Calculo Vectorial, 3ª Edição

~BENTO DE JESUS CARAÇA CÁLCULO VECTORIAL I 3.A EDIÇÃO LISBOA 1 9 6 -. ~· ··~ o Composto • Impresso na TIPOGRARI...

Author: Bento de Jesus Caraça

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~BENTO DE JESUS CARAÇA

CÁLCULO VECTORIAL I 3.A EDIÇÃO

LISBOA

1 9 6

-.

~·

··~

o

Composto • Impresso na TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. TKLEl'ONE

2 94 49 - LI s 8 o A- 2

•

BENTO DE JESUS CARAÇA

CÁLCULO VECTORIAL J.A EDIÇÃO

LISBOA

1 9 6

o

OBRAS DE MATEMÁTICA DO MESMO AUTOR

Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960. Conceilos Fundamentais da Mate mática, I Parte - Junho 1941, Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946. Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes - 1951, 1952 e 1958.

A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta Cultu1·a.

A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta.

A revisao das p1·ovas desta 3 .4 ed1'çao foi feita pelos E x.'" 0' Srs. Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira e Joaquim José Paes Motaes.

Para todos a expressao sincera do maior agradecimento.

J. M. G. Lisboa, Junho de 1960.

•

. CITAÇÕES As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em tipos e corpos diferentes, de acordo com os segui ntes exemp:os: Pág. 118, linha 10: f2. 9) -+ parágrafo 9 do capitulo II. Pág. 82, linha 17: [1 . 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo faz-se pela simples indicação do seu número. Exemplo: Pág. 1181 linha 20: (50)] - fórmula 50) do mesmo parágrafo.

TÁBUA DE MATÉRIAS Pdg.

Capitulo 1.0

-

.Álgeln-a Vectorio!

I. Fundamento!! . II. Produtos e operadores. III. !\fomentos Bibliografia. Exercícios • Capítulo 2. 0 - .Álgebra Teti80I'Üll I. Transformações lineares II. Álgebra tensorial • Bibliografia . Exercícios • Capítulo 3.0 - Análise Vectorial I. Infinitésimos. • II. Derivação ordinária • III. Aplicações geométricas IV. Derivação tensorial e derivação dirigida

Bibliografia. Exercícios

.

Capítulo 4. 0 - Teon·a do. Cantpos • I. Operadores diferenciais II. Fluxo e circulação . Resumo • Bibliografia. Exercícios . Indice de nomes . Indice alfabético de matérias •

1

1 59

72 77 77 79 79 114

123 123 125 125 135 167 186 189 190

193 193 21:>

240

242 242

245 241

,

Cap. I. I.

1. 1.

Algebra Vectorial.

FUNDAMENTOS. Histórica.

O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente e anda ligado, na sua origem, à procura duma possível representação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wessel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ( 1~06) . Com a pu blicaçào das obras de G. 13 ~llavitis sobre as eqoipolências (a partir de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo preparatório, da história do Cúlculo Vecto1·ial. Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos na segunda metade do século xu) a estruturação deste ramo das ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta. Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de doutrina não se compadecem com tal critério fundamental- há que, a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. LagallyVektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes. CALCULO VECTORUL

1

2

CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL

1. 2.

Segmento orientado. Translacção.

Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido negativo (fig. 1). A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma recta é fundamental em tudo que vai seguir-se. Ela permite-nos, a A B partir de cada segmento ou porção Flg. 1 da recta, definido por dois pontos A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o segmento de A para B, origem A e extremidade B, que representaremos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· midade A, que representaremos por B A. Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos. Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B. Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por modA B. Atribuamos a modA B o sinal + ou o sinal - , conforme o sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; tem-se portanto med A B = +modA B conforme o sentido de A B for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra:

1)

med A B =

+ mod A B +- A B { - mo•.bA B - A B .J

tem sentido positivo ·.1 • tem senttuO negatwo.

Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 2)

med A B = - med B A •

Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas algébricas (igualdade de módulos e de sentidos).

PARÁGRAFO 2

Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum dos pontos do corpo cons iderado; as posições finais dos outros pontos são determinadas por segmentos orientados paralelos e de medidas algébricas iguais ao primeiro. Este facto vem chamar a atenção para o papel importante que desem· penha a existência de segmentos orienFlg. 2 tados nas condições indicadas, a que chamaremos segmentos equipolentes. Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto tais que os quatro pontos A, B, A', B', definem um paralelogramo, a não ser que A B e A' B ' existam sobre a mesma recta; neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância de sentidos e igualdade de módulos. Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido ou dado a menos duma equipolência. Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determinada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo segmento A B, por tAs. Da qui resulta que se A B é equipol~nte a ..4.1 B', A B se pode fazer coincidir com A' B' por meio da translacção t..u (v . fig. 2). Consideraremos ainda como iguais todas as translac«:ões que só diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos duma equipolência: 3) tA n = tA' B' +- A B equipolente a A' B' . Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide com a extremidade e escreve-se

4) Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, segmento nulo, e escreve-se 6)

4

CAP. I.

.

ALGEBRA VECTORIAL

Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas.

1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si mumo,· é uma consequência imediata da definição. 2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B' é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por

A, B, A', B' é o mesmo que o definido por

A',

B', A, 8.

3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpolente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da definição resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e este a A B) que os sentidos coincidem e que é modA'' B" =modA' B' =modA B.

1. 3.

Composição de translacções.

A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados que as definem são definidos a menos duma. equipolência [1. 2], pode sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos correspondentes. Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda. A operação pela qual às translacções tAs e t 8 o se faz corresponder t.Ao chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções ; à trao lacção t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t 8 o e escreve-se

6) ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa orientados A B e B G e escreve-se 7)

segmento~

PARÁGRAFOS 2 e 3 As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções diferentes da mesma operação fuodame.ntal- a da composição de duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se coincidu· a origem duma (a segunda) com a extremidade da outra (a primeira) e A-.a c toma-se n transla.cção deterrninad11 pela origem da primeira e extremidade da A:....__~C:......-_ ___,.,.B seguorla. Na figura jontn estão figurados casos que podem apresentar-se A B qunnto aos sentidos dos segmentos Fig. 3 orientados. As setas inferiores representam os sentidos dos segmen tos a compor; as superiores o do segmento soma. Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição e de [1. 2, 4)]

tAB +toA= (u = 0

8) on

9) que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. A coo trução da soma mostra a inda que entre as medidas algébricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos considerados, as relações

med A O = med A B

10)

+ med B C ,

e, em particular,

11)

med A B

+ med B

A = O

que coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)]. A composição de mais de duas transl11cções define-se como babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn + tBo tan = t.tn e, em geral,

+

12)

i.tr

A,+ t.dtA, + ··• + tA,_

1

.A. =

t.A, 4 0

,

igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' correspondentes,


6

13) relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao relativa, sobre a recta, dos pontos A 1 , . • • An. Em particular tem-se, como consequência imediata de 13) e 9),

A, Aa

14)

+ As As + ·. · + An-1 A» + AnA, = O.

Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais

+ ·· · + med An-1 An = med A, An med A, As + -. · + med A,._1 An + med An A 1 =O.

15)

med A, Az

16)

A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos proceder, das suas propriedades.

Propriedades.

1. a

-

A operaçiio é umforme. Com efeito de

tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi-

nição, tA a+ tso = t~! B' orientados.

+ tn'O'

e relação análoga para os segmentos

2. 1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito: tAs+ O= tAn

+ tnn =

tAn.

3. 3 -A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-= = toD + tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio da qual foi definida a operação.

4. a

A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção resulta que -

tAs+ (tn o + tcD) =(tAs+ tno)

+ toD.

5. a - De tA B +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs = tA' O' . Somemos, com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD + tDe= = tA' B' laD + tDo donde, pela associatividade, t.t~n + (tcD fDo)= = tA' D' (toD + iDa) donde [8)] tAs O = tA' a• +O, donde, finalmente, pela proprieda de 2.a, t.<J.B .= tA' B'· Em conclusO.o, a operaç;ão goza das mesmas propriedades qae

+ +

+

+

7

PARÁGRAFO 3

a adição ordinária, à parte aq!lelas que se prendem coro os conceitos de maior que e menor que, que aqui não foram intToduzidos ruas que não são essenciais no algoritmo soma (vide, por exemplo, as propriedades da soma de números complexos, L1"ções (1), Vol. I, 8, 3). É fácil definir, agora, subtracção de duas trunslacções. Chama-se

diferença das ,duas translacções à soma tAs + toe : 17)

t.tto -

tAu

e

taD = tAB

tco

e escreve-se

tAB -

tco ,

+ tro •

Verifica-se imediatamente que a diferença é aquela translacção que somada com o subtractivo icD reprodoz o aditivo t..ttn; efectitDa) + toD = t.4.o + (tDa + taD) = t,w + O= t..Ao. vamente, (t.Ao Com esta propriedade fica estabelecida a analogia com a sabtracção ordinária; as doas operações podom fundir-11e numa só, a soma algébrica, regida por um conjunto de leis análogas às da soma algébric.a ordinária, cuja verificação omitimos por ser longa e fastidiosa.

+

B). Tronslocções com direcções diferentes. Definição. Dadas duas transtucções não paralela q uaisq oer, define-se duma maneira inteiramente análoga à anterior, a operação d!a. composiçêlo : faz-se coincidir a origem da segunda com a extremidade da primeira e considera-se como resultante ou soma das A B duas translacções dadas aquela translacção cuja Fig. 4 origem é a da primeira e c•1ja extremidade ó a da segunda (v. fig. 4, as setas indicam os sentidos dos segmentos orientados). Escreve·se ainda

LJC

6)

t..tll

+ taa =

t.J.o

a

7)

AB +BC= AG,

contiuuando, também, a chamar-se a A C soma dos dois segmentos orientados A B e B O. A adição, ou comvosic;ã.o, de mais de duas translacções define-se como habitualmente; na fig. 5 está construída a eoma de três translncções t1 = l.dB, t11 = tBo , ta = toD.

[2.•

(1) A desig11ação Liçõett refere-se a Lições de Álgebra e Análise do at~tor 3.• edição].

Oll

8

CAP. I.

ÁLGEBRA VECTORIAL

Propriedades. 1. • - A operaçllo é unifo1'1ne. Resulta imediatamen te da construção. 2! - Ê tAs

+O =

tAs. Foi

já estabelecida atl·ás.

8

3. - A operaçlio é comutativa. É o que resulta da figura 6, visto que AB é equipolente a D C e B C equ ipolen te a AD. 4. • - A operaçflo é a.~sor.ialiva. Com efeito, da figura f> resulta que é AD= t1 + t 2 + ta e que, por outro lado, se tem AD = t1 + (t2 + ts) e AD = (t1 + t2) + ts.

+

õ.•- De t 1 + t 3 = t2 + t 5 resulta t1 = t2 • Dem onstração inteiramente análoga il. da pro pr iedade 5. 8 anter iormente estabelecida. Em conclusi1o, a o-peração goza D das propriedades da adição or di~ nária, com o que se justifica o C emprego da designação soma. Quando as translacções tiverem todas a mesma direcção, a operação reduz -se à anteriormente estuFlg. IS dada, com todas as conclusões que lá for am deduzidas. Verificam.se a qui as igualdades 12), 13) e 14), mas as igualdades 10), 15) e 16), sobre as relações entre as medidas algébricas, são privativas do caso em que as translações têm todas a mesma direcção. Aquelas são, portanto, mais gerais que estas . Pode ainda definir-se sublracçllo de translacções com direcções diferentes e, para o fazer, adoptaremos a mesma definição: C

A figura 7 mostra como se construi a diferença. A difer ença das translacções t1=AB (aditivo) e t2 = B C é a traoslacção t1 -

ta

A Fig. 8

= t.Ao' •

Vê-se na figura que a soma de t 1 - ts = tAo• = tA'B com t!il= tBc é- t...,. 0 = tA 8 = t1 o que moRtra que a diferença é ainda aquela translacção que somada com a translacção subtracti vo reproduz o

PARÁGRAFOS 3 e 4

9

aditivo. Com isto fica estabelecida a identidade da operação agora definida com a subtracção ordinária.

1. 4.

Produto por um número real.

Na definição e estudo da multiplicação duma translacção, ou um segmento orientado, por um número real, seguiremos as étapes seguintes: a) o número é inteiro e posiC' tivo; b) o número é fraccionário positivo da 1 forma - ; c) o número é racional posin tivo qualquer; d) o número é real positivo qualquer; e) o número é real nega- A-r--......:--.y ti vo. Número inteiro e positivo n. Definição. D~finiremos a operaj -= 1,2,3. (1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é indispensável para seguir os desen volvim entos Bubsequ entes, o leitor deve estar familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. Ver, por ex., Lições, Vol. 1. 0 , cap . 12 e 13. Para outros desenvolvim entos sobre este assunto, ver, por ex., J . 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New- York, 1934.

CAP I.

26

Á GEBRA

VECTORIAL

Isto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se pode desenvolver.

I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como o conjunto de n números reais p1, p2, • • • Pn, por esta ordem; usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) . Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i = 1 , 2 , · · · n e escreve· se

(0,0, ... O)= O.

II. - Dados dois vectores u = (pt, p2, · · · Pn) e v = (at, a2 , · · ·O'n) diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns relações p1 = a1 , i= 1, 2, · · · n • Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· xiva, simétrica e transitiva.

m. -

Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-se + v = (p1 + a1 , pa + aa, · · · Pn an).

