Calculo diferencial en varias variables

en varias variables Rubén Becerril Fonseca Daniel R. Jardón Arcos J. Guadalupe Reyes Victoria UNIVERSIDAD AUTONOMA MET...

Author: Ruben Becerril Fonseca | Daniel R. Jardon Arcos | J. Guadalupe Reyes Victoria

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en varias variables

Rubén Becerril Fonseca Daniel R. Jardón Arcos J. Guadalupe Reyes Victoria

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA Casa abierta al tiempo

División de Ciencias Biológicas y de la Salud

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo

Rector General Dr. Luis Mier y Terán Casanueva Secretario General Dr. Ricardo Solís Rosales UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Iztapalapa Rector Dr. José Lema Labadie Secretario Dr. Javier Rodríguez Lagunas División de Ciencias Biológicas y de la Salud Director Dr. Gerardo Saucedo Castañeda Secretario Académico Mtro. Arturo Preciado López División de Ciencias Básicas e Ingeniería Director Dr. Tomás Viveros García Secretario Dr. José Antonio de los Reyes Heredia

ISBN 970-31-0096-1 Primera Edición: 2002 Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Av. San Rafael Atlixco 186, Col. Vicentina México, D.F. 09340 Impreso y hecho en México



CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Rubén Becerril Fonseca Daniel Jardón Arcos J. Guadalupe Reyes Victoria Departamento de Matemáticas UAM-IZTAPALAPA 2002 © UAM-I





Prefacio Uno de los principales problemas que tiene un lector estudioso de las ciencias básicas (física, química, matemáticas) o de la ingeniería, es el .de-encontrar aislados en la abundante literatura muchos temas de su interés. Por un lado, los textos clásicos orientados hacia, las partes aplicadas de la ciencia que tienen relevancia, no son del todo accesibles al joven lector, y para su lectura imponen una cantidad considerable de prerrequisitos. Por otra parte, la literatura teórica en muchas ocasiones causa tedio en los aspirantes al ejercicio práctico de la ciencia. La presente obra trata de equilibrar las dos cuestiones: la parte teórica, de una forma simple, y su uso en las partes aplicadas de la ciencia, pensando en la formación del futuro científico, ingeniero, técnico, etcétera. Para su lectura se presuponen conocimientos elementales de cálculo diferencial de una variable. Los demás conceptos el lector no matemático puede irlos aprendiendo durante el camino. En el primer capítulo hacemos un bosquejo de los elementos necesarios para leer el trabajo, como son los sistemas de ecuaciones, las matrices y determinantes. De esta manera se hace una reseña de los elementos básicos del Algebra Lineal. El capítulo 2 trata de los aspectos básicos de los objetos geométricos elementales en el espacio Euclidiano: las rectas, los planos. Para su construcción necesitarnos los conceptos de vector, ángulo y distancia. Aquí se estudia también el problema de vectores y valores propios de una matriz cuadrada real. En el capítulo 3 se estudian los elementos básicos de las curvas planas y espaciales, sus propiedades diferenciables: su velocidad y aceleración. El capítulo 4 muestra el estudio de los campos escalares diferenciables Rrl —» IR , y los elementos para realizarlo: las derivadas parciales, el gradiente, el polinomio de Taylor, etcétera.



En el capítulo 5 se hace una muestra somera de la teoría básica de los campos vectoriales diferenciables del tipo K" —• Rm (n,m < 3) y los conceptos asociados más importantes se enuncian y ejemplifican: la divergencia, el rotor y el gradiente. En los apéndices se incluyen tópicos clásicos de los cursos de cálculo en varias variables como: elementos básicos de superficies en R3, orientación y longitud de una curva en M3, límites y continuidad de campos escalares, planos tangentes, valores extremos de un campo escalar y las funciones implícitas. Este libro es producto de varios cursos de Matemáticas IV para los estudiantes de Ciencias Biológicas y de la Salud (CBS) en la Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa, durante los años 1992 - 1999. La presentación es diferente de la de los cursos clásicos debido a que las necesidades de las propias licenciaturas (ingenieros bioquímicos, bioteenólogos y en alimentos) así lo requieren. Deseamos manifestar nuestro agradecimiento al Dr. Gerardo Saucedo, Director de la División de CBS, al M. en C. Arturo Preciado, Secretario Académico de la División de CBS, a la Dra. María José Arroyo, exDirectora de la División de CBI y al Dr. Ernesto Pérez, Jefe del Departamento de Matemáticas por todo el apoyo y entusiasmo que nos brindaron. También queremos resaltar la contribución de los profesores y alumnos que usaron versiones preliminares y cuyos valiosos comentarios nos ayudaron a mejorar el texto. La presentación final se logró gracias a la colaboración de Daniel Espinosa (Flash). Por último, quisiéramos agradecer a nuestras respectivas familias por toda la paciencia infatigable a lo largo de este proyecto. R.B.F., D.R.J.A., J.G.R.V. IZTAPALAPA 2002



Contenido Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 7 1.1 Sisteméis de ecuaciones 7 1.2 Matrices . , U 1.3 Operaciones básicas de matrices 12 1.4 Determinantes de orden tres 20 1.5 Inversa de una matriz 31 1.6 La regla de Cramer , . . 33 1.7 Sistemas lineales homogéneos 39 1.8 El método de Gauss-Jordan . . . 15 Capítulo 2. Vectores en R2 y R 3 2.1 Sistemáis de coordenadas en R 2 y R 3 2.2 El producto escalar y la norma en R 3 2.3 El producto vectorial , 2.4 El triple producto escalar y bases de R 3 2.5 Vectores y valores propios de una matriz . . - . - . . 2.6 Rectas y Planos en R 3 Capítulo 3. Curvas en R2 y en R3 3.1 Curvas suaves 3.2 La segunda derivada. Aceleración Capítulo 4. Campos escalares en R3 4.1 Regiones en R2 y R3 . , 4.2 Campos escalares en R3 . . . 4.3 Superficies y curvas de nivel 4.4 Derivadas parciales y el gradiente 4.5 La regla de la cadena 4.6 Derivada direccional 4.7 El Teorema de Taylor 4.8 Diferencial total de un campo escalar

65 65 72 . 82 86 96 110 127 127 146 149 149 155 158 : . . 165 170 . 176 179 195



CONTENIDO Capítulo 5. Campos vectoriales en R 3 5.1 Funciones del tipo R" -> R7" 5.2 La matriz jaeobiana . . : . . . . . . . . 5.3 La regla de la cadena 5.1 Cambios de coordenadas 5.5 Campos vectoriales en R 2 y R 3 5.6 Divergencia, gradiente y rotor

205 205 219 223 228 248 259

Capítulo 6. Elementos Básicos de Superficies en R3

277

G.l 6.2 6.3 6.1

Superñcies Superficies Superficies Elipsoides,

de revolución cilindricas cónicas Hiperboloides y Paraboloides

278 282 283 287

Capítulo 7. Orientación de curvas y poligonales 7.1 Orientación 7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas 7.3 Ejercicios

301 301 305 310

Capítulo 8. Límites y puntos singulares 8.1 Puntos de acumulación y límites 8.2 Puntos singulares 8.3 Continuidad

311 311 314 317

Capítulo 9. Valores extremos de funciones R2 —» R 9.1 Plano tangente 9.2 Puntos regulares y críticos 9.3 Formas cuadráticas básicas . 9.4 Puntos críticos no degenerados 9.5 Multiplicadores de Lagrange

321 321 324 327 333 347

Capítulo 10. Funciones implícitas

361



Capítulo 1

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 1.1

Sistemas de ecuaciones

Iniciamos con el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2 con coeficientes reales de la forma

aux + a12y = donde o n , a i 2 , 021, 022? &i y ^2 son constantes reales y x,y son incógnitas. < Despejamos a la variable x de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda. De la relación

aux + ai2y = bx se obtiene que aux = 61 - ai2y lo que implica que, si an / 0, entonces —

Al sustituir en la segunda ecuación del sistema se tiene



8

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

que nos permite resolver para la variable y de la siguiente forma. De la ecuación b2 =

d2\{b\ - a\2y) au

se obtiene anb2 - a2\bi - a2iüi2y + ana22y de donde, aub2 - a2ibi = y(aua22 De esta manera, si a\\a22 — a2\a\2 ^ 0

entonces podemos despejar a y, quedando = y

d\\a22 — a2\a\2

Es decir, y =

Al sustituir esta igualdad en la ecuación (*) se obtiene la indeterminada x de la siguiente cadena de igualdades b\ -

Q11Q22-Q21012

_

X — 61(011022-021012) - Q Q11Q22-Q21Q12

De donde, b\a22 — a\2b2 x =

>

Concluimos la discusión con el siguiente lema. LEMA 1.1 Para el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas \ a2xx -f a22y = by con an, a\2, a2\, a22, b\, b2 números reales, se tiene la solución dada por la pareja b\a22 x =



1.1 Sistemas de ecuaciones

y

aub2

-

sabiendo que a\ia22 ~ «2i«i2 7^ 0 NOTACIÓN. Para una expresión real ad — be definimos el arreglo a b c d mediante la igualdad a b c d

EJEMPLO. Para

— ad — be

ai2, «12, ,«22> ^í* b2 números reales arbitrarios te-

nemos «11 «21 b\ b2

aub2

-

«12 «22

«12 a22

b2

En esta notación, las soluciones del sistema dado en el Lema 1.1 se escriben b\ aX2 «ii b2 a22 x = «11 «21

«12 «22

«11 «21

«12 «22

Para tal sistema de ecuaciones se introduce el siguiente arreglo formado por los coeficientes que intervienen en el sistema «12 «22

«n «21

b\ b2

y le llamamos la matriz principal del sistema. Se obtienen de esta las submatrices cuadradas (2 x 2), «11 «21

«12 «22

b\ b2

«12 a22

«n

y a cada arreglo se le asocia un número distinguido propio D =

«11 «21

«12 «22

«11 «21

«12 «22




10

Dx =

h

«12

\

bx

«12

b2

«22

/

«2

«22

«n

h

«21

b2

«n )

b2

«21

llamados sus determinantes correspondientes. Con esta última notación se tiene el siguiente resultado. COROLARIO 1.1 Las soluciones x, y del sistema inicial se calculan por

sabiendo que D / 0. EJEMPLO. Resolver el sistema 2x-3y = l 3x + 2y = 2 La matriz principal del sistema es 2 -3 1 3 2 2 Las submatrices asociadas son 2 -3 \ / 1 3 2 j ' \2

-3 2

2 1 3 2

y los determinantes correspondientes se calculan D =

2

3

-3 \ 2

2 3

Jl

( 1 -3

U2 f

3

-3 2

1 2

2 1 2

-3 2

2 1 3 2

4 + 9 = 13^0 =2+6=8 -4-3=1

Esto nos lleva a que las soluciones del sistema de ecuaciones son _ Dx _ 8 X

~ ~D ~ 13

En la discusión mostrada al resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas nos encontramos con los conceptos auxiliares de solución que son, las matrices y los determinantes. Estudiamos estos objetos matemáticos y sus propiedades en las próximas secciones. Más adelante volveremos al problema de resolver sistemas de ecuaciones lineales.



1.2 Matrices

1. 2

11

Matrices

Un arreglo de la forma /

\

«11

«12

«13 ' ' '«ln

«21

«22

« 2 3 '*'«2n

«mi

«m2

«m3 ' ' ' arnn

\

donde cada a-vj es un número real, se llamará una matriz real de dimensiones m x n. Esto es, el arreglo consta de m — renglones y n — columnas El i-ésimo renglón de la matriz sería •''

a

in

y se llamaría el i-ésimo vector renglón. Al arreglo

\

aiJ

\

«mj

se le denomina el j-ésimo vector columna. Una entrada a¿j de la matriz estaría en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna (i define los renglones y j define las columnas). EJEMPLO. La matriz real

7

-2

es de (3 x 5). 1 0

Determinantes de orden tres

En esta parte definimos para las matrices cuadradas de dimensiones 2 x 2 y 3 x 3 , un número característico: su determinante. Este concepto, así como sus propiedades, pueden ser generalizadas para matrices cuadradas de dimensiones mayores. Para una matriz cuadrada de 2 x 2 real A=

«11

«12

«21

«22

se define el número característico |^4| llamado su determinante, por la igualdad \A\ =

«11 «21

«12 «22

= «11 «22 — «21 «12-



1.4 Determinantes de orden tres

21

Cambiando un poco la notación, lo anterior nos dice que para la mntriz

A = ( a* fl su determinante se calcula por la igualdad ai

= (lib-2 — a.ob\ —

ai

do

a-2

Esto nos dice que los determinantes la de su transpuesta A 1 son iguales.

de una matriz

A de orden

2 x 2 y

EJEMPLO. El determinante de la matriz 2 1 1 1

A= se calcula 2 1

Para una matriz real de 3 x 3

= |

ai a2 «3

bi c\ b2 o¿ h 2

C2

b¿

c¿

a2

c2

a2

62

«3

C3

^3

^>3

1

C3




24

Si se definen c2

Ai = cofactor (a x ) = ( - 1 ) 1 + 1 £?i = cofactor

(61) = (—1)1+

a2

c2 «3

d = cofactor

(Cl) = ( - 1 ) 1 + 3 «3

en esta notación, el determinante se puede desarrollar mediante ai

61

Ci

a2

62

C2

Un resulado más general sobre el desarrollo de un determinante viene dado por el siguiente teorema, cuya prueba omitimos. T E O R E M A 1.3 (del desarrollo) Cualquier determinante 3 x 3 se calcula como la suma de los términos de un renglón (o una columna) por sus cofactores. En particular, al desarrollar por la tercer columna, ai

61

ci

a

^2

C

2

2

= C\C\ 4- C2C2 -

C3

donde el cofactor de c\ es C\ —

&2

t>2

d3

b3

el cofactor de C2 es ai

bi

«3 ¿>3

ai bi Q2 62

es cofactor de C3. > EJEMPLO. Calcular el determinante 1 0 -1 4 0 - 1 0 2 4




25

desarrollando por la segunda columna. LEMA 1.2 5¿ un determinante cambia los renglones por columnas, no se altera tal. Esto es, el determinante de una matriz y el determinante de su transpuesta coinciden. < Por el teorema del desarrollo tenemos CL2

C

4-

2

«3

ai

a2

a3

b\

62

63

c\

c2 c3

LEMA 1.3 5z en un determinante se intercambian dos renglones (o dos columnas) el signo del determinante se cambia. < Por el teorema del desarrollo se tiene a

2

-biBi+cid

«3

— c2b3) — bi(a2cs — a^c2) -f 01(0262' — #3^2)




26

Por otro lado, al calcular el determinante después de intercambiar los dos primeros renglones, obtenemos a2 b2 a\ b\ ci3 b3

c2 c\ c3

= CL2(b\C3 — C\b3) — b2(aic3

= -a1(b2c3

- c2b3) + bi(a2c3 ax b1 a2 b2 ci3 b3

— a3c\) +

- c2a3) - ci(a2b3 ci c2 c3

c2(a\b3— -

a3b2)

O

EJEMPLO. Ya hemos calculado el determinante 1 4 0

0 -1 0 - 1 2 4

= -6

< Si intercambiamos las columnas primera y segunda, obtenemos, al desarrollar por la nueva primer columna 0 0 2

1 -1 4 - 1 0 4

= 2

1 4

-1 = 2(-l+4) = -1

Del Lema 1.3, para el determinante con dos renglones iguales, al intercambiarlos, obtenemos ai ai

bi

C\

h

C\

«3

b3 c3

= -

a1

bi

ai

b\ C\ b3 c3

«3

C\

lo que implica que tal determinante es nulo debido a que 0 es el único número real que es igual a su negativo. Esto es, COROLARIO 1.2 Si en un determinante se repiten dos renglones o dos columnas el determinante vale cero.

EJEMPLO. Por un cálculo directo, se tiene que el determinante siguiente con dos renglones iguales 1 0 1 1 3 4 -3 1 3 4

1 1 4

1 1 -3(4-1)-3(4-1) = 0 1 4

cuando se desarrolla por la segunda columna. Tenemos además el siguiente importante resultado sobre desarrollos.




27

COROLARIO 1.3 La suma de los productos pares de los elementos de una fila o renglón por los complementos algebraicos correspondientes es cero. Es decir, para cualquier determinante se cumplen las igualdades

-o 61 ¿ i + b2A2 + b3A3 = 0 C\A\ + C2A2 + C3.A3 = O i

ai

bi

al desarrollar tal determinante por el segundo reglón se tiene 0 =

«1 «1

h h

a3

b3

&3

Q

C3

ai

Ci

ai

bi

a3

c3

a3

63

i42 4-^1^2 + C1C2

lo que prueba la primer igualdad. Las otras se prueban de forma análoga. > OBSERVACIÓN. Para cualquier escalar A £ R se tiene que Aai

^1

^ci

tt2 a3

b2 b3

C2 c3

li + A61S1 + Aci = A(aii4i + biBi + cid)

= A

ai

61 ci

a2

b2

c2

a3

b3

c3

Esto se resume en el siguiente resultado.




