Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Robert Fricke Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Zwei...

Author: Robert Fricke

56 downloads 658 Views 39MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen

Robert Fricke

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Zweiter Teil Die algebraischen Ausführungen

1. Auflage 1922. Nachdruck 2011.

Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke (1861–1930) Technische Hochschule Braunschweig Braunschweig Deutschland

Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner-Verlag

ISBN 978-3-642-19560-0 e-ISBN 978-3-642-19561-7 DOI 10.1007/978-3-642-19561-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): Primary 33E05, Secondary 11E16, 11E41, 11F03, 11F06, 11F11, 11F12, 11F27, 11F32, 11R04, 11R09, 11R11, 11R18, 11R32, 20-01. 1. Auflage 1922 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 (Nachdruck) Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf : WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort der Herausgeber von Teil III

Dieser Nachdruck des zweiten Teils des Klassikers Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen von Robert Fricke (1861–1930) erscheint zusammen mit einem Nachdruck des ersten Teils und einer Erstveröffentlichung des dritten Teils aus dem Nachlass des Autors. In den Nachdruck des ersten Teils haben wir auch Frickes Vorwort zur zweiten unveränderten Auflage des ersten Teils aus dem Jahre 1930 aufgenommen. Der dritte Teil ist Anwendungen der elliptischen Funktionen gewidmet. Schon 1930, kurz nach Frickes Tod, sollte auch der dritte Teil publiziert werden, aber im Schatten der Weltwirtschaftskrise wurde dieses Projekt nicht realisiert. Wir freuen uns, dass es mit den heutigen technischen Mitteln möglich ist, den ¨ dritten Teil der Offentlichkeit vorzulegen zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden Teile, auf die im dritten häufig verwiesen wird. Auf diese Weise wollen wir das Frickesche Werk in sinnvoller Form zum Abschluss bringen. Den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlags danken wir für die gute Zusammenarbeit. Braunschweig, Münster und Düsseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, Jürgen Elstrodt und Elena Klimenko

V

Robert Fricke

DIE

ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN UND IHRJij AN-WENDUNGEN VON

DR. ROBERT FRICKE PRO}'I Sb zu einem symbolisch als Produkt zu schreibenden, eindeutig bestimmten Ergebnis Sb' Sa bekannt sein. Wir stellen dann unter der Voraussetzung, daß m eine endliche Anzahl ist, folgende Erklärung auf: Die m Elemente So, SlI ..., Sm_l bilden eine "Gruppe" Gm der endlichen "Ordnung" m, wenn folgende drei Bedingungen zutreffen: 1. Das Ergebnis der Zusammensetzwng Sb' Sa irgend zweier Elemente Sa' Sb ist stets wieder eines der Elemente S. 2. Für die nach 1. herstellbaren dreigliedrigen symbolischen Prowukte gilt das assoziative Gesetz:

(1) 3. 1st Sb + Sc, d. h. sind Sb und So irgend zwei verschiedene Elemente, und istSa irgendeinElement, so soll auch Sb' Sa +So' Sa und Sa' Sb+ Sa' Sc gelten. Ist Sa irgendeines der m Elemente, so sind die m Elemente So,Sa.' SI,Sa' S2,Sa"'" Sm_I,Sa alle voneinander verschieden, und da sie alle in Gm enthalten sind, so stellen sie alle m Elemente der Gruppe in irgendeiner Reihenfolge dar. Dasselbe gilt von den m Produkten Sa'SO' Sa,Sl' Sa,S2' ..., Sa,Sm_l' Wir folgern hieraus, daß, wenn Sa und StJ willkürlich gewählt sind, stets ein und nur ein Element Sb in Gm enthalten

Begriff einer endlichen Gruppe

3 ist, das die Gleichung Sö' Sa = Ba befriedigt; ebenso gibt es in Gm em und nur ein Element Sc, das die Gleichung erfüllt Sa' Sc = Sd' Insbesondere gibt es für ein vorgelegtes Sa ein und nur ein etwa durch SCa) zu bezeichnendes Element, das die Gleichung S(a)' Sa = Sa befriedigt und gleichfalls ein und nur ein Element S;a)' für das Sa' S(a) = Sa gilt. Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich für irgendwelche SM Sc die folgenden:

Seal . (Ba' Sc) = Ba . Sc'

(Sö' Ba) . S(a)

=

Sb . Sa'

Da nun durch geeignete Auswahl von Sc und Sb die Elemente Sa' Bc und Sb' Sa mit einem beliebigen Elemente Se VOll Gm gleich werden, so gilt für jedes Se: S S 8 8 8' S (a)'

B

=

e'

o'

(a)

=

B'

woraus wir die Folgerungen See) = Seal' S:o) = S:a) ziehen. Die Elemente SeO)' S(l)' S(2)' ..., S(m_1) sind also einander gleich, ebenso die Elemente 8(0)' S(1)7 S(2)7 ... , S(m-1)' Es gibt also ein und nur ein Element S in Gm, welches für alle Sa die Gleichung S· Sa = Ba befriedigt, und ebenso ein und nur ein S', das Sa' S' = Sa erfüllt. Setzt man in die beiden letzten Gleichungen Sa = S ein, so folgt S· B = Sund B· B' = B, so daß aus S· B = S . S' nach dem Grundsatze 3. endlich S' = S erkannt wird. Das eine so gefundene Element S spielt in den symbolischen Produkten die Rolle der Einheit; es wird demnach das "Einheitselement" genannt und auch symbolisch durch 1 bezeichnet. Wir wollen es hinfort an die erste Stelle setzen und also So = 1 nehmen: In der Gruppe Gm gibt es ein und nur ein "Einheitselement" So = 1, das die Eigenschaft besitrd, mit irgendeinem Sa die Ergebnisse So' Sa = Sa und Sa' So = Sa zu liefern. Weiter gibt es für irgendein Element Sa aus Gm zwei symbolisch durch S(~) und S;~ zu bezeichnende Elemente, die die Gleichungen: (2) S:~)· Sa= So = 1, Sa' S;:) = So = 1 befriedigen. A.us 1 = S:~i . Sa folgt unter A.nwendung des assoziativen Gesetzes mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (2): ", = 1 . S", S"(a)' (S a ' S"') 1 = S" S (a) (a) = (a) = S" (a)' (a)' so daß die beiden Elemente S:~) und B;~; einander gleich sind. Wir führen für sie auch das Symbol S:l ein und nennen dies Element S-;;l das zu Sa "inverse" Element: Zu jedem Elemente Sa gibt es in Gm ein eindeu-

tig bestimmtes "inverses" Element S;\ das mit S a zusammengesetzt, die Gleichungen S; 1 . S a = 1 und S a . B-;; 1 = 1 befriedigt; zu S-;; 1 ist umgekehrt Sa invers. Das kommutative Gesetz für die symbolischen Produkte gehörte nicht zu den Grundgesetzen, durch die wir den Begriff einer endlichen Gruppe erklärten. Es braucht demnach keineswegs immer Sb· Sa gleich Ba' Sb ZU sein. Besteht indessen für zwei besondere Elemente S,. un d S 1*

Einleituug, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen

4

die Gleichung Sa' Sb = Sb' Sa' so heißen diese Elemente "vertauschbar" oder "kommutativ". Besteht für je zwei Elemente Sa und Sb von Gm die Regel Sa' Sb = Sb' Sa' so wird Gm eine "kommutatil!e" oder "Abelsche Gruppe" genannt.

§ 2. Begriff der Untergruppe. Eine Gruppe G,.., deren sämtliche Elemente in Gm enthalten sind, heißt eine "Untergruppe" von Gm' Das Einheitselement So = 1 bildet für sich eine Untergruppe Gi l und die Gesamtgruppe Gm ist der Erklärung entsprechend auch zu ihren Untergruppen zu rechnen. Wir bezeichnen die Elemente einer Untergruppe G,.. durch die Symbole To = So = 1, Tl I T 2 , •.• , T,.._l' Bedeutet U irgendein Element von Gm, so bezeichnen wir das System der ft verschiedenen Elemente:

To'U= U,

(1)

T 1 ·U,

T 2 ·U, ..., T,.._l·U

symbolisch durch G,..· U und nennen es eine "Nebengruppe" von G,... Die N ebengruppe GI-< . U bleibt, abgesehen von der Anordnung ihrer Elemente, unverändert, wenn wir U durch irgendein Element U' = Ta' U von G,t ' U ersetzen. Dies folgt aus der Tatsache, daß die Produkte T o ' Ta' Tl' Ta' T 2 • Ta' ..., T ,t _1 ' Ta wieder die G,.. bilden. Zwei Nebengruppen G,..' U1 und G,t ' U2 sind entweder gleich, GI-
Gl"s: Einer beliebigen Untergruppe G. von GI entspricht als "größte"

1) Es. ist natürlich keineswegs gemeint, daß dies gerade die an erster Stelle unserer ursprünglichen Anordnung (2) S. 4 stehenden Nebengrnppen GI" Gf ,' U1 , ... , G/ I • sein sollen.

u,,-t

12

Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen

Untergruppe von Gm die durch (4) gegebene GI'S der Ordnung iLS, die eine ausgezeichnete Untergruppe der Gm ist, falls G. eine solche von Gt ist.

§

o.

Kompositionsreihe einer Gruppe Gm.

Eine ausgezeichnete Untergruppe GIl einer Ordnung iL < 'In heißt eine "größte ansgezeichnete Untergrnppe" von Gm, wenn außer Gm und GI' keine ausgezeichnete Untergruppe existiert, die GI' enthält und in Gm enthalten ist. Es besteht der Satz: GI' ist stets nnd nnr dann eine größte ansgezeichnete Untm-gruppe von Gm, wenn die Qnotientengruppe Gm/G,t = GI einfach ist. Einer ausgezeichneten Untergruppe G U8 mit 1 < s < t, die GI' enthält, gehört nämlich eine ausgezeichnete U~tergruppe G. von Gt zu, wie umgekehrt jeder ausgezeichneten G. mit 1 < s < t, die in GI enthalten ist, als "größte" zugehörige Untergruppe von Gm eine GI' enthaltende ausgezeichnete G,«. entspricht. Es sei weiterhin G u eine größte ausgezeichnete Untergruppe und G die zugehörige Quotientengruppe Gm/GI'. Einer von GI' verschiedeneij. ausgezeichneten Untergruppe G1 entspricht in Gt eine ausgezeichnete GSl die, da Gt einfach ist, entweder die Gi oder die Gt selbst ist. Im ersten Falle ist G. in G,« enthalten. Soll also auch Gl eine größte ausgezeichnete Untergruppe von Gm sein, so muß ihr die Gt entsprechen, die Gleichung (3) S. 11 hat demnach die Gestalt: (1)

+ D(G,., G,,). Vi + .. , + DCG).,

G). = D(G;" G,J

G,,) , V t _ u

d. h. sie ist rechtst-gliedrig. Wir wählen hier die V so, daß Va stets der N ebengruppe GI" Ua angehört. Nun liefert der Durchschnitt D(G).) a,J zweier ausgezeichneter G x, G't eine gleichfalls ausgezeichnete Untergruppe, da die Transformation irgendeines Elementes von DC Gl , G,J durch ein beliebiges S stets wieder ein in Gl und GI' und also in D( G)., G,J enthaltenes Element ergibt. Zur Bildung der Quotientengruppe G; = Gl/D( G l , GI') betrachten wir die t in (1) rechts stehenden Nebengruppen aufs neue als Elemente:

(2)

DCG 1 , GI')

=

Vo =],

D(G l

,

DCG;., G,J . V t _ i

GI') . Vi = Vi' =

. ., ,

Vt_i'

Indem wir die Elemente Ua und Va einander entsprechen lassen, werden die beiden Gruppen Gt und G; einander "isomorph", da ja aus Ub , Ua = U c stets wieder Vb . Va = V c folgt, Also ist auch G; einfach, und DC Gl , GI') erweist sich als "größte" ausgezeichnete Untergruppe von GA.' Da man diese Betrachtung auch in der Art ausführen kann, daß man G;. an Stelle von GI' voranstellt und GI' folgen läßt, so gilt der Satz: Sind G2 wld GI' zwei verschiedene größte ansgezeichnete Untergruppen von Gm, so ist der Durchschnitt D( G l , G,J eine größte ausgezeichnete Untergrnppe sowohl

13

Reihe der Zusammensetzung einer Gruppe Gm

von G;. als von GI'; die Quotientengruppen Gm/GI' und G;./D(G;., GI') sind isomorph, und dasselbe gilt von den Quotientengruppen Gm I G l und GI'ID(G)., GI')' Wir denken jetzt eine Reihe von Untergruppen Gm, G~ll' GI'., GI'3"" in der Art gewählt, daß jede eine größte ausgezeichnete Untergruppe in der voraufgehenden ist. Da hierbei m > [-1-1 > [-1-2 > ... gilt, so gelangt man nach einer endlichen Anzahl n von Schritten zur G1 und gewinnt die sich schließende Reihe: Gm, G1'1' Gfl., G,l"

(3)

..., GUn =

Gl I

in der die vorletzte Gruppe einfach ist. Die n zugehörigen Indizes:

(4)

:»~

1'1

= t

11

!L! = t.

1'2

",

[t~

[La

= t

3"

.•,

1'-,'-1 !Ln

= u

' n-1

=

t

'11

iefern als Produkt die Ordnung 'In = t 1 • t 2 • ta .•• t n der Gesamtgruppe. Die zugehörigen Quotientengruppen bezeichnen wir durch:

(5) G m /GI'1 = GI" Gf,jGI'. = GI.' Die Reihe (3) heißt eine "Reihe der Zusammensetzung" oder eine "Kompositionsreihe" der Gruppe Gm, die Reihe (4) heißt die zugehörige "lndexreihe". Neben (3) liege nun auch in: ~

~,~,~,~,

..

~~

eine Kompositionsreihe von Gm vor mit der zugehörigen Indexreihe: m

(7)

~

"''00.. =

,-- = 81 , "'1

S2'

~

7'1.3

= sa,

und den Quotientengruppen . (8)

Gm/Gl , = G •• ,

GdGl. = Gs"

G;jGl • = G s"

Dann gilt folgender Satz: Die Kompositionsreihen (3) und (6) unserer Gm haben stets gleiche Gliederanzahl (n 1), die nlndizes (4) sind, abgesehen von der Anordnung, den n Indizes (7) gleich, und es lassen sich die Q~tO tientengruppen (5) und (8) zu Paaren, Gt und Gs , so einander zuordnen, a /:1 daß Gt und Ga isomorph sind.

+

a

I

1t>J

Diesen Satz kann man durch vollstiindige Induktion beweisen. Ist

m eine Primzahl, so gibt es nur die eine Kompositionsreihe Gm, Gl I und dann ist der Satz selbstverständlich. Wir zerlegen nun bei beliebiger Ordnung m die Zahl m in ihre Pl'imfaktoren und zählen deren Anzahl ab. Wir nehmen den Satz als bereits bewiesen an für alle Ordnungen m', deren Primfaktorenanzahl mindestens um eine Einheit geringer ist als die von m. Dann läßt sich zeigen, daß der Satz auch noch für m gilt. Es ist nämlich der Durchschnitt D(G." GI') = GV1 eine größte ausgezeichnete Untergruppe sowohl in G,I, als G Z, ' Irgendeine Kompositions-

14


reihe G"l' G"., ..., Gi von G", liefert demnach in:

Gm, GI"I' GV" G" •• ..., G j und Gm. Gi" G"l' G"., ...• GI zwei Kompositionsreihen für Gm, wobei (nach dem vorausgesandten Satze) die Gruppen Gm/Gl"l und G1jG"1 isomorph sind und ebenso die Gruppen Gm/GAl und Gf.ljG"l' Nun sind:

G" l , G"" ..., 1

und

Gl"l' G"l' G"., ..., 1

Kompositionsreihen für GI"" Da (.ti mindestens einen Primfaktor weniger hat als m, so haben diese beiden Reihen der Annahme gemäß gleiche Gliederanzahlen, und es gilt für die Systeme der Quotientengruppen GI"JG,u.' Gl"jGI"•• ... und G/,jG"l' GvjGv., ... die im Satze behauptete Zusammenordnung zu Paaren. Insbesondere findet sich im ersten Systeme eine zu G,.,fGVl und also zu Gm/GA1 isomorphe Gruppe, während die übrigen (n - 2) Gruppen des Systems Gl"jG,•• , Gf.jG, •• , ... in irgendeinerAnordnung den Quotientengruppen G,,JG,,., G,jGv.' ... als isomorph zugewiesen sind. In derselben Art findet man im Systeme G;.jGA•• GJ.jGA•• . .. eine mit Gm/G1", isomorphe Gruppe, während jede der übrigen im Systeme G"JG"., G"jGv.' •.. und damit im Systeme Gf,JGI"., Gl"jGI"., ..., jedoch unter Ausschluß der bereits der Gruppe Gm/GA1 zugeordneten, ihre isomorphe findet. Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen.

§ 6. Sätze über Abelsche Gruppen. Eine Gruppe Gm sollte als eine kommutative oder Abelsche bezeichnet werden, wenn jedes ihrer Elemente mit jedem anderen vertauschbar ist. Die Elemente einer solchen Gruppe seien So = 1, S1I S2"'" Sm_l' und die Periode von Sa werde durch va bezeichnet, so daß Vo = 1, Vi> 1, v 2 > 1, .. , gilt. Man bilde die Produkte: (1)

die sich auf alle Vi' V 2 '" v m _ i Kombinationen ganzzahliger Exponenten h beziehen, welche den in (1) rechts angegebenen Ungleichungen genügen. Im Systeme der Produkte (1) kommt jedes Element von Gm zur Darstellung, nämlich das Einheitselement z. B. dann, wenn alle h gleich 0 gesetzt werden, und das von So verschiedene Element Sa, wenn z. B. der Exponent ha = 1, alle übrigen haber = 0 gesetzt werden. Das Einheitselement möge nun im ganzen e Male unter den Produkten (1) auftreten, d. h. es möge im ganzen e verschiedene Kombinationen der Exponenten h geben, für welche das Produkt (1) gleich So = 1 wird. Wir belegen diese Kombinationen mit der besonderen Bezeichnung 'YJ1I 'YJ2' 'YJs, •.• , 'YJm-i und haben dann: '(2)

15

Abelsche Gruppen

Ist S ein beliebiges Element von Gm mit einer ersten Darstellung: m- 1 S = ftl. 8':'. Sh, ... Sh",-1 ( 3) 1 2 3 , so ergeben sich sofort e verschiedene Darstellungen von S in der Gestalt:

(4)

S

Si"~ + '/1. 1

=

S"'+ '12 ••• S"m-1 + rym-1 m-1

2

aus der Vertauschbarkeit der Elemente, wobei wir jeden Exponenten (ha + 'l'Ja) mod Va nötigenfalls auf seinen kleinsten nicht-negativen Rest reduziert denken. Ist andrerseits: S = Sh',. Sh'•. Sh', . .. ff"m-1 1

2

S

171-1

irgendeine Darstellung des fraglichen Elementes S, so ergibt sich wieder aus der Vertauschbarkeit der Elemente in: S. S-1 = S7(,- h, 1

•

s,(·-n,. SI/,-7I, ... Sk' m 2

-7I m m-l

3

-1

=

1

(nötigenfalls nach Reduktion der Exponenten) eine Darstellung (2) des Einheitselementes. Hieraus folgt, daß wir in den e verschiedenen Darstellungen (4) von S bereits alle von den Produkten (1) gelieferten Darstellungen von S vor uns haben: Jedes Element von Gm wird vom System der VI' Vi' .. v m _ 1 Produkte gerade so oft geliefert wie jedes andere, nämlich e Male, so daß die Gleichung gilt:

(5)

v1,v2,vS",vm_l=e·m.

Irgendein Primfaktor p von m l ) geht zufolge (5) in mindestens einer Va

der Zahlen V, etwa in Va' auf. Dann ist Sa P ein Element der Periode p. Ist p irgendein Primfaktor der Ordnung m der Abelschen Gruppe Gm' so gibt es in Gm sicher ein Element S der Periode p und damit eine zyklische Untergruppe Gp der Ordnung p. Es seien Sa' Sb' Sc, ... Elemente aus Gm von den Perioden va' Vb' V e, .. " und es sei v das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 1'a' Vb' V e, .. , Dann gilt für das aus Sa' Sb' SC,'" zusammengesetzte Element S: S' = (Sa' Sb' Sc .. ,)0 = S~ . S: '

sg ... = 1.

Also ist nach S. 5ff. die Periode von S ein Teiler von v: Die Periode des aus den Elementen Sa' Sb' SC,'" zusammengesetzten Elementes S=Sa,Sb,Se'" ist ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Perioden va' Vb' Ve, ," der zusammensetzenden Elemente. Die Ordnung m der Abelschen Gruppe sei als Produkt k· l zweier teilerfremder Zahlen k, 1 darstellbar. In Gm mögen k', durch Uo = 1, u;., Us, ... ) "u"'-l zu bezeichnende Elemente auftreten, deren Perioden in k aufgehen. Da nach dem eben bewiesenen Satze die Periode von U,,' Ub gleichfalls in k aufgeht, so gehört U,,' Ub zu den k: Elementen U. 1) Falls nichts weiter gesagt ist, gilt p als von 1 verschieden.

Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen 16 Die k' Elemente U bilden hiernach eine Gruppe Gk " die natürlich wieder eine Abelsche ist. Ebenso gelangen wir zu einer Abelschen Gruppe GI' aller l' in Gm enthaltenen Elemente Vo = 1, V u V 2 , ••• , V;'-l, deren Perioden in 1 aufgehen. Da keine Periode v > 1 in kund 1 zugleich aufgeht, so haben die Gruppen Gk , und GI' nur das Einheitselement gemein. Die Ordnung k' der Gk , ist teilerfremd gegen 1, und entsprechend ist l' teilerfremd gegen k. Hätten nämlich k' und leinen Primfaktor p gemein, so gäbe es in Gk , ein U der Periode p, die in 1 aufgeht und also teilerfremd gegen k ist. Dies würde der Erklärung der Elemente U widersprechen. Die k' ,l' Produkte Ua • Vb stellen lauter verschiedene Elemente von Gm dar. Soll nämlich Ua , Vb = ~. Va sein, so folgt:

(6) denn Uc-l, U", ist in Gil und Va' Vb-l in G! enthalten, beide Gruppen haben aber nur das Einheitselement gemein. Aus (6) aber ergibt sich sofort Ua = Ue , Vb = Va' Man kann weiter zeigen, daß jedes Element S von Gm als ein Produkt U",' Vb darstellbar ist. Da nämlich lc und 1 teilerfremd sind, so lassen sich nach I, 281 zwei ganze (positive oder negative) Zahlen x, 1 angeben, die die Gleichung kx + 11 = 1 befriedigen. Wir setzen dann:

(7) und folgern aus den beiden Gleichungen:

(SI2)k= Sm." = 1, (SkxY

=

Sm.x = 1,

daß SI2 ein Ua und Ski< ein Vb ist. In (7) liegt also die Darstellung S = Ua ' Vb vor. Die k' . Produkte U",' Vb bilden selbst wieder eine Gruppe der Ordnung If ·l', die wir Gk,.z' nennen und symbolisch als Produkt Gk ,· GI' bezeichnen können, Nach der eben beendeten Überlegung ist diese Gk,.z' mit der Gesamtgruppe Gm identisch. Es gilt also: k' .l' = m = 7c • 7,

r

und da wir bereits wissen, daß 7c' teilerfremd gegen 1 und l' teilerfremd gegen k ist, so folgt k' = k, l' = 1. Gestattet die Ordnung meiner Abelsehen Gruppe Gm die Zerlegung m = k . 1 in zwei teilerfremde Faktoren k,l, so gibt es in Gm genau keine Gk bildende Elemente U, deren Perioden k teilen, und genau 1 eine Gi bildende Elemente V, deren Perioden in 1 aufgehen; die Gesamtgruppe Gm aber ist in der Gestalt Gk • G! der Gruppe aller Elemente U,.· Vb darstellbat·, Da jedes Element einer in Gm enthaltenen Untergruppe GI' mit einem beliebigen Elemente S von Gm vertauschbar ist, so ist auch GI' mit S vertauschbar: Jede Untergruppe G,,, einer Abelsehen Gruppe Gm ist

17

Sätze über Abelsche Gruppen

"ausgezeichnet" und übrigens selbst wieder eine Abelsche Gruppe. Zur Auf· stellung der Quotientengruppe Gm/Gft führte die Gleichung (2) S. 9. Da im Falle unserer Abelscnen Gruppe aus jener Gleichung wegen der Vertauschbarkeit der Elemente

folgt, so gilt weiter der Satz: Die zu einer (ausgezeichneten) Untergruppe GI' einer Abelschen Gruppe Gm gehörende Quotientengruppe Gm/Gi-' = GI ist gleichfalls eine Abelsche Gruppe. 1st p" eine höchste in m aufgehende Primzahlpotenz, so setzen wir m = p"·l und finden in Gm eine Untergruppe der Ordnung pIT. Daran schließt sich der Satz: In einer Abelschen Gruppe, deren Ordnung die Primzahlpotenz p" ist, gibt es stets eine Untergruppe der Ordnung p"-l. Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt. Daß in einer Abelschen Gp stets eine Untergruppe Gp nachweisbar ist, steht bereits fest. Wir nehmen an, daß der Satz für die Ordnungen p2, ps, ... , p,,-l richtig ist, und können dann leicht zeigen, daß er auch für die Ordnung p" gilt. Die Abelsche G p " enthält nämlich eine (ausgezeichnete) Gp ' Die zugehörige Abelsche Gruppe Gp,,/Gp enthält der Annahme nach eine Untergruppe Gp "-2, da jene Quotientengruppe die Ordnung p,,-l hat. Nach S. 11 ff. entspricht dieser Gp " - 2 in der Gp(J eine Untergruppe der Ordnung p .p,,-2 = p"-t, womit der Beweis des Satzes beendet ist. Wir halten an der Zerlegung m = p"·l fest und multiplizieren nach S. 16 die eben nachgewiesene Gp"-l mit der G/. Es entsteht eine Gruppe 2

der Ordnung p,,-l.l

=

m. In jeder Abelschen Gruppe der Ori/;nung m,

p

die durch die Primzahl p teilbat· ist, gibt es eine Untergruppe der Ordnung .m, die in Gm ausgezeichnet enthalten ist; die zugehörige Quotientenp

gruppe

Gp ist als G'l'uppe von Primzahlordnung "zyklisch" und "einfach".

Selbstverständlich ist die Untergruppe der Ordnung .~ eine "größte" p ausgezeichnete Untergruppe. Durch wiederholte Anwendung dieses Ergebnisses folgt der Hauptsatz: Jede Indexreihe einer Abelschen Gruppe Gm besteht aus den gesamten Primfaktoren von m, wobei jeder Primfaktor so oft als Reihenglied auftritt, wie er in m enthalten ist; .jede Quotientengruppe ist als Grtlppe von Primzahlordnung zyklisch.

§ 7~ Permutationsgruppen. Es seien n gleichartige Dinge vorgelegt, die wir numerieren und mit ihren Nummern 1,2, 3, ... , n als Namen belegen. Eine erste Anordnung der Dinge ist durch 1, 2, 3, ... , n gegeben, irgendeine der n! F-ricke, Die ellipthchen. Funktionen 1I

2

18

Einleitung,· Teil I: Theorie der endlichen Gruppen

Anordnungen sei durch al' a2 , as , ... , an bezeichnet, so daß die ak die Zahlen 1,2, 3, ... , n in der neuen Anordnung bedeuten. Unter der Operation S~ verstehen wir den gleichzeitigen Ersatz des Dinges 1 durch a l l 2 durch a2 usw., allgemein k durch ak • Wir nennen diese Operation Sa eine "Permutation" der n Dinge, so daß es den n! Anordnungen a l , a2 , ••• , an entsprechend n! verschiedene Permutationen der n Dinge gibt. Die Permutation Sa kann man symbolisch durch: (1) bezeichnen, wobei also dasjenige Ding a k , durch welches k ersetzt werden soll, genau unter k steht. Die in der oberen Zeile gewählte Anordnung ist unwesentlich; man kann Sa z. B. auch durch:

8

= a,

(3, 5, 1, ... , n - 3) ag , a6 , a 1 ,

.•• ,

an~3

bezeichnen, wenn nur in der ersten Zeile jedes der n Dinge und jedes nur einmal untergebracht ist und unter kallemal ak steht. Wir haben also im ganzen n! Schreibweisen für die einzelne Permutation zur Hand. Als abgekürzte Bezeichnung für Sa benutzen wir Sa = (k, a k ). Die Permutation So = (k, k), bei der also jedes Ding durch sich selbst ersetzt wird, heißt die "identische Permutation" und wird unten als Element der zu erklärenden Gruppen auch durch 1 bezeichnet, da sie das "Einheits element" dieser Gruppen liefern wird. Die Permutation (ak , k), bei der also umgekehrt a1 durch 1, a2 durch 2 usw. ersetzt wird, heißt zur Permutation Ba "invers" und wird durch 8;;1 bezeichnet. Üben wir auf die n Dinge zuerst die Permutation Sa = (k,a k ), so~ dann die Permutation Bb = (k, bk ) = (a k , ba ) aus, so ist das Ergebnis k wieder eine Permutation, nämlich offenbar (k, ba k ), die wir symbolisch durch das Produkt Sö· Sa bezeichnen:

(2)

Sb. S a=Cl;;,ba J=(l, k

2, ... ,n

bal , ba., ... , ban

).

Man kann auch sofort solche Produkte mit drei oder noch mehr Faktoren bilden, die stets wieder Permutationen darstellen, und findet, daß für diese Produkte das assoziative Gesetz gilt. Ist nämlich Sc = (k, ck) = (bak,Cb ak ) eine dritte Permutation, so gewinnt man als Permutation Sc' (Sb· 8 a):

(3) Andrerseits gilt:

Bc·Sö = (k,

Cbk) =

(ak , Cb a) ,

so daß (Sc . Bb)· Sa zu der schon in (3) gewonnenen Permutation zurückführt. Sind die beiden Permutationen Sb = (ak, ba) und Sc = (ak' cak ) verschieden, so sind stets auch Sb· Sa = (le, bak ) und Sc· Sa = (le, Ca) verk

19

Sätze über Permutationsgruppen

+

schieden, und ebenso erweist sich Ba ,Sb 8 a · 8 c als zutreffend. Es besteht hiernach der Satz: Alle n! Permutationen von n Dingen bilden, als "Elemente" o1tfgefaßt, eine Grttppe G n ! der Ordnung 121, die wir als eine Permutationsgruppe bezeichnen. Wir bestimmen weiter, daß die Benennung "Permutationsgruppe" auch auf alle in der G n ! enthaltenen Untergruppen übertragen werden soll, Ihnen gegenüber wird die Gesamtgruppe G n ! als die "symmetrische Permntationsgruppe" oder kurz die "symmetrische Gruppe" bezeichnet. Die Anzahl n der Dinge, die den Permutationen unterworfen werden, heißt der "Grad" der fraglichen Gruppen. Außer der symmetrischen Gruppe betrachten wir zunächst nur die "zyklischen" PermutationsgruppeIl. Die Bestimmung der Periode einer einzelnen Permutation 8 und damit der Ordnung der aus ihr zu erzeugenden zyklischen Permutationsgruppe geschieht durch folgende Betrachtung. Irgendeines der n Dinge /Xl möge bei Ausübung von 8 in 1X2 übergehen, d 2 aber in /xs, IXS in 1X4 usw. Die zu 8 inverse Permutation 8- 1 führt dann /X 2 in /Xl über, (.(3 in /X2' (.(4 in /xs usw. Man verfolge nun die Reihe /Xl' d 2 , (.(3' ••• , bis man zu einem Dinge /X~+1 gelangt, das schon einmal aufgetreten ist. Dann sind die -r Dinge /Xv /X2' /X3' . • . , /X~ verschieden, und /X N1 ist notwendig gleich /Xl' Wäre nämlich /X N ! = /X k mit k> 1, so würden auch die durch 8- 1 aus /X N1 und /X k hervorgehenden Dinge /X T und /Xk_1 gleich sein, und also wären die /Xli /X2' /XS' ••• , /X~ nicht alle voneinander verschieden. Die Dinge /X u /X2' /Xs, .•• , /X~ werden, wie man sagt, durch 8 "im Zyklus permutiert"; man nennt auch die Zusammenstellung /X u /X2' /XS' .•• , /xz einen ,,-r-gliedrigen Zyklus" der Permutation 8. Ist insbesondere y: = n, so ist 8 gegeben durch:

(4) Diese Permutation 8, die bei der in der ersten Zeile stehenden Anordnung jedes Ding durch das folgende, das letzte aber durch das erste ersetzt, heißt insbesondere eine "zyklische Permutation"; offenbar erzeugt sie eine zyklische Permutationsgruppe Gn der Ordnung n. Ist indessen -r < n, so erschöpfen die /Xl! /X2' ••• , /X~ noch nicht alle n Dinge. Es mögen dann die y:' Dinge /X~, /X~, •.• , /X~' einen zweiten -r'-gliedl'igen Zyklus von S bilden, so,vie vorkoillluenden Falles die a~i a~ einen -r". gliedl'igen Zyklus usw. Man hat nun:

a;, ... ,

(5) und findet auf diese Wei.se 8 in eine Anzahl von Zyklen aufgelöst. Es ist einleuchtend, daß die Periode v von 8 und damit die Ordnung v der aus 8 Ztt erzeugenden zyklischen Grttppe das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 1:', -r', -r", ... ist. 2*

20


Die Bedeutung der Permutationsgruppen für die allgemeine Theorie der endlichen Gruppe wird durch folgenden Satz gekennzeichnet: Jede endliche Gruppe Grr, der Ordnung m ist als Permutationsgruppe, z. B. als eine solche m len Gmdes dm·stellbar. Man fasse nämlich die m "Elemente" So, 8 1 , S2' ... , Sm-l in dieser Reihenfolge als m Dinge, wie wir sie bisher durch 1,2,3, "', m bezeichneten, auf. Dem Elemente Sa der Gm möge dann die Permutation:

Sv 82 " •• , Sm_l ) ( 80' Sa'SO, 8 a ·Su 8 a ·S2 , · · · , Sa· 8 m_1 der m "Dinge" 8 zugeordnet sein. Alle m so zu gewinnenden Permutationen bilden dann die "Einkleidung" unserer Gm als einer Permutationsgruppe mten Grades.

§ 8. Transitivität und Primitivität der Permutationsgruppen. Es sei jetzt Gm eine beliebige unserer Permutationsgruppen n ten Grades. Zwei Dinge 0:1 und 0:2 heißen "durch Gm verbunden", wenn es eine Permutation 8 in Gm gibt, die 0: 1 durch 0: 2 ersetzt; die gleichfalls in Gm enthaltene Permutation 8- 1 ersetzt dann natürlich 0:2 durch 0:1 , Sind zwei Dinge durch Gm mit einem dritten verbunden, so sind sie auch untereinander durch Gm verbunden. Sind demnach 0:11 0:2 , " ' , O:t die gesamten mit 0:1 durch Gm verbundenen Dinge, so ist jedes dieser T Dinge mit jedem unter ihnen, aber mit keinem weiteren Dinge durch Gm verbunden. Ist T = n, d. h. ist jedes der n Dinge mit jedem anderen durch Gm verbunden, so heißt die Gruppe Gm "transitiv". Ist T < n, so können wir ein zweites System o:~, (X~, • • • , o:~, miteinander durch Gm verbundener Dinge aufstellen, sowie vorkommenden Falles ein drittes usw. Zwei aus verschiedenen Systemen entnommene Dinge sind dann nicht durch Gm verbunden. Die Gruppe Gm heißt jetzt "intransitiv", und die verschiedenen Systeme verbundener Dinge nennt man die ,,8ysteme der Intransitivität" von Gm' Die aus (4) S.19 zu erzeugende zyklische G" ist offenbar transitiv; dagegen erzeugt die Permutation (5) S. 19, die in mehr als einen Zyklus verfällt, eine intransitive zyklische Gw, bei der die verschiedenen Zyklen die Systeme der Intransitivität liefern. Der Begriff der Transitivität kann in folgender Art weiterentwickelt werden. Die Gruppe Gm heißt "k-fach transitiv", wenn es bei willkürlicher Auswahl der k Dinge (Xli (X2' ••• , (Xk in Gm stets eine Permutation:

( 1, 2, 3, ... , k, ... ) (Xv

(X2' (Xa, ••• , O:k' •••

gibt"die also die k Dinge 1,2, ... , k bzw. in die k willkürlich gewählten Dinge (Xv (X2' ••• , (Xk überführt. Es gibt dann sicher in Gm auch eine

Transitivität und Primitivität

21

Permutation, die k willkürlich gewählte Dinge a1 , a2 , ••• , ak bzw. in Je gleichfalls willkürlich gewählte ßl1 ß2' .•• , ßk überführt. Genauer wollen wir die Gm immer dann Je-fach transitiv nennen, wenn sie nicht auch noch (k + 1)-fach oder (k + 2)-fach usw. transitiv ist. Eine weitere Einteilung der transitiven Gruppen in zwei Arten geschieht nach folgendem Grundsatze. Es mögeu die n Dinge in eine Anzahl von Systemen, die wir symbolisch durch A, A', A", ... bezeichnen

(A), (A') ,

1

(1)

.,

in der Art zerlegbar sein, daß diese Zerlegung gegenüber jeder Permutation von Gm invariant ist. Die letzte Aussage soll folgenden Sinn haben. Es sollen, wenn die Anordnung (1) der n Dinge durch eine beliebige Permutation von Gm in die Anordnung:

(B), (E),

bl1 b2 , b~, b~,

b,n ... , b~·,

••• ,

.,

übergeht, die Systeme B, B', ... , als ganze betrachtet (d. h. abgesehen von irgendeiner Um ordnung der Dinge im einzelnen Systeme), wieder nur die Systeme A, A', ... in irgendeiner Anordnung darstellen. Da Gm transitiv sein sollte, so gibt es in Gm eine Permutation, die das Anfangsglied a~i) einer beliebigen unter den Reihen A(i) in b 1 überführt. Dann geht der Annahme zufolge das System A(i) der (j(i) Dinge a~i), a~), ... in das System B der (j Dinge bl1 b2, ... , b(J über. Wir ziehen hieraus die Folgerung: Die Anzahlen 0, 0', 0", ... der Dinge in den einzelnen Systemen (1) sind einander gleich 6 = 6' = 6" = .. " so daß (j ein Teiler des Gruppengrades n ist. Zwei solche Einteilungen der n Dinge können wir für jede Gm angeben, nämlich die für 6 = n und für (f = 1. Existieren keine weiteren Anordnungen (1), so heißt die transitive Gruppe Gm "primitiv"; gibt es indessen eine Anordnung (1) mit 1 < 6 < n, so wird Gm "imprimitiv" ge-

nannt, die!!:.. Systeme A, A', A", ... werden als "Systeme der Impri(i mitivitätf' bezeichnet. Es liege nun eine imprimitive Gruppe Gm vor. Zur Abkürzung schreiben wir .1'(i/,..

=

t, so daß

t ein von 1 und n verschiedener Teiler von

n ist. Da Gm transitiv ist, so findet sich in Gm eine Permutation T, die a1 in ein beliebiges Ding des ersten Systems A überführt. Diese Permutation transformiert dann das ganze System A in sich, was wir durch T(A) = A andeuten. Man sammle nun alle Permutationen :10 = 1,

22

Einleitung, Teil I: Theorie der endlichen Gruppen.

Tu T 2 , .•• , TI,_I von Gm' welche A in sich tiberführen. Da mit Ta und T(J auch T(i' Ta das Syste~ A in sich transformiert, so bilden die To = 1, Tl> T 2 , •.• , TI"_I eine in Gm enthaltene Untergn(ppe GI" die offenbar intransitiv ist und A zu einem ersten Systeme der Intransitivität hat. Da die Gm transitiv ist, so erhält sie weiter eine Permutation V;, die A in ein beliebiges System A{i) überführt, was durch V;(A) = ACi) angedeutet werde. Ist aber Sirgendeine Permutation der Gruppe Gm, für die gleichfalls S(A) = AC') zutrifft, so folgt ViI. S(A) = ViI(ACi») = A, so. daß ViI. S = T eine Permutation der GI" ist. Da andrerseits alle Permutationen Vi' T das System A in A (,) transformieren, so ergibt sich der Satz: Die Nebengruppe Vi' GI" besteht aus den gesamten Permutationen der Gm, die A in A(l) überführen, was wir durch V,.GI"(A) = A(') andeuten. Nun führt jede Permutation S von Gm das System A in eines der Systeme A, A', ... , A(t-I) über. Alle t Nebengruppen GI" VI' GI"' V 2 • GI""'" VI_I' GI" erschöpfen demnach die ganze Gm: In der Gleichung:

(2) Gm = GI" + Vi' GI' + V~. GI' + ... + Vt_I·GI" haben wir die der Untergruppe GI' entsprechende Zerlegung von Gm zn Nebengruppen vor uns,. es gilt demnach: (3) so daß t1m ein Vielfaches von n ist. Ist Teine beliebige Permutation von GI"' so gilt V;' T· V; 1 (A(i») =A(·). Andrerseits zeigt man leicht, daß jede Permutation S von G11I , die AU) in sich überführt, in die Gestalt S = V;' T· V;-I gesetzt werden kann. Nun haben wir in: G II , G~ = Vi' GI"' V 1 1, G;: = V 2 • GI" V 2 1, ... , G~-l) = V;-l' GI" V;--'t

die gesamten mit G" innerhalb Gm gleichberechtigten Untergruppen, die natürlich keinesweg~ alle verschieden zu sein brauchen, und die im Falle einer ausgezeichneten GI" sogar alle gleich sind. Es ergibt sich der Satz: Die t mit G"r gleichberechtigten Untergruppen G tt , G'p. , ... , G(I-l) sind den /I. t Systemen A, A', . .. , A (1-1) zugeordnet, indem die einzelne dieser Untergruppen alle Permutationen der Gm umfaßt, die das zugehörige System in sich transformieren. Insbesondere ergibt sich die Folgerung: Der Durchschnitt Gi = DCGI" G~, G:~, ... , G~-I») liefert eine in der Gm ausgezeichneteintransitive Untergruppe, die aus allen Permutationen besteht, welche jedes System (1) in sich überführen. Es . kann hierbei natürlich der Fall . vorliegen, daß GJ. die Untergruppe GI ist. . U mgekebrt gilt folgtmder Satz: Gibt es 'in einer transitiven Gruppe Gm eine intransitive ausge,zeichnete Un(ergruppe GA ein~17 Ordnung J.. > 1, I

23

Transitivität und Primitivität

so ist Gm imprimitiv, und die Systeme der lntransitivität von Gi. liefern für Gm Systeme der lmprimitivität. Die Systeme der Intransitivität von Gl , für welche wir die Bezeichnungen (1) heranziehen, sind eindeutig bestimmt, und insbesondere steht ihre Anzahl fest. Eine heliebige Permutation S aus Gm führe die Systeme A, A', A", ... in die oben durch B, B', B", ... bezeichneten Systeme über, deren Anzahl also gleich derjenigen der A, A', A", ... ist. Dann gelten die Gleichungen: G,(A(i» = ACi), S· G;.(ACi») = B(ACi» = BCi), A(i) = B-1(B"), aus denen S· Gl . S-l(B(i») = B(i) hervorgeht. Da nun G, eine ausgezeichnete Untergruppe ist, so folgt S· Gi.' 8- 1 = Gx und also G).(Bi») = B{l). Das einzelne B(i) stellt also wieder ein System durch G). verbundener Dinge vor oder mehrere solche Systeme. Die letztere Möglichkeit ist aber ausgeschlossen, da sonst aus den gesamten B, B', B Systeme der Intransitivität für G, in einer Anzahl hervorgehen würden, die größer als die Anzahl der A, A', A", ... wäre. Also sind die B, B', B" ... wieder die Systeme der Intransitivität von Gx und als solche mit den Systemen A, A', A", ..., von der Anordnung abgesehen, gleich. Die Zerlegung A, A', An ... aller n Dinge besitzt somit gegenüber jeder Permutation von Gm den oben bezeichneten Charakter der Invarianz. Da die Anzahl der Systeme > 1 (die Ordnung I ist > 1) sowie < n (G;. ist intransitiv) ist, so ist der Satz bewiesen. Als eine unmittelbare Folge notieren wir noch: Jede in einer primitiven Gruppe Gm enthaltene a~lsgezeichnete Untergruppe ist tmnsitiv. U

,

'"

11. Algebraische Gleichungen. 1) § 1. Symmetrische Funktionen. Unter g(zll Z2' ... , zn) verstehen wir eine rationale ganze Funktion der n unabhängigen Veränderlichen Zl' Z2' ... , Zn' die wir in der Gestalt: (1) mit von den Z unabhängigen Koeffizienten A geben. Die Gruppe Gnl sei die "symmetrische" Grnppe aller n! Permutationen der zlI Z2' ... , z,., Eine einzelne Permutation Sa = (Zk' zaJ der Gnl wird die Funktion (1) entweder in eine neue l!~unktion überführen oder in sich transformieren. Der letztere Fall charakterisiert sich dadurch, daß 9 (z a' Za , •.. , Za ) " n durch Umrechnung auf die Gestalt g(zlI Z2' . . . , zn) zurückgebracht werden kann und also mit 9 (ZlI Z2' ... , zn) bei unabhängig variablen 1) Neben den S.l genannten Werken vgl. man noch E. Landau "Einführung in die elementare ull.d analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale", Teil I (Leipzig 1918).

24

Einleitung, Teil II: Galoissche Gleichungstheorie

"identisch" ist, Falls jede der beiden Permutationen S a und Sb die Funktion (1) in sich transformieren, so geschieht dasselbe durch Sb' Sa' Die gesamten Permutationen, welche g(zlI Z2' . . . , zn) in sich transformieren, bilden eine in der G nl enthaltene Untergruppe, die GI' heiße und deren Index t = n! ist.

Zu Z2' ' , " Zn

/L

Alle !-" Permutationen der einzelnen zu GI< gehörenden Nebengruppe Vi' GI" transformieren g(Z1' Z2' .. " zn) in eine und dieselbe Funktion. Zwei aus verschiedenen Nebengruppen entnommene Permutationen Va und Vb ergeben indessen stets verschiedene Funktionen, da andernfalls Vbl, Va die Funktion (1) in sich transformieren würde und also der GI" angehören müßte, Die t Funktionen, in welche g(zu Z2' . , " zn) durch die t Permutationen Vo = 1, Vl1 V2 , . '" V;-1 übergeführt wird, heißen einander "konjugiert", und g (Z17 Z2' ' .. , zn) wird als eine "t-wertige" Funktion bezeichnet. Gegenüber irgendeiner Permutation der Gn I erfahren die t konjugierten Funktionen selbst eine Permutation. Eine einwertige Funktion, die also durch alle Permutationen der "symmetrischen" Gruppe G n! in sich transformiert wird, heißt eine "symmetrische Funktion". Ein Beispiel einer solchen Funktion ist:

g = Z1 + Z2 + Z3 + . , . + Z", Als Beispiel einer n-wertigen Funktion nennen wir g = Z1' Sie bleibt bei den Permutationen derjenigen G(n-1)1 unverändert, welche nur die Argumente Z2' zs, ' .. , zn auf alle Arten umstellt; die zugehörigen n konjugierten Funktionen sind Z17 Z2' .•. , zn' Als Beispiel einer n!-wertigen Funktion nennen wir endlich etwa: (2) g(Z17 Z2' •.. , Z,,) = Z1 + 2z2 + 3z3 + ' , , + nZn; sie wird nur durch die identische Permutation in sich transformiert. Die Funktion Z1 ' Z2 . Z3 ' . 'Zk bleibt bei den 7c! . (n - k)! Permutationen unverändert, welche die Zu Z2' ..• , Zk und ebenso die ßk+lI Zk+2' •.. , zn nur unter sich permutieren. Die Wertigkeit t dieser l!'unktion ist also, da sie durch alle übrigen Permutationen geändert wird:

t = k!.(~t~k)!

=

G)'

Die Summe der (;) zugehörigen konjugierten Funktionen ist symmetrisch und wird als die kiB symmetrische Grundfunktion 6 k bezeichnet. Den Zahlen k = 1, 2, ... , n entsprechend gewinnen wir im ganzen n symmetrische Grundfunktionen:

+ Z2 + Z3 + . , . + Z", ( ~2 ~ ~lZ2, + ,Z1~3 ~ ",. ~ Z~_1.Zn: 6 1 = Z1

(3)

6" = Zl' Z2' ß s ... Z",

25

Sätze über symmetrische Funktionen

Bildet man mit irgendeinem nicht-verschwindenden Faktor ao und einer Unbekannten z die Gleichung n ten Grades: ao(z -

Zl)(Z -Z2)(Z -

zs) ... (z - zn)

0,

=

deren n "Wurzeln" z die Zl' Z2' zs, ... , z" sind, und kleidet man diese Gleichung nach Ausmultiplikation der Klammern in die Gestalt: aoz"

+ a z n - + a z n - + ... + an = 1

1

2

2

0,

so ist bekanntlich die Beziehung der n Grundfunktionen (3) zu den Gleichungskoeffizienten gegeben durch:

(4) Der Hauptsatz der Theorie der symmetrischen Funktionen lautet Jede ganze symmetrische Pttnktion (1) kann umgerechnet werden in die Gestalt einer rationalen ganzen Punktion: der n symmetrischen Grltndfunktionen (3); dabei sind die Koeffizienten B lineare homogene, mit "ganzzahligen" Koeffizienten versehene Ausdrücke in den ursprünglichen Koeffizienten A der Punktion g, der Grad der in (5) rechtsstehenden Punktion in den 6 aber ist gleich dem größten im Ausdrucke (1) von g auftretenden Exponenten ,1..1) Nennen wir eine Funktion (1) mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten kurz eine "ganzzablige" Funktion, so folgt ins besondere der Satz: Eine ganze ganzzahlige symmetrische Punktion (1) läßt sich in eine ganze ganzzahlige Punktion der symmetrischen Grundfunktionen umrechnen, deren Grad in den ö gleich dem höchsten in (1) rechts auftretenden Exponenten list. Die bekanntesten Beispiele liefern die "Potenzsummen" der Zl' Z2' .•. , zn· Die vte Potenzsumme bezeichnen wir durch:

s,. = z; + z; + z;; + ... + z~.

(6)

Die Darstellung der niederst.en Potenzsummen als ganzer ganzzahliger Funktionen der ist:

°

(7)

+ 30s , O'i - 40i62 + 461 6s + 26; -

8a = 6~ 84 =

301°2

464 ,

1) Dieser Satz ist sehr bekannt, aber nicht ganz kurz beweisbar. Man findet den Nachweis in allen ausfiihrlicheren Lehrbüchern der Algebra, z. B. bei Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 160ff

Einleitung, Teil Ir: Galoissche Gleichungstheorie

26

Wir erinnern ferner noch an das "Dif(erenzenprodukt" der z:

(Z1 - Z2) (ZI - zs) ... (Z1 - zn) (Z2 - Zs) ..• (Z"'_1 - Zn)'

(8)

dessen Quadrat eine ganze ganzzahlige symmetrische Funktion der z und also eine ganze ganzzahlige Funktion der (j ist. Für die oben aufgestellte algebraische Gleichung n ten Grades, deren Wurzeln die Zu Z2' .•. , zn sind, ist dieses Quadrat die "Diskriminante", deren Verschwinden das Auftreten einer mindestens zweifachen Wurzel jener Gleichung anzeigt. Das Differenzenprodukt (8) selbst, d. h. die Quadratwurzel der Diskriminante, ist eine zweiwertige Funktion der ZlI Z2' ••. , Zn; sie wird durch alle "geraden" Permutationen in sich transformiert und erleidet gegenüber allen "ungeraden" Permutationen Zeichenwechsel. Die zur Funktion (8) gehörende Untergruppe ist die sogenannte "alternierende" Gruppe aller "geraden" Permutationen, die die Ordnung ~-n! hat und ausgezeichnet ist. 1)

§ 2. Tschirnhausentransformation. Eine erste Anwendung der entwickelten Sätze können wir bei Gelegenheit der nach Tschirnhausen benannten Transformation einer algebraischen Gleichung machen. Eine Gleichung ntenGrades sei durch:

(1) gegeben, ihre Wurzeln seien Zu Z2' zs, ... , zn' Es soll nun die Glei~ chung (1) für Z auf eine Gleichung für eine neue Unbekannte w umgerechnet werden, die mit Z durch die Beziehung:

(2) zusammenhängt, unter den c gegebene Konstante verstanden. Um diese Transformation zu vollziehen, berechnen wir die n Werte:

(3)

wk

=

Co

+ C1 Zk + c2ZZ + ... + Cn _ 1 z?-t,

die den n Wurzeln n ten Grades für w:

Zk

k

=

1,2, ... , n,

der Gleichung (1) entsprechen. Die Gleichung

(w - wt)(w - w2)(w - ws)···· (w - w n ) = 0, welche die n Wurzeln (3) hat, möge entwickelt so lauten:

+

w n + b1 w n - 1 b2 w n - 2 + ... + Du = 0; sie heißt eine "Tschirnhausenresolvente" der Gleichung (1), und die durch (2) gegebene Transformation wird als eine "Tschirnhausentransformation" der Gleichung (1) bezeichnet. Der einzelne Koeffizient b; ist eine ganze homogene Funktion i ten Grades der w ll w 2 , . . . , W n , die zugleich in diesen Größen symmetrisch ist. Tragen wir für dieWk die Ausdrücke (3) ein, so wird D; eine ganze

(4)

1) S. das Nähere ·bei Weber, a. a. O. Bd. I, S.537ft".

Tschirnhausentransformation. Hilfssatz über ganze Funktionen

27

symmetrische Funktion der Zv Z2' ... , zn' deren Koeffizienten ganze ganzzahlige homogene Ausdrücke i ten Grades der co, Cu •.. , 0n_1 sind. Da nun die symmetrischen Grundfunktionen der Z1' z;J, ... , zn' von den V Ofzeichen abgesehen, einfach die Koeffizienten a1 , a2 , ••• , an der Gleichung (1) sind, so folgt aus dem Hauptsatze von S.25 das Ergebnis: Die Koeffizienten b. der Tschirnhausenresolvente (4) sind rationale ganze Ftfnktionen der ursprünglichen Koeffizienten all a2 , . • ., an mit Koeffizienten, die ganze ganzzahlige homogene Ausdrücke i/en Grades der co, cll c2 , ••• , cn _ 1 sind.

§ 3. Hilfssatz über ganze Funktionen. Es seien n unabhängige Variable $11 Z2' za, ... , Z10 und m rationale ganze Funktionen der z: (1)

gl(ß1 , Z2'···' ß,,),

g2(ZU Z2' •.. , zn)' ... , gm(ZlI Z2' ... , ßn )

gegeben, unter mund n beliebige positive ganze Zahlen verstanden. Wir ordnen jede der Funktionen so, daß in ihr die Glieder, die in ihren variablen Bestandteilen Z~'·Z;2···z~n übereinstimmen, zusammengefaßt sind. Die einzelne Funktion verschwindet "identisch", wenn in der so geordneten Gestalt jeder Koeffizient gleich 0 ist. Wir nehmen an, daß keine der Funktionen (1) identisch verschwindet, daß also in jeder mindestens "ein Glied mit einem von 0 verschiedenen Koeffizienten auftritt. Dann gilt folgender, bald zur Verwendung kommender Satz: Sind m nicht identisch verschwindende ganze rationale Funktionen von n Variablen vorgelegt, so kann man auf unendlich viele Arten für die zll Z2' ... , zn ganze Zahlen eintragen, für welche keine der Funktionen verschwindet und also ihr P1·0dukt von 0 verschieden ist. Der Beweis kann leicht durch vollständige Induktion geführt w,erden. Ist zunächst n = 1, so haben wir m nicht identisch verschwindende ganze Funktionen gk(ß1 ) einer Variablen,. Für die einzelne gibt es nur eine beschränkte Anzahl von Werten ZlI die gk(ß1 ) = 0 befriedigen. Meiden wir also die endlich vielen Werte Zv für die mindestens eine der Funktionen gk (Z1) verschwindet, so bleiben in der Tat noch unendlich viele ganze Z~hlen Zv für die keine der Funktionen verschwindet. Unser Satz ist also für n = 1 richtig. Wir nehmen nun an, der Satz gelte auch noch für mehrere Variable, und zwar jedenfalls bis zum Falle von (n - 1) Variablen. Dann können wir leicht zeigen, daß er auch noch im nächstfolgenden Falle von n Variablen richtig ist, womit der allgemeine Beweis des Satzes beendet sein wird. Ordnen wir nämlich die Funktionen (1) nach Potenzen der letzten Variablen zn' so werden die Koeffizienten dieser Potenzen offenbar ganze Funktionen der (n - 1) Variablen ZlI Z2' ... , zn_1' Dabei können in der einzelnen Funktion gk diese "Koeffizienten" nicht alle identisch

28


verschwinden, da sonst gk (zu Z2' ••. , z,,) selbst identisch verschwinden würde. Der Annahme gemäß können wir dann auf unendlich viele Arten für die Z17 Z2' •.• , zn_1 solche ganze Zahlen eintragen, daß alle nicht identisch verschwindenden unter jenen "Koeffiziententl von 0 verschiedene Werte annehmen. Wir haben dann mit einem System nicht identisch verschwindender ganzer Funktionen der einzigen Variablen z". zu tun und können nach dem für n = 1 bereits bewiesenen Satze auf unendlich viele Arten für zn eine gleichfalls ganze Zahl so eintragen, daß keine dieser Funktionen verschwindet. Damit ist der Beweis unseres Satzes allgemein geführt.

§ 4. Fuuktionen in Zahlkörpern. Neben den Begriff der Gruppe tritt in der Theorie der algebraischen Gleichungen als nicht minder wichtig der von Dedekind 1) eingeführte Begriff des "Körpers". Ein System konstanter Zahlen heißt ein "Zahlkörper" oder kurz ein "Körper" 2), wenn mit irgendzwei Zahlen a, b des Systems stets auch (a b), Ca - b), a . b und, sofern b von 0 verschieden ist, auch a: b im System enthalten ist. Das Ergebnis irgendwelcher rationaler Rechnungen, angewandt auf Zahlen von ist also, wenn nur die Division durch 0 stets vermieden wird, immer wieder in enthalten. Die Zahlen von mögen irgendwelche reelle oder komplexe endliche Konstante sein; der zunächst mögliche Fall, daß nur aus der Zahl 0 besteht, soll übrigens ausgeschlossen sein. Nach der letzten Bemerkung enthält sicher eine von 0 verschiedene Zahl a, dann aber auch a: a = 1 und damit sogleich alle rationalen Zahlen. Die gesamten rationalen Zahlen bilden offenbar für sich einen Körper, der der "rat?:onale Körper" genannt wird und durch mbezeichnet werden möge. Der rationale Körper m ist, wie wir sahen, in jedem Zahlkörper ~ enthalten. Ein weiteres Beispiel eines Körpers liefert das System aller Zahlen (a + ib) mit rationalen a, b; wir nennen ferner den Körper aller reellen Zahlen sowie den alle übrigen Körper umfassenden Körper aller reellen und komplexen Zahlen. Es sei jetzt irgendein Zahlkörper vorgelegt. Eine rationale ganze Funktion einer Variablen z:

+

sr

sr,

sr

sr

sr

sr

sr

(1) heiße "eine Funktion im Körper

sr"

oder kurz eine "Funktion in

sr",

falls

1) Siehe die Angaben am Anfang des vierten 'l'eiles der vorliegenden Einleitung sowie über den Begriff des "Funktionenkörpers" die Ausführungen in 1,81. 2) Mit gewissen Eigenschaften ausgestattete Systeme unendlich vieler Zahlen oder Systeme unendlich vieler Funktionen werden weiterhin vielfach auftreten. Zur Bezeichnung solcher Systeme benutzen wir stets die Frakturschrift.

Zahlkörper

~

und Funktionen in

29

~

sr

die Koeffizienten ao, a l l a2 , •••, an Zahlen aus sind. Damit der "Grad" n in (1) wirklich vorliegt, gelte der Koeffizient ao des höchsten Gliedes stets als von 0 verschieden. Jede von 0 verschiedene Zahl aus gilt die Zahl 0 steht für hiernach als eine "Funktion nullten Grades in sich als "identisch verschwindende Funktion in Das Produkt zweier Funktionen in ist offenbar wieder eine Funktion in deren Grad gleich der Summe der Grade der Faktoren ist. Läßt sich andrerseits fez) als Produkt fez) = Xl (z) . X2 (z) zweier Funktionen in darstellen, so heißt jede der Funktionen Xl (z), X2(Z) ein "T~ler" der Funktion fez). Es ist einleuchtend, daß fez) jede Funktion nullten Grades in zum Teiler hat, und daß auch jedes Produkt von fez) und einer Funktion nullten Grades Teiler von fez) ist. Es seien fez) und g(z) zwei festgewählte Funktionen in deren Grade n und m > 0 seieu. 1) Man bilde alle Ausdrücke:

sr"; sr".

sr

sr,

sr

sr

sr

sr,

(2)

f(z)1/I(z)

+ g(z) rp(z),

unter rp(z) und 1/I(z) irgendwelche Funktionen in st verstanden. Es entsteht so ein System unendlich vieler Funktionen in das wir durch ts: bezeichnen, und das folgende Eigenschaften besitzt: 1. Die Summe und die Differenz zweier Funktionen aus ts: liefern

sr,

siets wieder Funktionen aus ts:; 2. Das Produkt einer Funktion aus stets wieder eine Funktion aus ts:.

ts:

und einer Funktion in

sr ist

sr,

Das System ts: enthält die mit 0 identische Funktion in die wir z. B. erhalten, wenn wir rp(z) mit fez) und 1/I(z) mit - g(z) identisch wählen. Auch die Funktionen fCz) und g(z) selbst kommen in ts: vor. Wir sehen von der mit 0 identischen Fnnktion ab und ordnen die übrigen Funktionen von ts: nach ihren Graden. Es sei v der hierbei auftretende "Minimal grad", der dann jedenfalls weder> m noch > n ist. Eine in ts: auftretende Funktion des Minimalgrades v sei X(z), die wir nötigenfalls nach Divi~üon durch den Koeffizienten des höchsten Gliedes in die Gestalt setzen: (3) Dann gilt der Satz: Die Funktion X(z) i~t durch fez) ttnd g(z) eindntiig bestimmt. Ist nämlich X' (z) = ZV + c~ ZV -1 + . .. irgendeine in ts: enthal-

tene Funktion des Minimalgrades v mit dem höchsten Koeffizienten 1, so ist X'(z) - X(z) eine in ts: enthaltene Funktion eines Grades< v, die demnach mit 0 identisch ist. Also ist Z' (z) mit X(z) identisch. 1) In dem Falle, daß mindestens eine der Funktionen fez), g(z) dem nullten Grade angehört, gestalten sich die folgeuden Entwicklungen elementar.

30


Da v < n ist, so können wir fez) durch X(z) teilen und ein Ergebnis der Gestalt:

(4)

fez)

=

q(z) x(z)

+ r(z)

aufstellen, wo q (z), der Quotient, und r(z), der Rest der Division, Funktionen in ~ sind und der Grad von r(z) kleiner als v ist. Ziehen wir die Darstellung: (5) xCz) = f(z) 1[' (z) + g(z)cp(z) der Funktion X als einer solchen des Systems

r(z)

und (5):

f(z)(l

=

=

q(z)1/J(z»

=

~

heran, so folgt aus (,4)

g(z)q(z)cp(z).

Die Funktion 1'CZ) ist hiernach gleichfalls in ~ enthalten; sie ist also als einem Grade< v angehörig mit 0 identisch, so daß fez) durch X(z) ohne Rest teilbar ist. Da man dieselbe Betrachtung auf g(z) anwenden kann, so ist X Cz) ein gemeinsamer Teiler von fez) und g(z). Aus (5) folgt weiter, daß jeder gemeinsame Teiler von fez) und g(z) ein Teiler von X(z) ist; die Funktion xCz) heißt demnach der "größte gemeinsame Teiler" von fez) und g(z): Die dU1'ch fez) und g(z) eindeutig bestimmte Funktion (3) des in ~ allftretenden Minimalgrades v ist der größte gemeinschaftliche

Teiler von fez) und g(z). Ist der Minimalgrad v = 1 und also x(z) mit 1 identisch, so heißen die beiden Funktionen fez) und g(z) "teilerfremd". Es folgt: Sind fez) ttnd g(z) zwei teilerfremde Funktionen in ~, so kann man cp(z) und 1/J(z) als Funktionen in ~ so 1,cählen, daß die Gleichung:

(6)

j'(z)1/J(z)

+ g(z)cp(z) =

1

identisch besteht; umgekehrt folgt aus dem Bestehen einer Gleichung (6), daß fez) und g(z) teilerfremd sind. Eine weitere wichtige Folgerung ist: Sind fCz), g(z) und h(z) Funktionen in ~, von denen die beiden ersten teilerfremd sind, und ist g(z)· h(z) durch fez) teilbar, so ist fez) ein Teiler von h(z). Für teilerfremde fez), g(z) folgt nämlich aus (6):

(7)

h(z)

=

fez) . 1/J(z)h(z)

+ g(z)h(z) . cp(z),

und da die beiden Glieder rechter Hand den Teiler fez) haben, so hat auch h(z) diesen Teiler. . Mit cp(z) und 1/J(z) genügen auch die beiden Funktionen:

(8)

CPl(Z)

=

cp(z)

+ m(z)f(z),

der identischen Gleichung (6), wobei mez) eine beliebige Funktion in ~ ist. Man kann über mez) so verfügen, daß CPl(Z) einen Grad< n erhält. Aus der identischen Gleichung:

f(z)1/J l (z)

=

1

=

g(z) CPl (z)

Sätze über Paare von Funktionen. Irreduzibilität

31

folgt dann, daß 'ljJl (z) einen Grad< m hat. Ist aber weiter tp~ (z) und 1/1~ (.z) irgend ein Funktionenpaar mit Graden< n bzw. < m, das die Gleichung (6) befriedigt, so folgt als identische Gleichung: f'(z) (1/1~ (z) - 1/11 (z)

=

9 (z) (tpl (z) - tp~ (z)).

Da f(z) und g(z) teilerfremd sind, so muß nach dem letzten Satze fez) ein Teiler von (tpl (z) - tp~ (z)) sein, so daß die letztere Funktion, da sie den Grad n vonf(z) nicht erreicht, mit 0 identisch ist. Es sind also tpl (z) und tp~ (z) identisch, und ebenso folgert man die Identität von 1/11 (z) und 1/1~ (z). Sind fez) und g(z) teilerfremd, so gibt es ein und nur ein Paar, die identische Gleichung (6) befriedigender Funktionen tp(z), 1/1(z), deren Grade bzw. < n und< m sind. Sind fez) und g(z) wieder teilerfremd und sind tp(z) und 1/1(z) zunächst zwei beliebige die Gleichung (6) erfüllende Funktionen, so folgt durch Multiplikation mit irgendeiner .b'unktion h(z) die Gleichung (7). Schreiben wir in ihr für h(z)tp(z) und h(z)1/1(z) gleich selbst wieder tp(z) und 1/1 (z), so folgt: (9) h(z) = f(z)1/1(z) + g(z)tp(z). Hieran schließe man die oben mit den Gleichungen (8) begonnene Betrachtung, die jetzt zu folgendem Ergebnisse führt: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so kann man jede Funktion h(z) in St in der Gestalt (9) mit zwei Funktionen tp(z) und 1/1(z) in St da,rstellen, und zwar kann man die Funktionen tp (z) und 1/1 (z) in einer und nur einer Art so wählen, daß der Grad von tp(z) kleiner als der Grad n von fez) ist. Die Funktion fez) heißt "in ~ reduzibel", falls sie eine Funktion xCz) in St von einem Grade, der> 0 und< n ist, zum Teiler hat; besitzt sie keinen solchen Teiler, so heißt sie "in ~ irreduzibel". Der Zusatz "in ~" wird hierbei, wenn er sich von selbst versteht, gewöhnlich fortgelassen. Eine reduzibele Funktion fez) ist in das Produkt fez) = x(z) . Xl (z) zweier Funktionen in St spaltbar, deren Grade zwischen 0 und n liegen. Sie hai nämlich einen Teiler X(z), worauf wir vermittelst der Division von fez) durch X(z) einen Quotienten Xl (z) erhalten, der die Bedingungen des Satzes erfüllt. Ist ~ der Körper aller reellen Zahlen, so ist jede Funktion fez) eines Grades n > 2 reduzibel; sie ist nämlich in St in Faktoren ersten oder zweiten Grades spaltbar. Ist ~ der Körper aller Zahlen, so ist jede Funktion fez) eines Grades n> 1 reduzibel, nämlich in Faktoren ersten Grades zerlegbar. Diese Angaben folgen aus dem Fundamentaltheorem der 'Algebra. Es besteht der Satz: Ist von den beiden Funktionen fez) und g(z) in ~ die erste irreduzibel, so sind fez) und g(z) entweder teilerfremd oder gCz) hat den Teiler fez). Sind sie nämlich nicht teilerfremd, so haben sie einen

32

Einleitung, Teil II: Galoissche Gle.ichungstheorie

größten gemeinsamen Teiler x(z) eines Grades> 0, der als Teiler der irreduzibelen Funktion fCz), abgesehen von einem konstanten Faktor, nur fez) selbst sein kann. Einfache Folgerungen des letzten Satzes sind: Zwei

irreduzibele Funktionen fez) und g(z) sind entweder teilerfremd oder bis auf einen konstanten Faktor, der eine Zahl aus ~ ist, identisch. Sind sie nämlich nicht teilerfremd, so ist jede Funktion ein Teiler der anderen. Eine irreduzibele Funktion fez) ist stets teilerfremd zu ihrer Ableitung {'(z). Es kann nämlich (,Cz) als Funktion (n - lyen Grade" in ~ nicht durch fez) teilbar sein. Endlich besteht der Satz: Eine reclnzibele Ji'tmktion fCz) ist nnr auf eine Art als Produkt irrecluzibeler Funktionen darstellbar, abgesehen davon, daß jede irrednzibele Funktion noch um eine Zahl aus ~ als Faktor abgeändert tC erden mag. Haben wir nämlich für f'(z) die beidenZerlegungen: f1Cz), f~(z)··· f,Jz)

und

fhCZ)' [l2(Z)"" !I,,(z)

in irreduzibele Faktoren, so ist g1 (z) Teiler des Produktes von f1 (z) und f2(z) . fsCz) ... fp.(z). Da f1 (z) und 91 (z) irreduzibel sind, so sind diese Funktionen entweder (bis auf einen konstanten Faktor) identisch oder teilerfremd. Im letzteren Falle ist [11 (z) Teiler von f2(z) . (J(z) ... (,,(z). Indem man alsdann dieselbe Schlußweise für fl1 (z) und das Produkt f2 (z) . Cfs (z) .. " fp. (z» wiederholt und in derselben Weise fortfährt, ergibt sich, daß g1 Cz) notwendig unter den Faktoren h (z), f2 (z), ... , (u (z) auftritt. Die Fortsetzung des Beweises ist einleuchtend.

§ 5. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper

~.

Durch Nullsetzen einer Funktion fez) in ~ entsteht eine "Gleichung im Km'per ~(/ oder kurz eine "Gleichung in ,~" {(co) = 0, die "in ~ reduzibel" oder "irreduzibel" heißt, je nachdem die Funktion fCz) reduzibel oder irreduzibel ist. Der Zusatz "in ~" wird auch hier gewöhnlich fortgelassen. Zwei Gleichungen fCz) = 0 und [I(z) = 0 in ~ haben keine gemeinsame Lösung, falls fez) und g(z) teilerfremd sind. Haben diese Fnnktionen aber einen größten gemeinsamen Faktor xCz) eines Grades v > 0, so ist jede gemeinsame Wurzel der Gleichungen fez) = 0 und g(z) = 0 eine Wurzel der Gleichung xCz) = 0 und umgekehrt. Diese Angaben folgen leicht ans den Formeln (5)ff. von § 4, Die Sätze aus dem letzten Teile des vorigen Paragraphen ergeben nun unmittelbar einige wichtige Folgerungen: Eine irreduzl:bele Gleichung fez) = 0 hat nie eine mehrfache Wurzel. Hätte nämlich fCz) = 0 eine mehrfache Wurzel, so würde diese auch der Gleichung (,Cz) = 0 genügen, während doch fCz) und f' (z) teilerfremd sind. Ist von den beiden Glei-

chungen fCz) = 0 und g(z) = 0 die erste irreduzibel, so wird die zweite entweder durch keine oder durch alle Wurzeln der ersten befj"iedigt. Es

Begriff einer in bezug auf

algebraischen Zahl

33 sind nämlich fez) und g(z) entweder teilerfremd oder g(z) hat den Teiler fez). Als besonderer Fall ergibt sich hieraus: Zwei irreduzibele Gleichungen in haben entweder keine gemeinsame Wurzel, oder ihre linken Seiten sind, abgesehen von einem konstanten F(lktor, identisch. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Eine Zahl () heißt "algebraisch in bezug auf den Körpm· sr", wenn sie die Lös~ng einer Gleichung in ist. Ist diese Gleichung reduzibel, so hat ihre linke Seite mindestens einen irreduzibelen Faktor, der für () verschwindet. Dieser Faktor sei vom n ten Grade und liefere für () die irreduzibele Gleichung: ~

sr

sr

(1)

mit dem Koeffizienten 1 im höchsten Gliede. Mit Rücksicht auf den algebraische Zahl () genügt einer letzten Satz folgt: Jede in bezug auf eindeutig bestimmten irreduzibelen Gleichung (1) in Ist n = 1, so ist {j in enthalten. Ist n > 1, so bezeichnen wir die n Wurzeln von (1) durch (), ()', ()", ..., (){n-i); sie liefern n verschiedene in bezug auf algebraische Zahlen, die einander "konjugied' genannt werden, und von enthalten ist. denen keine in Unter der "Adjunktion" von () zum Körper versteht man den Zusatz von () sowie aller durch rationale Rechnungen aus () und Zahlen von berechenbarer Zahlen zum Körper ~; natürlich bleibt wieder die Division durch ausgeschlossen. Die Adjunktion führt zu einem durch (sr, ()) zu bezeichnenden Zahlkörper, der in sich enthält. Ist 8 in ~ enthalten, d. h. ist n = 1, so ist natürlich der Körper (sr, 8) kein anderer als selbst. Ist indessen n > 1, so tritt eine Erweiterung von em; dieser Fall wird uns demnach vornehmlich interessieren. Jede Zahl ~ des erweiterten Körpers (sr, ()) ist in der Gestalt:

sr

sr.

sr

sr

sr

sr

sr

°

sr

sr

sr

~=h(O)

(2)

9 (0)

sr

darstellbar, wo h (z) und g(z) Funktionen in sind, von denen die letztere für z = () nicht verschwindet. Da hiernach fez) und g(z) teilerfremd sind, so ist h(z) nach einem Satze von S. 31 in der Gestalt:

(3)

h(z)

=

f(z)1{J(z)

+ g(z)cp(z)

darstellbar. Dabei sind die Funktionen cp(z) und 1{J(z) eindeutig bestimmt, wenn wir fordern, daß cp(z) einen Grad< n hat und damit die Gestalt besitzt:

(4) 'Tragen wir nun in (3) insbesondere z = () ein, so wird f( () h (0) . finden: ~ = 9(0) = cp(()): Fricke, Die elliptischen Funktionen Ir

=

3

0, und wir


34

Wir sind damit zu dem Satze gelangt: Jede Zahl b des erweiterten Körpers (sr, ()) ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt:

b=

(5)

Co

+ c1 () + C2 ()2 + ... + cn _ 1 ()n-l

darstellbar (unter co, clI . . ., cn _ 1 Zahlen aus Sl' verstanden), und umgekehrt ist jeder Ausdruck (5) eine Zahl von (Sl', (). Es bleibt hierbei nur noch zu zeigen, daß die einzelne Zahl b nur auf eine Art in der Gestalt (5) darstellbar ist. Gäbe es nämlich noch eine zweite solche Darstellung b = c~ + c~ () + ..., so wäre:

( 2, ••• , 0m durch alle N Kombinationen der Wurzeln von fi(z) = 0, t~(z) = 0, ... , f m (z) = 0 ersetzen, mögen wir die den t), r/, ... , t)(N-i) zugeordneten Zahlen @, @', . . . , @(N-i) erhalten. Dann haben wir in:

°° °

(9)

}J~l Z-TJ

.@+ Z,FJZ) , .@'+ ... + ,_!!(Z)~ .@(N-i)=H(Z) -TJ Z-TJ(N-1)

eine ganze Funktion (N - Iren Grades von Z:

und zwar sind die BI' B 2 , ••. , B N ganze symmetrische Funktionen der Wurzeln jeder der tn Gleichungen fi(z) = 0, ... , fm(z) = U mit Koeffizienten, die dem Körper $I' angehören. Auf Grund des Hauptsatzes von S. 25 folgern wir hieraus wie oben, daß H(Z) eine "Funktion in ~" ist. Für Z = t) ergibt sich aus der Gleichung (9): ( 10)

@ =

!!01 Fr (TJ)'

°°

und da F'(t) =1= 0 ist, so gehört @ zufolge (10) dem Körper (~, t) an. Da andrerseits wegen (4) die Zahl t) in (sr, 1, 2, ••• , 0m) enthalten ist, so findet sich in diesem Körper überhaupt jede Zahl aus (Sf, t). Jede Zahl des einen der beiden Körper (.\'t, t) und (sr, 011 2 , ••• , 0m) ist demnach im anderen enthalten, so daß beide Körper, insofern sie das gleiche Zahlensystem darstellen, einander gleich zu nennen sind. Der aufgestellte Satz ist damit bewiesen. Aus dem letzten Satze von § 5 (S.34) ergibt sich noch eine Erweiterung des eben bewiesenen Satzes. Wir nehmen jetzt die Adjunktionen in der Art hintereinander vor, daß 2 algebraisch in bezug auf (~, ( 1 ) ist, ebenso Os in bezug auf (Sf, 0l' ( 2 ) usw. Dann ist nach dem Schlußsatze von § 5 zunächst 2 a1lch in bezug auf ~ algebraisch; ebenso ist, da wir (~, 01> ( 2) als einen Körper (Sf, t)1) darstellen können, naeh jenem Satze auch Os algebraisch in bezug auf Sf, und man folgert in derselben Weise weiter, daß überhaupt alle 011 2 , ••• , 0m in bezug auf sr algebraisch sind. Auch der durch diese Art der Adjunktion entstehende Körper (Sf, 1 , 2 , ••• , 0rn) ist als ein Körper (sr,11) mittelst einer einzigen Adjunktion herstellbar.

