Analisis Funcional vs. Matricial

An´ alisis Funcional vs. Matricial Demetrio Stojanoff December 3, 2010 Índice I An´ alisis funcional b´ asico 6 1 ...

Author: Demetrio Stojano ff

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An´ alisis Funcional vs. Matricial Demetrio Stojanoff December 3, 2010

Índice I

An´ alisis funcional b´ asico

6

1 Espacios normados 1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores. 1.2 Ejemplos más famosos. . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cálculo de algunos duales. . . . . . . . . . . . 1.4 El lema de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Subespacios finitodimensionales. . . . . . . . . 1.7 Cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Algunos ejemplos de operadores. . . . . . . . . 1.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados . .

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7 7 15 21 24 26 28 30 33 37

2 Funcionales y Operadores 2.1 Hahn Banach: El dual es grande. . . . . . . . . 2.2 Recordando Baires. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Teorema de la imagen abierta. . . . . . . . . . . 2.4 Teorema del gráfico cerrado. . . . . . . . . . . . 2.5 Principio de acotación uniforme. . . . . . . . . . 2.6 Dualidad y adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Proyectores y subespacios complementados . . . 2.8 Ejercicios del Cap. 2 - Funcionales y Operadores

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46 46 52 54 57 58 62 68 75

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83 83 85 89 90 94 98 101 104

3 Espacios de Hilbert 3.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . 3.3 P Teorema de representación de Riesz. . . 3.4 i∈I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Bases ortonormales. . . . . . . . . . . . . 3.6 Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 3.7 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . 3.8 Ejercicios del Cap. 3 - Espacio de Hibert

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4 Operadores en espacios de Hilbert 4.1 El adjunto. . . . . . . . . . . . . . 4.2 Clases de operadores. . . . . . . . . 4.3 Positivos. . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Descomposición polar. . . . . . . . 4.5 Subespacios invariantes y matrices . 4.6 Operadores de rango finito. . . . . 4.7 Ejercicios del Cap 4: Operadores en

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108 108 113 116 122 127 131 135

5 Espacios localmente convexos 5.1 Seminormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espacios localmente convexos. . . . . . . . . . . . 5.3 Hahn Banach versión separación . . . . . . . . . . 5.4 Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Topolog´ıas débiles en espacios normados y ELC’s 5.6 Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Una caracterización de la reflexividad . . . . . . . 5.8 Miscelánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Ejercicios del Cap 5: ELC’s . . . . . . . . . . . .

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141 141 146 148 149 152 157 160 161 163

6 Espectro ´ 6.1 Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . 6.2 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . 6.2.1 El espectro depende del a´lgebra . 6.2.2 Gelfand . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Espectro de operadores . . . . . . . . . . 6.4 Espectro de autoadjuntos . . . . . . . . . 6.5 Cálculo funcional continuo . . . . . . . . 6.6 Propiedades de la ra´ız cuadrada positiva 6.7 Ejercicios del Cap. 6 - Espectro . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . EH’s

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166 166 173 175 176 178 181 185 193 197

7 Operadores compactos 7.1 Definiciones y equivalencias . . . . . . . . . . 7.2 Fredholm inicia . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Espectro de compactos . . . . . . . . . . . . . 7.4 Representaciones espectrales . . . . . . . . . . 7.5 Fredholm sigue . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 La traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Ejercicios del Cap. 7 - Operadores compactos

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205 205 210 212 215 221 224 238

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II

Teor´ıa Matricial de Operadores

´ 8 Angulos entre subespacios. 8.1 Preliminares y Notaciones ´ 8.2 Angulos . . . . . . . . . . 8.3 Seudoinversas . . . . . . . 8.4 Módulo m´ınimo . . . . . .

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245 245 247 251 254

9 Complementos de Schur de operadores positivos 9.1 Factorización e inclusiones de rangos. . . . . . . . 9.2 Operadores definidos positivos. . . . . . . . . . . 9.3 Shorted de un operador. . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Rango y N´ ucleo de los operadores shorted. . . . . 9.5 Otras caracterizaciones del Shorted. . . . . . . . . 9.6 Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 La ecuación X = A − B ∗ X −1 B. . . . . . . . . . . 9.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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260 260 262 265 267 269 272 273 277

10 Rango y Radio Num´ ericos 10.1 Definiciones y propiedades básicas . . 10.2 El Teorema de Hausdorff Töeplitz . . 10.3 Caracterizaciones del radio numérico 10.4 Comparación con NUI’s . . . . . . .

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279 279 280 285 289

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11 Normas unitariamente invariantes para operadores compactos 293 11.1 Normas unitariamente invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 12 Productos escalares torcidos 12.1 Proyectores A-autoadjuntos y compatibilidad . 12.2 Caracterizaciones de la compatibilidad . . . . 12.3 Complementos de Schur . . . . . . . . . . . . 12.4 El caso R(A) v H . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 El caso de dos proyectores . . . . . . . . . . . 12.6 El caso A inyectivo . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 La proyección minimal . . . . . . . . . . . . . 12.8 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . .

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298 298 301 305 308 310 311 312 317

13 Proyectores escaleados 322 13.1 Problemas de cuadrados m´ınimos y proyecciones A-autoadjuntas. . . . . . . 322 13.2 Proyecciones escaleadas en dimensión infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.3 Caracterizaciones de la B-compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

3

III

Marcos

337

14 Frames 14.1 Nociones Básicas . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Perturbaciones de frames . . . . . . . . . . 14.3 Proyecciones y frames . . . . . . . . . . . 14.3.1 Proyecciones ortogonales . . . . . . 14.3.2 Proyecciones Oblicuas . . . . . . . 14.4 Frames de Riesz y de Riesz condicionados 14.4.1 Frames de Riesz . . . . . . . . . . . 14.4.2 Un contraejemplo: . . . . . . . . . ´ 14.4.3 Angulos entre columnas . . . . . . 14.5 Yo me borro . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.1 Excesos y Borrados . . . . . . . . . 14.5.2 Frames que contienen bases Riesz . 14.6 Truncaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Marcos de Gabor. . . . . . . . . . . . . . . 14.7.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . . 14.7.2 Algunos resultados . . . . . . . . .

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338 338 340 343 343 344 347 347 351 352 357 357 361 364 366 366 367

15 Marcos de fusi´ on 15.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . 15.3 Marcos de fusión y operadores . . . . . . 15.4 Pesos Admisibles. . . . . . . . . . . . . . 15.5 Proyectores y marcos de subespacios. . . 15.6 Refinamientos de marcos de subespacios. 15.7 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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371 371 372 374 378 381 383 386

IV

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Resultados Preliminares

A Topolog´ıa A.1 Definiciones básicas . . . . . A.2 Cerrados, l´ımites y clausuras A.3 Bases y sub-bases . . . . . . A.3.1 Topolog´ıa inducida . A.4 Clases de ET’s . . . . . . . A.4.1 Numerabilidad . . . A.4.2 Separación . . . . . . A.4.3 Herencias . . . . . . A.5 Continuidad básica . . . . . A.6 Redes y subredes . . . . . . A.7 Convergencia . . . . . . . .

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399 . . . . . . . . . . .

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400 400 402 404 406 407 407 408 412 412 415 418

A.8 Sucesiones en espacios N1 . . . . . . . . . . . A.9 Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10 Productos y cocientes . . . . . . . . . . . . . . A.10.1 Topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . A.10.2 Topolog´ıa producto . . . . . . . . . . . A.10.3 Topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . A.10.4 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . A.11 Espacios métricos completos . . . . . . . . . . A.12 Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.13 Compactos en EM’s . . . . . . . . . . . . . . . A.14 Compactificación de Alexandrov: Un punto . . A.15 Espacios localmente compactos . . . . . . . . ˇ A.16 Stone Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.17 Métricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM A.18 Teoremas de Baire . . . . . . . . . . . . . . .

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421 423 424 424 425 430 431 433 435 439 440 442 443 446 448

Parte I An´ alisis funcional b´ asico

6

Cap´ıtulo 1 Espacios normados Llamemos K = R o C. Un espacio vectorial topol´ ogico (EVT) es un espacio topológico (E, τ ) en el que E es un K-espacio vectorial, y la topolog´ıa τ es de Hausdorff y cumple que las operaciones vectoriales E × E 3 (x, y) 7→ x + y ∈ E

y

C × E 3 (λ , x) 7→ λ x ∈ E

(1.1)

son continuas, cuando en E × E y en C × E se usan las topolog´ıas producto. En particular esto hace que, para cada x ∈ E fijo, las aplicaciones Tx : E → E dada por Tx (y) = x + y y

Mx : C → E

dada por

Mx (λ) = λ x

(1.2)

sean continuas. Observar que cada Tx es un hómeo, con inversa T−x . Esto dice que, fijado un x ∈ E, podemos calcular siempre los entornos de x como def Oτ (x) = x + Oτ (0) = x + U = Tx (U ) : U ∈ Oτ (0) . O sea que para dar una topolog´ıa de EVT, basta con conocer una base (o sub-base) de entornos del cero de E.

1.1

Normas de vectores, funcionales y operadores.

Veremos en principio los ejemplos de EVT’s dados por una métrica. En el contexto de espacios vectoriales, interesan particularmante las métricas d que cumplen dos condiciones de compatibilidad con la estructura: Fijado el par (E, d), donde E es un K-EV y d una métrica en E, se pide que para todo λ ∈ K y todos los vectores x, y, z ∈ E se cumpla • Que d sea invariante por translaciones, o sea que d(x + z , y + z) = d(x , y) . • Que sea homogénea: d(λ x , λ y) = |λ| d(x , y) . Estas métricas se definen a traves de la noción de norma en el espacio vectorial. 1.1.1. Fijemos un K-espacio vectorial E. Diremos que una función k · k : E → R+ es 7

1. Una norma, si cumple que (a) kαxk = |α| kxk

(α ∈ K, x ∈ E).

(b) kx + yk ≤ kxk + kyk

(x, y ∈ E).

(c) Dado x ∈ E , se tiene que kxk = 0 si y sólo si x = 0. La métrica resultante se define como d (x, y) = kx − yk, para x, y ∈ E. 2. En tal caso, el par (E, k · k) pasa a llamarse una espacio normado (shortly: EN). 3. El par (E, k · k) se llamará espacio de Banach (adivinen: EB) si la métrica d hace de E un EM completo (mirar antes la Prop. 1.1.2 de abajo). 4. Si (E, k · k) es un espacio normado, denotaremos por BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} a su bola cerrada de radio uno. 5. Diremos que la función k · k de arriba es una seminorma, si cumple (a) y (b) pero no necesariamente (c). 4 Proposici´ on 1.1.2. Sea (E, k · k) un EN. Luego: 1. La d (x, y) = kx − yk (para x, y ∈ E) es, efectivamente, una métrica en E. 2. Con la topolog´ıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones E 3 y 7→ y + x y las flechas K 3 λ 7→ λ x (con x fijo) son continuas. 3. La función norma es continua. Más a´ un, vale la desigualdad kxk − kyk ≤ kx − yk = d (x, y) , para todo par

x, y ∈ E .

(1.3)

Demostración. En principio observar que d (x, y) = kx − yk = 0 ⇐⇒ x = y, por la condición (c). Además, una desigualdad triangular se deduce fácilmente de la otra. Para ver que (E, τd ) es un EVT, basta mencionar que la continuidad de las aplicaciones de la Ec. (1.1) se deduce directamente de las condiciones (a) y (b) de la definición de norma. Por ejemplo kλ x − µ yk ≤ kλ x − µ xk + kµ x − µ yk = |λ − µ| kxk + |µ| kx − yk , para x, y ∈ E y λ, µ ∈ K cualesquiera, por lo que K × E 3 (λ, x) 7→ λ x es continua. La Ec. (1.3) es otra consecuencia fácil de la desigualdad triangular de las normas. El hecho de que toda norma defina una métrica sobre un espacio vectorial dado, nos permite hablar de los conceptos topológicos habituales como abiertos y cerrados; junto con ellos aparecen en forma natural otros algo más complejos, como por ejemplo el borde de un conjunto, un conjunto nunca denso (magro) o un conjunto denso en todo el espacio. Como en ET’s generales, diremos que un EN es separable si tiene un denso numerable. También se puede “completar” un normado, obteniendo un Banach que tiene al anterior 8

como subespacio denso. Esto se puede hacer a mano, pero será más fácil un poco más adelante (ver Obs. 2.1.14). Además tiene sentido definir funciones continuas en un EN. La cosa se pone interesante cuando uno se cuestiona la continuidad de las funciones K-lineales. Ahora daremos las notaciones sobre este tema: Notaciones 1.1.3. Sean E y F dos K-EV’s. def

1. Denotaremos por E 0 = {ϕ : E → K : ϕ es lineal } al espacio dual algebráico de E. def

2. Llamaremos Hom (E, F ) = {T : E → F : T es K-lineal } al espacio de transformaciones lineales (se abrevia TL) entre E y F . 3. Si T ∈ Hom (E, F ) y x ∈ E, escribiremos T x en lugar de T (x) cuando sea posible. Esto se hace por analog´ıa con las matrices, y para ahorrar paréntises. Llamaremos def

(a) ker T = T −1 ({0}) = {x ∈ E : T x = 0} ⊆ E, al n´ ucleo de T . def

(b) R(T ) = T (E) = {T x : x ∈ E} ⊆ F , al rango (o imagen) de T . Observar que tanto ker T ⊆ E como R(T ) ⊆ F son subespacios. 4. Si ahora pensamos que (E, k·k ) es un EN, no siempre vale que toda ϕ ∈ E 0 es continua respecto de k · k. Lo mismo si F es también normado y T ∈ Hom (E, F ). 5. Por ello de denomina dual “topológico” de E al K-EV def E ∗ = {ϕ ∈ E 0 : ϕ es k · k-continua } = E 0 ∩ C (E, k · k), K .

(1.4)

6. Si E era un C-EV, denotaremos por ER0 y ER∗ a sus duales pensándolo como R-EV (o sea las funcionales ϕ : E → R que son R-lineales). 4 1.1.4. El hecho de pedirle a una TL que sea continua suena raro. De hecho en Kn son mucho más que continuas, son las cosas por las que uno quiere aproximar otras funciones para que sean “suaves”. Sin embargo, al subir a dimensión infinita la “mayor´ıa” de las funcionales no son continuas. Antes de seguir con la teor´ıa mostremos un ejemplo para convencer al lector incrédulo. Llamemos SF al subespacio de KN (todas las sucesiones en K) generado por la “base canónica” infinita E = {en : n ∈ N}. Obviamente cada en es la sucesión que tiene todos ceros salvo un uno en el lugar n-ésimo. El espacio SF consta de las “sucesiones finitas”, en el sentido de que a partir de un momento todas sus entradas se anulan. Pongamos en SF la norma supremo kxk∞ = sup |xn | , para x = (xn )n∈ N ∈ SF . Definamos ahora una n∈N

funcional no continua: Sea ϕ ∈ SF0 dada por la fórmula X ϕ(x) = n2 · xn para cada x = (xn )n∈ N ∈ SF . n∈N

Cada tal suma es en realidad finita, por lo que está bien definida. La linealidad es clara. Ahora bien, si tomamos la sucesión ( enn ) de puntos de SF , vemos que k enn k∞ = n1 −−−→ 0, por n→∞

9

lo que

en k · k∞ −−−→ n n→∞

0SF en el espacio normado SF . Sin embargo, ϕ( enn ) = n para todo n ∈ N,

que no converge a ϕ(0SF ) = 0 . Luego esta ϕ es una funcional lineal y no es continua ni en el cero de SF . Veamos, ahora s´ı, una caracterización de la continuidad de las funcionales. 4 Proposici´ on 1.1.5. Sea (E, k · k) un EN y sea ϕ ∈ E 0 . Entonces ϕ ∈ E ∗ ⇐⇒ kϕk = kϕkE ∗

def

= sup |ϕ(x)| < ∞ .

(1.5)

x∈ BE

En tal caso, se tiene la siguiente igualdad: n o kϕk = sup |ϕ(x)| = m´ın M ≥ 0 : |ϕ(x)| ≤ M kxk para todo x ∈ E .

(1.6)

kxk=1

Además, ϕ 7→ kϕk es una norma en E ∗ , con la que resulta ser un espacio normado. Demostración. Supongamos que kϕk = +∞. Luego para todo n ∈ N debe existir un xn ∈ BE tal que |ϕ(xn )| ≥ n2 . Si ahora consideramos la sucesión yn = xnn , tendremos que kyn k =

kxn k −−−→ 0 n n→∞

pero

|ϕ(yn )| =

|ϕ(xn )| ≥n n

para todo n ∈ N .

O sea que una tal ϕ no podr´ıa ser continua ni en cero (recordar que ϕ(0) = 0). Esto prueba la flecha =⇒ de la Ec. (1.5). Para ver la rec´ıproca observemos que si kϕk < ∞, entonces |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk En efecto, si x 6= 0, tomemos y =

x kxk

para todo

x∈E .

