Calculo Para La Ingenieria

C´alculo para la ingenier´ıa Salvador Vera 28 de marzo de 2004

ii c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004. Copyright

´Indice general 1. Conceptos b´ asicos 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. El c´ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Dominio impl´ıcito de una funci´ on . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . 1.3.5. Composici´ on de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1.3.8. Im´ agenes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10. La funci´ on valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. L´ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Definici´on de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Continuidad de una funci´ on en un punto . . . . . . . . 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . 1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8. T´ecnicas elementales para el c´ alculo de l´ımites . . . . 1.5.9. Infinit´esimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.10. Infinit´esimos m´ as frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . 1.6. Funciones hiperb´ olicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Coseno y seno hiperb´ olico . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. F´ormula fundamental de la Trigonometr´ıa hiperb´ olica 1.6.3. Significado del t´ermino “hiperb´ olicas”. . . . . . . . . . 1.6.4. Otras razones hiperb´ olicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. F´ormulas del ´angulo doble . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 5 10 10 11 13 17 17 21 25 27 27 31 37 37 38 38 40 49 49 57 58 58 60 62 67 70 74 75 77 77 78 78 79 79

´INDICE GENERAL

iv 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . 1.6.7. Gr´afica de las funciones hiperb´ olicas 1.6.8. Funciones hiperb´ olicas inversas . . . 1.6.9. Identidad hiperb´ olica . . . . . . . . . 1.6.10. F´ormula logar´ıtmica de las funciones 1.7. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 1 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hiperb´ olicas . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inversas . . . . .

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80 80 81 82 82 83

2. Funciones de varias variables: L´ımites 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Dominio de una funci´ on de varias variables . . . . . . . . 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . 2.1.4. Composici´ on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Gr´afica de una funci´ on de dos variables . . . . . . . . . . 2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables 2.2. L´ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . 2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Comprobando l´ımites aplicando la definici´on . . . . . . . 2.2.6. C´alculo de l´ımites mediante operaciones algebraicas . . . 2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´on . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Infinit´esimos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

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85 85 85 89 94 96 102 110 111 111 111 113 115 118 122 124 125 128 137 139

3. Derivada de Funciones de una variable 3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Definici´on de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. Significado gr´afico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . . 3.1.9. La ecuaci´ on de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10. La ecuaci´ on de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical 3.2. Funci´on derivada. reglas de derivaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Funci´on derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Reglas de derivaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . 3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . 3.2.5. Derivaci´on de funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Derivaci´on logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Aproximaci´on lineal y notaci´on diferencial . . . . . . . . . .

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141 141 141 142 144 144 144 145 146 148 148 150 150 151 151 152 154 156 158 160 161 162

´INDICE GENERAL

v

3.3. L´ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Infinit´esimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Infinit´esimos m´ as frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆopital. . . . . . . . . . 3.4. L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´ on no polin´omica . . . . . . 3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6. Aplicaciones de la f´ormula de Taylor a c´ alculos aproximados . 3.5.7. Aplicaciones de la F´ormula de Taylor al c´ alculo de l´ımites . . 3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. M´aximos y m´ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. M´aximos y m´ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Determinaci´on de funciones conocidos sus puntos cr´ıticos . . 3.6.4. Problemas de aplicaci´ on de m´ aximos y m´ınimos . . . . . . . . 3.7. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Derivaci´ on de funciones multivariables 4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. La funci´ on derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Funciones de m´ as de dos variables . . . . . . . . . . 4.1.5. Raz´on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales 4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas parciales de ´ordenes superiores . . . . . . . . . . 4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . 4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Generalizaci´on del concepto de diferenciabilidad . . 4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . 4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . 4.4.6. Condici´on suficiente para la diferenciabilidad . . . . 4.4.7. Caracterizaci´on de las funciones diferenciables . . . . 4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . 4.4.9. La derivada seg´ un una direcci´on curva . . . . . . . . 4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . 4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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164 164 164 165 173 175 175 176 179 181 184 185 187 188 188 192 196 196 200 203 203 203 204 206 208 210 211 212 214 219 219 223 225 226 229 231 231 235 236 238 240 241 241 241 243 245 245 245

