3
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си...
10 downloads
344 Views
336KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
3
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т
М ет од и чес к ое п ос оби е п от еори и вероят нос т ей (к п рак т и к у му на ЭВМ ) Сп еци альнос т ь010200 О ПД .Ф .03
В ОРОНЕЖ 2003
4
Утве р ж де но на уч но -м е то ди ч е ски м со ве то м фа культе та пр и кла дно й м а те м а ти ки , и нфо р м а ти ки и м е ха ни ки : пр о то ко л № 2 о т22 о ктяб р я 2002 г.
Со ста ви те ль: Но ви ко ва Н. М .
Программа п од гот овлена на к аф ед ре т ехни чес к ой к и бернет и к и и авт омат и чес к ого регу ли ровани я ф ак у льт ет а п ри к лад ной мат емат и к и , и нф ормат и к и и механи к и Воронеж с к огогос у д арс т венногоу ни верс и т ет а. Рек оменд у ет с я д ля с т у д ент ов 3 к у рс а д невногоот д елени я.
5
§ 1. Ф ункци и и и нс трум е нты MATHCAD П р е ж де ч е м пр и ступа тьк р е ше ни ю за да ч те о р и и ве р о ятно сте й в Mathcad, по зна ко м и м ся с и нстр ум е нта м и , ко то р ые пр е до ста вляе тпа ке тдля и хр е ше ни я. На по м ни м , ч то ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на ξ, пр и ни м а юща я зна ч е ни я x1 < x2 < … < xi < … с ве р о ятно стям и p1, p2, … , pi, … , м о ж е т б ытьза да на рас п ред елени ем – та б ли це й ви да
ξ x1 x2 … xi … xn p p1 p 2 … p i … pn Т а ки е
та б ли цы в ср е де
Mathcad удо б но
хр а ни ть в ви де
м а тр и цы
р а зм е р но сти 2× n. Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й пр и ве дённо е выше р а спр е де ле ни е , и м е е тви д:
0 p 1 p 1 + p 2 F ( x) = .......... .......... ........ p 1 + p 2 + ... + p n −1 1 Ни ж е
пр и ве дён
фр а гм е нт р а б о ч е го
, x < x1 , x1 ≤ x < x 2 , x2 ≤ x < x3 , x n −1 ≤ x < x n , xn ≤ x до кум е нта
с
о пр е де ле ни е м
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, е ё функци и р а спр е де ле ни я и гр а фи ко м функци и р а спр е де ле ни я для случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й сле дующе е р а спр е де ле ни е : ξ
1
0
7
4
-2
P
0.1
0.5
0.1
0.1
0.2
Ра спр е де ле ни е случ а йно й ве ли ч и ны
6 1 4 7 − 2 0 0.2 0.5 0.1 0.1 0.1
A :=
Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны
0 A 2 ,1 ( A + A 2,2 ) F ( x ) := 2 ,1 ( A 2 ,1 + A 2 , 2 + A 2 , 3 ) ( A + A 2 , 2 + A 2 ,3 + A 2 , 4 ) 2 ,1 1
, −∞ < x < A 1,1 , A 1,1 ≤ x < A 1 , 2 , A 1, 2 ≤ , A 1, 4 ≤ , A 1, 4 ≤ , A 1, 5 ≤
x < A 1, 3 x < A1, 5 x < A 1, 5 x < ∞
Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, о пр е де лённа я др уги м спо со б о м :
, −∞ < x < − 2 0 0 .2 ,− 2 ≤ x < 0 ,0 ≤ x < 1 0 . 2 + 0 . 5 G ( x ) := ,1 ≤ x < 4 0 .2 + 0 .5 + 0 .1 0 .2 + 0 .5 + 0 .1 + 0 .1 ,4 ≤ x ≤ 7 1 ,7 ≤ x < ∞ Г р а фи к функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны
У к азание . Ра спр е де ле ни е случ а йно й ве ли ч и ны со хр а не но в м а тр и це А : A1,i – зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны; A2,i – со о тве тствующи е ве р о ятно сти ; i = 1,2,3,4,5. Ф ункци ю р а спр е де ле ни я, за да нную р а зным и выр а ж е ни ям и на р а зных и нте р ва ла х и зм е не ни я а р гум е нто в, м о ж но о пр е де ли ть сле дующи м о б р а зо м : р а зве р ни те па не льпр о гр а м м ных эле м е нто в ще лч ко м по кно пке и па не ль зна ко в о тно ше ни й – ще лч ко м по кно пке и не за кр ыва йте и х, по ка не за ко нч и те о пр е де ле ни е функци и . В ве ди те и м я функци и пе р е м е нно й x и зна к
7
пр и сва и ва ни я, ще лкни те в па не ли пр о гр а м м ных эле м е нто в по кно пке , вве ди те в по м е ч е нно й по зи ци и нуль, ще лкни те по кно пке и вве ди те не р а ве нства , о пр е де ляющи е пе р вый и нте р ва л и зм е не ни я а р гум е нта (си м во л ∞ м о ж но вве сти ще лч ко м по со о тве тствующе й кно пке в па не ли ); за те м пе р е йди те во вто р ую стр о ку о пр е де ле ни я функци и , вве ди те A2,1 – и м я пе р е м е нно й, со де р ж а ще й зна ч е ни е p1, и ли ч и сло 0.2 – зна ч е ни е p1 , выде ли те , на ж и м а я кла ви шу <SPACE>, выр а ж е ни е для функци и , ще лкни те по кно пке , вве ди те не р а ве нства , о пр е де ляющи е вто р о й и нте р ва л и зм е не ни я а р гум е нта (зна к м о ж но вве сти ще лч ко м по со о тве тствующе й кно пке в па не ли о тно ше ни й); выде ли те , на ж и м а я кла ви шу <SPACE>, вто р ую стр о ку и вве ди те , де йствуя, ка к о пр е де ле ни я функци и , ще лкни те по кно пке о пи са но выше , о пр е де ле ни е функци и на сле дующе м и нте р ва ле . В р а б о ч е м до кум е нте пр и ве де ны два спо со б а о пр е де ле ни я функци и – с и спо льзо ва ни е м и м е н пе р е м е нных и с и спо льзо ва ни е м ко нкр е тных зна ч е ни й эти х пе р е м е нных. Г р а фи ки функци й р а спр е де ле ни й по стр о е ны ста нда р тным для де ка р то вых гр а фи ко в спо со б о м . Сле дуе тпо м ни ть, ч то MathCad не со все м ко р р е ктно стр о и т гр а фи ки ступе нч а тых функци й, со е ди няя о тр е зка м и пр ям ых зна ч е ни я функци и в то ч ке ска ч ка . Б о ле е то ч ный гр а фи к функци и р а спр е де ле ни я пр е дста вляе т со б о й о тр е зки , па р а лле льные о си а б сци сс, с “ выко ло тым ” пр а вым ко нцо м . Ра спр е де ле ни е ди скр е тно го случ а йно го ве кто р а
y1
y2
…
yn
x1
P1,1
p1,2
…
p1,n
x2
p1,1
p2,2
…
p2,n
…
…
…
…
…
pm,2
…
pm,n
xm pm,1
та кж е удо б но хр а ни тьв м а тр и це р а зм е р но сти (m+1)х(n+1). Пе р во на ч а льно м у эле м е нту пе р во й стр о ки это й м а тр и цы пр и сва и ва е тся нуле во е
зна ч е ни е ,
о ста льные эле м е нты пе р во й стр о ки со де р ж а тзна ч е ни я случ а йно й ко м по не нты η, эле м е нты пе р во го сто лб ца – зна ч е ни я случ а йно й ко м по не нты ξ, а о ста льные эле м е нты – со о тве тствующи е ве р о ятно сти : эле м е нт, р а спо ло ж е нный в (j+1)-м сто лб це (i+1)-й стр о ки со де р ж и тзна ч е ни е ве р о ятно сти pij то го , ч то случ а йный ве кто р (ξ,η) пр и ни м а е тзна ч е ни е (xi, yi).