(1.7)

. Entonces, como kyk = 1, tenemos que

|ϕ(x)| = |ϕ(y)| ≤ sup |ϕ(z)| = kϕk =⇒ |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk . kxk z∈BE De (1.7) deducimos que |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ(x − y)| ≤ kϕk kx − yk para todo par x, y ∈ E. Esto muestra que una tal ϕ es re-continua. Sea ahora M0 el m´ınimo de la Ec. (1.6) (en principio digamos que es el ´ınfimo). Por la (1.7), es claro que M0 ≤ kϕk. La otra desigualdad surge de la definición de kϕk. En particular hay m´ınimo y vale la Ec. (1.6). Finalmente, el hecho de que ϕ 7→ kϕk define una norma en E ∗ es de verificación inmediata, y se deja como ejercicio. Proposici´ on 1.1.6. Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E, F ), definamos kT k = kT kL(E,F ) = sup kT xkF : x ∈ E y kxkE ≤ 1 . Entonces vale lo siguiente: n o 1. kT k = sup kT xkF = m´ın M ≥ 0 : kT xkF ≤ M kxkE para todo x ∈ E . x∈ BE

10

(1.8)

2. T ∈ C(E, F ) ⇐⇒ kT k < ∞. En tal caso a T se lo llama un operador acotado. Denotaremos por L(E, F ) = Hom (E, F ) ∩ C(E, F ) al espacio (normado v´ıa T 7→ kT k) de tales operadores. Demostración. La prueba coincide mutatis mutandis con la de la Prop. 1.1.5. Basta cambiar ϕ por T y | · | por k · kF cuando haga falta. Como vimos, a las funcionales ϕ ∈ E ∗ y a los operadores T ∈ L(E, F ) (para E y F dos EN’s) se los suele adjetivar como “acotados” en lugar de continuos. Esto no es del todo cierto. Lo que pasa es que se asume que la acotación se refiere a sus restricciones a la bola BE . Observaci´ on 1.1.7. Sean E y F dos K-EV’s y T ∈ Hom(E, F ). Entonces se tiene que T ∈ L(E, F )

⇐⇒

T es continua en el punto 0 ∈ E .

(1.9)

Esto se debe a la igualdad T (x) − T (y) = T (x − y) y a que T (0) = 0. Recordar que por la métrica que usamos, una sucesión xn −−−→ x ⇐⇒ x − xn −−−→ 0. n→∞

n→∞

0

En particular se tiene que las ϕ ∈ E cumplen que ϕ ∈ E ∗ ⇐⇒ ϕ(xn ) −−−→ 0 n→∞

para toda sucesión

k·k

xn −−−→ 0 . n→∞

4

Observaci´ on 1.1.8. Sea E un EN y sea ϕ ∈ E 0 . Repasando la Prop. 1.1.5 se obtiene la siguiente mecánica para estudiar una tal ϕ : • Para mostrar que ϕ ∈ E ∗ (o sea que ϕ es continua) basta ver que existe un M >0

tal que

|ϕ(x)| ≤ M kxk

para todo

x∈E .

• En tal caso, para calcular exactamente kϕk uno candidatea un M como arriba que intuya que es el o´ptimo en el sentido de la Ec. (1.6). Luego para verificar que efectivamente lo es, y por ello valdr´ıa que kϕk = M , basta encontrar una sucesión (xn )n∈ N

en

BE

tal que

|ϕ(xn )| −−−→ M . n→∞

Usando las fórmulas (1.5) y (1.6), si el candidato M cumple ambas cosas (es una cota por arriba y se lo aproxima desde la bola) ya sabremos que kϕk = M . El mismo proceso sirve para calcular la kT k de un T ∈ L(E, F ) como en la Prop. 1.1.6. Veamos un ejemplo: El normado será el espacio SF de sucesiones finitas definido en 1.1.4. Consideremos la funcional ϕ ∈ SF0 dada por la fórmula X xn ϕ(x) = para cada x = (xn )n∈ N ∈ SF . 2 n n∈N 11

P

Nuestro candidato para kϕk es el n´ umero M =

n∈N

1 n2

< ∞. En efecto observar que

X x X |xn | X 1 n |ϕ(x)| = ≤ ≤ kxk = M kxk∞ ∞ 2 2 2 n n n n∈N n∈N n∈N para todo x = (xn )n∈ N ∈ SF . As´ı que ya sabemos que ϕ ∈ SF∗ con kϕk ≤ M . El siguiente paso es aproximar desde la bola: Para cada entero k ∈ N definamos el vector k P yk = en = (1, . . . , 1, 0, 0, . . . ) ∈ SF (la cantidad de unos es k). Notemos que kyk k∞ = 1 n=1

para todo k ∈ N, por lo que la sucesión de vectores (yk )k∈N vive en la bola BSF . Además ϕ(yk ) =

k X 1 n2 n=1

−−−→ k→∞

X 1 =M . 2 n n∈N

Luego kϕk = M y a otra cosa. Como habrán notado, la mecánica en cuestión, más que calcular la kϕk, sirve para probar que una cadidato M que uno saca de la galera cumple que kϕk = M . El criterio de elección de tales candidatos depende del contexto y de la intuición del que lo busque. No se puede dar recetas para todo en la vida. Para ejercitar la intuición y la metodolog´ıa propuesta dejamos otro ejemplo para el lector: Se trata de calcular la norma del operador T : SF → SF dado por 1 para cada x = (xn )n∈ N ∈ SF . 4 T x = (1 − ) xn n n∈N Observaci´ on 1.1.9. Sean E, F y G tres EN’s y sean T ∈ L(E, F ) y A ∈ L(F, G). Como componer continuas da continua (y lo mismo con las K-lineales), nos queda que la composición AT = A ◦ T ∈ L(E, G). Pero mejor a´ un, por la definición de normas de operadores dada en (1.8), que utiliza supremos, tenemos la siguiente desigualdad: kA T kL(E,G) = sup kA T xk ≤ sup kAk kT xk = kAkL(F,G) kT kL(E,F ) . x∈ BE

(1.10)

x∈ BE

En particular, si llamamos L(E) = L(E, E), este espacio normado es también una K-álgebra, y la norma es “matricial”, en el sentido de que si T, A ∈ L(E) , entonces kA T k ≤ kAk kT k . Si pedimos que E sea Banach, entonces L(E) es lo que se llama un a´lgebra de Banach, porque como se verá en el Teo. 1.1.10 que viene a continuación, el espacio L(E) sera también un EB, que es además K-álgebra, con una norma matricial. 4 Teorema 1.1.10. Sean E y F dos EN’s. Pensemos a L(E, F ) como un EN con la norma de la Ec. (1.8). Entonces vale que 1. Si F es Banach, entonces también L(E, F ) es un Banach. 12

2. En particular E ∗ = L(E, K) es un Banach para cualquier espacio normado E. 3. Si asumimos que E ∗ 6= {0}, entonces L(E, F )

⇐⇒ F

es Banach

es Banach

.

Demostración. Asumamos que F es un EB. Si me dan una sucesión (Tn )n∈ N de Cauchy en L(E, F ), para cada x ∈ E tenemos que kTn x − Tm xkF = k(Tn − Tm )xkF ≤ kTn − Tm k kxk −−−−→ 0 n,m→∞

para todo x ∈ E .

Luego (Tn x)n∈N es de Cauchy en F . Por la completitud de F podemos definir la función T :E→F

dada por

T x = l´ım Tm x m∈N

para cada x ∈ E .

Es fácil ver que T es K-lineal (l´ımites de sumas y todo eso). Y tenemos convergencia “puntual”. Para concluir que L(E, F ) es Banach nos faltar´ıa ver que T ∈ L(E, F )

kTn − T kL(E,F ) −−−→ 0 .

y que

n→∞

Veamos primero lo segundo: Dado un ε > 0, hay un n0 ∈ N tal que kTn − Tm k < que n, m ≥ n0 . Si fijamos un n ≥ n0 y tomamos cualquier x ∈ E, se tiene que ?

k(T − Tn ) xk = kT x − Tn xk = l´ım kTm x − Tn xk ≤ sup kTm x − Tn xk ≤ m→∞

m≥n0

ε 2

siempre

ε kxk . 2

?

En efecto, la igualdad = surge de que tanto sumar un vector fijo como tomar norma son funciones continuas en F (Prop. 1.1.2). Como la desigualdad de arriba vale con el mismo n para todos los x ∈ E , podemos tomar supremo sobre BE , con lo que kT − Tn k = sup k(T − Tn ) xk ≤ sup x∈BE

x∈BE

ε kxk < ε , 2

para todo n ≥ n0 .

En resumen, ya sabemos que kTn − T kL(E,F ) −−−→ 0. En particular, existe un Tm tal que n→∞

kT − Tm k ≤ 1 =⇒ kT k = kT − Tm + Tm k ≤ kT − Tm k + kTm k ≤ 1 + kTm k < ∞ . Luego T ∈ L(E, F ) y lista la completitud. La rec´ıproca sale fijando una ϕ ∈ E ∗ no nula. Si ahora tomamos una sucesión (yn )n∈ N de Cauchy en F , podemos definir Tn ∈ L(E, F )

dadas por

Tn x = ϕ(x) · yn

para

x∈E

y

n∈N.

Unas cuantas directas muestran que kTn − Tm k = kϕk kyn − ym kF para todo par n, m ∈ N. Usando que L(E, F ) es Banach, debe existir un T ∈ L(E, F ) tal que kTn − T k −−−→ 0. n→∞

Ahora basta elegir un x0 ∈ E tal que ϕ(x0 ) = 1 y poner y = T x0 . 13

Observaci´ on 1.1.11. En la prueba anterior hay un exceso de hipótesis. Para el item 3 basta pedir que E 6= {0}. Si bien nadie probó todav´ıa que que todo EN no trivial tiene funcionales continuas no nulas, más adelante veremos que eso es cierto. Nos adelantamos un poco para ir motivando el teorema de Hahn-Banach. 4 Antes de terminar esta sección básica y pasar a los ejemplos, mostraremos un criterio para testear completitud de un EN que se usará varias veces en lo que sigue. Proposici´ on 1.1.12. Sea E un EN. Las suguientes condiciones son equivalentes: 1. El esapcio (E, k · k) es un Banach (i.e., es completo). 2. Toda serie absolutamente convergente es convergente (todo en E). Más precisamente, dada una sucesión (xn )n∈ N en E, se tiene que X X kxn k < ∞ =⇒ xn es convergente (con la norma) a un punto x ∈ E . n∈N

n∈N

P

En tal caso, vale que kxk ≤

kxn k.

n∈N

Demostración. Asumamos primero que E es un EB. Luego, para mostrar la convergencia de n P la serie, basta ver que la sucesión yn = xk es de Cauchy en E. Pero si n < m, k=1 m m

X

X

kxk k −−−−−→ 0 , kym − yn k = xk ≤ ∞ P

por la hipótesis de que

n, m → ∞

k=n+1

k=n+1

kxn k < ∞. As´ı que existe lim yn = x = n→∞

n=1

∞ P

xn . Además,

n=1

∞ n n

X

X X

kxk k , kxk k = kxk = l´ım kyn k = l´ım xk ≤ l´ım n→∞

n→∞

n→∞

k=1

k=1

k=1

donde se usó que la función y 7→ kyk es continua, Creamos ahora en la condición dos, y tomemos una sucesión de Cauchy (yn )n∈ N en E. Para cada k ∈ N elijamos un mk ∈ N

tal que kyr − ys k < 2−k

para los r, s ≥ mk .

Luego definamos inductivamente n1 = m1 y nk = max{mk , nk−1 + 1} para k > 1 (esto para que los nk sean crecientes). Nos queda una subsucesión (xk )k∈ N = (ynk )k∈ N tal que kxk+1 − xk k < 2−k para todo k ∈ N. Tomemos finalmente la telescópica z1 = x1

y

zk+1 = xk+1 − xk

para

k∈N.

Por lo anterior, la sucesión (zk )k∈ N es absolutamente convergente y por ello convergente. k P Pero cada zr = xk = ynk . As´ı que la subsucesión (ynk )k∈ N es convergente a un y ∈ E, y r=1

arrastra con ella a toda la (yn )n∈ N porque esta era de Cauchy. 14

1.2

Ejemplos m´ as famosos.

La gracia de los EVT’s y los EN’s, y por ende del análisis funcional en general, es que la teor´ıa se hizo como forma de abstraer propiedades ya conocidas de muchos ejemplos matemáticos muy importantes, que se estudiaban separadamente. Esto simplificó los conceptos involucrados, y permitió desarrollar una teor´ıa nueva (con aplicaciones directas a esos ejemplos y much´ısimos nuevos que fueron apareciendo). Y lo bueno es que esa teor´ıa explotó, obteniendo gran cantidad de resultados cualitativamente importantes y generando un mundo nuevo dentro del análisis. A continuación enumeraremos los ejemplos más conocidos. En general, las pruebas de que las normas descritas cumplen la desigualdad triangular requieren de cuentas no demasiado fáciles, dentro del contexto de cada ejemplo. Dejaremos sistemáticamente esas pruebas como ejercicios para el lector. Ejemplo 1.2.1. Es sencillo ver que toda norma k·k sobre R es de la forma kxk = a · |x| (x ∈ R), donde a = k1k > 0. En efecto, la propiedad (b) de la definición de norma nos dice que kxk = |x| k1k para cualquier x ∈ R. También está claro que toda función de la forma R 3 x 7→ a|x|, con a > 0, es una norma sobre R. Es conocido el resultado Q = R que nos dice que este espacio es separable. Ejemplo 1.2.2. Si consideramos el espacio C, vale la misma observación que en el ejemplo anterior cuando se lo considera como un C-EV. Tomando Q + iQ, vemos que C es separable. Ejemplo 1.2.3. Más generalmente, en Kn podemos definir varias normas: Dado un vector x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , consideremos 1. kxk∞ = máx |xk |. 1≤k≤n

2. kxkp =

n P

|xk |p

p1 para los exponentes 1 ≤ p < ∞.

k=1

3. El caso particular p = 2 se denomina generalmente espacio Eucl´ıdeo. Las mismas consideraciones que en los ejemplos anteriores nos dicen que estos espacios son separables. Ejemplo 1.2.4. Sean X un conjunto y (E, k · k) un EN. Se definen 1. `∞ (X, E) = {f : X → E acotadas }, o sea que f ∈ `∞ (X, E)

si

def

kf k∞ = sup kf (x) kE < ∞ . x∈X

Es fácil ver que k · k∞ es una norma en `∞ (X, E). 15

2. Veamos que si E era un EB, entonces `∞ (X, E) es completo, y queda un EB. En efecto, sea (fn )n∈N una sucesión de Cauchy en `∞ (X, E). Dado un x ∈ X, sabemos que kfk (x) − fm (x)kE ≤ kfk − fm k∞ para todo k, m ∈ N. Luego cada sucesión (fn (x) )n∈N es de Cauchy en E. Como E es completo, podemos definir la función f :X→E

dada por

f (x) = l´ım fn (x) , n→∞

para todo x ∈ X ,

que es nuestra candidata a l´ımite. Nos falta verificar dos cosas: ?

kfn − f k∞ −−−→ 0 n→∞

?

f ∈ `∞ (X, E) .

y

Dado ε > 0, sea n1 ∈ N tal que kfk − fm k∞
0 : tal que µ |f | > M = 0 . Luego definimos el espacio vectorial seminormado L∞ = L∞ (X, Σ, µ) = {f ∈ Med(X, Σ) : kf k∞ < ∞ } . En este caso es trivial que k · k∞ es una seminorma en L∞ (X, Σ, µ).

18

3. Es fácil ver que el conjunto N = N (X, Σ, µ) = f ∈ Med(X, Σ) : µ |f | 6= 0 = 0 es un subespacio de Med(X, Σ). Una cuenta directa muestra que N = {f ∈ Med(X, Σ) : kf kp = 0} ⊆ Lp

1≤p≤∞.

para cada

Luego se pueden definir los espacios normados Lp = Lp (X, Σ, µ) = Lp (X, Σ, µ)/N (asumimos conocido el cociente de EV’s), porque en ellos la k · kp baja haciéndose una buena norma. Como hace todo el mundo, abusaremos sitemáticamente de la notación dicendo que un elemento f ∈ Lp es una función (en Lp ) en vez de su clase de equivalencia. En los cursos de medida seguro que se ha demostrado que el espacio (Lp , k · kp ) es completo, por lo que estamos hablando de espacios de Banach. 4. Cabe recordar que si µ (X) < ∞, entonces L∞ ⊆ Lp para todo 1 ≤ p < ∞, y además lim kf kp = kf k∞

f ∈ L∞ .

para toda

p→∞

(1.13)

En efecto, dada f ∈ L∞ , podemos suponer (sin pérdida de generalidad) kf k∞ = 1 . En tal caso, como |f |p ≤ 1 salvo un conjunto de medida nula, se tiene que Z Z p |f | dµ ≤ 1 dµ = µ (X) < ∞ =⇒ f ∈ Lp . (1.14) X

X

Para probar la Ec. (1.13), tomumos un A < 1 y llamamos E = {x ∈ X : |f (x)| > A}. Por la definición del supremo esencial vemos que µ (E) > 0. Además 1 p

p

1 p

p1

Z

A · µ (E) = (A ) ·

χE

Z A

=

X

p

p1

Z

p

p1

|f |

≤

E

1

≤ kf kp ≤ µ(X) p ,

E

donde la u ´ltima desigualdad se sigue de la Ec. (1.14). Luego A ≤ lim inf kf kp ≤ lim sup kf kp ≤ 1 . p→∞

p→∞

Como el A < 1 era cualquiera, sale que l´ım kf kp = 1 = kf k∞ . p→∞

Por lo tanto también vale que L∞ ⊆ Lp (se divid´ıa por lo mismo). Ojo que la inclusion es de conjuntos. Porque L∞ es un EB con su norma, aunque L∞ 6v Lp porque como subespacio de los Lp es fácil ver que es denso en cada uno de ellos con su k · kp . 4 Ejemplo 1.2.8. Dada cualquier función ϕ : [a, b] → R y cualquier partición Π ≡ {a = t0 < t1 < .... < tn = b} definamos V (ϕ, Π) =

n P

de

([a, b] ,

|ϕ (tk ) − ϕ (tk−1 ) |. El espacio

k=1 def

BV[a, b] = {ϕ : [a, b] → R : V (ϕ) = sup V (ϕ, Π) < ∞} Π

19

cosiste de las llamadas funciones de variaci´ on acotada (VA) sobre [a, b]. Se ve fácilmente que la flecha ϕ 7→ V (ϕ) es una seminorma. El n´ umero V (ϕ) se llama la variaci´ on de ϕ. Los ejemplos más fáciles de funciones de VA son las monótonas. En ese caso, para cualquier partición Π vale que V (ϕ, Π) = |ϕ(b) − ϕ(a)| =⇒ V (ϕ) = |ϕ(b) − ϕ(a)| < ∞ . Por otro lado, no es dificil ver que V (ϕ) = 0 si y sólo si ϕ es constante. En efecto, la igualdad V (ϕ) = 0 =⇒ V (ϕ, Π) = 0 para toda partición Π. Si existieran dos puntos u, v ∈ [a, b], con u > v, tales que ϕ (a) 6= ϕ(b) podr´ıamos tomar la partición ad hoc Π∗ = {a, , v, u, b}. Pero ella cumplir´ıa que V (ϕ, Π∗ ) ≥ |ϕ(u) − ϕ(v)| > 0. No puede ser. Ahora s´ı podemos dar una norma para el espacio BV[a, b], poniendo kϕkBV = |ϕ(a)| + V (ϕ)

para cada

ϕ ∈ BV[a, b] .

