Calculo vetorial com formas differentiais

´ Calculo vetorial com formas diferenciais S. C. Coutinho Conteudo ´ Cap´ıtulo 1. Preliminares 1. Subconjuntos do Rn 2...

Author: Coutinho S C

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´ Calculo vetorial com formas diferenciais S. C. Coutinho

Conteudo ´ Cap´ıtulo 1. Preliminares 1. Subconjuntos do Rn 2. Parametrizaça˜ o de curvas e superf´ıcies 3. Integrais duplas e triplas 4. Mudança de variáveis 5. Campos escalares e vetoriais 6. Exerc´ıcios

1 1 3 3 3 3 9

Cap´ıtulo 2. 1-formas 1. Trabalho 2. O caso geral 3. Integraça˜ o de 1-formas 4. Teorema do gradiente 5. Aplicaço˜ es 6. Recapitulando 7. Exerc´ıcios 8. Problemas

13 13 24 33 42 43 51 53 57

Cap´ıtulo 3. 2-formas 1. Fluxo 2. O caso geral 3. Integraça˜ o de 2-formas 4. Teorema de Stokes 5. Aplicaço˜ es 6. Recapitulando 7. Exerc´ıcios 8. Problemas

59 59 72 87 104 107 119 122 125

Cap´ıtulo 4. 3-formas 1. 3-formas 2. Integraça˜ o de 3-formas 3. Teorema de Stokes 4. Aplicaço˜ es 5. Exerc´ıcios 6. Problemas

127 127 137 141 146 156 158

Cap´ıtulo 5.

161

n-formas iii

iv

´ CONTEUDO

Apêndice 1. Determinantes

163 163

Bibliografia

165

Índice

167

Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo introduzimos algumas das noço˜ es básicas que serão utilizadas ao longo de todo o livro, como campos escalares e vetoriais, e integrais duplas e triplas. 1. Subconjuntos do Rn Nesta seça˜ o revisamos a nomenclatura básica utilizada na descriça˜ o dos conjuntos que servem como dom´ınio e imagem das funço˜ es do cálculo. Para começar, se v e´ um vetor do Rn , então podemos escrevê-lo na forma (1.1)

v = (a1 , . . . , an ).

Isto corresponde a` decomposiça˜ o de v em termos de suas coordenadas na base canônica ε de Rn . Os vetores de ε são ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) para 1 ≤ j ≤ n, onde o 1 aparece na j-ésima posiça˜ o, e todas as demais entradas são nulas. Com freqüeˆ ncia escreveremos v = a1 e1 + · · · + an en , em vez de (1.1). A norma de v e´ kvk =

q a21 + · · · + a2n .

Se n = 1, então v = a ∈ R e kvk = |a| e´ o módulo do número real a. Seja, agora, p0 ∈ Rn e > 0 um número real. A bola aberta de raio e centro em p0 e´ o conjunto B (p0 ) = {q ∈ Rn : kq − p0 k < }. Note que, no caso da bola aberta, usamos o sinal 0 (que depende de p) tal que B (p) ⊆ U. Isto e´ , cada ponto de U pertence a uma pequena bola aberta, que está inteiramente contida em U . São exemplos de conjuntos abertos de Rn , as bolas abertas (veja exerc´ıcio 1), o conjunto Rn inteiro, e o conjunto vazio. E´ fácil entender porque Rn e´ aberto; mas e o conjunto vazio? O fato e´ que ∅ satisfaz a condiça˜ o para aberto por vacuidade. Em outras palavras, a condiça˜ o para aberto e´ satisfeita por todos os pontos de ∅ justamente porque este conjunto não tem nenhum ponto para satisfazer a condiça˜ o. Poder´ıamos ter definido conjuntos abertos partindo da noça˜ o de retângulo aberto, em vez de bola aberta. Neste caso, um conjunto U ⊆ Rn seria definido como aberto se, dado um ponto qualquer de p de U , existe um n-retângulo aberto R tal que p ∈ R ⊆ U . Os conjuntos abertos assim definidos coincidem com aqueles definidos em termos de bolas. Isto decorre do fato de que todo n-retângulo aberto não vazio contém uma bola aberta e, reciprocamente, toda bola aberta não vazia contém um retângulo aberto. Para mais detalhes veja o exerc´ıcio 2. Por outro lado, um conjunto e´ fechado se seu complementar e´ aberto. Um ponto p de um conjunto fechado F pertence a` fronteira ∂F de F se, qualquer que seja > 0, temos que B (p) ∩ F 6= ∅ e B (p) ∩ (Rn \ F ) 6= ∅. Os pontos de F que não pertencem a` sua fronteira são chamados de pontos interiores. Note, contudo, que um fechado pode não ter nenhum ponto interior, como e´ o caso de um ponto isolado. Neste caso, o conjunto fechado inteiro e´ sua própria fronteira. Além dos pontos isolados e das bolas fechadas, os conjuntos ∅ e Rn são fechados. Mas ∅ e Rn não eram abertos? Eram; mas também são fechados, já que Rn \ ∅ = Rn , que e´ aberto, e Rn \ Rn = ∅, que também e´ aberto. A bem da verdade, os u´ nicos subconjuntos de Rn que são simultaneamente abertos e fechados são exatamente estes dois; veja exerc´ıcio 3.

5. CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS

3

Um subconjunto V de Rn e´ conexo, se dados dois pontos p, q ∈ V , existe uma curva cont´ınua parametrizável C que liga p a q. Uma tal curva e´ definida por uma aplicaça˜ o C : [0, 1] → V, tal que C(0) = p e C(1) = q. Na prática, isto significa que V e´ formado por apenas “um pedaço”. Por exemplo, se p, q ∈ Rn e d = kp − qk > 0 e´ a distância entre p e q, então a união das bolas Bd/3 (p) ∪ Bd/3 (q) não e´ conexa. De fato, como as bolas não se tocam, não e´ poss´ıvel desenhar uma curva cont´ınua que liga o ponto de uma bola, a um ponto da outra. Finalmente, um subconjunto U de Rn e´ convexo se, dados dois pontos quaisquer p e q de U , o segmento de reta que une p a q está totalmente contido em U . Mais precisamente, o conjunto {(1 − t)p + tq : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U. Bolas e retângulos, tanto abertos, quanto fechados são conjuntos convexos. Como convexo e conexo são palavras muito parecidas, e´ fácil confundilas e, com isso, trocar um conceito pelo outro. Para complicar os conjuntos abertos e conexos aparecerão com freqüeˆ ncia neste livro. Levando isto em conta, e também para evitar que nossa linguagem se torne prolixa, usaremos a palavra região como abreviaça˜ o de aberto e conexo. ˜ de curvas e superf´ıcies 2. Parametrizaçao 3. Integrais duplas e triplas Revisão de integraça˜ o de funço˜ es de uma, duas e três variáveis. Ainda não tive tempo de escrever. ´ 4. Mudança de variaveis Revisão de mudança de variáveis em integrais duplas e triplas e jacobiano. Também não tive tempo de escrever. 5. Campos escalares e vetoriais O conceito mais importante deste livro e´ a noça˜ o de campo, cujo estudo iniciamos nesta seça˜ o.

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1. PRELIMINARES

˜ e exemplos. Dada uma região U de Rn , considerare5.1. Definiçao mos dois tipos de campos neste livro. Um campo escalar e´ uma funça˜ o de U em R; já um campo vetorial e´ uma aplicaça˜ o de U em Rn . A importância destes conceitos está relacionada a` s suas aplicaço˜ es em matemática, f´ısica, engenharia, meteorologia e ciências afins. De agora em diante a palavra campo, usada sem nenhuma qualificaça˜ o adicional, significará sempre campo vetorial. Considere, por exemplo, a região A da atmosfera, abaixo de uma certa altitude, e sobre uma dada a´ rea da superf´ıcie terrestre. A funça˜ o que relaciona a cada ponto de A a temperatura da atmosfera naquele ponto e´ um exemplo de campo escalar. Outro exemplo, e´ a funça˜ o que a cada ponto de A associa sua pressão atmosférica. Podemos representar campos escalares geometricamente usando curvas que passam por todos os pontos em que o campo tem um mesmo valor. No caso da temperatura, estas curvas são chamadas de isotermas, e foram introduzidas pelo naturalista alemão Alexander von Humboldt como parte de sua observaça˜ o de que espécies de plantas com caracter´ısticas semelhantes habitam a´ reas montanhosas de mesma temperatura; veja [7, p. 93-94].

F IGURA 1. Isotermas A representaça˜ o geométrica de um campo vetorial F : U → Rn , e´ feita associando-se a cada ponto p ∈ U o vetor F (p), que imaginaremos como tendo sua origem em p. Considerando a mesma região A da atmosfera mencionada acima, imagine que a cada um de seus pontos associamos o vetor que corresponde a` velocidade com que uma part´ıcula se moveria se fosse solta naquele ponto. Isto nos daria um campo de velocidades, que e´ um exemplo de campo vetorial.


5

Esta definiça˜ o de campo vetorial não exclui a possibilidade do campo se anular em um ponto. Se isto ocorre, dizemos que o ponto e´ uma singularidade do campo. Contudo, o movimento de uma part´ıcula sob a aça˜ o de um campo pode se tornar bastante complicado se o campo tiver singularidades.

F IGURA 2. Velocidade dos ventos Outros exemplos de campos vetoriais incluem os campos de força usais da f´ısica, como o campo gravitacional, o campo elétrico e o campo magnético. Por exemplo, a lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico de uma carga positiva isolada, situada na origem, e´ dado por k E(x, y, z) = 2 (x, y, z), (x + y 2 + z 2 )3/2 onde k e´ uma constante. Portanto, os vetores deste campo são radiais e apontam para fora. Observe que a região de definiça˜ o de E e´ R3 \ {(0, 0, 0)}, já que, na origem, estar´ıamos efetuando uma divisão por zero. Os campos (escalares e vetoriais) que estudaremos não variam com o tempo. Isto e´ , o valor do campo, em um dado ponto, e´ sempre o mesmo, embora possa assumir valores distintos em pontos diferentes. Ao longo de todo o livro consideraremos apenas campos escalares e vetoriais que sejam diferenciáveis. Como um campo escalar em U e´ uma funça˜ o de U em R, não há dificuldade em definir diferenciabilidade neste caso. No caso de um campo vetorial, temos uma funça˜ o de U em Rn . Assim, podemos escrever F , em termos de coordenadas, na forma F (p) = (F1 (p), . . . , Fn (p)), onde p ∈ U e Fj : U → R, para 1 ≤ j ≤ n, são as funço˜ es coordenadas de F . Diremos que F e´ diferenciável, se cada uma de suas funço˜ es coordenadas o for.

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1. PRELIMINARES

O conjunto dos campos escalares (isto e´ , funço˜ es) diferenciáveis em U será denotado por O(U ). Podemos munir este conjunto de duas operaço˜ es. A soma de f, g ∈ O(U ) e´ definida em cada ponto p ∈ U por (f + g)(p) = f (p) + g(p); já a multiplicaça˜ o e´ definida por (f g)(p) = f (p)g(p). Um escalar k ∈ R pode ser identificado com a funça˜ o constante de O(U ), que a cada ponto de U associa o valor k. Usando a definiça˜ o de multiplicaça˜ o de funço˜ es podemos, então, definir o produto de uma funça˜ o f ∈ O(U ) por um escalar k ∈ R como (kf )(p) = kf (p) para todo p ∈ U. Cálculos de rotina mostram que o conjunto O(U ) e´ um espaço vetorial real relativamente a` s operaço˜ es de soma e multiplicaça˜ o por escalar definidas acima. O conjunto dos campos vetoriais diferenciáveis em U será denotado por X(U ). Este conjunto pode ser provido de operaço˜ es de soma e multiplicaça˜ o por um campo escalar. A soma de F, G ∈ X(U ) e´ definida em cada ponto p ∈ U por (F + G)(p) = F (p) + G(p). Se F = (F1 , . . . , Fn ) e G = (G1 , . . . , Gn ), são as expressões de F e G em termos de coordenadas, então a definiça˜ o acima nos dá F + G = (F1 + G1 , . . . , Fn + Gn ). Já a multiplicaça˜ o de F por uma funça˜ o g ∈ O(U ) e´ definida por (gF ) = (gF1 , . . . , gFn ). Usando a definiça˜ o de multiplicaça˜ o de funço˜ es por campos podemos definir o produto de um campo vetorial F ∈ X(U ) por um escalar k ∈ R por (kF ) = (kF1 , . . . , kFn ). Cálculos de rotina mostram que o conjunto X(U ) e´ um espaço vetorial relativamente a` s operaço˜ es de soma e multiplicaça˜ o por escalar definidas acima. 5.2. Campos gradientes. Uma classe especial de campos vetoriais, muito importante nas aplicaço˜ es, são os campos gradientes. Um campo F definido em uma região U de Rn e´ gradiente se existe uma funça˜ o f ∈ O(U ) tal que F = ∇f . Dizemos, também, que f e´ uma funça˜ o potencial para o campo F . O nome potencial foi empregado, neste sentido, pela primeira vez, na introduça˜ o da monografia de 1828 de George Green. Em suas palavras


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No que segue, teremos ocasião de falar freqüentemente sobre esta funça˜ o e, portanto, para abreviar, vamos chamá-la de funça˜ o potencial do sistema S. 1 Veja [6, p. 1]. Exemplos de campos gradientes incluem os campos gravitacionais e os campos elétricos. Considere, por exemplo, o campo elétrico de uma carga pontual q. Como vimos no parágrafo anterior, este campo e´ definido em U = R3 \ {(0, 0, 0)} por kq E(x1 , x2 , x3 ) = 2 (x1 , x2 , x3 ). 2 (x1 + x2 + x23 )3/2 Como ! 1 −xi ∂ p = 2 2 2 2 ∂xi x1 + x22 + x23 x1 + x2 + x3 vemos que a funça˜ o f=p

−kq

, + x22 + x23 e´ uma funça˜ o potencial para o campo E. O campo de uma esfera (sólida) de raio 1, que foi uniformemente eletrizada também e´ gradiente. Para calcular o potencial explicitamente neste caso, basta imaginar cada “volume infinitesimal” da esfera como representando uma carga pontual, e integrar sobre a contribuiça˜ o de cada um destes pequenos volumes. Para facilitar os cálculos digamos que o sistema de eixos foi escolhido de modo que a esfera tem centro na origem, e o ponto no qual queremos calcular o potencial tem coordenadas (0, 0, a), onde a > 1. A contribuiça˜ o do ponto (x1 , x2 , x3 ), de carga q, para o potencial em (0, 0, a) depende apenas da distância entre os dois pontos, e e´ igual a −kq p . 2 2 x1 + x2 + (x3 − a)2 Integrando esta funça˜ o sobre toda a esfera, obtemos Z 1 Z √1−x2 Z √1−x2 −y2 −kq (5.1) dzdydx. h= √ 2 2 p 2 √ 2 + (x − a)2 2 x + x −1 − 1−x − 1−x −y 3 2 1 x21

Para simplificar a integraça˜ o usaremos coordenadas esféricas. Neste caso, x21 + x22 + (x3 − a)2 = x21 + x22 + x23 − 2ax3 + a2 , e´ igual a r2 + a2 − 2ar cos(φ); ao passo que o jacobiano e´ r2 sen(φ). Portanto, a integral (5.1) e´ igual a Z Z Z −kq 2π 1 π r2 sen(φ) p h= dφdrdθ. 2 0 r2 + a2 − 2ar cos(φ) 0 0 1“In the sequel, we shall often have occasion to speak of this function, and will therefore, for abridgment, call it the potential function arising from the system S.”

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1. PRELIMINARES

Calculando a primeira integral integral, Z Z Z Z iπ p kq 2π 1 h p 2 kq 2π 1 h p 2 r r + a2 − 2ar cos(φ) drdθ = r r + a2 + 2ar − r h= a 0 a 0 0 0 0 Por sorte as expressões dentro das ra´ızes são quadrados perfeitos. Há, contudo, um detalhe importante ao qual precisamos estar alerta. A expressão √ 2 r2 + a2 − 2ar corresponde √ a` raiz quadrada positiva de (r − a) . Como 2 2 a > 1 ≥ r, devemos ter r + a − 2ar = a − r > 0; e não r − a, que e´ um número negativo. Assim, Z Z Z Z kq 2π 1 2kq 2π 1 2 π h= [r(r + a) − r(a − r)]0 drdθ = r drdθ. a 0 a 0 0 0 Continuando a integraça˜ o, obtemos h=

4πkq . 3a

Note que a e´ a distância entre a origem da esfera e o ponto no qual estamos calculando o potencial. Levando em conta a simetria da esfera e a distribuiça˜ o uniforme de carga, vemos que, o potencial no ponto, exterior a` esfera, cujas coordenadas são (x1 , x2 , x3 ), e´ ! 4πkq 1 p f (x1 , x2 , x3 ) = . 3 x21 + x22 + x23 Derivando o potencial, obtemos o campo elétrico de uma esfera carregada no ponto (x1 , x2 , x3 ), que e´ −

1 4πkq (x1 , x2 , x3 ). 3 x21 + x22 + x23

Portanto, o campo elétrico de uma esfera carregada e´ o mesmo de uma part´ıcula posicionada no centro da esfera, e cuja carga e´ igual a` carga total da esfera; isto e´ 4 (volume da esfera) × q = π · q. 3 Um resultado análogo foi provado por Newton no P RINCIPIA, relativamente ao campo gravitacional; [10, Proposition LXX, Theorem XXXI, p. 193]. Como os campos elétrico e gravitacional variam com o inverso do quadrado da distância, o argumento e´ essencialmente o mesmo nos dois casos. Entretanto, Newton não possu´ıa a noça˜ o de potencial, nem ferramentas de cálculo tão avançadas quanto as nossas. Não admira, portanto, que a demonstraça˜ o deste fato tenha sido um dos grandes obstáculos que enfrentou ao escrever o P RINCIPIA. Uma discussão detalhada da contribuiça˜ o de Newton pode ser encontrada em [3, p. 269-275] e [15, p. 427].

6. EXERCÍCIOS

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6. Exerc´ıcios 1. Mostre que uma bola aberta e´ um conjunto aberto de Rn . 2. Mostre que todo retângulo aberto de Rn contém uma bola fechada e que toda bola aberta contém um retângulo fechado. 3. Mostre que os u´ nicos subconjuntos de Rn que são simultaneamente abertos e fechados são Rn e ∅. 4. Mostre que, se um conjunto fechado de Rn não tem fronteira, então e´ igual a Rn e ∅. 5. Mostre que uma região de R e´ convexa se, e somente se, e´ um intervalo. 6. Qual das seguintes afirmaço˜ es e´ verdadeira, e qual e´ falsa: (a) Todo subconjunto convexo de Rn e´ conexo. (b) Todo subconjunto conexo de Rn e´ convexo. Justifique cuidadosamente a sua resposta. 7. Seja U uma região de Rn e f : U → R uma funça˜ o. O laplaciano de f e´ definido por n X ∂2f ∆(f ) = . ∂xj j=1 Dizemos que f satisfaz a equaça˜ o de Laplace se seu laplaciano e´ nulo. Mostre que as seguintes funço˜ es satisfazem a equaça˜ o de Laplace: (a) f (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 ; (b) f (x, y, z) = cos(5z) exp(3x + 4y) 8. Sejam f e g funço˜ es diferenciáveis, definidas em uma região aberta U ⊆ R2 . Mostre que, se ∂f ∂g ∂f ∂g =− e = , ∂x ∂y ∂y ∂x então, ∆(f ) = 0. 9. Mostre que a funça˜ o f (x, y) = arctan(y/x) definida em x > 0, satisfaz ∆f = 0. 10. Seja U uma região aberta de Rn e f : U → R uma funça˜ o diferenciável. Considere uma curva diferenciável parametrizada C : (0, 1) → U, com parâmetro t. Use a regra da cadeia em mais de uma variável para calcular a derivada de g(t) = f (C(t)), em funça˜ o das derivadas parciais de f.

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1. PRELIMINARES

11. Seja U uma região de Rn e f ∈ O(U ) uma funça˜ o diferenciável. O laplaciano de f e´ definido pela fórmula n X ∂2f ∆(f ) = . ∂x2i i=1 Calcule o laplaciano das funço˜ es cos(x1 x2 ), tan(x1 + x2 ) e exp(x21 + x22 ). 12. Seja U uma região de Rn . Uma funça˜ o f ∈ O(U ) satisfaz a equaça˜ o de Laplace se ∆(f ) = 0 em U . Mostre que cada uma das funço˜ es abaixo satisfaz a equaça˜ o de Laplace: (a) f (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 ; (b) f (x, y, z) = cos(5z) exp(3x + 4y) 13. Sejam f e g funço˜ es diferenciáveis, definidas em uma região aberta U ⊆ R2 . Mostre que, se ∂f ∂g ∂f ∂g =− e = , ∂x ∂y ∂y ∂x então, ∆(f ) = 0. 14. Mostre que a funça˜ o f (x, y) = arctan(y/x) definida em x > 0, satisfaz ∆f = 0. 15. Seja r = (x21 + · · · + x2n )1/2 . (a) Calcule ∂r/∂xi . (b) Calcule ∇r. 16. Seja f uma funça˜ o diferenciável em apenas uma variável e r = (x21 + · · · + x2n )1/2 . Defina g(x1 , . . . , xn ) = f (r). (a) Calcule o gradiente de g. (b) Calcule ∆g. 17. Seja f uma funça˜ o diferenciável definida em um aberto de Rn que contém a origem. Use o exerc´ıcio anterior para mostrar que: o valor de f em p ∈ U depende apenas da distância de p a` origem −→ se, e somente se, ∇f e´ nulo ou paralelo ao vetor Op. 18. Seja U uma região de Rn . Prove que O(U ) e X(U ) são espaços vetoriais sobre R. 19. Esboce cada um dos campos de velocidade descritos abaixo. (a) F (x, y, z) = (y, 0); (b) F (x, y, z) = (2/r2 , 0);

6. EXERCÍCIOS

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(c) F (x, y, z) = (4y, 0); (d) F (x, p y, z) = (0, 3r3 ); onde r = x2 + y 2 . 20. Seja f um polinômio nas variáveis x e y e coeficientes reais. A curva algébrica Cf e´ o conjunto de pontos de R2 que são zeros de f ; isto e´ , Cf = {p ∈ R2 : f (p) = 0}. Esboce C(f ) em cada um dos casos abaixo: (a) f (x, y) = y − x2 . (b) f (x, y) = x2 + y 2 − 1. (c) f (x, y) = y 2 − x3 . (d) f (x, y) = y 2 − x2 (x + 1). 21. Seja f um polinômio nas variáveis x e y e coeficientes reais. (a) Dê uma fórmula para o vetor tangente a Cf em um ponto p ∈ Cf , em funça˜ o das derivadas parciais de f . (b) Um ponto onde o vetor tangente se anula e´ conhecido como ponto singular de Cf . Determine os pontos singulares de Cf para cada uma das funço˜ es f do exerc´ıcio ??. 22. Seja g um polinômio em x. Mostre que se f (x, y) = y m − g(x), onde k > 0 e´ um número inteiro, então o número de pontos singulares de f e´ finito. 23. Sejam p e q pontos do Rn . Escreva uma equaça˜ o paramétrica para o segmento de reta que vai de p a q. 24. Sejam p e q pontos da esfera de raio 1 e centro na origem do Rn . Escreva uma equaça˜ o paramétrica para a curva que vai de p a q e está totalmente contida na esfera. 25. Seja F um campo vetorial definido em uma região U do R3 e defina o operador ∂ ∂ ∂ + F2 + F3 , DF = F1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 onde F1 , F2 e F3 são as funço˜ es coordenadas de F . Mostre que se g ∈ O(U ), então DF (g) = ∇g · F. 26. Sejam F e G campo vetoriais definidos em uma região U do R3 . Defina o comutador de F e G como sendo [DF , DG ] = DF · DG − DG · DF , onde o ponto indica a composta de operadores. Mostre que [DF , DG ] = DH para algum campo H definido em U e calcule as funço˜ es coordenadas de H.

Cap´ıtulo 2 1-formas Usando a noça˜ o de trabalho como ponto de partida, introduzimos neste cap´ıtulo as 1-formas e aprendemos a integrá-las. 1. Trabalho Como explicamos na introduça˜ o, começamos nosso tratamento de 1-formas utilizando como motivça˜ o a noça˜ o de trabalho. 1.1. Trabalho de um campo constante. Seja F : R2 → R2 um campo de forças constante definido em todo o plano. Como o campo e´ constante, temos que F (u) = F0 , para todo u ∈ R2 . No ensino médio, aprendemos a calcular o trabalho realizado por uma força em um deslocamento em linha reta. No nosso caso, a força e´ dada pelo campo. Como estamos supondo que o campo F e´ constante, podemos definir o trabalho realizado por F de maneira análoga ao do trabalho de uma força constante. Mais precisamente, o trabalho realizado por F no deslocamento em linha reta que vai de p a q em R2 e´ dado pelo produto interno F0 · (q − p), onde a diferença q − p deve ser interpretada como o vetor que vai de p a q. Aumentando um pouco a generalidade de nosso problema, suponhamos que o campo F e´ constante, mas que o deslocamento já não seja ao longo de uma reta. Começaremos tratando o caso mais simples em que o deslocamento se dá ao longo do gráfico de uma funça˜ o. Digamos que x e y são as coordenadas usuais do plano, determinadas pela base canônica. A curva que queremos considerar corresponde ao gráfico da funça˜ o cont´ınua f : [0, 1] → R. Em outras palavras, os pontos desta curva são da forma (t, f (t)), onde t ∈ [0, 1]. Note que assumimos f cont´ınua, para que a curva correspondente não dê pulos; do contrário, nosso modelo não seria fisicamente defensável. Desejamos definir o trabalho realizado pelo campo constante F : R2 → R2 ao longo desta curva. Nosso ponto de partida, será a u´ nica definiça˜ o de trabalho que conhecemos; a que supõe que o deslocamento seja ao longo de uma reta. A idéia e´ o´ bvia, basta aproximar a curva por uma sucessão de segmentos de reta. Somamos, então, o trabalho realizado sobre cada segmento. Reduzindo o tamanho dos segmentos, podemos obter uma aproximaça˜ o tão boa quanto 13

14

2. 1-FORMAS

desejarmos. Para executar esta estratégia, dividimos o intervalo [0, 1] em n partes. Obtendo, assim, n subintervalos da forma [i/n, (i + 1)/n], onde 0 ≤ i ≤ n − 1. Nas extremidades do intervalo [i/n, (i + 1)/n] a funça˜ o f assume os valores f (i/n) e f ((i + 1)/n). Portanto, o segmento i i+1 t + (1 − t) com 0 ≤ t ≤ 1 n n nos dá uma aproximaça˜ o de f entre i/n e (i + 1)/n. Naturalmente, a aproximaça˜ o será tanto melhor, quanto menores forem os intervalos; isto e´ , quanto maior for n. A bem da verdade, esta afirmaça˜ o só e´ verdadeira se a curva correspondente ao gráfico de f for diferenciável, e não apenas cont´ınua. Por isso assumiremos, de agora em diante, que f e´ uma funça˜ o diferenciável. Passando, agora, ao cálculo do trabalho em [i/n, (i + 1)/n], temos que o deslocamento em linha reta vai de (i/n, f (i/n)) a ((i + 1)/n, f ((i + 1)/n)). Desta forma, o vetor que descreve o deslocamento e´ ((i + 1)/n, f ((i + 1)/n)) − (i/n, f (i/n)) = (1/n, f ((i + 1)/n)) − f (i/n)), de modo que o trabalho correspondente será (1/n, f ((i + 1)/n)) − f (i/n)) · F0 onde F0 e´ o vetor constante que define F . Para obter uma aproximaça˜ o do trabalho sobre toda a curva, somamos o trabalho ao longo dos pequenos segmentos, obtendo n−1 X

F0 · (1/n, f ((i + 1)/n)) − f (i/n)).

i=0

Pelas propriedades do produto interno, esta soma e´ igual a (1.1)

F0 ·

n−1 X

1/n,

i=0

n−1 X

! f ((i + 1)/n) − f (i/n) .

i=0

Expandindo o somatório n−1 X i=0

f

i+1 n

−f

i , n

temos 1 2 1 f − f (0) + f −f + ··· n n n n n−2 n−1 n−1 + f −f + f −f n n n n que e´ uma soma telescópica. Em outras palavras, os termos intermediários se cancelam, de modo que sobram, apenas, o termo final e o inicial; com isso n−1 X i+1 i f( ) − f ( ) = f (n) − f (0). n n i=0

1. TRABALHO

15

Como n−1 X

1/n = 1,

i=0

verificamos que (1.1) e´ igual a F0 · (1, f (1) − f (0)). Este resultado e´ extremamente surpreendente, porque o cômputo final do trabalho acabou não dependendo nem do gráfico da funça˜ o, nem de quantas partes dividimos o segmento [0, 1]. Em particular, o resultado e´ exato, já que o número de divisões do segmento não influencia o valor obtido. Mais surpreendente ainda e´ o fato do resultado não depender da forma do gráfico da funça˜ o: dá no mesmo se o gráfico e´ uma reta ou uma curva cheia de altos e baixos. Antes que você fique por demais entusiasmado com a simplicidade do resultado que obtivemos, convém lembrar que estamos fazendo duas hipóteses substanciais. A primeira e´ que o campo e´ constante; a outra, que a curva ao longo da qual o trabalho está sendo calculado e´ o gráfico de uma funça˜ o. Vamos remover estas suposiço˜ es uma a uma, começando pela segunda. Seja, então, C uma curva em R2 . Queremos dividir a curva em pequenos segmentos para calcular uma aproximaça˜ o do trabalho. O caso anterior foi fácil, porque bastou dividir o segmento [0, 1] e usar isto para dividir a curva. Como proceder no caso de uma curva mais geral? A sa´ıda e´ não considerar uma curva geral demais; mais precisamente, queremos que C seja uma curva cont´ınua parametrizável. Isto significa que o conjunto C de pontos da curva e´ igual a` imagem de uma funça˜ o cont´ınua ψ : [0, 1] → R2 . Assim, para cada ponto p0 da curva C existe um t0 ∈ [0, 1] tal que p0 = ψ(t0 ). Em §3.3 veremos como considerar curvas um pouco mais gerais. Assumiremos, portanto, de agora em diante, que todas as curvas com as quais estamos trabalhando são, de fato, parametrizáveis. Por causa disto, e para facilitar a notaça˜ o, usaremos a mesma letra para designar a curva e a funça˜ o de [0, 1] em R2 que corresponde a` sua parametrizaça˜ o. Seja, então, C : [0, 1] → R2 uma curva parametrizada, e seja F : R2 → 2 R o campo de vetores constantes já considerado acima. Como no caso do gráfico de uma funça˜ o, subdividimos o intervalo em que C está definida em n partes que, por sua vez, usamos para subdividir a curva C. Portanto, o trabalho realizado pelo campo no deslocamento ao longo de C pode ser aproximado por i+1 i F0 · C −C . n n Somando sobre cada intervalo, e apelando para as propriedades do produto interno, obtemos ! n−1 X i + 1 i F0 · C −C . n n i=0

16

2. 1-FORMAS

Mais uma vez, trata-se de uma soma telescópica. Efetuando o cancelamento dos termos intermediários, descobrimos que o trabalho total e´ igual a F0 · (C(1)) − F0 · (C(0)). Novamente o resultado depende apenas do in´ıcio e do fim da curva, e não de como a curva evolui entre estes dois pontos. Podemos, com isso, enunciar nosso primeiro teorema. T EOREMA . O trabalho de um campo constante entre dois pontos independe de como e´ feito o deslocamento entre estes pontos. Resta-nos remover a hipótese do campo ser constante, faremos isto no próximo parágrafo. ´ 1.2. Trabalho de um campo variavel. Chegou a hora de enfrentar o caso geral, em que o campo não e´ constante e o deslocamento se dá ao longo de uma curva qualquer. Lembre-se, porém, que em nossa nomenclatura a expressão “curva qualquer” e´ uma abreviaça˜ o de “curva parametrizável cont´ınua qualquer”. Outro ponto a ser notado e´ que, como o campo era constante, estivemos supondo que estava definido em todo o plano. Contudo, já que vamos permitir um campo variável, esta hipótese se torna inconveniente. Por exemplo, o campo gravitacional definido por uma massa pontual não está definido no ponto onde a massa está situada, já que o valor do campo neste ponto seria infinito. Por isso, assumiremos, a partir de agora, que nossos campos e curvas estão contidos em regiões do plano. Antes de pôr mãos a` obra, convém fazer algumas ressalvas sobre o tratamento que daremos ao problema de definir trabalho de um campo variável neste parágrafo. Nosso objetivo e´ justificar o porquê da definiça˜ o utilizada em f´ısica, tomando por base apenas a definiça˜ o de trabalho de um campo constante. Note o uso da palavra “justificar”. Não podemos “provar” que a definiça˜ o utilizada em f´ısica está correta, simplesmente porque isto não faz sentido. Afinal, posso, em princ´ıpio, definir qualquer coisa que eu deseje. Se minha definiça˜ o e´ ou não u´ til na descriça˜ o de algum fenômeno f´ısico, e´ outro problema. Portanto, o que queremos e´ um argumento mais ou menos convincente que nos permita entender porque os f´ısicos julgam adequada a definiça˜ o geral de trabalho que utilizam. Tendo em mente as consideraço˜ es acima, utilizaremos um argumento que remonta aos P RINCIPIA de Newton. O argumento propõe uma maneira de aproximar um campo de força variável a partir de uma força constante. Seja U uma região do plano. Digamos que F : U → R2 e´ um campo cont´ınuo (não constante), e que C : [0, 1] → U e´ uma curva cont´ınua parametrizada. Como no §1.1 dividiremos o intervalo em n partes iguais, e usamos isto para dividir a curva C. O argumento a` la Newton consiste em supor que o campo F pode ser aproximado por um campo descont´ınuo, que e´ igual a F (i/n) no intervalo [i/n, (i + 1)/n). Assim, de 0 até chegar a 1/n, suporemos que o campo vale F (0). Em 1/n, o campo aumenta instantaneamente para F (1/n), e continua assim até chegar em 2/n. Em 2/n há mais um aumento

1. TRABALHO

17

instantâneo, desta vez para F (2/n), e o campo fica constante até chegar a 3/n. E assim por diante. Newton usou este tipo de argumento, por exemplo, na Proposiça˜ o I, Teorema I, da seça˜ o II, Livro I, do P RINCIPIA, onde prova que a terceira lei de Kepler segue do fato de que a gravitaça˜ o e´ uma força centr´ıpeta. Neste caso Newton imagina que a força centr´ıpeta, que deveria ser cont´ınua, e´ aplicada instantaneamente a intervalos regulares ao longo da trajetória do objeto. Vale a pena ler o argumento diretamente no P RINCIPIA; veja [10, p. 40]. Voltando ao nosso problema, vejamos como aplicar o que já sabemos sobre campos constantes a` situaça˜ o atual. Tomando o intervalo [i/n, (i+1)/n) como base, estamos supondo, em nossa aproximaça˜ o, que o campo vale F (C(i/n)) ao longo de todo este intervalo. Nosso primeiro impulso seria utilizar o teorema 1.1. Fazendo isto, concluir´ıamos que o trabalho executado, sob estas circunstâncias, para ir de C(i/n) a C((i + 1)/n) deveria ser F (C(i/n)) · (C((i + 1)/n) − C(i/n)). Contudo, isto não está correto, já que estamos assumindo que o campo aumenta, instantaneamente, para F (C((i + 1)/n)) em (i + 1)/n; ao passo que o teorema pressupõe o campo constante em todo o intervalo fechado. Resolvemos esta dificuldade chegando muito perto de (i + 1)/n, mas sem atingi-lo. Por exemplo, avançamos ao longo da curva C de i/n até (i + 1) 1 − n. n 2 Se n for grande, este número está bem perto, mas aparece um pouco antes, de (i + 1)/n, de modo que o campo ainda vale F (C(i/n)) em 1 (i + 1) − n . C n 2 Portanto, sob estas hipóteses, o trabalho realizado por F no intervalo [i/n, (i + 1)/n) e´ aproximadamente igual a 1 (i + 1) − n − C(i/n) . F (C(i/n)) · C n 2 Para descomplicar um pouco a notaça˜ o, escreveremos ti = i/n e ∆t =

1 1 − , n 2n

de modo que (i + 1) 1 − n = ti + ∆t. n 2 Com isto a aproximaça˜ o para o trabalho no intervalo [i/n, (i + 1)/n) se reescreve como F (C(ti )) · (C(ti + ∆t) − C(ti )).

18

2. 1-FORMAS

Somando todos estes valores para 0 ≤ i ≤ n − 1, obtemos Tn =

n−1 X

F (C(ti )) · (C(ti + ∆t) − C(ti )),

i=0

como uma aproximaça˜ o do trabalho realizado por F ao longo de C. Porém, ao contrário do que ocorria no caso de um campo constante, esta não e´ uma soma telescópica. Para que isto fosse verdade precisar´ıamos poder cancelar F (C(ti )) · (C(ti + ∆t)) com F (C(ti+1 )) · (C(ti+1 )); o que não e´ poss´ıvel, já que não são iguais. Contornamos esta dificuldade fazendo uma coisa bem mais sofisticada. Pelas propriedades do produto interno, temos que Tn =

n−1 X

F (C(ti )) ·

i=0

C(ti + ∆t) − C(ti ) ∆t

∆t.

Contudo, esta soma e´ uma soma de Riemann (ou quase isto...); de forma que fazendo n tender a infinito, esperamos encontrar uma integral. Antes, porém, devemos decidir o que acontece ao integrando quando passamos a este limite. Mas, 1 1 lim ∆t = lim − n = 0, n→∞ n→∞ n 2 de forma que C(t + ∆t) − C(t) C(t + ∆t) − C(t) = lim = C 0 (t), lim n→∞ ∆t→0 ∆t ∆t que e´ derivada de C em relaça˜ o a t, sua u´ nica variável. E´ claro que, para que isto faça sentido, C tem que ser diferenciável, e não apenas cont´ınua, como funça˜ o de t. Assumindo isto, obtemos Z 1 lim Tn = F (C(t)) · (C 0 (t))dt. n→∞

0

Portanto, o trabalho TC (F ) do campo F ao longo da curva C deve ser definido como Z 1 F (C(t)) · (C 0 (t))dt. (1.2) TC (F ) = 0

que e´ conhecida como a integral de linha de F ao longo de C, e denotada por Z F. C

1. TRABALHO

19

1.3. Exemplos. Antes de sistematizar a definiça˜ o obtida no §1.2, determinaremos o trabalho de alguns campos não constantes usando a fórmula (1.2) da integral de linha. Considere a região U = R2 . Calcularemos o trabalho realizado por dois campos diferentes ao longo da circunferência de raio 1 com centro na origem. Os pontos desta circunferência estão completamente contidos em U , e podemos parametrizá-la na forma C(t) = (cos(2πt), sen(2πt)). Como vamos precisar da derivada desta funça˜ o, e´ melhor calculá-la logo, C 0 (t) = (−2π sen(2πt), 2π cos(2πt)). Começemos determinando o trabalho relativo ao campo F1 (x, y) = (x2 , y). Calculando o integrando de (1.2) para este campo, obtemos (cos(2πt)2 , sen(2πt)) · (−2π sen(2πt), 2π cos(2πt)), que e´ igual a 2π(− cos(2πt)2 sen(2πt) + sen(2πt)) cos(2πt)). Portanto, o trabalho realizado pelo campo ao longo da circunferência e´ Z 1 2π (− cos(2πt)2 sen(2πt) + sen(2πt) cos(2πt))dt. 0

Esta funça˜ o e´ facilmente integrável, e nos dá 1 sen(2πt)2 cos(2πt)3 + = 0. 2π 6π 4π 0 Note que este resultado e´ compat´ıvel com a expectativa gerada pelo teorema 1.1. Como estamos integrando ao longo de uma curva fechada, o valor do campo no in´ıcio e no fim da curva coincidem. Portanto, se o teorema continua valendo, dever´ıamos mesmo obter 0. Passando ao segundo exemplo, o campo desta vez e´ dado por F2 (x, y) = (−y, x). O integrando de (1.2) e´ igual a (− sen(2πt), cos(2πt))·(−2π sen(2πt), 2π cos(2πt)) = 2πsen(2πt)2 +2π cos(2πt)2 = 2π. Portanto, o trabalho realizado por F2 ao longo da circunferência e´ igual a Z 1 dt = 2π, 0

e não e´ zero, como seria o caso se o teorema 1.1 valesse em geral. Este u´ ltimo exemplo nos permite concluir que o teorema 1.1 não vale para qualquer campo. Entretanto, já sabemos que sempre vale para campos constantes e parece valer também para F1 . O “parece” fica por conta do fato de só termos feito os cálculos para um caminho muito especial, a circunferência

20

2. 1-FORMAS

de raio 1 em torno da origem. Para garantir que o teorema e´ válido para F1 ter´ıamos que testá-lo para qualquer curva fechada contida em U . Vejamos o que acontece se fizermos isto. Seja, então, C : [0, 1] → U uma curva fechada diferenciável. O fato de C ser fechada se traduz pela igualdade C(0) = C(1); e isto e´ basicamente tudo que sabemos sobre C. Calculando o integrando de (1.2), obtemos c1 (t)2 c01 (t) + c2 (t)c02 (t), onde c1 e c2 são as funço˜ es coordenadas da curva C. Portanto, o trabalho realizado por F1 ao longo desta curva e´ igual a Z TC (F1 ) =

1

(c1 (t)2 c01 (t)

0

+

c2 (t)c02 (t))dt

c2 (t)2 c1 (t)3 + = 3 2

1 = 0, 0

uma vez que c1 (0) = c1 (1) e c2 (0) = c2 (1). Mostramos, assim, que o trabalho realizado por F1 em qualquer caminho fechado e´ sempre zero. Mas isto basta para concluirmos que o resultado do teorema 1.1 vale para F1 . Para entender porque, suponha que C e D são duas curvas que vão de P1 a P2 , dois pontos de U . Definimos uma nova curva −D : [0, 1] → U por −D(t) = D(1 − t). Isto quer dizer que os ponto de −D são os mesmos de D, só que a curva e´ percorrida ao contrário. Percorrendo, agora, C de P1 a P2 , seguido de −D, de P2 a P1 , obtemos uma curva fechada. Vamos chamá-la de C − D. Do que provamos acima, TC−D (F1 ) = 0. Mas, como e´ fácil ver, TC−D (F1 ) = TC (F1 ) + T−D (F1 ) = TC (F1 ) − TD (F1 ), já que ao percorrermos a curva em sentido contrário, o sinal da integral se inverte. Mas isto implica que TC (F1 ) = TD (F1 ), provando assim que o trabalho realizado por F1 independe do deslocamento, desde que os pontos inicial e final coincidam. Revendo este argumento com o devido cuidado, e´ fácil constatar que atiramos toda cautela pela janela. Por exemplo, já vimos que uma curva deve ser diferenciável para que possamos calcular a integral de linha. Contudo C − D pode não ser diferenciável mesmo se C e D o forem, como mostra a figura abaixo.