28

L E M A 1.4 Se puede sacar fuera del determinante un factor común de los elementos de un renglón (o una columna). OBSERVACIÓN. Utilizando el Lema 1.4 con A = 0, obtenemos, 0 a

2

«3

0 0 b2 c 2 bs C3

0&i

ai C

=

C2

3

«3

«3

63

= 0

O

C3

lo que nos conduce al siguiente corolario. C O R O L A R I O 1.4 5z en un determinante un renglón (o una columna) tiene todos sus elementos cero, entonces su valor es cero. OBSERVACIÓN. Sea A un número real tal que a\ — Aa2, ¿>i = A62, C\ — AC2, entonces de acuerdo al Lema 1.4 y al corolario 1.4, al a2

h

a

c2

b2

= =

=X

Ü9

2 2

= 0

>

C3

C3

C3

^3

a

Esto implica el siguiente corolario. C O R O L A R I O 1.5 Si en un determinante un renglón (o una columna) es proporcional a otro renglón (o a otra columna) entonces tal vale cero. EJEMPLO. Al calcular el determinante 1 0 1 3 4 12

1 4 16

1 1 4(1)

=

0 3 4(3)

1 4 4(4)

1 0 1 1 3 4 1 3 4

-4

- 4(0) = 0

en virtud que el último determinante tiene dos renglones repetidos y se anula. OBSERVACIÓN. Sean Ai,/?i,7i números reales arbitrarios, entonces -h Ai a2 «3

&i + /?i

ci + 7i C

¿>2 ¿>3

2 C3

-6iBi •

4- (Aiî

«i

bi

c\

tt9

L?2

C2

tt

^3

C

3

3

4~ fl

3

+.

71 Cx

Ai

/3i

7i

Ü2

t?2

^2

^3

C3

Resumimos la discusión previa en el siguiente:




29

COROLARIO 1.6 Si en un determinante un renglón (o una columna) los elementos son sumas, entonces tal determinante puede ser descompuesto como la suma de los determinantes de los sumandos correspondientes (respetando factores). EJEMPLO. Calcular el determinante 4 1 -1

5 6 0 1 1 0

< Claramente se puede descomponer en la siguiente cadena. 4 5 6 1 0 1 1 1 0

-u

=

2+ 2 1 -1

2+ 3 O 1

2 1 -1

3+ 3 1 O

0 1 1 O

2 3 1 O

+

-3

2 3 0 1 1 0

2 1 1

+

3 3 O 1 1 O

1 1 -1 0

= (2(-l) + 3 - 2) + (3 - (2 - 3)) - (-1) + 4 = 3 donde los determinantes en la última suma se han calculado, el primero desarrollando por la primer columna, y el segundo por su segunda columna.

COROLARIO 1.7 El valor del determinante no cambia cuando a un renglón (o una columna) se le agregan proporcionales de otro renglón (columna) paralelo. < Sea A e R un escalar arbitrario, entonces, ya que un determinante con un renglón repetido es cero, tenemos que

0-2

^2

a-3

b3

C

&2

C2

2

C3

b\

C\

0.2

62

C2

as

¿>3

c3

ai ± AÍ =

±X

a2

62

Q>2

+

Q>2

«3

O2

C2 C

3

± A62 Ci ± AC2 62 C2 í>3 C3




30

Todas los resultados enunciados se llaman transformaciones elementales de los determinantes. EJEMPLO. Calcular el determinante 1 2 3 2 1 2 3 2 1 O Con arreglo al Colorario 1.7 esto se puede calcular por la cadena de igualdades 1 2-2(1) 3-3(1)

1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 0 0

2 -3 -4

3 -4 -8

-3 -4

2 1-2(2) 2-3(2) -4 -8

3 2-2(3) 1-3(3)

= 24 - 16 = 8 O

Estos resultados sobre transformaciones elementales de los determinantes se pueden generalizar para órdenes (dimensiones) más grandes. Aquí hemos detallado la teoría apenas para órdenes 2 y 3. Tenemos el siguiente resultado para el cálculo del del determinante de un producto de matrices cuadradas. TEOREMA 1.4 (determinante de un producto) Sean A = A-¿x-¿, B = #3x3 dos matrices cuadradas de 3 x 3, entonces \AB\ = \A\\B\ Esto es, el determinante de un producto es el producto de los determinantes < Es un cálculo directo y omitimos su demostración O EJEMPLO. Sean las matrices A—

B =

verificar la igualdad \AB\ = \A\\B\. < En el anterior ejemplo se calcularon los determinantes 1 2 3 2 3 1 3 1 2

\B\ =

1 2 3 0 3 1 0 1 2



1.5 Inversa de una matriz

31

de donde \A\\B\ = ( —18)(5) = - 9 0 Por otro lado, 1 2

AB =

3

2 3 1

3 \ / 1 2

o 10

1

2 /

3 1

1 2 3

3 1 2

11 11 14 11 11 14

cuyo determinante se calcula

AB\ =

1 0 0

1 11 11 2 14 11 3 11 14

11 11 - 8 -11 -22 -19

-8 -22

1 2-2(1) 3-3(1) -11 -19

11 14-2(11) 11-3(11)

11 11-2(11) 14-3(11)

= 8(19) - 11(22) = 152 - 242 = - 9 0

que prueba la igualdad mencionada. \>

1.5

Inversa de una matriz

Damos una forma de calcular la inversa de una matriz cuadrada de 2 x 2, así como una condición necesaria y suficiente de su existencia. Una matriz cuadrada A = A2X2 =

a b c d

es invertible si existe una matriz B — £?2x2 =

x y z w

tal que / = AB = BA, donde T

1 0 0 1

es la matriz identidad de 2 x 2. Se identifica B — A~~l y se llama matriz inversa de A. T E O R E M A 1.5 Si A = A2X2 es tal que \A\ / 0, entonces A es invertible.




32

Analicemos por un momento el sistema matricial asociado al sistema de ecuaciones AX = d y la ecuación matricial de soluciones X = Bd Estas podrían escribirse por la pareja AX = Id IX = Bd donde / es la matriz identidad de 3 x 3. Un procedimiento general del Método de Gauss-Jordan para resolver el sistema nos llevaría a considerar la matriz siguiente de 3 x 6 ai M = \ a2

&i ci b2

c2 c3

1 0 0 0 0

1 0 0 1



1.8 El método de Gauss-Jordan

57

y mediante operaciones elementales llevarla (según la segunda ecuación matricial) a la matriz de 3 x 6: / 1 0 N = I 0

I

\ 0 0

0

ai

(3i 7i

0

a2

02

72

1 a3

03

73

que resolvería el sistema de ecuaciones dado. En otras palabras, dada una matriz ^3x3 que se pueda invertir, el proceso de llevar a la matriz M en la matriz N mediante operaciones elementales nos permite calcular la matriz inversa B de A, cuando se considera la submatriz 3 x 3 de JV que se conforma desde la cuarta columna:

Este método nos permite entonces calcular la inversa de una matriz cuadrada si es invertible. En el caso de que no sea invertible la matriz inicial, el método mismo nos lleva a un absurdo durante los cálculos de las operaciones elementales. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos. EJEMPLO. Calcular la inversa de la matriz A=

< Ya hemos calculado |J4| = —1, lo que indica que A es invertible. Construimos la matriz de Gauss-Jordan y procedemos a realizar operaciones elementales. 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 I (2fii - R2) -> fi2, 1 0 8 0 0 1

(~R2) — R2 1 2 3 1 0 0 0 1 - 3 - 2 1 0 ) 0 2 - 5 1 0 - 1

(2R2-R3)-+R3



58

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 1 2 3 1 0 0 \ 0 1 - 3 - 2 1 0 (-fl 3 ) -> R3 0 0 - 1 - 5 2 1 / 1 2 3 1 0 0 1 - 3 - 2 1 0 0 1 5 -2 1 0 0

-2 1 0 -1 0 0

0 \ 0 I (3R3 + fí2) -> -R2, (3#3 - ñ i ) - • ñ i -1 /

0 14 0 13 1 5

-6 -3 - 5 - 3 | (2# 2 4- fíi) -> i?! - 2 - 1

0 0 40 - 1 6 - 9 1 0 13 - 5 - 3 | (-/?!) -^ i?! 0 1 5 - 2 - 1 1 0 0

0 0 1 0 0 1

-40 13 5

16 9 - 5 - 3 - 2 - 1

Esto implica que la matriz inversa A~l de matriz dada A es A'1

= (

-40 13 5

16 -5 -2

9 -3 -1

Dejamos al lector verificar que a~lA = / D> Este procedimiento sirve también para calcular inversas de matrices de 2 x 2 , como lo ilustra el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Sea A la matriz de 2 x 2 dada por

1 1 O Ya hemos calculado su determinante, obteniendo |^4| = 1, lo que le hace una matriz invertible. Construimos la matriz de Gauss-Jordán y le aplicamos operaciones elementales para calcular A~l\

1 1 0 1J

ñl

~

R2

2 1 5 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


1.8 El método de Gauss-Jordán

59

1 1 0 1\ 0 1 - 1 2 ; (^2-rtlJ-iíl - 1 0 - 1 1 0 1-12 / 1 0

1

-1

~ vo 1 -1 2 Esto nos dice que la matriz inversa de A es -1 EJEMPLO. Consideremos la matriz A=

R2,(Ri

1 6 4 1 0 0 0 8 9 2 - 1 0 ) 0 8 9 1 0 1

+R3) -» #3

(R2- R3) -> R

3

1 6 4 1 0 0 0 8 9 1 0 0 0 0 0 1 - 1 - 1 Ya que el renglón tercero de esta última matriz tiene ceros en sus tres primeros lugares, no es posible conseguir en adelante una matriz de forma

que nos permita continuar el proceso. De aquí que el mismo Método de Gauss-Jordán pone obstrucciones por sí mismo para calcular una inversa de A, si es que A no es invertible. D>




60

Ejercicios. 1. Dadas las matrices

A=

- 1 0 1 3 \ I -2 1 0 -1 0 1 - 1 2

/ 4 5 3 2 1 , 5 = 1 3 4 0 - 1 - 2 0 3 1 0

3x4

3x4

Realizar las operaciones matriciales A - B, B - A, 2A, —6B, 2A - 3B, (A +

B)\Al - 2B\ Bl - 2A\Al 4- \B*. 2. Dadas las matrices

3x3

3x2

a. Calcular C 2 , C 3 , DC, CDl,DE, ED, {DE)2, (ED)2. b. Si A y B son como el ejercicio 1, calcular CA,AlC,DCA,DCB. 3. Calcular, usando el teorema 1.5, la inversa de la matriz indicada. A=

3 -1 \ 1

0

„

/ 4 2 0

3

4. Calcular los siguientes determinantes

a. Mediante la segunda columna,

1 3 -1

1 1 1

3 - 1 0 1 2 -1 0 4 3

b. Mediante el tercer renglón.

c. Mediante la primera columna.

d. Mediante la primera columna.

2 0 4

0 - 1 1 4 3 2 1 6 3

0 1 0 0 eos tp - sin (p 0 sin ip eos (p




61

donde es un ángulo arbitrario. e.

2 3 2 a+3 2 c+3

4 b+A d+4

1 x x

f.

h.

1 1 Ai O O

2

2/ 2/ z z2 1 A2 O

Ai O O

O A2 O

O O A3

O 1 A2

5. Un número real A se llamará un valor propio de la matriz cuadrada ^3x3(0 ^2x2) si satisface la ecuación característica det(A - XI) = 0 donde / es la matriz identidad. Calcular los valores propios de las siguientes matrices a.

2 1

1 1

b.

-1

6. Calcular los determinantes de las matrices dadas.

7. Resolver mediante El método de Cramer los sistemas, a. 5x — y — z = 0 r -f- 2y + 3z = 14 r _i_ ^ ?/ 4-22 — 16

b.

x + 3y - 6z = 12 z + 2y + bz = -10 2x + 5y + 2z = 6 c.




62

d. x 4- y 4- z — O 3x 4- 6y 4- 5z = O x 4- 4y 4- 3z = O 8. Resolver mediante El método Gauss-Jordan los sistemas a. 3xi 4- 2x 2 = 4 X\ — 4x 2 — —1 7xi 4- 10x2 = 12 3xi — 16x2 = — 5

b. xi 4- 5x 2 4- 4x 3 = 1 2xi 4- 10x2 4- 8x 3 = 3 3xi 4- 15x2 4- 12x3 = 5

c. X\ — 3x 2 4- 2x3 = — 1 x\ 4- 9x 2 4- 6x3 = 3 x\ + 3x 2 4- 4x 3 = 1

d. 2xi + x 2 - x 3 = 5 xi - 2 x 2 4-3x3 = - 3 lx\ 4- x 2 — X3 = 10

e. 2x\ — x 2 4- 3x3 4- 2x5 = 1 x i 4- X2 — X3 4- X4 = 4 Xi — X3 4- 2x4 = 6 3xi — X2 4- X3 — X4 = 0

f. 3xi - x 2 4- x 3 4- 2x 5 = 18 2xi - 5x 2 4- x 4 4- x 5 = - 7 Xi — X4 4- 2x5 = 6 2x 2 4- x 3 4- x 4 - x 5 = 10 xi 4- x 2 - 3x 3 4- x 4 = 1

g. 4xi 4- 2x 2 + 3x 3 = - 2 2xi 4- 8x 2 - x 3 = 8 9xi 4- x 2 4- 8x3 = 0




63

9. Mediante El método de Gauss-Jordán, calcular las matrices inversas (si las hay) de

/ 1 1 1 \ 1

/ 1 0 h. 0 \ 0

0 0 0 \ 1 0 0 1 2 0 1 2 4/

0 2 0 0

0 0 3 0

0 \ 0 0 4 )

10. Una matriz A se llamará ortogonal si satisface que A1 A — I. ¿Cuáles de las siguientes matrices son ortogonales?

d.

a.

0 1

-1 2

2 1

-1 0

b.

2 -1

1 0

c.

2 1

f.

_2 0 1

—;1 \ 2

)

0 -1 0

1 0





Capítulo 2

Vectores en M2 y TD)3 2.1

Sistemas de coordenadas en M2 y M3

Comenzamos ahora el estudio de la geometría de los espacios IR2 y R 3 proviéndolos de un sistema de coordenadas cartesiano. A cada punto, p en un espacio real se le asocia una n-ada de números de una manera binívoca p
xi Para un espacio bidimensional n — 2, se necesitan dos coordenadas, R2 :

p^>(Xx)



Vectores en R2 y

66

Para un espacio tridimensional n — 3, son necesarias tres coordenadas, R3 :

p
(xux2,x3)

Para el espacio cuatridimensional n — 4, se necesitan cuatro coordenadas, : p La figura 2.1 ilustra este ejemplo para n = 1, 2, 3.

(-1.2)

-1

Figura 2.1: Coordenadas en Rn para un entero positivo n pequeño. La localización de un punto p con sus coordenadas asociadas #i, • • • ,xn en un espacio real Rn se hace mediante un sistema rectangular de ejes que tienen coincidencia en el punto común 0, y que están graduados por unidades escogidas previamente. EJEMPLO. a. El punto ( — 1,2) describe de manera única a un punto en el plano R2. La manera de localizarlo se muestra en la figura 2.1. b. El punto (1,-1,2) describe una posición en el espacio R3. La figura 2.1 muestra la forma de localizarlo en el espacio. c. El punto (0,-1,1,4,-3) describe de forma única una posición en el espacio real de dimensión 5 (R°). EJEMPLO. Al estudiar un gas ideal se toman las variables principales P — Presión, V = Volumen, T — Temperatura. < De esta manera, cada estado del gas se representa por una tripleta {P,V,T)



2.1 Sistemas de coordenadas en R2 y R;i

67

que corresponde a un punto en R'1. \> EJEMPLO. Para estudiar un sistema de cuerpos puntuales que se mueven en el espacio R'\ es necesario determinar la posición de los cuerpos mediante un sistema de coordenadas. Así, si tenemos los cuerpos m\, ///•_>, • • • • ttin. a cada uno le corresponde una posición en Rf dada, por

respectivamente, en cada instante del movimiento. La figura 2.2 ilustra esta situación.

r x2

Figura 2.2: Cuerpos moviéndose (in el es])acio tridimensional. A continución, le damos una estructura algebraica a R" definiendo dos operaciones: la suma de puntos, y el producto de un número real (escalar) por un punto de R n . Dados dos puntos p = (xi, x2, • • • i xn), q = (vi, Vi, • • * •» Vn)i (>li v\ espacio R n , se define el punto p 4- q como aquél punto con coordenadas p 4- q = (xi 4- 2/i, x2 4- y2, • • • , ^« 4- ?/„.) EJEMPLO. En el plano R 2 , si p = (-1,2). q = (3,7) entonces el punto p 4- ^ E R2 es aquél que se obtiene mediante p + ry = ( - 1 , 2) 4- (3, 7) = ( - 1 4- 3, 2 4-7) = (2, 9) EJEMPLO. En el espacio R 3 , si p = (-1,4,2) y q = (TT. \[2, i ) , se tiene que A

.

.

<Si

_

Dados, el punto p = (x¡, 2:2, • • • , xn) en R r ', y el escalar A. se define el nuevo punto Xp como aquél en Rn con las coordenadas



Vectores en R2 y R3

68

EJEMPLO. a. Sean p = ( - 1 , 2 , \,í)

en R4 y A = 3, entonces

Xp = 3 ( - l , 2 , - , i) = (-3,6,1,12) o h. Sran p = ( 1 , - 1 , 6 , yrS) en R5 y A = - 5 entonces, Ap = ( - 5 , 5 , - 3 0 , - 1 , - 4 0 ) Las operaciones definidas de esta manera tienen propiedades heredadas de las propiedades de los números reales. Esto se observa en el siguiente, L E M A 2 . 1 Si p[,P'2*(ji,(i2 £ R" y A,/¿ £ R se cumplen

las igualdades

a. (pi + P'i) + (¡i = P\ + {P2 + Qi) b. P\ +(1\ = q\ 4-Pi c.

d. (A + e. 5/ O = (0, • • • , 0) es el punto en R" con coordenadas nulas, entonces, para todo punto p G R" .se cumple que p-hO-p f. 5/ se toma A = — 1, entonces al definir por ( — l)p = —p, se cumple

< Son cálculos directos realizados mediante las coordenadas. Por ejemplo, para demostrar la propiedad b., si p\ = (x\,X2, • • • ,#„), v 9i = (2/i»2/2. • • • . 2/u), entonces

, 2/2 ' " "



2.1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s e n R 2 y R:*

69

La propiedad c. se demuestra mediante la, cadena de igualdades: - • • ,;, • • • , xn) — {Xx\, A.r2, • • • , Xxn)

tiene un vector de posición que está en la misma dirección que p, satisfaciendo i. si 0 < A < 1, entonces Xp es un encogimiento de p, pero tiene el mismo sentido. ii. si 1 < A, entonces Xp es un estiramiento de p en el mismo sentido. iii. si A < 0, es Xp un vector en sentido inverso de p. Por lo anterior, a los puntos asociados con vectores de posición les llamamos también vectores. Así, al conjunto

provisto de la suma de puntos p 4- q y el producto de un punto por un escalar Xp le llamaremos el espacio vectorial real de dimensión n. Consecuentemente, a los puntos de R n les llamaremos también vectores. NOTACIÓN. En adelante se definen a los puntos de un espacio real específico por las letras Posponiendo subíndices en sus coordenadas. Para ejemplos p= ( p i , p 2 , ' " ,Pn)



2.1 Sistemas de coordenadas en R2 y R3

71

Por otro lado, cuando se trate de especificar un punto como un vector adoptaremos la notación por letras del tipo

poniendo superíndices en sus coordenadas. Para ejemplos

C = (C\CV--,Cn) La ventaja de reconocer a un punto de un vector mediante la notación se observa en las aplicaciones. Por ejemplo, al momento de estudiar a un vector que actúa en un punto se hace tal distinción. Esto se concreta a continuación. Dado un punto p € R2 arbitrario y otro q (móvil), se define un vector localizado £, o de posición, como el vector que nace en el punto p y tiene extremo final en el punto q.

