Die Gleichungen der Physik: Meilensteine des Wissens

-DIE GLEICHUNGEN DER PHYSIK Meilensteine des Wissens Sander Bais

Aus dem Englischen ubersetzt von Thomas Hempfling

Birkhauser Verlag Basel· Boston- Berlin

Der Aut or rnochte seinen Kollegen vom In-

Autor

stit ut fur Theoreti sche Physik in Amste rdam

Sander Bais Institu te f or Theoret ical Physics

danken, insbesondere Dr.Leendert Suttorp fur

Universit y of Am st erdam

konstrukti ve Kom me nt are und vo rschlage.

The Neth erland s

Ein Teil des Manuskripts enst and w ahrend

Blbli ografische Info rm at ion Der Deuts chen Bibliot hek Die Deutsc he Bibl loth ek verzeichnet diese Publikat lo n in der Deut schen Nat ionalbibli ografi e; det aill ierte bib liogr afi sche Daten sind im Int ernet uber cht t p .z/ dnb.ddb.deo abrufba r.

eine s Auf ent halts am Santa Fe Inst it ut e, dessen Gastfreundschaft und st im ulierende At rnosphare w ir dankb ar anerkenn en. Der

ISBN 3-7643 -7235-4 Birkhauser Verlag, Basel - Boston - Berlin

Das Wer k lst ur heberrecht lich geschutz t . Die dadurch begrunde te n Rechte , insbesond ere die der Ubersetzung. des Nachdru cks, des Vort rags, der Ent nahme von Abbii dungen und Tabellen, der Funksendun g, der Mi kroverfi lm ung oder der vervielfaltigun g auf anderen Wegen und der Speicherung in Date nverarbei-

Auto r ist auch den Mitarbeit ern des Projekt s bei AUPverpfl ichte t , insbesonde re Vanessa Nij w eide fur ihre Rat schlage, ihr en Enthu siasmus und ihre Geduld.

t ungsanlagen , bleibe n, auch bei nur auszugswe iser Verw ert ung, vo rbehalt en. Eine Verv ielfa lti gung dieses Werkes oder von Teilen di eses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der geset zlichen Bestlm mungen des Urheberrecht sgesetz es in der jeweiis gelt enden Fassung zulassig. Sie ist grund sat zllcn

vergut ungspfl lchttg. Zuw iderha ndlungen unt erli egen den Strafbestim mungen

Die biographi schen Information en st am men aus verschiedenen Quellen, wi e et w a.

des Urheb errecht s.

Concise Dictionary of Scientific Biography,

Co pyri ght © 200 5 Amste rdam Universit y Press

Charles Scribners and Sons, New York, 1981. Copyrig ht f iir di e deutsche Ausgabe © 200 5 Birkhauser Verlag, P.O. Box ' 33,

CHAOlO Basel, Schwe iz und Amst erdam Universit y Press Birkhauser Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media First published In th e Neth erlands by Amste rdam Univ ersity Press, Amste rdam Cover and book desig n Gijs Ma tt hijs Ont w erper s, Amst erdam

The Mac Tutor History of Mathematics Archive: www-g roups.dcs.st -and.ac.uk/ histo ry

ISBN·10, 3-7643 -7235-4

w w w .nobel.org ISBN-B : 978-764 3-7235-4

98 7 6 5 4 3 21

www.b irkhauser.ch

www.sciencew o rld.w o lf ram.com

Inha lt

6

Einfiihrung

11

Der tautologische Werkzeugkasten

18

Aufstieg und Fall Die logist ische Gleichung

22

Mechanik undGravitation New to ns dy nam ische Gleichungen und das unive rselle Gravitationsgesetz

28

Die elektromagnetische Kraft Die Lor entzkraft

32

Ein lokaler Erhaltungssatz Die Kontin uitatsg leichung

34

Elektrodynamik Die Maxwell -Gleich ungen

40

Elektromagnetische Wellen Die Welleng leichungen

42

Solitonen Die Korteweg - De Vries-Gleichung

44

Thermodynamik Die drei Hauptsatze der Thermodynamik

50

Kinetische Theorie Die Boltzmann-Gleichung

54

Hydrodynamik Die Navier- Stokes-Gleichungen

58

Spezielle Relativitatstheorie Re lativistische Kinematik

64

Allgemeine Relatlvitatstheorle Die Einstein-Gleichungen

70

Quantenmechanik Die Schrodinger-Gleichung

76

Das relativistische Elektron Die Dirac-Gleichung

80

Die starkeWechselwirkung Quanten-C hromodynamik

84

Elektro-schwache Wechselwirkung DasGlashow-Weinberg-Sa lam-Modell

88

Stringtheorie Das Auftreten der Superst rings

93

Zuriick in die Zukunft Ein let zt er Ausblick

Mathematik alseineSprache der Natur

6

In diesem Buch geht es um die grundlegenden Gleichungen der Physik, die inspirierenden Ergebnisse unserer Aufgabe, das Universum zu verst ehen. Diese Gleichungen sind komprim ierte Aussagen uber die Funktion swe ise der Natu r, geschrieben in der

Hnfuhrung

Sprache der Mathematik. Daher konnen diese Gleichungen nicht allein mit logisch en Begrundungen abgeleitet werden : sie sind das Ergebnis einer kritischen Auseinandersetzung zwischen der Beobachtung der Natur und der Intuition und Kreativitat einiger groser Denker. Es ist nicht Ziel dieses Buches, Mathematik oder Physik als exakte Wi ssenschaft zu lehren. Die Gleichungen werden so einfach w ie moglich prasentiert, ohne deren emp irische segrundung allzu sehr zu komm entieren - obw ohl un s ihre Existenz

hauptsachltch dur ch die sorgfaltlge und kritische Beobachtung der Natur offenbart wurde. Dieses Buch versucht , die Schon heit der Gleichungen zu zeigen und spannende Foigerungen zu diskutieren. Physiker benutzen Mathematik als eine Sprache der Natur,

Ein modernes Dogma

die regelm afsig erw eit ert w erden mu sst e, wenn neue Ebenen

Ein neuzeit liches Dogm a verbietet es, Glei-

physikali scher Realit at entdeckt wurden . Wahrend Naturwis-

chungen zu benutz en, um w issenschaftliche

senschaftler Mathematik als Sprache nutzen , studieren Mathe-

Erkenntni sse volksnah darzustellen. Manche

matiker sie um ihrer selbst willen.

Leut e hassen Gleichungen, andere lieben sie.

Konkretisierung vonZusammenhangen durch Zuordnung von

zu erlaut ern. aber dabei keine Bilder ansieht.

Ausdriicken

In diesem Buch set zen w ir uns uber dieses

Das ist, w ie wenn man jemanden bit tet, Kunst

Das Wort Gleichung stammt vom lateinischen aequare, abgelei-

Verbot hinw eg und drehen den Sp ie ~ urn :

tet vorn Wort aequu s, das gleich oder eben bedeutet. Manche

den Gleichungen selbst wi rd die Haupt auf-

Gleichungen tun nichts welter. als einer Variable n einen Wert

merksamkeit gew idmet. Und we nn w ir von

zuzuweisen , aber im Aligemeinen beschreiben sie die Beziehun-

Gleichu ngen als Meilensteinen des Wissens

gen und mogllchen Anderungen von Zeit und Ort zwi schen phy-

reden, sollte n w ir sie sicherlich in all ihr er

sikalischen Variablen , die das bet rachtete physikalis che System

Scho nheit zeigen.

7

charakterisieren . Mathematisch werden diese Beziehungen durch relationale Symbole wie das Gleichheitszeichen '~ ', gro~er als ')' und kleiner als 'c' ausgedruckt. Man spricht infolgedessen von Gleichungen oder Ungleichungen, je nach verwendetem relationalem Symbol. Esgibt viele Gleichungen unterschiedlichster Wichtigkeit in der Wissenschaft. Die Grundgleichungen, auf die wir uns konzent rieren wollen , markieren entscheidende Wendepunkte in unserem Verstandni s, Sie sind die Basisknoten in einem komplexen Netzwerk von Ideen, das in einen Raum beobachtbarer Fakten eingebettet ist.

Gesetzund Ordnung Das Uni versum ist auf allen Skalen hoch-

Einfache Gleichungen und komplexeLosungen

gradig geordn et. 1m Gro fsen kiinn en w ir

Zur Untersuchung eine s System s oder einer Struktur verwen-

uns Planet ensystem e vorste llen, die sich

den w ir gew iihnli ch eine Anzahl Variablen wie Position, Beviil-

auf einer Bahn um einen Stern w ie unsere

kerungszahl , Dichte, Temperatur, usw . Dann versuchen wi r,

Sonne bew egen, oder auch Stern enh au-

Beziehung en zwis chen diesen Struktur-Variablen zu finden, die

f en, die Galaxien f ormen , ode r Galaxi en,

resulti erenden Gleichungen kiinnen ziemlich komplizi ert sein.

di e Cluste r oder Superclust er bild en. 1m

Die Variablen sind die Unbekannten, die Dinge, fur die wir die

Klein en kiinn en es At om e sein, Kerne,

Gleichungen losen wollen. Die Natur ist auf allen Skalen hochst

oder die elem ent arste n Baustein e der

organisiert und offenbart Konfigurationen erstaunlicher struk-

Materie wie Quark s, Elektron en oder Pho-

tureller Stabilitat und Verschiedenartigkeit.

tonen . Dazwi schen gibt es eine riesige

Einfache Geset ze konnen

Zahl komplexer St rukt uren kond ensierter

beschreiben. Nicht die Kornplexitat unserer Welt ist erstaun-

Materie, z.B. Flusslgkeiten, Krist alle und

lich, sondern die Einfachkeit der Gleichungen, welche diese

durchau s komplexe Strukturen

Sandhugel, und naturlich di e erst aunli-

komplexltat beschreiben .

chen mol ekular en St rukt uren w ie DNA

Wir haben eine zweifache Aufgabe: zum einen, Gleichungen zu

und Proteine. Uns interessieren so viele

finden, welche die Struktur und das dynamische Verhalten eines

Arten vo n Syst eme n: Bevolk erungsent -

Systems beschreiben ; zum anderen, zu verstehen . welche Prin-

wi cklung , Akt ienmarkte.

Lernprozesse,

zipien die Gleichungen ausdrucken und wie man ihre tosungen

Epidemien oder soga r das Uni ver sum als

findet. Um die Gleichungen zu finden, muss man Wissen uber

Ganzes, um nur einige zu nenn en.

das zu modellierende System sammeln, was vornehmlich Auf-

gabe eines Naturwissenschaftlers ist, aber zum Auffinden der L6sungen ist der Mathematiker ein unentbehrlicher Partner. Die L6sungen beschreiben nicht nur statlonare Objekte wie ein Molekul oder einen Kristall, sondern auch dynamische Prozesse wie die Streuung von Teilchen oder die Zeitentwicklung eines Systems, z.B. das Wetter, die Str6mung eines Flusses,das Wachstumsverhalten konkurrierender Bakterienpopulationen oder die Expansion des Universums. Oft konnen Gleichungen etwas voraussagen: neue L6sungen k6nnen den Weg zu neuen experimentellen Entdeckungen weisen.

Varia bien und Konstanten Neben den Unbekannten (Variablen) enthalten Gleichungen meistens Kontrollparameter. Das sind Konstanten, und wenn man ihre Werte andert, k6nnen sich die Eigenschaften der erhaltenen L6sungen dramatisch verandern . In Abhanglgkelt von der Temperatur als Parameter kann Wasser gefrieren oder verdampfen . Je nach der Starke der Anziehungskraft kann ein Orbit beschrankt oder unbeschrankt sein. Die fundamentalen Gleichungen enthalten gewisse universelle Konstanten ('fundamentale Naturkonstanten'), wie etwa die Newtonsche Gravitationskonstante, welche die Starke der Gravitationskraft bestimmt; die Lichtgeschwindigkeit oder die Plancksche Konstante. Die Werte dieser bedeutensten fundamentalen Konstanten finden sich in der Tabelle auf der vorderen Umschlagklappe. Sie definieren die Skala in unserem Universum. Wenn wir diesel ben Gleichungen nehmen, aber diese Naturkonstanten andern, dann ware auch die Natur stark verandert. Das Universum k6nnte dann durchaus unbewohnbar sein, und wahrscheinlich waren wir nicht hier und in der Lage, das zu diskutieren. 1mMoment gibt es keine Begrundung dafur, warum die Werte so sind, wie sle sind .

8

9

Wie dieses Buch gelesen werden sollte Ich schlage vo r, die einf uhrenden Kapitel durchzuarbeiten, in denen einige ents cheidende mathematische Konzept e mit den zugehorigen Sy m bolen eher salapp eingefUhrt w erden . Insbesondere lernt man dabei einiges Vokabular , das in den spat eren Kapit eln oft gebr aucht wird, und das man hier und da wieder

Die Vogelperspektive

nachschl agen rnochte .

Dieses Buch besteht aus einer Art Landschaft

Die Kapitel sind nicht nummeriert, um anzud eut en, dass man

mi t den Gleichungen als Bergen. Einige der

das Such nicht von vorne nach hinten dur charbeiten mu ss.

Berge sind rnuhsam zu best eigen, aber wenn

Es ist eher eine Art Galerie , in der man von einem Raum zum

man einmal oben ist, ist die Aussicht grogart ig.

nachsten flan iert.

Wir machen es uns einfach. Wir fli egen uber

Augerdem kennen sich die Gleichungen. Sie umarmen sich,

die Landschaft und blicken auf die hochst en

gehen Hand in Hand oder haben verborgene oder offensicht -

Gipfe l, ohne uns darum zu kumrn ern, w ie

liche Meinungsverschiedenheiten. Manchmal we rden zw ei in

schw ierig es sein mag, von einem zum ande-

einen Kampf verw ickelt, und eine dritte ent steht darau s. Oft

ren zu wa ndern . Wir sehen die engen Passe,

gibt es w iderspruchliche Sit uat io nen, die in der Foige durch die

eisigen Glets cher, Spalt en und Steilwand e

EinfUhrun g neuer umfassender Konzept e auf gelost w erden

nicht. Wir lassen 99% der Muh e weg, um,

mu ssen - die Krise als Kreativit at sschub, Die Gleichungen schrei-

so we it w ie nur mogll ch, 1% der Inspirati on

ben eine kurze Geschichte von Paradigmenwech seln, eine kurze

zu geniefsen (um Einstei ns Max ime uber die

Geschichte der physikalischen Gedankenwelt.

Wissenschaft zu um schreiben). Wir betr eten die fe lsigen Pf ade nicht ; w ir bet rachte n sie als Net zw erk dunner Faden, das uber die Landschaft gespannt ist. Die Wahl der Vogelperspekt ive lasst uns nicht alles vollstandig verste hen. Furviele wi rd das der erste Ausfl ug in ein un bekannt es Land sein . Scho ne Dicht kunst in einer fr emd en Sprache. Das macht nicht s, wen n man m it viet mehr zuruckkehrt, als mit dem, was man am Anfan g w usste. Aus diesem Grund f olgt vor dem Einschiffe n eine lnhal t subersicht .

10

IdealesGasgesetz (N. k) Thermodynamik Hydrodynamik

Kinetische Theorie

Inhaltsiibersich t

Boltzmann -Gleichun g

In der ln halt suberskht haben w ir einige der of f ensichtlicheren Beziehungen zw ischen den Themen angedeutet. Die pfe ile deuten me istens die Chrono logie der Ent deckung

MechanikNewton-Gleichun gen (GN )

an. Wir werden in der Mi tte st art en und

Elektrodynamik M axwell -Gleichung en (e)

zuerst nach oben zur makroskopischen Welt wa ndern, wo das M at erial aus sehr

1

vielen At ome n besteht. Danach beweg en w ir uns abwa rts . vo rbei an Re lativitat und

Quantentheorie

Spezielle

Schrbdinger-Gleichung (h)

Relativitatstheorie (e)

Quanten-Str anden, Am Ende kbnnte n w ir uns vorst ellen, dass ail e Pfeile nach oben zeigen, denn das

Dirac-Gleichun g

w urde die st rukturelle Hierarch ie un serer

1

Welt wieders piegel n. und daru ber hinaus hat sich die Nat ur w ahre nd ihrer 13.7 Mi l-

Standard-Modell

Allgemeine

liarden Jahre Evolut ion seit dem Urknall so

Quante n-Chromod y nam ik (mp)

Relativitatstheorie

entfaltet. Diese groge Evolution , die Dar-

Elekt ro-schwac he Theorie (mw)

Einste in-Gleichunge n

wins erdgebunde ne Visio n vbllig umfasst. zeig t den unw iderlegbar en Erf olg des

1 Stringtheorie

Reduk t ion ismus in der Wi ssenschaft. Dass die Natur selbst in der Lage ist , den eigenen Ursprun g zu verste hen, mag bedeuten, dass w ir in unserem Zeita lter eine wichtige Schw elle der Evolution uberschrelt en.

11

Eine mathematische Hierarchie Esgibt eine gew isse Hierarchie in der Struktur von Gleichungen . Ihr Grad mathematischer Kornpl exitat hangt von der Art der Objekte ab, die man beschreiben will. In der Schule wurden die meisten von uns mit Gleichungen konfrontiert.

Der tautologische Werkzeugkasten

Die einfachsten Gleichungen sind algebraische Gleichungen, in denen nur algebraische Rechenop erationen w ie Addition, Multiplikation usw. vorkommen. Eine einfache algebraische Gleichung. die in der Physik eine wi chtig e Rolle spielt, ist die Zustandsgleichung eines idealen Gases. Man schreibt sie meisten s PV=RT und druckt damit den phanornenologischen Zusammenhang zwi schen dem Druck P, dem Volumen II; we lches das Gas einnim mt, seiner Temperat ur Tund der funda-

!

mentalen Gaskonst ante n R (einer bekannten Zahl) aus.

P

Eine solche Gleichung kann verschiedenart ig benutzt w erden. Sie sagt aus, dass die drei Variabl en P, V und T nicht unabhan gi g sind, denn sie rnussen die genannte Relation erfullen . Eine of fe nsicht liche Anwendung der Gleichung ist, dass man aus den bekannten Werten von zwe i der drei Variablen den Wert

V-

der dritten berechnen kann. Aber die Gleichung enthalt viel mehr als nur qualitative information . Zum Beispiel folgt daraus, dass die Temperatur stelgt, wenn man den Druck P bei konstantem

PV=RT

Volumen erhoht. Die meisten Leser werd en wi ssen, wi e man eine Gleichung w ie diese in verschiedenen, aber aquivalenten Form en schreiben

Die Gaskonsta nte R ist defi niert dur ch

kann, indem man das Rezept 'Was Du auf der Iinken Seite machst,

R=Nk, wobe i N die AvogadroKo nsta nte

musst Du auch auf der rechten Seite rnachen' benutzt. Subtrahiert

tst, die mit der Anzahl der in der betr ach-

man RTvon beiden Seiten. erhalt man PV-RT=O. Oder: dividiert

t et en Sto ffmenge entha lt enen M olekule

man beide Seiten durch T, so folgt PV/T=R. Je nach der Frage,

korrespond iert. Die Bott zrnann-Konsta nt e

die man beantworten will . wird die eine oder die andere Form

ki st eine fun dam ent ale Kon st ant e, we lche

besser geeignet sein. Auch w enn die Gleichung anders aussieht,

Tem perat ur und Energie verknupft.

bleibt ihr e Botschaft immer glei ch.

Die meisten Gleichungen, die wir st udieren, sind nicht von diesem

12

einfachen algebraischen Typ, sondern benutz en fo rt geschrittenere Begr iffe w ie Ableitungen. Bevor wir uns also an Bord begeben, rnussen wir einige der am haufigsten vorkommenden mathemati schen Symbole einf uhren und ihr e Bedeutun g erklaren,

Die quantitative Sprache: Variablen, Funktionen und Felder

Inversionen

W ir schauen uns eini ge mathem at ische Gewo hnheite n und

Wenn wi r eine m ath em ati sche Operatio n

Symbole an. Es ist ublich, GraBen mit Buchstaben zu bezeich-

defi niert haben, zahlt es sich imm er aus,

nen - Temperatur T, Zeit t, Ort r, usw. -, die verschiedene Werte

nach der inversen Operati on zu fr agen.

annehm en konnen und daher Variablen genannt werden . In den

Me ist tret en Ope rat ionen als Paar auf, das

Gleichun gen kommen auch viele Konst anten vor: einerseits uni-

sich gegenseit ig neutrali siert. W icht ige

verselle Konstanten wie die Lichtgeschw indigkeit co der die Ladung

math emati sche

des Elekt rons e, andererseits Parameter, die in einer gegebenen

gernacht , ind em geeignete Inversionen

Situation feste numeri sche Werte annehmen, wie zum Beispiel die

defin iert w urden.

Viskosita t t'J , die naturlich von der Art des Mediums abhangt, das

Beim Spielen mit Murmeln lernt man das

Entdec kungen

w urden

man bet rachtet: Sirup ist viskoser als Wasser. Ansta t t die nume -

Zahlen, also positive ga nze Zahlen zu

rischen Werte der Parameter in den Gleichungen zu verwe nden,

add ieren. Verl iert ma n genugen d viele in

kurzen w ir sie auch durch Buchst aben aboWir unterscheiden also

einem Spiel, m acht ma n die schme rzhafte

verschiedene Typ en von Buchst aben in unseren Gleichun gen :

Erfa hrung einer Subtrakt io n und ent deckt

Variabien, universelle Kon st anten und Syst emparamete r.

vielleicht die besonders w icht ige Zahl Null.

Gehen wi r bei den Variabien einen Schrit t wei t er: Variablen

Hat man nicht s me hr ubrlg , versucht man

konnen vonein ander abhangen, dann nennt man sie Funktio-

vie lleicht, noch g raBere Zahlen zu subt ra-

nen oder Felder. Die Raumt emperatur etwa mag von der Posi-

hier en und erfi ndet die negati ven Zahlen.

ti on im Raum und von der Zeit abhangen, Wir schreiben hierfDr

Ahn lich f uhrt Multiplikat ion zur Division

T(r,t), w obei die Notation im pliziert, dass w ir die Temperat ur T

und zur Entde ckung rati onaler Zahlen. Das

als Funktion von Raum und Zeit auffasse n. Eine Funkti on w ie

Bilden der Wurzeln positlve r Zahlen f uhr t

T ent halt sehr vie l Information, denn man kennt sie nur dann

zur kont inuierl ichen Menge de r reell en

voll standig . we nn man ihre Werte f ur j eden Punkt im Raum und

Zahlen, wa hrend W urzeln negat iver Zahlen

f ur aile Zeitpunkte we iB.

die Definiti on kom plexer Zahlen nahelegt.

Das Lebenkann noch kompliziertersein: Variablen und Funktionen

Ma nchmal gibt es bedeutende Antwo rte n

sind oft eine Art Ansam mlung von Objekten ; sie konnen verschie-

auf einfa che Fragen.