1. TRABALHO

21

·

D

C

· Nesta figura, as curvas C e D foram desenhadas de forma a terem tangentes em todo lugar. Apesar disto, formaram-se ‘bicos’ nos pontos onde as curvas se encontram, indicando que a curva fechada C − D não e´ diferenciável em nestes pontos. Voltaremos a esta questão em detalhe no §3.1. Com isto, podemos refinar nossas observaço˜ es anteriores sobre o teorema 1.1. Mostramos que • o teorema não vale para qualquer campo; • o teorema vale para qualquer campo constante; • o teorema não vale apenas para campos constantes. Estas observaço˜ es sugerem imediatamente o seguinte problema. P ROBLEMA . Caracterizar os campos para os quais trabalho entre dois pontos fixos independe da curva ao longo da qual e´ calculado. Campos para os quais esta propriedade vale são chamados de conservativos, e incluem muitos exemplos f´ısicos, como o campo gravitacional e o campo elétrico. A caracterizaça˜ o dos campos conservativos será feita no §5.6 do cap´ıtulo 3. 1.4. Mudando de perspectiva. Seja U uma região do plano e F um campo definido em U . No §1.2 vimos que o trabalho de F ao longo de uma curva parametrizada C, contida em U , e´ a integral da funça˜ o γ(t) = F (C(t)) · C 0 (t), entre 0 e 1. Neste parágrafo investigamos as propriedades desta funça˜ o. A primeira coisa a notar e´ que γ pode ser facilmente escrita como a composta de duas aplicaço˜ es, que chamaremos de G e α. A aplicaça˜ o G e´ definida por G(t) = (C(t), C 0 (t)) e tem dom´ınio [0, 1] e contradom´ınio U × R2 . Já α : U × R2 → R e´ definida por α(p, v) = F (p) · v, onde p ∈ U e v ∈ R2 . Temos, assim, que G

α

[0, 1] −→ U × R2 −→ R

22

2. 1-FORMAS

donde γ = α · G. Note que, ao efetuar esta decomposiça˜ o, os papéis desempenhados pela curva e pelo campo foram atribu´ıdos a duas funço˜ es diferentes. De fato G codifica a informaça˜ o referente a` curva, ao passo que o campo e´ codificado em α. E´ nas propriedades de α que queremos nos concentrar a seguir. Em primeiro lugar, se p ∈ U for fixado, obtemos a partir de α a aplicaça˜ o α|p0 : Rn → R, definida por α|p0 (v) = α(p0 , v) = F (p0 ) · v. Apelando mais uma vez para as propriedades do produto interno, vemos que α|p0 e´ uma aplicaça˜ o linear. Em outras palavras, Propriedade 1: α e´ linear em sua segunda entrada, desde que a primeira entrada assuma um valor fixo. Por outro lado, se F = (a1 , a2 ) e v0 = (x0 , y0 ) for um vetor fixo de U , obtemos uma funça˜ o p 7→ α(p, v0 ) = a1 (p)x0 + a2 (p)y0 . Mas as funço˜ es coordenadas de F são diferenciáveis por hipótese. Como qualquer combinaça˜ o linear de funço˜ es diferenciáveis e´ uma funça˜ o diferenciável, o mesmo vale para a funça˜ o acima definida. Portanto, Propriedade 2: α e´ diferenciável em sua primeira entrada, desde que a segunda entrada assuma um valor fixo. Qualquer aplicaça˜ o U × Rn → R, que satisfaça as propriedades 1 e 2, destacadas acima, e´ chamada de 1-forma diferencial. Agora que sabemos o que e´ uma 1-forma, podemos introduzir a notaça˜ o tradicionalmente usada para denotá-las. Seja β uma 1-forma em U e ε = {e1 , e2 } a base canônica do R2 . Escolha p ∈ U e v = x1 e1 + x2 e2 um vetor do plano. Apelando para a linearidade de β relativamente a` sua segunda entrada, podemos escrever (1.3)

β(p, v) = β(p, x1 e1 + x2 e2 ) = x1 β(p, e1 ) + x2 β(p, e2 ).

Como a segunda entrada está fixa em β(p, e1 ) e β(p, e2 ), temos que estas duas funço˜ es de p são diferenciáveis. A partir de (1.3) seria fácil descrever a representaça˜ o matricial de β, mas não e´ este o caminho adotado na notaça˜ o tradicional. Ao invés disto, definimos aplicaço˜ es lineares auxiliares dxi : R2 → R pela fórmula dxi (v) = dxi (x1 e1 + x2 e2 ) = xi , para 1 ≤ i ≤ 2. Em palavras, dxi captura a i-ésima coordenada de v.

1. TRABALHO

23

Usando esta notaça˜ o, e levando em conta (1.3), β pode ser escrita como β = β(p, e1 )dx1 + β(p, e2 )dx2 . Podemos resumir o que fizemos até aqui dizendo que uma 1-forma e´ uma expressão da forma b1 dx1 + b2 dx2 , onde b1 , b2 : U → R são funço˜ es diferenciáveis. A aplicaça˜ o composta α · G e´ conhecida como a imagem inversa de α pela curva parametrizada C, e denotada por C ∗ (α). Há um detalhe importante desta u´ ltima construça˜ o que não podemos deixar de observar. Conservando a notaça˜ o introduzida acima para F , e denotando as funço˜ es coordenadas de C por c1 e c2 , temos que C ∗ (α) = a1 (C)c01 + a2 (C)c02 . Apesar de estarmos acostumados a pensar na derivada C 0 (t) como sendo um vetor, o correto seria considerá-la como a transformaça˜ o linear DC : R → R2 definida em s ∈ R por DC(t) (s) = C 0 (t)s = (c01 (t)s, c02 (t)s). Naturalmente estamos supondo que t está fixo na definiça˜ o acima. Assumindo que a derivada e´ uma transformaça˜ o linear, vemos que C ∗ (α) corresponde a` aplicaça˜ o de [0, 1] × R em R, dada por (1.4)

C ∗ (α)(t, s) = γ(t)s,

onde γ(t) == (a1 (C(t))c01 (t) + a2 (C(t))c02 (t)), e´ uma funça˜ o de [0, 1] em R. Como C ∗ (α)(t, s) e´ linear em s e diferenciável em t, temos uma 1-forma diferencial, só que, desta vez, definida no intervalo (0, 1). Retroagindo a` definiça˜ o dada anteriormente, uma 1-forma diferencial em (0, 1) deve ser uma aplicaça˜ o η : (0, 1) × R → R, que e´ diferenciável em relaça˜ o a` sua primeira coordenada e linear em relaça˜ o a` segunda. Procedendo como no caso de 1-formas de R2 , podemos escrever η como η = η(t, 1)dt, onde dt : R → R e´ a transformaça˜ o linear definida por dt(s) = s. Talvez isto pareça muita notaça˜ o para pouca matemática, mas e´ apenas conseqüeˆ ncia do fato, bem conhecido, de que um operador linear qualquer de R e´ dado pela multiplicaça˜ o por uma constante. E e´ exatamente isto que obter´ıamos se fixássemos t na expressão de η. Usando esta notaça˜ o, podemos reescrever (1.4) na forma C ∗ (α) = γ(t)dt. Estes comentários nos ajudam a interpretar a noça˜ o de integral de linha na linguagem das formas diferenciais. Lembre-se que a integral de F ao longo

24

2. 1-FORMAS

de C foi definida como sendo a integral da funça˜ o γ entre 0 e 1. Mas γ e´ o coeficiente da 1-forma C ∗ (α). Reescrevendo tudo isto numa ordem mais direta: a integral da 1-forma α ao longo de C, e´ a integral da 1-forma C ∗ (α) em [0, 1] que, por sua vez, e´ a integral de γ neste mesmo intervalo. Isto e´ , Z Z Z 1 α= C ∗ (α) = γdt. C

[0,1]

0

Como de costume, o termo mais a` direita nesta u´ ltima equaça˜ o representa a integral da funça˜ o γ entre 0 e 1. O dt está presente, apenas, para indicar qual e´ a variável de integraça˜ o. Contudo, a integral da 1-forma γdt em [0, 1] e´ Z γdt, [0,1]

que e´ perigosamente parecida com a notaça˜ o para a integral de γ entre 0 e 1. Removeremos o perigo de amb´ıgüidade simplesmente definindo Z Z 1 γdt, como sendo igual a γdt. [0,1]

0

Para encerrar, generalizamos a definiça˜ o acima para a integral de qualquer 1-forma do plano ao longo de uma curva. Se β e´ uma 1-forma em U e C : [0, 1] → U uma curva, definimos Z Z β= C ∗ (β). C

[0,1]

Como C ∗ (β) = gdt, para alguma funça˜ o diferenciável g, Z Z C ∗ (β) = [0,1]

1

gdt,

0

que e´ a integral usual de g entre 0 e 1. Na próxima seça˜ o generalizaremos e sistematizaremos tudo isto. Entre outras coisas, precisamos esclarecer como se deve lidar com o conflito entre intervalos abertos e fechados, que se manisfestou subrepiticiamente na discussão acima. De fato, a integral foi calculada no intervalo fechado [0, 1]. Contudo, o seu integrando e´ uma 1-forma definida no intervalo aberto (0, 1). 2. O caso geral Nesta seça˜ o vamos generalizar e (com perdão pelo trocadilho) formalizar a noça˜ o de 1-forma diferenciável. Apesar de não utilizarmos formas em espaços de dimensão superior a 3 em nossas aplicaço˜ es, introduziremos 1-formas sobre Rn . Faremos isto porque a teoria geral e´ tão elementar que restringi-la não a simplificaria em nada. Sinta-se livre para imaginar que 1 ≤ n ≤ 3, se preferir.

2. O CASO GERAL

25

2.1. 1-formas diferenciais. Seja U uma região de Rn . Uma 1-forma diferencial em U e´ uma aplicaça˜ o α : U × Rn → R, que satisfaz a` s seguintes condiço˜ es: (1) fixando p0 ∈ U , e considerando α(p0 , u) como funça˜ o apenas de u, temos uma aplicaça˜ o linear de Rn em R; (2) fixando u0 ∈ Rn , e considerando α(p, u0 ) como funça˜ o apenas de p, temos uma funça˜ o diferenciável de U em R. Como no §1.4, uma vez que p ∈ U tenha sido fixado, definimos αp como sendo a transformaça˜ o linear αp : Rn → R, dada por α|p (v) = α(p, v) para todo v ∈ Rn . Podemos expressar qualquer 1-forma de maneira bastante concreta, se adotamos um sistema de coordenadas em Rn . Feito isto, seja ε = {e1 , . . . , en }, a base canônica relativamente a esta escolha de coordenadas. Dado um vetor v, qualquer, de Rn , podemos escrevê-lo como v = b1 e1 + · · · + bn en , onde b1 , . . . , bn são números reais. Fixando, agora, um ponto p em U , e apelando para a propriedade (1) da definiça˜ o acima, α(p, v) = b1 α(p, e1 ) + · · · + bn α(p, en ).

(2.1)

Denotando, então, por dxi a transformaça˜ o linear de Rn em R que extrai a i-ésima coordenada de um vetor, temos que dxi (u) = bi . Portanto, o u´ ltimo termo de (2.1) pode ser reescrito na forma α(p, u) = α(p, e1 )dx1 (u) + · · · + α(p, en )dxn (u). Entretanto, ei e´ um vetor fixo de Rn , de modo que, pela propriedade (2), α(p, ei ) e´ uma funça˜ o diferenciável de p para cada 1 ≤ i ≤ n. Por isso, escrevendo, ai (x1 , . . . , xn ) = α((x1 , . . . , xn ), ei ), temos uma funça˜ o diferenciável ai : U → R. Assim, α(p, u) = a1 (p)dx1 (u) + · · · + an (p)dxn (u), para todo p ∈ U e u ∈ Rn . Mas isto equivale a dizer que α = a1 dx1 + · · · + an dxn ,

(2.2) n

em U × R .

26

2. 1-FORMAS

Não foi a` toa que preferimos definir o conceito de 1-forma diferenci-al utilizando as propriedades (1) e (2), ao invés de usar diretamente a expressão (2.2). A fórmula (2.2) pressupõe que um sistema de coordenadas tenha sido previamente escolhido, que não e´ o caso da definiça˜ o do in´ıcio deste parágrafo. No jargão matemático a definiça˜ o que escolhemos e´ livre de coordenadas. 2.2. O espaço vetorial das 1-formas diferenciais. O conjunto formado pelas 1-formas diferenciais definidas em uma região U do Rn será denotado por Ω1 (U ). Há várias operaço˜ es que podemos definir em Ω1 (U ), a mais simples das quais e´ a soma. Sejam α e β 1-formas diferenciais em U , a soma α + β e´ definida em um ponto (p, v) ∈ U × Rn por (α + β)(p, v) = α(p, v) + β(p, v). Para que esta definiça˜ o seja u´ til, e´ preciso que α + β também seja uma 1-forma diferencial em U , e não apenas uma aplicaça˜ o qualquer. Mas isto e´ fácil de verificar usando as propriedades (1) e (2). Em primeiro lugar, fixando p ∈ U e tomando v1 , v2 ∈ Rn e um escalar k, temos que (2.3)

(α + β)(p, v1 + kv2 ) = α(p, v1 + kv2 ) + β(p, v1 + kv2 ).

Como α e β satisfazem (1), α(p, v1 + kv2 ) = α(p, v1 ) + kα(p, v2 ) e β(p, v1 + kv2 ) = β(p, v1 ) + kβ(p, v2 ). Substituindo em (2.3), obtemos (α + β)(p, v1 + kv2 ) = α(p, v1 ) + kα(p, v2 ) + β(p, v1 ) + kβ(p, v2 ), que pode ser reescrito na forma (α + β)(p, v1 + kv2 ) = (α + β)(p, v1 ) + k(α + β)(p, v2 ). Isto mostra que α + β e´ linear na segunda coordenada, quando a primeira está fixa. Poder´ıamos ter abreviado toda esta conta apelando apenas para o fato de que a soma de duas aplicaço˜ es lineares (neste caso, α|p e β|p ) também e´ uma aplicaça˜ o linear. Fixando, agora, um vetor v0 ∈ Rn temos, pela propriedade (2), que α(p, v0 ) e β(p, v0 ) são funço˜ es diferenciáveis de p. Como a soma de funço˜ es diferenciáveis em U e´ uma funça˜ o diferenciável em U , conclu´ımos que (α + β)(p, v0 ) e´ diferenciável como funça˜ o de p. Mostramos, assim, que α + β satisfaz (1) e (2); portanto, e´ uma 1-forma diferenciável em U . Um cálculo simples mostra que se α = a1 dx1 + · · · + an dxn e β = b1 dx1 + · · · + bn dxn , então α + β = (a1 + b1 )dx1 + · · · + (an + bn )dxn , como, aliás, seria de esperar.

2. O CASO GERAL

27

Procedendo de maneira semelhante, podemos mostrar que se α e´ uma 1forma diferencial em U e f : U → R, então a aplicaça˜ o de U × Rn em R definida por (f α)(p, v) = f (p)α(p, v), onde p ∈ U e v ∈ Rn . Mais uma vez, isto e´ facilmente expresso em termos de coordenadas pela fórmula f α = f (a1 dx1 + · · · + an dxn ) = (f a1 )dx1 + · · · + (f an )dxn . Um caso particular da multiplicaça˜ o de uma 1-forma por uma funça˜ o ocorre quando a funça˜ o e´ constante. Neste caso o que temos e´ o produto de um escalar por uma 1-forma. Assim, podemos somar 1-formas diferenciáveis e multiplicálas por escalares. Com um pouco de paciência e´ poss´ıvel verificar que estas operaço˜ es satisfazem todas as propriedades requeridas para fazer de Ω1 (U ) um espaço vetorial sobre R. Este e´ um fato que usaremos com freqüeˆ ncia ao longo destas notas; tão frequentemente que raramente chamaremos a atença˜ o para o que estamos fazendo. No §1.4 vimos como associar uma 1-forma diferencial a um campo do plano. Esta construça˜ o se generaliza imediatamente para dimensões maiores. Seja U uma região de Rn e F : U → Rn um campo de vetores diferenciável em U . Denotando por x1 , . . . , xn as coordenadas de Rn relativamente a` base canônica, e por F1 , . . . , Fn as funço˜ es coordenadas de F , definimos a 1-forma diferencial associada a F por τF = F1 dx1 + · · · + Fn dxn . Isto nos dá uma correspondência bijetiva entre campos definidos em U e formas em Ω1 (U ). Com isso, tanto podemos estudar o cálculo vetorial em termos de formas, quanto de campos. A vantagem de usar a linguagem de formas e´ que permite um tratamento unificado do que ocorre em todas as dimensões; ao contrário do que ocorre com os campos de vetores, como já comentamos na introduça˜ o. 2.3. Diferencial. Como vimos no §5.2 do cap´ıtulo 1, uma classe importante de campos vetoriais são os campos gradientes. Seja F um campo gradiente, definido em uma região U de Rn , e f ∈ O(U ) sua funça˜ o potencial. A 1-forma ∂f ∂f dx1 + · · · + dxn τ∇f = ∂x1 ∂xn e´ denotada por df , e conhecida como a diferencial, ou diferencial total, da funça˜ o f . Uma 1-forma em U que pode ser escrita como df para algum f ∈ O(U ), e´ chamada de exata. Podemos nos perguntar de que forma a diferencial se comporta com relaça˜ o a` s operaço˜ es definidas em O(U ); veja §5 do cap´ıtulo 1. Em primeiro lugar, como a derivaça˜ o parcial e´ linear, d(f + kg) = d(f ) + kd(g), para todo f, g ∈ O(U ) e k ∈ R.

28

2. 1-FORMAS

Como O(U ) e Ω1 (U ) são ambos espaços vetoriais sobre R, podemos reformular esta propriedade dizendo simplesmente que a diferencial d : O(U ) → Ω1 (U ) e´ uma transformaça˜ o linear. No caso da multipliça˜ o de funço˜ es, a situaça˜ o e´ mais complicada. Considerando, novamente, o que ocorre com as derivadas parciais, temos que se f, g ∈ O(U ), então ∂f ∂g ∂ (f g) = g+f , ∂xj ∂xj ∂xj para cada 1 ≤ j ≤ n. Assim, n X ∂g ∂f g+f dxj . d(f g) = ∂xj ∂xj j=1 Distribuindo os dxj sobre a soma, obtemos n X ∂f ∂g d(f g) = gdxj + f dxj . ∂xj ∂xj j=1 Separando as parcelas em duas somas, X n n X ∂f ∂g g dxj + f dxj . d(f g) = ∂xj ∂xj j=1 j=1 Pondo, agora, f e g em evidência, n n X X ∂f ∂g d(f g) = g dxj + f dxj , ∂xj ∂xj j=1 j=1 que pode ser reescrito como d(f g) = gdf + f dg. Esta equaça˜ o e´ conhecida como fórmula de Leibniz. 2.4. Imagem inversa. E´ chegada a hora de introduzir o conceito de imagem inversa de uma 1-forma por uma aplicaça˜ o diferenciável. Faremos isto de uma maneira suficientemente geral para cobrir os dois casos de imagem inversa introduzidos no §1.4. Seja V uma região de Rm , e seja φ : V → Rn uma aplicaça˜ o diferenciável. Escrevendo φ em termos de suas funço˜ es coordenadas, temos que φ(p) = (φ1 (p), . . . , φn (p)), para todo p ∈ V . Dizer que φ e´ diferenciável, equivale a dizer que cada uma das funço˜ es coordenadas φj : V → R para 1 ≤ j ≤ n, e´ diferenciável. A derivada de φ em um ponto p ∈ V e´ dada pela matriz jacobiana Jp (φ), que por sua vez define uma transformaça˜ o linear de Rm em Rn , que também denotaremos por (Jp (φ)).

2. O CASO GERAL

29

Até aqui não fizemos nada que não tenha sido visto em um curso de cálculo diferencial. Seguindo, agora, o roteiro já utilizado em 1.4, definimos uma funça˜ o Gφ : V × R m → Rn × R n , por Gφ (p, v) = (φ(p), Jp (φ)v), m

onde p ∈ V e v ∈ R . Note que Gφ e´ diferenciável como funça˜ o de suas m primeiras coordenadas e linear como funça˜ o das m u´ ltimas coordenadas. Suponha, agora, que a imagem de φ está contida em uma região U de Rn , na qual está definida uma 1-forma diferencial α. Neste caso a imagem de Gφ está contida em U × Rn , de modo que faz sentido calcular a composta de α com Gφ . A imagem inversa de α por φ, denotada por φ∗ (α), e´ definida por φ∗ (α) = α · Gφ . Pela definiça˜ o de composta, φ∗ (α) e´ uma aplicaça˜ o de V × Rm em R. Restanos mostrar que e´ uma 1-forma diferencial em V . Para isto, basta verificar as condiço˜ es (1) e (2) da definiça˜ o enunciada no §2.1. Digamos que um ponto p0 ∈ V foi fixado. Então, para qualquer v ∈ Rm temos φ∗ (α)(p0 , v) = α(φ(p0 ), Jp0 (φ)v), que e´ equivalente a dizer que φ∗ (α)(p0 , v) = α|φ(p0 ) · Jp0 (φ)(v). Mas, com p0 fixado, tanto α|φ(p0 ) , quanto Jp0 (φ) são lineares nas coordenadas restantes. Como a composta de aplicaço˜ es lineares e´ linear, temos que a aplicaça˜ o φ∗ (α)(p0 , v) e´ linear em v, de modo que φ∗ (α) satisfaz (1). Suponhamos, agora, que o vetor v0 ∈ Rm está fixo. Considere a funça˜ o g0 : V → U × Rn definida pela regra g0 (p) = (φ(p), Jp (φ)(v0 )). Como Jp (φ)(v0 ) e´ diferenciável como funça˜ o de p, o mesmo vale para g0 . Contudo, φ∗ (α)(p, v0 ) = α · g0 (p) qualquer que seja p ∈ V . Como composta de duas aplicaço˜ es diferenciáveis, φ∗ (α)(p, v0 ) e´ , ela própria, diferenciável, o que prova (2). E´ claro que, se φ corresponder a uma curva parametrizável, então a imagem inversa definida aqui coincide com a que foi definida no §1.4. Por outro lado, se φ : Rm → Rn for uma transformaça˜ o linear, então Gφ (p, v) = (φ(p), φ(v)), já que, neste caso, a transformaça˜ o linear induzida pela jacobiana e´ a própria φ. Se α for uma 1-forma diferenciável em Rm , temos α · Gφ (p, v) = α(φ(p), φ(v)).

30

2. 1-FORMAS

Supondo, agora, que α e´ constante, seus coeficientes são independentes da escolha de suas m primeiras coordenadas, de modo que α · Gφ (p, v) = α(φ(v)). Com isso, φ∗ (α) = α · φ, se α for uma forma constante. Um caso um pouco mais geral corresponde a` imagem inversa de dxi por uma aplicaça˜ o diferenciável qualquer, onde xi e´ a i-ésima coordenada de Rn em relaça˜ o a` base canônica ε. Mais uma vez, seja V um aberto de Rm e φ : V → Rn uma aplicaça˜ o diferenciável. Por definiça˜ o, Gφ (p, v) = (φ(p), Jp (φ)v), m

onde p ∈ V e v ∈ R . Mas isto implica que φ∗ (dxi )(p, v) = dxi (Jp (φ)v). Contudo, a i-ésima coordenada de Jp (φ)v e´ igual a (2.4)

∂φi ∂φi (p)b1 + · · · + (p)bm , ∂y1 ∂ym

onde y1 , . . . , ym são as coordenadas de Rm relativamente a` sua base canônica, e v = (b1 , . . . , bm ). Com isto, dyj (v) = bj , para 1 ≤ j ≤ m. de modo que (2.4) pode ser reescrita como ∂φi ∂φi (p)dy1 + · · · + (p)dym (v). ∂y1 ∂ym Mas isto significa que φ∗ (dxi ) =

∂φi ∂φi dy1 + · · · + dym . ∂y1 ∂ym

que e´ exatamente a diferencial da funça˜ o φi , conforme definida no final do §2.1. Com isso, podemos escrever (2.5)

φ∗ (dxi ) = dφi .

2.5. Propriedades da imagem inversa. Seja φ : V → U uma aplicaça˜ o diferenciável, onde V e U são regiões de Rm e Rn , respectivamente. Usando a notaça˜ o introduzida no §2.1 para o espaço das 1-formas diferenciais sobre uma região, podemos dizer que a imagem inversa nos dá uma aplicaça˜ o φ∗ : Ω1 (U ) → Ω1 (V ). Observe que φ tem V como dom´ınio e U como contradom´ınio, ao passo que, na imagem inversa, estas duas regiões aparecem com suas posiço˜ es trocadas: o dom´ınio de φ são as formas definidas sobre U , já seu contradom´ınio corresponde a` s formas definidas sobre V .

2. O CASO GERAL

31

Como Ω1 (U ) e Ω1 (V ) são espaços vetoriais, e´ razoável perguntar se φ∗ e´ uma transformaça˜ o linear. A resposta e´ sim, como e´ fácil de verificar. Se α1 e α2 são 1-formas diferenciais em U e k e´ um escalar, então φ∗ (α1 + kα2 ) = (α1 + kα2 ) · Gφ . Mas, da definiça˜ o de soma de formas, isto e´ igual a α1 · Gφ + k(α2 · Gφ ); que pode ser reescrito como φ∗ (α1 ) + kφ∗ (α2 ), provando, assim, a linearidade de φ∗ . O produto de uma 1-forma por um escalar e´ apenas um caso especial do produto por uma funça˜ o. Como vimos no §2.1, se g : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável e α uma 1-forma na região U , então a fórmula (2.6)

(gα)(p, v) = g(p)α(p, v), para todo p ∈ U e v ∈ Rn ,

define uma nova 1-forma diferencial em U . Vejamos o que acontece se calculamos a imagem inversa de gα pela aplicaça˜ o diferenciável φ : V → U dada acima. Por definiça˜ o, temos que φ∗ (gα)(p, v) = (gα)(φ(p), Jp (φ)v). Mas, pela fórmula (2.6), (gα)(φ(p), Jp (φ)v) = g(φ(p))α(φ(p), Jp (φ)v) = (g · φ)(p)φ∗ (α). Escrevendo φ∗ (g) = g · φ, temos a sugestiva fórmula φ∗ (gα) = φ∗ (g)φ∗ (α), na qual a justaposiça˜ o indica o produto da funça˜ o φ∗ (g) pela 1-forma φ∗ (α), ambas definidas sobre V . Por uma questão de coerência diremos que φ∗ (g) e´ a imagem inversa da funça˜ o g pela aplicaça˜ o φ. As propriedades descritas acima nos permitem dar uma fórmula bastante compacta, além de muito u´ til, para a imagem inversa de uma forma expressa em termos de coordenadas. Digamos que x1 , . . . , xn são as coordenadas de Rn , e que φ1 , . . . , φn são as funço˜ es coordenadas de φ. Neste caso, se a 1forma diferencial α se escreve como α = a1 dx1 + · · · + an dxn , temos que φ∗ (α) = φ∗ (a1 dx1 ) + · · · + φ∗ (an dxn ), pela linearidade da imagem inversa. Usando, agora, a propriedade relativa ao produto por uma funça˜ o diferenciável, obtemos φ∗ (α) = φ∗ (a1 )φ∗ (dx1 ) + · · · + φ∗ (an )φ∗ (dxn ). Finalmente, por (2.5), (2.7)

φ∗ (α) = φ∗ (a1 )dφ1 + · · · + φ∗ (an )dφn .

32

2. 1-FORMAS

Outra propriedade muito importante da imagem inversa diz respeito a` diferencial de uma funça˜ o. Se f : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável, então, pela fórmula (2.5), a imagem inversa de sua diferencial por φ e´   n m m X X X ∂φ ∂f ∂f j  (φ(z))dφj = (φ(z)) dxi . φ∗ (df ) = ∂y ∂y ∂x j j i i=1 j=1 j=1 Entretanto, pela regra da cadeia, isto e´ igual a d(φ∗ (f )) = d(f · φ). Como veremos na seça˜ o 5, esta fórmula e´ uma das chaves do estudo de campos conservativos. A u´ ltima propriedade que desejamos considerar diz respeito a` imagem inversa por uma aplicaça˜ o composta. Sejam ψ:W →V e φ:V →U aplicaço˜ es diferenciáveis, onde W , V e U são regiões de Rk , Rm e Rn , respectivamente. Queremos calcular (φ · ψ)∗ (α), onde α e´ uma 1-forma definida em U . Mas, (φ · ψ)∗ (α)(p, v) = α((φ · ψ)(p), Jp (φ · ψ)(v). Contudo, pela regra da cadeia para funço˜ es de mais de uma variável Jp (φ · ψ) = Jψ(p) (φ)Jp (ψ). Assim, (φ · ψ)∗ (α)(p, v) = α((φ · ψ)(p), Jψ(p) (φ)Jp (ψ)(v), que e´ igual a φ∗ (α)(ψ(p), Jp (ψ)(v); que, por sua vez, e´ ψ ∗ (φ∗ (α))(p, v). Portanto, (φ · ψ)∗ (α) = ψ ∗ (φ∗ (α)). Note a inversão das posiço˜ es de φ e ψ quando passamos de um lado para o outro da equaça˜ o. Vamos encerrar enunciando, de maneira sistemática, todas as propriedades da imagem inversa de formas. Seja φ : V → U uma aplicaça˜ o diferenciável entre regiões V ⊆ Rm e U ⊆ Rn . Propriedade 1: A imagem inversa φ∗ : Ω1 (U ) → Ω1 (V ) e´ uma transformaça˜ o linear entre espaços vetoriais. Propriedade 2: Se α ∈ Ω1 (U ) e f ∈ O(U ), então φ∗ (f α) = φ∗ (f )φ∗ (α). Propriedade 3: Se f ∈ O(U ), então φ∗ (df ) = dφ∗ (f ).

˜ DE 1-FORMAS 3. INTEGRAÇAO

33

Propriedade 4: Se ψ : W → V e´ uma aplicaça˜ o diferenciável em uma região W ⊆ Rk e α ∈ Ω1 (U ), então (φ · ψ)∗ (α) = ψ ∗ (φ∗ (α)). ˜ de 1-formas 3. Integraçao Já estamos de posse de toda a maquinaria necessária para definir a integral de uma 1-forma diferencial qualquer sobre uma curva. ´ 3.1. Integral de 1-forma em 1-celula. Até aqui assumimos que uma curva parametrizada C e´ , simplesmente, uma funça˜ o diferenciável do intervalo [0, 1] em R. Lembre-se que a diferenciabilidade e´ necessária para que o cálculo da imagem inversa de uma forma possa ser feita. Entretanto, esta definiça˜ o envolve um certo conflito de interesses. O problema se dá porque queremos que C esteja definida em um intervalo fechado; já que a integral vai de um extremo ao outro da curva. Por outro lado, a diferenciabilidade de C requer que esteja definida em um aberto, porque o limite do quociente de Newton deve ser tomado a` esquerda e a` direita de cada ponto do intervalo. Da´ı o conflito: para ter a diferenciabilidade, perdemos os extremos do intervalo. Há várias sa´ıdas poss´ıveis, algumas mais sofisticadas, outras menos. Por exemplo, poder´ıamos definir diferenciabilidade apenas a` direita ou apenas a` esquerda, para dar conta das extremidades do intervalo. Entretanto, em nome da simplicidade, a soluça˜ o que adotaremos será muito menos sofisticada. Imaginaremos que C está definida em um intervalo aberto um pouco maior que [0, 1], e que e´ diferenciável em todo este intervalo. Para quase todas as aplicaço˜ es práticas da teoria, esta e´ uma hipótese perfeitamente aceitável. Sejam a < b dois números reais. Sistematizando os comentários acima, diremos que σ e´ uma 1-célula definida no intervalo [a, b], se existe um número real > 0 tal que σ : (a − , b + ) → R, e´ uma funça˜ o diferenciável em todo ponto de (a − , b + ). Há duas razões principais para chamar o objeto que acabamos de definir de 1-célula, em vez de curva parametrizada. A primeira, e´ que ter´ıamos mais um sentido ligeiramente diferente para o termo curva parametrzizada, o que o tornaria ainda mais sobrecarregado. A segunda, e´ que queremos chamar sua atença˜ o para o paralelo entre as várias células definidas ao longo do curso; 2-células no cap´ıtulo 3 e 3-células no cap´ıtulo 4. Talvez você já tenha observado que definimos 1-células sobre um intervalo fechado geral [a, b], e não sobre [0, 1], como v´ınhamos fazendo com todas as curvas parametrizadas até aqui. Na verdade, esta não e´ uma generalizaça˜ o relevante. De fato, se σ e´ uma 1-célula em [a, b], então a funça˜ o σ ˆ : [0, 1] → R, definida por σ ˆ (t) = σ(a(1 − t) + bt)

34

2. 1-FORMAS

e´ diferenciável e tem a mesma imagem que σ. Em outras palavras, qualquer 1-célula pode ser reparametrizada em termos do intervalo [0, 1]. A u´ nica razão para admitir intervalos de definiça˜ o mais gerais para as 1-células e´ que isto simplifica as demonstraço˜ es de algumas propriedades da integral de uma 1forma, conforme veremos a seguir. Nossa definiça˜ o terá como partida o caso unidimensional. Em primeiro lugar, qualquer 1-forma definida em um intervalo (a0 , b0 ) de R pode ser escrita na forma gdt, onde t e´ a coordenada de R e g : (a0 , b0 ) → R e´ uma funça˜ o diferenciável. Se a0 < a < b < b0 , então a integral da forma gdt no intervalo [a, b] e´ definida como sendo a integral da funça˜ o g neste intervalo. Isto e´ , Z Z b gdt = gdt. [a,b]

a

n

Suponha, agora, que U ⊆ R e´ uma região, α e´ uma 1-forma diferencial em U e σ : [a, b] → Rn e´ uma 1-célula cuja imagem está contida em U . A integral de α ao longo de σ e´ definida por Z Z α= σ ∗ (α). σ

[a,b]

Esta fórmula está bem definida porque, a` direita, temos a integral de uma 1forma em dimensão um, que já foi definida anteriormente. Se F for um campo de vetores em U , a integral de linha de F ao longo de σ e´ Z Z F = τF . σ

σ

Como τ estabelece uma correspondência bijetiva entre campos e 1-formas, as noço˜ es de integral de linha e integral de 1-forma são essencialmente equivalentes. Por isso, passaremos de uma a` outra noça˜ o, sem maiores cerimônias, sempre que necessário. Vejamos um exemplo em dimensão três. Seja α = xdx + yzdy + (x + y)dz, uma 1-forma definida em todo o R3 e σ : [1, 2] → R a 1-célula definida por σ(t) = (t2 , t3 , t4 ). Calculando a imagem inversa da forma por σ, obtemos σ ∗ (α) = σ ∗ (x)σ ∗ (dx) + σ ∗ (yz)σ ∗ (dy) + σ ∗ (x + y)σ ∗ (dz). Contudo, σ ∗ (x) = t2 ,

σ ∗ (yz) = t7 e σ ∗ (x + y) = t2 + t3 ,

ao passo que, σ ∗ (dx) = d(t2 ) = 2tdt, σ ∗ (dy) = d(t3 ) = 3t2 dt e σ ∗ (dz) = d(t4 ) = 4t3 dt. Assim, σ ∗ (α) = (2t3 + 3t9 + 4t5 + 4t6 )dt.


35

Portanto, 2 4 Z Z 2 3t10 2t6 4t7 15014 t 3 9 5 6 + + + = . α= (2t +3t +4t +4t )dt = 2 10 3 7 35 σ 1 1 3.2. Propriedades da integral de uma 1-forma. Há algumas propriedades elementares das integrais de 1-formas que precisamos considerar. Suponha, como já se tornou usual, que U seja uma região de Rn . Dadas duas 1-formas diferenciais α e β em U , e um escalar k ∈ R, queremos calcular Z (α + kβ), σ

onde σ e´ uma 1-célula definida em [a, b] cuja imagem está contida em U . Por definiça˜ o Z Z (α + kβ) = σ ∗ (α + kβ). σ

[a,b]

Assim, das propriedades da imagem inversa, segue que Z Z (α + kβ) = σ ∗ (α) + kσ ∗ (β). σ

[a,b]

Mas, do lado direito desta equaça˜ o, temos a integral de funço˜ es de uma variável, que sabemos satisfazer Z Z Z b σ ∗ (α) + kσ ∗ (β) = σ ∗ (α) + k σ ∗ (β). [a,b]

[a,b]

a

Reescrevendo tudo isto em termos ao longo de C temos Z Z Z (α + kβ) = α + k β, σ

σ

σ

como, aliás, seria de esperar. As outras propriedades que desejamos estudar estão relacionadas a mudanças nas curvas. Em primeiro lugar, que efeito tem uma reparametrizaça˜ o da curva sobre a integral? Antes de formular esta pergunta com exatidão, e´ conveniente introduzir a seguinte definiça˜ o. Para manter a coerência com a noça˜ o de 1-célula descrita acima, usaremos a expressão a funça˜ o diferenciável γ : [a, b] → [c, d] para designar uma funça˜ o diferenciável γ : (c − , d + ) → (a − , b + ) onde e´ um número real positivo. Se σ e γ são como acima, então, σ · γ define uma parametrizaça˜ o diferente da 1-célula σ. Isto e´ , σ · γ e´ uma 1-célula cuja imagem e´ a mesma de σ. A pergunta pode, então, ser reformulada como: qual a relaça˜ o entre a integral de uma 1-forma α ∈ Ω1 (U ) ao longo da 1-célula σ · γ e a integral da mesma forma ao longo de σ?

36

2. 1-FORMAS

Para responder a esta pergunta, calculamos a integral desejada usando as várias propriedades que já conhecemos. Como, Z Z α= (σ · γ)∗ α, σ·γ

[c,d]

devemos calcular primeiro a imagem inversa (σ · γ)∗ α. Usando a propriedade 4 do final do §2.5, temos que (σ · γ)∗ α = γ ∗ (σ ∗ (α)). Como σ ∗ (α) e´ uma funça˜ o de apenas uma variável, podemos escrevê-la como gdu, onde g e´ uma funça˜ o do parâmetro u de σ. Nesta notaça˜ o, γ ∗ (σ ∗ (α)) = γ ∗ (gdu) = (g · γ)dγ. Explicitando o valor da diferencial dγ em funça˜ o da variável t de γ, obtemos γ ∗ (σ ∗ (α)) = (g · γ)γ 0 dt. Portanto, Z

∗

Z

∗

(g · γ)γ 0 dt.

γ (σ (α)) = [c,d]

[c,d]

Mas esta e´ a integral de uma funça˜ o de uma variável, de modo que, pela regra de integraça˜ o por substituiça˜ o, Z Z γ(d) 0 (g · γ)γ dt = g(u)du, [c,d]

γ(c)

∗

onde u = γ(t). Como σ (α) = gdu, obtemos a fórmula Z Z γ(d) (3.1) α= σ ∗ (α). σ·γ

γ(c)

Se γ satisfizer γ(c) = a e γ(d) = b, a fórmula (3.1) nos dá Z

Z α=

σ·γ

α. σ

Em outras palavras, a reparametrizaça˜ o de uma 1-célula por uma funça˜ o diferenciável não altera o valor da integral de uma forma ao longo daquela 1-célula. Este resultado e´ tão importante que e´ melhor enunciá-lo a` parte. ´ ´ F ORMULA DE MUDANC ¸ A DE VARI AVEIS . Sejam σ : [a, b] → R uma 1-célula e γ : [c, d] → [a, b] uma funça˜ o diferenciável. Se a imagem de σ está contida em uma região U de Rn na qual está definida uma 1-forma α, temos Z Z γ(d) α= σ ∗ (α). σ·γ

γ(c)


37

Seja σ uma 1-célula definida em [a, b] e cuja imagem está contida em uma região U de Rn . Se γ : [0, 1] → [a, b], e´ dada por γ(t) = (b − a)t + a, então σ · γ e´ uma 1-célula cuja imagem e´ a mesma de σ. Além disso, se α ∈ Ω1 (U ), temos que Z Z α= α. σ·γ

σ

Isto significa que podemos supor que as 1-células que aparecem na demonstraça˜ o de qualquer de nossos teoremas estão parametrizadas a partir de [0, 1], sem que com isto haja qualquer perda de generalidade. E´ exatamente isto que faremos, daqui até o final deste parágrafo. As próximas propriedades da integral são conseqüeˆ ncias imediatas da fórmula de mudança de variáveis. Seja σ uma 1-célula parametrizada por [0, 1] e cuja imagem está contida em U . Defina −σ : [0, 1] → U pela regra −σ(t) = σ(1 − t). Se 0 ≤ t ≤ 1, então (1 − t) ∈ [0, 1], contudo −σ(0) = σ(1) e −σ(1) = σ(0). Portanto, −σ tem a mesma imagem que σ, mas percorre os pontos da imagem no sentido oposto ao de σ. Aplicando a fórmula de mudança de variáveis com γ(t) = 1 − t, obtemos Z Z γ(1) α= σ ∗ (α). −σ

γ(0)

Contudo, como −σ(0) = σ(1) e −σ(1) = σ(0), Z Z α=− σ ∗ (α). −σ

[0,1]

Z

Z

Portanto, α=−

(3.2) −σ

α. σ

Em outras palavras, percorrer a 1-célula ao contrário inverte o sinal da integral. A próxima propriedade da integral está relacionada ao fato de que uma part´ıcula em movimento pode percorrer uma mesma curva várias vezes. Isto ocorre, por exemplo, com uma part´ıcula carregada presa em um campo magnético. Qual o trabalho realizado pelo campo, em um caso como este? Naturalmente, precisamos supor que a curva e´ fechada para que a pergunta faça sentido. Seja, então, σ : [0, 1] → U, uma curva fechada e α uma 1-forma definida em U . Se percorrermos σ duas vezes, obtemos uma nova curva 2σ : [0, 2] → U

38

2. 1-FORMAS

definida por ( σ(t) 2σ(t) = σ(t − 1)

se t ∈ [0, 1] se t ∈ [1, 2],

Note que, se σ for diferenciável, então 2σ também será diferenciável e ( σ 0 (t) se t ∈ [0, 1] (2σ)0 (t) = 0 σ (t − 1) se t ∈ [1, 2]. Portanto, Z

Z

2

(2σ)∗ α

α= 2σ

0

e´ igual a Z

1

2

Z

0

α(σ(t − 1))σ 0 ((t − 1))dt.

α(σ(t)σ (t))dt + 0

1

Contudo, tomando s = t − 1, Z 2 Z α(σ(t − 1))σ 0 ((t − 1))dt = 1

1

α(σ(s))σ 0 (s)ds,

0

de modo que Z

Z α=2

2σ

1

α(σ(t)σ 0 (t)dt

0

Assim, Z

Z α=2

2σ

α, σ

que, evidentemente, e´ uma fórmula muito satisfatória. Um argumento semelhante mostra que se k e´ um inteiro positivo, então Z Z α = k α. kσ

σ

Por outro lado, supondo ainda que k > 0, temos por (3.2) que Z Z Z α=− α = −k α. −kσ

kσ

σ

Resumindo, se k for um inteiro qualquer, positivo ou negativo, então Z Z (3.3) α = k α. kσ

σ

Esta fórmula desempenhará um papel central no próximo parágrafo.


39

´ 3.3. Integrais em encadeamentos de 1-celulas. Para a u´ ltima propriedade da integral consideremos três números reais a < b < c e uma 1-célula σ, definida em [a, c]. Podemos subdividir σ em duas curvas que chamaremos de σ1 e σ2 . A primeira destas células corresponde ao arco descrito por σ quando t varia entre a e b, ao passo que a segunda corresponde ao arco com t variando entre b e c. Mais precisamente, σ1 (t) = σ(t) para a ≤ t ≤ c, e σ2 (t) = σ(t) para c ≤ t ≤ b. Se a imagem de σ está contida em uma região U de Rn e α ∈ Ω1 (U ), então Z Z α= σ ∗ (α). σ

[a,c]

Mas, pelas propriedades da integral de funço˜ es de uma variável, Z Z Z ∗ ∗ σ (α) = σ (α) + σ ∗ (α). [a,c]

[a,b]

Como σ = σ1 no intervalo [a, b], Z Z ∗ σ (α) = [a,b]

[b,c]

σ1∗ (α)

Z α,

=

[a,b]

σ1

e uma equaça˜ o semelhante vale para σ2 . Portanto, Z Z Z (3.4) α= α+ α. σ

σ1

σ2

A próxima fórmula deveria corresponder a` colagem de duas 1-células, uma seguida da outra, para formar uma u´ nica curva parametrizada. Digamos que σ1 : [a, b] → Rn e σ2 : [a0 , b0 ] → Rn sejam duas 1-células cujas imagens estão contidas em uma região U ⊆ Rn . Se σ1 (b) = σ2 (a0 ), podemos definir uma curva cont´ınua σ1 + σ2 : [0, 1] → Rn por ( σ1 (a(1 − 2t) + 2bt) (σ1 + σ2 )(t) = σ2 (a0 (1 − 2t) + 2b0 t)

se 0 ≤ t ≤ 1/2 se 1/2 ≤ t ≤ 1.

Apesar de ser cont´ınua, σ1 + σ2 nem sempre será diferenciável no ponto σ1 (b) = σ2 (a0 ), onde foi feita a emenda. Por exemplo, o segmento de reta σ1 parametrizado por (t, −t) no intervalo [−1, 0] tem o ponto (0, 0) em comum com o segmento σ2 parametrizado por (t, t) no intervalo [0, 1]. Contudo, a curva C resultante da colagem de σ1 com σ2 não e´ diferenciável em (0, 0).

40

2. 1-FORMAS

· 22 22 22 22 σ1 2 σ2 22 22 2 · Felizmente, isto não nos impede de definir a integral de uma forma ao longo de σ1 + σ2 . A sa´ıda deste impasse está no famoso ditado: se não pode prová-lo, defina-o. Continuando com a notaça˜ o acima, se α ∈ Ω1 (U ), definimos Z α, σ1 +σ2

como sendo a soma

Z

Z α+

α.