+

u + v , pela igualdade u

Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição ordinária- 1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em

vector).

lV.- Define-se prodt,to de u pelo número real igualdade

~,

e &screve-

·:!e ~ • u ou u · ~ , pela

Demon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bituai - 1. 5, prop. 6) a 12).

V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi feito no parágrafo 1. 5. Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multiplicidade Unear.

VI.- De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma u = pt • (1, O,··· O) pg ·(O, 1, ···O) ~~~ ·(O, O, · · · 1) ou,

+

abreviadamente, n =

•

L Pi. e;,

+ ··· +

onde os vectores ~ são definidos

i=l

pela igualdade eJ = (ài1 , à;2 , · •• à;.) e os ài" são dados por 1. 7, 4B). Os vectores da multiplicidade aparecem, assim, como formas

27

PARÁGRAFO 8

lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a for ma. anterior, visto que n

e1 = ~ OJI, • ek • k- 1

VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo seguinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais m

À;, i=

1, 2, · · · m, tais que u

=

~ À1 • Ut.

Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habitualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente dependentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, m

não todos nulos, tais que ~À;.

Ui= O.

i=l

Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos, os m vectores dizem-se linearmente independentes.

IX.- Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea

Ut =pu . 6t

Um

= Pmt . el

+ pr.a • e2 +

...

+ Ptn

•

e,.

+ ~..a . es + ... + Pmn • e,.

haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a característica da matriz ((pj~r))

=

pu

~IB " • ~III

fjt

Pia •" Pin

I ~~; ~m3 p,.,.l "•

sija igual a r . Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determin ante principal são combinações lineares dos outros.

28


X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j = i , 2, ... o, 4(10

linearmente independentes, v isto que a sua matriz

((ajk))= 1

o... o

o

J ... o

o u... J é a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n. Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu conjunto chama-se base da multiplicidade. De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, duma só maneira, nos vectore da base.

XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o

+ il.

vectores

da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:G

pu

não pode ser muior que n.

XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem r

dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes

e

r+

1

qzw·isq~ter

silo

linearment~ depende1~if;~;.

De X e Xr conclui-se imediatamente que

a multiplicidade wtal dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n •

Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n unidades [Uções Vol. 1. 0 , 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão geométrica.

1. 9.

Coordenadas cartesianas.

É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica 1 como a. posição dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método das coordenadas cartesianas.

29

PARÁGRAFOS 8 e 9

Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados. O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o considerarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador colocado ao longo de O z com os pés em O e a cabeça para o sentido positivo de z O z e virado para o interior do triedro, deixa o semi-ei:xo positivo Ox à direita e o semi-eixo positivo O y à esquerda. No plano O x y toma·se como sentido y positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a rotação de menor amplitude (;) que

X

Fig, 11 leva o semi-eixo positivo O :r: à coincidência com o semi-eixo positivo O y se faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos ponteiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11. Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras :r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>ssão orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema

z

.Y

X

Fig 12

dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções ímpares - são orientados de modo que o observador , nas condições acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum. Na fig. 12, os três sistemas superiores ~>ão de disposição posith·a

30

CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL

e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se lhe troque o sentido de um eixo(l). Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada univocamente por três números reais- as suas três coordenadaB,

O A =:c, U 1:J = y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13 e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1. 7, III, para a decom-

OM

posição do vector = u. Tem-se portanto, sendo i, j , k os vectores unitários dos eixo s, como estão indicados na figura, e visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a

- -

~ med O A = :c , med O B 49)

= y , med O C = z ,

M(:c, y, z)- O= u = :c· i + y · j

+ z •k

que mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por isso se dá, também, a ::c,y,z, o nome de coordenadas do vecz tor. C Como se vê, 49) é oro caso particular de 1. 7, 45) e, portanto, de 1. 7, 36) e dai resnha q ue são aplicáveis à soma de ~ vectores e ao produto deles por um número real as regras ordinárias da Álgebra, por

virtude de 1. 7, 37) e 38); e que

Flg. 15

a igu aldad e de dois vectores exige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclpro ca mente. Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto M1 (x1 , y 1 , z1), tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de,

- -

-- -- - -

OMs= OM1 + M, Ma donde M1 Mil= O Ms - OAJ1 =(x2 · i+Ys · j + (') Tudo o que et~tá dito a respeito da orien tação dos sistema tri-ortogonais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são.

31

PARÁGRAFO 9

+ za · k)- (xt ·i+ Yt • j feita permite escrever 50)

+ Zt • k),

e a observação que acaba de ser

-

Mt Ma = (xs - Xt) · i + (ya- Yt) · j

+ (zs -zt) · k.

Se representarmos, para obter maior simetria nas fórmulas, os vectores unitários dos eixos por it, is, is (it =i, is= j, is= k), e os próprios eixos por Ox1, Oxs, Oxs, a decomposição 49) toma o aspecto 8

111 (x, , W2 , x 8)

ól )

-

O=

L

:t k • ik •

k- 1

Como as coordenadas do ponto M são, afinal, as medidas das projecções de O M sobre os eixos coordenados, se

alg~bricas

--+-

u = O M é um vector unitá1·io, essas coordenadas são os cosenos --+-

dos ân gulos que o vector O M faz com cada um dos eixos, ou, como se diz habitualmente, os seus cosenos dú·ectores. --+

Se forem a.1 , a.z, <Xs os ângulos de O M respectivamente com O Xt , O x!l, O :cs, ter-se-á :c. = cos a.k , logo --+-

5:?)

--+-

8

O Jlf = ~ cos u.~; · ik +- mod O .M = 1 . k- 1

Sempre que, daqui em diante, se não fizer a indicação dos valores qne deve tomar o indice do somatório, entender -so-á que et~s es valores são 1, 2, 3, de modo que, por exemplo, 52) se escreverá simplesmente --+

O M = ~ cos a.k • h . J:

Tudo quanto ficoa dito neste parágrafo, à excepçtto do que se refere aos cosenos directores, se mantém se os eixos não são tri·ortogonais, bastando apenas modificar convenientemente a definição de coordenadas dum ponto. A construção feita no parágrafo 1. 7, III para deeuwposiç!l.o do vector u indica como essa definição nova é dada- as coordenadas cartesianas, não rectangulares, do --+

ponto .M são os números ~ , fL, v, da decomposição de O llf = u. É claro que em virtude desta definição as coordenadas deixam de

32


ser as medidas algébricas das prejecções de u sobre os eixos e por isllo as coordenadas do vector unitário não são iguais aos cosenos directores.

1. 10.

Aplicações.

O cálculo vectorial é susc~ptlvel de oumeros!:IS e importantes aplicações à Geometria e à F!sica. Nos capltulos seguintes serão tratadas algumas; runs podem desde já resolver -se algumas questões interessantes. 1.a - Oondiçr1o de pal·alelismo de dois vectores e::pre~sa nas suas coordenadas. SE'jnm os dois \'ectores u e v; (omo se sabe [1. 7 39) , a condição de paralelismo deles é v = A. u; vamos exprimir esta. condição nas co01·denadas dos dois vectores . Sejam o tres eixos coordonados Ox1, Oxz, OzB de vectores unitários i,, i2 , ÍJJ e u = ~ lk · Ík, v ·-= ~ m, • ik as decomposições k

dos dois vectores. De v = ), . u resulta ~ m~;-. i~r = ).. ~ lk ·h= k

k

= ~(). .lk) · Ít doode k

ó3)

"-=1,2,3

isto é, 1111

1n 2

m8

-=-=ls

ó3a)

que nos diz que a condiçtlo neceBsária e suficiente de pa,·alelismo de dois vectores, dados em decomposi9il.o ca1·iesiana, ~ a propo1·ciorwlidade da suas coordenadas. O coeficiente de proporcionalidade À 6

[1. 7, 40)) modv

ól) Z. a -~~~cw

À =fõ· - -- .

mudu -

Condiçilo de coplanm·idade de

coordcuad6 atribu6m, ou fa.,;em corresponder, as massas re~pectiYamente

..

m1, m2 , · • · mn; supondo que ~ m1 =f= O, e dado nm ponto arbitrá·

-

~

rio O do espaço, constrnamos o ,·ector fi:to O G definido pela igualdade, onde O P, siio também ,·actores fixos,

67)

37

PARAGRAFO 10

É claro que, uma ve:t escol hido O, esta igualdade determina -+

unlvocamente O G (e portanto G)- o vector O G vem expresso -+

.

?nt

m,.

Lmi

Lmi

--+

-+

em combinação linear dos vectores O Pt, O P 2

O Pn, com

, • ••

coe fi ctentes - - , .. · - - . Vamos demonstrar que o ponto G nllo depende do ponto O. Seja, coro . efeito, outro ponto O' do espaço e seja G' o novo ponto definido a partir de 67), isto é, seja -~

-+

L 11l;. O'P; = O'G' . L 11l;. -+

Como se tem, quaisquer que sejam os pontos, 00'

->-

--+

+ O'P; = OP;, -+

~

L m, ·(O P;- O O') =

vem, snbstituindo na igualdade nnterior, -+

= O'G'. L m,, donde, desenvolvendo o somató rio do primeiro --+

-

_,...

membro, L m; ·O P; ·- O O'· L m; = O' G'. L m,, donde, por 67), -+

-+

-

-+

->

-~

--+

--+

--+

(O G - O O')· L m; = O'G' ·L m;, donde, ainda, por ser L m,=f=O, O'G' = O G- O 0'. Mas, por outro lado, é sempre verdade que --+

--+

-

--+

-+

OO'+O'G=OG, donde O'G=O G-00', logo é O'G'=O'G o que prova que o ponto G' Ao ponto G, definido e cent1·o ou centro de gravidade Se se t omar para ponto dade 67) t oma a forma n

68)

coincide com G . determinado por 67), lê u inte1·no v, ao escalar definido pela igunlrlade

86)

uI v= mod u · mod v· cos 9

onde fJ é o ângulo dos dois vectores. É, como se vê, um escalar, ·ao contrário do produto externo que é, por definição, um vecto1·. Na fig. 23 \'Ô·se que

e

mod v • cos 9 =VÃ = proj,. v mod u . cose = "U7l = proJ, u

(indicando os índices aqueles vectores sobre cujas direcc;ões se fazem as projecções ortogonais). À definição do produto escalar pode, portanto, dar·se o aspecto Fig. 25

86 a)

uI v = mod u · p1'oj,. v = rnod v· p1·ojv u.

Se algum dos vectores é nulo, põe-se, por definição, 87)

49

PARÁGRAFOS 12 e 13

Propriedades. Como no produto vectorial (11], há algumas propriedades idênticas às do produto ordinário e outras diferentes. Co mecemos pelat1 primeiras. 1. a

Sendo p um número real qualquer, tem-se

-

88)

p ·(uI v)= (p · u) Iv= uI (p ·v).

Com efeito, de (p. u) I v = mod (p · u) · mod v· cos (p. u, v) resulta:

a)

se

logo

b) se

logo

p > O, ang (p • u , v) = ang (u , v) = O, (p · u) Iv = p · mod u · mod v · cosO = p • (uI v), p < O, ang (p . u , v) = 1 t - O, (p · u)lv= lPI· modu. modv · cos(1t- O)= = - Ir I . mod u . mod v . CO$ e = p . (u Iv) .

Do mesmo modo se prova que, em qualquer hipótese, é uI (p · v) = p · (uI v). E corno para p = O se reduz tudo a zero, fica demonstrada 88) para p real qualquer.

2. a

-

O produtor

e~Icalar é

89)

comutatú;o:

ulv = vlu .

Com efeito, ang(v,u) =-O e cos( - O)= cosO.

3. • - O produto escalar é dist1·ibuti?;O em relação à soma, isto é,

u 1(v+ w)

90)

=

u 1v+ u 1w.

De facto, [86a)] ul(v +w)=mod u · proju(v+w)=modu · proj,.v+ u Iv + uI w . Anàlogameote se verifica que

+ mod u · proj,. w =

(u + v) 1w = u 1w

+ v 1w .

Conjugando esta propriedade com a primeira, estabelece-se imediatamente que

90a)

uli:f/-k'Vk=~fJ-k.(ulvk) k· l

e, mais geralmente ainda,

CÁLCULO VECTORIAL

k

50


igualdade que mostra que o si?wl de produto interno e o de combinaçlto linear slto pe1·mulétveis (comparar com o que se passa no produto vectoriall, 11, 74)). Vejamos agora as propriedades pelas quais o produto escalar se diferencia do produto ordinário.

4. a - O produto escalar 'fllto é as~ociativo. Efectivamente, nem a questão da aRsociatividade tem sequer que pôr·se, visto que é destitu1do de sentido o produto eecalar de três vectores: de qualquer maneira que se entenda uI v I w, esta operação é sempre impossivel, por vazia de sentido, visto que não existe produto escalar duw e!lcalar por um vector.

5. a ·- É verdade que se u = O ou v = O é uI v = O mas de uI v = O não resulta 11ecessàriame11te u = O ou v= O.- pode ser u =F O, v==/= O, u perpendicular a v. De facto, o anulamento do produto escalar pode dar-se em qualquer dos três casos sintetizados no quadro u=O

91)

nlv = O-+

l

V=O cos e = o -

a=

;

.