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´INDICE GENERAL 4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . 4.6.4. La diferencial como aproximaci´on del incremento . . . . . . 4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . 4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . 4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . 4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ıcitas de una variable 4.8.2. Composici´ on de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´ orica: Diferencial . . . . . 4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´actica: Parciales . . . . . 4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . 4.9. Funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 4.10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ıticos . . . . . . . 4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 4.10.5. M´aximos y m´ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Integral definida. C´ alculo de primitivas 5.1. La estimaci´on de un ´area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . 5.1.1. Significado geom´etrico de la integral . . . . . . . . . . 5.1.2. C´alculo de l´ımites utilizando el concepto de integral . 5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . 5.2. El teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . 5.3. Integraci´ on inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . 5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . 5.4. Integraci´ on mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . 5.5. Integraci´ on por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Integraci´ on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Integraci´ on de fracciones elementales . . . . . . . . . . 5.6.2. Integraci´ on mediante desarrollo en fracciones simples . 5.7. Integraci´ on de expresiones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . 5.7.1. Integraci´ on de potencias de funciones trigonom´etricas 5.7.2. Integraci´ on de funciones racionales del sen y del cos . 5.8. Integraci´ on de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2. La sustituci´on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . .

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248 252 254 259 259 260 262 263 267 267 268 271 273 281 287 287 292 296 296 296 298 305 311 316

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

319 319 319 324 330 333 337 341 341 342 343 346 350 350 351 358 358 360 362 362 363 366

´INDICE GENERAL 6. Aplicaciones de la integral. 6.1. C´alculo del ´area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. C´alculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´etodo de secciones . . 6.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on: M´etodo de discos . . . 6.2.3. Volumen de un s´olido de revoluci´on: M´etodo de los cilindros 6.3. L´ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

. . . . . . .

367 367 370 370 371 371 377 378

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

379

Bibliograf´ıa

383

´ Indice alfab´ etico

384

c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004. Copyright

viii

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Conceptos b´ asicos 1.1.

La recta real

Suponemos conocidos los n´ umeros reales, as´ı como su representaci´ on en la recta real. Los n´ umeros reales se pueden representar mediante expresiones decimales finitas o infinitas. Si la expresi´ on decimal es finita o peri´ odica infinita, entonces el n´ umero real se puede expresar como el cociente de dos n´ umeros enteros y se dice que el n´ umero real es racional. Rec´ıprocamente cualquier n´ umero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una expresi´ on decimal finita o infinita peri´ odica. Cuando la expresi´ on decimal tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´ odica se dice que el n´ umero real es irracional. Los n´ umeros reales admiten una representaci´ on geom´etrica en una recta. En dicha representaci´ on cada n´ umero real se representa por un solo punto de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´ umero real. En consecuencia, hablaremos indistintamente de n´ umero o de punto. Por convenio, los n´ umeros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado los n´ umeros reales. −3

−2

−1

0

1

2 √

−1 2

2

3 π

Figura 1.1: La recta real

1.1.1.

Orden, desigualdades e intervalos

Definici´ on 1.1 (N´ umeros positivos y n´ umeros negativos). 1) Para cada n´ umero real a est´ a definida una y s´ olo una de las siguientes relaciones: 1

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

2

a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0. 2) Si a y b son n´ umeros positivos, entonces a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambi´en positivo, ab > 0. Definici´ on 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´ umeros reales a y b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo. a0

Si a es menor que b, tambi´en se dice que b es mayor que a y se escribe b > a El s´ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b. Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b. Proposici´ on 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d son n´ umeros reales, se tiene: 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d  a+c bn Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos miembros, por un n´ umero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´ı, −2x < 6

↔

x > −3

Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´en se llama inecuaci´ on.

Definici´ on 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´ umeros reales tales que a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos (a, b) = {x ∈ R/ a < x < b} Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos comprendidos entre a y b, incluidos dichos puntos [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b} Nota: Usamos par´entesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determinar´ a en cada caso a qu´e nos estamos refiriendo.