13

dene Komponenten besitzen . Die Komponenten kennzeichnet man durch einen Index (meistens tief- oder hochgestellt). der das jeweilige Objekt markiert. Zum Beispiel besitzt der Ort r in drei Dimensionen drei Komponenten , indiziert als

r,

=

x, r, = y

and r j = z. r als Kollektion der drei Komponenten heilSt Vektor. Es ist ublich, Variablen oder Funktionen mit Komponenten fett zu drucken. Der fett gedruckte Buchstabe ist wie der Familienname , wahrend die indizierten Komponenten den durch ihre Initialen

z

gekennzeichneten Familienmitgliedern entsprechen. Das Wort Komponente bezieht sich auf ein Referenzkonstrukt, das in den meisten Fallen ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem sein wird. Anschaulich heifst das etwa, wenn wir

y

beschreiben wollen, wo wir sind, z.B. in einem Buro in Manhattan , dann rnussen wir drei spezielle Zahlen angeben : eine fur die Nummer der Avenue (x), eine fur die Nummer der Street (y) und eine fur das Stockwerk (z). Vektoren k6nnen in jeder Dimension definiert werden, im AlIgemeinen haben sie eine Lange und eine Richtung. Zum Beispiel kann r als ein Pfeil dargestellt werden, der von einem gewahlten Referenzpunkt (Ursprung) mit Koordinaten (0,0,0) zum Punkt mit den Koordinaten (x,y,z) zeigt. Diese Notation spiegelt den Gebrauch von Vektoren wieder. Wenn wir einen Vektor drehen, andert sich seine Richtung, aber nicht seine Lange. Ansammlungen von Variablen tragen originelle Namen wie Vektoren , Tensoren, Multiplets, Spinoren usw., die mit ihren jeweiligen Eigenschaften zu tun haben, etwa dem Verhalten bei einer Drehung. Zum Schlussmachen wires noch komplexer und kombinieren die genannten Begriffe. Beispielsweise konnen wir eine Funktion mit Komponenten betrachten, wie etwa das 'Geschwindigkeitsfeld ' von Wasser in einem Fluss, v(x,y,z,t) : dies ist ein Feldvon Vektoren, in dem die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v= (v"v"vj ) Funktionen von Raum und Zeit sind, d.h. v, = v, (x,y,z,t) , usw. Man

kann sichsoein Vektorfeld auch alseineAbbildung vorstellen, die jedem Raum-Zeit-Punkt (xJ!,z,t) einen Vektor v zuordnet. Es ist nOtzlich, sichbeieinemVektorfelddie Strornung von Wasser vorzustellen : DieWasserteilchen bewegen sich entlangvon Stromlinien,die sichnicht kreuzen konnen. Um dasVektorfeld in einem Punkt zu veranschaulichen, zeichnet man einen Pfeil tangential zu der Stromliniedurch diesenPunkt,dessen Lange proportional zur Dichte der Stromlinien in der Nahe dieses Punkts ist. Man stellt sich also ein Vektorfeld zu einem gewissen Zeitpunkt als eine Momentaufnahme von Stromlinien vor (siehe Bild).

Die Sprache fur die Veranderung: Ableitungen Funktionen oder Felderbeschreiben zu jedem festen Zeitpunkt eine Situation (d.h. einen Zustand des Systems) in diesem Zeitpunkt. Allerdingssind die meisten Dingeorts- und zettabhanglg. Gleichungen bestimmenoft, wie Grolsen sichauseinemAnfangszustand herausentwickeln. Sieerklaren auch,wie die Orts- und Zeitanderungen physikalischer Varia bienvoneinander abhangen. NewtonsGesetze beschreiben etwa, wie sich bei Einwirkung einer aufseren Kraft der art und die Geschwindigkeit einesTeilchens andern. Daher nennt man diese dynamischen Gleichungen oft 'Bewegungsgleichungen'. Die Gesetze der Hydrodynamik z.B. beschreiben die Orts- und Zeitanderungvon Dichte,Geschwindigkeit und Temperatureiner Flussigkeit in Abhangigkeit derauf die FIOssigkeit wirkenden Krafte und von gewissenfur die FIOssigkeit typischen Konstanten wie vtskosltat und thermische teitfahigkeit. Wir brauchen also eine

Sprache fur die veranderung. Siegehort zu einem bestimmten Zweig der Mathematik, der Differentialrechnung genannt wird . Dieses KalkOI wurde unabhanglgvoneinandervon Isaac Newton und Gottfried Wilhelm von Leibniz am Ende des '7. Jahrhunderts entwickelt. Damit wurde esrnoglich, dynamische Systeme mittels

14

15

prazlser mathematischer Ausdrucke zu beschreiben; dies war der Anfang des quantitativen Verstandnisses und der Vorhersage von Naturphanornenen. Wie man dem Wort entnimmt, sind Differentiale nichts weiter als infinitesimal kleine Anderungen . Die in

Differentialgleichungen

benutzten Symbole sind ziemlich naheliegend. Der Ortsvektor r eines bewegten Teilchens wird zeitabhangig sein, also r =

r(t) ; die infinitesimale zeitabhangige Anderung des arts heiBt Zeitableitung und wird als drldt notiert. Die Zeitableitung ist die infinitesimale Anderung des arts r (mit dr abgekurzt) pro infinitesimaler Anderung der Zeit

dt. Sie gibt an, wie sich die

Position des Punkts tendenziell andern wird - eine Art 'Trend' fur die Position. Daher ist der 'Differentialquotient' drldt nichts weiter als die Geschwindigkeit v des Teilchensin einem gewissen

t-

Moment, gemessen in Metern pro Sekunde, wie es die Notation auch nahelegt. Wir bemerken, dass die Beschleunigung a eines Objekts die Zeitableitung seiner Geschwindigkeit v ist, in Zeichen a = dvldt. Beachte, dass sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung Vektoren sind (sie haben eine Richtung und eine Lange) und dass beide im Aligemeinen zeitabhangig sind. Die Verallgemeinerung zu hoheren Ableitungen liegt auf der Hand: so ist etwa eine zweite Ableitung nichts anderes als die Ableitung einer Ableitung. 1m obigen Beispiel ist die Beschleunigung die zweite Ableitung des arts nach der Zeit, und man schreibt einfach a = d

2rldt',

was ausdruckt, dass man die Zeitableitung zweimal anwendet. Wah rend die Ableitung uns zu einem Zeitpunkt

t etwas uber

den Trend der Funktion in der Nahe des Punkts sagt , gibt die zweite Ableitung Auskunft uber den 'Trend der Trends' in der Nahe dieses Punkts. Kann man diese Anderungen auf einfache Art veranschaulichen? Ja, wenn man graphi sch daruber nachdenkt: beispielsweise kann

man die Bew egung eines Teilchens als Kurve zeichnen, we lche

16

die Punkt e ent halt , du rch die es sich bew egt. ind em man die Zeit ho rizont al und den Abstand vertikal auft ragt (siehe Bild Seit e 15).

to, d.h. die to' ist gerade die Steigung der Kurve zur

Die Zeit ableitu ng des Orts zu einer best immten Zeit Geschw indigkeit zur Zeit Zeit

to (siehe Bild Seit e 15). Die Ableitung einer Funkt ion

ist die

'St eilheit' oder 'St eigung' der Kurve, die positiv oder negativ sein kann . verlauft die Kurve ho rizonta l, 50 sind w ir in einem lokalen Maximum oder Minimum, dort ist die Geschwindigkeit (folglich die Ableitun g der Funkti on) Null. Die zwei te Ableit ung solit e man sich als die KrOm m ung der Kurve vostellen. Negat ive Beschleunigung korrespondiert z.B. zu einer sich abwa rts krOmmenden Kurve. Diese symbolische Denkw eise fu r solche Anderungen ist einfa ch, logisch, elegant , und, wa s vielleicht am Wichtigsten ist, aufserst nOtzlich. Wi e zuvor bem erkt , w erden di e m eist en diskut ierte n Gleichungen Dif fe rent ialgleichungen sein, also Gleichungen, in denen Ableitungen vorkom me n. Sie sind verschieden von den 50 genannte n algebraischen Gleichungen, mit denen die meist en von uns vert raut sind (wie et w a die quadrat ische Gleichung ax' +bx+c = 0, bei der m an x bei gegebe nen a, b, and c best imm en w ill).

Hande l mit Ableitungen

Different ialgleichunge n sind anders. Ein einfaches Beispiel ist

Der englischeBegriff fur Ableitu ng, derivative,

die ber Ohmte Fo rme l von Newton, F =m a, die man auch in der

kom mt als Derivat auch in der Finanzwelt

For m a= F/ m schreiben kann . Wegen a = dv/dt folg t dv/ dt =

vor. Es bezeichnet Prod ukt e wie Optionen,

F/ m. Dies ist eine Diffe rentia lgl eichung fOr die Geschw indigkeit

die ihre Sicherheit von den zugrund e Iiegen-

v = v (t) als Funkt io n von F/ m, die gr undsatz llch sowo hl von x als

den Akt ien oder Devisenkursen ableite n. Sie

auch von t abhangen kann.

sind eine Art Sicherheit gegenOber unvor-

Funk tio nen k6nnen von mehr als einer Variabien abnangen, und

hersehbar grotsen Flukt uati onen, die den

sie konnen sich in Ab hangi gkelt der Variablen andern. Das Bild

Besit zer bedrohen, aber natOrlich benutzt

zeigt eine Funktl onj zw eier Variabler x

undy. Es ist

klar, dass in

man sie auch zur Spekulati on. Diese Derivat e

einem beliebigen Punkt P der Oberflac he die Ste igung in Rich-

unt erscheiden sich von den Ableit ungen, die

tun g x sich vo n der St eigu ng in Richtun g y unte rscheiden kann.

wi r hier diskut ieren, aber beide handeln von

Ein Beispiel einer so lchen Funkti on ist die Tem perat ur, die sich

'Trends'.

17

in Abhangigkeit von Ort und Zeit sanft andert, Diese Tatsache moti viert, nicht nur Zeitableitungen, sondern auch Ortsableitun gen d/dx, d/dy und d/dz einzufuhren - und fall s es w eit ere rnogliche Abhanglgk eiten gibt, benutz en wir parti elle Ableit ungen

a/ax, %y, a/oz. Man

kann dann diese drei

Ort sableitungen (wel che die Steigung en einer Funktion in drei verschiedenen Richtungen angeben) als Vekt or zusammenfassen und durch ein einziges Sy mbol \J abkurzen, den Nabla-Operator

f

oder Gradient. Der Nabla-Operator enth alt die Steigungen in den verschiedenen Richtung en. Genauer gesagt: er bildet eine

!(x,y,z) in ein Vekto rfe ld g(x,y,z) mit Komponenten g,= of/ax, g,= of/oy, g,= of/oz abo

Funkt ion

Differenzen aufsummieren: Integration

Um eine Differenti algleichung zu losen, rnussen w ir wi ssen, wie man das Bilden der Ableitung umkehrt. Wenn wir zuerst die Ableitung einer Funkt ion bestimm en und dann diese Operation anwenden , sollte die Ausgangsfunktion w ieder heraus komm en. Wenn wir den Wert einer Funktion g zu einem Anfangszeitpunkt

to und auch die Werte

ihrer Ableit ungen zu allen Zeite n t kennen,

lasst sich die Funktion dur ch Sum mat io n alter Zunahmen - den Differenzen dg - rekonstruieren .ln der Sprache st et iger Differen zen haben Mathematiker eine prazise Definition dieses Begriffs eingefuhrt und den Vorgang Integration genannt. Diese sehr heuri sti sche Beschreibung des Konzepts der Integration genugt fur dieses Buch, denn wir w erden die Gleichungen nie explizit Das Nabla-Sym bol - ein umgekehrtes Delta

integrieren.

- hat seinen Urspru ng in einer alt ertu mlichen dreieckigen assyrischen Harfe. Tart gab

Damit ended unser auf hellender Ausflug in einiges an Vokabular

ih r den Namen 'nabla' und geriet darauf in

und Symbol en, das in den Gleichun gen vorkommen wird . Eine

einen f rohlichen Streit mit Maxw ell, der den

Zusammenfa ssung findet sich in einer Tabelle am Ende des

Namen 'Ste igung' bevorzugte.

Buchs.

Das Wachstum vonLilien in einemTeich ; die Zunahme einerPo-

18

pulationvonBakterien,Ratten oderMenschen ; dieVerbreitung eineransteckenden Krankheit odereines idealen Kettenbriefs: all das sind Beispiele exponentiellen Wachstums. Es istfast be-

angstlgend an diesem Wach stum, dass die Zahlen sehr schnell enorm groB werden. Exponentielle Wachstumsprozesse enden

Aufst ieg und Fa ll

meistaufgrund von Resourcenmangel, etwa Mangel an Raum,

Die logisti sche Gleichung

NahrungoderGeld.

dn dt =rn

Das Gegenteil vonWachstum ist- mathematisch gesehen - sehr

ahnllch zumWachstum : dazu brauchtesnurdenWechsel eines

n(t) =noe Tt

Vorzeichens in der Gleichung. Dadie GroBe der Population nur vonderZeit abhangt, werden diese Prozesse durch sogenannte

gewohnliche Differentialgleichungen beschrieben, die nureine

Historische Bemerkung

Ableitungnach einerVariablen enthalten - in diesem Fall der

Inspiriert durch die Arbeite n von M althu s

Zeitvariablen. Wir beginnen mit der einfachen Gleichung fur

schlug der belgische Mathematiker Pierre

unbe schranktes Wachstum undbetrachten dann die logistische Gleichung, in der dasWachstum in einem bestimmten Gleich-

Verhulst 1838 die logist ische Gleichun g fu r

gewichtspunkt gesattlgt ist.

schen Revolutio n 1830 und der niederlandi-

begrenzt es Wachst um vor. Nach der belgi-

schen Invasion in seinem Land 1831 engagierte Das einfa chste Beispiel eine r Wachstumsgleichung besagt, dass

er sich polit isch. Da dieses polit ische Engage-

die zeit liche veranderung einer Grosse n(t) proportional zu ihrem

ment keine FrOcht e t rug. verlagerte er seine

Betrag zu dieser Zeit ist. n(t) bezeichne et wa die Anzahl der M ause

Int eressen zu sozialenFragen, durch Tat igkeit

in einer kaset abrik zur Zeit t. Diese M ause haben ausreichend

als Ma the matiker und Lehrer.

Futter und werden beginnen. sich w ie verrikkt zu vermehren . Das

Das Interesse Verhulsts an Wahrsche inli ch-

bedeutet, dass die gesamte Reprodu kt ion zu einer best immten

keit stheo rie w urde du rch eine neue Lot t erie

Zeit proportiona l zur Anzahl M ause in d iesem M oment ist. Mi t

get rieben. aber unte r dem Einfl uss von M al-

n pro Zeit ein heit -

d.h. die

thu s' Theorie des Bevolkerungswac hst ums

Zeit ableitu ng dn/dt - w ird prop ortional zu n sein. Oberset zt in

wa ndte er diese Theor ie bald auf polit ische

die Mathemati k erhalt man die nebenstehende Differential -

Okonorn ie und spat er auf dem ogr aph ische

and eren Worten. die veranderu ng in

gle ichung. wobei r der Reproduktionsgrad oder (Malthusscher)

Studien an. Sein labiler Gesundheit szust and

Wachstum sgrad ist (r ist gr osser als Nul l).

fOhrte 1849 im Alte r von 45Jahren zu seinem

In der tosung n(t) dieser Differentialgleichung wacnst die Anzahl

Tod.

dn n - =rn(l- -) dt k

exponentie ll mit der Zeit, wie die Grafik auf Seite 21 zeigt , bei der

20

no die Zahl der Mause zur Zeit Null bezeichnet. Zusammen mit der positiven Konstante n r bedingt die Tat sache, dass die Zeit im Exponenten steht, ein sehr schnelles Wachstum. Dies w ird durch die gestrichelt eingezeichnete, steil ansteigende Kurve in der Grafik veranschaulich t. Wahlen w ir eine negat ive Zahl fu r r, erhalten w ir eine Gleichung fur exponentielles Abklingen. Sie kann zum Beispiel benut zt we rden, um den radioakt iven Zerfall einer Anzahl Ato mkerne in einer Menge radioakt iven Materials zu beschreiben.

Das beschriebene Mo dell f ur die Ent w icklung der Ma usepopu lat ion ist nur teil w eise brauchbar: Die t osung dieser Gleichung legt ein ziem lich unreali stisches unbeschrankt es Wachstum nahe. Nach einer gew issen Zeit w ird die M ausepopul ati on so stark angewac hsen sein, dass es aufgru nd der beschrankt en zur verfugung st ehenden kasemenge zu einer Futterkna pp-

Der 5turz eines Imperiums

heit komm t, die das Wachstum w irksam reduzieren w ird. Das

Dies ist die Geschicht e eines chinesischen

Wachstum wird zum Stillstand kommen, wenn n einen gewissen

Bettlers, der den Kaiser darum bat, dass

krit ischen Wert erreicht, den w ir mit k abkurzen. Wi ll man diesen

ihm et was Re is gegeben werde, und zw ar

Effekt berucksicht igen, muss man die Gleichung andern . und

nach der 'Schachbrett- Regel'. Am ersten Tag

man erhalt die so genannte logistischeGleichunq, die von Pierre

sollte der Kaiser zwei Reiskorner auf das erste

Verhulst 1838 vorgeschlagen wurde .

Quadrat legen. am zweiten Tag vier Reiskor-

Das Bild zeigt den Mausebe stand n als Funktion von t fur ver-

ner auf das zw eit e Quadrat . am dritten Tag

schiedeneAnfangswe rte no. Nach einer Weile ( ~fU r grosseWerte

acht Korner auf das dritte Quadrat , uSW.

t) erreicht der Bestand den Grenzwert k. Dies geschieht , da der

Der bedauernswert e Kaiser bemerkt e nicht ,

Ausdruck auf der rechten Seit e der Gleichung fu r n nahe bei k

dass er dabei war. sein Reich zu rui nieren,

abnimmt , und folglich nim mt auch dn/ dt abo

und st immte ZU. Die Zahl der Reiskorner

Wenn w ir mit einem Anfa ngswert no groBer als k beglnnen, w ird

verdoppelt sich t agl ich. so dass er nach 64

das Vorzeichen auf der rechten Seite negativ, also hat auch die

Tagen 2 ~ 18,446,744 .073,709.551,616 Reis-

Ableit ung negatives Vorzelchen, was negat ives Wachstum

korner abgeben mu fste, also et wa 100 0 Mi l-

bedeut et , bis der Gleichgew icht spunkt n~k erreicht ist.

liarden Tonnen Re is!

64

21

Die exakte Form el fur die tosung ist uber dem Bild zu finden. Kom pliziertere Faile der Populationsdynamik, etwa in der Okologle, w o

p beispielswei se verschiedene kon kurrierende Arten

beschreibt,

konnen dur ch ein Syst em von p gekoppelten Gleichungen der

n(t)- _ _k_ _ l+(k/n o -l)e

-rt

eben diskutierten Form beschri eben w erden. Die logisti sche Gleichun g beruck sichti gt ein ige Darwins che Eigenschaften : sie gest attet es, verschiedene Aspekte des Prinzips der natiirlichen

Selekti on zu modellieren .

n(t) Thoma s Robert Malthus (1766-1834) erkannte zuerst die magIiche Gefahr eines unb eschrankten Bevolkerungs wa chstum s: er w urde w egen seiner pessimistischen Vorhersagen uber die Zukunft der M enschh eit beruhrnt. Sein wichtigster Beitrag zur

t--

Okonorni e ist das Essay Das Prinzipder Population. Ursprunglkh schrieb es Malthus als Antwort auf schw arrnerische Utilitaristen , die der M einung w aren, dass Bevolkerungswach sturn ein w ahrer Segen sei. M althus sagt e im Wesentlichen voraus, dass der Bedarf an Nahrun g zw angslaufi g gro fserw ird als die Versorgung mit Nahrung. Diese Progn ose basierte darauf, dassein exp onentiell es Bevolkerung swach stum einer nur bis zu einer gewi ssen Grenze w achsenden Nahrun gsmittelprodukti on gegenuberste ht . Es uberr ascht nicht, dass die Ideen von Malthus einen beachtlich en Einfluss auf Darwin und seine Theorie der natUrlichen Selektion hatten. Die Voraussagen wu rden allerdings durch verbessert e Produktionsund Befru chtungstechniken uberholt: trotzd em ist das Problem des glob alen Bevolkerung swachsturn s noch nicht gelost und hat die vo n Malthus vorau sgesagte Dringli chkeit zuruck erlangt.

Newtons drei dynamische Gleichungen besch reiben die Be-

22

wegung eines Korpers der Masse m unt er dem Einfluss einer Kraft F. Sie bilden den Kern von Newtons Hauptwerk, den Principia Mathematica, in dem ers tmals Bewegung mit prazi-

Mec hanik un d Grav it ation

se n mathematischen Ausdr iicken und unter Verwendung von Ableitungen definiert und beschrieben wird. Diese Gleichun gen stehen am Anfang des mathematischen Modellierens dy-

Newtons dynamische Gleich ungen

namischer Systeme im allgemeinsten Sinn, sie sind die Wiege

und das universelle Gravi tationsgesetz

der quantitativen Wissenschaft. Die vierte Gleichung enthalt den exp liziten Ausdruck fiir die Gravitationskraft . Zusammen erklarten die Gleichungen das Gravitations-Phanomen - auBerhalb und auf der Erde - so we it es zu Newtons Zeit bekannt war. Die Gesetze bildeten die theoretische Grundlage fUr die Resultate von Kopernikus , Brahe, Kepler und Galileo iiber die elliptische Orbitalbewegung der Planeten um die Sonne, aber sie waren auch dafiir verantwortlich, dass ein Apfel vorn Baum fallt . Sie erklaren,

Isaac Newton

wie sich ein Gleichgewicht aus verschiedenen Kraften ein-

Isaac Newton w urde am Weihnachtstag 1642

stellt, das die Stabilitat von Briicken und Gebauden garan-

in einem kleinen Herrenhaus in Wooisthorpe,

tie rt , und andererseits, warum Konstruktionen manchmal

England geboren. M it zw61fJahren w urde er

einstiirzen.

auf die King's School in Grantham geschickt , wo er sich nicht gerade als Genie prasen-

Diese Gleichung en ent halte n Zeit ableitu ngen, denn die Ge-

t ierte. Er verlieB sein Elternh aus 1660 , um

schwindigkeit v = dr/dt ist die zeitl iche And erung des arts

sich auf Cambri dge vorzubereiten und gin g

und die Beschleun igung a= dv/dt die zeit liche Anderung der

ein Jahr sparer auf das Trinity Coll ege. Nach

Geschwin digkeit. art, Geschwin digkeit und Beschleunigung

acht Jahren akzept iert e er den tuc as-Lehr-

sind Vekt oren: sie besit zen eine Lange und zeigen in eine be-

stuh l fu r M ath ematik . Es dauer t e weite re

st immte Richt ung .

f unfzehn Jahre, bis er sein Hauptwerk, Prin -

Die erste Gleichung definiert den Impuls p; manchmal nennt

cipia Mathematica, zu schreiben begann, das

man ihn 'den Grad der Bew egun g'.