σ1

σ2

Desta forma, a fórmula (3.4) continua valendo neste caso mais geral, se tomamos E = σ1 + σ2 . Isto parece um blefe; e e´ ! Mas, que importa? Basta que o blefe funcione. Note que esta definiça˜ o e´ coerente com a fórmula (3.3), bastando para isso que convecionemos escrever kσ = σ + · · · + σ , se k ≥ 0 e | {z }

kσ = −|k|σ, se k < 0,

k vezes

para qualquer 1-célula σ e qualquer inteiro k. Isto explica porque escolhemos usar o s´ımbolo para a soma, em vez do s´ımbolo da união, para denotar este procedimento de colagem de curvas. Afinal, se A e´ um conjunto, então A∪A = A, que não corresponde ao comportamente esperado para a colagem de curvas. Considere, agora, o seguinte diagrama L1

P

· ·

R

·

L2

Imagine que uma part´ıcula se movimenta ao longo desta curva da seguinte maneira: começando em P a part´ıcula segue R para a direita, dá a volta no laço L2 e retorna por R para a esquerda, dando a volta em L1 e parando novamente no ponto de partida P . Usando a notaça˜ o introduzida acima, podemos descrever esta curva como R + L2 − R + L1 .

(3.5)

Se α for uma 1-forma definida em uma região que contém a curva, então Z Z Z Z Z Z Z α= + α− α+ α= α+ α. R+L2 −R+L1

R

L2

R

L1

L2

L1

A tentaça˜ o em escrever esta u´ ltima soma de integrais como uma u´ nica integral Z α L1 +L2


41

e´ grande, mas não faria sentido, pelo menos em vista do processo de colagem definido originalmente. Afinal de contas, os laços L1 e L2 juntos não formam uma curva cont´ınua. Entretanto, se admitirmos, por um momento, que a soma L1 + L2 faça sentido, nos vemos tentados a ir ainda mais longe e nos perguntamos se não seria poss´ıvel cancelar R com −R na expressão (3.5). Neste caso obter´ıamos diretamente R + L2 − R + L1 = L1 + L2 , e não haveria necessidade, sequer, de escrever as integrais e proceder ao seu cancelamento. Isto e´ mais razoável do que pode parecer a` primeira vista, porque a u´ nica justificativa para introduzirmos esta “soma” de células e´ o fato de que precisamos de curvas mais gerais para usar nas nossas integrais. Se o cancelamento vai ser mesmo feito nas integrais, por que não cancelar logo as curvas e ganhar tempo com isto? Este tipo de argumento e´ um tanto perigoso em matemática, porque parece estar clamando que os fins justificam os meios. Felizmente há uma sa´ıda aceitável, que consiste em criar um cálculo com células, com regras próprias, formalizadas com o devido cuidado. Evidentemente, as regras para este cálculo com células serão derivadas do comportamento das integrais. Passando a` formalizaça˜ o, definimos um encadeamento de 1-células, ou 1-encadeamento, como uma expressão da forma c1 σ1 + · · · + cm σm , onde os σs são 1-células contidas em uma região U do Rn e os cs são números inteiros. Esta adiça˜ o de células satisfaz a` s seguintes propriedades. Se σ1 , σ2 e σ3 são células em U e k ∈ Z, então: • (σ1 + σ2 ) + σ3 ≡ σ1 + (σ2 + σ3 ); • σ 1 + σ2 ≡ σ 2 + σ 1 ; • kσ1 + σ1 ≡ (k + 1)σ1 ; • 0σ1 ≡ 0; • se a imagem de σ1 e´ apenas um ponto, então σ1 ≡ 0. Usamos ≡ em lugar de um simples sinal de igualdade para deixar claro que cada uma destas propriedades e´ derivada do comportamento de uma integral calculada sobre um encadeamento. Diremos que um encadeamento está em forma reduzida se eliminamos todas as parcelas que correspondem a pontos, e cancelamos todos os pares de células com sinais opostos. Assim, no exemplo acima, L1 + L2 e´ a forma reduzida de R + L2 − R + L1 . Para lhe dar o verdadeiro nome, o que fizemos foi sistematizar o comportamento da adiça˜ o de células enumerando suas propriedades básicas. Isto não corresponde ao que um matemático chamaria de “formalizaça˜ o” desta adiça˜ o. O problema e´ que, para chegar a um n´ıvel de precisão considerado satisfatório por um matemático precisar´ıamos apelar para a teoria de grupos. Se o seu conhecimento de grupos abrange a noça˜ o de grupo quociente então você pode resolver o problema 3, onde a formalizaça˜ o dos conceitos acima e´ levada a cabo em detalhes.

42

2. 1-FORMAS

4. Teorema do gradiente Esta seça˜ o contém um u´ nico resultado: uma generalizaça˜ o do teorema fundamental do cálculo para 1-formas. Nem mesmo se trata de um teorema cuja demonstraça˜ o seja longa ou complicada. Então, porque dedicar uma seça˜ o inteira a este teorema? A principal razão e´ que este e´ o primeiro de uma série de resultados que serão todos reunidos no cap´ıtulo 4 sob o nome de teorema de Stokes. Os resultados correspondentes, nos próximos cap´ıtulos, são bem mais sofisticados e demandam uma seça˜ o própria. Para chamar sua atença˜ o para o paralelo entre os resultados deste cap´ıtulo e dos próximos, pareceu conveniente manter a mesma estrutura de seço˜ es entre os diversos cap´ıtulos. E foi assim que este teorema veio parar em uma seça˜ o própria: por influência de seus irmãos mais importantes. T EOREMA DO GRADIENTE . Seja U uma região do Rn e σ uma 1-célula contida em U , que começa em p e acaba em q. Se f ∈ O(U ), então Z df = f (q) − f (p). σ

˜ . A demonstraça˜ o e´ meramente uma questão de calcuD EMONSTRAÇ AO lar a integral pela definiça˜ o. Digamos que σ e´ parametrizada a partir do intervalo [a, b]. Como Z Z σ ∗ (df ),

df = σ

[a,b]

e σ ∗ (df ) = d(σ ∗ (f )), temos que Z Z df = σ

d(σ ∗ (f )).

[a,b]

Contudo, g(t) = σ ∗ (f ) = f (σ(t)), e´ uma funça˜ o de um u´ nica variável t, de modo que Z Z Z (4.1) df = d(σ ∗ (f )) = g 0 dt. σ

[a,b]

[a,b]

Aplicando, agora, o teorema fundamental do cálculo para uma variável, Z (4.2) g 0 dt = g(b) − g(a). [a,b]

Mas, (4.3)

g(b) = f (σ(b)) = f (q) e g(a) = f (σ(a)) = f (p),

já que a curva começa em p e acaba em q. Reunindo as equaço˜ es (4.1), (4.2) e (4.3), obtemos Z Z b df = g 0 dt = g(b) − g(a) = f (q) − f (p), σ

a

provando assim o teorema.

˜ 5. APLICAÇOES

43

Se aplicarmos este teorema a uma forma definida em um intervalo da reta, obtemos o teorema fundamental do cálculo para funço˜ es de uma variável, que aprendemos em cálculo I. Entretanto, este u´ ltimo teorema foi o u´ nico resultado importante utilizado na demonstraça˜ o acima. Esta situaça˜ o curiosa significa que estes dois teoremas – o teorema do gradiente e o teorema fundamental do cálculo – são exatamente equivalentes um ao outro. Como a integral de uma 1-forma sobre um 1-encadeamento e´ mera soma das integrais sobre as parcelas, temos de imediato a seguinte generalizaça˜ o do teorema acima. ´ C OROL ARIO . Seja U uma região do Rn e E um 1-encadeamento contido em U , que começa em p e acaba em q. Se f ∈ O(U ), então Z df = f (q) − f (p). E

˜ 5. Aplicaçoes Nesta seça˜ o investigamos algumas aplicaço˜ es da integral de uma 1-forma. ˜ 5.1. Circulaçao. Imagine um fluido que escorre em uma região do R3 . Sabemos que o campo de velocidades do fluido nos permite descrever o caminho percorrido por uma part´ıcula nele abandonada. A pergunta que desejamos fazer aqui, entretanto, e´ um pouco diferente: De que forma o fluido contribui, ou se opõe, ao movimento de uma part´ıcula que percorre uma curva fechada? Para tornar a pergunta mais concreta, considere a seguinte situaça˜ o. Imagine uma circunferência feita de arame, na qual circula uma pequena esfera perfurada, como uma conta num colar. Mergulhamos o aro com a esfera em um fluido, e movemos a esfera ao longo do aro. A esfera descreverá uma circunferência mas, dependendo do campo de velocidades, o fluxo pode empurrar a esfera em alguns momentos, e oferecer resistência a seu movimento em outros. Queremos definir uma magnitude, chamada de circulaça˜ o, que mede a contribuiça˜ o total de um campo ao movimento ao longo de uma curva fechada contida na região onde o campo está definido. Vejamos, em primeiro lugar, o que ocorre se o campo e´ constante. Digamos que o campo está definido em todo o R3 , e que flui ao longo do sentido positivo do eixo x. Em outras palavras, o campo F : R3 → R3 e´ definido por F (p) = e1 = (1, 0, 0), para todo p ∈ R3 . Seja C a circunferência de centro na origem e raio 1, contida no plano z = 0. Queremos saber de que forma o campo empurra ou se opõe ao movimento de uma part´ıcula que tentamos fazer girar ao longo de C. Note que a contribuiça˜ o do campo ao movimento da part´ıcula e´ igual a` componente de F tangente a C em cada ponto. Parametrizando C como usual,

44

2. 1-FORMAS

temos C(t) = (cos(t), sen(t), 0), onde 0 ≤ t ≤ 2π. O vetor tangente a C no ponto C(t) e´ C 0 (t) = ( −sen(t), cos(t), 0), de modo que a projeça˜ o do campo sobre a tangente a` curva no ponto C(t) dá C 0 (t) · e1 = −sen(t). Isto significa que, enquanto empurramos a esfera entre t = 0 e t = π, o campo se opõe ao movimento. Por outro lado, entre t = π e t = 2π, o campo e o vetor tangente a` curva apontam na mesma direça˜ o. Com isto, o campo nos ajuda a empurrar a esfera. Como −sen(t + π) = −sen(t), o campo se opõe ao movimento da esfera no primeiro semi-c´ırculo exatamente com a mesma intensidade com que nos ajuda a empurrá-la no segundo semic´ırculo. Portanto, e´ de esperar que a contribuiça˜ o total do campo ao movimento da esfera seja zero. Mas, para obter a contribuiça˜ o total, precisamos “somar” C 0 (t) · e1 sobre todos os valores de t entre 0 e 2π. Mais precisamente, devemos calcular a integral Z 2π Z 2π (C 0 (t) · e1 )dt = (−sen(t))dt = 0. 0

0

Em geral, se F e´ um campo de velocidades definido em uma região U do espaço, a contribuiça˜ o total de F ao nosso esforço de deslocar uma part´ıcula ao longo de uma curva fechada C, parametrizada por [a, b], e´ igual a` integral da projeça˜ o de F (C(t)) sobre C 0 (t) ao longo da curva C. Chamamos este número de circulaça˜ o de F em C, e o denotamos por ΓF (C). Assim, Z ΓF (C) = F. C

Equivalentemente, se α e´ uma 1-forma em U definimos sua circulaça˜ o em C por Z Γα (C) =

α. C

Vejamos outro exemplo. Imagine um fio (infinito) ao longo do eixo z no qual flui uma corrente elétrica. Com isto temos um campo magnético B : U → R3 na região U = {(x, y, z) ∈ R3 : z 6= 0}, que corresponde ao R3 sem o eixo z. O campo B e´ dado por B(x, y, z) =

x2

k (−y, x, 0), + y2

˜ 5. APLICAÇOES

45

onde k e´ uma constante. Vamos calcular a circulaça˜ o de B ao longo de uma circunferência de raio r, contida no plano z = z0 . Parametrizando a circunferência, obtemos C(t) = (r cos(t), r sen(t), z0 ), onde 0 ≤ t ≤ 2π. O vetor tangente a C no ponto C(t) e´ C 0 (t) = ( −r sen(t), r cos(t), 0), ao passo que o valor de B em C(t) e´ , B(C(t)) =

k (−r sen(t), r cos(t), 0). r

Assim, C 0 (t) · B(C(t)) =

k 2 (r sen2 (t) + r2 cos2 (t)) = kr. r

Portanto, Z ΓB (C) =

2π

krdt = 2πkr. 0

Isto não e´ surpreendente porque, neste caso, as linhas de força do campo são circunferências paralelas ao plano z = 0, e com centro no eixo z. Se interpretarmos o campo B como sendo o campo de velocidades de um fluido, vemos que o fluido estaria girando em torno do eixo z. Mas isto significa que o campo estaria sempre empurrando ou se opondo a qualquer part´ıcula que fosse girada em torno de z. E´ exatamente isto que faz com que a circulaça˜ o deste campo não seja nula. Em geral, o campo de velocidades de um fluido terá circulaça˜ o não nula se nele houver vórtices ou redemoinhos, como ocorre com o campo B. A figura abaixo ilustra exemplos de vórtices avistados pelo satélite Landsat 7 na atmosfera terrestre sobre a ilha Selkirk. A propósito, esta ilha do Pac´ıfico tem este nome em homenagem ao marinheiro Alexander Selkirk, que lá foi abandonado, a seu pedido, em 1704. Selkirk foi resgatado em 1709 e voltou a` Inglaterra. Esta história inspirou Daniel Defoe a escrever Robinson Crusoé, que foi publicado apenas dois anos depois do retorno de Selkirk. Apesar de só termos calculado exemplos de circulaça˜ o de campos sobre curvas fechadas parametrizadas, podemos fazê-lo sobre qualquer 1-encadeamento cuja extremidade inicial coincide com a final. De agora em diante vamos nos referir a estes encadeamentos como fechados. 5.2. Formas exatas. Seja U uma região de Rn . Lembre-se que uma 1-forma diferencial α em U e´ exata se existir f ∈ O(U ) tal que α = df . Neste parágrafo caracterizamos as formas exatas em termos de sua circulaça˜ o. Usaremos isto, já no próximo parágrafo, para mostrar que todo campo conservativo tem potencial. Outras aplicaço˜ es surgirão no cap´ıtulo 3. Antes de enunciar o teorema precisamos de introduzir a seguinte terminologia. Diremos que um encadeamento E = σ 1 + · · · + σm

46

2. 1-FORMAS

F IGURA 1. Vórtices na atmosfera e´ cont´ınuo se o ponto final de σi coincide com o ponto inicial de σi+1 , para todo 1 ≤ i ≤ m − 1. Se, além disso, o ponto final de σn coincide com o ponto inicial de σ1 , diremos que E e´ fechado. T EOREMA . Uma 1-forma definida em uma região U de Rn e´ exata se, e somente se, sua circulaça˜ o e´ nula para qualquer encadeamento fechado contido em U . ˜ . Para começar, suponha, que a 1-forma e´ exata. PorD EMONSTRAÇ AO tanto, podemos escrevê-la como df , para alguma funça˜ o f ∈ O(U ). Seja, agora, E = σ1 + · · · + σm ⊂ U um encadeamento cont´ınuo e digamos que cada uma destas 1-células e´ parametrizada por [0, 1], o que podemos fazer sem perda de generalidade pela fórmula de mudança de variáveis do §3.2. Então Z Z 1 df = σi∗ (df ). σi

Como

σi∗ (df )

=

0

d(σi∗ (f )),

obtemos Z Z τ∇f = σi

1

d(σi∗ (f )).

0

Mas, σi∗ (f ) = g e´ uma funça˜ o diferenciável, de uma variável t, definida em [0, 1]. Portanto, σi∗ (df ) = g 0 dt, donde Z Z 1 df = g 0 dt. σi

0

Contudo, pelo teorema fundamental do cálculo Z 1 g 0 dt = g(1) − g(0), 0

˜ 5. APLICAÇOES

47

de forma que Z df = g(1) − g(0). σi

Porém, como g(a) = σi∗ (f )(0) = f (σi (0)), e uma fórmula semelhante vale para g(1), conclu´ımos que Z df = f (σi (1)) − f (σi (0)). σi

Como Z df = E

m Z X i=1

df,

σi

obtemos, após o cancelamento dos termos intermediários da soma telescópica, que Z m X (f (σi (1)) − f (σi (0))) = f (σn (1)) − f (σ1 (0)). df = E

i=1

Portanto, a integral de uma forma exata df em um encadeamento cont´ınuo depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final do encadeamento. Em particular, se o encadeamento for fechado, σn (1) = σ1 (0), de modo que Z df = 0. E

Mostramos, assim, que toda forma exata tem circulaça˜ o nula. Passando, agora, a` rec´ıproca, seja α ∈ Ω1 (U ) uma 1-forma cuja circulaça˜ o e´ zero. Queremos usar isto para construir uma funça˜ o f : U → R de modo que F = df . O problema e´ como proceder para construir f . Se n = 1, isto e´ fácil de fazer. Neste caso, a forma α = gdx, onde g e´ uma funça˜ o de um intervalo aberto em R. Portanto, se f for uma primitiva de g, teremos d0 f = f 0 dx = gdx. Logo, para achar f basta integrar g. Isto sugere que podemos tentar obter a funça˜ o potencial integrando α ao longo de um encadeamento. Fixe um ponto p0 ∈ U que servirá de base para a construça˜ o. A funça˜ o f vai assumir valor zero em p0 , e seu valor em outros pontos será calculado relativamente a este ponto base. Seja p ∈ U e C uma curva qualquer que vai de p0 a p. Definimos Z f (p) = α. E

48

2. 1-FORMAS

Como α e´ exata, o valor da integral independente do encadeamento cont´ınuo escolhido para ir de p0 a p. Para concluir a demonstraça˜ o, precisamos apenas mostrar que df = α. Para isto basta provar que ∂f = ai para cada 1 ≤ i ≤ n, ∂xi onde ai e´ o coeficiente de dxi em α. Calcularemos as derivadas parciais de f a partir da definiça˜ o; isto e´ , usando quocientes de Newton. Como U e´ um conjunto aberto, existe um número real positivo , para o qual a bola aberta Bp (), de raio e centro em p, está totalmente contida em U . Seja h um número real que satisfaz |h| < . Denotando por ei o i-ésimo vetor da base canônica, temos que p + hei ∈ Bp (). O encadeamento de E com o segmento de reta σ que vai de p a p + hei nos dá um encadeamento E + σ entre p0 e p + hei . Portanto, Z Z f (p + hei ) − f (p) = α− α; E+σ

donde

E

Z f (p + hei ) − f (p) =

α. σ

Mas σ(t) = p + tei , para 0 ≤ t ≤ h, de modo que Z h f (p + hei ) − f (p) = σ ∗ α. 0

Contudo, como p + tei e´ constante em todas as direço˜ es exceto ei , temos que ( dt se j = i ∗ σ (dxj ) = 0 se j 6= i. Mas isto implica que σ ∗ (α) = ai (p + tei )dt. Assim, Z f (p + hei ) − f (p) =

h

ai (p + tei )dt 0

que e´ a integral de uma funça˜ o de apenas uma variável. Pelo teorema fundamental do cálculo Z f (p + hei ) − f (p) 1 h lim = lim ai (p + tei )dt h→0 h 0 h→0 h e´ igual a ai (p), completando assim a demonstraça˜ o do teorema.

A demonstraça˜ o do teorema propõe um método que podemos utilizar para calcular f , quando soubermos que a forma α e´ exata. Considere, por exemplo, a forma α = yzdx + xzdy + xydz, definida sobre todo o R3 . Tomando o ponto base p0 como sendo a origem, queremos calcular o valor da funça˜ o f em p = (x, y, z). Para isso precisamos

˜ 5. APLICAÇOES

49

calcular a integral de α de um caminho qualquer que vai da origem a p. Como o campo está definido em todo o R3 , podemos escolher o segmento de reta que vai da origem a (x, y, z). Isto e´ , podemos tomar σ(t) = (xt, yt, zt) para 0 ≤ t ≤ 1. Neste caso, Z

Z

f (p) =

α= σ

1

σ ∗ (α).

0

Como, σ ∗ (α) = σ ∗ (yzdx + xzdy + xydz) = 3xyzt2 dt, obtemos Z f (x, y, z) = f (p) =

1

3xyzt2 dt = 3xyz.

0

˜ de campos conservativos. No parágrafo 1.3 de5.3. Circulaçao finimos campos conservativos do plano, mas esta noça˜ o pode ser facilmente generalizada para Rn . Dizemos que um campo F , definido em uma região U de Rn , e´ conservativo se o trabalho realizado por F e´ o mesmo ao longo de quaisquer duas curvas em U que tenham os mesmos pontos inicial e final. Os campos conservativos também podem ser definidos em termos de sua circulaça˜ o. Como esta outra definiça˜ o e´ muito conveniente quando se trata de verificar se um campo e´ ou não conservativo, provaremos que e´ equivalente a` definiça˜ o original. ˜ . Um campo e´ conservativo se, e somente se, sua circulaP ROPOSIÇ AO ça˜ o sobre qualquer encadeamento fechado e´ nula. Um encadeamento fechado e´ aquele que corresponde a uma curva cont´ınua cujos extremos coincidem. ˜ . Seja U uma região de Rn e F : U → Rn um campo D EMONSTRAÇ AO de vetores. Como F e´ conservativo, a integral de τF assume o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que comece e termine em um ponto P ∈ U . Mas o mais simples destes caminhos e´ dado pela 1-célula constante D(t) = P , para todo t ∈ [0, 1]. Contudo, D∗ (τF ) = 0, de modo que Z Z ΓF (E) = τF = τF = 0, E

D

qualquer que digamos que o 1-encadeamento fechado E ⊂ U , que comece e termine no ponto P . Reciprocamente, suponha que F tem circulaça˜ o nula, e sejam E1 e E2 dois encadeamentos com mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais. Isto significa que o encadeamento E1 − E2 e´ fechado. Portanto, Z τF = 0. E1 −E2

50

2. 1-FORMAS

Contudo, pelas fórmulas do final do §3.2, temos Z Z Z τF − τF = τF = 0; E1

E1 −E2

E2

de modo que Z

Z τF =

E1

τF , E2

completando, assim, nossa demonstraça˜ o.

Para refinar ainda mais este resultado, usaremos o teorema sobre formas exatas provados no §5.2. T EOREMA . Um campo vetorial definido em uma região de Rn e´ conservativo se, e somente se, tem funça˜ o potencial. ˜ . Seja U uma região de Rn e F um campo em U . Pela D EMONSTRAÇ AO proposiça˜ o anterior F e´ conservativo se, e somente se, sua circulaça˜ o e´ nula sobre qualquer encadeamento fechado contido em U . Traduzindo isto em termos de formas, podemos dizer que F e´ conservativo se, e somente se, τF tem circulaça˜ o igual a zero sobre qualquer encadeamento fechado contido em U . Entretanto, pelo teorema do §5.2, isto ocorre se, e somente se, existe f ∈ O(U ) tal que τF = df . Portanto, F e´ conservativo, se, e somente se, τF = df = τ∂f , para algum f ∈ O(U ); que e´ equivalente ao resultado enunciado no teorema. 5.4. Campos centrais. Um tipo especial de campo conservativo, muito importante em f´ısica, são os campos centrais. Se p ∈ Rn , dizemos que um campo F definido em U = Rn \ {p} e´ central se • os vetores de F têm como suporte retas que passam por p; • a intensidade de F em qualquer ponto q ∈ U depende apenas da distância entre p e q. O ponto p e´ chamado de centro do campo. Escolhendo o sistema de coordenadas de maneira que o centro p seja a origem, podemos escrever F em U na forma F (x1 , . . . , xn ) = g(r)(x1 , . . . , xn ),

(5.1) p

onde r = x21 + · · · + xn e g : R → R e´ uma funça˜ o diferenciável. Para campos centrais vale uma versão mais refinada do teorema do §5.3. T EOREMA . Todo campo central e´ conservativo, e seu potencial em um ponto e´ funça˜ o apenas da distância deste ponto ao centro do campo. ˜ . Já vimos que uma escolha adequada de coordenadas D EMONSTRAÇ AO nos permite escrever um campo central F na forma (5.1). Como todo campo gradiente e´ conservativo, basta achar uma funça˜ o potencial para F . Neste caso

6. RECAPITULANDO

51

isto e´ muito fácil, porque se h for qualquer funça˜ o de uma variável então, pela regra da cadeia, ∂h(r) ∂r = h0 (r) , ∂xj ∂xj onde h0 denota a derivada de h em relaça˜ o a` sua u´ nica variável, neste caso r. Contudo, xj ∂r , = ∂xj r donde ∂h(r) xj = h0 (r) . ∂xj r Assim, h0 (r) ∇h(r) = (x1 , . . . , xn ). r Comparando esta u´ ltima equaça˜ o a 5.1, verificamos que h seria um potencial para F se h0 (r) = rg(r); isto e´ , se h for uma primitiva de rg(r). Como g e´ diferenciável, uma tal primitiva sempre existe, provando assim o teorema. 6. Recapitulando Nesta seça˜ o recapitulamos boa parte do que foi feito no primeiro cap´ıtulo. Há duas razões para fazermos isto. A primeira, e mais o´ bvia, e´ provê-lo com um resumo sistemático do conteúdo das seço˜ es anteriores. A segunda razão e´ que esta recapitulaça˜ o nos ajudará a tornar mais expl´ıcito o padrão que será seguido no desenvolvimento da teoria de 2-formas no próximo cap´ıtulo. Com isto, a seça˜ o 5 ficou de fora da recapitulaça˜ o, já que trata apenas de aplicaço˜ es da teoria. Na seça˜ o 1 introduzimos de 1-forma, curva parametrizável, imagem inversa e integral de uma 1-forma ao longo de uma curva a partir do conceito de trabalho de uma força. Estas noço˜ es foram sistematizadas nas seço˜ es 2, 3 e 4, obedecendo a` s seguintes etapas. ˜ 6.1. Definiçao. Fixada uma região U do Rn , começamos introduzindo o conceito geral de 1-forma diferencial como sendo uma aplicaça˜ o α : U × Rn → R, que satisfaz a` s duas condiço˜ es seguintes: (1) fixando p0 ∈ U , e considerando α(p0 , u) como funça˜ o apenas de u, temos uma aplicaça˜ o linear de Rn em R; (2) fixando u0 ∈ Rn , e considerando α(p, u0 ) como funça˜ o apenas de p, temos uma funça˜ o diferenciável de U em R.

52

2. 1-FORMAS

O conjunto das 1-formas em U , que e´ denotado por Ω1 (U ), e´ um espaço vetorial relativamente a` soma de formas, e a` sua multiplicaça˜ o por escalares, conforme definidas no §2.1. 6.2. Campos e formas. A um campo vetorial F : U → Rn cujas funço˜ es coordenadas são F1 , . . . , Fn , fazemos corresponder a 1-forma τF = F1 dx1 + · · · + Fn dxn . Esta correspondência e´ bijetiva, e nos permite tratar a análise vetorial seja na linguagem de formas, seja na linguagem de campos. A vantagem da linguagem de formas e´ que estabelece um padrão generalizável para objetos de dimensão maior; ao contrário do que acontece com os campos. 6.3. Diferencial. O conjunto das funço˜ es diferenciáveis em U será denotado por O(U ). Também este e´ um espaço vetorial, já que podemos somar estas funço˜ es e multiplicá-las por escalar. A diferencial determina uma transformaça˜ o linear de O(U ) em Ω1 (U ), que e´ definida em f ∈ O(U ) pela fórmula ∂f ∂f df = dx1 + · · · + dxn . ∂x1 ∂xn Vimos, também, que se f, g ∈ O(U ), então d(f g) = f d(g) + gd(f ), que e´ conhecida como a fórmula de Leibniz. Uma 1-forma que e´ do tipo df , para alguma funça˜ o f ∈ O(U ), e´ chamada de exata. ´ 6.4. 1-celulas e encadeamentos. Uma 1-célula em U e´ uma aplicaça˜ o diferenciável σ : [a, b] → U , onde a < b são números reais. Um encadeamento de 1-células σj : [aj , bj ] → U, para 1 ≤ j ≤ k e´ uma expressão da forma c1 σ1 + · · · + ck σk ,

(6.1)

onde os cs são números inteiros. Estas expressões podem ser manipuladas obedecendo-se a` s seguintes regras: se σ1 , σ2 e σ3 são células em U e k ∈ Z, então, • • • • •

(σ1 + σ2 ) + σ3 ≡ σ1 + (σ2 + σ3 ); σ 1 + σ2 ≡ σ 2 + σ 1 ; kσ1 + σ1 ≡ (k + 1)σ1 ; 0σ1 ≡ 0; se a imagem de σ1 e´ apenas um ponto, então σ1 ≡ 0.

7. EXERCÍCIOS

53

6.5. Imagem inversa. Dada uma aplicaça˜ o diferenciável φ : V → U , onde V e´ uma região de Rm , definimos a imagem inversa de uma 1-forma α = a1 dx1 + · · · + an dxn ∈ Ω1 (U ), como sendo φ∗ (α) = (a1 · φ)dφ1 + · · · + (an · φ)dφn ∈ Ω1 (V ), onde φ1 , . . . , φn são as funço˜ es coordenadas de φ. A imagem inversa determina uma transformaça˜ o linear de Ω1 (U ) em Ω1 (V ) que satisfaz φ∗ (df ) = dφ∗ (f ). 6.6. Integral. Se σ for uma 1-célula em U , a imagem inversa de α ∈ Ω1 (U ) por σ pode ser escrita na forma σ ∗ (α) = gdt, onde g = g(t) e´ uma funça˜ o diferenciável definida no intervalo [a, b], que parametriza σ. A integral de α ao longo de σ e´ dada por Z Z Z b α= σ ∗ (α) = gdt, σ

[a,b]

a

que e´ a integral usual da funça˜ o g no intervalo [a, b]. A integral de α ao longo do um encadeamento (6.1) de U e´ definida pela fórmula Z Z Z α = c1 α + · · · + ck α. c1 σ1 +···+ck σk

σ1

σk

Se F : U → Rn e´ um campo de vetores e E e´ um encadeamento em U , a integral Z Z F = τF , E

E

e´ conhecida como a integral de linha de F ao longo de E. 7. Exerc´ıcios 1. Considere as curvas parametrizadas no intervalo (−1, 1) dadas abaixo. Determine os pontos em que sua tangente não está bem definida e esboce a curva em cada caso. (a) C(t) = (t2 , t3 ); (b) C(t) = (t2 − t, t3 ); (c) C(t) = (2 sen(3πt + 1)), 3 sen(2πt + 4)). 2. Parametrize as seguintes curvas algébricas usando coordenadas polares. Em cada caso, a e b são constantes positivas. (a) x2 /a2 + y 2 /b2 = 1; (b) ((x − a)2 + y 2 )((x + a)2 + y 2 ) = b4 ; (c) (y − a)2 (x2 + y 2 ) = b2 y 2 .

54

2. 1-FORMAS

3. Esboce cada uma das curvas cuja equaça˜ o polar e´ dada abaixo e escreva a equaça˜ o paramétrica correspondente. (a) r = a cos(θ); (b) r = a(1 + cos(θ)); (c) r = 4a cos3 (θ/3. 4. Calcule o trabalho dos campos abaixo nos caminhos indicados. (a) (x2 − 2xy, y 2 − 2xy) ao longo da parábola y = x2 , entre (−2, 4) e (1, 1); (b) (x, y, xz p− y) no segmento de reta que vai da origem a (1, 2, 4); (c) (x, y)/ x2 + y 2 na circunferência de raio 2 e centro na origem, orientada no sentido anti-horário; (d) (xy, x) na parábola x = 2y 2 , do ponto (2, −1), ao ponto (8, 2); (e) (x2 y 2 , xy 2 ) no caminho fechado formado por partes das retas x = 1 e √ y = 0, e da parábola y = x, percorrido em sentido anti-horário. 5. Seja F (x, y) = (cxy, x6 y 2 ), um campo polinomial definido em todo o plano, onde c e´ uma constante positiva. Sejam a e b números reais positivos. Ache um valor de a, em termos de c, para o qual a integral de F ao longo de y = axb , da origem a` reta x = 1 e´ independente de b. 6. Calcule α(p, u) para (a) α = cos(x1 )dx1 + sen(x22 )dx3 , p = (1, 0, 0), u = (1, 1, 1); (b) α = ex2 dx1 +log(x3 )dx2 −cos(x1 x2 )dx3 , p = (1, 1, 1), u = (1, 1, 3); (c) α = x2 dx1 + x3 dx2 − x1 x2 dx3 , p = (1, 8, 7), u = (1, 4, 3); (d) α = cos(x1 x3 )dx1 + sen(x1 x3 )dx2 , p = (π, 8, 7), u = (1, 5, 1); 7. Seja U uma região de Rn e α uma 1-forma diferencial em U . Mostre que se f : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável, então a aplicaça˜ o de U × Rn em R definida por (f α)(p, v) = f (p)α(p, v), onde p ∈ U e v ∈ Rn , e´ uma 1-forma em U . 8. Seja U uma região de Rn . Mostre que Ω1 (U ) e´ um espaço vetorial sobre R. 9. Calcule a diferencial total de cada uma das seguintes funço˜ es de R3 : (a) x2 y 4 + 5z 7 + xz 3 ; (b) cos(z) tan(x + y); (c) cos(x + y + z); (d) log(xyz); (e) exp(x cos(y)). 10. Seja T o operador linear de R3 cuja matriz na base canônica e´   2 3 4 1 2 −3 . 7 −5 2

7. EXERCÍCIOS

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Calcule as imagens inversas das 1-formas dx1 ,

3dx1 + 2dx2 − 2dx3 e dx1 + dx2 + dx3 ,

por T . 11. Calcule as imagens inversas das 1-formas cos(x1 )dx1 + sen(x22 )dx3

e

ex2 dx1 + log(x3 )dx2 − cos(x1 x2 )dx3 ,

pelas seguintes aplicaço˜ es: (a) φ(t) = (t2 , t3 , t4 ); (b) φ(s, t) = (t cos(s), t2 et , t3 ); (c) φ(u, v, w) = (uvw, uv, u2 ); (d) φ(u, v, w) = (u, v, uw); (e) φ(u, v, w) = (cos(uvw), v, exp(u2 )). 12. Escreva na forma de um 1-encadeamento um caminho cont´ınuo cujas células são todas as arestas do cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. E´ poss´ıvel fazer isto de modo que cada 1-célula tenha multiplicidade um? 13. Explique porque a curva parametrizada C(t) descrita abaixo não e´ uma 1célula e escreva-a na forma de um 1-encadeamento.  t (2 − 2π , 0) se 0 ≤ t ≤ 2π    (cos(5t), sen(5t)) se 2π ≤ t ≤ 4π C(t) =  (2 cos(t), 2 sen(t)) se 4π ≤ t ≤ 5π    (−2 + (t − 5π), 3(t − 5π)) se 5π ≤ t ≤ 8π 14. Calcule a integral do campo (x, y 2 , 4z 3 ) ao longo do caminho obtido como o encadeamento do segmento de reta que vai de (0, 0, 0) a (1, 1, 0), seguido do segmento que vai deste u´ ltimo ponto a (1, 1, 2). 15. Calcule as integrais das 1-formas de R2 dadas abaixo, nos encadeamentos indicados: (a) xydx + xdy na espiral r = θ, com 0 ≤ θ ≤ 3π; (b) x2 y 2 dx + xy 2 dy no encadeamento r = | cos(θ)|, com 0 ≤ θ ≤ 3π. (c) (x2 y 2 +x+1)dx+xy 2 dy no encadeamento fechado formado por partes √ das retas x = 1 e y = 0, e da parábola y = x, orientado no sentido anti-horário; (d) (x2 + y)dx + (x − y 2 )dy no encadeamento formado pelos lados do retângulo [0, 3] × [0, 2], percorrido no sentido anti-horário; (e) (x2 − y 2 )dx + xdy no encadeamento fechado, formado pelos eixos coordenados e pelo arco de x2 +y 2 = 9 contido no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

56

2. 1-FORMAS

16. Calcule as integrais das 1-formas de R3 dadas abaixo, nos encadeamentos indicados: (a) (x − 2x3 y)dx + (y 3 − 2xy)dy + dz na interseça˜ o de z = x2 + y 2 e y = 0 entre os pontos (−2, 0, 4) e (1, 0, 1); (b) xyzdx + y 2 dy + (xz − y)dz no segmento de reta que vai da origem a ao ponto (1, 2, 4); (c) (x2 −y 2 )dx+xdy+(xy+z)dz na circunferência de equaço˜ es x2 +y 2 = 4 e z = 0, orientada no sentido horário (para quem olha de cima); (d) xydx + xdy na curva r = z = θ, com 0 ≤ θ ≤ 3π. 17. Considere o campo definido em R2 por F (x, y) = (x2 y, xy 2 ). (a) Este campo admite funça˜ o potencial? √ √ (b) Calcule a integral de F entre a origem O e o ponto P = (1/ 2, 1/ 2) ao longo do segmento de reta que vai de O a P . (c) Calcule a integral de F entre O e P ao longo do encadeamento do segmento de reta que vai de O a (1, 0), seguido do arco de circunferência que vai de (1, 0) a P . (d) Compare os valores das integrais ao longo destes dois caminhos. 18. Calcule o potencial de cada um dos campos centrais dados abaixo. Para p simplificar a notaça˜ o escreveremos r = x2 + y 2 + z 2 . (a) (x, y, z)/r3 ; (b) (r2 + r + 1)(x, y, z); (c) (cos(r) + 7 cos(r) sen(r))(x, y, z). 19. Seja α = a1 dx1 + · · · + an dxn uma 1-forma diferencial definida em uma região U de Rn . Mostre que se aj e´ funça˜ o apenas de xj , então α e´ uma forma diferencial exata. 20. Traduza o exerc´ıcio anterior em termos de campos conservativos. 21. Seja α uma 1-forma f dx definida em [0, 1], com f (0) = f (1). Mostre que existe um u´ nico número k, de modo que α − kdx = dg, para alguma funça˜ o g : [0, 1] → R, que satisfaz g(0) = g(1). ˜ : integre α − kdx = dg em [0, 1] para achar k. S UGEST AO

8. PROBLEMAS

57

8. Problemas 1. Seja σ uma 1-célula em R3 . Defina uma 1-forma diferencial ds por ds(p, v) = T (p) · v, onde T (p) e´ o vetor tangente a p ∈ σ. Note que esta forma só está definida para pontos de σ. (a) Discuta a forma ds a` luz da definiça˜ o de 1-forma dada no §2.1. (b) Mostre que a integral de ds sobre σ e´ igual ao comprimento de σ. (c) Seja f uma funça˜ o definida em uma região contendo σ. Expresse a integral da 1-forma f ds em σ em termos da integral de uma funça˜ o de uma variável (o parâmetro de σ). 2. Seja U uma região de Rn . Dado um campo de vetores F em U , defina uma aplicaça˜ o ιF : Ω1 (U ) → O(U ), por ιF (α)(p) = α(p, F ), para uma forma α e um ponto p ∈ U . (a) Calcule ιF (α)(p) quando p = (x1 , . . . , xn ) e α = a1 dx1 +· · ·+an dxn . (b) Mostre que ιF e´ uma transformaça˜ o linear. (c) Calcule ι∇f (α) e ιF (df ) onde f ∈ O(U ). (d) Calcule ιF (τF ). (e) Seja R = (x1 , x2 , x3 ) o campo radial de R3 . Mostre que se f e´ um polinômio homogêneo de grau k nas variáveis x1 , x2 e x3 , então ιE (df ) = kf. Lembre-se que um polinômio f nas variáveis x1 , x2 e x3 e´ homogêneo se todas os seus monômios têm grau total igual a k. Isto e´ , a soma do graus de cada uma das variáveis dá k para cada um dos monômios de f. 3. Seja S(U ) o conjunto das 1-células definidas em uma região U ⊆ Rn e seja F(U ) o grupo abeliano livre cuja base e´ o conjunto S(U ). Considere o subgrupo P(U ) de F(U ) gerado pelos σ ∈ S(U ) cuja imagem e´ um ponto. (a) Mostre que se α ∈ Ω1 (U ), então a aplicaça˜ o Iα : F(U ) → R, definida por Z Iα (σ) =

α σ

e´ um homomorfismo de grupos. (b) Mostre que P(U ) está contido no núcleo de Iα , qualquer que seja α ∈ Ω1 (U ). (c) Defina o conjunto E1 (U ) dos 1-encadeamentos contidos em U como sendo o grupo quociente F(U )/P(U ) e mostre que Iα induz um homomorfismo de E1 (U ) em R.

Cap´ıtulo 3 2-formas Neste segundo cap´ıtulo discutimos a noça˜ o de 2-forma diferencial. Seguiremos um roteiro semelhante ao do cap´ıtulo 2. Assim, na primeira seça˜ o introduzimos 2-formas a partir da noça˜ o de fluxo. Já a integral de uma 2-formas será definida na seça˜ o 3. A seça˜ o 4 e´ dedicada a uma versão do teorema de Stokes e suas interpretaço˜ es em análise vetorial (teorema de Green). Finalmente, aplicamos estes resultados a problemas de f´ısica na seça˜ o 5, e revisamos todo o conteúdo do cap´ıtulo na seça˜ o 6.

1. Fluxo Vamos imaginar um fluido incompress´ıvel que escorre ao longo de uma calha. Incompress´ıvel, naturalmente, significa que o fluido não pode ser comprimido. Podemos formalizar isto dizendo que a densidade do fluido e´ constante ao longo de toda a calha e não varia no tempo. Imagine, agora, que você tem uma moldura de arame plana, com qualquer forma desejada, mas que está vazada. Digamos que a largura máxima da moldura e´ menor que a profundidade e largura da calha, de modo que podemos imergi-la completamente no fluido. O fluxo do fluido através da moldura e´ a quantidade de l´ıquido que atravessa a a´ rea limitada pela moldura. Interpretaremos a quantidade de fluido em termos de volume. Entretanto, como estamos supondo que o fluido e´ incompress´ıvel, poder´ıamos falar igualmente em massa; para isto, bastaria multiplicar o volume pela densidade do fluido em todas as nossas equaço˜ es. Nosso objetivo nesta seça˜ o e´ criar um modelo matemático para a noça˜ o de fluxo. Há, entretanto, um detalhe importante que precisa ser levado em conta. Caso a superf´ıcie seja fechada–uma caixa oca, por exemplo–o fluxo através da caixa e´ igual a` diferença entre a quantidade de l´ıquido que entra e que sai da caixa. Para que isto faça sentido, precisamos ser capazes de associar um sinal ao fluxo, para que possamos identificar onde o l´ıquido entra na caixa, e onde sai da caixa. Portanto, para que o fluxo através de uma superf´ıcie fechada não dê nulo e´ preciso que haja ou uma fonte, ou um sorvedouro, dentro da superf´ıcie. Como a maneira mais natural de definir fluxo e´ mesmo em termos de um fluido incompress´ıvel, você e´ convidado a imaginar que os campos de vetores descritos nesta seça˜ o são todos campos de velocidades.

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60

3. 2-FORMAS

1.1. Fluxo de um campo constante. Seja F : R3 → R3 um campo de vetores constante–que estaremos imaginando ser um campo de velocidades. Suponhamos que o vetor constante F (p) e´ paralelo ao eixo z. Queremos definir o fluxo de F através de um retângulo R = [0, `] × [0, h]. Começamos com o caso em que R está contido em um plano paralelo a z = 0. Digamos que R tem largura ` (medida ao longo de x) e comprimento h (medido ao longo de y). Neste caso, todo o l´ıquido contido no paralelep´ıpedo de base R e altura |F (p)|t (medida ao longo de z) atravessa R no tempo t. Em outras palavras, o fluxo deste campo através de R será ΦF (R) = |F (p)|h`, que e´ a quantidade de l´ıquido que atravessa o retângulo por unidade de tempo. Mantendo o campo constante, vamos incliná-lo de um aˆ ngulo θ em relaça˜ o ao eixo z. Ao fazer isto, a quantidade de fluido que atravessa R no tempo t passa a ser igual ao volume de um prisma. Tomando a base do prisma como sendo o retângulo de lados ` e h, sua altura será igual a |F (p)|t sen(θ). Portanto, neste caso, o fluxo de F através de R e´ ΦF (R) = |F (p)|h` sen(θ). Existe uma outra maneira de calcular o volume do prisma que e´ mais conveniente para os nossos propósitos. Em primeiro lugar, o retângulo R fica completamente determinado pelos vetores v1 = è2 , v2 = he2 ; ao passo que a altura do prisma e´ dada pela projeça˜ o do vetor v3 = F (0) ao longo da vertical, que e´ igual a F (0) · e3 . Portanto, o volume do prisma e´ h`(F (0) · e3 ) = F (0) · (hè3 ). Contudo, como v1 e v2 são ortogonais, v1 × v2 = (hè3 ). Assim, o fluxo através do retângulo R e´ dado por (1.1)

ΦF (R) = F (0) · (v1 × v2 ),

que e´ o produto misto destes três vetores. Uma vantagem de expressar o fluxo desta maneira e´ que a fórmula 1.1 vale, não importa qual seja a posiça˜ o relativa dos vetores v1 , v2 e F . Tomaremos este produto misto como sendo a definiça˜ o do fluxo do campo constante F , através do paralelograma definido pelos vetores ortogonais v1 e v2 .