3

1.1. LA RECTA REAL Tambi´en se definen los siguientes tipos de intervalos: Intervalos semiabiertos [a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b} Intervalos infinitos (−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}

(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}

[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}

(−∞, +∞) = R

Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´ on de las siguientes desigualdades a) 2x − 3 < 5

b) 3 − 2x < 5

Soluci´ on. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´ on, resulta: 2x − 3 < 5

→

2x < 5 + 3

→

x
−1

Luego el conjunto soluci´ on es el intervalo (−1, +∞). Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´ on del siguiente sistema de desigualdades  2x + 1 ≥ −1 3x − 7 ≤ 2 Soluci´ on. Se trata de hallar la intersecci´ on de los conjuntos soluci´ on de cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones por separado y luego hallamos la intersecci´ on     x ≥ −1 2x ≥ −2 2x ≥ −1 − 1 2x + 1 ≥ −1 x≤3 3x ≤ 9 3x ≤ 2 + 7 3x − 7 ≤ 2 Luego el intervalo soluci´ on es [−1, 3]

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

4

Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´ on del siguiente sistema de desigualdades  2 − 3x ≥ −1 2 − 3x ≤ 11 Soluci´ on. Podemos resolver cada inecuaci´ on por separado, o bien, utilizar el hecho de que la expresi´ on 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar conjuntamente. As´ı,  2 − 3x ≥ −1 − 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11 2 − 3x ≤ 11 restando 2 en los tres miembros, resulta −3 ≤ −3x ≤ 9 y dividiendo por -3 1 ≥ x ≥ −3

Luego el conjunto soluci´ on es el intervalo [−3, 1]. Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´aticas). Hallar el conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on x2 < 6x − 8 Soluci´ on. El camino m´ as f´ acil para resolver estas inecuaciones es dejar solamente cero en el segundo miembro. As´ı, x2 − 6x + 8 < 0 hallamos las ra´ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8, √  6±2 6 ± 36 − 32 4 2 = = x − 6x + 8 = 0 → x = 2 2 2 Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´ olo en sus ceros1 , podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada uno de los intervalos x < 2,

2 < x < 4,

x>4

que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo el polinomio conserva el signo). As´ı, p(0) = +8 > 0,

p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0,

p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0

Como la desigualdad se cumple s´ olo en el intervalo central, se concluye que el conjunto soluci´ on es 2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4) 1

agina 61 ver Corolario 1.3 en la p´

5

1.1. LA RECTA REAL

Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto soluci´ on de la desigualdad x−2 x2

Nota: El rec´ıproco de esta proposici´ on no es cierto. Es decir, una funci´ on inyectiva no

tiene porqu´e ser estrictamente mon´ otona. Es m´ as, puede ser estrictamente creciente en un intervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntos en la misma horizontal

Corolario 1.1. Si una funci´ on es estrictamente mon´ otona, entonces tiene funci´ on inversa. Demostraci´ on. En efecto, si la funci´ on es estrictamente mon´ otona, entonces ser´ a inyectiva y, en consecuencia, tendr´ a inversa.

1.3.7.

Funciones suprayectivas y biyectivas

Definici´ on 1.12 (Funci´ on suprayectiva). Sea f una funci´ on con Df ⊆ A y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando el rango coincide con el conjunto final Rf = B Definici´ on 1.13 (Funci´ on biyectiva). Sea f una funci´ on con Df ⊆ A y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es biyectiva si es, simult´ aneamente, inyectiva y suprayectiva. Si una funci´ on es biyectiva, se dice que es una biyecci´ on.

1.3.8.

Im´ agenes directa e inversa de un conjunto

Sea f una funci´ on arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se define2 , Definici´ on 1.14 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subconjunto de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rf dado por f (E) = {f (x); x ∈ E ∩ Df } 2

Para m´ as detalles sobre estos temas v´ease [3, Bartle], citado en la bibliograf´ıa.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

38

Si E ∩ Df = ∅, entonces f (E) = ∅. Si E contiene un u ´nico elemento p de Df , entonces el conjunto f (E) contiene un u ´nico punto f (p) Definici´ on 1.15 (Imagen inversa de un conjunto). Si H es un subconjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo f es el subconjunto de Df dado por: f −1 (H) = {x; f (x) ∈ H}

1.3.9.

Funciones pares e impares

Definici´ on 1.16 (Funciones pares e impares). Una funci´ on y = f (x) se dice que es par si f (−x) = f (x) Una funci´ on y = f (x) se dice que es impar si f (−x) = −f (x) Nota: En las funciones pares al cambiar x por −x se obtiene la misma expresi´ on total.

En las funciones impares al cambiar x por −x la expresi´ on total cambia de signo.