Figura 2.4: Vector localizado en un punto. < Por la regla del paralelogramo se tiene de la figura 2.4, que Z+P = q de donde (, =

q-p

que nos indica que, el vector localizado £ está definido por la diferencia Q-P

>

Este concepto de vector localizado se puede generalizar parap, q, £ £ R n , sin ninguna dificultad.



Vectores en R2 y R3

72

EJEMPLO. Dados p = (1,2, - 1 ) y q = (-3,5,0) en el espacio tridimensional, el vector localizado f que comienza en p y tiene extremo en q se calcula por

Por otro lado, dados un punto p G R n y £ un vector localizado, con un extremo inicial en p, se puede conseguir siempre un punto q tal que f = Q - íÔbservamos que dos vectores de posición £, //, G R n son paralelos si son proporcionales (están en la misma dirección), es decir, si son múltiplos por un escalar A, es decir, £ = Xr]. Por lo tanto, se tiene que dos vectores localizados son paralelos si son proporcionales entre sí.

2.2

El producto escalar y la norma en R3

Ahora damos un repaso a los elementos necesarios para poder definir a los objetos geométricos o físicos que pueden ser descritos por subconjuntos del plano o del espacio. Estos elementos son ya conocidos seguramente por el lector en los cursos básicos de geometría analítica, pero se repasan para no olvidarlos. De los cursos básicos de geometría analítica, se sabe de la posibilidad de hacer mediciones de distancias entre dos puntos que están contenidos en R , provisto de un sistema coordenado cartesiano. Dados los puntos p = (xi, y\, z\) y q — (x2, y2, z2), si definimos por i la distancia entre ellos, ésta se calcula por la fórmula í2 = (Xl - x2f + (j/x - y2)2 + (z, -

z2f.

Al espacio R 3 con la longitud entre dos puntos definida de esta forma, le llamaremos el espacio Euclidiano R 3 . Observamos que en el caso q = (0,0,0) se tiene que

que es la distancia al cuadrado de p al origen. De esta manera, si p = (xo,yo,zo) es un punto arbitrario de R 3 , entonces su distancia del origen, también llamada su norma, se calcula por la expresión



2.2 El producto escalar y la norma en R3

73

Una manera de inducir una longitud (norma) en R3 es a través de la definición de un producto escalar. Esto está motivado de la relación para p = (x, y, z), \\p\\2 = (x)2 + (y)2 + (z)2 = (x)(x) + (y)(y) + (z)(z) que puede definirse por (x){x) + (y)(y) + {z)(z) =< (x,y,z),

(x,y,z)

>=

donde < p,p > se define por la primer expresión en la cadena de igualdades. Aquí hacemos la primer distinción entre los puntos y los vectores. Más que definir la operación < , > para puntos, es más conveniente definirla para vectores, con motivo de las aplicaciones. DEFINICIÓN. Dados los vectores £ = (£\£ 2 ,£ 3 ), rj = (r?\VW) en el espacio cartesiano R3, se define el producto escalar de ellos, definido por < £,77 >, como el número real (escalar)

Observemos que el producto escalar es una operación ejercida sobre una pareja de vectores y su valor es un número real. EJEMPLO. Si 6 = (-1,0,3) y £2 = (£,>/2,4) en R3, se tiene que su producto escalar es

=< (-1,0,3), (j¿,y/2,4) >= (-1) Q

EJEMPLO. Dados los vectores £1 = (4, -1) y £2 = (1,4) se tiene que su producto escalar en el plano, está dado por < 6 , 6 >=< (4, -1), (1,4) >= (4)(1) + (-1)(4) - 4 - 4 = 0 El producto escalar definirá una norma en virtud del siguiente Lema. 1

En algunos textos clásicos la notación utilizada para el producto escalar es mediante un punto •, corno se indica < {,,1 > =

^••n

que hace que también se le llame producto punto. Nosotros utilizaremos en este trabajo la notación < , > para efectuar las operaciones que lo requieran.



Vectores en R2 y R3

74

LEMA 2.2 Dados los vectores £,77, £1,^2 en el espacio Cartesiano R 3 , y los números reales Ai, A2 son justas las fórmulas a. < f, 77 > = < 77, £ > b . < ATfi + A2f2> r; > = Ai < £1, 77 > +A2 < £2,77 > c. < £ , £ > > 0 para ¿ocio £. De hecho, < £, £ > = 0 si y sólo si, £ = 0. +A2 < (^,í22,^3),('?1,r,2,r?3) > = Ai < î,r/ > +A2 < £2,f7 > c. Por un cálculo directo,

< Í¿ >=< (t\e,e), (e,e,ñ >= (e1)2 + (ñ2 + (ñ2 > o De hecho, Oí1)2 + (e2)2 + (£3)2 = 0 En general, si £ = (£*,£2, • • • £ n ) es un vector en R n , y lo definimos por et = (0,0,«-• ,1,0,0) al vector con 1 en la z-ésima coordenada y con las demás coordenadas nulas, se obtiene que lo que nos da la z-ésima coordenada de £. De esta forma £ en R3 se puede escribir como

£ = ^(i,o,o) + £2(o,i,o) + ^3(o, 0,1) = ( e 1 , ^ 3 ) es decir, donde los vectores eL son como se definieron. EJEMPLOS. a. El vector £i = ( — 1,4, —2) se puede escribir en términos de los vectores ei, e-2, e3 como, d = ( - 1 , 4 , - 2 ) = (-1,0,0) 4- (0,4,0) + (0,0,-2) = -1(1,0,0)+4(0,1,0) -2(0,0,1) = - l e í + 4e2 - 2e3 b. El vector £2 = (2,0,3) se escribe como £2 = 2ex + 0e2 + 3e3 = 2ex + 3e3 > Los vectores ei,e 2 ,e 3 definidos de esta forma son llamados vectores canónicos y satisfacen: a. En producto escalar de un vector canónico consigo mismo es la unidad, < ei,ei > = 1, < e 2 ,e 2 > = 1, < e 3 ,e 3 > = 1 b. El producto escalar entre dos de ellos diferentes es cero, < ei,e 2 > = < (1,0,0), (0,1,0) > = 0, < e i , e 3 > = 0 ,

<e2,e3>=0



Vectores en R2 y R3

76

El conjunto de vectores {ei, e2, 63} se dice ser la base canónica de R3. Dos vectores £, 7/ tales que < £, 77 >= 0 se llamarán ortogonales. Más adelante explicaremos el por qué de esta definición. EJEMPLO. a. Los vectores £ = ( - 1 , 1 , 2) y 77 = (2, 2, 0) son ortogonales debido a que < £,77 > = < (-1,1,2), (2,2,0) > = - 2 + 2 + 0 - 0 . b . Los vectores £ = (1,-1,3) y r\ = (1,-1,1) no son ortogonales debido a que < f,77> = < (1,-1,3), (1,-1,1) > = 1 + 1 + 3 = 5 ^ 0 c. Si £ = (£ x ,f 2 ) es un vector plano (en R~), es fácil construir un vector ortogonal a £, si se cambia el orden de las coordenadas y el signo de una de ellas: •/? = ( - í 2 ^ 1 ) -

=< (eu 2 ), (-í 2 ^ 1 ) >= - ^ c 2 + É V = 0.

Para muestra, si £ = (1, 2), entonces r¡ = ( — 2,1) es ortogonal a £. > En virtud del Lema 2.3 se pueden definir los conceptos de distancia entre dos puntos, norma del vector, y ángulo entre dos vectores. DEFINICIÓN. Definimos la norma del vector f = (f\£ 2 ,£ 3 ), conocida por ||£||, como

EJEMPLO. Dados los vectores £x = (-1,0,3) y £> = ( ^ , ^ , 4 ) , se calculan sus normas por

73

v/73

No es difícil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades de la. norma.



2.2 El producto escalar y la norma en

77

LEMA 2.3 Para los vectores £,77 G R 3 1/ los escalares /i, A G R se cumple que

a- ||Ae|| = |A|||e|| b. Sz < £,77 > = 0 entonces

||£ -f /?|| = ||£ — T/||- ^

tal caso, los vectores £

y i) se llamarán ortogonales o perpendiculares. c. Si £ y rj son perpendiculares, entonces es justo El teorema de Pitágoras (véase la figura 2.5 a.)

d. Se cumple la igualdad de Schwarz

e. Se cumple la desigualdad triangular

y la igualdad es válida si £ yrj son múltiplos por escalares (véase la figura 2.5 b.).

a. Figura 2.5: a. Teorema de Pitágoras b. Desigualdad del Triángulo. Demostramos algunos incisos de este Lema. a.

b.

=< * + n-* + n >=

+2

v, v



Vectores en R 2 y R¿

78

=< £, £ > + < r/, r] >=< f, £ > - 2 < f, 77 > + < 77, 77 >

c. Ya se comprobó en b . con las primeras tres igualdades, bajo el supuesto que < £,77 > = 0. d. Se deja como ejercicio. e. Por el inciso d., aplicado en la segunda desigualdad siguiente

| | í + r,\\2 = < £ , £ > + 2 < Z,ri > + < V , v > = \\Z\\2 + 2 < S , v > < m\2 +2\<S,r,>\

2

+ |M| 2 < Híll2 + 2||e|||M| + INI 2

se cumple que lo que implica nuestra afirmación. > EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,0), r¡ = (2,2,1). Entonces son perpendiculares pues < £, r] >= 0 y se verifica que

es decir, se cumple el inciso a. del Lema 2.4,

Por otro lado, ||£|| 2 = 2, \\rj\\2 = 9, lo que verifica que se cumple El teorema de Pitágoras,

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,1) y r¡ = (2, - 2 , 1 ) , entonces

lo que indica que se cumple la desigualdad del triángulo para estos vectores,




79

Un vector £ £ IR tal que ||£|| = 1 se llamará vector unitario. Así pues, dado el vector 77 6 E 3 que no sea nulo, se garantiza la construcción del vector unitario >

I I „! I

lo cual se verifica directamente, " "

- "-" = 1

>

EJEMPLO. Para el vector rj = (1,4, -3) se tiene que ||r/|| = >/26, con lo que se construye el vector unitario ,

=

(1,4,-3) v/26

=

/ 1 4_ - 3 \ V V ^ ' \/26' '

Ahora pasamos a definir la distancia entre los puntos arbitrarios del espacio, como la norma del vector localizado entre ellos. S e a n d a d o s d o s p u n t o s p = (£1,2/1,21), q = (£2? 2/21^2) e n el e s p a c i o

cartesiano, se define la distancia i entre los puntos mencionados, como la norma del vector £ = p — q, es decir,

= < (xi - x2, V\ - 2/2, ¿1 ~ 2 2 ), {xi - :r 2 , 2/1 - 2/2, *i - 22) >

= {xi - x2)2 + (y! - 2/2)2 + (î - z 2 ) 2 EJEMPLO. Sean los puntos p = (1,2,3) y q = ( - 2 , - 1 , 0 ) entonces la distancia entre los puntos p y q se calcula por la norma del vector £ = P- = < r/,e > - A < £,£ > en virtud de que £ es unitario y por lo tanto ||£|j = 1. Esto implica que A = < 77, £ > = < £, 77 >, y que entonces C=f

>

Así, dados los vectores £ unitario y 77 arbitrario, podemos definir la proyección ortogonal del vector 77 en el vector unitario £ como el vector

C =£ que es un vector que está en la misma dirección que £ (véase la figura 2.6).

Figura 2.6: Proyección de un vector. EJEMPLO. Realizamos la proyección del vector 77 = ( —1,1,1) en el vector £-(2,-1,5). (2,-1,5) = ¿(2,-1,5)= ( 1 , El cálculo en este ejemplo prueba el siguiente corolario.




81

COROLARIO 2.1 La proyección del vector r¡ arbitrario en el vector no nulo £, llamado £, se calcula por la fórmula

En muchas ocasiones, cuando no haya confusión, entenderemos no al vector £ obtenido, sino al escalar (factor de £) < g, V > como la proyección mencionada. De la figura 2.6 se tiene que si £, r\ son vectores arbitrarios y £ es la proyección de rj en £ entonces al considerar el ángulo 9 entre los vectores £ y n se tiene que \ Si se sustituye el valor de C = "ff¿n f £ se tiene entonces que

cos9

- LlM

IHIII4II2

ll?ll

cuando consideremos a ^ G [O,TT]. Esto demuestra el siguiente Lema. LEMA 2.4 Si £ = (f 1 ,^ 2 ,^ 3 ), V = (771, r72, /73) son dos vectores en R3, formando un ángulo 9 entre ellos, se define éste ángulo por la igualdad ,3

=

donde 0 < 9 < n. En otras palabras el producto escalar de los vectores £ y r\ se puede escribir como

EJEMPLO. Si los vectores £ y 77 cumplen que < £, 77 > = 0, sabiendo que ambos son no nulos, entonces

lo que implica que cos# — 0, y consecuentemente 9 — TT/2. Esto justifica

su nombre de vectores ortogonales.



Vectores en IR2 y R:

82

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (2, - 1 , 1 ) y r\ = (3, - 4 , - 4 ) , entonces < £,T) >= 6 + 4 - 4 = 6 y las normas son ||£|| = \/6 y \\r¡\\ = \/41 = 0

h.

[£,//] = —['/,£],

A^,//] = [í* A//] = A[^, //]

(anticonmutatividad)

(conmutatwidad respecto a escalar).

d.

(distribuüvidad)

, A// -f //(,"] = A[í, //] e.

f.

— I lili

^

donde 0 es el ángulo entre £, y

[£« ['/- C]] + [C [C //]] + [^/, [C, i]] = 0

(Igualdad de Jacobi)

2

e e? =ee ^ T)1

if

I?

eo 2

1

e e en

d. El corolario 1.7 prueba la distribución mediante la cadena de igualdades: eo

+ /iC2

A//3 +



2.3 El producto vectorial c\

85 ('i

~A

i¡2

('.•>

(•: De la propiedad f. del Lema 2.5, se tiene que si dos vectores no nulos £, r¡ satisfacen que su producto vectorial es el vector cero, entonces

0 = 11(0,0,0)11 = ||fc,7/]|| = IKHIM|s E J E M P L O . Sean los vectores básicos {^ = (1,2), £2 = (-2,1)} de R 2 . Entonces dado 77 = (-1,3) se tiene que V = A1C1 + A2^2 para los valores de Ai y A2 dados por -2

3 1

1 _2

2 1

V



2.4 El triple producto escalar y bases de 1 -1 1 -2

A2 =

95

2 3 2 1

Esto se comprueba directamente de la igualdad Ai6 + A2£2 = 1(1, 2) + l ( - 2 , - 1 ) = (1,2) 4- (-2,1) = (-1,3) D> Consideremos ahora una base {^1,^2,^3} de R 3 y la ordenamos según el signo del determinante dado por el triple producto escalar

Í3

DEFINICIÓN. Decimos que la base dada {£1,6,£3} de R 3 tiene una

orientación positiva a la derecha (regla de la mano derecha) si al considerar en el orden £i,¿;2,£3, el triple producto escalar

es positivo. EJEMPLO. Los vectores básicos {ex = (1,0,0), e2 = (0,0,0), e 3 - (0,0,1)} dados en ese orden le dan una orientación a la derecha al espacio R , en virtud de que (ei,e2,63) =

62

1 0

0 0 1 0

= 1

o 1 o EJEMPLO. En cambio, si se toma el orden de los vectores básicos canónicos dado por {ex = (1,0,0), e 3 = (0,0,1), e2 = (0,1,0)} entonces tal orden le da una orientación negativa a la derecha a R 3 en virtud de que 1 0 0 0 0 1 0 1 0



Vectores en

96

EJEMPLO. El conjunto de vectores básicos { 6 = (1,1,0), 6 = (0,1,1), 6 = (1,1,1)}

ordenados así, le dan una orientación a R3 positiva a la derecha en virtud de la igualdad

6 6

i i o 0 i i 1 i i

i

EJEMPLO. Los vectores básicos {fi = (1,2), f = (-2,1)} de R2 le dan una orientación positiva a la derecha al plano en virtud de que el siguiente determinante es positivo

6

1 2 -2 1

Se observa que al tomar dos vectores no nulos arbitrarios £,77, sí [£,77] 0, entonces los vectores unitarios

conforman una base que está orientada positiva a la derecha (regla de la mano derecha) por la elección del producto [£,77]. Todos los conceptos mencionados forman parte de los conocimientos básicos de los cursos de Geometría analítica del plano y del espacio.

