Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

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Author: Robert Fricke

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Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen

Robert Fricke

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Dritter Teil Anwendungen Aus dem Nachlass herausgegeben von Clemens Adelmann, Jürgen Elstrodt und Elena Klimenko

Autor Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke (1861–1930) Technische Hochschule Braunschweig Braunschweig Deutschland Herausgeber Dr. Clemens Adelmann Institut für Analysis und Algebra Technische Universität Braunschweig Pockelsstraße 14 38106 Braunschweig Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Elena Klimenko Mathematisches Institut Universität Düsseldorf Universitätsstraße 1 40225 Düsseldorf Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Jürgen Elstrodt Mathematisches Institut Universität Münster Einsteinstraße 62 48149 Münster Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-20953-6 e-ISBN 978-3-642-20954-3 DOI 10.1007/978-3-642-20954-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): Primary 33E05, Secondary 11E25, 11F03, 11F06, 11F12, 11F27, 11G15, 14H50, 30F35, 51M10, 65D20. © Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf : WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

FRITZ GRUNEWALD (1949–2010) zum Gedächtnis

Robert Fricke

Vorwort der Herausgeber

Im Vorwort der zweiten Auflage des ersten Teils seines Buchs u¨ ber Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen (Leipzig und Berlin: Teubner 1930) schrieb Robert Fricke im Juni 1930 u¨ ber den geplanten dritten Teil: Der dritte, noch in ” der Bearbeitung befindliche Band soll einige Anwendungen der elliptischen Funktionen behandeln. In einer Einleitung werden die Methoden und Hilfsmittel zur numerischen Berechnung der elliptischen Integrale und Funktionen gegeben. . . . In einem ersten von drei Abschnitten werden geometrische Anwendungen besprochen, im zweiten arithmetische. Endlich soll der dritte Abschnitt einige mechanische und physikalische Anwendungen behandeln. Die lange Zwischenzeit seit Erscheinen des zweiten Bandes ist dem dritten jedenfalls insofern zugute gekommen, als es inzwischen gelang, die arithmetischen Anwendungen an einer gewissen, auch die allgemeine Transformationstheorie betreffenden Stelle neuerdings wesentlich zu vertiefen. Der Text der Einleitung und der beiden ersten Abschnitte ist fertig bearbeitet. Wenn mir die Kraft bleibt, hoffe ich, im Laufe des nächsten Jahres den dritten Band herausgeben zu können“. Diese Hoffnung des Autors erfüllte sich nicht, denn Robert Fricke starb am 18. Juli 1930. Das Manuskript des dritten Bandes fand sich in seinem Nachlass im oben beschriebenen Zustand vor: Der mathematische Teil existiert als fertiges Schreibmaschinenmanuskript, in das Fricke die Formeln handschriftlich eingetragen hat. Dieser Teil endet mit der (sog. ersten) Kroneckerschen Grenzformel. Von diesem mathematischen Teil des Werks gibt es u¨ berdies ein Manuskript von der Hand des Verfassers. Vom geplanten dritten Abschnitt, der mechanische und physikalische Anwendungen behandeln sollte, gibt es nur einen handgeschriebenen Entwurf eines Kapitels u¨ ber die analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks. Aus einem ebenfalls handgeschriebenen früheren Entwurf des Inhaltsverzeichnisses des dritten Bandes geht hervor, welche weiteren physikalischen Anwendungen Fricke im Sinn hatte: Ebenes und sphärisches Pendel, Bewegung starrer Körper, Kreiselbewegung, Wärmeleitung, elastische Linien und Bewegungsmechanismen. Insgesamt deckt sich das Spektrum der mathematischen und physikalischen Anwendungsgebiete weitgehend mit denjenigen, die Fricke in seinem profunden Beitrag u¨ ber Elliptische Funktionen in Heft II B 3 der Encyklopädie der mathematischen

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¨ Wissenschaften behandelt hat. Dieser Artikel gibt einen ausgezeichneten Uberblick u¨ ber den behandelten Gegenstand bis zum Jahr 1913 und ist dank seiner umfassenden Auswertung der bis zum Erscheinungsjahr publizierten Literatur nach wie vor von größtem Wert. Nach eigenem Bekunden verdankte Fricke die Anregung zu seinem Werk u¨ ber elliptische Funktionen der Arbeit an diesem Enzyklopädiebeitrag. Die mathematischen Abschnitte des Frickeschen Manuskripts zu Bd. III sind als abgeschlossen anzusehen. Sie enthalten in Abschnitt I einen bunten Strauß geometrischer Anwendungen, z. B. die Bogenlängen von Lemniskate, Ellipse und Hyperbel, den Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung, den Zusammenhang ebener Kurven dritten Grades mit elliptischen Funktionen und die Wirkung der zugehörigen Transformationsgruppen, die Ponceletschen Polygone, die geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid und den Zusammenhang zwischen sphärischer Trigonometrie und dem Additionstheorem elliptischer Funktionen. Unter den arithmetischen Anwendungen widmet Fricke der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen und den Klassengleichungen seine besondere Aufmerksamkeit. Ein erstes Ziel ist hier zunächst ein Beweis des Satzes von Abel, demzufolge bei Vorliegen komplexer Multiplikation der singuläre Modul“ j(ω) durch Wurzelziehen ” im Bereich der rationalen Zahlen bestimmt werden kann. Zweites Ziel ist anschließend die explizite Berechnung dieser Klasseninvarianten“. Als entscheiden” des Hilfsmittel dient Fricke dabei das sog. Klassenpolygon“. Im Vorwort zu Bd. II ” des vorliegenden Werks bezeichnet er das Klassenpolygon als ein beziehungs” reiches Gebilde, das die früh bemerkte Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der ganzzahligen binären quadratischen Formen in klarster Weise darlegt und sich als ein wertvolles Hilfsmittel zur Behandlung der Transformationstheorie erwies“. Während zuvor bei zahlentheoretischen Anwendungen nur Modulformen eingesetzt wurden, zeigt Fricke hier erstmals den Nutzen der Theorie der automorphen Formen für arithmetische Untersuchungen. Weitere zahlentheoretische Anwendungen betreffen den Zusammenhang zwischen Darstellungsanzahlen gewisser quaternärer quadratischer Formen und Teilersummen sowie die Bestimmung von Klassenzahlrelationen. Das Manuskript endet ziemlich abrupt mit der Herleitung der Kroneckerschen Grenzformel. Ob der Verfasser noch Anwendungen dieser Formel geplant hat, ist nicht bekannt. Schon wenige Monate nach Frickes Tod wandte sich seine Familie an das Verlagshaus Teubner mit der Bitte um eine Herausgabe des dritten Bandes. Der Gang ¨ der damaligen Uberlegungen lässt sich an Hand von Briefen aus dem Nachlass von Helmut Hasse nachvollziehen, die Clemens Adelmann in der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen aufgefunden hat, und an Hand zweier weiterer Briefe, die Emmy Noether an Frickes Tochter Gertrud Landauer schrieb. Wir beschränken uns hier auf eine Zusammenfassung der wesentlichen Punkte: Auf Vorschlag des Funktionentheoretikers und Geometers Ludwig Bieberbach wandte sich der Teubner-Verlag wegen der Edition und Vervollständigung des Frickeschen Manuskripts zunächst an Lothar Koschmieder und informierte Frickes Familie u¨ ber diesen Schritt. Daraufhin schrieb Frickes Tochter Gertrud Landauer an Emmy Noether mit der Bitte um Rat. Diese nannte in ihrem Antwortschreiben vom 29. September 1930 Lothar Koschmieder als Herausgeber ganz geeignet“ und ”


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bezeichnete ihn als einen guten Kenner der elliptischen Funktionen“. Weiter disku” tierte sie die Option, an Hand des handschriftlichen Inhaltsverzeichnisses noch ” einige physikalische Anwendungen zufügen“ zu lassen; alternativ wäre ja noch die ” Möglichkeit, von der wir auch in Harzburg zuerst sprachen, nur die beiden fertigen ersten Teile als 3. Band zu bringen“. Dem gesamten Tenor nach schien es eine ausgemachte Sache zu sein, dass das Manuskript gedruckt werden würde – schließlich hatte Robert Fricke in 40 Jahren fruchtbarer Zusammenarbeit (anfangs gemeinsam mit Felix Klein) etliche gewichtige Werke bei Teubner publiziert. Inzwischen hatte Koschmieder in seiner Antwort an den Verlag Helmut Hasse als Herausgeber vorgeschlagen, da ein wesentlicher Teil des Buchmanuskripts arithmetischen Anwendungen gewidmet sei. Zweifellos war Hasse für die Herausgabe des zahlentheoretischen Teils geradezu prädestiniert, hatte er doch damals gerade seine Neue Begründung der komplexen Multiplikation (J. reine angew. Math. 158 (1927), 228–259; II. ibid. 165 (1931), 64–88) vollendet. Koschmieder erklärte sich u¨ berdies grundsätzlich bereit, bei Bedarf den Abschnitt u¨ ber geometrische Anwendungen herauszugeben und den fehlenden Abschnitt u¨ ber physikalische Anwendungen neu zu schreiben. In den folgenden Briefen von 9. und 23. Dezember 1930 an Hasse machte der Teubner-Verlag jedoch nachdrücklich auf die wirtschaftlichen Risiken des Projekts aufmerksam und führte aus, dass ein wenigstens die Kosten deckender Absatz des Buchs von entscheidender Bedeutung“ sei. Hier wird der Ernst der wirtschaftlichen ” Lage in der Zeit der Weltwirtschaftskrise nach 1929 deutlich. Bereits in den Jahren nach dem Ersten Weltkrieg war der Verlag B. G. Teubner in erhebliche finanzielle Bedrängnis geraten und konnte sich nicht mehr im bisherigen Umfang für das Fach Mathematik engagieren. Das Hassesche Gutachten an den Verlag existiert wahrscheinlich nicht mehr, doch geht aus der folgenden Korrespondenz hervor, dass es mit Bezug auf den zahlentheoretischen Teil das Wort u¨ berholt“ enthielt. Der Ver” lag erhob daraufhin größte Bedenken gegen die Veröffentlichung“. Koschmieder ” widersprach und legte dar, dass der weit umfänglichere“ nicht zahlentheoretische ” Teil von Dingen handelt, die schon ihre klassische Gestalt haben und daher nicht ” veralten können“. Auch Hasse widersprach dem Verlag in einem Brief vom 2. Mai 1931 und erklärte, dass auch der zahlentheoretische Teil gegenüber den bisher vor” liegenden Darstellungen dieses Gebiets stofflich so viel Neues“ enthalte, daß eine ” Drucklegung ganz gewiß lohnend erscheint.“ Seine Kritik habe sich hauptsächlich auf die Frickesche Darstellungsmethode“ bezogen; in dieser Hinsicht“ seien ” ” in der letzten Zeit . . . Fortschritte“ gemacht worden, die Fricke aber gar nicht ” habe berücksichtigen können, um nicht die Einheitlichkeit des Gesamtwerks zu gefährden. Zusätzlich begründete Hasse ausführlich seine Meinung, dass durchaus ein ausreichender Absatz des Werks zu erwarten sei. Nach weiteren brieflichen Diskussionen kam am Ende jedoch eine Publikation des Frickeschen dritten Bandes durch den Teubner-Verlag nicht zustande. In ihrem zweiten Brief an Gertrud Landauer vom 12. August 1931 bemüht sich Emmy Noether, die Absage des Teubner-Verlags zu erklären: Ich glaube Sie ” haben ganz richtig erkannt, daß in der Mathematik augenblicklich eine starke Ver¨ schiebung der Interessen sich vollzogen hat – ein Ubergang von der durch Klein

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inaugurierten Richtung, der auch das Lebenswerk Ihres Vaters angehört, zu einer Richtung, die vielleicht am stärksten durch den Namen Dedekind zu bezeichnen ist, mit der aber in anderer Hinsicht auch wieder Ihr Vater verknüpft ist. Solche Wandlungen der Wissenschaft treten immer wieder auf!“ Wie man sieht, war sich Emmy Noether der damaligen strukturellen Neuorientierung der Mathematik, die mit der maßgeblich auch von ihr selbst ausgehenden und von ihren Schülern rasch weiter entwickelten und verbreiteten abstrakten Algebraisierung verbunden war, vollauf bewusst. Mit Bezug auf den zahlentheoretischen Abschnitt des dritten Bandes berichtet sie u¨ ber ein Gespräch, das sie mit einem der für den Verlag in dieser Sache tätigen Gutachter geführt habe. Dieser Gutachter war offenbar Helmut Hasse, aber sein Name wird im Brief nicht genannt. Sie schreibt: Er sagte mir, daß es ihm ” sehr arg war, daß Teubner auf sein rein fachliches Urteil hin den Druck aufgeben wollte. . .“, und sie beendet ihren Brief mit der Feststellung, daß Teubner bei der ” augenblicklichen wirtschaftlichen Lage keine starke Initiative hat!“ Um das Frickesche Werk u¨ ber elliptische Funktionen zu einem sinnvollen Abschluss zu bringen, veröffentlichen wir das vorhandene Manuskript zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden Bände, auf die im Text häufig zurückgegriffen wird. Der zweite Abschnitt des hier vorliegenden dritten Bandes steht auch in enger Beziehung zu den letzten drei Kapiteln des dritten Bandes von Frickes Lehrbuch der Algebra (Braunschweig: Vieweg 1928), auf die ebenfalls mehrfach verwiesen wird. In diesem Zusammenhang erscheint der Hinweis angebracht, dass in den drei Bänden von Frickes Lehrbuch der Algebra noch etliche Perlen klassischer Mathematik ihrer Wiederentdeckung harren, die dem Bewusstsein der Gegenwart entrückt zu sein scheinen (vgl. hierzu J.-P. Serre, Œuvres, vol. III (Berlin etc.: SpringerVerlag 1986), S. 550–554). Bei der Herausgabe des 80 Jahre alten Texts mussten wir im Großen wie im Kleinen zahlreiche Entscheidungen treffen. Grundsätzlich kam nur eine sorgfältige Edition des vorhandenen Dokuments in Betracht. Eine darüber hinausgehende Modernisierung der Diktion, darstellerische Umgestaltung oder Anbindung an die neuere mathematische Entwicklung haben wir von vornherein ausgeschlossen. Das betrifft besonders die numerischen Methoden. Aus heutiger Sicht hatte die numerische Mathematik zur Zeit der Entstehung des Frickeschen Manuskripts gegenu¨ ber der reinen Mathematik einen gewaltigen Nachholbedarf. Der bequeme Zugang zu leistungsfähigen Computern hat hier heute die Möglichkeiten in früher buchstäblich unvorstellbarer Weise erweitert. Dennoch ist es durchaus reizvoll zu sehen, wie Fricke durch geschickten Einsatz des reichen Formelmaterials mit wenig Rechnung zu erstaunlich genauen Ergebnissen kommt. Gegen Ende des Kapitels 5 hat Fricke einige Rechnungen wegen zu großen Rechenaufwands nicht zu Ende geführt. Clemens Adelmann hat das Fehlende in Abschnitt 5.12 ergänzt; dabei verweisen Zahlen in eckigen Klammern auf das Verzeichnis ergänzender Literatur auf S. 315–318. Ferner hat er den Text des 7. Kapitels u¨ ber die analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks nach dem handschriftlichen Frickeschen Manuskript und den von Fricke benutzten Literaturvorlagen für den Druck vorbereitet. Dabei hat er den Frickeschen Text weitestgehend beibehalten und Ergänzungen durch eckige Klammern [. . . ] kenntlich gemacht. Zusätzlich hat er die Lesbarkeit des 7. Kapitels


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durch Einfügen von Zwischenüberschriften, die im Frickeschen Originaltext fehlen, erleichtert. Die individuellen Eigenheiten der Frickeschen Rechtschreibung und Zeichensetzung haben wir weitgehend beibehalten, um die stilistische Einheit der Darstellung mit den vorangehenden Bänden I, II zu wahren. Nur ganz vereinzelt erfolgten behutsame Eingriffe in die Rechtschreibung und Zeichensetzung des Originals, wenn das geeignet erschien, die Lektüre des Texts zu erleichtern. Offensichtliche kleinere Errata haben wir stillschweigend korrigiert, größere Korrekturen und Anmerkungen der Herausgeber als solche kenntlich gemacht. Die Herstellung der Druckvorlage wurde durch die Verwendung der Software des Verlagshauses Springer wesentlich erleichtert. Dadurch ergab sich im System der Gliederung des Texts eine kleine Abweichung vom a¨ ußeren Erscheinungsbild der Bände I, II. Zur Erläuterung der Bezeichnungen erwähnen wir: Fricke benutzt die alten Abkürzungen tg, cotg für den Tangens (tan) bzw. Kotangens (cot) und Cos, Sin, Tg für den Kosinus hyperbolicus (cosh) bzw. Sinus hyperbolicus (sinh) bzw. Tangens hyperbolicus (tanh). Bezüglich der Schreibweise der Jacobischen Funktionen sn, cn, dn ist zu beachten: In Bd. I werden die Potenzen dieser Funktionen mit sn2 w, cn2 w, dn2 w etc. bezeichnet. In Bd. II und im vorliegenden Bd. III schreibt der Autor hingegen des o¨ fteren z. B. sn u2 (statt sn2 u = (sn u)2 ), sn gw2 (statt sn2 gw = (sn gw)2 ), sn w4 (statt sn4 w = (sn w)4 ) oder cn w2 2 (anstelle von cn2 w2 ). Mit R bezeichnet Fricke den Körper Q der rationalen Zahlen, und die Adjunktion eines oder mehrerer Elemente bringt er z. B. folgendermaßen zum Aus2 2 ) := druck: (R, i) := Q(i), (R, k√ √ Q(k ), (R, θ) √ :=√Q(θ), K = (R, ε) := Q(ε) mit ε = exp(2πi/n), (R, 2, 3, i) := Q( 2, 3, i). Der Periodenquotient wird gewählt in der Form ω = ω1 /ω2 (mit positivem Imaginärteil), und es ist q = eπiω . Statt Nebenklasse“ verwendet Fricke den Namen Nebengruppe“, ” ” eine ausgezeichnete Untergruppe“ ist ein Normalteiler, und eine gleichberechtigte ” ” Untergruppe“ ist in heutiger Terminologie eine konjugierte Untergruppe. – Das ergänzende Literaturverzeichnis und das Register wurden von den Herausgebern hinzugefügt. Braunschweig, Münster und Düsseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, Jürgen Elstrodt und Elena Klimenko

Danksagungen

Zahlreiche Personen haben sich um das Zustandekommen dieses Bandes verdient gemacht: An erster Stelle nennen wir Ellinor Wohlfeil und Dr. Ing. Gerd Landauer, die Enkel von Robert Fricke, die das Buchmanuskript für die Publikation zur Verfügung stellten und ihre Zustimmung zum Nachdruck der ersten beiden Bände gaben. Durch Vermittlung von Heiko Harborth (TU Braunschweig) wurden das Buchmanuskript und der u¨ brige Nachlass von Robert Fricke der Technischen Universität Braunschweig u¨ bereignet. Nach ausführlichen Diskussionen mit Hans Opolka (TU Braunschweig) und Fritz Grunewald (Universität Düsseldorf) entschlossen wir uns zur Herausgabe des Werks, und im Einvernehmen mit Clemens Heine vom Springer-Verlag (Heidelberg) entstand der Plan, den vorliegenden dritten Band zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden Bände herauszubringen. Reinhard Schertz (Universität Augsburg) u¨ berprüfte etliche Werte der Klasseninvarianten und half Zweifel aufzuklären und Diskrepanzen zu beheben. Natalia Kopteva (Nowosibirsk) hat Frickes Skizzen der Figuren zu suggestiven Illustrationen ausgestaltet, die dem oft bewunderten hohen Standard, den Fricke selbst in dieser Hinsicht in seinen Büchern gesetzt hat, hervorragend gerecht werden. Allen oben genannten Personen gilt unser herzlicher Dank für ihre mannigfache selbstlose Hilfe. Den Mitarbeiter(inne)n des Springer-Verlags danken wir für ihre tatkräftige Unterstützung. Wie bereits erwähnt, wurde der Plan zur Herausgabe dieses Bandes zusammen mit unserem langjährigen Freund, Koautor und Kollegen Fritz Grunewald entworfen. Gemeinsam wollten wir auch dieses Projekt zu Ende führen, doch sein völlig u¨ berraschender, viel zu früher Tod am 21. März 2010 vereitelte unsere Pläne. Seinem Andenken widmen wir diesen Band. Braunschweig, Münster und Düsseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, Jürgen Elstrodt und Elena Klimenko

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen. . . 0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten. . . . . . . . . . . . . . 0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden. . . . . . . . . . . . . . 0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen bei gegebenem Argumente und gegebenen Perioden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Berechnung der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung bei gegebenen Grenzen und Invarianten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 Tafeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 10 13 15 21

Abschnitt I Geometrische Anwendungen der elliptischen Funktionen. 1

2

Bogen- und Flächenberechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die Bogenlänge der Lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anwendungen des Additionstheorems auf Bogenkonstruktionen bei der Lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Satz von Gauß u¨ ber die Lemniskatenteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die Bogenlängen der Ellipse und Hyperbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Die Oberfläche des Ellipsoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 48 56 65 67

Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . 79 2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm. . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2 System der Wendepunkte der Kurve K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3 . . . . . . . . . . . . . 83 2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich. . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5 Die singulären Koordinatensysteme der Kurven K3 . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich. . . 97 2.8 Realitätsbetrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . 104

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Inhaltsverzeichnis

Vermischte geometrische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1 Ponceletsche Polygone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Darstellung der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3 Verlauf der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid. . . . . 122 3.4 Sphärische Dreiecke und Additionstheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Abschnitt II Arithmetische Anwendungen der elliptischen Funktionen. 4

Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1 Die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen. . . . . . . . . . 133 4.2 Einführung der Klasseninvarianten und der Klassengleichung. . . . . . 136 4.3 Angaben u¨ ber spezielle Transformationsgleichungen erster Stufe. . . 138 4.4 Herstellung der Klassengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.5 Gruppe der Formenkomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen√im Klassenkörper. . . . . 172 4.9 Irreduzibilität der Klassengleichung in (R, D). . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe. . . . . . . . . 185 5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . . 193 5.4 Bericht u¨ ber frühere Untersuchungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.5 Hauptpolygon, Zwischengruppen und Formklassen beim Grade 110. 207 5.6 Herstellung der Hauptfunktion des Grades 110. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.7 Funktionssysteme der Zwischengruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.8 Hauptgruppe und Hauptfunktion des 55sten Transformationsgrades. . 221 (55) 5.9 Zwischengruppen G1,t und Eckenwerte der Hauptfunktion u(ω). . 226 ¨ 5.10 Ubergang zum Transformationsgrade 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.11 Klasseninvarianten und Klassenkörper der Diskriminanten −55, −220, −440. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten. . . . . . 237

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Vermischte arithmetische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen. . . . . 245 6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 6.3 Angaben u¨ ber Klassenzahlrelationen höherer Stufen. . . . . . . . . . . . . . 261 6.4 Die Kroneckersche Grenzformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Inhaltsverzeichnis

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Abschnitt III Mechanische und physikalische Anwendungen. 7

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.1 Eine Formel von Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.2 Ansatz zur Darstellung der Koordinaten durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.2.3 Der Integralmodul k, die Modulfunktion (ω) und Ausartungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2.4 Gleichungen für die Parameter u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2.5 Der Grenzfall d = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.2.6 Gleichungen für die Parameterhalbierung u/2. . . . . . . . . . . . . 292 7.2.7 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 7.2.8 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. . . 298 7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 7.3.1 Ansatz für die Parameter μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3.2 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.3.3 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. . . 305 7.3.4 Gleichungen für die Parameter μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.3.5 Darstellung der Winkel mit einem Parameter θ. . . . . . . . . . . . 307 7.4 Geometrische Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ und der Parameter μ. . . 311

Ergänzende Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Register. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen.

Für die Lösung von Aufgaben mittels elliptischer Funktionen, die bis zur Gewinnung von numerischen Endergebnissen getrieben werden müssen, werden hier zunächst einleitend Regeln und Methoden zur numerischen Berechnung der in der Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden Grössen zusammengestellt.

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten. Es sei eine besondere zweiblättrige Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten u¨ ber der Ebene einer komplexen Veränderlichen z gegeben. Die Verzweigungspunkte mögen an den Stellen z = e(1) , e(2) , e(3) , e(4) gelegen sein, die die Lösungen der biquadratischen Gleichung: (1)

c0 z 4 + 4c1 z 3 + 6c2 z 2 + 4c3 z + c4 = 0

sein mögen. Nach I, 121 ff.1 berechnet man aus den Koeffizienten c0 , c1 , . . . die zugehörigen Werte der rationalen Invarianten g2 , g3 , J. 000 111 −ρ 2 000 111 Die einfachste irrationale absolute Invariante ist nach 000 111 000 111 000 111 (8) in I, 345 das Doppelverhältnis“ λ der vier Verzwei000 111 ” 000 111 gungspunkte, gegeben durch: 000 111 000 0 111 1/2 2 000 111 000 111 (1) (2) (4) (2) 000 111 e −e e −e 000 111 (2) λ = (1) : . 000 111 000 111 e − e(3) e(4) − e(3) −ρ Nach den in I, 345 ff. gegebenen Entwicklungen lassen Fig. 1 sich die Bezeichnungen e(1) , e(2) , e(3) , e(4) in vier Arten so auf die Verzweigungspunkte verteilen, daß der numerische Wert λ einen Punkt des in Fig. 1 schraffierten Bereiches der λ-Ebene liefert. Unter ρ ist die komplexe √ −1+i 3 dritte Wurzel der Einheit verstanden, so daß die beiden Ecken des Be2 1

I, 121 heißt Bd. 1, S. 121.

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

1

2

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen √ 1±i 3 2

reiches bei liegen. Der Kreis durch die beiden Ecken und den Nullpunkt λ = 0 begrenzt links den Bereich, während der rechte Rand die Verbindungsgerade der Ecken ist; vom Rande gilt nur der stärker ausgezogene Teil als dem Bereiche angehörig. Um die transzendente Theorie zugänglich zu machen, bedarf man zunächst der Kenntnis der etwa reduziert“ (vergl. I, 178) gewählten Perioden ω1 , ω2 des zur ” Riemannschen Fläche gehörenden Weierstraßschen Normalintegrals erster Gattung oder auch der entsprechenden Jacobischen Grössen iK und K (vergl. (6) in I, 370). Als erstes Ziel hat man die Berechnung des Periodenquotienten: ω=

ω1 iK = ω2 K

oder auch der Jacobischen Entwicklungsgrösse: K

q = eπiω = e−π K

aus den gegebenen Invarianten anzusehen. Bei der Lösung dieser Aufgabe sind die Funktionen 00000000 11111111 zweiter Stufe, und damit das Doppelverhältnis λ, denen 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 der ersten Stufe, den rationalen Invarianten, u¨ berlegen. 00000000 11111111 00000000 11111111 Der reduzierte“ Periodenquotient ω liefert bekanntlich 00000000 11111111 ” 00000000 11111111 00000000 11111111 einen Zahlwert, dessen Bildpunkt in der positiven ω00000000 11111111 00000000 11111111 Halbebene dem in Fig. 2 schraffierten Bereiche angehört; i 00000000 11111111 2 00000000 ρ 11111111 −ρ dieser Bereich zieht längs der imaginären ω-Achse ins Unendliche, wir sagen nach der Spitze ω = i∞“, und vom ” Rande gehört nur der stark ausgezogene Teil dem Bereiche e an. Der Ausdruck von ω in λ = k 2 ist nun aus den Formeln (11) in I, 465 unmittelbar zu entnehmen. Man erhält: ω=0

Fig. 2

(3) πiω = −π

F1 ( 12 , 12 ; k 2 ) K = log k 2 − 4 log 2 + , K F ( 12 , 12 , 1; k2 )

wo F1 und F die a. a. O. angegebenen Potenzreihen sind. Der Quotient dieser beiden Reihen werde in eine in der Umgebung von k 2 = 0 konvergente Reihe entwickelt: (4)

1 13 23 2701 πiω = log k 2 − 4 log 2 + k 2 + 6 k 4 + 6 k 6 + 15 k 8 + · · · . 2 2 2 ·3 2

Man kann dieser Gleichung auch die Gestalt geben: √ √ 4 √ 12 √ 8 πiω 368 k k k k = log +2 (5) + 13 + 4 2 2 2 3 2 √ 16 k 2701 + ··· . + 2 2

0.1 Berechnung der Perioden bei gegebenen Invarianten

3

Durch Vermittlung der Exponentialreihe folgt weiter: √ 5 √ √ 9 √ 13 1 k k k k +2 (6) + 15 + 150 q4 = 2 2 2 2 √ 17 k + 1707 + ··· , 2 sowie hieraus endlich durch Erheben zur vierten Potenz: (7)

q=

1 2 1 21 31 6257 k + 5 k 4 + 10 k 6 + 11 k 8 + 19 k 10 + · · · . 24 2 2 2 2

Aus dem Vergleich der diedrisch geteilten Ebene von λ = k 2 (vergl. Fig. 83 in I, 445) mit der Dreiecksteilung der ω-Halbebene geht hervor, daß die vorliegenden Reihen für |k| < 1 konvergent sind, während der Punkt λ = k 2 = 1, dem Werte ω = 0 entsprechend, der am Nullpunkte der λ-Ebene nächst gelegene irreguläre Punkt ist. Alle für uns in Betracht kommenden Werte von λ = k 2 (vergl. Fig. 1) liegen im Innern des Konvergenzkreises, abgesehen von den beiden Ecken λ = −ρ2 und −ρ, bei denen man aber von vornherein die zugehörigen Werte ω = ρ und −ρ2 kennt. Für den Gebrauch der aufgestellten Reihen ist es nötig zu wissen, ob alle Koeffizienten der Potenzen von k 2 positiv sind oder nicht. Hierüber ist bei der vorhin vollzogenen Herstellung der Reihen nicht ohne weiteres zu entscheiden. Es soll demnach noch eine zweite Art, die vorstehenden Formeln zu entwickeln, angegeben werden, bei der zugleich die aufgeworfene Frage im bejahenden Sinne beantwortet wird. Man gehe von dem Ansatze aus: (8)

πiω = 2 log k − 4 log 2 + a1 k 2 + a2 k 4 + a3 k 6 + a4 k8 + · · ·

und setze entsprechend der Landenschen Transformation2 2ω an Stelle von ω, wobei k nach (2) in II, 492 in: √ 1 − k 1 − 1 − k2 k2 √ √ k1 = k(2ω) = = = 1 + k 1 + 1 − k2 (1 + 1 − k 2 )2 u¨ bergeht. Aus (8) folgt somit: 2πiω = 4 log k − 4 log(1 +

1 − k 2 ) − 4 log 2 + a1 k12 + a2 k14 + a3 k16 + · · · ,

so daß der Vergleich mit (8) ergiebt: (9) 2(a1 k 2 +a2 k 4 +a3 k 6 +· · · ) = −4 log(1+ 1 − k 2 )+4 log 2+a1 k12 +a2 k14 +· · · .

Die Transformation ersten Grades ω = ω + 1 ergiebt zwar Relationen zwischen den a1 , a2 , a3 , . . . , aus denen diese Koeffizienten aber noch nicht berechenbar sind. 2

4

0 Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Für |k| < 1 kann man die Quadratwurzel nach der binomischen Reihe entwickeln und gewinnt: 1 2 1 4 1 6 5 8 2 log 1 + 1 − k = log 2 + log 1 − k − k − k − k − ··· , 4 16 32 256 wo in der letzten Klammer alle Koeffizienten abgesehen vom Absolutgliede negativ sind. Mit Benutzung der Logarithmusreihe folgt weiter: − log(1 +

1 − k 2 ) + log 2 =

1 2 3 5 35 8 k + k4 + k6 + k + ··· 4 32 96 1024

mit durchweg positiven Entwicklungskoeffizienten. Die Gleichung (9) ergiebt als identisch bestehend: (10) 3 5 35 8 2a1 k 2 +2a2 k 4 +2a3 k 6 +· · · = k 2 + k4 + k 6 + k +· · ·+a1 k12 +a2 k14 +· · · , 8 24 256 wo (um es zu wiederholen) die Koeffizienten der ersten rechts stehenden Reihe durchweg positiv sind. Nun findet man weiter für k1 folgende in der Umgebung von k 2 = 0 konvergente Entwicklung: √ (1 − 1 − k 2 )2 5 4 7 6 1 1 2 2 + k k k = k + + + · · · , k1 = k2 4 8 64 128 wo wieder alle Koeffizienten positiv sind. Demnach treten endlich auch bei der Gleichung: 4n 1 n 2 2n 4n k1 = k + 4n k + · · · 2 2 in der Klammer ausnahmslos positive Entwicklungskoeffizienten auf. Trägt man in (10) rechter Hand für k12 , k14 , k16 , . . . die hiermit sich ergebenden Potenzreihen in k 2 ein und ordnet die rechte Seite von (10) nach ansteigenden Potenzen von k 2 an, so ergiebt der Vergleich gleich hoher Potenzen von k 2 rechts und links zur Bestimmung der Koeffizienten a1 , a2 , a3 , . . . die Gleichungen: 2a1 = 1 ,

2a2 = 2a4 =

35 256

3 8

+

+

1 16 a1

7 128 a1

,

+

2a3 = 1 256 a2

5 25

+

1 16 a1

,

, ... .

Auch weiterhin findet man für 2an stets einen linearen Ausdruck mit durchweg positiven rationalen Koeffizienten in a1 , a2 , . . . , a n oder in a1 , a2 , . . . , a n−1 , 2

2

je nachdem n gerade oder ungerade ist. Damit berechnen sich die a1 , a2 , a3 , . . . durchweg als positive rationale Zahlen. Insbesondere führen die wirklich ausgerechneten Rekursionsformeln zu einer Bestätigung der schon in (4) angegebenen Anfangskoeffizienten. Daß auch in den weiteren Reihen (5), (6) und (7) die Koeffizienten durchweg positiv sind, ist nun selbstverständlich.

5


Bei der Berechnung von ω oder q aus k 2 mittels der angegebenen Formeln wendet man zweckmässig vorerst einmal die Landensche Transformation an. Schreibt man λ statt k 2 und setzt k12 = λ1 , so gilt nach (2) in II, 492:3 λ1 =

λ2 √ . (1 + 1 − λ)4

Mittels dieser Gleichung hat man den in Fig. 1 dargestellten Bereich von λ auf die λ1 -Ebene abzubilden. Das Bild bedeckt einfach den in Fig. 3 schraffierten ganz nahe am Nullpunkte liegenden Bereich. Von den Randpunkten ist der mit a bezeichnete bei: √ λ1 = (−1 + 2)4 = 0, 02944 . . . 000 111 000 111 000 111 000 111 a b 1 dem Nullpunkte am nächsten und der 000 111 mit b bezeichnete bei: √ λ1 = −(2 − 3)2 = −0, 07180 . . .

λ1=

2

Fig. 3

dem Nullpunkte am fernsten . Hiernach kommen nur noch Zahlen λ1 = k12 in Betracht, deren Beträge der Ungleichung: 4

|λ1 | < 0, 072

(11)

genügen. Die Reihen konvergieren für solche Werte λ1 sehr schnell. Um in dieser Hinsicht genauere Angaben zu machen, entnehmen wir aus (6) durch Ausübung der Landenschen Transformation: √ 2 3 4 1 k1 λ1 λ1 λ1 λ1 (12) q 2 = 1 + 2 + 15 +R, + 150 + 1707 2 16 16 16 16 unter R den Reihenrest verstanden: √

k1 a5 λ51 + a6 λ61 + a7 λ71 + · · · . (13) R= 2 Da alle Koeffizienten a5 , a6 , . . . positiv sind und die Bedingung (11) erfüllt ist, so gilt für den Absolutwert des Reihenrestes die Ungleichung: (14)

|R|
1 ist. Schreibt man endlich: λ , ω = ω + 1 , λ = λ −1

7


so hat man ein reelles λ des Intervalles 0 < λ < 12 und ein ω = iη mit η > 1, womit der genannte einfache Fall erreicht ist. Für diesen Fall hatte bereits J a c o b i5 eine Tafel berechnet, die sich sogar auf das Intervall 0 < λ < 1 bezieht. Mit Jacobi nehmen wir als Argument nicht λ = k 2 , sondern α = arcsin k; dabei wird α in Graden gemessen, so daß wir das Intervall von α = 0◦ bis α = 90◦ haben. Die Jacobische Tafel schreitet nach Zehnteln eines Grades fort und giebt die Werte (10 log q+10) mit fünf Dezimalstellen. Am Schlusse der Einleitung ist unter I. eine fünfstellige Tafel für (10 log q + 10) abgedruckt, die nach Zwölfteln eines Grades fortschreitet6 . Nach Berechnung von q und damit von ω gilt es weiter, die reduzierten Perioden selbst zu berechnen. Da man (vergl. die Formeln (6) in I, 370): ω2 = √

2K , e2 − e1

ω1 = √

2iK , e2 − e1

K = −iKω

hat, so dürfen wir unsere Aufgabe auf die Berechnung von K beschränken. Unmittelbar ist K als Funktion von λ = k 2 nach I, 465 durch: 2 2 2 3 5 1 π 1 3 1 1+ · · · (15) K= λ+ λ2 + λ3 + · · · 2 2 2 4 2 4 6 dargestellt. Aber wenn auch diese Reihe für ein λ im Innern des Bereiches der Fig.1 konvergent ist, so ist sie doch gleichwohl nur sehr schlecht konvergent, wenn der absolute Betrag von λ = k 2 nicht hinreichend klein ist. Man hätte also nötigenfalls erst ein oder zwei Male die Landensche Transformation auszuüben, wofür in II, 492 die nötigen Formeln entwickelt sind. Natürlich ist es auch möglich, ganz von der Darstellung (15) abzusehen und die Berechnung von K allein auf die wiederholte Landensche Transformation und damit auf das arithmetisch-geometrische Mittel von G a u ß zu gründen. In dieser Hinsicht sei zunächst an die von J a c o b i aufgestellten unendlichen Produkte für K erinnert, die durch die Gleichungen (12) und (14) in II, 494 gegeben sind. Noch geeigneter ist die ebenda unter (20) gewonnene Formel: (16)

K=

π , 2M (1, k )

√ wo k = 1 − λ ist und M (1, k ) das arithmetisch-geometrische Mittel zwischen 1 und k ist. Für reelle Werte von λ im Intervalle 0 < λ < 12 ist diese Formel zur numerischen Berechnung von K sogar ausserordentlich geeignet, da der Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels sehr schnell konvergiert. Als Beispiel werde λ = 12 , k = √12 gewählt und der Wert:

5

Vergl. J a c o b i’s Werke, Bd. 1, S. 363 ff. Vergl. die im Traité de calcul intégral“ von B e rt ra nd (Paris, 1870) mitgeteilte Tafel, die ” gegenüber Jacobi die Zwölfteilung des Grades bevorzugt.

6

8


K=

π π √ =√ 1 √ 2M (1, 2 ) 2M ( 2, 1)

bestimmt. Man hat also in die Formelkette (17) in II, 495 für a0 und b0 die Werte √ 2 und 1 einzutragen. Man findet nach der von G a u ß durchgeführten Rechnung7 : a1 = 1, 20710.67811.86547.52440 . . . , b1 = 1, 18920.71150.02721.06671 . . . , a2 = 1, 19815.69480.94634.29555 . . . , b2 = 1, 19812.35214.93120.12260 . . . , a3 = 1, 19814.02347.93877.20908 . . . , b3 = 1, 19814.02346.77307.20579 . . . , a4 = 1, 19814.02347.35592.20744 . . . , b4 = 1, 19814.02347.35592.20743 . . . . Bei der zweiten Anwendung des Algorithmus findet man also das Mittel bereits auf vier Stellen genau, bei der dritten auf neun Stellen und bei der vierten sogar auf 19 Dezimalstellen genau. Als Wert für K selbst ergiebt sich: K = 1, 8540746 . . . 8 . Nicht minder geeignet für die numerische Berechnung von K ist die aus (21) in I, 419 folgende Entwicklung: 2K (17) = 1 + 2q + 2q 4 + 2q 9 + 2q 16 + · · · , π wo rechts die Reihe für den Nullwert der ϑ3 -Funktion steht. Man hat sich dabei auf den aus den Invarianten bereits berechneten Wert von q zu stützen. Die für einen reduzierten Periodenquotienten in Betracht kommenden Werte von q entsprechen (vergl. Fig.2, S. 2) der Ungleichung: |q|

√ π 3 − 2 e

< 0, 066 .

Unter dieser Voraussetzung ist die Reihe (17) ausserordentlich schnell konvergent. Nimmt man nur die beiden ersten Reihenglieder, so ist der Reihenrest absolut bereits < 0, 00004, so daß man für den in (17) links stehenden Ausdruck einen Näherungswert erhält, dessen Differenz gegen den genauen Wert absolut kleiner als eine halbe Einheit der vierten Dezimalstelle ist. Nimmt man das nächste Glied 2q 4 noch hinzu, so sinkt der Absolutbetrag des Reihenrestes in (17) rechts sogar unter 6 · 10−9 herab. Wählt man wieder als Beispiel λ = 12 , also: q = e−π = 0, 04321.39182.6 . . . ,

7

Vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 364. G a u ß hat eine nach halben Graden fortschreitende Tafel mit siebenstelliger Genauigkeit für die arithmetisch-geometrischen Mittel zwischen 1 und den Sinus der Winkel von 0◦ bis 90◦ berechnet (mitgeteilt in Bd. 3 von Gauß’ Werken, S. 403), die man zur Berechnung von K auf Grund von (16) benutzen kann. 8

9


so findet man:

2K = 1, 08643.48112.1 . . . , π K = 1, 85407.46804 . . .

In L e g e n d r e’s Traité des fonctions elliptiques etc.“ (Paris, 1825 bis 1828), ” Bd. 2, ist für die reellen λ = k 2 des Intervalles 0 < λ < 1 eine Tafel der numerischen Werte von K mitgeteilt. Als Argument ist wieder α = arcsin k benutzt, so daß das Intervall von α = 0◦ bis 90◦ in Betracht kommt. Die Tafel schreitet nach Graden fort und giebt die Werte von K auf zwölf Dezimalstellen. Die Legendresche Tafel für K ist auf 10 Stellen gekürzt am Schlusse der Einleitung unter II wiedergegeben. Ist die letzte Ziffer oder sind die letzten Ziffern u¨ berstrichen, so bedeutet das hier und weiterhin, daß der angegebene Wert um weniger als die Hälfte einer Einheit der letzten Stelle zu gross ist. Weiter ist am Schlusse der Einleitung unter III eine nach halben Graden fortschreitende Tafel der Werte 10 log K auf sieben Dezimalstellen mitgeteilt. Die Tafeln geben für das einzelne α immer auch K als das zum Komplementwinkel von α gehörende K. Die letzte Tafel ist für Interpolationsrechnungen brauchbar, da sich bereits die zweiten Differenzen langsam a¨ ndern. Die Perioden E und E des Legendreschen Normalintegrals zweiter Gattung sind durch die Gleichungen (14) in I, 373 gegeben. Hat man K und K bereits berechnet, so kann man sich auf die Berechnung von E beschränken und hernach E vermittels der Legendreschen Relation: KE + K E − KK =

π 2

bestimmen. Es liegt dann am nächsten, für E aus der Erklärung dieser Periode die Potenzreihe: 12 2 12 12 · 32 π 4 6 1 − 2 · k − 2 2 · 3k − 2 2 2 · 5k − · · · (18) E= 2 2 2 ·4 2 ·4 ·6 herzustellen, die für |k| < 1 konvergent ist. Indessen konvergiert diese Reihe, wenn nicht |k| bereits sehr klein ist, keineswegs sehr schnell. Es empfiehlt sich demnach, an Stelle von E zunächst die Periode η2 des Weierstraßschen Normalintegrals zweiter Gattung zu berechnen, die nach I, 372 zu E in der Beziehung steht: √ 2e2 K η2 = 2 e2 − e1 E − √ . e2 − e1 Dann kann man sich, nachdem q und ω2 bereits berechnet sind, zur Bestimmung von η2 der aus (15) in I, 271 folgenden Reihe: (19)

1 η2 ω2 q2 2q 4 3q 6 4q 8 − = + + + + ··· 24 8π 2 1 − q2 1 − q4 1 − q6 1 − q8

10


bedienen. Da |q| < 0, 066 gilt, so konvergiert diese Reihe gut. Nimmt man z. B. nur die beiden ersten Reihenglieder, so ist der Reihenrest absolut genommen, wie die Abschätzung zeigt, bereits kleiner als eine Einheit der vierten Dezimalstelle. Für die reellen Werte von λ = k2 zwischen 0 und 1 hat L e g e n d r e im zweiten Bande seines oben genannten Werkes eine nach Graden fortschreitende zwölfstellige Tafel mitgeteilt. Am Schlusse der Einleitung sind unter II und III nach Graden bezw. halben Graden fortschreitende Tafeln für E und 10 log E mit zehn bezw. sieben Dezimalstellen gegeben, die mit den Tafeln für K vereint sind. Die Tafeln liefern wieder zugleich E als das zum Komplementwinkel von α gehörende E.

0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden. Weit einfacher erledigt sich die Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden ω1 , ω2 , da man hier an die Reihen für die Nullwerte der drei geraden ϑ-Funktionen anknüpfen kann, die für ein ω des Bereiches der Fig. 2 (S. 2) sehr schnell konvergieren. Nach Bestimmung von q hat man zur Berechnung jener Nullwerte nach I, 419 die Reihen: ϑ0 = 1 − 2q + 2q 4 − 2q 9 + 2q 16 − 2q 25 + . . . , (1)

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 + q 6 + q 12 + q 20 + . . . ) , ϑ3 = 1 + 2q + 2q 4 + 2q 9 + 2q 16 + 2q 25 + . . . .

Da |q| < 0, 066 gilt, so ist, falls man sich nur der beiden ersten Reihenglieder bedient, der Fehler bei ϑ0 und ϑ3 absolut bereits < 4 · 10−5 und bei ϑ2 sogar < 2 · 10−7 . Benutzt man die Näherungsformeln: (2) ϑ0 = 1 − 2q + 2q 4 ,

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 + q 6 ) ,

ϑ3 = 1 + 2q + 2q 4 ,

so ist der Fehler bei ϑ0 und ϑ3 absolut < 6 · 10−9 und bei ϑ2 absolut < 4 · 10−10 . Ist insbesondere das Periodenverhältnis ω rein imaginär, so gilt für die in diesem Falle reelle positive Zahl q die Ungleichung q < 0, 0433. Der in (2) gegebene Wert ϑ0 ist dann zwar etwas zu groß und der Wert ϑ3 etwas zu klein; aber der Fehler ist in beiden Fällen < 3·10−10 . Auch ϑ2 ist etwas zu klein, aber der Fehler ist < 2·10−12 . Liegt ω auf dem stark ausgezogenen Rande des Bereiches der Fig. 2 (S. 2), so −1 wird man, falls |ω| = 1 ist, statt ω lieber den Periodenquotienten ω = ω+1 ge1 1 brauchen. Man hat dann nur noch Werte ω = − 2 + iη mit η 2 . Die zugehörigen Werte ϑ0 und ϑ3 sind konjugiert imaginär: ϑ0 = ϕ + iψ ,

ϑ3 = ϕ − iψ ,

wo ϕ und ψ als reelle positive Grössen gegeben sind durch: ϕ = 1 + 2q 4 + 2q 16 + . . . ,

ψ = 2|q|(1 + q 8 + q 24 + . . . ) .

11

0.2 Berechnung der Invarianten bei gegebenen Perioden

Man u¨ be dann einmal die Landensche Transformation aus, wofür die Formeln in II, 494 ff. gegeben sind. Setzt man: q = −q 2 = e−2πη , so ist wegen η 12 jetzt wieder q reell, positiv und < 0, 0433. Man berechne wie oben ϑ0 (q ) und ϑ3 (q ) und findet durch Umkehrung des Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels: ⎧ ⎪ ⎨ ϑ0 = + ϑ0 (q )2 + i ϑ3 (q )2 − ϑ0 (q )2 , (3) ⎪ ⎩ ϑ3 = + ϑ0 (q )2 − i ϑ3 (q )2 − ϑ0 (q )2 . Für die Berechnung von ϑ2 benutze man nach (23) in I, 419 die Beziehung: ϑ2 = 4 ϑ43 − ϑ40 . Aus den drei ϑ-Nullwerten werden nun die Invarianten auf Grund bekannter Formeln gewonnen. Man findet zunächst die achte Wurzel der Diskriminante nach I, 433: √ π 2π 8 (4) Δ= ϑ0 ϑ2 ϑ3 . ω2 ω2 Weiter folgert man aus (21) in I, 419:

(5)

⎧ 2 1 π ⎪ ⎪ e = − (ϑ42 + ϑ43 ) , ⎪ 1 ⎪ ⎪ 3 ω 2 ⎪ ⎪ 2 ⎨ 1 π e2 = + (ϑ40 + ϑ43 ) , ⎪ 3 ω 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 π ⎪ ⎩ e3 = − (ϑ40 − ϑ42 ) , 3 ω2

woraus dann weiter die rationalen Invarianten g2 und g3 in der Gestalt: (6)

g2 = −4(e2 e3 + e3 e1 + e1 e2 ) ,

g3 = 4e1 e2 e3

gewonnen werden. Der Wert der absoluten rationalen Invariante J berechnet sich aus: (7)

J : (J − 1) : 1 = g23 : 27g32 : Δ .

Die Quotienten der ϑ-Nullwerte liefern nach I, 419: (8)

√

k=

ϑ2 , ϑ3

√

k =

ϑ0 ϑ3

12


und damit in der vierten Potenz des ersten Quotienten die absolute irrationale Invariante λ = k 2 . Ein numerisches Beispiel wird die ausserordentliche Genauigkeit der Formeln (2) mit den drei ersten Reihengliedern noch besser veranschaulichen. Wir√setzen etwa ω = 2i und berechnen aus (2) und (8) einen Näherungswert von k(2i). Zunächst hat man folgende Werte9 : π

e− 2

= 0, 207.879.576.350.761 . . . ,

e

−π

= 0, 043.213.918.263.772 . . . ,

e

−2π

= 0, 001.867.442.731.707.988 . . . ,

e−4π = 0, 000.003.487.342.356.208.995 . . . , e−8π = 0, 000.000.000.012.161.556.709 . . . , e−12π = 0, 000.000.000.000.000.042.411.511 . . . . Hieraus findet man mit 15-stelliger Genauigkeit10 für ϑ2 und ϑ3 : ϑ2 = 0, 415.760.602.596.025 . . . , ϑ3 = 1, 003.734.885.487.739 . . . . Beim Quotienten von ϑ2 und ϑ3 wird bei Benutzung dieser Werte die 15te Stelle unsicher. Man findet: √ (9) k(2i) = 0, 414.213.562.373.093 . . . . Das Ergebnis kann man prüfen. Da nämlich k2 (i) = 12 ist, so ergiebt die Landensche Transformation nach (2) in II, 492: √ √ k(2i) = −1 + 2 . Nun ist der auf 15 Stellen genaue Wert (vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 364): √ −1 + 2 = 0, 414.213.562.373.095 . . . . Der Näherungswert (9) weicht also in der Tat erst in der 15ten Stelle vom genauen Werte ab, nämlich um zwei Einheiten dieser Stelle. Begnügt man sich mit zweigliedrigen Annäherungen: (10)

ϑ0 = 1 − 2q ,

1

ϑ2 = 2q 4 (1 + q 2 ) ,

ϑ3 = 1 + 2q ,

so sind die Reihenreste im vorliegenden Beispiele < 3 · 10−11 . Man findet: 9

Vergl. G a u ß’ Werke, Bd. 3, S. 426 ff. Für den vorliegenden Wert q ist bei Benutzung der drei ersten Reihenglieder der Reihenrest absolut kleiner als 2 · 10−19 . 10

0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen

13

ϑ2 = 0, 415.760.602.594 . . . , ϑ3 = 1, 003.734.885.463 . . . . Bei Berechnung des Quotienten wird die zehnte Stelle unsicher. Man erhält: √ k(2i) = 0, 414.213.562.38 . . . , so daß sogar die zehnte Stelle noch richtig und erst die elfte Stelle um eine Einheit zu groß ist. Man vergleiche hiermit die Genauigkeit, die eine auf die Tafel I (S. 22–25) gegründete Interpolationsrechnung bei Gebrauch einer siebenstelligen Logarithmentafel hat. Man findet für ω = 2i: 10

log q + 10 = 7, 271.247.5 ,

wofür die Tafel I beim Interpolieren: α = 9◦ 52 46 liefert. Daraus erhält man: (11)

k(2i) = 0, 171.575.63 . . . ,

während der auf 13 Stellen genaue Wert: √ k(2i) = 3 − 2 2 = 0, 171.572.875.253.8 . . . ist. Der Näherungswert (11) ist also bereits in der sechsten Dezimalstelle um zwei ¨ Einheiten zu groß. Die Uberlegenheit der auf die Reihen gegründeten Rechnungen ist damit evident.

0.3 Berechnung der elliptischen Funktionen bei gegebenem Argumente und gegebenen Perioden. An dritter Stelle behandeln wir die Aufgabe, bei gegebenem Argumente u und gegebenen Perioden ω1 , ω2 die elliptischen Funktionen zu berechnen. Das Periodenpaar sei reduziert gewählt. Die zugehörigen Werte der algebraischen Invarianten, sowie nötigenfalls die Perioden des Integrals zweiter Gattung denken wir nach 0.2 und 0.1 berechnet. An Stelle von u wird man demnach auch: √ u (1) v= oder w = u e2 − e1 ω2 als gegebenes Argument benutzen können. Das Argument ist auf ein Periodenparallelogramm zu beschränken. Arbeitet man z. B. mit v, so wird der gegebene Wert v

14


in der v-Ebene zweckmässig dem in Fig. 4 schraffierten Parallelogramm der Ecken ω+1 ω−1 −ω+1 −ω−1 angehörig anzunehmen sein, wobei der Gitterpunkt ω der 2 , 2 , 2 , 2 Parallelogrammteilung im Bereiche der reduzierten Periodenquotienten liegt. Nach den eben gemachten Erfahrungen wird man die Berechnung der elliptischen Funktionen auf die vier ϑ-Reihen gründen: ⎧ ϑ0 (v) = 1 − 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv − 2q 9 cos 6πv + · · · , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 9 25 ⎪ ⎪ ⎨ ϑ1 (v) = 2q 4 sin πv − 2q 4 sin 3πv + 2q 4 sin 5πv − · · · , (2) 1 9 25 ⎪ ⎪ ϑ2 (v) = 2q 4 cos πv + 2q 4 cos 3πv + 2q 4 cos 5πv + · · · , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑ3 (v) = 1 + 2q cos 2πv + 2q 4 cos 4πv + 2q 9 cos 6πv + · · · . Dabei sind zufolge Fig.4 nur Argumente der Gestalt: (3)

v=

λω + μ 2

zuzulassen, wo λ und μ reelle Zahlen des Intervalles −1 λ, μ +1 sind. Wir haben nun die Fehler abzuschätzen, die den Ergebnissen anhaften, wenn man in (2) etwa die drei ersten Reihenglieder zuläßt. Eine Fehlergrenze ist in jedem besonderen Falle leicht angebbar. Allgemein v=ω v = ω +1 gilt folgende Abschätzung: Man hat erstlich für ϑ0 die Darstellung: 0000000 1111111 0000000 1111111 ω ϑ0 (v) = 1 − ε−1 q 1−λ + ε−2 q 4−2λ − ε−3 q 9−3λ + 0000000 1111111 2 0000000 1111111 0000000 1111111 · · · − εq 1+λ + ε2 q 4+2λ − ε3 q 9+3λ + · · · , 0000000 1111111 0000000 1111111 1 0000000 −1111111 0000000 1111111 v=0 2 v=1 12 0000000 1111111 wo ε die Zahl eπiμ des absoluten Betrages 1 ist. Da 0000000 1111111 0000000 1111111 |λ| 1 gilt, so ist, wenn man die drei ersten Rei0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 henglieder zuläßt, der Reihenrest, absolut genom0000000 1111111 −ω men: 2 Fig. 4

|R| < 2 |q|6 + |q|12 + |q|20 + · · ·
b>c

voraus. Beim Ansatz des Doppelintegrals für die Oberfläche S des Ellipsoids (1) bedient man sich elliptischer Koordinaten ξ, η auf dieser Oberfläche. Wir bilden zunächst mit einem reellen Parameter λ die Schar der konfokalen Flächen zweiten Grades:

68

(3)

1 Bogen- und Flächenberechnungen

y2 z2 x2 + + =1. a2 − λ b2 − λ c2 − λ

Für die Werte des Parameters λ im Intervalle von a2 bis b2 schreibe man ξ statt λ und für diejenigen im Intervalle von b2 bis c2 entsprechend η: a2 ξ b2 η c2 .

(4)

Dann hat man in der Gesamtschar (3) insbesondere die zweischaligen Hyperboloide: (5)

y2 z2 x2 − − =1 a2 − ξ ξ − b2 ξ − c2

und die einschaligen Hyperboloide: (6)

y2 z2 x2 + 2 − =1. −η b −η η − c2

a2

Diese beiden Hyperboloidscharen schneiden auf dem Ellipsoid (1) bekanntlich die beiden Scharen der Krümmungslinien aus, von denen die eine die orthogonalen Trajektorien der anderen liefert. Die zu zwei speziellen Werten ξ, η der Intervalle (4) gehörenden Krümmungslinien schneiden sich in acht bezüglich der Koordinatenebenen symmetrisch gelegenen Punkten, und die fraglichen Werte ξ, η heissen die elliptischen Koordinaten“ dieser Punkte. ” Um die Beziehungen zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z eines Punktes der Fläche (1) und den elliptischen Koordinaten ξ, η dieses Punktes zu gewinnen, benutze man, daß für jene x, y, z die aus (3) folgende kubische Gleichung für λ die Lösungen λ = 0, λ = ξ, λ = η hat. Es besteht also in λ identisch die Gleichung: λ(λ − ξ)(λ − η) = (λ − a2 )(λ − b2 )(λ − c2 ) +x2 (λ − b2 )(λ − c2 ) + y 2 (λ − c2 )(λ − a2 ) + z 2 (λ − a2 )(λ − b2 ) . Indem man der Reihe nach λ = a2 , b2 und c2 einträgt, finden sich die folgenden Ausdrücke der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z in den elliptischen Koordinaten ξ, η: ⎧ ⎪ (a2 − ξ)(a2 − η) ⎪ ⎪ x = ±a , ⎪ ⎪ ⎪ (a2 − b2 )(a2 − c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (ξ − b2 )(b2 − η) (7) , y = ±b ⎪ (b2 − c2 )(a2 − b2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (ξ − c2 )(η − c2 ) ⎪ ⎪ . ⎩ z = ±c (a2 − c2 )(b2 − c2 )

69

1.5 Die Oberfläche des Ellipsoids

Deutet man ξ und η als rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene, so wird durch die Gleichungen (7) der einzelne Oktant des El- z y lipsoids umkehrbar eindeutig auf das durch (4) e charakterisierte Rechteck der ξ, η-Ebene abgebildet. 2 e3 Nehmen wir z. B. in (7) u¨ berall die oberen Zeichen, e1 so handelt es sich um den im Oktanten der positiven Koordinaten x, y, z gelegenen in Fig. 10 dargestellten Teil des Ellipsoids. Die drei Ecken e1 , e2 , e4 e4 x O dieses Oktanten und der Nabelpunkt e3 mit den KoFig. 10 ordinaten: a 2 − b2 b2 − c2 , y=0, z=c x=a 2 2 a −c a2 − c2 liefern dabei an dem in Fig. 11 schraffierten Rechtecke der ξ, η-Ebene die ebenso bezeichneten Ecken. Bei Gebrauch der elliptischen Koordinaten ξ, η stellt sich nun die Gesamtoberfläche S des Ellipsoids als achtfacher Flächeninhalt des einzelnen Oktanten durch das folgende Doppelintegral dar: a2 (8)

S=8 b2

b2

D(y, z)2 + D(z, x)2 + D(x, y)2 dξ dη ,

c2

unter den D die Funktionaldeterminanten: D(y, z) =

∂y ∂z ∂y ∂z − , ... ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ

η= b2

η = c2

e3

e4

e2

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000e1 11111111

verstanden16 . Die Ausdrücke der 0 ξ = b2 ξ= a2 Funktionaldeterminanten in ξ und η hat man aus (7) zu berechnen. Eine Fig. 11 elementare, wenn auch nicht ganz kurze Zwischenrechnung führt von (8) aus zu der neuen Darstellung der Oberfläche S: √ a2 b2 (ξ − η) ξη dξ dη (9) S = 2 . (a2 − ξ)(ξ − b2 )(ξ − c2 )(a2 − η)(b2 − η)(η − c2 ) b2 c2 Durch Weiterentwicklung der rechten Seite gelangt man für S zu dem Ausdrucke: (10)

S = 2(J1 J4 − J2 J3 ) ,

wo die J die folgenden vier einfachen elliptischen Integrale sind:

16

Wegen der Aufstellung der Formel (8) vergl. man etwa mein Lehrbuch der Differential- und ” Integralrechnung und ihrer Anwendungen“ (Leipzig, 1921), Bd. 2, S. 111.

70

(11)


⎧ √ a2 ξ ξ dξ ⎪ ⎨ J1 = b2 √(a2 −ξ)(ξ−b2 )(ξ−c2 ) , √ 2 η η dη ⎪ ⎩ J3 = cb2 √ , 2 2 2

J2 = J4 =

(a −η)(b −η)(η−c )

a2 b2

b2 c2

√

√ ξ dξ

(a2 −ξ)(ξ−b2 )(ξ−c2 )

√

√

η dη

(a2 −η)(b2 −η)(η−c2 )

, .

Es ist nun möglich, den für S gewonnenen Ausdruck durch eine von H. W e b e r17 ¨ herrührende Uberlegung in ein einfaches elliptisches Integral umzuwandeln. Da z in der bisherigen Bedeutung nicht mehr benutzt wird, so soll fortan unter z eine komplexe Variable verstanden werden. Ferner sei f (z) die folgende ganze Funktion vierten Grades von z: f (z) = z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 )

(12)

und u das elliptische Integral erster Gattung: z dz (13) u= . 2 f (z) c Der Quadratwurzel f (z) entsprechend u¨ berlagern wir die zEbene doppelt mit vier Verzweic2 a2 0 b gungspunkten bei z = 0, c2 , Fig. 12 b2 , a2 und denken die Verzweigungsschnitte geradlinig von 0 nach c2 und von b2 nach a2 geführt (vergl. Fig. 12). Im oberen Blatte werde f (z) für die reellen z des Intervalles c2 < z < b2 positiv genommen, womit f (z) als eindeutige Funktion auf der Riemannschen Fläche erklärt ist. Es möge festgestellt werden, wie sich das in Fig. 12 schraffierte obere Halbblatt der Riemannschen Fläche auf die u-Ebene abbildet. Die am unteren Rande dieses Halbblattes erstreckten Integrale:

11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 2

b2

(14) c2

dz 1 = ω2 , 2 f (z)

a2

b2

dz 1 = ω1 2 f (z)

liefern eine positiv-reelle Zahl ω2 und eine positiv-imaginäre ω1 . Das Abbild des oberen schraffierten z-Halbblattes auf die u-Ebene ist dann das in Fig.13 schraffierte Rechteck, dessen bei: u=0,

ω2 , 2

ω 1 + ω2 , 2

ω1 2

gelegene Ecken den Verzweigungspunkten z = c2 , b2 , a2 und 0 entsprechen, während ein gewisser durch u = α zu bezeichnender Punkt der oberen Rechteckseite dem Punkte z = ∞ korrespondiert. Die Abbilder der u¨ brigen drei Halb17

Man vergl. dessen Werk Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen“ (Braunschweig, ” 1891), S. 156 ff.

71


blätter unserer zweiblättrigen Riemannschen Fläche ergeben sich nun einfach nach dem Gesetze der Symmetrie. Gehen wir z. B. um den Verzweigungspunkt z = 0 herum zu den u¨ brigen Halbblättern, so gewinnen wir als Abbild der gesamten Riemannschen Fläche das in Fig. 13 skizzierte Periodenparallelogramm der Ecken u = ± 12 ω2 und u = ω1 ± 12 ω2 für das in (13) gegebene Integral erster Gattung u. Die Stelle z = ∞ des unteren Blattes liefert dabei den Punkt: u = β = ω1 − α . In Abhängigkeit von u sind nun z und f (z) eindeutige Funktionen mit den beiden Perioden ω1 , ω2 , die wir durch: (16) z(u) , f (z) = Z(u) (15)

bezeichnen wollen, und zwar ist z(u) eine gerade Funktion und Z(u) eine ungerade: (17)

z(−u) = z(u) ,

Z(−u) = −Z(u) .

Z(ω1 − u) = −Z(u) und der doppelten Periodizität von Z(u).

8

8

Bei einem einmaligen Umlauf um den Verzweigungspunkt z = c2 der Riemann schen Fläche wird nämlich z reproduziert, während f (z) und u Zeichenwechsel erfahren. Die Funktion z(u) ist im Periodenparallelogramm zweiwertig mit ω1 ( c 2) ( b2) ( b2) zwei Polen erster Ordnung in den Punkten u = α und u = β, die Funktion Z(u) ist vierwertig mit Polen zweiter Ordnung an eben jenen Stellen. Die ( ) ( ) (0) (a 2) (a 2) Verteilung der reellen Werte z(u) längs 000000 111111 000000 ω1 + ω2 ω1 111111 ω 1 −ω2 α β des Randes und der Mittellinien des Pe000000 111111 000000 2 2 111111 2 000000 111111 riodenparallelogramms ist aus Fig. 13 000000 111111 000000 111111 (vergl. die in Klammern angegebe000000 111111 000000 111111 000000 111111 nen Werte von z) leicht ersichtlich. 000000 111111 000000 111111 Längs dieser Linien ist Z(u) teils reell, 000000 111111 000000 111111 000000 teils rein imaginär, wobei insbesonω2 ( 2 ) 2 0 111111 ( b ) −ω2 ( c2) b 2 2 dere die Vorzeichen durch Bezugnahme auf die Riemannsche Fläche und die Fig. 13 für f (z) gegebene Zeichenvorschrift festzustellen sind. Es ist Z(u) längs der unteren und oberen Seite des in Fig. 13 schraffierten Rechtecks positiv- bezw. negativ-reell, während längs der linken und rechten Seite dieses Rechtecks positive bezw. negative imaginäre Werte von Z(u) vorliegen. Die längs der u¨ brigen Teile des Randes und der Mittellinien zutreffenden Werte Z(u) folgert man dann aus der Gleichung:

72


Da Z = f (z) auf der durch α laufenden Mittellinie in der Umgebung von u = α reell und negativ ist, so hat man daselbst den Ansatz:

z z dz 1 2a0 3a1 u−α= + 3 + 4 + · · · dz , =− z2 z z f (z) ∞ ∞ wo insbesondere a0 durch: a0 =

(18)

1 2 a + b2 + c2 4

gegeben ist. Man findet durch Ausführung der Integration: u−α=

a1 1 a0 + 2 + 3 + ··· , z z z

sowie weiter durch Reiheninversion: z=

(19)

1 + a0 + a1 (u − α) + · · · u−α

als Potenzreihe von z in der Umgebung von u = α. Ferner ist Z = f (z) auf der fraglichen Mittellinie in der Umgebung von u = β positiv. Man gewinnt wie eben als Reihe für z in der Umgebung des Poles u = β: z=

(20)

−1 + a0 − a1 (u − β) + · · · u−β

mit den gleichen Koeffizienten a0 , a1 , . . . wie in (19). Man hat nun in (z 2 − 2a0 z) eine vierwertige doppeltperiodische Funktion mit zwei Polen zweiter Ordnung an den Stellen u = α und u = β; und zwar fehlen zufolge (19) und (20) in den Reihenentwicklungen dieser Funktionen nach Potenzen von (u−α) und (u−β) beide Male die Potenzen mit den Exponenten −1. Demnach ist: u 2 (21) Φ(u) = z − 2a0 z du 0

ein elliptisches Integral mit zwei Polen erster Ordnung bei u = α und β im Periodenparallelogramm, aber ohne logarithmische Unstetigkeitspunkte. Die den ω1 , ω2 entsprechenden Perioden P1 und P2 dieses Integrals Φ kann man durch: P1 =

1 ω1 + 2 ω2 1 ω 2 2

2

z − 2a0 z du ,

P2 =

1 2 ω2 1 − ω2 2

z 2 − 2a0 z du

erklären. Die Formeln (11) aber schreiben wir mittels unserer neuen Bezeichnungen um in:

73


⎧ 1 1 (ω1 +ω2 ) ⎪ ⎪ 2 1 ω1 + 2 ω2 2 ⎪ 2 ⎪ iJ1 = z du = z du , ⎪ ⎪ 1 2 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 ω2 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 (ω1 +ω2 ) ⎪ ⎪ 2 ⎪ 1 ω1 + 2 ω2 ⎪ ⎪ iJ2 = z du = z du , ⎪ ⎨ 1 2 1 ω2 ω2 2

(22)

2

1 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 1 2 ω2 2 ⎪ 2 ⎪ ⎪ z du = z du , J3 = ⎪ ⎪ 2 − 1 ω2 ⎪ 0 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ω2 ⎪ ⎪ 2 1 2 ω2 ⎪ ⎪ J = z du = z du . ⎪ ⎩ 4 1 2 0

− 2 ω2

Man wolle bei der Umrechnung nur beachten, daß alle Differentiale unter den Integralen (11) reell und positiv sind, sowie daß z doppeltperiodisch und gerade ist. Die den ω1 , ω2 entsprechenden Perioden P1 , P2 des Integrales (21) sind demgemäß: P1 = 2i (J1 − 2a0 J2 ) ,

(23)

P2 = 2 (J3 − 2a0 J4 ) .

