Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports : Commentaire historique et mathematique, edition et traduction du texte arabe (Scientia Graeco-Arabica)

Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports

≥

Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed

Volume 2

Walter de Gruyter · Berlin · New York

Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports Commentaire historique et mathe´matique, e´dition et traduction du texte arabe par

Roshdi Rashed et He´le`ne Bellosta

Walter de Gruyter · Berlin · New York

앝 Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm 앪 über Haltbarkeit erfüllt.

ISBN 978-3-11-018677-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 쑔 Copyright 2010 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany Umschlaggestaltung: Christopher Schneider, Laufen Druck und buchbinderische Verarbeitung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen

PRÉFACE

Dans le septième livre de La Collection mathématique, Pappus évoque, en plus des Coniques et de La Section de rapport, cinq autres titres de l' œuvre géométrique d'Apollonius l . Six de ces ouvrages avaient été traduits en arabe, comme l'attestent les anciens biobibliographes 2 . Mais d'autres sources mentionnent encore six autres titres, dont le livre sur L'Hélice cylindrique 3 • L'œuvre est donc immense, et son impact sur l'histoire des mathématiques fut considérable. Il suffit pour s'en convaincre d'en suivre les effets chez les mathématiciens des IXe-Xme siècle, puis dans les travaux de leurs successeurs des XVIe-XVIIe siècle. Et pourtant l' œuvre d'Apollonius leur était parvenue mutilée, puisque deux titres seulement en ont survécu, principalement par le biais de leur traduction arabe. Le premier, les Coniques, ou plus exactement sept des huit livres qui composaient initialement l'ouvrage, nous est parvenu en deux versions: une recension d'Eutocius des quatre premiers livres, et une traduction arabe des sept livres - cette histoire a été retracée ailleurs 4 . Le second, qui nous est parvenu dans sa seule version arabe, n'est autre que La Section de rapport, dont nous donnons ici l'editio princeps, ainsi qu'une traduction française que nous voulons fidèle et rigoureuse, et un commentaire mathématique et historique. La Section de rapport se présente comme un livre de géométrie et, plus précisément encore, de géométrie pure. Apollonius y traite en effet des relations entre points et entre droites dans le plan, sans faire intervenir une quelconque notion de mesure. Il procède en combinant la méthode de l'application des aires et la méthode de l'analyse et de la synthèse. D'aucuns diraient que, de tous les livres que nous ont légués les mathématiciens grecs, c'est dans La Section de rapport que cette méthode de l'analyse et de la synthèse est appliquée de manière uniforme et systématique. Pour chaque problème, 1 Pappus d'Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, 2 vol., Paris / Bruges, Desclée de Brouwer, 1933; nouveau tirage Paris, Blanchard, 1982, p. 480 sqq. 2 AI-Nadim, Kitiib al-Fihrist, éd. R. Tajaddud, Téhéran, 1971, p. 326. 3 Procli Diadochi, In Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii, éd. G. Friedlein, Hildesheim, Georg Olms, 1967, p. lOS, 3-6. 4 R. Rashed, Apollonius: Les Coniques, tome 1.1 : Livre l, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. 10 sqq.

VI

Préface

Apollonius donne d'abord l'analyse, discute ensuite des diorismes et achève par la synthèse. Les mathématiciens des IXe-Xl e siècle, comme Ibn Sinan et Ibn al-Haytham, trouveront dans ce traité un modèle de l'exposition mathématique. Dans La Section de rapport, Apollonius s'efforce de combiner ces deux méthodes pour étudier des constructions géométriques planes, non pas dans le seul but d'achever ces constructions à la règle et au compas, mais surtout pour établir les diorismes portant sur la possibilité même de chaque construction, et aussi sur le nombre des points qui la réalisent. Nul besoin ici de recourir aux sections coniques. On comprend sans peine tout l'intérêt que les mathématiciens ont porté à La Section de rapport dès le IX e siècle. Ils y ont d'une part trouvé matière à édifier le chapitre sur les constructions géométriques, dont ils avaient engagé l'élaboration, avant de s'en détourner pour recourir de plus en plus aux sections coniques; ils en ont, d'autre part, tiré parti dans le développement d'une géométrie apte à englober les problèmes algébriques. Plus tard, les progrès de l'algèbre et de la géométrie algébrique, avec al-Khayyam notamment, ont porté ombrage à cette recherche géométrique, éclipsant du même coup La Section de rapport, que l'on ne transcrira plus après le XIIIe siècle. L'usage que firent de ce livre Thâbit ibn Qurra, et surtout Ibn Sinan et al-Sijzï, pour développer une géométrie apte à traiter les problèmes algébriques, préside à son tour à notre conception du commentaire. On trouvera d'abord un exposé du contenu de La Section de rapport, dans les termes de la géométrie, et donc épousant les notions et le lexique d'Apollonius. Le but de ce premier commentaire est d'exposer l'organisation du livre, l'articulation de ses différentes parties et les méthodes qui y sont à l'œuvre. Une autre étude lui succède, dans la langue de l'algèbre cette fois, qui entend révéler la structure du livre et mettre en évidence la systématicité et l'exhaustivité de la démarche d'Apollonius. Un tel exposé, algébrique, on l'a déjà expliqué, est instrumental et heuristiqueS et n'a jamais été conçu par Apollonius, ni par quiconque avant al-Khwarizmi. La Section de rapport n'est pas plus un livre d'« algèbre géométrique» que de géométrie algébrique. Lorsque nous avons engagé ce travail, Hélène Bellosta et moi-même, c'était dans le cadre du projet global d'éditer, traduire et commenter l' œuvre mathématique d'Apollonius qui nous est parvenue. Christian Houzel a bien voulu relire la version finale du commentaire de La Section de rapport, comme il l'avait fait pour le commentaire des Coniques. Nous le remercions chaleureusement des corrections et améliorations qu'il y a apportées.

5 Apollonius: Les Coniques, tome l.1 : Livre J, p. VIII-X.

Préface

Vil

Nos remerciements vont enfin à Madame Aline Auger, pour sa collaboration précieuse à la préparation du manuscrit à l'impression, ainsi qu'à la composition des indexes. Roshdi Rashed Bourg-la-Reine, septembre 2009

SOMMAIRE

Avant-propos .........................................................................................................

V

INTRODUCTION..................................................................................................

3

CHAPITRE 1: Application des aires et la méthode de l'analyse et de la synthèse.. l. Le problème de la Section de rapport ................................................................. 2. Les lieux 1 à 21 .................................................................................................. 2.l. Les lieux 1 et 2 ....................................................................................... 2.2. Les lieux 3 à 7 ........................................................................................ 2.3. Les lieux 8 à 10 ...................................................................................... 2.4. Les lieux 11 à 13 et 17 à 21 .................................................................... 2.5. Les lieux 14 à 16 ....................................................................................

13 13 19 19 21 27 31 37

CHAPITRE II: Résolution géométrique des problèmes algébriques ...................... l.Lieux 1 et2 ........................................................................................................ 2. Lieux 3 à 21 ....................................................................................................... 2.l. Lieux 3 à 7 ............................................................................................. 2.2. Lieux 8 à 10 ...................... ...... ........ ........ ........................ ................ ....... 2.3. Lieux Il à 13, 17 à 21 ............................................................................ 2.4. Lieux 14 à 16 .........................................................................................

41 41 44 45 55 63 78

CHAPITRE III: Histoire du texte ........ ............ .......... .......................... ................. La traduction ................................................................................................. Les manuscrits .............................................................................................. Les traductions .............................................................................................. Apollonius est-il 1' auteur du vingt-deuxième lieu? ........................................

81 84 85 88 89

TEXTE ET TRADUCTION Livre d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports..............................

NOTES COMPLÉMENT AIRES

94

467

GLOSSAIRE ARABE-FRANÇAIS ....................................................................... 475 INDEX Index des noms propres.......... ................................................ .............. ......... 489 Index des traités ............................................................................................ 490 BIBLIOGRAPHIE................... ................................... ........................................... 491

INTRODUCTION

À la différence des Coniques, La Section de rapport d'Apollonius n'est pas précédé d'un prologue, ni accompagné d'une lettre d'expédition qui en ferait, selon l'ancienne pratique, une version autorisée. À aucun moment au cours de la rédaction de ce livre Apollonius n'éclaire le lecteur sur les raisons mathématiques et historiques qui l'auraient incité à le rédiger. Le traité s'ouvre directement sur l'énoncé de l'unique problème dont la solution occupe les deux livres qui le composent. Il s'agit du problème que voici: k étant un rapport donné, (AB) et (CD) deux droites coplanaires données, H un point du plan de (AB) et (CD), n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), E un point donné de (AB), G un point donné de (CD), déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle

EL que - =k. GK

Tout au long de la résolution de ce problème, Apollonius procède systématiquement par analyse et synthèse. Contrairement à sa démarche dans la grande majorité des propositions des Coniques, il n'opte pas cette fois pour un exposé synthétique, mais prend grand soin de rédiger l'analyse et les diorismes. Quant au langage de ce traité, c'est celui d'Euclide dans les Données et les Éléments. La méthode est celle de l'application des aires, et il n'y a pas la moindre évocation des sections coniques. Faute d'explication d'Apollonius sur ses intentions et les buts poursuivis dans ce traité, le lecteur est amené à se poser bien des questions embarrassantes : pourquoi ce problème plutôt qu'un autre? Pourquoi au juste Apollonius cherche-t-il à le résoudre? Quel chapitre de la géométrie voulaitil enrichir? Enfin, comment lire un tel livre en l'absence de lumières extérieures? Comment saisir sa structure, caractériser son style et, éventuellement, cerner le véritable projet d'Apollonius? Il nous est souvent arrivé de souligner que cette question de la lecture, ou plutôt des lectures, est elle-même historique, c'est-à-dire liée au développement des mathématiques elles-mêmes l . Elle évolue en même temps

1 Apollonius: Les Coniques. tome 1.1 : Livre J, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. V-X.

4

Introduction

qu'évoluent les mathématiques, et reste ainsi toujours ouverte 2 • C'est la richesse même du fait mathématique: les différentes organisations de l'ontologie permettent de saisir les différentes strates des sens qui le constituent. Les lectures authentiques ne sont jamais contradictoires, mais correspondent à différentes organisations de l'ontologie. Ce sont les diverses lectures historiques que nous commencerons par rappeler, avant de revenir aux lectures qu'il est aujourd'hui possible de faire de La Section de rapport. La première lecture connue est brève et implicite. C'est celle de Pappus. Pour lui, La Section de rapport appartient à la collection des traités des mathématiciens grecs qui portent sur « le domaine de l'analyse 3 ». Pappus décrit en quelques phrases le contenu du livre : Or il se fait qu'étant subdivisée, cette proposition donne lieu à des figures différentes et qu'elle en comporte un grand nombre, en raison des positions que les droites données présentent entre elles, des différents cas relatifs au point donné, et des analyses, synthèses et déterminations concernant ces cas 4 . 2 R. Rashed, «Lire les anciens textes mathématiques: le cinquième livre des Coniques d'Apollonius », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXVII, fasc. 2, 2007, p. 265-288. 3 Figurent dans cette collection, outre Les Coniques et La Section de rapport, cinq autres traités d'Apollonius: La Section d'aire, La Section déterminée, Les Contacts, Les Inclinaisons et les Lieux plans, dont aucun ne nous a été conservé en grec; nous ne connaissons de ces ouvrages que ce qu'en dit Pappus dans l'introduction au Livre VII de la Collection mathématique. Il est également difficile, à l'heure actuelle, de savoir si, ou comment, ces autres traités ont été traduits en arabe; en effet, les bio-bibliographes arabes mentionnent parmi les œuvres d'Apollonius La Section de rapport, La Section d'aire, La Section déterminée et Les Contacts, sans toujours évoquer les noms de leurs traducteurs; ils se contentent d'indiquer, à propos de La Section déterminée, qu'il y aurait eu une tentative de traduction de ce texte en arabe, que la traduction du premier livre aurait été corrigée par Thiibit ibn Qurra, mais que le second livre serait demeuré incompréhensible; quant aux Lieux plans ou aux Inclinaisons, ils ne les mentionnent pas comme faisant partie des œuvres du Géomètre. Certains géomètres du x' siècle (Ibn Siniin, al-Sijzi. .. ) ont cependant eu une connaissance, au moins indirecte, de ces deux derniers traités dont ils évoquent certains problèmes et leurs solutions, en les attribuant explicitement à Apollonius.

Pappus d'Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, 2 vol., Paris / Bruges, 1933 ; nouveau tirage Paris, 1982, vol. II, p. 479. Al-Nadim, al-Fihrist, éd. G. Flügel, Leipzig, 1871. AI-Qifti, Tarikh al-/:!ukama', éd. J. Lippert, Leipzig, 1903 ; rééd. Le Caire, sans date. R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim Ibn Sinan, Logique et géométrie au X" siècle, Leyde, E.J. Brill, 2000. R. Rashed & P. Crozet, al-Sijzï, Œuvres complètes, vol. II (à paraître chez Peeters). 4 Pappus, La Collection, vol. II, p. 480-481.

Introduction

5

Pappus énumère ensuite les différents cas des figures examinées dans La Section de rapport, avant de proposer un certain nombre de lemmes s. La lecture de Pappus est donc purement descriptive et ne nous éclaire pas sur les intentions d'Apollonius. Dire que ce traité appartient à la fameuse collection ne fait que souligner qu'Apollonius y procède par analyse et synthèse, mais ne permet pas de distinguer La Section de rapport des autres livres, nombreux - dont les Coniques - qui appartiennent à cette même collection. Pappus n'apporte aucune précision supplémentaire, et n'explique pas quel type d'analyse (théorique ou problématique) est conduite par Apollonius dans ce livre. Le premier héritier connu de La Section de rapport est le mathématicien de la première moitié du xe siècle, Ibrahim ibn Sinan (909-946). Il a en effet rédigé le premier traité substantiel consacré à « la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes géométriques 6 », qu'il présente ainsi: Mon intention était d'y exposer, à propos d'un certain nombre de problèmes, comment doivent se dérouler l'analyse et la synthèse [ ... ]. J'ai trouvé que les géomètres de cette époque ont négligé la méthode d'Apollonius en ce qui concerne l'analyse et la synthèse [ ... ] en se contentant de l'analyse seule, abrégée au point de la rendre telle que l'on peut croire que ce n'est pas l'analyse qui correspond à la synthèse qu'ils font ensuite. [ ... ] Ce traité a en outre, pour les étudiants, de nombreux atouts: appréhender, entre autres, la classification des problèmes, leur analyse et leur synthèse, les conditions à poser, le nombre de solutions du problème, et tout ce qu'a utilisé Apollonius dans les problèmes qu'on lui attribue dans La Section des droites selon des rapports et d'autres ouvrages 7 . Dans ce traité, Ibn Sinan développe « la méthode d'Apollonius en ce qui concerne l'analyse et la synthèse» et prend pour modèle d'application de cette méthode La Section de rapport. En effet, c'est précisément dans ce livre qu'Apollonius illustre magistralement l'usage de cette méthode, en menant une discussion complète par analyse et synthèse d'un problème apparemment simple, que l'on peut traiter par l'application des aires, mais qui se ramifie en vingt et une configurations. Cette méthode d'Apollonius est, selon la lecture d'Ibn Sinan, la méthode d'une discipline qui la justifie: une logique programmatique, dans la mesure où elle permet d'associer une ars inveniendi et une ars demonsVoir infra l'histoire du texte. Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Sur la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes de géométrie», p. 96-227. 7 Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Sur les notions par lui déterminées en géométrie et astronomie », p. 12-17. 5

6

6

Introduction

trandi. Cette logique est aussi pragmatique, et s'applique à toutes les branches de la géométrie. C'est précisément ce qu'Ibn Sinan développe dans son livre, d'une manière inédite et profonde. Mais sa lecture de La Section de rapport ne s'arrête pas là. Dans son autre livre, L'Anthologie de problèmes, Ibn Sinan reprend le problème même de La Section de rapport, dans le cas général qui se décompose en quatorze lieux et occupe tout le second livre, et en donne une démonstration plus simple que celle d'Apollonius 8 . Ainsi il situe La Section de rapport dans la discipline qu'il venait lui-même de concevoir, et reprend le problème qui s'y trouve traité pour le démontrer autrement, avec les mêmes moyens géométriques qu'Apollonius, mais plus simplement. La troisième lecture de La Section de rapport se fera en 1706. C'est celle de E. Halley, à l'occasion de sa traduction de l'arabe en latin de ce livre. Dans un scholie, il relie La Section de rapport aux Coniques, et plus précisément à la proposition I1I.41. Voici l'énoncé de cette proposition: Lorsque trois droites tangentes à une parabole se rencontrent mutuellement, elles sont coupées dans le même rapport. F A

D E

c

Soit /Y une parabole, A, B, C trois points de 9, les tangentes (ADE), (DBC) et (ECC) à /Yen A, B, C, se coupent respectivement en D, C, E, alors AD DB EG DE-BG-GC'

d'où AE DE

= EC et

ED

GC'

CG

= AE EC'

quelles que soient les positions relatives des points de contact A, B, C sur la parabole.

8

Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Anthologie de problèmes

»,

p. 668-672.

Introduction

7

Les droites (EA) et (EC) étant fixées, la tangente menée de B coupe les droites (EA) et (EC) en deux points D et G tels que ED = AE = k ; ceci corCG EC respond à l'un ou l'autre des trois derniers lieux du livre 1 de La Section de rapport. Soit maintenant F le point de la parabole g; tel que (CF) Il (AE) ; les cas suivants se présentent: 1° B =F ; c'est le cas 5. 3 2° BEŒ; c'estlecas6.4 3° B E FA ; c'est le cas 7. 4 4° B E AC ; c'est le cas 7. 2 5° BEG; c'estlecas6.2 Ces cas sont précisément ceux des trois derniers lieux du premier livre de La Section de rapport, où Apollonius engage des diorismes ; ce sont les cas où le problème a 0, 1 ou 2 solutions, selon les valeurs de k. D'autre part, puisqu'on peut mener du point B une tangente et une seule à la parabole, on est dans le cas où le problème posé a une solution unique, c'est-à-dire le cas où EA

BH

EC

EH +ECb!4·EH·EC'

où H est le projeté de B sur (CE) parallèlement à (AE)9. Selon cette lecture, tout se passe comme si Apollonius avait déduit de la proposition I1IAI les cas précédents. Mais on pourrait tout aussi bien penser qu'il est parvenu à I1IAI, elle-même interprétée comme fournissant une méthode pour tracer la tangente en un point donné de la parabole, à partir de La Section de rapport; c'est-à-dire en appliquant des résultats obtenus dans ce dernier traité. C'est, semble-t-il, vers quoi penche H. G. Zeuthen, lorsqu'il écrit: L'utilisation la plus simple de la génération d'une courbe au moyen des tangentes est en l'occurrence celle qui vise à déterminer des tangentes devant être menées de points donnés. Ainsi, au moyen de la proposition 41, la détermination d'une tangente devant être menée à un certain point d'une parabole est précisément ramenée à la construction qui est traitée avec grand soin dans les deux livres d'Apollonius sur La Section de rapport; et au moyen des propositions 42 et 43, la détermination des tangentes devant être menées à un point d'une ellipse ou d'une hyperbole est ramenée à 9 E. Halley, Apollonii Pergaei opuscula e tenebris eruta ac restituta, Oxford, 1706, p. 62.

8

Introduction

deux cas importants de la tâche générale de ses deux livres sur La Section d'aire lO •

C'est cette même interprétation que développe Th. Heath. Il écrit à propos de La Section de rapport: The proposition IlI.41 of the Conics about the intercepts made on two tangents to a parabola by a third tangent suggests an obvious application of our problem (problème de La Section de rapport)ll. Ces lectures établissent donc un lien entre cette proposition des Coniques et La Section de rapport, supposant ainsi qu'Apollonius se donne dans La Section de rapport les moyens de déterminer l'enveloppe de droites qui coupent deux droites données selon un rapport donné. C'est d'ailleurs ce que E. Halley semble suggérer dans son étude, lorsqu'il écrit : Simulque nobilem, ac, quantum scio, novam parabolae proprietatem, describandae curvae optissimam, patefecimus 12. Cette propriété nouvelle est celle de l'enveloppe d'une famille de droites. Sans doute ici, comme à propos de la développée dans le cinquième livre des Coniques, Apollonius est-il très proche de l'idée, mais sans l'atteindre encore 13. La notion d'enveloppe verra le jour au XVIIe siècle, avec De Beaune, Huygens et Tschirnhausen notamment (les caustiques). Ainsi, Halley lit dans La Section de rapport un cas particulier d'une propriété projective générale: deux droites étant données dans le plan projectif, la droite qui joint deux points en correspondance homographique sur les deux droites enveloppe une conique tangente aux deux droites données. Sans doute peut-on voir dans la proposition 111.41 des Coniques une application des résultats obtenus dans La Section de rapport, comme dans III.42 et 111.43 une application des résultats de La Section d'aire. Mais de là à affirmer que dans chacun de ces livres le but d'Apollonius est de parvenir à ces propositions, il y a un pas difficile à franchir. Apollonius pouvait parfaitement, dans la logique même du troisième livre des Coniques, concevoir ces propositions ainsi que leur démonstration, sans échafauder l'immense la H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Copenhague, 1886, p. 344-345. 11 Th. Heath, A History of Greek Mathematics, 2. vol., Oxford, The Clarendon Press, 1921, rééd. New-York, Dover, 1981, vol. II, p. 177. 12 « Nous avons en même temps mis en évidence une propriété insigne et, pour autant que je sache, nouvelle, de la parabole, parfaitement adaptée pour décrire la courbe» (E. Halley, De Sectione rationis, p. 61). 13 Apollonius: Les Coniques, Tome 3: Livre V, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. 162-180,374-402.

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Introduction

recherche de La Section de rapport pour l'une et celle de La Section d'aire pour les deux autres. Il est vrai que chacune des précédentes lectures peut révéler une facette des faits étudiés dans La Section de rapport. Apollonius y mène en effet une étude systématique et délibérée par analyse et synthèse; c'est comme s'il voulait élaborer un modèle d'exposé par cette méthode, à l'intention de la communauté des mathématiciens, modèle à la fois logique et didactique. C'est ce modèle qu'Ibn Sinan a voulu expliciter et fonder. Un autre trait distingue l'étude que mène Apollonius dans ce traité: dans la solution du problème posé il n'introduit aucun élément qui ne corresponde à la nature de celui-ci. Il ne considère en effet que des « situations» et des relations entre « situations ». Nul recours aux grandeurs de segments et d'angles. On procède seulement par jonction des points et intersection des droites. D'aucuns diraient que La Section de rapport est un livre de géométrie pure, de géométrie synthétique. C'est, semble-t-il, ce trait qui a suscité l'interprétation de Halley, puis celles de Zeuthen et de Heath. La lecture détaillée de La Section de rapport suggère une autre interprétation, qui à la fois tient compte de tous les résultats qui y sont consignés et permet de dégager la structure du traité. Dans celui-ci, Apollonius semble vouloir pousser aussi loin que possible la méthode d'application des aires combinée systématiquement avec l'analyse et la synthèse, pour traiter des diorismes présentant de nombreux cas. Bien sûr, ces problèmes relèveront de l'algèbre une fois cette discipline créée. Après la naissance de l'algèbre au IX e siècle, le livre d'Apollonius servira non seulement comme modèle d'analyse et de synthèse, mais aussi pour développer une géométrie apte à résoudre géométriquement des problèmes qui s'expriment par des équations du second degré, comme le montre le cas d'Ibrahim ibn Sinan. Avant d'engager l'étude détaillée de La Section de rapport, essayons d'en exposer la démarche générale dans le langage de l'algèbre. L'étude d'Apollonius consiste en une discussion géométrique complète qui, lorsque les deux droites coplanaires données sont sécantes, s'exprime, une fois traduite algébriquement, par l'équation quadratique : (1)

kx2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed)

= O.

Cette équation comporte deux cas, selon que E = 1 ou E = -1, et elle dépend des cinq paramètres k, a, b, c, d (a > 0, b> 0). Ceci explique la longueur de La Section de rapport et le grand nombre des cas discutés. Les lieux 3 à 7 du premier livre correspondent au cas où d = 0 (il Y a donc un paramètre en moins) ; l'équation (1) devient alors:

10

Introduction

kx2 - x[k(a

(2)

+ c) + Eb] + kac

= O.