1. FLUXO

61

Note que definimos o valor do fluxo como sendo o produto misto, e não o seu módulo. Este e´ um ponto importante. Considere, por exemplo, o que acontece se calculamos o fluxo de um campo constante através do cubo [0, 1] × [0, 1]. Se o campo e´ definido por F = e3 , então o fluxo pelas faces do cubo perpendiculares ao plano z = 0 vai dar zero. Já o fluxo pela face contida em z = 0 dá 1, e o fluxo pela face contida em z = 1 dá −1. Assim o fluxo total através do cubo dá zero. Isto e´ exatamente o que esperávamos. Afinal, conforme observamos no in´ıcio desta seça˜ o, o fluxo através de uma superf´ıcie fechada será zero sempre que não houver uma fonte ou sorvedouro de fluido dentro da superf´ıcie. Expressar o fluxo como o produto misto também tem a vantagem de que passa a ser fácil calculá-lo a partir das coordenadas dos vetores. Se vj = (aj , bj , cj ), para 1 ≤ j ≤ 2, e F = (F1 , F2 , f3 ), então,  F1 (v1 × v2 ) · v3 = det  a1 a2

F2 b1 b2

 F3 c1  , c2

como aprendemos no curso básico de geometria anal´ıtica. Mais detalhes podem ser encontrados em [12, pp. 21–24]. Para simplificar a notaça˜ o denotaremos o determinante acima por det[F, v1 , v2 ]. 1.2. Propriedades do fluxo. Suponhamos, agora, que F seja um campo vetorial qualquer definido em uma região U de R3 . Se p ∈ U e v1 e v2 são vetores de R3 , então podemos escrever det[F (p), v1 , v2 ]. Contudo “poder escrever” não basta. O que queremos mesmo saber e´ se este número serve para alguma coisa ou, melhor ainda, se tem uma interpretaça˜ o f´ısica. Mas, se os vetores v1 e v2 tiverem comprimento muito pequeno, o número det[F (p), v1 , v2 ] nos dá uma aproximaça˜ o para o fluxo através do retângulo determinado por v1 e v2 em p, mesmo quando o campo não for constante. Em outras palavras, det[F (p), v1 , v2 ] representa uma aproximaça˜ o do fluxo nas proximidades de p. Com isto em mente, estudaremos as propriedades de det[F (p), v1 , v2 ] como funça˜ o de p e dos vetores v1 e v2 . Para facilitar a discussão escreveremos ΦF (p, v1 , v2 ) = det[F (p), v1 , v2 ], o que nos dá uma aplicaça˜ o ΦF : U × R3 × R3 → R. Se p ∈ U for fixado, obtemos a partir de ΦF a aplicaça˜ o (ΦF )p0 : Rn × Rn → R,

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3. 2-FORMAS

definida por (ΦF )p0 (v, w) = ΦF (p0 , v, w) = det[F (p0 ), v, w]. Apelando para as propriedades do determinante, vemos que (ΦF )p0 satisfaz • (ΦF )p0 (v, w + w0 ) = (ΦF )p0 (v, w) + (ΦF )p0 (v, w0 ), e • (ΦF )p0 (v, kw) = k(ΦF )p0 (v, w). Uma aplicaça˜ o com estas propriedades e´ chamada de bilinear, porque e´ linear em cada uma de suas entradas (pressupondo que a outra entrada esteja fixa!). Uma aplicaça˜ o bilinear bem conhecida nossa e´ o produto interno entre dois vetores. Entretanto, ao contrário do que ocorre com o produto interno, (ΦF )p0 não e´ simétrica; isto e´ , seu valor não e´ independente da ordem em que os vetores aparecem no argumento. Isto ocorre porque o determinante troca de sinal quando permutamos duas de suas linhas. Portanto, (ΦF )p0 (w, v) = det[F (p0 ), w, v] = − det[F (p0 ), v, w], que por sua vez e´ igual a (ΦF )p0 (v, w). Logo, (ΦF )p0 (w, v) = −(ΦF )p0 (v, w). Por isso, dizemos que (ΦF )p0 e´ alternada. Assim, Propriedade 1: ΦF e´ bilinear e alternada em suas duas u´ ltimas entradas, desde que a primeira entrada assuma um valor fixo. Apelando para uma outra propriedade dos determinantes, a expansão em co-fatores, podemos decompor ΦF (p, v, w) de uma maneira mais ou menos canônica. Expandindo o determinante pela primeira linha a2 a3 a1 a3 a1 a2 (1.2) ΦF (p, v, w) = F1 det −F2 det +F3 det b2 b3 b1 b3 b1 b2 Supondo que os vetores v e w estejam fixos, ΦF (p, v, w) e´ uma combinaça˜ o linear dos coeficientes de F . Como estes coeficientes são diferenciáveis, o mesmo vale para ΦF (p, v, w) como funça˜ o de p. Portanto, Propriedade 2: ΦF e´ diferenciável em sua primeira entrada, desde que as duas u´ ltimas entradas assumam valores fixos. Qualquer aplicaça˜ o U × R3 × R3 → R, que satisfaça as propriedades 1 e 2, destacadas acima, e´ chamada de 2-forma diferencial. Agora que sabemos o que e´ uma 2-forma, podemos introduzir a notaça˜ o tradicionalmente usada para denotá-las. Para 1 ≤ i 6= j ≤ 3 definimos dxi ∧ dxj como sendo a 2-forma de R3 dada pelo determinante det[(−1)k ek , v, w], onde i 6= k 6= j. Por sua vez, este determinante e´ o menor 2×2 obtido da matriz [(−1)k ek , v, w] pela eliminaça˜ o da primeira linha e da k-ésima coluna. Por exemplo,   1 0 0 a a3 dx2 ∧ dx3 (v, w) = a1 a2 a3  = 2 b 2 b3 b 1 b2 b3

1. FLUXO

63

Em geral, temos (1.3)

   1 dxi ∧ dxj (ek , e` ) = −1   0

se i = k e j = ` se i = ` e j = k em qualquer outro caso.

Usando esta notaça˜ o podemos escrever (1.11) como (1.4)

ΦF = F1 dx2 ∧ dx3 − F2 dx1 ∧ dx3 + F3 dx1 ∧ dx2 .

Diremos que esta e´ a 2-forma associada ao fluxo do campo F . Como já atribu´ımos um significado a dx1 , dx2 e dx3 (como 1-formas), e´ dif´ıcil resistir a` tentaça˜ o de pensar em dx1 ∧ dx2 , dx1 ∧ dx3 e dx2 ∧ dx3 como “produtos” destas 1-formas. E´ dif´ıcil, e não e´ necessário, porque, como veremos, e´ poss´ıvel definir uma multiplicaça˜ o de 1-formas. Mas isto fica para a seça˜ o ????. Vejamos o que acontece se aplicamos a definiça˜ o de 2-forma ao R2 . Seja V uma região de R2 , e η uma aplicaça˜ o V × R2 × R2 → R, que e´ diferenciável com respeito a` primeira, e bilinear alternada com respeito a` s duas u´ ltimas entradas. Tome p ∈ V e dois vetores v = a1 e1 + a2 e2 e w = b1 e1 + b2 e2 . Vamos calcular η(q, v, w) = η(q, a1 e1 + a2 e2 , b1 e1 + b2 e2 ). Como η e´ bilinear, η(q, v, w) = a1 b1 η(q, e1 , e1 )+a1 b2 η(q, e1 , e2 )+a2 b1 η(q, e2 , e1 )+a2 b2 η(q, e2 , e2 ). Mas η também e´ alternada, o que implica que η(q, e2 , e1 ) = −η(q, e1 , e2 ), e também que η(q, e1 , e1 ) = η(q, e2 , e2 ) = 0. Temos, portanto, que (1.5)

η(q, v, w) = (a1 b2 − a2 b1 )η(q, e1 , e2 ),

onde g(p) = η(q, e1 , e2 ) e´ uma funça˜ o diferenciável definida em V . Denotando por s e t as coordenadas de R2 , podemos definir ds ∧ dt como sendo a 2-forma de R2 que satisfaz ds ∧ dt(v, w) = det[v, w] = a1 b2 − a2 b1 . Usando esta notaça˜ o, (1.14) nos dá a igualdade (1.6)

η = gds ∧ dt.

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3. 2-FORMAS

1.3. Superf´ıcies parametrizadas. Até agora tratamos apenas de como calcular o fluxo de um campo constante através de um retângulo. Mas nossa meta e´ definir fluxo para um campo qualquer através de uma superf´ıcie não necessariamente plana. Para isso, precisamos delimitar o que deve ser entendido quando usarmos a palavra superf´ıcie. Antes, porém, precisamos descobrir como estas superf´ıcies serão utilizadas. Por isso, começaremos descrevendo a estratégia a ser adotada para definir fluxo no caso geral. Usando a definiça˜ o de trabalho sobre uma curva como inspiraça˜ o, iniciaremos aproximando a superf´ıcie por retângulos. Além disso, assumiremos que os retângulos escolhidos são pequenos o suficiente para que o campo possa ser considerado como constante sobre cada um deles. Sob estas hipóteses podemos calcular o fluxo através de cada retângulo, cuja soma nos dará uma aproximaça˜ o para o fluxo através de toda a superf´ıcie. Passando ao limite, obteremos uma fórmula integral para o fluxo. Nossa experiência com o caso do trabalho de um campo sugere que, para facilitar a aproximaça˜ o por retângulos, seria prefer´ıvel introduzir superf´ıcies de maneira parametrizada, e e´ exatamente isto que faremos aqui. Tomando a definiça˜ o de curva como ponto de partida, definimos uma superf´ıcie parametrizada de R3 como sendo uma aplicaça˜ o diferenciável S : [a, a0 ] × [b, b0 ] → R3 , onde a < a0 e b < b0 são números reais. Como sempre não estamos fazendo uma distinça˜ o clara entre a aplicaça˜ o S e sua imagem, muito embora a superf´ıcie propriamente dita corresponda ao conjunto de pontos de R3 que forma a imagem de S. Como no caso de curvas, trabalhar com uma superf´ıcie parametrizada S tem a vantagem de permitir que a aproximaça˜ o de S por uma malha de retângulos seja fácil de fazer. Para isto, subdividimos [a, a0 ] em m partes iguais, e [b, b0 ] em n partes iguais, onde m e n são inteiros positivos. Assim, [a, a0 ] × [b, b0 ] fica subdividido em mn retângulos de largura `=

(a0 − a) m

e altura

(b0 − b) , n que correspondem aos produtos cartesianos de cada uma das partes em que dividimos os dois intervalos. Escrevendo h=

ai = a + i` e bi = b + jh onde 0 ≤ i ≤ m e 0 ≤ j ≤ n, temos que o retângulo resultante do produto do subintervalo [ai , ai+1 ] de [a, a0 ], com o subintervalo [bj , bj+1 ],

1. FLUXO

65

de [b, b0 ] pode ser parametrizado como (1 − t1 − t2 )(ai , bj ) + t1 (ai+1 , bj ) + t2 (ai , bj+1 ), onde 0 ≤ t1 , t2 ≤ 1. Aplicando os vértices deste retângulo do plano sobre a superf´ıcie S, obtemos os retângulos Ri,j (S) definidos por (1 − t1 − t2 )S(ai , bj ) + t1 S(ai+1 , bj ) + t2 S(ai , bj+1 ), onde 0 ≤ t1 , t2 ≤ 1. Na verdade, Ri,j (S) fica completamente determinado pelos vetores S(ai+1 , bj ) − S(ai , bj ) e S(ai , bj+1 ) − S(ai , bj ), que definem dois de seus lados adjacentes. Em particular, Ri,j (S) não e´ a imagem de um retângulo do plano por S. Para simplificar a terminologia, diremos que Rij (S) e´ um S-retângulo, e que o conjunto Rm,n = {Rij (S) : 0 ≤ i ≤ m e 0 ≤ j ≤ n}, de todos os S-retângulos correspondentes a uma certa escolha de inteiros positivos m e n, determina uma subdivisão da superf´ıcie. Entretanto, deve ficar claro que os S-retângulos que estamos considerando são planos, e sabemos apenas que seus vértices estão sobre a superf´ıcie. Em outras palavras, não e´ estritamente verdade que S fica subdividida pelos Rij (S), já que os pontos destes retângulos não estão totalmente contidos na imagem de S. Por exemplo, ao subdividir uma calota esférica em S-retângulos temos um efeito semelhante ao que obter´ıamos colando pastilhas de revestimento de parede na superf´ıcie interna da calota. Aliás, o exemplo da calota e´ muito bom, porque pode ser facilmente explicitado usando coordenadas esféricas. Considerando a calota como tendo raio um e centro na origem, sua parametrizaça˜ o S : [0, 2π] × [0, π] → R3 , será dada por S(θ, φ) = ( sen(φ) cos(θ), sen sen(θ), cos(φ)). O quadrado [0, π/4] × [0, π/2] e´ levado por esta parametrizaça˜ o em R0,0 (S) = (1 − u − v)(0, 0, 1)+ u( sen(0) cos(π/2), sen(0) sen(π/2), cos(0))+ v( sen(π/4) cos(0), sen(π/4) sen(0), cos(π/4)) que e´ igual a

√ 2 2 , 0, ). R0,0 (S) = (0, 0, 1)(1 − u − v) + u(0, 1, 0) + u( 2 2 Outro exemplo e´ dado pela superf´ıcie do cilindro parabólico, definida por √

Sc (s, t) = (s, s2 , t), onde 0 ≤ s, t ≤ 1.

66

3. 2-FORMAS

Tomando n = 4, como acima, temos 1 1 1 R0,0 (Sc ) = (0, 0, 0)(1 − u − v) + u( , , 0) + v(0, 0, ), 4 16 4 ao passo que 1 1 3 9 1 1 1 R1/2,0 (Sc ) = (1 − u − v)( , , 0) + u( , , 0) + v( , , ). 2 4 4 16 2 4 4 ´ de uma superf´ıcie. Seja U uma região de R3 e 1.4. Fluxo atraves F : U → R3 um campo de vetores. Queremos calcular o fluxo de F através de uma superf´ıcie parametrizada S : [a, a0 ] × [b, b0 ] → R3 , onde a < a0 e b < b0 são números reais. Recapitulando a estratégia, já descrita no §1.3, devemos, primeiramente, subdividir a superf´ıcie em S-retângulos. Supondo os retângulos suficientemente pequenos, assumiremos que o campo pode ser considerado constante sobre todo o retângulo. Com isto, podemos calcular o fluxo através de um retângulo a partir do valor do campo em um de seus vértices. Somando todos estes valores temos uma aproximaça˜ o do valor do fluxo sobre toda a superf´ıcie. Mas esta aproximaça˜ o e´ tanto melhor quanto maiores são m e n. Portanto, tomando o limite quando m e n tendem a infinito obteremos o valor exato, que será representado por uma integral dupla. Para executar esta estratégia em detalhes, começamos escolhendo os inteiros positivos m e n, e costruindo a subdivisão Rm,n da superf´ıcie em Sretângulos. Utilizando a notaça˜ o introduzida no número 1.3, o fluxo através do retângulo Rij (S) será det[F (ai , bj ), ∆1 (i, j), ∆2 (i, j)]. onde ∆1 (i, j) = S(ai+1 , bj ) − S(ai , bj ) = S(ai + `, bj ) − S(ai , bj ) ao passo que ∆2 (i, j) = S(ai , bj+1 ) − S(ai , bj ) = S(ai , bj + h) − S(ai , bj ), para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Somando sobre toda a superf´ıcie, obtemos uma soma dupla (1.7)

n−1 X m−1 X

det[F (ai , bj ), ∆1 (i, j), ∆2 (i, j)].

j=0 i=0

que corresponde a uma aproximaça˜ o do fluxo ΦF (S) do campo F calculado sobre toda a superf´ıcie S.

1. FLUXO

67

Como o determinante e´ linear relativamente a cada uma de suas linhas, podemos reescrever (1.7) como (1.8)

n−1 X m−1 X j=0 i=0

det[F (ai , bj ),

∆1 (i, j) ∆2 (i, j) , ]`h, ` h

onde ` e´ largura e h a altura de cada um dos retângulos da malha em que [a, a0 ] × [b, b0 ] foi subdividido. Com isto, a aproximaça˜ o para o fluxo dada por (1.7) pode ser considerada como uma soma de Riemann. O próximo passo consiste em passar ao limite, fazendo m e n tenderem a infinito. Entretanto, a` medida que o número de quadrados cresce, seu tamanho diminui. Mais precisamente, ` e h tendem a zero quando m e n tendem a infinito. Contudo, ∂S S(s0 + `, t0 ) − S(s0 , t0 ) = (s0 , t0 ), `→0 ` ∂s onde s e t denotam os parâmetros de S. Esta notaça˜ o precisa ser interpretada com um certo cuidado. Geralmente falamos de derivadas parcias de funço˜ es de uma região aberta em R. Porém, S e´ uma aplicaça˜ o cujo contradom´ınio e´ R3 . Em outras palavras, lim

S(s, t) = (S1 (s, t), S2 (s, t), S3 (s, t)), onde S1 S2 e S3 são as funço˜ es coordenadas de S. Então, a derivada parcial de S com relaça˜ o a s deve ser interpretada como sendo o vetor ∂S1 ∂S2 ∂S2 , , , ∂s ∂s ∂s já que o limite quando ` vai a zero está sendo tomado com relaça˜ o a cada coordenada. Sob esta mesma interpretaça˜ o, e´ fácil mostrar que ∂S S(s0 , t0 + h) − S(s0 , t0 ) = (s0 , t0 ), h ∂t Portanto, ao tomar o limite quando m e n tendem a infinito, a aproximaça˜ o dada pela dupla soma de Riemann (1.8) tende para a integral dupla Z a0 Z b0 ∂S ∂S det F (S(s, t)), (s, t), (s, t) dsdt. ∂s ∂s a b lim

h→0

Sempre que não houver o risco de confusão, omitiremos os nomes dos parâmetros da notaça˜ o. Fazendo isto na expressão acima, ela se simplifica para Z a0 Z b0 ∂S ∂S (1.9) det F (S), , dsdt. ∂s ∂s a b Seja F = (x, y, z 2 ) um campo em R3 e σp : [0, 1] × [0, 2π] → R3 ,

68

3. 2-FORMAS

parte da superf´ıcie de um parabolóide parametrizado por (1.10)

σp (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), r2 ).

Vamos determinar o fluxo de F através de σp utilizando (1.9). Para começar precisamos calcular a funça˜ o ∂σp ∂σp , , g(r, θ) = det σp , ∂r ∂θ que devemos integrar. Mas, para isto, precisamos conhecer as derivadas parcias de σp , ∂σp ∂σp = (cos(θ), sen(θ), 2r) e = (−r sen(θ), r cos(θ), 0). ∂r ∂θ Então,   r cos(θ) r sen(θ) z 2 sen(θ) 2r g(r, θ) = det  cos(θ) −r sen(θ) r cos(θ) 0 que, feitos os os cancelamentos necessários, nos dá g(r, θ) = (r5 − 2r3 ). Portanto, o fluxo de F através de σp e´ igual a` integral Z r Z 2π (r5 − 2r3 )drdθ. 0

0

Efetuando a integraça˜ o, obtemos 6 1 2π r r4 2π − · θ = − . 6 2 0 3 0 1.5. Mudando a perspectiva. Procederemos exatamente como fizemos no §1.4. Assim, nosso primeiro objetivo e´ separar, no integrando do fluxo, o que cabe ao campo e o que cabe a` superf´ıcie. Sejam F : U → Rn um campo e S : [a, a0 ] × [b, b0 ] → U , uma superf´ıcie em uma região U de Rn . Denotando por Fi e Si as funço˜ es coordenadas de F e S, respectivamente, o integrando será   F1 (S) F2 (S) F3 (S) γ(s, t) = det ∂S1 /∂s ∂S2 /∂s ∂S3 /∂s ∂S1 /∂t ∂S2 /∂t ∂S2 /∂t onde s e t são os parâmetros de S. Para isolar a contribuiça˜ o do campo F , da que corresponde a` superf´ıcie S criaremos duas funço˜ es. A primeira, GS : [a, a0 ] × [b, b0 ] → U × R3 × R3 e´ definida por GS (q, u, z) = (S(q), Jq (S)u, Jq (S)z), onde Jq (S) e´ a jacobiana de S em q; e a segunda ω : U × R3 × R3 → R

1. FLUXO

69

por  F1 ω(p, v, w) = det  a1 b1

F2 a2 b2

 F3 a3  b3

onde v = (a1 , a2 , a3 ) e w = (b1 , b2 , b3 ). Com isto, γ(q) = (ω · GF )(q, e1 , e2 ). E´ nas propriedades de ω que queremos nos concentrar, em primeiro lugar. Se p ∈ U for fixado, obtemos a partir de ω a aplicaça˜ o ωp0 : Rn × Rn → R, definida por ωp0 (v, w) = ω(p0 , v, w) = det[F (p0 ), v, w]. Apelando para as propriedades do determinante, vemos que ωp0 satisfaz • ωp0 (v, w + w0 ) = ωp0 (v, w) + ωp0 (v, w0 ), e • ωp0 (v, kw) = kωp0 (v, w). Uma aplicaça˜ o com estas propriedades e´ chamada de bilinear, porque e´ linear em cada uma de suas entradas (pressupondo que a outra entrada esteja fixa!). Uma aplicaça˜ o bilinear bem conhecida nossa e´ o produto interno entre dois vetores. Entretanto, ao contrário do que ocorre com o produto interno, ωp0 não e´ simétrica; isto e´ , seu valor não e´ independente da ordem em que os vetores aparecem no argumento. Isto ocorre porque o determinante troca de sinal quando permutamos duas de suas linhas. Portanto, ωp0 (w, v) = det[F, w, v] = − det[F, v, w], que por sua vez e´ igual a ωp0 (v, w). Logo, ωp0 (w, v) = −ωp0 (v, w). Por isso, dizemos que ωp0 e´ alternada. Assim, Propriedade 1: ω e´ bilinear e alternada em suas duas u´ ltimas entradas, desde que a primeira entrada assuma um valor fixo. Apelando para uma outra propriedade dos determinantes, a expansão em co-fatores, podemos decompor ω(p, v, w) de uma maneira mais ou menos canônica. Expandindo o determinante pela primeira linha a a3 a a3 a a2 (1.11) ω(p, v, w) = F1 det 2 − F2 det 1 + F3 det 1 b2 b3 b1 b 3 b 1 b2 Supondo que os vetores v e w estejam fixos, ω(p, v, w) e´ uma combinaça˜ o linear dos coeficientes de F . Como estes coeficientes são diferenciáveis, o mesmo vale para ω(p, v, w) como funça˜ o de p. Portanto, Propriedade 2: ω e´ diferenciável em sua primeira entrada, desde que as duas u´ ltimas entradas assumam valores fixos.

70

3. 2-FORMAS

Qualquer aplicaça˜ o U × R3 × R3 → R, que satisfaça as propriedades 1 e 2, destacadas acima, e´ chamada de 2-forma diferencial. Agora que sabemos o que e´ uma 2-forma, podemos introduzir a notaça˜ o tradicionalmente usada para denotá-las. Para 1 ≤ i 6= j ≤ 3 definimos dxi ∧ dxj como sendo a 2-forma de R3 dada pelo determinante det[ek , v, w], onde i 6= k 6= j. Por sua vez, este determinante e´ o menor 2 × 2 obtido da matriz [ek , v, w] pela eliminaça˜ o da primeira linha e da k-ésima coluna. Assim, por exemplo,   1 0 0 a2 a3   dx2 ∧ dx3 (v, w) = a1 a2 a3 = b2 b3 b1 b2 b3 Em geral, temos (1.12)

   1 dxi ∧ dxj (ek , e` ) = −1   0

se i = k e j = ` se i = ` e j = k em qualquer outro caso.

Usando esta notaça˜ o podemos escrever (1.11) como (1.13)

ΦF = F1 dx2 ∧ dx3 − F2 dx1 ∧ dx3 + F3 dx1 ∧ dx2 .

Diremos que esta e´ a 2-forma associada ao fluxo do campo F . Como já atribu´ımos um significado a dx1 , dx2 e dx3 (como 1-formas), e´ dif´ıcil resistir a` tentaça˜ o de pensar em dx1 ∧ dx2 , dx1 ∧ dx3 e dx2 ∧ dx3 como “produtos” destas 1-formas. E´ dif´ıcil, e não e´ necessário, porque, como veremos, e´ poss´ıvel definir uma multiplicaça˜ o de 1-formas. Mas isto fica para a próxima seça˜ o. Vejamos o que acontece se aplicamos a definiça˜ o de 2-forma ao R2 . Seja V uma região de R2 , e η uma aplicaça˜ o V × R2 × R2 → R, que e´ diferenciável com respeito a` primeira, e bilinear alternada com respeito a` s duas u´ ltimas entradas. Tome p ∈ V e dois vetores v = a1 e1 + a2 e2 e w = b1 e1 + b2 e2 . Vamos calcular η(q, v, w) = η(q, a1 e1 + a2 e2 , b1 e1 + b2 e2 ). Como η e´ bilinear, η(q, v, w) = a1 b1 η(q, e1 , e1 )+a1 b2 η(q, e1 , e2 )+a2 b1 η(q, e2 , e1 )+a2 b2 η(q, e2 , e2 ). Mas η também e´ alternada, o que implica que η(q, e2 , e1 ) = −η(q, e1 , e2 ), e também que η(q, e1 , e1 ) = η(q, e2 , e2 ) = 0.

1. FLUXO

71

Temos, portanto, que η(q, v, w) = (a1 b2 − a2 b1 )η(q, e1 , e2 ),

(1.14)

onde g(p) = η(q, e1 , e2 ) e´ uma funça˜ o diferenciável definida em V . Denotando por s e t as coordenadas de R2 , podemos definir ds ∧ dt como sendo a 2-forma de R2 que satisfaz ds ∧ dt(v, w) = det[v, w] = a1 b2 − a2 b1 . Usando esta notaça˜ o, (1.14) nos dá a igualdade (1.15) η = gds ∧ dt. É chegada a hora de voltar nossa atença˜ o para a aplicaça˜ o composta ω·GS , que e´ conhecida como a imagem inversa de ω pela superf´ıcie parametrizada S, e denotada por S ∗ (ω). Se q e´ um ponto do retângulo onde S está definida, temos por (1.15) que S ∗ (ω) = ω(S, Jq (S)e1 , Jq (S)e2 )ds ∧ dt = γ(q)ds ∧ dt. Estes comentários nos ajudam a interpretar a noça˜ o de integral de superf´ıcie na linguagem das formas diferenciais. Lembre-se que a integral de F através de S foi definida como sendo a integral da funça˜ o γ no retângulo R = [a, a0 ] × [b, b0 ]. Mas γ e´ o coeficiente da 1-forma S ∗ (ω). Reescrevendo tudo isto numa ordem mais direta: a integral da 2-forma ω ao longo de S, e´ a integral da 2forma S ∗ (ω) no retângulo R que, por sua vez, e´ a integral de γ neste mesmo retângulo. Isto e´ , Z Z Z a0 Z b0 ω= S ∗ (ω) = γdsdt. S

R

a

b

Como no caso de 1-formas, removemos o perigo de ambigüidade entre a integral da 2-forma γds ∧ dt e a integral dupla de γ declarando que uma e´ outra. Ou seja, definimos Z Z a0 Z b0 γds ∧ dt, como sendo igual a γdsdt. R

a

b

Com isto podemos generalizar a definiça˜ o acima para a integral de qualquer 2-forma sobre uma superf´ıcie. Se θ e´ uma 2-forma em U e S : [a, a0 ] × [b, b0 ] → U e´ uma superf´ıcie, definimos Z Z θ= S ∗ (θ). S

[a,a0 ]×[b,b0 ]

Como S ∗ (θ) = gds ∧ dt, para alguma funça˜ o diferenciável g, Z Z a0 Z S ∗ (θ) = [a,a0 ]×[b,b0 ]

a

b

b0

gdt,

72

3. 2-FORMAS

que e´ a integral usual de g no retângulo [a, a0 ] × [b, b0 ]. Note o paralelo entre as integrais de 1-formas e 2-formas, que relacionamos na tabela abaixo. Onde havia: trabalho 1-forma integral simples curva parametrizada C C(t) dC/dt

Temos agora: fluxo 2-forma integral dupla superf´ıcie parametrizada S S(s, t) ∂S/∂s e ∂S/∂t.

2. O caso geral Nesta seça˜ o começamos a sistematizar os conceitos introduzidos na seça˜ o anterior. Iniciamos revisando alguns conceitos básicos de a´ lgebra linear. 2.1. Formas bilineares alternadas. Uma forma bilinear de Rn e´ uma aplicaça˜ o ω : Rn × Rn → R, que satisfaz a` seguinte condiça˜ o: dado um vetor v0 ∈ Rn , a aplicaça˜ o ωj : Rn → R, para j = 1, 2 obtida fixando-se a j-ésima coordenada de ω como sendo igual a v0 , e´ linear. Uma descriça˜ o mais expl´ıcita (porém mais prolixa) consiste em dizer que, dados v0 , v1 , v2 ∈ Rn e k ∈ R, temos que • ω(v0 , v1 + kv2 ) = ω(v0 , v1 ) + kω(v0 , v2 ), e • ω(v1 + kv2 , v0 ) = ω(v1 , v0 ) + kω(v2 , v0 ). As formas bilineares ocorrem em abundância em matemática, a começar pelo produto interno de Rn . Outro exemplo, que já fez sua apariça˜ o na seça˜ o anterior, e´ o determinante   F1 F2 F3 det[F, v1 , v2 ] = det  x1 y1 z1  , x2 y2 z2 onde F = (F1 , F2 , F3 ) e´ um vetor constante, ao passo que v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ), são vetores quaisquer de R3 . Uma forma bilinear ω de Rn pode ser expressa, de maneira bastante concreta, se fixamos uma base β = {u1 , . . . , un }

2. O CASO GERAL

73

de Rn . Escrevendo v, w ∈ Rn como funça˜ o de β, obtemos (2.1)

v = a1 u1 + · · · + an un e w = b1 u1 + · · · + bn un ,

onde os as e os bs são números reais. Apelando, agora, para a linearidade de ω relativamente a` segunda entrada, temos que ω(v, w) = ω(v, b1 u1 + · · · + bn un ) nos dá (2.2)

ω(v, w) = b1 ω(v, u1 ) + · · · + bn ω(v, un ).

Mas ω também e´ linear com relaça˜ o a` sua primeira entrada, de forma que ω(v, ui ) = ω(a1 u1 + · · · + an un , ui ) = a1 ω(u1 , ui ) + · · · + an ω(un , ui ), para cada 1 ≤ i ≤ n. Substituindo em (2.2), X (2.3) ω(v, w) = ai bj ω(ui , uj ). 1≤i,j≤n

Esta equaça˜ o pode ser reescrita em forma matricial como ω(v, w) = v t Ωβ w, onde Ωβ e´ a matriz n × n cuja entrada ij e´ ω(ui , uj ). Há duas classes muito importantes de formas bilineares: as formas simétricas e as formas alternadas. Uma forma bilinear ω de Rn e´ simétrica se ω(v, w) = ω(w, v) para todo v, w ∈ Rn . Escolhendo, em particular, v = ui e w = uj , elementos de β, obtemos ω(ui , uj ) = ω(uj , ui ), quaisquer que sejam 1 ≤ i, j ≤ n. Isto implica que as entradas das posiço˜ es ij e ji de Ωβ são iguais. Em outras palavras, Ωβ e´ uma matriz simétrica: o que, aliás, soa muito justo. O produto escalar e´ o exemplo mais conhecido de forma simétrica. Por outro lado, uma forma bilinear ω de Rn e´ alternada se ω(v, w) = −ω(w, v) para todo v, w ∈ Rn . As formas bilineares alternadas também são conhecidas como 2-formas constantes. A matriz Ωβ , da forma bilinear alternada ω relativamente a uma base β do Rn , e´ anti-simétrica, isto e´ , satisfaz Ωtβ = −Ωβ . Em particular, usando a notaça˜ o de (2.1), temos que X ω(v, w) = ω(ui , uj )(ai bj − aj bi ). 1≤i<j≤n

74

3. 2-FORMAS

Note que ai bj − aj bi e´ igual ao determinante da matriz 2 × 2 correspondente a` s colunas i e j da matriz a1 a2 · · · an . b 1 b2 · · · bn A aplicaça˜ o que associa ao par de vetores (v, w) o número ai bj − aj bi também e´ uma 2-forma constante. Quando β e´ a base canônica de Rn , esta forma e´ denotada por dxi ∧ dxj . Neste caso, podemos escrever ω como X (2.4) ω= ω(ui , uj )dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤n

Como as 2-formas constantes são aplicaço˜ es que tomam valores em R, podemos somá-las da maneira usual. Isto, e´ , dadas duas formas constantes ω e θ, definimos (ω + θ)(v, w) = ω(v, w) + θ(v, w),

(2.5)

quaisquer que sejam v, w ∈ Rn . Não há dúvida de que esta fórmula define uma aplicaça˜ o de Rn × Rn em R; a questão e´ se essa aplicaça˜ o e´ bilinear e alternada. Contudo, fixando v0 em (2.5), temos (ω + θ)(v0 , w) = ω(v0 , w) + θ(v0 , w). Mas, por definiça˜ o, ω(v0 , w) e θ(v0 , w) são aplicaço˜ es lineares, quando consideradas como funço˜ es de suas segundas entradas. Assim, (ω + θ)(v0 , w) e´ linear como funça˜ o de w. Um argumento semelhante mostra que ω + θ e´ linear como funça˜ o da primeira entrada, quando a segunda está fixa. Finalmente, (ω + θ)(w, v) = ω(w, v) + θ(w, v) = −ω(w, v) − θ(w, v); como isto e´ igual a −(ω + θ)(w, v), conclu´ımos que ω + θ também e´ alternada. Resumindo: a soma de duas 2-formas constantes e´ uma 2-forma constante. Encerramos este parágrafo definindo a imagem inversa de uma 2-forma constante por uma aplicaça˜ o linear. Dada uma transformaça˜ o linear T : Rm → Rn , começamos por definir uma aplicaça˜ o ∆ T : Rm × R m → Rn × R n , pela fórmula ∆T (v, w) = (T (v), T (w)). Como T e´ linear, • ∆T (v1 + kv2 , w0 ) = ∆T (v1 , w0 ) + k∆T (v2 , w0 ); • ∆T (w0 , v1 + kv2 ) = ∆T (w0 , v1 ) + k∆T (w0 , v2 ), onde k e´ um escalar e v1 , v2 , w0 ∈ Rm . ˜ . Se ω e´ uma 2-forma constante em Rn , então a composta P ROPOSIÇ AO ω · ∆T e´ uma 2-forma constante em Rm .

2. O CASO GERAL

75

˜ . Sejam k um escalar e v1 , v2 , w0 ∈ Rm , então D EMONSTRAÇ AO (ω · ∆T )(v1 + kv2 , w0 ) = ω · ∆T (v1 , w0 ) + kω · ∆T (v2 , w0 ); ao passo que (ω · ∆T )(v1 , w0 ) e´ igual a ω(T (v1 ), T (w0 )) = −ω(T (w0 ), T (v1 )) = −(ω · ∆T )(w0 , v1 ), donde (ω · ∆T )(v1 , w0 ) = −(ω · ∆T )(w0 , v1 ). Portanto, ω · ∆T e´ uma 2-forma constante em Rm , como desejávamos mostrar. Nos próximos parágrafos generalizaremos tudo isto para 2-formas não constantes, definidas sobre uma região aberta de Rn . 2.2. 2-formas diferenciais. Seja U uma região de Rn . Uma 2-forma diferencial em U e´ uma aplicaça˜ o α : U × Rn × Rn → R, que satisfaz a` s seguintes condiço˜ es: (1) fixando p0 ∈ U , e considerando ω(p0 , v, w) como funça˜ o apenas de v e w, temos uma aplicaça˜ o bilinear alternada de Rn × Rn em R; (2) fixando v0 , w0 ∈ Rn , e considerando ω(p, v0 , w0 ) como funça˜ o apenas de p, temos uma funça˜ o diferenciável de U em R. Como no caso de 1-formas, optamos por uma definiça˜ o livre de coordenadas para as 2-formas diferenciais. Por isso devemos começar descobrindo como escrever uma 2-forma em termos de coordenadas; como, aliás, já fizemos para o caso de dimensão três no §1.5. Seja p ∈ U . De acordo com a propriedade (1), a aplicaça˜ o ωp : Rn × Rn → R, definida por ωp (v, w) = ω(p, v, w), e´ uma 2-forma constante. Assumindo que os vetores v e w foram expressos em termos de suas coordenadas na base canônica, segue da equaça˜ o (2.4) que X ωp = aij (p)dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤n

Porém, como dxi ∧ dxj (ei , ej ) = 1, temos ω(p, ei , ej ) = aij (p). Portanto, pela propriedade (2) da definiça˜ o de 2-forma diferencial, aij : U → R, são funço˜ es diferenciáveis definidas em U . Conclu´ımos, portanto, que toda 2-forma diferencial definida em uma região U do Rn pode ser escrita na forma X ω= aij dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤n

76

3. 2-FORMAS

onde aij = aij (x1 , . . . , xn ) são funço˜ es diferenciáveis em U . Por outro lado, como e´ fácil verificar, qualquer aplicaça˜ o da forma acima satisfaz (1) e (2). O conjunto das 2-formas diferenciais definidas em uma região aberta U de Rn será denotado por Ω2 (U ). Há várias operaço˜ es que podemos definir em Ω2 (U ), a mais simples das quais e´ a soma. Sejam ω e θ 2-formas diferenciais em U , a soma ω + θ e´ definida em um ponto (p, v, w) ∈ U × Rn × Rn por (2.6)

(ω + θ)(p, v, w) = ω(p, v, w) + θ(p, v, w).

Para que esta definiça˜ o seja u´ til, e´ preciso que ω + θ também seja uma 2-forma diferencial em U , e não apenas uma aplicaça˜ o qualquer. Mas isto e´ fácil de verificar usando as propriedades (1) e (2), como veremos a seguir. Fixando p ∈ U , podemos reescrever (2.6) na forma (ω + θ)(p, v, w) = (ωp + θp )(v, w). Porém, como vimos no §2.1, a soma de 2-formas constantes e´ uma 2-forma constante. Portanto, ω + θ e´ bilinear alternada, o que prova (1). Passando, agora, a` segunda propriedade, fixamos dois vetores v0 e w0 do Rn , e consideramos (ω + θ)(p, v0 , w0 ) = ω(p, v0 , w0 ) + θ(p, v0 , w0 ), como funça˜ o de p. Mas ω(p, v0 , w0 ) e θ(p, v0 , w0 ) são ambas diferenciáveis como funço˜ es de p, e a soma de funço˜ es diferenciáveis e´ diferenciável. Assim, (ω+θ)(p, v0 , w0 ) e´ uma funça˜ o diferenciável de p, o que prova (2). Um cálculo simples mostra que se X X ω= aij dxi ∧ dxj e θ = bij dxi ∧ dxj , 1≤i<j≤n

1≤i<j≤n

então ω+θ =

X

(aij + bij )dxi ∧ dxj

1≤i<j≤n

como, aliás, seria de esperar. Procedendo de maneira semelhante, podemos mostrar que, se ω e´ uma 2forma diferencial em U e f ∈ O(U ), então a aplicaça˜ o de U × Rn × Rn em R definida por (f ω)(p, v, w) = f (p)ω(p, v, w), onde p ∈ U e v, w ∈ Rn também e´ uma 2-forma diferencial. Mais uma vez, isto e´ facilmente expresso em termos de coordenadas pela fórmula X fω = (f aij )dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤n

Um caso particular da multiplicaça˜ o de uma 2-forma por uma funça˜ o ocorre quando a funça˜ o e´ constante. Neste caso o que temos e´ o produto de um escalar por uma 2-forma. Assim, podemos somar 2-formas diferenciáveis e multiplicálas por escalares. Com um pouco de paciência e´ poss´ıvel verificar que estas operaço˜ es satisfazem todas as propriedades requeridas para fazer de Ω2 (U ) um espaço vetorial sobre R. Este e´ um fato que usaremos com freqüeˆ ncia ao

2. O CASO GERAL

77

longo deste livro; tão frequentemente que raramente chamaremos a atença˜ o para o que estamos fazendo. 2.3. Produto exterior. Como já observamos no parágrafo 1.5, a notaça˜ o dxi ∧ dxj sugere uma interpretaça˜ o desta 2-forma como um produto. Neste parágrafo, introduzimos uma noça˜ o de multiplicaça˜ o de formas que nos permitirá formalizar esta interpretaça˜ o. Mais precisamente, dada uma região U ⊆ Rn , desejamos inventar uma operaça˜ o que, a cada par de 1-formas em U , associa uma 2-forma, também definida em U . Sejam α e β 1-formas diferenciais definidas em U , definimos o produto exterior α ∧ β em um ponto (p, v, w) ∈ U × Rn × Rn pela fórmula (α ∧ β)(p, v, w) = det

α(p, v) α(p, v) . β(p, w) β(p, w)

E´ importante você notar que há uma correlaça˜ o entre a ordem em que as 1-formas e os vetores aparecem em (α ∧ β)(p, v, w) e sua posiça˜ o no determinante. Afinal, qualquer variaça˜ o na ordem das linhas ou colunas fará o determinante mudar de sinal. Por exemplo, α(p, w) α(p, w) α(p, v) α(p, w) (α ∧ β)(p, w, v) = det = − det β(p, v) β(p, v) β(p, v) β(p, w) que, por sua vez, e´ igual a −(α ∧ β)(p, v, w). Portanto, (α ∧ β)(p, w, v) = −(α ∧ β)(p, v, w). Em particular, α ∧ β e´ alternada. Para mostrar que α ∧ β e´ bilinear, suponhamos que v 0 e´ um outro vetor do n R e que k e´ um escalar, então α(p, v + kv 0 ) α(p, w) (α ∧ β)(p, v + kv 0 , w) = det . β(p, v + kv 0 ) β(p, w) Pela linearidade de α e de β, (α ∧ β)(p, v + kv 0 , w) = det

α(p, v) + kα(p, v 0 ) α(p, w) . β(p, v) + kα(p, v 0 ) β(p, w)

Mas, este u´ ltimo determinante e´ igual a` soma α(p, v) α(p, w) α(p, v 0 ) α(p, w) det + k det . β(p, v) β(p, w) α(p, v 0 ) β(p, w) Transcrevendo esta equaça˜ o em termos de ∧, obtemos (α ∧ β)(p, v + kv 0 , w) = (α ∧ β)(p, v, w) + k(α ∧ β)(p, v 0 , w). Um argumento análogo, mostra que (α ∧ β)(p, v, w + kw0 ) = (α ∧ β)(p, v, w) + k(α ∧ β)(p, v 0 , w0 ). Portanto, α ∧ β satisfaz a propriedade (1).

78

3. 2-FORMAS

Por outro lado, se fixarmos v e w, as entradas do determinante passam a ser funço˜ es diferenciáveis em U . Como somas e produtos de funço˜ es diferenciáveis também são diferenciáveis, o determinante e´ diferenciável como funça˜ o de p. Isto prova a propriedade (2). Como já hav´ıamos provado (1), podemos concluir que a aplicaça˜ o α ∧ β acima definida e´ uma 2-forma diferenciável em U . Portanto, o produto exterior define uma aplicaça˜ o Ω1 (U ) × Ω1 (U ) → Ω2 (U ), e, como tal, pode ser considerada como uma operaça˜ o, que a cada par de 1formas associa uma 2-forma. Tendo chegado a este ponto, podemos nos perguntar se a 2-forma dxi ∧ dxj , definida como o produto exterior de dxi por dxj coincide com a 2-forma de mesmo nome definida no §1.5. Para isto, basta mostrar que o produto de dxi por dxj satisfaz (1.12), já que isto define completamente o valor de uma 2-forma em qualquer par de vetores. Mas, por definiça˜ o, o produto exterior de dxi por dxj no par (ek , e` ) vale dxi (ek ) dxi (e` ) det . dxj (ek ) dxj (e` ) Escrevendo δik

( 1 = 0

se i = k se i = 6 k

temos que

δik δi` , δjk δj` já que dxi captura a i-ésima coordenada de um vetor, e dxj sua j-ésima coordenada. Mas,    1 se i = k e j = ` δik δj` − δi` δjk = −1 se i = ` e j = k   0 em qualquer outro caso det

como desejávamos mostrar. 2.4. Propriedades do produto exterior. Agora que sabemos que ∧ e´ uma operaça˜ o que entrelaça duas 1-formas para produzir uma 2-forma; devemos nos perguntar quais são as propriedades de uma tal operaça˜ o. Começamos com a comutatividade. Sejam α1 e α2 1-formas diferenciais definidas em uma região U do Rn . Vamos calcular α2 ∧ α1 e compará-lo a α1 ∧ α2 . Se p ∈ U e v, w ∈ Rn , então α2 (p, v) α2 (p, w) (α2 ∧ α1 )(p, v, w) = det . α1 (p, v) α1 (p, w) Como o determinante troca de sinal quando permutamos duas de suas linhas, α1 (p, v) α1 (p, w) (α2 ∧ α1 )(p, v, w) = − det , α2 (p, v) α2 (p, w)

2. O CASO GERAL

79

que e´ igual a −(α1 ∧ α2 )(p, v, w). Mas esta igualdade vale para qualquer escolha de p ∈ U e v, w ∈ R3 , de modo que podemos concluir que (2.7)

α2 ∧ α1 = −(α1 ∧ α2 ).