2.5

Vectores y valores propios de una matriz

En algunos problemas de aparición cotidiana en las ciencias naturales y la ingeniería es necesario resolver una igualdad matricial del tipo

donde A es una matriz cuadrada (n x n), ( es un vector columna (n x 1) y A es un escalar. En otras palabras, dada un matriz cuadrada A, el problema es encontrar un vector £ y un escalar A que hagan válida la mencionada ecuación. Discutiremos el caso de dimensión 3 y mencionaremos los resultados que se pueden extender para dimensiones arbitrarias.



2.5 Vectores y valores propios de una matriz

97

Sea A una matriz de 3 x 3, A=

«n

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

y definimos el vector incógnita £ por el vector columna,

Entonces la ecuación matricial se escribe A=

«11

«12

«13

«21

«22

«23

«31

= A

«33 J

«32

\

£

3

o bien, «11

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

«11

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

-A

que matricialmente se escribe 0 =

y que induce el sistema de ecuaciones lineales «11

-

A

«12

«21

«22 - A

«31

«32

«13 «23 «33

~

es decir, el sistema homogéneo en



V e c t o r e s e n E 2 y R3

98

Tal sistema lineal homogéneo tiene asociada a la matriz (A — A/), y por el teorema 1.7, el sistema lineal homogéneo obtenido tiene soluciones no triviales (£ ^ (0,0,0)), si y sólo sí, det (A - XI) = 0, donde det define la operación determinante de una matriz. Caracterizamos a los escalares A y a los vectores £ que cumplen la condición matricial dada inicialmente, para la matriz A. DEFINICIÓN. Si A es una matriz cuadrada real, entonces el escalar A se dirá un valor propio de A si satisface la ecuación det (XI - A) = 0

llamada la ecuación característica de la matriz A. Observamos que, de la relación 0 = det(A/ — A) = det (A — XI) para calcular los valores propios de una matriz, ocuparemos cualquiera de estas ecuaciones. EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz real de 2 x 2 3

A-(

2

A

-{-i

o

EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz 9

1

¿d

-L

5

2

para cada pareja de vectores dada. a. b. c. d. e.

£ = (-1,2), 77= (3,1) £ = (-1,0,1), 77 = (1,2,3) £ = (-1,2,3), i; = (1,2,-4) £ = (1,1,0,-1), 77 = (-1,0,1,2) £ = (4, - 2 , 3, - 1 ) , r; = ( - 1 , - 2 , 3, - 4 ) ¿Cuáles de las parejas de vectores dados son ortogonales?

2. Calcular ||£|| y |[7711 en cada uno de los incisos del ejercicio 1. 3. Calcular el coseno del ángulo formado por cada pareja de vectores £ y 77 del ejercicio 1. 4. Calcular los ángulos del triángulo formado por los puntos a. (-1,1,1), (1,-2,3), (3,-1,1) b. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 5. a. Calcular la proyección de £ y 77 de todos los vectores del ejercicio 1. b. Calcular la proyección de 77 en £ de todos los vectores del ejercicio 1. 6. Demostrar que para dos vectores £, 77 con ángulo 0 entre ellos se cumple la fórmula

7. a. b. c. d.

Calcular el producto vectorial [£, 77] de los vectores £ = (2,3,-1) 77 = (6, 2, 3) £ = (-6,0,5) 77 = (3,0,3) £ = (1,0,-1) 77 = (-1,0,2) £ = (1,2,3) 77 = (2,4,6) ¿Cuáles de las parejas de vectores dados son paralelos?

8. Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores £ y 77 en cada inciso del ejercicio 7.



2.6 Rectas y Planos en R3

123

9. Calcule el volumen del paralelepípedo formado por las siguientes ternas de vectores. Calcule primero su triple producto escalar. a. £ = (2,0,1), v = (1,3,2), C= (4,-1,1) b. £ = (-2,1,1), r/= (-4,3,2), C = (0,0,1) c. £ = ( 0 , - 1 , - 1 ) , 77 = (0,0,-1), C = (-1,2,3) d. ¿Cuáles son una base de vectores en R3 ? e. Escriba el vector (—3,-4,1) como combinación lineal de cada base encontrada. 10. ¿Cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables?

e. A =

g. A =

i. A = Para el caso afirmativo, calcule la matriz B, que cambia la base canónica por la base de vectores propios, tal que B~1AB sea diagonal. Compruebe, realizando el cálculo, que B~lAB es diagonal, y que los vectores propios que conforman B son una base. 11. Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados a. b. c. d.

(1,1,-1) Y (4,3,2) (0,1,-6) y (-4,0,2) (1,-2) y (2,1) (1,1,-1,1) y (4,4,-4,4)

12. Calcular la ecuación paramétrica de la recta por p con dirección £ para cada pareja dada. a. p = (1,1,-1), £ = (-2,3,-1) b. p = ( - 2 , l ) , £-(4,2) c. p = (2,3,0), £ = (-1,2,3)



Vectores en R2 y R3

124 d. p = (0,1,1,2),

^ = (-1,3,4,2)

13. Dar la ecuación de la recta que tiene un vector director £ que es ortogonal a los vectores ( = (1,1,1) y rj = (-1,0,1) , y que pasa por el punto (-3,1,2). 14. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto dado p y tiene vector normal n para cada pareja dada. a. n = (-1,1,2), p = (2,3,-1) b. n = (4,-2,3), p = (-1,4,1) c. n = (-1,5,3), p= (4,1,6) 15. Calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados a. (1,1,1), (2,1,-1), (3,0,1) b. (3,-2,-1), (1,2,3), (2,-3,1) c. (4,0,2), (2,-1,0), (0,2,3) 16. Calcular el ángulo con el que se intersectan los planos a. definidos por a. y b. en el ejercicio 14. b. definidos por a. y b. en el ejercicio 15. c. definidos por c. del ejercicio 14 y c. del ejercicio 15. í x+y+x=1 \ -x+y-z=0 e.

17. Calcular la intersección de las parejas de planos dadas en todos los incisos del ejercicio 16. 18. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto p y cuyo vector director £ es el normal al plano P cuando: a. p = (1,1,1) y P pasa por los puntos (1,1, -1), (-2, 3,1), (6, 2,0) b. p — (1,0,3) y P es ortogonal a los planos x-y-Y z = 2 —x + y — z — \ c. p = (2,3,1) y F es paralelo al plano qua pasa por los puntos (4,2,-1), (0,1,-3),(1,0,2) 19. Calcular la intersección de la recta L con el plano P, si a. L y P son la recta y el plano de a. en el ejercicio 18. b. L y P son la recta y el plano de c. en el ejercicio 18. c. L es la recta por p = (1,3,4) con vector director £ = (2,1,0), y P es el plano con ecuación 2x — y -f z = 4



2.6 Rectas y Planos en R3

125

20. Calcular la distancia del punto p al plano P si a. p = (1,0,3), P : 6x - Sy + z = 6. b. p= (-2,1,3), P : x + y + z = 2. c. p= (4,3,2), P pasa por los puntos. (1,1,1), (0,0,0), ( - 1 , 1 , - 1 )





Capítulo 3

Curvas en R 2 y en TD)3 3.1

Curvas suaves

En este capítulo estudiamos aquellos objetos geométricos en R 3 conocidos como curvas. Lo hacemos de dos maneras, como la imagen de una función vectorial de variable real, y como objetos para los cuales localmente se ven como una imagen de cierta función vectorial de variable real (curvas parametrizadas). Iniciamos la discusión con un ejemplo. EJEMPLO. Una recta en R 3 es un objeto que se describe por un punto donde pasa p — (pi,P2,P3) y un vector director f = (£ 1 ,£ 2 ,£ 3 ). < Su ecuación se describe como una relación de tipo 7 : R -> R 3 donde a cada punto t G R se asocia un vector formado por coordenadas que son funciones reales de variable real 7 (í)

= (x(t), y(t), z(t)),

siendo las funciones coordenadas definidas por el argumento escalar mencionado, x = x(t) = £H + pi y = y{t) = í2t + ?2 z = z(t) = £ 3 t + p 3 >

DEFINICIÓN. Una función vectorial de argumento escalar es una relación 7 : (0,6) - * R 3



Curvas en R2 y en

128

Figura 3.1: Función vectorial de variable real. tal que a cada t G (a, b) se le asocia un vector j(t) en R 3 . En coordenadas x, y, 2 de M3, tal asociación se escribe

), z(t)) donde x, t/, z : (a, 6) —• R son funciones reales (definidas sobre R) de variable real t. Esto es, las funciones coordenadas se escriben X = X(t) y = y(t) , z = z(t)

t€(a,b)

En otra notación, utilizando la base canónica {ei,e2,e3J de R 3 , podemos escribir tal asociación mediante la igualdad = x(t)e1 + y(t)e2 4- z(t)e3 A lo largo de este trabajo, utilizaremos preferentemente la notación — (x(t),y(t),z(t)) que no involucra a los vectores canónicos. EJEMPLO. Sea la función 7 : R -> R 2 dada por la relación 7(¿) = (eos t, sen t) < Es una función vectorial (a R 2 ) con argumento escalar dado por la variable t e R. Hacemos una asignación de argumentos y calculamos sus valores, como lo muestra la siguiente tabla.



3.1 Curvas suaves

129

t

7(í) (1,0)

0 TT/4

V2 ' 2 ; (0,1)

TT/2 4

\

2 ' 2 ;

(-1,0)

IX

(5/4)*

V 2'

2;

(3/2)7T

(0,-1)

(7/4)TT

(V2 _V2\ V2' 2;

(1,0) (9/4)TT

V 2 ' 2J

A continuación mostramos cómo se consiguieron algunos elementos de la tabla. 7(0) = (eos 0, sen 0) = (1,0) 7(TT/4)

= (cos7r/4,sen7r/4) =

—, — I

7(?r/2) = (cos7r/2,sen7r/2) = (0,1) '3TT\

_ /

7((3/2)7r)

= (0,-l)

Observamos que todos los valores de 7 obtenidos de esta manera están contenidos en el círculo unitario del plano Rly como se muestra en la figura 3.2. Afirmamos que la imagen de R bajo 7 es completamente el círculo unitario

Sl = {(x,y)\x2+y2 = l} Para demostrar esto, sea ^(t) un punto en la imagen, entonces, ||7(t)|| 2 = 11 (eos í, sen t) \ | 2 - eos2 t 4- sen2t = 1



Curvas en R2 y en

130

7(3) Y(0)=Y(27Ü)

(eos

tfsen

t)

Figura 3.2: Círculo unitario de S 1 por lo tanto, ya que ||7(¿)|| = 1 entonces, para cualquier ¿GK, 7 ( Í ) £ S1 Ahora sea (x, y) E 5 1 y sea t el ángulo que forma el vector (x, y) con el eje x. Si sobre el círculo se localizan las coordenadas (x, y) de un punto. En virtud de que el radio de S1 es 1, se tienen las igualdades trigonométricas x = eos t y = sen t de donde (x,y) € S1 está en la imagen 7. De esta manera, la imagen de 7 es un círculo unitario. Como las funciones sení, cosí son 2TT- periódicas, entonces 7 enrrolla al círculo S 1 en contra de las manecillas del reloj un número infinito (numerable) de veces. > EJEMPLO. Consideremos la función vectorial 7 : ( — 00,00) —> E 2 dada por la regla de correspondencia 7 (¿)

= (i?cos¿, R sen*)

donde R es un número real positivo. O Tendremos en este caso que, al escribir tal relación como 7(¿) = (i?cosí, i? sen¿) - i?(cos¿, sen¿) ésta es una deformación del círculo unitario a un círculo de radio R > 0 con centro en el origen de coordenadas (véase la figura 3.3). O EJEMPLO. Sea ahora la función 7 : (-00, 00) —> 7 (¿)

dada por la relación

= (4cosí, 4sení, 2t)



3.1 Curvas suaves

131

< 7 es la función que a cada t le asocia un punto en IR3, mediante las relaciones \x(t) = 4 cosí y(t) = 4sen¿ Al olvidar momentáneamente la variable z, se tiene que los puntos con coordenadas (x, y) en la imagen de 7 se mueven en un círculo de radio 4, según el ejemplo anterior. La variable z sólo se mueve con su dirección, dirigiéndose positivamente. Esto nos dice que la imagen 7(2) está contenida en la superficie dada por x2 + y2 = 16 que es un cilindro circular de radio 4 con directriz del eje z. Al evaluar 7 en los extremos del intervalo [0, 2TT] se obtienen los puntos

(Reos t,Rsen t)

Figura 3.3: Círculo de radio R. 7(0) = (4,0,0)

que quedan verticalmente situados en dirección del eje z, y a una distancia (vertical) igual al 4TT, lo que nos dice que la imagen de 7 es una hélice de radio 4 y con paso de altura 47r (que se repite a intervalos de t iguales a 2TT) como lo muestra la figura 3.4. > Iniciamos ahora la discusión de la diferenciabilidad de una curva espacial, utilizando para ello los conceptos y resultados clásicos del cálculo diferencial en una variable (véase Reyes, 1996).



Curvas en R2 y en K3

132

Figura 3.4: Hélice de radio 4 con paso de altura 4TT. Sea 7 : (a, b) —» R 3 una función vectorial de variable real definida en el intervalo (a, 6) C R. Sean / 0 , í £ (a, 6) con el argumento temporal variable t próximo del tiempo prefijado toCalculamos la diferencia entre sus vectores imágenes 7(¿) — 7(¿o) y luego la comparamos vía un cociente con la diferencia de argumentos (lo cual es posible pues podemos dividir vectores entre escalares). 7(t) — 7(¿o) ( t-tn

diferencia de imágenes diferencia temporal

Si pensamos en las imágenes como posiciones de un cuerpo puntual que se mueve en el espacio, tal cociente representaría un vector velocidad promedio en el intervalo [to, t], y el proceso de límite nos daría un vector velocidad instantánea (en caso de existir) al tiempo toDefinimos tal proceso de límite en el espacio, mediante los límites de las funciones coordenadas que son ya de conocimiento del cálculo diferencial de funciones reales de variable real. DEFINICIÓN. Se dice que la función 7 : (a, b) en el punto to £ (a,&), si existe el límite vectorial hm

t — t0 = lim í—ín

= lim

(x{t),y(t),z(t))

x(t)-x(t0) t-t0

y(t)-y{t0) t-t0

i3 es diferenciable

- (x(to),y(to),z(to)) t - to z(t)-z(t0) t-to



3.1 Curvas suaves

133

En tal caso, tal vector se definirá por —-(¿o) — ^ m dt ¿-¿o t -10 y se llamará la derivada de 7 en el punto t-o. Si en cada punto del intervalo la función 7 es diferenciable, se dirá simplemente que es una función diferenciable. Ya que el límite que define a 7^-(¿o) depende de la existencia de cada uno de los límites por coordenadas (según la última igualdad en la definición), entonces tenemos, L E M A 3.1 La función 7 es diferenciable en to, si y sólo sí, cada función coordenada es diferenciable en ¿ 0 . Esto es, si cada límite dx , .

x(t) - x(t{))

%0)y> = Km V{t) - V{to) dt " í™tn t - t•o

existe. De aquí que 7 es diferenciable, si y sólo sí, cada una de sus funciones coordenadas es diferenciable. De esta manera, el problema de diferenciabilidad de una curva se ha reducido a la diferenciabilidad de las funciones coordenadas. Por eso podemos iniciar una discución de una propiedad más fuerte de las funciones vectoriales de variable real, es decir, de las curvas diferenciables. 1 Por una función vectorial suave de clase Cr entenderemos a una función vectorial cuyas funciones coordenadas son diferenciables de clase Cr con r > 1. De esta manera, 7 es una función suave, si cada una de sus funciones coordenadas es una función real de variable real suave en el intervalo J = (a.b).

Por El t e o r e m a de Whitney (Teorema 4.9 de Reyes, 1996), cada una de las funciones coordenadas de una función vectorial de variable real cuando es continua, puede aproximarse por una función de clase Cr. Así, en las aplicaciones, cuando se piensa en una función vectorial de variable X

E1 lector no familiarizado con la clase de diferenciabilidad de una función real puede consultar el capítulo 3 de Reyes, 1996.



Curvas en R2 y en R3

134

real, ésta se supone de una clase de diferenciabilidad lo suficientemente alta, de acuerdo a las necesidades del problema que se esté solucionando. Esto es, en las aplicaciones, las curvas espaciales genéricamente se piensan suaves. Si la curva 7 es suave, definimos a su derivada en el punto arbitrario t G J = (a,b) usando una notación clásica: ^ = 7(í) = (i(í), y(t), ¿(t)) donde el punto sobre la variable define a la derivada respecto al tiempo t. El vector derivada i(t) es un vector que además de ser tangente a la curva 7 en el punto 7(t), es un vector localizado posicionado en el punto 7(í). DEFINICIÓN. Una función vectorial 7 : (a, 6) —• R3 se llamará una curva regular, si para todo t € (a, b) su derivada i(t) no se anula. EJEMPLO. Sea la función vectorial 7(¿) = (cosí, senM), entonces la curva de imagen 7 en el intervalo (a, b) = (—00, 00) es una hélice de paso de altura 2?r, contenida en el cilindro x2 4- y2 = 1 del espacio R3. Claramente j(t) — (—sení, cosí, 1) es un vector que nunca se anula y, por ello, es que la curva es regular, (véase la figura 3.5 a.).