Dans le cas général, les termes indépendants de k dans l'équation (1) ont pour somme -ë(x(b-d)+ad) ; si b :;t: d, cette somme s'annule pour x == - -ad -, b-d

. et au moyen d u c hangement aff·me d' mconnue x

== ']:=' - -ad-

b-d

on

ramène l'équation (1) à l'équation (3), de la forme (2) : (3)

ou, l' on a pose/ K = -[kb -

b-d[

ab > 0 ,a = --, y = bc - cd + ad b-d

b-d

; E / = E SI. b > d ,et

E' = -E si b < d. On ab> d dans les lieux 8 à 13, et dans les lieux 17 et 21 ; on a b < d dans les lieux 18 à 20 ; les lieux 14 à 16 correspondent au cas où b =d *- O. Lorsque d*-O et b *- d, c'est-à-dire pour tous les lieux du second livre, autres que les lieux 14, 15, 16, on peut donc réduire l'équation (1) à l'équation (3). C'est ce que fait Apollonius qui, à l'aide d'une construction géométrique auxiliaire, ramène tous les lieux du second livre (autres que les lieux 14, 15 et 16), aux lieux 3 à 7 du premier livre, selon le schéma suivant:

Lieux

lieux réduits

caractérisation

Remarque

13, 18

3

y= 0

a>Opour 13, aO,

11, l7, 19

6

ay> 0

o 0

Le discriminant de (3) est égal à (3/)

ou (3/)

O 0 et E'= 1, comme pour les cas 5.1, 5.2; 6.1,6.3; 7.1, 7.3; 9.1, 9.2; 10.1, 10.3 ; 11.1, 11.4; 17.1, 17.3, 17.4; 21.1, 21.3, 21.4; ou encore si a< 0, y< 0 et E'= -1, comme pour les cas 19.1, 19.2 et 19.4. Dans les autres cas (ay> 0 et E'(a+ y) < 0), Ll(K) s'annule pour deux valeurs positives KI et K2 , KI

= ~ bM ( lai + Iyl?

et K2

= ~ bM ( lal- lyl)2

;Ll(K) > 0

lorsque K < KI ou K> K2 • Notons que, dans le cas où y= a (lieux 5 et 9), K2 devient infini et seule subsiste la condition K < KI' Dans ces derniers cas, le problème de La Section de rapport n'a donc de solution que pour des valeurs du rapport K vérifiant certaines inégalités: cas 5.3 ; 6.2, 6.4 ; 7.2, 7.4 ; 9.3,9.4 ; 10.2, 10.4, 10.5; 11.2, 11.3, 11.5 ; 17.2, 17.5; 19.3, 19.5; 21.2, 21.5. Apollonius explicite ces inégalités en déterminant la valeur maximum ou minimum de K donnée par l'équation (3) lorsque ç varie dans l'intervalle qui correspond à l'incidence choisie. Son exposé est synthétique, mais on peut supposer qu'il a déterminé ces valeurs extrémales en ramenant le problème à une application d'aire par défaut d'un carré et en utilisant la proposition VI.27 des Éléments d'Euclide. L'équation (3) s'écrit en effet, lorsque ay> 0 et E'(a + y) < 0 (3 bis)

ay= (a

+ y + E/~)Ç -

f,

K

et revient donc à appliquer l'aire ayau segment a + y + E/~, par défaut K

d'un carré. La condition donnée par Euclide est ay:S ~ (a + y + E/~ )2, qui 4

K

équivaut à Ll( K) ;::: O. Pour expliciter les inégalités correspondantes sur K, on peut noter que, lorsque Ll(K) = 0, on a ay = f, c'est-à-dire ç = Fr ou ç = -Fr. En reportant dans (3) ç = Fr ou ç = -Fr, on obtient alors les valeurs extrémales de K. Dans le cas des lieux 14, 15 et 16, on a b = d et la réduction de (l) à (3) n'est pas possible. Dans ce cas l'équation (1) devient: (4)

kx 2

-

kx (a + c) + a(kc -

Eb) = 0 ,

12

Introduction

qu'il faut étudier directement. Cette équation (4) dépend de quatre paramètres, comme l'équation (2). Le discriminant de (4) est égal à (4/)

t1(k)

= k2(a -

c) 2 + 4Eabk ;

il est toujours positif si E = 1. Avec E =-1, il est positif pour k> 4ab)2' si (a - c a "j:. c ; il est toujours négatif si a = c. La discussion des lieux 14, 15 et 16 est donc très simple. Ce résumé montre la structure de La Section de rapport et met en évidence la démarche systématique et exhaustive d'Apollonius. On comprend sans peine qu'un géomètre de la classe d'Ibn Sinan ait considéré ce livre comme un modèle. Venons-en à présent au commentaire de La Section de rapport. Il se fait en deux parties. Dans la première, nous allons revenir aux faits mêmes qu'expose Apollonius, sans trop nous écarter ni de son exposé, ni de son langage. Dans la seconde, nous prendrons délibérément des distances pour mieux saisir ses intentions et mettre en évidence l'unité de son exposé, que d'aucuns prétendent long et répétitif. C'est le commentaire algébrique et l'interprétation analytique.

CHAPITRE l

APPLICA TION DES AIRES ET LA MÉTHODE DE L' ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE

1. LE PROBLÈME DE LA SECTION DE RAPPORT

Le problème de La Section de rapport est, on l'a dit, le suivant: k étant un rapport donné, (AB) et (CD) deux droites coplanaires données, H un point de ce plan, n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), E un point donné de (AB), G un point donné de (CD), déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle que EL

GK

= k 1•

A L E B H

C

0

G :)

K

Fig. 2

En l'absence de toute notion de mesure algébrique, Apollonius est contraint, pour résoudre ce problème, de distinguer tous les cas de figure et toutes les positions relatives des points sur les droites, comme l'aperçu précédent le montre. Il est ainsi conduit à subdiviser le problème en 21 «lieux» (T6TTOÇ, waçl')2 -7 dans le livre l, 14 dans le livre II - en fonction des positions relatives des données du problème -les droites (AB) et (CD), le point H et les points E et G ; ces 24 lieux se subdivisent eux-mêmes en diverses «incidences» (TTTWcnÇ, wuqü') selon l'intervalle de la droite (CD) auquel on souhaite qu'appartienne le point K de la droite (CD) qui détermine la droite (HKL) cherchée; on obtient alors 87 incidences (24 dans le livre l, 63 dans le livre II). 1 La lecture du traité est rendue malaisée par de constants changements de notations. Nous convenons, pour en simplifier le commentaire, d'adopter tout au long de cette étude les notations des sixième et septième lieux. 2 Nous reprenons le terme utilisé depuis Pappus pour décrire ces cas de figure: Tôrroç, lieu, voir la note complémentaire l.

14

Chapitre l : Applications des aires

Dans le livre l, Apollonius étudie ainsi les 7 lieux suivants: (AB) Il (CD) premier lieu, H non situé entre (AB) et (CD) : deuxième lieu, H situé entre (AB) et (CD) : A

L H

c

o

K

B

Fig. 3

(AB)

(î

(CD) = E, point donné de la droite (AB)

G G

=E :

troisième lieu, "* E, soit 1 le projeté de H sur (CD) parallèlement à (AB) 1 et G de part et d'autre du point E : quatrième lieu, 1 et G d'un même côté de E 1= G : cinquième lieu, GE [lE] : sixième lieu, septième lieu.

1 E [EG] :

B N

H

C

G

D

A

Fig. 4

1. Le problème de La Section de rapport

15

Le livre II est consacré à l'étude du cas général où les deux droites (AB) et (CD) sont sécantes en un point M distinct de E et de G. Apollonius décompose ce cas en quatorze lieux, selon les positions relatives sur les droites (AB) et (CD) du point M, des points donnés E et G, des projetés respectifs 1 et J du point H sur (CD) parallèlement à (AB), et sur (AB) parallèlement à (CD), et enfin des points 0 et N, points d'intersection respectifs, lorsqu'ils existent, de (HE) et de (CD), de (HG) et de (AB). Dans le livre II Apollonius étudie donc les 14 lieux suivants: H intérieur à l'angle BMD : huitième lieu, H intérieur à l'angle CMB (il en va de même lorsque H est intérieur à l'angle AMD, si l'on remplace C par A, B par D, 1 par J, N par 0 et si l'on permute G et E) neuvième lieu, 1= G: 1 E [MG] :

dixième lieu,

1 E [GC)

NE [EA):

onzième lieu,

NE [EM]:

douzième lieu,

N=E, H intérieur à l'angle CMA J=E 1= G: 1 E [MG] :

treizième lieu,

lE [GC):

quatorzième lieu, quinzième lieu, seizième lieu,

JE [EA) 1 E [GC) :

dix-septième lieu,

1 E [MG] serait identique au vingt et unième lieu (si l'on per-

mute A et C, B et D, G et E, 1 et 1), 1 = G serait identique au seizième lieu (si l'on permute A et C, B et D, G et E, 1 et 1),

JE [ME] 1 = G serait identique au quinzième lieu (si l'on permute A et C, B et D, G et E, 1 et J), 1 E [MG] N=E, NE [EA),

dix-huitième lieu, dix-neuvième lieu,

NE [EM] ,

vingtième lieu,

1 E [GC),

vingt et unième lieu.

16

Chapitre l : Applications des aires

Ce que l'on peut visualiser ainsi (numéro du lieu en fonction de la position du point H dans le plan) :

c

13

Fig. 5

Hormis les quatorzième, quinzième et seizième lieux (cas où E =1) qui sont résolus directement et qui ne nécessitent pas de discussion complexe, tous les autres lieux du second livre sont ramenés à l'un des cinq derniers lieux du livre 1 (cas où M = E), soit à l'aide de la parallèle à (AB) passant par 0 (pour les huitième, neuvième et dixième lieux), soit à l'aide de la parallèle à (CD) passant par N (pour les autres lieux). Grâce à ces constructions auxiliaires, les treizième et dix-huitième lieux sont ramenés au troisième lieu, les huitième, douzième et vingtième lieux au quatrième lieu, le neuvième lieu au cinquième lieu, les onzième, dix-septième et dix-neuvième lieux au sixième lieu, et enfin les dixième et vingt et unième lieux au septième lieu. Notons que, hormis les neuvième, quinzième et seizième lieux qui ne sont susceptibles que d'une seule de ces deux constructions - dans ces trois cas soit (HE) Il (CD), soit (HG) Il (AB) - et le quatorzième pour lequel les deux constructions sont également impossibles, tous les autres lieux de ce second livre se ramènent, avec l'une ou l'autre construction, aux mêmes lieux du premier livre. Les démonstrations d'Apollonius se structurent, dans chacun des 87 cas qu'il considère, de la manière suivante:

1. Le problème de La Section de rapport

17

analyse: constructions auxiliaires qui introduisent, soit des points ou des droites dépendant des données du problème, c'est-à-dire des données supplémentaires, soit (dans le livre II) des inconnues auxiliaires; analyse proprement dite dont le but est de montrer que l'objet cherché - ici le point K qui détermine la droite cherchée (HK) - est donné ou connu, c'est-à-dire que les hypothèses du problème suffisent, s'il existe, à le détenniner (c'est-à-dire à le construire) ; diorisme 3 : recherche, s'il y a lieu, des conditions nécessaires, portant sur le rapport donné k, à l'existence de solutions, c'est-à-dire à l'existence du point K ; synthèse: discussion de l'existence de solutions selon les différentes valeurs de k : si les valeurs de k ne satisfont pas la condition nécessaire précédemment trouvée, on reprend les séquences implicatives de l'analyse, et on montre que le problème n'a pas de solution, si les valeurs de k satisfont la condition nécessaire précédemment trouvée, on construit le ou les objets cherchés, ici le ou les points K qui détenninent la droite cherchée (HK) ; on démontre que le ou les points K ainsi construits sont solution du problème (i. e. on montre que les conditions nécessaires trouvées dans l'analyse sont suffisantes et que les séquences implicatives de l'analyse qui doivent être inversées sont bien inversibles) ; étude du nombre de solutions: démonstration du fait que le problème n'a pas d'autre solution que la ou les solutions précédemment construites. Cette dernière partie, présente uniquement dans les lieux du premier livre, pourrait à première vue sembler inutile, du fait que, si la synthèse a montré que toutes les séquences implicatives de l'analyse qui doivent être inversées, sont inversibles, le problème ne saurait avoir d'autre solution que les solutions précédemment construites. On comprendra les raisons de sa présence lors de l'étude des lieux du second livre 4 . 3 On distingue chez les auteurs hellénistiques, et en particulier chez Proclus, deux sens du mot diorisme : a) le diorisme est une instanciation de l'objet cherché, comme l'ecthèse est une instanciation des données du problème; lorsqu'il a ce sens-là, le diorisme suit l'ecthèse ; b) le diorisme est une condition nécessaire à l'existence de solutions; et avec ce sens-là, pour Proclus, il suit immédiatement l'énoncé. C'est dans le second sens que nous employons ici le mot diorisme. 4 Ce point n'a d'ailleurs pas échappé à Ibn Sinan, lecteur attentif s'il en fut du traité sur La Section de rapport. Ibn Sinan, logique et géométrie, «L'analyse et la synthèse», p. 184.

18

Chapitre l : Applications des aires

Toute la difficulté et l'originalité de ces démonstrations se situent, non dans l'analyse ou la synthèse stricto sensu, mais dans le diorisme et l'étude du nombre de solutions (lorsqu'il en existe) sur un intervalle donné de la droite (CD). L'unicité de la solution sur un intervalle donné résulte explicitement, pour Apollonius, de la monotonie des variations du rapport EL

GK

lorsque K décrit cet intervalle: il montre que si, sur un intervalle donné de la droite (CD), à un point K correspond un rapport k

=

EL, GK

un point de cet

intervalle situé d'un côté de K donne lieu à un rapport plus petit, et un point situé de l'autre côté à un rapport plus grand, d'où l'unicité de la solution sur cet intervalle. Les cas à diorisme sont ceux pour lesquels le problème est, sur un intervalle donné, susceptible d'avoir 0, 1 ou 2 solutions (c'est-à-dire les cas où le problème se ramène à un problème d'application des aires par défaut d'un carré) ; Apollonius recherche alors dans ce cas, sur cet intervalle, les valeurs extrémales du rapport EL ; cette recherche est explicitement liée pour lui à GK

la recherche du cas limite où les deux solutions du problème sur cet intervalle sont confondues, i. e. du cas particulier où le problème a une solution unique; la valeur correspondante du rapport marque alors la frontière entre les cas où le problème a des solutions et ceux où il n'en a pas, elle donne la valeur extrémale du rapport sur l'intervalle considéré. Nous verrons le rôle séminal que joue là l'application des aires par défaut d'un carré. Sur chacun des intervalles en lesquels la droite (CD) se subdivise, Apollonius montre en outre: - que, sur un intervalle où le rapport k est majoré (il est en tout état de cause minoré par 0) et pour une valeur k du rapport comprise entre les valeurs extrémales m et M trouvées, on peut trouver une droite (HK) telle que k < EL < M et une droite HK ' telle que m < EL < k ; GK

GK

- que, sur un intervalle où le rapport k n'est pas majoré et pour une valeur k du rapport, on peut trouver une droite (HK) telle que EL > k. GK

Dans le livre II, Apollonius est amené - du fait de l'introduction d'une inconnue auxiliaire - à étudier l'effet d'un changement d'inconnue sur le sens de variation du rapport.

19

2.1. Les lieux 1 et 2

2. LES LIEUX 1 À 21 2.1. Les lieux 1 et 2

Ces lieux correspondent au cas où les deux droites données, (AB) et (CD), sont parallèles; reprenons les notations d'Apollonius pour ces deux lieux: on veut déterminer une droite (lLK) sécante à (AB) en K et à (CD) en EK

L, telle que -

CL

= k. A

K

E

B

B

A

c

D

cas l.l

cas 1.3

c

G

cas 2.3

Fig. 6 : Premier lieu

L

D

M

cas 2.2

cas 2.1

Fig. 7 : Deuxième lieu

Soit M le point d'intersection de (lE) et de (CD) ; puisque, dans tous les LM.EK lM. EK , dre l e pro bl'eme revIent . · cas de f Igure, on a : -LM = - =- , resou CL

EK CL

lE CL

alors à déterminer un point L de la droite (CD) tel que LM = k. lM CL

problème a donc deux solutions lorsque k milieu de [GM], lorsque k k

* lMlE

lE

5.

Le

et une seule solution, le

= ~. Apollonius montre en outre que, lorsque lM

* lMlE , l'un des deux points solutions appartient au segment ]GM[, et que

l'autre appartient, soit à la demi-droite ]GC) (lorsque k> lE), soit à la lM

demi-droite ]MD) (lorsque k < lE). Le problème posé est donc entièrement lM

résolu. 5 Contrairement à ce que pourrait laisser croire cette formulation, Apollonius ne fait pas, dans La Section de rapport, usage du rapport composé, mais simplement de la relation dite de « ]' égalité» des rapports, ou de rapports à égalité de rangs (ex œquali, Euclide, Éléments, livre V, définition 17, complétée par la proposition 8 des Données). La construction du point L est une conséquence immédiate de Euclide, Éléments, VI.lO et VI.l2. Pappus détaille complaisamment ces points élémentaires dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport (voir Histoire du texte).

20

Chapitre l : Applications des aires

Apollonius cependant ne se satisfait pas de ce résultat; il montre également, sous le couvert de vérifier que le problème posé n'a pas d'autres solutions que les solutions précédemment construites, que: - sur la demi-droite ]MD) - cas 1.1 et 2.2 - «les droites proches du point G coupent selon des rapports plus petits que celles qui en sont ~ 1orsque GL CfOlt ~ ; e'1" Olgnees », 1.. e. 1e rapport -EK crOlt GL

- sur le segment ]GM[ - cas 1.2 et 2.1 - « les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites éloignées », i. e. le rapport EK décroît lorsque GL GL

croît; - sur la demi-droite ]GC) - cas l.3 et 2.3 - « les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports des droites qui en sont éloignées », i. e. le rapport EK décroît lorsque G L GL

croît. C'est la nécessité de préciser, au cours de ces démonstrations, les positions respectives des points G, L et M sur la droite (CD), qui le contraint à distinguer le cas où le point 1 est entre les droites (AB) et (CD) (premier lieu) du cas où il est à l' extérieur (deuxième lieu). Remarque: Le cas particulier où G = M n'est pas traité par Apollonius; dans ce cas, selon la position du point 1 sur la droite (GE), le problème ou bien a une infinité de solutions (lorsque 1 est un point de la droite (EG) tel

que lE

IG

= k, toute droite issue de 1 est solution), ou bien il n'a pas de solu-

tion (dans les autres cas). Halley, dans le scholie qu'il consacre à ces deux premiers lieux, montre que si l'on ne fixe pas le point l, l'ensemble des droites coupant (AB) et (CD) selon un rapport k est constitué de deux faisceaux de droites concourantes issues respectivement des points H et 1 de la droite (EG) vérifiant HE = lE = k (k -:f- 1)6. HG

IG

6

Halley, De sectione rationis, p. 10.

21

2.2. Les lieux 3 à 7

2.2. Les lieux 3 à 7

Ces lieux correspondent au cas où les droites données (AB) et (CD) sont sécantes en E, point donné de la droite (AB). On veut, avec les notations des sixième et septième lieux, tracer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à EL

(CD) en K telle que -

GK

= k.

Troisième lieu Le troisième lieu correspond au cas élémentaire où les points G et E

sont confondus; dans ce cas EL

= HI

EK

IK

=k ;

le problème revient donc à

déterminer un point K de la droite (CD) tel que IK = ..!:. . HI. Donc k

- si k > HI, IK < lE, et le problème a une solution dans la troisième lE

incidence - sur l'intervalle [lC) - et une solution dans la deuxième incidence - sur l'intervalle [lE] ; - si k < HI, IK> lE, et le problème a encore une solution dans la lE

troisième incidence - et une solution dans la première incidence - sur l'intervalle [ED) ; - si k = HI , IK = lE, le problème a une seule solution, dans la troisième lE

incidence (K doit être distinct de E). Il est également manifeste que le rapport EL décroît, sur chacun des EK

intervalles, lorsque le point K s'éloigne du point 1. Quatrième, cinquième, sixième et septième lieux L'analyse des ces quatre lieux est la même, seules diffèrent les positions relatives des points G, 1 et E sur la droite (CD) ; c'est la suivante: A

L H

c

K

G

D

M

B

Fig. 8

22

Chapitre 1 : Applications des aires

Analyse: supposons le problème résolu et soit (LHK) une sécante telle EL

que -

CK

=k.

Construction auxiliaire: soit M

E

(CD) tel que Hl

CM

= k.

Remarque: on fait en sorte que, lorsque L et H appartiennent au même demi-plan défini par la droite (CD), K et M soient d'un même côté de G et que, dans le cas contraire, ils soient de part et d'autre de G ; ceci revient en IH , ce qUI. d'etemune . le pomt . M ' , umque . 7 · a, poser =EL = = f mt ed mamere . CK

[ EL CK

CM

=

Hl ] CM

=>

[EK IK

= EL = CK]

El

Hl KM

IK

CM

=> [ - = -

CM .

(dans tous les cas de fIgure)]

=> [El' GM = KI· KM] ; [El et GM données] => [El' GM

= KI· KM donnée]

; [KI' KM donnée, Met 1 donnés] => [K donné par la méthode d'application des aires, par défaut d'un carré ou par excès d'un carré, selon que K appartient ou n'appartient pas au segment [lM] (on a, dans tous les cas, El ·GM = KI· KM)]. La synthèse proprement dite comporte deux parties, une partie construction dans laquelle on construit le point cherché (ici le point 10, une partie démonstration, dans laquelle on montre que l'objet ainsi construit (le point 10 est bien solution du problème; le principe de cette synthèse est encore le même dans tous les cas : Synthèse: Construction: soit K un point de la droite (CD), s'il en existe un, tel que El· GM = KI· KM (appartenant en outre à l'un ou l'autre des intervalles de la droite (CD) qu'exige le cas de figure considéré). Remarque: la construction d'un point K E [MI] tel que El· GM = KI· KM

est toujours possible, mais la construction d'un point K El· GM = KI· KM n'est possible que si El· GM::; MI

E

[MI] tel que

2 •

4

La droite (HK) est alors solution du problème. 7 Ces considérations, pourtant fondamentales, sont absentes du texte d'Apollonius; seule la figure et le reste de la démonstration permettent, dans chaque cas, de préciser la position du point M relativement au point C. Ce point est en revanche précisé dans un scholie de Halley, De Sectione rationis, p. 60.

23

2.2. Les lieux 3 à 7

Démonstration : [El' GM =}

= KI· KM]

[EK = EL = GK IK Hl GM

El KM =-] IK GM

=} [ -

(dans tous les cas de figure si l'on a

fait en sorte que El· GM = KI· KM)] =} [ EL = Hl = k ]. GK

GM

Toute la difficulté de la démonstration repose donc, non sur l'analyse stricto sensu ou sur le problème de l'inversion dans la synthèse des implications de l'analyse, mais sur l'existence et la construction d'un point K, appartenant aux intervalles requis par les cas de figure considérés et vérifiant la relation: El· GM = KI· KM, c'est-à-dire sur la méthode de l'application des aires, par défaut d'un carré ou par excès d'un carrés. Les cas où K doit appartenir au segment [lM] (application par défaut d'un carré) sont alors ceux donnant lieu à discussion (diorisme), puisque dans ces cas, pour qu'il 2

existe un point K il est nécessaire que El· GM::::: Ml (Euclide, Éléments 4

VI.27) ; c'est sur l'étude de ces diorismes que va porter l'effort d'Apollonius (cas 5.3, 6.2, 6.4, 7.2 et 7.49). En effet, dans les cas 4.1 et 4.3, où l'application des aires se fait 2

également par défaut d'un carré, la condition El· GM::::: Ml est satisfaite 4

8 La méthode d'application des aires repose sur les propositions VI.28 et VI.29 des Éléments, le diorisme de VI.28 reposant sur VI.27. Apollonius utilise, dans ce traité, ces propositions dans le cas particulier où les figures appliquées sont des rectangles et où le défaut ou l'excès, est un carré. Pas plus Apollonius, dans la partie construction de ses synthèses, que Pappus dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport - alors même qu'il précise des constructions beaucoup plus élémentaires, comme la construction d'une quatrième proportionnelle pour des droites - ne précisent la construction du point K vérifiant la relation El· GM = KI· KM. Cette construction fait en revanche l'objet d'un scholie de Halley (De Sectione rationis, p. 60-61). 9 Si les premier, deuxième et troisième lieux comportent des discussions, celles-ci, on l'a vu, sont élémentaires; c'est d'ailleurs uniquement aux discussions des cinquième, sixième et septième lieux que Pappus réserve l'appellation de diorismes (déterminations) : « En effet le premier livre de La Section de rapport comporte sept lieux, vingtquatre cas et cinq déterminations, dont trois sont maxima et deux minima. La détermination est maxima dans le troisième cas du cinquième lieu et minima dans le second cas du sixième lieu et dans le second cas du septième lieu; tandis que les déterminations sont maxima dans les quatrièmes cas des sixième et septième lieux» (Pappus, La Collection, vol. II, p. 481).

24

Chapitre l : Applications des aires

car, dans ces deux cas, les points M, G, E et 1 étant rangés dans cet ordre 2

sur la droite (CD), il vient El . GM < El . EM:<S; Ml 4

;

on vérifie alors que,

puisque KI· KM = El· GM < El· EM, et KI· KM = El· GM < GI· GM, l'un des deux points K, vérifiant la relation El· GM = KI· KM, appartient au segment ([MG] (cas 4.1), et l'autre au segment [El] (cas 4.3) (Euclide, Éléments, ILS). Dans les autres cas (4.2, 4.4, 5.1, 5.2, 6.1, 6.3, 7.1 et 7.3), où l'application des aires se fait par excès d'un carré, le problème a, pour une valeur quelconque du rapport k, une solution sur chacun des intervalles considérés. L'unicité de cette solution se déduit, pour Apollonius, de la croissance ou de la décroissance du rapport EL sur chacun des intervalles considérés, lorsCK

que le point K se rapproche du point E. Dans chacun des cas 4.3, 4.4, 5.1 et 5.2, Apollonius montre en outre que toute autre position du point K sur l'intervalle considéré, donne lieu à un rapport différent de k. Diorismes des cinquième, sixième et septième lieux Partant du fait que le problème auquel il se ramène - trouver un point K du segment [lM] tel que KI· KM = s, s surface donnée - a une solution

unique - le milieu de [lM] - lorsque s

= M1

2

4

,

et que cette valeur de s établit

la démarcation entre les cas où le problème a deux solutions (lorsque 2

2

s < M1 ) et ceux où il n'en a pas (lorsque s > MI ), Apollonius cherche tout 4 4 d'abord à déterminer pour quelles positions des points 1 et M on a simultanément: El· GM = KI· KM et K milieu de [lM].

[El· GM =::}

[ -EK El

= KI . KM, KI = KM] =::} [ lK = CM, KI = KM] El

= -CK KM

= -CK KI

= -CE EK

KM

(d ans tous 1es cas d e f·Igure sIon . l' . en a f aIt

sorte que El· CM = KI· KM)]. EK est donc moyenne proportionnelle de El et de EG, ce qui détermine le point K (dont il faudra en outre vérifier qu'il appartient au segment requis par le cas de figure considéré) et le point M, symétrique de 1 par rapport à lH , VOIr . l' an al yse. ) K . 0 n a a1ors -EL = - lH ( et meme =EL = = A

CK

CM

CK

CM

Pour montrer que la valeur du rapport qui correspond à cette position du point K est extrémale sur l'intervalle considéré, Apollonius mène une

25

2,2, Les lieux 3 à 7

autre droite (HK'L') correspondant au même cas de figure, et montre que, comparer les rapports EL et EL' , revient à comparer les surfaces KI . KM GK

GK'

et K' l ' K' M. Or - à condition que K' appartienne au segment [Ml] KI, KM> K'I' KM, puisque K est le milieu de [lM]. En utilisant le fait que

composition et séparation des rapports conservent l'ordre, tandis qu' inversion et conversion l'inversent lO , et en reprenant en sens inverse la suite , 'd entes, on 0 b tIent, ' se1on 1es cas de f'Igure, -EL > EL' d ,·Imp l"Icahons prece GK

EL

ou -

GK

GK'

EL'

< --. GK'

Apollonius étudie ensuite - il en a besoin pour montrer l'unicité de la solution sur chacun des intervalles considérés et pour étudier les divers cas ', l'Ivre - 1e sens de VarIatIOn ,. d u rapport EL' - sur c h acun des d u deUXIeme GK'

intervalles précédemment définis de la droite (CD). Il montre encore que, EL'

EL"

GK'

GK"

,

,

comparer les rapports - - et - - , reVIent a comparer les surfaces . M' etant , d e'f"ml par 1a re lahon ' K 'M' , K'l et K"M' . K"I (1 e pomt =EL = = IH) . GK'

GM'

Cette comparaison repose sur les propositions IL5 et II.6 des Éléments qui permettent d'affirmer que, sur un segment [AB], la surface MA . MB diminue lorsque le point M s'éloigne du milieu 1 de [AB] - puisque MA . MB + MP = IA 2 - et que sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB], la surface MA . MB augmente lorsque le point M s'éloigne du point 1 - puisque MA . MB + IA 2 = MP. Apollonius est ainsi amené à comparer, dans les divers cas de figure, les positions respectives des points Met M', du point K et du milieu du segment [IM1 ainsi que des points K' et KI/Il. L'étude se clôt par la détermination du rapport extrémal EL en GK

fonction des données du problème; Apollonius montre que, dans la troisième incidence du cinquième lieu (cas particulier où G = l) - K E [ED) -, la valeur maximale du rapport, obtenue lorsque ,. d l 'a E , est ega ' le'a -HI K = J symetrIque e par rapport 4EI

10 Ces propriétés, qui ne figurent pas dans les Éléments, sont démontrées dans les lemmes que Pappus consacre à la Section de rapport, Il Pappus détaille le premier point mais non le second dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport,

26

Chapitre 1 : Applications des aires

-

dans la deuxième incidence des sixième et septième lieux - K E [Gl] -, la valeur minimale du rapport, obtenue au point] du segment [Gl] tel que E] soit moyenne proportionnelle de El et de ' le'a HIl EG , est ega ' El + EG - -v 4 . El . EG

dans la quatrième incidence des sixième et septième lieux E [ED) -, la valeur maximale du rapport, obtenue au point F

- K

,. d ' le'a symetnque e ] par rapport 'E a ,est ega

HI1 El + EG + -v 4 . El . EG

Conclusion: Dans le quatrième lieu (l et G de part et d'autre de E), le problème a 4 solutions, une pour chaque incidence, c'est-à-dire une sur chacun des intervalles [GC), [GE], [El] et [lD).

