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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Les sections dissemblables sont celles dans lesquelles ne se produit pas [A-238 f ] l'analogue de ce que nous avons mentionné. La droite qui sous-tend un segment de la circonférence d'un cercle ou un segment d'une des sections d'un cône est dite base de ce segment. La droite qui coupe toutes les droites menées dans ce segment en deux moitiés, parallèlement à la base, est dite diamètre de ce segment. Le point qui est sur la section et à partir duquel est issu le diamètre est dit le sommet du segment. Les segments qui sont dits égaux, à partir de leur base et au-dessus, sont ceux qui peuvent se superposer les uns aux autres et qui sont tels que les uns n'excèdent pas les autres. Ceux qui sont dits inégaux sont ceux qui ne sont pas selon ce que nous avons indiqué. Les segments dits semblables sont ceux dont les bases entourent avec leurs diamètres des angles égaux, et qui sont tels que l'on puisse mener dans chacun d'eux des droites parallèles à sa base en nombre égal, et tels que leurs rapports ainsi que le rapport de la base à ce qu'ils séparent du diamètre du côté du sommet de la section, dans chacun des segments, soient des rapports égaux ; et de même pour le rapport de ce qui se sépare du diamètre de l'un à ce qui se sépare du diamètre de l'autre l . On dit qu'une section de cône est placée sur un cône et qu'un cône entoure une section de cône si la section tout entière est sur la surface latérale qui entoure le cône, qui est entre son sommet et sa base ; ou bien sur cette surface latérale prolongée au delà de sa base. Et ainsi la section tout entière sera sur la surface latérale qui est au-dessous de la base, ou bien une partie de la section sera sur cette surface latérale et une autre partie sur l'autre surface latérale. Les cônes droits qui sont dits semblables sont ceux dont les rapports des axes aux diamètres de leurs bases sont égaux. La figure que j'appelle figure de la section construite sur l'axe ou sur le diamètre est celle entourée par l'axe ou le diamètre et le côté droit. [A-238 V
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1 Sur cette définition et la connaissance qu'Eutocius aurait pu en avoir, voir Tome 1.1, p. 22.
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
-1- Les sections paraboliques, si leurs côtés droits [M-100r ] que peuvent les perpendiculaires abaissées sur les axes sont égaux, sont des sections égales ; et si les sections sont égales, alors leurs côtés droits sont égaux. Soit deux sections paraboliques dont les axes sont AL1 et ze et dont les côtés droits égaux sont AB et ZM Je dis que ces deux sections sont égales. H
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Fig. 1
Démonstration: Si nous plaçons l'axe AL! sur l'axe ze, alors une section tombe sur l'autre section et se superpose à elle. Si elle ne se superpose pas à elle, qu'une partie de la section AB ne tombe pas sur la section ZH. Marquons sur sa partie qui ne tombe pas sur ZH le point B ; menons de celui-ci la perpendiculaire BK et complétons le rectangle KB. Posons ZA égale à AK et menons du point A la perpendiculaire AH à l'axe; complétons le rectangle AM. Les deux droites KA et AB sont égales aux deux droites AZ et ZM, chacune à son homologue. Le rectangle KB est par conséquent égal au rectangle AM et la droite KB peut le rectangle BK, comme on l'a montré dans la proposition Il du livre 1. De même, la droite AH peut le rectangle AM. Les droites KB et AH sont donc égales. Si donc on place l'axe sur l'axe, la droite AK tombe sur la droite ZA, la droite KB tombe sur la droite AH et le point B tombe sur le point H. Or il ne tombait pas sur la section ZH; ce qui est absurde. Il n'est donc pas possible que la section ne soit pas égale à la section. De même, posons la section égale à la section, posons AK [B-122 r ] égale à la droite ZA, menons les deux perpendiculaires des points K et A et complétons les rectangles BK et MA. La section AB tombe donc sur la
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
rectangles AM et EZ sont semblables et semblablement placés car ils sont semblables aux deux rectangles L1E et NA. Mais les deux droites AK et Te sont égales, donc les deux rectangles EZ et AM sont égaux ; or les deux rectangles KE et eA sont égaux, donc les deux rectangles AZ et TM sont égaux et les deux droites qui les peuvent sont BK et He, comme on l'a montré dans les propositions 12 et 13 du livre 1. Si donc on place l'axe sur l'axe, la droite BK tombe sur la droite eH et le point B tombe sur le point H; or [M-1 OOV] il ne tombait pas sur la section TH; ce qui est absurde. La section AB tout entière se superpose donc à la section rH B
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Fig. 2.2
De même, nous posons les deux sections égales, nous posons [B-122 les deux droites AK et re égales, nous menons à partir d'elles les perpendiculaires KB et eH et nous complétons le tracé de L1E, L1Z, NA et NM. La section AB se superpose à la section rH et l'axe AK tombe sur l'axe re, car, s'il ne tombait pas sur lui, l'hyperbole aurait alors deux axes et l'ellipse trois axes, ce qui n'est pas possible3 . La droite AK tombe donc sur la droite re et lui est égale; [A-240f ] le point K tombe sur le point e et la droite KB tombe sur la droite eH; et le point B tombe sur le point H Mais la section AB se superpose à la section rH; la droite KB est donc égale à la droite He et le rectangle AZ sera pour cette raison égal au rectangle TM. Mais la droite AK est égale à la droite re, donc la droite KZ est égale à la droite V
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eM De même, nous posons AS égale à rIl et on montre, comme nous l'avons montré précédemment, que Sç est égale à IIy, ce pourquoi ZP est égale à MT et la droite Pç est égale à la droite Ty. Les rectangles Zç et My
3 L'unicité de l'axe des coniques à centre a été établie dans la proposition 11.50 (11.48 de la version d'Eutocius).
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
sont donc égaux et semblables, ce pourquoi les rectangles L1B et NA sont semblablés et les deux rectangles L1Z et NM sont eux aussi semblables. Mais les deux droites KZ et eM sont égales, donc les deux droites L1K et Ne sont égales. Mais les deux droites AK et sont égales, donc les deux droites L1A et NT sont égales. Mais les deux rectangles L1B et NA sont semblables, donc les deux droites AB et rA sont égales, les deux rectangles L1B et NA sont égaux et ce sont les deux figures sur les deux axes. Ce qu'il fallait démontrer.