Es una seminorma por ser la suma de dos de ellas. Pero ahora tenemos que kϕkBV = 0 =⇒ ϕ ≡ 0, porque la ϕ debe ser constante y ϕ(a) = 0. Un argumento similar al del Ejem. 1.2.4 4 (espacios `∞ (X , E) ) nos dice que BV[a, b] es no separable. Ejemplo 1.2.9. Sea α ∈ R∗+ . Las funciones lipschitzianas de orden α son las funciones ϕ : [a, b] → K que satisfacen que su norma def

kϕkLα = |ϕ(a)| + sup t6=s

|ϕ(t) − ϕ(s)| 1, las u ńicas funciones lipschitzianas de orden α son las constantes. En efecto, si kϕkLα < ∞ con α > 1, entonces ϕ tiene que ser derivable en el abierto (a, b), y además se debe cumplir que ϕ0 ≡ 0. Es porque dado un x0 ∈ (a, b), el cociente incremental cumple que |ϕ(x0 ) − ϕ(x0 + h)| |h|

(1.15)

≤

Sϕ · |h|α = Sϕ · |h|1−α −−→ 0 . h→0 |h|

Luego, por alg´ un Teorema de Análisis I ya tenemos que ϕ debe ser constante.

20

4

Ejemplo 1.2.10. Sea (X, τ ) un ET compacto Hausdorff. Llamemos B(X) ⊆ P(X) la σa´lgebra de los Borelianos de X (la σ-álgebra generada por τ ). Una medida boreliana compleja es una µ : B(X) → C que es σ-aditiva y sólo toma valores finitos. La variación total de una tal µ es la medida positiva |µ| definida por |µ|(A) =

sup

nπ X

|µ(Ek )|

para cada

A ∈ B(X) ,

(1.16)

π∈PD(A) k=1

donde PD(A) es el conjunto de particiones finitas π = {E1 , . . . , Enπ } de A (i.e., Una de las utilidades de |µ| es que se la necesita para la desigualdad Z Z f d µ ≤ |f | d |µ| , X

d S

Ek = A).

(1.17)

X

que vale para cualquier f ∈ C(X) (y para toda f que sea µ-integrable). Otra es que sirve para definir la regularidad: una medida µ es regular si |µ| cumple que |µ|(A) = sup{ |µ|(K) : K ⊆ A y K es compacto } ,

para todo A ∈ B(X) .

(1.18)

El espacio Mr (X) de medidas complejas regulares es un normado con la norma kµk = |µ|(X) ,

µ ∈ Mr (X) .

para cada

El que |µ| sea finita para toda µ ∈ Mr (X) y la triangular |µ + ν|(X) ≤ |µ|(X) + |ν|(X) son resultados t´ıpicos de teor´ıa de la medida, que asumiremos (ver 1.9.25). Observar que |µ(A)| ≤ |µ(A)| + |µ(X \ A)| ≤ |µ|(X) = kµk ,

para

µ ∈ Mr (X)

y

A ∈ B(X) .

Usando esto se puede mostrar que ( Mr (X), k · k ) es un Banach, cuenta que dejamos como ejercicio. Las pruebas de las afirmaciones de este ejemplo están detalladamente propuestas como una serie de ejercicios en la sección final: desde el 1.9.12 hasta la Obs. 1.9.25. 4

1.3

C´ alculo de algunos duales.

Calcularemos ahora “los duales” de algunos ejemplos anteriores. En general esto se hace con los llamados teoremas de representación. Ellos consisten en tomar un espacio conocido y hacerlo actuar sobre otro EN como funcionales acotadas. O sea “representarlo” como el dual de otro a través de una aplicación lineal isométrica sobre. Lo dif´ıcil de este proceso suele ser ver que una representación dada es sobre, o sea que toda funcional acotada debe ser alguna de las representadas del espacio conocido. Esto se entenderá mejor mirando los siguientes ejemplos. Antes de empezar, recordemos la función sgn : C → S 1 ∪ {0}, dada por sgn z =

z |z|

para

z ∈ C \ {0} 21

y

sgn 0 = 0 .

Una cuenta que usaremos seguido dice que z |z|2 sgn z · z = ·z = = |z| |z| |z|

z ∈ C \ {0} .

para todo

(1.19)

La igualdad de los bordes obviamente sigue valiendo para z = 0. En los siguientes ejemplos usaremos sistematicamente la receta propuesta en la Obs. 1.1.8 para calcular normas de funcionales. 1.3.1. Queremos identificar los duales de c0 y de `1 . Empecemos representando a `1 dentro de c∗0 . Dada y = (yn )n∈ N ∈ `1 definamos la funcional X ϕy : c0 → K dada por ϕy (x) = xn yn , para cada x = (xn )n∈ N ∈ c0 . n∈N

La siguiente cuenta mostrará que la serie es convergente y que ϕy es acotada: Fijado x ∈ c0 , X X X |ϕy (x)| = xn yn ≤ |xn yn | ≤ kxk∞ |yn | = kxk∞ kyk1 . (1.20) n∈N

n∈N

n∈N

La parte derecha dice que la serie es absolutamente convergente y por ello converge, as´ı que ϕy (x) está bien definida. Mirándola de nuevo, ahora para todo x ∈ c0 , nos dice que kϕy k ≤ kyk1 para cualquier y ∈ `1 . Entonces ya tenemos una representación R ∈ L(`1 , c∗0 ) dada por R(y) = ϕy . Veamos que es isométrica: Fijado el y ∈ `1 y un N ∈ N, tomemos xN =

N X

sgn yk ek = (sgn y1 , . . . , sgn yN , 0 , 0 , . . . ) ∈ SF ⊆ c0 .

(1.21)

k=1

Observar que, usando la Ec. (1.19), tenemos que ϕy (xN ) =

N P

sgn yk yk =

k=1

N P

|yk | . Por otra

k=1

parte kxN k∞ ≤ 1 para cualquier N ∈ N, porque | sgn z| ≤ 1 para cualquier z ∈ C. Juntando todo y agrandadno indefinidamente el N ∈ N, llegamos a que kϕy k = sup

|ϕ(x)| ≥ sup |ϕ(xN )| = sup N ∈N

kxk∞ ≤1

N ∈N

N X

|yk | = kyk1 .

k=1

Esto muestra que la representación R es isométrica. Falta ver que llena al dual c∗0 . Para probarlo, fijemos ϕ ∈ c∗0 y definamos yn = ϕ(en ) ∈ K para cada n ∈ N. Esto nos da la candidata y = (yn )n∈ N . Es fácil ver que en los x ∈ SF se cumple que X X ϕ(x) = ϕ xn e n = xn yn = ϕy (x) , n∈ J

n∈ J

donde el J ∈ PF (N) es el soporte finito de x. Con las xN ∈ c0 de (1.21) relativas a éste y se ve que kyk1 ≤ kϕk por lo que y ∈ `1 and ϕy ∈ c∗0 . Luego ϕ y ϕy son funcionales continuas que coinciden en el denso SF ⊆ c0 , por lo que deben ser la misma. En resumen, c0 ∗ ∼ = `1

v´ıa la representación 22

`1 3 y 7→ ϕy ∈ c∗0 .

(1.22)

Ahora viene el dual de `1 . La idea es exactamente la misma, aunque ahora nos dará que (`1 )∗ ∼ = `∞ . En efecto, dada z = (zn )n∈ N ∈ `∞ , volvemos a definir X ϕz : `1 → K dada por ϕz (y) = yn zn , para cada y = (yn )n∈ N ∈ `1 . (1.23) n∈N

La Ec. (1.20) sigue valendo en éste contexto (cambiando x por z) lo que dice que la serie camina, ϕz ∈ (`1 )∗ y kϕz k ≤ kzk∞ (porque ahora la variable es el y ∈ `1 ). La representación es isométrica usando los vectores yN = sgn zN · eN ∈ SF ⊆ `1 . En efecto, todos tienen kyN k1 = | sgn zN | ≤ 1 y cumplen que ϕz (yN ) = |zN |, por lo que kzk∞ ≤ kϕz k. Para ver que esto llena el dual de `1 se argumenta igual que en el caso de c0 . El dato clave es que SF sigue siendo denso en `1 . Mucho más dif´ıcil es describir (`∞ )∗ , porque `∞ no tiene un denso en el que se puedan hacer cuentas lineales tranquilizadoras. Pero al menos se puede ver que (`∞ )∗ es “grande”, porque s´ı se puede meter a `1 adentro de (`∞ )∗ con el mismo curro de siempre (de hecho con la misma acción y desigualdades que describimos antes sobre c0 ). El tema es que no lo llena ni ah´ı. Observar que, dada ϕ ∈ (`∞ )∗ , se puede seguir poniendo xn = ϕ(en ) y armar un x ua como ϕ en todo `∞ porque SF no es más denso. 4 de `1 . Pero no se sabe si la ϕx act´ Ejercicio 1.3.2. En forma similar a lo anterior, probar que si 1 < p, q < ∞ y

1 p

+

1 q

=1

=⇒

(`p )∗ ∼ = `q .

(1.24)

La acción es como arriba, haciendo series de productos y usando Hölder en vez de (1.20). 4 1.3.3. Fijemos ahora un compacto Hausdorff (X, τ ) y pensemos en el dual del espacio C(X) = C(X, C), que vimos que es un Banach con la k · k∞ . Consideremos el espacio normado Mr (X) de medidas borelianas complejas regulares, del Ejem. 1.2.10. Recordemos que si µ ∈ Mr (X) se define la medida positiva finita |µ| ∈ Mr (X), llamada variación total de µ, y que kµk = |µ|(X). El teorema de representación de Riesz asegura que Mr (X) ∼ = C(X)∗ . Veamos la parte fácil de eso: Dada µ ∈ Mr (X), definamos ϕµ ∈ C(X)0 por la fórmula Z ϕµ (f ) = f d µ , para cada f ∈ C(X) . X

La definición es buena porque las continuas son integrables para toda µ ∈ Mr (X). Además Z Z |ϕµ (f )| = f d µ ≤ |f | d |µ| ≤ kf k∞ |µ|(X) = kµk kf k∞ X

X

para toda f ∈ C(X), por la Ec. (1.17). Luego ϕµ ∈ C(X)∗ y kϕµ k ≤ kµk. Usando que µ es regular se puede mostrar que en realidad vale que kϕµ k = kµk. La cuenta es fácil usando funciones simples sobre particiones π = {E1 , . . . , En } de X con los coeficientes sgn µ(Ek ). 23

Eso sale como en los ejemplos anteriores, porque sus integrales aproximan el valor |µ|(X) dado en la Ec. (1.16). La regularidad sirve para aproximar esas simples por continuas (salvo conjuntos |µ|-peque˜ nos), usando Tietze y la definición (1.18) de regularidad. Los detalles quedan para el lector regular (ver los ejercicios 1.9.12 - 1.9.26). Lo que es mucho más complicado es ver que toda ϕ ∈ C(X)∗ se representa como una ϕµ para µ ∈ Mr (X). Es una demostración tan trabajosa como la construcción de la medida de Lebesgue. Para convencerse basta un ejemplo: Si en C([0, 1]) tomamos la funcional R1 f 7→ 0 f (t) dt , pero hecha con la integral de Riemann, entonces la µ que la representa no es otra que la mism´ısima medida de Lebesgue en los borelianos del [0, 1]. 4

1.4

El lema de Riesz.

Empecemos fijando una serie de notaciones sobre subespacios: Notaciones 1.4.1. Sea E un EN. 1. Escribiremos S v E para decir que S ⊆ E es un subespacio cerrado de E. 2. Dado cualquier A ⊆ E, notaremos span {A} al subespacio generado por A: \ def S ⊆ E : A ⊆ S y S es un subespacio de E . span {A} = 3. Llamaremos span {A} v E al subespacio cerrado generado por A: \ def span {A} = span {A} = S⊆E:A⊆S y SvE . Un ligero ejercicio es mostrar la segunda igualdad de arriba. Usa esto: Si S ⊆ E es un subespacio, entonces S v E. O sea que la clausura de un subespacio sigue siendo subespacio. Ya que van a hacer la cuenta, observen que vale en el contexto general de EVT’s. Solo hace falta tomar redes en vez de sucesiones para la prueba general. Y recordar la Ec. (1.1). 4 1.4.2. Sea E un EN , y fijemos un subespacio cerrado S v E. Como en cualquier EM, se tiene definida la función “distancia a S”, d ( · , S) : E → R+ dada por def

d (x, S) = ´ınf kx − yk = ´ınf kzk , y∈ S

z∈x+S

para cada

x∈E .

Por ser S cerrado, vale que d (x, S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S. Además, un cambio elemental de variables asegura que en el espacio af´ın x + S la distancia con S no cambia: para todo z ∈ x + S

se tiene que d (z, S) = d (x, S) , 24

(1.25)

porque x + S = z + S. En forma a´ un más fácil uno puede mostrar que λ x+S = λ (x+S) =⇒ d (λ x , S) = |λ|·d (x , S)

x∈E,

para todo

λ ∈ K . (1.26)

Ahora bien, en los espacios Eucl´ıdeos (más adelante en los Hilbert) se tiene que siempre existe un z0 ∈ x + S que es ortogonal a S, y por lo tanto cumple (Pitágoras mediante) que ?

kz0 k = d (z0 , 0) = d (x, S) = m´ın kzk .

(1.27)

z∈ x+S

Naturalmente cabe preguntarse si algo semejante (que el ´ınfimo que define la distancia a un S v E sea siempre un m´ınimo) pasará en cualquier espacio normado E. A priori podr´ıa pensarse que alcanzar´ıa con que E sea un Banach (aproximar y tomar l´ımite). Sin embargo, en general es falso, a´ un para Banach’s, porque hace falta que la bola BE tenga un tipo especial de convexidad para que los aproximantes sean necesariamente de Cauchy. Veremos primero un contraejemplo y luego una forma muy util de reiterpretar la Ec. (1.27), pero sólo con ´ınfimos, que vale en general. 4 Ejemplo 1.4.3. El espacio base será C[0, 1], que es Banach. Consideremos el subespacio X = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0} v C[0, 1] .

Luego X es un Banach .

Por otro lado, consideremos la funcional ϕ : X → C dada por R1 ϕ(f ) = 0 f (t) dt para cada f ∈ X . R1 Es claro que ϕ es lineal. La desigualdad 0 f (t) dt ≤ kf k∞ y la Prop. 1.1.5, nos dicen que ϕ ∈ X ∗ con kϕk ≤ 1. Llamemos M = ker ϕ v X . Es claro que M = 6 X , o sea que M es un subespacio de X que es cerrado y propio. Ahora supongamos que existe un f0 ∈ X tal que kf0 k∞ = 1 = d (f0 , M) como uno buscaba en la Ec. (1.27). Ya veremos adónde nos lleva. Para cada f ∈ X \ M definamos R1 f0 (t)dt ϕ(f0 ) = R01 que produce un g = f0 − cf · f ∈ ker ϕ = M . cf = ϕ(f ) f (t)dt 0

Por lo tanto, como d (f0 , M) = 1, podemos deducir que |cf | · kf k∞ = kcf · f k∞ = kf0 − gk∞ ≥ 1 =⇒ |ϕ(f0 )| · kf k∞ ≥ |ϕ(f )| .

(1.28)

1

Ahora consideremos la sucesión de funciones fn (t) = t n en X \ M. Como kfn k∞

1 t n +1 1 = 1 ∀ n ∈ N =⇒ |ϕ(f0 )| ≥ |ϕ(fn )| = 1 = +1 0 n

(1.28)

1 n

1 −−−→ 1 , + 1 n→∞

es decir que |ϕ(f0 )| ≥ 1. Pero una cuenta de Análisis 1 nos hace ver que, por otra parte, Z 1 f0 ∈ C[0, 1] , f0 (0) = 0 y kf0 k∞ = 1 =⇒ |ϕ(f0 )| ≤ |f0 (t)| dt < 1 . 4 0

25

En cualquier caso subsiste una idea de ”cuasiortogonalidad” inducida por el famoso Lema de F. Riesz que damos ahora. Una manera de visualizar su enunciado es imaginarse al subespacio S como un plano, que uno translada con muchos vectores unitarios, y luego busca maximizar la distancia vs. S entre todos los planos paralelos que quedan. Lema 1.4.4. Sea E un EN. Dado un S v E tal que S = 6 E se tiene que, para cada ε > 0 existe alg´ un vector unitario xε ∈ E (o sea que kxε k = 1) tal que d (xε , S) ≥ 1 − ε. Demostración. Vamos a suponer que ε < 1 y que S = 6 {0} (sino todo es una boludez). Como 0 ∈ S, tenemos que 0 ≤ d (x , S) ≤ kxk para todo x ∈ E. Como S es cerrado y propio, existe por lo menos un z ∈ E tal que d (z , S) = ´ınf kyk = 1. Luego y∈ z+S

existe un yε ∈ z + S

tal que

1 ≤ kyε k < (1 − ε)−1 .