Die letzten Entwicklungen gestatten an Stelle von (10) einen neuen Ausdruck für die Ellipsoidoberfläche S treten zu lassen. Man wolle das Differential zΦ(u)du u¨ ber den Rand R des in Fig. 13 gegebenen Periodenparallelogramms im positiven Umlaufssinne integrieren. Indem man dies Randintegral den vier Seiten des Parallelogramms entsprechend zerlegt, hat man mit Rücksicht auf die Periodizität von z:

zΦ(u)du =

(R)

1 ω1 + 2 ω2 1 2 ω2

z Φ(u) − Φ(u − ω2 ) du −

1 ω 2 2

1 − 2 ω2

z Φ(u + ω1 ) − Φ(u) du .

Da die in den Klammern unter den Integralen rechter Hand stehenden Differenzen konstant gleich P2 und P1 sind, so folgt: (R)

zΦ(u)du = P2

1 ω1 + 2 ω2 1 ω 2 2

z du − P1

1 2 ω2

1 − ω2 2

z du = P2 · 2iJ2 − P1 · 2J4

sowie nach Eintragung der Ausdrücke (23) für P1 und P2 : zΦ(u)du = −4i(J1 J4 − J2 J3 ) . (R)

Der Vergleich mit (10) ergiebt die Darstellung der Ellipsoidoberfläche S durch unser Randintegral: i zΦ(u)du . (24) S= 2 (R)

74


Man kann diese Gleichung in die Gestalt kleiden: 1 1 zΦ(u)du (25) − S= π 2iπ (R) und auf die rechte Seite den Residuensatz von I, 38 in Anwendung bringen. Nach diesem Satze ist der in (25) rechts stehende Ausdruck gleich der Summe der Residuen der Funktion zΦ(u) für die beiden im Periodenparallelogramm bei u = α und u = β gelegenen Pole, d. h. gleich der Summe der beiden Koeffizienten von (u−α)−1 und (u−β)−1 in den Reihenentwicklungen von zΦ(u) nach ansteigenden Potenzen von (u − α) und (u − β). Zur Berechnung dieser Residuen knüpfe man an die Gleichung:

Z Z dZ dz dz 1 d · − du , = · · z − c2 z − c2 dz du (z − c2 )2 du der man auch, da d

dz du

= Z ist, die Gestalt geben kann:

Z z − c2

1 = 2

2Z 2 1 d(Z 2 ) − · z − c2 dz (z − c2 )2

du .

Trägt man für Z 2 seinen Ausdruck z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 ) ein, so folgt:

Z 1 (z − a2 )(z − b2 ) + z(z − b2 ) d = z − c2 2

z(z − a2 )(z − b2 ) du + z(z − a2 ) − z − c2 oder nach Potenzen von z geordnet:

Z 1 2 2 c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) 2 2 2 d du , = z − 2a0 z + c (a + b − c ) − z − c2 2 2(z − c2 ) wo a0 durch (18) erklärt ist. Für das Differential unserer in (21) gegebenen eindeutigen Funktion Φ(u) findet sich hieraus:

1 1 du Z dΦ(u) = d − c2 (a2 + b2 − c2 )du + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) . z − c2 2 2 z − c2 Es bewege sich nun u auf der Verbindungsgeraden der beiden bei u = α und u = β gelegenen Pole von z und Φ(u) (vergl. Fig. 13), und es werde vom Mittelpunkte 1 ω dieser Strecke bis zu einem beliebigen Punkte u derselben integriert. Für das 2 1 zugehörige Φ(u) gewinnt man die Darstellung:

75


Z 1 2 2 ω1 2 2 c − (a + b − c ) u − 2 z − c2 2 2 u 1 du + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) . 1 2 z − c2 ω1

Φ(u) = Φ

(26)

ω 1

+

2

Es ist nun Z = z(z − a2 )(z − b2 )(z − c2 ) für die Argumente u zwischen 12 ω1 und α reell und negativ und längs der linken Hälfte unserer Strecke reell und positiv. Man hat also folgende Reihenentwicklung nach Potenzen von z:

Z 1 2 2 2 (a = ∓ z − + b − c ) + · · · , z − c2 2 wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem u auf der rechten oder linken Seite von 12 ω1 liegt. Bei derselben Bedeutung des Doppelzeichens haben wir also für zΦ(u) die Darstellung:

ω 1 1 z Φ(u) = z Φ ∓ z 2 − (a2 + b2 − c2 )z + · · · 2 2 1 ω1 1 2 2 − c (a + b2 − c2 )z(u − α) − c2 (a2 + b2 − c2 )z α − 2 2 u 2 1 2 2 du + c (a − c2 )(b2 − c2 )z . 2 1 2 ω1 z − c 2

Für ein u in der Umgebung von α gilt nun nach (19): z=

1 + a0 + · · · , u−α

z2 =

1 2a0 + ··· . + 2 (u − α) u−α

Also ist das Residuum von zΦ(u) für den Pol α: Φ

ω 1

2

1 1 ω1 − 2a0 + (a2 + b2 − c2 ) − c2 (a2 + b2 − c2 ) α − 2 2 2 α du 1 + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) 1 2 z − c2 ω1 2

oder, wenn man 2a0 nach (18) ausdrückt: Φ

ω 1

2

1 ω1 1 2 2 2 2 2 −c − c2 (a2 +b2 −c2 ) α − + c (a −c )(b −c ) 2 2 2 2

α 1 2 ω1

Entsprechend gilt bei u = β z=

−1 + a0 + · · · , u−β

z2 =

1 2a0 + ··· , − 2 (u − β) u−β

du . z − c2

76


und man findet als Residuum von zΦ(u) für den Pol β: −Φ

ω 1

2

1 ω1 1 2 2 2 2 2 −c2 + c2 (a2 +b2 −c2 ) β − − c (a −c )(b −c ) 2 2 2

β 1 2 ω1

du . z − c2

Da u¨ brigens:

ω1 ω1 − α− =β− 2 2 ist und aus den Eigenschaften von z leicht:

α

du =− z − c2

1 ω 2 1

β 1 ω 2 1

du z − c2

folgt, so finden wir als Summe der beiden Residuen: 1 ω1 2 du ω1 + c2 (a2 − c2 )(b2 − c2 ) −2c2 + c2 (a2 + b2 − c2 ) β − . 2 z − c2 β Aus (25) erhalten wir also als Ausdruck für S: S = 2πc2 + πc2 (a2 + b2 − c2 )

1 2 ω1

2

2

2

2

2

du − πc (a − c )(b − c )

β

β

1 2 ω1

du . z − c2

Nun bildet sich das Integrationsintervall auf die negative reelle z-Achse ab, und zwar ist daselbst f (z) reell und positiv zu nehmen. Bei Einführung von z als Integrationsvariable und Zusammenfassung der beiden Integrale gelangen wir zu dem Ergebnis: Die Gesamtoberfläche S des Ellipsoids läßt sich in folgender Gestalt durch ein einziges elliptisches Integral darstellen: (27)

2

S = 2πc + πc

2

0

−∞

(a2 + b2 − c2 )z − a2 b2 dz , (z − c2 ) f (z)

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Im Falle eines Umdrehungsellipsoids ist dies Integral elementar. Hat man z. B. ein verlängertes Umdrehungsellipsoid, so ist c = b zu setzen, und man findet, wenn man noch x = −z als neue Variable einführt: ∞ dx (28) S = 2πb2 + πa2 b2 , 2 ) x(x + a2 ) (x + b 0 wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. So lange b < a ist, hat man nun:

2 1 dx (a − 2b2 )x − a2 b2 arcsin = √ a2 (x + b2 ) b a2 − b2 (x + b2 ) x(x + a2 )

77


√ a2 − b2 . Wächst x von

so durchläuft 0 bis 2+∞, 2b das Argument von arcsin die reellen Werte von −1 bis 1 − 2 . Die Gleichung a (28) ergiebt also folgenden Inhalt S des verlängerten Umdrehungsellipsoids:

2b2 a2 b π (29) S = 2πb2 + π √ + arcsin 1 − 2 a a2 − b2 2 mit positiv genommener Wurzel

oder auch: (30)

a2 b arccos S = 2πb + π √ a 2 − b2 2

2b2 −1 , a2

wo die Hauptwerte der zyklometrischen Funktionen gemeint sind. Für lim b = a, d. h. für den Fall der Kugel erscheinen die zweiten Glieder in (29) und (30) rechts in der Gestalt 00 . Bestimmt man ihre Werte durch Differentiation, so ergiebt sich die Kugeloberfläche richtig zu S = 4πa2 . Man kann auch aus (28) für die Kugeloberfläche S die Darstellung: ∞ dx S = 2πa2 + πa4 2 ) x(x + a2 ) (x + a 0 entnehmen und sich zur Weiterentwicklung des unbestimmten Integrals: x dx 2 = 2 2 2 a x + a2 (x + a ) x(x + a ) mit im Integrationsintervall positiv zu nehmenden Quadratwurzeln bedienen.

Kapitel 2

Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen.

2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm. Die Beziehung zwischen den singularitätenfreien ebenen Kurven dritten Grades und den elliptischen Funktionen ist begründet durch eine Untersuchung von S . A r o n¨ h o l d1 und ausgeführt in der Abhandlung von A. Clebsch Uber einen Satz ” von Steiner und einige Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung“ 2 . Diese Beziehung ermöglicht es, mit Leichtigkeit eine grosse Reihe von Sätzen u¨ ber die genannten Kurven zu gewinnen. Es sollen hierüber einige Ausführungen folgen. In rechtwinkligen Koordinaten x, y sei durch die Gleichung: (1)

F (x, y) = 0

mit reellen oder komplexen Koeffizienten eine nicht zerfallende ebene Kurve3 dritten Grades gegeben. Die Koordinaten seien so gewählt, daß der Nullpunkt auf der kurz durch K3 zu bezeichnenden Kurve gelegen ist. Man bilde das durch: (2)

y = λx

gegebene Büschel aller Geraden durch den Nullpunkt, wo λ alle komplexen Werte durchläuft. Die einzelne Gerade schneidet die K3 ausser in dem festen Nullpunkte in zwei beweglichen Punkten, deren Abszissen aus der in x quadratischen Gleichung: x−1 · F (x, λx) = 0 1

Vergl. die Berliner Monatsberichte vom 15ten April 1861. Journ. f. Mathem. Bd. 63, S. 94 (1864). 3 Unter einer nicht zerfallenden“ ebenen Kurve versteht der Verf. eine irreduzible ebene ” Kurve. Die eingangs ausgesprochene Voraussetzung der Singularitätenfreiheit wird im Folgenden stillschweigend beibehalten; sie impliziert die Irreduzibilität der Kurve, aber umgekehrt folgt aus der Irreduzibilität nicht die Singularitätenfreiheit. – Die in Kapitel 2 benutzten Sachverhalte aus der Theorie der ebenen algebraischen Kurven findet man z. B. im Büchlein von W. B u r a u Al” gebraische Kurven und Flächen. Band I: Algebraische Kurven der Ebene“, W. de Gruyter & Co., Berlin 1962. [Anm. d. Hrsg.] 2


79

80

2 Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

zu berechnen sind. In geordneter Form laute diese Gleichung: g3 (λ)x2 + g2 (λ)x + g1 (λ) = 0 ,

(3)

wo gν (λ) eine ganze rationale Funktion ν ten Grades von λ ist. Erklärt man die ganze rationale Funktion vierten Grades f (λ) durch: f (λ) = g2 (λ)2 − 4g1 (λ)g3 (λ) ,

(4)

so berechnet man für die Koordinaten x, y der beiden beweglichen Schnittpunkte: −g2 (λ) ± f (λ) −g2 (λ) ± f (λ) , y =λ· . (5) x= 2g3 (λ) 2g3 (λ) Wir nehmen nun zunächst an, die biquadratische Gleichung f (λ) = 0 habe eine mindestens zweifache Wurzel λ0 . Dann ist auch f (λ0 ) = 0, und also bestehen die beiden Gleichungen: (6) g2 (λ0 )2 = 4g1 (λ0 )g3 (λ0 ) , g2 (λ0 )g2 (λ0 ) = 2g1 (λ0 )g3 (λ0 ) + 2g1 (λ0 )g3 (λ0 ) . Nun kann man die Gleichung (1) in die Gestalt setzen: F (x, y) = x3 g3 (λ) + x2 g2 (λ) + xg1 (λ) ,

λ=

y , x

unter λ den in der zweiten Gleichung gegebenen Quotienten verstanden. Hieraus ergiebt sich für die partiellen Ableitungen von F : ∂F y 2 = 3x2 g3 (λ) + 2xg2 (λ) + g1 (λ) − x g3 (λ) + xg2 (λ) + g1 (λ) , ∂x x ∂F = x2 g3 (λ) + xg2 (λ) + g1 (λ) . ∂y Trägt man hier: λ = λ0

und also x = x0 = −

g2 (λ0 ) , 2g3 (λ0 )

y = y0 = −

λ0 g2 (λ0 ) 2g3 (λ0 )

ein, so folgt, daß im Punkte x0 , y0 der K3 die beiden partiellen Ableitungen von F zugleich verschwinden. Dieser Punkt würde also ein singulärer sein. Da nun die K3 singularitätenfrei sein sollte, so folgt umgekehrt, daß in unserem Falle die biquadratische Gleichung f (λ) = 0 vier verschiedene Wurzeln hat. Wir führen nun die zweiblättrige Riemannsche Fläche F2 mit vier Verzweigungspunkten u¨ ber der Ebene der komplexen Variablen λ ein, die zur Quadratwurzel f (λ) gehört. Das zugehörige Integral erster Gattung u ist: (7)

u= c

λ

dλ f (λ)

81

2.1 Kurve dritten Grades und Periodenparallelogramm

mit einer auf der F2 beliebig aber fest gewählten unteren Grenze c und einer auf dieser Fläche variablen oberen Grenze λ. Dann sind λ und f (λ) eindeutige doppeltperiodische Funktionen von u; und zwar beschreiben wir gerade einfach und vollständig die gesamte Riemannsche Fläche F2 , wenn u ein einzelnes Periodenparallelogramm durchläuft. Nun ist aber durch (5) die K3 umkehrbar eindeutig auf die Fläche F2 bezogen. Indem wir in (5) für λ und f (λ) ihre Ausdrücke in u eingesetzt denken, werden x und y eindeutige doppeltperiodische Funktionen: x = ϕ(u) ,

(8)

y = ψ(u)

von u; und zwar beschreiben wir die K3 gerade einfach und vollständig, falls u ein einzelnes Periodenparallelogramm beschreibt. Man merke noch an, daß die vier Verzweigungspunkte der F2 auf der K3 die Berührungspunkte der vier vom Nullpunkte x = 0, y = 0 an die K3 laufenden Tangenten liefern. Wir verallgemeinern jetzt die Gleichung (8) sogleich zu: Φ(u) =

(9)

b1 x + b2 y + b3 , a1 x + a2 y + a3

wo die a1 , a2 , a3 drei endliche, nicht zugleich verschwindende reelle oder komplexe Konstante sind4 . Φ(u) ist eine dreiwertige doppeltperiodische Funktion, deren Pole den Schnittpunkten der Geraden a1 x + a2 y + a3 = 0 mit der K3 entsprechen, während die Nullpunkte von den Schnittpunkten der Geraden b1 x+b2 y+b3 = 0 mit der K3 geliefert werden. Liegen die Pole im Periodenparallelogramm bei u = w1 , w2 und w3 und die Nullpunkte bei u = v1 , v2 und v3 , so gilt nach I, 222: (10)

v1 + v2 + v3 ≡ w1 + w2 + w3

(mod ω1 , ω2 ) ,

wo ω1 , ω2 das zum Parallelogramm gehörende primitive Periodenpaar ist, d. h. es besteht eine Gleichung: (11)

v1 + v2 + v3 − w1 − w2 − w3 = m1 ω1 + m2 ω2

mit zwei ganzen rationalen Zahlen m1 , m2 . Die Funktion Φ(u) gestattet dann nach (15) in I, 222 die Darstellung durch die Sigmafunktion: (12)

Φ(u) = C · em1 η1 +m2 η2

σ(u − v1 )σ(u − v2 )σ(u − v3 ) . σ(u − w1 )σ(u − w2 )σ(u − w3 )

Die gesamten Systeme zu drei Punkten unserer K3 , die durch die Geraden ausgeschnitten werden, bilden eine zweifach unendliche Schar von Punkttripeln5 . Diese Schar ist dadurch charakterisiert, daß die zu den Punkten des einzelnen Tripels gehörenden Werte u1 , u2 , u3 des Integrals u eine mod ω1 , ω2 eindeutig bestimmte, zunächst noch unbekannte Summe s liefern: 4 5

`

´

Hier braucht man wohl Rang ab11 ab22 ab33 = 2. [Anm. d. Hrsg.] Hierbei gilt als einfach unendlich die Wertmannigfaltigkeit einer komplexen Variablen.

82


u1 + u2 + u3 ≡ s (mod ω1 , ω2 ) .

(13)

Zu irgend zwei Tripeln gehört alsdann eine bis auf eine multiplikative Konstante eindeutige bestimmte dreiwertige Funktion Φ(u), die durch u in der Gestalt (12) und auf der K3 in der Gestalt (9) darstellbar ist. Greifen wir aus der Schar der dreiwertigen Funktionen Φ(u) das System aller Funktionen mit gleichen Polen heraus, so ist, wenn wir für die einzelne dieser Funktionen zwei Nullpunkte fixieren, der dritte damit eindeutig bestimmt. Dieser schon von I, 214 her bekannte Satz läuft jetzt darauf hinaus, daß irgend zwei Punkte der K3 eindeutig den dritten Schnittpunkt ihrer Verbindungsgeraden mit der K3 festlegen.

2.2 System der Wendepunkte der Kurve K3 . Als ein erstes Ergebnis der Beziehung der singularitätenfreien Kurven K3 zu den elliptischen Funktionen gewinnt man eine sehr einfache Theorie der neun Wendepunkte der K3 . Wir benutzen fortan homogene Koordinaten x, y, z statt der bisherigen rechtwinkligen und haben also: x : y : z = ϕ(u) : ψ(u) : 1 .

(1)

Irgend eine Wendetangente, dargestellt durch: c1 x + c2 y + c3 z = 0

(2)

schneidet die K3 in drei zusammenfallenden Punkten. Ein Wendepunkt liefert also einen Wert u, für den: 3u ≡ s (mod ω1 , ω2 ) gilt. Umgekehrt liefert auch jedes u, das diese Bedingung erfüllt, einen Wendepunkt; denn ihm entspricht eine Funktion Φ(u) mit drei zusammenfallenden Nullpunkten, die auf der K3 durch eine Gerade, also eine Wendetangente, ausgeschnitten werden. Es sind genau neun Punkte des Periodenparallelogramms, die der letzten Kongruenz genügen, nämlich die Punkte: u=

1 λω1 + μω2 s+ , 3 3

λ, μ = 0, 1, 2,

wo also λ, μ alle neun mod 3 inkongruenten Restpaare durchlaufen sollen6 . Infolge der unbestimmt gelassenen unteren Grenze c im Integral (7) aus 2.1 ist u nur erst bis auf eine additive Konstante bestimmt. Benutzen wir demnach fortan u = u− 13 s als Integral erster Gattung, so läuft dies darauf hinaus, daß u = 0 einen Wendepunkt der K3 liefert, daß also das Integral erster Gattung als untere Grenze einen Wendepunkt hat. Läßt man den oberen Index bei u sogleich wieder fort, so folgt: Die 6

Die Bezeichnung λ im Sinne von 2.1 kommt nicht mehr zur Verwendung.

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3

83

singularitätenfreie Kurve dritten Grades K3 hat neun Wendepunkte entsprechend den Punkten: (3)

u=

λω1 + μω2 , 3

λ, μ = 0, 1, 2

des Periodenparallelogramms. Bei der jetzt gewählten unteren Grenze des Integrals u ist für drei auf einer Geraden gelegene Punkte der K3 charakteristisch, daß die entsprechenden Punkte u1 , u2 , u3 des Periodenparallelogramms die Kongruenz: (4)

u1 + u2 + u3 ≡ 0

(mod ω1 , ω2 )

erfüllen. Wir schreiben nun für den Wert (3) abgekürzt das Symbol (λ, μ) und bezeichnen durch dieses zugleich den zugehörigen Wendepunkt. Sind dann (λ1 , μ1 ) und (λ2 , μ2 ) zwei verschiedene Wendepunkte, so schneidet zufolge (4) ihre Verbindungsgerade stets einen dritten Wendepunkt (λ3 , μ3 ) auf der K3 aus, wobei: λ3 ≡ −λ1 − λ2 ,

μ3 ≡ −μ1 − μ2

(mod 3)

gilt. Eine solche Verbindungsgerade dreier Wendepunkte heißt eine Wendegerade“. ” Aus der Anzahl neun der Wendepunkte folgert man durch eine einfache Abzählung den Satz: Durch jeden Wendepunkt laufen vier Wendegerade, so daß es für unsere K3 im ganzen zwölf Wendegerade giebt. Ordnet man die Symbole (λ, μ) der Wendepunkte in dem quadratischen Schema an: (0, 0), (0, 1), (0, 2) (1, 0), (1, 1), (1, 2) (2, 0), (2, 1), (2, 2), so wird ein erstes System von drei Wendegeraden durch die drei Horizontalreihen geliefert und ein zweites solches System durch die drei Vertikalreihen. Ein drittes System von drei Wendegeraden erhalten wir, wenn wir das Schema als Matrix einer Determinante fassen und die Wendepunkte entsprechend den drei positiven Gliedern der zugehörigen Determinante in drei Systeme zu je drei zusammenfassen, und endlich entspricht ein letztes System genau so den drei negativen Gliedern der Determinante. Jedes dieser Tripel von Wendegeraden, von denen man sagt, daß sie ein Wendedreiseit“ bilden, schneidet alle neun Wendepunkte auf der K3 aus. Die zwölf ” Wendegeraden lassen sich also auf vier Wendedreiseite verteilen, wobei die Seiten des einzelnen Dreiseits stets alle neun Wendepunkte auf der K3 ausschneiden.

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3 . Nach 2.1 und der inzwischen getroffenen Auswahl der unteren Grenze des Integrals u kann man beliebige homogene Koordinaten x, y, z dadurch wählen, daß man

84


insbesondere für die Punkte der K3 selbst: ⎧ x = a σ(u − u1 ) σ(u − u2 ) σ(u + u1 + u2 ) , ⎪ ⎪ ⎨ y = b σ(u − v1 ) σ(u − v2 ) σ(u + v1 + v2 ) , (1) ⎪ ⎪ ⎩ z = c σ(u − w1 ) σ(u − w2 ) σ(u + w1 + w2 ) mit drei von 0 verschiedenen Konstanten a, b, c vorschreibt. Man hat nur die Werte u1 , u2 , v1 , . . . so zu wählen, daß die drei σ-Produkte linear-unabhängig sind. Eine erste besondere Auswahl führt zu einem Koordinatensystem, das nach K l e i n7 als ein kanonisches“ bezeichnet wird. Wir schreiben x1 , x2 , x3 statt x, ” y, z und setzen: ⎧ x1 = c1 σ(u) σ(u − u0 ) σ(u + u0 ) , ⎪ ⎪ ⎪

⎨

ω2 ω1 + ω2 ω1

(2) σ u− σ u+ , x2 = c2 σ u − ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ x3 = c3 σ(u)3 . Hier sollen u0 und −u0 die beiden Nullpunkte der ℘-Funktion sein8 , und die Faktoren c sollen folgende Bedeutung haben: c1 =

−1 , σ(u0 )2

c2 = σ

ω 1

2

−2

ω ω + ω , 2 1 2 σ σ 2 2

c3 = 1 .

Man zeigt sofort, daß diese drei Sigmaprodukte linear-unabhängig sind. Zufolge I, 216 hat man hier einfach: (3)

x1 : x2 : x3 = ℘(u) : ℘ (u) : 1 ,

und also folgt aus der zwischen ℘(u) und ℘ (u) bestehenden Relation der Satz: In den kanonischen Koordinaten x1 , x2 , x3 erhält man als Gleichung der Kurve K3 : (4)

4x31 − x22 x3 − g2 x1 x23 − g3 x33 = 0 ,

wo g2 und g3 die rationalen Invarianten sind. In den beiden von A r o n h o l d9 aufgefundenen Invarianten S und T der ternären kubischen Form stellen sie sich so dar:

¨ Man vergl. die Abhandlung Uber die elliptischen Normalkurven der nten Ordnung und die ” zugehörigen Modulfunktionen der nten Stufe“, Abh. der sächsischen Gesellschaft der Wiss., Bd. 13 (1885). 8 Die Nullstellen ±u0 werden in M. Eichler, D. Zagier On the zeros of the Weierstraß ℘” function“, Math. Ann. 258 (1982), 399-407 bestimmt. [Anm. d. Hrsg.] 9 Man vergl. dessen Abhandlung Zur Theorie der homogenen Funktionen dritten Grades von drei ” Variablen“ in den Bdn. 39 und 55 des Journ. f. Math. 7

2.3 Die kanonischen Koordinatensysteme der Kurven K3

g2 = −

27 S, 4

g3 =

85

27 T .10 64

Die geometrische Bedeutung des kanonischen Koordinatensystems ist wenigstens teilweise unmittelbar aus der Erklärung (2) dieses Systems abzulesen. Zunächst ist der Wendepunkt (0, 0) zur Ecke x1 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks gewählt, wobei die Wendetangente die Seite x3 = 0 des Dreiecks liefert. Von einem Punkte P der K3 , der zur Stelle u des Periodenparallelogramms gehöre, lassen sich vier Tangenten an die Kurve ziehen, deren Berührungspunkte nach 2.1 durch − 12 u, − 12 u + 12 ω1 , − 12 u + 12 ω2 , − 12 u − 12 (ω1 + ω2 ) geliefert werden. Die Berührungspunkte werden durch den Polarkegelschnitt des Punktes P ausgeschnitten, der u¨ berdies die K3 im Punkte P berührt. Ist P unser Wendepunkt (0, 0), so werden jene vier Berührungspunkte von: u=0,

1 ω1 , 2

1 ω2 , 2

1 − (ω1 + ω2 ) 2

geliefert. Eine Tangente ist also die Wendetangente, während die Berührungspunkte der drei anderen Tangenten von der Seite x2 = 0 des Koordinatendreiecks ausgeschnitten werden. Der Polarkegelschnitt eines Wendepunktes zerfällt in die Wendetangente und eine Gerade, die als die harmonische Polare“ des Wendepunktes ” bezeichnet wird. Die Bedeutung der Seite x2 = 0 des Koordinatendreiecks ist also die, daß sie die harmonische Polare des in der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks gelegenen Wendepunktes ist11 . Um die invariante Bedeutung auch der dritten Seite x1 = 0 zu gewinnen, führen wir das Geradenbüschel durch den Wendepunkt x1 = 0, x3 = 0 ein, gegeben durch: κ3 x1 − κ1 x3 = 0 ,

(5)

wo κ1 und κ3 zwei endliche und nicht zugleich verschwindende Verhältnisgrössen sind. Der einzelne Strahl des Büschels ist dann durch ein Wertepaar κ1 , κ3 fest10

Man vergl. auch G . S a l m o n Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven“, bearb. von ” W. Fiedler, S. 228 ff. (Leipzig, 1873). 11 Die neun Wendepunkte liefern im ganzen neun harmonische Polaren, deren 27 Schnittpunkte mit der K3 die 27 sextaktischen Punkte“ dieser Kurve sind, d. h. diejenigen Punkte, in denen je ein ” Kegelschnitt sechs zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. Für jeden beliebigen zu einem Werte u0 gehörenden Kurvenpunkt kann man einen Kegelschnitt konstruieren, der daselbst fünf zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. Dieser schneidet dann die K3 noch in einem sechsten Punkte, der zu u = −5u0 gehört. Soll auch noch dieser sechste Punkt mit jenen fünf zusammenfallen, so muß u0 gleich einem der Werte: u0 =

λω1 + μω2 , 6

λ, μ = 0, 1, . . . , 5

sein. Hier stellen sich zunächst die neun Wendepunkte wieder ein, die insofern unserer Forderung entsprechen, als die doppelt gezählte Wendetangente einen zerfallenden Kegelschnitt liefert, der im Wendepunkte sechs zusammenfallende Schnittpunkte mit der K3 gemein hat. Die den 27 u¨ brigen Werten u0 entsprechenden Punkte aber liefern in der Tat die Schnittpunkte mit den harmonichen Polaren der Wendepunkte.

86


gelegt. So gehören z. B. die drei dem Büschel angehörenden Tangenten vom Wendepunkte zu den drei Werten κ1 : κ3 , für die die binäre kubische Form: (6)

χ(κ1 , κ3 ) = 4κ13 − g2 κ1 κ32 − g3 κ33

verschwindet. Nicht mitgezählt ist hierbei die Wendetangente selbst, die durch x3 = 0 gegeben ist, also zu κ3 = 0 gehört. Als lineare Polare“ eines beliebigen ” Strahles (5) in bezug auf das Tangententripel (6) bezeichnet man nun den durch: x1

∂χ ∂χ + x3 =0 ∂κ1 ∂κ3

gegebenen Strahl. Da in der Form (6) das Glied mit κ12 κ3 fehlt, so zieht man die Folgerung, welche die invariante Bedeutung von x1 = 0 klarstellt: Die Seite x1 = 0 des Koordinatendreiecks ist die lineare Polare der Wendetangente x3 = 0 in bezug auf die drei anderen von ihm an die Kurve laufenden Tangenten.

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich. Die Benennung harmonische“ Polare für die Seite x2 = 0 des kanonischen Ko” ordinatendreiecks findet ihre Begründung in folgendem Satze: Auf dem einzelnen Strahle (5) in 2.3 bilden der Schnittpunkt mit der Seite x2 = 0, der Wendepunkt x1 = 0, x3 = 0 und die beiden weiteren Schnittpunkte mit der K3 ein harmonisches Quadrupel, und zwar sind die beiden letzten Punkte durch die beiden ersten harmonisch getrennt. Die Kurve dritten Grades wird demnach durch die harmoni” sche Perspektivität“, welche den Wendepunkt zum Pole und die Seite x1 = 0 zur Achse hat, in sich selbst transformiert. Diese Angaben sind rechnerisch unmittelbar einleuchtend; denn die fragliche Transformation ist einfach durch: (1)

x1 = x1 ,

x2 = −x2 ,

x3 = x3

gegeben, die die Gleichung (4) aus 2.3 in der Tat in sich u¨ berführt. In u stellt sich diese Transformation einfach durch u = −u dar. Der zur Stelle x1 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks gewählte Punkt ist irgend einer unter den neun Wendepunkten der K3 . Man hat also im ganzen neun kanonische Koordinatendreiecke für eine singularitätenfreie ebene Kurve dritten Grades zur Verfügung. Die Folge ist, daß die Kurve dritten Grades K3 durch neun verschiedene harmonische Perspektivitäten in sich transformierbar wird, die sich, wie man leicht feststellt, im Integral u durch die Substitutionen: (2)

u = −u +

λω1 + μω2 , 3

λ, μ = 0, 1, 2

darstellen. Kombiniert man diese neun Perspektivitäten mit einer unter ihnen, etwa der von u = −u gelieferten, so gewinnt man weitere neun Kollineationen der

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich

87

K3 in sich, die identische Kollineation“ mitgezählt. Alle 18 damit gewonnenen ” Kollineationen bilden eine Gruppe, bei deren transzendenter Darstellung durch u die beiden ganzen Zahlen λ, μ beliebig mod 3 abänderungsfähig sind. Man wird demnach an Stelle der Gleichungen (2) lieber Kongruenzen bezüglich der Moduln ω1 , ω2 treten lassen und das Ergebnis so anmerken: Die singularitätenfreie ebene Kurve dritten Grades K3 gestattet achtzehn eine Gruppe G18 bildende Kollineationen in sich, welche mittels des Integrals u durch die Substitutionen: (3)

u ≡ ±u +

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

darstellbar sind. Die G18 enthält als ausgezeichnete Untergruppe12 eine G9 von neun Kollineationen, die von den Substitutionen (3) mit den oberen Zeichen geliefert werden; und in dieser G9 finden sich vier zyklische Untergruppen G3 . Die Koeffizienten der Gleichung (4) aus 2.3 sind rationale Invarianten, so daß man für unsere K3 nur eine einzige kanonische Darstellung (4) in 2.3 hat. Andrerseits hat man neun kanonische Koordinatendreiecke und achtzehn kanonische Koordinatensysteme. Demgegenüber klärt die Existenz der Kollineationsgruppe G18 die Eindeutigkeit der kanonischen Gleichung (4) in 2.3 auf. Bei diesen achtzehn Kollineationen der K3 in sich geht ein erstes kanonisches Koordinatensystem in alle achtzehn Systeme dieser Art u¨ ber. Die Substitution: u ≡ u −

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

möge nun die Kollineation: ⎧ κx = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 , ⎪ ⎪ ⎨ 1 κx2 = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 , (4) ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 liefern, unter κ ein Proportionalitätsfaktor verstanden. Zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, c beachte man, daß für u = 13 (λω1 + μω2 ) der Wert u = 0 gewonnen wird. Die Ecke x1 = 0, x3 = 0 des neuen Koordinatendreiecks ist also der Wendepunkt (λ, μ) der K3 und die zugehörige Wendetangente ist durch x3 = 0 dargestellt. Im alten Koordinatensystem handelt es sich um die Tangente der K3 im Punkte: (5)

x1 : x2 : x3 = ℘λμ : ℘λμ : 1 ,

wo rechts die zum dritten Teilungsgrade gehörenden Teilwerte gemeint sind (vergl. II, 244 ff.). Aus der kanonischen Gleichung (4) in 2.3 entnehmen wir demnach zunächst die Koeffizienten c: 12

Statt Normalteiler“ verwendet Fricke die Bezeichnung ausgezeichnete Untergruppe“. [Anm. ” ” d. Hrsg.]

88


c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . Den Ansatz (4) können wir auch in Gestalt der Proportion schreiben: (6)

λω1 + μω2 λω1 + μω2 ℘ u− : ℘ u − :1= 3 3 a1 ℘(u) + a2 ℘ (u) + a3 : b1 ℘(u) + b2 ℘ (u) + b3 : c1 ℘(u) + c2 ℘ (u) + c3 . Hieraus folgt für u = 0: ℘λμ : −℘λμ : 1 = a2 : b2 : c2 , so daß wir, da c2 bereits bekannt ist, weiter finden: a2 = −2℘λμ ℘λμ ,

b2 = 2℘2 λμ ,

c2 = −2℘λμ .

Nun berechnen wir aus der kanonischen Gleichung der K3 für den Polarkegelschnitt des Wendepunktes (5) die Gleichung: (7) 12 ℘λμ x21 − x22 − g2 ℘λμ + 3g3 x23 − 2 ℘λμ x2 x3 − 2 g2 x1 x3 = 0 . Dieser Kegelschnitt zerfällt in die neue Wendetangente x3 = 0 und die harmonische Polare des Wendepunktes (5), die die Seite x2 = 0 des neuen Koordinatendreiecks liefert. Setzen wir aber die Diskriminante der Gleichung (7) gleich null: 12 ℘λμ , 0, −g2 =0, 0, −1, −℘λμ −g , −℘ , − (g ℘ + 3g ) 2 2 λμ 3 λμ 3 so folgt nach Entwicklung dieser Determinante und Ersatz von ℘2 λμ durch (4℘λμ − g2 ℘λμ − g3 ) für ℘λμ die biquadratische Gleichung:

(8)

48 ℘4λμ − 24 g2 ℘2λμ − 48 g3 ℘λμ − g22 = 0 .

Dies ist in der Tat die spezielle Teilungsgleichung der ℘-Funktion für den dritten Teilungsgrad, die aus der zweiten Formel (6) in II, 185 bereits bekannt ist. Zur Bestimmung der beiden noch nicht bekannten Koeffizienten b1 und b3 benutze man, daß das Produkt: (b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 )(c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 ) identisch sein muß mit der mit b2 c2 = −4℘3 λμ multiplizierten linken Seite der Gleichung (7). Durch Vergleichung der Koeffizienten findet man fünf Gleichungen, aus denen u¨ bereinstimmend: b1 = ℘λμ 12 ℘2λμ − g2 , b3 = ℘λμ 3 ℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3

2.4 Die Kollineationsgruppe G18 der Kurve K3 in sich

89

hervorgeht13 . Die beiden letzten noch unbekannten Koeffizienten a1 und a3 bestimmt man zweckmässig auf Grund der Tatsache, daß die Gleichung:

λω1 + μω2

c1 ℘(u) + c2 ℘ (u) + c3 = a1 ℘(u) + a2 ℘ (u) + a3 ℘ u− 3 in u identisch besteht. Entwickelt man rechts und links nach Potenzen von u und multipliziert mit u3 , so folgt:

3 ℘λμ − ℘λμ u + 12 ℘λμ u2 − 16 ℘ − 2c2 + c1 u + c3 u3 + · · · λμ u + · · · = −2a2 + a1 u + a3 u3 + · · · . Entwickelt man auch links nach ansteigenden Potenzen von u und benutzt die schon bekannten Werte von a2 , c1 , c2 , c3 sowie die Relationen: 2 ℘λμ = 12 ℘2λμ − g2 ,

℘ λμ = 12 ℘λμ ℘λμ ,

so ergiebt die Koeffizientenvergleichung folgende Werte von a1 und a3 : a1 = −℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 ,

1 a3 = g2 ℘2λμ + 6g3 ℘λμ + g22 . 4

Eine Bestätigung des letzten Ergebnisses kann man daraus entnehmen, daß der Wendepunkt (λ, μ) auf der Geraden x1 = 0 liegen muß. Es muss also die Gleichung:

1 2 2 ℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 + 2 ℘λμ ℘λμ x2 − g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + g2 x3 = 0 4

durch die Koordinaten (5) des Verzweigungspunktes (λ, μ) erfüllt sein. Die Eintragung dieser Koordinaten führt in der Tat zur speziellen Teilungsgleichung (8) ¨ zurück. Zur besseren Ubersicht stellen wir die Kollineation (4) in fertiger Gestalt hier nochmals dar: (9)⎧ κx1 = − ℘2 ℘λμ x2 ⎪ λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 − ⎪ 2 ℘λμ ⎪ 2 ⎪ + g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + 14 g22 x3 , ⎨ 2 κx2 = ℘λμ 12℘2λμ − g2 x1 + 2 ℘2 ⎪ λμ x2 + ℘λμ 3℘λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . 13

¨ In Ubereinstimmung mit (9) wurde hier der im Frickeschen Manuskript angegebene Wert `

b3 = −℘λμ 5℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3

´

korrigiert. Mit dieser Korrektur erhält man die Werte c1 = 12℘2λμ − g2 , die auch in (9) auftreten. [Anm. d. Hrsg.]

`

´

c3 = − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 ,

90


Für die zur Kongruenz: (10)

u ≡ −u +

λω1 + μω2 3

(mod ω1 , ω2 )

gehörende harmonische Perspektivität der K3 in sich ergiebt sich jetzt sofort die Gestalt: (11) ⎧ κx1 = − ℘2 ℘λμ x2 ⎪ λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x1 − ⎪ 2 ℘λμ ⎪ 2 ⎪ + g2 ℘λμ + 6g3 ℘λμ + 14 g22 x3 , ⎨ 2 κx2 = −℘λμ 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘2 ⎪ λμ x2 − ℘λμ 3℘λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κx3 = 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 . Diese Perspektivität muß den Wendepunkt (−λ, −μ) der Koordinaten: x1 : x2 : x3 = ℘λμ : −℘λμ : 1 zum Pole und die zugehörige harmonische Polare der Gleichung: (12) 12℘2λμ − g2 x1 − 2 ℘λμ x2 + 3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 x3 = 0 zur Achse haben. Dies bestätigt sich in der Tat. Wählt man den Proportionalitäts faktor κ = 4℘2 unglichen λμ und setzt die transformierten x1 , x2 , x3 gleich den urspr¨ Koordinaten x1 , x2 , x3 , so folgen aus (11) drei Gleichungen mit dem gemeinsamen Lösungssystem: x1 = ℘λμ ,

x2 = −℘λμ ,

x3 = 1 .

Setzt man andrerseits κ = −4℘2 λμ und dann weiter x1 = x1 , x2 = x2 , x3 = x3 , so reduzieren sich die drei Gleichungen (11) u¨ bereinstimmend auf die Gleichung (12). Man muß bei diesen Rechnungen nur wiederholt von der speziellen Teilungsgleichung (8) und der Beziehung: 3 ℘2 λμ = 4℘λμ − g2 ℘λμ − g3

Gebrauch machen. ¨ Ubrigens erkennen wir eine Dualität zwischen der Figur der neun harmonischen Polaren (12) und den neun Wendepunkten. Zu drei auf einer Wendegeraden liegenden Wendepunkten gehören drei harmonische Polaren, die sich in einem Punkte schneiden. Dieser Punkt entspricht also dualistisch der Wendegeraden, ebenso wie die drei harmonischen Polaren dem Wendepunkte entsprechen. So laufen z. B. die drei zu den Wendepunkten (0, 0), (λ, μ), (−λ, −μ) gehörenden Polaren durch den gemeinsamen Punkt: 2 x1 : x2 : x3 = − 3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 : 0 : 12℘λμ − g2 .

2.5 Die singulären Koordinatensysteme der Kurven K3

91

Wie man sieht, liegen auf jeder harmonischen Polare vier solche Zentren, wie umgekehrt durch jeden Wendepunkt vier Wendetangenten laufen. Diese Verhältnisse sind schon von P l u¨ c k e r14 und H e s s e15 näher untersucht.

2.5 Die singulären Koordinatensysteme der Kurven K3 . Wählt man eines der vier Wendedreiseite zum Koordinatendreieck, so gelangt man zu einem Koordinatensystem zur Darstellung der K3 , das K l e i n als ein singuläres“ ” bezeichnet16 . Die einzelne Wendegerade wird durch sechs Kollineationen der G18 in sich tranformiert, z. B. die durch die Wendepunkte (0, 0), (0, 1), (0, 2) laufende Linie durch die sechs den Substitutionen: u ≡ ±u −

μω2 , 3

μ = 0, 1, 2

entsprechenden Kollineationen. Die einzelne Wendegerade wird demnach durch alle Kollineationen der G18 in nur drei Wendegeraden u¨ bergeführt, die alsdann eines der vier Wendedreiseite bilden. Das einzelne der vier singulären Koordinatendreiecke wird also durch die Kollineationen der G18 mit der K3 in sich transformiert. Unter den vier Wendedreiseiten wählen wir zunächst dasjenige aus, dessen Seiten die drei Wendepunkttripel: (λ, 0) ,

(λ, 1) ,

(λ, 2) ,

λ = 0, 1, 2

ausschneiden. Die zu λ = 0 gehörende Wendegerade ist in den kanonischen Koordinaten durch: x1 − ℘01 x3 = 0 gegeben. Aus ihr kann man die beiden anderen Wendegeraden durch Ausübung der zu: ω1 2ω1 , u ≡ u − u ≡ u − 3 3 gehörenden Kollineationen herstellen. Die Koordinaten nennen wir y0 , y1 , y2 und erklären sie näher dadurch, daß wir ihre Ausdrücke auf der K3 durch: ⎧ ⎪ ⎪ y0 (u) = x1 (u) − ℘01 x3 (u) , ⎪ ⎪ ⎪

⎪

ω ⎨ ω1 ω1 η1 (u− 1 ) 6 − ℘ , y x u − u − (u) = −e x 1 1 01 3 (1) 3 3 ⎪ ⎪

⎪

⎪ ω1 2ω 2ω ⎪ ⎪ ⎩ y2 (u) = e2η1 (u− 3 ) x1 u − 1 − ℘01 x3 u − 1 3 3 14

Vergl. dessen System der analytischen Geometrie“, Berlin (1835). ” in der Abhandlung Eigenschaften der Wendepunkte der Kurven dritter Ordnung usw.“, Journ. ” f. Mathem., Bd. 38 (1849). 16 Vergl. die in der Fußnote 7, S. 84 genannte Abhandlung. 15

92


geben. Die letzte Gleichung kann man auch in die Gestalt setzen:

ω ω1 ω1 −η1 (u+ 61 ) − ℘01 x3 u + , x1 u + (2) y2 (u) = −e 3 3 wie aus der Erklärung (2), S. 84 von x1 (u), x3 (u) und dem Verhalten der Sigma¨ funktion bei Anderung von u um Perioden (vergl. I, 209) hervorgeht. Die Exponentialfaktoren in der zweiten und dritten Gleichung (1) mußten, soweit sie von u abhängig sind, hinzugefügt werden, damit die Quotienten der y nach I, 214 doppeltperiodisch werden. Die weitere Ausgestaltung der Exponentialfaktoren dient aber zur Vereinfachung der weiterhin auftretenden Formeln. In letzterer Hinsicht beachte man zunächst das sehr einfache Verhalten der y bei Ausübung der Substitution u = u − ω31 . Wir lesen aus (1) und (2) sofort ab: Die Substitution u = u − ω31 stellt sich als Kollineation in den y in der Gestalt dar: (3)

κ y0 = y1 ,

κ y1 = y2 ,

κ y2 = y0 ,

wo der Proportionalitätsfaktor durch: κ = −eη1 (u−

(4)

ω1 6 )

gegeben ist. Weiter nimmt die durch u = −u gegebene harmonische Perspektivität in den y die Gestalt an: (5)

y0 = −y0 ,

y1 = −y2 ,

y2 = −y1 .

Eine zweite nicht minder wichtige Darstellung der y können wir auf die in I, 450 unter (1) erklärten und daselbst näher untersuchten Funktionen: (6)

σλμ (u) = e

λη1 +μη2 3

„ « λω1 +μω2 u− 6

λω1 + μω2 σ u− 3

gründen. In ihnen stellen sich die y in der Gestalt: ⎧ ⎪ ⎪ y0 = c0 σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) , ⎨ y1 = c1 σ10 (u) σ11 (u) σ12 (u) , (7) ⎪ ⎪ ⎩ y2 = c2 σ20 (u) σ21 (u) σ22 (u) mit drei von u unabhängigen Faktoren c dar. Diese y haben nämlich im Periodenparallelogramm die richtigen Nullpunkte, und ihre Quotienten sind nach I, 451 tatsächlich doppeltperiodisch. Andrerseits folgt aus der zweiten Gleichung in I, 451, daß der Quotient: x1 (u) − ℘01 x3 (u) x3 (u) σ(u)3 = · σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) σ00 (u) σ01 (u) σ02 (u) x1 (u) − ℘01 x3 (u)

2.5 Die singulären Koordinatensysteme der Kurven K3

93

doppeltperiodisch ist. Dasselbe gilt also auch vom ersten Quotienten rechts, der demnach, da er im Periodenparallelogramm weder Nullpunkte noch Pole hat, mit einer von u unabhängigen Grösse identisch ist. Daß dann auch c1 und c2 von u unabhängig sind, folgt leicht. Will man lieber mit der ursprünglichen Sigmafunktion allein arbeiten, so kann man an Stelle von (7) auch:

λω1 ω2

λω1 2ω2 λω1

(8) yλ = cλ e(λη1 +η2 )u σ u − σ u− − σ u− − 3 3 3 3 3 schreiben, wo auch die cλ von u unabhängig sind. Mit dieser Formel stellt man sehr leicht das Verhalten der yλ gegenüber der Substitution u = u − ω32 fest. Man hat nur das Verhalten der Sigmafunktion bei Vermehrung von u um ω2 sowie die Legendresche Relation (6) in I, 160 zu benutzen. Man findet der Substitution u = u − ω32 entsprechend die Kollineation: (9)

κ y0 = y0 ,

κ y1 = e

2iπ 3 y1

κ y2 = e−

,

2iπ 3 y2

,

wo der Proportionalitätsfaktor gegeben ist durch: κ = −eη2 (u−

(10)

ω2 6 ).

Sieht man von den Proportionalitätsfaktoren ab, so kann man unter Zusammenfassung folgenden Satz aussprechen: In den singulären Koordinaten gelangt man zur Kollineationsgruppe G18 , wenn man die sechs Permutationen der y mit der aus: (11)

y0 = y0 ,

y1 = e

2iπ 3 y1

,

y2 = e−

2iπ 3 y2

zu erzeugenden zyklischen G3 zusammensetzt. Von den drei kubischen symmetrischen Funktionen der y0 , y1 , y2 bleiben nur die beiden: (12)

y03 + y13 + y23 ,

y0 y1 y2

gegenüber der Substitution (11) invariant. Es folgt der Satz: In den singulären Koordinaten stellt sich die Kurve K3 wie folgt dar: (13)

y03 + y13 + y23 + 6τ y0 y1 y2 = 0 ,

wo τ eine noch näher zu untersuchende irrationale Invariante ist. Man wolle nur beachten, daß die erste symmetrische Funktion (12) sicher auf der linken Seite der Kurvengleichung mit einem nicht-verschwindenden Koeffizienten auftreten muß, da die Kurve andrenfalls in die drei Wendegeraden zerfallen würde. Sieht man τ in (13) als einen (komplexen) Parameter an, so hat man hier die Gleichung des sogenannten syzygetischen Büschels“. Alle Kurven dieses Büschels ” haben das System der neun Wendepunkte gemeinsam. Zu jeder Kurve (13) des Büschels ist dann auch ihre Hessesche Kurve, gegeben durch:

94


y03 + y13 + y23 −

(14)

2τ 3 + 1 y0 y1 y2 = 0 τ2

im Büschel enthalten.

2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216 . Es ist jetzt genauer die Vieldeutigkeit zu erörtern, die bei der Auswahl des singulären Koordinatensystems vorliegt. Man kann hierbei wie stets bei Betrachtung von Kollineationen einen zweifachen Standpunkt einnehmen. Hält man an der Kurve K3 fest, wie es bisher geschah, so wird es sich um die Kollineationen handeln, welche von dem zunächst ausgewählten System y0 , y1 , y2 zu den u¨ brigen möglichen singulären Koordinatensystemen der K3 führen. Dabei wird insbesondere die Frage auftreten, wie sich bei diesen Kollineationen die irrationale Invariante τ unserer Kurve K3 verhält. Andrerseits können wir die Rechnungen aber auch so deuten, daß wir am Koordinatensystem festhalten und die Kollineationen als solche des syzygetischen Büschels (13) in 2.5 in sich auffassen. Die Kollineationen sollen der Kürze wegen stets ohne Proportionalitätsfaktor geschrieben werden, wobei dann natürlich die neun Koeffizienten der einzelnen Kollineation nur in ihren Quotienten 2iπ

zur Geltung kommen. Unter ε wird die komplexe dritte Wurzel der Einheit e 3 verstanden. Für lim τ = ∞ stellt sich das durch y0 y1 y2 = 0 gegebene Wendedreiseit als eine spezielle Kurve des syzygetischen Büschels (13) in 2.5 dar. Diese Kurve ist dadurch ausgezeichnet, daß ihre Hessesche Kurve (14) in 2.5 mit ihr zusammenfällt. Auch die drei anderen Wendedreiseite werden demnach Kurven des Büschels sein, deren einzelne mit ihrer Hesseschen Kurve zusammenfällt. Die Gleichung: 6τ = −

2τ 3 + 1 τ2

hat aber die drei Lösungen: τ =−

ε ε2 1 , − , − . 2 2 2

Die vier Wendedreiseite bezeichnen wir symbolisch durch Δ∞ , Δ0 , Δ1 , Δ2 und haben also für sie die Gleichungen: (Δ∞ ) ,

y0 y1 y2 = 0 ,

(Δ0 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3y0 y1 y2 = 0 ,

(Δ1 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3εy0 y1 y2 = 0 ,

(Δ2 ) ,

y03 + y13 + y23 − 3ε2 y0 y1 y2 = 0 .

2.6 Die Hessesche Kollineationsgruppe G216

95

Unter Zerlegung in die linearen Faktoren kann man auch für die letzten drei Wendedreiseite schreiben: (Δ0 ) ,

(y0 + y1 + y2 )(y0 + εy1 + ε2 y2 )(y0 + ε2 y1 + εy2 ) = 0 ,

(Δ1 ) ,

(εy0 + y1 + y2 )(y0 + εy1 + y2 )(y0 + y1 + εy2 ) = 0 ,

(Δ2 ) ,

(ε2 y0 + y1 + y2 )(y0 + ε2 y1 + y2 )(y0 + y1 + ε2 y2 ) = 0 .

Daß die neun hier auftretenden linearen Faktoren, einzeln gleich 0 gesetzt, die von den Koordinatenachsen verschiedenen Wendegeraden liefern, ist auch leicht direkt zu zeigen. Die Gruppe G aller Kollineationen des syzygetischen Büschels in sich enthält nun zunächst als eine ausgezeichnete Untergruppe die in 2.4 betrachtete G18 der Kollineationen jeder Kurve des Büschels in sich, also insbesondere auch jedes der vier Dreiecke Δ in sich. Darüber hinaus gewinnt man alle Kollineationen von G, bei denen das einzelne Koordinatendreieck Δ∞ in sich transformiert wird, wenn man zur G18 die beiden Nebengruppen“ S · G18 und S 2 · G18 hinzufügt, unter S die ” Kollineation: (1)

(S)

y0 = εy0 ,

y1 = y1 ,

y2 = y2

verstanden. Wir gelangen zu einer Kollineationsgruppe: (2)

G54 = G18 + S · G18 + S 2 · G18 ,

gegenüber der, wie man sieht, die drei Dreiseite Δ0 , Δ1 , Δ2 zyklisch permutiert werden. Wir notieren den Satz: In der Kollineationsgruppe G sind vier gleichberechtigte17 Untergruppen G54 der Ordnung 54 enthalten, deren Kollineationen je eines der vier Wendedreiseite in sich transformieren und die drei anderen zyklisch permutieren. Da es ausser der in (2) dargestellten G54 keine Kollineationen in der Gruppe G giebt, die Δ∞ in sich transformieren, so findet sich in der Gruppe G keine Kollineation, die zwei Wendedreiseite je in sich transformiert und die beiden anderen permutiert. Es folgt der weitere Satz: Gegenüber allen Kollineationen der Gruppe G erfahren die vier Wendedreiseite Δ nur die zwölf geraden Permutationen, die eine mit der Gruppe der Tetraederdrehungen (vergl. I, 133) isomorphe Gruppe bilden; die zur ausgezeichneten Untergruppe G18 gehörende Quotientengruppe“ ” G/G18 (vergl. II, 9 ff.) ist also eine Gruppe vom Typus der Tetraedergruppe, so daß die Gesamtgruppe G aller Kollineationen des syzygetischen Büschels in sich eine G216 der Ordnung 216 ist. Die G216 bezeichnen wir nach C. Jordan18 hinfort als die Hessesche Gruppe“. ” 17

Fricke bezeichnet konjugierte Untergruppen als gleichberechtigt“. [Anm. d. Hrsg.] ” Vergl. dessen Untersuchung u¨ ber endliche ternäre Gruppen im Kap. III der Abhandlung Mémoire sur les e´ quations différentielles linéaires a` intégrale algébrique“ im Journ. f. Mathem., ” Bd. 84, S. 125 ff. 18

96


Es ist nun das Verhalten von τ gegenüber den verschiedenen Kollineationen der Hesseschen Gruppe festzustellen. Die beiden aus (1) entspringenden Kollineationen S und S 2 liefern für τ die Substitutionen: (3)

τ = ετ ,

τ = ε2 τ .

Wir verstehen ferner unter T0 , T1 und T2 die drei folgenden Kollineationen: (4) ⎧ ⎧ y = y0 + y1 + y2 , y = ε2ν y0 + εν y1 + εν y2 , ⎪ ⎪ ⎨ 0 ⎨ 0 (T0 ) y1 = y0 + εy1 + ε2 y2 , (Tν ) y1 = y0 + εν y1 + y2 , ν = 1, 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 ν y2 = y0 + ε y1 + εy2 , y 2 = y0 + y1 + ε y2 , Man findet dann, wenn man ν auch mit auf den Index 0 bezieht, für Tν : y03 + y13 + y23 = 3 y03 + y13 + y23 + 6εν y0 y1 y2 , y0 y1 y2 = ε2ν y03 + y13 + y23 − 3y0 y1 y2 , woraus sich für die linke Seite der Gleichung der K3 berechnet: y03 + y13 + y23 + 6τ y0 y1 y2 3 εν − τ 2ν 3 3 y0 + y1 + y2 + 6 = 3 + 6ε τ y0 y1 y2 . 1 + 2ε2ν τ Hiermit ist folgendes Ergebnis festgestellt: Gegenüber den drei Kollineationen Tν erfährt die irrationale Invariante die drei linearen Substitutionen der Periode zwei: (5)

τ =

−τ + εν , 2εν τ + 1

ν = 0, 1, 2.

Diese drei Substitutionen bilden mit der identischen Substitution die in der Tetraedergruppe ausgezeichnete Vierergruppe“ G4 (vergl. I, 130), aus der die ganze ” Tetraedergruppe durch Zusatz der Substitution (3) erzeugbar ist19 . Die irrationale Invariante τ ist hiernach als Funktion der rationalen Invariante J die Lösung der Tetraedergleichung“ zwölften Grades. Von der in (2) hergestellten G54 gelangt ” man hiernach zu der gesamten Hesseschen Gruppe G216 durch Zusatz der drei Kollineationen Tν : (6)

G216 = G54 + T0 · G54 + T1 · G54 + T2 · G54 .

Zufolge des Homomorphismus der G216 zur Quotientengruppe G216 /G18 = G12 , also zur Tetraedergruppe, ergeben sich aus der Struktur der letzteren noch einige Folgerungen u¨ ber die Hessesche Gruppe. Vorab erinnern wir daran, daß den vier Werten ∞, − 12 , − 12 ε, − 12 ε2 , die den vier Ecken des Tetraeders entsprechen, die vier zerfallenden Kurven Δ∞ , Δ0 , Δ1 , Δ2 des Büschels zugehören. Für jede dieser 19

Die Gestalt der Tetraedersubstitutionen findet man auch in A“ II, S. 338 behandelt. ”

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich

97

Kurven“ erhöht sich die Anzahl der Kollineationen der Kurve in sich von 18 auf 54. ” Wir gelangen wieder zu den vier gleichberechtigten Untergruppen G54 der G216 , die den vier zyklischen Untergruppen G3 der Tetraedergruppe entsprechen. Als zweites System von Fixpunkten gehören zu diesen vier G3 die vier Flächenmitten des Tetraeders τ = 0, 1, ε, ε2 , dem a¨ quianharmonischen Falle“ des elliptischen Gebildes ” entsprechend (vergl. I, 136). Wir finden im Büschel vier a¨ quianharmonische“ Kur” ven K3 , deren einzelne durch 54 Kollineationen in sich u¨ bergeht, und deren Gleichungen durch: 3 y0 + y13 + y23 = 0 , (7) ν = 0, 1, 2 y03 + y13 + y23 + 6εν y0 y1 y2 = 0 , gegeben sind. So gehört z. B. die erste dieser Kurven zu der in (2) dargestellten Kollineationsgruppe G54 . Weiter sind in der Tetraedergruppe drei aus den Substitutionen (5) zu erzeugende gleichberechtigte zyklische G2 der Ordnung zwei enthalten, die zum harmonischen ” Falle“ des elliptischen Gebildes hinführen (vergl. I, 135). Die einzelne hat zwei diametrale Kantenmitten des Tetraeders zu Fixpunkten; wir gelangen zu den drei Wertepaaren: √ 1± 3 ν ε , ν = 0, 1, 2. τ =− 2 Diesen zyklischen Untergruppen G2 der Tetraedergruppe gehören drei gleichberechtigte Untergruppen G36 der Hesseschen Gruppe zu. Wir finden im Büschel sechs harmonische Kurven“ K3 , deren einzelne durch 36 eine G36 bildende Kollineatio” nen in sich u¨ bergeht, und deren Gleichungen: √ ν = 0, 1, 2 (8) y03 + y13 + y23 − 3εν (1 ± 3)y0 y1 y2 = 0 , sind. So erzeugt man z. B. die zu den beiden Kurven mit ν = 0 gehörenden G36 , indem man zur ausgezeichneten Kollineationsgruppe G18 die unter (4) an erster Stelle genannte Kollineation T0 hinzusetzt. Da die Vierergruppe G4 eine ausgezeichnete Untergruppe der Tetraedergruppe ist, so entspricht ihr eine in der Hesseschen Gruppe G216 ausgezeichnete Untergruppe G72 der Ordnung 72, in der die drei eben betrachteten G36 enthalten sind.

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich. Jede der unendlich vielen Substitutionen: (1)

u = ±u + c

98


mit dem Parameter“ c hat für die Kurve K3 eine umkehrbar-eindeutige rationale ” Transformation in sich zur Folge. Um alle diese Transformationen und jede nur einmal zu erhalten, genügt es, den Parameter c auf ein System mod ω1 , ω2 inkongruenter Werte zu beschränken, also etwa: c = λω1 + μω2 ,

0 λ, μ < 1

zu setzen, wo λ, μ alle Paare reeller, nicht negativer Werte, die < 1 sind, durchlaufen. Die Gruppe dieser birationalen“ Transformationen der K3 in sich möge mit ” G bezeichnet werden. Sie enthält als ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 die kontinuierliche Gruppe aller birationalen Transformationen der K3 in sich, die den Substitutionen (1) mit dem oberen Zeichen entsprechen. Wird diese Untergruppe mit G bezeichnet, und ist S die der Substitution u = −u zugehörige Kollineation, so hat man einfach: (2)

G = G + S · G .

Die gesamten in der Nebengruppe S · G enthaltenen Transformationen sind von der Periode 2. Diese Angaben sind einfache Folgen des Additionstheorems. Man hat, falls man etwa die kanonischen Koordinaten benutzt, zufolge dieses Theorems für ℘(u ), ℘ (u ) rationale Darstellungen in ℘(u), ℘ (u) und auch umgekehrt für ℘(u), ℘ (u) ebensolche in ℘(u ), ℘ (u ). Um zunächst die Transformationen der Untergruppe G etwa wieder in kanonischen Koordinaten ausführlich darzustellen, schreiben wir w = u + v an Stelle von (1) und bezeichnen die homogenen Koordinaten der den Werten u, v und w entsprechenden Kurvenpunkte bezw. durch (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) und (z1 , z2 , z3 ). Aus der Gestalt (16) in II, 16120 des Additionstheorems ergiebt sich als zugehörige Transformation: ⎧ κz1 = x22 y1 y3 − x1 x3 y22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2x2 y2 + g2 (x1 y3 + x3 y1 ) + 3g3 x3 y3 x1 y3 − x3 y1 , ⎪ ⎪ ⎨ (3) κz2 = −(x2 y2 + 3g3 x3 y3 )(x2 y3 − x3 y2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2(6x1 y1 − g2 x3 y3 )(x1 y2 − x2 y1 ) + g2 (x1 x2 y32 − x23 y1 y2 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ κz3 = x22 y32 − x23 y22 − (12x1 y1 − g2 x3 y3 )(x1 y3 − x3 y1 ) , wo κ der Proportionalitätsfaktor ist und der Punkt (y1 , y2 , y3 ) als Parameter“ zur ” Gewinnung der ganzen Gruppe G die Kurve K3 zu durchlaufen hat. Man hat also mit einer kontinuierlichen Gruppe eindeutig-umkehrbarer quadratischer“ Trans” formationen der Kurve K3 in sich zu tun. Bereits in II, 164 sind die Formeln (3) des Additionstheorems in eine ganz besonders einfache invariante Form gesetzt. Unter Fx wird die ternäre kubische Form verstanden: 20

bzw. (12) in II, 164. [Anm. d. Hrsg.]

2.7 Gruppe aller eindeutigen Transformationen der Kurve K3 in sich

(4)

99

Fx = 4x31 − x22 x3 − g2 x1 x23 − g3 x33 ,

durch deren Nullsetzen die K3 dargestellt wird. Man bilde von Fx die Polare: (5)

Px,y =

∂Fx ∂Fx ∂Fx y1 + y2 + y3 ∂x1 ∂x2 ∂x3

oder ausführlich geschrieben: (6)

Px,y = 12x21 y1 − g2 x23 y1 − 2x2 x3 y2 − 2g2 x1 x3 y3 − x22 y3 − 3g3 x23 y3 .

Diese Polare giebt, gleich 0 gesetzt, für einen stehenden Punkt (x1 , x2 , x3 ) der K3 , in den y gedeutet, die Tangente der K3 im Punkte (x1 , x2 , x3 ); ist aber (y1 , y2 , y3 ) ein stehender Punkt der K3 , so giebt Px,y = 0 in variablen x gedeutet den Polarkegelschnitt des Punktes (y1 , y2 , y3 ), der die K3 in diesem Punkte berührt und weiter die vier Berührungspunkte der Tangenten ausschneidet, die u¨ brigens noch vom Punkte (y1 , y2 , y3 ) an die K3 laufen. Der Ausdruck des Additionstheorems und damit der Gruppe G eindeutig-umkehrbarer quadratischer“ Transformationen der ” Kurve K3 in sich nimmt nun die a¨ usserst einfache Gestalt an: (7)

κzν = xν Py,x − yν Px,y ,

ν = 1, 2, 3.

Die Eigenart solcher quadratischer Transformationen ist seit langer Zeit bekannt21 . Die zweifach unendlich vielen Geraden der Ebene werden durch eine solche Transformation in die zweifach unendlich vielen Kegelschnitte u¨ bergeführt, die durch drei feste der Transformation eigentümliche Grundpunkte“ hindurch” laufen. Dem einzelnen Punkte der Ebene, als Schnittpunkt zweier Geraden, entspricht dann der vierte Schnittpunkt der beiden zugehörigen Kegelschnitte. Wir wollen für die zu (7) inverse Substitution diese Verhältnisse genauer klarstellen. Schreiben wir abgekürzt a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 = az , so entspricht der Geraden az = 0 der Kegelschnitt: (8)

ax Py,x − ay Px,y = 0 ,

gedeutet in x als variablen Koordinaten, während (y1 , y2 , y3 ) ein stehender Punkt der K3 ist. Nun giebt Py,x = 0 die Tangente der K3 im Punkte (y1 , y2 , y3 ), und der Polarkegelschnitt Px,y = 0 berührt die K3 ebendort. Also fallen mindestens zwei Grundpunkte der Transformation an der Stelle (y1 , y2 , y3 ) zusammen, wo alle Kegelschnitte (8) die K3 berühren. Man wähle nun den besonderen zu den Werten a1 = 0, a2 = y3 , a3 = −y2 gehörenden Kegelschnitt (8): (x2 y3 − x3 y2 )Py,x = 0 , der in die Kurventangente im Punkte (y1 , y2 , y3 ) und die Verbindungsgerade dieses Punktes mit der Ecke x2 = 0, x3 = 0 des Koordinatendreiecks zerfällt. Auf der Tan21

Man vergl. z. B. S a l m o n–Fiedler Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven“ ” (Leipzig, 1873), S. 359 ff.

