` a natuali in cui c = 1). Mostrare anche che tale equazione si riduce all’ordinaria equazione d’onda di D’Alembert mediante un’opportuno cambio della variabile temporale. 1

M. Gasperini, Phys. Rev. Lett. 62, 1945 (1989).

Esercizi Capitolo 4

73

Soluzioni 4.1. Soluzione Consideriamo le equazioni (4.16),e poniamo J i = 0,

J 0 = ecδ (3) (x),

Fij = 0, F0i = Ei . √ Osservando che −g = f 1/2 e g 00 = f −1 otteniamo:

√

−ggij g 00 Fj0 = ∂i f −1/2 E i = 4πeδ (3) (x). ∂i

(4.25)

(4.26)

Introduciamo una funzione scalare χ(r) tale che f −1/2 E i = −∂ i χ,

(4.27)

e sostituiamo nell’Eq. (4.26). Risolvendo l’equazione di Poisson ottenuta per χ si trova allora facilmente che χ = e/r, e quindi: E i = −f 1/2 ∂ i χ = f 1/2

exi . r3

(4.28)

4.2. Soluzione Sostituiamo le componenti della metrica (4.24) nelle equazioni (4.16), notando che √ g ij = −a−2 δ ij , −g = a3 . (4.29) g 00 = 1, Utilizzando il gauge di radiazione A0 = 0, ∂ i Ai = 0, otteniamo

1 −∂0 aδ ij ∂0 Aj + δ kj δ il ∂k ∂j Al = 0, a

(4.30)

da cui, dividendo per a,

∇2 ∂2 a˙ ∂ − + ∂t2 a ∂t a2

A = 0,

(4.31)

dove a˙ = da/dt, e dove ∇2 = δ ij ∂i ∂j è l’usuale operatore Laplaciano dello spazio euclideo tridimensionale (abbiamo posto c = 1). Tale equazione si pu` o ridurre all’ordinaria equazione di D’Alembert introducendo una nuova coordinata temporale τ , collegata a t dalla relazione differenziale dt = adτ . Con questa nuova coordinata, infatti, ∂A ∂A =a , ∂τ ∂t ∂ 2A ∂2A ∂A ∂ ∂A a = a2 2 + aa˙ , = a 2 ∂τ ∂t ∂t ∂t ∂t

(4.32)

74


e l’Eq. (4.31) si riscrive come

∂2 2 − ∇ A = 0. ∂τ 2

(4.33)

Questo risultato è una conseguenza della cosiddetta invarianza conforme della Lagrangiana di Maxwell, √ −ggμα g νβ Fμν Fαβ , (4.34) che è invariante rispetto a trasformazioni del tipo gμν → gμν = f (x)gμν ,

g μν → gμν = f −1 (x)g μν

(4.35)

(dette “trasformazioni locali di scala” o anche “trasformazioni di Weyl”). Come conseguenza di questa invarianza le equazioni di Maxwell mantengono la stessa forma nelle due metriche g e g collegate dalla trasformazione precedente. Cambiando coordinata da t a τ , d’altra parte, l’elemento di linea dello spazio-tempo (4.24) assume la forma

(4.36) ds2 = dt2 − a2 dxi dxi = a2 dτ 2 − dxi dxi , e la geometria viene ad essere descritta da una metrica gμν che è detta “conformemente piatta”, (4.37) gμν = a2 (τ )ημν , ossia da una metrica g collegata a quella di Minkowski η da una trasformazione del tipo (4.35), con f = a2 . Poichè le equazioni di Maxwell devono avere la stessa forma nelle due metriche g e η, si pu` o immediatamente dedurre che l’equazione d’onda del potenziale vettore, se espressa mediante la coordinata temporale τ della metrica g, deve coincidere in forma con l’equazione per il potenziale vettore che si otterrebbe nella metrica di Minkowski η (ossia con l’equazione d’onda di D’Alembert), come infatti ottenuto nell’Eq. (4.33).

5 Corpi di prova e segnali nello spazio-tempo di Riemann

Nei capitoli precedenti abbiamo discusso una possibile generalizzazione della struttura geometrica dello spazio-tempo, basandoci sul modello di variet` a Riemanniana. Abbiamo illustrato le principali propriet` a e i nuovi aspetti formali di questa struttura geometrica, mostrando anche come immergere in un generico contesto Riemanniano i modelli fisici formulati nello spazio-tempo ` giunto ora il momento di rendere pi` di Minkowski. E u chiara ed esplicita la stretta connessione esistente tra geometria dello spazio-tempo e interazione gravitazionale. In questo capitolo mostreremo che l’introduzione di un’opportuna metrica sullo spazio-tempo permette di riprodurre fedelmente tutti gli effetti dinamici della teoria gravitazionale di Newton. Ma vedremo anche che una rappresentazione geometrica dell’interazione gravitazionale non si limita a fornire una pura riformulazione di un modello gi` a noto: l’approccio geometrico prevede infatti nuovi effetti gravitazionali che non erano inclusi nel contesto della teoria Newtoniana, e che sono stati confermati dalle osservazioni sperimentali anche pi` u recenti e precise.

5.1 Moto geodetico di un corpo libero puntiforme Per discutere la possibilit` a di rappresentare geometricamente gli effetti dell’interazione gravitazionale chiediamoci innanzitutto come si muove un corpo di prova immerso in una variet` a Riemanniana, descritta da una metrica arbitraria. Consideriamo, come semplice esempio, una particella puntiforme di massa m, e cerchiamo la sua equazione del moto partendo dall’azione libera nello spazio di Minkowski (gi` a introdotta nella soluzione dell’Esercizio 1.4, Eq. (1.118)). Applicando il principio di minimo accoppiamento (si veda la Sez. 4.1) otteniamo l’azione

76


S = −mc = −mc

ds = −mc dτ

dxμ dxμ = −mc

dxμ dxν gμν

x˙ μ x˙ ν gμν ,

(5.1)

valida in una generica variet` a Riemanniana. Nell’ultimo passaggio abbiamo indicato con il punto la derivata rispetto al parametro temporale τ , che è scalare rispetto a trasformazioni generali di coordinate, e che parametrizza la cosiddetta “linea d’universo” xμ = xμ (τ ), ossia la traiettoria spazio-temporale della particella. ` utile notare che questa azione pu` E o esere riscritta in una forma che è pi` u semplice – senza la radice quadrata – ma equivalente ai fini dinamici. A tale scopo basta introdurre un campo ausiliario V (τ ) (che agisce da moltiplicatore di Lagrange), con dimensioni dell’inverso di una massa, e considerare l’azione: −1 μ ν

1 2 2 dτ V x˙ x˙ gμν + m c V ≡ dτ L(x, x). S=− ˙ (5.2) 2 La variazione rispetto a V fornisce il vincolo x˙ μ x˙ ν gμν = m2 c2 V 2 .

(5.3)

Risolvendo per V , e sostituendo nell’Eq. (5.2), si ritrova esattamente l’azione di partenza (5.1). Per ottenere l’equazione del moto possiamo usare indifferentemente una delle due azioni precedenti. La seconda – detta “azione di Poliakov” – è ben definita anche nel caso limite di particelle con massa nulla, al contrario della prima. Variamo dunque l’azione (5.2) rispetto alle coordinate xμ del corpo di prova, fissando il parametro τ in modo che risulti proporzionale al tempo proprio lungo la “linea d’universo” della particella. Con questa scelta del “gauge” temporale il campo ausiliario V si riduce a una costante (si veda l’Eq. (5.3)), e il suo contributo moltiplicativo non influisce sulle equazioni del moto. Abbiamo infatti ∂L 1 α β x˙ x˙ ∂μ gαβ , =− (5.4) ∂xμ 2V 1 ∂L = − gμν x˙ ν , (5.5) ∂ x˙ μ V e le equazioni di Eulero-Lagrange forniscono: 0 =−

∂L d ∂L + μ dτ ∂ x˙ ∂xμ

1 = gμν x ¨ν + x˙ α x˙ ν ∂α gμν − x˙ α x˙ β ∂μ gαβ 2 1 α β ν = gμν x ¨ + x˙ x˙ (∂α gμβ + ∂β gμα − ∂μ gαβ ) . 2

(5.6)

5.1 Moto geodetico di un corpo libero puntiforme

77

Moltiplicando per g ρμ si ottiene infine x ¨ρ + Γαβ ρ x˙ α x˙ β = 0,

(5.7)

dove Γ è la connessione di Christoffel definita dall’Eq. (3.90). L’equazione del moto (5.7) corrisponde esattamente all’equazione della cosiddetta curva geodetica. Corpi di prova puntiformi, liberi di muoversi in uno spazio-tempo di Riemann descritto dalla metrica gμν , seguono dunque fedelmente le geodetiche della metrica data. Per come è stata ottenuta è evidente che la geodetica rappresenta la traiettoria che estremizza il cammino ` anche evidente, dal confronto con tra due punti della variet` a Riemanniana. E l’Eq.(3.80), che la geodetica coincide con la curva autoparallela se la connessione coincide con quella di Christoffel, come appunto avviene nel contesto geometrico che stiamo considerando. In un contesto geometrico pi` u generale, in cui la connessione contiene anche termini di torsione e/o non-metricit` a (si veda l’Eq. (3.86)), i corpi di prova puntiformi continuano a muoversi lungo le geodetiche definite dalla connessione di Christoffel associata alla metrica – in accordo al principio variazionale di minima azione – ma tali traiettorie non sono pi` u autoparallele. In un contesto Riemanniano, invece, curve geodetiche ed autoparallele sono sempre coincidenti. Le traiettorie dei corpi di prova possono essere geodetiche di tipo tempo, x˙ μ x˙ μ > 0, oppure di tipo luce, x˙ μ x˙ μ = 0. Nel primo caso il corpo di prova è massivo: moltiplicando per la massa, e ponendo mx˙ μ = muμ = pμ , l’equazione del moto (5.7) si pu` o riscrivere come dpμ + Γαβ μ uα pβ = 0, dτ

(5.8)

oppure, in forma differenziale: Dpμ ≡ dpμ + Γαβ μ dxα pβ = 0.

(5.9)

(si veda la definizione (3.77) di differenziale covariante lungo una curva). Questo significa che il quadrivettore impulso del corpo è covariantemente costante – ossia, viene trasportato parallelamente a se stesso – lungo la traiettoria del moto (ricordiamo, a questo proposito, la discussione della Sez. 3.4.1). Per una traiettoria di tipo luce, e una particella di massa nulla, l’Eq. (5.9) rimane valida ma con la condizione pμ pμ = 0. Se al posto di una particella consideriamo un segnale elettromagnetico, e consideriamo l’approssimazione dell’ottica geometrica, possiamo descrivere la sua propagazione mediante il quadrivettore d’onda kμ . La traiettoria corrispondente viene allora fissata dal trasporto parallelo del vettore k μ che sostituisce il quadri-impulso: Dk μ = dk μ + Γαβ μ dxα k β = 0.

(5.10)

78


Concludiamo la sezione osservando che l’evoluzione geodetica dei corpi di prova e dei segnali è un risultato che conferma e sostiene l’idea di poter rappresentare geometricamente gli effetti dell’interazione gravitazionale, per due importanti motivi. Il primo motivo è che l’equazione geodetica (5.7) è in accordo col principio di equivalenza. Il moto geodetico, infatti, è di tipo localmente inerziale (l’equazione del moto si riduce a quella libera, x ¨ = 0, quando Γ = 0). Inoltre, la traiettoria geodetica è indipendente dalla massa del corpo di prova, per tutti i corpi, e in modo automatico (ossia senza assumere l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale, come invece è necessario nella teoria gravitazionale di Newton). Il secondo motivo è che l’equazione geodetica permette di riprodurre l’equazione del moto Newtoniana, nel limite di velocit` a non-relativistiche e campi gravitazionali sufficientemente deboli, mediante l’introduzione di una opportuna metrica spazio-temporale. Questo punto sar` a illustrato nella sezione seguente.

5.2 Limite Newtoniano Consideriamo una particella di prova di massa m, che interagisce con un campo gravitazionale descritto dal potenziale Newtoniano φ(x) (si veda la Lagrangiana (2.2)). Supponiamo che il campo sia debole, |φ| c2

(5.11)

(ossia che l’energia potenziale gravitazionale sia trascurabile rispetto all’energia di massa a riposo), che sia statico, φ˙ = 0

(5.12)

(pi` u in generale, che i gradienti temporali siano trascurabili rispetto ai graa siano dienti spaziali, |∂t φ| |∂i φ|), e supponiamo infine che le velocit` non-relativistiche: i dx c. |v i | = (5.13) dt In questo regime, l’azione associata alla Lagrangiana (2.2) assume la forma 2 v φ 1− 2 + 2 S = −mc2 dt c c 1 (5.14) dt −mc2 + mv 2 − mφ . 2 L’azione di una particella massiva immersa in una geometria spazio-temporale o scrivere descritta dalla metrica gμν , d’altra parte, è data dall’Eq. (5.1), e si pu` come segue:

5.2 Limite Newtoniano

S = −mc

dt

= −mc

gμν

dxμ dxν dt dt

1/2 dt g00 c2 + gij v i v j + 2g0i cv i .

Se prendiamo la seguente metrica φ g00 = 1 + 2 2 , c l’azione diventa 2

S = −mc

79

gij = −δij ,

2φ v 2 dt 1 + 2 − 2 c c

g0i = 0,

(5.15)

(5.16)

1/2 .

(5.17)

Usando le approssimazioni (5.11), (5.13), ed espandendo la radice quadrata all’ordine pi` u basso in φ/c2 e v 2 /c2 , arriviamo infine all’espressione 1 v2 φ 2 (5.18) dt 1 − + 2 , S −mc 2 c2 c che coincide esattamente con l’azione (5.14). La geometria descritta dalla metrica (5.16) riproduce quindi esattamente gli effetti dinamici dell’interazione gravitazionale nel cosiddetto limite Newtoniano, in cui il campo gravitazionale è debole e statico, e le velocità sono non-relativistiche, come specificato dalle equazioni (5.11)–(5.13). Possiamo infatti verificare, come utile esercizio, che le geodetiche associate alla metrica (5.16) forniscono in questo limite l’ordinaria equazione del moto della teoria gravitazionale Newtoniana. A questo scopo è conveniente separare l’equazione della geodetica (5.7) nelle sue componenti spaziali e temporali: x ¨0 + Γαβ 0 x˙ α x˙ β = 0,

(5.19)

x ï + Γαβ i x˙ α x˙ β = 0.

(5.20)

Usiamo per la connessione la definizione (3.90), osservando per` o che la metrica (5.16) devia da quella di Minkowski solo per la presenza di un termine proporzionale a φ, e che i gradienti della metrica diversi da zero contengono dunque il potenziale, ∂g ∼ ∂φ. Trascurando potenze di φ di ordine due (e superiori) possiamo perci` o approssimare la metrica con quella di Minkowski nei termini che moltiplicano ∂g, e valutare la connessione (nel limite di campi deboli) come segue: Γαβ μ

1 μρ η (∂α gβρ + ∂β gαρ − ∂ρ gαβ ) . 2

Inserendo in questa equazione la metrica (5.16) troviamo allora

(5.21)

80


Γ00 0 = 0,

Γij 0 = 0,

Γ0i j = 0,

Γij k = 0,

(5.22)

perchè la metrica è statica, diagonale, e solo i gradienti spaziali di g00 contribuiscono alla connessione. Le uniche componenti di Γ diverse da zero, nel limite Newtoniano, sono date da Γ0i 0 =

1 ∂i φ, c2

Γ00 i =

1 ij δ ∂j φ. c2

(5.23)

La componente Γ0i 0 , d’altra parte, contribuisce al’Eq. (5.19) con un termine misto del tipo v i ∂i φ, che possiamo trascurare nell’approssimazione in cui restiamo al primo ordine in φ/c2 e v/c. Le equazioni del moto geodetico (5.19), (5.20) si riducono quindi, nel limite Newtoniano, alle due condizioni x ¨0 = 0,

(5.24)

i

ij

x ¨ + δ ∂j φ

x˙ 0 c

2 = 0.

(5.25)

Ricordiamo ora che il punto indica la derivata rispetto al parametro covariante τ (si veda la Sez. 5.1). L’integrazione dell’Eq. (5.24) fornisce allora x˙ 0 = c

dt = α = cost, dτ

(5.26)

dove α è una costante di integrazione arbitraria. Sostituendo questo risultato nel membro sinistro dell’Eq. (5.25) otteniamo: x˙ i =

α dt dxi = vi, dτ dt c

x ï =

α2 dv i . c2 dt

(5.27)

Possiamo quindi riscrivere l’equazione del moto (5.25) nella forma (vettoriale) finale dv a= = −∇φ, (5.28) dt che riproduce esattamente il ben noto risultato Newtoniano. La discussione precedente ci mostra che la dinamica della teoria nonrelativistica di Newton pu` o essere riprodotta in modo puramente geometrico, modificando la metrica di Minkowski e introducendo sullo spazio-tempo una struttura geometrica Riemanniana descritta da un nuovo elemento di linea, che in coordinate cartesiane assume la forma: 2φ 2 2 2 μ ν (5.29) ds = gμν dx dx = 1 + 2 c dt − |dx|2 c ` importante sottolineare che questa rappresenta(si veda la metrica (5.16)). E zione geometrica non si limita a fornire una diversa (e interessante) riformulazione della teoria di Newton, ma prevede anche nuovi effetti gravitazionali, di origine geometrica, che non erano contemplati nella teoria di Newton, e che verranno illustrati nella sezione seguente.

5.3 Spostamento delle frequenze

81

5.3 Spostamento delle frequenze Se vogliamo descrivere un campo gravitazionale Newtoniano introducendo nello spazio-tempo l’elemento di linea (5.29) al posto di quello di Minkowski dobbiamo anche accettare, come immediata conseguenza, una modifica della relazione che collega gli intervalli di tempo proprio dτ – caratteristici di un dato processo fisico – agli intervalli dt della coordinata temporale di una generica carta definita sullo spazio-tempo. Nel caso della metrica di Minkowski è ben noto che tale relazione dipende dallo stato di moto dell’osservatore rispetto al processo considerato: si trova infatti dt/dτ = γ, dove γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 è il fattore di Lorentz associato al moto relativo dei due sistemi di coordinate. Nel caso della metrica (5.29) si trova invece che la relazione tra gli intervalli temporali dipende non solo dallo stato di moto relativo, ma anche dalla relativa posizione spaziale dell’osservatore rispetto al processo considerato. Si trova, in particolare, una differenza tra gli intervalli temporali anche all’interno della stessa carta, in assenza di moto relativo, per processi che avvengono in posizioni diverse. Tale effetto è comune a tutte le metriche caratterizzate da una componente g00 che dipende dalle coordinate spaziali, come nel caso dell’Eq. (5.29). Ricordiamo infatti che l’intervallo di tempo proprio tra due eventi è dato, per definizione, dall’intervallo spazio-temporale ds/c valutato nel sistema di riferimento in cui la separazione spaziale tra i due eventi è nulla, dxi = 0. Se la componente g00 della metrica non è costante, tale quantità dipende dalle coordinate anche all’interno della stessa carta. Per un processo fisico che viene osservato nel punto x1 , ad esempio, il corrispondente intervallo di tempo proprio dτ1 è collegato all’intervallo di tempo coordinato dt dalla relazione (5.30) dτ1 = g00 (x1 ) dt. Analogamente, per lo stesso processo che osservato nel punto x2 abbiamo: (5.31) dτ2 = g00 (x2 ) dt (si noti che dt è l’intervallo che verrebbe misurato in assenza di gravitazione nello spazio-tempo di Minkowski, e quindi è lo stesso in tutti i punti). Ne consegue la relazione 1/2 dτ1 g00 (x1 ) = , (5.32) dτ2 g00 (x2 ) che determina la variazione relativa degli intervalli temporali in funzione della posizione in cui avviene il processo. ` interessante osservare che nella metrica (5.29) il potenziale Newtoniano E è negativo, φ < 0, per cui g00 < 1. Se confrontiamo l’intervallo temporale tra due eventi misurato nel punto x1 , dove φ(x1 ) = 0, con il corrispondente

82


intervallo temporale misurato all’infinito, dove φ∞ = 0, g00 = 1 e dt = dτ , otteniamo allora, dall’Eq. (5.32): dτ∞ =

dτ1 dτ1 = 1/2 > dτ1 . g00 (x1 ) 2φ(x1 ) 1 + c2

(5.33)

La durata di un processo, in presenza di un campo gravitazionale, risulta dunque “allungata” rispetto a quella che si misurerebbe in assenza di campo: è il famoso effetto di dilatazione temporale gravitazionale, certamente non previsto dalla teoria Newtoniana. Per l’osservazione sperimentale di tale effetto può essere conveniente considerare processi periodici, e confrontare tra loro le frequenze del processo in punti differenti dello spazio. Prendiamo ad esempio un segnale monocromatico, che si propaga dal punto di emissione xe al punto di ricezione xr . Il rapporto tra i periodi dei segnali nelle due posizioni è fissato dall’Eq. (5.32), con x1 = xe e x2 = xr . Per le frequenze abbiamo allora il rapporto inverso, ossia: 1/2 g00 (xe ) ωr = . (5.34) ωe g00 (xr ) Questa relazione pu` o essere ricavata anche con un differente argomento introducendo la nozione di “osservatore statico”, ossia di osservatore caratterizzato da un quadrivettore velocit` a uμ con componenti: ui = 0,

u0 = √

c g00

(5.35)

(il vettore è opportunamente normalizzato in modo tale che gμν uμ uν = c2 ). Supponiamo infatti che la sorgente e il ricevitore siano a riposo rispetto a due osservatori statici, localizzati rispettivamente nei punti xe e xr , e supponiamo che la propagazione del segnale possa essere descritta dal quadrivettore d’onda k μ = (k, ω/c). La frequenza del segnale osservata localmente nei punti xe e xr è allora data, rispettivamente, dalle proiezioni (kμ uμ )xe e (kμ uμ )xr . In un sistema localmente inerziale, dove g00 = 1, queste due proiezioni scalari forniscono lo stesso risultato. I prodotti scalari, d’altra parte, hanno lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento, perci` o il risultato delle proiezioni considerate continua a coincidere in qualunque sistema: (gμν k μ uν )xe = (gμν k μ uν )xr . Per una metrica diagonale si ottiene allora la relazione ωe g00 (xe ) = ωr g00 (xr ) che riproduce l’Eq. (5.34), come anticipato.

(5.36)

(5.37)

5.3 Spostamento delle frequenze

83

5.3.1 Spostamento spettrale in un campo Newtoniano Concentriamoci ora sulla metrica (5.29) che descrive gli effetti gravitazionali nel limite Newtoniano, e applichiamo a questa metrica il precedente risultato relativo allo spostamento spettrale. Sviluppando la radice quadrata (5.34) al primo ordine in φ/c2 otteniamo immediatamente ωr φe φr 1 1+ 2 (5.38) 1 − 2 1 − 2 (φr − φe ) , ωe c c c da cui

Δω 1 Δφ ωr − ω e = − 2 (φr − φe ) ≡ − 2 . (5.39) ≡ ω ωe c c Tenendo conto che il potenziale è negativo possiamo allora osservare che se il campo è pi` u intenso nella regione di emissione che in quella di ricezione (ossia, se φe < φr ) si trova che la differenza Δω è negativa, e quindi che ωr < ωe . Questo significa che la frequenza ricevuta è “spostata verso il rosso” rispetto a quella emessa (in accordo al cosiddetto redshift gravitazionale). La frequenza emessa da un atomo che si trova sulla superficie di una stella molto compatta, ad esempio, risulta essere pi` u rossa della stessa frequenza emessa da un atomo identico posto sulla superficie del sole o della Terra, dove il campo gravitazionale è pi` u debole. Ma esiste – ovviamente – anche l’effetto opposto: se φe > φr allora l’Eq. (5.39) implica ωr > ωe : la frequenza di un segnale, ricevuto in regioni con potenziale gravitazionale pi` u intenso che all’emissione, risulta “spostata verso il blu” (ossia pi` u elevata di quella misurata dall’emettitore). Effetti di questo tipo sono molto piccoli nel limite Newtoniano. Ad esempio, il redshift che caratterizza un segnale emesso dalla superficie del sole – che ha un raggio R ∼ 7 × 1010 cm e una massa M ∼ 1033 g – e ricevuto sulla Terra, è dell’ordine di GM Δω =− ∼ −10−6 . (5.40) ω Rc2 Sole Ciononostante, l’effetto di redshift gravitazionale è stato osservato e confermato sperimentalmente persino nel campo gravitazionale terreste. Il primo esperimento, effettuato da Pound e Rebka1 nel 1959, ha preso in considerazione lo spostamento di frequenza della radiazione elettromagnetica associato ad un dislivello di circa 23 metri sulla superficie terrestre, e ha confermato la predizione (5.39) con una precisione del 10%. In esperimenti successivi la precisione è migliorata, ed è stato anche osservato il redshift della radiazione emessa dalla superficie di stelle compatte come la “nana bianca” Sirius B. Pi` u recentemente è stato direttamente verificato anche l’effetto di dilatazione temporale (5.33), confrontando il tempo misurato da orologi atomici 1

R. V. Pound e G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960).

84


posti su aerei in volo con il tempo segnato da orologi identici rimasti al suolo2 . Tale effetto risulta ovviamente amplificato nel caso di orologi posti su satelliti artificiali, orbitanti a grandi altezze, tanto da essere tenuto in considerazione (e automaticamente corretto) nei moderni sistemi di navigazione satellitare come il sistema GPS (Global Positioning System). In quel caso gli orologi in volo, essendo soggetti ad un campo gravitazionale pi` u debole, scandiscono il tempo pi` u velocemente degli orologi terresti di circa 46 microsecendi al giorno. Questo effetto è dominante rispetto al rallentamento cinematico dovuto al moto, previsto dalla relativit` a ristretta, che ammonta invece a circa 7.2 microsecondi al giorno. Concludiamo la sezione osservando che la relazione (5.39) tra spostamento spettrale e potenziale Newtoniano, per un segnale descritto dal quadrivettore o anche ricavare direttamente dalla condizione (5.10) che fissa d’onda k μ , si pu` la propagazione lungo una traiettoria geodetica. Consideriamo, in particolare, la metrica (5.16) che descrive gli effetti gravitazionali nel limite Newtoniano, e usiamo la corrispondente connessione gi` a calcolata nelle equazioni (5.22), (5.23). Per la componente temporale di kμ abbiamo allora: dω = −Γαβ 0 dxα k β c

ω = −Γ0i 0 dx0 k i + dxi c

ω 1 i = − 2 ∂i φ cdt k + dxi . c c

(5.41)

Ricordiamo ora che il vettore d’onda ki ha componenti ki = (ω/w)ni , dove ni è il versore di propagazione e w è il modulo della velocità di fase del segnale, legato al modulo v della velocit` a di gruppo dalla relazione w = c2 /v. i o essere trascurato Quindi k ∂i φ è un termine misto di ordine vi ∂i φ, che pu` nell’approssimazione Newtoniana. In questo limite l’Eq. (5.41) fornisce dunque dω 1 1 = − 2 dxi ∂i φ = − 2 dφ, ω c c

(5.42)

che riproduce (in forma differenziale) il precedente risultato (5.39).

Esercizi Capitolo 5 5.1. Spostamento spettrale dipendente dal tempo Un fotone si propaga lungo le geodetiche (di tipo luce) del seguente elemento di linea, 2 (5.43) ds2 = c2 dt2 − a2 (t) |dx| , 2

J. Hafele e R. Keating, Science 177, 166 (1972).

Esercizi Capitolo 5

85

che descrive una geometria dipendente dal tempo. Il fotone viene emesso al tempo te e ricevuto al tempo tr . Determinare lo spostamento di frequenza che si osserva tra l’istante di emissione e quello di ricezione. 5.2. Moto geodetico iperbolico Determinare le traiettorie geodetiche di tipo tempo per un moto uni-dimensionale lungo l’asse x, nello spazio-tempo parametrizzato dalle coordinate x0 = ct, xi = (x, y, z) e descritto dall’elemento di linea 2

ds =

t0 t

2

c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ,

(5.44)

dove t0 è una costante.

Soluzioni 5.1. Soluzione Per valutare la variazione di frequenza in funzione del tempo, lungo la traiettoria geodetica, usiamo la condizione di trasporto parallelo del quadrivettore impulso data dall’Eq. (5.9). Osserviamo innanzitutto che nello spazio-tempo di Minkowski un fotone di frequenza ω ha energia E = h ¯ ω e impulso pi = (¯hω/c)ni , dove ni è il versore che specifica la direzione di propagazione. Nello spazio-tempo descritto dall’elemento di linea (5.43) il quadri-impulso pμ del fotone ha dunque componenti hω ¯ ni ¯hω p0 = , pi = . (5.45) c a(t) c Si noti, in particolare, che l’impulso spaziale deve contenere il fattore a−1 per soddisfare alla condizione covariante di vettore nullo: 2 2 (5.46) gμν pμ pν = p0 − a2 (t) |p| = 0. Le componenti non-nulle della connessione per la metrica (5.43) sono date da: Γ0i j =

1 da j δ , ac dt i

Γij 0 =

a da δij c dt

(5.47)

(abbiamo usato la definizione (3.90)). Applicando la condizione geodetica (5.9) otteniamo quindi: hω ¯ dp0 = d = −Γij 0 dxi pj c hω da ¯ δij dxi nj . =− 2 (5.48) c dt

86


Ricordiamo ora che una geodetica di tipo luce è caratterizzata da un intervallo spazio-temporale nullo, dxμ dxμ = ds2 = 0. Un fotone che si propaga lungo la direzione spaziale ni , nella geometria specificata dall’Eq. (5.43), deve quindi seguire una traiettoria che soddisfa la condizione differenziale cdt ni = a dxi .

(5.49)

¯ /c. OtteSostituiamo nell’Eq. (5.48), usiamo δij ni nj = 1, e dividiamo per h niamo allora da dω =− , (5.50) ω a la cui integrazione fornisce la dipendenza temporale di ω in funzione del parametro geometrico a(t): ω0 ω(t) = , (5.51) a(t) dove ω0 è una costante di integrazione che rappresenta la corrispondente frequenza del fotone nello spazio di Minkowski (dove a = 1). Lo spostamento spettrale tra frequenza emessa ωe ≡ ω(te ) e frequenza ricevuta ωr ≡ ω(tr ) è quindi fissata dal rapporto ωr a(te ) = . (5.52) ωe a(tr ) Si noti che per a(tr ) > a(te ) risulta ωr < ωe , ossia la frequenza ricevuta è spostata verso il rosso rispetto a quella emessa. Questo effetto è tipico del campo gravitazionale cosmologico che permea lo spazio-tempo del nostro Universo su scale di distanza cosmiche, e che può essere rappresentato appunto da una geometria del tipo (5.43) (si vedano ad esempio i testi [2, 6, 14] della Bibliografia finale). 5.2. Soluzione La geometria della variet` a (5.44) è descritta dalla metrica g00 = g

00

=

t0 t t t0

2 2

= −g11 ,

g22 = g33 = −1,

= −g 11 ,

g 22 = g 33 = −1,

(5.53)

e le componenti non-nulle della connessione (calcolate dalla definizione (3.90)) sono date da 1 (5.54) Γ00 0 = Γ11 0 = Γ01 1 = Γ10 1 = − . ct Scriviamo esplicitamente l’equazione geodetica (5.7), ponendo x0 = ct e ricordando che il punto indica la derivata rispetto al parametro τ , che possiamo identificare con il tempo proprio lungo la traiettoria del moto:

Esercizi Capitolo 5

1 2 ˙2 c t + x˙ 2 = 0, ct 2 ˙ x ¨ − x˙ t = 0, t y¨ = 0,

ct¨ −

z¨ = 0.

87

(5.55) (5.56) (5.57) (5.58)

Consideriamo ora un moto uni-dimensionale lungo l’asse x. L’Eq. (5.56) pu` o essere facilmente integrata, e fornisce: α x˙ = t2 , (5.59) t0 dove α è una costante di integrazione con le dimensioni di un’accelerazione (la costante t0 è stata inserita per comodità futura). Anzichè integrare anche l’Eq. (5.55) osserviamo che una traiettoria di tipo tempo deve soddisfare la condizione di normalizzazione della quadrivelocit` a, 2 2 2

t0 gμν x˙ μ x˙ ν = c t˙ − x˙ 2 = c2 , (5.60) t che combinata con la (5.59) fornisce: c2 t˙2 =

c2 2 α2 4 t + 2t . t20 t0

(5.61)

Eliminando il tempo proprio dalla (5.59) mediante la (5.61) si ottiene: αt x˙ dx = = . 2 2 dt t˙ 1 + αc2t

(5.62)

Una seconda integrazione fornisce subito l’equazione della traiettoria, αt c2 α2 t2 x(t) = x0 + dt = x0 + 1+ 2 , (5.63) 2 2 α c 1 + αc2t dove x0 è una costante di integrazione determinata dalle condizioni iniziali. Anche l’Eq. (5.55) è automaticamente soddisfatta da questa soluzione, come si pu` o verificare derivando esplicitamente rispetto a τ . ` facile interpretare geometricamente questa traiettoria: elevando al quaE drato, e portando ct al membro sinistro, si ottiene c4 . (5.64) α2 Nel piano (x, ct) questa equazione rappresenta un’iperbole, che ha il centro nel punto di cordinate x = x0 e t = 0 e per asintototi le rette del cono luce x = x0 ± ct. Le geodetiche della geometria considerata riproducono quindi esattamente le traiettorie del moto uniformemente accelerato dello spazio di Minkowski, con quadri-accelerazione di modulo α = costante. (x − x0 )2 − c2 t2 =

6 Deviazione geodetica e tensore di curvatura

Poichè la geometria di Riemann si presta bene a descrivere gli effetti del campo gravitazionale Newtoniano, è lecito supporre che si presti altrettanto bene a descrivere un campo gravitazionale anche nel regime relativistico. Per arrivare a una descrizione completa e quantitativamente precisa dell’interazione gravitazionale in termini geometrici ci manca ancora, per` o, un’importante nozione: quella di tensore di curvatura (o tensore di Riemann). In questo capitolo mostreremo che tale tensore caratterizza in modo covariante la curvatura della varietà data e ne distingue la geometria, in modo non-ambiguo, da quella dello spazio-tempo di Minkowski. Nel precedente capitolo abbiamo visto che è possibile riprodurre gli effetti dinamici della gravit` a introducendo sullo spazio-tempo un’opportuna metrica. La forma della metrica, per` o, dipende dalla parametrizzazione, ossia dalla scelta del sistema di coordinate. Anche nella varietà di Minkowski è possibile, con opportune coordinate, introdurre globalmente una metrica non costante, gμν (x) = ημν , simulando cos`ı gli effetti di un campo gravitazionale (si ` dunque inevitabile porsi la domanda: veda l’esempio dell’Esercizio 6.1). E come caratterizzare geometricamente la presenza (o l’assenza) di un campo gravitazionale, senza possibili ambiguit` a dovute alle coordinate prescelte? La risposta a questa domanda coinvolge necessariamente la curvatura dello spazio-tempo, come vedremo nella sezione seguente.

6.1 L’equazione di deviazione geodetica Per rappresentare la dinamica gravitazionale in maniera geometrica corretta dobbiamo rispettare le propriet` a fisiche fondamentali del campo gravitazionale. A questo proposito va richiamato, innanzitutto, il principio di equivalenza (si veda la Sez. 2.2), secondo il quale gli effetti del campo gravitazionale sono localmente indistinguibili da quelli di un sistema accelerato.

90


Questa equivalenza, valida in una regione sufficientemente limitata di spazio e di tempo, permette di eliminare gli effetti gravitazionali introducendo un’opportuna carta che fornisce un riferimento localmente inerziale. L’esempio classico di tale riferimento è quello dell’ascensore in caduta libera nel campo di gravit` a terrestre: un corpo di prova dentro l’ascensore galleggia liberamente rispetto alle pareti, come se l’ascensore si trovasse in una regione di spazio priva di campi gravitazionali. Però, se prendiamo in considerazione non uno ma due corpi di prova dentro l’ascensore, c’è un’importante differenza fisica tra le due situazioni appena menzionate – ossia, caduta libera in un campo dato e assenza reale di campo – che emerge subito chiaramente. Supponiamo, ad esempio, che i due corpi di prova siano inizialmente a riposo all’istante iniziale t0 : allora, per t > t0 , essi resteranno a riposo nel caso dell’ascensore situato in una regione priva di gravit` a, mentre acquisteranno un moto relativo di avvicinamento accelerato nel caso dell’ascensore in caduta libera. Quest’ultimo effetto è dovuto al fatto che i due corpi cadono lungo traiettorie che non sono parallele, ma convergenti verso la sorgente del campo (il centro di gravit` a terrestre). Perci` o, anche se i due corpi hanno una velocit` a relativa che è nulla all’istante iniziale, v(t0 ) = 0, la loro accelerazione iniziale relativa a(t0 ) è diversa da zero. E qui arriviamo al punto che è rilevante per la nostra discussione. In presenza di un generico campo gravitazionale è possibile eliminare, sempre e completamente, l’accelerazione gravitazionale in un punto qualunque dello spazio ad un dato istante t0 , ma non è mai possibile eliminare l’accelerazione tra due punti distinti – non importa quanto vicini – allo stesso istante. Se prendiamo i due punti su due distinte traiettorie geodetiche, in particolare, ci sarà sempre tra loro un’accelerazione relativa (prodotta dalla gravit` a, che tende a distorcere e a focalizzare le traiettorie) non eliminabile neppure localmente. In assenza di campo gravitazionale, al contrario, le geodetiche dei corpi liberi – indipendentemente dalla carta prescelta – sono rette dello spazio-tempo di Minkowski, con accelerazione relativa nulla. Questo ci porta alla seguente conclusione: data una metrica definita sulla varietà spazio-temporale, e dato un fascio di traiettorie geodetiche associate a quella metrica, l’accelerazione tra due punti localizzati su due geodetiche differenti dipende esclusivamente dalla distorsione delle traiettorie prodotta dall’interazione gravitazionale, e caratterizza senza ambiguit` a la presenza (o l’assenza) di un campo. Ai fini di una corretta rappresentazione geometrica del campo gravitazionale diventa quindi importante determinare in modo preciso tale accelerazione, che è descritta dalla cosiddetta equazione di “deviazione geodetica” che ora deriveremo esplicitamente. Consideriamo due corpi di prova liberi, immersi in una variet` a spaziotemporale Riemanniana dotata della metrica gμν , e in moto lungo due traiettorie geodetiche parametrizzate dalla variabile scalare τ , che identificheremo

6.1 L’equazione di deviazione geodetica

91

con il tempo proprio. Supponiamo che questi due corpi siano infinitamente vicini e che le due geodetiche, xμ (τ ) e y μ (τ ), abbiano una separazione infinitesima controllata dal quadrivettore (di tipo spazio) ξ μ (τ ), tale che: y μ (τ ) = xμ (τ ) + ξ μ (τ ).

(6.1)

Cerchiamo un’equazione che determini l’evoluzione temporale della loro separazione, restando al primo ordine in ξ μ . A tal scopo scriviamo le due equazioni geodetiche, x ¨μ + Γαβ μ x˙ α x˙ β = 0,

x ¨ + ξ¨μ + Γαβ μ (x + ξ) x˙ α + ξ˙α x˙ β + ξ˙β = 0 μ

(6.2) (6.3)

(il punto indica la derivata rispetto a τ , si veda l’Eq. (5.7)). Nella seconda equazione espandiamo la connessione nel limite ξ → 0, trascurando termini di ordine ξ 2 e superiore:

x ¨μ + ξ¨μ + [Γαβ μ (x) + ξ ν ∂ν Γαβ μ (x) + · · ·] x˙ α x˙ β + 2x˙ α ξ˙β + · · · = 0. (6.4) Sottraendo da quest’ultima equazione l’Eq. (6.2) abbiamo allora ξ¨μ + 2Γαβ μ x˙ α ξ˙β + ξ ν (∂ν Γαβ μ ) x˙ α x˙ β = 0,

(6.5)

che fornisce l’accelerazione tra le due geodetiche in funzione della connessione e delle sue derivate prime. Il risultato ottenuto non è facilmente interpretabile, perchè non è scritto in una forma esplicitamente covariante. A questo si pu` o rimediare ricordando la definizione di (3.78) di derivata covariante lungo una curva: applicando tale definizione al quadrivettore ξ μ , lungo la curva geodetica xμ (τ ), si ottiene: Dξ μ = ξ˙μ + Γαβ μ x˙ α ξ β . dτ

(6.6)

Applicando la definizione una seconda volta, D2ξμ d Dξ μ Dξ σ + Γλσ μ x˙ λ = 2 dτ dτ dτ dτ

μ μ α β ¨ = ξ + Γαβ x ¨ ξ + x˙ α ξ˙β + x˙ ν (∂ν Γαβ μ ) x˙ α ξ β

+Γλσ μ x˙ λ ξ˙σ + Γαβ σ x˙ α ξ β ,

(6.7)

si arriva ad una relazione esplicita tra l’accelerazione ξ¨μ e la sua forma covariante D 2 ξ μ /dτ 2 . Eliminando in questa relazione ξ¨μ con l’Eq. (6.5), e x ¨μ con ˙ l’Eq. (6.2), si trova che i termini contenenti x˙ ξ si semplificano tra loro, e si ottiene infine:

92


D2 ξ μ = −x˙ β x˙ α ξ ν (∂ν Γβα μ − ∂α Γβν μ + Γβα ρ Γρν μ − Γβν ρ Γαρ μ ) . dτ 2

(6.8)

Questa equazione si pu` o riscrivere in forma compatta come D2 ξ μ = −ξ ν Rναβ μ x˙ β x˙ α , dτ 2

(6.9)

dove Rμνα β = ∂μ Γνα β − ∂ν Γμα β + Γμρ β Γνα ρ − Γνρ β Γμα ρ

(6.10)

è un oggetto geometrico che rappresenta un tensore di rango quattro noto col nome di tensore di Riemann. La natura tensoriale di questo oggetto si deduce dall’Eq. (6.9) e dal fatto che ξ α e x˙ β sono vettori. L’Eq. (6.9) (detta equazione di deviazione geodetica) determina in forma covariante l’accelerazione relativa tra due geodetiche la cui separazione spaziale, di ampiezza infinitesima, è parametrizzata dal vettore ξ μ (τ ). Poichè tale accelerazione è prodotta, fisicamente, dall’interazione gravitazionale, e poichè essa è controllata, geometricamente, dal tensore di Riemann (6.10), ne consegue che è proprio tale tensore a caratterizzare la presenza o l’assenza di un campo gravitazionale nella variet` a spazio-temporale data, e a descriverne (in caso di presenza) gli effetti. In tensore di Riemann, d’altra parte, è anche l’oggetto geometrico che descrive in modo covariante le propriet` a di curvatura di una variet` a Riemanniana (si veda ad esempio l’Esercizio 6.2 e la discussione di Sez. 6.3), e che permette di distinguerla senza ambiguit` a dallo spazio-tempo “piatto” di Minkowski. Si pu` o infatti dimostrare in maniera rigorosa che l’annullarsi del tensore di Riemann è condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una trasformazione di coordinate che riduca la metrica alla forma di Minkowski, gμν = ημν , dappertutto (si veda ad esempio il testo [8] della Bibliografia finale). In altri termini, una generica metrica gμν (x) descrive uno spazio-tempo “curvo” se e solo se Rμναβ = 0. In caso contrario la metrica data corrisponde a una particolare parametrizzazione “accelerata” dello spazio-tempo di Minkowski, ma la deviazione tra le geodetiche è nulla, e non ci sono effetti gravitazionali inclusi nella geometria. Questo ci porta all’importante (e interessante) conclusione che gli effetti fisici dell’interazione gravitazionale si possono identificare (e rappresentare) geometricamente con la curvatura dello spazio-tempo. Se vogliamo costruire una teoria geometrica relativistica del campo gravitazionale dobbiamo dunque specificare come le sorgenti gravitazionali “producano” curvatura, e come questa curvatura si propaghi attraverso lo spazio-tempo. ` opportuno che la discussione di questi problemi, che verr` E a affrontata nel Capitolo 7, sia preceduta da un approfondimento delle propriet` a del tensore di Riemann. A questo scopo è dedicata la sezione successiva.

6.2 Il tensore di curvatura di Riemann

93

6.2 Il tensore di curvatura di Riemann Un tensore di rango quattro, in uno spazio-tempo a quattro dimensioni, ha in generale 44 = 256 componenti. Il numero di componenti indipendenti del tensore di Riemann è invece molto minore, grazie alle propriet` a di simmetria dei suoi indici e alle identit` a che esso soddisfa. Una prima propriet` a, che risulta evidente dalla definizione (6.10), è l’antisimmetria nei primi due indici: Rμνα β = R[μν]α β .

(6.11)

Una seconda propriet` a del tensore di Riemann – scritto in forma covariante come tensore di tipo (0, 4) – è l’invarianza rispetto allo scambio della prima coppia di indici con la seconda: Rμναβ ≡ Rμνα ρ gρβ = Rαβμν

(6.12)

(si veda l’Esercizio 6.3). Ne consegue che il tensore deve essere antisimmetrico anche negli ultimi due indici, e quindi: Rμναβ = R[μν][αβ] .

(6.13)

Questa propriet` a ci dice che Rμναβ si pu` o scrivere come il prodotto tensoriale di due tensori antisimmetrici di rango due, per cui il numero totale delle sue componenti indipendenti si riduce da 256 a 6 × 6 = 36. Non abbiamo ancora completamente esaurito, per` o, le propriet` a di simmetria degli indici. Se prendiamo la parte completamente anstisimmetrica nei primi tre indici otteniamo la condizione R[μνα] β = 0,

(6.14)

nota col nome di “prima identit` a di Bianchi”. Come si può direttamente verificare dalla definizione (6.10), questa propriet` a è una semplice conseguenza della simmetria della connessione di Christoffel, Γ[αβ] μ = 0, e quindi non vale in presenza di torsione. Nel nostro caso però è valida, e impone 4 × 4 = 16 condizioni sulle componenti del tensore di Riemann. Rimangono dunque, alla fine, solo 36 − 16 = 20 componenti indipendenti. C’è anche un’altra propriet` a che riguarda la derivata del tensore di Riemann (e non cambia il numero di componenti indipendenti), che prende il nome di “seconda identit` a di Bianchi”: ∇[λ Rμν]α β = 0.

(6.15)

` facile dimostrare questa relazione utilizzando la carta localmente inerziale E nella quale Γ = 0 (ma le derivate di Γ non sono nulle). In questa carta la derivata covariante del tensore di Riemann si riduce a

94


∇λ Rμνα β Γ =0 = ∂λ ∂μ Γνα β − ∂λ ∂ν Γμα β .

(6.16)

Se antisimmetrizziamo in λ, μ e ν troviamo infatti che entrambi i termini a membro destro di questa equazione si annullano, per cui anche il membro sinistro si annulla. Ma il membro sinistro è un tensore, e se è nullo in una carta è nullo in tutte le carte, come espresso appunto dall’identit` a (6.15). Ricordiamo ora che, come discusso nella sezione precedente, un tensore di Riemann diverso da zero caratterizza una geometria “fisicamente” diversa da quella di Minkowski, in quanto è associata a una varietà Riemanniana “incurvata” dall’interazione gravitazionale. Nello spazio-tempo di Minkowski, d’altra parte, gli operatori differenziali sono rappresentati dalle derivate parziali, che commutano tra loro. In una variet` a Riemanniana, invece, le derivate parziali sono sostituite dalle derivate covarianti (si vedano i Capitoli 3 e 4). Se lo spazio-tempo ha una geometria genuinamente diversa da quella di Minkowski dovr` a essere caratterizzata da derivate covarianti che non si possono globalmente ridurre a quelle parziali, e quindi che non commutano. Ci possiamo aspettare dunque che il tensore di Riemann, che controlla le deviazioni dalla geometria di Minkowski, controlli anche il commutatore di due derivate covarianti. Questo è infatti quello che avviene, e che possiamo verificare esplicitamente calcolando la derivata seconda di un campo vettoriale Aα . Usando le definizioni generali della Sez. 3.4 otteniamo:

∇μ ∇ν Aα = ∇μ ∂ν Aα + Γνβ α Aβ = ∂μ ∂ν Aα + (∂μ Γνβ α ) Aβ + Γνβ α ∂μ Aβ

+Γμβ α ∂ν Aβ + Γνρ β Aρ − Γμν ρ ∂ρ Aα + Γρβ α Aβ . (6.17) Prendendo il commutatore, e usando la simmetria della connessione, Γ[μν] ρ = 0, troviamo allora che tutti i termini contenenti le derivate parziali di A si cancellano, e rimane: (∇μ ∇ν − ∇ν ∇μ ) Aα = = (∂μ Γνβ α − ∂ν Γμβ α ) Aβ + (Γμρ α Γνβ ρ − Γνρ α Γμβ ρ ) Aβ , ossia

∇μ , ∇ν Aα = Rμνβ α Aβ .

(6.18) (6.19)

Dunque le derivate covarianti applicate a un vettore commutano se e solo se la geometria dello spazio-tempo ha curvatura nulla. Concludiamo la sezione presentando le possibili contrazioni del tensore di Riemann. Contraendo un indice della prima coppia con un’indice della seconda otteniamo il cosiddetto tensore di Ricci, Rνα ≡ Rμνα μ = R(να) ,

(6.20)

6.2 Il tensore di curvatura di Riemann

95

che è simmetrico nei suoi due indici, Rνα = Rαν . La simmetria si può facilmente verificare dalla definizione esplicita, Rνα = ∂μ Γνα μ − ∂ν Γμα μ + Γμρ μ Γνα ρ − Γνρ μ Γμα ρ , ricordando che Γνα μ = Γ(να) μ , usando il risultato (3.97), √

∂ν Γαμ μ = ∂ν ∂α ln −g ,

(6.21)

(6.22)

e osservando che Γνρ μ Γμα ρ = Γαμ ρ Γρν μ = Γαρ μ Γμν ρ .

(6.23)

La traccia del tensore di Ricci definisce la cosiddetta curvatura scalare, R = Rν ν = g να Rνα .

(6.24)

Combinando la curvatura scalare e il tensore di Ricci si ottiene il cosiddetto tensore di Einstein, 1 Gμν = Rμν − gμν R, (6.25) 2 che, come vedremo nel prossimo capitolo, gioca un ruolo importante nelle ` importante notare che tale tensore è equazioni del campo gravitazionale. E simmetrico, Gμν = Gνμ , e che ha divergenza covariante nulla, ∇ν Gμ ν = 0.

(6.26)

Quest’ultima relazione, detta identit` a di Bianchi contratta, si ottiene appunto dalla identit` a (6.15) che, scritta in forma esplicita, assume la forma: ∇λ Rμνα β + ∇μ Rνλα β + ∇ν Rλμα β = 0.

(6.27)

Se prendiamo la divergenza covariante del tensore di Ricci, e sfruttiamo l’equazione precedente, otteniamo infatti ∇ν Rμ ν = ∇ν Rαμ να = −∇α Rμν να − ∇μ Rνα να ,

(6.28)

2∇ν Rμ ν = ∇μ R,

(6.29)

ossia da cui

∇ν Rμ

ν

1 − δμν R 2

che coincide appunto con l’Eq. (6.26).

= 0,

(6.30)

96


6.3 Un esempio: variet` a a curvatura costante In questa sezione calcoleremo il tensore di Riemann per una varietà multidimensionale (con segnatura pseudo-euclidea, gμν = (+, −, −, −, . . .)) a curvatura costante. Mostreremo, in particolare, che le componenti miste di tipo (2, 2) di tale tensore sono costanti determinate dal raggio di curvatura della varietà data. Consideriamo un’ipersuperficie D-dimensionale (con una dimensione di tipo tempo e D − 1 dimensioni di tipo spazio), immersa in uno spazio-tempo di Minkowski (D + 1)-dimensionale parametrizzato dalle coordinate X A , con elemento di linea ds2 = ηAB dX A dX B ,

A, B = 0, 1, . . . , D.

(6.31)

L’ipersuperficie è descritta dall’equazione 1 ηAB X A X B = − , k

(6.32)

dove k è una costante, con dimensioni dell’inverso di una lunghezza al quadrato. Per k > 0 tale equazione descrive una “pseudo-ipersfera” che ha raggio a2 = 1/k e sezioni di tipo iperbolico rispetto all’asse temporale (si veda ad esempio l’Eq. (2.39) nella soluzione dell’Esercizio 2.2). Per k < 0 l’equazione descrive un iperboloide multi-dimensionale. In ogni caso si tratta di una varietà con raggio di curvatura costante. Per calcolare il tensore di Riemann è conveniente parametrizzare l’ipersuperficie mediante della coordinate xμ , μ = 0, 1, . . . , D − 1, dette “stereografiche”, che coincidono con la coordinata temporale e le prime D − 1 coordinate spaziali dello spazio di Minkowski. Chiamiamo y la D-esima coordinata spaziale (per distinguerla chiaramente dalle altre), e poniamo quindi X A = δμA xμ , X

A

= y,

A = 0, 1, . . . , D − 1, A=D

(6.33)

(si vedano gli Esercizi 2.2, 6.5, 6.6 per parametrizzazioni alternative dello stesso tipo di ipersuperficie). Le coordinate xμ sono ristrette a variare sull’ipersuperficie considerata, perciò devono soddisfare il vincolo (6.32) che assume la forma: 1 ημν xμ xν − y 2 = − . k

(6.34)

ημν xμ dxν = ydy,

(6.35)

Differenziando otteniamo da cui

6.3 Un esempio: variet` a a curvatura costante

dy 2 =

1 xμ xν dxμ dxν 2 (xμ dxμ ) = 1 . 2 y + xα xα k

97

(6.36)

Eliminando con questa equazione dy 2 nell’Eq. (6.31) arriviamo infine all’elemento di linea: ds2 = ημν dxμ dxν − dy 2 = ημν dxμ dxν − k

xμ xν dxμ dxν . 1 + kxα xα

(6.37)

La metrica intrinseca sull’ipersuperficie, ossia il tensore gμν tale che ds2 = gμν (x)dxμ dxν , assume quindi la forma gμν (x) = ημν − k

xμ xν , 1 + kxα xα

(6.38)

dove xμ sono le coordinate della carta stereografica considerata. Tale metrica descrive la geometria di una variet` a a curvatura costante, con curvatura controllata dal parametro k che pu` o essere positivo, negativo o nullo. Per k = 0 si ritrova la metrica piatta gμν = ημν che descrive l’iperpiano di Minkowski, a curvatura costante ma nulla. Calcoliamo ora il tensore di Riemann per questa metrica. Partiamo dal fatto che, per la carta stereografica, la connessione assume la semplice forma Γνα β = −kgνα xβ

(6.39)

(si veda l’Esercizio 6.4). Usando la definizione (6.10) abbiamo quindi

Rμνα β = −k ∂μ gνα xβ + gνα δμβ + Γμρ β Γνα ρ − {μ ↔ ν} , (6.40) dove il simbolo {μ ↔ ν} indica un’espressione identica a quella che precede, ma con μ sostituito da ν e viceversa. In virt` u della propriet` a di metricità della connessione di Christoffel (∇μ gνα = 0, si veda la Sez. 3.5) possiamo inoltre porre (6.41) ∂μ gνα = Γμν ρ gρα + Γμα ρ gνρ . Sostituendo nell’Eq. (6.40), ed usando la forma esplicita (6.39) della connessione, troviamo allora che tutti i termini quadratici nella connessione si cancellano, ossia che Rμνα β = Γμν ρ Γρα β + Γμα ρ Γνρ β − kgνα δμβ + Γμρ β Γνα ρ − {μ ↔ ν}

≡ k gμα δνβ − gνα δμβ . (6.42) Moltiplicando per g ρα , per passare al tensore misto di tipo (2, 2), otteniamo infine:

Rμν ρβ = k δμρ δνβ − δνρ δμβ . (6.43) Tutte le componenti sono costanti, come anticipato all’inizio della sezione, e fissate dall’inverso del raggio di curvatura al quadrato.

98


Per questo tipo di tensore è facile calcolare la contrazione di Ricci e la curvatura scalare. Usando le definizioni (6.20) e (6.24), e ricordando che la varietà è D-dimensionale, arriviamo a: Rμ β ≡ Rμν νβ = −k(D − 1)δμβ ,

(6.44)

R ≡ Rμ μ = −kD(D − 1).

(6.45)

e 2

Per D = 2 e k = 1/a , in particolare, si ritrova il risultato dell’Esercizio 6.2 relativo alla superficie sferica bidimensionale (modulo una differenza di segno, dovuta alla segnatura negativa delle dimensioni spaziali usata nelle equazioni precedenti). Concludiamo osservando che le variet` a a curvatura costante considerate in questa sezione vengono anche chiamate variet` a “massimamente simmetriche”. Esse infatti ammettono sempre D(D+1)/2 isometrie, che è il numero massimo di isometrie consentito in D dimensioni, come si può verificare risolvendo l’Eq. (3.55) e determinando esplicitamente i vettori di Killing (si veda anche la Sez. 7.4). Un esempio triviale è il caso dello spazio di Minkowski in D = 4, che ha curvatura costante nulla, e che ammette come gruppo massimo di isometrie il gruppo di Poincarè a 10 parametri. Un esempio meno triviale è il caso dello spazio di de Sitter, che descrive una pseudosfera 4-dimensionale a curvatura costante positiva, e che ammette anch’esso un gruppo di isometrie a 10 parametri, diverso da quello di Poincarè, chiamato appunto gruppo di de Sitter. Questo tipo di variet` a, che pu` o essere ottenuta come soluzione esatta delle equazioni gravitazionali di Einstein (si veda il Capitolo 7), sembra ricoprire un ruolo di primo piano nella descrizione della geometria dell’Universo primordiale (si vedano ad esempio i testi [14, 15] della Bibliografia finale). Possibili parametrizzazioni della variet` a di de Sitter, diverse da quella stereografica, vengono introdotte e discusse negli Esercizi 2.2, 5.2 e 6.6).

Esercizi Capitolo 6 6.1. Metrica di Rindler Nello spazio-tempo di Minkowski si consideri la trasformazione dalle coordinate xμ = (ct, x, y, z) di un arbitrario sistema inerziale alle cordinate xμ = (ct , x , y, z), dove x e t sono definite da: x = x cosh(ct ),

ct = x sinh(ct ).

(6.46)

Calcolare la metrica dello spazio-tempo gμν (x ) nella nuova carta xμ , e verificare che il tensore di curvatura associato a questa metrica è nullo. Determinare infine la regione di spazio-tempo parametrizzata dalla carta xμ rispetto a quella parametrizzata dalla carta xμ .

Esercizi Capitolo 6

99

6.2. Curvatura di Gauss di una superficie Calcolare le componenti del tensore di curvatura di una superficie sferica bidimensionale di raggio a, descritta dall’elemento di linea (2.24), e verificare che la curvatura scalare R corrisponde alla curvatura di Gauss 2/a2 . 6.3. Propriet` a del tensore di Riemann Dimostrare che Rμναβ = Rαβμν .

(6.47)

6.4. Carta stereografica Verificare che la connessione di Christoffel associata alla metrica (6.38) assume la forma (6.39). 6.5. Volume ipersfera Calcolare ipersuperficie e ipervolume di un’ipersfera n-dimensionale, di segnatura euclidea e raggio a. L’ipersfera è immersa in uno spazio euclideo (n + 1)-dimensionale con coordinate X A , ed è rappresentata dall’equazione 2 = a2 , X12 + X22 + · · · + Xn+1

A = 1, 2, . . . , n + 1.

(6.48)

Si usi la metrica intrinseca dell’ipersfera parametrizzata da n coordinate angolari ξ μ di tipo sferico-polare, ξ μ = (aθ1 , aθ2 , . . . , aθn−1 , aϕ) ,

(6.49)

dove 0 ≤ θi ≤ π,

i = 1, . . . , n − 1,

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

6.6. Metrica statica di de Sitter Dimostrare che l’elemento di linea −1

r2 r2 dr 2 − r2 dθ2 + sin2 θdϕ2 , ds2 = 1 − 2 c2 dt2 − 1 − 2 a a

(6.50)

(6.51)

dove a è una costante, descrive in coordinate polari uno spazio-tempo 4dimensionale a curvatura costante positiva. Si verifichi che la metrica (6.51) e la metrica (2.42) dell’Esercizio 2.2 corrispondono a diverse parametrizzazioni (entrambe incomplete) della stessa varietà spazio-temporale.

Soluzioni 6.1. Soluzione Differenziando l’Eq. (6.46) abbiamo:

100


dx = dx cosh(ct ) + x cdt sinh(ct ), cdt = dx sinh(ct ) + x cdt cosh(ct ).

(6.52)

Sostituiamo dx e dt nell’elemento di linea di Minkowski in funzione di dx e dt : ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = x2 c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .

(6.53)

Introducendo una nuova metrica g (x ) l’elemento di linea per la carta xμ si pu` o riscrivere come (x )dxμ dxν , (6.54) ds2 = gμν dove

g00 = x2 ,

g11 = g22 = g33 = −1.

(6.55)

Le componenti non nulle della connessione associata a questa metrica sono date da: 1 0 0 1 = Γ10 = , Γ01 = x . (6.56) Γ01 x Usando la definizione (6.10) del tensore di Riemann troviamo allora che tutte le sue componenti sono nulle. Infatti, in virt` u del risultato (6.56), e in virt` u delle propriet` a di antisimmetria degli indici di Riemann (si veda la Sez. 6.2), 0 gli unici termini eventualmente diversi da zero possono essere del tipo R101 1 e R100 . Ma anche in questi casi si trova 1 1 + 2 ≡ 0, x2 x = 1 − 1 ≡ 0.