°

°°

°

°

°

38


§ 7. 'Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen. Die in bezug auf sr algebraische Zahl fJ genüge der irreduzibelen Gleichung n ten Grades (1) S.33. Dem Grade n dieser Gleichung entsprechend heißt der durch Adjunktion von fJ zu ~ entstehende Körper (~, fJ) ein algebraischer Körper n ten Grades in bezug auf~. Ist n = 1, so ist fJ in ~ enthalten, und die beiden Körper (sr, fJ) und ~ sind gleich, d. h. sie stellen das gleiche Zahlensystem dar, was wir durch (~, fJ) = zum Ausdruck bringen. Ist n > 1, so ist fJ nicht in ~ enthalten, und also enthält (sr, fJ) den Körper .~, ohne durch ihn erschöpft zu werden. Enthält allgemein ein Körper ~' einen Körper ~ in sich, ohne durch ihn erschöpft zu werden, so bringen wir dies Sachverhältnis durch ~'> ~ oder ~ 1 ist, unterscheiden und stellen folgende Erklärung auf: Eine Zahl ~ des Körpers (~, 0) heißt "primitiv" oder "imprimitiv", je nachdem die n konjugierten Zahlen ~l = ~, ~2' ••. , ~n alle verschieden sind oder nicht. Dann besteht der Satz: In einem Körper (~, 0) eines Grades n> 1 gibt es sicher unendlich viele primitive Zahlen. 1) Verstehen wir nämlich für den Augenblick unter ~ die Funktion: ~ = Zo

+ Zl () + Z2()2 + ... + zn_1 on-1

der n unabhängigen Variablen zo' Zll ~i die Funktion: 1'.= Z + Z 0.+ z ()7 \:', 0 1; 2 1,

•.. ,

zn_l und entsprechend unter

+ ... + Z

n-1

O'!-l a

,

so sind keine zwei dieser Funktionen ~l = ~, ~2' ••• , ~.. identisch, da z. B. ihre Koeffizienten von Zl durchweg verschieden sind. Von den tn(n -1) Funktionen (~1 = ~2)' (~l = ~3)' ... , (~l = ~..), (~2 ~3)' ... , (~"-l ~n) verschwindet also keine identisch. Durch Wiederholung der Überlegung von S. 27 findet man demnach, daß man die zo, Zu .• " zn_l auf unendlich viele Arten als rationale ganze Zahlen so wählen kann, daß n konjugierte, durchweg verschiedene Zahlen ~l' ~2' . , . , ~n unserer n Zahlkörper gewonnen werden. =

=

1) Für n = 1 würde die Unterscheiduug primitiver und imprimitiver Zahlen ihre Bedeutung verlieren.


40

Es sei jetzt ~ = ~l primitiv und also g' (~) =F O. Ferner sei 'YJ = n, irgend eine Zahl aus (sr, 8) und 1)17 1)2' •• . ,1)11 die zugehörigen n konjugierten Zahlen. Wir bilden den Ansatz:

(7)

g(wt1) w - ~1 1

..L I

_J!(w)_1) W

-~.

2

+ ... + J!(w)~n 1) W -

= 11

R(w)

und erkennen genau wie S. 37 auf Grund des Hauptsatzes von S. 25 in R(w) eine Funktion (n - l)ton Grades in sr. Setzen wir w = ~1 = ~ in (7) ein, so folgt: 11

(8)

=

.

H(~)

----

g'(t) ,

so daß jede Zahl 1) aus (sr, 8) im Körper (sr, s) enthalten ist. Da umgekehrt S in (sr, 8) enthalten ist, so gilt (sr, ~) = (sr, 8). Durch Adjunktion irgendeiner primitiven Zahl ~ von (sr, 8) zum Körper sr ergibt sich stets der gesamte Körper (sr, 8) wieder. Ist hingegen ~ imprimitiv, so ist (sr, s) ein Körper eines Grades v < n, dessen sämtliche Zahlen irreduzibelen Gleichungen mit Graden < v genügen. In diesem Körper kann also keine primitive Zahl von (sr, 8) enthalten sein: Für eine imprimitive Zahl von (sr, 8) gilt (sr, ~) < (sr, 8), d. h. (sr, ~) ist in (sr, 8) enthalten, erschöpft aber den Körper (sr, 8) noch nicht. Der Körper (sr, 8) möge selbst "primitiv" oder "imprimitiv" heißen, je nachdem seine sämtlichen Zahlen (außer denen, die den Körper sr bilden) primitiv sind oder neben primitiven auch im primitive vorkommen. Ist ~ eine noch nicht in sr enthaltene imprimitive Zahl von (sr, 8), so genügt der Körper sr' = (sr, s) der Bedingung sr < sr' < (sr, 8). Dieser Satz ist nmkehrbar: Jeder die Bedingung sr< sr' < (sr, 8) erfüllende Körpm' sr', der also sr enthält und in (sr, 8) enthalten ist, ohne mit einem dieser Körper gleich zu sein, ist ein Körper (sr, s), der WttS sr durch Adjunktion einer imprimitiven Zahl ~ von (sr, 8) gewinnbar ist. Die Existenz eines solchen Körpers sr' ist also charakteristisch für einen imprimitiven Körper (sr, 8). Zum Beweise verstehen wir nnter ~l eine nicht in sr enthaltene Zahl von sr'. Dann gilt (sr, Sl) < sr', und ~l ist eine imprimitive Zahl von (sr, 8), so daß der Grad V 1 von (sr, Sl) die Ungleichung V 1 < n befriedigt. Ist (sr, Sl) = sr', so ist der Satz bewiesen. Ist (,~, Sl) < sr', so sei ~ eine nicht in (sr, ~l) enthaltene Zahl von sr'. Nach S. 35ft'. können wir dann eine gleichfalls in sr' enthaltene Zahl ~2 so wählen, daß (sr, s17 ~;) = (sr, S2) wird. Der Körper (sr,62) befriedigt die Bedingung (sr, 62) < ~', und sein Grad "2 liegt im Intervall V1 < V 2 < n. Ist auch jetzt noch nicht (sr, S2) = sr', so können wir in derselben Art einen Körper (sr, 63) bilden, für den (sr, 63) < sr' gilt, und dessen Grad Vs im Intervalle v 2 < v s < n liegt. Dieser Prozeß führt nach endlich vielen Schritten zum Ziele, d. h. zu einem Körper (sr, ~;), der gleich sr' ist; denn die Grade v sind ganze po-

s

Primitive und imprimitive Körper. Galoissche Körper

41

sitive' Zahlen, von denen jede größer als die vorhergehende ist, und die alle< n sind. Einige bemerkenswerte Folgerungen sind noch: Ein Körper (~, 0) 'vom Primzahlgrade n ist stets prim#iv. Der Grad v der irreduzibelen Gleichung für eine imprimitive Zahl aus (~, 0) ist nämlich ein von n selbst verschiedener Teiler von n; im B~alle einer Primzahl n haben wir also nur 1) = 1. Ein die Bedingung:

(9)

~

< ~' < (~, 0)

er{üllender Körper ~' ist, {alls er vom nten Grade ist, notwendig gleich (~, ()). Wie soeben stellen wir nämlich ~' als einen Körper (~, ~) dar und haben in b wegen des Grades n von S!;' = (~, ~) eine primitive Zahl von (~, 0).

§ 8. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen. 1 ) Wie bisher seien (~, 0) = (~, ( 1 ), (~, ( 2 ), ••• , (st:, On) konjugierte in bezug auf ~ algebraische Körper n ten Grades. Soll 0i in (st,O) enthalten sein, so ist hierfiir hinreichend und notwendig das Bestehen einer Gleichung: (1) Bi = (;;0 cil 0+ C;202 + ... + ci,n_l O"-l,

+

wo die c hier und weiterhin stets Zahlen aus ~ sind. Es ist dann (~, 0;) < (~, 8) und also nach dem Schlußsatze von § 7 genauer (~, 0i) = (~, 8), so daß aus (1) umgekehrt auch die Gültigkeit einer entsprechenden Darstellung von 8 in (), entspringt. Hieran schließt, sich folgende Erklärung: Der Körpm' n ten Grades (sr, 0) heißt ein "Galoisscher Körper" oder "Normalkörper", falls er mit seinen sämtlichen lwnjugiA3rten Körpern gleich ist. Ein notwendiges und hinreichendes Kennzeichen für einen Normalkörper ist also, daß sich alle mit () = ()l konjugierten Zahlen 0i in der Gestalt (1) durch () darstellen lassen. Es wird sich dann in entsprechender Gestalt überhaupt jedes ()i in jedem ()k darstellen lassen. Einleuchtend ist der Satz: Ein Galoisscher Körper enthält mit irgendeiner Zahl ~ stets alle mit ~ konjugierten Zahlen in sich. Ein den Körper (~, B) umfassender Galoisscher Körper wird neben () = ()1 auch die konjugierten Zahlen O2 , 0a, •.. , B" und damit den Körper (~, ()1' B2 , •.• , Bn) enthalten. Es gilt aber der Satz: Der Körper (~, ()l' ()2' ... , ()n) ist selbst ein Ga,zoisscher Körper und ist demnach als 1) Die folgenden Entwicklungen geben die Grundzüge der Galoisschen Gleichungstheorie in der neueren auf den Körperbegriff aufgebauten Gestalt. Galois' Werke sind im Zusammenhang von Liouville im Bd.11 des Journ. de math. (1846) veröffentlicht, eine deutsche Ausgabe ist von M a s er veranstaltet (Berlin, 1889).

42


der "kleinste" den gegebenen Körper (~, 0) enthaltende Galoissche Körper zu bezeichnen. Nach S. 35 können wir nämlich den Körper (sr, 0u f)2' ..• , On) auch als einen Körper (~, 'YJ) durch Adjunktion einer einzigen Zahl:

(2)

'YJ

=

°+

1'1 1

7'2f)2

+ ... + 7'n On

mit rationalen ganzen Koeffizienten l' herstellen. Die Zahl 'YJ genügt einer Gleichung in sr vom Grade N = n", deren sämtliche Wurzeln in der Gestalt:

(3)

7'1°,

+ j)2 0k + ... + 7'rA

enthalten sind. 1) Wir nennen jetzt den irreduzibelen Bestandteil dieser Gleichung, welcher 'YJ als Wurzel hat, F(Z) = 0 und bezeichnen den Grad dieser in ~ irreduzibelen Gleichung durch m. Da alle Wurzeln dieser Gleichung die Gestalt (3) hal)en, so sind sie in (sr, 17 f)2' ... , 0,.) enthalten, d. h. alle mit 'YJ konjugierten Zahlen gehören wieder dem Körper (sr, 'YJ) an, so daß (sr, 'YJ) = (sr, 17 2 , ••• , On) tatsächlich ein Normalkörper ist. Es mag noch bemerkt werden, daß sich die eben gewonnenen Ergebnisse von der Voraussetzung der Irreduzibilität der Gleichung fez) = 0 frei machen lassen. Den Vorbedingungen der Entwicklung von S. 35 ff. entsprechend haben wir nur zu fordern, daß die n lVwrzeln 0p 2 , ••• , 0" der Gleichung fez) = 0 durchwe,q verschieden sind. Wir gewinnen zllfolge jener Entwicklungen auch dann in (sr,ou 2 , • . . , On) = (sr, 'YJ) einen Galoisschen Körper, nur ist er nicht mehr notwendig der "kleinste", den Körper (sr, 0) umfassende Galoissche Körper. Doch werden wir weiterhin immer nur beiläufig auf den Fall einer reduzibelen Gleichung fez) = 0 eingehen. Bezeichnen wir jetzt allgemein die Zahlen des Galoisschen Körpers (sr, 17 2 , ••• , On) durch 'YJ, so ist jede von ihnen in der Gestalt:

°

°°

°

(4)

°°

'YJ

=

R(Oll

°

2 , ••• ,

°

On)

als rationale Funktion der 0u f)2' .•. , On mit Koeffizienten aus sr darstellbar. Jede primitive Zahl (4) des Galoisschen Körpers genügt einer irredw!ibelen Gleichung in sr vom Grade m: (5) F(Z) = 0, die man als eine "Galoissche Resolvente" der Gleichung fez) = 0 bezeichnet, mag die letztere Gleichung irreduzibel oder reduzibel sein. Betrachtet man den Körper '(sr, 'YJ) ohne Beziehung auf (sr, 0) und die Gleichung fez) = 0 als einen durch Adjunktion von 'YJ zu sr entstehenden "Normalkörper", so erscheint es zweckmäßiger, die Gleichung (5) als eine "Nor1) Zur Vorbereitung der hier vorliegenden Uberlegung darauf aufmerksam gemacht, daß nur die damals 0" 0., Zahlen verschieden sein sollten, daß dagegen die Gleichungen ... , 4" (z) = 0 (wie es hier zutrifft) alle einander gleich sein

wurde bereits S. 35 ... , 0", genannten f, (z) = 0, f. (z) = 0, dürfen.

43

Galoissche Resolvente einer Gleichung

malgleichung" zu bezeichnen. Aus den Entwicklungen am Anfang des Paragraphen ergibt sich der Satz: Eine irreduzibeZe Gleichung m ten Grades in SI: ist dadurch als I!ine Normalgleichung charakterisiert, daß jede ihrer Lösungen 'YJi in einer beliebigen unter ihnen lIk in der Gestalt darstellbar ist: (6).

'li; =

(k)

C;o

+ Ci1 'YJ k + Ci2 1)k + ... + Ci ,rn_ l 17k (k)

(k)

2

(k)

m-l

•

Da alle Zahlen '1'12, 1)3' ... , 17m in (SI:, '1/1) enthalten sind und also der Körper (Sl:, "1u 1)2' ... , 'l'Jm) = (SI:, "11) ist, so kann man auch sagen, eine Normalgleichung sei dadurch charakterisiert, daß sie ihre CI;gene Galoissche Resolvente ist. Die Bedeutung der Galoisschen Resolvente geht aus folgenden Angaben hervor. In der Theorie der algebraischen Gleichungen bezeichnet man, falls irgendein Zahlkörper vorgelegt ist, die Zahlen desselben als "rational bekannte" Größen. Ist eine Gleichung fez) = 0 zu lösen, so sind mit ihr die Koeffizienten von fez) gegeben. Als vorgelegt gilt also ein Körper, der jedenfalls alle Koeffizienten von fez) enthält. Um für den Augenblick mit einem bestimmten Körper zu tun zu haben, denken wir etwa als Körper aller Zahlen, die sich aus den Gleichungskoeffizienten rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten berechnen lassen. Ist die Gleichung fez) = 0 irreduzibel, und ist ihr Grad n > 1, so gehören die Wurzeln der Gleichung noch nicht zu den "rational bekannten" Größen. Aber es gilt der Satz: Hat man eine "einzige" Wurzel 1) einer Galoisscken Resolvente (5) von fez) = 0 gewonnen und damit die Erweiterung des Körpers durch Adjunktion von 1) zum Körper (R, 1)) vollzogen, so sind m;cht nur alle übrigen Wurzeln der Galoisschen Resolvente, sondem atwh alle Wurzeln der Gleichung ((z) = 0 selbst "rational bekannt".

sr

sr

§ 9. Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich. Wie soeben bedeute "1 eine fest gewählte primitive Zahl des Galois'sehen Körpers, die der irreduzibelen Normalgleichung F (Z) = 0 vom Grade 'In genügt. Beliebige Zahlen aus (sr,1) mögen durch ~ bezeichnet werden; jede von ihnen ist eindeutig in der Gestalt darstellbar:

(1)

~ =

Co

+ cl "1 + C2 1)2 + ... + Gm _ l 1)m-l.

Die mit ~ konjugierten Zahlen unterscheiden wir wieder durch die Bezeichnungen ~1 = ~, ~2' ~3' •.• , ~m· Ist ~ primitiv, so sind diese 'In Zahlen alle verschieden; andrenfalls werden sie zu je l'" einander gleich und stellen v verschiedene Zahlen ~l = ~, ~2' .•• , t dar, wo fJ, ein von 1 verschiedener Teiler von mund I.t. v = 'In ist. Bezeichnen wir allgemein ein 'System konjugierter Zahlen durch ~11 ~2' ••. , ~v, so können wir den Fall primitiver Zahlen für v = m hier mit einbegreifen. Im Ausdruck (1) aller Zahlen von (st, 1) ersetzen wir jetzt 1) durch

44

Einleitung, Teil Il: Galoissche Gleichungstheorie

irgendeine konjugierte Zahl 1/". Hierbei geht jede Zahl ~ von (sr, 1/) in eine bestimmte mit ihr konjugierte Zahl über, und zwar zwei verschiedene Zahlen stets wieder in zwei verschiedene. Ist nämlich ~'= c~ + c~ 7] + ... + C~_.1 7]'" -1 von der in (1) dargestellten Zahl ~ verschieden, so gelten nicht gleichzeitig alle m. Gleichungen c~= co, c~ = Cv ... , C~'_l = cm _ 1 • Dann sind aber notwendig auch die beiden Zahlen: co + C1 '1/"

+ C 7]! + ... + Cm _ 2

1 7],;-I,

c~+ C~7]a+ C;7]!+ ...

+ C~'_I'1/~'-1

verschieden, da aus ihrer Gleichheit eine nicht identische Gleichung in ~ für '1/" von einem Grade < m hervorgehen würde, was der Irreduzibilität widerspricht. Es folgt: Beim Ersatz von 'YJ durch irgendvon F(Z) = eine der m konjugierten Zahlen 7] a erf'ahren je v konjugierte Zahlen ~1 , ~2' .•• , ~. des Galoisschen Körpers (~, '1/) eine bestimmte Permutation. Wir bezeichnen diese Permutation (damit 8 0 = 1 die identische Permutation wird) durch S"_1 und erhalten (da die mit ~ konjugierten Zahlen alle in (Si', 7]) enthalten sind), indem wir der Reihe nach 7]a = 7]11 7]2' ... , 7]m setzen, im ganzen m Transf'ormationen des Galoisschen Körpers (~, 7]) in sich, die wir gleich selbst wieder So, S11 ... , 8"'_1 nennen, und von denen So = 1 die "identische" Transformation ist, bei der jede Zahl von (~, 1/) sich selbst entspricht. Diese Transformationen haben eine wichtige aus der Irreduzibilität folgende Eigenschaft. Es seien durch das Symbol R bei von F(Z) = der folgenden Überlegung stets rationale Funktionen bezeichnet, deren Koef'fizienten in ~ enthalten sind. Es seien zunächst R I (z) und R 2 (z) solche Funktionen einer Variablen, und es mögen die Zerlegungen der R 1 (z), R2 (z) in Quotielltenje zweier ganzer Punktionen gegeben sein durch:

°

°

R·1 (\z) --

R (") _ 3

h 1 (z) 91 (z) ,

2/

-

h 2 (z) g~-(z) .

Dann besteht der Satz: llaben die Funktionen R 1 (z), R 2 (z)f'ür Z=1/=7]1 gleiche endliche Wm·te, R1 ('I/) = R 2 (7]), so haben sie f'ür jede der 'In konjugierten Zahlen 1/" gleiche endliche Werte, R 1 (7],,) = R 2 (7]a). Der Voraussetzung nach gelten nämlich die drei Bedingungen: g2(7]) =1= 0, gl(7])h2 (7]) - g2(7])h1(7]) = 0, wo linker Hand "drei Funktionen in ~Ii stehen. Nach einem S. 32 aufgestellten Satze folgt sofort für jedes 1/,,: gl

(7]) =1= 0,

gl (7]a) =1= 0, g2(7],,) =1= 0, gl (7],,)h 2 (t),,) --:- g2(t),,)h 1 (7],,) = 0, woraus die Richtigkeit des Satzes hervorgeht. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall des folgenden grundlegenden Satzes: Besteht zwischen irgendwelchen Zahlen ~, ~', -und

t, ...

~, ~', ~", ... ans (~,

(2)

7])

eine Gleiclnmg:

R1 (~, ~',

so, ... ~\

=

R2(~'

r, I", ...),

45

Transformationen des Galoisschen Körpers in sich

wo rechts und links rationale Ausdrücke endlicher Werte mit des Körpers ~ stehen, so sind auch die beiden Zahlen R 1 (~'" R 2 (fa , ~, •••) endlich ~tnd einander gleich:

(3)

Koeffi~ienten

~:, •.• )

und

r.., r:, ...), ~:, ~:, ... und ~, f,., r:, ... die aus den Argumenten in

R1(~a' ~:, ~;,

•.• ) =

R 2 (fa'

wenn wir unter ~'" (2) durch die Transformation 8"_1 hervorgehenden Zahlen verstehen. Der Beweis folgt sofort aus dem voraufgehenden Satze, wenn wir in (2) rechts und links für die Argumente ihre Ausdrücke (1) in 'I] eintragen. Die Transformation 8 a _ 1 mag nun als Permutation der "1 die folgende sein:

(4) und also 'l]k in 'l]ak überführen. Dann gilt der Satz: Die Transformation 8"_1 des GaZoisschen Körpers in sich kann auch dadurch vollzogen werden, daß man alle Zahlen dieses Körpers durch 'l]k darstellt und in diesen Darstellungen "1k durch 'l]ak ersetzt. Hat nämlich die beliebige Zahl ~ des Körpers in 'l]k die Darstellung:

(5)

;,~' = Co

+' +' + Cl 'l'Jk

2 C2 "1k

• • •

+'rn C

rn-I ' 1 1).

und geht ~ durch die Transformation 8 a _ I in ~a über, so folgt aus (5) nach dem soeben bewiesenen Satze die Gleichung:

- ' + c'1'1]"k +'C2 '1] k + .•• +'Cm - 1 '1]"k'

~ ;,,,-C o

2IX

m-i

Daraus geht die Behauptung unmittelbar hervor. Aus dem letzten Satze folgt die Möglichkeit der Zusammensetzung je zweier Transformationen des Körpers in sich. Üben wir zunächst die Transformation 8 a _ 1 aus, die 'I] in "1 .. überführt, und hierauf die Transformation 8{f-1I die vermittelst des Ersatzes von 'I] durch "1{f oder also vermittelst des Ersatzes von 'l]a durch 'I'J{fa erzielt werden kann, so gelangen wir zu einer durch 8{f-1 . 8"_1 zu bezeichnenden Transformation, die. unmittelbar vermöge des Ersatzes von 'I] durch 'l]ii a erzielbar ist, also unserem System der m Transformationen wieder angehört und für die "1 die Permutation lief~rt: '1]11 "12' •.. , "1m ) 8,'1_1 . 8 a _ 1 = ( . "1{fa 1]rhx.' ... , 'I] {fam 1'

Das System der m Transformationen So, 81' ... , 8 m -1 erfüllt hiernach die erste Gruppenbedingung von S.2. Aber auch die beiden anderen Gruppeneigenschaften liegen vor; man zeigt dies wie S. 18, indem man die 8 als Permutationen der 'TJu 1]2' .•• rJin schreibt und beachtet, daß die einzelne Permutation die zugehörige Transformation des ganzen Körpers in sich eindeutig festlegt:

46

Einleitung, Teil 11: Galoissche Gleichungstheorie

Die m Transformationen eines Galoisschen Körpers mim Grades in sich bilden eine Gruppe Gm der m ten Ordnung, die sich für die 'YIt> 1)2' ... , 'YIm sowie überhaupt für jedes System konjugierter p1'imiti'ber Zahlen als eine Permutationsgruppe Gm des m len Grades darstellt. Unter den m Permutationen der 'I') gibt es eine und nur eine, die 111 in die beliebig vorgeschriebene konjugierte Zahl '1')" überführt, nämlich die Permutation Sa_1' Sie führt dann '1')2 in eine bestimmte Zahl '1')"" nicht mehr in eine frei wählbare unter den konjugierten Zahlen über. Nach der S. 20 eingeführten Bezeichnung ist somit die Gruppe Gm als Permutationsgruppe m ten Grades für 'YJ1> '1')2' ••• , 'l')m oder irgendein System von m primitiven konjugierten Zahlen "einfach transitivtl.

§ 10. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = O. Wir kehren jetzt zur Gleichung n ten Grades fez) = 0 zurück, die wir einstweilen als irreduzibel vorraussetzen , und aus deren Wurzeln wir in der Gestalt (~, ()1> ()2' •.. , ()n) = (~, '1') den Galoisschen Körper herstellten. Ist () = ()1 eine primitive Zahl dieses Körpers, so ist n = m, und wir haben in fez) = 0 eine "Normalgleichung".. Ist n < m, so ist () imprimitiv und also n ein vom ganzen verschiedener Teiler der Zahl m. Im ersten Falle liefert die Gm, eingekleidet in die Gestalt einer Permutatiollsgruppe der n = m Wurzeln ()1' ()2' . .. eine einfach transitive Gruppe Gm des Grades m, wie in § 9 am Schlusse gesagt wurde. Im zweiten Falle zeigen wir zunächst, daß die m Transformationen des Galoisschen Körpers in sich m verschiedene Permutationen der ()l' ()2' ... , ()n liefern. Sollen nämlich Sa und Sfi die gleiche Permutation der () bewirken, so liefert S; 1 . Sa die identische Permutation der () und damit die Transformation, bei der jede Zahl des Körpers (~, ()ll ()2' ... , ()1.) (~,1) sich selbst zugeordnet ist. Also ist S7 . Sa = So = 1 und Sfi = Sa' In jedem Falle (mag n = moder n < m sein) stellen wir folgende Erklärung auf: Die von den Transformationen des Galoisschen Körpers (~, ()l' 82 , .•. , 8n ) = (~, 1) in sich gelieferten m Permutationen der eil 2, ••• , On ergeben eine besondere Einkleidung der Gruppe Gm als einer Permutationsgruppe m ter Ordnung n ten Grades, die man als die "Galoissche Gruppe" der Gleichung fez) = 0 bezeichnet. Sie liefert den im Mittelpunkte der Galoisschen Theorie der Gleichungen stehenden Begriff. Für die Normalgleichung F (Z) = 0 des vorigen Paragraphen ist die Galoissche Gruppe die daselbst betrachtete einfach transitive Permutationsgruppe mten Grades der '1')11 '1')2' ••• , 'l')m' Die Eigenschaften der Galoisschen Gruppe ergeben sich leicht aus den Entwicklungen des vorigen Paragraphen. Wir notieren zunächst, daß die Galoissche Gruppe einer irreduzibelen Gleichung fez) = 0 stets =

°

Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0

47 transitiv ist. Eine beliebig vorgeschriebene Wurzel ()a gewinnen wir nämlich aus ()1 durch die Transformation Sa des Körpers (~, 17) in sich. Von grundsätzlicher Bedeutung sin( die folgenden Ausführungen: Unter R( ()p ()2' .•. , ()n) verstehen wir wieder einen rationalen Ausdruck mit Koeffizienten aus st. Hat der Ausdruck R«()v ()2' •.• , ()n) als Wert eine bereits in st enthaltene Zahl c, so sagen wir, es bestehe für die ()v ()2' . . . , ()n die "rationale Gleichung~in SI":

(1) Da jede Zahl c von SI bei den Transformationen SC( nur sich selbst zugeordnet ist, so folgt nach dem Satze von S. 44ft'. aus (1):

(2) wenn ()k durch Sa in ()C(k übergeführt wird. Damit haben wir den Satz: Jede rationale Gleichung in ~, die für die ()1' ()2' ... , ()n zutrifft, bleibt richtig, falls man in ihr die ()1' ()2' ... , ()n einer beliebigen Permutation der Galoisschen Gruppe unterwirfl. Umgekehrt gilt der Satz: Ein rationaler Ausdruck R (()1' ()2' . . . , ()n) mit endlichem Werte, der sich gegenüber den Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm nicht ändert, stellt eine Zahl aus S't dar. Die Zahlen aus S't sind nämlich die einzigen Zahlen des Körpers (S't, 17), die nur sich selbst konjugiert sind. Sehen wir nur erst den Körper ~ als gegeben und also dessen Zahlen als "rational bekannt" an, so können wir auch sagen: Ein rationaler Ausdruck R«()v ()2' ..• , ()n) der Wurzeln von fez) = 0, der sich gegenüber den Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm nicht ändert, ist "rational bekannt". Der erste dieser drei Sätze ist in folgender Art umkehrbar: Eine Permutation der 1 , ()2' ... , ()n' die "jede" zwischen den ()v ()2' ... , ()n gültige rationale Gleichung in S't in eine gleichfalls richtige solche (Jleichung überführt, gehört der Galoisschen Gruppe Gm an, so daß diese Gm auch als Gruppe aller Permtdationen der Wurzeln von fez) = 0 edclärt werden kann, bei denen "alle" für die ()1J ()2' •.. , ()n bestehenden rationalen Gleichungen (1) wieder in richtige Gleichungen übergehen. Wir können nämlich mitte1st rationaler ganzer Zahlen r eine Zahl:

°

(3) so wählen, daß die n! Zahlen 171 = 17, 172' 1)3' . . . , die aus (3) durch alle n! Permutationen der ()1' ()2' ... , ()n hervorgehen, durchweg verschieden sind. Man beweist dies durch Wiederholung einer S. 36 ausgeführten Überlegung. In der Reihe 171,172' •.. mögen die m in (sr, 17) mit 17 = 171 konjugierten Zahlen an erster Stelle stehen; sie gehen aus (3) durch die Permutationen der Galoisschen Gruppe Gm hervor, während der Rest 17"'+11 17",+2' ... , 17nl von den nicht in Gm enthaltenen (n! - m) Permu-

48


°

tationen herrührt. 1) Ist nun F(Z) = die zur Zahl (3) gehörende Galoissche Resolvente mten Grades, so gilt:

(4) während andrerseits:

(5)

F(1}m+2) +0, ... , F(7}nl)+O

F(7}m+l) +0,

°

zutrifft. Die Wurzeln von F(Z) = sind nämlich die m konjugierten Zahlen 7}I' 7}2' ... , "lrn' von denen die "lm+U" .,1]n: durchweg verschieden sind. Denken wir nun F(7}) ~ durch Einsetzung des Ausdrucks (3) für Yj als eine für die 0u 2, •.• , Oll gültige rationale Gleichung in geschrieben, und soll eine auf die auszuübende Permutation diese Gleichung wieder in eine richtige Gleichung überführen, so kann es sich zufolge (4) und (5) nur um eine der m ersten Permutationen handeln, also um eine Permution der Gm' die 17 in eine der Zahleu 'I)Ul/2' . . . , 11 m über· führt. Damit ist der Satz bewiesen. Die Übertragung der gewonnenen Ergebnisse auf 1'ed'uzibele Gleiist leicht. Auch im ]!'alle einer reduzibelen Gleichung chungen fez) = nten Grades fez) = mit n verschiedenen Wurzeln 0v O~, ... , On hatten wir oben (S.42) einen Galoisschen Körper (~, Oll 2 , ••• , On) = (~, 11) hergestellt. Die m Transformationen dieses Körpers in sich liefern wieder m Permutationen der 0u 2 , .... , On' die man wie vorhin (S.46) als durchweg verschieden erkennt. Diese m Permutationen Uefern uns die "Galoissche Gruppe" Gm der reduzibelen Gleichumg f(z) = 0. Zerfällt fez) in die irreduzibelen Faktoren fl(z), f2(z), ... , ti(z) der Grade nl l n 2 , ••• , n l , so sind die Wurzeln des einzelnen Faktors nur unter sich konjugiert und werden demnach durch die Gm auch nur unter sich permutiert: Die Galoissche G1'uppe der reduzibelen Gleichung fez) = ist also "intransi#v", und die Systeme der n i , n 2, ... , n 1 Wurzeln der in'eduzibelen Bestandliefern die "Systeme der Intransiti,:ität". Die Gruppenteile von fez) = ordnung m ist ein Multiplum jedes der Grade ni , n 2 , .•. , rt 1 , ist aber keineswegs mehr notwendig ein Multiplum von n selbst. Die wesentlichen Eigenschaften der Galoisschen Gruppe, die auf der Irreduzibilität beruhen, bleiben auch bei reduder Galoisschen Resolventen F(Z) = bestehen. zibelen Gleichungen fez) = Es sei wieder fez) = eine irreduzibele Gleichung n ten Grades mit den Wurzeln 0v 2 , ••• , On' Ist der Körper (~, 8) = (~, ( 1 ) (und damit natürlich jeder der konjugierten Körper (~, 0») im Sinne von S. 40 im"imprimitiv". Es primitiv, so nennen wir auch die Gleichung fez) = liege dieser Fall vor, und es sei insbesondere S 0= R(O) eine imprimitive

° ° °

sr

°°

°

°

°

°

° °

°

1) Wir dürfen m selbstverständlich ist.

°

°

< n!

annehmen, da für m

=

n! der zu beweisende ;Satz

Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0

49

Zahl aus (~, 0). Daun sind die n mit ~ konjugierten Zahlen zu je /L ein.ander gleich und stellen nur v verschiedene Zahlen ~u ~2' ••• , ~v dar; ,dabei ist /L ein von 1 und n verschiedener Teiler der Zahl n. Wir ordnen nun die n Zahlen so in v Zeilen zu je /L ZfLhlen an:

°

r

"

B" 0,.+11 O!t+2'

(6)

~2,".+17. 02:U+~'

.,

0,.,

... , °2,u' ... , Os",

daß die (J der i ten Zeile, als Argumente in R eingesetzt, übereinstimmend die Zahl ~i liefern. Für zwei Argumente (Ja und 0ß gilt alsdann: (7) R(Oa) = R(Oß) oder R(Oa) =l= R(Oß) , je nachdem die 0a' (J,j in der'gleichen Zeile (6) oder in verschiedenen Zeilen stehen. Bei Ausübung einer Permutation der Galoisschen Gruppe Gm geht nun ans einer Gleichung (7) stets wieder eine Gleichung, aus einer Ungleichung (7) stets wieder eine Ungleichung hervor. Die Zeilenanordnung (6) der n Zahlen (J17 O~, ... , 0'11 besitzt demnach gegenüber eter Gruppe Gm die S. 21 bei der Erklärung der Imprimitivität einer Permntationsgruppe näher dargelegte Invarianz. Es folgt somit: Die Galoissche Gruppe der impTimitiven Gleichung l(z) = 0 ist eine "imprimitive Gruppe", und die Zeilen (6) lielern die "Systeme der Imprimitivität,".l) ,§ 11. Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen. Wir gehen auf die ursprüngliche Erklärung der Galoisschen Gruppe Gm als Gruppe der m Transformationen des Galoisschen Körpers (~, Y) in sich zurück. Aus diesem Körper greifen wir eine beliebige Zahl b heraus, die in der Gestalt b = R(Y)) darstellbar ist, wo man Rer;) als rationale ganze Funktion (m - 1)ten Grades von r; mit Koeffizienten aus .~ schreiben kann. Die mit b konjugierten Zahlen sind zu je 11' einander .gleich, wo 11' ein Teiler von m ist, zunächst unter Einschluß von 11' = m und !t = 1; für./L = m ist ~ eine schon in ~ enthaltene Zahl, für 11' = 1 ;haben wir inb eine primitive Zahl des Körpers (~, Y). Unter den Transformationen der Gm, die nach S.44 die mit b konjugierten Zahlen bl = b, ~2' ••. , bv untereinander permutieren, kommen im ganzen !l vor, die die Zahl ~ in sich selbst überführen. Diese 11' Transformationen bilden eine in der Gm enthaltene Untergruppe G,., deren Index 1n = t die bisher durch v bezeichnete Anzahl ist. Wir nennen die /L

G, list. Wir bilden wie oben bei der Gleichung fez) = 0 jetzt für die Resolvente (1) den Galoisschen Körper: (4) den wir mittelst irgendeiner zur GI gehörenden Zahl"ii auch in der Gestalt (St, "ii) darstellen können. Dt'ese Zahl "ii genügt dann eineer in Stir~ 'I'eduzibe1en "Normalgleichung" : ~=

F(W)

(5) vom Grade

m=

=

0

y, welche eine "Galoisschec Recsolventec" decr Gleichung (1)

ist; die Gruppe Gm der Transfonnationen des Körpers ~ in sich liefert in der Gestalt der Permutationsgruppe Gm/GI der T o = T v T 2 , ••• , Tm~l die "Ga1oissche Gruppe" der Gleichung (1). Nicht minder wichtig sind die Folgerungen für die ursprüngliche Galoissche Resolvente F(Z) = O. Die Gruppe GI ist als Permutationsgruppe der m Wurzeln von F (Z)= 0 intransitiv und besitzt m Systeme der Intransitivität zu je 1 Wurzeln. Ein beliebiges dieser Systeme sei '1/1' '1/2' .•• , 'l/z- Die symmetrischen Grundfunktionen dieser 1 Zahlen r; gehören zur GI und sind also im Körper ~ = (St,"ii) enthalten (S. 50). Die '1/17 '1/2' •.. , '1/1 sind also die Wurzeln einer Gleichung H(Z) = 0 in ~ vom Grade 1. Wir können leicht zeigen, daß diese Gleichung in ~ irreduzibel ist. Sollte sie es nicht sein, so bezeichnen wir mit h(Z) = 0, den irreduzibelen Bestandteil, dem '1/1 genügt. Ersetzen wir die in den Koeffizienten von h(Z) auftretende Zahl "ii durch ihren rationalen ganzen Ausdruck in '1/1 1), so entsteht aus h('1/1) = 0 eine für '1/1 gültige "Gleichung in ~". Diese Gleichung bleibt demnach bei allen m Transformationen der Gm richtig, und also insbesondere bei allen l Transformationen der Gl"' Die letzteren aber lassen "ii unverändert und führen '1/1 in rJl) '1/2' ... , '1/ über. Man beachte noch, daß die Transformationen der einzelnen zu GI 1) 1), ist eine primitive Zahl des Körpers

(~,

1)).


gehörenden Nebengruppe die Zahl 1] in eine ihrer konjugierten Zahlen überführt, das System rJ1' rJ2' ..• , rJl aber in eines der in Systeme der Intransitivität von GI. Wir haben damit den Satz gewonnen: In dem nach Adjunktion von 1] zu S'f entstehenden Körper ~ = (st, 1]) ist die ursprüngliche Galoissche Resolvente F (Z) = 0 reduzibel und zerfällt in in irreduzibele Gleichungen in ~ vom Grade l, deren einzelne H (Z) = 0 je eines der in genannten Systeme der Intransitivität zu Wurzeln hat; aus einer Gleichung HeZ) = 0 gehen die übrigen hervor, wenn man die in den Koeffizientel~ von DeZ) auftretende Zahl ii dttrch ihre konjugierten Zahlen ersetzt. Bilden wir für die einzelne in ~ irreduzibele Gleichung lten Grades HeZ) = 0 den Galoisschen Körper (~, rJi1 rJ2' ... , rJ/)' so ist dieser natürlich unser bisheriger Körper (st, "7) und kann auch als Körper (~, "71) geschrieben werden. Nach S. 44ft'. werden die 1 Transformationen dieses Körpers in sich dadurch gewonnen, daß wir "71 der Reihe nach durch "71' "72' ... , "7! ersetzen. Wir gelangen dabei zu den 1 Permutationen der "711 "72' ... , "711 die von der GI für dieses System der Intransitivität geliefert werden. In dieser Gestalt einer Permutationsgruppe lten Grades ist dann die GI wieder einfach transitiv: Die einzelne in ~ irreduzibele Gleichung lren Grades HeZ) = 0 ist eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe die als Permutationsgruppe lien Grades der "71' "72' ... , 111 geschriebene Gruppe GI ist. Wegen der grundlegenden Wichtigkeit fassen wir die gewonnenen Ergebnisse nochmals zusammen: 1st GI eine ausgezeichnete Untergruppe der ursprünglichen Galoissehen Gruppe Gm, so genügt eine zur GI gehörendp, natürliche Irrationalität 1] von f(z) = 0 einer in ~ irreduzibelen Gleichung

(5) des Grades

in =

'i, deren Galoissche Gruppe die Quotientengruppe Gm/GI

ist; nach Adjunktion von 1] zu ~ wird die ursprüngliche Galoissehe Resolvente F(Z) = 0 im Körper ~. = (st, 1]) reduzibel und liefert nach Zerlegung in in ~ irreduzibele, innerhalb (S'f, 11) "konjugierte" Gleichungen llew Grades HeZ) = 0, die wieder "Normalgleichungen" sind, und für deren einzelne GI die Galoissche Gruppe ist.

§ 13. A.uflösung einer algebraischen Gleichung f(z)

== O.

Am Schlusse von § 8, S. 43, wurde die Bedeutung der Galoisschen Resolvente F(Z) = 0 für die algebraische Gleichung n ten Grades fez) = 0 dargelegt. Wir nehmen diese Gleichung in einem vorgelegten Körper ~ als irreduzibel an. i ) Das Problem, die Gleichung vollständig zu lösen, d. h. alle Wurzeln anzugeben oder doch auf Grund "rationaler" Rechnungen 1) Andernfalls würden wir mit dem einzelnen irreduzibelen Bestandteile von fez) = 0 arbeiten.

Lösungsprozeß einer algebraischen Gleichung

55 finden zu können, erfordert alsdann die Gewinnung des Körpers (~, 'YJ), in dem in der Tat alle Wurzeln 011 2 , ••• , 0,. von fez) = "rational bekannt" sind. Die in § 12 aufgestellten Sätze im Verein mit den Entwicklungen von S. 12ff. über die "Kompositionsreihe" einer Gruppe Gm zeigen, wie die Lösung dieses Problems zu vollziehen ist: Wir gewinnen durch Auflösung einer Kette ron "Normalgleichungen" je mit "einfachenu Galoisschen Gruppen die Erweiterung von ~ zum Körper (~, 11), in dem fCz) = 0, ~oie auch die Galoissche Resolvente F (Z) = 0, in lauter "l1:neare' Gleichungen reduzibel sind. Die Galoissche Gruppe Gm unserer Gleichung besitze nämlich als eine Kompositionsreihe die Gruppen:

°

°

Gm, Gm" Gm.' "', GI und als zugehörige Indexreihe:

(1)

..~. =

(2)

m'1

m, _ t m. - ~,

t11

wobei das Produkt der Illdizes t 1 • t 2 • t3 Quotientengruppen:

••• =

m ist. Die zugehörigen

(3) Gm/Gm. = G,l, Gm/Gm. = GI.' ... sind einfach, d. h. keine der Gruppen GI enthält (von Gt und GI abgesehen) ~line ausgezeichnete Untergruppe. Da die Berechnung einer Wurzel 'YJ von F(Z) = unser Ziel ist, so gehen wir nach dem Schlußsatze von § 12 so vor: Wir nehmen für die daselbst G! genannte Gruppe die "größte" ausgezeichnete Untergruppe Gml • Die zugehörige Gleichung (5) S. 53 möge jetzt durch f~(w) = bezeichnet werden; sie hat den Grad ~ und ist eine "Normalgleichung" mit "einfacher" Galoisscher Gruppe GII • Es genügt, eine beliebige Wurzel 'YJl dieser Normalgleichung zu berechnen, deren Adjunktion zu ~ den Körper ~1 = (~j 'YJl) liefere. In ~l ist nun F( Z) = 0 reduzibel, und zwar in t1 irreduzibele Gleichungen m1 ten Grades zerfällbar. Eine beliebige unter ihnen sei F t (Z) = 0; sie ist wieder eine Normalgleichung und hat Gml zur Galoisschen Gruppe. Nun wiederholen wir den gleichen Prozeß, indem wir in Gm, die größte ausgezeichnete Untergruppe Gm. aufgreifen usw. Nach einer endlichen Anzahl solcher Schritte gelangen wir bis zur GI und damit zur Kenntnis der gesuchten wird geleistet, indem man Wurzel 11: Die Lösung der Gleichung fCz) =

°

°

°

fi"ir die endliche Kette von Normalgleichungen:

(4)

fl(W) =,0,

f2(W) =0,

fs(w)=O, ...

°

mit den die Bedingung t1 • t 2 • ts ... = 1n erfüllenden Graden t1 , t2 , t s , • .. je eine Wurzel 1]1' 'YJ2,". berechnetl); die einzelne Normalgleichung fv(w) = 1) BeiHiufig bemerken wir, daß die Berechnung einer Wurzel der einzelnen

Einleitung, Teil H: Galoissche Gleichungstbeorie

ist irreduzibel im Körper ~"-1 = (~, 'l}u 'l'}2' •.• , '1/"-1) und hat die einfiache Galoissche Gruppe G Iv . Hat man die letzte Gruppe Gl der Reihe (l} erreicht, so liegt für die gesuchte Wttrzel 'I} eine "lineare" Gleichung vorr d. h. 'I} ist bekannt. Der Satz von S. 13 über die Kompositionsreihen einer Gruppe Gm aber liefert uns noch das Ergebnis: Ityendeine andere Kompositionsreihe der Galoisschen Gruppe G", unserer Gleichung fez) = 0 liefert eine Kette von Normalgleichungen, die in der Anzahl sowie (abgesehen von der Reihenfolge) in den Graden und den Galoisschen G1'Uppen mit den Gleichungen (4) übereinstimmen. Dabei gelten zwei isomorphe Gruppen als gleich. Hiermit sind die im Mittelpunkte der Galoisschen Gleichungstheorie stehenden Sätze gewonnen. l )

§ H. Beispiel der Kreisteilungsgleichungen. 2) Ein einfaches Beispiel zur Erläuterung der Galoisschen Theorie liefern die Kreisteilungsgleichttngen. Diejenige für den n ten Teilungsgrad lautet zunächst zn = 1, ihre Lösungen sind die n Wurzeln n ten Grades der Einheit: 2(n-1) I", ._--

6 in

"

cn

=

1,

die als die aufeinanderfolgenden Potenzen c, 1 der ersten unter ihnen C = Cl darstellbar sind. Zugrunde zu legen ist der rationale Körper ffi. Der bei der Auflösung der Gleichung zu erreichende Galoissche Körper (ffi, Cu c2' ... , cn) ist auch bereits als Körper (m, c) darstellbar und heißt der "Kreisteilungskörper" für den n ten Teilungsgrad. Unter den n Wurzeln Ck = ck sind primitive Zahlen von (ffi, s) alle und nur die, bei denen k teilerfremd gegen n ist. Ist die Zerlegung von n in Primfaktoren durch n = p~" p~2' . .. gegeben, so hat man bekanntlich: c2, ..• , C"- \

(2)

rp (n)

~ n (1 -

cn =

;J (1- ;J ...

mod n inkongruente, gegen n teilerfremde Zahlen k, so daß im ganzen rp (n) unter den Einheitswurzeln (1) primitive Zahlen von (ffi, c) sind. Hilfsgleichung t~(w) = 0 auch ersetzt werden kann durch die vollständige Auflösung irgendeiner rationalen Resolvente, die die NormaJgleichung f.(w) = 0 zur Ga.loisschen Resolvente hat. 1) Die im Lösungsprozeß der Gleichung vollzogenen Adjunktionen beziehen sich ausschließlich auf "natürliche Irratioualitäten" von f(z) = O. Die Heranziehung irgendwelcber "akzessorischer Irrationalitäten" vermag den Prozeß nicht zu vereinfachen, insofern auch dann unter den zu lösenden Hilfsgleichungen sich immer wieder solche der Gruppen GI.' GI.' ... einstellen. Jlilan vgl. hierüber Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 555ff. sowie Loewy, a. a. 0., S. 303. 2) Wegen genauerer Begründung der in den nächsten vier Paragrapheu gegegebenen Ausführungen ist wieder auf Weber, a. a. 0., Bd. 1, S. 452ff. und 564 ff. zu verweisen.

Kreisteilungs körper und KreisteilungsgJeichungen

57

Sie heißen die "primitiven n ten Einheitswurzeln" und genügen einer in ffi irreduzibelen Gleichung rpten Grades:

(3)

z'P

+ a1zrp-l + a 2zrp-2 + ... + arp =

0,

welche die "irreduzibele Kreisteilungsgleiehungl' für den n tcn Teilungsgrad heißt. l ) Da jede der rp (n) Lösungen von (3) rational in einer unter ihnen 15 = 151 darstellbar ist, so haben wir in der irreduzibelen Gleichung (3) nach S. 41 ff. eine "Normalgleichung" und in (m, 15) einen "Galoisschen Körper" des Grades rp (n). Die Transformationen Sund S' des Galoisschen Körpers (lR, s) in sich mögen 15 in Ea bzw. E(1 überführen. Dann wird sowohl durch S· S' als auch durch sr. S die Wurzel;} in Ea (1.k übergeführt. Es gilt demgemäß S· S' = S' . S, so daß wir den Satz gewinnen: Die irreduzibele Kreisteiltlngsgleic7mng (3) ist eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe G'f(") eine "kommutative" oder "Abelsche Gruppe" ist. Nach dem Hauptsatze von S. 17 über die Kompositions- und Indexreihen Abelscher Gruppen haben wir nun die Gruppenordnung q;(n) in ihre Primfaktoren zu zerlegen:

(4)

rp(n)

=

qj . q2 . qs ... ,

wobei jede mehrfach vorkommende Primzahl q entsprechend oft hintereinander als Faktor zu setzen ist. Die Reihe der Primzahlen qlt q2' qSI ... liefert dann eine Indexreihe der Gruppe G 0 stehen, die nicht mit der Funktion nullten Grades 1 identisch ist. Hieran schließen sich genau wieder die Überlegungen von S.30ff. Wir dürfen sogleich folgende Sätze notieren: Sind fez), g(z) und h (z)

Funktionen in ~x, von denen die beiden ersten teilerfremd sind, und ist g(z) . h(z) durch t (z) teilbar, so ist fez) ein Teiler von h(z). Auf die Gleichung (6) bezieht sich der Satz: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so gibt es ein und nur ein Paar, die Gleichung (6) identisch befriedigender Funktionen rp(z), 7f;(z), deren Grade bzw. < n und< m sin:1. Für eine beliebige Funktion h(z) in ~x gilt endlich der Satz: Sind fez) und g(z) teilerfremd, so kann man jede Funktion h(z) in ~x in der Geslalt: (7)

h(z)

=

f(z)7f;(z)

+ g(z)rp(z)

mit zwei Funktionen rp(z) und 7f;(z) in~" darstellen, und zwar kann man die Funktionen rp (z) und l/J (z) in einer tmd nur einer Art so wählen, daß der Grad von fJJ (z) kleiner als der Grad n von fez) ist. Die Funktion fez) heißt "in ~x reduzibel", falls sie eine Funktion X(z) in ~x eines Grades, der> 0 und< n ist, zum Teiler hat; existiert ein solcher Teiler nicht, so.heißt fCz) "in ~x irreduzibel". 1) Hieran schließen sich wie S. 31ft'. die folgenden Sätze:

1st von den beiden Funktionen fez) und g(z) in ~x die erste irreduzibel, so sind fez) und g(z) entweder teilerfremd oder g(z) hat fez) zum Teiler. Zwei irreduzibele Funktionen fez) und g(z) sind entweder teilerfremd oder bis auf einen Faktor, der eine Funktion aus ~x ist, identisch. 1) Der Zusatz "in Sf"," wird wieder, falls er selbstverständlich ist, gewöhnlich fortgelassen.

Reduzibilität und Irreduzibilität. Algebraische Funktionen in bezug auf Sl'", 67

r

Eine irreduzibele Funkticn fez) ist stets teilerfremd zur Funktion (z), die man durch partielle Differentiation nach z aus ihr erzielt. Jede Funktion fez) in ~'" ist nur auf eine Art als Produkt irredutibeler Funktionen da1'stellbar, abgesehen davon, daß jede irreduzibele Funktion noch um eine nicht identisch verschw1'ndende Funktion aus ~'" als Faktor geändert werden kann.

§ 2. Algebraische Funktionen in bezug auf einen Körper

°

a

iZ••

Die Gleichung n ten Grades fez) = in ~"" die wir durch Nullsetzen einer Funktion n ten Grades in ~x gewinnen, heißt "in sr", reduzibel" oder "irredttzibel", je nachdem fez) reduzibel oder irreduzibel ist. Eine Lösung ist nach S. 65 eine "algeoder Wurzel z = 8(x) der Gleichung {(z) = braische Funktion" von x; genauer ist sie als eine mehrdeutige Funktion der Stelle der Riemannschen Fläche F1 zu denken und werde als eine "in bezug attf den Körper ~'" algebraische Funktion" bezeichnet. Ist fez) = reduzibel, so muß für z = 8 (x) mindestens einer der irreduzibelen F aktoren von fez) identisch verschwinden, so daß jede in bezug auf ~x algebraische Funktion sicher mindestens einer irreduzibelen Gleichung in ~'" genügt. Es gilt nun zunächst der Satz: Haben die beiden Gleichungen fez) = und g(z) = 0, von denen die erste t·rreduzibel i~t, eine gemeinsame Wttrzel z = 8(x), so ist fez) ein Teiler von g(z). Wäre dies nämlich nicht der Fall, so müßten, da fez) irreduzibel id, fez) und g(z) teilerfremd fein Also gäbe es zwei Funktionen rp (z) und 'Ij; (z) in ~x, die mit fez) und g(z) die Relation (6) S. 56 identisch befriedigen. Wählen wir aber irgelldeine Stelle X o auf Fl) für welche alle Koeffizienten umerer Funktionen endliche Werte haben, so ist sicher:

°

°

°

f(8ex o)'Ij;(8(xo)

+ g(8exo)rp(8exo)

=

0,

da rp(8exo), 'Ij;({)exo) nicht unendlich sind und f(8ex o)), g(8(xo) verschwinden. Dies widerspricht aber der identischen Relation (6) S. 66, so daß der Satz richtig ist. Als einfache Folgerungen ergeben sich die Sätze: ZU'ei in-eduzibele Gleichungen in ~x haben ln{u·eder keine glmeinsame TVur.cel oder ihre linken Seiten sind, abgesth()~ von eimm Falter, der eine I/unktion in sr", ist, identisch. Eine in bezug auf den Körper ~'" algebraische Funktien z = o(x) geni(qt im wesentlichen nur einer einzigen in-eduzibclen Gleichung in ~",. Der Ausdruck "im wesentlichen" bezieht sich darauf, daß die linke Seite der Gleichung noch mit einer Funktion aus ~'" als Faktor versehen werden kann. Weiter besteht der Satz: Ist z = 8(x) eine Wurzel der irrcduzibelen Gleichung fez) = 0, so kann f' (8ex» nt'cht identisch verschwinden. Ist n der Grad der irreduzibelen Gleichung für z = 8(x), so nennen 5*

68 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen wir ()(x) eine in bezug auf ~x algebraische Funktion "vom n ten Grade". Für n = 1 haben wir in ()(x) natürlich eine Funktion aus ~x. Ist n> 1, so gehört ()(x) dem Körper ~x nicht an, so daß wir durch Adjunktion von () = ()(x) zu ~x einen durch (~x, () zu bezeichnenden erweiterten Funktionenkörper erhalten. Dieser Körper besteht aus allen inder Gestalt: ( 1)

~(x) =~(O(x»

oder kurz

g(O(X»

~

=

h(O)

g(O)

darstellbaren Funktionen, wo g(x) und hex) Funktionen in ~'" sind, von denen die erste für ()(x) nicht identisch verschwinden und also fez) nicht als Faktor haben darf. Da hiernach fez) und g(z) teilerfremd sind, so können wir nach (7) S. 66 die im Zähler von ~ stehende Funktion h (z) in der Gestalt: h(z) = f(z)1fJ(z) g(z)g;(z) (2)

+

darstellen, wo g;(z) und 1fJ(z) Funktionen in ~x sind und der Grad von g; (z) kleiner als n ist. Schreiben wir demnach: (3)

g;(z)

=

Co

+ clz +

C2 Z 2

+ ... + cn _

z

1 n -\

so ergibt sich durch Eintragen von ()(x) für z in (2) und (3) der Satz: Jede Funktion S = sex) des erweiterten Körpers (~x, () ist in der Gestalt:

(4) darstellbar, wo die c Funktionen aus ~x sind; zttgleich ist diese Darstellung für die einzelne Funktion sex) eindeutig bestimmt. Der letzte Teil des Satzes folgt genau wie S. 34 aus der Irreduzibilität von f(z). Man kann diesen Satz auch auf die Gleichung:(1) S. 64 und damit auf die Darstellung der algebraischen Funktionen R(x', y) des Körpers ~x anwenden. Jene Gleichung ist irreduzibel im Körper (~, x) der rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~.l) Für die Funktionen R(x, y) des Körpers ~x ergibt sich demnach je eine eindeutig bestimmte Darstellung: (5) R(x, y) = c~ c~y 4y 2 c;-d-t,

+

+

+ ... +

wo die c' dem Körper (~, x) angehören und also rationale Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~ sind.

§ 3. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen. Von grundsätzlicher Bedeutung ist auch hier die Tatsache, daß man die gleichzeitige Adjunktion einer beliebigen Anzahl algebraischer Funktionen ()l (x), ()2(X), ..., ()m(x) zu ~x durch die Adjunktion einer einzigen Funktion r;(x) ersetzen kann. Der Beweis dieses Satzes kann wieder durch die 1) Sie ist nach I, 79 sogar irreduzibel im Körper aller rationalen Funktionen von x mit beliebigen konstanten Koeffizienten.

Darstellung der Funktionen von

(sr""

0). Adjunktion mehrerer Funktionen

69

Überlegungen von S. 35:ff. geführt werden, nur sind ein paar Änderungen dadurch bedingt, daß wir hier mit Funktionen und nicht mit Zahlen zu tun haben. Wir gehen schrittweise vor, bezeichnen zunächst die Funktion 01 (x) kurz durch O(x) und stellen nach (4) und (5) § 2 die Funktionen ~ des Körpers (~"" 0) in der Gestalt:

(1)

~

=

~C;..yJ.O",

1., v

A = 0, 1, ..., 1 _.- 1, v = 0, 1, ..., n - 1

dar, wo die ch Funktionen des soeben mit (~, x) bezeichneten Körpers der rationalen Funktionen von x mit Koeffizienten aus ~ sind. Die Funktion O(x) war zunächst eine mehrdeutige Funktion auf der Riemannschen FlächeFj • Sie ist aber auch direkt in bezug auf (~, x) algebraisch und möge als solche der in (~, x) irreduzibelen Gleichung:

(2)

0"' + R~ (x)om-l + R~(x)om-2 + ...

+ R~(x) =

°

genügen, die wir der Gleichung (1) S. 64 für y anreihen. Wir setzen nun: (3)

Yl(X)

=

ay(x)

+ ßO(x)

oder kurz

YI = ay

+ ßO,

wo a, ß als rationale ganze Zahlen in folgender Art bestimmt werden sollen: Da keine zwei Lösungen y(x), y'(x), ..., y(I-I)(X) der Gleichung (1) S. 64 identisch sind und ebenfalls keine zwei Lösungen O(x), O'(x), ..., o(m-I)(x) von (2), so können wir ein Argument X o so wählen, daß die 1 Zahlen y(xo), y'(xo), ... durchweg verschieden sind und ebenso die m Zahlen O(xo), O'(xo), .... Wir bilden die 1· m Kombinationen:

(4)

ayCl)(X)

+ ßOC1t)(x),

)"

=

0,1, ...,1-1,

[L =

0,1, ..., m-1

und erhalten auf diese Weise 1· m Funktionen, die wir in irgendeiner Reihenfolge '!Il' y~, y~, ..., y~",-l) nennen. Wegen der Verschiedenheit der Zahlen yC1J(xo) und derjenigen der O(P)(xo) können wir nach einer oben wiederholt ausgeübten Überlegung die a, ß als rationale ganze Zahlen so bestimmen, daß die 1· m Zahlen YI (xo), y~(xo), ..., yCim-i) (xo) durchweg verschieden sind. Daraus folgt dann, daß von den 1m Funktionen (4) keine zwei identisch sein können. Hieran schließt sich nun die Wiederholung der Überlegung, die wir oben (S. 36) mit der Gleichung (7) begonnen hatten. Wir finden, daß die 1m Funktionen YlI y~, ..., y~m-l) die Wurzeln einer Gleichung F(z) = im Körper (~, x) vom Grade 1m sind. Diese Gleichung braucht in (~, x) nicht irreduzibel zu sein; aber es verschwindet wegen der Verschiedenheit der YI' y~, ... sicher F' (YI) nicht identisch, was für die weitere Überlegung ausreichend ist. Durch Übertragung der an (9) S. 37 angeschlossenen Überlegung finden wir, daß der Körper (~"" 0) = (~, X,y, 0) auch als Körper (~, x, YI)' der durch St~l) bezeichnet werde, durch Ad-

°

70 Einleitung, Teil IU: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen junktion der einzigen Funktion Y1 zu (~, x) an der Stelle der beiden y;fJ gewinnbarist. Wir setzen jetzt genauer 81 (.r;) für die Fllnktion 8(x) ein und halten an der Bezeichnung (~x, 0i) = Sl:~I) fest. Wesentlich ist, daß der so erhaltene Körper Sl:!l) wieder ein Körper derselben Art wie Sl:", ist. Die Funktionen des Körpers (Sl:~I), ( 2 ) = (~x' 1 , Oa) lassen sich demnach in der Gestalt:

°

(5)

l

=

0,1, ..., n 1 - 1,

[L =

0, 1, ..., n2 -1

darstellen, wo die C\.I) Funktionen aus st~l) und die C). I' solche aus Sl:x sind; und nl l n a die Grade von fJ 1 (x), 02(X) bedellten. Die Darstellungen (4) sind freilich nicht mehr notwendig eindelltig bestimmt!); doch, wird dltdurch die weitere Schlußweise nicht beeinflußt. Der Körper (~~I), 82} kann dann wieder als ein Körper Sl:12 ) von der Art des Körpers Sl:x durch Adjunktion einer einzigen Funktion Ya zu (~, x) gewoIlllen werden. Um das Ergebnis möglichst dem Satze von S. 35 anzupassen, entnehmen wir'aus der vorstehenden Betrachtung die Tatsache, daß die bei den weiteren Adjunktionen eintretenden Körper (Sl:"" 811 Ba, 0a), ... stet'i wieder als Körper Sl:,~3), ... von der Art des Körpers Sl:x bei der Fortsetzung der Betrachtung zugrunde gelegt werden können .. Wir gelangen so für die Funktionen des Körpers (Sl:"" 0ll Ba, ..., Bm ) zu Darstellungen der Gestalt:

l

=

0,1, ... , n i -1,

[L =

0,1, ... , n 2 ~ 1,'... ,

die für die einzelnen Funktionen natürlich wieder nicht notwendig eindeutig bestimmt sind. Die Zahlen n1 , na, . . . sind die Grade der irreClllC: zibelen Gleichungen f1 (z) = 0, f2 (z) = 0, ..., denen die Funktionen B1(x), Os (x), ... genügen. Diese Gleichungen brauchen natürlich, wenn wir auch die m Funktionen BI (x), B2 (x), ... als durchweg verschieden voraussetzen, keineswegs alle voneinander verschieden zu sein. Die Überlegungen von S. 36f1. zum Beweise des am Anfang des Paragraphen aufgestellten Satzes wiederholen sich nun genau wie dort, wobei nur der Schluß auf die Verschiedenheit der N = n1 • n a . .. n,,, Fllnktionen 'I1(x), 'I1'(x), ..., 'I1(N-1 l (X) einer fllnktionentheoretischen Betrachtung bedarf, bei der man von einer geeigneten speziellen Stelle der Riemannschen Fläche F1 auszugehen hat. VVir gelungen zu deni Ergebnis: Der durch Adjunktion von m in bezug auf ~x algebraischen Funktionen 1 (x), B2 (x), ..., Bm(x) zu Sl:", zu gewinnende Funktionenkörpm' (Sl:"" 1 , B2 ,··., (Jm)

°

°

1) Die für 02 vorgelegte in Si'," irreduzibele Gl,eichung des Grades n j kann nämlich im Körper Sf~ll reduzibel sein.

Adjunktion mehrerer Funktionen. Konjugierte Körper

kann auch durch Adjunktion einer einzigen in bezug auf Funktion 'YJ(x), die in der Gestalt:

(7)

'YJ(x)

=

7'l(Jl(X)

sr",

71 algebraisChen

+ 7'2 (J2(X) + ... + 'Ym()m(X)

mittelst rationaler ganzer Zahlen 7' darstellbar ist, zu

sr", gewonnen wet·den.

§ 4. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Funktionen. In den folgenden vier Paragraphen übertragen wir die Entwicklungen von S. 38ft'. auf unsere jetzt vorliegenden Gleichungen mit variablen Koeffizienten. Die Beweise gestalten sich wie oben: sie dürfen demnach . zumeist übergangen werden. Es sei wieder fez) = 0 eine irreduzibele Gleichung in stx vom n ten Grade, deren n Lösungen wir jetzt durch (J(x) = 1 (x), 02(X), ..., O,,(x) bezeichnen. Die () = 011 2 , •••, 0" heißen n "konjugierte" in bezug auf stx algebraische F'unktionen, und entsprechend werden die n Funktionenkörper (st"" () = (st x, ( 1), (st"" ()2)' ..., (st"" On) als n "konjugierte" in bezug auf st", algebraische Körper n ten Grades bezeichnet. Irgendeine Funktion ~ = ~(x) des Körpers (sr"" 0) ist nach (4) S. 68 in der Gestalt:

°

°

. (1) darstellbar, unter co' Cl> •••, cn _ 1 Funktionen aus st", verstanden. Ersetzen wir in (1) rechts () = ()l durch ()2' 0a, ..., ()", so erhalten wir die mit ~ ~ ~l(X) "konjugierten Funktionen" ~2(X), ~3(X)"", ~n(x), Wie S. 38 beweist man, daß ~(x) = ~l(X), ~2(X), ..., ~,,(x) die Wurzeln einer Gleichung n ten Grades in sr",:

(2) sind, die aus der Gleichung fez) = 0 als "Tschirnhausenresolvente" mittelst der Transformation gewonnen wird:

(3) Die Frage der Reduzibilität der Gleichung (2) führt zu der Übel"'" legungvon S. 39 zurück. Wir haben den Satz: Die linke Seite g(w) der Tschirnhausenresolvente (2) ist die p,te Potenz einer irreduzibelen Funktion v ten Grades in St"" wobei p, • v = n zutrifft; die n konjugierten Funktionen ~l' ~2' ••., ~n sind zu je p, einander gleich und liefern v verschiedene Funktionen. Ist p, = 1, so ist die Gleichung (2) irreduzibel, und die n konjugierten Funktionen ~1I ~2' •.•, ~'" die in diesem Falle durchweg verschieden sind, heißen "primitive" Funktionen des Körpers (~"" 0). Für m> 1 werden die ~ "imprimitive" Funktionen des fraglichen Körpers genannt. Es gilt der Satz: In jedem in bezug auf ~x algebraischen Körper nte" Grades (~x, fJ) gibt es ttnenillich viele primitive Funktionen. Man kann

72 Einleitung, Teil Irr: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen nämlich bereits auf unendlich viele Arten ein ,System rationaler ganzer Zahlen 'Yo, 'Yu 'Y2' •.., 'Y,,-1 so wählen, daß die n mit (4) konjugierten Funktionen durchweg verschieden sind. Hierzu ist hinreichend, daß die n mit (4) konjugierten Funktionen an irgendeiner speziellen Stelle Xo der Riemannschen Fläche Fl durchweg verschiedene numerische Werte annehmen. Dies aber ist durch unendlich viele Auswahlen von Zahlen'Y erreichbar, wenn nur, was keine Schwierigkeit hat, die Stelle Xo etwa so gewählt ist, daß die Zahlen ()1 (xo), ()2(X O), ••• , ()n(xo) durchweg verschieden sind. Genau wie S. 40 gestaltet sich der Beweis des Satzes: Durch Adjunktion irgendeiner "primitiven" Funktion ~ von (~x, ()) zum Körper ~x ergibt sich stets der gesamte Körper (~x, () wieder, während für eine "imprimitive" Funktion ~ der Körper (~x, ~) den Körper (~x, ()) noch nicht erschöpft.

§ 5. Galoissehe Körper und Galoissehe Resolventen. Entsprechend den Entwicklungen von S. 41 haben wir nun folgende Erklärung aufzustellen: Der Funktionenkörper (~x, () heißt ein "Galoisschertl Körper oder "Normallcörper", falls er mit seinen sämtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Notwendig und hinreichend hierfür ist, daß jede der Funktionen 02(X), 0s(x), ..., O,,(x) im Körper (~x, (1) = (~x, 0) enthalten ist, d. h. daß (n - 1) Gleichungen gelten: k

=

2, 3, ..., n,

wo die c Funktionen aus ~x sind. Es ist dann in entsprechender Weise jede Funktion Ok(X) in jeder O;(x) darstellbar. Einleuchtend ist, daß ein Normalkörper mit jeder seiner Funktionen ~(x) alle ihr konjugierten Funktionen ~l(X) = ~(x), ~2(X), ..., ~n(x) enthält. Wie oben besteht auch hier der Satz: 1st (~x, ()) ein beliebiger in bezug auf ~x algebraischer Körper n ten Grades, tmd sind 01 (x) = ()(x), 82 (x), ..., O,.(x) die mit O(x) konjugierten Funktionen, so ist der Körper (~a:' 01' 02' ..., On) der "kleinste" Galoissche oder Normalkörper, der (~x, 0) in sich enthält. Der Beweis wird durch Wiederholung der Betrachtung von S. 42 geführt. Ist (~x, 011 02' ..., &n) in bezug auf ~x ein algebraischer Körper mten Grades, so genügt irgendeine primitive Funktion 'I}(x) dieses Körpers einer irreduzibelen Gleichung mten Grades in ~x:

(2)

F(Z)

=

0,

°

die wir als eine "Galoissche Resolvente" der Gleichung fez) = bezeichnen oder auch, für sich betrachtet, eine "Normalgleichung" nennen. Eine N or-

Galoissche Körper und ihre Transformationen in sich

73

mal gleichung ist durch die Eigenschaft charakterisiert, daß sie in ~", irreduzibel ist, und daß jede ihrer Lösungen 'I);(x) in einer beliebigen unter ihnen 'l)k(X) in der Gestalt: 1'1. = C\k) + C\k)"., + C(k)".,2 + ... + C\k) ".,n-l (3) "4t 2.0 tl"k t2"k ~,n-l'lk

mit Funktionen C aus st", darstellbar ist. Eine Normalgleichung ist stets selbst eine ihrer Galoisschen Resolventen. .

§ 6. Galoissche Gruppe einer Gleichnng f(z) = O. Wie eben bedeute t) (x) eine bestimmt gewählte primitive Funktion des Galoisschen Körpers (~"" 0 2 , •••, On)' die der irreduzibelen Gleichung (2) § 5 genüge. Wir gewinnen dann .alle Funktionen des Körpers (~"" 1 , 2 , ••• , On) = (~x, t) in der Gestalt:

°°

°°

(1)

und zwar jede Funktion nur einmal, wenn wir hier für die co, Co ..., cm _ 1 alle möglichen Systeme von Funktionen aus ~", eintragen. Statt 'I) können wir aber auch jede mit t) (x) konjugierte Funktion 'l)k(X) benutzen, d. h. wir gewinnen auch durch den Ansatz:

6k= co+ C1 t)k+ c2 '1)Z + ... + cm_1t)r;:-1 jede Funktion von (Sl'"" t)) und jede nur einmal. Ersetzen wir nun t) durch 'l)k' so geht entsprechend 6 in 6k über, und (2)

wir erhalten einen umkehrbar eindeutigen Ersatz jeder Funktion aus '1)) durch eine bestimmte mit ihr konjugierte Funktion aus (~"" '1/). Wir nennen diesen Ersatz wie oben eine "Transformation des Galoisschen Körpers in sich". Nehmen wir der Reihe nach t)k gleich t)u t)2' . . . , tim' so erhalten wir m verschiedene Transformationen des Galoisschen Körpers in sich, die wir symbolisch durch So = 1, So 8 2 , •••, Sm_l bezeichnen; sie haben für jedes System von konjugierten Funktionen m Permutationen zur Folge, die wir gleichfalls durch die Symbole Sk bezeichnen. Für das System dieser m Transformationen gelten nun wieder alle Ausführungen von S. 44:ff. mit denjenigen Abänderungen der Begründungen, welche auf dem Umstande beruhen, daß wir hier mit Funktionenkörpern zu tun haben. Es besteht insbesondere der Satz: Wenn die m Permutationen auch nicht für jedes System konjugierter imprimitiver Funktionen von (~x, '1) durchgängig verschieden sind, so sind sie doch sicher durchgängig verschieden für die n Lösu,ngen 1 (x), 02(X), ..., On (X) der ursprünglich vorgelegten irreduzibelen Gleichung fez) = O. Die Gruppeneigenschaft der m Transformationen folgt wie S. 45: Die m Transformationen So = 1, 81' S2' ..., Sm -1 des Galoisschen Körpers (Sl'"" t)) in sich bilden eine endliche Gruppe Gm der Ordnung m, die in ihrer Gestalt als Permutationsgruppe der m konjugierten Funktionen 'I) die

(Sl'""

°

74 Einleitung, Teil HI: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen "Galoissche Gruppe" der Normalgleichung F(Z) = 0 heißt, in ihrer Gestalt als Permutationsgruppe der () aber "die Galoissche Gruppe" der Bleichttng f(z) = O. Die Galoissche Gruppe Gm der irredttzibelen Gleichung fez) = 0 ist transitiv. Die Galoissche Gruppe einer Normalgleichung mten Grades ist eine Gm der Ordnung m und des Grades m, die einfach transitiv ist. Die Eigenschaften der Gm, die auf der Irreduzibilität der Gleichungen beruhen, gestalten sich gleichfalls wie oben. Es seien: ( 3) ,

R (z) j

=

h1 (z) g1 (z) ,

R (z) 2

=

~.(z) g. (1$)

Quotienten von "Funktionen, In ~x", deren Nenner nicht durch F(z) teilbar seien. Dann sind gl('11k(X») und g2(1h(X») für jedes 1h(X) Funktionen aus (~"" 'Yj), die nicht identisch verschwinden. Damit die bei den in (~"" ?l) enthaltenen Funktionen R 1('Yj (x») und R 2('Yj (x») identisch sind, ist hinreichend und notwendig, daß die Gleichung:

(4) die Lösung z = 'Yj(x) hat. Nach S.67 hat sie danp. aber jedeFunktion 'flk (x) als Lösung, so daß die Gleichung R 1('Yjk (x») = R 2('Ih (x») für jedes 'Yjk(X) identisch besteht, sobald sie fiir eine dm' m Funktionen 'Yj(x) zutr-tf{t: Die Übertragung dieses Satzes auf die Galoissche Gruppe der Gleichung fez) = 0 ergibt wie oben (S. 47) den Satz: Jede rationale "Gleichung in ~xa, die [ur die Funktionen Oj (x), 02(X), .. " ()n(x) identisch besteht, bleibt eine identisch giiltige Gleichung, falls man die 817 8 2 , " ' ) O~ irgendeiner Permutation der Galoisschen Gruppe unterwirft. Berücksichtigt man noch, daß eine Funktion des Körpers (~x, On ()2' ..• , 8n) durch die Permutation der Gm in ihre "konjugierten" Funktionen übergeführt wird, so folgt der Satz: Ein rationaler Ausdruck R(OlJ 2 , ••• , 8,,) mit Koeffizienten aus sr x ' der bei allen Permutationen der Gm mit sich selbst als Funktion auf der Fläche F1 identisch bleibt, ist eine Funktion aus ~x. Als Umkehrung des vorletzten Satzes haben wir nooh den folgenden Satz zu nennen: Eine Permutation der 81 , 2 , ••• , On' die "jede" zwischen diesen Funktionen identisch gültige "Gleichung in ~x" wieder in eine ebensolche Gleichung übmiiihrt, gehört der Galoisschen Gruppe Gm an; diese Gm kann demnach als Gruppe aller Permutationen der 8 erklärt werden, bei denen "alle" zwischen den 81 (x), 82 (x), ... , 8n (x) identisch bestehenden Gleichungen in sr", wieder in solche übergehen. Man führt den Beweis gen au wie S. 47:tI mit einer besonders gewählten Funktion 'Yj(x) der Gestalt (3) S.47. Die Auswahl der ganzzahligen Koeffizienten r kann wieder so getroffen werden, daß von den n! Funktionen, die bei allen n! Permutationen der 8 aus 'Yj hervorgehen, keine zwei identisch sind.

°

°

Galoissche Gruppe und Auflösung einer Gleichung

75

§ 7. Auflösung einer algebraischen Gleichungj(z) = O. Es sei Gll irgendeine Untergruppe der Galoisschen Gruppe Gm unserer irreduzibelen Gleichung ((z) = O. Eine Funktion sex) des Galoisschen Körpers (sr x' 1 , 2 ; ••• , On)' die bei den Permutationen der GI< und nur bei dif:}sen in sich übergeführt wird, nennen wir "eine zur GI< gehörende Funktion" und sagen auch umgekehrt, die Grttppe GI< gehöre .eu tex). Es besteht der Satz: Zu irgendeiner Dntergrttppe GI< von Gm gibt es unendlich viele zugehörige Funktionen; ist sex) eine unter ihnen, so ist jede Funktion des Galoisschen Körpers, die durch die Permutationen der G." in sich übm·gef'iihrt wird, im Körper (srx ' s) enthalten . .-Der Beweis überträgt sich von S. 50ff. ohne weiteres, wenn nur überall an Stelle des Wortes "Zahl" das Wort "Funktion" gesetzt wird und die "Identität" der Funktionen an Stelle der "Gleichheij;" der Zahlen tritt. Irgendeine Funktion sex) des Galoisschen Körpers nennen wir auch hier eine "natürliche Irrationalität" der Gleichung ((z) = o. Die Gleichung in sr x ' der genügt, heißt wie oben eine "rationale Resolvente" der gegebenen Gleichung fez) = O. Die Entwicldungen von S.52ff. übertragen sich auf die vorliegenden Verhältnisse mit den eben genannten formalen Abänderungen, wo bei insbesondere alle gruppentheoretischen Überlegungen unberührt bleiben. Als Hauptsatz gilt der folgende: 1st GI eine ausge.eeichnete Untergruppe der Galoisschen Gruppe Gm' so genügt eine zur GI gehörende Funktion rj einer in srx irreduzibelmz Gleichung. des Grades

°°

s

m = 11; , deren Galoissche Grttppe die Quotientengruppe Gm/ GI ist,. nach Adjunktion von rj zu sr", wird die Galoissche Resolvente F(Z) = 0 im Körper ~x = (sr"" rj) reduzibel und liefert nach Zerlegzmg m in ~x irreduzibele Gleichungen lien Grades, die wieder Normalgleichungen sind, und für deren einzelne GI die Galoissche Gruppe ist. Der Prozeß der "vollständigen Auflösung" der Gleichung fez) ~ 0 oder, was auf dasselbe hinausläuft, die Berechnung "einer" Lösung der Galoisschen Resolvente F(Z) = 0 gestaltet sich nun genau so wie für die Gleichungen des vorigen Teiles. Wir haben eine Kette von Hilfsgleichungen, die "Normalgleichungen" mit "einfacher Galoisscher Gruppe" sind, zu lösen und erreichen nach der einzelnen Lösung eine. Erniedrigung der Ordnung der jeweils vorliegenden Galoisschen Gruppe unter entsprechender Zerfälhmg der bis dahin erreichten Galoisschen Resolvente. Insbesondere sind wieder die Kennzeichen für die "algebraische Lösbarkeit" der Gleichung fez) = 0 nach der oben (S. 64) angegebenen Regel aus der Struktur der Galoisschen Gruppe Gm zu entnehmen.

76 Einleitung, Teil III: Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen

§ 8. Monodromiegruppe einer Gleichung fez) =

o.