100


gente kann der dritte Fundamentalpunkt wenigstens nicht an einer von (y1 , y2 , y3 ) verschiedenen Stelle liegen. Es müßte sonst die Tangente ein Bestandteil jedes Kegelschnitts (8) sein, was, wie man leicht zeigt, nicht zutrifft. Also liegt der dritte Fundamentalpunkt auf der Geraden x2 y3 − x3 y2 = 0. In analoger Weise zeigt man, daß er auch auf beiden Geraden x3 y1 − x1 y3 = 0 und x1 y2 − x2 y1 = 0 liegt. Also auch der dritte Fundamentalpunkt fällt mit den beiden ersten zusammen, so daß sich alle Kegelschnitte (8) im Punkte (y1 , y2 , y3 ) oskulieren. Endlich zeigt man noch durch eine kurze Rechnung, daß der Kegelschnitt x3 Py,x − y3 Px,y = 0 mit der K3 im Punkte (y1 , y2 , y3 ) den Krümmungsmittelpunkt gemein hat. Also gelangt man zu dem Ergebnis: Die drei Grundpunkte der zur quadratischen Transformation (7) inversen Transformation der K3 in sich fallen an der Stelle (y1 , y2 , y3 ) zusammen; je zwei Kegelschnitte des Büschels (8) haben hier mit einander und auch mit der Kurve dritten Grades K3 drei“ zusammenfallende Punkte gemein. ” Daß in den neun Fällen, wo (y1 , y2 , y3 ) ein Wendepunkt ist, die quadratischen Transformationen zu Kollineationen werden müssen, ist hier unmittelbar einleuchtend. Es zerfällt nämlich die quadratische Polare eines Wendepunktes in die Wendetangente und die zugehörige harmonische Polare. Das zweite Glied in (7) rechts gewinnt also den in x linearen Faktor Py,x , der nach links dividiert werden kann und in den Proportionalitätsfaktor aufgenommen wird; es verbleibt so eine lineare Substitution. Im einzelnen gestalten sich die Rechnungen für den Wendepunkt (−λ, −μ) so: Man hat zunächst: 2 2 2 2 4℘2 λμ Px,y = 4℘λμ 12℘λμ x1 − x2 − (g2 ℘λμ + 3g3 )x3 − 2℘λμ x2 x3 − 2g2 x3 x1 = (12℘2λμ − g2 )x1 − 2 ℘λμ x2 + (3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 ) x3 · Py,x , Py,x = 12℘2λμ − g2 x1 + 2 ℘λμ x2 − ℘2 λμ + 2g2 ℘λμ + 3g3 x3 , wie man durch die nötigen Zwischenrechnungen mit Hilfe der zwischen ℘ und ℘ bestehenden Beziehung und der speziellen Teilungsgleichung (8), S. 88 zeigt. Der erste Faktor auf der rechten Seite der vorletzten Gleichung liefert die harmonische Polare, der zweite Faktor die Wendetangente. Man hat nun in die Gleichungen (7) den Faktor: 4℘2 λμ − Py,x aufzunehmen und links mit dem Proportionalitätsfaktor zu verschmelzen, während rechts im zweiten Gliede der Faktor: 4℘2 λμ

Px,y Py,x

durch

(12℘2λμ − g2 )x1 − 2 ℘λμ x2 + (3℘2 λμ − 2g2 ℘λμ − 3g3 ) x3

zu ersetzen ist. Nach den nötigen Zwischenrechnungen, bei denen wieder von der zwischen ℘ und ℘ bestehenden Relation und der speziellen Teilungsgleichung (8), S. 88 Gebrauch zu machen ist, erscheinen die Formeln (9), S. 89 unserer Kollineation.

101

2.8 Realitätsbetrachtungen

2.8 Realitätsbetrachtungen. Während der bisherigen Entwicklungen wurde auf Realitätsverhältnisse keine besondere Rücksicht genommen. Es sei jetzt eine singularitätenfreie ebene Kurve dritten Grades durch eine Gleichung mit ausschließlich reellen Koeffizienten gegeben. Dann sind die beiden Aronholdschen Invarianten S und T und damit auch die Invarianten g2 , g3 , sowie die absolute Invariante J reell. Das reduzierte Periodenverhältnis ω liefert also einen Punkt auf dem Rande der schraffierten Hälfte des in I, 179 durch Fig. 43 dargestellten Diskontinuitätsbereichs der Modulgruppe. Zweckmässig ist es allerdings an Stelle des linken von ω = nach ω = i∞ ziehenden geraden Randes dieses Bereiches den zwischen ω = und ω = −1 verlaufenden Teil des Einheitskreises der ω-Halbebene zu benutzen, der mit jenem geraden Rande a¨ quivalent ist. Bei einer reellen Kurve dritten Grades kann man also das Periodenparallelogramm entweder als Rechteck oder als Rhombus wählen. Beide Möglichkeiten hängen beim Periodenverhältnis ω = i zusammen, dem ein Quadrat als Periodenparallelogramm zugehört. Dieses Ergebnis kann man auch auf folgendem Wege erzielen: Hat unsere Kurve dritten Grades einen oder mehrere reelle Züge, so liefert sie ein algebraisches Gebilde, das durch eine symmetrische Umformung in sich u¨ bergeht. Die ¨ Symmetrie- oder Ubergangslinien dieser Umformung entsprechen den reellen Kurvenzügen. Die zugehörige in I, 229 eingeführte Gruppe Γ (u) aller Substitutionen: (1)

u = u + m1 ω1 + m2 ω2

ist dann durch eine Spiegelung erweiterungsfähig; und da diese Spiegelung notwendig den Punkt u = ∞ in sich transformiert, so handelt es sich einfach um eine Spiegelung an einer Geraden. Man gehe nun auf den in I, 235 ff. entwickelten Diskontinuitätsbereich der Gruppe Γ (u) als zentriertes Sechseck im Kreise“ ” zurück, das insbesondere beim Verschwinden zweier Gegenseiten des Sechsecks zu einem Rechteck werden kann. Dieser Diskontinuitätsbereich ist für die einzelne Gruppe Γ (u) nach Auswahl des Mittelpunktes eindeutig bestimmt. Wählt man den Mittelpunkt des Sechsecks (Rechtecks) auf der Symmetriegeraden der Spiegelung, so muß demnach das Sechseck (Rechteck) bezüglich dieser Geraden sich selbst symmetrisch sein. Die Symmetriegerade ist also im Falle eines nicht-quadratischen Rechtecks eine der beiden Mittellinien, im Falle eines Quadrates eine Mittellinie oder eine Diagonale, und im Falle eines Sechsecks eine Mittellinie oder eine Diagonale, in bezug auf die das Sechseck sich selbst symmetrisch sein muß. Ein solches Sechseck wandelt man aber nach der in I, 241 beschriebenen Maßregel (vergl. Fig. 50 daselbst) in ein rhombisches Periodenparallelogramm um. Man gelangt also ¨ zum obigen Ergebnis zurück. Dabei liefert das Quadrat (ω = i) den Ubergangsfall zwischen den Rechtecken und den Rhomben. Es liege nun zunächst ein nicht-quadratisches Rechteck als Periodenparallelogramm vor. Hier ist die Gruppe Γ (u) erweiterungsfähig durch die Spiegelung an jeder zu einer Rechteckseite parallelen Geraden. Man hat also im Falle eines nicht-quadratischen Rechtecks insgesamt zwei kontinuierliche Scharen möglicher

102


8

Erweiterungen von Γ (u) durch Spiegelungen. Um ein Periodenverhältnis zu erhalten, das rein imaginär und absolut > 1 ist, wähle man die kleinere Mittellinie des Rechtecks als Symmetrielinie und benutze die in Fig.14 (e1) (e3) dargelegte Anordnung. Durch die Spiegelung werden ω1 ω1+ ω2 2 dann die beiden stark markierten Rechteckseiten aus2 getauscht. Da diese aber bezüglich der Γ (u) a¨ quivalent sind, so liefern sie für das algebraische Gebilde (die Riemannsche Fläche) zwei geschlossene Symmetrieli(e2) ( ) ω2 nien der vorliegenden symmetrischen Umformung. Die ω2 0 2 Folge ist, daß bei richtiger Auswahl des Koordinatensystems die Kurve dritten Grades zwei getrennte reelle Züge erhält, also eine sogenannte zweiteilige“ Kurve ” ist. Wir gebrauchen im Anschluß an Fig. 14 kanonische Koordinaten und insbesondere rechtwinklige, inFig. 14 dem wir: (2)

x = ℘(u) ,

setzen. Man hat drei reelle Werte:

ω

ω 1 2 , e2 = ℘ , (3) e1 = ℘ 2 2

y = ℘ (u) e3 = ℘

ω1 + ω2 2

,

die die Ungleichung: e1 < e3 < e2

(4)

erfüllen (vergl. die in Fig. 14 in Klammern beigefügten Werte x). Die Kurvengleichung wird: (5)

y 2 = 4(x − e1 )(x − e3 )(x − e2 ) ,

und die Gestalt der Kurve ist schematisch in Fig.15 angegeben. Die Mittellinie des Rechtecks liefert den ins Unendliche ziehenden reellen Kurvenzug; dieser trägt die einzigen drei reellen Wendepunkte, von denen einer, dem Werte ω2 3 u = 0 entsprechend, im Unendlichen liegt. Die zweite Symmetrielinie ergiebt das Oval der Kurve. e3 e2 e1 Diese reelle Kurve besitzt noch zwei eine Gruppe bildende kontinuierliche Scharen von 2 ω2 reellen quadratischen Transformationen in sich. 3 Alle den Substitutionen:

( )

( )

Fig. 15

u = u + μω2

103

2.8 Realitätsbetrachtungen

mit reellem Parameter μ des Intervalls 0 μ < 1 entsprechenden Transformationen bilden in jener Gruppe eine kontinuierliche Untergruppe. Aus ihr geht dann ω1 die Gesamtgruppe durch Zusatz der der Substitution u = u + zugehörigen 2 quadratischen Transformation: x : y : 1 = e1 y 2 − g2 x2 + e21 g2 + 3g3 (6) : (g2 − 12e21 )xy + (2e1 g2 + 3g3 )y : y 2 − 12e1 x2 + (12e21 + g2 )x − e1 g2 hervor. Die Transformationen der Untergruppe verschieben sowohl das Oval in sich, wie den ins Unendliche ziehenden Kurvenzug. Die Transformation (6) aber tauscht beide Zweige aus. Sechs reelle auf dem Oval liegende sextaktische Punkte tauschen sich dabei mit den drei reellen Wendepunkten und weiteren drei reellen sextaktischen Punkten des anderen Zweiges aus. Im ganzen sind neun unter den 27 sextaktischen Punkten reell. ω1 Es liege zweitens als Periodenparallelogramm ein von einem Quadrate verschiedener Rhombus ω + ω2 vor, der auch nicht gerade durch die kürzere Dia(e3) 1 2 gonale in zwei gleichseitige Dreiecke zerfallen soll (Fall ω = ). Die Gruppe Γ (u) ist er(e2 ) ω2 0 weiterungsfähig durch die Spiegelung an jeder zur ω2 2 einen oder anderen Rhombusdiagonale parallelen ω1 Geraden. Man hat also wieder insgesamt zwei kon− e ( 1) 2 tinuierliche Scharen möglicher Erweiterungen der (u) Γ durch Spiegelungen. Wir wählen insbesondere die kleinere Rhombusdiagonale als Symmetrielinie, benutzen jedoch die Bezeichnungen ω1 , ω2 in der in Fig. 16 Fig.16 angegebenen Art. Dies läuft darauf hinaus, einen Periodenquotienten: ω=

−1 + iη 2

mit

η>1,

η =

√

3

zu erzielen; der Rhombus hat aber die Ecken u = 0, −ω1 , ω2 , ω1 + ω2 . Bei Spiegelung an der stark ausgezogenen Diagonale gehen allein die Punkte dieser Diagonale in sich u¨ ber 22 . Man hat also nur eine einzige Symmetrielinie und gelangt bei richtiger Einführung der Koordinaten zu einer einteiligen“, d. h. nur einen ” reellen Zug aufweisenden Kurve dritten Grades. Es ist dies bei Gebrauch der kanonischen Koordinaten auch algebraisch ohne weiteres einleuchtend. Es ist nämlich jetzt allein e2 reell, während e1 und e3 zwei konjugiert komplexe Zahlen sind; die Gleichung (5) liefert als schematisches Bild der Kurve das in Fig. 17 dargestellte. Natürlich gestattet dieser Kurvenzug nur noch eine einzige eine Gruppe bildende kontinuierliche Schar reeller quadratischer Transformationen in sich. Wieder sind 22

Die obere und untere Rhombusecke sind mit den Ecken u = 0 und ω2 a¨ quivalent.

104


nur drei Wendepunkte reell, und von den 27 sextaktischen Punkten sind auch nur drei reell. Besonderheiten liegen vor, wenn das reduzierte Periodenverh¨ altnis ω = i oder = ist. Im ersten Falle hat man ω2 ein Quadrat als Periodenparallelogramm, und es liegen vier 3 kontinuierliche Scharen von möglichen Erweiterungen durch Spiegelungen vor. Zwei von ihnen liefern einteilige, die beie2 den anderen zweiteilige Kurven. Ist aber der als zentriertes Sechseck im Kreise gedachte Diskontinuitätsbereich von Γ (u) 2 ω2 ein reguläres Sechseck (Fall ω = ), so hat man sogar sechs 3 kontinuierliche Scharen von möglichen Erweiterungen durch Spiegelungen, die indessen alle zu einteiligen Kurven führen. ¨ Ubrigens sind alle reellen singularitätenfreien ebenen Kurven Fig. 17 dritten Grades kollineare Abbilder der beschriebenen Kurven. ¨ Uber die verschiedenen hierbei gewinnbaren Gestalten vergl. man das S. 85 genannte Werk von S a l m o n S. 199 ff.

( )

( )

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen. Die vorstehenden Entwicklungen u¨ ber die singularitätenfreien ebenen Kurven dritten Grades stellen das niederste Beispiel einer allgemeinen Theorie der elliptischen ” Normalkurven“ dar. Für den nächst höheren Fall, die singularitätenfreien Raumkurven vierten Grades erster Spezies betreffend, hat C l e b s c h in § 17 der Abhand¨ lung Uber die Anwendung der Abelschen Funktionen in der Geometrie“ 23 zum ” ersten Male die grundlegenden Angaben u¨ ber die Verwendbarkeit der elliptischen Funktionen gemacht. Eine solche Kurve K4 ist darstellbar als vollständiger Schnitt zweier Flächen zweiten Grades, und sie liefert (natürlich bei Zulassung komplexer Werte der Koordinaten) ein algebraisches Gebilde vom Geschlechte p = 1. Dies soll zunächst etwas näher ausgeführt werden. Nach bekannten Sätzen u¨ ber Flächenbüschel zweiten Grades und Raumkurven vierten Grades24 ist eine singularitätenfreie Raumkurve vierten Grades erster Spezies K4 die Grundkurve eines Flächenbüschels zweiten Grades, in dem vier Kegel zweiten Grades mit vier nicht in einer Ebene gelegenen Spitzen enthalten sind. Man wähle diese vier Spitzen zu Eckpunkten eines Koordinatentetraeders im Raume. Die Koordinaten, die y1 , y2 , y3 , y4 heissen mögen, sind dann bis auf multiplikative (komplexe) Konstanten bestimmt. Man verfüge u¨ ber diese Konstanten wenigstens bei y1 , y2 , y3 in der Art, daß zwei unter den vier Kegeln die Gleichungen: y22 − y32 + a1 y42 = 0 , y32 − y12 + a2 y42 = 0 23

Journ. f. Mathem., Bd. 63 (1863). Man vergl. z. B. Heffter Lehrbuch der analytischen Geometrie“, Bd. 2 (Leipzig, 1923) ” Art. 389 ff. sowie 412 ff. 24

105

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen

gewinnen. Wegen der noch nicht endgültig festgelegten vierten Koordinate y4 ist dann bei der einzelnen Raumkurve nur erst der Quotient a1 : a2 eindeutig bestimmt. Der dritte Kegel mit der Spitze im Eckpunkte y1 = 0, y2 = 0, y4 = 0 des Koordinatentetraeders hat dann, da er dem aus den beiden ersten Kegeln entstehenden Büschel angehört, die Gleichung: y12 − y22 − (a1 + a2 )y42 = 0 . Führt man drei neue Grössen e1 , e2 , e3 durch die Gleichungen: 3e1 = −a1 − 2a2 ,

3e2 = 2a1 + a2 ,

3e3 = a2 − a1

ein, so gilt für diese drei Zahlen die Gleichung: (1)

e1 + e2 + e3 = 0 ,

und auch sie sind bei der einzelnen Raumkurve K4 durch die bisherigen Festsetzungen nur erst bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt. Die drei Kegel, deren Spitzen in der Koordinatenebene y4 = 0 liegen, haben dann die Gleichungen: ⎧ 2 y − y32 + (e2 − e3 )y42 = 0 , ⎪ ⎪ ⎨ 2 y32 − y12 + (e3 − e1 )y42 = 0 , (2) ⎪ ⎪ ⎩ 2 y1 − y22 + (e1 − e2 )y42 = 0 , und der vierte Kegel mit der Spitze im Eckpunkte y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0 des Koordinatentetraeders ist dargestellt durch: (3)

(e2 − e3 )y12 + (e3 − e1 )y22 + (e1 − e2 )y32 = 0 .

Die vorstehenden Gleichungen zwischen den y1 , y2 , y3 , y4 gehen, falls man sie in solche für die Quotienten yy14 , yy24 , yy34 umschreibt, genau in die in I, 382 aufgestellten Relationen u¨ ber, die zwischen den daselbst erklärten eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen: (4) ψk (u) = ℘(u) − ek , k = 1, 2, 3 bestehen. Diese Funktionen gehören der in I, 377 ff. erklärten Hauptkongruenz(u) gruppe Γ4 zweiter Stufe an, und sie sind in einem Diskontinuitätsbereiche dieser Gruppe, den man als Periodenparallelogramm der Ecken u = 0, 2ω2 , 2(ω1 + ω2 ), 2ω1 wählen kann, vierwertig. Erklärt man im Anschluß an jene drei Funktionen ψk (u) vier Verhältnisgrössen y1 , y2 , y3 , y4 durch: (5)

y1 : y2 : y3 : y4 = ψ1 (u) : ψ2 (u) : ψ3 (u) : 1 ,

so bestehen die Beziehungen (1), (2) und (3). Deutet man also die Verhältnisgrössen y1 , y2 , y3 , y4 als homogene Raumkoordinaten, so erscheint das Periodenparallelo-

106


gramm der Ecken u = 0, 2ω2 , 2(ω1 + ω2 ), 2ω1 eindeutig abgebildet auf unsere Raumkurve vierten Grades K4 ; und umgekehrt sind demnach die (nicht-homogenen) Koordinaten der Punkte unserer Raumkurve K4 darstellbar als eindeutige doppeltperiodische Funktionen der Perioden 2ω1 , 2ω2 . Bei Gebrauch der Sigmafunktion σ(u) und der drei zur zweiten Stufe gehörenden Funktionen σ1 (u), σ2 (u), σ3 (u) kann man an Stelle von (5) auch die Proportion benutzen: (6)

y1 : y2 : y3 : y4 = σ1 (u) : σ2 (u) : σ3 (u) : σ(u) ,

wie aus (4) in I, 384 folgt. Auch kann man mit den Jacobischen Funktionen arbeiten und hat dann zu setzen: (7)

y1 : y2 : y3 : y4 = 1 : cn w : dn w : √

1 sn w , e2 − e1

und das Periodenparallelogramm in der w-Ebene hat die Ecken w = 0, 4K, 4(K + iK ), 4iK . Um die vorstehenden Entwicklungen besser an diejenigen u¨ ber ebene Kurven dritten Grades anzupassen, wird man lieber mit dem Periodenparallelogramm der Ecken u = 0, ω2 , ω1 + ω2 , ω1 arbeiten. Man schreibe also ω1 und ω2 für die soeben benutzten Perioden 2ω1 und 2ω2 und lasse hernach den oberen Index bei ω1 , ω2 wieder fort. Die ψk (u) werden dann vierwertige doppeltperiodische Funktionen mit den neuen Perioden ω1 , ω2 , die ihre vier gemeinsamen Pole im Periodenparalleloω 1 ω 2 ω 1 + ω2 , , und ihre Nullpunkte in den Periodenvierteln gramm bei u = 0, 2 2 2 haben. Stellen wir sie auf Grund von (6) in I, 214 als Quotienten von Produkten zu je vier Sigmafunktionen dar, so gelangen wir mit Rücksicht darauf, daß: lim u ψk (u) = 1 , k = 1, 2, 3 u=0

gilt, zu folgender Darstellung der y als Funktionen von u:

⎧ ⎪ σ u − (2λ+1)ω41 +2μω2 ⎪ ⎪ ⎪ ,

y1 = eη1 u ⎪ ⎪ (2λ+1)ω1 +2μω2 ⎪ ⎪ σ λ,μ ⎪ 4 ⎪

⎪ ⎪ ⎪ 2λω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ σ u − ⎪ 4 ⎪ ⎪ ,

⎪ y2 = eη2 u ⎪ 2λω +(2μ+1)ω ⎪ 1 2 ⎨ σ λ,μ 4

(8) (2λ+1)ω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ ⎪ σ u − ⎪ 4 ⎪ (η1 +η2 )u ⎪ ,

⎪ ⎪ y3 = e (2λ+1)ω1 +(2μ+1)ω2 ⎪ ⎪ σ λ,μ ⎪ 4 ⎪

⎪ ⎪ ⎪ λω +μω 1 2 ⎪ σ u − ⎪ 2 ⎪ ⎪ .

⎪ y = −σ(u) ⎪ ⎩ 4 λω1 +μω2 σ λ,μ 2

2.9 Raumkurven vierter Ordnung und elliptische Funktionen

107

Die Produkte beziehen sich auf die vier Kombinationen (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) des Zahlenpaars (λ, μ), unter Auslassung der Kombination (0, 0) bei y4 , worauf durch den oberen Index am Produktzeichen hingewiesen wird. Der Zusatz der Exponentialfunktion bewirkt, daß die Quotienten dieser y doppeltperiodisch werden. Wir haben die y als singuläre Koordinaten“ für die Darstellung der Raumkurve ” K4 zu bezeichnen; denn sie entsprechen den singulären Koordinaten bei der ebenen Kurve dritten Grades. Allgemein ist die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß vier Punkte der K4 in einer Ebene liegen, diejenige, daß ihre vier zugehörigen Argumente u1 , u2 , u3 , u4 die Kongruenz erfüllen: (9)

u1 + u2 + u3 + u4 ≡ 0

(mod ω1 , ω2 ) .

λω1 + μω2 , wo λ, μ = 0, 1, 2, 3 gilt, liefern alDie 16 Periodenviertel u = 4 so solche Stellen, an denen die K4 mit einer Ebene vier zusammenfallende Punkte gemein hat. Es handelt sich um die 16 Wendeberührungspunkte“ der K4 , die ” zu einer entsprechenden Konfiguration führen, wie die neun Wendepunkte der ebenen Kurve dritten Grades25 . Eine durch drei Wendeberührungspunkte gelegte Ebene schneidet die Kurve dann noch in einem vierten Wendeberührungspunkt und mag eine Wendeebene“ heissen. Ein System von vier Wendeebenen, die alle sechzehn ” Wendeberührungspunkte ausschneiden, bildet ein Wendevierflach“, wenn wir die ” Bezeichnungen bei den ebenen Kurven dritten Grades hier u¨ bertragen. Eines dieser Wendevierflache ist unser singuläres Koordinatentetraeder. ¨ Zur Ubertragung der bei der K3 benutzten kanonischen Koordinaten, die mit elliptischen Funktionen erster Stufe und also rationalen Invarianten arbeiten, hat man zu setzen: (10)

x1 : x2 : x3 : x4 = ℘(u) : ℘ (u) : ℘ (u) : 1 .

Die Kurve stellt sich dann zunächst als Schnitt eines Kegels dritten Grades mit einem solchen zweiten Grades dar, Flächen, deren Gleichungen aus den beiden Relationen: ℘ (u)2 = 4℘(u)3 − g2 ℘(u) − g3 ,

2℘ (u) = 12℘(u)2 − g2

entstehen. Indem man aber in der mit 3 multiplizierten ersten Gleichung rechter Hand im ersten Gliede 12℘(u)2 durch 2℘ (u) + g2 ersetzt, erhält man die weitere Relation: 3℘ (u)2 = 2℘(u)℘ (u) − 2g2 ℘(u) − 3g3 . Die beiden letzten Gleichungen liefern unsere K4 in kanonischen Koordinaten x1 , x2 , x3 , x4 als Schnitt der beiden durch: (11) 25

12x21 − g2 x24 − 2x3 x4 = 0 ,

3x22 + 3g3 x24 − 2x1 x3 + 2g2 x1 x4 = 0

Diese Verhältnisse findet man in dem hier in Betracht kommenden Sinne behandelt bei E . L a n g e Die sechzehn Wendeberührungspunkte einer Raumkurve vierter Ordnung erster ” Spezies“, Zeitschr. f. Mathem. u. Phys., Bd. 28, S. 1 (1883).

108


gegebenen Flächen zweiten Grades, von denen die erste einen der vier Kegel des zugrunde liegenden Flächenbüschels zweiten Grades darstellt. Einer der sechzehn Wendeberührungspunkte liefert die Ecke x1 = 0, x2 = 0, x4 = 0 des kanonischen Koordinatentetraeders, und die Kurve wird von dieser Ecke aus auf die gegenüberliegende Ebene x3 = 0 durch den oben genannten Kegel dritten Grades in die Kurve dritten Grades der Gleichung: (12)

x22 x4 − 4x31 + g2 x1 x24 + g3 x34 = 0

projiziert, womit wir zu unserer Kurve dritten Grades in kanonischen Koordinaten zurückgelangen. An das Additionstheorem kann man wieder ausgedehnte Entwicklungen u¨ ber eindeutige Transformationen der K4 in sich anschliessen. Insbesondere liefern die Substitutionen: u = ±u +

λω1 + μω2 , 4

λ, μ = 0, 1, 2, 3

¨ 32 eine G32 bildende Kollineationen der K4 in sich, welche den Ubergang zwischen den verschiedenen kanonischen Koordinatensystemen vermitteln26 .

¨ Uber die Verallgemeinerung der Entwicklungen dieses Kapitels auf elliptische Normalkurven ” nten Grades im Raume von (n − 1) Dimensionen“ vergl. man die S. 84 genannte Abhandlung von K l e i n sowie die Darstellung in den Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunk” tionen“, II, 236 ff. 26

Kapitel 3

Vermischte geometrische Anwendungen.

3.1 Ponceletsche Polygone. In einer Ebene seien zwei Ellipsen gegeben, von denen die eine ganz innerhalb der anderen liegt. Von einem Punkte P0 der a¨ usseren Ellipse ziehe man in der Richtung, die den positiven Umlauf um die innere ElP4 lipse (im u¨ blichen Sinne gedacht) einleitet, P0 P3 die Tangente an die innere Ellipse bis zum Punkte P1 der a¨ usseren Ellipse. Von P1 aus ziehe man die weitere die innere Ellipse P 1 berührende Sehne P1 P2 der a¨ usseren Ellipse und fahre in gleicher Weise fort (vergl. Fig.18). Poncelet1 hat nun folgenden Satz P2 P5 erkannt: Trifft es sich, daß bei unserer Konstruktion der Punkt Pn mit dem AusFig. 18 gangspunkte P0 zusammenfällt, daß sich also die Konstruktion schließt und ein etwa m Male die innere Ellipse umlaufendes Polygon von n Seiten liefert, so wird die gleiche Tatsache mit denselben Zahlen m und n auch zutreffen, wenn man einen beliebigen anderen Ausgangspunkt P0 auf der a¨ usseren Ellipse wählt. Ein solches m Male um den inneren Kegelschnitt gewundenes geschlossenes Polygon von n Seiten wird als ein Ponceletsches Polygon“ ” bezeichnet. J a c o b i hat diesen Ponceletschen Satz für den Spezialfall zweier Kreise mittels elliptischer Funktionen sehr einfach beweisen können2 . Er fragt dabei insbesondere, welche Beziehung zwischen den beiden Kreisradien R und r und ihrer Zentrale l bestehen müsse, damit für zwei gegebene Zahlen m und n Ponceletsche Polygone ¨ existieren. Ubrigens bemerkt Jacobi, daß der von ihm behandelte Fall gegenüber

1

Vergl. dessen Traité des propriétés projectives des figures“ (Paris, 1822) S. 361. ” in der Abhandlung Anwendung der elliptischen Transzendenten auf ein Problem der Elemen” targeometrie“, Journ. f. Mathem., Bd. 3, S. 376 (1828) oder Jacobi’s Werke, Bd. 1, S. 279–293. 2


109

110

3 Vermischte geometrische Anwendungen

Poncelet kein Spezialfall sei, da zwei wie oben gedachte Ellipsen stets kollinear in ein Kreispaar transformierbar seien3 . Diese letztere Behauptung ist leicht durch bekannte Sätze aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte zu beweisen4 . Die beiden Ellipsen geben zur Bildung eines Kegelschnittbüschels Anlaß, in dem drei zerfallende Kegelschnitte enthalten sind. Hierbei handelt es sich (von einem gleich zu nennenden Spezialfall abgesehen) um zwei reelle Gerade und zwei Paare konjugiert imaginärer Geraden mit je einem reellen Schnittpunkte. Die drei reellen Schnittpunkte je der beiden Geraden des einzelnen Paares liefern die Ecken des gemeinsamen Polardreiecks beider Ellipsen, das somit reell ist. Der besondere Fall aber ist der, daß die beiden Ellipsen in doppelter Berührung mit konjugiert imaginären Berührungspunkten sind. Die Verbindungsgerade derselben ist als reelle Doppelgerade im Büschel enthalten, und deren Pole in bezug auf beide Ellipsen koinzidieren in einem Punkt. Man hat dann eine kontinuierliche Schar von Kollineationen, die den eben genannten Pol zum Fixpunkte haben und jeden Kegelschnitt des Büschels in sich verschieben5 . Der Ponceletsche Satz wird dann selbstverständlich, insbesondere wenn wir noch das Ellipsenpaar kollinear in ein Paar konzentrischer Kreise u¨ berführen. Liegt dieser besondere Fall nicht vor, so wähle man das reelle gemeinsame Polardreieck der beiden Ellipsen zum Koordinatendreieck und gehe von ihm insbesondere zu kartesischen Koordinaten x, y in der Weise u¨ ber, daß die a¨ ussere Ellipse der Kreis des Radius 1 um den Nullpunkt der x, y-Ebene wird. Beide Kurven haben dann die Gleichungen: (1)

x2 + y 2 = 1 ,

x2 y2 + 2 =1, 2 a b

b 0 gelten soll. Eine auf dieser Fläche verlaufende Kurve heißt eine geodätische Linie“, wenn in jedem ihrer Punkte ihre Hauptnormale mit der ” Flächennormale zusammenfällt. Für zwei auf einer solchen Kurve einander hinreichend nahe gewählte Punkte ist dann das zwischen ihnen verlaufende Kurvenstück die kürzeste zwischen ihnen auf der Fläche mögliche Verbindung9 . Stellt man die Koordinaten x, y, z der Kurvenpunkte als Funktionen der Bogenlänge s der Kurve dar, so sind bekanntlich die Richtungskosinus der Hauptnormalen proportional den d2 x d2 y d2 z zweiten Ableitungen 2 , 2 , 2 , während andrerseits die Richtungskosinus der ds ds ds ∂f ∂f ∂f , , proportional sind. Als Differentialgleichungen für Flächennormale zu ∂x ∂y ∂z eine geodätische Linie hat man demnach allgemein: d2 x ∂f , =τ ds2 ∂x

d2 y ∂f , =τ ds2 ∂y

d2 z ∂f , =τ ds2 ∂z

mithin im Falle unseres abgeplatteten Umdrehungsellipsoids (1): (2)

d2 x = τ b2 x , ds2

d2 y = τ b2 y , ds2

d2 z = τ a2 z , ds2

wo τ ein (von x, y, z abhängig zu denkender) Proportionalitätsfaktor ist.

8

Messenger of mathem., Reihe 2, Bd. 12, S. 100 (1882). ¨ Man vergl. z. B. L. Bianchi Vorlesungen u¨ ber Differentialgeometrie“, deutsche Ubersetzung ” von M . L u k a t (Leipzig, 1899), S. 152 ff. 9

3.2 Darstellung der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

115

Zur Orientierung auf der Fläche bedienen wir uns der vom ErdP sphäroid hergenommenen BezeichN nungen. Es soll also der SchnittP kreis des Ellipsoids mit der x, y¨ Ebene als Aquator“ bezeichnet wer” den, der Schnittpunkt der positiven z-Achse mit der Fläche als Nordβ β ” pol“ und derjenige mit der negativen O Q z-Achse als Südpol“. Die z-Achse ” Fig. 20 selbst heisse kurz die Achse“ der ” Umdrehungsfläche. Die Meridiane“ nummerieren wir durch ihre o¨ stliche Länge“ ” ” λ, wobei durch die positive x-Achse der zu λ = 0 gehörende Anfangsmeridian“ ” gegeben ist. Die Breite“ β eines Flächenpunktes P ist der spitze Neigungswinkel ” der zugehörigen Flächennormale gegen die x, y-Ebene; β werde für das obere Halbellipsoid (dasjenige mit z > 0) positiv genommen, für das untere aber negativ. Die reduzierte Breite“ β ist nach Angabe der Fig. 20, die sich auf die Meridian” halbebene von P bezieht, zu erklären. Die z-Koordinate P Q des Punktes P ist bis zu dem mit dem Meridian konzentrischen Kreise des Radius a verlängert. Dann ist β der Neigungswinkel des Radius OP gegen die x, y-Ebene, wobei das Vorzeichen von β mit dem von β u¨ bereinstimme. Man hat einfach: az , tg β = b x2 + y 2 wenn x, y, z die Koordinaten von P sind und die Quadratwurzel positiv genommen wird. Andrerseits wird als Beziehung zwischen der Breite β und der reduzierten Breite β aus Fig.20 leicht die folgende abgelesen: tg β =

b tg β . a

Die Differentialgleichungen (2) der geodätischen Linie kann man durch elliptische Funktionen integrieren, wobei man zu Darstellungen der Koordinaten x, y, z und ebenso der Bogenlänge s als eindeutiger elliptischer Funktionen eines geeignet variabel zu denkenden Argumentes u hingelangt. Zunächst ergiebt sich aus den beiden ersten Differentialgleichungen (2):

d2 y dy dx d2 x d x 2 −y 2 = x −y =0, ds ds ds ds ds mithin durch Integration: (3)

x dy − y dx = c · ds ,

wo c eine für die einzelne geodätische Linie charakteristische Konstante ist. Für c = 0 gelangen wir zu einer Meridiankurve des Ellipsoids (1). Sehen wir zunächst

116


von diesem einfachen Falle ab, so können wir statt (3) auch: r dλ = c ds

schreiben, wo r = x2 + y 2 der Abstand von der Achse“ und λ die Länge“ ist. ” ” Jetzt ist also dλ von 0 verschieden. Rechnen wir die Bogenlänge so, daß s mit λ wächst, so ist c > 0. Ist γ der spitze (positive oder negative) Neigungswinkel von ds gegen die x, y-Ebene10 und ds die Projektion von ds auf diese Ebene, so folgt: c ds = p ds , r dλ = c ds = c = p cos γ , cos γ wenn man unter p die Lotlänge vom Nullpunkte auf die Tangente im Punkte (x, y) der auf die x, y-Ebene projizierten geodätischen Linie versteht. Natürlich ist stets p a. Es folgt: Die erste für die geodätische Linie charakteristische Konstante c gehört dem Intervall: 0ca

(4)

an, wenn wir für die von Meridiankurven verschiedenen geodätischen Linien s mit λ wachsend annehmen. Es läßt sich nun eine Differentialgleichung zwischen z und s auf folgende Art gewinnen. In der identischen Gleichung: (x2 + y 2 )(dx2 + dy 2 ) = (x dx + y dy)2 + (x dy − y dx)2 können wir für die beiden ersten Faktoren links und rechts nach (1) setzen: x2 + y 2 = a2 −

a2 2 z , b2

x dx + y dy = −

a2 z dz , b2

während man für die beiden letzten Faktoren (ds2 − dz 2 ) bezw. c2 ds2 schreiben kann. Man erhält nach kurzer Zwischenrechnung die fragliche Differentialgleichung in der Gestalt: 2 b2 (a2 − c2 )b2 − a2 z 2 dz (5) . = 2 2 ds a (a − b2 )z 2 + b4 Die Bogenlänge s erscheint hier in z als ein elliptisches Integral darstellbar. Um aber die elliptischen Funktionen sogleich in besonders zweckmässiger Weise einzuführen, gehen wir den folgenden Weg: Wir berechnen die drei reellen Grössen e1 , e2 , e3 aus den Gleichungen: (6) e2 − e3 = b2 ,

10

e3 − e1 =

(a2 − b2 )(a2 − c2 ) , a2

e1 + e2 + e3 = 0 .

Das Vorzeichen von γ werde nach derselben Regel bestimmt, wie bei β und β .

117


Aus a > b, a > c folgen dann die Ungleichungen: e1 < e3 < e2 .

(7)

¨ Den Fall a = c denken wir hierbei ausgeschlossen. Uber diesen Fall gilt folgende Betrachtung: Für den Achsenabstand r gilt r p c, also: r 2 = x2 + y 2 =

a2 2 b − z 2 c2 , b2

woraus sich für z berechnet: z2

(8)

b2 2 a − c2 . 2 a

¨ Im ausgeschlossenen Falle c = a ist also die geodätische Linie einfach der Aqua” 2 tor“, da in diesem Falle z konstant gleich 0 ist. Für z folgen aus (6) und (8) die Ungleichungen: 0

(9)

a 2 − b2 2 z e3 − e1 . b2

Die drei reellen Grössen e verschwindender Summe haben zufolge (7) die in I, 173 vereinbarte Anordnung. Wir führen das zugehörige Integral erster Gattung u ein, dem das primitive Periodenpaar ω1 , ω2 zugehöre; ω2 ist positiv reell und ω1 positiv imaginär. Das Periodenrechteck und die Ebene von Z = ℘(u) sind schematisch in Fig. 21 dargestellt, wobei die beiden schraffierten Teilrechtecke der positiven Z-Halbebene in bekannter Weise entsprechen. Schreiben wir: (10)

a2 − b2 2 z = e3 − ℘(u) , b2

ω1

1111 0000 0000 1111 0000 1111 u Ebene 0000 1111 0000 1111 0000 u 0 1111 0000 1111 0000( e ) 1111 0000 1111 3 00000 11111 0000 1111 00000 11111 ( e1 ) 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000ω2 11111 0 Z Ebene

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 e e e 1

3

2

2

so wird sich z in dem für uns vorgeschriebenen Intervalle (9) bewegen, falls u die in Fig.21 stark Fig. 21 ausgezogene Mittellinie des Parallelogramms und ihre Verlängerung beschreibt; wir haben nämlich ein reelles und zufolge (9) dem Intervalle: (11)

e1 ℘(u) e3

angehörendes ℘(u). Die weiterhin zu lösende Aufgabe soll nun sein, indem wir u zur unabhängigen Variablen machen, die Koordinaten x, y, z der Punkte der geodätischen Linie und ihre Bogenlänge als Funktionen von u darzustellen, wobei die geodätische Linie als Abbild der in Fig. 21 stark ausgezogenen Geraden erscheint.

118


Führt man in (5) rechts für z 2 seinen aus (10) folgenden Ausdruck in u ein, so nimmt die Differentialgleichung (5) die Gestalt an: dz 2 ds

=

℘(u) − e1 b2 . a2 − b2 e2 − ℘(u)

Andrerseits folgt aus (10), wenn man nach s differenziert, sodann quadriert und z 2 nach (10) durch u ausdrückt:

so daß man:

dz ds

2 =

b2 ℘ (u)2 a2 − b2 4 e3 − ℘(u)

℘ (u)2 ℘(u) − e1 = e2 − ℘(u) 4 e3 − ℘(u)

du ds

du ds

2 ,

2

findet. Wegen der zwischen ℘(u) und ℘ (u) bestehenden Relation folgt für das Bogendifferential ds: (12) ds = e2 − ℘(u) du , wenn wir den Bogen s mit wachsendem reellen Bestandteil von u selbst als wachsend annehmen. Rechnet man die Bogenlänge s von dem u = ω21 entsprechenden Punkte der geodätischen Linie an, so folgt aus der letzten Gleichung: Die Bogenlänge s der geodätischen Linie stellt sich in u vermöge des Weierstraßschen Integrals zweiter Gattung ζ(u) so dar: (13)

1 1 s = ζ(u) + e2 u − η1 − e2 ω1 . 2 2

Zur Berechnung von z als Funktion von u hat man an die Gleichung (2) in I, 383 anzuknüpfen; man findet:

⎞2 ⎛ ω1 + ω2 σ u + ⎜ ⎟ b2 b2 2 −(η1 +η2 )u ⎜ ⎟ .

z2 = 2 − ℘(u) = − e e 3 ⎝ ω 1 + ω2 ⎠ a − b2 a 2 − b2 σ(u) σ 2 Hieraus folgt: Die Darstellung der Koordinate z für die Punkte der geodätischen Linie als eindeutige Funktion von u ist geleistet durch:

ω1 + ω2 σ u+ 1 ib 2

. (14) z= √ e− 2 (η1 +η2 )u 2 2 ω 1 + ω2 a −b σ(u) σ 2 Es ist hier u¨ ber das Vorzeichen beim Quadratwurzelziehen verfügt. Wie sich bald zeigen wird, entspricht dem Anfangswerte ω21 des Argumentes u ein positiver Anfangswert z.


119

Zur Berechnung von x und y führen wir einen gewissen auf der imaginären u-Achse zwischen ω21 und ω1 gelegenen Hilfspunkt u0 ein. Lässt man in (10) das Argument u von ω21 an diesen Teil der imaginären Achse durchlaufen, so wächst z 2 2 von dem unter b2 liegenden Anfangswerte ab 2 (a2 − c2 ) bis +∞. Es giebt hier also ein bestimmtes Argument u0 , für welches z 2 = b2 wird und damit die Gleichung: a2 − b2 = e3 − ℘(u0 )

(15)

zutrifft. Wir notieren unter Gebrauch dieses Hilfspunktes u0 folgende Darstellung von a2 , b2 und c2 : e1 − ℘(u0 ) e2 − ℘(u0 ) 2 2 2 . (16) a = e2 − ℘(u0 ) , b = e2 − e3 , c = e3 − ℘(u0 ) Die letzte Gleichung kann man nach Erweiterung der rechten Seite mit e3 −℘(u0 ) und Multiplikation mit −4 unter Einführung der ℘ -Funktion auch so schreiben: (2ic)2 =

℘ (u0 ) ℘(u0 ) − e3

2 .

Da c > 0 gilt, gelangt man durch Ausziehen der Quadratwurzel zu folgender Gleichung zwischen c und u0 : 2ic =

(17)

℘ (u0 ) ; ℘(u0 ) − e3

denn bei der Lage des Hilfspunktes u0 ist ℘ (u0 ) negativ imaginär und ℘(u0 ) reell und < e3 . An Stelle von c kann man demnach auch u0 als erste Integrationskonstante benutzen. Zur Berechnung von x und y entnehmen wir zunächst aus (10), (15) und (16): (18)

x2 + y 2 =

e2 − ℘(u0 ) a2 2 2 ℘(u) − ℘(u b = − z ) . 0 b2 e3 − ℘(u0 )

Andrerseits finden wir mit Benutzung von (3): d log

2i(x dy − y dx) x + iy 2ic = = 2 ds , x − iy x2 + y 2 x + y2

also wegen (17), (18) und (12): (19)

x + iy ℘ (u0 ) ℘(u) − e2 d log = · . du x − iy e2 − ℘(u0 ) ℘(u) − ℘(u0 )

Man hat hier rechts bei beliebig variablem u eine zweiwertige doppeltperiodische Funktion mit zwei einfachen Polen bei u0 und −u0 , die sich nach (6) in I, 206 mittels des Normalintegrals zweiter Gattung in der Gestalt:

120


d x + iy log = A0 + A1 ζ(u − u0 ) − A1 ζ(u + u0 ) du x − iy mit von u unabhängigen Koeffizienten darstellen läßt. Für lim u = u0 gilt ℘(u) − ℘(u0 ) = ℘ (u0 )(u − u0 ); also findet man wegen des Anfangsgliedes der Entwicklung von ζ(u − u0 ) nach Potenzen von (u − u0 ) für A1 den Wert −1. Da unω2 verschwindet, ist ihre fertige sere doppeltperiodische Funktion weiter für u = 2 Darstellung durch das Normalintegral zweiter Gattung: d x + iy ω2 log = ζ(u + u0 ) − ζ(u − u0 ) − 2ζ u0 − − η2 , du x − iy 2 wie man mit Rücksicht auf das Periodenverhalten (4) in I, 196 des Normalintegrals ζ erkennt. Nun folgt andrerseits aus (18) und den Formeln (1) und (2) in I, 202: ℘ (u) d log (x + iy)(x − iy) = = ζ(u + u0 ) + ζ(u − u0 ) − 2ζ(u) . du ℘(u) − ℘(u0 ) Durch Addition und Subtraktion der beiden letzten Gleichungen gelangen wir für die Berechnung von x und y als Funktionen von u zu den Differentialgleichungen: d log(x + iy) = ζ(u + u0 ) − ζ(u) − ζ u0 − du d log(x − iy) = ζ(u − u0 ) − ζ(u) + ζ u0 − du

ω2 − 2 ω2 + 2

η2 , 2 η2 . 2

Durch Integration und Berechnung von (x ± iy) aus log(x ± iy) gelangt man für (x ± iy) zu Ausdrücken, die man in die Gestalten kleiden kann:

(20)

⎧ σ(u + u0 ) −u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ 2 2 ⎪ x + iy = c e , 1 ⎨ σ(u)σ(u0 ) ⎪ σ(u − u0 ) +u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎩ x − iy = c2 2 2 , e σ(u)σ(u0 )

wo c1 und c2 zwei von u unabhängige Grössen sind. Das Produkt der beiden noch zu bestimmenden Grössen c1 , c2 ist sofort angebbar. Man folgert aus (20) mit Benutzung von (14) in I, 217: x2 + y 2 = c1 c2

σ(u + u0 ) σ(u − u0 ) = −c1 c2 ℘(u) − ℘(u0 ) σ(u)2 σ(u0 )2

und also wegen (18), (16) und (15): (21)

c1 c2 = −

a2 e2 − ℘(u0 ) =− 2 . e3 − ℘(u0 ) a − b2


121

Weiter beachte man, daß für unsere geodätische Linie nur die Argumente u = u + ω21 mit reellen Werten u zur Benutzung kommen. Diese Argumente u müssen gleiche Absolutbeträge |x ± iy| liefern, woraus wir für den Absolutbetrag des Quotienten der c folgern: c1 σ(u − u0 ) 2uζ (u0 − ω2 )+ η2 . 2 2 (22) c2 = σ(u + u0 ) · e Der erste Faktor rechts läßt sich so umgestalten: Aus der ersten Formel (7) in I, 209 folgt bei Benutzung des eben erklärten reellen Argumentes u : ω1 ω1 − u0 = −eη1 (u −u0 ) σ u − − u0 . σ u + 2 2 ω Nun ist 21 + u0 rein imaginär und u reell. Bei dem vorliegenden rechteckigen Periodenparallelogramm sind also die beiden Werte: ω1 ω1 σ u − − u0 , + u0 σ u + 2 2 konjugiert komplex, mithin von gleichem absoluten Betrage. Da u¨ berdies η1 rein imaginär ist11 , so finden wir wegen des reellen u aus der letzten Gleichung nach Wiedereinführung von u: σ(u − u0 ) = e−η1 u0 · σ(u + u0 ) , woraus sich der erste Faktor in (22) rechts bestimmt: σ(u − u0 ) −η1 u0 . σ(u + u0 ) = e Wegen des zweiten Faktors in (22) rechts folgere man aus (4) in I, 196 für das Integral zweiter Gattung: ω2 1 ω2 1 + η2 = −ζ −u0 − − η2 ζ u0 − 2 2 2 2 oder, da für unser rein imaginäres u0 an Stelle von −u0 auch der zu u0 konjugierte Wert u0 geschrieben werden kann:

ω2 1 ω2 1 + η2 = − ζ u0 − + η2 . ζ u0 − 2 2 2 2 Die Koeffizienten der Potenzreihe (2) in I, 201 des Integrals zweiter Gattung sind in unserem Falle reell. In der letzten Gleichung steht also links ein Ausdruck, der als einzigen nicht reellen Bestandteil u0 enthält, und der in seinen entgegengesetzten Wert u¨ bergeht, falls man u0 durch u0 ersetzt. Also hat dieser Ausdruck rein Wir haben rein imaginäres ω1 und reelles ω2 , mithin nach (15) in I, 271 ein reelles η2 und also nach (6) in I, 160 ein rein imaginäres η1 . 11

122


imaginären Wert. Da u = u + ω21 mit reellem u gilt, so folgt für den zweiten Faktor in (22) rechts: η ω 2u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ω ζ u − 2 + 2 e 2 2 =e 1 ( 0 2 ) 2 . Unter Zusammenfassung beider Ergebnisse finden wir somit: η2 ω2 c1 = e−η1 u0 +ω1 ζ (u0 − 2 )+ 2 . c2 Aus dieser Gleichung und der Gleichung (21) berechnet man für die c1 , c2 die Ausdrücke: η1 u0 ω1 η2 ω2 aeθi c1 = + √ e− 2 + 2 ζ (u0 − 2 )+ 2 , a 2 − b2 η1 u0 ω1 η2 ω2 ae−θi c2 = − √ e+ 2 − 2 ζ (u0 − 2 )+ 2 , a 2 − b2 wo die Quadratwurzel positiv genommen werden mag und θ als reeller Winkel willkürlich wählbar ist. Durch Eintragen dieser Ausdrücke von c1 und c2 in die Gleichungen (20) gelangen wir zum Ziele: Die Koordinaten x, y der Punkte unserer geodätischen Linie berechnen sich als Funktionen von u aus: ⎧ θi σ(u + u0 ) − η1 u0 − u− ω1 ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎪ x + iy = + √ ae 2 2 2 2 , e ⎪ ⎨ a2 − b2 σ(u)σ(u0 ) (23) ⎪ ae−θi σ(u − u0 ) + η1 u0 + u− ω1 ζ (u0 − ω2 )+ η2 ⎪ ⎪ 2 2 2 , ⎩ x − iy = − √ e 2 a2 − b2 σ(u)σ(u0 ) wo θ neben u0 als Integrationskonstante auftritt. Statt u0 kann, wie schon bemerkt, auch c als erste Integrationskonstante benutzt werden. In (23), (14) und (13) ist die Darstellung der Koordinaten der Punkte unserer geodätischen Linie, sowie ihrer Bogenlänge s als eindeutiger elliptischer Funktionen des Argumentes u, d. h. des reellen Argumentes u = u − ω21 gewonnen.

3.3 Verlauf der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid. Von den beiden Integrationskonstanten c und θ ist die zweite ohne wesentliche Bedeutung. Von θ hängen nur x und y, aber nicht z ab. Man erkennt aus (23) in 3.2, ¨ daß eine Anderung von θ nur eine Drehung der geodätischen Linie um die Achse“ ” zur Folge hat, ohne daß sich ihre Gestalt a¨ ndert. Die Gestalt der geodätischen Linie hängt demnach allein von c ab, und wir dürfen zur näheren Diskussion θ speziell π wählen, z. B. gleich setzen, was geschehen soll. Wir führen ausserdem die reelle 2

123

3.3 Verlauf der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

Variable u = u − ω21 wieder ein und ziehen neben der Funktion σ(u) auch die drei geraden σ-Funktionen zweiter Stufe σk (u) heran, die mit der ursprünglichen σ-Funktion durch die Gleichungen: 1 ωk σk (u) = −e+ 2 ηk u σ u − , 2 2 ω 1 ωk k σk (u) = +e− 2 ηk u σ u + σ 2 2 σ

ω k

k = 1, 2, 3

zusammenhängen (vergl. I, 384); hierbei gilt: ω3 = −ω1 − ω2 ,

η3 = −η1 − η2 .

Es rechnen sich nun zunächst die beiden Ausdrücke (23) aus 3.2 für (x ± iy) π nach Eintragung von θ = und Gebrauch der σ1 -Funktion um in: 2 ⎧ σ1 (u + u0 ) −u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ai ⎪ ⎪ 2 2 , √ e x + iy = ⎪ ⎨ a2 − b2 σ1 (u )σ(u0 ) (1) ⎪ σ1 (u − u0 ) +u ζ (u0 − ω2 )+ η2 ai ⎪ ⎪ 2 2 √ e , ⎩ x − iy = a2 − b2 σ1 (u )σ(u0 ) während sich der Ausdruck (14) aus 3.2 für z unter Beibehaltung des Argumentes u vermittels der Funktionen σ(u) und σ3 (u) einfach so darstellt: z=√

(2)

σ3 (u) bi . a2 − b2 σ(u)

ω1 werden die beiden Ausdrücke in (1) rechts einander gleich, Für u = 0, u = 2 so daß y = 0 gilt und also der zugehörige Punkt der geodätischen Linie in der x, zEbene und damit auf dem Anfangsmeridian liegt. Andrerseits nimmt z 2 zufolge (10) in 3.2 hier seinen Maximalwert: z2 =

a2

b2 b2 (e3 − e1 ) = 2 (a2 − c2 ) 2 −b a

an. Dabei wird z positiv:

b 2 a − c2 , a wie aus (2) folgt; denn aus den Formeln von I, 405 liest man leicht ω ab, daß bei dem 1 vorliegenden Werte des Periodenverh¨ a ltnisses ω der Wert σ positiv reell und 3 2 ω 1 der Wert σ 2 positiv imaginär ist. Der Verlauf der geodätischen Linie von ihrem auf dem Anfangsmeridian gelegeb√ 2 nen höchsten Punkte der Koordinaten x = c, y = 0, z = a − c2 aus wird nun a durch folgende Angaben festgestellt. Bei dem Zeichenwechsel von u werden die beiden rechten Seiten der Gleichungen (1) ausgetauscht, so daß x erhalten bleibt, z=+

124


während y das Zeichen wechselt. Auch z bleibt unverändert, wie aus der leicht gewinnbaren Darstellung12 : 1 1 1 σ ω22 σ (u ) bi ω1 η1 − ω1 η2 + ω2 η1 4 2 ω ω 2 e4 (3) z=√ σ 21 σ 23 σ1 (u ) a 2 − b2 hervorgeht. Die ausgewählte geodätische Linie verläuft somit symmetrisch zur Anfangsmeridianebene. Läßt man weiter u und damit u um ω2 wachsen, so ergiebt sich aus den Regeln (5) und (6) in I, 384, daß z einfach einen Zeichenwechsel erfährt. Die Koordinaten x, y aber gehen in x , y u¨ ber, wobei: (4)

x + iy = eiψ (x + iy)

ist, unter ψ den folgenden reellen Winkel verstanden:

ω2 η 2 + . (5) ψ = −iu0 · η2 + ω2 · i ζ u0 − 2 2 Der Vermehrung von u um ω2 entspricht also eine Transformation der geodätischen Linie in sich, bei der diese Linie um die Achse“ durch den Winkel ψ gedreht und ” ω2 zugleich an der x, y-Ebene gespiegelt wird. Bei u = erreicht die geodätische 2 Linie zum ersten Male die x, y-Ebene. Die geodätische Linie zeigt hiernach auf dem Umdrehungsellipsoid einen periodischen Verlauf a¨ hnlich wie eine Sinuslinie, oder besser wie die Kosinuslinie, wobei der Periode 2π der letzteren die Länge“ λ = 2ψ als Periode der geodätischen ” Linie entspricht. Höchste Punkte der geodätischen Linie liegen auf den Meridianen der Längen λ = 0, ±2ψ, ±4ψ, ±6ψ, . . . , tiefste Punkte bei denen der ¨ Längen λ = ±ψ, ±3ψ, ±5ψ, . . . , während die Schnittstellen mit dem Aquator 1 3 5 die Längen ± 2 ψ, ± 2 ψ, ± 2 ψ, . . . haben. Die geodätische Linie schließt sich nach endlich vielen Wellenzügen stets und nur dann, wenn ψ zu π in einem rationalen Verhältnis steht. Aber auch in dem letzteren Falle eines gegen π rationalen ψ ist die geodätische Linie keine algebraische Kurve, wenn man nur von den beiden ele¨ mentaren Fällen des Aquators und eines Meridians absieht, die den Werten c = a und c = 0 der Integrationskonstanten entsprechen. Die in (23) aus 3.2 gegebene eindeutige Funktion (x+iy) von u hat jetzt zwar die Periode m2 ω2 mit einer gewissen ganzen Zahl m2 . Sie muß aber auch, wenn sie mit z also mit ℘(u) algebraisch zusammenhängen soll, eine Periode m1 ω1 mit ganzer Zahl m1 haben. Daraus folgt bei der Bauart der rechten Seite der ersten Gleichung (23) aus 3.2, daß: η2 ω2 em1 η1 u0 −m1 ω1 ζ (u0 − 2 )+ 2 = 1 sein muß, und da der Exponent reell ist, auch:

12

Zufolge der Legendreschen Relation ` ´ (s. I, 160) kann der Exponentialfaktor in (3) vereinfacht werden zu (−1) exp 14 (η1 + η2 ) ω1 . [Anm. d. Hrsg.]

125

3.3 Verlauf der geodätischen Linien auf dem Umdrehungsellipsoid

ω2 η2 + η1 u0 = ω1 ζ u0 − 2 2 gelten muß. Nun ist diese Gleichung zwar für u0 = ω21 erfüllt, was wieder zum Meridian zurückführt; sie besteht aber nicht für irgend ein weiteres rein imaginäres u0 zwischen ω21 und ω1 ,13 womit die Behauptung bewiesen ist. Unter dem Azimut“ α der geodätischen Linie in einem ihrer Punkte (x, y, z) ” versteht man den konkaven Winkel, den die in Richtung wachsender Bogenlänge genommene Tangente gegen den nach dem Nordpole gerichteten Meridian bildet. Dieser Winkel ist stumpf bei abnehmendem z und spitz bei zunehmendem. Der Sinus des Azimuts α ist gleich dem Kosinus des Winkels δ zwischen der wie bezeichnet gerichteten Tangente und dem in Richtung wachsender Länge λ genommenen dx dy dz Parallelkreise. Die Richtungskosinus der Tangente sind , , , diejenigen des ds ds ds y x Parallelkreises aber − , , 0. Man findet demnach: x2 + y 2 x2 + y 2 dx dy x y + sin α = − 2 2 2 2 ds x +y x + y ds und gelangt mit Benutzung von (3) aus 3.2 zu dem Satze: Für das Azimut α der geodätischen Linie im Punkte (x, y, z) gilt die Gleichung: c bc sin α = = √ . 2 2 a b2 − z 2 x +y

(6)

¨ Insbesondere wird der Aquator von der geodätischen Linie unter dem Winkel δ = arccos ac geschnitten. Für das Erdsphäroid hat man angenähert a : b = 293 : 292. Etwas genauer gilt, ¨ falls man den Radius a des Aquators als Längeneinheit wählt, für die halbe Erdachse b und das Quadrat der Exzentrizität ε eines Meridians: b = 0, 996639 . . . ,

ε2 = 0, 006710 . . . .

Die Beziehung zwischen der Breite β und der reduzierten Breite β des einzelnen Punktes der Erdoberfläche ist nach S. 115 angenähert: tg β = 0, 996639 · tg β , ¨ so daß zwischen Aquator und Pol die reduzierte Breite β absolut immer etwas kleiner ausfällt als die Breite β . 13

Es besteht nämlich die Gleichung: d du

„

„

η2 ω2 η1 u− −ζ u− ω1 2 2

««

deren rechte Seite für die rein imaginären u zwischen

„

=

η1 ω2 +℘ u− ω1 2

«

,

ω1 und ω1 reell und positiv ist. 2

126


Die einzelne geodätische Linie ist durch einen ihrer höchsten Punkte eindeutig gegeben. Die reduzierte Breite dieses höchsten Punktes sei β0 ; vom Meridian dieses höchsten Punktes ab messen wir wieder die o¨ stliche Länge λ. Die Konstante c und die Differenzen der e1 , e2 , e3 für die geodätische Linie berechnen sich aus β0 und der Exzentrizität ε so: c = cos β0 ,

e2 −e3 = 1−ε2 ,

e3 −e1 = ε2 sin2 β0 ,

e2 −e1 = 1−ε2 cos2 β0 ,

woraus sich für die e selbst die Ausdrücke finden: e1 = − 13 − 13 ε2 1 − 2 cos2 β0 , e2 = + 23 − 13 ε2 1 + cos2 β0 , e3 = − 13 + 13 ε2 2 − cos2 β0 . Für den Integralmodul k 2 finden wir: k2 =

e3 − e1 ε2 sin2 β0 = e2 − e1 1 − ε2 cos2 β0

und ziehen die Folgerungen: k 2 < ε2 ,

k 2 < 0, 006710 . . . .

Man hat also hier stets Werte von k2 und der Entwicklungsgrösse q, für die die Reihenentwicklungen der elliptischen Funktionen sehr gut konvergieren. Zur Berechnung der Hilfsgrösse u0 dienen die Gleichungen: e1 ω1 dt 2 2 +i ℘(u0 ) = e1 − ε cos β0 , u0 = , 2 ℘(u0 ) 2 (e1 − t)(e2 − t)(e3 − t) wo t eine reelle Integrationsvariable ist und die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Die Länge λ kann man in der Gestalt:

1 x + iy y log λ = arctg = x 2i x − iy darstellen. Aus den Gleichungen (1), (3) und (6) findet man für die Länge λ, die reduzierte Breite β und das Azimut α des einzelnen Punktes der geodätischen Linie in Abhängigkeit von der reellen Variablen u : 1 σ1 (u + u0 ) ω2 η2 + + log , λ = iu ζ u0 − 2 2 2i σ1 (u − u0 ) cos β0 σ2 (u ) sin β = sin β0 , sin α = . σ1 (u ) cos β

127

3.4 Sphärische Dreiecke und Additionstheorem

3.4 Sphärische Dreiecke und Additionstheorem. Eine beachtenswerte Beziehung zwischen der sphärischen Trigonometrie und den elliptischen Funktionen wurde von L a g r a n g e14 bemerkt. Diese Beziehung nimmt eine besonders einfache Gestalt an, wenn man sie an die später von J a c o b i aufgestellten Formeln der Additionstheoreme anknüpft. Der Begriff des sphärischen Dreiecks“ wird ” hier in seiner elementaren von E u l e r begründeten Gestalt vorausgesetzt15 . Irgend drei nicht in einer Ebene gelegene Kugeldurchmesser seien gegeben. Je zwei unter ihnen liefern eine Diametralebene, und die drei so entspringenden Diametralebenen der Kugel liefern drei größte Kugelkreise, die die ganze Kugeloberfläche in acht sphärische Dreiecke zerlegen (vergl. Fig.22). Aus den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ eines ersten dieser Dreiecke gehen diejenigen der u¨ brigen sieben Dreiecke in Fig. 22 bekannter Weise hervor. Betrachten wir z. B. die vier in Fig. 22 schraffierten Dreiecke, die ein in den sechs Ecken zusammenhängendes Gebilde liefern, und beziehen die Bezeichnungen a, b, c der Seiten und α, β, γ der ihnen gegenüberliegenden Winkel auf das vordere Dreieck, so haben die u¨ brigen drei Dreiecke dieses Gebildes bezw. die folgenden Seiten und Winkel: (1)

a, π − b, π − c; π −a, b, π −c; π − a, π − b, c;

α, π−β, π−γ, π − α, β, π−γ, π − α, π −β , γ .