Dans le cinquième lieu (G = l), le problème a - 2 solutions si k > HI ,l'une sur [lC), l'autre sur [El] ; 4EI

- 3 solutions si k = HI , l'une sur [lC), l'autre sur [El] et le point] 4EI

symétrique de 1 par rapport à E, est solution; - 4 solutions si k < HI, l'une sur [lC), l'autre sur [El] et deux solu4EI

tions sur [ED), de part et d'autre du point]. Dans le sixième lieu (G entre E et l), le problème a - 4 solutions si k>

H~

EG+EI- 4EG·EI

,

une sur [lC), une sur [EG] et

deux solutions sur [Gl], de part et d'autre de ] (E] moyenne proportionnelle de El et de EG et ] entre G et l) ; - 3 solutions si k =

H~

EG+EI- 4EG·EI

point] est solution; ·· - 2 so1utIOns SI

HI 1 EG+EI+-v 4 EG·EI

,

une sur [IC), une sur [EG] et le

EM (cas 8.2), et une solution sur l'intervalle GM [MO] si k < EM (cas 8.4) ; si k = EM, la droite (HM) est solution. GM GM

29

2.3. Les lieux 8 à 10

C'est en effet au cours de ces démonstrations et de démonstrations de ce type qu'Apollonius utilise la monotonie des variations du rapport sur les divers intervalles concernés, établie dans le premier livre 1Z • Neuvième lieu, 1 = G Il en va de même dans le neuvième lieu: le désir de distinguer les cas 9.3 (K E [OM]) et 9.4 (K E [MD]), qui tous deux se ramènent au cas 5.3,

cas à diorisme, contraint maintenant Apollonius à distinguer le cas où le point] symétrique de 1 par rapport à 0 appartient à [OM] du cas où il appartient à [MD), le point] étant le point où le rapport 1( atteint son maximum HI sur la demi-droite [OD). 401 Si] E [OM], HI

HE

- dans le cas 9.3, lorsque k > - ' - , le problème n'a pas de 401 HO solution; lorsque k = HI . HE , il a une solution, la droite (Hl) ; lorsque 401 HO EM ::;;

GM

k < HI . HE , il a deux solutions, de part et d'autre de la droite 401 HO

(H]) ; lorsque k < EM, il a une seule solution, la droite (HK), où K est

GM

entre 0 et]; - dans le cas 9.4, lorsque k> EM, le problème n'a pas de solution, et GM lorsque k::;; EM, il a une solution unique (lorsque k GM (HM) est solution).

= EM, GM

la droite

Si] E [MD), - dans le cas 9.3, lorsque k> EM, le problème n'a pas de solution, et GM lorsque k::;; EM, il a une solution unique; GM HI

HE

- dans le cas 9.4, lorsque k > - . - , le problème n'a pas de 401 HO solution; lorsque k = HI . HE , il a une solution, la droite (Hl) ; lorsque 401 HO 12 Contrairement au livre l, le livre II ne comporte pas de conclusion générale de chacun des lieux, donnant en fonction des valeurs du rapport k le nombre de solutions du problème.

30

Chapitre 1 : Applications des aires

-EM < _k
Cl, s "1 1 Impose EM

El

qui résulte du diorisme du cas 3.2. Sixième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a pour extrémité M, et M appartient à l'un des intervalles de la droite (AB) déterminés par les points E, N et J, sur lequel le rapport NQ a une EL

36

Chapitre l : Applications des aires

valeur extrémale (atteinte au point F de cet intervalle tel que NF soit moyenne proportionnelle de Nl et de NE). Ceci ne se produit que dans les cas Il.2 et Il.3 qui se ramènent au cas 6.2, cas où le rapport K = NQ a une EL

valeur minimale EL CK

= k').

K2

(dans ces deux cas on veut résoudre le problème

Comme dans les cas 10.4 et 10.5, on doit alors distinguer selon

que NM> NF, NM < NF ou NM = NF, c'est-à-dire selon que F appartient ou n'appartient pas à l'intervalle considéré. B

c

o

K

v

u A

Fig. 13

Si FE [EM], - dans le cas Il.2 (deuxième incidence, L entre 1 et M), si k':::; EM , le CM

problème a une solution unique, et si k'> EM , il n'a pas de solution; CM

- dans le cas 11.3 (troisième incidence, L entre M et E), si k'> Hl.~, CI

K2

le problème n'a pas de solution; si k' = Hl. ~, le problème a une soluCI

K2

tion, la droite (HF) ; si EM :::; k' < Hl . ~, le problème a deux solutions, CM

CI

K2

de part et d'autre de la droite (HF) ; si k' < EM , le problème a une CM

seule solution. Si F

E

[lM],

- dans le cas 11.2, si k' > Hl. ~, le problème n'a pas de solution; si CI

k'

=

K2

HI.~, le problème a une solution, la droite (HF); si CI

K2

37

2.4. Les lieux 14 à 16

EM GM

:s k'
ME· MI = 4ME·MI = EP' GK KG·KI PG·PI IG 2 GP

(P' point d'intersection de (HP) et de (AB)].

Le problème a donc, dans ces deux cas (15.2 et 16.4), 2 solutions lorsque k > EPI, une solution (le point P) lorsque k GP EP'

= EP' GP

et pas de solution

lorsque k < - . GP

Pour ces deux lieux, le problème a donc EP'

- 4 solutions lorsque k> - , deux sur [lG], et une sur chacune des GP

deux demi-droites [ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [lC»,

- 3 solutions lorsque k =

EPI, une sur chacune des deux demi-droites GP

[ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [lC», et P milieu de [lG],

- 2 solutions lorsque k < EPI, une sur chacune des deux demi-droites GP

[ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [/C».

Apollonius ne se satisfait pas de ce résultat; il souhaite en outre préciser le nombre de solutions du problème sur chacun des intervalles de la droite (CD) que définissent les points l, G et M, il est donc amené à distinguer les cas 15.3 - K E [MD) - et 15.4 - K E [Ml], ainsi que les cas 16.2 - K E [MD) - et 16.3 - K E [MG]. Il est alors conduit dans ces 4 cas à des

discussions élémentaires, reposant sur le fait que, puisque la surface KG . KI croît lorsque le point K, extérieur au segment [IG], s'éloigne de P, milieu de [lG], le rapport EL décroît lorsque le point K s'éloigne de P; donc GK

- SI.

k=EM, 1e pomt . M ' est solutlOn, MG

- si k > EM , le problème a une solution sur [lM] (cas 15.4) ou sur MG

[GM] (cas 16.3) et n'a pas de solution sur [MD) (cas 15.3 et 16.2),

- si k < EM , le problème a une solution sur [MD) (cas 15.3 et 16.2) et MG

n'a pas de solution sur [lM] (cas 15.4) ou sur [GM] (cas 16.3).

CHAPITRE II

RÉSOLUTION GÉOMÉTRIQUE DES PROBLÈMES ALGÉBRIQUES

Pour mettre ce problème en équation et donner une interprétation algébrique du traité, on est amené à choisir des axes de coordonnées dotés d'orientations. Les différents «lieux» distingués par Apollonius correspondent aux différentes positions relati ves des droites coplanaires données (AB) et (CD) parallèles ou sécantes ainsi qu'aux diverses valeurs possibles des coordonnées des points E et G donnés sur ces droites; ces lieux sont subdivisés en « incidences

»,

qui déterminent chaque fois si EL est GK

àk

ou à -k. 1. LIEUX 1 ET 2: (AB) PARALLÈLE À (CD)

1 étant un point donné, n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), on veut déterminer une droite (IKL) sécante à (AB) en K et à (CD) en L, telle que EK =kl. GL E

A

K

B

c

II

15

On prend comme axes de coordonnées la droite (CD) et la droite (GE). On pose GE = d (on peut supposer d > 0) ; on projette 1 en J sur (CD) parallèlement à (GE) et en F sur (GE) parallèlement à (CD) ; on pose b. a (on peut supposer a > 0), 1 La lecture du traité est, on l'a dit, rendue malaisée par de fréquents changements de notations. Nous reprenons ici les notations d'Apollonius dans les premier et deuxième lieux.

42

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Soient L un point de (CD) d'abscisse x et K un point de (AB) d'abscisse x' ; la condition pour que K et L soient alignés avec 1 s'écrit :

= O.

d(a -x) - b(x' -x)

Cl)

Le problème d'Apollonius consiste à déterminer x et x' vérifiant (1) et tels que

I~I = k, rapport donné. On a alors X'=Ekx et d(a-x)-bx(Ek-l)=O

(avecE=louE=-l),

d'où (II)

ad d-b+Ekb

x=----

. k = E- E -d + E -ad). (SOlt b

bx

PREMIER LIEU: 1 non situé entre (AB) et (CD)

On peut supposer 1 dans l'angle DGH, on a b < O. La première incidence correspond au cas où x et x' sont positifs, soit E=

1 ; il faut donc imposer la condition

ad d-b+kb

> 0, soit k < 1 -

!!.-. b

Cette condition équivaut à celle qu'impose Apollonius: k < El , M point lM

d'intersection de (lE) et de (CD) ; en effet

. k = 1--+-, d ad k crOlt avec x, comme A po Il omus . R emarque: pUIsque A

b

bx

l'établit en vue de démontrer l'unicité de la solution. La deuxième incidence correspond au cas où x > E=

-1 ; la condition

ad d-b-kb

°

et x' < 0, soit

> 0 est vérifiée, puisque b < 0, le problème a

donc dans ce cas toujours une solution. k = -1 + -d - ad, k decrOlt / 1orsque x crOlt. . R emarque : pUIsque b bx A

A

43

1. Lieux 1 et 2

La troisième incidence correspond au cas où x


°

est vérifiée, puisque d - b > O.

ad, k d'ecrOIt ~ 1orsque x crOIt. ~ . k = 1 - -d + Remarque : pUIsque b

bx

La deuxième incidence correspond au cas où x > E

=-1

; il faut imposer la condition

ad d-b-kb

°

et x' < 0, soit

> 0, soit k < ~ - 1. Cette b

condition équivaut à celle qu'impose Apollonius: k < : El

EF

d-b

lM

GF

b

; en effet

-=-=-. k R emarque : pUIsque

~ = -1 + -db - -ad , k crOIt avec x. bx

°

La troisième incidence correspond au cas où x < et x' > 0, soit E = -1 comme dans la deuxième incidence; il faut alors imposer la condition

44

Résolution géométrique des problèmes algébriques

ad - < O ' k > -d l 'qUI "eqUIvaut 'k El, con d'ItlOn . posee , -,SOlt - ,ce a >d -b+kb

b

lM

par Apollonius. Remarque:

puisque k

= -1 + ~b -

ad bx

= -1

+

d b

+ ~J'

k

bJx

décroît lorsque JxJ

croît. Il n' y a pas d'autre incidence, car x et x' ne peuvent être tous les deux négatifs vu la position de J. En conclusion, lorsque E = 1, le problème a toujours une solution, qui

correspond à la première incidence. Lorsque tion si k

:f.

~ b

-

E

=-1, le problème a une solu-

1 ; cette solution correspond à la deuxième incidence si

. de x = -db - Il , e d'enommateur s'annule et le problème n'a pas de solution, sauf si a = 0, c'est-à-dire si le

k

.. , < -d - 1 et a'1 a trOlsIeme SI'k > -d - 1 ; SI'k b

b

point J est sur (EG). Dans ce dernier cas, non envisagé par Apollonius, x est indéterminé et on peut choisir L arbitrairement.

2. LIEUX 3 À 21 : (AB) NON PARALLÈLE À (CD)

On prend les droites (CD) et (AB) comme axes de coordonnées, se coupant en l'origine M. On se donne un point E sur (AB), d'ordonnée d, un point G sur (CD), d'abscisse c et un point H du plan, de coordonnées a et b. On peut choisir l'orientation des axes de manière que a> 0 et b > O. On veut déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle que -EL GK

' = k ,rapport d onne. B /---------c79

C

G

H

D

K E A

Fig. 16

45

2.1. Lieux 3 à 7

Si les points K, d'abscisse x sur (CD), et L, d'ordonnée y sur (AB), sont alignés avec H, on a : ay + bx =xy. Le problème d'Apollonius consiste à déterminer x et y vérifiant cette relation et tels que :

IY-dl

EL == = k (x"j:. c), GK x-c

On a donc y (1)

= d + Ek (x -

soit y-d = Ek, avec E = 1 ou E =-1. x-c

c) et

kx 2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed)

=0

équation de degré 2 en x. 2.1. Lieux 3 à 7, cas où E

=M

Dans les lieux 3 à 72 , traités dans le premier livre, E l'équation (1) devient: (2)

kx 2 -x[k(a + c) + Eb] + kac

de discriminant (2')

L1(k) =

e (a -

Si l'on posef(x) f(c)

=M, soit d =0, et

=0

c) 2 + 2Ebk(a + c) + b 2 = [k(a + c) + Eb]2 - 4eac.

= kx 2 -x[k(a + c) + Eb] + kac,

alorsf(a)

= -Eab et

=-Ebc.

TROISIÈME LIEU: G

=E =M

Dans ce cas c = 0 (donc x "j:. 0), et l'équation se simplifie encore. (2 bis)

kx 2 - x[ka + Eb]

= O.

2 Nous adoptons pour ces lieux, comme nous l'avons fait lors du commentaire géométrique, les notations des sixième et septième lieux. Notons que, dans les lieux 3 et 4, les rôles de (AB) et (CD) sont intervertis: le point G est sur (AB) qui devient l'axe des abscisses et le point E sur (CD) qui devient]' axe des ordonnées, ee qui ne modifie en rien la mise en équation.

46

Résolution géométrique des problèmes algébriques

La racine nulle, qui correspondrait à K = E = G, ne convient pas ( EL EK indéterminé). L'autre racine est x

= a + E~, ce qui donne deux solutions, k

selon que E = 1 ou E = -1. Apollonius distingue trois incidences: première incidence (cas 3.1), x < 2:'. x

= Ek)

El'

deuxième incidence (cas 3.2), E

= -1

< y < b, soit E = -1 (puisque

et

~ < 0, soit

; on doit donc imposer la condition a -

k 0, soit k

k>~=HI.

El'

a

troisième incidence (cas 3.3), x > a et y> b, soit x

=a + ~ k

E=

1 ; dans ce cas

> a, il n'y a donc pas de condition sur k.

En conclusion, le problème a toujours une solution dans la troisième incidence (cas où E = 1). Lorsque E = -1, il a une solution dans la première incidence si k
~ ; lorsque k = ~,x = (avec a

a

a

la multiplicité 2) et le problème n'a de solution que dans la troisième incidence. QUATRIÈME LIEU: 1 et G de part et d'autre de E

Dans ce cas c < 0, donc .1(k) >

°;

l'équation (2) a donc toujours deux

racines, que E soit égal à 1 ou à -1. Apollonius distingue quatre incidences: première incidence (cas 4.1), x < c et y> 0, soit _Yx-c

= Ek);

E

°

= -1

(puisque

et y > 0, soit

E

=1 ;

troisième incidence (cas 4.3), 0< x < a et y < 0, soit

E

=-1 ;

deuxième incidence (cas 4.2), c < x
a et y > 0, soit

E

= 1.

47

2.l. Lieux 3 à 7

Lorsque E = l,f(a)
0, l'équation (2) a donc deux racines de

°

signes contraires, XI et X2' telles que c < XI < < a < X2 ; XI est solution pour la deuxième incidence et X2 est solution pour la quatrième incidence. Lorsque E = -l,f(a) > etf(c) < 0, l'équation (2) a donc deux racines

°

°

de signes contraires, X3 et X4, telles que X3 < c < < X4 < a ; X3 est solution pour la première incidence et X4 est solution pour la troisième incidence.

En conclusion, le problème a toujours 4 solutions, une selon chaque incidence. CINQUIÈME LIEU: 1

Dans ce cas c

(2 ter)

=G

= a, et l'équation (2) devient

kx 2 - x(2ka + Eb) + ka z = 0,

de discriminant L1(k) = b(4Eka + b). Apollonius distingue trois incidences: première incidence (cas 5.1), X > a et y> b, soit E = 1 (puisque _Y- = Ek); x-a

deuxième incidence (cas 5.2),

°

< X < a et y < 0, soit encore E = 1.

°°

troisième incidence (cas 5.3), X < et < y < b, soit E =-1. Lorsque E = l, L1(k) > 0, l'équation (2 ter) a deux racines positives

°

XI

et

et, puisque f(a) < 0, < XI < a < X2 ; X2 est solution pour la première incidence et XI est solution pour la deuxième incidence. Lorsque E = -l, l'équation (2 ter) n'a de solution que si L1(k) 2': 0, soit

Xz

k:::; ~ 4a

=

HI ,condition posée par Apollonius, et elle a alors deux racines 4EI

(confondues et égales à - a, si k =

~) négatives. Le problème a donc, dans 4a

la troisième incidence, deux solutions si k
~. 4a

En conclusion, le problème a deux solutions si k > ~ (première et 4a

deuxième incidences), trois solutions si k = ~ (une dans chaque incidence) 4a

48

Résolution géométrique des problèmes algébriques

et quatre solutions si k < ~ (une dans chacune des première et deuxième 4a

incidences et deux dans la troisième incidence),

racines que si L1(k) ;:::

=

k> b(a+c)+2b~ -

(a-c)2

°;

b(a+c)-2b~ (a-c)2

soit si k:::; -----'----'------::--b

a+c-2~'

L'équation (2) a alors deux racines X3 et X4 (distinctes ou confondues), de même signe, puisque X3 ' X4 = ae > 0, ,

En outre, pUIsque X3 + X4 - si k;:::

= k(a+c)-b , k

b > _b_, a+c-2~ a+c

X3

+ X4 > 0, et les deux racines sont posi-

tives; - si k :::;

b

a+c+2~

b

< --, a+c

X3

+ X4 < 0, et les deux racines sont

négatives, Pour avoir une solution dans la deuxième incidence, on doit donc impo, k> b ,- = Hll , posee , ser a, k 1a con d'!tIon: _ ,con d'ItlOn a+ c- 2"ac

EG + EI- -v4EG· El

par Apollonius. Puisque j(a) = ab > 0, j(e) = be > 0, et qu'en outre j(~) = ~ [b - k(a + e - 2~)] < 0, les deux racines sont, dans ce cas, comprises entre e et a, et le problème a deux solutions dans la deuxième incidence; si

49

2.1. Lieux 3 à 7

k

=

b..J;;;' l'équation (2) a une solution unique, égale à a+e-2 ae

..J;;;, et le

problème a une seule solution dans cette incidence. Pour avoir une solution dans la quatrième incidence, on doit imposer à k la condition : k


b..J;;; , le problème a 4 solutions (une dans la première a+e-2 ae

incidence, une dans la troisième incidence et deux dans la deuxième incidence) ; si k

=

b..J;;;' il a 3 solutions (une dans chacune des première, a+e-2 ae

deuxième et troisième incidences) ; SI

b..J;;; a + e + 2 ae

b, soit E = 1 (puisque _Y- = Ek); x-e

deuxième incidence (cas 7.2), a < x < c et y > b, soit

E

=-1

;

50

Résolution géométrique des problèmes algébriques

=1 ; quatrième incidence (cas 7.4), x < 0 et 0 < y < b, soit E = -1. Lorsque E = 1, comme dans le cas précédent, l'équation (2) a troisième incidence (cas 7.3), 0 < x < a et y < 0, soit

E

deux

racines positives XI et X2 telles que 0 < XI < a < c < X2; X2 est solution pour la première incidence et XI est solution pour la troisième incidence. Lorsque E = -1, comme dans le cas précédent, pour avoir des solutions dans la deuxième incidence, on doit imposer à k la condition:

k ;:::

b..r;;;'

les deux racines sont alors comprises entre a et c et le

a+e-2 ae

problème a deux solutions; si k

=

b..r;;;'

a+e-2 ae

l'équation a une racine

double égale à ..r;;; . Pour avoir des solutions dans la quatrième incidence, on doit imposer à

k la condition: k :::;

b..r;;; ; si k =

a + e + 2 ae

b..r;;; , l'équation a une racine

a + e + 2 ae

double égale à -..r;;; .

En conclusion, comme dans le lieu précédent: si k>

b..r;;; , le problème a 4 solutions (une dans la première inci-

a+e-2 ae

dence, une dans la troisième incidence et deux dans la deuxième incidence) ; si k

b..r;;; , le

=

a+e-2 ae

problème a 3 solutions (une dans chacune des

première, deuxième et troisième incidences), SI

b..r;;;

a + e + 2 ae

0, EG = c, EK = x, alors on a, dans tous les cas: EL GK

=

=b

> 0,

1-11- -11- -1

EL EL EK IR EK bx GK = EK'GK = IK'GK =!(x-a).(x-c)! (x:;t:O,x:;t:aetx:;t:c).

Le problème de La Section de rapport se ramène alors à la résolution de l'équation : !

bx ! (x-a).(x-c)

= k, équation (2).

La résolution analytique du problème d'Apollonius revient alors à chercher les points d'intersection de la courbe -G" représentative de la fonction h définie par h(x)

= (x-a).(x-c) bx 1

1

et de la droite !!J d'équation y = k.

L'étude des variations de la fonction h se fait de façon élémentaire à partir de celle de la fonction f définie par f(x) =

'( ) =

es t f x

bx dont la dé ri vée (x-a).(x-c)

2

b.(ac-x ) 2 2 (x-a) .(x-c)

°

Le troisième lieu correspond alors au cas où c = (G =E), le quatrième lieu au cas où ac < (1 et G de part et d'autre de E), le cinquième lieu au cas où a =c (G =I) et enfin les sixième et septième lieux au cas où ac > et a:;t: c (1 et G distincts et d'un même côté de E). Traçons donc dans chacun de ces cas la courbe -G".

°

Troisième lieu: G K

D

EK

-00

EL GK

°

°

= E (c = 0) 1

E=G

? ?

°

b a

? ?

C

?

a

+00

+00

~

+00

°

52

Résolution géométrique des problèmes algébriques

b/a

o

3.1

c

3.3

3.2

E=G

Fig. 17

Le problème de La Section de rapport, équivalent à l'équation h(x) a alors deux solutions si k"* ~ a

=

IH El

= k,

(une sur [lC), l'autre sur (DE] si

k < lB ou sur [El] si k> lB), une seule solution si k = ~ = IH (on doit El

a

El

El

avoir K"* E). Quatrième lieu.' 1 et G de part et d'autre de E (c < 0) K

D

EK

-00

EL GK

0

o

E

G

?

c

?

+00 +00

4.4

?

G

? ?

0

~

4.3

1

Fig. 18

4.2

1

?

a

+00

+00

0

E

C

4.1

+00

~

c

0

53

2.1. Lieux 3 à 7

L'équation h(x) = k et le problème posé ont alors toujours 4 solutions, une sur chacun des intervalles (DG], [GE], [El] et [lC). Cinquième lieu,' G = 1 (a = c) Soit J le symétrique de G par rapport à E, K

D

EK

-00

EL GK

0

E

J

?

-a

?

b

?

0

~

4a

C

I=G

? ?

?

a

+00

0

+00

~

+00

0

Fig. 19

Le problème posé a donc: 2 solutions si k > ~, l'une sur [lC), l'autre sur [El] ; 4a

3 solutions si k

= ~, 4a

l'une sur [lC), l'autre sur [El] et le point J est

solution; 4 solutions si k < ~, l'une sur [lC), l'autre sur [El] et deux solutions 4a

sur (DE], de part et d'autre du point J. Sixième lieu,' G

E

[lE] (0 < c < a)

Soit J le point de [Gl] tel que EG . El =Ef, F le symétrique de J par rapport à E,

54

Résolution géométrique des problèmes algébriques F

E

EK

? --& ?

0

EL GK 0

?

K

D

avec g =

g

b

a + c+ .J4ac

~

0

et i =

D

J

G

1

C

? c ?-&? a ? +00 ?+oo +00 ~ ? +00 +00 ~O b -------;==

a+ c - .J4ac

E

6.3

c

6.1

Cl

62

Fig. 20

Le problème posé a donc: 4 solutions si k > i, une sur [le), une sur [EG] et deux solutions sur [GI], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [le), une sur [EG] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [le) et une sur [EG] ; 3 solutions si k =g, une sur [lC), une sur [EG] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [le), une sur [EG] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F. Septième lieu: 1 E [EG] (0 < a < c) On obtient les mêmes résultats que pour le sixième lieu, en intervertissant simplement les points G et I. K

D

EK

-00 ? _-& ?

EL GK 0

F

g

E

0

1

?

c

J

c

G

a

? +00 +00

? +00 ~

o

55

2.2. Lieux 8 à 10

D

7.4

E

7.3

(j

1

7.1

c

7.2

Fig. 21

Le problème posé a donc: 4 solutions si k> i, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [IG], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [GC), une sur [El] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [GC) et une sur [El] ; 3 solutions si k =g, une sur [GC), une sur [El] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F.