Werk eines wah ren Genie s, das f ur immer

Die zwei te , bekannt este Gleichung bestimmt die Bewegu ng in

das Gesicht der Wissenschaft verandert e,

Abhan gigkelt der auf den K6rper ausgeubte n Kraft. Wenn w ir

Obw ohl es ent husiast isch aufgenommen

p=mv F =ma

eine Kraft F anw enden , bewirkt dies eine Beschleunigung a in

24

Richtung der Kraft. Die Gleichung besagt insbesondere, dass sich die Geschwindigkeit nicht andert, solange keine Kraft ausgeubt wird , und dass der 1m pui s kon st ant bleibt. In den Anf angst agen der Mech anik galt es als eine revolutlonare Idee,dass Sewegung ohne die Anw esenheit einer Kraft andauern wurde - ein ziem -

w urde, f and New t on s Wer k keine volle

lich verwirrender Gedanke jen seit s der Intuition. Wenn viele

Akzepta nz und w urde erst nach seinem

krafte auf ein Teilchen einwirken - beispielsweise Reibung,

Tod in Unlversita te n gelehrt. 1699 w urde er

Luftwiderst and und ein elektrisches Feld - dann ist Fdie Netto-

zum Maste r of t he Min t in Lond on ernan nt.

Kraft, die auf das Teilchen wirkt.

Newton, der Wissenschaftler,Verwalter, Eso-

Die dritte Gleichun g besagt, dass, w enn wir eine Kraft auf einen

t eriker und Theologe - er schrieb t ausende

K6rper ausuben, dieser K6rper eine gleich grolk aber entge-

Seite n uber Theologie - sta rb 1727 in seinem

geng esetzt gerichtete Kraft auf uns ausuben wi rd; kurz, 'act io

Haus in Kensington. Er wu rde in der West -

gegenglei ch reacti o'. Die Sonne ubt eine Kraf t auf die Erde aus

min st er Abbey beigesetz t.

und die Erde ubt die gleiche Kraft, aber in umgek ehrter Richtung, auf die Sonne aus. Ein Buch ubt eine Kraft auf den Tisch aus, aber der Tisch ubt die gleiche Kraft auf das Buch aus, anderenfalls w urde das Buch geradew egs hindurchfallen. Die let zte Gleichung enthalt die Formel f ur die Gravitation skraft. Dieses Geset z ist erst aunli ch einfa ch: j e zw ei K6rp er der Massen m, und m2 ziehen sich gegenseitig mit einer Kraft FG an, die prop orti onal zum Produkt der Ma ssen und indirekt propor ti onal zum Quadrat des Abst ands der K6rper ist. Tat sachli ch ist die Sta rke der Anziehung im doppelt en Absta nd noch ein Vierte l (siehe Sild). Die Proportion alitatskon stante GN, die man w enig uberraschend Newtons Konst ante nennt, ist uni versell in dem Sinn, dass sie fur aile K6rp er gilt, unabh angig davon, aus w elchem Material diese best ehen. Zusamm en mit den Bewegungsgleichungen liefert die Gravitationsgleichung eine quantitati ve Erklarung fur die Planetenbew egung um die Sonne, aber sie beschreibt auch Gravitation seffekte auf der Erde korrekt, insbesondere Galileos Beobachtung, dass die

25

Beschleunigung 9 fr ei f allender Objekte auf der Erde nichtvon deren Masse abhangt. Dieses Gesetz erhalt man aus Newtons Gleichungen, wenn man

m, durch die Ma sse der Erde M und r

durch den Erdradius R ersetzt. Wenn wir dann das Ergebnis mit Galil eos Formel F=mg vergleichen, erhalten wi r die Beschleuni2

Energieerhaltung

gungg = GNM /R Das Kraftge setz vereinigt

Das Prinzip der Energiee rhaltung w ird in

von Erd- und Himmelsmech anik.

der ganzen Physik in Ehren gehalten . Um es

Diese vier einf achen Gesetze w aren ein Sieg des Geistes uber

50

die Beschreibung

allerdings wirk lich zu verstehe n, mu ss man

die Materie. Was den Anw endungsbereich der Newtonsch en

aile rnogli chen Formen von Energie beruck-

Gesetze

sicht igen, w ie etwa vvarrne. Stra hlun g, Bin-

beliebiger Natur sein kann, es mu ss keine Gravit ati onskraf t sein.

dungsenergie und auch Masse. Fur einfa che

Newtons Gleichungen erlauben es uns, zumind est im Prinzip, die

50

breit macht , ist die Tatsache , dass die Kraft F von

Systeme wie die Bewegung eines Objekts

Bewegung vieler intere ssanter Systeme zu berechnen: Projektil e,

unt er eine r ort sabhang igen Kraft (z.B. eine

Satellit en und Planeten, aber auch Aut os, die Saiten von Geigen,

Schwingu ng oder eine Bew egung in einem

Pendel, Hula-Hoop-Reifen, Windmuhlen, Schw immer, Fahrrader

Gravitat ionsfe ld). ist der Ausdruck f ur die

und Bungee-Jumping . Auch fUr st at ische Betra chtungen - bei-

Gesamt energie U gegeben durch :

spielswe ise zur Berechnung der Krafteverteilun g bei Brucken oder Gebauden - sind die Gleichungen wese nt lich.

Nichtlineare Dynamik und Chaos

Der erste Term ist der kineti sche Tell, der qua-

Gegen Ende des '9. Jahrhund erts bemerkte der franzo sische

drati sch von der Geschwindigkeit v abhangt.

mathematische Physiker Henr i Poincare, dass sogar ziemlich

und der zweite Term V(x) ent spricht der

einfac he Systeme, di e harmlos aussehend en Differentialglei-

pot enti ellen Energie. Die Kraft ist defi niert

chungen w ie denen von Newton genugen, aulserst kornpli -

als negati ve Ab leit ung von V(x). also F(x)

ziert e Orbits besitzen konnen . Noch wichtiger ist, dass klein ste

= - dV(x)/dx. Wenn die pot enti elle Energi e

Anderungen der Anfangsbedingungen manchmal zu dramatisch

hoch ist, w ird die Kraft graB. Aus New t ons

anderen Bew egungen fUhren. Diese ext reme Sensibilit at gegen-

Gleichungen folgt die Erhalt ung der Gesamt-

uber den Anfangsbedingungen hat bedeutende Konsequenzen:

energie. dUidt = O. Die grund legende Bedeu-

sie fuhrt zu dem , w as man chaot isches Verhalt en nennt. Wenn

t ung von Begriffe n w ie Energie wu rde gerade

wir ein reales Experim ent oder eine Computersimulati on eines

durch unsere Einsichten uber dieseeinfachen

solchen Ereignisses wied erholen, konnen wir die Anfangs-

Systeme offen sicht lich.

bedin gungen nur mit einer gewis sen, w enn auch geringen,

Unsicherheit reproduzieren . Wenn also das betrachtete System

26

eine extreme Sensibilitat gegenuber den Anfangsbedingungen aufweist, waren die Ergebnissesolch 'ident ischer' Experimente vollig verschieden . Das schrankt unsere Fahigkeit zu genauen Vorhersagen erheblich ein. Solch ein wirklich unvorhersehbares Verhalten eines, genau genommen wohldefinierten, vollig deterministischen Systems nennt man deterministisches Chaos. DieseArt Chaosist eine sehr natUrliche Eigenschaft nichtlinearer dynamischer Systeme und seit dem letzten Viertel des vorigen Jahrhunderts ein wesentliches Forschungsgebiet. Chaotisches Verhalten hangt nicht von einer bestimmten Gleichung ab; es bezieht sich vielmehr auf das Verhalten der tosungen nichtlinearer Gleichungen , wenn die Parameter der Gleichungen in einem gewissen Bereich liegen. Ein besonders einfaches Beispiel ist das von Lehtihet und Miller untersuchte 'Gravitations-Billiard'. Dieses System besteht aus einer Kugel in einem Gravitationsfeld, die sich in einer vertikalen Ebene bewegt. Ihre StoBe an die wande eines rechteckigen Behalters sind vollig elastisch (siehe Bild). Mit Hilfe der dynami schen Gleichungen Newtons und der Gleichung fur die Gravita tionskraft aus den vorigen Abschnitten konnen die Bahnen fur die Kugel zwischen den Wanden leicht berechnet werden. Sie erfahrt wegen der Gravitationskraft eine konstante vertikale Abwartsbeschleunigung und beschreibt daher eine Bahn, die zwischen zwei Stolsen gerade ein Parabetsegment ist (genau wie die Bewegung einer Kugel im Gravitationsfeld der Erde). Wenn sie anstofst, wechselt die senkrecht zur Wand gerichtete Komponente der Geschwindigkeit die Richtung. Trotz der offensichtlichen Einfachheit dieses Systems kann die Bewegung der Kugel je nach Anfangsbedingung oder Anfangswinkel einfach periodisch, aber auch chaotisch sein.

y

27

NewtonsVermachtnis Schreibt man die Gleichungen fur ein Syst em von Objekten inklusive aller zwi schen Ihnen w irkenden Krafte nieder, so erhalt man ein geschlossenes System gekoppelter Differentialgleichungen, w elche die Dynamik des gesamten Systems beschreiben. Diese Eigenheit ist generisch fur umfangreiche Klassen verschiedener dynami scher Systeme, und darin liegt auch der Grund dafur, dass Newtons Principia den Weg zur quantitativen

wissen schaftlichen

Beschreibung

praktisch

jedes dynamisch en Syste ms ebnete. In der Mechanik sind die Variablen Orte und Geschwindigkeiten von Teilchen, aber es konnten auch Bevolkerungsdichten verschiedener Spezies in einem Okosystern oder Produktionsfaktoren w ie Preise, Aktien und tohn e in einem okonom ischen Mod ell sein. Wie schon bemerkt, schlieiSen Newtonsche dynamische Systeme t rotz ihrer deterministischen Natur ein groiSes Spektrum chaotischer Syst eme ein. Einfache Syste me - wi e zwei sich einander durch eine zentrale Gravitationskraft gegenseitig anziehende Korper - konnen exakt mittels wohlbekannter mathematischer Ausdrucke und Funktionen gelost werden . Allerdings kennt man fur die meisten Probleme keine exakten tosungen und muss sich daher auf eine qualitativere globale Analyse oder computergenerierte Naherung slosungen stutzen, wenn man Erkenntnisse uber das

Das Geflecht der Wissenschaften Moderne W issenschaf t besteht nicht nur aus dem Dialog zw ischen Theorie und Experim ent , oft spielt auch der Computer eine w icht ige und ziem lich unabhangige Rolle, we nn Gleichungen st udiert und das Verhalten ihrer Iosungen unt ersucht werden. Experim ent , Theorie und Compute rsimu lat ion bild en eine perfe kte menage

atrois .

Aussehen und die Eigenschaften der tosungen gewinnen will.

Newtons dynamische Gleichungen geltenfUrjede Kraft,dieauf

28

einObjektwirken mag. Newtonselbst formulierte denAusdruck fur die Gravitationskraft. Unterdenanderen Kraften derNatur istdieelektromagnetische Kraftdiejenige vonhiichster Tragweiweitgehendverantwortlich fUrdie Eigenschaften vonMaterie

Die elektromagnetische Kraft

in ihren verschiedenen Erscheinungsformen, vom Festkiirper

Die Lorentzkraft

te, dennsie haltAtomeundMolekiilezusammen. Diese Kraftist

biszu Nervenzellen. Grundlegend fUr all diese Situationen ist dieauf ein geladenes Teilchen ausgetlbte Kraft, wennessichin einemgegebenen auBeren elektromagnetischen Feld bewegt. Hendrik AntoonLorentz fiihrte das elektromagnetische Kraft-

Hendrik Antoon Lorentz

gesetzin seinerallgemeinen Form ein.

Lorent z w urde 1853 in Arnhe im in den

Die Lorentzkraft enth alt zwei Ant eile. Der erste Term sagt uns,

fi orierende Gart nerel betrieb. Mit 16 Jahren

q, die sich in einem elek-

gi ng Lorentz an die Universita t Leiden,

trischen Feld bew egt, eine Kraft in Richtung des elekt rischen

scho n mi t 22 erhielt er seinen Dokt orgr ad

Niederlanden gebo ren, wo sein Vate r eine

dass eine beliebige (posit ive) Ladung

Felds E e rfa hrt , 1st also das elekt rische Feld zeit lich und iirt lich

und nur zwei Jahre danach w urde er zum

konstant, so ist die auf das geladene Teilchen ausgeubte Kraft

Inhaber des f ur ihn neu geschaffe nen Lehr-

konstant und somit bewegt sich dasTeilchen mit einer konstanten

st uhls fu r t heoretische Physik.

Beschleunigung in Richt ung des elektrischen Felds. Eine groBe

Dor t konnte er Gedanken der Atom physik

Ladung erfahrt eine starkere Kraft als eine kleine Ladung und bei

m it den Ma xw ellschen Gleichung en ver-

gleiche r Ma sse eine hohere Beschleunigung. Tatsachlich kann

knupfen , aber er st and auch an der Schw elle

man elekt rische Felder zur Beschleunigung von Teilchen benutzen.

zur Relativitatstheori e. Seine enorme inter -

Diese Kraft ist auch fur die Anziehung unt erschiedli ch geladener

nat ionale Reputati on grundete sich auf sein

Teilchen verant wo rt lich: eine Ladung erfahr t die Kraft des von

profundes Wissen und Urteil sverm iigen,

der anderen erzeugten elektrischen Felds; die Foige kann sein,

verbunden mi t seinem gedu ldigen und

dass beide ein gebundenes Paar w erden.

bescheidenen Charakter. '902 erhielt er zusamm en mit Piete r Zeema n einen der

Der zweite Term ist von einer ganz anderen Art. Er beschreibt die

ersten Nob elprei se fur seine Erklarung

auf grund eines mag net ischen Felds B wi rkende Kraft. Beachte,

der Aufspalt ung des Linienspektr um s. die

dass die Kraft w ieder propor t ional zur Ladu ng q ist , aber auch

Zeeman beobach tet hatte. Lorentz starb

zur Geschwin digkei t v des Teilchens. Es mag uberraschen, dass

1928 in Haarlem .

qv

Fem=qE+-xB c

ein ruhendes Teilchen das magnetische Feld nicht spurt. Das

30

'Kreuz'-Produkt der beiden Vektoren v und B bedeutet, dass die Kraft sowohl auf der Geschwindigkeit des Teilchens als auch auf dem magnetischen Feld senkrecht steht, wie das Bild zeigt. Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht dem Produkt der Betrage von v und B, multipliziert mit dem Sinus des Zw ischenwinkels. Sind also die beiden Vektoren parallel , so ist ihr Kreuzprodukt Null (denn sin 0 = 0) . Wie wirkt die magnetische Kraft also? Bewegt sich das Teil-

\::---~

B

chen durch ein konstantes magnetisches Feld, so wirkt auf das Teilchen eine konstante Kraft, die immer senkrecht auf seiner Geschwindigkeit steht. Daher erfah rt es eine Beschleunigung von konstantem Betrag , senkrecht zu seiner Geschwindigkeit. Falls die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Feld steht, wird sich das Teilchen auf einer krelsforrnigen Bahn in einer Ebenesenkrecht zur

Multiplikation von Vektoren

Feldrichtung bewegen. Steht die Geschwindigkeit nicht senkrecht

Mittels elegant er Notationen we rden die

auf dem Feld, so andert sich die Geschwindigkeitskomponente

Gleichungen aufsers t komp akt und ihre

in Feldrichtung nicht, und die Komponente senkrecht zum Feld

St rukt ur dadurch sehr dur chsiehtig . Fur

fuhrt zu einer kreisformigen Bewegung. Kombiniert man die

zwe i Vekto ren u und v konnen w ir zw ei

beiden Effekte, so erhalt man eine spiralforrnige Bewegung

Arten von Produkten defini eren : das eine

des Teilchens um die magnetischen Feldlinien herum .

nennt man das Skalarprodukt , w eil das

Genau dies passiert den geladenen Teilchen, die von der Sonne

Result at eine einfache Zahl (ein Skalar)

uv eos 0 dt -

=* 5-0

Art Energieaustau sch st at t fi ndet. Sei es, we il w ir sie in the rmi schen Konta kt bringen oder k raf t e auf sie ausuben, Wir werden uns nun mit .ii.nderungen der Variablen beschaft lgen, die den Zustand des Systems charakte risieren. Die Anzahl unabhanglger Variabien ent spricht der Anzahl der M ogli chkeiten , dem Syst em Energie zuzufUhren oder sie abzuziehen. Zu j eder dieser Variablen gehort eine abhangige Variable. Die Half t e dieser Zustandsvariablen sind exten siv (d.h. propo rt ional zur Mat erialme nge oder Syste rngrclse), wie etwa das Volumen

V. und die

andere Halfte int ensiv, w ie P und T. Um also die th ermodynamischen Eigenschaften vollstandig zu beschreiben, benot lgt man eine gerade Anzahl von Variablen, wa hrend in der Zusta ndsgleichung (etwa PV=RT, wie fruher diskuti ert) typischerweise eine ungerade Anzahl vorkommt. Somit rechnen wir mit einer weiteren thermodynami schen Variabien. Da wir an Zustandsanderungen des Systems int eressiert sind, ist es nicht Li berraschend, dass w ir Dif fe rentiale und Ableitungen verwenden , um die infi nit esimalen .ii.nderungen des Systems zu beschreiben.

Der erste Hauptsat z der Thermodynami k besagt haupt sachlich, dass Warm e eine Energief orm ist. Genauer, dass eine Energieanderung dU Li bereinst im mt m it der vom Syst em absorbierte n Warm e dQ m inus der vorn System verricht et en Arbeit d W. Alte rnativ konnt e man sagen, der erste Haupt sat z beinhalte t die Energieerhalt ung. Es fo lgt , dass Warm e prin zipiell genutzt w erden kann, um Arbeit zu erzeugen, und um gekehrt; m.a.W., f alls dU = 0, ist dQ= dw. die reine w arm eabsorpt ton wird in Energie umgewandelt. Die Gleichung ent halt zwei Spezialfalle : zum einen, w enn keine Arbeit verrichte t w ird (dW= 0) , zum anderen, we nn keine Warm e ausget auscht wird (dQ = 0). dann spricht man von einem adiabatischen Prozess.

46

47

Nun rnussen wir vorsichtig sein, denn nicht aile Prozesse konnen energet isch vorkomm en. Ohne Zwei fe l kann man Arbeit voll st andig in Warm e verwand eln, aber ob das auch anders herum f unkt ioniert, ist nicht gerade offe nsichtlich. Wir wiss en aile, dass ein Ra d sich nicht von alleine dreht , w enn man es erhitzt - obwo hl die Energieehaltung das zuliefSe. Andererseits verwandelt eine Dampfmaschine warrne in Arbeit. Die wic hti ge Frage 'In w elchem AusmafS kann Warm e in Arbeit verw andelt we rden?' wi rd durch den zweit en, sicherlich bedeut enst en Haupt sat z der Therm odyn amik beantwortet. Er kommt in dem beruhrnten Essay 'The t w o Culture s' von c.P. Snow vo r, der 1956 in The New Statesman veroffent licht wurde. Darin

Eine unmogllche Aufgabe

kriti siert Snow of fe nt lich die w issenschaftl iche Ignoranz des

Erfi nder aller Nati on en haben enor m viel

dur chschnitt lichen zivilisierte n M enschen, indem er bernerkt ,

Arbeit darin invest iert, ein so genannte s

dass prakti sch j eder eln Theaterstu ck von Shakespeare kennt,

perpetuum mobi/e zu konst ruieren; dies ist

aber so gut wi e niemand etwas uber den - ebenso w ichti gen

eine Maschine, die, we nn man sie in Bewe-

- zwe it en Haupt sat z der Therm odyn am ik we ilS!

gung setz t , sich ohne aufSere Energiezuf uhr

Es gibt zwe i verschiedene, aber aqulvalent e Formul ierungen

im merzu we it er bewegt, also ein Cerat , das

des zweiten Hauptsat zes. Nach Kelvin besagt er, dass es keinen

die Energie, die es zu seiner Funkt ion braucht,

th erm odynam ischen Prozess gibt , dessen einzige Auswirkun g

selbst erzeugt. Die genialst en Vorricht ungen

es ist, einem Rese rvo ir Warm e zu entz iehen und diese ganz

wu rden vorgeschlagen , manchm al aufSerst

in Arbeit um zuwande ln. M an kann auch sagen, grunds atzl tch

effiziente. Aber die Unm oglichkelt eines per-

existiert keine ideaIe Masch ine. Man muss das mi t eine r rea/en

petuum mobile kann rigoros aus den erst en

M aschine vergl eichen: dies ist eine M aschine, die einen Zyklus

beiden Haupt sat zen der Therm odynam ik

th ermodynam ischer Prozessedurchmacht und warrne in Arbeit

gefolgert werden . Die franz osische Akade-

umwandelt, aber gleichzeit ig einen Teil der ent zogenen Warme

rnie der W issenschaf te n entsc hied 1775,

der Umgebung zuf uhr en mu ss (eine m Reservoi r niedrigerer

keine weitere n vors chlage oder Publikatio-

Temper atur). Sie kann nicht aile ent zogene Warme in Arbeit

nen anzun ehme n, in wel chen die Existen z

umwand eln, also ist eine reale M aschine niem als hunde rt pro-

eines perpet uum mobile behaupt et w urde.

zenti g ef fi zient .

Trotzd em t auchen neue vo rschlage imm er

Nach Clausius besagt der zw eit e Hauptsat z, dass es keinen

w ieder einma l auf.

thermodynamischen Prozess gibt, dessen einzige Auswirkung

es ist, einem kalteren Reservoir Warme zu entziehen und diese einem warrneren Reservoir zuzufOhren . Esgibt also keinen idealen KOhlschrank. In einem realen KOhl schrank muss wirklich Arb eit verricht et werden , wenn man Warme vom kalter en zum warrneren Reservoir transportieren will ; jeder weirs, dass man zum KOhlen Energie ben6tigt. Der zweite Hauptsatz benutzt den Begriff der Entropie S. Sie ist wie die Temperat ur eine Zustandsvariable, aber eine subtilere, denn man kann sie nicht direkt messen. Entropleanderung hat mit der Temperatur T und der Warme dQ zu tun . Man konnte sagen, eine infinitesimale Menge durch das System absorbiert er Warme fuhrt zu einer Entropieanderung des Systems, die durch

dQ= TdS gegeben ist. Benutzt man den Begriff Entropie im zweiten Hauptsatz, 50 ist seine Aussage, dass fur jeden Prozess in einem geschlossenen System die Entropie nicht abnehmen kann. FOr den idealen KOhlschrank beispielsweise heilst das, wurde eine (positive) Menge Warme q dem System bei einer niedrigen Temperatur T, entzogen, folgt, dass diesel be Menge q an die Umgebung bei einer h6heren Temperatur T2 abgegeben w erden rnufste. Die gesamte Entropleanderung 6S ware dann 6S = -qIT,+ qlT 2 , also 6S =

q(l lT 2 -liT,) , und dies ware kleiner als 0, im Widerspruch zum zweiten Haupt satz. Die Foigerung ist also,dasses keinen idealen KOhl schrank gibt.

warrne neigt dazu, im System zufallige Bewegungen hervorzu rufen - die M olekOlefangen an, mit mehr Energie zusarnrnenzust ofsen - man konnte also sagen, der Begriff der Entropie misst den Grad an Unordnung des Syst ems. Man kann diese Definition rigoros fassen, wenn man stati stisch auf die Zustande des Systems im mikr oskopischen Bereich blickt. In der stati sti schen Mechanik kann man zeigen, dass in einem geschlossenen

48

49

System, das nicht im Gleichgewicht ist, die Entropie wachst, bis sie ihr Maximum im Gleichgewichtszustand erreicht. Dies ist hauptsachlich eine Foigerung aus der Tendenz, 'von einem weniger zu einem hoher wahrscheinlichen Zustand zu gelangen'. La~t man einen Tintentropfen in einen Wassereimer fallen , werden die Tintenmolekule sich im ganzen Wasser zerstreuen, bis sie den Gleichgewichtszustand erreichen, in dem die Mole kule homogen im ganzen Eimer verteilt sind. NatUrlich wird das umgekehrt nicht passieren,jedenfalls nicht von alleine. Die gerade erwahnten Betrachtungen fuhrten zu der suggestiyen Behauptung, dass das ultimative Schicksaljedes geschlossenen Systems volllges Chaos ist, der so genannte 'Warrnetod', denn die Entropie - und somit der Grad an Unordnung - muss wachsen . Das konnte man auch auf das Universum als Ganzes anwend en - wohl eine ziemlich trube Perspektive. Wir sollten aber im Kopf behalten , dass der zweite Hauptsatz nicht verbietet, dass in einem geschlossenen System ein gewisses Unter system seine Entropie durch Abgabe von Warme verringert, welche andere Teile des Systems absorbieren rnussen. So wird zum Beispiel in biologischen Systemen wachsende Ordnung und kornplexltat erreicht.

Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik erklart, was passiert, wenn ein System die klelnstrnogiiche Temperatur von Null Kelvin erreicht, ungefahr - 273° Celsius. Bei dieser Temperatur endet jede thermische Bewegung und das System ist maximal geordnet, die Anzahl rnoglicher Zustande beschrankt sich auf den mit der niedrigsten Energie, und die Entropie verschwindet. Die Existenz so eines Zustands folgt aus den quantenmechanischen Eigenschaften der Natur.

DieBoltzmann-Gleichung bildetdieGrundlage derkinetischen

50

Theorie als Briicke zwischen mikroskopischer undmakroskopischer Physik. Diese Gleichung gehert zum Gebietder statisti-

schen Mechanik. Sie beschreibt diestatistische Bewegung einer groBen Anzahl Teilchen. DieBoltzmann-Gleichung gestattet eine systematische Herleitung makroskopischer Transportprozesse

Kinetische Theorie

wie Diffusion, Warmefluss und teltfahlgkelt aus denzugrunde

Die Boltzmann-Gleichung

Iiegenden mikroskopischen Gesetzen derNatur. Obwohl sienur auf diinne Systeme anwendbar ist,bauen Theorien vonenormer praktischer undtechnologischer Bedeutung auf ihr auf, etwa Stromungs-, Aero- und Plasma-Dynamik. Diese Gleichung ist grundlegend fur die Beschreibung vonSystemen, die nichtim

Historische Bemerkung

Gleichgewicht sind, insbesondere fur die Untersuchung von

Clausius,Maxwell und Bolt zmann wa ren die

Prozessen, die insGleichgewicht fuhren.

Pioni ere des mikr oskopischen Ansatzes zur Beschreibung makroskopischer Phanomene.

Um das Verhalten makro skopischer Systeme w ie Gasen oder

Ludwi g Boltz mann (1844-1906) fo rmulierte

Hussigkeiten zu beschreiben, mu ss man nicht die genauen

1872 die nach ihm benannt e Gleichung. Sys-

Eigenschaften aller einzelnen Teilchen kennen , aus denen das

t emat ische Me t hoden zur L6sung dieser

Gas oder die Hussigkeit besteht. Zum Gluck, denn dies wurde ein Syst em von 1023 oder mehr gekoppelten Gleichungen bedeuten .

Gleichung w urden um 1916 von Chapman

Esgenugt, die durchschnittlichen Eigenschaften der Teilchen zu

Bolt zmann hatte einen energiegeladenen

kennen, und genau dafur benotigt man st at ist ische Oberlegun -

und impu lsiven Charakte r. Er st udierte in

und Enskog entw ickelt.

gen. Die hohe Teilchenanzahl ist ein Gluck im Ungluck . jeder

Wi en und w urde bereit s m it 25Jahren Pro-

Besitzer eines Casinos oder einer Versicherungsgesellschaft

fessor f ur Physik in Graz. Dort verbracht e

wird bestatlgen, dass statistische Argumente aufserst genau

er seine produkt ivsten Jahr e. vvahrend

und damit bedeutungsvoll werden , wenn die Zahlen sehr groB

dieser Zeit litt er unt er dem fe hlende n

sind. wahrend also die Bewegu ng der einzelnen Teilchen in der

Versta ndnis und der fe hlenden Aner ken-

Husslgkett oder im Gas recht zufall ig sein mag, ist das die stat isti-

nun g seiner Zeitgenossen . Man erzahlt,

sche Verteilungsfunktion nicht , welche die Wahrscheinlichkeiten

dass Bolt zmann 1904 eine Weinflasche in

des Orts und der Geschwindigkeit der Teilchen beschreibt. Genau

den Berkeley Faculty Club schmuggelt e, als

diese Verteilungsfunktion muss einer grundlegenden Gleichung

Berkeley eine 'trockene' Sta dt wa r. M it 62

genugen .In einem Gas beispielsweise sit zen offensi chtlich nicht

Jahren beging er Selbstmord .

(~ at + v·\lr+ £m .\lv) f= JdQ Jdv; 0 (Q)!v-vll(J'!'l - ffl)

aile M olekul e am selben Platz zusammen : sie verteilen sich

52

mehr oder weniger gl eichmagig auf den vorhandenen Raum, und man erwartet weg en der Stage der Molekule auch, dass die Energie beim Erreichen des Gleichgewichtszustands mehr oder weniger gleich auf die Molekul e verte ilt ist. Wi cht ig an der Bolt zmann -Gleichung ist, dass sie auch Prozesse beschreibt, die vom Gleichgewi cht abweichen ; man kann mit ihr prufen, ob ein Prozess ins Gleichgewicht fuhrt, Genauer gesagt, die Boltzmann-Gleichung beschreibt die Zeitentwicklung der Verteilung sfunktion

f (r,v,t), also der Wahrscheinlich-

Auftauchende Eigenschaften

kelt , dass sich ein Teilchen am Ort r mit der Geschwindigkeit v zur

Wasser besteht aus einer sehr grolsen Anzahl

t in einem Gas, einer Husstgkett oder einem Plasma aufh alt ,

miteinander wec hselw irkender M olekule.

Zeit

Die Gleichung enth alt Ableitungen nach allen Variablen - Ort,

Dieses riesige Kollektiv offe nbart schone

Zeit und Geschwindigkeit -, von den en die Funktion f abhangt.

Eigenschafte n, etwa Wellen, St rudel, etc.

Die linke Seite st eht fur die zeit liche Anderung der Verte ilung als

Diese sind Eigenschaften des M edium s,

Falge der freien St rornung der Flussigkeit - m.a.w., auf grund der

we lche die Bestandte ile des Me diums

Geschwindigkeit der Teilchen und der mogli cherweise auf das

nicht

System ausgeubte n aufseren Kraft. Der komplizierte Ausdruck auf

keine Ahn ung davon, was Wasserwel len

der rechten Seite approximiert den Effekt der StolSe der Teilchen

sind ! Daher kammt die Bezeichnung

auf die Anderung der Verte ilungsf unkt ion. Diese Wechselwirkung

tauchende Eigenschaften. Da es unt erhalb

hangt von Relativgeschw indigkeit und Streuquerschnitt a (wi e-

von dem , was w ir m it blofsern Auge sehen

besitze n. wasse rmo leku le haben

auf

derum abhang lg vom relati ven St reuw inkel Q) aboDie genau e

konn en, nach viele str ukt urelle Ebenen gibt,

Form des Ausd rucks soil uns hier keine Sorgen machen.

existiert eine ganze Hierarchie aufta uchen-

Man kann diese ziem lich abst rakt e Verteilun gsfunkti on benut-

dass auf keine r Ebene zusatzli chew echsel-

zen, um diverse Mittelwerte zu definieren, die zu bekannteren

w irkungen eingefuhrt werden; aufta uchende

physikalischen GrolSen fuhren. Wenn wir zum Beispiel die Verte i-

Eigenschaften sind nu r das Ergebnis eines

lung sfunktion uber aile Geschwindigkeiten inte grieren, erhalt en

raffi niert en Wechselspiels aus den zugrunde

w ir die 'Anzahldicht e' n(r,t) der Teilchen, die nur von Ort und Zeit

liegenden physikalischen Freih eit sgraden

der Eigenschaften. W ir hebe n aber hervar,

abhan gt, Aus der Anzahldic hte erhalt m an die Wahrscheinlich-

und den f undame ntalen Kraf te n zwisc hen

t zu find en, unabhangi g von

Ihnen. Es gibt Anzeichen dafur , daIS sogar das

kelt , ein Teilchen am Ort r zur Zeit seiner Geschw indigkeit.

Leben eine aufta uchende Eigenschaft ist.

53

Die l.osungfur dieVert eilungsf unkt ion ist in demfolgendeneinf achenFall besonderswicht ig. 1st dasSystem im Gleichgewicht, so ist dievertellungdefinition sgernaf zeitunabhangig undhomogen (d.h.ortsunabhanglg), undwenn wirw eiter annehmen, dasskeine aufse reKraft wirkt, soverschwindet dieIinkeSeitederBoltzmann-

n(r,t)= If(r,v,t)d 3v

Gleichung f ur j ede Funktion, die nur von der Geschwindigkeit abhangt. Die rechteSeite verschwindet im Aligemeinen nur, wenn

f auf geeignete Weisevon einer Grii fSe abhangt, die in 2-Teilchenm

l

f(v) = n (--) 2 e 2rrkT

m!v-uI 2 2kT

Sto fS prozessenerhalten bleibt,wieMasse, Impulsoder Energie. Aus diesen Annahmen konstruierte Maxwell eineexplizite Losungfur die Gleichgewichtsvert eilung der Geschwindigkeiten v um ihren Mittelwert u.Man nennt sieeineGaufSscheVerteilung;eine symmetrische Funkti on mit Spitze bei v ~u, die stark abfallt, wenn v sichvon u entfe rnt. AusdiesenAnnahmen konstruierte Boltzmann den Ausdruck (der vorher schon mittels anderer Argumente von Maxwellgefunden worden warlfur dieGleichgewicht sverteilung der Geschwindigkeiten v um ihren Mittelwert u.

DieHydrodynamik benutzt manzurBeschreibung derStromung

S4

kontinuierlicher Medien wie Gasen, vielenArten von Fliissigkeiten undPlasmas. In dercomputergestiitzten Modellierung verwendetman siezum Design vonstabilen undwiderstands-

fahigen Schiffen, Flugzeugen undSportwagen. Die Gleichungensind auch filr dieWettervorhersage niitzlich, einschlieBlich Computersimulatonen vonWirbelstiirmen undTsunamis.

Hydrodynamik Die Navier-Stokes-Gleichungen

Die drei Gleichungen der Hydrodynamik sind hauptsachllch Erhaltungssatze. Sie kdnnen vielerlei Transportphanomene beschreiben, denn sie enthalten relativ viele Parameter.

Navier undStokes

Ursprilnglich wurden diese Gleichungen beim Studium von

Obwo hl Newto n und Bern oull i Probleme

Fliissigkeiten entdeckt. Man kann das System auch aus der

bei Hussigkeit en untersucht en, wa r es der

Boltzmann-Gleichung herleiten, indem man die Mittelwerte

Schweize r M ath em atik er Leonhard Euler

der in 2-Teilchen-StoBen erhaltenen GroBen Masse, Impuls

(17°7-1783), der um 1755die Grundlagen der

und Energie untersucht.

Hydrodynamik legt e, indem er die fund amen-

Ein sehr schweres Problem filr die mathematische und phy-

t alen Gleichungen syste mat isch unt ersucht e.

sikalische Gemeinde ist es nach wie vor, ausgehend von den

Es ist nur angemessen, dass die 'reibungsfre ie

Grundprinzipien das Phanomen der Turbulenz im Detail zu

Beweg ungsleichung' nach Euler benannt

verstehen sowie es als eine Losung der Navier-Stokes-Glei-

w urde, der oft als Begrunder der m odernen

chungen zu konstruieren.

Hydrodynami k betrac htet w ird. Claude-Louis Navier (Frankreich, 1785-1836)

Die Navier-Stokes-Gleichung en beruhen auf der Erhaltung dreier

wa r der Sohn eines Anwa lts, der starb, als

grundlegender GraBen in der zugrund e liegenden Wech selwir-

das Kind 8 Jahre alt wa r. Er w urde der Obhut

kung der Teilch en : M asse, Impuls und Energie. Damit verw andt

eines Onkels uberlassen, eines Baui ngeni-

sind drei Felder: die Massendichte p(r,t). das Geschwindigkeits-

eurs, der versuchte, sein Interesse an den

feld u(r,t) und die Energiedichte (pro Einheitsmasse)e(r,t) . Die

Ingenieurwi ssenschaften zu ste igern. Navier

Gleichungen erfordern die Kenntnis der Zust andsgleichungen

fin g eher maBig an der Ecole Poly t echnique

des untersucht en Mediums, von denen die eine Druck zu Dicht e

an, aber nach zwe i Jahren gehor te er zu den

und Temperatur, P = P(p,T). und die andere die Energiedi chte zu

beste n St udente n. Er schrieb sich 1804 an

Dichte und Temperatur, e = e(p,T). in Beziehung setzt.

der Ecole des Ponts et Chaussees ein und

Fur dunne gasforrruge Sy st eme werden diese Felder mittels der

grad uierte zwe i Jahr e spate r, Er w urde ein

Boltzmannschen Verteilungsfun ktion als Mittelwerte uber die

beruhrnter Bruckenbauer, w enn auch die

ap

at + v· (pu)=o -

a ) F 1 ( p--V·u II ) +-\1 II u=---v (-+u·v at m P 3 P a V )e = - pP "v -u + PK \1 T (ar+u. 2

2

u

Geschwindigkeiten definiert; daher hangen die Ausdrucke fur die

56

Felder nur von r und tab, siehe Seite 57. M an kann die BoltzmannGleichung nun verw enden, um das obige Syst em gekopp elt er Gleichungen herzuleiten , die ublich erw eise Navier-StokesGleichungen genannt we rden. Diese bilden ein sehr allgemeines Gleichungssystem. Prinzip iell beschreibt es auch die Aerodyn amik , w enngl eich dort die Parameter ganz ande rs sind . Einige Naherungen wurden in die sen Gleichungen gem acht. Hierfur fuhrt m an einige phenom enologi sche Parameter ein, welehe die Hussigkeit charakt erisieren,

erste von ihm gebaut e Brucke offen bar

ein Druck-Tensor P, die Viskosit at 11 und die th ermi sche t eltfahlg-

einst urzt e. Heut zut age erinnert m an sich

keit K. Der Einfachkeit halb er haben wir einen von der Viskosit at

an Navier aufg rund der Gleichu ngen, d ie

abhanglgen Anteil der dritten Gleichung w eggelassen.

seinen Nam en tr agen. 1m Wesent lichen

Man beacht e, dass die erste Gleichung gerade die Kontlnuitats-

f uhrt e ihn , 822 ein fal scher Beweis zu den

gleichung fur die Hu sstgkeit ist. Die zw eit e Gleichun g w ird im

richti gen Gleichungen. ,8 3' w urde er Pro-

Fall verschw indender v lskoslt at zu einer Gleichung, die schon

f essor an der Ecole Po lyt echn ique. Polit isch

Euler kannte. Was man aus dem Ansat z mit der Boltzmann-

w ar er zieml ich akt iv, glaubt e f est an die

Gleichung fur soleh ein phen omenologisches Syst em lernt, lst,

Segnungen der Indu str iegesellschaft und

dass die phen om enolo gi schen Paramet er selbst als gew isse

ste llte sich dem Blutv erg iefSen der franzo -

Mittelwerte von mikroskopi schen Freiheit sgraden versta nden

sischen Revolut ion und dem militarischen

we rden kon nen und m an Korrekturen prinzipi ell auf systema t i-

Expansion ism us Napo leon s entge gen.

sche Wei se berechn en kann .

George Gabriel Sto kes (1819-1903) wa r Sohn

Offensichtlich haben die Gleichungen eine ziem lich kompl exe

des Rekto rs des Sligo College in Skreen,

Form, aber sie sind nicht s als das Ergebnis der Anwe ndun g einiger

Irland. Er st udiert e in Camb ridge und wa r

einfa cher Erhaltungs satze auf ein Vielteil chensystem. Die linken

der alte ste in einer Gruppe bekannt er

Seiten reprasentieren gerade den Transport der Strornung durch

Theoret iker, zu denen auch W. Thom son

freie Konvekti on. Die recht en Seit en enth alten die Ausw irkungen

(Lord Kelvi n) und Lord Rayleigh gehort en.

von Spannungen und Viskosit at , d ie fur das komplexe Ausbrel -

Stokes beset zt e den Lucas-Lehrst uhl und

tungsverhalten des Gases oder der Flussigkeit vera nt wo rt lich

war sowo hl Prasiden t als auch Sekretar

sind und zu einer turbulenten St rornung fuhren konnen ,

der Royal Society (Iet zt eres nicht we niger

Die Gleichungen beschreiben St rome dur ch Rohren, in Hussen

als 30 Jahre lang! ). Sein bedeute nste s Werk

und um Schiffe oder Flugzeugflu gel herum . In Spezialfa llen

ist das uber Hydrodyn am ik.

57

sind betrachtliche Vereinfachungen der Gleichungen miiglich. Zum Beispiel kann die Bernoulli-Gleichung einfach hergeleitet werden, die Druckund Geschwindigkeit eines st at lonaren Flus-

3v p(r,t)=m I!(r,v,t)d =mn(r,t) p(r,t)u(r,t)=m y!(r,v,t)d

3v

sigkeitsstroms in Beziehung set zt, oder auch die Gleichung fur die Ausbreit ung von Schallwellen, denn diese sind nur longitu dinale Dichtewellen. Setzt man das Geschwindigkeitsfeld u auf Null, reduziert sich die Energiegleichung hauptsachlich auf die

p(r,t)e(r,t)=~m Jlv-uI2!(r,v,t)d3v

Diffu sionsgleichung fur den Warmefluss.

Einstein veroffentllchte 1905seine spezielle Relativitiitstheorie

58

undzehn Jahre spater dieallgemeine Relativitatstheorie, dieim

nachstenAbschnitt behandeltwird. Diespezielle Relatlvltatstheorie beschreibt, wie dieWahrnehmung vonOrt undZeitvon ausder Newtonschen Sieht der Natur stellt sieh alsunhaltbar

Spezielle Relativitatstheo rie

heraus. Dramatisch werden diese grundsatzllchen Unterschiede,

Relativistische Kinematik

derArt der Bewegung abhangt. DerBegriffderabsoluten Zeit

wenn man Objekte betrachtet, die sieh mit Relativgeschwindigkeitennaheder Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die hier angegebenen Gleiehungen heben dreieindrucksvolle Konsequenzen hervor. Erstens dieTatsache, dass Geschwindig-

Albert Einstein

keitensieh auf besondere Weise addieren, sodass manniemals

Albert Einste in w urde am 14. Ma rz 1879 in

eine hohere Geschwindigkeit alsdie Lichtgeschwindigkeit er-

Ulm geboren. Er besuchte das luitpold-Cym -

reichen kann.Diese Geschwindigkeitsschranke ist in dem Sinn

nasium in Mun chen, aber im gefie l die Reg-

universell, dass siefur aile Beobachter diesel be ist. Zweitens,

lementi erun g in dieser Schule nicht. spate r.

dass bewegte Uhren langsamer gehen, einequantitative Fassung

nachdem seine Famili e nach M ailand gezo-

der Idee,dass Zeit relativist. SchlieBlich behandeln wir die am

gen wa r, besuchte er die Kant onsschule in

meisten gefeierte Gleiehung der Physik des 20. Jahrhunderts:

Aarau in der Schwe iz. 1896 schrieb er sich an

die fundamentale Aquivalenz vonMasse undEnergie.

der Eidgenii ssisch-Techni schen Hochschul e

Die spezielle Relativit at stheorie grundet sich auf zwei funda -

Physik und M ath ematik zu we rden.

mentale Postulate uber verschiedene Beobachter, die mit einer

19 01 erhielt er sein Diplom und w urde

(ETH) Zurich ein, mi t dem Ziel, Lehrer fu r

konstanten Relativgeschwindigkeit reisen, so genannte 'inert iale

Schwe izer Staats burger. Da er keinen Lehr-

Beobachter'. Das erste ist, dass physikalische Geset ze fur aile

auftrag bekam, nahm er eine Ste lle als tech-

inertialen Beobachter dieselben sein sollten -fur jeden Beobach-

nischer Assiste nt im Schwe izer Patentamt

ter sehen die Gleichungen genau gleich aus. Das zweite besagt ,

an. Er verbrachte seine Freizeit mi t Probl e-

dassf ur aile inertialen Beobachter die Lichtgeschwindigkeit (im

men der t heoret ischen Physik. 19 05 erhielt

Vakuum) dieselbe ist.

er seinen Dokt orgrad. 1m selben Jahr verof-

Das erste Postulat lauft auffolgendes hinau s: Wenn zwei Beo-

fe nt lichte er drei bahnbr echende Arbeite n

bacht er Exper im ente zum Auffind en physikalischer Geset ze in

in Die Annalen der Phy sik, uber drei volllg

Ruhe bzw. in einem mit konstanter Geschwindigkeit fahrend en

verschiedene Probleme: den photoe lektr i-

Zug machen, so we rden beide dieselben physikalischen Gesetze

schen Effekt, die Brownsche Bewegung und

erhalten . Wenn man also mit einer - in Bezug auf eine andere

60

Person - konstanten Geschwindigkeit relst, so gibt es keine objektive M6glichkeit zu entscheiden, w er sich bewegt und wer nicht. Beobachten kann man diesen Effekt auch, w enn man in einem langsam anfa hrenden Zug sit zt. Der Begrif f der Bewegung ist relati v. Das zweite Postulat ist sicherlich uberra schend und gegen die Intuition, selbst, wenn man es verst anden hat. Es ist eine Folgerung aus den Ma xwell -Gleichungen fur die Ausbreit ung von

die spezielle Relati vit atsth eori e. Sieben Jahre

Lichtwellen. Man denke an einen Zug der Geschw indigkeit u, aus

nach Arbeits begin n im Pat ent amt wu rde

dem man einer Person am Bahn steig einen Ball mit Geschw in-

er zum Privatdoze nt in Bern ernannt. 19 0 9

digkeit v zuwi rft. Unsere Alltag serfahrung w urde uns sagen, dass

wurde er Assistenzprofe ssor in Zurich, ' 911

die Person am Bahnsteig den Ball mit einer Geschwindigkeit w

Prof essor fur th eoreti sche Physik in Prag,

auffangt, die Summ e der beiden Gescheindi gkeit en ist, also w=

kehr t e aber im fo lgenden Jahr f ur einen

U+V. Das hatte Newton gesagt. Ersetzen w ir aber nun den Ball

ahn lichen Posten nach Zurich zuruck. 1914

durch ein Lichtteilchen -ein Phot on - , dann folgt aus dem zweite n

wu rde er zum Direkto r des Kaiser-Wilh elm -

Einsteinschen Postul at: Das Phot on bewegt sich in Bezug auf den

Inst itu t s f ur Physik und zum Prof essor an

Zug mit Lichtg eschwindigkeit, aber auch mit genau derselben

der Universit at Berlin ernannt. Er w urde '9' 4

Geschwindigkeit auf die Person am Bahnsteig zu. Wi e selts am !