8
Ни ж е пр и ве де н фр а гм е нт р а б о ч е го до кум е нта MathCad с о пр е де ле ни е м р а спр е де ле ни я
ди скр е тно го
случ а йно го
ве кто р а ,
за да нно го
сле дующе й
та б ли це й:
1
3
5
7
2
0.01 0.01 0.17 0.01
4
0.1
6
0.02 0.05 0.09 0.04
0.2
0.1
0.2
1 3 5 7 0 2 0.01 0.01 0.17 0.01 P := 4 0.1 0.2 0.2 0.2 6 0.02 0.05 0.09 0.04
Д ля
выч и сле ни я
со
случ а йным и
ве ли ч и на м и
(не пр е р ывным и
и
ди скр е тным и ) в MathCad е сть б о га та я б и б ли о те ка встр о е нных функци й на и б о ле е
р а спр о стр а не нных
ста нда р тных
р а спр е де ле ни й.
р а спр е де ле ни е пр е дста вле но в б и б ли о те ке тр е м я функци ям и —
К а ж до е
пло тно стью
ве р о ятно сте й, функци е й р а спр е де ле ни я и функци е й, о б р а тно й к функци и р а спр е де ле ни я. На пр и м е р , для р а б о ты с но р м а льным р а спр е де ле ни е м пр е дна зна ч е ны функци и dnorm(x,η,σ), pnorm(x,η,σ) и qnorm(x,η,σ). З на ч е ни е м
функци и
dnorm(x,η,σ) являе тся зна ч е ни е в то ч ке х пло тно сти ве р о ятно сте й случ а йно й ве ли ч и ны ξ,
и м е юще й
но р м а льно е
р а спр е де ле ни е
с
м а те м а ти ч е ски м
о ж и да ни е м М ξ = η и ди спе р си е й Dξ = σ2; зна ч е ни е функци и pnorm(x,η,σ) — зна ч е ни е функци и р а спр е де ле ни я это й ж е случ а йно й ве ли ч и ны ξ; зна ч е ни е м функци и qnorm(x,η,σ) служ и тр е ше ни е ур а вне ни я F(x) = р , где F(x) — функци я р а спр е де ле ни я,
о пр е де ле нна я
функци е й
pnorm(x,η,σ),
т.е .
зна ч е ни е м
qnorm(x,η,σ) являе тся ква нти льур о вня р но р м а льно р а спр е де ле нно й случ а йно й
9
ве ли ч и ны. Им е на
все х встр о е нных функци й, о пр е де ляющи х пло тно сти
ве р о ятно сте й, на ч и на ются с б уквыd, о пр е де ляющи х функци и р а спр е де ле ни я — с б уквыр , о пр е де ляющи х ква нти ли — с б уквыq. Ни ж е
пр и ве де ны спи со к все х р а спр е де ле ни й, пр е дста вле нных в
б и б ли о те ке MathCad, и и м е на со о тве тствующи х функци й: б е та -р а спр е де ле ни е — dbeta(x,s1,s2), pbeta(x,s1,s2), qbeta(p,s1,s2); б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е — dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(p,n,r); р а спр е де ле ни е К о ши — dcauchy(x,l,s), pcauchy(x,l,s), dcauchy(p,l,s); χ2 – р а спр е де ле ни е — dchisq(x,d), pchisq(x,d), qchisq(p,d); экспо не нци а льно е р а спр е де ле ни е — dexp(x,r), pexp(x,r), qexp(p,r); р а спр е де ле ни е Ф и ше р а (F-р а спр е де ле ни е ) — dF(x,d1,d2), pF(x,d1,d2), qF(x,d1,d2); га м м а -р а спр е де ле ни е — dgamma(x,s), pgamma(x,s), qgamma(p,s); ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е — dgeom(x,p), pgeom(x,p), qgeom(p,r); ло гно р м а льно е р а спр е де ле ни е — dlnorm(x,η,σ), plnorm(x,η,σ), qlnorm(p,η,σ); ло ги сти ч е ско е р а спр е де ле ни е — dlogis(x,l,s), plogis(x,l,s), qlogis(p,l,s); о тр и ца те льно е б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е — dnbinom(k,n,p), pnbinom(k,n,p), qnbinom(p,n,r); но р м а льно е р а спр е де ле ни е — dnorm(x,η,σ), р по гт(x,η,σ), qnorm(p,η,σ); р а спр е де ле ни е П уа ссо на — dpois(x,λ), ppois(x, λ), qpois(p, λ); р а спр е де ле ни е Стьюде нта — dt(x,d), pt(x,d), qt(p,d); р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е — dunif(x,a,b), punif(x,a,b), qunif(p,a,b); р а спр е де ле ни е В е йб улла — dweibull(x,s), pweibull(x,s), qweibull(p,s). Ни ж е пр и ве де ны гр а фи ки и выч и сле ни я, де м о нстр и р ующи е не ко то р ые сво йства функци й, связа нных со ста нда р тным но р м а льным р а спр е де ле ни е м N(0,1).
10
p(x) := dnormx ( , 0 , 1)
a := qnorm0.1 ( , 0 , 1)
F(x) := pnormx ( , 0 , 1)
a = −1.282
q(x) := qnormx ( , 0 , 1)
pnorma ( , 0 , 1) = 0.1
1
1
0.5
p(x )
5
0.5
F(x )
0
5
5
x
0
5
x
К р о м е то го , в б и б ли о те ке встр о е нных функци й Mathcad, е сте стве нно , е сть
функци я Л а пла са
erf x =
2 π
x
−t ∫ e dt 2
0
. Д ля выч и сле ни я ч и сло вых
ха р а кте р и сти к ди скр е тных и не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н пр и м е няются о пе р а то р ы и нте гр и р о ва ни я и ди ффе р е нци р о ва ни я, выч и сле ни я ко не ч ных сум м и сум м и р о ва ни я р ядо в, ко то р ые вызыва ются ще лч ко м м ыши по кно пке в па не ли
и за по лне ни е м со о тве тствующи х по м е ч е нных по ле й. П р и м е р ы
и спо льзо ва ни я эти х о пе р а ци й пр и р е ше ни и за да ч
те о р и и ве р о ятно сте й
пр и ве де ныв по сле дующи х р а зде ла х.