2.2. Lieux 8 à 10 Dans les lieux 8 à IO les points H et E sont de part et d'autre de la droite (CD), soit d < 0 ; dans le huitième lieu on a également c < 0 et dans les neuvième et dixième lieux on a respectivement c = a et c > a. Apollonius ramène l'étude de ces trois lieux à celle des quatrième, cinquième ou septième lieux par un changement d'origine: on prend comme nouvelle origine le point 0 où la droite (HE) coupe (CD), et les nouveaux axes sont (CD), d'origine 0 (axe des abscisses) et (UV), parallèle à (AB) menée par 0 (axe des ordonnées). B

H

c

o

K G E A

u Fig. 22

56

Résolution géométrique des problèmes algébriques

L'équation de (HE) s'écrit, dans les anciens axes, y-d b-d de 0 dans l'ancien repère est donc égale à

= ~,l'abscisse a

-~, et pour tout point P du

b-d plan, son ancienne et sa nouvelle abscisse, x et ç, sont liées par la relation:

x=-~ b-d

+ç.

Les nouvelles coordonnées de H sont alors (a, b), avec a ab

ad

bc - cd + ad

b-d

b-d

.

- - , et la nouvelle abscIsse de G est y= c + - - = b-d

Si l'on fait le changement d'inconnue x (1)

=a + ~ = b-d

.

=-~ + ç dans l'équation b-d

2

kx - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed) =

°

(E = 1 ou E = -1),

à laquelle nous avons ramené le problème d'Apollonius, il vient (3)

kç2 -

-ç- [k(ad + ab + bc b-d

+

k

2

--2

(b-d)

cd) + E(b - d)] + 2

[a bd - abcd + acb ] = 0,

soit (3)

kç2 - ç[k(a + y) + E(b - d)] + kay= 0, kb

et en posant K= - b-d

(3)

HI HO . = kEl - = k - , on obtient HE

Kç2 - ç[K(a + y) + Eb] + Kay= 0,

qui n'est autre que l'équation (2), correspondant aux lieux 3 à 7, dans laquelle a, c, k et x sont respectivement remplacés par a, y, K et ç. Posons, nous en aurons besoin par la suite, J(ç)

= Kç2 -

ç[K(a + y) + Eb] + Kay,

alors

J( ~ ) = ~ (kc b-d

b-d

Ed).

57

2.2. Lieux 8 à 10 HUITIÈME LIEU: 1 et G de part et d'autre de M

Soit c < 0 < -~ < a et d < 0 < b, donc ex> 0 et y < 0, ce qui corresb-d pond au quatrième lieu, pour lequel l' équation (2) a toujours 2 racines, que E soit égal à 1 ou à -1, et où le problème a toujours quatre solutions. Apollonius distingue 5 incidences, définies par les inégalités: première incidence (cas 8.1), x < c et 0 < y < b, soit E = -1 (puisque

-Y -d = Ek) et .; < y

;

x-c deuxième incidence (cas 8.2), c < x < 0 et 0 < y < b, soit

E

= 1 et

y

b -d K2 . b

=

b-d

a+y-

2.fcXY '

l'équation (3) a deux racines positives ';3 et ';4 (confondues et égales à ~ si

K

= K2 )

telles que: 0
c et b < Y < d, soit (puisque b < d et y - d x-c

E

=-1, El = 1

= Ek) et ç > 0 ;

deuxième incidence (cas 18.2), a < X < c et y> d, soit E El

= -1

et

= 1, a < ç < 0 ;

troisième incidence (cas 18.3), 0 < E1 =- 1

,

ad- < ç < a' -d-b '

X

< a et y < 0, soit

E

= 1 et

73

2.3. Lieux Il à 13,17 à 21

quatrième incidence (cas 18.4), x < 0 et 0 < y < b, soit E

I

E

= 1 et

=-1 ;; a ; en outre: -

SI· K

(d-b/ lG;; < -b ," c est-a- d'1re SI. k < -- = , S > 0 = y, d" ou

-ex ab El > c ; x est solution pour le cas 18.1 (qui se ramène à 3.1), le problème a une solution dans la première incidence et n'a pas de solution dans la deuxième incidence ;

X

;; < 0 = y, d' ou, S -ex ~ a < x < c ; x est solution pour le cas 18.2 (qui se ramène à 3.2), le problème a une solution dans la deuxième incidence et n'a pas de solution dans la première incidence. -

Si

El

SI· K

(d - b? > -b ," c est-a- d'Ife SI. k > - , ex
O.

Notons que si ç est solution de l'équation (3) Kç2_ ç[K(a + y) + E'b] +

Kay =0, ç / =- ç est solution de l'équation (3 bis) KÇI2 - ç/ [K( lai + Ir 1) + Eb]

+ Klal . Irl) = O. Lorsque E = l, on a montré, lors de l'étude du sixième lieu, que l'équa-

tion (3 bis) a deux racines positives Ç/l et Ç/2 telles que: 0< Ç/l < Irl < lai
b = EM SI XI > ,SOIt a

MG

QUINZIÈME LIEU: 1 entre M et G Soit 0 < a < c ; Apollonius distingue quatre incidences:

première incidence (cas 15.1), x> c et y> h, soit c

1 (puisque

}'-b -' - = ck)

; x-c deuxième incidence (cas 15.2), a < x < c et y > b, soit

E;;;;;;

-1 ;

troisième incidence (cas 15.3), x < 0 et 0 < y < b, soit

E;;;;;;

1;

quatrième incidence (cas 15.4),0 < x < a et y < 0, soit E = 1. Lorsque E ;;;;;; l, l'équation (4) a deux solutions Xl et X2, de même signe si k > b , de signes opposés dans le cas contraire, c

Donc si k >

~, 0 < XI < a < c < X2, et si k < ~ , Xl < 0 < a < c < X2c

c

80

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Le problème a donc toujours une solution dans la première incidence, il · d " " dence SI. k < -b = EM, et une so1utlOn . mCI a une so1utlon ansla 'trOlsleme c

MG

dans la quatrième incidence si k > !!.-, conditions posées par Apollonius. c

Lorsque

E

= -1,

l'équation (4) n'a de racines que si k ~

4ab

=

2

(a -c)

4MI·ME et e Il e a a1ors deux racmes . .. ('egal es et ega 'l a+c ----=,-, posItIves es'a IG"

2

lorsque k

=

4ab

2 ),

(a- c)

comprises entre a et c ; le problème alors deux solu-

tions (distinctes ou confondues) dans la deuxième incidence. SEIZIÈME LIEU; G entre M et 1

Soit 0 < c < a. Apollonius distingue encore quatre incidences: première incidence (cas 16.1), x > a et y> h, soit

E

= 1 (puisque

-b =Ek); x-c deuxième incidence (cas 16.2), x < 0 et 0 < y < h, soit E = 1 ; -Y

=1 ; quatrième incidence (cas 16.4), c < x < a et y < 0, soit E = -1. Lorsque E = 1, l'équation (4) a deux solutions XI et X2' de même signe si troisième incidence (cas 16.3),0 < x < c et y < 0, soit

E

k > !!.-, de signes opposés dans le cas contraire. c

Donc si k >

~, 0 < XI < c < a < X2, et si k < !!.-, XI < 0 < c < a < X2. c

c

Le problème a donc toujours une solution dans la première incidence, il ., " dence SI. k < -b = EM, et une so1utlOn . · d ans 1a deUXleme a une so1utron mCI c

MG

dans la troisième incidence si k> !!.-, conditions posées par Apollonius. c

Lorsque

E

= -1, l'équation (4) n'a de racines que si k ~ ~ (a-ct

4MI· ME et eIl e a a1ors deux racmes . .. ('ega l es et ega 'l a +c pOSItIves es'a -

----,:;2-'

IG

lorsque k

2

=

4ab

(a -c)

2 ),

comprises entre a et c ; le problème alors deux solu-

tions dans la quatrième incidence.

CHAPITRE III

HISTOIRE DU TEXTE

Pappus, dans l'introduction au livre VII de La Collection mathématique, évoque, parmi les traités d'Apollonius, La Section de rapport (Àoyou ànoTo(.1f)), et rappelle l'énoncé du problème qu'Apollonius y résout. Cet énoncé, tel qu'il est cité par Pappus, correspond parfaitement à celui de la version arabe : Mener par un point donné une ligne droite qui découpe sur deux droites données de position, et ce jusqu'à des points donnés sur ces droites, des segments ayant même rapport que celui qui est donné!. La structure de l'ouvrage, telle que la décrit Pappus, correspond également à celle du texte arabe: Pappus affirme en effet que le premier livre comporte 7 lieux (TOnOt), décomposés en 24 cas (nH0 ~ alors

b d a a+c c . a c 1 a-c C l " . - > - - > -, et que SI - > - a ors - - > - ; ces emmes n mterviennent b b+d d b d b-d d

pas sous cette forme dans les démonstrations que nous avons établies, seules les propositions V.12 et V.19 des Éléments sont utilisées. Le lemme 10 (si a> b et c

=d alors::b > ~d

et si a < b et c

=d

alors

:: < ~) est une variante de la proposition V.8 des Éléments; les lemmes Il b d

2 Pappus, La Collection, vol. II, p. 48l. Il est en revanche difficile de comprendre l'affirmation de Pappus : « ces mêmes deux livres de La Section de rapport contiennent cent quatre-vingt-un théorèmes, et plus encore d'après Périclès ». 3 On constate que, dans ces lemmes, Pappus donne toujours deux versions de la propriété, une dans le cas où le premier rapport est plus grand que le second, l'autre dans le cas inverse; tout se passe comme si, pour Pappus, il y avait non pas une, mais deux relations d'ordre strict, « plus grand que» et « plus petit que ». 4 La première intervient en particulier dans la démonstration d'unicité du cas 4.3 et dans le diorisme du cas 6.2, la seconde est utilisée systématiquement dans toutes les synthèses des cas à diorismes du livre II.

83

Histoire du texte

a

c.

b

d

(si a > b et c < d alors - > -) et 12

(SI

M

E

AlA

[AB] le rapport -

AlB

croît

lorsque le point M se rapproche du point B) en sont des conséquences immédiates; le lemme Il est fréquemment utilisé dans les diorismes et les démonstrations d'unicité du premier livre, sous cette forme ou sous la forme / . l ente: SI. a > b et c < dl b eqmva a ors -a>-. c

d

Les lemmes 13 et 14 - que Ver Eecke regroupe - sont des conséquences immédiates de la proposition ILS des Éléments (soit M un point d'un segment [AB] de milieu l, alors MA . MB + M[2 = IA2) : MA . MB est maximal lorsque M = 1 (lemme 13), et la surface MA· MB diminue lorsque M s'éloigne de 1 (lemme 14). Ces lemmes jouent, dans les diorismes du livre 1, un rôle fondamental. Le lemme 15, élémentaire, établit que si a + b = c + d et si a < c alors b > d. Le lemme 16 généralise à des inégalités la proposition VL16 des Éléments et permet de passer de l'inégalité d'aires ad > bc à l'inégalité de rapports ~ > ~ et réciproquement (a, b, c et d étant des longueurs) ; il est c

d

utilisé dans les diorismes des cinquième, sixième et septième lieux. Les lemmes 17 à 20, dans cet ordre, précisent des points de détail élémentaires du calcul des valeurs extrémales du rapport dans les cas 6.2, 6.4, 7.2 et 7.4. Dans le texte de La Section de rapport, la détermination de ces valeurs extrémales figure, dans chacun de ces cas, en conclusion de la synthèse et non, comme on pourrait l'attendre, à la fin du diorisme, peutêtre dans la mesure où, s'agissant là d'un point non essentiel au déroulement de la démonstration, on a souhaité ne pas rompre l'unité de celle-ci. Les lemmes de Pappus s'attardent sur la détermination du dénominateur de ces rapports (lE + EG ± .,J41E· EG) en vue de leur construction à la règle et au compas, problème délibérément non traité par Apollonius (cf. lemmes 1 et 2).

Le lemme 21 est intitulé «problème relatif au second livre de La Section de rapport, utile pour la récapitulation du treizième lieu ». Il se présente comme un problème de construction: les points A, B et C étant donnés, C entre A et B, déterminer un point D de la demi-droite opposée à [AB), tel que ~~

= AB + BC

~~4AB. BC

Or on ne trouve, dans le Livre II, contrairement à ce que l'on a dans le Livre 1, aucune conclusion, ou récapitulation des divers lieux étudiés. Ce lemme permettrait de calculer les valeurs extrémales du rapport lorsqu'une moyenne proportionnelle intervient dans ce calcul, c'est-à-dire dans les cas des lieux du second livre qui se ramènent au sixième ou au septième lieu, à savoir les onzième, dix-septième et dix-neuvième lieux (qui se ramènent au

84

Histoire du texte

sixième lieu), ou les dixième et vingt et unième lieux (qui se ramènent au septième lieu). Il est donc impossible que le lemme 21 ait trait au treizième lieu du second livre (i. e. au vingtième lieu) ; il semblerait plus vraisemblable qu'il se rapporte au troisième lieu du second livre (i. e. au dixième lieu). Il se pourrait donc qu'il y ait, à cet endroit, une erreur dans le texte de La Collection mathématique, peut-être devrait-on lire « troisième lieu» et non « treizième lieu », le troisième lieu du livre II étant par ailleurs le premier des lieux de ce livre à nécessiter ce genre de diorisme et donc ce genre de calcul. En conclusion, les lemmes de Pappus, soit reprennent des propositions qui figuraient sous une forme voisine dans les Éléments, soit établissent des propriétés très générales des inégalités de rapports ou de l'application des aires, soit précisent d'infimes points de détail des démonstrations. Ces lemmes, s'ils permettent bien de corroborer l'affirmation selon laquelle le texte que nous avons établi est le texte d'Apollonius sur La Section de rapport, ne sont pas indispensables à la compréhension des démonstrations et ne sauraient en aucun cas permettre à eux seuls de les reconstituers.

LA TRADUCTION

Sur l'identité du traducteur de La Section de rapport et la date de sa traduction, nous sommes peu informés. Les bio-bibliographes et les historiens mentionnent ce traité parmi les œuvres d'Apollonius traduites en arabe: al-Nadim 6 , suivi par al-Qifn 7, indique «l'ouvrage sur la section des droites selon un rapport, deux livres» (kitab qa(i al-khutiit 'ala al-nisba, maqalatayn) ; al-Nuwayri 8 évoque Les Coniques et La Section de rapport comme étant deux ouvrages d'Apollonius. Étudié par Ibn Sinan (909-946)9, l'ouvrage circulait encore au XIIIe siècle, comme en témoignent tant les historiens que les copies faites à cette époque. Traduit donc avant le premier tiers du xe siècle, la traduction en a très vraisemblablement été achevée bien avant, au IX e siècle, qui plus est dans le milieu des Banü Müsa et de Thabit 5 Nous sommes parvenus à un résultat analogue en ce qui concerne les différents livres des Coniques: les lemmes de Pappus ne sauraient en aucun cas permettre de reconstituer le texte. R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. III : Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique, Londres, 2000, p. 2-12. 6 AI-Nadim, al-Fihrist, p. 326. 7 AI-Qifti, Ta'rikh al-Iwkamâ', p. 116. 8 AI-Nuwayri, Nihâyat al-arab, Le Caire, sans date, vol. I, p. 353. 9 R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim ibn Sinân, logique et géométrie au xe siècle, Leyde, 2000, p. 16,77-79,506-510.

Histoire du texte

85

ibn Qurra. Deux raisons permettent de proposer une telle conjecture: c'est précisément dans ce milieu et à cette époque, et non avant, que les mathématiciens se sont intéressés à l' œuvre d'Apollonius et ont rendu en arabe les sept livres des Coniques et quelques autres de ses traités; c'est d'autre part à cette époque et dans ce milieu, du fait de l'algèbre nouvellement créée et en quelque sorte contre elle, que l'on a voulu montrer que la géométrie avait des moyens aussi puissants que l'algèbre pour discuter des problèmes plans - résolus à l'aide de l'application des aires - et que l'on a commencé à établir des équivalences entre solutions algébriques et solutions géométriques 10. Thabit ibn Qurra est le premier à engager cette recherche et à introduire ces nouvelles conceptions Il ; il est aussi l'un des meilleurs connaisseurs de l' œuvre d'Apollonius et le principal traducteur des Coniques. Enfin, c'est précisément à cette époque - milieu du IX e siècle - que mathématiciens et philosophes ont commencé à s'intéresser au thème de l'analyse et de la synthèse l2 . Il est donc très vraisemblable que la traduction de La Section de rapport ait été réalisée dans ce milieu. Pour affiner une telle conjecture, le seul moyen est de nature philologique: il faut étudier la langue des nombreux traducteurs de l'époque pour déterminer laquelle s'approche le plus du lexique et de la syntaxe de la traduction de La Section de rapport. Cette recherche devra attendre que les autres traductions aient reçu les éditions critiques qu'elles méritent. Il reste que la simple comparaison du lexique de cette traduction, ainsi que de certaines formes syntaxiques, avec ceux de la traduction des Coniques, montre une parenté indiscutable. La principale différence, elle est de taille, est que la langue de La Section de rapport est plus pauvre que celle des Coniques (voir les index lexicaux des Coniques) et que la syntaxe en est plus uniforme, puisqu'il s'agit essentiellement, dans le premier de ces ouvrages, de la langue de la théorie des proportions et de l'application des aires.

Ce qui était possible tant que l'on ne s'intéressait qu'aux équations quadratiques. Conceptions reprises dans l'ouvrage de son élève Na'ïm ibn Müsa, dans lequel celui-ci reproduit manifestement l'enseignement de ce dernier. R. Rashed et C. Houzel, Recherche et enseignement des mathématiques au IX e siècle, Le recueil de propositions géométriques de Na 'im ibn Miisâ, Louvain, 2004. 12 R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. IV : Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques, Londres, 2002, p. 157-173. 10

Il

86

Histoire du texte LES MANUSCRITS

Le texte de La Section de rapport nous a été transmis par deux manuscrits seulement. Le premier de ces deux manuscrits, le manuscrit noté 1 (.1), a vraisemblablement été copié à Damas vers 1228, l'autre, le manuscrit noté B (..,..,), est entré dans une bibliothèque de Damas vers 1235. Le manuscrit 1 fait partie d'une collection célèbre, maintes fois décrite, la collection Ayasofia 4830 de la bibliothèque Süleymaniye à Istanbul, dont il constitue les folios 2 v à 52 v13 • C'est, des deux manuscrits, celui qui donne la meilleure version du texte, mais il est malheureusement incomplet: l' équivalent de 5 ou 6 folios à la fin du premier tiers du texte manque, ainsi que le dernier folio, nous privant peut-être ainsi de la date de la copie du texte ou du nom du copiste (le traité Sur le volume du paraboloïde d'al-Qühï qui fait partie de la même collection a, lui, été copié, de la même main, à Damas en 626/1228-1229). La numérotation des 8 premiers folios ne suit pas l'ordre du texte: il faut lire dans l'ordre les folios 2v , 5, 3,4,6,7,8,9; il manque ensuite au texte l'équivalent de 5 folios environ; les folios restants, 10 à 52 v, donnent la suite du texte dans l'ordre. Outre la numérotation des folios (écrite en haut à gauche au recto de chaque folio, selon l'usage), figurent également deux numérotations des pages: une première numérotation un peu au-dessus de la première ligne, au milieu de celle-ci, dans l'ordre de la numérotation des folios (la dernière page porte le nO 102), et une deuxième numérotation moderne, au crayon, suivant l'ordre dans lequel les pages sont actuellement reliées. Toutes ces numérotations, y compris celle des folios, semblent donc postérieures à la perte des 5 folios (qui se situeraient entre le folio 9 et le folio 10). À partir du folio 6, le dernier mot du folio précédent est le plus souvent répété au début du folio suivant comme c'est la coutume. Certains folios portent de grosses traces d'humidité ainsi que quelques trous de vers. Le coin inférieur du folio 50 est réparé avec du papier blanc et la bordure intérieure du folio 52 (dernier folio) est refaite. Les figures sont tracées à l'encre rouge, et les intertitres sont également en rouge. Les folios Sr et 8v portent des gloses d'une autre main 14 (nous les avons indiquées en note et traduites). 13 La collection Ayasofya 4830 contient également le traité sur les nombres amiables de Thabit ibn Qurra, ainsi que divers traités d'al-Qühi, dont le traité sur le volume du paraboloïde et le traité sur la construction d'un pentagone équilatère inscrit dans un carré donné (R. Rashed, Mathématiques infinitésimales, vol. I, p. 841 ; Geometry and Dioptries in Classieal Islam, Londres, 2005, p. 24). 14 Ces annotations marginales de la main d'un certain Mu\:lammad Sartaq al-Maraghï ont été écrites à l'école malékite de la Ni~amiyya de Nakisat et datées de 1327 (comme en fait foi une annotation en marge du folio 165') (R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XJe siècle. Vol. l : Fondateurs et commentateurs: Banü Müsa,

Histoire du texte

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Le second manuscrit, noté B, provient du fonds Selden de la Bodleian Library. Ce fonds a pour origine un don de plusieurs centaines de volumes (comportant des manuscrits grecs, latins et arabes) fait à la Bodleian Library en 1659 par l'arabisant John Selden (1584-1654). Le texte de La Section de rapport fait partie la collection Arch. Seld. A. 32 dont il constitue les folios 2 v-81 r. Le manuscrit ne porte ni nom de copiste ni date de copie; cependant, une marque de possession figurant au recto du folio 1 et datée de 633/1235-1236 à Damas permet en tout état de cause d'affirmer qu'il a été copié avant cette date 15. Le traité sur La Section de rapport porte deux numérotations: une ancienne numérotation (commençant à 2 v ) et une numérotation plus récente (commençant à Iv). Nous avons opté pour l'ancienne numérotation. Certaines figures du texte ont été corrigées, des lignes superflues ont été grattées (en particulier sur les figures 5, 6, 98), sur d'autres figures quelques lignes ou lettres superflues ont été ajoutées (figure 23). Sur les figures 102, 103, 104, 106 les points sont désignés par des lettres grecques manifestement ajoutées plus tard. La figure 107 (folio 59 v) a été barrée et refaite deux fois: une fois au bas du même folio, et une deuxième fois sur la page suivante. La figure 109 (folio 61 v) a également été tracée deux fois (la première fois de manière incomplète). Sur la figure 110 et les figures suivantes, un certain nombre de lettres manquent, et à partir de la figure 114 les figures deviennent sommaires et incomplètes. Les dernières figures (celles du vingt-deuxième lieu) sont tracées au crayon et les lettres arabes sont d'une écriture européenne récente (fol. 79 v, 80r, 81 r). Certains passages sont grattés ou barrés à l'encre (voire soulignés) (fol. 34 v en particulier). On trouve également quelques annotations marginales récentes au crayon l6 .

Thabit ibn Qurra, Ibn Sinan, al-Khazin, al-Quhi, Ibn al-Saml:z, Ibn Hud, Londres, 1996, p. 841). 15 Ce manuscrit a été acheté en 633/1235-1236 par un certain YaIJya ibn MuIJammad al-Labüdï, lequel s'intéressait manifestement aux sciences mathématiques ainsi qu'aux travaux d'Ibn al-Hay th am : il possédait aussi un manuscrit de l'Optique de ce dernier (Fatih 3076). Notons également que la collection d'Oxford contient 10 traités d'Ibn alHaytham (R. Rashed, Géométrie et dioptrique au xe siècle, Paris, 1993, p. 35, note 108). 16 C. Wakefield, Senior Assistant Librarian à la Bodleian Library - que nous remercions des précieux renseignements concernant l'histoire du manuscrit qu'il a eu l'obligeance de nous communiquer - suggère que les lettres, ajoutées au crayon sur les figures, ainsi que les quelques annotations marginales, également au crayon, figurant dans les marges des folios 7 v , 13V, 19 v , pourraient être de la main de John Selden luimême.

88

Histoire du texte

L'étude systématique des variantes (omissions, ajouts, fautes ... ) montre que ces deux manuscrits sont des copies indépendantes du même texte. On peut d'ailleurs vérifier aisément ce fait à partir de l'apparat critique.

LES TRADUCTIONS

Le texte arabe de La Section de rapport a été l'objet de deux traductions dont aucune ne prétend à la littéralité. La première est la traduction latine de Halley (Edmund Halley, Apollonii Pergaei opuscula e tenebris eruta ac restituta, Oxford, 1706). C'est sur cette seule traduction que reposait jusqu'à aujourd'hui notre connaissance du texte d'Apollonius; Halley a ainsi rendu un immense service à l'histoire des mathématiques. Le texte de Halley est en particulier la base d'une transcription analytique faite par W. A. Diesterweg en 1824, ainsi que de la traduction allemande de A. Richter (Elbing, 1836). La traduction de Halley avait été précédée, en l'absence du texte, d'une tentative de restitution par Willebrord Snel (Apollonius Batavus seu exsuscitata Apollonii Pergaei geometria, Leiden, 1608, essai de reconstitution de La Section de rapport, de La Section d'aire et de La Section déterminée). La traduction de Halley, même si elle ne correspond plus tout à fait aux critères d'une traduction savante, rend néanmoins parfaitement compte du contenu mathématique de ce texte difficile. Elle a été faite sur le manuscrit B, le seul dont disposait Halley. Celui-ci a fort judicieusement comblé un certain nombre des lacunes de ce manuscrit; les ajouts faits au texte sont en italiques - voir par exemple l'anal yse du cas 1.1, dans laquelle Halley comble intégralement et presque littéralement une longue lacune du manuscrit B (De Sectione rationis, p. 2). Halley donne également parfois quelques précisions nécessaires - voir en particulier la synthèse du cas 4.3 dans laquelle il faudrait vérifier que le point 1 que l'on construit appartient au segment [GE], ce que ne précise pas le texte; Halley pour sa part le précise: « facta applicatione punctum Q (i. e.l) cadet inter puncta E, Z (i. e. G) », sans signaler toutefois qu'il s'agit d'un ajout (De Sectione rationis, p. 17). Cette tendance à compléter ou à expliciter le texte se retrouve également lorsque la traduction de quelque expression lui pose problème. Halley peut également, lorsque le texte arabe lui semble altéré, donner une démonstration alternative; c'est le cas par exemple p. 54 : plutôt que d'utiliser, comme dans le texte arabe, la proposition V.19 des Éléments (- ~#I ~I :r (~ ~ ,W..I.>i ~ ~ ~~ 'Zh;;") Jl ~I..I.>i ~.:,~ ~ \ Q~.h;;2J ~.,....;.,ll ~I ~ j~ ~WJ~I 4--lJ'~Jl.....o - ~I ~ ~I ~I ~ \.( - j>-'ll ,

- -

...