Em particular a operaça˜ o ∧ não e´ comutativa. Como nada pior que uma troca de sinal acontece, quando os termos são transpostos, dizemos que ∧ e´ anti-comutativa. A anti-comutatividade de ∧ tem um efeito colateral inesperado. Por exemplo, tomando α1 = α2 em (2.7), verificamos que α1 ∧ α1 = −(α1 ∧ α1 ). Mas isto só pode ocorrer se α1 ∧ α1 = 0. Portanto, (2.8)

α∧α=0

para toda 1-forma diferencial α. A segunda propriedade que abordaremos e´ a distributividade. Conservando a notaça˜ o anterior, seja α3 uma terceira 1-forma em U e k ∈ R, então (α1 + kα2 )(p, v) (α1 + kα2 )(p, w) ((α1 + kα2 ) ∧ α3 )(p, v, w) = det α3 (p, v) α3 (p, w) Como (α1 + kα2 )(p, v) = α1 (p, v) + kα2 (p, v) para todo p ∈ U e v ∈ Rn , temos que α1 (p, v) + kα2 (p, v) α1 (p, w) + kα2 (p, w) ((α1 +kα2 )∧α3 )(p, v, w) = det . α3 (p, v) α3 (p, w) Mas este determinante e´ igual a α (p, v) α1 (p, w) α (p, v) α2 (p, w) det 1 + k det 2 , α3 (p, v) α3 (p, w) α3 (p, v) α3 (p, w) donde, ((α1 + kα2 ) ∧ α3 )(p, v, w) = (α1 ∧ α3 )(p, v, w) + k(α2 ∧ α3 )(p, v, w). Como esta igualdade vale para qualquer escolha de p ∈ U e v, w ∈ Rn , podemos concluir que (α1 + kα2 ) ∧ α3 = α1 ∧ α3 + k(α2 ∧ α3 ). Logo, ∧ e´ distributiva. Há uma propriedade da operaça˜ o usual de multiplicaça˜ o que ainda não abordamos com relaça˜ o ao produto exterior. Trata-se da associatividade, que equivale a perguntar se (α1 ∧ α2 ) ∧ α3 = α1 ∧ (α2 ∧ α3 ). Contudo, α1 ∧ α2 e´ uma 2-forma que, do lado esquerdo da equaça˜ o, está sendo multiplicada pela 1-forma α3 . Entretanto, um tal produto nunca foi definido: tudo o que sabemos e´ multiplicar duas 1-formas. Portanto, pelo menos por

80

3. 2-FORMAS

enquanto, esta propriedade está fora do nosso alcance pela falta dos conceitos apropriados. 2.5. Diferencial de 1-formas. Podemos aproveitar o que fizemos na seça˜ o anterior para definir a diferencial de uma 1-forma. Lembre-se que no §2.3 do cap´ıtulo 2 definimos a diferencial de uma funça˜ o como sendo uma certa 1-forma. Neste parágrafo pretendemos estender este conceito, da maneira mais natural poss´ıvel, para as 1-formas: o resultado, naturalmente, será uma 2forma. Mais precisamente, queremos construir uma aplicaça˜ o d : Ω1 (U ) → Ω2 (U ), onde U e´ uma região de Rn . Usando o produto exterior, podemos escrever uma 1-forma α definida em U como n X (2.9) ai dxi , α= j=1

onde ai ∈ O(U ) para 1 ≤ i ≤ n. Como a diferencial de uma funça˜ o e´ uma transformaça˜ o linear, e´ razoável supor que a diferencial de uma 1-forma pelo menos se distribui sobre uma soma. Mas, isto implica que d(α) =

n X

d(ai dxi ),

j=1

de forma que basta definir d(ai dxi ) para cada 1 ≤ i ≤ n. Tomando como inspiraça˜ o os cálculos do parágrafo anterior, definiremos d(ai dxi ) = d(ai ) ∧ d(dxi ). Portanto, d(α) =

n X

d(ai ) ∧ d(dxi ),

j=1

e´ uma 2-forma em U como desejávamos. Agora que temos uma definiça˜ o, resta-nos verificar se e´ satisfatória. Por exemplo, o que ocorre se calculamos a diferencial de f α, onde f ∈ O(U )? Vejamos: escrevendo α como na equaça˜ o (2.9), temos fα =

n X

(f ai )dxi ,

j=1

donde d(f α) =

n X

d(f ai )dxi .

j=1

Contudo, d(f ai ) = f dai + ai df para cada 1 ≤ i ≤ n.

2. O CASO GERAL

81

Assim, n X

d(f ai ) ∧ dxi =

j=1

n X

(f dai ∧ dxi + ai df ∧ dxi );

j=1

e pondo f e df em evidência, n X

d(f ai ) ∧ dxi = f

j=1

n X

n X dai ∧ dxi + df ∧ ( ai dxi ).

j=1

j=1

Portanto, (2.10)

d(f α) = f dα + df ∧ α,

de forma que esta diferencial satisfaz uma relaça˜ o análoga a` fórmula de Leibniz. Esta e´ uma boa not´ıcia porque, além da linearidade, a fórmula de Leibniz foi a u´ nica propriedade da diferencial de funço˜ es que provamos no cap´ıtulo 2. Por falar em linearidade, ainda não sabemos se a diferencial e´ linear. E´ verdade que distribui sobre uma soma, já que esta propriedade foi usada implicitamente em sua definiça˜ o. Mas será que respeita o produto por escalar? Para verificar isto, seja k ∈ R. Considerando k como uma funça˜ o constante, podemos usar (2.10), de modo que d(kα) = kd(α) + d(k) ∧ α. Levando em conta que d(k) = 0, temos d(kα) = kd(α); o que completa a prova da linearidade da diferencial. Estendendo a terminologia usada para 1-formas, dizemos que uma 2-forma em U e´ exata se pode ser escrita como dα, para algum α ∈ Ω1 (U ). Como já ocorreu no caso de 1-formas, não e´ verdade que toda 2-forma e´ exata. De fato, isto está muito longe de ser verdade. Entretanto, para poder provar que uma dada forma não e´ exata, precisamos de um teorema de que ainda não dispomos. Por isso vamos esperar o §5.7 para poder dar um exemplo de uma 2-forma que não e´ exata. Por falar em formas exatas, o que ocorre se calcularmos a diferencial de uma 1-forma exata? Para isto, considere f ∈ O(U ). Calculando sua diferencial, temos n X ∂f dxi ; df = ∂xi i=1 que, por sua vez, tem diferencial (2.11)

d(df ) =

n X i=1

d(

∂f ) ∧ dxi , ∂xi

Contudo, n

d(

X ∂2f ∂f )= dxj . ∂xi ∂xi ∂xj j=1

82

3. 2-FORMAS

Substituindo em (2.11), e levando em conta a anti-comutatividade do produto exterior, X ∂2f ∂2f d(df ) = − dxi ∧ dxj . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi 1≤i<j≤n

Porém, como f e´ diferenciável em todas as ordens, temos que ∂2f ∂2f = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi para todo 1 ≤ i < j ≤ n; donde d(df ) = 0. Na linguagem da a´ lgebra linear, mostramos que toda 1-forma exata pertence ao núcleo da transformaça˜ o linear d : Ω1 (U ) → Ω2 (U ). Entretanto, nem sempre e´ verdade que o núcleo desta transformaça˜ o e´ sempre igual ao conjunto das 1-formas exatas. Por isso, precisamos de uma palavra diferente para designar as 1-formas que pertencem ao núcleo de d; diremos que são formas fechadas. Nesta terminologia, mostramos que toda forma exata e´ fechada. Por outro lado, embora seja fácil dar exemplos de formas fechadas que não são exatas, esbarramos novamente com a falta de uma ferramenta adequada para provar que uma dada forma não e´ exata. Por isso, este exemplo também vai ter que esperar até o §5.7. Já no §5.6 provaremos que toda forma fechada definida em uma região convexa e´ exata. Resumindo, estendemos neste parágrafo a noça˜ o de diferencial para o caso de 1-formas. Mais precisamente, definimos uma transformaça˜ o linear d : Ω1 (U ) → Ω2 (U ). que satisfaz d(f α) = df ∧ α. De fato, esta propriedade, juntamente com a linearidade deerminam completamente a aplicaça˜ o d. Vimos também que o núcleo de d contém o conjunto formado por todas as 1-formas exatas, e afirmamos (sem contudo dar exemplos) que estes dois conjuntos nem sempre são iguais. 2.6. Imagem inversa. E´ chegada a hora de introduzir o conceito de imagem inversa de uma 2-forma por uma aplicaça˜ o diferencial. Antes, porém, precisamos de um resultado de a´ lgebra linear elementar. Seja V uma região de Rm , e seja φ : V → Rn uma aplicaça˜ o diferenciável. Escrevendo φ em termos de suas funço˜ es coordenadas, temos que φ(p) = (φ1 (p), . . . , φn (p)), para todo p ∈ V . Sabemos que φ e´ diferenciável se, e somente se, cada uma das funço˜ es coordenadas φj : V → R para 1 ≤ j ≤ n, e´ diferenciável. A derivada de φ em um ponto p ∈ V corresponde a` matriz jacobiana Jp (φ).

2. O CASO GERAL

83

Generalizando o roteiro já utilizado no §1.5, definimos uma funça˜ o Gφ : V × Rm × Rm → Rn × Rn × R n , por Gφ (p, v, w) = (φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w), onde p ∈ V e v, w ∈ Rm . Note que Gφ e´ diferenciável como funça˜ o de suas m primeiras coordenadas e linear como funça˜ o das 2m u´ ltimas coordenadas. Suponha, agora, que a imagem de φ está contida em uma região U de Rn , na qual está definida uma 2-forma diferencial ω. Neste caso a imagem de Gφ está contida em U × Rn × Rn , de modo que faz sentido calcular a composta de ω com Gφ . A imagem inversa de ω por φ, denotada por φ∗ (ω), e´ definida por φ∗ (ω) = ω · Gφ . Portanto, se p ∈ U e v, w ∈ Rm , φ∗ (ω)(p, v, w) = ω(φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w). Pela definiça˜ o de composta, φ∗ (ω) e´ uma aplicaça˜ o de V × Rm × Rm em R. Mas ainda precisamos mostrar que e´ uma 2-forma diferencial em V . Para isto, basta verificar as condiço˜ es (1) e (2) da definiça˜ o de 2-forma enunciada no §2.2. Digamos que o ponto p0 ∈ V foi fixado. Então, quaisquer que sejam v, w ∈ Rm temos φ∗ (ω)(p0 , v, w) = (ωp0 ) · ∆Jp0 (φ) (v, w). Mas, fixado p0 , ω|φ(p0 ) e´ uma 2-forma constante, de forma que (1) e´ conseqüeˆ ncia da proposiça˜ o da seça˜ o 2. Por outro lado, fixando os vetores v0 , w0 ∈ Rm , temos que φ∗ (ω)(p, v0 , w0 ) = ω(p, Jp (φ)v0 , Jp (φ)w0 ), qualquer que seja p ∈ V . Podemos considerar esta expressão como sendo a composta de ω com hφ , a aplicaça˜ o de V em U × Rm × Rm definida pela regra hφ (p) = Gφ (p, v0 , w0 ) = (φ(p), Jp (φ)v0 , Jp (φ)w0 ). Como a jacobiana e´ diferenciável como funça˜ o de p, o mesmo vale para hφ . Contudo, ω e´ diferenciável em funça˜ o de p, e linear nas outras entradas, de modo que e´ diferenciável como aplicaça˜ o em U ×Rm ×Rm . Como a composta de aplicaço˜ es diferenciáveis e´ diferenciável, podemos concluir que a propriedade (2) vale para φ∗ (ω). Em particular, φ∗ (ω) e´ uma 2-forma diferencial em V. E´ claro que, se φ definir uma superf´ıcie parametrizável, então esta definiça˜ o coincide com a do §1.5. Outro exemplo importante e´ o da imagem inversa de dxi ∧ dxj por uma aplicaça˜ o diferenciável qualquer, onde x1 , . . . , xn são as coordenadas de Rn . Mais uma vez, seja V um aberto de Rm e φ : V → Rn uma aplicaça˜ o diferenciável. Por definiça˜ o, Gφ (p, er , es ) = (φ(p), Jp (φ)er , Jp (φ)es ),

84

3. 2-FORMAS

onde p ∈ V e er e es são vetores da base canônica de Rm . Mas isto implica que (2.12) φ∗ (dxi ∧ dxj )(p, er , es ) = (dxi ∧ dxj )(Jp (φ)er , Jp (φ)es ). Contudo, denotando por y1 , . . . , ym as coordenadas de Rm relativamente a` sua base canônica, temos que ∂φi /∂yr e´ a i-ésima coordenada de Jp (φ)er e ∂φj /∂ys a j-ésima coordenada de Jp (φ)es . Substituindo isto em (2.12), obtemos ∂φj ∂φi ∂φj ∂φi (p) (p) − (p) (p) dyr ∧ dys . φ∗ (dxi ∧ dxj )(p, er , es ) = ∂yr ∂ys ∂ys ∂yr Supondo que p e´ constante, podemos usar (2.4) para escrever X ∂φi ∂φj ∂φi ∂φj φ∗ (dxi ∧ dxj )|p = (p) (p) − (p) (p) dyr ∧ dys , ∂yr ∂ys ∂ys ∂yr 1≤r<s≤m

donde (2.13)φ∗ (dxi ∧ dxj ) =

X 1≤r<s≤m

∂φi ∂φj ∂φi ∂φj − ∂yr ∂ys ∂ys ∂yr

dyr ∧ dys .

Utilizando o produto exterior, podemos reescrever esta fórmula de maneira muito mais compacta. De fato como n n X X ∂φi ∂φi dφi = dyr e dφj = dys , ∂yr ∂ys i=1 i=1 temos que dφi ∧ dφj e´ igual ao lado direito de (2.13), donde (2.14)

φ∗ (dxi ∧ dxj ) = dφi ∧ dφj .

2.7. Propriedades da imagem inversa. Seja φ : V → U uma aplicaça˜ o diferenciável, onde V e U são regiões de Rm e Rn , respectivamente. Usando a notaça˜ o introduzida no §2.2 para o espaço das 2-formas diferenciais sobre uma região, podemos dizer que a imagem inversa nos dá uma aplicaça˜ o φ∗ : Ω2 (U ) → Ω2 (V ). Observe que φ tem V como dom´ınio e U como contradom´ınio, ao passo que em φ∗ estas duas regiões aparecem com suas posiço˜ es trocadas, como já acontecia no caso de 1-formas. Como Ω2 (U ) e Ω2 (V ) são espaços vetoriais, e´ razoável perguntar se φ∗ e´ uma transformaça˜ o linear. A resposta e´ sim, como e´ fácil de verificar. Se ω1 e ω2 são 2-formas diferenciais em U e k e´ um escalar, então φ∗ (ω1 + kω2 ) = (ω1 + kω2 ) · Gφ . Mas, da definiça˜ o de soma de formas, isto e´ igual a ω1 · Gφ + k(ω2 · Gφ ); que pode ser reescrito como φ∗ (ω1 ) + kφ∗ (ω2 ),

2. O CASO GERAL

85

provando, assim, a linearidade de φ∗ . O produto de uma 2-forma por um escalar e´ apenas um caso especial do produto por uma funça˜ o. Como vimos em 2.1, se g : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável e ω uma 2-forma na região U , então a fórmula (2.15) (gω)(p, v, w) = g(p)ω(p, v, w), para todo p ∈ U e v ∈ Rn , define uma nova 2-forma diferencial em U . Vejamos o que acontece se calculamos a imagem inversa de gω pela aplicaça˜ o diferenciável φ : V → U dada acima. Por definiça˜ o, temos que φ∗ (gω)(p, v, w) = (gω)(φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w). Mas, pela fórmula (2.15), (gω)(φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w) = g(φ(p))ω(φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w); isto e´ , (gω)(φ(p), Jp (φ)v, Jp (φ)w) = (g · φ)(p)φ∗ (ω)(p, v, w). Como φ∗ (g) = g · φ, φ∗ (gω) = φ∗ (g)φ∗ (ω), onde a justaposiça˜ o indica o produto da funça˜ o φ∗ (g) pela 2-forma φ∗ (ω), ambas definidas sobre V . As propriedades descritas até aqui nos permitem dar uma fórmula bastante compacta, além de muito u´ til, para a imagem inversa de uma 2-forma em termos de coordenadas. Digamos que x1 , . . . , xn são as coordenadas de Rn , e que φ1 , . . . , φn são as funço˜ es coordenadas de φ. Neste caso, se a 2-forma diferencial ω se escreve como X ω= aij dxi ∧ dxj , 1≤i<j≤n

então, temos que φ∗ (ω) =

X

φ∗ (aij )φ∗ (dxi ∧ dxj )

1≤i<j≤n

pela linearidade da imagem inversa. Mas, por (2.14), φ∗ (dxi ∧ dxj ) = φ∗ (dxi ) ∧ φ∗ (dxj ). Combinando isto com a equaça˜ o (2.5) da página 84, obtemos φ∗ (dxi ∧ dxj ) = dφi ∧ dφj . Finalmente, (2.16)

φ∗ (ω) =

X

φ∗ (aij )dφi ∧ dφj ,

1≤i<j≤n

que e´ a fórmula desejada. Já identificamos como a imagem inversa de 2-formas se comporta com relaça˜ o a` soma e ao produto por uma funça˜ o. Precisamos, agora, descobrir como se relaciona com o produto exterior.

86

3. 2-FORMAS

˜ . Sejam U ⊆ Rn e V ⊆ Rm regiões abertas. Se α e β são P ROPOSIÇ AO 1-formas definidas em U e φ : V → U e´ uma aplicaça˜ o diferenciável, então φ∗ (α ∧ β) = φ∗ (α) ∧ φ∗ (β). ˜ . Como vimos no §2.1, as 1-formas α e β podem ser D EMONSTRAÇ AO escritas como n n X X α= ai dxi e β = bi dxi , i=1

i=1

onde ai , bi ∈ O(U ) para 1 ≤ i ≤ n. Multiplicando estas formas X α∧β = (ai bj − aj bi )dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤n

Por (2.16), a imagem inversa desta 2-forma por φ e´ X φ∗ (α ∧ β) = (φ∗ (ai )φ∗ (bj ) − φ∗ (aj )φ∗ (bi ))dφi ∧ dφj , 1≤i<j≤n

que, por sua vez e´ igual a n n X X ( φ∗ (ai )dφi ) ∧ ( φ∗ (bj )dφj ). i=1

j=1

Mas esta expressão e´ igual a φ∗ (α) ∧ φ∗ (β), completando, assim, a demonstraça˜ o da proposiça˜ o.

A u´ ltima propriedade diz respeito a` imagem inversa por uma aplicaça˜ o composta. Sejam ψ:W →V e φ:V →U aplicaço˜ es diferenciáveis, onde W , V e U são regiões de Rk , Rm e Rn , respectivamente. Queremos calcular (φ · ψ)∗ (ω), onde ω e´ uma 2-forma definida em U . Mas, (φ · ψ)∗ (ω)(p, v, w) = ω((φ · ψ)(p), Jp (φ · ψ)(v), Jp (φ · ψ)(w)). Contudo, pela regra da cadeia para funço˜ es de mais de uma variável Jp (φ · ψ) = Jψ(p) (φ)Jp (ψ). Assim, (φ · ψ)∗ (ω)(p, v, w) = ω((φ · ψ)(p), Jψ(p) (φ)Jp (ψ)(v), Jψ(p) (φ)Jp (ψ)(w)) que e´ igual a φ∗ (ω)(ψ(p), Jp (ψ)(v), Jp (ψ)(w)); que, por sua vez, e´ ψ ∗ (φ∗ (ω))(p, v, w). Portanto, (φ · ψ)∗ (ω) = ψ ∗ (φ∗ (ω)).


87

Note a inversão das posiço˜ es de φ e ψ quando passamos de um lado para o outro da equaça˜ o como, aliás, já acontecia para 1-formas. Vamos encerrar enunciando, de maneira sistemática, todas as propriedades da imagem inversa de formas. Seja φ : U → V uma aplicaça˜ o diferenciável entre regiões U ⊆ Rm e V ⊆ Rn . Propriedade 1: A imagem inversa φ∗ : Ω2 (U ) → Ω2 (V ) e´ uma transformaça˜ o linear entre espaços vetoriais. Propriedade 2: Se ω ∈ Ω1 (U ) e f : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável, então φ∗ (f ω) = φ∗ (f )φ∗ (ω). Propriedade 3: Se ω, η ∈ Ω1 (U ), então φ∗ (ω ∧ η) = φ∗ (ω) ∧ φ∗ (η). Propriedade 4: Se ψ : W → U e´ uma aplicaça˜ o diferenciável em uma região aberta W ⊆ Rk e ω ∈ Ω2 (V ), então (φ · ψ)∗ (ω) = ψ ∗ (φ∗ (ω)). ˜ de 2-formas 3. Integraçao Já estamos de posse de toda a maquinaria necessária para definir a integral de uma 2-forma diferencial qualquer sobre uma superf´ıcie. ´ 3.1. 2-celulas e fronteiras. E´ hora de formalizar a noça˜ o de superf´ıcie parametrizada. Sejam a < a0 , b < b0 e > 0 números reais e R = [a, a0 ] × [b, b0 ], um retângulo fechado. Uma 2-célula de Rn e´ uma aplicaça˜ o diferenciável σ : (a − , a0 − ) × (b − , b0 − ) → Rn , onde > 0 e´ um número real. Como de hábito, não distinguiremos claramente entre a aplicaça˜ o σ e a imagem de R por σ. Para os propósitos deste livro uma superf´ıcie e´ simplesmente uma 2-célula, e os dois termos serão usados de maneira intercambiável de agora em diante. Todos temos uma noça˜ o intuitiva do que significa a fronteira (também conhecida como margem ou borda) de uma superf´ıcie. Sabemos também que nem toda superf´ıcie tem fronteira: um plano, porque se estende infinitamente em todas as direço˜ es; uma esfera, porque e´ fechada. Nossa meta e´ formalizar este conceito para o caso de 2-células. Vamos começar com o próprio retângulo de parâmetros R = [a, a0 ] × [b, b0 ].

88

3. 2-FORMAS

Um ponto está na fronteira de R se pertence a um dos quatro lados do retângulo, a saber L1 = [a, a0 ] × {b} L2 = {a0 } × [b, b0 ] L3 = [a, a0 ] × {b0 } L4 = {a} × [b, b0 ].

(3.1)

Cada um destes lados corresponde a um intervalo da reta real que foi transladado de sua posiça˜ o sobre o eixo, e podemos parametrizá-los facilmente, como mostra a tabela abaixo Com isto, fizemos com que cada lado de R se tornasse Segmento Parametrizaça˜ o Valores dos parâmetros L1 (t, b) a ≤ t ≤ a0 0 L2 (a , t) b ≤ t ≤ b0 0 L3 (t, b ) a ≤ t ≤ a0 L4 (a, t) b ≤ t ≤ b0 uma 1-célula. Encadeando estas 1-células, obteremos uma parametrizaça˜ o de toda a fronteira. Contudo, para que o encadeamento seja cont´ınuo, o ponto inicial de uma 1-célula deve ser igual ao final da célula seguinte. Infelizmente isto não e´ verdade no caso das parametrizaço˜ es acima. Por exemplo, L2 acaba no ponto (a0 , b0 ), ao passo que L3 começa em (a, b0 ). O problema e´ que a parametrizaça˜ o de L3 induzida pela ordenaça˜ o natural dos números reais no segmento [a, a0 ], percorre o segmento no sentido contrário ao desejada. De fato, L3 termina em (a0 , b0 ), que deveria ser seu ponto inicial. Mas este problema e´ fácil de resolver: basta percorrer L3 no sentido inverso ao que e´ dado pela parametrizaça˜ o induzida da ordenaça˜ o natural em R. Observe que o mesmo problema se dá com L4 . Denotando por ∂R a fronteira de R considerada como 1-encadeamento, podemos concluir que ∂R = L1 + L2 − L3 − L4 . O sentido em que cada um dos lados de R deve ser percorrido para que a fronteira seja este 1-encadeamento e´ ilustrado na figura abaixo. ·o

−L3

·O

−L4

L2

·

L1

·/

Observe, entretanto, que esta não e´ a u´ nica maneira poss´ıvel de se obter um encadeamento cont´ınuo a partir dos lados de R. A outra possibilidade está ilustrada na figura abaixo.


·O

L3

89

·/ −L2

L4

·o

−L1

·

Em nossa escolha original do sentido em que a fronteira de R e´ percorrida, avançamos ao longo do eixo x, e só depois subimos ao longo de y. Desta forma, a ordenaça˜ o das coordenadas e´ respeitada (primeiro vem x, depois vem y). Por isso, podemos argüir que esta maneira de encadear os lados e´ ‘mais natural’ que aquela em que os lados são percorridos no sentido inverso. Por isso, assumiremos, de agora em diante, que considerando R como conjunto de parâmetros, e assumindo que todos os seus lados são percorridos no sentido natural de crescimento dos números reais, sua fronteira será ∂R = L1 + L2 − L3 − L4 . Naturalmente, R também pode ser encarado como uma 2-célula. Porém, antes de tratar deste caso, precisamos definir o que e´ a fronteira de uma 2-célula qualquer. Seja σ : R → Rn uma 2-célula. A fronteira de σ e´ a forma reduzida do 1-encadeamento σ(L1 ) + σ(L2 ) − σ(L3 ) − σ(L4 ), e vamos denotá-la por ∂σ. Note que, na definiça˜ o da fronteira do retângulo de parâmetros não aparecia a expressão ‘forma reduzida’. A razão e´ simples: não existe a possibilidade de cancelamento entre as várias 1-células na fronteira de R. Entretanto, como veremos adiante, isto freqüentemente ocorre no caso geral. Vejamos alguns exemplos. Se a 2-célula for o parabolóide z = x2 + y 2 , com a parametrizaça˜ o σp descrita em (1.10), então os lados do retângulo são dados por (3.2)

L1 = [0, 1] × {0} L2 = {1} × [0, 2π] L3 = [0, 1] × {2π} L4 = {0} × [0, 2π].

Contudo, σp (L4 ) = (0, 0, 0), de modo que a fronteira de σp seria σp (L1 ) + σp (L2 ) − σp (L3 ). Isto nos dá uma curva em 3 partes, quando estávamos esperando apenas uma: a circunferência de raio 1 e centro em (0, 0, 1), contida no plano z = 1. E´ fácil ver que esta circunferência corresponde a σp (L2 ), uma vez que em L2

90

3. 2-FORMAS

o parâmetro r assume, apenas, o valor constante 1. Já L1 e L3 apresentam o fenômeno oposto: o aˆ ngulo está fixo e o raio varia. Portanto, as imagens destes dois lados nos dão um arco de parábola no plano y = 0, contido entre os planos z = 0 e z = 1. Entretanto, σp (L1 ) percorre o arco de baixo para cima, ao passo que −σp (L3 ) percorre o mesmo arco de cima para baixo. Portanto, estas células se cancelam, deixando apenas σp (L2 ) como fronteira para o parabolóide. Uma situaça˜ o um pouco diferente ocorre com o cilindro x2 + y 2 = 1, que pode ser parametrizado pela aplicaça˜ o σc : [0, 2π] × [0, 1] → R3 , definida por σc (θ, z) = (cos(θ), sen(θ), z). Neste caso os lados do retângulo de parâmetros são L1 = [0, 2π] × {0} L2 = {2π} × [0, 1] L3 = [0, 2π] × {1} L4 = {0} × [0, 1]. Portanto, a fronteira deveria ser σc (L1 ) + σc (L2 ) − σc (L3 ) − σc (L4 ). Desta vez nenhum dos três lados se reduz a um ponto. Pelo contrário, σc (L1 ) e σc (L3 ) representam circunferências; a primeira no plano z = 0, a segunda em z = 1. Olhando de um ponto acima do plano z = 0 ver´ıamos ambas estas circunferências sendo percorridas em sentido anti-horário. Por outro lado, σc (L2 ) e σc (L4 ) representam o segmento de reta que vai de (1, 0, 0) a (1, 0, 1), e que está contido na superf´ıcie do cilindro. Como estes segmentos estão sendo percorridos em sentidos opostos, podemos cancelá-los, obtendo σc (L1 ) − σc (L3 ) como fronteira para o cilindro. Portanto, a fronteira do cilindro e´ formada por duas circunferências; a de baixo percorrida no sentido anti-horário, a de cima no sentido horário. ´ 3.2. Orientando uma 2-celula. Antes de poder definir encadeamentos de 2-células, precisamos decidir o que significa orientar uma tal célula. Só assim podemos falar de “menos” uma 2-célula. A sa´ıda mais simples e´ recorrer a` orientaça˜ o da fronteira da célula, que e´ induzida a partir da orientaça˜ o da fronteira do seu retângulo de parâmetros. Esta u´ ltima, contudo, e´ sempre feita de uma maneira padronizada, como convencionamos no parágrafo anterior. Antes de formalizar isto, vejamos o que ocorre quando a 1-célula e´ o próprio retângulo de parâmetros. Porém, quando consideramos o retângulo


91

como como 1-célula, devemos parametrizá-lo. A maneira natural de fazer isto e´ dada pela fórmula s(1, 0) + t(0, 1), onde (s, t) ∈ R = [a, a0 ] × [b, b0 ]. Sob esta parametrizaça˜ o, L1 e L2 são percorridos no sentido positivo do eixo, de modo que a fronteira desta 1-célula e´ a mesma de R. Para obter uma parametrizaça˜ o cuja fronteira e´ percorrida no sentido oposto basta forçar um dos lados do retângulo a ser percorrido no sentido oposto ao usual; por exemplo, (a + a0 − s)(1, 0) + t(0, 1), onde (s, t) ∈ R = [a, a0 ] × [b, b0 ]. Desta vez, só obtemos uma fronteira cont´ınua a partir do ponto (a, b), se começarmos subindo pelo eixo y antes de avançar pela horizontal. Assim, a fronteira desta 1-célula e´ percorrida no sentido oposto ao do retângulo R. Em outras palavras, considerando o retângulo como 1-célula, sua fronteira sob esta nova parametrizaça˜ o e´ L3 + L4 − L2 − L1 = −∂R. Por isso, convencionaremos chamar de −R o retângulo [a, a0 ] × [b, b0 ] considerado como 1-célula sob esta parametrizaça˜ o. Já R designará o retângulo sob a parametrizaça˜ o usual. Com isto, R está representando duas coisas diferentes: o retângulo de parâmetros [a, a0 ] × [b, b0 ], e o mesmo retângulo visto como 1-célula sob a parametrizaça˜ o natural. Como a fronteira e´ a mesmo nos dois casos, não corremos nenhum risco, apesar da ambigüidade da notaça˜ o. Passando ao caso geral, seja σ : R → Rn uma 2-célula e ∂σ = σ(L1 ) + σ(L2 ) − σ(L3 ) − σ(L4 ), sua fronteira. Tomando o caso do retângulo como inspiraça˜ o, definimos −σ : R → Rn como sendo a 2-célula em R = [a, a0 ] × [b, b0 ] para a qual σ(s, t) = σ(a + a0 − s, t). Obedecendo a` convença˜ o que determina como R deve ser percorrido, verificamos que ∂(−σ) = σ(L3 ) + σ(L4 ) − σ(L1 ) − σ(L2 ), como seria de esperar. Por isso, diremos que −σ tem a orientaça˜ o inversa de σ. A orientaça˜ o de uma 2-célula está relacionada ao seu vetor normal, como e´ fácil de ver no caso de um retâgulo parametrizado S. Denotaremos por vj (S) o vetor unitário paralelo ao lado Lj de S, cujo sentido coincide com aquele

92

3. 2-FORMAS

segundo o qual o lado e´ percorrido na orientaça˜ o definida pela parametrizaça˜ o de S. Com isto, v1 (R) = −v3 (R) = e1 e v2 (R) = −v4 (R) = e2 , ao passo que v1 (−R) = −v3 (−R) = −e1 e v2 (−R) = v4 (−R) = e2 . Esboçando estes vetores com centro na origem, obtemos O O v2

v2

o

v3

v1

·

/ o

v1

v4

A regra da mão direita nos dá,

v3

·

/

v4

vj (R) × vj+1 (R) = e3 , ao passo que, vj (−R) × vj+1 (−R) = −e3 , qualquer que seja 1 ≤ j ≤ 4. Isto pode ser formulado de uma maneira mais fácil de lembrar observando simplesmente que, se os dedos da mão direita percorrem a fronteira de S, então o polegar vai apontar sempre no sentido vj (S) × vj+1 (S), quaisquer que sejam S e 1 ≤ j ≤ 4. Podemos facilmente estender estas observaço˜ es a uma 2-célula geral σ : R → Rn . Lembre-se que os vetores ∂σ ∂σ (p) e (p), ∂s ∂t são tangentes a σ em um ponto p ∈ R, desde que não se anulem neste ponto. Portanto, sob a hipótese de que os vetores não se anulam em p, temos que o produto vetorial ∂σ ∂σ Np (σ) = (p) × (p), ∂s ∂t e´ perpendicular ao plano tangente a σ em p. Diremos que se trata de um vetor normal a σ em p. Como ∂σ ∂(−σ) ∂σ ∂(−σ) (p) = − (p) e (p) = (p), ∂u ∂s ∂v ∂t temos que Np (−σ) = −Np (σ). Geometricamente isto significa que o vetor normal agora aponta para o lado oposto da superf´ıcie. Para poder relacionar o vetor normal a` fronteira, como fizemos no caso do retângulo, redefinimos vj como sendo o vetor tangente a` 1-célula σ(Lj ).


93

Parametrizando os lados de R como L1 = (0, 0) + t1 (1, 0) L2 = (0, 0) + t2 (0, 1) L3 = (0, b0 ) + (a0 + a − t1 )(1, 0) L4 = (a0 , 0) + (b0 + b − t2 )(0, 1) onde t1 ∈ [a, a0 ] e t2 ∈ [b, b0 ] e assumindo que p ∈ Lj , sejam ∂σ(Lj ) ∂σ(Lj+1 ) (p) e vj+1 (σ, p) = (p) ∂t1 ∂t2 para j = 1, 3. Observe que estes vetores apontam no sentido em que a fronteira de σ e´ percorrida. Como −σ(t1 , t2 ) = σ(a + a0 − t1 , t2 ) temos vj (σ, p) =

vj (−σ, p) = −

∂σ(Lj ) ∂σ(Lj+1 ) (p) e vj+1 (−σ, p) = (p) ∂t1 ∂t2

para j = 1, 3. Portanto, vj (−σ, p) = vj (σ, p) e vj+1 (−σ, p) = vj+1 (σ, p). Supondo, agora, que p ∈ Lj ∩ Lj+1 , para j = 1, 3, conclu´ımos que se Nj (σ, p) = vj (σ, p)×vj+1 (σ, p) = −(vj (−σ, p)×vj+1 (−σ, p)) = Nj (−σ, p). Um argumento semelhante se aplica aos outros dois pontos de interseça˜ o de lados da fronteira de R. Resumindo: se, na vizinhança de um ponto dado, o movimento da mão direita acompanha a direça˜ o em que a fronteira de σ e´ percorrida, então o polegar aponta na direça˜ o do vetor normal a σ naquele ponto. ˜ de 2-formas. Neste parágrafo veremos como integrar 3.3. Integraçao uma 2-forma em 2-células. Começaremos com o caso mais simples poss´ıvel: uma 2-forma definida em um retâgulo de R2 . Seja U uma região do plano, e digamos que R = [a, a0 ] × [b, b0 ] ⊆ U. Dada η ∈ Ω2 (U ), queremos definir a integral de η no retângulo R. Se s e t são as coordenadas em R2 , podemos escrever η = f (s, t)ds ∧ dt. Definimos, então, a integral de η em R como sendo a integral da funça˜ o f neste mesmo retângulo; isto e´ Z Z a0 Z b0 f dsdt. η= R

a

b

Esta e´ a base de nossa definiça˜ o: o caso geral e´ reduzido a este caso particular através do cálculo de uma imagem inversa. Em outras palavras, se σ : R → Rn ,

94

3. 2-FORMAS

e´ uma 2-célula cuja imagem está contida em uma região U de Rn , definimos a integral de ω em σ por Z Z ω= (3.3) σ ∗ (ω). σ

R

Precisamos descobrir de que maneira a orientaça˜ o da 2-célula afeta o cálculo da integral. Para isto, consideramos uma 2-célula σ, definida sobre o retângulo R = [a, a0 ] × [b, b0 ] cuja imagem está contida em uma região U de Rn . Digamos que s1 es2 são os parâmetros de σ. Se ω ∈ Ω2 (U ), então −σ tem dom´ınio R e e´ definida por −σ(t1 , t2 ) = σ(a + a0 − t1 , t2 ). Desta forma (−σ)∗ (ω)(q) = ω(σ(q), −Jq (σ)e1 , Jq (σ)e2 )dt1 ∧ dt2 , onde q = (t1 , t2 ). Portanto, (−σ)∗ (ω)(q) = −ω(σ(q), Jq (σ)e1 , Jq (σ)e2 )dt1 ∧ dt2 = −(σ)∗ (ω)(q), já que a troca de entradas em ω leva a uma troca de sinal da imagem inversa. Assim, Z Z (−σ)∗ (ω) = −

(σ)∗ (ω),

Rt

R

que e´ equivalente a dizer que Z

Z ω=−

−σ

ω. σ

3.4. 2-encadeamento. Com o que vimos estamos aptos a definir um 2-encadeamento como sendo uma expressão da forma E = c1 σ1 + · · · + cm σm ,

(3.4)

onde os cs são números inteiros e os σs são 2-células contidas em uma região U de Rn . O sinal do coeficiente nos diz se a célula está sendo percorrida no sentido dado por sua parametrizaça˜ o, ou no sentido oposto. Se ω ∈ Ω1 (U ), definimos Z Z Z ω + · · · + cm

= c1 E

σ1

ω. σm

Como no caso de 1-encadeamentos, a definiça˜ o de integral sobre um encadeamento justifica a utilizaça˜ o das seguintes propriedades da adiça˜ o de 2-células. Se σ1 , σ2 e σ3 são 2-células em U e k ∈ Z, então: • • • • •

(σ1 + σ2 ) + σ3 ≡ σ1 + (σ2 + σ3 ); σ1 + σ 2 ≡ σ 2 + σ 1 ; kσ1 + σ1 ≡ (k + 1)σ1 ; 0σ1 ≡ 0; se a imagem de σ1 e´ uma curva, então σ1 ≡ 0.


95

Usamos ≡ em lugar de um simples sinal de igualdade para deixar claro que cada uma destas propriedades e´ derivada do comportamento de uma integral calculada sobre um encadeamento. Na u´ ltima das propriedades acima, o que era ponto no caso de 1-célula virou curva, agora que nossas células têm dimensão dois. Diremos que um encadeamento está em forma reduzida se eliminamos todas as parcelas que correspondem a pontos, e cancelamos todos os pares de células iguais com sinais opostos. Em princ´ıpio estamos admitindo 2-células quaisquer entre os σs. Na prática, porém, o u´ nico caso que nos interessa e´ aquele em que as células são disjuntas ou se intersectam apenas em pontos da fronteira. Neste u´ ltimo caso, podemos considerar (3.4) como uma coleça˜ o de 2-células a` s quais estamos associando multiplicidades que nos dizem em que sentido, e quantas vezes, aquela 2-célula está sendo percorrida. A fronteira do 2-encadeamento E descrito em (3.4) e´ definida pela fórmula ∂E ≡ c1 ∂(S1 ) + · · · + cm ∂(Sm ), onde, como sempre, estaremos considerando a forma reduzida da expressão a` direita. Considere, por exemplo, a superf´ıcie correspondente a` colagem da três faces de um cubo de lado um que estão contidas nos planos coordenados, como mostra a figura. Queremos representar esta colagem como um 2-encadeamento. Digamos que 1 ≤ i < j ≤ 3. A face σij , contida no plano xi xj , pode ser parametrizada como σij (s, t) = sei + tej , onde ei , ej ∈ ε, a base canônica de R3 . Por causa de nossa convença˜ o de que i < j, o vetor normal Nij a σij , satisfaz ( ek Nij = ei × ej = −ek

se (i, j) = (1, 2), (2, 3) se (i, j) = (1, 3)

onde k 6= i, j. O problema e´ que, se encadearmos as 2-células assim parametrizadas, a fronteira não será a esperada. Por exemplo, σ13 e σ23 têm um lado comum ` sobre o eixo x3 . Como este lado e´ interno a` colagem das faces, não deve fazer parte da fronteira do encadeamento. Entretando, ` está orientado no mesmo sentido, tanto em σ13 , quanto em σ23 , de forma que não será cancelado na fronteira de σ12 + σ13 + σ23 . Para evitar isto, precisamos reorientar algumas destas 2-células, o que nos obriga a listar os lados de cada face; isto e´ , as arestas do cubo. Escreveremos aii para a aresta que está ao longo do eixo xi . A aresta oposta a aii na face σij será denotado por aji . Em ambos os casos vamos assumir que a 1-célula correspondente aponta no sentido do eixo xi . Usando esta notaça˜ o, os lados de

96

3. 2-FORMAS

σ12 podem ser enumerados como na figura. ·o

−a21

·O

σ12

−a22

·

a11

a12

·/

Assim, ∂σ12 = a11 + a12 − a21 − a22 . Procedendo de maneira semelhante para as outras faces, constatamos que ∂σ23 = a22 + a23 − a32 − a33

e que

∂σ13 = a11 + a13 − a31 − a33 .

As arestas que devem se cancelar no encadeamento destas três faces do cubo são a11 , a22 e a33 . Mas, para que isto ocorra quando somamos as fronteiras acima, basta inverter o sinal de σ13 . Portanto, o encadeamento desejado e´ E = σ12 + σ23 − σ13 , que tem como fronteira a12 − a21 + a23 − a32 − a13 + a31 . Voltando aos vetores normais, constatamos que apenas N13 não aponta para dentro do cubo – caso o cubo estivesse fechado, e´ claro. Isto nos dá uma maneira fácil de lembrar como orientar as faces para obter o 2-encadeamento correto: basta que todas as faces tenham o vetor orientado para dentro do cubo, ou para fora do cubo. No primeiro caso, temos o 2-encadeamento E acima; no segundo caso, obtemos −E. o O cubo que vimos considerando tem outras três faces. Escrevendo σij para a face oposta a σij , verificamos que tanto o o o E 0 = −σ12 − σ23 + σ13 ,

quanto −E 0 produzem um 2-encadeamento com a fronteira correta. Contudo, os vetores normais em E 0 apontam todos para dentro do cubo, e ∂E 0 = −∂E. Portanto, ∂(E + E 0 ) = 0, de modo que não há fronteira neste caso. Isto não e´ surpreendente, afinal um cubo não tem mesmo fronteira. 3.5. Encadeamentos fechados. Diremos que um 2-encadeamento cuja fronteira e´ zero e´ fechado. Já vimos que isto ocorre no caso do cubo, outro exemplo, e´ o 2-encadeamento do parabolóide σp , definido no §3.1, com o disco σd definido, sobre o mesmo retângulo de parâmetros R de σp , por σd (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), 1).