§ 2. С лучайны е ве ли чи ны . Ф ункци и рас пре д е ле ни я Т е о р и я ве р о ятно сте й и зуч а е тм а те м а ти ч е ски е м о де ли случ а йных явле ни й о кр уж а юще го на с м и р а . Одно и з це нтр а льных по няти й те о р и и ве р о ятно сте й – по няти е
случ а йно й ве ли ч и ны. Слу чайной вели чи ной на зыва е тся ч и сло ва я
функци я, за да нна я на м но ж е стве случ а йныхсо б ыти й. На пр и м е р , случ а йно й ве ли ч и но й являе тся ч и сло о ч ко в, выпа вши х пр и б р о са ни и и гр а льно й ко сти , и ли р о стслуч а йно выб р а нно го и з уч е б но й гр уппы студе нта . В пе р во м случ а е м ы и м е е м де ло с д и с к рет ной случ а йно й ве ли ч и но й
11
(о на пр и ни м а е тзна ч е ни я и з ди скр е тно го ч и сло во го м но ж е ства ) M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; во вто р о м случ а е – с неп реры вной случ а йно й ве ли ч и но й (о на пр и ни м а е т зна ч е ни я и з не пр е р ывно го ч и сло во го м но ж е ства – и з пр о м е ж утка ч и сло во й пр ям о й I = [100, 230]). В да льне йше м случ а йные ве ли ч и ны б уде м о б о зна ч а ть гр е ч е ски м и б уква м и . Ф ункци я рас пре д е ле ни я с лучайной ве ли чи ны К а ж да я случ а йна я ве ли ч и на по лно стью о пр е де ляе тся сво е й функци е й р а спр е де ле ни я. Если ξ - случ а йна я ве ли ч и на , то функци я F(x) = Fξ(x) = P(ξ < x) на зыва е тся ф у нк ци ей рас п ред елени я случ а йно й ве ли ч и ны ξ. З де сь P(ξ < x) – ве р о ятно стьто го , ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ пр и ни м а е тзна ч е ни е , м е ньше е x. Ф ункци я
р а спр е де ле ни я
люб о й
случ а йно й
ве ли ч и ны
о б ла да е т
сле дующи м и сво йства м и : • F(x) о пр е де ле на на все й ч и сло во й пр ям о й R; • F(x) не уб ыва е т, т.е . е сли x1 ≤ x2, то F(x1) ≤ F(x2);
F ( x ) = 0 и lim F ( x ) = 1 • F(-∞ ) = 0 и F(+∞ ) = 1, т.е . xlim → −∞ x → +∞ • F(x) не пр е р ывна сле ва , т.е . В а ж но
lim
x → x0 − 0
F ( x ) = F ( x0 )
по ни м а ть, ч то функци я р а спр е де ле ни я являе тся «па спо р то м »
случ а йно й ве ли ч и ны: о на со де р ж и т всю и нфо р м а ци ю о б это й случ а йно й ве ли ч и не ,
и
по это м у
и зуч е ни е
случ а йно й
ве ли ч и ны за ключ а е тся
в
и ссле до ва ни и е е ф у нк ци и рас п ред елени я, ко то р ую ч а сто на зыва ют пр о сто рас п ред елени ем. Т а ки м о б р а зо м , ко гда го во р ято нормальном рас п ред елени и , то по др а зум е ва ют случ а йную ве ли ч и ну,
и м е ющую нормальну ю
ф у нк ци ю
рас п ред елени я. Д и скр е тна я
случ а йна я
ве ли ч и на
им е е т
ступе нч а тую
функци ю
р а спр е де ле ни я. На пр и м е р , в пр и ве де нно м ни ж е фр а гм е нте р а б о ч е го до кум е нта
12
Mathcad о пр е де ле на функци я р а спр е де ле ни я ч и сла о ч ко в, выпа вши х пр и о дно м б р о са ни и и гр а льно й ко сти .
У к азание . Сле дуе т о тм е ти ть, ч то Mathcad, и зо б р а ж а я ступе нч а тые функци и , со е ди няе т о тр е зко м пр ям о й зна ч е ни я функци й в то ч ка х р а зр ыва . Ра зр ывные функци и пр и нято и зо б р а ж а ть и на ч е – по м е ч а я стр е лко й на пр а вле ни е р а зр ыва (стр е лка впр а во – функци я не пр е р ывна в то ч ке спр а ва , стр е лка вле во – для то ч е к, где функци я не пр е р ывна сле ва ). На р и с.1 пр и ве де н гр а фи к функци и р а спр е де ле ни я в о б ще пр и нято м ви де .
Ри с 1. Если функци я р а спр е де ле ни я Fξ(x) не пр е р ывна , то случ а йна я ве ли ч и на ξ на зыва е тся неп реры вной с лу чайной вели чи ной. Если функци я р а спр е де ле ни я Fξ(x) не пр е р ывно ди ффе р е нци р уе м а , то б о ле е на глядно е пр е дста вле ни е о случ а йно й ве ли ч и не да е т п лот нос т ь вероят нос т и с лу чайной вели чи ны pξ(x), ко то р а я связа на с функци е й р а спр е де ле ни я Fξ(x) фо р м ула м и :
13
⌠ ⌡
:=
F ξ
p ξ ( x )
x −
p ξ ( t )
∞
d
:=
dx
dt
F ξ ( x )
Отсюда , в ч а стно сти , сле дуе т, ч то для люб о й случ а йно й ве ли ч и ны и нте гр а л ∞
∫
p
ξ
( x ) dx = 1
− ∞
Если ξ - ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на , пр и ни м а юща я зна ч е ни я x1, x2,… , xi,… с ве р о ятно стям и p1, p2,… , pi,… , то та б ли ца ви да ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
P2
…
pi
…
На зыва е тся ряд ом рас п ред елени я д и с к рет ной с лу чайной вели чи ны и ли пр о сто рас п ред елени ем д и с к рет ной с лу чайной вели чи ны . В
пр а кти ч е ски х
за да ч а хи м е нно та ка я фо р м а пр е дста вле ни я р а спр е де ле ни я на и б о ле е удо б на . В е р о ятно стьто го , ч то зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны ξ по па де тв и нте р ва л (a,b), выч и сляе тся для не пр е р ывно й случ а йно й ве ли ч и ныпо фо р м уле
b
P(a < ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) = ∫ pξ (t )dt a
а для ди скр е тно й случ а йно й ве ли ч и ны– по фо р м уле
P (a < ξ < b) =
∑
pi
x i ∈ ( a ,b )
,
14
Н аи боле е рас прос тране нны е рас пре д е ле ни я д и с кре тны хс лучайны х ве ли чи н П о зна ко м и м ся с ди скр е тным и случ а йным и ве ли ч и на м и , ко то р ые ч а ще все го
и спо льзуются пр и
р е ше ни и
пр а кти ч е ски х за да ч
ве ли ч и на м и , и м е ющи м и б и но м и а льно е , ге о м е тр и ч е ско е
со
случ а йным и
и пуа ссо но вско е
р а спр е де ле ни я. Би ном и альное рас пре д е ле ни е (с хе м а Бе рнулли ). П усть пр о во ди тся се р и я и з n не за ви си м ых и спыта ни й, ка ж до е и з ко то р ых за ка нч и ва е тся ли б о «успе хо м », ли б о «не успе хо м ». П устьв ка ж до м и спыта ни и (о пыте ) ве р о ятно сть успе ха p, а ве р о ятно стьне уда ч и – q = 1 - p. С та ки м и спыта ни е м м о ж но связа ть случ а йную ве ли ч и ну ξ, р а вную ч и слу успе хо в в се р и и и з n и спыта ни й. Э та ве ли ч и на пр и ни м а е т це лые зна ч е ни я о т 0 до n. Ее р а спр е де ле ни е на зыва е тся би номи альны м и о пр е де ляе тся фо р м уло й Б е р нулли
где 0 0 В
∑
k =0
pk = 1 .
Mathcad для выч и сле ни я ве р о ятно сти и функци и р а спр е де ле ни я
случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е , пр е дна зна ч е ны функци и dpois(k, λ) и ppois(k, λ), зна ч е ни я ко то р ых– со о тве тстве нно pk и F(k). Зад ани е 2.1 Д ля ука за нных зна ч е ни й па р а м е тр о в выч и сли те и по стр о йте гр а фи ч е ски б и но м и а льно е , ге о м е тр и ч е ско е и пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни я. П р о ве р ьте для ∞
ни х р а ве нство
∑
k =0
pk = 1 .