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y

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10

96

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport donné, sont selon trois cas de figure: elles découpent soit EB et GD, soit EA et GD, soit EA et Ge. 1.1. Première incidence du premier lieu 3 A

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Fig. 1

Que l'incidence de la droite menée selon le premier cas de figure, la droite IK, soit telle qu'elle découpe les droites EB et GD selon le rapport de EK à GL égal au rapport donné 4 . Joignons la droite Er', El est alors de position donnée, CD est également de position donnée, le point M est donc connu. Chacun des deux points E et 1 est connu, le rapport de EM à MI est donc connu. Si nous composons, le rapport de El à lM est connu 6 ; or le rapport de El à lM est égal au rapport de EK [B-3 r ] à ML, le rapport de EK à ML [I-Y] est donc connu. Mais le rapport de EK à GL est connu, le rapport de GL à ML est donc connu. Si nous séparons, le rapport de GM à ML est connu. Mais la droite GM est de grandeur connue, la droite ML est donc de grandeur et de position connues. Or le point M est connu, le point L est donc connu; le point 1 est connu, la droite IK est donc connue. Puisque la droite LM est plus petite que la droite GL, le rapport de EK à ML est plus grand que le rapport de EK à GL ; or le rapport de EK à ML est égal au rapport de El à lM, le rapport de El à lM est donc plus grand que le rapport de EK à GL ; le rapport de EK à GL est le rapport donné, c'est pourquoi il faut que le rapport donné soit plus petit que le rapport de El à lM.

Voir note complémentaire 3. Voir note complémentaire 4. 5 Voir note complémentaire 5. 6 L'intermédiaire EM est inutile et ne figure d'ailleurs plus dans les analyses Ml suivantes (cas l.2, l.3 et analyses du deuxième lieu). 3

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98

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème, la figure étant fixée en l'état?, se fait ainsi. Que l'on joigne El. On a démontré qu'il faut que le rapport donné soit plus petit que le rapport de El à lM, que ce soit le rapport de n à sa. Posons le rapport de El à lM égal au rapport de n à PS et le rapport de OP à PS égal au rapport de GM à ML. Joignons IL et prolongeons-la; je dis que la droite IK, seule, achève le problème. Montrons-le donc ainsi: puisque le rapport de GM à ML est égal au rapport de OP à PS, si donc nous composons, le rapport de GL à LM est égal au rapport de sa à SP et, à l'inverse de cela, le rapport de LM à GL est égal au rapport de PS à sa. En outre, puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à ML, le rapport de EK à ML est égal au rapport de n à SP. Or le rapport de ML à LG est égal au rapport de PS à sa, donc, par l'égalité 8 , le rapport de EK à GL est égal au rapport de n à sa. On a donc mené du point 1 une droite, la droite IK, telle qu'elle coupe selon le rapport de EK à GL qui est égal au rapport donné. La droite IK achève donc le problème. s

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Fig. 2

Je dis qu'elle seule réalise cela. Si une autre qu'elle pouvait le faire, que l'on mène alors la droite IQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de EQ à GZ qui serait égal au rapport donné. Puisque LM est plus petite que LG, le rapport de ZL à ML est plus grand que le rapport de ZL à LG ; si nous composons, le rapport de ZM à ML est plus grand que le rapport de GZ à

7 C'est-à-dire que l'on suppose accomplies les constructions faites au début de l'analyse. Cette expression se répète sous cette forme ou sous une forme équivalente au début de toutes les synthèses suivantes. 8 C'est-à-dire par la relation de rapport « à égalité de rang» (ex œquali), Euclide, Éléments, livre V, définition 18.

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15

102

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque la droite ML est égale à la droite LG ou plus grande qu'elle ou plus petite qu'elle, le rapport est alors sans discussion 12. La synthèse de ce problème, si ce que nous avons indiqué est en l'état, se fait ainsi. Joignons la droite El; que le rapport donné soit le rapport de n à sa. Posons le rapport de n à SP égal au rapport de El à lM et le rapport de a P à S P égal au rapport de G M à ML. Joignons IL et prolongeons-la jusqu'en K; je dis que la droite lK achève le problème, c'està-dire que le rapport de KE [BAr] à GL est égal au rapport de n à sa. Puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de KE à ML et au rapport de n à PS, le rapport de KE à LM est égal au rapport de n à PS ; en outre, puisque le rapport de OP à PS est égal au rapport de GM à ML et que, si nous convertissons et séparons, le rapport de LM à LG est égal au rapport de PS à sa, alors, par l'égalité, le rapport de KE à GL est égal au rapport de n à sa. La droite lK achève donc le problème. p B

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Fig. 4

Je dis que c'est la seule. Que l'on mène, si cela est possible, une autre droite qu'elle, la droite lQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de QE à GZ égal au rapport donné 13 . Puisque QE est plus grande que EK et que ZG est plus petite que GL, le rapport de QE à GZ est, après permutation, plus grand que le rapport de EK à GL ; [I-3 r ] la droite QI coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite KI. On a montré que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites éloignées. [BAY]

12 Nous choisissons de traduire ici, comme nous J'avons fait ailleurs, ghayr mahdüd par « sans discussion» (voir note complémentaire 10). 13 On suppose implicitement que Z est entre G et L.

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106

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque le rapport de MG à GL est égal au rapport de OS à SP, alors, si nous composons, le rapport de ML à LG est égal au rapport de OP [B-Y] à SP. En outre, puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à ML et au rapport de n à OP et que le rapport de ML à LG est égal au rapport de PO à PS, par l'égalité, le rapport de EK à GL est égal au rapport de n à SP ; je dis donc que la droite IK achève le problème et que c'est la seule. p A

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o Fig. 6

S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite IQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de QE à GZ égal au rapport donné. Puisque la droite LG est plus petite que la droite LM, le rapport de ZL à LG est plus grand que le rapport de ZL à LM. Si nous composons, le rapport de GZ à GL est plus grand que le rapport de ZM à ML. Mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à [I-3 V ] EK, le rapport de QE à EK est donc plus petit que le rapport de ZG à GL ; par permutation, le rapport de QE à GZ est plus petit que le rapport de KE à LG. La droite IK coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport de EQàGZ.

Les droites proches du point E coupent donc selon des rapports plus grands que les rapports des droites qui en sont éloignées l6 . Ce problème a donc été établi de toutes les façons. Montrons alors également combien de synthèses sont engendrées, de toutes les façons, dans ce problème. Que ce que nous avons indiqué soit en l'état; menons la droite El. Le rapport donné ou bien est plus petit que le rapport de El à lM, ou bien lui est égal, ou bien est plus grand que lui.

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i. e. que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

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114

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque la droite GL est plus grande que la droite LM, le rapport de EK à LM, c'est-à-dire le rapport de El à lM, est plus grand que le rapport de la droite EK à la droite GL ; mais le rapport de EK à GL est égal au rapport donné, il est donc nécessaire que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de El à lM. La synthèse du problème, si l'on fixe ce qui précède en l'état et si le rapport donné est le rapport de n à SO, plus petit que le rapport de El à lM, se fait ainsi. Posons le rapport de El à lM égal au rapport de n à PO et le rapport de S 0 à PO égal au rapport de G L à ML. Joignons LI et prolongeons-la; je dis que la droite LK achève le problème. Puisque le rapport de El à lM, c'est-à-dire le rapport de EK à ML, est égal au rapport de n à PO et que le rapport de ML à LG est égal au rapport de PO à OS, par l'égalité, le rapport de EK à LG est égal au rapport de n à SO ; la droite KL achève donc le problème. Q

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Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il y en ait une autre, que l'on mène alors une autre droite, QZ. Puisque la droite LG est plus grande que la droite LM, le rapport de ZL à LG est plus petit que son rapport à la droite LM ; si nous composons, le rapport de ZG à GL est plus petit que le rapport de ZM à ML ; mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à EK, le rapport de GZ à GL est donc plus petit [B-7r ] que le rapport de QE à EK ; par permutation, le rapport de GZ à QE est plus petit que le rapport de GL à EK. La droite KL seule achève donc le problème. Il est clair que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les droites qui en sont éloignées.

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118

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de El à lM, et que le rapport de El à lM soit égal au rapport de n à PO [B-7 V ] et le rapport de PS à sa égal au rapport de MG à GL. Joignons LI et prolongeons-la; je dis que la droite LK achève le problème. Puisque le rapport de MG à GL est égal au rapport de PS à alors, si nous composons, le rapport de ML à GL est égal au rapport de PO à En outre, puisque le rapport de El à lM - c'est-à-dire le rapport de EK à LM - est égal au rapport de n à PO et que le rapport de ML à GL est égal au rapport de PO à OS, alors, par l'égalité, le rapport de EK à LG est égal au rapport de n à sa ; la droite KL achève donc le problème.

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Fig. 13

Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite QZ. Puisque la droite ML est plus grande que la droite GL, le rapport de ZL à LM est plus petit que le rapport de ZL à LG ; si donc nous composons, le rapport de ZM à ML est plus petit que le rapport de GZ à GL ; mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à EK, le rapport de QE à EK est donc plus petit que le rapport de GZ à GL ; par permutation, le rapport de QE à GZ est plus petit que le rapport de EK à GL. La droite LK seule achève donc le problème. Il est clair que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Étant donné que nous avons trouvé la tenue du problème de chacune des trois manières, montrons alors, à partir de celle-ci, le nombre de façons d'en faire la synthèse de toutes les manières. Fixons donc ce que nous avons indiqué en l'état, joignons El et prolongeons-la jusqu'en M. Le rapport donné ne manque pas alors d'être ou bien égal au rapport de El à lM, ou bien plus grand que lui, ou bien plus petit que lui. [B-8 r ]

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122

Apollonius: La section des droites selon des rapports

3.1. Première incidence du troisième lieu o G

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c Fig. 15

Que l'on mène d'abord une droite, la droite GH, de la première manière, telle qu'elle découpe les droites AE et ED selon le rapport de HE à El égal au rapport donné 20 • Menons par le point G une droite parallèle à la droite ED, [B-8 V ] soit GK, la droite GK est alors de position donnée; mais la droite AB est de position donnée, le point K est donc de position donnée. Mais, puisque le rapport de lE à EH est donné, le rapport de GK à KH est donné; or GK est donnée, KH est donc donnée et de position donnée; mais le point K est donné, le point H est donc donné; or le point G est également donné; la droite HG est donc de position donnée. Il est bien clair que le rapport donné 21 se trouve être plus petit que le rapport de GK à KE. o G

B

A N

E

H

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K

c Fig. 16

La synthèse du problème se fait ainsi: fixons la figure en l'état et menons la droite GK parallèlement à la droite DE. Que le rapport donné soit 20 Inversion du rapport, c'est le rapport de El à EH qui est donné (voir le diorisme et la synthèse). 21 Il s'agit du rapport de El à EH.

123

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124

Apollonius: La section des droites selon des rapports

plus petit que le rapport de GK à KE, c'est le rapport de là m ; que le rapport de [I-7 r ] là m soit égal au rapport de GK à KR. Joignons la droite HG; je dis que la droite HG achève le problème. Puisque le rapport de GK à KH est égal au rapport de lE à EH et au rapport de l à m, le rapport de lE à EH est égal au rapport de là m ; la droite HG achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, GN. Puisque la droite KH est plus petite que la droite KN, le rapport de GK à KH est plus grand que le rapport de GK à KN; mais le rapport de GK à KH est égal au rapport de lE à EH et le rapport de GK à KN est égal au rapport de SE à EN, le rapport de lE à EH est donc plus grand que le rapport de SE à EN, les rapports ne sont donc pas égaux et GN ne sépare donc pas selon un rapport égal au rapport donné; on a ainsi montré que ni elle, ni aucune autre droite que GH, n'achève le problème; la droite GH seule achève donc le problème. On a montré que les droites proches du point E coupent toujours selon des rapports plus grands [B-9 r ] que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

3.2. Deuxième incidence du troisième lieu o G A

B

E K H

c Fig. 17

Menons une droite, soit GH, de la deuxième manière 22 , telle qu'elle découpe les droites CE et EB selon le rapport de HE à El égal au rapport donné. Menons par le point G une droite, soit GK, parallèle à la droite CD, la droite GK est alors de position donnée; mais la droite AB est de position

22

Changement de notations, interversion des points 1 et H.

125

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126

Apollonius: La section des droites selon des rapports

donnée, le point K est donc connu. Or le rapport de HE à El est donné, le rapport de GK à KI est donc donné; mais la droite GK est donnée, la droite KI est donc donnée et de position donnée; le point K est donné, le point 1 est donc également donné; mais le point G est donné, la droite GH est donc de position donnée. Il est bien clair que le rapport donné doit être plus grand que le rapport de GK à KE. D

G m A

B H

N

c Fig. 18

La synthèse du problème se fait ainsi: les choses sont en l'état et le rapport donné est plus grand que le rapport de GK à KE, c'est le rapport de 1 à m. Posons le rapport de 1 à m égal au rapport de KG à KI. Joignons GI et prolongeons-la jusqu'en H; je dis que GH seule achève le problème. Puisque le rapport de G K à KI est égal au rapport de HE à El et au rapport de 1 à m, le rapport de HE à El est égal au rapport de 1 à m ; la droite GH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il Y en ait une autre, que l'on mène alors une autre droite, GN. Puisque la droite KS est plus petite que la droite KI, le rapport de GK à KS est plus grand que le rapport de GK à KI; [I-7 V ] or le rapport de GK à KS est égal au rapport de NE à ES et le rapport de GK à KI est égal au rapport de EH à El; le rapport de NE à ES est donc plus grand que le rapport de HE à El, il n'est donc pas égal au rapport donné et la droite GN n'achève pas le problème. On a ainsi montré que ni elle ni aucune autre droite que GH n'achève le problème.

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130

Apollonius: La section des droites selon des rapports D

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c Fig. 20

Puisque le rapport de GK à KI est égal au rapport de l à m, le rapport de HE à El est égal au rapport de l à m, la droite IH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, soit NS. Puisque la droite NE est plus grande que la droite EH et que la droite ES est plus petite que la droite El, le rapport de NE [B-lOr] à ES est plus grand que le rapport de HE à El, il n'y a donc pas égalité. On démontre de même qu'aucune autre droite que la droite IH n'achève le problème. On a montré que les droites proches du point E, du côté de la droite CD, séparent des rapports plus petits que les rapports que séparent les droites qui en sont éloignées. Étant donné que nous avons montré la tenue du problème de toutes les manières, il nous reste à montrer de combien de manières se fait la synthèse de ce problème dans tous les cas de figure. Fixons donc ce que nous avons indiqué en l'état et menons parallèlement23 la droite GK. Le rapport [1 -sr] donné est alors soit plus petit que le rapport de GK à KE, soit plus grand, soit il lui est égal. Si le rapport donné est plus petit que le rapport de GK à KE, la synthèse du problème se fait de deux manières, la première et la troisième, et il n'est pas possible de la faire de la deuxième manière, car n'est pas plus grand que le rapport de GK à KE.

23

C'est-à-dire parallèlement à la droite (CD).

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132

Apollonius: La section des droites selon des rapports D

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A

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c Fig. 21

S'il est plus grand que le rapport de GK à KE, la synthèse du problème se fait de deux manières, la deuxième et la troisième, il n'est pas possible de la faire de la prerrlière manière, car n'est pas plus petit que le rapport de GK à KE. S'il est égal au rapport de GK à KE, alors la synthèse du problème se fait d'une seule manière, la troisième, et il n'est pas possible de la faire de la prerrlière, car n'est pas plus petit que le rapport de GK à KE, ni de la deuxième, car il n'est pas plus grand que le rapport de GK à KE. Que les droites AB et CD se coupent l'une l'autre au point E, que la droite [B-l aV] AB aboutisse au point G et la droite CD au point E. Le point donné est alors soit intérieur à l'angle DEB, soit intérieur à l'angle AED, soit dans ce qui les suit comme positions.

Quatrième lieu Qu'il soit d'abord à l'intérieur de l'angle DEB, c'est le point H, et que les droites qui sont menées du point H séparent des droites - adjacentes aux deux points E et G - selon le rapport donné; cela se fait alors selon quatre cas de figure: elles découpent ou bien les droites ED et GA, ou bien ED et GE, ou bien EC et GB, ou bien ED et GB 24 .

24

Il serait plus exact de dire ED et EB pour distinguer ce cas du deuxième.

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15

136

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Montrons que cette application existe et est possible: il nous faut donc, dans la synthèse, appliquer à la droite LA une surface - tenant lieu de la surface de LI par lA 27 - égale à la surface de LE par GA et défaillant de la droite entière d'un carré; cela est possible car la surface de LG par GA est plus grande que la surface de LE par GA 28 • La synthèse de ce problème se fait ainsi: [B-ll f] fixons donc ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'au parallélisme de HL. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons le rapport de LH à GA égal au rapport de m à n et appliquons à la droite AL une surface égale à la surface de AG par EL, défaillant d'un carré, c'est la surface de LI par IA 29 ; joignons IH ; je dis que la droite IH, seule, achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de KE à GI. D

H

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C

Fig. 23

Puisque la surface de LI par lA est égale à la surface de AG par EL, le rapport de IL à LE est égal au rapport de GA à AI. Si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal au rapport de AG à GI. Or le rapport de LI à lE est égal au rapport de LH à EK, le rapport de LH à EK est donc égal au rapport de AG à GI. Si nous permutons, le rapport de LH à GA est égal au rapport de EK à GI ; or le rapport de LH à GA avait été posé égal au rapport de m à n, donc le rapport de EK à GI est égal au rapport de m à n, la droite IH achève donc le problème. 27 Nous avons choisi, dans ce contexte, de traduire sa!/:! par surface, même si l'expression « surface de LI par lA» qui vient en lieu et place de l'expression précédemment utilisée « ce qui résulte du produit de LI par lA » désigne en fait, ici et dans toutes les occurrences semblables, le rectangle de côtés respectifs LI et lA. 2

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10

15

138

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite HS. Puisque la surface de LC par CA est plus grande que la surface de LI par lA, la surface de LI par lA est plus grande que la surface de LS par SA 30; mais la surface de LI par lA est égale à la surface de AC par EL, la surface de AC par EL est donc plus grande que la surface de LS par SA, le rapport de SL à LE est donc plus petit que le rapport de CA à AS ; si nous convertissons, le rapport de LS à SE est plus grand que le rapport de AC à CS. Or le rapport de LS à SE est égal au rapport de LH à EU, donc le rapport de LH à EU est plus grand que le rapport de AC à CS. Si nous permutons, le rapport de LH à CA est plus grand que le rapport de EU à CS. Or le rapport de LH à CA est égal au rapport de m à n, donc le rapport de m à n est plus grand que le rapport de EU à CS 31 • On a montré que les droites proches du point E coupent selon des rapports plus grands que [B-11 V] les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 4.2. Deuxième incidence du quatrième lieu o H

A

B

G

M

c Fig. 24

Menons une droite, HI, de la deuxième manière, [I-9 r ] telle qu'elle découpe les droites ED et CE selon le rapport de CI à EK égal au rapport donné 32 . Menons parallèlement33 la droite HL, le point L est alors donné. Posons le rapport de EK à CI égal au rapport de HL à CM ; la droite HL est donnée, la droite CM est donc donnée et de position donnée; mais le

On suppose implicitement que S E [lA]. On a implicitement supposé dans cette démonstration que Gl < GS < GA. Il en va encore ainsi si GS> GA, la démonstration en est élémentaire. 32 Inversion du rapport. 33 i. e. parallèlement à la droite (CD). 30 31

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140

Apollonius: La section des droites selon des rapports

point G est donné, le point M est donc donné 34 . Puisque le rapport de LH à GM est égal au rapport de EK à GI, alors, si nous permutons, le rapport de LH à EK est égal au rapport de GM à GI ; or le rapport de LH à EK est égal au rapport de LI à lE, le rapport de GM à GI est donc égal au rapport de LI à lE. Si nous convertissons, le rapport de MG à lM est égal au rapport de IL à LE35 , la surface de GM par EL est donc égale à la surface de LI par lM. Or la surface de GM par EL est donnée, la surface de LI par lM est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, la droite ML, excédant d'un carré; le point 1 est donc donné; mais le point H est donné, la droite HI est donc de position donnée. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons donc ce que nous avons indiqué [B-12 r ] en l'état jusqu'au parallélisme et que le rapport donné soit le rapport de n à s. Posons le rapport de HL à GM égal au rapport de n à S et appliquons à la droite ML une surface égale à la surface de GM par LE, excédant d'un carré; c'est la surface de LI par lM. Puisque la surface de LE par GM a été appliquée à la droite LM excédant d'un carré et que la surface de LG par GM est plus grande que la surface de LE par GM, la surface égale à la surface de LE par GM, lorsqu'elle a été appliquée excédant d'un carré, n'est pas la surface de LG par GM ; que ce soit la surface de LI par IM 36 . Menons la droite IH, je dis que la droite IH achève le problème. 0

H

G

A

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B

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c Fig. 25

Puisque la surface de LI par lM est égale à la surface de GM par EL, le rapport de IL à LE est égal au rapport de GM à MI. Si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal au rapport de MG à GI. Or le rapport de LI à On suppose implicitement que M E [GB). IL > lE donc GM > GI et 1 ~ [LM]. 36 Il faut en outre vérifier que l'unique point 1 E [MA) (\ [LA) que l'on construit ainsi appartient au segment [EG]. Ceci est élémentaire si GM:S; GE ; et si GM> GE, LG . GM > LE . GM = IL . lM > LE· ME, donc 1 E [GE]. 34

35

141

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142

Apollonius: La section des droites selon des rapports

lE est égal au rapport de LH à EK, le rapport de LH à EK est donc égal au rapport de MG à GI. Si nous permutons, le rapport de LH à GM est égal au rapport de EK à GI; or le rapport de LH à GM est égal au rapport de n à s, donc le rapport de EK à GI est égal au rapport de n à s, la droite IH achève donc le problème.

Je dis que c'est la seule. S'il n'en était pas ainsi, que l'on mène alors une autre droite, HPO ; puisque la droite PE est plus grande que la droite EK et que la droite GO est plus petite que la droite GI, le rapport de la droite PE à la droite GO est plus grand que le rapport de EK à GI, la droite HI seule achève donc le problème. On a montré que les droites proches du point E coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 4.3. Troisième incidence du quatrième lieu D

H

A

G

B

M L

c Fig. 26

Menons donc une droite, la droite LH, de la troisième manière 37 , telle qu'elle découpe les droites EC et GB selon le rapport de LE à IG égal au rapport donné. Menons par le point H une droite parallèle à la droite CD, la droite HK. Il est clair que la droite HK est donnée et que le point K est donné. Posons le rapport de KH à GM [I-9 V ] égal au rapport de LE à IG ; puisque le rapport de LE à IG est donné et qu'il est égal au rapport de KH à

37

Changement de notations, interversion des points Let K.

143

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152

Apollonius: La section des droites selon des rapports

permutions, le rapport de EO à LH serait égal au rapport de PG à GM ; mais le rapport de EO à LH est égal au rapport de EP à PL, le rapport de EP à PL serait donc égal au rapport de PG à GM ; si nous séparions, le rapport de EL à LP serait égal au rapport de MP à MG 47 , la surface de LE par MG serait donc égale à la surface de MP par PL; or la surface de LE par MG est égale à la surface de MK par KL, la surface de MK par KL serait donc égale à la surface de MP par PL, et cela est du domaine de [B-14 V ] l'impossible48 ; la droite KI, seule, achève donc le problème. Mais nous savons qu' elle49 coupe selon un rapport plus petit, montronsle ainsi: puisque la surface de MK par KL, c'est-à-dire la surface de LE par MG, est plus grande que la surface de MP par PL so , le rapport de EL à LP est plus grand que le rapport de MP à MG. Si nous composons, le rapport de EP à PL est plus grand que le rapport de PG à GM. Or le rapport de EP à PL est égal au rapport de EO à LH, le rapport de EO à LH est donc plus grand que le rapport de PG à GM. Si nous permutons, le rapport de EO à PG est plus grand que le rapport de LH à GM. Or le rapport de LH à GM est égal au rapport de El à KG, le rapport de EO à GP est donc plus grand que le rapport de El à KG. C'est pourquoi la droite KI coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite 0 pSI. On a ainsi montré que les droites proches du point E 52 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. C'est ce que nous voulions démontrer. Le problème est donc possible dans tous les cas de figure et on en fait la synthèse dans chaque cas d'une seule façon, car tous ces cas sont sans discussion. Cinquième lieu

Que le point donné soit intérieur à l'angle CEA, c'est le point H. Menons par le point H une droite parallèle à la droite AB ; puisque le point G tombe soit au-dessus, soit au-dessous 53 , soit sur la droite parallèle, qu'il tombe d'abord sur celle-ci. Les droites menées du point H le sont de trois 47 48

On suppose implicitement que GP> GM. En effet, il existe un unique point K E [LB) n [M B) tel que KM . KL =

EL· GM. 49

i. e. la droite (KI). On suppose implicitement que, si GM < GL, P

E [KL], et que, si GM> GL, P E [KM]. SIOn pourrait également démontrer que, lorsque GM> GL et P E [ML], il en va encore ainsi; la démonstration en est élémentaire. 52 Sur la droite (CD). 53 Voir note complémentaire 8. 50

153

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154

Apollonius: La section des droites selon des rapports

manières, elles sont menées telles qu'elles découpent selon un rapport soit les droites CG et EA, soit les droites EG et EB, soit les droites EA et GD 54 • 5.1. Première incidence du cinquième lieu A K

H

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Fig. 30

Menons donc d'abord la droite IK de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CG et EA selon le rapport de EK à GI égal au rapport donné. Que le rapport de GH à GL soit égal au rapport de [B-1Y] EK à GI, le rapport de HG à GL est alors donné; la droite GH est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point G est donné, le point L est donc donné 55 et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de EK à GI est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de EK à GH est égal au rapport de IG à GL. Or le rapport de EK à GH est égal au rapport de El à IG, le rapport de El à IG est donc égal au rapport de IG à GL. Si nous séparons, le rapport de EG à IG est égal au rapport de IL à LG56 , la surface de EG par GL est donc égale à la surface de GI par IL. Or la surface de EG par GL est donnée, car chacune des deux est connue, la surface de GI par IL est donc également connue et on l'a appliquée à une droite connue, LG, excédant d'un carré; GI est donc connue; le point H est connu, la droite IK est donc de position donnée. La synthèse de ce problème, les choses étant fixées en l'état jusqu'à la droite parallèle, se fait ainsi. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons le rapport de HG à GL égal au rapport de m à n et appliquons à la droite GL une surface égale à la surface de EG par GL, excédant

Les droites (AB) et (CD) ont été interverties. On suppose implicitement que L E [GC). 56 El > GI, donc GI> GL et 1 E [LC).

