Расчет статически определимых ферм в среде MathCAD: Методические указания и контрольные задания

2

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет

В.В. Бундаев РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ В СРЕДЕ MATHCAD Методические указания и контрольные задания для студентов строительных специальностей дневной и заочной форм обучения

Бундаев В.В. Расчет статически определимых ферм в среде Mathcad. Методические указание и контрольные задания для студентов строительных специальностей дневной и заочной форм обучения.-Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2006. – 25 с., ил. Методические указания содержат необходимые теоретические сведения и практический материал для расчета статически определимых ферм с использованием возможностей математического пакета Mathcad. На конкретном типовом примере подробно разобраны порядок выполнения лабораторной работы по расчету статически определимой фермы. В целях закрепления пройденного материала в конце пособия предлагаются индивидуальные задания для самостоятельного выполнения. Предполагается, что студент уже знаком с основами работы с математическим пакетом программ Mathcad, имеет навыки составления программ в этом пакете. Работа предназначена для студентов строительных специальностей втузов, продолжающих изучение возможностей использования современных компьютерных технологий для решения вычислительных задач по строительной механике. Методика решения таких задач может быть использована студентамистаршекурсниками для проведения различного рода расчетов конструкций в виде ферм, а также при выполнении НИРС, курсовом и дипломном проектировании. Рецензент: Баргуев С.Г., к.ф.-м.н., доцент кафедра «Прикладная математика» ВСГТУ

Улан-Удэ 2006

3

4

1. Описание матричного алгоритма для расчета ферм В элементах фермы действует только продольная сила N e , постоянная по длине каждого стержня Ne = Nен= Nек (рис.1,а). Поэтому матричный алгоритм, описанный для рамы в [1], несколько упрощается в приложении к расчету фермы. Установим связи между усилиями, действующими на концы стержня е фермы, в местной х ′оу ′ (рис.1,а) и общей хоу (рис.1,б) системах координат б) а)

Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схоϖ T дятся nj стержней. Пусть Pj = Pxj Pyj - вектор внешней на-

х/

у/

е

Хен

Nek α

Neн

е Xek

х

0

Yен

х

О

Рис.1 Очевидно, что

X ен = − N e cos(α );

nj ρ ρ Pj = ∑ X e

Yеk = N e sin(α );

где

ρ cos(α ) Fф =  ;  sin(α ) 

ρ X  X ен =  ен   Yен 

Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для системы в целом. Обозначим через

ρ X  X ек =  ek   Yek 

[

Λ

ρ Ye

Λ

ρ Yc

]

T

вектор внутренних усилий в стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств

ρ ρ ρ Ye = X ен = − X ek .

Связь

ρ ρ P = P1

[

ρ P2 Λ

между

ρ Pj Λ

вектором

ρ Py

]

T

внешних

нагрузок

ρ и вектором Y представляет

ρ ρ P = S cY .

Учитывая формулы (1), это соотношение можно записать в виде

В матричной записи эти соотношения имеют вид

ρ ρ Х еk = Fф N e ;

(2)

e =1

Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и концу стержня.

ρ ρ Х ен = − Fф N e ;

T

собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (2) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы S c :

X еk = N e cos(α );

Yен = − N e sin(α );

Ye ] - вектор уси-

лий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:

ρ ρ ρ Y = Y1 Y2

Yek

]

ρ грузки, приложенный к узлу j, а X e = [ X e

всей

у

у

[

(1)

ρ N = [N1

ρ ρ P = −S* N

(3)

N 2 Λ N e Λ N c ] - вектор усилий в где стержнях фермы. Матрица S * получается из структурной матрицы S с заT

ρ

меной элементов «1» на векторы Fф , элементов «-1» на векторы

ρ

- Fф , а элементов «0» - на нулевые векторы [0

0] . Т

6

5

ρ

Далее из вектора Р необходимо исключить элементы, соρ ответствующие опорным связям и получить вектор Q , а из матрицы S * исключить соответствующие строки, образуя матрицу

ρ S Р . Тогда вектор неизвестных усилий N определится как ре-

шение матричного уравнения

ρ ρ S P N = −Q

(4)

Условия разрешимости этого уравнения приводит к следующим выводам: во-первых, матрица S Р должна быть квадратной, т.е. разность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю 2У-С-Соп = 0. Это равенство известно как условие статической определимости фермы, здесь Соп – число опорных стержней; во-вторых, определитель матрицы S Р должен быть отличен от нуля, т.е.