П о стр о йте гр а фи ки функци й р а спр е де ле ни я. В ыч и сли те ве р о ятно сть по па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в ука за нный и нте р ва л. Д ля ка ж до го р а спр е де ле ни я на йди те зна ч е ни е k, для ко то р о го ве ли ч и на P(ξ=k) м а кси м а льна . Иссле дуйте за ви си м о стьэто й ве р о ятно сти о тпа р а м е тр о в р а спр е де ле ни я.
16
Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. В ве ди те па р а м е тр ыр а спр е де ле ни я. 2. Опр е де ли те и нте р ва л и зм е не ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те ве кто р , но м е р а ко м по не нт ко то р о го р а вны зна ч е ни ям случ а йно й ве ли ч и ны, и пр и сво йте ко м по не нта м ве кто р а зна ч е ни я ве р о ятно сти со о тве тствующи х зна ч е ни й. 4. Опр е де ли те функци ю р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 5. П о стр о йте гр а фи ки р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 6. На йди те по гр а фи ку на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны. 7. В ве ди те в р а б о ч и й до кум е нт на и б о льше е
зна ч е ни е
ве р о ятно сти
(зна ч е ни е ве р о ятно сти в то ч ке , выч и сле нно й в пр е дыдуще м пункте ). 8. В ыч и сли те сум м у все х зна ч е ни й ве р о ятно сте й. 9. В ыч и сли те ве р о ятно сть по па да ни я зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны в ука за нный и нте р ва л ка к р а зно стьсо о тве тствующи х зна ч е ни й функци и р а спр е де ле ни я. 10. Изм е ни те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я и по вто р и те выч и сле ни я. Ср а вни те по луч е нные р е зульта ты. 11. В ыпо лни те выч и сле ни я пп. 1-10 для все х пр и ве де нных в за да ни и р а спр е де ле ни й. При м е р вы полне ни я зад ани я П о стр о йте б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е для се р и и и з 20 не за ви си м ых и спыта ни й с ве р о ятно стью успе ха р = 0.4, 0.6, 0.8. П о стр о йте гр а фи ки р а спр е де ле ни я и функци й р а спр е де ле ни я. Д ля р = 0.4 на йди те зна ч е ни е k, для ∞
ко то р о го ве ли ч и на Р(ξ = k) м а кси м а льна . П р о ве р ьте р а ве нство
∑
k =0
pk = 1 .
В ыч и сли те ве р о ятно стьпо па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в и нте р ва л (1, 5).
17
П о стр о йте пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр о м λ = 0.2, 0.4, ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е с та ки м и ж е па р а м е тр а м и , ч то и б и но м и а льно е ∞
(р
=
П р о ве р ьте
0.4).
∑
р а ве нство
pk = 1 .
k =0
П о стр о йте
гр а фи ки
р а спр е де ле ни я и функци й р а спр е де ле ни я. В ыч и сли те ве р о ятно стьпо па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в и нте р ва л (1,5) для все х р а спр е де ле ни й. Д ля ка ж до го р а спр е де ле ни я на йди те зна ч е ни е k, для ко то р о го ве ли ч и на Р(ξ = k) м а кси м а льна . Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
выч и сле ни я
для
б и но м и а льно го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
k := 0 .. 20 p4k := dbinom( k , 20 , 0.4 ) F4( k) := pbinom( k , 20 , 0.4 ) p6k := dbinom( k , 20 , 0.6 ) F6( k) := pbinom( k , 20 , 0.6 ) p8k := dbinom( k , 20 , 0.8 ) F8( k) := pbinom( k , 20 , 0.8 ) 0.3
p4k
1
F4( k )
0.2
p6k p8k
F6( k )
0.5
F8( k )
0.1
0
10
20
0
k
10
20
k
20
∑ k
p4k = 1 F4( 5) − F4( 1) = 0.125
=0
У к азание : Д ля то го ч то б ы о пр е де ли тьпо гр а фи ку р а спр е де ле ни я на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны, щёлкни те в м е ню Format (Ф о р м а т) в пункте Graph (Г р а фи к) по стр о ке Trace (Сле до ва ни е ), уста но ви те пе р е кр е стье м а р ке р а на то ч ке м а кси м ум а р а спр е де ле ни я и выве ди те в р а б о ч и й до кум е нт ве р о ятно сть зна ч е ни я, ука за нно го
в о кне
X-Value (В е ли ч и на X) . Д ля
18
и ссле дуе м о й случ а йно й ве ли ч и ны на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е р а вно 8, ве р о ятно стьэто го со б ыти я р а вна 0.18. Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
выч и сле ни я
для
пуа ссо но вско го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
k := 0 .. 20
p2k := dpois( k , 0.2) F2( k) := ppois( k , 0.2) p4k := dpois( k , 0.4) F4( k) := ppois( k , 0.4)
1 p2 k
F2 ( k ) 0.5
p4 k
20
∑ k
F4 ( k )
0
2
p2k = 1
=0
0.8
0.6
4
0
k
2
4 k
F2( 5) − F2( 1) = 0.018
К а к ви дно и з р и сунка , на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны нуле во е ; ве р о ятно стьто го , ч то случ а йна я ве ли ч и на пр и λ = 0.2 пр и м е тнуле во е зна ч е ни е , р а вна 0.0819. Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
ге о м е тр и ч е ско го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
выч и сле ни я
для
19
k := 0 .. 20 pk := dgeom ( k , 0.4 ) F ( k) := pgeom ( k , 0.4 ) 1
0.4
pk
F( k )
0.2
0
p0 = 0.4
10 k
20
∑ k
pk = 1
0.5
0
20
10 k
F( 5) − F ( 1) = 0.313
=0
На и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и нынуле во е ; ве р о ятно стьэто го зна ч е ни я р а вна 0.4.
§ 3. Н е пре ры вны е с лучайны е ве ли чи ны Н аи боле е рас прос транённы е рас пре д е ле ни я не пре ры вны х с лучайны х ве ли чи н Равном е рное
рас пре д е ле ни е .
Не пр е р ывна я
случ а йна я
ве ли ч и на
ξ, пр и ни м а юща я зна ч е ни е на о тр е зке [a,b], р а спр е де ле на р а вно м е р но на [a,b], е сли пло тно сть р а спр е де ле ни я pξ(x) и функци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ныξ и м е ютсо о тве тстве нно ви д
0, pξ ( x ) = 1 b − a ,
x ∉ [ a, b], x ∈ [ a, b],
x ≤ a, 0, x − a Fξ ( x ) = , a < x ≤ b, b − a x > b. 1,
20
20
Ни ж е пр и ве де ны по стр о е нные в Mathcad гр а фи ки пло тно сти ве р о ятно сте й и функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны ξ, пр и ни м а юще й зна ч е ни я на о тр е зке [0,1] и и м е юще й р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е . 1
dunif ( x , 0 , 1 )
0.5
1
0
1
2
x 1
punif ( x , 0 , 1)
0.5
1
0
1
2
x
В
Mathcad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е на о тр е зке [a,b], выч и сляются встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dunif(x,a,b) и punif(x,a,b). Экспоне нци альное случ а йна я
(показате льное )
рас пре д е ле ни е .