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[3] Si on a des sections paraboliques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un des diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et telles que leurs côtés droits soient égaux, alors les sections [MlOIr] sont égales. Si on a des sections hyperboliques ou elliptiques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un de leurs diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et si les figures construites sur ces diamètres sont égales et semblables, alors les sections sont égales. On montre cela comme on l'a montré pour les axes 4 • - 3 - . Quant à l'ellipse5, il est manifeste qu'elle n'est égale à aucune des autres sections. En effet elle est finie alors que les autres sont infinies. Je dis également qu'aucune parabole ne peut être égale à une hyperbole. Soit une parabole ABTet une hyperbole HlKN. Qu'elles soient égales, si c'est possible, [A-240 V] que les axes des deux sections soient BZ et KM, que le diamètre transverse de l'hyperbole soit Ke et que les droites BB et BZ soient égales aux droites KA et KM. Menons à partir des axes les perpendiculaires AB, L1Z, lA et HM. La section se superpose à la section car elle lui est égale, et les points B, Z, A, L1 tombent sur les points A, M, l, H. Le rapport de ZB à BB est égal au rapport du carré de L1Z au carré de AB,
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Voir Note complémentaire [1]. Voir Note complémentaire [2].
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
- 6 - Si on a une section de cône dont une partie tombe sur une partie d'une autre section de cône 8 et se superpose à elle, alors la section est égale à la section9 • Soit le segment AB de la section AB tel que, s'il tombe sur le segment TL1 de la section TL1E, il se superpose à lui. Je dis que la section AB est égale à la section TL1E. /). E
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S'il n'en est pas ainsi, qu'une partie de AB tombe sur une partie de TL1, et que le reste de la section ne tombe pas sur le reste de l'autre section ; mais qu'elles soient comme les deux sections L1TM et L1TN. Marquons sur TM le point 8 que nous joignons au point L1, et menons dans la section TL1E un diamètre KA, qui coupe L18 en deux moitiés. La droite tangente au point K à la section TL1E est parallèle à la droite L18. Le diamètre KA coupe les droites parallèles à la droite L1A8 en deux moitiés. Menons donc du point T la droite TZ parallèle à la droite L18. La droite KA la coupe alors en deux moitiés et elle est parallèle à la droite tangente à la section L1TM au point K ; cette droite est aussi tangente à la section L1TN , donc la droite KA est un diamètre de la section L1TN, comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II ; elle coupe donc la droite L1N en deux moitiés au point A ; [A-242 f ] mais elle divisait L18 en deux moitiés au point A 10 ; ce qui est absurde. La section AB tout entière tombe donc sur la section TL1E et se superpose à elle. Elle lui est par conséquent égale. Ce qu'il fallait démontrer.
8 On traduit indifféremment l'expression par « section de cône» ou « section conique ». 9 Voir Note complémentaire [5]. 10 Voir Note complémentaire [6].
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Soit le segment eK un autre segment, non séparé par ces deux perpendiculaires. Je dis que, si on pose le segment L1E sur lui, il ne se superposera pas à lui. S'il n'en est pas [M-102f ] ainsi, qu'il se superpose à lui, si c'est possible. Si on place L1E sur Ke et qu'elle se superpose à elle, la ligne rL1 tombera sur le segment contigu au segment BK, comme on l'a montré dans la proposition précédente; le point r du segment r L1E tombera sur un point autre que r du segment Ker car le segment [A-242 V ] KeBr n'est pas égal au segment r L1E et l'axe rH tombera sur une position autre que sa position ; et ainsi chacune de la parabole ou de l'hyperbole aurait deux axes; ce qui est absurde. Le segment L1Ene tombe donc pas sur le segment eK. Ce qu'il fallait démontrer. - 8 - Si dans une ellipse on mène des perpendiculaires à son axe et si on les prolonge de l'autre côté de celui-ci, alors elles séparent de la section, de part et d'autre de l'axe, des segments tels que, si on les place les uns sur les autres, ils se superposent. Et si on place les segments séparés par les perpendiculaires dont la distance du centre à l'autre côté est égale à la distance des perpendiculaires menées, alors ils se superposent à eux et ils ne se superposent à aucun autre segment de la section. Soit une ellipse ArL1B, d'axes AB et KA. Que l'on mène dans celle-ci deux perpendiculaires à BA qu'on prolonge des deux côtés ; soit rE et L1Z. Qu'elles séparent de l'ellipse deux segments TL1 et EZ. Que l'on mène dans la section également deux autres perpendiculaires, ME et Ne, selon cet exemple, dont les distances au centre soient égales aux distances de ces deux perpendiculaires. r
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Quant à Tl1 et EZI2 , si on les place l'une sur l'autre, elles se superposent; on démontre cela comme on l'a démontré dans la proposition précédente. On montre de même que MN se superpose à se. Mais puisque, si on place la surface KAA sur la surface KBA, elle se superpose à elle, comme on l'a montré [B-124f ] dans la proposition 4 de ce livre, alors la droite TE tombe sur la droite Ne car leur distance au centre est la même, l1Z tombe sur MS [A-243 f ] et le segment TL1 tombe sur le segment MN. Il car chacun d'eux se superpose à l'autre. se superpose donc au segment De même pour le segment EZ. Soit un segment rrx de la section autre que ces quatre. Je dis qu'un quelconque de ces segments ne se superpose pas à lui. S'il était possible que le segment MN se superpose à lui, il s'ensuivrait nécessairement ce qui s' ensuivait dans les propositions qui précèdent, à savoir que l'ellipse aurait plus de deux axes ; ce qui est absurde. MN ne se superpose donc pas à rrx. Ce qu'il fallait démontrer.