La Ec. (1.25) nos asegura que d (yε , S) = d (z, S) = 1. Llamemos xε =

(1.29) yε ∈ BE . kyε k

Finalmente, usando la Ec. (1.26) y la Ec. (1.29) llegamos a que yε d (yε , S) 1 d (xε , S) = d ,S = = > 1−ε . kyε k kyε k kyε k

Ejemplo 1.4.5. Volviendo al ejemplo anterior al Lema (y usando las notaciones del mismo), se puede construir expl´ıcitamente una sucesión de vectores unitarios {fn }n∈N en X tales que 1 d (fn , M) −−−→ 1. Es la de antes: fn (t) = t n . Los detalles quedan a cargo del lector. 4 n→∞

1.5

Isomorfismos.

Hay dos tipos de isomorfismos en la categor´ıa de EN’s, los isométricos y los comunes. En el caso isométrico se habla de “igualdad” entre los espacios, como el los ejemplos de duales que vimos hace poco. En los demás casos se habla de isomorfos y no es para tanto. Pero vale la penar fijar bien qué cosas se preservan por cada tipo de isomorfismo. Notaciones 1.5.1. Sean E y F dos EN’s. 1. Diremos que E y F son isométricos (o que son el mismo) si existe un U ∈ L(E, F )

tal que U es sobre y

kU xk = kxk

para todo

x∈E .

En tal caso escribiremos que E ∼ = F y que U es un “isomorfismo isométrico”. 2. En cambio E y F son isomorfos si existe un T ∈ L(E, F )

biyectivo tal que también

T −1 ∈ L(F, E) .

(1.30)

En tal caso escribiremos que E ' F y a T se lo bate “isomorfismo” (o también iso). 26

A los operadores lineales biyectivos pero no bicontinuos se los mencionará como isomorfismos K-lineales. La palabra iso (sola) se reserva para los del item 2. 4 Los isomorfismos entre EN’s son hómeos entre sus topolog´ıas resultantes. Pero preservan propiedades métricas mejores que los hómeos a secas, porque al ser lineales son más que sólo bicontinuos. Veamos: Proposici´ on 1.5.2. Sean E y F dos EN’s tales que E ' F . Sea T ∈ L(E, F ) el mentado isomorfismo. Entonces: 1. Sean M = kT k y m = kT −1 k−1 . Entonces tenemos que m kxkE ≤ kT xkF ≤ M kxkE

para todo

x∈E .

(1.31)

2. Con las mismas constantes m y M se tiene que m · BF ⊆ T (BE ) ⊆ M · BF .

(1.32)

3. Una (xn )n∈ N es E es de Cauchy ⇐⇒ (T xn )n∈N es de Cauchy en F . 4. E es Banach ⇐⇒ F es Banach. 5. La bola BE es compacta ⇐⇒ BF lo es. Demostración. Es claro que para cualquier x ∈ E vale que kT xkF ≤ kT k kxkE . Además, kxkE = kT −1 (T x)kE ≤ kT −1 k kT xkF =⇒ m kxkE ≤ kT xkF . Veamos (1.32): Si y ∈ m BF y tomamos el u ńico x ∈ E tal que T x = y entonces, por (1.31), m kxk ≤ kT xk = kyk ≤ m =⇒ x ∈ BE =⇒ y ∈ T (BE ) . La otra inclusión de (1.32) sale por la definición de kT k. Usando (1.31) y que T es lineal, sale el item 3. Los otros dos son consecuencias directas de 3, porque al ser continuas, tanto T como T −1 preservan convergencias y compacidad. Para probar 5 hay que usar (1.32) y que x 7→ λ x (con λ 6= 0) es hómeo tanto en E como en F . Ejercicio 1.5.3. Sean E y F dos EN’s y tomemos T ∈ Hom(E, F ). Probar que tanto la Ec. (1.31) como la Ec. (1.32) (para dos constantes m y M dadas) implican que T ∈ L(E, F ) y que es un iso bicontinuo. Incluso sale que kT k ≤ M y que kT −1 k ≤ m−1 . 4 1.5.4. Sea E un K-EV, y sean N1 y N2 dos normas en E. En tal caso se dice que N1 y N2 son normas equivalentes si existen m, M > 0 tales que m N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ M N1 (x)

para todo

x∈E .

(1.33)

Esto equivale a que (E, N1 ) ' (E, N2 ) como espacios normados, por ejemplo con el isomorfismo IE1,2 = IE : (E, N1 ) → (E, N2 ). En efecto, basta tomar M = kIE1,2 k. La acotación por 27

abajo equivale a que IE2,1 = (IE1,2 )−1 sea acotada. La rec´ıproca sale tomando cualquier otro isomorfismo T , y se deja como ejercicio. Ejemplos de normas equivalentes son todas las k · kp con 1 ≤ p ≤ ∞, siempre que uno las use solo en Kn , con el n fijo . De hecho vale que, si 1 < p < ∞, entonces P |xk | ≤ n · kxk∞ para todo x ∈ E . kxk∞ ≤ kxkp ≤ kxk1 = k∈In

La aparición de ese n hace ya sospechar que la cosa se arruina al agrandar las dimensiones. En efecto, si ahora uno labura con el espacio SF del Ejem. 1.2.5 (las sucesiones “finitas”), ahi tienen sentido todas las k · kp , pero nunca son equivalentes entre s´ı. Eso se puede probar a mano, o usando que si lo fueran, los respectivos `p en los que SF es denso (o c0 para p = ∞), tendr´ıan que ser iguales como conjuntos (Prop. 1.5.2). Es fácil ver que eso no pasa. En la mayor´ıa de los ejemplos infinitodimensionales, es raro que aparezcan dos normas equivalentes (salvo buscarlas ad hoc, por ejemplo tomando 2 · k · k). En cambio, como veremos en la siguiente sección, en los finitodimensionales todas las normas que uno pueda inventar para un espacio fijo son equivalentes. 4

1.6

Subespacios finitodimensionales.

Un problema t´ıpico del AF es que la bola BE de un normado E no siempre es compacta. En ésta sección dilucidaremos exactamente cuando s´ı lo es y cuando no. Adivinen. Proposici´ on 1.6.1. Sea E un EN tal que dim E = n < ∞. Luego todo K-isomorfismo (sólo lineal) Ψ ∈ Hom(Kn , E) es automáticamente un iso de EN’s, o sea que es un hómeo. En Kn usamos, en principio, la norma Eucl´ıdea k · k2 . Demostración. Tomemos la base {x1 , . . . , xn } de E dada por xk = Ψ(ek ) , k ∈ In . Luego Ψ(α) =

n X

α k xk ,

para

α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn .

k=1

Veamos que la Ψ es continua (de ida). En efecto, para todo α ∈ Kn vale que kΨ(α)k ≤

n X

|αk | kxk k ≤ máx kxk k ·

k=1

k∈In

n X

|αk | ≤ n · máx kxk k kαk2 , k∈In

k=1

por lo que Ψ ∈ L(Kn , E). Nos falta mostrar que Φ = Ψ−1 ∈ L(E , Kn ). Lo enunciamos as´ı: Todo K-iso

Φ ∈ Hom(E , Kn )

debe ser continuo.

Supongamos que no lo es, i.e. kΦk = ∞. Entonces existe una sucesión (xn )n∈ N en BE \ {0} cuyas imágenes yn = Φ(xn ) cumplen que an = kyn k −−−→ +∞. Luego la sucesión de los n→∞

zn = a−1 −−→ 0 mientras que del otro lado kΦ(zn )k = a−1 n xn − n kyn k = 1 para todo n ∈ N. n→∞

28

Sin embargo la cáscara S n−1 = {w ∈ Kn : kwk = 1} es compacta en el espacio Eucl´ıdeo Kn . Luego existe una subsucesión (ynk )k∈ N de (yn )n∈ N tal que esta otra sucesión Φ(znk ) = a−1 −−→ w nk ynk −

para cierto

k→∞

w ∈ S n−1 .

Como ya vimos en la primera parte que Ψ = Φ−1 ∈ L(Kn , E) (tiene que ser continuo), sale que znk = Ψ Φ(znk ) −−−→ Ψ(w). Pero arriba vimos que znk −−−→ 0. Encima Ψ es un k→∞

k→∞

K-iso, por lo que tiene que valer que w ∈ S n−1 =⇒ w 6= 0 =⇒ Ψ(w) 6= 0. Todo este desastre provino de suponer que Φ no era continuo. As´ı que s´ı lo es y a otra cosa. Corolario 1.6.2. Sea E un EN de dim E = n < ∞. Entonces: 1. Si F es otro EN con dim F = n, entonces E ' F v´ıa cualquier iso lineal. 2. Dos normas N1 y N2 en E son equivalentes. O sea que existen m, M > 0 tales que m N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ M N1 (x)

para todo

x∈E .

(1.34)

3. Nuestro E con cualquier norma queda Banach. 4. También cumple que BE (con una norma cualquiera) es compacta. Demostración. Si A : E → F es un iso lineal, y T ∈ L(E , Kn ) es alg´ un iso, la Prop. 1.6.1 nos asegura que tanto T como AT −1 : Kn → F deben ser isos de los buenos. Componiendo queda que A era anche hómeo. O sea que E ' F v´ıa cualquier iso lineal. En particular, la identidad IE1,2 = IE : (E, N1 ) → (E, N2 ) es continua para los dos lados, o sea que es iso. Luego las desigualdades de (1.34) son consecuencia de la Ec. (1.31). La completitud y la compacidad de la bola BE salen combinando la Prop. 1.6.1 con la Prop. 1.5.2, usando que lo que se pide lo cumple Kn con la norma Eucl´ıdea. Corolario 1.6.3. Sea E un EN. Luego todo subespacio finitodimensional es cerrado. Demostración. Sea S ⊆ E un tal subespacio. Por el Cor. 1.6.2, el tal S es un normado con la norma de E que debe ser completo. As´ı que tiene que ser cerrado en E. Corolario 1.6.4. Sea E un EN. Si tenemos que dim E = ∞, entonces la bola cerrada BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} no es compacta. Demostración. Por un proceso inductivo y aplicando sistematicamente el Lema de Riesz 1.4.4, podemos construir una sucesión (xn )n∈ N de vectores unitarios de E tales que 1 , 2 para todo n ∈ N. Notar que el Lema 1.4.4 pide que los subespacios sean cerrados y propios. Por un lado los Sn 6= E porque dim E = ∞. Por otro lado, el Cor. 1.6.3 nos asegura que dim Sn < ∞ =⇒ Sn v E para cada n ∈ N, por lo que el proceso inductivo funciona. def

si Sn = span {x1 , . . . , xn }

entonces

d ( xn+1 , Sn ) ≥

En particular tenemos que kxn − xm k ≥ 12 para todo par n, m ∈ N tal que n 6= m. Y todos los xn viven en BE , por lo que la bola no puede ser compacta. 29

Corolario 1.6.5. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dim E < ∞. Entonces todo operador A ∈ Hom (E , F ) es continuo (i.e., acotado). No se presume que A sea mono. P yk xk ∈ E, Demostración. Fijemos una base {x1 , . . . , xn } de E como K-EV. Si y = k∈In

P

P

|yk | A xk ≤ y k A xk ≤ kA yk = k∈In

k∈In

máx kA xk k

P

k∈In

|yk | .

k∈In

Llamemos C = máx kA xk k < ∞ y definamos otra norma en E por la fórmula k∈In

|ky |k

def

=

P

|yk |

para cada

y=

P

yk xk ∈ E .

k∈In

k∈In

Por el Cor. 1.6.2 existe M > 0 tal que |ky |k ≤ M kyk para todo y ∈ E. Luego kA yk ≤ C |ky |k ≤ C M kyk

1.7

para todo

y ∈ E =⇒ A ∈ L(E , F ) .

Cocientes.

Sea E un EN. Dado un S v E, consideramos la relación de equivalencia usual x ∼S y

si

x−y ∈S

para pares

x, y ∈ E .

def

Es claro que E/S = E/∼s = {x + S : x ∈ E} es un K-EV (para eso no hace falta que S sea cerrado). La proyección ΠS : E → E/S es un epimorfismo K-lineal, dado por def

ΠS x = x = x + S ∈ E/S

para cada

x∈E .

Pero ahora queremos definir en E/S una norma adecuada: La mejor candidata será tomar la k x k como la distancia de x a S. Observar que, como S v E, para cada x ∈ E vale que d (x , S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S ⇐⇒ x = 0. Además, calcular la d (x , S) = ´ınf kzk no es z∈ x+S

otra cosa que minimizar las normas entre todos los integrantes de la clase de x (que es la variedad af´ın paralela a S “puesta” arriba de x). As´ı que eso usaremos: Proposici´ on 1.7.1. Sean E un EN y S v E tal que S = 6 E. Luego la fórmula def

kx + Sk = d (x , S) = ´ınf kzkE z∈ x+S

para x + S ∈ E/S

con x ∈ E

define una norma en E/S que lo hace EN. Además valen estas propiedades: 1. La proyección ΠS al cociente cumple que ΠS ∈ L(E, E/S) con kΠS k = 1. 2. Si E era Banach, también lo será E/S con su nueva norma.

30

(1.35)

Demostración. Por lo que dec´ıamos arriba, la u ńica clase con norma cero es la trivial. Ya vimos en la Ec. (1.26) que d (λ x , S) = |λ| d (x , S) para cualesquiera λ ∈ K y x ∈ E. Para ver la desigualdad triangular fijemos x, y ∈ E y w ∈ S. Luego kx + y + Sk = k(x + w) + y + Sk = ´ınf k(x + w) + (y + z)k ≤ kx + wk + ´ınf ky + zk . z∈S

z∈S

Tomando ahora ´ınfimo sobre w ∈ S nos queda que kx + y + Sk ≤ kx + Sk + ky + Sk. Es sabido que ΠS es K-lineal. Como d (x , S) ≤ kxk (para todo x ∈ E), vemos que kΠS k ≤ 1. La desigualdad kΠS k ≥ 1 es otra manera de enunciar el Lema de Riesz 1.4.4. Asumamos ahora que E es completo, y sea (xn )n∈ N una sucesión en E tal que (xn + S)n∈N es de Cauchy en E/S. Para ver que converge, alcanza mostrarlo para alguna subsucesión, por lo que podemos suponer (como en la prueba de la Prop. 1.1.12) que k(xn+1 − xn ) + Sk < 2−n

para todo

n∈N.

(1.36)

Fijemos y1 = x1 . La Ec. (1.36) nos premite construir inductivamente, para cada n ∈ N, un vector yn+1 ∈ xn+1 + S tal que kyn+1 − yn k < 2−n . El criterio para series dado en la Prop. 1.1.12 nos da que la sucesión (yn )n∈ N es de Cauchy en E y converge a un y ∈ E. Luego k·k

xn + S = ΠS (xn ) = ΠS (yn ) −−−→ ΠS (y) = y + S . n→∞

En general no es cierto en los espacios normados que una suma de subespacios cerrados tenga que seguir siendo cerrada. Contraejemplos de esto se mostrarán a su debido tiempo (Ejer. 2.7.4). Hay en el medio una sutil noción de ángulo entre subespacios, que veremos más adelante, y éste ańgulo decide cuando s´ı y cuando no. Pero ahora veremos que si uno de los subespacios es de dimesión finita, entonces la cosa seguro que anda bien: Corolario 1.7.2. Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S, F v E y además asumimos que dim F < ∞, entonces se tiene que S + F = {x + y : x ∈ S e y ∈ F} v E. Demostración. Consideremos el cociente ΠS : E → E/S. El curro es notar primero que F + S = Π−1 Π (F) , lo cual es una cuenta algebráica estandard. S S Ahora bien, el Cor. 1.6.3 nos asegura que ΠS (F) v E/S, porque es un subespacio de dimensión no menos finita que la de F. Pero como ΠS es continua, trae para atrás cerrados en cerrados. Ejercicio 1.7.3. Sea E un EN. Dado un S v E, probar que 1. La ΠS ∈ L(E, E/S) es abierta, por lo que la topolog´ıa de abajo es la cociente. 2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach. 4 Sin necesidad de usar que la proyección al cociente es abierta, veremos que los cocientes tienen su versión “acotada” de la propiedad universal: 31

Proposici´ on 1.7.4. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Consideremos el normado E/S con la norma cociente, y la proyección ΠS ∈ L(E , E/S). Luego: 1. Un operador lineal A : E/S → F es acotado ⇐⇒ A ◦ ΠS ∈ L(E , F ). 2. Además vale que kAk = kA ◦ ΠS k. def

Demostración. Para probar 1, lo no trivial es ver que A es continuo siempre que B = A◦ΠS lo sea. Para mostralo tomemos un ρ = ΠS x ∈ E/S con x ∈ E. Para todo z ∈ S vale que

kA ρk = kA ( ΠS x )k = A ( ΠS (x − z) ) ≤ kBkL(E , F ) kx − zk . Usando que kρk = inf kx − zk, deducimos que kA ρk ≤ kBk kρk para todo ρ ∈ E/S . Con z∈S

eso hemos probado que A ∈ L(E/S , F ) con kAk ≤ kBk. La otra desigualdad se deduce de 1.7.1 que kBk = kA ◦ ΠS k ≤ kAk kΠS k y de que kΠS k = 1. Corolario 1.7.5. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Luego: 1. Dado un T ∈ L(E , F ) tal que S ⊆ ker T , el “bajado algebráico” e T ∈ Hom (E/S , F )

definido por la ecuación

e T ◦ ΠS = T ,

(1.37)

cumple que e T ∈ L(E/S , F ) i.e., un operador acotado baja acotado al cociente. 2. Además vale que k e T k = kT k, Demostración. Es una consecuencia directa de la Prop. 1.7.4, porque el bajado e T (cuya BD e y propiedades algebráicas damos por conocidas) cumple que T ◦ ΠS = T ∈ L(E , F ).