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156

Apollonius: La section des droites selon des rapports

d'un carré; c'est la surface de GI par IL. Joignons IH et prolongeons-la; je dis que la droite IK achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de EK à GI. A

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Fig. 31

Puisque la surface de EG par GL est égale à la surface de GI par IL, le rapport de GE à IG est égal au rapport de IL à LG. Si nous composons, le rapport de El à IG est égal au rapport de GI à LG ; mais le rapport de El à IG est égal au rapport de EK à GH, le rapport de EK à GH est donc égal au rapport de IG à GL ; si nous permutons, le rapport de [B-15 V ] EK à IG est égal au rapport de HG à GL ; or le rapport de HG à GL est égal au rapport de m à n, le rapport de EK à GI est donc égal au rapport de m à n, la droite IK achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite SO. Si SO coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de EK à GI serait égal au rapport de ES à GO ; mais le rapport de EK à GI est égal au rapport de HG à GL, le rapport de GH à GL serait donc égal au rapport de ES à GO. Si nous permutions, le rapport de ES à GH serait égal au rapport de OG à GL ; mais le rapport de ES à GH est égal au rapport de EO à GO, le rapport de EO à OG serait donc égal au rapport de OG à GL. Si nous séparions, le rapport de EG à GO serait égal au rapport de OL à GL 57 , la surface de EG par GL serait donc égale à la surface de GO par OL ; mais la surface de EG par GL est égale à la surface de GI par IL, la surface de GI par IL serait donc égale à la surface de GO par OL. Mais cela n'est pas possible 58 , la droite IK est donc celle qui achève le problème.

57 58

On suppose implicitement que GO > GL. Il existe un unique point K E [Le) tel que LI . GI = EG . GL.

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158

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Mais nous savons laquelle des deux droites coupe selon un rapport plus grand que le rapport donné: que la droite ES soit plus grande que la droite EK et que la droite IG soit plus grande que la droite GO, le rapport de ES à GO est alors plus grand que le rapport de EK à GI. La droite IK coupe donc selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite OS59.

On a ainsi montré que les droites proches du point E 60 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 5.2. Deuxième incidence du cinquième lieu A

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B

Fig. 32

Menons donc également la droite HK de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites EG et EB selon le rapport de KE à IG égal au rapport donné. Le rapport de KE à IG est alors donné et il est égal au rapport de HG à GL, le rapport de HG à GL est donc donné; la droite HG est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point [B-l6'] G est donné, le point L est donc également donnë\ et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de KE à GI est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de KE à GH - c'est-à-dire le rapport de El à GI - est égal au rapport de IG à GL. Si nous composons, le rapport de EG à GI est égal au rapport de IL à LG, la surface de EG par GL est donc égale à la surface de LI par IG. Mais la surface de EG par GL est donnée, la surface de LI par IG est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, la droite LG, excédant d'un carré; le point l est donc donné et on sait qu'il tombe entre les points E et G62 ; le point H est donné, la droite HK est donc de position donnée. 59 On retrouve la même démonstration, sous une forme plus ou moins abrégée, à la fin des cas 5.2, 6.1, 6.3, 7.1 et 7.3. 60 Sur la droite (AB). 6\ On suppose implicitement que L E [Ge). 62 En effet: GL < EL donc GI' LI:= GL . GE < EL· GE et 1 E [GE].

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160

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'au parallélisme de la droite parallèle. Que le rapport donné soit le rapport de m à n et qu'il soit égal au rapport de HG à GL. Appliquons à la droite LG une surface égale à la surface de EG par GL, excédant d'un carré; c'est la surface de LI par 1G. J oignons HI et prolongeons-la; je dis que la droite HK achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de KE à GI est égal au rapport de m à n. A

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Fig. 33

Puisque la surface de EG par GL est égale à la surface de LI par IG, sont proportionnelles: le rapport de EG à GI est égal au rapport de IL à GL. Si nous séparons, le rapport de El à IG est égal au rapport de IG à GL, c'est-à-dire que le rapport de KE à GH est égal au rapport de IG à GL ; si nous permutons, le rapport de KE à IG est égal au rapport de GH à GL ; mais le rapport de HG à GL est égal au rapport de m à n, le rapport de KE à GI est donc égal au rapport de m à n, la droite HK achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, [B-16 V] que l'on mène alors une autre droite, la droite HO; si la droite HO coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de KE à IG serait égal au rapport de EO à GS ; or le rapport de EK à IG est égal au rapport de HG à GL, le rapport de OE à SG serait donc égal au rapport de HG à GL. Si nous permutions, le rapport de EO à GH serait égal au rapport de SG à GL ; or le rapport de EO à GH est égal au rapport de ES à SG, le rapport de ES à SG serait donc égal au rapport de SG à GL. Si nous composions, le rapport de EG à SG serait égal au rapport de SL à GL, la surface de EG par GL serait donc égale à la surface de LS par SG ; cela n'est pas possible, car nous avions posé la surface de LI par IG égale à la surface de EG par GL63 ; la droite HK, seule, achève donc le problème. 63

1 est l'unique point de [CE] tel que Cl . LI = CL . CE.

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162

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il est bien clair que cette droite est, elle, la droite maximale 64 : ce qui précède a montré que la droite KH coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite H0 65 . 5.3. Troisième incidence du cinquième lieu H

A

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K

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B

Fig. 34

Menons donc la droite HK de la troisième manière, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de El à GK égal au rapport donné 66 ; le rapport de El à GK est alors donné, que le rapport de HG à GL lui soit égal; mais la droite GH est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point G est donné, le point L est donc aussi donnë 7 et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de El à G K est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de El à GH est égal au rapport de KG à GL. Mais le rapport de El [B-17 r ] à GH est égal au rapport de EK à KG, le rapport de EK à KG est donc égal au rapport de KG à GL. Si nous inversons et convertissons, le rapport de KG à GE est égal au rapport de GL à L~8, la surface de LG par GE est donc égale à la surface de GK par KL. Mais la surface de LG par GE est donnée car chacune de ses deux droites est connue, la surface de GK par KL est donc donnée et on l'a appliquée à la droite donnée GL, défaillant d'un carré, le point K est donc connu; or le point H est connu, la droite HK est donc de position connue.

64 i. e. la droite (ED), qui coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite (El. Jt~J '~J~I ~ -,~ [ ~.H vlS::l. 1YI (~I l')~ ,J ~ J ~ j ~ y.J ' ~j-4 ~

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166

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il nous est donc nécessaire, pour le rapport de la synthèse, de poser la droite GE égale à la droite EK et de joindre HK. Après quoi, cherchons d'abord si la droite HK coupe selon un rapport plus petit ou plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes aux droites EA et GD71 • Nous saurons cela ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'à la droite parallèle, posons la droite EK égale à la droite EG et joignons HK. Il nous faut chercher si la droite HK coupe selon le rapport de El à GK, plus petit ou plus grand que les rapports que séparent les droites qui sont menées du point H et sécantes aux droites EA et GD. Posons la droite KL égale à la droite GK, la surface de LG [B-lsr] par GE est alors égale à la surface de GK par KL et le rapport de El à GK est égal au rapport de HG à GL, c'est-à-dire au rapport de GH à quatre fois GE. Que l'on mène une autre droite, soit HM. Il nous faut alors comparer72 le rapport de El à GK au rapport de NE à GM. Mais le rapport de El à GK est égal au rapport de GH à GL, il nous faut donc également comparer le rapport de HG à GL au rapport de NE à GM. Si nous permutons, nous comparons le rapport de HG à EN au rapport de LG à GM. Mais le rapport de GH à EN est égal au rapport de GM à ME, il nous faut donc comparer le rapport de GM à ME au rapport de LG à MG. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de MG à GE au rapport de GL à LM73 et il nous faut comparer la surface de LG par GE à la surface de GM par ML. Or la surface de GK par KL est égale à la surface de LG par GE, il nous faut donc comparer la surface de GK par KL à la surface de GM par ML. On l'infère ainsi: la surface de GK par KL est plus grande que la surface de GM par ML, puisque le milieu de la droite GL est le point K. Puisque la surface de GM par ML est plus petite que la surface de GK par KL et que la surface de LG par GE était égale à la surface de GK par KL, la surface de GM par ML est plus petite que la surface de LG par GE, le rapport de MG à GE est donc plus petit que le rapport de GL à LM. Si nous convertissons, le rapport de GM à ME est plus grand que le rapport de LG à GM. Or le rapport de GM à ME est égal au rapport de GH à EN, le rapport de GH à EN est donc plus grand que le rapport de LG à GM. Si nous permutons, le rapport de GH à GL est plus grand que le rapport de EN à GM. Or le rapport de HG à GL est égal au rapport de El à GK, le rapport de El à GK est donc plus grand que le rapport de EN à GM ; la droite HK coupe donc selon un rapport [B-18 V ] plus grand que le rapport selon lequel coupe la 71 C'est-à-dire plus petit ou plus grand que tous les rapports selon lesquels coupent les autres droites issues du point H et sécantes aux droites EA et GD. Cette formulation abrégée se rencontrera à de nombreuses reprises dans la suite du texte. 72 Voir note complémentaire 13. 73 On suppose donc implicitement que M E [EL].

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25

168

Apollonius: La section des droites selon des rapports

droite HM74 . Nous montrons comme cela qu'elle coupe selon le rapport de El à GK, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. Je dis que les droites proches de la droite HK coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Puisque le rapport de NE à GM est plus petit que le rapport de El à GK, mais que le rapport de El à GK est égal au rapport de GH à GL, le rapport de NE à GM est plus petit que le rapport de GH à GL. Si nous posons le rapport de NE à GM égal au rapport de HG à une autre droite, cette droite sera plus grande que GL ; que ce soit à GS 75 ; on a ainsi montré que le rapport de NE à GM est égal au rapport de HG à GS. Nous montrons - comme nous l'avons montré dans l'analyse - que la surface de GS par GE est égale à la surface de GM par MS76 . H

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Fig. 35

Menons alors une autre droite, soit HO. Il nous faut alors comparer le rapport de NE à MG au rapport de PE à GO. Or le rapport de NE à GM est égal au rapport de HG à GS ; si nous permutons, il nous faut comparer le rapport de GH à EP au rapport de SG à GO. Or le rapport de GH à EP est égal au rapport de GO à OE, il nous faut donc comparer le rapport de GO à OE au rapport de SG à GO. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de OG à GE au rapport de GS à S077 et comparer la surface de SG par GE à la surface de GO par OS. Or la surface de SG par GE est égale à la surface de GM par MS, il nous faut donc comparer la surface de GM par MS à la surface de GO par OS et comparer également la surface de GK par KS à la surface de GM par MS. Or la surface de SG par 74 Cette démonstration repose, on l'a vu, sur l'hypothèse implicite ME [EL]. Cependant si ME [LD) on a également !!i. ~ EN , la démonstration en est élémentaire. GK

75 On suppose 76 ME [GS].

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170

Apollonius: La section des droites selon des rapports

GE est égale à la surface de GM par MS, il nous faut donc comparer la surface de [B-19 r ] GK par KS à la surface de SG par GE. Mais la surface de GK par KL est égale à la surface de LG par EG, il nous faut donc comparer la surface de GK par SL à la surface de SL par EG. On l'infère ainsi: la surface de SL par GK est plus grande que la surface de SL par GE ; ajoutons donc ces deux surfaces aux deux surfaces de GK par LK et de LG par GE, de ce fait la surface de GK par KS sera plus grande que la surface de SG par GE, qui est égale à la surface de GM par MS78 . Puisque la surface de GK par SK est plus grande que la surface de GM par MS et que le point a a été marqué, la surface de GM par MS est plus grande que la surface de GO par OS79 ; mais la surface de SG par GE est égale à la surface de GM par MS, la surface de GO par OS est donc plus petite que la surface de SG par GE, le rapport de OG à GE est donc plus petit que le rapport de GS à sa. Si nous convertissons, le rapport de GO à OE est plus grand que le rapport de SG à GO; mais le rapport de OG à EO est égal au rapport de GH à EP, le rapport de HG à PE est donc plus grand que le rapport de SG à GO. Si nous permutons, le rapport de HG à GS est plus grand que le rapport de PE à GO; mais le rapport de HG à GS est égal au rapport de NE à GM, le rapport de NE à GM est donc plus grand que le rapport de PE à GO. C'est pourquoi la droite HM coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite H0 80 • On montre que les droites proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. On montre que l'on a déterminé, à l'exemple de ce qui précède, le rapport de El à GK et qu'il est égal au rapport de GH à quatre fois GE, puisque GL est quatre fois GE.

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite [B-19 V ] parallèle et posons la droite EK égale à la droite GE ; joignons la droite HK. La droite HK coupe selon un rapport plus grand que les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. Le rapport donné est ou bien égal au

K est donc plus proche du milieu de [GS] que M. On suppose implicitement ici que EO < EM < EK ou EK < EM < EO < ES, c'est-à-dire que 0 est plus éloigné du point K que le point M; 0 est alors plus éloigné du milieu de [GS] que M et GO, OS < GM' MS. 80 Ce résultat est encore vrai si 0 E [SD), la démonstration en est élémentaire. 78

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176

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Sixième lieu

Que la droite parallèle à la droite AB passant par le point H, la droite HK par exemple, tombe au-dessus du point G, c'est-à-dire que le point G soit entre elle et le point E. Les droites menées du point H sont selon quatre cas de figure: elles découpent selon un rapport soit les droites CG et EA, soit CG et EB, soit GE et EB, soit GD et EA. 6.1. Première incidence du sixième lieu A

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Fig. 37

Menons d'abord une droite, la droite IL, de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CG et EA selon le rapport de El à GL égal au rapport donné. Que le rapport de la droite HK à GM soit égal au rapport de El à LG ; la droite HK est connue, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc donné 84 . Le rapport de El à GL est égal au rapport de HK à GM. Si nous permutons, le rapport de El à KH est égal au rapport de LG à GM. Or le rapport de El à KH est égal au rapport de LE à LK, le rapport de LE à LK est donc égal au rapport de LG à GM. Si nous séparons, le rapport de EK à KL est égal au rapport de ML à GM85 , la surface de EK par GM est donc égale à la surface de KL par LM. Mais la surface de MG par KE est donnée, car chacune des deux est connue, la surface de KL par LM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue KM, excédant d'un carré; le point Lest donc donné et la droite LI est de position donnée.

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On suppose implicitement que M E [GC). > KL, donc GL> GM et L E [MC).

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178

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons [B-2F] le rapport de GS 86 à HK égal au rapport de n à m et appliquons à la droite KS une surface égale à la surface de GS par KE, excédant d'un carré, c'est la surface de KL par LS. Joignons LH et prolongeons-la; je dis que la droite LI achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de El à GL. A

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Fig. 38

Puisque la surface de EK par GS est égale à la surface de KL par LS, le rapport de EK à KL est égal au rapport de LS à GS. Si nous composons, le rapport de EL à LK, c'est-à-dire de El à KH, est égal au rapport de LG à GS; si nous permutons, le rapport de El à GL est égal au rapport de HK à GS ; mais le rapport de HK à GS est égal au rapport de m à n, le rapport de El à GL est donc égal au rapport de m à n, la droite LI achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. Qu'il Y en ait une autre, si cela est possible, la droite OP ; si la droite OP coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de lE à GL serait égal au rapport de EP à GO, cela n'est pas possible, car celui-ci est plus petit que celui qui le suit87 . On a donc montré que les droites proches du point E 88 - c'est-à-dire la droite OP coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

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Changement de notations, SE [GC). Si EP < El, alors GO > GL et EP . ~

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180

Apollonius: La section des droites selon des rapports

6.2. Deuxième incidence du sixième lieu H A

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Fig. 39

Les choses étant alors fixées en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons également la droite HL de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites Ge et ER selon le rapport de LE à GK égal au rapport donné 89 • Posons le rapport de lH à GM égal au rapport de LE à GK ; la droite lH est donnée, la droite GM est donc également connue et de position connue, le point M est connu 90 ainsi que le point l, et la droite lM est connue et de position connue. Puisque le rapport de LE [B-2P] à GK est égal au rapport de HI à GM et que, si nous permutons, le rapport de LE à lH est égal au rapport de KG à GM, mais que le rapport de LE à lH est égal au rapport de EK à KI, alors le rapport de GK à GM est égal au rapport de KE à lK. Si nous composons, le rapport de El à lK est égal au rapport de KM à MG, la surface de lE par GM est donc égale à la surface de lK par MK. Mais la surface de lE par GM est donnée, car chacune des deux est donnée, la surface de MK par KI est donc donnée et on l'a appliquée à la droite lM, défaillant d'un carré, le point K est donc donné; mais le point H est donné, la droite HL est donc de position donnée. Puisque dans la synthèse il nous faut poser le rapport de lH à GM égal au rapport donné et appliquer à la droite lM une surface égale à la surface de lE par GM, défaillant d'un carré - telle que le point K soit sur la droite lM -, il ne nous est pas toujours possible de mener la droite d'application, car il se peut que la surface de lE par GM [I-lOr ] soit plus grande

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Changement de notations. On suppose implicitement que ME [GD).

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184

Apollonius: La section des droites selon des rapports

On fait la synthèse de cette analyse ainsi 93 : déterminons une moyenne proportionnelle des droites lE et EG, la droite EJ KG étant satisfaite, on va pouvoir inverser la séquence correspondante (voir note 91). 97 Il s'agit maintenant de la synthèse du problème: avant de l'aborder, il faut montrer que le rapport correspondant au point K, le rapport de LE à KG, est minimum. 98 C'est-à-dire plus grand ou plus petit que les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux droites EB et Ge (voir p. 202,222,238). 99 Voir note complémentaire 10. 95

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190

Apollonius: La section des droites selon des rapports

KI. Or la surface de ON par NI est égale à la surface de OG par lE, la surface de ON par NI est donc plus petite que la surface de OK par KI. C'est pourquoi la surface de ON par NI est plus grande que la surface de OP par PI IOI • Or la surface de OG par lE est égale à la surface de ON [I-1P] par NI, la surface de OG par lE est donc plus grande que la surface de OP par PI et le rapport de lE à IP est plus grand que le rapport de PO à GO. Si nous séparons, le rapport de EP à Pl, c'est-à-dire le rapport de QE à IH, est plus grand que le rapport de PG à GO. Si nous permutons, le rapport de QE à PG est plus grand que le rapport de IH à GO. Or le rapport de IH à GO est égal au rapport de SE à GN, le rapport de QE à GP est donc plus grand que le rapport de SE à GN et la droite HS coupe [B-24 r ] selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite QH. La droite HS est plus proche de la droite HL que la droite HQ ; on a donc montré que les droites proches de la droite HL coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons une droite, moyenne proportionnelle des droites lE et EG, la droite EK I02 ; joignons la droite HK et prolongeons-la. La droite HL coupe selon le rapport de LE à GK; le rapport donné est alors soit le rapport de LE à GK, soit plus petit, soit plus grand. Si c'est le rapport de LE à GK, alors LH résout le problème et il est clair que c'est la seule. S'il est inférieur au rapport de LE à G K, le problème n'est pas possible. Que le rapport donné soit le rapport de n à s, plus grand que le rapport de LE à GK; IK est égale à KM, El par GM est alors égale à MK par KI et le rapport de LE à GK est égal à IH à GM ; n à s est plus grand que LE à GK et que IH à MG. Si nous faisons en sorte que n à s soit égal à IH à une autre droite, elle sera plus petite que GM, ce sera à GO. Puisque El par MG est égale à MK par KI et que MO par El est plus grande que MO par KI, il reste que OG par El est plus petite que OK par KI. Pour cette raison, on peut appliquer à la droite 10 une <surface> égale à la surface de El par OG, défaillant de la droite entière d'une surface carrée, de deux manières, de part et d'autre de K; Pet Q sont les points de l'exemple l03 . Joignons HP et HQ et prolongeons-les; je dis que chacune <des deux droites> HU et HS résout lOI N est alors plus éloigné du milieu de [01] que K, donc si IP < IN < IK ou si IK < IN < IP < IG, alors NI . NO> PI . PO. 102 K E [GI]. 103 Voir note complémentaire 12. Pet Q appartiennent à [lG], en effet: GI < lE donc GI' GO < lE· GO = IP' PO = IQ' QO.

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192

Apollonius: La section des droites selon des rapports

le problème et que le rapport de n à s est égal à UE à GP et à SE [B-24 V ] à GQ. A

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Fig. 41

Puisque lE par GO est égal à OQ par QI et à OP par PI, le rapport est alors le même: le rapport de [I-12 r ] El à lQ est égal au rapport QO à OG. Si nous séparons, le rapport de EQ à QI est égal à QG à GO. Mais le rapport de EQ à QI est égal au rapport de SE à lH, le rapport de SE à lH est donc égal à GQ à GO. Par permutation, le rapport de SE à GQ est égal à lH à GO. Or lH à GO est égal à n à s, le rapport de SE à GQ est donc égal à n à s et chacune <des deux droites> HU et HS résout le problème. On démontre que ce sont les seules, car la droite la plus proche de HL coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite la plus éloignée. On connaît ainsi la détermination du rapport: le rapport de LE à GK est égal à lH à GM ; GM est la différence entre lE plus EG et lE plus EM 104 ; lE plus EM, elle, est égale au double de KE, car lK est égale à KM ; le double de KE, lui, peut lE par EG quatre fois, car EK est moyenne proportionnelle des deux droites lE et EG. GM, elle, est donc la différence entre lE plus EG et la droite qui peut lE par EG quatre fois. Le rapport de LE à KG, dont on a déjà démontré qu'il était le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées de H et sécantes aux deux droites EB et Ge, est donc le rapport de lH à la différence entre lE plus EG et la droite qui peut lE par EG quatre foi s 105. C'est ce que nous voulions démontrer. 104 Cette démonstration, comme celle de Pappus (La Collection mathématique, Livre VII, lemmes sur les livres de La Section de rapport et de La Section d'aire, proposition 17) suppose implicitement que GE> GM. Le résultat est cependant encore vrai si GE < GM, on a alors GE [KM], GM = KM - KG = KI - KG = (El - EK) - (EK - EG) = (El + EG) - 2 . EK. 105 Pappus détaille, dans la proposition 17, une partie de ce calcul. On s'attendrait cependant à trouver cette détennination du rapport extremum en fonction des données du problème dans le diorisme après la démonstration, du fait que le rapport de LE à KG est égal au rapport de IR à GM, et avant la démonstration, du fait que ce rapport est le plus petit rapport du deuxième cas. On trouve d'ailleurs des calculs semblables et semblablement placés à la fin des cas 6.4, 7.2 et 7.4, cas à diorismes du livre 1.

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198

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de IH à EK, c'est-à-dire le rapport de IL à LE, est égal au rapport de MG à GL et que, si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal à MG à ML ll2 , alors la surface de MG par lE est égale à la surface de IL par LM. Or la surface de MG par lE est donnée car chacune <des deux droites> lE et MG est donnée, la surface de IL par LM est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, lM, [B-26 r ] défaillant d'un carré; le point L est donc donné, le point H est donné, [1 -13 r ] la droite HL est donc donnée et de position donnée. H

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Fig. 44

Puisque dans la synthèse il nous faut poser le rapport de IH à GM égal au rapport donné, appliquer à la droite lM une surface - comme la surface de IL par LM - égale à la surface de lE par GM, défaillant de la droite entière d'un carré et joindre la droite HL, nous prendrions alors le point L ; mais cela n'est pas toujours possible dans tout cas de figure et c'est pourquoi la synthèse du problème n'est pas possible dans tout cas de figure. Que la synthèse soit d'abord selon un seul cas de figure qui établisse l'inférence l13 : coupons lM en son milieu au point L; le problème devient alors celui-ci: comment trouver un rapport tel que, si nous le posons égal au rapport de IH à GM et si nous coupons lM en deux moitiés, la surface de IL par LM soit égale à la surface de GM par lE ? Cela consiste à prendre sur GD un point, M par exemple, à couper lM en deux moitiés au point L, la surface de IL par LM, par exemple, étant égale à GM par lE.

IL > EL, donc GM> GL et L E [lM]. Comme dans le diorisme précédent (cas 6.2), on cherche pour quelle valeur du rapport le problème a une solution unique; on montre ensuite, en le comparant sur cet intervalle aux autres rapports, que, sur la demi-droite [ED), le rapport correspondant est extremum (maximum dans ce cas de figure). 112

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Apollonius: La section des droites selon des rapports H

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Fig. 45

Puisque la surface de IL par LM est égale à GM par lE, le rapport de LI à lE est égal à GM à ML. Si nous séparons, le rapport de GL à LM est égal à LE à E1 114 • Or la droite ML est égale à LI, le rapport de GL à LI est donc égal à LE à lE. Il reste le rapport de GE à EL égal à l'un des rapports, par exemple à LE à EllIs; la droite EL est donc moyenne proportionnelle de lE et EG ; chacune <des deux droites> lE et EG est donnée, EL est donc donnée et de position donnée; mais le point E est donné, le point L est donc donné ainsi que le point l, la droite IL est donc donnée; or elle est égale à LM, la droite LM est donc donnée et de position donnée; le point Lest donné et le point cherché est le point M. La synthèse de cette analyse l16 se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Menons entre les droites lE et EG une moyenne proportionnelle, EL 117, posons IL égale à LM ; je dis que le point cherché [B-26 V ] est le point M et que la surface de IL par LM est égale à la surface de GMpar lE. Puisqu'on a, entre les droites lE et EG, une droite moyenne proportionnelle, EL, le rapport de GE à EL est égal au rapport de EL à lE; et comme l'un des rapports, de même la somme des antécédents à la somme des conséquents 1l8 , le rapport de LG à LI est donc égal au rapport de LE à El; IL est égale à LM, GL à LM est donc égal à LE à El; si nous composons, le rapport de GM à ML est égal au rapport de LI à El et la surface de IL par LM est égale à la surface de GM par lE ; le point cherché est donc le pointM. On suppose implicitement que IL > lE. Euclide, Éléments, V.19. 116 Voir note 93. 117 L E [ED). La condition IL> lE est alors satisfaite et on peut inverser la séquence. 118 Ou plutôt, le rapport du tout au tout est égal à l'un des rapports (Euclide, Éléments, V.12). 114 Ils

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202

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Joignons HL ; je dis que EK à GL est égal à IH à GM : puisque GM à ML est égal à LI à lE, si nous convertissons, MG à GL est égal à IL à LE, c'est-à-dire à IH à EK; par permutation, le rapport de IH à GM est égal à EK à GL. [I-13 Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse, de prendre une droite moyenne proportionnelle de lE et EG, comme la droite EL, de joindre HL et de chercher d'abord si la droite HL découpe les droites EA et GD selon le rapport de EK à GL, plus petit ou plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes à EA et GD. Nous déterminons ce problème ainsi: fixons toutes les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites El et EG une droite moyenne proportionnelle, EL; joignons HL et cherchons d'abord si HL coupe selon le rapport de EK à GL, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du point H et sécantes à GD et EA. Que IL soit égale à LM. La surface de IL par LM est alors égale à GM par lE et le rapport de EK à GL est égal à IH à GM. Menons une autre droite, soit HN. Il nous faut associer EK à GL et ES à GN. Mais le rapport de EK à GL est égal à IH à GM, nous associons alors IH à GM et ES à GN. Par permutation, [B-27 r ] nous associons IH à SE et GM à GN. Or le rapport de IH à SE est égal à IN à EN, nous associons donc IN à EN et GM à GN. Puis nous convertissons, nous associons IN à lE et GM à NM I19 et nous associons la surface de GM par lE et IN par NM. Or la surface de GM par lE est égale à la surface de IL par LM, il nous faut alors associer la surface de IL par LM et la surface de IN par NM. On l'infère ainsi: IL par LM est plus grande que IN par NM, puisque le point L est au milieu de lM. Puisque IN par NM est plus petite que lE par GM, le rapport de IN à lE est plus petit que GM à MN. Si nous convertissons, le rapport de IN à NE, c'est-à-dire IH à ES, est plus grand que le V

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204

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de MG à GN. Si nous permutons, le rapport de IR à GM, c'est-àdire EK à GL, est plus grand que le rapport de ES à GN. La droite R L coupe donc selon un rapport plus grand que RN ; nous montrons ainsi qu'elle coupe selon un rapport plus grand que les rapports selon lesquels coupent les droites menées de R I20 ; la droite RL coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport de ES à GN et que toutes menées du point R et sécantes à GD et EA. Je dis que la droite la plus proche de RL coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe la plus éloignée. Puisque le rapport de SE à GN est plus petit que le rapport de EK à GL, c'est-à-dire IR à GM, si nous posons le rapport de ES à GN égal au rapport de IR à une autre droite, ce sera à plus grande que GM, que ce soit à GO. Nous montrons de même, comme nous l'avons démontré dans l'analyse, que la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO. [I-14r ] Menons une autre droite, soit RP. Il nous faut associer le rapport de ES à GN au rapport de EQ à GP. Or le rapport de ES à GN est égal au rapport de IR à GO, il nous faut alors associer le rapport de IR à GO au rapport de EQ à GP. Par permutation, il nous faut associer IR à EQ - c'est-à-dire IP à PE - à OG à GP. Si nous convertissons, il nous faut associer le rapport de IP à lE au rapport de GO à Op I21 et il nous faut associer la surface de GO par lE à la surface de IP par PO. Or la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO, il nous faut alors associer la surface de IN par NO à la surface de IP par PO. Pour cela, il nous faut associer la surface de IL par La à la surface de IN par NO. Mais la surface de IN par NO est égale à GO par lE, il nous faut donc [B-27 V ] associer la surface de IL par La à la surface de GO par lE. Nous trouvons cette inférence comme nous le montrons: la surface de IL par LM est égale à la surface de lE par GM, nous retranchons IL par LM de la surface de IL par La et la surface de lE par GM de la surface de lE par GO, et nous associons le reste au reste; il nous faut alors associer la surface de IL par MO à la surface de lE par MO.