Не пр е р ывна я
ве ли ч и на ξ и м е е т по ка за те льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр о м
λ>0, е сли пло тно стьр а спр е де ле ни я и м е е тви д
0, x < 0 pξ ( x ) = − λx ,x ≥ 0 λe
Отсюда ви дно , ч то по ка за те льно р а спр е де лённа я случ а йна я ве ли ч и на пр и ни м а е т то лько
не о тр и ца те льные зна ч е ни я. Ф ункци я р а спр е де ле ни я та ко й
случ а йно й ве ли ч и ныи м е е тви д
21
0, x ≤ 0 Fξ ( x ) = − λx ,x > 0 1 − λ e Ни ж е
пр и ве де ны гр а фи ки
пло тно сти
ве р о ятно сте й
и
функци й
р а спр е де ле ни я случ а йных ве ли ч и н, и м е ющи х по ка за те льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр а м и λ=1 и λ=2, по стр о е нные в Mathcad.
1
dexp ( x , 1 )
0.5
0
2
4
x 1
pexp ( x , 1 )
0.5
0
2
x
4
22 1
dexp ( x , 2 )
0.5
0
2
4
x 1
pexp ( x , 2 )
0.5
0
2
4
x
В
Mathcad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я
случ а йно й
р а спр е де ле ни е
с па р а м е тр о м
ве ли ч и ны,
и м е юще й
экспо не нци а льно е
λ, выч и сляются встр о е нным и
функци ям и
со о тве тстве нно dexp(x, λ) и pexp(x, λ). Н орм альное рас пре д е ле ни е . Э то р а спр е де ле ни е и гр а е т и сключ и те льно ва ж ную р о льв те о р и и ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке . Случ а йна я ве ли ч и на ξ но р м а льно р а спр е де ле на с па р а м е тр а м и a и σ, σ>0, е сли е ё пло тно стьр а спр е де ле ни я и м е е тви д
pξ ( x ) =
( x − a) 2 exp − 2σ 2 2π σ 1
.
Если случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тно р м а льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр а м и a и σ, то б уде м за пи сыва тьэто в ви де ξ~N(a,σ).
23
Случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тста нда р тно е но р м а льно е р а спр е де ле ни е , е сли a=0 и σ=1, ξ~N(0,1). П ло тно стьста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я и м е е тви д
x2 exp − , 2π 2 1
pξ ( x) =
а е го функци я р а спр е де ле ни я – Fξ ( x ) = Φ ( x ), гд е Φ ( x ) – функци я Л а пла са :
z2 exp − dz. ∫ 2π −∞ 2 x
1
Φ ξ (ч) =
Ф ункци я р а спр е де ле ни я но р м а льно й ве ли ч и ныη~ N(a,σ) та кж е
x−a . выр а ж а е тся ч е р е з функци ю Л а пла са : Fη ( x ) = Φ σ Ни ж е
пр и ве де ны по стр о е нные
в
гр а фи ки
MathCAD
пло тно сти
ве р о ятно сте й и функци й р а спр е де ле ни я для ξ~N(0,1) и η~ N(1,2). 1
1
dnorm(x , 0 , 1)
pnorm( x , 0 , 1)
0.5
2
0
0.5
2
2
0
x
x
1
1
dnormx ( , 1 , 2)
pnormx ( , 1 , 2)
0.5
0
5 x
0.5
0 x
2
24
В
MathCad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я но р м а льно й
случ а йно й
выч и сляются
функци ям и
встр о е нным и
ве ли ч и ны с па р а м е тр а м и со о тве тстве нно
a, σ
dnorm(x,a,σ)
и
pnorm(x,a,σ). Рас пре д е ле ни е хи -квад рат ( χ 2 – рас пре д е ле ни е ) П устьξ1, ξ2,… ξn – не за ви си м ые случ а йные ве ли ч и ны, ка ж да я и з ко то р ых и м е е т ста нда р тно е но р м а льно е р а спр е де ле ни е N(0,1). Со ста ви м случ а йную ве ли ч и ну χ 2n =ξ21 + ξ22 + … + ξ2n. Её р а спр е де ле ни е на зыва е тся χ 2 – р а спр е де ле ни е м с n сте пе ням и сво б о ды. Д ля спр а во ч ных це ле й пр и ве дём
зде сь выр а ж е ни е
пло тно сти р а спр е де ле ни я это й случ а йно й ве ли ч и ны:
0, n−2 z − 1 Pn ( z ) = z 2 e 2, π π 2 Γ( 2 )2
z0 n+m n m m nx Γ( )Γ( ) (1 + ) 2 2 2 m Γ(
29 1
1
pF(x , 2 , 5)
dF( x , 2 , 5) dF( x , 5 , 2)
0.5
pF(x , 5 , 2)
0
1
2
0.5
0
x
1
2
x
Зад ани е 3.4 П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нных зна ч е ни й n и m. Поря д оквы полне ни я зад ани я 1.
П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нныхзна ч е ни й n и m.
2.
П о стр о йте гр а фи ки функци и р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нных зна ч е ни й n и m.
При м е р вы полне ни я зад ани я П р и м е р выпо лне ни я за да ни я для р а спр е де ле ни я Ф и ше р а со зна ч е ни ям и n=2,5 и m=5,2 пр и ве дён выше . 4. К ванти ли П р и р е ше ни и пр а кти ч е ски х за да ч ч а сто тр е б уе тся на йти зна ч е ни е x, пр и ко то р о м функци я р а спр е де ле ни я пр и ни м а е т за да нно е зна ч е ни е , т.е . тр е б уе тся р е ши тьур а вне ни е Fξ(x) = p. Ре ше ни я та ко го ур а вне ни я в те о р и и ве р о ятно сте й на зыва ются ква нти лям и . Квант и лью xp (p-ква нти лью, ква нти лью ур о вня p) случ а йно й ве ли ч и ны ξ, и м е юще й функци ю р а спр е де ле ни я Fξ( (x), на зыва ют р е ше ни е xp ур а вне ни я Fξ((x) = p, p∈ (0,1).
30
Д ля не ко то р ых p ур а вне ни е Fξ( (x) = p м о ж е ти м е тьне ско лько р е ше ни й, для не ко то р ых – ни о дно го . Э то о зна ч а е т, ч то для со о тве тствующе й случ а йно й ве ли ч и ны не ко то р ые
ква нти ли
о пр е де ле ны не о дно зна ч но , а
не ко то р ые
ква нти ли не суще ствуют. К ва нти ли , на и б о ле е ч а сто встр е ч а ющи е ся в пр а кти ч е ски х за да ч а х, и м е ют сво и на зва ни я: мед и ана –ква нти льур о вня 0.5; ни ж няя ква р ти ль– ква нти льур о вня 0.25; верхняя ква р ти ль– ква нти льур о вня 0.75; д еци ли – ква нти ли ур о вне й 0.1, 0.2, … , 0.9; п роцент и ли – ква нти ли ур о вне й 0.01, 0.02, … , 0.99. Д ля те х р а спр е де ле ни й, для ко то р ых в Mathcad пр е дста вле ны встр о е нные функци и пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я, о пр е де ле ны и встр о е нные функци и выч и сле ни я ква нти ле й. На пр и м е р , е сли пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я в то ч ке x для ло ги сти ч е ско го р а спр е де ле ни я с па р а м е тр а м и α и β выч и сляются встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dlogis(x, α, β) и plogis(x, α, β), то pква нти ль для ло ги сти ч е ско го р а спр е де ле ни я являе тся зна ч е ни е м функци и qlogis(p, α, β). Ни ж е пр и ве де ны выч и сле нные в Mathcad м е ди а на , ве р хняя и ни ж няя ква р ти ли и 0.95-ква нти льдля ста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1). qnorm(0.5, 0, 1)=0
м е ди а на
qnorm(0.25, 0, 1)=-0.67
ни ж няя ква р ти ль
qnorm(0.75, 0, 1)=0.674
ве р хняя ква р ти ль
qnorm(0.95, 0, 1)=1.645 0.95-ква нти ль Зад ани е 4.5 На йди те м е ди а ну, ве р хнюю и ни ж нюю ква р ти ли и p ква р ти ль для за да нно го ур о вня p и для за да нно го р а спр е де ле ни я.