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- 9 - Les parties de sections égales dont la distance à leur sommet est égale se superposent les unes aux autres ; et celles dont la distance à leur sommet n'est pas une distance égale ne se superposent pas les unes aux autres. Soit deux sections égales d'axes r L1 et KA telles que la distance du segment AB au point T soit égale à la distance du segment EH au point K. Je dis que AB se superpose à EH. Démonstration: Si on place la Z E A section AT sur la section KE, le H point B tombera sur le point H car e B la distance de chacune au sommet de chacune des deux sections est [ ' 0 - - - - - - Ko------A égale, le point A tombera sur le point E et le segment AB tombera sur le segment EH. Je dis qu'il ne tombera sur aucun autre segment et ne se superposera pas à lui. Fig. 9
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Voir Note complémentaire [8].
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114
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
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Si c'est possible, qu'il tombe [A-243 V ] sur le segment Or nous se superposerait avons montré qu'il se superpose à EH. Le segment donc au segment EH. Or les segments ze et EH ne sont ni deux segments séparés par deux perpendiculaires, ni à des distances égales du centre 13 ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les deux propositions précédentes. Ce qu'il fallait démontrer. [M-1Ü2 V]
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- 10 - Des sections étant inégales, alors aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. Soit deux sections ABr et f1EZ inégales. Je dis qu'aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. A
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Fig. 10
Si c'est possible, que la partie AB se superpose à la partie f1E. La section ABrtout entière se superposerait alors à la section f1EZ, comme on l'a montré dans la proposition 6 de ce livre. Le segment ABr serait donc égal au segment f1EZ; ce qui est absurde. Aucune partie de ABr ne se superpose donc à une partie de f1EZ Ce qu'il fallait démontrer.
- Il - Toute parabole est semblable à toute parabole. Soit deux paraboles AB et Tf1 d'axes AK et ra. Je dis que les deux sections sont semblables. Démonstration : Posons leurs côtés droits Arr et rx et posons le rapport de KA à Arr égal au rapport de ra à rx ; partageons AK aux points Z et e d'une manière quelconque et partageons ra en un même nombre
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Voir Note complémentaire [9].
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116
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118
Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques
- 12 - Les hyperboles et les ellipses dont les figures construites sur leurs axes sont semblables sont elles aussi semblables ; et si les sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes sont semblables. N
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Soit deux hyperboles ou deux ellipses. Que les figures construites sur leurs axes [A-244 V ] soient semblables. Soit les sections AB et rL1, leurs axes AK et leurs diamètres transverses AIl et Séparons des deux axes et que le rapport de AK à AIl soit égal au rapport les segments AK et à Partageons AK d'une manière quelconque aux points Z et de et partageons en un même nombre de parties que AK, et selon les mêmes rapports, aux points M et E. Menons des points K, e, Z, M, E, 0 les perpendiculaires BK, eH, ZE, 0L1, NE, MA aux deux axes. Puisque les deux figures des deux sections sont semblables, le rapport du carré de BK au rectangle obtenu du produit de IlK par KA est égal au rapport du carré cela se montre à de L10 au rectangle obtenu du produit de XO par partir de la proposition 21 du livre J. Mais le rapport du rectangle IlK par KA au carré obtenu de KA est égal au rapport du rectangle obtenu du
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
produit de XO par or au carré de or; le rapport du carré de BK au carré de KA est donc égal au rapport du carré de LlO au carré de or. Le rapport de BK à KA est donc égal au rapport de LlO à or et le rapport de Bç à KA est égal au rapport de Lly à or. D'autre part, le rapport de lIA à AK est égal au rapport de xr à ro et le rapport de KA à AB est égal au rapport de or à rs ; le rapport de AlI à Ae est donc égal au rapport de xr [M-103 f ] à rs. À partir de cela on montre, comme on l'a montré précédemment, que le rapport de HP à eA est égal au rapport de NT à sr et que le rapport de El à ZA est égal au rapport de Ar à Mr. Le rapport des perpendiculaires Bç, HP, El à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire AK, AB, AZ, est égal au rapport des perpendiculaires Lly, NT, Ar à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire or, sr, Mr; et les rapports des parties de AK, qui est l'axe de AB, qui sont séparées par les perpendiculaires, aux parties de ro, qui est l'axe de r Ll, qui sont séparées par les perpendiculaires, sont des rapports égaux. La section AB est donc semblable à la section rLl. B
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D'autre part, nous posons [A-245 f ] la section AB semblable à la section rLl. <Je dis que les figures des deux sections sont semblables>. Étant donné que les deux sections sont semblables, nous menons dans la section AB des perpendiculaires quelconques, çB, HP, El, à l'axe; et dans la section rLlles perpendiculaires Lly, NT, Ar ~t, ~~ ri_1 ::- t=
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140
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Soit TE et ME leurs diamètres, BL1 et AN leurs bases, et T et Mies points de leurs sommets; que les droites TZ et MO leur soient tangentes en ces deux points. Je dis que les angles AZT et KOM sont égaux et que le rapport de ET à TZ est égal au rapport de ME à MO. Nous menons les droites que nous avons menées précédemment. Étant donné que les deux segments sont semblables, les deux angles entourés par les droites L1B et TE sont égaux aux deux angles entourés par AN et ME. Or les droites ZT et OM sont parallèles aux droites BL1 et AN, et les angles aux points T, M, E, E sont égaux. S'il en est ainsi et que les angles ZTE, OME sont obtus, alors l'angle ZTE est égal à l'angle OME et l'angle [B127 V] qui est au point Z est égal à l'angle qui est au point O. De même, le rapport de L1B à ET est égal au rapport de NA à EM en raison de la similitude des deux segments des sections ; le rapport de L1E à ET est donc égal au rapport de NE à EM. [M-I0S f ] Or le rapport de PT à L1E est égal au rapport de L1E à ET et le rapport de çM à NE [A-249 V ] est égal au rapport de EN à EM: le rapport de PT à TE est donc égal au rapport de çM à ME. Or le rapport de pr au double de TZ est égal au rapport de er à TH et le rapport de çM au double de MO est égal au rapport de IIM à MX. Mais le rapport de er à rH est égal au rapport de IIM à MX; le rapport de ZT à TP est donc égal au rapport de OM à Mç - en raison de la similitude des deux triangles TeH et IIMX. Le rapport de TZ à TE est donc égal au rapport de OM à ME. Or on avait montré que les deux angles aux points Z et o sont égaux.