120 On a fait la démonstration en supposant que NE [EM]. Si NE [MD), il en va encore ainsi, la démonstration en est élémentaire. 121 On suppose implicitement que P E [EG].

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210

Apollonius: La section des droites selon des rapports

au rapport de IR à la droite composée de lE plus EG et de la droite qui peut la surface de lE par EG quatre [B-28 V] fois 127. Étant donné que nous avons montré comment se fait la synthèse du problème de chacune des manières, il nous reste à montrer de combien de manières [1-1 Y] se fait la synthèse du problème dans tous les cas de figure. H

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Fig. 47

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, prenons entre lE et EG une droite moyenne proportionnelle, c'est chacune des <deux droites> EK et EN 128 . Joignons RN et RK; séparons IK égale à KM et IN égale à NS. Le plus petit des rapports du deuxième cas de figure est le rapport de LE à GK, c'est-à-dire le rapport de RI à GM, de même le plus grand des rapports du quatrième cas est le rapport de EP à GN, c'est-à-dire RI à GS. Puisque le petit rapport du deuxième cas est le rapport de RI à GM, que le grand du quatrième cas est le rapport de IR à GS et qu'il est clair que IR à GM est plus grand que IR à GS, le rapport donné est alors soit égal au rapport de IR à GM, soit plus petit que IR à GM et plus grand que IR à GS, soit plus grand que le rapport de IR à GM, soit égal au rapport de IR à GS, soit plus petit que le rapport de IR à GS.

127 Pappus détaille également cette démonstration élémentaire (La Collection, vol. II, livre VII, proposition 18, p. 525-526). 128 Changement de notations, K E [GI] et N E [ED).

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216

Apollonius: La section des droites selon des rapports

égal au rapport de IR à GM. Appliquons à la droite lM une surface égale à la surface de El par GM, excédant la droite entière d'un carré, que ce soit la surface de IK par KM. Joignons KR et prolongeons-la; je dis que KL résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal à EL à GK. Puisque la surface de El par GM est égale à la surface de IK par KM, le rapport de El à IK est égal à KM à MG. Si nous composons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire EL à IR, est égal à KG à GM ; par permutation, le rapport de EL à KG est égal à IR à GM, c'est-à-dire à n à s ; la droite KL résout donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'une autre qu'elle résolve le problème, on mènerait alors une autre droite, soit ORP ; le rapport de OE à GP serait donc égal au rapport de EL à GK, ce qui n'est pas possible, puisque l'antécédent est plus grand que l'antécédent et que le conséquent est plus petit que le conséquent l34 . On a de ce fait démontré que OP est une droite maximale, qui coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe KL. 7.2. Deuxième incidence du septième lieu A L H

G

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Fig. 50

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons KL de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites GE et EA selon le rapport de EL à KG égal au rapport donné. Le rapport de RI à GM est égal au rapport de EL à KG 135 . Puisque le rapport de EL à KG est égal à IR [B30r ] à GM, que, par permutation, le rapport [I-16r ] de EL à IR, c'est-à-dire

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135

Si GE> EL, GP < GK. On suppose implicitement que M

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218

Apollonius: La section des droites selon des rapports

EK à KI, est égal à KG à GM et que la droite EK est plus longue que la droite KI, alors la droite KG est plus longue que GM. Or la droite IR est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; mais le point G est donné, le point M est donc donnéI36. Puisque le rapport de EK à KI est égal au rapport de KG à GM, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG I37 et la surface de El par GM est égale à la surface de KI par KM; mais la surface de El par GM est donnée car chacune d'elles est donnée, la surface de IK par KM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue lM, défaillant d'un carré. Le point K est donc connu, le point R est connu, la droite KL est donc donnée. A

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K

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Fig. 51

Puisque dans la synthèse il nous est nécessaire de faire en sorte qu'un rapport soit égal au rapport de IR à GM et d'appliquer à la droite lM une surface, comme IK par KM, égale à la surface de lE par GM, défaillant d'un carré - le point K étant sur lM - ce que l'on ne sait pas inférer, c'est pourquoi il ne nous est pas toujours possible de faire la synthèse du problème dans tout cas de figure. Qu'il soit d'abord selon un seul cas de figure, celui où le point K est au milieu de MI. Le problème devient alors le suivant: comment trouver un rapport égal au rapport de IR à GM et couper MI en deux moitiés en K, de sorte que la surface de El par GM soit égale à la surface de IK par KM. Trouvons donc cela: prenons un point sur GD, comme le point M, coupons MI en deux moitiés au point K et supposons que la surface de El par MG est égale à la surface de KI par KM. Puisque la surface de El par MG est égale à la surface de IK par KM, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE. Si nous composons, le rapport de GK à KM est égal au rapport

136 K E [MI]. 137

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222

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse, de prendre une droite moyenne proportionnelle des droites GE et El, la droite EK, et de joindre la droite KRL. Nous cherchons ensuite si la droite KRL coupe selon le rapport de EL à KG, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du <point> R et sécantes à EA et GE. [B-3F] Nous déterminons ce problème ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons, entre les droites GE et El, une droite moyenne proportionnelle, la droite EK, joignons la droite KRL. Il nous faut chercher si la droite KL coupe selon le rapport de EL à KG, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du point R et sécantes à GE et EA. Posons la droite MK égale à la droite IK; la surface de El par GM est alors égale à la surface de IK par KM et le rapport de LE à KG est égal au rapport de IR à GM. Menons une autre droite, soit NS. Il nous faut alors comparer le rapport de NE à GS au rapport de LE à KG - c'est-à-dire IR à GM. Par permutation, il nous faut comparer le rapport de EN à IR, c'est-à-dire le rapport de ES à SI, au rapport de SG à GM. Si nous séparons, nous comparons le rapport de El à IS au rapport de SM à GM l43 ; il nous faut alors comparer la surface de lE par MG à la surface de IS par SM. Mais la surface de lE par MG est égale à la surface de IK par KM, il nous faut donc comparer la surface de IK par KM à la surface de IS par SM. On l'infère ainsi: la surface de IK par KM est plus grande que la surface de IS par SM, car la droite IK est égale à la droite KM. Puisque la surface de IK par KM est plus grande que la surface de IS par SM, mais que la surface de IK par KM est égale à la surface de lE par GM, la surface de El par GM est plus grande que la surface de IS par SM. [I-17 r ] Le rapport de El à SI est donc plus grand que [B-3 IV] le rapport de SM à G M. Si nous composons, le rapport de ES à SI, c'est-à-dire le rapport de EN à IR, est plus grand que le rapport de GS à GM. Si nous permutons, le rapport de EN à SG est plus grand que le rapport de IR à GM, c'est-à-dire que le rapport de EL à KG. C'est pourquoi la droite KL coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite NS 144 ; nous montrons

On suppose implicitement que SE [lM]. On a fait la démonstration en supposant que S E [lM] ; ce résultat est encore vrai si SE [GM], la démonstration en est élémentaire. 143

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226

Apollonius: La section des droites selon des rapports

de EQ à IR, est plus grand que le rapport de PG à GO ; par permutation, le rapport de EQ à PG est plus grand que le rapport de IR à GO, c'est-à-dire le rapport de EN à SG. C'est pourquoi la droite NS coupe selon un rapport 47 • Ainsi les plus petit que le rapport selon lequel [1 _17 V] coupe la droite droites qui sont plus proches de la droite KL coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont plus éloignées.

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La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons, entre les droites EG et El, une droite moyenne proportionnelle, soit EK 148 ; joignons KL. La droite KL coupe selon le rapport de EL à KG plus petit que toutes les droites menées du point R et sécantes aux deux droites GI et EA 149. Le rapport donné est alors soit égal au rapport de EL à KG, soit plus petit, soit plus grand. Si c'est exactement celui -ci, alors la droite KL résout le problème et nous montrons que c'est la seule, car les droites menées de R, autres qu'elle, coupent selon des rapports plus grands que celui selon lequel coupe KL. A Q

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Fig. 52

Si le rapport a été donné inférieur, le problème n'est [B-32 V ] pas possible, car a été donné inférieur au plus petit. Qu'il soit plus grand que le rapport de EL à KG, soit le rapport de n à s. Posons la droite KM égale à la droite IK, la surface de El par MG est alors égale à la surface de IK par KM et le rapport de EL à KG est égal au rapport de IR à GM. Mais le rapport de n à S est plus grand que le rapport de EL à KG, c'est-à-dire le rapport de IR à GM. Si nous faisons en sorte que le rapport de n à s 147 On a démontré ce résultat en supposant que P E [10] ; il est encore vrai si P E lOG], la démonstration en est élémentaire. 148 K E [lG]. 149 i. e. la droite KL coupe GI et EA selon un rapport plus petit que tous les rapports selon lesquels les droites issues de H coupent GI et EA.

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230

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Que le rapport de IH à GM soit égal au rapport de LE à KG. Mais la droite IH est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc également donné 155 , ainsi que la droite lM. Puisque le rapport de LE à KG est égal au rapport de IH à GM, que, si nous permutons, le rapport de LE à HI, c'est-à-dire le rapport de EK à KI, est égal au rapport de KG à GM et que, si nous composons, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG, alors la surface de lE par MG est égale à la surface de MK par KI. Or la surface de El par GM est donnée car chacune des deux est donnée, la surface de MK par KI est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue MI, excédant d'un carré, le point K est donc donné; mais le point H est également donné, la droite KL est donc de position donnée. [B-33 V ] A

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Fig. 53

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Le rapport donné est le rapport de n à s. Posons le rapport de IH à GM égal au rapport de n à s et appliquons à la droite MI une surface égale à la surface de lE par MG, excédant d'un carré, c'est la surface de MK par KI. Joignons HK et prolongeons-la; je dis que la droite HL résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de LE à KG 156 • Puisque la surface de El par MG est égale à la surface de MK par KI, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG. Si nous séparons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire le rapport de LE à HI, est égal au rapport de KG à GM ; par permutation, le rapport de LE à KG est égal au rapport

155

On suppose implicitement que M E [Ge). en effet EM > MG donc El· EM> El . GM

156 K E [IE],

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232

Apollonius: La section des droites selon des rapports

de IH à GM, c'est-à-dire au rapport de n à s ; la droite HL résout donc le problème. A H

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Fig. 54

Je dis qu'elle seule réalise cela. Si cela était possible, que l'on mène alors une autre droite, soit HP ; si la droite HP coupait selon ce rapport, qui est le rapport de n à s, le rapport de LE à KG serait égal au rapport de PE à OG et c'est ce qui n'est pas possible, puisque l'antécédent [1 -18 V ] est plus petit que l'antécédent et que le conséquent est plus grand que le conséquent 157 . De là nous montrons que la droite HP coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite HL, comme cela a été démontré dans nos propos précédents. 7.4. Quatrième incidence du septième lieu Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons la droite HK selon le quatrième cas de figure, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de EL à KG égal au rapport [B-34 r ] donné. Le rapport de IH à GM est égal au rapport de EL à KG ; mais IH est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc donné 158 ; mais le point 1 est donné, la droite lM est donc donnée. Puisque le rapport de IH à GM est égal au rapport de EL à KG, que, par permutation, le rapport de IH à EL, c'est-à-dire le rapport de

157 158

Si EP < EL, GO > GK. On suppose implicitement que M

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234

Apollonius: La section des droites selon des rapports A

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Fig. 55

lK à KE, est égal au rapport de MG à GK et que, si nous convertissons, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE 159 , alors la surface de GM par lE est égale à la surface de lK par KM. Or la surface de lE par GM est donnée, la surface de lK par KM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite donnée lM, défaillant d'un carré; le point K est donc connu, or le point R est connu, la droite RL est donc de position donnée.

Puisque dans la synthèse le rapport de IR à GM est égal au rapport donné et qu'il nous faut appliquer à lM une surface égale à la surface de GM par lE, défaillant d'un carré - lK par KM par exemple - et qu'il ne nous est pas toujours possible de l'application, compte tenu de ce que nous avons indiqué pour les incidences dont le rapport donne lieu à discussion, c'est pourquoi il ne nous est pas toujours possible de faire la synthèse du problème dans tout cas de figure. H

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Fig. 56

Qu'il le soit d'abord selon un seul cas de figure, celui où le point K est au milieu de lM. Le problème devient alors le suivant: comment trouver un rapport tel que, si nous faisons en sorte que rapport de IR à GM lui soit égal

159

IK> EK donc CM> CK et K E [lM].

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240

Apollonius: La section des droites selon des rapports

HN; nous montrons comme cela qu'elle coupe selon un rapport plus grand que HN et que toutes les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites GD et EA. La droite HK coupe donc selon le rapport de EL à KG plus grand que les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. [B-3SV]

Je dis que les droites qui sont proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. Puisque le rapport de EL à KG, c'est-à-dire IH à GM, est plus grand que le rapport de ES à GN, si nous faisons en sorte que le rapport de ES à GN soit égal au rapport de IH à une autre droite, ce sera à plus grande que GM, que ce soit à GO. Nous montrons de même 165 que la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO. Menons une autre droite, soit HP ; il nous faut comparer le rapport de ES à GN, c'est-à-dire IH à GO, et EQ à GP. Par permutation, il nous faut comparer le rapport de IH à EQ et le rapport de OG à GP ; or le rapport de IH à EQ est égal au rapport de IP à PE. Il nous faut donc comparer le rapport de IP à PE et le rapport de OG à GP. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de PI à lE et le rapport de GO à OP 166 et il nous faut comparer la surface de GO par El et la surface de IP par PO. Mais la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO, il nous faut donc comparer la surface de IN par NO et la surface de IP par PO et il nous faut comparer la surface de IK par KO et la surface de IN par NO; mais la surface de IN par NO est égale à la surface de GO par lE, il nous faut donc comparer la surface de IK par KO et la surface de GO par lE. On l'infère ainsi: la surface de IK par KO est plus grande que la surface de GO par lE, comme nous le montrons: puisque la surface de OM par KI est plus grande que la surface de OM par El, mais que la surface de MK par KI est égale à la surface de MG par lE, la surface de IK par KO tout entière est plus grande que la surface de GO [I-20 f ] par lE, c'est-à-dire que la surface de IN par NO. C'est pourquoi la surface de IN par NO est plus

165 166

Comme cela a été démontré dans l'analyse. On suppose implicitement que P E [EG].

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242

Apollonius: La section des droites selon des rapports

grande que la surface de lP par P0 167 • La surface de GO par lE est donc plus grande que la surface de lP par PO et le rapport de lP à lE est plus petit que le rapport de GO à PO. Si nous convertissons, le rapport de lP à PE, c'est-à-dire le rapport de lH à EQ, est plus grand que le rapport de OG à GP. Par permutation, le rapport de lH à GO, c'est-à-dire le rapport de ES à GN, est plus grand que le rapport de EQ à Gp 168 • C'est pourquoi la droite HN coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe HP. Ainsi les proches de la droite HK coupent toujours selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. [B-36r ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites EG et El une droite moyenne proportionnelle, soit EK 169 ; joignons HK. La droite HK coupe selon le rapport de EL à GK, plus grand que toutes les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites GD et EA. Le rapport donné dans la synthèse est alors soit le rapport de EL à GK, soit plus grand, soit plus petit.

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B

Fig. 57

Si c'est le rapport de EL à KG, la droite HK résout le problème. S'il est plus grand que le rapport de EL à KG, le problème n'est pas possible, car devient beaucoup trop grand. Supposons le rapport de n à s plus petit que le rapport de EL à KG et posons la droite KM égale à la droite lK, la surface de GM par lE est alors

167 Puisque K est plus proche du milieu de [l0] que N, si EP < EN < EK ou si EK < EN < EP < EO, alors NO . NI > PO, PI. 168 On a fait la démonstration en supposant que P E [EOJ, le résultat est encore vrai si P E [OD), la démonstration en est élémentaire. 169 K E [ED).

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15

244

Apollonius: La section des droites selon des rapports

égale à la surface de IK par KM et le rapport de EL à KG est égal au rapport de HI à GM. Puisque le rapport de n à s est plus petit que le rapport de EL à KG, c'est-à-dire IH à GM, si nous faisons en sorte que le rapport de n à s soit égal au rapport de IH à une autre droite, elle sera plus grande que GM, que ce soit à GO l7o . Puisque la surface de IK par aM est plus grande que la surface de lE par aM, mais que la surface de IK par KM est égale à la surface de MG par lE, la surface de IK par Ka tout entière est plus grande que la surface de GO par lE; il nous est donc possible d'appliquer la surface de GO par lE à la droite la, défaillant d'un carré, de deux manières, de part et d'autre du point K. Que les points d'inférence soient les points N et P. Joignons HN et HP; je dis que chacune des deux droites HN et HP résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de ES à GN et que le rapport de n à s est égal au rapport de EQ à Gp 171 • Puisque la surface de IN par NO est égale à la surface de GO par lE, le rapport de GO à ON est égal au rapport de IN à lE. Si nous convertissons, le rapport de OG à GN est égal au rapport de IN à NE, c'est-à-dire au rapport de IH à ES. Par permutation, le rapport de IH à [B-36 V ] GO est égal au rapport [I-20 V ] de ES à GN. Le rapport de IH à GO est égal au rapport de n à s, le rapport de n à s est donc égal au rapport de ES à GN. Nous montrerions de même que le rapport de EQ à GP est égal au rapport de n à s. Chacune des <deux droites> HN et HP résout donc le problème et il est clair que ce sont les seules, car les proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. Nous déterminons le rapport ainsi: puisque le grand rapport est le rapport de EL à GK, c'est-à-dire le rapport de IH à GM, ou à GK plus KI - car MK est égale à la droite IK - et que des deux droites GK et KI est égale à des deux droites GE et El et de deux fois EK, mais que le double de EK peut la surface de GE par El quatre fois, c'est pourquoi le rapport de IR à GM est égal au rapport de IH à la <somme> composée de chacune des deux GE et El et de qui peut la surface de GE par El quatre fois 172.

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171

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KI . KO > NI· NO = OG . El> OE . El. 172 Pappus détaille encore cette démonstration (La Collection, vol. II, livre VII, proposition 20, p. 527).

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248

Apollonius: La section des droites selon des rapports

S'il a été donné plus grand que le rapport de IR à GM, le problème est possible dans quatre cas de figure, le premier, le troisième et deux sortes du deuxième cas; il n'est pas possible dans le quatrième, car le rapport donné est plus grand que IR à GM et IR à GM est plus grand comme rapport que les rapports du quatrième cas. S'il a été donné plus petit [1-21'] que le rapport de IR à GM et plus grand que IR à GO, le problème est possible dans deux cas de figure, le premier et le troisième, et il n'est possible ni dans le deuxième ni dans le quatrième, car le rapport donné est plus petit que le plus petit du deuxième cas et plus grand que le plus grand du quatrième cas. S'il a été donné égal au rapport de IR à GO, le problème est possible dans trois cas de figure, le premier, le troisième et une seule sorte du quatrième; et il n'est pas possible dans le deuxième cas, car le rapport donné est plus petit que le plus petit . S'il a été donné plus petit que le rapport de IR à GO, le problème est possible dans quatre cas de figure, le premier, le troisième et deux sortes du quatrième; et il n'est pas possible dans le deuxième cas, car il a été donné plus petit que le plus petit . Nous avons donc démontré cela pour les différents rapports. Le premier livre du traité d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports est achevé et il comporte vingt-quatre propositions. Louanges à Dieu, au commencement et à la fin. Que le salut et la bénédiction de Dieu soit sur notre seigneur Mul:zammad le Prophète, sa famille et ses compagnons.

249

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Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux

SECOND LIVRE DU TRAITÉ D'APOLLONIUS SUR LA SECTION DES DROITES SELON DES RAPPORTS

Soient deux droites de position donnée, sécantes en M, que ce soient AB et DE; supposons sur la droite AB le point C et sur la droite DE le point G. Posons d'abord le point donné le point H.

Huitième lieu

Situons-le à l'intérieur de l'angle DMB ; l'incidence des droites qui sont menées du point H et qui coupent selon le rapport donné a lieu selon cinq cas de figure: elles découpent soit les deux droites CB et GE, soit les deux droites CB et MG, soit les deux droites GD et CA, soit les deux droites GD et CM, soit les deux droites DG et CB 173 • 8.1. Première incidence du huitième lieu

Menons d'abord la droite HQ de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CB et GE selon le rapport de CQ à GP égal au rapport donné. Joignons CH. Puisque le point C est donné ainsi que le point H, la droite CH est de position donnée; mais la droite ED est de position donnée,

173

Ou plutôt DG et MB pour distinguer ce cas du précédent.

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252

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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Fig. 59

le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KL. Puisqu'on a mené d'un point donné, le point l, une droite, la droite KL, parallèle à la droite donnée qui est AB, que les points C, 1 et H sont donnés et que chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donné et, par conséquent, le rapport de CQ à IN est donné. Mais le rapport de CQ à CP est donné, le rapport de IN à CP est donc donné. Si donc les droites KL et DE sont données, si l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C 174, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle DlL et si l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IN à CP égal à un rapport donné, la droite HP est alors donnée, comme nous l'avons démontré dans le premier livre, dans la quatrième proposition, dans la première incidence 175 ; c'est ce que nous voulions démontrer l76 . [I-22 r ; B-3S r ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: que le rapport de n à 0 soit donné, posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Si donc l'on a, dans un plan, deux droites données, les droites KL et DE, si l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle D IL et si l'on mène la droite HP de la manière que nous avons indiquée dans la première incidence de la quatrième proposition, telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à CP égal au rapport de u à 0, je dis que la droite HP achève le problème.

174 Cette expression, que l'on retrouve à de nombreuses reprises dans le livre II, signifie que les points donnés sur les droites (KL) et (ED), qui déterminent les extrémités des segments cherchés dont le rapport est donné, sont les points 1 et G. 175 i. e. la première incidence du quatrième lieu. 176 Voir note complémentaire 9.

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256

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est donc donné; or le rapport de CQ à CP est donné, le rapport de IN à CP est donc donné. Si donc l'on a dans un plan deux droites de position donnée, KL et DE, si l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C, si le point donné, le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL, si l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IN à CP, la droite HP est alors donnée, comme nous l'avons démontré dans le premier livre, dans le quatrième lieu, dans la deuxième incidence 177 ; c'est ce que nous voulions démontrer. Il nous est nécessaire, dans la synthèse de cela, que le rapport donné soit plus grand que le rapport de CM à MC : puisque la droite CQ est plus grande que la droite CM et que la droite PC est plus petite que la droite CM, son rapport est plus grand que le rapport de CP à CM ; si nous permutons, le rapport de CQ à PC est plus grand que le rapport de CM à MC ; mais le rapport de CQ à PC est égal [I-22 V ] au rapport donné, c'est pourquoi il faut que le rapport donné soit plus grand que le rapport de CM à MC 179. B

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Fig. 62

La synthèse de ce problème se fait ainsi: que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état; le rapport donné est le rapport de n à 0 et il est plus grand que le rapport de CM à MC I80 . Joignons CH et HM et posons le 177 D'après 4.2, quel que soit le rapport donné k, il existe un unique point P E [GI] tel que!!!.... = k. Cependant Apollonius, dans ce cas comme dans tous les cas semblables,

CP

distingue le cas où P E [GM] (cas 8.2) du cas où P E [MI] (cas 8.4) et se voit dès lors contraint de discuter de l'existence du point P en fonction du rapport donné. 178 i. e. le rapport de CQ à CM. 179 Démonstration directe qui ne fait pas intervenir la décroissance du rapport sur J'intervalle [GI] établie en 4.2 ; elle interviendra en revanche dans la synthèse. 180 La discussion, en fonction des valeurs du rapport donné, n'est pas systématiquement exposée dans les cas à diorisme du livre II.