Ejemplo 1.25. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares a) f (x) = x2 − 1

b) g(x) = x3 + x

c) h(x) = x2 + x

Soluci´ on. a) Esta funci´ on es par ya que f (−x) = (−x)2 − 1 = x2 − 1 = f (x) b) Esta funci´ on es impar ya que g(−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 − x = −(x3 + x) = −g(x) c) Esta funci´ on no es ni par ni impar. En efecto,  6 h(x) = 2 2 h(−x) = (−x) + (−x) = x − x 6= −h(x) Proposici´ on 1.11 (Simetr´ıa de las funciones pares e impares). La gr´ afica de una funci´ on par es sim´etrica respecto del eje vertical y la gr´ afica de una funci´ on impar es sim´etrica respecto del origen de coordenadas.

1.3.10.

La funci´ on valor absoluto

Ejemplo 1.26. Representar la funci´ on f (x) = |x| Soluci´ on. Ejemplo 1.27. Representar la funci´ on f (x) = |x2 − 6x + 5|

Soluci´ on.

39

1.3. FUNCIONES y

y

(−x, y)

(x, y)

(x, y) x

x (−x, −y)

Funci´ on par: f (−x) = f (x)

Funci´ on impar: f (−x) = −f (x)

Figura 1.20: Simetr´ıa de las funciones pares e impares

@

@

y6 @

@

x -

Figura 1.21: Gr´afica de la funci´on valor absoluto f (x) = |x|

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.3. Funciones Soluciones en la p´ agina 379

1.3.1. Dada la funci´ on f (x) =

√

x + 1, hallar

a) f (−2)

b) f (−1)

c) f (3)

d) f (x + ∆x)

1.3.2. Hallar el dominio de las funciones a) f (x) =

p

x2 − 1

b) g(x) = ln(x − 3)

1.3.3. Dadas las funciones f (x) =
a) f g(1)


b) f g(0)

y 5 4 3 2 1

√

c) h(x) = arc sen(x − 1)

x y g(x) = x − 1, hallar


c) f g(x)


d) g f (1)


e) g f (0)

6

x 0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.22: Gr´afica de la funci´on f (x) = |x2 − 6x + 5|


f) g f (x)

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

40

1.4.

L´ımite de sucesiones

Sucesi´ on Una sucesi´ on es un conjunto de infinitos n´ umeros ordenados seg´ un alg´ un criterio. Ejemplo, 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } 2 Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de los n´ umeros naturales. 1 2 3 ··· n ··· ↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· { a1 a2 a3 · · · an · · · }

N ↓ R

Aunque las sucesiones son funciones, es costumbre representarlas mediante sub´ındices en lugar de la notaci´ on funcional. As´ı, en vez de a(n) se escribe an . Nota: El motivo de esta notaci´ on es que con an queremos enfatizar, m´ as que la imagen del n´ umero n, el t´ermino que ocupa en lugar n en la sucesi´ on.

A los n´ umeros que componen la sucesi´ on a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´erminos de la sucesi´ on y a an se le llama “t´ermino general” o “n-simo t´ermino” de la sucesi´ on y denotaremos la sucesi´ on por {an }. Definici´ on 1.17 (Sucesi´ on). Una sucesi´ on an es una funci´ on cuyo dominio es el conjunto de los n´ umeros naturales a : N → R. A los valores de la funci´ on a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´erminos de la sucesi´ on y al t´ermino an se le llama “t´ermino general” o “n-simo t´ermino” de la sucesi´ on y denotaremos la sucesi´ on por {an }. La gr´ afica de una sucesi´ on es un conjunto de infinitos puntos separados (aislados) unos de otros. an an = n1 6 r 1 r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

n an an = n+1 6 1 r r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

Figura 1.23:

an an = sen n π2 6 r r 1 r r -n 0 1 2 3r 4 5 -1

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

41

L´ımite de una sucesi´ on Centraremos nuestra atenci´ on en ver si los t´erminos de una sucesi´ on se van aproximando cada vez m´ as a alg´ un valor. A ese valor se le llama l´ımite de la sucesi´ on. Las sucesiones que tienen l´ımite se llaman convergentes. 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } → 0 2 3 4 5 n n 1 2 3 4 5 ,···} → 1 { , , , , ,··· , 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´ımite 2 Definici´ on 1.18 (L´ımite de una sucesi´ on). Se dice que el l´ımite de la sucesi´ on {an } es ℓ y escribimos l´ım an = ℓ