0 0 0 0 R101 = ∂1 Γ01 + Γ10 Γ01 = − 1 1 1 0 R100 = ∂1 Γ00 − Γ00 Γ10

(6.57)

= 0 è un’ovvia conseguenza del fatto che la metrica gμν (x ) Il risultato Rμναβ è stata ottenuta tramite una trasformazione di coordinate dalla metrica ημν . Quindi, mediante la trasformazione inversa, si pu` o ridurre gμν (sempre e dappertutto) alla metrica di Minkowski, per la quale ovviamente Γ (η) = 0, e quindi R(Γ ) = 0. La metrica (6.55), per` o, non si applica a tutta la variet` a di Minkowski ma solo a una sua porzione, detta “spazio di Rindler”. Le coordinate x e ct , infatti, non ricoprono tutto il piano di Minkowski (x, ct), ma solo la porzione di piano “esterna” al cono-luce delimitato dalle bisettrici x = ±ct. Ciò si pu` o facilmente verificare notando che dalle trasformazioni (6.46) si ottiene: ct = tanh(ct ), x2 − c2 t2 = x2 . (6.58) x La prima equazione, per t fissato, rappresenta una retta che passa per l’origine nel piano (x, ct), e che forma con l’asse x un angolo compreso tra −π/4 e π/4. La seconda equazione, per x fissato, rappresenta un’iperbole centrata

Esercizi Capitolo 6

101

nell’origine nel piano (x, ct), che ha come asintoti le rette x = ±ct, e che interseca l’asse x nei punti x = ±x . Facendo variare x e t tra −∞ e +∞, e tenendo conto che il punto x = 0 va escluso (la trasformazione è singolare, e le coordinate di Rindler non sono definite in quel punto), si trova che le due curve spazzano la porzione di piano di Minkowski definita dalla condizione x > |ct|,

x < −|ct|

(6.59)

(il cosiddetto “spazio di Rindler”). 6.2. Soluzione Conviene innanzitutto normalizzare le coordinate angolari moltiplicandole per il raggio della sfera, in modo che acquistino dimensioni di lunghezza: x1 = aθ, x2 = aϕ. Con queste coordinate, l’elemento di linea (2.24) definisce la metrica adimensionale: −1 g22 = sin2 θ = g 22 , (6.60) g11 = 1 = g 11 , e le componenti non nulle della connessione sono date da: Γ22 1 = −

1 sin θ cos θ, a2

Γ12 2 = Γ21 2 =

1 cos θ . a sin θ

(6.61)

Le componenti non nulle del tensore di Riemann sono del tipo R121 2 e R122 1 . Usando la definizione (6.10) si trova che R121 2 = −

1 , a2

R122 1 =

1 sin2 θ, a2

(6.62)

e quindi R12 12 = −R12 21 = −

1 . a2

(6.63)

La corrispondente curvatura scalare, R = Rμν νμ = R12 21 + R21 12 =

2 , a2

(6.64)

coincide con la curvatura di Gauss per una superficie sferica di raggio a = costante (si veda anche l’Eq. (6.45)). 6.3. Soluzione Verifichiamo la relazione (6.47) nella carta localmente inerziale, dove g = cost, Γ = 0, ma ∂Γ = 0, e ∂ 2 g = 0. Poniamo Rμναβ = Rμνα ρ gρβ ,

Rαβμν = Rαβμ ρ gρν ,

(6.65)

e usiamo la definizione (6.10). Per Rμναβ abbiamo Rμναβ Γ =0 = gβρ (∂μ Γνα ρ − ∂ν Γμα ρ ) 1 = gβρ ∂μ [g ρσ (∂ν gασ + ∂α gνσ − ∂σ gνα )] − {μ ↔ ν} . (6.66) 2

102


Poichè gβρ g ρσ = δβσ l’espressione precedente si riduce a 1 1 Rμναβ Γ =0 = (∂μ ∂α gνβ − ∂μ ∂β gνα ) − (∂ν ∂α gμβ − ∂ν ∂β gμα ) . 2 2 Allo stesso modo otteniamo 1 1 Rαβμν Γ =0 = (∂α ∂μ gβν − ∂α ∂ν gβμ ) − (∂β ∂μ gαν − ∂β ∂ν gαμ ) . 2 2

(6.67)

(6.68)

` immediato verificare che i risultati (6.67) e (6.68) coincidono, per cui, nella E carta localmente inerziale considerata, la relazione (6.47) è soddisfatta. Essendo una relazione di tipo tensoriale la sua validit` a si estende ovviamente a qualunque sistema di coordinate. 6.4. Soluzione La derivata parziale della metrica (6.38) è data da ∂α gμν = −

k 2k 2 (ημα xν + ηνα xμ ) + xμ xν xα , 2 1 + kx (1 + kx2 )2

(6.69)

dove x2 ≡ ηαβ xa xβ , e dove gli indici delle coordinate stereografiche xμ sono alzati ed abbassati sempre con la metrica di Minkowski. Dalla condizione di metricità (6.41) abbiamo anche ∂α gμν = Γαμν + Γανμ .

(6.70)

Permutando ciclicamente gli indici otteniamo allora (si veda anche l’Eq. (3.85) per Q = 0, N = 0): 1 (∂α gμν + ∂μ gαν − ∂ν gαμ ) 2 k k2 =− ημα xν + xμ xν xα 2 1 + kx (1 + kx2 )2 k ≡− gμα xν . 1 + kx2

Γαμν =

(6.71)

Nel secondo passaggio abbiamo usato il risultato (6.69), e nel terzo passaggio la definizione (6.38). Se invertiamo la matrice (6.38) troviamo inoltre che le componenti controvarianti della metrica sono date da g μν = η μν + k xμ xν

(6.72)

(per queste componenti si verifica infatti che la relazione gμα gμβ = δβα è identicamente soddisfatta). Si ottiene quindi Γαμ β ≡ g βν Γαμν = − = −kgαμ xβ ,

k gμα xν ηβν + kxβ xν 2 1 + kx (6.73)

Esercizi Capitolo 6

103

che coincide con il risultato (6.39) cercato. 6.5. Soluzione Procediamo per induzione, partendo dalla sfera bidimensionale. Per n = 2 abbiamo ξ μ = (aθ1 , aϕ), e le equazioni parametriche sono: X1 = a sin θ1 cos φ, X2 = a sin θ1 sin φ, X3 = a cos θ1 .

(6.74)

Differenziando, e sostituendo nell’elemento di linea euclideo, abbiamo

(6.75) ds2 = δAB dX A dX B = a2 dθ12 + sin2 θ1 dφ2 (si veda anche l’Eq. (2.24)), che ci d` a la metrica diagonale

gμν = diag 1, sin2 θ1 .

(6.76)

L’elemento covariante di superficie sferica è quindi: det gμν d2 ξ = a2 sin θ1 dθ1 dφ.

(6.77)

Integrando abbiamo la superficie: π dθ1 sin θ1 S2 (a) = a2

(6.78)

0

2π

dϕ = 4πa2 .

0

Integrando in dr una generica superficie sferica S2 (r) di raggio r, partendo da 0 fino al raggio a, abbiamo infine il volume di spazio euclideo tridimensionale racchiuso dalla sfera: a a 4 V3 (a) = dr S2 (r) = dr 4πr 2 = πa3 . (6.79) 3 0 0 Ripetiamo la procedura per una variet` a sferica con n = 3 dimensioni e tre a è descritta dalle equazioni coordinate angolari, ξ μ = (aθ2 , aθ1 , aϕ). La variet` parametriche: X1 = a sin θ2 sin θ1 cos φ, X2 = a sin θ2 sin θ1 sin φ, X3 = a sin θ2 cos θ1 , X4 = a cos θ2 . Differenziando abbiamo l’elemento di linea

ds2 = a2 dθ22 + sin2 dθ2 dθ12 + sin2 dθ2 sin2 θ1 dφ2 . Perciò:

(6.80)

(6.81)

104


det gμν d3 ξ = a3 sin2 θ2 sin θ1 dθ2 dθ1 dφ. Integrando abbiamo l’ipersuperficie a n = 3 dimensioni, π π 2π S3 (a) = a3 dθ2 sin2 θ2 dθ1 sin θ1 dϕ = 2π 2 a3 , 0

0

(6.82)

(6.83)

0

e infine l’ipervolume a quattro dimensioni da essa racchiuso: a a π2 4 a . dr S3 (r) = dr 2π 2 r 3 = V4 (a) = 2 0 0

(6.84)

Generalizzando la procedura al caso di una variet` a sferica n-dimensionale, parametrizzata dalle n coordinate angolari ξ μ = (aθ1 , . . . , aθn−1 , aϕ), si arriva facilmente alll’elemento di linea dell’ipersfera, 2 2 2 + sin2 θn−1 dθn−2 + sin2 θn−1 sin2 θn−2 dθn−3 + ··· ds2 = a2 dθn−1

+ sin2 θn−1 sin2 θn−2 sin2 θn−3 · · · sin2 θ1 dϕ2 , (6.85) che fornisce l’elemento di ipersuperficie: det gμν dn ξ = an sin θ1 sin2 θ2 · · · sinn−1 θn−1 dθ1 dθ2 · · · dθn−1 dϕ. Perciò:

Sn (a) = 2πa

π

n 0

dθ1 sin θ1

π 0

2

dθ2 sin θ2 · · ·

(6.86)

π 0

dθn−1 sinn−1 θn−1 . (6.87)

Utilizzando il risultato dell’integrale

π

√ πΓ p+1 2

sin x dx = , Γ p2 + 1 p

0

dove Γ è la funzione di Eulero1 , si ha:

Γ n2 Γ (1) Γ 32 Γ (2) n n−1

. . . n+1 . Sn (a) = 2πa π 2 Γ 32 Γ (2) Γ 52 Γ 2

(6.88)

(6.89)

Dentro la parentesi quadra, tutte le funzioni Gamma al numeratore si semplificano con quelle del denominatore precedente, tranne il caso del primo numeratore e dell’ultimo denominatore. La superficie dell’ipersfera n-dimensionale è dunque data da n+1 2π 2 Sn (a) = n+1 an . (6.90) Γ 2 1

Si veda ad esempio H. B. Dwight, Tables of integrals and other mathematical data (Macmillan Publishing Co, New York, 1961).

Esercizi Capitolo 6

105

L’integrale in dr fornisce infine l’ipervolume dello spazio euclideo da essa racchiuso: a n+1 2π 2

an+1 . Vn+1 (a) = drSn (r) = (6.91) (n + 1)Γ n+1 0 2 6.6. Soluzione Usiamo le coordinate xμ = (ct, r, θ, φ) e consideriamo una generica metrica di tipo (6.51), con componenti 1 , g 00 1 = −r 2 = 22 , g

1 1 = 11 , f (r) g 1 2 2 = −r sin θ = 33 , g

g00 = f (r) =

g11 = −

g22

g33

(6.92)

dove f è funzione solo di r. Le componenti diverse da zero della connessione solo le seguenti (indichiamo con un primo la derivata rispetto a r): 1 f , 2f 1 f , =− 2f

Γ01 0 = Γ11 1

Γ00 1 =

1 ff , 2

Γ22 1 = −r f,

Γ33 2 = − sin θ cos θ,

Γ13 3 =

1 , r

Γ33 1 = −r f sin2 θ, 1 , r cos θ . = sin θ

Γ12 2 = Γ23 3

(6.93)

Calcolando il tensore di Riemann per questa connessione si trova che Rμνα β è diverso da zero solo se μ = α e ν = β, oppure μ = β e ν = α. I termini non-nulli che si ottengono sono quindi i seguenti: 1 1 R02 02 = R03 03 = R12 12 = R13 13 = − f , R01 01 = − f , 2 2r 1 R23 23 = − 2 (f − 1). (6.94) r Il corrispondente tensore di Ricci è diagonale, e ha componenti: 1 1 f + f, 2 r 1 1 = f + 2 (f − 1). r r

R0 0 = R 1 1 = R 2 2 = R3 3

(6.95)

La curvatura scalare, infine, è data da R=

4 2 f + f + 2 (f − 1). r r

(6.96)

Consideriamo ora il caso particolare della metrica (6.51). Per questa metrica abbiamo r 2 r2 f = −2 2 , f = − 2 , (6.97) f = 1 − 2, a a a

106


e dalle equazioni (6.94)–(6.96) otteniamo direttamente le componenti nonnulle del tensore di Riemann, R01 01 = R02 02 = R03 03 = R12 12 = R13 13 = R23 23 =

1 , a2

(6.98)

del tensore di Ricci, R 0 0 = R1 1 = R2 2 = R3 3 = −

3 , a2

(6.99)

e la curvatura scalare, 12 . (6.100) a2 Il confronto con le equazioni (6.43)–(6.45), per D = 4, ci permette immediatamente di concludere che la metrica (6.51) descrive una variet` a con curvatura costante positiva k = 1/a2 . Tale metrica corrisponde dunque a una parametrizzazione statica dello spazio di de Sitter. ` istruttivo confrontare pi` E u in dettaglio questa parametrizzazione con quella usata per lo spazio di de Sitter nell’Esercizio 2.2. Le diverse carte usate forniscono una metrica che in un caso è statica, mentre nell’altro caso dipende dal tempo. I due elementi di linea (6.51) e (2.42) sono cos`ı diversi che potrebbero far pensare a due variet` a fisicamente diffferenti. Ci si pu` o però facilmente convincere che la varietà è la stessa considerando l’ipersuperficie immersa nello spazio di Minkowski 5-dimensionale, con coordinate z A , A = 1, . . . , 4, descritta dalle seguenti equazioni parametriche: ct 0 2 2 z = a − r sinh a R=−

z 1 = r sin θ cos ϕ, z 2 = r sin θ sin ϕ, z 3 = r cos θ, ct z 4 = a2 − r2 cosh . a

(6.101)

Tale ipersuperficie soddisfa l’equazione ηAB z a z B = −a2 ,

(6.102)

e quindi riproduce esattamente la pseudosfera dell’Eq. (2.39), con raggio a2 = c2 /H 2 . D’altra parte, differenziando le equazioni (6.101) rispetto a ct, r, θ, ϕ, e sostituendo nell’elemento di linea dello spazio di Minkowski 5-dimensionale, si ottiene ds2 = ηAB dz A dz B 2

r2 dr 2 2 = 1 − 2 c2 dt2 − dθ + sin2 θdϕ2 , 2 − r r a 1 − a2

(6.103)

Esercizi Capitolo 6

107

ossia proprio l’elemento di linea (6.51). Si tratta dunque della stessa variet` a, descritta con sistemi di coordinate differenti. Concludiamo osservando che nè le coordinate (6.101), nè le coordinate dell’Esercizio 2.2, Eq. (2.31), ricoprono completamente la variet` a di de Sitter. Per le coordinate (2.31), ad esempio, è facile vedere che al variare di xi e t da −∞ a +∞ risulta sempre soddisfatta la condizione z 0 ≥ −z 4 (la condizione di bordo z 0 = −z 4 viene raggiunta nel limite t → −∞). Se prendiamo le sezioni xi = 0 dello spazio di de Sitter troviamo allora che le coordinate scelte parametrizzano solo il ramo z 4 > 0 dell’iperbole z42 −z02 = c2 /H 2 , ma non l’altro ramo. Lo stesso succede per le coordinate definite dalla parametrizzazione (6.101), che implica z 0 ≥ −z 4 e z 0 ≤ z 4 . Le due carte considerate sono dunque incomplete. Un ricoprimento completo della variet` a di de Sitter (6.102) è invece fornito dalla carta xμ = (ct, χ, θ, ϕ) definita dalle seguenti equazioni parametriche: z 0 = cH −1 sinh (Ht) z 1 = cH −1 cosh (Ht) sin χ sin θ cos ϕ, z 2 = cH −1 cosh (Ht) sin χ sin θ sin ϕ, z 3 = cH −1 cosh (Ht) sin χ cos θ, z 4 = cH −1 cosh (Ht) cos χ,

(6.104)

dove c/H = a, e dove t varia tra −∞ a +∞, χ e θ variano tra 0 e π, mentre ϕ varia tra 0 e 2π (si veda ad esempio il testo [2] della Bibliografia finale). Lasciamo al lettore la verifica del fatto che, per questa carta, l’elemento di linea della variet` a di de Sitter assume la forma ds2 = c2 dt2 −

c2 cosh2 (Ht) dχ2 + sin2 χ dθ2 + sin2 dϕ2 . H2

(6.105)

Ponendo cH −1 sin χ = r l’elemento di linea si pu` o anche riscrivere nella forma seguente, 2

dr2 2 2 2 2 2 2 2 , (6.106) ds = c dt − cosh (Ht) + r dθ + sin dϕ 2 1 − Hc2 r 2 di uso pi` u frequente nelle applicazioni cosmologiche.

7 Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale

Col tensore di Riemann, introdotto nel capitolo precedente, abbiamo completato la lista dei principali ingredienti geometrici necessari per la formulazione di una teoria gravitazionale relativistica: la metrica, la connessione e la curvatura. Lo studio dell’equazione geodetica ci ha mostrato che la connessione – proporzionale alle derivate prime della metrica – descrive le forze gravitazionali, assegnando cos`ı alla metrica un ruolo effettivo di “potenziale”. D’altra parte, l’equazione di deviazione geodetica ci ha mostrato che gli effetti dinamici del campo gravitazionale sono contenuti nel tensore di curvatura – che contiene il quadrato della connessione, e quindi il quadrato delle derivate prime della metrica. Una teoria gravitazionale relativistica simile alle teorie di campo già note, che sono basate su equazioni differenziali del second’ordine nei potenziali, si pu` o quindi ottenere introducendo la metrica nell’azione dei campi materiali mediante il principio di minimo accoppiamento, ed usando il tensore di curvatura come termine cinetico per la metrica stessa. In questo capitolo presenteremo un’azione di questo tipo che porta alle famose equazioni di Einstein. Svolgeremo in dettaglio tutti i passaggi del necessario calcolo variazionale, che presenta aspetti non convenzionali e non adeguatamente illustrati in molti libri di testo. Illustreremo poi i principali aspetti di queste equazioni, soffermandoci, in particolare, sulle propriet` a del tensore energia-impulso: sul suo ruolo di sorgente di curvatura – e quindi di gravitazione – che gli viene assegnato dalle equazioni di Einstein, e sulle importanti conseguenze della sua equazione di conservazione.

7.1 Azione gravitazionale ed equazioni di campo Partiamo da una generica azione materiale Sm per un sistema fisico ψ descritto dalla Lagrangiana Lm (ψ, ∂ψ), e rendiamola covariante per trasformazioni generali di coordinate, introducendo la metrica mediante il principio di minimo

110


accoppiamento (si veda il Capitolo 4): √ d4 x −g Lm (ψ, ∇ψ, g). Sm =

(7.1)

Ω

Si noti, in questa azione, la presenza esplicita della connesssione Γ (contenuta all’interno delle derivate covarianti ∇ψ) oltre che della metrica g. Quest’ultima è necessaria sia all’interno della Lagrangiana (per i prodotti scalari) sia nella misura di integrazione spazio-temporale (si veda la Sez. 3.2). Aggiungiamo a questa azione un termine cinetico per la metrica, che contenga la curvatura, e che sia invariante per trasformazioni generali di coordinate. La scelta pi` u semplice (detta anche “azione di Einstein-Hilbert”) è la seguente: √ 1 d4 x −g R, (7.2) SEH = − 2χ Ω dove R è la curvatura scalare e χ una costante dimensionale – necessaria affinchè S abbia le corrette dimensioni fisiche – che controlla l’intensit` a dell’accoppiamento tra materia e geometria, e che per il momento tratteremo come parametro arbitrario. Il valore preciso di χ verrà determinato nel capitolo successivo; notiamo fin d’ora, però, che con le nostre convenzioni le dimensioni dell’azione sono di energia per lunghezza, [S] = EL, quelle di R sono [R] = L−2 , e quindi χ deve avere dimensioni [χ] = E −1 L. ` opportuno osservare, a questo punto, che un’azione scalare contenente E la curvatura pu` o essere ottenuta anche contraendo le componenti del tensore di Riemann e di Ricci con se stesse. Potremmo prendere, ad esempio,

√ S∝ (7.3) d4 x −g α1 Rμναβ Rμναβ + Rμν Rμν + α3 R2 , Ω

u in generale, potremmo pendove α1 , α2 , α3 sono coefficienti arbitrari. Pi` sare che R/χ sia solo il termine di ordine pi` u basso di una serie di termini contenenti potenze arbitrariamente elevate del tensore di curvatura e delle sue contrazioni. In questo caso potremmo sostituire R/χ nell’azione (7.2) con un’espressione del tipo

1 R + λ2 R2 + λ4 R3 + λ6 R4 + · · · , χ

(7.4)

dove Rn indica una generica potenza n-esima del tensore di curvatura, e dove λ è una costante con dimensioni di lunghezza necessaria per ragioni dimensionali (tutti i termini in parentesi devono avere dimensione L−2 ). In effetti, termini del tipo (7.4) possono essere indotti da correzioni quantistiche (di loops) all’azione (7.2): in questo caso si trova che λ è collegato alla costante d’accoppiamento χ dalla relazione λ2 ∼ ¯hcχ, che mostra chiaramente come tutte le correzioni spariscano nel limite classico ¯h → 0. Correzioni all’azione di Einstein nella forma di una serie infinita di potenze della curvatura

7.1 Azione gravitazionale ed equazioni di campo

111

sono inoltre previste dalla teoria delle stringhe (si vedano ad esempio i testi [23]-[26] della Bibliografia finale): in quel caso λ coincide con la lunghezza di stringa λs , che è il parametro fondamentale di quella teoria. Poichè la curvatura contiene il quadrato delle derivate della metrica, R ∼ (∂g)2 , potenze della curvatura superiori alla prima contengono potenze di ∂g maggiori di due, e quindi danno luogo ad equazioni differenziali di ordine superiore al secondo, molto complicate. Per` o, come appare chiaramente dallo sviluppo (7.4), i termini contenenti potenze superiori della curvatura diventano importanti rispetto al termine lineare solo per λ2 R > ∼ 1, vale a dire per curvature dello spazio-tempo sufficientemente elevate rispetto alla scala λ−2 (ossia per raggi di curvatura < λ). Scale di curvatura di ordine λ−2 , d’altra parte, sono estremamente elevate – sia nelle teorie quantistiche che nelle teorie di stringa – rispetto alle curvature tipicamente associate ai campi gravitazionali (di livello macroscopico e/o astronomico) che sono oggetto di questo testo. Possiamo dunque limitarci, nel nostro contesto, all’azione di Einstein (7.2) (tenendo presente per` o che il suo regime di validit` a è limitato dalla condizione λ2 R 1). Il tensore di curvatura, per` o, contiene termini del tipo R ∼ ∂Γ + Γ 2 , per cui l’azione di Einstein, oltre al quadrato delle derivate prime, contiene anche termini lineari nelle derivate seconde della metrica, ∂Γ ∼ ∂ 2 g. Questi termini appaiono nell’integrale d’azione come una divergenza che, integrata mediante il teorema di Gauss, fornisce un integrale di bordo su termini che sono lineari nelle derivate prime. Simbolicamente abbiamo: ∂2g ∼ ∂g. (7.5) Ω

∂Ω

Variando l’azione rispetto alla metrica si trova allora che questa parte dell’azione fornisce dei contributi proporzionali alla variazione delle derivate della metrica, δ∂g, che in generale sono diversi da zero anche se imponiamo l’usuale condizione di variazione nulla della metrica (δg = 0) sul bordo ∂Ω. Cos`ı facendo, infatti, si annulla la variazione delle derivate prese lungo le direzioni che giacciono sull’ipersuperficie ∂Ω, ma non si annulla la variazione delle derivate parziali prese lungo la direzione normale a ∂Ω. Per annullare completamente il contributo di δ∂g, ed ottenere cos`ı le ordinarie equazioni di Eulero-Lagrange, è necessario che questi termini siano cancellati dalla variazione di un’opportuna azione di bordo, SY GH , che va aggiunta all’azione di Einstein. L’azione completa da considerare, per ottenere in modo corretto delle equazioni di campo del secondo ordine nella metrica mediante l’ordinario formalismo variazionale, è dunque la seguente: SEH + SY GH + Sm .

(7.6)

112


Il termine SY GH , detto azione di York-Gibbons-Hawking (dai nomi di coloro che hanno chiarito questo importante punto di calcolo variazionale1 ), verr` a specificato in seguito. Variamo l’azione rispetto alla metrica, cominciando dal termine di Einstein. Separando i vari contributi, ricordando il risultato √ 1√ −g gμν δg μν δ −g = − 2

(7.7)

(si veda l’Eq. (3.95)), e ricordando la definizione (6.25) del tensore di Einstein Gμν , otteniamo:

√

√ 1 1 d4 xδ −gR = − d4 xδ −gg μν Rμν δg SEH = − 2χ Ω 2χ Ω

√ √ √ 1 =− d4 x −gRμν δg μν + g μν Rμν δ −g + −gg μν δRμν 2χ Ω √ 1 1 d4 x −g Rμν − gμν R δg μν + g μν δRμν =− 2χ Ω 2 √ 1 d4 x −g [Gμν δg μν + g μν δRμν ] . (7.8) =− 2χ Ω Contributo di bordo Il secondo termine dell’ultima riga rappresenta il contributo di bordo che abbiamo anticipato. Calcoliamo infatti la variazione del tensore di Ricci, partendo dalla sua definizione esplicita (6.21): δRνα = ∂μ (δΓνα μ ) + δΓμρ μ Γνα ρ + Γμρ μ δΓνα ρ − {μ ↔} .

(7.9)

Usando la definizione di derivata covariante, ∇μ (δΓνα μ ) = ∂μ (δΓνα μ ) + Γμρ μ δΓνα ρ − Γμν ρ δΓρα μ − Γμα ρ δΓνρ μ ,

(7.10)

si ottiene la relazione δRνα = ∇μ (δΓνα μ ) − ∇ν (δΓμα μ )

(7.11)

(anche detta identit` a di Palatini contratta), e il contributo di δRμν all’Eq. (7.8) si pu` o scrivere sotto forma di quadri-divergenza come segue: √ 1 − d4 x −g g να δRνα 2χ Ω √ 1 =− d4 x −g ∇μ (g να δΓνα μ − g μα δΓαν ν ) (7.12) 2χ Ω 1

J. W. York, Phys. Rev. Lett. 28, 1082 (1972); G. W. Gibbons e S. W. Hawking, Phys. Rev. D15, 2752 (1977).


113

(abbiamo usato la propriet` a ∇g = 0). Si noti che il termine sotto divergenza (in parentesi tonda) si trasforma come un vero tensore di tipo controvariante e rango uno, nonostante sia espresso in termini della connessione (si veda l’Esercizio 7.1 per una versione esplicitamente covariante dello stesso risultato). Usando il teorema di Gauss, il precedente contributo variazionale si pu` o mettere sotto forma di integrale sull’ipersuperficie ∂Ω che costituisce il bordo del quadri-volume di integrazione: √ 1 − dSμ −g (g να δΓνα μ − g μα δΓαν ν ) 2χ ∂Ω 1 d3 ξ |h| nμ (g να δΓνα μ − g μα δΓαν ν ) . (7.13) =− 2χ ∂Ω Nel secondo passaggio abbiamo introdotto esplicitamente l’elemento di volume covariante d3 ξ |h| sull’ipersuperficie di bordo, orientato lungo la normale nμ , dove nμ soddisfa gμν nμ nν = ,

= ±1 (7.14) (il segno è positivo o negativo a seconda che la normale sia di tipo tempo o di tipo spazio, rispettivamente). Inoltre, h è il determinante della metrica indotta hμν sull’ipersuperficie ∂Ω, definita in modo da risultare tangente all’ipersuperficie stessa: hμν = gμν − nμ nν ,

hμν nν = 0.

(7.15)

Valutiamo ora esplicitamente il contributo (7.13), tenendo presente che la variazione viene effettuata imponendo che la metrica resti fissa sul bordo, (δg)∂Ω = 0. Usando la definizione (3.90) della connessione di Christoffel, e trascurando i termini a contributo nullo, abbiamo: nμ (g να δΓνα μ − g μα δΓαν ν ) = ∂Ω

1 = nμ g να ∂ν δgαμ + ∂α δgνμ − ∂μ δgνα 2

α νμ 1 −n g ∂α δgνμ + ∂ν δgαμ − ∂μ δgαν 2 = − g να nμ ∂μ δgνα + nμ g να ∂ν δgαμ . (7.16) Per separare il contributo delle derivate normali e tangenziali al bordo è conveniente, a questo punto, utilizzare la definizione (7.15) della metrica indotta. L’espressione precedente si può allora riscrivere come segue:

− g να nμ + nν g μα ∂μ δgνα =

= − nμ hνα − nν nα + nν hμα − nμ nα ∂μ δgνα = −hνα nμ ∂μ δgνα + nν hμα ∂μ δgνα .

(7.17)

114


Nel secondo termine dell’ultima riga la derivata di ∂g è proiettata – mediante la metrica indotta – lungo la direzione tangente all’ipersuperficie ∂Ω. La condizione di bordo usata implica che tale contributo tangenziale sia nullo, (hμα ∂μ δg)∂Ω = 0, per cui rimane solo il primo contributo, con la derivata proiettata lungo la normale al bordo. La variazione del tensore di Ricci fornisce quindi il seguente risultato finale: √ 1 1 d4 x −g g να δRνα = d3 ξ |h| hνα nμ ∂μ δgνα . (7.18) − 2χ Ω 2χ ∂Ω Per cancellare questo contributo consideriamo l’azione SY GH , che in generale possiamo scrivere come un’integrale sull’ipersuperficie ∂Ω, e definire come: √ 1 1 μ dSμ −g V = − d3 ξ |h| nμ V μ . (7.19) SY GH = − 2χ ∂Ω 2χ ∂Ω Il termine geometrico V μ deve contenere le derivate prime della metrica, e fornire un contributo variazionale che annulli esattamente quello del tensore di Ricci (7.18). A parte, questo, per` o, la sua definizione non è univoca, perchè la variazione viene effettuata tenendo fissi sul bordo la metrica e le sue derivate tangenziali2 . Azioni di bordo che differiscono per arbitrarie funzioni della metrica gμν , del vettore normale nμ , e delle loro derivate tangenziali hαβ ∂β gμν , hαβ ∂β nμ forniscono lo stesso contributo variazionale (si noti che la variazione di nμ viene ottenuta differenziando l’Eq. (7.14), ed è quindi proporzionale a quella di gμν ). Un esempio facile da scrivere in forma covariante e da interpretare geometricamente si ottine considerando la cosiddetta “curvatura estrinseca” Kμν della superficie di bordo, β Kμν = hα μ hν ∇α nβ = Kνμ ,

Kμν nν = 0,

(7.20)

e scegliendo come Lagrangiana di bordo

nμ V μ = 2K ≡ 2hμν Kμν = 2hμν ∂μ nν − Γμν α nα .

(7.21)

La sua variazione, trascurando termini con contributo nullo, fornisce:

δ |h|2K ∂Ω =

= 2 |h|hμν ∂μ δnν − nα δΓμν α = −2 |h|hμν nα δΓμν α

1 = −2 |h|hμν nα ∂μ δgνα + ∂ν δgμα − ∂α δgμν 2 μν α = |h|h n ∂α δgμν . (7.22) 2

Notiamo, in particolare, che sommando alla curvatura scalare un opportuno termine di bordo è possibile ricondursi ad un’azione che è quadratica nella connessione (e quindi nelle derivate prime della metrica), e che riproduce le stesse equazioni del moto dell’azione SEH + SY GH (si veda il testo [3] della Bibliografia finale).


115

Perciò, sostituendo nella (7.19), δg SY GH = −

1 2χ

d3 ξ

F (Ω)

|h| hμν nα ∂α δgμν ,

(7.23)

che cancella esattamente il contributo (7.18). Sommando le equazioni (7.8), (7.18) e (7.23) si ottiene dunque √ 1 d4 x −g Gμν δg μν . (7.24) δg (SEH + SY GH ) = − 2χ Ω Contributo dell’azione materiale Per completare la variazione dell’azione (7.6) dobbiamo infine variare rispetto alla metrica l’azione materiale (7.1). Tenendo presente che Lm pu` o dipendere da gμν e dalle sue derivate possiamo scrivere, in generale, √ √ ∂( −gLm ) μν ∂( −gLm ) 4 μν ∂α δg + · · · d x δg + δg Sm = ∂g μν ∂(∂α g μν ) Ω √ √ ∂( −gLm ) ∂( −gLm ) 4 d x − ∂α (7.25) = + · · · δg μν ∂g μν ∂(∂α g μν ) Ω (nel secondo passaggio abbiamo applicato il teorema di Gauss, e sfruttato la condizione di bordo (δg)∂Ω = 0). Abbiamo omesso, per semplicità, termini con derivate della metrica di ordine superiore al primo, dato che tali termini sono assenti nelle azioni dei sistemi fisici di tipo pi` u convenzionale. In ogni caso, il risultato (7.25) pu` o essere espresso in maniera compatta e generale introducendo un tensore simmetrico Tμν tale che √

1 √ δg Sm = d4 x δg −gLm = d4 x −g Tμν δg μν , (7.26) 2 Ω Ω ovvero, in forma di derivata funzionale, √ 2 δ ( −gLm ) , Tμν = √ −g δg μν

(7.27)

dove il simbolo δ/δg μν indica la successione di operazioni differenziali effettuate dentro la parentesi quadra nella seconda riga dell’Eq. (7.25). Equazioni di Einstein Sommando i contributi dei termini di variazione (7.24), (7.26), ed imponendo la condizione di stazionariet` a δS = 0 per variazioni arbitrarie δg μν , otteniamo infine le equazioni di Einstein,

116


1 Gμν ≡ Rμν − gμν R = χTμν . 2

(7.28)

Prendendo la traccia abbiamo Gμ μ = −R = χT , dove T = Tμ μ . Perciò, sostituendo R con T , le equazioni di Einstein si possono anche scrivere: 1 (7.29) Rμν = χ Tμν − gμν T . 2 Nel resto del capitolo discuteremo alcuni importanti aspetti di queste equazioni, a cominciare dall’interpretazione fisica del tensore Tμν che verrà illustrata nella sezione seguente.

7.2 Il tensore dinamico energia-impulso Il tensore Tμν , definito dalle equazioni (7.26), (7.27), è il cosiddetto tensore dinamico energia-impulso (anche detto tensore metrico energia-impulso). L’aggettivo “dinamico” si pu` o facilmente spiegare con riferimento al fatto che questo tensore fa da sorgente alla curvatura dello spazio-tempo, descritta dal membro sinistro delle equazioni di Einstein. L’aggettivo “metrico” si riferisce invece alla sua origine, ossia al fatto che Tμν si ottiene variando l’azione materiale rispetto alla metrica gμν . Tale definizione, tra l’altro, ne garantisce ` forse meno ovvia, invece, la automaticamente la simmetria (Tμν = Tνμ ). E la spiegazione del perchè tale tensore possa essere interpretato come densità d’energia e di impulso del sistema materiale considerato. Nel primo capitolo di questo libro abbiamo visto infatti che il tensore canonico energia-impulso rappresenta le “correnti” che si conservano in seguito all’invarianza per traslazioni (si veda in particolare la Sez. 1.2). Nel contesto dello spazio-tempo di Minkowski abbiamo considerato, a questo proposito, traslazioni di tipo “globale”, dipendenti cioè da parametri costanti. Uno spazio-tempo di tipo Riemanniano, per` o, non è in generale compatibile con questo tipo di trasformazioni “rigide” delle coordinate. Dobbiamo considerare al loro posto le traslazioni locali, rappresentate da trasformazioni del tipo xμ → xμ = xμ + ξ μ (x),

(7.30)

dove il parametro ξ μ (che supporremo infinitesimo) varia da punto a punto. Chiediamoci dunque sotto quali condizioni un sistema fisico, rappresentato dal campo ψ immerso in uno spazio-tempo curvo, e descritto dalla generica azione materiale (7.1), risulti invariante per traslazioni locali infinitesime. A tal scopo calcoliamo la variazione dell’azione generata dalla trasformazione infinitesima (7.30), imponendo, come vincolo, che siano soddisfatte le equazioni del moto (di Eulero-Lagrange) del campo ψ. Adottiamo cioè la procedura dettata dal teorema di Noether, e gi` a utilizzata nella Sez. 1.2 a proposito delle

7.2 Il tensore dinamico energia-impulso

117

traslazioni globali nello spazio piatto. Partendo dall’azione (7.1) imponiamo dunque √ √ δ( −gLm ) δ( −gLm ) μν d4 x δ g δξ Sm = , (7.31) δξ ψ + ξ δψ δg μν Ω dove δξ ψ e δξ g μν denotano le variazioni infinitesime del campo e della metrica indotte dalla trasformazione (7.30). Esse moltiplicano, rispettivamente, le derivate funzionali della densit` a di Lagrangiana fatte rispetto a ψ e g μν . Notiamo ora che il primo termine del precedente integrale fornisce esattamente le equazioni di Eulero-Lagrange per ψ, e dunque si annulla se richiediamo che le equazioni del moto siano soddisfatte. Nel secondo termine, la variazione locale della metrica prodotta da una trasformazione di coordinate infinitesima del tipo (7.30) è gi` a stata considerata in Sez. 3.3 (si veda l’Eq. (3.42)), e si pu` o scrivere, in forma covariante compatta, come segue: δξ g μν = ∇μ ξ ν + ∇ν ξ μ

(7.32)

(si veda in particolare la soluzione dell’Esercizio 3.4). Inoltre, la derivata funzionale della Lagrangiana materiale rispetto alla metrica definisce il tensore Tμν , in accordo all’Eq. (7.27). Arriviamo quindi al risultato √ 1 d4 x −g Tμν (∇μ ξ ν + ∇ν ξ μ ) δξ Sm = 2 Ω √ = d4 x −g Tμν ∇μ ξ ν , (7.33) Ω

dove abbiamo sfruttato la simmetria di Tμν . A questo punto è conveniente mettere in evidenza una quadri-divergenza, e riscrivere il risultato nella forma √ d4 x −g [∇μ (Tν μ ξ ν ) − ξ ν ∇μ Tν μ ] . (7.34) δξ Sm = Ω

Il primo termine rappresenta una divergenza totale e si pu` o trasformare, col teorema di Gauss, in un integrale di flusso di termini proporzionali a Tμ ν sul bordo ∂Ω della regione di integrazione. Il suo contributo è nullo se il sistema considerato è localizzato in una porzione finita di spazio, e Tμν tende a zero in modo sufficientemente rapido all’infinito. In ogni caso, un termine con la forma di quadri-divergenza si pu` o anche riassorbire nella parte dell’azione che porta alle equazioni del moto del sistema, e non d` a contributi alla variazione δξ Sm . Possiamo quindi concludere che l’azione è invariante per traslazioni locali infinitesime, generate da un arbitrario parametro ξ μ (x), se e solo se vale la legge di conservazione convariante ∇ν Tμ ν = 0.

(7.35)

118


Questo ci permette di identificare Tμν come la corretta versione generalizzata del tensore energia-impulso, valida nel caso di uno spazio-tempo curvo dotato di una generica struttura geometrica Riemanniana. ` importante osservare che questo risultato è anche in accordo con la conE sistenza formale delle equazioni di Einstein. L’identit` a di Bianchi contratta (6.26) implica infatti che il tensore di Einstein, ossia il membro sinistro dell’Eq. (7.28), abbia divergenza covariante nulla. Perci` o anche il membro destro, ossia Tμν , deve avere divergenza covariante nulla. La divergenza di Tμν , d’altra parte, controlla la variazione dell’azione materiale in accordo all’Eq. (7.34). Ne consegue, in particolare, che l’azione materiale deve essere invariante per traslazioni locali infinitesime – ossia, per generiche trasformazioni di coordinate del tipo (7.30) – per cui la materia deve essere accoppiata alla geometria in maniera general-covariante. La general-covarianze della teoria che stiamo considerando – ovvero la simmetria intrinseca dell’azione (7.6) per trasformazioni generali di coordinate – emerge anche dall’osservazione seguente. Il vincolo di divergenza nulla, ∇ν Gμ ν = χ∇ν Tμ ν = 0,

(7.36)

impone 4 condizioni sulle 10 componenti delle equazioni di Einstein (7.28), lasciando solo 6 componenti indipendenti. Risolvendo tali equazioni è dunque possibile determinare, al massimo, solo 6 delle 10 componenti del tensore metrico gμν . Uno studio dettagliato del cosiddetto “problema di Cauchy” associato alle equazioni di Einstein mostra infatti che ci sono solo sei equazioni di tipo veramente “dinamico”, contenenti le derivate temporali seconde della metrica. Le restanti quattro equazioni contengono solo derivate temporali prime, e rappresentano quindi “vincoli” sulla distribuzione dei dati iniziali, ma non servono a determinare l’evoluzione temporale delle variabili incognite. D’altra parte, il fatto che 4 componenti della metrica restino arbitrarie è in perfetto accordo con la covarianza della teoria, in virt` u della quale ci deve sempre essere la libertà di cambiare il sistema di coordinate, xμ → xμ , e di imporre sulla metrica 4 condizioni di “gauge”, fissando cos`ı i gradi di libert` a residui. Tali condizioni possono anche essere usate per semplificare le equazioni di campo, come vedremo in modo esplicito nel capitolo seguente. 7.2.1 Esempi: campo scalare, vettoriale, sorgente puntiforme Il tensore dinamico energia-impulso, definito dalle equazioni (7.26), (7.27), fornisce una versione di energia-impulso che adatta ad un contesto generalcovariante il corrispondente tensore canonico nella sua forma gi` a automaticamente simmetrizzata. Lo verificheremo, in questa sezione, nel caso particolare di un campo scalare, di un campo vettoriale a massa nulla (il campo elettromagnetico), e di una particella massiva puntiforme.

7.2 Il tensore dinamico energia-impulso

119

Cominciamo col caso scalare, considerando un campo che nello spazio di Minkowski è descritto dalla Lagrangiana (1.64) (in unit` a ¯h = c = 1). La corrispondente azione covariante in una generica variet` a Riemanniana si ottiene applicando il principio di minimo accoppiamento (Capitolo 4), ed è data da: 1 μν 4 √ d x −g g ∂μ φ∂ν φ − V (φ) . (7.37) S= 2 Ω Il confronto con l’Eq. (7.1) fornisce la densit` a di Lagrangiana effettiva: √ √ 1 μν g ∂μ φ∂ν φ − V . −gLm = −g (7.38) 2 Abbiamo messo in esplicita evidenza la dipendenza dalla metrica, anche nei prodotti scalari, perchè è rispetto alla metrica che dobbiamo variare questa espressione in accordo alla definizione (7.27). In questo caso particolare la Lagrangiana dipende da g ma non dalle sue derivate, per cui la derivata funzionale dell’Eq. (7.27) si riduce ad una semplice derivata parziale: √ √ 2 δ ( −gLm ) 2 ∂ ( −gLm ) √ = . (7.39) Tμν = √ −g δg μν −g ∂g μν Utilizzando il risultato (7.7) otteniamo allora 2 1√ 1 1√ −g∂μ φ∂ν φ − −ggμν ∂α φ∂ α φ − V Tμν = √ −g 2 2 2 1 = ∂μ φ∂ν φ − gμν ∂α φ∂ α φ + gμν V (φ), (7.40) 2 che rappresenta la versione covariante del tensore canonico (1.68) (gi` a simmetrico anche nel caso canonico, per l’assenza di momento angolare intrinseco). Si pu` o facilmente verificare che la divergenza covariante di questo tensore è nulla, purchè siano soddisfatte le equazioni del moto del campo scalare (si veda l’Esercizio 7.2). Ripetiamo la stessa procedura per il campo elettromagnetico, che in una arbitraria geometria è descritto dall’azione covariante (4.5). Consideriamo il a di Lagrangiana campo nel vuoto, per semplicit` a, e poniamo J μ = 0. La densit` associata all’azione (4.5) è la seguente: √

√ −g μν αβ g g Fμα Fνβ , (7.41) −gLm = − 16π e anche in questo caso non compaiono derivate della metrica. Applicando l’Eq. (7.39) troviamo √ √ −g αβ 2 1 −g Tμν = √ − 2g Fμα Fνβ + gμν F 2 −g 16π 2 16π 1 1 Fμ β Fνβ − gμν F 2 , (7.42) =− 4π 4

120


dove F 2 ≡ Fαβ F αβ . Abbiamo cos`ı ottenuto la versione covariante del tensore canonico nella sua forma simmetrizzata (si veda l’Eq. (1.74)). ` utile notare che la definizione del tensore dinamico energia-impulso pu` E o essere usata come proceduta di simmetrizzazione anche nello spazio piatto: si accoppia il sistema materiale ad una geometria curva, si varia rispetto alla metrica applicando la definizione (7.27), e poi si fa il limite gμν → ημν . Consideriamo infine una particella puntiforme, che nello spazio di Mikowski è descritta dall’azione (1.120) (si veda l’Esercizio 1.4). In presenza di un’arbitraria metrica gμν l’azione covariante diventa

d4 x dτ x˙ μ x˙ ν g μν δ 4 x − x(τ ) S = mc (7.43) Ω

(abbiamo scelto il segno in modo da adeguarci alle convenzioni usate per ` importante notare l’assenza l’azione di Einstein nella sezione precedente). E √ del fattore −g nella misura di integrazione sul quadri-volume Ω, in quanto la distribuzione δ 4 (x) si comporta come una densità scalare di peso w = −1 (si veda la Sez. 3.2), e quindi d4 x δ 4 (x) rappresenta gi` a uno scalare per trasformazioni generali di coordinate. La corrispondente densit` a di Lagrangiana (canonicamente normalizata come densità d’energia),

√ −gLm = mc2 dτ x˙ μ x˙ ν g μν δ 4 x − x(τ ) , (7.44) è localizzata in modo deltiforme sulla posizione spazio-temporale della particella. Questa Lagrangiana dipende dalla metrica ma non dalle sue derivate, ed applicando l’Eq. (7.39) troviamo: 2

mc x˙ μ x˙ ν 4 2 dτ √ (7.45) δ x − x(τ ) . Tμν = √ −g 2 x˙ α x˙ α Identificando il parametro τ col tempo proprio abbiamo x˙ α x˙ α = c2 , arrivando cos`ı al tensore energia-impulso

mc dτ δ 4 x − x(τ ) uμ uν , (7.46) Tμν (x) = √ −g a della particella, e x(τ ) è la curva che dove uμ = x˙ μ è la quadri-velocit` rappresenta la sua “linea d’universo” spazio-temporale. Questa espressione generalizza il precedente risultato (1.87), rendendolo covariante rispetto a trasformazioni generali di coordinate (si noti, in parti√ colare, che δ 4 (x)/ −g si trasforma esattamente come uno scalare). Lo stesso risultato pu` o esere ottenuto anche partendo dalla forma alternativa dell’azione per una particella libera, presentata nell’Eq. (5.2). Osserviamo infine che il tensore dinamico (7.46) si pu` o anche riscrivere in una forma equivalente che non è esplicitamente covariante, ma che risulta

7.3 Equazioni di Einstein con costante cosmologica

121

conveniente per alcune applicazioni successive. Separando la delta sulla coordinata temporale, e parametrizzando la traiettoria con una diversa variabile t , possiamo porre

dxν mc dt δ 4 x − x(t ) uμ Tμν (x, t) = √ −g dt

= c dt δ x0 − ct Tμν (x, t ), (7.47) da cui

dxν m , Tμν (x, t) = √ δ 3 x − x(t) uμ −g dt

o anche Tμν (x, t) = √

pμ pν c 3 δ x − x(t) , −g p0

(7.48)

(7.49)

dove pμ = mdxμ /dτ . Queste due ultime espressioni generalizzano, rispettivamente, le versioni (1.83) e (1.85) del tensore energia impulso canonico al caso di una generica variet` a Riemanniana.

7.3 Equazioni di Einstein con costante cosmologica L’azione di Einstein della Sez. 7.1 si pu` o generalizzare introducendo non solo potenze della curvatura di ordine superiore, ma anche potenze di ordine zero, ossia termini costanti. Il determinante della metrica, presente nella misura d’integrazione spazio-temporale, fa s`ı che anche una costante fornisca un contributo dinamico alle equazioni di campo. Consideriamo infatti la seguente generalizzazione dell’azione di Einstein (7.2), R 4 √ +Λ , (7.50) S=− d x −g 2χ Ω dove Λ è un parametro costante con dimensioni di densit` a d’energia. La variazione rispetto alla metrica del nuovo termine fornisce il contributo √

1√ −g gμν Λ δg μν δg − −gΛ = 2

(7.51)

(si veda l’Eq. (7.7)). Sommando gli altri contributi variazionali forniti dalle equazioni (7.24), (7.26) si ottengono le seguenti equazioni di campo generalizzate:

(7.52) Gμν = χ Tμν + gμν Λ . Queste equazioni restano compatibili con il vincolo di divergenza nulla (7.36), in quanto ∇ν gμν = 0. La costante Λ è chiamata “costante cosmologica”, perchè è stata originariamente introdotta (da Einstein) per permettere soluzioni cosmologiche delle

122


equazioni di campo che descrivano una geometria indipendente dal tempo, e quindi un Universo di tipo statico. Risolvendo le equazioni (7.52), e assumendo che Λ abbia un segno positivo e un appropriato valore numerico, si trova infatti che Λ genera delle forze gravitazionali di tipo repulsivo che sono in grado di controbilanciare le forze attrattive generate dalle altre sorgenti materiali descritte da Tμν , mantenendo cos`ı l’Universo in una configurazione d’equilibrio statico. La presenza (o comunque la rilevanza fisica) del termine cosmologico Λgμν è stata messa seriamente in dubbio dalle scoperte astronomiche che hanno confermato – sin dalla prima met` a del secolo scorso e dall’epoca delle legge di Hubble-Humason – la “non-staticit` a” del nostro Universo, e lo stato di espansione della geometria cosmica su grande scala. Recentemente, però, l’importanza e la necessità di tale termine è stata rivalutata, sia nel contesto dei moderni modelli “inflazionari” dell’Universo primordiale, sia alla luce delle ultime osservazioni che attribuiscono all’Universo attuale uno stato di espansione accelerata. In questi casi, per` o, il ruolo delle forze repulsive generate da Λ non è pi` u quello di garantire la staticit` a della geometria, bens`ı quello di accelerarne l’evoluzione temporale, cancellando e sopravanzando le forze frenanti prodotte dalle altre sorgenti. Si vedano, a questo proposito, i testi [18, 19] della Bibliografia finale. Al di l` a delle possibili interpretazioni e applicazioni cosmologiche, l’Eq. (7.52) mostra chiaramente che l’effetto dinamico di un termine costante nell’azione, in generale, è quello di aggiungere alle sorgenti gravitazionali un tensore energia-impulso effettivo proporzionale alla metrica, τμν = gμν Λ.

(7.53)

Un tensore energia-impulso di questo tipo si pu` o interpretare, formalmente, come quello di un fluido perfetto con densit` a d’energia ρ = Λ ed equazione di stato p = −ρ. Consideriamo infatti il tensore energia-impulso fluido-dinamico che abbiamo introdotto nell’Eq. (1.97) e che, generalizzato con il principio di minimo accoppiamento per renderlo covariante in un generico contesto geometrico, assume la forma: u μ uν (7.54) Tμν = (ρ + p) 2 − pgμν . c ` immediato vedere che l’Eq. (7.53) per τμν pu` E o essere riprodotta ponendo ρ + p = 0, e −p = ρ = Λ. Ma quale fluido, o quale tipo di campo materiale, pu` o essere descritto da un tensore energia impulso di quel tipo? Poichè tale tensore contribuisce alle equazioni di Einstein anche in assenza di Lagrangiana materiale, viene naturale identificare τμν con il tensore energiaimpulso effettivo associato non ad un particolare sistema fisico, ma allo spaziotempo stesso, anche se vuoto. E in effetti, se includiamo le energie di punto zero nelle fluttuazioni quantistiche del vuoto – sempre presenti anche quando i

7.3 Equazioni di Einstein con costante cosmologica

123

campi classici sono nulli – troviamo che lo stato di vuoto delle teorie di campo quantistiche ha un’energia media costante ρ = 0, e un tensore energiaimpulso il cui valore di aspettazione assume la generica forma3 Tμν = ρgμν .

(7.55)

` lecito quindi interpretare fisicamente la costante Λ come densità d’energia E media del vuoto. Anch’essa, come qualunque altra forma d’energia, contribuisce ad in curvare la geometria dello spazio-tempo – agendo da sorgente gravitazionale – attraverso il tensore energia-impulso effettivo (7.53). In accordo a questa interpretazione possiamo (e dobbiamo) includere in Λ tutti gli eventuali contributi all’energia del vuoto, di tipo classico o quantistico, tenendo conto di tutte le interazioni note e delle loro sorgenti. Un possibile contributo tipico del modello standard, ad esempio, è quello fornito da un campo scalare costante, localizzato al minimo del suo potenziale V (φ). In quel caso, infatti, l’equazione del moto (7.94) è risolta ponendo φ = φ0 , dove φ0 è la posizione dell’estremo, (∂V /∂φ)φ0 = 0. Sostituendo nella (7.40) si ottiene il tensore energia dimpulso di questa configurazione scalare, Tμν = gμν V (φ0 ),

(7.56)

che coincide con l’Eq. (7.53) con Λ = V (φ0 ). Il valore complessivo di Λ, per non essere in conflitto con le attuali osservazioni relative alla geometria cosmica su grande scala, deve essere però estre< 6 × 10−9 u precisamente, deve soddisfare il vincolo Λ ∼ mamente piccolo4 : pi` 3 −47 4 < 3 × 10 erg/cm , ovvero, in unit` a¯ h = c = 1, Λ ∼ GeV . Va detto che la spiegazione di tale valore numerico costituisce attualmente uno dei maggiori problemi aperti della fisica teorica contemporanea. Vista la piccolezza del valore premesso per Λ, il suo contributo alle equazioni di campo (7.52) pu` o essere tranquillamente trascurato in presenza (e in prossimit` a) delle sorgenti macroscopiche e astronomiche che saranno prese in considerazioni in questo testo. D’ora in avanti useremo quindi, in tutte ` per` le applicazioni, le equazioni di Einstein senza il termine cosmologico. E o importante notare, prima di abbandonarlo completamente, che tale termine permette di ottenere interessanti soluzioni delle equazioni di Einstein anche in assenza di altre sorgenti. Ponendo Tμν = 0, e prendendo la traccia dell’Eq. (7.52), otteniamo infatti le equazioni: Rμν = −χΛgμν , R = −4χΛ. (7.57) Il confronto con le equazioni (6.44), (6.45) mostra immediatamente che la costante cosmologica induce sulla variet` a spazio-temporale una geometria massimamente simmetrica, con curvatura costante e parametro di curvatura k che, in D = 4, è collegato a Λ dalla relazione 3 4

Si veda ad esempio S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61, 1 (1989). Si veda ad esempio Particle Data Group, all’indirizzo web http://pdg.lbl.gov

124


k=

1 χΛ. 3

(7.58)

Con una costante cosmologica positiva – o, equivalentemente, con un fluido perfetto che soddisfa a ρ = −p = cost, ρ > 0 – si ottiene dunque dalle equazioni di Einstein la soluzione esatta di de Sitter (si veda la Sez. 6.3 e l’Esercizio 6.6), che descrive una pseudo-ipersfera a quattro dimensioni con raggio di curvatura a = cost, tale che: a2 =

1 3 = . k χΛ

(7.59)

Per Λ < 0 si ottiene invece una variet` a a curvatura costante negativa, detta spazio di anti-de Sitter. Tale tipo di geometria non sembra attualmente avere applicazioni di tipo cosmologico o fenomenologico; essa, per` o, gioca un ruolo formale rilevante nell’ambito di alcuni modelli gravitazionali supersimmetrici (si veda il Capitolo 14).

7.4 Conservazione dell’energia-impulso e moto dei corpi di prova In questa sezione mostreremo che dall’equazione di conservazione covariante (7.35) si pu` o dedurre l’equazione del moto per un generico corpo di prova in uno spazio-tempo curvo, e che tale equazione risulta essere quella geodetica solo nell’approssimazione in cui il corpo è puntiforme, senza struttura interna. Se il corpo ha una struttura la gravit` a induce delle forze “di marea” tra gli elementi che lo compongono: si genera cos`ı un accoppiamento tra i momenti interni (ad esempio, il momento angolare intrinseco) e la curvatura dello spazio-tempo, per cui la traiettoria del moto devia da quella geodetica. Partiamo dall’Eq. (7.35), che riscriviamo in modo esplicito come segue: ∂ν T μν + Γνα μ T αν + Γνα ν T μα = 1 √ μα = ∂ν T μν + Γνα μ T αν + √ ∂α −g T = 0 −g

(7.60)

(abbiamo usato l’Eq. (3.97) per la traccia della connessione). Moltiplicando √ per −g otteniamo l’equazione √

√ −gT μν + −gΓνα μ T αν = 0, (7.61) ∂ν equivalente alla (7.35). Supponiamo ora che Tμν rappresenti il tensore energia-impulso di un corpo di prova, ossia di un corpo che non influenza in modo significativo la geometria nella quale è immerso, e che è localizzato in una porzione limitata di spazio. Possiamo quindi assumere che Tμν sia diverso da zero solo all’interno di uno

7.4 Conservazione dell’energia-impulso e moto dei corpi di prova

125

stretto “tubo d’universo”, centrato attorno alla “linea d’universo” z μ (t) del baricentro del corpo di prova. Per illustrare in modo diretto la dipendenza del moto dai momenti interni del corpo integriamo l’Eq. (7.61) su di una ipersuperficie spaziale Σ che si estende all’infinito, e che interseca il “tubo d’universo” ad un dato istante t = costante. Separando la divergenza in parte spaziale e parte temporale abbiamo: √

1 d √ √ d3 x ∂i −gT μi + d3 x −g T μ0 + d3 x −g Γνα μ T αν = 0. c dt Σ Σ Σ (7.62) Usando il teorema di Gauss troviamo che il primo termine non contribuisce (perchè Tμν è identicamente nullo all’infinito), e la precedente condizione si riduce a √ √ 1 d d3 x −g T μ0 + d3 x −g Γνα μ T αν = 0. (7.63) c dt Σ Σ Per un corpo puntiforme che evolve lungo la traiettoria z(t), e che è descritto dalla distribuzione di energia-impulso (7.48), l’integrazione si effettua immediatamente grazie alla presenza di δ 3 (x − z(t)), e si ottiene dpμ dz ν + Γνα μ pα = 0, dt dt

(7.64)

dove abbiamo posto pμ = mdz μ /dτ . Moltiplicando per dt/dτ si ritrova cos`ı l’equazione della geodetica che – come già visto nella Sez. 5.1 – è l’equazione del moto per una particella puntiforme. Questa equazione del moto rimane valida anche per un generico corpo di prova, a patto che i suoi momenti interni siano trascurabili. Consideriamo infatti l’Eq. (7.63), e sviluppiamo in serie di Taylor la connessione, dentro al “tubo d’universo”, attorno alla posizione del baricentro z μ (t): (7.65) Γνα μ (x) = Γνα μ (z) + (∂ρ Γνα μ )z (xρ − z ρ ) + · · · . Supponiamo che la sezione del tubo abbia un’estensione |δx| = |x − z| molto minore del raggio di curvatura dello spazio-tempo, cos`ı da poter trattare in modo perturbativo tutti i termini dello sviluppo superiori al primo. Si ottiene allora un’espansione di tipo “multipolare”, √ √ 1 d d3 x −g T μ0 +Γνα μ (z) d3 x −g T αν c dt Σ Σ √ μ + (∂ρ Γνα )z d3 x −g T αν (xρ − z ρ ) + · · · = 0. Σ

(7.66) √ Consideriamo inoltre la divergenza di xα −gT μν che, usando l’Eq. (7.61), si pu` o esprimere come:

126


√

√

√ ∂ν xα −gT μν = −gT μα + xα ∂ν −gT μν √ √ = −gT μα − xα −gΓνβ μ T βν .

(7.67)

Integrando questa relazione sull’ipersuperficie Σ, ed usando il teorema di Gauss, otteniamo la condizione √ √ 1 d d3 x −g xα T μ0 − d3 x −g T μα c dt Σ Σ √ + d3 x −g Γνβ μ T βν xα = 0. (7.68) Σ

Espandendo la connessione abbiamo infine √ √ 1 d d3 x −g xα T μ0 − d3 x −g T μα c dt Σ Σ √ μ +Γνβ (z) d3 x −g T βν xα Σ √ μ + (∂ρ Γνβ )z d3 x −g T βν xα (xρ − z ρ ) + · · · = 0. Σ

(7.69) Supponiamo ora che tutti gli integrali del tipo √ d3 x −g T μν δxα , δxα = xα − z α ,

(7.70)

Σ

associati a momenti interni di tipodipolare,siano nulli, cos`ı come tutti i momenti di ordine superiore, del tipo T δxδx, T δxδxδx, etc. (ci mettiamo cioè nell’approssimazione di “monopolo”). Ponendo nell’Eq. (7.69) xα = z α + δxα , ricavando il secondo integrale in funzione degli altri, e sostituendo il risultato nell’Eq. (7.66) – trascurando ovviamente tutti gli integrali multipolari e i termini di ordine superiore nello sviluppo – otteniamo: √ dz ν 1 1 d 3 √ μ0 μ d x −g T + Γνα (z) d3 x −g T α0 = 0. (7.71) c dt Σ dt c Σ Sostituendo

1 c

√ d3 x −g T μ0 = pμ

(7.72)

Σ

ritroviamo infine, in questa approssimazione, l’equazione geodetica (7.64). Se i momenti interni di tipo (7.70) non sono trascurabili, invece, l’equazione del moto acquista correzioni che dipendono dai gradienti della connessione – come appare evidente dall’Eq. (7.66) – e quindi dalla curvatura e dalle sue ` utile (ed interessante) calcolare esplicitamente queste derivate superiori. E correzioni nel caso pi` u comune di una struttura interna di tipo dipolare, ossia di un corpo di prova che possiede momento angolare intrinseco.