Die vier in der Figur freigelassenen Dreiecke gehen aus den eben betrachteten Dreiecken durch Diametralsymmetrie“ hervor, wobei je zwei einander ” entsprechende Dreiecke dieselben Seiten und dieselben Winkel haben. Aus den Formeln und Regeln, die sich auf ein erstes unter diesen Dreiecken beziehen, sind hiernach die Formeln und Regeln für die u¨ brigen sieben Dreiecke sofort herleitbar; und es ist demgemäß gleichgültig, mit welchem unter den acht Dreiecken wir arbeiten. Errichtet man zu den drei Diametralebenen der soeben besprochenen Figur die drei senkrechten Kugeldurchmesser, so liegen auch diese nicht in einer und derselben Ebene. Mithin kann man an sie dieselbe Konstruktion anschliessen, wie an die drei zuerst vorgelegten Durchmesser. Es entsteht die Polarfigur“ der soeben be” sprochenen Figur, wobei für ein erstes unter den acht neuen Dreiecken die Seiten 14

Im Kapitel XI der Théorie des fonctions analytiques“, neue Ausgabe (Paris, 1813), S. 110 ff. ” ¨ Uber die weitere Entwicklung des Begriffs sphärisches Dreieck“ vergl. man die für die moderne ” sphärische Trigonometrie grundlegende Abhandlung von E. Study Sphärische Trigonometrie, ” orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen“, Abhandl. der Sächsischen Gesellschaft der Wiss., Bd. 20, S. 90 ff. (Leipzig, 1893), sowie die Darstellung bei H. W e b e r und J. Wellstein Enzyklopädie der Elementarmathematik“, Bd. 2, S. 340 ff. (Leipzig, 1905). ” 15

128


a , . . . und die Winkel α , . . . aus den obigen a, . . . und α, . . . nach der Regel16 : a = π − α , b = π − β , c = π − γ ;

α = π − a , β = π − b , γ = π − c

gewonnen werden. Hiernach u¨ bertragen sich die Formeln und Regeln der bisherigen Dreiecke auch auf solche der Dreiecke der Polarfigur a¨ usserst leicht, und wir dürfen sogar unter den 16 Dreiecken beider Figuren ein beliebig gewähltes der näheren Betrachtung zugrunde legen. Man beachte noch, daß bei dem hier benutzten Begriffe sphärisches Dreieck“ alle Seiten und Winkel im Innern des Intervalles von 0 bis π ” gelegen sind. Nach dem Sinussatze der sphärischen Trigonometrie ist nun: sin α sin β sin γ = = . sin a sin b sin c Der Fall, daß der mit k zu bezeichnende gemeinsame Wert dieser drei Quotienten gleich 1 ist, sei ausgeschlossen, weil in diesem Falle die sogleich einzuführenden elliptischen Funktionen in trigonometrische ausarten. Wir dürfen dann voraussetzen, daß die Zahl k dem Intervalle 0 < k < 1 angehört, was nötigenfalls durch Bevorzugung der Polarfigur stets erreichbar ist. Wir notieren hiernach: (2)

sin α = k sin a ,

sin β = k sin b ,

sin γ = k sin c ,

0 n

Einheiten für den Grad m. Nur im Falle eines rein quadratischen n kommt auch noch √ das dritte√Anfangsglied (3) zur Benutzung. √ Hier durchläuft b ein System von ϕ( n) gegen n teilerfremden Resten mod n, und jeder√Repräsentant liefert eine Einheit für den Grad m. Verabreden wir, daß wir unter ϕ( n) die√Zahl 0 verstehen wollen, falls n kein Quadrat ist, so haben wir allgemein noch ϕ( n) Einheiten für den Grad m. Offenbar sind die beiden Summen (5) einander gleich. Wir notieren also den Satz: Der Grad der nach abfallenden Potenzen von j geordneten Gleichung (1) ist: a √ (6) 2 ϕ(τ ) + ϕ( n) , τ √ a> n

√ wo sich die Summe auf alle Teiler a > √ n von n bezieht, τ der größte gemeinsame −1 Teiler von a und d = n · a ist und ϕ( n) = 0 für alle nicht-quadratischen Grade n ist. Es soll gleich auch noch der Anfangskoeffizient dieser Gleichung bestimmt werden. Der Anfangskoeffizient des einzelnen Faktors in (2) rechts ist gleich 1 oder gleich einer Einheitswurzel, wenn der erste oder der zweite Fall (3) vorliegt. Für die rein quadratischen Grade n kommt auch noch der dritte Fall (3) in Betracht. Man hat hier für den einzelnen Faktor die Entwicklung:

144

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

√ j(ω) − j

nω + b √ n

= − ε−b (1 − εb )q −2 + 196884(1 − εb )q 2 2iπ √

+ 21493760(1 − ε2b )q 4 + · · · , ε=e n , √ wo ε die √ angegebene primitive Einheitswurzel bdes Grades n ist und b teilerfremd gegen n ist. Man kann hier den Faktor (1 − ε ) aus der rechten Seite herausheben und behält in der Klammer eine Potenzreihe, die die Einheitswurzel −ε−b als Anfangskoeffizient hat und u¨ brigens ganze“ Zahlen des Kreiskörpers“ K = (R, ε)10 ” ” als Koeffizienten aufweist. Aus der Theorie der Kreisteilungsgleichungen folgert man nun leicht, daß die ganze Zahl (1 − εb ) des Körpers K eine Einheit dieses Körpers ist, wenn n mindestens zwei verschiedene Primfaktoren hat, daß indessen die Norm N (1 − εb ) gleich p ist, falls n eine (gerade) Potenz einer Primzahl p ist11 . Geht man zur Reihenentwicklung des Produktes (2) u¨ ber, so ergiebt sich, daß diese Entwicklung durchweg ganzzahlige Koeffizienten hat. Dabei ist der Anfangskoeffizient im allgemeinen als Einheit des rationalen Körpers gleich ±1 und nur in dem Falle gleich ±p, wenn n (gerade) Potenz einer Primzahl p ist, wo dann aber im letzteren Falle p als gemeinsamer Faktor aller Koeffizienten abgesondert werden kann. Wir teilen je nachdem die linke Seite der Gleichung (1) durch ±1 oder ±p, bezeichnen sie in der neuen Gestalt durch: (7)

Gn (j) = 0

und nennen sie die zum Transformationsgrade n gehörende Klassengleichung“. ” Mittels der Methode der Koeffizientenvergleichung erkennt man, daß sie durchweg ganzzahlige, also rationale ganzzahlige Koeffizienten hat; der Anfangskoeffizient aber ist gleich 1. Auf Grund der Erklärung von II, 78 folgt der Satz: Alle Klasseninvarianten sind ganze“ algebraische Zahlen. ” Es ist nun festzustellen, welche Klasseninvarianten der Gleichung (7) genügen. Wir dürfen dabei von den beiden Graden n = 1 und n = 3 absehen. Im ersten dieser Fälle kommt nur die Invariante j(i) = 123 der einzigen reduzierten Form (1, 0, 1) der Diskriminante D = −4 in Betracht. Für n = 3 haben wir die beiden Diskriminanten D = −12 und D = −3 mit den einzigen reduzierten Formen (1, 0, 3) √ 3 und (1, 1, 1). Die Invariante der letzteren Form ist einfach j −1+i = 0, 2 während man f¨ u r die erstere Form mit sp¨ a ter zu entwickelnden Methoden leicht √ j(i 3) = 24 · 33 · 53 findet. Sollte sich in einem der u¨ brigen Fälle n = 2, 4, 5, 6, . . . insbesondere eine der Invarianten j = 0 oder j = 123 wieder als Wurzel von (7) in gewisser Vielfachheit einstellen, so kann man die linke Seite dieser Gleichung (7) durch eine entsprechende Potenz von j bezw. (j − 123 ) teilen, wobei die Gleichung ganzzahlig bleibt und den höchsten Koeffizienten 1 behält. Wir gewinnen so den Vorteil, daß wir weiterhin nur noch die von 0 und 123 verschiedenen Wurzeln von (7) aufzusuchen brauchen. Nun ist aber der durch Fig. 43 in I, 179 gegebene 10 11

Wegen dieser Bezeichnung vergl. man II, 83. Vergl. hierzu Algebra“ I, 402 (Schlußsatz). ”

4.4 Herstellung der Klassengleichung

145

DB“ 12 der Modulgruppe abgesehen von den Ecken (die zu den ausgeschlossenen ” Fällen D = −3 und D = −4 zurückführen) u¨ berall winkeltreu auf die j-Ebene bezogen. Wir verlegen deshalb die Untersuchung in diesen DB“ und haben eine ” ν-fache von 0 und 123 verschiedene Wurzel der Gleichung (7) stets und nur noch an einer solchen von den Ecken verschiedenen Stelle ω0 des ”DB“, wo die Modulfunktion erster Stufe Gn j(ω) , also die Funktion (2) einen ν-fachen Nullpunkt besitzt. Die Aufsuchung dieser Nullpunkte dürfen wir an die einzelnen Faktoren in (2) rechts anknüpfen. Soll aber für die Stelle ω0 des DB“ die Gleichung: ” a ω0 + b =0 (8) j(ω0 ) − j d zutreffen, so ist hierfür notwendig und hinreichend, daß es eine Substitution V in der Modulgruppe Γ giebt, für die die Gleichung: a ω0 + b a ω0 + b (9) ω0 = V = , a d − b c = n d c ω0 + d zutrifft. Hier sind a , b , c , d ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler, so daß wir in ac ,, db eine eigentliche Transformation nten Grades vor uns haben. Umgekehrt geh¨ a, obrt jeder solchen Transformation nach II, 276 teneindeutig ein ”Repräsentant“ Grades, die einen von einer 0, d zu, so daß jede eigentliche Transformation n Ecke verschiedenen Fixpunkt ω0 im DB“ von Γ besitzt, einen Nullpunkt für den ” betreffenden Faktor von (2) rechts ergiebt. Um die selbstverständlich ganzzahlige Ordnung dieses Nullpunktes für den einzelnen Faktor in (2) festzustellen, lassen wir bei der eigentlichen Transformation nten Grades b die oberen Indizes der Koeffizienten der Kürze halber fort, schreiben also a, ur die Transformation. Die beiden einander konjugierten Fixpunkte ω0 c, d f¨ und ω 0 der Transformation sind: a − d ± i 4n − (a + d)2 , (10) ω0 , ω 0 = 2c während der Multiplikator“ μ (vergl. I, 70) der in die Gestalt: ” ω − ω0 ω − ω0 =μ ω − ω0 ω − ω0 gesetzten Substitution sich als die von 1 verschiedene Zahl: (11)

12

μ=

2 a + d − i 4n − (a + d)2 √ = 1 2 n

DB“ ist Abkürzung für Diskontinuitätsbereich“. ” ”

146


mit positiv genommenen Quadratwurzeln berechnet. Für ein in der Umgebung von ω0 variables ω gilt demgemäß die Entwicklung: ω =

aω + b = ω0 + μ(ω − ω0 ) + · · · , cω +d

μ = 1 .

Ebenda hat man für j(ω) eine Entwicklung: j(ω) = j(ω0 ) + a1 (ω − ω0 ) + a2 (ω − ω0 )2 + · · · ,

a1 = 0 ,

wobei die Ungleichung a1 = 0 aus der Winkeltreue der Abbildung des DB“ auf ” die j-Ebene im Punkte ω0 folgt. Hieraus ergiebt sich weiter: aω +b = a1 (1 − μ)(ω − ω0 ) + · · · , j(ω) − j cω + d so daß der fragliche Nullpunkt für den einzelnen Faktor in (2) von der ersten“ ” Ordnung ist. Wir gehen nun auf die ψ(n) Faktoren in (2) und damit auf die ψ(n) Klassen“ ” eigentlicher Transformationen nten Grades zurück und nennen zwei solche Transformationen a¨ quivalent“ oder inäquivalent“, je nachdem sie der gleichen Klasse ” ” angehören oder nicht. Das eben gewonnene liefert dann den Satz: Jede bErgebnis mit einem Fixpunkte ω0 im DB“ eigentliche Transformation nten Grades a, c, d ” der Modulgruppe Γ liefert eine Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7), und zwar ist diese Wurzel eine ν-fache dieser Gleichung, wenn ω0 Fixpunkt von im ganzen ν inäquivalenten“ Transformationen dieser Art ist. Auf diese Weise gelangt man ” genau zu allen von 0 und 123 verschiedenen Wurzeln der Gleichung (7). Der in (10) berechnete Fixpunkt ω0 ist die im DB“ von Γ gelegene Wurzel der ” quadratischen Gleichung: (12)

c ω 2 + (d − a)ω − b = 0 .

¨ Da c = 0 gilt und ein gleichzeitiger Zeichenwechsel von a, b, c, d ohne Anderung der Transformation erlaubt ist, möge c > 0 angenommen werden. Dann ist (c, d−a, − b) eine positive quadratische Form, die reduziert“ ist, da ihr Nullpunkt ω0 dem ” DB“ von Γ angehört (vergl. II, 140). Der Teiler“ der Form (vergl. II, 137) möge ” ” durch τ bezeichnet werden. Wir schreiben dann: (13)

c = τA ,

d − a = τB ,

−b = τ C

und erklären weiter die ganze Zahl σ durch: (14)

σ =a+d.

Man hat dann in (A, B, C) eine ursprüngliche“ positive quadratische Form, die ” reduziert“ ist. In dieser Form und in ihrer Diskriminante D = B 2 − 4AC stellen ” sich die vier Transformationskoeffizienten a, b, c, d und der Grad n mittels der

147

4.4 Herstellung der Klassengleichung

beiden ganzen Zahlen σ und τ , von denen die zweite positiv ist, so dar: (15) (16)

a=

σ − τB , 2

d=

σ + τB , 2

n=

σ 2 − Dτ 2 . 4

b = −τ C ,

c = τA ,

Für die beiden ganzen Zahlen σ und τ merken wir noch die Bedingungen: √ √ (17) −2 n < σ < 2 n , τ >0 an, deren erste mit Rücksicht auf D < 0 aus (16) folgt. Da a, b, c, d keinen gemeinsamen Teiler haben, so sind zufolge (15) die beiden ganzen Zahlen σ und τ entweder teilerfremd oder sie haben den größten gemeinsamen Teiler 2. Würde man u¨ brigens umgekehrt von einer ursprünglichen positiven Form (A, B, C) ausgehen und mit zwei ganzen Zahlen σ, τ , die die Gleichung (16) befriedigen, die vier ganzen Zahlen a, b, c, d durch (15) erklären, so würden umgekehrt die Gleichungen (13) und (14) wieder folgen. Der größte gemeinsame Teiler von a, b, c, d würde dann zufolge (13) in τ und zufolge (14) auch in σ aufgehen. Wir suchen nun die gesamten Formen (A, B, C) unserer Art auf, die von 0 und 123 verschiedene Wurzeln der Gleichung (7) liefern. Wir gehen aus von irgend einer Darstellung von 4n in der Gestalt: (18)

4n = σ 2 + |D|τ 2

mittels ganzer Zahlen σ, τ , D, die den vorstehenden Bedingungen entsprechen. Es soll also τ > 0 sein, und σ und τ sollen entweder teilerfremd sein oder den größten gemeinsamen Teiler 2 haben; ferner soll D < 0 und von −3 und −4 verschieden sein, sowie einer der Kongruenzen D ≡ 0 oder D ≡ 1 (mod 4) genügen. Die erste Bedingung (17) wird dann von σ stets auch erfüllt. Für die Diskriminante D sei ferner (A, B, C) eine beliebige der reduzierten ursprünglichen positiven Formen. Aus der Erklärung von D folgt B ≡ D (mod 2), so daß aus (18) die Kongruenzen: σ ∓ τ B ≡ 0 (mod 2) hervorgehen. Die Formeln (15) liefern jetzt vier ganze Zahlen a, b, c, d der Determinante ad − bc = n. Sind nun σ und τ teilerfremd, so haben, wie wir wissen, auch a, b, c, d keinen gemeinsamen Teiler. Wir haben also eine eigentliche Transformation nten Grades a, b c, d mit dem im ”DB“ von Γ gelegenen Nullpunkte ω0 der Form (A, B, C) als Fixpunkt gewonnen. Haben indessen σ und τ den größten gemeinsamen Teiler 2, so sind die a, b, c, d entweder teilerfremd, oder sie haben gleichfalls den größten gemeinsamen Teiler 2. Man folgert jetzt wegen B ≡ D (mod 2) die Kongruenzen: a≡d≡n,

b≡c≡0

(mod 2) .

148


Die Transformation ist jetzt eigentlich oder uneigentlich vom Grade n, je nachdem n ungerade oder gerade ist. Bei geradem Transformationsgrade n haben wir also nur diejenigen Darstellungen (18) von 4n zuzulassen, bei denen σ und τ nicht zugleich durch 2 teilbar sind. Für eine einzelne Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7) ist durch den Punkt ω0 des DB“ von Γ die zugehörige ursprüngliche Form (A, B, C) sowie ihre Diskriminante ” D eindeutig bestimmt. Dabei mögen wir eine erste Darstellung von 4n in der Gestalt (18) mit diesem D mittels der Zahlen σ, τ haben. Es reiht sich aber dann hieran, falls σ = 0 ist, stets eine zweite Darstellung mit dem gleichen D und den Zahlen −σ, τ . Die beiden zugehörigen, aus (15) zu berechnenden Transformationen gehören aber stets und nur dann der gleichen Klasse an, wenn es eine Substitution V in Γ giebt, die für unsere beiden Transformationen die Gleichung ermöglicht: σ−τ B −σ−τ B , −τ C , −τ C 2 2 (19) =V · . B B τ A, σ+τ τ A, −σ+τ 2 2 Die beiden Transformationen sind, wie man sieht, einander inverse ω-Substitutionen der Determinante n. Die zweite Potenz der links stehenden Substitution muß also die Forthebung des gemeinsamen Faktors n aus allen vier Koeffizienten gestatten und alsdann die Substitution V von Γ liefern. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn die Kongruenzen:

2 σ + Dτ 2 ± 2στ B ≡ 0 (mod 4n) , (20) στ A ≡ 0, στ C ≡ 0 (mod n) bestehen. Da man durch Subtraktion der beiden ersten von einander auch: στ B ≡ 0 (mod n) findet und (A, B, C) eine ursprüngliche Form ist, so folgt: στ ≡ 0 (mod n) .

(21)

Da ferner zufolge (16) die Kongruenz Dτ 2 = σ 2 (mod 4n) gilt, so folgt aus der ersten Kongruenz (20) mit Rücksicht auf (21) leicht: 2σ 2 ≡ 0

(mod 2n) ,

σ 2 ≡ 0 (mod n) .

Ist n gerade, so sind σ und τ teilerfremd. Da σ 2 und στ durch n teilbar sind, so folgt in diesem Falle, daß auch σ ≡ 0 (mod n) gilt. Ist n ungerade, so können σ und τ den größten gemeinsamen Teiler 2 haben. Man kann demnach jetzt zunächst nur auf die Kongruenz 2σ ≡ 0 (mod n) schliessen. Daraus folgt dann aber sofort auch σ ≡ 0 (mod n), da n ungerade ist. Die von 0 verschiedene Zahl σ 2 ist hiernach ein Vielfaches qn2 von n2 , und man findet aus der ersten Ungleichung (17): qn2 < 4n ,

qn < 4 ,

n 3 die Lösung τ = 1, D = −4n. Der Extremwert D = −4n der Diskriminante tritt auch nur bei σ = 0, τ = 1 auf. Es liefert also jede Klasse urspünglicher positiver Formen der Diskriminante D = −4n eine einfache Lösung j(ω0 ) der Gleichung (7). Da σ(= 0) und τ höchstens den gemeinsamen Teiler 2 haben dürfen, so kommt weiter nur noch die Lösung τ = 2, D = −n von (22) in Betracht. In diesem Falle muß aber n ungerade sein, und da jetzt: D = −n ≡ 1 (mod 4) sein muß, so handelt es sich nur noch um die ungeraden, der Kongruenz n ≡ 3 (mod 4) genügenden Transformationsgrade. Von dieser Lösung aus liefert nun wieder jede Klasse ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D = −n eine einfache Wurzel j(ω0 ) der Gleichung (7). Hier aber darf man nicht u¨ bersehen, daß D = −n in dem besonderen Falle, daß n das dreifache Quadrat einer ungeraden Zahl ist, auch schon unter den oben erledigten Lösungen von (18) auftritt, und zwar zweimal, nämlich für: √ σ = ± 3n , τ = 1 , D = −n . In diesem Falle liefert also jede Formklasse der Diskriminante D = −n eine dreifache Wurzel j(ω0 ) von (7). Bezeichnen wir wieder mit h(D) die Anzahl der Klassen ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D, so haben wir als zusammenfassenden Satz: Ist n ≡ 3 (mod 4), so hat die (von etwaigen Wurzeln 0 und 123 befreite) Gleichung (7) zu einfachen Wurzeln genau alle h(−4n) Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n, und alle u¨ brigen Wurzeln treten in gerader Vielfachheit auf; gilt n ≡ 3 (mod 4), ohne daß n ein dreifaches Quadrat ist, so hat unsere Gleichung zu einfachen Wurzeln genau alle h(−4n) + h(−n) Klasseninvarianten der beiden Diskriminanten D = −4n und D = −n, während ihre

150


sämtlichen u¨ brigen Wurzeln wieder in gerader Vielfachheit auftreten; ist endlich n ein ungerades dreifaches Quadrat, so hat die Gleichung (7) zu einfachen Wurzeln genau die h(−4n) Klasseninvarianten von D = −4n, zu dreifachen Wurzeln genau alle h(−n) Klasseninvarianten für D = −n, während auch jetzt wieder die sämtlichen u¨ brigen Wurzeln in gerader Vielfachheit auftreten. Nach bekannten Sätzen der Algebra läßt sich aus der Gleichung (7), die wir wieder von ihren etwaigen Wurzeln 0 und 123 befreit denken, allein durch rationale Rechnungen eine Gleichung für das System ihrer Wurzeln von vorgeschriebener Vielfachheit herstellen. Wir gelangen also, falls n ≡ 3 (mod 4) ist, zu einer Gleichung des Grades h(−4n) mit rationalen Koeffizienten für die h(−4n) Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n. Ebenso gelangen wir zu zwei solchen Gleichungen der Grade h(−4n) und h(−n) für die Klasseninvarianten bei D = −4n und D = −n, falls n ein dreifaches ungerades Quadrat ist. Ist aber n ≡ 3 (mod 4), ohne daß ist, so finden wir erst eine solche Gleichung des n ein dreifaches Quadrat Grades h(−4n) + h(−n) , deren Wurzeln die Klasseninvarianten für D = −4n und D = −n zusammengenommen sind. Doch ist diese Gleichung entsprechend den beiden Diskriminanten D = −4n und D = −n rational spaltbar. Setzt man nämlich n = 14 (n + 1), so stellt man leicht fest, daß die für n gebildete Gleichung (7) die Klasseninvarianten für D = −n zu Wurzeln hat, nicht aber diejenigen für D = −4n. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Gleichungen ist aber aus ihnen rational berechenbar. Durch unsere Betrachtungen sind alle negativen Diskriminanten D gedeckt bis auf die drei Fälle D = −3, D = −4 und D = −8. Den letzten Fall betreffend hatten wir ja oben (S. 149) den Transformationsgrad n = 2 ausgeschlossen. Für die beiden ersten Fälle hatten wir die Klassengleichungen“ j −123 = 0 und j = 0, und ” auch der leicht direkt zu erledigende Fall D = −8 ordnet sich dem aufzustellenden Schlußsatze unter. Man beachte endlich noch, daß wir bereits oben (S. 144) in den gesamten Klasseninvarianten ganze“ algebraische Zahlen erkannten. Unter Zusam” menfassung gelangen wir zu dem Ergebnis: Für jede negative Diskriminante D sind die h(D) Klasseninvarianten die Wurzeln einer Gleichung des Grades h(D): (23)

HD (j) = 0

mit rationalen ganzen Zahlen als Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten 1, die hinfort als Klassengleichung der Diskriminante D“ bezeichnet werden soll. ” Diese Gleichung (23) ist es, die H. Weber seinen S. 137 genannten Untersuchungen zugrunde gelegt hat. Gleichzeitig mit Weber hat G. Pick zwei grundlegende Untersuchungen u¨ ber Klassengleichungen veröffentlicht13 . Weit früher hatte bereits L. Kronecker unter Benutzung der Jacobischen Funktionen zwei Abhandlungen u¨ ber Klasseninvarianten veröffentlicht14 , die jedoch nur Resultate ohne Beweise bekannt gaben. 13 ¨ Uber komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen“, I und II, Mathemat. Annalen, ” Bd. 25 und 26. 14 ¨ ¨ Uber elliptische Funktionen, für welche komplexe Multiplikation stattfindet“ und Uber die ” ” komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen“, Berliner Berichte von 1857 und 1862.

151

4.5 Gruppe der Formenkomposition

4.5 Gruppe der Formenkomposition. Zur genauen Untersuchung der Klassengleichung müssen wir auf die in √ II, 137 ff. entwickelte Theorie der quadratischen Formen zurückgehen. Der durch D erklärte imaginäre quadratische Körper K habe die Grundzahl D, und es sei D = m2 D.15 Nach II, 148 ff. kommt die Multiplikation der Idealklassen im mten Zweige16 von K für die ursprünglichen positiven quadratischen Formen der Diskriminante D gerade genau auf die Komposition der h(D) Formklassen F0 , F1 , . . . , Fh−1 dieser Diskriminante D hinaus, wo h = h(D) die Anzahl der Formklassen ist. Die h Formklassen bilden gegenüber der Komposition eine Abelsche Gruppe Gh der Ordnung h, in der das Einheitselement von der Hauptklasse“ F0 geliefert wird. ” Die bei der Komposition der Formen auftretenden Rechnungen sind hier noch etwas weiter zu führen. Es sei (a, b, c) irgend eine ursprüngliche positive Form der Diskriminante D mit einem ersten Koeffizienten a > 1, der teilerfremd gegen D und also gegen m ist. Ein beliebiger Primteiler von a sei p. Wir setzen: (1)

a = pa0 ,

b2 − 4pa0 c = D

und bilden die beiden Formen: (2)

(p, b, a0 c) ,

(a0 , b, pc) ,

die wieder ursprünglich, positiv und von der Diskriminante D sind; man hat nur zu beachten, daß a und also p und a0 teilerfremd gegen b sind, da a gegen D teilerfremd vorausgesetzt wurde. Wie in II, 150 benutzen wir als zu den Formen (2) gehörende Zweigideale bezw. diejenigen der Zahlen: b − i |D| b − i |D| (3) px + y, a0 x + y 2 2 mit rationalen ganzen x, y, x , y . Das Produkt dieser Zweigideale besteht aus den Zahlen: b − i |D| (4) (xx − cyy ) a + (pxy + a0 x y + byy ) 2 und natürlich den Summen solcher Zahlen. Im Produkte weist man insbesodere leicht die Zahlen: b − i |D| , a , −cy a + (a0 x + by ) 2 also auch die Zahlen: 15 Statt der in II, 145 ff. mit n bezeichneten ganzen Zahl schreiben wir hier m, um Verwechslungen mit dem bisher durch n bezeichneten Transformationsgrade zu vermeiden. 16 Dieser Begriff ist erklärt in II, 122. Allgemein hat sich Dedekinds Bezeichnung in der Ordnung ” mit dem Führer m“ durchgesetzt. [Anm. d. Hrsg.]

152


b − i |D| (a0 x + by ) 2 nach. Da a0 und b teilerfremd sind, kann man x√und y so wählen, daß a0 x +

b−i

|D|

by = 1 gilt. Es kommt im Produkte auch 2 vor, und damit sind in ihm also √ b−i |D| enthalten. Da aber umgekehrt alle u¨ berhaupt alle Zahlen des Ideals a, 2

Zahlen (4) diesem Ideale angehören, so ist es einfach das Produkt unserer beiden Zweigideale. Zu diesem Ideale aber gehört wieder die anfänglich gewählte Form (a, b, c). Wir notieren also den Satz: Ist der erste Koeffizient a der Form (a, b, c) teilerfremd gegen D und gilt a = p · a0 , wo p irgend ein Primteiler von a ist, so entsteht (a, b, c) durch Komposition der beiden Formen (2), was wir ausdrücken durch: (5)

(a, b, c) = (p, b, a0 c) · (a0 , b, pc) .

Ist a0 nicht selbst Primzahl, so möge p ein Primteiler von a0 sein. Wir können dann (a0 , b, pc) genau so wieder durch Komposition zweier Formen herstellen, deren erste p zum ersten und b zum zweiten Koeffizienten hat. Auch kann man in der gleichen Art fortfahren und gelangt offenbar zu dem folgenden Satze: Die ursprüngliche positive Form (a, b, c) der Diskriminante D mit einem gegen D teilerfremden Koeffizienten a, dessen Zerlegung in gleiche oder ungleiche Primfaktoren a = p1 · p2 · p3 · · · ist, kann entsprechend der Gleichung: ac ac ac · p2 , b, · p3 , b, ··· (6) (a, b, c) = p1 , b, p1 p2 p3 durch Komposition von Formen mit den ersten Koeffizienten p1 , p2 , p3 , . . . und dem gemeinsamen zweiten Koeffizienten b hergestellt werden. Kompositionsformeln der vorstehenden Art sollen fortan sogleich auf die Komposition der Klassen bezogen werden, die jeweils durch die Formen repräsentiert werden. Dann ist es statthaft, in solchen Kompositionsformeln jede Form auch durch eine mit ihr a¨ quivalente zu ersetzen. Wir wollen diese Erlaubnis zunächst für die in (6) rechts stehenden Formen verwerten. Die einzelne dieser Formen schreiben wir (p, b, c0 pν−1 ), wo ν 1 eine ganze Zahl ist und b sowie c0 nicht durch p teilbar sind. Von dieser Form gelangen wir auf Grund der Formeln (2), (3) und (4) in II, 138 mittels einer Substitution der Koeffizienten: α=δ =1,

β = −β0 pν−1 ,

γ=0

zur a¨ quivalenten Form: p, b + 2β0 pν , pν−1 (c0 + bβ0 + pν β02 ) . Da b teilerfremd gegen p ist, so kann man die noch frei wählbare ganze Zahl β0 so bestimmen, daß c0 + bβ0 ≡ 0 (mod p) gilt. In der neuen quadratischen Form ist der zweite Koeffizient wieder teilerfremd zu p, während der dritte Koeffizient

153


die Primzahl p in höherer als (ν − 1)ter Potenz als Faktor enthält. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens kann man zu einer a¨ quivalenten Form gelangen mit dem ersten Koeffizienten p, einem gegen p teilerfremden zweiten Koeffizienten und einem durch eine beliebig hoch vorgeschriebene Potenz von p teilbaren dritten Koeffizienten. Auf der anderen Seite beachte man, daß man jeder Formklasse eine Form (a, b, c) mit einem gegen D teilerfremden a > 1 entnehmen kann. Für die Hauptklasse mit der reduzierten Form (1, 0, − 14 D) bezw. 1, 1, 14 (1 − D) ist dies aus den Transformationsformeln von II, 138 leicht direkt ersichtlich. Für eine der u¨ brigen Klassen folgt es aus dem Theorem von II, 141, wobei a > 1 gilt, weil die Hauptklasse nicht vorliegt. Wir gelangen zu dem Satze: Jede Formklasse ist durch eine Form (a, b, c) repräsentierbar, die durch Komposition aus einer Anzahl von Formen der Gestalt (p, b, c0 pλ ) herstellbar ist; dabei sind die ersten Koeffizienten aller Komponenten in D nicht aufgehende Primzahlen p, die zweiten Koeffizienten sind teilerfremd gegen die zugehörigen ersten Koeffizienten p, und die Exponenten λ können in allen Komponenten beliebig hoch vorgeschrieben werden17 . Man gehe jetzt zunächst von irgend einer unserer Formen (p, b, c0 pκ−1 ) mit hinreichend hoch gewähltem Exponenten (κ − 1) aus, die wiederholt mit sich selbst komponiert werden soll. Fasst man die symbolischen Produkte (6) mit gleichen Faktoren in Potenzen zusammen, so hat man für jeden positiven Exponenten ν κ: ν (7) p, b, c0 pκ−1 = pν , b, c0 pκ−ν . Ist die durch (p, b, c0 pκ−1 ) repräsentierte Formklasse F in der Kompositionsgruppe Gh ein Element der Periode ν, so ist dies gleichbedeutend damit, daß dieses ν den niedersten Exponentendarstellt, für den die Form (7) der Hauptklasse angehört, also mit (1, 0, − 14 D) oder 1, 1, 14 (1 − D) a¨ quivalent ist, je nachdem D ≡ 0 oder ≡ 1 (mod 4) gilt. Nach (5) in II, 138 giebt es somit zwei teilerfremde ganze Zahlen α, γ, die die Gleichung: (8)

1 pν = α2 − Dγ 2 4

1 bezw. pν = α2 + αγ + (1 − D)γ 2 4

befriedigen. Die Gleichung (8) schreibe man um in: 4pν = (2α)2 − Dγ 2

bezw.

4pν = (2α + γ)2 − Dγ 2

und führe zwei ganze Zahlen x, y durch: (9)

x = 2α ,

y=γ

bezw. x = 2α + γ ,

y=γ

ein, die dann entweder teilerfremd sind oder, falls nämlich γ gerade ist und also α und damit p ungerade sind, den größten gemeinschaftlichen Teiler 2 haben. Diese beiden Zahlen x, y genügen dann in beiden Fällen der Gleichung:

17

Jeder Komponente kommen natürlich besondere Werte p, b, λ zu.

154


4pν = x2 − Dy2 .

(10)

¨ Diese Uberlegung ist nun umzukehren. Es sei ν 1 der niederste Exponent, für den die Gleichung (10) in ganzen, etwa positiv genommenen Zahlen x, y, die teilerfremd sind oder, falls p ungerade ist, den größten gemeinsamen Teiler 2 haben dürfen, lösbar ist. Wir sagen dann, p gehöre bezüglich der Diskriminante D zum ” Exponenten ν “. Dann berechnen sich umgekehrt aus (9) in beiden Fällen D ≡ 0 und D ≡ 1 (mod 4) ganzzahlige α, γ, für die man aus (10) auch auf die zugehörige Gleichung (8) schließt. Ein ungerader gemeinschaftlicher Teiler von α und γ würde auch in x und y aufgehen und tritt also nicht auf. Ist aber γ gerade, sind mithin x und y zugleich gerade, so gilt voraussetzungsgemäß p ≡ 1 (mod 2), so daß aus (8) ein ungerades α folgt. Die aus der Lösung (10) berechneten α, γ sind hiernach sicher teilerfremd. ¨ Die vorstehende Uberlegung gilt für eine beliebige Primzahl p, die als erster Koeffizient bei einer Form der Diskriminante D aufzutreten vermag und nicht in D aufgeht. Der Exponent ν, zu dem p bezüglich D gehört, ist dann ein Teiler der Klassenanzahl h(D). Wir denken die vorstehende Rechnung bis zur Bestimmung der beiden positiven teilerfremden Zahlen α, γ durchgeführt und bilden durch Auswahl passender β, δ eine Substitution: x = αx + βy ,

y = γx + δy ,

αδ − βγ = 1 ,

durch die wir die Hauptform transformieren wollen. Es ergiebt sich eine der Hauptklasse angehörende Form (pν , b , c0 ), die mit der Form (7) identisch sein mag oder nicht, deren mittlerer Koeffizient b aber jedenfalls teilerfremd gegen p ist und der Kongruenz: (11)

b2 ≡ D

(mod 4pν )

genügt. Die erhaltene Form mag man dann noch mittels einer Substitution x = x + βy, y = y transformieren. Man gelangt zu einer der Hauptklasse gleichfalls angehörenden Form mit dem gleichen ersten Koeffizienten pν , einem mod 2pν beliebig geänderten mittleren Koeffizienten und einem entsprechend geänderten dritten Koeffizienten. Jede in dieser Art gewinnbare Form (pν , b, c0 ) ist aus der entsprechenden Form (p, b, c0 pν−1 ) durch ν-malige Komposition dieser Form mit sich selbst gewinnbar, und die letztere Form (p, b, c0 pν−1 ) repräsentiert eine Formklasse F, die als Element der Kompositionsgruppe Gh die Periode ν besitzt. Zufolge dieses Satzes erzeugt die durch (p, b, c0 pν−1 ) repräsentierte Klasse F in der Gruppe Gh eine zyklische Untergruppe Gν der Ordnung ν, die die Elemente F, F2 , . . . , Fν = F0 enthält. Diese Klassen werden repräsentiert durch die Formen: (p, b, c0 pν−1 ) , (p2 , b, c0 pν−2 ) , . . . , (pν , b, c0 ) . Die Hauptklasse Fν = F0 kann in dieser Reihe auch an die erste Stelle gesetzt werden und symbolisch durch F0 oder als Einheitselement der Gh durch 1 bezeichnet werden. Man kann die Hauptklasse auch durch (1, b, c0 pν ) repräsentieren; denn

155


jede Form mit dem ersten Koeffizienten 1 gehört der Hauptklasse 1 an. Die Elemente F0 = 1, F, F2 , . . . , Fν−1 der Untergruppe Gν werden dann durch: (12)

(1, b, c0 pν ) , (p, b, c0 pν−1 ) , . . . , (pν−1 , b, c0 p)

repräsentiert. Hieran schliessen sich auch noch entsprechende Darstellungen der zu Gν gehörenden Nebengruppen“ (vergl. II, 4). Irgend eine Klasse F repräsentieren wir ” durch eine Form (a, b , c ) mit einem gegen D teilerfremden und durch p nicht teilbaren a. Die Hauptklasse repräsentieren wir zunächst nochmals durch die oben für dieselbe erhaltene Form (pν , b , c0 ), wo wir den mittleren Koeffizienten noch beliebig mod 2pν abändern durften. Entsprechend können wir (a, b , c ) durch eine a¨ quivalente Form mit dem gleichen a, aber einem mod 2a beliebig geänderten zweiten Koeffizienten ersetzen. Insbesondere ist es nun möglich, eine Zahl b zu bestimmen, die den beiden Kongruenzen: (13)

b ≡ b

(mod 2pν ) ,

b ≡ b

(mod 2a)

genügt. Ist p ungerade, so löse man zunächst b ≡ b (mod pν ) und die zweite Kongruenz (13). Hier giebt es eine Lösung b, da die Moduli pν und 2a teilerfremd sind. Es ist dann aber auch b ≡ b (mod 2), so daß auch die erste Kongruenz (13) erfüllt ist; denn alle Formen der Diskriminante D haben mod 2 kongruente mittlere Koeffizienten. Ist p = 2, so ist a ungerade. Man verfahre dann gerade so, indem man zunächst b ≡ b (mod a) und die erste Kongruenz (13) löst. Das gewonnene b denken wir nun bei der Darstellung (12) der zyklischen Untergruppe Gν verwertet, während wir andrerseits die Klasse F durch die mit dem gleichen b gebildete Form (a, b, c) repräsentieren. Da u¨ brigens ac wegen der Gleichheit der Diskriminanten unserer Form gleich c0 pν ist und a durch p nicht teilbar ist, so ist c ein Vielfaches c1 pν von pν . Die beiden Klassen Fκ und F werden daraufhin bezw. durch die Formen: (pκ , b, c0 pν−κ ) ,

(a, b, c1 pν )

repräsentiert. Nach den Kompositionsbetrachtungen am Anfang des vorliegenden Paragraphen oder auch schon nach II, 150 ergiebt sich durch Komposition dieser beiden Formen als Repräsentant der Klasse Fκ · F die Form: (pκ a, b, c1 pν−κ ) . Wir notieren als Ergebnis: Die Elemente F , F·F , F2 ·F , . . . , Fν−1 ·F der einzelnen Nebengruppe Gν ·F unserer zyklischen Untergruppe Gν sind repräsentierbar durch die Formen: (14)

(a, b, c1 pν ) , (pa, b, c1 pν−1 ) , . . . , (pν−1 a, b, c1 p) .

Für a = 1, c1 = c0 gelangt man zur Darstellung (12) der Untergruppe Gν selbst zurück. Verstehen wir unter ω den Wert:

156


−b + i |D| , ω= 2a

(15)

so sind die zu den Elementen der Nebengruppe Gν · F gehörenden Klasseninvarianten, wie gleich noch hinzugesetzt werden mag, die folgenden: ω ω ω (16) j(ω) , j , j 2 , . . . , j ν−1 . p p p Hier ist die Untergruppe Gν selbst mit eingeschlossen.

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade. Die S. 141 mit Dp (j) bezeichnete Diskriminante der Transformationsgleichung für den Fall eines Primzahlgrades p ist das Quadrat des Differenzenproduktes der (p+1) Wurzeln: ω ω + 1 ω + 2 ω + p − 1 (1) j(p ω) , j , j , j , ... , j p p p p derTransformationsgleichung. Dp (j) ist eine ganze Funktion von j, und also ist Dp j(ω) eine Modulform erster Stufe, die im ”Innern“ der ω-Halbebene polfrei ist. Die Nullpunkte von Dp j(ω) , bei deren Betrachtung man sich auf den DB“ der ” Modulgruppe Γ beschränken kann, sind diejenigen Stellen ω, in denen mindestens zwei unter den Wurzeln (1) einander gleich, also die zugehörigen Argumente dieser Wurzeln bezüglich Γ a¨ quivalent werden. Das führt, wie man leicht feststellt, für ω allemal zu einer ganzzahligen quadratischen Gleichung, für deren Lösung also j(ω) eine Klasseninvariante“ ist. Die Wurzeln der Gleichung Dp (j) = 0 sind also lauter ” Klasseninvarianten, und es soll festgestellt werden, welche Klasseninvarianten hier beim Transformationsgrade p vorliegen. Zunächst treten stets die zu D = −3 und D = −4 gehörenden Klasseninvarianten 0 und 123 auf. Für ω = i (also D = −4) werden nämlich z. B. die beiden ersten Wurzeln (1) gleich: j

i

p =j − = j(pi) ; p i √

3 und ebenso findet man für ω = ρ = −1+i (also D = −3) z. B. die Gleichheit der 2 dritten und ersten Wurzel: −ρ2 −1 ρ + 1 =j =j = j(pρ) . j p p pρ

Soll weiter für ein singuläres“ ω mit D < −4 zunächst eine Gleichung: ”

157

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade

j

ω + κ p

=j

ω + λ p

0κ 0 annehmen. Die ganzzahlige quadratische Form, deren Nullpunkt hiernach ω ist, bezeichnen wir wie u¨ blich durch (a, b, c), setzen sie ursprünglich und positiv voraus und nennen ihre Diskriminante D. Wir haben dann den Ansatz: (4)

γp = τ a ,

δ − αp2 = τ b ,

−βp = τ c ,

D = b2 − 4ac ,

wo τ eine positive ganze Zahl ist. Die aus den ersten drei Gleichungen (4) folgenden Ausdrücke für β, γ und δ trage man in die Gleichung αδ − βγ = 1 ein und gewinnt so für α die quadratische Gleichung:

18

Man vergl. die Rechnungen in II, 276.

158


p2 α2 + τ bα +

(5)

acτ 2 − p2 =0. p2

Die Diskriminante dieser Gleichung für α ist die ganze Zahl: τ 2 b2 − 4(acτ 2 − p2 ) = 4p2 + Dτ 2 ; sie muß eine Quadratzahl σ 2 sein, da sich α als rationale“ ganze Zahl berechnen ” soll. Man gelangt zu zwei ganzen Zahlen σ und τ > 0, die die Gleichung befriedigen: 4p2 = σ 2 − Dτ 2 .

(6)

¨ Diese Gleichung bildet wieder den Mittelpunkt unserer Uberlegung a¨ hnlich wie die Gleichung (10), S. 154 für die damalige Entwicklung. Wir stellen zunächst fest, daß τ ≡ 0 (mod p) gilt. Wäre nämlich τ durch p teilbar, so würde zufolge (6) dasselbe von σ gelten, und wir würden wegen (6) zu den schon erledigten Fällen D = −3, D = −4 zurückgeführt. Wegen des zu p teilerfremden τ folgt aus (4): a≡0,

(7)

c≡0

(mod p) ;

mithin folgt für den mittleren Koeffizienten b unserer ursprünglichen“ Form und ” für ihre Diskriminante: b ≡ 0 ,

(8)

D ≡ 0

(mod p) .

Es ist demnach auch σ nicht durch p teilbar, so daß wir zusammenfassend noch: σ ≡ 0 ,

(9)

τ ≡ 0 (mod p)

notieren. Entsprechend den Kongruenzen (7) setzen wir a = pa0 , c = pc0 mit zwei ganzen Zahlen a0 und c0 , so daß sich die Gleichungen (4) umschreiben in: (10)

β = −τ c0 ,

γ = τ a0 ,

δ = αp2 + τ b ,

D = b2 − 4p2 a0 c0 .

Die quadratische Gleichung für α nimmt die Gestalt an: (11)

p2 α2 + τ bα + (a0 c0 τ 2 − 1) = 0 ;

ihre beiden Lösungen sind: (12)

α=

−τ b ± σ . 2p2

Wir versuchen nun wieder diese Entwicklung umzukehren, um alle gesuchten Klasseninvarianten festzustellen. Da σ = 0 nicht zulässig ist, so kommen wegen (6) nur Diskriminanten D des Intervalls:

4.6 Diskriminante der Transformationsgleichung bei einem Primzahlgrade

(13)

159

−4 > D > −4p2

in Frage, die nicht durch p teilbar sind, und für die 4p2 in der Gestalt (6) darstellbar ist mittels ganzer durch p nicht teilbarer Zahlen σ, τ . Ist p ungerade, so ist D auf die quadratischen Reste von p beschränkt, während für p = 2 wegen der dann notwendig ungeraden σ, τ die Kongruenz D ≡ 1 (mod 8) zutreffen muß. Die Zahlen σ und τ sind teilerfremd, oder sie können den größten gemeinsamen Teiler 2 haben, letzteres jedoch nur, wenn p ungerade ist. Es sei jetzt ein zulässiges D mit einem Zahlenpaar σ, τ vorgelegt, wobei vorschriftsgemäß τ > 0 gewählt sein möge. Man kann dann in jeder der zugehörigen h(D) Klassen F einen Repräsentanten der Gestalt (pa0 , b, pc0 ) auswählen. Ist nämlich erstlich p = 2, so ist D ≡ 1 (mod 8) und b ungerade, mithin auch b2 ≡ 1 (mod 8). Es ist also 4ac ≡ 0 (mod 8), so daß mindestens eine der Zahlen a, c gerade ist. Ist c ungerade, also a gerade, so gehe man zur a¨ quivalenten Form (a, 2a + b, a + b + c), in der in der Tat der erste und der dritte Koeffizient gerade sind. Ist p ungerade, so entnehme man einer vorgelegten Klasse F zunächst eine Form (a, b, c) mit einem nicht durch p teilbaren a. Nach (4) in II, 138 gehe man von ihr zur a¨ quivalenten Form: (a, b , c ) = (a, −2βa + b, β 2 a − βb + c) , wobei man β, da D quadratischer Rest von p ist, entsprechend der Kongruenz: β 2 a − βb + c ≡ 0 (mod p) wählen kann. Man hat also bereits c ≡ 0 (mod p), so daß aus D ≡ 0 (mod p) auch b ≡ 0 (mod p) folgt. Mit der neuen Form ist a¨ quivalent: (a , b , c ) = (a − γb + γ 2 c , b − 2γc , c ) . Man bestimme γ aus der lösbaren Kongruenz a − γb ≡ 0 (mod p) und erhält, da c schon durch p teilbar ist, auch noch a ≡ 0 (mod p), wie zu zeigen war. Für die einer beliebigen Klasse F der Diskriminante D entnommene Form (pa0 , b, pc0 ) gilt nun D ≡ b2 (mod 4p2 ), so daß wir aus (6): (14)

(σ + bτ )(σ − bτ ) ≡ 0 (mod 4p2 )

folgern. Ist nun erstlich p ungerade, so können nicht beide Faktoren in (14) links ¨ durch p teilbar sein, da sonst σ ≡ 0 (mod p) zuträfe. Uber das noch freie Vorzeichen von σ verfügen wir so, daß (σ − bτ ) nicht durch p teilbar ist. Dann folgt aus (14) die Kongruenz σ + bτ ≡ 0 (mod p2 ). Weiter aber gilt σ + bτ ≡ 0 (mod 2), da die beiden mod 2 kongruenten Faktoren in (14) links ein durch 4 teilbares Produkt liefern, also nicht ungerade sein können. Hiernach ist: (15)

α=−

τb + σ 2p2

160


eine ganze“ Zahl. Ist zweitens p = 2, so gelten bei unserer Form (2a0 , b, 2c0 ) die ” Kongruenzen: D ≡ 1 (mod 8) ,

b≡σ≡1

(mod 2) ,

D ≡ b2

(mod 16) ,

so daß aus (6) folgt: (σ + bτ )(σ − bτ ) ≡ 0

(mod 16) .

Hier können aber wegen σ ≡ 0 (mod 2) nicht beide Faktoren links durch 4 teilbar sein; also ist ein Faktor durch 8 teilbar, und wir wählen das Vorzeichen von σ so, daß dies der erste Faktor ist. Auch für p = 2 ist das durch (15) gegebene α eine ganze“ Zahl. ” Aus (10) berechnet man jetzt drei weitere ganze Zahlen β, γ, δ, die mit α die Gleichung αδ − βγ = 1 befriedigen, und gelangt damit zum Ausgangspunkte (3) ¨ unserer Uberlegung zurück. Es ergiebt sich der Satz: Die Gleichung Dp (j) = 0 hat neben den stets auftretenden Lösungen j = 0 und j = 123 alle Klasseninvarianten derjenigen dem Intervalle (13) angehörenden Diskriminanten D zu Wurzeln, für die Lösungen der Gleichung (6) in ganzen, durch p nicht teilbaren Zahlen σ, τ existieren, womit zugleich alle Wurzeln jener Gleichung erschöpft sind. Nach der S. 154 vereinbarten Sprechweise sagten wir, die Primzahl p gehöre bezüglich D zum Exponenten ν, falls ν der kleinste positive Exponent ist, für welchen die Gleichung: (16)

4pν = σ 2 − Dτ 2

in ganzen Zahlen σ, τ lösbar ist, die entweder teilerfremd sind oder (jedoch nur bei ungeradem p) den größten gemeinsamen Teiler 2 haben. Hat man bereits bei ν = 1 eine Lösung σ, τ , so hat man auch für ν = 2 die brauchbare Lösung: σ = σ 2 − 2p ,

τ = στ .

Im eben gewonnenen Satze handelt es sich demnach (natürlich wieder ausser j = 0 und j = 123 ) um die Klasseninvarianten aller dem Intervalle (13) angehörenden Diskriminanten D, bezüglich deren die Primzahl p einem der Exponenten 1 oder 2 angehört. Eine ganze Zahl m heißt durch eine quadratische Form (a, b, c) darstellbar“, ” wenn es zwei ganze Zahlen x, y giebt, die die Gleichung: (17)

m = ax2 + bxy + cy 2

befriedigen. Natürlich ist m dann auch durch jede mit (a, b, c) a¨ quivalente Form darstellbar, so daß man sagt, m sei durch die Formklasse darstellbar. Einleuchtend ist, daß jede als erster Koeffizient in irgend einer Form von F auftretende Zahl durch die Klasse darstellbar ist. Mit der eben benutzten Form (pa0 , b, pc0 ) gehört auch (p, b, pa0 c0 ) als ursprüngliche positive Form zur Diskriminante D. Da p zum Exponenten 1 oder 2 gehört, so ist nach S. 154 die Klasse F von (p, b, pa0 c0 ) entweder

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0

161

die Hauptklasse oder sie giebt, mit sich selbst komponiert, die Hauptklasse, ist also eine ambige“ Klasse (vergl. II, 140 und 151). Als erster Koeffizient p der Form ” (p, b, pa0 c0 ) ist also die Primzahl p entweder durch die Hauptklasse oder durch eine ambige Klasse darstellbar. Ist andrerseits p in der Gestalt: p = ax2 + bxy + cy 2 durch eine Form (a, b, c) der Hauptklasse oder einer ambigen Klasse darstellbar, so sind x und y teilerfremd. Man setze γ = y, δ = −x und w¨ ahleβ α und β entsprechend der Gleichung αδ − βγ = 1. Durch die Substitution α, γ, δ gelangt man zu einer a¨ quivalenten Form (p, b , c ), die also wieder der Hauptklasse oder der ambigen Klasse angehört. Dann aber folgt auch wieder aus den Rechnungen von S. 152 ff. die Lösbarkeit der Gleichung (10), S. 154 in passenden ganzen Zahlen σ, τ für ν = 1 oder ν = 2, stets also für ν = 2. Dem gewonnenen Satze können wir also auch die Fassung geben: Die Wurzeln der Gleichung Dp (j) = 0 (ausser j = 0 und j = 123 ) sind die gesamten Klasseninvarianten derjenigen Diskriminanten D des Intervalles (13), bei denen p durch die Hauptklasse oder eine ambige Klasse darstellbar ist; zugleich sind damit alle Wurzeln jener Gleichung erschöpft.

4.7 Beziehungen zwischen den Wurzeln der Klassengleichung HD (j) = 0. Die unter (16), S. 156 gegebene Klasseninvariante j(ω) der beliebig gewählten Formklasse F magauch durch jF bezeichnet werden. Entsprechend bezeichnen wir die Invariante j ωp der Klasse F · F durch jF·F . Hierbei bedeutet ω den sin gulären Wert (15), S. 156. Die beiden Größen j = j ωp und j = j(ω) hängen bei beliebig veränderlichem ω durch die zum Grade p gehörende Transformationsgleichung Fp (j , j) = 0 zusammen. Insbesondere gilt also für unser singuläres ω die Gleichung: Fp (jF·F , jF ) = 0 . Hieraus geht hervor, daß die beiden algebraischen Gleichungen für j: (1)

Fp (j, jF ) = 0 ,

HD (j) = 0

von den Graden (p+1) und h die Lösung j = jF·F gemein haben. Es soll untersucht werden, ob dies die einzige gemeinsame Wurzel beider Gleichungen ist oder nicht. Die gesamten Wurzeln der ersten Gleichung (1) sind: ω + l −b + i |D| (2) j(p ω) , j , ω= , l = 0, 1, 2, . . . , p − 1 . p 2a Es fragt sich also, ob unter diesen (p + 1) Wurzeln ausser derjenigen für l = 0 noch eine oder mehrere Klasseninvarianten der Diskriminante D vorkommen.

162


Nun ist erstlich ω = pω Wurzel der quadratischen Gleichung: aω 2 + bpω + c1 pν+2 = 0 , wie aus der Gestalt (14), S. 155 der zu ω gehörenden quadratischen Form hervorgeht. Es ist also ω der Nullpunkt der Form (a, bp, c1 pν+2 ), die wegen a ≡ 0 (mod p) ursprünglich ist und die Diskriminante p2 · D hat. Die erste Wurzel (2) genügt also nicht der zweiten Gleichung (1). Zweitens ist ω = ω+l mit l > 0 p Wurzel der Gleichung: ap2 ω 2 + p(b − 2al)ω + l(al − b) + c1 pν = 0 und also Nullpunkt der Form: 2 ap , p(b − 2al), l(al − b) + c1 pν , die gleichfalls die Diskriminante p2 · D hat. Diese Form kann nur p als Teiler > 1 haben. Dieser Teiler p tritt aber (ausser für l = 0) in der Tat noch einmal auf, nämlich für die aus: (3)

al − b ≡ 0 ,

l ≡ a−1 · b

(mod p)

sich ergebende Zahl l. Wir gelangen also nur noch zu der einen ursprünglichen Form: (ap, b , c ) ,

(4)

b = b − 2al

der Diskriminante D, deren Invariante den beiden Gleichungen (1) zugleich genügt. Es ist nun zu untersuchen, ob die Invariante dieser Form vielleicht wieder jF·F selbst ist, oder ob wir wirklich zu einer neuen Wurzel der zweiten Gleichung (1) geführt sind. Um hierüber zu entscheiden, stellen wir für b zunächst die beiden Kongruenzen fest: (5)

b ≡ −b

(mod 2p) ,

b ≡ b (mod 2a) .

Während die zweite Kongruenz unmittelbar aus der Erklärung (4) von b folgt, müssen wir beim Beweise der ersten unterscheiden, ob p ungerade oder gerade ist. Im ersten Falle folgt b ≡ −b (mod p) aus (4) und (3); und da stets b ≡ b (mod 2) gilt, so ist die erste Kongruenz (5) für ungerades p richtig. Ist aber p = 2, so sind D, a und b ungerade, und man hat l = 1. Also gilt zufolge (4) die Kongruenz b ≡ b (mod 4), so daß nur noch b ≡ −b (mod 4) u¨ brig bleibt. Nun hat man nach (5), S. 152: (ap, b , c ) = (p, b , ac ) · (a, b , c p) . Nach den Kongruenzen (5) sind die rechts stehenden Formen bezw. mit: (p, −b, c0 pν−1 ) ,

(a, b, c1 pν )


163

a¨ quivalent, von denen die erste (als mit (p, b, c0 pν−1 ) entgegengesetzt) die Klasse F−1 repräsentiert, während die zweite unsere Form der Klasse F ist. Die Form (4) liefert demnach die Klasse F−1 · F , die mit der Klasse F · F stets und nur dann identisch ist, wenn F ambig ist. Damit steht folgender Satz fest: Ist F ambig, so haben die beiden Gleichungen (1) nur eine einzige gemeinsame Lösung, nämlich die Invariante jF·F der Klasse F · F ; ist dagegen F nicht ambig, so haben jene Gleichungen genau zwei gemeinsame Lösungen, nämlich die Invarianten jF·F und jF−1 ·F der nun verschiedenen Klassen F · F und F−1 · F . Die beiden Funktionen Fp (j, jF ) und HD (j) von j, von denen die erste ganze ganzzahlige Funktionen von jF , die zweite aber ganze Zahlen zu Koeffizienten hat, haben somit den größten gemeinsamen Faktor: 2 (6) (j − jF·F ) oder j − (jF·F + jF−1 ·F )j + jF·F · jF−1 ·F , je nachdem F ambig ist oder nicht. Nun wird der größte gemeinschaftliche Faktor zweier ganzer Funktionen durch einen bekannten Divisionsprozeß gewonnen, wobei dieser Faktor der letzte Divisionsrest vor dem Aufgehen der Division ist. Man muß also in unserem Falle den Prozeß so lange fortsetzen, bis man einen Rest vom ersten bezw. vom zweiten Grade gewinnt. Dieser Rest liefert dann unmittelbar den in Betracht kommenden Faktor (6). Da man hierbei allein rationale Rechnungen durchzuführen hat, so folgt aus der Bauart der Koeffizienten von Fp (j, jF ) und HD (j) und aus dem Umstande, daß F frei wählbar war, der Satz: Ist F ambig, so ist die Klasseninvariante jF·F für jede Auswahl von F rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in der Gestalt: (7)

jF·F = RF (jF )

darstellbar, wo die Bauart der rationalen Funktion RF von der Klasse F unabhängig ist; ist F nicht ambig, so hat man für (jF·F + jF−1 ·F ) eine Darstellung: (8)

jF·F + jF−1 ·F = RF (jF ) ,

wobei von der Funktion RF die gleichen Aussagen gelten wie bei (7). Beim Ersatze von F durch Fκ · F bleiben die Gleichungen (7) und (8) richtig. Man findet: (9)

jFκ+1 ·F = RF (jFκ ·F ) ,

wenn F ambig ist, und: (10)

jFκ+1 ·F + jFκ−1 ·F = RF (jFκ ·F ) ,

wenn F nicht ambig ist. Im ersten Falle folgt für κ = 1, da F2 die Hauptklasse ist: (11)

jF = RF (jF·F ) .

164


Ist F ambig, so ist jede der beiden Klasseninvarianten jF und jF·F in der anderen durch ein und dieselbe rationale Funktion darstellbar. Ist hingegen F nicht ambig, so gehört die Primzahl p bezüglich D zu einem Exponenten ν > 2. Demnach sind in der Reihe der Klassen: . . . , F−2 · F ,

F−1 · F ,

F ,

F · F ,

F 2 · F , . . .

irgend ν auf einander folgende verschieden, während die Klassen sich u¨ brigens periodisch wiederholen. Aus (10) ergiebt sich die Gleichungenkette: jF2 ·F = −jF + RF (jF·F ) , jF3 ·F = −jF·F + RF (jF2 ·F ) , jF4 ·F = −jF2 ·F + RF (jF3 ·F ) , .............................. , aus der man leicht den folgenden Satz entnimmt: Für jeden Exponenten κ ist die Klasseninvariante jFκ ·F rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten in jF und jF·F darstellbar: (12)

(κ)

jFκ ·F = RF

jF , jF·F ,

(κ)

wobei die Bauart der Funktion RF allein durch F und κ bedingt ist, aber von F unabhängig ist. ¨ Das Ziel der nachfolgenden Uberlegung ist nun, festzustellen, welche quadratische Irrationalität zu adjungieren ist, um auch im Falle einer nicht ambigen Klasse F eine der Gleichung (7) genau entsprechende Darstellung von jF·F in jF zu ermöglichen. In der Tat genügt ja zufolge des zweiten Ausdrucks (6) die Klasseninvariante jF·F erst einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten rationale Funktionen von jF mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind. Setzt man in die Gleichung (11), S. 140 für j eine Klasseninvariante, also eine ganze algebraische Zahl ein, so sind alle Wurzeln M dieser Gleichung nach einem Satze von II, 79 wieder ganze algebraische Zahlen. In (13), S. 141 nehme man insbesondere ν = 0 und hat zunächst für variables ω (bei Fortlassung des Index bei M0 ): ω Δ ωp1 , ω2 = R j(ω), j , M (ω) = Δ(ω1 , ω2 ) p wo R die S. 140 ff. näher untersuchte rationale Funktion ist. Wegen des frei wählbaren ω schliessen wir auf ν Gleichungen: ω ω ω M κ−1 = R j κ−1 , j κ , κ = 1, 2, . . . , ν . p p p Bedeutet hinfort ω wieder den singulären Wert (15), S. 156, so folgen, wenn man für die rechts stehenden Klasseninvarianten die neuen Bezeichnungen benutzt, die


165

Gleichungen: (13)

M

ω = R jFκ−1 ·F , jFκ ·F , κ−1 p

κ = 1, 2, . . . , ν .

Die sämtlichen rechts auftretenden Klasseninvarianten sind nach (12) durch jF , jF·F rational darstellbar. Führt man dies aus und multipliziert die ν Gleichungen (13) mit einander, so gelangt man zu einer Gleichung: (14)

ν κ=1

M

ω = ΦF jF , jF·F , κ−1 p

wo Φ eine rationale Funktion mit rationalen Zahlenkoeffizienten ist, deren Bauart allein von F, aber nicht von F abhängt. Nun gilt: ω Δ pωκ1 , ω2 , M κ−1 = ω1 p Δ pκ−1 , ω2 so daß man die Gleichung (14) kürzer so schreiben kann: Δ ωpν1 , ω2 = ΦF jF , jF·F . (15) Δ(ω1 , ω2 ) Für das vorliegende singuläre ω ist ν der kleinste positive Exponent, für den pων bezüglich der Modulgruppe Γ mit ω a¨ quivalent ist. Es besteht also eine Gleichung: ω αω + β = ν p γω + δ mit vier ganzen Zahlen α, β, γ, δ der Determinante 1: αδ − βγ = 1 ,

(16)

wobei γ von 0 verschieden ist und als positiv vorausgesetzt werden darf. Für ω folgt die quadratische Gleichung: γω2 + (δ − αpν )ω − βpν = 0 . Da andrerseits ω der Nullpunkt der ersten Form (14), S. 155 ist, so giebt es eine ganze positive Zahl y, für die die drei Gleichungen: (17)

γ = ay ,

δ − αpν = by ,

gelten. Versteht man unter x die weitere ganze Zahl: (18)

x = δ + αpν ,

so stellen sich die α, β, γ, δ so dar:

β = −c1 y

166

(19)


α=

x − by , 2pν

β = −c1 y ,

γ = ay ,

δ=

x + by , 2

und die Gleichung (16) liefert: x2 − Dy 2 = 4pν ,

(20)

führt also zur Gleichung (10), S. 154 zurück. Unter Spaltung von ω in den Quotienten von ω1 und ω2 haben wir mit einem Proportionalitätsfaktor μ: (21)

μ

ω1 = αω1 + βω2 , pν

μ ω2 = γω1 + δω2 .

Da Δ(ω1 , ω2 ) eine Modulform erster Stufe (−12)ter Dimension ist, so folgt aus diesen Gleichungen: ω1 Δ ν , ω2 = μ12 Δ αω1 + βω2 , γω1 + δω2 = μ12 Δ(ω1 , ω2 ) . p Der in (15) links stehende Quotient ist demnach die zwölfte Potenz des Proportionalitätsfaktors μ, und wir gelangen zu der Gleichung: (22) ΦF jF , jF·F = μ12 . Aus der zweiten Gleichung (21) folgt bei Benutzung von (19) für unser durch (15), S. 156 gegebenes ω: √ −b + i |D| x + by x+y D + = μ = γω + δ = ay 2a 2 2 √ mit positiv imaginär genommener Wurzel D. Bei dieser Festsetzung hat man also: √ 12 x+y D . (23) ΦF jF , jF·F = 2 ¨ Bei der nächsten Uberlegung soll nun an der Klasse F entweder festgehalten werden, oder sie soll höchstens durch ihre inverse Klasse F−1 ersetzt werden. Da die linke Seite von (8) beim Austausch von F und F−1 unverändert bleibt, so wird die in (8) rechts stehende Funktion RF ihre Bauart nicht a¨ ndern, wenn F durch F−1 ersetzt wird. Bei der eben getroffenen Verabredung können wir demnach den Index F am Funktionszeichen RF sparen. Der Index F kann dann auch in (12) und (15) fortbleiben, und auch für (23) können wir schreiben: √ 12 x+y D (24) Φ jF , jF·F = . 2


167

Es ist jetzt zunächst eine Zwischenbetrachtung u¨ ber die Anzahl der Lösungen x, y der Gleichung (20) auszuführen. Da ν der kleinste Exponent ist, für den die Gleichung (20) in ganzen Zahlen x, y lösbar ist, so können x und y höchstens den Faktor 2 gemeinsam haben, und auch dies nur dann, wenn p ungerade ist. Da D ≡ 0 (mod p) gilt, so ist keine der Zahlen x und y durch p teilbar. √ Da nun D quadratischer Rest von p ist, so zerfällt im quadratischen Körper (R, D) das Hauptideal [p] in das Produkt zweier verschiedener Primideale ersten Grades p1 und p2 :19 [p] = p1 · p2 . Aus (20) folgt nun, falls D ≡ 0 (mod 4), mithin x ≡ 0 (mod 2) gilt: D D −x x ν ν (25) p1 · p 2 = +y · +y , 2 4 2 4 sowie, falls D ≡ 1 (mod 4), also x ≡ y (mod 2) zutrifft: √ √ −x + y D x+y D ν ν (26) p1 · p 2 = · . 2 2 In beiden Formeln stehen rechts teilerfremde“ Hauptideale, da sonst x durch p ” teilbar wäre. Wie bisher sei y > 0; dann gilt bei richtig ausgewähltem Vorzeichen von x: √ D x x+y D ν ν (27) p1 = +y bezw. p1 = . 2 4 2 Haben wir nun ein zweites Lösungspaar x , y von (20), so gelangen wir genau so zur Gleichung (27) mit x und y . Wir schliessen auf das Bestehen der Gleichung: ⎧ x D ⎪ ⎨ x2 + y D = für D ≡ 0 (mod 4) , + y 4 2 4 (28) √ √ ⎪ x +y D ⎩ = x+y2 D für D ≡ 1 (mod 4) . 2 Die hier rechts und links eingeklammerten Zahlen sind also assoziiert“ (vergl. ” II, 86). Ist nun erstlich die zu D gehörende Stammdiskriminante (vergl. II, 122) oder, wie wir kurz sagen wollen, der Stamm“ von D von −3 und −4 verschieden, so giebt ” √ es im quadratischen Körper (R, D) nur die beiden Einheiten ±1 (vergl. II, 121). Da wir y und y > 0 wählen wollen, so folgt y = y und damit x = x. Ist der Stamm der Diskriminante D von −3 und −4 verschieden, so giebt es nur ein Paar die Gleichung (20) befriedigende Zahlen x, y, abgesehen davon, daß jede dieser Zahlen im Vorzeichen geändert werden mag. 19

Vergl. II, 114 oder Algebra“ III, 235. ”

168


Ist auch weiter der Stamm zunächst von −3 und −4 verschieden, so bemerke man unter Wiederanknüpfung an (24), daß das Vorzeichen der in dieser Gleichung auftretenden Zahl x so zu bestimmen ist, daß α in (19) ganzzahlig ausfällt. Es gilt also die Kongruenz: x ≡ by (mod 2pν ) . Nun genügt die Zahl b nach dem Modul 2pν der ersten Kongruenz (13), S. 155, wobei b nur von F, aber nicht von der Auswahl der Klasse F abhängt. Da auch die Bauart der rationalen Funktion Φ unabhängig von F ist, so dürfen wir in (24), ohne daß sich x und y a¨ ndern, F durch irgend eine andere Klasse, z. B. auch durch F−1 ersetzen: √ 12 x+y D . Φ jF−1 , jF·F−1 = 2 Da nun zwei entgegengesetzte Formen Nullpunkte haben, die bezüglich der imaginären ω-Achse symmetrisch liegen, so sind die Invarianten zweier entgegengesetzten Klassen konjugiert komplexe Zahlen. Die Funktion Φ hat rationale, also reelle Koeffizienten. Indem man alle in der letzten Gleichung auftretenden Zahlen durch ihre konjugiert komplexen Zahlen ersetzt, ergiebt sich: √ 12 x−y D (29) Φ jF , jF−1 ·F = . 2 Die rechten Seiten der Gleichungen (24) und (29) sind sicher von einander verschieden. Es wäre nämlich sonst: √ √ x+y D (x + y D)2 √ = 4pν x−y D eine zwölfte Einheitswurzel. Dies trifft aber nicht zu, da wir den Stamm der Diskriminante D von −3 und −4 verschieden annahmen (vergl. II, 123). Bis zu dieser Stelle mögen nun zunächst auch die Fälle eines mit −3 und −4 gleichen Stammes gefördert werden. Ausser D = −3 und D = −4 selbst möge dabei auch D = −12 ausgeschlossen sein. Hier ist h = 1 und die Klassengleichung lautet (zufolge späterer Entwicklungen) j −54000 = 0, so daß man mit elementaren Verhältnissen zu tun hat. Wir setzen erstlich D = −4m2 mit m > 1; p ist ungerade und geht in m nicht auf. Aus der jetzt in Betracht kommenden ersten Gleichung (28) folgt: 1 1 x + my i = iκ x + myi . 2 2 Der Faktor iκ kann nicht gleich −1 sein, da y > 0, y > 0 gilt. Wäre er gleich ±i, so würde: x = ∓2my , x = ±2my folgen. Dann würde aber aus x ≡ 0 (mod 2m) und der Gleichung (20) ein durch p teilbares m folgen. Also ist iκ = 1, und daraus folgt x = x, y = y, worauf wir genau wie oben auf das Bestehen der Gleichung (29) schliessen. Die rechten Seiten


169

der Gleichungen (24) und (29) sind auch jetzt von einander verschieden. Es müßte nämlich sonst eine Gleichung: πiκ 1 1 6 x + myi = e x − myi 2 2 bestehen, in der aber die rechts auftretende multiplikative Einheitswurzel eine solche vierten Grades sein müßte, da sie dem Körper (R, i) angehört. Diese Einheitswurzel kann nicht gleich ±1 sein, da weder x noch y veschwindet. Sie kann aber auch nicht gleich ±i sein; dann wäre nämlich x = ±2my, also x ≡ 0 (mod 2m), was wir schon als unzulässig erkannten. Es bleibt jetzt nur noch der Fall D = −3m2 , wo m > 2 ist und p in 3m nicht aufgeht. Die beiden Fälle (28) können zusammen behandelt werden; man hat den Ansatz: √ √ √ −1 + i 3 x + my −3 κ x + my −3 = ±ρ , ρ= , 2 2 2 dem man auch die Gestalt geben kann: x + my + 2my ρ = ±ρκ (x + my + 2myρ) . Die Einheitswurzel rechts kann nicht gleich −1 sein, da y und y positiv sind. In den vier Fällen κ = ±1 schließt man jedesmal leicht auf das Bestehen der Kongruenz x ≡ 0 (mod m), so daß 4pν wegen (20) durch m2 teilbar wäre. Dies ist aber nicht möglich, da m > 2 gilt und p in m nicht aufgeht. Also bleibt nur ±ρκ = 1; damit ist wieder x = x, y = y, und wir schliessen wie oben erneut auf die Gültigkeit der Gleichung (29). Auch in diesem Falle sind die rechten Seiten der Gleichungen (24) und (29) von einander verschieden. Es müßte nämlich sonst eine Gleichung: √ √ πiκ x + myi 3 = e 6 x − myi 3 gelten, in der die Einheitswurzel rechter√Hand aber nur dem sechsten Grade angehören könnte, da sie im Körper (R, i 3) enthalten ist. Gleich ±1 kann diese Einheitswurzel nicht sein, da x und y von 0 verschieden sind. In den vier u¨ brigen Fällen würde man aber stets zu einem durch m teilbaren x geführt, was unzulässig ist. Wir können jetzt die oben (S. 164) aufgeworfene Frage beanworten, welche quadratische Irrationalität zu adjungieren ist, um auch im Falle einer nicht-ambigen Klasse F eine der Gleichung (7) genau entsprechende Darstellung von jF·F durch jF zu ermöglichen. Es gilt demnach auch weiterhin die Voraussetzung, daß F nicht ambig ist. Bei denjenigen Diskriminanten D, bei denen alle“ Klassen ambig sind20 , ” 20

G a u ß hat die Vermutung ausgesprochen, daß es nur endlich viele Diskriminanten dieser Art giebt; man vergl. Art. 303 der Disquisitiones arithmeticae“. Gauß schreibt die Form mit doppeltem ” mittleren Koeffizienten (ax2 + 2bxy + cy 2 ) und bezeichnet D = b2 − ac als Determinante“ ” der Form. Bei den folgenden 65 Werten von −D:

170


reicht die Gleichung (7) bereits zum weiteren Ausbau der Theorie der Klassengleichung aus. Rechnen wir in (24) und (29) die rechts stehenden zwölften Potenzen nach dem binomischen Lehrsatze aus, so kleiden sich diese Gleichungen in die Gestalten: √ √ σ+τ D σ−τ D (30) Φ jF , jF·F = , Φ jF , jF−1 ·F = , 2 2 wo σ und τ ganze Zahlen sind und, wie eben bewiesen wurde, τ = 0 gilt. Hieraus folgt: (31)

√

D=

1 Φ jF , jF·F − Φ jF , jF−1 ·F . τ

Da die Funktion Φ rationale Zahlenkoeffizienten hat, findet man den Satz: Sind nicht alle Klassen ambig, so ist die Quadratwurzel der Diskriminante D eine natürliche ” Irrationalität“ (vergl. II, 51) der Klassengleichung; im Falle von lauter ambigen Klassen kann dieser Satz schon deshalb nicht gelten, weil dann der Galoissche Körper der Klassengleichung reell ist. Die Antwort auf unsere Hauptfrage ist aber jetzt einleuchtend. Durch Nullsetzen des zweiten Ausdrucks (6) erhalten wir eine quadratische Gleichung für j, deren Koeffizienten rationale Funktionen von jF mit rationalen Zahlenkoeffizienten sind, und die die Lösungen jF·F und jF−1 ·F hat. Sie hat mit der Gleichung: √ σ±τ D (32) Φ jF , j = 2 bei Gültigkeit des oberen Zeichens die einzige“ Wurzel jF·F gemein, bei Gültigkeit ” des unteren Zeichens allein die Wurzel jF−1 ·F . Die gemeinsame Wurzel berechnet sich jeweils rational. Es folgt der Satz: Ist F eine beliebige Klasse und F die bisher so bezeichnete √ nicht-ambige Klasse, so ist nach Adjunktion der Quadratwurzel der Diskriminante D zum rationalen Körper die Klasseninvariante jF·F rational in der Gestalt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 giebt es nur ambige Klassen; nach Gauß gilt es als wahrscheinlich, daß dies alle Determinanten mit nur ambigen Klassen sind. (In Frickes Manuskript dieser Liste befinden sich drei Abweichungen von den Angaben in Gauß’ Disquisitiones arithmeticae“, Art. 303. Diese Abweichungen wurden oben gemäß der ” Gaußschen Tabelle korrigiert. Die Zahlen der obigen Liste stimmen mit Eulers Tafel der numeri idonei u¨ berein, s. z. B. Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Number Theory“ (Academic Press, ” London 1966), S. 427 oder D. A. Cox: Primes of the Form x2 + ny 2 “ (J. Wiley & Sons, ” New York 1989), S. 59 ff. Es ist bekannt, dass die Gaußsche Liste vollständig ist, falls die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung zutrifft. Ohne die Annahme unbewiesener Hypothesen bewies P. Weinberger: Exponents of the class group of complex quadratic fields“, Acta Arith. 22 ” (1973), S. 117–124, dass die obige Tafel nach Einfügung höchstens einer weiteren Zahl vollständig ist. [Anm. d. Hrsg.])