- 18 - De même, nous posons les sections que nous avons mentionnées des hyperboles ou des ellipses, toutes les autres choses demeurant comme nous les avons mentionnées dans la proposition précédente. Que les deux diamètres TE et ME aboutissent aux centres des deux sections, qui sont les points l et T; que le rapport de TE à la tangente TZ soit égal au rapport de EM à MO et que les angles AZT, KOM soient égaux. Je dis que les segments L1TB et NMA sont semblables.
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Que le rapport de PT au double de TZ, tangente à la section L1T, soit à TH; et que le rapport de çM au double de MO, égal au rapport de tangente à la section NA., soit égal au rapport de IIM à MX; alors rp et çM sont les côtés droits relatifs aux diamètres TE et ME, comme on l'a montré dans la proposition 50 du livre 1. Menons des points A, K, r, MIes perpendiculaires AH, KX, rr, Mfl aux deux axes. Puisque les deux sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes seront elles aussi semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais si les figures de ces sections construites sur les deux axes sont semblables, alors le rapport du rectangle Ir par rZ au carré de Tr est égal au rapport du rectangle Typar yO au carré de My, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre 1. Or nous avons posé égaux les deux angles aux points Z et O. Mais les angles aux points r et y sont égaux car ils sont droits ; les triangles TrZ et MOy sont donc semblables. Mais nous avons montré que le
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21
Voir Note complémentaire [17].
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152
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
conséquent, si on prolonge les droites TB et L1E, elles rencontrent l'axe suivant des angles égaux, étant donné ce qu'on a montré dans les deux propositions qui précèdent celle-ci. Les deux droites TB et L1E sont donc parallèles. [A-252 f ] Menons la droite ME coupant les droites TB et L1E en deux moitiés. Menons du point M une droite parallèle à la droite L1EZ; soit MI. La droite ME est donc un diamètre de la section, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 28 du livre II. Mais la droite MI est parallèle aux droites ordonnées qui tombent sur lui ; elle est donc tangente à la section. Mais les deux segments TB et L1E sont semblables ; le rapport de MI à ME est donc égal au rapport de MI à MN, d'après ce qu'on a montré dans les deux propositions précédentes ; ce qui est absurde. Le segment L1ME n'est donc pas semblable au segment BK. Ce qu'il fallait démontrer. - 20 - Si l'on mène dans l'ellipse des droites telles qu'elles soient perpendiculaires à son axe, alors deux quelconques de ces perpendiculaires séparent de [B-129 f ] part et d'autre deux segments semblables et semblables aux deux segments séparés par les perpendiculaires dont les distances au centre sont égales aux distances de ces deux perpendiculaires ; la position de ces quatre segments est semblable et aucun d'eux n'est semblable à un autre . 25 segment de 1a sectIon . Soit une ellipse d'axe AA ; soit deux autres droites Be et TK qui coupent l'axe suivant des angles droits et soit deux autres droites qui coupent l'axe suivant des angles droits et telles que leurs distances du centre soient égales aux distances de celles-là, soit ZI et HO; je dis que les segments BT, BK, ZH, JO sont semblables et qu'aucun autre segment de la section ne leur est semblable.
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154
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Il est clair que les segments BT, BK, ZH et 10 sont semblables et semblablement placés, car ils se superposent les uns aux autres, d'après ce [A252 V ] qu'on a montré dans la proposition 8 de ce livre. Aucun autre segment ne leur est semblable. On montre cela comme suit. Si c'est possible, que le segment i1E soit semblable à ces segments; joignons les droites i1E, TB. Si on les prolonge, alors, si l'une d'elles rencontre l'axe, l'autre le rencontre selon un angle égal à l'angle selon lequel l'a rencontré la première, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 18 de ce livre. Les droites i1E et TB sont donc parallèles. Partageons-les en deux moitiés et faisons passer par les deux points du milieu la droite MNE ; la droite MNE est donc un diamètre pour les deux segments, comme on l'a montré dans la proposition 28 du livre II. Mais puisque les deux segments i1E et TB sont semblables, le rapport de TB à EM est égal au rapport de i1E à MN; ce qui est absurde car, si nous joignons les droites MB, MT et si nous les prolongeons, elles ne passeront pas par les points Li et E. Le segment LiE n'est donc pas semblable au segment TB. Ce qu'il fallait démontrer.