Die bei der Lösung einer Gleichung fez) = 0 nach und nach zu adjungierenden natürlichen Irrationalitäten sind Funktionen des Körpers (~"" Oll 2 , ••• , On). Es ist nicht ausgeschlossen, daß hierbei auch Funktionen auftreten, die bereits in x und der ursprünglich vorgelegten algebraischen Funktion y von x rational sind. Solche zu adjungierende Funktionen werden dann freilich nicht schon im Körper ~x enthalten sein, d. h. im rationalen Ausdruck R(x, y) dieser Funktionen müssen unter den Koeffizienten "Zahlentl auftreten, die noch nicht im Zahlkörper ~ enthalten sind. Wir nennen diese Zahlen "numerische Irrationalitätenl', die für die Gleic!hung fez) = 0 "natürlich 11 sind. Indem wir sie zu ~ und ~'" adjungieren, erhalten wir einen Zahlkörper ~' und einen Funktionenkörper ~~, welchem letzteren die zu adjungierenden Funktionen R(x, y) angehören. Es entsteht nun die Frage, wie weit wir du,rch Adjunktion "numerischer'l lrrationalitäten die Attflösung der Gleichung fez) = 0 zu treiben vermögen. Hierauf antwortet die folgende Betrachtung: Um die Lösungen 'YJl(X), 'YJ2(X), •.. , 'YJm(x) der Galoisschen Resolvente F(Z) = eindeutig zu erklären, wählen wir auf der Riemannschen Fläche Fj eine Stelle xo' in deren Umgebung keine dieser Funktionen verzweigt ist, und beziehen die Funktionen 'YJ(x) vorerst nur auf diese Umgebung. Setzen wir jetzt von Xo aus eine dieser Funktionen 'YJ (x) längs eines auf die Fj geschlossenen Weges fort, so erhalten wir nach Rückkehr zum Ausgangspunkte Xo der FE wieder eine Lösung von F(Z) = 0, also eine der m Funktionen 'YJ(x). Auch liefern zwei verschiedene Funktionen 'YJ(x) bei dieser Fortsetzung über einen geschlossenen Weg der Fläche am Schlusse notwendig wieder zwei verschiedene 'YJ(x). Einem geschlossenen Wege auf der F, gehört demnach eine bestimmte Permutation T der m Lösungen der Galoisschen Resolvente F(Z) = Ztt. Es sei irgendeine zwischen den 'YJl (x), 'YJ2(X), .•. , 'YJm(x) identisch bestehende rationale Gleichung:

°

°

°

(1) R('YJl (x), 'YJ2 (x), ... , 'YJm (x») = 0 vorgelegt, deren Koeffizienten rational in x und y mit irgendwelchen numerischen Konstanten (keineswegs nur mit Zahlen aus ~) aufgebaut sind. Bei analytischer Fortsetzung über die Fläche Fzhin bleibt die Gleichung (1) gültig; sie geht demnach wieder in eine identisch bestehende Gleichung über, falls wir die '1'/ der Permutation T unterwerfen. Da dies insbesondere auch für "jedell Relation (1) gilt, deren Koeffizienten Funktionen aus ~x sind, so folgt nach S. 74: Alle durch geschlossene Umläufe auf der Fläche Fj herstellbaren Permutationen T der r;1I 'YJ2' .•. , 'YJ m sind in der -Galoisschen Gruppe Gm enthalten.

Monodromiegruppe einer Gleichung fCz)

=

77

0

Zwei geschlossene Umläufe, die wir hintereinander ausüben, lassen sich zu einem dritten Umlaufe zusammensetzen. Also folgt der Satz: Die .qesamten durch geschlossene Umläufe herstellbaren Permutationen T o, Tl' T~, ... , Ti'-l bilden eine Gruppe Gi" die in der Galoisschen Gruppe Gm enthalten ist und als "Monodromiegruppe" der Gleichung F(Z) = 0 bezeichnet u·ird. In ihrer Gestalt als Permutationsgruppe n ten Grades der ()l' ()j' ... , ()" nennen wir die G." die "Monodromiegruppe" der Gleichung fez) = O. Es ist einleuchtend, daß wir diese Gestalt der Gi' unmittelbar gewinnen, wenn wir alle Permutationen T o= 1, Tl! T 2 , ••• , Ti'-l der Funktionen (Jl(X), ()~(x), ... , (),,(x) bei geschlossenen Umläufen auf der F, sammeln. Es ist möglich, daß die Monodromiegruppe Gi' mit der Gesamtgruppe Gm gleich ist. Liegt dieser Fall nicht vor, so gilt folgende Überlegung: Die Monodromiegruppe GI' ist ds Permutationsgruppe der '1] für t.t < m intransitiv. Da das einzelne '11 durch die [L Permutationen der Gi' in

[L

verschiedene

'1]

übergeführt wird, so erhalten wir t

der Intransitivität, die wir durch:

=

111 [L

Systeme

k=O, 1,2, ... , t-1

(2)

bezeichnen. Die '1] jedes dieser t Systeme werden bei den Umläufen auf der F, nur unter sich permutiert. Die symmetrischen Grundfunktionen . der '1] des einzelnen Systemes (2) sind demnach algebraische Funktionen der F1 und als solche rational in x und y. Es folgt der Satz: Die '1](x) eines jeden der t Systeme (2) sind die Lösungen einer Gleichung [LIen Grades:

(3)

Hk(Z) =0,

k=0,1,2, ... ,t-1,

deren Koeffizienten rationale Funktionen von x und y sind. Da F(Z) = 0 im Körper ~'" irreduzibel ist, so treten in diesen rationalen Funktionen von x und y Zahlenkoeffizienten auf, die als "numerische krationalitäten" fur die Gleichung fez) = 0 "natürlich" sind. Es besteht weiter der Satz: Jede der t Gleichungen (3) ist in dem Sinne irreduzibel, daß H;,(Z) nicht in Faktoren von niederem als [LIen Grade zerfällbar ist, die gleichfalls in x und y rationale Koeffizienten hätten. Jeder solche Faktor würde nämlich, wie die an (1) angeschlossene Überlegung zeigt, durch alle '11 seines Systems (2) befriedigt. Diese Ergebnisse legen die Bedeutung der Monodromiegruppe GI' dar: Durch Adjunktion "nUllnerischer lrrationalitäten" ist die Zerfällung der Galoisschen Resolvente in die t Gleichungen (3) erreichbar; jede weitere Zerfällung erfordert die Adjunktion von "Funktionen". Durch Adjunktion jener numerischen Irrationalitäten werde der Körper ~ auf ~' und entsprechend ~'" auf ~~ erweitert. Jede der t Gleichungen (3) ist eine "Gleichung in ~~ ", die in diesem Körper, sowie überhaupt in jedem Körper .fi'~, der durch weitere Adjunktionen von "Zahlen" herstellbar ist, irreduzibel ist;

78

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie .

dabei ist die Gleichung (3) wieder eine "Normalgleichung", deren Galoissche Gruppe die atts den IL Lösungen der Gleichung aufgebaute G I1 ist. Über die Berechnung der numerischen Irrationalitäten kann hier nur erst folgendes gesagt werden: Entsprechend dem ersten Satze von § 7 haben wir zunächst eine zur GI' gehörende "Funktion" tex) zu bilden, die einer Gleichung tten Grades in sr", genügt:

(4)

i;t+

Cl

(;t-l+ c2(;1-2+ ...

+ Ct _ 1 =

O.

Im Körper (sr"" (;) sind dann die sämtlichen Koeffizienten der t Gleichun, gen (3) enthalten. Die Gleichung (4) ist durch eine "rationale Funktion" von x und y lösbar; nichtrationale Operationen bei der Auflösung von (4) beziehen sich also nur anf die Berechnung von "Zahlen". Indessen muß es späteren besonderen Fällen vorbehalten bleiben, an Stelle der Gleichung (4) für eine ),Funktion" eine solche für eine "Zahl" zu setzen.

IV. Algebraische Zahlen. 1) § 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen. An die Entwicklungen von S. 32 ff. schließen wir für den einfachsten Fall, daß der damalige Körper der rationale Zahlkörper ffi ist, folgende Erklärnng an: Unter einer "algebraischen Zahl" schlechthin versteht man eine Zahl, die in bezug auf den rationalen Körper ffi algebraisch ist. Eine algebraische Zahl () genügt also einer Gleichung:

sr

(1)

fez)

=

zn + a1 z n -

1

+ a z n - + ... + an = 2

2

0

mit rationalen Zahlenkoeffizienten a, und jede Wurzel einer solchen Gleichung, mag sie reduzibel oder irreduzibel in ffi sein, ist eine algebraische Zahl. Da wir die Irreduzibilität der Gleichung (1) einstweilen nicht fordern, so lassen sich für eine einzelne Zahl () unendlich viele Gleichungen angeben, deren Wurzel sie ist. Insbesondere gilt die Erklärung: Eine algebraische Zahl heißt spefJielt eine "ganfJe algebraische Zahl" ?j, wenn sich mindestens eine in ffi reduzibele oder irredttzibele Gleichung (1) mit rationalen "ganfJen" Koeffizienten a angeben läßt, deren Wurzel ?j ist. Es besteht der Satz: Sind ?j und r/ ganze algebraische Zahlen, so 1) Es kommen in diesem Teile einige späterhin unentbehrliche Hauptsätze der "Idealtheorie" Dedekind's zur Behandlung; s. das Supplement XI zu Dirichlet's "Vorlesungen über Zahlentheorie", 3te Auf!. (Braunschweig, 1879), S.434ff., 4t • Auf!. (Braunschweig, 1894), S. 434ff. S. auch den ersten Teil des S.23 genannten Werkes von Landau. Beim Hauptsatze derIdealtheorie (S. 97) folgt die vorliegende Darstellung der besonders kurzen von A. Hurwitz herrührenden Beweismethode; ~. dessen Note "Über die Theorie der Ideale", Göttinger Nachrichten von 1894.

Begriff' der ganzen algebraischen Zahl

79

+

sind auch ihre Summe ('1) '1)'), ihre Differenz ('1) - '1)') 'Und ihr Produkt. '1) . r/ ganze algebraische Zahlen. Für T/bestehedie Gleichung (1) mit den ·WurzelnT/l = 'YJ, 'YJ2' ••• , 'YJ", für 'YJ' eine entsprechende Gleichung des Grades n' mit den Wurzeln 'YJ~ = r/, 'YJ~, ••• , 'YJ~,' Man bilde die n· n' Summen ("li + "I~) je einer Wurzel der ersten und einer der zweiten Gleichung. Die symmetrischen Grundfunktionen dieser n· n' Summen sind nach dem Hauptsatze der Theorie der symmetrischen Funktionen (S.25) ganze ganzzahlige Funktionen der Koeffizienten au a 2 , ••• und a~, a~, ... jener beiden Gleichungen, sind also selbst rationale ganze Zahlen. Also genügt ('YJ + "I') einer Gleichung: znn'

+ b1zn''''-1+ ... + b

nn ,.=

°

mit rationalen ganzen b und ist somit eine ganze algebraische Za.hl. Da offenbar mit "I' auch - "I' eine ganze algebraische Zahl ist, so gilt unser Satz auch für die Differenz ("I - 'YJ'). Endlich wird für das Produkt 'YJ • "I' der Beweis gerade so wie für die Summe (rJ + '1)') geführt. Durch wiederholte Bildung von Summen, Differenzen und Produkten folgt: Jede rationale ganze, ganzzahlige Funkdon von ganzen algebraischen Zahlen ist wieder eine ganze algebraische Zahl. Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen gestattet uns auch noch folgenden Satz zu beweisen: Jede Wurzel "I einer Gleichung (1), deren Koeffizienten alJ a2 , ••• , an ganze algebraische Zahlen sind, ist selbst eine ganze algebraische Zahl. Der einzelne Koeffizient ak genügt jetzt selbst einer Gleichung:

(2) mit rationalen ganzenb, deren sämtliche Wurzeln ak , Wir bilden die m1 • m2 ••• m n Funktionen:

a~,

... , atk -

lJ

seien.

(3) für alle m1 · m2 • •• mn Kombinationen der Zahlen aj;). Die erste dieser Funktionen ist die linke Seite der für "I vorgelegten Gleichung. Das Produkt aller dieser Funktionen gibt, gleich gesetzt, eine Gleichung für "I, deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Funktionen der b und also selbst rationale ganze Zahlen sind. Also ist 'YJ eine ganze algebraische Zahl. Irgendeine algebraische Zahl (J genüge der Gleichung (1), deren Koeffizienten a1 , a2 , ••• , an rationale Brüche sind. Ihr Hauptnenner sei die rationale ganze positive Zahl a, so daß a· al1 a· a2 , ••• , a· an rationale ganze Zahlen sind. Das Produkt a· (J = "I genügt der Gleichung:

°

'1)n+ aa1"ln-l+ a 2 a2T/n-2+ ...

+ ana"

=

0,

deren Koeffizienten durchweg rationale ganze Zahlen sind. Es folgt hieraus der Satz: Jede algebraische Zahl (J liefert durch Multiplikation mit

80

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie

einer geeignet gewählten rationalen ganzen positiven Zahl a als Produkt a () = 1) eine "ganze" algebraische Zahl. Unter einer "ganzen Zahl" verstehen wir im vürliegenden Teile stets eine ganze "algebraische" Zahl. Die ganzen "ratiünalen" Zahlen, die zu den ganzen algebraischen Zahlen gehören, mögen immer durch den Zusatz "ratiünal" gekennzeichnet werden.

§ 2. Ein algebraischer Hilfssatz. Ist eine ganze algebraische Zahl 1) als Prüdukt 1) = 1)' • 1)" zweier ganzer algebraischer Zahlen 1)', 1)" darstellbar, so. heißt jeder Fakto.r, z. B. 1)', ein "Teiler" vün 1) oder 1) heißt durch 1)' "teilbar" üder man sagt, 1)' "gehe in 1) auf". Die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen algebraischen Zahlen werden den wichtigsten Gegenstand unserer Untersuchungen ausmachen. Um den hierbei auftretenden Hauptsatz be sünders kurz beweisen zu kön~€n, soll zunächst ein Bilfssatz aufgestellt werden. Mit irgendwelchen ganzen (algebraischen) Zahlen ao' a1 , ••• , ap' und bo, bv ... , b., vün denen ao und bo von 0 verschieden seien, bilde man die Funktiünen: (1) rp(z) = aoz ll deren Produkt:

+ at zft - 1 + ... + a",

1fJ(z) = boz'

+ b1 z·- 1 + ... + b.,

(2) q;(z) ·1fJ(z) = ((z) = coz n + C1 Z 1 + C2Z.rl-2+ ... + c" vüm Grade n = p, + v ist und wieder ganzzahlige Küeffizienten hat. Dann gilt der Satz: Sind alle Zahlen co, Cv ... , cn durch die ganze Zahl 1) teilbar, so hat auch jedes der (p, + 1) (v + 1) ganzzahligen Produkte a.· bk , zu bilden für i = 0, 1, ... , p, und k = 0, 1, ... , v, den Teiler 1). Einen sehr kurzen Beweis dieses Satzes hat B urwi tz 1) geliefert. Es wird zunächst bewiesen, daß die (v + 1) Pro.dukte aob o, aO bl1 aOb2 , .. , aob. durch 1) teilbar sinu. Für aobo = Co fülgt dies bereits aus der Y üraussetzung; für die übrigen Prüdukte gilt fülgende Betrachtung: Die Gleichung: ao1fJ (z) = coz' + a ob1Z'- 1 + aob2Z'- 2 + ... + aob• = ll -

°

hat v Wurzeln Zl1 Z2' hören. Der Quütient:

(3)

(_

..• ,

z., die zu den n Wurzeln vün fez)

l)kaobk _ Co

-

(

tJk Z1' Z2' •.. ,

=

0 ge-

z.;\

iefert die kte symmetriEche Grundfunktio.n der Zl1 Z2' . . . , z•. Als Funktiün der n Wurzeln Z17 $2' •.• , Zn der Gleichung fez) = 0 ist eine beliebige der v Funktiünen tJk , die wir kurz 15 nennen, noch nicht symmetrisch, bleibt vielmehr nur erst bei denjenigen v! (n - v)! Permutatiünen unverändert, welche die Z1> Z2' •.• , z. unter sich vertauschen und ebenso. die 1) In der S. 78 genannten Note.

81

Hilfssatz bei Produkten zweier ganzer Funktionen

Somit ist 0 im Sinne von S. 24 eine t-wertige ganze ganzzahlige Funktion der Wurzeln von fez) = 0, wo Zv+u Z~+2' ..• , Zn'

t

=

v!

(nn~ v)! =

ist. Als t-wertige Funktion genügt

(4)

01

+d 6 l

1- 1

0

(:)

einer Gleichung

+ d2 ot- 2 + ... + d t =

tten

Grades:

0,

wo die - dll d 2 , - ds , d4 , •.• die symmetrischen Grundfunktionen der t verschiedenen AusdrUcke sind, die aus 6(Zll Z2' .•. , z.) bei allen n! Permutationen der Zu z;p ... , zn hervorgehen. Nach dem Hauptsatze von S. 25 sind die d als ganze ganzzahlige symmetrische Funktionen der Zl' Z2' •.• , zn rationale ganze ganzzahlige Funktionen der symmetrischen Grundfunktionen der zlI

Z2' ... , zn

und damit der S, ~~, ... , ~, und zwar Co

ist der Grad von cl1 als Funktion der S, ~2, Co

Co

... , S. Co

Co

Co

gleich 1, der von d 2

gleich 2, der von ds gleich 3 usw. Man multipliziere die Gleichung (4) mit cJ und schreibe coo = oder. ausführlich: cOVk'" - 'l:k -- (- l)k a0 bk'

'I:

Die Produkte cOdl = ell cgd2 = e2 , ••• , cJd t = et sind alsdann ganze homogene Funktionen ersten, zweiten, ... , ttm Grades von co, ci l . . • , cn , die als solche der Voraussetzung zufolge bzw. durch 'YJ, 'YJ2, ••• ,'YJ I teilbar sind. Die mit cJ multiplizierte Gleichung (4) aber hat die Gestalt: '[:t+ ej'l:t-l+ e 2 'r t - 2 + ••• + e t = 0 und liefert, durch 'YJI

geteilt~

+ ... ( ~)t + ~(~)t-l + ~(~)t-2 2 11

11

11

11

11

+ ~I

11 1

=

O.

Somit befriedigt -~ eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und 11

ist demnach zufolge des vorletzten Satzes in § 1 selbst eine ganze Zahl. Also sind in der Tat alle (v+ 1) Produkte aobo, aObl , aOb2 , ••• , aob. durch 'YJ teilbar. Nachdem bewiesen ist, daß alle Produkte aobo, aobll ••• , aob~ durch 'YJ teilbar sind, stellen wir weiter fest, daß auch das Produkt von: (5) cp(z) - aoz/L= alzft - l a2 zf ,-2 + ... + a/L und 1f;(z), nämlich die Funktion:

+

(cp(z) - aoz/L)· 1f;(z) = fez) - z/L(aoboz. + aObjz·- l + ... + aob,,) lauter durch r; teilbare Koeffizienten hat. Ist a l =F 0, so finden wir durch Wiederholung der vorstehenden Überlegung, daß auch alle Produkte albo, albll al b2, ••• , alb. durch 'YJ teilbar sind. Im Falle a l = 0 ist dies selbstverständlich. In gleicher Weise fortfahrend erkennen wir die Richtigkeit des aufgestellten Satzes. Fr i c k e, Die elliptischen Funktionen 11

6

82


§ 3. Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen. Es gilt der Satz: Eine ganze algebraische Zahl 1], die dem rationalen Körper m angehört, ist eine rationale "ganze" Zahl. Als eine in ffi entha.ltene Zahl kann

1]

=!L gE\setzt werden, wo q und r zwei teilerfremde r

rationale ganze Zahlen sind. Als ganze (algebraische) Zahl genügt 1] einer Gleichung (1) S.78 mit rationalen ganzen al1 a 2 , ••. , an" Also folgt~ wenn wir 1] = !L für z in jene Gleichung eintragen und mit rn multir plizieren: qn ~ _ r(a1qn-l + a2 qn- 2 r + asrt'- sr 2 + ... + anrn-1) . Hiernach ist qn und also q durch jeden Primfaktor von r teilbar. Da aber q und r teilerfremd sind, so hat r keinen Primfaktor, der größer als 1 wäre, d. h. es ist r = 1 und also 1] rational u ud ganz. Wir ziehen nun einige Folgerungen aus dem Satze des § 2 für den Fall, daß die Koeffizienten ao, au ... , a,lt und bo , bu ... , bv der Funktionen cp(z) und !/Jez) rationale ganze Zahlen sind. Eine ganze Funktion mit rationalen ganzen Koeffizienten soll "ursprünglich" heißen, wenn diese Koeffizienten keine rationale ganze Zahl, die> 1 ist, als Teiler gemeinsam haben. Dann besteht der Satz: Das Produkt zweier ursprünglicher Funktionen cpez) und !/J(z) ist stets wieder eine ursprüngliche Funktion fez). Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es mindestens eine Primzahl p > 1~ die in allen Koeffizienten c von fez) und also in allen (!L + 1) (v + 1) Produkten ajbk aufgeht. Da cp(z) ursprünglich ist, so gibt es mindestens eine Zahl a" die nicht durch p teilbar ist, und ebenso können wir ein gegen p primes bk angeben. Also ist aibk nicht durch p teilbar, so daß. die Annahme einer nicht ursprünglichen Funktion fez) unhaltbar ist. Es gelte ferner die Annahme, daß die Funktion:

(1) fez) = zn + C1zn - 1 + C2 Z n - 2 + ... + Cn mit rationalen "ganzen" Koeffizienten c im Körper ffi reduzibel sei und in das Produkt· der beiden Funktionen: (2)

cp(z)

=

zft

+ a1z,u-l + ... + aft ,

!/J(s)

= ZV

+ b1z

v- 1

+ ... + b"

mit "rationalen" Koeffizienten a, b zerfalle. Die rationalen Brüche a mögen den Hauptnenner ao haben, so daß ao, a~ = aoau a; = aOa2 , ••• , a~ = aoa!' rationale ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen Teiler> 1 sind; ebenso mag bo der Hauptnenner der rationalen Brüche b sein, so daß auch bo, b~ = boblI' .. , b: = bob. rationale ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen Teiler sind. Es stehen also auf der linken Seite der Gleichung:

(aoz!' + a~z!,-l+ ... + a~)(bozv + b~Z"-l+ ... + b:) = aobof(z) zwei ursprüngliche Funktionen, und also ist nach dem eben bewiesenen

Begriff eines algebraischen Körpers n ten Grades

83 Satze auch aobof(z) ursprünglich. Hieraus ergibt sich aobo = 1, ao = 1, bo = 1, so daß der Satz gilt: 1st die Funktion (1) mit rationalen ganzen Koeffizienten c im rationalen Körper ffi reduzibel ~tnd zwar zerfällbar in das Produkt der heiden Funktionen (2) mit rationalen Koeffizienten a, b, so sind diese Koeffizienten a, b notwendig "ganze" rationale Zahlen.

§ 4:. Algebraische Zahlkörper.

°

Aus den Sätzen von S. 33:ff. entnimmt man unmittelbar die folgenden Ergebnisse: Eine algebraische Zahl genügt einer eindeutig bestimmten, im rationalen Körper ffi irreduzibelen 1) Gleichung: (1) fez) = zn + a1 z n- 1 + a 2 z n - 2 + ... + an = 0 mit rationalen Koeffizienten, deren sämtliche Wurzeln 01 = 0, (J2' .•• , On verschieden sind und n "konjugierte" algebraische Zahlen heißen. Die Adjunktion von zu ffi liefert einen in bezug auf ffi algebraischen Körper = (ffi, 0), der weiterhin kurz als ein "algebraischer Körper n len Grades" bezeichnet wird. Die n Körper (ffi, (1) = (ffi, 0), (ffi, (2)' ... , (ffi, On) heißen "konjugiertli und sollen kurz l = ~, ~2' .•• , ~n genannt werden. Diese Körper brauchen nicht alle voneinander verschieden zu sein. Sind sie insbesondere alle einander gleich, so heißt ~ ein "Galoisscher Körper" oder "Norm alkörper". Jede Zahl ~ des Körpers ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt: (2) mit rationalen c darstellbar; sie genügt der durch die Tschirnhausentransformation: W = Co + clZ +' c2 z 2 + • • • + C,,_lZ"I

°

sr

sr

sr

aus (1) hervorgehenden Gleichung nt.n Grades und ist deshalb wieder eiue algebraische Zahl. Umgekehrt ist jede mit rationalen c dargestellte Zahl (2) in enthalten. Die n mit ~ "konjugierten" Zahlen: (3) Si = Co + C1 0i c2 (J;, + cn _ 1 0;-t, i= 1, 2, ... , n

sr

+

+ ...

sind zu je po einander gleich und stellen v verschiedene Zahlen dar, wobei po' v = n ist. Gilt po = 1, so heißt S eine "primitive" Zahl des Körpers ~, für po 1 wird sie "imprimitiv" genannt.

>

Hieran schließen sich einige weitere Entwicklungen über die Darstellung von Zahlen aus Irgend n Zahlen S, b', ••• , b(n -1) aus ~ heißen "linear-abhängig", falls ein System nicht durchgängig verschwindender rationaler Zahlen b, b', ... , b(n-l) angebbar ist, für das:

sr.

(4)

bs

+ b's' + ... + b(n-l)b(n-l) =

0

gilt; existiert ein solches Zahlensystem b nicht, so heißen die b, 1) Der Zusatz "im rationalen Körper Irreduzibilität hier stets auf iR bezieht.

m"

s', ... ,

b(n-l)

bleibt gewöhnlich fort, da sich die 6*

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie . 84 "linear-unabhängig". Zu folge der Irreduzibilität von (1) sind jedenfalls die Zahlen 1, (J, (J2, ... , 0',-1 linear-unabhängig. Für die n Zahlen ~(O) =~, ~', ... ~(n-l) mögen als Darstellungen (2) gelten: (5) ~(k) = cbk ) + clk)(J + C~k)(j2 + ... + c~k~1(Jn-\ k=O, 1, ... ,12-1. Damit die Zahlen ~, ~', ... , ~(n-l) linear-abhängig sind, ist dann hin~ reichend und notwendig, daß n nicht durchgängig verschwindende rationale Zahlen b existieren, die den Gleichungen: bCi + b'c;'+'" + b(n-l)cl n - 1 ) = 0, i=O, 1, ... , (n-1) genügen. Nach bekannten Sätzen der Determinantentheorie folgt: 11'!Jend 12 durch (5) gegebene Zahlen \;, r, ... , \;(n - 1) des Körpers ~ sind linear~mabhängig oder nicht, je nachdem die Determinante IC;k) I der n 2 Koeffizienten c in (5) von verschieden ist oder verschwindet. Es seien \;ik ) = \;(k), \;~,), ••. , ~~k) die mit \;(k) konjugierten Zahlen. Dann gilt folgende Erklärung: Das Quadrat der n-reihigen Determinante:

°

~11 ~,

... ,

bin-tl

(6)

bn , b~' ... , \;;;-1) heißt die "Diskriminante" der n Zahlen \;, \;', ... , b(n -1) und wird durch D (\;, \;', ... , ben - 1» bezeichnet. Insbesondere ist die Diskriminante DeI, (J, ... , (Jn-1) der n Zahlen 1, (), ... , (Jn-l zugleich die Diskriminante der irreduzibelen Gleichung (1) in ffi (S. 26); diese Diskriminante ist eine von verschiedene rationale Zahl. Schreibt man alle mit (5) kon" jugierten Gleichungen auf, so ergibt das Multiplikationsgesetz der Determinanten: (7) Da, \;', ... , \;(n-l» = Icl k ) 12 • D(l, (), (J2, ... , ()n-l).

°

Hieraus folgt mit Rücksicht auf den letzten Satz: Die Diskriminante D(b, b, ... , \;(n-1» der n Zahlen ~,\;', ... , b(n-1) verschwindet oder hat einen von verschiedenen rationalen Zahlwert, der mit D (1, (J, (J2, ... , (Jn-1) im Vorzeichen übereinstimmt, je nachdem die \;, \;', ... , b(" -1) linear-abhängig sind oder nicht. Ist IC;k) I4= 0, so lassen sich die n Gleichungen (5) nach 1, (J, ... , (Jn- 1 lösen. Es ergeben sich so Darstellungen der 1, (J, ()2, ... , ()n-l und damit Darstellung aller Zahlen von st' in der Gestu,u: (8) C\; + C'\;' + c"b" + ... + c(n-1)\;(n-1)

°

dnrch die n linear-unabhängigen Zahlen \;, \;', ... ,

b(n -1) mittcZs rationaler

c, c', . . .. Auch diese Darstellung ist für die einzelne Zahl von st' eindeutig bestimmt, wie aus der linearen Unahhängigkeit der \;, ~', ... folgt. Umgekehrt liefert natürlich jeder mit rationalen c gebildete Ausdruck (8) eine Zahl aus St.

85

Diskriminanten, Spuren und Normen

Es mägen sich noch folgende Erklärungen hier anschließen: Sind Si = S, S2' .. "Sn die n mit konjugierten Zahlen, so versteht man unter der "Spur" Sm von S die Summe und unter der "Norm" N(s) von S das Produkt jener konjugierten Zahlen:

s

(9) Sm = Si + S2 + ... + Sn, Nm = SI' S2'" Sn' Sm und N(s) sind rationale Zahlen, die an bekannten Stellen als Koeffi-

s

zienten in der Gleichung n ten Grades für auftreten. Konjugierte Zahlen haben natürlich gleiche Spuren sowie auch gleiche Normen. Bildet man das Quadrat der Determinante (6) nach dem Multiplikationsgesetze der Determinanten, so gelangt man zu folgender Darstellung der Diskriminante der Zahlen S, s(n-1) durch Spuren:

s', ... ,

S(ss), (10)

D(s, s', ... , s(n-l»)= Sen),

S(ss'), ... , Sen'), ... ,

§ 5. Die ganzen Zahlen des Körpers

S(Ss(n-l») S(n(n-1»)

a.

Die in ~ = (91, fJ) enthaltenen ganzen Zahlen sollen allgemein t} genannt werden, das System aller dieser ganzen Zahlen werde e genannt. Es gilt der Satz: Sind t} und 1]' irgend zwei Zahlen aus e, so sind a~tch ihre

Summe (Tj +Tj'), ihre Differenz (Tj - Tj') und ihr Produkt (Tj '1/') in e enthalten.

Es sind nämli ch (Tj + Tj') und Tj. Tj' nach S. 79 wieder ganze Zahlen, und andrerseits gehören (Tj ± 71') und 1] • r/ dem Körper ~ an und sind demnach im System e enthalten. Allgemein gilt der Satz: Jede rationale ganze

Fztnkt'ion von Zahlen a~tS e mit rationalen ganzen Koeffizienten ist wieder eine Zähl aus e. Für die Spuren und Normalen bestehen die Regeln: (1)

SeTj

± 71') =

S(1Jr± S(1J') ,

N(1J . 71') = N(1J)' N(Tj').

Sind nämlich zu 71 und 71' im Körper ~i die Zahlen Tji und 1J~ konjugiert, so ist zu (71 ± 71') die Zahl (1Ji ± Tj;) und zu 71' 71' die Zahl 1Ji' Tj~ konjugiert, woraus die Regeln (1) leicht folgen. Eine Zahl aus c, deren Norm gleich ± 1 ist, heißt eine "Einheit" des Körpers ~ oder des Systems C und möge speziell durch E bezeichnet werden. Genügt E der irreduzibelen Gleichung:

(2) mit rationalen ganzen Koeffizienten, so genngt die gleichfalls in haltene Zahl E - 1 der Gleichung:

~

ent-

z· ± (a._ l z 1+ ... + alz + 1) = 0, V-

stellt also gleichfalls eine ganze Zahl dar. Ist andrerseits mit der von

°

86


verschiedenen Zahl t} aus e auch t} -1 eine ganze Zahl und also wieder in e enthalten, so genügt t} einer irreduzibelen Gleichung mit dem Absolutgliede + 1. Es gilt also der Satz: Eine von 0 verschiedene Zahl t} ause ist stets und nur dann eine Einheit E, wenn auch t} - 1 eine ganze Zahl ist. Jede mit einer Einheit konjugierte Zahl ist natürlich wieder eine Einheit ihres Körpers. Ist t} eine beliebige Zahl aus e und E eine Einheit, so heißt E· t} eine mit t} "assoziierte Zahl". Zwei assoziierte Zahlen haben, abgesehen vom Vorzeichen, gleiche Normen. Nach S. 80 liefert jede Zahl ~ aus ~, mit einer geeignet gewählten von 0 verschiedenen rationalen ganzen Zahl a multipliziert, eine ganze Zahl t} = a,·~. Es mögen auf diese Weise aus den n Zahlen ~u ~2' ... , ~n 1) von ~ die n Zahlen t}1 = a1 ~1' 'l'}2 = a2 ~2' •.. , t}n = an ~n von e gewonnen werd·en. Sind die ~ linear-unabhängig, so gilt dasselbe offenbar von den n ganzen Zahlen 'l'}u 'l'}2' •.. , 'l'}n. Wir können somit stets n linear-nnabhängige ganze Zahlen t}u 'l'}2' •.• , t},. zugrunde legen, in denen jede Zahl ~ von ~ auf eine und nur eine Art in der Gestalt:

(3)

~ = C1 t}1

+ C2 '1'}2 + ... + cnt},.

mittels rationaler Koeffizienten c darstellbar ist (vgl. S. 84). Die Diskriminante D ('1111 'l'}2' •.• , 'I1n) irgendeines Systems linearunabhängiger ganzer Zahlen '1111 "12' •.. , "1" aus e ist nach S.84 eine ganze Zahl, sowie nach dem an (7) S. 84 angeschlossenen Satze eine rationale, von 0 verschiedene und mit D (1, 0, ... , on-I) im Vorzeichen übereinstimmende Zahl. Also folgt: Die Diskriminanten aller Systeme linear-unabhängiger Zahlen "111 '112' •.. , t}n aus e sind von 0 vet·schiedene, rationale ganze Zahlen, die alle das gleiche Vorzeichen haben. Unter allen von 0 verschiedenen rationalen ganzen Zahlen, die als Diskriminanten bei den Systemen linear-unabhängiger Zahlen "711 112", ..•, t}n aus e auftreten, gibt es eine absolut kleinste. Diese absolut kleinste Zahl D heißt die "Grundzahl" oder "Diskriminante" des Körpers ~; ein System, dessen Diskriminante jenen Minimalwert hat, wird eine "Basis" des Zahlsystems e genannt. Es besteht der Satz: Bilden die Zahlen t}1' t}2' ... , "7.. eine Basis von e, so ist nicht nur jede Zahl:

(4) mit rationalen ganzen e in e enthalten, sondern umgekehrt ist auch "jede" Zahl aus e auf eine und nur eine Art in der Gestalt (4) mittels rationaler "ganzer" e darstellbar. Zu beweisen ist hier nur noch, daß keine ganze 1) Bisher bezeichneten wir mit ~,' ~2' .•• , ~n ein System von n konjugierten Zahlen. Da solche Systeme weiterhin nur noch selten zu betrachten sind, so benutzen wir die bequeme Schreibwei.se der unteren Indizes zur Unterscheidung irgendwelcher Zahlen aus .R'.

Grundzahl oder Diskriminante von $t. Basen für e

87

+

c1111 c2112 + ... + c"lI" mittels rationaler, aber nicht durchweg ganzer c darstellbar ist. Sollte aber eine ganze Zahl 11 mit solcher Darstellung vorkommen, so stellen wir die c als Quotienten kleinster ganzer Zahlen dar und nennen ihren Hauptnenner h. Dann sind: Zahl in der Gestalt:

11

=

hCl = el

,

hC2 = e2,

hc" = e"

n rationale ganze Zahlen, deren größter, allen gemeinsamer Teiler prim

gegen h ist. Irgendein Primfaktor p > 1 von h geht demnach nicht in allen diesen e auf und möge etwa teilerfremd gegen el sein. Schreiben wir h = ap, so ist auch: a 11 = e1"h + e.71. + ... + e" 1)" p

eine ganze Zahl. Da e1 und p teilerfremd sind, so kann man eine rationale ganze Zahl b entsprechend der Kongruenz bel = 1 (modp) wählen und hat dann auch in: bel - 1 1 111, = a b11 - --p-lIj = p-lIj + a b (c2112 + ... + c"lI") eine ganze Zahl. Für die Diskriminante des Systems 11;, 112, ... , 11" ergibt sich nun leicht:

D(lI~,

112, ···,11",)

=

;.D(nl1112"'" 11,,),

so daß wir in D (111' 112, ... , 11,,) noch nicht die minimale Diskriminante erreicht haben würden. Damit ist der Satz aber bewiesen. Irgendein System von n Zahlen 1I~, 1I~, ... , 1I~ aus e besitze in der Basis 111' 112, ... , 11" die Darstellung: i

(5)

=

1, 2, ... , n.

Wie S. 84 folgt aus dem Multiplikationsgesetze der Determinanten:

(6)

D(lI;, 'l}~, ... , 1I~)

=

leik l2 • D(1I1' 112,"

.,1],,).

Hieraus folgt der Satz: Die Zahlen 1I~, 1I~, ... , 1I~ bilden stets und nur dann gleichfalls eine Basis von c, wenn die Determinante der n 2 ganzzahligen Koeffizienten in (5) gleich ± 1 ist. Weiter liest man aus (6) das Ergebnis ab: Ist die rationale ganze Zahl D (11;, 11;, ... , 1I~) durch kein Quadrat (außer 1) teilbar, so bilden die 11;, 1I~,"" 1I~ eine Basis, und D('l};, ... , 1I~) ist die Grundzahl des Körpers.

§ 6. Teilbarkeit der Zahlen 11 im Systeme

f.

Eine Zahl 11 des Systems e heißt durch die gleichfalls in e enthaltene Zahl 11' "teilbar" oder 11' ist ein "Teiler" von 11 oder "geht in 11 auf'\ falls es eine Zahl 11" in e gibt, die mit 11 und 11' die Gleichung 11 = 'l}' . 11" be-

88

Einleitung, Teil 1II: Idealtheorie

friedigt. Natürlich ist dann auch 'YJ" ein Teiler von 'YJ. Es ist ein~ leuchtend, daß 'YJ durch jede Einheit 13 des Körpers ~ und durch jede mit 'YJ assoziierte Zahl 13"1 teilbar ist. Im rationalen Körper sind die Gesetze der Teilbarkeit sehr einfach. Die einzigen Einheiten von ffi sind + 1 und - 1. Eine von 0 und ± 1 verschiedene rationale ganze Zahl p, die als Teiler nur die vier Zahlen + 1 und + p hat, heißt eine "Primzahl". Es besteht der Satz: Jede von o verschiedene rationale ganze Zahl a ist als Produkt einer der Einheiten ± 1 und einer Anzahl positiver Primzahlen darstellbar, und zwar sind diese Primzahlen (natürlich abgesehen von ihrer Reihenfolge) durch a eindent/:g bestimmt. Der Satz von der eindeutigen Bestimmtheit dieser "Primfaktorenzerlegung" ist die Grundlage vieler arithmetischer Überlegungen und gahört zu den wichtigsten Grundsätzen der Zahlentheorie. Bei der Ausdehnung der Gesetze der Teilbarkeit auf die ganzen Zahlen 'YJ eines algebraischen Körpers stellte sich nun die Tatsache ein, daß der eben für den rationalen Körper ffi ausgesprochene Satz keine3wegs a llgemein auf algebraische Körper verallgemeinert werden konnte, indem bereits Körper zweiten Grades nachweisbar waren, in dene.n er nicht mehr gilt. Als Beispiel betrachten wir den durch die irreduzibele Gleichung Z2 + 5 = 0 gegebenen Körper zweiten Grades = (ffi, q/5). Derselbe ist ein Normalkörper, dem il/5 als ganze Zahl angehört und dessen sämtliche Zahlen in der Gestalt (co + Cl iY5) mit rationalen c darstellbar sind. Da: 12 n(l iy5) = 1, + 1 = 20 , 1, -iY5

sr

sr

sr

iY~

1

nur den quadratischen Teiler 4 hat, so sind sicher alle ganzen Zahlen von ~ mitteist rationaler ganzer e in der Gestalt t (eo + el iy5) darstellbar. Nun ist aber: nur dann eine ganze Zahl, wenn Co und Cl gerade Zahlen sind. Also bilden ist 'die beiden Zahlen 1, iy5 eine Basis von e, und die Grundzahl von - 20. Aus N(eo + e1 iY5) = e~ + 5ei liest man sofort weiter ab, daß ± 1 die einzigen Einheiten von sind. Die Zahl 21 ist nun in das Produkt 3 . 7 spaltbar. Keiner der Faktoren 3 und 7 ist in e weiter zerlegbar. Wäre nämlich z. B. die Zahl 3 als Produkt 'YJ1 . "12 zweier von + 1 verschiedener ganzer Zahlen von darstellbar, so wäre nach (1) S. 85:

sr

sr

sr

N('YJI)· N('YJ2)

=

N(3)

=

9,

und also würde, da N ("11) und N ('YJ2) rational, ganz und von ± 1 verschieden sind, N("11) = N( 'YJ2) = ± 3 zu treffen. Ist also 'YJI = eo+ el iy5 »

+

Teilbarkeit der ganzen Zahlen 11 im Systeme e

89

so würde ~ 5e~ = ± 3 folgen, eine Gleichung, die durch rationale ganze eo, el nicht zu befriedigen ist. Die Zahl 3 ist also im vorliegenden Systeme e unzerlegbar, und man zeigt in derselben Art, daß auch 7 unzerlegbar ist. Neben der Zerlegung 21 = 3 . 7 der Zahl 21 besteht aber noch eine zweite Zerlegung: 21 = (1

+ 2iV5) (1 - 2iV5)

von 21 in das Produkt zweier in ~ enthaltener ganzer Zahlen. Diese Faktoren sind gleichfalls unzerlegbar. Wäre nämlich etwa 1 + 21:V5 = r;l . r;2' wo wieder r;u r;2 keine Einheiten sind, so würde:

N(r;l) . N(r;2)

=

N(1

+ 2iV5) =

21

folgen, und also wäre für einen der beiden Faktoren N(YJ) = ± 3, was wir bereits als unmöglich erkannten. Die Zahl 21 ist hiernach in zwei wesentlich verschiedenen Arten als Produkt unzerlegbarer ganzer Zahlen unseres Körpers (m, iV5) darstellbar. Es ist ein naheliegender Gedanke, durch eine Erweiterung des Gebietes e unserer ganzen Zahlen den Satz von der "Eindeutigkeit" der Zerlegung jeder ganzen Zahl des erweiterten Gebietes in unzerlegbare Faktoren zu retten. In unserem Falle müßte etwa eine Zerlegung von 21 in vier unzerlegbare Faktoren Pl' P2' Ps, P4 stattfinden, und es müßte: (1)

3=Pl·.p2' 7=-PS·P4 und

1+2iY5=Pl·Pa, 1-2tV5=lJ2·P4

gelten. Die Durchführung dieses Gedankens in einer für alle algebraischen Körper ~ gültigen Gestalt ist von R. Dedekind in seiner "Idealtheorie" geleistet. Die wichtigsten Grundlagen dieser Theorie sind nun zu entwickeln.

§ 7. Begriff und Darstellung eines Ideals. Der Grundgedanke der Dedekindschen Theorie ist der, daß die Begriffe und Gesetze der Teilbarkeit nicht auf einzelne Zahlen angewandt werden, sondern auf gewisse Systeme unendlich vieler ganzer Zahlen aus e, die Dedekind "Ideale" nennt. Es mögen zunächst die elementaren Vorstellungen und Überlegungen, die die Teilbarkeit der rationalen ganzen Zahlen betreffen, in die Sprache der Idealtheorie übersetzt werden. Es sei demnach zunächst e das System aller ganzen Zahlen des rationaleu Körpers m. Ist a eine von 0 verschiedene Zahl aus e, und durchläuft r; alle Zahlen von e, so heißt das System r; a aller durch a teilbaren Zahlen von e ein in e enthaltenes "Ideal". Als Bezeichnung für ein solches Ideal benutzen wir wieder die Frakturschrift !l und schreiben auch, wenn wir ausdrücken wollen, daß n aus allen Vielfachen von a besteht, n = [aJ, so daß auch [a] ein Symbol für das System der unendlich vielen Zahlen rJa ist. Die charakteristischen Eigenschaften eines solchen Ideals sind die folgenden:

90


1. Die Summe und die Differenz zweier Zahlen aus a sind wieder in enthalten. 2. Das Produkt irgendeiner Zahl 'Yj aus e und einer Zahl aus a ist wieder in a enthalten. 3. Das Ideal a soll nicht nur aus der einzigen Zahl 0 bestehen. 1) Es ist leicht zu zeigen, daß diese drei Eigenschaften im System e der rationalen ganzen Zahlen stets ein Zahlsystem 'Yja obiger Art festlegen. Versteht man also jetzt unter einem Ideale a in jenem Systeme e irgendein in e enthaltenes Zahlsystem, das die drei genannten Eigenschaften hat, so ist zu beweisen, daß a stets aus den gesamten durch eine nicht-verschwindende ganze Zahl a teilbaren Zahlen von e besteht. Ist nämlich Ci eine absolut kleinste von 0 verschiedene Zahl in a, die zufolge 3. existiert, so enthält a sicher alle Zahlen 'Yja wegen der Eigenschaft 2. Weitere Zahlen können aber in a nicht auftreten, da sonst zu folge 1. sofort eine absolut zwischen 0 und I" I gelegene Zahl in a nachweisbar wäre. Man beachte übrigens gleich noch, daß die Gesamtheit e aller rationalen ganzen Zahlen offenbar selbst ein Ideal darstellt, das wir auch durch [1] bezeichnen können. Da zu jeder Zahl Ci aus e eindeutig ein Idepl a = [a] gehört und umgekehrt zu jedem Ideal a eindeutig ein Paar "assoziierter" Zahlen ± Ci aus e (die sich in Rücksicht auf Teilbarkeit im wesentlichen gleich verhalten), so erscheint es möglich, die Zahlen durch ihre zugehörigen Ideale zu ersetzen und die Regeln der Teilbarkeit in die Sprache der Ideale zu übertragen. Als "Produkt" zweier Ideale a = [Ci] und b = [ß] bezeichnen wir das Ideal c = a· b = [a . ß]. Dann ist offenbar o· a = a· 0, und wir finden, wenn eines der Ideale a, 0, etwa b = e = [1] ist, a . e = e . a = a, so daß e als "Einheitsideal" bezeichnet werden kann. Ist c = a . 0, so heißt jedes der Ideale a, 0 ein "Teiler" von c, oder man sagt, c sei durch a und 0 "teilbar«, oder a und 0 "gehen in c auf"; umgekehrt ist C ein" Vielfaches" von a und auch von O. Das Ideal a ist stets und nur dann ein Teiler von c, wenn jede Zahl von C in a enthalten ist. 2) Setzen wir nämlich C = [1'], so ist l' in a enthalten, also l' = ß . Ci, wo ß eine Zahl aus eist. Sind a und ß zwei von 0 verschiedene Zahlen aus e, so bilden alle Zahlen ('Yj1 a + 'tJ2 ß) mit irgendwelchen Paaren 'Yjl' 'Yj2 aus e wieder ein Ideal. Wir bezeichnen dieses Ideal durch b = [a, ß]. Offen bar sind sowohl die Zahlen von a als auch die von 0 in b enthalten, so daß b ein gemeinsamer Teiler von a ~nd b ist. Da jeder gemeinsame Teiler von a und 0 die tl

1) Das aus der Zahl 0 allein bestehende "System" würde die Eigenschaften 1. und 2. besitzen. Durch die Forderung 3. ist dieses "System" ausgeschlossen.

2) Der "Teiler" (l ist hier also ein "umfassenderes" Zahlsystem als das" Vielfache" c, sofern nicht etwa C = (l • e vorliegen sollte.

Begriff eines Ideals im Körper St

91

Zahlen nl a und n2 ß und also die von b in sich enthält, so heißt b = [a, ß] der "größte gemeinsame Teiler" von a und 0. Dies ist mit dem elementaren Begriffe des größten gemeinsamen Teilers zweier rationaler ganzer Zahlen in Übereinstimmung. Ist nämlich b = Ca, ß] = [tJ], wo tJ positiv gewählt sein mag, so ist {j die kleinste positive, mit rationalen ganzen nll 'YJ2 in der Gestalt {j = 'YJl a 'YJ2 ß darstellbare Zahl. Diese ist aber in der Tat der größte gemeinsame Teiler von a und ß (vgl. S. 30) . . Wir kehren nun zu einem beliebigen Körper n ten Grades ~ zurück, dessen ganze Zahlen das System e bilden. Irgendein System von Zahlen aus c bildet ein "Ideal" a des Körpers ~, wenn das System die drei oben genannten Eigenschaften 1., 2. und 3. besitzt. Wir stellen im Anschluß an diese Erklärung sogleich fest: Zwei Ideale a und 0 von ~ heißen einander gleich, a = 0, wenn jede Zahl des einen Ideals auch im anderen enthalten ist. Auf Grund des folgenden Satzes kann man Ideale des Körpers ~ herstellen: Sind al l a2, ..., IX). irgendwelche ), festgewählte, nicht durchweg verschwindende Zahlen aus c, so liefern die gesamten Zahlen:

+

{I) zu bilden für alle möglichen Systeme von A. Zahlen 'YJ1I nv . .., 'YJ). aus c, ein ideal a, das wir durch: (2) a = [al' a2 , •••, ";] ·bezeichnen. Man zeigt nämlich am Systeme (1) sofort die drei charakteristischen Eigenschaften eines Ideals. Hierbei ist übrigens keineswegs behauptet, daß die einzelne Zahl aus a nur auf eine Weise in der Gestalt (1) darstellbar sei. Auch umgekehrt gilt der Satz: Jedes Ideal a von ~ ist mittelst einer "endlichen" Anzahl seiner Zahlen (Xl' (X2' •.• , "l in der Gestalt [(Xl' "2' ••., aJ als System aller Zahlen (1) darstellbar. Zu einer weiterhin besonders wichtigen Art einer solchen Darstellung irgendeines vorgelegten Ideals a führt folgende Überlegung: Es gibt sicher in a Systeme von n linearunabhängigen Zahlen "I' "2' ..., an' Ist nämlich C(. eine von 0 verschiedene Zahl aus a, und bilden 'YJl' 'YJ2' ..., 'YJn eine Basis von c, so bilden z. B. die n Zahlen C(.1 = 'YJ1 a, C(.2 = 'YJ2C(., ..., "n = 'YJnC(. ein System linear-unabhängiger Zahlen von a. Für jedes solche System ist D(C(.l! a2 , • ••, C(.n) eine von 0 verschiedene rationale ganze Zahl. Wie S. 86 nennen wir ein System linear-unabhängiger Zahlen "11 "2' ..., C(.n aus a eine "Basis" des Ideals Cl, falls die von 0 verschiedene rationale ganze Zahl D (C(.l , C(.2' ..., C(.n), absolut genommen, einen möglichst kleinen Wert hat. Dann gilt der Satz: Jede Zahl: (3) C(. = el C(.1 + e2C(.2 + ... + enan

mit rationalen ganzen e ist in a enthalten, ~cnd jede Zahl (X von a ist auf eine und nur eine Art in der Gestalt (3) mittelst rationaler ganzer Zahlen

92


e durch die Basis Oll' 012 , •••, an darstellbar. Der Beweis wird durch Wiederholung der Überlegung von S· 87 geführt, wobei an die Stelle der damaligen Zahlen "l1' "l2' ..., "ln die Zahlen 011/ 012, •. .,01" treten und das System e durch a zu ersetzen ist. Hiernach ist a sicher z. B. in den n Zahlen einer Basis Oll' 012 , •••, an als Ideal [all 012 , •••, an] darstellbar,. womit der letzte Satz bewiesen ist. Während später der Gebrauch einer Basis von awichtig wird, ist es einstweilen zweckmäßiger, die Anzahl A der Zahlen 01 in (2) unbestimmt zu lassen und als "Koeffizienten" nicht nur rationale ganze Zahlen, sondern wie in (1) beliebige ganze Zahlen "l aus e zuzulassen. Sollen alle Zahlen eines zweiten Ideals b = [ßlI ß2' .•., ß,J in a enthalten sein, so ist hierfür das Bestehen der !1- Gleichungen: (4)

i

=

1, 2, ..., !L

erforderlich und hinreichend, wo natitrlich die "l Zahlen aus e sind. Bestehen außerdem A Gleichungen: (5)

k

=

1, 2, ..., A

wieder mit Zahlen r/ aus e, so sind auch alle Zahlen von a in b enthalten, d. h. wir haben a = b. . Ein Ideal a = [01], das also aus allen durch die von 0 verschiedene ganze Zahl 01 teilbaren Zahlen aus e besteht, heißt ein "Hauptideal". Sollen die beiden Hauptideale a = [01] und b = [ß] einander gleich sein, so müssen zwei Gleichungen ß = 1) 01 und 01 = "l' ß mit Zahlen 1) und "l' aus e gelten. Aus ihnen folgt "l . 1)' = 1, so daß die Zahlen 1) und "l' Einheiten sein müssen, 1) = sund 1/ = S' = S-l. Aus ß = Sol folgt auch sofort 01 = c' ß, so daß der Satz gilt: Die beiden Hauptideale a = [01] und b = [ß] sind stets und nur dann einander gleich, wenn 01 und ß assoziierte Zahlen sind. Insbesondere folgt: Jedes aus einer Einheit s hergestellte Hauptideal [c] ist gleich e. Die "Hauptideale" sind es, die den Zahlen von c, genauer den Systemen assoziierter Zahlen von e zugeordnet sind. Soll der Begriff des Ideals allgemein die S. 88ff. besprochene Schwierigkeit heben, so müßte die zu vollziehende "Erweiterung" des Gebietes e der ganzen Zahlen von ~ darin bestehen, daß wir, nachdem die Systeme der assoziierten Zahlen durch ihre Hauptideale ersetzt sind, die gesamten übrigen Ideale von ~, sofern solche vorhanden sind, als selbständige Elemente, gewissermaßen als neue ganze Zahlen, den bisherigen hinzuzufügen. In dem so erweiterten Gebiete müßten dann die Gesetze der Teilbarkeit wieder denselben einfachen Charakter annehmen wie im rationalen Körper. Daß dies in der Tat der Fall ist, wird der in § 9, S. 97 aufzustellende Hauptsatz der Idealtheorie zeigen.

Basis eines Ideals. Hanptideal. Prodnkt zweier Ideale

93

§ 8. Multiplikation der Ideale. Die Multiplikation zweier Ideale ist so zu erklären, daß insbesondere die Multiplikation zweier Hauptideale auf diejenige zweier ganzer Zahlen hinausläuft. Dies leistet folgende Festsetzung: Das Produkt C = 11' b der beiden Ideale 11 = [all a2, ..., al ] und b = [ßlI ß2' ..., ß,u] ist das Ideal:

(1) c = [alßlI CX I ß2' ..., aIß,u' CX2 ßI' ..., cxlß1J. Dem Produkte gehört jede Zahl an, die durch Multiplikation einer Zahl a aus a und einer Zahl ß aus b entsteht, und damit auch jede Summe solcher 'Produkte: aß + cx' ß' + cx" ß" + ... + a(v)ß('·)· (2) Umgekehrt ist jede Zahl des Ideals (1) in der Gestalt (2) darstellbar z. B. als eine Summe: cx1ß' + cc2ß" + ... + alß(/.), wo CXll CX 2 , •••, CX l die zur Darstellung des ld!?als a = [cx ll CX2 • . • . , cxJ ausgewählten Zahlen sind und ß', ß", ..., ß(I·) Zahlen des Ideals 0 bedeuten. Man kann das Produkt 11 • 0 geradezu als das ein Ideal bildende System aller Zahlen (2) erklären. Hieraus erkennt man, daß das P1'odukt 11 • b dttrch die Faktoren 11 und b eindeutig bestimmt ist, d. h. daß a . 0 nicht etwa abhängig ist von der besonderen Auswahl der beiden Zahlensysteme a1) a 2, • " "' CXl und ßlI ß2' •••, ßI-" die der Erklärung (1) zugrunde liegen. Aus (1) folgt der Satz: Für die Multiplikation der Ideale gelten die Gesetze a· 0 = 0 . a und (a . 0) . C = 11 • (0 . c). Für das assoziative Gesetz wolle man sich das Produkt dreier Ideale entsprechend dem Ansatze (1) anschreiben. Die Gesetze bestehen für die Ideale dann einfach deshalb, weil sie für die Zahlen gelten. Von grundsätzlicher Bedeutung ist nun der folgende Satz: 1st a = [a o, CXll CX2 , •••, af ,] ein beliebiges Ideal des Körpers so kann man ein zweites Ideal 0 von so angeben, daß das Produkt von 11 und bein Hauptideal 11 • b = [aJ mit rationaler ganzer positiver Zahl a wird. Um dies zu zeigen, bilden wir mit einer Variablen z die ganze Funktion p.ten Grades: (3) q; (z) = C(oz," + CXI z!/ -1 + ... + cx,,,

se,

se

und stellen die (n _. 1) mit q;(z) "konjugierten" Funktionen her:

!

cc' z,u

(4)

o a" Z,ll

+ cx' z,u - + . . . + c/.cl' 1

I

+ 0/' Z,u-1 + ... + cl'I" o . . . . . . . . . ., I

unter U k , CX~, CX;;, •••, cx~n-l) die n mit CXk konjugierten Zahlen verstanden. Das Produkt der (n - 1) Funktionen (4) bezeichnen wir durch:

(5)

1/J(z)

=

ßozv + ß1 Zv - 1 + ...

+ ß.;

Einleitung, 'feil IV: Idealtheorie 94 der Grad v von 1/J(z) ist p,(n - 1), die Koeffizienten ß sind ganze Zahlen. Durch Multiplikation der Funktionen rp(z) und 1/J(z) entstehe die Funktion p,nten Grades:

(6) rp(z)1/J(z) = fez) = fo Z"'" + flZ,un-l + ... + f,un' Da fez) das Produkt der n konjugierten Funktionen (3) und (4) ist, so sind die fo, fl' ..., f,u,. rationall) und stellen also nach einem Satze von S. 82 rationale ganze Zahlen dar. Da ferner 1/J(z) der Quotient von fez) und rp(z) ist, so gehören die Koeffizienten ß dem Körper ~ an und sind als ganze Zahlen in e enthalten. Aus dem Hilfssatze von § 2, S. 80 folgt nun leicht, daß das Ideal b = [ßo, ßv ß2' ..., ß.J dem zu bewE;isenden Satze genügt. Haben nämlich die fo, fv ..., fun die rationale ganze positive Zahl a als größten gemeinsamen Teiler, so ist nach jenem Hilfssatze a ein Teiler jedes Produktes lXißk' Demnach ist jede Zahl des Ideals c = a . b durch a teilbar und also in der Gestalt 'YJa darstellbar. Andrerseits gehören dem Ideale c = a . b alle Zahlen fo, fv ..., f,un und damit die Zahl: (7) eofo+ elfl + e2 f2 + ... + e,unf,u" mit irgendwelchen rationalen ganzen e an. Man kann aber die e BO wählen, daß die Zahl (7) gleich dem größten gemeinsamen Teiler a aller f wird. 2) Hiernach ist auch a in c enthalten. Es ist also nicht nur jede Zahl von c in der Gestalt 'YJa darstellbar, sondern jedes Produkt 'YJa mit beliebigem Faktor 'YJ aus e ist in centhalten, d. h. es gilt c = a . b = [ al womit unser Satz bewiesen ist. Aus dem eben bewiesenen Satze kann man leicht auf den folgenden schließen: Sind die Produkte a . a' und a· a" eines Ideals a mit den beiden Idealen a' = [a~, a~, ..., IX] und a" = [a~, a~, ..., a;J einander gleich, so sind auch a' und a" gleich, d. h. aus a· a' = a· a" folgt a' = a". Ist nämlich U ein Ideal, das in b . a ein Hauptideal [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl a liefert, so folgt durch Multiplikation von a . a' = a . a" mit b zufolge der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes [a J . a' = [a J . a". Diese Gleichung besagt, daß jede Zahl ('YJ~ aa~ + 'YJ~aa; + ... + 'YJ~ aa;) des Ideals [a J . a' auch als eine Zahl ('YJ~ aa~ + f)~ aa~ + ... + 'YJ; a '112' •.• , 'I1n eine Basis von c, und es seien '11" '11;,'1/;, •.• , '1/}n-l) die mit '1/. konjugierten Zahlen, r;~k) eine beliebige unter ihnen. Die Summe der n absoluten Beträge 1r;ik)I, 1'1/~k) I, ... , In~k) 1 hat einen reellen positiven Wert, ebenso das Produkt aller n Summen:

TI (I n~k) n-l

(1)

!

+ 1r;~k) i + ... +

i

n}~) I)

=

llf.

k=O

Dieser reelle positive Wert M ist mit der Auswahl der Basis fest bestimmt. Jede Zahl r; von e ist nun in der Gestalt:

(2) mittels rationaler ganzer e darstellbar. Wir lassen jetzt nur noch diejenigen Zahlen (2) zu, bei denen die absoluten Beträge lei 1 eine rationale ganze positive Zahl g, deren Auswahl wir vorbehalten, nicht übersteigen, Iei I 1 sind, so würde lJ in [a] = [al] . a2] und also mindestens in einem Faktor [al] oder [a 2 ] aufgehen, so daß a nicht die kleinste rationale ganze positive Zahl von lJ wäre. Da N(lJ) in pn aufgeht und übrigens N(lJ) > 1 ist (sonst wäre lJ = e), so folgt: Die kleinste rationale ganze positive Zahl, die in einem Primideale lJ auftritt, ist eine rationale Primzahl p; für die Norm eines Primideals lJ gilt: (1) N(lJ)=pl,

r

wo der Exponent A eine Zahl der Reihe 1, 2, ... , n ist und als der "Grad" des Primideals lJ bezeichnet wird. Die Primfaktorenzerlegung des Hauptideals [p] sei:

(2) Nach (8) S. 103 folgt hieraus:

(3) Es ist demnach jeder der rechts stehenden Faktoren eine Potenz von p (mit einem Exponenten> 0), so daß der Satz gilt: 1st p eine rationale Primzahl, so zerfällt das Hauptideal [p] in 1 Primideale lJu lJ2' ... , lJl' wo l eine der Zahlen 1, 2, ... , n ist; jedes dieser Primideale hat p als kleinste rationale ganze positive Zahl, und die Summe ihrer Grade Ä1 , A2 , •.• , AI ist gleich n. Die tieferen Entwicklungen, die sich an die Zerlegung (2) des Hauptideals [P] anschließen, gehören zu den schwierigsten und interessantesten Teilen der Dedekindschen Idealtheorie. 1) Ein ziemlich leicht beweisbarer Satz, den wir nicht entbehren können, ist der folgende: Geht p nicht in der Grundzahl D des Körpers ~ a~tf, so sind die Primideale lJv lJ2' ... , Vp in welche [p] zerfällt, aUe voneinander verschieden. 1) Vgl. Dedekind, "Über die Diskriminanten endlicher Körper", Göttinger Abhandl., Bd. 19 (1882).

109

Sätze über ra.tiona.le Primzahlen und Primi deale

Dem Beweise dieses Satzes schicken wir zwei Hilfssätze voraus: Sind ß1' ß2' ... , ßn Zahlen aus e, und ist:

(4)

IX

=

b1ß1

+ b2ß2 + ... + b"ßn,

wo die b rationale Zahlen mit dem Hauptnenner h sind, eine "ganze" Zahl, so ist die Diskriminante D(ßl1 ß2' ... , ß,,) der ß durch das Quadrat h 2 des Hauptnenners h teilbar. Sind die ß linear-abhängig, so ist ihre Diskriminante 0, und dann ist der Satz richtig. Sind die ß linear-unabhängig, so mögen sie in einer Basis 1J11 1J2' .•• , 1J" die Darstellungen besitzen:

ßi= ei1 fJ1

+ ei2 1J2 + ... + e

i

ön 1Jn'

=

1,2, ... , n.

°

Die Determinante d = I eik I der n ganzen Zahlen eik ist jetzt von ver· schieden, und die 1J1' 1J2' ••• , 1Jn sowie damit jede Zahl1J von e stellen sich durch die ß je auf eine und nur eine Art in der Gestalt dar: 2

(5)

1J

=

C1ß1

+ C2ß2 + ... + c"ßn'

wo die rationalen C, insoweit sie Brüche sind, einen ß ) = d2 • D Hauptnenner haben. Da: D (ß ß l'

2"·"

lD

d aufgehenden

n

ist, wo rechts die Grundzahl D von ~, also eine rationale ganze Zahl steht, so ist D(ß1' ß2' ... , ß,,) durch d 2 teilbar. Nun ist das in (4) dargsstellte IX fine Zahl aus e; der Hauptnenner h der bl1 b2, .•. , bn geht also in d und das Quadrat h 2 demnach in d 2 und damit in der Diskriminante D(ß1' ß2' ... , ß,,) auf. Damit ist der erste Hilfssatz bewiesen. Zwei ganze algebraische Zahlen (mögen sie in ~ enthalten sein oder nicht) sollen modp kongruent heißen, falls ihre durch die rationale Primzahl p geteilte Differenz eine ganze algebraische Zahl liefert. Da die Binomialkoef(l~'1) durch p teilbar sind, so gilt für irgendzwei fizienten ganze algebraische Zahlen a, IX':

m, ({), ... ,

(a

+ IX"

-

IXV

+ lX'v

(modp),

woraus man leicht für irgendeine A.nzahl ganzer Zahlen IX, a', ... , lX(v-l) folgert:

(6)

(IX

+ IX' + ... + a(V-l»1' == 1X1' + lX'p + ... + (a("-I»1'

(modp).

Ist IX eine Zahl aus e, und sind IX, IX', ' .. , IX(" -1) die mit a konjugierten Zahlen, so folgt aus (6) für die Spur S(a) = IX + IX' +"., + a(n-1): . (S(IX»1' -IXP+ a'P+ ...

+ (a(n-1»p= S(a1')

(modp).

Nach dem Fermatschen Satze gilt aber für die ganze rationale Zahl S(a) die Kongruenz (S(a»p . S(IX) (modp). Wir finden demnach als für jede Zahl a aus e gültig: (7) S(IX) = S(lXp) (modp). Sind«l' «2' ' .. , a"irgend n Zahlen aus e, so können wir ihre Dis-

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 110 kriminante D(a u a2 , ••• , a,.) nach der Regel (10) S. 85 durch die Spuren der Produkte der a zu zweien darstellen. Bilden wir entsprechend die Diskriminante D(a{, a~, ... , af,), so folgt aus der Kongruenz (7) als zweiter Hilfssatz: Für irgend n Zahlen a)) ('(2' . . • , an aus e gilt, unter p eine rationale Primzahl verstanden, die Kongruenz:

D(al) a2 ,

(8)

••.,

a,.) = D(aIJ.,

a~,

...,

(modp).

a~)

Zum Beweise des Satzes über die Primi deale. 131' l:J 2, •.•, 131 von [p] nehmen wir an, [p] sei durch mindestens ein Primidealquadrat l:J2 teilbar, und haben dann zu zeigen, daß p in der Grundzahl D des Körpers st aufgeht. Wir schreiben [p] = a . lJ2 und haben in a . lJ ein nicht durch [p] teilbares Ideal. Folglich gibt es in a . lJ eine nicht durch p teilbare Zahl '1). Da aber (a . lJ)2 = a . [p] durch [P] teilbar ist, so ist '1)2 und also auch 'l)P durch p teilbar. Ist die Darstellung von 'I) in der Basis von e: 'I) =

el'l)l

+ e2 112 + ... + e,.'I),.,

so sind die e rationale ganze Zahlen, die nicht alle durch p teilbar sind. Durch Erheben zur pten Potenz folgt mit Rücksicht auf (6) und den Fermatschen Satz ef - ek (mod p): 'l)P

Da

'l)P

=

e l 'I){

+ e2 'I)~ + . . . + e,. 'I)~

(modp).

durch p teilbar ist, so gilt:

el 'I){ so daß wir in:

+ c2 'I)~ + .. "+ Cu '1);' -

0

e, p+e2~+ a=-1'l ... P '/1 P 2

(modp),

+e.",P "'n

--'>lV

eine "ganze" Zahl gewonnen haben, während rechts mindestens ein Bruch des Nenners p als Koeffizient auftritt. Nach dem ersten Hilfssatze ist also D('I){, ~, ..., '1);.) durch p2 teilbar, worauf die Kongruenz (8) lehrt, daß D (fJl' '1)2' ..., '1),,), d. h. die Grundzahl D des Körpers st durch p teilbar ist. Hierm it ist bewiesen, daß in der Zerlegung (2) von [p] lauter verschiedene Primideale auftreten, falls die rationale Primzahl p nicht in der Grundzahl D von Sl' aufgeht. Übel" die Zerlegung der in D aufgehenden rationalen Primzahlen, der sogenannten "kritischen" Primzahlen des Körpers Sl', sei auf die S. 108 genannte Arbeit von Dedckind verwiesen.

§ 15. Sätze über Galoissche Zahlkörper. Unter Sl' verstehen wir den bisher betrachteten Körper n ten Grades und unter Sl" einen seiner konjugierten Körper. Einer ganzen Zahl 'I) aus st entspricht als konjugiert wieder eine ganze Zahl '1)' aus st', so daß dem "Ideale" e von st das Ideal e' von st' zugeordnet ist. Allgemeiner ent-

111 spricht einem Ideale a von St stets wieder ein Ideal a' von St'. Sind nämlich a 1 und a2 zwei Zahlen aus a, die die gleichfalls in a enthaltene Summe a1 + a2 = a3 liefern, so besteht nach S. 71ft'. auch zwischen den konjugierten Zahlen die Gleichung a~ + a~ = a;, und ebenso überträgt sich die Gleichung r;. a1 = a4 auf die für a' gültige Gleichung r/ . a~ = a~ zwischen den konjugierten Zahlen. Sind die Zahlen eines Ideals {) in a enthalten, so sind auch die Zahlen des zu {) konjugierten Ideals 6' in a' enthalten. Man folgert hieraus leicht, daß sich die Ideale von sr in bezug auf 'reilbarkeit genau so verhalten, wie die ihnen konjugierten Ideale von ~. Insbesondere entspricht einem Primideale l.J von St stets wieder ein Zwei nach einem Ideale kongruente ganze Zahlen Primideal lJ' von des einen Körpers liefern als konjugiert zwei Zahlen, die bezüglich des konjugierten Ideals kongruent sind, so daß sich die Klasseneinteilung aller Zahlen von e bezüglich eines Ideals a auf eine Klasseneinteilung aller Zahlen von e' mod a' überträgt. Hieraus folgt der Satz: Konjugierte Ideale a und a' der beiden Körper St und St' haben stets gleiche Normen, d. k. es gilt N(a) = N(a'). Es sei jetzt St insbesondere ein "Galoisscher Körper", der mit seinen B~imtlichen konjugierten Körpern gleich ist. Nach S. 44ft'.. gestattet der Galoissche Körper ~ vom n ten Grade n Transformationen 80' 8 1, ... ,8"_1 in sich, die eine Gruppp- G" bilden, und bei denen je n konjugierte Zahlen untereinander permutiert werden. Jetzt sind die mit einem einzelnen Ideale a konjugierten Ideale a, a', a", ..., a(n-l) alle in St enthalten. Eine erste Folgerung knüpfen wir an die nun vorliegende Möglichkeit, diese n Ideale nach S. 93 miteinander zu multiplizieren. Hierbei ergibt sich der Satz: In einem Galoisscken Körper sr liefert die gemeinsame Norm N(u) von n konjugierten Idealen a, a', ..., a("-l) ein Hauptideal [N(a)], das Kritische Primzahlen. Galoissche Körper

sr.

gleich dem Prodttkte der 12 konjugierten Ideale ist: (1) a· a'· a"··· a(n-l)= [N(a)J

Dieser Satz ist für Hauptideale a = Ca], a' = [a'J, ..., a(n-1) = [a(n-1lJ einleuchtend; denn nach der Erklärung der Multiplikation der Ideale ist: Ca] . Ca'] ... [a(n-1)J = [a· a'· .. a(u-l)] = [N(a)]. Für ein beliebiges Ideal a gilt nach S. 107 die Gleichung ah = [a], wo h die Anzahl der Idealklassen ist und a eine Zahl aus e bedeutet. Da die Gleichung (1) für Hauptideale schon bewiesen ist, so folgt: (a. a'··· a(n-l»h= ah. a'k ... (a(n-l»h= [N(a h)]

=

[N(a)h]

=

[N(a)]h.

Sind aber die kten Potenzen zweier Ideale gleich, so sind diese selbst gleich, wie aus der eindeutigen Zerlegung der Ideale in Primideale folgt. Also gilt die Gleichung (1) allgemein. Die n konjugierten Ideale a, a', ..., a(n -1) brauchen keineswegs alle

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 112 voneinander verschieden zu sein. Sind im ganzen !' unter jenen Idealen mit a gleich, so gibt es !' unter den n Transformationen So, S11 ..., S"_1 der Gn , die a in sich überführen. Diese Transformationen bilden für sich eine Untergruppe G" der G n von der Ordnung !" die wir als die "zum

Ideal a gehörige Untergruppe" bezeichnen. Den v

=

~ Nebengruppen IL

entsprechend bilden dann die a, a', ..., a(n - 1) im ganzen v verschiedene Systeme von je !' einander gleichen Idealen. Sind alle n Ideale a, a', .. _, a(n-1) verschieden, so gilt!' = 1; ist a = [a] ein Hauptideal mit rationaler ganzer Zahl a, so gilt "" = n. Die in (:J) S. 108 angesetzte' Zerlegung eines Hauptideals [p] mit rationaler Primzahl p läßt sich in einem Galoisschen Körper in folgender Art weiter entwickeln: Ist V1 ein in [p] aufgehendes Primideal lten Grades, so war N(Vl) = p", und l war eine der Zahlen 1, 2, ..., 'il. Zu VI gehört eine Untergruppe GI' der Gn vom Index v

= ..~.

Wir haben dann v

verschiedene mit Vl konjugierte Primideale Vl' V2' .•., p.,., und der Satz (1) ergibt die Gleichung: (2) (V1' V2 ... vp)i< = [p]'. Ist demnach N die höchste in [P] aufgehende Potenz von Vl' so ist" l = f./, und also "lv = n. Zugleich ergibt sich: Das Hauptideal [P] mit einer rationalen Primzahl p zerfällt im Galoisschen KÖ1-per ~ in das Produkt:

[p]

(3)

von

11

=

V~

. V~ . . . V~

konjugierten Primidealpotenzen gleicher Exponenten

u.

Dabei ist die

Anzahl v ein Teiler von n, der Exponent u ein Teilet' von n ; es ist ferner v

l

=

-~der gemeinsame Grad der Primideale Pli V2' ..., V,., und endlich xv

ist!' = ul die Ordnung der {&Um einzelnen Primideale gehörenden Gruppe. Dies gilt, mag p eine kritische Primzahl des Körpers sein oder nicht . Für nichtkritische Primzahlen p ist nach S. 108ff. stets u = 1. Hier also gilt der Satz: Ist die rationale Primzahl p kein Teiler der Grundzahl D des Körpers, so zerfällt [pJ in das Produkt von v verschiedenen Primidealen;'

(4) des Grades !'

=

n

-,

v

der mit der Ordnung dm' zum einzel1len Primideale

gehörenden Gruppe Glt gleich 1·st.

§ 16. Beispiel der quadratischen Körper. Ein Körper zweiten Grades oder quadratischer Körper ~ wird nach S. 83 durch eine Gleichung zweiten Grades mit rationalen ganzen Koeffizienten aoz2 + a l z + a2 = 0 bestimmt, die im rationalen Körper irredu-

Primideale in Ga.loisschen Körpern. Qua.dratische Körper

113

zibel ist, d. h. deren Diskriminante (ai - 4aoall ) nicht das Quadrat einer rationalen ganzen Zahl ist. Sondern wir das größte in dieser Diskriminante als Teiler enthaltene Quadrat einer rationalen ganzen Zahl ab, 50 bleibe die rationale ganze Zahl d übrig, die dann dnrch kein Quadrat (außer 1) teil~ar ist. Der Körper ~ setzt sich zusammen ans allen Zahlen:

~

(1)

=

Co

+ Cl -Va,

unter Co und Cl irgendwelche rationale Zahlen verstanden. Da mit ~ stets in ~ enthalten ist, so ist jeder anch die konjugierte Zahl ~'= Co - Cl quadratische Körper ein Galoisscher Körper. Es ist znnächst festzustellen, welche unter den Zahlen (1) ganz sind.

-va

Ist ~ = Co + Cl -Va und also auch ~'= Co - Cl -Va ganz, so gilt dasselbe von ~ + ~' = 2co und (~- ~? = (2 Cl )2d. Es sind also 2co = eo und, da d durch kein Quadrat teilbar ist, auch 2 Cl = el rationale ganze Zahlen, so daß die ganzen Zahlen von ~ jedenfalls in der Gestalt:

~ = ~o +;' Va

(2)

mit rationalen ganzen e enthalten sind. Da die Zahl (2) der Gleichung ~2 -

eo~

e2 _ de 2

+ -°-4,__ 1 =

0

genügt, so ist dafür, daß sie ganzzahlig ist, die Bedingung:

(3) e~ = de~ (mod 4) hinreichend und notwendig. Nun ist d modulo 4 mit einer der Zahlen 1, 2, 3 kongruent. Für d = 2 oder 3 (mod 4) folgt eo = el = 0 (mod 2) aus (3), womit diese Kongruenz erfüllt ist; für d = 1 (mod 4) ist bereits ,das Bestehen der Kongruenz eo_ Cl (mod 2) hinreichend. Indem wir im letzten Falle der Zahl (2) die Gestalt verleihen: ". =

"

finden wir für d

=

eo 2

e,

1 (mod 4) in 1,

+e

1

1

+t~

1 +2 yd

2

'

eine Basis für das System e

aller ganzen Zahlen von st, für d - 2 oder 3 (mod 4) aber in 1, -Va: Die Grundzahl D von ~ ist entsprechend gleich d bzw. 4d. Für die Basis können wir in den heiden eben unterschiedenen Fällen einen gemeinsamen Ausdruck in der Grundzahl D finden. Setzen wir:

(4) so gilt der Satz: Die Grundzahl des quadratischen Körpers ~ ist D = d, falls d = 1 (mod 4) ist, und D = 4d, falls d = 2 oder 3 (mod 4) gilt; ,eine Basis für das System' e der ganzen Zahlen von ~ ist in allen Fällen durch 1, (J gegeben, unter (J die ganze Zahl (4) verstanden. F ricke, Die elliptischen Funktionen 11

8

114


Ist p eine rationale Primzahl, so ist das Hauptideal [PJ im Körper entweder ein Primideal zweiten Grades oder das Produkt zweier Primideale ersten Grades, die konjugiert sind und nur dann einander gleich sein können, wenn p in D aufgeht. Wir nehmen den Fall [p] = P . ):J' an, ohne die Möglichkeit p = p' auszuschließen. Da p ein P~·imideal ersten Grades ist, so gilt N(p) = p, so daß es mod p im ganzen p inkongruente Zahlklassen in e gibt. Als Repräsentanten dieser p Klassen können wir die Zahlen 0, 1, 2, ..., p - 1 wählen, da p die kleinste rationale ganze positive Zahl in p ist und also die Zahlen 0, 1, ..., p - 1 mod p durchweg in kongruent sind. Die in (4) erklärte ganze Zahl () gehöre in die durch die rationale ganze Zahl b repräsentierte Klasse mod V, so daß () - b (mod V) gilt. Setzen wir zur Abkürzung () - b = 1] und D - 2b = a, so gilt: ~

°

"1

a

=

+/"15 - 0

(mod V).

Die zu "1 konjugierte Zahl "1' ist demnach im konjugierten Ideale V' enthalten:

,

1,

vn _ °

a=-2~ =

(mod V'),

und also gehört das Produkt "1 . r/ dem Hauptideale V . V' = [P] an:

(5)

,

"1 . "1

=

a'-D

----T-- -

°

(modp),

D

=

a2

(mod 4p).