Figura 3.5: Curvas imágenes de funciones vectoriales



3.1 Curvas suaves

135

EJEMPLO. Sea la función vectorial 7 : (-00, 00)

dada por

Entonces su imagen es un círculo de radio R > 0 con centro en el origen del plano R2. Su derivada i(t) = ( — Rsent, Rcost) es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como una curva regular (véase la figura 3.5 b.). EJEMPLO. Considérese la curva 7 : J

dada por

= (¿3 - M 2 -

< Es claro que el dominio de la curva 7 es todo el eje real J = ( — oo, 00). Inicialmente, para hacer el dibujo de la imagen de esta curva, asignamos algunos argumentos a la función y calculamos sus valores t

7(0

-3

-2

(-24,8)

(-6,3)

(0,0)

0

1

2

3

(0,-1)

(0,0)

(6,3)

(24,8)

Teniendo estos valores vectoriales en el plano, utilizamos ahora un método analítico para dibujar más precisamente la imagen de 7. Procedemos a analizar los vectores imágenes de la curva plana según los argumentos en el dominio, utilizando para ello las funciones coordenadas. A fin de resolver la desigualdad i3 — t > 0 para la primer función coordenada, calculamos las raíces de i3 — t = 0 que son t — 0,1, — 1. Estos números nos dividen el intervalo ( — 00, oo) en tres partes que nos permiten resolver tal desigualdad, sabiendo que e[-i,o]

ó t e [1,00].

Consecuentemente, para la primer función coordenada se tiene t3 -t > 0 t3 - t < 0

> t G [-1,0] U [l,oo) t e (-00, -1) U (0,1)

Análogamente para la segunda función coordenada, la ecuación t2 — 1 = 0, tiene las raíces t = ±1, lo que implica, t2 - 1 > 0

(-oo,-l] U[l,



Curvas en R2 y en

136

o

(-1,1)

Evaluamos a 7 en los puntos importantes t — 0, —1,1 obtenidos al resolver las desigualdades anteriores:

7(0) = ((O)3 - ( 0 ) , O2 - 1 ) = (0,-1) y al dividir al dominio J en los subintervalos ( - o o , - l ) , (-1,0), (0,1),(l,oo) se obtiene la tabla ( — 00, - 1 )

x(t) y(t)

(0, - 1 ) -

0)

+ -

-

+

(1 - o c )

+ +

que indica la posición de la imagen de un argumento sobre la curva 7 en los cuadrantes del plano (véase figura 3.6), según las signaturas de sus coordenadas.

y

)

N \

A

s

X

, Y(-D

\ Y(-D

7(0). Y(0)

Figura 3.6: Posición de la imagen de la curva ^(t) = (t3 -t,t2-

1)

Ahora realizamos un análisis cualitativo de 7, usando su derivada - (3¿2-l,2¿)



3.1 Curvas suaves

137

mediante un método similar al usado para la signatura de 7 en el plano. Para la primer coordenada x(t) de j(t) se tiene x{t) = 3¿2 - 1 > 0 3t2 - 1 > 0 1 de donde

Por lo tanto, x(t) - 3¿ - 1< 0 4=> ¿ E ^

—, — J

Análogamente, para la segunda coordenada de 7(t), y(t) = 2t> 0 x e (0,oc)

y(t) = 2t < 0 4-» x e (-oc, 0) De las dos desigualdades anteriores se consiguen los puntos importantes 0'

Y 3 \/3 3 ' 3

Ahora calculamos la imágenes bajo 7 y 7 de estos puntos importantes: 7(0) = (0,-1)

7(0) = (-1,0)

La figura 3.6 ilustra a tales puntos y a sus vectores velocidad (tangentes) correspondientes.



Curvas en R2 y en

138

Con los intervalos -oo,--

73N '00

:-$•:

obtenidos mediante este segundo análisis se forma la siguiente tabla que describe la signatura de las coordenadas de j(t) — (x),y(t)).

x(t) y(t) 7(0

+ \

/

+ +

+ \

La flecha del renglón correspondiente a j(t) en cada subintervalo describe cualitativamente la posición del vector velocidad tangente a j(t) (véase lafigura3.6). Además, observamos que la imagen de 7 tiene una autointersección en 'y(l) = 7( —1) lo que le hace ser una función que no es inyectiva. En el punto 7(1) = 7( —1) = (0,0) se tienen dos vectores derivadas 7 (l)

= ( 3 í 2 - l , 2 0 | 1 = (2,2)

7 ( - l ) = (3¿ 2 -1,201-1 = (2,-2) De esta forma un trazo de la curva en una región acotada alrededor de (0, 0) estaría dado por lafigura3.6. Hacemos el análisis a los extremos del dominio J = ( — 00, 00). Si t —» —00, entonces, lim t— — 00

t—* — oc

lim (t2-!))

-> (-00,00)

t—> — 00

por El teorema de alto orden (véase Teorema 2.23 de Reyes, 1996). Análogamente, si t orden, se tiene

+00, entonces, por el mismo teorema de alto

lim 7(í) = ( lim ¿3, lim ¿ 2 )^(oo,oo) lo que se puede observar en la figura 3.6. \> A los vectores derivadas *y(t) se les entenderá también como vectores velocidad de 7 en el punto 7(í). A la longitud de 7(t), es decir a ||7(¿)|| se le llamará la rapidez de 7 en el punto 7(¿).



3.1 Curvas suaves

139

EJEMPLO. (La cúspide) Sea la función vectorial dada por

< Es claro que el dominio de la curva 7 es J — (—00, 00). Asignamos primeramente algunos argumentos a la función 7 calculando sus valores, y obteniendo la siguiente tabla. t

7(0

-3

-2

(-27,9)

(-8,4)

-1

0

(-1,1)

(0,0)

1

2

3

(1.1)

(8,4)

(27,9)

Procedemos de forma análoga al ejemplo anterior, estudiando la signaturas de la función y su derivada. Para la primer función coordenada, resolvemos la desigualdad x(t) — t3 > 0 que simplemente es equivalente a t > 0 . Por lo tanto, x(t) = t3 > o t e [o, oo] y consecuentemente, x(t) = t3 < 0 0 ^=> t e (-oo, ex)) Evaluamos los puntos importantes encontrados, que es apenas t = 0, 7(0) = (0,0) y con los subintervalos obtenidos se tiene la tabla de signatura de x(t) y(t)

(-00,0) -

+

(0,00)

+ +

Analizamos la signatura de la derivada de la curva,

resolviendo primeramente la desigualdad, x(t) = 3t2 > 0 t e (-oo, 0) U (0, oo)



Curvas en R2 y en

140 Por otro lado, y = 2t > 0t <E (0,oo)

y(t) = 2t < 0 4=^t G (-oo,0) y se tiene en este caso, nuevamente el punto importante t = 0. Calculemos las imágenes bajo 7 y 7 de este punto importante 7(0) = (0,0) 7(0) = (0,0) que hace de *y(t) una curva irregular. Ahora con los intervalos ( — 00, 0), (0, 00) se forma la siguiente tabla de signaturas de las componentes de los vectores velocidad, x(t) y(t) 7(*)

(-03,0)

(O.oo)

+ \

+ +

Finalmente, hacemos el análisis a los tiempos extremos del dominio J = ( — 00,00), calculamos los límites, lim 7(t) = lim (¿ 3 ,¿ 2 ) = ( lim t 3 , lim t2) -> (-00,00) t—+ — oc

t—> — oc

t—> — oc

í—> —oc

lim 7(¿) - lim (t3, t2) = ( lim ¿3, lim t2) - • (00, 00) La figura 3.7 ilustra el trazo de la curva imagen de esta función llamada cúspide. D> Damos ahora unas propiedades aritméticas de la derivada de funciones vectoriales con argumento escalar. LEMA 3.2 Sean 71,72 : (a, b) —» M3 dos funciones vectoriales suaves de variable real. a. Para los escalares A, ¡1 G M, se verifica fácilmente que i ^ ( í ) = A7i(í) b. Para una función real de variable real suave X — X(t) definida en el intervalo (a, b) C R es justa la relación ^ (*) = Á(í)7(0 + A(í)7(í)



3.1 Curvas suaves

141

y

(0,0)

X

Figura 3.7: Curva imagen de la cúspide. R. en todo el intervalo, y consideremos para cada t € (a,b) los vectores velocidad 7i (0< 72(0- Se tiene el siguiente resultado acerca del cálculo de la derivada en productos escalar y vectorial. LEMA 3.3 5?; 71, 72 : (a, b) fórmulas de Leibniz:

son funciones suaves, son justas las

a.

b.

c.

(í).72(*),-¿jr(*)J =(71,72,73) + (7i,72,73) + (7i,72,73) donde (, , ) es el triple producto escalar. < Son igualmente cálculos directos y se omiten. O EJEMPLO. Sean las curvas espaciales suaves 7i(í) = (cosí,senÍ,2TT(Í))

y 7 2 (í) = (4í 2 ,2í, -t)




142

< Ya que 71 (t) = (—sent, cosí, TT) y 72(t) = (8¿,2, —1) se tiene que a.

d

72 >=< 71,72 > + < 7i,72 >

-r,
+ < (cos¿,sen¿,27r¿), (8¿,2,-1) = -4¿ 2 sen t + 2í eos ¿ - 2TTÍ -f 8í eos í + 2sen¿ - 2nt

= (2 - 4t 2 )sen ¿ + lOí eos t - 4nt b . De igual forma, ^[71,72] = [71,72] + [71,72] e\

-sení 4t2

cosí 2TT 2t -t

= (—t eos £ — 4?r¿, —¿sen ¿ — -(-(—sent —

4TT,COS£

e2

eos t 8t

+

8TT¿2,

e3

sen t 2irt 2 -1

— 2¿sen t — 4t2 eos i)

8TT¿ 2 ,2COS¿

— 8£sen¿)

2

= (—t eos £ — sen t — 8TT¿, eos ¿ — ¿sen ¿, —4¿ eos t — lOtsen ¿4-2 eos t)

>

Introducimos ahora el concepto de curva regular parametrizada, que es de gran utilidad en las aplicaciones a la mecánica, física e ingeniería. Este concepto, aunque en apariencia tiene definición abstracta, en realidad es establecida acorde a la experiencia cotidiana. 2

DEFINICIÓN. Una curva regular parametrizada T es un subconjunto de R 3 (ó de R 2 ) tal que para cualquier punto p G T existe una función vectorial de variable real suave 7 : J -> R 3 satisfaciendo que, si J — (—e, e) para un número e > 0 , entonces a. La imagen de 0 bajo 7 es el punto p, es decir, 7(0) = p b . La velocidad de 7 no se anula en todo el intervalo, esto es, i 0 para todo

t£J

2

Por ejemplo, cuando se estudia una trayectoria espacial de un cuerpo, es difícil estudiarla en su totalidad, así que se procede a estudiarla por fragmento, es decir, por partes que se pueden parametrizar con una variable temporal adecuada, en un intervalo temporal adecuado.



3.1 Curvas suaves

143

c. La imagen de J bajo 7 está contenida en F, en otras palabras, 7(¿) 6 T para todo t G J Si la imagen de J bajo 7 cubre a F, diremos que la pareja (7, J) es una parametrización de F. En caso contrario, diremos que la pareja (7, J) es sólo una parametrización de F alrededor del punto p G F.

-£

Figura 3.8: Curva regular parametrizada. En coordenadas (x, y, z) del espacio cartesiano, la curva 7(¿) está definida por el vector 7 (í)

= (*(*), y(í), z(t))

t G J,

donde las coordenadas x(t), y(t), z(t) son funciones reales suaves definidas en el intervalo J — (—e, e) que contiene a t — 0 (véase la figura 3.8). En adelante, cada vez que hagamos referencia al dominio de parametrización de una curva F alrededor de un punto p lo definiremos por [a, b] en lugar de (-e,e), tomando en este caso, el dominio más amplio para parametrizar tal curva F. Esto es, cada vez que demos una curva F, la entenderemos, sin pérdida de generalidad, como la imagen de una función

donde [a, b] C R, siendo 7 una función suave con coordenadas suaves. Para 7 : [a, 6] —• F curva regular parametrizada, en cada punto 7(t) € F se define un vector tangente a F en tal punto, como el vector derivada de 7 en í, esto es, ' dx dy dzs

La notación 7 = j(t) es muy conveniente, como ya hemos mencionado, a la hora de hacer cálculos, sobre todo en problemas de aplicación.



Curvas en R2 y en

144

A continuación damos ejemplos de parametrizaciones de curvas F c R 3 (ol2). EJEMPLO. Considere la elipse en el plano con semieje mayor a > 0 y semieje menor 6, definida por la ecuación x2

r •

y2

—+ —= i a2

+

b2

< Una deformación del círculo unitario parametrizado por t —> (cos¿, sení), por un escalar a en la primera coordenada, y por el escalar b en la segunda coordenada, nos da la parametrización requerida. Esto es,

r : ( *=« « » *

íeR

[ y = 6sen¿, parametriza suavemente a la elipse F. Si escribimos 7(2) = (a cosí, frsení), entonces el vector tangente a 7 en el punto 7(2) 6 F se calcula por v(t) — 7(t) = (—asent, 6cosí) Como v(t) ^ 0, entonces F resulta ser una curva regular. > EJEMPLO. Sea F C R3 una hélice contenida en un cilindro de radio 4 y con paso de altura h = 4TT.



3.1 Curvas suaves

145

EJEMPLO. Sea F el círculo de radio R > 0 con centro en el origen de coordenadas dado por

< Al considerar la función vectorial 7 : ( — 00, DO) —> R2 dada por 7(¿) = (Rcost,Rsent) entonces su imagen F es el círculo dado. Su derivada = (-Rsent,Rcost) es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como una curva regular. Anotamos que la función vectorial y(t) = (fícos2£, Rs'm2t) tiene como imagen también al mismo círculo, pero su vector derivada es más grande de norma que la de 7(¿). De hecho, = (-2físen2í,2fícos2t). lo que implica que ||7(í)|| - ||(-2ñsen2t, 2ñcos2í)|| = 2ñ = 2||(- J Rsent, fíeost)|| = 2||7(t)|| lo que nos dice que la norma de *y(t) es el doble de la norma de 7(í). (La figura 3.9 ilustra esta situación). Decimos simplemente que la parametrización 7(t) "va más rápida" que la de j(t). >

Figura 3.9: Parametrizaciones del círculo de radio R > 0.




146

3.2

La segunda derivada. Aceleración

Ya se ha mencionado sobre la clase de diferenciabilidad de una función vectorial de variable real (curva suave) 7 : J -> R3 relegando las definiciones a las propiedades de las funciones coordenadas x — x(t) y = y(t) , te J z = z(t) Particularmente, una curva de clase C2 es una función vectorial de variable real cuyas componentes son funciones de clase C2. Entendemos por ^(t) la segunda derivada de la curva 7 en el punto 7(2), y en coordenadas le escribimos 7(¿) = (x(t),y(t),z{t))

= x(t)ei+y(t)e2

+

'¿(t)e3

donde los puntos indican derivación respecto a la variable temporal t € J. DEFINICIÓN. Al vector espacial j(t) se le llamará el vector aceleración de la curva 7 en el punto j(t). EJEMPLO. Sea el círculo de radio i?, con centro en el origen, parametrizado por, 7(¿) = (i?cosí, Rsent), t e R EJEMPLO. Dada la curva suave = (e2t,sen4t,cost) calcular i(t) y 7(t). O Directamente, obtenemos los vectores velocidad y aceleración, = (2e 2í ,4cos4t,-sent)



3.2 La segunda derivada. Aceleración

147

7(0 = (4f;2¿, -16senát, - eos/) > EJEMPLO. Dada la curva suave

calcular < 7(0, 7(0 > y [7(0,7(01< Al calcular directamente los vectores velocidad y aceleración de 7 ni 7(0, obtenemos 7(0 = (2¿,3¿2,4¿:i)

de donde

( 0 ( 0 >= 4* -f 18¿:l 43t2

[7(0,7(01 = 2

e3

6¿ 12í

+e3(12¿2 -6¿ 2 ) = Consideremos ahora cualquier curva 7 = 7(¿) tal que tenga una norma constante (por ejemplo 7(0 = (R eos t, Raen t) el círculo de radio /?), esto es, para todo t € J, tenemos que

117(011 = * donde A: es una constante no negativa. O Ya que k — 117(011» entonces

de donde, al derivar cada miembro respecto al tiempo t obtenemos

0 - - < 7(0,7(0 >=< 7,7(0 > + < 7(0,7(0 > = 2 es decir, < 7(0,7(0 > = 0 lo que nos dice que 7(0 y 7 son ortogonales. Así, utilizando este razonamiento para aquellas curvas con vectores velocidad con norma constante ||7(0ll — k s e tiene,



Curvas en E 2 y en R3

148

Las curvas suaves que tienen rapidez constante son tales que sus vectores velocidad y aceleración son ortogonales. EJEMPLO. Sea la curva circular espacial 7(0 = ( l c o s M s e n / , 6 ) (/) = (—lswiMcosM)) cuya norma es ||7(0ll

=

•!•

Por lo tanto, el vector velocidad ^(t) es ortogonal al vector aceleración -

(-lcosr,-4sen/,0)

debido a la discusión anterior, y como se puede apreciar mediante el cálculo directo, > = lGcosfsenf- 16 eos ¿sen* = 0 D>

Ejercicios 1. Dibujar la granea en R2 o RA según corresponda, de las funciones a. ->,(0 = (3

d. 74(0 = (r'eosf,r'sen/)

e. lr)(t) = (jcosf, fscnO f. ~/(i(/) = ( i ^ c o s / , - ^ s e n / ) ,

/ >1

g. 7 7 ( 0 - ( e o s / , senf, t) h. l»{t) = (-leosf, lsen/, ef) 2. a. Calcule la derivada de las funciones del ejercicio 1. b.

Calcular el vector tangente a cada curva en los puntos t = 1, t —

7T/2, t = 7T.

3. Calcular, para las curvas del ejercicio 1, a.

i

b. ÜrM), 74(0] c

#(71(0, 75(0,->«(*))•

4. Calcular 7(¿) para cada curva en 1. y el vector aceleración en los puntos



Capítulo 4

Campos escalares en En este capítulo hacemos el análisis cualitativo de una función de varias variables reales, generalizando algunos conceptos conocidos ya para funciones reales de una variable real.