(33)

jF·F

171

√ = RF jF , D

darstellbar, wobei die Bauart der Funktion RF allein von F, aber nicht von F ¨ abhängt. Der Ubergang zu jF−1 ·F geschieht einfach durch Zeichenwechsel von √ ¨ D, ohne daß die Bauart von RF eine Anderung erfährt: √ (34) jF−1 ·F = RF jF , − D . Damit ist die Erweiterung der Gleichung (7) für den Fall einer nicht-ambigen Klasse gewonnen. Wir fassen weiterhin die Gleichungen (7) und (33) gewöhnlich in der Gestalt: (35) jF·F = RF jF zusammen. Es des √ ist dann allgemein RF eine rationale Funktion mit Koeffizienten √ Körpers (R, D) und insbesondere mit Koeffizienten des ja in (R, D) enthaltenen rationalen Köpers R, wenn F ambig ist. Es ist nun möglich, unser Ergebnis noch dahin zu verallgemeinern, daß F sogar eine beliebige der h(D) Klassen sein darf. Wir setzen speziell p1 und F1 für die bisherigen Bezeichnungen p und F und verstehen unter p2 und F2 gleichfalls eine Primzahl und eine zugehörige Formklasse. Man hat dann die Gleichungen: (36)

jF1 ·F = RF1 (jF ) ,

jF2 ·F = RF2 (jF ) .

Da F frei wählbar ist, darf man in der ersten dieser Gleichungen F2 · F an Stelle von F eintragen und gelangt zu einer neuen Gleichung: jF1 ·F2 ·F = RF1 RF2 (jF ) ,

(37)

jF1 ·F2 ·F

√

D die Gestalt geben: √ = RF1 ·F2 jF , D .

der wir unter Hervorhebung der Irrationalität

Der Aufbau der rechts stehenden Funktion hängt allein von der Klasse F1 · F2 ab. Ersetzen wir in (36) links F1 und F2 durch die entgegengesetzten Klassen F−1 1 und F−1 dies nur zur Folge, daß in den rechts stehenden Funktionen die dem 2 , so hat √ Körper (R, D) angehörenden Koeffizienten durch ihre konjugierten Zahlen ersetzt werden. Wir gelangen zur Gleichung: √ j(F1 ·F2 )−1 ·F = RF1 ·F2 jF , − D . Ist auch p3 eine Primzahl und F3 eine zugehörige Formklasse, so findet man entsprechend:

172


√ jF1 ·F2 ·F3 ·F = RF1 ·F2 ·F3 jF , D , √ j(F1 ·F2 ·F3 )−1 ·F = RF1 ·F2 ·F3 jF , − D und kann in der gleichen Weise die Betrachtung fortsetzen. Es ist nun bereits S. 152 bewiesen, daß man jede“ Formklasse F der Diskri” minante D als ein symbolisches Produkt F1 · F2 · F3 · · · von Formklassen unserer Art darstellen kann. Damit ist der grundlegende Satz gewonnen: Für zwei beliebige Formklassen F und F der Diskriminante D gelten die Gleichungen: ⎧ √ ⎪ ⎨ jF·F = RF jF , + D , (38) √ ⎪ ⎩ jF−1 ·F = RF jF , − D , wo die Bauart der Funktion RF nur durch F bedingt ist und RF−1 dieselbe Bauart hat wie RF . Setzen wir u¨ brigens in der zweiten dieser Gleichungen statt F die Klasse F · F ein, so ergiebt sich: √ (39) jF = RF jF·F , − D als Umkehrung der ersten Gleichung (38). Man bilde jetzt die erste Gleichung (38) für alle h(D) Klassen F0 , F1 , F2 , . . . , Fh−1 , die man nach einander für F einsetzen wolle. Es entstehen die h(D) Gleichungen: k = 0, 1, 2, . . . , h − 1 , √ wo rechts rationale Funktionen mit Koeffizienten des Körpers (R, D) stehen und zwei zu entgegengesetzten√Klassen Fk und F−1 gehörende Funktionen einfach k ¨ D in einander u bergehen. Wir notieren als Schlußsatz: durch Zeichenwechsel von √ Ist bereits D zum rationalen Körper adjungiert, so sind mit der weiteren Bekanntgabe einer einzelnen“ beliebig gewählten Klasseninvariante jF bereits alle h(D) ” Klasseninvarianten rational bekannt“ (vergl. II, 43). Man hat nur zu beachten, daß ” die F0 · F , F1 · F , F2 · F , . . . , Fh−1 · F genau wieder alle h(D) verschiedenen Formklassen der Diskriminante D sind. (40)

jFk ·F = RFk (jF ) ,

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenkörper. Als Klassenkörper“ der Diskriminante D bezeichnen wir den Körper: ” √ (1) K = (R, D, jF ) ,

4.8 Primidealzerlegungen rationaler Primzahlen im Klassenkörper

173

wo jF eine der zugehörigen Klasseninvarianten ist. Nach 4.7 sind in K alle h(D) Klasseninvarianten der Diskrimante D enthalten. Sind nicht alle Klassen ambig, so √ ist D eine natürliche Irrationalität der Klassengleichung, so daß in diesem Falle K zugleich der Galoissche Körper der Klassengleichung ist (vergl. II, 41). Sind hingegen alle Klassen ambig, so ist der Galoissche Körper der √ Klassengleichung reell, und aus ihm entsteht erst durch weitere Adjunktion von D der Klassenk¨ √orper K. Der Klassenkörper ist sowohl in bezug auf den quadratischen Körper (R, D), als auch in bezug auf den rationalen Körper im Sinne von II, √ 41 ein ”Normalkörper“. Sein Grad n in bezug auf den quadratischen Körper (R, D) ist gleich h(D), falls die Klassengleichung im quadratischen Körper irreduzibel ist. Ist sie indessen reduzibel, so ist n < h(D). Um u¨ ber die Frage der Reduzibilität der Klassengleichung zu entscheiden (was u¨ brigens zum Beweise der Abelschen Behauptung nicht mehr unbedingt nötig sein würde), sind noch einige arithmetische Betrachtungen vorauszuschicken. Es sei p eine Primzahl, die weder in 2D noch in der durch DK zu bezeichnenden Diskriminante der Klassengleichung aufgeht (vergl. II, 86 ff.)21 . Nach II, 108 zerfällt dann das Hauptideal [p] im Körper K in das Produkt von lauter verschiedenen Primidealen. Diese Zerfällung soll nun näher untersucht werden. In einer einzelnen Klasseninvariante j ist jede andere ganze Zahl ζ des Klassenkörpers K auf eine und nur eine Art in der Gestalt: ζ = β0 + β1 j + β2 j 2 + · · · + βn−1 j n−1 √ mit Zahlen β aus (R, D) darstellbar. Da ζ ganz sein soll, so geht der Generalnenner der β in der Diskriminante DK der Klassengleichung auf. Schreiben wir also: (2)

(3)

DK · ζ = γ0 + γ1 j + γ2 j 2 + · · · + γn−1 j n−1 ,

so sind eindeutig bestimmte ganze“ Zahlen von √ für jede ganze Zahl ζ von K die γ √ ” (R, D). Hat ζ die ganze Zahl α aus (R, D) zum Teiler, so sind auch bereits alle Zahlen γ durch α teilbar. In diesem Falle besteht nämlich schon für αζ eine eindeutig bestimmte Darstellung der Gestalt (3). Die Grundzahl D des quadratischen Körpers hängt mit D durch eine Gleichung D = m2 D mit rationalem ganzen m zusammen; andrerseits berechnen wir aus D eine Basis“ 1, θ des quadratischen Körpers √ nach ” (1) in II, 121. Um die Koeffizienten in (3) rechts als ganze Zahlen von (R, D) zu charakterisieren, schreiben wir die Gleichung (3) abgekürzt: (4)

DK · ζ = g(j, θ) ,

wo also eine ganze ganzzahlige Funktion von j und θ steht. rechts Ist D das Legendresche Zeichen, so gilt bekanntlich: p 21 Durch diese Festsetzungen erleiden die Sätze des vorigen Paragraphen keine Einbusse ihrer Allgemeingültigkeit. Man kann nämlich die in den Formeln (38) ff. in 4.7 gemeinte Form (a, b, c) der Klasse F stets so entnehmen, daß a teilerfremd gegen 2D · DK ist.

174


D p

≡D

√ p D √ D ≡ D p

p−1 2 ,

(mod p) .

Mit Benutzung des Fermatschen Lehrsatzes der rationalen Zahlentheorie folgert man hieraus für die Grundzahl D des quadratischen Körpers entsprechend: √ p D √ D ≡ D p

(mod p) .

Berücksichtigt man, daß die Binomialkoeffizienten, sowie auch die Polynomialkoeffizienten der pten Potenz, soweit sie nicht gleich 1 sind, sämtlich den Teiler p haben, so findet man√für θ sowie u¨ berhaupt für alle ganzen Zahlen γ des quadratischen Körpers (R, D) die Kongruenzen: ⎧ D ⎨ γ p ≡ γ (mod p) für = +1 , p (5) D ⎩ γ p ≡ γ (mod p) für p = −1 , unter γ die zu γ konjugierte Zahl verstanden. Entsprechend folgt für unsere Funktionen (4): ⎧ D ⎨ g(j, θ)p ≡ g(j p , θ) (mod p) für = +1 , p (6) D ⎩ g(j, θ)p ≡ g(j p , θ) (mod p) für p = −1 . Es sei jetzt p ein in p aufgehendes Primideal des Grades λ. Die Norm“ von p ist ” dann nach (1) in II, 108 durch: N (p) = pλ

(7)

gegeben. Man hat N (p) mod p inkongruente Zahlklassen in K (vergl. II, 101), von denen eine die durch p teilbaren ganzen Zahlen von K enthält. Genau wie in der rationalen Zahlentheorie folgert man das Bestehen des auf K u¨ bertragenen Fer” matschen Lehrsatzes“: ζ N (p) ≡ ζ (mod p) für jede ganze Zahl ζ aus K. Diese Kongruenz lautet wegen (7) so: (8)

λ

ζp ≡ ζ

(mod p) ,

wo λ der Grad des Primideals p ist. Eine Zahl ζ, für die diese Kongruenz nicht bereits bei einem kleineren positiven Exponenten λ besteht, würde man nach Analogie der rationalen Zahlentheorie als eine primitive Wurzel“ des Primideals bezeichnen. ” Die Existenz solcher primitiver Wurzeln von p zeigt man wieder genau wie in der rationalen Zahlentheorie22 . Man kann demnach auch den Satz aussprechen: Ist λ

22

Diese Verhältnisse sind ausführlich dargelegt in Algebra“ III, 35 ff. ”

175


die kleinste rationale ganze positive Zahl, für welche die Kongruenz (8) bei allen“ ” ganzen Zahlen ζ von K gilt, so ist λ der Grad des Primideals p. Die Linearfaktorenzerlegung der linken Seite der Klassengleichung ist: (9)

HD (j) = (j − jF0 )(j − jF1 )(j − jF2 ) · · · .

Da HD (j) rationale ganze Koeffizienten hat, so gilt die Kongruenz: HD (j)p ≡ HD (j p )

(mod p) .

Trägt man für j eine beliebige der h(D) Klasseninvarianten jFk ein, so verschwindet die linke Seite dieser Kongruenz. Wegen (9) folgt: HD (jFpk ) = (jFpk − jF0 )(jFp k − jF1 )(jFp k − jF2 ) · · · ≡ 0

(mod p) .

Es muß also mindestens ein Faktor (jFpk − jFl ) durch p teilbar sein. Wäre auch noch ein weiterer vom ersten verschiedener Faktor (jFp k − jFm ) durch p teilbar, so würde dasselbe von (jFl − jFm ) gelten, und dann wäre die Diskriminante DK durch p teilbar, was aber nicht der Fall ist. Wir notieren den Satz: Die pte Potenz jeder Klasseninvariante jFk ist mod p mit einer und nur einer Klasseninvariante jFl kongruent: (10)

jFpk ≡ jFl

(mod p) .

Ist nun erstlich D quadratischer Nichtrest von p, so genügt die in K enthaltene Zahl θ nach (5) der Kongruenz: θp ≡ θ

(mod p) ,

so daß der Grad von p jedenfalls > 1 ist. Für die beiden durch die Kongruenz (10) verbundenen Klasseninvarianten jFk und jFl haben wir nach (38), S. 172 eine Beziehung: DK · jFl = g(jFk , θ) , die sich zufolge (39), S. 172 invertiert in: DK · jFk = g(jFl , θ) , wo g beide Male dieselbe Funktion ist. Erheben wir die erste dieser Gleichungen zur pten Potenz, so folgt mit Benutzung des Fermatschen Satzes, der zweiten Kongruenz (6) sowie der Kongruenz (10): DK · jFp l ≡ g(jFpk , θ) ≡ g(jFl , θ) ≡ DK · jFk Da DK nicht durch p teilbar ist, folgt weiter: jFpl ≡ jFk

(mod p) ,

(mod p) .

176


so daß man durch erneutes Erheben zur pten Potenz mit Benutzung von (10) den Schluß zieht: 2

jFpl ≡ jFl

(11)

(mod p) .

Nun ist jede ganze Zahl ζ von K durch die Klasseninvariante j = jFl in der Gestalt √ (3) darstellbar, und für jede ganze Zahl γ von (R, D) gilt wegen (5) sicher die Kongruenz: 2 γ p ≡ γ (mod p) . Wir schliessen auf das Bestehen der Kongruenz: 2

ζp ≡ ζ

(mod p)

für jede ganze Zahl ζ aus K und haben damit den Lehrsatz gewonnen: Jede in D und DK nicht aufgehende ungerade rationale Primzahl p, von der D quadratischer Nichtrest ist, zerfällt im Klassenkörper K in das Produkt von lauter verschiedenen Primidealen zweiten“ Grades. ” Es sei jetzt D quadratischer Rest von p. Es giebt dann nach S. 160 ff. eine Klasse F, durch die die Primzahl p darstellbar“ ist; und mit F stellt natürlich auch F−1 ” die rationale Primzahl p dar, wobei im Falle eines ambigen F die Klasse F−1 mit F identisch ist. Nach S. 161 (4.7, Anfang) genügen für eine beliebige Klasse F die beiden Klasseninvarianten jF·F und jF der Gleichung: Fp (jF·F , jF ) = 0 , so daß wir bei Benutzung der Gestalt (7), S. 140 dieser Transformationsgleichung zur Kongruenz gelangen: (12)

p (jFp − jF·F )(jF·F − jF ) ≡ 0

(mod p) .

Ist jetzt wieder p irgend ein in p aufgehendes Primideal, so ist sicher einer der Faktoren in (12) links durch p teilbar. Trifft dies nicht vom ersten Faktor zu, so ist: p jF·F − jF ≡ 0

(mod p) .

Wenn man hier F−1 · F für F einträgt, so folgt: jFp − jF−1 ·F ≡ 0 (mod p) . Indem man die Bezeichnungen F und F−1 auf die beiden p darstellenden Klassen richtig verteilt, darf man die Kongruenz: (13) als bewiesen ansehen.

jFp ≡ jF·F

(mod p)

177


Läßt man an Stelle von F eine andere Klasse F treten, so wäre möglich, daß man dann in (13) statt F die Form F−1 brauchen müßte. Demgegenüber wollen wir zeigen, daß die Kongruenz (13) mit dem gleichen F für alle Klassen F gilt. Ist nämlich F irgend eine Klasse, so hat man, wie aus der Formel (40), S. 172 mit dem frei bleibenden F leicht entnommen wird, zwei Gleichungen: DK · jF = g(jF , θ) ,

DK · jF·F = g(jF·F , θ)

mit einer und derselben Funktion g. Man erhebe die erste Gleichung zur pten Potenz, benutze die erste Kongruenz (6), die Kongruenz (13) und endlich die zweite der vorstehenden Gleichungen und findet: DK · jFp ≡ g(jFp , θ) ≡ g(jF·F , θ) = DK · jF·F

(mod p) .

Da DK nicht durch p teilbar ist, so folgt in der Tat das Bestehen der Kongruenz (13) mit dem gleichen F für jede andere Klasse F : jFp ≡ jF·F

(mod p) .

Setzt man demnach z. B. an Stelle von F die Klasse Fμ · F in (13) ein, wo μ ein beliebiger Exponent ist, so ergiebt sich: (14)

jFp μ ·F ≡ jFμ+1 ·F

(mod p) ,

μ = 0, 1, 2, . . . .

Man erhebe jetzt die Kongruenz (13) in die pte Potenz und gewinnt mit Benutzung von (14): 2 jFp ≡ jF2 ·F (mod p) . Indem man nochmals und wiederholt zur pten Potenz erhebt, gelangt man allgemein zu der Kongruenz: λ

jFp ≡ jFλ ·F

(mod p) ,

λ = 1, 2, 3, . . . .

Nun gehört p bezüglich D zum Exponenten ν. Dann ist Fν die Hauptklasse F0 , während die niederen Potenzen Fν−1 , Fν−2 , . . . alle von F0 verschieden sind. Man hat also die Kongruenz: ν

jFp ≡ jF

(15)

(mod p) ,

während für alle λ < ν: λ

jFp ≡ jFλ ·F ≡ jF

(mod p)

zutrifft, da Fλ · F = F ist und also mod p kongruente jFλ ·F , jF ein durch p teilbares DK nach sich ziehen würden. Benutzen wir jF als Klasseninvariante j zur Darstellung aller ganzer Zahlen ζ von K, so findet man genau wie oben, daß die Kongruenz:

178

4 Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen ν

ζp ≡ ζ

(mod p)

für alle ganzen Zahlen des Klassenkörpers gilt. Damit steht folgender Satz fest: Jede in D und DK nicht aufgehende ungerade rationale Primzahl p, von der D quadratischer Rest ist, zerfällt im Klassenkörper K in ein Produkt von lauter verschiedenen Primidealen des Grades ν, wo ν der Exponent ist, zu dem p bezüglich D gehört.

4.9 Irreduzibilität der Klassengleichung in (R,

√ D).

Es soll √ jetzt entschieden werden, ob die Klassengleichung im quadratischen Körper (R, D) irreduzibel ist oder nicht. Wir gehen von der Annahme einer möglichen Zerlegung: (1)

HD (j) = H(j) · H (j)

in das Produkt zweier Faktoren H(j) und H (j) mit Graden < h(D) aus, die beide √ Zahlen des Körpers (R, D) zu Koeffizienten haben. Diese Koeffizienten sind dann √ nach II, 80 ff. notwendig gleichfalls ganze“ Zahlen von (R, D)23 . ” Es möge nun jF eine Lösung von H(j) = 0 sein und jF eine solche von H (j) = 0. Dann befriedigt natürlich weder jF die Gleichung H (j) = 0 noch jF die Gleichung H(j) = 0. Man wende auf eine geeignete Form der Klasse F · F−1 die Zerlegung (6), S. 152 an. Die Formklasse F · F−1 erscheint dann als Produkt: F · F−1 = F1 · F2 · F3 · · · Fm von m Klassen F1 , F2 , F3 , . . . , Fm , die m in D und DK nicht aufgehende ungerade Primzahlen p1 , p2 , p3 , . . . , pm darstellen. Für F aber ergiebt sich die Darstellung: (2)

F = F1 · F2 · F3 · · · Fm · F .

Es seien nun p1 , p2 , p3 , . . . , pm Primideale, die bezw. in den Primzahlen p1 , p2 , p3 , . . . , pm aufgehen. Nach (13), S. 176 gelten die Kongruenzen: jFp1 ≡ jF1 ·F

(mod p1 ) ,

jFp21 ·F ≡ jF1 ·F2 ·F

(mod p2 ) ,

jFp31 ·F2 ·F ≡ jF1 ·F2 ·F3 ·F

(mod p3 ) ,

......... ... ............

.........

jFpm 1 ·F2 ···Fm−1 ·F

≡ jF

(mod pm ) .

Man vergl. insbesondere den Schlußsatz in § 3, II, 83. Die Betrachtungen gelten uneingeschränkt auch für Funktionen mit ganzen algebraischen“ Koeffizienten; siehe hierzu auch Algebra“ III, ” ” 6 ff.

23

179

4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen

In der ersten Kongruenz steht links die zu H gehörende Klasse F, und in der letzten steht rechts die zu H gehörende Klasse F . Es findet also mindestens bei einer ¨ dieser Kongruenzen von links nach rechts ein Ubergang von H zu H statt. Diese Kongruenz möge kurz geschrieben werden: (3)

jFp ≡ jF

(mod p) ,

wobei dann also die Gleichungen gelten: (4)

H(jF ) = 0 ,

H (jF ) = 0 .

Man erhebe die erste Kongruenz zur pten Potenz und findet, da D quadratischer Rest von p ist, nach der ersten Kongruenz (6), S. 174 sowie auf Grund der Kongruenz (3): p H jF ≡ H jFp ≡ H jF ≡ 0 (mod p) . Unter den Linearfaktoren von H(j) kommt (j − jF ) nicht vor. Zufolge der letzten Kongruenz ist dann mindestens eine Differenz von jF und einer von jF verschiedenen Klasseninvariante durch p teilbar. Dies ist aber eine unhaltbare Folgerung; denn es würde sich die Teilbarkeit der Diskriminante DK der Klassengleichung durch p ergeben. Die Annahme der Zerlegung (1) ist also unzulässig, und damit ist der folgende Satz als richtig erkannt: Die Klassengleichung HD (j) = 0 √ ist im quadratischen Körper (R, D) und √damit nicht nur im rationalen Körper R, sondern auch noch nach Adjunktion von D zu demselben irreduzibel.

¨ 4.10 Angaben uber ambige Klassen. Die besondere Stellung, die die ambigen Klassen in 0000 1111 0000 1111 der Theorie der Klassengleichung einnehmen, macht es 0000 1111 0000 1111 nötig, noch einige weitere Angaben u¨ ber diese Klassen 0000 1111 0000 1111 0000 1111 hinzuzufügen. Es soll zunächst die Anzahl dieser Klas0000 1111 0000 1111 sen bei der Diskriminante D festgestellt werden. Die A 0000 1111 0000 00001111 1111 0000 00001111 Nullpunkte ihrer reduzierten Formen liegen auf dem in B 1111 0000 1111 00001111 1111 0000 00000 11111 0000 1111 00000 Fig. 23 stark ausgezogenen Rande der linken Hälfte des 11111 0000 000001111 11111 0000 000001111 DB“ der Modulgruppe. Wir haben also nachzusehen, wie 11111 0000 1111 00000 11111 ” 0000 1111 00000 11111 C 0000 1111 00000 viele ursprüngliche positive Formen der Diskriminante 11111 0000 000001111 11111 0000 000001111 D hierbei in Betracht kommen. An Stelle des Kreisseg- 11111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 mentes AB können wir hierbei auch das Geradenstück 11111 00000 0000 1111 00000 11111 0000 000001111 BC benutzen, das ja jenem Kreissegmente a¨ quivalent 11111 D E ist. Legen wir sogar die vollen Halbgeraden EA∞ und Fig. 23 DCB∞ zugrunde und bestimmen, wie viele Nullpunkte 24 ursprünglicher positiver Formen der Diskriminante D auf diesen Geraden liegen, Die Benennung des Punktes D und der Diskriminante D mit dem gleichen Buchstaben wird zu keinen Verwechslungen Anlass geben. [Anm. d. Hrsg.] 24

180


so haben wir die Anzahl dann noch durch 2 zu teilen, um die gesuchte Klassenanzahl zu gewinnen25 . Entsprechend jenen beiden Halbgeraden haben wir zwei Typen von Formen zu unterscheiden: I. II.

Gerade EA∞ ,

(a, 0, c) ,

D = −4ac ,

Gerade DCB∞ ,

(a, a, c) ,

D = −a(4c − a) ,

wo beide Male a und c positiv und teilerfremd sein müssen. Die Faktorenzerlegung der Diskriminante D sei gegeben durch: (1)

κ2 1 D = −2κ0 · pκ 1 · p2 · · · ,

wo κ0 0 gilt und die u¨ brigen Exponenten κ 1 sind. Die Anzahl der verschiedenen Primteiler von D sei durch λ bezeichnet. Ist erstlich D ungerade, also κ0 = 0, so hat man den Ansatz: (2)

κ2 1 a(4c − a) = pκ 1 · p2 · · · .

Die Zahlen a und c sind stets und nur dann positiv und teilerfremd, wenn man die volle Potenz pκ des einzelnen Primteilers entweder dem ersten Faktor a oder dem zweiten (4c − a) zuweist. Das giebt für jeden Primteiler p zwei, also im ganzen 2λ Möglichkeiten, so daß wir 2λ −1 ambige Klassen gewinnen. Bei geradem D kommen beide Typen I und II in Betracht. Beim Typus I haben wir den Ansatz: (3)

κ2 1 ac = 2κ0 −2 · pκ 1 · p2 · · · .

Im niedersten Falle κ0 = 2, also für D ≡ 4 (mod 8) hat man die (λ − 1) Primzahlpotenzen in obiger Weise auf a und c zu verteilen, für κ0 > 2, also D ≡ 0 (mod 8), nimmt aber auch noch die Potenz 2κ0 −2 an der Verteilung teil. Man hat also 2λ −1 bezw. 2λ Verteilungsmöglichkeiten, je nachdem D ≡ 4 oder D ≡ 0 (mod 8) gilt, mithin je nachdem 2λ −2 oder 2λ −1 ambige Formklassen. Der Typus II liefert für gerades D, also für κ0 2, den Ansatz: (4)

κ2 1 a(4c − a) = 2κ0 · pκ 1 · p2 · · · .

Die Zahl a ist notwendig gerade, also c ungerade. Im niedersten Falle κ0 = 2 ist a das Doppelte einer ungeraden Zahl a , so daß man die Gleichung (4) in: (5)

1 κ2 1 a (2c − a ) = pκ 1 · p2 · · · = − D 4

umwandelt. Da man: Die beiden Mittelpunkte A und C dürfen, als zur Diskriminante D = −4 gehörig, ausser Betracht bleiben.

25

181

4.10 Angaben u¨ ber ambige Klassen

2a ≡ 2 ,

a2 ≡ 1 ,

2c ≡ 2

(mod 4)

hat, so geht aus (5) die Kongruenz: 1 1≡− D 4

(mod 4) ,

D ≡ 12

(mod 16)

hervor. Für D ≡ 4 (mod 8) hat man also zu unterscheiden, ob D ≡ 4 oder D ≡ 12 (mod 16) gilt. Ist D ≡ 4 (mod 16), so hat man nur den Typus I mit 2λ −2 ambigen Klassen. Ist aber D ≡ 12 (mod 16), so findet man ausser jenen 2λ −2 Klassen aus dem Ansatze (5) noch weitere 2λ −2 ambige Klassen, jetzt also im ganzen 2λ −1 Klassen. Die Exponenten κ0 = 3 und κ0 = 4 kommen beim Typus II nicht in Betracht. Es müßte nämlich beide Male a ≡ 4 (mod 8) sein, wo dann aber wegen des ungeraden c bereits die Kongruenz D ≡ 0 (mod 32), also κ0 5 gelten würde. Für D ≡ 8 (mod 16) und D ≡ 16 (mod 32) hat man also nur die 2λ −1 vom Typus I gelieferten ambigen Klassen. Es bleibt nur noch κ0 5, also eine durch 32 teilbare Diskriminante D. Da jetzt a durch 4 teilbar, also a = 4a ist, so gilt zufolge (4) der Ansatz: (6)

κ2 1 a (c − a ) = 2κ0 −4 · pκ 1 · p2 · · · .

Wegen κ0 > 4 nehmen an der Verteilung jetzt λ Primzahlpotenzen teil, so daß der Typus II jetzt noch 2λ −1 ambige Klassen liefert. Unter Hinzunahme des Typus I findet man für D ≡ 0 (mod 32) im ganzen 2λ ambige Klassen. Die Ergebnisse können wir in einem einzigen Satz zusammenfassen: Man hat 2λ−1 ambige Klassen der Diskriminante D, wo λ im allgemeinen gleich der Anzahl verschiedener Primteiler von D ist (also gleich der bisher mit λ bezeichneten Anzahl); nur für D ≡ 4 (mod 16) ist λ um eine Einheit kleiner und für D ≡ 0 (mod 32) um eine Einheit grösser als die Anzahl verschiedener Primfaktoren von D. Der Vergleich mit den Entwicklungen von II, 151 ff. u¨ ber die Charaktere“ χ1 , ” χ2 , . . . , χν der Formklassen und die sich auf die Totalcharaktere“ gründende Ein” teilung aller h(D) Klassen in Geschlechter“ zeigt, daß die damals mit ν bezeich” nete Anzahl der Charaktere (vergl. insbesondere II, 154, Mitte) genau gleich der hier λ genannten Anzahl ist. Es ist nun ein bekannter Satz aus der Theorie der quadratischen Formen, daß von den 2λ kombinatorisch möglichen Totalcharakteren nur genau die Hälfte, also 2λ−1 bei den Formklassen wirklich auftreten. In der Tat ordnen sich die h(D) Klassen in 2λ−1 Geschlechter an, wobei in jedem Geschlechte gleich viel, also 2−(λ−1) · h(D) Klassen enthalten sind26 . Es besteht also der Satz: Bei der einzelnen Diskriminante D ist die Anzahl der ambigen Klassen genau gleich der Anzahl der Geschlechter. Sind insbesondere alle Klassen ambig (vergl. die Angaben von S. 169), so bildet demnach jede Klasse für sich ein Geschlecht. Bezeichnen wir kurz mit h0 die Anzahl der Klassen im einzelnen Geschlechte, so ist: (7) 26

h = 2λ−1 · h0 ,

Vergl. II, 155 und Algebra“ III, 291. ”

h0 = h · 2−(λ−1) .

182


Komponiert man eine Klasse F mit sich selbst, so sagt man von der entstehenden Klasse F2 , sie sei durch Duplikation“ hergestellt. Soll dieselbe Klasse F2 auch aus ” F durch Duplikation entstehen, so gilt: 2 F2 · F−2 = F · F−1 = F0 ,

F2 = F2 ,

wo F0 die Hauptklasse ist. Nach II, 151 ist somit F · F−1 eine etwa durch A zu bezeichnende ambige Klasse, so daß F = A · F gilt. Umgekehrt liefert jede Klasse A · F, die durch Komposition einer der 2λ−1 ambigen Klassen mit F entsteht, auch wieder (A · F)2 = F2 . Es liefern demnach immer genau 2λ−1 verschiedene Klassen F durch Duplikation eine und dieselbe Klasse F2 , so daß es im ganzen h0 durch Duplikation entstehende Klassen giebt. Da sich die Charaktere χ bei Komposition multiplizieren, so hat eine Klasse F2 lauter Charaktere +1; sie gehört demnach dem Hauptgeschlecht“ an. Im Hauptgeschlecht giebt es aber im ganzen nur h0 Klassen. ” Es folgt der Satz: Die h0 durch Duplikation entstehenden Klassen sind gerade genau die h0 Klassen des Hauptgeschlechtes“. ”

4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung. Die bisherigen Ergebnisse sind ausreichend, um die Grundsätze der Galoisschen Gleichungstheorie mit Erfolg auf die Klassengleichung anzuwenden. Jede Wurzel jFi der Klassengleichung HD (j) = 0 ist in jeder anderen jFk in der Gestalt: (k)

(k)

(k)

(k)

jFi = βi0 + βi1 jFk + βi2 jF2 k + · · · + βi,h−1 jFh−1 k

(1)

√ darstellbar, wo die β Zahlen des quadratischen Körpers (R, D) bezw. im Falle h0 = 1, d. h. wenn alle h Klassen ambig sind, des rationalen Körpers R sind. Es ist also das erste Theorem von II, 43 unmittelbar anwendbar: Die Klassenglei√ chung HD (j) = 0 ist als irreduzibele Gleichung hten Grades in (R, D) bezw. R, für deren Lösungen die Relationen (1) bestehen, eine Normalgleichung“, und ” als solche ist sie ihre eigene Galoissche Resolvente“; ihre Galoissche Gruppe ist ” einfach transitiv und hat die Ordnung h. Die Gleichung (1) hat nach 4.7 die Gestalt: jFk ·Fl = RFk (jFl ) ,

(2)

√ wo RFk eine allein durch Fk bedingte Funktion im Körper (R, D)“ oder (für ” h0 = 1) im Körper R“ ist. Zur Herstellung der Galoisschen Gruppe der Klassen” gleichung bringen wir die h Wurzeln in die Anordnung: (3)

jF0 ,

jF1 = RF1 (jF0 ) ,

jF2 = RF2 (jF0 ) , . . . , jFh−1 = RFh−1 (jF0 ) .

Nach II, 43 ff. stellen wir nun die h Permutationen der gesuchten Gruppe dadurch her, daß wir in (3) der Reihe nach jF0 durch jF0 , jF1 , jF2 , . . . , jFh−1 ersetzen. Läßt

4.11 Galoissche Gruppe der Klassengleichung

183

man aber jFk an die Stelle von jF0 treten, so geht die Anordnung (3) u¨ ber in: jFk , jF1 ·Fk = RF1 (jFk ) , jF2 ·Fk = RF2 (jFk ) , . . . , jFh−1 ·Fk = RFh−1 (jFk ) , wie aus (2) sofort hervorgeht. Die h Permutationen der Galoisschen Gruppe Gh der Klassengleichung sind also: jF0 , jF1 , jF2 , . . . , jFh−1 (4) , k = 0, 1, 2, . . . , h − 1 . jFk , jF1 ·Fk , jF2 ·Fk , . . . , jFh−1 ·Fk Diese h kurz durch P0 , P1 , P2 , . . . , Ph−1 zu bezeichnenden Permutationen sind den h Formklassen F0 , F1 , F2 , . . . , Fh−1 umkehrbar eindeutig zugeordnet. Dabei ist zugleich, falls Fk und Fl irgend zwei Klassen und Pk , Pl die ihnen entsprechenden Permutationen sind, die aus ihnen zusammengesetzte Permutation Pl · Pk auch wieder der Klasse Fl · Fk zugeordnet. Wir gelangen zu dem Satze: Die Galoissche Gruppe Gh der √ Klassengleichung HD (j) = 0 als einer Gleichung im quadratischen Körper (R, D) bezw. im rationalen Körper R ist isomorph mit der Kompositionsgruppe der h Klassen der Diskriminante D; demnach ist unsere Galoissche Gruppe Gh wie die Kompositionsgruppe eine kommutative“ oder Abelsche Gruppe“. Nun ” ” folgt nach II, 61 sofort weiter: Die Klassengleichung HD (j) = 0 der√Diskriminante D ist als eine irreduzibele Gleichung im quadratischen Körper (R, D) bezw. (für h0 = 1) im rationalen Körper R eine Abelsche Gleichung“, und sie ist als solche ” algebraisch“, d. h. durch eine Kette von Wurzelziehungen lösbar. Hiermit ist die ” Abelsche Behauptung (vergl. S. 136) bestätigt. Nach dem letzten Satze in II, 17 besteht nun jede Indexreihe einer Abelschen Gruppe Gh der Ordnung h aus den gesamten Primfaktoren von h, wobei jeder Primfaktor so oft als Reihenglied auftritt, wie er als Faktor in h enthalten ist. Nun ist h = 2λ−1 · h0 , wo h0 die S. 181 angegebene Bedeutung hat. Nach den allgemeinen Sätzen u¨ ber Auflösung einer algebraischen Gleichung in II, 54 ff. kann man also zunächst die (λ − 1) Faktoren 2 betreffend den Satz aufstellen: Die Klassengleichung ist nach Lösung von (λ − 1) quadratischen Gleichungen zerfällbar in 2λ−1 Gleichungen des Grades h0 . Dieser Gegenstand ist im zweiten, nicht minder wichtigen Teile der Weberschen Theorie der Klassengleichung behandelt. Es handelt sich um die Zerfällung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern“. In der ” Tat liefert die einzelne der 2λ−1 Teilgleichungen hten 0 Grades die Klasseninvarianten des einzelnen Geschlechtes. Man findet eine ausführliche Behandlung dieses Teiles der Weberschen Theorie in Algebra“ III, 371 ff. Es möge hier genügen, die Ergeb” nisse zusammen zu fassen: In allen Fällen sind es (λ − 1) Quadratwurzeln ganzer positiver Zahlen, welche adjungiert werden müssen, um die Zerfällung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern zu ermöglichen; und zwar setzen sich die Radikanden dieser Quadratwurzeln in höchst einfacher Weise aus Primteilern der Diskriminante D zusammen. Um dies näher anzugeben, verstehen wir unter p1 , p2 , . . . , pρ die verschiedenen mod 4 mit 1 kongruenten Primteiler von D und ebenso unter q1 , q2 , . . . , qσ die verschiedenen Primteiler, die mod 4 mit 3 kongruent sind. Wir haben dann im ganzen sieben Fälle zu unterscheiden und stellen in jedem dieser Fälle die (λ − 1) Quadratwurzeln tabellarisch zusammen, die die Zerfällung

184


der Klassengleichung leisten: I. D ≡ 1 (mod 4), II. D ≡ 4 (mod 16), III. D ≡ 12 (mod 16), IV. D ≡ 0 (mod 32), V. D ≡ 8 (mod 32), VI. D ≡ 16 (mod 32), VII. D ≡ 24 (mod 32),

√ p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ √ 2, p1 , p2 , √ √ √ 2, p1 , p2 , √ √ p1 , p2 , . . . , √ √ p1 , p2 , . . . , √

p1 ,

√ √ q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 q2 , q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ . . . , pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ . . . , pρ , q1 q2 , q1 q3 , . . . , q1 qσ , √ √ √ √ pρ , q1 , q2 , . . . , qσ , √ √ √ √ pρ , 2q1 , 2q2 , . . . , 2qσ . √

pρ ,

√

q1 q2 ,

Man u¨ berzeuge sich, daß in jedem Falle wirklich (λ−1) Quadratwurzeln angegeben sind.

Kapitel 5

Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten.

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe. Der Transformation nten Grades der elliptischen Funktionen legt man zweckmässig die in der Modulgruppe enthaltene durch β ≡ 0 (mod n) erklärte Kongruenzgruppe nter Stufe zu Grunde, die fortan als die Transformationsgruppe“ bezeichnet werden ” soll (vergl. II, 349). Der DB“ dieser Gruppe wurde a. a. O. Transformationspoly” ” gon“ genannt und durch Tn bezeichnet. Durch Zusatz der Substitution: ω =

(1)

−n ω

gelangt man zu einer umfassenderen Gruppe, in der die Transformationsgruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist. Ihr DB“ ist das in II, 357 ff. bereits ” vielfältig untersuchte Klassenpolygon“ Kn ; die Gruppe selbst heisse entsprechend ” Klassengruppe“. Die Beziehung zu den ganzzahligen binären quadratischen For” men negativer Diskriminante ist durch das Theorem von II, 363 dargelegt. Die Klassengruppe besteht, abgesehen von den Substitutionen der Transformationsgruppe gerade genau aus allen Substitutionen der Gestalt: (2)

ω =

α n ω + βn , γω + δn

αδn − βγ = 1

mit ganzen, die zweite Gleichung (2) befriedigenden Zahlen α, β, γ, δ. Beide Gruppen sind durch die Spiegelung ω = −ω an der imaginären ω-Achse erweiterungsfähig. Unter Kn verstehen wir in der Regel sogleich den DB“ der so ” erweiterten Klassengruppe. Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch die Klassengruppe nochmals durch Zusatz von Substitutionen erster Art erweiterungsfähig. Dies tritt an den in II, 437 ff. untersuchten Polygonen Kn bei zusammengesetzten Graden n unmittelbar zu Tage. So ist z. B. in Fig. 24 das in II, 437 behandelte Klassenpolygon K15 reproduziert, dessen vier mit s1 , s2 , s3 , s4 bezeichnete Seiten nebst zugehörigen Spiegelungen durch: R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

185

186

5 Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

(s1 )

2(ξ 2 + η 2 ) + 2 · 15ξ + 7 · 15 = 0 ,

ω =

15ω+7·15 −2ω−15

,

(s2 )

ξ 2 + η 2 + 11ξ + 2 · 15 = 0 ,

ω =

11ω+4·15 −2ω−11

,

(s3 )

ξ 2 + η 2 + 2 · 4ξ + 15 = 0 ,

ω =

4ω+15 −ω−4

(s4 )

ξ 2 + η 2 − 15 = 0 ,

ω =

15 ω

e4 σ e1

s4

,

gegeben sind1 . Es wird nun das Kreisbogensechseck K15 durch die elliptische Substitution der Periode 2: (3)

ω =

5ω + 2 · 15 −ω − 5

e

mit dem in der Figur durch e √ bezeichneten bei ω = −5 + i 5 s2 s3 e 3 gelegenen Fixpunkte in sich transe2 formiert. Bei Zusatz dieser Substi−5 ω=0 − 15 tution zur Klassengruppe erhalten 2 wir also eine umfassendere GrupFig. 24 pe, in der die Klassengruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2 ist. Der in der Figur mit σ bezeichnete Kreis der Gleichung: s1

ξ 2 + η 2 + 9ξ + 15 = 0 ,

(4)

auf dem der Fixpunkt e gelegen ist, läuft orthogonal zu s1 und s4 . Die beiden durch den Fixpunkt e abgetrennten Segmente dieses Kreises sind durch die Substitution (3) auf einander bezogen. Man wählt zweckmässig den durch den Kreis (4) abgetrennten, ins Unendliche ziehenden Teil des Polygons K15 zum DB“ der erweiter” ten Gruppe. Die Ecken e1 , e2 , e3 , e4 des Klassenpolygons K15 sind bezw. bei: √ √ √ √ −3 · 15 + i 15 −15 + i 15 −15 + i 15 , , , i 15 ω= 2 8 4 gelegen. Nach dem Theorem von II, 363 liefern sie repräsentierende Formen für die beiden Formklassen der Diskriminante D = −15 und die beiden mit D = −60. Diese repräsentierenden Formen sind bezw.: (1, 15, 60) ,

(8, 90, 255) ,

(2, 15, 30) ,

(1, 0, 15) ,

¨ Wie in II ist hier ω = ξ + iη gesetzt. Ubrigens ist in II meist (auch im Falle n = 15) die durch γ ≡ 0 (mod n) erklärte Gruppe als Transformationsgruppe benutzt. Es ist für die Zeichnung der Polygone etwas bequemer, die Kongruenz β ≡ 0 (mod n) zur Erkärung der Transformations” gruppe“ zu benutzen. 1

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe

187

von denen die erste und dritte zur Diskriminante D = −15, die zweite und vierte zu D = −60 gehören. Diese Formen mögen bezüglich der Transformationsgruppe ” reduziert“ oder kurz relativ reduziert“ genannt werden. Im gewöhnlichen Sinne ” reduziert ist nur die letzte Form, die die Hauptklasse“ der Diskriminante −60 ” repräsentiert. Zu den drei ersten Formen sind bezw. die im gewöhnlichen Sinne reduzierten Formen: (1, 1, 4) , (3, 0, 5) , (2, 1, 2) a¨ quivalent. Nach dem bekannten Theorem u¨ ber die Anzahl der Geschlechter, in die sich die Formklassen zusammenordnen2 , bildet bei den beiden vorliegenden Diskriminanten jede Formklasse für sich ein Geschlecht; insbesondere werden die Haupt” geschlechter“ für D = −15 und D = −60 von den Formen (1, 15, 60) und (1, 0, 15) geliefert. Von hieraus wird die arithmetische Bedeutung unserer letzten Gruppenerweiterung verständlich. Die Substitution (3) ist, homogen und unimodular geschrieben: 5ω1 + 30ω2 −ω1 − 5ω2 √ √ , ω2 = . ω1 = 5 5 Durch diese, nicht mehr der Modulgruppe angehörende Substitution werden die beiden die Hauptgeschlechter repräsentierenden Formen (1, 15, 60) und (1, 0, 15) jeweils in die die anderen Geschlechter repräsentierenden Formen (2, 15, 30) und (8, 90, 255) transformiert. Die beiden am ausgewählten DB“ der erweiterten Grup” pe verbleibenden Ecken e1 und e4 ergeben nur noch die Formen für die Hauptgeschlechter (1, 15, 60) und (1, 0, 15). Entsprechend dieser Sachlage soll die fragliche erweiterte Gruppe die zum Grade 15 gehörende Hauptgruppe“ genannt wer” den; ihr DB“ heisse Hauptpolygon“ und werde durch H15 bezeichnet. ” ” Die Hauptgruppe ist nicht mehr erweiterungsfähig zu einer noch umfassenderen Gruppe, in der sie als ausgezeichnete Untergruppe enthalten wäre. Es ist nämlich aus der Gestalt des Hauptpolygons H15 ohne weiteres einleuchtend, daß es keine von der identischen Substitution verschiedene Substitution erster oder zweiter Art geben kann, die H15 in sich transformiert. Die Verallgemeinerung auf einen beliebigen Grad n ist leicht vollzogen. Es sei n = t · s irgend eine Zerlegung der Gradzahl n in zwei teilerfremde Faktoren t und s. Man bilde dann alle Substitutionen der Gestalt: (5)

ω =

α t ω + βn , γω + δt

αδt − βγs = 1

mit ganzen, die zweite Gleichung (5) befriedigenden Zahlen α, β, γ, δ. Da t und s teilerfremd sind, so giebt es für jede Zerlegung n = t · s Substitutionen dieser Art. Die Substitutionen (5) mögen symbolisch durch Vt bezeichnet werden. Hat man dann zwei Substitutionen Vt und Vt , die zu irgend zwei unserer Zerlegungen n = t · s und n = t · s gehören, so gilt für die aus Vt und Vt zusammengesetzte Substitution die Regel: 2

Vergl. darüber II, 151 sowie Algebra“ III, 291. ”

188


(6)

Vt · Vt = Vt ,

t · τ 2 = t · t ,

wo τ der größte gemeinschaftliche Teiler von t und t ist. Hebt man nämlich aus den vier Koeffizienten der zusammengesetzten Substitution Vt · Vt den gemeinsamen Faktor τ fort, so folgt: ⎛ ⎞ n t t α , (α + β )n α t τ + β γ β δ ⎜ τ τ τ ⎟ ⎟. Vt · Vt = ⎜ ⎝ ⎠ t t n γ α + δ γ , γ β + δ δ t τ τ τ τ Nun ist die ganze Zahl: (7)

t t n = · s = s τ τ τ

und tτ , also durch ihr Produkt t teilbar; man α t , β n Vt · Vt = γ , δ t

durch jede der teilerfremden Zahlen kann also:

t τ

mit ganzen Zahlen α , β , γ , δ schreiben. Dabei findet man für die Determinante dieser Substitution: (8)

α δ t2 − β γ n = t .

Zufolge (7) ist die ganze Zahl s durch die gegen τt teilerfremde Zahl tτ teilbar, so daß man s = tτ s0 mit ganzer Zahl s0 schreiben kann. Setzt man s0 τ = s so folgt n = t s , und die Gleichung (8) ergiebt, durch t geteilt: α δ t − β γ s = 1 woraus hervorgeht, daß die Zahlen t und s wieder teilerfremd sind. Damit ist die Regel (6) bewiesen. Die Regel (6) soll nun gruppentheoretisch ausgewertet werden. Ist λ die Anzahl verschiedener Primteiler von n, so hat man genau 2λ verschiedene Zerlegungen n = t · s und damit auch 2λ verschiedene Systeme von Substitutionen Vt , deren einzelnes zur einzelnen Zerlegung n = t · s gehört. Das System der Substitutionen Vt möge kurz durch St bezeichnet werden. Aus der Regel (6) geht dann unmittelbar folgender Satz hervor: Die Substitutionen aller 2λ Systeme St bilden eine als Hauptgruppe“ des Grades n zu bezeichnende Gruppe, in der die aus dem Systeme ” S1 allein bestehende Transformationsgruppe eine ausgezeichnete Untergruppe des Index 2λ ist. Als Bezeichnung der Hauptgruppe benutzen wir H (n) oder, wenn n nicht mitgenannt zu werden braucht, kurz H. Bilden wir nach II, 10 die zur Transformationsgruppe als einer ausgezeichneten Untergruppe der Hauptgruppe gehörende Quotientengruppe“ von der Ordnung 2λ , ” so haben wir als Elemente derselben die 2λ Systeme St anzusehen, die sich wieder nach der Regel:

5.1 Transformationsgruppe, Klassengruppe und Hauptgruppe

(9)

St · St = St ,

189

t · τ 2 = t · t ,

zusammensetzen. Es folgt der Satz: Die Quotientengruppe ist eine kommutative oder Abelsche Gruppe der Ordnung 2λ , die ausser dem Einheitselemente S1 lauter Elemente der Periode 2 enthält. Eine zugehörige Indexreihe 2, 2, . . . , 2 ist λ-gliedrig und besteht aus lauter Indizes 2; entsprechend besteht eine Kompositionsreihe aus lauter Gruppen, deren jede ausgezeichnet vom Index 2 in der voraufgehenden enthalten ist. Indem man alle möglichen Kompositionsreihen aufstellt und bei jeder Reihe von den einzelnen Gruppen zu den entsprechenden Untergruppen der Hauptgruppe u¨ bergeht, gelangt man zur Kenntnis aller Gruppen, die in der Hauptgruppe enthalten sind und ihrerseits die Transformationsgruppe enthalten. Diese Gruppen sollen als Zwischengruppen“ bezeichnet werden. Um eine zweckmässige Schreibweise ” einzuführen, bezeichnen wir mit G1 oder, wenn die Hervorhebung des Grades n (n) erwünscht ist, mit G1 die dem Einheitselement S1 entsprechende Transformationsgruppe. Hieran reihen sich demnächst die (2λ − 1) zyklischen Untergruppen der Ordnung 2 in der Quotientengruppe, deren einzelne neben S1 ein Element St mit t > 1 enthält; wir gelangen zu (2λ − 1) Zwischengruppen, die durch G1,t1 , G1,t2 , (n) (n) (n) . . . , G1,n oder genauer durch G1,t1 , G1,t2 , . . . , G1,n zu bezeichnen sind, und deren letzte die Klassengruppe“ ist. Es reihen sich weiter 16 (2λ − 1)(2λ − 2) Zwischen” (n) gruppen G1,t1 ,t2 ,t3 oder G1,t1 ,t2 ,t3 an, wo t3 nach der Regel (9) aus den beiden verschiedenen Teilern t1 und t2 zu berechnen ist, usw.; nach λ Schritten gelangt (n) man zur Hauptgruppe H (n) selbst, die auch durch G1,t1 ,t2 ,...,n oder G1,t1 ,t2 ,...,n bezeichnet werden kann. Ist n ≡ 1 (mod 4), so stimmt die Ordnung 2λ der Quotientengruppe mit der Anzahl der Geschlechter der quadratischen Formen der Diskriminante D = −4n genau u¨ berein. Ebenso ist für n ≡ 3 (mod 4) die Ordnung 2λ gleich der Summe der Geschlechteranzahlen bei D = −n und D = −4n. Desgleichen ist für n ≡ 0 (mod 8) die Geschlechteranzahl für D = −4n wieder gleich der Ordnung 2λ . Indessen findet man für n ≡ 2, 4 und 6 (mod 8), daß die Geschlechteranzahl für ¨ D = −4n allemal nur halb so groß wie die Ordnung 2λ ist. Ubrigens hat sich gezeigt, daß man bei den Graden, die durch 4 oder durch 9 teilbar sind, auch die Hauptgruppe einer nochmaligen Erweiterung, sogar unter Umständen wiederholten Erweiterungen unterziehen kann, ohne aus dem Gebiete eigentlich diskontinuier” licher Gruppen“ (Gruppen mit nicht-verschwindendem DB“) hinauszutreten. ” Die erste Aufgabe bei der algebraischen Theorie des einzelnen Transformationsgrades n ist stets die Feststellung und nähere Untersuchung des DB“ der Haupt” gruppe3 . Besonders aussichtsreich erscheinen die Fälle, bei denen dieser DB“ das ” Geschlecht p = 0 hat. Es existiert dann eine einzige Hauptfunktion des Grades n, ten nach deren Adjunktion zu j(ω) die beim n Grade eintretende Transformationsgleichung durch eine Kette von λ Quadratwurzeln lösbar wird. Von den untersuchten Graden liegt das Geschlecht p = 0 des DB“ vor zunächst bei allen Graden bis ” 3

Diese Aufgabe ist vom Verf. neuerdings für eine grössere Anzahl von Graden durchgeführt; nähere Angaben folgen.

190


n = 36, eingeschlossen, ausserdem bei den Graden: n = 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 63, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 76, 78, 84, 90, 105, 110. Festgestellt sind ausserdem die nicht mehr zu p = 0 gehörenden DB“ der Haupt” gruppen der Grade: n = 37, 43, 53, 57, 58, 65, 73, 74, 75, 77, 91, 102, 130. Man gewinnt hier den Ausblick auf eine wesentlich vertiefte Behandlung der Transformation der elliptischen Funktionen. Dabei ist bemerkenswert, daß die Entwicklung u¨ ber das engere Gebiet der Modulfunktionen hinausführt in dasjenige der automorphen Funktionen. Es handelt sich also hier um eine erste, nicht unwichtige Anwendung dieser Funktionen. Dabei kommen Grenzkreisgruppen“ zur Verwen” dung, die mit der Modulgruppe kommensurabel“ sind, insofern die Hauptgruppe ” des Grades n mit der Modulgruppe die Transformationsgruppe dieses Grades zur gemeinsamen Untergruppe hat.

5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten. Will man die allgemeinen Sätze des vorigen Kapitels u¨ ber die algebraische Auflösbarkeit der Klassengleichung HD (j) = 0 der Diskriminante D durch Einzelausführungen erläutern, so ist es nicht möglich, an die Gleichung HD (j) = 0 selbst anzuknüpfen. Man hätte nämlich zur Gewinnung der Klassengleichung nach den Darlegungen von S. 142 ff. die Transformationsgleichungen erster Stufe Fn (j , j) = 0 herzustellen, in ihnen j = j zu setzen usw. Aber die fertige Ausrechnung dieser Transformationsgleichungen ist nur in den beiden niedersten Fällen n = 2 und n = 3 gelungen, worüber man die Gleichungen (8) in II, 372 und die bereits sehr komplizierte Gleichung in II, 385 (unter dem Texte) vergleiche. Diese beiden Fälle aber bieten für die allgemeine Theorie der Klassengleichung noch kein Interesse dar. H. W e b e r ist bei seinen ausgedehnten Untersuchungen u¨ ber numerische Berechnung der Klasseninvarianten dieser Schwierigkeit dadurch begegnet, daß er statt der Transformationsgleichungen erster Stufe solche höherer Stufen zugrunde legte. Es boten sich ihm, aus der a¨ lteren Theorie stammend, die Modulargleichungen von Jacobi–Sohnke (vergl. II, 495)4 und Schläfli (vergl. II, 502) dar; auch benutzte er irrationale Modulargleichungen (vergl. II, 524), sowie die bekannten besonderen Resolventen 5ten und 7ten Grades (vergl. II, 482). Durch Verwertung so vielfältiger ¨ Ansätze verliert natürlich die Entwicklung an Einheit und Ubersichtlichkeit. Auch 4

Das in II, 502 angegebene Zitat der Arbeit von Sohnke ist wie folgt zu berichtigen: L . A . S o h n k e Aequationes modulares pro transformatione functionum ellipticarum“, J. reine angew. Math. 16 ” (1837), 97–130. [Anm. d. Hrsg.]

5.2 Methoden zur Berechnung der Klasseninvarianten

191

ist zu beachten, daß man beim Abgehen von den Transformationsgleichungen erster Stufe die gleichmässige Einfachheit, die dieser Stufe gegenüber allen Transformationsgraden zukommt, aufgiebt. Die oben erwähnte Schwierigkeit liegt auch keineswegs an der ersten Stufe, sondern ist durch den Umstand begründet, daß man im Transformationspolygon Tn sogleich mit den beiden Funktionen j(ω), j (ω) sehr hoher Wertigkeit zu arbeiten versucht, während es in diesem Polygon Funktionen mit weit kleinerer Wertigkeit giebt, die sich bei numerischen Einzeldurchführungen als sehr geeignet erweisen. Dieser Umstand ist bereits in II, 367 ff. grundlegend geworden bei der Behandlung der Transformationsgleichungen erster Stufe. Insbesondere sind in dem daselbst folgenden vierten Kapitel zahlreiche Transformationsgrade n, bei denen entweder schon das Transformationspolygon selbst oder doch das Klassenpolygon zum Geschlechte p = 0 gehörte, fertig behandelt. Diese Entwicklungen können natürlich jetzt nach Gewinnung der Hauptgruppe und der Zwischengruppen sehr wesentlich gefördert werden. Bei jedem Transformationsgrade n hat man zur Berechnung zugehöriger Klasseninvarianten zwei Ansätze, die hier zunächst kurz skizziert werden sollen. Ist das Geschlecht des Transformationspolygons Tn gleich 0, so kann man eine einwertige Funktion dieses Polygons auswählen, die mit τ (ω) bezeichnet werden soll. In τ (ω) ist j(ω) rational darstellbar:

(1) j(ω) = R τ (ω) . Der Zusatz der Substitution: (2)

ω = −

n ω

führt zur Klassengruppe. Da Tn durch diese Substitution in sich transformiert wird, so ist: −n τ (ω) = τ ω wieder eine einwertige Funktion von Tn , also eine lineare Funktion von τ (ω). Wir gelangen zu einer elliptischen Substitution der Periode 2“: ” aτ + b , (3) τ = cτ + d deren beide durch Lösung einer quadratischen Gleichung zu bestimmende Fixpunkte τ die Werte der Hauptfunktion τ (ω) in jenen Ecken des Klassenpolygons Kn liefern, die u¨ ber das Polygon Tn hinaus neu hinzukommen. Wir haben hier also allemal zwei Klassen, die sich für n ≡ 3 (mod 4) auf die beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n verteilen und für n ≡ 3 (mod 4) beide zur Diskriminante D = −4n gehören. Die Eintragung der beiden berechneten Werte in die Gleichung (1) liefert die Klasseninvarianten selbst. Hat das Transformationspolygon ein Geschlecht p > 0, ist indessen das Geschlecht des Klassenpolygons gleich 0, so wähle man eine einwertige Funktion τ (ω)

192


von Kn . Das Polygon Tn ist dann elliptisch oder hyperelliptisch. Man hat in τ (ω) eine zweiwertige Funktion von Tn und muß noch eine Quadratwurzel: (4) σ(ω) = g(τ ) aus einer ganzen Funktion (2p + 2)ten Grades von τ adjungieren, um in τ (ω) und σ(ω) ein Funktionssystem des Polygons Tn zu besitzen. In τ und σ existiert dann eine rationale Darstellung:

(5) j(ω) = R τ, σ von j(ω) selbst. Jetzt liefern die (2p + 2) Wurzeln der Gleichung g(τ ) = 0 die Werte von τ in den neuen“ Ecken des Polygons Kn . Diese Werte gehören für n ≡ 3 ” (mod 4) alle zur Diskriminante D = −4n. Dagegen verteilen sie sich je zur Hälfte auf die Diskriminanten D = −n und D = −4n, wenn n ≡ 7 (mod 8) gilt; und endlich gehört ein Viertel der Werte τ zu D = −n und der Rest zu D = −4n, falls n ≡ 3 (mod 8) zutrifft5 . Die Klasseninvarianten selbst findet man natürlich, indem man der Reihe nach die fraglichen Werte τ und σ = 0 in (5) einträgt. Hat auch Kn nicht mehr das Geschlecht 0, so wird man an eine geeignete Zwischengruppe oder die Hauptgruppe anknüpfen, um von hier aus zunächst die algebraische Theorie des Transformationsgrades n zu entwickeln. Es ist zu erwarten, ¨ daß sich hier bei dem Ubergange von der Hauptgruppe zur Transformationsgruppe, also bei den λ Quadratwurzeln, für die neuen“ Ecken des Klassenpolygons Kn die ” Radikale einfinden, die nach der Weberschen Theorie die Zerlegung der Klassengleichung entsprechend den Geschlechtern leisten. Eine zweite Methode zur Berechnung der Klasseninvarianten gründet sich auf die in 4.4 (S. 142 ff.) dargestellte Entwicklung der Klassengleichung aus der Transformationsgleichung Fn (j , j) = 0. Indem j = j gesetzt wurde, ergab sich eine reduzibele algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0, die multiplikativ aus einer Anzahl von Klassengleichungen zusammengesetzt war. Unter den Wurzeln der Gleichung Fn (j, j) = 0 treten stets die Klasseninvarianten der Diskriminante D = −4n bezw. der beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n auf. Ausserdem treten aber noch nach S. 147 die Klasseninvarianten derjenigen Diskriminanten D auf, die Darstellungen von 4n in der Gestalt: 4n = σ 2 − Dτ 2 mittels ganzer, die Bedingungen: √ √ −2 n < σ < +2 n ,

τ >0

befriedigender Zahlen σ und τ gestatten. Nimmt man τ in die Koeffizienten der zunächst ursprünglichen quadratischen Formen als Teiler“ auf und schreibt, falls ” τ > 1 ist, für Dτ 2 gleich selbst D, so kann man die Sachlage auch so aussprechen: Zu den Wurzeln der Gleichung Fn (j, j) = 0 gehören auch, und zwar in gerader 5

Vergl. das Theorem u¨ ber die Klassenanzahlen in II, 148.