7.4 Conservazione dell’energia-impulso e moto dei corpi di prova

127

A tal scopo osserviamo innanzitutto che le equazioni del moto (7.66), cos`ı come la definizione di impulso (7.72), non sono scritti in una forma esplicitamente covariante. Inoltre, l’oggetto definito in Eq. (7.72) non è globalmente √ conservato (perchè ∂ν ( −gT μν ) = 0, si veda l’Eq. (7.61)), e quindi il suo valore dipende dall’ipersuperficie scelta. Fisicamente ciò è dovuto al fatto che Tμν , in uno spazio curvo, descrive l’energia-impulso del corpo materiale ma non include completamente il corrispondente contributo del campo gravitazionale. Invece, nell’interazione tra il corpo materiale la geometria – cos`ı come in tutti i sistemi fisici – è l’energia complessiva che si conserva. Una derivazione esplicitamente covariante dell’equazione del moto è però facilmente ottenibile se la geometria considerata ammette isometrie, e quindi o definire una vettori di Killing ξμ (si veda la Sez. 3.3). In questo caso si pu` quantit` a globalmente conservata, come nello spazio di Minkowski, proiettando il tensore energia-impulso lunga la direzione dell’isometria. Il vettore J μ = T μν ξν , infatti, ha quadri-divergenza nulla, ∇μ (T μν ξν ) = ξν ∇μ T μν + T μν ∇(μ ξν) ≡ 0

(7.73)

(abbiamo usato le equazioni (7.35) e (3.107)). Integrando questa equazione su di un dominio spazio-temporale Ω, e usando il teorema di Gauss, otteniamo che il flusso di J μ è nullo sul bordo ∂Ω, √ √ d4 x −g ∇μ (T μν ξν ) = dSμ −g T μν ξν = 0. (7.74) Ω

∂Ω

Prendendo un quadri-volume Ω delimitato da due ipersuperfici spaziali che intersecano, in due tempi diversi, il “tubo d’universo” del corpo di prova, e ripetendo gli argomenti della Sez. 1.2 (si veda in particolare l’Eq. (1.33) e la Fig. 1.1), si tova dunque che la quantit` a √ dSμ −g T μν ξν = cost (7.75) Σ

è conservata, ossia il suo valore è indipendente dall’ipersuperficie Σ scelta. Questa quantit` a conservata dipende da Tμν e dal campo gravitazionale (associato a ξν ) presente dentro al “tubo d’universo”. Poichè l’integrazione si estende solo sulla piccola sezione di tubo determinata dall’intersezione con a conserΣ (fuori dal tubo, infatti, Tμν = 0), possiamo valutare la quantit` vata sviluppando in serie ξν intorno a un punto arbitrario di questa sezione. In particolare, attorno alla posizione z μ (τ ) del centro di massa (abbiamo parametrizzato la traiettoria col tempo proprio τ ). A questo proposito conviene ricordare un’importante propriet` a dei vettori di Killing, la cui derivata covariante seconda è determinata dal tensore di curvatura secondo l’equazione: ∇α ∇ν ξμ = −Rμνα β ξβ

(7.76)

128


(si veda l’Esercizio 7.3). Grazie a questa propriet` a, dato ξ e la sua derivata covariante ∇ξ in un punto z dello spazio tempo, tutte le derivate di ξ di ordine superiore al primo nel punto z sono determinate dall’Eq. (7.76) e dalle sue derivate, e sono quindi esprimibili come combinazioni lineari di ξ(z) e ∇ξ(z). Il vettore di Killing, in un generico punto x situato nell’intorno di z, pu` o essere costruito come serie di Taylor in δx = x − z, e risulta dunque completamente determinato dalla combinazione lineare di ξμ (z) e ∇[μ ξν] (z) (abbiamo preso la parte antisimmetrica perchè ∇(μ ξν) = 0). I coefficienti della combinazione lineare dipendono da x, z e dalla geometria data, e sono gli stessi per tutti i vettori di Killing di quella metrica. Questo mostra, incidentalmente, che un vettore di Killing in uno spazio D-dimensionale dipende linearmente da D + D(D − 1)/2 = D(D + 1)/2 parametri, e che possono esserci al massimo D(D + 1)/2 vettori di Killing linearmente indipendenti. Nel nostro caso ci interessa, in particolare, lo sviluppo di ξν (x) in serie di potenze dentro al “tubo d’universo” del corpo di prova, attorno alla traiettoria z(τ ) del suo centro di massa. Possiamo quindi porre, al primo ordine, ξν (x) = ξν (z) + Aν β (x, z)δxα ∇[α ξβ] (z) + · · · ,

(7.77)

dove δxα = xa −z a , e dove Aν β è una funzione che dipende da x, z e dalla metrica considerata. Sostituiamo nell’Eq. (7.75), dividendo per c e assumendo che i momenti interni di ordine superiore al dipolo siano trascurabili. Otteniamo allora: √ 1 1 dSμ −g T μν ξν = ξν (z)pν + ∇[α ξβ] (z)S αβ = cost, (7.78) c Σ 2 dove abbiamo definito

√ 1 dSμ −g T μν , c Σ

√ 1 = dSμ −g T μν Aν β δxα − T μν Aν α δxβ . c Σ

pν = S αβ

(7.79)

Ricordando i risultati dello spazio di Minkowski possiamo identificare, in base al principio di minimo accoppiamento, il primo integrale con il quadri-impulso conservato pν , e il secondo integrale con il momento angolare S αβ (di tipo intrinseco, perchè associato a momenti interni). Nel limite di spazio-tempo √ piatto abbiamo infatti −g → 1, Aν α → δνα , e le definizioni (7.79) si riducono a quelle già viste nel Capitolo 1, nelle equazioni (1.36) e (1.57). Notiamo ora che l’espressione definita in Eq. (7.78) è funzione della posizione z del corpo di prova, ma è indipendente dal parametro temporale τ , ossia è costante lungo la curva z μ (τ ). Prendendone la derivata covariante lungo la curva z(τ ) otteniamo allora: ξν

Dpν dz μ DS αβ dz μ 1 1 + pν ∇[μ ξν] + ∇[α ξβ] + S αβ ∇μ ∇α ξβ = 0. dτ dτ 2 dτ 2 dτ

(7.80)

Esercizi Capitolo 7

129

Usando la condizione (7.76), e raggruppando i termini simili, arriviamo a ν Dp 1 ν αβ μ + Rαβμ S v ξν dτ 2 1 DS αβ α β β α + ∇[α ξβ] = 0, (7.81) +v p −v p 2 dτ dove abbiamo posto v μ = dz μ /dτ . Questa condizione deve valere per qualunque vettore di Killing, e quindi implica, separatamente, due equazioni del moto che fissano l’evoluzione di p ed S lungo la “linea d’universo” z(τ ), per un corpo di prova con momento angolare intrinseco: Dpμ 1 + Rαβν μ S αβ v ν = 0, dτ 2

(7.82)

DS αβ = pα v β − pβ vα . dτ

(7.83)

In assenza di momento intrinseco, S αβ → 0, ritroviamo l’evoluzione geodetica descritta dall’equazione Dpμ /dτ = 0. Risulta inoltre p[a vβ] = 0, per cui p e v sono paralleli. In presenza di momento angolare intrinseco, invece, c’è un accoppiamento “di marea” al termine di curvatura, e la traiettoria del corpo devia dalla geodetica in accordo all’Eq. (7.82) (detta anche equaa “cinematica” zione di Dixon-Mathisson-Papapetrou5 ). In aggiunta, la velocit` u parallela, in generale, alla direzione del flusso d’energiav μ = dz μ /dτ non è pi` impulso individuata da pμ . Per determinare tutte le incognite pμ , v μ , Sμν è dunque necessario completare il sistema delle 10 equazioni (7.82), (7.83) aggiungendo la condizione supplementare pν S μν = 0, che caratterizza la “linea d’universo” del baricentro del corpo.

Esercizi Capitolo 7 7.1. Variazione del tensore di Ricci Mostrare che il contributo variazionale del tensore di Ricci all’Eq. (7.8) si pu` o scrivere in forma esplicitamente covariante come segue:

(7.84) g μν δRμν = ∇μ gαβ ∇μ δg αβ − ∇ν δg μν . Verificare che da questa espressione si ottiene immediatamente il contributo di bordo (7.16). 7.2. Conservazione dell’energia-impulso per un campo scalare Dimostrare che il tensore dinamico energia-impulso (7.40) ha divergenza covariante nulla, purchè siano soddisfatte le equazioni del moto del campo scalare. 5

M. Mathisson, Acta Phys. Pol. 6, 163 (1937); A. Papapetrou, Proc. Roy. Soc. A209, 248 (1951); W. G. Dixon, Proc. Roy. Soc. A314, 499 (1970).

130


7.3. Derivata covariante seconda dei vettori di Killing Ricavare l’Eq. (7.76) usando le propriet` a dei vettori di Killing e del tensore di curvatura.

Soluzioni 7.1. Soluzione Per ottenere la relazione (7.84) è conveniente lavorare nel sistema localmente inerziale, dove g = cost, Γ = 0, ∂Γ = 0, e dove possiamo porre δg = 0 tenendo per` o ∂δg = 0. Usando la definizione (6.21) del tensore di Ricci abbiamo, in questo sistema, δRμν Γ =0 = ∂α (δΓμν α ) − ∂μ (δΓαν α )

1 1 = g αβ ∂α ∂μ δgνβ + ∂ν δgμβ − ∂β δgμν − g αβ ∂μ ∂ν δgαβ . 2 2 (7.85) Prendendo la traccia otteniamo

g μν δRμν = ∂ β ∂ ν δgνβ − g αβ ∂μ ∂ μ δgαβ . Γ =0

(7.86)

In una generica carta (dove le derivate parziali diventano covarianti) abbiamo perciò: (7.87) g μν δRμν = ∇μ ∇ν δgμν − g αβ ∇μ ∇μ δgαβ . a Ricordando che g αβ δgαβ = −gαβ δg αβ , e usando la condizione di compatibilit` metrica (∇g = 0), si arriva infine al risultato (7.84): gμν δRμν = gαβ ∇μ ∇μ δg αβ − ∇μ ∇ν δg μν

≡ ∇μ gαβ ∇μ δg αβ − ∇ν δg μν .

(7.88)

Per ottenere il contributo di bordo (7.16) è conveniente partire direttamente dall’espressione covariante (7.87). Integrando su Ω tale contributo variazionale, ed usando il teorema di Gauss, otteniamo

1 (7.89) d3 ξ |h| nμ gνα ∇α δgμν − g αβ ∇μ δgαβ . − 2χ ∂Ω Sul bordo ∂Ω si ha δg = 0 e dunque, nel termine in parentesi tonda, solo le derivate parziali contribuiscono alla variazione. Si ottiene allora il contributo di bordo nμ g να ∂α δgμν − g αβ nμ ∂μ δgαβ , (7.90) identico a quello dell’Eq. (7.16).

Esercizi Capitolo 7

131

7.2. Soluzione Ricaviamo innanzitutto l’equazione del moto covariante per il campo scalare φ, accoppiato alla geometria dello spazio-tempo in accordo all’azione (7.37). La variazione rispetto a φ di tale azione fornisce le equazioni di EuleroLagrange per la Lagrangiana effettiva (7.38): √ √ √ ∂( −gLm ) δ( −gLm ) ∂( −gLm ) ≡ − ∂μ = 0, (7.91) δφ ∂φ ∂(∂μ φ) dove

√ √ ∂( −gLm ) ∂V = − −g , ∂φ ∂φ √ ∂( −gLm ) √ = −g g μν ∂ν φ. ∂(∂μ φ)

(7.92)

Abbiamo perci` o l’equazione del moto √

∂V 1 √ ∂μ −ggμν ∂ν φ + = 0, −g ∂φ

(7.93)

che si può anche scrivere (ricordando la definizione (3.105) del D’Alembertiano covariante): ∂V = 0. (7.94) ∇μ ∇μ φ + ∂φ Prendiamo ora la divergenza covariante del tensore (7.40):

1

∇ν Tμ ν = ∇ν ∂μ φ∂ ν φ − ∇μ ∂α φ∂ α φ + ∇μ V 2

ν

∂V ∂μ φ, (7.95) = ∇ν ∂μ φ ∂ φ + ∂μ φ∇2 φ − ∇μ ∂α φ ∂ α φ + ∂φ dove ∇2 ≡ ∇ν ∇ν . Nella seconda riga, il secondo e quarto termine si cancellano grazie all’equazione del moto (7.94), mentre il primo e terzo termine si cancellano per la simmetria degli indici di derivata: ∇ν ∂μ φ = ∂ν ∂μ φ − Γνμ α ∂α φ = ∇μ ∂ν φ.

(7.96)

∇ν Tμ ν = 0.

(7.97)

Dunque 7.3. Soluzione Scriviamo la relazione (6.19) che ci d` a il commutatore delle derivate covarianti applicate a un vettore, ∇μ ∇ν ξα − ∇ν ∇μ ξα = −Rμνα β ξβ ,

(7.98)

132


e prendiamone la parte completamente antisimmetrica negli indici μ, ν, α. Per l’identit` a di Bianchi (6.14) si ha R[μνα] β = 0, e quindi ∇μ ∇ν ξα + ∇ν ∇α ξμ + ∇α ∇μ ξν − ∇ν ∇μ ξα − ∇μ ∇α ξν − ∇α ∇ν ξμ = 0. (7.99) Usando la propriet` a (3.107) dei vettori di Killing, ∇ν ξα = −∇α ξν ,

(7.100)

l’equazione precedente si pu` o riscrivere ∇μ ∇ν ξα − ∇ν ∇μ ξα = ∇α ∇ν ξμ .

(7.101)

Sostituendo nella (7.98) abbiamo infine ∇α ∇ν ξμ = −Rμνα β ξβ , che coincide appunto con l’Eq. (7.76) cercata.

(7.102)

8 Approssimazione di campo debole

Le equazioni di Einstein che abbiamo introdotto nel capitolo precedente collegano la curvatura dello spazio-tempo alla densit` a di energia e di impulso delle sorgenti materiali. In questo capitolo forniremo una definitiva interpretazione gravitazionale di queste equazioni, ricavando la loro versione linearizzata e confrontandola con le equazioni della teoria gravitazionale di Newton. Potremo cos`ı fissare la costante χ che controlla l’accoppiamento tra materia e geometria, e che finora abbiamo trattato come parametro arbitrario. Risolveremo le equazioni di Einstein linearizzate per determinare la geometria associata ad un campo sufficientemente debole e statico, e vedremo che anche in questo limite si predicono interessanti effetti dinamici e nuovi tipi di interazione tra sorgenti e geometria, non previsti dal limite Newtoniano. Ci concentreremo, in particolare, su due effetti: la deflessione e il ritardo dei segnali elettromagnetici che si propagano nel campo gravitazionale del nostro sistema solare. La verifica sperimentale di entrambi questi effetti ha fornito importanti conferme della validit` a di una descrizione geometrica dell’interazione gravitazionale, in generale, e delle equazioni di Einstein in particolare.

8.1 Equazioni di Einstein linearizzate Supponiamo che la geometria della variet` a spazio-temporale si discosti poco da quella di Minkowski, e che la metrica gμν , in coordinate cartesiane, si possa sviluppare attorno alla metrica di Minkowski ponendo, all’ordine zero, (0) (0) gμν = ημν , e al primo ordine gμν = hμν . Trascurando in questo sviluppo i termini di ordine superiore abbiamo dunque |hμν | 1, (8.1) gμν ημν + hμν , dove il tensore simmetrico hμν descrive delle piccole fluttuazioni della geometria che si possono trattare perturbativamente. Sostituendo questa metrica

134


nelle equazioni di Einstein, e trascurando tutti i termini di ordine h2 e superiori, otterremo delle equazioni differenziali lineari in hμν che ci permetteranno di determinare, in questa approssimazione, le deviazioni dalla geometria di Minkowski. A questo proposito notiamo innanzitutto che, al primo ordine in h, hμ ν = g να hμα = η να hμα + O(h2 ), h ≡ hμ μ = g μν hμν = η μν hμν + O(h2 ),

(8.2)

ossia le trasformazioni tra indici covarianti e controvarianti di h vengono effettuate mediante la metrica di Minkowski. Inoltre, al primo ordine in h, le componenti controvarianti della metrica (ossia le componenti della matrice inversa) sono date da g μν η μν − hμν , (8.3) cos`ı da soddisfare la condizione g μα gνα = δνμ + hν μ − hμ ν + O(h2 ) = δνμ + O(h2 ).

(8.4)

Calcoliamo ora la connessione. All’ordine zero la metrica è quella di Minkowski (0) e la connessione è ovviamente nulla, Γμν α = 0. AL primo ordine in h, usando le equazioni (8.1) e (8.3), abbiamo: 1 βρ (8.5) η (∂ν hαρ + ∂α hνρ − ∂ρ hνα ) . 2 Poichè questa connessione è proporzionale ai gradienti di h, nel calcolo al primo ordine del corrispondente tensore di curvatura possiamo trascurare i termini di tipo Γ 2 . Otteniamo quindi: (1) β = Γνα

(1) β (0) β (0) β Rμνα = ∂μ Γνα − ∂ν Γμα

1 = η βρ ∂μ ∂α hνρ − ∂μ ∂ρ hνα − ∂ν ∂α hμρ + ∂ν ∂ρ hμα . (8.6) 2 Per scrivere le equazioni di Einstein ci serve in particolare la contrazione di Ricci, che in questa approssimazione diventa

1 (1) (1) μ (8.7) Rνα = Rμνα = ∂μ ∂α hν μ − 2hνα − ∂ν ∂α h + ∂ν ∂ρ hρ α , 2 dove abbiamo posto 2 = η μν ∂μ ∂ν . Sostituendo nell’Eq. (7.29) abbiamo infine

1 1 μ ρ ∂μ ∂α hν − 2hνα − ∂ν ∂α h + ∂ν ∂ρ h α = χ Tνα − ηνα T , (8.8) 2 2

dove, per essere in accordo con l’identit` a di Bianchi contratta, Tνα è il tensore energia impulso delle sorgenti calcolato all’ordine zero in h (ossia, il tensore energia-impulso imperturbato) che soddisfa l’ordinaria legge di conservazione ∂ ν Tμν = 0 (si veda l’Esercizio 8.1). Questo sistema di equazioni differenziali del second’ordine è lineare nella variabile geometrica hμν , ed approssima al primo ordine le equazioni di Einstein per piccole deviazioni dalla metrica di Minkowski.

8.1 Equazioni di Einstein linearizzate

135

8.1.1 Il “gauge” armonico Il membro sinistro delle precedenti equazioni pu` o essere ulteriormente semplificato utilizzando la covarianza della teoria per trasformazioni generali di coordinate, ed imponendo – mediante un’opportuna trasformazione – quattro condizioni “di gauge” sulle componenti della metrica (si veda la discussione della Sez. 7.2). Nel nostro caso, in particolare, è conveniente imporre la seguente condizione: 1 (8.9) ∂ν hμ ν − δμν h = 0, 2 detta “gauge armonico”, o gauge di de Donder (si veda anche l’Esercizio 8.2). Imponendo questa condizione si trova che il primo, terzo e quarto termine del tensore di Ricci (8.7) si cancellano esattamente tra loro, e le equazioni di Einstein linearizzate (8.8) si riducono a 1 α α α (8.10) 2hν = −2χ Tν − δν T . 2 ` opportuno sottolineare che si pu` E o sempre scegliere un sistema di coordinate dove la condizione (8.9) è soddisfattta. Consideriamo infatti una trasformazione infinitesima che ci fa passare dalla carta di partenza xμ alla carta xμ = xμ +ξ μ (x), dove ξ soddisfa alla condizione |∂α ξ μ | 1 affinchè lo sviluppo (8.1) resti valido, e si possa continuare ad usare l’approssimazione lineare. La variazione locale del tensore metrico, sotto questa trasformazione “di gauge”, è stata calcolata nella Sez. 3.3, ed è data in generale dall’Eq. (3.53). Sostituendo in quell’equazione lo sviluppo (8.1), ossia ponendo g = η + h, g = η + h , e trascurando termini di ordine h2 , ξ 2 , e hξ, troviamo: hμν = hμν − ∂μ ξν − ∂ν ξμ . Calcoliamo, in questa nuova carta, il membro sinistro dell’Eq. (8.9): 1 1 ∂ν hμ ν − δμν h = ∂ν hμ ν − δμν h − 2ξμ . 2 2

(8.11)

(8.12)

Effettuando una trasformazione di coordinate con un generatore ξμ che soddisfa la condizione 1 ν ν (8.13) 2ξμ = ∂ν hμ − δμ h 2 otterremo quindi una nuova carta in cui la condizione (8.9) è soddisfatta. Inoltre, se tale condizione è già valida nella carta di partenza, possiamo ancora trasformare le coordinate e preservare la condizione di gauge armonico purchè il generatore della trasformazione soddisfi a 2ξμ = 0. Questa situazione è molto simile, formalmente, a quella del gauge di Lorenz nel contesto della teoria elettromagnetica (ma con importanti differenze fisiche dovute al carattere tensoriale del campo hμν ).

136


8.2 Metrica dello spazio-tempo per un campo debole e statico Cerchiamo soluzioni delle equazioni linearizzate (8.10) assumendo che la geometria, oltre a deviare poco da quella di Minkowski, non dipenda dal tempo (ossia ∂0 hμν = 0), e sia generata da sorgenti statiche (o comunque dotate di velocità trascurabili). Il loro tensore energia-impulso pu` o essere approssimato a di massa a riposo, e Tij 0 T0j . In ponendo T00 ρc2 , dove ρ è la densit` questo limite T T00 , e l’Eq. (8.10) per la componente h00 si riduce a ∇2 h00 = χρc2 ,

(8.14)

dove ∇2 = δ ij ∂i ∂j è l’usuale operatore Laplaciano dello spazio euclideo 3dimensionale. Ricordiamo ora che nel limite Newtoniano di campi gravitazionali deboli, statici, e velocità non relativistiche, la deviazione di g00 dal valore Minkowskiano η00 = 1 è gi` a stata discussa e determinata nella Sez. 5.2. Sfruttando il risultato dell’Eq. (5.16) abbiamo, in particolare, h00 = g00 − η00 =

2φ , c2

(8.15)

dove φ è il potenziale gravitazionale Newtoniano. Questo valore di h00 deve essere ritrovato – nello stesso limite – anche nel contesto delle equazioni di Einstein, se vogliamo che tali equazioni descrivano correttamente l’interazione gravitazionale. In tal caso l’Eq. (8.14) deve prendere la forma 1 ∇2 φ = χρc4 . (8.16) 2 Ma il potenziale Newtoniano deve soddisfare, come ben noto, l’equazione di Poisson (8.17) ∇2 φ = 4πGρ, dove G è la costante di Newton. Ne consegue che le equazioni di Einstein sono consistenti con la teoria gravitazionale di Newton – nel senso che la riproducono fedelmente nel limite di campi deboli, statici e velocit` a non relativistiche – purchè la costante d’accoppiamento tra materia e geometria sia fissata come segue: 8πG χ= 4 . (8.18) c Notiamo che le dimensioni di questa costante sono χ = E −1 L, come anticipato in Sez. 7.1. Con questa identificazione le equazioni di Einstein linearizzate non solo riproducono il valore di g00 del limite Newtoniano, ma forniscono anche ulteriori e nuovi risultati per la parte spaziale della metrica.

8.3 Deflessione dei raggi luminosi

137

Consideriamo infatti l’Eq. (8.10) per le componenti spaziali hij . Per Tij = 0 otteniamo: (8.19) ∇2 hij = χδij ρc2 . Confrontiamo questa equazione con l’Eq. (8.14) e la sua soluzione (8.15). Prendendo la stessa costante d’accoppiamento e le stesse costanti di integrazione le equazioni forniscono hij = δij h00 , ossia hij = δij Perciò:

2φ . c2

2φ gij = ηij + hij = −δij 1 − 2 . c

(8.20)

(8.21)

L’elemento di linea completo che risolve le equazioni di Einstein linearizzate, e rappresenta la geometria associata ad un campo debole e statico, è dunque il seguente: 2φ 2φ 2 (8.22) ds2 = 1 + 2 c2 dt2 − 1 − 2 |dx| , c c dove φ è soluzione dell’Eq. (8.17). ` interessante confrontare questo risultato con l’elemento di linea (5.29), E ottenuto usando esclusivamente la teoria di Newton. La soluzione approssimata delle equazioni di Einstein (8.22) riproduce gli effetti gravitazionali associati alla componente g00 della metrica e prodotti da sorgenti deboli e statiche (gli stessi del limite Newtoniano, gi` a discussi nel Capitolo 5). In pi` u, però, prevede che le stesse sorgenti modifichino anche la geometria dello spazio euclideo tri-dimensionale (che restava invece invariata nel limite Newtoniano). Dunque prevede nuove forme di interazione gravitazionale, ed ulteriori effetti dinamici sul moto dei corpi di prova e sulla propagazione dei segnali. Tali effetti saranno illustrati nelle sezioni seguenti.

8.3 Deflessione dei raggi luminosi Consideriamo un’onda elettromagnetica che si pu` o descrivere, nell’approssimazione dell’ottica geometrica, mediante il quadrivettore d’onda kμ = (k, ω/c), e che si propaga lungo una geodetica nulla della metrica (8.22). La sua traiettoria, come discusso nella Sez. 5.1, è fissata dal trasporto parallelo del vettore kμ , e quindi dalla condizione differenziale dkμ + Γαβ μ dxα k β = 0

(8.23)

(si veda l’Eq. (5.10)). Supponiamo che l’elemento di linea (8.22) descriva un campo gravitazionale di tipo centrale, generato da una sorgente di massa M localizzata nell’origine: abbiamo quindi φ = −GM/r. Supponiamo inoltre che l’onda incida

138


Figura 8.1. Illustrazione schematica del processo di deflessione nel piano (x1 , x2 )

sul campo centrale lungo una direzione che inizialmente è parallela all’asse x1 , con parametro di impatto R (si veda la Fig. 8.1). Consideriamo l’evoluzione geodetica dell’onda nel piano (x1 , x2 ), e calcoliamo l’angolo di deflessione Δθ rispetto alla direzione iniziale, al primo ordine in φ/c2 . Possiamo assumere, in particolare, che il campo gravitazionale considerato sia quello del sole, M 2 × 1033 g, che il parametro di impatto sia di po10 co superiore al raggio solare, R > ∼ 7 × 10 cm, e che la frequenza dell’onda elettromagnetica sia compresa nella banda di spettro visibile. In questo caso abbiamo un raggio luminoso con lunghezza d’onda λ = 2πc/ω molto minore sia del parametro d’impatto che del raggio di curvatura locale dello spaziotempo, per cui l’approssimazione dell’ottica geometrica è valida. Il potenziale gravitazionale soddisfa inoltre la condizione GM/Rc2 1, per cui le deviazioni dalla metrica di Minkowski lungo la traiettoria del raggio sono piccole, e l’approssimazione di campo debole pu` o essere correttamente applicata. In questa situazione fisica è lecito assumere che l’angolo di deflessione sia piccolo, |Δθ| 1, e possa essere approssimato con la sua tangente. Poniamo dunque Δk 2 (8.24) Δθ 1 , k dove Δk 2 è la componente del vettore d’onda lungo l’asse x2 , acquistata in totale dal raggio durante il suo cammino per effetto del campo gravitazionale. Per ottenere Δk2 partiamo dalla variazione indinitesima di k 2 fornita dalla condizione geodetica (8.23), dk2 = −Γαβ 2 dxα k β ,

(8.25)

8.3 Deflessione dei raggi luminosi

139

ed integriamo poi tale variazione su tutta la traiettoria del raggio. Nell’approssimazione di campo debole la connessione è fornita dall’Eq. (8.5), ed è un oggetto del primo ordine in h (cioè in φ/c2 ). Lo spostamento dxα e il vettore k β , nell’Eq. (8.25), vanno dunque espressi all’ordine zero, ossia vanno presi lungo la traiettoria imperturbata del raggio di luce:

cdt = dx1 , dxα = cdt, dx1 , 0, 0 , ω

ω (8.26) kβ = , k1 , 0, 0 , = k1 . c c L’Eq. (8.25) si riduce quindi a

ω 1 dk 2 = − Γ00 2 + 2Γ01 2 + Γ11 2 dx . c

(8.27)

Per la metrica (8.22), in particolare, abbiamo: 1 φ ∂2 h00 = ∂2 2 , 2 c φ 1 = ∂2 h11 = ∂2 2 . 2 c

Γ00 2 = Γ11 2

Γ01 2 = 0, (8.28)

Perciò: dk

2

ω 2ω = −2 3 ∂2 φ dx1 = 3 ∂2 c c =−

GM

dx1

x21 + x22

2ω GM x2 dx1 . c3 (x2 + x2 )3/2 1

(8.29)

2

Possiamo ora integrare su dx1 questa variazione infinitesima, da −∞ a +∞, lungo tutta la traiettoria imperturbata del raggio. Lungo tale traiettoria si ha x2 = R. Sostituendo nell’Eq. (8.24) abbiamo quindi Δθ

c Δk 2 = k1 ω =−

+∞

dk2

−∞

2GM R c2

x2 =R

+∞

−∞

dx1 (x21

3/2

+ R2 )

.

(8.30)

Ponendo x1 = R sinh z l’integrale si pu` o facilmente risolvere, e fornisce: +∞ +∞ +∞ 1 2 dx1 dz 1 = = 2 . (8.31) = tanh z 2 2 2 3/2 R −∞ cosh z R R −∞ −∞ (x2 + R2 ) 1

Otteniamo cos`ı, in prima approssimazione, un angolo di deflessione totale Δθ −

4GM Rc2

(8.32)

140


(detto anche “angolo di Einstein”). Nel caso del sole, e di un raggio di luce proveniente da una stella lontana che arriva ai nostri telescopi dopo aver “sfiorato” il bordo solare – ossia con un parametro di impatto circa uguale al raggio solare – l’angolo di deflessione previsto corrsiponde a 1.75 secondi d’arco. Tale effetto è stato osservato (per la prima volta nel 1919) durante le eclissi di sole, e la predizione teorica (8.32) è stata ripetutamente confermata, con una precisione sperimentale che oggi è circa dell’uno per cento. Una precisione migliore si può ottenere misurando la deflessione di onde con frequenza compresa nella banda radio, anzichè in quella visibile: ad esempio, segnali provenienti da radiosorgenti (di tipo quasar) che sfiorano il bordo del sole. In quel caso non è necessario aspettare un’eclissi, ed usando tecniche di radio-interferometria – in particolare VLBI, ossia Very Long Baseline Interferometry – è possibile verificare le previsioni della relativit` a generale con una precisione di una parte su 10−4 . ` importante sottolineare che la deflessione della luce calcolata in Eq. E (8.32) è alla base del cosiddetto effetto di “lente gravitazionale”. Grazie a tale effetto il campo gravitazionale dei corpi celesti (stelle, galassie) è in grado di distorcere e focalizzare i raggi di luce, esattamente come un mezzo ottico trasparente. Pu` o quindi produrre immagini multiple dello stesso oggetto e, in particolare, trasformare l’immagine di un corpo puntiforme in una serie di archi o di anelli luminosi, detti “anelli di Einstein”. Anche questo tipo di effetto è stato osservato1 , e trovato in accordo con le predizioni della teoria. Lo studio delle lenti gravitazionali costituisce, al giorno d’oggi, un potente metodo di indagine in molti campi dell’astrofisica. Osserviamo infine che l’angolo di deflessione (8.32) non dipende dalla frequenza (ossia dall’energia) dell’onda incidente. Questo risultato è una conseguenza del fatto che il segnale (o l’oggetto di prova) considerato si propaga lungo geodetiche nulle, con relazione di dispersione che ha la forma imperturbata ω(k) = ck (si veda l’Eq. (8.26)). Se consideriamo invece la deflessione di un corpo massivo, che si propaga lungo geodetiche di tipo tempo con energia E(p) = h ¯ ω = (c2 p2 + m2 c4 )1/2 , e ripetiamo i calcoli precedenti, troviamo infatti che l’angolo di deflessione dipende dall’energia (si veda l’Esercizio 8.3, Eq. (8.57)). Se il fotone avesse massa, in particolare, il campo gravitazionale si comporterebbe come un prisma, deviando frequenza diverse con angoli diversi e separando quindi i colori all’interno di un fascio di luminoso. L’assenza di “effetto prisma” nei fenomeni di lente gravitazionale osservati permette dunque di ricavare un limite superiore sulla massa del fotone mγ . Tale limite, però, risulta meno stringente di altri limiti attualmente esistenti su mγ , ottenuti mediante osservazioni di tipo elettromagnetico. 1

Si veda ad esempio R. Lynds e V. Petrosian, Bull. Am. Astr. Soc. 18, 1014 (1986).

8.4 Ritardo dei segnali radar

141

8.4 Ritardo dei segnali radar Un altro interessante effetto gravitazionale, previsto dalla soluzione (8.22) delle equazioni di Einstein linearizzate, riguarda il “rallentamento” dei segnali (e dei corpi di prova in genere) rispetto allo spazio di Minkowski. Per illustrare questo effetto consideriamo un’onda elettromagnetica (in particolare, un segnale radar) che si propaga nel campo di gravit` a solare. Il segnale viene lanciato dalla terra, rimbalza su di un pianeta, e ritorna sulla terra passando a una distanza minima dal sole pari a R (si veda la Fig. 8.2). Durante il tragitto del segnale lo spostamento dei pianeti è trascurabile, per cui possiamo assumere che siano entrambi fermi, a distanze radiali dal sole date rispettivamente da rT e rP . In assenza di gravit` a la traiettoria imperturbata, parallela all’asse x1 , è percorsa con velocit` a c, e il tempo totale di andata e ritorno è ovviamente a imper2(xP + xT )/c (pari cioè alla distanza imperturbata diviso la velocit` turbata). Chiediamoci come cambia questo tempo se teniamo conto del fatto che la geometria dello spazio-tempo non è quella di Minkowski, ma quella descritta dall’elemento di linea (8.22). A tal scopo osserviamo che il segnale considerato si propaga lungo le geodetiche nulle di tale geometria e quindi, al primo ordine in φ, la sua traiettoria è caratterizzata dalla condizione differenziale 1/2 1/2 2φ 2φ cdt = 1 − 2 dx1 , (8.33) 1+ 2 c c

Figura 8.2. Illustrazione schematica del percorso del segnale radar nel piano (x1 , x2 )

142


ossia dt =

dx1 c

1−

2φ c2

=

dx1 c

1+

2GM rc2

.

(8.34)

Il secondo termine della parentesi tonda rappresenta le correzioni gravitazionali, che producono distorsioni geometriche di tipo sia spaziale che temporale. Per calcolare il tempo T di andata e ritorno al primo ordine nel potenziale integriamo l’Eq. (8.34) lungo la traiettoria imperturbata x2 = R. Abbiamo quindi 2GM 2 xP T = 2 dt = dx1 1 + 2 c −xT c2 x1 + R2 =

2 (xT + xP ) + Δt, c

(8.35)

dove Δt rappresenta il termine correttivo rispetto allo spazio di Minkowski: x2P + R2 + xP dx1 4GM xP 4GM Δt = = ln 2 c3 c3 ( xT + R2 − xT x21 + R2 −xT 4GM rP + xP = . (8.36) ln c3 rT − xT Poichè l’argomento del logaritmo è sempre maggiore di uno l’intervallo Δt è positivo, e quindi l’effetto del campo gravitazionale è quello di allungare il tempo di andata e ritorno (per questo si parla di “ritardo” rispetto allo spazio di Minkowski). Risulta evidente dall’Eq. (8.36) che l’effetto è tanto pi` u grande quanto pi` u piccolo è R, per cui il ritardo raggiunge il valore massimo quando R è di poco superiore al raggio solare, ossia quando la terra e il pianeta che funge da bersaglio sono nella configurazione astronomica chiamata “congiunzione”. In prossimità di quella configurazione risulta R xT , xP , e l’argomento del logaritmo si pu` o approssimare come segue:

R2 + xP xP 1 + 2x 2 + ··· 2xP 2xT rP + xP P

. (8.37) 2 rT − xT R2 x 1 + R2 + · · · − x T

2xT

T

In quel caso il tempo di ritardo (8.36) si riduce alla forma 4xP xT 4GM ln Δt , c3 R2

(8.38)

che rappresenta l’espressione standard del cosiddetto “effetto Shapiro”2 . 2

I. I. Shapiro, Phys. Rev. Lett. 13, 789 (1964).

Esercizi Capitolo 8

143

Tale effetto è stato misurato usando come pianeta “bersaglio” sia Marte che Venere. Nel caso di Marte, in particolare, si è anche utilizzato come riflettore dei segnali radar la sonda spaziale Viking, dopo il suo atterraggio sul pianeta Marte avvenuto nel 1976. In quel caso la previsone teorica del tempo di ritardo (8.38) è stata verificata con una precisione dell’uno per mille, nel 1979, grazie a un esperimento condotto da Reasenberg e Shapiro3 .

Esercizi Capitolo 8 8.1. Identit` a di Bianchi nell’approssimazione lineare Mostrare che l’equazione linearizzata (8.8) è consistente con l’identità di Bianchi contratta purchè il tensore energia-impulso soddisfi alla legge di conservazione imperturbata (8.39) ∂ α Tμα = 0. 8.2. Gauge armonico o anche Dimostrare che la condizione di gauge armonico g αβ Γαβ μ = 0 si pu` √ scrivere nella forma ∂ν ( −ggμν ) = 0, utilizzata in Sez. 3.6. Verificare inoltre che nell’approssimazione lineare tale condizione si riduce all’Eq. (8.9). 8.3. Deflessione gravitazionale di una particella massiva Calcolare, nell’approssimazione di campo debole, l’angolo di deflessione subito da una particella di massa m che incide con energia E e parametro di impatto R su di un campo gravitazionale di tipo centrale, descritto dalla metrica (8.22) con potenziale φ = −GM/r. 8.4. Forze centrali linearmente dipendenti dalla velocit` a Si consideri la deflessione di una particella massiva da parte di un ipotetico campo di forze centrali che dipende linearmente dalla velocit` a della particella, Fμ =

dpμ = Gμ ν uν . dτ

(8.40)

e che nel limite di sorgenti statiche si riduce a u0 p0 dpi = Gi 0 u0 = −m ∂i φ = − ∂i φ, dτ c c

(8.41)

dove φ = −GM/r. Mostrare che l’angolo di deflessione Δθ, calcolato al primo ordine in φ, tende a zero quando la velocit` a della particella tende a quella della luce.

3

R. Reasenberg et al., Astrophys. J. 234, L219 (1989).

144


Soluzioni 8.1. Soluzione L’identit` a di Bianchi contratta (si veda l’Eq. (6.30)) richiede, nell’approssimazione lineare, che la divergenza ordinaria del membro sinistro dell’Eq. (8.8) sia uguale alla divergenza del membro destro. La divergenza del membro sinistro fornisce: (1) ∂ α Rνα =

1 ∂ν (−2h + ∂ α ∂ρ hρ α ) . 2

(8.42)

D’altra parte, prendendo la traccia dell’Eq. (8.8), abbiamo: ∂μ ∂ ν hν μ − 2h = −χT.

(8.43)

L’equazione precedente si può quindi riscrivere come: 1 (1) = − χ∂ν T. ∂ α Rνα 2

(8.44)

La divergenza del membro destro fornisce: 1 χ∂ α Tνα − χ∂ν T. 2

(8.45)

Le due equazioni (8.44), (8.45) sono dunque consistenti se e solo se il tensore energia-impulso soddisfa l’ordinaria equazione di conservazione ∂ α Tνα = 0.

(8.46)

8.2. Soluzione Usando la definizione di connessione di Christoffel abbiamo: 1 αβ μν g g (∂α gβν + ∂β gαν − ∂ν gαβ ) 2 1 = g αβ g μν ∂α gβν − g αβ ∂ μ gαβ . 2

g αβ Γαβ μ =

(8.47)

Sfruttiamo il fatto che ∂α (g μν gβν ) = ∂α δβμ = 0, ed usiamo l’Eq. (3.96). Si ottiene: √ 1 g αβ Γαβ μ = g αβ gβν ∂α g μν − √ ∂ μ −g −g √ 1 = −∂ν g μν − √ g μν ∂ν −g −g √

1 −gg μν . = − √ ∂ν −g

(8.48)

Esercizi Capitolo 8

145

La condizione di gauge armonico si pu` o perci` o esprimere, equivalentemente, nei due modi seguenti: √

(8.49) g αβ Γαβ μ = 0, ∂ν −ggμν = 0. Nell’approssimazione lineare possiamo usare lo sviluppo (8.1), (8.3), e la connessione (8.5). La precedente condizione di gauge si riduce (modulo correzione di ordine h2 e superiori) a (1)

g αβ Γαβ μ = η αβ Γαβ μ 1 = η αβ η μν (∂α hβν + ∂β hαν − ∂ν hαβ ) 2 1 = ∂α hαμ − ∂ μ h 2 1 = ∂α hμα − η μα h = 0, 2

(8.50)

che coincide appunto con l’Eq. (8.9) cercata. 8.3. Soluzione Consideriamo la stessa configurazione descritta nella Sez.8.3 per la deflessione di un raggio luminoso, con la differenza che il quadrivettore d’onda kμ viene sostituito dal quadri-impulso pμ = (p, E/c) della particella massiva. L’Eq. (8.25) viene sostituita da dp2 = −Γαβ 2 dxα pβ ,

(8.51)

dove

dxα = cdt, dx1 , 0, 0 , E β , p, 0, 0 , k = c

c 1 E dx = dx1 , v pc 2 2

1/2 E = p c + m2 c4 .

cdt =

(8.52)

Abbiamo chiamato p l’impulso iniziale lungo l’asse x1 , a abbiamo usato la relazione di cinematica relativistica p = Ev/c2 che caratterizza la traiettoria imperturbata di una particella di impulso p, velocità v ed energia E. L’Eq. (8.51) (tenendo conto che Γ01 2 = 0) fornisce allora 2 E 2 2 dx1 − Γ11 2 pdx1 , (8.53) dp = −Γ00 pc2 ed inserendo per la connessione il risultato (8.28) otteniamo: dp2 = −

GM x2 2p2 c2 + m2 c4 dx1 . 4 3/2 pc (x21 + x22 )

(8.54)

146


Procediamo ora come in Sez. 8.3, dividendo per l’impulso incidente ed integrando l’incremento di impulso dp2 lungo tutta la traiettoria imperturbata: 1 2

Δp2 = dp x =R Δθ 2 p p 2 2 dx1 2p c + m2 c4 GM R +∞ =− . (8.55) 3/2 2 pc2 c2 −∞ (x1 + R2 ) Ricordiamo che questa relazione è valida per |Δθ| 1, e quindi l’impulso del corpo di prova non pu` o essere arbitrariamente piccolo (per mantenere valide le approssimazioni usate). Sfruttando il risultato dell’integrale (8.31) otteniamo infine m2 c2 2GM 2 + , (8.56) Δθ(p) = − Rc2 p2 che si può anche scrivere in funzione dell’energia come E2 2GM 1+ 2 . Δθ(E) = − Rc2 E − m2 c4

(8.57)

Per m → 0 ritroviamo l’angolo di Einstein (8.32), indipendente dall’energia. 8.4. Soluzione Procediamo come nell’esercizio precedente, supponendo che la particella incida sul campo di forze con un impulso p inizialmente parallelo all’asse x1 , e con un parametro di impatto R. L’angolo di deflessione, al primo ordine in φ, è dato da 1 2

Δp2 = dp x =R , Δθ (8.58) 2 p p dove

dp2

x2 =R

=

dp2 dτ dτ

= x2 =R

dp2 dτ

x2 =R

m p

dx1 .

(8.59)

Sostituendo nella (8.58), ed usando l’Eq. (8.41), si ottiene l’angolo Δθ = −

2GM mcp0 , Rc2 (p)2

(8.60)

che si può riscrivere in funzione della velocit` a v = p/(mγ) come segue: Δθ = −

2GM c2 2GM c2 =− 2 2 Rc v γ Rc2 v 2

1−

v2 c2

1/2 .

(8.61)

Per v → c si ha Δθ → 0, e quindi la luce non viene deflessa, al primo ordine, dal campo di forze centrali che abbiamo considerato.

Esercizi Capitolo 8

147

` istruttivo confrontare questo risultato con quello dell’esercizio preceE dente. La forza geodetica prevista dalla relativit` a generale è quadratica, e non lineare, nella quadri-velocit` a dei corpi di prova. Ne consegue, in particolare, una differente dipendenza dalla velocit` a: l’angolo di deflessione (8.57), riscritto in funzione della velocit` a v = pc2 /E, assume la forma 2GM c2 v2 Δθ(v) = − 1+ 2 . (8.62) Rc2 v2 c Per v → c la deflessione non si annulla, e si ritrova in quel caso l’angolo di Einstein (8.32).

9 Le onde gravitazionali

Le equazioni di Einstein linearizzate (8.10) rendono conto della dinamica del campo gravitazionale nell’approssimazione in cui le deviazioni dalla geometria di Minkowski sono sufficientemente piccole da essere trattate perturbativamente. Questa approssimazione pu` o essere usata per descrivere con successo il campo statico delle sorgenti astrofisiche, come abbiamo visto nel capitolo precedente. L’approssimazione rimane valida, per` o, anche se le perturbazioni hμν della geometria di Minkowski dipendono dal tempo. In quel caso le equazioni (8.10) descrivono la produzione di fluttuazioni geometriche che si propagano da un punto all’altro dello spazio-tempo con la velocit` a della luce, e che interagiscono con la materia con intensit` a controllata dalla costante di Newton: le onde gravitazionali. In questo capitolo illustreremo le loro principali propriet` a, soffermandoci su alcuni aspetti che stanno alla base delle odierne tecniche di rivelazione. A causa del loro debolissimo accoppiamento ai campi materiali una rivelazione sperimentale diretta di queste onde è tuttora mancante. Grazie alle potenti antenne gravitazionali consentite dalla tecnologia attuale – alcune gi` a operative, altre in fase di progettazione, di collaudo o di sviluppo – è lecito però prevedere che tale rivelazione non si far` a attendere ancora per molto (si vedano ad esempio i testi [12, 13] della Bibliografia finale). Non va dimenticato, per` o, che le onde gravitazionali sono gi` a state rivelate, indirettamente, tramite l’osservazione dei periodi orbitali di alcuni sistemi astrofisici binari. L’emissione di radiazione gravitazionale produce infatti una diminuzione del periodo che è stata sperimentalmente misurata, e che risulta in accordo con le predizioni della relativit` a generale (si veda la Sez. 9.2.1).

150


9.1 Propagazione delle fluttuazioni metriche nel vuoto In assenza di sorgenti, Tμν = 0, le equazioni linearizzate (8.10) forniscono l’equazione d’onda nel vuoto (e nello spazio di Minkowski) per il campo tensoriale simmetrico hμν , 2hμν = 0,

hμν = hνμ ,

(9.1)

soggetto alla condizione di gauge armonico (8.9): ∂ ν hμν =

1 ∂μ h. 2

(9.2)

Questo sistema di equazioni è molto simile, formalmente, alle equazioni delle onde elettromagnetiche nel vuoto, 2Aμ = 0, dove Aμ è il potenziale vettore nel gauge di Lorenz, ∂ μ Aμ = 0. Poichè l’operatore di D’Alembert è lo stesso, in entrambi i casi le soluzioni per le componenti di hμν e Aμ descrivono segnali che si propagano con la velocità della luce. Ci sono per` o importanti differenze dinamiche dovute al fatto che hμν è un tensore, mentre Aμ è un vettore. Come già sottolineato nel Capitolo 2, infatti, le forze trasmesse da questi campi tra due sorgenti identiche sono attrattive per il tensore, repulsive per il vettore. La ragione fondamentale di questa differenza si pu` o far risalire al fatto che il campo tensoriale quantizzato descrive particelle di massa nulla e spin 2 (i gravitoni), a differenza del campo vettoriale quantizzato che descrive particelle di massa nulla e spin 1 (i fotoni). Dal punto di vista classico ciò si riflette sulle propriet` a degli stati di polarizzazione (e in particolare sull’elicit` a) dei due campi, che ora discuteremo in dettaglio per il caso tensoriale. 9.1.1 Stati di polarizzazione ed elicit` a Il campo tensoriale simmetrico hμν ha in generale 10 componenti indipendenti, che si riducono a 6 dopo aver applicato le 4 condizioni del gauge armonico. Mostriamo che possiamo sempre applicare 4 ulteriori condizioni sulle soluzioni del sistema di equazioni (9.1), (9.2), cos`ı da ottenere in totale solo 2 componenti indipendenti. Mostriamo inoltre che queste componenti indipendenti possono essere sempre scelte in modo tale che hμν = 0 solo se gli indici μ, ν corrispondono a direzioni spaziali perpendicolari alla direzione di propagazione dell’onda. Prendiamo infatti una soluzione generale (di tipo ritardato) dell’Eq. (9.1) che si propaga lungo l’asse x1 , ossia una soluzione del tipo: hμν = hμν (x1 − ct).

(9.3)

La condizione di gauge (9.2) impone: ∂ 0 hμ0 + ∂ 1 hμ1 =

1 ∂μ h, 2

(9.4)

9.1 Propagazione delle fluttuazioni metriche nel vuoto

151

ma per una funzione f che dipende da x1 − ct abbiamo, in generale, ∂0 f (x1 − ct) = −∂1 f (x1 − ct) = ∂ 1 f (x1 − ct),

(9.5)

e quindi la condizione di gauge diventa: ∂ 1 (hμ0 + hμ1 ) =

1 ∂μ h. 2

(9.6)

Effettuiamo ora una trasformazione di coordinate infinitesima, xμ → xμ = xμ + ξ μ , generata da un vettore ξμ tale che, nella nuova carta, sia soddisfatta la condizione (9.7) hμ0 = 0. Per la trasformazione di hμν possiamo usare il risultato (8.11), gi` a ottenuto in Sez. 8.1.1. Si trova allora che la trasformazione cercata è definita da hμ0 = hμ0 − ∂μ ξ0 − ∂0 ξμ = 0, 2ξμ = 0,

(9.8)

dove la seconda condizione su ξμ è stata imposta per preservare la validit` a del gauge armonico (si veda l’Eq. (8.13)). Il sistema di equazioni non-omogeneo (9.8) ammette sempre soluzioni diverse dalla ovvia per la variabile ξμ , per cui è sempre possibile effettuare la trasformazione cercata. Nel nuovo sistema di coordinate (omettendo l’apice sulle variabili, per semplicità), si ha hμ0 = 0, e la condizione di gauge (9.6) diventa ∂ 1 hμ1 =

1 ∂μ h. 2

(9.9)

Prendiamo per l’indice μ il valore μ = 0. Poichè h01 = 0 si ottiene ∂0 h = 0, e quindi h = costante. Questo significa che la traccia del campo tensoriale non descrive gradi di libert` a dinamici, e che possiamo sempre imporre sulla nostra soluzione h=0 (9.10) mediante un’opportuna scelta delle costanti di integrazione. Ma se h = 0 allora, dall’Eq. (9.9), si ottiene che anche hμ1 è costante. Possiamo quindi imporre (9.11) hμ1 = 0, modulo una parte non-dinamica da assorbire nelle costanti di integrazione. Combinando le condizioni (9.7), (9.10), (9.11) troviamo che rimangono diverse da zero solo le componenti h22 , h23 , h32 , h33 , con le condizioni h23 = h32 (simmetria) e h22 = −h33 (traccia nulla). Perci` o, nel sistema di coordinate considerato, il campo tensoriale dell’onda gravitazionale ha solo due componenti indipendenti, ed è diverso da zero solo lungo direzioni che giacciono sul piano ortogonale all’asse di propagazione. Questa scelta di coordinate è chiamata “gauge TT” – ossia gauge trasverso a traccia nulla – e corrisponde al

152


caso particolare in cui il gauge armonico (9.2) si spezza nelle due condizioni separate h = 0. (9.12) ∂ ν hμν = 0, In questo gauge è diventato usuale chiamare h+ e h× le componenti del campo tensoriale che si trovano, rispettivamente, sulla diagonale e fuori dalla diagonale. Nel nostro caso, in particolare, abbiamo h+ = h22 = −h33 ,

h× = h23 = h32 ,

(9.13)

e la soluzione dell’equazione d’onda, nel gauge TT, asssume la forma ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 hμν = ⎝ (9.14) ⎠. 0 0 h+ h × 0 0 h× −h+ In generale, qualunque soluzione delle equazioni linearizzate nel vuoto – ossia qualunque onda gravitazionale che si propaga liberamente nello spazio di Minkowski – pu` o essere rappresentat (nel gauge TT) come combinazione lineare (1) delle sue componenti h+ e h× introducendo due tensori di polarizzazione, μν , (2)

μν , tali che (2) hμν = (1) (9.15) μν h+ (x − ct) + μν h× (x − ct). I tensori (1) e (2) sono costanti, a traccia nulla, e diversi da zero solo nel piano trasversale alla propagazione con componenti che stanno, rispettivamente, sulla diagonale e fuori dalla diagonale. Nel caso di moto lungo l’asse x1 , in particolare, abbiamo: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 0⎟

(1)

(2) (9.16) ⎠, ⎠. μν = ⎝ μν = ⎝ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 Questi tensori soddisfano, in generale, alla relazione di “ortonormalit` a” (j)μν = 2δ ij , i, j = 1, 2, (9.17) Tr (i) (j) ≡ (i) μν

e definiscono quindi due stati di polarizzazione linearmente indipendenti. Come nel caso elettromagnetico, anche per le onde gravitazionali possiamo introdurre stati di polarizzazione circolare mediante un’opportuna combinazione (con coefficienti complessi) degli stati di polarizzazione lineare. I tensori di polarizzazione circolare, in particolare, sono definiti come

1 (1)

(±)

μν ± i (2) (9.18) μν = μν , 2 e soddisfano alle condizioni di ortonormalit` a

9.2 Emissione di radiazione nell’approssimazione quadrupolare

153

∗(−)μν Tr (+) ∗(−) = (+) =0 μν

Tr (+) ∗(+) = Tr (−) ∗(−) = 1

(9.19)

(che seguono immediatamente dall’Eq. (9.17)). Le propriet` a di trasformazione di (±) rispetto alle rotazioni lungo l’asse di propagazione sono direttamente collegate alla cosiddetta elicit` a dell’onda, ossia al momento angolare intrinseco trasportato dall’onda e proiettato lungo la direzione di propagazione. Si dice, in particolare, che un’onda ψ che si propaga lungo l’asse x ˆ ha elicità h se, rispetto alla rotazione di un angolo θ attorno all’asse x ˆ, ψ si trasforma come: ψ → ψ = eihθ ψ. (9.20) Nel nostro caso possiamo onsiderare un’onda piana che si propaga lungo l’asse x1 , ed effettuare una trasformazione del tipo (±)

α β

(±) μν = Uμ Uν αβ ,

dove

(9.21)

⎛

⎞ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜0 1 Uμ α = ⎝ (9.22) ⎠ 0 0 cos θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ è la matrice di rotazione attorno a x1 . Utilizzando la rappresentazione esplicita dei tensori di polarizzazione si trova facilmente che ±2iθ (±)

μν

(±) μν = e

(9.23)

(si veda l’Esercizio 9.2). Le onde gravitazionali hanno dunque due stati di polarizzazione circolare con elicità ±2. Riassumendo, possiamo dire che in questa sezione abbiamo ottenuto due importanti risultati: i) le soluzioni dell’equazione di D’Alembert per il campo tensoriale contengono solo due stati di polarizzazione indipendenti; ii) gli stati di polarizzazione circolare hanno elicit` a ±2. Questi risultati ci dicono che le onde gravitazionali, se quantizzate secondo le procedure standard della teoria quantistica dei campi, descrivono particelle che i) hanno massa nulla e momento angolare intrinseco (spin) parallelo o antiparallelo alla direzione del moto; inoltre, ii) il loro spin è pari a 2 (in unit` a ¯h). Queste particelle sono i gravitoni, che rappresentano i quanti del campo gravitazionale cos`ı come i fotoni sono i quanti del campo elettromagnetico.

9.2 Emissione di radiazione nell’approssimazione quadrupolare Discutiamo ora il processo di emissione di radiazione gravitazionale, partendo dalle equazioni linearizzate (8.10) con le sorgenti materiali incluse.

154


Prendendone la traccia, 16πG T, (9.24) c4 e sostituendo T in funzione di h, tali equazioni si possono riscrivere come 2h =

2ψμ ν = −

16πG ν Tμ , c4

(9.25)

dove 1 ψμ ν = hμ ν − δμν h, 2

∂ν ψμ ν = 0,

∂ν Tμ ν = 0.

(9.26)

Si noti che la condizione di gauge armonico (divergenza nulla di ψ) è consistente con l’equazione di conservazione del tensore energia-impulso imperturbato (in accordo all’identit` a di Bianchi contratta, come mostrato nel’Esercizio 8.1). La soluzione dell’Eq. (9.25) si pu` o ottenere con le tecniche standard delle funzioni di Green ritardate, e si pu` o scrivere nella forma generale 4G Tμν (x , t ) ψμν (x, t) = − 4 d3 x , (9.27) c |x − x | dove t = t − |x − x |/c è il cosiddetto tempo ritardato, mentre Tμν è il tensore energia-impulso delle sorgenti valutato nello spazio di Minkowski, all’ordine zero nelle fluttuazioni della geometria. Se prendiamo, in particolare, una sorgente statica e puntiforme con T00 (x ) = M c2 δ 3 (x ), possiamo verificare che l’Eq. (9.27) è in accordo con la precedente soluzione (8.15), (8.20), e fornisce: φ(x) =

GM c2 ψ00 = − . 4 |x|

(9.28)

Per una generica distribuzione di sorgenti la soluzione (9.27) ammette in generale uno sviluppo in multipoli ottenuto espandendo il denominatore |x−x |−1 , in stretta analogia con il caso ben noto dei potenziali ritardati della teoria elettromagnetica. Se simo interessati all’eventuale flusso di radiazione emessa, a grandi distanze dalle sorgenti, troviamo per` o che c’è un’importante differenza dal caso elettromagnetico. All’ordine pi` u basso, infatti, la potenza elettromagnetica irraggiata risulta controllata dalla derivata temporale seconda del momento di dipolo del ¨ 2 ). L’irraggiamento gravitazionale, invece, è sistema di cariche (dE/dt ∝ |d| controllato dalla derivata terza del momento di quadrupolo del sistema di ... masse (dE/dt ∝ | Q |2 ). Questo ! perchè, per un sistema isolato di sorgenti massive, l’impulso totale pT = i mi x˙ i deve conservarsi, e quindi 2 " d ¨∼ d mi xi = pT = 0. d dt2 i dt

(9.29)


155

Un simile argomento vale anche per la radiazione dipolare di tipo magnetico, che è proibita grazie alla conservazione del momento angolare. Non ci pu` o essere radiazione gravitazionale di dipolo e dunque, all’ordine pi` u basso, possono emettere radiazione solo sistemi con momento di quadrupolo non nullo e non costante. Per illustrare questo punto mostriamo innanzitutto che, sufficientemente lontano dalle sorgenti (nella cosiddetta “zona d’onda”), la soluzione (9.27) per ψ è direttamente collegata al momento di quadrupolo delle sorgenti. Campo gravitazionale nella zona d’onda Scriviamo separatamente l’equazione di conservazione ∂ν T μν = 0 per le componenti spaziali μ = i, ∂ k Tik + ∂ 0 Ti0 = 0,

(9.30)

e per la componente temporale μ = 0, ∂ k T0k + ∂ 0 T00 = 0.

(9.31)

Moltiplichiamo l’Eq. (9.30) per xj , e integriamo su tutto il volume di un’ipersuperficie a t = costante: 1 d 3 k 3 (9.32) d x ∂ (xj Tik ) − d x Tij + d3 x Ti0 xj = 0. c dt Usando il teorema di Gauss troviamo che il primo integrale non contribuisce (perchè Tik = 0 all’infinito), e quindi: 1 d d3 x (Ti0 xj + Tj0 xi ) (9.33) d3 x Tij = 2c dt (abbiamo simmetrizzato il membro destro perchè Tij è simmetrico). Moltiplichiamo poi l’Eq. (9.31) per xi xj , integriamo, e utilizziamo il teorema di Gauss. Si ottiene: 1 d d3 x T00 xi xj = 0, − d3 x T0k ∂ k (xi xj ) + (9.34) c dt e quindi, sostituendo nel membro destro dell’Eq. (9.33): 1 d2 3 d3 x T00 xi xj . d x Tij = 2 2 2c dt

(9.35)

Supponiamo ora che le sorgenti siano localizzate in una porzione di spazio situata nell’intorno dell’origine delle coordinate, con un’estensione tipica caratterizzata dalla scala di distanze |x | (e cioè Tμν = 0 per |x| > |x |). Se

156


siamo interessati all’emissione di radiazione con lunghezza d’onda λ |x | possiamo considerare la soluzione (9.27) a grande distanza dalle sorgenti, in un punto P di coordinate x tali che |x| ≡ R λ, e quindi anche |x| |x |. In questo limite (ossia nella zona d’onda) possiamo espandere il denominatore dell’integrale (9.27), e fermandoci all’ordine zero |x − x | |x| = R la soluzione (9.27) diventa: 4G d3 x Tμν (x , t ). (9.36) ψμν (x, t) = − 4 Rc Per le componenti spaziali ψij utilizziamo l’Eq. (9.35), e poniamo T00 = ρc2 . Abbiamo allora: 2G d2 d3 x ρ(x , t )xi xj . (9.37) ψij (x, t) = − 4 2 Rc dt Ci servono solo le componenti spaziali del campo tensoriale perchè, nel regime o essere approssimata da un’onda considerato (R λ |x |), la soluzione pu` piana che – come visto nella Sez. 9.1.1 – ha componenti non nulle solo lungo direzioni spaziali perpendicolari a quella del moto (che è di tipo radiale, vero l’esterno). In questo regime possiamo inoltre adottare il gauge TT, ossia scegliere un sistema di coordinate in cui anche la traccia della fluttuazione gravitazionale h = −ψ è nulla. In questo gauge ψij = hij , e la soluzione (9.37) assume la forma 2G ¨ (9.38) hij = − Qij , 3Rc4 dove il punto indica la derivata rispetto a t, e dove abbiamo introdotto il momento di quadrupolo (a traccia nulla) delle sorgenti,

Qij = d3 x ρ(x , t ) 3xi xj − |x |2 δij (9.39) (valutato ovviamente al tempo ritardato t ). Tensore energia-impulso dell’onda gravitazionale Per calcolare il flusso d’energia gravitazionale trasportato dall’onda verso l’infinito ci serve ora il tensore energia-impulso del campo tensoriale hμν , valutato nel gauge T T . Tale tensore pu` o essere ottenuto dall’azione effettiva, ossia dall’azione che, variata rispetto a hμν , fornisce l’equazione d’onda (9.1) con le condizioni da gauge (9.12). Per ottenere la corretta normalizzazione dimensionale partiamo dall’azione di Einstein (7.2). Usiamo per la metrica l’approssimazione di campo debole (8.1), e sviluppiamo l’azione fino al secondo ordine in h, includendo tutti i termini quadratici nelle fluttuazioni hμν . L’azione al second’ordine contiene, in generale, i seguenti contributi:


S (2) = − +

√

1 2χ

−gg

d4 x

(2) (0) √ −gg να Rνα +

(2) Rνα

√

να (1) (1) + −gg Rνα .