Die letzte Kongruenz liefert den Satz: 1st das Hattptideal [p] mit t'ationaler Primzahl p in das Produkt V . V' zweier Primideale ersten Grades spaltbar, so ist die Grundzahl D des Körpers quadratischer Rest von 4p. Dieser Satz ist umkehrbar. Ist nämlich D quadratischer Rest von 4p, so gibt es eine die zweite Kongruenz (5) befriedigende rationale ganze Zahl a. Da diese Zahl a auch a D (mod 2) befriedigt, so sind:

=

( 6)-

~j:~ 2

a =t= n

+ ()

2-

zwei ganze Zahlen, deren Produkt zu folge (5) durch p teilbar ist. Da aber keine dieser beiden Zahlen einzeln durch p teilbar ist!), so kann [pJ kein Primideal sein. Es besteht also der Satz: Ist D quadratischer Rest von 41), so zerfällt das Hauptideal [pJ in das Produkt zweier Primideale V, V' ersten Grades. Wir haben endlich noch festzustellen, ob im Falle einer in D aufgehenden rationalen Primzahl p etwa V' =.p zutrifft. Die Grundzahl D ist zufolge ihrer Erklärung aus d entweder 0 oder = 1 (mod 4). Ist p eine ungerade Primzahl, so kann die zweite Kongruenz (5) durch a =

=

°

1) Aus dem Umstande, daß 1, (J eine Basis von e ist, folgt leicht, daß die e, (J) vone durch p teilbareeo ' e1 haben. durch p teilbaren Zahlen (e.

+

Zerlegung der rationalen Primzahlen im quadratischen Körper

115

oder a = p befriedigt werden, je nachdem D 0 oder = 1 (mod 4) ist. Ist aber p = 2 und also D (als durch p teilbar) = 0 (mod 4), so genügt der zweiten Kongruenz (5) die Zahl a = 0 oder a = 2, je nachdem D - 0 oder 4 (mod 8) gilt. Geht p in der Grundzahl D auf, so ist D quadrar tischer Rest von 4p, und die zweite Kongr~lenz (5) wird mittelst einer durch p teilbaren Zahl a befriedigt. Wir zerlegen nun [p J in das Produkt fl . fl' der beiden Primideale fl und fl' und beachten, daß das Produkt der beiden

=

ganzen Zahlen lJ,

+tD durch

r/ = a

p teilbar ist. Es geht also fl' fl' in

[1)] . [1)'] auf, so daß fl in einem der Faktoren [1)J, [1]'], etwa in [1)J, aufgeht. Dann aber geht fl' in [1)'J auf, d. h. r/ ist in p' enthalten. Da auch a (als durch p teilbar) in fl' enthalten ist, so findet sich in V' auch 1) = a - 1)', so daß 1) in fl und in .p' enthalten ist. Wären nun V und fl' verschieden, so würde [1)J, als durch .p und lJ' teilbar, auch durch lJ . lJ' = [1)J teilbar sein, d. h. Yj hätte den Teiler p, was indessen nicht der Fall ist. 1) Also sind .p und p' einander gleich. Unter Zusammenfassung der Ergebnisse haben wir folgenden Satz: 1st p eine rationale Primzahl, so ist das Hauptideal [p] das Q~~adrat eines Primidea,ls ersten Grades, falls 1'. in D aufgeht; dagegen ist [p J für eine nicht-kritische rationale Primzahl p das Produkt zweier verschiedener konjugierter Primideale ersten Grades oder ein Primideal zweiten Grades, je nachdem die Grundzahl D quadratischer Rest oder Nichtrestvon 4p ist. Auf Grund dieses Satzes bestätigen sich die Angaben von S. 98ff. über die Primidealzerlegung von [3J und [7J in dem damalR betrachteten quadratischen Körper .~ der Grundzahl D = - 20.

§ 17. Gegen ein Ideal

Il

teilerfremde Zahlklassen.

Der soeben für quadratische Körper ausgesprochene Satz ist bei einer Untersuchung zu verwenden, die sich zunächst auf einen beliebigen Körper ~ vom n ten Grade bezieht. Von einer ganzen Zahl 1) dieses Körpers sagt man, sie habe mit einem Ideal a desselben den größten gemeinsamen Teiler b, wenn [tj] und a das Ideal b als größten gemeinsamen Teiler haben. Ist b = e, so heißt 1) zu a teilerfremd. Gilt 1)' 1) (mod a), so haben auch 1)' und a den größten gemeinsamen Teiler b. Da nämlich tj sowie alle Zahlen von a in b enthalten sind, und da andrerseits (r;' - 1)) dem Ideal a und also auch b angehört, so ist auch tj' = f) + (1)' - '()) in b enthalten, so daß b ein Teiler von [1)'] ist. Nennen wir nun b' den größten gemeinsamen Teiler von '1]' und a, so ist b Teiler von b'. Kehren wir diese Betrachtung um, i.ndem wir an 1)' und b' statt an 1) und b anknüpfen, so findet sich in derselben Weise, daß b' Teiler von b ist. Also 1) S. die vorige Note. 8"

Einleitung, Teil IV: Idealtheorie 116 ist b' = b: Alle Zahlen der einzelnen der N(a) mod a inkongruenten Zahl-

klassen von

e haben mit a einen und denselben größten gemeinsamen Teiler.

Es soll nun festgestellt werden, wie viele unter den N(a) mod a inkongruenten Zahlklassen teilerfremd gegen a sind. Die Anzahl dieser Klassen bezeichnen wir durch das Symbol 'I/I(a) im Anschluß an das bekannte Symbol rp (m) der rationalen Zahlentheorie, das für eine rationale ganze positive Zahl m die Anzahl der mod m inkougruenten und zu m teilerfremden Zahlklassen darstellt. Das Symbol t{J(a) hat die folgende Eigenschaft: Sind a und 0 teilerfremde Ideale, so gilt 'I/I(a· 0) = 'I/I(a). '1/1(0). Da nämlich der größte gemeinsame Teiler von a und 0 gleich e ist, so gibt es (vgl. S. 96) eine Zahl IX in a und eine Zahl ß in 0, deren Summe IX + ß = 1 ist. Hieraus folgt IX _1 (mod 0) und ß = 1 (mod a); die in a enthaltene Zahl IX ist also teilerfremd gegen 0, uud die in 0 enthaltene Zahl ß ist teilerfremd gegen a. Es mögen nun die Zahlen r 1 , r 2 , ••• ein Repräsentantensystem der Nea) mod a inkongruenten Klassen bilden und die S11 S2' •.. ein solches für die N(o) mod li inkongruenten Klassen. Wir haben dann in: (1)

ein System von N(a) . N(o) = N(a . 0) Zahlen, das ein Repräsentantensystem der N(a· 0) mod a·o inkongruenten Klassen bildet. Es ist nämlich leicht zu zeigen, daß keine zwei verschiedenen Zahlen (1) mod a· 0 kongruent sind. Soll aber:

(2) gelten, so folgt, da

r' ß IX

+ s' IX = rß + SIX

(mod a· 0)

0 (mod a) ist:

(r' - r)ß

=

0

(mod a).

er' -

Da nun ß teilerfremd gegen a ist, so ist rJ teilbar durch a, woraus r' = r (mod a) und also r' = r folgt. In derselben Weise folgt s' = s, so daß die Behauptung über die Zahlen (1) zutrifft. Soll jetzt die Zahl (1) teilerfremd zu a· 0 sein, so ist hierzu. notwendig und hinreichend, daß r i teilerfremd zu a und Sk teilerfremd zu 0 ist. Da nämlich IX - 0 (mod a) gilt und ß teilerfremd zu a ist, so ist der größte gemeinsame Teiler von riß und also von tik und dem Ideale a derjenige von ri und a. Wir erhalten also alle gegen a· 0 teilerfremden Repräsentanten (1), wenn wir r i auf die 'I/I(a) gegen a teilerfremden Repräsentanten rund Sk auf die '1/1 (0) gegen 0 teilerfremden Repräsentanten s beschränken. Damit ist die Regel 'I/I(a. li) = 'I/I(a) . '1/1(0) bewiesen. Die Primidealzerlegung von a Bei (unter Zusammenfassung gleicher Faktoren zu Potenzen): (3) a = ~~' . ~;2 . ~;.....

117

Anzahl der gegen a teilerfremden Zahlklassen mod a

Aus der eben bewiesenen Regel folgt dann:

1/I(N')' 1/I(p;2) . 1/1 (V;·) .. " so daß nur noch die Anzahl 1/1 (flv) für eine Primidealpotenz flv zu bestimmen ist. Zu diesem Zwecke zerlegen wir e in die N(fl) mod.)J inkon-

(4)

1/J(a)

=

gruenten Klassen, die wir durch die Zahlen Ql' Q2' ... repräsentieren. Wir zerlegen sodann erneut alle durch.)J teilbaren Zahlen 1), die eine der eben abgetrennten Klassen bilden, bezüglich des Moduls .)J" in Klassen, deren Anzahl wir durch das Symbol (fl,1J) bezeichnen, und die wir durch 11 02' ... repräsentieren. Bildet man nun die (.)J, v). N (fl) Summen (Qi + 0k), so zeigt sich, daß keine zwei verschiedene von diesen Summen mod.)J" kongruent sind, daß aber jede Zahl 1] aus e mit einer der Summen mod.)Jv kongruent ist, woraus sieh die Regel ergibt:

°

(5)

N(.)JV)

+ 0' = Q + 0

=

(.)J, v) . N(.)J).

=

(mod flv) folgt nämlich Q' Q (mod p) und damit pv). Diese letzte Kongruenz ergibt dann sofort auch 0' = 6. Andrerseits ist irgendeine ganze Zahl 1] mod p mit einem bestimmten Q kongruent, und weiter ist die durch .)J teilbare Zahl (1] - Q) mod .)J" mit einem bestimmten 6 kongruent, woraus 1] = Q + 0 (mod .)J") folgt. Damit ist die Regel (5) sichergestellt. Da nun N(P") = (N(V)" ist, so folgt (.)J, v) = (N(V)V-l. Alle N(.p") mod V" inkongruenten Klassen setzen sich nun aus den 1/J(Vv) gegen V" teilerfremden und den (V, v) Klassen der durch V teilbaren Zahlen zusammen. Also ist: Aus (/ =

Q'

Q sowie 0' = 6 (mod

+ (.)J, v) =

N(VV)

=

1/1 (V")

1/I(.)JV)

=

N(.)J") - N(.)JV-l)

1/I(.)JV) =

+ N(VV-1),

N(.)Jv)

(1 -

N~~))'

Bei Rückgang auf die Gleichung (4) ergibt sich damit der Satz: Die Anzahl 1/1 (a) der mod a inkongntenten ~tnd gegen 0 teilerfremden Zahlklassen von e ist gegeben durch:

(6)

1/1(0) = N(o)LI (1

- N~~i))'

wo sich das Produkt auf alle unterschiedenen in 0 aufgehenden Primideale bezieht. Die Formel (6) soll jetzt für einen quadratischen Körper und ein enthaltenes Hauptideal 0 = [a] mit rationaler ganzer positiver Zahl in a spezialisiert werden. Die rationalen Primfaktoren von a, die etwa kritische Primzahlen des Körpers ~ sind und also in der Grundzahl D des

sr

sr

1) Erl darf als selbstverständlich gelten, daß eine Zahl 71 durch ein Ideal teilbar heißt, wenn [71] durch dieses Ideal teilbar ist, d. h. also wenn 71 im Ideal enthalten ist.

118


Körpers aufgehen, sollen durch Po bezeichnet werden; die übrigen rationalen Pl'imfaktoren von a mögen Pl oder P2 heißen, je nachdem D quadratischer Rest oder Nichtrest von 4p ist. Zur Unterscheidung dieser drei Fälle bedient man sich einer Verallgemeinerung des Legendre-Jacobischen Zeichens. Man versteht für eine rationale Primzahl P unter dem Symbole (D,p) die Zahlen 0, + 1 oder - 1, je nachdem P eine Zahlpo Pt oder Ps ist: (7) (D, Po) = 0, (D, Pl) = + 1, (D, Ps) = - l.

sr

Nach S. 115 ist nun im quadratischen Körper das Hauptideal [Po] das Quadrat eines Primideals Po ersten Grades, während ein Hauptideal [Pl] das Produkt zweier verschiedenen konjugierten Primideale Pli P~ ersten Grades ist und ein Hauptideal [P2] selbst ein Primideal zweiten Grades darstellt. Für die Normen gelten also die Regeln: Da N([aJ)

=

a2 ist, so nimmt die Regel (6) hier die Gestalt an:

wo sich die Produkte auf die verschiedenen rationalen Primzahlen der einzelnen der drei Arten, die in a enthalten sind, beziehen. Die Gleichung (8) kann mitte1st des schon oben erwähnten Zeichens q; (a) aus der rationalen Zahlentheorie vereinfacht werden. Bekanntlich ist:

(9)

q;(a)

=

a

IT(l- -}),

wo sich das Produkt auf alle verschiedenen in a aufgehenden rationalen Primzahlen bezieht. Da wir die Gleichung (9) auch:

schreiben können, so kann die Gleichung (8) in die Gestalt: 1fJ([a])

=

q;(a). a·

n (1- ;J .fI(l + ;J

gesetzt werden. Ziehen wir also das in (7) erklärte Zeichen heran, so ergibt sich der Satz: 1st a eine rationale ganze positive Zahl, so sind von den N([a]) = a 2 mod [a] inkongrtte.nten Zahlklassen, in die das System e der zerfällt, im ganzen: ganzen Zahlen des quadratischen Körpers

sr

(10)

1fJ([a])

=

q;(a). a

II(l -

(P~P)).

Klassen gegen a teilerfremd, wo sich das Produkt auf alle verschiedenen, in a aufgehenden rationalen Primzahlen bezieht.

Formel für 1/>([a] im quadratischen Körper

119

§18. Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale. Es seien a und c irgend zwei Ideale des Körpers~. Alle in a und C zugleich enthaltenen Zablen, zu denen jedenfalls alle Zahlen des Ideals a . c gehören, bilden offen bar wieder ein Ideal m, das als das "kleinste ,gemeinschaftliche Vielfache" oder "Multiplum" von a und C bezeichnet wird. Die Benennung rechtfertigt sich dadurch, daß m als Teiler in jedem gemeinschaftlichen Vielfachen von a und c enthalten ist. Sind für a und c die Primidealzerlegungen bekannt, so kann man diejenige von m genau in derselben Art herstellen, wie man für zwei in ihre Primfaktoren zerlegte rationale ganze Zahlen a und c die Primfaktorenzerlegung ihres kleinsten gemeinsamen Multiplums m gewinnt. Der Begriff des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier Ideale a und C kommt beim Beweise des folgenden Satzes zur Geltung l ): L~t ein Ideal a durch keines der endlich vielen Ideale Cu e2 , . . ., c,. teilbar, so ist in a eine Zahl a nachweisbar, die in keinem der '/J Ideale centhalten ist. i ) Ist v = 1, so ist der Satz richtig, da C ein Teiler von a wäre, falls alle Zahlen von a in c enthalten wären. Der allgemeine Beweis des Satzes kann weiter durch vollständige Induktion geführt werden. Wir nehmen an, der Satz sei richtig, falls die Anzahl der Ideale C kleiner als v ist, und beweisen, daß er dann auch noch für die Anzahl l' gilt. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a und CI sei m; = a· wo ein bestimmtes von e verschiedenes Ideal ist. 3) Ist die Zahl a von a nicht in mj enthalten, so ist sie auch nicht in Ci enthalten, da ml aus allen a und Ci gemeinsamen Zahlen besteht. Es genügt demnach in a eine Zahl IX nachzuweisen, die in keinem der Ideale ml1 m2 , ••. , m. enthalten ist. Es mögen sich nun erstlich unter den Idealen v17 v2 , •••, ov zwei finden, die nicht teilerfremd sind. Wir stellen sie an den Schluß der Reihe und nennen 0:_1 den größten gemeinsamen der dann also von e verschieden sein wird. In Teiler von 0,._1 und ml = a . 01' ..., m._ 2 = a· 0._2' m:_ l = aO:_ 1 haben wir dann (1/ - 1) Ideale, von denen keines in a aufgeht. Der Annahme zufolge gibt es demnach in a eine Zahl a, die in keinem der Ideale m17 m2 , •••, m._ 2 , m:_ l enthalten ist. Da aber m:_ 1 sowohl m._ l als m. teilt, so ist IX auch nicht in m"_l und m,. enthalten, so daß in diesem Falle unser Satz bewiesen ist. Es braucht jetzt nur noch die Möglichkeit betrachtet zu werden, daß je zwei unter den v Idealen b1 , 02' ..., 0. teilerfremd sind. Dann ist

v"

v;

vv'

1) S. hierzu Dedekind in Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" (4. Aufl.), S. 558ff.

Falle

2) Ist a = [IX] ein Hauptideal, 80 ist der Satz einleuchtend, da in diesem IX der Voraussetzung nach in keinem der Ideale c enthalten ist. 3) Wäre I)i=e, 80 wäre a(=m;) durch Ci teilbar, entgegen der Voraussetzung.

120


unser Satz aber leicht direkt beweisbar. Ist nämlich b~ das Produkt der Ideale V, abgesehen von Vi' so ist b; nicht durch das von e verschiedene Ideal Vi teilbar, und also ist auch a· v; nicht teilbar durch a· Vi .Es gibt demnach in a . v~ eine Zahl Cin die nicht in a . Vi enthalten ist. Die 11 so zu erklärenden Zahlen a l , a2 , ••• , Ci. sind aber alle in a enthalten, und dasselbe gilt also von ihrer Summe: a

=

/Xl

+ a2 + ... + a•.

Für diese Zahl IX von a aber finden wir IX - IXi (mod a . Vi), da alle IXk mit k =F i zufolge der Erklärung von v~ in dem Ideale a· Vi enthalten sind. 1) Die Zahl IX, ist indessen nicht in a . Vi enthalten, und also gehört auch IX dem Ideale mi = a . Vi nicht an. Hiermit ist unser Satz vollst~in dig bewiesen. Aus dem aufgestellten Satze ziehen wir nun eine Folgerung, die später grundsätzliche Bedeutung erlangt. Zunächst ist folgender Satz zu so kann man nennen: Sind a und V irgend zwei Ideale des Körpers eine von 0 verschiedene Zahl a a~tS a so auswählen, daß die beiden Ideale a· V und [a] das Ideal a selbst als größten gemeinschaftlichen Teiler haben. Wir verstehen nämlich unter Cl' C2 , ..., C. alle endlich vielen Teiler von a . V, die zugleich a als Teiler enthalten, aber von a selbst verschieden sind. Dann geht keines der Ideale C in a auf, und wir können also aus a eine Zahl a wählen, die in keinem der Ideale C enthalten ist. Der größte gemeinschaftliche Teiler von a· V und [a] hat das Ideal a, das sowohl in a· V als in [a] aufgeht, zum Teiler und geht seinerseits in a· V auf. Dieser größte :gemeinschaftliche Teiler muß also entweder eines der Ideale c sein oder stellt das Ideal a vor. Hiervon bleibt aber nur die zweite Möglichkeit, da IX in keinem der Ideale C enthalten ist. Der ausgesprochene Satz ist also richtig. Durch Vermittlung dieses Satzes gelangen wir nun zu dem schon genannten, für später wichtigen Ergebnisse. Das Hauptideal [a] als durch a teilbar, kann als Produkt [a] = a . a' dargestellt werden. Aus der Tatsache, daß a . a' und a· V den größten gemeinschaftlichen Teiler ahaben, folgt, daß a' und V teilerfremd sind. Man kann also aus dem Ideale a ein Hauptideal stets durch Multiplikation mit einem solchen Ideale a' herstellen, das teilerfremd gegen ein beliebiges Ideal V ist. In der zur Idealklasse von a inversen Klasse gibt es demnach stets ein Ideal a', das teilerfremd zu V ist. Bei der freien Wahl der· Ideale a und V sind wir damit zu dem aufzustellenden Hauptsatze gelangt: In jeder Idealklasse des Körpers ~ gibt es Ideale, die zu einem beliebig vorgeschriebenen Ideale V des Körpers teilerfremd sind.

se,

1)

"k

ist in a.!JA: und also im Teiler a· !Ji von

11'

bk enthalten.

121

Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale

v.

Quadratische Körper und Formen negativer Diskriminante.l )

§ 1. Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper

~.

In einer nahen Beziehung zur Theorie der elliptischen Funktionen stehen die quadratischen Körper negativer Grundzahl oder Diskriminante 0. 2) Über diese Körper ~ sind demnach noch etwas weitergehende Unter-. suchungen anzustellen. Nach S. 113 ist die Diskriminante 0 = d oder = 4d, je nachdem die von quadratischen Teilern freie, rationale ganze negative Zahl d 1 (mod 4) ist oder einer der Zahlen 2, 3 mod 4 kongruent ist. Das System e der ganzen Zahlen von ~ stellen wir hinfort in der Basis 1, e dar, wo:

=

(1)

e=

__2

=-_~ + VD-

=

-

1

+ iviDl 2

oder

ist, je nachdem D = d oder = 4d gilt. Offenbar gilt der Satz: Die Diskriminante [I ist durch kein ungerades Quadrat teilbar; es ist entweder D - 1 oder = 0 (mod 4), und in letzterem Falle gilt genauer 0 _ 8 oder 12 (mod 16). Für eine Einheit c = eo + el e von ~ gilt, wenn c' und e' die zu c und e konjugierten Zahlen sind:

=

Durch Eintragung der Ausdrücke (1) von e und der entsprechenden Ausdrücke von e' zeigt man leicht den Satz: Der Körper der Diskriminante 0 = - 3 hat die sechs Einheiten c = ± 1, + Q, ± Q2, unter Q die

dritte Einheitswurzel Q =

-

1

t iy'S verstanden, derjenige der Diskriminante

0= - 4 hat die vier Einheiten c = beiden Einheiten c = ± 1.

± 1, ±

i, alle übrigen haben nur die

1) Den folgenden Entwicklungen liegt vornehmlich die Schrift Dedekinds ,;Uber die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers" (Braunschweig 1877) zugrunde. Die Theorie der quadratischen Formen im geometrischen Gewande und die Beziehungen dieser Theorie zu den elliptischen Funktionen behandelte Klein in seinen (autographierten) Vorlesungen "Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie I und II" (Göttin gen 1896 und 1897). 2) Wir bevorzugen fortan die Benennung "Diskriminante" für D, da diese in der Theorie der quadratischen Formen die übliche ist. Ubrigens werden die Diskriminanten D der Körper Sl' weiterhin durch Fettdruck hervorgehoben, damit wir die Bezeichnung D in anderem Sinne verwenden können.

122

Einleitung, Teil V:. Quadratische Körper und Formen

+

Wir sondern jetzt aus dem Systeme e aller ganzen Zahlen (eo el 0) von ~ das System c" aller Zahlen aus, bei denen et durch eine vorgeschriebene rationale ganze positive Zahl n teilbar ist. Dieses Zahlsystem e", bestehend aus allen in der Gestalt (e o + el n 0) wieder mit rationalen ganzen e darstellbaren Zahlen von ~, bezeichnen wir als einen "Zweig" von e und nennen n den "Grad" des Zweiges, sprechen auch kurz vom "n ten Zweige" e71 des Systems e. Es gilt der Satz: Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Zahlen des Zweiges c liefern stets wieder Zahlen dieses Zweiges. l ) Für n = 1 erhalten wir als "ersten Zweig" das System c selbst; dieses System, dem alle übrigen Zweige angehören, soll demnach auch als "Stamm" bezeichnet werden. Die negative Zahl D = n 2 D heiße die "Zu:eigdiskriminante", 0 selbst wird demgegenüber "Stammdiskriminante" genannt. 2) Ordnen wir die Stamm diskriminanten den Zweigdiskriminanten (nämlich für n = 1) unter, so läßt sich jede rationale ganze negative Zahl D, die = 1 oder 0 (mod 4) ist, als eine Zweigdiskriminante auffassen. Ist nämlich erstens D = 1 (mod 4), so verstehe man unter n 2 das größte in D aufgehende (ungerade) Quadrat und setze D = n 2 D = n 2 d. Dann ist d eine von quadratischen 1 (mod 4) ist. Gilt aber D 0 (mod 4), so sei Teilern freie Zahl, die n~ das größte in D aufgehende ungerade Quadrat und 4 v die größte in D aufgehende Potenz von 4. Dann ist 4- n ö 2 • D ganzzahlig und = 1, 2 oder 3 (mod 4). Im ersten Falle setzen wir: 1l

=

=

V •

wo auch d _ 1 (mod 4) und von quadratischen Teilern frei ist. Im zweiten und dritten Falle schreiben wir:

wo d wieder quadratfrei und

=

2 oder -- 3 (mod 4) ist.

Eine "Basis" für c" haben wir in den Zahlen 1) n0, insofern en gerade von allen Zahlen (eo + el · n0) mit irgendwelchen ganzzahligen e gebildet wird. Besseren Anschluß an die oben für e gebrauchte Basis gewinnen wir, wenn wir statt n0 die auf folgende Art zu erklärende Zahl (J heranziehen: 1) Dedekind bezeichnet ein Zahlsystem dieser Art als eine "Ordnung" und nennt n den "Führer" der Ordnung; Hilbert bedient sich der Bezeichnnng "Ring" oder "Zahlring". 2) Der Name "Stammdiskriminante" ist von Web er eingeführt, der Bezeichnung "Zweigdiskriminante" bedient sich Klein in seinen oben genannten Vorlesungen.

(I)

=

(2)

n0

=

~

für D

()=;+n0=Vf () =

123

Zweige des Systems e und Zweigdiskriminanten

n -2 1

+ n° = 'CI

-

= 0, 0 = 0

fürD=0,D-1

t VD

1 2

(mod4).

f"ur D =1 ,0= 1 ,

Wir haben dann in allen Fällen (auch unter Einschluß von n = 1) den Satz: Eine Basis von en wird durch die Zahlen 1, () geliefert, wo:

(3)

VD

·v]151

()=--=~---

2

2

ist, je nachdem D 1 oder = 0 (mod 4) gilt. Die folgenden Entwicklungen beziehen sich auf Ideale ll, die teilerfremd gegen das zum Grade n des Zweiges c" gehörende Hauptideal [n] sind. Alle Zahlen, die zugleich in II und cn enthalten sind, bilden ein durch lln zu bezeichnendes System, das wir als den "n te" Zweig des Ideals ll" bezeichnen. Dieser Zweig lln enthält jedenfalls unendlich viele Zahlen, z. B. alle Zahlen des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von II und [n]. Zwei Zahlen des n ten Zweiges lln geben, addiert oder subtrahiert, stets wieder Zahlen von lln; denn die Summe und die Differenz sind wieder sowohl in ci als in cn enthalten. Ferner ist das Produkt einer beliebigen Zahl aus e" und einer solchen aus lln stets wieder in lln enthalten, da dieses Produkt eben auch wieder in II und e" zugleich enthalten ist. Eine dritte Eigenschaft von lln folgt aus dem Umstande, daß II teilerfremd gegen [n ] ist. Der größte gemeinsame Teiler von II und [n] ist also e, so daß sich nach S. 96 jede Zahl von e als Summe einer Zahl cx: aus II und einer Zahl nr; aus [n] darstellen läßt. Ist insbesondere für irgendeine Zahl r;n aus e" diese Darstellung r;n = Cl + nr;, so gehört a = 1In - nr; offenbar dem Zweige c" und also auch dem Zweige lln des Ideals II an und mag demnach genauer durch IX" bezeichnet werden. Die Gleichung r;" = a" + nr; zeigt, daß jede Zahl des Zweiges c" als Summe einer Zahl aus lln und einer solchen aus [n] darstellbar ist, eine Tatsache, die wir kurz durch die Aussage kennzeichnen, lln sei "teilerfremd" zu [n]. Als "Produkt" e . lln von e und lln erklären wir das System aller Zahlen, die als Produkte einer Zahl von C und einer von ll" oder als Summen solcher Produkte darstellbar sind (vgl. die Erklärung des Produktes zweier Ideale S. 93). Dann gilt der Satz: Das Produkt c . lln von e und dem n len Zweige des gegen rn] teile1'fremden Ideals II stellt wieder dieses Ideal II selbst dar. Zunächst überzeuge man sich, daß das Produkt e· lln die drei Grundeigenschaften eines Ideals hat (S. 90). Alle Zahlen des Ideals e . lln sind in II enthalten, so daß II ein Teiler von e . lln ist . Da ferner lln teilerfremd gegen [nJ ist, so besitzt die Zahl 1, die in en ent-

124

Einleitung, Teil Y: Quadratische Körper und Formen

halten ist, eine Darstellung: (4) 1= Ist jetzt

IXn

+ 11,11·

eine beliebige Zahl aus 0, so folgt aus (4) die Gleichung Das erste Glied dieser Summe IX • IXn gehört dem Ideale e· 0" an. Die Zahl nl1IX ist in en sowie als Produkt (nl1)' IX in 0, also in an und damit auch in e . an enthalten. Demnach ist. auch die Summe IX der Zahlen IX' IX" und nl1 IX und also jede Zahl IX von im Ideal e· an enthalten. Somit ist e . an ein Teiler von o. Da hiernach jedes der Ideale und C • an ein Teiler des anderen ist, so gilt in der Tat e . an = o. Die Zweige an der zu [n] teilerfremden Ideale spielen im Zweige e" offenbar dieselbe Rolle wie die Ideale selbst im Stamme e. Wir bezeichnen die 0" dieserhalb auch kurz als "Zweigideale", genauer als "die zum Grade n gehörenden Zweigideale" und nennen ihnen gegenüber die selbst "Stammideale". Es ist sogar möglich, die Zweigideale unabhängig von den Stammidealen in folgender Art zu erklären: Ein System an von Zahlen des n len Zweiges cn soll ein "Zweigideal" heißen, wenn es folgende Eigenschaften besitzt: 1. Die Summen und die Differenzen zweier Zahlen von an sind wieder in an enthalten. 2. Das Produkt einer Zahl von cn ~tnd einer von an ist wieder in an enthalten. 3. Das System an ist gegen [11,] teilerfremd, d. h. jede Zahl von en ist als Summe einer Zahl aus an und einer solchen aus Ln] darstellbar. Die Eigenschaft 3. hat natürlich nur für 11, > 1 Bedeutung. Sie ersetzt zugleich die bei einem Stammideale geforderte Bedingung 3 (S.90), daß nicht aus der Zahl allein bestehen solle. Da nämlich für n > 1 das Hauptideal [n] den Zweig en nicht erschöpft, kommen sicher in an von verschiedene Zahlen vor. . Daß die n ten Zweige an der gegen [11,] teilerfremden Stammideale a die drei Eigenschaften 1. bis 3. besitzen, wurde bereits gezeigt. Daß diese n ten Zweige aber auch alle den Bedingungen 1. bis 3. genügenden Zweigideale erschöpfen, geht aus folgendem Satze hervor: Ist an ein der independenten Erklärung entsprechendes Zweigideal, so ist das wie oben zu erklärende Produkt e . an = ein gegen [n] teilerfremdes Stamm ideal, ~tnd an ist der nte Zweig von o. Zunächst ist wieder einleuchtend, daß das Zahlsystem e . u das sich zusammensetzt aus allen Produkten einer Zahl aus e und einer solchen aus an, sowie aus allen Summen solcher Produkte, ein Stammideal = e . an bildet. Zufolge der Eigenschaft 3. von an gibt es eine Darstellung (4) der Zahl 1, unter IX" eine Zahl des Zweigideals an verstanden. Ist 11' eine beliebige Zahl aus e, so folgt aus (4):

IX

=

IXlXn

IX

+ nl1IX.

°

°

°

°

°

°

°

°

7t ,

°

11' = r/ IXn + nrp,/,

°

Zweigideale und Stammideale

125

so daß jede Zahl 1)' als Summe einer in e . 0" = 0 enthaltenen Zahl r/ a" und einer Zahl n1)1)' des Hauptideals [n] darstellbar ist. Also ist das Stammideal 0 = e . on teilerfremd zu [n]. Ist endlich o~ der n te Zweig -von 0 = e· on' so haben wir noch die Gleichheit von o~ mit On zu zeigen. Da alle Zahlen von 0" zugleich in = e . OlL und e" enthalten sind, so gehören sie auch alle dem Zweige o~ von 0 an. Ist andrerseits a~ eine beliebige Zahl des Zweiges so gibt es wegen der Eigenschaft 3. des Zweigideals 0" eine Darstellung:

°

0:,

(5) wo IX" dem Zweigideal 0" angehört. Die Zahl n1) = a~ - an' als Differenz zweier in enthaltenen Zahlen, findet sich gleichfalls in 0, so daß das Ideal [n'l)] = [n] . ['I)] durch die bei den teilerfremden Ideale [n] und 0, also auch durch [n] . teilbar ist. Nun gewinnt man die Zahlen VOll [n] . = [n] . (e . 0,,), indem man die Zahlen von 0" mit denen von [n] . e = [n] multipliziert und alle Summen solcher Produkte hinzufügt. Alle so erhaltenen Zahlen sind, da die Zahlen von [n] in eIL enthalten sind, zu folge der Eigenschaften 2. und 1. des Zweigideales on in diesem enthalten. Dies gilt also auch von der Zahl n'l) selbst, und mit an und n'l) gehört zufolge (5) auch a~ dem Zweigideale 0" an. Alle Zahlen des Zweiges o~ sind demnach im Zweigideale On enthalten, so daß die Gleichbeit von o~ und on jetzt feststeht. Wir haben somit den Satz gewonnen: Die gegen [nJ teilerfremden Stammideale 0 sind den Zweigidealen on des n len Zweiges e" umkehrbar eindeutig zngeordnet, indem einerseits on der nie Zweig von ist und andrerseits Cl das Produkt e . on darstellt.

°

°

°

°

§ 2. Zahl strahlen im quadratischen Körper. Um die .Äquivalenz der Zweigideale behandeln zu können, ist eine längere Zwischenentwicklung einzuschalten. Zwei Zahlen 'I) und '1)' aus e sollen "teilerfremd" heißen, wenn die Hauptideale ['I)] und ['I)'J teilerfremd sind. Wir greifen nun erstens aus e alle Zahlen heraus, die teilerfremd gegen den Grad n unseres Zweiges cn sind. Den ausgewählten Zahlen fügen wir sodann noch alle diejenigen gebrochenen Zahlen von ~ hinzu, deren einzelne als Quotient zweier gegen n teilerfremden ganzen Zahlen von ~ darstellbar ist. Das so gebildete Zahlsystem hat die Eigenschaft, daß sowohl das Produkt wie auch der Quotient zweier seiner Zahlen stets wieder dem System angehört. Ein mit dieser Eigenschaft ausgestattetes Zahlsystem heißt ein "Zahlstrahli' oder kurz ein "Strahli
126

Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und Formen

Zweitens greifen wir aus dem n ten Zweige cn alle gegen n teilerfremden Zahlen heraus und fügen ihnen wieder alle gebrochenen Zahlen hinzu, die als Quotienten zweier herausgegriffener Zahlen darstellbar sind. Das so zu gewinnende in e; enthaltene Zahlsystem stellt wieder einen Strahl dar, der durch f(n) oder kurz durch f bezeichnet werden soll. Wenn nun auch die Strahlen e; und 1neben ganzen auch gebrochene Zahlen enthalten, so können wir diese Strahlen doch mod [n] oder, was auf dasselbe hinausläuft, mod n in "Zahlklassen" zerlegen, nämlich e; in 1jJ([n]) und 1in epen) Klassen, unter w([n]) und epen) die in (10) und (9) S. 118 erklärten Anzahlen verstanden. Wir führen dies zunächst im einfacheren Falle des Strahles 1aus; die Übertragung auf e; wird hernach leicht sein. Für die ganzen Zahlen (eo + elne) von f ist die Einteilung einleuchtend. Die Zahl (co el ne) ist mod n mit eo kongruent, und da eo teilerfremd gegen n ist, so haben wir für die ganzen Zahlen von f insgesamt epen) Klassen, die wir repräsentieren durch die epen) rationalen ganzen Zahlen r l = 1, r 2 , •••, r'P = n - 1 zwischen 0 und n, die teilerfremd zu

+

n sind. Eine gebrochene Zahl f-L von

1 habe

f-L

=

;

als eine erste Dar-

stellung als Quotient zweier ganzer Zahlen Cl, ß von f. Es sei Cl - Ti' ß = rk (mod n). Dann gibt es, da r k teilerfremd gegen n ist, einen und nur einen Repräsentanten rl> der die Kongruenz rk • r l - 1 (mod n) erfüllt und im Anschluß an diese Kongruenz auch durch r;l bezeichnet sein mag. Ist r i . r l = ri · ri; 1 - r m (mod n), so fügen wir die Zahl f-L der durch r m vertretenen Klas se bei, was durch: .(mod n)

(1)

zum Ausdruck komme. Zu zeigen ist noch, daß die Klasse, der f-L zuerteilt ist, von der besonderen Darstellung 11, zweite Darstellung von f-L sei f-L

=

;

unabhängig ist. Eine

=;;, und es gelte =r;, ß' =r~· (mod n), Cl'

so daß von dieser Darstellung aus die Zahl f-L in die Klasse von r;. r~-l gehören würde. Aus IX ß' = Cl' ß folgt dann rir~ = r; rk (mod n), und also ergibt sich weiter durch Multiplikation mit r;: 1 . r~-l die Kongruenz rir;:l = r~r~-l (mod n). Durch unsere Maßregel ist also auch Jede gebrochene Zahl von 1einer und nur einer unter den fJ! (n) Zahlklassen zuerteiZt. Es besteht der Satz: Zwei Kongruenzen f-L - r, f-L' r' (mod n) für Zahlen /L, f-L' aus f können miteinander multipliziert oder dUl'cheinander dividiert werden, ohne ein Hnrichtiges Ergebnis zu liefern. Die Division durch r läuft dabei natürlich auf die Multiplikation mit r- l hinaus. Der Satz ist zunäcbst einleuchtend für die Multiplikation ganzzahliger /L, [~' (S. 101). Dann gilt er aber auch für die Multiplikation, in dem Falle, daß eine der

=

127

Sätze über Zahlstrahlen im quadratischen Körper

beiden Zahlen [L' =

;: ,

so ist:

[L,

[L'

oder beide gebrochen sind. Ist nämlich

[L =

und gehören die a, ß, a', ß' in die Zahlklassen von ri , rk , r;,

a·c/-1'i· 4 sind untm o den x(n) Systemen 0k' f keine zwei assoziiert, für i D I = 4 sind sie Ztt je zweien assoziiert und bilden -} X(n) nicht-assoziierte Systempaare, für 1 [) i = 3 sind sie Ztt je dreien assoziiel°t und bilden i-x(n) nicht-assoziierte Systemtripel. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Zwei gegen n teilerfremde, der gleichen Klasse angehörende Ideale a und 0 sollen "im Zweige e" äquivalent" heißen, wenn sich eine Gleichung 0 = fk . a angeben läßt, in der fk dem Strahle i angehört; läßt sich eine solche Gleichung nicht angeben, so heißen a und 0 "in en inäquivalenf'. Man bilde nun zunächst aus einem' ersten gegen [n] teilerfremden Ideale a die n äquivalentenI gleichfalls gegen n teilerfremden Ideale a, 62"a, 0s·a, ..., 6 x·a. Nach dem Satze über die Bestimmtheit der Faktoren A. in den Gleichungen o= Ä. • a zwischen je zwei äquivalenten Idealen und nach den Angaben über die Verteilung aller Zahlen l von ® auf die Systeme 0k' 1ergibt sich der Satz: Die X(n) Ideale a, 02" a, Os' G, •.., 0;/ a sind fYir IDI > 4 in e" inäqttivalent, für I[11 = 4 werden sie zu Paaren in e" äqttivalent und stellen} x(n) in c" inäquivalente Idealpaare dar, für ID 1= 3 werden sie zu dreien in cn äquivalent und liefern} X(n) in en in äquivalente Idealtripel. Um die beiden Ausnahmefälle nicht stets besonders nennen zu müssen, verabreden wir, daß die Zahl T = 1, oder -} sein soll, je nachdem I D1 > 4, 1 D I = 4 oder = 3 ist. Auch ordnen wir in den Ausnahmefällen die G, 02 . a, ..., x' a so an, daß T X(n) durchweg in en inäquivalente Ideale Cl, 2 ' a, ..., O'<x' a voran stehen. Einleuchtend ist, daß irgend zwei gegen [nJ teilerfremde Ideale 0 = }" . a und 0' = },,' . a stets und nur dann in en äquivalent sind, wenn l und l' dem gleichen Systeme 0k' 1 oder assoziierten Systemen angehören. Alle einander in en äquivalenten Ideale fügen wir in eine "Zweigklassec, zusammen und bezeichnen ihnen gegenüber die ursprünglichen Klassen auch als "Stammklassen". "Vir haben dann den folgenden Satz: Die gesamten gegen [n ] teilerfremden Ideale einer vm'gelegten Stammklasse verteilen sich auf TX (n) "Zweigklassen", die wit· durch a, 02· a, "'"' 0,,; x " a repräsentie1 en können; zwei Ideale ans verschiedenen Zweigklassen sind stets in en inäquivalent.

+

°

°

0

§ 4:. Jtlultiplikation uud Äquivalenz der Zweigideale. Die Erklärung der Multiplikation zweier Zweigideale des n ten Zweiges e" schließt sich an diejenige der Stammideale an. Unter dem Produkte an' on zweier Zweigideale an ?,mcl On verstehen wir das System aller Zahlen, die entweder Prodt~kte je einer Zahl an aus Cl n und einer Zahl ßn altS on sind oder als iJogendwelche Snmmen solcher Produkte gewonnen werden. Am Produkte an' On erkennt man leicht wieder die drei S. 124 genannten Grundeigenschaften eines Zweigideals. Jedenfalls enthält das System an' 0" nur Zahlen des Zweiges e". Betreffs der Eigenschaft 1 beachte 9*

132


man nur wegen der Differenzen, daß ein Zweigideal mit einer einzelnen Zahl immer auch deren entgegengesetzte Zahl enthält. Die Eigenschaft 2 kann man für on' On leicht aus dem Umstande ableiten, daß diese Eigenschaft für on zutrifft. Um die Eigenschaft 3 am Systeme on' bn nachzuweisen, verstehen wir unter 1]" eine beliebige Zahl des Zweiges cn ' Da On und bn die Eigenschaft 3 besitzen, so gibt es zwei Darstellungen:

1

=

ßn + nr/

der in cn enthaltenen Zahlen 11" und 1. Es folgt: 1]n = u"ßn + n1]",

wo

1]" =

an 1]' + ßn 1}

+ WYj 1]'

ist, so daß jede Zahl von e" als Summe einer Zahl aus an' On und einer solchen aus [n] darstellbar ist. Das Produkt zweier Zweigideale on' On ist wieder ein Zweigideal cn = an· on' Daß für unsere Produkte das kommutative und das assoziative Gesetz gelten, folgt wieder leicht aus dem Umstande, daß diese Gesetze für die Produkte der Zahlen zutreffen. Die Multiplikation der Zweigideale steht zu derjenigen der Stammideale in enger Beziehung: Sind a = e . an u,nd 0 = e . bn die zu den Zweigidealen on und on gehörenden Stammideale, so gehört zum Prodttkte c" = a~ . on von an und on als Stammideal e· c" das Produkt c = a . oder beiden Starnmideale a nnd O. Das Ideal a besteht nämlich aus allen Produkten 1) . an und allen Summen solcher Produkte, und ebenso besteht 6 aus allen Produkten r; . ß" und deren Summen. Da nun e . e wieder gleich e ist, so setzt sich das Ideal C = a . aus allen Produkten 11 • cx"ß" und allen Summen solcher Produkte zusammen. Zu gen au demselben Zahlsystem aber gelangt man, wenn man vom Zweigideal e" = on· 0" durch Multiplikation mit e zum zugehörigen Stammideal e· c" übergeht. Die Umkehrung des letzten Satzes lautet: Sind a und 0 gegen [n] teilerfremde Stammideale, denen die Zweigideale on nnd On zugehören, so entspricht dem offenbar gleichfalls gegen [n1 teilerfremden Stammideale c = 0' 1j als Zwei.qideal das Produkt an· On von an ~md On. Nach S. 125 entsprechen die Zweigideale und die gegen [n] teilerfremden Stammideale einander umkehrbar eindeutig. Zufolge des letzten Satzes entspricht aber dem Zweigalso ist umgekehrt das zu c = a· 6 ideal on· On das Stammideal c = a· gehörige Zweigideal cn = on· 6". Der Aquivalenz der Zweigideale legen wir folgende Erklärung zugrunde: Zwei Zweigideale an und on heißen stets und ntt1' dann "äqttivalent", 'wenn es eine Zahl fL des Strahles 1 gibt, die der Gleiehung 0" = fL . an genügt, tuasbesagt, daß die Zahlen von 0" einfach die mit fL multiplizierten Zahlen von an sind. Wir können dann folgenden Satz beweisen: Zwei Zweigideale on und 0" sind stets und nm· dann äquivalent, wenn die beiden zugehörigen Stam1m:deale a u,nd 6 "im Zweige e,. äqnivalent" s1:nd. Trifft

°

v;

133

Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale

niimlich die letzte Bedingung zu, so gibt es eine Zahl !t

=

~ in

f,

die

die Gleichung 0 = p, . ° erfüllt. Die Zahl ß ist teilerfremd gegen n und in en enthalten. Dasselbe gilt von der zu ß konjugierten Zahl ß', so daß ß . ß' eine gegen n teilerfremde rationale ganze Zahl ist. Nun ist jede Zahl des Systems:

IX

!t . 0" =

IX

po

ß . 0" = fl P' • 0"

in li enthalten und also ganz. Da jede dieser ganzen Zahlen bei Multiplikation mit der gegen n teilerfremden rationalen ganzen Zahl ß . ß' als Produkt eine Zahl des Systems aß'· an und also des Zweiges eR liefert, so gehärt sie bereits selbst dem Zweige cn an. 1) Da außerdem alle Zahlen von p, . an in 0 enthalten sind, so finden sie sich alle im Zweige li.. von b. In derselben Art zeigt man, daß jede Zahl von t,-l. 0" in CIn enthalten ist. Sind also die beiden Stammideale und lJ in en äquivalent, so gilt sicher 0" = p, . CI", d. h. die beiden Zweigideale CI n und bn sind ii,quivalent. Umgekehrt folgt aus un = P, • an sehr leicht (c . bn ) = P' • (e . an), womit der aufgestellte Satz im vollen Umfange bewiesen ist. Auch für die Aquivalenz der Zweigideale an und b" benutzen wir das oben (S. 104) eingeführte Zeichen 0n"-' on' Da sich die Zahlen des Strahles 1 bei Multiplikation reproduzieren, so sind auch hier wieder zwei Zweigideale, die einem dritten äquivalent sind, miteinander äquivalent. Alle mit einem gegebenen an äquivalenten Zweigideale fügen wir zu einer "Iclealklasse" m" zusammen, wobei dann je zwei Zweigideale der Klass~ m" äquivalent siud. Die mit dem Zweigideale e" äquivalenten Zweigideale bilden die "Hanptklasse" und mögen wieder "Ha'Uptideale" genannt werden. 2) Es ist nun leicht, die Betrachtung so zu ergä,nzen, daß Übereinstimmung mit den bei den Stammidealen aufgestellten Sätzen vorliegt. Zunächst haben wir den Satz: Ist CI,,' bn = cn , und gilt 0;, '" an, b;, '" b", so ist auch C;, = a~. o~ cn ' Es gibt nämlich zwei Zahlen !t und p,' in f, die die Gleichungen a~ = [.L • an' b~ = p,' . On befriedigen. Die Zahlen des Produktes c~ = CI~ • 0;, gehen dann aus denen des Produktes an' b" einfach durch Multiplikation mit p, . p,' hervor. Da diese Zahl in f enthalten ist, so gilt c~ "-' cn ' Nennen wir m n und )Bn die zu an und :On gehärenden Idealklassen, so gibt irgendein Ideal aus m n , mit irgendeinem aus )B" multipliziert, als Produkt stets ein Ideal einer bestimmten dritten Klasse

°

"-'

+

1) Soll nämlich eine Zahl (e o Cl nEl) von c", durch die gegen n teilerfremde, rationale ga,nze Zahl pp' geteilt, eine ganze Zahl als Quotienten liefern, so müssen eo und el durch fl fl' teilbar sein. 2) Wenn wir bei den letzten f-:enennungen den Zusatz "Zweig" der Kürze halber vermeiden, so wird daraus kaum eine Zweideutigkeit entstehen, da aus dem Zusammenhange stets die genane Bedeutung der Benennung zu entnehmen ist.

134

Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und ]j'onnen

die wir das- "Produkt" der beiden Klassen 2{n und :iB" nennen und symbolisch durch ~,,= SUn • :iB" bezeichnen. Ist an irgendein Zweigideal und a das zugehörige Stammideal, so gibt es ein gegen [n] teilerfremdes Stammideal 6', das in a· 6' = [1'] ein Hauptideal des Stammes e liefert. Die ganze Zahl r ist teilerfremd gegen n, gehört also in eine der 1,b([n]) oben (S. 127ff.) betrachteten Zahlklassen mod n hinein. Wir können nach den dortigen Darlegungen eine gleichfalls gegen n teilerfremde Zahl!Lo so wählen, daß !L = !Lor in die Zahlklasse {\l und damit zum Strahle 1 gehört. Indem wir die Zahlen des Ideals a· 6' = [1'] mit !Lo multiplizieren und !Lo' 6' = 6 setzen, ist auch 0 ein gegen [n] teilerfremdes Ideal, und wir finden a . 0 = [!LJ. Der n te Zweig des Hauptideals [!LJ ist nun einfach das Hauptideal !L' eu des Zweiges en • Daß alle Zahlen von !L • en im nten Zweige von [!LJ vorkommen, ist nämlich einleuchtend. Soll andrerseits die Zahl /L • 'I] von [!LJ in en enthalten sein, so ist auch Cu . /L') . 1, in erz enthalten, unter !L' die zu !L konjugierte Zahl verstanden. Dann gehört aber, da ~~'!L' rational, ganz und gegen n teilerfremd ist, auch schon 'I] dem Zweige e" an. Aus a· 0 = [(.LJ folgt nun durch Übergang zu den Zweigidealen an' b" = (.L' e", und also, da (.L in f enthalten ist, der Satz: Für Jedes Zweigideal an gibt es sicher ein Ideal on von der A,·t, daß das Prod'ukt an' 6n ein Hauptideal des nie" Zweiges ist. Natürlich gibt dann jedes Ideal der Klasse 2{" von an' mit irgendeinem Ideale der Klasse :iB" von 6n multipliziert, als Produkt ein Hauptideal des Zweiges eu ' Wir nennen die Klassen m:" und:iB n einander "invers" und bezeichnen im Anschluß daran anch wohl )Sn durch m:;;'l und m:" durch )S;1. Die durch h (! D I) = h (n21 D I) zu bezeichnende "Anzahl der Idealklassen" des Zweiges e" wird durch den S. 132 sogleich an die Erklärung äquivalenter an' lJ" angeschlossenen Satz auf die Anzahl h (lD!) der Idealklassen im Stamme e zurückgeführt. Aus der Zexlegung der einzelnen Klasse der Stammideale in je x(n) "Zweigklassen" ergibt sich unmittelbar der Satz: Die "Klassenanzahl ii h CI D D de}' ZweigideaZe im n len Zweige Cu des quadratischen Körpers ~ der Diskriminante 0 ist gegeben dU~'ch: ~n'

(1)

J (.i 1/'

D i')

=

·7·t ('1 0 1)

.

7:11,

11(1

-

(D; P») , '-p'--

wo h CD i) die e1ulliche Anzahl der Idealklassen im Stamme el:8l 'l('ncZ die übrigen Bestandteile det· rechten Seite von (1) d~'e oben (S. 118 und 131) dargelegte Bedeutung haben. Endlich bleibt uns noch übrig, die gruppentbeoretische Auffassung der Multiplikation der Idealklassen auf den Zweig en zu übertragen, wobei die h Klassen m:o, m:1I ..., m:"_1 die "Elemente" der Gruppe bilden und unter ihnen insbesondere die "Hauptklasse(( m:o "das Einheitselement" liefert. Die Überlegungen schließen sich genau an S. 107 an; wir notieren

135

Klassenanzahl der Zweigideale, Basen der Ideale

sogleich den Satz: Die h Idealklassen 21o, ~v ' .., ~h-l des n len Zweiges vom Körper ~ bilden gegenüber Multiplik(ttion eine kommtttative, oder Abelsche Gruppe G" der Ordmmg h, in der das Einheitselement von der Hauptklasse ~o geliefert wird.

§ 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter. Die Übel'legung, welche uns oben (S. 86ff.) zur Existenz einer "Basis" für das Zahlsystem e hinführte, war auch auf jedes Ideal a anwendbar (S.91 ff.) und ist ohne Änderung auch bei jedem Zweigideal an durchführbar. Wir schließen jetzt, wenn wir von einem "Ideale an" sprechen, den Fall n = 1 mit ein, so daß an ein Zweigideal oder ein Stammideal bedeuten mag. Um den schon erwähnten Zusammenhang der quadratischen Körper ~ negativer Diskriminanten mit der Theorie der elliptischen Funktionen gleich äußerlich hervortreten zu lassen, bezeichnen wir die Zahlen einer Basis von an durch ro u ro 2 ; die' zu rot> ro 2 konjugierten Zahlen, die zugleich ihre "konjugiert komplexen" Zahlen sind, mögen Wl1 (02 heißen. Als ein erstes aus den allgemeinen Sätzen übel' die Basen folgendes Ergebnis haben wir anzumerken: Irgendeine Basis ro~, ro~ des Ideals an ist dttrch eine erste Basis ro l , ro 2 in dC1- Gestalt:

(1)

ro~ = aro j

+ ßw

ao - ßr = ± 1

2,

darstellbar, wo a, ß, r, 0 vier rationale ganze Zahlen der DetC1'minante + 1 oder - 1 sind. Da die W l1 W 2 linear-unabhängig sind, so ist der Quotient m

=

6), 6)2

eine nicht-rationale Zahl von ~, die wegen der nega-

tiven Diskriminante D komplex ist. Wir können nötigenfalls durch Zeichenwechsel einer der beiden Zahlen ro l , W 2 , der für den Gebrauch dieser Zahlen als einer Basis von an ohne I!'olge ist, erreichen, daß der Quotient weine komplexe Zahl mit positivem imaginären Bestandteile wird. Wir wollen in diesem Falle wl , ro 2 eine "positive" Basis und w

=

:'

einen

2

"positiven" Basisquotienten nennen. Dann gilt insbesondere der Satz: It-gendeine positive Basis ro;, von an ist dnrch eine erste unter ihnen rol1 m2 in der Gestalt darstellbar:

w;

(2)

w: =

aco l

+ ßC0 2,

m~ =

rWl + oro 2 ,

ao - ßr = 1,

wo ", ß, r, ~ vier rationale ganze Zahlen der Determinante 1 sind; andrerseits bildet jedes durch eine Sttbstitution (2) ans einer ersten positiven Basis mp ro 2 gewinnbare Zahlenpaar ro:, ro; wieder eine positive Basis von an' Wir sind hiermit zu der Lehre von den linew-en Transformationen der Perioden W p fil 2 , die in I, 182ff. entwickelt ,wurde, zurückgeführt. Unter Aufnahme der gruppentheoretischen Sprechweise können wir dem letzten Satze die Gestalt geben: Aus einer ersten positiven Basis wl , W 2

136


von an gewinnen wir gerade genau die gesamten positiven Basen dieses Ideals, indem wir auf rot, ro 2 die gesamten Substitutionen der "horMgenen Modulgruppe" r(w) ausüben (s. 1,283), und in entsprechender Art ergeben siCh aus einem ersten positiven Basisq~totienten ro alle solche Quotienten fÜt' an durch Ausübung der "nicht-homogenen Modulg1"uppe" T(W) auf ro. Die geometrischen Hilfsmittel aus Bd. I mögen nun auch hier herangezogen werden. 'Vir kleiden die gesamten Zahlen von an in die Gestalt~ (3)

u

=

111'1 ro 1

+ m2 ro 2 ,

wo mv m2 alle Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen sollen. Indem wir in der "u-Ebene" alle Bildpunkte dieser Zahlen markieren, erhalten wir ein ebenes "Punktgitter" von der Art, wie uns solche Gitter in I, 174ff. von den Eckpunkten der Parallelogrammnetze der u-Ebene geliefert wurden. 1) Das vorliegende Gitter (3) gewinnen wir vom Parallelogrammnetze der Perioden rot, ro 2 • Doch können wir nach der Lehre von der linearen Transformation der Perioden das gleiche Gitter (3) noch durch unendlich viele weitere Parallelogrammnetze ausschneiden, wie sie eben durch die Substitutionen der ['(w) aus dem ersten Netze hervorgehen. Zur geometrischen Deutung der Werte ro der Basisquotienten ziehen wir die "ro-Halbebene" heran, in der wir das "Dreiecksnetz" der Modulgruppe ['(w) gezeichnet denken. Die gesamten positiven Basisquotienten ro unseres Ideals an stellen dann ein System bezüglich der r(w) äquivalenter Punkte ro im Dreiecksnetze dar. Für das zu an konjugierte Ideal an hat man das Zahlenpaar --- ro l1 002 . als eine positive Basis, wenn das Paar roll ro2 eine solche von an darstellt. 2) Das zu an gehörende Gitter geht aus dem von an durch Spiegelung an der reellen u-Achse hervor. Der zu - roH 002 gehörende Quotient - ro liefert den bezüglich der imaginären ro-Achse mit ro symmetrisch gelegenen Punkt: Die gesamten positiven Basisq1MJtienten von un liefern ein Punktsystem der ro- Halbebene, das mit dem zu an gehörenden Punktsystem bezüglich der durch Spiegelungen erweiterten JJlodulgruppe rCm) äquivalent ist. Insbesondere können diese beiden Punktsysteme dadurch identisch werden, daß sie auf Symmetriekreise des Dreiecksnetzes der w-Halbebene rücken. Wir kommen unten auf diesen Fall zurück. Ein mit a,. "äquivalentes" Ideal a;, ist nach S. 132 symbolisch als Produkt a~ = p.. • a" darstellbar, wo p.. eine Zahl des Strahles f ist. Es ist einleuchtend, daß wir aus' einer Basis ro1 , ro 2 von an in:

(4) 1) Die Vorstellung des Punkt gitters ist das wichtigste geometrische Hilfsmittel, mit dem K I e in in seinen S. 121 genannten Vorlesungen arbeitet. 2) Wie in Bd. I verstehen wir unter 001 , 00 2 , öl die zu (;)1' (;)s' (;) konjugiert komplexen Zahlen.

a:

Basen der Zweigideale und Punktgitter

0;,

137

eine Basis für gewinnen. Das zu gehörende Punktgitter wird demnach aus dem Gitter (3) durch die Transformation u' = f.tu erhalten. Wir haben den Satz: Äquivalente Ideale on und 0;, haben "ähnliche" Punktgitter, und ihnen kommt ein und dasselbe System bezüglich der rc'") äquivalenter P1(nkte der w- Halbebene zu, so daß dieses Punktsystem als ein Attribut der Idealklasse anzusehen ist. Die Perioden Wll W 2 sind in der Theorie der elliptischen Funktionen abgesehen davon, daß ihr Quotient nicht reell sein darf, frei wählbar, und sie werden in der Theorie der Modulfunktionen als variabel betrachtet. Demgegenüber sind die als Basen der Ideale on auftretenden roll W 2 in der Art beschränkt, daß sie gewisse Paare ganzer Zahlen eines quadratischen Körpers ~ negativer Diskriminante 0 sind, woraus dann folgt, daß auch die Basisquotienten ro diesem Körper angehören. In der Theorie der elliptischen Fun~tionen heißen diese ro 1, ro2 "singuläre Periodenpaare" und die ro "singttläre Periodenquotienten" ; ihre Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen wird unten ausführlich darzulegen sein. § 6. Notizen über quadratische .Formen negativer Diskriminante. Um die. Beziehung zwischen den Idealen on und den ganzzahligen binären quadratischen Formen negativer Diskriminante entwickeln zu können, sind zunächst einige Notizen über diese Formen vorauszuschicken.!) Unter einer "ganzzahligen binären quadratischen Form" verstehen wir einen Ausdruck der Gestalt:

(1) dessen Koeffizienten a, b, c rationale ganze Zahlen sind, während x, y willkürliche Größen bedeuten. Je nach Umständen gelten die x, y als komplexe Variable oder sind auf willkürliche rationale ganze Zahlen eingeschränkt. Als Bezeichnung für eine Form (1) benutzen wir, wenn es nicht erforderlich ist, die Variablen x, y besonders hervorzuheben, das Symbol (a, b, c). Die größte rationale ganze positive Zahl t, die in a, b, c zugleich aufgeht, heißt der "Tciler" der Form (n, b, c). Ist t = 1, so heißt die ]1"'orm "ursprünglich". Für t> 1 setzen wir a = tao, b = tbo, c = tco und können jetzt Ca, b, c) aus der ursprünglichen Form (ao, bo, co) durch Multiplikation mit t ableiten. Für t> 1 heißt demnach (a, b, c) eine "abgeleitete" Form. Der Ausdruck (b 2 - 4 ac) wird die "Dislm-iminante" der Form (a, b, c) genannt und durch D bezeichnet. Die Diskriminante ist offenbar durch das Quadrat t 2 des Teilers t teilbar. Ist die Diskriminante negativ, so sind a 'und c von 0 verschieden und haben gleiches 1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, "Vorlesungen über Zahlentheorie", 4. Aufl., S. 128ff. und "Modulfunktionen" Bd. I, S. 243ff.

138


Vorzeichen. Je nachdem dieses Vorzeichen positiv oder negativ ist, heißt (a, b, c) selbst eine "positive" oder eine "negatit'e Form". Da eine negative Form einfach durch Zeichenwechsel ihrer drei Koeffizienten in eine positive übergeführt wird, so wird bei den folgenden Untersuchungen der alleinige Gebrauch positiver Formen keine wesentliche Beschränkung bedeuten. Führt man in die Form (1) an Stelle der x, y neue Variable x', y' mittels einer "ganzzahligen linearen Substitution der Determinante 1":

(2)

+ ßy,

x'= ax

y' = rx

+ uy,

au - ßr

1

=

ein, so erhält man aus (a, b, c) die Form:

" 2 + b' xy , , + cy, ' '2 (a,, b") ,c =ax

(3)

deren ganzzahlige Koeffizienten sich aus den a, b, c und den Substitutionskoeffizienten 0:, ß, r, u nach der Regel berechnen:

j

+ r2c, - 2ßua + (au + ßr)b ß2 a -- aßb + a 2 c.

a' = d'2 a - rob

(4)

b' = c' =

2arc,

Umgekehrt wird die Form (a', b', c') durch die zu (2) "inversetl Substitution mit den Koeffizienten 0, - ß, - r, a wieder in (a, b, c) übergeführt, wobei sich die Gleichungen (4) invertieren zu:

(5)

a

=

a2 a' + ar b' + r2c',

c

=

ß2

Jb = 21Xßa' + (IX 0 + ßr)b' + 2yoc',

a + ßub' + 02 C'.

In (2) haben wir die Substitutionen der homogenen Modulgruppe r(w) wiedergewonnen, abgesehen davon, daß die Bezeichnungen 001 , 00 2 der der Variablen hier durch x, y ersetzt sind. Indem wir die in I benutzte abgekürzte Bezeichnung (;:

~) für die Substitution (2) wieder heranziehen,

können wir sagen, die Form (a, b, c) gehe durch die Substitution (;: ~) in (a', b', c') über und umgekehrt (a', b', e') durch (~' -

(a, b, c).

-

y,

ß)

IX

wieder in

Jede durch eine Substitution (2) aus (a, b, c) entstehende Form (a', b', c') heißt mit (a, b, c) "äquivalent". Aus der Gruppeneigenschaft der Substitutionen (2) folgt dann, daß umgekehrt auch (a, b, c) mit (a', b', c') äquivalent ist, und daß zwei Formen, die mit einer dritten äquivalent sind, stets auch miteinander äquivalent sind. Vereinigen wir daher alle mit einer gegebenen Form (a, b, c) äquivalenten .Formen in eine "Klasse von Formen" oder "Formklasse" ~, so sind je zwei Formen der Klasse ~ äquivalent. Aus (4) ergibt sich b' 2 - 4a' C'

Äquivalenz der quadratischen Formen

139

b2 -

= 4ac, äquivalente Formen haben demnach gleiche Diskriminanten D. Aus (.1) und (5) folgt ferner, daß äquivalente Formen stets gleiche Teiler t haben. }Jndlich folgert man aus (4) leicht:

4aa' = (2d'a - rb)2- Dr 2, so daß für D < 0 stets aa' > 0 zutrifft: Zwei äquivalente Formen negativer Diskriminante sind demnach imme?' zugleich positiv bzw. negativ. Die Diskriminante D und der Teiler t sind demnach Attribute der Formklasse 'iJ, auch gehören für D < 0 der Klasse entweder nur positive oder nur negative .F'ormen an. Die Hauptaufgabe ist nun für uns, bei gegebener Diskriminante D die gesamten hier eintretenden Formklassen 'iJ festzustellen und insbesondere ihre Anzahl abzuzählen. Wir behandeln diese Aufgabe nur für den weiterhin allein in Betracht kommenden Fall D < 0 und setzen die Formen als positiv voraus. Zur Durchführung der Aufgabe setzen wir den Quotienten der Variablen-~ y

=

m und führen eine geometrische Deu-

tung der Form Ca, b, c) durch denjenigen Punkt der positiven m-Halbebene ein, für welchen die Form Ca, b, c) verschwindet. Dieser "Nullpunkt" der :Form berechnet sich zu:

(ti) und es ergibt sich aus (5) durch eine einfache Rechnung im Falle der Äquivalenz der beiden Formen (a, b, c) und (a', b', 0') für ihre Nullpunkte die Gleichung:

(7) so daß die Nullpunkte ru und ru' der beiden äquivalenten Formen stets bezüglich der nicht-homogenen }\;Iodulgruppe äquivalent sind. Besteht andrerseits zwischen den beiden Nullpunkten ru und ru' zweier positiver Formen (a, b, c) und (a', b', c')mit gleicher Diskriminante D< 0 eine llelation (7), so folgt: -.b~±.ivrp! 2u'

(2ß~= ab)t~ivT~J (2~a - yb) + yiYID I

(2ßoet-(o:d'+ßylb+ 2ayc)+iVfDl . 2 (d"u - yd'b + y'c)

woraus man leicht auf die Gleichungen (4) zurückschließt. Die beiden positiven Formen Ca, b, c) und (a', b', c') gleicher negativer Diskriminante D sind also auch stets äquivalent, wenn ihre Nullpunkte ru, (J)' bezüglich der r(w) äquivalent sind. Die in I, 185ff. entwickelte Reduktionstheorie der Periodenquotienten setzt uns nun unmittelbar in den Stand, die gestellte Aufgabe der Aufzählung aller Formklassen iY gegebener negativer Diskriminante D

140

Einleitung, Teil V: Quadl'atische Körper nnd } 1 besitzen. Da nämlich a und also a teilerfremd gegen [nJ sind, so sind auch a· a = [a ] und [nJ teilerfremd, so daß a und n teilerfremde rationale ganze Zahlen sind. Hätten nun a, b, c den ungeraden Primfaktor p gemein, so würde p2 in b2- 4ac = D = n 2D aufgehen. Es wäre also, da 0 durch kein ungerades Quach"at teilbar ist, p auch in n enthalten, was aber der Tatsache teilerfremder (f" n widersprechen würde. 'Wären aber a, b, c zugleich durch 2 teilbar, so wäre n als 'teilerfremd zu a ungerade. Da D und also 0 durch 4 teilbar wäre, so würde nach S. 121 entweder 0 == 8 oder 0 == 12 (mod 16) gelten, woraus wegen n 9 cc=- 1 (mod 4) auch D ,,=: 8 bzw. c= 12 (mod 16) folgen wiirde. Dies steht im \'Viderspruche dazu, daß bei drei geraden Zahlen a, b, c notwendig: J) =

b2 ..... 4ac == b2 :Ce.:.' 0 oder

c:"

4-

(mod 16)

zutrifft. Also ist auch der gemeinsame 'reiler 2 von a, b, c ausgeschlossen. Unter Zusammenfassung aller JiJrgebnisse haben wir folgenden für n = 1 und n> 1 geHenden Satz: Jeder Idealklasse ~ im n ten Zweige en des Körpers Si der negativen Diskt'iminante D ist eindeutig eine bestimmte Klasse (5 ursprünglicher positiver quadratiscJwr Formen der Zweigdiskt'iminante D == n 2 D zugeordnet, und zwar werden von irgendeinem Ideale a" der Klasse ~ attS die gesamten Fmwwn (ax 2 + bxy + cy") von ~ als die durch N(u) = N(e· an) geteilten Nm'men der Zahlen (xw 2 - YOO1) von an erhalten, indem man nach und nach alle positiven Basen 001 , 002 zur Darstellung dieser Zahlen heran/deht. Der gewonnene Satz ist umkehrbar. Man kann zunächst beweisen, daß man eine beliebige Klasse ~ ursprünglicher positiver Formen der Zweigdiskriminante D VOll einer geeigneten Idealklasse ~ des n ten Zweiges aus gewinnt. Da wir soeben alle Formen der Klasse ~ den verschiedenen. Basen 0011 oo~ von a" entsprechend fanden, so dürfen wir beim Versuch der Umkehrung der Entwicklung der beliebig vorgelegten Klasse ~ irgendeine Form (a, b, c) entnehmen. Wir wählen, entsprechend dem Schlußsatze von § 6, S. 141, eine Form (a, b, c) mit einem gegen 11 teilerfremden a. Wir erklären sodann zwei Zahlen 0)1' 00 2 wie in (10). Beide Zahlen 0011 00 2 sind ganzzahlig, und zwar (iJl deshalb, weil b ==D (mod 2) gilt; zugleich gehören heide Zahlen dem Zweige c" an. Wir bildcn nun das System aller Zahlen: (12) wo x, y alle Paare rationaler ganzer Zahlen durchlaufen, und können Frickc, Die elliptischen Punktionen II

10

146

Einleitung, Teil V: Quadratische Körper und

:l!~ormen

leicht zeigen, daß diese offenbar auch durchweg in en enthaltenen Zahlen ein Zweig ideal lln liefern. Das Zutreffen der Eigenschaft 1 eines Zweigideals (8. 124) ist einleuchtend. Zur Prüfung der Eigenschaft 2 können wir 1, C0 1 an Stelle von 1, f} als Basis von en benutzen. Es genügt dann zu zeigen, daß coi und C0 1 C02 im Systeme (12) enthalten sind, weil damit das Produkt irgendeiner Zahl 1)" von c" mit einer beliebigen Zahl (12) wieder diesem Systeme angehört. Nun erweist sich ro 1 C0 2 = aco 1 unmittelbar als dem Systeme (12) angehörig; dasselbe folgt aber für co~ aus der Gleichung:

wi• =

-

-b+iJ/i1TI ac - b ----2--- ....

=

-

bco1 -

CW 2 •

Die Eigenschaft 3 der Zweigideale fordert, daß jede Zahl 17" von Summe: (13)

t'n

als

einer Zahl des Systems (12) und einer solchen des Hauptideals [n] darstellbar ist, Es genügt, diese Darstellbarkeit für die beiden Basiszahlen 1J" = 1 und 1J" = C0 1 zu zeigen. Für '1')" = W 1 haben wir in (13) zu setzen x = 0, y = - 1, 1J = 0; für '1')" = 1 bestimme man x aus der wegen teilerfremder a, n lösbaren Kongruenz ax --- 1 (mod n), setze y = 0 und findet für '1') eine rationale ganze Zahl. Die Zahlen (13) bilden also tatsächlich ein Zweigideal an' Der Basis W 1 , W 2 dieses Zweigideals entspricht nun auf Grund von (2) eine ursprüngliche quadratische Form, deren Koeffizienten die von ihrem größten gemeinschaftlichi:mTeiler befreiten rationalen ganzen Zahlen co 2 ro2 , - C0 1 w2 - C0 2 ro1, W 1 ro1 sind. Durch Eintragen der Werte (10) für W 17 C02 findet man als Form (a, b, c) wieder und als jenen größten gemeinsamen Teiler, der nach (2) zugleich die Norm des Stammideals a = e . an ist, die Zahl a. Also wird in der Tat die vorgelegte Klasse ~ von einer unserer Idealklassen ?U geliefert. Wir können endlich zeigen, daß ~ auch nur von einer Idealklasse ?U geliefert wird. Ist nämlich co~, w~ die Basis irgendeines Zweigideals, die nach (2) die zuletzt betrachtete Form (a, b, c) ergibt, so gilt für die durch die Form eindeutig bestimmten Basisquotienten:

'_ w'. 1 • co 2 -

.

_ -b+iVJD1.. a.

61 1 • 61 2 -

---2---~

"Vir schreiben demnach w~ = [LW 17 w~ = fLW 2 mit elllem Proportionalitätsfaktor fL, für den wir die Darstellung haben:

Die im letzten Nenner stehende Zahl a ist teilerfremd gegen n und in en enthalten. Auch der Zähler co; ist in en enthalten. Wir nehmen nun an,

Die Klassen

~

der Zweigideale und die Formklassen

tf

147

daß [oo~] und [12] mindestens ein Primideal 1J als Faktor gemein haben. Aus [a] . [co;] = [oo~] . [001] würde dann wegen teilerfremder a, n folgen daß auch [00;] den Faktor 1J bat. Mit oo~ und oo~ ist aber auch jede Zahl, in 1J enthalten, d. h. a' hätte selbst den Faktor 1J mit [12] von (t' = e . gemein, während doch das zu einem Zweigideale gehörende Stammideala' teilerfremd gegen [n] ist. Also ist auch oo~ teilerfremd gegen 12, so daß wir in f-L eine Zahl des Strahles f und damit in a~ = f-L an ein mit an äquivalentes Ideal erkennen. Jede Formklasse ~ wird also nur von einer Idealklasse geliefert. "ViI' haben so den Satz gewonnen: Die Idealklassen 5ll: des 121en Zwm:ges cn vom quadratischen KÖ1"per Sl' der negativen Diskriminante [l und die Klassen ~ ttrsprünglicher positiver quadratischer Formen der negativen Zweigdiskriminante D = n 2 j) entsprechen in der oben näher erörterten Weise einander umkehrbar eindeutig. Insbesondere geht hieraus hervor, daß die Anzahl dm' Klassen ursprünglicher positiver F'or'men der negativen Diskriminante D gleich der An.zahl h (I D I) der Idealklassen des n len Zweiges ist. Für die Anzahlen hel!) I) und h(1 D I) der Formklassen der beiden Diskriminanten D = n 2 [) und 0 bleibt demnach die in (1) S. 134 aufgestellte Relation gültig. Die "Hauptklasse" Wo wurde nach S. 13B von den mit er< äquivalenten Idealen geliefert. Benutzen wir wieder die Basis 1, e für c", so finden

a;,

a;,

wir als zuO'ehöriO'e v " Form sofort

=

(1"1!=~) 4

(1 0 -=_-!!)

bzw' ) ' 4 ' J'e nach-

dem D 1 oder == 0 (mod 4) ist. Wir gelangen also zur Hauptform, so daß der Hauptkl(~sse ~o dcr Ideale an die Hat~ptklasse ~o der Formen zugeordnet ist. Eine später zur Verwendung kommende Folgerung aus der Gleichung (1) S.134 möge hier gleich noch angeschlossen werden. Ist D -1 (mod 4), so ist auch D 1 (mod 4), und n ist ungerade. Wir wollen in diesem Falle eine Beziehung zwischen den Klassenanzahlen h (I D I) und h(ID'1) = h(4ID!) der Diskriminanten D und D' = 4D aufstellen. Ist erstlich D = - 3 und also Stammdiskriminante, so folgt aus (1) S.134: 1 . 2 ( 1 - -2'--(--3 2») , h (12) = h CB) . "3

=

wo (- 3, 2) das S. 118 erklärte Symbol ist. Da die Kongruenz x 2 =-B (mod 8) keine rationale ganze Lösung x hat, so ist (- 3, 2) = - 1, und wir finden h(l~) = h(3). Ist D eine von - 3 verschiedene Stammdiskriminante, so gilt nach (1) S. 1B4:

(14)

h (41 D J)

=

(D,2--2») . h CI D I) . 2 (1 - ...

Ist hingegen Deine Zweigdiskriminante, 0 = n- 2 • D aber die zugehörige Stammdiskriminallte, so gelten die beiden Gleichungen: 10*

148

Einleitung, Teil Y: Quadratische Körper und Formen

Il'l (n)

Z1\/1 D I')

=

Pi)

1 ') r· n . _ \ - '.;P' (D, I~ (II DI' , (2,,)

h(4IDi) =~ 71,(10). r·2n

II(l .. (1)/)).

Da n ungerade ist, so hat das Produkt auf der rechten Seite der letzten Gleichung neben den im Produkte der ersten Gleichung auftretenden Faktoren noch den zu p = 2 gehörenden weiteren Faktor. Die Division der letzten Gleichung durch die vorletzte führt also zur Relation (14) zurück. Die Kongruenz x 2 == D (mod 8) ist nun aber in rationalen ganzerl Zahlen {c lösbar oder nicht lösbar, je nachdem D:.::=: 1 oder = 5 (mod 8) gilt. Im ersten Falle ist also CD, 2) 0= + 1, im zweiten CD, 2: = - 1. So ergibt sich aus (14,) der Satz: 1st D =c -- 3 oder ~'= 1 (mod 8), so sind die Klassenanzahlen h 1D I) wnd h (I D i) einander gleich; ist D == 5 (mod 8), jedoch nicht gleich - 3, so ist h (41 D i) das Dreifache der KlassenanzaJd

e!

h(IDI)· § 8. Komposition der quadrathwhen }'ormclI. Die Multiplikation der Ideale 0" im n tcll Zweige e" des quadratischen Körpers ~ führte uns S. 134ft·. zur ,,7YIultiplikalion der Idealklassen". Die Grundlage dieser Entwicklung war der Satz, daß das Produkt eines beliebigen Ideals der Klasse 52( und eines beliebigen der Klasse ~r ein Ideal einer durch ~ und ~' eindeutig bestimmten dritten Klasse ~l" liefert, die wir dann selbst als Produkt ~ . ~' der heiden gegebelJen Klassen ~ und ~(' bezeichneten. Gegenüber dieser Multiplikation bildeten die h IdealklasHen ~o, ~p . . . , ~"-1 von Ca eine Abelsche Gruppe GI. der Ordnung h, in der das Einheit,selement von der Hauptklasse ~o geliefert wird. Die Multiplikation der Idealklassen ~o, ~l' . • ., 2(" __ 1 des n ten Zweiges e" ergibt nuu, auf die den ~{ eindeutig zugeordneten Klassen ursprünglicher positiver quadratischer Formen der Zweigdiskrimillante D übertragen, die Lehre VOll der "Komposition" dieser Formklassen ~o, ~l' " ' J ~h-H die von Gauß begründet ist l ), uud die sich in etwas kürzerer Gestalt im Supplement X der "Vorlesungen über Zahlentheorie" von Dil'ichletDedekind 2) dargestellt findet. Entsprechen den drei Ideallilassen ~r, m:' und m:" = ~{ . 2(' die Formklassen ~, ~' ulld ~", so sagt man, dio Klasse %" entstehe aus ~ und ~' durch "Komposition" und bezeichnet~" wieder symbolisch durch das Produkt g:. {5-', wobei entsprechend den Produkten der Idealklassen das kommutative Gesetz g:. g:' = g:' . g: gilt. Alle h Fm'mklassen g:o, iYl' ..., g:"-l bilden dann gegenüber der Komposition 1) In Art. 234 der "Disquisitiones arithmeticae", S. 387 ff. der 4. Auflage.