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten

193

Vielfachheit (vergl. S. 149), die Invarianten aller ursprünglichen und abgeleiteten Klassen der Diskriminanten: (6)

D = −(4n − σ 2 ) ,

σ = 1, 2, 3, . . . ,

√ wo σ alle positiven ganzen Zahlen unter 2 n durchläuft. Bei der Durchführung dieses Ansatzes hat man, falls Tn das Geschlecht 0 hat, an die Gleichungen (1), (2) und (3) anzuknüpfen. Neben (1) reiht sich die Gleichung: aτ + b j (ω) = R , cτ + d so daß die Gleichsetzung von j und j für τ die algebraische Gleichung: aτ + b − R(τ ) = 0 (7) R cτ + d ergiebt. Die Lösungen dieser Gleichung hat man dann zur Berechnung der Klasseninvarianten selbst in j = R(τ ) einzutragen. Die Verteilung der entspringenden Werte auf die in Betracht kommenden Diskriminanten D findet keine Schwierigkeit. Hat zwar nicht mehr Tn , aber doch Kn das Geschlecht 0, so gründet sich der zweite Ansatz auf die Gleichung (5), die man mit Hilfe von (4) in die Gestalt: (8)

j(ω) = R1 (τ ) + σR2 (τ )

weiter entwickelt. Hier gilt: j (ω) = R1 (τ ) − σR2 (τ ) , und da σ = 0 zu D = −4n bezw. zu den beiden Diskriminanten D = −n und D = −4n führt, so gelangen wir zu den Diskriminanten (6) von der Gleichung: R2 (τ ) = 0 aus. Die Lösungen τ dieser Gleichung sind für die Berechnung der Klasseninvari¨ anten j selbst in j = R1 (τ ) einzutragen. Ubrigens wird man die zweite Methode, da sie nicht weiter reicht als die erste, nur zu Kontrollrechnungen benutzen.

5.3 Einfachste Beispiele zur Berechnung der Klasseninvarianten. Die in 5.2 beschriebenen Methoden zur Berechnung von Klasseninvarianten sollen zunächst bei einigen niederen Transformationsgraden durchgeführt werden, bei denen die algebraische Theorie der Transformation in II, 389 ff. bereits fertig entwickelt ist. Man wolle in den damaligen Formeln statt J nur allemal die Invariante ¨ von der Transformationsj = 123 J eintragen und erinnere sich, daß der Ubergang gruppe zur Klassengruppe hier (im Gegensatz zu II) durch Zusatz der Substitution

194


ω = −n vollzogen wird. Wie oben bemerkt, entspricht dies dem Umstande, daß ω die Transformationsgruppe hier durch β ≡ 0 (mod n) erklärt wurde. I . K l a s s e n i n v a r i a n t e n b e i m T r a n s f o r m a t i o n s g r a d e n = 5. Die algebraische Behandlung dieses Grades findet man in II, 389 ff. In der einwertigen Funktion τ (ω) des Polygons T5 ist j(ω) folgende rationale Funktion sechsten Grades: (τ 2 + 10τ + 5)3 . (1) j= τ Die Substitution (3), S. 191 ist hier: −5 125 = τ ω τ (ω) und liefert für die zu den beiden Formklassen der Diskriminante D = −20 führenden Ecken von K5 die Werte: −5 + i√5 √ √ √ = −5 5 . τ (i 5) = +5 5 , τ 2 Diese Klassen sind durch die reduzierten quadratischen Formen (1,0,5) und (2,2,3) repräsentierbar. Die Eintragung dieser Werte τ in (1) ergiebt die Klasseninvarianten der Diskriminante D = −20:6 √ √ √ 3 √ 1 ± 5 3

√ −1 + i 5 6 = ±2 · 5 5 3±2 5 . (2) j i 5 , j 2 2 Hier bildet jede Klasse für sich ein Geschlecht. Nach der Weberschen Theorie √ (vergl. S. 184, Fall III) ist in der Tat zur Auflösung der Klassengleichung 5 zu adjungieren. Die Klassengleichung selbst: j 2 − 26 · 53 · 79 j − 212 · 53 · 113 = 0 hat bereits sehr hohe Koeffizienten. Dagegen fällt die für die Unbekannte τ geltende Resolvente der Klassengleichung“: ” τ 2 − 125 = 0 sehr einfach aus. 6 Das Ergebnis (2) findet man bei F. Klein Gesammelte mathematische Abhandlungen“, Bd. III ” (Berlin: Verlag von Julius Springer 1923), S. 306 in der Form: √ « „ √ ´3 `√ ´ ` −1 + i 5 j i 5 , j = 50 ± 26 5 . 2

Diese und einige weitere der im Folgenden bestimmten Klasseninvarianten lassen sich auch ¨ u¨ berprüfen mit Hilfe der Angaben bei L. Kiepert Uber die complexe Multiplication der ellipti” schen Functionen“, Math. Ann. 39 (1891), S. 145–178 und der Tafeln bei H. W e b e r Lehrbuch ” der Algebra“, Bd. III, 2. Aufl. (Braunschweig: Vieweg 1908), S. 721 ff. [Anm. d. Hrsg.]


195

Die zweite in 5.2 beschriebene Methode zur Berechnung der vom Transformationsgrade n = 5 aus zugänglichen Klasseninvarianten knüpft man an Stelle von (1) zweckmässig an die Gleichung: j − 123 =

(3) an7 . Der Ansatz:

(τ 2 + 22τ + 125)(τ 2 + 4τ − 1)2 τ

−5 3 − 12 − j ω − 123 = 0 j ω

liefert für τ die Gleichung zehnten Grades:

2

2

τ 4 τ 2 + 4τ − 1 τ 2 + 22τ + 125 − τ 2 − 500τ − 15625 τ 2 + 22τ + 125 = 0 , die nach (6), S. 193 zu den Klasseninvarianten der Diskriminanten D = −20, −19, −16, −11, −4 hinführt. In der Tat ist die Gleichung reduzibel und liefert folgende Ergebnisse: √ D = −20 , τ 2 − 125 = 0 , τ = ±5 5 , √ τ = 7 ± 2i 19 , D = −19 , τ 2 − 14τ + 125 = 0 , τ 2 + 4τ + 125 = 0 ,

D = −11 ,

τ + 18τ + 125 = 0 ,

τ = −2 ± 11i , √ τ = −9 ± 2i 11 ,

D = −4 ,

τ 2 + 22τ + 125 = 0 ,

τ = −11 ± 2i .

D = −16 ,

2

√ Für D = −20 kommen wir zu den schon benutzten Werten τ = ±5 5, und bei D = −4 stellt sich j = 123 ein. In den drei anderen Fällen berechnet man durch Eintragung der Werte τ in (1) die Klasseninvarianten der Diskriminanten D = −19, −16 und −11: ⎧ √ −1+i 19 ⎪ j = −215 · 33 , ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ j(2i) = 23 · 33 · 113 , (4) ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎩ j −1+i 11 = −215 . 2 In allen drei Fällen ist die Klassenanzahl gleich 1, so daß die Klasseninvarianten rationale ganze Zahlen sind. Die Verteilung der erhaltenen Werte j auf die Diskriminanten ist die richtige; denn es müssen die Ungleichungen gelten: −1 + i√11 −1 + i√19 j(2i) > 0 > j >j . 2 2 7

Die Gleichung (13) in II, 393, in der sich ein Vorzeichenfehler findet, ist nach der Gleichung (3) des Textes richtig zu stellen.

196


I I . K l a s s e n i n v a r i a n t e n b e i m T r a n s f o r m a t i o n s g r a d e n = 7. Da auch T7 das Geschlecht 0 hat, gestalten sich hier die Verhältnisse ebenso einfach wie bei n = 5. Die algebraische Behandlung des Transformationsgrades 7 findet man in II, 395 ff. In der dort erklärten einwertigen Funktion τ (ω) von T7 stellt sich j(ω) so dar: (τ 2 + 13τ + 49)(τ 2 + 5τ + 1)3 (5) j= , τ und die Wirkung der Transformation von T7 in sich auf τ (ω) ist: −7

49 . ω τ (ω) Wenden wir sogleich die zweite Methode aus 5.2 an, so liefert der Ansatz: τ

j(ω) − j

=

−7 ω

=0

für τ die Gleichung 14ten Grades:

3

3

τ 6 τ 2 + 5τ + 1 τ 2 + 13τ + 49 − τ 2 + 245τ + 2401 τ 2 + 13τ + 49 = 0 , die im rationalen Körper entsprechend den Diskriminanten D = −28, −27, −24, −19, −12, −3 reduzibel ist. Diese Angabe bezieht sich auf ursprüngliche und abgeleitete Formen der genannten Diskriminanten. Sollen nur ursprüngliche Formen zugelassen werden, so ist auch noch D = −7 hinzuzufügen. Die Rechnung liefert folgende Zerlegung unserer Gleichung 14ten Grades: D = −28 , −7 ,

τ 2 − 49 = 0 ,

τ = ±7 ,

√ 11±5i 3 2

D = −27 ,

τ 2 − 11τ + 49 = 0 ,

D = −24 ,

τ 4 + 10τ 3 + 51τ 2 + 490τ + 2401 = 0 ,

D = −19 ,

τ 2 + 5τ + 49 = 0 ,

τ=

D = −12 ,

τ 2 + 11τ + 49 = 0 ,

τ

D = −3 ,

τ 2 + 13τ + 49 = 0 ,

τ

τ=

,

√ −5±3i 19 , 2 √ 3 = −11±5i 2 √ 3 = −13±3i 2

, .

Die für D√= −24 angegebene Gleichung muß nach S. 184 (Fall V) nach Adjunktion von 2 reduzibel werden. Sie zerfällt in der Tat in die beiden quadratischen √ Gleichungen: τ 2 + (5 ± 6 2)τ + 49 = 0 , √ deren weitere Lösung die Adjunktion von i 3 nötig macht. Eine erste Wurzel ist: √ √ 5+6 2 5−2 2 √ + i 3, τ =− 2 2 √ aus √ der alle Wurzeln entsprechend den vier Vorzeichenkombinationen bei 2 und i 3 hervorgehen.


197

Die Eintragung von τ = ±7 in (5) ergiebt als Klasseninvarianten für D = −28 und D = −7: √ √ −1 + i 7 (6) j(i 7) = 33 · 53 · 173 , = −33 · 53 . j 2 Für D = −3 √ folgt natürlich j = 0. Die zur Berechnung der Werte τ nötige Irrationalität i 3 fällt bei Berechnung der zugehörigen Werte j aus (5) regelmässig wieder fort. Man findet als Klasseninvarianten für D = −27, −24, −19 und −12: √ 3 D = −27 , j −1+3i = −215 · 3 · 53 , 2 √ 2

√ 3

√ √ D = −24 , j i 6 , j i 2 6 = 26 · 33 1 ± 2 5 ± 2 2 , √ D = −19 , j −1+i2 19 = −215 · 33 ,

√ D = −12 , j i 3 = 24 · 33 · 53 . Daß die berechneten Werte j richtig auf die Diskriminanten verteilt sind, ergiebt sich aus den hier notwendig bestehenden Ungleichungen: −1 + i√19 i√6 −1 + 3i√3 √ √ <j 123 ist und zur Hauptklasse gehört. Die Hauptfunktion v(ω) des Grades 110 liefert hier nun zunächst eine √ kubische Partialresolvente“ der Klassengleichung, der die drei zur Irrationalität i 110 ” gehörenden Eckenwerte: √ √

∓110 + i 110 v i 110 , v 3 der Hauptfunktion genügen. Diese Resolvente gewinnt man durch Nullsetzen des kubischen Faktors unter der Quadratwurzel in (3), S. 218. Die kubische Partialresolvente der Klassengleichung ist also: (10)

v3 − v2 − 8 = 0 .

Diese Resolvente ist als Gleichung im rationalen Körper irreduzibel und hat eine Galoissche Gruppe der Ordnung 6. Ihre Diskriminante21 ist nämlich vom quadratischen Faktor 4 abgesehen gleich der √ vorliegenden Formendiskriminante D = −440, woraus zugleich hervorgeht, daß −440 eine natürliche Irrationalität der Gleichung √ 3 (10) ist. Ist ε = −1+i , so entnehme man die Wurzeln von (10) nach der Kardani2 schen Formel aus:

21

Vergl. Algebra“ I, 396. ”

236


√ √ √ √ √ 4 3 3 3 = εν 12 3 + 2 110 + ε−ν 12 3 − 2 110 , (11) v

ν = 0, 1, 2.

Sind v und v die beiden komplexen Lösungen der Gleichung (10), so kann man den Galoisschen Körper sechsten Grades dieser Resolvente als Körper (R, v, v) erklären. Aus diesem Körper sechsten Grades muß nun der Klassenkörper K440 der Dis√ kriminante D = −440 durch Adjunktion der beiden reellen Quadratwurzeln 2 √ und 5 entstehen: √ √ (12) K440 = R, v, v, 2, 5 . Die Bestätigung dieser Angabe muß sich aus den Quadratwurzeln (15), S. 220 ergeben. In v und diesen Wurzeln ist nämlich j(ω) rational mit rationalen Zahlenkoeffizienten darstellbar. Berechnen wir also die Invariante für eine der Klassen des Hauptgeschlechtes, so ist für v die zugehörige Lösung der Gleichung (10) einzutragen. Es verschwindet alsdann die erste unter den drei Wurzeln (15), S. 220, während sich die beiden anderen Wurzeln: (13) (v2 + v + 3)(v 2 + v − 1) , (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) √ √ nach Adjunktion von 2 und 5 in der gewählten Wurzel v von (10) rational darstellen lassen müssen. Um dies zu bestätigen, bemerken wir, daß die beiden folgenden Gleichungen in v identisch bestehen:

1 2 2 4 v2 + v + 3 v2 + v − 1 = v + 3v + 7 + (v + 2) v 3 − v 2 − 8 , 5 5

1 2 2 1

3 2 v + 3v + 4 + (7v + 1) v 3 − v 2 − 8 . (v − 1) v + v + 3v − 1 = 8 8 Bedeutet demnach v eine der drei Wurzeln der Gleichung (10), so gilt: 1

(v 2 + v + 3)(v 2 + v − 1) = √ v 2 + 3v + 7 , 5

1 (v − 1)(v 3 + v 2 + 3v − 1) = √ v 2 + 3v + 4 . 2 2 Die Adjunktion der Wurzeln (13) zum Körper sechsten Grades (R, also √ v, v) kommt √ in der Tat auf die Adjunktion der beiden reellen Quadratwurzeln 5 und 2 hinaus. An die Stelle der beiden Wurzeln (13) kann man auch die beiden Grössen τ und σ treten lassen. Zunächst stellt man, wenn v eine Wurzel der Gleichung (10) ist, die beiden Gleichungen fest: 2u = v 2 + v + 2 , √

(u2 + u − 1)(u2 − 7u + 11) = 12 5 v 2 − v + 2 .

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten

237

√ Zufolge (5), S. 231 wird somit nach Adjunktion von 5 der zugehörige Wert τ in v rational darstellbar; man gewinnt den Ausdruck: √ √ √ τ = 17 + 7 5 v 2 + 25 + 9 5 v + 59 + 23 5 . √ Nach der weiteren Adjunktion von 2 muß auch σ rational in v darstellbar sein. Doch fangen hier die Rechnungen an, unbequem zu werden.

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten. Robert Fricke widmete sich in seinen späten Werken der Aufgabe, die Theorie der Klasseninvarianten zu vereinfachen und zu vereinheitlichen. In diesem Zusammenhang ermittelte er für eine Reihe singulärer ω der oberen Halbebene der komplexen Zahlenebene die algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die durch Adjunktion der zugehörigen Klasseninvarianten erzeugt werden. Zum Teil berechnete er sogar die Werte der Klasseninvarianten j(ω). Anfänge für derartige Rechnungen gehen bis in das 19te Jahrhundert zurück. Kronecker prägte für die Klasseninvarianten den Begriff singuläre Moduln“, den ” jedoch Fricke im vorliegenden Werk nicht benutzte. Beide Begriffe wurden dann auch auf die Werte von Modulfunktionen erstreckt, die sich als rationale Funktionen der j-Funktion darstellen lassen. Als Gegenstand der Untersuchungen wurden dann Modulfunktionen gewählt, deren Werte an den singulären Stellen ω dieselben Erweiterungen wie die Werte der j-Funktion erzeugen, die aber mit weniger Aufwand berechnet werden können. H. Weber publizierte erstmals 1891 umfangreiche und systematische Berechnungen von Klasseninvarianten in Buchform in seinem Werk Elliptische Functionen ” und algebraische Zahlen“ [102], dessen zweite Auflage er 1908 als dritten Band seines Lehrbuch der Algebra“ [104] herausbrachte. Das dreibändige Webersche ” Lehrbuch diente Fricke später als Grundlage für sein dreibändiges Werk Lehrbuch ” der Algebra“ [28, 29, 30]. Ende der 1920er Jahre, zeitgleich zu den Aktivitäten von Fricke, berechnete der englische Mathematiker W. E. H. Berwick in [5] die Werte aller Klasseninvarianten, die zu einer binären quadratischen Form mit Klassenzahl ≤ 3 korrespondieren, die also eine Erweiterung der rationalen Zahlen vom Grad ≤ 3 erzeugen. Zuvor hatte auch der indische Mathematiker S. Ramanujan bereits Klasseninvarianten berechnet, aber nur zum Teil 1914 in [76] veröffentlicht. Weitere Ergebnisse verblieben in seinem Nachlass. G. N. Watson vollzog die hinterlassenen fragmentarischen Notizen nach und arbeitete sie in [94, 95] aus. In einer Reihe von Arbeiten ([96]–[101]) trieb er die Rechnungen in erheblichem Umfang weiter voran. Die Möglichkeiten für konkrete Rechnungen waren in der damaligen Zeit sehr begrenzt, da die Verfahren aufgrund der Größe der auftretenden Zahlwerte zeitaufwändig und fehlerträchtig waren. Als Hilfsmittel für numerische Rechnungen wur-

238


den Logarithmentafeln benutzt, Berwick berichtete vom Einsatz einer Rechenmaschine ([5], p. 69). Watson beschrieb sein numerisches Rechenverfahren in [98], Abschnitt 3. Bei Fricke finden sich an verschiedenen Stellen Andeutungen darauf, dass begonnene Rechnungen aufgrund ihres Umfangs zu Komplikationen führten. Als Folge davon sind die Berechnungen einiger Klasseninvarianten nicht abgeschlossen, sondern enden kurz vor dem endgültigen Ergebnis. Vor diesem Hintergrund liegt es nahe und soll in diesem Abschnitt verfolgt werden, die damals stecken gebliebenen Berechnungen mit Hilfe von aktuell zur Verfügung stehenden Computern und Algorithmen zu prüfen und zu vollenden. Die zu berechnenden Klasseninvarianten sollen auf die in Frickes späten Werken betrachteten Fälle beschränkt sein. Da Berwick in [5] die Klasseninvarianten für Klassenzahlen ≤ 3 erschöpfend behandelte, werden nur Klassenzahlen ≥ 4 in die Berechnungen eingeschlossen. Nicht berücksichtigt werden die Fälle, in denen Fricke nur eine Klassengleichung angab, ohne die Relation zwischen der Modulfunktion, die diese Gleichung erfüllt, und der j-Funktion explizit herzustellen. Für die nach dieser Vorauswahl zu berechnenden Klasseninvarianten sind in Tafel VI einige wichtige Daten zusammengestellt: die Diskriminante, die Klassenzahl, die singulären ω sowie ein Bezug zu der entsprechenden Textstelle bei Fricke, bei der die Berechnung abgebrochen oder erfolgreich beendet wurde. Um einen Eindruck u¨ ber das Ausmaß der Rechnungen zu gewinnen, seien exemplarisch zwei unvollständige Resultate aus diesem Werk aufgeführt: Bei der Diskriminante D = −55 liefert die Fortsetzung der auf S. 234 abgebrochenen mühsamen“ Rechnung das Ergebnis ” √ 13136684625 5874905295 √ −1 + i 55 =− − 5 j 2 4 4 √ −1 + 3 5 1738719675 √ . + 1944006075 + 5 2 2 Bei der Diskriminante D = −440 ergibt die Fortsetzung der unbequemen“ Rech” nung auf S. 237 für σ nach (6), S. 231 in der vorhergesagten Gestalt den Wert √ √ √ 11 σ = ± √ (833 + 371 5)v 2 + (1163 + 517 5)v + (2786 + 1238 5) , 2 wobei v die kubische Gleichung v 3 − v 2 − 8 = 0 erfüllt. Dieser Wert und √ √ √ τ = 17 + 7 5 v2 + 25 + 9 5 v + 59 + 23 5 sind dann einzusetzen in j(ω) =

2 4τ 61τ 2 − 24 · 23τ + 25 · 11 − 22 · 3 · 5σ

. 3 (τ (τ 2 − 3 · 7τ + 23 · 11) + σ(τ − 11)) √ √ Die verschiedenen Auswahlen für v und für die Vorzeichen von 2 und 5 liefern dann die 12 Werte der j-Funktion an den in Tafel VI genannten Stellen ω.

239

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel VI: Daten der betrachteten Klasseninvarianten

D hD −39

4

−55

4

−56

4

−68

4

−80

4

−84

4

−96

4

−104

6

−120

4

−128

4

−140

6

−144

4

−168

4

−171

4

−196

4

−220

4

−252

4

−280

4

−387

4

−420

8

−440 12 −603

4

singuläre ω √ √ √ −1+ −39 −3+ −39 ±1+ −39 , , 2 6 4 √ √ √ −1+ −55 −3+ −55 ±1+ −55 , , 2 8 4 √ √ √ −14 ±1+ −14 −14, 2 , 3 √ √ √ −17, −1+2 −17 , ±1+3 −17 √ √ √ 2 −5, 2−5 , ±1+23 −5 √ √ √ √ −1+ −21 −2+ −21 −21, −21 , 3 , 2 5 √ √ √ √ 2 −6 −1+ −6 −1+2 −6 2 −6, 3 , , 2 5 √ √ √ √ ±1+ −26 ±2+ −26 −26, −26 , 2 , 3 5 √ √ √ √ −30 −30 −30, −30 2 , 3 , 5 √ √ √ ±1+4 −2 1 4 −2, − 2 + −2, 3 √ √ √ √ −35, −35 , ±1+3 −35 , ±1+4 −35 5 √ √ √ 6 −1, 3 2−1 , ±2+65 −1 √ √ √ √ −42 −42 −42, −42 2 , 3 , 6 √ √ √ −1+3 −19 −5+3 −19 ±3+3 −19 , , 2 14 10 √ √ √ −1+7 −1 ±1+7 −1 7 −1, , 2 5 √ √ √ −55 ±1+ −55 −55, 5 , 7 √ √ √ −63 ±3+ −63 −63, 7 , 8 √ √ √ √ −70 −70 −70, 2 , 5 , −70 7 √ √ √ −1+3 −43 −3+ −43 ±1+ −43 , , 2 6 6 √ √ √ √ −1+ −105 −105 −105, , 3 , −105 , 2 5 √ √ √ √ −105 −3+ −105 −5+ −105 −4+ −105 , , , 7 6 10 11 √ √ √ √ √ −110 −110 −110 ±1+ −110 −110, 2 , 5 , 10 , , 3 √ √ √ ±2+ −110 ±3+ −110 ±4+ −110 , , 6 7 9 √ √ √ −1+3 −67 −3+ −67 ±1+ −67 , , 2 6 6

Bezug Alg. III, S. 411 Ell. Fkt. III, S. 234 Alg. III, S. 447 Alg. III, S. 439 Alg. III, S. 457 Alg. III, S. 454 Alg. III, S. 460 Alg. III, S. 478 Alg. III, S. 501 Alg. III, S. 462 Alg. III, S. 488 Alg. III, S. 464 Acta Math. 52, S. 279 Alg. III, S. 502 Alg. III, S. 470 Ell. Fkt. III, S. 235 Alg. III, S. 502 Math. Ann. 101, S. 331 Alg. III, S. 502 Math. Ann. 101, S. 341

Ell. Fkt. III, S. 237 Alg. III, S. 502

240


Die Darstellung der zu berechnenden Klasseninvarianten erlaubt eine Reihe von Freiheitsgraden, die den Vergleich der Ergebnisse verschiedener Autoren erschwert. Daher soll zunächst die in der Folge angegebene Gestalt der Werte erläutert werden. Zuerst ist eine Basis für die algebraische Erweiterung K u¨ ber den rationalen Zahlen zu wählen. Als Basiselemente geeignet sind die Potenzen eines primitiven Elements θ. Für die zu betrachtenden Erweiterungen wurden die primitiven Elemente θ nach zwei Kriterien ausgewählt: erstens die Nenner klein zu halten, die bei der Darstellung ganzer Elemente des Körpers durch das primitive Element auftreten, zweitens in den Minimalpolynomen μ(θ) die rationalen Koeffizienten vom Betrag möglichst klein zu bekommen. In den meisten Fällen ist das primitive Element selbst eine Einheit des Rings der ganzen Zahlen des Erweiterungskörpers. Ferner zerfallen die Klasseninvarianten in den durch sie erzeugten Erweiterungen K in irreduzible Faktoren mit kleinen absoluten Normen. Die Gestalt einer derartigen Zerlegung wird dann auch von der Einheitengruppe UK des Rings der ganzen Zahlen beeinflusst. Da die Klasseninvarianten zu ambigen Klassen reell sind, ist jede betrachtete Erweiterung K isomorph zu einer reellen Erweiterung der rationalen Zahlen. Daher enthält K nur die Einheitswurzeln ±1, und UK ist als Gruppe isomorph zum direkten Produkt von ±1 mit einer freien abelschen Gruppe endlichen Ranges, erzeugt von Grundeinheiten 1 , 2 , . . .. Die Grundeinheiten wurden meist so gewählt, dass sie in einer Teilerweiterung möglichst kleinen Grades u¨ ber den rationalen Zahlen liegen. Die oben beschriebenen Daten sind für Erweiterungen der Grade 4 und 8 in Tafel VII zusammengestellt. Das darin genannte primitive Element θ ist dann die

Tafel VII: Erweiterungskörper der Grade 4 und 8 D

K „q

« √ −1+ 13 2

„q

«

−39 Q

−55 Q −220

„q

−56 Q

−68

−80

θ

Q

√ 5

√ −1 + 2 2

„q

Q

−1+3 2

4+

„q

√

2+

«

«

17

√

«

5

μ(θ)

UK = < 1 , 2 , . . . > 1 2

3+

+

q √ √ 13 −1+ 13 4 2

1 = θ, 1 2

+

2 =

3+

√ q √ 1+ 5 −1+3 5 4 2

√ 13 2

θ4 − 2θ3 + θ − 1 √ 5

2 = 1+2 √ q √ + 1+2 2 −1 + 2 2

1 = θ,

1 2

θ4 − 2θ3 − 2θ 2 + 3θ − 1

1 = θ, √ 1+ 17 4

+

θ 4 − 2θ 3 − θ2 + 2θ − 1

2 = 1 + q √ √ 17−3 4 + 17 4

1 = θ, √ 5−1 2

q

1 = θ,

2 = √ 2+ 5

q

4+

√

√

2 θ4 − θ3 − 2θ 2 − θ + 1

17

2 = θ2 − θ

θ4 − θ 2 − 1

241

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel VII: Erweiterungskörper der Grade 4 und 8 D

K

−84

Q

“√

3,

θ

μ(θ)

UK = < 1 , 2 , . . . >

√ ”

√ √ 3+ 7 2

7

θ 4 − 5θ 2 + 1 √

3 = 2 + 3

2 = θ 3 − 2θ 2 − θ + 1, √ 1+√3 Q 2( 2 ) θ 4 − 4θ 2 + 1 √ √ √

1 = θ,

2 = 2 + 3,

3 = 1 + 2 “√ √ ” √ √ Q 2, 5 2 + 1+2 5 θ 4 −2θ 3 −5θ2 +6θ−1 √ √

1 = θ,

2 = 1 + 2,

3 = 1+2 5 „q « q √ √ Q 1+ 2 1+ 2 θ 4 − 2θ 2 − 1 “√

−96

−120 −280 −128

„q

−144

Q

√ 3+2 3

“√

−168

Q

„q

1 = θ, √ ” 2, 3

6,

√

14

2 = θ 2 − θ − 1 q √ √ 3−1 3+2 3 2

1 = θ,

«

√ 1+ 3 2

+

1 = θ,

”

1 2 θ , 2« √ −3+ 57 2

1 =

2 =

2 = √ √ 6+ 14 2

1 2 θ 2

q

2+

√

θ4 − 2θ 3 − 2θ + 1

3 θ4 − 10θ2 + 4

− θ − 1,

3 =

√ −3+ 57 2

1 2 θ 2

− 2θ + 1

θ4 + 3θ2 − 12 √

1 = 14 (θ + 2)(7θ 2 + 37),

2 = 151 + 20 57 „q « q √ √ √ √ √ √ −196 Q (8+3 7) 7 1+ 27 +( 27 −1) (8+3 7) 7 θ4 −4θ3 −θ 2 −4θ+1 −171

Q

„q

−252

Q

−387

Q

„q

« √ 9+ 129 2

1 = −420

Q

“√

3,

5,

„q

−603 Q

1 (θ3 3

+

1 2

1 = θ,

2 = √ 9+ 129 2

q

+ θ 2 + θ + 1)

3+

√ 21 2

θ4 − 9θ2 − 12 √

2 = 16855 + 1484 129 θ8 − 15θ6

√ √ √ 3+ 7 1+ 5 2 2

2 =

√ √ √ √ ( 3+ 5)( 5+ 7) , 2

«

√ 879+62 201

1 2

+ 32θ4 − 15θ2 + 1

6

θ +1 − θ3 − θ2 , 8 √ √

5 =

+

(1+

3)( 2

1 = θ 3 + 2θ2 − 3θ + 3,

2 =

3 =

√ 3+ 5)

q √ 201−14 879 2

θ 4 −θ 3 −3θ2 −θ+1

θ+1

+ 95θ2 − 33θ + 112),

√ ” 7

1 = θ,

4 =

=

q

1 (−28θ 3 2

√

2 √ 1+ 21 4

1 = θ,

« √ 3+ 21 2

, 6 = 2 +

√ + 62 201

1 (479θ 3 5

√ √ ( 3−1)(3+ 7) , 2

√

3, 7 =

√ 1+ 5 2

θ4 − 2θ 3 − 12θ2 + 13θ − 8

+ 1099θ 2 − 1296θ + 929)

242


größte positive Nullstelle seines Minimalpolynoms und korrespondiert zur Hauptklasse der zugehörigen binären quadratischen Form. Für die Erweiterungen der Grade 6 und 12 sind in Tafel VIII primitive Elemente v und deren Minimalpolynome für die Teilerweiterungen angegeben, die u¨ ber den rationalen Zahlen den Erweiterungsgrad 3 haben. Bei den ambigen Klassen nimmt dann v jeweils den eindeutigen reellen Wert an. Die berechneten Klasseninvarianten werden dann als ein Produkt von Faktoren ausgedrückt, die mit Hilfe des primitiven Elements θ und der Grundeinheiten 1 , 2 , . . . dargestellt werden. Da die einzelnen Faktoren nur bis auf Einheiten eindeutig sind, werden die Faktoren so mit geeigneten Grundeinheiten multipliziert, dass nur Terme mit möglichst wenig Basiselementen und betragsmäßig möglichst kleinen Koeffizienten auftreten. Um die Klasseninvarianten knapp und kompakt darzustellen, werden diejenigen Faktoren, die im Grundkörper oder in echten Teilerweiterungen liegen, nicht vollständig in irreduzible Faktoren zerlegt. Die nach den genannten Vorschriften und Festlegungen schließlich ermittelten Klasseninvarianten sind in Tafel IX enthalten. In den Faktorzerlegungen sind von links zuerst die Einheiten, dann die Zahlfaktoren aus Teilerweiterungen und zuletzt die irreduziblen Faktoren aus der durch die Klasseninvariante erzeugten Erweiterung aufgelistet. Für die letztgenannten Faktoren ist in der Zeile darunter jeweils die zugehörige absolute Norm angegeben. Die konkreten Rechnungen wurden mit den Computer-Algebra-Systemen KANT und Mathematica durchgeführt. Den Entwicklern dieser Systeme gebührt ein außerordentlicher Dank, denn insbesondere ohne die Algorithmen zum symbolischen Rechnen mit Polynomen und algebraischen Zahlen, zum Lösen von Normgleichungen, sowie zum Berechnen von Einheitengruppen und von Basen der Ringe ganzer Zahlen wären die vorangehenden Ergebnisse nicht zu erzielen gewesen.

Tafel VIII: Erweiterungskörper der Grade 6 und 12 D

−104

K

Q

−140

“√

Q

μ(v)

13, v

“√

5, v

μ(θ) UK = < 1 , 2 , . . . >

”

v3 − v − 2

θ6 + θ 5 + 2θ 4 − θ3 − 2θ2 + θ − 1

1 = θ,

”

2 = θ + 1,

v 3 + 2v + 2

“√

2,

√

5, v

1 = θ,

”

√

2 = θ + 1,

4 = 2 + 3 2 2 −( 54 +

3 =

√ 1+ 5 2

θ12 − 6θ11 + 11θ10 − 2θ9 + 6θ8 + 2θ 7

v3 − v2 − 8

2 = θ + 1,

√ 3+ 13 2

θ 6 + θ5 − 2θ4 − 5θ 3 − 2θ 2 + θ + 1

1 = θ, −440 Q

3 =

−49 θ6 + 2θ 5 + 6θ 4 − 2θ3 + 11θ2 − 6θ + 1

3 = − 32 −

√ v2 2 )v+ , 2

4

5 =

√

√ 5 10

− ( 12 + √ 5

2+ 1+2

√ 2 5 )v 5

√ 5 )v 2 , 5 √

7 = 1+2 5

+ ( 12 +

√ , 6 = 1+ 2,

243

5.12 Anhang: Fortsetzung der Berechnung der Klasseninvarianten Tafel IX: Faktorzerlegungen von j(ω) D

Faktorzerlegung von j(ω) Normen der Faktoren in j(ω)

−39

j(ω) =

−55

j(ω) =

− −2 2 {3(θ

+ 1)(θ + 2)(3θ − 2)(θ 2 + 1)}3

3, 17, 23, 29 √ 2 · 3 5(2θ − 1)(θ − 3)(2θ + 1)}3

3 {− −8 1 2

11,

29,

41

2 3 2 3 j(ω) = { 21 −1 2 · 2 (θ − 2)(2θ − 1)(3θ − 1)}

−56

−68

j(ω) =

{− 31 22

112 ,

17,

2

3

2

41 2

· 2 · 5(θ − 2)(θ − 2θ − 2)}3 17,

47

√

−7 j(ω) = { 14 · 2 5(θ − 2)(θ2 + 3θ + 4)(11θ − 14)}3 1 2

−80

172 ,

11, −84

j(ω) =

−2 2 2

−1 1 2 3 {2

· 3(θ + 2)(θ2 + 3θ − 2)(θ3 − θ − 1)}3 3,

−96

j(ω) =

− 91 43 {2

59

47,

59

2

3

· 3(θ − 2θ − 2)(2θ + 3)(θ + θ2 + 3)}3 23,

47,

71

−6 11 2 3 3 2 4 3 3 −104 j(ω) = { 16 1 2 3 · 2 (θ + θ + 1)(2θ + θ − 2)(2θ − θ + 1)(θ + 2θ + 1)}

112 , −120

j(ω) =

1 72 83 {22

232 , √

29,

2

41,

−4 2 3 2 3 3 j(ω) = {− −2 1 2 · 5 2(θ + 6θ − 12)(θ + 2θ + 2)(2θ − 1)}

−140 j(ω) =

13 9

−2 1 2 3

47,

j(ω) =

· 24 { 5(2θ3 −2θ2 − θ−1)(θ2 − 2)(θ4 − θ + 1)(θ3 − θ + 1)}3

91 72 {2

√

41,

2

89,

3

101

3(θ − θ − 1)(3θ − 2)(θ + 2θ − 2)(θ − 3θ − 3)}3 11,

59,

3

83,

107

j(ω) = 71 −18

3 {22 · 3 · 5(θ − 3)(4θ 2 − 2θ − 3)(2θ 3 − 21θ − 13)}3 2 112 ,

5, −171

71

√

232 ,

−168

89

√

292 ,

−144

3

· 3 5(θ + 1)(θ − 2θ − 1)(θ + 1)} 32 ,

−128

53 2

j(ω) =

5

−45

22 2 {2 (29(θ 1

+ 1) + 2,

11 (θ3 2

+

θ2 ))2 (2θ

101 + 3,

3)2 (θ2

+ θ − 1)}3 29

244


Tafel IX: Faktorzerlegungen von j(ω) D

Faktorzerlegung von j(ω) Normen der Faktoren in j(ω)

−196 j(ω) =

2 { −3 1 2

· 22 · 3(θ3 + θ2 + 2θ + 1)(θ − 3)(θ 2 − 3θ − 6)(3θ 3 + 3θ − 1)}3

112 , 47, 83, 131 √ −17 17 2 3 j(ω) = { 1 2 · 3 5(2θ − 3θ − 6)(3θ + 1)(2θ − 5)}

−220

232 , −252

149

22 2 2 3 3 j(ω) = −2 1 2 {5(θ − 1) (2θ − 1)(θ − 2)(2θ − 3)(2θ − 4θ + 1)}

3, −280

101,

j(ω) =

{ 63

√

2

5,

17,

3

89,

2

173 2

· 2 · 3 5(θ − 6θ + 2)(12θ − 17θ + 3)(θ − 2)(θ 2 + 3θ − 2)}3 112 , −17 ˘

−387 j(ω) = − 36 1 2

25 ·5

`1 4

232 ,

41,

´`

´2 `

(θ−2)(11θ 2 +13) θ 3 −13θ−9

89

2θ3 +6θ 2 +2θ+7

´¯3

2,

3, 71 “ θ6 + 1 ” √ −3 −1 4 10 27 − 3θ 4 + θ 3 − θ j(ω) = − −66

12 22 · 3 5 2 3 4 5 6 7 1 4 “ 5θ 6 + 5 ”“ θ6 + 1 ” −420 − 17θ4 + 14θ2 − 8θ − 2θ4 + 3θ 2 − θ · 4 8 “ ”“ 9θ6 − 15 ”o3 − 15θ4 + 11θ 2 − θ · 2θ − 1 8 172 , 232 , 59, 251, 311 √ ˘ 3 −17 −6 20 −9 j(ω) = − −24

11

5 6 7 · 22 5 2 3 4 1 n

· · −440

· · · ·

`1

´` 1

(θ5 −θ4 −θ 3 +3θ 2 +θ−1)

8

(3θ9 −19θ8 + 34θ 7 + 20θ6 − 59θ5 − 5θ 4 + 2θ 3 −14θ 2 + 7θ + 3)

8

(2θ9 − 9θ 8 + 6θ 7 − 6θ6 + 26θ5 + 29θ 4 + 14θ 2 − 12θ + 3)

8

(3θ8 − 20θ 7 + 42θ 6 − 6θ5 − 29θ4 − 10θ 3 − 28θ 2 + 34θ − 7)

8

(2θ9 −7θ8 −14θ 7 + 40θ6 + 8θ5 −13θ4 + 10θ 3 − 14θ2 + 6θ − 1)

8

(θ8 − 6θ 7 + 12θ 6 − 2θ5 − θ4 + 2θ 3 − 10θ 2 + 4θ − 1)

`1 `1 `1 `1 `1

112 , n

232 ,

j(ω) = − −10

−4 25 · 5 1 2 −603

· ·

472 ,

41,

“ 2(θ 3 + θ2 + θ + 1)

“ 4(θ 3 + θ 2 + θ + 1)

5

“ 3(θ 3 +θ 2 +θ+1)

5

8

(θ 9 −4θ8 +6θ6 −9θ 5 +6θ 3 +3θ−2)

´

2

5 − 2θ 2 −1 2

3,

−θ

1072 ,

5

”“ 6(θ3 +θ 2 +θ+1)

11,

5 53,

´ ´ ´

´¯3

281

”

”2 “ 27(θ 3 + θ 2 + θ + 1)

−3θ +2θ−2 2,

832 ,

´

113

−5θ 2 − 8θ −2

”

”o3

+10θ 2 +20θ−9

Kapitel 6

Vermischte arithmetische Anwendungen.

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen. J a c o b i teilte im Journal für Mathematik, Bd. 3, S. 191 (1828) das Theorem mit, daß das Vierfache einer beliebigen ungeraden Zahl n stets als Summe von vier ungeraden Quadraten: 4n = a2 + b2 + c2 + d2 darstellbar sei, und zwar sei die Anzahl solcher Darstellungen genau gleich der Teilersumme von n. Dabei sind zwei Darstellungen, die zwar die gleichen Zahlen a, b, c, d, jedoch in verschiedenen Anordnungen benutzen, als verschieden zu zählen. Jacobi sagt, daß er den Beweis dieses Satzes, der mit arithmetischen Mitteln ziemlich schwierig zu sein scheine, aus Formeln der Theorie der elliptischen Funktionen entnommen habe. Ausführlicher unter Angabe des Nachweises kommt Jacobi auf diesen Gegenstand in einem Briefe an Legendre vom 9ten September 1828 zurück1 . Einen allgemeinen Ansatz zur Gewinnung von Beziehungen zwischen Darstel” lungsanzahlen“ und Teilersummen“ gewinnt man auf folgende Art: Für jede Stufe ” s > 1 besitzt man in den Teilwerten der ℘-Funktion (vergl. II, 244): λω1 + μω2 ℘λμ (ω1 , ω2 ) = ℘ ω1 , ω2 s eine bekannte Anzahl von ganzen Modulformen (−2)ter Dimension, z. B. für ungerades s im ganzen 12 (s2 − 1) ganze Formen. Eine erste analytische Darstellung dieser Teilwerte ℘λμ ist für λ > 0: ¨ Vergl. J a c o b i Gesammelte Werke“ (Berlin, 1881) Bd. 1, S. 247 und 423. Uber Darstellungsan” zahlen hat Jacobi mittels der elliptischen Funktionen noch weitere ausgedehnte Rechnungen ¨ angestellt in der Abhandlung Uber unendliche Reihen, deren Exponenten zugleich in zwei ver” schiedenen quadratischen Formen enthalten sind“, Journ. f. Math., Bd. 37, S. 61 und 221 (1848). (J a c o b i beweist das oben genannte Theorem im letzten Satz seiner Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829); s. Gesammelte Werke“, Bd. 1, S. 239. [Anm. d. Hrsg.]) ” 1


245

246

6 Vermischte arithmetische Anwendungen

(1)

℘λμ =

2π ω2

2 −

∞ ∞ 2λ 2nλ nq 2n 1 − εμ q s (n + 1)εnμ q s + 2 12 1 − q 2n n=0 n=1 ∞ 2nλ 2nλ nq 2n nμ −nμ − s s − ε q +ε q 1 − q 2n n=1

und für λ = 0: 2 ∞ εμ 1 nq 2n 2π − − (2) + 2 ℘0μ = 2 μ ω2 12 (1 − ε ) 1 − q 2n n=1 −

∞ nq 2n nμ −nμ + ε ε , 1 − q 2n n=1

2iπ

wo ε = e s ist2 . Ordnet man z. B. die letzte Gleichung rechts nach ansteigenden Potenzen von q 2 um, so folgt: 2

∞ εμ 1 2π (s) 2m (3) ℘0μ = − − , + Φ (m) q ω2 12 (1 − εμ )2 m=1 μ wo der Koeffizient von q 2m die Bedeutung hat: (4)

Φ(s) μ (m) =

t

t sin2

tμπ , s

bezogen auf alle positiven Teiler t von m. Entsprechend kompliziertere mit Teilersummen verwandte Koeffizienten werden auch bei der Anordnung der rechten Seite von (1) nach ansteigenden Potenzen von q auftreten. Auf der anderen Seite kennt man für die Stufe s verschiedene Systeme ganzer Modulformen (−1)ter Dimension, die durch Reihen nach Potenzen von q erklärt sind, in deren Exponenten binäre quadratische Formen stehen. Es sei z. B. für die Stufen s, die der Kongruenz s ≡ 3 (mod 4) genügen, an die 12 (s + 1) in II, 325 erklärten ganzen Modulformen ster Stufe: (5) 2π 2f (μ,ν) s−1 yk (ω1 , ω2 ) = q s , μ ≡ −k (mod s) , k = 0, 1, 2, . . . , ω2 μ,ν 2 erinnert. Hier ist f (μ, ν) eine vorschriftsmässig gewählte positive quadratische Form der Diskriminante −s, und die Summe bezieht sich auf alle der Kongruenz μ ≡ −k (mod s) genügenden Paare ganzer Zahlen μ, ν. Die Umordnung der Reihe in (5) rechts nach ansteigenden Potenzen von q liefert:

2

Ferner ist q = eπiω und ω = ω1 /ω2 in der oberen Halbebene gelegen. [Anm. d. Hrsg.]

6.1 Relationen zwischen Darstellungsanzahlen und Teilersummen

yk =

(6)

247

2m 2π (s) Ak (m) q s , ω2 m

(s)

wo Ak (m) die Anzahl der Darstellungen von m durch die quadratische Form f (μ, ν) mittels ganzer Zahlen μ, ν ist, die der Kongruenz μ ≡ −k (mod s) genügen. Um beim Beispiele s ≡ 3 (mod 4) zu verweilen, bilde man nun die Quadrate der yk und ihre Produkte zu zweien, welche ganze Modulformen ster Stufe (−2)ter Dimension sind. Alle ganzen Modulformen ster Stufe (−2)ter Dimension sind in einem zweckmässig gewählten vollen System linear-unabhängiger Formen dieser Art linear und homogen mit konstanten Koeffizienten darstellbar. Man greife ein solches System erstlich aus den ℘λμ heraus, sodann aber aus den eben hergestellten Formen y02 , y12 , . . . , y0 y1 , . . . . Dann ist jede unserer Modulformen sowohl in dem ersten wie auch in dem zweiten dieser Systeme linear-homogen darstellbar. Man wähle eine einzelne dieser Darstellungen und denke die Potenzreihen nach q eingetragen. Die Reihen nach ansteigenden Potenzen von q für die Quadrate und Produkte der y haben Koeffizienten, die Darstellungsanzahlen der Exponenten m in gewissen quaternären quadratischen Formen sind. Man erkennt z. B., daß jede Darstellung eines ℘λμ in den y02 , y12 , . . . , y0 y1 , . . . durch Koeffizientenvergleichung zu einer für jedes m gültigen Regel führt, durch die sich eine Teilersumme“ in Darstellungsan” ” zahlen“ ausdrückt. Umgekehrt gelangt man zu Regeln für die einzelnen Darstel” lungsanzahlen“, ausgedrückt in Teilersummen“. ” Von Interesse ist die Durchführung dieser Ansätze nur in besonders einfachen Fällen. Wir wollen demgemäß auf Seiten der ℘-Teilwerte, um komplizierteren, auf die Teiler der Zahlen m bezogenen Summen aus dem Wege zu gehen, von vornherein die Modulform ster Stufe (−2)ter Dimension: s−1

℘0μ

μ=1

herstellen, die nach Formel (2) in II, 304 durch 2G1 (ω1 , ω2 ) zu bezeichnen ist. Ihre Entwicklung nach ansteigenden Potenzen von q 2 findet man unter (18) in II, 341. Man sehe noch vom Faktor s ab und arbeite also mit der Modulform: 2

∞ s − 1 (s) 2π (s) 2m + , Φ (m) q (7) G (ω1 , ω2 ) = ω2 24 m=1 wo Φ(s) (m) die Summe aller Teiler von m ist, die nicht selbst durch s teilbar sind. Im Falle s = 2 ist nun jede ganze Modulform (−2)ter Dimension linear und homogen in zwei linear-unabhängigen unter ihnen darstellbar. Als solche kann man zwei unter den drei Formen: (8) 2 2 2 π π π 4 4 e2 − e3 = ϑ0 , e3 − e1 = ϑ2 , e1 − e2 = − ϑ43 ω2 ω2 ω2

248


auswählen, deren Summe verschwindet (vergl. I, 419). Als linear-unabhängig kann man auch die beiden Modulformen: 2 2 4 1 2π 2π 4 (9) ϑ42 ϑ0 + ϑ3 , 2 ω2 ω2 wählen, von denen die erste eine Reihenentwicklung mit nur geraden Exponenten von q besitzt, die zweite eine solche mit ausschließlich ungeraden Exponenten. Man gewinnt aus den ursprünglichen Thetareihen: ϑ0 =

+∞

2

(−1)κ q κ ,

+∞

ϑ3 =

κ=−∞

qκ

2

κ=−∞

für die Summe der beiden vierten Potenzen von ϑ0 und ϑ3 : 2 2 2 2 1 + (−1)κ+λ+μ+ν q κ +λ +μ +ν ϑ40 + ϑ43 = κ,λ,μ,ν

oder bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q:

∞ 4 4 (2) 2m ϑ0 + ϑ3 = 2 1 + , A (m) q m=1

wo A(2) (m) die Anzahl verschiedener Darstellungen von 2m: 2m = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 als Summe von vier Quadraten irgend welcher ganzer Zahlen ist. Zwei Darstellungen, bei denen dieselben Zahlen κ, λ, μ, ν nur in verschiedenen Anordnungen verwendet werden, sind dabei wieder als verschieden zu zählen. Ein Quadrupel mit lauter verschiedenen Zahlen κ, λ, μ, ν zählt also 24-fach, ein solches mit zwei gleichen Zahlen 12-fach, ein solches mit zweimal zwei gleichen Zahlen 6-fach, ein solches mit drei gleichen Zahlen 4-fach und ein Quadrupel, in dem alle Zahlen gleich sind, nur einfach. Da es nach den vorstehenden Angaben abgesehen von einem konstanten Faktor nur eine ganze Modulform zweiter Stufe (−2)ter Dimension mit nur geraden Potenzexponenten der Reihe giebt, so ist G(2) (ω1 , ω2 ) bis auf einen konstanten Faktor mit der ersten Form (9) identisch. Der Vergleich der Absolutglieder der beiderseitigen Reihenentwicklungen liefert als in q identisch bestehend die Gleichung: 1+

∞ m=1

(2)

A

(m) q

2m

= 1 + 24

∞

Φ(2) (m) q 2m ,

m=1

woraus sich für jede positive ganze Zahl m das Gesetz ergiebt: A(2) (m) = 24 Φ(2) (m) .

249


Jede positive gerade Zahl 2m ist als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν darstellbar; und zwar ist die Anzahl verschiedener Darstellungen dieser Art von 2m gleich der 24-fachen Summe aller ungeraden Teiler von m. So hat man z. B. für m = 35: 24 Φ(2) (35) = 1152 . Darstellungen der Zahl 70 in der Gestalt: 70 = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 werden im ganzen von folgenden fünf Zahlquadrupeln geliefert: κ λ

8 2

7 4

6 5

6 4

5 5

μ ν

1 1

2 1

3 0

3 3

4 2

16 · 12 16 · 24 8 · 24 16 · 12 16 · 12 Unter jedem Quadrupel ist die Anzahl der von ihm gelieferten Darstellungen angegeben. Bei der Feststellung dieser Anzahl beachte man, daß beim einzelnen Quadrupel nicht nur die verschiedenen Anordnungen zu zählen sind, sondern daß jede der Zahlen κ, λ, μ, ν auch durch ihre entgegengesetzte ersetzt werden kann. In der Tat ist die Summe der Darstellungsanzahlen: 16 · 12 + 16 · 24 + 8 · 24 + 16 · 12 + 16 · 12 = 1152 . Bei der dritten Stufe liegen die Verhältnisse a¨ hnlich. Man hat zwei linearunabhängige ganze Modulformen (−1)ter Dimension, als welche man z. B. die aus II, 325 hervorgehenden Formen y0 (ω1 , ω2 ) und y1 (ω1 , ω2 ) wählen kann. Die erste dieser Formen y0 ist dadurch ausgezeichnet, daß sie eine Potenzreihe mit nur geraden Potenzexponenten der Entwicklungsgrösse q besitzt. Es reihen sich drei linearunabhängige ganze Modulformen dritter Stufe (−2)ter Dimension hieran; und man kann als solche y02 , y0 y1 , y12 benutzen. Die erste dieser Formen ist dadurch ausgezeichnet, daß sie wieder eine Reihe mit nur geraden Potenzexponenten von q besitzt; sie ist durch diese Eigenschaft bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Die Reihe für y0 (ω1 , ω2 ) wird aus dem Ansatze (9) in II, 326 gewonnen, wenn man für die dort im Exponenten stehende quadratische Form (a, b, c) insbesondere die Form (1, 1, 1) der Diskriminante −3 einsetzt. Man hat also: y0 =

2π 2(κ 2 +κμ+μ2 ) q , ω2 κ,μ

wo sich die Summe auf alle Paare ganzer Zahlen κ, μ bezieht. Für das Quadrat der Modulform y0 ergiebt sich die Darstellung:

250


y02 =

2π ω2

2

q 2(κ

2

+κμ+μ2 +λ2 +λν+ν 2 )

,

κ,λ,μ,ν

wo κ, λ, μ, ν alle Quadrupel ganzer Zahlen durchlaufen sollen. Bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q gelangt man zur Reihe: 2

∞ 2π 2 (3) 2m (10) y0 = 1+ , A (m) q ω2 m=1 wobei A(3) (m) die Anzahl der verschiedenen Darstellungen der positiven Zahl m durch die quaternäre quadratische Form: (11)

m = κ 2 + κμ + μ2 + λ2 + λν + ν 2

bedeutet. Eine etwas andere Erklärung von A(3) (m) erhält man aus der Gleichung: 4m = (2κ + μ)2 + 3μ2 + (2λ + ν)2 + 3ν 2 . Schreibt man für (2κ + μ) und (2λ + ν) wieder kurz κ und λ, so folgt: (12)

4m = κ 2 + λ2 + 3μ2 + 3ν 2 ,

wobei jedoch nur alle diejenigen Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν zuzulassen sind, die den Kongruenzen: (13)

κ≡μ,

λ≡ν

(mod 2)

genügen. Man kann also A(3) (m) auch erklären als die Anzahl aller die Kongruenzen (13) erfüllenden Darstellungen von 4m durch die in (12) rechts stehende ¨ quaternäre quadratische Form. Ubrigens folgt für ein beliebiges Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν, das eine Darstellung (12) liefert, aus dieser Gleichung: (14)

κ 2 − μ2 ≡ ν 2 − λ2

(mod 4) .

Gilt demnach eine der beiden Kongruenzen (13), so gilt auch die andere; und ebenso folgt aus dem Bestehen einer der Bedingungen: κ ≡ μ ,

λ ≡ ν

(mod 2)

immer auch das Bestehen der anderen. Im letzteren Falle folgt aber auch κ ≡ λ (mod 2). Wären nämlich κ und λ zugleich gerade, so wären μ und ν ungerade, was der Kongruenz (14) widerspricht; und wären κ und λ zugleich ungerade, so müßten μ und ν gerade sein, was wieder mit (14) nicht vereinbar ist. Im fraglichen Falle führt also der Austausch von κ und λ zu einem die Bedingung (13) befriedigenden Quadrupel. Welche Vertauschungen vorgenommen werden dürfen, um aus einem

251


ersten Quadrupel wieder ein zulässiges zu gewinnen, ist hiernach einleuchtend. Gilt κ ≡ λ (mod 2), und damit auch μ ≡ ν (mod 2), so darf man einzeln sowohl κ mit λ, wie auch μ mit ν vertauschen. Ist aber κ ≡ λ (mod 2), und also auch μ ≡ ν (mod 2), so dürfen nur zugleich κ mit λ und μ mit ν vertauscht werden. Ausserdem ist natürlich Zeichenwechsel jeder der Zahlen κ, λ, μ, ν statthaft. Aus den Werten der Absolutglieder der Reihen für G(3) und y02 folgt nun die Gleichung: y0 (ω1 , ω2 )2 = 12G(3) (ω1 , ω2 ) und damit das identische Bestehen der Gleichung: ∞

A(3) (m) q 2m = 12

m=1

Es gilt somit:

∞

Φ(3) (m) q 2m .

m=1

A(3) (m) = 12 Φ(3) (m) .

Ist m irgend eine positive ganze Zahl, so ist 4m stets mittels ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν durch die in (12) rechts stehende quaternäre quadratische Form darstellbar; und zwar ist die Anzahl der die Bedingung (13) befriedigenden Darstellungen stets gleich der 12-fachen Summe aller durch 3 nicht teilbaren Teiler der Zahl m. So hat man z. B. für m = 42: 12 Φ(3) (42) = 288 . Der Gleichung:

168 = κ 2 + λ2 + 3μ2 + 3ν 2

genügen folgende Zahlquadrupel, denen wir jedesmal in der letzten Zeile die Anzahl der von ihnen gelieferten (13) befriedigenden Darstellungen hinzufügen: κ λ

12 3

12 0

9 9

9 6

9 3

9 0

6 6

6 3

3 3

3 3

3 0

μ ν

2 1

2 2

1 1

4 1

5 1

5 2

4 4

5 4

5 5

7 1

7 2

16 · 2 8 · 2 16 · 1 16 · 2 16 · 4 8 · 2 16 · 1 16 · 2 16 · 1 16 · 2 8 · 2 In der Tat ist die Gesamtanzahl der Darstellungen gleich 288. Auch die vierte Stufe liefert eine einfache Regel. Man hat zunächst: 2

∞ 2π (4) (4) 2m 8G (ω1 , ω2 ) = 1+8 Φ (m) q ω2 m=1 2 2π 1 + 8q 2 + 24q 4 + 32q 6 + 24q 8 + 48q 10 + · · · . = ω2 Andrerseits ist jede ganze Modulform vierter Stufe eine homogene ganze Funktion der drei linear-unabhängigen Formen (−1)ter Dimension:

252


2π 2 ϑ , ω2 0

2π 2 ϑ , ω2 2

2π 2 ϑ . ω2 3

Ganze Formen (−2)ter Dimension, die nach ganzen Potenzen von q 2 fortschreitende Reihen haben, giebt es zwei linear-unabhängige, als welche man:

2π ω2

2

ϑ20 + ϑ23 2

2

,

2π ω2

2

ϑ20 ϑ23

wählen kann. In ihnen ist also 8G(4) linear und homogen mit konstanten Koeffizienten darstellbar. Nun hat man aber die Reihen: 2 2 ϑ0 + ϑ23 = 1 + 8q 2 + 24q 4 + 32q 6 + 24q 8 + 48q 10 + · · · , 2 ϑ20 ϑ23 = 1 − 8q 2 + 24q 4 − 32q 6 + 24q 8 − 48q 10 + · · · . Es ist demnach einleuchtend, daß die Beziehung besteht: (15)

(4)

8G

(ω1 , ω2 ) =

2π ω2

2

Aus den Reihen für ϑ0 und ϑ3 folgert man: 2 2 (−1)κ+λ q κ +λ , ϑ20 = κ,λ

ϑ20 + ϑ23 2

ϑ23 =

2

.

qκ

2

+λ2

,

κ,λ

wo sich die Summe beide Male auf alle Paare ganzer Zahlen κ, λ bezieht. Hieraus ergiebt sich weiter: κ 2 +λ2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = q , 2

κ ≡ λ (mod 2) ,

κ,λ

bezogen auf alle Paare ganzer Zahlen κ, λ, die der hinzugefügten Kongruenz genügen. Durch Erheben zur zweiten Potenz findet man: 2 2 2 2 2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = q κ +λ +μ +ν , 4 κ,λ,μ,ν

bezogen auf alle Quadrupel ganzer Zahlen κ, λ, μ, ν, die der Forderung: (16)

κ≡λ,

μ≡ν

(mod 2)

genügen. Die Anordnung nach ansteigenden Potenzen von q 2 ergiebt: ∞ 2 1 2 ϑ0 + ϑ23 = 1 + A(4) (m) q 2m , 4 m=1


253

wo A(4) (m) die Anzahl aller Darstellungen von 2m in der Gestalt: 2m = κ 2 + λ2 + μ2 + ν 2 mittels irgend welcher ganzer, die Bedingungen (16) erfüllender Zahlen κ, λ, μ, ν ist. Die Relation (15) führt zur Regel: A(4) (m) = 8 Φ(4) (m) . Läßt man bei der Darstellung der beliebigen positiven geraden Zahl 2m als Summe von vier Quadraten nur die den Kongruenzen (16) genügenden Darstellungen zu, so ist die Anzahl der Darstellungen die 8-fache Summe aller durch 4 nicht teilbaren Teiler von m. Als Beispiel nehme man m = 60; man findet: 8 Φ(4) (60) = 576 . Es giebt abgesehen von Umstellungen und Zeichenwechseln der Zahlen κ, λ, μ, ν allein die beiden Darstellungen: 120 = 102 + 42 + 22 + 02 , 120 = 82 + 62 + 42 + 22 . Aber beide Male kann man alle 24 Permutationen der vier Zahlen κ, λ, μ, ν vornehmen; und im ersten Falle hat man 8 Vorzeichenkombinationen und im zweiten 16. In der Tat ist 8 · 24 + 16 · 24 = 576. Zu einem einfachen Gesetze führt auch noch die siebente Stufe (vergl. die Rechnungen in II, 396). Hier ist die Form: 2

∞ 2π (7) (7) 2m 4G (ω1 , ω2 ) = 1+4 Φ (m) q ω2 m=1 identisch mit der zweiten Potenz der ganzen Modulform (−1)ter Dimension: y0 (ω1 , ω2 ) =

2π 2(κ 2 +κμ+2μ2 ) q . ω2 κ,μ

Man gelangt zu dem Satze: Das Vierfache jeder positiven ganzen Zahl m ist in der Gestalt: 4m = κ 2 + λ2 + 7μ2 + 7ν 2 mittels ganzer, die Kongruenzen: κ≡μ,

λ≡ν

(mod 2)

erfüllender Zahlen κ, λ, μ, ν darstellbar; und zwar ist die Anzahl verschiedener solcher Darstellungen für die einzelne Zahl m stets gleich der vierfachen Summe aller Teiler von m, die nicht durch 7 teilbar sind. Nimmt man z. B. m = 70, so hat

254


man, abgesehen von erlaubten Umstellungen der κ, λ, μ, ν und Vorzeichenwechseln dieser Zahlen, im ganzen die drei Darstellungen: 4 · 70 = 142 + 72 + 7 · 22 + 7 · 12 , 4 · 70 = 72 + 72 + 7 · 52 + 7 · 12 , 4 · 70 = 02 + 02 + 7 · 62 + 7 · 22 . Die Vorzeichenwechsel und die erlaubten Umstellungen ergeben in den beiden ersten Fällen je 16 · 2 verschiedene Darstellungen, im letzten aber 4 · 2. In der Tat ist 4Φ(7) (70) = 72.

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe. Die aus der Transformationsgleichung für den nten Transformationsgrad Fn (j , j) = 0 durch Gleichsetzung von j mit j hervorgehende algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0 mit der Unbekannten j ist nach S. 142 ff. im rationalen Körper reduzibel und zerfällt in eine gewisse Anzahl von Klassengleichungen“. Zur Bestim” mung des Grades N dieser algebraischen Gleichung hat man zwei Ansätze. Erstlich kann man nämlich, wie dies schon S. 142 ff. geschah, die Ordnung des Poles der Modulfunktion erster Stufe“ Fn j(ω), j(ω) in der Spitze bei ω = i∞ des ” DB“ der Modulgruppe feststellen, indem man den Anfangsexponenten der Ent ” wicklung von Fn j(ω), j(ω) nach Potenzen von q2 bestimmt. Zweitens kann man N durch Abzählung der Nullpunkte von Fn j(ω), j(ω) im DB“ ausrechnen. Da ” Fn (j, j) = 0 in eine Anzahl von Klassengleichungen zerfällt, so stellt sich N bei der zweiten Methode als ein ganzzahliges Aggregat von Klassenanzahlen dar. Die Gleichsetzung beider Ausdrücke von N führt zu einer Klassenzahlrelation“. ” Besonders leicht wird dieser Ansatz durchführbar, wenn man neben den eigent” lichen“ Transformationen nten Grades: (1)

ω =

aω + b , cω + d

ad − bc = n ,

bei denen a, b, c, d keinen Teiler t > 1 gemeinschaftlich haben, auch alle un” eigentlichen“ Transformationen dieses Grades zuläßt. Es geht dann t2 in n auf; wir n haben also mit allen eigentlichen Transformationen der Grade 2 zu arbeiten, wo t t2 die quadratischen Teiler von √ n durchläuft. Nur müssen wir hierbei freilich, falls n selbst ein Quadrat ist, t = n ausschliessen. Hier würde sich nämlich auch die Transformation ersten“ Grades, die als Transformationsgleichung j −j = 0 liefern ” würde, einfinden, und die linke Seite dieser Gleichung würde für j = j identisch verschwinden. Bei dieser Erweiterung kann man von einer reduzibelen“ Trans”

255

6.2 Klassenzahlrelation erster Stufe

formationsgleichung Fn (j , j) = 0 für den nten Grad sprechen3 . Hier wird sich der Grad N für die entsprechende algebraische Gleichung Fn (j, j) = 0 nach der ersten Methode durch Teilersummen“ ausdrücken lassen; und die zum nten Grade ” gehörende Klassenzahlrelation erster Stufe“ 4 ergiebt alsdann die Darstellung eines ” Aggregates von Klassenzahlen durch Teilersummen. Um diese Klassenzahlrelation erster Stufe zu gewinnen, schreiben wir abkürzend Gn (j) für die ganze Funktion N ten Grades Fn (j, j), die aus der reduzibelen Transformationsgleichung hervorgeht. Um den Grad N nach der ersten Methode zu bestimmen, stellen wir Gn j(ω) als Funktion von ω wie in (2), S. 142 durch das Produkt dar:

aω + b (2) Gn j(ω) = , ad = n , 0 b < d . j(ω) − j d Die Anzahl der Faktoren (Repräsentanten für eigentliche oder uneigentliche Transformationen nten Grades) ist jetzt gleich der Teilersumme Φ(n) von n; denn bei der einzelnen Zerlegung von n in das Produkt a · d durchläuft nun b ohne √ Ausnahme ein Restsystem mod d. Nur wenn n ein Quadrat ist, sollte für a = d = n der für b = 0 eintretende Repräsentant der eigentlichen Transformation ersten Grades ausgelassen werden, woran durch den oberen Index am Produktzeichen in (2) erinnert sein soll. In diesem Falle ist also die Anzahl der Faktoren in (2) rechts um eine Einheit kleiner als Φ(n). Setzen wir εn = 1, falls n ein Quadrat ist, und sonst εn = 0, so ist die Anzahl der Faktoren in (2) rechts ohne Ausnahme durch Φ(n) − εn gegeben. Für den einzelnen Faktor in (2) haben wir nun die Reihe: 2iπb 2a aω + b (3) j(ω) − j = q −2 + · · · − e− d q − d − · · · . d Bei Anordnung nach ansteigenden Potenzen ist somit für a d√der Anfangsexponent gleich −2 (und zwar auch im besonderen Falle a = d = n, da hier b = 0 nicht zugelassen ist), und für a > d ist er gleich − 2a d . Bei der einzelnen Zerlegung n = a · d von n kommen nun jedesmal d Faktoren (3) in Betracht und nur im beson√ deren Falle a = d = n nur d − εn . Da q −2 einen Pol erster Ordnung in der Spitze ω = i∞ des DB“ hat, so ist die Ordnung des Poles von Gn j(ω) daselbst und ” also der Grad N gegeben durch: N= d − εn + a. √ d< n

√ d n

Da die zweite rechts stehende Summe auch hat man:

√ d> n d

geschrieben werden kann, so

Sie ist natürlich nur dann im rationalen Körper reduzibel, wenn n wirklich quadratische Teiler t2 besitzt. 4 Die Relation wird als eine solche erster Stufe“ bezeichnet, weil sie aus der Transformationsglei” chung der Modulfunktion erster Stufe j(ω) abgeleitet wird. 3

256


N=

√ d< n

d+

√ d n

d

+

√ d> n

d−

√ d< n

d

− εn .

Hier steht in der ersten Klammer rechts die Summe Φ(n) aller Teiler d von n; in ¨ der√zweiten Klammer aber steht der Uberschuß √ der Summe aller Teiler von n, die > n sind, u¨ ber die Summe aller Teiler, die < n sind. Diese Anzahl soll mit Ψ (n) bezeichnet werden: (4) Ψ (n) = d− d. √ d> n

√ d< n

Die erste Abzählung liefert somit für den Grad N der Gleichung Gn (j) = 0 den Ausdruck: (5)

N = Φ(n) + Ψ (n) − εn .