να (0)

157

(9.40)

Il primo termine di questa azione è nullo perchè all’ordine zero la metrica (0) è quella di Minkowski, e quindi Rνα = 0. Vediamo in dettaglio il secondo termine, osservando che √

−ggνα

(0)

= η να ,

(2) (2) μ (1) μ (1) ρ = ∂μ Γνα + Γμρ Γνα − {μ ↔ ν} , Rνα

(9.41)

e consideriamo separatamente i vari contributi. I termini lineari in Γ (2) , (2) μ , η να ∂μ Γνα

(2) μ −η να ∂ν Γμα ,

(9.42)

sono divergenze totali che non contribuiscono all’equazione del moto per hμν . Il primo termine quadratico in Γ (1) si pu` o scrivere esplicitamente come (1) μ (1) ρ (1) μ 1 βρ η (∂ α hαβ + ∂ ν hνβ − ∂β h) ≡ 0, Γνα = Γμρ η να Γμρ 2

(9.43)

ed è identicamente nullo per la condizione di gauge (9.12). Infine, il secondo o scrivere: termine quadratico in Γ (1) si pu` (1) μ (1) ρ Γμα = −η να Γνρ 1 = − η μβ (∂ν hρβ + ∂ρ hνβ − ∂β hρν ) (∂μ hνρ + ∂ ν hμ ρ − ∂ ρ hμ ν ) . (9.44) 4

Trascurando divergenze totali che non contribuiscono alle equazioni del moto esso fornisce il contributo: 1 (9.45) − hμ ν 2hν μ . 4 Resta da valutare il terzo termine dell’azione (9.40). Osserviamo innanzitutto che √

(1) √ (0) να (1) −ggνα = −g (g ) = −hνα , (9.46) √ (1) perchè ( −g) è proporzionale a h, e quindi nullo nel gauge TT. Usando il risultato (8.7) e le condizioni di gauge (9.12) abbiamo dunque: √

−gg να

(1)

(1) Rνα =

1 να h 2hνα . 2

(9.47)

Sommiamo infine i due contributi (9.45), (9.47) e integriamo per parti, trascurando una divergenza totale. L’azione effettiva (9.40) si riduce a:

158


S

(2)

c4 = 32πG

1 d4 x ∂μ hαβ ∂ μ hαβ . 2

(9.48)

Questa azione descrive la dinamica di un’onda gravitazionale che si propaga liberamente nello spazio di Minkowski, e che è soggetta alle condizioni di gauge (9.12). Il corrispondente tensore dinamico energia-impulso (τμν ) si ottiene applicando la definizione della Sez. 7.2, ossia riscrivendo l’azione in arbitrarie coordinate curvilinee, variando rispetto alla metrica effettiva gμν , ed imponendo che le equazioni del moto per hμν siano soddisfatte. Esplicitamente: √ 1 (2) d4 x −g τμν δg μν ≡ δS 2

√ c4 1 d4 x −g ∂μ hαβ ∂ν hαβ δg μν + · · · , = (9.49) 32πG 2 modulo termini che si annullano usando l’equazione d’onda 2hμν = 0 e le condizioni di gauge TT. perci` o: τμν =

c4 ∂μ hαβ ∂ν hαβ . 32πG

(9.50)

` facile verificare che, per un’onda che soddisfa le equazioni (9.1), (9.12), il E tensore τμν ha traccia nulla ed è conservato, ∂ ν τμν = 0.

(9.51)

(si veda l’Esercizio 9.3). Potenza media irradiata L’equazione di conservazione (9.51) ci permette di calcolare la potenza (ossia l’energia per unit` a di tempo) irradiata dalle sorgenti. Integrando l’Eq. (9.51) su di un volume finito V centrato sulle sorgenti, ed usando il teorema di Gauss, abbiamo infatti 1 d 0 i 3 3 d x τμ = − d x ∂i τμ = − τμ i dσi , (9.52) c dt V V S dove dσi è l’elemento di area cacolato sulla superficie bi-dimensionale S che racchiude V . Perci` o, ponendo μ = 0, dE i = −c τ0 dσi = − dI. (9.53) dt S S Il membro sinistro di questa equazione rappresenta la variazione temporale dell’energia associata alla radiazione gravitazionale all’interno del volume V .


159

Al membro destro, cτ0 i rappresenta il flusso di energia gravitazionale lungo la direzione x î , mentre dI = cτ0 i dσi è l’intensit` a di energia irradiata per unit` a di tempo attraverso l’elemento di superficie infinitesima. Per calcolare la potenza totale emessa prendiamo una sfera di raggio R centrata sulle sorgenti, e calcoliamo l’intensit` a d’energia dI irraggiata nell’elemento di angolo solido dΩ lungo una generica direzione radiale individuata dal versore ni (tale che ni nj δ ij = 1): dI = cτ0 i ni R2 dΩ.

(9.54)

Consideriamo ad esempio un’onda che si propaga lungo l’asse x1 . Usando il tensore energia-impulso (9.50), la soluzione (9.13), e il fatto che ∂ 1 hij = ∂0 hij , abbiamo

c3 ˙ 2 h22 + h˙ 223 R2 dΩ, (9.55) dI = 16πG dove il punto indica la derivata rispetto a t = x0 /c. Per una generica direzione ni parametrizzata dagli angoli polari θ e ϕ, ossia da n1 = sin θ cos ϕ,

n2 = sin θ sin ϕ,

n3 = cos θ,

l’intensit` a infinitesima dI assume invece la forma 1 ˙ i j 2 1 ˙ ˙ ij ˙ ˙ k i j c3 hij n n dI = + hij h − hik h j n n R2 dΩ 16πG 4 2

(9.56)

(9.57)

(si veda l’Esercizio 9.4). Ricordando la relazione (9.38) (valida per distanze R che si trovano nella zona d’onda) possiamo sostituire il campo di radiazione hμν con il momento di quadrupolo delle sorgenti, per cui:

2 1 ... ... ij ... ... k 1 ... G i j i j Q Q Q Q Q dΩ. (9.58) n n + − n n dI = j ij ik 36πc5 4 2 ij Si noti che a grandi distanze la potenza irradiata diventa indipendente da R, e dipende solo dal momento di quadrupolo. Dobbiamo ora effettuare l’integrazione angolare in dΩ = sin θdθdϕ sul dominio Ω corrispondente a θ ∈ [0, π] e ϕ ∈ [0, 2π]. Usando per ni la rappresentazione polare (9.56) si ottiene facilmente 4π dΩ = 4π, dΩ ni nj = (9.59) δij , 3 Ω Ω 4π (δij δkl + δik δjl + δil δjk ) dΩ ni nj nk nl = (9.60) 15 Ω (si veda l’Esercizio 9.5). Integriamo, e sfruttiamo le propriet` a di simmetria (Qij = Qji ) e traccia nulla (Qij δ ij = 0) del momento di quadrupolo. Sostituendo nell’Eq. (9.53) troviamo allora la seguente espressione per l’energia totale irraggiata:

160


dE =− dt

1 1 1 + − 30 2 3

G ... ... ij Q Q . 45c5 ij (9.61) Per configurazioni sottoposte a moti di tipo periodico è conveniente effettuare la media temporale (su un periodo T ) della potenza emessa. Definendo 1 T dt (· · ·) (9.62) · · · = T 0 ... ... ij G Q dI = − 4π ij Q 36πc5 Ω

=−

abbiamo

dE G ... ... ij Q Q . (9.63) =− dt 45c5 ij Una immediata applicazione di questo risultato al semplice caso di un oscillatore armonico è presentata nell’Esercizio 9.6. Nella sezione seguente discuteremo invece la sua applicazione al caso di un sistema stellare binario. La perdita di energia sotto forma di radiazione gravitazionale produce in questo sistema una diminuzione del periodo di rotazione che è stata osservata, e che ha confermato sperimentalmente le predizioni della relativit` a generale.

9.2.1 Esempio: sistema stellare binario La potenza emessa da un sistema di masse accelerate sotto forma di radiazione gravitazionale di quadrupolo, espressa dall’Eq. (9.63), è estremamente piccola. Possiamo facilmente rendercene conto considerando, come tipico esempio di sistema macroscopico da laboratorio, un oscillatore lineare di massa m, frequenza ω e ampiezza L. In questa caso l’Eq. (9.63) fornisce

dE 48G 2 4 6 =− m L ω dt 45c5

(9.64)

(si veda l’Esercizio 9.6). Se poniamo m = 1 Kg, L = 1 m e ω = 10 Hz otteniamo una potenza irraggiata di circa 10−40 erg/sec, ossia 10−47 Watt, che risulta ben al di sotto della capacit` a di rivelazione consentita dalla tecnologia ordinaria. Sorgenti di radiazione molto pi` u intensa posso esistere, però, in un ambito astrofisico. Un esempio molto semplice e ben noto, a questo proposito, è fornito dai sistemi stellari binari, formati da due astri molto vicini, orbitanti a grande velocità attorno al loro centro di massa. Il meccanismo di irraggiamento è in principio identico a quello dell’oscillatore di laboratorio, ma l’effetto risultante è ingigantito grazie alle masse (molto pi` u elevate) che entrano in gioco. Consideriamo infatti due corpi celesti (per esempio, due stelle) di massa m1 e m2 , ruotanti nel piano (x1 , x2 ) attorno al loro baricentro, con velocit` a non relativistiche. Supponiamo che questo sistema si possa descrivere, in prima approssimazione, cone un corpo puntiforme di massa ridotta M=

m1 m 2 , m1 + m2

(9.65)


161

ruotante con velocit` a angolare ω su di un’orbita circolare di raggio a, descritta dalle equazioni: x1 = a cos ωt,

x2 = a sin ωt,

x3 = 0.

(9.66)

In questo caso ρ = M δ(x1 − a cos ωt)δ(x2 − a sin ωt)δ(x3 ),

(9.67)

e il momento di quadrupolo (9.39) ha componenti:

Q22 = M a2 3 sin2 ωt − 1 , Q11 = M a2 3 cos2 ωt − 1 , Q33 = −M a2 ,

Q12 = Q21 = 3M a2 cos ωt sin ωt. (9.68)

Il calcolo delle derivate terze fornisce: ...

...

Q11 = 24M a2 ω 3 sin ωt cos ωt = − Q22 , ...

Q12 = −12M a2 ω 3 cos2 ωt − sin2 ωt .

(9.69)

Effettuando la media temporale su un periodo T = 2π/ω, secondo la prescrizione (9.62), abbiamo inoltre: 1 , 8

2 1 cos2 ωt − sin2 ωt = cos2 2ωt = . 2 sin2 ωt cos2 ωt =

(9.70)

Sostituendo nell’Eq. (9.63) troviamo allora che il sistema binario considerato emette radiazione gravitazionale di quadrupolo con una potenza media:

dE 32G = − 5 M 2 a4 ω 6 . dt 5c

(9.71)

Per stimare l’intensit` a di irraggiamento di un sistema binario tipico possiamo prendere come massa stellare quella del sole, M ∼ 1033 g, una distanza di circa 10 raggi solari, a ∼ 1011 cm, e un periodo di qualche ora, ω ∼ 10−4 . La potenza corrispondente è dell’ordine di 1027 erg/sec, ossia 1020 Watt. Se questo sistema è interno alla nostra galassia, possiamo assumere che si trovi a una distanza media dalla terra di circa R ∼ 1020 cm. Il corrispondente flusso d’energia da noi ricevuto è quindi dell’ordine di grandezza tipico 1 dE erg Watt . (9.72) Φ= ∼ 10−14 2 = 10−21 2 4πR dt cm sec cm2 Questo flusso di radiazione è di gran lunga maggiore di quello che potremmo ricevere stando ad un centimetro di distanza dall’oscillatore considerato

162


all’inizio di questa sezione, ma è comunque troppo piccolo per una rivelazione diretta. La radiazione emessa da un sistema binario, per` o, pu` o essere indirettamente osservata tramite gli effetti che essa produce sul periodo orbitale. Per illustrare questo punto dobbiamo collegare l’energia del sistema binario al suo periodo. Usiamo l’approssimazione Newtoniana per descrivere il sistema imperturbato, e prendiamo (per semplicit` a) due stelle di massa uguale, m1 = m2 = m, in rotazione con frequenza ω su un orbita circolare di raggio r attorno al baricentro. Per la radiazione gravitazionale emessa vale l’Eq. (9.71), con M = m/2 e a = 2r. L’energia totale (cinetica pi` u potenziale) di questo sistema, nell’approssimazione Newtoniana, è data da: E = mω 2 r 2 −

Gm2 . 2r

(9.73)

La condizione di equilibrio tra forza gravitazionale e forza centrifuga (in pratica, la terza legge di Keplero) fornisce inoltre la relazione mω2 r =

Gm2 . 4r 2

(9.74)

Ricavando r in funzione di ω, e sostituendo nell’Eq. (9.73), otteniamo la relazione cercata tra energia e frequenza: E(ω) = −

G 4

2/3

m5/3 ω 2/3 .

(9.75)

Differenziando rispetto a ω, e introducendo il periodo T = 2π/ω, abbiamo infine: 2 dω 2 dT dE = =− . (9.76) E 3 ω 3 T La variazione temporale del periodo e dell’energia sono dunque collegate dalla relazione: dT 3 T dE =− . (9.77) dt 2 E dt Per il nostro sistema, d’altra parte, l’energia definita dall’Eq. (9.74) è negativa: eliminando mω 2 con l’Eq. (9.74) abbiamo infatti: E=−

Gm2 < 0. 4r

(9.78)

Ne consegue che la variazione del periodo e dell’energia hanno lo stesso segno. La perdita di energia sotto forma di radiazione gravitazionale produce quindi una diminuzione del periodo, che pu` o essere calcolata sostituendo nell’Eq. (9.77) la potenza irradiata (in approssimazione quadrupolare) fornita dall’Eq. (9.71).

9.3 Interazione tra onde polarizzate e materia

163

Questo effetto è stato sperimentalmente osservato nel sistema binario scoperto da Hulse e Taylor1 (premi Nobel per la Fisica nel 1993), in cui uno dei due componenti è la pulsar PSR B1913+16 (una stella di neutroni, compatta e altamente magnetizzata). Precise misure effettuate nell’arco di diversi anni hanno mostrato che il periodo orbitale i questi astri, che è di circa 7 ore e tre quarti, decresce ad un ritmo dT /dt di circa 76.5 microsecondi all’anno. Il risultato di queste misure si accorda con le previsioni della relativit` a generale – in particolare, con l’emissione di radiazione gravitazionale di quadrupolo – con una precisione dello 0.2 per cento. Non c’è dubbio quindi che le onde gravitazionali esistano, e siano correttamente descritte dalle equazioni di Einstein. Rimane per` o ancora aperta la sfida di una loro rivelazione diretta. Alcuni aspetti fenomenologici delle onde, utili a questo proposito, verrano brevemente introdotti nelle sezioni seguenti.

9.3 Interazione tra onde polarizzate e materia Per rivelare le onde gravitazionali bisogna innanzitutto studiare il moto di un sistema di masse di prova in risposta al passaggio di un’onda. Il funzionamento dei rivelatori gravitazionali si basa infatti sul moto relativo delle masse prodotto dall’onda incidente – allo stesso modo in cui i rivelatori di onde elettromagnetiche sono basati sul moto delle cariche. Dobbiamo quindi partire dall’equazione di deviazione geodetica (si veda la Sez. 6.1), D2 ημ + ην Rναβ μ uα uβ = 0, dτ 2

(9.79)

che fornisce l’accelerazione prodotta localmente dal campo gravitazionale tra di due masse di prova (con separazione spaziale ημ ), e che sta alla base del meccanismo di rivelazione per qualunque tipo di “antenna” gravitazionale. Consideriamo due masse di prova sufficientemente vicine e inizialmente a riposo, con separazione spaziale η μ = Lμ = (0, Li ) = costante. Investite da un’onda gravitazionale descritta dal tensore di Riemann Rμναβ esse tendono a spostarsi dalla posizione d’equilibrio, muovendosi come previsto dall’Eq. (9.79). Assumendo che gli spostamenti siano piccoli, i moti non relativistici e i campi gravitazionali deboli, poniamo ημ = Lμ + ξ μ ,

|ξ| |L|,

(9.80)

approssimiamo la quadrivelocit` a come uμ = (c, 0), e restiamo al primo ordine in ξ e nel campo hμν dell’onda. In questo limite l’equazione di deviazione geodetica si riduce a (1) (9.81) ξï = −Lj Rj00 i c2 , 1

R. H. Hulse e J. H. Taylor, Astrophys. J. Lett. 195, L51 (1975).

164

9 Le onde gravitazionali (1)

dove il punto indica la derivata rispetto a t, e Rμνα β è il tensore di Riemann calcolato al primo ordine in h (si veda l’Eq. (8.6)). Per il campo dell’onda gravitazionale è conveniente usare il gauge TT, nel quale hμ0 = 0 (si veda la Sez. 9.1.1). In questo caso rimane solo il terzo termine dell’Eq. (8.6), che fornisce (1)

Rj00 i =

1 ik ¨ 1 ¨ i δ hjk = 2 h j , 2 2c 2c

(9.82)

e quindi 1 ¨ i (9.83) ξï = − Lj h j . 2 Possiamo prendere, in particolare, un’onda piana monocromatica che si propaga lungo l’asse x3 , con frequenza ω = ck e con componenti non nulle nel piano trasversale (x1 , x2 ): h+ h× cos [k(z − ct) + φ] . (9.84) hij = h× −h+ Abbiamo introdotto una generica fase arbitraria φ, e una matrice 2 × 2 che fornisce le componenti h11 = −h22 e h12 = h21 . Per quest’onda ¨ ij = −k 2 c2 hij = −ω 2 hij , h

(9.85)

e l’equazione del moto (9.84) diventa

ω2 1 ξ¨1 = − L h+ + L2 h× cos (kz − ωt + φ) , 2 2

ω ξ¨2 = − L1 h× − L2 h+ cos (kz − ωt + φ) . (9.86) 2 Per illustrare il moto relativo delle masse di prova supponiamo ora che nel piano (x1 , x2 ) ci sia un gruppo di particelle massive, disposte in modo da formare un cerchio di raggio L/2. Consideriamo un’onda incidente con polarizzazione di tipo h+ , di ampiezza h+ = f (e componente h× = 0). La forza esercitata sul cerchio di particelle varia in modo periodico, passando dall’istante in cui cos (kz − ωt + φ) = 1, e quindi 2

ω ξ¨1 = − Lf, 2

ω2 ξ¨2 = Lf, 2

(9.87)

(forza di attrazione massima lungo x1 e repulsione massima lungo x2 ), all’istante in cui cos (kz − ωt + φ) = −1, e quindi ω2 ξ¨1 = Lf, 2

2

ω ξ¨2 = − Lf, 2

(9.88)

(repulsione massima lungo x1 e attrazione massima lungo x2 ). Al variare periodico di h+ (t) il cerchio di particelle subisce dunque una serie successiva e alternata di compressioni e dilatazioni lungo gli assi ortogonali x1 , x2 , deformandosi come illustrato in Fig. 9.1.

9.3 Interazione tra onde polarizzate e materia

165

Figura 9.1. Risposta al modo di polarizzazione h+ di particelle massive libere, disposte in cerchio nel piano trasversale alla propagazione dell’onda

Supponiamo ora che l’onda incidente abbia una polarizzazione di tipo h× (con componente h+ = 0), e ampiezza identica a quella del caso precedente, h× = f . Le equazioni (9.86) per il modo h× , 2

ω ξ¨1 = − L2 f cos (kz − ωt + φ) , 2 2 ω ξ¨2 = − L1 f cos (kz − ωt + φ) , 2

(9.89)

si riducono esattamente a quelle del modo h+ effettuando una rotazione di π/4 nel piano (x1 , x2 ). Infatti, definendo 1 1 1 1 1 1 1 ξ 1 1 L ξ1 L =√ , =√ , (9.90) 2 2 2 ξ L2 −1 1 −1 1 L ξ 2 2 otteniamo le equazioni ω2 1 ¨ ξ1 = − L f cos (kz − ωt + φ) , 2 ω2 2 ¨ L f cos (kz − ωt + φ) , ξ2 = 2

(9.91)

che riproducono il sistema (9.86) per h× = 0 e h+ = f . L’effetto del modo h× sul cerchio di particelle massive è dunque lo stesso del modo h+ , ma è riferito a due assi ortogonali ruotati di 45 gradi rispetto alla configurazione precedente (si veda la Fig. 9.2). Questi due tipi di distorsione (o di “stress”) prodotti su una distribuzione di masse di prova sono tipiche dei due stati di polarizzazione delle onde di tipo tensoriale. I rivelatori di onde gravitazionali cercano di amplificare e rivelare queste distorsioni prodotte dall’onda sul sistema di masse che agisce da “antenna”, sotttraendo tutti gli effetti di “rumore”, ossia tutte le possibili vibrazioni indipendenti dall’onda (vibrazioni di tipo termico, microsismico, etc . . . ).

166


Figura 9.2. Risposta al modo di polarizzazione h× di particelle massive libere, disposte in cerchio nel piano trasversale alla propagazione dell’onda

9.4 L’oscillatore smorzato come esempio di rivelatore Un semplice esempio di rivelatore di onde gravitazionali è fornito da un normale oscillatore meccanico smorzato, che possiamo interpretare come modello (ideale) di un sistema macroscopico di masse vibranti. Supponiamo di avere due masse M collegate da una molla di lunghezza L a riposo, orientata secondo gli angoli polari θ, ϕ rispetto a un sistema di coordinate cartesiane (si veda la Fig. 9.3). Studiamo la risposta di questo oscillatore a un’onda piana che si propaga lungo la direzione positiva dell’asse x3 , con polarizzazione di tipo h+ , che parametrizziamo come segue: h 0 ei(kz−ωt) (9.92) hij = 0 −h Osserviamo innanzitutto che nel piano (x1 , x2 ) la separazione delle masse è data da L2 = L sin θ sin ϕ. (9.93) L1 = L sin θ cos ϕ, Supponiamo che la lunghezza d’onda della radiazione incidente sia molto maggiore delle dimensioni dell’oscillatore (kL 1), per cui l’Eq (9.83) per le piccole oscillazioni nel piano (x1 , x2 ) diventa: 2

ω ξ¨1 = − hL sin θ cos ϕe−iωt , 2 2 ω hL sin θ sin ϕe−iωt . ξ¨2 = 2

(9.94)

Proiettando questa accelerazione lungo l’asse dell’oscillatore otteniamo l’accelerazione relativa tra le due masse, prodotta dall’onda: ξ¨ ≡ ξ¨1 cos ϕ sin θ + ξ¨2 sin ϕ sin θ ω2 = − hLe−iωt sin2 θ cos 2ϕ. 2

(9.95)

9.4 L’oscillatore smorzato come esempio di rivelatore

167

Figura 9.3. Orientazione dell’oscillatore rispetto agli assi cartesiani. L’onda gravitazionale incidente si propaga lungo l’asse x3

Aggiungiamo infine a questa accelerazione quella elastica di richiamo prodotta ˙ dalla molla, −ω02 ξ, e un eventuale termine di smorzamento proporzionale a ξ, e caratterizzato dal tempo tipico τ0 . Arriviamo cos`ı all’equazione: ξ˙ ω2 ξ¨ + + ω02 ξ = − hLe−iωt sin2 θ cos 2ϕ, τ0 2

(9.96)

che descrive la risposta dell’oscillatore a radiazione di frequenza ω c/L, proveniente dalla direzione individuata dagli angoli θ e ϕ rispetto al suo asse. Il tempo di smorzamento τ0 e la frequenza propria ω0 sono tipici dell’oscillatore considerato, e rappresentano parametri intrinseci del rivelatore determinati dalla sua struttura geometrica e composizione interna. L’Eq. (9.96) è fondamentale per descrivere il funzionamento delle cosiddette “antenne risonanti”. Consideriamo ad esempio il caso ideale in cui l’oscillatore è perpendicolare alla direzione dell’onda incidente, ossia poniamo θ = π/2 e ϕ = 0 (oppure ϕ = π/2). Risolvendo l’Eq. (9.96) troviamo, nel regime stazionario, la seguente soluzione particolare: ξ(t) =

ω 2 hLe−iωt . 2 ω 2 − ω02 + iω τ

(9.97)

0

La risposta raggiunge il massimo quando la frequenza dell’onda incidente coincide con la frequenza propria delle masse oscillanti, ω ω0 . In questo regime, detto di risonanza, la soluzione diventa i ξ(t) = − ω0 τ0 hLe−iωt . 2

(9.98)

168


Per definire l’efficienza di un rivelatore in questo regime è opportuno calcolare la sua sezione d’urto σ, definita come la potenza dissipata al suo interno rispetto al flusso di radiazione incidente. Per il nostro oscillatore la potenza ˙ 2 è l’energia cinetica associata dissipata è data da Pd = Ev /τ0 , dove Ev = M |ξ| alla vibrazione delle due masse, eccitate dall’onda. Il flusso d’energia dell’onda polarizzata (9.92), incidente lungo x3 , si ottiene dal tensore energia-impulso (9.50), che fornisce: c3 ˙ 2 ω 2 c3 |h|2 . (9.99) cτ0 3 = h11 = 16πG 16πG La sezione d’urto è dunque data da: 2 16πGM ξ˙ Pd σ= = 2 . cτ0 3 τ0 ω 2 c3 |h|

(9.100)

Alla risonanza, in particolare, possiamo usare per ξ l’Eq. (9.98), e otteniamo: σ=

4πGM Q2 L2 4πGM 2 2 ω0 L τ0 = , 3 c c3 τ0

(9.101)

dove Q = ω0 τ0 è il cosiddetto “fattore di merito” del rivelatore. Si noti che, alla risonanza, |ξ| = QLh/2. L’efficienza del rivelatore aumenta dunque all’aumentare del fattore di merito, e all’aumentare delle dimensioni del sistema oscillante. Le antenne risonanti attualmente in funzione sono tipicamente caratterizzate da dimensioni dell’ordine del metro, L ∼ 102 cm, fattori di merito Q ∼ 105 , e – mediante sofisticati sistemi di amplificazione elettronica – possono registrare oscillazioni di ampiezza |ξ| ∼ 10−15 cm. Sono quindi sensibili a onde gravitazionali di ampiezza |h| ∼ 10−22 cm (alla frequenza di risonanza). Ciononostante, l’intensit` a della radiazione gravitazionale è cos`ı debole, e le sorgenti astrofisiche cos`ı lontane, da non aver ancora generato segnali osservabili nelle antenne attualmente in funzione. 9.4.1 I rivelatori attualmente operanti ` opportuno concludere il capitolo con un sintetico elenco delle antenne E gravitazionali che sono attualmente in fase operativa (o di progettazione). Ci sono due tipi di rivelatori che l’attuale tecnologia ci permette di costruire e impiegare efficacemente: le barre risonanti e gli interferometri. Le barre risonanti sono grossi cilindri di metallo (ad esempio alluminio) che vengono posti in vibrazione dal passaggio di un’onda gravitazionale, comportandosi (in linea di principio) come l’oscillatore elementare discusso in precedenza. La loro frequenza di risonanza tipica è ω0 ∼ 1 kHz. Per eliminare il rumore termico queste barre vengono raffreddate fino a temperature inferiori a 1 grado Kelvin.

9.4 L’oscillatore smorzato come esempio di rivelatore

169

Tra le barre pi` u potenti e sensibili ricordiamo NAUTILUS (al Laboratorio INFN di Frascati), AURIGA (al Laboratorio INFN di Legnaro), EXPLORER (al CERN, Ginevra), ALLEGRO (in Luisiana, USA), NIOBE (in Australia). Va detto che le barre attuali, di tipo cilindrico, si stanno evolvendo verso un nuovo tipo di rivelatore risonante di forma poliedrica, o addirittura sferica, che internamente pu` o essere pieno oppure cavo. Tra questi nuovi tipi di (futuri) rivelatori possiamo menzionare il progetto TIGA (in Luisiana, USA), il progetto GRAIL (a Leiden, Germania), e tra i rivelatori cavi ricordiamo il progetto DUAL (INFN, Italia). Questo nuovi rivelatori dovrebbero migliorare, in vari modi, le prestazioni delle attuali barre perchè – al contrario della barre – possono individuare la direzione dell’onda incidente, sono sensibili anche a radiazione di tipo scalare, e permettono buona sensibilit` a anche a frequenze pi` u alte del kiloHertz. La seconda categoria di rivelatori gravitazionali è costituita da grossi interferometri a fasci laser, con bracci che arrivano a lunghezze di qualche kilometro. Gli specchi posti alle estremit` a dei bracci entrano in vibrazione al passaggio dell’onda, e producono uno spostamento delle frange di interferenza, con una sensibilit` a massima intorno alla frequenza di 100 Hz. Il percorso del fasci laser avviene all’interno di tubi a vuoto, ma non è necessario il raffreddamendo, che invece è richiesto dalle barre. Tra gli interferometri pi` u sensibili ricordiamo LIGO, che ha bracci lunghi 4 km e che è stato costruito in due versioni gemelle (nello stato di Washington e in Luisiana, USA); VIRGO, con i bracci lunghi 3 km (a Cascina, presso Pisa); GEO, con i bracci di 600 m (ad Hannover, Germania); TAMA, con i bracci di 300 m (in Giappone). Tutte le antenne gravitazionali elencate finora sono progettate per funzionare all’interno di un laboratorio terrestre, e quindi sono inevitabilmente soggette a rumori ambientali di tipo geofisico (sismico e microsismico). Questo limita necessariamente la sensibilità delle antenne nella banda di bassa < 1 Hz, per le frequenza: di fatto, esclude dalla banda sensibile frequenze ω ∼ quali le vibrazioni microsismiche superano di gran lunga quelle eventualmente prodotte dalla radiazione gravitazionale. Per superare questa limitazione di banda è in fase di studio e di progetto una serie di interferometri “spaziali”: navicelle (senza equipaggio umano) che, poste in orbita attorno al sole, lanciano e ricevono a turno tra di loro fasci di raggi laser, funzionando cos`ı come un interferometro dai bracci enormi. Essendo nello spazio non sono sono soggetti al rumore sismico, e possono dunque rivelare vibrazioni gravitazionali di frequenze pi` u bassa di quelle consentite ai rivelatori terresti. Ricordiamo, in particolare, il progetto LISA (in collaborazione tra le agenzie spaziali ESA e NASA), che prevede tre navicelle distanti tra loro 5 milioni di km, e che raggiunge la sensibilit` a massima intorno a ω = 10−3 Hz; il progetto BBO (della NASA), formato da 4 navicelle, con sensibilit` a massima intorno

170


a ω = 10−1 Hz; e il progetto DECIGO, simile a BBO, ma proposto da una collaborazione Giapponese. Le sensibilità raggiungibili da tutti questi rivelatori, siano essi risonanti o interferometrici, terrestri o spaziali, dovrebbero permetterci, in un futuro non molto lontano, di rivelare le onde gravitazionali emesse dalle pi` u potenti sorgenti astrofisiche posizionate all’interno della nostra galassia. E non solo: questi rivelatori dovrebbero anche poter distinguere – se esiste – un fondo cosmico di radiazione gravitazionale fossile, prodotto in modo isotropo durante le fasi primordiali del nostro Universo, e distribuito su una larghissima banda di frequenze (che si estende, in principio, da 10−18 Hz fino al GHz). Per una discussione dettagliata di questo punto il lettore interessato pu` o far riferimento ai testi [12, 26] della Bibliografia finale.

Esercizi Capitolo 9 9.1. Stati di polarizzazione gravitazionale in D dimensioni Trovare il numero di stati di polarizzazione indipendenti per una fluttuazione gravitazionale hAB in uno spazio-tempo D-dimensionale. 9.2. Elicit` a delle onde gravitazionali Ricavare l’Eq. (9.23) per un’onda piana che si propaga lungo l’asse x1 . 9.3. Energia-impulso delle onde gravitazionali Si consideri un’onda gravitazionale che si propaga lungo l’asse x1 nel gauge TT e nello spazio di Minkowski. Si verifichi che il tensore energia-impulso (9.50) associato a quest’onda soddisfa alle propriet` a di conservazione e traccia nulla: τν ν = 0,

∂ ν τμν = 0.

(9.102)

9.4. Potenza irraggiata lungo una direzione arbitraria Ricavare l’Eq. (9.57), che fornisce l’intensit` a di irraggiamento gravitazionale lungo una direzione arbitraria, partendo dall’Eq. (9.55) che fornisce l’irraggiamento lungo la direzione x1 . 9.5. Medie angolari di flusso Calcolare gli integrali (9.59), (9.60) per il versore ni definito in coordinate polari dall’Eq. (9.56). 9.6. Radiazione di quadrupolo emessa da un oscillatore armonico Si applichi l’Eq. (9.63) per determinare la potenza media di irraggiamento gravitazionale da parte di una particella puntiforme di massa m che oscilla in modo armonico lungo l’asse x3 , con frequenza ω ed ampiezza L.

Esercizi Capitolo 9

171

Soluzioni 9.1. Soluzione Ripetiamo gli stessi argomenti della Sez. 9.1.1, con la differenza che gli indici tensoriali A, B variano da 0 a D −1. In questo caso, un tensore simmetrico di rango due come hAB ha in totale 1 D2 − D + D = D(D + 1) 2 2

(9.103)

componenti indipendenti (abbiamo preso gli elementi fuori dalla diagonale, diviso per due, ed aggiunto gli elementi diagonali). Su queste componenti possiamo imporre D condizioni di gauge (usando, ad esempio, il gauge armonico), ed altre D condizioni mediante una trasformazione di coordinate che preserva il gauge scelto. Resta, in totale, un numero n=

1 1 D(D + 1) − 2D = D(D − 3) 2 2

(9.104)

di gradi di libert` a (e quindi stati di polarizzazione) indipendenti. In D = 4 si ha n = 2, come trovato in Sez. 9.1.1. In uno spazio-tempo a 5 dimensioni, invece, un’onda gravitazionale ha n = 5 stati di polarizzazione indipendenti. 9.2. Soluzione Usando la notazione a blocchi per le matrici 2 × 2, e le definizioni esplicite (9.18), (9.22), possiamo porre 0 0 1 0 ν (±)

μν = , Uμ = , (9.105) 0 ± 0 R dove 1

= 2 ±

1 ±i ±i −1

1 = (σ3 ± iσ1 ) , 2

R=

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

,

(9.106)

e le matrici σ sono le matrici di Pauli nella rappresentazione in cui σ3 è diagonale. Si trova dunque 0 0 (9.107) =

(±) μν 0 ± dove

± = R ± RT ,

(9.108)

e un semplice calcolo matriciale fornisce

± = e±2iθ ± .

(9.109)

172


9.3. Soluzione Usando la definizione (9.50) possiamo scrivere esplicitamente le condizioni (9.102) come segue: (9.110) ∂ ν hαβ ∂ν hαβ = 0,

ν αβ ∂ ∂μ h ∂ν hαβ = 0. (9.111) Poichè 2hαβ = 0, esse sono entrambe soddisfatte se vale la condizione di traccia nulla (9.110). Per un’onda che si propaga lungo l’asse x1 si ha hαβ = hαβ (x1 − ct), e la traccia si riduce a ∂ ν hαβ ∂ν hαβ = ∂ 0 hαβ ∂0 hαβ + ∂ 1 hαβ ∂1 hαβ = = 2∂ 0 h22 ∂0 h22 + 2∂ 0 h23 ∂0 h23 + 2∂ 1 h22 ∂1 h22 + 2∂ 1 h23 ∂1 h23 (9.112) (abbiamo usato l’Eq. (9.13)). Per ognuna delle componenti hij , d’altra parte, ∂ 0 hij = ∂0 hij = −∂1 hij = ∂ 1 hij .

(9.113)

L’Eq. (9.112) si annulla perci` o identicamente.

9.4. Soluzione L’intensit` a d’energia irraggiata lungo una direzione arbitraria, individuata dal versore n, deve essere un’espressione scalare nello spazio euclideo 3dimensionale che dipende da h˙ ij e ni , che è quadratica in h˙ ij , e che si riduce all’Eq. (9.55) nel caso di un’onda che si propaga lungo x1 . Consideriamo ˙ dunque la pi` u generica forma scalare quadratica in h,

2 A(n) = α1 h˙ ij ni nj + α2 h˙ ij h˙ ij + α3 h˙ ik h˙ k j ni nj ,

(9.114)

e determiniamo i coefficienti arbitrari α1 , α2 , α3 imponendo che per n = n1 = (1, 0, 0) essa si riduca a:

2 1 ˙ A(n1 ) = h˙ 222 + h˙ 223 ≡ h22 − h˙ 33 + h˙ 223 . 4

(9.115)

Abbiamo usato la condizione h22 = −h33 , valida per un’onda che si propaga lungo x1 , per esprimere A(n1 ) in funzione di tutte le componenti di h trassverse al moto. Dall’Eq. (9.114) abbiamo:

A(n1 ) = α1 h˙ 211 + α2 h˙ 211 + h˙ 222 + h˙ 233 + 2h˙ 212 + 2h˙ 213 + 2h˙ 223

+α3 h˙ 211 + h˙ 212 + h˙ 213 . (9.116)

Esercizi Capitolo 9

Eliminando h˙ 11 con la generica condizione di traccia nulla,

h˙ 11 = − h˙ 22 + h˙ 33 ,

173

(9.117)

ed imponendo l’uguaglianza con l’Eq. (9.115), arriviamo al seguente sistema di equazioni: α1 + 2α2 + α3 =

1 , 4

1 2α1 + 2α2 + 2α3 = − , 2 2α2 + α3 = 0.

2α2 = 1,

(9.118)

La prima condizione viene dall’uguaglianza dei coefficienti di h˙ 222 e h˙ 233 , la seconda dall’uguaglianza dei coefficienti di h˙ 22 h˙ 33 , la terza dall’uguaglianza dei coefficienti di h˙ 223 , la quarta dall’uguaglianza dei coefficienti di h˙ 212 e h˙ 213 . La soluzione è: α1 =

1 , 4

α2 =

1 , 2

α3 = −1.

(9.119)

Sostituendo questi valori nell’Eq. (9.114) arriviamo dunque alla forma quadratica (9.57) cercata. 9.5. Soluzione Notiamo innanzitutto che dΩ =

2π

0

Ω

π

dϕ

sin θdθ = 4π.

(9.120)

0

Dalla definizione (9.56) abbiamo: Ω

dΩ n21 =

2π 0

=

0

Analogamente,

2π

dϕ cos2 ϕ

π

sin θdθ sin2 θ

0

1 dϕ (1 + cos 2ϕ) 2

Ω

dΩ n22 =

Ω

1

4π . d(cos θ) 1 − cos2 θ = 3 −1 (9.121)

dΩ n23 =

4π , 3

(9.122)

mentre il risultato è nullo se integriamo n1 n2 , n1 n3 , e n2 n3 . Perciò: 4π δij , dΩ ni nj = (9.123) 3 Ω in accordo all’Eq. (9.59). Per quanto riguarda gli integrali del tipo

174


dΩ ni nj nk nl ,

(9.124)

Ω

usando la definizione (9.56) si trova un risultato nullo se 3 o pi` u indici sono differenti. In caso contrario abbiamo 4π , (9.125) dΩ n21 n22 = dΩ n21 n23 = dΩ n22 n23 = 15 Ω Ω Ω

e

Ω

dΩ n41 =

Ω

dΩ n42 =

Ω

dΩ n43 =

4π . 5

(9.126)

Possiamo dunque esprimere il risultato in forma compatta come segue, 4π (δij δkl + δik δjl + δil δjk ) , dΩ ni nj nk nl = (9.127) 15 Ω in accordo all’Eq. (9.60). 9.6. Soluzione La traiettoria dell’oscillatore considerato è descritta dalle equazioni x1 = 0,

x2 = 0,

x3 (t) = L cos ωt,

e il momento di quadrupolo è dato da

qij = d3 x ρ 3xi xj − r 3 δij ,

(9.128)

(9.129)

dove (per una massa puntiforme): ρ = mδ(x1 )δ(x2 )δ(x3 − L cos ωt),

r2 = L2 cos2 ωt.

(9.130)

Q33 = 2mL2 cos2 ωt.

(9.131)

Integrando abbiamo quindi: Q11 = Q22 = −mL2 cos2 ωt,

Si noti che Q è diagonale, e che soddisfa la condizione di traccia nulla δ ij Qij = 0. Calcolando le derivate temporali troviamo ...

...

Q11 =Q22 = −8mL2 ω 3 cos ωt sin ωt,

(9.132)

...

Q33 = 16mL2 ω 3 cos ωt sin ωt,

(9.133)

e quindi: ...

... ij

... 2

... 2

... 2

Qij Q =Q11 + Q22 + Q33 = 384 m2 L4 ω 6 cos2 ωt sin2 ωt.

(9.134)

Esercizi Capitolo 9

175

Mediando su un periodo T = 2π/ω: 1 T

0

T

dt cos2 ωt sin2 ωt =

1 . 8

(9.135)

Applicando l’Eq. (9.63) abbiamo infine la potenza media emessa dall’oscillatore in radiazione gravitazionale:

dE 48G 2 4 6 G ... ... ij Q Q = − m L ω . =− dt 45c5 ij 45c5

(9.136)

10 La soluzione di Schwarzschild

Finora abbiamo usato solo le equazioni di Einstein linearizzate, e ottenuto soluzioni che descrivono l’interazione gravitazionale nell’approssimazione di campo debole. In questo capitolo applicheremo per la prima volta le equazioni di Einstein esatte, senza approssimazioni, e le risolveremo nel caso particolare di un campo gravitazionale sfericamente simmetrico. La soluzione trovata – la cosiddetta soluzione di Schwarzschild – verrà usata per illustrare quella che è una delle conseguenze fenomenologiche pi` u famose della teoria della relativit` a generale: la precessione del perielio delle orbite planetarie. Tale effetto, sperimentalmente noto fin dall’ottocento per i pianeti del nostro sistema solare, è servito ad effettuare una delle verifiche osservative pi` u convincenti della teoria di Einstein. Va subito detto, per` o, che soluzione di Schwarzschild è importante non solo per le sue applicazioni fenomenologiche, ma anche per i suoi aspetti formali. Essa fornisce infatti un semplice e fondamentale esempio di come il campo gravitazionale possa modificare la struttura causale dello spazio-tempo, introducendo un “orizzonte degli eventi” che limita, classicamente, la possibilità di informazione da certe regioni spazio-temporali (il ben noto effetto di “buco nero”). Estrapolata fino al limite r → 0 rappresenta inoltre un semplice modello di singolarit` a geometrica, ossia di varietà “geodeticamente incompleta”.

10.1 Equazioni di Einstein a simmetria sferica nel vuoto Cerchiamo una soluzione delle equazioni di Einstein (7.29) che descriva la geometria associata ad un campo gravitazionale sfericamente simmetrico, prodotto da una sorgente centrale. Siamo interessati, in particolare, al campo nel vuoto (ossia, esternamente alla sorgente): in questo caso Tμν = 0, e le equazioni si riducono semplicemente a Rμν = 0. Dobbiamo dunque calcolare il tensore di Ricci partendo da una metrica gμν che descriva uno spazio 3-dimensionale a simmetria sferica. Questo si-

178


gnifica, pi` u precisamente, che la parte spaziale gij della metrica deve essere invariante per rotazioni, ossia deve ammettere il gruppo SO(3) come gruppo di isometrie. Possiamo anche dire, utilizzando la terminologia della Sez. 6.3, che lo spazio 3-dimensionale – ossia, una sezione dello spazio-tempo a t = costante – deve contenere un sottospazio a n = 2 dimensioni massimamente simmetrico, dotato cioè di n(n + 1)/2 = 3 vettori di Killing (che in questo caso corrispondono ai 3 generatori delle rotazioni spaziali). o Utilizzando coordinate polari, xμ = (ct, r, θ, ϕ), questa condizione si pu` facilmente soddisfare imponendo che le sezioni dello spazio-tempo a t e r fissato siano superfici sferiche bi-dimensionali di raggio costante. Il pi` u generale elemento di linea che soddisfa a questo requisito è il seguente,

ds2 = A1 (r, t)c2 dt2 − A2 (r, t)dr 2 − A3 (r, t)drdt − A4 (r, t) dθ 2 + sin2 θdϕ2 , (10.1) dove Ai , i = 1, . . . , 4, sono arbitrarie funzioni di r e t. Per r e t fissati abbiamo infatti dr = dt = 0, e ritroviamo la metrica di una sfera a due dimensioni di raggio a2 = A4 = costante (si veda l’Eq. (2.24)). Prima di calcolare il tensore di Ricci è conveniente notare che questa generica metrica può essere ulteriormente semplificata, imponendo opportune condizioni di gauge che non rompono la simmetria sferica. Possiamo introdurre, in particolare, due nuove coordinate t˜ e r˜ mediante la trasformazione t = f1 (t˜, r˜),

r = f2 (t˜, r˜)

(10.2)

(che non coinvolge le variabili angolari), e scegliere le funzioni f1 , f2 in modo tale che, nella nuova carta, risultino soddisfatte le condizioni A˜3 = 0 e A˜4 = r˜2 . In questa nuova carta, omettendo (per semplicità) la tilde, e adottando la notazione ormai divenuta standard, g00 = A1 = eν(r,t) ,

g11 = −A2 = −eλ(r,t) ,

abbiamo dunque l’elemento di linea seguente:

ds2 = eν c2 dt2 − eλ dr2 − r 2 dθ2 + sin2 θdϕ2 .

(10.3)

(10.4)

Le funzioni ν e λ dipendono solo da r e t, e verranno ora determinate imponendo che questa metrica soddisfi le equazioni di Einstein nel vuoto. A questo scopo osserviamo innanzitutto che la matrice gμν è diagonale,

gμν = diag eν , −eλ , −r2 , −r2 sin2 θ , (10.5) e che le componenti (controvarianti) della metrica inversa si ottengono semplicemente invertendo gli elementi diagonali,

g μν = diag e−ν , −e−λ , −r −2 , −r−2 sin−2 θ . (10.6) Ricordiamo che x0 = ct, x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ, e applichiamo la definizione (3.90) per la connessione di Christoffel. Indicando con il punto la derivata

10.2 Teorema di Birkhoff e soluzione di Schwarzschild

179

rispetto a t, e con il primo quella rispetto a r, troviamo che le componenti non nulle sono le seguenti: ν˙ , 2c λ˙ = , 2c 1 = , r cos θ , = sin θ

Γ00 0 = Γ01 1 Γ12 2 Γ23 3

ν ν−λ e , 2 λ˙ Γ11 0 = eλ−ν , 2c 1 3 Γ13 = , r

Γ11 1

Γ33 1 = −r sin2 θe−λ ,

Γ33 2 = − sin θ cos θ.

Γ00 1 =

ν , 2 λ = , 2

Γ01 0 =

Γ22 1 = −re−λ ,

(10.7) Siamo ora in grado di calcolare le componenti del tensore di Ricci, e imporre ` conveniente calcolare le componenti miste, le equazioni di Einstein Rμν = 0. E μ μα Rν = g Rνα . Usando la definizione (6.21), e eguagliando a zero tutte le componenti non nulle, abbiamo: 2 −ν ¨ ˙2 ˙ ν˙ ν λ ν ν λ λ e λ λ + − − − 2 + − = 0, R1 1 = e−λ 2 4 4 r c 2 4 4

R2 2 = R 3 3

R0 0 = e−λ

(10.8)

1 −λ rν rλ = 2 e 1+ − − 1 = 0, r 2 2

ν ν 2 λ ν ν + − + 2 4 4 r

−

e−ν c2

¨ λ λ˙ 2 λ˙ ν˙ + − 2 4 4

(10.9) = 0, (10.10)

R1 0 =

−ν

e ˙ λ = 0, cr

R0 1 = −

−λ

e ˙ λ = 0. cr (10.11)

Nella prossima sezione vedremo che questo sistema di equazioni ammette una semplice soluzione esatta per ν e λ.

10.2 Teorema di Birkhoff e soluzione di Schwarzschild Cominciamo dalle due equazioni (10.11), che implicano λ˙ = 0, ossia λ = λ(r). Con questa condizione tutti i termini contenenti derivate temporali si annullano anche nelle equazioni precedenti. Rimangono tre equazioni per le due incognite λ e ν, ma solo due di queste equazioni, come vedremo, sono indipendenti.

180


Sottraendo l’Eq. (10.8) dall’Eq. (10.10), ed eguagliando a zero, otteniamo la condizione: (10.12) ν + λ = 0, che integrata fornisce ν + λ = f (t),

(10.13)

dove f è un’arbitraria funzione che dipende solo dalla coordinata temporale. Poichè λ = λ(r), ne consegue che la dipendenza da r e t nella parte temporale dell’elemento di linea (10.4) si pu` o fattorizzare come segue: g00 c2 dt2 = eν c2 dt2 = e−λ(r) ef (t) c2 dt2 .

(10.14)

Effettuando la trasformazione di coordinate (che preserva la simmetria sferica) t → t˜, definita dalla condizione differenziale ef (t)/2 dt = dt˜,

(10.15)

è dunque sempre possibile eliminare qualunque dipendenza dal tempo di g00 (ossia di ν), assorbendola nel nuovo parametro temporale t˜. Perciò la soluzione cercata dipende solo dalla coordinata radiale, e soddisfa la condizione: ν(r) = −λ(r).

(10.16)

` opportuno, a questo punto, introdurre la definizione di metrica statica: una E metrica è detta statica se esiste un sistema di riferimento nel quale gi0 = 0, e tutte le componenti non nulle della metrica sono indipendenti dal tempo, ∂0 gμν = 0. Siamo allora in grado di riassumere il risultato precedente dicendo che una metrica a simmetria sferica, che soddisfa le equazioni di Einstein nel vuoto, deve essere necessariamente statica. Questa affermazione costituisce l’enunciato del noto teorema di Bikhoff. Va sottolineato, per chiarezza, che una metrica statica ammette ovviamente un vettore di Killing di tipo tempo, ξμ ξ μ > 0 (che, come discusso in Sez. 3.3, garantisce l’esistenza di una carta in cui ∂0 gμν = 0). Questa condizione caratterizza le metriche di tipo stazionario, ma non garantisce la validit` a della seconda condizione gi0 = 0. Questa seconda condizione è soddisfatta, e la metrica è statica, oltre che stazionaria, se e solo se il vettore di Killing soddisfa la condizione ξ[μ ∇ν ξα] = 0 (si veda l’Esercizio 10.1). Usando il risultato (10.16), possiamo ora facilmente integrare l’Eq. (10.9) che si riduce a (10.17) eν (1 + rν ) ≡ (eν r) = 1. Integrando e dividendo per r otteniamo eν = 1 −

2m = e−λ , r

(10.18)

dove abbiamo chiamato −2m la costante di integrazione, che ha ovviamente dimensioni di una lunghezza (vedremo tra poco perchè abbiamo scelto il

10.2 Teorema di Birkhoff e soluzione di Schwarzschild

181

segno meno). Arriviamo cos`ı alla soluzione di Schwarzschild, rappresentata dall’elemento di linea

2m 2 2 dr2 2 c dt − ds = 1 − (10.19) − r2 dθ2 + sin2 θdϕ2 , 2m r 1− r che descrive la geometria dello spazio-tempo vuoto, incurvato dal campo gravitazionale a simmetria sferica presente all’esterno di una sorgente centrale. Notiamo subito che questa metrica ha una singolarità per r = 2m, dove g00 → 0 e g11 → ∞. Per r < 2m le componenti g00 e g11 cambiano di segno, e le coordinate usate non sono pi` u adatte a descrivere la soluzione trovata. Questo punto sar` a discusso in dettaglio nella Sez. 10.4. Notiamo infine che la soluzione (10.19) soddisfa non solo l’Eq. (10.9) e una combinazione lineare di (10.8) e (10.10), ma soddisfa anche separatamente le equazioni (10.8) e (10.10) (che sono equivalenti per questa soluzione). Infatti

e quindi: 1

R1 = e

4m eν ν + ν 2 = − 3 , r

2m , r2

eν ν =

ν

ν 2 ν ν + + 2 2 r

=−

2m 2m + 3 = 0. r3 r

(10.20)

(10.21)

10.2.1 Limite di campo debole Per interpretare fisicamente la costante di integrazione −2m, e capire l’origine del segno negativo scelto, riscriviamo la soluzione di Schwarzschild nella carta cosiddetta “isotropa”, caratterizzata da una coordinata radiale r˜ tale che:

In questa carta

m 2 . r = r˜ 1 + 2˜ r

(10.22)

m2 dr = d˜ r 1− 2 , 4˜ r

(10.23)

e l’elemento di linea (10.19) diventa 2

ds =

1− 1+

m 2 2˜ r c2 dt2 m 2˜ r

m 4 2 − 1+ d˜ r + r˜2 dθ 2 + sin2 θdϕ2 . (10.24) 2˜ r

Passando dalle coordinate polari a quelle cartesiane mediante la trasformazione x1 = r˜ sin θ sin ϕ, x1 = r˜ sin θ cos ϕ, 2

1/2 r˜ = x1 + x22 + x23 = |x|,

x3 = r˜ cos θ, (10.25)

182


abbiamo infine: 2

ds =

1− 1+

m 2|x| m 2|x|

2

4 m 2 c2 dt2 − 1 + |dx| . 2|x|

(10.26)

Queste nuove coordinate sono dette isotrope perchè la parte spaziale della metrica non dipende dalla particolare direzione considerata, come appare chiaramente da quest’ultima equazione. Consideriamo ora il limite di grandi distanze dalla sorgente, |x| → ∞. In questo limite possiamo sviluppare l’elemento di linea per m/|x| 1, e otteniamo: 2m 2 2 2m c dt − 1 + |dx|2 . ds2 = 1 − (10.27) |x| |x| Ma a distanze arbitrariamente grandi dalla sorgente il campo gravitazionale diventa arbitrariamente debole, e la nostra soluzione esatta deve riprodurre la metrica ottenuta risolvendo le equazioni di Einstein linearizzate nell’approssimazione di campo debole (si veda l’Eq. (8.22)). Confrontando il nostro limite (10.27) con la soluzione (8.22), e identificando −2m/|x| con 2φ/c2 , troviamo che la soluzione di Schwarzschild descrive un campo gravitazionale realistico purchè la costante di integrazione delle equazioni di Einstein sia collegata alla massa totale M del corpo centrale dalla relazione 2GM . (10.28) 2m = c2 La quantit` a 2m è dimensionalmente una lunghezza, e viene chiamata raggio di Schwarzschild. Il segno negativo è necessario per ottenere un campo di forze centrali di tipo attrattivo e una massa della sorgente di segno positivo.

10.3 Precessione del perielio La soluzione di Schwarzschild fornisce una buona descrizione del campo gravitazionale prodotto dal sole nello spazio interplanetario. I pianeti si muovono, in prima approssimazione, come corpi di prova puntiformi lungo le geodetiche di questa metrica. Poichè le coordinate radiali dei pianeti sono molto maggiori del raggio di Schwarzschild del sole (che è dell’ordine del kilometro), il moto avviene nel regime di campo debole r 2m, senza problemi di interpretazione dovuti allo scambio di ruoli tra coordinata radiale e temporale. Per determinare le orbite previste dalla relativit` a generale partiamo dunque dall’equazione geodetica, che conviene scrivere in forma non esplicitamente covariante come nell’Eq. (5.6), 1 d (gμν x˙ ν ) = x˙ α x˙ β ∂μ gαβ dτ 2

(10.29)

10.3 Precessione del perielio

183

(il punto indica la derivata rispetto al tempo proprio τ ). Usiamo per gμν la rappresentazione (10.5) (con λ = −ν), e integriamo separatamente le diverse componenti di questa equazione. La componente μ = 0, d ν 0

e x˙ = 0, (10.30) dτ si integra immediatamente e fornisce x˙ 0 = e−ν k,

(10.31)

dove k è una costante del moto associata all’invarianza per traslazioni temporali. La componente μ = 2 fornisce:

ossia

d 2 ˙ 1 2 ∂ 2 2

r θ = ϕ˙ r sin θ , dτ 2 ∂θ

(10.32)

r2 θ¨ + 2r˙ θ˙ − r 2 ϕ˙ 2 sin θ cos θ = 0.

(10.33)

˙ Se prendiamo come condizioni iniziali θ(0) = π/2 e θ(0) = 0 questa equazione implica θ¨ = 0, e risulta identicamente soddisfatta da θ = π/2 = costante. Questo significa che il moto avviene in un piano (come nel caso non-relativistico), e che è sempre possibile scegliere il sistema di riferimento in modo che tale piano coincida con quello equatoriale θ = π/2. Nei calcoli successivi useremo questa scelta, che permette di semplificare le equazioni in modo significativo. La componente μ = 3, d 2

(10.34) r ϕ˙ = 0, dτ si integra immediatamente e fornisce ϕ˙ =

h , r2

(10.35)

dove h è una costante del moto associata all’invarianza per rotazioni nel piano equatoriale θ = π/2. Resta infine da considerare l’equazione per il moto radiale. A questo proposito, anzichè scrivere la componente μ = 1 della geodetica, è conveniente utilizzare la condizione di normalizzazione della quadrivelocit` a, x˙ μ x˙ μ = c2 . 0 Esprimendo x˙ e ϕ˙ tramite le costanti del moto (10.31) e (10.35), e ponendo θ˙ = 0, θ = π/2, abbiamo la condizione gμν x˙ μ x˙ ν ≡ e−ν k 2 − e−ν r˙ 2 −

h2 = c2 , r2

che risolta per r˙ ci d` a l’equazione r(r) ˙ che descrive il moto radiale.

(10.36)

184


Per descrivere un moto di tipo orbitale, confinato in una porzione limitata del piano equatoriale, è opportuno usare come equazione parametrica r = r(ϕ) anzichè r = r(t). A questo scopo indichiamo con un primo la derivata rispetto a ϕ, e esprimiamo r˙ come r˙ = r ϕ. ˙ Introduciamo inoltre una nuova variabile u = r−1 , tale che r = −u u−2 . Utilizzando l’Eq. (10.35) abbiamo allora r˙ = −u u−2 ϕ˙ = −hu ,

(10.37)

e la condizione (10.36) diventa: e−ν k 2 − e−ν h2 u2 − h2 u2 = c2 .