deut scher Staat sburger und blieb bis 1933

Einsteins Antwort auf die Frage, wie zwei Geschwindigkeiten (in

in Berlin, wo er dann auf diese Staa tsb ur-

derselben Richtung) sich 'addieren' , wi rd durch die erst e der drei

gerschaft aus offensicht lichen polit ischen

Gleichungen gegeben. Beachte, dass wir sofo rt einige Spezialfalle

Grunden verzichtete.

ablesen k6nnen. Zunachst, wenn sow ohl U als auch v viel kleiner

Einstein erhielt '92 1den Nobelpreis fu r Physik

uv/c' viel kleiner als 1,

'fu r seine Verdienste in der t heoret ischen

und Einstein s Formel w ird zu Newtons Formel w=u+v, so, wi e

Physik, insbesondere f ur die Entdeckung

es sein sollte. Fur u=c/ 2 und v=c/2 sagt uns die Form el, dass w

des Gesetzes des photoe lekt rischen Effekts',

= 4c/5 ist. Und schlieBlich fur v = c ist w auch gl eich c, f ur aile

bemerkenswert erweise nicht fur seine Arbeit

Werte von u, w ie vorn zwei te n Postulat verlangt.

uber Relativitat.

als die Lichtge schwindigkeit c sind, dann ist

Selbst w enn w ir fortfahren, Geschwindigkeiten kleiner oder gleich

Wahrend Einstein ' 901 daruber nachdacht e,

c zu addieren, kann niemal s eine gr6Bere Geschwindigkeit als c

seine akademische Karriere aufzugeben ,

herauskommen! Offenbar ist die Lichtgeschwindigkeit die gr6Bte

erhielt er 1933 Angebote aus vielen Sta dte n,

erlaubte Geschwindigkeit in der Natur, und glu cklicherwel se ist

etwa Jerusalem, Leid en, Oxfo rd, Mad rid und

61

diesesMaximum fur aile Beobachtergleich. Soweit wir w issen, halt sich die Nat ur ausnahrnslos an diese Geschwindigkeitsgrenze. Diese absolute Schranke fu r Geschwind igkeiten gilt notwendigerweise auch fur aile mogllchen Arten der Info rrnat ionsubermittlung , was ausschlaggebend f ur die Erhaltung des au ~erst grund legenden Konzepts der Kausalit at ist - den Regel n von Ursache und W irkung - , auf dem nicht nur die Wissenschaft, sondern auch unser taglkhes Leben beruht. Mit Ausbreitungsgeschw in-

Paris. Er entschied sich, in die U.s.A. zu gehen

digkeiten oberhalb der Lichtgeschwi ndigkeit konnte man Taten

und eine St elle am Insti tute f or Advanced

der Vergangenheit ruckga ng ig machen, w as zu vo llig absurden

St udy in Princeto n anzunehm en. Er w urde

und unakzept ablen Konsequenzen fuhren wu rde. NatLirlich ware

' 940

und

es ein Segen, we nn man a posteri ori einen Unfall ungeschehen

zag sich '945 von seinem Post en zuruck.

machen konnte, der bereits stattgefu nden hat , aber es ware

In Princeton arbeitete er haupt sachllch an

auch schw ierig, an solch eine M oglichkeit zu glauben.

einer geomet rischen Theorie, die Elekt roma-

Wie kann es sein, dass aile Beobacht er den gleichen Wert fur die

amerikanischer

Staasburger

gnet ismus und Gravitati on vereint.

Licht geschw indigkeit rnessen, konnte man fr agen. Nun, der Preis

Der Preis f ur sein Genie w ar int ellektu elle

dafur ist ta tsac hlich recht hoch. Man erinnere sich daran, dass

Einsamkeit , we nn auch Mu sik sein Leben

Geschwindigkeit gleich Ort dividiert durch Zeit ist, darin Iiegt der

erheblich bereicherte . Er heirat et e ' 903

Schlussel. Dam it die Licht geschwi ndigkeit fu r aile Beobachter

Mi leva Mar ic, sie hatte n eine Tocht er und

gleich ist, rnussen die Beziehungen zwisc hen den jeweil igen

zwei Sohne: die Ehe w urde 1919 geschieden.

Begriffen von Raum und Zeit neu definiert werden . Insbeson-

Danach heirat ete er seine Cou sine. Elsa

dere ist die Newtonsche Vorstellung einer absoluten Zeit nicht

Low enth al, die '936 starb. Einst ein w ar ein

langer haltbar. Da di e Trennung zw ischen dem , was w ir Raum

ausgesproc hener Pazifi st ; sein let zte r Brief

nennen und dem, w as wir Zeit nenn en, davon abhangt, wie wir

wa r an Bert rand Russell gericht et ; in ihm

uns bewegen , macht es mehr Sinn, von Raum-Zeit zu reden als

st im mt e er zu, seinen Nam en auf ein M ani -

von Raum und Zeit getr ennt. Raum-Zeit ist die Ansammlung aller

fest zu set zen, das aile Nat ionen dazu ver-

Raum-Zeit-Punkte ('Erelgntsse') (x,t). Einste ins Theorie bestimmt

pfl ichte n solite, Nuklearw affe n aufzugebe n.

vollst andig, wie die Raum-Zeit von verschiede nen Beobachtern

Einste in wu rde in Trent on, New Jersey am

wah rgenommen w ird. Das Adjek tiv 'relat iv' bedeute t, dass nicht

18. April 1955 um , 6 Uhr e tngeasc he rt. Seine

jede r Beobachte r aile Ereignisse und ihre Reih enfolge in glei-

Asche w urde an einem gehei m gehalte nen

cher Weise bemerkt, aber die Theorie erklart die auftret enden

Ort verstreut.

Unte rschiede.

Eine eindrucksvolle Foigerung lst, dass bewegte Uhrenlangsamer

62

gehen, waszum beruhrnten 'Zw illings-Paradoxon' fuhrt, Die Botschaft der zweiten Gleichung ist: t' ist die von der bewegten Uhr gemesseneZeit und t die Zeit auf der ruhenden Uhr. Die Formel lehrt uns, dass t' immer kleiner ist alst (denndie Quadratwurzel ist kleineralsl) , Wennein Zwilling daheim bleibt und sich der andere auf eine lange Reise mit hoher Geschwindigkeit durch den Raum begibt, so wird nach seiner Ruckkehr der reisende Zwilling viel junger sein. Diese Vorhersage wurde in sehrvielen Fallen getestet, wenn auch nicht mit einem echten Zwilling. Ein sehr sauberer experimenteller Beweis folgt beispiel sweise ausder Messungder Zerfallsrate instabiler Teilchen, die bei hohen Geschwindigkeiten produziert werden. NachEinsteins Gleichung solltendanndieTeilchen langerleben. Ahnlicherscheinteinem ruhenden Beobachter ein bewegtes Objekt in Bewegungsrichtung verkurzt. Wendenwir uns nun der beruhrntestenGleichungder Physik des 20. Jahrhunderts

zu: E=mc2• Physiker prasentieren sieheutzutage

Maxwell versus Newton

meist in einer etwas anderen Form, denn m in der Einsteinschen

Ich mochte eine zusatzlicheBemerkung zum

Formelist selbsteineGroBe, die vorn Bewegungszustand gegen-

erste n Postulat der Relatt vitat machen. Die

uberdern Beobachter abhangt, Waswir normalerweise alsMasse

Tatsache,dassfUr aile inertialen Beobachter

eines Objekts betrachten, ist dessen Masse im Ruhezustand.

die Naturgesetzegleich aussehen sollen,war

'Masse' bezieht sich also auf die Ruhemasse mo. 1m letzten Teil

eigent lich schon inkonsistent mit den zwei

der Formelwird die Energie in Abhangigkeit von der Ruhemasse

groBen klassischen Theorien: den Newt on-

und dem Impuls p (und c) dargestellt, was zwei interessante

schen Gesetzen und den Maxwell-Gleichun-

Eigenheiten relativistischer Teilchendynamik veranschaulicht.

gen. Es gibt eine Regel, mit der die Orts- und

Setzen wir den Impulsgleich Null, so ist die Energie geradegleich

Zeitkoordinaten eines Beobachte rs in den-

der Ruhemassernamal c2, was zelgt, dassdasTeilchen sogar im

jenigen des anderen ausgedruckt werden

Ruhezustand eine gewaltige Energiemenge darstellt. Um eine

konnen, Dies ist eine so genannte 'Koordi-

Vorstellung davon zu geben: in einem Kilogramm irgend einer

natentransformation', die von der Relativ-

17

Form von Materie sind etwa 10 Joule gespeichert; dieselbe

geschwindigkeit abhangt . Wenn man diese

Energiemenge erhalt man durch Verbrennung von mehr als

Transformation sodurchfuhrt, dass Newt ons

einer Million Tonnen Kohle.

Gesetze in den neuen Koordinatengenau wie

63

Dru ckt man die so genannte reiativististhe Masse m mittels der Ruhemasse und der Geschwind igkeit aus, so erhalt man einen inte ressant en Ausdru ck, den Einst ein benutzte (siehe linke Spalt e). Diese Formel hat einig e erhe llende Eigenschaften. Fur

v=O fo lgt m =m e ' w ie man erwartet. Wenn v sich der Licht geschwi ndigkeit nahert , geht der Nenner gegen Nul l und der Wert f ur m w achst grenzenlo s! Das erklart zu einem gew issen Grad, w arum die Teilchenges chw ind igkeit nicht groBer als die Licht geschw indigkeit werden kann: das Teilchenw urde unendlich

ma

m = 'V;::;:1=-v=2~/;:::C;:2

schw er und fur seine Beschleunigung benot igte man unendli ch grofse Kraft oder Energie . Einanderer int eressant er Fall in der Energie-Masse-Beziehung (die dr itte Gleichung) tr itt auf, wenn die Ruhemasseme Null geset zt wird . Dann erhalten wir eine Gleichung f ur masselose Teilchen, die besagt, dass die Energie proportional zum Im puls ist:

E=pc.

Wir w ir spate r, in Zusammenhang mit der Quante nt heorie, noch einsehen werden, macht es v ie I Sinn, uber masselose Teilchen zu in den alte n aussehen, dann andern sich die

reden. Tat sachlich gibt eseine enorme Zahl von ihnen, in Form von

M axw ell-Gleichungen, und we nn man eine

Phot onen, die als Quanten elektro magnet ischer St rahlung aufge -

Transf or mati on w ahlt , w elche die Form der

f asst w erden. Der Ausdruck fu r die Energie masseloser Teilchen

M axwe ll- Gleichungen erhalt, andern sich

impliziert, dass diese Teilchen sich imme r mit Lichtgeschw indigkeit

die

New t on schen Gleichungen . Dieser

Grundkonfl ikt zwisc hen zwe i geschatzten

bewegen rnussen - sie konnen sich nicht ausruhe n. Die Gleichun gen der speziellen Relat ivit ats t heorie vermitteln

Dogmen der klassischen Physik wurd e durch

st arke Aussagen von schockierender Einf achheit. Sie lehren uris,

Einsteins Theorie autge lost . die Transforma-

dass die Nat ur sich volll g anders verhalt , wenn w ir Geschw in-

tio n, welche die Maxwe ll-Gleichungen erhalt

dig keit en in der Nahe der Lichtges chw indigkeit betrachten. Dass

(die so genannte Lorent z-Transformat ion)

wi r dies nicht schon viel fruh er ent deckt haben, Iiegt daran, dass

w ar die richt ige. und di e New t on sche

w ir keine Erf ahrung mit solchen Geschwi ndigkeit en hatten . Aber

vom Thron gestoBe n

heut zut age werden in den groBen Beschleunigern die Elemen-

we rden und uberlebt nu r als Grenzfa ll der

t art eilchen zu Geschwi ndigkeit en beschleunigt , die we niger als

M echanik mu sste

viel macht igeren relat ivisti schen M echanik,

ein M ill iardstel

di e Einst ein f ormu lierte .

entfernt sind .

von der maxima l erlaubt en Geschwind igkeit c

Einstein fragte sich selbst, was es bedeuten wiirde, wenn be -

64

schleunigte Beobachter aqulvalent waren. Die Frage fiihrte ihn auf einen einsamen, etwa zehnjahrlgen Weg harter Arbeit, der ihn von der speziellen Relatlvltatstheorie zu einer erstaunlichen, prosaisch allgemeine Relativitatstheorie genannten Theorie brachte, in der die Begriffe Raum, Zeit und Gravitation intim verbunden sind. Das Phanomen der Gravitation ist eine direkte Manifestation der Kriimmung der Raum-Zeit. Energie und Impuls kriimmen die Raum-Ze it , und diese Kriimmung zieht die Bewegung von Materie und die Strahlung in Mitleidenschaft. Einstein 'befreite' die Raum-Zeit von ihre r Rolle als starre Biihne, auf der sich die Physik abspielt. Erverwandelte die Raum-Zeit von einer passiven Zuschauerin in eine aktiven Schauspielerin, die selbst ihre Rolle in den dynamischen physikalischen Prozessen spielt. Die allgemeine Relativitatstheorie erklart eine Vielzahl Beobachtungen, be i denen Newtons Theorie versagte, und was am wichtigsten ist , sie offnete die Tiirzu einer vollig neuen, dynamischen Perspektive des Universums und sagte verbliiffende Erscheinungen wie schwarze Locher voraus. Wi r aile wa ren scho n in einem Fahr stuhl, der nach oben oder unten beschleuni gt w ird. Wenn wir nach oben beschleunigt w erden, f Ohlen w ir uns schwe rer. Und we nn wi r nach unten beschleunigt we rden, fuhlen w ir unslei cht er. Wenn nun jem and die Kabel des Fahrstuhl s dur chschneiden w urde, 50 dass man sich im fr eien Fall befi ndet , 50 wa re alles in di esem Fahr stuhl 'schwe relos': Wenn w ir et w as aus der Hand gleit en Iiegen, w Orde es nicht zu Boden f allen, sondern sich mit uns bewe gen. Aus diesen Beob achtungen k6nnen w ir schliefsen, dass eine Relativita t sth eori e fur beschleun igt e Beoba cht er auch Aspekte der Gravita t ion einschllefsen solite. Der fr ei f allend e Beobacht er

Allgemeine Rei ativitatsth eo rie Die Einstein-Gleichungen

wLirde eine einzigartige Rolle spielen, denn er ist ohne Gravita-

66

tion schwerelos. Einstein hatte 1907 die SchlLisselidee mit dem

iiquivalenzprinzip, in

dem er eine Gravitationsbeschleunigung

postuiierte, die ununterscheidbar von der durch mechanische krafte verursachten Beschleunigung ist. Gravitationsmasse wie

Sieben Vorhersagen

in Newtons Gravitationsgleichung wurde daher mit Inertial masse identifiziert (wie sie in Newtons bekannter Formel F=ma vor-

Kreiselbewegung in Sonnenniihe. Die Kraft

kommt) . Damals war dies eine phenomenologische Annahme,

zwi schen zwei M assen w ie der Sonne und

keine logische Notwendigkeit oder ein fundamentales Prinzip.

eines Planet en we icht von New ton s 'rezi-

Es gibt eine weitere Beobachtung, die man in Verbindung mit

prokem Quadrat geset z' dur ch einige sehr

beschleunigten Beobachtern macht: Betrachte einen Lichtstrahl.

kleine Term e abo So klein sie sein mogen,

Nach Definition bewegt er sich zwischen zwei Punkten auf einer

sie bewirk en, dassdie Langsachse der ellip-

geraden Bahn, denn das ist der kurzeste Weg, von einem Punkt

ti schen Planet enbew egung nicht langer im

zum anderen zu gelangen . Aber wenn wir diese Linie im Refe-

Raum fi xiert ist, sondern sich selbst sehr,

renzsystem eines mit konstanter Beschleunigung bewegten

sehr langsam um die Sonne dreht. FLir den

Beobachters beschreiben, wurde sich der Lichtstrahl auf einer

kleinsten Planet en, Merkur, betr agt diese

Parabel bewegen (einer Kurve konstanter KrLimmung), und die

Prazession etwa 43 Bogensekunden pro

KrLimmung ware gleich der Gravitationsbeschleunigung, d.h.

Jahrhund ert. Die Beobachtun gen sti mme n

dem Gravitationsfeld. Der kurzeste Weg ware gekrLimmt , und

vollsta ndig mit der Theorie uberein.

das ist charakter isti sch fu r einen Raum, der selbst gekrLimmt ist. Worauf also Einsteins Entdeckungen hinaus laufen , ist eine

Die Kriimmung des Liehts. Licht strahlen

Beziehung zwi schen Beschleunigung und Gravitation einerseits

w erden durch die KrLimmung der Raum-Zeit

und zwischen Gravitation und gekrLimmtem Raumandererseits,

beeinflusst (d.h. durch die Gravitat ionskraft).

so dass die Identifikation von Gravitation und der KrLimmung

In Newtons Theorie ist das nicht so. Licht-

der Raum-Zeit unvermeidlich war.

st rahlen verbiegen sich, we nn sie schwe re

Um sich vorzustellen, was ein gekrLimmter Raum ist, kiinnte es

Objekte passieren. Diese Vorhersage w urde

helfen, von drei aufzwei Dimensionen hinabzusteigen . Verglei-

19' 9 wahrend einer Sonnenfinst ernis bests-

che die Oberflache einer flachen Ebene mit der gekrLimmten

tig t. Licht ent fernte r Ste rne w ird gekrLi mmt ,

Oberflache einer Kugel (siehe die Bilder auf Seite 64). Letztere

wenn es die Sonne passiert, w as eine of fe n-

ist eigentlich eine Hache konstanter KrLimmung, denn die Art,

sicht liche Orts -Verschiebung dieser Ste rne

in der die Oberflache gekrurnrnt ist, ist in allen Punkten und

zu den Librigen verursacht. Am spekt aku-

Richtungen gleich . Auf einer Kugel ist der kurzeste Weg zwi-

larsten ist der Effekt der Gravitation slinse,

67

schen zwei Punkten tatsachlich gekrurnrnt - ein Segment eines GrofSkreises. Materie erzeugt ein Gravitation sfeld, woraus Einstein schloss, dass jede Ma sse die Raum-Zeit um sie herum krurnrnt. In zwei Dimensionen wurde eine Masseden flachen Raum zu einer Ebene mit einer 'Beule' um die Ma sse herum krurnrnen, so, als wenn

bei dem man wegen der aufSerordentli chen

man die Ma sse auf eine Gummimembran set zen wu rde.

Krummun g mehrere Bilder einer we it ent f ernte n Galaxie sieht.

Die Einstein-Gleichungen drucken genau die eben beschriebe-

Gravitations-Rotverschiebung. Licht kann

RflV(x,t)die Komponenten der krummung in den verschiedenen

nen Beziehungen aus. Auf der Iinken Seite bezeichnen die Felder

im Gravita t ionsf eld Energie verl ieren oder

Raum -Zeit-Richtungen in j edem Raum -Zeit-Punkt, wa hrend

gew innen. Das bedeute t nicht , dass es

wir auf der rechten Seit e ein Multi-Kompon enten -Feld TflV(x,t)

sich schneller oder langsamer bew egt.

vorfi nden, das die Energie- und Impulsdichte in der Raum-Zeit

sondern dass seine Frequenz abnim mt

beschreibt. Die Indizes fl und v sind Raum-Zeit-Indizes; sie nehmen

(Rot verschiebung) oder zunim mt (Blauver-

die vier Wert e 0, 1, 2 und 3 an, wo bei die Null zur Zeit- Komponente

schiebung). Dieser Effekt spielt e eine grofse

gehor t. Also ste ht auf der linken Seite die gesamte Inform ation

Rolle bei der Entd eckung der Expansion des

uber die Geomet rie der Raum- Zeit, wa hrend auf der recht en

Universum s.

Seite die gesamte Inform ati on uber die Verte ilung von M ateri e

Die Expansion des Universums. Den Glei-

'kosmologischen Konstante' A hatte auf j ede der beiden Seite n

chunge n, w elche die Anderungen in der

geschrieben werden konnen , je nach Interpretati on. Einerseit s

und St rahlung angegeben ist. Der Term mit der so genannte n

Raum -Zeit beschreiben, sollte auch die

bestimmen Materie und Energie. wie die Raum-Zeit gekrurnrnt

Raum-Zeit als Ganzes genugen. Einst eins

ist, andererseits verhalt sich die Krurnrnung der Raum-Zeit w ie

Theorie best immt prazise die Dyn ami k des

die Gravit ation skraft und bestimmt demnach die Bewegung von

Universum s. 19 22 ver6f fe nt lichte der russi-

Teilchen oder auch Licht.

sche Math ematik er Aleksandr Friedmann

Der ent scheidende Punkt ist nicht nur, dass die Raum-Zeit

in der Zeitschrift f ur Phy sik eine Klasse von

gekrurnrnt ist, sondern, noch wichtiger, dass sie dynami sch ist.

Iosungen. die zu sich ausdehnenden Univer-

Sie ist also nicht nur eine math ematisch e Buhne, in der sich di e

sen korrespondiert , und 1929 macht e Edw in

Physik abspielt , sondern sie selbst spielt aktiv mit und nimmt

Hubble die pracht ige Ent deckung, dass das

ihre Roll e in dynamis chen Prozessen ein, genau wie and ere

Universum t at sachll ch expandiert.

physikali sche Freiheit sgrade.

Eine Analogie konnte uns helfen , diese dur ch die Einstein-Glei-

68

chungen folgende radikale Wende in unserem konzeptuell en Verstandnis der Gravitation in den Griff zu bekommen, diesmal nicht in der Gestalt einer gekrurnrnten Raum -Zeit. In den Abschnitten uber Elekt romagnetismus hoben wir hervor, dass das Gesetz, das die anziehende oder abstolSende Kraft zwischen zwei Punktladungen anglbt, sehr ahnlich zu dem Newtonschen Kraftgesetz

Gravitationsstrahlung. Die Theori e sagt die

fur die anziehende Gravitation skraft zwi schen Punktma ssen ist.