6. 8 -Éverdadequp,de U=V resulla ulw=vlw, masnãoé ve1·dade que de w = w resulte necessàriarnente = Efectivamente, se w *O, ulw=vlw equivale a modn. cos (u. w)= - modv • eo (v,w)qneé,evidente.mente, compativelcom modu=f=modv, logo, com u 4: v. Pode, no entao.to, afirmar-se que de = resulta u = v, em dois casos:

uI

vI

u v.

ulw vlw

1. 0

Quando u e v s{lo paralelos. Efectivament€, se u e v são paralelos, fazendo ang(u, w) = 9, ang(v, w ) = B', ou é 9 - O' e os sentidos dos do is vectores u e v sào concordantes, ou é O= 71'- Q' e u e v têm sentidos contrários; no primeiro caso, é cose - cosO' donde modu=modv e U=V j no seg undo, é cos e = - ()03 e• donde mod u = - mod v o q oe é impossivel por definiçii.o de módulo, logo é neceseiniameote u =v.

2. 0

Quando a igualdade seja o vecto1· w .

uI w =v I w

tem lugm· qualquer que

51

PARÁGRAFO 13

Com efeito, se assim é, u e v são paralelos e estamos reduzidos ao 1. 0 caso. O paralelismo de u e v resulta do fa cto de ser modu. C08 e= proj., u e modv. cos 9' = pro}wv. Or a, para que dois vectores tenham projecções iguais sobre qualque1· vector w, têm manifestamente que ser paralelos e do mesmo sentido.

7. a - Nrlo há operaçllo de divisllo escalar como inve1·sa da do produto escalar vilsto que não há nem escalar nem vector que multiplicado escalarmente por um vector dê outro vector. Expressão cartesiana do produto escalar. Em primeiro lugar, \•ejamos os valores dos produtos escala res dos vectores unitários dos eixos coordenados. Da definição, 86), resulta imediatamente que, por serem os vectores unitários perpendiculares entre si dois a dois, se tem

ijj=j l i = j lk=k l j = kl i = i lk = O { ij i = jlj=k l k=1

92)

que se pode escrever, mais simplesmente, ij I h = Ojk j 'k = 1, 2 ' 3 onde Ojk são os simbolos de Kronecker, definidos em 1. 7, 48). Suponhamos agora que se têm dois vectores u =~a; . ij e

93)

j

v=~ bk · ik; em virtude das propriedades 88), 90 b) e 93), tem·se k

I

uI v ~ (~ aj' ij) (~ b~: J

donde 94)

k

-i")

=

~ (ai · bk) · (ij I ik) = ~ a; . b~: • Ojl, )k

)k

uI v= ~a"· bk k

visto que no somatório duplo se anulam todos os õ1 ~: à excepção daqueles em que os indicas são iguais, os quais tomam o valor 1. Se em 94) fizermos v

=u,

vem uI u = ~a~ mas, por outro

"

lado, da definição (8G)] resulta q ne uI u = (mod u)9 (I), de modo (I) Alguns autor~s escrevem u J u - (mod u)2 = u2, definindo, assim, o quadrado de u; mas não é talv~ z muito de recomen

2. 8 -É 134)

i(u)li(v) = ulv.

Este r esultado, geometricamente evidente (visto que, sendo u e v vectores do mesmo plano, i(u) e i(v) são também vectores do mesmo plano, com os mesmos módulos que r espectivamente u e v, e fazendo entre si o mesmo ãngulo)(l), é de verificação analitica simples . Efectivamente, de 132) e 1. 17, 126) resulta i(u)l i(v) = (e/\u)l (ef\v) = ' ele elv 3. 8

-

É 135)

u1e 1= 11 ulv O

O 1= u1v. ulv

i(u)/\i(v) = UI\ V.

Demonstra-se geometricamente, pelas mesmas considerações feitas acima, ou anallticamente, recorrendo às propriedades do produto quádruplo vectorial [ 1. 17, 127)] e do produto misto. 4. 8 -Potencias sucessha~ de i . É possível definir as potências de i de expoentes 2, 3, ... ; basta definir i 2 pela igualdade i 2 (u) = i (iu) e, em geral,

13f3)

i" (u) = i [in-I (u)].

Em face da sign ificação geométrica do operador i, (v. fig. 29) verifica-se imediatamente que, qualquer que seja o sentido de e, e portanto o sentido da rotação de u, se tem i 2(u) = - u, i 8 (u ) = - i (u), i 4 (u) = u, ... , igualdades que podem trad uzir· se simbolicamente, por i 2 = - 1, i 8 = - i, i 4 = 1, .•. , ou, em geral 1+-1" = 0

137)

Í+-1· = 1 - 1+-r=2

-

i +-1' = 3

com o que o operador i fica assimilado, sintbblicamente , à unidade imaginária i [Lições, vol. 1. o, 8. 7, 3)]. (I) Note-se que a rotação é feita no mesmo sentido para os dois vectores (visto que esse ~;entiJo só depende do vector e) o IJ.Ue conserva o ângulo.

70


II.- Operador eiO (rotaçao geral). Da teoria da fnnção exponencial sabe-se que, sendo i a unidade imaginária, se tem eiO = C08 + i sen Pois bem, sendo agora i o operador de rotação I'ectu que acaba de ser estudado, define-se o novo operador e;o pela igualdade

e

e.

eiO(u) = cose. u

138) p

'

'

A Fig. 50

Tirando PA e

+ sene. i(u).

Vejamos qual é a sua significação geométrica. Seja o vector e normal ao plano da '\ figura 30 e orientado positivamente para \ a parte anterior do plano da figura. Dado o vector u, construamos i (u) = e 1\ u, a partir da linha de acção de u marquemos o ângulo e seja P o ponto em que a semirecta correspondente encontra o arr.o da circunferência de centro O e raio igual a modu. PB perpendiculares às linhas de acçüo de u e i (u),

u

e

-

--....~~~~-

têm-se os vectores OA e OB e OA+OB = OP, modOP = modu. Por outro lado, é

--

-+

[1. 7, 39)] OA

=). ·

u, ). =e

11lOd

OA

modu

; mas

-~

mod OA = mod OP ·I cose I= mod u ·I cosO I e o sinal de e coincide com o de cosO, de modo que se tem ), =c os e; do mesmo modo

-

~

tle conclue que

OB=p.·i(u)

com

p.=sene.

É, portanto,

O P=cosO. u +sene. i(u)=eiO(u) isto é, a aplicaçao, ao vecto1· u, do operador e1 ~ COltSÍ8le na rotaç{fo de U 1 de amplitude e, feita no plano 1w1·mal a e e 110 sentido directo, se o vectoT e ~ orientado como foi dito. Com istv, fica justificado o nome de opemdo1· de rotaçdo geral.

É claro que se

e=

1t'

2

-

se tem e'e (u) =i (u) e, na fig. 30, OP

coincide com i(u) do modo que o operador anterior é um caso particular deste.

Propriedades.

1.' - O operador e 10 é um ope1·ador li12em·. As igualdades e 0(u + v)= e16 (u) + éO(v) e eiO(p. u) = p. eiO(u) que, 1

conforme 130), estabelecem a li11earidade do operador, siio iroedia-

•

PARÁGRAFO 18

71

tas a partir da significa coordenadas com a mesma origem - pode ser encaradã dum outro ponto de vista. Consiste ele em considerar essa transformação como dando, num mesmo 8ÍSiema fundamental de coordenadas, as reluções esistentes entre as coorl'lenadas de dois pontos. Consiste, como se vê, este critério em deduzir, do espaço dado, e partindo de um dado sistema de coordenadas cartesianas, um novo espaço cujos pontos têm coordenadas definidas em função das do primeiro t>ela transformação T1. O estodo das propriedades desse novo espaço é o objecto da geometria afim. É claro que o ponto tle coordenadas nulas no primitivo espaço é também o ponto de coordenadas nulas no espaço definido pela transformação linear T1 ; efec tivamente, para 'i; = O vem a:;=O e, reciprocamente, o sistema

11

+ C-12 • w:~ + C1s • Xs

Xt

=

cu · X1

:r:2

=

Cg1 •

Xs

= Cat • X1 + C8:J • :1!2 + Css • Xa

1

(I) V. Liçóà, vol. 1. 0 , 12. 4.

~~ + c 2ll ·~a

+ c2s • ~s

PARÁGRAFOS I e 2

85

dá para :c1 =X2 = :Cs=O a. solução única XJ=X2=xs=0 visto que é, então, um sistema homogéneo de determinante e(D)= 1CJk 1=f=O. Resulta daqui que a transformação linear T1 , fazendo corresponder a cada ponto um novo ponto, faz, afinal, corresponder a cada ''ector livre (q ue pode sempre s u pôr· se ter origem na origem dos eixos) um novo Yector livr e; isto é, Tz define uma nova multiplicidade vectorial, a multiplicidade vecto1·ial afim, cujo estudo é objecto da geometria afim. Pelo que se viu, a correspondência dum vector ao seu correspondente do espaço afim é definida, afinal, pela matriz D = ((cJk)) da transformação linear; dos seus elementos c1 ~:, e só deles, dependem os novos vectores. A matriz D = ((c1t)) pode ser portanto encarada como um operador, agen te da transformação dum vector noutro vector. Representaremos essa acção do operador D pela notação

D(V) =V; ela. significa que o operador D fa z corresponder ao vector V o vector V efectuando sobre as coordenadas de V a substituição linear Tz. Como propriedade importante deste operador, tem·se que: O operador D = ((cJk)) é linem·. P ara o ver tem que provar-se [1. 18] que

D(V1 + V2) = D(V1 ) + D(V3) D (p · V1) = p • D(V1) . Sejam k

=

~ (:ct

+ y~:). i~: .

k

Fazendo a transformação linear Tz sobre os

k

:c~:

e Yk tem-se [2. 1, 8)]

D (V2) = ~ ( ~ Ckj • Yi ) . i"

D(V1) = ~(~ckJ ·;i )i~:, j

k

D (Vl

+ V2) =

I
s complementos algébricos dos Cl·j (que representaremos por CkJ) peJo módulo!

18) Tem-se, portanto, a

Propriedade 3." - Toda a transformaçdo linear T 1 (módulo diferente de zero) tem uma transformaçc1o inver;~a que é tamb~m linear e da jo1·ma 17). Procuremos a im:e1·sa duma

transjo1·maçilo ortogonal """ - É , neste caso, (2) "/Jk = A~;1 r.x.w O(D) = «kJ, T,.: x1 = """"«jl,. x~.: . -= 1.: fJ (D) O(D) logo a inversa é definida por

j=1,2,3

19)

e obtém-se, por consequência, trocando os indices dos coeficientes. Calculemos o p1·oduto duma t1·ansformação linear pela sua in'!;e1·sa. Fazendo o produto de ;c1 = ~ Cjk • xk por ã'J = ~ 'Yik • Xk k

x1 =~ri''~l

obtém-se, por 15),

/;

com [16)]

ril = ~CJk '"/H· 1.:

Mas [18)]

"/kl = - - (}lk'

= -- ~cik · C1k 1

O(D)

k

1

O(D)

logo

1 - • OJt' fJ(D)

= -

(1) V. L ições, vol. 1.•, 13. 11, 13). (Z) Idem, idem, 15. 4, prop. 2.•, 2).

(l) Idem, idem, 11 . 7, prop. 1.•, 2).

é

rj l =

~ Cjk k

O(D)(~) = Õjl·

1 . --. O(D)

clk =

PARÁGRAFOS 3 e 4

91

Tem-se, por consequência,

}= 1,2,3

20)

isto é, a transformação linear produto é a transformação

I

x, =

20a)

x1

x2

= ~2

Xs

=

Xs

que se denomina tmnsformação identidade, pelo factt) de transformar um ,·ector em si mesm o. Obtinha-se o mesmo resultado se se im·ertesse a ordem dos factores, logo:

Propriedade 4. 8

Existe uma transformaçêto linear, denominada t1·an$jonnação identidade (repruentá-la-emos pCJr E), que é igual ao produto de qualque1· tt·anAjo?·maç/lo linem· pela sua úwersa, independentemente da ordem dos faclot·e.ç.

É fácil ver que a tl'ansformação identidade multiplicada por outra a não altera. Efectivamente, efectuando sobre a transformação identidade outra transformação T, obtém-se, à parte eventualmente a designação das letras, a mesma T, e efectuando sobre T1 a transformação identidade, obtém-se ainda T,, logo

Propriedade 5. a - A multiplicação duma transformaçtlo linear T1 pela tranifonnaçao ider~tidade é uma operação comzttativa (como a da multtplicação pela inve1·sa, o que é, na mult1plicação de t?·ansfm·maçõeslineares, ttma excepçll.o) e o 1·esultado da operaçdo é igual a T •.

2. 4. O conceito de grupo de transformações lineares. Seja considerado um conjunto U de elementos de natureza qualquer - números, qualquer que seja a sua natureza, opera~ões, transformações, etc. - e suponhamos que dentro desse conjunto se definem, duma maneira inteiramente arbitrária : a) uma operação de composiçao ou multiplicaçélo de elementos de U, pela qual de dois elementos u1 e tt 2 de U ee determina o seu produto u1 • tt2 ;

92

CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL

b) um elemento de U que se designará por elemento unidarle on identidade: e . c) o inverso u-1 dum elemento qualquer u de V. O conjunto diz-se que é um grupo quando satisfaz às seguintes condições:

1.• - O produto de dois elementos quaisquer de U é ainda um elemento de U- pela operação da composição ou produto não se sai nunca do conjunto. 2. • - A operação da multiplicação é unijo1·me e aJ3sociativa, não se exigindo, em geral, a sua comutatividade, isto é, podendo ser diferentes os produtos à. esquerda e à direita de us por u1 • 3. a - O produto, à esquerda, da identidade por uru elemento qualquer de U é igual a esse mesmo elemento: e•U=lL.

4. a - O produto, à esquerda, do ÍD\·erso dum elemento pelo próprio elemento é igual à identidade

u-1 •

tt

=e.