2)

Multiplikation der Ideale und Komposition der .!(V»)3

+ p(v») -{g2(3&o(v) + ~)(u» -~g2(3&o(u)

2gs)p'(v) 2gs)r,/(u).

Eine weitere bemerkenswerte Gestalt der Additionsformeln erzielt man auf folgendem Wege: Man multipliziert (13) mit 2 (p(u) - s;>(v») und er-

Verschiedene Gestalten der Additionsformeln für I'J und gJ'

161

setzt im Produkte rechts die dritten Potenzen von &J auf, Grund der Regel: (15) Dabei erscheint ein Aggregat, das injedem der beiden Größenpaare !<J( u), !<J'(u) und !<J (v), !<J' (v) rational und ganz vom zweiten Grade ist. Einer entsprechenden Umformung unterziehe man die rechte Seite der mit 2 multiplizierten Gleichung (14). Endlich folgere man aus (15): 4(gJ(u) - So (v»)3 = so'(u)2 - gJ' (v? - (12 sJ(u)i'J(v) - g2)(bO (u) - gJ(v»).

Als zusammenfassender Ausdruck der Additionsformeln für !<J und So' entsteht so:

(16)

!<J(u+v):so'(u+v):I=

1s,:!'(U)2!<J (v)-so (n)so' (v )2_(2 So' (n) gJ'(v) +g2 (gJ(tt) +so(v»

: {(gJ' (U)gJ' (v)

+ 3g

3)

(gJ' (u) - so' (v»

+2 (6 !<J(u) !J(v) -

+3gs) (!<J (u)-p (v» 1

g2) Cf.! (u)f.!' (v) - so'(u) gJ (v»

+ g2 (ho(u) f.!' (u) ~ SO(~) So' (v»

l

: (!<J'(U)2 - SO'(V)2 - (12f.!(n)SJ(v) - fh)(so(tt) - gJ(v)}.

Hier stehen rechts in jedem Gliede der Proportion rationale ganze Fnnktionen zweiten Grades ,in jedem dm' heiden Größenpaare gJ (u), !<J' (tt) unrl

j;)(v), g:/(v). Man kann das Additionstheorem der gJ-Funktion auch dadurch zum Ausdruck bringen, daß nach demselben zwischen den drei Funktionen f.! (u + v), !J (u), gJ (v) eine algebraische Beziehung bestehen muß. Diese Beziehung nimmt symmetrische Gestalt an, wenn wir - (u + v) = wund also !J(u + v) = f.!(w) setzen. Die fragliche Beziehung gewinnt man leicht aus (13) durch Auflösung nach f.!'(u)so'(v), Quadrieren und Ersatz von iO'(U)2 und f.!'(V)2 durch ihre Ausdrücke in !<J(u.) und f.!(v): Für irgend drei Argumente tt, v, w der Summe u + v + w = 0 gilt folgende Relation zwdien Grades in jeder der Funktionen SJ (u), f.! ( v), SJ (w): .(17) (so(v)f.!(w)

+ f.!(w)&o(u) + so(u)SJ(v) + ig2)2 + so(v) + f.!(w»

- (4so(tt)f.!(v)gJ(w) - gs)üo(tt)

=

O.

§ 2. Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln. Verlegt man die Betrachtung aus der u- Ebene auf die Riemannsche Fläche F2 , so nehmen die Additionsformeln des § 1 algebraische Gestalten an, die sich an die Rechnungen in I, 146ff. anschließen. Wir setzen fez) = 4z 3 - g2Z - gs und haben den einzelnen Punkt der F2 durch ein zusammengehöriges Wertepaar z, fez) festzulegen. Den beiden Argumenten u und v mögen die Stellen x, V1(x) und y, Vf(YJ der F2 entsprechen, v) aber die Stelle z, Die Bedeutung der Addem Argumente (u ditionsformeln ist dann die, daß zwei willkürlich gewählte Stellen x, Vf(x)

V

+

Fricke, Die elJiptischen Funktionen II

vtez).

11

162

I, 1. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen

und y, vr(y) stets eine dritte Stelle z, v1(z) eindeutig bestimmen, die sich auf Grund von (13) und (14) S. 160 algebraisch aus den gegebenen Stellen berechnen liißt. Es hat nun Klein 1) gezeigt, daß man die zu gewinnenden neuen Formeln für die Additionstheoreme (13) und (14) S. 160 in sehr eineinfache invariante Gestalten setzen kann. Wir spalten z (und natürlich entsprechend die Werte x und Y von z) in den Quotienten Z1 : za zweier homogenen Variablen und ziehen neben fez) die "Verzweigungsform": (1) f.= 4z~za- ga$1 Z; - g3Z~ heran. Die Gleichung (13) S. 160 nimmt dann, in algebraische Gestalt umgeschrieben, nach Multiplikation mit x~y~ die Form an: 2 (x, y)2 z = (2X1Y1 - tga X 2Ya) (x 1Ya + XaY1) - gax;y~ - vr~ wo das Symbol (x, y) wie in I, 146 eine Abkürzung für (x1 Ya- XaYl) ist. Entsprechend kleidet sich die Gleichung (14) S. 160 nach Multiplikation mit x~ in die Gestalt:

.Vrv,

Y;

(x, y)3 Vf(z)

vrv

(xi (X1 Ya + 3X2 Yl) - ig2 X;C 3 X1 Y2 + XaYl) - g3X~Y2) - (yi(Y1 X 2 + 3Ya Xl) - igaY;C 3 YI Xa + Y2 Xl) - g3Y~Xa) y'l.

=

Es sei nun g"" y die durch 4 geteilte erste Polare der Verzweigungsform f" und h",!! die durch 12 geteilte zweite Polare: 4 of", + of", g""y= OX1 Yl ox2Y'J.' (2) 0'(", 2 + 2' o'f", + 0'(", 2 12h x,y= '5:i'Y1 -;;'X~YIY2 '"'x'Y2· u 1 U IV 2 U 2

1

Aus (1) berechnet man:

g",,'IJ = ( 3xi X a - iga x DYl + (x~ - jg2 Xl x~ - ga X;)Y2' h""y= 2XIX2Y~ + (2xi - tgaX;)YIYa- (tga x l xa + gaxDy;. Der Vergleich mit den vorstehenden Gleichungen ergibt als invariante Schreibweise der Additionsformeln der Funktionen SJ und SJ': hz,y -

]I f't" V(y

Z=--~'----

2(x,y)'

(3)

Vf(z)

=

,

g""yVt:: -gy,xVfx . (x, y)"

Diese Gleichungen erscheinen als algebraische Ausdrucksformen der transzendenten, zwischen den Stellen x, y, z bestehenden Gleichung:

(4)

f

%

dt

Vf(t)

f +. co

Y

J'

z

dt

y'f(i)

=

co

dt

Vf(t) .

1) "Über hyperelliptische Sigmafunktionen ", Math. Ann. Bd. 27 (1886), S. 455 ff.

163

Invariante Gestalten der Additionsformeln

In algebraischer Gestalt tritt das Additionstheorem bei Euler auf. l ) Das Hauptinteresse wendet~sich dann aber in den ältesten Untersuchungen unseres Gegenstandes sogleich der Annahme zu, daß der Wert s festgehalten wird. Dadurch werden die Stellen x und y in Abhängigkeit voneinander gesetzt, und zwar drückt sich diese Abhängigkeit zunächst in Gestalt der Differentialgleichung:

(5)

da; dy - 0 v1'(X)+v7(Y)-

aus, der man auch die homogene Gestalt verleihen kann: (6)

(a;, da;)

+ (y, '!!!)

=

O.

Yfx Yfy Indem man etwa in der ersten Gleichung (3) für s den konstanten Wert C einträgt, ergibt sich als algebraische Beziehung zwischen den Stellen x, Yf(x) und y, Yf(y): (7) hx,y- 2C(x, y)2_ Y1xY~= O. In dieser Gleichung hat unser Additionssats das allgemeine IntegraZ der Differentialgleichung erster Ordnung (5), und swar als algebraische Besiehung zwischen x und y ergeben. Auf dieses Ergebnis wurde ursprünglich das Hauptgewicht gelegt. 2) Sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr Integral (7) sind invariant gebaut. Geht man demnach durch lineare Transformation zu einer beliebigen Verzweigungsform: (8)

f.= aost

+ 4alz~z2 + 6a2z~s; + 4aS st s; + a4s~,

so behalten für diese sowohl die Differentialgleichung (6) als auch ihr Integral (7) unverändert ihre Gestalt bei. Übrigens gestattet die Gleichung (7) noch eine Vereinfachung. Man berechnet zunächst aus (8): hx,y= x;y:(aox 2 y2+ 2a1 xy(x+y)+ a2 (x 2 +4xy+y2)+ 2as(x+y)+a,,) und gestaltet den Klammerausdruck unter Aufnahme der beiden Funktionen fex) und f(y) leicht so um: hx , 11 = x;y;(tf(x) + tf(y) - tao(x2 - y2)2 - 2at (x 2 -

y2)(X -

y) -

2a2(x _ y)2).

Durch Eintragung dieses Ausdrucks in (7) entwickelt man als Gestalt des allgemeinen Integrales der Gleichung (5): (9)

(tlf(x~=~y =

ao(x

+ y)2+ 4at (x + y) + Cf,

wo Cf = 4a2 + 4C als neue Konstante eingeführt ist. Dieses Integral ist bereits von Euler entdeckt. 1) S. die geschichtlichen Angaben bei "Enneper-Müller", S. 184ft'. 2) S. "Enneper-Müller", S. 185ft'. 11*


In eine sehr einfache invariante Gestalt, die bisher nicht bemerkt zu sein scheint, kann man die Additionsformeln (16) S. 161 durch Aufnahme ternärer Variablen auf Grund der Proportion: (10) Xl: Xa : Xs = hO(U) : gJ'(U) : 1 kleiden. Zwischen den drei X k besteht dann eine algebraische Beziehung, die man durch Nullsetzen der ternären kubischen Form: (11) F", = 4x~ - ga Xl xi - x;xs - g3X~ erhiHt. Man setze u+ v.+ w = 0, wie S. 161, und bezeichne die den Argumenten u, v I w zugehörigen ternliren Variablen durch xkl Yxl Zk. Die Proportion (16) nimmt dann die Gestalt an:

(12) Zl : Z2 : Zs = {X;YIYS - x1XSY; - (2X2 Y2 + g2(X I Ys + XSY1) + 3gs xs YS) (x 1 Ys - xSY1)} { - (xaYa + 3gs xS 'Ys)(x 2 'Ys - X SY2) - 2(6x1Yl - ga XsYs) (xIYa - Xa'Yl) + ga(xIXaY~ - X;Y1Y2)} {x~y; - xiY; - (12xI Yl - gaxs Ys) (xIYs - XSY1)}· Bezeichnet Gx,y die erste Polare der Form (11):

G

( 13)

x,

-

y-

so gilt explizite:

x oF + oFx Ya + oF x1 OX Yl Ox. Ys, oX2

t

Gx , y = 12xiYl - g2 X;Yl - 2XaXs'Y2 - 2g2 Xl xs YS - x;Ys - 3gs x;ys· Die Proportion (12) läßt sich nun mit dieser Polare einfach so schreiben: Zl : Z2 : Zs = (Xl Gy, '" - Yl G"" y) : (x2Gy, '" - Y2 G"" y): (xs Gy, x - Ys Gx , 1J· Da die homogenen Variablen nur als Verhältnisgräßen für die Riemannsche Fläche in Betracht kommen, so kann man die Zk auch direkt den drei in der letzten Proportion rechts stehenden Gliedern gleich setzen: Bei Gebrauch der durch (10) eingeführten ternären Variablen kann man die Additionsformeln in die einfachen Ausdrücke: (14) Zk=XkGy,X-YkGx,yl k=I,2,S zusammenziehen, wo G die erste Polare der ternaren kubischen Form (11) ist. ,. X

"

§ 3. Übergang zu den Additionsformeln der Jacobischen . Funktionen. Bei Ausübung einer linearen Transformation auf die homogenen Variablen verhalten sich die rechten Seiten der Gleichungen (3) S. 162 invariant. Übt man die unimodulare Substitution Zl = z~ + e"z~, Z2 = z~ aus, so geht die Verzweigungsform fz = 4z2 (ZI - el ( 2) (Zl - e2( 2)(zl - eS( 2) bei Fortlassung der oberen Indizes an den neuen Variablen über in:

(1)

fz = 4z1 Z2(ZI - (e l

-

e)z2)(zl - (eil - eJz2 J,

Umformung der invarianten Additionsformeln in die Jacobischen

165

wo x, A, !-L die Indizes 1,2,3 in irgendeiner Anordnung sein sollen. Die erste Gleichung (3) S. 162 ergibt somit in den neuen Variablen und also für die Form (1): hx,y - 2 e" (x, V)~ - Vf" vI;; (2) z= 2(x, v)2----· Berechnet man nun für die Form (1) die zweite Polare 12hx , y' so erh _ 2e (x y)2 = 2x X y2 gibt sich: x, y ", 1 2 1

+ 2(x~ + 6 e"x1 x2 + (e.- e)(e# -

e)x;Y1Y2 + 2(e. - eJ(ep - e"lx1x2yD, wofür man nach Multiplikation mit 2X1X 2 Y1Y2 schreiben kann: 2X1 X 2 Y1Y2(h""y- 2e,,(x, y)2) = xixify+ yiyU~. Die Gleichung (2) gestattet demnach die Schreibweise:

z

(Xl x. vI; -

Vf"y

VI V2 4xI x 2 V, V. (x, V)2

=

Nach Ausziehen der Quadratwurzel und Übergang zur nichthomogenen Schreibweise folgt:

Vi

+ V; V(V -

(e. - e») (v-(ep-e)) - Vy V(x-(e.-e)) (x-(e,,,-e»). x-v Diese Gleichung schreibt sich bei Einführung der in I,383ft erklärten doppeltperiodischen Funktionen zweiter Stufe w,,(u), rp,,(tt) so: .1. (tt + v) = + 1/',,(u) 'P,,(v) - 'I/J,,(v) 'P,,(u) . =

'P"

Für lim tt

=

'I/J,,(u)' -1/',,(v)'

-

0 folgt, da lim W,,(u) U=O

W,,(v)

=

00

ist:

+ W,,(v) . :~~ (::~:?2)'

=

Nach (4) und (9) in I,384ft'. ist aber der rechts stehende Limes gleich 1, so daß das untere Zeichen gilt: Die Additionstheoreme für die drei Funktionen zweiter Stufe W" (u) = V~ (u) - e" lauten also: (3)

u'o rp,,(u) nach 1,385 erklärt werden kann durch: rp,,(u) = W),(u)wf,(u) = V(W,,(U)2 - (e. - e))(1fJ,,(u)2 - (e f, - eJ). Von (3) aus kann man unmittelbar zu den Additionssätzen der Jacobischen Funktionen gelangen. Nach 1,389 gilt:

(4)

u.) e

=

v~,

W2 (~_u__)

=

cn uVe, snu

Wj ( (5)

Ve

2 -

Ve,-e

1fJs (

,Ie

y,

l

i

snu

el

,

u _) = d nu Ve.-=-e~ , _ eI sn u

166

I, 1. Die Additionssl1tze der elliptischen Funktionen

so daß man mit Rücksicht auf (4) weiter findet: __~_) =

Cfl ( . / - -

r e.

81

(e: -

cn u dn u sn u' ,

81)

(6) . u ) Cfa ( ./ r e. - e1

=

(e. - e1 ) cn u . snu'

Die Gleichungen (3) führen damit zu dem Ergebnis: Die Additionsformeln der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn sind: sn (7)

Cu + v) =

+ v) =

snucnvs;nu:=::::nudnu'

dnu sn v onv - dnv snu cntt sn u cn v dn v - sn v cn u dn u ' cnu dnv snv - cnv dnu snu dn ( +) u v = - snucnvdnv-snvcnudnu'

[ cn (u

-

----. ----.----

Bei Aufstellung der zweiten und dritten Gleichung hat man von den bekannten Relationen Gebrauch zu machen: (8) cn 2 = 1 - sn 2, dn 2 = 1 - k 2 sn'. Gewöhnlich benutzt man eine andere Gestalt der Additionsformeln der Funktionen sn, cn, dn, die aus (7) durch eine einfache Umrechnung hervorgeht. Mit Hilfe von (8) beweist man leicht die Gleichung (sn u cn v dnv - snv cnu dnu)(snu cnv dnv + snv cnu dntt) = (snu 2 snv 2)(1 - k 2 snu 2 snv 2). Erweitert man nun die Gleichungen (7) rechts mit dem Ausdrucke (sn u cn v dn v + sn v cn u dn u), so lassen sich auch die Zähler mitte1st der Relationen (8) derart umformen, daß sich aus allen drei Brüchen die Faktoren (sn u 2 - sn v 2) fortheben lassen. Als neue Ausdrücke für die Additionsformeln der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn gewinnt man so: sn u cn v dn v + sn v cn u dn u ( +) v =.. 1-k'snu'snv' ,

sn u (9)

+ v) = . dn Cu + v) = cn Cu

~~u_cnv=~nu snv d~u dnv 1 - k" snu' snv· , dn u dn v - k' sn u sn V cn u cn~ • 1 - k" snu' 8nv'

Für die in 1,472 unter (7) angegebene Ausartung der elliptischen Funktionen, die im Falle 7;;2 = 0 eiutritt, gelangen wir hier zu den Additionssätzen der trigonometrischen Funktionen sin und cos zurück.

§ 4:. Einführung einer A.belschen Gruppe G 256 • Nach I, 384 führen die Änderungen des Argumentes u der ursprünglieben Sigmafunktion um Periodenhälften zu den drei Sigmafunktionen

Additionstheoreme für die Funktionen sn, cn und dn

167

6;(u I WH ( 2) der zweiten Stufe. Um allgemein das Verhalten der dreigliedrigen Relation (4) S. 158 bei solchen Änderungen festzustellen, erklären wir zunächst für die Argumente Xl' Yl' Zl' t l im ersten Gliede unserer Relation (4) S. 158 die symbolisch durch Y zu bezeichnende Substitution:

'I , 'I

+ 1X1 2" + 1X1,,(O~ 2"' Y, = Y1 + ß' -2- + ß" 2' +'1'1 2" + 1'1 2 ' Z1 Z1 Xl =

1

l

Cl)

=

(0,

(0,

=

t'1

(0,

Xl

t1

1 "

(0.

(0.

+ ~'1 2~~ + ~"1 2 ' (0.

und schreiben für diese Substitution auch abkürzend:

v = (IX~, ß~, 1'~, d'~).

(2)

IX~, ß~, 1'~, ~~

Hierbei sollen die IX~, IX~, ••• , ~~ irgendwelche acht ganze Zahlen sein, die nur der einen Bedingung zu unterliegen haben, daß die vermöge der in (6) und (7) S. 158 gegebenen Transformationen 8 und 8 2 auf die Argumentreihen X 2 , Y2' .,. und X 3 , Ys, ... umgerechnete Substitution V wieder Substitutionen S· V· 8- 1 und 8 2 . y. 8-: der Gestalten:

(3)

i= 2,3

f,

=

t.

,

+ ~:' 2 + ~~'' 2~~ (0,

.mit ganzzahligen Koeffizienten a~, a~, ... , (j~ liefern. Nun berechnen sich aber die vier Koeffizienten ß~, 1';, ~; aus den a~, ß~, 1'~, ~~ einfach durch die Substitution 8 bzw. 8 2, und ebenso erhält man die a;', ß;', 1';', ~;' aus den IX~, ß~, 1'~, ~~. Für die Ganzzahligkeit der IX;, cl;, ... , ~; ist demnach das Bestehen der beiden Kongruenzen:

a;,

(4)

IX~

+ ß~ + 1'~ + d'~ =0,

IX~ + ß~ + 1'~ + ~~

=0

(mod. 2)

notwendig und hinreichend. Alle Substitutionen Y mit ganzzahligen, die Kongruenzen (4) erfüllenden Koeffizienten bilden nun eine kommutative oder Abelsche Gruppe r. Der Abelsche Charakter dieser Gruppe ist eine Folge des Umstandes, daß sich bei Kombination zweier Substitutionen Y entsprechende Koeffizienten addieren. Soll die G-Relation (4) S. 158 durch ein einzelnes Y in sich transformiert werden, so müssen sowohl die acht Koeffizienten von V, wie die

168


sechzehn von 8· V· 8- I und 8 2 • V· 8- 2 durch weg gerade Zahlen sein. Aus den auf unsere Koeffizientensysteme umgeschriebenen Substitutionen (6) und (7) S. 158 geht hervor, daß für die Geradzahligkeit der Koeffizienten von V, 8· V· 8-l, 8 2 • V· 8- 2 die Kongruenzen:

(5)

= = = =

f a~ ß~ r~ o~ 0 , a~ - ß~ - "I; - o~ 0 (mod 2), la~+ß~+r~+o~_O, a~+ß~+r;+o;=O (mod4),

notwendig und hinreichend sind. Alle Substitutionen V, die die Kongruenzen (5) befriedigen, bilden eine in r enthaltene attsgezeichnete Untergruppe. l ) Die gefundene Untergruppe nennen wir r' und zerlegen nach dem bei endlichen Gruppen angewandten Grundsatze die Gesamtgruppe r in eine symbolische Summe von "Nebengruppen" (vgl. S.4):

6) r = r' + r'· U1 + r'. U2 + .. " wo die U geeignet gewählte Substitutionen V sind. Aus dem additiven Gesetze, das für die Kombination unserer Substitutionen gilt, ist dann folgendes einleuchtend: In irgend zwei Substitutionen der einzelnen Neben-. gruppe sind je zwei entsprechende Koeffizienten mod 2 und je zwei entsprechende Koeffizientensummen (a + ß + r + 0) mod 4 kongruent; für irgend zwei Substitutionen aus verschiedenen Nebengruppen bestehen diese Kongruenzen nicht zugleich. Die Anzahl der Nebengruppen bestimmt man demnach durch folgende Abzählung: Auf Grund von (4) ist von den vier Zahlen a', ß', "I', 0' eine mod 2 durch die übrigen bestimmt, und dasselbe gilt von einer der Zahlen cl', ß", "I", rJ"'. Man hat also (2 8)2 = 64 inkongruente Klassen von Substitutionen mod2. Jede dieser 64Klassen zerlegt sich wieder in 4 Unterklassen, je nachdem von den Zahlen (a' + ß' + "I' + 0') und (a" + ß" + r" + 0"), die zufolge (4) gerade sind, beide durch 4 teilbar sind oder nur die erste oder nur die zweite oder endlich keine von beiden. Indem wir den Begriff des "Index" einer Untergruppe aufnehmen, (vgl. S. 4), hat sich ergeben: Die durch die Kongruenzen (5) erklärte mtsgezeichnete Untergruppe der Gruppe r hat den Index 256 und möge demnach r 256 genannt werden. Nach den S. 9ff. für ausgezeichnete Untergruppen entwickelten Sätzen fassen wir nun die 256 Nebengruppen (6) selbst als Elemente einer Gruppe und bezeichnen diese Elemente gleich wieder durch Uo= 1, U1 , U2 , ... , U255 • Die ausgezeichnete Untergruppe r 256 liefert auf diese Weise eine Abelsche Gruppe G 256 der endlichen Ordnttng 256. Von den Untergruppen dieser G256 kommt diejenige zur Benutzung, deren Substitutionen den Kongruenzen: (7)

a~

=ß~ = "I~ = o~ ,

IX~' -

ß; -

r~ - o~

(mod 2)

1) Es ist selbstverständlich, daß auch Abelsche Gruppen der Ordnung nur ausgezeichnete Untergruppen enthalten.

00

Einführung und Untersuchung einer Abelschen Gruppe

G256

169

genügen. Unter den 64 mod 2 inkongruenten Klassen von Snbstitntionen befriedigen vier diese Kongruenzen; man hat nämlich die beiden Fälle IX~ = ß~ = ... = 0 oder = 1 (mod 2) mit den beiden Fällen IX~ = ß~· .. = 0 oder = 1 (mod 2) zn kombinieren. Jede der vier Klassen zerfällt aber, wie wir sahen, in vier Unterklassen, so daß im ganzen 16 unter den 256 bezüglich der T 256 inäquivalenten Klassen von Substitutionen die Kongruenzen (7) befriedigen. Die den Bedingungen (7) genügenden Substitutionen der G 256 bilden eine attsgezeiehnete Untergt"tlppe G16 der Ot·dnung 16 und des Index 16. Dieser Gl6 entspricht innerhalb der Gruppe reine ausgezeichnete Untergruppe r 16 des Index 16. Bevor wir etwas näher auf die G16 eingehen, stellen wir die Wirkung der Transformation unserer Gruppen r, r 16 , T 256 durch die Substitution 8 fest. Daß die Substitution S· V· S-l wieder ganzzahlige Koeffizienten IX~, ß~, ... , o~ hat, wurde bereits oben (S. 167) ausgesprochen. Da sich jede der beiden Reihen 1X2, ß2' 'Y2' 02 aus der entsprechenden Reihe 1Xl) ßu 'Y1' 0'1 durch die Substitution S selbst berechnet, so ist für beide Reihen:

(8) wie aus (6) S. 158 folgt. Also erfüllt auch S· V· S-1 wieder die Kongruenzen (4), so daß S . r . S-1 wieder die Gruppe r ist (natürlich für die Variablen x 2 , Y2' fJ2 , t2 geschrieben). Da die Substitution S orthogonal ist, so gilt nach S. 159 für jede der beiden Reihen IX~, ... und IX; ••• : IX~

+ ß~ + 'Y~ + o~ =

a~

+ ß~ + 'Yi + oi·

Bestehen also insbesondere die Kongruenzen (7), IX~

+ ß~ + 'Y~ + o~ = 0

SO

folgt:

(mod 4).

Da das Quadrat einer ganzen Zahl mod 4 mit 0 oder 1 kongruent ist, je nachdem die Zahl gerade oder ungerade ist, so folgt aus der vorstehenden Kongruenz, daß die Zahlen 1X 2, ß2' 'Y2' 02 der einzelnen der beiden Reihen mod2 einander kongruent sind. Somit ist S· r i6 • S-1 wieder die Gruppe I;6 selbst. Gelten endlich die Kongruenzen (5), so erweist sich (wegen der ersten Gleichung (6) S. 158) jede der Zahlen IX;, IX; als gerade, und also sind nach der eben beendeten Überlegung alle acht Zahlen 1X2, ß2' 'Y21 0'2 beider Reihen gerade. Dann aber folgt aus (8) und (5) weiter: 1X2

+ ß2 + 'Y2 + 0'2 -

1X1

+ ß1 + 'Y1 + 0'1 = 0

(mod 4),

so daß auch S· V· S-1 die Kongruenzen (5) befriedigt. Es hat sich also gezeigt, daß jede der drei Gruppen r, r 16 und r 256 durch S und also atteh durch 8 2 in sich transformiert wird. "Vir baueu nun zunächst die Gi6 in folgenderWeise auf: Ein einzelnes Zahlquadrupel ((x, ß, 'Y, 0) geht durch die Substitutionen 1, 8, S2

170


in drei zusammengehörige Quadrupel über. Für (a, ß, y, h) = (0, 0, 0, 0) sind diese drei Quadrupel einander gleich. Setzen wir weiter (a, ß, y, h) = (2, 0, 0, 0), so erhalten wir die drei Quadrupel:

(9)

(2,0,0,0),

(-1,1,1,1),

(-1, -1, -1, -1).

Wir fügen zu diesen drei Quadrupeln noch (0, 0, 0, 0) hinzu und kombinieren die vier Quadrupel zn den sechzehn Paaren

, ß'

,

h'

(a,~ ß'~ '}',: ~,,). oe, ,,},,u

Diese sechzehn Paare können wir als die Substitutionen der G16 verwerten:

0: 0: 0: °.

0000) Unter ihnen haben wir zunächst die identische Substitution (

Die 15 übrigen ordnen sich in fünf Systeme zu je dreien, wobei die Substitutionen des einzelnen Tripels durch S zyklisch permutiert werden. Bei dreien unter diesen Tripein, neun Substitutionen liefernd, besteht jedesmal eine der Substitutionen nur aus geraden Zahlen; ein Beispiel ist

(10)

( 2, 0,0,0)

0, 0,0,

°'

( - 1, 1, 1, 0, 0, 0,

1)

°'

( - 1, - 1; - 1, - 1) 0, 0, 0, 0'

Bei den beiden übrigen Tripein, die noch sechs Substitutionen ergeben, ist keine der Substitutionen aus durchweg geraden Zahlen zusammengesetzt; ein Beispiel hierfür ist das Tripel: (11)

0, 0) (-12, 0, 1 1 1 '

, , ,

( - 1, - 1, -1, -1)

1, 1, 1) ( - 1, - 1, - 1, - 1, - 1 '

2,

0,

0,

0'

Man zerlege nun die GS56 entsprechend ihrer ansgezeichneten Untergruppe G16 in die sechzehn Nebengruppen:

(12)

G256 = G16 + G16 , Tl + G16 • T, + ' ..

+G

16 ,

T15 •

Es sind dann endlich auch noch die sechzehn hierbei zu benutzenden Substitutionen To = 1, Tl' T 2 , ••• , T15 zweckmäßig zu wählen, Es gehören aber zwei Substitutionen (

ß', y', h' ') "ß" "h"··' oe, ,,},, oe',

( ~"-" ß-"ß', .,oe,

11,

,,},, -'I

h') b"

stets und nur dann der gleichen Nebengruppe Gl6 , T k an, wenn die Kongruenzen gelten:

=

=

=

~' - a' (3' - ß' r' - ')" h' - h' ) -" "ß-" ß" _ (mod 2). a-(X= = ,"} , --" y -=~ u - u~" Neben To= 1 treffen wir nun für die weiter folgenden neun Substitutionen Tl! T 2 , •• " T 9 die Wahlen:

171

Die ausgezeichnete Untergruppe G16 in der G!56

{

(13)

1) _ (0, 0,0,0) _ (0, 0, 1, 1) Tl ° ° ° ° ' T °, °, 1, 1 ' Ta - °, °, 1, 1 ' _ (0, 1,0, 1) _ (0, 0,0,0) _ (0, 1,0,1) , , , , , , T ° ° ° ° . T ° 1 °1 ' T °, 1, °, 1 ' _ (0,0000' 1, 1,0) _ (0, 0,0,0) _ (0, 1,1,0) T (0, 0, 1, , , ,

=

4

2-

s-

5-

-

° °'

, , ,

° °'

, 1, 1, , 1, 1, Tg T9 während wir den Rest der sechs Substitutionen T 10 , • " so bestimmen: 7 -

T10 =

(°0, 0,1 °1, 11) '

Tl3 =

( 0, 0, 1, 1) 11

1

(14)

, , ,

°'" ° '

(0, 1, 0, 1) (0, 1, 1, 0) l2 = 1 1 ' T , , , , , 1, 1 ' (0, 1, 0, 1) (0, 1, 1,0) Tu = 11 Tl5 = 1 1 . '" '"

T 11 =

°° ° °'

°° ° °

Man wolle mitte1st der elementaren Durchrechnung feststellen, daß keine . zwei der sechzehn Substitutionen T o, Tl) ... , T 15 der gleichen Nebengruppe (12) angehören. Damit ist dann bewiesen, daß man diese Substitutionen zum Zwecke der Zerlegung (12) in der Tat gebrauchen kann.

§ 5. Die 256 dreigliedrigen Sigmal'elationen. 1) Mitte1st der Relation (8) in 1,209 stellt man die Wirkung einer Substitution V der Untergruppe r 256 auf die Relation (4) S. 158 fest. Das erste Glied der Relation erfährt die Substitution V, während auf die Argumente X 2 , .•• und x s , ... der beiden anderen Glieder die Substitutionen 8 . V· 8- 1 und 8 2 • V· 8- 2 auszuüben sind. Alle Sigmafunktionen gehen bis auf Exponentialfaktoren in sich über. Der bei der ersten Funktion (3 (Xl) auftretende Faktor aber ist:

und man findet, daß das erste Glied nnserer Sigmarelation in sich, multipliziert mit der Exponentialfunktion von:

:i (a~

+ r~r~ + o~ o~) + ~ ((a~ ~1 + IX~ ~2)Xl + ... + (o~ ~l + O~t12) t + ~1 + 112) + + ... + (u "11 + u 1l2

c( + ß~ß~

+ 8"1 ( (1X 1 1

1)

"( . "

1X 1

1X 1 (iJ1

1X 1 (iJ2)

5 W 2 auch noch als dritte Periode Ws = - W l - W 2 einzuführen und 'YJs als entsprechende Periode des Integrals zweiter Gattung zu benutzen. Bei den Rechnungen ist wiederholt die Legendresche Relation (6) aus I, 160 zu benutzen. Im übrigen gründen sich die Rechnungen auf das Verhalten der ursprünglichen 6-Funktion und der drei Funktionen 6 1 (u), 6 2 (u), 6 s (u) zweiter Stufe bei Änderung der Argumente um Perioden oder um Periodenhälften. Wir notieren zunächst aus 1,384:

(1)

+ w,,) = - e± ~xu +t~n"''' 6(u) , r::. ( + )=_ e±'lnU+-}r,,,w,,r::. Ur. U _ w" u" CO) u ,

j

6(u

6,,(u

± (2) = + e± "l u+ -} '11. "'l

6,,(u) ,

wo x, A zwei verschiedene der drei Indizes 1, 2, 3 sind. Weiter folgt aus der Erklärung der 6,,(u) in 1,384 und den übrigen daselbst entwickelten Formeln:

(2)

wo X, A, !L die Indizes 1, 2, 3 in irgendeiner Anordnung sind. Die Werte der Sigmafunktion für die Periodenhälften können nach I, 416ff. durch

Transformation der ursprünglichen G-Relation durch die

r 256

173

die daselbst unter (12) eindeutig erklärten vierten Wurzeln aus den Differenzen der eu ev es so dargestellt werden:

(3)

,,- ~a8W3 6 (O)s)

l+i

=

2

J

_

Ve

,t

172

2 -

es • "'~ V es - el

.

Die 15 von der identischen Substitution verschiedenen Substitutionen der GIS zerlegten wir in zwei Systeme zu neun bzw. sechs Substitutionen. Um ein Beispiel für die Wirkung der ersten neun Substitutionen auszuführen, so üben wir auf die drei Glieder der Relation (4) S. 158 gleichzeitig die drei Substitutionen (10) S. 170 aus. Im ersten Gliede bleiben die ursprünglichen 6-Funktionen bestehen, im zweiten und dritten Gliede findet sich überall die Funktion 6 1 ein. Entsprechend ist es überhaupt der Charakter der neun sich ergebenden neuen Relationen, daß immer in einem der drei Glieder die ursprünglichen 6 verbleiben, während übrigens entweder nur 6 1 oder nur 6 2 oder endlich nur 6 3 auftritt. Als ein Beispiel für die sechs noch fehlenden Substitutionen der GIS üben wir auf die drei liederG der Relation (4) S. 158 gleichzeitig die drei Substitutionen (11) S. 170 aus. Dabei treten im ersten Gliede nur Faktoren 6 21 im zweiten nur 6 3 und im dritten nur 6 1 auf. Entsprechend erscheinen wieder die übrigen fünf Relationen gebaut. Etwaige gemeinsame Exponentialfaktoren in den drei Gliedern einer transformierten Relation wird man fortheben. Auch hat man sich bei den Umrechnungen neben der Legendreschen Relation zur Vereinfachung der drei Gleichungen (3) zu bedienen. Die Rechnungen führen zu einem sehr übersichtlichen Ergebnisse, falls man sich folgender Abkürzungen bedient: (4)

1;(')

=

6 (x,) 6 (y,) 6 (Zi) Yu Zu tl die Werte Xl = (2n + l)u, Yl = Zl = tl = U ein, so ergibt sich: G (2n + l)u) 6(u)3- G(n + 2)u) 6(nu)3 + G(n-1)t~) 6(n + 1)u)3 = O. Trägt man zweitens Xl = 2 nu, Yl = 2 U, Zl = tl = u ein, so folgt: G(2nu) 6 (2tt) G(U)2- G(ntt) G(n + 2)u) 6(n - l)u)2 + G(nu) G(n - 2)u) 6(n + 1ht)2= O. In die Funktionen 1j; umgeschrieben lauten diese Relationen:

( 8)

{1j;(2n+l)(tt) = 1j;(n+2l(tt) 1j;(nl(u?_1jJ(n-ll (u) 'lj!(n+ll (u)3, 1j;(2nl(u) 1jJ(2l(u) = 1jJ(nl(tt) (1jJ(n + 2) (u) 1j;(n-l)(U)2 _ 1jJ(n- 2) (tt) 1jJ(n + 1) (U)2).

1) Ein anderer Weg zur Berechnung von angegeben werden.

'!/J(3) (u)

und

'!/J(4) Cu)

wird sogleich

186

I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen

Im Anschluß an (6) kann man mit Hilfe dieser Formeln in der Tat 1fJ(5 l (U), (U), ... berechnen. Diese Rekursionsrechnungen gestalten sich aber alsbald sehr umständlich. Demgegenüber kann man wieder durch Einführung einer Determinante einen Ausdruck für 'l/J(nl(u) sogar bei beliebigem n angeben. In I, 450 ist unter (1) die von Klein eingeführte Funktion G2,1,(U[(lJ1I(lJ2) erklärt I), wo A, [1 die unter (1) genannten Kombinationen ganzer Zahlen durchlaufen sollen mit Ausschluß der Kombination A = 0, [1 = 0, die zur ursprünglichen 6-Funktion zurückführt. Der Quotient von GA,I' (u) und G (u) zeigt bei Vermehrung von u um Perioden das Verhalten: 'I/J(6 l

(9) wie man aus der Gleichung (2) in I, 451 folgert. Die nie Potenz dieses Quotienten hat demnach die Perioden (lJl' (lJ2' und zwar stellt sie eine n-wertige doppeltperiodische Funktion dar, deren n Pole im Gitterpunkte u = zusammenfallen, während die n Nullpunkte an der Stelle (1) gleichfalls zusammenliegen. Nach I, 206 stellen wir nun diese Funktion in der Gestalt:

°

(~~~!i~~)r =

ao + a1iO(u)

+ a2~o'(u,) + ... + an _ 1 SJ(n-2l (u)

°

dar, wo der letzte Koeffizient an _ 1 sichel' von verschieden ist. Da aber an der Stelle (1) ein Nullpunkt n ler Ordnung unserer Funktion liegt 2), so verschwinden ebenda auch noch ihre (n - 1) ersten Ableitungen; d. h. für die Stelle (1) sind die (n - 1) in den Ableitungen von S9(n) linearen homogenen Gleichungen erfüllt: a1 SJ'(u) + a2i:l"(u) + ... + an _ 1 SJ(n-ll(u) = 0, alSJ"(~t)

al SJ(n-ll (u)

+ a2 SJ"'(n) + ... + an _ 1 SJ(nl(u)

=

0,

+ a2SJ(nl(U) + ... + (tn_t!J(2n-3l (u) =

°

0.

Mit Rücksicht auf an _ 1 9= folgt hieraus aber weiter das Verschwinden der (n - l)-reihigen Determinante ) !J '(u,

(10)

Dn(u)

an jeder Stelle (1).

=

) SJ "(u, ..., SJ (n-ll ( u)

SJ u,

) SJ "'(u,. '" SJ (r/l ( U )

SJ(n-ll(u),

SJ(n)(~t),

"( )

...,

~o(2n- 3l(U)

1) An Stelle der in I, 450 im Anschluß an ältere Arbeiten über -lr-Funktionen benutzten Bezeichnung 6 g ,,.(u) wird fortan die in der Theorie der Modulfunktionen übliche Bezeichnung 6 1,1'(u) gebraucht. 2) Es gilt hier immer die Kombination Ä = 0, /L = 0 als ausgeschlossen.

Determinante D,,(u) von Brioschi und Kiepert

187

Wir haben damit die schon erwähnte Determinante gewonnen, die von F. BrioschP) und L. Kiepert 2) zur Aufstellung der Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen herangezogen ist. Tragen wir für SQ'(u), ~Q" (u), . .. die Anfangsglieder der Reihenentwicklungen nach Potenzen von u ein, so gewinnt man als Anfangsglied der Reihe von Dn(u) selbst: (11) D,,(u) = ( - 1)"-10". u-(n -1) + ..., 2

wo On die folgende, sogleich weiter zu berechnende Determinante ist: 2!, 3!, 41, ..., n!

(12)

On =

3!,

4!,

5 ! , . . , (n

+ 1)1

n!, (n + I)!, (n + 2)!, ..., (2n - 2)! Hiernach ist D,,(u) eine (n 2 -1)-wertige doppeltperiodische Funktion, die mit 1jJ(n)(u) in bezug auf Pole und Nullpunkte genau übereinstimmt und also mit 1jJ(n) Cu) bis auf einen konstanten Faktor identisch ist. Um diesen Faktor zu bestimmen, haben wir zunächst On zu berechnen. Wir sondern aus den Zeilen der Determinante (12) bzw. die Faktoren 2!, 3!, ..., n! ab, hierauf aus den Spalten die Faktoren I, I!, 2!, ..., (n - 2)! und gewinnen auf diese Weise: (13) On = n(2! . 3! . 4! ... (n - 1)!)2. O~,

0'= n

I,

(~),

(:),

(~), ..., (n~2)

I,

(~),

G),

(:), ..., (:~~)

C~+2) I, C~+l) 1 ' 2 '

(n+3) (2n-2) 3 ,..., n- 2

wo (;) der kte Binomialkoeffizient der n ten Potenz ist. Die Determinante O~ erweist sich als von n unabhängig und hat demnach den Wert C~ = 1. Zieht man nämlich jede Spalte, mit der vorletzten beginnend, von der folgenden ab, und verfährt man darauf mit den Zeilen genau so, so kürzt sich bei Benutzung einer bekannten Regel der Binomialkoeffizienten O~ zu:

I, (~),

1,

(~),

n-l) ..., (n-3 ..., C~ ~ 3)

1) "Sur q uelques formules poar la multiplication des fonctions elliptiques", Compt. Rend. Bd. 59 (1864) S. 999. 2) "Wirkliche Ausführung der ganzzahligen Multiplikation der elliptischen Funktionen", Journ. f. Matli. Bd. 76 (1875), S. 21.

188

I, 2. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen

Hiernach haben wir an Stelle von (11) genauer: Dn(u) = (- 1)n- 1 n (2!. 3!· 4! ... (n - 1)!)2u -(n'-1) + ... als Anfangsglied der Reihe von D n (u), und der Vergleich mit dem Anfangsgliede der Reihe für t/J(n)(u) ergibt den Satz: Die Funktion t/J(")(tt) besitzt für beliebiges n in den Ableitungen von SO (u) die Darstellung: (14)

t/J(n)(u)

=

(_1)n-l . (21.31.41 ... (n_l)I)!Dn (tt),

wo D,,(u) die in (10) gegebene (n-1)-reihige Determinante ist. Der "Multiplikationssatz" für die &9-Funktion nimmt damit die abgeschlossene Gestalt an, daß g,J(nu) sich in dem Ausdrucke (4) oder (6) darstellt, wo die Funktionen t/J(n)(u) fiir alle n sich nach dem Gesetze (14) und (10) aus den Ableitungen g,J' (u), g,J" (u), ... berechnen. Um schließlich bis zur Gleichung (2) vorzudringen, ist hiernach in der Hauptsache weiter nichts mehr nötig als die Ableitungen der g,J-Funktion von g,J"(u) ab in g,J(u) und g,J'(u) darzustellen (vgl. 1,207). Für die Ableitungen g,J" (u), f-J'" (u), g,J(4) (u), g,J(5) (u) finden wir bei Fortlassung der Argumente Ul): (15)

I

g,J"=3!g,J2_tg2' g,J"'=2.3!g,Jg,J', g,J(4) = 6! f../3 - 2· 3 2g2g,J - 2 2 • 3g3 , g,J(5) = (3. 5! g,J2 - 2· 3 2g2) g,J'.

Bei Fortführung dieser Rechnung erkennt man leicht, daß sich jede Ableitung gerader Ordnung g,J(2k) als ganze Funktion (k + 1)ten Grades von g,J darstellt, deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Ausdrücke in t g2 und 93 sind. Wir bezeichnen diese Funktion dUrch das Symbol Pk(g,J, tg2' g3) und haben dann die allgemeinen Ansätze: (16) r- (2k)= P k(&9, tg2' gs)' g,J(2 k+1) = P~(g,J, tg2' gs)'g,J', J

wo P~ die Ableitung von P k nach g,J ist. Der Koeffizient des höchsten Gliedes von P k bestimmt sich aus den Anfangsgliedern der Potenzreihen nach u zu (2 k + I)!. Da übrigens g,J(2k) eine homogene Funktion der Dimension - (2 k + 2) in u, W 1 , Ws ist, so kann man den rationalen ganzen Ausdruck von P k in &9, t g2' gs bis auf die numerischen Koeffizienten sofort angeben. Man hat den Ansatz: (17)

g,J(2k) = Pk(fP, tg2' gs) = (2k + 1)!g,Jk+ 1+ a1(tg2)g,Jk-1 + a2 gs so k + aS (tg2)2g,Jk-3+ a4(tg2)gsg,Jk-4+ (a 5(tg2)3+ a~gV!Jk-5 + a6 (tg2)2gsg,Jk-6+ (a7(ig2)4+ a; 1.

Die Stelle Uo denken wir vorerst fest ge-

l) "Sur l'integration de la formule differentielle (Jd'!. , R et

VR

(!

etant des fonc-

tions entieres", Journ. f. Matb., Bd. 1 (1826). 2) "Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques a l'algebre", Journ. f. Math., Bd. 7 (1831). 3) "Application des transcendantes abeliennes a la theorie des fractions continues", Journ. f. Math., Bd. 48 (1852). 4) "Uber Addition und Multiplikation der elliptischen Funktionen", Journ. f. Math., Bd. 88 (1879).

Ansatz einer Kettenhruchentwicklung

193

wählt, und zwar so, daß gJ (ntto), ~9' (nu o), Ü9(uo) - p(nuo») endliche und von 0 verschiedene Werte sind. Es ist dann jedenfalls nuo keine ganzzahlige Kombination von Periodenhälften, woraus hervorgeht, daß auch &9 (u o), &9' (uo) endlich sind, und daß die beiden Stellen + nuo bezüglich der Gruppe r(u) nicht äquivalent sind. Die Funktion (1) hat im Periodenparallelogramm zwei Pole und ist also zweiwertig. Der eine Pol liegt bei u = 0, wo das Anfangsglied der Potenzreihe durch cJJ,,(u) = - u- 1 + ... gegeben ist. Ein weiterer Pol kann nur in einem der beiden getrennt liegenden Nullpunkte erster Ordnung ± ntto des Nenners (&9(U) - gJ(nuo») auftreten. Da aber an der Stelle u = nuo auch der Zähler (gJ'(u) - &9'(n~to») verschwindet, so bleibt als weiterer Pol nur noch ~t = - nuo übrig. Von den beiden Nullpunkten der Funktion (1) liegt einer bei u = U o und also der andere zufolge des Abelschen Theorems (5) in 1,213 bei u = - (n + l)uo' Man kann daraufhin sofort die Darstellung (6) in 1,214 der Funktion (1) durch die 6-Funktion ansetzen, wobei der von u unabhängige Faktor aus dem schon genannten Anfangsgliede - ~(-i von CP,,(u) gewonnen wird. Man findet:

(2) eine Gleichung, in der fortan U o als unabhängige Variable gelten darf. Für n > 2 findet man weiter mit Benutzung von (14) in I, 217:

(3)

S;J(U) - SO (uo)

6 (u

+ uo) 6 (u + (n - 1)uo) 6 (nuo) + n16o) 6 (uo) 6«n -

1 u)

CP1 (uo)'

=

Im übrigen gilt auch für die Funktion 11>1 (u) die allgemein unter (2) gewonnene Darstellung durch die Sigmafunktion. Hieraus folgt wie oben, daß die Gleichung (4) auch für n = 2 bestehen bleibt, falls wir CP2(UO) durch die allgemeine Vorschrift (5) erklären. Schreiben wir die entwickelte Formelkette in der Gestalt: 1 )Q'(u)-Sd(uo) s.J(u) _ p(uo) =

2

p(u) - SQ(Uo)

----4>~(u)-- = 9(1.1) - p(uo) = 4i.(u)

SJ(U) - SJ(uo) 4iu_1 (u)

=

+ 11>1 (u), () CP2 U o + W2 (u), cP (u ) + q) (u) sos,

CPl (uo)

CPn

+ Wn (U ) ,

() Uo

unter nirgendeine ganze Zahl > 1 verstanden, so sind die ersten Glieder der rechten Seiten stets als die Grenzen der links stehenden Ausdrücke für u = Uo eindeutig bestimmt, womit dann zugleich auch die in den zweiten Gliedern rechts stehenden 11>.(u) als für u = U o verschwindende Funktionen bestimmt sind. Die Elimination von W17 W2 , •••, Wn _ 1 ergibt aber für die in der ersten Gleichung links stehende Funktion die Entwicklung in einen n-gliedrigen Kettenbruch: (9)~ )Q' (u) - SJ' (u.) = (u ) 2 f.J(u) - SJ(uo) CP1 0

+ p(u) () CP. U O

SJ(uo) SJ(u) -

+

!Ps

(

U

p(uo)

+ 8J(u) o )

!P. (uo)

p(u.)

+: :+ •

+SJ(uo)

p(u) !Pn (u.)

4in (u) •

Diese Kettenbruchentwicklung ist nun auch in algebraischer Gestalt durchführbar, nämlich auf Grund der Regel, nach der man eine Potenzreihe in einen Kettenbruch umrechnet. Wir setzen zunächst die Formel (9) in algebraische Gestalt, indem wir:

so (u) = x,

SO (uo) =

xo,

g;/ (u)

=

-Vfex),

Ff/ (uo) =

-V f(x o)

schreiben, unter fex) die ganze Funktion (4x S- g2X - gs)

verstanden~

Die Kettenbruchentwicklung in transzendenter und in algebraischer Gestalt

(10)

~ Vf(il:::- ~~ 2

PI + X

=

x-%.

x,,-

-

x-%

+--- x-x !Ps + !P. -+-: :+ _x -xo_.

!P.

!Pn

Um die Taylorsche Reihe der links stehenden Funktion: (11)

195

+ qln

o) = a + a (x - x ) + a (x - x )2 + ... ~2 J(10::c -- Vf(x X 0 1 0 2 0 , o

1 dnVf'(xo) 2an-I =n! -----dx"

in den Kettenbruch (10) umzuwandeln, hat man wiederholt von der Gleichung:

Cl Z + (Ci (Co + Cl Z + c 2 Z·•+ Cs Zs + •••)- 1 = -1 - -. -. - -.CI) Z 2 _ (Cr _ ~ Cl C. + ~) Z3 + ... Co

cg

c~

Co

Co

Co

CÖ

Gebrauch zu machen, mittelst deren man den reziproken Wert einer Potenzreihe wieder in eine solche Reihe umwandelt. Die Anfangsglieder des Kettenbruchs (10) in der neuen Gestalt sind gegeben durch: ~ Vf(X)-v7(XJ 2 x-xo

=

a 0

+ x-xo 1 x-x _+ __ 0

a1

_111. + x -2xo a.

a. a1 (a 1 a.-a;)

+~::- X o

_ (alaS-a~)'

_

a.(a.a4 -aV

+.

:

Der Vergleich mit (10) lehrt die folgenden Darstellungen der Pli p" ... : 1

(12)

P2 = a1

P5

=

Ps =

'

-

-

ai

a. '

P4=

a (a 1

1

a'2 aa-aV'

(al a. - ai)' an ' .. " 4-

a. (a, a

wo die a Ol al1 a2 , ••• durch die zweite Gleichung (11) gegeben sind. Bei Rückgang zu den transzendenten Funktionen wollen wir den Index an U o fortlassen und haben dann erstlich:

_

Cfl -

~ s.:(u) 2 p' (u)'

__~S~~(~

Pn -

&J(u) _ 8J (nu) '

n

1

> .,

während andrerseits aus der zweiten Gleichung (11): 1 d &J' (u) 1 8/' (u) a =---=--o 2 dp(u) 2 Si " -~g2)U2 + 269J.I,SJ;"U3 + ... , , () ' '(6 &9 i2.,u - 21g2) tt + 6 &9;.,,, &9)'.... u 2 + ~JJ.p. U - &9;.,u + + (20S:iL, - 3g2 69ip. - 2gs)uS + ....

8J;.,u(tt) = S9J.p.

Durch Multiplikation dieser Reihen mit der für l/J (u) gewinnt man die fertige

218

I, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen

Gestalt der Anfangsglieder der Reihen für t/J(u)f"ll'(u) und t/J(u)&,,~I'(u), so daß der Vergleich mit den Ansätzen (8) die Bedeutung der Koeffizienten ao, al l . • . , b2 aufklärt. Man schreibe endlich in den Gleichungen (7) und (8) noch ~ an n

Stelle von u und führe übrigens wie oben (S. 216) die algebraischen Bezeichnungen Z, W, Z', W' ein. Als Ergebnis findet man: Im Falle n, = 3 stellen sich die 9 Transformationen der Riemannschen Fläche F18 in sich mittelst der Z, W durch folgende lineare Substitutionen dar:

(10)

Z' : W' : 1 = (2 &"t,

-

tg2 f"lf' - 2gs) Z - S"J.f'f"~~ W - (t g2 &"~I' + 3gs f"lf' + t g;i)

: (6 f"~ I' -- t g2) So~1' Z - &"~ 7, W : (- (6 &O~I' - }g2)Z - &";./, W

+ (6 &"t, - t g2 S"J.I' -

3 gs) &0; 1')

+ (2&,,~1' + tg2 &Oll' + gs)·

§ 3. Zyklische Untergruppen der G n • und Kongruenzgruppen n ter Stufe. Für die Snbstitutionen der Gruppe Gn• gebrauchen wir fortan die u'

Schreibweise:

=u + lro] +mro

2

(mod n);

wir bezeichnen diese Substitutionen durch So = 1, S11 S2' ... , S"'_l und deuten die einzelne unter ihnen auch durch das Symbol (l, m) an. Es soll nun zunächst die Entwicklung, welche in 1,377 für n = 2 ausgeführt wurde, auf beliebiges n übertragen werden. Zu diesem Zwecke stellen wir erstlich die "Perioden" der Substitutionen S und damit die "zyklischen Untergruppen" der G,,' fest. Die vte Potenz von S = (l, m) ist einfach Sv = (vl, vm). Soll Sv = 1 sein, so müssen die beiden .Zahlen vl, vm zugleich durch n teilbar sein. Ist t der größte gemeinsame Teiler von 1 und m, so gibt es zwei ganze Zahlen a, b, die die Gleichung al + bm = t befriedigen. Soll demnach Sv= 1 sein, so ist hierzu notwendig und offenbar auch ausreichend, daß:

a . vl

+ b . vm =

vi

durch n teilbar ist. Die kleinste, dieser Bedingung genügende positive wo Zahl v ist !:, 'r

't'

der größte gemeinsame Teiler von t und n ist. Im

Falle 't' = 1 nennen wir das Zahlen paar l, m teilerfremd gegen n. Die sogleich näher zu bestimmende Anzahl inkongruenter und gegen n teilerfremder Zahlenpaare mod n werde durch das Symbol x(n) bezeichnet. Wir merken vorläufig den Satz an: Die Periode der einzelnen Substitution S ist stets ein Teiler von n; insbesondere hat man X(n) Substitutionen der Periode n.

Anzahl der gegen n teilerfremden Zahlenpaare

219

Zur Bestimmung der Anzahl x(n) nehmen wir an, daß n das Produkt n 1 • n 2 zweier teilerfremder ganzer Zahlen n u n2 sei. Für das einzelne Paar l, m geIte: (i=

1,2)

wo die l;, mi Zahlen der Reihe 0, 1, 2, ... , ni - 1 sind. Das einzelne Paar l, m reduziert sich also nach den Moduln ni auf zwei bestimmte Restpaare l" mj • Auch umgekehrt gelangen wir durch Kombination der ni Restpaare l11 m 1 , mit den n~ Restpaaren l2' m2 zu den gesamten n~ . n; = n 2 Restpaaren mod n zurück. Die einzelne Zahlklasse mod 11, ergibt sich nämlich entsprechend durch Kombination der 11,1 Zahlklassen mod 11,1 mit den n2 Klassen mod n 2. Aus den Gleichungen:

(1) in denen die (x, ß ganze Zahlen sind, ist einleuchtend, daß der größte gemei)1same Teiler Ti von li' mil n i auch als Teiler in l, mund n enthalten ist. Haben andrerseits l, mund n einen Prim teiler p gemein, so ist p in n i , d. h. in einer der Zahlen n u n 2 , als Faktor enthalten und geht zufolge (1) auch in li und mi auf. Die sämtlichen gegen n teilerfremden Paare l, m erhalten wir also gerade genau, wenn wir die x(nt ) gegen n 1 teilerfremden Paare lt, m1 mit den X(n 2 ) gegen n 2 teilerfremden Paaren kombinieren. Es gilt demnach für die Anzahl X das Gesetz X(n i . 11,2) = x(n1) . x(n2), falls n 1 und n 2 teilerfremd sind. Hiernach braucht man X(n) nur noch in dem Falle zu berechnen, daß n eine Primzahlpotenz p" ist. Unter den p" inkongruenten Zahlen 0,1,2, .. . ,p" - 1 sind aber p,,-1 durch p teilbar und (p" - p,,-i) teilerfremd gegen p. Wird l gleich einem dieser (pv - p"-i) teilerfremden Reste gesetzt, so liefert jedes m ein gegen p" teilerfremdes Paar l, m, was p"(p" - p"-1) inkongruente Paare ergibt. Setzt man aber l gleich einem der pv-1 durch p teilbaren Reste, so sind für m nur noch die (p"_ pV-1) gegen p teilerfremden Reste zugänglich, was noch p"-1(p"_p"-1) Paare liefert. Hieraus folgt:

x(p") =

p"(p" - p.-l)

+ p.-l(p. _

p'-1) = p2"

(1 _ ;.)

und damit der allgemeine Satz: Ist die Prvmfaktorenzerlegttng der Zahl 11, durch n = P~' . p1' . p;' ... gegeben, so ist die Anzahl xCn) der gegen n teilerfremden Paare l, m und damit die Anzahl der in G11' enthaltenen Substitutionen der Periode n:

(2)

xCn)

=

11,2(1-

;i)(1- ;5)(1- ;~) ....

Jede dieser x(n) Substitutionen S der Periode n erzeugt eine zyklische Untergruppe Gn der Ordnung n. Soll unter den n Substitutionen

220


S~ dieser Gn die einzelne S" wieder die Periode n haben, so ist hierzu notwendig und hinreichend, daß v teilerfremd gegen n ist. Da unter den Resten mod n im ganzen:

(3)

epen)

=

n(1 -

p~) (1

-

~J

(1- ~) ...

teilerfremd gegen 12 sind, so enthält die Gn insgesamt epen) Substitutionen der Periode 12 und kann aus jeder dieser Substitutionen erzeugt werden. Erklären wir neben x(n) und epen) eine dritte von 12 abhängige Anzahl 1/!(n) durch: ljJ (n)

(4)

=

12 (1

+

;J

(1

+

;J (1 + ;J ... ,

= ep (n) . 1/! (n), und wir gewinnen den Satz: Als zyklische Untergruppen höchster Ordnung treten in der G r; im ganzen 1/!(n) Unterg1"Uppen G n der Ordnung 12 auf: Da G n• eine Abelsche Gruppe ist, so ist jede dieser G n eine "ausgezeichnete" Untergruppe der G n" Innerhalb der Gruppe r(u) der Substitutionen u' = u lOO 1 1noo z

so gilt X (12)

+

+

bilden nun alle Substitutionen, die mit den Substitutionen einer vorgelegten zyklischen Gn mod 12 kongruent sind, eine durch r~U) zu bezeichnende Untergruppe, welche die in 1,375 erklärte Hauptkongruenzgruppe r~~) der n ten Stufe in sich enthält. Wir nennen auch r~U) eine "Kongruenzgruppe n ter Stufell und haben unseren 1/!(n) zyklischen Gn entsprechend I/J (12) innerhalb der Gesamtgruppe r(u) ausgezeichnete Kongruenzgruppen n ter Stufe r~). Daß sie ausgezeichnet sinß, folgt in der Tat unmittelbar

wieder aus dem kommutativen Charakter der r(u). Wie im Falle 12 = 2 (vgl. I, 379ff.) gestalten sich die Verhältnisse aber wieder anders innerhalb der ternären Gruppe r(u,wl, in welcher die r(u) als ternäre Untergruppe der Substitutionen:

(5) und die Modulgruppe

(6)

, u = u,

r(w)

als ternäre Untergruppe der Substitutionen:

enthalten ist. Transformiert man nämlich die kurz durch S = (l, m) zu bezeichnende Substitution (5) mitte1st der unter (6) gegebenen Substitution V der pw), so wird, wie schon in 1,379 festgestellt ist, die transformierte Subsitution:

(7)

S' = V· S· V-l = (l', m') = (lo - mr, - lß

°

+ mlX).

°

Gilt nun zunächst 1= m (mod 12), so ist freilich auch l' - m' = (mod n), woraus man folgert, daß die Hauptkongruenzgruppe r~~) auch in der ternären Gruppe r(u,w) attsgezeichnet ist. Demgegenüber wird z. B. die Substitution S = (0, 1) in S' = (....:. r, IX) transformiert. Nun kommen in der r(w) als Zahlen - r, IX alle Paare teilerfremder ganzer Zahlen vor·

Die 1/J(n) KongJ:l1.enzgruppen n ter Stufe

221

r~U)

Geben - y, a als kleinste nichtnegative Reste mod n die Zahlen lo, mo, so haben wir in lo, mo sicher ein gegen n teilerfremdes Zahlen paar, da ein gemeinsamer Teiler 't' von lo, mo und n auch y und a zugleich teilen würde. Andrerseits kann man zu irgendeinem gegen n teilerfremden Paare lo, mo stets zwei mod n mit lo bzw. m o kongruente Zahlen - y, a angeben, die zueinander teilerfremd sind. 1) Die Substitution S = (0, 1) ist also durch Transformation mit einem geeignet gewählten V in ein S' überführbar, welches mit einer "beliebigen" unserer obigen Substitutionen (l, m) der Periode n kongruent ist. Hieraus ergibt sich insbesondere: Die 1fJ(n) innerhalb der r(u) ausgezeichneten Kongruenzgruppen r~u) werden innerhalb der ternären Gruppe r(u,w) miteinander "gleichberechtigt", d. h. ineinander transformierbar. Es gelten also für beliebiges n dieselben Sätze, die in I, 378ff. für n = 3 gewonnen wurden. Die Ergebnisse kaun man auch in geometrische Gestalt kleiden. .Als Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe r~~ kann man das Parallelogramm der Ecken 0, nw 2 , nW1 + nw 2 , nW1 benutzen, das aus n 2 "quadratisch" angeordneten Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes zusammensetzbar ist.. Übt man jetzt alle linearen Transformationen der r(w) aus (die offenbar auch für die beiden Perioden nW ll nW2 die gesamten "linearen Transformationen" (vgl. 1,184) liefern), so nimmt das große Parallelogramm unendlich viele verschiedene Gestalten an, die aber alle nur wechselnde Formen des Diskontinuitätsbereiches einer und derselben Gruppe, nämlich der ausgezeichneten r~~) sind. Für eine einzelne der 'l/J (n) Kongruenzgruppen r~ul, etwa die durch 1 = (mod n) erklärte, ist ein Diskontinuitätsbereich als Parallelogramm der Ecken 0, w2 , nW1 + w2 , nW 1 wählbar, das aus n "linear" aneinander gereihten Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes besteht. Wendet man jetzt auf dieses Parallelogramm der Ecken 0, w2 , nW1 + w2, nW1 die gesamten linearen Transformationen der r(w) an, so sind die entstehenden unendlich vielen Parallelogramme nicht mehr Diskontinuitätsbereiche einer und derselben Gruppe; aber sie liefern, als Dis7continuitätsbereiche aufgefaßt, doch nur endlich viele verschiedene Grttppen, nämlich eben unsere 1fJ (n) gleichberechtigten Kongruenzgruppen r~).

°

1) Man nehme etwa I' = -lo und bezeichne mit 1'0 das Produkt aller Primfaktoren von 1', die nicht zugleich in n aufgehen. Dann ist eine ganze Zahl a entsprechend der Kongruenz an = 1 - tno (mod 1'0) angebbar, da der Faktor n der linken Seite zum Modul 1'0 teilerfremd ist. Setzt man nun oe = '1110 an, so ist a _ 1 (mod 1'0) und also teilerfremd gegen 1'0' Hätte also IX mit I' = - lo niindestens einen Primteiler p gemein,. BO würde es sich um einen zugleich in n aufgehenden Teiler handeln, der zufolge tno = a - an auch mo teilen würde. Dies widerspricht aber dem Umstande, daß das Paar lo, tno teilerfremd gegen n ist. In - 1', IX haben wir also teilerfremde Zahlen, die mod n mit 10 bzw.m o kongruent sind.

+

222

Zwei abgekürzt durch V = (;: Substitutionen der grnenzen:

(8)

n

1, 3. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen

a'

=

r(w)

a,

!) und V' = (;::

zu bezeichnende

heißen mod n kongruent, wenn die vier Kon-

ß' = ß,

r' =

r,

d' = d

(mod n)

bestehen. Wir kennzeichnen ihr Zutreffen kurz durch V' = V (mod n). Gilt V'= V (mod n), so ergibt V', mit der zu V inversen Substitution V-i kombiniert, in V'· V-i eine mit der identischen Substitution Vo = (~: ~) oder kurz Vo = 1 kongruente Substitution. Ist zweitens eine der beiden Substitutionen V, V' mit der identischen Substitution kongruent, so ist V' . V mit der anderen kongruent. Diese Angaben folgen sofort aus der Regel, nach der sich die Koeffizienten einer aus zwei Substitutionen zusammengesetzten Substitution berechnen (s. Gleichung (2) in I, 127). Es folgt, daß alle mit der identischen Substitution Vo= 1 mod n kongruenten Substitutionen der r(w) eine Untergruppe bilden, die nach 1,375 die "Haupt7congruenzgruppe n ter Stufe" innerhalb der r(w) heißt.!) Ist V 1 (mod n) und V' beliebig, so ist V'·V=V' und also V'·V·V'-1-1 (mod.n).

=

Die Haupt7congruenzgruppe nter Stufe ist also eine ausgezeichnete Untergruppe der r(w). Bildet man für diese Untergruppe nach dem Schema (2) oder (4) S.4ff. die Nebengruppen, so erscheinen in der einzelnen Nebengruppe alle Substitutionen der r(w) vereint, die mit einer unter ihnen mod n kongruent sind. Der Index der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe ist demnach gleich der Anzahl mod n inkongruenter Substitutionen in der r(w). Da aber jede Substitution V mit ihren vier Koeffizienten eine Lösung der Kongruenz:

(9)

ad - ßr

1

(mod n)

in ganzen Zahlen a, ß, r, d ergibt, so ist die Anzahl der mod n inkongruenten Substitutionen sicher nicht größer als die Anzahl inkongruenter Lösungen der Kongruenz (9). Diese Anzahl stellen wir leicht fest. Zunächst muß a, r wegen (9) ein gegen n teilerfremdes Restpaar sein, und wir haben x(n) derartige Paare. Ist beim einzeln~n solchen Paare a teilerfremd gegen n, so ist ß unbeschränkt, und für jedes ß ist ein zugehöriges d aus (9) eindeutig bestimmt, was für dieses Paar a, r im ganzen n inkongruente Lösungen von (9) ergibt. Hat aber a mit n den größten Teiler 't' gemein, so ist r teilerfremd gegen 't', und die aus (9) folgende Kongruenz ßr = - 1 (mod 't') hat eine und nur eine Lösung ßo. Wir finden 1) Es ist dies die in "Modulfunktionen" Bd.1, S.387ff. ausführlich untersuchte Gruppe.

Hauptkongruenzgruppe r~"2 in der Modulgruppe

r<W)

223

aus ihr !!:.. mod n inkongruente Zahlen: 'r:

ß=ßo,

ßo+-r,

ßo+(~ -1)-r (modn)

ßo +2-r, ... ,

als zugehörig. Für jede einzelne dieser Zahlen (ßo Kongruenz: :o_~o1''r:+l+rv (mod ~)

+ v-r) ist

weiter die

°

nach zu lösen. Sie hat mod n-r- 1 "eine 11 Lösung 00' aus der -r mod n inkongruente Zahlen:

00

+ 2!!:.., 'r:

... , 00

+ (-r -

1)!!:.. 'r:

als brauchbar hervorgehen. Wir haben also auch jetzt für das einzelne Paar

Cl,

r im

ganzen -~. 'r:

1:' =

n Lösungen der Kongruenz (9), so daß wir

als Anzahl inkongruenter Lösungen' von (9) finden:

(10)

nx(n)

=

n 3 (1 -

;i) (1 - ;i) (1 -

;~)

.. '.

Es geht nun schon aus der Fußnote von S.221 hervor, daß alle X(n) inkongruenten Paare Cl, I' in der rem) wirklich auftreten. Zum einzelnen Paare teilerfremder Zahlen Cl, r gehören aber nach (1) in 1,292 die einfach unendlich vielen Substitutionen:

v = (a, ~ + va). 1', !l'+v1'

(v=·. ',- 2, -1,0,1, 2,··-)

Wir erkennen sofort, daß unter ihnen genau n inkongruente Substitutionen enthalten sind, die wir etwa für v = 0, 1, 2, ... , n - 1 gewinnen. Also haben wir für alle nx(n) inkongruenten Lösungen von (9) zugehörige Substitutionen V, woraus hervorgeht, daß der Index der Hauptkongruenzgrttppe n ter Stufe innerhalb der rem) durch die in (10) dargestellte Anzahl nx(n) gegeben ist. Die fragliche Untergruppe möge dementsprechend durch r~~(n) oder kurz durch r~~ bezeichnet werden. Sehen wir je zwei mod n kongruente Substitutionen V als nicht verschieden an, so reduziert sich die Gruppe rem) hiernach auf eine Gruppe G nx(n) der endlichen Ordnung nx(n), deren Substitutionen wIr zweckmäßig durch: (11)

m~

= Clm 1 + ßm 2,

m~

=rm1 + om2

(mod n)

bezeichnen. Die Kongruenzzeichen beziehen sich natürlich auf die ganzzahligen Koeffizienten Cl, ß, 'Y, 0, die nur mod n zu unters~heiden sind. Das Gesetz der Kombination zweier Substitutionen ist selbstverständlich das bisherige; nur tritt an Stelle der "Gleichung" (2) in I, 127 hier eine entsprechend gebaute "Kongruenz". Zur deutlicheren Unterscheidung der

224


Gruppe Gnx(n) von den oben betrachteten Gruppen G n• und Gn der Substitutionen S schreiben wir genauer G(W)( ) sowie- G(~ und G(Il). nx n n n Reduzieren wir endlich die ternäre Gruppe

r(u,,,,)

mod n, so gelangen

wir zu einer Gruppe G~~';)!n) der Ordnung n3x(n), in der (nach der oben bei den Gruppen r(u,O), r(u), r(w) dargestellten Auffassung) sowohl die G~~) (und damit auch ihre zyklischen G~U» als auch die G~w;(,,) als Untergruppen enthalten sind. Da die Regel (7), nur als Kongruenz .mod n geschrieben, gültig bleibt, so folgert man aus den üben aufgestellten Sätzen betreffs der zyklischen G~U) die Angaben: Die 'IjJ(n) zyklischen Untergruppen G~u) sind zwar in der G~~) ausgezeichnet, dagegen werden sie in der G~~';ln) gleichbm'echtigt, ja innerhalb dieser letzteren Grztppe sind sogar alle X(n) Substitutionen S der Periode n gleichberechtigt. Zwei unter den 'IjJ(n) zyklischen Untergruppen G~u) mögen zu einander "komplementär" heißen, wenn sie außer der identischen Substitution keine Substitution gemein haben. Es süll festgestellt werden, wie viele unter den 'IjJ(n) zyklischen Gruppen mit einer vorgelegten unter ihnen komplementär sind. Da alle du) innerhalb der G(~'w) ineinander transn"x

n

formierbar sind, so ist die gesuchte Anzahl ein und dieselbe, welche G~U) wir auch vorlegen mögen. Wir wählen etwa die aus S = (0,1) zu erzeugende G;;) und schreiben T = (l, m) als erzeugende Substitution einer Dann darf keine der (n - 1) Substitutionen komplementären T"= (vl, vm) mit v = 1,2, ... , n - 1 der aus S zu erzeugenden G;,U) angehören, d. h. keine der Zahlen l, 27, ... , (n - l)l darf durch n teilbar sein, was einfach darauf hinausläuft, daß 1 einer der g; (n) gegen n teilerfremden Reste mod n ist. Da m unbeschränkt bleibt, so haben wir n g; (n) brauchbare T und gewinnen den Satz: Mit der einzelnen der 'IjJ(n) G1'Uppen G~U) sind immer n dieser zyklischen Gruppen komplementär, Die Bedeutung des Begriffs der komplementären G~U) geht aus folgendem Satze hervor: Die aus zwei Substitutionen Sund T der Periode n hergestellten n 2 Sttbstitutionen: 1',11' = 0, 1,2,_ .• ,71-1

G;;).

sind stets tmd mtr dann alle von einander verschieden zmd m'schöpfen also die G~~, wenn die aus Sund T zu erzeugenden G~U) komplementär sind.

Ist G~u) die aus S zu erzeugende Untergruppe, so können wir die Zerlegung der Gesamtgruppe G~~ in die zugehörigen schreiben:

G(u) = ~

n'l.

G(u) n

+ G(u). T + n

G(u). n

T2+ ...

Nebengruppen so

12

+ G(u). Tn-l. n

ZZt der in der G~~ attsgezeichneten G~,U) gehö1·t demgemäß als entsprechende "Quotientengruppe" G~) / G~u) eine mit der Gruppe der Substitutio-

Lösbarkeit der Teilungsgleichung durch zwei zyklische Gleichungen

225

nen 1, T, T2, . .. , Tn-l isomorphe Gr~lppe, d. h. wieder eine zyklische Gn · Wir folgern hieraus für die Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung das Ergebnis: Die im Körper st' = (st, frJJ/l' frJ;'" ...) Abelsche Teilungsgleichung des Grades n 2 ist mittelst zweier zyklischer Gleichungen n ten Grades lösbar.