2. Блок-схема алгоритма расчета статически определимых ферм (рис.2) начало

nel = 17; nuz = 10 nuz2 = 20;

Исходные данные: nel – количество стержней (элементов) фермы; nuz – число узлов фермы; nuz2 – удвоенное число узлов этой фермы; SC[nuz,nel] – структурная матрица

Sc ; ρ Ввод C ;

Задание

Sc ;

C[nuz,2] – вектор координат узлов фермы

i = 1, nuz j = 1, nel pr[i,j] :=0.0

det S P ≠ 0,

Обнуление векторов проекций стержней

ρ П i , i = 1,Λ , nel;

что является условием геометрической неизменяемости фермы. Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае, когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений

i = 1,nuz

[1]. Для этого в матричном уравнении (4) векторы Q и N нуж-

j = 1,nel

ρ

ρ

но заменить соответствующими матрицами Q и N . При этом столбцы этих матриц, имеющие одинаковые номера, отвечают одному и тому же нагружению. Это свойство может быть использовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы. Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q должен содержать лишь один элемент –1 , расположенный в строке с номером, соответствующим номеру узла, в котором приложен груз Р = 1.

Транспонирование ST[j,i] = SC[i,j]

A

матрицы

SC

7

8 В

B1

i:=1,nuz2

j:=1,nel

j:=1,nel

i:=1,nuz

А

i =1,nel j = nuz нет

SZ[i,j]:=0.0

да

ST[i,j] ≠ 0 да

pr[i,1]:=pr[i,1]-ST[i,j]*C[j,1]; pr[i,2]:=pr[i,2]-ST[i,j]*C[j,2]

нет

SC[i,j]=1

Вычисление значений компонентов вектора проекций стержней

ρ П

SZ[2*i-1,j]:=α[j,1]; SZ[2*i-1,j]:=α[j,2];

В1 Составление матрицы нет

S*

SC[i,j]=-1 да SZ[2*i-1,j]:=-α[j,1]; SZ[2*i-1,j]:=-α[j,2];

i:=1,nel

l[i ] := ( pr[i,1]) 2 + ( pr[i,2]) 2

Определение значений длин стержней li Ввод Р

i:=1,nel

Получение матрицы

ρ вектора Q

j:=1,2

pr[i, j ] α [i, j ] := l[i ]

ρ

α

конец

B

и

Решение СЛАУ методом Гаусса с выделением главного элемента

Вычисление значений компонентов вектора направляющих косинусов

SP

Печать вектора

Рис.2

ρ N

9

10

3. Пример расчета статически определимой фермы в среде Mathcad Проведем расчет фермы, изображенной на рис. 3

 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0   Sc2 :=  1 1 0 0 0 0 0   −1 0 1 1 0 0 0     0 −1 −1 0 1 1 0   0 0 0 −1 −1 0 1   0 0 0 0 0 −1 −1  

2

3

6

5

10

7 14

9

15

17

1 1 HA

3

5

7

α 4

2

9

11

8 4

RA

13 12

6

3м

16 8

3м

10

3м

RB

Sc := augment ( Sc1 , Sc2 )

Рис.3 ORIGIN := 1 nuz -число узлов фермы; nel- число стержней фермы nuz := 10

nel := 17

Пронумеруем узлы и стержни фермыа (см. рис.3), запишем структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С

   −1 0 1 1 0 0 0 0 0 0   0 −1 −1 0 1 1 0 0 0 0   0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 0    0 0 0 0 0 −1 −1 0 1 1   Sc1 :=  0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

10

11

12

13

14

15

16

17

1

1 1

2 1

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

-1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

-1

-1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

-1

-1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Sc = 5

0

0

0

0

0

-1

-1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

0

1

1

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

0

1

1

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

0

1

1

0

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

0

1

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

C1 :=

0  4

C2 :=

0  0

C3 :=

3  4

C4 :=

3  0

C5 :=

6  4

C6 :=

6  0

C7 :=

9  4

C8 :=

9  0

11

C9 :=

 12    4 

C10 :=

12 Составим матрицу равновесия S1, которая получается из структурной Sc заменой в последней элементов 1 на векторы αi, элементов -1 на -αi, а нули на соответствующие нулевые векторы.