n→∞

Si para cada ε > 0 existe k > 0 tal que |an − ℓ| < ε siempre que n > k. l´ım an = ℓ ⇔

n→∞




∀ε > 0 ∃k > 0 ∀n ∈ N n > k ⇒ |an − ℓ| < ε

Las sucesiones que tienen l´ımite finito se llaman convergentes y las dem´ as divergentes Gr´ aficamente, la definici´ on dice que desde un lugar en adelante (n > k), todos los t´erminos de la sucesi´ on tienen que estar comprendidos dentro de la franja limitada por las rectas y = ℓ − ε e y = ℓ + ε an

r

Para n > k los t´erminos de la sucesi´ on est´ an todos entre ℓ − ε y ℓ + ε

r r

ℓ+ε ℓ ℓ−ε

r

r r r

r r r

r

r

r r r

r

r r r r

n 1 2 3 ...

k

Figura 1.24: n→∞ l´ım an = ℓ

Nota: Para que exista el l´ımite, ℓ, por muy estrecha que sea la franja (ℓ − ε, ℓ + ε), siempre

se puede encontrar un t´ermino a partir del cual todos los que le siguen est´ an dentro de la franja.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

42

Ejemplo 1.28 (Determinando la convergencia o divergencia de una sucesi´on). Determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones a) an = 2 + (−1)n

b) bn = sen

nπ 2

Soluci´ on. a) Los t´erminos de la sucesi´ on an = 2 + (−1)n son 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, · · · Como la sucesi´ on siempre tiene t´erminos que oscilan entre 1 y 3, resulta que no tiene l´ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´ on). nπ son b)Los t´erminos de la sucesi´ on bn = sen 2 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · · Como la sucesi´ on siempre tiene t´erminos que oscilan entre -1 y 1, resulta que no tiene l´ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´ on).

C´ alculo de l´ımite de sucesiones Proposici´ on 1.12 (Propiedades algebraicas de los l´ımites de sucesiones). Si l´ım an = ℓ1 y l´ım bn = ℓ2 n→∞

n→∞

entonces se cumplen las siguientes propiedades 1. l´ım (an ± bn ) = ℓ1 ± ℓ2 n→∞

3. l´ım an bn = ℓ1 ℓ2 n→∞

5. l´ım (an )bn = (ℓ1 )ℓ2 , si ℓ1 > 0

2. l´ım ran = rℓ1 , r ∈ R n→∞ an ℓ1 4. l´ım = , bn = 6 0 y ℓ2 6= 0 n→∞ bn ℓ2

n→∞

Reglas elementales para el c´ alculo de l´ımites. Las reglas m´ as frecuentes para eliminar la indeterminaci´ on del l´ımite de una sucesi´ on son las siguientes: ∞ . Se suele eliminar dividiendo numerador y 1. Indeterminaci´ on del tipo ∞ denominador por un t´ermino que elimine uno de los dos infinitos (por ejemplo, m´ axima potencia de n).

2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este caso se reduce al cociente de los t´erminos de mayor grado, y se simplifica la n. ap np ap np + ap−1 np−1 + · · · + a0 = l´ ım n→∞ bq nq n→∞ bq nq + bq−1 nq−1 + · · · + b0 l´ım

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

43

3. Indeterminaci´ on del tipo ∞ − ∞. En el caso de que se trate de ra´ıces cuadradas la indeterminaci´ on se suele eliminar multiplicando y dividiendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ız cuadrada. 4. Indeterminaci´ on del tipo 1∞ . Se aplica el n´ umero e.   1 n l´ım 1 + = e = 2,718 n→∞ n que se generaliza para los l´ımites del tipo:   1 an = e = 2,718 l´ım 1 + n→∞ an siempre que l´ım an = +∞ o´ l´ım an = −∞ n→∞

n→∞

Ejemplo 1.29. Calcular los siguientes l´ımites: n+3 n = l´ım 3 = 0 3 n→∞ n + 4 n→∞ n " 2n 2n  3n # −1  3n −2 −1 −1 1 1 =e 3 = √ 1+ = l´ım 2. l´ım 1 − 3 2 n→∞ n→∞ 3n 3n e 1.

l´ım

3.

l´ım

n→∞

√ n

1

a = l´ım a n = a0 = 1 n→∞

1 ln n ln n 1 = = l´ım = l´ım =1 ln 5n n→∞ ln 5 + ln n n→∞ ln 5 0+1 +1 ln n   ln n(1 + n3 ) ln n + ln(1 + n3 ) ln(n + 3) 5. l´ım = l´ım = l´ım = n→∞ n→∞ n→∞ ln n ln n ln n ! ln(1 + n3 ) = l´ım 1 + =1+0=1 n→∞ ln 4.