Hiperplanos Es claro que el n´ ucleo de un operador acotado es cerrado. Pero la rec´ıproca de eso es falsa en general. Basta tomar la identidad de un E pensado con dos normas no equivalentes (n´ ucleo ni tiene). Sin embargo, la cosa es más agradable para las funcionales: Ser el ker de una funcional puede caracterizarse as´ı: Dado un subespacio H ⊆ E (propio), existe ϕ ∈ E 0 tal que H = ker ϕ ⇐⇒ existe un x ∈ E tal que E = H ⊕ span {x} , (1.38) y a tales H se los llama hiperplanos. En efecto, como ϕ 6= 0, tomando cualquier x ∈ / ker ϕ ϕ(y) la prueba de ⇒ en (1.38) es fácil, ya que y − ϕ(x) · x ∈ ker ϕ para todo y ∈ E. La rec´ıproca sale cocientando por H, porque E/H 'K span {x} 'K K. En otras palabras, tenemos que los hiperplanos son aquellos subespacios H ⊆ E tales que E/H 'K K. Una cosa interesante de los hiperplanos es que tienen que ser cerrados o densos. Esto es as´ı porque H ⊆ H ⊆ E y no queda mucho lugar (recordar que H v E). Ahora veremos que cuando el codominio de una TL es finitodimensional (y esto incluye a las funcionales), entonces la cerrazón del ker s´ı alcanza para asegurar continuidad: 32

Proposici´ on 1.7.6. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dim F < ∞. Sea T : E → F una transformación K-lineal no nula. Entonces se tiene que T ∈ L(E, F ) (i.e., T es continua) ⇐⇒ ker T v E . En particular, una ϕ ∈ E 0 \ {0} cumple que ϕ ∈ E ∗ ⇐⇒ ker ϕ es un hiperplano cerrado. Demostración. Observar que T se puede “bajar” a un K-monomorfismo T˜ : E/ ker T → F tal que T˜ ◦ Πker T = T =⇒ dim E/ ker T ≤ dim F < ∞ . Si asumimos que ker T v E, entonces la Prop. 1.7.1 dice que E/ ker T es un EN con la norma cociente. Entonces, por el Cor. 1.6.5, sabemos que T˜ ∈ L(E/ ker T , F ). Finalmente, como también Πker T es continua, queda que T = T˜ ◦ Πker T ∈ L(E, F ). La rec´ıproca sale porque ker T = T −1 ({0}) y los métricos son T1 .

Proposici´ on 1.7.7. Sea E un EN. Dados x ∈ E y ϕ ∈ E ∗ \ {0} se tiene que d (x , ker ϕ ) = |ϕ(x)| kϕ k−1

(1.39)

Demostración. Llamemos S = ker ϕ v E. Sea ϕ e ∈ (E/S)∗ el bajado de ϕ al cociente E/S definido en (1.37). Como S es un hiperplano tenemos que E/S ' K, por lo que |ϕ( e x )| = kϕ ek k x k

para toda clase

x ∈ E/S

con

x∈E .

Por otro lado, el Cor. 1.7.5 asegura que kϕk = kϕ e k. Luego, todo x ∈ E cumple que (1.35)

d (x , ker ϕ ) = k x k =

1.8

|ϕ( e x )| kϕ ek

(1.37)

=

|ϕ(x)| . kϕ k

Algunos ejemplos de operadores.

El lector habrá notado que apenas definimos espacios normados ya empezamos a trabajar con sus operadores acotados. Esto se justifica porque la teor´ıa es una especie de a´lgebra lineal topológica-métrica y los objetos que interesan son las funciones lineales en este nuevo ambiente. Vimos algunos ejemplos de funcionales, pero faltan ver operadores acotados para ir acostumbrándose a las macanas que hacen. Como dec´ıamos antes, los principales ejemplos ya exist´ıan antes de que se pergre˜ nara la teor´ıa. Fundamentalmente los operadores diferenciales (aunque estos no suelen ser acotados), integrales, y las diferenciales de funciones suaves entre normados, a las que se les pide acotación. Sin embargo, en esta sección focalizaremos en operadores que hacen cosas a las que uno no está acostumbrado al laburar en Kn . El principlal generador de contraejemplos para intuiciones pifiadas es el famoso operador shift que presentamos a continuación.

33

1.8.1 (El shift). Trabajemos en un espacio E de sucesiones, por ejemplo c0 o `p (N) para cualquier p ∈ [1 , ∞]. Definamos al operador S ∈ L(E), que llameremos el shift, como S(x) = (0 , x1 , . . . , xn , . . . )

para

x = (xn )n∈ N ∈ E .

(1.40)

Es decir que S “corre” o “shiftea” las entradas de x a la derecha en un lugar, y completa con un cero en la primera. Formalmente se puede escribir que S(x) = (yn )n∈ N ,

donde

y1 = 0

e

yn+1 = xn

para cada

n∈N.

Observar que S es mono, más a´ un es isométrico (normas con series o supremos ni ven al nuevo cero, y las demás entradas son las mismas de antes aunque en otros lugares). Pero ovbiamente S no es epi. De hecho R(S) = {(yn )n∈ N ∈ E : y1 = 0} v E. Esto sólo ya contradice el Teor. de la dimensión de las matrices, que dice que si son endos y monos deben ser epis. Pero es a´ un peor, porque S es inversible a izquierda pero no a derecha. En principio es claro que no puede haber un A ∈ L(E) tal que SA = IE porque S no era epi. Pero si definimos T ∈ L(E) como el shift para el otro lado: T (y) = (y2 , y3 , . . . , yn , . . . )

para

y = (yn )n∈ N ∈ E ,

nos queda que T tacha el y1 y corre el resto de y al principio. Es claro que kT k = 1 y que este T s´ı es epi, pero ahora no es mono. Además se ve inmediatamente que T S = IE . Otra cosa que pasa con S es que no tiene autovalores (a´ un si ponemos K = C). En efecto, λ = 0 no sirve porque S era mono. Y si tomamos λ 6= 0 y existiera un x ∈ E tal que S x = λ x, entonces tendr´ıamos que S n x = λn x para todo n ∈ N. Pero si miramos bien, vemos que S n x tiene n ceros al principio. Paso a paso, uno muestra que todas las entradas de x son nulas y x = 0, lo que no nos sirve como autovector. Pero la cosa es a´ un más rara con T , porque tiene “demasiados” autovalores. Fijensén que si tomamos λ tal que |λ| < 1 y hacemos el vector xλ = (λn )n∈N , entonces xλ ∈ E porque tanto el supremo como las series a la p convergen bien para las geométricas. Ahora, T xλ = (λ2 , λ3 , . . . , λn , . . . ) = λ xλ . Creer o reventar. Todo un disco D de autovalores para T . Y ninguno para S. A pesar de que son operadores buen´ısimos. Ya los volveremos a ver a estos shifts (conocidos como los shifts unilaterales) a lo largo del texto. 4 1.8.2. Operadores de multiplicaci´ on. Caso continuo: Pongamos que E = Lp = Lp (X, Σ, µ), para alg´ un p ∈ [1 , ∞]. Fijemos una f ∈ L∞ y definamos su operador de multiplicación Mf ∈ L(Lp )

dado por

Mf h = f · h

para las

h ∈ Lp .

(1.41)

Es claro que multiplicarlas por una acotada no saca a las h de su Lp . De hecho vale que 1/p 1/p R R kMf hkp = X |f |p · |h|p d µ ≤ kf k∞ |h|p d µ = kf k∞ khkp . X 34

Esto muestra que efectivamente Mf ∈ L(Lp ) con kMf k ≤ kf k∞ . Pero vale que kMf k = kf k∞

para toda

f ∈ L∞ .

(1.42)

Para verlo, fijemos un ε ∈ (0, kf k∞ ). Si llamamos Aε = {x ∈ X : |f (x)| ≥ kf k∞ − ε} (para un representante de la “clase” f ), sale que µ(Aε ) > 0. Si la medida fuera infinita, cambiemos Aε por alguien de medida positiva y finita dentro de él. Tomemos ahora la función hε (x) = µ(Aε )−1/p · ℵAε

para

x∈X .

Una cuenta directa muestra que khε kp = 1, por lo que hε ∈ BLp . Pero si calculamos kMf hε kp = kf · hε kp =

≥

µ(Aε )

−1

R

p

Aε

µ(Aε )−1

R

|f | d µ

1/p

(kf k∞ − ε)p d µ Aε

1/p

= kf k∞ − ε .

Esto nos dice que kMf k ≥ kf k∞ − ε para cualquier tal ε, o sea que kMf k ≥ kf k∞ . El espacio L∞ , además de ser Banach, es una K-álgebra, usando el producto punto a punto de las funciones. Observar que kf · gk∞ ≤ kf k∞ kgk∞ para cualquier par f, g ∈ L∞ . Una cosa as´ı se llama álgebra de Banach y se estudiará sistemáticamente más adelante (en el Cap. 6). Otra a´lgebra as´ı es L(E) para cualquier espacio E de Banach. El producto ah´ı es la composición de los operadores. M

La idea de este ejemplo es que da una representación isométrica L∞ ,→ L(Lp ) por operadores de multiplicación que, en el caso discreto (o sea `p ), se verán como operadores “diagonales”. Notar que M ∈ L L∞ , L(Lp ) . Al decir esto, impl´ıcitamente aseguramos que M es Klineal. Esto es bien fácil de probar, y también es fácil que Mf ·g = Mf ◦ Mg para f, g ∈ L∞ cualesquiera. As´ı que M es un morfismo isométrico de a´lgebras. Caso discreto: Si X = N, Σ = P(N) y µ es “contar”, uno tiene que Lp = `p . All´ı esta representación M se ve as´ı: Dada la sucesión x = (xn )n∈ N ∈ `∞ , tenemos que Mx y = (xn yn )n∈N ∈ `p

para cada

y = (yn )n∈ N ∈ `p ,

(1.43)

por lo que podemos pensar que Mx es una matriz infinita diagonal actuando en las columnas infinitas de `p , porque lo que hace es multiplicar cada coordenada por un n´ umero distinto. Sigue valiendo que kMx k = kxk∞ y que Mx My = Mx y para todo par x , y ∈ `∞ , donde el producto en `∞ está dado por x y = (xn yn )n∈N ∈ `∞ . Autovalores: Observar que Mx en = xn en para todo n ∈ N. Por ello todas las entradas xn de x pasan a ser autovalores para Mx , con autovector en (los canónicos). Sin embargo, en el caso X = [0, 1] con la medida usual, podemos tomar el operador Mt que multiplica las h por la función f (t) = t, para t ∈ [0, 1]. Y lo que pasa es que el tal Mt no tiene nig´ un autovalor. En efecto, si Mt h = λ h, entonces (t − λ)h(t) = 0 (ctp). Esto obligar´ıa a que la h sea nula (ctp), y no nos servir´ıa como autovector. 35

Inversibles: Dejamos como ejercicio caracterizar las f ∈ L∞ (o las x ∈ `∞ ) tales que Mf es un iso en el sentido de la Ec. (1.30), o sea que Mf sea “inversible” en L(Lp ). Observar que si existiera la inversa de un Mf , no le quedar´ıa otra que ser M1/f . El tema es ver cuándo eso existe y es acotado. Sugerimos hacerlo primero en el caso discreto, usando la Ec. (1.31). Después eso se generaliza al caso continuo con los supremos esenciales (onda los Aε ). Veamos un ejemplo raro: Sea x = ( n1 )n∈N ∈ `∞ , que produce el operador Mx ∈ L(`p ). Por un lado Mx no tiene al cero como autovalor, porque es mono. Sin embargo Mx no es epi (y por ende no es iso), por ejemplo porque el mism´ısimo x ∈ `p (si p > 1) pero x ∈ / R(Mx ) (si p 6= ∞). Observar que su supuesta inversa ser´ıa “multiplicar por n en la n-ésima entrada”, lo que seguro no camina (no es acotado y ni siquiera “cae” siempre en `p ). 4 1.8.3 (N´ ucleos). Laburemos ahora en L2 = L2 (X, Σ, µ). Pensemos en el espacio X × X con la medida producto µ × µ. Si me dan una función k ∈ L2 (X × X), que llamaremos un n´ ucleo, observar que es una función de dos variables k(x, y) para x, y ∈ X (más bien es una clase). Definamos el operador Tk ∈ L(L2 ) por la fórmula Z (Tk f )(x) = k(x, y) f (y) dµ(y) para cada f ∈ L2 y cada x ∈ X . (1.44) X k

x Observar que, como k ∈ L2 (X × X), las funciones X 3 y 7−→ k(x, y) viven en L2 (X) para casi todo x ∈ Y (por Fubini-Tonnelli). Por Hölder, eso muestra que los valores

|(Tk f )(x)| ≤ kkx k2 kf k2 < ∞

para casi todo

x∈X .

Como siempre, la linealidad de Tk sale sin problemas. Ahora calculemos Z Z 2 2 2 |(Tk f )(x)| dµ(x) ≤ kf k2 kkx k22 dµ(x) kTk f k2 = X

= kf k22

X

Z Z X

|k(x, y)|2 dµ(y) dµ(x) = kkk22 kf k22 .

X

En resumen, vemos que efectivamente Tk ∈ L(L2 ) con kTk k ≤ kkk2 . Es interesante observar que la fórmula (1.44) que define a Tk tiene una clara semejanza con el producto de una matriz por un vector. Se multiplica escalarmente la “fila x” de k, moviendo su ´ındicey, por las entradas en y del vector f . De hecho, en el caso discreto `2 , el n´ ucleo k = k i,j i,j∈N es una matriz infinita y fórmula (1.44) se traduce exactamente a X (Tk x)i = k i,j xj para cada x = (xj )j∈N ∈ `2 y cada i ∈ N , (1.45) j∈N

que es la multiplicación matricial sin vueltas. Si bajamos más a´ un al caso finito, donde es un producto com´ un de una matriz por un vector, veremos que la cota kTk k ≤ kkk2 es demasiado grande. De hecho kkk2 es la norma Frobenius de la matriz k, que suele ser mucho mayor que la norma “espectral”, que es su norma como operador sobre Kn con la norma Eucl´ıdea. Esto nos hace pensar, con razón, que puede haber n´ ucleos k mucho más “grandes” que los de cuadrado integrable, que produzcan v´ıa (1.44) un operador Tk ∈ L(L2 ). Continuará. 4 36

1.9

Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados

Ejercicios aparecidos en el texto 1.9.1. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.2: Sea (E, k · k) un EN. Luego: 1. La d (x, y) = kx − yk (para x, y ∈ E) es una métrica en E. 2. Con la topolog´ıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones E 3 y 7→ y + x y las flechas K 3 λ 7→ λ x (con x fijo) son continuas. 3. La funci´ on norma es continua. M´ as a´ un, vale la desigualdad para todo par kxk − kyk ≤ kx − yk = d (x, y) ,

x, y ∈ E .

4

1.9.2. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.6: Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E, F ), def

kT k = kT kL(E,F ) = sup

kT xkF : x ∈ E

y

kxkE ≤ 1 .

Entonces vale lo siguiente: n o 1. kT k = sup kT xkF = m´ın M ≥ 0 : kT xkF ≤ M kxkE para todo x ∈ E . x∈ BE

2. T ∈ C(E, F ) ⇐⇒ kT k < ∞. 1.9.3. Calcular la norma del operador de multiplicación T ∈ L(SF ) dado por T x =

(1 −

1 n

) xn

n∈N

para cada x = (xn )n∈ N ∈ SF . Probar que se puede extender a L(`p ) manteniendo su norma, para todo exponente p ∈ [1 , ∞]. 1.9.4. Hacer los detalles de las cuentas de todos los ejemplos de las Secciones 1.2 y 1.3. Parte de este laburo (medidas, espacios Lp ) se propone con bastante detalle en subsecciones posteriores de esta sección. 1.9.5. Sea E un EN, y fijemos un subespacio cerrado S v E. Recordar la función “distancia a S” d ( · , S) : E → R+

dada por

dS (x) = d (x, S) = ´ınf kx − yk , y∈ S

para cada

x∈E .

Probar que para todo x ∈ E se cumple que 1. La d (x, S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S. 2. Para todo z ∈ x + S se tiene que d (z, S) = d (x, S). 3. Dado λ ∈ K, vale que la d (λ x , S) = |λ| · d (x , S). 4. La flecha E/S 3 x + S 7→ d (x , S) define una norma en E/S. 1.9.6. Sean E y F dos EN’s y tomemos T ∈ Hom(E, F ). Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Nuestro T ∈ L(E, F ) y es un iso bicontinuo. 2. Existen m, M > 0 tales que m kxkE ≤ kT xkF ≤ M kxkE para todo x ∈ E. 3. Existen m, M > 0 tales que m · BF ⊆ T (BE ) ⊆ M · BF . En tal caso se tiene que kT k ≤ M y que kT −1 k ≤ m−1 . Comparar con el Ejer. 1.5.3.

37

1.9.7. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces `p (N) ⊆ `q (N). Ya que estamos, mostrar que si p < q, entonces la inculsi´ on es estricta. Sugerios mostrar que para toda x ∈ CN vale que kxkq ≤ kxkp . 4 1.9.8. Probar que si 1 < p, q < ∞ y

1 p

+

1 q

=1

=⇒

(`p )∗ ∼ = `q .

La acci´ on es la misma que en 1.3.1 haciendo series de productos, pero usando Hölder en vez de (1.20).

4

1.9.9. Completar los detalles de la prueba del Cor. 1.7.2: Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S, F v E y adem´ as asumimos que dim F < ∞, entonces se tiene que S + F = {x + y : x ∈ S e y ∈ F} v E. 1.9.10. Sea E un EN. Dado un S v E, probar que 1. La ΠS ∈ L(E, E/S) es abierta, por lo que la topolog´ıa de abajo es la cociente. 2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach.