Nun ist zweitens der Grad N durch Abzählung der Ordnungen aller Nullpunkte des Produktes (2) im DB“ der Modulgruppe zu bestimmen. Die Spitze ω = i∞ ” des DB“, in der jeder Faktor in (2) rechts einen Pol hat, kommt hierbei nicht mehr ” in Betracht. Verschwindet aber der Faktor: aω + b j(ω) − j d im Punkte ω0 des DB“, so sind die beiden Zahlen ω0 und aω0d+b bezüglich der ” Modulgruppe a¨ quivalent. Es giebt dann eine Substitution V dieser Gruppe, für die: aω0 + b ω0 = V d zutrifft. Diese Substitution V ist (bis auf einen gleichzeitigen Vorzeichenwechsel ihrer vier √ Koeffizienten) eindeutig bestimmt, wenn ω0 weder gleich i noch gleich −1+i 3 ρ= ist (vergl. Fig. 58 in I, 287). Ist aber ω0 = i, so hat man genau zwei 2 wesentlich verschiedene brauchbare Substitutionen V und V · T und ebenso für ω0 = ρ drei solche V , U · V , U 2 · V , wo T und U die bekannten erzeugenden Substitutionen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0, −1 0, −1 ⎠, ⎠ T =⎝ U =⎝ 1, 0 1, 1 der Modulgruppe mit den Fixpunkten i und ρ sind. b Wir wollen nun die durch Kombination von V und a, 0, d entstehende Transfor b asentanten ihrer mation nten Grades, die wir an Stelle von a, 0, d ebenso gut als Repr¨ Klasse von Transformationen benutzen können, gleich selbst wieder durch: (6)

ω =

aω + b cω + d

257


bezeichnen. Demgemäß arbeiten wir fortan mit dem Faktor: aω + b . (7) j(ω) − j(ω ) = j(ω) − j cω + d Hier ist sicher c nicht gleich 0, da die Substitution (6) den im Innern der ωHalbebene (und im DB“) gelegenen Fixpunkt ω0 hat. Es wird demnach fortan stets ” c > 0 vorausgesetzt, was nötigenfalls durch einen Vorzeichenwechsel der Koeffizienten von V erreicht wird. Der Repräsentant (6) ist nun (natürlich nach Auswahl des Faktors in (2) rechts) eindeutig bestimmt, falls ω0 weder gleich i noch gleich ρ ist. Für ω0 = i aber haben wir die beiden brauchbaren Repräsentanten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a, −c εc, −|a| ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, (8) ε = − sgn(a) c, a |a|, εc und für ω0 = ρ die drei: (9) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a, −c ε c, −|a + c| ε(a + c), −|a| ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, ⎝ ⎠, c, a + c |a + c|, −ε a |a|, εc

ε = − sgn(a + c) .

Im Falle (8) haben wir a2 + c2 = n, und es ist a = 0 und c = 0, da ja keine eigentliche Transformation ersten Grades vorliegt; im Falle (9) gilt a2 +ac+c2 = n, und wir haben aus dem gleichen Grunde a = 0, c = 0, a + c = 0. Insbesondere sind also die beiden Vorzeichen ε und ε eindeutig bestimmt. Die Normalgestalt (8) in I, 70 einer unserer Transformationen (6) schreiben wir wie S. 145: (10)

ω − ω0 ω − ω0 =μ , ω − ω0 ω − ω0

wo ω 0 der zu ω0 konjugiert komplexe Wert ist. Der Multiplikator“ μ der Transfor” mation ist stets von 1 verschieden, im Falle ω0 = i aber auch von −1 und für ω0 = ρ 2 von ρ und ρ . Wir kämen nämlich sonst in den besonderen Fällen mit der Transformation (6) auf unsere Substitutionen T bezw. U oder U 2 zurück; die eigentlichen Transformationen ersten“ Grades sind aber ausgeschlossen. Man kann u¨ brigens die ” Angaben u¨ ber den Multiplikator μ auch direkt aus (8) und (9) bestätigen. Es besteht nun die grundlegende Tatsache: Der bei ω0 gelegene Nullpunkt unseres Faktors (7) ist im DB“ gemessen“ unter allen Umständen ein solcher von ” ” der ersten Ordnung. Dies geht, wenn ω0 weder gleich i noch gleich ρ ist, bereits aus der Rechnung von S. 145 hervor. In den besonderen Fällen aber gestaltet sich die Rechnung so: Ist ω0 = i, so hat man zufolge (10) für ω die Reihe: ω = i + μ(ω − i) + · · · ,

μ2 = 1

258


nach ansteigenden Potenzen von (ω − i), während man für j(ω) eine Reihendarstellung: j(ω) = 123 + a1 (ω − i)2 + · · · , a1 = 0 nach ansteigenden Potenzen von (ω − i) hat. Hieraus berechnet sich: j(ω ) = 123 + a1 μ2 (ω − i)2 + · · · , mithin für unseren Faktor (7): j(ω) − j(ω ) = a1 (1 − μ2 )(ω − i)2 + · · · , wo auch a1 (1 − μ2 ) = 0 ist. Der Faktor hat also bei ω = i in der ω-Halbebene einen Nullpunkt zweiter Ordnung, mithin im DB“ gemessen“ einen solchen erster ” ” Ordnung. Für ω = ρ, wo μ3 = 1 gilt, führt man die Rechnung sofort mit dem gleichen Erfolge durch. Der Nullpunkt ω0 des Faktors (7) als Fixpunkt der Substitution (6) genügt der ganzzahligen quadratischen Gleichung: c ω02 + (d − a)ω0 − b = 0 . Schreiben wir: (11)

A=c,

B =d−a,

C = −b ,

κ =a+d,

so haben wir in (A, B, C), da ω0 im DB“ gelegen ist, eine reduzierte positive ” quadratische Form der negativen Diskriminante: (12)

D = B 2 − 4AC = −(4n − κ 2 ) .

Die ganze Zahl κ gehört dem Intervalle: √ √ (13) −2 n < κ < +2 n an, und die Form (A, B, C) ist ursprünglich oder abgeleitet; jedenfalls ist der Tei” ler“ der Form durch den größten gemeinschaftlichen Teiler der vier Zahlen a, b, c, d selbst teilbar. Durch den Faktor (7) und den Nullpunkt ω0 sind, falls ω0 von i und ρ ¨ verschieden ist, die Form (A, B, C) und die Zahl κ eindeutig bestimmt. Ubrigens ist der absolute Wert |κ| bereits durch die Form (A, B, C), nämlich durch ihre Diskriminante D, eindeutig festgelegt. Ist κ = 0, so brauchen wir nur die Form (A, B, C) allein beizubehalten; für κ = 0 wollen wir ihr nur noch das zutreffende Vorzeichen ±1 = sgn(κ) hinzufügen und sagen dann, es entspreche dem Nullpunkte ω0 des Faktors (7) eindeutig eine signierte Form“ ±(A, B, C). Im besonderen ” Falle ω0 = i haben wir nach S. 257 zwei Formen mit zugehörigen Zahlen κ: (c, 0, c) ,

κ = 2a ,

sgn(κ) = −ε ,

(|a|, 0, |a|) ,

κ = 2εc ,

sgn(κ) = +ε ,

259


also zwei signierte Formen: −ε (c, 0, c) ,

+ε (|a|, 0, |a|) ,

die stets verschieden sind (nämlich im besonderen Falle |a| = c wegen der entgegengesetzten Signa). Für ω0 = ρ haben wir drei reduzierte Formen mit zugehörigen Zahlen κ: κ = 2a + c ,

(c, c, c) , (|a + c|, |a + c|, |a + c|) ,

κ = −ε (a − c) ,

(|a|, |a|, |a|) ,

κ = ε (a + 2c) ,

wobei a, c und a + c nicht-verschwindende Zahlen sind. Man stellt hier leicht folgende Tatsache fest: Es können höchstens zwei unter den drei Formen identisch werden; dann sind aber die Signa der beiden identischen Formen entgegengesetzt, und die dritte Zahl κ verschwindet. Als Ergebnis haben wir anzumerken: einzel Einem nen Nullpunkte ω0 eines vorgelegten Faktors (7) der Funktion Gn j(ω) entspricht eindeutig eine reduzierte positive quadratische Form der negativen Diskriminante D = −(4n − κ 2 ), die für κ = 0 mit dem Vorzeichen von κ signiert ist; für ω0 = i entsprechen dem Nullpunkte des Faktors (7) stets zwei verschiedene signierte Formen dieser Art und für ω0 = ρ sogar deren drei. Diese Zuordnung ist eindeutig umkehrbar. Ist κ eine ganze Zahl des Intervalles (13), und ist (A, B, C) irgend eine reduzierte positive Form der Diskriminante D = −(4n − κ 2 ), so ist stets B ≡ κ (mod 2), und wir haben in: (14)

ω =

κ−B 2 ω

Aω +

−C κ+B 2

eine eigentliche oder uneigentliche Transformation nten Grades, die, wenn sie nicht eine eigentliche Transformation ersten Grades ist, zu unseren Transformationen (6) gehört und von sich aus zu der eben gewählten, nötigenfalls noch zu signierenden Form hinführt. Hat die Form die Gestalt (A, 0, A), ist also ω0 = i, so führen immer zwei verschiedene signierte Formen dieser Art zu dem gleichen Faktor (7) mit dem Nullpunkte ω0 , desgleichen, wenn die Formgestalt (A, A, A), also ω0 = ρ vorliegt, immer drei signierte Formen. Die Anzahl der reduzierten Formen beim einzelnen D ist die Klassenanzahl dieser Diskriminante, die durch: H(−D) = H(4n − κ 2 ) bezeichnet sein möge; zum Unterschiede gegen früher haben wir hier die ursprünglichen und die abgeleiteten Formen zuzulassen. Der besonderen Stellung der Nullpunkte i und ρ kann man zur Vereinfachung des Schlußresultates leicht dadurch Rechnung tragen, daß man bei Feststellung der Anzahl H eine Klasse mit der reduzierten Form (A, 0, A) nicht einfach, sondern nur mit dem Betrage 12 rechnet und eine Klasse mit der reduzierten Form (A, A, A) nur mit dem Betrage 13 . Die Anzahl

260


aller Nullpunkte der Funktion Gn j(ω) im DB“ ist dann gegeben durch: ” (15) H(4n − κ 2 ) , κ

bezogen auf alle κ des Intervalles (13), wobei wir nur noch diejenigen reduzierten Formen herauszunehmen haben, die etwa eine eigentliche Transformation ersten“ ” Grades (14) liefern sollten. Jede reduzierte Form mit κ = 0 kommt bei Bildung der Summe (15) zweimal, nämlich als Form +(A, B, C) und als Form −(A, B, C) zur Benutzung. Es ist also endlich nur noch festzustellen, wann in (14) eine Transformation ersten Grades vorliegt. Dann muß n ein reines Quadrat sein, und die √ vier Koeffizienten in (14), also auch die vier Zahlen A, B, C, κ müssen durch n teilbar sein. Dementsprechend schreiben wir: √ √ √ A = A n , B = B n , C = C n , D = D · n √ und haben für κ die beiden Möglichkeiten κ = 0 und κ = ± n. Für κ = 0 folgt D = −4, wo nur die eine reduzierte Form (1, 0, 1) mit i als Nullpunkt vorliegt; sie √ ist in (15) zunächst mit dem Betrage 12 gerechnet. Für κ = ± n folgt D = −3, wo wir nur die eine reduzierte Form (1, 1, 1) mit dem Nullpunkte ρ, also die beiden signierten Formen ±(1, 1, 1) haben; die sind in (15) zunächst je mit dem Betrage 13 eingerechnet. Es ist somit von der Summe (17) im Falle eines quadratischen n noch der Betrag: 1 7 = εn + 2 · 6 12 abzuziehen. Auch diese Besonderheit können wir im Schlußergebnis hinwegräumen, wenn wir an Stelle von (13) für die Zahl κ das Intervall: √ √ (16) −2 n κ +2 n vorschreiben, was natürlich nur im Falle eines quadratischen n eine Neuerung bringt. Dabei haben wir dann unter dem noch nicht erklärten Symbol H(0) die Zahl 1 − 12 zu verstehen. Für den Grad N der ganzen Funktion Gn (j) hat man nun ohne jede Ausnahme die zweite Darstellung: H(4n − κ 2 ) − εn . N= κ

Durch Gleichsetzung dieses Ausdrucks von N mit dem unter (5) gewonnenen erhalten wir endlich die Klassenzahlrelation erster Stufe“: ” (17) H(4n − κ 2 ) = Φ(n) + Ψ (n) , κ

6.3 Angaben u¨ ber Klassenzahlrelationen höherer Stufen

261

wobei sich die Summe auf alle ganzen Zahlen κ des Intervalls (16) bezieht. Es muß also z. B. im Falle n = 30 die Gleichung gelten:

H(120) + 2 H(119) + H(116) + H(111) + H(104) + H(95) + H(84) + H(71) + H(56) + H(39) + H(20) = Φ(30) + Ψ (30) . Nun hat man aber folgende Klassenanzahlen: H(120) = 4 , H(119) = 10 , H(116) = 6 , H(111) = 8 , H(104) = 6 , H(95) = 8 , H(84) = 4 , H(71) = 7 , H(56) = 4 , H(39) = 4 , H(20) = 2 . Für n = 30 hat also die linke Seite der Klassenzahlrelation den Wert 122. In der Tat gilt andrerseits: Φ(30) = 72 , Ψ (30) = 50 .

¨ 6.3 Angaben uber Klassenzahlrelationen höherer Stufen. Die Betrachtung, welche von der Transformationsgleichung Fn (j , j) = 0 für die Modulfunktion erster Stufe j(ω) zur Klassenzahlrelation (17) in 6.2 hinführte, ist bereits 1859 von K r o n e c k e r auf die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen (vergl. II, 495 ff.)5 in Anwendung gebracht. Kronecker gelangte auf diese Weise zu acht verschiedenen Klassenzahlrelationen, in denen stets Summen von Klassenanzahlen a¨ hnlich der in (17) in 6.2 links stehenden durch Teilersummen und verwandte zahlentheoretische Funktionen dargestellt erscheinen6 . Verwandt mit den acht Kroneckerschen Relationen sind zahlreiche Beziehungen, welche Liouville auf rein arithmetischem Wege in einer grösseren Reihe von Mitteilungen im Journ. de Math., sér. 2 von Bd. 3 ab aufgestellt hat, und in denen linker Hand a¨ hnliche Klassenzahlaggregate wie bei Kronecker auftreten. Die aus den Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen gewinnbaren Klassenzahlrelationen sind durch die acht Kroneckerschen Gleichungen vollständig erschöpft, wie Kronecker selbst hervorhebt. Demgegenüber erkannte K l e i n schon bei seinen ersten Untersuchungen u¨ ber Modulfunktionen, daß auch die u¨ brigen speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen sowie auch die Modular” korrespondenzen“ (vergl. II, 527 ff.) zur Aufstellung von Klassenzahlrelationen herangezogen werden können. Dabei führen jedenfalls zwei zu einander teilerfremde Stufenzahlen zu zwei Systemen von Klassenzahlrelationen, die nicht aus einander ableitbar sind. 5

Siehe Fußnote 4, S. 190. [Anm. d. Hrsg.] ¨ Vergl. die Abhandlung Uber die Anzahl der verschiedenen Klassen quadratischer Formen von ” negativer Determinante“, Journ. f. Math., Bd. 57 (1860), S. 248–255.

6

262


Im Anschluß an Klein hat sich J. Gierster sehr erfolgreich mit diesem Gegen¨ stande beschäftigt und seine Ergebnisse in zwei Arbeiten Uber Relationen zwi” schen Klassenzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante“ 7 veröffentlicht. Es sind hierbei sowohl allgemeine Ansätze entwickelt, sowie namentlich Ausführungen u¨ ber niedere Primzahlstufen gegeben. In der ersten Arbeit sind die Klassenzahlrelationen fünfter Stufe, aus den Ikosaedermodulargleichun” gen“ entwickelt, fertig mitgeteilt. Die zweite Arbeit ist insbesondere der Aufstellung der Klassenzahlrelationen siebenter Stufe gewidmet. In den von Gierster angegebenen Relationen der siebenten Stufe blieb auf der rechten Seite noch eine von ihm durch ξ(n) bezeichnete zahlentheoretische Funktion des Transformationsgrades n u¨ ber, deren allgemeine Bedeutung ungeklärt erschien. Diese Aufklärung in höchst interessanter Weise gegeben zu haben, ist das Verdienst von A. Hurwitz. Die grundlegende Leistung von Hurwitz in diesem Gebiete besteht darin, daß er die Theorie der algebraischen Korrespondenzen“ ” durch Gebrauch der Integrale erster Gattung des zugrunde liegenden algebraischen Gebildes wesentlich ergänzte und die Eigenart der bis dahin unzugänglichen, von ihm als singulär“ bezeichneten Korrespondenzen vollständig aufklärte8 . Um die ” Anwendung auf die Modularkorrespondenzen durchführen zu können, untersuchte Hurwitz insbesondere bei Primzahlstufen die zugehörigen Integrale erster Gattung und ihre Entwicklungen nach Potenzen von q. Die ganzzahligen Entwicklungskoeffizienten ergeben sich dabei, wie allgemein bei ganzen Modulformen (−2)ter Dimension9 , als Darstellungsanzahlen“ und verwandte zahlentheoretische Funktio” nen. Sie waren dann insbesondere bei der siebenten Stufe die in den Giersterschen Formeln noch ungeklärt gebliebenen Glieder10 . Eine ausführliche Darstellung dieses ganzen Gebietes verlangt natürlich mannigfache Zurüstungen. Die Lehre von den Repräsentantensystemen mter Stufe“ für ” die Transformation nten Grades ist weiter zu entwickeln, desgleichen die allgemeine Theorie der algebraischen Korrespondenzen, die Darstellung insbesondere der Modularkorrespondenzen durch Primformen“ usw. Es war ein Hauptziel des zwei” ten Bandes der Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“, ” dieses gesamte Gebiet ausführlich darzustellen, und auf dieses Werk sei demnach hier verwiesen. Die Berechnung der einzelnen Klassenzahl auf rekurrentem Wege aus den Klassenzahlrelationen ist mit den Relationen der ersten Stufe noch nicht zu leisten, wohl aber mit denjenigen einer höheren Stufe. K r o n e c k e r bemerkt am Schlusse seiner Arbeit, daß zu einer solchen Einzelberechnung der Klassenanzahlen bereits die fünfte und sechste seiner Formeln ausreichend seien; er teilt mit, daß er auf 7

Mathem. Annalen, Bd. 17, S. 71 und 74 (1879). ¨ Man vergl. die Abhandlung Uber algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Kor” respondenzprinzip“, Mathem. Ann., Bd. 28 (1886), S. 561–585. 9 aus denen die Integrale einfach durch Integration hervorgehen. 10 ¨ Man vergl. namentlich die beiden Arbeiten Uber Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer ” quadratischer Formen von negativer Determinante“, Mathem. Ann., Bd. 25 (1885), S. 157–196 ¨ und Uber die Klassenzahlrelationen und Modularkorrespondenzen primzahliger Stufe“, Ber. der ” Leipz. Gesell. der Wiss. vom 4ten Mai 1885, Bd. 37 (1885), S. 222–240. 8

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel

263

diesem Wege für alle ungeraden negativen Determinanten11 bis −10000 die Klas¨ senanzahlen habe berechnen lassen. Uber die rekurrente Berechnung der einzelnen Klassenanzahlen aus den Relationen der dritten Stufe finden sich Ausführungen in den Vorlesungen u¨ ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“ II, 234.12 ”

6.4 Die Kroneckersche Grenzformel. K r o n e c k e r hat sich von 1883 an erneut mit der Theorie der elliptischen Funktionen beschäftigt vornehmlich in der Absicht, seine früheren Untersuchungen u¨ ber die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen zu fördern. Eine grosse Anzahl von Mitteilungen Zur Theorie der elliptischen Funktionen“ findet man in den ” Monatsberichten der Berliner Akademie von 1883 bis 1890. Im Mittelpunkte dieser Entwicklungen steht eine Grenzformel“, die man als eine Erweiterung der bekann” ten Grenzformel anzusehen hat, mittels derer Dirichlet die Berechnung der Klassenanzahl der binären quadratischen Formen negativer Determinante durchführte. Ist: (a, b, c) = ax2 + bxy + cy 2 eine positive quadratische Form13 negativer Diskriminante D = b2 − 4ac, so konvergiert bekanntlich die Reihe: (1)

m,n

1 1+τ , 2 am + bmn + cn2

bezogen auf alle Paare ganzer Zahlen m, n, mit Ausnahme des Paares m = 0, n = 0,14 für alle positiven Werte von τ . Jedoch wird der Summenwert der Reihe für lim τ = 0 unendlich, und zwar so daß:

1 2π (2) lim − τ =0 2 2 1+τ τ |D| m,n am + bmn + cn endlich bleibt. Kronecker arbeitet, wie in a¨ lterer Zeit stets geschah, mit Formen (ax2 + 2bxy + cy 2 ) eines geraden mittleren Koeffizienten, wobei D = b2 − ac die Determinante“ war. ” 12 Ein ausführliches Referat der einschlägigen Literatur zum vorliegenden Problemkreis gibt L. E. Dickson im Chapter VI seiner History of the Theory of Numbers“, Vol. III (Carnegie ” Institution of Washington, Washington 1923; Reprint: Chelsea Publishing Company, New York 1952). [Anm. d. Hrsg.] 13 Im Unterschied zur Version in der vorangehenden Fußnote 11 betrachtet Kronecker in seinen Arbeiten Zur Theorie der elliptischen Funktionen“ binäre quadratische Formen der Gestalt ” (a, b, c) = ax2 + bxy + cy2 mit der Diskriminante D = b2 − 4ac (s. Leopold Kroneckers Werke, Bd. 4, Leipzig und Berlin 1929, S. 371 ff.). Diese Fassung bietet gegenüber der a¨ lteren Gaußschen Schreibweise mit dem mittleren“ Koeffizienten 2b deutliche Vorteile und hat sich im ” Anschluß an Kronecker allgemein durchgesetzt. [Anm. d. Hrsg.] 14 Auf diesen Ausschluß wird durch den oberen Index am Summenzeichen hingewiesen. 11

264


Diese Tatsache liegt den Dirichletschen Rechnungen zugrunde. Hierüber ist nun Kronecker in der Weise hinausgegangen, daß er den Grenzwert (2) wirklich ausrechnet und im wesentlichen dargestellt findet als den reellen Bestandteil des Logarithmus einer Modulform erster Stufe. Das Ergebnis von K r o n e c k e r hat das Interesse von H. W e b e r erregt, der eine besonders leicht lesbare Ableitung der Kronecker” schen Grenzformel“ angegeben hat15 . Es handelt sich dabei um eine direkte analytische Umformung der Reihe (1), die sich auf die Integraldarstellung der Gammafunktion gründet16 . Wir folgen weiterhin der Weberschen Darstellung. Dabei nehmen wir a, b, c sogleich als irgend drei reelle Grössen an, jedoch unter Einhaltung der Bedingung, daß die Diskriminante D = b2 − 4ac negativ und daß die Form (a, b, c) eine positive ist, so daß die beiden Zahlen a und c positiv sind. Wenn wir auch noch an den Bedingungen einer reduzierten Form: −a < b a < c

oder

0ba=c

festhalten, so liegt darin natürlich keine Beschränkung der Allgemeinheit17 . Der Summenwert der für τ > 0 konvergenten Reihe (1), die nur positive Glieder hat, ist von der Gliederanordnung unabhängig. Wir bezeichnen den Summenwert der Reihe durch S und bevorzugen die durch die nachfolgende Gleichung festgelegte Gliederanordnung: (3)

S=

2 a1+τ

∞ m=1

1 m2+2τ

+2

∞ n=1

+∞

1 . 2 2 1+τ m=−∞ am + bmn + cn

Für diese Anordnung soll der bei lim τ = 0 eintretende Grenzwert von S bestimmt werden. Die im ersten Gliede rechts stehende Summe bleibt auch für τ = 0 konvergent; der Grenzwert für lim τ = 0 ist bekannt:

∞ 1 2 π2 (4) lim . = 1+τ 2+2τ τ =0 a m 3a m=1 Das zweite Glied in (3) rechts werde abgekürzt durch U bezeichnet; wir schreiben wie u¨ blich: −b + i |D| =ω, 2a verstehen unter ω den zu ω konjugiert komplexen Wert und haben dann:

15 in § 141 der zweiten Auflage seines Werkes Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen“, ” Braunschweig, 1908. 16 Man vergl. hierzu auch die Entwicklung von Kronecker in der 13ten seiner oben genannten Mitteilungen vom 21ten Februar 1889. 17 Die folgenden Entwicklungen gelten ohne diese zusätzliche Bedingung. [Anm. d. Hrsg.]

265


(5)

U=

∞

2 a1+τ

+∞

n=1 m=−∞

1

1+τ , (m + nω)(m + nω)

wobei gegenüber (3) nur die Gliederanordnung in der letzten auf m bezogenen Summe umgekehrt ist. Man leitet nun aus der bekannten Darstellung der Gammafunktion durch ein bestimmtes Integral leicht die etwas allgemeinere Formel ab: ∞ Γ (1 + τ ) (6) = e−(α+iβ)x xτ dx , (α + iβ)1+τ 0 in der x eine reelle positive Integrationsvariable ist und nur der reelle Bestandteil α der komplexen Zahl (α + iβ) der Bedingung α > 0 genügen muß. Schreibt man also die Polardarstellung dieser Zahl α + iβ = reiϑ , so muß die Amplitude ϑ dem Intervalle − π2 < ϑ < + π2 angehören. Dabei ist der Nenner der linken Seite von (6) durch: (α + iβ)1+τ = r 1+τ ei(1+τ )ϑ zu erklären. Ist Ω eine komplexe Zahl mit positivem imaginären Bestandteil, so hat −2iπΩ positiven reellen Bestandteil, und wir können deshalb schreiben: ∞ (2π)1+τ 1 = e2iπΩx xτ dx . (−iΩ)1+τ Γ (1 + τ ) 0 Bedeutet Ω den zu Ω konjugiert komplexen Wert, so hat auch −Ω einen positiven imaginären Bestandteil, und wir haben deshalb, wenn auch y als reelle positive Integrationsvariable gebraucht wird: ∞ 1 (2π)1+τ = e−2iπΩy y τ dy . Γ (1 + τ ) 0 (iΩ)1+τ Mit Rücksicht auf die Erklärung des Nenners in (6) links folgt bei Multiplikation der beiden letzten Gleichungen: ∞ ∞ (2π)2+2τ 1 = e2iπ(Ωx−Ωy) (xy)τ dx dy . 2 (Ω · Ω)1+τ 0 0 Γ (1 + τ ) Da in (5) der Summationsbuchstabe n nur noch die positiven ganzen Zahlen durchläuft, so haben alle Zahlen Ω = m + nω positive imaginäre Bestandteile. Also gilt:

1 (m + nω)(m + nω)

1+τ

(2π)2+2τ = 2 Γ (1 + τ )

∞ 0

0

∞

e2iπ(m(x−y)+n(xω−yω)) (xy)τ dx dy ,

266


und wir gewinnen aus (5) als neue Darstellung von U : +∞

∞ (2π)2+2τ 2 a1+τ Γ (1 + τ ) n=1

U=

(7)

Jm,n ,

m=−∞

wo unter Jm,n folgendes Doppelintegral zu verstehen ist: ∞ ∞ (8) Jm,n = 2 e2iπ(m(x−y)+n(xω−yω)) (xy)τ dx dy . 0

0

Um dies Doppelintegral zugänglich zu machen, führen wir an Stelle von x, y neue Variable u, v in folgender Art ein: Deuten wir x und y als rechtwinklige Koordinaten in der Ebene, so bezieht sich das Integral (8) auf den Quadranten der positiven Koordinaten x, y. Diesen Integrationsbereich zerlegen wir durch die Winkelhalbierende der positiven Koordinatenachsen in zwei Oktanten. Im ersten, der x-Achse anliegenden Oktanten ist x > y, im anderen x < y. Die neuen Variablen u, v führen wir ein, indem wir im ersten bezw. zweiten Oktanten setzen: I.

x>y,

x−y = u,

x+y =v ,

II.

x 0:21 ∞ 2a2τ +1 Φ(0) = 2τ +1 e−nz z 2τ dz . 0 2π |D| Für das erste Glied in (15) rechts ergiebt sich damit: ∞

(17)

Φ(0) =

n=1

2a2τ +1 2τ +1 2π |D|

∞

0

z 2τ dz . ez − 1

Wir verstehen nun unter Ψ (τ ) für τ 0 das Integral: Unter Benutzung der Dedekindschen Funktion η(ω) = e Ergebnis in folgender Form:

20

∞ X

∞ X

`

´

Φ+ (ν) + Φ− (ν) = −

ν=1 n=1

πiω 12

∞ Y `

´

1 − q 2ν erscheint dieses

ν=1

a 1 − p log |η(ω)|2 . 12 π |D|

[Anm. d. Hrsg.] Das folgende Integral hat ersichtlich den Wert Γ (2τ + 1) n−1−2τ , so dass folgt

21

∞ X n=1

wobei ζ(s) =

∞ X

Φ(0) = `

2a2τ +1

2π

p

´2τ +1 Γ (2τ + 1) ζ(2τ + 1) ,

|D|

n−s die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet. Benutzt man die ersten Terme

n=1

der Laurent-Entwicklung der Zetafunktion zum Entwicklungszentrum 1: ζ(s) =

1 + γ + O(s − 1) s−1

(γ = 0.5772 . . . = Euler-Mascheronische Konstante; s. E. C. Titchmarsh The Theory of the ” Riemann Zeta-Function“, Oxford 1951, S. 16), so erhält man einen alternativen Beweis von (20), denn Γ (1) = −γ. [Anm. d. Hrsg.]

271


∞

Ψ (τ ) =

z 2τ e−z

0

1 1 − −z 1−e z

dz .

Da der in der Klammer stehende Ausdruck für z = 0 endlich bleibt, so ist das Integral endlich. Für lim τ = 0 geht dasselbe stetig u¨ ber in den Grenzwert: ∞ 1 1 (18) lim Ψ (τ ) = dz = −Γ (1) = 0, 5772 . . . .22 e−z − −z τ =0 1 − e z 0 Es gilt nun:

Ψ (τ ) = 0

∞

z 2τ dz − ez − 1

∞

z 2τ −1 e−z dz .

0

Zufolge der Integraldarstellung und der Grundeigenschaft der Gammafunktion ist aber: ∞ Γ (1 + 2τ ) . z 2τ −1 e−z dz = Γ (2τ ) = 2τ 0 Also hat man für das in (17) rechts stehende Integral die Darstellung: ∞ 2τ Γ (1 + 2τ ) z dz = Ψ (τ ) + . z e −1 2τ 0 Trägt man die Entwicklung von Γ (1 + 2τ ) nach Potenzen von τ : Γ (1 + 2τ ) = Γ (1) + 2Γ (1)τ + · · · = 1 + 2Γ (1)τ + · · · ein, so folgt:

0

∞

z 2τ dz 1 = Ψ (τ ) + + Γ (1) + · · · , ez − 1 2τ

wo die ausgelassenen Glieder Potenzen von τ mit positiven Exponenten enthalten. Mit Rücksicht auf (18) folgt jetzt: ∞ 2τ z dz 1 − =0. (19) lim τ =0 ez − 1 2τ 0 Setzen wir zur Gleichung (17) gleich auch noch den Faktor vor dem Summenzeichen in (7) rechts hinzu, so können wir schreiben:

22

Man vergl. wegen dieser Angabe etwa Dirichlet Vorlesungen u¨ ber die Lehre von den ein” fachen und mehrfachen bestimmten Integralen“, herausgegeben von G. Arendt (Braunschweig, 1904), S. 117 Formel (3). Die Substitution − log x = z führt zur Formel (18) des Textes. (Man kann das Integral (18) auch den Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathema” tical Physics“ von W . M a g n u s, F. Oberhettinger, R. P. Soni (Berlin 1966), S. 16 entnehmen. [Anm. d. Hrsg.])

272


τ ∞ 2τ ∞ (2π)2+2τ 1 z dz 1 4π a − Φ(0) = 2 2 ez − 1 2τ |D| |D| 0 Γ (1 + τ ) a1+τ Γ (1 + τ ) n=1 τ 2π 1 a + 2 . τ |D| |D| Γ (1 + τ ) Das letzte Glied rechter Hand besitzt folgende Reihe nach ansteigenden Potenzen von τ : τ 2π 1 a 2π a 1 + log − 2Γ = (1) + · · · , 2 |D| τ |D| |D| |D| τ Γ (1 + τ ) wo die ausgelassenen Glieder durchweg Potenzen von τ mit positiven Exponenten enthalten. Mit Rücksicht auf (19) folgt: (20)

∞ (2π)2+2τ 2π 2π a lim − 2Γ Φ(0) − (1) . = log 2 τ =0 |D| τ |D| |D| a1+τ Γ (1 + τ ) n=1 Auch die Formel (16) ist noch mit dem Faktor vor dem Summenzeichen in (7), hier natürlich sogleich für τ = 0, also mit dem Faktor 4π 2 /a zu versehen. Nehmen wir dann die Einzelergebnisse (4), (16) und (20) zusammen und kehren zur ursprünglichen Schreibweise (2) zurück, so ergiebt sich die aufzustellende Kroneckersche Grenzformel in der Gestalt:23 (21) lim

τ =0

m,n

1

2π − τ |D|

1+τ am2 + bmn + cn2

12 2π 1 (2π)2 a − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 = ΔΔ . log |D| 12 |D|

Wie man sieht, ist die Dirichletsche Grenzformel:

1 2π lim τ 1+τ = τ =0 2 2 |D| m,n am + bmn + cn in dem Kroneckerschen Ergebnis mitenthalten. Fasst man die Summe (1) als Funktion von τ und entwickelt sie nach ansteigenden Potenzen dieses Argumentes τ :

23

Fricke scheint in der Schlußformel ein Fehler unterlaufen zu sein, denn er gibt im Manuskript die rechte Seite von (21) wie folgt an: 2π |D|

p

[Anm. d. Hrsg.]

„

log

«

“` ” ´12 2πa 1 ΔΔ . − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 |D| 24

273


m,n

1 am2

+ bmn +

1+τ cn2

=

A−1 + A0 + A1 τ + A2 τ 2 + · · · , τ

so ist der erste Koeffizient A−1 nach Dirichlet durch: 2π A−1 = |D| gegeben. Die Leistung Kroneckers besteht dann in der Bestimmung des Absolutgliedes A0 der Potenzreihe:24

12 2π 1 (2π)2 a − 2Γ (1) − log ω2 ω 2 A0 = ΔΔ . log |D| 12 |D|

24

Mit der Dedekindschen Funktion η(ω) = e

und man erhält

2π A0 = p |D|

„

log

πiω 12

∞ Y ` ν=1

´

`

1 − q 2ν gilt Δ(ω) = (2π)12 η(ω)

´24

,

«

a − 2Γ (1) − 2 log |η(ω)|2 . |D|

In dieser Form findet man die Kroneckersche Grenzformel bei H. W e b e r Algebra III“ (2. Aufl. ” 1908), S. 531, Gl. (27) und bei C. L. Siegel Lectures on Advanced Analytic Number Theory“ ” (Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1961), S. 20. Bei Siegel findet man auch die zweite Kroneckersche Grenzformel und Anwendungen der beiden Formeln. [Anm. d. Hrsg.]

Abschnitt III

Mechanische und physikalische Anwendungen.

Kapitel 7

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks.

Für die Verwendung der elliptischen Funktionen zur Untersuchung ebener Bewegungen liefert das ebene Gelenkviereck ein besonders leicht zugängliches und mehrfach betrachtetes Beispiel. Die Möglichkeit eine analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks mit Hilfe von elliptischen Funktionen durchzuführen, erkannte G . D a r b o u x und stellte hierfür die grundlegenden analytischen Entwicklungen unter Benutzung der Jacobischen Funktionen auf.1 Dass man an Stelle der Jacobischen Funktionen auch die Weierstrassschen Funktionen ℘(u), ℘ (u) benutzen kann, ist selbstverständlich. Einige Ausführungen hierüber hat Picciati gegeben2 ; doch dringen dieselben nicht ein, da sie sich bei der Einführung eines gewissen kanonischen Koordinatensystems auf allgemeine, algebraisch nicht durchgeführte Ansätze beschränken. Eine neue Behandlung der Darbouxschen Formeln hat M . K r a u s e3 geliefert, der auch eine Reihe wertvoller Dissertationen u¨ ber diese Gegenstände angeregt hat.4 B y b

7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades.

a

C β

c F

γ

α D

d

A

x

Ein zunächst in keiner Weise näher beschränktes ebenes Gelenkviereck (vergl. Fig. 27) habe die Ecken A, B, C, D und die Seitenlängen a, b, c, d. Fig. 27 E 1

Man vergl. die Abhandlung De l’emploi des fonctions elliptiques dans la théorie du quadrilatère ” plan“, Bull. des scienc. mathém. et astron., sér. II, Bd. 3 (1879). 2 in der Abhandlung La funzione di Weierstrass nella cinematica del quadrilatero articolato“, Atti ” del’Istit. Veneto, Ser. 8, Bd. 3 (1900). 3 Man vergl. die Abhandlung Zur Theorie der Gelenksysteme“, Ber. der Leipziger Gesellsch. der ” Wissensch. 1907 und 1908. 4 ¨ Zu nennen ist insbesondere die Rostocker Dissertation von M. Blauert Uber einige Anwen” dungen der elliptischen Funktionen auf die Theorie des ebenen Gelenkvierecks“ (1911).


277

278

7 Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

AD sei die festliegende Seite oder der Steg“. Die gegenüberliegende Seite BC ist ” dann die Koppel“, und AB sowie CD sind die Arme“ des Vierecks. Wir denken ” ” a, b, c, d mit den in der Figur angegebenen Richtungen versehen, als Vektoren, die die Amplituden α, β, γ und 0 gegen die von D nach A genommene Richtung des Steges haben. Dann sind aeiα , beiβ , ceiγ , d vier komplexe Zahlen, deren Summe verschwindet. Da auch die Summe der vier zu ihnen konjugierten Zahlen verschwindet, so folgt: ⎧ ⎪ ⎨ aeiα + beiβ + ceiγ + d = 0 , (1) ⎪ ⎩ ae−iα + be−iβ + ce−iγ + d = 0 . Die kontinuierliche Schar aller einfach unendlich vielen Lagen, welche das Gelenkviereck bei festliegendem Stege d annehmen kann, können wir nun dadurch herstellen, dass wir etwa den Winkel α als unabhängig veränderlich annehmen, wobei sich dann die Winkel β und γ als Funktionen von α entsprechend den Gleichungen (1) mit a¨ ndern. An Stelle dieser sich zunächst darbietenden, elementaren Betrachtungsweise können wir folgende andere treten lassen: Wir betrachten: (2)

eiα = x ,

eiβ = y ,

eiγ = z

als rechtwinklige Raumkoordinaten, zwischen denen dann die Gleichungen: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (3) ⎪ ⎩ a + b + c +d=0 x y z bestehen, denen wir auch die Gestalt: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (4) ⎪ ⎩ ayz + bzx + cxy + dxyz = 0 geben können. Durch diese Gleichungen wird eine ebene Kurve dritten Grades dargestellt, von der für uns derjenige imaginäre geschlossene Zug in Betracht kommt, dessen Punkte komplexe Koordinaten x, y, z des absoluten Betrages 1 haben. Dieser Kurvenzug werde mit K3 bezeichnet; die Punkte dieses Zuges K3 sind umkehrbar eindeutig den unendlich vielen Gestalten unseres Gelenkvierecks mit festem Steg zugeordnet. Bringt man die letzten Glieder in (4) nach rechts und multipliziert beide Gleichungen, so gewinnt man die Gleichung: (5) ax2 (bz + cy) + by 2 (cx + az) + cz 2 (ay + bx) + (a2 + b2 + c2 − d2 )xyz = 0

279

7.1 Das Gelenkviereck und Kurven dritten Grades

eines Kegels dritten Grades mit dem Scheitelpunkt im Nullpunkte, auf dem unsere Kurve dritten Grades durch die von der ersten Gleichung (4) gelieferten Ebene ausgeschnitten wird. Setzen wir: x 1 : x2 : x3 = x : y : z und deuten x1 , x2 , x3 als Dreieckskoordinaten in einer Ebene, so erscheint unsere Kurve dritten Grades perspektiv bezogen auf die in dieser Ebene durch: (6) ax21 (bx3 + cx2 ) + bx22 (cx1+ ax3 ) + cx23 (ax2 + bx1 ) + (a2+b2+ c2− d2 )x1 x2 x3 = 0 gegebene Kurve dritten Grades. Einem Punkte (x1 , x2 , x3 ) dieser Kurve entspricht dann auf der durch (4) gegebenen Kurve der Punkt der Koordinaten: x=

−dx1 , ax1 + bx2 + cx3

y=

−dx2 , ax1 + bx2 + cx3

z=

−dx3 . ax1 + bx2 + cx3

[Wenn man bei festgehaltenem d die drei Vektoren a, b, c den sechs möglichen Permutationen unterwirft und jedesmal wieder ein Gelenkviereck aus ihnen zusammensetzt, so entstehen sechs Vierecke, die zu Paaren kongruent sind. Drei verschiedene unter ihnen erhält man durch die drei zyklischen Permutationen von a, b, c. Von links nach rechts sind diese drei als ein konvexes, ein u¨ berschlagenes und ein konkaves Viereck in Fig. 28 dargestellt. Die Winkel α, β, γ, als Amplituden der Vektoren a, b, c gegen den Vektor d sind in allen Fällen die gleichen. Es gelten also in allen drei Fällen die Grundgleichungen (1). Die sechs Diagonalen der drei Vierecke der Fig. 28 sind zu Paaren einander gleich. Wir haben also nur drei verschiedene Diagonalen, die in Fig. 28 mit δ1 , δ2 , δ3 bezeichnet sind. d δ2

b δ1 c

δ3

δ2

b b a

a α

c

d

δ1 δ3

a c

d

Fig. 28

Die durch (3) gegebene Kurve dritten Grades besitzt einen Doppelpunkt in (x0 , y0 , z0 ), wenn die Tangentialebene in (x0 , y0 , z0 ) an die durch die zweite Gleichung (3) gegebene Fläche mit der durch die erste Gleichung (3) gegebenen Fläche u¨ bereinstimmt. Es gilt dann: −a −b −c (a : b : c) = . : : x20 y02 z02 Einsetzen in (3) liefert x20 = y02 = z02 = 1. Also besitzt die kubische Kurve genau dann einen Doppelpunkt, wenn eine Gleichung ±a ± b ± c + d = 0 für irgendeine

280


Auswahl der Vorzeichen besteht. Da im Gelenkviereck alle Seitenlängen positiv sind und die Länge der längsten Seite kleiner als die Summe der anderen Seitenlängen sein muss, ist die Anzahl der Doppelpunkte von (3) gleich der Vielfachheit der Nullstelle des folgenden, unter der zyklischen Permutation von a, b, c invarianten Ausdrucks: P = (a + b − c − d)(a + c − b − d)(a + d − b − c) . Genau wenn einer der Linearfaktoren in P gleich Null ist, dann ist das Gelenkviereck für alle Winkel α, β, γ ein Tangentenviereck, wobei der Tangentialkreis auch außerhalb des Vierecks liegen darf.5 Da die kubische Kurve (3) einen Doppelpunkt hat, lassen sich die trigonometrischen Funktionen der Winkel des Gelenkvierecks als rationale Funktionen eines reellen Parameters darstellen. Sind zwei Linearfaktoren gleich Null, so sind im Gelenkviereck je zwei Seiten in Paaren gleich lang. Es stellt dann ein Parallelogramm, ein Antiparallelogramm oder ein Deltoid dar. Die kubische Kurve (3) zerfällt dann in eine Gerade und einen Kegelschnitt mit den Gleichungen x+y =0,

z+1=0

bzw.

a(x + y) + c(z + 1) = 0 ,

xy = z .

Sind alle drei Linearfaktoren gleich Null, so sind alle Seiten des Gelenkvierecks gleich lang. Es ist dann ein Rhombus. Die kubische Kurve (3) erfüllt dann die Gleichungen x + y + z + 1 = 0 , (x + y)(x + z)(y + z) = 0 , zerfällt also in drei Geraden. Ist hingegen P ungleich Null, so hat die kubische Kurve (3) keinen Doppelpunkt, und es liegt der allgemeine Fall vor, der im folgenden behandelt werden soll. Dieser lässt sich je nach Vorzeichen von P in zwei Klassen unterteilen. Es gilt genau dann P < 0, wenn die Summe der kleinsten und der größten Seitenlänge kleiner als die Summe der beiden mittleren Seitenlängen ist. Nur im Fall P < 0 können die beiden Winkel, die die kürzeste Seite mit den beiden angrenzenden Seiten bildet, alle möglichen Werte annehmen. Auch durch weitere geometrische Eigenschaften kann man die beiden Klassen unterscheiden: Durch geeignete Wahl der Winkel erhält man stets ein konvexes Sehnenviereck. Aber nur bei P < 0 ist ein u¨ bergeschlagenes Sehnenviereck zu erzielen. Ferner kann man nur bei P < 0 ein u¨ bergeschlagenes Viereck mit parallelen Diagonalen erreichen.]6

5

Vergl. R. Baltzer: Elemente der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: Teubner 1862, S. 32 f. Diese Erläuterungen fassen die Argumente im bereits genannten Artikel von D a r b o u x und dessen Ankündigung in den Comptes Rendus 88 (1879), 1183-1185, zusammen. [Anm. d. Hrsg.]

6

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen

281

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen. Nach den Entwicklungen von S. 79 ff. sind nun die Koordinaten der Punkte einer ebenen Kurve dritten Grades, vorausgesetzt dass diese das Geschlecht 1 hat, als eindeutige elliptische Funktionen eines Argumentes w darstellbar. Unter Vorbehalt der Feststellung des Geschlechtes 1 erkennen wir die Möglichkeit, die drei Grössen (2) als eindeutige elliptische Funktionen von w darzustellen, wobei die verschiedenen Gestalten unseres Gelenkvierecks den Punkten einer im Periodenparallelogramm der w-Ebene verlaufenden Linie entsprechen. An sich würde es am nächsten liegen, die Kurve dritten Grades (6) auf ein kanonisches Koordinatendreieck zu beziehen, um dann die Weierstrassschen Funktionen der ersten Stufe zur Darstellung der drei Grössen (2) zu benutzen. Dem gegenüber ist es die Leistung von D a r b o u x, unter Verwertung einer von J a c o b i aufgefundenen Formel die beiden Gleichungen (3) unmittelbar mit den elliptischen Funktionen in Verbindung gebracht zu haben. Dieser Weg soll auch weiterhin eingeschlagen werden, da bei den oben genannten Arbeiten u¨ ber das Gelenkviereck die Darbouxschen Formeln benutzt werden.

7.2.1 Eine Formel von Jacobi. D a r b o u x knüpft seine analytische Theorie des Gelenkvierecks an eine von J a c o b i in Bd. 15 von Crelles Journal S. 200 aufgestellte Relation zwischen gewissen elliptischen Funktionen, die Jacobi durch analytische Umformung gewinnt, die aber weit kürzer durch eine funktionentheoretische Betrachtung gewonnen werden kann.7 Es sei w ein komplexes Argument und v1 , v2 , v3 drei spezielle zunächst verschiedene Werte dieses Argumentes. Man bilde das Aggregat: (7)

sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) + + . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

[Zufolge (13) in I, 390 ist dies Aggregat] periodisch um 2iK ; es erfährt Zeichenwechsel bei Vermehrung von w um 2K. Im Periodenparallelogramm der Seiten 2K, 2iK [liegen nach I, 393] drei Pole erster Ordnung bei v1 , v2 , v3 . Bei v1 wird das Aggregat (7) unendlich wie: sn(v2 − v3 ) , w − v1 entsprechend bei v2 und v3 . Genau dieselben Angaben gelten von: −

7

sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

Das Manuskript enthält mehrere Beweise dieser Formel, von denen hier nur der kürzeste wiedergegeben ist. [Anm. d. Hrsg.]

282


Demnach ist: (8) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) + + + sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) doppeltperiodisch mit den Perioden 4K und 2iK und zugleich polfrei, also konstant. Zur Bestimmung dieses konstanten Wertes setze man w = v1 + iK und benutze die in I, 395 aufgestellte Relation: (9)

1 = k sn w . sn(w + iK )

Das erste und vierte Glied des Ausdrucks (8) verschwinden, die Mittelglieder liefern: k sn(v1 − v2 ) sn(v3 − v1 ) + k sn(v1 − v3 ) sn(v1 − v2 ) . Dieser Ausdruck ist aber gleich 0; mithin hat das Aggregat (8) den konstanten Wert 0, d. h. es besteht in w identisch die Beziehung: (10) sn(v2 −v3 ) sn(v3 −v1 ) sn(v1 −v2 ) sn(v2 −v3 ) sn(v3 −v1 ) sn(v1 −v2 ) + + + = 0. sn(w−v1 ) sn(w−v2 ) sn(w−v3 ) sn(w−v1 ) sn(w−v2 ) sn(w−v3 ) Sind zwei der Grössen v1 , v2 , v3 einander gleich, so ist die Richtigkeit der Beziehung (10) unmittelbar einleuchtend. Vermehren wir w um iK und benutzen (9), so folgt: (11) sn(w − v1 ) sn(v2 − v3 ) + sn(w − v2 ) sn(v3 − v1 ) + sn(w − v3 ) sn(v1 − v2 ) + k 2 sn(w− v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) = 0 . Dies ist die von Jacobi auf anderem Wege abgeleitete in w identisch bestehende Gleichung.

7.2.2 Ansatz zur Darstellung der Koordinaten durch elliptische Funktionen. Man schreibe jetzt abkürzend: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ k sn(w − v2 ) sn(w − v3 ) = x , ⎪ ⎨ (12) k sn(w − v3 ) sn(w − v1 ) = y , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ k sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) = z

283


und deute x, y, z als rechtwinklige Raumkoordinaten. Dem einzelnen Werte w gehört dann ein gewisser Raumpunkt zu, und das Parallelogramm der Perioden 2K und 2iK in der w-Ebene wird hierbei auf eine geschlossene Kurve des Geschlechtes p = 1 im Raume abgebildet. Erklären wir weiter vier von w unabhängige Zahlen a, b, c, d durch: ⎧ ⎪ ⎨ sn(v2 − v3 ) = μa , sn(v3 − v1 ) = μb , sn(v1 − v2 ) = μc , (13) ⎪ ⎩ k sn(v2 − v3 ) sn(v3 − v1 ) sn(v1 − v2 ) = μd , unter μ eine noch verfügbare Grösse verstanden, so gehen die Gleichungen (10) und (11) in dieser Reihenfolge u¨ ber in: ⎧ ⎪ ⎨ ax + by + cz + d = 0 , (14) ⎪ ⎩ a + b + c +d = 0, x y z ¨ die formal mit den Grössen (3) in Ubereinstimmung sind. Sollte es demnach möglich sein, u¨ ber die Differenzen: (15)

u1 = v2 − v3 ,

u2 = v3 − v1 ,

u3 = v1 − v2 ,

die durch die Beziehung: u1 + u2 + u3 = 0

(16)

verbunden sind, und u¨ ber die beiden Grössen μ und k so zu verfügen, dass die aus (13) zu berechnenden a, b, c, d gleich den in Fig. 27 vorliegenden Längenzahlen a, b, c, d unseres Gelenkvierecks sind, so ist die durch (14) dargestellte, auf das Periodenparallelogramm eindeutig bezogene Kurve dritten Grades eben diejenige, zu der wir oben (S. 278) vom Gelenkviereck aus geführt wurden, und also haben wir dann in (12) die gewünschte Darstellung der Koordinaten x, y, z der Punkte dieser K3 als elliptische Funktionen eines Argumentes w vor uns. Insbesondere haben wir für die in homogenen Koordinaten x1 , x2 , x3 durch (6) gegebene ebene Kurve dritten Grades die Darstellung: (17)

x 1 : x2 : x3 =

1 1 1 : : . sn(w − v1 ) sn(w − v2 ) sn(w − v3 )

Es sind nun also die Gleichungen (13) näher zu untersuchen, in denen wir a, b, c, d als Seiten unseres Gelenkvierecks gegeben denken. Unter Benutzung der Abkürzungen (15) schreiben sich diese Gleichungen so: ⎧ ⎪ ⎨ sn u1 = μa , sn u2 = μb , sn u3 = μc , (18) ⎪ ⎩ k sn u1 sn u2 sn u3 = μd .

284


Durch Eintragen der Ausdrücke für sn u1 , [sn u2 , sn u3 ] in die vierte Gleichung folgt: kμ2 abc = d . √ Unter Vorbehalt der näheren Bestimmung von k ergiebt sich hieraus zunächst für μ der Wert: d 1 √ , (19) μ= abc k wo die zweite Quadratwurzel rechts positiv genommen werden möge. Weiter folgen aus den ersten drei Gleichungen (18) für sn u1 , sn u2 , sn u3 die Ausdrücke: ad bd cd 1 1 1 , sn u2 = √ , sn u3 = √ , (20) sn u1 = √ bc ac ab k k k wo jedesmal die an zweiter Stelle rechts stehenden Wurzeln positiv zu nehmen sind √ und k der noch näher zu bestimmende Wert ist. Schreiben wir: sn ui = si ,

cn ui = ci ,

dn ui = di ,

so folgt aus dem Additionstheorem (7) in II, 166 wegen u1 + u2 = −u3 zunächst: s1 s3 c2 d2 − s2 s3 c1 d1 + s21 − s22 = 0 . Hier trage man ein [(vergl. (8) in II, 166)]: ci di = 1 − (1 + k 2 )s2i + k 2 s4i ,

i = 1, 2

und mache den Ausdruck in s1 , s2 , s3 rational. Dabei ergiebt sich zwischen s1 , s2 , s3 die Beziehung: s41 + s42 + s43 −2s22 s23 − 2s23 s21 − 2s21 s22 + 4s21 s22 s23 −2k 2 s21 s22 s23 (s21 + s22 + s23 − 2) + k 4 s41 s42 s43 = 0 . Man trage hier für s1 = sn u1 , s2 = sn u2 , s3 = sn u3 die Ausdrücke (20) ein und findet für die Wurzel k des Integralmoduls die Gleichung: 1 (21) 4abcd k + =L, k wo L folgender homogene symmetrische Ausdruck vierten Grades in den Seiten a, b, c, d des Gelenkvierecks ist: (22)

L = 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 d2 + 2b2 d2 + 2c2 d2 − a4 − b4 − c4 − d4 ,

285


wofür man auch schreiben kann:

2 L = a2 + b2 + c2 + d2 − 2 a4 + b4 + c4 + d4 .

7.2.3 Der Integralmodul k, die Modulfunktion (ω) und Ausartungen. Schreiben wir: k+

(23)

1 = 2 (ω) , k

so [ist (ω) nach I, 459 eine Modulfunktion vierter Stufe8 , die sich in den Seiten des Gelenkvierecks so darstellt]: (ω) =

(24)

L . 8abcd 8

8

8

Die Ebene der Modulfunk( ) (− ) (− ) tion (ω) bildet sich auf das in 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 111 11 000 111 000 Fig. 29 dargestellte Polygon der 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 ω-Halbebene ab. Die stark ausge000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 000 111 000 (0) (0) 111 00 11 000 111 zogenen Linien liefern die reelle 00 11 000 111 00 11 000 111 -Achse, wobei die in Klammern 00 11 000 111 00 11 000 111 (−1) (−1) (1) 00 11 000 111 stehenden Werte diejenigen von 00 11 000 111 ω=0 ω = +2 ω = −2 sind. Da nicht gleich ∞ werden kann, so degeneriert das elliptische Gebilde nur wenn = +1 Fig. 29 oder gleich −1 wird. D a r b o u x bedient sich nun folgender Abkürzungen: ⎧ ⎪ ⎪ p0 = a + b + c + d , q1 = −a + b + c + d , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ p12 = −p34 = a + b − c − d , q2 = a − b + c + d , (25) ⎪ ⎪ q3 = a + b − c + d , p13 = −p24 = a − b + c − d , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ p = −p = a − b − c + d , q4 = a + b + c − d . 14 23 Schreibt man abkürzend: L + 8abcd = A ,

L − 8abcd = B ,

so hat man die beiden Fälle der Ausartung: 2 2 Nach ` 4(22) in4 Í, 419 ` 2ist 2k´= ϑ2 /ϑ3 , also lässt sich wie folgt durch Thetanullwerte ausdrücken: = ϑ2 + ϑ3 / 2ϑ2 ϑ3 . [Anm. d. Hrsg.]

8

286


I. II.

ω =0,

=1,

B=0,

[k = 1] ,

ω = ±2 ,

= −1 ,

A=0,

[k = −1] .

Mit Benutzung der Darstellung: 2

L = 4a2 b2 + 4c2 d2 − a2 + b2 − c2 − d2 zeigt man leicht die beiden Gleichungen: ⎧ ⎪ ⎨ A = L + 8abcd = q1 q2 q3 q4 , (26) ⎪ ⎩ B = L − 8abcd = −p0 p12 p13 p14 . Da die Summe dreier Seiten des Gelenkvierecks grösser als die vierte Seite ist, so sind alle vier Grössen q grösser als 0. Also kann A nie verschwinden und mithin (ω) nie gleich −1 sein; der Fall der Ausartung ω = ±2 tritt also nicht ein. Dagegen haben wir mit einer Ausartung zu tun, falls eine der Grössen p12 , p13 , p14 verschwindet, wenn also zwei Seiten des Vierecks zusammen genommen gleich der Summe der beiden anderen sind. Wir haben dann = 1 und ω = 0, wobei nach (8) in I, 472 die elliptischen Funktionen in hyperbolische ausarten: ⎧ ⎪ ⎪ x = Tg(w − v2 ) Tg(w − v3 ) , ⎪ ⎪ ⎨ (27) y = Tg(w − v3 ) Tg(w − v1 ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z = Tg(w − v1 ) Tg(w − v2 ) . Da man: A = L + 8abcd > 0 hat, so gilt stets (ω) > −1. Wir haben demgemäss zwei Scharen von Kreisbogenvierecken mit nicht ausartendem elliptischen Gebilde, je nachdem 1 < oder −1 < < +1 gilt, also ω auf der imaginären Achse oder auf einem der unteren Randkreise in Fig. 29 liegt; als Grenzübergang hat man den eben genannten Fall der Ausartung des elliptischen Gebildes. Um den Integralmodul selbst zu berechnen, folgern wir aus [(23),] (24) und (26): ⎧ (1 + k)2 ⎪ ⎪ ⎨A = q1 q2 q3 q4 = 4abcd , k (28) 2 ⎪ (1 − k) ⎪ ⎩ B = −p0 p12 p13 p14 = 4abcd . k Hieraus ergiebt sich weiter:

287


(29)

√ √ A− B 16abcd √ = √ k= √ √ 2 , A+ B A+ B =

(30)

√ 4 AB 2 k = √ √ 2 , A+ B

A+B . A−B

√ √ Die Quadratwurzel A möge hier positiv genommen werden, desgleichen B, √ falls B > 0 ist. Ist B < 0, so werde B positiv imaginär genommen. Dann liegt ω für B > 0 auf der imaginären ω-Achse, für B < 0 auf dem linken unteren Halbkreise der Fig. 29. Da lim A = 0 ist, gilt lim k = −1; also liegt k auf der unteren Hälfte des Einheitskreises zwischen k = +1 und k = −1. Bei der getroffenen √ √ Auswahl von ω ist k im ersten Falle reell und positiv, im zweiten Falle die k vom absoluten Betrage 1, und zwar liegt die Amplitude zwischen 0 und − π2 , also √ der reelle Bestandteil ist positiv und der imaginäre negativ. Nachdem k auf diese Art eindeutig bestimmt ist, soll die zweite Wurzel in (19) rechts positiv genommen werden; damit ist dann μ ω = ω 2= 2iK eindeutig bestimmt. Zugleich sind die drei Grössen (20) eindeutig bestimmt, und zwar sind sie im ersten Falle reell und positiv, im zweiten Falle haben sie positiven reellen und positiven rein imaginären Bestandteil. Das Periodenparallelogramm wählen wir so, dass ω=0 ω=1 stets: ω1 = 2K = 1 Fig. 30 ist. Dann hat man im ersten Falle ein Periodenrechteck, so dass: ω2 = 2iK

ω = ω 2= 2 iK

rein imaginär und zwar positiv imaginär ist (cf. Fig. 30), im zweiten Fall ist ω2 = 2iK eine Zahl der Gestalt: ω2 = −1 + eiϑ ,

0 < ϑ < π,

1

ω = −1

ω=0

ω=1

Fig. 31 so dass das Periodenparallelogramm die in Fig. 31 skizzierte Gestalt besitzt. Man könnte also durch lineare Transformation einen Rhombus erzielen.

7.2.4 Gleichungen fur ¨ die Parameter u. [Für die Grössen u1 , u2 , u3 werden nun Gleichungen aufgestellt, aus deren Lösung sich Aussagen u¨ ber Existenz und Eindeutigkeit bei gegebenen Werten für a, b, c, d und k wie in (29) ableiten lassen.] Aus den Gleichungen (21) ff. zieht man die Folgerungen:

288


1 , a −b −c +d = 4a d + 4b c − 4abcd k + k

2 1 a 2 d2 ad 2 2 2 2 2 2 k+ + 2 2 . a −b −c +d = 4b c 1 − bc k b c

2

2

2

2 2

2 2

2 2

Die letzte Gleichung kleidet sich mit Hilfe der ersten Gleichung (20) in die Gestalt:

2 a2 − b2 − c2 + d2 = 4b2 c2 (1 − k 2 sn u12 − sn u12 + k 2 sn u14 ) ,

2 2 a − b2 − c2 + d2 = 4b2 c2 (1 − sn u12 )(1 − k 2 sn u12 ) .

Schreiben wir für die beiden Klammern rechter Hand cn u12 und dn u12 [(cf. I, 389)], so gelangen wir durch Wurzelziehung zu: a2 + d2 − b2 − c2 = ±2bc cn u1 dn u1 . Hieran schliessen sich, auf demselben Wege zu gewinnen, die beiden Gleichungen: b2 + d2 − c2 − a2 = ±2ca cn u2 dn u2 , c2 + d2 − a2 − b2 = ±2ab cn u3 dn u3 . Die Vorzeichen sind hier leicht zu bestimmen. Da nämlich u1 + u2 + u3 = 0 ist, so muss [nach II, 166] für jede Anordnung i, j, l der drei Indizes 1, 2, 3 die Gleichung: − sn ui =

sn uj cn ul dn ul + sn ul cn uj dn uj 1 − k 2 sn uj2 sn ul2

zutreffen. Indem man für die verschiedenen Anordnungen für die sn die Werte (20) und für die Produkte cn dn die aus den letzten Gleichungen hervorgehenden Ausdrücke einträgt, müssen sich identische Gleichungen in a, b, c, d ergeben. Dies ist der Fall, aber auch nur der Fall, falls in den drei vorstehenden Gleichungen die oberen Zeichen gelten. Für die Produkte der Funktionen cn und dn der drei Differenzen u der Argumente v berechnen sich demnach in den a, b, c, d eindeutig die reellen Ausdrücke: ⎧ d2 + a2 − b2 − c2 ⎪ ⎪ cn u1 dn u1 = , ⎪ ⎪ 2bc ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ d2 + b2 − c2 − a2 (31) cn u , dn u = 2 2 ⎪ 2ca ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ cn u dn u = d + c − a − b . 3 3 2ab Um zunächst mit einem bestimmten besonderen Falle zu tun zu haben, setzen wir folgende Ungleichungen voraus: (32)

a>b>c>d,

a+d 0 ,

p13 > 0 ,

8

8

8

p14 < 0 . √ √ Es gilt dann weiter A > 0, B > 0, und die Wurzeln A, B werden positiv genommen.√ Zufolge √der Gleichung (29) hat man demnach einen positiven Wert k; es ist also A > B und 0 < k < 1. Der Periodenquotient ist demgemäss rein imaginär und mithin das Periodenparallelogramm ein Rechteck. Das (−1) (0) (0) (0) (1) Periodenparallelogramm für die Funk- 2iK 4K + 2iK tion sn hat die in Fig. 32 angegebene (1/k) (−1/ k) ( ) Gestalt. Die stark ausgezogenen Linien ( ) ( ) iK bilden die reelle sn-Achse ab, wobei die in Klammern zugesetzten Werte (1) (0) (0) (−1) (0) diejenigen von sn sind. Die Periode 2K 4K K 3K 0 2K wird reell und positiv gewählt; 2iK ist dann rein imaginär und durch den Wert Fig. 32 k eindeutig festgelegt. Zur Bestimmung von u1 , u2 , u3 dient folgende Betrachtung: Aus der ersten Gleichung (20) folgt [mit (8) in II, 166]: 1 ad cn u12 + dn u12 = 2 − (1 + k 2 ) sn u12 = 2 − k + , k bc (33)

also wegen (23) und (24)

b2 c2 (cn u12 + dn u12 ) = 2(b2 c2 − abcd) = 2 b2 c2 − 18 L . Multipliziert man noch mit 4 und trägt den Ausdruck von L in a, b, c, d ein, so folgt: 4b2 c2 (cn u12+dn u12 ) = a4+b4+c4+d4−2a2 b2+6b2 c2−2c2 a2−2a2 d2−2b2 d2−2c2 d2. Andrerseits entnehmen wir aus der ersten Gleichung (31): 8b2 c2 cn u1 dn u1 = 4bc(d2 + a2 − b2 − c2 ) . Indem man die letzte Gleichung zur vorletzten zunächst addiert, sodann subtrahiert, gelangt man zu zwei Gleichungen, deren rechte Seiten sich beide Male in Produkte linearer Ausdrücke in a, b, c, d zerlegen lassen:

2bc(dn u1 + cn u1 )

2

= p12 p13 q2 q3 ,

2bc(dn u1 − cn u1 )

2

= −p0 p14 q1 q4 .

Aus diesen Gleichungen ergeben sich durch zyklische Permutation von a, b, c die beiden weiteren Gleichungspaare:

290


2 2ca(dn u2 + cn u2 ) = −p12 p14 q3 q1 ,

2 2ab(dn u3 + cn u3 ) = −p13 p14 q1 q2 ,

2 2ca(dn u2 − cn u2 ) = p0 p13 q4 q2 ,

2 2ab(dn u3 − cn u3 ) = p0 p12 q3 q4 .