(Para a axiomática da noção de grupo, ver Teoria das J.fatrizes, por A. Monteiro). Exemplos de grupos. 1.0 - O conjunto dos números racionais, no qual se toma como composiçdo a multiplicação ordinária de dois números racionais e como unidade o número 1, satisfaz às condições postas e constitui, portanto: um grupo.

2. 0 - O conjunto dos números reais é também um grupo quando se toma para composiçllo a multiplicação ordinária e para unidade o número 1. 3. 0

-

O conjunto dos números fraccionários (não inteiros),

tomauuo como composição a multiplicação ordinária ndo é um grupo visto que o produto de dois números fraccionários pode ser um número inteiro. Não é, por razão análoga, um grupo o conjunto dos números reais não racionais.

93

PARÁGRAFO 4

4. 0 - O conjunto dos números inteiros poslttvos e negath·os, incluindo zero, é um grupo desde que se tome como composição a adição ordinária e como unidade o número zero; o inverso de a é, então, -a.

5.0 - O conjunto das translacções do espaço, onde se toma como composição a adição ordinária de translacções e como unidade a translacção nula, é também um grupo. 6.0 - O conjunto das simetrias em relação a um ponto, tomando como composição ou multiplicação a efectivação sucessiva duma simetria em relação ao ponto J.11 e uma simetria em relaçno ao ponto P, não é grupo, porque o produto dessas duns simetrias não é uma simetria, mas sim urna translacção definida pelo vector ~

2 . MP (fig. 36).

-- -

A.A"

=

BB'' =

~ = CC'' = 2 . 111 P

Fig. õ6

Da definição dada de grupo resulta ainda que o co11junto des tran.<jormaçlJes lineares T 1 é um grupo, como o é também o conjunto das transjúrmaçlJes ortogonai.~. Este último grupo diz-se um subgrupo do grupo das transformações lineares pelo facto de as T,. formarem grupo e de toda a T,. ser uma T,. É ainda verdade que formam grupo as tran.iformaç?Jes 01·togonais, Tm, de módulo + 1, ruas já as transformações ortogonais de


94

módulo -1 não formam grupo; efectivamente, o produto de duns dessas transformações não é uma transformação da mesma natureza, mas, sim, uma transform ação ortogonal de módulo + 1. Importância do conceíto de grupo. O conceito de grupo de transfor mações lineares tem uma importância enorme porque em relação a elA se podem classificar as propriedades geométricas do espaço. Há. propriedades geométricas que são invariantes p11ra um grupo de transformações lineares e que o não siio para outras. Assim, por exem pio, o paralPlismo de rectas é uma propriedade inrariante com o grupo das t1·an.iformaçêJe8 linem·ea, isto é, se dois dados vectores são paralelos, os seus transformados são também parale· los. Isto é uma consequência imediata de ser o operador D da transformação um operador linear; com efeito, dados dois vectores Vr e Vs = p · Vr, paralelos, os seus transformados pela trausfor· mação linear são W1 = D(V1 ) e w~ ·= D(~. V1)=p. D(Vr):::::p · Wr isto é, w3 é paralelo a w,. Mas já, por exemplo, a ortogonalidade se nlfo conserta para mna tmn.qjo1·maçét.o linear qualquer. Suponhamos, com efeito, dois vectores V1 = ~:rk ·Ík e V2=-- ~.lf•· Ík t

k

perpendiculares entre si1 isto é. verificando-se f.'ntre eles a relaçã o ~ x~ · yk =O, se suposermos os eixos rectangulares. k

011 se os transformados são D (V1 ) = ~ ~k • h, D (V2) com

~k = ~ cik • Xj, ~ = ~ c1" · Yi; k

k

~Xk · Y, ·

É

k

. (

j

~ Yt •h k

calculemos

,,

~ ;,~. y;, = ~ ( ~ Cjk. Xj) 1:

"

=

~ Ctk

. '!/l)

=

I

~ Xj Yt. ~ jL

Cjk . Ctk

k

= ~djt XJ · ?/t, não nulo em geral. i:

É fácil ver, porém, que se a transformação for ortogonal a ortogoualidacle se conserva; efer.tivamente, neste Cl! SO é Cjk =ai" e teru-se [2. 3, 14)] di t =

~ a.;"· a,"= o11

donde

~ Xk · Y" = k

=

~dit · Xj • y, = ~xi ~ ?itYt = ~xi. y1 =O, Jogo o anularoento jl

j

j

95

PARAGRAFO 4

de ~ ;k ·

y,

é uma consequência do anulamento de ~xk · yk e os

k

k

vectores transformados são ortogonais como o eram os primeiros. Há muitas outras propriedades que são destruidlls por uma transformação linear geral 7i e conservadas por uma transformação linear ortogonal; está neste número, como fàcilm ente se verifica, o ângulo de dois vectores e o módtdo dum vector e, por consequêncill a distância de dois pontos do espaço. Resulta daqui que as ár,e as e os volumes são alterados por uma transforma~ão T 1 e comervados (em valor absoluto, polo menos) por uma T.n. Verifiq uemo -lo, por exemplo, para o ''olume dum paraleliplpedo. Supondo sempre o sistema fundamental rectangular, sejam três vectores

+ a12 • b + a111 • is a21 • i1 + a2a • i2 + a2s · in

Vz = a.u • i,

Vs = Vs = as1 ·i,

+ as2 · i2 +

aso· is.

O paraleliplpedo definido por estes três \'ectores como arestas saldas dum ponto tem, como se sabe, [1. 15] o volume . ll = V1IV2;\Vs= au

a12

a1o

au

a22

a28

Façamos uma transform11ção linear T1 de operador D = ((cik)) e relacionemos este volume com o do pandcliplpedo defioido pelos vectores transformados

Vt = ãu · i1 + ã12 · i2 + a,s · is Vz = ãz1 · i1 + ã 22 · Í2 + a2s · is Vs = a31 · i1 + Õs2 • i:~ + asa • is . É

Ots

Ora, co mo os a;i

= ~ Cjk • ã;k k

aii

86

relaciouam com

~i

por [2. 1, 8)]

tem-se, em virtude da lei de forma~ào do produto

I

96

CAP. 11.

ALGEBRA TENSORIAL

de determinantes, que V= V' . e(D) , isto é, os dois volumes não são iguais, mas sim estão numa relação constante igual ao módulo da transformação e daqui resulta que se a transformação for ortogonal e de módulo + 1 os \·olumes conser vam -se, se for ortogonal e de módulo - 1 os volumes conservam o valor absoluto e mudam de sinal. E m resumo. A existência e utilização dum deter minado grupo de transformações pode servir para ordenação e selecção das propriedades geométr icas, tomando como critério de selecção precisamente o facto de as propriedades se conservarem ou não invarian t~s em relação ao grupo. A ca da gr upo corresponde assim um determinado conjunto de propriedades qne se conservam invariantes, l>ropriedades cujo estudo constitue o objecto duma determinada geom etria. Assim, as propriedades métricas do espaço são invar iantes com o grupo das transformações ortogonais (de módulo + 1 se se quer conservar o sinnl) as quais, por isso, se representaram por T.u; a geometria que lhe corresponde será a geometria métrica. D as propriedades invaria ntes com esse grupo bá algumas que desaparecem com o grupo mais geral das t ransformações lineares (distâncias, ângulos, etc.) e outras que se conserv!lm (paralelismo, por exemplo): !jerá o conjunto destas que fará objecto da geometria do grupo linear homogéneo (grupo das transformações lineares 1i) ou geometria afim, etc. Sem pretender aqui entrar-se em mais largos tlesenvolvimentos, vê-se já, no entanto, que papel central o conceito de grupo desem· penha, não só na estrutura de cada geometria particular, como na ordenação lógica de umas em relação a outras.

2. 5.

Invariâncias em relação ao grupo das transformações ortogonais.

Em tudo o que vai seguir-sa, têm uma importância muito par· ticular as transformações ortogonais . Convém, por isso, dar um r es umo de alguns escalare~ importnntes que são im·ariautes em relação ao grupo dessas transformações .

Sdo invariantes com o [JI'ltpo das tran.iformações ortogonais: 1.0

-

O produto escalar de dois vectores.

97

PARÁGRAFO 5

Sejam, com efeito, os vectores V1 = ~ x~: · i~: e V2 = ~ Y• · h k

e a transformação ortogonal T.A) a.•~; =~~/ri .

X;.

j

Tem-se Vri Vz = ~XI;. Yk k

= ~;i.

= ~ (~ O.l;j: x,). (~akl. Yt)

y;. ~

jl

"

j

l

(/.J.j· akl

= ~~.

k

y;. Ojt

[2. 3, 13)J

jl

= ~~ (~?jl ·y,) = ~;j . yj j

j

I

com o que fica demonstrada a invariância , visto que o produto escalar dos vectores transformados,

Vrl Ve =

~ ::S · yj, é igual ao j

dos vectores primitivos, V1 IV2 .

= ~ Xj • Yi.

A invariância pode ser

j

entendida doutra maneira: como a do produto escalar dos mesmos dois vectores V1 e V2 em relação nos dois sistemas de eixos, visto que, sendo os eixos rectan gulares, o pl"oduto escalar tem a mesma expressão formal em ambos os sistemas.

2.0

O módulo dum vector. Com efeito, como (rnod Vf = V I V, pela propriedade anterior

tem-se (mod Vf =VI V= V I V= (rnodV)z . Daqui resulta, é claro, que a distância de dois pontos quaisquer do espaço é invariante com o grupo das transformações ortogonais. Faz-se uma observação análoga à da propriedade anterior quanto à maneira de entender a invariância.

3. 0 - O {lngulo de dois vectores. Efectivamente dados os vectores V1 e V2 com ângulo 6 e os seus transformados V1 e V2 com ângulo e', tem-se [1. 14, 100)] pelas duas propriedades anteriores,

cos 0' = - --=v=-r v_-:__.--=:mod V1 • ruodV3 _,_ 1

VdV2 = mod v, . rnod v2

---"--'c.......:_ _

C08

0.

Mesma observação quanto ao modo de entender a invariância. c.l.LOULO VECTOIUAL

7

98


4. 0 - O val01· absoluto da área do paralelogramo determinado por dois vectores e também o sinal quando o módulo da tmn.~fo1"Tnaçll.o for+ 1. Que o valor absolu to da área se mantém, isso resulta imediatamente da conservação dos módulos dos vectores e do seu ângulo. Quanto ao sinal, esse depende da orientação do produto vecto~ rial dos dois vectores; sejam, no primeiro sistema rectangular, V1 = ~Xt · ik, V2 = ~Yk · ik e no segundosistemaosmesmos vectok

t

res V,=~Xk·4, V2=~Yk·'1. k

k

O seu produto vectorial no segundo sistema é [1. 11, 80)] Vt!\ V2

= it

i2 i,

~1

X3

Xs

Yt

y~

YB

-

~a }J

•

i.J

j

~(/.}8. i;

~(/.}/ •:1'J

~"'J:l'

X;

~(/.jl. !/i

~a,:9

·Xi

j

i

j

~~JS. i; j

j

~..:ia· Yi

~a;s · Yi j

i

em virtude de 2. 1, 5) e 2. 3, 19). Ora o último determinante é, como imediatamente se verifica efectuando o produto de colunas por liohas, igual ao produto

XL

:1'2

Xs

!/I Y2

Ys

+

referido ao primeiro sistema, devendo tomar-se o sinal se a transformação for de módulo + 1 e o sinal - se ela for de módulo - 1. O sinal da área é mantido, portanto, no 1. 0 caso e alterado no segando. Este resultad o permite·nos interpretar geometricamente o sinal do módulo da transformação ortogonal. Como acabamos de ver, o produto vectorial ue dois vectores quaisquer tem um sentido ou o oposto conforme o módulo é 1 ou - 1; sejam i 1 e i3 os dois vectores - a área do parale.ogramo por eles definido, na ordem i 1 para i 3 , é positiva e o seu produto vectorial é i,· façamos uma transformação ortogonal de módulo + 1; a área continua posith·a,

+

1

fica dispo to em relação a

T,

e

T2

como i, o está em rt'lação

PARÁGRAFOS 5 e 6

99

a i1 e is , isto é, o novo triedro triortogonal tem a disposição do pdmeiro. Se a transformação é de módulo - 1, o novo produto vectorial é oposto a ~ e o novo triedro tem, portanto, disposição diferente. O volume, em valo1· ab.~oluto, do pa1·alelipípedo definido tJOr vectores como arestas, hat;endo conservação ou não de sinal coNforme o módulo jo1· + 1 ou - 1 . Se se entende que o sistema de referência se mantém e que os vectores se transformam, a demonstração foi feita já no final do parágrafo anterior. Entend endo que os Yectores se conservam e se muda de sistema (triortogonal) de referência tem-se que os vectores V,= ~ xk ·i.~ ,

5.0

tr~s

k

V2 = ~ Yk • Ík,

V:J

= ~zk • Í.1

têm no novo sistema as decomposi-

1:

k

ções V, = ~;;,, -i~:, k

Vz

= ~y~: ·4, k

V8 = ~'Z; ·L. e, como o k

novo sistema é rectangular, a expressão do volume é dada ainda pelo produto misto dos três vectores e tem-se, do mesmo modo,

como imediatamente se verifica fazendo substituições de valores e efectuando o produto dos determinantes .

2. 6.

O ponto de vista do Cálculo Tensorial.