4

1.9.11. Caracterizar las f ∈ L∞ (o las x ∈ `∞ ) tales que su operador de multiplicación Mf ∈ L(Lp ) es un iso (o sea que Mf es “inversible” en L(Lp ) ). Comparar con las f que son “inversibles” en el álgebra L∞ .

Repaso de medidas complejas y signadas Sea X un conjunto y Σ una σ-´ algebra en X. Definamos las medidas complejas: 1. Una µ : Σ → C es una medida compleja si es una función σ-aditiva que nunca toma el valor ∞. En tal caso el triplette (X , Σ , µ) es un espacio de medida compleja. 2. Denotaremos por M (X) = M (X , Σ) al conjunto de todas las medidas complejas definidas en Σ. 3. Dada µ ∈ M (X) diremos que µ es (a) Signada si µ(∆) ∈ R para todo ∆ ∈ Σ. (b) Positiva si es signada con signo + : µ(∆) ≥ 0 para todo ∆ ∈ Σ. (c) Dadas µ , ν ∈ M (X) ambas signadas, se pone que µ ≤ ν si µ(∆) ≤ ν(∆) para todo ∆ ∈ Σ. 4. Fijado ∆ ∈ Σ, denotaremos PD(∆) a las particiones finitas de ∆ en conjuntos medibles (y disjuntos). T´ıpicamente notaremos por Π = {A1 , . . . , An } ∈ PD(∆) a tales particiones. 1.9.12. Demostrar las siguientes propiedades de las medidas complejas: 1. El conjunto M (X) es un C-EV. Es decir que las CL’s de medidas complejas se quedan en M (X). 2. Si µ ∈ M (X) , entonces también µ, Re(µ) y Im(µ) ∈ M (X). La que deja de ser medida es la flecha Σ 3 ∆ 7→ |µ(∆)|, pero esto se arregla con algo de laburo: 1.9.13. Sea µ ∈ M (X , Σ). La variaci´ on total de µ es la función ( |µ| : Σ → [0 , +∞]

dada por

|µ|(∆) = sup

n X

) |µ(Ak )| : Π = {A1 , . . . , An } ∈ PD(∆)

k=1

para cada ∆ ∈ Σ. Probar que |µ| ∈ M (X), por lo que es una medida positiva y finita. 1.9.14. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida compleja. Probar que 1. |µ(A)| ≤ |µ|(A) para todo A ∈ Σ.

38

,

2. Si λ ∈ M (X) es positiva y |µ(A)| ≤ λ(A) para todo A ∈ Σ, entonces |µ| ≤ λ. 3. M´ as a´ un, |µ| = min{λ ∈ M (X) : λ es positiva y |µ(A)| ≤ λ(A) para todo A ∈ Σ}. Definici´ on 1.9.15. Sean µ ∈ M (X) y E ∈ Σ. Decimos que µ esta concentrada en E si µ(A) = µ(A ∩ E) para todo A ∈ Σ . Definici´ on 1.9.16. Sean µ1 y µ2 ∈ M (X). Decimos que µ1 y µ2 son mutuamente singulares (µ1 ⊥ µ2 ) si existe Π = {E1 , E2 } ∈ PD(Σ) tal que µi está concentrada en Ei para i = 1, 2. 1.9.17. Sean µ1 , µ2 y λ ∈ M (X), con λ positiva. Demostrar que: 1. Si µ1 est´ a concentrada en E ∈ Σ, entonces |µ1 | también. 2. Si µ1 ⊥ µ2 , entonces |µ1 |⊥ |µ2 |. 3. Si µ1 ⊥ λ y µ2 ⊥ λ, entonces (µ1 + µ2 )⊥ λ. Definici´ on 1.9.18. Sean µ1 y µ2 ∈ M (X). Decimos que µ1 es absolutamente continua respecto de µ2 (se denota por µ1 µ2 ) si |µ2 |(A) = 0 =⇒ |µ1 |(A) = 0 para todo A ∈ Σ. 1.9.19. Sean µ1 , µ2 y λ ∈ M (X), con λ positiva. Demostrar que: 1. Si µ1 λ, entonces |µ1 | λ. 2. Si µ1 λ y µ2 ⊥ λ, entonces µ1 ⊥ µ2 . 3. Si µ1 λ y µ2 λ, entonces (µ1 + µ2 ) λ. 4. Si µ1 λ y µ1 ⊥ λ, entonces µ1 = 0. e. Si µ1 λ, entonces Re(µ1 ) λ and Im(µ1 ) λ. 1.9.20. Sea λ ∈ M (X) signada. Demostrar que existen dos (´ unicas) medidas λ+ y λ− ∈ M (X) positivas + − + − tales que λ = λ − λ y adem´ as λ ⊥ λ . 1.9.21. Sean µ , λ ∈ M (X), con λ signada. Demostrar que: λµ

⇐⇒

λ+ µ

y

λ− µ.

def

1.9.22. Probar que la flecha M (X) 3 µ 7−→ kµk = |µ|(X) define una norma en M (X). 1.9.23. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida (positiva) y sea f ∈ L1 (µ). Definimos la función Z µf : Σ → C

dada por

µf (∆) =

f dµ , ∆

para cada ∆ ∈ Σ (observar la definici´ on es buena). Probar que 1. Toda tal µf es una medida compleja. 2. Su variaci´ on total cumple que |µf | = µ|f | . 3. Deducir que kµf k = kf k1 .

39

1.9.24. Supongamos que (X , τ ) es un espacio topológico Hausdorff. Sea Σ una σ-álgebra que contenga a τ (y por ello a los Borelianos de X). Una medida µ ∈ M (X) es regular si cumple que |µ|(∆) = ´ınf |µ|(U ) : U es abierto y ∆ ⊆ U = sup |µ|(F ) : F es cerrado y F ⊆ ∆ , (1.46) para todo ∆ ∈ Σ. Probar que 1. Una µ es regular ⇐⇒ dados ∆ ∈ Σ y ε > 0, existen un abierto U y un cerrado F tales que F ⊆∆⊆U

y

|µ|(U \ F ) < ε .

2. El conjunto Mr (X) = {µ ∈ M (X) : µ es regular } ⊆ M (X) cumple que (a) Es un subespacio, o sea que suma de regulares es regular. (b) M´ as a´ un, Mr (X) v M (X), o sea que es un subespacio cerrado. def

(c) Si en Mr (X) consideramos la norma µ 7−→ kµk = |µ|(X), nos queda que Mr (X) es un Banach. 1.9.25. Supongamos ahora que (X , τ ) es un espacio topológico compacto Hausdorff. Sea Σ la σ-álgebra de los Borelianos de X. Fijemos µ ∈ Mr (X) (insistimos: es regular). Probar que 1. Toda f ∈ C(X) (o sea que f es continua) es µ-integrable. 2. Por otro lado, se tiene la desigualdad Z Z ≤ f dµ X

|f | d |µ| ≤ kf k∞ kµk .

(1.47)

X

3. La funcional ϕµ : C(X) → C dada por Z ϕµ (f ) =

f dµ

para cada

f ∈ C(X)

X

es lineal y continua, por lo que ϕµ está en C(X)∗ . Más a´ un, se tiene que kϕµ k =

sup |ϕµ (f )| = |µ|(X) = kµk .

(1.48)

kf k∞ =1

Observar que una desigualdad sale usando (1.47). Para probar la otra es donde se usa que la µ es regular, como se decribe en el Ejem. 1.3.3. Observaci´ on 1.9.26. El Teorema de Riesz dice que esta flecha Mr (X) 3 µ 7→ ϕµ ∈ C(X)∗ produce que ∗ ∼ C(X) = Mr (X). El Ej. anterior es la parte fácil de su prueba, pero ya dice mucho porque asegura que una µ ∈ Mr (X) est´ a caracterizada por c´ omo actua en las continuas. Sin embargo, mucho más dif´ıcil (y más u ´til) es ver que dicha flecha es epi. La idea no es tan rara: dada ϕ ∈ C(X)∗ una funcional positiva (esto significa que ϕ cumpla que ϕ(f ) ≥ 0 siempre que f ≥ 0), se define la candidata a medida positiva µϕ : Σ → R ∪ {∞} dada por µϕ (∆) = sup ϕ(g) : g ∈ C(X) y 0 ≤ g ≤ ℵ∆ . Largas p´ aginas de laburo permiten ver que esta idea alcanza para mostrar que la flecha era epi.

4

1.9.27. Sea X un espacio Hausdorff y Cb (X) el espacio de todas las funciones continuas acotadas definidas en X que toman valores complejos. En Cb (X), definimos la norma kf k∞ = max |f (x)|. x∈X

Probar que (Cb (X), k · k∞ ) es un espacio de Banach. 1.9.28. Sea X un espacio LKH y C0 (X) el espacio de todas las funciones continuas f : X → C tales que para todo ε > 0 el conjunto {x ∈ X : |f (x)| ≥ ε} es compacto. Probar que que C0 (X) es un subespacio cerrado de Cb (X) y en consecuencia es un espacio de Banach.

40

Los espacios Lp . A partir de ahora decimos que (X , Σ , µ) es us espacio de medida si µ es positiva y no necesariamente finita. Para evitar dividir por la relaci´ on “difieren en un conjunto de medida nula”, definamos 1. Med(X) = Med(X , Σ) = {f : X → C : f es Σ-medible }, que es un C-EV. 2. N (X) = N (X , Σ , µ) = f ∈ Med(X) : µ |f | = 6 0 = 0 , que es un subespacio. 3. L(X) = L (X , Σ , µ) = Med(X)/N (X), el C-EV de clases en c.t.p. de funciones medibles. Es f´ acil ver que todas las operaciones que uno hace en L(X) para definir los espacios Lp estarán bien definidas en toda la clase de cada f ∈ Med(X). 1.9.29. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida. 1. Para 1 ≤ p < ∞ definimos Lp = Lp (X, Σ, µ) = {f ∈ L(X) : tales que

Z

|f |p dµ < ∞ } ,

X

con la norma kf kp =

1/p . Probar que (Lp , k · kp ) es un espacio de Banach. |f |p dµ

R X

2. Fijada una f ∈ Med(X, Σ), definimos su supremo esencial como el n´ umero kf k∞ = ess sup(f ) = ´ınf M > 0 : tal que µ |f | > M = 0 . Es claro que la k · k∞ baja bien definida a L(X). Luego definimos el espacio normado L∞ = L∞ (X, Σ, µ) = {f ∈ L(X) : kf k∞ < ∞ } . Probar que (L∞ , k · k∞ ) es un espacio de Banach. 1.9.30. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida finita. Probar que 1. Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces Lq ⊆ Lp . 2. Si f ∈ L∞ (X, Σ, µ) entonces kf k∞ = lim kf kp . p→∞

3. Dar un contraejemplo del item 1 si µ no es finita. 1.9.31. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida. Probar que 1. Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ entonces Lp ∩ L∞ ⊆ Lq . 2. Si f ∈ Lp ∩ L∞ entonces kf k∞ = lim kf kp . p→∞

1.9.32. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida finita. Fijemos 1 ≤ p , q ≤ ∞ exponentes conjugados (i.e. 1 1 on R : Lq → (Lp )∗ dada por p + q = 1). Consideremos la representaci´ Lq 3 g 7→ R(g) = ϕg

Z donde

ϕg (f ) =

f g dµ

para cada

f ∈ Lp (X, Σ, µ) .

X

Mostrar que esta representaci´ on es un isomorfismo isométrico sobre que permite identificar (Lp )∗ con Lq . La prueba de que es “sobre” requiere del Teorema de Radon-Nikodym. Si no lo conocen lo suficiente pueden ir a la p´ agina http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema de Radon-Nikodym. Lo anterior se extiende al caso en que (X , Σ , µ) es σ-finito (i.e. X es uni´ on numerable de cachos de medida finita), que es hasta donde llega el TRN. Con eso R y los Rn safan.

41

1.9.33. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida. Consideremos el espacio S0 (X) de todas las “funciones” f ∈ L(X) que son simples (i.e. CL de caracter´ısticas) tales que µ{x ∈ X : f (x) 6= 0} < ∞. Probar que S0 (X) es denso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞). 1.9.34. Supongamos que en el ejercicio anterior X es un espacio topológico LKH y que Σ es la σ-álgebra de Borel. Probar que el subespacio Cc (X) de las funciones continuas definidas en X con soporte compacto es denso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞). 1.9.35. Supongamos ahora que X ⊆ Rn es un abierto y que Σ consta de los Borelianos de X. Probar que el subespacio Cc∞ (X) de las funciones definidas en X con infinitas derivadas continuas y soporte compacto es denso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞).

Los espacios de Sobolev. Definici´ on 1.9.36. Sean Ω ⊆ R un intervalo y Cc∞ (Ω) las funciones definidas en Ω infinitamente deribables con soporte compacto. Dada f ∈ L1loc (Ω), decimos que una función g ∈ L1loc (Ω) es la k-ésima derivada débil de f , y lo escribimos Dk f = g, si para toda φ ∈ Cc∞ (Ω) se satisface la siguiente identidad: Z Z (k) k f φ dx = (−1) g φ dx. Ω

Ω

4

Se puede probar que estas derivadas en el sentido débil son u ńicas.

1.9.37 (Espacios de Sobolev). Para 1 ≤ p ≤ ∞ definamos el espacio de Sobolev W n,p como el espacio de todas las funciones f ∈ Lp (Ω) tales que para cada k ∈ In la derivada Dk f existe en el sentido débil y pertenece a Lp (Ω). En dicho espacio se define la siguiente norma:

kf kW n,p =

 1/p n P   p  kD f k k  p  k=0     

n P

kDk f k∞

si 1 ≤ p < ∞

si

p=∞ .

k=0

Probar que (W n,p , k · kW n,p ) es un espacio de Banach.

Ejemplos de operadores acotados. 1.9.38 (Shift). Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Consideremos los operadores S : `p → `p y T : `p → `p dados por S(x) = (0 , x1 , x2 , . . .)

y

T (x) = (x2 , x3 , x4 , . . .)

para

x = (xn )n∈ N ∈ `p .

1. Probar que S ∈ L(`p ) y que es mono. Calcular kSk. 2. Probar que T ∈ L(`p ) y que es epi. Calcular kT k. 3. Probar que T S = I, pero ST 6= I. 4. Probar que S no tiene autovalores, mientras que los de T son todo el D = {λ ∈ C : |λ| < 1}. 1.9.39. Operadores de Multiplicaci´ on. 1. Dada una ϕ ∈ C[0, 1], consideremos el operador Mϕ : C[0, 1] → C[0, 1] definido por Mϕ (f ) = ϕf

para cada

Probar que Mϕ ∈ L(C[0, 1]) y calcular su norma.

42

f ∈ C[0, 1] .

(1.49)

2. Dada ϕ ∈ L∞ [0, 1], definimos Mϕ : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] igual que el (1.49). Probar: (a) Mϕ ∈ L(L2 [0, 1]) con kMϕ k = kϕk∞ . (b) La representaci´ on M : L∞ [0, 1] → L(L2 [0, 1]) dada por M (ϕ) = Mϕ para cada ϕ ∈ L∞ [0, 1], es un morfismo isométrico de ´ algebras (i.e. es K-lineal y respeta productos). (c) Mϕ2 = Mϕ ⇐⇒ ϕ es una caracter´ıstica. 1.9.40. Sea a = (an )n∈ N ∈ CN una sucesión de n´ umeros complejos. Fijado p ∈ [1 , ∞), definimos el operador Ma : `p → `p por Ma x = (an xn )n∈N , para cada x = (xn )n∈ N ∈ `p . Probar que 1. Este Ma est´ a bien definido (cada Ma x cae en `p ) ⇐⇒ Ma ∈ L(`p ) ⇐⇒ a ∈ `∞ . 2. En tal caso se tiene que kMa k = kak∞ . 3. La representaci´ on M : `∞ → L(`p ) dada por M (a) = Ma para cada a ∈ `∞ , es un morfismo isométrico de ´ algebras (i.e. es K-lineal y respeta productos). 4. Un Ma es mono ⇐⇒ an 6= 0 para todo n ∈ N. def

∞ 5. Un Ma es un isomorfismo (y h´ omeo) ⇐⇒ a es inversible en `∞ ⇐⇒ a−1 = (a−1 n )n∈N ∈ ` .

6. Sea D = {Ma : a ∈ `∞ } = R(M ). Dado un A ∈ L(`p ), son equivalentes: (a) El tal A est´ a en D. (b) Est´ a en el comnutante: A ∈ D0 , o sea que A conmuta con todos los Ma ∈ D. (c) Algo menos: A Men = Men A para todos los en de la base canónica de SF ⊆ `p . Comparar esta descripci´ on de D con las matrices diagonales de L(Kn ).

4

1.9.41. Si k ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]), sea Tk : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) dado por Z (Tk f )(s) =

1

k(s, t) f (t) dt

para cada

f ∈ L2 [0, 1] .

0

Probar que Tk ∈ L(L2 [0, 1]) y que kTk k ≤ kkk2 .

4

Funcionales Lineales. 1.9.42. Sean E un EN y ϕ : E → C una funcional lineal tal que ϕ 6= 0. Probar que ϕ(E) = C.

4

1.9.43. Sean E un EN y ϕ ∈ ER0 . Probar que 1. Si ϕ ∈ / ER∗ entonces toma todos los valores reales en cualquier entorno de 0. 2. ϕ ∈ ER∗ ⇐⇒ para cada c ∈ R, los conjuntos {x : ϕ(x) < c} y {x : ϕ(x) > c} son abiertos. 3. Si A ⊆ E tiene interior no vac´ıo y existe a ∈ R tal que ϕ(A) ⊆ {x : ϕ(x) ≤ a}, entonces ϕ ∈ ER∗ . 4 1.9.44. Probar que las siguientes funcionales son lineales, continuas y hallar sus normas. 1. ϕ ∈ c0 dada por ϕ(x) = lim xn para cada x = (xn )n∈ N ∈ c el espacio definido en (1.12). n→∞

2. ϕ ∈ L2 [−1, 1]0 dada por ϕ(f ) =

R1 −1

t f (t) dt para cada f ∈ L2 [−1, 1].