- 21 - Si on mène dans des paraboles des droites telles qu'elles soient perpendiculaires aux axes et telles qu'elles coupent des axes, du côté des sommets des sections, des parties dont les rapports aux [M-1 Ü7 f ] côtés droits - pour tous les segments - soient des rapports égaux, alors les segments séparés par ces perpendiculaires dans l'une des sections sont semblables aux segments séparés par les autres perpendiculaires dans les autres sections, et ils sont semblablement placés ; et ils ne sont pas semblables à d'autres parmi les segments pris dans ces sections. Soit AB et EZ deux paraboles d'axes AE et E8. Soit leurs côtés droits [A-253 f ] AIl et EP. Menons dans l'une des sections les perpendiculaires BM et i1E et dans l'autre section les perpendiculaires Zr et X8. Soit le rapport de AM à AIl égal au rapport de Er à EP et le rapport de EA à AIl égal au rapport de E8 à EP. Je dis que le segment BAO est semblable au segment ZEL, le segment LiA semblable au segment XE et le segment i1B semblable au segment ZX.
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158
Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques
donc égal au rapport de 8B à Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'M sera égal au rapport de B8 à 8r. Or nous avons montré que le rapport de KE' à E'M est égal au rapport de a8 à 8r ; le rapport de KE' à E'A est donc égal au rapport de a8 à 8B. Mais le rapport de E'A à E'.1 est égal au rapport de B8 à 8X, donc le rapport de KE' à E'.1 est égal au rapport de a8 à 8X. Mais les angles qui sont aux points E' et 8 sont droits, donc les triangles K.1E' et a8X sont semblables et les deux angles aux points K et a [A-253 V ] sont égaux. Mais le rapport de .1K à KB28 est égal au rapport de Xa à aZ et, par conversion, le rapport de K.1 à .1B est égal au rapport de aX à XZ. Mais .1B a été partagée en deux moitiés au point e et XZ a été partagée en deux moitiés au point ç ; le rapport de K.1 à .1e est donc égal au rapport de aX à Xç. C'est pour cela que le rapport de E'.1 à E'A est égal au rapport de 8X à 8T. Mais la droite AE' est égale à la droite rN et la droite 8T est égale à la droite Ho ; le rapport de .1E' à rN est donc égal au rapport de X8 à Ho, et c'est pour cela que le rapport de E'A à AN est égal au rapport de 8B à Bo, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'N est égal au rapport de B8 à 80. Mais on avait montré que le rapport de KE' à E'A est égal au rapport de a8 à 8B ; le rapport de KE' à E'N est donc égal au rapport de a8 à 80. C'est pour cela que le rapport de K.1 à .11 est égal au rapport de aX à XY. Si nous séparons, on a le rapport de KI à 1.1 égal au rapport de aY à YX. Or le rapport de Ke à e.1 est égal à çX, donc le rapport de Ke à est égal au rapport de au rapport de à Mais le rapport de à est égal au rapport de à çH car les sont semblables. Le rapport de Ke à er est donc égal triangles 1er et au rapport de à çH. Mais la droite Ke est égale à la droite tangente menée de r à l'axe, car elle est parallèle à la droite eK et elles sont entre deux droites parallèles. De même également, la droite est égale à la droite tangente menée du point H à l'axe; le rapport de la droite tangente menée
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162
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
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Fig. 22.1
droites sont menées parallèlement à la droite ZE, telles que le nombre des droites menées dans le segment BAD soit égal au nombre des droites menées dans le segment ZEE; que leurs rapports soient égaux à leurs rapports, que le rapport des droites menées dans le segment ZEE, ainsi que celui de la droite ZE, aux segments qu'elles séparent de l'axe du côté du point E soient égaux aux rapports des droites menées dans BAD ainsi qu'à celui de la droite BD aux segments qu'elles séparent de l'axe du côté du point A ; et que les rapports des segments séparés de l'axe AM aux segments séparés de l'axe Er soient égaux, alors les deux segments BAD et ZEE sont semblables. De même, le rapport de AM à AIl - qui est le côté droit - est égal au rapport de Er à EP - qui est le côté droit; et le rapport de AE' à AIl est aussi égal au rapport de E8 à EP. C'est pour cela que les rapports des deux droites L1E' et BM aux deux droites AE' et AM sont égaux aux rapports des deux droites X8 et Zr aux deux droites E8 et Er. Mais le rapport de E'A à 8E est égal au rapport de AM à Er et le rapport de AM à MB est égal au rapport de Er à Zr, donc le rapport de L1E' à BM est égal au rapport de X8
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164
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
à ZT. C'est pour cela que le rapport de BK à KM est égal au rapport de Da à aT. Par conversion, le rapport de KB à BM est égal au rapport de aDà DT. Mais le rapport de BM à BA est égal au rapport de DT à DE, car le rapport de BA à AM est égal au rapport de DE à ET. Le rapport de KB à BA [Ml üS f ] est donc égal au rapport de aD à DE. Or le rapport de BA à BL1 est égal au rapport de ED à DX, donc le rapport de KB à BL1 est égal au rapport de 0'8 à 8X. Mais les angles aux points B et 8 sont droits ; les angles aux points K et a sont donc eux aussi égaux. C'est pourquoi les angles aux points yet sont égaux. Les deux sections sont semblables, leurs figures sont donc semblables. Mais les droites Ty, He sont tangentes ; le rapport du rectangle AN par Nyau carré [A-255 f ] de TN est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de Ho, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre J. Mais le rapport du carré de rN au carré de Nyest égal au rapport du carré de Ho au carré de oe, en raison de la similitude des triangles TNyet Hoe. Le rapport du rectangle AN par Nyau carré de Ny est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de eo ; c'est pour cela que le rapport de AN à Nyest égal au rapport de To à eo. Mais le rapport de yN à NT est égal au rapport de eo à oH, en raison de la similitude des triangles; le rapport de AN à TN est donc égal au rapport de To à Ho. Mais les angles en N et 0 sont droits ; les triangles ANr et ToH sont donc semblables. Les angles qui sont aux points A et T sont alors égaux; or les angles aux points yet sont égaux; le rapport de yA à Ar est donc égal au rapport de eT à TH, et le rapport de yK à re est égal au rapport de ea à Hç, car la droite ry [B-13Ü V ] est parallèle à la droite BK et la droite He est parallèle à la droite Mais les deux figures des sections sont elles aussi semblables, donc le rapport de AM à MB est égal au rapport de ET à ZT et le rapport de MB à MK est égal au rapport de ZT à Ta; le rapport de AM à MK est donc égal au rapport de ET à Ta; si nous séparons, on a le rapport de AM à AK égal au rapport de ET à Ea. De même, le rapport de AA à