4.1

Regiones en R2 y R3

Iniciamos esta sección describiendo los objetos geométricos en R" que van a ser utilizados a lo largo del capítulo. Estos objetos gozan de características que son usadas para estudiar las propiedades de funciones que están definidas en subconjuntos del espacio euclidiano R". En general, en la teoría diferenciable de funciones reales de variable real, los dominios se presumen de la forma D = (a, b) es decir, intervalos abiertos. Al intervalo (a, b) se le llama abierto pues no contiene las orillas a.b. Generalizamos este concepto de conjunto abierto en R"1. Si p € R n y e > 0 es un número real positivo, se define la bola de radio e y centro en p, como el conjunto sólido

DEFINICIÓN. Dado un conjunto Q C R", se dice que es un conjunto abierto en R n , si para cada p E Q existe un número c > ü tal que la bola de radio e y centro en p está contenida totalmente en {}. esto es.



150

Campos escalares en

Figura 1.1: Conjunto abierto en R". Véase» la figura. 1.1. EJEMPLO. Todo intervalo abierto (a, b) C R es un intervalo abierto. < Esto ya se demostró anteriormente, notando que en el caso unidimensional una bola corresponde a un intervalo. D((p) = {qeR\\\q-p\\

<e} = {qeR\

\q - p\ < e}

= {(11 - c < q - p < c} = {q\ p - e < q < p + e}

Los siguientes ejemplos omiten las demostraciones de las afirmaciones mostrando apenas una ilustración de los subconj untos que intervienen. En general hacemos hincapié que un conjunto abierto í} de Rn es un conjunto "gonlito" que no tiene orilla (frontera). EJEMPLO. Una bola de radio e con centro en cualquier p € Rn es un conjunto abierto. EJEMPLO. Sea ü c R2 la parte del plano definido por

EJEMPLO. Sea íí C R2 el subconj unto dado por



4.1 Regiones en R2 y

151

y=x

.. y. < Claramente íl es un subconjunto abierto en R2.

>

EJEMPLO. Sea el conjunto Ü = {(x,y,z)\x2+y2

EJEMPLO. Sea el conjunto íí = {(x, y, z) \ x2 + y2 > 1} C M3. < Entonces Q es un conjunto abierto en R3 y es el exterior del cilindro unitario (véase la figura 4.4). > DEFINICIÓN. Definimos al conjunto C c R n como un conjunto cerrado en Mn, si su complemento en Rn es abierto. Para ejemplos de conjuntos cerrados tenemos a los complementos de los conjuntos abiertos dados en los ejemplos anteriores. EJEMPLO. a. El conjunto C = (-oo, a] U [6,oc)



152

Campos escalares en

y

Figura 4.3: Interior del cono z2 — x2 + y

Figura 4.4: Exterior del cilindro unitario. es cerrado en la recta real R. b . El conjunto C={(x,y)\x 2 se tiene cualquier curva que los une se sale del conjunto íl. \> EJEMPLO. El conjunto anular

A= {{x,y) GR 2 |

1 <x2 +y2 < 4}

encerrado entre los círculos de radios 1 y 2 respectivamente, con centros en el origen, es un conjunto conexo. En general un conjunto conexo es aquél que está formado por una sola pieza. Esto es, un conjunto conexo en Rn se entiende intuitivamente como un conjunto que no se divida en varias piezas. DEFINICIÓN. Por una región en Rn entenderemos un conjunto íl C Rn que es abierto y conexo.



4.2 Campos escalares en R3

4.2

155

Campos escalares en R3

Pasamos ahora a definir a una función real con argumento vectorial, utilizando los conceptos dados de abierto y conexo. Por un campo escalar definido en la región Q C R n

entendemos a la función real de variable vectorial, es decir, una asociación tal que cada punto p G 0, se le asocia el número real f(p).

Figura 4.6: Función vectorial / : Q C R n -> R. En coordenadas x, y, 2 del espacio R 3 esta asociación se escribe, para el punto p = (x, y, z), f(p) = f{x,y,z) Esto es, si (x, y, z) G fi, bajo la función / se le asociaría el número real (x,y,z)

->

f(x,y,z)

En adelante, usaremos indistintamente los nombres de función real de variable vectorial y campo escalar. DEFINICIÓN. La gráfica de una función / : íl —• R es un subconjunto Graf(/) de R4 definido por

{((

(

( y ^ ) G Q, (

}

Análogamente, para una función definida en la región plana Q C R 2 , / : Q —> R se tiene su gráfica como el subconjunto Graf (/) = {(x, y, z) | (x, y) G fi, 2 = / ( x , y)}



C a m p o s escalares en R3

156

Figura 4.7: Gráfica de f(x, y) = x2 + y2 contenido en R 3 , constituyendo una superficie en tal espacio tridimensional. Damos algunos ejemplos donde la regla de correspondencia es dada de antemano. E J E M P L O . Sea el campo escalar cuya regla está dada por

f(x,y) = x2 + y2 < Claramente, el dominio de / es Q — R2 y su gráfica es la superficie definida por el conjunto contenido en R 3

que resulta ser un paraboloide circular (véase la figura 4.7). D> E J E M P L O . Sea la función / : Í7 —> R dada por la regla de correspondencia f(x,y) = >/4 - x2 - y2 < Para calcular el dominio Q imponemos la condición 4 — x2 — y2 > 0 o equivalentemente,

4 >x2 Esto es, para (x,y) € Q se debe cumplir que ||(x,y)|| < 2 lo que nos dice que el dominio fi deberá ser un disco cerrado de radio 2 con centro en el origen de coordenadas.



4.2 Campos escalares en

157

X

Figura 4.8: Gráfica de f(x,y) = yjA — x2 — y2. La gráfica de / es el conjunto cerrado Graf (/) = {(*, y, sjl-x2-

y2) | x2 + y2 < 4}

Si ponemos z = \/4 - x2 — y2 entonces, al elevar cuadrados obtenemos 22 =

4

_

X2

_

y2

de donde, x2 -h y2 + z2 = 4

que es una esfera de radio 2 con centro (0,0,0). De esta manera, la gráfica de / es la parte superior de tal esfera como lo muestra la figura 4.8. >

R

(x,y)

Figura 4.9: Parte del plano x

= lenél primer octante.

EJEMPLO. Sea la función / : fi -> R dada por la regla f{x,y,z)

= ln(l - x -y - z)



Campos escalares en R 3

158

0

es decir, En la igualdad x + y + z — 1 tenemos un plano con cortes con los ejes x = 1, y = 1 y z = 1. Al tomar el punto p = (0,0,0) se tiene que sus coordenadas satisfacen 0 + 0+ 0 = 0 < 1 es decir, p satisface la relación x-\-y-\-z R y un valor c G R dados, se define el conjunto de nivel de / al valor c, definido por f~l(c), como la imagen inversa de c bajo / , esto es, f~l{¿)

= {(x,y,z)\f(x,y,z)

= c}

En otras palabras, es el conjunto de puntos {x, y, z) £ Ü que bajo / alcanzan el mismo valor / ( x , y, z) — c. EJEMPLO. Sea la función

Calcular los conjuntos de nivel para los valores c = 1,0,1. R y p <E íí un punto con coordenadas (x,y,z). Se dice que / es diferenciable en p, si existe una función real de variable vectorial g(h) tal que \g(h)+ g(h) = 0 suponiendo que el vector gradiente del campo / ,

existe en el punto p. Si la función / : Q —> R es diferenciable en cada punto de íl, simplemente diremos que / es diferenciable en Q. A continuación damos una condición necesaria para que un campo escalar tenga la propiedad de diferenciabilidad. Su prueba se omite, pero el lector puede referirse a Lima (1992). TEOREMA 4.2 (de diferenciabilidad). Sea f : íí C R3 -> R y supóngase que en el punto p G íí las funciones determinadas por las derivadas parciales ox

oy az

existen y son continuas (véase el capítulo 8 en los apéndices) en el punto p. entonces f es diferenciable en p. Un corolario inmediato a este teorema es el siguiente. C O R O L A R I O 4.1 Toda función f : Q —> R que involucre a las funciones clásicas en las variables independientes x, y, z, es una función diferenciable. E J E M P L O S . Las siguientes funciones son diferenciables en su dominio natural. a. Cualquier polinomio P(x,y,z)

en las variables x,y,z,

P(x, y, z) = 6xyz3 + 2x2yz

por ejemplo,

xy2z2 + 3

c. f(x, y, z) — sen \/l — eTy —




170 d. f{x,y) = l e. f(x, y, z) = aictan(y/x -f z) f- fixi Viz) — xV

Un resultado inmediato cuya prueba tampoco realizaremos es el siguiente, referente, a la aritmética de las funciones diferenciables. L E M A 4.2 La suma (y diferencia), el producto y el cociente de funciones reales de variable vectorial que son diferenciables, es una función diferenciable EJEMPLO. Las siguientes funciones son diferenciables en todo su dominio natural. a. f(x,y,z)=6xyz2

+ J-y,++%z

b. f(x, y, z) = sen y/1 + exy — z -f ln (1 — ^/xy + -% ) y v j c. / ( # , y, z) = arctan (^) -f xyz + ln(z + x)

4.5

La regla de la cadena

En muchas ocasiones algunos problemas que involucran funciones de variable vectorial pueden reducirse a problemas de funciones reales de variable real que son más simples de estudiar, mediante la composición con curvas contenidas en las regiones donde están definidas tales funciones. A continuación damos el procedimiento. Sean, / : Q —> R una función diferenciable en todo punto de la región íl C R3, y 7 : (a, 6) —• Í7 una curva diferenciable. Entonces la composición

es una función real de variable real definida por,

EJEMPLO. Sean, el campo escalar, f(x,y,z) = xeyz +yezx y la curva diferenciable = (4cosí,4sení, 2t).



4.5 La regla de la cadena

171

Figura 4.16: Gradiente de una función. Entonces = /(4cosí, 4senf, 2í) = 4cosfe ( 4 s e l l t ) ( 2 í ) + 4 s e n í e ( 2 t ) ( 4 c o s í ) = 4e 8tsen< cosí + 4e 8 t c o s í sení es decir, (/ ° 7)(¿) = 4e 8 í s e n í cos¿ +

Ae8tcostsent

resulta ser una función real de variable real, diferenciable. E J E M P L O . Sean la función

f{x,y) = ln(xy) y la curva diferenciable ^(t) = (¿, p-) con t > 0. 0 y y >0 ó x 0, y > 0), {x < 0, y < 0)} es el dominio de / , y que la curva

está contenida en Q.



Campos escalares en

172

f(y(t))

Figura 4.17: Regla de la cadena. Entonces, la composición (/o7)(t), que resulta ser una función diferenciable, se calcula por

(/ ° 7)(«) = /(7(í)) = f(t, l/t2) = ln(í 1/í2) = ln(l/í) = - lní > Damos una fórmula para calcular la derivada de una composición de funciones como la que se ha mencionado (véase la figura 4.17). TEOREMA 4.3 (Regla de la cadena) Para una curva suave ^(t) y una función diferenciable f(x, y, z) se cumple la fórmula

dt

•(*)=< V / 7 ( t ) , 7 ( * ) >

que es la derivada de la composición f o 7 en el tiempo t. Esto es, en coordenadas x, y, z del espacio se tiene

df dx dx dt

df dy dy dt

df dz dx dt

Sea t £ (a, b) un punto arbitrario y considérese el incremento vectorial

Es claro que h -> (0,0,0) si s -> 0.




173

En virtud de que / es diferenciable, particularmente en el punto vectorial 7(¿), se cumple que h) -

),

=
+\\h\\g(h)

donde lini/l_+(O,o,o) 9(h) — 0, siendo h cualquier incremento vectorial. Si se toma h — y(t -f s) — 7(t), entonces se tiene = < V / 7 ( t ) , 7 ( í + s)-

a) - -y(t)\\g(h)

7(í)

que al dividir entre el incremento s nos da

s

\

'

üxay = 6xy + 3 üxay üxóy Inductivamente, podemos definir a una función f(x, y) de clase Cr (con r > 1), si para cualquier partición del entero r en los enteros s y m, la derivada parcial r—ésima de / dada por dymdxs existe y es una función continua. Aquí, 0 < s < r, 0 < m < r y r = m + s.



4.7 El Teorema de Taylor

183

En la expresión Qrf

dymdxs se entiende que se calcula m—derivadas parciales de / respecto a la variable y y s—derivadas parciales respecto a x, realizando en total un cálculo de m -f s — r derivadas parciales. La extensión de la definición de clase de diferenciabilidad para un campo escalar de más variables es una analogía a la dada para apenas dos variables. El Teorema 4.4 se puede extender para una función que depende de más variables. Esto es, si f(x,y,z) es una función que satisface las condiciones dadas de diferenciabilidad, el teorema de conmutatividad se cumple también. De hecho, por ejemplo, d2f dxdz

d2f dzdx

82f dxdy

=

d2f dydx

d2f dzdy

=

d2f dydz

Si la misma función /(x, y, z) es de clase C 3 , entonces la conmutatividad se extiende de manera natural. EJEMPLO. Consideremos a f(x,y,z) un campo escalar función de clase C 3 definido en alguna región del espacio. < Se tiene la siguiente cadena de igualdades,

d3f 2

dydx

=

fd¡\

j^_

=

dydx \dxJ =

JP_ /a/\

=

dxdy \dxJ

d í d2f\=

d_ id2} dx \dydx

a3/ dx2dy

dx \dxdy) También se cumplen las igualdades,

a3/ dzdydx

dzdxdy

dxdydz

dxdzdy

así como la igualdad,

a3/ 2

dydz

dz2dy




184

Si f(.i\y,z) es una función de clase C 4 , también se cumple el teorema de coinnutatividad de las derivadas parciales. Por ejemplo, son justas las igualdades 04f 04f d4f = = 2 2 OzOyOx 0x 0zdy dydx2dz 04f _ 04f _ d4f 3 ¿ OxOz ~~ Oz' Ox ~~ Ozdxdz2 04f d4f d4f Oy2dx'2 Dx20y2 dydxdydx Generalizando lo anterior, si f(x, y, z) es una función de clase Cr con (/• > 1), d teorema de coinnutatividad también se extiende. Por ejemplo,

0rf f

m

O'f n

m

0z üy 0x

d'f

n

e

0y 0x dz

n

dx dz*dym-

donde f 4- m + n = r. Aquí se entiende que la función / se va a derivar parcialmente r veces en total: í veces respecto a la variable z, m veces respecto a la variable y y m veces respecto a la variable x. EJEMPLO. Calcular las derivadas parciales dxdydz'

Observamos que la relación anterior se puede escribir, al tomar p = (a, 6), también como



4.7 El Teorema de Taylor

2!0!

191

v

(x-a)

+

OH»

(x~a)

(2/~6)+

uní

\x~a)(y-•

Procediendo inductivamente, es fácil ver que la parte cuártica del polinomio buscado es,

(

* - a ) 4 + ^ r *

(l + xy)3

2

2 -2j/(l + xy) + y 2(l+yx)x 4 ( 1 - hxy)

-2y (l + xy)3

|(0,0) = 0,|(0,0) = (0,0)= O (o,o). 0.^.(0.0) = i. dydx dy d2f d3f d 3f d3f - 4 3( 0 , 0 ) = O, ^~-(0,0) = O, «-¿-(0,0) - O, ^4(0,0) =O dx dydx dydx dy3

dx2

Por lo tanto, alrededor de p — (0,0) se tiene que la función ln(l + xy) se escribe

f(x,y)

xy) = ln(l + 0) + |^(O,O)(ar - 0) + |^(0,0)(y - 0) ox oy

( i 0 )

+



194

Campos escalares en

^í(o,o) ,

(y - O)3 + o((x - O)4, (y - O)4) = xy + o(x\ y4)

Por otro lado, el desarrollo alrededor de ZQ = 0 de la función ln(l 4- z) está dado por la igualdad ln(l + *) = z - y + o(3) Por eso, si ponemos z — xy entonces el punto (a, b) = (0,0) corresponde al punto ZQ = 0 y entonces \2

(

ln(l + xy) =xy-

2 2

&%- + o(3) = xy - ^ ~ + o(5) z z = xy + o(3)

igualdad que se ha obtenido ya, utilizando el teorema 4.5. O Damos ahora un ejemplo del desarrollo de un polinomio alrededor de un punto. E J E M P L O . Dar el polinomio de Taylor alrededor del punto p= (1,2) de la función polinominal

< Calculamos todas las posibles derivadas parciales, obteniendo,

- £ ¿ - 3 £Í oyz

oyox df

/

0, 2 o/ 3 12 6, 0, ' dd ' 9 ' dydx2 ' dy2dx De esta forma, al evaluar cada derivada obtenida en el punto p se tiene

§£(1,2) = -3, dx

d2 f

d2f

§£(1,2) = -21 dy

d2f

^4(1,2) = 6, ^ - ( 1 , 2 ) = -3, ^4(^2) = "24 d2

dydx

dy2



4.8 Diferencial total de un campo escalar

üxó

(1 , 2) = 6 ,

^(1.21=0.

195

¡S(..2)-0.

üyüxr

üy-üx

a..2,,.>2 Oír

Por lo tanto, por el teorema 4.5, alrededor de (1,2) la función / se escribe

(x-l)2

3(:/:- l)(?y- 2)

2!0!

1!1!

21(/y - 2)'1 2),

3!0!

2!1!

1!2!

()!3!