97

Neste caso, os pontos de interseça˜ o de σp com σd coincidem com os pontos da fronteira de ambas as células, e formam a circunferência de raio 1 e centro em (0, 0, 1). Como σp (L4 ) = (0, 0, 0), ∂σp ≡ σp (L1 ) + σp (L2 ) − σp (L3 ) ≡ σp (L2 ). Já no caso do disco, σd (L4 ) degenera em um ponto (a origem), ao passo que σd (L1 ) e σd (L3 ) correspondem ao segmento de reta que vai da origem ao ponto (1, 0, 1), percorrido em sentidos opostos. Com isso, ∂σd ≡ σp (L2 ). Portanto, σp +σd não e´ fechada, ao passo que −σp +σd e σp −σd são fechadas. Naturalmente o conceito de encadeamento fechado também se aplica a uma u´ nica 2-célula; como e´ o caso da esfera. Contudo, neste caso nos deparamos com a necessidade de orientar a fronteira de uma superf´ıcie sem fronteira. Nem podemos descartar este caso sumariamente, assumindo, por exemplo, que se não há fronteira, não há necessidade de nos preocuparmos com a orientaça˜ o da superf´ıcie. Afinal, a orientaça˜ o da célula afeta o sinal da integral. Há duas maneiras de contornar este problema. A primeira, consiste em recorrer a` relaça˜ o entre orientaça˜ o da fronteira e vetor normal a` célula. Como vimos no §(3.2), ao decidir qual o sentido no qual a fronteira do retângulo de parâmetros está sendo percorrida, fizemos uma escolha entre um dos dois vetores normais a` 2-célula. Como isto depende apenas da parametrizaça˜ o da célula e da orientaça˜ o da fronteira do retângulo, podemos utilizar esta definiça˜ o mesmo se a fronteira da 2-célula for zero. Neste caso, adotaremos a convença˜ o: a escolha da orientaça˜ o de uma superf´ıcie fechada deve ser feita de modo que o vetor normal sempre aponte para fora da superf´ıcie. Considere, por exemplo, o que acontece com a esfera σe de raio 1 e centro na origem. Utilizaremos a parametrizaça˜ o de σe em coordenadas esféricas σe (φ, θ) = (cos(θ) sen(φ), sen(θ) sen(φ), cos(φ)). definida no retângulo R = [0, π] × [0, 2π]. Neste caso, o vetor normal será dado por Np (σe ) =

∂σe ∂σe (p) × (p). ∂φ ∂θ

Um cálculo simples mostra que Np (σe ) = sen(φ)σe (θ, φ). Como o seno e´ positivo para 0 ≤ φ ≤ π, temos que Np (σe ) aponta sempre no mesmo sentido que σe (θ, φ); isto e´ , para fora da superf´ıcie. Podemos chegar ao mesmo resultado representando uma superf´ıcie fechada como encadeamento de duas ou mais células, cada uma das quais tem

98

3. 2-FORMAS

uma fronteira não nula. Naturalmente a orientaça˜ o de cada uma destas duas células precisa ser feita de maneira que: • as fronteiras de células adjacentes tenham orientaço˜ es opostas, e • o vetor normal aponte para fora em cada uma das células em que a superf´ıcie foi subdividida. Por exemplo, a esfera σe pode ser subdividida em duas células com fronteira, cada uma delas correspondendo a um hemisfério. Neste caso, o hemisfério superior Hs e´ obtido restringindo-se a parametrizaça˜ o σe da esfera definida no retângulo [0, π/2] × [0, 2π]. Hs tem fronteira ∂(Hs ) ≡ Hs (L1 ) + Hs (L2 ) − Hs (L3 ) − Hs (L4 ), onde os Ls correspondem aos lados do retângulo [0, π/2] × [0, 2π] enumerados da maneira usual. Contudo, Hs (L1 ) ≡ −Hs (L3 ) e Hs (L4 ) ≡ 0, de modo que ∂(Hs ) ≡ Hs (L2 ). Mas esta curva corresponde a` circunferência da base do hemisfério, percorrida no sentido anti-horário. Portanto, neste caso, o vetor normal aponta sempre para fora do hemisfério Hs . Restringindo, agora, σe ao retângulo [π, π/2] × [0, 2π], obtemos o hemisfério inferior Hi , parametrizado de modo que o vetor normal aponte para fora (ou para baixo, se você preferir), e com fronteira ∂(Hi ) ≡ −Hs (L2 ). Encadeando os dois hemisférios assim orientados, obtemos a orientaça˜ o desejada para a esfera. Mesmo no caso em que a superf´ıcie não e´ fechada, usaremos as expressões lado de fora e lado de dentro da superf´ıcie. Neste caso, o lado de fora designa apenas aquele para o qual aponta o vetor normal. Por exemplo, parametrizando o cilindro σc como no §3.1, temos um vetor normal que aponta para o que normalmente chamamos de parte de dentro do cilindro. Portanto, uma parametrizaça˜ o mais natural seria dada por −σc . Encerramos este parágrafo com a surpreendente revelaça˜ o de que certos objetos que chamamos de superf´ıcies não admitem um lado de dentro, nem um lado de fora. O exemplo mais simples e´ a chamada faixa de Möbius. Para constru´ı-la, tome uma faixa de papel de uns 5 cm de largura e uns 20 cm de comprimento. Escolha um dos lados deste retângulo de papel, que chamaremos de lado de cima, e desenhe sobre ele a orientaça˜ o anti-horária da fronteira. Para obter uma superf´ıcie com um lado de cima e um lado de baixo, precisar´ıamos colar as extremidades da fita de maneira que estivessem orientadas em sentidos opostos. Se fizéssemos isto neste caso, obter´ıamos um cilindro. Ao invés disto,


99

faremos a colagem de modo que as orientaço˜ es nas extremidades coincidam. Para que isto seja poss´ıvel você precisará torcer a fita de papel. O resultado e´ uma faixa como a da figura 1, que e´ usada como logotipo pelo IMPA.

F IGURA 1. Logotipo do IMPA A razão pela qual esta fita não tem um lado de dentro, e um lado de fora, e´ que não há dois lados, mas apenas um. Imagine uma formiga que começasse a caminhar pelo lado que convencionamos chamar “de cima” no retângulo original. No momento em que a formiga inicia sua caminhada transformarmos o retângulo na faixa. Como as extremidades da faixa foram emendadas, a formiga poderá continuar sua caminhada. Entretanto, ao fazer isto sobre a faixa de Möbius ela terá passado para o que era o “lado de baixo” no retângulo original. Você pode facilmente simular o comportamento da formiga traçando um caminho sobre o papel da fita. Não podemos integrar formas sobre superf´ıcies deste tipo porque, como veremos no próximo parágrafo, precisamos saber para que lado a normal a` superf´ıcie aponta. Como fenômenos como o da fita de Möbius não podem ocorrer sobre 2-células, não precisamos nos preocupar mais com este tipo de problema. Vamos calcular alguns exemplos como ilustraça˜ o. Considere, em primeiro lugar, o encadeamento σd − σp , do parabolóide com o disco definido no §3.4. Dada ω = x2 dy ∧ dz, calcularemos Z ω. σd −σp

Como esta integral e´ igual a Z

Z ω−

σd

ω, σp

basta determinar cada uma destas, separadamente, e subtra´ı-las. Usando as parametrizaço˜ es definidas no §3.1, temos que σp (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), r2 ), ao passo que σd (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), 1), ambas definidas em R = [0, 1] × [0, 2π].

100

3. 2-FORMAS

Começando pelo parabolóide, σp∗ (ω) = r2 cos2 (θ)d(r sen(θ) ∧ d(r2 )). Como d(r sen(θ) ∧ d(r2 )) = (r cos(θ)dθ + sen(θ)dr) ∧ 2rdr, e dr ∧ dr = 0, conclu´ımos que σp∗ (ω) = (2r4 cos2 (θ) cos(θ))dθ ∧ dr. Assim, Z

Z

2π

Z

1

ω= σp

0

2r4 cos3 (θ)dθdr.

0

Calculando a integral, 2π Z Z 2 2π 2 (cos2 (θ) + 2) sen(θ) ω= cos3 (θ) = = 0. 5 0 5 3 σp 0 Passando, agora, ao disco σp∗ (ω) = 0, já σp∗ (dz) = 0. Com isto, Z

Z

σd −σp

Z ω−

ω= σd

ω = 0. σp

Como um segundo exemplo, calcularemos a integral Z 1 dx ∧ dy, 2 z S onde S e´ a superf´ıcie esférica de raio unitário e centro na origem. O primeiro impulso e´ pensar em usar coordenadas esféricas. Neste caso ter´ıamos, simplesmente, a integral de uma 2-forma em uma 2-célula. Contudo, neste exemplo em particular, os cálculos ficam mais fáceis se usarmos coordenadas cil´ıdricas. O u´ nico problema e´ que, para fazer isto, precisamos parametrizar cada hemisfério separadamente. Assim, acabamos tendo que tratar a esfera como um encadeamento de seus dois hemisférios. Começamos por parametrizar os hemisférios sobre o retângulo R = [0, 1] × [0, 2π], o que nos dá p Hs (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), 1 − r2 ), para o hemisfério superior, e p Hi (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ), − 1 − r2 ), para o inferior. Os lados de R são os mesmos de (3.2), e e´ fácil ver que Hs (L1 ) e Hs (L3 ) correspondem ao arco que vai de (0, 0, 1) a (1, 0, 0), percorridos em sentidos opostos. Já Hs (L2 ) e´ a circunferência que representa a interseça˜ o da esfera com o plano z = 0. Finalmente, Hs (L4 ) e´ apenas o ponto (0, 0, 1). Isto significa que ∂Hs ≡ Hs (L2 ).


101

Um argumento semelhante mostra que ∂Hi ≡ H( L2 ). Como a circunferência gira para no mesmo sentido em ambas as parametrizaço˜ es, conclu´ımos que S = H s − Hi , para que a normal sempre aponte para fora da esfera, como convecionamos fazer no §3.4. Temos, assim, que Z Z Z 1 1 1 dx ∧ dy = dx ∧ dy − dx ∧ dy. 2 2 2 z z z S Hs Hi Contudo, Hs∗ (

p 1 dx ∧ dy) = 1 − r2 d(r cos(θ)) ∧ d(r sen(θ)). z2

Mas, d(r cos(θ))∧ d(r sen(θ)) = (−r sen(θ)dθ+cos(θ)dr)∧(r cos(θ)dθ+ sen(θ)dr), e´ igual a −rdθ ∧ dr uma vez que sen(θ)2 + cos(θ)2 = 1. Portanto, r 1 dθ ∧ dr Hs∗ ( dx ∧ dy) = − √ z 1 − r2 Como a u´ nica diferença entre as parametrizaço˜ es Hs e Hi está no sinal da u´ ltima coordenada, teremos que r Hi∗ (zdx ∧ dy) = √ dθdr 1 − r2 Calculando a integral Z

Z zdx ∧ dy =

Hs

Hs∗ (zdx ∧ dy)

R

obtemos Z 0

1

Z

2π

√

0

1 p r dθdr = −2π 1 − r2 = 2π; 0 1 − r2

donde Z −

Z zdx ∧ dy =

Hi

Mas isto significa que Z Z zdx ∧ dy = S

zdx ∧ dy = 2π. Hs

Hs

Z zdx ∧ dy −

zdx ∧ dy = 4π. Hi

102

3. 2-FORMAS

3.6. Propriedades da integral de uma 2-forma. Há algumas propriedades elementares das integrais de 2-formas que precisamos considerar. Suponha que U seja uma região de Rn . Dadas 2-formas diferenciais ω e η em U , e um escalar k ∈ R, queremos calcular Z (ω + kη), σ

onde S e´ uma 2-célula sobre um retângulo R do plano, cuja imagem está contida em U . Por definiça˜ o Z Z (ω + kη) = σ ∗ (ω + kη). σ

R

Assim, das propriedades da imagem inversa, segue que Z Z (ω + kη) = σ ∗ (ω) + kσ ∗ (η). σ

R

Mas, do lado direito desta equaça˜ o, temos a integral dupla de funço˜ es de duas variáveis. Logo, Z Z Z σ ∗ (ω) + kσ ∗ (η) = σ ∗ (ω) + k σ ∗ (η). R

R

R

Reescrevendo tudo isto em termos de integrais ao longo de σ temos Z Z Z (ω + kη) = ω + k η, σ

σ

σ

como, aliás, seria de esperar. Como a integral sobre um encadeamento e´ igual a` soma das integrais sobre suas parcelas (respeitado sentido da fronteira), segue dos cálculos acima que Z Z Z (ω + kη) = ω+k η, E

E

E

para qualquer encadeamento E cuja imagem está contida em U . As outras propriedades que desejamos estudar estão relacionadas a mudanças nas 2-células. Em primeiro lugar, que efeito tem uma reparametrizaça˜ o da 2-células sobre a integral? Antes de formular esta pergunta com exatidão, e´ conveniente introduzir a seguinte definiça˜ o. Para manter a coerência com a noça˜ o de superf´ıcie descrita no §3.1, usaremos a expressão a aplicaça˜ o diferenciável γ : [a, a0 ] × [b, b0 ] → [c, c0 ] × [k, k 0 ] para designar uma funça˜ o diferenciável γ : (a − , a0 + ) × (b − , b0 + ) → (c − , c0 + ) × (k − , k 0 + ) onde e´ um número real positivo. Suponhamos, além disso, que: • γ e´ bijetiva e • leva o interior de [a, a0 ] × [b, b0 ] no interior de [c, c0 ] × [k, k 0 ].


103

Se σ e γ são como acima, então, σ · γ define uma parametrizaça˜ o diferente da 2-célula σ. Isto e´ , σ · γ e´ uma superf´ıcie cuja imagem e´ a mesma de σ. A pergunta pode, então, ser reformulada como: qual a relaça˜ o entre a integral de uma 2-forma ω ∈ Ω2 (U ) na 2-célula σ · γ com a integral da mesma forma ao longo de σ? Para responder a esta pergunta, calculamos a integral desejada usando as várias propriedades que já conhecemos. Como, Z Z a0 Z b0 ω= (σ · γ)∗ ω, σ·γ

a

b

devemos calcular primeiro a imagem inversa (σ · γ)∗ ω. Usando a propriedade 4 do final do §2.7, temos que (σ · γ)∗ ω = γ ∗ (σ ∗ (ω)). Como σ ∗ (ω) e´ uma 2-forma no plano, podemos escrevê-la como gds1 ∧ ds2 , onde g e´ uma funça˜ o dos parâmetros s1 e s2 de σ. Nesta notaça˜ o, γ ∗ (σ ∗ (ω)) = γ ∗ (gds1 ∧ ds2 ) = (g · γ)dγ1 ∧ dγ2 , onde γ1 e γ2 são as funço˜ es coordenadas de γ. Um cálculo simples mostra que ∂γ2 ∂γ1 ∂γ1 ∂γ2 (3.5) − ds1 ∧ ds2 . dγ1 ∧ dγ2 = ∂s1 ∂s2 ∂s1 ∂s2 Contudo, o jacobiano de γ e´ ∂γ1 /∂s1 ∂γ1 /∂s2 J(γ) = ; ∂γ2 /∂s1 ∂γ2 /∂s2 de forma que (3.5) pode ser reescrita como dγ1 ∧ dγ2 = det(J(γ))ds1 ∧ ds2 . Portanto, Z

Z

a0

Z

σ·γ

b0

(g · γ) det(J(γ))ds1 ds2 .

ω= a

b

Mas, se det(J(γ))(p) > 0 para todo p ∈ [a, a0 ] × [b, b0 ], então, pela fórmula de mudança de variáveis em integrais duplas, Z a0 Z b0 Z c0 Z k0 (g · γ) det(J(γ))ds1 ds2 = gdt1 dt2 . a

b

c

k

Contudo esta u´ ltima integral e´ , por definiça˜ o, a integral de ω sobre σ. Provamos, portanto, a seguinte fórmula de mudança de variáveis para integrais de 2-formas. ´ ´ F ORMULA DE MUDANC ¸ A DE VARI AVEIS . Sejam R e R0 retângulos do 0 plano e γ : R → R uma aplicaça˜ o diferenciável bijetora para a qual: • o determinante do jacobiano e´ sempre positivo em todo ponto de R, e • o interior de R e´ levado por γ no interior de R0 .

104

3. 2-FORMAS

Se σ : R → U, e´ uma 2-célula contida em uma região U de Rn , então Z Z ω. ω= σ

σ·γ

Em outras palavras, a reparametrizaça˜ o de uma superf´ıcie por uma aplicaça˜ o diferenciável cujo determinante jacobiano e´ positivo não altera o valor da integral de uma 2-forma ao longo daquela superf´ıcie. Como conseqüeˆ ncia desta fórmula mostraremos que, ao provar um resultado sobre integraça˜ o de 2-formas, sempre podemos supor que a superf´ıcie tem o retângulo [0, 1]2 como espaço de parâmetros. ˜ . Seja R = [a, a0 ] × [b, b0 ] um retângulo e ω uma 2-forma P ROPOSIÇ AO definida em uma região aberta do plano que contém R. Então existe uma aplicaça˜ o diferenciável γ : [0, 1]2 → R, tal que Z Z ω= γ ∗ (ω). [0,1]2

R

˜ . Defina γ : [0, 1]2 → R por γ(s, t) = (a, b) + s(a0 − D EMONSTRAÇ AO 0 a, 0) + t(0, b − b). Temos que 0 a −a 0 J(γ) = ; 0 b0 − b donde det(J(γ)) = (a0 − a)(b0 − b) > 0, pois a0 > a e b0 > b. A proposiça˜ o segue imediatamente da fórmula de mudança de variáveis. 4. Teorema de Stokes Nesta seça˜ o provamos nossa primeira versão do teorema de Stokes. T EOREMA DE S TOKES . Seja α uma 1-forma diferencial definida em uma região U de Rn . Se E e´ um encadeamento de superf´ıcies contido em U , então Z Z α= ∂E

dα. E

Dividiremos a demonstraça˜ o em duas partes. Na primeira parte provamos o teorema para 2-formas do plano, integradas sobre um retângulo; na segunda reduzimos o caso geral a este caso especial. ˜ do teorema de Stokes no plano. Começamos 4.1. Demonstraçao tratando o caso mais simples em que a 1-forma gds e´ integrada no retângulo [0, 1]2 . P RIMEIRA PARTE : demonstraça˜ o do teorema para a 1-forma gds em [0, 1]2 , onde g ∈ O(U ).

4. TEOREMA DE STOKES

Como d(α) = (

105

∂g ∂g − )ds ∧ dt ∂s ∂t

temos que 1

Z

Z

1

Z

(

dα = 0

R

Isto e´

1

0

∂g ∂g − )dsdt. ∂s ∂t

1

Z 1Z 1 ∂g ∂g dsdt − dsdt; R 0 0 ∂s 0 0 ∂t Contudo, pelo teorema fundamental do cálculo, Z 1Z 1 Z 1 ∂g dsdt = (g(1, t) − g(0, t))dt, 0 0 0 ∂s Analogamente, Z 1 Z 1Z 1 ∂g )dsdt = (g(s, 1) − g(s, 0))ds. 0 0 0 ∂t Assim, Z Z 1 Z 1 dα = (g(1, t) − g(0, t))dt − (g(s, 1) − g(s, 0))ds, Z

Z

Z

dα =

R

0

0

que pode ser reescrito como Z Z 1 Z dα = g(s, 0)ds + (4.1) R

0

1

Z g(1, t)dt −

0

1

g(s, 1)ds − g(0, t)dt. 0

Entretanto, R tem lados L1 = [0, 1] × {0} L2 = {1} × [0, 1] L3 = [0, 1] × {1} L4 = {0} × [0, 1]. Parametrizando L1 na forma (0, 0) + s(1, 0), vemos que Z Z 1 Z 1 gds = g((0, 0) + s(1, 0))ds = g(s, 0)ds, L1

0

0

que e´ igual a` primeira parcela na soma (4.1). Cálculos semelhantes mostram que Z Z α= gds Lj

Lj

corresponde a` j-ésima parcela daquela soma. Portanto, Z Z Z Z Z dα = α+ α− α− R

L1

L2

L3

Porém, a fronteira de R e´ ∂R = L1 + L2 − L3 − L4 ,

L4

α.

106

3. 2-FORMAS

de sorte que Z

Z

Z

α=

Z α−

α+

∂R

L1

Z α−

L2

Mas isto nos permite concluir que Z

L3

α. L4

Z dα =

α,

R

∂R

provando assim que o teorema de Stokes neste caso bastante particular. S EGUNDA PARTE : demonstraça˜ o do teorema para a 1-forma g1 ds + g2 dt em [0, 1]2 , onde g1 , g2 ∈ O(U ). Por um lado, Z

Z

Z

α=

g1 ds +

∂R

g2 dt,

∂R

∂R

ao passo que Z

Z dα =

R

Z d(g1 ds) +

d(g2 dt),

R

R

já que d e´ uma transformaça˜ o linear. Entretanto, pela primeira parte, Z Z Z Z d(g1 ds) = g1 ds e que d(g2 dt) = g2 dt. R

∂R

R

∂R

Combinando estas igualdades obtemos o resultado desejado. T ERCEIRA PARTE : demonstraça˜ o do teorema para a 1-forma g1 ds + g2 dt em um retângulo qualquer R, onde g1 , g2 ∈ O(U ). Pela proposiça˜ o do §3.6 Z Z (4.2) ω=

ω.

[0,1]2

R

Digamos que os lados de [0, 1]2 sejam enumerados consecutivamente por L1 , L2 , L3 e L4 . Assim, o lado de R correspondente a Li e´ γ(Li ). Pela fórmula de mudança de variáveis para integrais de 1-formas Z Z (4.3) α= α. ∂[0,1]2

∂R

Mas, pela segunda parte, Z

Z ω=

[0,1]2

α. ∂[0,1]2

Combinando esta igualdade com (4.2) e (4.3), conclu´ımos que Z Z Z Z Z ω= α+ α− α− α, R

γ(L1 )

γ(L2 )

que e´ o teorema de Stokes sobre R.

γ(L3 )

γ(L4 )

˜ 5. APLICAÇOES

107

˜ do teorema de Stokes em Rn . Levando em 4.2. Demonstraçao conta que • a fronteira de um encadeamento e´ igual ao encadeamento das fronteiras de suas parcelas; • a integral sobre um encadeamento e´ igual a` soma das integrais sobre cada parcela do encadeamento; vemos que basta provar o resultado no caso em que E e´ uma 2-célula. Sejam, então, R = [a, a0 ] × [b, b0 ], σ : R → Rn uma 2-célula, e L1 = [a, a0 ] × {b} L2 = {a0 } × [b, b0 ] L3 = [a, a0 ] × {b0 } L4 = {a} × [b, b0 ]. os lados do retângulo R. Então a fronteira de σ e´ dada por ∂σ = σ(L1 ) + σ(L2 ) − σ(L3 ) − σ(L4 ). Se α ∈ Ω1 (U ) então, σ ∗ (α) ∈ Ω1 (V ), onde V ⊂ R2 e´ um retângulo aberto que contém R. Mas, Z Z α= σ ∗ (α). ∂σ

∂R

Contudo, já sabemos do §4.1 que o teorema de Stokes se aplica a esta u´ ltima integral, donde Z Z σ ∗ (α) =

∂R

d(σ ∗ (α)).

R

Entretanto, pela definiça˜ o de integral de uma 2-forma Z Z dα = σ ∗ (dα). σ ∗

R

∗

Como σ (dα) = dσ (α), podemos concluir que Z Z dα = α, σ

∂σ

provando, assim, o teorema de Stokes no começo da seça˜ o. ˜ 5. Aplicaçoes Nesta seça˜ o consideraremos várias aplicaço˜ es do teorema de Stokes e das 2formas a problemas de f´ısica.

108

3. 2-FORMAS

˜ e rotacional. Seja F : U → Rn um campo vetorial 5.1. Circulaçao definido em uma região U do plano. Começamos relembrando as definiço˜ es das formas associada a este campo. A 1-forma associada a F e´ τF = F1 dx1 + F2 dx2 + F3 dx3 , e a 2-forma, utilizada para calcular o fluxo e´ ΦF = F1 dx2 ∧ dx3 − F2 dx1 ∧ dx3 + F3 dx1 ∧ dx2 . Calculando a diferencial de τF , obtemos X ∂Fi ∂Fj − dxi ∧ dxj , dτF = ∂xj ∂xi 1≤i<j≤3

que, por sua vez, corresponde a` 2-forma do fluxo do campo ∂F3 ∂F3 ∂F1 ∂F1 ∂F2 ∂F2 − , − , − . ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 Este u´ ltimo campo e´ conhecido como o rotacional de F , e e´ denotado por rot(F ). Portanto, (5.1)

dτF = Φrot(F ) .

Esta igualdade nos permite enunciar o teorema de Stokes na versão que será utilizada na maioria das aplicaço˜ es. T EOREMA DE S TOKES . Seja σ uma 2-célula e F um campo vetorial definido em uma região aberta do plano que contém σ, então Z Z τF = Φrot(F ) . ∂σ

σ

Para entender o significado f´ısico do rotacional, lembre-se que a circulaça˜ o de F em uma curva fechada C, totalmente contida em U , foi definida no §5.1 como Z ΓF (C) =

F. C

Supondo que C e´ igual a` fronteira de uma 2-célula σ totalmente contida em U , o teorema de Stokes nos dá Z Z ΓF (C) = τF = dτF ; ∂σ

Isto e´

σ

Z ΓF (C) =

Φrot(F ) . σ

Portanto, se F tem rotacional zero, então sua circulaça˜ o e´ zero ao longo de qualquer curva fechada que seja fronteira de uma 2-célula inteiramente contida em U . A parte da frase em itálico e´ extremamente importante, e voltaremos a ela ao final do parágrafo. Como o rotacional ser zero implica que a circulaça˜ o e´ zero – ao menos sob certas hipóteses – deve haver alguma ligaça˜ o entre o rotacional e o fato do campo não ter redemoinhos; veja §5.1.

˜ 5. APLICAÇOES

109

Para entender isto melhor, vamos tentar relacionar o rotacional diretamente a` existência de movimento angular em um campo, sem recorrer a` circulaça˜ o. Digamos que V representa o campo de velocidades de um fluxo bidimensional. Você pode imaginar isto como uma aproximaça˜ o do que ocorre quando uma lâmina muito fina de a´ gua que escorre sobre uma superf´ıcie plana. Então, V(x1 , x2 , x3 ) = (v1 (x1 , x2 , x3 ), v2 (x1 , x2 , x3 ), 0), uma vez que o campo e´ bidimensional. Calculando o rotacional, obtemos rot = (0, 0, ω), onde ∂v1 ∂v2 − . ω= ∂x ∂y Para descobrir o que ω representa consideremos fiapo de nylon, na forma de um aˆ ngulo reto, totalmente imerso no fluido. q2O δy

p

δy

/ q1

Denotaremos por p o vértice do aˆ ngulo, e por q1 e q2 as extremidades de cada um dos segmentos que formam o fiapo. Para facilitar os cálculos, digamos que estamos considerando o fiapo no exato momento em que pq1 e´ paralelo ao eixo x e pq2 e´ paralelo ao eixo y. Como o fiapo e´ muito pequeno, os segmentos são muito curtos: pq1 tem comprimento δx e pq2 tem comprimento δy. A diferença entre a componente da velocidade ao longo do eixo y em q1 e em p e´ igual a v2 (p + δx) − v2 (p). Como δx e´ muito pequeno, esta diferença está muito próxima de ∂v2 · δx. ∂x Isto significa que, em um tempo muito curto δt, o ponto q1 percorre a distância ∂v2 · δxδt ∂x na direça˜ o y. Como a distância de p a q1 e´ igual a δx, o ponto q1 percorre um aˆ ngulo ∂v2 arctan δt ∂x com centro em p. Entretanto, se θ e´ muito pequeno, arctan(θ) e´ aproximadamente igual a θ. Assumindo que este e´ o caso acima –já que δt e´ um tempo muito curto – vemos que o aˆ ngulo percorrido por q1 , relativamente a` p, e´ aproximadamente igual a ∂v2 δt. ∂x

110

3. 2-FORMAS

Portanto, a velocidade angular instantânea de pq1 em torno do eixo z e´ aproximadamente igual a ∂v2 . ∂x Um cálculo similar mostra que a velocidade angular instantânea de pq2 em torno do eixo z e´ aproximadamente igual a −

∂v1 . ∂y

Portanto, a velocidade angular média do fiapo em forma de aˆ ngulo reto e´ igual a 1 1 ω = rot(V). 2 2 Se V e´ o campo de velocidades de um fluido, a quantidade ω = rot(V), e´ conhecida como a vorticidade de V, e mede a tendência que um pequeno fiapo tem de rodar no fluido. Um campo de velocidades cuja vorticidade e´ nula e´ chamado de irrotacional ou solenoidal. Note que o fato de um fluido ter vorticidade não nula não implica que tenha um movimento rotatório global; isto e´ , que haja redemoinhos no fluido. Por exemplo, V = (y, 0, 0) não exibe redemoinhos. Porém, a componente da velocidade ao longo do eixo x aumenta com a distância entre o ponto e o eixo x. Isto faz com que um fiapo de nylon paralelo a y tenda a rodar enquanto e´ arrastado pelo fluido. De fato, um cálculo simples, que será deixado exerc´ıcio, mostra que este fluido tem vorticidade −1. Contudo, a relaça˜ o entre rotacional e circulaça˜ o e´ mais sutil do que nossos comentários acima podem sugerir. Por exemplo, se há uma haste perpendicular ao fluxo, podemos ter rotacional zero em todo lugar acompanhado de circulaça˜ o não nula sobre curvas fechadas que dão a volta ao cilindro. E´ por isso que precisamos acrescentar a hipótese de que a curva fosse fronteira de uma 2-célula inteiramente contida em U , nas consideraço˜ es que fizemos acima. Se há um obstáculo no fluido, ela está fora da 2-célula. Veremos um exemplo de um campo com estas propriedades no §5.7. 5.2. A integral de superf´ıcie. Ao contrário do que fizemos até aqui, vamos considerar neste parágrafo uma superf´ıcie S de R3 descrita como o conjunto de zeros de uma funça˜ o diferenciável. Mais precisamente, seja U uma região de R3 e f ∈ O(U ). Definimos Sf = {p ∈ R3 : f (p) = 0}; cf. exerc´ıcio 20 da página 20. Muitas superf´ıcies bem conhecidas, e já utilizadas neste livro, podem ser descritas desta maneira, entre elas a esfera, o

˜ 5. APLICAÇOES

111

cone, o parabolóide e o cilindro. Todos os exemplos de superf´ıcies mencionados acima também podem ser descritos a partir de uma parametrizaça˜ o, e e´ esta exatamente a situaça˜ o que queremos estudar neste parágrafo: uma superf´ıcie Sf , para algum f ∈ O(U ), que admite uma parametrizaça˜ o σ : R → U , onde R e´ um retângulo de R2 . Supondo que o gradiente de f não se anula em U , podemos definir o campo ∇f nf = k∇f k na região U . No caso particular em que ` e´ uma funça˜ o linear, a superf´ıcie S` e´ um plano, e tem gradiente constante. Se u e v forem dois paralelos a este plano e p ∈ S` , então ΦG` (p, u, v) e´ o volume do sólido determinado por u, v e pelo vetor (∇`)(p) G` (p) = . k(∇`)(p)k Como este u´ ltimo vetor e´ normal a Sf e tem norma 1, o volume do sólido coincide com a a´ rea do paralelogramo definido por u e v. Por isso, a forma diferencial ΦGf e´ conhecida como elemento de a´ rea e denotada por dA. Note, contudo, que trata-se apenas de uma notaça˜ o: dA não corresponde, em geral, a` diferencial total de nenhuma funça˜ o. Em geral, os vetores do campo G são unitários e normais a Sf em cada ponto desta superf´ıcie. Portanto, o fluxo deste campo por Sf deve ser igual a a´ rea de Sf . Em outras palavras, Z a´ rea de Sf = dA, σ

onde dA = Φ∇f /k∇f k e σ e´ uma parametrizaça˜ de Sf . Considere, por exemplo, a esfera x2 +y 2 +z 2 = a2 . Neste caso, f = x2 + y 2 + z 2 − a2 , de modo que 1 nf = (x, y, z), r p 2 e´ um campo central, onde r = x + y 2 + z 2 , como usual. Parametrizando Sf em coordenadas esféricas σe (x, y, z) = (a cos(θ) sen(φ), a sen(θ) sen(φ), a cos(φ)), onde a e´ o raio (constante!) da esfera. Da´ı, σe∗ (dx ∧ dy) = a2 sen(φ) cos(φ)dθ ∧ dφ σe∗ (dx ∧ dz) = −a2 sen(θ) sen2 (φ)dθ ∧ dφ σe∗ (dy ∧ dz) = a2 cos(θ) sen2 (φ)dθ ∧ dφ. Portanto, após os devidos cancelamentos, σe∗ (dA) = a2 sen(φ)dθ ∧ dφ.

112

3. 2-FORMAS

Logo, a a´ rea da esfera e´ igual a Z Z 2π Z dA =

2π

σe

a2 sen(φ)dθ ∧ dφ = 4πa2 ,

0

0

como seria de esperar. Suponha, agora, que há outra funça˜ o ψ, definida na mesma região U . Multiplicando ψ por dA obtemos uma nova 2-forma em U , cuja integral Z ψdA σ

e´ conhecida como a integral de superf´ıcie de ψ em em Sf . Como ψ e´ uma funça˜ o que toma valores reais, ψdA = Φψ∇f /k∇f k . Vejamos o que acontece quando F ∈ X(U ), f ∈ O(U ) e ψ e´ igual ao produto escalar dos campos F e nf . Neste caso, (F · nf )

∇f = Projnf (F ), k∇f k

que e´ a projeça˜ o do campo F na direça˜ o da normal a Sf . Contudo, se u e v são tangentes a Sf em p, então u × v aponta na direça˜ o da normal a Sf , de modo que F (p) · (u × v) = Projnf (F )(p) · (u × v). Portanto, ((F · nf )dA)(p, u, v) = ΦF (p, u, v), desde que u e v sejam tangentes a Sf em p. Como esta hipótese e´ satisfeita quando ∂σ ∂σ u= e v= , ∂s ∂t temos que σ ∗ ((F · nf )dA) = σ ∗ (ΦF ). Logo, a integral de superf´ıcie Z Z (F · nf )dA = σ ∗ ((F · nf )dA) σ

R

e´ igual a Z R

σ ∗ (ΦF ) =

Z ΦF . σ

Esta igualdade desempenhará um papel importante na interpretaça˜ o vetorial que daremos ao teorema de Stokes no próximo parágrafo.

˜ 5. APLICAÇOES

113

5.3. A variante vetorial. Antes de passar a` s aplicaço˜ es do teorema de Stokes ao eletromagnetismo, precisamos considerar sua traduça˜ o em termos da análise vetorial tradicional. Isto e´ , sem usar formas diferenciais. Começaremos com a versão bidimensional do teorema de Stokes, que foi originalmente enunciada por George Green em sua monografia [6, p. ]. T EOREMA DE G REEN . Seja A uma região do plano parametrizada por um retângulo. Se F = (F1 , F2 ) e´ um campo definido em uma região do plano que contém A, então Z Z ∂F2 ∂F1 − dxdy. F = ∂x2 ∂x1 ∂A A Seja σ uma 1-célula contida em uma região U de R3 . Para poder enunciar a versão vetorial do teorema de Stokes em dimensão 3, precisamos explicitar Z dτF σ

em termos de uma integral dupla em cujo integrando o rotacional aparece. Mas, Z Z dτF = Φrot(F ) , σ

σ

onde σ e´ uma 2-célula sobre o retângulo plano R. Contudo, usando a igualdade entre integral do fluxo e integral de superf´ıcie enunciada ao final do §5.2 temos que Z Z ψ(rot(F ) · GF )dA.

Φrot(F ) = σ

σ

Isto nos permite enunciar a versão vetorial do teorema de Stokes. ˜ vetorial). Seja σ uma 2-célula. Se F = T EOREMA DE S TOKES (versao (F1 , F2 , F3 ) e´ um campo definido em uma região aberta do plano que contém σ, então Z Z (rot(F ) · N )dσ.

F = ∂σ

σ

´ 5.4. Campo eletrico de uma carga pontual. Começamos nossas aplicaço˜ es ao eletromagnetismo calculando o fluxo do campo elétrico correspondente a uma carga pontual q > 0 através de uma esfera. Pela lei de Coulomb, este campo e´ dado por kq (x, y, z), E(x, y, z) = 2 2 (x + y + z 2 )3/2 onde k e´ uma constante, que não precisamos explicitar. Para calcular o fluxo, usamos a 2-forma correspondente, que neste caso e´ kq (xdy ∧ dz − ydx ∧ dz + zdx ∧ dy). ΦE = 2 (x + y 2 + z 2 )3/2 Como o campo e´ central, e a integraça˜ o será sobre a superf´ıcie de uma esfera, e´ melhor usar coordenadas esféricas: S(x, y, z) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)),

114

3. 2-FORMAS

onde r e´ o raio (constante!) da esfera. Da´ı, S ∗ (dx ∧ dy) = r2 sen(φ) cos(φ)dθ ∧ dφ S ∗ (dx ∧ dz) = r2 sen(θ) sen2 (φ)dθ ∧ dφ S ∗ (dy ∧ dz) = −r2 cos(θ) sen2 (φ)dθ ∧ dφ. Portanto, após os devidos cancelamentos, S ∗ (ΦE ) = −kq cos2 (φ) sen(φ)dθ ∧ dφ. Portanto, o fluxo total através da esfera e´ Z Z Z 2π Z π ∗ ΦE = S (ΦE ) = −kq cos2 (φ) sen(φ)dθdφ, S

R

0

0

que e´ facilmente integrável e dá Z π (5.2) ΦE = 2πkq cos2 (φ) = 4πkq. 0

S

Note que não e´ fácil calcular, desta maneira, o valor do fluxo através de superf´ıcies mais gerais. Afinal, se a parametrizaça˜ o for muito complicada, os cálculos podem ficar intratáveis. No entanto, com a ajuda da versão do teorema de Stokes que apresentaremos no próximo cap´ıtulo, será fácil determinar o fluxo de uma carga pontual através de qualquer superf´ıcie. E mais, o resultado geral será uma conseqüeˆ ncia dos cálculos deste parágrafo. E como se isto não bastasse, poderemos tratar também do caso de uma quantidade finita qualquer de cargas pontuais. ˜ 5.5. As equaçoes de Maxwell. O estudo dos campos eletromagnéticos está completamente contido nas equaço˜ es introduzidas por J. C. Maxwell em 1873. Das quatro equaço˜ es, duas dependem de conceitos que ainda não introduzimos, as outras duas podem ser formuladas da seguinte maneira ∂B ∂t 1 1 ∂E + J , rot(B) = 2 c ∂t 0 rot(E) = −

onde E e B representam, respectivamente, os campos elétrico e magnético, J e´ a densidade de corrente (que também e´ um vetor), c e 0 são constantes cujo significado f´ısico não precisamos considerar. Segundo a primeira equaça˜ o, o rotacional do campo elétrico e´ dado por uma variaça˜ o do campo magnético com o tempo. Já a segunda equaça˜ o nos diz que o rotacional do campo magnético depende, não apenas da variaça˜ o do campo elétrico, mas também da densidade de corrente. Para simplificar, consideraremos apenas o caso estático, em que nenhuma das quantidades acima varia com o tempo. Temos, assim, que o vetor J e´

˜ 5. APLICAÇOES

115

constante, e que as derivadas de E e B com respeito a t são nulas. Portanto, as equaço˜ es se simplificam para rot(E) = 0 J . c2 0 Seja C uma curva fechada no espaço. Se C for a fronteira de um 2encadeamento S, então, pelo teorema de Stokes Z Z Z E= τE = dτE . rot(B) =

C

∂S

S

Contudo, pela equaça˜ o (5.1), dτE = Φrot(E) = 0, donde

Z E = 0. C

Portanto, o campo eletrostático tem circulaça˜ o nula. A situaça˜ o e´ completamente diferente no caso do campo magnético. Repetindo o argumento acima para B, vemos que Z Z B= Φrot(B) . C

S

Mas, pela equaça˜ o de Maxwell, Φrot(B) = ΦJ/c2 0 =

1 c2 0

ΦJ

donde, Z 1 ΦJ . c2 0 S C Resta-nos entender o que esta u´ ltima integral representa. Para isto precisamos compreender melhor o significado de J. Imagine a corrente como um fluxo de elétrons ao longo de um fio e considere uma seça˜ o transversal T do fio. Se a corrente não varia com o tempo, então os elétrons que passam por um ponto p ∈ T têm sempre a mesma velocidade v(p). Se a densidade de carga no fio e´ constante e igual a ρ então J(p) = ρv(p). Portanto, Z Z

(5.3)

B=

ΦJ T

representa a quantidade total de carga que flui através da seça˜ o T ; isto e´ , a integral representa a corrente através de T . Assim, voltando a` equaça˜ o (5.3), podemos reescrevê-la na forma Z IC B= 2 . c 0 C onde IC representa a corrente que passa através da curva fechada C. Esta equaça˜ o e´ conhecida como lei de Ampére.

116

3. 2-FORMAS

A lei de Ampére pode ser usada para calcular a intensidade do campo magnético de um fio reto infinito de espessura desprez´ıvel, estendido ao longo do eixo z. Porém, para viabilizar este cálculo precisamos de uma hipótese adicional, que resulta da simetria do campo: sobre qualquer cilindro cujo eixo e´ o próprio fio, o campo e´ constante, tangente ao cilindro e perpendicular ao fio. Em particular, o campo e´ constante sobre uma circunferência de raio r, desenhada sobre um plano perpendicular ao fio, cujo centro e´ o ponto de interseça˜ o do fio com o plano. Denotando por Cr esta circunferência, temos que Z B = 2πrkB(p)k, para qualquer p ∈ Cr . Cr

Portanto, pela lei de Ampére, 2πrkB(p)k =

IC , c2 0

donde

1 IC . 2πc2 0 r Como r e´ a distância de p = (x, y, z) ao fio, podemos reescrever esta fórmula como 1 I p C kB(x, y, z)k = . 2πc2 0 x2 + y 2 kB(p)k =

Finalmente, levando em conta que o campo e´ tangente a Cr , IC 1 (−y, x, 0). B(x, y, z) = 2πc2 0 (x2 + y 2 ) Podemos obter esta mesma fórmula, sem recorrer a nenhuma hipótese extra, calculando o potencial do campo; veja [11, p. 41]. ´ Começamos relembrando as definiço˜ es de for5.6. Lema de Poincare. mas exatas e fechadas. Seja α uma 1-forma diferencial definida em uma região U de Rn . Dizemos que α e´ fechada se dα = 0, e que e´ exata se existe f ∈ O(U ) tal que α = df . Mas, como vimos no §2.5, d(df ) = 0; isto e´ , toda forma exata e´ fechada. Nosso objetivo e´ discutir a rec´ıproca desta afirmaça˜ o; isto e´ : toda 1-forma fechada e´ exata? Como a resposta e´ “nem sempre”, precisamos entender de que a resposta depende. Começamos estudando uma região sobre a qual todas as formas fechadas são exatas. Lembre-se que uma região U do Rn e´ convexa se, dados dois pontos quaisquer p e q em U , o segmento de reta que vai de p a q está totalmente contido em U . L EMA DE P OINCAR E´ (para 1-formas). Toda 1-forma fechada definida em uma região convexa de Rn e´ exata.

˜ 5. APLICAÇOES

117

˜ . Seja U uma região de Rn e α uma forma fechada deD EMONSTRAÇ AO finida em U . Tendo em vista o teorema do §5.2, basta mostrar que a circulaça˜ o de α e´ zero sobre qualquer 1-encadeamento fechado E. Isto e´ fácil de provar desde que E seja a fronteira de um 2-encadeamento E. Se for este o caso, então, pelo teorema de Stokes, Z Z Z α= α= dα = 0, E

E

∂E

já que α e´ fechada. Portanto, para completar a demonstraça˜ o basta construir E a partir de E. Para isto suponha que E = σ1 + · · · + σm , onde os σs são 1-células parametrizadas por [0, 1] e digamos que σi (0) = pi . Como o encadeamento e´ fechado, temos que σi (1) = pi+1 e σm (1) = p1 . Seja, agora, q um ponto que não pertence a E, e considere as 2-células definidas por Si (s, t) = (1 − s)p0 + tσi (t), 2 para (s, t) ∈ [0, 1] . Denotando por ri a reta que vai de q a pi , podemos considerar esta 2-célula como um triângulo (curvil´ıneo), com vértice em q, cujos lados são as retas ri e ri+1 . Mais precisamente, ∂(Si ) = σi − ri+1 + ri , Portanto, se E=

m X

Si ,

i=1

então E=

m X

∂(Si ) =

i=1

m X

(σi − ri+1 + ri );

i=1

cuja forma reduzida e´ E=

m X

σi = E.

i=1

Note que a construça˜ o de E assume, implicitamente, que a região U e´ convexa, do contrário não poder´ıamos garantir que as retas ri pertencessem a U . Combinando o lema de Poincaré com o teorema do §5.2, obtemos uma caracterizaça˜ o bastante simples dos campos conservativos em regiões convexas. ´ C OROL ARIO . Um campo F , definido em uma região convexa de Rn , e´ conservativo se, e somente se, τF e´ uma forma fechada. Quando n = 3 este resultado pode ser reformulado em termos do rotacional do campo.