§ 4. Elliptische Funktionen n ter Stufe. Nach I, 376 ist eine elliptische Funktion n ter Stufe neben anderen Eigenschaften dadurch charakterisiert, daß sie homogen in u, W 1 , W 2 ist und gegenüber den Substitutionen der ternären Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe unverändert bleibt. Zu diesen Funktionen gehören insbesondere die Lösungen des Teilungsproblems frJi.,ll ( ~-), &0;' I' ( : ) . Schreiben wir nämlich z. B. die erster dieser Funktionen ausführlich:

(1) so erweist sie sich gegenüber einer Substitution u' = u + 1nl W 1 + 1n2 W 2 mit ml _ 0, m2 = 0 (mod n) unmittelbar als invariant. Die Ausübung einer Substitution w~ = aW l + ßw 2 , w~ = rWl + O'w 2 auf das zweite und dritte Argument in (1) läßt diese Funktion gleichfalls unverändert. Für das erste Argument finden wir:

lOJ~ +fOJ~ n

=

i~~_,-±/LOJ2

=

n

+ (1- ~=n 1 + r-11.-"'-) W + (1- I + II.~-:- 1) W n 1 n rn 2'

:so daß für a 0' ~ 1, ß = r - 0 (mod n) die Unveränderlichkeit der Funktion (1) feststeht. Es gibt nun noch einfachere elliptische Funktionen nter Stufe, die in doppelter Hinsicht wichtig sind. Sie werden uns einmal eine einfache Lösung des Teilungsproblems vermitteln, andrerseits stellt ihre Theorie ,eine planmäßige Erweiterung der in I,382ft'. entworfenen Theorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe auf eine beliebige Stufe n dar. Wir bilden entsprechend dem Ansatze (1) in I, 450 für die vorliegende Stufe n die n 2-Funktionen

(2)

6 J /l(u!

WlI (

2),

',/l=0,1,2 ... ,n-1,

von denen 6 0,0(u I WlI ( 2) mit der ursprünglichen 6-Funktion identisch ist. Etwas kürzer schreiben wir 6'/l(u) statt (2) und verstehen unter 6'/l den Wert dieser Funktion für u = 0; dabei ist 6 0,0 mit 0 identisch, während die übrigen 6"" nicht identisch verschwindende Funktionen der Wl, W 2 sind. Die Verallgemeinerung der drei unter (4) in I, 384 erklärten Funktionen zweiter Stufe tf;k(~~ I 0111 ( 2) sehen wir nun in den (n 2 - 1) .Funktionen: Fricke, Die elliptischen Funktionen II

15

226


(3)

lP'4~(U! (iJo (iJ2) = 6~.6(ul-ro---W~)'