31
Поря д оквы полне ни я зад ани я 1.
П о стр о йте
гр а фи ки
пло тно сти
р а спр е де ле ни я
для
за да нно го
для
за да нно го
р а спр е де ле ни я с ука за нным и зна ч е ни ям и па р а м е тр о в. 2.
П о стр о йте
гр а фи ки
функци и
р а спр е де ле ни я
р а спр е де ле ни я с ука за нным и зна ч е ни ям и па р а м е тр о в. При м е р вы полне ни я зад ани я . В ыч и сле ни е м е ди а ны, ве р хне й и ни ж не й ква р ти ли и 0.95 ква р ти ли ста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1) пр и ве де но выше .
§ 5. Чи с ловы е характе ри с ти ки с лучайны х ве ли чи н К а ж да я случ а йна я ве ли ч и на по лно стью о пр е де ляе тся сво е й функци е й р а спр е де ле ни я. В то ж е вр е м я пр и р е ше ни и пр а кти ч е ски х за да ч до ста то ч но зна ть не ско лько
ч и сло вых па р а м е тр о в, ко то р ые
по зво ляют пр е дста ви ть
о сно вные о со б е нно сти случ а йно й ве ли ч и ны в сж а то й фо р м е . К ве ли ч и на м
о тно сятся, в пе р вую о ч е р е дь, м а те м а ти ч е ско е
та ки м
о ж и да ни е
и
ди спе р си я. М ате м ати че с кое ожи д ани е с лучайной ве ли чи ны М ат емат и чес к ое ож и д ани е – ч и сло , во кр уг ко то р о го со ср е до то ч е ны зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны. Если ξ – ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на с р а спр е де ле ни е м , ξ
x1
x2
…
xn
р
p1
p2
…
pn
то е е м а те м а ти ч е ски м о ж и да ни е м – о но о б о зна ч а е тся М ξ – на зыва е тся ве ли ч и на
32
n
∑
Μξ =
i
p i xi
=1
е сли ч и сло зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны ко не ч но . Если ч и сло зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и нысч е тно , то ∞
Μξ =
∑ i
p i xi
=1
П р и это м е сли р яд в пр а во й ч а сти р а ве нства р а схо ди тся и ли схо ди тся усло вно , то го во р ят, ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ не и м е е тм а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. М а те м а ти ч е ско е
о ж и да ни е
пло тно стью ве р о ятно сте й
не пр е р ывно й
случ а йно й
ве ли ч и ны с
pξ (x) выч и сляе тся по фо р м уле ∞
⌠ Mξ = x p ξ ( x) dx ⌡− ∞ П р и это м е сли и нте гр а л в пр а во й ч а сти р а ве нства р а схо ди тся, то го во р ят, ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ не и м е е тм а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. Если случ а йна я ве ли ч и на η являе тся функци е й случ а йно й ве ли ч и ныξ,
η = f(ξ), то ∞
⌠ f x p ξ ( x ) dx Mη = ⌡− ∞ А на ло ги ч ные
()
фо р м улы спр а ве дли вы для ди скр е тно й
ве ли ч и ны: n
Mξ =
∑ i
=1
p i f ( x i)
∞
Mξ =
∑ i
=1
p i f ( xi )
случ а йно й
33
П р и выч и сле ни и м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я случ а йно й ве ли ч и ны по ле зны сле дующи е е го сво йства : • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е ко нста нтыр а вно это й ко нста нте , т.е . М с = с ; • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е – ли не йный функци о на л случ а йно й ве ли ч и ны, т.е . пр и пр о и зво льных по сто янных a и b ве р но р а ве нство М (aξ + bη) = aMξ + bMη; • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е пр о и зве де ни я двух незави с и мы х случ а йных ве ли ч и н р а вно пр о и зве де ни ю и х м а те м а ти ч е ски х о ж и да ни й, т.е . М (ξ·η) = М ξ·М η. П р и ве де м
фо р м улы м а те м а ти ч е ски х о ж и да ни й для на и б о ле е и зве стных
р а спр е де ле ни й: • б и но м и на льно е р а спр е де ле ни е : (P(ξ = k) = Cnkpkqn-k): Mξ = np;
(
)
k • ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е : P (ξ = k ) = q p : Mξ =
q ; p
λ k −λ e : Mξ = λ ; • пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е : P(ξ = k ) = k!
(
)
• р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е : pξ ( x ) = 1 (b − a ), x ∈ [a , b ] : Mξ = • экспо не нци а льно е (по ка за те льно е ) р а спр е де ле ни е :
( p (x ) = λ e ξ
− λx
, x ≥ 1) : Mξ =
• но р м а льно е р а спр е де ле ни е : N ( a , σ ) pξ (x ) =
a+b ; 2
1 ; λ
1 x − a 2 exp − : M ξ = a; 2 σ 2π σ 1
• р а спр е де ле ни е хи -ква др а т(χ 2-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: n −1 n − 2 z p ( z ) = Γ n 2 2 z n e − 2 , z > 0 : Mχ 2 = n; χ 2 • р а спр е де ле ни е Стьюде нта (t-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: 2
•
ptn (x ) =
1 n + 1 n Γ Γ nπ 2 2
−1
x2 1 + n
−
n +1 2
: Mt n = 0;
F-р а спр е де ле ни е Ф и ше р а с n и m сте пе ням и сво б о ды:
34 n n+m − n Γ (( n + m ) / 2 ) n 2 2 −1 nx 2 m , x > 0 : MF = , m > 2; p F (x ) = Γ (n / 2 )Γ (m / 2 ) m x 1 + m m−2
Ди с пе рс и я с лучайной ве ли чи ны Д и спе р си я случ а йно й ве ли ч и ны ха р а кте р и зуе т м е р у р а зб р о са зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ныо ко ло е е м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. Если случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е т м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е М ξ, то д и с п ерс и ей случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся ве ли ч и на Л е гко по ка за ть, ч то
Dξ = M(ξ-Mξ)2.
Dξ = Mξ2-(Mξ)2. Э та уни ве р са льна я фо р м ула
о ди на ко во
хо р о шо пр и м е ни м а ка к для ди скр е тных случ а йных ве ли ч и н, та к и для не пр е р ывных. В е ли ч и на Mξ2 выч и сляе тся по фо р м ула м : n
Mξ = ∑ p i x , 2
i =1
2 i
Mξ = 2
∞
2 x ∫ pξ (x )dx
−∞
для ди скр е тных и не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н со о тве тстве нно . Еще о дни м па р а м е тр о м для о пр е де ле ни я м е р ы р а зб р о са зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ныявляе тся с ред нек вад рат и чес к ое от к лонени е σ ξ, связа нно е с ди спе р си е й со о тно ше ни е м σ ξ =
Dξ .