118

3. 2-FORMAS

´ C OROL ARIO . Um campo F , definido em uma região convexa de R3 , e´ conservativo se, e somente se, rot(F ) = 0 e´ uma forma fechada. ˜ exatas. Tendo mostrado que toda forma 5.7. Formas fechadas, nao fechada sobre um região aberta convexa e´ exata, passamos agora ao caso em que a região não e´ convexa. Para isto consideramos o campo magnético de um fio infinito, estendido ao longo do eixo z. Como o campo e´ constante ao longo de qualquer cilindro cujo eixo e´ o fio, basta considerar o que acontece em um plano perpendicular a z, digamos xy. Restringindo o campo a este plano obtemos 1 (−y, x, 0), B(x, y) = 2 (x + y 2 ) onde escolhemos a intensidade da corrente de modo que o quociente dos termos constantes seja 1. Esta u´ ltima hipótese não e´ necessária, e só foi feita para facilitar a notaça˜ o. Este campo está definido na região U = R2 \ {(0, 0)} e x −y dx + 2 dy. τ = τB = 2 2 x +y x + y2 Um cálculo direto, que será deixado por sua conta, mostra que dτ = 0. Logo a forma τ e´ fechada. Considere, agora, a curva C : [0, 2π] → U que corresponde a` circunferência de raio 1 parametrizada por C(t) = (cos t, sent). 2

2

Como sen (t) + cos (t) = 1, C ∗ (τ ) = −sen(t)d(cos(t)) + cos td(sen(t)) = (sen2 (t) + cos2 t)dt = dt. Mas isto significa que, Z

Z τ=

C

2π

dt = 2π. 0

Contudo, pelo corolário 5.3, se τ fosse uma forma exata, a integral deveria ter dado zero, porque o caminho e´ fechado. Portanto, τ não pode ser exata, e obtivemos o exemplo desejado. Vamos imaginar, agora, que B define, não um campo magnético, mas sim um campo de velocidades em R2 \ {(0, 0)}. Podemos visualizar isto como modelando um fluxo laminar definido em uma superf´ıcie na qual está inserida um prego (situado na origem do sistema de eixos). A presença deste prego faz com que o campo não esteja definido em (0, 0). Utilizando a terminologia introduzida no §5.1 temos, assim um campo de vorticidade zero, cuja circulaça˜ o sobre uma curva fechada que envolve a origem e´ não nula. Voltando a` s formas, você pode ter ficado com a impressão de que, se usando apenas funço˜ es racionais bem simples, conseguimos uma 1-forma não exata em R2 \ {(0, 0)}, que dizer então se usarmos uma combinaça˜ o de senos, co-senos, logaritmos e exponenciais! A verdade, e´ que nada essencialmente pior que x −y dx + 2 dy τ = τB = 2 x + y2 x + y2 ocorre, como mostra o próximo teorema.

6. RECAPITULANDO

119

T EOREMA . Seja U = R2 \ {(0, 0)}. Se α ∈ Ω1 (U ) e´ fechada, então α = kτ + df, para algum f ∈ O(U ) e algum k ∈ R. ˜ . Seja σ a 1-célula que corresponde a uma circunferênD EMONSTRAÇ AO cia com centro na origem e raio 1; isto e´ , σ(θ) = (cos(θ), sen(θ)) onde 0 ≤ θ ≤ 2π. Considere 1 k= 2π

Z α, σ

que, claramente, e´ um número real. Seja, agora, E um encadeamento fechado qualquer em U . Como α e´ fechada, temos pelo teorema de Stokes que Z α = 0. E−C

Portanto, Z

Z α=

α = 2πk.

E

C

Se k = 0, então pelo teorema do §5.2, α e´ exata. Logo, existe f ∈ O(U ) tal que df = α, e o teorema está provado neste caso. Suponha, agora, que k 6= 0 e considere a forma β = α − kτ. Como Z

Z α−k

β= C

Z

C

τ = 2πk − k2π = 0, C

podemos concluir, da parte anterior do argumento, que β = df para alguma funça˜ o f ∈ O(U ). Portanto, que α − kτ = β = df ; donde α = kτ + df , como quer´ıamos mostrar.

6. Recapitulando Nesta seça˜ o recapitulamos tudo o que foi feito neste segundo cap´ıtulo. Note que seguimos os mesmos passos utilizados na definiça˜ o de 1-formas e suas integrais no cap´ıtulo anterior. Ao longo de toda esta seça˜ o U será uma região de Rn e V uma região de m R .

120

3. 2-FORMAS

˜ 6.1. Definiçao. Uma 2-forma diferencial e´ uma aplicaça˜ o α : U × Rn × Rn → R, que satisfaz a` s seguintes condiço˜ es: (1) fixando p0 ∈ U , e considerando ω(p0 , v, w) como funça˜ o apenas de v e w, temos uma aplicaça˜ o bilinear alternada de Rn × Rn em R; (2) fixando v0 , w0 ∈ Rn , e considerando ω(p, v0 , w0 ) como funça˜ o apenas de p, temos uma funça˜ o diferenciável de U em R. O conjunto das 2-formas em U , que e´ denotado por Ω2 (U ), e´ um espaço vetorial relativamente a` soma de formas, e a` sua multiplicaça˜ o por escalares, conforme definidas no §2.2. 6.2. Produto exterior. Sejam α e β 1-formas diferenciais definidas em U , definimos o produto exterior α ∧ β em um ponto (p, v, w) ∈ U × Rn × Rn pela fórmula (α ∧ β)(p, v, w) = det

α(p, v) β(p, v) . α(p, w) β(p, w)

A operaça˜ o assim definida satisfaz as seguintes propriedades Anti-comutatividade: α ∧ β = −β ∧ α; Distributividade: α + kβ) ∧ η = α ∧ η + k(β ∧ η); onde η ∈ Ω1 (U ) e´ outra 1-forma e k e´ um escalar. A anti-comutatividade implica que α ∧ α = 0, para qualquer 1-forma α em U . O produto exterior nos permite expressar qualquer 2-forma em U como a1 dx1 ∧ dx2 + a2 dx1 ∧ dx3 + a3 dx2 ∧ dx3 , onde a1 , a2 , a3 ∈ O(U ). Podemos usá-lo também para definir a diferencial total da 1-forma n X α= bi dxi , i=1

como sendo d(α) =

n X

dbi ∧ dxi .

i=1

6.3. Campos e formas. A um campo vetorial F : U → R3 cujas funço˜ es coordenadas são F1 , F2 , F3 , fazemos corresponder a 2-forma ΦF = F1 dx2 ∧ dx3 − F2 dx1 ∧ dx3 + F3 dx1 ∧ dx2 , onde x1 , x2 e x3 são as coordenadas de R3 Esta correspondência e´ bijetiva, e nos permite tratar a análise vetorial seja na linguagem de formas, seja na linguagem de campos.

6. RECAPITULANDO

121

6.4. Superf´ıcies. Uma 2-célula em U e´ uma aplicaça˜ o diferenciável C : R → U , onde R = [a, a0 ] × [b, b0 ] e´ um retângulo em R com a0 > a e b0 > b. Denotando por L1 , L2 , L3 e L4 os lados consecutivos de R parametrizados de maneira que R e´ percorrido no sentido anti-horário, temos que a fronteira de σ e´ a forma reduzida do encadeamento de curvas σ(L1 ) + σ(L2 ) − σ(L3 ) − σ(L4 ). Um 2-encadeamento em U e´ uma expressão da forma E = c1 σ1 + · · · + ck σk , onde σ1 , . . . , σk são 2-célula em U e os cs são números inteiros. A fronteira de E e´ a forma reduzida do encadeamento de curvas c1 ∂σ1 + · · · + ck ∂σk . 6.5. Imagem inversa. Dada uma aplicaça˜ o diferenciável φ : V → U , onde V e´ uma região aberta de Rm , definimos a imagem inversa de uma 2forma X ω= aij dxi ∧ dxj ∈ Ω2 (U ), 1≤i<j≤n

como sendo φ∗ (α) =

X

(aij · φ)dφi ∧ dφj .

1≤i<j≤n

onde φ1 , . . . , φn são as funço˜ es coordenadas de φ. A imagem inversa determina uma transformaça˜ o linear de Ω2 (U ) em Ω2 (V ) que satisfaz σ ∗ (df ) = dσ ∗ (f ). 6.6. Integral. Seja σ uma superf´ıcie em U parametrizada pelo retângulo plano R = [a, a0 ] × [b, a0 ]. A imagem inversa de ω ∈ Ω2 (U ) por σ pode ser escrita na forma σ ∗ (ω) = gdt1 ∧ dt2 , onde g = g(t1 , t2 ) e´ uma funça˜ o diferenciável em R. A integral de ω sobre σ e´ dada por Z Z Z a0 Z b0 gdt1 ∧ dt2 , ω= σ ∗ (ω) = σ

R

a

b

que e´ a integral usual da funça˜ o g no retângulo R. A integral de ω ao longo do 2-encadeamento E = c1 σ1 + · · · + ck σk , e´ definida como sendo Z Z Z ω = c1 ω + · · · + ck ω. E

σ1

σk

122

3. 2-FORMAS

6.7. Teorema de Stokes. Seja σ uma superf´ıcie. O principal resultado deste cap´ıtulo e´ o seguinte teorema, que conecta a integral de uma 1-forma na fronteira de σ com a integral de sua diferencial sobre σ. T EOREMA DE S TOKES . Seja α uma 1-forma diferencial definida em uma região aberta U de Rn . Se E e´ um 2-encadeamento contido em U , então Z Z α= dα. ∂E

E

7. Exerc´ıcios 1. Parametrize cada uma das superf´ıcies dadas abaixo: (a) o cilindro x2 + y 2 = a2 ; (b) o cone a2 z 2 = x2 + y 2 ; (c) o parabolóide a2 z = x2 + y 2 ; (d) o hiperbolóide z 2 = x2 − y 2 . ˜ : use funço˜ es hiperbólicas para parametrizar o hiperbolóide. S UGEST AO 2. Calcule o fluxo dos campos abaixo através das superf´ıcies indicadas: (a) F (x, y, z) = (x2 , −y 3 , z) através do quadrado [0, 1] × [0, 1] × {2}; (b) F (x, y, z) = (3xy 2 , 3x2 y, 0) através da circunferência de raio unitário e centro na origem, contida no plano z = 0; (c) F (x, y, z) = (x3 , y 3 , 0) através circunferência de raio unitário e centro na origem, contida no plano z = 0; (d) F (x, y, z) = (3xy 2 , 3x2 y, z 3 ) através da esfera de raio unitário e centro na origem; (e) F (x, y, z) = (x, y, z) através da esfera de raio unitário e centro na origem; 3. Calcule as imagens inversas das seguintes formas sob as aplicaço˜ es indicadas: (a) xdy ∧ dz sob σ(u, v) = (cos(uv), sen(uv), uv 2 ); (b) xydz ∧ dx sob σ(u, v) = (u cos(v), u + v, u sen(v)); (c) z 3 dx ∧ dy sob σ(u, v) = (eu + v, eu − v, 2); (d) dx ∧ dy sob a transformaça˜ o de coordenadas polares para coordenadas cartesianas; (e) xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy sob a transformaça˜ o de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas; 4. Calcule a integral da forma xdy ∧ dz + ydx ∧ dy nos encadeamentos indicados: (a) a 2-célula dada por x = u + v,

y = u2 − v 2 e z = uv

com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1;

7. EXERCÍCIOS

123

(b) a porça˜ o do cilindro x2 + y 2 = 1 com 0 ≤ z ≤ 1, orientada de modo que o vetor normal aponte para fora; (c) a superf´ıcie do cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1], sem a tampa superior, orientado de modo que o vetor normal aponte para fora. 5. Calcule a integral da 2-forma (x2 + y 2 )dx ∧ dy na região D dentro do quadrado |x| + |y| = 4 e fora do c´ırculo x2 + y 2 = 1. 6. Calcule a integral do fluxo do rotacional de cada um dos campos abaixo nas superf´ıcies indicadas: (a) F (x, y, z) = (y, z, x) no triângulo cujos vértices são (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1); (b) F (x, y, z) = (x + y, y − z, x + y + z) no hemisfério x2 + y 2 + z 2 = a2 e z ≥ 0. 7. Considere o campo vetorial F (x, y, z) = (yez , xez , xyez ). Seja E um 2encadeamento fechado. Calcule a integral de F ao longo da fronteira de E. 8. Calcule o rotacional de um campo central. 9. Calcule a vorticidade de cada um dos campos de velocidades abaixo. Quais deles representam um campo irrotacional? (a) F (x, y, z) = (ay, 0, 0); (b) F (x, y, z) = (a/r2 , 0, 0); (c) F (x, y, z) = (ay, 0, 0); (d) F (x, y, z) = (0, arn , 0); p onde a 6= 0 e´ uma constante e r = x2 + y 2 + z 2 . 10. Seja C o 1-encadeamento fechado que limita um 2-encadeamento conexo E. Mostre que a a´ rea de E e´ igual a Z 1 xdy − ydx. 2 C 11. Calcule a a´ rea das seguintes regiões: (a) a região limitada pela hipociclóide x = a cos3 (t) e y = a sen3 (t), onde 0 ≤ t ≤ 2 e a > 0; (b) a região limitada por um arco de ciclóide x = a(t − sen(t)) e y = a(1 − cos(t)), com a > 0 e 0 ≤ t ≤ 2; 12. Seja F (x, y, z) = (x, 0, −2z) um campo definido em todo o R3 . (a) Determine ΦF .

124

3. 2-FORMAS

(b) Determine uma parametrizaça˜ o para a esfera x2 + y 2 + z 2 = 1, de modo que o vetor normal sempre aponte para fora. (c) Calcule o fluxo de F através da esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 com a orientaça˜ o determinada acima. 13. Mostramos no §2.4 que se λ1 , λ2 e λ3 são 1-formas constantes e k e´ um escalar, então (λ1 + kλ2 ) ∧ λ3 = λ1 ∧ λ3 + k(λ2 ∧ λ3 ). Use esta propriedade e a anti-comutatividade de ∧ para provar que λ1 ∧ (λ2 + kλ3 ) = λ1 ∧ λ2 + k(λ1 ∧ λ3 ). 14. Seja σ uma 2-célula definida em uma região U de R3 . Suponha que F e´ um campo de vetores definido R em U e cujo rotacional e´ tangente a σ em todos os seus pontos. Calcule ∂σ τF . 15. O campo elétrico de um fio infinito cuja densidade de carga e´ uniforme e´ dado por k (x, y), E(x, y, z) = 2 x + y2 onde k e´ uma constante Calcule o fluxo deste campo através de um cilindro cujo eixo e´ o próprio fio. 16. Seja F um campo vetorial definido em uma região U de R3 . Prove as seguintes fórmulas: (a) rot(∇g) = 0; (b) rot(gF ) = [∇g, F ] + g rot(F ); onde g ∈ O(U ). A definiça˜ o do comutador [, ] pode ser encontrada na página 11. ˜ : traduza as afirmaço˜ es em termos de formas diferenciais. S UGEST AO 17. Determine fórmulas para o rotacional de um campo de R3 (a) em coordenadas cil´ındricas; (b) em coordenadas esféricas. 18. Seja σ uma 2-célula contida em uma região U de R3 e f, g ∈ O(U ). Prove as seguintes identidades: Z Z (a) τf ∇g = Φ∇f ×∇g ; ∂σ σ Z (b) τf ∇g+g∇f = 0; ∂σ

19. Seja U a região de R2 definida por x > 0 e seja −x −y dx + 2 dy. α= 2 2 x +y x + y2 (a) Mostre que U e´ convexa.

8. PROBLEMAS

125

(b) Mostre que α e´ uma 1-forma fechada em U . (c) Mostre que α e´ exata em U e determine f ∈ O(U ) de modo que α = df . (d) Explique porque isto não contradiz a propriedade de α estabelecida no §5.7. p 20. Seja r = x2 + y 2 e considere um campo no plano definido por F (x, y) = (−g(r)y, g(r)x), onde g e´ uma funça˜ o diferenciável de uma variável. (a) Determine uma condiça˜ o necessária e suficiente para que τF seja fechada. (b) Resolva a equaça˜ o diferencial obtida em (a) e determine g como funça˜ o de r. (c) Em que região o campo assim obtido está definido? Este campo e´ conservativo? Justifique detalhadamente sua resposta. ˜ : a equaça˜ o diferencial obtida em (a) fica fácil de resolver se S UGEST AO você multiplicá-la por r e usar a regra da derivaça˜ o do produto.

8. Problemas 1. Prove a distributividade do produto exterior de 1-formas não constantes sobre a adiça˜ o. 2. Sejam x1 , x2 , y1 , y2 coordenadas de R4 e seja xdy a 1-forma de R4 definida por xdy = dx1 ∧ dy1 + dx2 ∧ dy2 . (a) Calcule d(xdy). Esta e´ uma 2-forma de R4 que vamos denotar por dx ∧ dy (por razões o´ bvias). (b) Calcule a integral de dx ∧ dy em uma superf´ıcie fechada e mostre que dá zero. 3. Seja f um polinômio nas variáveis x e y e Cf a curva algébrica por ele definida em R2 ; veja página 11 para a definiça˜ o. Mostre que um campo vetorial F de R2 e´ tangente a Cf em todos os seus pontos se, e somente se, (∇f )(p) · F(p) = 0, para todo p ∈ Cf . 4. Seja F um campo vetorial polinomial de R2 . A curva algébrica definida pelo polinômio f , nas variáveis x e y, e´ uma soluça˜ o algébrica de F se o polinômio (∇f · F)(x, y) e´ múltiplo de f . Se F = (F1 , F2 ), defina a forma αF = F2 dx − F1 dy. (a) Mostre que se f e´ uma soluça˜ o algébrica de F, então F e´ tangente a Cf em todo ponto p ∈ Cf em que nem F nem o gradiente de f se anulam.

126

3. 2-FORMAS

(b) Mostre que f e´ uma soluça˜ o algébrica de F se, e somente se, αF ∧ df = f η, onde η e´ uma 2-forma polinomial em R3 . (c) Mostre que se αF for exata então F tem infinitas soluço˜ es algébricas distintas. 5. Mostre que um campo linear F sempre tem pelo menos uma reta como soluça˜ o algébrica.

Cap´ıtulo 4 3-formas Neste cap´ıtulo introduzimos 3-formas e estudamos uma versão do teorema de Stokes que nos permite passar de integrais de 2-formas a integrais de 3-formas. Traduzindo este resultado na linguagem do cálculo diferencial, obteremos o teorema de divergência de Gauss. Ao contrário dos outros cap´ıtulos, introduzimos 3-formas e outros conceitos correlatos diretamente, sem nenhuma motivaça˜ o f´ısica preliminar. Afinal de contas, tomando por base a teoria de 1-formas e 2-formas, não e´ dif´ıcil advinhar o que deve ser uma 3-forma, nem o que devemos fazer para integrá-las. 1. 3-formas Começamos generalizando o conceito de fórmula bilinear alternada. 1.1. Formas multilineares alternadas. Uma forma k-linear de Rn e´ definida recursivamente como sendo uma aplicaça˜ o ω : Rn × · · · × Rn → R, | {z } k vezes

que satisfaz a` seguinte condiça˜ o: dado um vetor v0 ∈ Rn , a aplicaça˜ o ωj : Rn × · · · × Rn → R, para j = 1, . . . , k | {z } k−1 vezes

obtida fixando-se a j-ésima coordenada de ω como sendo igual a v0 , e´ k − 1-linear. Por exemplo, ω : Rn × Rn × Rn → R, e´ 3-linear se, para todo v0 ∈ Rn , as formas ω1 (u, w) = ω(v0 , u, w), ω2 (u, w) = ω(u, v0 , w), e ω3 (u, w) = ω(u, w, v0 ), são bilineares. Uma forma k-linear ω de Rn e´ alternada se ω(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vk ) = −ω(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . vk ) 127

128

4. 3-FORMAS

quaisquer que sejam v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vk ∈ Rn . Em outras palavras, trocando de posiça˜ o duas entradas de ω, a forma troca de sinal. Como conseqüeˆ ncia disto temos que se vi = vj então ω(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vk ) = 0. Uma forma k-linear alternada também e´ conhecida como uma k-forma constante. Usando estas propriedades e´ fácil determinar todas as 3-formas constantes de R3 . Seja ω uma forma 3-linear alternada e u, v, w ∈ R3 . Se e1 , e2 e e3 são os vetores da base canônica, então u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 , onde a1 , a2 , a3 ∈ R. Da linearidade de ω, obtemos (1.1) ω(u, v, w) = a1 ω(e1 , v, w) + a2 ω(e2 , v, w) + a3 ω(e3 , v, w). Mas os ω(ej , v, w) são formas bilineares alternadas e, como tais, podemos escrevê-las usando determinantes. Por exemplo, se v = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 e w = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 então, ω(e1 , v, w) = ω(e1 , b2 e2 + b3 e3 , c2 e2 + c3 e3 ), já que a forma se anula quando duas entradas quaisquer se repetem. Assim, das propriedades de formas bilineares alternadas temos que b 2 b3 ω(e1 , v, w) = ω(e1 , e2 , e3 ) det c2 c3 Analogamente,

b1 c1

ω(e2 , v, w) = −ω(e1 , e2 , e3 ) det

b3 c3

ao passo que, ω(e3 , v, w) = ω(e1 , e2 , e3 ) det

b1 c1

b2 c2

Substituindo em (1.1), vemos que ω(u, v, w) e´ igual a b b b b b ω(e1 , e2 , e3 ) a1 det 2 3 − a2 det 1 3 + a3 det 1 c2 c3 c1 c3 c1 Porém, a menos da constante ω(e1 , e2 , e3 ), esta e´ (pela primeira linha) do determinante  a1 a2 det[u, v, w] = det  b1 b2 c1 c2

.

a expansão em co-fatores  a3 b3  c3

Portanto, (1.2)

b2 c2

ω(u, v, w) = ω(e1 , e2 , e3 ) det[u, v, w].

1. 3-FORMAS

129

Como as 3-formas constantes são aplicaço˜ es que tomam valores em R, podemos somá-las da maneira usual. Isto, e´ , dadas duas 3-formas constantes ω e θ, definimos (ω + θ)(u, v, w) = ω(u, v, w) + θ(u, v, w),

(1.3)

quaisquer que sejam u, v, w ∈ Rn . Que esta fórmula define uma aplicaça˜ o de Rn × Rn × Rn em R, não há dúvida; a questão e´ se essa aplicaça˜ o e´ 3-linear e alternada. Fixando u0 em (1.3), temos (ω + θ)(u0 , v, w) = ω(u0 , v, w) + θ(u0 , v, w). Contudo, por definiça˜ o, ω(u0 , v, w) e θ(u0 , v, w) são aplicaço˜ es bilineares quando consideradas como funço˜ es de suas duas u´ ltimas entradas. Assim, (ω + θ)(u0 , v, w) e´ bilinear como funça˜ o de v e w. Resultados semelhantes valem para as outras duas escolhas de entradas fixas. Finalmente, (ω + θ)(u, v, w) = ω(u, v, w) + θ(u, v, w) = −ω(u, w, v) − θ(u, w, v); como isto e´ igual a −(ω + θ)(u, w, v), e resultado semelhantes valem para as outras escolhas de entradas. Conclu´ımos, assim, que ω +θ também e´ alternada. Resumindo: a soma de duas 3-formas constantes e´ uma 3-forma constante. Encerramos este parágrafo definindo a imagem inversa de uma 3-forma constante por uma aplicaça˜ o linear. Dada uma transformaça˜ o linear T : Rm → Rn , começamos por definir uma aplicaça˜ o ∆ T : Rm × R m × Rm → Rn × Rn × Rn , pela fórmula ∆T (u, v, w) = (T (u), T (v), T (w)). Como T e´ linear, ∆T (u1 + ku2 , v0 , w0 ) = ∆T (u1 , v0 , w0 ) + k∆T (u2 , v0 , w0 ), onde k e´ um escalar e v1 , v2 , w0 ∈ Rm . Fórmulas semelhantes valem para as outras duas escolhas de entradas. ˜ . Se ω e´ uma 3-forma em Rn então a composta ω · ∆T e´ P ROPOSIÇ AO uma 3-forma em Rm . ˜ . Sejam k e´ um escalar e u1 , u2 , v0 , w0 ∈ Rm , então D EMONSTRAÇ AO (ω · ∆T )(u1 + ku2 , v0 , w0 ) = ω · ∆T (u1 , v0 , w0 ) + kω · ∆T (u2 , v0 , w0 ); ao passo que (ω · ∆T )(u1 , v0 , w0 ) e´ igual a ω(T (u1 ), T (v0 ), T (w0 )) = −ω(T (w0 ), T (v0 ), T (u1 )) = −(ω·∆T )(w0 , v0 , u1 ), donde (ω · ∆T )(u1 , v0 , w0 ) = −(ω · ∆T )(w0 , v0 , u1 ).

130

4. 3-FORMAS

Como fórmulas semelhantes valem para as outras trocas de posiço˜ es dos vetores, podemos concluir que ω · ∆T e´ uma 2-forma constante em Rm , como desejávamos mostrar. Nos próximos parágrafos generalizemos tudo isto para 3-formas não constantes, definidas sobre uma região aberta de Rn . 1.2. 3-formas diferenciais. Seja U uma região aberta de Rn . Uma 3-forma diferencial em U e´ uma aplicaça˜ o ω : U × Rn × Rn × Rn → R, que satisfaz a` s seguintes condiço˜ es: (1) fixando p0 ∈ U , e considerando ω(p0 , u, v, w) como funça˜ o apenas de u, v e w, temos uma aplicaça˜ o 3-linear alternada de Rn ×Rn ×Rn em R; (2) fixando u0 , v0 , w0 ∈ Rn , e considerando ω(p, u0 , v0 , w0 ) como funça˜ o apenas de p, temos uma funça˜ o diferenciável de U em R. O conjunto das 3-formas diferenciais definidas em uma região aberta U de Rn será denotado por Ω3 (U ). Há várias operaço˜ es que podemos definir em Ω3 (U ), a mais simple das quais e´ a soma. Sejam ω e θ 3-formas diferenciais em U , a soma ω + θ e´ definida em um ponto (p, u, v, w) ∈ U × Rn × Rn × Rn por (1.4)

(ω + θ)(p, u, v, w) = ω(p, u, v, w) + θ(p, u, v, w).

Para que esta definiça˜ o seja u´ til, e´ preciso que ω + θ também seja uma 3-forma diferencial em U , e não apenas uma aplicaça˜ o qualquer. Mas, como vimos no §1.1, a soma de 3-formas constantes e´ uma 3-forma constante, o que prova (1). Já (2) segue porque a soma de funço˜ es diferenciáveis e´ diferenciável. Procedendo de maneira semelhante, podemos mostrar que se ω e´ uma 3forma diferencial em U e f ∈ O(U ), então a aplicaça˜ o de U × Rn × Rn × Rn em R definida por (f ω)(p, u, v, w) = f (p)ω(p, u, v, w), onde p ∈ U e v, w ∈ Rn também e´ uma 3-forma diferencial. Um caso particular da multiplicaça˜ o de uma 3-forma por uma funça˜ o ocorre quando a funça˜ o e´ constante. Neste caso o que temos e´ o produto de um escalar por uma 3-forma. Assim, podemos somar 3-formas diferenciais e multiplicá-las por escalares. Com um pouco de paciência e´ poss´ıvel verificar que estas operaço˜ es satisfazem todas as propriedades requeridas para fazer de Ω3 (U ) um espaço vetorial sobre R. 1.3. Produto exterior. Nesta seça˜ o queremos introduzir o produto exterior de três 1-formas, assim como o produto de uma 2-forma por uma 1forma. Como seria de esperar, em ambos os casos, teremos como resultado uma 3-forma.

1. 3-FORMAS

131

Começamos com o produto de três 1-formas, α, β e γ, definidas em uma região aberta U de Rn . Sejam p ∈ U e u, v, w ∈ Rn . Tomando a definiça˜ o do produto exterior de duas 1-formas como ponto de partida, podemos definir   α(p, u) α(p, v) α(p, w) (α ∧ β ∧ γ)(p, u, v, w) = det β(p, u) β(p, v) β(p, w) γ(p, u) γ(p, v) γ(p, w) Segue, imediatamente, das propriedades do determinante que a expressão (α ∧ β ∧ γ)(p, u, v, w) e´ 3-linear alternada se p estiver fixo. Por outro lado, o determinante e´ uma expressão polinomial de suas entradas. Como somas e produtos de funço˜ es diferenciáveis são diferenciáveis, temos que esta funça˜ o e´ diferenciável quando u, v e w estão fixos. Logo, α ∧ β ∧ γ define, corretamente, uma 3-forma diferencial. E´ importante você notar que há uma correlaça˜ o entre a ordem em que as 1-formas e os vetores aparecem em (α ∧ β ∧ γ)(p, u, v, w) e sua posiça˜ o no determinante. Afinal, qualquer variaça˜ o na ordem das linhas ou colunas fará o determinante mudar de sinal. Por exemplo,   β(p, u) β(p, v) β(p, w) (β ∧ α ∧ γ)(p, u, v, w) = det α(p, u) α(p, v) α(p, w) γ(p, u) γ(p, v) γ(p, w) e´ igual a   α(p, u) α(p, v) α(p, w) − det β(p, u) β(p, v) β(p, w) γ(p, u) γ(p, v) γ(p, w) que, por sua vez, e´ igual a −(α ∧ β ∧ γ)(p, u, v, w). Portanto, β ∧ α ∧ γ = −(α ∧ βγ). Em particular, se duas entre as três 1-formas são trocadas de posiça˜ o, o sinal do produto exterior muda. Por outro lado, se fizermos duas trocas de posiça˜ o, o sinal muda duas vezes, de modo que continua igual ao inicial. Portanto, como no caso do produto exterior de duas 1-formas, o produto de três delas também e´ anti-comutativo; isto e´ , o sinal troca a cada troca de posiça˜ o entre duas das três 1-formas que estão sendo multiplicadas. Como no caso de 2-formas, o produto exterior das 1-formas básicas desempenha um papel extremamente importante na teoria. Por isso, vamos calcular dxi ∧ dxj ∧ dxk em (u, v, w) ∈ Rn × Rn × Rn . Se u = a1 e1 + · · · + an en , v = b1 e1 + · · · + bn en e w = c1 e1 + · · · + cn en então, por definiça˜ o, 

 dxi (u) dxj (u) dxk (u) (dxi ∧ dxj ∧ dxk )(u, v, w) = det  dxi (v) dxj (v) dxk (v)  dxi (w) dxj (w) dxk (w)

132

4. 3-FORMAS

Levando em conta que estas 1-formas capturam certas coordenadas dos vetores u, v e w, obtemos   ai aj ak (dxi ∧ dxj ∧ dxk )(u, v, w) = det  bi bj bk  (1.5) ci cj ck Em particular, ( 1 (dxi ∧ dxj ∧ dxk )(ei0 , ej 0 , ek0 ) = 0

se i = i0 , j = j 0 e k = k 0 se i = 6 i0 ou j 6= j 0 ou k 6= k 0 .

Agora que temos a definiça˜ o do produto exterior de três 1-formas, podemos expressar uma 3-forma qualquer em termos de coordenadas. Para simplificar a notaça˜ o, faremos isto apenas para 3-formas em R3 ; o caso geral fica como exerc´ıcio. Seja p um ponto de uma região aberta U de R3 e ω ∈ Ω3 (U ). De acordo com a propriedade (1), a aplicaça˜ o ωp : R3 × R3 × R3 → R, definida por ωp (u, v, w) = ω(p, u, v, w), e´ uma 3-forma constante. Portanto, por (1.2) e (1.5), ωp (u, v, w) = ωp (e1 , e2 , e3 )(dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 )(u, v, w). Como ωp (e1 , e2 , e3 ) e´ diferenciável como funça˜ o de p, podemos escrever ω = gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , onde g : U → R e´ dada por g(p) = ωp (e1 , e2 , e3 ). Assumindo que o produto exterior deve ser sempre distributivo sobre a soma, e´ fácil descobrir como o produto de uma 2-forma por uma 1-forma deve ser feito para que seja compat´ıvel com o produto de três 1-formas. Mais uma vez, consideraremos apenas o caso em que a região aberta U está contida em R3 , já que este e´ o u´ nico caso necessário na maioria de nossas aplicaço˜ es posteriores. Sejam α ∈ Ω1 (U ) e ω ∈ Ω1 (U ). Então, existem aij ∈ O(U ), tais que X ω= aij dxi ∧ dxj . 1≤i<j≤3

Assumindo a distributividade do produto exterior sobre a soma, X (1.6) α∧ω = ajk α ∧ dxj ∧ dxk . 1≤j 0 e´ um número real. Como de hábito, não distinguiremos claramente entre a aplicaça˜ o σ e a imagem de R por σ. Para os propósitos deste livro um sólido e´ simplesmente uma 2-célula, e os dois termos serão usados de maneira intercambiável de agora em diante. Como no caso de 2-células, começamos definindo orientaça˜ o e fronteira para o próprio 3-retângulo. Um ponto está na fronteira de R se pertence a uma de suas seis faces. Adaptando a notaça˜ o utilizada para o cubo [0, 1]3 no §3.4, podemos escrever R12 = [a, a0 ] × [b, b0 ] × {c} o R12 = [a, a0 ] × [b, b0 ] × {c0 }

R23 = {a} × [b, b0 ] × [c, c0 ] o R23 = {a0 } × [b, b0 ] × [c, c0 ]

R13 = [a, a0 ] × {b} × [c, c0 ] o R13 = [a, a0 ] × {b0 } × [c, c0 ]

138

4. 3-FORMAS

Como no caso de 2-retângulos, assumiremos que cada uma destas faces está orientada respeitando-se o sentido em que os reais crescem. Assim, se Nij e´ o o o vetor normal a` face oposta, temos que vetor normal a` face Rij e Nij o N12 = −N12 = e3 o N23 = −N23 = e1 o N13 = −N13 = −e2 .

No §3.4 vimos que há duas escolhas poss´ıveis de sinais que fazem do encadeamento das faces de R uma 2-célula fechada. Em uma delas, o vetor normal a cada face aponta para dentro, na outra, aponta para fora. Entre estas duas, escolheremos aquela em que o vetor normal sempre aponta para fora. Portanto, orientando R da forma sua fronteira será o o o ∂R = −R12 + R12 − R23 + R23 + R13 − R13 .

A fronteira de qualquer 3-célula será orientada a partir desta orientaça˜ o padrão de R. Definimos, então, a fronteira ∂σ de uma 3-célula σ : R → Rn como a forma reduzida de o o o −σ(R12 ) + σ(R12 ) − σ(R23 ) + σ(R23 ) + σ(R13 ) − σ(R13 ).

Um bom exemplo, e´ a esfera de raio b da qual foi extra´ıda uma esfera menor, de raio a < b. Neste caso, a parametrizaça˜ o Sa,b : [a, b] × [0, 2π] × [0, π] → R3 , em coordenadas esféricas, será dada por Sa,b (r, θ, φ) = (r sen(φ) cos(θ), r sen(φ) sen(θ), r cos(φ)). Enumerando as faces de R na mesma ordem que fizemos acima, verificamos o ) são pontos, e que que ∂Sa,b (R12 ) e −∂Sa,b (R12 o ∂Sa,b (R13 ) ≡ −∂Sa,b (R13 )

correspondem a` metade de um anel vertical, contido no semiplano definido por y = 0 e x ≥ 0. Este anel tem de raio externo b e raio interno a, e as duas circunferências correspondentes a estes raios estão orientadas em sentidos opostos. Portanto, ∂Sa,b = −Sa,b (R23 ) + Sa,b (R23 ), e´ igual ao encadeamento das superf´ıcies interna e externa de Sa,b , ambas orientadas de modo que seus vetores normais apontem para fora da parte sólida da 3-célula. A esfera (sólida) de raio a e´ um caso particular desta 3-célula, bastando para isto tomar b = 0. Neste caso, Sa = Sa,0 tem fronteira o ∂Sa = Sa,b (R23 ),


139

já que Sa,b (R23 ) ≡ 0. Antes de poder definir um 3-encadeamento, precisamos considerar como inverter o sinal de uma 3-célula. Mas, para isto, basta trocar o sentido em que um de seus parâmetros avança. Por exemplo, se o 3-retângulo de parâmetros for (2.1), podemos tomar −σ(r, s, t) = σ(a + a0 − r, s, t). Com isto estamos prontos para definir um 3-encadeamento como sendo uma expressão da forma (2.2)

E = c1 σ1 + · · · + cm σm ,

onde os cs são inteiros e os σs são 3-células. A fronteira deste 3-encadeamento e´ definida pela fórmula ∂E = c1 ∂(σ1 ) + · · · + cm ∂(σm ), como, aliás, seria de esperar. ˜ de 3-formas. Neste parágrafo veremos como integrar 2.2. Integraçao uma 3-forma em 3-células. Começaremos com o caso mais simples poss´ıvel: uma 3-forma definida em um 3-retâgulo de R3 . Seja U uma região do espaço, e digamos que R = [a, a0 ] × [b, b0 ] × [c, c0 ] ⊆ U. Dada η ∈ Ω3 (U ), queremos definir a integral de η no 3-retângulo R. Se r, s e t são as coordenadas em R3 , podemos escrever η = f (r, s, t)dr ∧ ds ∧ dt. Definimos, então, a integral de η em R como sendo a integral da funça˜ o f neste mesmo retângulo; isto e´ Z Z a0 Z b0 Z c0 η= f drdsdt. R

a

b

c

Esta e´ a base de nossa definiça˜ o: o caso geral e´ reduzido a este caso particular através do cálculo de uma imagem inversa. Em outras palavras, se σ : R → Rn , e´ uma 3-célula cuja imagem está contida em uma região U de Rn , definimos a integral de ω em σ por Z Z (2.3) ω= σ ∗ (ω). σ

R

Precisamos discutir de que maneira a orientaça˜ o da 3-célula afeta o cálculo da integral. Para descobrir o que ocorre, consideramos uma 3-célula σ, definida sobre o retângulo R = [a, a0 ] × [b, b0 ] × [c, c0 ]

140

4. 3-FORMAS

cuja imagem está contida em uma região U de Rn . Digamos que r, s e t são os parâmetros de σ. Se ω ∈ Ω3 (U ) então −σ tem dom´ınio R e e´ definida por −σ(r, s, t) = σ(a + a0 − r, s, t). Desta forma (−σ)∗ (ω)(r, s, t) = ω(σ(q), −Jq (σ)e1 , Jq (σ)e1 , Jq (σ)e3 )dr ∧ ds ∧ dt, onde q = (a + a0 − r, s, t). Portanto, (−σ)∗ (ω)(r, s, t) = −(σ)∗ (ω)(q), pela bilinearidade de ω. Assim, Z Z ∗ (−σ) (ω) = − (σ)∗ (ω), R

R

que e´ equivalente a dizer que Z

Z ω=−

−σ

ω. σ

2.3. Propriedades da integral de uma 3-forma. Há algumas propriedades elementares das integrais de 3-formas que precisamos considerar. Suponha que U e´ uma região de Rn . Se ω, η ∈ Ω3 (U ) e k ∈ R, então Z Z Z (ω + kη) = ω+k η, E

E

E

onde E e´ um 3-encadeamento contido em U . A demonstraça˜ o e´ essencialmente a mesma da propriedade correspondente para 2-formas e fica como exerc´ıcio. A segunda propriedade que desejamos estudar e´ a fórmula de mudança de variáveis. No que segue, usaremos a expressão a aplicaça˜ o diferenciável γ : [a, a0 ] × [b, b0 ] × [c, c0 ] → [k, k 0 ] × [`, `0 ] × [m, m0 ] para designar uma funça˜ o diferenciável γ : (a−, a0 +)×(b−, b0 +)×(c−, c0 +) → (k−, k 0 +)×(`−, `0 +)×(m−, m0 +) onde e´ um número real positivo. Suponhamos, além disso, que: • γ e´ bijetiva e • leva o interior de [a, a0 ]×[b, b0 ]×[c, c0 ] no interior de [k, k 0 ]×[`, `0 ]× [m, m0 ]. O resultado que desejamos pode ser enunciado como segue. ´ ´ F ORMULA DE MUDANC ¸ A DE VARI AVEIS . Sejam R e R0 retângulos do 0 plano e γ : R → R uma aplicaça˜ o diferenciável bijetora para a qual: • o determinante do jacobiano e´ sempre positivo em todo ponto de R, e • o interior de R e´ levado por γ no interior de R0 . Se σ : R → U,


141

e´ uma 3-célula contida em uma região U de Rn , então Z Z σ∗ ω = ω. σ·γ

σ

Como no caso de 2-formas, a demonstraça˜ o consiste em reduzir o problema a` integraça˜ o de uma 3-forma em um 3-retângulo, usando a imagem inversa por σ. Mas uma 3-forma em uma região U de R3 se escreve na forma gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , onde g : U → R e´ uma funça˜ o diferenciável. Portanto, integrar esta forma em um retângulo e´ o mesmo que integrar g neste retângulo, o que nos permite usar o teorema de mudança de base para integrais triplas. Os detalhes ficam como exerc´ıcio. Como conseqüeˆ ncia desta fórmula sempre podemos supor, ao provar um resultado sobre integraça˜ o de 3-formas, que a célula tem o retângulo [0, 1]3 como espaço de parâmetros. ˜ . Seja R = [a, a0 ] × [b, b0 ] × [c, c0 ] um 3-retângulo e ω uma P ROPOSIÇ AO 3-forma definida em uma região aberta do plano que contém R. Então existe uma aplicaça˜ o diferenciável γ : [0, 1]3 → R, tal que Z Z ω= γ ∗ (ω). [0,1]3

R

˜ . Defina γ : [0, 1]3 → R por D EMONSTRAÇ AO γ(r, s, t) = (a, b, c) + r(a0 − a, 0) + s(0, b0 − b) + r(0, 0, c0 − c). Temos que det(J(γ)) = (a0 −a)(b0 −b)(c0 −c) > 0, pois a0 > a, b0 > b e c0 > c. A proposiça˜ o segue imediatamente da fórmula de mudança de variáveis. 3. Teorema de Stokes Nesta seça˜ o enunciamos e provamos nossa segunda versão do teorema de Stokes. T EOREMA DE S TOKES . Seja ω uma 2-forma diferencial definida em uma região U de Rn . Se E e´ um 3-encadeamento contido em U , então Z Z ω= dω. ∂E

E

A demonstraça˜ o e´ inteiramente análoga a da versão do mesmo teorema enunciada na seça˜ o 4 do cap´ıtulo 3. Na verdade as duas demonstraço˜ es são tão semelhantes que seria prefer´ıvel se você tratasse esta como um exerc´ıcio, do qual estamos dando uma resposta completa. Dividiremos a demonstraça˜ o em duas partes. A primeira consiste em mostrar que o teorema vale para 3-formas do R3 , integradas sobre um 3-retângulo. A segunda reduz o caso geral a este caso especial.

142

4. 3-FORMAS

˜ do teorema de Stokes no R3 . Começamos 3.1. Demonstraçao tratando o caso mais simples em que E e´ um 3-retângulo e ω uma 2-forma diferencial definida em uma região aberta V do plano, que contém E. P RIMEIRA PARTE : reduça˜ o ao caso em que o retângulo e´ [0, 1]3 . Pela proposiça˜ o 2.3 Z

Z

γ ∗ (dω).

ω=

(3.1)

[0,1]3

R

Enumerando os lados de C = [0, 1]3 e R segundo a convença˜ o introduzida no §3.4, vemos que γ(Cij ) = Rij , e o mesmo vale para os lados opostos. Mas, pela fórmula de mudança de variáveis para integrais de 2-formas Z Z Z ω= ω= γ ∗ (ω). Rij )

γ(Cij )

Cij

de modo que Z

Z ω=

(3.2) ∂R

γ ∗ (ω).

∂[0,1]3

Mas, se o teorema de Stokes vale para γ ∗ (ω) em [0, 1]3 , temos Z Z ∗ γ (dω) = γ ∗ (ω); [0,1]3

∂[0,1]3

donde segue por (3.1) e (3.2), que Z γ ∗ (ω) = R Z Z ∗ − γ (ω) + Z −

γ ∗ (ω) +

Z

Z γ(R13 )

γ ∗ (ω)

o ) γ(R23

γ(R23 )

+

γ ∗ (ω)

o ) γ(R12

γ(R12 )

γ ∗ (ω) −

Z

γ ∗ (ω),

o ) γ(R13

que e´ o teorema de Stokes sobre R. Por isso, podemos supor, de agora em diante, que R = [0, 1]3 . S EGUNDA PARTE : reduça˜ o ao caso em que a 2-forma em [0, 1]3 e´ gdt1 ∧ dt2 . Seja ω = g1 dt1 ∧ dt2 + g2 dt2 ∧ dt3 + g3 dt1 ∧ dt3 ,


onde g1 , g2 , g3 ∈ O(V ). Mas, Z Z Z ω= g1 dt1 ∧ dt2 + ∂R

∂R

143

Z g2 dt2 ∧ dt3 +

∂R

g3 dt1 ∧ dt3 , ∂R

ao passo que Z Z Z Z dω = d(g1 dt1 ∧ dt2 ) + d(g2 dt2 ∧ dt3 ) + d(g3 dt1 ∧ dt3 ), R

R

R

R

já que d e´ uma transformaça˜ o linear. Portanto, basta provar que Z Z d(g1 dt1 ∧ dt2 ) = g1 dt1 ∧ dt2 ZR Z∂R d(g2 dt2 ∧ dt3 ) = g2 dt2 ∧ dt3 e que R ∂R Z Z d(g3 dt1 ∧ dt3 ) = g3 dt1 ∧ dt3 . R

∂R

Como as demonstraço˜ es destas três fórmulas são idênticas (a menos de uma mudança de parâmetros), basta provar uma delas, as outras podem ficar como exerc´ıcios. T ERCEIRA [0, 1]3 .