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168
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
de Hf) à f)T, en raison de la similitude des triangles TyA et Hf)T, donc le rapport de Ty à yK est égal au rapport de Hf) à f)(j. Or nous avons montré précédemment que le rapport de yK à Te est égal au rapport de f)(j à Hç, donc le rapport de Ty à Te est égal au rapport de Hf) à Hç. Mais les deux angles aux points yet f) sont égaux, donc les deux segments L1TB et XHZ sont semblables et semblablement placés, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 18 de ce livre. D'autre part, si nous posons un segment le, non séparé par les perpendiculaires que nous avons mentionnées et sans que, dans l'ellipse, il soit non plus séparé par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales aux distances des autres perpendiculaires, alors je dis qu'il n'est pas semblable au segment L1TB. Si c'est possible, qu' il lui soit semblable. Mais le segment L1B est semblable au segment XZ, donc le segment le est semblable au segment XZ, et ils ne sont séparés ni par les mêmes perpendiculaires ni par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales à leurs distances ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les propositions 19 et 20 de ce livre. Le segment le n'est donc pas semblable au segment XZ, ni au segment L1TB. Ce qu'il fallait démontrer. [A-256f ; B-131 f ; M-I08 V
]
- 23 - Dans les sections dissemblables, aucun segment de l'une n'est semblable à un segment de l'autre. Soit AB et TL1 deux sections dissemblables. Qu'elles soient d'abord toutes les deux des hyperboles, ou toutes les deux des ellipses. Je dis qu'aucun segment de AB n'est semblable à aucun segment de TL1. Si cela est possible, que le segment BE soit semblable au segment L1Z. Joignons les droites BE et L1Z et partageons-les en deux moitiés aux points H et e. Soit les points A et K les centres des deux sections. Joignons les droites HMA et eNK qui sont les diamètres des deux sections, comme on l'a montré dans la proposition 47 du livre 1. Les droites HMA, eNK ou bien sont des axes ou bien ne le sont pas. Si elles sont des axes et si les deux segments BE et L1Z sont semblables, alors on mène jusqu'à l'axe les droites
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176
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
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Ces droites sont donc des diamètres du cercle; elles partagent les droites que nous avons menées [A-257 en deux moitiés et leur sont perpendiculaires. Mais elles sont aussi des diamètres de la section, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 28 du livre II. Les droites MN, sa et rrx sont donc des axes pour la section, sans qu'aucune d'elles ne prolonge son associée, [B-132f ] car les trois premières droites ne sont pas parallèles; ce qui est absurde car dans aucune des sections il n'y a pas plus de deux axes, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 50 du livre II. [M-109 V] Il n'est donc pas possible qu'une partie de l'une des sections soit un arc de cercle. Ce qu'il fallait démontrer. V
]
- 26 - Si des plans parallèles coupent le cône dans une même direction et si, parmi ces plans menés dans la direction du sommet du cône, certains sous-tendent l'angle extérieur, alors les hyperboles engendrées sont semblables et inégales. Soit le cône ABr; qu'il soit coupé par deux plans parallèles. Soit les deux droites KN et eM leurs intersections avec la base. Menons du centre de la base du cône une perpendiculaire à ces deux droites ; soit BAHr. Coupons le cône par un plan passant par la droite Br et par l'axe du cône; que ce plan coupe la surface du cône suivant les deux droites AB et Ar et que les deux intersections de ce plan et des deux plans parallèles soient les droites LlA et ZH. Prolongeons-les jusqu'aux points a et E. Je dis que la section eZM est semblable à la section KLlN sans lui être égale. N Fig. 26
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178
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Démonstration: Menons du point A une droite Arr parallèle aux droites L1A et ZH et posons le rapport de OL1 à L1E égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Posons également le rapport de EZ à Z1 égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Si la droite BA est perpendiculaire à la droite KN, alors les droites menées dans l'hyperbole KL1N jusqu'à la droite LiA, et qui sont parallèles à la droite KN, peuvent les rectangles appliqués à L1E, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle [A-258 f ] semblable au rectangle entouré par les droites OL1 et EL1, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre J. De même, les droites menées dans l'hyperbole eZM jusqu'à la droite ZH et qui sont parallèles à la droite eM peuvent les rectangles appliqués à Z1, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle semblable au rectangle [B-132 entouré par les droites EZ et Z1. Les angles entourés par la droite KN avec la droite L1A sont égaux aux angles entourés par la droite eM et la droite ZH, car ces droites sont parallèles deux à deux. Les deux sections sont donc semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais le rectangle OL1 par L1E est plus petit que le rectangle EZ par Z1. Les deux sections eZM et KL1N sont donc inégales, d'après ce qu'on a montré dans la seconde proposition de ce livre. Ce qu'il fallait démontrer. V
]
- 27 - Si des plans parallèles coupent un cône et rencontrent les deux côtés du triangle qui passe par son axe, sans être parallèles à sa base, ni antiparallèles à celle-ci, alors les ellipses engendrées seront semblables et inégales.