(10.38)

Moltiplicando per eν h−2 , e differenziando rispetto a ϕ, otteniamo infine l’equazione del moto geodetico nel piano equatoriale θ = π/2: 2u u + 2uu − 6mu2 u −

2mc2 u = 0. h2

(10.39)

Questa equazione pu` o essere soddisfatta in due modi. La prima possibilit` a è u = 0, ossia r = costante. In questo caso il moto corrisponde a un’orbita circolare di raggio r costante, ma non è il caso a cui siamo interessati in questo contesto perch’è questo tipo di moto non presenta, ovviamente, in fenomeno della precessione. Per u = 0 possiamo dividere per u , e l’equazione si riduce a u + u =

mc2 + 3mu2 , h2

(10.40)

che è l’equazione esatta per l’orbita (non circolare) di un pianeta nel campo gravitazionale di Schwarzschild. Le differenza dalla corrispondente equazione Newtononiana sono tutte contenute nell’ultimo termine 3mu2 , che rappresenta le correzioni relativistiche dovute alla curvatura dello spazio-tempo. Poichè queste correzioni sono piccole rispetto agli altri termini (mu = m/r 1, e quindi mu2 u), possiamo risolvere l’equazione con uno sviluppo perturbativo, ponendo (10.41) u = u(0) + u(1) + · · · . Il primo termine (di ordine zero) dello sviluppo soddisfa l’equazione Newtoniana imperturbata, mc2 (10.42) u(0) + u(0) = 2 . h La soluzione generale esatta è u(0) =

mc2 [1 + e cos (ϕ − ϕ0 )] , h2

(10.43)

dove ϕ0 ed e sono costanti di integrazione (si veda l’Eq. (2.10) nel limite nonrelativistico k → 1). Per 0 ≤ e ≤ 1 questa soluzione descrive (in coordinate polari) un’ellissi con eccentricit` a e e semiasse maggiore:

10.3 Precessione del perielio

a=

h2 . mc2 (1 − e2 )

185

(10.44)

Per calcolare le correzioni post-Newtoniane sostituiamo lo sviluppo (10.41) nell’equazione esatta (10.40). Al primo ordine otteniamo per u(1) la seguente equazione, u(1) + u(1) = 3mu2(0) =

3m3 c4 1 + 2e cos(ϕ − ϕ0 ) + e2 cos2 (ϕ − ϕ0 ) , (10.45) 4 h

dove il termine relativistico, valutato sulla soluzione non-perturbata, fa da sorgente alla correzione del primo ordine (lavorando nell’approssimazione di campo debole abbiamo trascurato il termine 6mu(0) u(1) u(1) ). Notiamo ora che, per orbite di piccola eccentricit` a (e 1), possiamo trascurare il termine e2 cos2 ϕ rispetto a e cos ϕ. Inoltre, il termine costante al membro destro della precedente equazione può essere assorbito nella parte Newtoniana della soluzione, semplicemente riscalando la costante h che determina i parametri dell’orbita. Per u(1) ci rimane quindi la seguente equazione, 6m3 c4 e cos(ϕ − ϕ0 ), (10.46) u(1) + u(1) = h4 che ha soluzione particolare u(1) =

3m3 c4 eϕ sin(ϕ − ϕ0 ). h4

(10.47)

Includendo al primo ordine le correzioni indotte dalla geometria di Schwarzschild arriviamo quindi alla seguente soluzione approssimata: mc2 3m2 c2 eϕ sin(ϕ − ϕ0 ) . (10.48) u u(0) + u(1) = 2 1 + e cos(ϕ − ϕ0 ) + h h2 Poniamo

3m2 c2 ϕ, (10.49) h2 e osserviamo che |Δϕ| ∼ 3mu(0) ∼ 3m/r 1. Applicando la formula di sottrazione del coseno per piccoli angoli |β| 1, Δϕ =

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos α + β sin α,

(10.50)

possiamo infine riscrivere la soluzione (10.48) come segue: u=

mc2 [1 + e cos (ϕ − ϕ0 − Δϕ)] . h2

(10.51)

L’orbita descritta da questa soluzione è ancora compresa tra una posizione di minima e massima distanza dall’origine,

186


h2 h2 ≤ r ≤ , mc2 (1 + e) mc2 (1 − e)

(10.52)

ma – al contrario dell’ellissi Newtoniana (10.43) – non è chiusa: è una curva “a rosetta” (si veda anche l’introduzione al Capitolo 2). Consideriamo, in particolare, il punto di minima distanza dalla sorgente centrale (il cosiddetto perielio). Dopo che il moto ha sotteso un angolo ϕ − ϕ0 = 2π, il perielio non si trova pi` u nella posizione di partenza, ma risulta spostato rispetto a quella posizione di un angolo Δϕ. Ad ogni giro, in particolare, c’è uno spostamento del perielio 6πG2 M 2 6πm2 c2 = (10.53) Δϕ(2π) = h2 h2 c2 (abbiamo usato la relazione (10.28) per il raggio di Schwarzschild). Si noti che quest’effetto, principalmente dovuto alla curvatura dello spazio-tempo, è circa 6 volte pi` u grande di quello che si ottiene includendo le correzioni cinematiche della relativit` a ristretta (si veda l’Eq. (2.11)). Utilizzando la definizione di semiasse maggiore (10.44), l’Eq. (10.53) si pu` o riscrivere 6πGM Δϕ(2π) = . (10.54) a(1 − e2 )c2 Scritta in questa forma, è evidente che l’effetto di spostamento, a parità di eccentricità, è tanto pi` u grande quanto pi` u a è piccolo, ossia quanto pi` u il pianeta è vicino al sole. Ed infatti, è proprio Mercurio che presenta un’anomalia di spostamento che è la pi` u accentuata tra tutti quelle osservate: accurate misure astronomiche, risalenti alla seconda met` a del settecento, hanno determinato che per Mercurio, dopo avere sottratto tutti gli effetti di precessione prodotti dalla presenza degli altri pianeti, rimane ancora da spiegare uno spostamento residuo di 43.11 secondi d’arco al secolo. Il risultato (10.54), applicato a Mercurio, predice uno spostamento Δϕ = 0.1038 secondi d’arco al giro. Poichè in un secolo Mercurio effettua 415 rivoluzioni attorno al sole, si ottiene una predizione che coincide con il risultato sperimentale entro una precisione dell’uno per cento. L’accordo è molto buono, tenendo conto che ci sono anche altri effetti (ad esempio, la non-sfericità del sole) che possono contribuire alla spiegazione dello spostamento residuo del perielio, oltre alla curvatura dello spazio-tempo.

10.4 Orizzonte degli eventi e coordinate di Kruskal Supponiamo ora che la sorgente della metrica (10.19) sia molto compatta, concentrata all’interno di una regione centrale di raggio r < 2m. In questo caso ha senso considerare la soluzione di Schwarzschild anche nel regime di campo forte r ∼ 2m. Ricordiamo infatti che tale soluzione è valida solo nel vuoto, e quindi, al massimo, solo fino alla superficie esterna del corpo centrale che

10.4 Orizzonte degli eventi e coordinate di Kruskal

187

fa da sorgente. All’interno del corpo bisogna risolvere le equazioni di Einstein con Tμν = 0. Non è chiaro, al momento, se corpi cos`ı compatti (detti black holes, o “buchi neri”) esistano realmente in natura. A livello astrofisico ci sono indicazioni indirette che sembrano confermare la loro esistenza; si pu` o dire, per` o, che una definitiva conferma sperimentale è ancora mancante. Ciononostante, lo studio della soluzione di Schwarzschild nel regime r < 2m è di grande interesse teorico come esempio di varietà spazio-temporale che ha una struttura causale qualitativamente diversa da quella di Minkowski. Tale variet` a presenta, in particolare, un orizzonte a r = 2m e una singolarit` a a r = 0. Per illustrare la prima possibilit` a consideriamo un corpo centrale con estensione r > 2m, che collassa su se stesso lungo la direzione radiale mantenendosi sfericamente simmetrico. La superficie del corpo, per un osservatore esterno situato a distanza r1 , rimane sempre al di fuori del raggio di Schwarzschild come se questo raggio rappresentasse un limite invalicabile. Pi` u precisamente, l’intervallo di tempo proprio Δτ necessario per raggiungere la coordinata radiale 2m – intervallo che è finito per un osservatore a riposo sulla superficie che collassa, come si vede facilmente integrando l’equazione della geodetica radiale – diventa un intervallo di tempo infinito per l’osservatore fermo in r1 (qualunque sia r1 > 2m), a causa dell’effetto di dilatazione temporale prodotto dal campo gravitazionale. Applicando i risultati della Sez. 5.3 alla metrica di Schwarzschild abbiamo infatti: Δτ (r1 ) =

g00 (r1 ) g00 (r)

1/2 Δτ =

1−

2m r1

1/2

Δτ

1−

2m 1/2 r

−→ ∞ r → 2m (10.55)

(si veda l’Eq. (5.32)). Questo avviene perchè la superficie r = 2m rappresenta quello che viene chiamato “orizzonte degli eventi”, ossia superficie di red-shift infinito. Supponiamo infatti che dalla superficie del corpo collassante vengano emessi segnali con frequenza propria ω0 verso l’esterno. La frequenza ricevuta dall’osservatore fermo in r1 è “arrossata” dal campo gravitazionale (si veda l’Eq. (5.34)), ed è data da:

g00 (r) ω(r1 ) = g00 (r1 )

1/2

ω0 =

2m 1− r

1/2

ω0

1−

2m r1

1/2

−→ 0. r → 2m

(10.56) Man mano che la superficie si avvicina al raggio di Schwarzschild il segnale emesso viene ricevuto sempre pi` u debolmente, fino a scomparire del tutto quando viene emesso dal punto r = 2m. Nessun segnale può raggiungere un osservatore esterno provenendo dalla superficie sferica di raggio 2m, che appare

188


quindi nera, buia, come se non potesse emettere (classicamente) radiazione1 . ` da questo effetto che la porzione di spazio racchiusa dentro tale superficie E ha preso il nome di “buco nero”2 . Va sottolineato, a questo punto, che la presenza di un orizzonte per r = 2m – caratterizzato dalla singolarit` a della metrica (10.19), dalla divergenza del redshift e del tempo di collasso – non implica necessariamente che la superficie r = 2m sia da interpretare come una regione “fisicamente” singolare dello spazio-tempo (ossia come un luogo inaccessibile, escluso dallo spazio-tempo fisico). Che le cose non stiano cos`ı ce lo suggerisce innanzitutto lo studio del tensore di curvatura, poichè gli scalari formati con questo tensore tendono a divergere nei punti singolari dello spazio-tempo. Si pu` o dimostrare, pi` u precisamente, che la regolarità degli scalari di curvatura è condizione necessaria per l’assenza di singolarit` a (si veda ad esempio il testo [7] della Bibliografia finale). Per le soluzioni di Einstein nel vuoto, in particolare, ci sono quattro scalari non nulli che si possono formare con la metrica e le sue derivate prime e seconde, senza introdurre derivate covarianti della curvatura3 : Rμναβ Rμναβ , Rμνρσ Rαβ ρσ Rμναβ ,

Rμνρσ Rαβ ρσ η μναβ , Rμνρσ Rαβλδ Rμναβ η ρσλδ .

(10.57)

Nel caso della soluzione di Schwarschild questi scalari sono tutti regolari a r = 2m. Se prendiamo, ad esempio, il quadrato del tensore di Riemann abbiamo Rμναβ Rμναβ =

48m2 r6

(10.58)

(si veda l’Esercizio 10.2). Tutti questi scalari, invece, segnalano in modo inequivocabile l’esistenza di una singolarit` a a r = 0. Se la curvatura è regolare a r = 2m, mentre la metrica non lo è, viene naturale (nell’ambito della geometria differenziale) pensare che la singolarit` a della metrica sia dovuta alla scelta del sistema di coordinate. La carta usata per la metrica (10.19), in particolare, è adatta a descrivere la regione r > 2m, ma potrebbe non essere la carta adatta per ricoprire tutta la variet` a spazio-temporale associata al campo gravitazionale di una sorgente centrale nel vuoto. Se questo è il caso deve esistere allora una carta che la completa, ossia una carta che si estende anche al di sotto del raggio di Schwarzshild senza singolarità metriche, fino alla reale singolarit` a localizzata a r = 0. 1

2 3

In realt` a l’emissione di radiazione è possibile mediante effetti quantistici, come mostrato per la prima volta da S. W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975). Cè una coincidenza curiosa che riguarda il nome dello scopritore di questa metrica. Schwarzschild, in tedesco, significa “scudo nero”. Se la metrica non è Ricci-piatta, ossia se Rμν = 0 e R = 0, il numero di tali scalari, in 4 dimensioni, sale fino a 14.


189

La carta cercata rappresenta quello che viene chiamato, nel linguaggio della geometria differenziale, la massima estensione analitica del sistema di coordinate, ed è in generale caratterizzata dalle seguenti propriet` a. Se la varietà è regolare (o anche, come si dice, geodeticamente completa), allora tutte le geodetiche di questa carta possono essere estese per valori arbitrari del proprio parametro temporale senza incontrare singolarit` a, qualunque sia il punto di partenza sulla variet` a data. Se la variet` a non è regolare, allora alcune geodetiche di questa carta possono finire bruscamente nei punti di reale singolarit` a spazio-temporale; tutte quelle geodetiche che non incontrano singolarit` a (se esistono) devono però essere arbitrariamente estese, come nel caso precedente. Per una semplice illustrazione di questi concetti possiamo prendere, ad esempio, una sezione bidimensionale M2 dello spazio-tempo di Minkowski M4 . Questa varietà è ovviamente regolare: la carta cartesiana (x, ct) fornisce un esempio di massima estensione analitica per le coordinate di M2 in quanto le sue geodetiche – le rette del piano pseudo-euclideo – possono essere arbitrariamente estese senza ostruzioni da −∞ a +∞, qualunque sia il punto di partenza scelto. Se prendiamo invece la carta di Rindler (ξ, η), definita da x = ξ cosh η,

ct = ξ sinh η

(10.59)

(supponiamo η adimensionale) abbiamo delle coordinate che – come mostrato nell’esercizio 6.1 – ricoprono solo una porzione di M2 definita dalle condizioni x > |ct| e x < −|ct| (lo spazio di Rindler, ossia la parte di piano “esterna” al cono luce x = ±ct). Le geodetiche della carta di Rindler non finiscono in punti singolari dello spazio-tempo (perchè su M2 non ce ne sono); per` o non possono essere arbitrariamente estese (al contrario delle rette cartesiane) perchè esistono geodetiche che arrivano al bordo dello spazio di Rindler in un intervallo di tempo proprio finito (si veda l’Esercizio 10.3), e l`ı devono necessariamente terminare. Quindi le coordinate (ξ, η) non rappresentano la massima estensione analitica per la variet` a M2 , bens`ı una carta di M2 che può essere ulteriormente estesa (cosa che avviene appunto mediante la trasformazione (10.59)). Nel caso della geometria di Schwarzshild la situazione è molto simile a quella appena descritta, con la differenza che la variet` a di Schwarzshild non è regolare, perchè presenta una singolarit` a a r = 0. Qualunque sia la carta usata ci saranno dunque geodetiche che finiranno in quel punto. La carta usata nell’Eq. (10.19), per` o, è valida solo fino all’orizzonte r = 2m dove la metrica diventa singolare. Poichè le geodetiche di quella carta arrivano all’orizzonte in un tempo proprio finito possiamo aspettarci che anche quella carta vada estesa, proprio come la carta di Rindler su M2 . La massima estesione analitica per la soluzione di Schwarzshild è fornita dalla cosiddetta carta di Kruskal, le cui coordinate (u, v) sono collegate alle coordinate (r, ct) da una trasformazione che non coinvolge le coordinate angolari. Le coordinate (adimensionali) di Kruskal, fuori dall’orizzonte (r > 2m), sono definite da:

190


1/2 r ct r/4m −1 , u=± e cosh 2m 4m r

1/2 ct v=± −1 . er/4m sinh 2m 4m Dentro all’orizzonte (r < 2m) sono definite da: ct r 1/2 r/4m e sinh u=± 1− , 2m 4m ct r 1/2 r/4m e cosh v =± 1− . 2m 4m

(10.60)

(10.61)

In entrambe le equazioni precedenti è sottinteso che per u e v va preso lo stesso segno (si veda ad esempio il testo [11] per una derivazione dettagliata di tali trasformazioni). ` facile verificare che queste coordinate soddisfano sempre alla condizione E

r − 1 er/2m , (10.62) u2 − v 2 = 2m sia fuori che dentro l’orizzonte. Il loro rapporto fornisce invece v ct = tanh , r > 2m, (10.63) u 4m fuori dall’orizzonte, e u = tanh v

ct 4m

,

r < 2m,

(10.64)

dentro all’orizzonte. Queste ultime tre relazioni sono utili per discutere la struttura geometrica e causale dello spazio-tempo associato alla soluzione di Schwarzschild, come vedremo nella sezione successiva. Riscriviamo infine l’elemento di linea (10.19) in funzione delle coordinate di Kruskal. Consideriamo innanzitutto la regione r > 2m. Differenziando l’Eq. (10.62) abbiamo: 8m2 −r/2m dr = e (udu − vdv) . (10.65) r Differenziando l’Eq. (10.63), e usando la (10.60) per u2 , otteniamo: cdt =

8m2 −r/2m e (udv − vdu) . r − 2m

(10.66)

Sostituendo nell’Eq. (10.19) e semplificando arriviamo infine a:

32m3 −r/2m 2 e dv − du2 − r2 dθ2 + sin2 dϕ2 . (10.67) r Ripetendo la stessa procedura nel caso r < 2m si ottiene esattamente lo stesso risultato. Questo mostra esplicitamente che la metrica, nella carta di Kruskal, è perfettamente regolare a r = 2m, e rimane singolare (come previsto) solo a r = 0. ds2 =


191

10.4.1 Struttura causale della geometria di “buco nero” L’elemento di linea (10.67) rappresenta, in coordinate di Kruskal, la soluzione esatta di Schwarzschild (10.19). Descrive quindi la geometria associata ad un campo gravitazionale sfericamente simmetrico, prodotto da una sorgente localizzata nell’origine. A differenza della metrica (10.19), per` o, la parametrizzazione di Kruskal si pu` o applicare anche per r < 2m, e si può estendere in principio fino a r = 0 se la sorgente è puntiforme. La metrica (10.67) pu` o rappresentare dunque un modello ideale per il sistema comunemente chiamato buco nero “eterno” (eternal black hole), ossia per un sistema gravitazionale che ha gi` a terminato la fase di collasso raggiungendo una configurazione finale stabile, di tipo statico e infinitamente concentrato. Tale configurazione è probabilmente poco realistica dal punto di vista fenomenologico, ma lo studio di questa metrica è particolarmente istruttivo riguardo alle propriet` a geometriche dello spazio-tempo nel regime di campi gravitazionali molto intensi. Per discutere le propriet` a geometriche dello spazio-tempo descritto dalla metrica (10.67) è conveniente concentrasi sulle sue sezioni bidimensionali parametrizzate dalle coordinate u e v (il cosiddetto “piano di Kruskal”). Usando l’Eq. (10.62) possiamo osservare, innanzitutto, che l’orizzonte di Schwarzschild r = 2m corrisponde alle bisettrici del piano di Kruskal, u = ±v. Usando le equazioni (10.63), (10.64) vediamo inoltre che la retta u = v corrisponde a t = +∞, la retta u = −v a t = −∞ (si veda la Fig. 10.1, pannello (a)). Questo in accordo al fatto, gi` a notato in precedenza, che per un osservatore esterno al raggio di Schwarzschild l’orizzonte r = 2m viene raggiunto in un tempo infinito. Sempre dalle equazioni (10.63), (10.64) otteniamo che le sezioni spaziotemporali t = costante sono rappresentate da rette del piano di Kruskal che passano per l’origine, u/v = costante. Dall’Eq. (10.62) abbiamo invece che le sezioni r = costante sono iperboli, del tipo: u2 − v 2 = cost > 0, u2 − v 2 = cost < 0,

r > 2m, r < 2m.

(10.68)

Quelle esterne all’orizzonte sono localizzate nei quadranti I e III del piano di Kruskal, quelle interne nei quadranti II e IV (si veda la Fig. 10.1, pannello (b)). ` facile notare l’analogia, gi` E a accennata in precedenza, tra il piano di Kruskal (u, v) e il piano di Minkowski (x, ct), e in particolare tra le curve a r costante fuori dall’orizzonte e le traiettorie iperboliche di un osservatore uniformemente accelerato nello spazio di Minkowski. Analogia non solo formale, in questo caso, in quanto un corpo di prova fermo a una data coordinata radiale r, nella metrica di Schwarzschild, è appunto soggetta a un’accelerazione costante determinata dall’attrazione del campo gravitazionale centrale.

192


Figura 10.1. Pannello (a): l’orizzonte di Schwarzschild nel piano di Kruskal; Pannello (b): le sezioni t = cost sono rette per l’origine; le sezioni r = cost sono iperboli, fuori dall’orizzonte (nei quadranti I e III) e dentro all’orizzonte (nei quadranti II e IV)

Inoltre, gli osservatori uniformemente accelerati nello spazio di Minkowski hanno come orizzonte (ossia come asintoto della loro traiettoria iperbolica) il cono luce x = ±ct, che nel piano di Kruskal corrisponde all’orizzonte di Schwarzschild. In questo contesto, il sistema di coordinate (r, ct) è esattamente l’analogo del sistema di Rindler (si veda l’Eq. (10.59)): cos`ı come la carta di Rindler (ξ, η) ricopre solo la parte di piano di Minkowski esterna al cono luce, allo stesso modo la carta (r, ct) ricopre solo la parte di piano di Kruskal esterna all’orizzonte di Schwarzschild (r > 2m, ossia u2 > v 2 , ossia i quadranti I e III). Se ci concentriamo sui quadranti II e IV, interni all’orizzonte, notiamo per` o un’importante differenza tra il piano di Kruskal e quello di Minkowski. Mentre nel piano di Minkwoski la porzione di spazio-tempo fisicamente accessibile si estende all’infinito, nel piano di Kruskal la regione permessa è limitata dall’iperbole u2 − v 2 = −1, che corrisponde alla singolarit` a r = 0 (si veda l’Eq. (10.62)). In altri termini, la carta di Kruskal rappresenta la massima estensione analitica per una variet` a spazio-temporale (quella di Schwarzschild) che non è geodeticamente completa (a causa della singolarità di curvatura presente in r = 0). Possiamo rappresentare, nel piano di Kruskal, una geodetica radiale di tipo tempo come una traiettoria del I quadrante che procede lungo la direzione positiva dell’asse temporale v. Questa traiettoria attraversa senza problemi l’orizzonte di Schwarzschild penetrando nella regione II, e arriva in un tempo proprio finito a incrociare l’iperbole corrispondente alla singolarit` a r = 0, sulla


193

Figura 10.2. Pannello (a): il bordo della regione accessibile del piano di Kruskal è limitato dall’iperbole r = 0, che viene raggiunta in un tempo proprio finito da un osservatore in caduta libera; Pannello (b): le linee tratteggiate indicano possibili traiettorie di di tipo luce (avanzate e ritardate) nel piano di Kruskal. Le regioni II, III e IV non possono trasmettere segnali alla regione I. Le regioni I e III sono causalmente disconnesse

quale deve però bruscamente terminare (si veda la Fig. 10.2, pannello (a)). ` importante osservare che l’orizzonte r = 2m pu` E o essere attraversato da traiettorie fisiche (di tipo tempo o tipo luce) solo dall’esterno (r > 2m) verso l’interno r < 2m), e non viceversa: per “uscire” dalla regione II, infatti, la traiettoria dovrebbe inclinarsi di un angolo maggiore di 45 gradi rispetto all’asse temporale, e diventare quindi di tipo spazio (corrispondente a velocit` a superiori a quelle della luce). Una volta penetrato nella regione II diventa impossibile per un osservatore uscirne, o trasmettere segnali all’esterno. L’orizzonte di Schwarzschild si comporta quindi come una membrana semi-permeabile, attraversabile in una sola direzione. Notiamo infine che le regioni I e II del piano di Kruskal possiedono una copia simmetrica (spazialmente riflessa e temporalmente invertita) nelle regioni III e IV, che sono le regioni in cui si applicano le trasformazioni (10.60), (10.61) con il segno meno per entrambe le coordinate. Tali copie scompaiono se si impone che i punti (u, v) e (−u, −v) del piano di Kruskal siano topologicamente identificabili, come forse è naturale supporre (ricordiamo, a questo proposito, che le equazioni di Einstein fissano la geometria della variet` a spazio-temporale, ma lasciano la sua topologia completamente arbitraria). In assenza di identificazione topologica, e nell’ipotesi che le regione III e IV siano reali e fisicamente distinte dalle loro “copie”, va notato comunque che nessuna di esse può inviare segnali fisici verso la regione I (dove, presumibilmente, sono localizzati gli osservatori con i quali possiamo correttamente

194


identificarci). La regione IV è anche detta “white hole”, buco bianco, perchè è un buco nero con la coordinata temporale che scorre in senso inverso, essendo isometrica all’interno della soluzione di Schwarzschild con il segno di v opposto a quello della regione II. Questo implica che la porzione di orizzonte che la delimita, specificato dalle equazioni r = 2m, v < 0, pu` o essere attraversato (in principio) solo da traiettorie di tipo tempo e luce che per un osservatore della zona I sono dirette verso il passato. Quindi, ancora, dall’esterno verso l’interno ma non viceversa (si veda ad esempio il testo [7] della Bibliografia finale). Infine, se consideriamo ipotetici segnali che partono dalla zona III e raggiungono la I, o viceversa, vediamo che dovrebbero avere traiettorie nel piano di Kruskal con pendenze superiori ai 45 gradi rispetto alla direzione del loro asse temporale, e quindi dovrebbero essere segnali di tipo superluminale (si veda la Fig. 10.2, pannello (b)). Per cui i quadranti I e III risultano causalmente disconnessi. La propriet` a dell’orizzonte di Schwarzschild di essere una superficie attraversabile in un sol senso, e la sua capacit` a di schermare in modo impenetrabile certe porzioni di spazio-tempo rispetto ad altre, ha suggerito la possibilit` a di applicare ai buchi neri un formalismo di tipo “termodinamico”, associando all’orizzonte una ben definita entropia propozionale alla sua area4 . La discussione di questi aspetti va per` o al di fuori degli scopi di questo libro, e il lettore interessato è invitato a consultare, ad esempio, il testo [9] della Bibliografia finale.

Esercizi Capitolo 10 10.1. Vettori di Killing e condizione di campo statico Una variet` a spazio-temporale ammette un vettore di Killing ξ μ di tipo tempo. Dimostrare che la geometria è statica (ossia, che esiste un carta in cui la metrica soddisfa a ∂0 gμν = 0 e gi0 = 0) se e solo se ξ[α ∇μ ξν] = 0.

(10.69)

10.2. Quadrato della curvatura per la metrica di Schwarschild Calcolare l’invariante di curvatura Rμναβ Rμναβ per la metrica di Schwarzschild (10.19). 10.3. Geodetiche dello spazio di Rindler Si consideri lo spazio bidimensionale di Rindler descritto dalla metrica ds2 = ξ 2 dη 2 − dξ 2 , 4

J. D. Beckenstein, Phys. Rev. D7, 2333 (1973).

(10.70)

Esercizi Capitolo 10

195

e si mostri che una particella in moto geodetico dal punto ξ0 verso l’origine arriva a ξ = 0 in un tempo proprio finito.

Soluzioni 10.1. Soluzione Scegliamo una carta in cui l’asse temporale è allineato lungo la direzione di ξ μ , ossia in cui ξ μ = δ0μ . In questa carta ξμ = gμ0 e ξ μ ξμ = g00 > 0. La condizione di Killing δξ gμν = 0, scritta esplicitamente (si veda l’Eq. (3.53)), si riduce a (10.71) ∂0 gμν = 0, per cui la metrica non dipende dalla coordinata temporale. In questa carta, inoltre abbiamo: 1 (∂μ g0ν − ∂ν gμ0 ) = ∂[μ gν]0 . 2 (10.72) Se la metrica è statica abbiamo anche gi0 = 0, e dunque ∇μ ξν = ∇μ gνα ξ α = gνα ∇μ ξ α = gνα Γμ0 α =

ξ[α ∇μ ξν] = g0[α ∂μ gν]0 ≡ 0,

(10.73)

perchè gli indici della metrica devono essere entrambi zero. Viceversa, supponiamo che valga l’Eq. (10.69), e mostriamo che in questo caso è sempre possibile imporre la condizione gi0 = 0. Restiamo per il momento nella carta in cui ξ μ = δ0μ e la metrica è costante, scriviamo esplicitamente l’Eq. (10.69), e contraiamo con ξ α . Si ottiene

ξ α ξα ∇μ ξν + ξμ ∇ν ξα + ξν ∇α ξμ − ξα ∇ν ξμ − ξμ ∇α ξν − ξν ∇μ ξα = 1 (10.74) = ξ 2 ∇μ ξν + ξμ ∇ν ξ 2 + ξν ξ α ∇α ξμ − {μ ↔ ν} = 0, 2 dove ξ 2 = ξ μ ξμ . Dall’Eq. (10.72) abbiamo: 1 1 ξ α ∇α ξ μ = ∇0 ξμ = ∂[0 gμ]0 = − ∂μ g00 = − ∇μ ξ 2 . 2 2

(10.75)

Sostituendo nell’Eq. (10.74), e dividendo per ξ 4 , otteniamo la condizione

che è risolta da

ξ −2 (∇μ ξν − ∇ν ξμ ) − ξμ ∇ν ξ −2 + ξν ∇μ ξ −2

≡ ∇μ ξ −2 ξν − ∇ν ξ −2 ξμ = 0,

(10.76)

ξν = ξ 2 ∂ν φ,

(10.77)

dove φ è un’arbitraria funzione scalare. Nella carta in cui stiamo lavorando, d’altra parte, ξ0 = g00 = ξ 2 , per cui deve essere ∂0 φ = 1, ossia

196


φ = x0 + f (xi ),

(10.78)

dove f è una funzione arbitraria delle coordinate spaziali. Consideriamo ora la trasformazione di coordinate x0 → x0 = φ = x0 + f (xi ),

xi → xi = xi .

(10.79)

Le componenti del vettore di Killing non cambiano, ξ μ =

∂xμ ν ∂xμ ξ = = δ0μ , ∂xν ∂x0

(10.80)

e neanche la componente g00 della metrica: = g00

∂xα ∂xβ gαβ = δ0α δ0β gαβ = g00 . ∂x0 ∂x0

(10.81)

Per le componenti miste troviamo invece: gi0 =

∂xα ∂xβ β α j α g = g δ δ − δ ∂ f δ αβ αβ i j 0 0 i ∂xi ∂x0 = gi0 − g00 ∂i f ≡ 0.

(10.82)

Il risultato è nullo perchè, nella vecchia carta, gi0 = ξi = ξ 2 ∂i φ = g00 ∂i f.

(10.83)

Questo dimostra che se il vettore di Killing soddisfa la condizione (10.69) è sempre possibile andare in una carta in cui le componente miste gi0 della metrica sono tutte nulle, come si conviene a una geometria di tipo statico. 10.2. Soluzione La metrica di Schwarzschild (10.19) ha la stessa struttura della metrica (6.92) studiata nell’Esercizio 6.6, con f (r) = g00 = −

1 2m . =1− g11 r

(10.84)

Utilizzando il risultato (6.94) otteniamo immediatamente le componenti non nulle del tensore di Riemann: 1 2m 1 2m R23 23 = − 2 (f − 1) = 3 , R01 01 = − f = 3 , 2 r r r 1 m 02 03 12 13 R02 = R03 = R12 = R13 = − f = − 3 . (10.85) 2r r Perciò: Rμναβ Rμναβ = Rμν αβ Rαβ μν 2 01 2 02 2 03 2 12 2 13 2 23 = 4R01 + 4R02 + 4R03 + 4R12 + 4R13 + 4R23 2 48m = . (10.86) r6


197

10.3. Soluzione La connessione per la metrica (10.70) è gi` a stata calcolata nell’Esercizio 6.1. La geodetica per la coordinata temporale,

fornisce

2 η¨ + η˙ ξ˙ = 0, ξ

(10.87)

η˙ = kξ −2 ,

(10.88)

dove k è una costante di integrazione e il punto indica la derivata rispetto al tempo proprio τ . Dalla normalizzazione della quadri-velocit` a abbiamo: k2 x˙ μ x˙ μ = ξ 2 η˙ 2 − ξ˙2 = 2 − ξ˙2 = c2 . ξ

(10.89)

Separando le variabili, e integrando, troviamo il tempo proprio Δτ necessario a raggiungere l’origine: 0 1 ξdξ 2 2 2 = 2 k − k − c ξ0 . Δτ = − (10.90) c k 2 − c2 ξ 2 ξ0 L’integrale non diverge, e il tempo proprio è finito. La costante di integrazione k pu` o essere fissata in funzione della velocit` a ξ˙0 all’istante iniziale τ = 0. Dalla (10.89) abbiamo infatti

k 2 = ξ02 c2 + ξ˙02 , (10.91) e quindi possiamo anche riscrivere il risultato (10.90) come: ξ0 2 2 ˙ ˙ c + ξ0 − ξ0 . Δτ = 2 c

(10.92)

11 La soluzione di Kasner

La soluzione studiata nel capitolo precedente descrive uno spazio-tempo in cui la geometria delle sezioni spaziali è invariante per rotazioni, e quindi isotropa, senza direzioni privilegiate. In questo capitolo presenteremo una soluzione esatta delle equazioni di Einstein in cui la geometria delle sezioni spaziali è omogenea, ossia indipendente dalla posizione, ma anisotropa, e quindi con un diverso andamento lungo direzioni spaziali diverse. Modelli di spazio-tempo anisotropo sono d’uso frequente in un ambito cosmologico dove vengono impiegati, ad esempio, per lo studio fenomenologico delle propriet` a di simmetria del nostro Universo, e per lo studio teorico di epoche primordiali prossime a un regime di singolarit` a. Inoltre, lo spazio-tempo anisotropo gioca un ruolo importante nel contesto dei modelli che forniscono una descrizione unificata delle interazioni fondamentali basandosi su una geometria multidimensionale (come avviene, ad esempio, nei modelli di stringa). Se lo spazio-tempo del nostro universo ha pi` u di quattro dimensioni, infatti, la sua geometria spaziale deve essere certamente anisotropa per poter privilegiare l’espansione su grande scala di tre dimensioni soltanto, e far contrarre – o forse mantenere congelate – le restanti dimensioni su scale distanze cos`ı piccole da risultare (finora) inaccessibili all’osservazione diretta. La metrica che consideriamo in questo capitolo è invariante per traslazioni lungo tutte le direzioni spaziali, e quindi la parte spaziale della geometria ammette le traslazioni come gruppo di isometrie. In tre dimensioni il gruppo delle traslazioni è un gruppo abeliano a tre parametri, ed è un caso particolare dei nove diversi tipi di gruppi a tre parametri, in generale non-abeliani, che possono rappresentare le diverse isometrie di uno spazio omogeneo tridimensionale. Le geometrie corrispondenti ai diversi gruppi di isometrie sono classificati con un numero romano da I a IX, e costituiscono la cosiddetta classe dei “modelli di Bianchi” (si vedano ad esempio i testi [16, 17] della Bibliografia

200


finale). La metrica qui considerata corrisponde al caso pi` u semplice di spazio omogeneo (l’unico dei nove tipi con un gruppo di isometrie abeliano), ed è classificata in letteratura come una metrica di tipo Bianchi I.

11.1 Equazioni per una metrica omogenea ma anisotropa La pi` u semplice generalizzazione della metrica di Minkowski che preserva l’omogeneità della geometria spaziale, rendendola per` o arbitrariamente anisotropa, si ottiene assumendo che le componenti spaziali della metrica possano dipendere dal tempo tramite delle funzioni adimensionali, ai (t), che sono in generale diverse lungo direzioni spaziali differenti. Consideriamo dunque uno spazio-tempo anisotropo il cui elemento di linea, nella carta in cui la metrica è diagonale, si pu` o scrivere nella forma seguente: ds2 = c2 dt2 −

d "

a2i (t)dx2i .

(11.1)

i=1

Abbiamo suppposto, per generalit` a, che la varietà abbia d dimensioni spaziali, con d ≥ 3. I generatori delle traslazioni lungo gli assi x î sono vettori di Killing per questa geometria, che ammette le traslazioni spaziali come gruppo (abeliano) di isometrie a d parametri. La metrica corrispondente all’elemento di linea (11.1) è una metrica di tipo Bianchi I, scritta nel cosiddetto gauge “sincrono” in cui g00 = 1 e g0i = 0. In questa sezione scriveremo le equazioni di Einstein per questa metrica, usando come sorgente un fluido perfetto con una distribuzione spaziale che gode dello stesso tipo di simmetrie (omogeneità e invarianza per traslazioni). Partiamo dalla metrica, che ha componenti covarianti g00 = 1,

gij = −a2i δij ,

e controvarianti g 00 = 1,

g ij = −

δ ij , a2i

(11.2)

(11.3)

dove ai = ai (t). Si noti bene: in questa equazione e nelle seguenti non c’è somma sugli indici ripetuti. In tutto questo capitolo la somma, ove necessaria, sar` a sempre indicata esplicitamente mediante il simbolo di sommatoria (come in Eq. (11.1)). Applicando la definizione (3.90) troviamo facilmente le componenti non nulle della connessione. Indicando con il punto la derivata ˙ abbiamo: rispetto a x0 = ct, e definendo H = a/a, Γ0i j =

a˙ i j δ ≡ Hi δij , ai i

Γij 0 = ai a˙ i δij .

Con questa connessione il tensore di Ricci risulta diagonale,

(11.4)

11.1 Equazioni per una metrica omogenea ma anisotropa

R0 0 = −

"a ï i

ai

=−

Ri = −δi H˙ i + Hi j

"

H˙ i + Hi2 ,

i

j

201

"

Hk ,

(11.5)

k

dove la somma sugli indici latini va effettuata da 1 a d. La corrispondente curvatura scalare, infine, è data da

"

" " 2 2H˙ i + Hi2 − Ri i = − Hi . (11.6) R = R0 0 + i

i

i

Supponiamo ora che la sorgente materiale del campo gravitazionale associato a questa geometria si possa descrivere, almeno in prima approssimazione, come un fluido perfetto distribuito spazialmente in modo omogeneo ma anisotropo. Cioè come un fluido che non presenta termini di attrito e di viscosit` a, che è caratterizzato da una densit` a d’energia ρ e da una pressione che non dipendono dalla posizione ma solo dal tempo, e che pu` o avere pressioni pi diverse lungo le diverse direzioni spaziali. Assumendo che il fluido sia “comovente” con la geometria (ossia, a riposo nel sistema di riferimento in cui la metrica assume la forma (11.1)), e ricordando l’espressione (1.96), possiamo dunque scrivere il suo tensore energia-impulso in forma diagonale come segue: T0 0 = ρ(t),

Ti j = −pi (t)δij .

(11.7)

Abbiamo ora tutti gli elementi per scrivere esplicitamente le equazioni di Einstein (7.28). La componente (0, 0) del tensore di Einstein fornisce 1 " 2 1 " 2 Hi − Hi = χρ, (11.8) 2 2 i

i

mentre le componenti spaziali forniscono

1 "

" 1 j " 2 2H˙ k + Hk2 − δij δij H˙ i + Hi Hk − δi Hk = χpi δij . (11.9) 2 2 k

k

k

Arriviamo cos`ı a un sistema di d + 1 equazioni differenziali del secondo ordine per le 2d + 1 incognite {ai , ρ, pi }: per poterlo risolvere, è necessario inserire ulteriori informazioni. Nel nostro caso tali informazioni aggiuntive sono fornite dalle d equazioni a di stato, pi = pi (ρ), che collegano le componenti della pressione alla densit` d’energia del fluido. Possiamo supporre, ad esempio, che il fluido sia di tipo “barotropico”, ossia che soddisfi alla condizione pi (11.10) = wi = cost, ρ e che i coefficienti costanti wi (determinati dalle propriet` a intrinseche del fluido considerato) siano noti. Eliminando dappertutto pi in funzione di ρ rimangono allora d + 1 equazioni e d + 1 incognite.

202


Nel caso del fluido barotropico è facile ottenere una relazione che collega la densità d’energia ρ(t) alle variabili geometriche ai (t). Consideriamo infatti la conservazione covariante del tensore energia-impulso (11.7), che segue dalle equazioni di Einstein e dall’identit` a di Bianchi contratta (Eq. (7.36)): ∂ν Tμ ν + Γνα ν Tμ α − Γνμ α Tα ν = 0.

(11.11)

Usando le equazioni (11.4), (11.7) si trova che per μ = i la condizione di conservazione è identicamente soddisfatta, mentre per μ = 0 fornisce: " Hi (ρ + pi ) = 0. (11.12) ρ˙ + i

La stessa equazione può anche essere ottenuta direttamente dalle equazioni di Einstein, differenziando la (11.8) e usando la (11.9). Supponiamo ora che il fluido sia barotropico, e obbedisca all’equazione di stato (11.10). L’equazione di conservazione diventa: " ρ˙ a˙ i =− (1 + wi ) . ρ a i i

(11.13)

Separando le variabili, integrando ed esponenziando otteniamo: ρ = ρ0

d #

−(1+wi )

ai

,

(11.14)

i=1

dove ρ0 è una costante di integrazione. Sostituendo questo risultato nelle equazioni di Einstein possiamo eliminare ρ, e risolvere infine le equazioni per le incognite geometriche ai (t) (chiamate anche “fattori di scala”).

11.2 Soluzioni multidimensionali nel vuoto Una geometria anisotropa, come quella introdotta nella sezione precedente, ammette soluzioni non-triviali delle equazioni di Einstein anche in assenza di sorgenti. Consideriamo infatti il caso ρ = 0, pi = 0, e cerchiamo soluzioni delle equazioni (11.8), (11.9) parametrizzando il fattore di scala con un andamento a potenza, ai =

t t0

βi ,

Hi =

a˙ i βi = , ai ct

βi H˙ i = − 2 2 , c t

(11.15)

dove t0 e βi sono parametri costanti. In questo caso le equazioni possono essere risolte esattamente, e nel regime t → 0 la soluzione ottenuta rimane valida

11.2 Soluzioni multidimensionali nel vuoto

203

anche in presenza di sorgenti, perchè – come vedremo – in questo regime la parte geometrica delle equazioni tende a dominare rispetto al contributo materiale. Sostituendo la forma (11.15) di H e H˙ nelle equazioni (11.8), (11.9) (con ρ = pi = 0) la dipendenza dal tempo scompare, e restano due equazioni algebriche per le potenze βi . L’Eq. (11.8) fornisce la condizione: " 2 " 2 βi = βi . (11.16) i

i

L’Eq. (11.9), sommando tutti gli elementi diagonali, fornisce la condizione: −

" i

βi +

"

βi

2

"

+d

i

i

βi −

d " 2 d " 2 β − βi = 0. 2 i i 2 i

(11.17)

! Eliminando i βi2 mediante l’Eq. (1.16) possiamo infine riscrivere l’equazione precedente come segue: " " 2 βi + (1 − d) βi = 0. (11.18) (d − 1) i

i

Il sistema di equazioni (11.16), (11.18) pu` o essere ora soddisfatto in due modi. Una prima possibilit` a è fornita dalla condizione " " βi = 0 = βi2 , (11.19) i

i

che però permette solo la soluzione triviale βi = 0, ai = cost, che corrisponde allo spazio-tempo di Minkowski. ! ! Se invece i βi = 0 possiamo dividere l’Eq. (11.18) per i βi , e otteniamo la condizione " " βi = 1 = βi2 , (11.20) i

i

che caratterizza la soluzione di Kasner. Qualunque metrica del tipo (11.1), con ai ∼ tβi , e con i coefficienti βi che soddisfano l’Eq. (11.20), risolve esattamente le equazioni di Einstein nel vuoto. Si noti che tale soluzione è necessariamente anisotropa, in quanto non esistono soluzioni reali alla condizione di Kasner (11.20) con i βi tutti uguali, qualunque sia il numero d ≥ 2 di dimensioni spaziali. ` opportuno, a questo punto, sottolineare alcune propriet` E a di questa importante soluzione. Va osservato, innanzitutto, che la soluzione di Kasner è singolare per t → 0. Se calcoliamo l’invariante quadratico associato al tensore di Riemann otteniamo infatti: Rμναβ Rμναβ ∼

1 . t4

(11.21)

204


Vicino alla singolarit` a, inoltre, la soluzione è valida anche in presenza di sorgenti gravitazionali di tipo ordinario. Supponiamo infatti che le sorgenti si possano descrivere come un fluido barotropico, e sostituiamo la soluzione di Kasner nella densit` a d’energia (11.14). Confrontando l’andamento temporale delle sorgenti con quello dei termini geometrici nelle equazioni di Einstein otteniamo il rapporto: ! ρ ρ 1− β i wi i ∼ ∼ t (11.22) Hi2 H˙ i ! (abbiamo usato i βi = 1). Per equazioni di stato ! “convenzionali” caratteu precisamente, tali che i βi wi < 1), l’esponente di rizzate da |wi | < 1 (pi` t rimane positivo: per t → 0 il contributo delle sorgenti diventa quindi trascurabile agli altri termini, e la soluzione di Kasner rimane valida anche in presenza di materia. ` infine interessante notare che i coefficienti βi , per soddisfare la condizione E di Kasner (11.20), non possono avere tutti lo stesso segno. Questo significa, se ricordiamo la definizione (11.15) dei fattori di scala ai , che per t → ∞ la geometria si espande lungo alcune direzioni (quelle con βi > 0), e si contrae lungo altre (quelle con βi < 0): in particolare, devono esistere dimensioni che si contraggono accanto ad altre che si espandono affichè la soluzione di Kasner sia possibile. Come anticipato nell’introduzione a questo capitolo, la geometria di Kasner si presta dunque in modo naturale a descrivere una fase di riduzione dimensionale “spontanea”, mediante la quale la dinamica gravitazionale riesce automaticamente a separare tra loro le varie dimensioni spaziali, rendondone alcune compatte ed espandendo le altre. Prendiamo, ad esempio, uno spazio-tempo con 5 dimensioni, e consideriamo la soluzione di Kasner con coefficienti βi = (1/2, 1/2, 1/2, −1/2). La condizione (11.20) è soddisfatta, e il corrispondente elemento di linea è dato da: ds2 = c2 dt2 −

t t0

1/2

dx21 + dx22 + dx23 −

t t0

−1/2

dy 2

(11.23)

(abbiamo chiamato y la coordinata lungo la quinta dimensione). Man mano che lo spazio tridimensionale si espande, per t → ∞, la quinta dimensione si √ contrae come 1/ t su sale di distanza propria sempre pi` u piccole. L’unica eccezione alla regola di avere potenze βi di segno opposto è costituita dalla soluzione di Kasner “quasi-triviale” caratterizzata da un solo coefficiente non nullo, (11.24) βi = (1, 0, 0, 0, . . .) , e corrispondente all’elemento di linea 2 t ds2 = c2 dt2 − dx21 − dx22 − dx23 − · · · . t0

(11.25)


205

Questa soluzione descrive il cosiddetto “spazio di Milne”, che però è globalmente piatto. Si pu` o verificare infatti che per questa metrica il tensore di Riemann è identicamente nullo, e che l’elemento di linea (11.25) si riduce globalmente a quello di Minkowski mediante un’opportuna trasformazione di coordinate (si veda l’Esercizio 11.1).

Esercizi Capitolo 11 11.1. Spazio-tempo di Milne Verificare che l’elemento di linea di Milne (11.25) si pu` o ottenere da quello di Minkowski mediante la trasformazione x x , x = ct sinh , (11.26) ct = ct cosh λ λ dove λ è un parametro costante, e (ct, x) sono le coordinate del piano di Minkowski. Calcolare il tensore di Riemann per la metrica di Milne, e dimostrare inoltre che le coordinate di Milne (ct , x ) ricoprono solo la porzione di spazio di Minkowski interna al cono luce. 11.2. Equazioni anisotrope con il metodo variazionale Ricavare le equazioni (11.8), (11.9), nel vuoto, partendo dall’azione di Einstein per la metrica anisotropa, ed applicando il metodo variazionale.

Soluzioni 11.1. Soluzione Differenziando l’Eq. (11.26) abbiamo: x x ct cdt = cdt cosh + dx sinh , λ λ λ ct x x dx = cdt sinh + dx cosh . λ λ λ

(11.27)

Sostituendo nell’elemento di linea di Minkowski otteniamo l’elemento di linea di Milne, 2 ct ds2 = c2 dt2 − dx2 = c2 dt2 − dx2 , (11.28) λ con metrica di Milne identica a quella dell’Eq. (11.25), 2 t g11 = − , g00 = 1, t0

(11.29)

206


dove t0 = λ/c. Il tensore di Riemann per questa metrica è identicamente nullo. Usando per la connessione i risultati (11.4) abbiamo infatti Γ01 1 =

1 , ct

Γ11 0 =

t , ct20

(11.30)

per cui: R101 0 = − R100 1 =

1 c2 t20

+

1 c2 t20

≡ 0,

1 1 − 2 2 ≡ 0. c2 t2 c t

Osserviamo infine che dalla trasformazione (11.26) si ottiene: x x = tanh , c2 t2 − x2 = c2 t2 . ct λ

(11.31)

(11.32)

La prima equazione, per x fissato, rappresenta una retta che passa per l’origine nel piano di Minkowski, e che forma con l’asse ct un angolo compreso tra −π/4 e π/4. La seconda equazione, per t fissato, rappresenta un’iperbole centrata sull’origine, con asintoti sulle rette x = ±ct, che interseca l’asse ct nei punti t = ±t . Al variare di x e t le due curve spazzano la porzione di piano di Minkowski interna al cono luce, definita dalla condizione ct > |x|,

ct < −|x|,

(11.33)

detta spazio di Milne, Si noti che questa regione di Minkowski è complementare al cosiddetto spazio di Rindler, esterno al cono luce (si veda l’Esercizio 6.1). 11.2. Soluzione Per ottenere tutte le equazioni richieste, e in particolare la componente (0, 0) delle equazioni di Einstein, è necessario che l’azione sia costruita usando anche la componente temporale della metrica. Partiamo quindi dalla metrica (11.2) senza fissare il gauge sincrono g00 = 1, e poniamo g00 = N 2 (t),

gij = −a2i (t)δij .

(11.34)

La connessione ha componenti Γ0i j = Hi δij ,

Γij 0 =

ai a˙ i δij , N2

Γ00 0 = F,

dove F = N˙ /N , e la curvatura scalare diventa:

"

" " 1 2 2H˙ i + Hi2 − Hi − Hi . R = 2 2F N i i i

(11.35)

(11.36)


207

Si noti la generalizzazione rispetto all’Eq. (11.6), dovuta ai contributi di g00 = N 2 . Abbiamo inoltre # √ −g = N ai , (11.37) i

e l’azione di Einstein assume la forma √ 1 S=− dd+1 x −g R 2χ

"

" # " 1 2 d dt 2 . 2H˙ i + Hi − d x =− ai 2F Hi − Hi 2χ N i i i i (11.38) Notiamo ora che d 2 # " ai Hi = dt N i i " " " 2 1 # ˙ ai 2 Hi + 2 Hi = Hi − 2F . N i i i i

(11.39)

Eliminando mediante questa relazione i termini lineari in F e H˙ dell’Eq. (11.38) possiamo riscrivere l’azione effettiva (modulo una derivata totale rispetto al tempo) nella seguente forma quadratica standard: " 2 " 2 dt # 1 (11.40) S=− ai Hi − Hi . 2χ N i i i Si noti che N non possiede termine cinetico, e compare quindi nell’azione come campo ausiliario (o moltiplicatore di Lagrange) che pu` o essere posto uguale a una costante arbitraria – dopo aver effettuato la variazione – con un’opportuna scelta di gauge. Possiamo ora ricavare le equazioni di campo variando l’azione rispetto alle variabili N, ai , e imponendo che l’azione sia stazionaria, δS = 0. La variazione rispetto a N fornisce il vincolo " 2 " 2 Hi − Hi = 0, (11.41) i

i

che coincide con l’Eq. (11.8) per ρ = 0. Per variare rispetto ad ai è conveniente porre ai = exp αi , per cui Hi = α˙ i , e l’azione effettiva diventa 1 S=− dt L(αi , α˙ i ), (11.42) 2χ dove:

208


!

L=

exp(

i αi )

"

N

i

α˙ i

2

−

"

α˙ i2

.

(11.43)

i

La variazione rispetto a αi fornisce le equazioni del moto di Lagrange per questa nuova variabile. Effettuando le derivate, e imponendo il gauge sincrono N = 1, otteniamo: " " 2 " 2 ∂L = exp αk α˙ k − α˙ k , ∂αi k k k " " ∂L = exp αk 2 α˙ k − 2α˙ i , ∂ α˙ i k k " " " d ∂L = exp αk α˙ k 2 α˙ k − 2α˙ i + dt ∂ α˙ i k k k " " (11.44) + exp αk 2 α ¨ k − 2α ï . k

k

L’equazione di Lagrange per αi fornisce dunque: " " " " 2 α˙ k − 2α˙ i α˙ k + 2 α ¨ k − 2¨ αi + α˙ k2 = 0. k

k

k

(11.45)

k

Moltiplicando per −1/2, e sostituendo α˙ i con Hi , possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente, H˙ i + Hi

" k

Hk −

" k

1 " 2 1 " 2 Hk − Hk = 0, H˙ k − 2 2 k

(11.46)

k

che coincide appunto con la componente i = j dell’Eq. (11.9), con pi = 0.

12 Tetradi e connessione di Lorentz

La rappresentazione geometrica dell’interazione gravitazionale sviluppata finora ha fatto principalmente uso del linguaggio della geometria differenziale classica, basato sulla nozione di metrica Riemanniana g e connessione di Christoffel Γ . La curvatura della variet` a spazio-temporale, la sua evoluzione dinamica, e l’interazione con le sorgenti materiali è stata descritta mediante equazioni differenziali formulate con le variabili g e Γ . In questo capitolo introdurremo un modo alternativo, ma completamente equivalente, di descrivere la geometria di una variet` a Riemanniana basato sulla nozione di tetrade V e connessione di Lorentz ω. Questo diverso linguaggio è particolarmente appropriato per descrivere la dinamica dei campi spinoriali in uno spazio-tempo curvo – e quindi per rappresentare le interazioni gravitazionali dei fermioni – come vedremo nel capitolo successivo. Inoltre, e soprattutto, questo nuovo formalismo permette di formulare la teoria della relativi` a generale come teoria di gauge per un gruppo di simmetria locale, mettendo cos`ı la gravitazione sullo stesso piano delle altre interazioni fondamentali (elettromagnetiche, deboli e forti). Vedremo, in particolare, che la simmetria di gauge (non-abeliana) per la gravitazione è l’invarianza locale di Lorentz, e che la curvatura pu` o essere interpretata, in questo contesto, come campo di Yang-Mills per la connessione di Lorentz, che gioca il ruolo di potenziale di gauge. Questi importanti aspetti di teoria gravitazionale, cos`ı come la possibilità di estendere la simmetria locale dal gruppo di Lorentz a quello di Poincarè, verranno ulteriormente illustrati nell’Appendice finale.

12.1 Proiezione nello spazio piatto tangente Abbiamo gi` a sottolineato, nella Sez. 2.2, come sia sempre possibile approssimare localmente la geometria di uno spazio-tempo Riemanniano con quella di

210


Minkowski, ossia come si possa sempre introdurre, in ogni punto della variet` a data, una variet` a piatta “tangente” dotata della metrica di Minkowski. Per caratterizzare localmente la geometria di una varietà Riemanniana introduciamo dunque in ogni punto x una quaterna di vettori covarianti, Vμa (x),

a = 0, 1, 2, 3,

(12.1)

che formano una base ortonormale nello spazio di Minkowski tangente alla varietà in quel punto. Essi sono ortonormali rispetto alla metrica di Minkowski η ab dello spazio tangente, ossia soddisfano alla condizione: g μν Vμa Vνb = η ab .

(12.2)

Tali vettori sono detti “tetradi” (in letteratura viene anche usato il nome tedesco, vierbein, “quattro gambe”, o vielbein, “molte gambe”, se la varietà è multidimensionale). ` necessario fare una precisazione, a questo punto, riguardo alle notazioni E usate. In tutto questo capitolo, e contrariamente ai capitoli precedenti, gli indici latini minuscoli a, b, . . . variano da 0 a 3, e verranno usati per caratterizzare oggetti tensoriali definiti nello spazio piatto tangente (sono quindi indici che si riferiscono alle rappresentazioni delle trasformazioni di Lorentz, e che vengono alzati e abbassati dalla metrica di Minkowski η). Gli indici greci μ, ν, . . . variano anch’essi da 0 a 3, ma appartengono ad oggetti tensoriali definiti sulla variet` a di Riemann (rispondono quindi in modo covariante alle traformazioni generali di coordinate, e vengono alzati e abbassati dalla metrica di Riemann g). Nel linguaggio tecnico della geometria differenziale gli indici greci, generalcovarianti, vengono anche detti indici olonomi, mentre quelli latini, definiti rispetto alle trasformazioni dello spazio tangente, vengono detti anolonomi. Nel contesto di questo libro useremo una terminologia pi` u semplice e diretta, definendoli come a, b, c, . . . μ, ν, α . . .

=⇒ =⇒

indici piatti (o di Lorentz), indici curvi (o di Riemann).

Queste convenzioni per gli indici verranno usate anche nei capitoli successivi, a meno che non sia esplicitamente indicato il contrario. Notiamo ora che la relazione (12.2), scritta in forma tensoriale mista, Vμa Vbμ = δba ,

(12.3)

definisce la base inversa, o duale, di vettori controvarianti Vaμ , anch’essi ortonormali rispetto alla metrica di Minkowski: gμν Vaμ Vbν = ηab . Invertendo le relazioni (12.2), (12.4) otteniamo:

(12.4)

12.1 Proiezione nello spazio piatto tangente

gμν = Vμa Vνb ηab ,

g μν = Vaμ Vbν η ab .

211

(12.5)

Queste equazioni ci permettono di calcolare le componenti del tensore metrico in funzione delle quattro tetradi Vμa e dei loro inversi Vaμ . Per eliminare un’ambiguit` a di segno, ed in vista di applicazioni future, è conveniente infine normalizzare i vettori Vμa in modo tale che √ −g = |det gμν | = det Vμa ≡ V. (12.6) In questo caso la conoscenza del campo vettoriale Vμa (x) determina localmena data, modulo una residua te la metrica gμν (x) in ogni punto della variet` arbitrariet` a nella scelta delle tetradi dovuta alle rotazioni di Lorentz effet` facile verificare, infatti, tuate sui vettori di base del locale spazio tangente. E che il vettore Vμa e il vettore ruotato Vμa = Λa b Vμb , dove Λ rappresenta una traformazione del gruppo di Lorentz, determinano la stessa metrica: gμν = Vμa Vνb ηab = Λa i Λb j Vμi Vνj ηab

= ηij Vμi Vνj ≡ gμν

(12.7)

(abbiamo usato la condizione di Lorentz ΛT ηΛ = η). Mediante le tetradi e i loro inversi qualunque oggetto geometrico definito sulla variet` a Riemanniana pu` o essere localmente proiettato nello spazio piatto tangente, semplicemente contraendo i suoi indici curvi con quelli di Vμa o di Vaμ . Se abbiamo un tensore B di rango due, ad esempio, possiamo effettuare le proiezioni B μν −→ B ab = Vμa Vνb B μν , Bμν −→ Bab = Vaμ Vbν Bμν .

(12.8)

E viceversa, si pu` o passare dallo spazio tangente alla variet` a di Riemann mediante la proiezione inversa. La metrica di Minkowski, per fare un altro esempio, è la proiezione della metrica di Riemann sullo spazio tangente. In questo contesto, se partiamo da un oggetto che è un tensore Bμν per trasformazioni generali di coordinate, otteniamo mediante la proiezione un nuovo oggetto Bab che è un tensore per trasformazioni di Lorentz nello spazio tangente, e che si comporta come uno scalare per trasformazioni generali di coordinate (in quanto non ha indici curvi, ma solo indici piatti). In questo senso le tetradi sono oggetti di tipo “misto”, che si trasformano come vettori general covarianti rispetto all’indice curvo, e come vettori di Lorentz nello spazio tangente rispetto all’indice piatto: ∂xν a b Vμa → Vμa = Λ b Vν . ∂xμ

(12.9)

Per effetto della proiezione che trasforma indici curvi in indici piatti si passa dunque dalle trasformazioni generali di coordinate della variet` a Riemanniana

212


` importante sottolineaalle trasformazioni di Lorentz dello spazio tangente. E re, però, che lo spazio tangente pu` o variare da punto a punto, e quindi la corrispondente trasformazione di Lorentz è una trasformazione di tipo locale, rappresentata da matrici Λ = Λ(x). Il requisito di general covarianza di un modello geometrico formulato in uno spazio-tempo curvo si traduce dunque, mediante le tetradi, in un requisito di invarianza per trasformazioni locali di Lorentz (se lo spazio-tempo è piatto allora esso coincide con lo spazio tangente di Minkowski, l’invarianza di Lorentz diventa globale, e ricadiamo nel caso della relativit` a ristretta). La presenza di una simmetria locale nell’ambito di un modello dell’interazione gravitazionale, d’altra parte, permette un interessante confronto con le teorie di gauge delle altre interazioni fondamentali. Per rendere tale confronto maggiormente esplicito dedicheremo la prossima sessione ad uno schematico sommario della struttura formale di tali teorie. 12.1.1 Simmetrie locali e campi di “gauge” Supponiamo di avere un campo ψ la cui azione è invariante per la simmetria globale ψ → ψ = U ψ, dove U rappresenta la trasformazione di un gruppo di Lie a n parametri, e si pu` o quindi parametrizzare come segue: A

U = e−i

XA

,

(12.10)

con A = 1, . . . , n. I parametri A sono coefficienti reali e costanti, e gli operatori XA – Hermitiani se la rappresentazione è unitaria – sono i generatori della trasformazione, che soddisfano le relazioni di commutazione fissate dalla cosiddetta algebra di Lie del gruppo: [XA , XB ] = ifAB C XC .

(12.11)

Le costanti di struttura fAB C = −fBA C sono tutte nulle solo se il gruppo è abeliano. Se la trasformazione è globale (cioè se tutti i parametri A sono costanti), allora i gradienti del campo si trasformano come il campo stesso, ∂μ ψ = ∂μ (U ψ) = U ∂μ ψ,

(12.12)

e l’azione, costruita con una densit` a di Lagrangiana che è quadratica nel campo e nelle sue derivate, L ∼ ψ † ψ + (∂ψ)† ∂ψ, risulta automaticamente invariante. Se invece la trasformazione è locale, A = A (x), allora i gradienti del campo si trasformano in modo differente, ∂μ ψ → ∂μ ψ = ∂μ (U ψ) = U ∂μ ψ + (∂μ U ) ψ (perchè ∂μ U = 0), e la precedente azione non è pi` u invariante.