6.

l´ım

n→∞

l´ım

n→∞




 p n2 − n2 + (a + b)n + ab p = n − (n + a)(n + b) = l´ım n→∞ n + (n + a)(n + b)

−(a + b) − ab −(a + b)n − ab n q p = l´ım n→∞ n + n2 + (a + b)n + ab n→∞ 1 + 1 + (a+b) + n

= l´ım

= ab n2

=−

a+b 2

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

44 Criterio de Stoltz.

Es un criterio relacionado con las Reglas de L’Hˆ opital que s´ olo se puede aplicar a las sucesiones. Y del que, sin a´nimo de demostrar nada, podemos dar la siguiente justificaci´ on: an an+1 an an+1 an an+1 − an l´ım = l´ım ⇒ ≈ ⇒ ≈ n→∞ bn n→∞ bn+1 bn bn+1 bn bn+1 − bn

El Criterio de Stoltz se puede resumir en el siguiente esquema: an  0 ∞  an+1 − an = o´ = l´ım n→∞ bn n→∞ bn+1 − bn 0 ∞ l´ım

Formalmente el Criterio de Stoltz puede enunciarse de la siguiente manera Teorema 1.2 (Criterio de Stolz). Sean {an } y {bn } dos sucesiones. an+1 − an an an+1 − an Si existe l´ım , entonces l´ım = l´ım n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn n→∞ bn+1 − bn siempre que: 1. {bn } es una sucesi´ on mon´ otona divergente, o bien, 2. an → 0, bn → 0 y bn es mon´ otona.

Ejemplo 1.30 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular los siguientes l´ımites: 1.

2 + 4 + · · · + 2n  ∞  = = n→∞ 3 + 9 + · · · + 3n ∞ l´ım

(2 + 4 + · · · + 2n + 2n+1 ) − (2 + 4 + · · · + 2n ) 2n+1 = = l´ ım n→∞ (3 + 9 + · · · + 3n + 3n+1 ) − (3 + 9 + · · · + 3n ) n→∞ 3n+1  n+1  +∞ 2 2 = =0 = l´ım n→∞ 3 3

= l´ım

ln(n + 1) − ln n n+1 ln n  ∞  = l´ım = = l´ım ln =0 n→∞ n→∞ n→∞ n ∞ n+1−n n √ ln n n  ∞ l´ ım ln n l´ım √ n n→∞ n→∞ n = e∞ = 3. l´ım n = e =e

2.

l´ım

n→∞

=

l´ım

en→∞

ln(n + 1) − ln n n+1 l´ım ln n+1−n n = eln 1 = e0 = 1 = en→∞

ln(n2 + n) p l´ ım n n = 4. l´ım n2 + n = en→∞ n→∞   ln (n + 1)2 + n + 1 − ln(n2 + n) l´ım n+1−n = en→∞ = l´ım ln

= en→∞

n2 + 2n + 1 + n + 1 n2 + n = eln 1 = e0 = 1

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

45

Teorema 1.3 (Criterio de la Ra´ız n-sima). Sea {an } una sucesi´ on estrictamente creciente tal que l´ım an = +∞, entonces: n→∞

l´ım

n→∞

√ n

an = l´ım

n→∞

an+1 an

Demostraci´ on: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la ra´ız resulta: ln an+1 − ln n √ ln an l´ım l´ım ln n an l´ım √ n n→∞ n→∞ n→∞ n+1−n = n =e =e l´ım an = e n→∞ an+1 l´ım ln an = l´ım an+1 = en→∞ n→∞ an Ejemplo 1.31 (Aplicando el criterio de la ra´ız). Calcula los siguientes l´ımites: p 1. l´ım n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) = n→∞

(2n + 1)(2n + 2) (n + 2)(n + 3) · · · (n + n + 2) = l´ım = +∞ n→∞ n→∞ (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) (n + 1)

= l´ım

2.