П е р е ч и сли м о сно вные сво йства ди спе р си и : •
ди спе р си я люб о й случ а йно й ве ли ч и ныне о тр и ца те льна : Dξ ≥ 0;
•
ди спе р си я ко нста нтыр а вна нулю: Dc = 0;
•
для пр о и зво льно й ко нста нтыс : D(cξ ) = c 2 Dξ ;
•
ди спе р си я сум м ы (р а зно сти ) двух незави с и мы хслуч а йных ве ли ч и н
р а вна сум м е и х ди спе р си й: D(ξ ± η ) = Dξ + Dη. П р и ве де м фо р м улы для ди спе р си й на и б о ле е и зве стных ста нда р тных р а спр е де ле ни й: •
б и но м и на льно е р а спр е де ле ни е : Dξ = npq;
•
ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е : Dξ =
q ; p2
35
•
пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е : Dξ = λ ; ;
•
(b − a ) 2 ; р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е : Dξ = 12
•
экспо не нци а льно е (по ка за те льно е ) р а спр е де ле ни е : Dξ = λ -2;
•
но р м а льно е р а спр е де ле ни е : N(a,σ ): Dξ = σ 2;
•
р а спр е де ле ни е хи -ква др а т (χ 2-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: Dξ2 = 2n;
•
р а спр е де ле ни е Стьюде нта с n сте пе ням и сво б о ды: Dξ =
•
F-р а спр е де ле ни е Ф и ше р а с n и m сте пе ням и сво б о ды:
n , n > 2; n−2
2m 2 (n + m − 2) DF = , m > 4; n(m − 2) 2 (m − 4) Зад ани е 5.6 В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю случ а йно й ве ли ч и ны ξ =
S(η),
ко то р а я
пр е дста вляе т со б о й
пло ща дь ука за нно й
в за да ни и
ге о м е тр и ч е ско й фи гур ы, для случ а йно й ве ли ч и ны η, и м е юще й за да нно е р а спр е де ле ни е . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. З а пи ши те выр а ж е ни е для функци и ξ = S(η) о т случ а йно й ве ли ч и ны η, о пр е де ляюще й пло ща дьфи гур ы. 2. В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ныξ. 3. В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ныξ2 . 4. В ыч и сли те ди спе р си ю случ а йно й ве ли ч и ны ξ = S(η) по фо р м уле Dξ = Mξ2-(Mξ)2. При м е р вы полне ни я зад ани я Случ а йна я ве ли ч и на η р а спр е де ле на р а вно м е р но на пр о м е ж утке [0,1]. На йде м м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю пло ща ди ква др а та со сто р о но й η, т.е . ха р а кте р и сти ки случ а йно й ве ли ч и ныξ = S(η) = η2.
36
М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е пло ща ди ква др а та ξ 2
⌠ 2 1 M ( ξ) := x ⋅ dx 2−1 ⌡1
M ( ξ) →
7 3
М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е 1ква др а та случ а йно й ве ли ч и ныξ 2
⌠ 4 1 M2( ξ) := x ⋅ dx 2−1 ⌡1
M2( ξ) →
31
D( ξ) →
34
5
Д и спе р си я пло ща ди ква др а та ξ
D( ξ) := M2( ξ) − M( ξ)
2
45
У к азание . М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю пло ща ди ква др а та со сто р о но й η выч и сли те си м во льно по фо р м ула м
Mξ = Mη 2 , Dξ = Mη 4 − (Mξ ) 2 . Опр е де ли те и ско м ые м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю ка к функци и пе р е м е нно й ξ. М ом е нты В
те о р и и
ве р о ятно сте й
и
м а те м а ти ч е ско й
ста ти сти ке ,
по м и м о
м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я и ди спе р си и , и спо льзуются и др уги е ч и сло вые ха р а кте р и сти ки случ а йных ве ли ч и н. В
пе р вую о ч е р е дь это начальны е и
цент ральны е м о м е нты. Н ачальны м момент ом k-го п оряд к а случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е k-о й сте пе ни случ а йно й ве ли ч и ныξ , т.е . αk = Μ ξk. Ц ент ральны м момент ом k-гоп оряд к а случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся ве ли ч и на µκ , о пр е де ляе м а я фо р м уло й µk = M(ξ – Mξ)k. З а м е ти м , ч то м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ны- на ч а льный м о м е нтпе р во го по р ядка , α1 = Mξ, а ди спе р си я - це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка : µ1 = Μ(ξ – Mξ)k = Dξ. Суще ствуют фо р м улы, по зво ляющи е выр а зи ть це нтр а льные м о м е нты случ а йно й ве ли ч и ны ч е р е з е е на ч а льные м о м е нты. Одна и з та ки х фо р м ул
37
пр и ве де на выше : Dξ = M(ξ – Mξ) = µ2 – α12. 2
3
В да льне йше м б уде ти спо льзо ва на фо р м ула µ3 = α3– 3α2α1+2α1 . Не тр удно
по нять, ч то е сли пло тно сть р а спр е де ле ни я ве р о ятно сте й
случ а йно й ве ли ч и ны си м м е тр и ч на о тно си те льно пр ям о й x = Mξ, то все е е це нтр а льные м о м е нтыне ч е тно го по р ядка р а внынулю. В те о р и и ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке в ка ч е стве м е р ы а си м м е тр и и
р а спр е де ле ни я служ и т ко эффи ци е нт а си м м е тр и и ,
ко то р ый
о пр е де ляе тся фо р м уло й:
β
ξ
=
µ σ
3 3 ξ
,
где µ3 – це нтр а льный м о м е нт тр е тьего по р ядка ; σ ξ = Dξ = µ 2
–
ср е дне ква др а ти ч но е о ткло не ни е . К о эффи ци е нт а си м м е тр и и – м о ж но
суди ть о
ха р а кте р е
б е зр а зм е р на я ве ли ч и на , а по е го зна ку
а си м м е тр и и . Ни ж е
ко эффи ци е нта а си м м е тр и и р а спр е де ле ни я Ре ле я
пр и ве де но
выч и сле ни е
38
−x2 p1 ( x) := x ⋅ exp 2
⌠ M1 (ξ ) :=
∞
⌡0
x ⋅ p1 ( x) dx
∞
⌠ 2 µ21 ( ξ ) := ( x − M1 (ξ )) ⋅ p1 ( x) dx ⌡0
∞
⌠ µ31 ( ξ ) := ⌡0
(x − M1 (ξ ))3 ⋅ p1 (x) dx
σ1 ( ξ ) := µ21 (ξ )
β1 ( ξ ) :=
1
p1( x)
µ31 (ξ ) σ1 (ξ )
3
1 ⋅ 2 β1 ( ξ ) → 8 ⋅
0.5
3 1 3 2 2 2⋅π − ⋅ 2⋅ π
2
) 2
( −2 ⋅ π + 8 0
2
3
4
x
p2 ( x) := 12 ⋅ x2 ⋅ ( 1 − x)
⌠ M2 (ξ ) := x ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
⌠ 2 µ22 ( ξ ) := (x − M2 ( ξ ) ) ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
⌠ 3 µ32 ( ξ ) := (x − M2 ( ξ ) ) ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
µ32 (ξ ) σ2 ( ξ ) := µ22 (ξ ) β2 ( ξ ) := 3 σ2 (ξ )
β2 ( ξ ) →
−2 7
2
p2( x)
1
0
1
2
У к азание . Д ля то го ч то б ы выч и сли тьзна ч е ни е ко эффи ци е нта а си м м е тр и и , выде ли те выр а ж е ни е для не го , ще лкни те в стр о ке Floating Point в м е ню Symbolics и ука ж и те в о кне ди а ло га ч и сло де сяти ч ныхзна ко в в выво де .