,

~~~lrouroJ

°

2/,

U

1

wo nur die Kombination A = 0, ~ = auszuschließen ist. Nach I, 451 zeigt diese Funktion bei Vermehrung von 1,~ um Perioden das Verhalten:

(4) 2 i 1l

unter E die Einheitswurzel e tt verstanden; sie bleibt sicher unverändert, wenn l = 0, 1n _ 0 (mod n) gilt. Nach (5) in I,451 bleibt die Funktion lP'"f.L gleichfalls unverändert, wenn man auf die (iJ17 (iJ2 eine mod n mit 1 kongruente Substitution V ausübt. Wir haben hie-rnach in (3) im ganzen (n 2 - 1) verschiedene Funktionen n ter Stufe gewonnen, die offenbar in u, (iJu (iJ2 homogen von der Dimension - 1 sind. Die Funktion lP'4"'(U) ha,t einen Pol erster Ordnung in jedem Gitterpunkte des ursprünglichen Parallelogrammnetzes. Speziell bei u = gilt die Entwicklung:

°

lP' Cu)

(5)

J.,..

=.1 7t

6' 6" +.}:I': + _4Ji u + ... 6 , 2 62~ , 21

wo neben den (5.u auch noch die "Nullwerte" der Ableitungen 6J.~(u), 62',,,(u), ... in bez~g auf u auftreten. Vornehmlich wichtig sind die 6;"" und 6 2,«; wir bezeichnen sIe als "die 6- bzw. (5'- Teilwerte" des n ten Teilungsgrades. Nullpunkte erster Ordnung hat lP"/1 (u) an allen mit

aro, +f,w 2 bezüglich der on

F(a)

äquivalenten Stellen. Sonstige Pole oder

Nullpunkte treten aber nicht auf. Ä,ndern wir in der Erklärung (1) in 1,450 der Funktion 6}.f.L(u) die A, ~ um Vielfache von n, so zeigt die Funktion das in (4) daselbst notierte Verhalten. Bei der Bauart der rechten Seite von (3) geht hieraus hervor, daß lP'J.I.(n) unverändert bleibt, wenn wir J. und ~ um Vielfache von n ändern. Dieser Umstand ist gc' legentlich für die Schreibweise unserer Gleichungen wichtig. Haben A, ~, n einen Teiler t > 1 gemein, so tritt lP'J", (u) . bereits bei der Stufe ~- auf. Demgegenüber nennen wir die X(n) Funktionen lP'l,.. (u), welche zu den x(n) gegen n teilerfremden Paaren A, ~ gehören, die "eigentlich zur Stufe n gehörigen" Funktionen lP'J.I' (u). Soll die eigentlich zur Stufe n gehörende Funktion lP'4f.L(U) bei der Substitution S = (l, rn) der F(u) unverändert bleiben, so ist hierzu die Kongruenz:

°

(6) l~ - mA = (mod n) hinreichend und notwendig. Da A. ~ ein gegen n teilerfremdes Paa,r sind, so kann man zwei ganze Zahlen a, b angeben, die die Kongruen:z; a~ + bl 1 (mod n) befriedigen (vgl. S. 222 ff.). Durch Multiplikatio.n dieser Kongruenz mit l bzw. m findet man bei Benutzung von (6):

l

(am

+ bl)A,

m = (au'/,

+ bl)~

(mod n).

Die elliptischen

227

n'e r Stufe Pli' (u 1001, 00.)

~'unktionen

Setzt man also zur Abkürzung am + b 1 = v, so gelten die Kongruenzen 1 = vÄ., m -- V,u (mod n). Umgekehrt folgt aus diesen Kongruenzen bei beliebigem v auch wieder (6). Hieraus ergibt sich der Satz: Die eigentlich zur Stufe n gehörende Funktion 1Jfl.l'(u) bleibt bei den Substitutionen derjenigen Kongruenzgruppe n ter Stufe r~ul unverändert, die sich mod n auf die aus S = (l, 1') zu erzeugende zyklische G;:) reduziert; zur gleichen r~U) gehören alle rp (n) Funktionen 1Jfl ~, ," ~ (u), wo ,jetzt v die rp (n) inlwngrttenten und gegen n teiler(rernden Zahlen durchläuft. Unter den 1/1 (n) innerhalb der r(u,w) gleichberechtigten Gruppen r~U) bevorzugen wir zunächst die aus den beiden Substitutionen u' = u + nro1 , u' = 1t + ro 2 erzeugbare. Als Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe kann man das Parallelogramm der Ecken 0, ro 2 , nro 1 + ro 2 , nro1 benutzen, das sich aus n Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes aufbaut. In 1Jf01 (u), 1Jf02 (u), ... , P'O,T 1 von n durchläuft. Nur ist natürlich t = n ausgeschlossen, und außerdem ist aus der Gleichung (5) bereits der zur zweiten Stufe gehörende Bestandteil (4z 3 - gsz - g 3) entfernt. Man kanu aber durch "rationale" Divisionen aus (4) bzw. (5) alle Wurzeln entfernen, die zu Stufen~J, < n gehören. Gilt das Gesetz der rationalen numerischen Koeffizienten für alle Stufen< n, so ist hiernach einleuchtend, daß es auch für n gilt. Nun ist dieses Gesetz jedenfalls für alle Primzahlen n richtig, da für eine ungerade Primr.abl n die Gleichung (fl) einfach die durch n geteilte Gleichung (4) ist. Unsere Behauptung ist .damit allgemein bewiesen. Denkt man in (8) für z eine einzelne Wurzel g;Ji.,lI eingetragen, so ergibt -sich eine in (jJ1I (jJ2 identisch bestehende Gleichung. Die Gleichung bleibt demnach richtig bei allen solchen Veränderungen der OJ v (i)2' bei denen der Periodenquotient (jJ in seiner positiven Halbebene verbleibt. Durch Änderungen dieser Art kanu man nun von einem ersten Wertepaare 011> (]J2 zu jedem bezüglich der T(ru) äquiv~tlent,en Paare gelangen. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichberechtigung der +z(n) Teilwerte SOlf' die Irreduzibilitiit der Gleichung (8) selbst nach Adjunktion irgendwelcher ."numerischer" Irrationalitäten. Geni:igt nämlich etwa z = g;)10 einer "irreduzibelen" Gleichung F(z, ,q2' ,qs) = 0 in einem Körper, der aus (ffi, ,q2',qS) durch Adjunktion irgend welcher numerischer Irrationalitäten entsteht, so zeigt sich durch Wiederholung der vorstehenden Betrachtung, daß jene Gleichung durch alle -}x (n) Teil werte erfüllt wird. Sie enthält also

248

I, 4. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen

die Gleichung (8) und ist demnach als irreduzibel bis auf einen von z unabhängigen Faktor mit (8) identisch. Wir fassen die Ergebnisse in folgenden Satz zusammen: Die Jx(n) eigentlich zm" n ten Stufe gehörenden Teilwerte SI) l. u sind für n> 2 die Wurzeln der als "spezielle Teilungsgleichung" für den nEeR Teilungsgrad bezeichneten Gleichung (8), deren Koeffizienten dem Körper st = (lR, g2' g3) angehören, und die in diesem Körper irreduzibel ist, anch irredttzibel bleiben würde, falls noch irgendwelche "numerische" lrra#onalitäten adjnngiert uJürden. Im Falle 12 = 2 bleibt dieser Satz mit der Abänderung bestehen, daß der Grad der Gleichung nicht X(2), sondern X(2) = 3 ist. Übrigens findet man durch Elimination von z aus (8) und der Gleichung: 4z s - g2/'J- (z'2+ g3) = 0,

+

daß die X(12) eigentlich zur Stufe n gehörenden Teilwerte 8J;,u einer Gleichung x(nyen Grades:

(9)

z'x(n)

+ ß1gSZ'X(R)-2 + Cß2g2 3 + ßsgs 2)z'x(n)-4 + ... =

0

genügen, welche die soeben über die spezielle Teilungsgleichung (3) ausgesagten Eigenschaften gleichfalls besitzt. Der Schluß auf die Hationalität der numerischen Koeffizienten der speziellen Teilungsgleichung kann auch noch in anderer Art vollzogen werden. Ersetzt man den zweiten Index ft der ~12,u durch Uft, unter U einen der epen) gegen n teilerfremden Heste mod 12 verstanden, so permutieren sich die -~-x(n) Teilwerte SJJ.,u untereinander. Die symmetrischen Grundfunktionen der SOlI' bleiben demnach bei jenem Ersatze unverändert. Die aus (2) zu entnehmende Reihenentwicklung :

(10)

( 2",)2' ( ao + a 1 q2 + a2q4 + ...) o.(I?J.I' ) =;;;;

für die v te symmetrische Grundfunktion hat also als Koeffizienten nur noch Zahlen des zum Teilungsgrade n gehörenden Kreisteilungskörpers, die beim Ersatze von e durch irgend eine der cp (n) primitiven Einheitswurzeln n ten Grades unverändert bleiben, d. h. die Koeffizienten a in (10) sind rationale Zahlen. Als ganze Modulform der ersten Stufe bezeichnen wir O•. (S021') durch G.(OOl' 00 2). Nach (8) in I, 309 läßt sich eine solche Form in der Gestalt:

(11) mitte1st numerischer Koeffizienten alm durch g2' ga darstellen. Diese Darstellung von G" (00 11 00 2) ist einzig, da sonst zwischen g2 und gs eine identische Helation bestände. Eine nicht identisch verschwindende ganze Modulform erster Stufe der Dimension - 21J hat nach I, 309 im Diskontinuitätsbereiche der r(w'

Spezielle Teilungsgleichung des n ien Teilungsgrades

249

Nullpunkte in der Gesamtordnung :. Verschwinden demnach in der Potenzreihe einer solchen Form die Koeffizienten bis zu einem Gliede mit einem Exponenten von W =

(l,

der

>:

ist, so liegt bereits in der Spitze

ioo des Diskontuinitätsbereiches ein Nullpunkt von einer Ordnung

> ~-,

so daß die Form dann notwendig mit 0 identisch ist. Dieserhalb

sind zwei ganze Modulformen erster Stufe der Dimension - 2v, deren Potenzreihen in den Anfangsgliedern, und zwar bis zu einem Exponenten > von q2, übereinstimmen, notwendig miteinander identisch.

+

Tragen wir nun in den Ausdruck (11) irgendeiner Form GJw l , ( 2 ) für g2' g3 die Potenzreihen (3) in T, 274 ein, so ergibt sich bei Umordnung nach ansteigenden Potenzen von q2: (12) wo die bk lineare homogene Funktionen der Olm: bk --

(13)

~ lXZm (k) ...... ' .• m

°

Im

mit "rationalen" Koeffizienten cx sind. Soll jetzt die Form (11) mit O"(~ll.) identisch sein, so ist hierzu nach den vorausgeschickten Überlegungen notwendig und hinreichend, daß die Reihe (12) von G,,(w l l ws) mit der Reihe (10) in einer gewissen Anzahl von Anfangskoeffizienten übereinstimmt, daß also die Olm einer gewissen Anzahllineal'er Gleichungen: (14)

"" 1m (1) "';;;:'CX l,m

°

Im =

al

,·· •

mit durchweg rationalen Koeffizienten genügen. Nun gibt es sicher ein System endlicher Zahlen qm' die diese Gleichungen befriedigen, da O,,(&Ol,.,) als ganze Modulform erster Stufe in der Gestalt (11) darstellbar ist. Da aber jedes J~ösungssystem qm der Gleichungen (14) eine Darstellung (11) liefern würde und diese Darstellung für o.CfP;.,J, wie wir wissen einzig ist, so gibt es auch nur ein Lösungssystem qm der Gleichungen (14). Die linearen Gleiclntngen (14) sind also zur eindeutigen Berechnung der endlichen Größen Olm geeignet, so daß sich die q", als Quotienten von Determinanten der Ci: und a und damit als rationale Zahlen aus (14) bestimmen. Diese Schluß weise ist hier gleich ausführlich dargelegt, da wir sie noch öfter zu verwenden haben werden.

§ 2. Kongl'1lenzgruppen n tcr Stufe in der Modulgruppe P. Da sich die nächsten Überlegungen nur auf die Gruppen r(w) und beziehen, so wird der obere Index w der Kürze halber fortgelassen.

G~w;(n)

250


Es sei jetzt in der endlichen Gruppe Gnxen )' auf die sich die Gruppe r mod 12 reduziert, irgencleine Untergruppe G t der Ordnung t und des Index

(-L =

'i'b'h-;(11) vorgelegt. Die zugehörige Zerlegung der Gesamtgruppe in r

Nebengruppen sei etwa in der Gestalt gegeben:

(1)

Gr/x(n) = GI

+ Gi·

U1

+ Gt • U + ... +Gt · 2

Uf '-17

wo Uu U2 , .• . , U,U-l zweckmäßig gewählte Substitutionen der GnX (1I) oder der Gruppe r sind. Nun können wir die G nxen ) auch im Anschluß an die Zerlegung: (2) T = nx + nx · V1 + T,'x· V2 + ... + r"x· VnX - 1 .der Gruppe r in die der Hauptkongruenzgruppe nte~ Stufe zugehörigen Nebengruppen erklären. Da die r,'xe n ) ausgezeichnet ist, so liefern die nx(n) Nebengruppen, selbst wieder als Elemente gefaßt (vgl. S. 9), eine endliche Gruppe der Ordnung nx(n), nämlich unsere G"xen). Die Substitutionen derjenigen t Nebengruppen (2), die die Elemente der vorgenannten GI sind, bilden nun für sich eine Untergruppe von r, und zwar eine solche des Index !~ die dieserbalb r" heiße; der Zerlegung (1) entspricht nämlich die ZerIegung: (3) r = + I',,,. ['1 + I',,,. U2 + ... -I- ri'. U,'-1 ·.aer Gesamtgruppe T in die entsprechenden Nebengruppen. Alle so zu gewinnenden Gruppen T" bezeichnen wir als "Kongruenzgruppen n ter Stule". Man kann offenbar als eine solche Kongruenzgruppe n ler Stufe auch jeo.e Gruppe erklären, die die Hauptkongruenzgruppe dieser Stufe rnx(n) als Untergruppe in sich enthält; denn jede solche Gruppe wird sich aus einer bestimmten Anzahl von Nebengruppen (2) zusammensetzen und liefert demnach ihrerseits eine bestimmte GI innerhalb dE'r Gnx(n). Einem Systeme gleichberechtigter Untergruppen GI des Index 11entspricht ein System ebenso vieler gleichberechtigter Kongruenzgruppen Ti' des Index 11-; eine ausgezeichnete Gi ergibt eine ausgezeichnete ri" speziell die G 1 liefert die Hauptkongruenzgruppe r"x(n). Das Problem, alle Kongruenzgruppen n ter Stufe anzugeben, kommt also auf die Aufgabe zurück, die Gruppe G"x(n) in ihre gesamten Untergruppen zu zerlegen. Diese Aufgabe ist, wie beiläufig erwähnt sei, im wesentlichen als gelöst anzusehen. Ist n das Produkt n 1 • n 2 zweier teilerfremder Zahlen, so ist, wie in "Modulfunktionen", Bd. 1, S. 402 ff. gezeigt wird, die vollständige Zerlegung der U n X (n) auf die ZerIegungen der bei~ den Gruppen G n1x () und G n Y(n \ zurückführbar. Man hat demnach weiter nur noch Primzahlpotenzen n zu behandeln. Nun hat J. Gierster zunächst. für den .Fall einer Primzahl n 1) und sodaun für den Fall einer

r

r

r:"

?Zl

2 /.

2•

1) "Die Untergruppen der Galoisschen Gruppe der lVIodulargleichung für ..den Fall eines primzahligen Transformationsgrades", lVIath. Ann .. Bd.18 (1881).

Kongruenzgruppen n tcr Stufe in der Modulgruppe

251

beliebigen Potenz einer ungeraden PrimzahP) die vollständige Zerlegung der Gnx(n) wirklich durchführen können. Rückständig sind demnach nur die Potenzen der Primzahl 2, von denen allein die drei niedersten Fälle 2, 4, 8 erschöpfend behandelt sind. Für die Theorie der speziellen Teilungsgleichung ist folgender Satz grundlegend: Ist n = pT eine Potenz der Primzahl p mit einem Exponenten v :2: 2, so bilden alle Sttbstt"tutionen der Gnx(n)' dl:e mod p,,-1 mit der identischen Substitution 1 kongruent sind, eine Abelsche Gruppe Gp " der Ordnung pS, die in der Gnx(rt) ausgezeichnet enthalten l:st, und die, abgesehen von der identischen Suhstitution nur aus Substitutionen der Periode p besteht. Die fraglichen Substitutionen haben nämlich die Gestalt: (modp")2)

(4)

mit beliebigen ganzen Zahlen ((', b, c. Man erhält in der Ta'c p3 Substitutionen, wenn man a, b, c, unabhängig voneinander Restsysteme mod p durchlaufen läßt. Zwei Substitutionen Y und V' diesel' Art kombinieren sich nach dem Gesetze:

V.

7Tf=(1+(a+a')lJ,,-.-1, r

-

(c+ c'Jp"- l •

(b+b')P,.-l) (a a')p,,-l

1-

+

(modpl').

Hieraus sind die Angaben des Satzes abgesehen von der Behauptung, daß die Gpo ausgezeichnet ist, leicht abzulesen. Die Gp:o aber ist ausgezeichnet, weil sie der ausgezeichneten Kongruenzgruppe rpV-lx(p~-l) der Stufe pv-l entspricht. 3) Bei beliebigem n kommen für die speziellen Teilungsgleichungen gewisse zyklische Untergruppen G" der Ordnung n in Betracht. Unter

S verstehen wir wie in 1,298 die Substitution (~:~); da B"= 1 (mod n) gilt, so erweist sich S in der G",x(n) als eine Substitution der Periode n und erzeugt eine zyklische Untergruppe der Ordnung n, bestehend aus den Substitutionen So = 1, S, S2, ... , Sn -1, die offenbar alle voneinander verschieden sind. Die Anzahl der mit dieser G n gleichberechtigten Gruppen bestimmt man durch folgende Überlegung: Soll die Gn durch die Subßtitution V

== (;;~)

in sich transformiert werden, so muß V-i. S· V == Sv

1) "Über die Galoissche Gruppe der Modulargleichung , wenn der Transformationsgrad die Potenz einer Primzahl> 2 ist", Math. Ann., Bd. 26 (1885). Übrigens betreffen die Giersterschen Untersuchungen die weiterhin noch zu betrachtenden nichthomogenen Gruppen G 1 -2

nx(n)

2) Wie in (11) S. 223 bezieht sich das Kongruenzzeichen natürlich auf die Koeffizienten der Substitution. 3) Nach der Begriffserklärung der Kongruenzgruppen n'er Stufe gehören zu ihnen auch alle Kongruenzgruppen der Stufen, die Teiler von n sind.

252

I, 4. Die .Teilwerte der elliptischen Funktionen

sem. Die Kongruenz lautet ausführlich: V- 1 .S.V==(1+,,/8, _,,/2

82

)_(l,v) 0,1

,1-,,/0'

(modn)

und führt also zu den beiden Bedingungen l' 0 == 0, 1" = 0 (mod n). Multipliziert man diese heiden Kongruenzen mit a und - {J, so liefert ihre A.ddition l' 0 (mod n), womit sie beide erfüllt sind. Die Zahl" kann jeden der rp (n) gegen n teilerfremden Reste mod n bedeuten, ß bleibt beliebig wählbar, und für 0 gilt die Kongruenz 0 = ,,-1 (mod n). Alle so gewonnenen Substitutionen:

=

(6) bilden eine Untergruppe Gn
1 oben (S. 251) eine ausgezeichnete Untergruppe gefunden, deren zugehörige Quotientengruppe eine Abelsche Gruppe Gp der Ordnung pS ist. Dem entspricht folgende einfache algebraische Tatsache: Nach dem 3

Satze von S.234 berechnet man aus SJ (p~~i)' SJ' (p~!:i) durch Lösung der "allgemeinen" Teilungsgleichung für den

pten

Teilungsgrad die Teil-

werte &" (;~), S/ (~}), was nach Adjunktion der pten Einheitswurzel

E

an

irrationalen Operationen das Ausziehen zweier Wurzeln pten Grades erfordert. Mitte1st zweier weiteren Wurzeln pten Grades bestimmt man entsprechend &" (;~), &,,' (~;), womit dann alle weiteren Teilwerte des Teilungsgrades p" rational bekannt sind. Eine der vier Wurzeln plen Grades muß freilich überflüssig sein. Jedenfalls aber besteht der Satz, daß, falls die l'eilwerte dm' primzahligen Teilungsgrade p bekannt sind, die Teilwerte aller weiteren Grade allein durch rationale Rechnungen 'und Wurzelziehungen berechenbar sind; Wir haben demnach unsere Aufmerksamkeit allein noch auf die Primzahlgrade n = p zu richten und betrachten nunmehr naeh Adjunktion der speziellen der pten Einheitswurzel e die Monodromiegruppe G 1 -2 P (P'-1)

Teilungsgleichung, welche wir nach S. 246 in der Gestalt der mod n reduzierten nicht-homogenen Modulgruppe r vorlegen. Es besteht nun der grundlegende Satz: Für alle Primzahlen p> 3 ist die Gruppe G 1 " 2 P (p--l)

"einfach", d, h. sie besitzt (außer de1' Gl ~md der G 1.

op(p'-l)

)

keine ausge-

zeichnete Untergruppe. " Zum Beweise dieses Satzes erinnern wir daran, daß nach I, 297 die Modulgruppe r aus den beiden Substitutionen S = (~: ~) und T ~= (~'1,1

0)

263

LÖBungaprozeß der speziellen Teilungsgleicbung

<erzeugbar ist. Entsprechend wird die GI

"p(p'-l

Bfür p

(~: ~)

und T =:= C~'l,l

aus den Substitutionen

0) erzeugbar sei~. Wir können nun beweisen, daß

> 3 eine ausgezeichnete Untergruppe der GI. , die nicht nur aus 'i P(p--1)

der Substitution 1 besteht, notwendig die Substitutionen Sund T besitzt und also die GI sein muß. womit der Satz ersichtlich sein würde. 2 P (p O -l)

,

Eine ausgezeichnete Untergruppe muß mit einer ihrer Substitutionen

V=

(;:

!) alle mit V gleichberechtigten, d. h. durch Transformation aus

V hervorgehenden Substitutionen enthalten. Transformieren wir aber die 1V0rgeiegte Substitution V durch die Substitution:

Sb=(~:~), T=C~'l\)' U==(O,a'a~l)

(modp):

'unter a und birgendwelche Zahlen der Reihe 1, 2, ... , p -1 verstanden, so gewinnen wir:

f S-b.V.Sb=(It-bY,y, hß+b(lt-h)-b2y) + by ,

lT-I. V· T== (~ß. :),

(2)

[[-1. V· [[ =

(i~2~~::)'

Enthält nun die von der GI verschiedene ausgezeichnete Untergruppe

G eine Substitution V = (~: ~) mit ß =1= 0, so enthält sie auch S und damit auch:

, S·(T-I.S.T).S=

sie ist also notwendig die GI"

-2- P (P" -1)

V = (O~'It~I) mit a =1=

±

(0 1) .-'1,0 ==T;

. Enthält G zweitens eine Substitution

1, so ist (a - a- I) teilerfremd gegenp. Zufolge

der ersten Kongruenz (2) haben wir nun: S-b. V. Sb =

(~:

!-t

b(a -

tel») == (o~'a~l) =

Y~,

wo '/I durch zweckmäßige Auswahl von b mit jeder Zahl 0, 1, 2, ... , P -1 kongruent werden kann. Mit Vo und Va ist auch:

-_ Vo- I . Va= III

G enthalten, so daß wieder G

der GI..

2 p (p--1)

=

(1,1,01) =_

GI

'2"p(p'-l)

5 keine verschiedene ausgezeichnete Untergruppe vorkommt. von GI und GI 2 P (1'2_1)

Bei p = 5 gelangen wir zu dem gleichen Hesultate, indem wir bemerken, daß hier S-2.1'. 8 2, ohne - 1 zu sein, ein durch 5 teilbares ß hat. Für p >3 besteht hiernach die "Indexreihe" (vgl.S. 13) unserer Gruppe GI" nur aus dem einzigen Gliede i p(p2 - l)i und da diese Zahl 21'(1'- -1)

keine Primzahl ist, so ist nach dem Theorem 1)on S. 75. die spezielle l'eilWigsgleichung des pten 1'eilungsgmdes für p > ß nicht algebraisch lösbw', Für p = 2 und p = 3 gehören die Teilungsgleichungen den Graden 3 und 4 an: In den beiden niedersten Fällen p = 2 und p = 3 ist die Berechnung der Teilwerte allein durch Wurzelziehttngen durchführbar. Bei dieser Sachlage war es nun ein besonders wichtiges Ziel der von Klein geschaffenen Theorie der elliptischen Modulfunktionen, die eigenartigen algebraischen Probleme, welche den Monodromiegruppen für p = 5,7, 11, ... entsprechend als "Galoissche Probleme" der Grade 60, 168, 660, ..., allgemein des Grades ip (p2 - 1), auftreten, näher zu erforschen. Bei p = 5 gelangt man zur "Ikosaedertheorieil. 1) Im ]J'alle p = 7 entwarf K 1e in seine besonders schöne Theorie der zugrunde liegenden Gruppe G168 durch direkte algebraische Methoden ohne Zuhilfenahme von Reiheu7 entwicklungen der elliptischen Funktionen 2), und auch im Falle p = 11 gelang ihm die Durchführung einer entsprechenden Theorie. S) Für die 1) "Vorlesungen liber das Ikosaeder und die Auflösung' der Gleichungen vom fünften Grade" (Leipzig 1884); s. auch "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichung'en fiinften Grades", Math. Ann., Bd. 14 (1878). 2) "Über Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann, Bd. 14 (1878). 3) "Über Transformation elfter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann" Bd. 15 (1870).

265

Die Galoisschen Probleme bei Primzahl graden p

höheren Fälle bediente sich Klein indessen der analytischen Hilfsmittel der elliptischen Funktionen. Die Behandlung dieser Galoisschen Probleme ist in dem Werke "Modulfunktionen", Bd. 1 und 2 mit großer Ausführlichkeit gegeben. Demgegenüber nimmt die vorliegende Entwicklung die Wendung, daß sie sich den der älteren Theorie entstammenden algebraischen Gesichtspunkten enger anschließt. Es handelt sich dabei nicht um die Galoisschen Resolventen, sondern um die "Resolventen niedersten Grades" der speziellen Teilungsgleichungen. Es sind dies wenigstens im allgemeinen die Modular- und Multiplikatorgleichungen oder, wie wir sagen werden, die "speziellen Transformationsgleichungen", die bei der Transformation höheren Grades der elliptischen Funktionen auftreten. Auch in diesem Gebiete haben übrigens, wie uuten näher darzulegen sein wird, die Kleinschen Methoden mannigfach bahnbrechend gewirkt. Ehe wir indessen allgemein auf die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen eingehen, sind noch ein paar Ausführungen über die Teilwerte der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn nachzutragen.

§

o.

:pie Teilwerte der Fuuktionen sn, cn und dn.

Die S. 240 genannten Untersuchungen von Sy low und Kronecker beziehen sich auf die Teilwerte der sn-Funktion und betreffen übrigens nur 'ungerade 'l'eilungsgrade n. Die Aufgabe der Berechnung der Quadrate sni,u unterscheidet sich vom Probleme der Berechmmg der &{)J.I~ nur dadurch, daß noch die Adjunktion der Modulform zweiter Stufe (e2 - e1 ) zu vollziehen ist. Diese Adjunktion hat zunächst die Bedeutung, daß an Stelle von (m, 92' 93) der Körper (m, P) tritt, sowie daß andrerseits die Teilwerte fiJ,A,U ,fiJ~A,u durch die in (9) S. 238 erklärten 'l'eilwerte nullter Dimension Pl,u' p~'1< zu ersetzen sind. Dann aber gelten nach (10) und (11) S. 238 die Gleichungen:

(1)

12(27Plll-9(1-k~+k4)pJ.,u-2+3k·+3k4-2kG)

f sn

i. ll =

P

=

l

2

J.,u

-----------((iJp-;.-;-+T+ Ff·=--9P)T-----

+

+

,

k 2 (k' - 2) CD"" (2k·-1) dDi.1I -----.-------------'.3 (- 1 k 2 - k"cn;,',U dn;,',U ) ,

1- k 2

+

----~----------.---'

+

während sich die cn.,u' dnJ.,u auf Grund von (16) S. 2'10 rational in snL ausdrücken. Die Gleichwertigkeit der beiden genannten 'l'eilungsprobleme geht aus diesen Gleichungen hervor. Gleichwohl ist es zweckmäßig, auf das Problem der Berechnung der sn"l' noch etwas näher einzugehen, um die früher hierbei benutzten Methoden und Überlegungen zu kennzeichnen. Setzt man, unter n nach wie vor eine beliebige ungerade Zahl verstanden, w = 0 in (14) S. 239 ein, so ergibt sich G~n)(Z2) = 0 als Gleichung (n 2 -1)ten Grades für Z = sn...

266


oder als Gleichung des Grades tc n 2 - 1) für Z2 = sn!I" Diese Gleichung ist nur im Falle eines primzahligen n im Körper (m, k 2) irreduzibel. Bei zusammengesetztem n stellt man indessen wie S. 247 durch einen Divisionsprozeß die irreilnzible, "spezielle Teilungsgleich'ung" des Grades h: (n) für Z2 = sn~i_I" dar, deren Lösungen die "eigentlich" zum Teilungsgrade n gehörenden Teilwerte der sn-Funktion sind. Die Hauptaufgabe ist nun die Bestimmung der Gruppe dieser speziellen Teilungsgleichung, wobei man so verfahren kann: Nach (1) S.197 gilt die Regel:

(>2)

sn""X/l

=

2 ) sn AU G(x) (snll' 1 af(T(snf,:}-

fUr jedes positive ganzzahlige x, wobei rechts eine rationale Ji"unktion von SD;'i' mit Koeffizienten des Körpers (m,k 2) steht. Insbesondere folgt hieraus:

(3)

sn,o

2)

( G (x) l' \ sn lO

aun,

sn xO =-G~X)(sn~o)"

sno"

=

2\

G(x) ( l' snOl )

-~G~)(su~l)

.

Eine einzelne vorgelegte Permutation der Galoisschen Gruppe unserer Gleichung möge nun snlO und sn Ol in sn"ß bzw. sn ycl UberfUhren, wo «, ß und 7', d> gewisse, im Sinne von S. 218 gegen n teilerfremde Zahlenpaal'e sind. Nach den Sätzen von S. 74 über die Galoissche Gruppe einer Gleichung gehen die Relationen (3) bei der fraglichen Permutation wieder in richtige Relationen über. Nimmt man demnach noch auf die Relation (2) Rücksicht, so zeigt sich, daß bei der vorgelegten Permutation unserer Gruppe snr.o in snr.a, r.ß und snox in sn"},, xci übergeht. Weiter folgt aus dem Additiollstheorem mit Rücksicht auf die Formeln (16) S.240 eine Darstellung von sn'+"'I'+/l' in der Gestalt:

(4) sn1+i:"u+/l' = R(sn'/l' sn).'I") als rationale Funktion von 8n'/l und sn"I" mit Koeffizienten aus (m,7;;2). Als Spezialfall von (4) notieren wir: (5) sn l " = R (snlO , sno/ 1, wo alsdann n den "quadratischen" Teiler t 2 hat, so schreiben wir t . ao, b = t . bOI c = t . co' d = t . do und haben:

a....

Die

h;J(U la W 1

r]j

(n) Repräsentanten. Eigentliche Transformation n ten Grades

+ b W 2, cW1

rh (et W 1 +bw 2,

(7-1

277

+ bOw 21 Co W 1 + doW~) ," ., cW 1 +d( 2 ) = t- 4 ·g2 (a Ow1 +bow t , COW 1 + dO( 2), .•. , d( 2 ) = t- 2.~

aOw 1

J(~:-t-~) = J(~:~t~:)· Sehen

WIr

von den Faktoren t- 2,

. • •

ab, so liegt bei den Funktionen

"eigentliche" Transformation des Grades .~ in Verbindung mit der Division des Argumentes u durch t vor, bei den Invarianten aber "eigentliche" Transformation des Grades;~. Sieht man anch über die Division des Argumentes u bei den Funktionen hinweg, so kann man den Satz aussprechen, daß sich die c»(n) Fälle der Transformation n ten Grades zusammensetzen aus den "eigentlich" zu allen Graden ;~ gehörenden l'ransformationen, wo t 2 die quadratischen Teiler von n unter Einschluß von t~ = 1 durchläuft. Zur Bestimmung der Anzahl der Klassen aller eigentlich zum Grade n geh ären den Transformationen stellen wir zunächst fest, daß jede Untergruppe r" des Index n eine Kongruenzgruppe n ter Stttfe ist. Benutzen wir nämlich die beiden in (6) S. 273 gegebenen Substitutionen S;, S~ als erzeugende Substitutionen der r n , so sind :mit ihnen auch S~ D. S~ -B und S~ i! oder explizite die Substitutionen u' = u + nW lI n' = u + n0:>2 in f'" enthalten. Aus diesen beiden Substitutionen aber läßt sich die Hauptkongruenzgruppe r n " der n ten Stufe erzeugen. Da der Flä,cheninhalt des Diskontinuitätsbereiches der r n , n-mal so groß wie der des Diskontinuitätsbereicbes der r n ist, so ist die r,,2 eine Untergruppe des Inrlex n in der r n , und die letztere Gruppe r n reduziert sicb mod n auf eine Untergruppe Gn der Ordnung n in derG". aller mod n inkongruenten Substitutionen. Wir sind auf diese Weise zu den Entwicklungen von S. 218ft'. über Kongruenzgruppen n ter Stufe in der Gruppe r(1.) zurückgeführt. Dabei stellen sich die Substitutionen der Gn in der Gestalt:

(7)

u' = u

+ lAw + (lB + mD)w 1

2

(mod n)

dar, unter l und m ganze Zahlen verstanden. Hieran schließt sich der Satz: Die Gn ist ~tets und nur dann eine zyklische Gruppe, wenn eigentliche Transformation n ten Grades vorliegt. Haben nämlich A, B, D den gemeinsamen Teiler t

> 1,

so ist sicher die (~i~) t. Potenz der Substitu-

tion (7) mit der identischen Substitution mod n· kongruent, so daß in diesem Falle die Gn keine Substitution der Periode n enthält und also nicbt zyklisch sein kann. Haben indessen A, B, D keinen Teiler t > 1

278 H,1. Transformation 'n'OD Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen

gemein, so weist man in der Gn leicht eine Substitution:

(8)

u':= 1J,

+ Aro + (B + mD)ro i

2

(mod n)

der Periode n nach. Man zerlege nämlich A in das Produkt Ai . ~, wo in Al alle Primfaktoren von A zusammengefaßt sind, die auch in D aufgehen, und wo also A 2 teilerfremd gegen D ist. Hieraus folgt, daß man m als ganze Zahl entsprechend der Kongruenz:

B.+ mD == 1 (mod A 2) bestimmen kann. Dann ist (B + mD) teilerfremd gegen A 2• Da aber

eine in Al aufgehende Primzahl auch in D aufgeht und deshalb B sicher nicht teilt, so ist CB mD) auch teilerfremd gegen Al und also auch gegen A. Die beiden ganzen Zahlen A und (B + mD) bilden also im Sinne von S. 218 ein gegen n teilerfremdes Paar, so daß nach den dortigen Sätzen die Substitution (8) die Periode n hat. Die G" ist also jetzt zyklisch und gehört zu den 1/J(n) schon S. 220 betrachteten Gruppen Gn • Umgekehrt lieferte jede der 1/J (n) Gruppen G" eine Kongruenzuntergruppe rrl' die als Untergruppe des Index n zu unseren bei der Transformation n ten Grades eintretenden r n gehört, und die, als ein ar zyklischen Gn entsprechend, eigentliche Transformation n ten Grades liefern muß. Mit Rücksicht auf die Entwicklungen von S. 220ft'. ist also der folgende Satz festgestellt: Die eigentlich zum Grade n gehörenden Transf(wmationen bilden 'lfJ (n) Klassen; die entsprechenden Gruppen r" sind in der der r(u) ausgezeichnet, aber in der ternären Gruppe r(u,w) miteinander gleichberechtigt.

+

Zum Grade ~~ gehören hiernach 1/J (;) Transformationsklassen im eigentlichen Sinne. Ist n rein quadratisch, so tritt auch der Repräsentant A = D = Vn, B = 0 auf, der die lineare Transformation liefert. Unter dem bisher noch nicht erklärten Symbole 'lfJ(1) hat man demnach den Wert 1 zu verstehen. Aus den berechneten Anzahlen der Transf(lrmationsklassen ergibt sich daraufhin die Regel: Die Teilersumme tP(n) stellt sich in den ganzen Zahlen 1/J durch die Gleichung:

(9) dar, wo sich die Summe auf alle qnadratischen Teiler' t 2 von n bezieht, u.nter Einschluß von t 2 = 1.

§ 3, Die allgemeine Trallsformationsgleichung der p.Funktion, Unter den 'lfJ(n) eigentlich zum Grade n gehörenden wesentlich verschiedenen Transformationen nennen wir die !iurch A = n, B = 0, D = 1 gegebene die "erste Hanpttmnsformation", während die Zahlen A = 1

Die 1/I(n) Klassen eigentlicher Transformation n ten Grades

279

.B = 0, D = n die "zweite Haupttransformation" liefern mögen. Die Disko.ntinuitätsbereiche der zugehörigen Gruppen sind leicht herstellbar. Für .die erste Gruppe r n hat man n Parallelo.gramme des ursprünglichen Netzes 'zu einem größeren Parallelo.gramme der Ecken 0, W 2, nW l + W 2 , nW I zu-sammenzuo.rdnen. Die beidenHaupttransfo.rmationen sind natürlich keineswegs vo.r den übrigen Transfo.rmatio.nen ausgezeichnet. Indem man statt der W 1 , Ws in geeigneter Weise linear transformierte Perio.den einführt, wird man jede beliebige Transfo.rmation in den neuen Perio.den z. B. als erste Haupttransfo.rmatio.n schreiben können. Umgekehrt geht aus den z. B. bei der ersten Haupttransfo.rmatio.n eintretenden Größen: &J(u I nw l , ws),, .. , g2(nw 1, ( 2), .. .. , J(nw)

(1)

.das System der Größen irgendeiner anderen Klasse vo.n Transfo.rmatio.nen .einfach durch eine geeignete "lineare" Transfo.rmatio.n der Perio.den in (Ier Gestalt: hervo.r, entsprechend der Gleichberechtigung der 1jJ(n) Gruppen r n innerhalb PU,,"). Bei dieser Sachlage darf man sich auf die Betrachtung der Haupttransfo.rmatio.nen beschränken und könnte unter ihnen so.gar eine, .z. B. die erste, bevo.rzugen. Im Disko.ntinuitätsbereiche der zur ersten Haupttransfo.rmatio.n gehörenden Gruppe r n ist p(ul W l , (2 )=SJ(u) l) eine 2n-wertige gerade Funk,tio.n, die dieserhalb eine ratio.nale Funktio.n nteI! Grades:

(2) vo.n &o(u

! 4'/,())1, ws)

ist. Als Gleichung n ten Grades für die transformierte ~-Funktion aufgefaßt, bezeichnen wir diese Gleichung als die "allgemeine Transformationsgleichung" der §J-Funktion fü}' die erste Haupttransfonnation n ten Grades. Sie hat die n Lösungen:

{3)

p(~t

+ AW

t

,nw1l

( 2 ),

(.t=O,1,2, ... ,n-l)

und ist irreduzibel in jedem Körper, der aus (m, ~J (u), p' (u), g2' g3) durch Adjunktion irgendwelcher vo.n u unabhängiger Größen entsteht. Die Theorie dieser allgemeinen Transformatio.nsgleichung ist nun ;bereitsin den Entwicklungen von S. 225ft'. übel' die allgemeine Teilungsgleichung vollständig enthalten. Die beiden zu den Haupttransfo.rmatio.nen gehörenden Gruppen r u sind im Sinne von S. 224 "komplemen,tär"; auch die bei den Haupttransformatio.nen mögen deshalb "ko.mplementär" heißen. Die aufeinanderfolgende Ausübung der beiden Haupttransfonnationen führt ZUj' Division. Üben wir nämlich auf p(u Inw1, ( 2) .die zweite Haupttransf0rmatio.n aus, so. gelangen wir zu: ,BO

1) Sind ,Perioden der Fllllktionen p, sind immerw1 ,w2 als solche gedacht.

~l,

13, ... nicht besonders angegeben,

280 II, 1. Transformation n'on Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen

~(u I nWi> nw2)

=

n- 2 • ~~1(~~ I w1, w2)·

Hatten wir nun oben den Satz gefunden, daß die allgemeine .Teilungsgleichung nach Adjunktion der Teilwerte durch zwei zyklische Gleichungen n ten Grades lösbar ist, so werden wir jetzt leicht erkennen, daß die bei den aufeinander folgenden Hauptt1'ansformationen eintretenden beiden Transformationsgleichungen n tcn Grades unmittelbar als jene beiden zyklischen Resolt'enten der allgemeinen Teilungsgleichung angesehen werden können. Man erinnere sich, daß unter den in (3) S. 226 eingeführten "lJfl/u) die (n -1) Funktionen "lJfo,u(u) der zur ersten Hanpttransformation gehörenden Gruppe r" angehören. Die Berechnung dieser Funktionen 'lJio.,,(u) aus ~o(u), go'(u) geschieht aber auf Grund von (19) S. 230 nach Adjunktion der Teilwerte mittelst einer einzigen Wurzel n ten Grades. Es besteht nun einfach der Satz, daß nach Adjunktion dieser n ten Wurzel und also der "lJfo,u (u) die Wurzeln (3) der allgemeinen Transformationsgleichung (2) rational beknnnt sind. Man bilde nämlich mitte1st der Einheitswurzel E = sungen (3) der Transformationsgleichung die Summe:

e-n: aus den Lö-

n-l

:EI/"'~J(U + Aw 2=0

(4)

1 1

nw1, w2),

unter tJo eine Zahl der Reihe 0,1,2, ... , (n - 1) verstanden. Die Summe (4) bleibt bei Vermehrung von U um w 2 unverändert, bei Vermehrung von u um W 1 geht sie in sich selbst, multipliziert mit 8-''', 11,ber. Für tJo = 0 liegt also eine Funktion der Perioden Wll W 2 vor, die im ursprünglichen Parallelogramm einen einzigen, bei U = 0 gelegenen Pol zweiter Ordnung mit den Anfangsgliedern der Reihenentwicklung:

I. + ~~(AWI InW n-l

ll ( 2 )

+ ...

2=1

hat. In diesem Falle ist also die Summe (4), abgesehen vom Absolutgliede der eben angegebenen Reihe, mit der Funktion so(u) identisch: n-l

(5)

.;S~(u

~=o

+ Aw

n-1

1

Inw!, w2 )

=

so(u)

+1.=1 ;S~(AWll nW1' w

2 )·

Die rechts stebende Summe gestattet Darstellung durch die 'l'eilwerte der go-Funktion. Man hat nämlich in go (nn: n W ll w 2) eine Funktion der Perioden w 1 ,

~_~._ , "

W2

mit n Polen zweiter Ordnung an den Stellen ~,

(n -1) 00 2

n

=

0,

0)2 ,

n

des Periodenparallelogramms. An der einzelnen Stelle

281

Beziehung der transformierten &J-Funktion zu den PA,u (u)

lt1~' wird n 2 SO (nu inW l1 w 2 )

gJ (u: W t ,

=

genau so unendlich, wie die

::)

unter (5) S.211 eingeführte Funktion SJo,_,,(u) = $OO,n_Ju). ist die Differenz: n-l n2~o(nu i nw l • w2) - ~ ~Jop(u)

Demnach

I' =0

eine von tt unabhängige Größe, für die man aus dem Absolutgliede der n-l

Reihe nach Potenzen von u den Ausdruck - ~ gJo,u abliest: 1,=.1

n 2 gJ(nu I nWt> w2 ) = gJ(u) Setzt man u

=

lro -', n

n-l

+ ~(~JOi'(u) -

gJOpJ

/1=1

so folgt:

gJ(Äw1 I

nw w2)

=

t,

n-l

;~,

u-l

(:E !Ji.p -

2\oo,u)·

,u=O

,u=l

Bildet man diese Gleichung für l = 1, 2, ... , (n - 1) und addiert alle (n -1) so entstehenden Gleichungen, so folgt bei zweckmäßiger Zusammenfassung der rechts stehenden Glieder: x-1

:E sJ(Äw11 nWl>w

1.=1

n-l

2) =

:h:E'gJAI' - !:E

gJOf.t'

,u=1

)."u

°

wo sich die erste Summe rechts auf alle inkongruenten Zahlenpaare mod n unter Auslassung der Kombination Ä = 0, !1 = bezieht. Nach (8) S. 247 ist diese Summe gleich 0, da für jeden Teiler von n die im eigentlichen Sinne zugehörigen Teilwerte verschwindende Summe liefern. Es besteht also die Gleichung: n-l

n-l

:E \o(Äw11 nwl,w2)

(6)

=

_.~:E gJo,u'

A=1

",=1

und die Relation (5) schreibt sich um in: n-l

2} gJ(u + Äw

(7)

n-l

1

l

nw l' w2 )

=

gJ(tt)

-~:E soo,,,'

.1=0

1,=1

Bedeutet /L in der Summe (4) eine der Zahlen 1,2, ... , (n --1), so hat das Produkt dieser Summe und der Funktion P'o f.t (u) zufolge (4) S. 226 die Perioden W t und W2; und zwar stellt dieses Produkt eine dreiwertige Funktion mit einem Pole dritter Ordnung im Punkte tt = dar_ Es gilt also für /L der Ansatz:

°

+°

n-t

P'OI./(u) .~ r/,1l6>] (tt 2=0

+ lw l lnw1, w2) =

A(so (u)

-

soo J '

+ B(S;;' (u) -

gJ~Il)'

282 II, 1. Transformation

nt('n

Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen

wobei sogleich noch benutzt ist, daß das Produkt im Nullpunkte u

=

":2

von ~o,uCu) verschwinden muß. Zur Bestimmung der von u unabhängigen Faktoren benutzen wir die Anfangsglieder der Potenzreihe nach u für das Produkt, die nach (5) S. 226 lauten: 1 1/,8

6~ I' 1 +. 6--. u-2 T 0"

I

...

Es ergibt sich für die Summe (4) die Darstellung:

Der Faktor von 10 (u) im Zähler rechter Hand gehört, wie S. 232 festgestellt wurde, dem Körper (m, g2' 93' !Oo!" !O~!,) an. Durch Auflösung der Gleichungen (7) und (8) gewinnt man nun für die einzelne 'Nurzel der rrransformationsgleichung die Darstellung

Es sind also die Lösungen der allgemeinen Transformationsgleichung (2) [lach Adjunktion der in der ersten Gleichung (19) S. 230 stehenden nten Wurzel zum Körper (m, go(u), !O'(u), g2' g3' !Ol,u' 10;,,) rational bekannt. Da ilich umgekehrt die Funktion ~Oll (u) zufolge:

{1O)

:als im "Galoisschen Körper" der Transformationsgleichung (2) enthalten ,erweist, so ist unsere obige Behauptung über den algebraischen Charakter dieser Gleichung bewiesen. Die entwickelte Gestalt der Transformationsgleichung (2) kann man :aus (5) ahleiten. Indem man zur Vereinfachung der Schreibweise vor>erst ~ statt w1 einträgt, kleidet sich die Gleichung (5) in die Gestalt: n-1

!O(u I ~!,

(

2)

=

!O(u)

+~ (b0i.O(u)-- 10;,0).(=1

Im Falle eines ungeraden n schreiben wir hierfiir:

Wirkliche Aufstellung der allgemeinen Transformationsgleichung

283

n-l

!J(U

2

Ic;:, 0}2)

=

!J(U)

+~(!J(U + ~~t-) + !J(U -

":') -

2~lO).

.1.=1

Ist ,hingegen der Transformationsgrad n eine gerade Zahl, so ergibt sich entsprechend:

Nun folgt z, B. aus der Gleichung (6) S. 216, falls man Z und Z' wieder als &J-Funktion schreibt und 2u an Stelle von U einsetzt:

während das Additionstheorem (4) in 1,203 zur Umformung der einzelnen Glieder der Summen die Gleichung liefert:

(J(u ö

+ v) + '''Cu _ ö"

v)

=

(2p(U)SJ(V)-;'g~) (P(U)

+ 8 ....(v)-- -g.. J

---~U)=i')(V)2

Man findet für ungerades n: n.-l

sowie für gerades n: ~J

{12)

CO) (U1,n' 0} ~-

2

=

&J (U)

e + e2es + 2__&o(u)-e, 1._ _ . 2

n-2

2 (12!o.2.-g.2.)~.J(U)-4P." +~ -----·--il(g.J(u) lO

-. g.Q .. -2gs

10 w~lo =-~;lO)·~--

.._ _..

2=1

Mitteist des Ersatzes von 0}1 durch n0}1 erhält man aus (11) bzw. (12) die Transformationsgleichung (2) selbst. Die Koeffizienten sind dann zwar noch nicht (wie wir nach dem Ausdrucke (9) der Lösungen erwarten sollten) in den g2' ga und den ursprünglichen Teilwerten ausgedrückt, sondern stellen sich in denjenigen Größen dar, die aus g2' gs und den !J10 durch die erste Haupttransformation hervorgehen. I) 1) Im Falle eines geraden n ist e, der zu während e. ea = ~ ist. 4f t

,,= 2'n gehörende Teilwert 8JH'

284 11, 1. Transformation

t,ten

Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen

§ 4. rrransformation n ten Grades deI' Sigmafnnktion. Die eben bei der \o-Funktion befolgte Art, die Transformationsglei-

hO(U I::' üJ 2)

chung anzusetzen, bestand darin, daß zunächst Funktion von gJ(u 1CD U

zu Darstellung kam. Beim Übergange vom

CD 2 )

03 2)

ursprünglichen hJ(ttl031,

als rationale

hO(U!::, 03 2)

zu

handelt es sich um die

zur ersten Haupttransformation inverse Operation. Diese Art, die Transformation n ten Grades anzufassen, ist besonders geeignet bei der (3·Funktion und den &- Funktionen, weil hier zur Entwicklung der aufzustellenden Relationen die Sä,tze aus I, 217ff. über ganze elliptische Funktionen dritter Art Verwendung finden können. Um dies zunächst bei der (3-Funktion auszuführen, stellen wir fest, daß (3

(u I ~-, (

2)

eine ganze elliptische Funktion dritter Art ist, die bei

Vermehrung von 'u um

W1

und

W2

bzw. die Faktoren annimmt:

Hier bedeuten 'YJ~, '1); die zu den "transformierten Perioden" w~ O3~ = 03 2 gehörenden Perioden des Integrals zweiter Gattung:

'1); =1ji(W~, 03;) =

(1)

'1),(::, ( 2),

=

u;: , i=1,2

und die Bezeichnungen ft, v sind im Sinne von 1,217 ff. gebraucht. Diese Größen ft, v stellen sich in den Perioden wie folgt dar:

(2)

Die Nullpunkte der Funktion (3 g:ramm sind nun bei

0, ölt, n (13) in 1,221 anzusetzen ist:

u

U =

(u I~, 03

-n-" . "

2 ölt

2)

im Periodenparallelo-

(n - 1)wt- ge1egen, so daß nach ---n-n-l

0(u

(3)

n' W 2 ölt

)

=

C . e Anz+fluTI'-( . \:) 11

I. CO,)

-;~

,

l=O

wo A, B, C von U unabhängig sind. Zur Berechnung von A dient die Gleichung (10) in I, 220. Man findet, indem man A als Funktion der Perioden durch G1 (CD u 032) oder kurz durch GI bezeichnet: A

=

Gt(03 u

( 2 ) = -{C'YJlft2- 'l)2!Ll) =

:d;(n'l)2'1)~ -

'1)1'1);),

Transformation

1~ten

235

Grades der 6-Funktion

wofür man auch schreiben kann:

(4) Setzt man nun (auf Grund der Legendreschen Relation) erstlich: (JJl '1]2

= 2i:n: + (JJ2 t11l

(JJ~'IJ~ = 2i:n:

+ (JJ~1)~

und sodann zweitens: (JJ~1);

=

-

2i:n:

+ (JJ~1)~,

(JJ2th =

2i:n:

-

+ (JJI'l]2

in die rechte Seite von (4) ein, so gelangt man nach kurzer Zwischenrechnung zu den beiden folgenden Ausdrücken für A = GI: (5)

Eine dritte Darstellung von A = GI durch f,l-Teilwerte folgt unten; übrigens haben wir in GI ((JJ1I ws) eine wichtige Modulform nter Stufe der Dimension - 2 gewonnen, die später noch wiederholt zu betrachten sein wird. In die Gleichung (14) in I, 221 ist entsprechend den Nullpunkten der Funktion (3) und den Werten (2) der {L, v einzutragen:

und übrigens natürlich 1ft = n. Es ergibt sich m l übrigens leicht das Zutreffen der Gleichung: -

( 1)1 '112 -

1 ( -2- {LI (JJ1 '1]2 -

1)2 VI ) -

{L2 (JJ2 1h

)

=

=

0, m2 n 1)2

2-- -

0. Da man

=

1),

2

zeigt, so bestimmt sich B = n -;=_11)1' Auf Grund der in (1) I, 450 gegebenen Erklärung der Funktionen Gl,u(t,t) kann man den Exponentialfaktor eBu mit dem Produkte in (3) rechts zum Produkte der n Funktionen G;.O(u) zusammenfal'!sen. Der Faktor C bestimmt sich endlich aus den Anfangsgliedern der Reihen nach Potenzen von tt. Man gelangt zu dem Ergebnis: Die durch die zur ersten Haupttransformation inverse Operation umgeformte 6-Funktion stellt sich in den Punktionen GlO(U) und ihren Nullwerten luie folgt dar: n-l

G(Ulo~,(JJ2) =e('lU'6(tt)TJ~!;J~~}'

(6)

2=1

/.0

Durch Logarithmierung und zweimalige Differentiation folgt aus (6)

~()(ul ~:~-, ( 2) •

n-l

=

-

2G1

+ !\J(tt) + ~!\Ji.o(u). i.= 1

286 II,1. Transformation nt,n Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Nach S. 282 aber gilt: f,J

(u

I~~, (

n-1

2) =

-

... -1

~iPI.O + iP(u) + ~rlO(U). L= 1

.

.l =1

Der Vergleich mit der voraufgehenden Gleichung liefert demnach noch den Satz: Die Größe G1 (wlI ( 2 ) stellt sich in den iP-Teilwerten des n ten Teilungsgrades so dar: n-1

(7)

G1 (WlI

( 2) =

~ ~f,Jl.o' I. =1

§ 5. Transformation zweiten Grades der '1'hetafunktionen. Bei den ])'unktionen der älteren Theorie, die zu den Stufen 2, 4, ... gehören, bringt das Transformationsproblem in seiner in § 1 entwickelten allgemeinen Fassung sachlich nichts Neues, da die Funktionen der zweiten Stufe mit denen der ersten algebraisch zusammenhängen und also eine algebraische Beziehung zwischen Funktionen erster Stufe eine ebensolche zwischen den zugehörigen Funktionen der Stufen 2, 4, ... zur Folge hat. Formal ist zu bemerken, daß die Argumente v und w der .f1Funktionen und der Funktionen sn, cn, dn mit u durch die Gleichungen zusammenhängen:

(1) wo der Faktor von u in der letzten Gleichung nach I, 473 eine Modulform vierter Stufe ist. Geht man demnach von WlI Wj zu den transformierten Perioden (2) S. 274, während u unverändert bleibt, so ändern sich gleichwohl die v und w, indem sie übergehen in:

(2) wo der :B'aktor M von w der Quotient:

(3)

JYl = lt'~2~=~t'l~OJ1i-c-JOl.-,__C_OJ1_+_~~2) 11e. - e1 (Oll' 0l2)

yet=-e;

des transformierten 'vVertes der Modulform und des ursprüng-· lichen Wertes ist. JY! ist der bei der Transformation eintretende "Multiplikator" des Integrals erster Gattung w, von dem J aco b i zeigt, daß er einer gewissen algebraischen Gleichung genügt. Wir kommen späterhin auf diese "Multiplikatorgleichung" für die Transformation n ten Grades zurück. Die erste Haupttransformation n ten Grades läßt sich, wenn n eine zusammengesetzte Zahl n t . n2 ist, ersetzen durch die Aufeinanderfolge der beiden entsprechenden rrransformationen der Grade n1 , n 2 . Es steht

287

Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen

uns also frei, aus dem Grade n zunächst die höchste in dieser Zahl enthaltene Potenz 2~ von 2 auszusondern und die Transformation des Grades 2· durch v-malige Ausübung der Transformation zweiten Grades zu ersetzen. vEr behandeln demnach, wie es für die Funktionen zweiter Stufe auch schon bei der Teilung zweckmäßig erschien, die Transformation zweiten Grades für sich und schließen dann die Transformation ungeraden Graden an. Bei den -/t-Funktiollen folgen wir zunächst der Entwicklung, die in § 4 auf die Funktion 0(u) angewendet wurde, d. h. wir üben auf die vier Funktionen -/t.(v, q) die zu den Transformationen inversen Operationen aus und versuchen, die entstehenden Größen in den ursprünglichen -/tFunktionen auszudrücken. Die fraglichen Ausdrücke werden gewonnen auf Grund der Sätze in I, 420ff. über Thetafunktionen erster und höherer Ordnung mit beliebigen Charakteristiken. Im Falle des zweiten Grades bedeutet die zur zweiten Haupttransformation inverse Operation den Übergang von

()J2

zu ~2 bei unveränder-

ten u, ()J1' Infolge (1) handelt es sich hier also um den Übergang vOn v, q zu 2v, q2. Dieser Übergang läßt sich aber auch so auffassen, daß er die Kombination dm' ersten Haupttransjormation und der Multiplikation des Argumentes u mit 2 ist. Die Hinzunahme der Multiplikation hat zur Folge, daß die umgeformten Funktionen wieder die Perioden der ursprünglichen erhalten und dadurch in den letzteren ausdrückbar werden. Dieser Auffassung folgend pflegt man als erste Haupttransformation zweiten Grades den Übergang von v, q zu 2v, q2 bezeichnen, während bei der zweiten Haupttransformation und der noch fehlenden dritten Transfor1

1

nmtion q durch q'i bzw. iq2- ersetzt wird, beide Male bei unverändertem v. Es gilt nun also die drei Systeme zu je vier Funktionen:

(4) in den ursprünglichen -/t auszudrücken. Aus den Formeln (19) in 1,419 folgt bei Ersatz von v und 2v und 2m:

1'

=.0,1,2,3

()J

durch

°

wo rechts für v = und 1 das negative, für v = 2 und 3 das positive Zeichen gilt. Da ferner jede -/t-Funktion bei Vermehrung des Argumentes v um 2 unverändert bleibt, bestehen die Gleichungen:

Im Sinne der in I, 428 aufgestellten Erklärung sind hiernach die vier Funktionen -/t" (2 v, q2) "allgemeine" Thetafun7ctionen zweiter Ordnung (J~2;' (v) der vier Charakteristiken (0,1), (0,1), (0,0), (0,0). Zu einem ähnlichen

288 II,1. Transformation n ten Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Resultate gelangt man bei dem zweiten und dritten Quadrupel (4). Man knüpfe, um das Verhalten bei Vermehrung von v um m festzustellen bzw. an: itv(v

ersetze

m

+ 2m -

durch ; bzw.

1, e7tiW ) ro

=

±

q-4 e-47t"iit,,(v,e7tiW ),

t~ und gelangt durch Fortsetzung der Über-

legung zu dem Ergebnis, daß auch die acht noch fehlenden Funktionen (4) "allgemeine" Thetafunktionen zweiter Ordnung ()~2~ (v) sind. Die Charakteristiken des zweiten Quadrupels (4) sind aber der Reihe v = 0, 1, 2, 3 nach (0,0), (1,0), (1,0), (0,0) und die des dritten (0,0), (1,1), (1,1), (0,0). Nach I, 429ft'. sind somit die zwölf transformierten Funktionen (4) durch die Quadrate und zweigliedrigen Produkte die vier ursprünglichen it-Funktionen darstellbar, deren Verteilung auf die vier Charakteristiken (g, h) in 1,429 unten angegeben ist: Bei der Charakteristik (0,0) darf man irgend zwei der vier Quadrate itv (V)2 für die Darstellung zugrunde legen. 1) Bei den anderen drei Charakteristiken (g, h) aber beachte man, daß immer ein Produkt -B-f,ev)itpev) eine gerade, das andere eine ungerade Funktion darstellt. Unter den zwölf Funktionen (4) sind übrigens die vier mit v = 1 ungerade, alle übrigen aber gerade. Dem Ansatze. der gesuchten Darstellungen schicken wir noch ein paar Relationen zwischen it-Nullwerten voraus. Die Nullwerte der drei geraden it-Funktionen sind nach (18) in 1,418 durch die Produkte darstellbar: 00

00

m=l

m=l

(5)

1

it2 = 2 q4

fI(1- q2m)fIe l + q2rn)2, 0000

m=l

m=l 00

rn=l

m=l

Durch Multiplikation der ersten und dritten Gleichung folgt: 00

00

wo sich rechts die Produktentwicklung von .&O(q2)2 eingefunden hat. Entsprechend gewinnt man: 1) Bei einer ohne zweites Argument geschriebenen Funktion .ßov(v) gilt stets q als zweites Argument. Ebenso ist bei einem ohne Argument geschriebenen Nullwerte .ßo•. als Argument q zu denken.

Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen

m=l

m=l

m=1

m=l

wo rechts die Produktentwicklung von erhält man die Relationen:

(6) .

-B'o-B's

=

&O(q2)2,

289

t-ltjJ(qty steht.

2-B'2-B's = -B'2(qty,

Auf diese Weise

-B'; = 2-B'2(q2) &s (q2),

deren dritte eine unmittelbare Folge der zweiten ist. Man bilde nun nach den Regeln von I, 429ff., die sich auf den Hermiteschen Satz gründen, zunächst die Ansätze:

(7)

-B'o(2v, q2)

=

a-B'o(v)-B's(v),

-B's(2v, q2)

b-B'S(V)2

=

+ c-B'o(v)2,

wo die a, b, c von v unabhängig sind. Vermehrt man in der zweiten so bleibt -B's(2v, q2) nach I, 419 unverändert, während Gleichung v um sich -B's(v) und -B'o(v) austauschen; es gilt also c = b. Vermehrt man v um

t,

i-, so folgt

aus (7) nach I, 419 bei Fortlassung der rechts und links

übereinstimmend auftretenden Faktoren:

(8)

-B'l (2v, q2)

=

a-B'l (V)-B'2(V),

°

-B'2(2v, q2)

=

b(-B'2(V)2 - -B'l (vn

Jetzt setze man v = in die erste Gleichung (7) und die zweite Gleichung (8) ein und findet so:

-B'O(q2)

=

a-B'o&a,

-B'2(q2)

=

b-B'~.

Mit Benutzung von (6) ergibt sich somit:

Fiir die m.ittelst der ersten Haupttransformation umgeformten -B'- Funktionen gelten also folgende Darstellungen in den ~trsprünglichen -B'(v)~ (9)

-B'O(q2)-B'o(2V' q2) = -B'o(v)&s(v), -B'O(q2)-B'1(2v, q2) = -B'1(V)-B'2(V), 2-B'S(q2)-B'2(2v, q2) = -B'2(V)2 - -B'1(V)2, 2-B'S(q2)-B's(2v, q2) = -B'S(V)2 + &o(v)2.

!

(v, qt)

Von den Funktionen -B'~ haben die beiden ersten die Charakteristiken (0,0) und (1,0), so daß die Ansätze gelten:

(10)

-B'Jv, q-}) = a-B'o(v)2+ b-B'1(V)2,

-B'l (v,

q~) =

C&l(V)&O(v).

Vermehrt man in der ersten Gleichung v um ;, so ko~mt für die linke Fr i c k e, Die elliptuchell Funktionen II

19

290 Ir, 1. Transformation n'en Grades u. allgemeine Transformationsgleichungen Seite die auf ~- statt co umgeformte erste Gleichung (19) in 1,419, für die beiden rechts stehenden Funktionen aber die Tabelle daselbst zur Verwendung. Man findet nach:Fortlassung überflüssiger Faktoren:

{}o(v, so daß a (11)

=

qt) =

a{}1(v)2

+ b{}O(V)2,

b gilt. Bei Vermehrung von v um

{}s(v, qt)

= a({}s(v)2

+ {}2(V)2),

.~

folgt aus (10):

{}2(V, ql) = c.ft2(v){}s(v).

Durch Eintragen von v = 0 in die erste Gleichung (10) und die zweite Gleichung (11) ergibt sich wieder mit Benutzung von (6):

Für die durch die zweite Haupttransformation umgeformten {}-Funktionen hat man also folgende Darstellungen in den ursprünglichen {}(v):

( ) J{}s(q~){}o(v, 12

qt)={}O(V)2+-&1(V)~,

1{}2 (1) . 1) q-2· {}2 (v, q2 =2{}2(V){}S(V)'

{}2(qi){}1 (v,qt)

=

{}s q2){}S

=

. (1 (v,q21)

2{}1(V){}O(v); {}s(V)2+{}2(V)2.

An Stelle der zweiten und dritten Gleichung kann man auch schreiben:' (13) Endlich trage man in die erste und vierte Gleichung (12) und in die Gleichungen (13) statt co noch co + 1 ein und bediene sich bei der Umrechnung der Reihenentwicklungen (17) und (20) in I,418ff. Man wird leicht zu folgendem Ergebnis gelangen: Die dttrch die noch fehlende Transformation zweiten Grades ttmgeformten {}-Funktionen stellen sich in den ursprünglichen {} (v) so dar,'

{}s(iqi){}o(v,iqt)

=

{}S(V)2

+ i{}1(V)2,

(14)

§ 6. Transformation zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn. Auf die Berechnung der transformierten Werte der von den Perioden allein abhäl;J.genden Modulfunktionen gehen wir erst in den späteren Kapiteln ein. Um indessen über die Transformation zweiten Grades der

Transformation zweiten Grades des Integralmoduls

291

Funktionen sn, cn und dn abschließende Angaben machen zu können, sind schon hier einige vorläufige Notizen über die Transformation desselben Grades der Integralmoduln und ihrer Wurzeln zu machen. Nach 1,419 stellen sich die vierten Wurzeln aus dem Integralmodul kS und dem komplementären Modul k'2 = 1 - k 2 in den ./}-Nullwerten so dar: (1)

und sie sind hierdurch als eindeutige Funktionen von ro erklärt. Setzt man im Quotienten der dritten und vierten Gleichung (9) S. 289 für 'IJ den Wert 0 ein, so folgt bei Übergang zu den Integralmoduln auf Grund von (1): .&. (q') .&S(q2)

-

= Vk(2ro) =

.&i

.&i

k

1

+ &6 = 1 +k'· )

Ebenso findet man aus der ersten und vierten Gleichung (9) S.289: ( '&0 (q.)) 2 = .&8 (q')

k' (2 ) ro

=

2.&0 &8

&~ + &ö

=

~~ki .

1

+ 7c'

Es gilt also der Satz: Die durch die erste Haupttransformation zweiten Grades ~tmgeformten Integralmoduln stellen sich in den ursprünglichen Moduln wie folgt dar:

(2)

-

Vk(2ro)

k

=

l+k"

Um entsprechende Gleichungen für die zweite Haupttransformation aufzustellen, kann man entweder an die Gleichungen (12) und (13) S. 290 anzuknüpfen oder in den eben aufgestellten Gleichungen ~- an Stelle von ro eintragen und nach k (;) und

VF (--i-)

lösen. Die mitielst der zweiten

Haupttransformation zweiten Grades umgeformten Integralmoduln stehen zu den ursprünglichen Moduln in der Beziehung:

(3)

00)

k (2

2Yk

=l+k'

l/F(OO) y. 2

=

k'

l+k'

k'(OO) 2

=

+

l-k k·

1

Die dritte Transformation zweiten Grades betrachten wir hier nicht besonders. Die Wirkung der Transformationen zweiten Grades auf die Funktionen sn, cn und dn liest man nun aus den Formeln (9)ff. S. 289 leicht ab. Wir nehmen in diese Funktionen neben w die Quadratwurzel des Integralmoduls k 2 als zweites Argument auf 2) und fassen die Formeln (28) in 1) Ist bei den Modulfunktionen k, k', J/k, J/k' ein Argument nicht angegeben, so ist stets 00 als solches hinzuzudenken. 2) So oft ein solches Argument nicht angegeben ist, gilt der ursprüngliche Wert k als zweites Argument. 19*

292 Ir, 1. 'fransformationnten Grades u. allgemeine Transformationsgleiehl1ngen 1,420 durch die Proportion zus'ammen:

I

(4)

sn(w,k):cn(w,k):dn(w,k):l =-B-:{)-l (v) :.{}oo.{}o" .{}oi(v) : .{}oo-B-2 1 (auch für die geraden) existiert, gelangen wir bei der Transformation der Perioden 7JI' 'Y)2 des N armalintegrals 7.weiter Gattung. Die erste Haupttransfurmation führt uns in (1) S. 304 zur Größe GI (00 1, 00 2 1, die infolge ihrer Darstellung (2) S.304 eine zur Gruppe r",(n) gehörende ganze Modulform n ler Stufe ist. Wir entwickeln zunäch"t für die"e Form GI (00 1, 0021 aus der zweiten Dar-

POl'

1) Man beachte, daß zuläßt.

,d'

nach S. 338 selbst eine solche Darstellung in den

Transformationsgleichungen für A und für G1 (00 1 ,

(0 2 )

341

stellung (1) S. 304 eine später zur Benutzung kommende Potenzreihe. Aus der Reihendarstellung (ln) in I, 271 findet man bei Umordnung nach ansteigenden Potenzen von q für 11, die Entwicklung:

(2")2 (124 - ~ )"'-" f'P (v) qh),

'12

(17)

2002 =00,

~=1

wo f'P(v) wie üblich die Teilersumme von v ist. Tragen wir die durch (2) S.298 gegebenen transformierten Perioden ein, so folgt: ,

!1!, = 200 2

n

2

(...!!.) 00 2

2

00

•

(~~ n w(v) q2n~). 24 ~ v=l

Für GI (OOu ws) ergibt sich demnach:

G1 (0011 ws)

=

n

(~:r (n~l +~«P(v) qh ,,=1

2nf'P(v)q2nv). ~=l

Ordnet man rechts beide Summen nach ansteigenden Potenzen von q zusammen, so erhalten alle Potenzen q2J' mit einem nicht durch n teilbaren v wieder f'P(v) als Koeffizienten. Die einzelne Potenz q2n~ aber bekommt den Koeffizienten (f'P(nv) - ntP(v», d h. die Teilersumme tP(nv) von nv, vermindert um die Summe aller Teiler von nv, die n als Faktor enthalten: Die bei der ersten Haupttransformation der Perioden 111' 112 eintretende Modulform n ter Stufe GI (00 11 (0 2) gestattet die Reihendarstellung : (18)

GI (0011

(0 2 )

=

n

'1

(n-~ - 1 +.L.,; Wn(v)q h) , (2")2 00 2

,,=1

wo wn(v) die Summe aller Teiler von v ist, die nicht selbst den Transformationsgrad n als Teiler enthalten. Der Schluß auf die Existenz der Gleichung 1jJten Grades für GI wird wie in den obigen Fällen begründet. Als Rpsolvente der speziellen Teilungsgleichung aber ist diese Gleichung durch die Darstellung (2) S. 304 der Form GI als symmetrischer Funktion der fPo!, charakterisiert. Wir merken sogleich den Satz an: Für jeden Transformationsgrad n > 1 genügt die ganze Modulform n ter Stufe GI (001, oo~) einer Transformationsgleichung erster Stufe 1jJ(nlen Grades, deren Koeffizienten als ganze Funktionen von g2' g3 dem Körper (ffi, g2' g3) angehören. Übrigens ist einleuchtend, daß wir ganz entsprechend wie oben die zo und ~o auch die S. 325 ff. für ungerade n gewonnenen Formen yo und zo zum Ausgangspunkte für die Bildung von Gleichungen 1jJtOIl Grades machen können. Für alle ungeraden n werden die Quadrate y~, zö Wurzeln von Gleichungen 1jJten Grades, deren Koeffizienten rational und ganz in g2' g3 sind; bei ungeraden Quadratzahlen n genügen die yo' Zo selbst solchen Gleichungen.

342

II, 3, ,Die, speziellen Transformiltionsgleichungen erster S'tufe

§ 2. A.nsatz der speziellen Transformationsgleichungen. , Geschichtliche Notizen. Über die Gestalt der verschiedenen 'rransformationsgleichungen, die in § 1 als existierend erkannt wurden, kann, man auf Grund der allgemeinen Sätze in I, 299ff. über Darstellung der Modulfunktionen und insbesondere der ganzen Modulformen erster Stufe eine Reihe allgemeiner Angaben machen. Jede ganze Modulform erster Stufe der Dimension - 2 v ist als rationale ganze Funktion von g2' gs in der Gestalt (8) in I, 309 darstellbar, wo die CI m konstänte Koeffizifmten sind. Es ist nun z. B. die Dimension des Koeffizienten von Gt- v in der" Gleichung 1/Jten Grades für Gi gleich - 2v. Wir haben also den fraglichen Koeffizienten nach der eben genannten Regel (8) in 1,309 anzusetzen, wobei dann die CI m ratio-nale Zahlen'werden. Die Überlegung überträgt sich sofort~uch auf die Transformationsgleichungen für gs und 93' deren Koeffizienten wieder "ganze" Modulformen erster Stufe sind: Als Ansätze {Ü1' die speziellen Transformationsgleic7mngen der F01"men Gi' g;, g~ haben wir:

(1)

Gt + "ig2Gt-2 + "2g3 Gt- S + lXag;Gt- 4 + 1X4 g 2 g3 Gt- 6 + "Sg2gS G"1-7 - 0, .+ «5g2 ß5gS2)G'fJ1 1 + ... (

3...L

6

2

I

2 ''''-2+ ("3g2 , 3 T ß'sga2) g2''''-3+' ... = 0 , (2)' g2'''' .. "lg2g2'W-l+' . 1X2P2g2 ' "+ , f"1gsgS-r f ',,, - 1+ (" ~ +ß"3g33) g:l'''' - 3+ .. , = 0 , (3) g3'1' "2.fh3+ß"2gS2) g3'./, 2+(" "3g2g3 I

'

I

'1'-

wo die ", ß,. . . durchweg rationale Zahlen sind. Bei den Gleichungen für die Modulformen (14) S. 340 kann man den Ansatz noch ein wenig verfeinern. Nach einem in I, 309 aufgestellten Satze hat eine ganze Modulformerster Stufe der Dimension - 2v im Diskontinuitätsbereiche der Modulgruppe r, die noch nicht der Gruppe [''/J(n) angehören, für n 0, 2 und 3 (mod 4) eindeutig den ursprünglichen Formklassen der positiven Diskriminante 4n zugeordnet sind, im Falle n _1 (mod 4) aber ebenso den ursprünglichen Formklassen der beiden positiven Diskriminanten n und 4n. Vgl. R. Fricke "Über Transformations- und Klassenpolygone", Gött. Nachr. von 1919.

Geschlecht des Klassenpolygons Kn

367

zahl h(4n) liefert ein Produkt c"h(4n), das stets < 2p(n) + 2 ist; erreicht die Anzahl cn h(4n) ihre obere Schranke 2p(n) + 2, so ist das Geschlecht des Klassenpolygons gleich 0. Unter den 71 Graden n, für welche oben S. 357 die Geschlechter p(n) angegeben sind, liefern 36 Klassenpolygone des Geschlechtes Po = 0, nämlich:

n

=

2,3, ... , 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 39} 41, 47,49, 50, 71.

§ 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen

Transformationsgleichungen. Wie schon oben (S. 349) angedeutet wurde, gründet sich die von Klein entwickelte algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen Transformationsgleichungen auf den Gebrauch der Transformationspolygone. 1) Durch die Funktion j (ro) bildeten wir das einzelne Tn auf die Transformationsfläche F" ab, die '1jI(n)-blättrig die j-Ebene überlagerte, und deren Verzweigung, wie oben (S.352) im Falle n = 7 geschildert wurde, aus dem mit dem Dreiecksnetze der ro-Halbebene ausgefüllten Polygone Tn abgelesen werden kann. Auf dieser Fläche F" ist dannj' eine tP(n)-wertige algebraische Funktion, deren Zusammenhang mitjeben durch die Transformationsgleichung dargestellt wird. Die von Klein entwickelte Theorie der Transformationsgleichungen beruht nun auf der Verwertung der Hilfsmittel von Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen. Der Grundgedanke ist, auf der Riemannschen Fläche F" nicht sogleich die Funktionen j' und j einer verhältnismäßig hohen Wertigkeit zu betrachten, sondern sich zunächst geeignete Funktionen einer möglichst niedrigen Wertigkeit zu verschaffen und sodann j' ttnd j in ihnen rational darz~lstellen. Bei den 14 S.357 genannten Graden n, für welche die Flächen F" das Geschlecht p = haben, gibt es einwertige Funktionen. Eine geeignete Funktion dieser Art, die T(ro) genannt werden möge, ist im Einzelfalle auszuwählen, und sodann sind j und j' rational in T darzustellen. Für die Gewinnung dieser rationalen Darstellungen benutzte Klein eine rein algebraische Methode, die sich auf die Verzweigung der tP(n)-blättrigen Fläche Fn über der j-Ebene gründet. Es gelang ohne Be-

°

1) Das Polygon Tn gibt uns, wenn wir über die co-Teilung noch die nach dem

Maßstabe

~.. gezeichnete .Q-Teilung getragen denken (s. die Figuren 5,6, ... S. 358 ir.),

n ein anschauliches Bild für die zum n'en Grade gehörende spezielle Transformationsgleichung F(j', j) = O. Ein beliebig vorgeschriebener komplexer Wert j tritt in l/J(n) Punkten von Tn auf, die äquivalent im Netze der co-Teilung sind. Sie sind in der .Q-Teilung '!/J(n) Punkte, deren zugehörige Funktionswerte j'(co) =j(.Q) die 11' (n) zugehörigen Wurzeln der Gleichung F(j',j) = 0 sind.

368

II, 3. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe

nutzung der Potenzreihen die gewünschten Darstellungen für j' und j in allen 14 Fällen in Erfahrung zu bringen. Der Transformation W wird dabei eine wichtige Rolle zuerteilt.1) Die Transformationsgleichung selbst ergibt sich durch Elimination von -r aus den beiden Gleichungen für j und j'. Zur Weiterführung dieser Entwicklungen zog Fricke 2) neben den Polygonen T" auch noch die Klassenpolygone Kn und die zugehörigen Flächen F(n) heran und benutzte überdies bei den algebraischen Rechnungen formentheoretische Methoden una Potenzreihen. Auf diese Weise werden die 36 Fälle, in denen das Klassenpolygon Kn das Geschlecht 0 hat, ziemlich leicht zugänglich. Die vorliegende Darstellung entwickelt insbesondere die letzte Methode, und zwar in einer Reihe von Fällen, in denen das Geschlecht Po (n) = 0 ist. Wir bezeichnen mit -r(oo) eine geeignet gewählte einwertige Funktion der dem Klassenpolygone Kn entsprechenden Fläche F(n) in ihrer Abhängigkeit von 00. Diese Funktion ist dann gegenüber den Substitutionen der erweiterten Gruppe T(n) invariant. Durch Abbildung des Transformationspolygons Tn vermittelst -r((0) gewinnt man eine zwei blättrige Fläche über der -r-Ebene mit (2 p + 2) Verzweigungspunkten, wo p das Geschlecht des Transformationspolygons T" ist. Wir denken -r so gewählt, daß der Unendlichkeitspunkt dieser Funktion nicht gerade in einen jener Verzweigungspunkte fällt. Ist dann hP+2(-r) diejenige rationale ganze Funktion (2 p + 2) ten Grades mit dem höchsten Koeffizienten 1, deren Nullpunkte die (2 p + 2) Verzweigungswerte -r sind, so ist:

(1) eine zweite Funktion der Fn bzw. der T 'I{I(n)l die gegenüber der Substitution W Zeichenwechsel erfahrt, und die zusammen mit 't zur rationalen Darstellung aller Funktionen der Fn ausreicht. 3) Zu diesen Funktionen gehören nun insbesondere auch j und j'. Mit Rücksicht auf das Verhalten von 6 und -r gegenüber lY folgt somit der Satz: In den 36 Fällen, in denen das Geschlecht des Klassenpolygons K" gleich 0 ist, gibt es stets zwei Funktionen -r(oo) und 6(00) der r'l{l(n)' die 1) Ygl. die S. 349 genannten Arbeiten von Klein und Gierster. Übrigens sind die betreffenden Entwicklungen in "Modulfunktionen", Bd. 1, S. 634 ff. ausführlich dargestellt. 2) Vgl. die Abhandlung "Neue Beiträge zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen", Math. Ann., Bd. 40 (1891). 3) Die Gleichung f~p+ 2(~) = 0 hat als Wurzeln die Werte der Funktion ~tro) in den Nullpunkten der S. 362 ff. betrachteten h(4 n) bzw. (h(4 n) h(n» die Werte repräsentierenden quadratischen Formen. Wir nennen eine Gleichung dieser Art f2p + 2 ('t') = 0 deshalb eine "Klassengleichung" und kommen bei den arithmetischen Anwendungen der elliptischen Funktionen auf -deren rrheorie ausführlich zurück.

+

Einfachste Funktionen des Klassenpolygons Po

=

0

369

durch eine algebraische Relation: (2)

(j2_t~p+~(r)=0

verbunden sind, wo h p+2(r) eine rationale ganze Fttnktion de8 Gmdes (2 p + 2) ist und p das Geschlecht des Transt'ormationspolygons bedeutet. In den Funktionen -r (ro) und (j (ro), von denen die erste gegenüber W unverändert bleibt, während die zweite Zeichenwechsel erfährt, lassen sich j und j' rational in der Gestalt:

(3)

j=R(-r,o),

j'=R(-r,-(j)

darstellen. Durch Elimination von (j und -r aus den drei Gleichungen (2) und (3) ergibt sich die spezielle Transformationsgleichung FU', j) = 0 für den nte" Grad. Bei der wirklichen Herstellung der Funktionen -r (ro) und (j (ro) bedienen wir uns ganzer Modulformen der r ,/,(n). Die algebraischen Überlegungen stützen sich dabei auf einen Satz über die Anzahl der Nullpunkte solcher Formen im Transformationspolygon Tn' der zunächst aufzustellen ist. Wir verstehen unter Gi (roll (0 2) eine ganze Modulform der

r

-0 2

von der Dimension -~, die gegenüber den Substitutionen der r ,/,(n) entweder unverändert bleibt oder sich nur um Einheitswurzeln als Faktoren ändert; eine hinreichend hohe, etwa mte Potenz dieser Form bleibt dann gegenüber den Substitutionen der r,/,(n) unverändert. Demnach ist der Quotient: ,/,(n)

(4) eine Modulfunktion der r ,/,(n) und also eine algebraische Funktion der Transformationsfläche Fn. Für eine solche Funktion ist aber die Summe der Ordnungen aller Nullpunkte auf der Fn gleich der Summe der Ordnungen aller Pole. Für den Zähler des Quotienten (4) ist also die Summe aller "im Polygone Tn gemessenenl! Nullpunkte (vergl. I, 307) gleich derjenigen des Nenners, d. h. gleich m ~ . 'I/J (12). Damit ergibt sich der Satz: Eine ganze Modulform der Dimension - ~, die gegenüber den Substitutionen der r ,/,(n) , abgesehen von multiplikativen Einheitswurzeln, unverändert bleibt, hat im Transformationspolygon T n Nullpunkte in der Gesamt-

m·dnung ~'I/J (n). Daß bei Modulformen Nullpunkte gebrochener Ordnungen in einem Diskontinuitätsbereiche auftreten können, erkannten wir bereits in I, 307. Nach den damaligen Erörterungen wird man sofort folgenden Satz verstehen: In einer mit ro = i äquivalenten Ecke des Transformationspolygons T n (deren zugehörige elliptische Substitution der Periode 2 dann in r ,/,(n) enthalten ist) kann eine ganze Modulform der r ,/,(n), "irn Polygone Tn gemessen", einen Nullpunkt gebrochener Ordnung Fricke, Die elliptischen Funktionen 11

24

370

II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

mit dem Nenner 2 haben, und ebenso kann in einer mit m = (! äquivalenten Ecke von T",ein Nullpunkt gebrochener 01'dnung m# dem Nenner 3 auftreten, Beim einzelnen Transformationsgrade n haben wir nun die B"etrachtung allemal an die ganzen Modulformen möglichst niedriger Dimension anzuknüpfen. Diese aber werden uns von den Modulformen (- 1)ter Dimension '!Jo und Zo des vorigen Kapitels geliefert, auch von den Potenzen des Ausdrucks 2.y Li' Li und den Formen ~o' Wie hierbei zu verfahren ist, muß den folgenden Einzelbetrachtungen überlassen bleiben. Das erste Ziel wird sein, jedesmal ein Paar von Formen 7:1 (m l1 m2), 7: 2 (m l1 m2) gleicher Dimension herzustellen, die als Quotienten 7:1 : 7:2 = 7: die gewünschte einwertige Funktion der ren) liefern. Die weitere Entwicklung hat alsdann die Darstellung von j und j' in 7: und dem zugehörigen (j zum Gegenstande. Wir schreiben zunächst die Transformation W in homogener Gestalt:

(5)

,

i

(i)2

m =-1

y'n'

in der sie gleichfalls die Periode 2 hat, Die Ausdrücke:

(6) sind dann ganze Modulformen der r '/Jen)' die gegenüber W unverändert bleiben oder Zeichenwechsel erfahren, je nachdem in (6) die oberen oder unteren Zeichen gelten. Wir werden diese Ausdrücke (6) in den 7:11 7:2 , (j darzustellen versuchen und gelangen auf diese Weise schließlich zu den Ausdrücken (3) von j und j'. Hierbei wird dann auch noch das Hilfsmittel der Potenzreihen eine wichtige Rolle spielen.

370

II, 4. Transformationsgleichungen erster 8tnfe für niedere Grade n

Viertes Kapitel.

Aufstellung der Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade 'n. Bei Entwicklung der allgemeinen Ansätze des vorigen Kapitels werden die ungeraden Transformationsgrade bevorzugt. Unter den 36 S. 367 zusammengestellten Graden n mit poen) = 0 sind nun zunächst die fünf ersten Potenzen n = 2, 4, 8, 16, 32 der Zahl 2 enthalten. Ihre Behandlung schließen wir unmittelbar an die Entwicklungen über die Funktionen zweiter Stufe in I, 434fr. an, indem wir uns übrigens der soeben entwickelten algebraischen Methoden bedienen. Für die ungeraden Trans. formationsgrade ziehen wir dann die analytischen Hilfsmittel der voraufgehenden Kapitel ausführlich heran. Ist aber allgemein der Grad R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7_9 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

Transformation zweiten Gra.des

371 n = 2" . n' und n' ungerade, so werden wir versuchen, die Transformation dieses Grades n auf diejenigen der beiden Grade 2~ und n' zurückzuführen. Es vereinfacht die Formeln ein wenig, wenn wir uns an Stelle von j(m) = 12sJ(m) wieder der ursprünglichen Funktion J(m) bedienen. Mit t' (m) und 15 (m) bezeichnen wir einwertige oder zweiwertige Funktionen der Gruppen· r 1/'(11); doch sei bemerkt, daß diese Bezeichnungen wenigstens anfangs nicht immer genau in dem S. 368 vereinbarten Sinne gebraucht sind.

§ 1. Die Transformationsgrade 2, 4:, 8, 16 und 32. 1. Transformation zweiten Grades von J(m). Die beim Transformationsgrade n = 2 auftretende Transformationsgleichung dritten Grades für J (m) kann aus den Entwicklungen in I, 434 ff. abgeleitet werden. In I, 442 wurde die mit A (m) bezeichnete einwertige Funktion der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe eingeführt, die nach der zweiten Gleichung (3) in I, 444 in:

(1) \

t'

( )

- 4 m = l.(ro) f (ro + 1)

4 1 - A(ro)

A(ro)'-

=

et i)

eine für unsere Zwecke geeignete einwertige Funktion des Transformationspolygons T2 liefert. Aus A(i (0)

=

0, A(0)

1, A

=

=

2 berechnen

sich als Werte von t' (m) in den Ecken des durch Fig. 7, S. 360, dargestellten Polygons Tl!:

(2)

t'

(0) = 0,

t' (

t) =

+1+' 2

~ 1,

t'

(i (0) =

00.

Die Substitution W transforwiert T2 in sich, so daß t' (W(m) wieder eine einwertige Funktion von T 2 und als solche eine lineare Funktion von t' (m) ist. In der Tat gilt:

(3)

t'

-1) = '/: (ro) 1, (~.

°

da durch W die Polygonspitzen

und i

00

und also die Werte

und t' = 00 ausgetauscht werden und der Eckenzyklus mit der Wert T = - 1 in sich transformiert wird. Aus (6) in 1,445 folgt bei Umrechnung auf T:

(4)

J : (J - 1) : 1

=

(T

+ 4)3: (T -

8)2 (T

±l+i ---2---

+ 1) : 27 T 2.

Übt man die Substitution Waus und schreibt zur Abkürzung:

J (;})

=

J(2 m)

=

J'(m), T (;})

=

T'(m),

so folgt bei Fortlassung des Argumentes m: 24*

t' =

°

und da-

372 (5)

II, 4. Transforma.tionsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

J': (J' - 1): 1 = (t' + 4)8: (t' - 8)2(t' + 1) : 27

.,;'2,

$'

=

+

oder als Darstellung der transformierten Funktion J' durch $:

(6)

J': (J' -1): 1 = (4 $

+ 1)8: (8 $ -

1)2 ($

+ 1): 27 $.

Die Elimination von.,; aus (4) und (6) führt zur Transformationsgleichung von J (ro) für den zweiten Grad. Benutzt man vorübergehend wieder j (ro), so folgt zunächst:

4

J}F

rJ

=

,:+4

e}l-;)"

;;/-;;-

rJ ~

4

1:'+4

(fI.:-;-)"

, $' $

1

=

.

Man findet somit:

m

j

+

16 (4 ($ + $') + 17), j' = 64 (64 ($ + $')2 + 49 =

sowie weiter durch Elimination von ($

(7)

($

+ $'):

+ $') -

104),

j' +j _(W)2 + 3 2 .5.11 }In - 24 .3 3 .5 3 = O.

Durch l!'ortschaffung der Kubikwurzel aus j'j ergibt sich als spezielle Transformationsgleichung für j (ro) beim zweiten Grade:

(8)

j'3 + jS -

J2l + 1488 j'j (j' + j) -

162.103(j'2 + l) + 8748· 106(j' + j) - 157464.109 = 0

+ 40773375 j'j

oder bei Zerlegung der Koeffizienten in ihre Primfaktoren:

(9)

er

j'3 + jS- J2P + 24 .3. 31j'j (j' + j) - 24 .34 .5 3 +)2) + 34 • 53 .4027 j'j + 28 . 37 .56 (j' + j) - 212 • 39 • 59 = O.

Die Koeffizienten entsprechen den allgemeinen Sätzen von S. 348, sind aber bereits in diesem niedersten ~alle n = 2 außerordentlich große ganze Zahlen, wenn sie auch (abgesehen von 4027) nur aus ganz niederen Prim faktoren aufgebaut sind. Schon in den nächsten Fällen n = 3, 4, ... bietet die endgültige Herstellung der Transformationsgleichungen für j (ro) große rechneri~che Schwierigkeiten, die auch nur im Falle n = 3 überwunden sind. Für den späteren Gebrauch wird es nun nicht nötig sein, die Gleichungen in ferti!~er Gestalt zu besitzen. Es wird für unsere Zwecke, den Fall n = 2 betreffend, ausreichend sein, die beiden Gleichungen (4) und (6) zu kennen, aus denen die Transformationsgleichung selbst dt~rch Elimination von $ gewonnen wird, oder, was auf dasselbe hinausläaft, die Gleichung (4) und damit die gleichgebaute Gleichung (5) zw ischen J' und $', sowie die Relation zwischen $ und $' zu besitzen. Bis zu diesem Punkte werden wir demnach die Untersuchung in den folgenden Fällen n = 3,4, ... führen. 1) 1) Im Sinne späterer Entwicklungen haben wir in (7) eine ,,'l'ransformations-

373

Die Transformationen der Grade 2 und· 4

2. Transformation vierten Grades von J(ro). Der Übergang zu den Graden 4,8, 16,32 wird jedesmal durch Ausziehen einer einzigen Quadratwurzel vollzogen. 1) In Fig. 11 ist das Polygon T4 dargestellt. Die imaginäre ro-Achse und die beiden von ro = 0 nach ro =

+ ~+i

ziehenden Kreisbogen

zerlegen T4 in vier Kreisbogendreiecke. Die beiden schraffierten Dreiecke sind Abbilder der positiven t - -...-~----=O---!-f Halbebene der eben bei n = 2 benutzten Funktion 't', Fig.11. die fortan genauer 't'2 heiße. Einige Werte dieser Funktion sind: _....L...

die letzte Angabe folgt aus der Gleichung (6) für J' = J(2 ro), falls man ro = ~ und also J' = 1 einträgt. Eine einwertige Funktion des Polygons T4 heiße jetzt 't' (ro). Wie schon in I, 442 erörtert wurde, ist eine solche einwertige Funktion dadurch eindeutig erklärbar, daß man an drei Stellen des Polygons die drei Werte von 't'ero) vorschreibt. Wir setzen die Gleichungen fest: (11)

't'(±t)=-t,

't'(0) =0,

't'(ioo) =00.

Die zu n = 4 gehörenden Substitutionen Wund W mögen genauer W 4 und W 4 heißen. Der Symmetriekreis der Spiegelung W 4 ist der T4 durchschneidende, die Punkte ro = ± ~ verbindende Halbkreis. Durch W 4

+

werden die Punkte ro = 0 und i 00 und also die Werte 't' = 0 und 00 ausgetauscht. Anderseits wird durch W 4 der Punkt ro formiert und ebenso der Eckenzyklus ro = ± so ist die Wirkung von W 4 auf 't' (ro) durch:

t.

=

in sich trans-

Da 't' (± t)

=

-

t

ist,

gleichung dritter Stufe", nämlich eine solche für die Funktion dritter Stufe

VJ.

Diese Gleichung hat bereits viel kleinere ganzzahlige Koeffizienten. Die

gleiche Erscheinung kommt um so mehr zur Geltung, je höher die Stufe der Gleichung ist. Die in ihrer fertigen Gestalt am einfachsten gebauten Transforma· tionsgleichungen werden diejelligen sein, die wir im übernächsten Kapitel als "Jacobische" und als "Schlaeflische ModulargleichJlngen" betrachten; sie gehören zu den Stufen 16 und 48. 1) Man vgl. den Satz von S. 262 liber die LÖ8ung der speziellen Teilungsgleichung fi1r' einen Grad, der eine Primzahlpoten7 ist.

374

II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niede>:e Grade n

~ (~:) =

(12)

41;l(m)

gegeben, woraus man .weiter auf ~ (~)

~ schließt.

=

Nun ist ~s (ro) als zweiwertige Funktion des Polygons T4 eine rationale Funktion zweiten Grades von ~. Ihre beiden Nullpunkte fallen bei ro = 0 und also bei ~ = 0 zusammen, die Pole liegen bei ro = i 00 und ro = ± t und also bei ~ = 00 und ~ = - 1· Da endlich für ~ = t der Wert ~2 = {- zutrifft, 80 besteht für 'T 2 die Darstellung: (13)

in 'T. Trägt man diesen Ausdruck von nannte Funktion ein, so folgt: (14)

~2 111

(4) für die daselbst 'T ge-

J: (J -1): 1 = ('T 2 + 8~ + 4)8: ('T3-15~2: 271:4 (2 'T 1).

+

24~

- 8)2

Diese Gleichung, die entsprechende in J' und ~', sowie die aus (12) folgende Gleichung 4~' ~ = 1 haben wir als Ersatz der Transformationsgleichung für J (ro) beim vierten Grade anzusehen. 3. Transformation achten Grades von J(ro). Fig. 12 stellt das Polygon T8 dar, dessen sechs mit Nummern versehene Seiten durch folgende der r 1/1(s) angehörende Substitutionen aufeinander bezogen sind:

1 ~ 6,

(~: ~); 2 ~ 5,

3~ 4,

G: ~).

(8,3, 1)3 .'

Die stark ausgezogenen Kreise sind Sym-

Fig. 12.

metriekreise von Spil'lgelungen der Gruppe T(S). Der Diskontinuitätsbereich dieser T(8) ist ein Kreisbogenviereck mit zwei Winkeln 0 und zwei rechten Winkeln. Die in der Figur mit e und e' bezeichneten Ecken der rechten Winkel liegen bei: (15)

ro

=

-2V2+i - = - - und 6

Y2

i ro = . 2

V2

Die beiden in der Figur schraffierten Dreiecke sind Abbilder der positiven ~4- Halbebene. 1) Diese in (14) mit ~ bezeichnete Funktion hat die 1) In sofort verständlicher Weise bezeichnen wir mit t"4(m) die soeben bei der Transformation vierten Grades von J(m) benutzte Funktion t" (m). Einer entsprechenden Bezeichnungsweise bedienen wir uns in den nächsten Fällen.

375

Transformation achten Grades

Spitzen werte :

(16)

~4(±t)=-h

T4(±-~-)=T",(ioo)=00,

T4,(O) =0.

Die Abbildung von T8 durch ~'" (00) liefert, wie man aus Fig. 12 abliest, eine zweiblättrige Fläche über der ~4-Ebene, die zwei bei T 4 = 0 und - {gelegene Verzweigungspunkte hat. Demnach haben wir in der Quadratwurzel: t(oo) = -V21;4(~)+1_ (17) 2"'.(00)

,

die auf der imaginären oo-Achse positiv genommen werden soll, eine einwertige Funktion von T8 mit den Spitzenwerten:

(18)

t(ioo)=l,

t(O) = 00, t(±{-) =0, t(±t)=-l.

Durch Ws werden die Werte 1 und 00 von t ausgetauscht und ebenso die Werte 0 und - 1, woraus man leicht folgert: t (-::-:-

(19)

I)

=

800

t(Ol)+~.

t(Ol)-l

An die Stelle von t (00) soll nun weiterhin die gleichfalls einwertige Funktion: ~ (00) = 2 (t(w) - 1) treten, deren Spitzenwerte nach (18) die folgenden sind:

(20)

~(ioo)=O,

~(O)=oo,

T(±t)=-2, T(±t)=-4.

Die Wirkung von Ws ist zufolge (19):

(21)

T

8 (-1) 80) - dOll' ----

~

woraus sich für die beiden Stellen (15) die Werte berechnen:

(22)

r Für

T4

2 V2 + i) --;;:Vf--

(-

=

-

1

F-

2 r 2,

ergibt sich aus (17) als rationaler Ausdruck in

T:

(23) Durch Eintragung dieses Ausdrucks von T 4 in die rechte Seite von (14) gelangt man zu dem Ergebnis: Der Ersatz der Transformationsgleichung für J (00) beim achten Grade ist die Gleichung:

(24)

+ 8 T 3 + 20 r 2 + 16 T + 1)3 : (2 T 6 + 24 T 5 + 108 T 4 + 224 T 3 + 207 T 2 + 60 T : 27 T (T + 4) (T + 2)2,

J: (J -1): 1 = 4

(T 4

die entsprechende Gleichung zwischen J' und

T'

und die Relation

2)2

T' . T =

8

376


4. Transformation 16 ten Grades von J(ro). In Fig. 13 ist das Polygon T16 dargestellt, dessen zwölf Seiten durch folgende Substitutionen aufeinander bezogen sind:

1 __ 12,

(~:~); 2 __ 11, (1!:~); 3 -- 4, (~:: -!); 5 -8, 6 - - '"i,'

(1,0) 16,1 ;

9 -- 10

(16,6, -1) _ 8 .

(4!: ~);

Die stark ausgezogenen Kreise sind Symmetriekreise von Spiegelungen der Gruppe T(l6). Das ganze Polygon T16 ist hier aufgebaut aus vier Kreisbogene 12 fünfecken, deren einzelnes drei und Winkel zwei rechte Win~'---~--~7-~~----~---+~~~--~t~--~t-- kel hat und Fig.1S. durchweg aus Symmetriekreisen von Spiegelungen eingegrenzt ist. So haben z. B. die mit den Nummern 2 und 3 versehenen Kreise die Gleichungen:

°

48 (;1 + '1';2) sie sind die Symmetriekreise der in der ,

ro = _

+

7 co 8 16 w _ 7 '

r(l8)

,

ro = _

+ 32; + 5 =

0;

enthaltenen Spiegelungen:

+

16 co 6 48 w - 16 .

Der die beiden Punkte ± t verbindende Halbkreis ist der Symmetriekreis der Spiegelung W l6 • Die Punkte e und e', gelegen bei ro

=

-

i 4

und

ro

-8+i =

20

'

sind die Nullpunkte der beiden quadratischen Formen (16, 0, 1) und (80, 64, 13), durch die wir die beiden Formklassen der Diskriminante D = - 64 repräsentieren können. Das schraffierte Kreisbogenviereck der Ecken 0, i 00, - -}, - t ist hier ein Abbild der negativen "rs-Halbebene. Das zweite Abbild dieser Halbebene findet sich zur rechten Hand am unteren Ende des Polygons T16 und wird durch den Rand dieses Polygons in zwei Stücke zerschnitten. Die Spitzenwerte von 't'8 sind:

(25)

't'8(0) = 00,

"rs(ioo) = 't'8(±i) =0, 't'8 (± {-) = - 4.

"r8 (±i-)=-2,

Transformation 16'en Grades

377

Mitte1st der Funktion -rs (ro) wird T16 auf eine zweiblättrige Fläche mit zwei von ro = 0 und dem Eckenzyklus ± -} herrührenden, bei -rs = 00 und -rs = - 2 gelegenen Verzweigungspunkten abgebildet. Eine einwertige Funktion von T16 hat man demnach in:

t (ro) = Jlt-rs (ro)

(26)

+1,

wo die Wurzel auf der imaginären ro-Achse positiv genommen werden mag. Diese Funktion hat folgende Spitzenwerte: t(O)=oo,

t(±-}) =0, t(±-})=-l,

t(ioo) = 1,

aus denen man leicht als Wirkung der Substitution W 16 folgert: t(-l)

(27)

16 co

=

t(co)+l t(co)-l'

An Stelle von t (ro) soll jetzt, wie im Falle n einwertige Funktion des Polygons T16 : -rtro)=2(t(ro)-1)

=

8, die gleichfalls

.

eingeführt werden, die die folgenden Spitzenwerte hat: (28)

-r(O) =

00,

-r(ioo) =0,

-r(±-~-)=-2,

-r(±-})=-4

und zufolge· (27) gegenüber fV;.6 das Verhalten zeigt: (29)

-r

8(~5 . (16-1) co = 't"

Der Zusammenhang zwischen -rs und -r ist: -r8 =

t -r2 + 2 -r.

Durch Eintragung dieses Ausdrucks von -rs in (24) ergibt sich der Satz: Der Ersatz der Transformationsgleichung tür J(ro) beim 16 ten Grade ist die Gleichung:

+ 448 f'5 + 1104 -r4 +1664 f'B + 1408 f'2 + 512 f' + 16)3 24 -r 11 + 264 f'10 + 1760't9 + 7896 -r8 + 24960 -r7 + 56448 -r 6 + 90624 -r5 + 99 960 -r4 + 70592 -r + 27456 -r

(30) J: (J - 1) : 1 = (t 8 + 16 t 7 + 112

: (t 12 +

f'6

3

+ 3840 -r -

: 1728 -r (-r

2

64)2

+ 4)(-r + 4 -r + 8)(-r + 2)4, 2

die entspt'echende Gleichung zwischen J' und

f"

und die. Beziehung 't'-r = 8.

378


5. Transformation 32 8ten Grades von J(w). Aus T16 kann man das Polygon T32 dadurch herstellen, daß man die heiden durch die ima~ ginäre w-Achse ausgeschnittenen Hälften von T16 mittels der Substitu-

± 16 + 1 transformiert und die entstehenden Bereiche längs

tionen w' =

(j}(j)

der Seiten 7 und 6 von T16 anfügt. Neben den Spitzen von T16 treten dann am Polygone T32 noch weitere Spitzen bei w = ± f2, ± f.t, + -ls auf. Es ist indessen nicht nötig, dieses Polygon T 32 wirklich herzustellen, vielmehr können wir uns zur Erledigung der Transformation 32 sten Grades von J(w) der soeben bei n = 16 benutzten Funktion "t"(w) bedienen. Mittels dieser Funktion wird T32 auf eine zweiblättrige Fläche abgebildet, die als zum Geschlechte p = 1 gehörig vier Verzweigungspunkte hat. Diese Verzweigungspunkte rühren von den Spitzen w = 0, -t (oder +t) und ± t des Polygons T16 her, da die zu diesen Punkten gehörenden Substitutionen (vgl. die bei Fig. 13 genannten Substitutionen):

(7, 4,) -16,-9'

(1,0) 16,1'

noch nicht der

r '/I(32)

(5 -1) 16:-3'

(- 3, - 1) 16, 5

angehören, während ihre Quadrate der Bedingung

r = 0 (mod 32) genügen. Die vier Verzweigungspunkte liegen also bei

2 und (- 2 ± 2 i); die beiden letzten Punkte sind die N ullpunkte des im dritten Gliede der rechten Seite von (30) auftretenden Faktors ("t"2 + 4 "t" + 8). Es ergibt sich also der Satz: Für das zum Geschlechte p = 1 gehörende Transjormationspolygon T32 hat man ein Funktionssystem in: "t" =

00, -

(31)

"t"

(w),

(w) die bei n = 16 so benannte Funktion ist ttnd die Quadratwttrzel auf der imaginären w-Achse positiv genommen werden mag. l )

WO "t"

Mit

"t"

(w) ist nun auch

von T32 , so daß 't'2

"t"

und

(ao"t"s + bo"t" + co)

't'

"t"'

(w)

= "t"

(.~-~) eine zweiwertige Funktion

durch eine algebraische Relation der Gestalt:

+ 't' (al 't 2+ b1 t: + Cl) + (a 2 "t"2 + b2 t: + C2 )

=

0

aneinander gebunden sind. Die beiden Stellen 't' = 00 fallen in der Spitze w = i 00, d. h. bei "t" = 0 zusammen, so daß (ao'['2 + bo7: + co) mit '['2 identisch ist. Die beiden Stellen 7:' = 0 treten bei w = 0 und w = ± i ein, und also bei "t" = 00 und "t" = . - 2, so daß (a 2 7: 2 + b2 't c2) mit b2 (7: + 2) identisch ist. Da die Relation zwischen "t" und 7:' überdies symmetrisch sein muß, so hat sie die Gestalt:

+

1) Man hat hier ein elliptisches Gebilde des harmonischen Falles vor sich.

379

Transformation 82 sten Grades

Man trage hier noch ein: ro = -

~, -r' = -r (:)

=

+ 2 i,

2

-

-r

=

-r

(~1)

=

-

4

und findet mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Koeffizienten b, c reell sein müssen, b = - 32, c= - 64. Die gesuchte Relation ist: -r'2-r 2 -

(32)

32 -r' -r - 64 (-r' + -r) - 128

=

O.

Als Bestätigung dieses Ergebnisses kann die nach -r' gelöste Gleichung gelten: insofern sich rechts, wie es sein muß, die Quadratwurzel (31) einfindet. Als Ersatz der Transformationsgleichung für J( ro) beim Grade n = 32 hat man nun einfach die Gleichung (30), die entsprechende Gleichung zwi- . schen J' und -r' und die Beziehung (32) zwischen -r' und -r anzusehen. 6. Weitere Transformationsgleichungen für den zwei ten Grad. Die Transformationsgleichung für die Modulform Gl (roll ro2) lautet beim zweiten Grade einfach:

da Gl

,

=

25G~ -

+

2g2 Gl

gs = 0,

-

e2 = ~- gJ (~.) ist. Die durch W 2 transformierten Formen:

g2 = gs

(i112' W.

~1 112)

i,'

,=

gs

ga

(i112' W.

W1

112)

i'

Li' = Li

(i112' w.

ro 1

112)

i

g;

gestatten folgende Behandlung. Nach einem Satze von S. 369 hat in T2 einen Nullpunkt, der zufolge (6) S. 372 bei -r = - i liegt; derjenige von gj liegt bei -r = - 4. 1) Der Quotient g~: g2 ist demnach als einwertige Funktion in T2 linear durch -r darstellbar, und zwar in der Gestalt:

g;

4$'+1

+

-=0-g2 't' 4 '

wo 0 eine Konstante ist. Da der links stehende Quotient gegenüber W 2 in seinen reziproken Wert übergeht und dasselbe zufolge (3) von T( ro) gilt, so kann c nur gleich + 1 oder - 1 sein. Da auf der imaginären ro-Achse der links stehende Quotient und auch -r reell und positiv sind, so ist 0 = 1. In ähnlicher Weise findet man auch die zweite und dritte der folgenden Gleichungen: ( 33)

g; g2

=

+ 1 g; = + 4,' g.

41: 't'

_

8't' - 1 't' - 8 '

1) Vgl. auch Fig. 7, S. 360, die das mit den bei den Netzen versehene Polygon T. darstellt. Hier sind die von sechs Dreiecken umlagerten Punkte

-1+il/ ä

bzw. w = - - 4 - - die Nullpunkte von

g.

und

g;.

W

=

-

1

t

i

V3

380

11, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

Durch Elimination von 't' aus (4) und der ersten oder zweiten dieser Gleichungen gewinnt man als Transformationsgleichungen für g2 und gs beim zweiten Grade: ,

+

_ 23 • 3 2g2g~2 + 3 .11g~g~ (112g~ - 33 • 5Sg;) = 0, 26g;3+ 24. 3· l1gsg;2+ (2 4. 5g~ + 3 s . 72gDg~ - (72g~g3-11SgV = O.

{24g~3

(34)

Aus der dritten Gleichung (33) und der Gleichung (4) folgt: 3g~

yd =

't'+4

-(V~)s =

4 LI'

+ LI

V:.:t' (VLI)21

4'

3

LI -

~fAI-

g2" LI LI

+ LI =

0

.

Durch Zusatz des Faktors LI ergibt sich für die Modulform zweiter Stufe f(w H ( 2 ) = LI' LI beim zweiten Grade die Transformationsgleichung:

V

(35)

4[3-3gsLlf+Ll2=0.

7. Weitere Transformationsgleichungen für den vierten Grad. Auch beim vierten Transformationsgrade sind noch einige weitere Gleichungen bekannt. Gehen wir zunächst auf die Darstellungen (1) S. 304 von GI (WH Ws) für irgendein n zurück und üben die in (5) S. 370 gegebene homogene Substitution W" aus, so finden wir mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Perioden des Integrals zweiter Gattung mit den WH Ws kogredient sind und übrigens in den Wll W2 die Dimension - 1 haben: (36) die Modulform n ler Stttfe G1(W i , ws) ist also gegenüber der homogenen Substitution W n invariant. Wir stellen nun die Modulform vierter Stufe Gi (w i , ( 2 ) mit der zur zweiten und also auch zur vierten Stufe gehörenden Form es (w l , ( 2 ) zusammen und notieren die Anfangsglieder:

(37)

Gi =

(~;r

c+

4 q2 + ..

-),

e2 =

(::r (~ +

4 q2 +

.. )-

Nach dem Satze von S. 369 hat jede dieser Formen im Polygone T4 einen Nullpunkt erster Ordnung. Derjenige von GI wird wegen (36) durch W4, in sich transformiert, liegt also entweder bei

W

= ; oder

W

=

± ~.

Die

erste Möglichkeit ist indessen ausgeschlossen, da GI wegen der positiven Reihenkoeffizienten auf der imaginären w-Achse nicht verschwindet. Also liegt der Nullpunkt von GI bei w = + t und damit bei 't'4 = 't' = - t. Die Form es hat in T2 einen Nullpunkt der Ordnung t, der nur bei w

=

+ \+ i

der Ansatz:

und damit' bei

't'4

=

't'

= - 1 liegen kann. Hieraus entsteht

381

Transformationsgleichungen für gs, gs, d beim zweiten Grade

Die Konstante c ergibt sich für

(i)

=

ioo aus. (16) und (37) zu

t:

(38) Wir bilden jetzt, unter a und b zwei endliche nicht zugleich verschwindende Koeffizienten verstanden, die "lineare Formenschar" (a G1 + be2) der Dimension - 2. Die einzelne Form dieser Schar hat in T4 dann wieder nur einen Nullpunkt erster Ordnung, der durch geeignete Wahl von a, b an eine beliebig vorgeschriebene Stelle von T4 gebracht werden kann. Haben wir dann irgendeine ganze Form go(OO 1 , (0 2 ) des Polygons T4 von der Dimension - 20', die nach dem Satze von S.369 0' einfache Nullpunkte in T4 hat, so entsteht die Möglichkeit, diese Form in der Gestalt:

go= (al G1 + b1 e2)(a2 G1 + b2e2)··· (a O G1 + bOe2)

(39)

als Produkt von 0' Formen der Schar darzustellen. Man kann nämlich ein solches Produkt bilden, das dieselben Nullstellen wie go hat; der Quotient von go und diesem Produkte ist dann als eine von Polen und Nullpunkten freie Funktion der T"'( 4) mit einer Konstanten identisch.

Insbesondere findet man für g2 und g3 die Darstellungen: (40)

g2 =

-

4G~

+ 12 G e2+ 3e:, 1

g3 = 4G~e2 - 12 G1e~+ e~.

Die bei den Nullpunkte von g2 sind nämlich die Wurzeln der quadratischen Gleichung '1: 2 + 8'1: + 4 = 0, so daß man mit Benutzung von (38) den Ansatz hat: Die Konstante C bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihenentwicklungen. Entsprechend findet man die zweite Gleichung (40). In der mit 4 multiplizierten zweiten Gleichung (40) setze man noch (g2e2 + g3) für 4e: ein und ordne beide Gleichungenllach Potenzen von e2 :

{ 3ei + 12e2 G1- (4G~ + g2) = 0, 48e;G1 - (16 G~ + g2)e2+ 3g3 = 0.

(41)

Durch Elimination von e2 aus diesen beiden Gleichungen erhält man als Gleichung fÜ1' G1 beim vierten Transformationsgrade : (42)

2 7 .3. 5g2 Gi - 2 6 .3 8 • 5g3 Gr - 22 .3 3 .5 gi G~ - 22 • 34 g2 g3 G1 +A = 0.

210G~ -

Der Nullpunkt von es liegt bei 'I: = - 1. Die durch W 4 transforund damit wegen (38) für mierte Form ~ verschwindet also bei 'I: = G) = es' Die Wirkung von W 4 auf e2 ist somit:

t

(43)

382


da die zweimalige Ausübung von W, zu e2 zurückführen muß. Aus (40) berechnen sich demnach weiter die Darstellungen:

für die transformierten

g;, g~,

sowie damit die Gleichungen:

Aus jeder dieser Gleichungen und den beiden Gleichungen (41) wolle man nun e2 eliminieren. Es entstehen zwei Ergebnisse, die nach g~ und g~ aufgelöst folgende Darstellungen der transformierte1~ g;, g~ in Gu g2' g3 liefern:

'- 2 4 .3. 5'Gt rg2 -

(46)

1g3

'= -

257 Gig. - 2.3'· 5G, g. 2 4 . 130'1

+9

+ g~

•

j!4·5· 7 Gi-a s . 7 Gjg. -107Gig.+

13G21

24 .

+9

,

7G,9~ + 9.9••

,

Auf dieser Grundlage kann man die Transformationsgleichungen für g2 und g3 als Resolventen der Gleichung (42) einführen. Aus (44) und (40) folgt durch Rückgang zur Funktion -r:

Jb =

(47)

g.

+

32~+ 1 4(~2+ ti ~

641"

+40 .

Andrerseits ergibt sich aus (14) und Ausübung von W,:

Dividiert man die zweite dieser Gleichungen durch die erste, so folgt bei Benutzung von (47):

V·

.:J

(48)

-;;Ji

=

2-r.

Erklären wir daraufhin f( 001 , (0 2) als ganze Modulform viertel' Stufe durch:

(49) so ergibt sich durch Elimination von -r zwischen diesel' Gleichung und der aus (14) folgenden Relation: .d(-r 2 + 8-r

+ 4)S_ 27 g~-r'(2-r + 1) =

0

für f( 001 , (02 ) die sum vierten Grade gehörende Transformationsgleichung der Diskriminante .d: (50)

22

r + 2'· 3L/f" + 2 .3.17 L/ r + 2 2

2

5•

ll.dsr + (3. 59g~

- 2 2 .34 .17 gD .d 3 f2 - (2 2 .3. 5g~ + 24 • 34g;)L/4f + 2 2 .d6 = O.

Weitere Gleichungen für den vierten Grad.

•

383

Der dritte Grad

§ 2. Die Trausformatiousgrade 3, 9 uud 27. 1. Transformation dritten Grades. Das Transformationspolygon

1 3 ist in Fig. 8, S. 361, dargestellt; das Klassenpolygon Ks läßt sich aus zwei symmetrischen Kreisbogendreiecken der Winkel Ecken ro

=

i +3+il/s . -=, 6 ' ~ 00

V3

i, -~, 0 und der

zusammensetzen.

Die Form Gl ist hier einfach So (~~), so daß die beim dritten Grade eintretende Transformationsgleichung für Gl die zn diesem Teilungsgrade gehörende spezielle Teilungsgleichung :

(1)

48 Gi - 2492 Gi - 489a G1 -

g~ =

0

der so-Funktion ist (vgl. den Ausdruck von 1fJ(3l (U) S. 185). Eine einwertige Funktion -r(ro) für Ts führen wir durch die Festsetzung:

(2)

-r (i (0) = 0,

-r

(Ja) = 1,

em. Da Ws die Punkte ro = 0 und i Fixpunkte hat, so gilt:

00

-r(0) =

00

i

va

austauscht und ro = --- zum

1. =(-1) 300 7:(00)

-r ---

(3)

Die Funktion -r(ro) ist auf der imaginären ro-Achse reell und positiv, auf dem äußeren Rande von Ta reell und negativ, und speziell gilt: (4) Die Formen g2' g~ der Dimension - 4 haben in T3 Nullpunkte je in der Gesamtordnung J. Ein gemeinsamer Nullpunkt der Ordnung t liegt im Eckenzyklus

± 3_t~_~;

die Lagen der beiden anderen Nullpunkte

sind aus den bei den Netzen der Fig. 8 sofort abzulesen, sie treten für zwei reelle negative, einander reziproke Werte 't' ein. Hieraus folgt der Ansatz: 9; _ -r+a

---+-92 - a7:+ 1