1p n (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) = n→∞ n r n (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) = l´ım = n→∞ nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4) (3n + 1) · · · (3n + n) : = = l´ım n→∞ (n + 1)n+1 nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4)nn = = l´ım n→∞ (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n)(n + 1)n+1 (3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n + 4)nn = l´ım = n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)(n + 1)n 43 444 1 (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4)
4 = = = l´ım n n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1) n+1 333 e 33 e n l´ım

Simplificaci´ on de sumas.

Algunas sumas se pueden simplificar expresando sus t´erminos de forma telesc´ opica, es decir, como la diferencia de dos t´erminos consecutivos, de manera que al sumar se eliminan los t´erminos intermedios. Ejemplo 1.32 (Simplificando sumas). Calcula el siguiente l´ımite.   1 1 1 l´ım + + ··· + = n→∞ 1 · 2 2·3 n(n + 1)   1 1 1 1 1 = l´ım 1 − + − + · · · + − =1 n→∞ 2 2 3 n n+1

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

46

C´ alculo de l´ımites por acotaci´ on. Teorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Si l´ım an = ℓ = l´ım bn

n→∞

n→∞

y existe un entero k tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n > k, entonces l´ım cn = ℓ

n→∞

Ejemplo 1.33 (Encajando sucesiones). Calcular el siguiente l´ımite. p (n − 1)! √ √ l´ım √ n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) Soluci´ on. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades, p √ √ √ (n − 1)! 1 2··· n − 1 √ √ √ √ 0≤ √ = √ ≤ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) √ √ √ 1 (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n − 1) √ √ √ →0 = ≤ √ 1+ n (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) Resulta:

p (n − 1)! √ √ l´ım √ =0 n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)

La constante de Euler. Para resolver algunos l´ımites puede tenerse en cuenta la siguiente igualdad: 1 1 1 + + · · · + = ln n + γ + ǫn 2 n donde: 1. ǫn → 0 2. γ = Constante de Euler ≈ 0′ 5 Ejemplo 1.34 (Aplicando la constante de Euler). Calcular los siguientes l´ımites: + · · · + n1 ln n + γ + ǫn = l´ım =1+0+0=1 1. l´ım n→∞ n→∞ ln n ln n √ √ √ 1 1 e e 3 e··· n e e1 e1/2 · · · e1/n e1+ 2 +···+ n 2. l´ım = l´ım = l´ım = n→∞ n→∞ n→∞ n n n n · eγ eǫn eln n+γ+ǫn = l´ım = eγ e0 = eγ = l´ım n→∞ n→∞ n n 1+

1 2

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

3.

47

ln(1 + 12 + · · · + n1 ) ln(ln n + γ + ǫn ) = l´ım = n→∞ n→∞ ln(ln n) ln(ln n)
  n ln ln n · 1 + γ+ǫ ln(ln n) + ln 1 + ln n = l´ım = l´ım n→∞ n→∞ ln(ln n) ln(ln n) l´ım

γ+ǫn
ln n

=1

Sucesiones mon´ otonas Definici´ on 1.19 (Sucesi´ on mon´ otona). Una sucesi´ on {an } se dice que es mon´ otona si sus t´erminos son crecientes a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · o decrecientes a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · Ejemplo 1.35 (Determinando la monoton´ıa de una sucesi´on). Determinar la monoton´ıa de la sucesi´ on an =

3n n+2

Soluci´ on. Determinar que una sucesi´ on no es mon´ otona puede hacerse, de una manera f´ acil, comparando tres t´erminos de la misma. Sin embargo, determinar que es mon´ otona es algo m´ as complicado, ya que hay que determinar que sus t´erminos crecen o decrecen siempre, para todo valor de n. Para determinar la monoton´ıa de una sucesi´ on pueden seguirse varios m´etodos. Veamos aqu´ı varios de ellos. En primer lugar hallamos an y an+1 . En este caso, 3(n + 1) 3n an+1 = an = n+2 (n + 1) + 2 a) Construyendo comparativamente an y an+1 . 1 1 < → n+2 (n + 1) + 2 3n 3(n + 1) 3n < < → an < an+1 → n+2 (n + 1) + 2 (n + 1) + 2

(n + 1) + 2 > n + 2 →

luego la sucesi´ on es mon´ otona (estrictamente creciente). b) Deshaciendo comparativamente an y an+1 . Partimos del supuesto de que an < an+1 y deshacemos las operaciones. As´ı, 3n 3(n + 1)