 12    0 

Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей системы координат xoy i := 1 .. cols ( Sc )

S1 :=

Sc ← Sc for i ∈ 1 .. 2 ⋅ rows ( Sc )

j := 1 .. rows ( Sc )

for j ∈ 1 .. cols ( Sc ) S1i, j ← 0

nuz

pri := −

T ∑ (Sc )i, j⋅Cj

for i ∈ 1 .. rows ( Sc ) for j ∈ 1 .. cols ( Sc )

j=1

pr1 =

pr5 =

    −4 

pr2 =

 0    −4 

pr6 =

0

   0

pr3 =

3  0

pr7 =

3

   4

pr4 =

3  4

pr17 =

3

if Sc i, j

   0 3

r1 ← 2 ⋅ i − 1 c1 ← j for i1 ∈ 1 .. 2

 0    −4 

S1r1+ i1−1 , c1 ← ( α j)

if Sc i, j

Вычислим длины стержней рамы i := 1 .. nel Li :=

T

pri ⋅ pri

α i :=

α 11 =

Li

 0.6    0.8 

i1

−1

r1 ← 2 ⋅ i − 1 c1 ← j

L1 = 4

L2 = 3

L3 = 5

Lnel = 4

for i1 ∈ 1 .. 2

S1r1+ i1−1 , c1 ← −( α j)

Определяем направляющие косинусы pri

1

 0  α = 1 α1 =   2  −1  0

 0.6  α3 =   0.8 

1 α4 =  0

i1

S1

Запишем векторы внешних нагрузок, действующие в каждом узле фермы. Опорные реакции в расчет не принимаются, так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены.

13

P1 :=

 0  P :=  0    2 0 0

P3 :=

14

 0  P :=  0    4 0 0

P5 :=

0  0

A :=

k←0 for i ∈ 1 .. rows ( S1) continue

P6 :=

 0  P :=  0  P :=  0  P :=  0      7 8 9 0  −8  0 0

P10 :=

0  0

for i ∈ 1 .. rows ( S1)

for i1 ∈ 1 .. 2 r1 ← 2 ⋅ i − 1

Tk ← ( −Q) i T

Z := ( A1)

−1

⋅ A2

i1

1 1

T

Q= Учет граничных условий: nop - число опорных стержней; nsv вектор, компоненты которого соответсвуют наложенным на систему связям. В матрице S1 и в векторе Q необходимо удалить соответствующие строки и элементы. nsv 1 := 3

nsv 3)

Spk , j ← S1i, j

Q

nop := 3

nsv 2) ∨ ( i

Отметим, что элементами составного массива А являются матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях фермы:

for i ∈ 1 .. nuz

Qr1+ i1−1 ← ( Pi)

nsv 1) ∨ ( i

for j ∈ 1 .. cols ( S1)

( Sp T )

Qi ← 0

(i

k←k+1

Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов, расположенных ниже Pi Q :=

if

nsv 2 := 4

nsv 3 := 20

Z=

0

2

0

3

-2.5

4

1.5

5

2

6

-1.5

7

-2.5

8

3

9

2

10

-3

11

-2.5

12

4.5

13

-6

14

-4.5

15

7.5

16

0

17

-6

15

16

Используя равенство Q = S*R, определим опорные реакции Rx1 = Q1, Ry1 = Q2 и R y6 =Q17 1

Q := S1 ⋅ Z

Rx2 := Q (nsv 1)

Rx2 = 0

Ry2 := Q (nsv 2)

Ry2 = −2

Ry10 := Q ( nsv 3)

Ry10 = −6

4. Построение линий влияния в стержнях фермы Рассмотрим, например, вторую панель этой фермы. При этом будем считать, что верхний пояс фермы является грузовым. В этом случае перемещающийся груз Р = -1 может находиться в узлах 1, 3, 5, 7 и 9. Тогда матрица неизвестных N и матрица загружений Q имеют вид

 N 1, 2 N  2, 2  N 3, 2 N =  Λ  Λ   N 17 , 2

N 1,6

N 1,10

N 1,14

N 2,6

N 2,10

N 2,14

N 3, 6

N 3,10

N 3,14

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

N 17 ,6

N 17 ,10

N 17 ,14

N 1,18  N 2,18  N 3,18   Λ  Λ   N 17 ,18 

3

5

7

9

0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0  0 −1 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 −1 0 0 0 Q=0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1   0 0 0 0   0

1 3 4 5 6 7 8 9

В результате приходим к матричному уравнению

S P ⋅ N = −Q Решая это уравнение, находим матрицу влияния усилий N ВЛ .

17

1

− 1 0  0  0 0  0 0  0 N вл =  0  0  0 0  0 0  0 0   0

3

18

5

7

9

0 0 0 0 0 0 0 0  − 0.94 − 0.62 − 0.31 0   0.56 0.37 0.19 0 − 0.25 0.5 0.25 0  − 0.56 − 0.37 − 0.19 0  0.31 − 0.62 − 0.31 0   0.37 0.75 0.37 0 − 0.25 − 0.5 0.25 0  − 0.37 − 0.75 − 0.37 0   0.31 0.62 − 0.31 0  0.19 0.37 0.56 0  − 0.25 − 0.5 − 0.75 0  − 0.19 − 0.37 − 0.56 0   0.31 0.62 0.94 0 0 0 0 0  − 0.25 − 0.5 − 0.75 − 1

На рис. 4 графически изображены линии влияния усилий N5, N6, N7, N8, N9.