PARTE :

demonstraça˜ o do teorema para a 1-forma gdt1 ∧ dt2 em

Recapitulando, vimos nas duas partes anteriores que basta provar que a igualdade do teorema de Stokes e´ verdadeira quando R = [0, 1]3 e ω = g(t1 , t2 , t3 )dt1 ∧ dt2 , onde g ∈ O(U ). Porém, como d(ω) =

∂g dt1 ∧ dt2 ∧ dt3 ∂t3

temos que Z

Z

1

Z

1

Z

1

∂g dt1 dt2 dt3 . ∂t 3 R 0 0 0 Contudo, pelo teorema fundamental do cálculo, Z 1Z 1Z 1 Z 1Z 1 ∂g dt1 dt2 dt3 = (g(t1 , t2 , 1) − g(t1 , t2 , 0))dt1 dt2 , 0 0 0 ∂t3 0 0 dω =

que pode ser reescrito como Z Z 1Z 1 Z (3.3) dω = g(t1 , t2 , 1)dt1 dt2 − R

0

0

0

1

Z

1

g(t1 , t2 , 0)dt1 dt2 . 0

Por outro lado, enumerando as faces de R na forma já utilizada acima, o verificamos que a imagem inversa de g(t1 , t2 , t3 )dt1 ∧ dt2 por Ri3 e Ri3 , para 1 ≤ i ≤ 2, são nulas pois, em ambos os casos, a primeira ou a segunda

144

4. 3-FORMAS

coordenada da face e´ constante. Parametrizando as duas faces restantes na forma R12 (s1 , s2 ) = (0, 0, 0) + s1 (1, 0, 0) + s2 (0, 1, 0), o R12 (s1 , s2 ) = (0, 0, 1) + s1 (1, 0, 0) + s2 (0, 1, 0),

temos que Z

Z

1

1

Z

gdt1 ∧ dt2 =

g(s1 , s2 , 0)ds1 ds2 ,

R12

0

0

ao passo que Z

Z

1

1

Z

gdt1 ∧ dt2 = o R12

g(s1 , s2 , 1)ds1 ds2 , 0

0

Como o o o ∂R = −R12 + R12 − R23 + R23 + R13 − R13 ,

obtemos, Z

Z

1

Z

ω=− ∂R

1

Z

1

Z

g(s1 , s2 , 0)ds1 ds2 + 0

0

1

g(s1 , s2 , 1)ds1 ds2 0

0

já que as integrais sobre todas as outras faces são nulas. Mas isto nos permite concluir que Z Z dω = R

ω, ∂R

provando assim que o teorema de Stokes vale sobre um retângulo do plano. ˜ do teorema de Stokes em Rn . Levando em 3.2. Demonstraçao conta que • a fronteira de um encadeamento e´ igual ao encadeamento das fronteiras de suas parcelas; • a integral sobre um encadeamento e´ igual a` soma das integrais sobre cada parcela do encadeamento; vemos que basta provar o resultado no caso em que E e´ uma 3-célula. Sejam, então, R um 3-retângulo e σ : R → Rn uma 3-célula. Se ω ∈ Ω2 (U ) então, σ ∗ (ω) ∈ Ω2 (V ), onde V ⊂ R3 e´ uma região que contém R. Mas, Z Z ω= σ ∗ (ω). ∂σ

∂R

Contudo, já sabemos do §3.1 que o teorema de Stokes se aplica a esta u´ ltima integral, donde Z Z σ ∗ (ω) =

∂R

d(σ ∗ (ω)).

R


145

Entretanto, pela definiça˜ o de integral de uma 3-forma Z Z dω = σ ∗ (dω). σ

R

Como σ ∗ (dω) = dσ ∗ (ω), podemos concluir que Z Z dω = ω, σ

∂σ

provando, assim, o teorema de Stokes enunciado no começo da seça˜ o. 3.3. A variante vetorial. Antes de passar a` s aplicaço˜ es do teorema de Stokes, precisamos considerar sua traduça˜ o em termos da análise vetorial tradicional. Isto e´ , sem usar formas diferenciais. Seja F : U → Rn um campo vetorial definido em uma região U do plano. A 2-forma associada a F e´ ΦF = F1 dx2 ∧ dx3 − F2 dx1 ∧ dx3 + F3 dx1 ∧ dx2 , e tem como diferencial dΦF =

∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

.

A funça˜ o ∂F1 ∂F2 ∂F3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 e´ conhecida como o divergente de F , e denotada por div(F ). Portanto, (3.4)

dΦF = div(F )dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 .

Veremos como interpretar o divergente na seça˜ o 4, por enquanto vamos nos contentar em traduzir o teorema de Stokes em termos do divergente. Para poder enunciar a versão vetorial do teorema de Stokes em dimensão 3, precisamos escrever Z ΦF σ

sem usar formas. Mas, já fizemos isto no caso especial de um campo rotacional. Estendendo a definiça˜ o ao presente caso, obtemos Z Z ΦF = (F · N )dσ, σ

σ

onde N e´ o vetor normal unitário a σ. Com isto podemos enunciar a versão vetorial do teorema de Stokes. T EOREMA DE DIVERG Eˆ NCIA (caso vetorial). Seja σ uma 3-célula. Se F e´ um campo definido em uma região de R3 que contém σ, então Z Z (F · N )dσ = div(F )dV. ∂σ

σ

Na prática utilizaremos uma versão h´ıbrida do teorema, em que o divergente aparece como coeficiente de uma 3-forma. O enunciado completo e´ o seguinte.

146

4. 3-FORMAS

ˆ T EOREMA DE DIVERG ENCIA . Seja σ uma 3-célula. Se F e´ um campo definido em uma região de R3 que contém σ, então Z Z ΦF = div(F )dV, ∂σ

σ

onde dV = dx ∧ dy ∧ dz. ˜ 4. Aplicaçoes Nesta seça˜ o consideraremos várias aplicaço˜ es do teorema de Stokes e das 3formas a problemas de f´ısica. Começamos buscando uma interpretaça˜ o para o divergente de um campo. 4.1. Divergente. Começaremos calculando o divergente de alguns campos simples de R3 . Como e´ claro que um campo constante tem divergente zero, vamos começar por um campo não constante, mas cujos vetores são todos paralelos a uma dada direça˜ o. Se v0 e´ um vetor unitário de R3 e ν uma funça˜ o de R3 em R, podemos escrever um tal campo na forma F (p) = ν(p)v0 , para todo p ∈ R3 . Como v0 e´ constante, podemos escolher as coordenadas de modo que v0 = (1, 0, 0), donde F (p) = (ν(p), 0, 0). Calculando o divergente, obtemos div(F ) =

∂ν . ∂x1

Se interpretarmos F como um campo de velocidades, então ν corresponde ao módulo da velocidade em cada ponto. Portanto, o divergente será zero apenas se o campo tiver aceleraça˜ o nula em todo lugar. Geometricamente isto significa que part´ıculas que forem liberadas próximas uma da outra não serão separadas pela aça˜ o do campo. Isto e´ , não vão seguir trajetórias divergentes. Por outro lado, se a aceleraça˜ o for não nula, as part´ıculas tendem a se afastar, ou a se aproximar, umas das outras. Um modelo f´ısico desta situaça˜ o e´ dado por um gás que está sendo expandido (aceleraça˜ o positiva) ou comprimido (aceleraça˜ o negativa). E´ por isto que, em mecânica de fluidos, dizemos que um fluido e´ incompress´ıvel se seu divergente e´ zero. E´ claro que há outras maneiras de duas part´ıculas serem arrastadas para longe ou para perto umas das outras, sem que para isto o módulo da velocidade precise variar. Basta considerar, por exemplo, o campo de velocidades 1 V(x1 , x2 , x3 ) = p 2 (x1 , x2 , x3 ), x1 + x22 + x23

˜ 4. APLICAÇOES

147

que tem módulo constante igual a 1. Neste caso as part´ıculas se afastam, porque o campo e´ central. Calculando o divergente, obtemos −1 (x1 + x2 + x3 ), div(V) = 2 (x1 + x22 + x23 )3/2 que não e´ constante, como seria de esperar. Para uma análise mais geral, e mais refinada, desta interpretaça˜ o do divergente, considere uma região U ⊆ R3 onde está definido um campo de vetores F . Dado um ponto p ∈ U , seja σr uma bola fechada de raio r e centro em p, que está inteiramente contida em U . Pelo teorema da divergência, Z Z (4.1) ΦF = div(F )dV. ∂σr

σr

Como div(F )(p) e´ constante e Z dV = σr

4πr3 , 3

e´ o volume da célula σr , temos que se p ∈ U , Z Z 4πr3 div(F )(p)dV = div(F )(p) dV = div(F )(p), 3 σr σr Somando e subtraindo este termo do lado direito de (4.1), obtemos Z Z 4πr3 ΦF = δdV + (4.2) div(F )(p), 3 ∂σr σr onde δ(x, y, z) = div(F )(x, y, z) − div(F )(p). Como r e´ constante, podemos dividir (4.2) por 4πr3 /3, o que nos dá Z Z 3 3 1 1 Φ = δdV + div(F )(p), F 4π ∂σr r3 4π σr r3 Entretanto, div(F ) e´ uma funça˜ o cont´ınua em U , de forma que o limite de δ(x, y, z) tende a zero quando (x, y, z) tende a p. Assim, tomando o limite quando r tende a zero, Z (4.3) lim δdV = 0. r→0

σr

Disto obtemos

Z 1 3 lim ΦF = div(F )(p). 4π r→0 ∂σr r3 Portanto, lembrando que r está fixo, Z 3 1 (4.4) div(F )(p) = lim ΦF 4π r→0 ∂σr r3 Segundo a equaça˜ o (4.4), se r for muito pequeno, o divergente em p e´ mais ou menos igual ao fluxo através de uma esfera de raio r e centro em p, dividido pelo volume da esfera. Mas o fluxo através da esfera representa o balanço entre

148

4. 3-FORMAS

a quantidade de fluido que entra, e a quantidade que sai da esfera. Portanto, o divergente nos dá o balanço entre a quantidade de fluido que entra e sai da esfera, por unidade de volume. Em particular, se o divergente for zero, então todo o fluido que entra na esfera, acaba saindo. Isto e´ , não pode haver fluido se acumulando na esfera (seja por compressão, ou porque há um sorvedouro dentro da esfera), nem pode haver fluido vazando da esfera (seja por expansão, ou porque há uma fonte dentro da esfera). No §5.5 determinamos o campo magnético de um fio infinito, que se prolonga ao longo do eixo z, e por onde flui uma corrente constante. Vimos que a simetria do problema nos permite afirmar que sobre qualquer cilindro cujo eixo e´ o próprio fio, o campo e´ constante, tangente ao cilindro e perpendicular ao fio. Isto significa que duas part´ıculas, abandonarmos próximas uma da outra, e a uma mesma distância do fio, terão a mesma distância relativa ao longo de toda a sua trajetória. Por outro lado, se as duas part´ıculas estão a distâncias diferentes do fio, então só manterão sua posiça˜ o relativa se a intensidade do campo for a mesma em todo lugar. Contudo, as hipóteses decorrentes da simetria do problema, combinadas com as equaço˜ es de Maxwell, nos permitiram determinar o campo como sendo k (−y, x, 0). B(x, y, z) = 2 x + y2 Em particular, o campo magnético de um fio reto infinito tem intensidade um em todo lugar. Combinadas com a interpretaça˜ o f´ısica apresentada acima, estas consideraço˜ es nos permitem afirmar que o divergente deste campo deve ser nulo. Um cálculo direto a partir da fórmula para B mostra que div(B) e´ igual a −2kx −2ky 2kxy −2kxy (−y) + 2 (x) 2 + 2 = 0, 2 2 2 2 2 2 +y ) (x + y ) (x + y ) (x + y 2 )2

(x2

confirmando portanto, o palpite decorrente da geometria do campo. No §4.3 veremos que o fato do divergente ser nulo e´ uma propriedade do campo magnético, qualquer que seja sua fonte. 4.2. Lei de Gauss: carga pontual. Seja U = R3 \ {(0, 0, 0)}, e E : U → R2 o campo elétrico de uma carga pontual q situada na origem. Pela lei de Coulomb E = ∇f , onde kq f = −p 2 . x1 + x22 + x23 Temos, assim, que ∂f ∂f ∂f ΦE = dx2 ∧ dx3 − dx1 ∧ dx3 + dx1 ∧ dx2 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 Portanto, ΦE = gΦR

˜ 4. APLICAÇOES

149

onde g=

kq (x21 + x22 + x23 )3/2

e R e´ o campo radial. Mas, d(ΦR ) = 3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , ao passo que dg =

(x21

−3kq (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 ). + x22 + x23 )5/2

Contudo, dg ∧ ΦR =

−3kq (x2 + x22 + x23 )dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ; (x21 + x22 + x23 )5/2 1

donde dg ∧ ΦR =

(x21

−3kq dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 . + x22 + x23 )3/2

Mas, dΦE = dg ∧ (ΦR ) − g ∧ d(ΦR ), de forma que obtemos dΦE = 0. Em particular, div(E) = 0. Com isto fica fácil determinar o fluxo de E através da fronteira de um 3-célula σ que não contém a origem. Afinal, pelo teorema de Stokes Z Z ΦE = dΦE = 0. ∂σ

σ

Por outro lado, se a origem está no interior de σ, o teorema de Stokes não pode ser aplicado diretamente. O problema e´ que, por hipótese, precisamos que a 3-célula esteja totalmente contida na região onde a 2-forma está definida. Mas isto não ocorre neste caso, uma vez que ΦE não está definida na origem, que está contida em σ. Por sorte este obstáculo e´ fácil de contornar, desde que a 3-célula tenha pontos interiores; isto e´ , não se reduza a uma superf´ıcie. Como este e´ mesmo o u´ nico caso que nos interessa, podemos fazer esta hipótese sem a preocupaça˜ o com poss´ıveis sobressaltos posteriores. Seja, então, σ uma 3-célula σ que contém a origem e cujo interior e´ não vazio e contém a origem. Como a origem e´ um ponto interior de σ, existe um real positivo > 0 de modo que a bola B de raio e centro na origem está totalmente contida no interior de σ. Considere o 3-encadeamento E = σ − B, que corresponde ao sólido σ do qual foi removido a bola B. A fronteira deste encadeamento e´ igual a ∂E = ∂σ − ∂B,

150

4. 3-FORMAS

que corresponde a` superf´ıcie de σ, com o vetor normal orientado para fora, somada a` superf´ıcie da bola B, com o vetor normal voltado para (0, 0, 0). Como a origem não pertence a E, podemos aplicar o teorema de Stokes, que nos dá Z Z ΦE = dΦE = 0. ∂E

E

Contudo, Z

Z

Z ΦE −

ΦE = ∂E

∂σ

ΦE ; ∂B

donde podemos concluir que Z

Z ΦE =

∂σ

ΦE . ∂B

Portanto, para achar o fluxo de E através de ∂σ basta calcular seu fluxo através de ∂B, que e´ uma esfera de raio . Mas o valor deste fluxo já foi obtido na equaça˜ o (5.2) da página 114, e e´ igual a 4πkq. Portanto, Z ΦE = 4πkq, ∂σ

qualquer que seja a 3-célula σ. Observe que se trata de um resultado extremamente geral, que seria muito dif´ıcil de provar sem este teorema. Resumindo, provamos o seguinte resultado da eletrostática. L EI DE G AUSS (para cargas pontuais). O fluxo do campo elétrico de uma carga pontual q através de uma superf´ıcie fechada S e´ igual a • zero, se a carga não está contida no interior de S; • 4πkq, se a carga está contida no interior de S. Podemos nos perguntar se este resultado vale de maneira mais geral. Por exemplo, o que acontece se temos uma quantidade finita de cargas pontuais q1 , . . . , qm dentro da 3-célula σ? Neste caso, podemos repetir o argumento anterior, desta vez tomando n bolas B1 , . . . , Bm , cada uma das quais contém uma das cargas, e está completamente contida em σ. Fazendo isto, vemos que, neste caso, o fluxo e´ igual a Z m Z X ΦE = ΦE = 4πkqm. ∂σ

j=1

∂Bj

˜ 4.3. As equaçoes de Maxwell. No §5.5 do cap´ıtulo 3 consideramos duas, das quatro equaço˜ es de Maxwell. No caso estático, as duas equaço˜ es restantes podem ser escritas como ρ div(E) = 0 div(B) = 0, onde E e B representam, respectivamente, os campos elétrico e magnético, ρ e´ a densidade de carga e 0 e´ uma constante cujo significado não precisa nos preocupar.

˜ 4. APLICAÇOES

151

Pela quarta equaça˜ o de Maxwell, o divergente de um campo magnético e´ sempre zero. Se o campo magnético fosse o campo de velocidades de um fluido, isto significaria que este campo não tem fontes, nem sorvedouros. No caso do campo elétrico, que pode ter divergente não nulo, uma fonte do campo e´ uma carga positiva, e um sorvedouro uma carga negativa. Portanto, podemos interpretar a quarta equaça˜ o de Maxwell como dizendo que não há nada semelhante a uma carga isolada, no caso do campo magnético. Utilizando o jargão usual, não pode haver um monopólo magnético; isto e´ , um pólo isolado. Portanto, a quarta lei de Maxwell está relacionada ao fato, bem conhecido, de que quando quebramos um imã ao meio surgem dois novos pólos magnéticos de sinais opostas, um de cada lado da Passando a` terceira equaça˜ o de Maxwell, o que temos e´ uma versão diferencial da lei de Gauss. De fato, se U e´ uma região de R3 e E e´ um campo elétrico definido em U então, pelo teorema de divergência Z Z ΦF = div(F )dV, ∂σ

σ

onde σ e´ uma 3-célula contida em U . Substituindo div(E) = ρ0 nesta equaça˜ o, obtemos Z Z ρ ΦF = dV. ∂σ σ 0 Suponhamos que toda a carga está concentrada em uma 3-célula ξ ⊆ σ. Neste caso, a densidade de carga e´ nula em σ − ξ. Assim, Z Z ρ ρ dV = dV, 0 σ ξ 0 uma vez que Z ρ dV = 0. σ−ξ 0 Portanto, Z Z 1 ρdV. ΦF = 0 ξ ∂σ Contudo, a integral a` direita da fórmula acima e´ igual a` carga total contida em ξ. Resumindo, temos a seguinte versão generalizada da Lei de Gauss. L EI DE G AUSS . Seja S uma superf´ıcie fechada. O fluxo do campo elétrico gerado por uma distribuiça˜ o de carga de densidade ρ contida em um sólido V e´ igual a • zero, se V não está contida em S; • Q/0 , se V está contido em S. Encerraremos o parágrafo calculando o campo elétrico E de um fio infinito e carregado, cuja seça˜ o transversal suporemos desprez´ıvel, assim como fizemos para o campo magnético. Note porém que, neste caso, não há uma corrente: a distribuiça˜ o de cargas no fio e´ uniforme e estática. Como no caso do campo magnético (veja §5.5) precisaremos apelar para a simetria do problema, a fim de entender a geometria do campo. Como se trata de um fio infinito, o

152

4. 3-FORMAS

campo deve ser igual em qualquer ponto de um cilindro σ coaxial com o fio. Além disso, nossa experiência com o caso de uma carga isolada sugere que este campo deve ser normal ao cilindro. Portanto, denotando o campo restrito ao cilindro σ por Eσ , obtemos Eσ = kEσ knσ , onde nσ e´ o vetor normal a σ. Observe que as consideraço˜ es sobre a simetria do problema implicam que kEσ k e´ constante. Logo, σ ∗ (ΦE ) = kEσ kΦnσ . Portanto,

Z

Z ΦE = kEσ k

σ

Φ nσ , σ

já que as consideraço˜ es anteriores mostram que kEσ k e´ constante sobre o cilindro. Contudo, Z Φnσ = 4πr`, ∂σ

que e´ a a´ rea do cilindro. Deste modo, Z ΦE = kEσ k4πr`. σ

Apelando, agora, para a lei de Gauss, temos que kEσ k4πr` deve ser igual a` carga total dentro de σ. Supondo que o fio tem densidade de carga constante, e igual a ρ, por unidade de comprimento, a carga total será q`/0 . Obtemos, assim, que ρ . kEσ k = 4π0 r ´ Seja U uma região de R3 . Inspirados nas 4.4. Lema de Poincare. noço˜ es correspondentes para 1-formas, vimos que uma 2-forma ω ∈ Ω2 (U ) e´ fechada se dω = 0. Uma 2-forma exata e´ aquela que pode ser escrita como dα para algum α ∈ Ω1 (U ). Como d(dα) = 0, temos que toda forma exata e´ fechada. O que dizer sobre a rec´ıproca? Como no caso de 1-formas, se a região U for convexa então a resposta a` pergunta e´ que a rec´ıproca e´ verdadeira. Também neste caso o resultado e´ conhecido como lema de Poincaré. L EMA DE P OINCAR E´ (para 2-formas). Toda 2-forma fechada definida em uma região e convexa de R3 e´ exata. Para simplificar os detalhes técnicos da construça˜ o provaremos o lema de Poincaré apenas no caso em que U e´ um 3-retângulo aberto que contém a origem. ˜ . Seja D EMONSTRAÇ AO ω = a1 dx2 ∧ dx3 + a2 dx1 ∧ dx3 + a3 dx1 ∧ dx2 . uma 2-forma fechada definida em uma região convexa U de Rn . Vamos construir, explicitamente, uma 1-forma α ∈ Ω1 (U ) tal que ω = dα, mostrando,

˜ 4. APLICAÇOES

153

assim, que ω e´ exata. Na verdade, podemos até mesmo supor que o coeficiente de dx3 em α e´ zero; de modo que α = b1 dx1 + b2 dx2 , onde a1 , a2 ∈ O(U ). Calculando dα e igualando a ω, verificamos que ∂b2 ∂x3 ∂b1 a2 = − ∂x3 ∂b2 ∂b1 a3 = − ∂x1 ∂x2 a1 = −

Integrando as duas primeiras equaço˜ es com relaça˜ o a z, obtemos Z x3 b1 = − a2 (x1 , x2 , t)dt + P1 0

ao passo que Z b2 = −

x3

a1 (x1 , x2 , t)dt + P2 , 0

onde P1 e P2 são funço˜ es apenas de x1 e x2 , que por isso funcionam como constantes na integraça˜ o. Para determinar P1 e P2 recorremos a` terceira das equaço˜ es acima. Substituindo os valores que obtivemos para b1 e b2 naquela equaça˜ o, chegamos a Z x3 ∂a2 ∂P1 ∂P2 ∂a1 (4.5) a3 = − − dt + − . ∂x ∂x ∂x ∂x2 1 2 1 0 Contudo, como ω e´ uma forma fechada, dω = 0, donde ∂a2 ∂a3 ∂a1 − =− . ∂x1 ∂x2 ∂x3 Substituindo em (4.5), x3

Z b3 = 0

∂a3 ∂P1 ∂P2 (x1 , x2 , t)dt + − . ∂x3 ∂x1 ∂x2

Portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, a3 (x1 , x2 , x3 ) = a3 (x1 , x2 , x3 ) − a3 (x1 , x2 , 0) +

∂P2 ∂P1 − . ∂x1 ∂x2

Efetuando os devidos cancelamentos, a3 (x1 , x2 , 0) =

∂P1 ∂P2 − . ∂x1 ∂x2

Mas, para que esta u´ ltima equaça˜ o seja satisfeita, basta tomar P2 = 0 e Z x1 P1 (x1 , x2 ) = a3 (t, x2 , 0)dt. 0

154

4. 3-FORMAS

Resumindo, mostramos que α = b1 dx1 + b2 dx2 , onde Z x1 Z x3 a3 (t, x2 , 0)dt a2 (x1 , x2 , t)dt + b1 = − 0 0 Z x3 b2 = − a1 (x1 , x2 , t)dt

e

0

satisfaz ω = dα, provando assim o teorema de Poincaré no caso especial em que U e´ um 3-retângulo aberto que contém a origem. Como no caso de 1-formas esta demonstraça˜ o do lema de Poincaré nos dá um procedimento pelo qual podemos calcular a 1-forma α que satisfaz dα = ω, quando ω e´ uma dada 2-forma fechada definida em um paralelep´ıpedo de R3 . Por exemplo, seja 1 ω= 2 (4.6) (−ydy ∧ dz − xdx ∧ dz). x + y2 Como 2xy 2xy dω = 2 dx ∧ dy ∧ dz − 2 dy ∧ dx ∧ dz = 0, (x + y 2 )2 (x + y 2 )2 então, pelo lema de Poincaré, existe uma 1-forma α, definida em um 3-retângulo R que não contém o eixo z, para a qual dα = ω. Como a origem não pertence ao retângulo R, vamos tomar o ponto p = (1, 0, 0) como base da construça˜ o. Naturalmente, para que isto faça sentido, devemos ter que p ∈ R. Supondo que α = b1 dx1 + b2 dx2 , devemos ter Z z Z x Z z b1 = − a2 (x, y, t)dt + a3 (t, y, z)dt e b2 = − a1 (x, y, t)dt 0

1

0

já que o ponto base e´ (1, 0, 0). Substituindo os valores de a1 , a2 e a3 = 0 nas integrais, Z z xz −x b1 = − 2 dt = 2 2 2 x + y2 2 0 x +y Z z −y yz b2 = − . 2 dt = 2 2 2 x + y2 2 0 x +y Portanto, yz xz (4.7) dx + dy. α= 2 x2 + y 2 x2 + y 2 2 Observe que a forma α está definida em toda a região U = R3 \ {x = y = 0}, e satisfaz dα = ω em toda esta região e não apenas no retângulo na qual foi calculada. Com isso, acabamos obtemos mais do que barganhamos, já que mostramos que ω e´ exata em U e não apenas em um retângulo R contendo (1, 0, 0).

˜ 4. APLICAÇOES

155

4.5. Potencial vetor. Vejamos o que o lema de Poincaré nos diz quando e´ aplicado a um campo F : U → R3 . Apesar de nossa demonstraça˜ o se restringir ao caso em que U e´ um retângulo, vimos que o lema vale sobre qualquer região convexa. Por isso suporemos apenas que U e´ convexa. Digamos que F tem divergente zero. Neste caso, dΦF = div(F )dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0. Logo, a 2-forma ΦF e´ fechada e, pelo lema de Poincaré, existe α = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 , tal que dα = ΦF . Escrevendo G para o campo cujas funço˜ es coordenadas são (a1 , a2 , a3 ), vemos que α = τG , donde ΦF = dα = dτG = Φrot(G) . Conclu´ımos que todo campo em U cujo divergente e´ zero e´ igual ao rotacional de algum campo vetorial. Observe, também, que G não está definido de maneira u´ nica. Afinal, se g ∈ O(U ), então H = G + ∇g satisfaz τH = τG + τ∇g = τG + dg, donde ΦH = d(τG + dg) = d(τG ) = F, já que d = 0. Em outras palavras, qualquer que seja g ∈ O(U ) temos 2

rot(G + ∇g) = rot(G) = F. Todas estas consideraço˜ es se aplicam quando F e´ um campo magnético já que, segundo a` s equaço˜ es de Maxwell, este campo tem divergente nulo. Para falar a verdade, tudo isto se parece muito com o que ocorria com o campo elétrico e seu potencial. Só que lá, o potencial era uma funça˜ o com valores em reais, e o campo era obtido do potencial tomando-se o seu gradiente. Neste caso, G funciona como o potencial de F , só que G também e´ um campo, e F e´ obtido de G tomando-se o seu rotacional. Estes paralelos fazem com que seja natural pensar em G como um potencial vetor de F . Outra semelhança: no caso do campo elétrico o potencial está definido a menos de uma constante; no campo magnético, o potencial está definido a menos do gradiente de uma funça˜ o diferenciável. A transformaça˜ o que leva o potencial vetor G de um campo F em G+∇g, para algum g ∈ O(U ) e´ conhecida como uma “mudança de gauge”, a` s vezes traduzida em português como mudança de calibre. Um exemplo simples e´ dado pelo campo magnético de um fio infinito, alinhado ao longo do eixo z. Neste caso o campo e´ dado por B(x, y, z) =

k (−y, x, 0); x2 + y 2

de modo que, a menos da constante k, a forma do fluxo e´ a 2-forma ω definida em (4.6). Como uma 1-forma α para a qual ω = dα e´ dada pela fórmula (4.7),

156

4. 3-FORMAS

o potencial vetor de B corresponderá ao campo A que satisfaz τ A = α. Mas, este campo e´ yz xz , . A(x, y, z) = x2 + y 2 2 x2 + y 2 2 Podemos nos perguntar se o potencial vetor de um campo magnético e´ um campo fidedigno ou apenas uma ficça˜ o matemática. Para responder a esta pergunta precisamos recorrer a` fenômenos da f´ısica quântica. Em primeiro lugar, um campo pode ser nulo sem que seu potencial vetor seja nulo. Este e´ o caso, por exemplo, dos campos conservativos. Uma situaça˜ o ainda mais radical ocorre para o campo magnético de um solenóide infinito no qual flui uma corrente estacionária. Neste caso, o campo fora do solenóide e´ nulo, embora seu potencial vetor não seja nulo. A pergunta e´ : o fato do potencial vetor não ser nulo fora do solenóide pode ter algum efeito sobre um elétron que trafega nas proximidades solenóide? A resposta e´ sim, como mostra o chamado efeito de Aharonov-Bohm. O potencial vetor causa uma mudança de fase no elétron, que pode ser observada em um experimento de difraça˜ o. Para mais detalhes veja [5, pp. 15-8 a 15-14] ou o verbete correspondente na Wikipedia. Uma discussão detalhada do potencial vetor pode ser encontrada em [13]. 5. Exerc´ıcios 1. Calcule a diferencial das seguintes formas: (a) xdy ∧ dz; (b) xydz ∧ dx; (c) z 3 dx ∧ dy; (d) dx ∧ dy; (e) xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy. 2. Dê exemplo de uma 2-forma de R3 que não e´ fechada. 3. Use o produto exterior para calcular o jacobiano para as transformaço˜ es de coordenadas cartesianas para (a) coordenadas cil´ındricas; (b) coordenadas esféricas. 4. Use o teorema de Stokes para calcular o fluxo dos seguintes campos através das superf´ıcies dadas: (a) F = (y − x, z − y, y − x), através do cubo [−4, 4] × [−4, 4] × [−4, 4]; (b) F = (y, xy, −z), na fronteira do sólido interno ao cilindro x2 +y 2 ≤ 1, limitado por z = 0 e por z = x2 + y 2 ; (c) F = (2x, y 2 , z 2 ) sobre a esfera unitária com centro na origem; (d) F = (2x, 3y, z) sobre a superf´ıcie que limita a região definida por x2 + y 2 ≤ 4 e 1 ≤ z ≤ 3.

5. EXERCÍCIOS

157

5. Use o teorema de Stokes para calcular o fluxo do campo y p 2z (log(x2 + y 2 ), arctan , z x2 + y 2 , x x através da fronteira do sólido V = {(x, y, z) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2 e − 1 ≤ z ≤ 2}. 6. Deduza a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss para uma carga pontual. 7. Mostre que a lei de Gauss e´ falsa para qualquer campo central cuja intensidade no ponto de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) e´ dada por k , (x21 + x22 + x23 )n/2 onde k e´ uma constante e n 6= 2 e´ um inteiro positivo. 8. Seja F um campo vetorial definido em uma região U de R3 . Prove as seguintes fórmulas: (a) div( rot(F )) = 0; (b) div(gF ) = ∇g · F + g div(F ); onde g ∈ O(U ). ˜ : traduza a afirmaço˜ es em termos de formas diferenciais. S UGEST AO 9. Considere o campo central F (x, y, z) = (kx, ky, kz), onde k e´ uma constante. Esta fórmula descreve um campo elétrico ou um campo magnético? Justifique sua resposta usando as leis de Maxwell. 10. Calcule o divergente de cada um dos campos de velocidades abaixo. Quais deles representam um campo incompress´ıvel? (a) F (x, y, z) = (ay, 0, 0); (b) F (x, y, z) = (a/r2 , 0, 0); (c) F (x, y, z) = (ay, 0, 0); (d) F (x, y, z) = (0, arn , 0); p onde a 6= 0 e´ uma constante e r = x2 + y 2 + z 2 . 11. Calcule o divergente de um campo central do R3 . 12. Determine uma fórmula para o divergente: (a) em coordenadas cil´ıdricas; (b) em coordenadas esféricas. 13. Considere cada uma das 2-formas ω de R3 dadas abaixo. Verifique se ω e´ fechada e, se for, determine uma 1-forma α tal que dα = ω. (a) ω = x2 dx ∧ dy + (y 3 + 1)dy ∧ dz + (z + 2)dx ∧ dz; (b) ω = xydx ∧ dy; (c) ω = (x2 + y 2 + z 2 )dx ∧ dz;

158

4. 3-FORMAS

(d) ω = zdx ∧ dy + ydx ∧ dz. 14. Prove que a integral de uma 2-forma sobre fronteira de qualquer sólido e´ igual a zero. 15. Sejam a1 , a2 e a3 funço˜ es diferenciáveis de uma variável definidas em toda a reta R, e considere a 2-forma ω = a1 (x)dx ∧ dy + a2 (y)dy ∧ dz + a3 (z)dx ∧ dz. (a) Mostre que ω e´ uma forma fechada. (b) Determine uma 1-forma α tal que dα = ω. 16. Considere o campo F (x, y, z) = (0, 0, −k log(x2 + y 2 ) definido em R3 \ {0, 0, 0)}, onde k ∈ R. (a) Mostre que F e´ um potencial vetor para o campo magnético de um fio infinito alinhado ao longo do eixo z. (b) Qual a “mudança de gauge” que nos permite passar de F ao potencial vetorial A determinado na página 4.5 para este mesmo campo? 17. Seja F um campo de vetores definido em uma região U de R3 . (a) Calcule div(∇F ). (b) Mostre que div(∇F ) = ∆f , o laplaciano de f . (c) Dê exemplos de funço˜ es para as quais ∆f = 0. (d) Se uma funça˜ o potencial f satisfaz ∆f = 0, o que podemos dizer sobre o campo gradiente de f , quando e´ considerado como um campo de velocidades? A definiça˜ o de ∆(f ) aparece na página 11. 18. Sejam U uma região de R3 , f, g ∈ O(U ) e V um sólido limitado contido em U . Prove as seguintes fórmulas, conhecidas como identidades de Green: Z Z (a) Φ(f ∇g) = (f ∇2 g + ∇f · ∇g)dx ∧ dy ∧ dz ∂V V Z Z (b) Φ(f ∇g−g∇f ) = (f ∇2 g − g∇2 f )dx ∧ dy ∧ dz. ∂V

V

Neste problema estamos usando a notaça˜ o ∇2 f para denotar div(∇f ).

6. Problemas 1. Seja U uma região de R3 e f ∈ O(U ) uma funça˜ o que satisfaz ∆f = 0. Denote por Dv f a derivada direcional de f ao longo de v. Considere um sólido V contido em U e seja n o vetor unitário normal a V . (a) Determine a 2-forma Dn f dA.

6. PROBLEMAS

159

(b) Mostre que Z Dn f dA = 0. ∂V

(c) Mostre que Z

Z

k∇f k2 dx ∧ dy ∧ dz.

f Dn f dA = ∂V

V

˜ : Em (b) tome F = ∇f e em (c) F = f ∇f . S UGEST AO 2. A pressão para baixo exercida por um fluido que preenche a região U definida por x ≤ 0 e´ dada por F (x, y, z) = (0, 0, cx3 ), onde c e´ a densidade do fluido. Seja V um sólido (limitado) contido em U . O empuxo sobre V e´ definido como Z − ΦF . ∂V

Use o teorema de Stokes para provar o seguinte teorema de Arquimedes: O empuxo sobre V e´ igual ao peso do fluido deslocado por V .

Cap´ıtulo 5 n-formas Neste cap´ıtulo fazemos uma revisão geral de tudo o que estudamos no livro; por isso, há aqui apenas definiço˜ es e teoremas, sem nenhuma demonstraça˜ o. Utilizaremos um enfoque em que 1-formas, 2-formas e 3-formas são tratadas simultaneamente, como instâncias diferentes de um mesmo tipo de objeto. Isto significa que, se você desejar, pode considerar esta revisão como uma introduça˜ o a` s n-formas. Neste caso, as demonstraço˜ es de todos os resultados enunciados ficam como exerc´ıcios. !!!!!!! Só que ainda não tive tempo de escrever este cap´ıtulo!!!!!

161

ˆ Apendice Estas seço˜ es apenas revisam algumas propriedades elementares do cálculo diferencial e dos determinantes que usamos com freqüeˆ ncia neste livro. 1. Determinantes Só usaremos determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3, e não teremos ocasião de calcular estes determinantes explicitamente em casos numéricos. Por isso, não usaremos técnicas de cálculo como o método de Gauss. De fato, além das propriedades elementares dos determinantes usaremos apenas a expansão em co-fatores para matrizes 3 × 3. Seja A uma matriz 2 × 2, cujas entradas são a a2 A= 1 . b1 b2 O determinante de A e´ definido por det(A) = a1 b2 − b2 a1 . Para calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, apelamos para a expansão em co-fatores. Expandindo o determinante de   a1 a2 a3 B =  b 1 b 2 b3  c1 c2 c3 pela primeira linha, obtemos b det(B) = a1 2 c2

b3 b − a2 1 c3 c1

b3 b + a3 1 c3 c1

b2 c2

Note a alternância dos sinais ao longo da linha. Para efetuar o cálculo completo do determinante de det(B) precisar´ıamos, agora, de expandir cada um dos determinantes 2 × 2. Não faremos isto, porque a expressão final e´ complicada e não será utilizada em nenhum lugar no livro. Para simplificar a notaça˜ o, pensaremos cada uma das linhas de uma matriz como um vetor. Assim, u1 = (a1 , a2 , a3 ), u2 = (b1 , b2 , b3 ) e u3 = (c1 , c2 , c3 ). 163

ˆ APENDICE

164

Com isto, podemos escrever B = [u1 , u2 , u3 ] e det B = det[u1 , u2 , u3 ]. Lembre-se que os us representam as linhas de B, e não as suas colunas. Com esta notaça˜ o podemos formular facilmente as propriedades do determinante de que vamos precisar. Sejam u1 , u2 , u3 , u4 ∈ Rn e k ∈ R, então Propriedade 1: se trocamos duas linhas quaisquer de um determinante entre si, ele troca de sinal, por exemplo, det[u2 , u1 , u3 ] = − det[u1 , u2 , u3 ]; Propriedade 2: se uma linha da matriz for multiplicada por uma constante k, então o determinante e´ multiplicado por k, por exemplo, det[ku1 , u2 , u3 ] = k det[u1 , u2 , u3 ]; Propriedade 3: o determinante e´ aditivo com respeito a cada uma de suas linhas, por exemplo, det[u1 + u4 , u2 , u3 ] = det[u1 , u2 , u3 ] + det[u4 , u2 , u3 ]; Embora tenhamos enunciado estas propriedades apenas no caso em que a matriz e´ 3 × 3, elas também valem para matrizes 2 × 2. Na verdade, todas valem quaisquer que sejam as matrizes quadradas cujos determinantes estamos calculando.

Bibliografia [1] V. I Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer, New York (1989). [2] D. Bachman, A geometric approach to differential forms, arXiv:math.GT/0306194 (2003). [3] S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the Common Reader, Oxford University Press, Oxford (1995). [4] R. Courant e F. John, Introduction to calculus and analysis, vol. 2, John Wiley and Sons (1974). [5] R. P. Feynman, The Feynman lectures on physics, vol II, comemorative issue, Addison-Wesley, Reading (1989). [6] G. Green, An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism, Nottingham, (1828). Dispon´ıvel em http:// [7] G. Helferich, Humboldt’s Cosmos: Alexander von Humboldt and the Latin American Journey that changed the way we see the World, Gotham Books, New York (2004). [8] S . Lang, Calculus of several variables, Springer, New York (1987). [9] I. Madsen e J. Tornehave, From calculus to cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes, Cambridge University Press (1999) [10] I. Newton, Mathematical Principles of Natural Philosophy and his system of the world, vol. I, traduça˜ o de A. Motte, revisão de F. Cajori Springer, University of California Press, Berkeley, (1962). [11] E. M. Purcell, Eletricidade e magnetismo, curso de f´ısica de Berkeley, vol. 2, Edgard Blücher, São Paulo (1970). [12] N. M. dos Santos, Vetores e matrizes, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro (1975). [13] M. D. Semon e J. R. Taylor, Thoughts on the magnetic potential, Am. J. Phys. 64 (1996), 1361–1369. [14] M. Spivak, Calculus on manifolds, Benjamin/Cummings, New York (1965). [15] R. S. Westfall, Never at rest: a biography of Isaac Newton, Cambridge University Press, Cambridge (1980).

165

Índice

Equaça˜ o de Laplace, 10 Equaço˜ es de Maxwell, 150

Base canônica, 1 Bola aberta, 1 fechada, 1

Fluido incompress´ıvel, 146 Forma diferencial, 51 Fronteira, 2

Célula 1-célula, 52 2-célula, 87 3-célula, 137 Campo constante, 43 de velocidades, 44 central, 50 conservativo, 49 elétrico de fio infinito, 151 magnético de fio infinito, 45, 116, 118, 148 Carga pontual, 148 Circulaça˜ o, 43, 44, 108 e campos conservativos, 49 Comutador, 11 Conexo, 3 Conjunto aberto, 2 convexo, 3 fechado, 2 vazio, 2 Curva algébrica, 11 cont´ınua parametrizável, 3

Gauss lei de, 151 Laplaciano, 10 Lei de Ampére, 115 de Gauss, 148, 152 Magnético monopólo, 151 Norma, 1 Redemoinho, 45 Retângulo, 2 Retângulo fechado, 2 rotacional, 108 Singularidade, 5 Teorema da divergência, 145, 146 do gradiente, 42 de Stokes, 42, 104, 141 Vórtice, 45 Velocidade angular, 110 campo de, 109 Vorticidade, 110, 118

Divergente, 145 fórmula integral, 147 interpretaça˜ o f´ısica, 146 Encadeamento 1-encademento, 52

167

Calculo vetorial com formas differentiais

Calculo

Calculo Vectorial

Calculo Vectorial

Calculo Diferencial

Calculo 1

Calculo vectorial

Calculo Infinitesimal

Vida Numeros Y Formas

Formas De Pensamiento

Calculo Vectorial

GEOMETRIA ANALITICA - UM TRATAMENTO VETORIAL

Calculo Vectorial (Spanish Edition)

Essential COM

Apuntes De Calculo Numerico

Calculo Para La Ingenieria

Основы COM

Applying COM+

Calculo Con Geometria Analitica

Calculo diferencial e integral

Calculo Del Numero Pi

El calculo de Dios

Calculo Diferencial e Integral

Calculo Vectorial, 3ª Edição

Calculo Diferencial Para Economia

Calculo En Variedades Spanish

Calculo Infinitesimal - 2da Edicion Spanish

Delphi и технология COM

formas tradicionales y ciclos cosmicos

Varios Deteccion Y Tratamiento De Formas Verbales

La verdad y las formas jurídicas

Calculo vetorial com formas differentiais

Calculo

Calculo Vectorial

Calculo Vectorial

Calculo Diferencial

Calculo 1

Calculo vectorial

Calculo Infinitesimal

Vida Numeros Y Formas

Formas De Pensamiento

Calculo Vectorial

GEOMETRIA ANALITICA - UM TRATAMENTO VETORIAL

Calculo Vectorial (Spanish Edition)

Essential COM

Apuntes De Calculo Numerico

Calculo Para La Ingenieria

Основы COM

Applying COM+

Calculo Con Geometria Analitica

Calculo diferencial e integral

Calculo Del Numero Pi

El calculo de Dios

Calculo Diferencial e Integral

Calculo Vectorial, 3ª Edição

Calculo Diferencial Para Economia

Calculo En Variedades Spanish

Calculo Infinitesimal - 2da Edicion Spanish

Delphi и технология COM

formas tradicionales y ciclos cosmicos

Varios Deteccion Y Tratamiento De Formas Verbales

La verdad y las formas jurídicas

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