Nos parágrafos anteriores foram deduzidas as fórmulas gerais de transformação de coordenadas cartesianas (não rectangulares, em geral) 21)

Xj :"

~ Cjk • Xk

J=

1 '2 '3 . [2. 1, 8)]

k

e as da transformação inversa

22)

Xj = ~'(j k •XJ:

J=1,2,3 , [2.3,1 7)]

100


com

23)

1

(j/;

= - fJ(D)

[2. 3, 18))

clrj·

Encaradas do ponto de vista geométrico (o ponto de vista da geometria afim) estas fórmulas levaram às perspectivas da interven~ã.o do conceito de grupo na sistematização das geometrias [2. 4]. Vamos agora encarar as mesmas fórmulas de transformação dom ponto de vista diferente - o ponto de vista analitico formal, tomando como centro de interesse o modo como se tran.gunda é, como vamos ver, a _f01·ma de tran8formaçil.o dos coeficientes dun•a jot•n,a linear invariante com uma dada tramjonnaçào linear (quando as variáveis se transformam por contrnv11riíincia). Seja, com efeito, a forma linear nas variáveis :r:1 , :r:8 :

w,

~ a~c . ai' e suponhamos que, feita a transformação linear 21), a /c

forma se mantém invariante, isto é, que

k

Tem -se de 22)

xk= L/'kj•Xj logo ~O~t ·~k = ~;k. (~)'kj. ~j)= j

= ~ (~akj

k

1:

•

/'k;). a:i oo, o que é o mesmo,

k

j

k

~a;xi= ~(~ ·/ki j

j

ãk) -~i

"

donde ai=~ "/ki · ã;, que é, evidentemente, à a forma 25). k

Conclui-se portanto que quando numa forma linear as 1:ariáveis

102

CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIA L

se tran.~formam po1· cont?·avnriancia, se a fm·ma se mantém inva1·iante com essa tra1~sjormação, os coeficientes transjo?·mam-se po1· cova,-.itlnc?·a. P ara distinguir umas das outras, representam-se as variávei~ contravariantes com índices superiores e as covariantes com índices inferiores. Vejamos o que se

pa~:~sa

quando a transformação é ortogonal:

Xj =~O:jk"Xt

27)

} = 1,2 ,3. [2. 1,6)]

k

As componentes contravariantes u 1 , tt 2 , u 8 dum vector, transformam-se por [24)] ui=~ a1 k . Ük e as componentes covariantes k

k

1

= - - . O:jk

IJ(D)

.

e(D) (I)= fXjk'

Jogo é

Uj

= ~ O'jk

•

t4

Íf;tO é, a dife-

k

rença entre transfm-maçí1o cont?·avm-iante e covariante e, pot· consequêllcia, ent1·e componentes contravariantes e covariantes dum vector, desaparece se a transformaçflo é ortogonal ou, por outras palavras, se os dois sistemas sc1o 1·ectangulw·es. Encontramos, a11sim, pela segundu vez, as transformações ortogonais a produzir uma notável simplificação no âmbi to em que actuam. No que vai seguir-se, snpor-se-á semp1·e que se trata de transformações ortogonais e não se fará, portanto, mais discriminação entre contravariância e covariância de componentes dum vector.

2 . 7.

Produto tensorial. Tensor.

I . - Produto tensorial. Sejam consider11dos dois vectores V, e Vs e sejam, num sistema cartesiano triortogonal, Xk e yk, .'.- = 1,2,3, respectivamente, as suas coordenadas, isto é, seja V1 = ~ a:k · Í k k

2

Façamos os 3 = 9 produtos xi · !/k de cada uma das coorde(1) V. J.ições, vol. 1.•, 15. 4, prop. 2.•, 2).

PARÁGRAFOS 6 e 7

103

nadas de V, por cada uma do V2; obtemos aquilo a que se chama um sistema de 9 elementos, os quais se dizem, habitualmente, as compo11entes desse sistema. O sistema pode representar-se, abreviadamente, por

28)

ti"

j, !c

= Xj • Yk

=

1 , 2, 3

onde se entende que aos índices j e k - indices liV?·esse devem dar, independentemente mn do out1·o, os valores 1, 2, 3. Em geral, chamaremos sistema ao conjunto de todos os elementos- componentes do si;stema- que r e ui taro da ex pressão simbólica

29)

i,,

onde os índices i2, . ·.i,. tomam, independentemente uns dos outros, os valores inteiros dum certo conjunto. Se eles são suscep· tlveis de tomar os valores inteiros 1 , 2, 3, o sistema 29) tem 3" componentes. Como se vê, cada um desses indices, tomando livremente os valores do seu conjunto, no caso presente os valores 1, 2, 3, concorre para a formação de componentes novas e diz-se, por isso, um índice livre. Na expressão simbólica dum sistema, podem aparecer também indicP.II ligados ao desenvolvimento dum somatório (indices repetidos como indice dum sornat(lrio); esses indicas não produzem compo· nentes novas - dizem -se índices mudos. Por exem pio, o sistema

i,k = 1,2,3

30)

tem dois ln o o o o

parágrafo) e ela corresponde a uma mudança de axialidade do espaço [1. 12, V]. Tem-se, das fór mulas de transformação [20 7, 41)],

Sk =

~arj • c:t.1 J,;

• Cro

=

(l.J j •

(c:t.uo

o

Cu+ a:!k • C1t

+ ask • C1s) +

+ o:2j · ((.(Jk • ~< (u) o stjam.

Sonii.osotrataduw r(tt), masdeum r(u,v) ouun1 r(x 1 ,a:2 ,x8 ), as defioições e propriedades mantêm-se, pelo que foi dito no final do parágrafo 3. 2_ O enunciado da defin ição 3. a e das propriedades b) modifica-se então, havendo que substituir n expressão w·co de cu1·va por porção de supe1jlcie ou regillo do espa9o.

11.

DERIVAÇÃO ORDINÁRIA.

3. 4.

Derivada dum vector r (u).

Definições. 1.a- Seja o vector r(u), função conUoua de u no ponto u0 , isto é, tal que [3. 3, 7j] ltm r(u) =r (u 0 ). ",...."O

Se, quando 6. u = u- uo tende para zero de qualquer maneira, o limite da razão dos infinité~ u 0 e a divisão por u- u 0 não altera o sentido de

-

r (u) = P0 P; se P os tivesse à o11querda de P 0 era u < tlo e a divisão por u- u 0 m udava o sentido de llr (u)J. Façamos tender o ponto P para P 0 sobre a curva, isto é,

Â

-

façamos tend er 6. u = u - tto para zero; Po P é, entõo, um vector

· fi mt ·é s1mo. · p or h'Ipótese, existo . JU

z·m1 â"-->O

0 r(u) · - r(u ) u---:-uo

= [dr - -(u)J . du

.,0

vector que, pelo que acaba de ' 'E'r-se, é dirigido no sentido em q ue o arco cresce. Por outro lado, por definição de tangente a uma curva, quando P tende para P 0 sobre a curru, a recta Po P,

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAl

142

linha de acr;ão do ''ector r (u)- r (vo), tende para a tangente em u -

Uo

P0 , se existe, logo no caso presente, a tangente em P0 existe e é a lio.ha tle accão do vector [d1.·(u)J . ldul

e limdv =frO, du

lim ~=0.

d., ... 0o d v d V-+

Tiravam-se con r = ~ l> ·'l'k • h , ~r = ~ l>xk. ik k (') u bv k l>v

46)

l)n

verificando-se fórmulas anúlogas para as derivadas de ordem superior.

ó r=~.:r·k(u.,v)·h=~X~(t).v = •f(t),

dr~-IdXk·l····· Mus, A

dt 1 d t tes de h·,

. 1an do os coe fi cien· por 44) e 46) tem- e, 1gua

d.Yk

ôxk d tt

l)x, d v

-dt= · - +bv - ·dt (')u dt

47)

que é a expressão da derivada do escalar Paru a diferencial total, tem· se

dr =

xk,

função composta de t.

I Ô- Xk . 1"• • d u + I -Ô~k . lk, • d v + I ((')- Xk . d u + -Õ.r.,~c . d v ) . 1,. J:ÔU

kÔV

k

ÕIL

ÔV

ou seja

48)

r1 r (tt , v)

= I cl Xk ( u , v) · ik k

que generaliza 3. 5, 25). Dão-se definicões e deduzem-se propriedades análogas para uma função P(tt, v).

3. 9.

Plano tangente e normal a uma superfície.

Porâmetros de Gauss. Seja o \·ector r (u, ·v) e a sua odógrafa, isto ó [3.1], a superflcie de equação r=r(tt,v); suporemos que a su perflcie é continua e que o vector r ( u , v) admite derh•adus parciais finitas e continuas sobre toda a regiõ.o da superficie que considerarmo!'. Os desen\·oh·iroeotos que vamos fazer .exigem a consideração de dois istemas particulares de linhas sobre a superficie. Fixemos um valor, u 0 , do parâmetro u e consideremos o conjunto dos pontos da superficie que conespondem a esse valor fixo uo; o lugar desses pontos é, o.1aoifestamente, a odógrafa do vector

154

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL

r(uo, v)= R(v) e e!!sn odógrafa é uma wrva traçada sobre a super· flcie, c:urvm duda ero fuoçào do parâmetro variável único v • Tem-se, assim, correspondendo a cada valor de que é susceptível o parâmetro u, uma curva; o seu conjunto chama-se o sistema, ou familia, das curvas n = con. t. Anàlognmente se tem sobre a superflcie o sistema, ou famiUa, das curvas v= const., isto é, o sis· tema das odógrafus de r (u, v1), cujo parâm etro é u. Se admitirmos a univocidadt (além da continuidade), estabelecida no parágrafo 3.1 para a representação \'8Ctorial da superl1cie, isto é, que a cada pouto P corresponde um par tle valores de tt e v e reclprocameute, tem-se que por cada -ponto da superfície passa uma úuica curva de cada sistema (fig. 43) e que doas curvas do mesmo sistema não se cruzam (aliás llaveri'l. pares difereutes de valores de u v. .. ,... e v correspondendo ao mesmo ponto) a não ser em pontos excf'pcionais- em particular, se uma das curvas dum sistema se redu.-; a um ponto, por esse ponto passa uma infinidade de curvas do outro sistema (jã. veremos um exemplo). Daqui resulta que as curvafl das duas famllias cobrem a superficie, formando sobre ela uma rede, de modo tal que os pontos da superflcie podem ser individualizados pelas duas curvas, uma de cada farnllia, que po r lá passam e, por isso, elas podem ser consideradas como coonumadas dos pontos - chamam-ae as coordenadas curvili1Jeas dos -pontol!l da superflcie. Os parâmetros u e v que, como acabamos de ver, determinam sobre a superficie uma rede de coordenadas curviliueas, chamam-se p8rà.metros de Gauu. Uma equação da forma cy(u,v)=O que determine univocamente v como função de u, v = 1t (u), reduz o vector-espaço da sllperflcie a ser função, apenas, de um parâmetro~ r[u,1t(u)J=R(1t) - e, por coneeqoêocia, o Jogar quo corresponde às eqoa,ções r=- r (u, v) e ~ (u, v)= O é uma curva traçada sobre a st1perjieie; es&é. curva é em geral diferente das cun•as da rede . Reclprocamente, toda a curva. traçada sobre a soperficie resulta da existência duma relação particular v= f(u) entre tt e v e é, portanto, a odógrafa dum vector R(u)-r[u,f(n)].

155

PARÁGRAFO 9

E:cemplo. Consideremos a represen tação paramétrica da snperflcie esférica (3. 1, 3)) r(']), 6)=r cos 'P • sen 9 · i1 +r sen cp • sen 9 ·h+ + r cos 9 ·is. A rede de coordenadas corvilineas é aqui formada pela famflia de curvas e = con~t. - paralelos - e pela famllia de curvas f = const. - meridianos. Por cada ponto da superflcie passa uma curva de cada famllia (é o modelo do sistema das coordenadas geográficas) à excepção dos pontos P e P' onde, por se reduzirem a um ponto os paralelos, se cruza uma infi. nidade de meridianos.

Pio no tangente. Seja ~M (u 0 , v0 ) x .. um ponto da superficie e consideremos as duas curvas Cu 0 e C~0 da rede que passam por M; sobre C, 0 varia apenas v, sobre C.,0 varia u. As Fig. 44 derivadas parciais do vector r (u, v) tomadas oq ponto !rl são, pela sua própria definição e pela defini· ção de curvas da rede, os vectores tangentes [3. 5 ] a essas curvas

- (õr)

Ô'tJl

é o vector tangente à curva C,.0

,

(õ r)

tangente a C..0 •

Ô VM

Suponhamos que estes vectores, derivadas parciais, existem, não são nulos (nem colioeares) e são funções continuas de u e v; seja P o plano definido por eles. Vamos demonstrar o seguinte TEOREMA. Toda a curva com tangente, e:riste11le sobre a superftcie e passm1do pelo ponto M, tem a sua tangente sobre

o plano P. Seja C uma curva não pertencente à rede e nas condições da hipótese; o vector-espaço de que ela é odógrafa, é, pelo que se viu acima, um vector R (tt) =r [u, 1t (u)]. Suponhamos que v= 1t (u) tem derivada no ponto M e calculemos

(dR) . Visto que, por du M

b- r e -b r sno _ . h1pótese, continuas e como bn

bv

1t

,( )

u

é certamente dife-

rente de zero (caso contrário seria v=const. e C pertenceria à rede) pode aplicar·se J, 8, 44) e tem-se, para vector tangente à curva C,

166

CAP III. ANAliSE VECTORIAL

(dR) =(!!) +(õr) ·(dv) d-U

N

~

1t

J1

ÔV

M

d

U

igoaldadequemostra [1.7,44)] M

(!.:.)