2

= - 9 - 3(x - 1) - 2l(y - 2) + 3(.T - I ) - 3 ( J : - l)(yy - 2) - V2(y - 2)" + ( * - l ) : í - 2 ( ? / - 2) ;í debido a que las derivadas parciales d(j onkíii cuatro en adelante se anulan todas. \>

4.8

Diferencial total de un campo escalar

Para el campo escalar / : D C R2 —> R y el punto arbitrario /; = (x,y) G D. se tiene el incremento total de / en p dado por

donde h = Ax y k — Ay son incrementos arbitrarios en las variables dadas. De la definición de diferenciabilidad de / en />, dada en la sección 1.1. se tiene que / es diferenciable en p si el incremento total A / puede escribirse en la forma

A/ - ?f(p)Ax + ?f(p)Ay + o(\\(Ax. A.(/)||2) üx

üy

cuando ||(Ax, Ay)\\ —•»- 0. Podemos escribir lo anterior mediante la notación convencional

en virtud de que o(||(Ax, A.y)||2) -> 0. DEFINICIÓN. Para la función diferenciable / : D C R2 -> IR se define la diferencial total de / por la igualdad df = —dx 4- —dy üx üy



Campos escalares en E 3

196

EJEMPLO. Dada la función f(x,y) — \\\{x2 -f y2) definida en la región plana D = R2 - {((),())}, calcule su diferencial total. R"1

como la función que en coordenadas del dominio y codominio se» calcula por (/ ) ( • • , *n) = f{-i'i, • • • *„) 4- (ry(:/'i, • • • , ./"„ )

Si A es un escalar, se define la función nueva A/ : Í2 — R m como aquella que en coordenadas se escribe

También definimos una categoría de las funciones vectoriales mediante la composición ordinaria de funciones. Sean las funciones / : í ! c R" -> R"\ y : f/ C R1" -> Rk de tal forma que la imagen de U bajo / esté contenida en f/, es decir, /(Í2) C í/. Se define la composición de la función / con g g o / : U -> Rfc a través de la igualdad,

véase la figura 5.5. A continuación damos ejemplos de la composición de funciones vectoriales de argumento vectorial. EJEMPLO. Sean las funciones vectoriales dadas por f{x,y,z)

2

2

2

= (X ,T/ + z )



Campos vectoriales en

210

R

gCf(p))

Figura 5.5: Composición de funciones. Í/(//,

r) = (ln(u + v),elu\uv)

E 3

b . C'alculanios f o y en un punto arbitrario (w, w) del dominio correspondiente.

composición que tiene el tipo foy:

íl2 C R 2 - > R 2

>

EJEMPLO. Dadas la*s funciones vectoriales y y(u, v, w) = (uv — w, u + v -f Calcular ^ o / , / o #.



5.1 Funciones del tipo R n ->

m

R

2

1

1

rn

La matriz A es tal que si {e\,62, • • • en} es la base en R n , entonces, L aplicado al vector e} es el vector columna, \ *'¿j

L(e3) = \

«mj

esto es, el j — ésimo vector columna de la matriz asociada A.



Campos vectoriales en R3

214

< La unicidad del teorema se deja como un ejercicio para el lector. D> Hasta aquí, el lector ya habrá observado que una transformación lineal en general, tendrá sólo en sus funciones coordenadas a expresiones lineales en las variables, sin términos independientes. En los siguientes ejemplos el lector deberá aprender a reconocer por simple inspección una transformación lineal, y a calcular su matriz asociada. EJEMPLO. Sea la transformación L : R 3 -+ R3 dada por,

L(x, y,z) = (y + z, x + z, x + y) < Al considerar la matriz A dada por A= y a (x,y,z) un vector en R3, se tiene, A y, por lo tanto, A está asociada a L, lo que dice que L es una transformación lineal. Más aún, si se toma la base canónica { ei = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,0)} entonces, al aplicar A en cada uno de ellos se obtiene

A(ei) =

lo que nos da los vectores columnas de la matriz A. O



5.1 Funciones del tipo IR" -* R'"

215

EJEMPLO. Sea la transformación L : R2 -> E:i (Infinida ]>or L(;r,; í /)-(2;r- / y, 3.r+ 1/y, 2.r) O Al considerar la matriz de 3 x 2 dada por -i 3 1 2 0

=

se tiene que \

f

A(

1

\,

y)

(2 3 \i 2

1

=

4 0

= I 3,

lo que indica cûe A está asociada a L. Si se toman los vectores básicos c,\ = (1,0), (•> = (0.1), ciitonccs tendremos los vectores columna de la matriz A mediante los cálculos.

« • • ' • ( • • ) ( ! ) • ( !

« • ( • : ) < ; > • ( : EJEMPLO. Sea la transformación lineal L(x, y, z) —' (—x — y + z, áz — 2x + 2y)

< Al considerar la matriz real 2

2 4

es fácil ver que A es la matriz asociada a l t> EJEMPLO. Sea la transformación lineal L : R'* —* R dada por L(x, y, z) — (yx —'¿y+ (lz < Si se considera el vector renglón, ¿ = (

6

"

3

2

)ix:f




216 para el vector (.r,//.¿), se obtiene, ,1

//

= (ü

-3

2), x : ,

2/

=6x-3y-

lo que dice que .4 es la matriz asociada a la transformación lineal L. D> Damos ahora una interpretación geométrica de una transformación lineal para el caso L : R2 -> R 3 .

Figura 5.6: Geometría de una transformación lineal. Si consideramos un vector en el plano R~, este se puede escribir como una combinación lineal de los vectores básicos.

De esta manera, su imagen bajo L se escribiría como £ 2 e 2 ) = $1L(e1) lo que nos dice que la imagen de ^ es una combinación lineal de los vectores imágenes de los básicos, en R 3 (véase la figura 5.6). De esta manera, la imagen del cuadrado en el plano IR2 generado por los vectores e\,e.2 bajo la transformación L es el paralelogramo en R 3 tendido sobre los vectores L(e\) y L(eo)^ como lo muestra la figura 5.6. En general, si L : R n —> R m es una transformación lineal y f G R" es un vector posicionado en el origen, entonces L(£) es también un vector en R m posicionado en el origen. Obtenemos ahora una matriz asociada a la composición de transformaciones lineales, en términos de las matrices asociadas a cada una de las



5.1 Funciones del tipo R n -> R m

217

transformaciones que intervienen en la composición. Lo hacemos apenas para el caso especial de las transformaciones lineales del tipo R 2 —> R 2 , generalizando el resultado de manera natural. Consideremos dos transformaciones lineales del plano en el plano, dadas por L\ (x, y) — (ax 4- by, ex 4- dy) L2(u1 v) = (au 4- /3v, yu 4- Sv) donde a, 6, c, d, a, /?, 7, ó son números reales. < Al realizar su composición tenemos para un vector (x, y) £ R 2 ,

(L2 oLi)(x,y) = L2(L1(x,y)) = L2(ax + by,cx + dy) — (a(ax 4- by) 4- /?(cx 4- dy),/y(ax + 6?/) + ¿(ex 4- oh/)) = (aax 4- a6?/ 4- (3ex 4- /3 K

.L2 • 1&

,

—^ 1K.

cuyas matrices asociadas son respectivamente A = Arnxn

(para L\)

y

B = Bkxm

(para

L2)

La composición L2 o L\ tiene asociada a la matriz producto

EJEMPLO. Sean dadas las transformaciones lineales Li(x, y) = (2x - y, y + x,4y) L2{x,y,z)

= ( - Z — 2 / - 2, 2 + 3x)

se escriba f(p) = (/i(

una función tal que en coordenadas del codominio • • ,/ m (p)), para peücR71. Cada función coordenada es real de variable vectorial /i : fi -* R

Si cada función ft : 1 = 1,2, ••• ,ra

tiene un gradiente en el punto p para toda

entonces podemos formar la siguiente matriz m x n, \

\ llamada La matriz Jacobiana de la función / en el punto p. Damos ahora algunos ejemplos en dimensiones bajas, esto es, para cuando n, m < 3. EJEMPLO. Sea la función / : R dencia. f(x,y) =

R dada por la regla de correspon-

< Debido a que las funciones coordenadas son



220


La matriz Jacobiana en cualquier p G M

es

De esta manera, en el punto particular del dominio p = (1,2), se tiene la matriz Jacobiana de 2 x 2, /(1 2) =

[ 2xv x2 I

'

v ¿xy

x

~ [ 4 1

/ (12)

\ ^

l

E J E M P L O . Sea la función / : R 2 -> IR3 d a d a por la regla,

g(x, y) = (xy, senx, x2 + y2) < Ya que las funciones coordenadas son gi{x,y) = xy,

gz{x,y) = x2 + y2

g2{x,y) = sena;,

entonces en cualquier punto p cjel codominio se tiene una Matriz Jacobiana de 3 x 2, D

9P= \

H

%

^3

^3

= I coL /

\

2.7!

0 2?/

/ P

Por ejemplo, si p = (TT, TT/2) entonces, al evaluar se obtiene la matriz

En este momento damos pauta para iniciar el estudio de la propiedad de diferenciabilidad de una función vectorial de argumento vectorial extendiendo la definición de diferenciabilidad de un campo escalar. DEFINICIÓN. Sean / : ü C R n -> R m , una función vectorial de argumento vectorial y un punto p € Q. Se dice que / es diferenciable en p si existen, una función g : R n -> R m y una transformación lineal Lp : R n -> R m tales que y

A continuación se propone una condición suficiente y necesaria para la diferenciabilidad de un campo vectorial.



5.2 La matriz jacobiana

221

TEOREMA 5.3 (de diferenciabilidad) Una función f : Q -> Rm es diferenciable en el punto p, si y sólo sí, La matriz Jacobiana de f en p existe y las entradas ,¿ = 1,2,..- ,m

¿ = 1,

,n

son continuas, Esto es, cada función ^ - es continua en p. En este caso, la transformación lineal Lp : E n —> R m tiene como asociada a La matriz Jacobiana.

DEFINICIÓN. A la transformación lineal Lp : Rn -* Rrn

se le llama la diferencial de la función / en el punto p. A su matriz asociada en la base canónica (Jacobiana)

se le llamará la derivada de la función / en el punto p.

f •

f(p)

.m

Figura 5.7: Aplicación de un vector £ bajo la diferencial dfp. Observemos en realidad que la diferencial Lp T

. Fpn

Lip . K

TTpm

—> K.

se aplica en los vectores de posición £ con extremo en p,

bajo La matriz Jacobiana Dfp.



Campos vectoriales en M3

222

Entenderemos por Lp = dfp a la transformación lineal asociada a Dfpi ajp . K

—» K

que define una transformación lineal entre los espacios Rn y R m . Esto es, si £ es un vector de Rn entonces dfp(£) es un vector de Rm (véase la figura 5.7). A una función que es diferenciable en cada punto de su dominio se le llamará diferenciable. EJEMPLO. Sean, la función diferenciable f{x,y) — (xcosx, sen x) el punto p = (~, TT) , y el vector f = ( — 1,2). Calcular

df.^).

R 3 —> R. En esta sección damos un resultado más general acerca de la diferenciabilidad de la composición de funciones diferenciables del tipo R" —» R7n —^ R^ (k,n,m enteros arbitrarios), llamada también Regla de la cadena (véase la figura 5.8).

Figura 5.8: Regla de la cadena. EJEMPLO. Sea la pareja de funciones vectoriales

g(u, v, w) — (uv — w, u + v + w) < Las matrices Jacobianas respectivas están dadas por, -2x\

Df

=

y

2y



224


DgP =

V

U

—1

1

1

1

p

Observamos que sólo tiene sentido la composición dada por J o g . ¡K —> K.

—• ¡K.

la cual ya ha sido calculada y está definida por la regla / r

w

x

U

(

( / ° g)(u, v,w)=

+

V

+W

—— \1 +

/

x/

rr, (it 4- v + ^ ) ( w + u H-

(ÍXV

- w)¿

y cuya matriz Jacobiana se calcula en un punto p G t 3 por D(fog)p 2

( + (uv-w)2)2

{l-\-{uv-w)2)2

2

v + 2u -f 2i; -f 2nv + w 4- it; i¿ 4- 2uv + 2u + 2v + uw (l-\-{uv-w2)2

uv 4- u 4- v cuyo cálculo resulta ser muy complicado. Por ejemplo, si se toma el punto p — (1,1,1) entonces, . 1 ) 9 Por otro lado, sabiendo que g(p) = g(l, 1,1) = (0, 3) = q se tendrá Dfq = .D/(o,3) =

n

n

í

DgP - Dgihhl)

= ^

1

1

l

l

~l\ 1

j

Pero al realizar el producto de matrices se tiene que 0

l \ / l

1 -1 \ _ / 1 1 1

3 6 J V1 1

l J " V 9 9 3

lo que nos indica que




225

Ya, que el punto q = //(/>), entonces lo anterior se escribe de manera más explícita y en términos de /; como

La fórmula que se ha obtenido al final del ejemplo será propuesta como La regla de la cadena. El enunciado será dado en términos de diferenciales, lo cual no nos causa problema alguno, ya que la, prueba involucrará sus matrices Jacobianas asociadas. TEOREMA 5.4 (Regla de la cadena). Sean dos funciones diferendables f:ílc R" — R'" (j : U C R ? " -> Rk

de tal forma que la irnayen de íl bajo la función f este contenida en U C Rm. Si p G íl es un punto arbitrario, entonces la función compuesta fjof:íl-+U

^Rk

es diferenciable en el punto p y la diferencial de tal composición en el punto p cumple la iyualdad

O Como las matrices asociadas a las diferenciales son las Jacobianas. será suficiente con demostrar la igualdad

Ya que / es diferenciable en p G íh existe una función o : R" —' R'" tal que

Análogamente, como g es diferenciable en el punto q G [/, existe una función i¡) : R'1' -* Re tal que lim||/l.,|_(,^(fc) = 0 Sea ahora, q = f(p) y considérese el incremento A: = / ( / ; -f h) — f{p). entonces k = f(l> + h) - f(p)

= Df,,(h)

+

\\h\\o(h)



226

Campos vectoriales en M

y además .'/(/(/' + /')) = .'/(/(/') + *•) = u(f(p)) + D{,J(P) ((Dfp(h) + | | / Í | | ¿ ( / 0 )

+ \\Df,Ah) + WhMWWtiDUih) + WhMh)) Por lo tanto, de la linealidad de Dgj^

se tiene que

.)Dfp(h)

+ ^(h)

lini||/,j| .o ^p(h) = O

o eímivalentenu^nte, (. R 3 es la transformación lineal asociada a la matriz A y LA-\ : R 3 —> R 3 es la transformación lineal asociada a la matriz A~l, el sistema de ecuaciones en las incógnitas (x, y, z) y su solución en términos de (u,v,w) vienen dados por la equivalencia funcional LA(x\ y, z) = (u, v, w) (x, y, z) = LA~i (u, v, w) Esta equivalencia señala explícitamente las propiedades de invertibilidad de cada transformación lineal mencionada. De hecho, de la igualdad AA~l identidad se tiene que

= A~lA

= /, donde / es la matriz

LA o LA-i = LAA-i = L¡ = I LA-\ oL A = LA-iA = L¡ = / lo que nos dice que LA y LA-\

son mutuamente inversas y que

Este problema de invertibilidad se puede formular en términos más generales, cuando se tiene una función vectorial de variable vectorial. Como se entiende del ejemplo anterior, las funciones inversas sirven como operaciones de cancelamiento o despeje (véase Capítulo I de Reyes, 1996). DEFINICIÓN. Sea / : ü C R n -* R n una función vectorial de variable vectorial. La función g : f(Cl) C R n —> íl se dice ser una función inversa de la función si se cumple que es tal que g o f : Ü -> / ( f i ) - • Í7,

es tal que

fog gof

= l = l

siendo / la función identidad (véase la figura 5.9). E J E M P L O . Sea la función / : R 2 —> R 2 dada por la regla de correspondencia

f(x,y) = (ex cosy, exseny) < Si se escriben las coordenadas de la imagen, u = ex eos y v = exseny



5.4 Cambios de coordenadas

231

Figura 5.9: Invertibilidad de una función. entonces, al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene v

(u\

— — tan y =^> y — arctan — u Vv/ Si se elevan al cuadrado las igualdades en ambos miembros y se suman los lados respectivos se tendría que u" + v" = (j- 'l eos" y -f c"'s(m2tj = c2 lo que implica cjue

x = ln Ju1 -f v1 De esta manera, con base en un cálculo realizado mediante despejes, se obtiene una función (x, y) = g{u, v) = í ln \Jvr + r 2 , arctan í — j j la cual tiene un dominio de definición Dx = R2 - {(u, v)\ u / 0} - R2 - {eje v} En otras ¡)alabras, bajo esta regla g obtenida, no torio punto (//. v) £ R2 acepta solución para la equivalencia /(:r, y) = (?¿, v) {x, y) = g(u. v). Por eso es que llamamos a g una función inversa, porque está definida no en toda la imagen de / . Otro cálculo simple nos muestra que la función, h(it, v) = í ln y/u2 + t' 2 . arecot ( — J J



232


es UIIÍV función obtenida, mediante el método similar, y que es inversa para / definida en el conjunto D-2 = R2 - {ejeu} Lo que es claro, es que un cálculo directo nos mostraría que en el conjunto Dx D D2 = D = R2 - {ejes u, v} las funciones // y g coinciden en sus valores. p> EJEMPLO. S R una función diferenciable real de variable real y sea p € D un punto regular de / , es decir la derivada f'(p) no se anula. < Por el t(u)reina de la función inversa (Capítulo 3 Reyes, 1996) se tiene que existen intervalos ./;, alrededor de p y J(¡ alrededor de q = f(p) de tal forma que la restricción de la función / a esos intervalos

/ : ./„ - J, (^s inv(Ttiblo y su inversa es diferenciable. Más aún, si g : J(¡ —> Jp es la función inversa local de / alrededor de q = f(p)< entonces la ecuación (gof)(x) = x iiii})lica. ])or La regla de la cadena l = (!jof)'(.v)=g'(f(.v))f'(x) Al evaluar en .v = p se tiene que la derivada de la función inversa g en el punto q = f(p) se calcula,

g'ü) =

(f'())-1

Decimos en este caso que la función / es una invertible local pues tiene una inversa local g que también es diferenciable. O El siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos provee de una gran cantidad de funciones localmente invertibles de clase Cr. La prueba se omite, pero el lector interesado puede referirse al trabajo de Lima (1992). Para una función de clase Cr, f : Rn —> Rm entenderemos a una función cuyas funciones coordenadas f¡ : Rn —> Wrn son de clase C1.