Existenz von Gravitationswe llen voraus, die

Weiter erkannte n wir, dass elekt rische und magn eti sche Felder

von der hoh en Gravit at ionsbeschleunigu ng

nicht nur als mathematische Gebild e auftauch en, um Krafte

massiver korper hervorgeru fen wi rd, analog

zwi schen Ladungen zu berechnen, sondern als unabhanglge

zu den elektr omag net ischen Wellen der

physikali sche Freiheitsgrade, die ih r eigenes Gleichungssystem

Ma xw ell -Theori e. Diese Vorhersage w urde

erf ullen rnussen, die Ma xwell-Glei chungen . Diese Gleichungen

noch nicht direkt expe rimen te ll besta t igt,

hatten l.osungen , die elektromagnetischen Wellen entsprech en,

alle rdings hat man einen scho nen indir ek-

die sich im Vakuum ausbreiten - definitionsgemafs mit Lichtge -

t en Beleg: den Energieverlust eines bin aren

schwindigkeit. Dies loste das f olgende alte Problem.

Pulsars aufg rund der Gravitationsst rahlung.

Rutteln wir irgendwo an einer Ladu ng, dann wurde man erwar-

Die M essungen, fu r die Joseph Tayl or und

ten , dass das Feld sich and ert und dass die And erung im Feld

Russell Hul se 199 3 den Nobelpr eis erhi elten

Ursache dafur ist, dass sich eine w eit entfe rnte and ere Ladung

und die jet zt seit mehr als 25Jahren Besta nd

bewegt. Nach dem alten elektrischen Kraftg esetz wurd e die Kraft

haben, st im men ausgezeich net mit den

unverzog ert ubertragen, aber beim St udium der Maxwell-Glei-

Berechnu ngen aufg rund der Einste in-Glei-

chungen findet man, dass eine Ande rung im Feld sich nur mit

chu ngen uberein ,

Lichtge schwindigkeit ausbreit et - wa s natur lich das geheiligte Konzept der Kausalitat rettet.

Schwarze Locher. Die Theo rie hatte noch

Einstein verstand nun sehr genau, dass wegen Newtons Gravitati-

eine andere Oberraschung in petto. Siesagte

onsgeset z derselbe 'unverzogert e Vorgang in der Entfernung' ein

besondere Iosungen voraus,die als schwa rze

konzeptu elles Problem hervorrufen w urde. Mit anderen Worten,

Locher bekannt sind, eine Voraussage, die

mit der speziellen Relativtt at stheorie hatte Einstein den Konflikt

zu ihrer Ents te hungszeit nicht viel Sinn zu

zw ischen Maxwell und den dynami schen Newtonschen Glei-

machen schien. In der Zw ischenzeit gibt es

chungen gelost, aber der Konflikt zum Gravitation sgesetz w ar

eine wac hsende M enge indire kte r expe ri-

bis dahin noch nicht gelost. Erw ufst e, wona ch er suchen rnusste.

ment eller Besta t igungen fur ihre Existe nz.

ein Gleichung ssystem fur ein Gravitationsfeld , das dieselbe Rolle

Schwa rze Locher entstehen, wen n ein schwe-

69

spielt w ie die Maxw ell-Gleichungen fUr den Elekt romagnet ismu s. Die Gleichungen sollten ahnlich seln, aber sicher nicht identi sch; ein Grund hierfi.ir ist , dassdie Gravitationsk raft zwi schen Massen immer anziehend w irkt. Und genau das fand er. Die Tat sache, dass seine Gleichungen eine geometrische Int erpret at ion zulielsen, aus der zugleich die k rurnrnung von Raum und Zeit folgt, war

res stella res Objekt, das all seine nuk leare

unter diesem Gesichtspun kt eine une rwartete , aber gro lsartrge

Energie verbra nnt hat , an seiner eigenen

Zugabe.

Gravita t ion kollabiert, was man auch eine Supernova nenn t. Es w urden Supernovas

Die Einste insche Gravitatio nstheorie gehi:irt zu den asthe-

beobacht et , bei denen die Masse 50 gro~ ist ,

tisc hste n Errungenschaften der t heoret ischen Physik. Sie ist

dass wi r das Ereignis nur als die Ent ste hung

ein heraus ragender konzept ueller Wende punkt und machte

eines schw arzen Lochs deut en ki:innen. Es

eine Rei he bemerkenswerte r Vorhersagen, die sehr we it uber

w ird auch vermu tet , dass riesige schwa rze

Newton s Theorie hin aus gehen. Die wi chti gsten sind nebenan

Li:icher in den Zent ren der Galaxien sit zen

auf gelist et. Mit dieser eindrucksvo llen Liste an Vorhersagen, die

und diese langsam verschlingen .

g ri:i ~te n te ils

durch eine Vielzahl von Experime nte n gerechtfe r-

t igt wu rden, zeichnet sich die allgemei ne Relatt v tt at st heorle

Die kosmoJog ische Konstante. Schliefsltch

als eine der reich halt igsten physikalischen Theo rien aus, die j e

ist da der let zt e Term auf der linken Seite ,

konzip iert w urde n.

m it der 50 genannten 'kosmologischen Konstante' II . Dieser Term wird heut e als die Energie des Vakuum s int erp ret iert , die sogar eine Gravita t ions-Abstofsung bewirkt. Vor nicht lange r Zeit wurd e klar, dass diese Energieform erstaunliche rwei se die Energiedichte des Unive rsums beherrscht , w as die Ursache f ur die beschleunigt e Expansion des Universum s ist. Dies unt erstr eicht die t heoret ische Weisheit , dassDinge, die nicht durch die Prinzipien der Theorie verbote n we rden, 'obligat orisch' sind und irgendw ann einmal in der Nat ur vorkom men we rden.

Das erste Viertel des 20. Jahrhunderts sah zwei groBe wissen-

70

sehaftliehe Revolutionen. Zuerst die Relativitatstheorie, die unsere Sieht von Raum undZeit stark wandelte, und dann die Quantenmeehanik, die unser Denken Uber Materie und Energie zutiefst veranderte. Die Quantenmeehanik fUhrte zu einer grundlegend neuen Denkweise Uber Materieundsorgte fUrein

Quantenmechanik

tiefes Verstandnls einer groBen Anzahl Phanomene, von den

Die Schrddtnger-Glelchung

fundamentalsten Eigensehaften derElementarteilchenbis zu dlversen Aspekten derChemie. DieQuantenmeehanik offnetedie Tiir zumMikrokosmos und erklarte dabei viele derEigensehaften auBerst untersehiedlieher Materialtypen wie Isolatoren, Metalle, Halbleiter und Supraleiter. Die moderne Physik ist immernoeh

Erwin Schrodlnger

verbissen indieweitereUntersuehung derstets Uberrasehenden

Die Geburtsstund e der Quantenth eo rie

Welt von Quanten-Festkorpern, -Fliissigkeiten und-Gasen.

liegt in der '900 von Ma x Planck in seinem St rahlungsgesetz eingef uhrte n Konstan -

Die Quanten-R evol ut io n sorg te fur eine radikale Um beset zung

t en. Spater benutzt e Niels Bohr die Idee

der Grund lagen der t heoret ischen Phy sik. Sie wurde unter ande -

der Materiew ellen zur Erklaru ng der At om -

rem not w endig, wei l die klassischen Theorien vo n Newton un d

spekt ren. Heisenberg gab eine algebraisc he

M axw ell nicht ausreichten, um die beobacht et e Atomstruktur

Behandlun g an (Matrizenme chanik), und

zu beschreibe n. M an nahm an, dass das Ato m aus einem posit iv

Erwin Schrodl nger f ormu lierte seine Wel-

geladenen Kern besteht , der von negativ geladene n Elekt ronen

lenm echanik. Er verof f ent licht e ' 9 27 die

um geben ist , die genau die Kern ladung kom pensieren. Das ent-

erste von vier Arbeite n mit der beruhrnten

sta nde ne Problem kann man w ie folgt besch reiben. Newton

Gleichu ng in den Annalen der Physik und

sagte uns, dass in der vo rgeschlagenen Konfigura tion die Elek-

zeigte, dass die Atomspektren sich aus

tron en sehr rasch um den Kern 'k reisen' wu rden, und dass daher

der t osu ng seiner Wellengleichung fur die

die se Ele ktron en imm erzu st ark besch leunigt wu rden, Ma x w ell

Schw ingungszusta nde ergeben. lm Jahr '9 33,

dagegen erzahlte uns, dass eine beschleunigte Ladu ng beginnen

als Schrodinger von Zurich nach Berlin wech-

wurde zu strah len und dah er merklic h Energie verlieren w urde,

selte, um Nachfolger von Planck zu werden ,

so dass am Ende die Ele kt ron en in den Kern st urzte n, Eine kleine

t eilte er sich den No belpreis m it Dirac. Ais

Rechnung zelgte, dass di e Lebensdauer des At om s etwa eine

aber Hitl er an die Ma cht kam, w ar Schrodin -

M ill iardstel Sekunde wa re. Nach der Theorie w urden Atome also

ger schock iert und beschlolS, Deut schl and

gar ni cht existieren, w as ganz offe nsicht lich den Beob achtu n-

fur ein Stip endium in Oxford zu verla ssen.

2

111

a ¥(r,t)= [11 - 2m \l2+V(r) at

]

¥(r,t)

gen widerspricht. Die Quantentheorie war die Rettung. Blickt

72

man zuruck, so war einer ihrer herausragendsten Erfolge die Erklaru ng der Strukt ur und auch der St abilit at von Atomen und M olekulen, also alle r M at erie. In der Quant enth eorie bilden die gebundenen atomaren Zust ande vo n Elektronen und Kern eine di skrete Men ge - die erlaubten Zusta nde sind quant isiert , und es gib t einen st abil en Zusta nd kleinst er Energie.

Die Theorie beruht auf ein er Anzahl Postulat e ho her Aligeme inheit, die ein Gerust bereit stellen, das im Prinzip aufjedes physikaIischeSystem angew andt werden sollte . Kurz gesagt, unsere Welt

1934 w urde ihm eine perm anent e St ellung

ist quantenmechanisch. Das Gerust der Quantenmechanik folgt

an der Prin cet on Universit y angeboten, die

in keiner Weise aus der klassischen Physik. Es war nur eine Foige

er aber nicht annahm. Erubernahm 1938 eine

des unvermogens der klassischen Theo rien, ein ige wesentliche

Positi on am Inst it ut e for Advanced St udies

Beobacht ungen zu erklaren, dass die Quantenmechanik Schritt

in Dublin, wo er bis zu seiner Pensioni erung

um Schritt konzipiert wurde. Wahr ist, dass unter geeigneten

' 9 55 blieb.

Vorausset zungen die klassischen Geset ze der Physik aus der

Schrodinger w ar nicht glucklich uber die

Quant enth eor ie f olgen , aber keine sfalls umge kehrt. Die Skala,

sta t ist ische Int erpretation seiner Wellen-

bei der Quant enm echani k unverzichtbar wird , ist sehr klein ;

funktion und versucht e, eine Theor ie nur

sie wird durch eine universelle Konsta nte besti rnrnt , die man

mittels Wellen zu entwickeln. Dies f uhrte

Plancksche Konsta nte nennt, h ~ 6.63 X 10- Js. Die Einheiten von

zu Kont roversen mit and eren fUhr enden

h sind Joule pro Sekunde, oder Energie ma l Zeit. Das bedeutet,

Physikern. Nach seiner Pensioni erung kehrte

34

dass Energie geschrieben we rden kann als Plancksche Konstant e

er nach Wi en zuruck . 1944 veroffentlichte

dividiert dur ch die Zeit, oder - was dasselbe ist - mu lt ip liziert

er das kleine Buch Wasist Leben?, in dem er

m it einer Frequ enz.

eine mo lekulare und quantenmecha nische

Die zent rale Gleichung der Quantentheorie, die die physikalischen

wu rde eine Quelle der Inspiratio n in dem

Zust ande und ihr e Zeit ent w icklung beschreibt , ist die beruhrnte

ents tehe nden Gebiet der M olekularb iolo-

Sicht des Problems des Lebens vorstellte. Es

Schrodinger-Gleichung, In der klassischen Me chanik denkt man

gie. Schrodinger arbeit et e alleine, nur zwe i

bei einem Teilchen an einen Punkt mit gegebener Masse, und der

oder drei seiner neun zig Arbeiten w urden

Zustand des Teilchens wird durch seinen Ort und seine Geschwin-

zusammen mit anderen verfa sst. Er sta rb

digke it f est gelegt. Bei gegebener Kraft F oder Poten tial V(x),

nach langer Krankheit im Januar 196,.

73

aus dem die Kraft berechnet werden kann, sagen uns Newtons Gleichungen, wie sich das Teilchen bewegen wird , also wie sein Ort und seine Geschwindigkeit sich mit der Zeit andern. In der Quantentheorie ist die Situation ganz anders: Der Zustand eines Systems, etwa eines Teilchens, wird durch eine Wellenfunktion lIJ(X,t) beschrieben , und die erlaubten Zustand e und ihre Dynamik w erden durch eine Differentialgleichung kontrolliert, der diese Well enfunktion genugen muss. Fur ein frei es Teilchen, auf das keine Kraft ausgeubt w ird, vereinfacht sich die Schrbdinger-Gleichung zur freien Wellenglei chung. Dies druckt die Tatsache aus, dass in der Quantenmechanik Teilchen als Wellen behandelt w erden, und umgekehrt.ln ihren Anfang en wurde die Quantenmechanik auch oft 'Wellenmechanik' genann t. Diese Grund eigenschaft, die man Welle-Teilchen-

Dualismus nennt, wird in ihrer einfachsten Form durch zwei simple Photonen : die Lichtteilchen

Beziehung en ausgedruckt, Die eine st am mt von De Broglie und

Wenn sich Teilchen selbst als Wellen rnani -

set zt di e Wellenlange A der 'Mate riewe lle' in Beziehun g zum

f estieren konn en. ist es dann auch wa hr,

Impul s des Teilchens (mitte ls A = h/m v), und die andere stammt

dass Wellen sich w ie Teilchen verhalte n

von Einst ein und verknupf t Frequenz und St rahlungsenergie des

konn en ? Genau das druck! die Einste in-

Teilch ens (E = hf) . Beacht e, dass die Plancksche Konstante in

Beziehun g E = hf aus. Licht einer gewiss en

diesen Gleichungen eine w esent liche Rolle spielt.

Farbe (= Frequenz) kann als Strom rnasselo-

Die Kleinheit von h in der Welle -Teilchen-Dualitat macht klar,

ser Teilchen (Quanten ) bet racht et wer den,

warum die quantenmechanische Natur der Materie so lange

die man Photonen nennt.ln der Tat st immen

Zeit verborg en blieb. Nehm en wi r m = 1 kg und v = 1 krn/ s, so ist

De Broglies und Einsteins Gleichungen uber-

di e korrespondierende Wellenlange A = 10- rn, w as naturlich

34

pc (und

aufserordentlich klein und nicht fe ststellbar ist. Wenn man aber

c = Af ) f ur masselose Teilchen benutz t ,

ein Elektron der w inzigen Masse m = 10-30 kg ansieht, das sich

ein, w enn man die Beziehung E =

w ie im Abschnitt uber die spezielle Rela-

mit einer nennenswerten Geschwindigkeit bewegt, so hat die

t ivita t st heorie erwa hnt. Es f ol gt , dass die

Wellenlang e eine Grolsenordnung von 10-

Quante nt heorie zu einem gewissen Grad die

die Grbge eines Atom s. M .aW., wenn wir das Verhalten der

10

m, typi scherwei se

vb llig verschiedenen klassischen Konzept e

Elektronen im Atom studi eren woll en, rnussen wir eine quan-

von Wellen und Teilchen vereinigt.

tenmechani sche Beschreibung verwe nden, denn die Wellenlange

der Elektronen-Welle' ist von der Gragenordnung der System-

74

grage, so dass typische Wellen-Eigenschaften wie Interferenz von Bedeutung sein werden. Einer der ersten grofsen Erfolge der Schrodinger-Gleichung war in der Tat, dass das Spektrum atomarer Zustande mit hoher Prazision berechnet werden konnte. Man sah, dass das System aus Elektron und Kern einen stabilen Zustand kleinster Energiebesals: man hatte also eine Theorie, die den stabilen Elementen in der Periodentafel von Mendeleev zugrundeliegt und diese erklart.

Was wissen wir uber die Eigenschaften des physikalischen Systems und wie "linden wir sie, wenn die Wellenfunktion gegeben ist? Die gebrauchlichste Interpretation der Quantenmechanik ist es, zu sagen, dass das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit ist , das Teilchen am Ort r zur Teit

t zu "linden. Dies erscheint etwas paradox. Man

stelle sich als Liisung eine gewiihnliche Sinus-Welle vor. Sie hat eine wohldefinierte Wellen lange und wegen der De BroglieBeziehung auch einen wohlde"linierten Impuls. Trotzdem ist das Teilchen gleichzeitig nicht sehr scharf lokalisierbar, denn die Wellenfunktion ist LiberaII von Null verschieden . Das andere Extrem entspricht der Situation einer sehr genau lokalisierbaren Wellenfunktion, die stark um einen einzigen Punkt konzentriert ist. Ublicherweise beschreibt diese Wellenfunktion ein an diesem Punkt lokalisiertes Teilchen, aber nun hat diese Funktion keine wohldefinlerte Wellenlange, d.h. wir konnen nicht viel uber seinen Impuls oder seine Geschwindigkeit sagen. Daraus folgt jetzt die Liberraschende Aussage, dass die Quantentheorie die physikalische Realltat aufmischt. Man kann nicht gleichzeitig alles uber Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens wissen . Aus der Welle-Teilchen-Dualitat ergibt sich eine unscharte im Ort /s»: und eine Unscharfe im Impuls /sp,

~x~p~h/4n:

75

die zusammen die Heisenbergsche unscharferelatlon erfullen mussen, die aufSeite 74 notiert ist. das Produktmuss wenigstens so grog sein wie die kleine Zahl h/4TI. In diesem Sinn scheintdie Quantenmechanikeine Hnschrankung der Ziele und Erwartungen der klassi schenPhysik zu sein,in der die Natur im Grundsatz vollst andig vorhersehbarist. DieVorhersagbarkeitwurde sowohl Wissen uber den Ort alsauch uberden Impuls einesTeilchens in beliebiger Genauigkeit erfordern, und genau das schltelst die Unscharferelation prinzipiell aus. Kennt man den Ort einesTeilchen s zu einer gewissen Zeit genau, aber weig nichts uber seine Geschwindigkeit, so kann man natLirlich nicht s daruber sagen, wo das Teilchen etwas spater sein wird. Wegen der Heisenbergschen unscharferelatton sollt e man von einer 'gewi ssen Unscharfe' reden.

Orts-Impuls-Dualismus Die unscharterelatton kann man in Analogie

Dieser wahrscheinlichkeitstheoretische Aspekt der Quantenme-

zu Schallwellen verstehen. Eine Schallwelle

chanikfuhrte seit ihrer Konzeption zu leidenschaftlichen Debat-

einer einfachen Frequenz(oder Wellenlange)

ten. Insbesondere die unscharte wurde manchmal als eine Art

korrespondiert zu einem reinen Ton, ahn-

grundsatzlicher Unvollstandlgkeit der Theoriewahrgenommen.

lich zum Zustand einesTeilchens mit genau

Man schlug vor,es gabe versteckteVariablen, aber diesewurden

bekanntem Impuls.Um dieTonhohe exakt zu

durch ein Resultat vonJohn Bell und dessen experimentelle sesta-

best immen, muss man ihn einegewisse Zeit

tigung ausgeschlossen. ln einem philosophischeren Ansatzredu-

horen, wasvielen Schwingungenentspricht.

ziert sichdie uberwalttgende experimentelle Beweislageauf die

Daraus folgt, dass ein reiner Ton nicht sehr

Aussage, dass wir den wahrscheinlichkeitstheoretischenAspekt

gut 'zeit lich lokalisiert' ist. Wenn ich im

als grundlegend in der Natur akzeptieren mussen, wor ausfolgt,

Gegensatz dazu in die Hande klat sche, ist

dass gewisse Fragen - wie etwa nachder Geschwindigkeit eines

dasGerausch sehr kurz und daher gut zeit-

exakt lokalisierten Teilchens - einf ach keinen Sinn machen. Bis

Iich lokalisiert, aber wenn ich wissen mochte,

heute ist die Quantenth eorie,trotz all ihrer gegen die Int uiti on

welcher To n dazu gehort, soware es korrekt

gerichteten Aspekte, die erfolgreichste Theorie der Natur, die

zu sagen, dass aile Frequenzen oder Tone in

wir kennen. Wie w ir im verbleibenden Teil dieses Buchessehen

dem Gerausch vorhanden sind. Offensicht-

werden, bleiben ihre Postulate bis hinunt er zu den tiefsten

lich kann man nicht beides haben.

bekannten Ebenen der Natur bestehen.