(i:_')

qoe (dR) , e são coplaunres e que (dR) está, d rt M ÕU . M d V Jl d 1' J1 portanto, sobre o plano P. Ao plano P dá so o nome de plano tangente à. superficie no poo.to M; ~obre ele estão, pelo teorema demonstrado, todas as tangentes a todas curvas traçadas sobre a superfície que pas~am

por

l1f

(e que tõm tangente, claro).

O vector dr(u,v).

Pelo que acaba de ver·se, o vector dife.

ren.ci;-ol total de r (u , v) [3. 8, 45)] dr=!..:.· du

+ ~. dti

está dv sobre o pluno t angen te à superfleie no ponto em que são tomadas as derivadas parciais. É o vectm· infinitétâmo do plano fa11gent~, ass im como dr (u) é [3. 5) o vector infinitésimo da t11 nge nte à. ~u

CU r\· a r= r (1t). Normal. D efine-se nor-mal a om a superfície num ponto como a recta perpendicular ao plano tangen te nesse ponto; essa recta tem, consequentemente, a direcção do vector

49) Representaremos por n o vector 1tnitá.rio da normal; é

!E i\ ~r 50)

du õv __ n- _ _ __ .:.__

_ br)

mod(-br 1\ ôu bv

Equações cartesianas. Utilizando ns decomposições 3) · as do ponto, da superffcie, de que se trata, sendo as deri vadas parciais tomadas nesse ponto. Exemplo. Na representação da superfície esfériêa em parâmetros de Gauss r (s Xk (n) são continuas em todo o intervalo, e portanto em tL = ~, façamos tender u 0 e U para ~ ; por virtude da continuidade, Xk (1lk) tende para X ~c(~) e a igualdade acima dá-nos

J r(n). •U

7:"!)

lim

uo.u-~

0

"

U - uo

d1t

= r (C,) .

III. -Integrais curv ilfneo, de superflcie e de volume. As definições dão-se como na Análise ordinária e as propriedades são análogas, à parte os teoremas da média. Dado o vector, função de ponto, r (P) = r (x,, x,, xs) e um arco C, finito, duma cun•a continua e rectificável [3. 6] de equações xil = ~ (x 1 ), x 8 = tjJ (x 1 ), define-se integral c·m·vilineo ao longo de C pela igualdade

73)

j~r(x1 ,x 1

x 8 )·d x 1

=

lim~r(P 1)· h;

[onde P 1 (~;,'11; ,q é o ponto corresponden te ao valor, qualquer, 1 ~~ do intorvo.lo h, .- x~1 ) l e n, = cp (~t), ~ 1 = ~ (~;)] se este limite existe e é o mesmo qualquer que seja a maneira como se .JÇ divide o arco C em arcos parciais, qualquer que seja o ponto P, tomado em cada arco parcial, e (u,) qualquer que seja a maneira como os ht tendem para zero. Estas condições são verificaX,. das se r (x, , x 2 , x 8 ) é função continua de P, pois, na hipótese acima feita. sobre a curva C, o Fig. 46 segundo membro de 7::\) transforma-se num integral definido de vector função continua. de x,.

xt

166

CAP. III. ANÁLISE VEC TORIAL

Definem-se anàlogamente

J r ( P) · d :rs , v('

J r(P) · cls = lim L. r(P 1) ·.~i (v . fi~ . 4,\3). '

(~

E:cemplo. ecalcolemos

Seja uma curva O e dois pontos A («o) e B (u 1 ) dr t·ds. Como[ 3.6, 31)] t= - , tem·se( 1) Ân d$

f

(~uanto

às propriedades, verificam-se, entro outras, as seguintes:

74)

j' Ct

75)

r(P ) .d:c; = j' r(P) - dx, + j" r(P)·d te; ; + Gt

Cr

Ct

,. r(l')· rl x; = - j'r(P) - d x; .... - ü

("

e propriedades idênticas parn os integrais curvillneos j~ r ( JJ) • d s. Os integrais de superflcie e de volume definem-se sobre o mesmo modelo e as propriedades são análogas . Os teoremas da média não se verificam, mas gencraliza.se, na bipóte~:e da con tinuidade, a igualdade 72) deste parágrafo. É

J'l 76)

lim S-+ 0

r (x 1 , a.' :J. a-s) · d S

8

S

== r(P)

77) quando o espaço de integração (área ou volume) tende em todas as direcções para o ponto P, conservando·o sempre no seu interior.

(1,1 O vector função integraoda coincid e aqu.i com o vector de que a curva (' é odógrafa, o que se não dá, evidenfemcmte, em geral.

III.

APliCAÇÕES GEOMÉTRICAS.

Nos parágrafos 3. 5, 6 e 9 do presente capitulo foram já tratadas algu mas aplicações geomé tricas da An álise Vectorial; vamos ainda, a título de exemplo e para mostrar a fecundidade dos métodos deste r amo da Análise, resolver alguns problemas, que agruparemos sob duas rúbricas gerais- problemas de métl'ica e problemas de curvatura. Os problemas tratados seriio em número re trito; o leitor poderá, para roais amplo conhecimento da matéria, consultar as obras indicadas na nota bibliográfica do fim do capitulo.

3. 13.

Problem as de métrica. Superfícies.

Foi visto já no parágrafo 3. 6 como se define a métrica sobre uma curva torsa - 3. 6, 26) d s2 = dr Idr . V amos, por isso, ocupar-nos, apenas, da métrica sobre as soperficies.

A). Primeira forma quádrica fundamental. Seja uma superfl. cie, odógrafa. do vector r(u,v) [u A v parâmetroRdeGauss(3.9)] função continua e admitindo derivadas parciais finitas e continuas em toda a região da soperflcie sobre que lle operar. Consideremos a rede de curvas coot'denadas u = const., v = const ., e seja

3. 8, 45)

dr =

!!:. . d u + !~ . d v ~ tt

õv

o vector diferencial total que, como se sabe r3. 9], exi~te no plano tangente à superfície . Seja C uma curva da superfície, definida por uma relação v= rc (u) entre os dois parâmetros de Gauss, e supo· nhamos que C admite tangente, isto é, que pode escre\·er-se dv=TC' (u) - du; a cada curva C corresponde um veetor dr, tangente a C, existente sobre o plano tangente e individualisado pela relação d ·v = -rr' ( u) . d u; o seu vector finito tangente é

168

CAP. III.

dr br - = -cl tl ôu

78)

A NÁLISE VECTORIAL

+ -br- . 7!, ( 11) • bv

Define-se comprimento de arco elementar ds da curva C sobre a superfície pela ig ualdade 79)

d.• 2 = dr l dr=(~ · du +!E. -dv) I (~ · dn + ~ · dv). btt b1' bu bv

O critério adoptado para a definição da métrica sobre a supe1jicie é, como se vê, exactamente o mesmo que presidira já à definição da métrica duma cur va torsa qualquer [ 3. 6, 2ô)]. Desenvolvendo o segundo membro de 79), encontra-se 80)

d s2 = E . d tt2 + 2 I:' . d u d v

+

G . d v2

com

81)

E=~~'*~= (n·od~~y G =

I

~.: ~!. = (1JtOd b1;

ôV

!!.)

F=~ ~~ b tl b v

2 •

ÔV

É ao segundo membro de 80) que se dá o nome de primeira forma quadrática fundamental da teoria das supe1jícies e dela depende tudo o que, sobre uma superficie, diz respeito a métrica. O comprimento de arco da cun·a C [v= rc (u)] entre dois pontos correspondentfls aos valores tio e u1 do parâmetro, tira-se mediatnmente de 80); tem-se

donde 82)

s=+j~··· ~

v·

du

+

devendo tomar-se o sinal ou o sinal análoga à feita no parágrafo 3. 6.

B).

(dduv)ll -du

d t• +G · E +2 F'--'

conforme convenção

Ângulo de duas curvos da superffcie.

Sejam as curvas

C1 e CR da superflcie, definidas pelas relações v = n (u) e v= p (u)

PARÁGRAFO 13

169

. e seJam [78)] (dr) = -õr + -õr · r. , (n) e (dr) = -õr d lt 1 Õ U dV d ti 2 b tl os vectores tangentes respectivos (fig . 47). Cbama-se tlngulo das duas curvas ao ângulo dos seus dois vectores tangentes; seja ele w, tem-se [1. 14, 100)]

+ -õr . p' (tt) dV

donde resulta imediatamente, efectuando o produto interno do nomeFig. 47 rador, atendendo aos valores 81) dos coeficientes da forma e notando que de 79) resulta mod dr=ds,

83)

cos~

=

E + F[ 1! 1 (u) + p' (tt) ] + G r.' (n). p' ín) . VE+2 Fr.' (u) + G[r.' (u)y . E+ 2 Fp' (n) + G [p' (u)]11

v

Se as duas curvas pertencem à rede das curvas coordenadas, esta expressão simplifica-se; com efeito, para a curva 0 1 , tt= const .,

é

(~!.) = !..:_ dn1

logo cos r,} • cos &>

84)

e para a curva 0 2

V=const ., é (dr)

,

{)v

= cos ( {)r - - ' õr) -

e de F {)u {)n = V E · V G · cos &l resulta

I

rltt!J

= !..:., bu

{)r {)r {)r õr - = mod - . ))tOd õu õv õu õv

= -

•

F

cos w

=V EU.

Daqui se conclue que se F =O é

&J

= ~ e reclprocamente (1), 2

logo a condição necessária e suficiente para que a 1•ede de curt•as coordenadas seja ortogonal [3. 9 ] é que tJeja F = O; no. primeira.

(t) Supõe-se que se trata de pontos em que existe plano tangente à superfície e em que, portanto, o denominador não é nulo nem infinito.

liO

CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL

forma quadrática íundlameutal nii.o existe, entiio, termo rectangular. É o que acontece, por exemplo, na superffcie esférica em que, como se viu [3. 9, exemplo] é

-bõr'f = 1' 8611 o

<J •

[-

~ = ,.. rco.~ '.IJ õ9 .

•

• 8611 'lJ • 1,

.

co.~ e . i/

+ cos . • l '!l . 1 ~

+ sen .

li .

coa a• i2 - sen o. is)

. se tem e em que, por consequência,

E

õrlõr =

=

1· 2 • ~ewoo

relAção que é válida qualquer que seja a direcção do deslocamento ~

infinitésimo determinado pelo vector d P. A significação desta igualdade completa-se com a s,e guinte propriedade- se existe um

200

CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS

--

--+-

vector u tal que, para qualquer deslocamento i11flnitésimo d P do campo, se tenha d U

-

= u I d P,

Com efeito, da igualdade grad

-

é necessàriamente

UI d P =uI d P,

u = grad O .

verificada para

d P qualquer, resulta (1. 13, 6. 8 ] u = gmd U. Suponhamos que o ponto vizinho de P,

-

P2= P + d P está sobre a própria superfície de nivel que passa por P e, sobre ela, numa direcção qualquer; a relação 17) Ftg. ~ mantém-se e como é, neste caso, d U =0, tem-se que o vectm· grad U (P) é normal à superfície de nivel qtte passa pelo ponto P. Determinemos o sentido de grad U; para isso, voltemos a considerar o ponto Pt sobre a superfície de nlvel correspondente a U + d U e suponhamos d U >0; a igualdade 17) dá então

-

grad UI d P >O que mostra que o ângulo dos vectores grad U e d P é agudo, isto é, que o vector grad (J está dirigido no sentido em que o valor da fttnçào do campo attmenta. Estas propriedades permitem precisar o que no parágrafo anterior se disse quanto às relações de grad U com a derivada dirigida do escalar U. Seja a superfície de nlvel que passa por P e n o vector unitário normal a essa superficie. Como grad U tem a

direcção de n, a igualdade [4. 2, 15)]

bU - = bn

~i! = grad UI n bn

mostra que

+ mod grad a = ±

(devendo tomtlr-se o sinal + ou o sinal - conforme n e grad U tiverem o mesmo sentido ou o contrário) e ainda que

18)

bU ·D= grad U. bn

201

PARÁGRAFO 3

i:J). Potencio!. Seja o campo vectorial r (P). Se existe uma função U(P) contloua, uniforme e derivável tal que, para todo o ponto P do campo se tenha r = - grad U

10)

diz-se qne o campo r (P) deriva do potencial U(P) ou que o campo r(P) tem potencial. À função U(P) dá-se então o nome de potencial·escalar do campo.

G). Propriedades do gradianle. Além das propriedades já assinaladas no parágrafo 4. 2, convém mencionar mais as seguintes:

V - Se U (P) = const é grad U = O • Resulta imediatamente da definição [ 4. 1, l )].

2.• -- Se U1 , U2 , • · • Un sl'Lo escalares funçiJes do ponto P (x 1 , x 2 , x 3), admitindo derivadas pa1·ciais, e se f(U 1 , U2 , • • • Un) é uma .funçl'Lo escalar admitindo derivadas parciais, contínuas em relaçélo a U1 , · · • Un, tem-se 20)

Com efeito,

I _!L:r, · i1 = I (I _!Lu"' · ~ x,0 k) · i1 I_!_C (I ~ Uk · i1 ) l') .

grad f =

~

1

1

~

k

=

~

k

~ uk

1

~

a:1

Casos particulares. a). Se f( U, , · · · U,.) = Ut + ·· · + U~ , tem-se

õf

- - = 1, donde õ u~. 21) k

k

b). Se f( Uz , • · • U,.) = ~ P• • U,, sendo P• escalares constantes, é

õf U..