Рис. 4

19 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1. Выполнению задания должно предшествовать изучение теоретического материала методических указаний и дополнительной литературы [1,2]. Необходимо провести в среде Mathcad расчет фермы, изображенной на рис. 3, в соответствии с п.3. 2. Исходные данные для выполнения задания нужно выбрать из таблицы 1 согласно своему шифру, который сообщается студенту преподавателем, ведущим практические занятия. Для этого под шифром, представляющим собой трехзначное число, следует расположить три буквы русского алфавита, например: шифр 2 6 3 буквы а б в В таблице 1 из вертикальных столбцов, обозначенных внизу соответствующей буквой, нужно выбрать числа, стоящие в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, для указанного выше шифра: номер расчетной схемы (рис.5) совпадает с последней цифрой шифра, т.е с номером III-й схемы; внешние силы: Р1=4кН, Р2=1кН, Р3=5кН, …; размеры: d=5,0м, h=7,5м; угол α=300; № панели - 3. Замечание. Студенты-заочники выбирают данные из таблицы 1 в соответствии с шифром – тремя последними цифрами номера зачетной книжки. 3. При выполнении задания необходимо соблюдать следующие требования: а) аккуратно начертить расчетную схему в графическом редакторе Paint, указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными, оси координат, пронумеровать все узлы и стержни фермы; б) решение задачи проводить в математическом пакете Mathcad по аналогии с примером расчета фермы в п.3 указаний.

20 в) все расчеты должны сопровождаться краткими пояснениями в виде текста. г) линии влияния усилий в стержнях фермы необходимо строить с указанием характерных ординат, их знаков. Все чертежи рекомендуется выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба. 4. Работа распечатывается на стандартном листе бумаги А4 на одной стороне с приложением титульного листа. 5. Выполненную работу нужно защитить в сроки, установленные графиком самостоятельной работы студентов. Задание. Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис.5) требуется: - определить продольные усилия во всех ее стержнях. Задачу решить в среде Mathcad; - построить линии влияния усилий в стержнях указанной в задании панели. Пояснения. Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие пункты задания: 1) пронумеровать узлы и стержни фермы, сформировать структурную матрицу S c ; 2) задать координаты узлов; 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы координат; 4) вычислить длины стержней Li; 5) определить направляющие косинусы αi; ρ 6) составить вектор внешней нагрузки P и матрицу S * ;

ρ

7) сформировать вектор Q и матрицу S p для записи системы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде: 8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты; при необходимости

21 провести дополнительные расчеты, изменяя вектор внешней нагрузки; 9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы, номер которой указан в последней колонке таблицы 1. При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс, состоящий из четырех горизонтальных стержней; I)

22 IV)

V)

II) VI)

III) VII)

24

23

VIII)

IX)

№ стро ки

Расчет ная схема

P1

P2

P3

P4

P5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

I II III IV V VI VII VIII IX X в

5 4 3 2 1 0 6 7 8 9 а

6 8 0 9 7 1 2 3 4 5 б

1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 в

2 6 7 9 8 5 3 1 4 0 а

2 1 8 3 4 5 9 7 6 0 б

Внешние силы, кН

Размеры, м d h 3,0 4,0 5,0 3,2 4,2 5,2 3,5 4,5 3,8 4,8

4,5 6,0 7,5 4,8 6,2 7,6 5,0 6,5 5,5 7,0 в

Таблица 1 Угол № па α, град. нели 45 2 30 3 45 2 60 3 90 2 30 3 45 2 60 3 30 2 45 3 б а

Список использованной литературы 1. Бундаев В.В. Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами: Учебное пособие. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005. – 223 с. 2. Бундаев В.В., Цынгеев Д.Ц. Расчет статически определимых ферм на ЭВМ Контрольные задания и методические указания по курсу «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ» для студентов строительных специальностей дневной и заочной форм обучения. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 1987.34с.:ил.

X)

Рис.5

25

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ В СРЕДЕ MATHCAD Составитель: В.В. Бундаев Рецензент: С.Г.Баргуев, к.ф.-м.н., доцент кафедры «Прикладная математика».

Редактор Т.А. Стороженко Подписано в печать 10.10.2006 2006 г. Формат 60х84 1/ . Усл. п.л. 1.39 Печать операт., бум. писч. Тираж 100 экз. Заказ №201 Издательство ВСГТУ. г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40,в. © ВСГТУ. 2006 г.

26 Ключевые слова: расчет, ферма, элемент, стержень, Mathcad, матрица, вектор, решение, таблица, алгоритм