(12.13)

12.2 Invarianza locale di Lorentz e derivata covariante

213

L’invarianza per trasformazioni locali (anche detta invarianza di gauge) pu` o essere ripristinata sostituendo l’ordinario gradiente con un operatore differenziale generalizzato, chiamato derivata covariante di gauge, che indicheremo con il simbolo Dμ per distinguerlo dalla derivata ∇μ degli spazi di Riemann. L’operatore Dμ è costruito in modo tale che la derivata covariante del campo si trasformi come il campo, Dμ ψ → (Dμ ψ) = U Dμ ψ,

(12.14)

anche nel caso di trasformazioni locali. La sostituzione ∂μ → Dμ nella Lagrangiana porta a termini del tipo L ∼ (Dψ)† Dψ, e rende l’azione invariante per trasformazioni locali mediante una procedura che è in linea con il principio di minimo accoppiamento (gi` a discusso per il caso geometrico nella Sez. 4.1). Per definire la derivata covariante di gauge bisogna introdurre un insieme di n campi vettoriali (o “potenziali di gauge”) Aμ , uno per ogni generatore del gruppo di simmetria, (12.15) XA −→ AA μ. Consideriamo quindi l’operatore differenziale Dμ = ∂μ − igAA μ XA ,

(12.16)

dove g è una costante d’accoppiamento che dipende dal modello di interazione che stiamo considerando. Le propriet` a dei vettori AA μ vengono allora fissate dalla richiesta che sia soddisfatta la legge di trasformazione (12.14). A questo proposito è conveniente adottare un formalismo compatto, defininedo il campo di gauge (o connessione) Aμ ≡ AA μ XA , costruito saturando gli indici di gruppo con i relativi generatori. La condizione (2.14) implica

Dμ ψ = ∂μ − igAμ U ψ = U ∂μ ψ − igAμ U ψ + (∂μ U ) ψ (12.17) = U Dμ ψ = U (∂μ − igAμ ) ψ = U ∂μ ψ − igU Aμ ψ. Moltiplicando da destra per U −1 otteniamo la legge di trasformazione che deve essere soddisfatta dal campo di gauge: i Aμ = U Aμ U −1 − (∂μ U ) U −1 . (12.18) g In conclusione, se il nostro modello di campo globalmente simmetrico rispetto alla trasformazione U viene accoppiato minimamente, tramite la derivata covariante, ad un campo di gauge che soddisfa la legge di trasformazione (12.18), il modello diventa anche invariante per trasformazioni locali U = U (x).

12.2 Invarianza locale di Lorentz e derivata covariante Nella Sez. 12.1 abbiamo visto che un modello geometrico general-covariante, formulato in una variet` a spazio-temporale curva, deve essere localmente Lorentzinvariante se riferito allo spazio piatto tangente mediante il formalismo delle tetradi.

214


Abbiamo anche visto, d’altra parte, che per rendere invariante un modello fisico rispetto a una simmetria locale bisogna formularlo mediante opportuni operatori differenziali covarianti, costruiti con i campi di gauge associati a quella simmetria. Il formalismo adatto a questo scopo è quello delle teorie di gauge, e la procedura da seguire per un generico gruppo è stata richiamata nella Sez. 12.1.1. In questa sezione applicheremo tale procedura direttamente al gruppo di Lorentz dello spazio piatto tangente. A questo proposito osserviamo che il gruppo di Lorentz ristretto è un gruppo di Lie a 6 parametri, e una sua generica trasformazione pu` o essere rappresentata in forma esponenziale come segue: i

ab

U = e− 2 ωab J .

(12.19)

La matrice ωab = −ωba è antisimmetrica e contiene 6 parametri reali, mentre i 6 generatori Jab = −Jab soddisfano l’algebra di Lie di SO(3, 1): ab cd

J ,J = i η ad J bc − η ac J bd − η bd J ac + η bc J ad . (12.20) Se la trasformazioni sono locali, ωab = ωab (x), per mantenere la simmetria associamo a ogni generatore sei campi vettoriali di gauge, J ab −→ ωμ ab = −ωμ ba

(12.21)

(chiamati“ connessione di Lorentz”, o anche “connessione di spin”), e definiamo la derivata covariante di Lorentz come segue: i Dμ = ∂μ − ωμ ab Jab . 2

(12.22)

Il fattore 1/2 è stato adottato per convenienza futura, e per adeguarsi alle convenzioni standard. Ripetendo gli argomenti della Sez. 12.1.1 si trova che la derivata covariante di un campo si trasforma come il campo stesso, anche per trasformazioni locali, purchè la connessione di Lorentz obbedisca alla seguente legge di trasformazione, ωμ = U ωμ U −1 − 2i (∂μ U ) U −1 ,

(12.23)

che coincide con l’Eq. (12.18) per g = 1/2. Facciamo un esempio esplicito prendendo un campo Aa a valori vettoriali nello spazio tangente. Tale campo è uno scalare per trasformazioni generali di coordinate, e si trasforma localmente come Aa = Λa b (x)Ab ,

(12.24)

dove Λa b (x) rappresenta una trasformazione locale di Lorentz per un vettore controvariante. Notiamo subito che il gradiente ordinario di A non si trasforma correttamente in maniera tensoriale, perchè

12.2 Invarianza locale di Lorentz e derivata covariante

(∂μ Aa ) = Λa b (x)∂μ Ab + (∂μ Λa b ) Ab = Λa b (x)∂μ Ab .

215

(12.25)

Per applicare la definizione (12.22) di derivata covariante ci servono i generatori di Lorentz J nel caso particolare della rappresentazione vettoriale. A questo proposito consideriamo la trasformazione (12.24) in forma infinitesima (si veda ad esempio l’Eq. (1.44)). Ponendo Λa b = δba + ω a b abbiamo, al primo ordine non triviale, (12.26) δAa = ω a b Ab . D’altra parte, usando per Λ la rappresentazione esponenziale (12.19), ed espandendo, i a (12.27) Λa b = δba − ω ij (Jij ) b + · · · , 2 per cui i a (12.28) δAa = − ω ij (Jij ) b Ab . 2 Uguagliando le due espressioni infinitesime (12.26), (12.28) si trova infine che i 6 generatori vettoriali Jij sono rappresentati da matrici 4 × 4 definite come segue:

a (12.29) (Jij ) b = i ηjb δia − ηib δja . Si noti che per queste matrici l’algebra di Lie (12.20) risulta automaticamente soddisfatta. Usando questi generatori possiamo ora scrivere in forma esplicita la derivata covariante di Lorentz per un campo vettoriale controvariante nello spazio tangente: i Dμ Aa = ∂μ Aa − ω ij (Jij )a b Ab 2 ≡ ∂μ Aa + ωμ a b Ab .

(12.30)

` immediato verificare che la derivata covariante si trasforma correttamente E come (Dμ Aa ) = Λa b Dμ Ab , (12.31) purchè la connessione ωμ obbedisca alla legge di trasformazione (12.23) (si veda l’Esercizio 12.1). Nel Capitolo 13 presenteremo in dettaglio la derivata di Lorentz per un campo spinoriale. In questo capitolo ci concentriamo sulle rappresentazioni tensoriali e osserviamo che – come nel caso della derivata covariante ∇μ – l’operazione di derivata di Lorentz si pu` o facilmente estendere ad oggetti ten` suffisoriali con un numero arbitrario di indici covarianti e controvarianti. E ciente usare la regola di Leibnitz per la derivata di un prodotto e notare che, per un oggetto scalare nello spazio tangente, l’operatore Dμ si riduce a ∂μ . Per ottenere la derivata di un vettore covariante Ba , ad esempio, consideriamo il prodotto scalare Aa Ba , e imponiamo:

216


∂μ (Aa Ba ) = Dμ (Aa Ba ) = Aa Dμ Ba + Ba ∂μ Aa + ωμ a b Ab .

(12.32)

Risolvendo per Dμ Ba otteniamo: Dμ Ba = ∂μ Ba − ωμ b a Bb .

(12.33)

E cos`ı via per oggetti tensoriali di rango arbitrario. Le convenzioni adottate, che ci portano alle regole di derivazione (12.30), (12.33), mostrano che dobbiamo applicare la connessione ω su ogni indice di Lorentz, usando il segno positivo se l’indice è controvariante (come in Eq. (12.30)), e quello negativo se l’indice è covariante (come in Eq. (12.33)). Per un tensore misto di rango due, ad esempio, abbiamo: Dμ Aa b = ∂μ Aa b + ωμ a c Ac b − ωμ c b Aa c .

(12.34)

Si noti che la posizione degli indici è importante, perchè ωμ ab = ωμ ba . 12.2.1 La condizione di metricit` a per le tetradi Riassumendo gli argomenti svolti finora in questo capitolo ricordiamo che, con il formalismo delle tetradi, possiamo proiettare gli oggetti geometrici della varietà Riemanniana sullo spazio piatto tangente; inoltre, mediante la connessione di Lorentz, possiamo definire una derivata covariante per gli oggetti proiettati che preserva l’invarianza locale di Lorentz, e che è compatibile con la general-covarianza della geometria Riemanniana. ` giunto ora il momento di chiederci se ci sia una relazione tra la derivata E covariante di Lorentz e quella di Riemann e, in particolare, se la connessione di Christoffel Γ e quella di Lorentz ω possano essere collegate. In caso di risposta affermativa, visto che Γ si esprime mediante la metrica g, e che g si pu` o esprimere in termini delle tetradi V , dovremmo aspettarci l’esistenza di una precisa relazione ω = ω(V ) che permette di calcolare la connessione di Lorentz in funzione delle tetradi. In questo caso i due insiemi di variabili geometriche, {g, Γ } e {V, ω}, sarebbero perfettamente equivalenti. La risposta alla domanda precedente si ottiene considerando la derivata covariante delle tetradi. Questi oggetti possiedono sia un indice vettoriale curvo, nella variet` a Riemanniana, sia un indice vettoriale piatto nello spazio tangente. La loro derivata covariante “totale” si ottiene dunque usando sia la connessione Γ per render covariante l’operatore differenziale rispetto all’indice curvo, sia la connessione ω per renderlo covariante rispetto all’indice piatto della simmetria locale. Pi` u precisamente, abbiamo: ∇μ Vνa = ∂μ Vνa + ωμ a b Vνb − Γμν α Vαa ≡ Dμ Vνa − Γμν α Vαa

(12.35)

(nel secondo passaggio abbiamo esplicitamente separato il contributo della connessione di Christoffel dalla derivata covariante di Lorentz).

12.3 La connessione di Levi-Civita e i coefficienti di Ricci

217

A questo punto possiamo utilizzare le ipotesi fatte sulla struttura geometrica del modello di spazio-tempo. Ricordiamo, in particolare, l’assunzione che la geometria sia di tipo “metrico-compatibile”, ossia che soddisfi alla condizione di avere una metrica con derivata covariante nulla (si veda la discussione della Sez. 3.5). Usando l’Eq. (12.5), tale condizione si pu` o esprimere come segue:

∇α gμν = ∇α Vμa Vνb ηab = 2ηab Vμa ∇α Vνb + Vμa Vνb ∇α ηab = 0. (12.36) La derivata covariante totale della metrica di Minkowski, per` o, è identicamente nulla. Infatti, utilizzando la prescrizione (12.33) per la derivata degli indici di Lorentz covarianti, abbiamo: ∇α ηab = −ωα c a ηcb − ωα c b ηac = − (ωαba + ωαab ) ≡ 0

(12.37)

(l’uguaglianza a zero è dovuta alla propriet` a di antisimmetria (12.21)). La condizione di metricit` a (12.36) si riduce quindi ad imporre che la derivata covariante delle tetradi sia nulla, ∇μ Vνa = 0

(12.38)

(tale condizione è conosciuta in letteratura anche sotto il nome di “postulato delle tetradi”). Usando l’Eq. (12.35) per la derivata covariante possiamo infine riscrivere la condizione di metricit` a nella forma seguente: ∂μ Vνa + ωμ a b Vνb = Γμν α Vαa .

(12.39)

Questa equazione risponde alla domanda posta all’inizio della sezione: le due connessioni ω e Γ non sono indipendenti. Esprimendo Γ in funzione di g, e g in funzione di V , possiamo risolvere l’equazione precedente per ω e determinare la connessione di Lorentz dappertutto in funzione delle tetradi e delle sue derivate prime. Per ottenere questo risultato, per` o, c’è una metodo pi` u veloce e pi` u diretto che verrà introdotto nella sezione seguente.

12.3 La connessione di Levi-Civita e i coefficienti di Ricci Per calcolare in forma compatta la connessione di Lorentz in funzione delle tetradi partiamo dalla condizione di metricit` a (12.39). Sfruttando le proiezione operate dalle tetradi (da indici piatti a indici curvi e viceversa) possiamo innanzitutto riscrivere tale condizione come segue: ∂μ Vνc + ωμ c ν − Γμν c = 0.

(12.40)

218


Prendendone la parte antisimmetrica, e usando la definizione di torsione Qμν c = Γ[μν] c (si veda l’Eq. (3.67)), abbiamo: ∂[μ Vν]c + ω[μ c ν] − Qμν c = 0.

(12.41)

Ricordiamo ora che la presenza di una parte antisimmetrica nella connessione Γ non è in contrasto con l’ipotesi di metricit` a (si veda la Sez. 3.5); possiamo quindi calcolare ω con la torsione diversa da zero, in modo da ottenere per la connessione di Lorentz il risultato pi` u generale possibile. Proiettando l’espressione precedente sullo spazio tangente (ossia contraendo con Vaμ Vbν ) abbiamo allora la relazione Cab c +

1 (ωa c b − ωb c a ) − Qab c = 0, 2

(12.42)

dove Cab c = Vaμ Vbν ∂[μ Vν]c = C[ab] c

(12.43)

sono i cosiddetti coefficienti di rotazione di Ricci. Scriviamo tre volte questa relazione permutando circolarmente gli indici, e cambiando di segno la seconda e la terza equazione rispetto alla prima: 1 (ωacb − ωbca ) − Qabc = 0, 2 1 − Cbca − (ωcba − ωcab ) + Qbca = 0, 2 1 − Ccab − (ωbac − ωabc ) + Qcab = 0. 2 Cabc +

(12.44)

Sommando le tre equazioni, ed usando la propriet` a di simmetria ωabc = ωa[bc] , troviamo che i termini in ω della prima e terza equazione si cancellano a vicenda, mentre quelli della seconda si sommano. Perci` o: ωcab = Ccab − Cabc + Cbca − (Qcab − Qabc + Qbca ) .

(12.45)

Per dare il risultato in forma canonica alziamo gli indici a e b, e proiettiamo l’indice c sulla variet` a curva. Arriviamo cos`ı all’espressione

dove

ωμ ab = γμ ab + Kμ ab ,

(12.46)

γμ ab = Vμc Cc ab − C ab c + C b c a

(12.47)

è la cosiddetta connessione di Levi-Civita, e

Kμ ab = −Vμc Qc ab − Qab c + Qb c a

(12.48)

è la contorsione (che coincide ovviamente con quella gi` a definita in Eq. (3.88), a parte la proiezione sullo spazio tangente).


219

Se ci restringiamo a geometrie con torsione nulla (come nel caso della relativit` a generale) il tensore di contorsione scompare e la connessione di Lorentz coincide con quella di Levi-Civita, risultando cos`ı completamente determinata dai coefficienti di rotazione di Ricci (ossia dalle tetradi e dalle loro derivate prime). Nel seguito di questo capitolo, e nel resto del libro, assumeremo che Q = 0 e che ωμ ab = γμ ab , a meno che non sia esplicitamente indicato il contrario. ` utile, in vista di future applicazioni, sottolineare infine le propriet` E a di simmetria degli indici per i vari oggetti che appaiono nella definizione della connessione. Dalle equazioni (12.43), (12.45), (12.47) e (12.48) abbiamo: Cabc = C[ab]c ,

Qabc = Q[ab]c ,

γμ ab = γμ [ab] ,

Kμ ab = Kμ [ab] .

ωabc = ωa[bc] , (12.49)

12.3.1 Tensore di curvatura e azione gravitazionale Per completare il formalismo geometrico basato sulle tetradi e sulla connessione di Lorentz resta da esprimere la curvatura – pi` u precisamente, il tensore di Riemann – in funzione di queste nuove variabili. Fatto questo saremo in grado di presentare un nuovo (ma equivalente) approccio alle equazioni gravitazionali di Einstein, che ha il vantaggio di rendere manifeste le simmetrie locali nascoste e di includere direttamente le interazioni dei campi fermionici (come vedremo nei prossimi capitoli). Per esprimere la curvatura in funzione di V e ω consideriamo la derivata covariante seconda di un campo vettoriale Aa definito sullo spazio tangente. La derivata covariante prima coincide ovviamente con la derivata di Lorentz Dμ Aa (perchè Aa non ha indici curvi), ed è data dall’Eq. (12.30). La derivata seconda agisce invece sia sull’indice piatto a sia sull’indice curvo μ, per cui:

∇μ ∇ν Aa = ∂μ ∂ν Aa + ων a b Ab

(12.50) +ωμ a c ∂ν Ac + ων c b Ab − Γμν α Dα Aa . Se prendiamo il commutatore delle due derivate covarianti i termini simmetrici in μ e ν si elidono, e rimane: [∇μ ∇ν − ∇ν ∇μ ] Aa = ∂μ ων a b + ωμ a c ων c b Ab − {μ ↔ ν} (12.51) (come già sottolineato, stiamo considerando uno spazio-tempo a torsione nulla, Γ[μν] α = 0). Abbiamo gi` a visto, nella Sez. 6.2, che il commutare di due derivate covarianti che agiscono su un vettore Aα è controllato dal tensore di Riemann, ed è dato dall’Eq. (6.19). Esprimendo Aα mediante la sua proiezione nello spazio tangente, e sfruttando le propriet` a di metricit` a delle tetradi (∇V = 0), l’Eq. (6.19) si pu` o riscrivere come segue,

220


[∇μ ∇ν − ∇ν ∇μ ] Vaα Aa = Rμνβ α (Γ )Vbβ Ab ,

(12.52)

dove Rμνβ α (Γ ) è il tensore di Riemann (6.10), calcolato in modo usale dalla connessione di Chistoffel. Confrontando questo commutatore con l’Eq. (12.51), e invertendo le proiezioni, si arriva immediatamente all’espressione cercata che collega il tensore di Riemann alla connessione di Lorentz e alle sue derivate prime. In forma compatta: Rμνβ α (Γ ) = Vaα Vβb Rμν a b (ω),

(12.53)

dove abbiamo posto Rμν ab (ω) = ∂μ ων ab − ∂ν ωμ ab + ωμ a c ων cb − ων a c ωμ cb .

(12.54)

` interessante notare che il membro destro della relazione (12.53) rappresenta E la proiezione (sugli indici curvi α e β) del “campo di Yang-Mills” per la connessione di Lorentz, che è il campo di gauge associato all’invarianza locale di Lorentz nello spazio tangente. I termini quadratici nella connessione, che appaiono nel tensore di curvatura, sono dunque dovuti al carattere non-abeliano del gruppo di simmetria. Un modello geometrico di interazione gravitazionale basato sulla dinamica della curvatura – quale, ad esempio, la relativit` a generale – trova quindi, in questo contesto, una naturale interpretazione come teoria di gauge per il gruppo locale di Lorentz. Nel caso della relativit` a generale c’è per` o una differenza importante dalle teorie di gauge convenzionali, dovuta al fatto che l’azione è lineare (anzichè quadratica) nel campo di Yang-Mills, ossia nella curvatura. Questo è possibile perchè la connessione, nel caso gravitazionale, è un campo “composto”, ossia è funzione a sua volta di un’altra variabile (la metrica o la tetrade) che risulta la variabile dinamica primaria. Questo non esclude, ovviamente, la possibilit` a di costruire azione gravitazionali con potenze quadratiche (o superiori) della curvatura. Restiamo nell’ambito convenzionale della relativit` a generale, e concludiamo il capitolo mostrando che l’azione e le equazioni di Einstein, espresse mediante le variabili “di gauge” {V, ω}, risultano perfettamente equivalenti a quelle formulate con le variabili “geometriche” {g, Γ }. Ci concentreremo, per brevit` a, sulla parte gravitazionale dell’azione assumendo che le sorgenti materiali siano assenti. Usiamo l’Eq. (12.6) per il determinante della metrica, e l’Eq. (12.53) per la curvatura. La curvatura scalare (6.24) è dunque R = Rμν νμ = Vaμ Vbν Rμν ab (ω), e l’azione di Einstein diventa: √ 1 1 d4 x −g R(Γ ) = − d4 x V Vaμ Vbν Rμν ab (ω), S=− 2χ 2χ

(12.55)

(12.56)


221

dove la “curvatura di Lorentz”, Rμν ab , è data dall’Eq. (12.54). Per ottenere le equazioni di campo, a questo punto, possiamo procedere in due modi. Una prima possibilit` a è quella di eliminare dappertutto la connessione in funzione delle tetradi mediante l’Eq. (12.46), ottenendo cos`ı un’azione che contiene solo le tetradi e le loro derivate prime e seconde. La variazione rispetto alle tetradi procede poi come nel caso della metrica. Una seconda possibilit` a consiste nel trattare tetradi e connessione come variabili indipendenti, e variare separatamente rispetto a V e ω. Questo metodo, detto formalismo variazionale del I ordine, o anche “formalismo di Palatini”, è particolarmente conveniente quando l’azione è scritta nel linguaggio delle forme differenziali (si veda l’Appendice alla fine del libro). L’adotteremo anche in questa sezione come istruttivo esercizio di calcolo con le tetradi e la connessione di Lorentz. Prima di procedere alla variazione notiamo che, sfruttando le regole di prodotto dei tensori completamente antisimmetrici (si veda la Sez. 3.2), l’azione di Einstein si pu` o riscrivere nella forma seguente, pi` u conveniente per la procedura variazionale: 1 (12.57) S= d4 x μναβ abcd Vαc Vβd Rμν ab (ω) 8χ (si veda l’Esercizio 12.2). Variamo quindi rispetto alla connessione di Lorentz, che è contenuta solo nel tensore di curvatura. Dalla definizione (12.54) abbiamo δω Rμν ab = Dμ δων ab − Dν δωμ ab , (12.58) dove Dμ δων ab = ∂μ δων ab + ωμ a c δων cb + ωμ b c δων ac .

(12.59)

Sostituendo nell’azione (12.57), ed integrando per parti, otteniamo (modulo una derivata totale):

1 d4 x μναβ abcd Vαc Dμ Vβd δων ab . δω S = − (12.60) 2χ Si noti che la derivata covariante di Lorentz di μναβ è nulla perchè non ci sono indici piatti, e quella di abcd è nulla perchè la connessione di Lorentz è antisimmetrica (si veda l’Esercizio 12.3). Imponendo che l’azione sia stazionaria otteniamo dunque la condizione D[μ Vβ]d = 0,

(12.61)

che riproduce esattamente l’Eq. (12.41) (ottenuta dal postulato di metricit` a) nel caso considerato di torsione nulla. Risolvendo per ω ritroviamo la connessione di Levi-Civita, non pi` u come assunzione del modello geometrico, ma come conseguenza delle “equazioni di campo” per la connessione.

222


Variamo infine l’azione (12.57) rispetto alle tetradi. Nel contesto del formalismo variazionale di Palatini non ci sono contributi da parte della curvatura, che dipende solo dalla variabile indipendente ω. Si ottiene dunque 1 d4 x μναβ abcd Vβd Rμν ab δVαc , S= (12.62) 4χ e l’azione è stazionaria per

μναd abcd Rμν ab = 0.

(12.63)

Usando le regole di prodotto per i tensori completamente antisimmetrici, e la relazione (12.53) tra curvatura di Riemann e curvatura di Lorentz – che possiamo applicare in virt` u della condizione (12.61) fornita dalla precedente variazione – si trova che questa equazione si pu` o riscrivere come 1 1 Rα c − Vcα R ≡ Vcβ Rα β − δβα R = 0 (12.64) 2 2 (si veda l’Esercizio 12.4). L’equazione ottenuta coincide dunque esattamente con le equazioni di Einstein nel vuoto.

Esercizi Capitolo 12 12.1. Trasformazione locale della derivata covariante di Lorentz Si verifichi che l’Eq. (12.31) è valida, purchè la connessione di Lorentz soddisfi la legge di trasformazione (12.23). 12.2. Azione di Einstein nel formalismo delle tetradi Dimostrare che l’azione di Einstein (12.56) si pu` o equivalentemente riscrivere nella forma (12.57). 12.3. Derivata di Lorentz del tensore antisimmetrico Dimostrare che Dμ abcd = 0. 12.4. Equazioni di Einstein nel formalismo delle tetradi Verificare che l’Eq. (12.63) è equivalente alle equazioni di Einstein nel vuoto.

Soluzioni 12.1. Soluzione Scriviamo esplicitamente il membro sinistro dell’Eq. (12.31):


(Dμ Aa ) = Λa b ∂μ Ab + (∂μ Λa b ) Ab + ωμ a b Λb c Ac .

223

(12.65)

Notiamo inoltre che, per un campo vettoriale, ωμ ≡ ωμ ij (Jij )a b = 2i ωμ a b

(12.66)

(si veda l’Eq. (12.29)). Perci` o l’equazione di trasformazione (12.23), per la rappresentzione vettoriale, si pu` o riscrivere come segue: a a (12.67) ωμ a b = Λωμ Λ−1 b − (∂μ Λ) Λ−1 b . Sostituendo nell’Eq. (12.65) e semplificando otteniamo

(Dμ Aa ) = Λa b ∂μ Ab + Λa b ωμ b c Ac ≡ Λa b Dμ Ab ,

(12.68)

che coincide appunto con la trasformazione (12.31) cercata. 12.2. Soluzione Consideriamo il prodotto dell’Eq. (3.38), ed esprimiamo uno dei due tensori antisimmetrici in funzione della sua proiezione nello spazio tangente, ossia:

(12.69) ημναβ Vρa Vσb Vαc Vβd abcd = −2 δρμ δσν − δρν δσμ . Invertendo le proiezioni per gli indici ρ e σ abbiamo: η μναβ abcd Vαc Vβd = −2 (Vaμ Vbν − Vaν Vbμ ) .

(12.70)

Usando infine le definizioni (3.31) e (12.6) possiamo riscrivere l’equazione precedente come segue:

μναβ abcd Vαc Vβd = −4V Va[μ Vb . ν]

(12.71)

Osserviamo ora che Rμν ab è antisimmetrico nei primi due indici, e quindi −V Vaμ Vbν Rμν ab = −V Va[μ Vb Rμν ab 1 = μναβ abcd Vαc Vβd Rμν ab . 4 ν]

(12.72)

Dividendo per 2χ e integrando in d4 x arriviamo cos`ı alla forma (12.57) dell’azione di Einstein. 12.3. Soluzione Applicando la definizione di derivata di Lorentz per un tensore controvariante definito sullo spazio tangente abbiamo: Dμ abcd = ωμ a i ibcd + ωμ b i aicd +ωμ c i abid + ωμ d i abci .

(12.73)

224


Poichè è completamente antisimmetrico, i quattro termini a membro destro di questa equazione possono essere diversi da zero solo se, in ciascuno di essi, i due indici piatti della connessione sono uguali. Ma la connessione di Lorentz è antisimmetrica, per cui ωμ i i = 0, e la derivata si annulla identicamente. 12.4. Soluzione Per il prodotto dei tensori antisimmetrici dell’Eq. (12.63) usiamo la regola (3.39) con tre indici curvi proiettati nello spazio tangente, ossia: ⎞ ⎛ μ Va Vaν Vaα μνα (12.74)

μναd abcd = −Vabc ≡ − det ⎝ Vbμ Vbν Vbα ⎠ . Vcμ Vcν Vcα L’Eq. (12.63) fornisce quindi (si ricordi la definizione di R dell’Eq. (12.55))

μναd abcd Rμν ab = − Rμν μν Vcα + Rμν να Vcμ + Rμν αμ Vcν

−Rμν μα Vcν − Rμν νμ Vcα − Rμν αν Vcμ 1 = −2RVcα + 4Rc α = 4Vcβ Rβ α − δβα R 2 = 0, (12.75) ed è esattamente equivalente alle equazioni di Einstein nel vuoto.

13 Equazione di Dirac in un campo gravitazionale

Questo capitolo è dedicato ad un argomento che viene spesso trascurato nei libri di relativit` a generale di tipo tradizionale (con le dovute eccezioni: si veda ad esempio il testo [6] della Bibliografia finale): l’interazione gravitazionale dei campi spinoriali. Tale omissione è giustificabile, da un punto di vista fenomenologico, se si pensa alla debolezza della gravit` a rispetto alle interazioni a corto raggio agenti sugli spinori a livello microscopico. Queste interazioni – elettromagnetiche, deboli e forti – sono sicuramente dominanti rispetto alla gravit` a nel regime di densità, temperatura ed energia tipici della materia ordinaria. Questa conclusione non è pi` u valida, per` o, in regimi fisici pi` u “esotici” quali, ad esempio, quelli che si incontrano nello studio cosmologico dei modelli d’universo primordiale. Infatti, come dimostrato dagli studi del cosiddetto “gruppo di rinormalizzazione”, le costanti d’accoppiamento delle diverse interazioni variano con la scala d’energia in gioco, e tendono a convergere verso lo stesso valore ad altissime energie. Inoltre, e soprattutto, l’interazione gravitazionale degli spinori non pu` o essere trascurata nei modelli teorici che forniscono una descrizione unificata di tutti i campi materiali e delle loro interazioni (come, ad esempio, i modelli di superstringa). I campi spinoriali sono necessari per rappresentare i fermioni, che costituiscono i componenti fondamentali della materia, e il gravitone non pu` o essere escluso – pena l’inconsistenza della teoria – dal multipletto di campi bosonici con cui i fermioni interagiscono. Vale infine la pena di ricordare che in alcuni recenti modelli unificati, di tipo “membrana multidimensionale ”, è anche prevista la possibilit` a che l’interazione gravitazionale diventi molto pi` u intensa, e confrontabile con le altre interazioni, lungo le direzioni spaziali “esterne” al nostro spazio-tempo quadridimensionale. In questo caso, se la scala di energia alla quale le dimensioni esterne si manifestano è dell’ordine del TeV, come suggerito da varie considerazioni teoriche, le interazioni gravitazionali dei campi spinoriali potrebbero

226


diventare direttamente “visibili” a scale di energia accessibili anche alle attuali macchine acceleratrici. In questo capitolo ci concentreremo in particolare sul caso degli spinori di Dirac, per far riferimento a un modello che si suppone ben noto agli studenti. Introdurremo l’accoppiamento gravitazionale proiettando l’azione di Dirac nello spazio piatto tangente, e rendendola invariante per trasformazioni locali di Lorentz in accordo al principio di minimo accoppiamento. La procedura applicata è altrettanto valida per spinori di Weyl o di Majorana, ed è basata sul formalismo delle tetradi e della connessione di Lorentz introdotto nel capitolo precedente. I risultati che presenteremo forniscono il punto di partenza classico per l’eventuale successiva quantizzazione, da effettuarsi con le procedure usuali della teoria quantistica di campo.

13.1 Richiami di formalismo spinoriale ` opportuno richiamare, innnanzitutto, le equazioni di base del modello spiE noriale di Dirac nello spazio-tempo di Minkowski, sia per fissare le notazioni e le convenzioni, sia per introdurre gli oggetti che poi appariranno nel modello proiettato sullo spazio tangente della variet` a di Riemann. Sottolineiamo, in particolare, che gli indici spazio-temporali di Minkowski saranno indicati con le lettere latine minuscole, seguendo le convenzioni del capitolo precedente; gli indici spinoriali saranno invece sottintesi, seguendo la convenzione usuale. Inoltre, in tutto il capitolo useremo unit` a in cui ¯h = c = 1. In assenza di interazione gravitazionale l’equazione per un campo di Dirac ψ di massa m, (13.1) iγ a ∂a ψ − mψ = 0, pu` o essere derivata dall’azione seguente:

S = d4 x iψγ a ∂a ψ − mψψ .

(13.2)

Qui ψ è uno spinore di Dirac , ossia un campo complesso a quattro componenti che fornisce una rappresentazione spinoriale del gruppo di Lorentz ristretto e delle trasformazioni di parit` a (riflessioni spaziali); inoltre, ψ = ψ † γ 0 , dove ψ † indica il vettore di campo trasposto e complesso coniugato; infine, le quattro variabili γ a rappresentano le matrici di Dirac, ossia matrici 4×4 che soddisfano la cosiddetta algebra di Clifford, 2γ (a γ b) ≡ γ a γ b + γ b γ a = 2η ab .

(13.3)

Nel contesto delle nostre convenzioni metriche le matrici di Dirac godono delle seguenti propriet` a:

13.1 Richiami di formalismo spinoriale

2 γ 0 = 1, i 2 γ = −1,

227

† γ0 = γ0, i † γ = −γ i ,

i = 1, 2, 3.

` conveniente introdurre infine la matrice γ 5 , tale che E 5 2 γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , γ = 1,

γ5

{γ 5 , γ a } ≡ γ 5 γ a + γ a γ 5 = 0

(13.4)

†

= γ5, (13.5)

(in questo capitolo e nei successivi la parentesi graffa indicher` a l’operazione di anticommutazione). La forma esplicita delle matrici di Dirac dipende dalla rappresentazione. Per i nostri scopi sar` a sufficiente richiamare la cosiddetta rappresentazione “chirale”, o di Weyl, dove il campo di Dirac assume la forma ψL ψ= , (13.6) ψR e dove ψL , ψR sono spinori di Weyl a due componenti che forniscono rappresentazioni del gruppo di Lorentz con elicit` a −1/2 (per ψL ) e +1/2 (per ψR ). In questa rappresentazione, adottando la conveniente notazione “a blocchi” 2 × 2 per le matrici 4 × 4, abbiamo: 0 1 0 σi −1 0 0 i 5 γ = , γ = , (13.7) , γ = 1 0 0 1 −σ i 0 dove σ i sono le ordinarie matrici di Pauli che soddisfano alla regola di prodotto σ i σ j = δ ij + i ijk σ k ,

i, j = 1, 2, 3.

(13.8)

L’azione di Dirac (13.2) è invariante per trasformazioni globali di Lorentz, ψ− → ψ = U ψ,

i

U = e− 4 ω

ab

σab

,

(13.9)

dove ωab = −ωba sono sei parametri reali e costanti, e dove σab =

i (γa γb − γb γa ) = iγ[a γb] 2

(13.10)

sono i sei generatori corrispondenti. Il fattore 1/4 all’esponente di U è in accordo alla definizione generale (12.19), ed è dovuto al fatto che il momento angolare intrinseco di un campo di Dirac è rappresentato dall’operatore Jab =

σab . 2

(13.11)

` questo operatore, infatti, che soddisfa all’algebra di Lie di SO(3, 1), E i 1 1 σab , σcd = (ηad σbc − ηac σbd − ηbd σac + ηbc σad ) , (13.12) 2 2 2

228


come si può verificare esplicitamente usando le propriet` a delle matrici di Dirac. † Si noti che σab non è Hermitiano, σab = σab , e quindi la rappresentazione (13.9) non è unitaria. Un calcolo esplicito mostra infatti che U −1 = γ 0 U † γ 0 .

(13.13)

` proprio questa relazione che assicura l’invarianza di Lorentz del termine E bilineare ψψ,

ψ ψ = ψ † γ 0 ψ = ψ† U † γ 0 U ψ = ψ † γ 0 γ 0 U † γ 0 U ψ = ψψ,

(13.14)

e quindi l’invarianza globale di Lorentz dell’azione. Notiamo infine che la forma esplicita dei generatori di Lorentz per un campo di Dirac si pu` o ottenere dalla condizione di invarianza come segue. Usiamo per U la parametrizzazione (13.9), con σab incogniti. Imponiamo che l’equazione di Dirac (13.1) sia invariante per trasformazioni globali di Lorentz, ossia che

b iγ a ∂a ψ − mψ = iγ a Λ−1 a U ∂b ψ − mU ψ = 0.

(13.15)

Moltiplicando da sinistra per U −1 abbiamo la condizione

b U −1 γ a U Λ−1

a

= γb.

(13.16)

Moltiplicando per Λc b otteniamo la trasformazione di Lorentz delle matrici di Dirac, (13.17) U −1 γ c U = Λc b γ b , che sarà utile per le applicazioni delle sezioni seguenti. Espandiamo infine la trasformazione al I ordine, ponendo Λa b = δba + ω a b ,

i U = 1 − ω ab σab . 4

(13.18)

Sostituendo nell’Eq. (13.17), e risolvendo per σab , arriviamo cos`ı all’espressione (13.10).

13.2 Equazione di Dirac covariante e localmente Lorentz-invariante Per introdurre l’interazione dello spinore di Dirac con un campo gravitazionale esterno seguiamo la procedura g` a usata per altri tipi di campo, immergendo l’azione nel contesto di una variet` a curva (Riemanniana), come prescritto dal principio di minimo accoppiamento.

13.2 Equazione di Dirac covariante e localmente Lorentz-invariante

229

Questa procedura di accoppiamento prevede, sostanzialmente, tre tipi di operazione (si veda la Sez. 4.1). Come prima cosa la misura di integrazione d4 x va resa general-covariante tramite la sostituzione √ (13.19) d4 x → d4 x −g ≡ d4 x V. Secondo, i prodotti scalari dello spazio di Minkowski, definiti rispetto alla metrica η, vanno riscritti nello spazio curvo mediante la metrica g di Riemann. Nel nostro caso specifico abbiamo γ a ∂α → γ μ ∂μ ,

(13.20)

a dove γ μ sono le matrici di Dirac dello spazio tangente proiettate sulla variet` curva mediante le tetradi, ossia γ μ = Vaμ γ a .

(13.21)

Queste matrici soddisfano a una relazione algebrica di tipo (13.3), con la metrica g al posto di η:

γ μ γ ν + γ ν γ μ = Vaμ Vbν γ a γ b + γ b γ a = 2Vaμ Vbν η ab = 2g μν (13.22) (abbiamo usato la propriet` a delle tetradi (12.5)). Terzo, dobbiamo sostituire le derivate parziali con le derivate covarianti. Nel nostro caso è conveniente riferirsi al campo ψ come spinore di Lorentz definito sullo spazio piatto tangente1 . In questo caso il campo non ha indici curvi, e la derivata covariante totale coincide con la derivata covariante di Lorentz (si veda la Sez. 12.2). Utilizzando la definizione (12.22) e i generatori spinoriali (13.11) abbiamo dunque, per uno spinore di Dirac, i ab σab ∂μ ψ → ∇μ ψ ≡ Dμ ψ = ∂μ − ωμ ψ 2 2 1 (13.23) = ∂μ + ωμ ab γ[a γb] ψ, 4 dove ωμ ab è la connessione (o campo di gauge) del Capitolo 12 introdotta per ripristinare la simmetria locale di Lorentz. Applicando tali prescrizioni l’azione di Dirac (13.2), in uno spazio curvo, assume la forma seguente: 1

Un metodo alternativo, ma poco usato, di immergere gli spinori in uno spaziotempo curvo è quello di rappresentarli come campi tensoriali antisimmetrici. Questa rappresentazione è nota in letteratura sotto il nome di formalismo spinoriale di Dirac-K¨ ahler (E. K¨ ahler, Rend. Mat. Ser. V 21, 425 (1962)), ma in realt` a risale a lavori di Ivanenko e Landau del 1928 (D. Ivanenko e L. Landau, Z. Phys. 48, 341 (1928)).

230


S=

√ d4 x −g iψγ μ ∇μ ψ − mψψ .

(13.24)

Questa espressione è chiaramente uno scalare rispetto alle trasformazioni generali di coordinate, ed è anche invariante per trasformazioni locali di Lorentz, U = U (x), nello spazio piatto tangente. Ponendo σab , (13.25) ωμ ≡ ωμ ab 2 ed utilizzando la legge di trasfromazione della connessione di Lorentz, Eq. (12.23), troviamo infatti facilmente che 1 (Dμ ψ) = ∂μ − ωμ U ψ 2 i = (∂μ U ) ψ + U ∂μ ψ − U ωμ ψ − (∂μ U ) ψ 2 = U Dμ ψ. (13.26) La derivata covariante del campo di Dirac si trasfroma dunque come il campo stesso. Ne consegue che anche il termine cinetico dell’azione (13.24) – oltre al termine di massa – è localmente Lorentz-invariante. Proiettiamolo infatti sullo spazio tangente, ed effettuiamo la trasformazione locale usando la relazione ψ = ψU −1 che segue dall’Eq. (13.13), e la legge di trasformazione (13.17) delle matrici di Dirac. Otteniamo allora

b μ

ψγ ∇μ ψ = ψγ a Da ψ = ψU −1 γ a Λ−1 a (Db ψ)

b = ψU −1 γ a U Λ−1 a Db ψ = ψγ b Db ψ = ψγ μ ∇μ ψ.

(13.27)

Nota l’azione (13.24), l’equazione di Dirac minimamente accoppiata alle geometria di una variet` a Riemanniana si ottiene trattando ψ e ψ come variabili lagrangiane indipendenti, e variando rispetto a ψ: iγ μ Dμ ψ − mψ = 0.

(13.28)

Pi` u esplicitamente, usando le definizioni (13.21), (13.23), possiamo scrivere l’equazione come i iγ a Vaμ ∂μ ψ − mψ + ωμab Vcμ γ c γ [a γ b] ψ = 0, 4

(13.29)

dove (dall’Eq. (12.45)) Vcμ ωμab = ωcab = Ccab − Cabc − Cbca ,

(13.30)

e dove Cabc sono i coefficienti di rotazioni di Ricci, definiti dall’Eq. (12.43).

13.3 Accoppiamento geometrico alla corrente assiale e vettoriale

231

13.3 Accoppiamento geometrico alla corrente assiale e vettoriale L’interazione gavitazionale del campo di Dirac è tutta contenuta nel terzo termine dell’Eq. (13.29), che chiameremo per semplicità M (ω), M (ω)ψ =

i ωcab γ c γ [a γ b] ψ, 4

(13.31)

e che descrive l’accoppiamento minimo alla geometria dello spazio-tempo in ` interessante notare che tale accoppiamento si può cui lo spinore è immerso. E esplicitamente separare in una parte assiale e una vettoriale. Per ottenere tale separazione prendiamo la parte completamente antisimmetrica del prodotto di tre matrici di Dirac, 6γ [a γ b γ c] = γ a γ b γ c + γ b γ c γ a + γ c γ a γ b

−γ a γ c γ b − γ b γ a γ c − γ c γ b γ a , (13.32) ed usando la propriet` a di anticommutazione (13.3) la riscriviamo nel modo seguente: (13.33) γ [a γ b γ c] = γ a γ b γ c − γ a η bc + γ b η ca − γ c η ab . Prendendo la parte antisimmetrica in b e c abbiamo quindi γ a γ [b γ c] = γ [a γ b γ c] + 2η a[b γ c] .

(13.34)

` utile ora osservare che la matrice γ 5 , con le convenzioni adottate in questo E libro, si pu` o anche esprimere come segue: γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = −

i

abcd γ a γ b γ c γ d 4!

(13.35)

(ricordiamo che 0123 = − 0123 = −1). Sfruttando le regole di prodotto dei tensori completamente antisimmetrici (riportate in Sez. 3.2) arriviamo alla relazione γ [a γ b γ c] = −i abcd γ 5 γd . (13.36) Sostituendo nell’Eq. (13.34) troviamo allora per M (ω) la seguente espressione: M (ω) =

1 i ωabc abcd γ 5 γd + ωa a c γ c . 4 2

(13.37)

Questo significa che la traccia della connessione, ωa a c , interagisce con la corrente vettoriale di Dirac, mentre la parte completamente antisimmetrica, ω[abc] , interagisce con la corrente assiale. Dalla definizione esplicita (13.30) della connessione, d’altra parte, abbiamo ω[abc] = C[abc] ,

ωa a c = Cca a .

(13.38)

232


L’Equazione di Dirac (13.29) si pu` o quindi riscrivere nella forma seguente, 1 i iγ a Vaμ ∂μ ψ − mψ + C[abc] abcd γ 5 γd ψ + Cca a γ c ψ = 0, 4 2

(13.39)

che risulta pi` u conveniente, in quanto direttamente espressa in funzione dei coefficienti di rotazioni di Ricci Cab c = Vaμ Vbν ∂[μ Vν]c

(13.40)

(si veda la Sez. 12.3). L’Eq. (13.39) mostra esplicitamente come l’interazione dello spinore con il campo gravitazionale sia interamente determinata dal sistema di tetradi Vμa associato alla metrica data (si veda ad esempio l’Esercizio 13.1).

13.4 Forma simmetrizzata dell’azione covariante di Dirac ` istruttivo ottenere l’Eq. (13.39) partendo dall’azione di Dirac scritta in una E forma che è simmetrizzata nelle variabili ψ e ψ, e che si ottiene aggiungendo all’azione covariante (13.24) il corrispondente hermitiano coniugato (h. c.):

√ 1 (13.41) iψγ a Da ψ − mψψ + h.c. . S = d4 x −g 2 Tale forma è pi` u appropriata alle applicazioni quantistiche. La corrispondente densità di Lagrangiana, scritta esplicitamente, è la seguente:

† i√ a L= −g ψγ ∂a ψ − ψγ a ∂a ψ 2

† √ i√ a [b c] a [b c] −g ωabc ψγ γ γ ψ − ψγ γ γ ψ + − −g mψψ. 8 (13.42) Consideriamo separatamente i vari termini. Usando la relazione γ 0 (γ a )† γ 0 = γ a ,

(13.43)

il coniugato hermitiano del termine cinetico fornisce −

i√ i√ † −g ∂a ψ † (γ a ) γ 0 ψ = − −g ∂a ψγ a ψ. 2 2

Consideriamo quindi il coniugato del termine di interazione, i√ 1 b c † c b † a † 0 − (γ ) γ ψ. −g ωabc ψ † − γ γ γ γ 8 2 Ricordando le propriet` a (13.3), (13.4) delle matrici di Dirac abbiamo

(13.44)

(13.45)

13.4 Forma simmetrizzata dell’azione covariante di Dirac

233

†

(γ a ) γ 0 = γ 0 γ a ,

b c † 0 γ = −γ 0 γ b γ c , γ γ

b = c.

(13.46)

Perciò l’espressione (13.45) diventa: i√ −g ωabc ψγ [b γ c] γ a ψ. 8

(13.47)

La somma di tutti i termini ci porta dunque alla Lagrangiana seguente:

√ i [ψγ μ ∂μ ψ − ∂μ ψγ μ ψ − mψψ L = −g 2

i√ −g ωabc ψ γ a γ [b γ c] + γ [b γ c] γ a ψ . + (13.48) 8 Conviene ricordare, a questo punto, l’Eq. (13.33). Prendendone la parte antisimmetrica in b e c otteniamo l’Eq. (13.34). Permutando circolarmente gli indici, {abc} → {bca}, e prendendo di nuovo la parte antisimmetrica in b e c, otteniamo (13.49) γ [b γ c] γ a = γ [a γ b γ c] − 2η a[b γ c] . Sommando le equazioni (13.34), (13.49), e sostituendo nella (13.48), arriviamo infine alla Lagrangiana:

√ i√ μ i√ −g ψγ ∂μ ψ − ∂μ ψγ μ ψ − −g mψψ + −g ω[abc] ψγ [a γ b γ c] ψ. 2 4 (13.50) ` importante notare che in questa Lagrangiana la connessione di Lorentz si E accoppia solo alla corrente assiale del campo di Dirac. Rispetto alla Lagrangiana non simmetrizzata sembra essere scomparso l’accoppiamento alla corrente vettoriale, che era presente nell’equazione di Dirac della sezione precedente. In realtà non è cos`ı, perchè la Lagrangiana simmetrizzata contiene un nuovo √ termine – la derivata del campo ψ – che accoppia ψ a −g e γ μ : L=

−

i√ −g ∂μ ψγ μ ψ. 2

(13.51)

Questo termine d` a un contributo addizionale all’equazione del moto che, come vedremo, riproduce esattamente la traccia della connessione e il suo accoppiamento vettoriale. Consideriamo infatti le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono variando la (13.50) rispetto a ψ. La derivata rispetto al campo è: i μ i ∂L √ = −g (13.52) γ ∂μ ψ − mψ + ω[abc] γ [a γ b γ c] ψ . 2 4 ∂ψ Il momento coniugato è ∂L i√

=− −g γ μ ψ, 2 ∂ ∂μ ψ

(13.53)

234


e la sua derivata fornisce:

i√ 1 √ μ ∂L μ μ

=− −g γ ∂μ ψ + (∂μ γ ) ψ + √ ∂μ ∂μ −g γ ψ 2 −g ∂ ∂μ ψ

i√ 1 √ =− ∂μ −gγ μ ψ −g γ μ ∂μ ψ + √ 2 −g

√ i 1 √ ∂μ −g Vaμ γ a ψ . =− −g γ μ ∂μ ψ + √ (13.54) 2 −g

L’ultimo termine dell’equazione precedente si pu` o esprimere in funzione della traccia della connessione di Lorentz,

1 √ ∂μ −g Vbμ ωa a b = √ −g

(13.55)

(si veda l’Esercizio 13.2). Perci` o:

∂L i√ μ

=− ∂μ −g γ ∂μ ψ + ωa a b γ b ψ . 2 ∂ ∂μ ψ

(13.56)

Eguagliando le equazioni (13.52) e (13.56) si arriva infine all’equazione di Dirac i i iγ a Vaμ ∂μ ψ − mψ + ω[abc] γ [a γ b γ c] ψ + ωa a b γ b ψ = 0. 4 2

(13.57)

Sostituendo la corrente assiale (13.36), e le componenti (13.38) della connessione, ritroviamo esattamente l’equazione di Dirac (13.39) della sezione precedente.

Esercizi Capitolo 13 13.1. Equazione di Dirac in uno spazio-tempo conformemente piatto Scrivere l’equazione di Dirac per una particella massiva immersa una geometria conformemente piatta, descritta dalla metrica gμν (x) = f 2 (x)ημν .

(13.58)

13.2. Traccia della connessione di Lorentz Ricavare l’Eq. (13.55) per la traccia della connessione di Lorentz. 13.3. Tensore energia-impulso di un campo di Dirac Calcolare il tensore energia-impulso (7.27) per un campo di Dirac libero immerso in uno spazio-tempo curvo.


235

Soluzioni 13.1. Soluzione Le tetradi associate alla metrica (13.58), definite in modo da soddisfare le equazioni (12.5), sono date da Vμa = f δμa ,

Vaμ = f −1 δaμ .

(13.59)

Il calcolo dei coefficienti di rotazione di Ricci, Eq. (12.43), fornisce Cab c =

1 (δ c δ μ − δac δbμ ) ∂μ f. 2f 2 b a

(13.60)

La traccia della connessione di Lorentz, dall’Eq. (13.38), è dunque: ωb b a = Cab b =

3 μ δ ∂μ f. 2f 2 a

(13.61)

Calcoliamo ora la parte antisimmetrica della connessione. Dall’Eq. (13.60) abbiamo: 1 (13.62) Cabc = 2 (ηcb δaμ − ηca δbμ ) ∂μ f. 2f Applicando l’Eq. (13.38), e prendendo la parte completamente antisimmetrica dei coefficienti di Ricci, troviamo un risultato identicamente nullo, ω[abc] = C[abc] = 0. L’equazione di Dirac (13.39) (o (13.57)) si riduce quindi a: 3i if −1 γ a δaμ ∂μ − m + 2 γ a δaμ ∂μ f ψ = 0. 4f Moltiplicando per f abbiamo infine 3 iγ a δaμ ∂μ − mf + i γ a δaμ ∂μ ln f ψ = 0. 4

(13.63)

(13.64)

(13.65)

L’accoppiamento alla geometria produce una massa effettiva m = mf che dipende dalla posizione, e un “potenziale effettivo” rappresentato dall’ultimo termine dell’equazione precedente. 13.2. Soluzione Partiamo dalla condizione di metricit` a per le tetradi, Eq. (12.39), che riscriviamo come: ωμ a ν = Γμν a − ∂μ Vνa . (13.66) Prendiamone la traccia moltiplicando per Vaμ ,

236


ωa a ν = Γμν μ − Vaμ ∂μ Vνa √ 1 = √ ∂ν −g + Vνa ∂μ Vaμ . −g

(13.67)

Nel secondo passaggio abbiamo sfruttato la traccia della connessione di Christoffel, e il fatto che ∂μ (Vνa Vaμ ) = ∂μ (δνμ ) = 0.

(13.68)

Moltiplicando l’Eq. (13.67) per Vbν arriviamo infine a √

√ 1 1 −gVbμ , ωa a b = √ ∂b −g + ∂μ Vbμ = √ ∂μ −g −g

(13.69)

che coincide con l’Eq. (13.55) cercata. 13.3. Soluzione Consideriamo l’azione covariante (13.41), simmetrizzata in ψ e ψ. Sfruttando il calcolo della Lagrangiana (13.48) possiamo scrivere l’azione, in forma esplicita ma compatta, come segue:

i μν 4 √ ψγμ Dν ψ − Dν ψγμ ψ − mψψ , (13.70) S = d x −g g 2 dove abbiamo definito 1 Dν ψ = ∂ν ψ + ωνab γ [a γ b] ψ, 4 1 Dν ψ = ∂ν ψ − ωνab ψγ [a γ b] . 4

(13.71)

Variamo l’azione rispetto alla metrica, imponendo che le equazioni del moto del campo di Dirac siano soddisfatte (si veda la Sez. 7.2). Applicando la definizione (7.27) abbiamo allora √ 1 δS = d4 x −g Tμν δg μν , (13.72) 2 dove Tμν = iψγ(μ Dν) ψ − iD(ν ψγμ) ψ

(13.73) √ è il tensore energia-impulso cercato. Si noti che la variazione di −g non contribuisce a Tμν per effetto delle equazioni del moto, che per un campo di Dirac libero forniscono le condizioni: iγ μ Dμ ψ = mψ,

iDμ ψγ μ = −mψ.

(13.74)

14 Supersimmetria e supergravit` a

In questo capitolo studieremo dei semplici sistemi fisici composti da campi bosonici, B(x), e fermionici, F (x), prendendo in considerazione la possibilit` a che questi campi siano collegati tra loro da trasformazioni infinitesime. Nel caso in cui tali trasformazioni lascino invariate le equazioni del moto del sistema diremo che esse rappresentano una operazione di supersimmetria (SUSY) per il sistema dato. Se le trasformazioni dipendono da parametri costanti la supersimmetria sarà di tipo globale, mentre sar` a di tipo locale se i parametri sono funzioni delle coordinate. La supersimmetria locale, come vedremo in seguito, può essere realizzata solo se il modello considerato è anche general-covariante, ossia se il modello viene formulato in uno spazio-tempo curvo, e dunque include anche l’interazione gravitazionale. Modelli gravitazionali che contengono sorgenti bosoniche e fermioniche e che sono localmente supersimmetrici vengono chiamati modelli di supergravit` a (SUGRA). In questo capitolo discuteremo brevemente alcuni esempi di supersimmetria globale nello spazio di Minkowski, per presentare poi il pi` u semplice modello di supergravit` a contenente solo due campi fondamentali (il gravitone e il gravitino). Cominciamo illustrando alcune propriet` a di base che devono essere soddisfatte dai parametri di una trasformazione di supersimmetria (per una introduzione completa e dettagliata alla supersimmetria e alla supergravit` a si pu` o far riferimento, ad esempio, al testo [21] della Bibliografia finale). Supponiamo che la trasformazione (globale, infinitesima) che collega il campo bosonico a quello fermionico sia del tipo B → B = B + δB,

δB = F,

(14.1)

dove rappresenta un generico insieme di parametri costanti e infinitesimi. Poichè il campo B ha spin intero, mentre F semintero, possiamo subito osservare che deve essere un parametro di tipo spinoriale per ripristinare le corrette propriet` a statistiche. Nella teoria quantizzata deve commutare con

238


B, mentre le componenti di (e di = † γ 0 ) devono anticommutare tra loro. Inoltre, se il campo B = B ∗ è reale, è spesso conveniente formulare il modello supersimmetrico prendendo per F un campo fermionico di Majorana (per il quale esiste una rappresentazione a componenti reali). In questo caso anche il parametro deve essere uno spinore di Majorana, ossia deve soddisfare la condizione

= c ,

c = C T , (14.2) dove C è l’operatore coniugazione di carica, definito da: C T = −C,

C −1 γ μ C = − (γ μ )

T

(14.3)

(l’indice superiore T denota il simbolo di trasposizione). Per gli spinori di Majorana assumeremo che le propriet` a di anticommutazione valgano anche a livello classico, ossia che le variabili A soddisfino un algebra di Grassmann del tipo { A , B } = 0 = { A , B }. (14.4) Infine, consideriamo le dimensioni del parametro . In uno spazio-tempo a 4 dimensioni, e in unità ¯ h = c = 1, abbiamo [B] = M , [F ] = M 3/2 , per cui deve avere dimensioni [ ] = M −1/2 . Ne consegue che la trasformazione supersimmetrica del campo fermionico, complementare alla (14.1), deve essere del tipo F → F = F + δF, δF = ∂B. (14.5) Dobbiamo dunque aspettarci, per ragioni dimensionali, la presenza di un ope` proprio ratore gradiente nella legge di trasformazione del campo fermionico. E tale presenza, come vedremo, che innesca il collegamento tra trasformazioni di supersimmetria e traslazioni, e quindi tra SUSY locale e supergravit` a. Notazioni In questo capitolo gli indici spinoriali espliciti verranno indicati con le lettere latine maiuscole. Nei modelli di supersimmetria globale useremo inoltre le lettere greche per gli indici vettoriali di Lorentz, essendo sempre riferiti allo spazio-tempo di Minkowski senza possibilit` a di confusione con lo spazio piatto tangente. Infine, useremo sempre unit` a naturali h ¯ = c = 1.

14.1 Supersimmetria globale nello spazio piatto Per ottenere un semplice esempio di supersimmetria globale possiamo considerare un sistema di particelle di spin 0 e spin 1/2 rappresentate, rispettivamente, da un campo scalare φ e da uno spinore di Majorana ψ nello spazio-tempo di Minkowski.

14.1 Supersimmetria globale nello spazio piatto

239

Consideriamo la trasformazione φ → φ + δφ, dove

ψ → ψ + δψ,

(14.6)

i δψ = − γ μ ∂μ φ, 2

δφ = ψ, e dove

= c = C T = cost,

(14.7) T

ψ = ψc = C ψ .

(14.8)

Verifichiamo che tale trasformazione lascia invariata la Lagrangiana del sistema scalare-spinoriale L=

1 ∂μ φ∂ μ φ + iψγ μ ∂μ ψ, 2

(14.9)

modulo una divergenza totale che non contribuisce alle equazioni del moto. Calcoliamo innanzitutto la trasformazione del coniugato di Dirac ψ. Dall’Eq. (14.7) otteniamo: δψ =

i μ i i † (γ ∂μ φ) γ 0 = † γ μ† γ 0 ∂μ φ = γ μ ∂μ φ 2 2 2

(14.10)

(abbiamo usato l’Eq. (13.46)). La variazione della Lagrangiana sotto la trasformazione (14.7) diventa dunque 1 1 δL = ∂ μ φ ∂μ ψ + ψγ μ γ ν ∂μ ∂ν φ − γ μ γ ν ∂ν ψ∂μ φ. 2 2

(14.11)

Usiamo le propriet` a delle matrici di Dirac nello spazio di Minkowski, γ μ γ ν ∂μ ∂ν = γ (μ γ ν) ∂μ ∂ν = η μν ∂μ ∂ν ≡ 2,

(14.12)

e mettiamo in evidenza una divergenza totale nel primo e terzo termine di δL. L’Eq. (14.11) si pu` o allora riscrivere come 1 1 1 δL = ∂μ ( ψ∂ μ φ) − ψ2φ + ψ 2φ − ∂ν ( γ μ γ ν ψ∂μ φ) + ψ2φ. (14.13) 2 2 2 I termini contenenti 2φ si cancellano a vicenda, perchè ψ = ψ (si veda l’Esercizio 14.1). Rimane solo un termine di divergenza totale che si pu` o scrivere δL = ∂μ K μ , (14.14) dove 1 K μ = ψ∂ μ φ − γ ν γ μ ψ∂ν φ 2

1 μ = ψ∂ φ − − γ μ γ ν + 2η μν ψ∂ν φ 2 1 μ ν = γ γ ψ∂ν φ. 2

(14.15)

240


Le equazioni del moto non cambiano sotto la trasformazione L → L + δL (si veda la Sez. 1.1), e dunque la trasformazione (14.7) rappresenta una supersimmetria del sistema considerato. Va sottolineato (in vista della discussione futura) che tale risultato è stato ottenuto senza usare le equazioni del moto di φ e ψ. Calcoliamo ora il commutatore di due trasformazioni infinitesime, con parametri 1 e 2 , applicate al campo scalare. Abbiamo: δ1 φ = 1 φ, i δ2 δ1 φ = 1 δ2 φ = − 1 γ μ 2 ∂μ φ, 2

(14.16)

e quindi i (δ2 δ2 − δ1 δ2 ) φ = − ( 1 γ μ 2 − 2 γ μ 1 ) ∂μ φ 2 = −i ( 1 γ μ 2 ) ∂μ φ.

(14.17)

Nel secondo passaggio abbiamo usato la relazione 2 = − T2 C −1 (si veda l’Esercizio 14.1), l’Eq. (14.3), e le propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana, che implicano

2 γ μ 1 = − T2 C −1 γ μ C T1 = T2 γ μT T1 = − ( 1 γ μ 2 ) = − 1 γ μ 2 . T

(14.18)

Il risultato (14.17) mostra chiaramente che il commutatore di due trasformazioni di supersimmetria è proporzionale a una traslazione infinitesima generata dall’operatore gradiente, con parametro ξ proporzionale a 1 γ μ 2 . Se = (x), in particolare, si ottiene una traslazione locale con parametro ξ = ξ(x), che è equivalente ad una generica trasformazione di coordinate infinitesima, xμ → xμ + ξ μ (x). Ne consegue che l’invarianza per trasformazioni di supersimmetria locale pu` o essere mantenuta solo se il modello è anche general-covariante, e quindi se viene formulato nel contesto di uno spaziotempo curvo includendo l’interazione gravitazionale. Si arriva in questo modo a modelli gravitazionali localmente supersimmetrici, anche detti modelli di supergravit` a. Il confronto tra trasformazioni di supersimmetria e traslazioni suggerisce inoltre di associare ad ogni parametro spinoriale A della trasformazione infinitesima (14.7) un generatore QA , anch’esso di tipo spinoriale e di Majorana, tale che

δφ = ψ ≡ A QA φ. (14.19) In questo caso il commutatore di due trasformazioni diventa

B B A [δ2 , δ1 ] φ = A 2 QA 1 QB − 1 QB 2 QA φ

B A B = A 2 QA QB 1 + QB 2 1 QA φ B = A 2 {QA , QB } 1 φ.