43

3. ϕ ∈ (`∞ )0 dada por ϕ(x) = x1 + x2 para cada x = (xn )n∈ N ∈ `∞ . 4. ϕ ∈ (`2 )0 dada por ϕ(x) = x1 + x2 para cada x = (xn )n∈ N ∈ `2 . ∞ P

5. ϕ ∈ (`2 )0 dada por ϕ(x) =

xk k

k=1

6. ϕ ∈ c00 dada por ϕ(x) =

∞ P k=1

xk 2k

para cada x = (xk )k∈ N ∈ `2 .

para cada x = (xk )k∈ N ∈ c0 .

4

1.9.45. Sean E un espacio de Banach, ϕ ∈ E ∗ and y ∈ E tal que ϕ(y) 6= 0. Probar que: 1. Se tiene la descomposici´ on E = ker ϕ ⊕ span {y}. 2. Vale la igualdad d (y , ker ϕ) =

|ϕ(y)| kϕk

. Probarla “a mano”, sin usar la Prop. 1.7.7.

3. Dado a ∈ C, sea H = ϕ−1 (a) = {x ∈ E : ϕ(x) = a}. Entonces d (0 , H) =

|a| kϕk

.

1.9.46. Sean E un EN y ϕ, ψ ∈ E ∗ tales que ϕψ ≡ 0. Probar que en tal caso ϕ ≡ 0 o bien ψ ≡ 0.

4 4

Potpurr´ı. 1.9.47. Sea (E, k · k) un EN. Son equivalentes: 1. E es un espacio de Banach. 2. La bola BE es completa. 3. La c´ ascara SE = {x ∈ E : kxk = 1} es completa. P P 4. Para toda sucesi´ on (xn )n∈N en E vale que kxn k < ∞ =⇒ xn converge en E. n∈N

4

n∈N

1.9.48. Sean E un EN, F ⊆ E un subespacio de dimensión finita y x ∈ E. Probar que existe un y0 ∈ F que realiza la distancia, o sea que kx − y0 k = d (x , F). 4 1.9.49. Sea E un EN. Dados S , T v E definamos def

A(S , T ) = ´ınf { ks − tk : s ∈ S , t ∈ T

y

ksk = ktk = 1} .

Demostrar que S + T v E ⇐⇒ A(S , T ) > 0.

4

1.9.50. Sea E un EN. Dado S v E, probar que 1. Si E es separable entonces también lo es E/S . 2. Si S y E/S son separables entonces también lo es E. 3. Dar un ejemplo en el cual E/S es separable pero E no lo es.

4

1.9.51. Sea E un EN. Probar que 1. Dados A , B ∈ L(E) vale que kABk ≤ kAk kBk. 2. La flecha L(E) × L(E) 3 (A , B) 7→ AB ∈ L(E) es continua respecto de la norma de L(E).

44

4

1.9.52. Sea E un EB. Dado A ∈ L(E) tal que kAk < 1. Demostrar que 1 − A es inversible con (1 − A)−1 =

∞ X

An

y

k(1 − A)−1 k ≤

n=0

1 . 1 − kAk

4

1.9.53. Sea E un EB. Denotemos Gl (E) = {T ∈ L(E) : T es inversible }. Probar que Gl (E) es un abierto de L(E). Sug: Probar que si T ∈ Gl (E) entonces B(T , kT −1 k−1 ) ⊆ Gl (E). 4 k·k

1.9.54. Sea E un EB. Dada una sucesi´ on (An )n∈N en Gl (E), mostrar que si An −−−−→ A pero A ∈ / Gl (E), n→∞

entoces debe pasar que kA−1 −−−→ ∞. n k−

4

n→∞

45

Cap´ıtulo 2 Funcionales y Operadores 2.1

Hahn Banach: El dual es grande.

El teorema de Hahn Banach es una aplicación clave del Lema de Zorn que permite levantar a dimesión infinita buena parte de la intuición de Kn . En principio resolverá un problema que mencionamos anteriormente: Si bien en los ejemplos concretos vimos que el dual de un normado suele ser bien grande, en el contexto abstracto uno no sabe ni siquiera si hay alguna funcional continua (ϕ 6= 0) para un espacio no nulo. El teorema, cuyo enunciado es más general que lo que uno necesita para contruir funcionales en los normados, servirá también para poder ver que los EVT’s dados por familias de seminormas tienen suficientes funcionales continuas (por ejemplo, familias que separen puntos del dominio). También será clave para tratar las propiedades de los conjuntos convexos en estos espacios. Pero para estas aplicaciones habrá que esperar hasta el Cap. 5. Definici´ on 2.1.1. Sea E un R-EV. Una función q : E → R se llama sublineal si cumple la desigualdad triangular q(x + y) ≤ q(x) + q(y) y una versión parcial de sacar escalares: q(λ x) = λ q(x)

(sin módulo)

, para todo x ∈ E y todo λ ∈ R+ .

4

Teorema 2.1.2. [Hahn-Banach] Sea E un R-EV, q : E → R una función sublineal, S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S 0 una funcional que cumple la acotación ϕ(y) ≤ q(y) ,

para todo

y∈S .

Entonces existe una funcional Φ ∈ E 0 que cumple lo siguiente: 1. Φ(x) ≤ q(x), para todo x ∈ E. 2. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ S. Demostración. Por una Zornificación, alcanzará hacer el “paso inductivo”, que viene ahora: Caso 1: Supongamos que S es un hiperplano, o sea que E = S ⊕ R · x para alg´ un x ∈ / S. 0 En tal caso, cualquier Φ ∈ E que extienda a ϕ debe actuar as´ı: Φ(y + tx) = ϕ(y) + t α ,

para 46

y∈S ,

t∈R,

para alg´ un α = Φ(x) ∈ R a elegir. Pero se busca un α tal que ϕ(y) + t α ≤ q y + t x , para todo par y ∈ S , t ∈ R . Si t = 0 sabemos que vale. Si t > 0, esto significa que para cualquier y ∈ S valga −ϕ(y) + q y + t x y y α≤ = −ϕ +q +x . t t t Reemplazando

y t

por y (todo sigue en S), esto a su vez equivale a que α ≤ −ϕ(y) + q y + x para todo y ∈ S .

(2.1)

Similarmente, si t < 0 necesitamos que todos los z ∈ S cumplan −ϕ(z) + q z + t x −t >0 −z −z α≥ −q −x = ϕ t t t Nuevamente, esto equivale a que α ≥ ϕ(z) − q z − x

para todo

z∈S .

Juntando (2.1) y (2.2), para que un α as´ı pueda existir, habr´ıa que ver que ϕ(z) − q z − x ≤ −ϕ(y) + q y + x para todo par z, y ∈ S .

(2.2)

(2.3)

Y eso alcanzar´ıa porque, poniendo a α en el medio, las cuentas anteriores salen bien “hacia arriba”. Afortunadamente podemos hacer lo siguiente: Dados z , y ∈ S se tiene que ϕ(z) + ϕ(y) ≤ q(y + z) = q (y + x) + (z − x) ≤ q y + x + q z − x =⇒ (2.3) . 4 Caso general: Ahora viene Zorn. Notemos GS (E) al conjunto de subespacios de E que contienen a S. Tomemos el conjunto de las extensiones de ϕ acotadas por q, n o 0 C = (M, ρ) : M ∈ GS (E) , ρ ∈ M , ρ ≤ q y ρ S = ϕ ordenado por (M, ρ) ≤ (T , σ) si M ⊆ T y σ M = ρ. Miren que C 6= ∅ porque (S, ϕ) ∈ C. Dada una cadena (Mi , ρi )i∈I en C, la podemos acotar por el par (M, ρ), donde [ M= Mi y ρ(x) = ρi (x) para los x ∈ Mi . i∈I

El orden total de la cadena hace que M ∈ GS (E) (se suma en el i más grande), que ρ esté bien definida, que sea menor que q y lineal en todo M. Claramente (M , ρ) ∈ C. Por definición sale que (Mi , ρi ) ≤ (M , ρ) para todo i ∈ I. Listo el pollo. Por Zorn hay un par (M0 , Φ) ∈ C que es maximal. Y por el paso inductivo del Caso 1, este M0 tiene que ser todo E. 47

Observaci´ on 2.1.3. Como muchas de las cuentas que siguen se hacen con funcioneales R-lineales, sus extensiones al caso complejo se harán tomando partes reales de funcionales complejas. Para que esto camine bien, hacen falta unas cuentitas: Sea E un C-EV. 1. Dada φ ∈ ER0 (R-lineal), se verifica que la funcional φC : E → C

dada por

φC (x) = φ(x) − i φ(ix) , x ∈ E ,

(2.4)

es C-lineal (o sea que φC ∈ E 0 ). Esto sale porque φC es R-lineal y φC (ix) = φ(ix) + iφ(x) = i φC (x) ,

para todo

x∈E .

Observar que uno puede “volver” a ER0 usando que Re φC = φ. 2. Dada ϕ ∈ E 0 (C-lineal), luego Re ϕ = toda

ϕ ∈ E0

ϕ+ϕ 2

∈ ER0 . Además se tiene que

se recupera de su parte real:

ϕ = (Re ϕ)C .

En efecto, para cualquier x ∈ E, igualando las partes reales de la igualdad Re ϕ(ix) + i Im ϕ(ix) = ϕ(ix) = iϕ(x) = − Im ϕ(x) + i Re ϕ(x) , obtenemos que Im ϕ(x) = − Re ϕ (ix). Mirando ahora (2.4) vemos que ϕ = (Re ϕ)C . 3. Por lo tanto, dadas ϕ1 , ϕ2 ∈ E 0 , tenemos que Re ϕ1 = Re ϕ2 =⇒ ϕ1 = ϕ2 . 4. Si me dan una C-seminorma p para E, y una funcional φ ∈ ER0 , vale que φ≤p

⇐⇒

|φC | ≤ p .

(2.5)

La implicación ⇐ es obvia, porque φ = Re φC ≤ |φC | . Veamos la otra: Dado un punto x ∈ E, pongamos que φC (x) = eiθ |φC (x)|, y consideremos ahora y = e−iθ x ∈ E. Luego |φC (x)| = e−iθ φC (x) = φC (y) = Re φC (y) = φ(y) ≤ p(y) = p(e−iθ x) = p(x) . Observar que podemos decir lo mismo al revés: Si ϕ ∈ E 0 , |ϕ| ≤ p ⇐⇒ Re ϕ ≤ p.

4

Teorema 2.1.4 (H-B con seminormas y módulos). Sea E un K-EV, p : E → R+ una seminorma, S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S 0 una funcional que cumple la acotación | ϕ(y)| ≤ p(y) ,

para todo

y∈S .

Entonces existe una funcional Φ ∈ E 0 que cumple lo siguiente: 1. | Φ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ E. 2. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ S. 48

Demostración. El caso K = R sale a partir del Teo. 2.1.2, usando que las seminormas son sublineales, y que p(−x) = p(x) para todo x ∈ E, por lo que Φ ≤ p =⇒ |Φ| ≤ p. El caso K = C se deduce del anterior usando la Obs. 2.1.3: Empiezo con una C-lineal ϕ ∈ S 0 , y llamo φ = Re ϕ ∈ SR0 , que también está acotada por p. Extiendo φ a una R-lineal Ψ ∈ ER0 por el caso anterior, y tomo ahora Φ = ΨC . Luego Φ sigue acotada por p, y veo que tanto ϕ como Φ S tienen la misma parte real φ, por lo que deben coincidir. Teorema 2.1.5 (H-B y el dual). Sea E un EN. Sean S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S ∗ . Entonces existe una funcional Φ ∈ E ∗ que cumple lo siguiente: 1. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ S. 2. kΦkE ∗ = kϕkS ∗ . Demostración. El hecho de que ϕ ∈ S ∗ significa que kϕkS ∗ < ∞ ,

y que

|ϕ(y)| ≤ kϕkS ∗ kyk

para todo

y∈S .

Como la flecha E 3 x 7→ p(x) = kϕkS ∗ kxk es una (semi)norma en E, y sabemos que ϕ ≤ p en S, se puede usar el usar el Teo. 2.1.4. Aparece la exensión Φ ∈ E 0 que cumple que |Φ(x)| ≤ kϕkS ∗ kxk para todo x ∈ E. Esto muestra que Φ ∈ E ∗ con kΦkE ∗ ≤ kϕkS ∗ . La otra desigualdad es trivial porque Φ extiende a ϕ, que alcanza su norma en BS ⊆ BE . Corolario 2.1.6. Sea E un EN. 1. El espacio dual topológico (respecto a la norma) E ∗ separa puntos de E. 2. Más a´ un, dado x ∈ E, existe una ϕ ∈ E ∗ tal que kϕk = 1

y

|ϕ(x)| = kxk .

(2.6)

3. Esto dice que se puede calcular kxk en forma dual usando a E ∗ . Es decir que para cualquier x ∈ E vale que kxk = máx |ϕ(x)| : ϕ ∈ BE ∗ .

(2.7)

Demostración. La prueba es directa a partir del Teo. 2.1.5. Veamos 2: La clave es definir una buena ϕ0 en el dual del subespacio S = span {x} = K x. Buena significa que ϕ0 (x) = kxk

por lo que

|ϕ0 (λ x)| = |λ| kxk = kλ xk

para todo λ ∈ K .

Observar que kϕ0 kS ∗ = 1, ya que |ϕ0 (z)| = kzk para todo z ∈ S. Si ϕ ∈ E ∗ extiende a ϕ0 y cumple que | ϕ(y)| ≤ kyk para todo y ∈ E, es claro que kϕk = 1 como aspirábamos. A partir de 2, la Ec. (2.7) se deduce sin dificultad. Ejercicio 2.1.7. Sea E un EN. Dado un subespacio S v E y un x ∈ / S, probar que existe ∗ una ϕ ∈ E tal que S ⊆ ker ϕ , kϕk = 1 pero |ϕ(x)| = d ( x , S ) . Se sugiere probarlo primero a mano en S ⊕ span {x} y extender por Hanh-Banach. Recién después hacerlo usando la Ec. (2.6) en E/S . 4 49

Ejercicio 2.1.8. Sea E un EN. Dado un subespacio S ⊆ E, probar que \ S = { ker ϕ : ϕ ∈ E ∗ y S ⊆ ker ϕ } . Más adelante veremos que esto significa que S es el “doble anulador” de S.

4

Ejercicio 2.1.9. Sea E un EN. 1. Dado un x ∈ E y una ϕ ∈ E ∗ como en la Ec. (2.6), mostrar que ah´ı s´ı vale que (1.39)

d (x , ker ϕ) = kxk. Comparar con la Ec. (1.27) y el Ejem. 1.4.3. 2. Asumamos que dim E = ∞. Usando recursivamente el item anterior, probar que existen una sucesión (xn )n∈ N en E y una familia de subespacios Sn v E tales que (a) La dim Sn = ∞ y la kxn k = 1 para todo n ∈ N. (b) Los subespacios decrecen: Sm ⊆ Sn si n ≤ m. (c) Para todo n ∈ N vale que xn ∈ Sn . Luego xm ∈ Sn para todo m ≥ n. (d) Pero además vale que Sn = Sn+1 ⊕ K xn para todo n ∈ N. (e) Observar que nos queda que E = Sn+1 ⊕ span {x1 , . . . , xn } para todo n ∈ N. (f) Por u ´ltimo pedimos que la d (xn , Sn+1 ) = 1 para todo n ∈ N. Sugerencia: Empezar con S1 = E y x1 ∈ E un unitario cualquiera. El paso inductivo es encontrar una ϕn ∈ Sn∗ tal que d (xn , ker ϕn ) = 1 (todo en Sn ). Luego se podrá definir Sn+1 = ker ϕn ⊆ Sn y elegir el xn+1 al azar all´ı dentro. 3. Asumiendo además que E es un EB, exhibir un T ∈ L(`∞ , E) que sea mono.

4

Sugerencia: Construir la sucesión (xn )n∈ N en E de vectores P unitarios y los Sn del item 2. Luego mandar cada a = (an )n∈ N ∈ `∞ a la serie T (a) = n∈N 2−n an xn ∈ E. Ejercicio 2.1.10. Sea E un EB infinitodimensional, con dim E = α (dimensión algebráica). 1. Usando el Teor. de Baire 2.2.4, probar que α > |N| = ℵ0 . 2. Más a´ un, usando el Ejer. 2.1.9 y Vandermonde, mostrar que α ≥ |R| = c. Sug: Considerar los vectores (λn )n∈N ∈ `∞ para cada λ ∈ C con |λ| < 1.

4

Veamos un ejemplo de como el Teo. de H-B nos permite maniobrar en un EN genérico: Proposici´ on 2.1.11. Sea E un EN. Dado un S v E tal que n = dim S < ∞, existe un “proyector” acotado P ∈ L(E) tal que P ◦ P = P y R(P ) = S.