233

TEOREMA 5.5 (de la función inversa local) Sean, f : Q C Rn -> IR" una función de clase Cr(r > 1) y p £ íl un punto tal que La matriz Jacobiana

i tenga un determinante no nulo: detA / 0. Entonces f es una función localmente invertible en p. Esto es, en una vecindad de p y en otra vecindad de q — f(p), la función tiene una inversa local g que es de clase Cr. Más aún, si q — f(p) es la imagen se tiene que La matriz Jacobiana de g en q se calcula invirtiendo la matriz Dfp, es decir,

Dgq = {Dfprl EJEMPLO. Considerar nuevamente la función / : R2 —> R2

f(x,y) = (ex cosy, exseny) de la cual no se puede obtener una función inversa global explícita. < Sea p = (x, y) G IR2 un punto arbitrario del dominio. Su matriz Jacobiana viene dada por L) tyD =

/ excosy , \ e rsen y

-exseny ,r e cosy

lo que nos dice que e C Sy det(Df ° v Jy> p)= elxseny

Seny "f ex cosy

= ex

Por lo tanto, la función / es invertible localmente en cada punto y dependiendo de éste, tendrá una función inversa local como alguna de las dos diferentes halladas anteriormente, según la forma de despejar las variables. D>

DEFINICIÓN. Dada La matriz Jacobiana en un punto p de una función / : R n -+ Rn de clase C r , definida por Dfp, a su determinante det{Dfp) se le llama el Jacobiano de la función / en el punto p y lo calculamos por Jfp, es decir

Jfp - det(Dfp) Así. repasamos el teorema de la función inversa diciendo que una función Rn —> Rn de clase Cr cuyos Jacobianos no se anulan en todo el dominio es localmente invertible de clase Cr.



Campos vectoriales en R3

234

Para optimizar cálculos utilizaremos la notación clásica que utiliza subíndices variables para definir la derivación parcial. Por ejemplo, Ju

~

h

du'

Uz

'dzr"

"~ dx'

definirá la derivación parcial respecto a la variable indicada. Por otro lado, si una función E n —> R n es definida por (2/i ••• ,2/n) = f(xi ••• ,xn) el jacobiano de / en el punto p se definirá por

EJEMPLO. En la función suave R2 -* R2 dada por (u, v) = f(x,y) = (ex eos y, exsen y) se tiene du

x

= — = e cosy, ax

dv = — = exseny, JP

du

uy = — = -e seny ay

dv vy = — = ex eos y ex cosy exseny

D(x,y)

—exseny exeos y

Particularmente, en el punto p = (1,1) se tiene que Jf(i.i)

=el=e

de donde / es invertible alrededor del punto (1,1) con una inversa local g(u,v) = í ln \u2 + v2, arctan í — J J definida alrededor del punto /(1,1) = (ecos 1, esen 1). O EJEMPLO. Dada la función f(x,y,z) = (xz,xy,yz) verificar su invertibilidad alrededor del punto p = ( — 1,1, — 1).




235

Si calculamos por (u,v,w) = f(x,y,z)

— (xz,xy,yz), es decir,

u = xz

V = xy w = yz

1 entonces J fp =

D(u, v, w)

ux

Uy

uz

Vx

Vy

Vz

wx

Wy

wz

z 0 x — y x 0 0 z y

= 2xyz

De esta manera, el Jacobiano se anula sólo en los planos coordenados x = y = z = 0. Por lo tanto, J / ( i , u ) = 2 ^ 0, lo que nos dice que / es invertible en una localidad del punto (1,1,1), y procedemos a calcular en este caso una función inversa local de / . De las ecuaciones u — xz, v = xy se obtiene que uv = x2zy. Al utilizar ahora w = yz en uv = x2zy se tiene que uv = x2w lo que nos dice que X

:=:

uv w

uv w

x = ±\l —

Análogamente, se obtienen,

Ya que q = ( 1 , - 1 , - 1 ) = / ( —1,1,—1) está en el dominio para cualquier elección de signos, se tiene, al elegir los apropiados, que la inversa local g tiene la forma,

^

v

;

/ ívv Ivw \ \l w ]/ u

luw \ v

en virtud de los signos del punto p = ( — 1,1,-1).

>

En muchas ocasiones, el sistema cartesiano de coordenadas no es bueno para describir objetos geométricos o mecánicos que están incluidos en el espacio vectorial R 3 . Por eso, es preciso utilizar otro tipo de coordenadas que describen con fórmulas más simples tales objetos. De esta forma, si se conocen las coordenadas que se van a utilizar en lugar de las cartesianas,



236


K

b.

Figura 5.10: Regiones en R3 y R2. justo es que se establezca una relación biunívoca entre las colecciones correspondientes a tales sistemas de coordenadas. Cabe mencionar que en muchas ocasiones, tal relación biunívoca entre tales sistemas puede establecerse entre regiones. EJEMPLO. Sea el campo escalar F(r

11 z) — r 2 4- ?/2 -I- z2

Ya que F es una función suave (por lo tanto, continua) se tiene que

es una región abierta de R3 Esto, es la bola de radio 1 con centro en (0,0, 0) de R3 es una región abierta (véase figura 5.10 a). EJEMPLO. Considere el semiplano superior J7+ = {(x,y) e R2|

y > 0}

Este conjunto es una región abierta en R2, pues la función F(x, y) — y es continua y H+ — F'1^, oo) (véase figura 5.10 b). Claramente la cerradura del semiplano superior H+ = {(x,y)eR2\

y>0}

es una región con frontera en el plano R2. En algunas ocasiones, una región está definida por varias desigualdades. Esto es, cada punto de la región satisface un número finito de desigualdades del tipo Fi(x,y,z) < ai F2(x,y,z) < a2 Fn(x,y,z) < an




237

donde las funciones F\, • • • , Fn son continuas en el espacio R 3 , y a i , • • • , an son números reales. EJEMPLO. Consideremos la región en el plano R2 acotada por la elipse

O De la figura 5.11 se puede observar que la variable x está necesariamente en el intervalo [—2,2] y que la variable y está encerrada desde la curva y = Â\/4 — x2 hasta la curva y — -4»\/4 — x2. La definición de y se obtiene al despejar a y de la ecuación inicial,

Figura 5.11: Región elíptica en K 2 . De esta forma, la región ü se puede describir totalmente por las desigualdades

Estas desigualdades son equivalentes al sistema de desigualdades

Fi{x,y) = -x 0 Si en la ecuación x + y + z = 1, ponemos y = 0 y z = 0, entonces x = 1, lo que determina para x el intervalo [0,1].

y=l-x z=0

Figura 5.13: Región espacial acotada por planos. Para determinar el dominio de y, hacemos z — 0 en la ecuación x 4- y 4z = 1, obteniendo x + y = \oy = l — x, lo que según se muestra en la misma ñgura, e indica que 0 < y< 1 -x Finalmente, al despejar z de la ecuación x+y+z — 1, se obtiene z — l—x—y, lo que dice que la variable z debe satisfacer la desigualdad 0 < z< 1 - x - y Por lo tanto, la región espacial V se describe por el conjunto V = {(x,y,z)\0

<x

Figura 5.15: Coordenadas Polares en R". EJEMPLO. Consideremos la curva en el plano definida por la ecuación en coordenadas cartesianas 25a:2 + lOxy + y2 - 1 = 0 X(p) en los ejemplos anteriores es suave, como una función vectorial de argumento vectorial, diremos que los campos vectoriales son suaves. DEFINICIÓN. Sea Í2 una región del espacio R3. Por un campo vectorial suave X actuando en tt entenderemos una función A

. i I —> M.

que asocia a cada punto p £ Q el vector espacial X(p), de tal forma que la asociación es suave como una función vectorial de argumento vectorial. El la práctica, para visualizar un campo de vectores definido en una región íí, se dibujan los vectores asociados X(p) a los puntos p G íi, teniendo a p como punto donde nace el vector X{p). La figura 5.18 ilustra esta forma de visualizar los campos vectoriales de velocidades y gravitacional. EJEMPLO. Sea un campo escalar suave arbitrario definido en una región espacial Í7, F

:Q^R

Si se considera el sistema de coordenadas x, y, z para íí, entonces un campo de vectores X tiene la forma X(x,y,z) = (P(x,y,z), Q{x,y,z), R(x,y,z)), donde P, Q y R son campos escalares, P,Q,R: ü ->R Por ejemplo, el campo gradiente del escalar F se escribe en las coordenadas cartesianas x, y, z,

* EJEMPLO. Determinemos el campo vectorial definido por la fuerza de atracción gravitacional de un cuerpo A de masa m sobre un cuerpo B de masa 1. < Supongamos que el cuerpo de masa m está localizado en R3. De La ley de gravitación universal se sigue que la fuerza X con la cual atrae el cuerpo A al cuerpo B es X(p) = T^¥ donde p = (x,y, z) es la posición del cuerpo A. Recordemos que |p| = \/x2 Jry2jrz2) y por lo tanto ye2 + ze-¿)

_ ,y,Z

—

¿

r¿

(x + y

o equivalentemenie krnze:i

kmxei )3/2 ,2)3/2

(j .2

+

y2

+

,2)3/2



5.5 Campos vectoriales en R2 y

251

En este caso las funciones escalares que definen al campo vectorial son „,

kmx

x

Q(x,y,z) =

kmy 2

(x + y2 + x2)3/2 kmz R{x,y,z) = 2 2 (x +y + :r2)3/2

Figura 5.19: Campo gradiente de F = x2 + y2. Mostramos que un campo vectorial crea una "dinámica" dentro de la región Q contenida en R 3 donde actúa. EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo de velocidades X del líquido estacionario dentro de la región Q C R 3 . Bajo la influencia de tal campo, cualquier punto se "moverá" por la acción de la velocidad X(p) del líquido, creando una trayectoria. En los puntos de tal trayectoria también se ejercen tangencialm mte velocidades que son vectores del campo que actúa en fi. Si se conoce por jp(t) la trayectoria (curva) que se realiza desde el punto p (tomado como tiempo incial t = 0), para tiempos t > 0, se tiene que la velocidad 7P(¿) de la curva en el punto 7P(¿), pertenece al campo X. Esto es, el punto jp(t) de la trayectoria tiene asociado al vector velocidad X(~)P(t)) que también es la velocidad %(t), es decir,

%{t) = x(rp(t)) Diremos en este caso que la curva t —• 7p(í)> e s u n a curva integral del campo vectorial X, condicionada a pasar por 7 p (0) = p.



252


En otras palabras, una curva integral del campo X de velocidades es una curva cuyos vectores tangentes pertenecen además al campo X (véase figura 5.20). DEFINICIÓN. Sea X un campo vectorial suave en í] C R 3 , y sea 7:(-e,e) ->íí, e > 0 una curva suave definida en el intervalo ( — e,e) a Vi. Decimos que 7 es una curva integral del campo X, si para todo t G (—e,e) se satisface la igualdad Esto es, 7 es una curva integral de X si sus vectores tangentes j(t) forman parte del campo (véase la figura 5.20).

Figura 5.20: Curvas integrales de un campo vectorial Sean x, y, z las coordenadas de íl donde el campo X se escribe X(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) entonces la curva ^(t) — (x(t), ?/(£), z(t)) será una curva integral del campo X si para t G (—e, e) se cumple la cadena de igualdades (x(t),y(t),i(t))=í(t)

= X(-r(t)) = X(x(t),y(t),z(t))

= (P(x(t),y(t), z(t)), Q(x(t),y(t), z(t)),R(x(t), y(t),z(t))) Esto es equivalente a que, suprimiendo la variable t (sabiendo que las coordenadas dependen de tal variable), se cumpla el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales



5.5 Campos vectoriales en R2 y R3

253

x = P(x,y,z) y = Q(x,y,z) , z = R(x,y,z)

(x,y,z)eíl.

Consecuentemente, para que una curva 7(2) sea una curva integral del campo vectorial X = (P,Q,R), sus coordenadas x(t),y(t), z(t) deben satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales mencionado. Surge el problema de la existencia de curvas integrales de un campo vectorial suave X definido en una región íl C IR3. El conjunto de tales curvas integrales conformarían el flujo asociado al campo de vectores en el cual un objeto se podría mover libremente bajo la acción de tal campo. El siguiente teorema, el cual no demostraremos, nos garantiza la existencia de una curva integral del campo, la cual pasa por un punto condicionado y que está determinada de manera única. T E O R E M A 5.7 Sea Q una región de R 3 y sea X un campo de vectores suave definido en Q. Entonces, para el punto p G Q a. Existe una curva integral suave 7 : (a,6) ->íí del campo integral X, definida en un intervalo máximo (a,b) C R que contiene a 0 y tal que 7(0) = p. b . La curva 7 es única en el sentido de que cualquier otra curva integral suave del campo 7:(a',6')-íí pasando por p, coincide con 7 en (a, 6) n (a'',&'), suponiendo

de inicio que

La prueba de este teorema es objeto de La Teoría de las Ecuaciones Diferenciales y sale del alcance de este libro. Otra forma de determinar las curvas del flujo del campo vectorial X = F(x, y, z)ex + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3 es resolver las ecuaciones diferenciales equivalentes, dx P(x,y,z)

dy ~ Q{x,y,z)

dz ~

R(x,y,z)



Campos vectoriales en E 3

254

pero en este caso, las soluciones están determinadas sin el parámetro temporal t. A continuación, damos ejemplos de curvas integrales para campos vectoriales en el plano. La búsqueda de tales curvas integrales obedece en general a la solución del sistema de ecuaciones diferenciales mencionado. Se hace mención al lector que en general no es simple resolver un sistema de este tipo para encontrar las curvas integrales del campo que actúa en la región £7, además de que los métodos de solución que se conocen merecen un trabajo aparte. EJEMPLO. Consideremos en Q = R2 el campo de vectores constante

esto es, P(x, y) = 1 y Q(x, y) = 0. < Entonces sus curvas integrales deberán de satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones para cualquier punto (xo,yo) € ü tienen la forma x(t) = t + XQ 7 ( í ) :

\

y(t)=yo

Esta curva integral t -> 7 (í) = (x(¿), y(t)) = (t + x0, yo) corresponde a una recta paralela al eje x, que en el tiempo t = 0 pasa por el punto (#o,2A)) ^ ^* La figura 5.21 ilustra el campo vectorial de este ejemplo, junto con sus curvas integrales (flujo del campo). O EJEMPLO. Sea en Q = R2 el campo vectorial dado por X(x,y) = {-y,x) es decir, P(x,y) = -y, Q(x,y) = x. < El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo es í x = P{x,y) = -y \ y = Q(x,y) = x Mediante métodos del Álgebra lineal se puede comprobar que la curva integral al tiempo t = 0 pasando por el punto (#o, Uo) ^ fí, tiene la forma ^

= x

° c o s í ~y°

sen l

t^M



5.5 Campos vectoriales en R2 y

255

X=(1,O) o

>—o

>—o

Figura 5.21: Campo constante X = (1,0). Por ejemplo, para el punto (x 0 , yo) = (1,1) se tiene que la curva integral pasando por él está definida por -y(¿) = (cosí — sení, sení 4- cosí) Ya que lh(í)|| 2 = ( c o s í - s e n í ) 2 4- (sení + cosí) 2 = 2 se tiene que tal curva integral por (1,1) es una circunferencia de radio y/2 con centro en el origen. De manera análoga, la curva integral de X que pasa por el punto arbitrario (x o ,yo) satisface que Ib(0112 = (xo eos Í - T / 0 sení) 2 + (x0 sent + y0 cosí) 2 = ô + Vo lo que nos indica que también es una circunferencia con centro en el origen La figura 5.22 nos ilustra este campo vectorial junto con sus curvas integrales, que conforman una familia de círculos concéntricos, sobre los cuales se mueve el campo en dirección contraria a las manecillas del reloj.

X(x,y)

Figura 5.22: Curvas integrales del campo X(x,y) = (—y,x).



Campos vectoriales en R¿

256

Una forma más simple de obtener las curvas integrales sin la expresión explícita del parámetro t para el campo del ejemplo anterior, se muestra a continuación EJEMPLO. Determine las líneas de flujo del campo vectorial plano del ejemplo anterior, X — — ye\ + xe

< Para encontrar las líneas de flujo del campo vectorial plano X = P(x,y)ex

+Q{x,y)e2

debemos resolver la ecuación diferencial dx _ dy P(x,y) " Q{x,y) es decir, dy_ _ Q(x,y) dx - P(x,y) En nuestro ejemplo P(x,y) — —y, Q(x,y) = x, y, por lo tanto, obtenemos dy x dx -y o equivalentemente _

dz

2

4=>

2

(- C\ =

(- Co

2 2 Reacomodando los términos, concluimos que las líneas de flujo son de la forma x2 + y2 = c es decir, son circunferencias con centro en el origen. t> EJEMPLO. Encuentre las líneas de flujo del campo vectorial X = e1 + x ( y - l ) e 2 DEFINICIÓN. El campo vectorial X es conservativo si existe una función escalar F tal que X = VF. En tal caso, llamamos a F una función potencial para X. EJEMPLO. Muestre que el campo vectorial gravitacional es conservativo. < El campo vectorial está dado por, _ km{xel + ye2 + ze3) (x2 +y2 + z2)6'2



258


es decir, A

(•'' sen 0, z = r eos 6 -

H/VPII = rsen6»

he =

\\fe\\=r

De esta manera, los vectores básicos en las coordenadas (r,

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