(14.20)

14.1 Supersimmetria globale nello spazio piatto

241

A A B Nel secondo passaggio abbiamo usato le relazioni 1 Q = Q 1 e B 1 2 = − 2 1 , A B B e nel terzo passaggio le relazioni QB A = −

Q e

Q = −Q

, A A 1 che 2 2 B 1 seguono dalle propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana. Il confronto con l’Eq. (14.17), e l’uso dell’Eq. (14.18), fornisce immediatamente l’anticommutatore dei generatori SUSY μ ∂μ = (γ μ Pμ )AB , {QA , QB } = iγAB

(14.21)

dove abbiamo scritto esplicitamente gli indici spinoriali A, B delle matrici di Dirac, e dove Pμ = i∂μ è il generatore delle traslazioni (operatore impulso). Poichè le traslazioni sono elementi del gruppo di Poincarè, la relazione precedente suggerisce una possibile estensione supersimmetrica di tale gruppo, ottenuta aggiungendo ai generatori Pμ , Jμν i generatori spinoriali QA , e basata su di un’algebra di Lie che si chiude sui generatori includendo sia relazioni di commutazione sia di anticommutazione. Tale generalizzazione effettivamente esiste, è consistente, e corrisponde al cosiddetto gruppo di “super-Poincarè”, basato sull’insieme di generatori {Pμ , Jμν , QA } che soddisfano un’algebra di Lie detta “gradata” (o superalgebra). Lo studio dei supergruppi e delle supervariet` a ad essi associate (parametrizzate da un egual numero di coordinate bosoniche e fermioniche) costituisce un potente metodo di indagine nell’ambito dei modelli di supersimmetria e supergravità (si veda ad esempio il testo [22] della Bibliografia finale). 14.1.1 Esempio: il modello di Wess-Zumino L’esempio precedentemente illustrato non costituisce un modello supersimmetrico algebricamente consistente perchè l’algebra dei generatori non si chiude. Si trova, in particolare, che la relazione fornita dall’Eq. (14.17), che collega il commutatore di due trasformazioni SUSY e la traslazione infinitesima, non viene riprodotta se si opera sul campo ψ anzichè su φ come fatto nella sezione precedente. Ciò è dovuto al fatto che le componenti bosoniche e fermioniche del modello hanno un numero di gradi di libert` a differente. Infatti, un campo scalare reale ha una sola componente, mentre uno spinore di Majorana ha quattro componenti reali. Lavorando “on-shell”, ossia imponendo che siano soddisfatte le equazioni del moto, 2φ = 0 = iγ μ ∂μ ψ, le componenti indipendenti dello spinore si riducono a due, ma anche in questo caso il numero di gradi di libert` a non coincide. Questa difficolt` a pu` o essere facilmente risolta aumentando il numero delle componenti bosoniche, come avviene nel cosiddetto modello di Wess-Zumino1 che contiene tre campi reali: uno scalare A, uno pseudo-scalare B, e uno spinore di Majorana ψ = ψc , descritti dalla Lagrangiana: 1

J. Wess e B. Zumino, Nucl. Phys. B 70, 39 (1974).

242


L=

1 1 ∂μ A∂ μ A + ∂μ B∂ μ B + iψγ μ ∂μ ψ 2 2

(14.22)

(abbiamo omesso, per semplicità, termini di interazioni tra i campi). Imponendo le equazioni del moto 2A = 0,

2B = 0,

iγ μ ∂μ ψ = 0,

(14.23)

rimangono due gradi di libert` a bosonici e due fermionici, perchè l’equazione di Dirac impone due condizioni (di Weyl) sulle 4 componenti dello spinore, dimezzando cos`ı il numero delle componenti indipendenti. La versione “onshell” del modello è quindi appropriata a sostenere una eventuale struttura supersimmetrica che risulti algebricamente consistente. Infatti, il modello di Wess-Zumino è globalmente supersimmetrico rispetto alle seguenti trasformazioni, δA = ψ, δB = i γ 5 ψ,

i δψ = − γ μ ∂μ A + iγ 5 B , 2

(14.24)

dove = c è un parametro spinoriale costante (di Majorana). Questa trasformazione induce una variazione della Lagrangiana che si pu` o mettere nella forma di quadri-divergenza, δL = ∂μ K μ , anche senza usare le equazioni del moto, esattamente come nel caso dell’esempio precedente. A differenza del caso precedente, però, il commutatore di due trasformazioni di supersimmetria produce lo stesso risultato qualunque sia il campo (A, B, ψ) a cui viene applicato, purchè vengano usate le equazioni del moto del campo spinoriale. Si pu` o verificare, in particolare, che vale la relazione ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A A [δ2 , δ1 ] ⎝ B ⎠ = −i 1 γ μ 2 ∂μ ⎝ B ⎠ , (14.25) ψ ψ in accordo a quella ottenuta nell’Eq. (14.17) (si veda l’Esercizio 14.2). Se non si usano le equazioni del moto l’algebra invece non si chiude, perchè il modello contiene solo 2 gradi di libert` a bosonici, a confronto dei 4 gradi di libert` a fermionici. ` per` E o possibile rendere il modello algebricamente consistente anche “offshell” – ossia senza imporre le equazioni del moto – aggiungendo alla Lagrangiana due campi di tipo “ausiliario” (senza termine cinetico): uno scalare F e uno pseudo-scalare G. La nuova Lagrangiana, L=

1 ∂μ A∂ μ A + ∂μ B∂ μ B − F 2 − G2 + iψγ μ ∂μ ψ, 2

(14.26)

è invariante (modulo una divergenza totale) rispetto alle seguenti trasformazioni di supersimmetria globale

14.2 Il campo di Rarita-Schwinger

δA = ψ, δB = i γ 5 ψ,

i 1 δψ = − γ μ ∂μ A + iγ 5 B + F − iγ 5 G , 2 2 δF = −i γ μ ∂μ ψ, δG = γ μ γ 5 ∂μ ψ.

243

(14.27)

In questo caso si trova che il commutatore di due trasformazioni fornisce un risultato consistente, proporzionale a una traslazione effettiva, qualunque sia il campo a cui viene applicato e senza usare le equazioni del moto.

14.2 Il campo di Rarita-Schwinger Un altro esempio di supersimmetria globale si pu` o ottenere considerando un sistema di particelle di spin 2 e spin 3/2 nello spazio-tempo piatto di Minkowski. Questo esempio è particolarmente rilevante per una successiva estensione al caso di trasformazioni locali, e per la costruzione di un semplice modello di supergravit` a. Per illustrare questa possibilit` a dobbiamo innanzitutto ricordare che una particella di spin 3/2 (detta anche “gravitino”) è rappresentata dal campo vettoriale-spinoriale di Rarita Schwinger, ψμA . Questo campo fornisce contemporaneamente una rappresentazione vettoriale del gruppo di Lorentz nell’indice μ e una spinoriale nell’indice A: possiede quindi, in generale, 4 × 4 = 16 componenti complesse, che diventano 16 parametri reali se se lo spinore è di Majorana. La sua azione nello spazio di Minkowski si pu` o scrivere nella forma i (14.28) S = d4 x μναβ ψ μ γ5 γν ∂α ψβ , 2 dove la somma sugli indici spinoriali è sottintesa. Tale azione è invariante per la trasformazione “di gauge” ψμ → ψμ + ∂μ λ,

(14.29)

dove λ è un campo spinoriale. La variazione rispetto a ψ μ fornisce l’equazione del moto Rμ ≡ i μναβ γ5 γν ∂α ψβ = 0. (14.30) Usando le propriet` a delle matrici di Dirac e la trasformazione di gauge (14.29) tale equazione si pu` o ridurre a un insieme di condizioni pi` u semplici, che risultano convenienti per le successive applicazioni supersimmetriche. A questo scopo moltiplichiamo scalarmente Rμ per γμ , e sfruttiamo i risultati delle equazioni (13.36), (13.34). Otteniamo:

244


1 1 γμ Rμ = − γμ γ [μ γ α γ β] ∂α ψβ 2 2

1 μ α β = − γμ γ γ γ − 2η μα γ β ∂[α ψβ] 2 = −γ [α γ β] ∂α ψβ

1 1 βα = − γ α γ β ∂α ψ β + 2η − γ α γ β ∂α ψβ 2

2 = −γ a ∂α γ β ψβ + ∂ α ψα .

(14.31)

Consideriamo inoltre l’espressione Aν =

1 ν γ (γμ Rμ ) − Rν , 2

(14.32)

e osserviamo che (usando i precedenti risultati): Rν = −γ ν γ [α γ β] ∂α ψβ + 2η να γ β ∂[α ψβ]

= −γ ν γ a ∂α γ β ψβ + γ ν ∂ α ψα + ∂ ν γ β ψβ − γ β ∂β ψ ν .

(14.33)

Sostituendo questa forma di Rν nella definizione di Aν troviamo che i primi due termini si cancellano esattamente con il risultato (14.31), per cui rimane: Aν = γ β (∂β ψ ν − ∂ ν ψβ ) .

(14.34)

L’equazione di Rarita-Schwinger Rμ = 0 implica l’annullamento delle due espressioni (14.31) e (14.34), e fornisce quindi le due condizioni differenziali

∂ α ψα − γ a ∂α γ β ψβ = 0, γ μ (∂μ ψν − ∂ν ψμ ) = 0.

(14.35)

Sfruttando l’invarianza per la trasformazione (14.29) possiamo infine imporre la condizione di gauge (14.36) γ μ ψμ = 0. Sostituendo questa condizione nelle due equazioni (14.35) troviamo che l’equazione del gravitino si riduce all’equazione di Dirac per ciascuna delle componenti vettoriali del campo, iγ μ ∂μ ψν = 0,

(14.37)

pi` u la condizione di trasversalit` a vettoriale, ∂ μ ψμ = 0.

(14.38)

Un conteggio dei gradi di libert` a residui ci dice ora che le componenti vettoriali del gravitino si sono ridotte a 2, come è appropriato ad un campo di gauge trasverso a massa nulla (si consideri, ad esempio, il fotone). Inoltre, supponendo che si tratti di uno spinore di Majorana, le componenti spinoriali

14.2 Il campo di Rarita-Schwinger

245

indipendenti si sono ridotte a 2 parametri reali per effetto dell’equazione di Dirac, e si sono ulteriormente dimezzate per la condizione di gauge (14.36). L’insieme delle equazioni (14.36)–(14.38) descrive un campo fermionico di Majorana che ha in totale 2 × 1 = 2 gradi di libert` a dinamici, e che su presta quindi a formare un sistema supersimmetrico consistente in combinazione con un campo bosonico che possieda anch’esso 2 gradi di libert` a fisici nello spazio di Minkowski. Un possibile partner bosonico di questo tipo è rappresentato dal gravitone, come vedremo nella sezione seguente. 14.2.1 Supersimmetria globale gravitone-gravitino Nel Capitolo 9 abbiamo visto che le fluttuazioni della metrica di Minkowski possono essere descritte, nell’approssimazione lineare, da un campo tensoriale simmetrico hμν che soddisfa alle condizioni di trasversalità e traccia nulla, ∂ ν hμν = 0,

η μν hμν = 0,

e la cui azione libera è data dall’Eq. (9.48): 1 S= d4 x ∂α hμν ∂ α hμν . 4

(14.39)

(14.40)

Si noti che in questa sezione useremo unit` a in cui 2χ = 16πG/c4 = 1. Questo campo tensoriale descrive la dinamica di particelle di spin 2 e massa nulla (i gravitoni) e ha solo due componenti indipendenti, che nel vuoto rappresentano i due stati fisici di polarizzazione (si veda in particolare la Sez. 9.1.1). Il sistema gravitone-gravitino, rappresentato dai campi hμν e ψμ = ψμc disaccoppiati e immersi nello spazio di Minkowski, possiede dunque lo stesso numero di gradi di libert` a bosonici e fermionici, e costituisce un altro possibile esempio di sistema globalmente supersimmetrico. Ciò si pu` o facilmente verificare considerando la seguente trasformazione infinitesima (in unit` a 2χ = 1): δhμν = (γμ ψν + γν ψμ ) , δψμ = γ [α γ β] ∂α hμβ ,

(14.41)

c

a di dove = è un parametro spinoriale costante, di Majorana. La densit` Lagrangiana per il sistema gravitone-gravitino si ottiene dalle azioni (14.28) , (14.40), 1 i (14.42) ∂α hμν ∂ α hμν + μναβ ψ μ γ5 γν ∂α ψβ , 4 2 e la sua variazione infinitesima δL, indotta dalla trasformazione (14.41), si pu` o mettere nella forma δL = ∂μ K μ senza usare le equazioni del moto (il calcolo esplicito, che procede lungo le stesse linee dell’esempio della Sez. 1.4.1, è riportato nell’Esercizio 14.3). Le equazioni del moto per hμν e ψμ sono dunque invarianti, e il sistema risulta globalmente supersimmetrico. L = L2 + L3/2 =

246


14.3 Supergravit` a N = 1 in D = 4 dimensioni La supersimmetria globale presente in un sistema fisico può essere estesa al caso locale, come già sottolineato, rendendo il modello general-covariante e introducendo l’interazione gravitazionale. Ci` o suggerisce che il precedente sistema (14.42), che già include l’interazione gravitazionale a livello linearizzato, dovrebbe rappresentare un punto di partenza ideale per la costruzione di un modello localmente supersimmetrico e per lo studio delle sue propriet` a geometriche. Riprendiamo dunque il sistema di campi tensoriale-spinoriale di EinsteinRarita Schwinger (spin 2-spin 3/2), e generalizziamolo sia accoppiando il cama spazio-temporale curva, sia estendendo po ψμ alla geometria di una variet` l’azione del campo tensoriale alla forma esatta, non-lineare, rappresentata dalla curvatura scalare. Consideriamo perci` o l’azione 1 √ i μναβ

S = d4 x − −gR + ψ μ γ5 γν ∇α ψβ , (14.43) 2χ 2 e chiediamoci se è appropriata a rappresentare un semplice modello di supersimmetria locale (ovvero di supergravit` a). La risposta, a priori, non è necessariamente affermativa, poichè in caso contrario qualunque modello contenente bosoni e fermioni in un contesto general-covariante sarebbe automaticamente supersimmetrico (cosa che invece non avviene). Cominciamo con l’osservare che l’azione del gravitino è stata ottenuta dall’azione (14.28) mediante il principio di minimo accoppiamento, usando le tetradi per proiettare le metrici di Dirac dallo spazio tangente allo spaziotempo curvo come si conviene ad un campo spinoriale (si veda la Sez. 13.2). Le prescrizioni usate, in particolare, sono le seguenti: √ γa → γμ = Vμa γa , ∂μ → ∇μ . (14.44) d4 x → d4 x −g, √ L’assenza di −g nell’azione del gravitino è dovuta alla sostituzione – necessaria in uno spazio curvo – della densit` a antisimmetrica con il tensore antisimmetrico η (si veda la Sez. 3.2),

μναβ ,

μναβ → η μναβ = √ −g che porta alla notazione abbreviata √ d4 x −g η μναβ ≡ d4 x μναβ .

(14.45)

(14.46)

L’azione (14.43) non è definita, per` o, finchè non viene specificata la derivata covariante ∇α ψβ , che dipende dal modello geometrico scelto per la variet` a spazio-temporale. Il gravitino ψμA ha un indice μ che si trasforma in modo vettoriale rispetto alle trasformazioni generali di coordinate nello spazio-tempo

14.3 Supergravit` a N = 1 in D = 4 dimensioni

247

curvo, e un indice A che si trasforma in modo spinoriale rispetto alle trasformazioni locali di Lorentz nello spazio piatto tangente (si veda il Capitolo 12). La sua derivata covariante totale deve essere dunque un operatore generalcovariante nell’indice vettoriale e localmente Lorentz invariante nell’indice spinoriale. Ricordando i risultati dei Capitoli 12 e 13 (in particolare, l’Eq. (13.23)) possiamo perci` o scrivere la derivata covariante del gravitino come segue: 1 ∇μ ψν = ∂μ ψν + ωμ ab γ[a γb] ψν − Γμν α ψα 4 ≡ Dμ ψν − Γμν α ψα . (14.47) Nel secondo passaggio abbiamo esplicitamente separato la derivata covariante di Lorentz Dμ ψν , che agisce sugli indici spinoriali, dal termine di connessione Γ che agisce sull’indice curvo vettoriale. Si noti che siamo ritornati alle convenzioni usuali dei due capitoli precedenti: gli indici spinoriali sono sottintesi, le lettere latine a, b, c, . . . sono indici di Lorentz nel locale spazio piatto tangente, e le lettere greche μ, ν, α, . . . sono indici tensoriali nello spazio-tempo curvo. Infine, ω è la connessione di Lorentz (si veda la Sez. 12.3) e Γ è la connessione sullo spazio-tempo (si veda la Sez. 3.5). Lasciamo per il momento indefinita la loro forma particolare, perchè ci sono varie possibilit` a da prendere in considerazione. I) Una prima possibilit` a, che sembrerebbe la pi` u naturale nel contesto della teoria gravitazionale discussa fino a questo punto, è quella di adottare per la variet` a spazio-temporale la geometria di Riemann. In questo caso la torsione è nulla, Qμν α = Γ[μν] α = 0, la connessione ω = ω(V ) è determinata completamete dalle tetradi e coincide con quella di Levi-Civita (Eq. (12.47)), la connessione Γ coincide con quella di Christoffel Γg (Eq. (3.90)) e scompare dall’azione del gravitino perchè, in assenza di torsione, ∇[α ψβ] = D[α ψβ] . Arriviamo cos`ı al modello descritto dalla Lagrangiana i 1 √ −gR(g, Γg ) + μναβ ψ μ γ5 γν Dα (V )ψβ , (14.48) L=− 2χ 2 o, non è localmente supersimmedove Dα (V ) ≡ Dα (ω(V )). Tale modello, per` trico. Per renderlo tale bisogna aggiungere all’azione dei termini di interazione quadratici nella corrente spinoriale del gravitino, Jμν α = ψ μ γ α ψν . Poichè questa corrente è antisimmetrica in μ e ν pu` o far da sorgente (come vedremo nella prossima sezione) alla parte antisimmetrica della connessione Qμν α , e questo ci porta a considerare un’altra possibilit` a. II) Una seconda possibilit` a è quella di adottare per la variet` a spaziotemporale la cosiddetta geometria di Riemann-Cartan, caratterizzata dalla presenza di torsione, Qμν α = 0. In questo caso entrambe le connessioni contengono torsione, ω = ω(V, Q) = ω(V ) + K(Q), Γ = Γ (g, Q) = Γg − K(Q),

(14.49)

248


come prescritto, rispettivamente, dalle equazioni (12.45) e (3.86), e otteniamo il modello descritto dalla Lagrangiana 1 √ i −gR(g, Γg , Q) + μναβ ψ μ γ5 γν [Dα (V, Q)ψβ − Qαβ ρ ψρ ] , 2χ 2 (14.50) dove Dα (V, Q) ≡ Dα (ω(V, Q)). In questo modello la metrica (o le tetradi) e la connessione diventano variabili indipendenti, e c’è quindi una equazione di campo “in pi` u” rispetto alla relativit` a generale: l’equazione per la connessione che, risolta, determina la torsione in funzione della corrente spinoriale del gravitino: L=−

Qμν α ∼ Jμν α = ψ μ γ α ψν

(14.51)

(si veda la Sez. 14.3.1). Sostituendo nell’azione, ed eliminando dappertutto la torsione in funzione di Jμν α , si ottengono termini di interazione quadratici in J, del tipo di quelli che si volevano introdurre. Anche in questo caso, per` o, si trova che il modello ottenuto non è localmente supersimmetrico (sono ancora richieste correzioni di tipo J 2 ). III) Il corretto modello di supergravit` a2 , che risulta general-covariante e localmente supersimmetrico, e che include tutti (e soli) i termini di tipo (ψγψ)2 richiesti dalla supersimmetria, si pu` o formulare utilizzando la struttura geometrica di Einstein-Cartan come nel precedente caso II. Bisogna omettere, però, l’ultimo termine che appare nell’azione (14.50). Detto in modo pi` u esplicito, per accoppiare il gravitone e il gravitino bisogna seguire la procedura seguente. •

Usare per lo spazio-tempo il modello geometrico di Einstein-Cartan, con una connessione non-simmetrica di tipo (14.49), e con la torsione Q determinata dal gravitino secondo le equazioni di campo del modello. • Includere la torsione nell’azione gravitazionale, esprimendo la curvatura scalare in funzione della connessione (14.49). • Accoppiare il gravitino solo alla connessione di Lorentz, mediante la prescrizione covariante (14.52) ∂[μ ψν] → D[μ ψν] , Questo elimina, in particolare, l’ultimo termine dell’azione (14.50). Ci sono alcuni commenti che vanno fatti su quest’ultimo, importante punto. Poichè D[μ ψν] è diverso da ∇[μ ψν] in presenza di torsione (si veda l’Eq. (14.47)), la prescrizione (14.52) sembrerebbe indicare un accoppiamento “nonminimo”. A questo proposito bisogna notare per` o che il gravitino, pur essendo 2

D. Z. Freedman, P. van Neuwenhuizen e S. Ferrara, Phys. Rev. D13, 3214 (1976); S. Deser e B. Zumino, Phys. Lett. B62, 335 (1976).


249

un campo fermionico, è anche, a tutti gli effetti, un campo di gauge nell’indice vettoriale μ: in realt` a, è il campo “compensativo” necessario a restaurare l’invarianza nell’azione di Einstein quando si passa dalle trasformazioni di supersimmetria globale a quelle locali. Questa precisazione è cruciale perchè, da un punto di vista geometrico, i campi vettoriali di gauge Aμ si comportano come oggetti chiamati “1-forme” differenziali (si veda l’Appendice), A ≡ Aμ dxμ . In quanto tali, non possiedono indici espliciti nella variet` a spazio-temporale, e la loro derivata covariante esterna coincide sempre con la derivata covariante di gauge, ∇A = DA. ` vero che le componenti della derivata covariante esterna rappresentano E solo la parte antisimmetrica della derivata covariante, ∇A ≡ ∇[μ ψν] dxμ ∧ dxν (si veda l’Appendice), ma è anche vero che nell’azione di un campo di gauge entra sempre la parte antisimmetrica della derivata. Facendo riferimento a questa propriet` a si pu` o quindi dire che l’indice vettoriale di gauge si comporta, rispetto alla derivata covariante, come se fosse gravitazionalmente neutro3 . Questo principio fondamentale è valido per tutti i campi di gauge, ed è già stato sottolineato per il campo elettromagnetico nella Sez. 4.2 (anche se in quel contesto, privo di torsione, il risultato diventa triviale). Applicato al gravitino giustifica la prescrizione di accoppiamento (14.52), e la classifica come “minima”, contrariamente alle apparenze. Scomparsa la necessità di introdurre la connessione Γ nell’azione del gravitino, diventa conveniente formulare tutta l’azione utilizzando solo le tetradi Vμa e la connessione di Lorentz ωμ ab (oltre che, ovviamente, il campo ψμ ). Applicando le precedenti prescrizioni arriviamo dunque alla Lagrangiana L=−

i 1 V R(V, ω) + μναβ ψ μ γ5 γν Dα (ω)ψβ , 2χ 2

(14.53)

dove R(V, ω) è la curvatura scalare (12.55), dove 1 Dα (ω) = ∂α + ωα ab γ[a γb] , 4

(14.54)

e dove la connessione ω = ω(V, ψ) va determinata in funzione delle tetradi e del gravitino mediante le equazioni che seguono dall’azione. Questa Lagrangiana descrive il cosiddetto modello di supergravit` aN =1 (o “supergravit` a semplice”) in 4 dimensioni. L’appellativo N = 1 indica la presenza di un solo gravitino, che è necessario per rendere supersimmetrica l’‘azione di Einstein. Notiamo, per inciso, che per includere nuovi campi senza rompere la supersimmetria bisogna allargare il modello introducendo altri gravitini, che fungono da campi di gauge per le nuove supersimmetrie locali. Si ottengono cos`ı i modelli di “supergravit` a estesa” con N = 2, 3, . . . , 8 (per 3

Un campo di gauge non è, ovviamente, immune all’interazione gravitazionale, perchè interagisce con la gravit` a attraverso le altre modalit` a di accoppiamento (si veda ad esempio il Capitolo 4 sul campo elettromagnetico).

250


N > 8 sarebbe necessario introdurre spin 5/2 e superiori, che sembrano non essere accoppiabili in maniera consistente). Il pi` u semplice modello esteso, N = 2, include un campo di gauge di spin 1, e descrive l’accoppiamento supersimmetrico tra il doppietto di spin (2, 3/2) discusso in questa sezione e il doppietto di spin (3/2, 1). Tornando al caso “semplice” N = 1 notiamo che la Lagrangiana (14.53) è invariante, modulo una divergenza totale, rispetto alla seguente trasformazione di supersimmetria locale (che scriviamo, per semplicità, in unit` a χ = 8πG/c4 = 1), δVμa = (x)γ a ψμ ,

1 δψμ = −2Dμ (x) ≡ −2 ∂μ + ωμ ab γ[a γb] (x), 4

(14.55)

dove = c è un parametro spinoriale di Majorana (funzione del punto). Non abbiamo scritto la legge di trasformazione della connessione ω, che si può ottenere dalle due precedenti dopo aver espresso ω in funzione di V e di ψ (si veda la sezione seguente): δω =

δω(V, ψ) δω(V, ψ) δV + δψ. δV ψ

(14.56)

Nel calcolo di δL, per` o, la variazione di ω è moltiplicata dal termine δL/δω chè identicamente nullo se si esplicita la relazione ω = ω(V, ψ). Per verificare la supersimmetria locale della Lagrangiana (14.53) sono dunque sufficienti le leggi di trasformazione di V e di ψ (il calcolo esplicito è svolto nell’Esercizio 14.4). Il calcolo esplicito mostra che la variazione δL = ∂μ K μ è nulla se applichiamo le equazioni del moto del gravitino. Le equazioni del moto (che saranno derivate nella sezione seguente) sono necessarie anche per chiudere l’algebra dei generatori di supersimmetria perchè, in questo modello, il numero di gradi di libert` a bosonici e fermionici coincide solo “on-shell”. Infatti, i campi fondamentali del modello sono le tetradi, Vμa , e il gravitino, o ψμA , che è un fermione di Majorana. Tutti gli indici variano da 1 a 4, perci` ciascuno dei due campi è specificato, in generale, da 4 × 4 = 16 parametri reali. Le simmetrie presenti nel modello sono la covarianza generale, Lorentz locale e SUSY locale. Sulle tetradi possiamo imporre 6 condizioni mediante le trasformazioni locali di Lorentz, e 4 condizioni mediante una trasformazione generale di coordinate. Rimangono 6 componenti bosoniche indipendenti (che sono i gradi di libert` a di un generico campo gravitazionale in 4 dimensioni, come già sottolineato in Sez. 7.2). Mediante una trasformazione di supersimmetria locale possiamo imporre sul gravitino 4 condizioni, che lasciano 12 componenti fermioniche indipendenti. Tali componenti si dimezzano (e quindi il loro numero diventa uguale a


251

quello bosonico) se imponiamo le equazioni del moto. Per rendere invece l’algebra consistente anche “off-shell” è necessario aggiungere 6 gradi di libert` a bosonici. La scelta convenzionale è quella di aggiungere 3 campi ausiliari: uno scalare S, uno pseudo-scalare P , e un vettore assiale Aμ (ma esistono anche possibilit` a pi` u complesse, che introducono 6 + n componenti bosoniche e n componenti fermioniche). 14.3.1 Equazioni di campo per la metrica e il gravitino Per ottenere le equazioni di campo del modello di supergravit` a considerato adottiamo il cosiddetto formalismo di Palatini (si veda la Sez. 12.3.1), e variamo la Lagrangiana (14.53) trattando V , ω e ψ come tre variabili indipendenti. Cominciamo con la variazione rispetto a ω, che permette di determinare in modo esplicito la torsione presente nel modello, e di esprimere la connessione di Lorentz in funzione delle tetradi e del gravitino. Variazione rispetto alla connessione La variazione della parte gravitazionale dell’azione è gi` a stata effettuata nella Sez. 12.3.1, ed il risultato è dato dall’Eq. (12.60). La parte relativa al gravitino fornisce i (14.57) δω L3/2 = μναβ ψ μ γ5 γν γ[a γb] ψβ δωα ab . 8 Usando le popriet` a (13.34), (13.36) delle matrici di Dirac abbiamo

γ5 γν γ[a γb] = γ5 Vνc γc γ[a γb] = γ5 Vνc γ[a γb γc] + 2ηc[a γb] = −i abcd Vνc γ d + γ5 Vνa γb − γ5 Vνb γa .

(14.58)

Perciò, sostituendo in δω L, 1 μναβ

abcd Vνc ψ μ γ d ψβ δωα ab 8 i + μναβ Vνa ψ μ γ5 γb ψβ δωα ab . 4

δω L3/2 =

(14.59)

Il secondo termine di questa variazione è nullo perchè la corrente ψ μ γ5 γb ψβ = ψ β γ5 γb ψμ è simmetrica in μ e β (si veda l’Eq. (14.90) dell’Esercizio 14.2). Sommando il contributo del primo termine al contributo che viene dalla variazione dell’azione gravitazionale, Eq. (12.60), otteniamo χ D[μ Vν]a = − ψ μ γ a ψν , 4

(14.60)

che rappresenta l’equazione di campo per la connessione. Richiamando la propriet` a di metricit` a delle tetradi possiamo ora osservare che il membro sinistro di questa equazione definisce esattamente il tensore di

252


torsione Qμν α (si veda ad esempio l’Eq. (12.40) e l’Eq. (12.41)). Tale tensore risulta dunque determinato dalla corrente vettoriale (di Dirac) del gravitino, χ Qμν a = − ψ μ γ a ψν , 4

(14.61)

e sfruttando il risultato generale (12.45) possiamo immediatamente esprimere la connessione di Lorentz come segue: ωμab = Vμc ωcab = Vμc (Ccab − Cabc + Cbca )

χ + Vμc ψ c γb ψa − ψ a γc ψb + ψ b γa ψc . 4

(14.62)

Ricordiamo che il simbolo Cabc indica i coefficienti di rotazione di Ricci, definiti nell’Eq. (12.43). Variazione rispetto alle tetradi Variamo ora rispetto alle tetradi. La variazione dell’azione gravitazionale è già stata effettuata nella Sez. 12.3.1, ed il risultato è espresso dall’Eq. (12.62). Nel’azione del gravitino le tetradi appaiono esplicitamente solo nella proiezione della matrice γν = Vνc γc (il gravitino e la connessione sono variabili indipendenti). La variazione fornisce dunque: i δV L3/2 = − μναβ ψ μ γ5 γc Dν ψβ δVαc 2

(14.63)

(abbiamo messo in evidenza la variazione con gli indici δVαc per confrontarla direttamente con con la variazione (12.62) dell’azione di Einstein). Sommando i due contributi otteniamo (14.64) Gα c = χ θ α c , dove G è il tensore di Einstein dell’Eq. (12.64), e θα c =

i μναβ

ψ μ γ5 γc Dν ψβ 2

(14.65)

è il tensore canonico energia-impulso del gravitino. Si noti che tale tensore non è simmetrico, cos`ı come non lo è il tensore di Einstein che appare al membro sinistro, e che è costruito a partire da una ` sempre possibile però riscrivere l’Eq. (14.64) in connessione con torsione. E forma simmetrica “Einsteiniana” esprimendo esplicitamente i contributi torsionici nell’azione (14.53) mediante la relazione (14.61), e separandoli dalla parte Riemanniana della curvatura e della derivata covariante del gravitino. Ripetendo la variazione rispetto alle tetradi (o alla metrica) si ottiene allora dall’azione gravitazionale l’ordinario tensore di Einstein (simmetrico), e dal resto dell’azione il tensore metrico (e simmetrico) energia-impulso del gravitino.


253

Variazione rispetto al gravitino Variando infine l’azione rispetto a ψ μ si ottiene l’equazione del moto del gravitino, (14.66) Rμ ≡ μναβ γ5 γν Dα ψβ = 0. Tale equazione deve soddisfare la condizione di consistenza Dμ Rμ = 0 (in caso contrario ci sarebbero ulteriori vincoli da applicare al modello, e l’accop` istruttivo verificare piamento al gravitone potrebbe non essere consistente). E esplicitamente che tale relazione è soddisfatta, purchè siano soddisfatte anche le equazioni del moto (14.64) e (14.60) per le tetradi e la connessione. Applicando la derivata covariante di Lorentz a Rμ abbiamo due contributi, generati rispettivamente da ψβ e dalla tetrade usata per proiettare la matrice γν = Vνa γa : Dμ Rμ = μναβ γ5 γν D[μ Dα] ψβ + γa Dα ψβ D[μ Vν]a (14.67) (le parentesi di antisimmetrizzazione sono dovute alla contrazione con μναβ ). L’ultimo termine (che chiameremo A) è proporzionale alla torsione, ed usando l’equazione di campo (14.60) otteniamo immediatamente (in unit` a χ = 1): A=−

1 ψ γ a ψν γ5 γa Dα ψβ μναβ . 4 μ

(14.68)

Calcoliamo ora il primo termine, e mostriamo che si cancella esattamente con questo. Per questo calcolo ci serve il commutatore di due derivate covarianti di Lorentz applicate a uno spinore. A questo scopo ricordiamo la definizione generale di Dμ in funzione dei generatori Jab (si veda l’Eq. (12.22)), applichiamo il commutatore a un generico campo, e sfruttiamo l’algebra dei generatori (12.20). Otteniamo cos`ı il risultato generale

i ∂μ ων ab − ∂ν ωμ ab Jab ψ 2 1 ab cd − ωμ ων [Jab , Jcd ] ψ 4 i = − Rμν ab (ω)Jab ψ, 2

[Dμ , Dν ] ψ = −

(14.69)

dove Rμν ab è la curvatura di Lorentz (12.54). Per un campo vettoriale, usando i generatori (12.29), ritroviamo il risultato dell’Eq. (12.51). Per un campo spinoriale dobbiamo usare i generatori (13.11), ed abbiamo: D[μ Dν] ψ =

1 1 [Dμ , Dν ] ψ = Rμν ab γ[a γb] ψ. 2 8

Il primo termine dell’Eq. (14.67) (che chiameremo B) diventa quindi

(14.70)

254


B=

1 γ5 γν γ[a γb] ψβ Rμα ab μναβ . 8

(14.71)

La combinazione di matrici di Dirac che appare all’inizio di questa equazione è già stata calcolata nell’Eq. (14.58). Sfruttando tale risultato abbiamo: i B = − μναβ abcd Rμα ab Vνc γ d ψβ 8 1 + μναβ Rμαν b γ5 γb ψβ . 4

(14.72)

Il primo termine di questa equazione (che chiameremo B1 ) è proporzionale al tensore di Einstein. Sfruttando il risultato dell’Esercizio 12.4 (Eq. (12.75)) otteniamo infatti: i i μαβ d B1 = − Rμα ab Vabd γ ψβ = Gβ d γ d ψβ . 8 2

(14.73)

Possiamo quindi usare l’equazione di campo (14.64), che fornisce

1 B1 = − μναβ ψ μ γ5 γa Dν ψβ γ a ψα . 4

(14.74)

Il secondo termine dell’Eq. (14.72) (che chiameremo B2 ) è proporzionale a a di Bianchi per il tensore di curvatura. Rμαν b , che è determinato dalle identit` Se usassimo la geometria di Riemann questo termine sarebbe nullo (si veda la Sez. 6.2), e l’equazione del gravitino non sarebbe consistente. Per calcolare Rμαν b nella geometria di Riemann-Cartan consideriamo il commutatore di due derivate covarianti che agiscono sulle tetradi, ed applichiamo l’Eq. (12.51): 2D[μ Dα] Vνb = Rμα b c Vνc = −Rμαν b .

(14.75)

Prendendo la parte completamente antisimmetrica in μ α, ν, e usando ancora l’equazione per la torsione (14.60), arriviamo a R[μαν] b = −2D[μ Dα Vν]b =

1 D[μ ψ α γ b ψν] = ψ [α γ b Dμ ψν] , 2

(14.76)

e quindi

1 μναβ

ψ α γ b Dμ ψν γ5 γb ψβ . (14.77) 4 Per mostrare che la somma dei contributi A + B1 + B2 è nulla usiamo ora l’identit` a di Fierz, che per tre spinori a 4 componenti ξ, ψ, χ si scrive B2 =

1 " i

ξψ χA = − ξΓ χ (Γi ψ)A , 4 i

(14.78)

dove il simbolo Γ i indica i 16 operatori matriciali che fanno da base per le matrici 4 × 4,

a < b. (14.79) Γ i = 1, γ α , σ ab , γ a γ 5 , γ 5 ,


255

Applicando tale identit` a possiamo riscrivere B1 come segue: B1 =

1 μναβ

ψ μ Γ i ψα γ a Γi γ5 γa Dν ψβ . 16

(14.80)

A questa espressione contribuiscono solo i termini che danno una corrente ψ μ Γ i ψα antisimmetrica in μ e α, e quindi (per le propriet` a di anticommutazione di Majorana), contribuiscono solo γ μ e σ μν . Però γ a σμν γa ≡ 0, per cui rimane

1 μναβ

ψ μ γ b ψα γ5 γ a γb γa Dν ψβ 16

1 μναβ = ψ μ γ b ψα γ5 γ a (−γa γb + 2ηab ) Dν ψβ

16

1 = − μναβ ψ μ γ b ψα γ5 γb Dν ψβ 8

1 μναβ =

ψ μ γ b ψν γ5 γb Dα ψβ 8

B1 =

(14.81)

(nell’ultimo passaggio abbiamo scambiato i nomi degli indici di somma α e β). Ripetendo la stessa procedura per il termine B2 abbiamo B2 =

1 μναβ

ψ α γ a ψβ γ5 γ a D μ ψν . 8

(14.82)

Quindi B2 = B1 = −A/2, e la somma dei contributi (14.68), (14.81), (14.82) si annulla esattamente fornendo Dμ Rμ = 0 e garantendo la consistenza del modello di supergravit` a considerato.

Esercizi Capitolo 14 14.1. Propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana a: Dimostrare che per due spinori di Majorana = c e ψ = ψ c vale la propriet`

ψ = ψ .

(14.83)

14.2. Commutatore delle trasformazioni supersimmetriche “on-shell” Verificare la validit` a del risultato (14.25) per i campi B e ψ del modello di Wess-Zumino, sfruttando le propriet` a degli spinori di Majorana e imponendo che le equazioni del moto siano soddisfatte. 14.3. Supersimmetria globale gravitone-gravitino Mostrare che la Lagrangiana (14.42) è invariante per le trasformazioni globali (14.41) modulo una divergenza totale.

256


14.4. Supersimmetria locale del modello di supergravit` a N =1 Calcolare la variazione δL della Lagrangiana (14.53) per effetto della trasformazione di supersimmetria locale (14.55), e mostrare che tale variazione si riduce a una divergenza totale, δL = ∂μ K μ , che si annulla se le equazioni del moto del gravitino sono soddisfatte.

Soluzioni 14.1. Soluzione Dalla condizione di Majorana (14.2) abbiamo C −1 = T ,

(14.84)

e quindi, usando le propriet` a (14.3) dell’operatore coniugazione di carica,

T

T

= C −1 = T C −1 = − T C −1 . Perciò:

(14.85)

T T T

ψ = − T C −1 Cψ = − T ψ = ψ = ψ . A

Gli ultimi due passaggi sono dovuti al fatto che gli spinori e ψ mutano, e quindi T ∗ = ψ∗A A = ψ . − T ψ = − A ψA

(14.86) A

anticom(14.87)

14.2. Soluzione Applicando le trasformazioni SUSY (14.24) al campo B, e calcolando il commutatore, otteniamo:

1

δ2 δ1 B = δ2 i 1 γ 5 ψ = 1 γ 5 γ μ ∂μ A + iγ 5 B 2 , 2 1 5 μ

i 5 μ 5

1 γ γ 2 ∂μ A +

1 γ γ γ 2 ∂μ B − {1 ↔ 2}. [δ2 , δ1 ]B = 2 2 (14.88) Il primo termine proporzionale a ∂μ A è simmetrico nello scambio degli indici 1 e 2, e quindi non contribuisce al commutatore. Infatti, ricordando le equazioni (14.3) e (14.85), ed usando le propriet` a {γ 5 , γ μ } = 0 = [γ 5 , C],

(14.89)

1 γ 5 γ μ 2 = − T1 C −1 γ 5 γ μ C T2 = T1 γ 5 γ μT T2

T = − 2 γ μ γ 5 1 = 2 γ 5 γ μ 1 .

(14.90)

abbiamo:


257

Riguardo al secondo termine proporzionale a ∂μ B notiamo che γ 5 γ μ γ 5 = −γ μ ,

(14.91)

e quindi, sfruttando il risultato (14.18), otteniamo infine [δ2 , δ1 ]B = −i ( 1 γ μ 2 ) ∂μ B,

(14.92)

in accordo con l’Eq. (14.25). Consideriamo ora il commutatore di due trasformazioni applicato a ψ, partendo dall’Eq. (14.24) e scrivendo esplicitamente le componenti spinoriali:

i 1 δ1 ψA = − ∂μ A (γ μ 1 )A + ∂μ B γ μ γ 5 1 A . 2 2

(14.93)

Perciò:

i i 5 [δ2 , δ1 ]ψA = − ( 2 ∂μ ψ) γ μ 1 +

2 γ ∂μ ψ γ μ γ 5 1 − {1 ↔ 2}. 2 2

(14.94)

` conveniente a questo punto usare l’identit` E a di Fierz (14.78) per riarrangiare il membro destro dell’Eq. (14.94), in modo da portare ∂μ ψ alla destra. Si ottiene cos`ı:

i " [δ2 , δ1 ]ψA =

2 Γ i 1 γ μ Γi ∂μ ψ 8 i

i "

2 Γ i 1 γ μ γ 5 Γi γ 5 ∂μ ψ − {1 ↔ 2}. (14.95) − 8 i

Osserviamo ora che a questa espressione contribuiscono solo gli operatori Γ i per i quali il termine 2 Γ i 1 è antisimmetrico nello scambio degli indici 1 e 2. Per le propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana ciò è possibile solo per γ μ e σ μν (definito dall’Eq. (13.10)). Nel caso di σ μν , per` o, si ha γ 5 σ μν γ 5 = σ μν , e i quattro termini dell’Eq. (14.95) si cancellano identicamente. Rimane quindi solo il contributo di γ μ , che fornisce i ( 2 γ ν 1 ) γμ γν ∂ μ ψ 2 i = ( 2 γ ν 1 ) (−γν γμ + 2ημν ) ∂ μ ψ. 2

[δ2 , δ1 ]ψ =

(14.96)

Il primo termine al membro destro è nullo per l’equazione del moto, che impone γμ ∂ μ ψ = 0. Arriviamo quindi al risultato finale che, sfruttando l’Eq. (14.18), si pu` o scrivere come [δ2 , δ1 ]ψ = −i ( 1 γ μ 2 ) ∂μ ψ, in accordo con l’Eq. (14.25).

(14.97)

258


14.3. Soluzione Calcoliamo innazitutto la variazione infinitesima del campo ψ μ . Dalla definizione (14.41) di δψμ , sfruttando il risultato dell’Eq. (13.46), otteniamo:

† δψ μ = γ [α γ β] γ 0 ∂α hμβ = − γ [α γ β] ∂α hμβ .

(14.98)

Variando la Lagrangiana (14.42) abbiamo quindi δL = ∂ α hμν ( γμ ∂α ψν )

i + μναβ − γ [ρ γ σ] γ 5 γ ν ∂ α ψ β ∂ρ hμ σ 2

μ

+ ψ γ 5 γ ν γ [ρ γ σ] ∂ α ∂ρ hβ σ

(14.99)

(abbiamo racchiuso in parentesi tonde i termini spinoriali). Consideriamo l’ultimo termine della parentesi quadra. Mettendo in evidenza una divergenza totale, i μ 5 ν [ρ σ] α α β (14.100)

μναβ ψ γ γ γ γ ∂ρ h σ , ∂ Vα ≡ ∂ 2 μ

sfruttando le propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana ψ e , e rinominando gli indici di somma μ e β, quest’ultimo termine si pu` o riscrivere come:

i ∂ α Vα − μναβ γ 5 γ ν γ [ρ γ σ] ∂ α ψ β ∂ρ hμ σ . (14.101) 2 La variazione (14.99) della Lagrangiana si riduce quindi a: δL = ∂ α hμν ( γμ ∂α ψν ) + ∂ α Vα i − μναβ γ 5 γ [ρ γ σ] γ ν + γ ν γ [ρ γ σ] ∂ α ψ β ∂ρ hμ σ . 2

(14.102)

Usando i risultati (13.34), (13.36), (13.49), relativi a prodotti delle matrici di Dirac, otteniamo: γ [ρ γ σ] γ ν + γ ν γ [ρ γ σ] = 2γ [ν γ ρ γ σ] = −2i νρσλ γ 5 γλ .

(14.103)

Sostituendo nell’Eq. (14.102), ed applicando la regola di prodotto (3.39) per i tensori completamente antisimmetrici, arriviamo a:

ρσλ

γλ ∂ α ψ β ∂ρ hμ σ . (14.104) δL = ∂ α hμν ( γμ ∂α ψν ) + ∂ α Vα − δμαβ Notiamo ora che l’ultimo termine dell’espressione precedente è diverso da zero solo se μ = ρ e μ = σ, in virt` u delle condizioni (14.39). L’unico contributo del ρσλ simbolo δμαβ viene dunque dal termine μ = λ, che corrisponde a

δμλ δαρ δβσ − δασ δβρ . (14.105)


259

La sua sostituzione nell’Eq. (14.104) fornisce allora: δL = ∂ α hμν ( γμ ∂α ψν ) + ∂ α Vα − ( γμ ∂α ψβ ) ∂ α hμβ + ( γμ ∂α ψβ ) ∂ β hμα .

(14.106)

Il primo e terzo termine al membro destro di questa equazione si cancellano identicamente. L’ultimo termine si pu` o mettere nella forma di divergenza totale,

(14.107) ∂a W α ≡ ∂α γμ ψβ ∂ β hμα , perchè il contributo di ∂α hμα è nullo grazie alla condizione (14.39). Otteniamo cos`ı che la variazione totale della Lagrangiana si pu` o scrivere come una quadridivergenza, (14.108) δL = ∂α (V α + W α ) ≡ ∂α K α , dove, usando le definizioni di (14.100) e (14.107),

i K α = ( γμ ψβ ) ∂ β hμα + μναβ ψ μ γ5 γν γ[ρ γσ] ∂ ρ hβ σ . 2

(14.109)

Usando l’Eq. (14.58) e sfruttando le propriet` a degli spinori di Majorana la corrente K α si pu` o anche riscrivere nella forma seguente: Kα =

1 i ( γμ ψν ) (∂ ν hμα + ∂ α hμν ) + μναβ ψ μ γ5 γ ρ ∂ν hβρ . 2 2 (14.110)

14.4. Soluzione Come discusso nel testo, è sufficiente effettuare la variazione rispetto alle variabili indipendenti V e ψ. Dobbiamo perci` o calcolare δL = δV L2 + δV L3/2 + δψ L3/2 ,

(14.111)

dove L2 e L3/2 indicano, rispettivamente, la parte gravitazionale e spinoriale della Lagrangiana (14.53). Per semplicit` a, e per consistenza con la definizione delle trasformazioni (14.55), nei calcoli seguenti porremo ovunque χ = 8πG/c4 = 1. Per la variazione della parte gravitazionale c’è solo il contributo di δV , e sfruttando i risultati (12.62), (12.75) possiamo scrivere immediatamente V (14.112) δV L2 = δV − R = Gμ a δVμa = ( γ a ψμ ) Gμ a , 2 dove G è il tensore di Einstein (12.64). Variamo ora la Lagrangiana di Rarita-Schwinger rispetto al gravitino, usando le trasformazioni δψμ = −2Dμ , δψ μ = −2Dμ . Otteniamo:

260


δψ L3/2 = −i μναβ Dμ γ5 γν Dα ψβ + ψ μ γ5 γν Dα Dβ

= −i μναβ ψ μ γ5 γν D[α Dβ] − γ5 γν D[μ Dα] ψβ − ( γ5 γa Dα ψβ ) Dμ Vνa + divergenza totale.

(14.113)

Consideriamo separatamente i primi due termini (che chiameremo C). Sfruttiamo innanzitutto il calcolo del commutatore (14.70), che fornisce:

i C = − μναβ ψ μ γ5 γν γ[a γb] Rαβ ab − γ5 γν γ[a γb] ψβ Rμα ab . 8

(14.114)

La combinazione delle matrici γ che appare in questa equazione è già stata calcolata nell’Eq. (14.58). Inserendo tale risultato otteniamo:

1 C = − μναβ abcd Vνc ψ μ γ d Rαβ ab − γ d ψβ Rμα ab 8

i − μναβ Vνa ψ μ γ5 γb Rαβ ab − γ5 γb ψβ Rμα ab . 4

(14.115)

Ricordando le propriet` a di anticommutazione degli spinori di Majorana possiamo inoltre scrivere ψ μ γ d = − γ d ψμ ,

ψ μ γ5 γb = γ5 γb ψμ

(14.116)

(si vedano gli Esercizi 14.1 e 14.2). Perci` o gli ultimi due termini dell’Eq. (14.115) si cancellano tra loro, mentre i primi due termini forniscono C=

1 μναβ

abcd Vνc Rμα ab γ d ψβ = −Gβ d γ d ψβ 4

(14.117)

(abbiamo usato l’Eq. (12.75)). Consideriamo ora l’ultimo termine dell’Eq. (14.113), ed eliminiamo D[μ Vν]a mediante l’Eq. (14.60) per la torsione. Sommando i due contributi l’Eq. (14.113) si riduce quindi a δψ L3/2 = −Gμ a ( γ a ψμ ) −

i ( γ5 γa Dα ψβ ) ψ μ γ a ψν μναβ . 4

(14.118)

Rimane infine da considerare la variazione di L3/2 rispetto a V , che fornisce i μναβ

ψ μ γ5 γa Dα ψb δVνa 2

i = μναβ ψ μ γ5 γa Dα ψb ( γ a ψν ) . 2

δV L3/2 =

(14.119)

Operiamo sugli spinori , ψν , ψβ un riarrangiamento di Fierz del tipo (14.78),

i δV L3/2 = − μναβ γ a Γ i γ5 γa Dα ψβ ψ μ Γi ψν , 8

(14.120)


261

e notiamo che l’unico contributo non nullo, corrispondente a una corrente ψ μ Γi ψν antisimmetrica in μ e ν, viene dalla matrice Γ i = γ a (il termine ψ μ σαβ ψν , anch’esso antisimmetrico, va escluso perchè γ a σαβ γa ≡ 0). Perciò:

i δV L3/2 = − μναβ γ5 γ a γ b γa Dα ψβ ψ μ γb ψν 8

i = − μναβ γ5 −γ b γ a + 2η ab γa Dα ψβ ψ μ γb ψν 8

i μναβ (14.121)

γ5 γ b Dα ψβ ψ μ γb ψν . =

4 Sommando tutti i contributi (14.112), (14.118) e (14.121) otteniamo un risultato nullo, a meno della divergenza totale trascurata in Eq. (14.113), che è data da:

(14.122) ∂μ K μ = −iDμ μναβ γ5 γν Dα ψβ . ` immediato verificare che tale divergenza si annulla se si impongono le E equazioni del moto (14.66) per il gravitino, come gi` a anticipato nel testo.

A Appendice. Il linguaggio delle forme differenziali

Questa Appendice non contiene novit` a di carattere fisico rispetto agli altri capitoli del libro (con l’unica eccezione della Sez. A.4.2), ma si prefigge lo scopo di riscrivere e riderivare alcuni risultati precedenti usando un diverso linguaggio: quello delle cosiddette forme esterne, o forme differenziali. Tale formalismo permette di scrivere le equazioni in un modo pi` u compatto che “nasconde” gli eventuali indici tensoriali relativi alla variet` a curva, e che risulta di grande utilit` a in varie applicazioni (ad esempio, nei calcoli di tipo variazionale). Il materiale presentato in questa Appendice non ha pretese nè di completezza nè di rigore formale, ma va inteso come un primo approccio di tipo operazionale e intuitivo a questo metodo di calcolo (chiamato anche “calcolo di Cartan”). L’obiettivo è quello di mettere rapidamente il lettore in grado di comprendere e di svolgere, anche autonomamente, i calcoli necessari per le teorie gravitazionali. Ai lettori eventualmente interessati a una trattazione pi` u rigorosa delle forme differenziali segnaliamo, ad esempio, il testo [10] della Bibliografia finale. Notiamo infine che in questa Appendice useremo sempre la convenzione degli indici introdotta nel Capitolo 12, Sez. 12.1: le lettere latine a, b, c, . . . indicheranno indici di Lorentz dello spazio piatto tangente, le lettere greche μ, ν, α, . . . indici tensoriali della variet` a curva. Per le sorgenti materiali useremo sempre unità h ¯ = c = 1. Inoltre, e a meno che non sia esplicitamente indicato il contrario, nelle prime tre sezioni A.1, A.2, A.3 assumeremo che la variet` a spazio-temporale abbia un arbitrario numero D di dimensioni, con segnatura (+, −, −, −, . . .).

A.1 Operazioni con le forme differenziali Partiamo dall’osservazione che l’elemento di superficie infinitesimo dx1 dx2 di una variet` a differenziabile risulta antisimmetrico rispetto alla trasformazione

264


che scambia tra loro le coordinate, x1 → x1 = x2 e x2 → x2 = x1 , perchè il determinante Jacobiano della trasformazione vale |∂x /∂x| = −1. Per cui (A.1) dx1 dx2 = − dx2 dx1 . Facendo riferimento al generico elemento di volume dx1 dx2 · · · dxD introduciamo dunque una composizione di differenziali detta prodotto esterno, dxμ ∧dxν , che è associativa e antisimmetrica, dxμ ∧ dxν = −dxν ∧ dxμ . In questo contesto definiamo come forma esterna di grado p – o, pi` u brevemente, p-forma – un elemento A dello spazio vettoriale lineare Λp generato dalla composizione esterna di p differenziali. Una p-forma si pu` o dunque rappresentare come un polinomio omogeneo di grado p nel prodotto esterno dei differenziali, A ∈ Λp

=⇒

A = A[μ1 ···μp ] dxμ1 ∧ · · · dxμp ,

(A.2)

dove dxμi ∧ dxμj = −dxμj ∧ dxμi per ogni coppia di indici, e dove A[μ1 ···μp ] , chiamate componenti della p-forma, corrispondono alle componenti di un tensore di rango p completamente antisimmetrico. Uno scalare φ, ad esempio si pu` o rappresentare come una zero-forma, un vettore covariante Aμ come una 1-forma A = Aμ dxμ , un tensore antisimmetrico Fμν come una 2-forma F = Fμν dxμ ∧ dxν , e cos`ı via. In una variet` a D-dimensionale la somma diretta degli spazi vettoriali Λp da 0 a D definisce la cosiddetta algebra di Cartan Λ, Λ=

D $

Λp .

(A.3)

p=0

Questo spazio vettoriale lineare è dotato di un’applicazione da Λ × Λ a Λ, il prodotto esterno, le cui propriet` a possono essere rappresentate nella base dei differenziali delle coordinate da una legge di composizione che è: 1) bilineare: (α dxμ1 ∧ · · · dxμp + β dxμ1 ∧ · · · dxμp ) ∧ dxμp+1 ∧ · · · dxμp+q = (α + β)dxμ1 ∧ · · · dxμp ∧ dxμp+1 ∧ · · · dxμp+q (A.4) (α e β sono arbitrari coefficienti numerici); 2) associativa: (dxμ1 ∧ · · · dxμp ) ∧ (dxμp+1 ∧ · · · dxμp+q ) = dxμ1 ∧ · · · dxμp+q ;

(A.5)

3) e antismmetrica: dxμ1 ∧ · · · dxμp = dx[μ1 ∧ · · · dxμp ] .

(A.6)

A.1 Operazioni con le forme differenziali

265

Quest’ultima propriet` a implica che il prodotto esterno di un numero di differenziali μp maggiore delle dimensioni D dello spazio-tempo risulti identicamente nullo. Sulla base di queste definizioni possiamo introdurre alcune importanti operazioni sulle forme esterne. A.1.1 Prodotto esterno Il prodotto esterno di una p-forma A ∈ Λp e di una q-forma B ∈ Λq è un’applicazione (che indicheremo con il simbolo ∧) da Λp × Λq a Λp+q che è bilineare e associativa, e che definisce la (p + q)-forma C tale che: C = A ∧ B = Aμ1 ···μp Bμp+1 ···μp+q dxμ1 ∧ · · · dxμp+q .

(A.7)

Si noti che le propriet` a di commutativit` a di questo prodotto dipendono dal grado delle forme coinvolte (ossia dal numero delle componenti differenziali che si scambiano). In generale vale la regola A ∧ B = (−1)pq B ∧ A.

(A.8)

A.1.2 Derivata esterna o essere interpretata, per quel La derivata esterna di una p-forma A ∈ Λp pu` che riguarda le regole di prodotto, come il prodotto esterno della 1-forma gradiente dxμ ∂μ e della p-forma A. Perciò è un’applicazione (che indicheremo con il simbolo d) da Λp a Λp+1 , che definisce la (p + 1)-forma dA tale che dA = ∂[μ1 Aμ2 ···μp+1 ] dxμ1 ∧ · · · dxμp+1 .

(A.9)

Se abbiamo uno scalare φ, ad esempio, la sua derivata esterna è data dalla 1-forma (A.10) dφ = ∂μ φdxμ . La derivata esterna della 1-forma A è data dalla 2-forma dA = ∂[μ Aν] dxμ ∧ dxν ,

(A.11)

e cos`ı via. Come immediata conseguenza della definizione (A.9) abbiamo che la derivata esterna seconda è sempre nulla, d2 A = d ∧ dA ≡ 0,

(A.12)

` utile ricordare, a questo punto, che qualunque sia il grado della forma A. E una p-forma A è detta chiusa se dA = 0, ed è detta esatta se soddisfa alla propriet` a A = dφ, dove φ è una forma di grado p − 1. Se una forma è esatta

266


allora – ovviamente – è anche chiusa. Ma se è chiusa non è necessariamente esatta (il risultato dipende dalle propriet` a topologiche della variet` a su cui è definita la forma). Dalla definizione (A.9) segue anche che, se la variet` a ha una connessione simmetrica (Γμν α = Γνμ α ), il gradiente ∂μ che appare nella derivata esterna pu` o essere sostituito dal gradiente covariante ∇μ . Infatti ∇μ1 Aμ2 μ3 ... = ∂μ1 Aμ2 μ3 ... − Γμ1 μ2 α Aαμ3 ... − Γμ1 μ3 α Aμ2 α... − · · · ,

(A.13)

per cui, antisimmetrizzando, tutti i termini con la connessione si cancellano. Quindi: dA = ∇A ≡ ∇[μ1 Aμ2 ···μp+1 ] dxμ1 ∧ · · · dxμp+1 . (A.14) Dalla definizione (A.9), e dalla regola di commutazione (A.8), possiamo infine ottenere le regole di Leibnitz generalizzate per la derivata esterna di un prodotto. Consideriamo, ad esempio, il prodotto esterno di una p-forma A e una q-forma B: ricordando che l’operatore d si comporta come una 1-forma abbiamo: d(A ∧ B) = dA ∧ B + (−1)p A ∧ dB, d(B ∧ A) = dB ∧ A + (−1)q B ∧ dA.

(A.15)

E cos`ı via per prodotti multipli. A.1.3 Duale e co-differenziale Un’altra operazione che risulta indispensabile per l’applicazione delle forme esterne ai modelli fisici è la cosiddetta dualit` a di Hodge, che associa a ogni p-forma il suo “complemento” (D − p)-dimensionale. Il duale di una p-forma A ∈ Λp è un’applicazione (che indicheremo con il simbolo ) da Λp a ΛD−p , che definisce la (D − p)-forma A tale che:

A=

1 Aμ1 ···μp ημ1 ···μp μp+1 ···μD dxμp+1 ∧ · · · dxμD . (D − p)!

(A.16)

Ricordiamo che il tensore completamente antisimmetrico η è collegata alla densità di Levi-Civita dalla relazione (A.17) ημ1 ···μD = |g| μ1 ···μD √ (si veda la Sez. 3.2, Eq. (3.34)). Va notato inoltre l’uso di |g| al posto di −g perchè, con la segnatura (+, −, −, −, . . .), il segno di det gμν in una variet` a D-dimensionale dipende dal numero (pari o dispari) delle D − 1 dimensioni spaziali. ` opportuno osservare che il quadrato dell’operatore duale non coincide E con l’identit` a, in generale. Applicando la definizione (A.16), infatti, troviamo

A.1 Operazioni con le forme differenziali

267

1 Aμ ···μ η μ1 ···μD ημp+1 ···μD ν1 ···νp dxν1 ∧ · · · dxνp p!(D − p)! 1 p 1 μ ···μ = (−1)p(D−p) (−1)D−1 δν11···νpp Aμ1 ···μp dxν1 ∧ · · · dxνp p!