~

= P•, donde

i

(1) A demonstração vale, evidentemente, nas condições, menos restrictiva11 que a continuidade das derivadas parciais, sob as quais é válida a regra de derivação da função compoata (ver qualquer tratado de Análise).

202

CAP. IV.

grai~p• . U1 = ~p;. grad U;

22) c).

lfEORIA DOS CAMPOS

~f

.

U

Se .f=p. U, com p função de pon to, é b

=

p,

~~ """õ;' =

U,

logo

grad (p · U) = p. grad U + U · gradp

23)

igualdade que completa a primeira de 4. 2, 8).

3.•- Ê 24)

gr·ad(r I s)=r /\7'0t s + sf\ roi r+r I v s+s I v r.

Com efeito,

grad(rls) =

I -~- (rls) · ik = Iik ·(~Is)+ Ii.· (ri~). 1:

Ora, r 1\

~ :Ck

(ik A~') ~~

~ Xk

k

= (r I~) ~~

bX k

k

·ik- (ri h).~

donde

~~

e aoàlogamente

Fazendo os soruatórios em !c e adicionando, vem [4. 2, 6)] grad(rls) =r 1\ 7'0ls

~ ~s ~ br + s 1\ 1·otr + .c-ak.+ ~bk . k

~

Xk

~

l·

:rk

donde, por 4. 2, 11) se deduz 24). Esta igualdade pode escrever·se doutra maneira que põe em evidência as derivadas dirigidas dos vectora11 r e s; com efeito, de4. 2, 16a) resulta, fazendo modr=r, mods=s,

24 a)

bs

õr

br

~

!J1'ad(r Is)=r (\rol s+ s 1\.?·ot r+ r· - + s - . s

PARÁGRAFOS 3 e 4

203

4.a- Gradia nre da distância. Seja O a origem dos eixos e P(xk) um ponto variável; consideremos o vector r = P- O= ~ x • . ik k

e façamos r= modr. É

P-0

~õ)

gradr= - - r

igualdade que exprime que o gradiante da disttlncia dum ponto variável P à origem é igual ao vector unitário de vector P-O=r. IDfecti va mente, da igualdade

r2

= ~

xz

tira-se, diferenciando,

xk

= ( ~ - · lk Id P logo,

k

r ·

d ,.

=

L

Xk •

d Xk donde dr =

k

L-;x:k · d k

por 1 7) é grad r =

~ Xk • ik k

r

r

'

:rk

\k

r

• )

_,.

= _}_ . r . ,.

A iguulclade 25) vale ainda, como imediatamente se verifica, quando O é, não a origem, mas um ponto fixo qualquer de coor· danadas (ak), constantes.

4. 4.

O operador divergência.

A). Vector e campo solenoidais. Seja o campo vectorial, admitindo derivadas parciais, r (P); o campo escalar dele deduzido pelo operador divergência, diz-se solenoidal quando em todo~; os pontos do campo for divr =O; r diz-se então, também, um vecwr solenoidal. Para designar um campo solenoidal usa-se também a expressão campo sem fonte (Qnellenfrei); a razão deste nome será vista adiante [ 4. 9], quando se tratar da significação física da divergência.

8).

Propriedades.

Além das que foram vistas no parágrafo

4. 2, mencionaremos as seguintes : 1.~ -

Se a é um vector constante, é diva= O; efectivamente, . ~ .Y,, O nessa h1pótese é - - = . ~ .~.

2.a- Se p e r sl1o um escalar e um vector fwru;tJes de ponto, tem-se

26)

div (p • r)

= p · di v r

+ grad pIr .

204

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

Com efeito, de 4. 2, ó) tem-se div (p.

r)=~ i~: I _!_ (p. r)= ~ :; • rl .1·1 • clx9 • No trajecto para a segunda face den tro do paraleliplpedo, v~ sofre, em X~

s

o X

X~ J

Fig . 57

ÔV 9

virtude do acréscimo d x 2 , um acréscimo d v11 = - - · d .1:2 , de modo ÔX2

que pela face da direita sai uma qnhntidade de fluido igual a q2

=

(v + ô 9

Vg.

d x 2)

•

d Xt • d

ÔX2

x

O excesso do fluido saldo sobre

8•

o entrado na unidade de tempo é, então,

õ 1:.a

qlt- q1 = -

ô .1'2

· dT .

Raciocinando do mesmo modo para os outros dois sistemas de faces paralelaa, do paraleliplpedo, tem-se que o excesso, positivo ou negativo, de fluido saído sobre o entrado em todo o paralelipfpedo elementar é

õl)

vj + -+ ô . -ô Vs) ·dT=dwv-dT.

ô ( -ôa:1

Vg

bxll

ba:s

Este excesso provém, se o fluido é, como se supôs, de densi· dade constante, da existência, dentro do paraleliplpedo elementar, de fontes: positivas (produção, excesso positivo) ou negativas (absorção, excesso negativo); se o fluido não é de densidade constante


ll20

a existência do exces~o pode ser interpretada corno uma condição de compressibiltdade. Estendamos agora o racioclnio a todos os paraleliplpedos elementares em que o volume T ficou dividido pelo triplo sistema de planos acima coo iderado; o flui do saído por cada race duro paralelipipedo elementar é fluido entrado no paralelipl pedo que lhe está adjacente por essa face. No interior de S as somas de sas quanti· dadas de fluido anulam-se, de modo que o limite da soma dos termos 51) ou seja

jji' div v · d'

T

é o excesso total do fluído saldo

sobre o entrado atra,•és da superflcie S; mas esse excesso é, como acima foi visto, o fluxo total do vector v (P) através de S, ou seja [ 4. 7, 49)] T =

j ~)~ v In · da,

donde, igualando, se obtém 50).

Observações. 1. a - A igualdade 50) r e pousa, como se viu pelo raciocioio feito, sobre a hipótese da continuidade e derivabilidade de v(P) em 't' e sobre S; se assim não for, ela não é válida os dois membros podem não existir ou existir e ter valores diferentes.

2. 3

Na região do espaço exterior a 8, o vector v(P) pode ser descontinuo ou não existir; se isso se der, em vez de se considerar a semi-normal exterior toma-se a interior; não há mais que mudar o sinal ao sentido da normal e, portanto, ao integral de superflcie que dá o fluxo; o teorema tom eotão por expressão aoaHtica.

3.a- Supôs-se, no raciocfn io feito, que o volume 't' era limitado por uma s(l superficie fronteira 8, encerrando um \'Olume simplesmente conexo ; mas o teorema é válido em condições mais gerais (ver, por exemplo, R. Courant, loc. cit. pág. 313). É válido, em particular, quando o volume T for limitado por uma superflcie fechada continua S e por outras superfícies fechadas, também continuas, S1, Se, etc. (número finito) interiores à primeira (fig. 58); o fluxo total é então a soma dos fluxos através de s' sl' sll'- .. . Simplesmente, há que atender aos sinais das semi-normais a

221

PARÁGRAFOS 8 e 9

essas fronteiras limitantes internas; se a semi-normal n for orien· tada como em 50), para o ex-terior de T, essas sarni-normais devem ser orientll.das, co mo mostra a fig. 58, para o interior das super· flcies limitantes internas.

4. • - Se no campo vecto· rial interior a 8 existem des· continuidades (pontos, linhas ou superfícies) procede-se, para o seo estudo, do modo seguinte - isola-se a descontinuidade por uma superfície fechada, continua, 81 que a envolva completamente e aplica-se o Fig.~ teorema de Ostrogradsky·Ganss ao volume interior às duas superflcies S e S, , como acima foi indicado, procurando determinar para que tende o fluxo ~:~.través da Bllperftcie 81 quando ela tende, em todas as di'rec· ções para o lugar de descontinuidade. Veremos um exemplo no parágrafo seguinte. Expressão cartesiono.

e o=

L eos (n, :vk) • ik

Seja v(P)

=

~vk ·i. o vector do campo

a sarni-normal exterior a S. A igualdade

~

50) escreve-se, como é óbvio,

53) 4. 9.

Consequências do

teorema de Ostrogradsky-

-Gauss. 1.•- Campo solenoidal. Soponbamos qne o campo vectorial v ( P) é eolenoidal l4- 4] isto é, que div v= O em todo o ponto do campo. O integral triplo do primeiro membro de 4. 8, 50) anula-se portanto e tem-se

54)

J'J;

v I n · d ~ =O


que mostra que em todo o campo solenoidat é nulo o flu:co total através de qualquer supe1jície fechada continua interior a esse campo. Tem-se portanto aqui uma condição suficiente para que no interior da superflcie S não haja produção nem destruição de fluido, não baja font e, positiva nem negativa, visto que, o fluxo total sendo nulo, a quantidade de fluido entrado é igual à de floirlo saido através da superCicie. Por isso, como acima :se disse [4. 4] , os campos solenoidais se chamam também campos sem fonte. A condição não é, evidentemente, necessária visto que pode haver fontes positivas e negativas locais cuja acção ,s e equilibre. Se, porém, o fluxo - - - - ... é nulo através de qualquer superficie fechada compreendida no campo considerado, é então

j JJ div v . d

T

= O

para T qualquer, dondedivv - 0 em todo o campo, e o campo é solenoidal - a condição é, então, também necessária. Se o campo v(P) é o campo de velocidades dum fluido, a condição div v =O pode ser interpretada como a condição de incompressibilidade desse fluido. Outro aspecto da questii.o é o seguinte. Seja~, no campo soJenoidal, duas calotes de superfícies S, e Sa apoiando-se sobre um contorno fechado pelo qual passa uma porção de superfície S (um + sl e diafragma). Sejam TJ e Tz os volumes limitados por S + Sfl (fig. 59). O teorema de Gauss dá imediatamente, por ser div v - O tanto em -r: 1 como em -r:1 , Fig. 59

s

,

r) .

S+Sr

vln-da =j"j" •

S+S~

vin-da

223

PARÁGRAFO 9

sendo as normais orientadas como na figura. Desta igualdade tira-se

isto é, 110 campo solenoidal, o fluxo atravAs de qualquer calote de superficie apoiada num dado contorno fechado é constante. Esta pro· priedade será completada adiante (4. 13, 4.•]. Sempre que isto se dá, o fluxo diz-se conservativo. Consideremos, em particular, um tubo de força dentro do campo solenoidal e limitemo-lo por dois diafragmas Sz e Sz formando bases (fig. 60). Como a superflcie total S 8 1 + 3 é fechada, o teorema de

+

Gauss dá

j~ {

v I n . da= O e como o fluxo através de S

s + 1+ s~

j'j~ vln 1 -da=- fj~ vln 3 -da

isto é, a 1 3 quantidade de fluido entrado por uma das bases do tubo de fo?·ça é

é nulo [4. 7] vem

igual à quantidade de fluido satdo pela outra, quaisquer que sf[jam as bases e a sua forma. Descontinuidades. Suponhamos que no campo solenoidal há. um ponto de descontinuidade. Seguindo o método indicado em 4. 8, observação 4.a, isolar se-á esse ponto por uma esfera Sz ,p, de ceutro nele (fig. 61) e aplicar-se-á o teo· rema à região do espaço compreendida entre S e Sz . Como div v = O, o fluxo total através de S + 8 1 é nu1o e, por serem n e n~ as normais exteriores a -r, tem-se

JJ:

v I n · d 11

+

J'j; v I n~ ·

donde, por ser n~ = -

da = O

1

Dz ,

) . .vfsi'vln-du =j'j's, vln,.dl]

Fig. 60

t

isto é, o fluxo através de S é igttal ao fluxo através de 8 1 , qualquer que aeja Sz.


224

Façamos agora tender

S1

para o ponto

O e procuremos

p=limj'j' vln 1 -da; se esse limite existir, será, pela igual-

.,-o

S1

dade acima, j'j'vln-da=p.

-

• s

Seja ]Jil um ponto de S1 , e ~

mod O.M; Sfl o produto E. v é finito em O, o módulo da função integrando. v In 1 é inferior a E=

0:

-

Fig,

sendo o: uma constante pos sitiva; e como a área de integração 8 1 é 4 1t E~, o teorema da média dos integrais múltiplos mo~tra que o valor absoluto do iotearal é inferior a

61

4X

,;? ·

.!!.._ = 4 1t

(t.

S

donde p =0. Conclui-se daqui que o flu:ro total é ainda mdo através de S como se nc'lo houvesse ponto de de.~continuidade em O. 2. a - Teoremas do gradiante e do relacional. Do teorema de Ostrogradsky-Guuss tirum-se, como corolários, dois outros em que figuram um g1·adiante e um rotacional. Supõe-se, claro, que se verificam as condições iniciais. e). Façamos, na igualdade que traduz o teorema [4. 8, 60)], v= p . r onde p é um escalar função de P e r um vector constante. Tem-se [4. 4, 26)] div v = div (p ·r) = g1·ad pI r e, por outro lado, v I n = (p · n) I r. Substituindo em 4. 8, 50) \'em

j J'1 grad pI r · d

tante r I

J'JJ

T

=

J'js' ( p · n) Ir · da

grad p • d

T

=r I

Jl

donde, por ser r cons-

p · n. da. Nos dois membros

desta igualdade figuram integrais de vectores [3 . 12] qoe são, como se sabe, vectores, e da igualdade dos dois produtos escalares, verificada para r qualque1·, tira-se, [1. 13]

55)

j'j 'Jg,·ad p · d = JJ:P .n. da . T

(twrema do gradíante).

Deste teorema tira· se uma consequência interessante; façamos, em ambos os membros da igualdade, p = 1 ; vem

j'J:n .

da

=

O.