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Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques
le rapport du diamètre transverse, qui est l'axe de la section connue, à son côté droit. Soit le cône droit connu le cône dont le triangle qui passe par son axe est ABT et son axe AB. [A-260 r ] Soit L1E l'hyperbole connue, d'axe L1L', dont la figure est le rectangle entouré par les droites HL1, L1Z. n
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Fig. 29
Que le rapport du carré de AB au carré de BB soit d'abord égal au rapport de HL1 à L1Z. Menons dans l'angle BAlI une droite parallèle à la droite AB et égale à HL1 ; soit lIN. Faisons passer par la droite lIN un plan perpendiculaire au plan du triangle ABT; qu'il coupe le cône; son intersection sera une hyperbole dont l'axe est IN. Puisque la droite AB est parallèle à la droite lIN, le rapport de lIN, diamètre transverse, au côté droit de la section est égal au rapport du carré de AB au rectangle obtenu du produit de BB par Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre l ; et est égal au rapport de HL1 à L1Z. Mais la droite lIN est égale à la droite HL1, donc la droite L1Z est égale au côté droit de la section dont l'axe est IN. La figure de la section dont l'axe est IN est donc égale à la figure de la
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188
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
section L1E. La section L1E et la section dont l'axe est IN sont donc égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et il n'existe aucune autre section égale à la section L1E telle que le point du sommet de son axe soit sur la droite AB. Si cela est possible, alors l'axe de cette section sera dans le plan du triangle ABr, comme on l'a montré dans la proposition qui précède 33 , et le triangle ABr sera perpendiculaire au plan où se trouve cette autre section. Mais puisque c'est une hyperbole et qu'elle est égale à la section L1E, alors son axe rencontre Ar au delà du point A et la partie de l'axe qui dépasse le triangle jusqu'à sa rencontre avec Ar est égale à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et ce n'est pas la droite JIN, ni une parallèle à celle-ci, car si elle lui était parallèle, elle ne lui serait pas égale. S'il en est ainsi, alors, si on mène du point A une droite [M-111 r] parallèle à cet axe, [A-26Ü elle tombe entre Ae et Ar ou entre Ae et AB. Que la droite qui lui est parallèle soit la droite AM; alors le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est égal au rapport de L1H à L1Z, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre 1 et la proposition 2 de ce livre. Mais le rapport de L1H à L1Z est égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est donc égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; ce qui est absurde car le carré de AM est plus grand que le carré de Ae et le rectangle obtenu du produit de BM par Mr est plus petit que le rectangle obtenu du produit de Be par er. De même, si nous posons le rapport du carré de A e au carré de e B plus petit que le rapport de HL1 à L1Z, si nous circonscrivons un cercle ABr au triangle ABr et si nous prolongeons la droite Ae jusqu'en P, alors le rapport de Ae à ep est plus petit que le rapport de HL1 à L1Z. Soit le rapport de Ae à er égal au rapport de HL1 à L1Z. Soit la droite XE parallèle à la droite Br. Joignons les droites AME et AKX; que chacune des droites JIN, çO soit égale à la droite L1H et que la droite çO soit parallèle à la droite AM et la droite JIN parallèle à la droite AK. Faisons passer par les droites V
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Cette démonstration se trouve dans celle de VI.28.
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194
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
AM à MS égal au rapport de L1H à L1Z. Il est clair que cela est possible et facile. Menons dans le triangle ABTune droite orr parallèle à la droite AM et égale à la droite L1H. Faisons passer par la droite orr un plan qui coupe le cône et qui est perpendiculaire au plan du triangle ABT. Il engendre dans le cône une ellipse; son axe sera la droite orr et le rapport de orr à son côté droit est égal au rapport du carré de AM au rectangle BM par MT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1. Mais le produit de BM par MT est égal au produit de AM par MS. Le rapport de orr, [A-262 f ] le diamètre transverse, à son côté droit est donc pour cette section égal au rapport du carré de AM au rectangle AM par MS. Mais le rapport du carré de AM au rectangle AM par MS est égal au rapport de AM à MS. Mais le rapport de AM à MS est égal au rapport de L1H à L1Z. Le rapport de orr au côté droit de la section dont l'axe est orr est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Les deux figures de la section L1E et de la section dont l'axe est 0 rr sont donc semblables et égales. Les deux sections sont donc elles-mêmes égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre.
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Fig. 30
Je dis qu'il n'existe dans ce cône aucune autre section dont le sommet du côté de A soit sur la droite AB et qui soit égale à la section L1E.