( A) =

= (−1)p(D−p)+D−1 A.

(A.18)

Il fattore (−1)D−1 viene dalla regola di prodotto dei tensori completamente antisimmetrici poichè, in D − 1 dimensioni spaziali, e con le nostre notazioni,

012...D−1 = (−1)D−1 012...D−1 = (−1)D−1 .

(A.19)

Le regole di prodotto quindi si scrivono, in generale, μ ···μ

ην1 ···νp μp+1 ···μD η μ1 ···μD = (−1)D−1 (D − p)! δν11···νpp ,

(A.20)

μ ···μ

dove δν11···νpp è il determinante definito nell’Eq. (3.35). Il fattore (−1)p(D−p) viene invece dallo scambio dei p indici della forma A con i D − p indici della forma duale, scambio necessario per posizionare gli indici di η nella sequenza convenzionale come previsto dalla regola (A.20). Possiamo anche notare che il duale dell’identit` a, calcolato secondo la definizione (A.16), è direttamente collegato alla misura di integrazione scalare sull’ipervolume della variet` a data. Infatti:

1 ημ1 ···μD dxμ1 ∧ · · · dxμD D! = |g| 012...D−1 dx0 ∧ dx1 · · · dxD−1 = (−1)D−1 |g| dD x.

1=

(A.21)

Combinando questo risultato con la regola di prodotto ημ1 ···μD η μ1 ···μD = (−1)D−1 D!, otteniamo allora l’utile relazione dxμ1 ∧ · · · dxμD = |g| dD x η μ1 ···μD = dD x μ1 ···μD ,

(A.22)

(A.23)

che verrà applicata spesso nei calcoli successivi. L’operazione di dualit` a è indispensabile per definire i prodotti scalari che compaiono, per esempio, nell’integrale d’azione. Consideriamo infatti il prodotto esterno tra una p-forma A e il duale di un’altra p-forma B. Usando la definizione (A.16) e la relazione (A.23) otteniamo: 1 A ∧ B = Aμ1 ···μp B ν1 ···νp ην1 ···νp μp+1 ···μD dxμ1 ∧ · · · dxμD (D − p)! μ ···μ = (−1)D−1 dD x |g| Aμ1 ···μp B ν1 ···νp δν11···νpp D−1 = (−1) p! dD x |g|Aμ1 ···μp B μ1 ···μp (A.24)

268


(nel secondo passaggio abbiamo usato la regola di prodotto (A.20)). Tale risultato è valido per due forme A e B che hanno lo stesso grado p (ma il valore di p è arbitrario), e usando l’Eq. (A.21) si pu` o riscrivere come segue: A ∧ B = B ∧ A = p! 1 Aμ1 ···μp B μ1 ···μp .

(A.25)

Osserviamo infine che l’operatore duale permette di rappresentare la divergenza di una p-forma A prendendo la derivata esterna del suo duale, e poi “dualizzando” una seconda volta il risultato ottenuto. Si ottiene cos`ı la (p − 1)-forma (d A) che ha come componenti la divergenza del tensore antisimmetrico A[μ1 ···μP ] . Calcoliamo infatti la derivata esterna della forma duale (A.16): d A =

1 ∂α |g|Aμ1 ···μp μ1 ···μD dxα ∧ dxμp+1 ∧ · · · dxμD . (D − p)!

(A.26)

Prendendone il duale abbiamo

(d A) =

1 ∂α |g|Aμ1 ···μp μ1 ···μp μp+1 ···μD × (p − 1)!(D − p)! 1 × α μp+1 ···μD ν1 ···νp−1 dxν1 ∧ · · · dxνp−1 |g|

= p(−1)D−1+(p−1)(D−p) ∇α Aαν1 ···νp−1 dxν1 ∧ · · · dxνp−1 , (A.27) dove

1 ∇α A[αν1 ···νp−1 ] = ∂α |g|A[αν1 ···νp−1 ] |g|

(A.28)

è la divergenza covariante di un tensore completamente antisimmetrico, calcolata nell’ipotesi di connessione affine simmetrica. Sfruttando questo risultato è possibile definire un altro tipo di operatore che agisce sulle forme esterne, chiamato “co-differenziale”, o anche co-derivata esterna. Il co-differenziale di una p-forma è un’applicazione (che indicheremo con il simbolo δ) da Λp a Λp−1 , che definisce la (p − 1)-forma δA tale che: δA = p ∇α Aαμ1 ···μp−1 dxμ1 ∧ · · · dxμp−1 .

(A.29)

Il confronto con l’Eq. (A.27) mostra allora che la derivata esterna d e la co-derivata esterna δ sono collegate dalla relazione δ = (−1)D−1+(p−1)(D−p) d .

(A.30)

Nelle sezioni seguenti ci limiteremo all’uso degli operatori di dualit` a e derivata esterna, che saranno sufficienti per gli scopi di questa Appendice.

A.2 Uno-forme di base e di connessione: derivata covariante

269

A.2 Uno-forme di base e di connessione: derivata covariante Il linguaggio delle forme esterne è particolarmente appropriato, in un contesto geometrico, a rappresentare le equazioni della teoria gravitazionale proiettate sullo spazio piatto tangente. Usando le tetradi Vμa (si veda il Capitolo 12) possiamo infatti introdurre nello spazio tangente di Minkowski le 1-forme di base V a = Vμa dxμ , (A.31) e rappresentare ogni p-forma A ∈ Λp su questa base come A = A[a1 ···ap ] V a1 ∧ · · · V ap ,

(A.32)

μ

dove Aa1 ···ap = Aμ1 ···μp Vaμ11 · · · Vapp sono le componenti della forma proiettata sul locale spazio tangente. In questa rappresentazione il formalismo risulta indipendente dalla particolare carta scelta per parametrizzare la variet` a curva, finchè le equazioni non vengono esplicitamente riscritte in forma tensoriale. In assenza esplicita di indici curvi (ossia di componenti tensoriali generalcovarianti) la derivata covariante si riduce a quella di Lorentz (si veda la Sez. 12.2). Introducendo la 1-forma di connessione, ω ab = ωμ ab dxμ ,

(A.33)

dove ωμ ab è la connessione di Lorentz, possiamo allora definire la derivata (di Lorentz) covariante esterna. Data una p-forma ψ ∈ Λp , che si trasforma come una rappresentazione del gruppo di Lorentz con generatori Jab nel locale spazio tangente, la derivata covariante esterna è un’applicazione D da Λp a Λp+1 , che definisce la (p + 1)-forma Dψ tale che i Dψ = dψ − ω ab Jab ψ 2

(A.34)

(si veda l’Eq. (12.22)). Consideriamo, ad esempio, una p-forma a valori vettoriali, Aa ∈ Λp . I generatori di Lorentz vettoriali portano alla derivata covariante (12.30). La corrispondente derivata covariante esterna è data da DAa = Dμ1 Aμ2 ···μp+1 dxμ1 ∧ · · · dxμp+1 = dAa + ω a b ∧ Ab ,

(A.35)

dove dAa è l’ordinaria derivata esterna della Sez. A.1.2. Poichè l’operatore D è una 1-forma e Aa una p-forma, la derivata DAa è una (p + 1)-forma. Inoltre, DAa si trasforma correttamente in modo vettoriale per trasformazioni locali di Lorentz,

(A.36) DAa → Λa b DAb , perchè la 1-forma di connessione si trasforma come

270


k ω a b → Λa c ω c k Λ−1

a

b

− (dΛ)

c

Λ−1

c

b.

(A.37)

Quest’ultima equazione, scritta come relazione tra 1-forme differenziali, riproduce esattamente la legge di trasformazione per la connessione già ricavata nell’Esercizio 12.1 (si veda l’Eq. (12.67)). La definizione di derivata covariante esterna si applica facilmente a qualunque rappresentazione del gruppo locale di Lorentz. Se abbiamo in particolare una p-forma a valori tensoriali di tipo misto, ad esempio Aa b ∈ Λp , e ricordiamo la definizione (12.34) di derivata covariante per rappresentazioni tensoriali, possiamo immediatamente scrivere la derivata covariante esterna come DAa b = dAa b + ω a c ∧ Ac b − ω c b ∧ Aa c .

(A.38)

E cos`ı via per altri tipi di rappresentazione. Va notato che l’operatore differenziale D agisce sulla p-forma in modo indipendente dal grado p considerato. Le regole precedenti si applicano quindi senza cambiamenti anche al caso di zero-forme a valori tensoriali. Come importante esempio di zero-forma possiamo considerare la metrica η ab dello spazio di Minkowski tangente: troviamo allora che la sua derivata covariante esterna è una 1-forma nulla, Dη ab = dη ab + ω a c η cb + ω b c η ac = ω ab + ω ba ≡ 0,

(A.39)

in virt` u della antisimmetria della connessione di Lorentz, ω ab = ω [ab] . Un’altra zero-forma a valori tensoriali nello spazio tengnte è il tensore completamente antisimmetrico abcd . Applicando il risultato dell’Esercizio 12.3 è facile verificare che anche in questo caso la derivata covariante esterna, D abcd , è una 1-forma nulla. Le propriet` a della 1-forma D, intesa come operatore differenziale da Λp a Λp+1 , sono le stesse della derivata esterna d. Se abbiamo, ad esempio, una p-forma A e una q-forma B, la derivata covariante del loro prodotto esterno obbedisce alle regole D(A ∧ B) = DA ∧ B + (−1)p A ∧ DB, D(B ∧ A) = DB ∧ A + (−1)q B ∧ DA

(A.40)

(si veda l’Eq. (A.15)). La derivata covariante seconda per` o non è nulla, in generale, perchè dipende dalla curvatura. Applicando due volte l’operatore D alla p-forma ψ dell’Eq. (A.34), e ricordando il risultato (14.69), abbiamo infatti D2 ψ = D ∧ Dψ = Dα Dβ ψμ1 ···μp dxα ∧ dxβ ∧ dxμ1 ∧ · · · dxμp i = − Rαβ ab (ω)Jab ψμ1 ···μp dxα ∧ dxβ ∧ dxμ1 ∧ · · · dxμp 4 i = − Rab Jab ∧ ψ, (A.41) 2

A.3 Due-forme di torsione e di curvatura: equazioni di struttura

271

dove Rαβ ab è la curvatura di Lorentz (12.54), e dove abbiamo definito la 2-forma di curvatura 1 Rμν ab dxμ ∧ dxν 2

= ∂[μ ων] + ω[μ| a c ω|ν] cb dxμ ∧ dxν

Rab =

= dω ab + ω a c ∧ ω cb .

(A.42)

Se ψ, in particolare, è un campo vettoriale, ψ → Aa , e quindi Jab sono i corrispondenti generatori vettoriali (12.29), l’Eq. (A.41) diventa D2 Aa = Ra b ∧ Ab .

(A.43)

Questa equazione trascrive e riproduce, nel linguaggio delle forme esterne, il risultato (12.51) relativo al commutatore di due derivate covarianti applicate a un vettore. Si noti che l’Eq. (A.43) pu` o anche essere ottenuta prendendo direttamente la derivata covariante esterna dell’Eq. (A.35). Applicando due volte l’operatore a delle forme, abbiamo infatti D alla forma vettoriale Aa , ed usando le propriet` D2 Aa = D ∧ DAa = d(DAa ) + ω a c ∧ DAc

= d2 Aa + dω a b ∧ Ab − ω a b ∧ dAb + ω a c ∧ dAc + ω c b ∧ Ab

= (dω a b + ω a c ∧ ω c b ) ∧ Ab ≡ R a b ∧ Ab ,

(A.44)

dove Rab è data dall’Eq. (A.42).

A.3 Due-forme di torsione e di curvatura: equazioni di struttura Nel Capitolo 12 abbiamo visto che la connessione di Lorentz ω rappresenta il “potenziale di gauge” non-Abeliano associato alla simmetria locale di Lorentz, e che la curvatura R(ω) rappresenta il “campo di gauge” (o campo di Yang Mills) corrispondente. Nel linguaggio delle forme esterne il potenziale è rappresentato dalla 1-forma di connessione, ω ab , e il campo di gauge dalla 2-forma di curvatira, Rab , entrambe definite nella sezione precedente. Nella sezione precedente abbiamo per` o introdotto, oltre alla connessione, un’altra variabile fondamentale per la teoria gravitazionale: la 1-forma V a che fa da base nello spazio di Minkowski tangente. Ricordando la condizione di metricità delle tetradi, Eq. (12.40), e prendendone la parte antisimmetrica, D[μ Vν]a ≡ ∂[μ Vν]a + ω[μ a ν] = Γ[μν] a ≡ Qμν a , possiamo associare alla 1-forma V a la 2-forma di torsione Ra tale che:

(A.45)

272


Ra = Qμν a dxμ ∧ dxν = D[μ Vν]a dxμ ∧ dxν = DV a .

(A.46)

Le equazioni che definiscono le 2-forme di torsione e di curvatura in funzione delle 1-forme di base e di connessione, Ra = DV a = dV a + ω a b ∧ V b , Rab = dω ab + ω a c ∧ ω cb ,

(A.47) (A.48)

si chiamano equazioni di struttura, perchè determinano la struttura geometrica della varietà considerata. L’equazione per la curvatura, in particolare, è una conseguenza diretta dell’algebra di Lie del gruppo di Lorentz, e rispecchia l’interpretazione di ω come potenziale di gauge per tale gruppo. Se anche l’equazione per la torsione fosse determinata dalla struttura algebrica di un gruppo di simmetria potremmo interpretare anche la 1-forma V a come potenziale di gauge, e la 2-forma di torsione come campo di gauge corrispondente. Nella sezione seguente mostreremo che la struttura geometrica descritta dalle equazioni (A.47), (A.48) è una conseguenza diretta della struttura algebrica del gruppo di Poincarè. Pi` u precisamente, mostreremo che la torsione e la curvatura definite da quelle equazioni rappresentano esattamente i campi di Yang-Mills per una teoria di gauge non-Abeliana basata sul gruppo di Poincarè. A.3.1 Teoria di gauge per il gruppo di Poincar` e Consideriamo un gruppo di simmetria locale G, caratterizzato da n generatori XA , A = 1, 2, . . . n, che soddisfano l’algebra di Lie [XA , Xb ] = ifAB C XC ,

(A.49)

dove fAB C = −fBA C sono le costanti di struttura del gruppo. Per formulare la teoria di gauge corrispondente (si veda la Sez. 12.1.1) μ associamo ad ogni generatore XA la 1-forma potenziale hA = hA μ dx con valori nell’algebra di Lie del gruppo, e poniamo μ h ≡ hA μ XA dx .

(A.50)

Introduciamo quindi la derivata covariante esterna, definita come: i D =d− h 2

(A.51)

(in unit` a g = 1, dove g è la costante di accoppiamento adimensionale). Il prodotto esterno di due derivate covarianti definisce la 2-forma R = RA XA del campo di gauge, o curvatura:


273

i i 2 D ψ = D ∧ Dψ = d − h ∧ d − h ψ 2 2 i i i 1 = − dhψ + h ∧ dψ − h ∧ dψ − h ∧ hψ 2 2 2 4 i (A.52) = − Rψ, 2

dove

i R = RA XA = dh − h ∧ h. (A.53) 2 Sostituendo h = hA XA , ed usando l’algebra di Lie (A.49), otteniamo

i RA XA = dhA XA − hB ∧ hC [XB , Xc ] 4 1 A = dh + fBC A hB ∧ hC XA . 4

(A.54)

Le componenti del campo di gauge, 1 RA = dhA + fBC A hB ∧ hC , 4

(A.55)

sono perciò determinate dalla struttura algebrica del gruppo di gauge considerato. Consideriamo ora il gruppo di Poincarè, ossia il gruppo massimo di ` caratterizzato dai dieci generatori isometrie dello spazio piatto tangente. E XA = {Pa , Jab },

(A.56)

dove Jab = −Jba (in questo caso l’indice A varia sulle 4 componenti del generatore di traslazioni Pa e sulle 6 componenti del generatore di rotazioni di Lorentz Jab ). Associamo a questi dieci generatori altrettante 1-forme, o potenziali di gauge, (A.57) hA = {V a , ω ab }, dove ω ab = −ω ba . Il corrispondente campo di gauge (o di Yang-Mills) R = RA XA si pu` o allora scomporre nelle componenti relative alle traslazioni e alle trasformazioni di Lorentz, R = RA XA = Ra Pa + Rab Jab ,

(A.58)

e la forma esplicita delle curvature Ra e Rab in funzione dei potenziali V a e ω ab è fissata dall’algebra di Lie del gruppo, secondo l’Eq. (A.55). L’algebra di Lie del gruppo di Poincarè è realizzata, in modo esplicito, dalle seguenti relazioni di commutazione tra i generatori Pa e Jab : [Pa , Pb ] = 0, [Pa , Jbc ] = i (ηab Pc − ηac Pb ) , [Jab , Jcd ] = i (ηad Jbc − ηac Jbd − ηbd Jac + ηbc Jad ) .

(A.59)

274


Il confronto con la relazione generale (A.49) ci dice che le costanti di struttura non-nulle sono d fa,bc d = 2ηa[b δc] = −fbc,a d i j i j fab,cd ij = 2ηd[a δb] δc − 2ηc[a δb] δd ,

(A.60)

dove abbiamo separato con una virgola gli indici, o le coppie di indici, relative rispettivamente ai generatori Pa e Jab . Sostituendo nella definizione di curvatura (A.55) otteniamo allora che il campo di gauge associato alle traslazioni, 1 1 Ra = dV a + fb,cd a V b ∧ ω cd + fcd,b a ω cd ∧ V b 4 4 1 a cd a b = dV + fcd,b ω ∧ V 2 = dV a + ηbd δca ω cd ∧ V b = dV a + ω a b ∧ V b ≡ DV a ,

(A.61)

coincide esattamente con la 2-forma di torsione (A.47); mentre il campo di gauge associato alle rotazioni di Lorentz, 1 Rab = dω ab + fij,cd ab ω ij ∧ ω cd 4

1 ηdi δja δcb − ηci δja δdb ω ij ∧ ω cd = dω ab + 2

1 a = dω ab + ωd ∧ ω bd − ωc a ∧ ω cb 2 = dω ab + ω a c ∧ ω cb ,

(A.62)

coincide esattamente con la curvatura di Lorentz (A.48). Una teoria della gravit` a basata su di una struttura geometrica di EinsteinCartan, caratterizzata da curvatura e torsione, si pu` o quindi interpretare come una teoria di gauge per il gruppo di Poincarè. La teoria della relativit` a generale di Einstein corrisponde al caso limite Ra = DV a = 0 in cui il campo di gauge torsionico è nullo, ossia il potenziale associato alle traslazioni è “puro gauge”. ` sempre possibile, in linea di principio, scegliere in modo arbitario la E struttura geometrica da applicare alla variet` a spazio-temporale. In generale, però, sono le sorgenti gravitazionali a determinare il tipo di struttura che risulta pi` u adatto (ed anche necessario per la consistenza fisica del modello). Abbiamo visto, ad esempio, che una connessione simmetrica è sufficiente per descrivere l’interazione gravitazionale dei corpi macroscopici, mentre nel caso del gravitno la presenza di torsione è necessaria per un accoppiamento gravitazionale minimo e consistente nel contesto di un modello localmente supersimmetrico. Nelle Sezioni A.4.1 e A.4.2 vedremo come, nel contesto della cosiddetta teoria di Einstein-Cartan, sono le sorgenti stesse a determinare la torsione – al pari della curvatura – tramite le equazioni di campo del modello.


275

A.3.2 Identit` a di Bianchi Concludiamo la Sez. A.3 mostrando che le identità di Bianchi, espresse nel linguaggio delle forme differenziali, si possono facilmente ricavare prendendo la derivata covariante esterna delle due equazioni di struttura (A.47), (A.48). La derivata esterna della torsione fornisce la I identit` a di Bianchi, che si scrive: DRa = dRa + ω a b ∧ Rb = dω a b ∧ V b − ω a b ∧ dV b + ω a b ∧ dV b + ω a c ∧ ω c b ∧ V b = Ra b ∧ V b .

(A.63)

La derivata esterna della curvatura di Lorentz fornisce la II identit` a di Bianchi, che si scrive DRab = dRab + ω a c ∧ Rcb + ω b c ∧ Rac

= dω a c ∧ ω cb − ω a c ∧ dω cb + ω a c ∧ dω cb + ω c i ∧ ω ib

+ω b c ∧ dω ac + ω a i ∧ ω ic ≡ 0. (A.64) Il membro destro di questa equazione si annulla identicamente perchè, usando le propriet` a delle forme differenziali introdotte nelle Sezioni A.1.1 e A.1.2, abbiamo ω b c ∧ dω ac = dω a c ∧ ω bc = −dω a c ∧ ω cb , (A.65) e quindi il primo e il penultimo termine, al membro destro, si cancellano a vicenda. Inoltre, ω b c ∧ ω a i ∧ ω ic = ω a i ∧ ω i c ∧ ω bc = −ω a i ∧ ω i c ∧ ω cb ,

(A.66)

e quindi anche l’ultimo e il terz’ultimo termine si cancellano a vicenda. Le identit` a di Bianchi (A.63), (A.64) valgono in generale per una connessione che soddisfa la condizione di metricit` a ∇g = 0 (si veda la Sez. 3.5), anche nel caso di torsione non nulla. Nel caso di torsione nulla è facile verificare che le identit` a trovate si riducono a quelle gi` a note, e già presentate in forma tensoriale nella Sez. 6.2. Per Ra = 0 l’Eq. (A.63) diventa infatti RA b ∧ V b = 0,

(A.67)

e quindi implica, in componenti, 1 b dxμ ∧ dxν ∧ dxα = 0, R[μν| a b V|α] 2 da cui si ottiene

(A.68)

276


R[μν a α] = −R[μνα] a = 0,

(A.69)

che coincide con la I identit` a di Bianchi (6.14). Dall’Eq. (A.64) abbiamo invece 1 D[μ Rαβ] ab dxμ ∧ dxα ∧ dxβ = 0, 2

(A.70)

D[μ Rαβ] ab = 0.

(A.71)

da cui D’altra parte (si veda il Capitolo 12), ∇μ Rαβ ab = Dμ Rαβ ab − Γμα ρ Rρβ ab − Γμβ ρ Rαρ ab ,

(A.72)

per cui, prendendo la parte antisimmetrica negli indici μ, α, β, il contributo di Γ scompare nel caso di torsione nulla (Γ[μα] ρ = 0). In questo caso l’Eq. (A.71) si pu` o riscrivere nella forma ∇[μ Rαβ] ab = 0,

(A.73)

e coincide con la II identit` a di Bianchi dell’Eq. (6.15).

A.4 Equazioni di campo con il metodo variazionale di Palatini Il metodo variazionale di Palatini, già introdotto ed usato nella Sez. 12.3.1, consiste nel variare l’azione trattando la connessione e le tetradi (o la metrica) come variabili indipendenti. In questa Appendice applicheremo tale metodo all’azione scritta nel linguaggio delle forme esterne, prendendo come variabili indipendenti le 1-forme di base, V a , e di connessione, ω ab . Di qui in avanti ci restringeremo, per semplicità, al caso di una variet` a spazio-temporale con D = 4 dimensioni (i calcoli svolti possono per` o essere estesi senza difficoltà al generico caso D-dimensionale). Osserviamo innanzitutto che l’azione gravitazionale (12.56) – che rappresenta l’integrale della densit` a di curvatura scalare sul quadri-volume considerato – si pu` o scrivere come l’integrale della seguente 4-forma differenziale, 1 (A.74) Sg = Rab ∧ (Va ∧ Vb ) . 2χ Usando la definizione di curvatura di Lorentz (A.42), la definizione di duale (A.16) e la relazione (A.23) abbiamo infatti Rab ∧ (Va ∧ Vb ) =

1 1 Rμν ab Vaα Vbβ ηαβρσ dxμ ∧ dxν ∧ dxρ ∧ dxσ 2 2

A.4 Equazioni di campo con il metodo variazionale di Palatini

√ 1 Rμν ab Vaα Vbβ ηαβρσ η μνρσ d4 x −g 4

√ 1 = − Rμν ab Vaα Vbβ δαμ δβν − δαν δβμ d4 x −g 2 √ = −R d4 x −g

277

=

(A.75)

(nel penultimo passaggio abbiamo usato anche la regola di prodotto (A.20) in D = 4). La curvatura scalare che appare in questa equazione è definita a partire dalla connessione di Lorentz come R = Rμν ab (ω)Vaμ Vbν ,

(A.76)

in accordo all’Eq. (12.55). L’azione totale (gravit` a pi` u sorgenti) si pu` o scrivere dunque nella forma 1 Sg = Rab ∧ (Va ∧ Vb ) + Sm (ψ, V, ω), (A.77) 2χ dove ψ è il campo materiale che fa da sorgente, χ = 8πG/c4 , e dove un possibile ulteriore termine di superficie (si veda la Sez. 7.1) è da considerarsi sottinteso. Nella prossima sezione varieremo questa azione rispetto a V a e ω ab per ottenere le corrispondenti equazioni di campo. A.4.1 Relativit` a generale ed equazioni di Einstein-Cartan Per variare l’azione (A.77) rispetto a V riscriviamo innanzitutto l’operatore duale in modo esplicito facendo riferimento alla base di 1-forme nello spazio tangente: 1 (Va ∧ Vb ) = abcd V c ∧ V d . (A.78) 2 La variazione della parte gravitazionale dell’azione fornisce allora

1 Rab ∧ δV c ∧ V d + V c ∧ δV d abcd δV Sg = 4χ ab

1 R ∧ V c abcd ∧ δV d , = (A.79) 2χ dove abbiamo usato l’anticommutativit` a del prodotto esterno di due 1-forme, δV c ∧ V d = −V d ∧ δV c , e l’antisimmetria del tensore negli indici c e d. A questo contributo va aggiunta la variazione dell’azione materiale rispetto a V , che si può scrivere in generale come δV Sm = θd ∧ δV d , (A.80) a canonica di energia e impulso, dove θd è una 3-forma che rappresenta la densit`

278


θd =

1 i θd iabc V a ∧ V b ∧ V c . 3!

(A.81)

La sua espressione esplicita dipende dal particolare tipo di sorgente considerato, come vedremo dagli esempi successivi. Sommando i due contributi (A.79), (A.80) otteniamo infine le equazioni di campo, 1 ab R ∧ V c abcd = −χθd , 2

(A.82)

che riproducono le equazioni di Einstein come un’uguaglianza tra 3-forme a valori vettoriali nello spazio tangente. Per riscrivere tali equazioni in forma tensoriale prendiamo le loro componenti usando le definizioni (A.42), (A.81), e le antisimmetrizziamo moltiplicandole per il tensore completamente antisimmetrico. Il membro sinistro dell’Eq. (A.82) fornisce allora 1 1 Rμν ab Vαa abcd μναβ = Rd β − Vdβ R, 4 2

(A.83)

dove abbiamo usato il risultato del”Esercizio 12.4 (Eq. (12.75)). Il membro destro fornisce χ (A.84) − θd i iabc abcβ = χθd β . 3! L’equazione di campo (A.82) si riscrive dunque in forma tensoriale come Gd β = χθd β ,

(A.85)

dove Gd β è il tensore di Einstein (A.83). Queste equazioni, per` o, non risultano esplicitamente determinate finchè non specifichiamo quale connessione va usata per calcolare la curvatura, il tensore di Einstein, e il tensore energia-impulso delle sorgenti. A questo proposito è necessario considerare la seconda equazione di campo, che si ottiene variando l’azione (A.77) rispetto alla connessione ω. Calcoliamo innazitutto la variazione della curvatura Rab (ω). Dalla definizione (A.42) abbiamo δω Rab = dδω ab + δω a c ∧ ω cb + ω a c ∧ δω cb = dδω ab + ω a c ∧ δω cb + ω b c ∧ δω ac ≡ Dδω ab .

(A.86)

Consideriamo poi l’azione gravitazionale. Usando il risultato precedente, ricordando che D abcd = 0 (si veda la Sez. A.2), e ricordando la definizione di torsione (A.47), otteniamo: 1 Dδω ab ∧ V c ∧ V d abcd δ ω Sg = 4χ

ab 1 = D δω ∧ V c ∧ V d + 2δω ab ∧ Rc ∧ V d abcd (A.87) 4χ


279

(per il segno dell’ultimo termine abbiamo usato la propriet` a (A.40) delle derivate esterne). Osserviamo ora che il primo termine del precedente integrale corrisponde a una divergenza totale che fornisce, mediante il teorema di Gauss, un contributo di bordo. Infatti, è l’integrale della derivata covariante esterna di una 3-forma scalare, ossia è un integrale del tipo DA = dA = ∂[μ Aναβ] dxμ ∧ dxν ∧ dxα ∧ dxβ Ω Ω Ω √

√ = ∂μ Aναβ η μναβ −g d4 x = dSμ −g η μναβ Aναβ , Ω

∂Ω

(A.88) dove A = δω ab ∧ V c ∧ V d abcd .

(A.89)

Poichè A è proporzionale a δω il suo contributo di bordo è nullo, perchè la variazione vien fatta ad estremi fissi (δω = 0 su ∂Ω). Rimane dunque solo il secondo termine dell’Eq. (A.87), 1 (A.90) δω Sg = δω ab ∧ Rc ∧ V d abcd . 2χ Va poi considerato il contributo dell’azione materiale, la cui variazione rispetto a ω si pu` o esprimere in generale nella forma seguente, δω Sm = δω ab ∧ Sab , (A.91) dove Sab = −Sba è una 3-forma a valori tensoriali antisimmetrici che è collegata alla densit` a canonica di momento angolare intrinseco, e la cui forma esplicita dipende dal modello di sorgente considerato. Sommando i contributi (A.90) e (A.91) otteniamo la relazione 1 c R ∧ V d abcd = −χSab , 2

(A.92)

che rappresenta l’equazione di campo per la connessione. Risolvendo per ω e sostituendo nell’Eq. (A.82) arriviamo infine a determinare completamente il modello di gravit` a considerato. Le due equazioni (A.82), (A.92) vengono anche chiamate equazioni di Einstein-Cartan. Nel caso particolare in cui la sorgente considerata non d` a contributi all’equazione per la connessione – oppure i contributi forniti sono trascurabili – si riottengono le equazioni della relativit` a generale. Per Sab = 0 l’Eq. (A.92) implica infatti che la torsione deve essere nulla. Scriviamola in componenti tensoriali, antisimmetrizzando e ricordando la regola di prodotto (12.74). Otteniamo allora la condizione

280


1 1 μνβ d Q[μν c Vα]

abcd μναβ = Qμν c Vabc = 0, 2 2

(A.93)

ossia

1 Qab c Vcβ + Qbc c Vaβ + Qca c Vbβ − Qac c Vbβ − Qba c Vcβ − Qcb c Vaβ 2 (A.94) = Qab β + Qb Vaβ − Qa Vbβ = 0, dove Qb ≡ Qbc c . Moltiplicando per Vβb troviamo che la traccia deve essere nulla, Qa = 0, e l’Eq. (A.94) si riduce a Qab c ≡ 0.

(A.95)

La condizione di torsione nulla, d’altra parte, si scrive anche Ra = DV a = 0, ossia (A.96) D[μ Vν]a ≡ ∂[μ Vν]a + ω[μ a ν] = 0, che risolta per ω fornisce la connessione di Levi-Civita della relativit` a generale (si vedano le equazioni (12.41)-(12.48) con Q = 0). Con questa connessione l’Eq. (A.85) coincide esattamente con le equazioni di campo di Einstein: al membro sinistro si ritrova il tensore di Einstein simmetrico, calcolato dal tensore di curvatura di Riemann, e al membro destro si ritrova il tensore dinamico (e simmetrico) energia-impulso. Nel caso di torsione nulla, e nel linguaggio delle forme differenziali, la legge di conservazione covariante del tensore energia-impulso si ottiene prendendo la derivata covariante esterna dell’Eq. (A.82). Infatti, la derivata del membro sinistro è identicamente nulla, 1 DRab ∧ V c abcd = 0, 2

(A.97)

grazie alla II identit` a di Bianchi (A.64). Questo implica che anche la derivata del membro destro deve annullarsi, ossia che Dθa = 0.

(A.98)

L’Eq. (A.97) rappresenta l’identit` a di Bianchi contratta nel linguaggio delle forme differenziali. Passando al formalismo tensoriale – e cioè scrivendo le componenti e antisimmetrizzandole – abbiamo infatti: 1 ∇μ Rαβ ab Vνc abcd μναβ = 0. 4

(A.99)

Abbiamo sostituito Dμ con ∇μ perchè la differenza è rappresentata dal contributo dei simboli di Christoffel, che scompaiono antisimmetrizzando in μ, α, β (si veda l’Eq. (A.72)). Usando il risultato (12.75) per il prodotto dei tensori antisimmetrici, l’equazione precedente si riduce a:


1 ∇μ Rc μ − Vcμ R 2

281

= 0.

(A.100)

Sfruttando la condizione di metricit` a ∇V = 0 possiamo infine moltiplicare per Vνc , e riscrivere il risultato come ∇μ Gν μ = 0,

(A.101)

che coincide con l’identit` a contratta (6.26). Prendiamo ora le componenti dell’Eq. (A.98), usando la definizione (A.81), ed antisimmetrizzando. Ripetendo i passaggi precedenti, e ricordando che ∇μ ηρναβ = 0 (si veda l’Esercizio 3.7), otteniamo 1 1 ∇μ θa ρ ηρναβ η μναβ = − ∇μ θa μ = 0. 6 6

(A.102)

Moltiplicando infine per Vνa , ed usando ∇V = 0, arriviamo infine alla condizione (A.103) ∇μ θν μ = 0, che coincide con l’equazione di conservazione covariante (7.35). Esempio: campo scalare libero Concludiamo questa sezione con un semplice esempio di sorgente materiale che non genera torsione: un campo scalare φ a massa nulla. La sua azione si scrive (in unit` a ¯h = c = 1): 1 (A.104) Sm = − dφ ∧ dφ. 2 Infatti, applicando il risultato (A.24) alla 1-forma dφ, otteniamo √ dφ ∧ dφ = −d4 x −g ∂μ φ∂ μ φ,

(A.105)

e quindi l’azione precedente coincide con l’azione canonica (7.37) di un campo scalare libero (V (φ) = 0). La variazione rispetto ad ω – che non compare in Sm – è banalmente nulla: ritroviamo cos`ı la condizione (A.95) di torsione nulla, e la connessione si riduce a quella della relativit` a generale. La variazione dell’azione (A.104) rispetto a V rappresenta un utile esercizio di calcolo con le forme esterne. Osserviamo innanzitutto che δV dφ = 0, e che il contributo alla variazione viene dal termine duale, δV ( dφ). Riscrivendo il duale rispetto alla base dello spazio tangente abbiamo

dφ =

1 μ V ∂μ φ i abc V a ∧ V b ∧ V c . 3! i

(A.106)

282


Perciò 1 i ∂ φ iabc δV a ∧ V b ∧ V c 2 1 − δVμj ∂j φViμ i abc V a ∧ V b ∧ V c , 3!

δV ( dφ) =

(A.107)

dove abbiamo usato l’identit` a

(δViμ ) Vμj = − δVμj Viμ ,

(A.108)

che segue dalla relazione Vμj Viμ = δij . Usando nuovamente la definizione di duale possiamo anche riscrivere l’Eq. (A.107), in forma compatta, nel modo seguente: δV ( dφ) = ∂ i φδV a ∧ (Vi ∧ Va ) − ∂j φ δV j . (A.109) La variazione dell’azione scalare (A.104) assume quindi la forma 1 a δ V Sm = = − ∂ φ dφ ∧ δV b ∧ (Va ∧ Vb ) − ∂a φ dφ ∧ δV a 2 1 a =− ∂ φ dφ ∧ (Va ∧ Vb ) ∧ δV b + ∂a φ dφ ∧ δV a 2 (A.110) (nel secondo passaggio abbiamo usato, per il secondo termine, la propriet` a A ∧ B = B ∧ A, valida per due forme dello spesso grado). L’equazione di campo (A.82) in questo caso diventa: χ 1 ab R ∧ V c abcd = [∂ a φ dφ ∧ (Va ∧ Vd ) + ∂d φ dφ] . 2 2

(A.111)

Il membro sinistro, calcolato con torsione nulla, corrisponde all’usuale tensore di Einstein simmetrico. Verifichiamo che anche il membro destro corrisponde all’usuale tensore simmetrico energia-impulso di un campo scalare a massa nulla. Prendendo le componenti della forma a membro destro, e antisimmetrizzando, abbiamo 1 1 a 1 i j μναβ ρ μναβ ∂ φ∂μ φ adij Vν Vα

+ ∂d φ∂ φ ηρμνα η 2 2 6

1 1 = − ∂ a φ∂μ φ Vaμ Vdβ − Vaβ Vdμ + ∂d φ∂ β φ 2 2 1 = ∂d φ∂ β φ − Vdβ (∂μ φ∂ μ φ) = θd β , (A.112) 2 che coincide appunto, nel caso libero, con il tensore canonico (7.40) del campo scalare.


283

A.4.2 Sorgenti con spin e geometria con torsione Per presentare un semplice modello geometrico con torsione prendiamo come sorgente gravitazionale un campo spinoriale di Dirac a massa nulla, che rappresentiamo come una zero-forma ψ a valori spinoriali nello spazio tangente. L’azione si pu` o scrivere (in unit` a¯ h = c = 1) come (A.113) Sm = −i ψγ ∧ Dψ, dove γ = γa V a è una 1-forma, e Dψ è la 3-forma ottenuta dualizzando la derivata covariante esterna dello spinore, definita in accordo all’Eq. (13.23). Applicando a queste forme il risultato (A.24) abbiamo, infatti, √ (A.114) −iψγ ∧ Dψ = iψγ μ Dμ ψ d4 x −g, che ci riporta all’azione covariante (13.24). Variando l’azione spinoriale rispetto a V , ed applicando la definizione (A.80), otteniamo la 3-forma θa = iψγa Dψ,

(A.115)

che fa da sorgente nell’equazione di campo (A.82), ma che non corrisponde al tensore energia-impulso dinamico del campo di Dirac calcolato nell’Esercizio 13.3 (che rappresenta invece la sorgente per le equazioni della relativit` a generale). Sostituendo nell’Eq. (A.82), prendendo le componenti, antisimmetrizzando, e proiettando dallo spazio tangente allo spazio curvo arriviamo infatti all’equazione tensoriale Gαβ = iχψγα Dβ ψ,

(A.116)

che non è simmetrica in α e β. Tale antisimmetria, che non sarebbe consistente nel contesto della geometria di Riemann, è invece consistente in una geometria di Riemann-Cartan caratterizzata da torsione non nulla. In quel caso, infatti, il membro sinistro dell’Eq. (A.116) va calcolato con una connessione affine non simmetrica (si veda la Sez. 3.5) e risulta anch’esso non-simmetrico, al contrario dell’usuale tensore di Einstein (6.25). Per verificare che il campo di Dirac considerato produce la torsione necessaria alla consistenza del modello dobbiamo variare l’azione (A.113) rispetto alla connessione ω, ricordando che 1 Dψ = dψ + ω ab γ[a γb] ψ 4 (si veda l’Eq. (13.23)). Si ottiene allora

(A.117)

284


i ψγ ∧ δω ab γ[a γb] ψ 4 i =− δω ab ∧ ψ γγ[a γb] ψ, 4

δω Sm = −

(A.118)

dove γ = γc V c , e dove abbiamo usato la propriet` a γ ∧ δω = δω ∧ γ, valida per forme γ e δω dello stesso grado. Applicando la definizione (A.91) troviamo allora che l’Eq. (A.92) per la connessione assume la forma 1 c i R ∧ V d abcd = χψ γγ[a γb] ψ. 2 4

(A.119)

In questo caso la corrente spinoriale agisce da sorgente, e la torsione non è pi` u nulla. Per calcolarla esplicitamente è conveniente riscrivere l’equazione in forma tensoriale, prendendone le componenti ed antisimmetrizzando. Per il membro sinistro questo lavoro è gi` a stato fatto, e il risultato riportato in Eq. (A.94). Ripetendo la procedura per il membro destro abbiamo 1 i i c ψγ γ[a γb] ψ Vcρ ηρμνα μναβ = ψγ β γ[a γb] ψ, 4 6 4

(A.120)

e l’Eq. (A.119) diventa Qab β + Qb Vaβ − Qa Vbβ =

i χψγ β γ[a γb] ψ. 4

(A.121)

Moltiplicando per Vβb otteniamo la traccia della torsione, 3 Qa = i χψγa ψ, 8

(A.122)

e quindi, portando i termini di traccia al membro destro, abbiamo: Qabc =

i χψ γc γ[a γb] − 3ηc[a γb] ψ. 4

(A.123)

Ricordando le relazioni (13.34), (13.36) tra le matrici γ possiamo infine scrivere la torsione separando esplicitamente il contributo assiale e vettoriale del campo di Dirac: Qabc =

1 i χ abcd ψγ 5 γ d ψ + χψγ[a ηb]c ψ. 4 4

(A.124)

Una volta determinata la torsione, la corrispondente connessione di Lorentz si ottiene risolvendo la condizione di metricit` a per le tetradi, e la soluzione è data dalle equazioni (12.46)-(12.48): ωcab = γcab + Kcab ≡ γcab − (Qcab − Qabc + Qbca ) ,

(A.125)


285

dove γ è la connessione di Levi-Civita. Con Q = 0, in particolare, la curvatura di Lorentz calcolata da ω contiene i contributi della contorsione K e genera un tensore di Einstein non-simmetrico, modificando cos`ı le equazioni di campo rispetto a quelle della relativit` a generale. ` interessante notare che anche l’equazione covariante di Dirac risulta E modificata, in questo contesto. L’equazione del moto iγ ∧ Dψ = 0 è ancora equivalente alla forma usuale, iγ μ Dμ ψ = 0, ma la derivata covariante (A.117) viene effettuata con la connessione (A.125). La presenza di torsione, in particolare, induce nell’equazione spinoriale dei termini non-lineari di contatto, detti anche “termini di Heisenberg”. Per determinarli esplicitamente sostituiamo nella parte torsionica della connessione il risultato (A.124), e separiamo il contributo della connessione di Levi-Civita ponendo 1 1 D = d + γ ab γ[a γb] + K ab γ[a γb] 4 4 1 ab = D + K γ[a γb] , 4

(A.126)

a generale (si veda il dove D rappresenta la derivata covariante della relativit` Capitolo 13), ottenuta in assenza di torsione. Abbiamo allora: i iγ μ Dμ ψ = iγ μ Dμ ψ + γ μ Kμab γ [a γ b] ψ 4 χ = iγ μ Dμ ψ + γ c γ [a γ b] ψ ψ (γb ηca − γa ηcb ) ψ − i abcd ψγ 5 γ d ψ . 16 (A.127) Termini non lineari di contatto, di questo tipo, sono richiesti ad esempio nell’equazione covariante del campo spinoriale di Rarita-Schwinger per renderla localmente supersimmetrica, come abbiamo discusso nella Sez. 14.3. A.4.3 Un semplice modello di supergravit` a Come ultima applicazione di calcolo con le forme differenziali presenteremo l’azione, e deriveremo le corrispondenti equazioni di campo, per il modello di supergravit` a N = 1 presentato nella Sez. 14.3. Rappresentiamo il gravitino con la 1-forma ψ = ψμ dxμ a valori spinoriali nello spazio tangente. L’azione corrispondente alla Lagrangiana (14.53) si pu` o allora scrivere nel modo seguente, i 1 ψ ∧ γ5 γ ∧ Dψ, (A.128) Rab ∧ V c ∧ V d abcd + S= 4χ 2 dove γ = γa V a , e dove l’operatore D indica la derivata covariante esterna di Lorentz dell’Eq. (A.117).

286


La traduzione dell’azione gravitazionale nell’ordinario linguaggio tensoriale è già stata esplicitamente effettuata nell’Eq. (A.75). Per la parte spinoriale usiamo l’Eq. (A.23) ed otteniamo, in forma esplicita, i i ψ μ γ5 γν Dα ψβ dxμ ∧ dxν ∧ dxα ∧ dxβ = ψ μ γ5 γν Dα ψβ μναβ d4 x, (A.129) 2 2 in perfetto accordo con la Lagrangiana (14.53). Per ottenere le equazioni di campo variamo l’azione rispetto a V , ω e ψ. Cominciando con V abbiamo i ψ ∧ γ5 γa δV a ∧ Dψ δV S3/2 = 2 i = ψ ∧ γ5 γa Dψ ∧ δV a . (A.130) 2 Aggiungendo la variazione (A.79) della parte gravitazionale dell’azione arriviamo immediatamente all’equazione di campo 1 ab i R ∧ V c abcd = − χψ ∧ γ5 γd Dψ. 2 2

(A.131)

La versione tensoriale del membro sinistro è riportata nell’Eq. (A.83). Scrivendo esplicitamente anche il membro destro ritroviamo l’equazione i Gd β = − χψ μ γ5 γd Dν ψα μναβ 2 i = χψ μ γ5 γd Dν ψα μνβα 2 ≡ χθd β ,

(A.132)

dove θd β è il tensore canonico (14.65). Variamo ora rispetto a ω. Ricordando la definizione (A.117) della derivata covariante, l’azione del gravitino fornisce i δω ab ∧ ψ ∧ γ5 γγ[a γb] ∧ ψ. (A.133) δω S3/2 = 8 Sommando la variazione dell’azione gravitazionale, Eq. (A.90), arriviamo all’equazione di campo per la connessione scritta nella forma 1 c i R ∧ V d abcd = − χψ ∧ γ5 γγ[a γb] ∧ ψ. 2 8

(A.134)

Osserviamo ora che γ = γc Vνc dxν = γν dxν , per cui possiamo sfruttare la relazione (14.58) per esprimere il prodotto γ5 γν γ[a γb] . Inseriamo tale relazione nell’equazione precedente, e omettiamo i termini che non contribuiscono per le propriet` a di di anticommutazione degli spinori di Majorana (si veda la Sez. 14.3.1). L’equazione precedente allora diventa


1 1 c R ∧ V d abcd = − χψ ∧ V c γ d ∧ ψ abcd 2 8 1 = − χψγ c ∧ ψ ∧ V d abcd . 8

287

(A.135)

Nel secondo passaggio abbiamo usato la propriet` a V c ∧ ψ = −ψ ∧ V c , e abbiamo scambiato tra loro il nome degli indici c e d. Da quest’ultima equazione, fattorizzando V d abcd , otteniamo immediatamente la 2-forma di torsione 1 Rc = − χψγ c ∧ ψ, 4

(A.136)

in accordo con il risultato tensoriale (14.60). Variamo infine l’azione (A.128) rispetto a ψ. Si ottiene l’equazione del gravitino, i γ5 γ ∧ Dψ = 0. (A.137) 2 Prendendone le componenti, ed antisimmetrizzando, si arriva al risultato i γ5 γν Dα ψβ μναβ = 0, 2

(A.138)

che riproduce l’equazione del gravitino (14.66), in forma esplicita tensoriale.

Bibliografia

Relativit` a Ristretta 1. W. Rindler: Introduction to Special Relativity (Oxford University Press, Oxford, 1991). 2. W. Rindler: Essential Relativity (Springer, Berlin, 1977). 3. L.D. Landau e E.M. Lifshitz: The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Oxford, 1971). 4. J. Aharoni: The Special Theory of Relativity (Oxford University Press, Oxford, 1959). 5. J.L. Anderson: Principles of Relativity Physics (Academic Press, New York, 1967).

Relativit` a Generale 6. S. Weinberg: Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972). 7. S.W. Hawking e G.R.F. Ellis: The Large Scale Structure of Spacetime (University Press, Cambridge, 1973). 8. C.W. Misner, K.S. Thorne e J.A. Wheeler: Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973). 9. R. Wald: General Relativity (The University of Chicago Press, Chicago, 1984). 10. N. Straumann: General Relativity and Relativistic Astrophysics (SpringerVerlag, Berlin, 1991). 11. H.C. Ohanian e R. Ruffini: Gravitation and Spacetime (W. W. Norton and Co., New York, 1994).

Onde gravitazionali 12. E. Ciufolini, V. Gorini, U. Moschella e P. Frè (Eds.): Gravitational Waves (Institute of Physics Publishing, Bristol, 2001) . 13. M. Maggiore: Gravitational Waves (Oxford University Press, Oxford, 2007).

290

Bibliografia

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Supersimmetria e supergravit` a 21. P.C. West: Introduction to Supersymmetry and Supergravity (World Scientific, Singapore, 1990). 22. L. Castellani, R. D’Auria e P Frè: Supergravity and Superstrings: a Geometric Perspective (World Scientific, Singapore, 1991).

Teoria delle stringhe 23. B. Zwiebach: A First Course in String Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 2009). 24. M.B. Green, J. Schwartz e E. Witten: Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1987). 25. J. Polchinski: String Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1998). 26. M. Gasperini: Elements of String Cosmology (Cambridge University Press, Cambridge, 2007).

Indice analitico

algebra dei generatori di supersimmetria, 241 algebra di Cartan, 264 algebra di Clifford, 226 algebra di Lie del gruppo di Lorentz, 11, 214 del gruppo di Poincarè, 273 angolo di Einstein, 140 approssimazione di campo debole, 133 approssimazione Newtoniana, 78–80 atlante, 40 autoparallele, 54 azione di Dirac simmetrizzata, 232 azione di Einstein-Hilbert, 110, 112 nel formalismo delle tetradi, 221 nel linguaggio delle forme differenziali, 276 azione di Rarita-Schwinger, 243 azione di York-Gibbons-Hawking, 112, 114 azione per particella libera nello spazio curvo, 76 nello spazio piatto, 23 buco bianco, 194 buco nero, 188 buco nero eterno, 191 campo di gauge, 213 carta, 40 coefficienti di rotazione di Ricci, 218 commutatore di derivate covarianti, 94, 219, 271 completezza geodetica, 188

condizione di metricit` a, 217 connessione affine, 51 connessione di Christoffel, 57 connessione di Levi-Civita, 218 connessione di Lorentz, 214, 218 connessione metrico-compatibile, 56 conservazione covariante del tensore dinamico energia-impulso, 117, 124 della carica elettrica, 68 coordinate di Kruskal, 189 coordinate stereografiche, 96, 99, 102 costante cosmologica, 121, 123 curvatura di Gauss, 99 curvatura di Lorentz, 220 curvatura estrinseca, 114 curvatura scalare, 95 D’Alembertiano covariante, 60 deflessione della luce, 138, 139 deflessione di una particella massiva, 143 densit` a d’energia del vuoto, 123 densit` a di Hamiltoniana, 9 densit` a di Lagrangiana, 1 densit` a tensoriali, 44 derivata covariante di densit` a tensoriali, 59 di gauge, 213 di tensori misti, 53 di vettori controvarianti, 52 di vettori covarianti, 53 derivata covariante di Lorentz, 214

292

Indice analitico

del gravitino, 247 delle tetradi, 216 di un tensore misto, 216 di un vettore controvariante, 215 di un vettore covariante, 216 di uno spinore di Dirac, 229 derivata covariante esterna, 269, 272 della metrica di Minkowski, 270 di un tensore misto, 270 di un vettore controvariante, 269 di uno spinore di Dirac, 283 derivata di Lie, 49 derivata esterna, 265 co-differenziale, 268 determinante metrico, 58, 64 diffeomorfismo, 40 differenziale covariante, 51 dilatazione temporale gravitazionale, 81 divergenza covariante, 60 dualit` a di Hodge, 266 effetto Shapiro, 142 equazione del gravitino nello spazio curvo, 253 nello spazio piatto, 244 equazione della geodetica, 77 equazione di deviazione geodetica, 91 equazione di Dirac nella teoria di Einstein-Cartan, 285 nello spazio curvo, 230, 232, 234 nello spazio piatto, 226 equazione di DixonMathisson-Papapetrou, 129 equazioni di Einstein, 116 nel formalismo delle tetradi, 222 nel linguaggio delle forme differenziali, 278, 282 equazioni di Einstein linearizzate, 134, 135 equazioni di Einstein-Cartan, 277, 279 per un campo spinoriale di Dirac, 283 equazioni di Eulero-Lagrange, 3 equazioni di Maxwell nello spazio curvo, 70 equazioni di struttura, 272 esperimento di Pound e Rebka, 83 esperimento di Reasenberg e Shapiro, 143

fattore di scala, 202 fluido perfetto barotropico, 201 forma differenziale chiusa, 265 forma differenziale di base, 269 forma differenziale di connessione, 269 forma differenziale di curvatura, 271, 274 forma differenziale di torsione, 271, 274 forma differenziale esatta, 265 formalismo di Palatini, 221, 276 gauge armonico, 60, 135, 143 gauge TT, 152 generatori spinoriali del gruppo di Lorentz, 227 generatori vettoriali del gruppo di Lorentz, 11, 215 geometria di Finsler, 33 geometria di Riemann, 31 geometria di Riemann-Cartan, 57, 247, 274 geometria estrinseca, 32 geometria intrinseca, 32 gravitino, 243 gravitone, 153 identit` a di Bianchi, 93, 275 identit` a di Bianchi contratta, 95 identit` a di Palatini, 112 indici anolonomi, 210 indici olonomi, 210 invarianza conforme, 72 ipersfera a n dimensioni, 99, 104 isometrie, 48, 61, 62 lente gravitazionale, 140 matrice Jacobiana, 39 matrici di Dirac, 227 matrici di Pauli, 227 metrica a simmetria sferica, 178 metrica di Riemann, 31, 42, 43 metrica di Schwarzschild isotropa, 182 metrica omogenea anisotropa, 200, 205 metrica statica, 194 metrica stazionaria, 180 modelli di Bianchi, 199 momento di quadrupolo, 156 moto di un corpo di prova

Indice analitico con momento angolare intrinseco, 127–129 puntiforme, 125 moto geodetico nel campo di Schwarzschild, 183 oggetto geometrico, 40 onde gravitazionali campo nella zona d’onda, 156 elicit` a, 153, 170 energia-impulso dell’onda, 158, 170 equazione d’onda, 150 interazione dell’onda con masse di prova, 163 potenza irradiata da un oscillatore armonico, 170 potenza irradiata da un sistema stellare binario, 161 potenza irradiata in approssimazione quadrupolare, 159 potenza irradiata lungo una direzione arbitraria, 170 rivelatore ideale risonante, 166 rivelatori attuali, 168 soluzioni ritardate, 154 stati di polarizzazione, 152, 164, 170 orizzonte di Schwarzschild, 187 piano di Kruskal, 191 precessione nel campo di Schwarzschild, 186 precessione relativistica in un campo centrale Newoniano, 28, 29 principio di equivalenza, 34 principio di general-covarianza, 30 principio di minima azione, 2 principio di minimo accoppiamento, 65, 228 prodotto esterno, 265 proiezione sullo spazio tangente, 211 pseudo-sfera a quattro dimensioni, 36, 106 quadrivettore di Pauli-Lyubarskii, 22 ritardo dei segnali, 141 simbolo antisimmetrico di Levi-Civita, 45

293

simmetria, 4 simmetrie e correnti conservate, 5 simmetrie locali, 212 simmetrizzazione di Belinfante-Rosenfeld, 13 singolarit` a di Schwarzschild, 188 sistema binario di Hulse e Taylor, 163 sistema localmente inerziale, 52 soluzione di Kasner multidimensionale, 203 soluzione di Schwarzschild, 181 soluzione per un campo debole e statico, 137 spazio di de Sitter, 38, 98, 99, 106, 107 spazio di Milne, 205 spazio di Rindler, 98, 100, 189, 194 spazio piatto tangente, 35, 210 spinori di Majorana, 238, 255 spinori di Weyl, 227 spostamento spettrale gravitazionale, 82–84, 86 supergravit` a semplice, 249 consistenza dell’equazione del gravitino, 253 equazione di campo per la torsione, 251 equazioni di Einstein generalizzate, 252 equazioni nel linguaggio delle forme differenziali, 285 supersimmetria locale del modello, 250, 256 supersimmetria globale e traslazioni, 240, 255 nel modello di Wess-Zumino, 242 nel sistema gravitone-gravitino, 245, 255 nel sistema spin 0 – spin 1/2, 238 supersimmetria locale e supergravit` a, 246 tensore canonico energia-impulso, 7 tensore canonico momento angolare totale, 12 tensore completamente antisimmetrico, 45, 46, 64 tensore di contorsione, 56, 218 tensore di Einstein, 95 tensore di non-metricit` a, 56

294

Indice analitico

tensore di Ricci, 94, 129 tensore di Riemann, 92, 93 tensore dinamico energia impulso, 116 tensore dinamico energia-impulso per campo elettromagnetico nello spazio curvo, 119 campo scalare nello spazio curvo, 119 fluido perfetto nello spazio curvo, 122 particella puntiforme nello spazio curvo, 120 spinore di Dirac nello spazio curvo, 236 tensore energia-impulso per campo elettromagnetico nello spazio piatto, 15 campo scalare nello spazio piatto, 14 fluido perfetto nello spazio piatto, 19 particella puntiforme nello spazio piatto, 16 tensori covarianti, controvarianti e misti, 41, 42 teorema di Bikhoff, 180 teorema di Gauss, 60 teorema di N¨ other, 5 teoria di gauge, 212 per il gruppo di Poincarè, 272

tetradi, 210 torsione, 52 generata da un campo di Dirac, 284 generata da un gravitino, 252 traccia della conessione di Christoffel, 58 trasformazioni di congruenza, 40 trasformazioni di coordinate infinitesime, 47 trasformazioni di coordinate infinitesime al II ordine, 50 trasformazioni di gauge, 67 trasformazioni di Lorentz globali infinitesime, 10 trasformazioni di Lorentz locali, 212, 213 trasformazioni di Poincarè, 36 trasformazioni di similarit` a, 39 traslazioni globali infinitesime, 6 traslazioni locali infinitesime, 116 variet` a a curvatura costante, 96 variet` a di Riemann, 39 variet` a massimamente simmetrica, 98 vettori di Killing, 48, 49, 61–63, 127, 130

UNITEXT – Collana di Fisica e Astronomia Atomi, Molecole e Solidi Adalberto Balzarotti, Michele Cini, Massimo Fanfoni Esercizi risolti 2004, VIII, 304 pp., euro 26,00 ISBN 978-88-470-0270-8 Elaborazione dei dati sperimentali Maurizio Dapor, Monica Ropele 2005, X, 170 pp., euro 22,95 ISBN 978-88-470-0271-5

An Introduction to Relativistic Processes and the Standard Model of Electroweak Interactions Carlo M. Becchi, Giovanni Ridolfi 2006, VIII, 139 pp., euro 29,00 ISBN 978-88-470-0420-7

Elementi di Fisica Teorica Michele Cini 1a ed. 2005. Ristampa corretta, 2006 XIV, 260 pp., euro 28,95 ISBN 978-88-470-0424-5

Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica Giuseppe Dalba, Paolo Fornasini 2006, X, 361 pp., euro 26,95 ISBN 978-88-470-0404-7

Structure of Matter Attilio Rigamonti, Pietro Carretta An Introductory Course with Problems and Solutions 2nda ed., 2009, XVII, 490 pp., euro 41,55 ISBN 978-88-470-1128-1

Introduction to the Basic Concepts of Modern Physics Carlo M. Becchi, Massimo D'Elia Special Relativity, Quantum and Statistical Physics 2007, X, 155 p., euro 28,00 ISBN 978-88-470-0606-5

Introduzione alla Teoria della elasticità Luciano Colombo, Stefano Giordano Meccanica dei solidi continui in regime lineare elastico 2007, XII, 292 pp., euro 25,95 ISBN 978-88-470-0697-3 Fisica Solare Egidio Landi Degl'Innocenti 2008, X, 294 pp., inserto a colori, euro 24,95 ISBN 978-88-470-0677-5 Meccanica quantistica: problemi scelti 100 problemi risolti di meccanica quantistica Leonardo Angelini 2008, X, 134 pp., euro 18,95 ISBN 978-88-470-0744-4 Fenomeni radioattivi Dai nuclei alle stelle Giorgio Bendiscioli 2008, XVI, 464 pp., euro 29,95 ISBN 978-88-470-0803-8 Problemi di Fisica Michelangelo Fazio 2008, XII, 212 pp., con CD Rom, euro 35,00 ISBN 978-88-470-0795-6 Metodi matematici della Fisica Giampaolo Cicogna 2008, ristampa 2009, X, 242 pp., euro 24,00 ISBN 978-88-470-0833-5

Spettroscopia atomica e processi radiativi Egidio Landi Degl'Innocenti 2009, XII, 496 pp., euro 30,00 ISBN 978-88-470-1158-8 Particelle e interazioni fondamentali Il mondo delle particelle Sylvie Braibant, Giorgio Giacomelli, Maurizio Spurio 2009, XIV, 504 pp. 150 figg., euro 32,00 ISBN 978-88-470-1160-1

I capricci del caso Introduzione alla statistica, al calcolo della probabilità e alla teoria degli errori Roberto Piazza 2009, XII, 254 pp. 50 figg., euro 22,00 ISBN 978-88-470-1115-1 Lezioni di Relatività Generale e Teoria della Gravitazione Maurizio Gasperini 2010, XVIII, 298 pp., euro 25,00 ISBN 978-88-470-1420-6

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Manuale di Relativita Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Spettroscopia atomica e processi radiativi (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

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Metodi matematici per la teoria dell'evoluzione (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

From Special Relativity to Feynman Diagrams: A Course of Theoretical Particle Physics for Beginners (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

An introduction to relativistic processes and the standard model of electroweak interactions (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

An introduction to relativistic processes and the standard model of electroweak interactions (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Problemi di fisica generale. Elettromagnetismo e ottica

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Medicina fisica e riabilitativa nei disturbi di equilibrio

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Determinismo E Indeterminismo En Fisica

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Probabilità Statistica e Simulazione: Programmi applicativi scritti con Scilab (UNITEXT Collana di Statistica e Probabilità Applicata)

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