wo a reell und positiv ist. Das rechts nicht noch ein von ± 1 verschiedener Faktor auftreten kann, folgt aus dem Umstande, daß sowohl der links stehende Quotient wie auch -r durch Ws in ihre reziproken Werte transformiert werden. Für ro = ioo wird -r = 0 und die linke Seite gleich 9; also ist a = 9, und es gilt das obere Zeichen: (5)

384

.

II 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

,

Die Form Gi der Dimension - 2 hat in Ts einen Nullpunkt der . Eckenzyklus =-~6--+3+iV3 und also bei .. = - 1 Ordnung t, der nur 1m liegen kann. Demnach gilt der Ansatz: 9. 9", + 1 ---=c---·

"'+ 1

Gi

Die Konstante c bestimmt man für .. der Reihen für G1 und 92' Es gilt:

(6)

&

Gi

=

~ 9", 3

+1

",+1 '

=

0 mit Hilfe der Anfangsglieder

92

4 '"

+9

Gi =3 ",+1'

wo die zweite Formel aus der ersten durch Ws oder auch mit Hilfe von (5) hergeleitet wird. Eliminiert man 92 aus (6) und (1), so folgt: 8 ",' -

g~

(7)

Gi

=

+ 27 -

18", -

C'" + 1)'

27

wo die zweite Gleichung aus der ersten wieder durch Ws hervorgeht. Da LI eine Form erste~ Stufe mit einer dUl"ch 4 teilbaren Dimension ist, so können wir an Stelle der durch die homogene Substitution Ws umgeformten Diskriminante Li auch: (8) treten lassen, was mit Rücksicht auf die vorzunehmenden Radizierungen vorzuziehen ist. Es gilt nun einfach:

(9)

A' =

_

A

.. 2

'

wo die links stehende Wurzel auf der imaginären w·Achse positiv zu nehmen ist. Der Quotient der Diskriminanten ist nämlich eine Funktion des Polygons T3 , die nur in den beiden Spitzen ioo und 0 verschwinden oder unendlich werden kann. Da sie (wegen des Anfangsgliedes der Reihe) bei ioo einen Nullpunkt zweiter Ordnung hat, so liegt bei w = 0 ein Pol der gleichen Ordnung. In dem daraus sich ergebenden Ansatze Li' : LI = c..2 muß aber c =± 1 sein, da der Quotient LI': LI und .. bei Ws in ihre reziproken Werte übergehen. Endlich ist c = 1, da sowohl Li': LI als .. auf der imaginären w-Achse reell und positiv sind. Die weiteren zum dritten Transformationsgrade gehörenden Glei~ chungen folgen nun einfach durch Eliminationen. Wir entnehmen zu~ nächst aus (6):

(10) und finden sodann durch Addition der GleiGhungen (6) und weiter durch Subtraktion der Gleichungen (7) bei Benutzung von (10):

Transformation dritten Grades

{

eIl)

3g~ = 40G~ -

385

392 ,

- 280G~+ 4292 G1 + 2793 •

27g~=

Mittelst dieser Gleichungen sind die Transformationsgleichungen für g2 und 93 beim dritten Grade als Tschirnhausenresolventen der Gleichung (1) erklärbar. Weiter folgt aus (6) und (7): g~ -

27g~

L1

-

G1

G~

4096-r: 27(-r: 1)'

+

Aus dieser Gleichung und den eben genannten Gleichungen (6) und (7) ergibt sich bei Einführung von J( (lJ) : (12)

J: (J -1): 1 = (r:

+ 1)(9-r: + 1)3: (27't'2 + 18-r: _1)2: 64-r:.

Diese Gleichung, die entsprechende für J' und '1;" und die Beziehung '1;" • 1: = 1 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für J beim dritten Grade. 1) Nach S. 340 existiert beim dritten Grade eine Transformationsgleichung für 11A' A. Man schreibt zweckmäßig: (13) und findet aus dem zweiten und dritten Gliede von (12) beim Ausziehen der Quadratwurzel unter richtiger Bestimmung des Vorzeichens:

Indem man den aus (13) folgenden Wert von

'I;'

hier einträgt, ergibt sich

3[4 + 6Ar - 24gs Af - LJ2 = 0

(14)

als die zum dritten Grade gehörende Transformationsgleichung der Diskriminante. 2. Transformation neunten Grades. Das Transformationspolygon T9 ist in Fig. 14 (S. 386) dargestellt; seine acht Seiten sind durch folgende vier Substitutionen einander zugewiesen:

1~8, (~: ~); 2~3, die sämtlich der Gruppe

(-2-:: ~4); r",(9)

4~5,

G: ~);

6~7,

(::

=~),

angehören. Das Klassenpolygon K9 besteht

1) Die fertige Transformationsgleichl:ng ist von St. Smith in den "Proceedings" der Londoner mathematischen Gesellschaft von 1878 (S. 242) und 1879 (S. 87) mitgeteilt; sie lautet auf j und l' umgerechnet:

j'(j'

+2 -

51 •

3. 5 3)"+j(j

2'· 3 3 • 9907j'jU"

+2

16 •

+2

81 •

3 . 5 8)3_j'j

+ j') + 2 . 3

4•

+2

8•

3'· 31j"PU' +j)

13 . 193 . 6367 j"P

3 5 • 5 3 .17. 263j'j(j' +j) - 2 81 • 56. 22973j'j

Fricke, Die elliptischen Funktionen II

=

O. 25

386

II, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe fiir niedere Grade n

°

aus zwei symmetrischen Kreisbogenvierecken mit zwei Winkeln und zwei rechten Winkeln. Die Seiten des einzelnen Vierecks sind durchweg Symmetriekreise von Spiege-

rlllliii~=~:::~J ~illir~

zur Linken der imaginären lungen der Gruppe r(9). Das m-Achse gelegene Viereck hat

8

die bei den Spitzen m = i 00 und - t· Die Ecken der beiden rechten Winkel dieses

E.

-'-,---_-'-_'---'-_ _

~---'--+---!------'-_

Vierecks liegen bei und m =

-t

- 36

+i,

m=

{

die die Null-

punkte der die beiden Formklassen der Diskriminante D = - 36 repräsentierenden Formen (9, 0, 1) und (18, 18, 5) sind. Die Seite 2 ist der Symmetriekreis der in der r(9) enthaltenen Spiegelung: ,

-9m-4

m=

18ro+9-'

Die Abbilder der drei negativen Ts-Halbebenen sind in Fig. 14 schraffiert. Diese Abbilder sind von Symmetriekreisen der r(9) durchzogen; eines von ihnen (in Fig.14, links unten) ist in zwei getrennte Teile zerlegt. Durch Ta (m) wird das Polygon T9 auf eine dreiblättrige Riemannsche Fläche

+ 3 t iy'S

über der Ta-Ebene abgebildet, die (den Stellen m = 0 und m = entsprechend) zwei drei blättrige Verzweigungspunkte bei TS = hat. Man kann demnach (15)

VTa + 1 oder noch zweckmäßiger:

T(m)

=

-

00

und - 1

+ fiT + 1

1

S

mit der Bestimmung, daß die Kubikwurzel auf der imaginären m-Achse reell genommen werden soll, als einwertige Funktion des Polygons T!I benutzen. Die Spitzenwerte dieser Funktion sind:

(16)

T(ioo)

=

0,

T(O)

=

00,

T

Die Wirkung der Substitution W 9 auf

(17)

T

T

(± +)

=

-

3

t iy'S .

(m) ist:

-1) = 1:'(00) 3, (9W

°

da durch W 9 die beiden Werte T = und T = 00 sowie andrerseits die beiden Spitzenwerte T(± i) ausgetauscht werden. Trägt man nun den aus (15) folgenden Ausdruck: (18) von Ta im jetzigen

Ta(m) T

=

T(T 2

+ 3T + 3)

in die Relation (12) zwischen J und Ta ein, so folgt:

387

Transformation neunten Grades

(19)

J: (J -1): 1

(9't'4+ 36't's+ 54't'2+ 28't' + l)S : (271;6 + 162-r 5 + 405't'4 + 504-r 3 + 2971;2 + 54't' - 1)2 : 64-r(-r 2 + 3-r + 3). =

Diese Relation, die entsprechende zwischen J' und 't" und die Gleichung -r' -r = 3 bilden den Ersatz der Transformationsgleichung für J beim neunten Grade. Nach S.340 muß beim neunten Grade für die Form l! j'LP eine '.1'ransformationsgleichung zwölften Grades bestehen. Um sie zu gewinnen, üben wir W 9 auf die Gleichung (18) aus und finden bei Benutzung von (3) und (17): :I -rs -9~ = T; (3 ro) =~ ~+~+ ,

(- 1)

1

(9

9 3)

wo bei den Funktionen 't', die ohne Argument geschrieben sind, ro als solches zu denken ist. Für die zur Gruppe r",(9) gehörende Funktion 't's (3 ro) berechnet sich hieraus: 9't's (3 ro)

(20)

1'3

=

~'-+3~ + 3 .

Nun folgt aus (9) und (18):

Setzt man ro1 0, ro: an Stelle von roll ro 2 und also 3ro an Stelle von ro

V3

ein, so folgt bei Benutzung von (20):

1 /

V

Li

(srol'

Li (ro 1

~)

va, ;~) =

1'(CV)8

't's(3ro)

= ()('t'(ro)'

+

31'(ro)

+ S)·

Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichungen und Ausziehen der vierten Wurzel ergibt sich: (21 ) Erklären wir demnach eine zur durch die Gleichung: (22) f(ro 1 , ro 2) =

r",(9)

gehärende Modulform f(ro l , ro2)

Y3 V:.1(3roll-~t) j(rou

ro 2)7 =

YSl! j'j7 =

j-r,

so ergibt sich jur diese Form aus (19) die gesuchte TmnsformationsgZeichung in der Gestalt: (23) (9f4 36j[3 54j2f2 28jSf j4)S

+

-

+

64g~j8f(f2

+ + + 3jf + 3j2) = o.

25*

388


3. Tran sform a ti on 27 sten Grades. Beim Grade 27 schlagen wir einen ähnlichen Weg ein wie oben (S. 378) beim Grade 32. Unter r(m) verstehe man die bei n = 9 benutzte Funktion, unter r' (m) die aus ihr durch Ausübung von W 27 hervorgehende Funktion. Man kann alsdann r(m) und r'(m) als ein Funktionssystem des zum Geschlechte 1 gehörenden Polygons T27 benutzen. Um die zwischen rund r' bestehende Relation zu finden, übe man W 27 auf die Gleichung (20) aus und findet:

9T3

(=j~) = ~'-f+ ~~:' +-3'

Andrerseits folgt aus (18) durch Ausübung von W 9 mit Benutzung von (17):

Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich als Relation ~wischen den beiden dreiwertigen Funktionen T und T' des Transformationspolygons T27 :

(24) Statt T und 7:' kann man auch T mit einer geeigneten ~weiwertigen Funktion (j zu einem Funktioussysteme der Fläche F27 zusammenstellen. Man formt nämlich die Gleichung (24) leicht in die Gestalt:

(~~~~:33)r = 9(T 2 + 37: + 3) um und findet demnach ei;Je geeignete Funktion

(25)

(j =

V9(r

2+ 31: + 3)

=

(j

in:

'&~~'&:33).

Die beiden durch die Relation: aneinander gebundenen Funktionen zeigen, daß wir hier mit einem elliptischen Gebilde des "äquianharmonischen" Falles ~u tun haben (vgl. I, 136). Geht (j durch Ausübung von W 27 in 6' über, so folgt aus (25): , '&('&'+3) 6= . ~+3

Durch Auflösung dieser Gleichung und der Gleichung (25) nach 1:' und I)' ergibt sich der Satz: Die Wirkung der Substitution W 27 auf das Funktionssystem ";, (j der r"'(27) ist: (27) Für die späteren Zwecke ist es etwas vorteilhafter, mit einer zweiwertigen Funktion zu arbeiten, die gegenüber W27 unverändert bleibt und ihr eine zweite Funktion anzureihen, die bei Ausübung von W 27

389

Transformation 27,ten Grades

Zeichenwechsel erfährt. Von der Funktion: r

(28)

G-3

$+3

=-

zeigt man auf Grund von (27), daß sie bei W 27 unverändert bleibt. Durch Elimination von 0 aus (26) und (28) folgt: r3~3+

9r 2 (i 3+i2 -1) + 27 r(i 3+ 2i2 + i -1) + 27 (iS + 3i 2 + 3i) = O.

Diese Gleichung gestattet die Absonderung des Linearfaktors (r + 3) und liefert dann als Beziehung zwischen rund i:

r 2 i 3 + 3r(2iS + 3~2 - 3)

+ 9 (i 3 + 3i 2 + 3i) =

O.

Die Diskriminante dieser für ,,; quadratischen Gleichung ist nach Fortlassung eines numerischen Faktors gleich (i 4 + 4is + 6 i 2 - 3). Durch Ausziehen der Quadratwurzel folgt der Satz: ..Als ein Funktionssystem der r1fJ(27) kann man: (29) i, 6 = -V~4 + 4i 3 + 6i 2 - 3

gebrauchen 1); i- ist zweiwertig und 6 vierwertig, gegenüber W 27 zeigen diese Funktionen das einfache Verhalten: (30) Die Funktion T verschwindet für ro

+ rVs

=

ioo; 6 sei dadurch eindeutig er-

klärt, daß o(ioo) = zutrifft. Die Funktionen rund in T und 6 umgekehrt in der Gestalt:

0

stellen sich

(31) dar. Was endlich die Transformationsgleichung für J( ro) beim Grade 27 angeht, so ist es am kürzesten, die Gleichung (19), die entsprechende in J' und r' und die Relation (24) zwischen rund ,,;' als E1·satz jener Gleichung anzusehen.

§ 3. Die Tl'ansformationsgrade 5, 25, 7' nnd 49. 1. Transformation fünften Grades. Fig. 15 (S. 319) zeigt das Transformationspolygon T5 mit den beiden übereinander getragenen Dreiecksnetzen; es zerfällt in vier Kreisbogenvierecke je mit drei rechten Winkeln und einem Winkel 0, die durch die stark ausgezogenen Symmetriekreise von Spiegelungen der Gruppe r(5) geliefert werden. Die acht mit Nummern versehenen Seiten sind durch folgende Substitutionen einander zugewiesen: 1) Nach I, 137 muß die auf Grund von (10) in J, 122 zu berechnende Invariante g2 für die unter der Quadratwurzel (29) stehende Funktion natürlich wieder verschwinden, was in der Tat zutrifft.

390


1 -- 8,

(~: ~);

2 -- 3,

(_!: ~ 2);

· b ogenvlerec . k der E ck en zoo, . i D as K relS yr;'

zur rechten Seite der imaginären das Klassenpolygon

1{5

(lJ-

6 -- 7,

(!: =~) .

-2+i -5+ivr; 10

. un d sem

4 -- 5,

G: ~);

--5-'

Achse gelegenes Spiegelbild mögen

zusammensetzen; die beiden Ecken

dann einen Zyklus und ebenfalls die beiden Ecken

r

25

+_!

bilden

+ 5 ~ iyr; .

Die zum fünften Grade gehörende Form GI hat in T5 einen Nullpunkt der Ordnung 1 und also in K5 einen solchen der Ordnung t, der in einem der beiden eben genannten Eckenzyklen liegen muß. Der Quotient von Gi 2 und A'· A liefert eine sechswertige Funktion von K5 mit einem 8 Nullpunkte sechster Ordnung Ettlmnnt im Nullpunkte von GI und einem Pole der gleichen Ordnung bei (lJ = i 00. Also ist jener Quotient die sechste Potenz einer einwertigen Funktion von K5 , die selbst als Quotient -'-,------L,;-------w---'_""t von Gi und 'VA' A darstellbar ist. Da nun Gi gegenüber den Substitutionen der r(5) unverändert bleibt, so gilt dasselbe von -f/ A' A. Wir verstehen hierunter A' zweckmäßig die Form A

(1)

((lJ11

(

Gi

~2) und haben dann folgende Anfangsgliederder Reihen:

=

-f/ A' A

25 =

Cro:

r

(316

+~

q2

+ 2 q4 + 232 q6 + .. -),

25 (~:)4 (q2 _ 4 q4

+ 2 q6 + ...). +

Mit Gi und -f/ A'A bilden wir nun wieder eine lineare Schar (a G~ b 'VA' A) von Formen mit einem im Polygone K5 beweglichen Nullpunkte und können dann die übrigen ganzen Formen von K5 als Produkte von GI und von Formen jener Schar oder auch nur aus Formen der Schar herstellen. Für die mitte1st der homogenen Substitution TV;; umgestaltete Form g2 gilt zunächst der Ansatz:

.q~

+ g2 = a Gi + b -f/:d'Li,

g~ . g2 =

a' G~

+ b' Gi -f/ A' A + c' f! A'A .

Transformation fünften Grades

391

Durch Heranziehung der Potenzreihen findet man die Koeffizienten: (2)

{

+ g2) =

25 (g;

78 Gi - 6yLI' LI,

25 g; . g2 = 9 Gi

+ 54 Gi IVLI' LI + -v:;rA.

Bei Berechnung von g2' g; einzeln stellt sich die Quadratwurzel:

(3)

G2 (rot> ro 2) = YS1 Gi - 99

G~ YLI' LI- 11LI' LI

ein, die durch Angabe des Anfangsgliedes 2~~

(:;) 4

der Reihenentwicklung

als eindeutige Modulform (- 4) ter Dimension erklärt sein mag. Sie erfährt gegenüber Ws Zeichenwechsel, ihre beiden Nullpunkte in T5 sind die Fixpunkte von vVs , d. h. die Stellen aus (3), daß GI für

±5

to

V~ und + 5

to VÖ. Man folgert i

iVÖ nicht verschwindet: Die Form

ihren Nullpunkt im 'Eckcnzyklus ro

± 25 + i.

=

GI hat

Aus (2) und (3) berechnet

man als Darstellungen für g2 und g;: (4)

{

6-V LI' LI - 4 G2, 3 f! LI'-.j- + 4 G2 •

25 g2

=

39 Gi - 3

25 g~

=

39 Gi -

Da g3 und g~ im Nullpunkte von GI zugleich verschwinden (vgl. Fig. 15), so sind die Quotienten g3: GI und g~ : Gi ganze Formen (- 4)IOr Dimension des Polygons T5 • Es gelten demnach die Ansätze:

is + g3 = GI (aGi + b f!LI' LI), g~ - g3 = cGI G2, wo man wegen der zweiten Gleichung beachten wolle, daß eine ganze Modulform des Polygons T5 , die bei W 5 Zeichenwechsel erfährt, bis auf einen konstanten Faktor mit G 2 identisch ist. l ) Die Koeffizienten a, b, c bestimmt man aus den Anfangsgliedern der Reihen; es findet sich für g3 und g~: 125 93 = - GI (62 Gi - 24 VLI' Li - 7 G2 ), { (5) 125 g~ = - GI (62 Gi - 24 f!LI' LI 7 G2 ).

+

Zu entsprechenden Formeln für LI führt folgende Überlegung: T5 hat die bei den Spitzen i 00 und 0 und gehört zum Geschlechte O. Eine Hauptfunktion -r(ro) werde so ausgesucht, daß -r(i 00) = 0 und -r(O) = 00 ist, wodurch -r ( ro) bis auf einen konstanten Faktor festgelegt ist. Der Quotient von LI' = LI (roll ~2) und LI = LI (roll ro 2) ist eine vierwertige 1) Die fragliche Form muß nämlich dieselben Nullpunkte wie G2 haben, da andernfalls der Quotient der Form mit G2 eine "Funktion" des Klassenpolygons K5 wäre, die an den Nullstellen von G2 Nullpunkte oder Pole "gebrochener" Ordnung hätte.

392

H, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

Funktion von T5 , die bei ro = i 00 einen Nullpunkt vierter Ordnung und also bei ro = 0 einen Pol der gleichen Ordnung hat. Wir können demnach 1: (ro) eindeutig durch die Festsetzung:

(6) erklären, wobei auf der imaginären ro-Achse reelle positive Werte r(ro) vorliegen sollen. Es gilt dann:

(7) Man hat nun in: (T _

125) Jl/ LJ' Ll = T

V

YLI'-~:> y:d

VLI' L1

1

eine ganze Form (- 4)ter Dimension von T5 , die gegenüber W 5 Zeichenwechsel erfährtynd also bis auf einen konstanten Faktor mit G~ identisch ist. Den Faktor bestimmt man aus dem Anfangsgliede der Reihe ~

(8) Mit Rücksicht auf (3) folgert man hieraus:

(YA' + 125

4 fILl' LI (324 Gi - 396 G~ flLi' Ll

-VLl)2=

+ 121 VLl' Ll)?

sowie durch Wurzelziehung bei richtiger Bestimmung des Zeichens:

(9) Aus (8) und (9) ergeben sich für

f125yLl

(10)

1

=

y'Ll und y'Ll' die Darstellungen:

(18 Gi - 11 flLi' Ll + 2 G2rVA' Ll,

r-v

y:d' = (18 Gi - 11 fILl' Ll - 2 G2

Ll' Ll.

Die Trallsformatiollsgleichungen beim fünften Grade ergeben sich nun einfach durch algebraische Umgestaltungen der gewonnenen Formeln. Erstlich folgen aus (6) und (9), sowie weiter aus (6) und (8) die Darstellungen: 2 _ T'+22T+125Jl/-'-G =_ T'-125Jl/A' A (11) G1 36T vLl LI, 2 4T VLJ LJ von Gi und G2 in T und fI Ll' Ll. Durch Eintragung dieser Ausdrücke in die ersten Gleichungen (4) und (5) folgt: (12 ')

g2

= T'+__!YT + 5 Jl/Ll' 121:'

V

A

LJ,

gs

= _ G

1

1:"+36~TT- 1-t>/ r LJ

woran wir noch die aus (6) fließende Gleichung Ll

A'

= T- 2

Ll

,

y',d' Ll reihen.

Transformationsgleichungen beim fünften Grade

393

Bei Einführung von J( [i) ergibt sich aus (11) und (12):

J: (J - 1): 1

(13)

(r 2 + lOT

=

: (T 2 + 22T

+ 5)3

+ 125)(T 2 + 4T + 1)2

: 1728T,

eine Gleichung, die ~tnS in bekannter Weise im Verein mit der Relation T'· T = 125 die beim fünften Grade eintretende Transformationsgleichung für J( [i) ersetzt. Durch geeignete Verbindung der Gleichungen (12) beweist man: 2 g2 - -a 30U. 1

2g

2

+

6U3 GI

-

5.(j1 V Li' Li --

-tLi' Li

.vI

f,td' Li

=

/I'

T V LI

'r:

A LI ,

'

ebenso mit Benutzung der ersten Gleichung (11):

7 g2 + ~U. G - G21

( 14)

=

1

3.(j/ V Li' Li •

Trägt man den hier gewonnenen Ausdruck von }!Li'Li in die voraufgehenden Gleichungen ein, so folgt: 5G2 _ 2992 -190 u• 1

GI

•

=

-

T(G2 _ 7g _2~U3) 1

GI'

2

G2_ g -~U-"-=_.!.(G2_7g _ 20 U8 ) . 1

GI

2

1

'r:

GI

2

Durch Multiplikation dieser Gleichungen findet man als Transformationsgleichung sechsten Grades für Gl beim fünften Transformationsgrade: (15)

G~

- 5g2 Gi - 40g3G~ - 5g;Gi - 892 gS G l

t

-

5g;

=

O.

Durch Elimination von Li' Li aus (14) und der ersten Gleichung (2), sowie weiter durch Elimination von Li' Li und Gi aus (5) und (14) gewinnt man:

(16)

25 '

1125g~g2

=

80 G21 - 39 g2 -

=

-

t

40 U.

G'

140G~ + 11292~l + 1959s '

Durch diese Darstellungen der transformierten Formen g~, g~ sind die Transformationsgleichungen der g2' gs beim fünften Grade als Resolventen der Gleichung (15) erklärt. Nach S. 339 ff. besteht hier endlich noch für die Form:

(17) eine 'l'ransformationsgleichung sechsten Grades, die unter (5) S. 343 allgemein angesetzt wurde. Diese Gleichung ergibt sich aus (13), indem

.394

man -r:

H, 4. Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n =

[3 . .:1- 2 einträgt:

(z:'+ lOT + 5)3

123g~

~=

(f"+ lOt" L12+ 5L14)3 f". L110

T

Man multipliziere mit .:1 und ziehe die Kubikwurzel, womit man als Transformationsgleichung für die Form (17) findet: '(18)

[6+ 1O.:1 2[3-12g 2 .:1 sf+ 5.:14 = 0.

2. Transformation 25 sten Grades. Das Polygon T25 entsteht aus dem in Fig. 15 abgebildeten T5 , indem man auf diesen Bereich die vier Substitutionen (;'5~

1) und

(±1~~, 1) ausübt und die vier so entstehenden

Bereiche dem Polygone T5 anfügt. Polygonspitzen von T 25 liegen bei ,ro = ioo, 0, ± -h ± lo. Je die beiden von der einzelnen dieser sechs Spitzen ausziehenden Polygonseiten sind durch Substitutionen der Gruppe r"'(25) aufeinander bezogen, und zwar der Reihe nach durch

=

(~: ~) , (2~:~) , (2:: =~), (- 2:: -~) , (10~: ~1) , (- 1~~: - ~) . Auch T25 hat das Geschlecht 0. Eine zugehörige einwertige Funktion -r:(ro) sei durch die Festsetzungen:

(19)

-r:(ioo)

=

0,

-r:(0)

=

-r:(!)

00,

=Y5

näher erklärt; sie zeigt gegenüber W 25 das Verhalten:

-r:(;; ~)=

(20)

~~).

Die vier Spitzenwerte -r:(± t), -r:(± fo) sind zu Paaren konjugiert komplex und genügen also einer biquadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten: -r:4 + a-z;s + b-z;2 + C-Z;

+d =

0,

von denen d positiv ist. Durch W 5 werden die fraglichen vier Spitzen permutiert, so daß wegen (20) die letzte Gleichung auch: -z;4

+ 5d -z;3 + 25d b -z;2 + 125d a -z; + ~~ = d C

geschrieben werden kann. Also ist d lautet:

-z;4

=

°

25, c = 5a, und unsere Gleichung

+ a-z;3 + b-z;2 + 5a-z; + 25 =

O.

°

Die I!'unktion -r:5 (ro) ist in T 25 fünfwertig und zwar durch -z; als ganze Funktion fünften Grades darstellbar, da die fünf Pole von -r:5 bei ro = zusammenfallen. Die fünf Nullpunkte dieser Funktion liegen in den übrigen fünf Polygonspitzen, so daß der Ansatz gilt:

(21) wo rechts ro als Argument zu denken ist. Übt man die Substitution W 25

Transformation 25 ston Grades

395

aus, so folgt mit Benutzung von (7) und (20): 1

0

---(5-) = 6(~4+ a~s+ b~2+ 5a~

"'6

'"

w

V

+ 25).

Mit Rücksicht auf (6) findet man aus den beiden letzten Gleichungen: 4

6

~(oo) = r~5(5OO)~5(OO) =

(22)

;~)

A(Wl'

-----;,-( -). 00 1 , co 2 ~

Aus der Reihe für 2}iL1 (vgl. I, 433) stellt man leicht folgende Anfangsglieder der Reihen von ~5(OO) und ~(oo) fest: ~5(OO) =

125 q2(1 + 6 q2+27 q4+ .. .), 5 q2(1+

~(oo)=

q2+ 2 q4+ ... ).

Trägt man diese Reihen in (21) ein, so folgt durch Vergleichung der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von q rechts und links C = 1, a = 5, b = 15. Die Darstellung von ~5 als ganze Funktion von ~ ist somit: (23)

~5 =

~(~4

+ 5~3 +

15~2

+

25~

+ 25).

Diesen Ausdruck von ~5 setze man nun in der rechten Seite von (13) für ~ ein. Es ergibt sich als Darstellung von J( (0) in der zu. n = 25 gehörenden Funktion ~: (24)

J:(J -1):1

=

(~10+ 10~9+ 55~8+

+ : (~2 +

2~

1425~4

+

200. 7 +

525~6+ 1010~5

1400~s + 875~2

+

250~

+ 5)3

+ 5) (~4+ 4~3 + 9~2+ 10~ + 5)2 (.10 + 10~9 + 55.8 + 200~7 + 525.6 + 1004~5 + 1395~4 +

: 1728~( ~4 +

1310~3 5~3

+

+

725~2

15~2

+

100~

+ 25~ +

- 1)2

25).

Nach S. 339 genügt beim quadratischen Transformationsgrade n = 25 f00(, ) _ 2.fj die Form: r LJA' LJA23 -_ ~. LJA 1 OO s einer Transformationsgleichung 30·ten Grades. Diese Gleichung läßt sich aus (24) unmittelbar abschreiben: (25)

([10

+ lOLl[9 + 55A s[B + 200Ll3f1 + 525A r + 1010A5f5 4

+ 1425Ll sf4 + 1400 Ll fs + 875A f2 + 250Ll f + 5Ll oy - 1728g;A24f(f4 + 5A[3 + 15A 2[2 + 25Ll3f + 25A4) = 7

8

9

1

O.

3. Transformation siebenten Grades. Die Polygone T7 und K7 sind in Fig. 2, S. 351, und Fig. 6, S.359, figürlich dargestellt und daselbst näher besprochen. Als eine erste zur r",(7) gehörende Modulform ziehen

396


wir das in (9) S. 326 gegebene Yo der quadratischen Form (1,1,2) der Diskriminante D = - 7 heran:

Durch den Stern soll darauf aufmerksam gemacht werden, daß das Glied mit q6 ausfällt. Bei den Substitutionen der r"'(7) bleibt Yo unverändert oder erleidet nur einen Zeichenwechsel. In T7 hat Yo Nullpunkte in der Gesamtordnung f. Nullpunkte gebrochener Ordnung können nur in den ··l·hd ... Ek c en +5+iV3 - 1-4von T7 au ftret en. D· a rn zweI·b ezug lC er . Imagmaren w-Achse symmetrischen Punkten die in (26) rechts stehende Potenzreihe konjugierte Werte hat, so liegt in jeder der beiden genannten Ecken ein Nullpunkt der Ordnung -}. Durch die homogene Substitution W; wird demnach Yo, vielleicht vom Vorzeichen abgesehen, reproduziert. Setzen wir aber in: (27) dem Fixpunkte von W 7 entsprechend, W i -= i, W 2 = Y7 ein, so folgt, da yo(i, Y7) nicht gleich 0 ist, die Gültigkeit des oberen Zeichens in (27). Von der zu n = 7 gehörenden Form Gi stellt man fest, daß sie in

t iy'3 hat;

T 7 nur zwei Nullpunkte je der Ordnung : in den Ecken

+5

sie ist demnach bis auf einen konstanten Faktor mit Reihenentwicklung :

identisch. Die

Gi =

y~

7(~:r(+ + q2+ 3 q4+ 4 q6+ 7q8 + ...)

bestätigt dies und liefert:

(28) Für K7 bilden die heiden Ecken

+ 5 t i}/s einen Zyklus, in dem die

Form y~ einen Nullpunkt erster Ordnung hat. Unter Ll' verstehen wir hier zweckmäßig Ll(7 roll ro 2). Im Quotienten von y~4 und Ll' Ll erkennen wir dann die achte Potenz einer einwertigen Funktion von K7 , so daß der Quotient von yg und:

(29)

VLl' Ll =

(~:r(* + q2_ 3 q4 + *+ 5 q8- ...)

eine einwertige Funktion von K7 ist, deren Pol in der Spitze ioo liegt. Aus den beiden Formen yg und Ll' Ll, die gegenüber den Substitutionen von rm immer zugleich unverändert bleiben oder Zeichenwechsel erfahren,

f!

bilden wir nun wieder eine lineare Schar (ay~

+ bf!Ll' Ll)

mit einem in

397 K7 beweglichen Nullpunkte. Die übrigen ganzen Formen von K7 , die wie Yo und die Formen der Schar bei W7 unverändert bleiben, lassen sich dann als Produkte aus Faktoren Yo und Formen der Schar darstellen. Die Entwicklung geht nun auch weiter genau denselben Weg wie bei n = 5. Man gewinnt mit der Benutzung der Potenzreihe für g2 zunächst die Darstellungen: Transformation siebenten Grades

(30)

f6 (g~ + g2)

1 144g~g2

=

Yo(25yg - 80-V Li' Li),

=

49y~(y~ + 224y~ -VLi' Li + 448 -yd' Li).

Bei Berechnung von g; und g2 stellt sich eine Quadratwurzel ein, die die Modulform der Dimension - 3:

G~(O1ll (1 2)

(31)

=

-Vy~ -

26y~ -VA' A - 27 -yLi' A

2

liefert und durch das Anfangsglied der Potenzreihe (:~) S eindeutig erklärt sei. Diese Form hat im Klassenpolygon K7 zwei Nullpunkte je der 'Ordnung

~

bei 01

=

~ und im Eckenzyklus ± 7

erfährt G,,- Zeichenwechsel. Für g2 und

g~

t i}/7;

gegenüber W7

einzeln finden wir die Dar-

2

ßtellungen:

(32)

12g2 , 12g;

f)'

Yo (25y~ - 80 -VLi' A =F 24 G

=

Zur Berechnung von gs und g~ ist es etwas bequemer, neben (g; + gs) die Differenz (g~ - gs) darzustellen, nämlich als Produkt von G~ und einer

•

Form der Schar. Die Rechnung führt zu:

(33)

216gs , 216g~

=

9(19y~ - 200y~ -VLi' A - 72

-

-yA' Li)

± 4(43y~ - 20-VLi' Li) G_

3_. 2

Im Falle n = 7 erkennt man aus den Anfangsgliedern der Reihen im Quotienten von A' und Li die sechste Potenz einer einwertigen Funktion von T7 • Im Anschluß daran erklären wir eine solche einwertige Funktion -r(01) selbst durch:

(34)

,

-r( (1) = 49

V- = 7V·- -d-/7,-;~)6

LI'

L1

LI (co

L1 (co"

co.)

mit der Bestimmung, daß diese Funktion auf der imaginären O1-Achse reell und positiv sein soll. Die Wirkung von W, ist:

(35)

398

II, 4. 'rransformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n

f!

Das Produkt von Cz; - 49c 1) und LI'LI ist nun eine ganze Form (- 3)tllT Dimension, die die Nullpunkte von G~ hat und also mit dieser Form bis 2

auf einen konstanten Faktor übereinstimmt. Die Anfangsglieder der Reihen liefern diesen Faktor und führen zur Gleichung:

yLI -

(36) .

49 f! LI'

G 3 211 LI' LI.

=

2

Zur Bestätiguug dieses Ergebnisses leite man aus ihm mit Benutzung A + 49Y LI') ab. Es muß sich das Provon (31) einen Ausdruck von dukt von 2.]1LI' Li mit einer Form der Schar finden; in der Tat ergibt sich bei richtiger Bestimmung eines Vorzeichens:

Cf!

(37)

Durch Kombination der letzten Gleichungen gewinnt man für die Diskriminante LI die Gleichungen:

2tLI

(

(38)

98

.v..d'

=

(Y~ - 13-VLI' LI + G~rfi LI' LI,

=

(Y~ - 13 -V LI' LI - G~r1lA' LI.

Um nun die Transformationsgleichungen zu gewinnen, entnehmen wir zunächst aus (37) und (36) mit Rücksicht auf (34) die Folgerungen: (39)

3 =

Yo

-r!+ 13-r+ 49.\'!LI' LI -r V ,

Durch Eintragung dieser Ausdrücke von

y~

und G-"- in die ersten Glei2

chungen (32) und (33) ergeben sich für g2 und g3 die Darstellungen: 12 (40)

(

g2

216 g3

=

72~/LI' LI.

=

-

V

Yo

~.+ o-r -r

+1'

7a 11LI' LI:C.± 14-r"+ 6:.-r'+ 70-r.- 7 .

Nimmt man die aus (34) folgende Gleichung LI = 76 r;- 3. -VLI' LI hinzu, so gelangt man zu folgender Darstellung von J (ro) als rationale Funktion achten Grades von r;:

(41)

J: (J - 1): 1

=

+

+

(r;2+ 13r; 49)(1;2 + 5-z; 1)3 : (r;4 + 14r;3 + 63r;2 70r; - 7)2

+

: 1728-z;,

eine Gleichtmg, die 2ms in bekannter Weise im Verein 'mit r;' r; = 49 die Transformationsgleichung für J( ro) beim siebenten Grade ersetzt. Nach S. 339 ff. besteht beim siebenten Grade eine Transformationsgleichung für die Form:

399

Transformationsgleichungen für den siebenten Grad

(42) die durch ihr Anfangsglied (~~) 67 qa eindeutig erklärt sei. Sie läßt sich fast unmittelbar aus der Gleichung (41) abschreiben, der wir zunächst die Gestalt geben: ('r 4 + 14-ra + 63-r 2 + 70r - 7)2.d 2 = 66gir.d

(216gaf)2.

=

Nach Ausziehen der Quadratwurzel (unter richtigerBestimmung des Vor~ zeichens) und Multiplikation mit .d8 ergibt sich als Transformations-gleichung dm' Diskriminante beim siebenten Grade:

(43)

r+ 14L1[6+ 63L1 [4+ 70.d af a+ 216gs Ll f-7.d 2

3

4

O.

=

Zur Gewinnung der Gleichung achten Grades für Gl ist folgender vVeg am kürzesten. Die fragliche Gleichung hat nach S. 342 die Gestalk

(44) G~

+ al g2 G~ + aags G~ + aag~ Gi + a4 gaga G~ + (a5 g; + ß5 L1 ) Gi

+ a6g~gaGl + a7g~ = 0, wo die a, ß rationale Zahlen sind. Das Absolutglied ist bis auf einen numerischen Faktor gleich g~, da Gl und damit die mit Gl gleichberechtigten Formen, d. h. alle ficht Wurzeln der Gleichung (44) mw in N ullstellen von ga verschwinden. Es ist nun zunächst möglich, mit einem Schlage alle sieben Koeffizienten a zu bestimmen, und zwar dadurch, daß man q = 0 einträgt. Hierbei reduzieren sich ga, ga, Li auf ihre Anfangsglieder: (45)

ga =

112

(~:y,

ga =

2~6

(::r,

von den acht Wurzeln Gl wird aber die eine ben anderen einander gleich und gleich -

LI = 0;

! (~:r,

während die sie-

~ (~~r werden. Aus der In-

varianz von Gl gegenüber W 7 folgt nämlich:

G1 (O'J 2' - O'J) 1

=

Y-)

im, . G1 ( - V7 -- ,- a tO'J 7

=

-

1 (2";)2 ---

4

00 2

'

ein Ausdruck, der gegenüber der Substitution O'J~ = O'J l + O'J a , O'J~ = O'Ja unverändert bleibt und also den gemeinsamen Wert der sieben Wurzeln G l (O'J a ,-O'J1), Gt(O'Ja,-O'Jl-O'Ja), ••• für q=O liefert. Man trage nun die Ausdrücke (45) in (44) ein und fordere, daß die entstehende Gleichung die acht angegebenen Wurzeln hat. Man findet die a und schreibt die Gleichung am bequemsten als solche für 2 Gl :

(2G l)8- 84ga(2G l )6- 3024ga(2 Gl )5-1890g;(2 Gl )4-18144gaga(2G l? - (3780g;

+ a.d)(2G )2_16ß4g;ga(2G 1

1) -

567gi

=

O.

400


Zur Bestimmung des einzigen noch unbekannten Koeffizienten a stetzen wir: 7: -1

-5-V21

=---~-

2

ein und finden g2 = 0 aus (40), sowie weiter ans (28), (39) und (40): (2G,)3

(46)

g.

3. 56VS(3VS

=

+ 20).

Andrerseits folgt aus der Gleichung für G1 im Falle 3024 (2 G,)~

(2 G,)6 _

g.

g~

g2 =

0:

+ 27 a = o.

Da diese Gleichung durch den Wert (46) befriedigt werden muß, so folgt a = - 2 6 .49. Die Gleichung achten Grades für G1 beim siebenten Transformationsgrade ist hiernach: (47)

(2 G1 )8 - 84g 2 (2 G1)6 - 3024g3 (2 Gd - 1890g;(2 G1 )4 - 18144g2 g3 (2 G1 )3 - (3780g; - 3136.d)(2 G 1 )2 - 1664g;g3(2 G1 )

-

5i37 g~

=

o.

4. Transformation 49 Bten Grades. Das Polygon T49 ist aus dem in Fig. 2, S. 351, dargestellten Polygone T7 dadurch gewinnbar, daß man auf das letztere Polygon die Substitutionen

c:~ ~), (+1~4 ~), (+1;1 ~) -, -' -,

ausübt und die sechs so entspringenden Bereiche dem Polygone T7 anfügt. T 49 ragt mit acht Spitzen an die Punkte ro = i 00, 0, ± t, ± h" ± !h heran, wobei je die beiden von der einzelnen dieser Spitzen auslaufenden Polygonseiten aufeinander bezogen sind und zwar durch die Substitutionen:

(1,1) 0,1 '

( 1,0)

49,1 '

(-49,8, - 61) '

( 6-1) 49:-8 '

( 20 - 1 ) 22 '

441: -

(

( 13 -

1 )

196: -15·'

(

15,

1)

-196, -13 '

22, 1) -441, - 20 .

Die in (34) gegebene Funktion 7:(ro) ist im Polygone T 49 siebenwertig. Die sieben Pole fallen in der Spitze ro = 0 zusammen, während in den anderen sieben Spitzen Nullpunkte je erster Ordnung liegen. Durch die Transformation W 49 des Polygons T49 in sich werden die beiden Spitzen 0 und i 00 ausgetauscht, und ebenso werden die sechs weiteren Spitzen untereinander permutiert. Demnach ist 7:'(00) = -r(W49 (ro)) eine siebenwertige Funktion von 1 49 , die in der Spitze ioo einen Pol siebenter Ordnung hat und in den übrigen sieben Spitzen je in der ersten Ordnung verschwindet. Der Quotient .;. ist demnach achtwertig mit einem Pole l'

achter Ordnung bei ro bei ioo.

=

0 und einem Nullpunkte gleicher Ordnung


401 Da T49 zum Geschlechte 1 gehört, so kann die achte Wurzel des eben genannten Quotienten, da sie auf T49 einwertig sein würde, nicht mehr eine Funktion der r",(49l sein. Wohl aber gilt dies von der vierten Wurzel des Quotienten. Aus (34) und (35) folgt nämlich:

-c'(w) = -c

(~~) = ~(~9ro) = -V:C~79~~'-,~!)·

Setzen wir nun: (48) so gelangen wir zu einer Funktion, die nach S. 339 in der Tat zur Gruppe r",(49) gehört. Ihre eindeutige Erklärung gehe aus der Reihenentwicklung . hervor:

(49)

6(01) = q4 + q6 + 2 q8 + 3 q10

+ 5 q12+ 7 q14+

llq16 + 15 q18 + ....

Gegenüber der Substitution W 49 zeigt 6(01) das Verhalten: (50) Andrerseits folgt aus (48) für -c(01) das Verhalten:

'() = (-1) 4900 =

(51)

-c 01

'C

~(w)

49a(w)4·

Zwischen 'C und 0 besteht eine algebraische Relation, die entsprechend der Wertigkeit dieser Funktionen in 't' vom zweiten und in 6 vom siebenten Grade ist. Bei Anordnung nach Potenzen von 'I: ist der Koeffizient von 't'2 gleich 1, da die sieben Pole von 't' bei 01 = 0 und also 6 = 00 zusammenfallen. Man setze demnach an:

wo die 9 ganze Funktionen höchstens siebenten Grades von 6 sind. Die Absolutglieder von g1 und g2 verschwinden, da die beiden Nullpunkte von 45 bei 01 = ioo, d. h. in einem Nullpunkte von 'I: zusammenfallen. Übt man W4,9 aus, so geht der Ansatz wegen (50) und (51) über in: '1: 2

+ 7 6 g (71a) + 7 2 4 1

g

408 2

'I:

(/a) =

0,

so daß man für g1 und g2 noch die Bedingungen hat:

726 4g 1

Va) = g1 (0),

740 8g 2

(/a) = g2(6).

Diese Funktionen haben also die Gestalten: gl(6) =

a16

g2(0)

b1 6

=

+ a26 2 + 7a1 6 s,

+ b 6 + bs 6 s + b4,6 2

2

Fricke, Die elliptischen Funktionen II

4

+ 7bs 05 + 72b2Ö6+7sb107. 26

402


Die sechs jetzt noch unbekannten Koeffizienten bestimmt man mitte1st der Reihe (49) und derjenigen für 't":

(52)

'I:(m)

=

7 2 (q2+ 4q4+ 14 q6+ 40q8+ 105 ql0+ 252 q12 574 q14 1236 q16

+

Zwischen den Funktionen 'I: und Relation: (53)

't"2_

7 3 '1:(6 + 56 2 + 7( 3)

6

+

+ .. -).

des Polygons T49 besteht die algebraische

-

3.

7 4 (6 + 7(j2+

72 6 4 + 3. 72 (j5 7 3 (j6 + 73 (j7) = O.

7(j3+ +

Als Ersatz der l'ransformationsgleichung von J( m) für den 49 sten Grad können wir nun die Gleichung (41), die entsprechende Gleichung zwischen J' und '1:', die Relation 49 (j4'1: , = 'I: und die Gleichung (53) ansehen. Durch Elimination von 't", '1:' und (j würde die fragliche Gleichung gewinnbar sein. Übrigens hat man in (j und 't" noch nicht die einfachsten Funktionen der Polygone T49 und K49 erhalten. Aus (50) und (51) folgt, daß: (54) Funktionen von K49 sind, und zwar ist T dreiwertig mit einem Pole dritter Ordnung bei ioo und 6 zweiwertig mit eiuem Pole zweiter Ordnung ebenda. Aus (53) folgt als Relation zwischen 6 und 1::

T2 _ T(76

+

5) -7(12(6

+

1)

1 = 0,

+

eine Gleichung, die man auch in die Gestalt kleiden kann:

(55)

7

(6 -1)(6

+

1)2= (T

+

1)2_ 7(T

+

1)(6

+

1).

Erklärt man nun eine neue Funktion 'l:o(m) desKlassenpolygonsK 49 durch:'

"'+1

(56) die in der Spitze und (56): (57)

'1:0 = Ir + l '

einen Pol erster Ordnung hat, so folgt aus (55)

t 00

{

7 6 = 'I:~ - h o 7 T = 'l:g - h~

+ 7, + 14 't"o -

7.

Da hieraus hervorgeht, daß '1:0 keinen weiteren Pol in K49 hat, so haben wir in 'l:o(m) eine einwertige Funktion des Klassenpolygons K49 gewonnen. Bei Auflösung der Gleichung:

7 (j2 - (t'~ - h o + 7) d

+1 =

°

nach (j stellt sich,dem Geschlechte 1 von T49 entsprechend, die Quadratwurzel einer ganzen Funktion vierten Grades von '1:0 ein. Diese Wurzel liefert uns in der Gestalt:


403

(58) eine Funktion der

r"'(49)'

die durch die Festsetzung lim (60 '1:0 w=ioo

2) =

1 ein-

deutig erklärt sein mag. In '1:0 und 00 haben wir dann die einfachsten Funktionen des Polygons T49 vom Geschlechte 1 erhalten. Die Berechnung der zugehörigen Invarianten (nach I, 121) zeigt, daß hier ein elliptisches Gebilde der absoluten Invariante J Die Funktionen

(59)

{

~ ~: vorliegt.

=

und 'I: berechnen sich aus

6

146 = 'l:g - 7'1:0 + 7 4'1:

('I:~ -

=

hg

+ 60 , + 14'1:0 -

7)('I:~ -

'1:0

und

60

so:

h o + 7 + 6 0l.

Die vier Nullpunkte von 6 0 in T49 liefern die Nullpunkte der repräsentierenden Formen für die vier Formklassen der Diskriminante D = - 196.

§ 4. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = 4h

+ 3.

1. Transformation elften Grades. Die eine bei der Diskriminante D = - 11 auftretende Formklasse kann durch die reduzierte Form (1, 1, 3) repräsentiert werden. Man hat also für die Gruppe r"'(ll) , dem Ansatze (9) S. 326 entsprechend, eine Modulform Yo, die kurz y heiße und die Reihenentwicklung zuläßt:

(1)

Y=

21'1'

_ .. 00 2

(1

+ 2 q + 4 q + 2 qs + 4 q + ...). 2

6

10

Von den drei nach S. 334 anzusetzenden Formen Zo verschwindet die erste identisch, während die beiden anderen sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Die durch 2 geteilte zweite Form So heiße kurz si sie hat die Reihenentwicklung:

(2)

21'1' ( q-q 3 -q5 z=00.

+q

) -t-q15 -q23 - ....

11'

Die Formen y und z VLI gehören zur elften Stufe und nehmen gegenüber einer Substitution der

r"'(ll)

den Faktor

GD an.

Die Gesamtordnung des Verschwindens sowohl 'von y als von z im Polygone T11 ist 1. Da r"'(ll) keine elliptische Substitution enthält und y in der einen bei ro = i 00 gelegenen Spitze nicht verschwindet, so hat y an einer von dieser Spitze verschiedenen Stelle von Tll einen Nullpunkt erster Ordnung. Dagegen verschwindet s zufolge (2) in der Spitze i 00 in der Ordnung ti es bleibt dann nur noch ein Nullpunkt in der gleichen Ordnung t über, der nur in der zweiten Spitze von T11 , d. h. bei ro = 0 liegen kann. 26*

404


Die Substitution W ll transformiere y und z in y' und z. Die Formen y' und z'

VL1 nehmen gegenüber einer Substitution der T",(l1)

(:1) an, der wegen (;(.8 = 1 (mod 11) gleich (1:)

den Faktor

ist. Somit ergibt sich

bei der Lage der Nullpunkte von z im Quotienten : eine von Nullpunkten und Polen freie Funktion der auch der Quotient

y'

y

T"'(ll) ,

die also eine Konstante ist. Aber

ist eine Konstante, da dieser Quotient höchstens

eine einwertige Funktion auf dem Polygone 1 11 des Geschlechtes 1 sein könnte. Da WH die Periode 2 hat, so schließen wir auf das Bestehen der Gleichungen y' = ± y, z' = ± z. Indem wir dem auf der imaginären ro-Achse liegenden Fixpunkte von ~1 entsprechend ro1 = i, ro 2 = eintragen, ergibt sich die Gültigkeit des oberen Zeichens, da weder y (zufolge der Reihe (1») noch z in diesem Fixpunkte verschwindet. Die beiden Formen (- 1)ter Dimension y und ß sind gegenüber Wu invariant:

in

(3)

y (~fl'

- i ro in) = y( roll ro 1

2),

z (~~~, - iro1

in) =

z(ro ll ro 2)·

Die Form y hat notwendig ihren Nullpunkt in einem Fixpunkte von W11 . Die beiden in Fig. 10, S. 364, mit eo und e~ bezeichneten, symmetrisch liegenden Punkte können hierbei nicht in Betracht kommen, da y (wegen (1») entweder in beiden Punkten zugleich oder in keinem von beiden verschwindet. Also folgt der Satz: Der Nullpunkt der Modulform y ist der in Fig. 10 mit ei bezeichnete Nullpunkt ro

=

-

V; +

2

11

i

der quadratischen

Form (11, 11, 3). Man hat nun in ( ay 2 bz 2) eine zum Klassenpolygone K11 gehörende Formenschar mit einem beweglichen Nullpunkte, die der Darstellung der übrigen Formen zugrunde zu legen ist. Dies mag zunächst für die zu n = 11 gehörende Form:

+

GI

=

~~ (~~)\5

+ 12 q + 36 q + 48 q + 84 q + 72 q + ...) 2

4

6

8

lO

geprüft werden. Die beiden Anfangsglieder der Reihen liefern:

12 GI

=

11 (5 y2

-

8z 2 ).

Dieses Ergebnis kann zu einer Bestätigung der bisher entwickelten Schlüsse dienen. Indem man nämlich rechts für y und z die Reihen (1) und (2) einträgt, müssen sich auch die weiter in der Reihe für GI angegebenen Koeffizienten wiederfinden, was in der Tat der Fall ist. Weiter ist (g~ + g2) eine ganze homogene Funktion zweiten Grades von y2 und Z2, sowie (rh - g'J)2 eine ebensolche Funktion vierten Grades. Die vier Nullpunkte der letzteren in K11 sind die vier unter (13) S. 364

405

Transformation elften Grades

genannten, in Fig. 10 daselbst mit eo, e~, eu es bezeichneten Ecken des Polygons 1(11' Da y in der Ecke e1 verschwindet, so hat die fragliche Funktion vierten Grades den Faktor y2. Die Reihenentwicklungen ergeben die Koeffizienten:

, { 6(g~ + g2) = 61 y4- 2 • 232 y 2Z2+ 2 • 11z (g~ _ g2)2= 100y2(y6- 2 • 5 y4Z2+ 23 • 7 y2z4_ 2 2 • 11z6). 4

(4)

5

4

Die Quadratwurzel des in der letzten Gleichung rechts stehenden Ausdrucks, der die "Verzweigungsform" (vgl. I, 119) für eine unten zu nennende Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten liefert, hat in den vier Punkten eo, e~, eves des Polygons T11 einfache Nullpunkte und liefert eine Modulform (- 4)1er Dimension:

(5) der Gruppe r"'(ll)' die gegenüber Wu Zeichenwechsel erfährt. Die Potenzreihe von f2 ist:

(6)

f2

=

(::r

(1 - 2 q2_ 18 q4 - 56 q6 - 146 q8 - 252 ql0_

.• •).

Die Darstellungen von g2' g; durch y2, Z2, f! fassen wir zusammen in:

(7)

12g2,

61 y4 - 24 • 23 y 2 z 2 + 25 • 11z! =F 2 2 .3. 5f2'

12g~ =

Auf entsprechendem Wege gewinnt man für g3 und Zusammenfassung beider Formeln:

(8)

216gs ,

216g~ =

-

g~

wieder unter

5·7 ·19 y6+ 24 • 3·7· 23 y4 z 2 - 26 • 3·7 . 11 y2 z4

+ 2 .7 . 11 ± 2 . 3 f2 (37 y2 - 2s . 11 Z2). I-f!LI(l1w )LI(w ws) gegenüber den 2 Z6

3

2

Nach S.339 ist I-f!LI'LI = 1, ( 2 lI Substitutionen der r"'(ll) invariant. Da man in den beiden Spitzen von T11 je einfache Nullpunkte dieser Form feststellt, so ist sie bis auf einen konstanten Faktor gleich Z2. Es gilt aber einfach:

yLI'LI =

(9)

2

z,

wie die Potenzreihen bestätigen. Aus der Invarianz von

-V LI'Li

folgt,

daß VLI und VLI' bei den Substitutionen der r"'(ll) entweder zugleich unverändert bleiben oder zugleich Zeichenwechsel erfahren. Aus der zweiten Formel (9) in 1,453 folgt aber:

VLI (~::' -

iW1

V11)

VLI (iw 1 VÜ, ~?t)

= -

Umgekehrt gilt also: 'iro, VA-, (Jil1' -

.

HtJ1

-) V11

11 VLI. -3-

=

= 11 3 • VLI'.

406


Jede der beiden Formen (1331 VLI' ± 'VA) wird also durch die Substitutionen der T",(l)' vielleicht vom Zeichen abgesehen, in sich transformiert. Bei Ausübung von WH aber bleibt die erste Form unverändert, während die zweite Zeichenwechsel erfährt. Im Polygone Kl l hat jede dieser Formen Nullpunkte der Gesamtordnung 3. Je ein Nullpunkt der Ordnung t liegt in der Spitze i 00 von Kw so daß noch Nullpunkte je in der Ordnung {- übrig bleiben. Nun verschwindet (1331 y LI' - yLi) im Punkte ca

=

_i_ (Punkt es der Fig. 10, S. 364).

Vl l

Das Quadrat:

Vd)2 = 11 6 L1' + LI- 2· IP Z 12,

(1331 VLi' -

das als homogene ganze Funktion sechsten Grades von y2 und Z2 mit rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar ist, hat hiernach mit der im rationalen Körper irreduzibelen Funktion: {;. y-2

y6_

=

2 2 • 5 y 4;;2 + 2 8 • 7 y 2z4- 22.11;;6

einen Nullpunkt gemein und enthält demnach diese Funktion als Faktor. Da überdies der Faktor;; (wegen des Nullpunktes in der Spitze i (0) vorliegt, so gilt der Ansatz: y (1331

YLI' - YLI)

=

;; t~

(ay 2 + b;;2).

Die Koeffizienten bestimmt man mitte1st der ersten Reihenglieder; es gilt: (10) Zur Prüfung dieses Ergebnisses berechne man aus ihm den Ausdruck für y (Vd + 1331 YLI'), wobei sich die im Laufe der Rechnung auftretende Quadratwurzel rational ausziehen lassen muß. Dies bestätigt sich in der Tat; man findet:

y LI + 1331 VLI'

YZ(Jl- 3·7 y2;;2 + 2 3 • 11z4).

=

Durch Kombination der beiden letzten Gleichungen folgt:

(11)

{

2 YVA

=

2 . 1 P . y VLI' =

+2 3 . 7 y2 Z2 + 2

Z (y2 (y4 - 3 . 7 y2 Z2 ;;

(y2 (y4 -

+ ~ (y2 -

3 •

11 Z4)

3 •

11 Z4) - ~ (y2 - 11 Z2») .

11 Z2»),

Man bilde nun die beiden Quotienten: (12)

1:'(ca)

=

y'

.... ,

z

von denen der erste eine einwertige Funktion des Klassenpolygons darstellt. T11 wird durch 1:' auf eine zweiblättrige Fläche des Geschlechtes 1 abgebildet, für die wir ein Funktionssystem in:

(13)

407

Transformation elften Grades

besitzen. Hier liegt ein elliptisches Gebilde von der absoluten Invariante J

=

-

2 6 • 31 S

~11. vor.

Aus (7), (8) und (11) berechnet sich folgende Darstellung von J( w) im Funktionssysterp, 0, T: (14)

J: (J -1): 1 = T(6h 2 - 24 • 23T + 25 • 11 - 2 2 .3.5 öl : r (5·7 ·19T 3 - 24 • 3 ·7· 23T 2 + 2 6 • 3 . 7 . 11 T - 2 3 .7 ·112- 2· 3 2 (j'(37't - 2 3 .11»)2

: 2 4 • 3 3 (r(r 2 - 3· 7r

+ 23 .11) + aCr -11»)2.

Die Gleichung für die transformierte Funktion J' geht hieraus durch Zeichenwechsel von (j' hervor. Beide Gleichungen im Verein mit der Relation (13) ersetzen uns die Transformationsgleichung für J( w). Beim elften Grade gibt es eine Transformationsgleichung für: (15) deren Gestalt unter (7) S.343 angesetzt ist. Man könnte diese Gleichung durch Eliminationen aus den entwickelten Relationen gewinnen. Doch ist es leichter, direkt an den eben genannten allgemeinen Ansatz anzuknüpfen und die noch unbekannten numerischen Koeffizienten aus den Reihenentwicklungen zu bestimmen. Für die Form (15) hat man zunächst die Reihe:

(16)

f(w u ( 2) = 11 (~:r (q2_ 2 q4- q6+ 2 q8+ q10+ 2 q12_

.• -).

Aus der Invarianz von z gegenüber Wu folgt:

f (~~i' • BOWle,

la11s man

J.'

f(w 2 ,

-

-i

V 11 -----==, --. iVU ~ 0)1

0).

( 1) =

W1

yl1 ) =

11 z(w l l

an SteIIe von wll

11 z (;~1'

ws?,

W2

V:l y= w2

Z

. t.. t. em rag.

(~~, w

2

t

Die Form f(w 2 , - ( 1 ), die gleichfalls eine Lösung der gesuchten Transformationsgleichung ist, hat hiernach die Potenzreihe:

(17)

f(w 2 ,

-

( 1) =

-

!

4

6

8

10

12

(~:r qU _2 qll_qii + 2 qll +qll + 2 ql1 (

)

....

Man trägt nun in den mehrfach genannten Ansatz (7) (S.343) zweckmäßig 1292 und 216g3 an Stelle von g2 und g3 ein, damit die Anfangskoeffizienten der Reihen für diese Produkte gleich 1 sind. Das vorletzte Glied der gesuchten Gieichnng bestimmt sich dann ans dem Anfangsgliede der Reihe (17), die übrigen Glieder findet man aber leicht durch

408


Vermittlung der Reihe (16). Die beim elften Grade auftretende Transformationsgleichttng für die Form (15) ist:

(18)

f12 - 2 . 3 2.5 . 11A [6+ 23 . 5·11 (12g 2)Ar- 3·5 . 11 (216g s)AfS

+ 2 . 3 . 11 (12g 2 )2 Af2 + (129 2) (216gs)Af -

11 A2 =

o.

2. Transformation 19 ten Grades. Die zur linken Seite der imaginären ro-Achse liegende Hälfte c, des Klassenpolygons K19 ist in Fig. 16 abgebildet. Neben den beiden geradlinigen Seiten, die auch schon Symmetrielinien des TransformaFig. 16. tionspolygons Tl9 sind, kommen noch die drei in Fig. 16 mit 1, 2 und 5 bezeichneten Symmetriekreise hinzu, von denen der letzte zur Spiegelung W l9 gehört, während die beiden ersten die Gleichungen: 38(~2

+ rl) + 38~ + 9 =

haben und zu den in der ro

, =

r(19)

0,

57 (~2 + '1]2)

+ 38~ + 6 =

0

enthaltenen Spiegelungen gehören:

-19m - 9 38 co 19 '

+

ro'

-19 m- 6 57 co 19

+

Bei der DiskriminanteD = - 19 gibt es nur eine Formklasse mit der reduzierten Form (1, 1, 5). Die nach Vorschrift von S.362 der Klasse entnommene' Form (19, 19, 5) hat als Nullpunkt die in Fig. 16 mit eo bezeichnete, bei ro

=

-

V19 +~ gelegene Ecke. Nach 8.148 gehören zur

2 V19

Diskriminante D = - 76 drei FOl'mklassen, und zwar neben der Hauptklasse zwei entgegengesetze Klassen mit den reduzierten Formen (4,±2,5). Der in Fig.16 mit el bezeichnete Eckpunkt ist der Nullpunkt der in der Hauptklasse enthaltenen Form (19,0,1). Der bei ro

=

-V~i 4

19

ge-

legene Punkt e2 ist der Fixpunkt der elliptischen Substitution der Periode zwei

(-71:', -1~)

der

r(19)

und zugleich der Nullpunkt der in der einen

der beiden entgegengesetzten Klassen enthaltenel;l Form (76,38,5); durch jene Substitution werden die Seiten 3~und 4 der Fig. 16 ineinander transformiert. Der bezüglich der imaginären ro-Achse mit e2 symmetrische

Klassenpolygon K19 und zugehörige Formen y und

Punkt

e~

409

Z

gehört der anderen der bei den entgegengesetzten Klassen an.

Der Punkt es, der bei ro

e;

=

-15

~ i VS

gelegen ist, bildet mit dem sym-

metrischen· Punkte einen Eckenzyklus des Klassenpolygons K19 , Ain Transformationspolygon aber stehen diese Ecken je für sich und sind die Fixpunkte zweier in der [''''(19) enthaltenen elliptischen Substitutionen der Periode drei (=1= 7~7~ 1 8) .

Sie liefern für die über der J-Ebene

lagernden Transformationsfläche F19 die beiden bei J = 0 isoliert verlaufenden Blätter, deren Auftreten aus der Abzählung von S. 356 hervorgeht. Die analytischen Ansätze von S.326ff. gestalten sich gerade so wie bei n = 11. Die quadratische Form (1, 1,5) der Diskriminante D = - 19 liefert die Modulform (- 1 y,.r Dimension: (19) Von den drei Formen Zo verschwindet eine identisch 1), während die beiden anderen sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Eine dieser Formen, von dem gemeinsamen :Faktor 2 ihrer Reihenkoeffizienten befreit, ist: (20) Dieses z liefert erst im Produkte z VA eine zur r ",(19) gehörende Modulform. Gegenüber der einzelnen Substitution der r", (19) n~hmen die

z -VLI den Faktor (i9) an. Die Formeny und z haben in T19 Nullpunkte in der Gesamtordnungt· Die Lage der Nullpunkte von z ist leicht feststellbar. Infolge (20) liegt in der Spitze i 00 im Nullpunkt der Ordnung ~. Da z in den beiden

beiden Formen y und

symmetrischen Punkten es, e~ (wegen der reellen Reihenkoeffizienten) Nullpunkte gleicher Ordnung hat, so muß in jeder dieser Ecken, damit die Gesamtordnung t herauskommt, ein Nullpunkt der Ordnung t liegen. Der rückständige Nullpunkt der Ordnung -} liegt in der Spitze ro = 0, was durch den Umstand bestätigt wird, daß z . -VLi gegenüber der Substitution U~,

°1)

unverändert bleib,t. Die Form y ist bei ro

=

i

00 von 0

venrchieden und kann (wegen ihrer Invarianz gegenüber der eben genannten Substitution) bei ro = 0 höchstens in ganzzahliger Ordnung ver1) Das identische Verschwinden steht bereits fest, wenn in der Potenzreihe von Zo kein Glied mit einem Exponenten 4 von q auftritt. In diesem Falle ein Nullpunkt würde nämlich, falls Zo nicht identisch verschwände, bei Cl = i einer Ordnung :;::: 2 auftreten, wäbrend doch zo' als von der Dimension - 1, in T19 nur Nullpunkte in der Gesamtordnung t hat.

3 die speziellen Teilungsgleichungen der s{}-Funktion' nicht mehr durch Wurzelziehungen allein lösbar, so daß sich gerade diesen Fällen n das weitere Interesse zuwendet. Wir haben inzwischen die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen kennen gelernt. Es wird sich jetzt darum handeln, genauer die algebraische Theorie dieser Gleichungen zu entwickeln, wobei wir uns nach dem Gesagten auf die primzahligen Fälle n > 3 beschränken können. Die erste Frage wird die nach der Galoisschen Gruppe der speziellen Transformationsgleichung sein. Indem wir sodann auf die Struktur dieser Gruppe näher eingehen, behandeln wir die Frage, ob die speziellen Transformationsgleichungen, die beim einzelnen n ,den Grad (n + 1) haben, die Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungsgleichung sind oder nicht. Hierauf antwortet ein berühmter von Galois entdeckter Satz, nach dem zwar für n > 11 die Transformationsgleichungen die niedersten Resolventen sind, daß aber in den drei ersten Fällen n = 5, 7 und 11 Resolventen n ten Grades existieren. l )

§ 1. Die Galoisschen Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen. Der Übergang von den Teilungsgleichungen zu den Transformationsgleichungen wurde durch die Überlegungen von S. 335 ff. vollzogen. Die t(n 9 - 1) Teilwerte &{}l", des primzahligen Grades n ordnen wir in (n + 1) Systeme:

(1)

S{}2,f"

8022,2""

S{}S2,S""

•••, &{}n-12 n-l" 2

'

2

c

zu je -i-(n - 1) an, die gegenüber den Substitutionen der Galoisschen der Teilungsgleichung invariant sind. Diese Gruppe Gruppe G I -fn(n-l) (n'-l)

konnten wir nämlich aus allen auf die Indizes l, fL auszuübenden inkongruenten Substitutionen:

(2)

l'=td.+rfL,

fL'-ßl+~fL,

(modn)

aufbauen, deren Determinanten ("~ - ßr) teilerfremd gegen n waren, und bei denen zwei durch gleichzeitigen Zeichenwechsel von ", ß, r, ~ 1) Der Satz ist von Galois in seinem Briefe an A. Chevalier vom 29. Mai 1832 mitgeteilt; man vgl. die Sammlung der Galoisschen Arbeiten im J oum. de Math., Bd. 11 (1846).

460

II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen

UBW.

ineinander übergehende Substitutionen als nicht verschieden galten (S. 261). Durch die einzelne dieser Substitutionen werden die Systeme (1), abgesehen von Umstellungen der &{/-Teilwerte im einzelnen Systeme, in der Tat nur untereinander permutiert. Das einzelne System (1) mit ,1. =1= 0 können wir durch diejenige Zahl" der Reihe 0, 1, 2, ..., n - 1 charakterisieren, die der Kongruenz ,,1 == P, (mod n) genügt, eine Zahl, die wir. auch in bekannter Weise durch

i

oder

p"

l-1 bezeichnen dürfen. Für

die Bezeichnung des Systems (1) mit l = 0 benutzen wir entsprechend das Symbol" = 00. Als wichtigstes Beispiel der Transformationsgleichungen ziehen wir nun diejenige von )(ro) = 12 3 J(ro) heran. Nach S. 338 ist die bei der ersten Haupttransformation eintretende transformierte Funktion )(nro) eine symmetrische Funktion der t(n - 1) Teilwerte des zu 00 gehörenden Systems (1) mit Koeffizienten des Körpers (m, g2' gs). Wir schreiben unter Aufnahnie von" als Index:

,,=

joo = j(nro) = R (S{/Ol1

(3)

S{/02' ••• ,

&\ n ;1) .

Daran reihen sich die weiteren n unter sich und mit j", gleichberechtigten, den übrigen Systemen (1) entsprechenden Funktionen:

(4)

,,=

mit 0, 1, 2, ..., n - 1, wo R dieselbe Bedeutung wie in (3) hat. Insbesondere entspricht)o der zweiten Haupttransformation nten Grades. In )00' }O, jl' .. "' }"-l haben wir nun die Wurzeln der Transformationsgleichung vor uns, auf welche jetzt die allgemeinen Grundsätze der Galoisschen Theorie bet.reffend die Gruppen der Resolventen in Anwendung zu bringen sind (vgl. S.52ff.). Wir haben zu dem Zwecke zunächst die Untergruppe derjenigen Substitutionen (2) festzustellen, die die identische Permutation der joo' }O, ill ..., i"-l bewirken. Nun wird ioo durch die Substitutionen (2) mit r == 0 (mod n) in sich übergeführt, io aber durch die Substitutionen mit ß == 0 (mod n). Ebenso finden wir als Bedingung dafür, daß j1 in sich übergeht, a == J (mod n). Die Substitutionen (2), die diesen drei Bedingungen genügen, transformieren aber bereits alle Wurzeln (3) und (4) in sich und liefern also den Durchschnitt aller (n + 1) zu den einzelnen Wurzeln gehörenden Untergruppen: Die Substitutionen der Galoisschen Gruppe G 1 der Teilungsgleichung,. :r n (n-l)(n2 -1)

die die identische Permutation der )00' )0' j1' ..., In-l liefern, bilden die' ausgezeichnete Untergruppe G 1 der tzn - 1) Substitutionen: "2(n-l)

(5)

,l'==a,l,

p,'_cxp,

(modn).

Galoissche Gruppe der speziellen Transformationsgleichung

461

Bei Fortgang zur Transformationsgleichung tritt nun nach S. 53 (iie Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Quotientengruppe G1 / G1 ein, so daß die Galoissche Gruppe der speziellen 2"("-1)("'-1)

2"("-1)

Transformationsgleichung eine G,,(n _1) der Ordnung n(n2 - 1) ist. Wir können sie aus der Gruppe (2) einfach dadurch herstellen, daß wir alle :Substitutionen (2) mit proportionalen Zahlen quadrupeln (x, ß, r, 0 als nicht voneinander verschieden ansehen. Es genügt also, alle tn(n 2 - 1) Substitutionen (2) mit der Determinante 1 und außerdem alle Substitutionen (2) zuzulassen, deren Determinante gleich einem beliebig zu wählenden .quadmtischen Nichtreste von n ist, also im Falle n = 4h + 3 etwa gleich ·dem Nichtreste - 1. Indem wir die Indizes x = (1-).,-1 einführen, können wir den gewonnenen Satz auch so ausdrücken: Die Galoissche Gruppe der speßiellen Transformationsgleichung besteht aus allen n(n 2 - 1) Permutati01~en der ioo' io, il1 ..., in-v welche dttrch die auf den Index x auszuübenden Substitutionen.' x' =tfx + ß (mod n) {6) 2

- rx+ IX erhalten werden, wobei (J(,o - ßr = 1 und kongruent einem beliebig ßU wäh-

lenden quadratischen Nichtreste von n ßU nehmen ist und von zwei durch Zeichenwechsel ineinander übergehenden Quadrupeln (x, ß, r, 0 natürlich wieder nur eines ßUßulassen ist. In der Galoisschen Gruppe G,,(n'_1) ist als ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 die Monodromiegruppe G 1 enthalten 1), die 2,,(n'-1) . ihrerseits in allen hier in Frage kommenden 1!'ällen n > 3 nach S. 262 ist isomorph mit der mod n reduzierten nicht.einfach ist. Die GI 2",,(,,'-1)

'homogenen Modulgruppe

r(w)

und kann demnach erzeugt werden aus

zwei Permutationen, welche den beiden Substitution~n S = (~:~) und

T

=

C.~\,1 0) entsprechen. Diese heiden Permutationen sind, wie man

leicht feststellt: (S)

(T) wo bei der Permutation S natürlich in = io zu nehmen ist. 2) Für die Reduktion der Galoisschen Gruppe auf die Monodromie1) Das ist die Gruppe aller Substitutionen (2) mit IX8 - ßr -1 (mod n). 2) Für die Galoissche Gruppe Gn (n'-l) kommt dann als eine dritte erzeugende Permutation: • j'oc, =j"" ja =jo, j~ =jVK hinzu, wo v irgendein quadratischer Nichtrest von n ist.

462

II, 5. Die Gruppen der. speziellen Transformationsgleichungen usw. 2 in

gruppe ist die Adjunktion der Einheitswurzel [3 = e n hinreichend, aber nicht notwendig. Da der Index der Monodromiegruppe in der Gn (n'_1) gleich 2 ist, so genügt bereits die Adjunktion einer einzelnen numerischen Irrationalität zweiten Grades. Da sie dem Kreisteilungskörper (m, [3) angehört, so handelt es sich um die Wurzel der quadratischen Resolvente der Kreisteilungsgleichung für den n ten Teilungsgrad. Diese quadratische Resolvente ist die Gleichung für die Hn - l)-gliedrige Summe:

(7)

[3

+ + + ... + [34

[39

[3

( n-1)'

2-

(

=

t -

1

l) + i-n2- -yn ,

wo links in den Exponenten die Hn - 1) quadratischen Reste von n stehen. 1) Nach S. 260 ist [3 eine natürliche Irrationalität der s;}-Teilungsgleichung, also als rationale Funktion der S9 l f' mit Koeffizienten des Körpers (m, g2' gs) darstellbar. Diese Funktion bleibt unverändert bei den Sub/3titutionen der Monodromiegruppe und geht bei der einzelnen Substitution (.2) der Determinante a8- ßr = d in cd über. Die Summe (7) ist demnach eine Größe, die gegenüber der GI der Substitutionen (5) 2(n-1)

invariant ist, d. h. sie gehört nach S. 49ff. als natürliche Irrationalität zur Transformationsgleichung: Die Galoissche Gruppe G n (n'_l) der speziellen Transjormationsgleichung reduziert sich nach Adjunktion der zu ihr natürn -1

lichen Irrationalität i -2.

yn auf die Monodromiegruppe

GI"

2 n (n--1)

die mit

dei mod n reduzierten nicht-homogenen Modttlgruppe isomorph ist.

§ 2. Die Galoisschen imaginären Zahlen und die imaginäre Gestalt der Gl2"n(n2 -1) • Um die Untergruppen der GI homogenen Substitutionen (;:

~)

.

-n(n--1) 2

der

aller modn inkongruenten nicht-

r(w)

bequem aufstellen zu können,

m"üssen wir diese Substitutionen noch auf eine neue Gestalt transformieren und zwar mit Benutzung der von Galois in die Zahlentheorie eingeführten imaginären Zahlen. Ist Nirgendein bestimmt gewählter quadratischer Nichtrest von n, so ist die Kongruenz x 2 _ N (mod n) durch keine der Zahlen 0, 1, 2, ..., n - 1 zu befriedigen. Man führt demnach genau wie in der Algebra eine neue imaginäre Zahl t ein, die die Eigenschaft besitzt, daß t 2 _ N (mod n) sein soll, und knüpft an diese Einführung ent1) Die Berechnung der Summe (7) geschieht auf Grund der letzten Gleichung in I, 494.

Monodromiegruppe der speziellen Transformationsgleichung

463

sprechende Folgerungen, wie an die Einführung der gewöhnlichen imaginären Einheit i in die Algebra. Man bildet also mitte1st der reellen .ganzen Zahlen a, b und der neuen imaginären Zahl t die n 2 mod n inkongruenten komplexen ganzen Zahlen (a + b t) und findet dann zunächst den Satz, daß jede bisher irreduzibele Kongruenz Ax 2 + Bx + C = 0 (mod n) mit gewöhnlichen ganzzahligen Koeffizienten ein Paar konjugiert komplexer Lösungen (a ± bt) erhält. Hat eine Kongruenz beliebigen Grades mit reellen Koeffizienten eine komplexe Lösung Ca + bt), so hat sie stets auch die konjugierte Lösung (a - bt). Durch bekannte algebraische Überlegungen 1) zeigt man, daß eine solche Kongruenz, wenn m ihr Grad ist, auch im erweiterten Zahlengebiete niemals mehr als m verschiedene Lösungen haben kann. Erhebt man irgendeine der (n 2 - 1) inkongruenten, durch n nicht teilbaren Zahlen (a + bt) in die n te Potenz, so folgt bei Fortlassung aller durch n teilbaren Glieder: n-1

=

=

n-1

Nach dem Fermatschen Satze gilt an a, bn b. Ferner gilt N2da N quadratischer Nichtrest von n ist. Es folgt also:

(a

+ bt)n= a -

bt

-1,

(mod n),

und man findet durch nochmaliges Erheben zur n ten Potenz: (a

+ bt)n = a + bt, 2

(a

+ bL)n -1= 1 2

(mod n)

als Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. Die Kongruenz xn' - l = 1 (mod n) hat hiernach die Höchstzahl zulässiger Lösungen, nämlich (n 2 - 1). Ist n 2 - 1 = lL' v irgendeine Faktorenzerlegung von (n 2 - 1), so folgt aus: x"'-1-1

=

(XI'-1)(xll(V-1)+ XI'(v-2)

daß eine Lösung von x n2 xl'=l,

1

=

+ ... + xl'+ 1),

1 (mod n) mindestens eine der Kongruenzen:

XI'(v-1)+X,u(v-2)+",+xl'+1=O

(modn)

befriedigt. Da aber die zweite höchstens lL(V - 1) Lösungen hat, so besitzt die erste sicher lL verschiedene Lösungen, Ist also lL irgendein Teiler von (n 2 -1), so hat auch xl'= 1 (mod n) notwendig /l. verschiedene Lösungen. Ist (a + bL) eine dieser Lösungen, die nicht bereits einer Kongruenz x' = 1 (mod n) mit A. < /l. genügt, so sagt man,,(a + b L) gehöre zum Exponenten /l.". Eine zum Exponenten (n 2 _ 1) gehörende Zahl wird im vorliegenden erweiterten Zahlgebiete als eine "primitive Wurzel" der 1) Vgl. Diriehlet-Dedekind, "Vorles. über Zahlentheorie" (4. Aufl.), S: 68.

464

II, 5. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen usw.

Primzahl n bezeichnet. Die Existenz primitiver Wurzeln geht aus folgender Betrachtung hervor: Es seien !L und !L' zwei gegeneinander teilerfremde Divisoren von 2 {n - 1), und es mögen zwei zu den Exponenten !L und !L' gehörende Zahlen (a + b t) nnd (a' b' t) exi~tieren. Dann ist sicher die (!L' !L')te Potenz von:

+

c + eh

+ bt) (a' + b' t}
72 ,

r 28S ' ['1152'

x

=

x =

Yk, l!k,

x = Je, X

=

x =

Vk, yk,

y

=

Yk',

y=W, y = Je', y= y=

yP,

Vi?,

+ y4= 1, x 8 + y8= 1, z = 'VkJ?, x + y2= 1,

xy - Z3= 0,

z = 'VkJe',

x 4 + y4= 1,

xy -

Z3=

O.

XS

xy -

Z3=

O.

x4

2

6 ---

Z

12 -

= lIkk',

+ y8= 1,

Beispiele von Modularkorresponden;l:en

533

Die ersten beiden Relationen deuten wir als ebene Kurven vierten bzw. achten Grades, die drei weiteren Relationenpaare ergeben entsprechend Raumkurven sechsten, zwölften und 24ten Grades. Es gilt nun der Satz: Die irrationalen Modulargleichungen sind aufzufassen als die algebraischen Darstellungen der Modularkorrespondenzen auf den fraglichen Kurven. In den in § 8 betrachteten Fällen sind diese Darstellungen besonders einfach, sie haben nämlich die Gestalten bilinearer Gleichungen zwischen den Koordinaten der beiden zugeordneten Punkte. Bezeichnet man die transformierten Funktionen durch x', y' bzw. x', y, Z', so nehmen die bei den Gleichungen (1) und (2) S. 525 übereinstimmend die Gestalt an: (15) xx' + yy' = 1, während die drei Gleichungen (9) und (10) S.527 sich so schreiben:

xx'

(16)

+ yy' + C!!Z' =

1,

wo eden Txansformationsgraden 5, 11 und 23 entsprechend bzw. gleich 2112 und ist. Die fünf in Rede stehenden Modularkorrespondenzen we1"den also auf den betreffenden Kurven durch Gerade bzw. durch Ebenen ausgeschnitten. Die zur TS84 gehörenden Modularkorrespondenzen sind ausführlich von E. Fiedler mit invariantentheoretischen Hilfsmitteln behandelt. 1) Die allgemeine H urwi tzsche Theorie der Modularkorrespondenzen, die auf transzendenter Grundlage ruht, ist.in "Modulfunktionen" Bd. 2 ausführlich behandelt, worauf hier verwiesen sein mag.

2114,

V4

§ 10. System der Modulfunktionen sechster Stufe. Nahe verwandt mit den irrationalen Modulargleichungen sind die schon S. 296 erwähnten "Thetarelationen", die zahlreich in der älteren und neueren Literatur auftreten. Die algebraische Natur dieser Relationen und ihr Zusammenhang untereinander haben durch die Theorie der Modulfunktionen Aufklärung gewonnen. Um dies hier wenigstens für die bei dem dritten Transformationsgrade auftretenden Thetarelationen näher darzulegen, haben wir eine Zusammenstellung der Modulfunktionen sechster Stufe voraufzusenden. Die Modulgruppe T(w) reduziert sich mod 6 auf eine Gruppe G 72 der Ordnung 72, in der die mod 3 mit 1 kongruenten Substitutionen eine Gs vom Diedertypus, die mod 2 mit 1 kongruenten aber eine G12 vom Tetraedertypus bilden. In der Diedergruppe G6 ist bekanntlich eine aus1) In der Leipziger Dissertation "eber eine Klasse irrationaler Modulargleichungen der elliptischen Funktionen", veröffentlicht in der Züricher Vierteljahrsschrift, Bd. 30 (1886).

534

Ir, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen

gezeichnete zyklische Ga enthalten; sie wird bei der vorliegenden G6 von den folgenden Substitutionen der G72 gebildet: (1)

Vo =

U: 130)'

(~: ~), VI ==

V2

G:!)

(mod 6).

Die Tetraedergruppe enthält eine ausgezeichnete Vierergruppe G4 , die innerhalb der eben genannten Untergruppe GI2 der Gn von den Substitutionen gebildet wird: (2)

V. -

o=

(1,0, 0)1 '

V' 1

=

(3,2, 34) '

V'

2

(1,2, 6f' 2\

=

17' _ 3

(1, 2,- 52) -

(mod 6).

Für die drei letzten Substitutionen gilt, dem Typus der Vierergruppe entsprechend:

(3) ~'. V;= V;· V;== V;,

wo sich die Kongruenzen hier und weiterhin auf den Modul 6 beziehen. Für die Transformation der vorstehenden Substitutionen mitte1st - der Substitution S

(4)

{

= (~: ~) merken wir gleich die Regeln an:

S· VI·S-I= V2 , S· V2 ·S-I= Vu . S· V;·S-l= V;, S· V;·S-l= V;, S· V;.S-l= V;.

Es erzeugt nun die Substitution S innerhalb der G72 eine zyklische G6 , in der die zyklische Gs der Substitutionen 1, S2, S4 und die zyklische G2 der Substitutionen 1, 8 3 enthalten sind. Da aus (4) die KonVI' S2. VII

gruenzen:

= S2,

V2' S2. V;;-1

=8

2

folgen, so ist die zyklische Gs nicht nur innerhalb der G6 , sondern innerG18 -- G6 + G6 . v:1 + G6 . v:2 halb der Gruppe: ausgezeichnet. Die Gs ist demnach höchstens eine der unter 72: 18 = 4 gleichberechtigten Gruppen. Da weiter aus (4) und (3) die Kongruenzen: V;·S2·V;-1=8 2 .V;,

V;.S2.V;-I-S2.V~,

V;.S2.V;-1=S2.V;

folgen, so erhalten wir tatsächlich vier gleichberechtigte Gruppen:

(5)

Ga,

V;·Gs·V;-t,

V~·G3·V;-t,

V~·G3·V~-I.

In ähnlicher Weise zeigt man: Es gibt in dm' G72 drei gleichberechtigte zyklische Untergruppen:

Vi' G2 • V2 1. Der G6 entspricht die durehr = 0 (mod 6) zu erklärende Kongruenzgruppe sechster Stufe r 12 , deren Diskontinuitätsbereich das in Fig. 4, S_ 354, dargestellte Transformationspolygon für den sechsten Grad (6)

G2 ,

VI' G 2 • ViI,

535

Kongruenzgruppen sechster Stufe

ist. Dieses Polygon hatte das Geschlecht O. Zur Gs gehört entsprechend die durch r 0 (mod 6), ß 0 (mod 2) erklärte Kongruenzgruppe r u '

=

=

Fig. 39.

deren Diskontinuitätsbereich die in Fig. 39 dargestellte Gestalt hat. Aus der Zusammen ordnung der mit Nummern versehenen Seiten: 1

~ 10, (~: ~);

2

~ 5, (15~, 25); 7

3

~ 4, (~: ~);

6

~ 9, e17~, -=:,17°) ;

~ 8, (~: =~)

ergibt sich als Geschlecht dieses Bereiches gleichfalls O. Zur G2 gehört die durch r = 0 (mod 6), ß = 0 (mod 3) erklärte Kongruenz-

~]]dlich

Fig. 40.

,gruppe r S6 ' deren Diskontinuitätsbereich in Fig. 40 abgebildet ist. Die Seitenzuordnung : 1 ' - 14,

(~: ~);

5~6, (

5, 3 ) -12, - 7 '

2

~ 13, G~: ~~); 7

~ 8, (~: ~);

11 ~ 12

,

3

~ 4, (_~: ~ 7) ;

(7 -3)

9 ~ 10, 1;, _ 5 ;

(7,6,-5 - 6)

ergibt auch für diesen Bereich wieder das Geschlecht O. An Stelle der S.446ff. benutzten eiuwertigen Funktion 1: der soll hier die Funktion:

(7)

zero)

=

I~2

9(1 + .,;(w) -~)

eingeführt werden, deren Spitzenwerte sich aus denen von 1:(ro) so berechnen: (8) z(ioo) = 00, z(O) = 9, z(± ~-) = 1, z(± t) = O. Mitte1st zero) werden die Bereiche der Fig. 39 und 40 auf Riemannsche Flächen mit 2 bzw. 3 Blättern abgebildet; und zwar hat die erste Fläche zwei Verzweigungspunkte bei z = 00 und z = 0, die zweite· aber zwei

536

II, 6. Die speziellen Transfol"luationsgleichungen höherer Stufen

dreiblättrige Verzweigungspunkte bei z = 00 undz = 1. Als einwertige Funktionen der beiden Gruppen T 24 und T S6 kann man demnach:

(9) benutzen, wo die erste Wurzel auf der imaginären ro-Achse positiv und die zweite reell gewählt werden mag. Die Spitzenwerte der Funktion y sind dann: .

{

(10)

y(± -D = y(t) = 0,

Y(iOO) = 00,

y(t) = y(t) = - 1, y(o) = 3,

y(± i) = 1,

y(l) = - 3,

diejenigen der Funktion x aber:

(11)

{

x(o) = 2, x(± 1)

X(iOO) = 00,

2 s 'f\

=

x(± t) = - 1,

x(± t) = - s±1, x(± {-) = x(± t) = x(± .~) = 0, 2i'"

wo s die dritte Einheitswurzel e tution Sauf y und x ist: y(ro

(12)

+ 1) =

Gegenüber V1 =

-

3

bedeutet. Die Wirkung der Substi~

y(oo),

x(ro

(3~' 130) und V2 =

+ 1) =

G:!)

S-1 X(OO).

substituiert sich y(oo) li-

near, da diese Substitutionen die T 24 in sich transformieren. Durch Vi werden die Spitzen 00 = i 00, - 3, - .~ bzw. in ro = t, 0, 1 übergeführt,. bzw. in y = 1, + 3, - 3. Hieraus und also die Werte y = 00, - 3, schließt man leicht auf die erste der beiden Gleichungen:

°

y( V1 (ro)

(13)

y(ro)-3 y(ro) + l '

=

(

Y V 2 (oo)

)

=

y(ro)+3

_ y(ro) + 1 '

während die zweite entsprechend folgt. Durch Kombination mit der ersten Substitution (12) ergibt sich für y eine aus den sechs Substitutionen: ,

(

, Y - 3 , _y+3 ± y l' Y = + y _ i

+

14) Y = ± y, y = bestehende Diedergruppe G6 •

Entsprechendes gilt für x( ro). Hier ist die Wirkung der obigen Substitutionen

V;, V;, V;:

(15)

x

) (V1'(00

=

x(ro)--2

x(c,;l+l'

-

X(V;(oo)

=

x(V:'m) ___ X(ro l -_2c._ 2

(VJ) -

::" ,

c'X(ro)

+1 '

-~~i~T

woraus man durch Kombination mit der zweiten Substitution (12) zwölf,. eine Tetraedergruppe bildende Substitutionen erhält:

(16)

:c' =

ePX,

, X =

x-2

-

e x+ l' P

11

=0, 1,·"

537

Modulfunktionen sechster Stufe

Die Funktionen x und y, die zufolge (9) in der Beziehung:

y2 = x 3 + 1

(17)

stehen, bilden zusammengenommen ein einfachstes System von Funktionen für die Hauptkongruenzgruppe sechster Stufe T 72 • Alle Funktionen dieser T 72 sind dann rational in x und y darstellbar. Diese Darstellungen sollen ins besondere für die mit y und x gleichberechtigten Funktionen angegeben werden. Zufolge (5) können wir für die vier mit der I~4 gleichberechtigten Gruppen als einwertige Funktionen:

(18)

yo(ro) = y(ro),

Yl(ro) = y(V;(ro», Y2(ro) = y(V;(ro»), Ys(ro)

=

y(V;(ro»)

benutzen. Hieran reihen sich zufolge (6) für die drei mit rechtigten Gruppen die Funktionen:

(19)

xo(ro) = x(ro),

x 1 (ro) = x(V1 (ro»),

r S6

gleichbe-

x 2 (ro) = x(V2(ro»).

Nun ergibt sich mit Benutzung von (15) und (17):

Yi = x(V;(ro»)3+ 1 = 1 +

(:+;~:~y.

Der rechts stehende Ausdruck muß sich mit Hilfe von (17) in das Quadrat einer rationalen Funktion von x und Y umwandeln lassen. In der Tat findet man:

1

2-

X)S

+ (1 + x

1 - x

+ x'

= 9 ( 1+ x)"

+ XS (3 y )2

1

= 9 (1+ X)4 =

(1

+ x)"

,

'womit der Ausdruck von Yl in x und Y bis auf das Vorzeichen gegeben 'ist. Das Vorzeichen aber bestimmt man leicht durch Eintragen des Wertes ro = O. Entsprechend findet man die Ausdrücke für Y2 und Ys' Es gilt der Satz: Die drei mit Y gleichberechtigten Funktionen Yl' Y2' Y3 stellen sich in x und Y wie folgt dar: (20)

Yl =

3y

-

(1

3y

+x)"

Ys= - (l+sx)"

Eine ähnliche Rechnung wird man für die Xli x 2 leicht ausführen. Die mit x gleichberechtigten Funktionen Xl und x 2 stellen sich in x und Y so dar:

(21)

Xl

= -

1

2x

+ y'

x2 = -

2x

1 _ Y,

Ein paar naheliegende Folgerungen aus (17) und (20) sind:

(22)

1

1

1

1

1

1

114

fY + Y1 + Y;+Y;=0,

1y2 + Yi + y1 +y~ Y . Yl' Y2' Ys =

-

=

27.

3'

538

II, 6. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen

Ebenso ergibt sich aus (17) und (21):

r ~ + -~ + ~x. X,

X

1x" + xi + x~

(23)

1

1

=

° '

1

x . Xl . X 2 =

S

=

-

-

4.

4 '

Um die folgenden Rechnungen nicht unterbrechen zu müssen, stellen wir noch die Wirkung der Substitution T

°

C.:\,1 0)auf Y (ro) fest.

°

=

Die

(mod 6), r = (mod 2) charakteriGruppe T· r 24 • T-l ist durch ß siert. Den gleichen Kongruenzen genügt aber die Gruppe v~· r u ' v;- t, so daß die beiden Funktionen Y (

ro ~)

und Yl (ro) linear zusammenhängen:

(- 1) _ ay, (ro) + b

Y --;;;- - Cy, (ro)+ d-' Man setze nacheinander die drei Wede ro findet, daß den Werten Yl(ro) 00, -

=

=

ioo,

°

und - 1 em und

0, -1, -3 bzw. die Werte Y(-:-~)=3,

3 entsprechen. Hieraus bestimmen sich die Koeffizienten a, b, C, d:

(24)

Y

(=: 1)

=

-

~~t~}~-~_.

§ 11. Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades. Die drei Nullwel'te der geraden Thetafunktionen bezeichnen wir wie üblich kurz durch 8-~ für v = 0,2,3 an Stelle der ausführlichen Schreibweise 8-,,(q). Sie gehen durch die erste Haupttransformation dritten Grades über in 8-,,(qS), wofür wir kurz ()" schreiben. Für die übrigen drei Transformationen dritten Grades werden wir unten die Bezeichnungen ()~ll, ()~2), ()~S) näher erklären. Diese Größen stehen nun in nächster Beziehung zu den in § 10 betrachteten Funktionen sechstel' Stufe, und umgekehrt werden wir die zum dritten Transformationsgrade gehörenden ,,'rhetarelationen" aus den grundlegenden algebraischen Relationen des vorigen Paragraphen ableiten können. Znnächst sind der Integralmodul k 2 (ro) und die durch die erste Haupttransformation entstehende Funktion k 2 (3ro) gegenüber der r 24 invariant und also rational in Y darstellbar. Man stellt sehr leicht die Werteverteilung jener beiden Funktionen im Bereiche der Fig. 39 fest, indem man einmal die ursprüngliche ro-Teilung (für k 2 (ro»), sodann die auf ein Drittel reduzierte ro-Teilung (für Jc2(3ro» einträgt. Es ergeben sich daraus die Darstellungen: (1)

k 2 (ro) =

(::r

=

(y _

~~(~3+ S)"'

k!(3ro) =

(~!r =

(y _

i)~~ +3)'

Darstellung der Funktionen sechster Stufe durch Thetaquotienten

539

Mit Benutzung von (23) in I, 419 folgt hieraus weiter:

(,{To)' = ,{T.

,(2)

(00)4 Os

(Yj--~JY - 3)S (y-l)(y+3)3'

+ l)S(y -

(y

=

3) .

(y_l)8(y+3)

Für den zum zweiten Teilungsgrade gehörenden Teilwert 0 01 der Sigmafunktion ergibt sich aus einer in I, 452 aufgestellten Gleichung bei wiederholt er Benutzung der Produktdarstellung der Diskriminante A:

II (1 + q2>n)2, OC)

0 01 (ro l , ro 2) IVA

-2 qi

=

rrt= 1

(3) wo A~ im Sinne von S. 438 gebraucht ist. Den Übergang zur ,f}2-Funktion vermitteln die Gleichungen: V;-!y:d0 0l (ro U ro 2)

=

V;~ Y.d~00j(3rov

,f}2'

ro 2)

=

(}2·

, Aus (3) ergibt sich daraufhin leicht:

VLlLi--; ( 6 4

2 (,{T.) O. =

(4)

.

.

12 _. __.

01 (011' 01 2 ) .)2 6 01 (3 o1~)-

i"/LlsLli

= V ~ Llä

.

Nun folgt aus den S. 447 ff. entwickelten Gleichungen der Transformation 13echsten Grades: LI. LI

"'('"

+ 4)S

",'(2",

LI"

+ 9)4

",5(2'1"

Ll6

+ 9)

28(2'" + 9)' -Li- = 31"(", + 4)" LI' = 2 8 .3'"(", + 4) • Bei Zusammenfassung dieser Gleichungen ergibt sich unter Einführung der Funktionen z und y von § 10:

~"Jl =

3

12 ('"

~~r

(9 (1 + !))

=

6

=

Z6

=

y12.

Man wird also zur ersten der drei folgenden Gleichungen geführt:

(!:f

(!:r

(5) = y, (~~f = ~ +~, = ~-+ ~, während sich die zweite und dritte durch Vermittlung von (1) und (2) berechnen. l ) Auf die Gleichungen (5) übe man die Substitution T = (_~: ~) aus, deren Wirkung auf y in (24) S. 538 berechnet ist. Die ursprünglichen ,f}-Nullwerte transformieren sich zufolge (4) in I,482 so:

( "i)2 =

,f}o e-o~

-

( n;)

,f}2 e- w ,

iro,f}2(q)2,

,f}3(e-: f i

2

=

-

iro,f}o(q)2,

iro,f}3(q)2. Für die transformierten Thetanullwerte ergibt sich entsprechend: =

-

1) Bei Wurzelziehungen wolle man die zutreffenden Einheitswurzeln stets durch Betrachtung der Werte unserer l!~unktionen auf der imaginären O1-Achse bestimmen.

Hier liegt rechts die zweite Haupttrausformation dritten Grades vor, Itir die wir folgende Abkürzungen einfÜhren: itv (q~)

=

i

V3 ()i1).

Die Gleichungen (5) rechnen sich damit um auf: (6)

(o~:)

Y

= YlI

(o:ilY

=

~: ~~, (o~;)

Y ~: +:. =

Um die beiden letzten Repräsentanten zu gewinnen, üben wir auf (6) die Substitutionen

(~: :) und C~, 116) aus, wobei Y1 in Y2 bzw. Ys übergeht,.

die ity unverändert bleiben und die 8~1) die transformierten Größen ()~2) bzw. {)~S) liefern mögen. Unter Hinzunahme der Gleichungen (6) findet man: (7)

(~:)r=Yi' (-~:)Y=~~:,

(:J)Y=~:+:'

i=I,2,3,

Aus (20) S.537 folgt:

1+x

=

iVS1/i. V Yl

Mitte1st (5) und (6) folgt hieraus die erste der Gleichungen: (8

)

1+x=iV3+, 1+x1=iV3-j-, 1+x =iV3-0s...· s -

(:p) 2

-

0(1) 0

-

0(1)

2

Die zweite und dritte Gleichung kann man aus der ersten etwa durch Ausübung der S. 536 erklärten Substitutionen V1 , V2 gewinnen, denen gegenüber Y und Y1 gleiche lineare Substitutionen erfahren. Durch Multiplikation je zweier Gleichungen (8) lassen sich bei Benutzung der Relationen (23) S. 538 hieraus noch die Formeln:

(9)

herstellen. Schließlich notieren wir noch die aus (1) und (2) leicht gewinnbaren Gleichungen:

541

Thetarelationen beim Transfonnationsgrade 3

f y+1 =

v,a,~eI

2

2

- 1/-1l'~00 1~ y-3-V-Il'g02'

(10)

1

l.Fso~

.F.OZ' y-1 = V -Il'.I:Ig'

~ _ 1/-1l'~03.

Y+3-V-Il'gO.

Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades sind nun einfach die Ergebnisse der Elimination der x und y aus den vorstehenden Gleichungen, wobei die in § 10 aufgestellten Beziehungen zwischen den x, y heranzuziehen sind. Setzt man z. B. den aus (5) folgenden Wert von y der Reihe nach in die vier Gleichungen (10) ein, so entstehen die Relationen: -Il'i + O~ _ 1 I og -Il" -- 0' 1 16i

2-V-ll'.~ = V -Il':'

2V-ll'.0. - V -Il'o'

{t~ -

30;

2Y{t282

=

y:g,

{t;

+ 30; =

2 Y{t2 02

o

y:g. "

Aus den beiden ersten Gleichungen (5) folgt:

({ti + 30~)0~, aus der zweiten und vierten Gleichung (10): ({t~ -

0D{t~

=

{t~0~ - (t~0~ = 2{toOo V{t2{tS YOsO;, aus den beiden letzten Gleichungen (10):

ß1 _ 'V-ll'8 _ 1 I-Il'g V e. 00 V Os

1

=

0

'

aus dreien unter ihnen:

1/01 V -Il's

+ 1/0~ _ V -Il'o

1/-1l'; =

V O.

O.

Die erste Gleichung (23) S.538 schreibt sich mit Hilfe von (8) in: 00

oo - i,/30(1) Y 0

+

0_ ~

O. i'!sll(l)

y

+

iJV2

um, mitte1st der Gleichungen (9) aber in:

I 0(,1)0(1) 1/0(1)0(1) 1 10(1)0(1) ,;V -'-"+ V -=-_"_,_0_ + V_O _'- + i r 3 = 0.1 ) 0,0 Os Oe 0 O.

1

3

0

1) Ähnliche Ausführungen für den fünften Transformationsgrad finden sich in der Dissertation des Verfassers "Über Systeme elliptischer Modulfunktionen von niederer Stufenzahl" (Braunschweig 1885).

Sachregister. Die Stichworte sind gesperrt gedruckt. Wiederholungen von Stich worten sind durch Bindestriche angedeutet. Die Ziffern beziehen sich auf die Seiten.

A. Abelsche Gleichungen 61. Abelsche Gruppe 4, 14ff.; - - G' 56 bei den Additionstheoremen 168. Abeteche Relationen 240ff. Abgeleitete binäre quadratische Form 137. Additionstheorem des Integrals zweiter Gattung 159, 183; -e der iO- und SJ'· Funktion 160 ff., in invarianter Gestalt 162, 164; -e der Funktionen sn, cu, dn 166, 180; -e der Thetafunktionen 177 ff.; -e für mehrgliedrige Argumentsummen 183. Adjunktion einer Zahl zu einem Körper 33; gleichzeitige - mehrerer Zahlen zu einem Zahlkörper 35 ff.; gleichzeitige - mehrerer Funktionen zu einem Funktionenkörper 66 ff. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper 33; konjugierte - 33; - -, allgemeiner Begriff 78; ganze - 78, 85ff. Algebraische Zahlkörper n'en Grades 83. Allgemeine Teilungsgleichung, s. "Teilungsgleichung" . Allgemeine Transformationsgleich ung,s." Transformationsgleichung". Alternierende Gruppe 26. Am bige quadratische Form 140. Xquivalenz der Ideale 104; - der Zweigideale 132; - der quadratischen Formen 138. Arithmetisch-geometrisches Mittel 495. Assoziatives Gesetz bei Gruppen 2. Assoziierte Zahlen 86. Auflösung einer algebraischen Gleichung 55ff., 75; - der allgemeinen Teilungsgleichung 225. 231 fl·., der speziellen 262ff.; - der Transformationsgleichung der so-Funktion 280.

Ausgezeichnete Untergruppe 8;: Sätze über - -n 9ff.; größte - - 12.

B Basis des Systems der ganzen Zahlen eines algebraischen Körpers 87; eines Ideals 91, 99 ff.; - eines Zweigideals 135. Bilinear, -e Substitutionen in der Komposition der quadratischen Formen 149; -e Verbindungen aus Funktionen Xi. (u i rot , ro.) 320 ff.

C Charaktere der Klassen quadratischer Formen 152.

D Darstellung von Zahlen durch quadrutische Formen 151. Determinante von Brioschi und Kiepert 186. Differentialgleichung, deren Integral das Additionstheorem liefert 163; partielle - der Funktion 1/J(n) 191 ; partielle - der Funktionen G(z) bei den Multiplikationssätzen 208. Diskriminante von n Zahlen eines algebraischen Körpers 84; - eines Körpers 86; - eines quadratischen Körpers 121; - einer quadratischen Form 137; transformierte - LI, Beziehung zu den Teilwerten 298ff.; Transformationsgleichungen für die - LI 339ff., 343, 380 usw. Divisionstheoreme für die Funktionen 8J, IP' 210ff.; - für die Funktionen zweiter Stufe 235ff. Durchschnitt mehrerer Gruppen 8. E Eigentliche Transformation n'en Grades 276.

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Zweiter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19561-7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

543

Sachregister Einfache Gruppe 8. Einhei ten in algebraischen Körpern 85. Einheihelement einer Gruppe 3. Einhei tsideal 90. Einheitswurzel, primitive n ten Grades 57. Element einer Gruppe 2. Elliptische Funktionen n ter Stufe, 225ff., ihre Berechnung durch Radikale 230. Erzeugendes Element einer zyklischen Gruppe 6.

F Faktorenzerlegung einer Funktion in einem Körper 32; - eines Ideals 95 ff. Form, s. "Quadratische Form". Formklassen 138; Beziehung der zu den Klassen der Zweigideale 147. Funktionenkörper 64; Funktionen und Gleichungen in einem - 65. G Galoissche Gleichungstheorie 46ff., 54 ff. Galoissche Gruppe einer Gleichung 46, 73; - - der speziellen Teilungsgleichung 260, ihre arithmetische Darstellung 261; der speziellen Transformationsgleichungen 459 ff. Galoissche imagin äre Zahlen 462 ff. Galoissche Körper 41, 72. Gruppe der Transformationen eines -n -s in sich 46, 73; Idealtheorie der -n - 1Uff. Galoissche Probleme bei primzahligen Teilungsgraden 264. Galoissche Resolvente 42, 72; der speziellen Teilungsgleichung 255ff. Galoisscher Satz über Resolventen 5 ton, 7ten und 11 ten Grades der speziellen Transformationsgleichungen 475ff. Gaußsche Transformation 293. Geschlecht des Transformationspolygons 356, des Klassenpolygons 366. Geschlechter der Klassen quadratischer Formen 154. G le ich berech tigteU ntergrupp en 7. Gleichungen in einem Körper 32,65; Kreisteilungs- 57; zyklische - 59; Abelsche 61; algebraisch lösbare - 63ff.; - fünften Grades, aUge-

meine Bemerkungen 521 ft·.; s. auch "Teilungsgleichungen", "Transformationsgleichungen", "Modulargleichungen", "Multiplikatorgleichungen". Grad einer Permutationsgruppe 19; eines Primideals 108; - eines Zweiges im quadratischen Körper 122; der Teilung 210, der Transformation 275. Grundzahl eines Körpers 86. Gruppe, allgemeiner Begriff einer endlicher Ordnung 1; Grundeigenschaften einer - 2; einfache - 8; zusammengesetzte - 8; kommutative oder Abelsche - 4, 14; Permutations- 18; Galoissphe - einer Gleichung der 46, 73; Monodromie- 77; Idealklassen eines Körpers 107; der allgemeinen Teilungsgleichung 214, der speziellen Transformationsgleichungen 459. Gützlaffsche Modulargleichung 525.

H Hauptform 141. Hauptgeschlech t bei den Klassen . quadratischer Formen 154. Hauptideal 92. Hauptklasse der Ideale 105; - der quadratischen Formen 141. Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe in der Gruppe r{U) 220 ff., in der Gruppe r(OJ) 222, 254, ihr Index 223. Haupttransformation, erste und zweite n ten Grades 278 ff. Hermitesche Resolvente fünften Grades 520. Homomorphe Gruppen 10. I Ideal, allgemeiner Begriff 89ff.; Darstellung eines -s 91; Multiplikation der -e 93; Faktorenzerlegung eines -s 95ff.; Basis eines -s 99ff. Idealklassen eiues Körpers 105; Multiplikation der - 107. Identische Permutation 18. Ikosaedergruppe, ihr Auftreten in der Gi 474; Sätze über ErzeuT n (n'-1)

gung der - 478. Imaginäre Gestalt Gi 465.

der

T n (n'-1)

Imprimitive Körper 40.

Gruppe

544

Sachregister

Imprimitive Permutationsgruppen 21. Imprimitive Zahlen eines Körpers 39, 83. Imprimitiviti1t, Systeme der - 21. [ndex einer Untergruppe 4. Indexreihe einer Gruppe 13. Integralmodul, Transformation 2,eu Grades des -s 291ff., wiederholte 492 ff.; s. auch "Modulargleichungen" . In transiti ve Permutationsgrupp e 20. Intransitivität, Systeme der - 20; mehrfache - 20. Invariante Gestalten der Additionstheoreme 162ff. Inverse Elemente bei Gruppen 3. Irrationale Modulargleichungen 525 ff. Irrationalität, natürliche - 51, 75; akzessorische - 52; numerische - 76. Irreduzibilität einer Funktion in einem Körper 31, 66; - einer Gleichung in einem Körper 32, 6'l. Isomorphe Gruppen 7.

K Kettenbruchverfahren zur Berechnung von p(nu) 192ff. Klassenanzahl der Zweigideale und Stammideale im quadratiscben Körper 134. Klassenpolygon 357ff., 365, Beziehung zu den quadratischen Formen 363; einfachste Funktionen des - 8 367 ff. Klasse von Idealen eines Körpers 105; -n quadratischer J;'ormen 138; - von Transformationen n teu Grades 275. Kleinsche Funktionen X1(ulw" w2 ) 305 ff., ihre lineare Transformation 308ff.; - - xl(w 1 , w 2 ), ~l(Wl1 w2 ) 315. Kommutativ, -e Elemente bei Gruppen 4; -e Gruppen 4, 14ff. Komposition der quadratischen Formen 148. Kompositionsreihe einer Gruppe 13. Kongruenz ganzer Zahlen beziiglich eines Ideals 101; - der Substitutionen V moi! n 222. Kongruenzgruppen n ter Stufe in der Gruppe r CU ) 220ff., in der Modulgruppe r eW ) 250 ff. Konjugierte algebraische Zahlen 33, 83 j - Ideale 111; - Körper 38, 71, 83.

Körper, allgemeiner Begriff 28; rationaler - 28; J;'unktionen in einem 28; Gleichungen in einem 32, Reduzibilität und Irreduzibilität derselben 32; qua,dratische - 113; Galoissche - 41; Kreisteilungs- 56. Kreisteil ungsgleichnng 57. Kreisteilungskörper 56. Kritische Primzahlen eines algebraischen Körpers 110. L

Lagrangesche Resolvente 60. Landensche Transformation 292; wiederholte - - ·492ff. Legendre-Jacobisches Zeichen bei Transformation der Diskriminante "j 303.

Linear-abhängige bzw. -unabhängige Zahlen eines Körpers 83ff,

Modulargleichungen von Jacobi und Sohnke 496ff" von Schlaefii 502ft'.; irrationale - 525 ff. Modularkorrespondenzen 527ff. Modulformen, Systeme von _ n'er Stufe xl. (w i , w 2 ), Y;. (w 1 , "'2)' Z). (W i , 0]2) 315, 325, 330. Modulfunktionen sechster Stufe, Spezialbetrachtul1g 533 i1'. Monodromiegruppe einer Gleichung der allgemeinen Teilungs77; gleichung 214ff., ihre algebraische Darstellnng 216 ff., ihre Struktur 218 ff.; - der speziellen Teilungsgleichung 462, ihre vollstä,ndige Zerlegung 466ff., 471 ff. Multiplikation der Ideale 93; - der Idealklassen 107; - der Zweigideale 132. Multiplikationstheorem der pFunktion 184; -e für die Funktionen sn, cn, dn 196 ff. Multiplikatorgleichungen von Jaco bi 508ff. N

Ne b engr upp e, Begriff 4. Normalgleichung 43, 72. Normalkörper 41, 72. Norm einer algebraischen Zahl 85; eines Ideals 101.

Sachregister

o Oktaedergruppe, ihr Auftreten in der G l 474. Q

n(n'--l}

Ordnung einer Gruppe 1. Orthogonale Substitutionen bei der Weierstraßschen Sigmarelation 159.

p

Periode eines Gruppenelementes 6. Permutation 18; identische - 18; zyklische - 19. Permutationsgruppe 18; transitive und intransitive -n 20; primitive und imprirnitive -n 21. Potenzsummen 25. Primideal 95; Zerlegung rationaler Primzahlen in -e 108, in Galoisschen Körpern 112, in quadratischen Körpern 115. Primi ti v, -e Funktionen eines Körpers 71; -e Körper 40; -e Permutationsgruppen 21; -e Zahlen eines Körpers 39, 83. Primzahlen in rationalen Körpern 88; kritische - eines algebraischen Körpers 110; Zerlegung rationaler - in Primideale 108, in Galoisschen Körpern 112, in quadratischen Körpern 115. Produkt, symbolisches - von Substitutionen 1. Punkt gi tter bei den Basen der Zweigideale 136.

Q

Quadratische Form, ganzzahlige bin1i,re - - 137; Teiler einer - 137; ursprüngliche - - 137; abgeleitete - - 137; Diskriminante einer -n - 137; positive und negative -en 138; geometrische Deutung der -n -en '139; reduzierte - - 140; entgegengesetzte - -en 140; zweiseitige oder ambige -en 140; Komposition der -n -en 148. Quadratische Zahlkörper 112, 121 ff. Quotientengruppe 10.

R Rational- bek ann t, Begriff einer -en Größe 43. Reduzibilität einer Funktion oder Gleichung 31 fr., 66ff, Reduzierte quadratische Form 140. 1!'ric k e I Die elliptischen

J!""1

unktionen 11

545

Reihe der Zusammensetzung einer Gruppe 13. Repräsentanten für Transformation n'on Grades 276. Repräsentantensystem 16'er Stufe für Transformation n ten Grades 529; 48 stor Stufe 504, 'liter Stufe 527. Resolvente, Tschirnhausen- - 26; rationale - einer Gleichung 52; Galoissche - einer Gleichung 53; -n fünften Grades beim fünften Transformationsgrade 483, zweiter Stufe 516ff.; -n siebenten und elften Grades 486ff.

S Sigmarelation von Weierstraß 158; die 256 dreigliedrigen -en 173. Singuliir, -e Periodenpaare 137; -er Periodenquotient 137. Spezielle Teilungsgleichung, 8. "Teilungsgleichung" . Spezielle Transformationsgleic h u n g, s. "Transformationsgleichung" . Spur einer algebraischen Zahl 85. Stammdiskriminante bei quadratischen Körpern 122. Stamm eines quadratischen Körpers 122. Stammideal in quadratischen Körpern 124. Stammklassen von Idealen in quadratischen Körpern 131. Strahl in einem' quadratischen Körper 125. Symmetrische Funktion 24. Symmetrische Grundfunktionen 24. Symmetrische Gruppe 19.

'I' Teilerfremde Funktionen 30. Te i 1er, größter gemeinsamer - zweier Funktionen 30, 65; - einer ganzen algebraischen Zahl 87; größter gemeinsamer - zweier Ideale 96; einer quadratischen Form 137. Teilungsgleichung, allgemeine der S"-Funktion 211, ihre Monodromiegruppe 214ff., ihre Auflösung 225, 231 ff.; spezielle - der S"-Funktion 245, irreduzibele 247, ihre Galoissche Resolvente 255ff., ihre Auflösung262 ff. Teilwerte der Funktionen S" und ßJ' 213, 244ff., der Funktionen 6 und 6' 226; - der Funktionen sn, cn, dn 265ff. 35

Sachregister

546

Tetraedergruppe, ihr Auftreten in der G, 474. "in(n'-l)

Thetarelationen 296, für den dritten Grad 539ff. Totalcharakter einer Klasse quadratischer Formen 154. Transformation eines Gruppenelementes 6; -en eines Galoisschen Körpers in sich 44; - der elliptischen Funktionen, allgemeiner Ansatz 270ff.; - n'on Grades der elliptischen Funktionen 275, Klassen und Repräsentanten 275 ff.; eigentliche _ n'e" Grades 276; - n ten Grades der fPFunktion 279 ff., der 6-Funktion 284 ff.; - zweiten Grades der Thetafunktionen 286ff.. des Integralmoduls 291, der Funktionen zweiter Stufe 292; Landensche - 292; Gaußsche - 293; - ungeraden Grades der Funktionen zweiter Stufe 293ff.; - der Diskrimi11ante LI und Teilwerte 298ff.; _ n ten Grades der Diskriminante LI 343; n ten Grades von g2 und gs 342, 380, 382 usw.; - von J(ro) der Grade 2~ 371 fr., der Grade 3~ 3b3 ff., der Grade 5~ und 7~ 389 ff., primzahliger Grade 403 ff., 424 ff., zusammengesetzter Grade 437 ff., 446 ff. TransformationsfHtche 351ff., ihr Geschlecht 356. Transformationsgleichung der gJ:Funktion 279, ihre Lösung 280; spezielle -en als Resolventen der Teilungsgleichungen 335ff.; spezielle-en, allgemeine Ansätze 342 ff.; spezielle - für j(ro) = 12 s J(ro) 345; algebraische Methode zur Aufstellung der -en 367 ff.; spezielle -en erster Stufe für niedere Grade 371ff.; spezielle -en höherer Stufen 491 ff.

Transfor mation s p olygon349ff.; einfachste Funktionen des -s 367ff. Transitive Permutationsgruppen 20. Tschirnhausenresolvente 26. Tschirnhausentransformation 26.

U Untergruppe, Begriff 4; größte 11; gleichberechtigte -n 7; ausgezeichnete - 8. Ursprünglich, -e quadratische Form 137. Vertausch bare Gruppe 4.

V Elemente

einer

Weierstraßsche Sigmarelation 158. Wertig kei t einer Funktion g(z, , Z2' ""sn) gegenüber der symmetrischen Gruppe 24.

Z Zahlkörper, allgemeiner Begriff 28. Zahlstrahl in einem quadratischen Körper 125. Zusammengesetzte Gruppe 8. Zweigdiskriminante bei quadratischen Körpern 122. Zweig eines quadratischen Körpers 122. Zweigideal in einem quadratischen Körper 124. Zweigklassen von Idealen in quadratischen Körpern 131. Zweiseitige q uadratis che Formen 140. Zy kIen in Permutationsgruppen 19. Zyklische Gleichungen 59. Zyklische Gruppen 6.

Bemerkte Versehen in Band 1. S. 459, Tabelle, letzte Zeile, mittlere Spalte: Im Zähler muß 'Yk(roT statt Yk(ro) stehen. S. 475, erste der drei mit (± 1') bezeichneten Gleichungen: Im Nenner der rechten Seite muß cn (w, k 2) statt dn (10, k~) stehen.

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen I: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Quantenmechanik und ihre Anwendungen

Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse (Statistik und ihre Anwendungen)

Die Suzukigruppen und ihre Geometrien

Einfuhrung in die Genetische Epidemiologie (Statistik und ihre Anwendungen)

Briefe: Zweiter Teil: TEIL 2

Die Bibel und ihre Auslegung

Die Bibel und ihre Auslegung

Dichterleben (Zweiter Teil)

Zweiter Zyklus - Die Kolonie

DieUngarischenRuthenen. Historischer zweiter Teil

Matrizen Und Ihre Anwendungen 1, 7. Auflage

Differentialgleichungen reeller Funktionen, (Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern)

Mathematische Statistik (Reihe: Statistik und ihre Anwendungen)

Die Kunststoffe und ihre Eigenschaften, 6. Auflage

Die Bibel und ihre Auslegung (Beck Wissen)

Zweidimensionale interpolierende Lg-Splines und ihre Anwendungen

Die Globalisierung und ihre Kritik(er)

Die Ruthenen und ihre Gegner in Galizien

Die Kunst - ihr Wesen und ihre Gesetze

Die Kultur und ihre Narrative: Eine Einführung

Die Scientology-Sekte und ihre Tarnorganisationen

Die Vergessenen (Teil 2)

Die Königsmörder-Chronik. Zweiter Tag

Die Vergessenen Teil 2

Die Vergessenen (Teil 1)

Die Vergessenen Teil 1

Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage (Statistik und ihre Anwendungen)

Die Vergessenen (Teil 1)

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen I: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Quantenmechanik und ihre Anwendungen

Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse (Statistik und ihre Anwendungen)

Die Suzukigruppen und ihre Geometrien

Einfuhrung in die Genetische Epidemiologie (Statistik und ihre Anwendungen)

Briefe: Zweiter Teil: TEIL 2

Die Bibel und ihre Auslegung

Die Bibel und ihre Auslegung

Dichterleben (Zweiter Teil)

Zweiter Zyklus - Die Kolonie

DieUngarischenRuthenen. Historischer zweiter Teil

Matrizen Und Ihre Anwendungen 1, 7. Auflage

Differentialgleichungen reeller Funktionen, (Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern)

Mathematische Statistik (Reihe: Statistik und ihre Anwendungen)

Die Kunststoffe und ihre Eigenschaften, 6. Auflage

Die Bibel und ihre Auslegung (Beck Wissen)

Zweidimensionale interpolierende Lg-Splines und ihre Anwendungen

Die Globalisierung und ihre Kritik(er)

Die Ruthenen und ihre Gegner in Galizien

Die Kunst - ihr Wesen und ihre Gesetze

Die Kultur und ihre Narrative: Eine Einführung

Die Scientology-Sekte und ihre Tarnorganisationen

Die Vergessenen (Teil 2)

Die Königsmörder-Chronik. Zweiter Tag

Die Vergessenen Teil 2

Die Vergessenen (Teil 1)

Die Vergessenen Teil 1

Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage (Statistik und ihre Anwendungen)

Die Vergessenen (Teil 1)

Recommend Documents