257

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258

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IS, le rapport de CM à IS est égal au rapport de n à u. Or le rapport de n à [B-39 r ] 0 est plus grand que le rapport de CM à MG; par l'égalité, le rapport de u à 0 est donc plus grand que le rapport de IS à MG. Si nous voulons mener du point H, selon la deuxième manière du quatrième lieu, une droite quelconque qui découpe les droites KL et IG selon un rapport égal au rapport de u à 0, alors cette droite, si on la mène, coupe la droite GM - c'est-à-dire que l'incidence du point M est au-dessus 1S1 - car on a mis en évidence que les droites qui sont proches du point 1 coupent selon des rapports plus petits que celles qui en sont éloignées, comme cela a été démontré dans la synthèse de la deuxième incidence du quatrième lieu. Menons alors la droite PH telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à PG, qui est égal au rapport de u à 0; je dis que PH achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est égal au rapport de n à u ; or le rapport de IN à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CQ à PG est alors égal au rapport de n à 0 ; la droite HP achève donc le problème et il est clair que c'est la seule; c'est ce que nous voulions démontrer. 8.3. Troisième incidence du huitième lieu

Menons la droite HP selon la troisième incidence, telle qu'elle découpe les droites CA et GD selon le rapport de CP à GN égal au rapport donné 1s2 • Joignons CH. Puisque le point C est donné et que le point H est également donné, la droite CH est donnée; mais la droite DE est de position donnée, le point 1 est donc

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Fig. 63

ISI Voir note complémentaire 8 sur les expressions «au-dessus» et «audessous» . IS2 Changement de notations. L'ordre logique serait d'étudier le cas où P E [MI] (cas (8.4) à la suite du cas 8.2).

259

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264

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

MC à PC est plus grand que le rapport de MG à GN; par permutation, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CP à GN; mais le rapport de PC à GN est le rapport donné, [B-40 V ] il nous est donc néces-

saire que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de CM à MG 183 ; c'est ce que nous voulions démontrer. L

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Fig. 66

La synthèse de ce problème se fait ainsi: que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état, le rapport donné est le rapport de n à 0 et il est plus petit que le rapport de CM à MG. Joignons HM et posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à 15 et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CM à 15 est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de 15 à MG est donc plus grand que le rapport de u à o. Si donc nous menons du point H une droite qui découpe les droites GI et IL selon un rapport égal au rapport de u à 0, cette droite coupera lM : du fait que les droites KL et DE sont données, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné est intérieur à l'angle DIL et que l'on a mené - selon la deuxième incidence de la quatrième proposition 184 -la droite HM, telle qu'elle coupe selon le rapport de 15 à MG qui est plus grand que le rapport de u à 0, alors, si nous voulons mener une autre droite qui coupe selon un rapport égal au rapport de u à 0, la droite tombant ainsi sera à la place de HN 185 , car les droites proches du

Démonstration directe comme dans le cas 8.2. i. e. la deuxième incidence du quatrième lieu. 185 C'est-à-dire sera confondue avec HN et le point N appartiendra au segment 183

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266

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

point 1 coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées; que ce soit la droite HN, prolongeons-la, [BAI f] je dis que la droite HP achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CP à IQ et au rapport de n à u, et que le rapport de IQ à GN est égal au rapport de u à 0, par l'égalité, le rapport de CP à GN est égal au rapport de n à 0 ; la droite HP achève [I-23 f ] donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer.

8.5. Cinquième incidence du huitième lieu B

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Fig. 67

Menons la droite PN selon la cinquième incidence, telle qu'elle découpe les droites GD et CB selon le rapport de CN à PG égal au rapport donné; joignons CH. Puisque le point C est connu et que le point H est connu, la droite CH est donnée; mais la droite DE est donnée, le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KL, la droite KL est alors donnée. Puisque les points C, H et 1 sont donnés, chacune des deux droites CH et HI est donnée et le rapport de CH à HI est donné. Mais le rapport de CH à HI, lui, est égal au rapport de CN à IQ, le rapport de CN à IQ est donc donné. Mais le rapport de CN à GP, comme celui-ci, est donné, le rapport de IQ à GP est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites données, les droites KL et DE, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL et qu'il passe une droite quelconque, la droite PQ, qui coupe selon le rapport de IQ à GP, la

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268

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 68

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CN à IQ est égal au rapport de n à u. Or le rapport de IQ à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, [I-24 V ] le rapport de CN à PG est donc égal au rapport de n à 0 ; c'est ce que nous voulions démontrer. Prolongeons également les deux droites de position donnée; qu'elles se terminent, pour la droite AB au point C et pour la droite DE au point G. Le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EMB.

269

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270

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Neuvième lieu

Que la droite menée du point H et parallèle à la droite AB tombe d'abord au point connu, [B-42 r ] qui est le point G. L'incidence des droites menées du point H a lieu selon quatre cas de figure: elles découpent soit les droites CB et GE, soit les droites CA et GD, soit les droites CM et MG, soit les droites CB et GD 186 • 9.1. Première incidence du neuvième lieu

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Fig. 69

Menons d'abord la droite NHP selon la première incidence, telle qu'elle découpe les droites CB et GE selon le rapport de CN à GP égal au rapport donné; joignons CH. Le point H est donné, le point C est donné, la droite DE est de position donnée ainsi que la droite CH, le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KL, la droite KL est alors de position donnée. Puisque chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donné; mais le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, le rapport de CN à IQ est donc donné. Or le rapport de CN à GP est donné, le rapport de IQ à GP est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données de position donnée, les droites KL et DE, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le

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Ou plutôt CE et MD pour distinguer ce cas du précédent.

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272

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

point H, est intérieur à l'angle EIL, que la droite qui passe par le point H, parallèle à la droite AB, tombe d'abord au point G et qu'une droite quelconque, la droite NH, tombe de sorte qu'elle coupe selon le rapport de IQ à GP, alors la droite NHP est de position donnée, comme cela a été démontré dans le prenùer livre, dans le cinquième lieu, dans la première incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-42 V] La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons les choses selon ce que nous avons décrit posons le dans l'analyse; que le rapport donné soit le rapport de n à rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, KL et DE, que l'extrénùté de la droite KL est au [1-2Y] point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que le rapport est le rapport de u à 0, que l'on a mené la droite PQ selon la prenùère incidence du cinquième lieu - car la droite parallèle tombe au point G -, telle qu'elle coupe selon le rapport de IQ à GP égal au rapport de u à 0, prolongeons la droite PHNQ, je dis alors que la droite PHNQ achève le problème.

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Fig. 70

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CN à IQ

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276

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, les droites KL et DE, que la droite K L passe par le point 1 qui est son extrémité, que l'extrémité de la droite DE est au point G, que le point [I-2SV] donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que l'incidence de la droite parallèle est au point G et que le rapport est le rapport de u à 0, que l'on mène - selon la deuxième incidence du cinquième lieu -la droite HQN, telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à GQ égal au rapport de u à 0, et que l'on la prolonge jusqu'au point P, je dis alors que la droite HP achève le problème. H

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Fig. 72

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CP à IN, mais [B43 V ] que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CP à IN est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de IN à GQ est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CP à GQ est donc égal au rapport de n à 0; la droite HQP achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 9.3. Troisième incidence du neuvième lieu

Menons la droite HP selon la troisième incidence, telle qu'elle découpe les droites CM et MG selon le rapport de CP à GQ égal au rapport donné; joignons CH, le point 1 est alors donné; menons par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KIL; la droite KIL est alors de position donnée. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de PC à IN,

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278

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 73

le rapport de CP à IN est donné ainsi que le rapport de CP à GQ, le rapport de IN à GQ est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites de position donnée, KL et DE, que l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de DE au point G, que le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que la droite parallèle tombe au point G et que l'on a mené la droite HQ telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à GQ égal au rapport donné, la droite HNQ est alors donnée et elle achève le problème, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-44r ] Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Que la droite Gl soit ou bien plus petite que la droite lM, ou bien plus grande l88 • H

Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite qu'elle. Joignons HM, je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous [1 -26 r ] les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes aux deux droites CM et lM.

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D'après 5.3, il existe Q E [ID), tel que.!'!!... = g, à condition que g::::; CQ

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et la

valeur maximale du rapport sur [ID) est atteinte au point symétrique de G par rapport à l. Apollonius distingue, comme dans le lieu précédent, le cas où Q E [IM] (cas 9.3) et le cas où Q E [MD] (cas 9.4), d'où la nécessité de distinguer le cas où IG ~ lM du cas où IG < lM.

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280

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Menons une autre droite, la droite HQP ; puisque le rapport de GI à lM n'est pas plus petit que son rapport à elle-même I89 , alors la droite HM soit coupe selon le rapport de IS à GM, le plus grand <des rapports I90 >, soit est plus proche de la droite qui coupe selon le grand rapport que n'en est proche la droite H QP 191, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; le rapport de la droite IS à GM est donc plus grand que le rapport de IN à GQ ; si nous permutons, le rapport de SI à IN est plus grand que le rapport de MG à GQ; mais le rapport de SI à IN est égal au rapport de CM à CP, le rapport de MC à CP est donc plus grand que le rapport de MG à GQ ; si nous permutons, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CP à GQ. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites lM et CM ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-44 V ] Que la droite GI soit plus petite que la droite lM. Posons la droite IG égale à la droite NI; joignons HN et prolongeons-la jusqu'au point 0, joignons MH ; je dis que la droite NO coupe selon le rapport de CO à GN, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à CM. Quant aux droites sécantes à la droite aM et menées du point H, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit rapport. On mène alors une autre droite, soit QP, sécante à CO. Puisque la droite GI est égale à la droite IN - car cela a été posé ainsi -, la droite NO coupe selon le rapport de IR à GN, le plus grand <des rapports>, comme nous l'avons montré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence. Le rapport de IR à NG est donc plus grand que le rapport de IS à GP, comme cela a été démontré dans le premier livre. Si nous permutons, le rapport de IR à IS est plus grand que le rapport de GN à GP.

189

C'est-à-dire puisque

CI 2 CI lM CI

(car GI ;::: lM). Comparer ces rapports paraît

quelque peu surprenant ici, puisque le résultat découle directement de la comparaison de GI et lM. 190 Si GI = lM. 191 Si GI> GM.

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Que la droite GI ne soit d'abord pas plus petite que la droite lM. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite CM. Si le rapport donné dans la synthèse est le rapport de CM à MG, la droite HM seule achève le problème. S'il est plus grand que le rapport de CM à MG, la synthèse du problème ne se fait pas, puisque la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand <des rapports>. S'il est plus petit que le rapport de CM à MG, [B4SV] le problème est possible d'une seule manière. Que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u et menons par le point I une droite parallèle à la droite AB, soit KIL. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IS, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CM à IS est égal au rapport de n à u et à l'inverse, le rapport de SI à CM est égal au rapport de u à n. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de IS à MG est donc plus grand que le rapport de u à o. Puisque les droites KL et DE sont de position donnée, que la droite K L passe par le point I et que la droite DE passe par le point G, que la droite

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286

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

parallèle tombe au point G, que la droite 1G n'est pas plus petite que la droite lM, la droite HM coupe selon un plus grand rapport, [I-27 r ] le rapport de IS à MG, comme nous l'avons démontré dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence 192 , et le rapport de u à 0 est alors plus petit que le grand rapport; si donc nous voulons mener du point H - selon la troisième incidence du cinquième lieu - une droite qui découpe les droites KL et lM selon un rapport égal au rapport de u à 0, cela sera possible de deux manières: une droite coupera lM, l'autre passera au-delà. Menons-la, c'est la droite HNP, elle coupe selon le rapport de NI à GQ égal au rapport de u à 0 ; je dis que la droite HNP achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de PC à IN et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de PC à IN est égal au rapport de n à u ; mais le rapport de NI à GQ est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CP à QG est donc égal au rapport de n à o ; la droite [B-46 r ] HP achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. Que la droite GI soit plus petite que la droite lM. Posons la droite IN égale à la droite GI, joignons HN et prolongeons-la jusqu'au point 0, joignons HM. La droite HNO coupe selon le rapport de OC à NG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite CM ; et la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à DM. Puisque la droite ONH selon la troisième incidence du cinquième lieu, elle coupe selon le rapport de IR à NG, le plus grand <des rapports> ; le rapport de IR à NG est donc plus grand que le rapport de Zl à MG et, par permutation, il en est encore ainsi. Mais le rapport de RI à IZ est égal au rapport de CO à CM ; si nous permutons, le rapport de OC à GN est plus grand que le rapport de CM à MG et la droite HO coupe selon le rapport de CO à GN qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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indiqué dans la troisième incidence du cinquième lieu. Si nous voulons faire passer des droites [BA7 f ] selon la troisième incidence du cinquième lieu - et les mener du point H -, telles qu'elles découpent des droites IR et ZR des droites telles que les rapports des unes aux autres soient égaux au rapport de u à 0, on mène deux droites, de part et d'autre de la droite HO. Menons donc la droite HQP sécante à la droite IN. Je dis que l'autre droite coupe NM: puisque celles des droites qui sont proches de la droite OH coupent toujours selon des rapports plus grands que les droites qui en sont plus éloignées et que le rapport de u à 0 est plus grand que le rapport de ZI à MG, la droite menée du point H, qui coupe selon ce rapport, est plus proche de la droite HO que HM; que ce soit la droite HJW, prolongeons-la, je dis que HT achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CT à Il, le rapport de n à u est égal au rapport de CT [1-28"] à Il. Mais le rapport de u à 0 est égal au rapport de Il à WG ; par l'égalité, le rapport de n à 0 est donc égal au rapport de TC à WG ; la droite HWT achève donc le problème; on a montré que celle-ci et l'autre droite également, c'est-à-dire HQP, achèvent le problème.

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292

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état; que le rapport de n à 0 ne soit pas plus grand que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u ; le rapport de u à 0 qui - si cela a été demandé comme nous l'avons indiqué dans ce qui précède - n'est pas plus grand que le rapport de IZ à MG, est alors plus petit que le rapport de IR à GN. Puisque le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de RI à GN - c'est-à-dire plus petit que le plus grand que nous avons indiqué dans la troisième incidence [B-47 V] du cinquième lieu -, et que nous menons deux droites de part et d'autre de la droite HNO, qui coupent selon un rapport égal au rapport de u à 0, l'une tombe entre les deux droites MH et CH et l'autre coupe MB. Puisque celle qui est proche de la droite HNO coupe toujours selon un rapport plus grand et que l'on a montré que le rapport de u à 0 n'est pas plus grand que le rapport de IZ à MG, ou bien il lui est égal, ou bien il est plus petit. S'il lui est égal, la droite permise est la droite HM 195 • S'il est plus petit que le rapport de IZ à GM, la droite tombe à l'extérieur de la droite CM; on a donc démontré qu'elle coupe MB et n'achève pas le problème - alors qu'initialement nous avions fait en sorte qu'elle coupe CM. Quant à la droite qui tombe entre les droites CH et HN, elle achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 9.4. Quatrième incidence du neuvième lieu Menons la droite HP selon la quatrième incidence, telle qu'elle découpe les droites CB et GD 196 selon le rapport de CQ à PG qui est égal au rapport donné 197 ; joignons CH, le point 1 est alors connu; faisons passer par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KIL ; la droite KL est alors de position donnée. Puisque le rapport de CH à HI est donné, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est donné; or le rapport de CQ à PG est donné, le rapport de PG à IN est donc donné l98 • Étant donné que les deux droites KL et DE sont de

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294

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

position donnée, que la droite K L B passe par le point 1 et que la droite DEpasse par le point G 199, que le point connu, qui est le point H, est à E D l'intérieur de l'angle EIL, que l'inci- ~'-----~,------/------=-p-dence de la droite parallèle est au point donné, qui est le point G, et que l'on a mené la droite HNP telle qu'elle coupe selon le rapport de PG à IN, la droite HP [I-28 V ] est alors Fig. 78 de position donnée, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [BA8 f ] Nous déterminons ce problème ainsi: la droite lG est soit plus grande que la droite lM, soit plus petite qu'elle. Que la droite Gl ne soit tout d'abord pas plus grande que la droite lM. Joignons HM, je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes à DM. Menons une autre droite, soit HSP ; puisque la droite Gl n'est pas plus longue que la droite lM, la droite HM soit coupe selon le rapport de IN à MG, le plus grand des rapports, soit elle est, de toutes les droites, la plus proche de la droite qui coupe selon un rapport plus grand que celui-ci. Le

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de NI à MG est donc plus grand que le rapport de IQ à GP. Si nous permutons, le rapport de NI à IQ est plus grand que le rapport de MG à GP. Mais le rapport de NI à IQ est égal au rapport de CM à CS, le rapport de MC à CS est donc plus grand que le rapport de MG à GP ; si nous permutons, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CS à GP. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à MD ; c'est ce que nous voulions démontrer. Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, que la droite GI soit plus longue que la droite lM. Posons la droite IP égale à la droite GI et joignons HP; je dis que la droite HP coupe selon le rapport de CQ à PG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MD. B

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Fig. 80

Menons de part et d'autre de HP les deux droites HN et HS. Puisque la droite GI est égale à la droite IP, la droite HP coupe selon le rapport de RI à PG, rapport grand, comme dans la troisième incidence du cinquième lieu, car les deux droites KL et DE sont de position donnée, l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE [B-48 au point G ; la droite HG, parallèle menée par le point donné H, tombe au point G et la droite IP est égale à la droite GI; le rapport de RI à PG est donc plus grand que le rapport de WI à GN. Si nous permutons, le rapport de RI à IW est plus grand que le rapport de PG à GN. Mais le rapport de RI à IW V

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298

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

est égal au rapport de CQ à Cl, le rapport de QC à Cl est donc plus grand que le rapport de PG à GN et, si nous permutons, le rapport de CQ à PG est plus grand que le rapport de Cl à GN. Nous montrerions de la même manière que la droite HS coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe [I-29 r] la droite HP. La droite HP coupe donc selon le rapport de CQ à GP, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à MD. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite PM seule. Puisque la droite HS est plus proche que la droite HM de la droite qui coupe selon le plus grand rapport - c'est-à-dire la droite HP -, le rapport de ZI à SG est plus grand que le rapport de VI à MG ; si nous permutons, le rapport de ZI à IV est plus grand que le rapport de SG à GM ; mais le rapport de ZI à IV est égal au rapport de UC à CM, le rapport de UC à CM est donc plus grand que le rapport de SG à GM ; si nous permutons, le rapport de U C à S G est plus grand que le rapport de MC à MG. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite PM seule; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: laissons tout ce que nous avons indiqué en l'état. La droite GI est soit [B-49 r ] plus longue que la droite lM, soit plus courte qu'elle. Que la droite GI ne soit d'abord pas plus longue que la droite lM. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite MD tout entière. Si le rapport donné est égal au rapport de CM à MG, la droite HM, seule, achève le problème, puisque c'est elle qui coupe selon le rapport le plus grand. S'il est plus grand, alors la synthèse du problème ne se fait pas, puisqu'il a été

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300

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 81

Que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IQ et au rapport de n à u, le rapport de CM à IQ est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de u à 0 est donc plus petit que le rapport de IQ à MG. Or le rapport de IQ à MG est plus petit que le rapport le plus grand de la troisième incidence du cinquième lieu; on peut donc mener du point H, de part et d'autre de la droite HM, deux droites qui coupent les droites MD et MC selon un rapport égal au rapport de u à o. Menons alors une unique droite sécante à MD, la droite HP, qui coupe selon le rapport [I-29 V ] de NI à GP égal au rapport de u à 0, elle achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de Cl à IN, le rapport de Cl à IN est égal au rapport de n à u ; or le rapport de NI à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de Cl à PG est donc égal au rapport de n à 0; la droite HP achève donc le problème. Quant à l'autre droite, étant donné qu'elle coupe la droite CM, elle n'achève pas le problème et c'est pourquoi le problème n'est possible que d'une seule manière; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-49 V ]

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Fig. 83

Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, puis montrons que le rapport de u à 0 n'est pas plus grand que le rapport de IS à GM; or celui-ci est plus petit que le rapport de IQ à PG ; le rapport de u à 0 est donc plus petit que le rapport de IQ à PG qui est le rapport le plus grand de la troisième incidence du cinquième lieu. On peut donc mener deux droites, de part et d'autre de la droite HP, qui coupent selon un rapport égal au rapport de u à o. L'une d'elles coupe DM et achève le problème, comme nous l'avons démontré dans ce qui précède - l'autre n'achève pas le problème, car elle ne coupe pas la droite DM mais la droite MI: puisque les droites proches de la droite HP coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées et que le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de IS à MG, l'autre droite est donc plus éloignée de la droite HP que n'en est éloignée la droite HM ; elle [I -30 V ] seule 201 coupe donc MD; c'est ce que nous voulions démontrer. Dixième lieu

De même, que la droite menée par le point H et parallèle à la droite AC, la droite HK, tombe au-dessous du point G, c'est-à-dire entre celui-ci et le point M. Il est clair également que pour les droites qui passent par le point H l'incidence a lieu dans cinq positions202•

C'est-à-dire la première droite. Cinq positions: voir note complémentaire 15. À partir de ce lieu, et dans tous les lieux suivants, l'auteur ne précise plus quels sont les segments de droites ou les demidroites que doit couper la droite cherchée; c'est dans tous les cas la figure (tracée de façon sommaire et sur laquelle les extrémités des droites ne sont pas toujours nommées) qui permet de savoir à quoi correspondent les diverses incidences. 201

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312

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK, la droite lB, joignons BH et prolongeons-la jusqu'au point A. La droite AB coupe alors selon le rapport de CA à BG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite KG. C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de CA à BG, la droite AB, seule, achève le problème; si le rapport est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, la synthèse se fait de deux manières, de part et d'autre de AB. p A

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Fig. 87

Que le rapport donné soit le rapport de d à t, plus grand que le rapport de CA à BG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de d à s ; il est alors clair que, par l'égalité, le rapport de s à t est plus grand que le rapport de 10 à BG 206 • On a alors démontré qu'il nous est possible de mener du point H, de part et d'autre de AB, deux droites qui découpent PI et IG selon un rapport égal au rapport de s à t et on a mis en évidence, dans ce qui précède, que les droites ainsi menées achèvent le problème; c'est ce que nous voulions démontrer.

206 On trouve à la suite, dans les deux manuscrits, la phrase: « Mais le rapport de UI à DC est plus grand du fait que la droite lB est moyenne proportionnelle des droites CI et IK. » Cette phrase reprend des éléments du diorisme, elle est inutile ici; de plus aucune droite autre que (AB) n'a, à ce stade de la démonstration, été tracée dans la synthèse.

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326

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus grande. Joignons HM. On montre, à l'exemple de ce que nous avons déterminé dans ce qui précède, que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à YM.

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Fig. 95

Que la droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK soit plus grande que la droite lM, c'est la droite IL 216 • Joignons HL et HM ; nous montrons, à l'exemple de ce que nous avons déterminé dans ce qui précède, que la droite HL coupe selon le rapport de CD à LG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à YM; et que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite LM seule; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-54 V ] La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons la droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK, soit plus grande que lM, soit pas plus grande qu'elle. Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus grande qu'elle. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite YM.

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330

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Onzième lieu

Que la droite menée de H parallèlement à la droite AB, la droite HK, tombe au-dessus du point G, c'est-à-dire que le point G soit entre celle-ci et le point M. La droite menée du point H au point G, si on la prolonge, passe soit par le point C, soit entre celui-ci et A, soit entre celui-ci et le point M. Qu'elle tombe d'abord entre celui-ci et A, au-dessus du point A 2l7 , c'est la droite HI. Il est alors clair que, pour les droites menées du point H, l'incidence se produit dans cinq positions. Il.1. Première incidence du onzième lieu B N

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Fig. 97

Menons, selon la première incidence, la droite HU, telle qu'elle coupe selon le rapport de CN à GU, donné 21s • Menons par le point 1 la droite IL, parallèle à la droite MU 2I9 , prolongeons la droite NU jusqu'au point L. Puisque le point G est donné, la droite HI est de position donnée, mais la droite AB est de position donnée, le point 1 est donc donné et la droite OIL est donnée. Or le rapport de IH à HG est donné; puisque le rapport de CN à GU est donné, mais que le rapport de GH à HI est donné, le rapport de GU à LI est donné car c'est le rapport de GH à HI, le rapport de CN [I-34 r ] à IL est donc donné. Puisque deux droites, IL et AB, sont 217 Dans ce lieu, le haut est donc simultanément, sur la droite (AB) dans la direction de B, et sur la droite (ED) dans la direction de E (comme dans le dixième lieu) ; voir note complémentaire S. 21S (HU) coupe la demi-droite [KE). 219 Retour aux notations initiales: les droites données sont les droites AB et DE, mais changement de méthode: on ne trace plus la parallèle à AB issue du point d'intersection de He et de ED, comme dans les Se, g e et lOe lieux, mais la parallèle à ED issue du point d'intersection de HG et de AB. Il en va de même dans tous les lieux suivants, à l'exception des I4e, ISe et I6 e lieux qui sont résolus directement. Le rapport va s'en trouver inversé et la discussion quelque peu compliquée (voir infra).

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332

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

données, que l'extrémité de la droite IL est au point 1 et celle de la droite AB au point C, que le point connu, le point H, est intérieur à l'angle LIB, que la droite parallèle220 tombe au-dessus du point C22l et que l'on a mené la droite NHL telle qu'elle coupe selon le rapport de IL à CN, donné, la droite HL est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du sixième lieu, dans laquelle il n'y a pas de détermination; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-55 V ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état; que le rapport donné soit le rapport de r à t, posons le rapport de HG à HI égal au rapport de r à s. Si l'on a deux droites de position donnée, les droites OL et AB, si la droite OL passe par le point 1 et la droite AB par le point C, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle LIB, si la droite passant par le point H et parallèle à la droite LO tombe au-dessus du point C et si le rapport est le rapport de s à t, menons la droite LH selon la première incidence du sixième lieu, telle qu'elle coupe selon le rapport de IL à NC, donné et égal au rapport de s à t ; je dis que la droite NL achève le problème. Puisque le rapport de GH à HI, c'est-à-dire de GU à IL, est égal au rapport de r à s, le rapport de r à s est égal au rapport de GU à IL. Mais le rapport de IL à CN est égal au rapport de s à t; par l'égalité, le rapport de GU à CN est donc égal au rapport de r à t. La droite NHL achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. Il.2. Deuxième incidence du onzième lieu Menons également la droite HL selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CN à GL222 , donné. Faisons passer par le point U une droite parallèle à la droite ED, la droite OUP : puisque chacun des deux points H et G est donné, la droite HU est donnée; mais la droite

C'est-à-dire la parallèle à IL issue de H (voir la synthèse). C'est cohérent avec le fait de dire que (Hl) tombe au-dessus de A. 222 Changement de notations. (HL) coupe le segment [Ml]. 220 221

333

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