50

Proof. Por el Cor. 1.6.5, tenemos que S ∗ = S 0 . Sea B = {x1 , . . . , xn } una base de S. Luego existe una base dual B 0 = {ϕ1 , . . . , ϕn } ⊆ S ∗ , es decir que ϕm (xn ) = δmn . Estendamos estas funcionales a todo E ∗ preservando sus normas (se puede por H-B) y manteniendo sus nombres. Ahora podemos definir el proyector X P ∈ L(E) dado por P x = ϕk (x) xk para cada x ∈ E . k∈In

P Es fácil testear que kP k ≤ k∈In kϕk k < ∞, que P y = y para los y ∈ S (acá se usa que la base B 0 es dual de B) y que R(P ) = S. De ah´ı sale de inmediato que P ◦ P = P . Corolario 2.1.12. Sean E y F dos EN’s. Dado un S v E tal que n = dim S < ∞, vale que todo operador acotado T0 ∈ L(S , F ) se puede extender a un T ∈ L(E , F ). Se cumple que T |S = T0 y que kT k ≤ K kT0 k, donde la constante K ≥ 1 depende de E y de S, pero es la misma para todos los operadores T0 ∈ L(S , F ) (y todos los espacios F ). Proof. Sea P ∈ L(E) el proyector sobre S de la Prop. 2.1.11, y sea K = kP k. Como def R(P ) = S tiene sentido definir la composición T = T0 ◦ P ∈ L(E , F ). Eso es todo.

La inmersi´ on en el doble dual 2.1.13. Sea E un EN. Usando el Cor. 2.1.6, tenemos los siguientes hechos: 1. Como E ∗ es también un normado (es un Banach), podemos considerar a su dual topológico E ∗∗ = (E ∗ )∗ . 2. Definamos la inmersión canónica J = JE : E → E ∗∗ como el morfismo inducido por la dualidad (x, ϕ) 7→ hx, ϕi = ϕ(x). O sea que, dado un x ∈ E, definimos JE x = Jx ∈ E ∗∗

por la fórmula Jx (ϕ) = ϕ(x) , para toda ϕ ∈ E ∗ .

(2.8)

O sea que hacemos actuar a E en el espacio E ∗ v´ıa “ser evaluado en”. 3. La Ec. (1.7) nos dice que J reduce normas (en particualar que las funcionales Jx son continuas en E ∗ ). Pero el Cor. 2.1.6 asegura que J es isom´ etrica: kJx kE ∗∗

(1.6)

=

(2.8)

sup |Jx (ϕ)| = ϕ∈BE ∗

(2.7)

sup |ϕ(x)| = kxkE . ϕ∈BE ∗

4. El espacio E se dice que es reflexivo si ´ esta isometr´ıa JE : E ,→ E ∗∗ es sobre. 5. Ojo que existen espacios F que son isométricamente isomorfos a su F ∗∗ , pero que no son reflexivos (o sea que LA inmersión JF : F ,→ F ∗∗ no era sobre). 4

51

Ya conocemos casos de espacios reflexivos (como los `p y los Lp si 1 < p < ∞) y no reflexivos ∼ 1 ∗∼ ∞ ∼ ∞ como c0 , porque c∗∗ 0 = (` ) = ` . En este caso una sabe gratis que no vale que c0 = ` porque uno es separable y el otro no. Pero mejor a´ un, mirando los isomorfismmos en cuestión, es fácil ver que la Jc0 : c0 ,→ `∞ no es otra cosa que la inclusión (ver el Ejem. 2.6.4 para más detalles). Es porque `∞ act´ ua en `1 igual a como c0 es “actuado” por `1 . Y esa inclusión no es sobre. Observaci´ on 2.1.14. Sea E un EN. Hab´ıamos mencionado que a E se lo puede completar a un Banach que lo tenga como subespacio denso. Eso se hace con las sucesiones de Cauchy como a cualquier otro EM, aunque acá además hay que definir las operaciones y toda esa vaina. Pero en los normados ahora hay un camino que es casi gratis. El tema es identificar E con su imagen JE (E) ⊆ E ∗∗ . Esto vale porque JE es un iso isométrico. Pero E ∗∗ es el dual de E ∗ y, como todo dual de un normado, es automáticamente un Banach (por el Teo. 1.1.10). Luego el completado natural para E es EC = JE (E) v E ∗∗ , def

que es Banach por ser cerrado en otro. Como dec´ıamos, E ∼ = JE (E) ⊆ EC vive dentro de su completado como un subespacio denso. 4

2.2

Recordando Baires.

Repasemos el Teorema de Baire. Como es la herramienta clave para los importantes teoremas sobre espacios de Banach de este cap´ıtulo, daremos una prueba completa del mismo. Para ver una discusión previa y la versión del teorema para espacios LKH, sugerimos ir a la Prop. A.11.3 y el Teo. A.18.1 del Apéndice. 2.2.1. Empecemos fijando notaciones sobre bolas: Si E es un EN, llamaremos BEa (x, ε) = {y ∈ E : kx − yk < ε}

y

BE (x, ε) = BEa (x, ε) = {y ∈ E : kx − yk ≤ ε},

donde se fijó un x ∈ E y un ε > 0. Observar que si x = 0 y tomamos otro δ > 0, entonces BEa (0 , δ) =

δ a B (0 , ε) ε E

y

BE (0 , δ) =

δ BE (0 , ε) , ε

(2.9)

cosa que nombraremos como “homogeneidad”. Si ε = 1 abreviaremos BEa = BE (0, 1) y BE = {y ∈ E : kyk ≤ 1} . Observar que, dados x ∈ E y ε > 0, tenemos que BEa (x, ε) = x + ε · BEa

y

BE (x, ε) = x + ε · BE .

(2.10)

Si bien las Eqs. (2.9) y (2.10) sólo tienen sentido en EN’s, se usarán los mismos nombres B a (abierta) y B (cerrada) para bolas en un EM cualquiera X. 4 Lema 2.2.2 (Encaje). Sea (X, d) un EM completo. Sea {Fn }n∈N una familia de subconjuntos cerrados y no vac´ıos de X tales que 52

(a) Para todo n ∈ N, se tiene que Fn+1 ⊆ Fn 6= ∅ . def

(b) La sucesión diam (Fn ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Fn } −−−→ 0. n→∞ T Luego se debe cumplir que Fn 6= ∅. n∈N

Demostración. Si tenemos la sucesión {Fn }n∈N , elijamos un xn ∈ Fn para cada n ∈ N. Las condiciones (a) y (b) aseguran que x = (xn )n∈ N es de Cauchy (dado ε > 0, basta tomar n0 ∈ N tal que diam (Fn ) < ε para n ≥ n0 ). Observar que fijado un n ∈ N, toda la cola (xk )k≥n se queda dentro de Fn (por las inclusiones pedidas en (a) ). Si xk −−−→ x, el hecho k→∞ T de los Fn sean todos cerrados termina de mostrar que x ∈ Fn 6= ∅. n∈N

Sea (X, d) un EM. Recordemos que si A ⊆ X su interior es el conjunto def

a A◦ = {x ∈ A : BX (x, ε) ⊆ A para cierto ε > 0} .

Ejercicio 2.2.3. Sea (X, d) un EM y sea A ⊆ X. Entonces X \ A = (X \ A)◦

y

X \ A◦ = X \ A .

(2.11)

Teorema 2.2.4 (Baire). Sea X es un espacio métrico completo. Entonces para toda familia numerable {Fn }n∈N de cerrados de X se tiene que [ ◦ Fn◦ = ∅ para todo n ∈ N =⇒ Fn = ∅ . (2.12) n∈N

Existen otras dos maneras de enunciar lo mismo, que conviene explicitar: S ◦ S B2: Si Fn 6= ∅ (por ejemplo si Fn = X), entonces alg´ un Fn◦ 6= ∅. n∈N

n∈N

B3: Dada una sucesión {Un }n∈N de abiertos densos, se tiene que

T

Un es también densa.

n∈N

Demostración. Probaremos el enunciado B3. Observar que, si tenemos cerrados Fn como en B2 o (2.12), y para cada n ∈ N hacemos Un = X \ Fn , por la Ec. (2.11) nos queda que ◦ S T S (2.11) (2.11) U n = X \ Fn = X \ Fn◦ y que Un = X \ Fn = X \ Fn , n∈N

n∈N

n∈N

por lo que B3 =⇒ B2 y (2.12). Sea x ∈ X y ε > 0. Tomemos la bola cerrada B0 = B(x, ε). Como U1 es denso, tenemos que U1 ∩ B a (x, ε) 6= ∅ y es abierto. Luego existe una bola cerrada B1 = B(x1 , ε1 ) ⊆ U1 ∩ B a (x, ε), donde podemos asumir que ε1 ≤ ε2 . Ahora cortamos B1◦ ⊆ B a (x1 , ε1 ) con U2 . Por la densidad de U2 podemos armar una bola cerrada B2 , de radio no mayor a ε4 , tal que B2 ⊆ B1◦ ∩ U2 ⊆ U1 ∩ U2 . Recursivamente, obtenemos una sucesión (Bn )n∈N de bolas cerradas tales que, para todo n ∈ N, Bn ⊆

\

Uk , Bn+1 ⊆ Bn◦

y

k∈ In

53

diam (Bn ) ≤

ε 2ε n = n−1 . 2 2

T El Lema 2.2.2 nos dice ahora que existe un y ∈ Bn . Y la primera condición de arriba n∈N T nos da que y ∈ Un , además de estar en B1 ⊆ B a (x, ε), que era un entorno genérico de x. n∈N T As´ı llegamos a que el puntito x está en la clausura de Un , cualquiera sea el x ∈ X. n∈N

Observaci´ on 2.2.5. Como primera aplicación directa en espacios de Banach, mostremos que ellos no pueden tener dimensión infinita numerable: Sea E un espacio de Banach, y agarremos un conjunto linealmente independiente B = {xn : n ∈ N} en E. Para cada n ∈ N llamemos Fn = span {x1 , . . . , xn }. El Cor. 1.6.3 nos dice que los Fn son / Fn todos cerrados. Tienen interior vac´ıo porque si fijamos un y ∈ Fn , se ve que y + 1k xn+1 ∈ para ning´ un k ∈ N aunque, con k grande, entran en cualquier bolita alrededor de y. S Si B fuera una base (o sea si generara E), tendr´ıamos que Fn = E. Pero el Teor. de n∈N

Baire no permite que pase esto, as´ı que de bases numerables (para un Banach) ni hablar. 4

2.3

Teorema de la imagen abierta.

Observaci´ on 2.3.1. Hace unas secciones discutimos los isomorfismos entre normados. Se hizo mucho incapié en que, dados dos normados E y F , para que un T ∈ L(E, F ) biyectivo sea iso de normados, hace falta verificar que T −1 ∈ L(F, E). Es decir que la continuidad de T no asegura a priori la de T −1 , aunque sepamos que T −1 existe. Veamos un ejemplo de lo anterior, un T ∈ L(E, F ) tal que T −1 existe pero no es continuo: Tomemos la identidad ISF : (SF , k · k1 ) → (SF , k · k∞ ). Como kISF xk∞ = kxk∞ ≤ kxk1 para todo x ∈ SF , nos queda que ISF es continua a la ida. Pero 1 2

1 k

, 0 , 0 , . . . ) ∈ SF cumple que kxk k∞ = 1 para todo k ∈ N , P 1 mientras que kxk k1 −−−→ = ∞. As´ı que, a la vuelta, ISF deja de ser continua. m xk = (1 ,

, ... ,

k→∞ m∈N

En cambio, si ya supiéramos que tanto E como F son Banach’s, el Teorema de la imagen abierta que daremos a continuación dice que alcanza testear la continuidad de T para un lado, porque la de la inversa ser´ıa automática. Pongamos en un Lema, para el que usaremos sistemáticamente las notaciones de 2.2.1, la parte más técnica del Teorema: 4 Lema 2.3.2. Sean E y F dos espacios de Banach y T ∈ L(E, F ). Si existe un r > 0 tal que BFa (0, r) ⊆ T (BEa ) , entonces para cualquier r0 < r se cumple que BFa (0, r0 ) ⊆ T BEa , ahora sin clausurar. 0 Demostraci´ on. Escribamosa r = λ · r con λ ∈ (0, 1) y ε = 1 − λ ∈ (0, 1). Denotemos por a V = T BE . Dado y ∈ BF (0, r), por hipótesis existe un y1 ∈ V tal que

ky − y1 k < ε · r , o sea que y − y1 ∈ BFa (0, ε · r) .

54

Por la Ec. (2.9) y la hómeo-ness de x 7→ ε · x, vemos que BFa (0, ε · r) = ε · BFa (0, r) ⊆ ε · V = ε · V

ε · V = T ε · BEa = T (BEa (0, ε) ) .

y que

Luego existe un y2 ∈ ε·V tal que ky−y1 −y2 k < ε2 ·r. Siguiendo inductivamente, construimos una sucesión (yn )n∈ N en F que verifica las siguientes condiciones: yn ∈ εn−1 · V

and

n

y − P yk < εn · r

n∈N.

para todo

k=1

Para cada n ∈ N, podemos ir eligiendo un xn ∈ E tal P que T (xn ) = yn y kxn k < εn−1 . Como E es Banach, la Prop. 1.1.12 nos dice que existe x = xn ∈ E. Además n∈N

Tx =

X n∈N

T xn =

X

yn = y

kxk
0 tal que BFa (0, ε) ⊆ T (BEa ) .

(2.13)

En efecto, si U ⊆ E es abierto y T (x) ∈ T (U ) (para un x ∈ U ), debe existir un s > 0 tal que BEa (x, s) ⊆ U . Usando la homogeneidad (2.9) y transalciones (2.10), tendr´ıamos que (2.13) BFa T (x), ε · s = T (x) + s · BFa (0, ε) ⊆ T (x) + s · T (BEa ) = T x + BEa (0, s) ⊆ T (U ) .

As´ı que probemos (2.13). En principio, tomemos las Bn = BEa (0, n), para todo n ∈ N. Como S S S E= Bn y T es sobre , entonces F = T (Bn ) = T (Bn ) . n∈N

n∈N

n∈N

Por el Teor. de Baire 2.2.4 (acá es donde se usa que F es Banach) existe un n ∈ N tal que T (Bn ) ◦ 6= ∅ . Pero todas las Bn = n · B1 , por lo que T (Bn ) ◦ = n · T (B1 ) ◦ , para todo n ∈ N (el hómeo y 7→ n · y respeta clausuras e interiores). Luego, más que “existe un n”, lo de arriba vale para todo n ∈ N. En particular para n = 1. Entonces debe existir una bola BFa (y, r) ⊆ T (B1 ) = T (BEa ) . Finalmente, si x ∈ BFa (0, r), usando (2.10) se lo puede escribir como x=

(y + x) − (y − x) B a (y, r) − BFa (y, r) T (B1 ) − T (B1 ) ∈ F ⊆ ⊆ T (B1 ) , 2 2 2 55

donde la u ´ltima inclusión sale tomando sucesiones y usando que B1 es convexa. Luego, también tenemos que BFa (0, r) ⊆ T (BEa ). Aplicando ahora el Lema 2.3.2 (acá se usa que E es Banach), probamos que la Ec. (2.13) se cumple para cualquier ε < r. Corolario 2.3.4 (Teor. de la función inversa TFI). Sean E y F dos espacios de Banach. Si T ∈ L(E, F ) es biyectivo

=⇒

T

es iso de EN’s ,

o sea alcanza con que T sea continuo para que también T −1 ∈ L(F, E). Demostración. Biyectivo implica sobre. Luego, el TIA 2.3.3 dice que T es abierto. Pero eso es lo mismo que decir que T −1 es continuo. Observaci´ on 2.3.5. Si E es un K-EV (de cualquier dimensión) y tenemos dos normas N1 y N2 en E tales que ambas lo hacen Banach, entonces cada una de las desigualdades de la Ec. (1.34) implica la otra y que son equivalentes. Esto es consecuencia del TFI 2.3.4 aplicado a la identidad de E. 4 Corolario 2.3.6. Sean E y F dos EB’s y T ∈ L(E , F ) un epi. Entonces el “bajado” T˜ ∈ L(E/ker T , F ) del Cor. 1.7.5 es un isomorfismo y un hómeo. Demostración. El Cor. 1.7.5 aseguraba que T˜ era continuo. Recordemos que T˜ ◦ Πker T = T . A partir de eso es claro que R(T˜) = R(T ) = F y que ker T˜ = {0} (es decir la clase nula en el T˜

cociente E/ker T ). Luego el iso E/ker T ' F se deduce del TFI 2.3.4. No olvidar que estamos usando la Prop. 1.7.1 para poder asegurar que E/ker T es también un EB. Veremos a continuación que todo EB separable es isomorfo (en el sentido de arriba) a un cociente de `1 (N). Esto se puede leer como que no hay “tantos” de esos espacios, o bien como que hay una inesperada multitud de subespacios cerrados de `1 = `1 (N). Proposici´ on 2.3.7. Sea E un EB separable. Luego existen 1. Un epimorfismo T ∈ L(`1 , E). 2. Si M = ker T v `1 , entonces existe un iso T˜ : `1 /M ←→ E. Demostración. Como asumimos que E es separable, podemos tomar un conjunto numerable D = {zn : n ∈ N} ⊆ BE que sea denso en la bola BE . A partir de él definimos X T (x) = xn zn ∈ E para cada x = (xn )n∈ N ∈ `1 . n∈N

Sale fácil que T está BD y es lineal-continua. El hecho de que sea sobre cuesta algo más: Sea y ∈ BE . Tomemos un zn1 ∈ D tal que 0 < ky − zn1 k < 12 . Definamos las constantes an1 = 1 y an2 = ky − zn1 k < 12 . Luego tomemos otro zn2 ∈ D \ {zn1 } tal que

1

y−z

n1 −1 0< − zn2 = ky − zn1 k y − an1 zn1 − an2 zn2 < . ky − zn1 k 2

56

def

Observar que an3 = ky − an1 zn1 − an2 zn2 k < 12 ky − zn1 k = 21 an2 < 14 . Siguiendo as´ı encontramos un a = (am )m∈ N ∈ `1 y unos {znk : k ∈ N} ⊆ D tales que, para cada k ∈ N,

y − Pk an zn

1 j j

j=1 0< − znk+1 < Pk 2 ky − j=1 anj znj k

con

ank+1 = ky −

k X

anj znj k

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