39
К а к ви дно , ко эффи ци е нта си м м е тр и и пе р во го р а спр е де ле ни я по ло ж и те ле н и у гр а фи ка пло тно сти ве р о ятно сте й «кр уч е
ле вый скло н». У вто р о го
р а спр е де ле ни я, на о б о р о т, ко эффи ци е нт а си м м е тр и и о тр и ца те ле н и у гр а фи ка пло тно сти ве р о ятно сти «кр уч е пр а вый скло н». Зад ани е 5.7 В ыч и сли те ко эффи ци е нт а си м м е тр и и случ а йно й ве ли ч и ны ξ с за да нным р а спр е де ле ни е . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. Опр е де ли те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 2. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нттр е тьего по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 4. В ыч и сли те ко эффи ци е нта си м м е тр и и . 5. По стр о йте гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сти . При м е р вы полне ни я зад ачи Случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тно р м а льно е р а спр е де ле ни е N(1,3). На йде м ко эффи ци е нта си м м е тр и и . Ни ж е пр и ве де но р е ше ни е за да ч и в ср е де Mathcad.
40
a := 1 σ := 3 ∞
⌠ −1 x − a 2 1 3 ( x − a) ⋅ µ3 ( a , σ ) := ⋅ exp ⋅ dx 2 σ 2⋅π ⋅σ ⌡− ∞ µ3 (a , σ ) → 0 ∞ ⌠ −1 x − a 2 1 ( x − a) 2 ⋅ µ2 ( a , σ ) := ⋅ exp ⋅ dx 2 σ 2⋅π ⋅σ ⌡− ∞ β (ξ ) :=
µ2 (a , σ )
µ2 (a , σ ) → 3
β (ξ ) → β (ξ )
µ3 (a , σ ) 3 2
dnorm ( x, 1 , 3)
0.12
2
0.1
0
2
4
x
Из пр и ве де нных выч и сле ни й ви дно , ч то ко эффи ци е нта си м м е тр и и но р м а льно го р а спр е де ле ни я р а ве н нулю. Эксце с с Но р м а льно е
р а спр е де ле ни е
на и б о ле е
ч а сто
и спо льзуе тся в те о р и и
ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке , и по это м у гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й но р м а льно го ко то р ым
р а спр е де ле ни я ста л сво е го
ср а вни ва ют др уги е
р а спр е де ле ни я.
Одни м
р о да эта ло но м , с из
па р а м е тр о в,
о пр е де ляющи х о тли ч и е ср а вни ва е м о го р а спр е дле ни я о тно р м а льно го , являе тся эксце сс. Эк с цес с γ случ а йно й ве ли ч и ныξ о пр е де ляе тся р а ве нство м γ =
µ4 ( Dξ ) 2
− 3.
У но р м а льно го р а спр е де ле ни я, е сте стве нно , γ = 0. Если γ >0, то это о зна ч а е т, ч то гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й ρξ(x) си льне е "за о стр е н", ч е м у
41
но р м а льно го р а спр е де ле ни я, е сли ж е γ < 0, то "за о стр е нно сть" гр а фи ка ρξ(x) м е ньше , ч е м у но р м а льно го р а спр е де ле ни я. Зад ани е 5.8 В ыч и сли те эксце сс случ а йно й ве ли ч и ныξ с за да нным р а спр е де ле ни е м . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. Опр е де ли те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 2. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтч е тве р то го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 4. В ыч и сли те ко эффи ци е нта си м м е тр и и . 5. По стр о йте гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сти . При м е р вы полне ни я зад ани я Ни ж е
пр и ве де ны выч и сле ни я эксце сса и гр а фи ки со о тве тствующи х
пло тно сте й ве р о ятно сте й для двух случ а йных ве ли ч и н, пе р ва я и м е е т р а спр е де ле ни е Л а пла са , пло тно сть ве р о ятно сте й ко то р о го
p( x) =
1 −x e , а 2
вто р а я р а спр е де ле на р а вно м е р но на о тр е зке [-1,1]. Д ля ср а вне ни я вм е сте с гр а фи ка м и пло тно сти ве р о ятно сте й и ссле дуе м ых случ а йных ве ли ч и н пр и ве де н гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1).
42
p ( x) :=
1 2
⋅ exp( −x) p2 ( x) :=
1 2
∞
⌠ 2 µ21 ( ξ ) := 2 ⋅ x ⋅ p ( x) dx ⌡0 ∞ ⌠ 4 µ41 ( ξ ) := 2 ⋅ x ⋅ p ( x) dx ⌡0 γ1 ( ξ ) :=
µ41 (ξ )
(µ21 (ξ ))2
γ1 ( ξ ) → 3
p1 ( x) :=
1 2
⌠ µ22 (η ) := x2 ⋅ p2 ( x) dx ⌡− 1 1 ⌠ µ42 (η ) := x4 ⋅ p2 ( x) dx ⌡− 1 µ42 ( η ) γ2 (η ) := −3 (µ22 (η ))2 1
−3
γ2 (η ) →
−6
p2 ( x) :=
1
⋅ ( exp ( − x ) )
5
if
2
0 if
p1 ( x)
x ≤ 1 x > 1
0.5
p2 ( x) dnorm ( x, 0 , 0.5)
3
2
1
0
1
2
3
x
У к азание . Mathcad не спр а вляе тся с выч и сле ни е м и нте гр а ло в функци й, за да нных р а зным и выр а ж е ни ям и на р а зных пр о м е ж утка х. П о это м у пр и выч и сле ни и м о м е нто в и спо льзуйте сво йство и нте гр а ла по си м м е тр и ч но м у пр о м е ж утку о т ч ётно й функци и . Д ля то го ч то б ы о пр е де ли ть пло тно сть ве р о ятно сте й р а вно м е р но го р а спр е де ле ни я, щёлкни те по кно пке в па не ли , вве ди те в пе р во й стр о ке выр а ж е ни е для функци и , щёлкни те по кно пке и вве ди те усло ви е ; а на ло ги ч но о пр е де ли те во вто р о й стр о ке функци ю на вто р о м пр о м е ж утке .
43
Ли те ратура 1. Т юр и н Ю .Н. Ста ти сти ч е ски й а на ли з да нных на ко м пьюте р е ⁄ Ю .Н. Т юр и н, А .А . М а ка р о в. — М .: ИНФ РА -М , 1998.— 528с. 2. Пли с А .И. MathСad: м а те м а ти ч е ски й пр а кти кум для эко но м и сто в и и нж е не р о в / А .И.Пли с, Н.А .Сли ви на .— М .: Ф и на нсы и ста ти сти ка , 2000.— 656с. 3. Б о р о ви ко в В . STATISTICA: и скусство а на ли за да нных на ко м пьюте р е / В . Б о р о ви ко в. — СП б .: П и те р , 2001.— 656с.
С О ДЕ РЖ А Н И Е 1. Ф ункци и и и нстр ум е нтыМ athCad … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3 2. Случ а йные ве ли ч и ны. Ф ункци и р а спр е де ле ни я… … … … .… … … … … … … … 8 На и б о ле е р а спр о стр а не нные р а спр е де ле ни я ди скр е тных случ а йных ве ли ч и н… … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … … … .… 12 З а да ни е 2.1… … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … .… … … .13 3. Не пр е р ывные случ а йные ве ли ч и ны… … … ..… … ..… … … … … … … … … … … 17 На и б о ле е р а спр о стр а нённые р а спр е де ле ни я не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н… ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .17 З а да ни е 3.2… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … ..… 24 З а да ни е 3.3… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..26 З а да ни е 3.4… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..27 4. К ва нти ли … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… 27 З а да ни е 4.5… .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… 28 5. Ч и сло вые ха р а кте р и сти ки случ а йныхве ли ч и н… … … … … … … … … … … … ..29 З а да ни е 5.6 … … .… … … … … … … … … … … .… … … … … ..… … … … … … ..33 З а да ни е 5.7… … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … ..… … … 37 З а да ни е 5.8… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … .… … … .39
44
Cо ста ви те льНо ви ко ва Не лля М и ха йло вна Ре да кто р Т и хо м и р о ва О. А .