Die rechten Seiten dieser sechs Gleichungen sind positiv. Ziehen wir u¨ berall die Quadratwurzeln und nehmen diese stets mit positiven Vorzeichen, so fallen die drei Werte dn u1 , dn u2 , dn u3 positiv und die Werte cn u1 , cn u2 , cn u3 reell aus. Wir setzen also mit positiv genommenen Quadratwurzeln: (34)⎧ √ ⎪ ⎪ 2bc(dn u1 +cn u1 ) = √ p12 p13 q2 q3 , 2bc(dn u1 −cn u1 ) = −p0 p14 q1 q4 , ⎪ ⎪ ⎨ √ √ p0 p13 q2 q4 , 2ca(dn u2 +cn u2 ) = −p14 p12 q3 q1 , 2ca(dn u2 −cn u2 ) = ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎪ √ ⎩ p0 p12 q3 q4 . 2ab(dn u3 +cn u3 ) = −p13 p14 q1 q2 , 2ab(dn u3 −cn u3 ) = Man kann sich zur Bestimmung von cn u1 , dn u1 , cn u2 , . . . auch folgender Rechnung bedienen: Drückt man dn u12 und cn u12 durch sn u1 aus, so folgt mit Benutzung von (20): ad ad 1 1 dn u12 +k 2 cn u12 = k k + − 2k sn u12 = k k + − 2 = 2k − . k k bc bc Trägt man den Ausdruck (24) für ein, so folgt:

4abcd dn u12 + k 2 cn u12 = L − 8a2 d2 k = 2a2 b2 + 2a2 c2 − 6a2 d2 + 2b2 c2 + 2b2 d2 + 2c2 d2 − a4 − b4 − c4 − d4 . Andrerseits gilt nach (31) 8

abcd dn u1 · k cn u1 = 4ad(a2 + d2 − b2 − c2 ) . k

Bei Addition und ebenso bei Subtraktion dieser Gleichung zur voraufgehenden erhält man rechts wieder zwei Ausdrücke, die sich als Produkte von vier in a, b, c, d linearen Ausdrücken erweisen. Beim Ausziehen der Quadratwurzeln gewinnt man die beiden Gleichungen ⎧ ⎪ abcd √ ⎪ ⎨2 (dn u1 + k cn u1 ) = p12 p13 q1 q4 , k (35) ⎪ √ abcd ⎪ ⎩2 (dn u1 − k cn u1 ) = −p0 p14 q2 q3 , k wo alle Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind, da k im Intervall 0 < k < 1 liegt und dn u1 reell und positiv ist. Durch zyklische Permutation von a, b, c findet man weiter die Relationen:

291


(36)

⎧ abcd ⎪ ⎪ ⎪ 2 (dn u2 + k cn u2 ) = ⎪ ⎪ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ abcd ⎪ ⎨2 (dn u2 − k cn u2 ) = k ⎪ abcd ⎪ ⎪ (dn u3 + k cn u3 ) = 2 ⎪ ⎪ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 abcd (dn u3 − k cn u3 ) = k

√ −p12 p14 q2 q4 , √

p0 p13 q1 q3 ,

√ −p13 p14 q3 q4 , √

p0 p12 q1 q2 ,

wo wieder alle Quadratwurzeln positiv zu nehmen sind. Auch aus diesen sechs Formeln kann man die Werte von dn u1 , cn u1 , . . . , cn u3 in den Seiten des Gelenkvierecks ausdrücken. Da dn u1 , dn u2 , dn u3 positiv und cn u1 , cn u2 , cn u3 reell sind, so dürfen wir u1 , u2 , u3 als reell annehmen. Nun wurde a > b > c > d vorausgesetzt. Also sind cn u2 und cn u3 jedenfalls negativ, während (d2 + a2 − b2 − c2 ) positiv, null oder negativ sein kann. Man kann demnach zunächst, da die Werte sn u2 und sn u3 [nach (20)] positiv sind, u2 und u3 im Intervall: K < u2 , u3 < 2K

(37)

annehmen9 , womit diese Werte dann eindeutig bestimmt sind. Für u1 folgt dann einfach: u1 = −u2 − u3 ,

(38)

−4K < u1 < −2K .

7.2.5 Der Grenzfall d = 0. Beiläufig betrachten wir den Grenzfall lim d = 0, wo unser Gelenkviereck in ein Dreieck der Seiten a, b, c u¨ bergeht. Wir haben dann den Grenzfall k = 0, und also wird nach I, 472 sn u = sin u. Aus (23) und (24) folgt zunächst: kd +

d L = , k 4abc

woraus sich für lim d = 0 ergiebt: lim

d 2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 b2 − a4 − b4 − c4 = k 4abc

und damit weiter, falls unter s wie u¨ blich der halbe Umfang des Dreiecks verstanden wird [(Satz von Heron)]: lim 9

d 4s(s − a)(s − b)(s − c) 4Δ2 = = , k abc abc

Vergl. die Fig. 75 und 76 in I, 393.

292


wenn Δ der Inhalt des Dreiecks ist. Man hat somit: d 2Δ =√ lim . k abc Aus (20) folgt aber im Grenzfall mit Benutzung der vorstehenden Gleichung: sin u1 = a

2Δ = sin α , abc

sin u2 = b

2Δ = sin β , abc

sin u3 = c

2Δ = sin γ , abc

unter α, β, γ die Winkel des Dreiecks verstanden. Da im Grenzfalle K = π2 wird, also u2 und u3 stumpfe Winkel sind, während β und γ spitze Winkel sind, so folgt: u2 = π − β ,

u3 = π − γ ,

u1 = −π − α .

7.2.6 Gleichungen fur ¨ die Parameterhalbierung u/2. [Als Verallgemeinerung der Argumenthalbierung bei trigonometrischen Funktionen kann man die folgenden Formeln für die Argumenthalbierung bei elliptischen Funktionen ansehen.] Aus den beiden Gleichungen in der vorletzten Zeile in II, 235 folgt: 2

cn u =

4

1 − 2 sn u2 + k 2 sn u2 , 4 1 − k 2 sn u 2

2

dn u =

4

1 − 2k 2 sn u2 + k 2 sn u2 . 4 1 − k 2 sn u 2

Durch Kombination dieser Gleichungen folgert man: (39)

2 2(1 + k) sn u2 dn u − cn u =

2 . 2 dn u − k cn u 1 + k sn u2

Andrerseits folgt durch Division aus der zweiten Gleichung (34) und der zweiten Gleichung (35): q1 q4 √ bc dn u1 − cn u1 · = k , q2 q3 ad dn u1 − k cn u1 √ q1 q2 q3 q4 dn u1 − cn u1 q1 q4 √ = k √ . · bc dn u1 − k cn u1 abcd Wendet man zur Umgestaltung der rechten Seite die erste Gleichung (28) und die Gleichung (39) an, so folgt:

293

7.2 Das Gelenkviereck und elliptische Funktionen 2 2(1 + k) sn u21 q1 q4 = 2(1 + k) ·

, 2 2 bc 1 + k sn u21

sowie nach Ausziehung der positiv zu nehmenden Quadratwurzel: 2(1 + k) sn u21 q1 q4 = 2 . bc 1 + k sn u21 Wir stellen diese Formel sogleich mit drei weiteren leicht aus ihr folgenden zusammen: ⎧ ⎪ 2(1 + k) sn u21 2 cn u21 dn u21 q1 q4 p12 p13 ⎪ ⎪ = = , ⎪ 2 2 , ⎪ bc bc ⎨ 1 + k sn u21 1 + k sn u21 (40) ⎪ ⎪ 2 cn u21 dn u21 2(1 − k) sn u21 q2 q3 −p0 p14 ⎪ ⎪ = = , ⎪ 2 2 . ⎩ bc bc 1 − k sn u21 1 − k sn u21 Zunächst folgt aus (20) sowie der ersten Gleichung (1) in II, 235: 2(1 + k) sn u21 cn u21 dn u21 1 + k ad √ = (1 + k) sn u1 = 2 · 2 . bc k 1 + k sn u1 1 − k sn u1 2

2

Benutzt man die erste Gleichung (28) und die erste Gleichung (40), so ergiebt sich: u u q1 q2 q3 q4 ad q1 q4 2 cn 21 dn 21 = · 2 , abcd bc bc 1 − k sn u1 2

woraus die dritte Gleichung (40) sofort folgt. Andrerseits folgt durch Subtraktion der dritten und zweiten Gleichung (1) in II, 235: 2(1 − k 2 ) sn u21 dn u1 − cn u1 = 4 1 − k 2 sn u1 2

2

=

u q1 q4 (1 − k) sn 21 · 2 . bc 1 − k sn u21

Mit Benutzung der zweiten Gleichung (34) folgt: √ u −p0 p14 q1 q4 q1 q4 (1 − k) sn 21 = · 2 , 2bc bc 1 − k sn u21 woraus die letzte Gleichung (40) sofort folgt. Ebenso folgt mit Hilfe der zweiten Gleichung (28) und der ersten Gleichung (1) in II, 235 aus der vierten Gleichung (40) sofort die zweite. In entsprechender Weise führt man den Nachweis der folgenden acht Gleichungen:

294

(41)


⎧ ⎪ q2 q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q1 q3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ⎨ ⎪ ⎪ q3 q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ab ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q1 q2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ab

=

2(1 + k) sn u22 2 , 1 + k sn u2 2

2 cn u22 dn u22 = 2 , 1 − k sn u2 2

2(1 + k) sn u23 = 2 , 1 + k sn u3 2

2 cn u23 dn u23 = 2 , 1 − k sn u3 2

2 cn u22 dn u22 −p12 p14 = 2 , ca 1 + k sn u22 2(1 − k) sn u22 p0 p13 = 2 , ca 1 − k sn u22 2 cn u23 dn u23 −p13 p14 = 2 , ab 1 + k sn u23 2(1 − k) sn u23 p0 p12 = 2 . ab 1 − k sn u23

7.2.7 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. Wir kehren zu den Gleichungen (12) zurück und haben zu entscheiden, welche Werte w anzunehmen hat, damit wir die gesamten reellen Bewegungen des Gelenkvierecks gewinnen. Von den drei Grössen v sind nur erst die Differenzen (15) als reelle Grössen eindeutig bestimmt. Jedenfalls nehmen wir auch die v selbst als reell an. Statt w führen wir eine neue Veränderliche w durch die Gleichung: w = w −

K + iK 2

ein, lassen aber gleich wieder den oberen Index bei w fort; man erhält dann: ⎧

⎪ K+iK K+iK iα ⎪ e sn w − v , = k sn w − v − − ⎪ 2 3 2 2 ⎪ ⎪ ⎨

(42) eiβ = k sn w − v3 − K+iK sn w − v1 − K+iK , 2 2 ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ iγ ⎩ e = k sn w − v1 − K+iK sn w − v2 − K+iK . 2 2 Da k und die v reell sind, so wird, w gleichfalls als reell vorausgesetzt, die Vermehrung von w um iK auf Ersetzung von i durch −i auf den rechten Seiten der Gleichung (42) hinauslaufen, und andrerseits wird nach der Tabelle in I, 395 diese Vermehrung die rechten Seiten von (42) in ihre reziproken Werte umwandeln. Dieses Verhalten hört aber auf, wenn w aufhört reell zu sein. Nun werden aber auch die linken Seiten von (42) bei Ersatz von i durch −i in ihre reziproken Werte umgesetzt. Es folgt hieraus der grundlegende Satz: Man hat w als reelle Variable etwa das Intervall von 0 bis 2K durchlaufen zu lassen, um bei Gebrauch der Gleichungen (42) alle Lagen des Gelenkvierecks zu durchlaufen. Aus (42) ergiebt sich weiter:

295


(43)

ei(β+γ−α) = k sn w − v1 −

K+iK 2

2

,

sowie weiter mit Benutzung der Tabelle in I, 395: (44)

sn w−v2 − K+iK i(γ−β) 2 = k sn w−v2 − K+iK

e sn w−v3 − K−iK . = 2 2 K+iK sn w−v3 − 2 Aus den Additionstheoremen (9) in II, 166 folgert man leicht: (45)

sn w1 sn w2 =

Zur Abkürzung setzen wir:

cn(w1 − w2 ) − cn(w1 + w2 ) . dn(w1 − w2 ) + dn(w1 + w2 )

⎧ ⎪ ⎪ 2w − v2 − v3 = t1 , ⎪ ⎪ ⎨ 2w − v3 − v1 = t2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2w − v − v = t 1 2 3

(46)

und haben dann: (47) t2 − t3 = v2 − v3 = u1 ,

t3 − t1 = v3 − v1 = u2 ,

t1 − t2 = v1 − v2 = u3 .

Unter Benutzung dieser Bezeichnungen folgt aus der ersten Gleichung (42), falls wir die rechte Seite auf Grund von (45) umwandeln: cos α + i sin α = k

cn u1 − cn(t1 − K − iK ) dn u1 + dn(t1 − K − iK )

oder, wenn wir auf die zweiten Glieder in Zähler und Nenner die Regeln von I, 395 anwenden: k cn u1 cn t1 + ik . cos α + i sin α = dn u1 cn t1 − ik sn t1 Hieraus ergeben sich vermöge der Trennung der reellen von den imaginären Bestandteilen die beiden Gleichungen: cos α =

k cn u1 dn u1 cn t12 − k 2 sn t1 , dn u12 cn t12 + k 2 sn t12

sin α =

k dn u1 cn t1 + kk cn u1 sn t1 cn t1 . dn u12 cn t12 + k 2 sn t12

Ersetzt man in der ersten Gleichung k 2 durch (1 − k 2 ) und berücksichtigt die zwischen den Quadraten der Funktionen sn, cn und dn bestehenden Beziehungen, so folgt:

296

cos α = cos α =


k cn u1 dn u1 − k cn u1 dn u1 sn t12 − dn u12 sn t1 + k 2 cn u12 sn t1 dn u12 − k 2 cn u12 sn t12

,

(k cn u1 − dn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 ) . (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

Unter Forthebung der gemeinsamen Faktoren im Zähler und Nenner folgt die erste der beiden folgenden Gleichungen: (48)

cos α =

k cn u1 − dn u1 sn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

sin α =

k cn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

deren zweite sich noch weit schneller aus der obigen Gleichung für sin α ergiebt. Genauso folgen aus der zweiten und dritten Gleichung (42) die beiden Gleichungenpaare: ⎧ k cn u2 − dn u2 sn t2 k cn t2 ⎪ ⎪ cos β = , sin β = , ⎪ ⎨ dn u2 − k cn u2 sn t2 dn u2 − k cn u2 sn t2 (49) ⎪ ⎪ k cn t3 ⎪ ⎩ cos γ = k cn u3 − dn u3 sn t3 , sin γ = . dn u3 − k cn u3 sn t3 dn u3 − k cn u3 sn t3 Aus (44) ergiebt sich mit Verwendung von (45) bei Benutzung der Abkürzungen (46) und (47): cn(u1 + iK ) − cn(−t1 + K) e−i(β−γ) = k dn(u1 + iK ) + dn(−t1 + K) sowie hieraus nach den Regeln von I, 395: e−i(β−γ) = −

kk sn u1 sn t1 + i dn u1 dn t1 . k sn u1 − i cn u1 dn t1

Unter Trennung der reellen und imaginären Bestandteile findet sich: cos(β − γ) = − sin(β − γ) =

kk 2 sn u12 sn t1 − cn u1 dn u1 dn t12 k 2 sn u12 + cn u12 dn t12

,

k sn u1 dn t1 (k cn u1 sn t1 + dn u1 ) . k 2 sn u12 + cn u12 dn t12

Mit den zwischen den Quadraten der Funktionen sn, cn, dn bestehenden Beziehungen und der Gleichung k 2 = 1 − k 2 lässt sich derNenner wieder in den vorhin schon auftretenden Nenner dn u12 − k 2 cn u12 sn t12 umwandeln. Die letzte Gleichung liefert dann: (50)

sin(β − γ) =

k sn u1 dn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

297


die vorletzte Gleichung aber können wir so umschreiben: cos(β − γ) =

cn u1 dn u1 dn t12 − k sn u12 sn t1 + k 3 sn u12 sn t1 , (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

cos(β − γ) =

(cn u1 − k dn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 ) . (dn u1 − k cn u1 sn t1 )(dn u1 + k cn u1 sn t1 )

Für cos(β − γ) ergiebt sich demnach: cos(β − γ) =

(51)

cn u1 − k dn u1 sn t1 . dn u1 − k cn u1 sn t1

In derselben Art werden die beiden analogen Gleichungenpaare bewiesen: (52) ⎧ cn u2 − k dn u2 sn t2 k sn u2 dn t2 ⎪ ⎪ cos(γ − α) = , sin(γ − α) = , ⎪ ⎨ dn u2 − k cn u2 sn t2 dn u2 − k cn u2 sn t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) = cn u3 − k dn u3 sn t3 , dn u3 − k cn u3 sn t3 Aus (42) folgt:

sin(α − β) =

e(β+γ−α)i = k sn w − v1 −

K+iK 2

k sn u3 dn t3 . dn u3 − k cn u3 sn t3

2

sowie mit Hilfe von (45) und den Periodeneigenschaften von cn und dn:

1 − cn 2w − 2v1 − (K + iK ) (β+γ−α)i

e =k 1 + dn 2w − 2v1 − (K + iK ) =k

1 − cn(2w − 2v1 + K + iK ) . 1 − dn(2w − 2v1 + K + iK )

Nun gilt zufolge (46) und (47) die Gleichung 2w − 2v1 = t3 − u3 . Benutzt man andrerseits die Regeln von I, 395, so folgt leicht: e(β+γ−α)i =

k cn(t3 − u3 ) + ik . cn(t3 − u3 ) − ik sn(t3 − u3 )

Trennt man wieder die reellen und imaginären Bestandteile, so ergiebt sich: cos(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 )2 − (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 ) , cn(t3 − u3 )2 + (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 )2

sin(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 )(1 + k sn(t3 − u3 )) . cn(t3 − u3 )2 + (1 − k 2 ) sn(t3 − u3 )2

Indem man cn2 durch sn2 ausdrückt, gelingt es wieder beide Male einen Linearfaktor fortzuheben. Man gelangt zum Ergebnis:

298


(53) cos(β + γ − α) =

k − sn(t3 − u3 ) , 1 − k sn(t3 − u3 )

sin(β + γ − α) =

k cn(t3 − u3 ) . 1 − k sn(t3 − u3 )

In analoger Art folgen die beiden entsprechenden Gleichungenpaare: (54) ⎧ k − sn(t1 − u1 ) k cn(t1 − u1 ) ⎪ ⎪ cos(γ +α−β) = , sin(γ +α−β) = , ⎨ 1 − k sn(t1 − u1 ) 1 − k sn(t1 − u1 ) ⎪ k cn(t2 − u2 ) k − sn(t2 − u2 ) ⎪ ⎩ cos(α+β −γ) = , sin(α+β −γ) = . 1 − k sn(t2 − u2 ) 1 − k sn(t2 − u2 ) Für die rechts auftretenden Argumente kann man auch schreiben: t3 − u3 = t1 + u2 − u3 ,

t1 − u1 = t2 + u3 − u1 ,

t2 − u2 = t3 + u1 − u2 .

7.2.8 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. Nun haben wir zunächst für δ12 aus dem Kosinussatz (vergl. Fig. 28) die Gleichung: 2 d d cos α . δ12 = a2 + d2 + 2ad cos α = a2 1 + +2 a a Nach (20) und (48) aber gilt: d = k sn u2 sn u3 , a

cos α =

k cn u1 − dn u1 sn t1 , dn u1 − k cn u1 sn t1

so folgt, wenn man noch die Gleichung u1 = −(u2 + u3 ) benutzt: δ12 = a2 · − a2 ·

[(1 + k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 + u3 ) + 2k 2 sn u2 sn u3 cn(u2 + u3 )] dn u1 − k cn u1 sn t1 k [(1 + k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 + u3 ) + 2 sn u2 sn u3 dn(u2 + u3 )] sn t1 . dn u1 − k cn u1 sn t1

Nun zeigt man das identische Bestehen der beiden Gleichungen: (1 + k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 + u3 ) + 2k 2 sn u2 sn u3 cn(u2 + u3 ) = (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) dn(u2 − u3 ) , (1 + k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 + u3 ) + 2 sn u2 sn u3 dn(u2 + u3 ) = (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) cn(u2 − u3 ) , indem man die Ausdrücke cn(u2 ± u3 ), dn(u2 ± u3 ) nach dem Additionstheorem entwickelt. Man gewinnt also für δ12 den Ausdruck in der ersten der drei Formeln:

299

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks

(55)

⎧ dn(u2 − u3 ) − k cn(u2 − u3 ) sn t1 ⎪ ⎪ δ12 = a2 (1 − k 2 sn u22 sn u32 ) , ⎪ ⎪ dn u1 − k cn u1 sn t1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dn(u3 − u1 ) − k cn(u3 − u1 ) sn t2 , δ22 = b2 (1 − k 2 sn u32 sn u12 ) ⎪ dn u2 − k cn u2 sn t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ δ32 = c2 (1 − k 2 sn u 2 sn u 2 ) dn(u1 − u2 ) − k cn(u1 − u2 ) sn t3 . 1 2 dn u3 − k cn u3 sn t3

7.3 Alternative Behandlung des Gelenkvierecks. Die Behandlung des Gelenkvierecks durch elliptische Funktionen kann man auch in folgender Art begründen: Man führe drei Winkel ϕ, ψ, χ ein, die sich in α, β und γ folgendermassen ausdrücken: ⎧ ⎪ ⎪ ϕ = 12 (π + α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎨ (56) ψ = 12 (π − α + β − γ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ χ = 1 (π − α − β + γ) . 2 Es folgen aus (56) zunächst die Darstellungen: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪α = π − ψ − χ , ⎪ ⎨ (57) β = π−χ−ϕ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩γ = π − ϕ − ψ der Winkel α, β, γ und sodann die drei Relationen: (58)

α−β =ϕ−ψ ,

β−γ =ψ−χ,

γ−α =χ−ϕ.

Die Gleichungen (1), S. 278 können dann ersetzt werden durch die beiden folgenden: ⎧ ⎪ ⎨ a cos(ψ + χ) + b cos(χ + ϕ) + c cos(ϕ + ψ) = d , (59) ⎪ ⎩ a sin(ψ + χ) + b sin(χ + ϕ) + c sin(ϕ + ψ) = 0 . Indem man der Reihe nach ϕ, ψ und χ aus diesen beiden Gleichungen eliminiert, gelangt man zu den drei Relationen:

300


⎧ ⎪ ⎪ a2 + d2 − b2 − c2 = 2(ad + bc) cos ψ cos χ + 2(bc − ad) sin ψ sin χ , ⎪ ⎪ ⎨ (60) b2 + d2 − c2 − a2 = 2(bd + ca) cos χ cos ϕ + 2(ca − bd) sin χ sin ϕ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ c2 + d2 − a2 − b2 = 2(cd + ab) cos ϕ cos ψ + 2(ab − cd) sin ϕ sin ψ . Aus (56) folgt:

(61)

⎧ ⎪ ⎪ ϕ = α + 12 (π − α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎨ ψ = β + 12 (π − α − β − γ) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ χ = γ + 1 (π − α − β − γ) . 2

7.3.1 Ansatz fur ¨ die Parameter μ. Wir ziehen nun die in I, 475 gegebene lineare Transformation: (62)

(−ST S)

ω1 = ω1 ,

ω2 = ω1 + ω2

heran, deren Wirkung auf die drei Jacobischen Funktionen sn, cn, dn sowie auf den Legendre-Jacobischen Integralmodul daselbst angegeben ist. Mit Benutzung dieser Formeln bilden wir den Ansatz: √

2 abcd 1 2 , sn 2kμ1 , k2 = k sn 2μ1 , k = bc + ad

bc − ad , cn 2kμ1 , k12 = dn 2μ1 , k2 = bc + ad

a2 + d2 − b2 − c2 dn 2kμ1 , k12 = cn 2μ1 , k2 = . 2(bc + ad) Dann bestehen, wie es sein muss, die Relationen:

2 2 sn 2kμ1 , k12 +cn 2kμ1 , k12 = 1 ,

2 1 2 dn 2kμ1 , k12 + 2 sn 2kμ1 , k12 = 1 , k

wenn man nur den Modul k 2 aus der Gleichung: (63)

1 16abcd = L + 8abcd = A , k2

k2 =

16abcd 16abcd = A q1 q2 q3 q4

bestimmt, woraus sich für den komplementären Modul ergiebt: (64)

k2 =

B . A

301


[Der Ansatz lässt sich auch für p14 > 0, also B < 0 durchführen. Dazu muss man vom Integralmodul k zu κ = k1 u¨ bergehen. Dann sind κ2 =

A 16abcd

und

κ2 =

−B 16abcd

¨ beide reell und positiv. Die entsprechenden Uberg¨ ange bei den elliptischen Funktionen sind im Anschluss an (62) gegeben. Sind k1 und k1 die durch (29) gegebenen Integralmoduln des ersten Ansatzes, so unterscheiden sie sich von den Integralmoduln (63) und (64). Sie gehen aber durch eine Landensche Transformation ineinander u¨ ber, es ist nämlich √ 1 − k 2 k k1 = und k1 = . 1 + k 1 + k Stellt man die Integralmoduln wie in II, 291 in Abhängigkeit von ω dar, so gilt k(ω) = k1 ( ω2 ) und k (ω) = k1 ( ω2 ).] Die Moduln k 2 und k 2 sind positiv (vergl. die √ Formeln (28) – (33)) und also < 1. In der Gleichung für k sn(2μ1 , k2 ) sollen k und abcd positiv genommen werden. Wir stellen nun folgende drei Systeme zu je drei Gleichungen neben einander: (65) ⎧ √ ⎪ 2 abcd a2+d2−b2−c2 bc−ad ⎪ 2 ⎪ k sn(2μ , cn(2μ1 , k2 ) = , dn(2μ1 , k 2 ) = , , k ) = 1 ⎪ ⎪ bc+ad 2(bc + ad) bc+ad ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎨ 2 abcd b2+d2−c2−a2 ac−bd 2 , cn(2μ2 , k2 ) = , dn(2μ2 , k 2 ) = , k sn(2μ2 , k ) = ⎪ ac+bd 2(ac + bd) ac+bd ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎪ 2 abcd c2+d2−a2−b2 ab−cd ⎪ ⎪ , cn(2μ3 , k2 ) = , dn(2μ3 , k 2 ) = , ⎩k sn(2μ3 , k 2 ) = ab+cd 2(ab + cd) ab+cd die durch zyklische Permutation von a, b, c und μ1 , μ2 , μ3 aus einander hervorgehen und natürlich k 2 unverändert lassen. Auf Grund der Formeln (2) und (3) in II, 236 kann man aus (65) die Werte von sn μ1 , cn μ1 , . . . , dn μ3 berechnen. Man gelangt unter Vorbehalt der näheren Bestimmung der Vorzeichen der Quadratwurzeln zu: q1 q4 p12 p13 p12 p13 1 1 sn μ1 = ± 2 , cn μ1 = ± 2 , dn μ1 = ± , bc bc q2 q3 q2 q4 −p14 p12 −p14 p12 , cn μ2 = ± 12 , dn μ2 = ± sn μ2 = ± 12 , ca ca q3 q1 q3 q4 −p14 p13 −p14 p13 , cn μ3 = ± 12 , dn μ3 = ± sn μ3 = ± 12 . ab ab q1 q2 Da k 2 reell ist und im Intervall 0 < k2 < 1 liegt, haben wir wieder ein rechteckiges Periodenparallelogramm. Die Vorzeichen in den Formeln für die drei Werte dn μ mögen positiv genommen werden, damit wir zugehörige reelle Werte μ1 , μ2 , μ3 erhalten. Da die Quadratwurzel unter (65) positiv genommen werden sollte, so

302


sind nach (1) in II, 235 die drei Produkte sn μ · cn μ positiv. Wir setzen nun genauer an: (66)⎧ q1 q4 p12 p13 p12 p13 ⎪ 1 1 ⎪ sn μ , cn μ , dn μ = = = , ⎪ 1 1 1 ⎪ 2 2 ⎪ bc bc q2 q3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ q2 q4 −p14 p12 −p14 p12 , cn μ2 = − 12 , dn μ2 = sn μ2 = − 12 , ⎪ ca ca q3 q1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q3 q4 −p14 p13 −p14 p13 ⎪ ⎪ , cn μ3 = 12 , dn μ3 = . ⎩ sn μ3 = 12 ab ab q1 q2 Nach I, 393 dürfen wir dann die μ1 , μ2 , μ3 in folgenden Intervallen gelegen annehmen: (67)

0 < μ1 < K ,

0 < μ3 < K ,

−2K < μ2 < −K .

Man berechne sich nun aus den Formeln (66) auf Grund von (7) in II, 166 die Proportion: sn(μ1 + μ2 ) : cn(μ1 + μ2 ) : dn(μ1 + μ2 ) : 1 = q3 q4 aq1 − bq2 −p14 p13 −p14 p13 · · (a − b) : : · (q2 − q1 ) : (p13 + p14 ). ab p12 ab q1 q2 Aus den Formeln (25) ergiebt sich aber: aq1 − bq2 1 =− , p12 (p13 + p14 ) 2

a−b 1 = , p13 + p14 2

q2 − q1 =1, p13 + p14

so dass wir mit Benutzung des dritten Gleichungstripels (66) das Ergebnis finden: sn(μ1 + μ2 ) = − sn μ3 ,

cn(μ1 + μ2 ) = cn μ3 ,

dn(μ1 + μ2 ) = dn μ3 .

Hieraus ergiebt sich auf Grund von (67) die Gleichung: (68)

μ1 + μ2 + μ3 = 0 .

Mittels der Additionstheoreme beweist man auch noch leicht die drei folgenden Formelsysteme: (69) ⎧ cn(μ1 − μ2 ) dn(μ1 − μ2 ) a−b a+b c+d sn(μ1 − μ2 ) ⎪ ⎪ , , , = =− = ⎪ ⎪ sn μ c − d cn μ c − d dn μ c−d ⎪ 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎨ sn(μ − μ ) cn(μ2 − μ3 ) dn(μ2 − μ3 ) b−c b+c a+d 2 3 , , , = =− = ⎪ sn μ a − d cn μ a − d dn μ a−d 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cn(μ3 − μ1 ) dn(μ3 − μ1 ) c−a c+a b+d sn(μ3 − μ1 ) ⎪ ⎩ , , . = =− = sn μ2 b−d cn μ2 b−d dn μ2 b−d

303


7.3.2 Beschreibung der Winkel im Gelenkviereck durch elliptische Funktionen. Wir gehen nun auf die Gleichungen (60) und (65) zurück und entnehmen aus ihnen: ⎧ ⎪ ⎪ cn 2μ1 = cos ψ cos χ + dn 2μ1 sin ψ sin χ , ⎪ ⎪ ⎨ (70) cn 2μ2 = cos χ cos ϕ + dn 2μ2 sin χ sin ϕ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cn 2μ3 = cos ϕ cos ψ + dn 2μ3 sin ϕ sin ψ . Man kann nun drei dem Intervall: 0 ≤ u, v, w < 4K

(71)

angehörende reelle Argumente u, v, w eindeutig so bestimmen, dass: am u = ϕ ,

(72)

am v = ψ ,

am w = χ

gilt. Die Gleichungen (70) sind dann identisch erfüllt, wenn man: (73)

2μ1 = −v + w ,

2μ2 = −w + u ,

2μ3 = −u + v

setzt, wie man mit Hilfe der Additionstheoreme leicht zeigt. Aus α < β < γ und also ϕ < ψ < χ hat man die Ungleichungen (67) für die μ zu bestätigen. Für die Winkel α, β, γ des Vierecks findet man bis auf Vielfache von 2π [s. (57)]: ⎧ ⎪ ⎪ α = π − am v − am w , ⎪ ⎪ ⎨ (74) β = π − am w − am u , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ γ = π − am u − am v . Man setze nun: (75)

v + w = 2θ1 ,

w + u = 2θ2 ,

u + v = 2θ3

und findet: θ3 − θ1 = μ2 ,

θ1 − θ2 = μ3 .

Aus (73) und (75) entnimmt man: ⎧ ⎪ ⎨ θ1 − μ1 = v , θ2 − μ2 = w , (77) ⎪ ⎩ θ1 + μ1 = w , θ2 + μ2 = u ,

θ3 − μ3 = u ,

(76)

θ2 − θ3 = μ1 ,

θ3 + μ3 = v .

304


Nun folgt aus der ersten Gleichung (74): cos α = − cos(am v + am w) = sn v sn w − cn v cn w , sin α = + sin(am v + am w) = sn v cn w + cn v sn w . Setzt man die in (77) gegebenen Werte von v und w ein, so ergeben sich zunächst die Gleichungen: cos α = sn(θ1 + μ1 ) sn(θ1 − μ1 ) − cn(θ1 + μ1 ) cn(θ1 − μ1 ) , sin α = sn(θ1 + μ1 ) cn(θ1 − μ1 ) + cn(θ1 + μ1 ) sn(θ1 − μ1 ) . Auf die erste Gleichung können wir sofort die Regeln von II, 180 anwenden, während wir auf die zweite Gleichung die Additionstheoreme in ihrer Gestalt (9) in II, 166 ausüben. Wir gewinnen die beiden ersten Formeln des folgenden Gleichungssystems: ⎧ sn θ12 dn μ12 − cn θ12 2 sn θ1 cn θ1 dn μ1 ⎪ ⎪ cos α = sin α = , ⎪ 2 2 , ⎪ 2 ⎪ 1 − k sn θ1 sn μ1 1 − k 2 sn θ12 sn μ12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ sn θ22 dn μ22 − cn θ22 2 sn θ2 cn θ2 dn μ2 (78) cos β = , sin β = , 2 sn θ 2 sn μ 2 ⎪ 1 − k 1 − k 2 sn θ22 sn μ22 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ sn θ32 dn μ32 − cn θ32 2 sn θ3 cn θ3 dn μ3 ⎪ ⎪ sin γ = , ⎩ cos γ = 2 2 , 2 1 − k sn θ3 sn μ3 1 − k 2 sn θ32 sn μ32 während die weiteren Formeln entsprechend bewiesen werden. Da man weiter: β − γ = am v − am w hat, so folgt: cos(β − γ) = cn v cn w + sn v sn w ,

sin(β − γ) = sn v cn w − cn v sn w

und damit weiter: cos(β − γ) = cn(θ1 − μ1 ) cn(θ1 + μ1 ) + sn(θ1 − μ1 ) sn(θ1 + μ1 ) , sin(β − γ) = sn(θ1 − μ1 ) cn(θ1 + μ1 ) − cn(θ1 − μ1 ) sn(θ1 + μ1 ) . Genau wie soeben gelangen wir jetzt zu den Regeln:

305


(79) ⎧ ⎪ ⎪ cos(β − γ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ cos(γ − α) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) =

cn μ12 − sn μ12 dn θ12 , 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

sin(β − γ) = −

2 sn μ1 cn μ1 dn θ1 , 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

,

sin(γ − α) = −

2 sn μ2 cn μ2 dn θ2

,

,

sin(α − β) = −

2 sn μ3 cn μ3 dn θ3

.

cn μ22 − sn μ22 dn θ22

1− sn μ22 cn μ32 − sn μ32 dn θ32 1 − k 2 sn θ32 sn μ32 k2

sn θ22

1 − k 2 sn θ22 sn μ22 1 − k 2 sn θ32 sn μ32

Aus (78) entnimmt man noch für die halben Winkel α, β, γ:10 (80) sn θ1 dn μ1 sn θ2 dn μ2 sn θ3 dn μ3 α β γ cotg = , cotg = , cotg = , 2 cn θ1 2 cn θ2 2 cn θ3 und in a¨ hnlicher Art folgt aus den Gleichungen (79): (81) sn μ1 dn θ1 sn μ2 dn θ2 sn μ3 dn θ3 γ−α α−β β−γ =− =− =− tg , tg , tg . 2 cn μ1 2 cn μ2 2 cn μ3

7.3.3 Darstellung der Diagonalen durch elliptische Funktionen. Die Quadrate der Diagonalen berechnen sich bei der neuen Darstellung auf folgende Art. Zunächst berechnet man aus der ersten S. 298 für δ12 gegebenen Formel, indem man cos α auf Grund von (78) ausdrückt, die Gleichung:

δ12 1 − k 2 sn θ12 sn μ12

= a2 + d2 1 − k 2 sn θ12 sn μ12 + 2ad sn θ12 dn μ12 − cn θ12 . Für den Ausdruck rechts besteht die Gleichung (vergl. die vierte Gleichung (69)): (a2 + d2 )(1 − k 2 sn θ12 sn μ12 ) + 2ad(sn θ12 dn μ12 − cn θ12 )

= (a − d)2 − (b − c)2 k 2 sn θ12 sn μ12 = (a − d)2 1 − k 2 sn θ12 sn(μ2 − μ3 )2 . Diese Gleichung kommt nämlich nach kurzer Entwicklung zurück auf: 2ad(1 + sn θ12 dn μ12 − cn θ12 ) = (a2 + d2 − b2 − c2 + 2bc)k 2 sn θ12 sn μ12 oder nach Fortheben des Faktors sn θ12 auf:

10

nach den Formeln cotg

x 2

=

sin x 1−cos x

und tg

x 2

=

sin x 1+cos x

. [Anm. d. Hrsg.]

306


2ad 1 + dn μ12 = 2ad 2 − k 2 sn μ12 = a2 + d2 − (b − c)2 k 2 sn μ12 ,

4ad = (a + d)2 − (b − c)2 k 2 sn μ12 . Die Klammer rechts kann man gleich q2 q3 setzen. Schreibt man für sn μ12 den aus (66) hervorgehenden Ausdruck ein, so folgt: 16abcd = q1 q2 q3 q4 · k 2 , und diese Gleichung ist nach (63) in der Tat richtig. Man gewinnt also die erste unter den drei folgenden Gleichungen, deren beide andere entsprechend folgen: ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎪ δ12 = (a − d)2 1 − k sn θ1 sn(μ2 − μ3 ) , ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ 1 − k 2 sn θ1 sn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − k2 sn θ22 sn(μ3 − μ1 )2 (82) δ22 = (b − d)2 , ⎪ 1 − k 2 sn θ22 sn μ22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − k 2 sn θ32 sn(μ1 − μ2 )2 ⎪ ⎪ . ⎩ δ32 = (c − d)2 1 − k 2 sn θ32 sn μ32

7.3.4 Gleichungen fur ¨ die Parameter μ. Wegen (63) kann man drei unter den Formeln (65) auch so schreiben: √ √ √ q1 q2 q3 q4 q1 q2 q3 q4 q1 q2 q3 q4 , sn 2μ2 = , sn 2μ3 = . (83) sn 2μ1 = 2(bc + ad) 2(ac + bd) 2(ab + cd) Für sn 3μ1 hat man nach dem Additionstheorem: sn 3μ1 =

sn 2μ1 cn μ1 dn μ1 + sn μ1 cn 2μ1 dn 2μ1 1 − k2 sn 2μ12 sn μ12

.

Unter Benutzung der Gleichungen (65), (66) und (83) folgt: sn 3μ1 =

sn μ1 (ad + bc)p12 p13 − (ad − bc)(a2 − b2 − c2 + d2 ) · . 2 (ad + bc)2 − adq1 q4

Indem man p12 p13 sowie q1 q4 noch durch die Seiten a, b, c, d des Vierecks ausdrückt, ergiebt sich die erste der drei folgenden Gleichungen:

307


(84)

⎧ bc(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ sn 3μ1 = · sn μ1 , ⎪ ⎪ ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ bc(a2 − b2 − c2 + d2 ) + (a2 d2 − b2 c2 ) · cn μ1 , cn 3μ1 = ⎪ ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) − (a2 d2 − b2 c2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (a2 d2 − b2 c2 ) + ad(a2 − b2 − c2 + d2 ) ⎪ ⎩ dn 3μ1 = · dn μ1 , (a2 d2 − b2 c2 ) − ad(a2 − b2 − c2 + d2 )

während die zweite und dritte Gleichung entsprechend bewiesen werden. Durch zyklische Vertauschung von a, b, c gewinnt man die entsprechenden Gleichungen für μ2 und μ3 . Aus [(63) und] (66) entnimmt man noch die Beziehungen mit positiv zu nehmenden Quadratwurzeln: (85) ⎧ ⎪ dn μ1 bc ca ab dn μ2 dn μ3 ⎪ ⎪ , , , =k =k =k ⎪ ⎪ ad sn μ2 cn μ2 bd sn μ3 cn μ3 cd ⎪ ⎪ sn μ1 cn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a : b : c = snμ1 cnμ1 dnμ2 dnμ3 : snμ2 cnμ2 dnμ3 dnμ1 : snμ3 cnμ3 dnμ1 dnμ2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a dn μ2 dn μ3 k2 = , d sn μ sn μ3 cn μ2 cn μ3 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b dn μ3 dn μ1 ⎪ ⎪ , k2 = ⎪ ⎪ d sn μ ⎪ 3 sn μ1 cn μ3 cn μ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dn μ1 dn μ2 c ⎪ ⎪ ⎩ . k2 = d sn μ1 sn μ2 cn μ1 cn μ2

7.3.5 Darstellung der Winkel mit einem Parameter θ. Die Grössen μ1 , μ2 , μ3 sind bei gegebenem Viereck konstante Grössen, während die θ1 , θ2 , θ3 drei Variable (bei Bewegung des Vierecks) sind, die aber natürlich so aneinander gebunden sind, dass nur eine unter ihnen, etwa θ1 als unabhängig variabel gelten kann. Setzt man kurz θ1 = θ, so ist nach (76) und (77): ⎧ ⎪ ⎨ θ1 = θ , θ2 = θ − μ3 , θ3 = θ + μ2 , (86) ⎪ ⎩ u = θ + μ2 − μ3 , v = θ − μ1 , w = θ + μ1 . Die letzten drei Gleichungen kann man bei Gebrauch der Abkürzungen: μ1 = μ ,

(87)

μ2 − μ3 = ν

auch so schreiben: (88)

u=θ+ν ,

v =θ−μ,

w =θ+μ.

308


Es bestehen dann zufolge der drei mittleren Gleichungen (69) zwischen μ und ν die Beziehungen: (89)

sn μ a−d = , sn ν b−c

cn μ d−a = , cn ν b+c

dn μ a−d = . dn ν a+d

Bei der Umrechnung der Formeln (78) und (79) auf die Variable θ und die beiden Konstanten μ und ν ergeben die beiden ersten Formeln (78) und ebenso die beiden ersten Formeln (79) sofort: (90) ⎧ dn μ2 sn θ2 − cn θ 2 2 dn μ sn θ cn θ ⎪ ⎪ cos α = , sin α = , ⎨ M M 2 2 2 ⎪ ⎪ 2 sn μ cn μ dn θ ⎩ cos(β − γ) = cn μ − sn μ dn θ , sin(β − γ) = − , M M wo der Nenner M die Bedeutung hat: (91)

M = 1 − k 2 sn μ2 sn θ 2 .

Für die u¨ brigen Formeln benutze man [vergl. S. 304 f.]: cos β = sn(θ2 + μ2 ) sn(θ2 − μ2 ) − cn(θ2 + μ2 ) cn(θ2 − μ2 ) , sin β = sn(θ2 + μ2 ) cn(θ2 − μ2 ) + cn(θ2 + μ2 ) sn(θ2 − μ2 ) , cos γ = sn(θ3 + μ3 ) sn(θ3 − μ3 ) − cn(θ3 + μ3 ) cn(θ3 − μ3 ) , sin γ = sn(θ3 + μ3 ) cn(θ3 − μ3 ) + cn(θ3 + μ3 ) sn(θ3 − μ3 ) , cos(γ − α) = cn(θ2 − μ2 ) cn(θ2 + μ2 ) + sn(θ2 − μ2 ) sn(θ2 + μ2 ) , sin(γ − α) = sn(θ2 − μ2 ) cn(θ2 + μ2 ) − cn(θ2 − μ2 ) sn(θ2 + μ2 ) , cos(α − β) = cn(θ3 − μ3 ) cn(θ3 + μ3 ) + sn(θ3 − μ3 ) sn(θ3 + μ3 ) , sin(α − β) = sn(θ3 − μ3 ) cn(θ3 + μ3 ) − cn(θ3 − μ3 ) sn(θ3 + μ3 ) , die sich in θ, μ, ν so umschreiben (wegen θ2 + μ2 = θ + ν, θ2 − μ2 = θ + μ): cos β = sn(θ + μ) sn(θ + ν) − cn(θ + μ) cn(θ + ν) , sin β = sn(θ + μ) cn(θ + ν) + cn(θ + μ) sn(θ + ν) , cos γ = sn(θ − μ) sn(θ + ν) − cn(θ − μ) cn(θ + ν) , sin γ = sn(θ − μ) cn(θ + ν) + cn(θ − μ) sn(θ + ν) ,

309


cos(γ − α) = sn(θ + μ) sn(θ + ν) + cn(θ + μ) cn(θ + ν) , sin(γ − α) = sn(θ + μ) cn(θ + ν) − cn(θ + μ) sn(θ + ν) , cos(α − β) = cn(θ − μ) cn(θ + ν) + sn(θ − μ) sn(θ + ν) , sin(α − β) = cn(θ − μ) sn(θ + ν) − sn(θ − μ) cn(θ + ν) . Entwickelt man in diesen Formeln und den entsprechenden für die Funktionen von γ und (α − β) rechts nach den Additionstheoremen, so folgt: (92) ⎧ L1 L6 + L2 L5 dn θ −L1 L5 + L2 L6 dn θ ⎪ ⎪ cos β = , sin β = , ⎪ ⎪ ⎪ MN MN ⎪ ⎪ ⎪ −L3 L5 + L4 L6 dn θ L3 L6 + L4 L5 dn θ ⎪ ⎪ ⎨ cos γ = , sin γ = , MN MN ⎪ L3 L7 + L4 L8 dn θ L3 L8 − L4 L7 dn θ ⎪ ⎪ cos(γ − α) = , sin(γ − α) = , ⎪ ⎪ M N MN ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −L1 L8 + L2 L7 dn θ ⎪ ⎩cos(α − β) = L1 L7 + L2 L8 dn θ , sin(α − β) = , MN MN wo der zweite Faktor N des Nenners die Bedeutung hat: N = 1 − k 2 sn ν 2 sn θ 2

(93)

und die acht Grössen L1 , L2 , . . . , L8 die nachfolgende Bedeutung haben: ⎧ ⎪ ⎪ L1 = cn μ cn ν − sn μ sn ν dn θ 2 , L2 = cn μ sn ν + sn μ cn ν , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ L3 = cn μ cn ν + sn μ sn ν dn θ 2 , L4 = cn μ sn ν − sn μ cn ν , (94) ⎪ ⎪ L6 = (dn μ + dn ν) sn θ cn θ , L5 = cn θ 2 − dn μ dn ν sn θ2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ L = cn θ 2 + dn μ dn ν sn θ2 , L8 = (dn μ − dn ν) sn θ cn θ . 7 Zwischen diesen Grössen bestehen, wie man leicht nachweist, die Beziehungen: (95) (96) (97)

L21 + L22 dn θ 2 = L23 + L24 dn θ2 = L25 + L26 = L27 + L28 = M · N , L1 + L3 =

b + c p12 p13 · , d−a 2bc c L2 =− , L4 b

L5 − 1 a (a2 − d2 ) − (b − c)2 = · 2 , L7 − 1 d (a − d2 ) + (b − c)2 L6 a =− . L8 d

Bedient man sich statt θ1 , θ2 , θ3 der drei Argumente ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 , die mit den θ1 , θ2 , θ3 durch die Gleichungen: θ1 = ϑ1 + iK ,

θ2 = ϑ2 + iK ,

θ3 = ϑ3 + iK

310


zusammenhängen, so findet man mittels der Regeln von I, 395 an Stelle der Formeln (78) und (79): cos α =

1 dn μ12 + dn ϑ12 , k 2 sn ϑ12 − sn μ12

···························

cos(β −γ) =

sin α = −

2i dn μ1 dn ϑ1 , k 2 sn ϑ12 − sn μ12

····························

sn μ1 cn μ1 sn ϑ1 cn ϑ1 cn μ12 sn ϑ12 + sn μ12 cn ϑ12 , sin(β −γ) = 2i , sn ϑ12 − sn μ12 sn ϑ12 − sn μ12

···································· · ···································· wo die u¨ brigen Formeln durch gleichzeitige zyklische Vertauschung von α, β, γ und der Indizes 1, 2, 3 folgen. Mit Benutzung der Gleichungen in II, 180 (Schluss von § 6) kann man die rechten Seiten dieser Gleichungen folgendermassen umgestalten: cos α =

1 1 + dn(ϑ1 + μ1 ) dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

sin α = −

i dn(ϑ1 + μ1 ) + dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

··········································· cos(β − γ) =

1 1 − dn(ϑ1 + μ1 ) dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

sin(β − γ) = −

i dn(ϑ1 + μ1 ) − dn(ϑ1 − μ1 ) , · k2 sn(ϑ1 + μ1 ) sn(ϑ1 − μ1 )

· · ·············································· Noch etwas kürzer schreiben sich diese Gleichungen bei Benutzung dreier Argumente U , V , W , die mit den bisher benutzten in dem Zusammenhang stehen: ⎧ ⎪ ⎪ ϑ2 + μ2 = ϑ3 − μ3 = U = u − iK = θ + ν − iK , ⎪ ⎪ ⎨ (98) ϑ3 + μ3 = ϑ1 − μ1 = V = v − iK = θ − μ − iK , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑ + μ = ϑ − μ = W = w − iK = θ + μ − iK . 1 1 2 2 Wir haben für die trigonometrischen Funktionen der Winkel α, β, γ und ihrer Differenzen die Darstellungen:

7.4 Geometrische Deutung der Hilfswinkel und der elliptischen Parameter μ

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (99)

cos α = cos β = cos γ =

⎪ ⎪ ⎪ cos(β − γ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos(γ − α) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos(α − β) =

1 + dn V dn W , k 2 sn V sn W 1 + dn W dn U , k 2 sn W sn U 1 + dn U dn V , k 2 sn U sn V 1 − dn V dn W , k 2 sn V sn W 1 − dn W dn U , k 2 sn W sn U 1 − dn U dn V , k 2 sn U sn V

311

i dn V + dn W , · k2 sn V sn W i dn W + dn U sin β = − 2 · , k sn W sn U i dn U + dn V sin γ = − 2 · , k sn U sn V i(dn V − dn W ) sin(β − γ) = , k 2 sn V sn W i(dn W − dn U) sin(γ − α) = , k 2 sn W sn U i(dn U − dn V ) sin(α − β) = . k 2 sn U sn V sin α = −

7.4 Geometrische Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ und der Parameter μ. Zu einer geometrischen Deutung der Winkel ϕ, ψ, χ gelangt man auf folgende Art. Aus unserem vollständigen Vierseit der Fig. 27, S. 277 gewinnt man durch Fortnahme je einer Seite vier Dreiecke: B

(100)

CDF ,

ADE ,

ABF ,

BCE .

Nach einem leicht beweisbaren Satze von Steiner laufen die C vier diesen Dreiecken H umschriebenen Kreise durch einen in Fig. 33 D A mit P bezeichne- F G E ten Punkt hindurch. Es ist nämlich der Punkt P in Fig. 33 P als Schnittpunkt der beiden Kreise um die A F ersten beiden Dreiecke B (100) konstruiert. Da G C D F DP = F CP als Peripheriewinkel u¨ ber Fig. 33 H E gleichen Bogen gilt, so ist auch P DA = P CB. Da [bei gegenüber liegenden Winkeln im Sehnenviereck] AEP + P DA = π gilt, so folgt auch AEP + P CB = π. Mithin ist BCP E ein Sehnenviereck, und ebenso findet man, dass ABF P ein Sehnenviereck ist, womit der Steinersche Satz bewiesen ist. Neben der schon genannten

312


Gleichung ADP = BCP besteht auch die Beziehung AP D = BP C; denn man hat, da Peripheriewinkel u¨ ber gleichen Bogen gleich sind: AP D = AED = BEC = BP C . Also ist ADP ∼ BCP , und damit gilt: AP : DP = BP : CP . Weiter zeigt man in der bisherigen Weise leicht: CDP ∼ BAP ,

(101) so dass man findet:

AP : DP = BP : CP = AB : CD = a : c . Bei Bewegung des Gelenkvierecks läuft demnach P [nach dem Satz des Apollonius] auf einem zum Stege AD orthogonalen Kreise, der den Steg AD bezw. dessen Verlängerung in den beiden Punkten Q1 und Q2 schneidet, für die die Proportionen bestehen: AQ1 : DQ1 = AQ2 : DQ2 = a : c . Es sind nun die Linien AP, BP, CP, DP, EP, F P u¨ ber P hinaus mit ihren Verlängerungen P A , P B , P C , P D , P E , P F versehen (vergl. Fig. 33). Zufolge (101) gilt AP B = DP C. Zur Halbierungslinie HH von BP D und also auch zu der sie in P senkrecht kreuzenden mit GG bezeichneten Linie sind demgemäss symmetrisch gelegen erstens die Strahlen AA und CC , zweitens die Strahlen BB und DD . Ferner gilt: AP E = ADE = F DC = F P C . Also sind endlich auch die Strahlen EE und F F bezüglich GG symmetrisch. Die Bedeutung der Winkel α, β, γ sehe man in Fig. 27 nach und wird leicht die Gleichungen feststellen: α = DAE = D P E = F P B , β − π = DF C = DP C = D P C , γ − π = π − CDF = π − CP F = F P C . Nun folgt: (γ − π) − α = B P C = A P D , ((γ − π) − α) + (β − π) = A P C = 2 A P H , 1 2 (−α

+ β + γ) − π = A P H ,

−ϕ = + 12 (−π − α + β + γ) =

π 2

+ A P H = A P G .

7.4 Geometrische Deutung der Hilfswinkel und der elliptischen Parameter μ

313

B

B

a b b a C

c

am 2 μ 3

am 2 μ 1 d

F

A

D

am 2 μ 2

P

E

Fig. 34

In a¨ hnlicher Weise findet man auch Darstellungen von ψ und χ durch Winkel am Punkt P ; es gelten die Formeln: (102)

ϕ = − A P G ,

ψ = + EP G ,

χ = + B P G .

Hält man das Gelenkviereck in dem Augenblick in seiner Bewegung fest, wo es zum Sehnenviereck geworden ist (vergl. Fig. 34), so gilt: BAD + DCB = π ,

DAE + F CD = π

und also auch: EP D + DP F = π .

314


In diesem Falle liegt also der Punkt P auf der Verbindungsgeraden von E und F . Man hat jetzt: BAD = π − α , DCB = α und findet nach dem Kosinussatze: 2

BD = a2 + d2 + 2ad cos α = b2 + c2 − 2bc cos α . Entsprechend ergiebt die andere Diagonale des Vierecks: 2

AC = a2 + b2 − 2ab cos γ = c2 + d2 + 2cd cos γ . Man findet mit Benutzung der Formeln (65): cos BAD =

a2 + d2 − b2 − c2 = cn 2μ1 , 2(ad + bc)

cos ADC =

c2 + d2 − a2 − b2 = cn 2μ3 , 2(cd + ab)

so dass man mit Rücksicht auf die Ungleichungen (67) zu dem Ergebnis gelangt: (103)

am 2μ1 = BAD ,

am 2μ3 = ADC ,

bezogen auf die Lage unseres Gelenkvierecks als Sehnenviereck. Um auch am 2μ2 geometrisch zu deuten, gehe man zum Viereck AB CD u¨ ber, in dem AB gleich b und B C gleich a sein soll. Dieses Viereck ist dann in demselben Kreise gelegen wie ABCD. Durch die beiden Ausdrücke des Quadrates der Diagonale B D ergiebt sich: b2 + d2 − c2 − a2 = cn 2μ2 . cos B AD = 2(bd + ac) Mit Rücksicht auf die dritte Ungleichung (67) folgt: (104)

am 2μ2 = −π − B AD .

[Bei gegebenen Konstanten μ1 , μ2 , μ3 hat θ das Intervall von 0 bis 2K zu durchlaufen, um alle Lagen des Gelenkvierecks zu gewinnen. Denn nach Festlegung der genannten Werte sind die Winkel α, β, γ nach (78) im Intervall von 0 bis 2π eindeutig bestimmt, und man u¨ berzeugt sich leicht, dass alle in (78) auf den rechten Seiten auftretenden elliptischen Funktionen Periodenparallelogramme mit Ecken in 0, 2K, 4iK , 2K + 4iK besitzen.]

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Register.

A Abel, N. H. 56, 135, 136, 315 Abramowitz, M. 21, 315 absolute Invariante 11 Additionstheorem der Jacobischen Funktionen 48 algebraische Korrespondenz 262 ambige Klasse 161, 179 Amplitude 111 Anwendungen, arithmetische 131, 245 geometrische 43 mechanische und physikalische 277 Appell, P. 315 a¨ quianharmonische Kurve 97 Arendt, G. 271 arithmetisch-geometrisches Mittel 7 arithmetische Anwendungen 131, 245 Arme 278 Aronhold, S. 79, 84 automorphe Funktion 190 B Baltzer, R. 280 Berechnung der elliptischen Funktionen 13 Integrale 15 der Invarianten 10 der Klasseninvarianten 185, 190, 193 der Perioden 1 Berechnungen, numerische 1 Berndt, B. C. 315 Bertrand, J. L. F. 7 Berwick, W. E. H. 315 Bianchi, L. 114 binäre quadratische Form 134, 246

Blauert, M. 277 Bodewig, E. 316 Bogenlänge der Lemniskate 45 Bogenlängen der Ellipse und Hyperbel 65 Borel, A. 315 Borevich, Z. I. 170 Borwein, J. M. 315 Borwein, P. B. 315 Buchmann, J. 315 Buell, D. A. 315 Burau, W. 79 Burkhardt, H. 19, 315 C Cassels, J. W. S. 315 Cassou-Noguès, Ph. 315 Cayley, A. 315 Chandrasekharan, K. 315 Chowla, S. 315 Clebsch, A. 79, 104 Cox, D. A. 170, 315 Cremona, J. E. 315 D Darboux, G. 277, 280, 281, 285 darstellbare ganze Zahl 160 Darstellungsanzahl 245 DB 145 Dedekind, R. 134, 316 Dedekindsche Funktion 270 de Séguier, J. 316 Deuring, M. 316 Dickson, L. E. 263, 316 Differentialgleichung 116 Dirichlet, G. 134, 263, 267, 271, 273 Dirichletsche Grenzformel 272 Diskontinuitätsbereich 145

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Dritter Teil, DOI 10.1007/978-3-642-20954-3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

319

320 Diskriminante 11, 134 der Transformationsgleichung 156 doppeltperiodische Funktion, Jacobische 15 Weierstraßsche 15 Doppelverhältnis 1 Dreieck, sphärisches 127 Dreiteilung der Lemniskate 49, 52 Dualität 90 Duplikation 182 Durège, H. 316 du Val, P. 316 E ebenes Gelenkviereck 277 Eichler, M. 84 Eisenstein, G. 56, 57, 60, 61, 316 Ellipse 65, 109 Ellipsoid 67 Erdélyi, A. 316 Erdsphäroid 125 eta-Funktion 270 η-Funktion 270 Euler, L. 127, 170 F Fagnano, G. C. 45, 48 Fermatscher Lehrsatz 174 Fiedler, W. 85, 99 Flächenbüschel zweiten Grades 104 Formklasse 136, 207 Forsyth, A. R. 114 Fricke, R. 316 Fueter, R. 200, 201, 316 Fünfteilung der Lemniskate 49, 52 Funktion, automorphe 190 Dedekindsche 270 doppeltperiodische, Jacobische 15 Weierstraßsche 15 G Galoissche Gruppe 62 der Klassengleichung 182 Resolvente 62, 182 Gammafunktion 265 Gauß, C. F. 7, 8, 12, 45, 56, 63, 169, 170, 316 Gelenkviereck, ebenes 277 geodätische Linie 114, 122 geometrische Anwendungen 43 Geschlecht 181 Gierster, J. 262

Register Gleichung, zyklische 62 Graeser, E. 316 Greenhill, A. G. 316 Grenzformel, Dirichletsche 272 Kroneckersche 263 Grenzkreisgruppe 190 Gross, B. H. 316 Grosswald, E. 316 H Halbierung des Lemniskatenbogens 49 Halphen, G. H. 316 Hancock, H. 316 Hanna, M. 316 harmonische Kurve 97 Polare 85 harmonisches Quadrupel 86 Hasse, H. 316 Hauptfunktion 211, 221 Hauptgruppe 185, 187, 188, 221 Hauptklasse 161 Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe 48 Hauptpolygon 187, 207 Heegner, K. 316 Heffter, L. 104, 110 Herglotz, G. 316 Hermite, Ch. 316 Herz, C. S. 315 Hesse, O. 91 Hessesche Gruppe 95 Kollineationsgruppe 94 Hurwitz, A. 262, 316 Husemöller, D. 316 Hyperbel 65 Hyperboloid, einschaliges 68 zweischaliges 68 I Integral, Weierstraßsches 118 Invariante, absolute 11 Invarianten, rationale 1, 11 Irreduzibilität der Klassengleichung 178 irreduzible Kurve 79 Iwasawa, K. 315 J j(ω) = 123 J(ω) 136 Jacobi, C. G. J. 7, 109, 111, 127, 190, 245, 261, 281, 317 Jordan, C. 95

321

Register K kanonisches Koordinatensystem 83 Kiepert, L. 63, 194, 317 Klasse, ambige 161, 179 Klassenanzahl 254 Klassengleichung 133, 136, 142 der Diskriminante D 150 Klassengruppe 185 Klasseninvariante 136, 149, 150, 232 Klassenkörper 232 der Diskriminante D 172 Klassenpolygon 142, 185 Klassenzahl h(D) 137 Klassenzahlrelation 254, 261 Klein, F. 84, 91, 108, 194, 261, 317 Knapp, A. W. 317 Koblitz, N. 317 Koecher, M. 317 Koehler, C. 110 Koenigsberger, L. 317 Kollineation 86 Kollineationsgruppe 86 komplexe Multiplikation 51, 133 Komposition der Formen 151 Kompositionsgruppe 183 Koordinatensystem, kanonisches 83 singuläres 91 Koppel 278 Korrespondenz, algebraische 262 Kosinussatz 129 Krause, M. 277, 317 Krieg, A. 317 Kronecker, L. 150, 261–264, 273, 317 Kroneckersche Grenzformel 263 kubische Form 98 Kurve dritten Grades 79, 277 Kurve dritten Grades, reelle 101 Kurve, irreduzible 79 singularitätenfreie 79 Kuyk, W. 317 L ´ 315 Lacour, E. Lagrange, J. L. 127 Lagrangesche Solvente 64 Landensche Transformation 3, 5 Lang, S. 317 Lange, E. 107 Lawden, D. F. 317 Legendre, A.-M. 9, 10, 17, 18 Legendresches Normalintegral 9, 47, 65, 67

Zeichen 173 Lemniskate 45 Lemniskatenteilung 56 Linie, geodätische 114, 122 Liouville, J. 261 Lösung, singuläre 134 Lukat, M. 114 M Magnus, W. 271, 316, 317 Maurer, L. 316 McKean, H. 317 mechanische und physikalische Anwendungen 277 Meridiankurve 115 Mittel, arithmetisch-geometrisches 7 Modulargleichungen 190 Modularkorrespondenzen 261 Modulform 212 Modulfunktion erster Stufe 136, 138 Modulgruppe 140, 179 Molk, J. 318 Moll, V. 317 Mollin, R. A. 317 Multiplikation der Idealklassen 151 Multiplikation, komplexe 51, 133 Multiplikator 133 N natürliche Irrationalität 170 Neville, E. H. 317 Norm von p 174 Normalgleichung 62, 182 Normalintegral, Legendresches 9, 47, 65, 67 Weierstraßsches 9 numerische Berechnungen 1 O Oberfläche des Ellipsoids 67, 76 Oberhettinger, F. 271, 316, 317 P ℘-Funktion 84 Periode 2 Periodenquotient 2 Periodenrechteck 17 Perspektivität 86 Petersson, H. 317 ´ 316 Picard, E. Picciati, G. 277 Pick, G. 150 Plücker, J. 91 Polare 99

322 Polarfigur 127 Polarkegelschnitt 85, 99 Poncelet, J. V. 109 Ponceletsche Polygone 109 Prasolov, V. 317 Primform 262 Primideal 174 Primidealzerlegung 172 primitive Wurzel 174 Q quadratische Form, binäre 134, 246 quaternäre 250 reduzierte 146 Transformation 98 Quadrupel, harmonisches 86 quaternäre quadratische Form 250 R Ramachandra, K. 317 Ramanujan, S. 317 rationale Invarianten 1, 11 Raumkurven vierter Ordnung 104 reduzierte quadratische Form 146 Riemannsche Fläche 1 Zetafunktion 270 Robert, A. 317 Rothe, R. 57 S Salmon, G. 85, 99, 104 Satz von Gauß 56 Schertz, R. 200, 201, 317 Schläfli, L. 190 Schoeneberg, B. 317 Schwarz, H. A. 19, 318 Serre, J.-P. 315 sextaktische Punkte 85 Shafarevich, I. R. 170 Shimura, G. 317 Siebzehnteilung der Lemniskate 63 Siegel, C. L. 273, 317 Sigmafunktion 81 Silverman, J. H. 318 singuläre Lösung 134 singuläres Koordinatensystem 91 singularitätenfreie Kurve 79 Sinussatz 128 Sohnke, L. A. 190, 261 Solovyev, Yu. 317 Sommerfeld, A. 317

Register Soni, R. P. 271, 317 spezielle Teilungsgleichung 51, 62 Transformationsgleichungen erster Stufe 138 sphärische Trigonometrie 127 sphärisches Dreieck 127 Stammdiskriminante 167 Steg 278 Stegun, I. A. 21, 315 Study, E. 127 Summe von vier Quadraten 245, 249 syzygetisches Büschel 93 T Tafeln 21 Tangente 81 Tannery, J. 318 Tate, J. T. 318 Taylor, M. J. 315 Teilersumme 245 Teilung des Lemniskatenbogens 49 Teilungsgleichung 88 Teilungsgleichung, spezielle 51, 62 Teilwert 87, 245 Tetraedergleichung 96 Tetraedergruppe 95 Thetafunktionen 10 ϑ-Funktionen 10 Titchmarsh, E. C. 270 Transformation nten Grades 135 der elliptischen Funktionen 185 quadratische 98 Transformationsgruppe 185 Transformationspolygon 142, 185 Tricomi, F. G. 316, 318 Trigonometrie, sphärische 127 Tschirnhausresolvente 202 U Umdrehungsellipsoid 76, 114, 122 V van der Waerden, B. L. 318 Verdoppelung eines Lemniskatenbogens 49 Verzweigungspunkt 1 Vierergruppe 96 Vl˘adut¸, S. G. 318 Vollmer, U. 315 W Walker, P. L. 318 Walker, R. J. 318

323

Register Washington, L. C. 318 Watson, G. N. 318 Weber, H. 70, 127, 136, 137, 150, 190, 194, 264, 273, 318 Weierstrass, K. 318 Weierstraß, K. 19, 57 Weierstraßsches Integral 118 Normalintegral 9 Weil, A. 318 Weinberger, P. 170 Wellstein, J. 127 Wendeberührungspunkt 107 Wendedreiseit 83 Wendegerade 83 Wendepunkt 82

Wendetangente 82 Werte von K und E 26 von w = F (k, ϕ) 30 von Z = E(k, ϕ) 36 Whittaker, E. T. 318 Wurzel, primitive 174 Wurzeln der Klassengleichung 161 Z Zagier, D. B. 84, 316 Zeichen, Legendresches 173 Zetafunktion, Riemannsche 270 Zwischengruppe 189, 207 zyklische Gleichung 62

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen I: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Quantenmechanik und ihre Anwendungen

Matrizen Und Ihre Anwendungen 1, 7. Auflage

Mathematische Statistik (Reihe: Statistik und ihre Anwendungen)

Zweidimensionale interpolierende Lg-Splines und ihre Anwendungen

Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse (Statistik und ihre Anwendungen)

Einfuhrung in die Genetische Epidemiologie (Statistik und ihre Anwendungen)

Hydrodynamik und Anwendungen 001

Stochastik: Theorie und Anwendungen

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Differentialgleichungen reeller Funktionen, (Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern)

Quantenmechanik und ihre Anwendungen (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Molekulare Biotechnologie: Grundlagen und Anwendungen

Endliche Koerper und Anwendungen 001

Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen

Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen

Mentales Training . Grundlagen und Anwendungen

Gleichgewichtsthermodynamik: Grundlagen und einfache Anwendungen

Wavelets. Theorie und Anwendungen. GERMAN

2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen

Rechnernetze und Anwendungen 001.ps.gz

Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen

Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen

Klebtechnik: Klebstoffe, Anwendungen Und Verfahren

Fortgeschrittene Anwendungen

Kryptographie und IT-Sicherheit: Grundlagen und Anwendungen

Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage (Statistik und ihre Anwendungen)

Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einfuhrung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen

Eine Einführung in die Statistik und ihre Anwendungen, 2. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen I: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Quantenmechanik und ihre Anwendungen

Matrizen Und Ihre Anwendungen 1, 7. Auflage

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