Ora da é o elemento de áre.a [3. 13, C)] e n . da o elemento de área orientada; por consequt\ncia, a igualdade anterior mostra que a área total orientada duma superficie fechada é nula. b).

Façamos v= u 1\ r sendo r um vector constante. 1'em-se

[4. 4, 27)] div v= div(u 1\ r)= r11·otu e v In = u 1\ rln=rln 1\ u donde, substituído em 4. 8, 50) e pela mesma razão invocada acima, se obtém

J

56)

fi1·otu. dT

~ffsn 1\

u

·da (teorema do rotacional).

Ê fácil escrever a expressão cartesiana destes dois teoremas.

3.a - lnvoriância dos operadores diferenciais. Os três teoremas: da divergência (Gauss), do gradiante e do rotacional tornam imediato o facto, já assinalado em 4. 2, C) num caso particular - que os tr~s operadores diferenciais são invariantes com o sistema de rejerDncia. Efectivamente, as igualdades 4. 8, 50), 55) e 56) permitem dar definições novas dos .operadores. Seja uma região simplesmente conexa -r do espaço, encerrada numa superflcie fechada e continua S. Seja P um ponto no interior de S, no qual é definida e continua div v, e façamos tender S em todas as direcções para P. Tem-se, como se sabe div v (P) = lim !_ T~O

. j'j"' (div v . d-r donde,

T

"T

em virtude do teorema de Ostrogradsky·Gauss

57)

div v ( f') = lim _!_ . T-+o T

CÁLCULO VECTORI~L

..

j j v I n · da = Um s

S-+P

flvln

III

·da

s ·---

d-r 15

CAP. IV.

226

TEORIA DOS CAMPOS

Anàlogamente, dos teorem as do gradiante e do rotacional se tira [3. 12, 77)] 1 " ...... grad p (P) = lim - · grad p • d T,

Jj j

T-+0 'r

rot v (P) = lim -1 · f-+0 'r

•

't

j'!"j rot v · d -r 1:

logo 58)

grad p (P) = lim_!_.

,.

jj

t ... o t

59) rot v ( P)

=

1 lim - · 't-+ 0 't'

p. n.

s

f'

d~; =

·'

JJ n A v · da = Um s

Jj"P ·n ·da

lim---=8s~P

JJI

--

dT

Jln v· A

J'Id

S4P

./

da

T

Como se vê, os segundos membros destas três igualdades, que podem ser tomadas corno definições dos operadores, não dependem do sistema de referência empregado, com o que fica estabelecida a invariância.

4. 10.

Fórmulas de Green.

Voltemos ao teorema de Ostrogradsky-Gauss 4. 8, 50)

j ·.rI div v · d

T

=

Jl

v In . da

válido nas condições expressas no parágrafo 4. 8. Seja U (P) um escalar função de P, contínua em t e sobre S, bem como as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e tal que V=gradU, o que equivale a supor que o campo vectorial v(P) derh·a do potencial escalar - V se U é, além de continua, uniforme. TE>m-se divv=divgrad U= Lap U[4. 6, 35)] e nlv -= nlgrad U, donde, substituindo, 60)

j'JJ

Lap U · d-r =

fj ~n Igrad U . d

q

(1.• fórmula rk Green)

PARÁGRAFOS 9 e 10

227

que exprime que o 1'ntegral do laplaciano de U estendido ao volume -r , nas condições gerais do tem·ema de Ostrograds!cy-Gauss, é igual

ao fluxo do gradiante de U através da superfície que limita -r • A 1. a fórmula de Green pode ainda escrever-se, notando que

[4. 2, 15)] nlgrad D ,..., ô D, ôn

J"fj'~ Lap U · d J·js' ô~U ·da .

61)

T

=

Conclui-se daqui imediatamente que se U é uma função harmónica ( 4 6, 38)] no domfnio considerado, tem-se

J'lôs -ônu· d a=O.

62)

Em particular, fazendo

?'

=

mod[P(xk)- O(at)], tem-se

63)

desde que S não encerre o ponto O(ak). Sejam agora U e V duas funções continuas em -r e sobre S, bem como as suas derivadas de primeira e segunda ordem, e tais que v = V· grad U. Tem-se [ 4. 4, 26)] div v = div (V· grad U) = = V· div grad U + grad V I g1·ad U = V· Lap U + grad V I grad U e n Iv 64)

= n I V. grad U =

JJi

V· ô U, donde, substituindo em 4. 8, 50)

ôn

(V· Lap U + grad U lgrad V). d-r=

j'J:v. ôõ~ .da

(2.• fórmula de Green).

Mudando, neste. igualdade, U em V e V em U e subtraindo ordenadamente, obtem-se

65)

õ u U- bnJ' ô !::'\ da· J"'jJ'(V-Lap U- U-Lap V)· d-r = j'Jt(s V- bn(3.• fórmula de G1·een).

228

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

Se U e V são harmónicas, resulta daqui

JJ ( ~

65)

s

v) -da = O.

b u- U- -b V -bn bn

Em todas estas fórmulas, n designa sempre a sarni-normal exterior a S. Demonstra- se que as fórmulas de Green subsistem quando as derivadas de 2.a ordem apresentam descontinuidades eobre S, conservando-se porém finitas; para a demonstração, ver C. Jordan, Cours d'A11alyse, tomo 2. 0 pág. 176 e seg. 1

Façamos agora na 3. 1 fórmula de Green,

r

=mod[P(a:.~:)]- O(a~r que seja o ponto do plano em que essa singularidade se dê. No espaço passa-se uma coisa análoga- pode então haver, não só pontos, mas linhas de st11gularidade; em todo o percurso fechado que ~nvolva urna linha dessas, a circulação não é nula mas tem um valor constante, dependente apenas do número de voltas que ele dá em torno da linha de sigularidade. 2. • - Anulamento da circulação. Seja o campo vectorial v (P) uniforme, continuo e derivável, e suponhamos que a circulação 4 nula ao longo de qualquer curva fechada (O) do campo. Tem-se então que, para toda a calote de superfície imersa no campo e apoiada em (C) é

Jl

rotvln. da=O o que exi-

ge que seja rotv=O em todo ocampo,istoéquev=grad V. Tem-se portanto que é condi-

çtlo necessária pat•a que a ci1·· culaçi1o slja nula ao longo de todo o pe1·curso (O) do campo v(P) que ele seja irrotacional. Por outro lado, o anulamento da circulação sobre todas ns curvas fechadas do ••tg. 69 campo exclui a hipótese de não-uniformidade de V acima mencionada, logo o campo deriva dum potencial-escalar. É claro que o anulamento da circulação ao longo de qualquer curva fechada do campo implica que a circulação entre dois pontos quaisquer do campo é independente do caminho. Sejam (fig. 67) os pontos A e B; de ser r.dGBHA=O resulta f..tas=fAHB· A

238

CAP. IV.

TEORIA DOS CAMPOS

propriedade anterior pode, portanto, enunciar-se dizendo que é condiçllo necessária para que a circulaçllo no campo v (P) 11(70 dependa do caminho que ele derive dum potencial (v. o teorema sobre a condição suficiente no final do parágrafo 4. 11 ). 3. a - Superfície fechado. Seja uma curva fechada (C) nas condições habituais e doas calotes de superfície apoiadas em (C) (fig. 69) e imer11as no campo v(P) nas condições habituais tam· bém ; sejam n, e n2 as normais exteriores a 8 1 e 8 2 • Aplicando a cada uma das calotes o teorema de Stokes, tem-se

j. v Idr = J. rt•ot v In, . d a = J. r

79)

J8t

• C

.JSt

!'Ot v

In1 . da

donde

JJ~, 1·ot vln, ·da-

80)

s

fl,

1·otv ln, ·da= O.

+ s,

s~ja = s, a superficie fechada form ada pela reunião das duas e -r o volume interior a S; como a normal n , exterior a S, coincide com n, sobre S, e é igual a- n, sobre S,, a igualdade 80) escreve-se

81)

j

1

rot v In · da

=

O

que exprime que atrat:és de toda a superficie fechada S, continua e encet·rando tlm dominio simplesmente conexo, imersa num campo vectorial v (P) uniforme, continno e derivável, é 11ulo o fluxo do rotacional do campo. Esta propriedade fornece uma nova demonstração da identidade divrot v:=O, visto que, pelo teorema de Ostrogradsky·Gauss, se tem

j~j~rotvln·da = J~Jldiv1·otv·dT

e o anulamento deste

integral para T qualquer implica o anulamento idêntico da função integranda. Esta demonstração é mais ger al que a data em 4 . 6 C) por não depender do. sistema particular de rE-ferência. 4. 8 - Fluxo conservativo. Suponhamos que o campo v(P) é solenoidal ; o fluxo é, então, C01lsert;alivo [4. 9, 1.•]. É fáci l expri-

PARÁGRAFO 13

239

mir o fluxo através de qualquer calote de superfície, apoiada num contorno fechado (C), na circulação ao longo desse contorno. Efectivamente, de ser divv =O resulta v =-mtu e a igualdade 79) escreve-se 82) que exprime que num campo solenoidal ojlu::co do vector v do campo através de qualquer calote de superfície apoiada num dado contorno fechado (O) é igual à circulaçl!o do potencial-vector de v ao longo de (O).

5. a -

Fórmula de Riemann.

Suponhamos que o campo vectorial

v(P) está sobre o plano O::c,::c2 (ou lhe é paralelo) e seja, nas condições habituais, uma curva fechada ( G) do plano, encerrando uma região simplesmente conexa S. É, então,

n = i,, da = d ::c, · d ::c2,

donde, pelo teorema de Stokes,

83) 6. a - Teorema do grodianle . Seja v um vector de direcção fixa, que se pode pôr, portanto, sob a forma v= V. a com a fixo; apliquemos-lhe o teorema de Stokes; tem-se [4. 5, 30)] 1·ot v= rot (V· a)=grad V !\a donde nl1·ot v=nlqrad V !\a =ai nf\gradV; por outro lado, v Idr = a I(V· dr) logo, substituindo na expressão do teorema de Stokes vem fl . 13, 6.a)] 84)

j ~V· d r = J'.J ~n 1\ grad V. d

!1 •

7. a - Comparação dos teoremas de Gauss e Stokes. Estes doi11 teoremas apresentam uma semelhança curiosa de conclusões:

a) ambos estabelecem, em determinadas condições, a independência

do integral pelo qual se exprimem em relação ao campo de

240


integração (fluxo conservativo ou indepf:lndência da circulação em relação ao caminho);

b) quando essa independência se verifica, é nulo o integral ao longo duma curva fechada (Stokes) ou sobre uma superflcie fechada (Gauss).

4. 14.

Resumo.

Seja o campo vectorial v ( P), uniforme e continuo, bem como as suas derivadas parciais de 1. 1 e 2. 8 ordem. Recordemos as seguintes definit;Des: a) Campo solenoidal, ou sem fonte (Quellenfrei)- aquele em que

divv =O. b) Campo irrotacional, ou lamelar, ou sem tu.rbilhllo (Wirbelfrei) -aquele em que rotv =O. c) Campo com potencial- aquele em que há uma função V( P) uniforme, continua e derivável, tal que v :c:: grad V. Estabeleceram-se as seguintes p1·opriedades:

1! - Todo o campo com potencial é irrotacional [4. 6, 45)]; em todo o campo v(P) irrotacíona.l existe um escalar V(P) tal qne v= grad V [4. 6, B), 2.']. 2.•-Todo o campo cujo vector é rotacional de outro é solenoidal [ 4. 6, 46)] ; em todo o campo v (P) solenoidal existe um vector u ( P) (potencial-vector) tal que rot u =v [ 4. 6, C), 2. •].

3. a - Em todo o campo solenoidal é nulo o fluxo total através de qualquer snperflcie fechada interior a esse campo, nas condições do teorema de Ostrogradsky-Gan~s [4. 9, 1. 1] ; em todo o campo solenoidal, o fluxo é conservativo [ 4. 9, 1. •J; em todo o campo solenoidal, o fluxo do vector v do campo através de qualquer calote de superficie apoiada num contorno fechado (C) é igual à circulação do potencial-vector de v ao longo de (C) [4. 13, 4!].

PARÁGRAFOS 13 e 14

241

4.a-o fluxo do rotacional do campo v( P) através duma su perficie fech vectorial 28; dum sistema 104 i dum tensor 107. Orientação dum segmento 2; dum sistema de eix os 28-30; duma área plana 46-48 ; dum volume 61 ; do espaço ( axialidade) 47; da normal a uma superfície 215; dum elemento de área 225; do percurso sobre uma curva 230-231.

ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS Ortogonal. Transformação linear 88, ~G-99. Ortog<malidcule v. Perpendicularidade. Oçculador. Plano--duma curva 171-173.

Paralelismo. Condições de--: de dois vectores 21, 32, 44-45; de recta~, de

planos, de recta e plano 55. Invariância com o grupo das transformações lineares 94. P aramitricas. Equações-- V. Equações. Parâmetros directores da recta 34 ; de Gauss l:i3-154. Perpe>1dicula•·idade. Condições de--: de dois vectores 54; de rectas, de planos, de recta c plano 65. Comportamento em face das transformações lineares 94-~5. Plano. Equações 34-36, 54, lí9-60, 127 i perpenclicularidade e paralelismo de - - a recta e plano õ5; tangente a uma superfície 155-156, 157, 1~0; normal a uma curva 172. Polar. Escalar-- 48 i vector-- 48. Potencial-escalar 201, 212i-- vector 213; vector--212; campo com --201, 211, 232, 235-237, 238, 240. Primitiva !

Calculo Vectorial, 3ª Edição

Calculo Vectorial

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