Eine gravierende Einschrankung der Schrodinger-Gleichung

76

ist ihre lnkompabllitat mit der Relativitatstheorie. Die DiracGleichung ldste dieses Problem; sie vereinigt die Konzepte der Quantenmechanik und der speziellen Relativitatstheorie und beschreibt die quantenmechanischen Eigenschaften von Teilchen wie Elektronen, Protonen, Neutrinos undQuarks. Die

Das relativistische Elektron Die Dirac-Gleichung

Analyse dieser Gleichung erklarte auf elegante Weise einige derschwer fassbaren Teilcheneigenschaften wie etwa Spin und gab eine tragfahlge Begriindung fiir das so genannte PauliPrinzip, dasfiir die Erklarung der Atomstruktur unddesPeriodensystems notwendigwar. Nichtzuletzt sagtedieGleichung die Existenz von Antimaterie voraus: zu jeder Teilchen-'Art' gibt eseine assoziierte Art mit genauden entgegengesetzten Eigenschaften (wie Ladung), aber derselben Masse. Trotz ihrer gewalti gen Erfolg e hatte die Schrodlnger-Gleichung

Paul Andrien MauriceDirac

ein w esent liches M anko: sie wa r nicht mit der speziellen Re la-

Paul And rien Ma urice Dirac w urde am 8.

ti vltatsthe orie vert ragllch. Das kann man aus der Tat sache

August '902 als Sohn eines Schw eizers

schliefsen, dass in der Gleichung die Orts- und Zeitva riablen

und einer Englanderin in England gebo ren.

x und t nicht gl eichberecht igt vorkom men: sie enthalt eine

Er st udierte Elektrotec hnik und Mathemati k

einfach e Zeitabl eitung, aber eine zweit e Ableitung nach den

in Brist ol und besucht e das St. John's Col-

Ortskoordin aten . Dirac loste dieser Problem mit der nach ihm

lege in Cambr idge als Forschungsst udent

benannten Gleichung .

in Math emati k. Er erhielt 1926 seinen Dok-

Die Dirac-Gleichung hat eine recht verw ickelte math em ati sche

t orgrad und wurde M itg lied des St. John 's

St rukt ur, die durch die komp akt e Not ation et wa s verst eckt wird ,

College. Er w urde 1930 zum Mitgli ed der

also nehmen wir uns etwas Zeit und kommentieren die benutzte

Royal Society gewa hlt und erhielt 1932 den

Notation. Da kommt ein Index J-l vor, der die Werte 0, 1, 2 oder 3

Lucas-Lehrstuhl f ur Ma t hemat ik in Cam-

annim mt, die gleichberechtigt fur die Zeit- und drei Ortskompo-

bridge. Dirac te ilte sich den Nobelpreis f ur

nent en stehen . Die vier Felder AJ-l' die man 'elektro magnet ische

Physik 1933 mit Schrodinger. 1971 zag er von

PotentiaIe' nennt, beschreibendaselektromagnetische Feld, in dem

Cambridge nach M iami, wo er eine Professur

sich (beispielsweise) das Elektron bewegt, und me ist die Masse

an der State University of Flor ida annahm .

des Elekt rons. Das Ele ktronenfeld w ird hier durch eine Funktion 1IJ

Er sta rb 1984.

mit vier Komponenten beschrieben . Die so genannten 'Gamma-

78

Matrizen' yfJ sind vier numerische Matrizen (4x4-Anordnungen vorgegebener Zahlen), die man auf eine ubllche mathematische Art mit den Komponenten von lIJ multipliziert. (Eigentlich haben wir einen zusatzlichen Komponenten-Index bei lIJ unterdruckt , um die Notation nicht noch komplizierter zu gestalten .) Die Analyse der Gleichung offen bart die Bedeutung der vier Komponenten des Dirac-Felds. Sie enthalt die Beschreibung der irgendwie mysterlosen Eigenschaft Spin, die am besten als eine Art int rinsischer Rotations-Freiheitsgrad charakterisiert wird . Wir konnten sagen, dass das Elektron das quantenmechani sche Aquivalent eines win zigen Kreisels ist - Iinks- oder rechtsdrehend . Bemerkenswerterweise stellte sich heraus, dass die Gleichung nicht nur die beiden Spin-Komponenten eines Elektrons beschreibt, sondern auch die beiden Spm-Zustande eines anderen Teilchens mit genau derselben Masse, aber entgegengesetzter (positiver) Ladung. DiesesTeilchen nennt man daher das Positron. C.D. Anderson entdeckte '932 experimentell dieses erste Beispiel eines 'Ant iTeilchens'. Eswurde offensichtlich, dasseigentlich aile Teilchen in der Natur Antiteilchen mit genau entgegengesetzten Eigenschaften besitzen, so dass, wenn sich Teilchen und Ant iteilchen treffen, das Paar sich gegens eitig ausloschen kann und in reine Energie in Form elektromagnetischer Strahlung umgewandeit wird - ein 2

dramatischer Fall der Gleichung E=mc • Wegen der besonderen

Man erzahlt, dass Dirac die bffent lichkeit

Spin-Eigenschaften nennt man das Vier-Komponenten-Objekt

hasste und nur w enige Worte machte. Trotz -

lIJ eher einen Spinor als einen Vektor.

dem ist sein Buch uber Quant enm echani k

Weitere Analyse der Dirac-Gleichung fuhrte zu einer Erklarung des

imm er noch eines der elegante st en und gut

Ausschlussprinzips von Pauli. Diese Regel,die fur Elektronen und

geschriebenste n zu diesem Thema. Vielleicht

aile anderen durch eine Gleichung vern Dirac-Typ beschriebenen

passt beides zu seiner Aussage: 'In der Schule

Teilchen gilt, besagt , dass niemal s zwei oder mehr dieser Teilchen

w urde m ir beigebracht , nie einen Satz zu

genau denselben Zustand besetzen durfen. Dies war ent schei-

beginn en, ohne das Ende zu kenn en.'

79

dend, aber bis dahi n ein Ad- hoc-Bestandt eil der Quant enth eorie, not lg, um das Periodensyste m der Elemente zu erklaren, In der Tat, da die Ele ktronen im At om nicht aile in demselben Zustand niedr igster Energie sein konnen, rnussen sie systema tisch die h6heren Energiezust ande fullen, wodurch verschiedene Atomt y pen v611ig verschiedenes chem isches Verhalten zeigen.

Quanten -Elektrodynamik

Die Dirac-Gleichun g zusamm en mit den M axwell -Gleichun gen bilden die Quante n-Elekt rodyna m ik (QED), die Quantent heorie der Elektrone n, Positronen und Phot on en. Diese Theorie wu rde nach dem zw eit en Welt krieg durch die amerikanischen Physiker Richard Feyn man und Julian Schwi nger sow ie den Japaner ShinIchiro Tomonaga vervollstandigt . Sie erw ies sich als aufserst genau, Quantenfelder

w ie eine Vielzahl sehr praziser Messungen der mag neti schen

Die klassische Physik hand elt vo n Teilchen,

Im pulse des Elekt ron s und eines Myon genannten Teilchens

Kraften und Wellen. In der Quant ent heorie

besta tigten . Die Quant en-Elektrody nam ik ist der Protot yp

ent deckte n w ir, daIS irgendw ie die aufse rst

dessen, was heut e eine Quantenjeldt heorie genannt wi rd, das

verschiedenen klassischen Begrif fe Teil-

Gerust, in dem man die relati vist ische Dynam ik der Element ar-

chen und Welle in dem Sinn vereinhe itl icht

t eilchen und f undam enta len Krafte fo rmuliert. Sie ste llt eine

w urden, daIS sie kom plernentar erscheinen .

aulSerst erfolg reiche Beschreibu ng des Verhalten s der Natu r im

In der Quante nfeldth eorie sind es die Viel-

element arst en Bereich dar.

t eilchenzust ande. die verschiedene Anzahlen

Es ist beme rkensw ert, dass in diesem Gerust die Unte rschei -

unter schiedlicher Teilchenart en beschreiben,

dung zwischen Kraften und den Teilchen, auf die diese Kraf t e

von denen j ede der Einst ein-Beziehung zwi -

w irken, entfernt w ird; Quant enf elder beschreiben beides. Eine

schen Energie, Masse und Impuls genugt. Die

Kraft w ird als Austau sch von Zw ischent eilche n beschrieben,

Quantenfelder kann man benutzen, um unte r

welche die Kraft ' t ragen', f ur den Elekt romagnetis m us ist dies

Beacht ung der Wechselwi rkun gen Teilchen

das woh lbekannte Photon . Erst nach der Entw icklu ng einer

zu erzeugen oder zu vernichte n. Es ist eine

Quante nfe ldtheorie kann man auf eine umfassend e Behand-

Sprache, in der aile Teilchen und Krafte gleich-

lung aller fund ament alen Wechselw irkungen der Natur aus einer

berechti gt als Quanten korrespondierender

ein heitl ichen Perspekti ve hoff en.

Quant enfelder beschrieben w erden.

Nach unserem derzeitigen Wissensstand gibt es vier funda-

80

mentaleKraftein derNatur. Wir haben bereits Gravitation und Elektromagnetismus behandelt, denn beides manifestiert sich unmittelbar in der makroskopischen Welt, und wir haben die esTatsachen, diemit diesen beiden Kraften nicht erklart werden

Die starke Wechselwirku ng

konnen, ZumBeispiel wurdeentdeckt, dass dieKerne derAtome

Quanten-Chromodynamik

jeweilsfundamentalen Gleichungen vorgestellt. Trotzdem gibt

aus kleineren Bausteinen bestehen, Neutronen und Protonen, letztere positivgeladen. Dies gab Anlass zu folgender Frage: wenn sich gleichartige Ladungen abstoBen, wie konnen dann

Historische Bemerkung

diese positiv geladenen Protonen 50friedlich im Kern zusammen

M urray Gell-Mann und George Zw eig schlu-

sitzen? Warum fliegtderKern nicht auseinander? DieAntwort war

gen in den 1960er Jahren als Erste die Quarks

einfach: es gibteineKraft,diestarker als dieelektromagnetische

vo r, aber erst zehn Jahre spate r w urde die

Kraft ist, die den Kern zusammen halt und auf Protonen und

Qua nte n-Chromodynam ik als Theo rie f ur

Neutronen inderselben Weise wirkt- mannenntden Effektrich-

die starke Wechselw irkung zwisc hen Quarks

tigerweise starke Wechselwirkung. DieTheorie zurBeschreibung

f ur Proto nen und Neut ronen fo rm uliert. Fril-

dieser Wechselwirkung heiBt Quanten·Chromodynamik (QCD).

here vo rschlage vo n Yoichiro Nambu und

Inden70erJahren desletzten Jahrhunderts wurde entdeckt, dass

vo n Murray Gell-Ma nn un d Harald Frit zsch

auch dieProtonen undNeutronen selbst zusammengesetzte Teil-

benutz te n Gleichungen, die in einem ande-

chen sind, sieenthaltenjeweilsdrei50genannte Quarks. Diese

ren Kon t ext bereits ' 9 54 vo n Yang und

Quarks wurden niemals alsfreie isolierte Teilchen beobachtet,

Mill s verwe ndet w urden. Wesent lich fur

denn offensichtlich sind sie permanent aneinander gebunden

die erfol greichen Vorhersage n der Theo rie

undbegrenzt aufdaslnnere von Teilchen, die Hadronen genannt

wa r die Entdeckung asymptotischer Freiheit

werden, wie Proton undNeutron. DieQuarks geniigen derstar-

- der Eigenschaft, dass die sta rke Wec hsel-

kenWechselwirkung, dennsietrageneineArt Ladung, die man

w irkung bei kleine n Absta nde n schwac h

'Farbe' nennt(dienichts mit normaler Farbe zutun hat),welche

w ird. Fur diese Ent dec kung w urde 20 04

siefest in diesen Kompositionen gebunden halt.

der Nobelpr eis fur Phy sik an David Gross, David Politzer un d Frank W ilczek verliehen.

Die Quanten -Chromodynamik beschreibt das Verhalten von Quarks

Die Eigen schaft asymp to t ischer Freih eit ist

und der st arken Wechselwirkung. DieseWechselwirkung wird durch

Grundlage vieler Versuche, die Beschreibung

Teilchen vermi ttelt , die man Gluonen, nennt , denn diese ' kleben'

der f unda me nta len Wec hselwi rkungen zu

(engl. glue) die Quarks in farblose Verbande, Hadronen, zusammen.

verein heitliche n.

Es gibt eine starkeRest-Wechselwirkung zwischen den Hadronen,

82

die beispielsweise Neutronen und Protonen im Kern zusammen halt. Das ist ahnlich wie bei der Atomphysik, in der die Atome durch elektromagnetische Krafte zusammen gehalten werden, die auch fur die Bindung der Atome zu Molekulen oder Kristallen verantwortlich ist.lm Gegensatz zuQuarks haben Elektronen keine Farbe und sind daherunempfindlich gegenuber der st arken Wechselwirkung. Sie werden nicht gebunden.

Die Lagrange-Funktion

DieQuanten-Chromodynamik wird durchdieersteFormel vollstan-

Wie kommt es, dass w ir eine ganze Theo-

dig beschrieben. Die zweite Gleichung enthalt die Definition der

rie durch gerade eine Formel beschreiben

Farb-Felder Fin Abhanglgkelt vom Potential A. Die Formeln sind

konnen? L heilSt nach seinem Erfinder Lag-

von bemerkenswerter Schonhelt, aber trugerischer Einfachheit.

rang e-Funktion. Es ist eine Funktion von Fel-

Das liegt an einem speziellen Typ mathematischer Symmetrie,

dem, die nahe verwandt mit dem Ausdruck

den man 'Eichsymmet rie' nennt.

fUr die Energie ist. Wahrend w ir gewohnlicb

Wirfassen kurzeinige der grundlegendenEigenschaften desAus-

die Gesamtenergie Eals Summe eines kine-

drucks zusammen, ohne allzu speziell zu werden. Dererste Term,

ti schen Ante ils (bzgl. der Bew egung) und

der quadratisch in Fist, beschreibt die (mit dem Index a beschrif-

eines potenti ellen Antei ls schreiben, ist die

teten) Gluonen und die starke Wechselwirkung zwischen ihnen.

Funktion L die Diffe renz aus kinetischem

Wahrend die elektromagnetische Wechselwirkung nur durch

und potenti ellen Anteil. Die Grunde dafur,

eine Art Teilchen, das Photon, vermittelt wird, muss man in der

die Theorie durch dieseFunktion zu best im-

Quanten-Chromodynamik mit acht verschiedenen Teilchen leben,

men,sind ihre eingebauten Symmet rien und

den Gluonen. DieGluonengenugeneinemGleichungssystem, den

ihre Okonornie- ein relevanter Aspekt , denn

Yang- M ills-Gleichungen. Diese sind eine schoneVerallgemeine-

diebetrachtetenTheorien werden immer ver-

rung der Maxwell-Gleichungen und verwerten dasSymmetrieprin-

w ickelter.Ausder Funktion L kann man direkt

zip, dasman lokaleEichinvarianz nennt. Man lasse sichnievon der

aile gekoppelt en Gleichungen herleiten, die

Eleganz der Gleichungen tauschen, dennwas dasLeben besonders

die verschiedenen Felder erfUllen rnussen,

schwermacht, ist, dass dieGluonen selbstfarbige Ladungen tragen

ihre Wechselw irkungen eingeschlossen.

und dafur aufeinander krafte ausuben,

Wir hatt en auch eine Lagrange-Funktion

Derzweite Ausdruck mit den beiden Feldem ljJ beschreibt die sechs

fUr die Quanten- Elektrodynamik not ieren

verschiedenen Arten von Quarks (mit dem Indexfnummeriert,

konnen, was darauf hinaus lauft, sowohl

denn man nennt sieoft Quark-Aromen (engl.: flavors). Weiter gibt

Maxwell- als auch Dirac-Gleichungen fur

es einen Term mit den Feldem Aa, der die Wechselwirkung der

elekt romagnet ische Felderanzugeben.

83

Quark s mit den Gluonen bestimmt. Die Quark-Gleichungen sind ahnlich zur Dirac-Gleichung, wenn man die Elektronenfelder durch die Quark-Felder und das Photonenfeld durch die Gluonenfelder ersetzt. Die oberflachliche Ahnli chkeit zwi schen den beiden Theorien ist kein Zufall : sie spiegelt eine univer selle Eigenschaft wieder, in der die Krafte der Natur wirken . Aber die komplizierte Dynamik der Gluon en macht es schw ierig, die kombinierte Dynamik von Quarks und Gluon en aus dieser Theori e zu erhalt en. Es gibt aber eine wundersame Eigenschaft, die uns schliefSlich eine Handhabe fur einige wesentliche Aspekte der starken Wechselwir -

Asymptotische Freiheit

kung gibt. Man bezeichn et sie als asymptotische Freiheit. Esstellt

Die Eige nschaft asym pto t ischer Freiheit ist

sich heraus, dass, wenn wir sehr tief in das Proton hin einsehen

analog zu der Art und Weise, in der di e Kraft,

und untersuchen, wa s mit der st arken Wechselwirkung geschieht ,

mit der die Erde ein massives Obje kt anzieht,

wenn die Quarks ganz nahe aneinander rucken, wir erfahren, dass

vari ieren wurde, w enn die ses Obje kt sich

die farbige Kraft immer schw acher wird . Der Grund dafur liegt

durch die Erde hin d urch zum M itte lpunkt

hauptsachll ch darin, dass, da die Gluonen selbst f arbige Ladungen

bewegen w urde. Ma n kann zeigen, dass,

tra gen, die Ladung des Quarks sich gewi ssermafSen uber eine Wolke

wenn das Obje kt sich in ein em gewi ssen

von Gluonen vert eilt , die das Quark umgeben.

Radius befindet , nur di e M asse des Teils der

Wie k6nnen w ir nun die Starke dieser Wechselwirkung charakt eri-

Erde inn erhalb der Kugel mi t diesem Radius

sieren?1stsie sta rk oder schw ach oder beides zugleich? Die Starke

bettragt , Bewegt m an

der Gravitation skraft wird durch Newton s Konstant e bestimmt,

sich also im mer naher zum M ittelpunkt, so

fur die elekt romag net ische Wechselwirkung ste ht die fundamen-

ni m mt die 'ef f ekt ive Ma sse' der Erde ab

t ale elekt rische Ladung, aber konn en wir irgend etwas uber die

un d die Sta rke der Gravitation skraft ginge

Kopplungsparam et er 9s der st arken Wechselwirkung sagen?Was

im M ittelp un kt gege n Null. Auf ahnliche

man tun mu ss, ist, ihr e Sta rke auf einer Skala anzugeben - ein e

zur Anzie hungs kraft

We ise wi rd die starke Wec hselwi rkung auf

l.angen-. Energie- od er Mass enskala (denn diese Gr6fSen sind

klein en Skalen schwach und die Quarks ver-

aile durch die uni versellen Kon st anten h und c verbunden). M an

halt en sich dann wie fr eie Teilchen. Dank der

k6nnte sagen, dass die Skala, bei der die St arke der Wechselwirkung

asymptotischen Freih eit konnten Vorhersa-

beacht ensw ert ist (sagen wir, von der Ordnung einer Einheit) , die

gen gemac ht werde n, die ex per imen t ell in

Skala der Physik die ser Theorie bestimmt. Diese Skala gibt die

vielen der grofSen Teilchenbeschleunigern

Protonenmasse m p vor. Und daher ste ht die Prot on enm asse in

der We lt he rvor ragend besta tigt wu rde n.

der Tabelle der fund amentalen Teilch en.

Die letzte der vier bekannten Krafte ist die schwQche Wechselwirkung. Sie ist verantwortlich fUr den spontanen Zerfall

84

gewisser radioaktiver Kerne - z.B. Uran- wobei ein Neutron im Kern in ein Proton, ein Elektron und ein Anti-Neutrino

zerfallt, Die schwache Wechselwirkung ist daher die Kraft der Kernenergie. Becquerel und dasEhepaar Curie entdeckte bereits 1896 solche Zerfalle, aber erst um 1970 wurde eine

Elektro-schwache Wechselwirku ng DasGlashow-Weinberg-Salam-Modell

zufriedenstellende Theorie vervollstandlgt, die vertraglich mit den Prinzipien der Quantenmechanik ist. Die schwache Wechselwirkung wirkt auf Quarks genau so wie auf Elektronen, Neutronen und ahnllche Teilchen. Am bemerkenswertesten ist, dass diese konsistente Theorie auch die elektromagnetischen Wechselwirkungen enthalt. Eine

Historische Bemerkung

erzwungene, aber nichtsdestotrotz Uberschwengliche Heirat

Die elektro -schwa che Theori e wu rde 1968

beiderWechselwirkungen war erreicht. Die elektro-schwache

f ormuli ert, aber ihr e Voraussagen kon nt en

Theorie wirdmittels vier krafteiibertragender Teilchen beschrie-

erst viel spat er mit Teilchenbeschleuniger-

ben (drei W- und ein einziges B-Teilchen), von denendrei mit

Exp erim ent en nachgepruf t we rden. 1993

derschwachen Wechselwirkung zutun haben (gewohnlich W+-,

erh ielte n Shelly Glashow, Steven Wein-

W-- undZ-Teilchen geschrieben), wahrend eineandereKombi-

berg und Abd us Salam den Nob elpreis f ur

nation derTeilchen mit dem Elektromagnetismus identifiziert

diese Theor ie. Das W-Teiichen w urde am

wird (dasPhoton, mit y abgekUrzt) .

CE RN ent deckt , wofur Carlo Rubbia und Simo n van der M eer 1984 den Nob eipr eis

Der definierende Ausdruck sieht schrecklich kompliziert aus, und

erhielte n. Der Beweis der math emati schen

trot zdem ist es nicht so schw er, dieselbe generische Struktur zu

Konsistenz der Theorie und die Entwicklung

erkennen, die schon in anderen, vorher betrachtet en Beispielen

wese nt licher Werkzeuge zur Berechn ung

auftrat. Die Summen-Lagrange-Funkt ion LE- W setz t sich aus vier

wu rden von Gerard 't Hooft und Ma rt inus

Teilen zusamm en. Der erste Teil Lg beschreibt die kraftetr agenden

Veltm an geleiste t. Dies macht e es miiglich,

Teilchen und ihre Wechselw irkung (voll standig analog zu dem in

sehr genaue Vorhersagen zu machen, die in

F quadratischen Ausdruck f ur die Gluonen in der Gleichung der

zahlreichen Experime nte n in den grolSe n

sta rken Wechselwirkun g). Der zw eite Teil Lf ent halt aile Teilchen

Teilchenbeschleunigern der Welt best ati gt

vom Dirac-Typ und ihre Wechselw irkung mit den kraftetr agenden

w urden. Beide erhielte n fur ihre Arbeit 1979

Teilch en. Das Etikett i deutet di e verschiedenen Teilchen arten

den Nobelp reis.

LE-w=Lg+Lf+LH+L m 1 B~vB Ls": 41 G~vGa a ~v- 4 pv

Lf =4~Li(i~+g W ata+gBy) ~Li I I

+2 ~Ri(i~+g$Y)Ri LH = - (DvQ>)t(D ~)- ~ 2( Q>tQ»+ A( Q>tQ» 2

J.

L m =- (Cij ~LicP~~j) I,J

86

an: Elektronen , Quark-Aromen, Neutrinos, etc. Einewi chtige Raffinesse dabei hat damit zu tun, dassdie schwache Wechselwirkung linksdrehende (L) und rechtsdrehende (R) Spinkomponenten

von Teilchen vom Dirac-Typ unterschiedlich

beeinflus st. Mit anderen Worten , die Natur hebt die Spiegelsymmetrie in einem sehr grundlegenden Bereich auf und

bevorzugt DAS STANDARD -MOD elL

die linksdrehende Vielfalt der Materie. Wenn also ein gewisser Prozess stattfinden soli, konnte das Spiegelbild dieses Prozesses ein unrnoglkher Prozess sein. In der Tabelle des Standard-Modell s rechts sehen wir Quarks (in drei Farben) und sechs Sorten Leptonen . Die sechs Typen Quarks, up,down,charm, strange, top und bottom, sind die vorher genannten 'Arornen'. Die sechs Leptonen befinden sich in zwei Spalten: links die Elektronen und ihre schwereren Kapien, recht s die zugehorlgen Neutrinos. Trotz der bedeutenden Verringe rung der Anzahl grundlegen-

Lep t o n en

Quarks

u

d

e

Ve

c

5

f.J

VfJ

t

b

T

VT

der Bausteine der Materie werden immer noch ziemlich viele Namen vergeben. Auch gewohnlkhe Materie ist hauptsachlich aus Teilchen der erst en Zeile aufgebaut (up- und down-Quarks und Elektronen) . Die drei Reihen nennt man die drei Familien

von Elementarteilchen ; sie haben etwa dieselben Eigenschaften - nur ihre Massen werden von oben nach unten gr6Ber. Die schwache Wechselwirkung erlaubt es den schweren Teilchen, in die leichteren Teilchen der ersten Familie in der obersten Reihe zu zerfallen : aus Ihnen besteht die stabile Materie in unserem Universum . Diese durch die schwache Wechselwirkung verursachten Obergange zwi schen den fundam entalen Teilchen beobachten wir als radioaktiven Zerfall

von Kernen. Daher ist

die schwache Wechselwirkung die Kraft der Kernenergie. Die durch diese Zerfalle bestimmte Starke der schwa chen Wechselwirkung wird hauptsachlich durch die Ma sseder W-Teilchen charakterisiert.

87

Der dritte Teil der Lagrange -Funktion ist der skalare Teil LH' Er besehreibt noeh ein anderes Teilchen , das hilfreieh fur diese Theorie ist, das so genannte Higg s-Teilehen, das gebrau eht w ird, um den meisten anderen Teilehen Masse zu geben . Das Higgs-Teilehen wurde noeh nieht beobaehtet, aber man nimmt an, dass es entdeekt w ird, w enn der Large Hadron Collider, ein neuer Besehleuniger am CERN in Genf, fertig gestellt sein wird . Das Higg s-Feld ist von hoher Bedeutung, denn in gewissem Sinn erklart es den Ursprung von M asse. Dieses Feld ist als bestandiger Untergrund vorhanden, dureh den sieh die anderen Teilchen bewegen mu ssen und sieh dabei aneign en, was wir Masse nenn en. Die Masse der Dirae-Teilchen wird dureh die vern letzten Teil Lm erzeugten Weehselwirkungen bestimmt.

Trot z aller Komplikati onen und Feinheiten ist es lohnend, die offensiehtli ehen Ahnliehkeiten in den Theorien der sehwa ehen, elekt romagnet isehen und starken Weehselwirkung zu beaeht en : sie beruhen auf dem selben Eichsymmetrie-Prinzip. Die vereinigt e Theorie dieser drei Weehselwirkungen nennt man das Standard -M odell der Elementarteilehen. In der Tabelle auf Seite 86 werden aile Bestandteile angegeben. Es ist die mod erne Version des Period ensystems der Elemente und fuhrt zu ein em dramatisehen Sprung naeh vorn - ausgehend von der guten alten Periodenta f el Mendeleevs, die w ir aile in der Sehule anstarrten. Esist paradox, dass gerade der Weg des kompromisslosen Reduktionismus uns zu so leh einer st ark vereinheit lieht en Perspekti ve der ganzen Natur gefuhrt hat.

Wir haben nun vier fundamentale Krafte identifiziert: das

88

Standard-Modell beschreibt drei von ihnen, und die vierte - Gravitation - wird durch die allgemeine Relatlvltatstheorle charakterisiert. Das Standard-Modell ist eine Quantentheorie, nichtaber die allgemeine Relativitat stheorie. Es lst wenig iiberraschend, dass mit diesen erfolgreichen Schritten in Rich-

Stringtheorie

tung einer vereinheitlichten Beschreibung von Teilchen und

DasAuftreten der Superstrings

Kraften die Hoffnung und Erwartung wachst, dass wir eine allumfassende Theorie der Natur ansteuern, die eine Quantentheorie der Gravitation enthalt. Man betrachtet das als

Historische Bemerkung

den heiligenGral der Grundlagen der Physik.

Die St ringt heo rie trat zuerst in den f ruh en

1m Moment istder anspruchsvollste Versuch der Formulierung

1960er Jahren in Ersche inung, als mog liche

einersolchen Theorie dieStringtheorie, beider diefundamen-

Theori e f ur die sta rke Wechselwi rkung,

talen Bestandteile der Materie und aile wechselwirkenden

aber sie w urde verlassen, als die Quanten -

Krafte Manifestationen einer zugrunde liegenden Dynamik

Chromo dy nam ik daher kam . lhr e Berufun g

von Strings ist. Diese Strings sind so winzig, dass es kaum

fand di e Theori e 19 83 als ernst hafte r Kandi-

Hoffnung auf eine direkte Beobachtung gibt. Die Glaubwiir·

dat einer Theor ie der Quante n-Gravit at io n,

digkeit der Theorie muss also indirekt erreicht werden. Eine

eigentl ich einer Theo rie aller Wechselw ir-

Vorhersage (oder Ergebnis) der Theorie ist die Tatsache, dass

kungen und aller Teilchen. GroBartige Bei-

aile Teilchen notwendigerweise supersymmetrische Partner

trage zu die sem Thema kamen vo n vielen

besitzen, und, dass die Welt in dieser grundlegenden Ebene

W issenschaft lern : Wir erwa hnen di e fru hen

zehn, vielleicht elf Dimensionen hat. Die Skala, auf der sich

Arbeite n von Joel She rk, John Schwarz und

diese Eigenschaften zeigen, wird immer nochdebattiert.

Michael Green und Alexander Polyako v. Edwa rd W itten, der zur Zeit Einstein s

Die Suche nac h eine r verei nheit lic ht en Feldt heorie geh t zur uck

Lehr stuh l am Inst it ut e f or Adv anced St udy

auf Einst ein, der die spate ren Jahre seines Lebens diesem Problem

in Princeton besetzt, schrieb vie le nachh al-

w id met e. Uber die Jahre w urden viele unterschiedlich erfo lgreiche

ti ge Beitr age sowo hl zu der mathe mati schen

Versuche unt ern om men. Ein Beispiel ist die hochst sym met rische

Formu lierung als auch zur Int erpret at ion der

groBe vereinheit lichte Theori e, die versucht, sta rke, schwa che und

Theorie. Es uberrascht w enig, dassdie St ring-

elekt rom agn eti sche Wechselw irkung in einem einzigen Mode ll zu

t heorie in ihrem allumf assenden Ehrgeiz eine

vereinen . Diese Theori e erklar t etwa die einfac he expe rime nte lle

g roBe Anz ahl ta lent ierter junger Forscher

Tat sache - bisje tz t von keiner Theor ie fasst - dass Elektr on und

aus aller We lt in ihre n Bann zieht.

Proton genau die selbe, aber entgegengesetzte Ladung besitzen .

90

Eine andere bemerkenswerte Vorhersage ist , dass das Proton (wenn aueh selten) in leiehtere Teilehen zerfallen wird , so dassam Ende die ganze Materie instabil ware . Glucklicherweise betragt 32

die Lebensdauer des Protons mehr als10 Jahre.Niehtsd estotrotz wurde diese Theorie zweifellos grofsesAnsehen gewinnen, wenn soleh ein Zerfall beobaehtet wurde.

Einige Wissensehaftler begannen mit der Gravit ation . Es st ellt e sich heraus, dass die Methoden der Quantenfeldtheorie, die eine erfolgreiehe quantenmeehanisehe Besehreibung der anderen Weehselwirkungen ergab en, klagttch seheiterten, wenn man sie auf die allgemeine Relativitatstheorie anwandte. Dasunbehagliehe

Die endgi.iltige Strukturvon Raum und Zeit

GefLihl wuchs, dassm6glicherweise EinsteinsTheorie erset zt werden

Welche Bedeutun g hat es, daIS die Raum-

rnufste, oder wenigstens verallgemeinert, um sie konsistent mit

Zeit aus St rings aufgebaut ist ? Die Raum-

den Postulaten der Quantentheorie zu machen. Die Notwendigkeit

Zeit ist eine gemeinsame Erscheinu ngsform

einer solchen Theorie wird of f ensicht lich, wenn man Physik bei

von Strings, ein koha renter Untergrund aus

extremen Bedingungen studieren will. Die Skalafur diese Bedin-

Grav it at io ns-Mo den vieler St rings. Raum

gungen wird durch die univer sellen Konstanten vorgegeb en, die

und Zeit als solche sind ein aufta uchendes

in den verschiedenen Gebieten der Physik bestehen, die wir versu-

Phanornen der St ring-Theorie: unterh alb

chen zusammenzubringen: Gravitation (GN ) , Relativitatstheorie

einer gewiss en Skala verliert der Begriff

(c) und Quantentheorie (h). Solch extreme Bedingungen tauehen

der Raum -Zeit seine Bedeutung, und Fragen

in Situationen aufwie den erst en Anfangen des Urknall s oder den

danaeh, was genau geschieht , sollte n dur ch

letzten Etappen der Evaporation schwarzer Locher.

Betr achtun g der St rings selbst beantwortet

Eine erst e wag emutige und viel versprechend e Korr ektur von

we rden. Das ist w ie we nn m an Wasser auf

Einstein s Theorie, die versucht, die Lucke zu schllefsen, war

imm er kleineren Skalen verste hen w ill und

die Idee der Supergravitation, in der man den Raum zu einem

am Ende die einzelnen M olekLile st udiert, die

Superraum mit darunter liegender Supersymmetrie erweitert.

nicht mehr die Eigenschaften des Kollektivs

Supersymmetrie erzwingt, dass letztlich aile Teilchenarten ihre

mit Namen Wasser besitzen. Unterh alb einer

eigenen Superpartner besitzten . Bisjetzt hat sieh keiner die ser

gewi ssen Skala ist es daher verm ut lich nicht

Partner in Experimenten gezeigt, aber das heiBt nicht, dass diese

mehr sinnvo ll, noch von Raum oder Zeit zu

nicht noch auftauch en werden .

sprechen.

91

Der weitreichenste und vielleicht bestandlgste Kandidat fur eine

Theone von allern' lst die Superstring-Theorie. Dasgrundlegende Postulat der Strings ist, dass die fundamentalsten Gebilde der Natur keine punktformigen Teilchen sind, sondern winzige eindimensionale Strings mit einer typischen Gro~e von 10- m. 35

Die Stringtheorie nimmt an, dass jedes Elementarteilchen zu einem anderen Schwingungsmodus des Superstrings korrespondiert. Um die au~erst kleine Gro~e der Strings hervorzuheben, bemerken wir, dass die grofsten Beschleuniger in den Bereich von etwa 10- 20 m vordringen, es gibt also kaum Hoffnung auf eine direkte Verifikation der String -Vermutung. Wissenschaftler versuchen, die Theorie genau zu formulieren und dann zu prufen, ob falsifizierbare Voraussagen gemacht werden konnen, die man als indirekte Beweise fur die Theorie deuten kann . Der Anfang ist ziemlich einfach: Man postuliert, dass die fundamentalen Gebilde der Natur Strings sind, formuliert einen Ausdruck fur die Energie oder fur eine geeignete Funktion Lund wendet dann die quantenmechanischen Prinzipien an, um zu sehen, welche Physik hera us kommt. Man erhalt sofort einige ziemlich aufregende Ergebnisse. Die niedrigsten Zustande korrespondieren zu masselosenTeilchen,darunter das Graviton , das Quantum, das die Gravitationskraft tragt. Esist sogar rnoglkh, Einsteins Theorie alsApproximation derStringtheorie fur niedrige Energien und grofse Abstande zu erhalten. Auch die Teilchenarten und typischen Wechselwirkungen des StandardModells treten auf. Aber eine andere unvermeidbare und nicht ganz erwartete Eigenschaft der Theorie zeigt sich: die Dimension der Raum-Zeit ist nicht die in Ehren gehaltene und beobachtete vier, sondern zehn! Damit unsere Welt in diese Theorie pafst, rnussen also sechs der zehn Dimensionen verschwinden oder zumindest unsichtbar werden. Sechs Dimensionen rnussen wie ein Teppich 'aufgewickelt' und sehr, sehr klein werden , damit wir sie nicht

beobachten konnen , Die Theorie sagt uns nicht, wi e das gemacht

92

werden kann. Esgibt Anzeichen, dass es dafur viele verschiedene Wege gibt, aile mit gewissen Vorteilen und Nachteilen . Die Hoffnung und Erwartung ist , dass soleh eine Theorie es moglich mach en w urde, beobachtete Gr61Sen quantitativ in Beziehung zu set zen - beispiel sweise k6nnte man die Ma ssen der Teilchen oder die Starke der Krafte berechnen - aber das ist wegen dem riesigen Unterschied der Skalen zwischen der Beobachtung zuganglichen Parametern und der Skala der Strings aulSerst schwer zu erreichen .

Branes und M-Theorie

Die notierte Formel definiert die Superstringtheorie . Der erste Term

of fe ne und geschlossene Str ings. Wah-

enthalt hauptsachlich den Hacheninhalt der Hache, uber die das

rend geschlossene St rings die Gravit at ion

St rings tr eten auf zwei erlei Art auf: als

String hinwegfegt, w ahrend es sich durch die Raum-Zeit bewegt.

beschreiben, sind offe ne St rings meist mit

Diese Flache kann geschlossen oder offen sein; im letzteren Fall

anderen Wechselw irkungen verknupf t. Die

ist ihr Rand eine geschlossene eind imen sionale Spirale, die man

modern e Version der St ringt heo rie. oft M -

sich als herein oder heraus komm enden String vorst ellen kann.ln

Theone genannt, benutzt nicht nur St rings,

dieser geometri schen Beschreibung ist auch die String-Wechsel-

son dern auch h6h erdim ension ale Objekt e,

w irkung eing eschlossen (siehe Bild Seite 91). Betracht et man sie

die man p-Branes nennt. Eine 1-Brane ist ein

von einer anderen Seite, so ist die Stringtheorie in gewi sser Weise

St ring, eine 2-Brane eine Membr an, also sind

eine zweidimensionale Feldtheorie , in der die Raum-Zeit-Koordi-

hohere p-Branes gerade h6herdime nsionale

naten die Felder sind. Dies fuhrt in einer sehr buchstablichen und

Analog a von Membran en. Es g ilt die Regel,

unerwarteten Weise zu einer Quantisierung der Raum-Zeit.

dass offe ne St rings in einer Brane enden

Der zweite Ausdruck in der Lagrange-Funktion der St rings enthalt

mussen. mit anderen Worte n, offene St rings

Felder vom Dirac-Typ . Diese sind notig, um die Supersy mmet rie

k6nn en p-Branes verbinden. Dies ist eine

einzufuhren, die wiederum we sentlich fur die Konsistenz der

wese nt liche Anderung der ursprunglkh en

Theorie als Ganzes ist.

St ringtheorie, aber sie ist not w end ig, um

Wir schlielSen mit der Bemerkung, dass die Gleichungen der

die Theorie math emati sch konsistent zu

St ringt heorie nicht denselben Stellenwert wie die anderen

halt en. Die ganze Ansam m lung der Din ge

in diesem Buch prasentierten Gleichungen haben , aber viele

nennt man M -Theorie. w o bei das M fur

betrachten diese Theorie als neu entstehendes allumfassendes

Mutter, Mysterium ode r - bodenstand iger

Paradigma der Natur.

- Matri x ste ht.

93

Da wir nun unsere ziemlich abstrakte Reise in grofser Hohe abgeschlossen haben, wollen wir noch einmal die Tabelle der universellen Konstanten der Natur auf der vorderen Umschlagklappe ansehen, die schon in der Einleitung erwahnt wurde . Sie besteht nur aus einem Haufen von Zahlen. Wir verfechten

Zuruck in die Zukunft

das Einheitensystem, das sich auf Meter, Kilogramm , Sekunde

Ein letzter Ausblick

und Coulomb als Einheiten fur Lange, Masse, Zeit und Ladung grundet, Diese Einheiten sind stark an die typische Skala des Menschen gebunden, die - w ie wir in diesem Buch gesehen haben - in der Summe aller Dinge ziemlich willkiirlich ist. Man mag sich fragen , ob die Natur selbst nicht ein bevorzug tes Einheitensystem besitzt. Schon um 1900 hob Max Planck hervor, dass eine bestimmte Kombination der fundamentalen Naturkonstanten benutzt w erden konnte , um an Stelle des ublichen ein 'nat urliches' Einheiten system fur Raum, Zeit und Masse zu definieren, Die Planckschen Einheiten enthalten die fundamentalen Konstanten der Gravitation (GN ), der Relativltatstheorie (c) und der Quantentheorie (h). Man nennt sie Plancksche Lange, Zeit und Masse, ihre Dennitionen sind links zu sehen. Dies sind die grundlegenden Skalen, die in den aus unserer physikalischen Welt erhaltenen Daten intrinsisch verschlusselt sind.

Es gibt eine weitere sinntrachtige Methode, das heutige Bild der Physik im Grofser: zu charakterisieren; sie benutzt einen trnaglnaren magischen Wurfel, der im 'Raurn der Theorien '

verankert ist (siehe Bild Seite 94). Betrachtet man diesen magischen Wurfel, so sieht man das Netzwerk der diskutierten Gleichungen aus einer anderen Perspektive. Es ist eine andere - dreidimensionale - Darstellung der 'lnhalt subersicht ', die zu Beginn des Buches vorgestellt wurde. Die bedeutenden Wendepunkte der Physik liegen in den Ecken dieses wurfets. In

der hlnteren, unteren, durch Newtons Konstante markierten

94

Ecke finden wir die Newtonsche Physik (Mechanik und Gravitation), mit der man uns in der Schule belastigt hat. Die mit der Universalitat der Lichtgeschwindigkeit verknupfte spezielle Relativitatstheorie iiffnete eine neue Dimension, was in der unteren Ebene dadurch symbolisiert wird , dass die Ecke nach vorne heraus kommt. Aber, wie zuvor erklart, es gab immer noch den Konflikt mit der Newtonschen Gravitationstheorie, der erst durch die allgemeine Relativitatstheorie aufgeliist wurde, in der die Gravitation mit der xrurnrnung der Raum-Zeit identifiziert wurde. AnschlieBend wanderten wir durch die Quanten-Revolution, die mit der Planckschen Konstanten verbunden ist und eine weitere

Quanten Standard Modell

Theone

String h Theone New ton Mecha nik:'&_ +=.u!---:lD Gravitat ion

Dimension zu unserem Konzept hinzufUgte, senkrecht zur Ebene der Raum-Zeit-Gravitation. In der Ecke oben links hinten lebt die Schriidinger-Gleichung. Die Ecke in deroberen Ebenerechts hinten steht stellvertretend fur die nichtrelativistische Behandlung der Gravitationskraft, einerThematik, die physikalischnicht sonderlich interessant ist: sie wurde zum Beispiel die quantenmechanische Beschreibung des Systems Mond-Erde oder des Planetensystems umfassen , d.h. im Vergleich zum klassischen Ergebnis Newtons wurde sich keln beobachtbarer Effekt einstellen. Wir mussten einsehen, dass gewiihnliche Quantentheorie und die spezielle Relativitatstheorie einander nicht mochten. DiesesProblemwurde durch die Entwicklung von Quantenfeldtheorien wie Chromodynamik und elektro-schwacher Theorie behoben . Foiglich sehen wir in der linken oberen Ecke vorn hauptsachlich das StandardModell. Anders gesagt, unsere Theorien der Materie leben in der Iinken vertikalen Ebene. Und wieder gibt es einen Konflikt: den zwischen unseren Quantentheorien der Materie einerseits und Einsteins geometrischer Theorie von Raum-Zeit und Gravitation andererseits . Dieser Konflikt ist in der Natur hauptsachlich durch die Plancksche Skala parametrisiert und kann daher nicht direkt

Spezielle Relativitatstheorie

Allgemeine Relativltatstheorie

95

durch Experimente gepruft werden. Man mag hoffen , dass die St ringt heorie am Ende f ahig seinwird,diesen Konfl ikt zu losen,der sich so tief unter der Oberflache der Alltag serfahrung verst eckt . Strin gt heorie als Quantent heorie der Raum-Zeit.

Was ist mit den anderen universellen Konst ant en, w as drucken sie aus oder verschlusseln sie? Wir sind vier fund amentale n Kraf t en begegnet, und mit t lerweile ist klar, dass die Einheiten

Grarse einer jeden irgendwie eine typische Skala defin iert, in

Die Konsta nte n der Natur haben gew isse

der die Natur sich selbst organisiert hat. Fur die Gravitation

Wert e, die von den Einh eit en abhan-

ist das Newtons Konstante. Obersetzt in eine Energieskala

gen, mit denen man arbeitet . Der Wert

erhalt man die Plancksche Masse, die, wi e wir gesehen haben,

der Licht geschwindigkeit

die Skala fur die fundam ental en St rings definiert. Die Grag e

ist natUrlich

e. ubersetzt sich in die

unt erschiedlich, j e nachdem, ob man von

der elektromagn eti schen Kopplung,

M eilen pro St unde, M etern pro Sekunde

Energieskala der Atomphysik; sie bestimmt die typis chen

oder Fug pro M ond zyklu s spricht. Es ist

Energiedifferenzen zwi schen den Zustanden eines Atoms.

allerdings sehr prakt isch, we nn j eder das

Diese Energiedifferenzen sind proport ional zur Ruhenergie des

gleiche Einheite nsyst em benut zt - es

Elekt rons, Ee:m ec' multipliziert mit einer gew issen, dim en-

komm t nicht w irklich darauf an, w elches,

sionslosen, von

solange j eder es benut zt. Die int ernat io-

e abhangigen Konst anten (dem Quadrat der Feinstrukturkonstanten a : e'/z hc : 1/ 137.0). Die Skala fur die

nale Gemeinschaf t der Wissenschaftler

M asse eines Atoms als Ganzes w ird durch die M asse des Kerns

hat sich darauf geeinigt, das Meter-Kilo benut zen,

gegeben, und diese w iederum durch die Prot onenmasse m p' Die Proto nenmasse korrespondiert zur intrins ischen Skala

w elches Coulomb als Grundein heit der

der starken Wechselw irkung, w ie w ir fruh er hervorgehoben

Ladung und Kelvin als Tem perat ureinheit

haben. Es ist die Energieskala, bei der die starke Wechselw ir-

einschliegt. Die Definition dieser Konst an-

kung von der Grarsenordn ung Eins ist. Es bleibt also die schwa -

t en ist mit gew issen Grofsen verknupf t ,

che Wechselw irkung, und ihre Skala ist mit den Zeitskalen der

die mit hoher Prazision gemessen we rden

durch die schwache Wechselwi rkung hevorgerufenen Zerfa lls-

konnen, so dars diese Defi niti on en sich

prozesseverknupf t . Diese Prozesse st ehen in direktem Zusam-

gramm -Sekunde-Syst em

zu

w irkl ich in Abhangigkeit vom m oderns-

men hang mit der M asse der Zwischen-W-Teilchen.

t en Sta nd der exper imentellen Technik

Betrachten wir nochmal den Wurfel, so sind diese Konstant en

mit der Zeit andern.

irgendwo in der linken verti kalen Ebene vert eilt, die durch die

Ecken mit h und c begrenzt ist. Diese etwas saloppe Bemerkung konnte eine etwas tiefere Aussagekraft haben, narnlkh , dass bei gegebenen Planckschen Einheiten als fundamentalsten Einheiten die anderen Parameter nicht wirklich fundam ental sind. Viellei cht sind sie nur dynamische Konsequenzen einer zugrunde liegenden fundamentalen Theorie, wie die anderen Konstanten , denen wir begegnet sind - etwa die BoltzmannKonstante fur die Definition der Temperaturskala mittels der Energie, oder die Avogadro-Kon stante, die aus Amadeo Avogadros ,810 aufgestellter richtiger Hypothese stammt, dass die Anzahl der Teilchen aller Gase mit gegebenem Volumen, Druck bei gleicher Temperatur identisch sein solite . Die auf der vorderen Umschlagklappe notierten univer sellen Konstanten geben die grundlegenden Skalen vor, die fur unsere Welt charakteristisch sind. In speziellen Medien konnen andere relative Skalen vorkommen und andere, phenomenologi sch relevante Parameter erzeugen. Es sind effektive Parameter, die durch ein feinsinniges Wechselspiel der universellen Gesetze und Konstanten der Natur dynamisch erzeugt werden . Falls unsere Beobachtungen die Stringtheorie je bestatigen, erwarten wir, dass nur eine einzige fundamentale Konstante uberlebt,

96