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196
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Si cela est possible, alors nous montrons, comme nous l'avons montré dans la proposition 28 de ce livre, que son axe est dans le plan du triangle ABr et que son plan est perpendiculaire au plan ABr. Si cette section est une ellipse, alors son axe rencontre la droite Br. Si elle est égale à la section L1E, alors son axe est égal à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre, et son sommet du côté du point A sera sur la droite AB. Son axe ne tombe donc pas sur orr et ne lui est pas parallèle. Si nous menons du point A une droite parallèle à cet axe, elle ne tombe pas sur la droite AM. Qu'elle soit comme la droite [A-262 V ] A T. La droite A T coupe donc l'arc AT car elle n'est pas parallèle à la droite Br; et le rapport du diamètre transverse de la section à son côté droit est égal au rapport [B135 f ] du carré de AT au rectangle BTpar TT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1 ; il est aussi égal au rapport de L1H à L1Z. Mais le rectangle BT par TT est égal au rectangle A T par TL. Le rapport du carré de A T au rectangle A T par TL est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Quant au rapport du carré de AT au rectangle A T par TL, il est égal au rapport de AT à TL. Quant au rapport de L1H à L1Z, il est égal au rapport de AM à ME. Le rapport de A T à TL est donc égal au rapport de AM à ME ; ce qui n'est pas possible. Il n'existe donc pas dans ce cône une section égale à la section L1E, telle que le point de son sommet, du côté du point A, soit sur la droite AB, autre que la section dont l'axe est orr. Ce qu'il fallait démontrer.
- 31 - Nous voulons montrer comment trouver un cône droit qui entoure une parabole connue et qui soit semblable à un cône droit connu. Soit la parabole BAr d'axe AA et le côté droit AL1 de cette section. Soit le cône droit connu EZK et le triangle EZK qui passe par son axe. Faisons passer par la droite AA un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section BAT. Soit le plan eAA. Menons dans ce plan la droite AM et faisons en sorte qu'elle entoure avec la droite AA un angle égal à l'angle EZK.
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198
Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
Faisons le rapport de L1A à AM égal au rapport de KZ à ZEe Construisons sur AM un triangle AeM semblable au triangle EZK. Prolongeons les droites eA et eM à partir des points A et M. Construisons un cône de sommet le point e et de base le cercle construit sur la droite AM et tel que cette droite soit un de ses diamètres et qu'elle soit perpendiculaire au plan AeM. L'angle MAA est donc égal à l'angle EZK. Mais l'angle EZK est égal à l'angle eMA, donc l'angle MAA [A-263 f ] est égal à l'angle [M-112 f ] eMA et la droite AA est parallèle à la droite eM qui est le côté du triangle passant par l'axe. Le plan où se trouve la section connue engendre donc dans le cône une parabole. Or le rapport de L1A à AM est égal au rapport de KZ à ZE, qui est égal au rapport de AM à Me. Le rapport de AL1 à AM est donc égal au rapport de AM à Ae, car Ae est égal à Me. Le rapport du carré de MA au carré de Ae est donc égal au rapport de AL1 à Ae. Mais le carré de Ae est égal au rectangle Ae par eM. Le rapport du carré de MA au rectangle obtenu du produit de Ae par eM est donc égal au rapport de L1A à Ae ; le côté droit de la section engendrée dans le cône est donc la droite L1A, et elle est aussi le côté droit de la section BAT. Mais les paraboles dont les côtés droits sont égaux sont égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 de ce livre. La section BAT est donc placée dans le cône que nous avons construit. Or le cône que nous avons construit est semblable au cône EZK, car le triangle EZK est semblable au triangle AMe. Je dis que la section ne se trouve dans aucun autre cône semblable au cône EZK et tel que son sommet soit de ce côté-ci du plan de la section, à l'exception de ce cône. N
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208
Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques
PS par se au carré de se, lequel est égal au rapport de PS à se. Mais le rapport du carré de EH au carré de ZH est plus petit que le rapport de NA à AT. Le rapport de PS à se est donc plus petit que le rapport de NA à A T. Posons le rapport de PS à Sy égal au rapport de NA à AT, faisons passer par le point y une droite IyçL parallèle à la droite NA, joignons les droites [A-265 IP, IN, lA et menons du point A la droite AG parallèle à la droite IP. On montre, comme on l'a montré précédemment, que les deux triangles GIA et ZEK sont isocèles et semblables. Si nous construisons un cône tel que son sommet soit le point l et sa base un cercle de diamètre AO, dont le plan est perpendiculaire au plan eAA, alors le plan où se trouve la section BAT coupe ce cône et de son intersection on a une hyperbole telle que l'axe de cette section soit la droite AA, son diamètre transverse AN et telle que le rapport de NA à AT soit égal au rapport de PS à Sy, qui est égal au rapport de PX à XI. Mais le rapport de PX à XI est égal au rapport du rectangle PX par XI au carré de XI. Or le rectangle PX par XI est égal au rectangle NX par XA. Le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est donc égal au rapport de NA à AT. Mais le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est égal au rapport du carré de Iç au rectangle Oç par çA, car la surface AçIX est un parallélogramme. Le rapport de NA à AT est donc égal au rapport du carré de Iç au rectangle Aç par çO. La droite AT est donc le côté droit de la section engendrée dans le cône AIO. On montre à partir de cela, comme nous l'avons montré précédemment dans cette proposition, que le cône de sommet le point l entoure la section BAT, laquelle sera aussi entourée par un autre cône, comme ce cône dont le sommet sera alors le point L, si on joint les droites NL et AL et si on prolonge la droite NL. Ces deux cônes sont semblables au cône EZK. Je dis que cette section ne sera pas entourée par un troisième cône semblable au cône ZEK et tel que son sommet soit situé du côté où se trouve le point l par rapport au plan où se trouve la section BAT. [B-137 f ] V
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Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques
rapport est égal au rapport de ex à XO. Le rapport de AT à A.1 est donc égal au rapport de ex à XO. Mais il était aussi égal au rapport de eA à AI. Le rapport de ex à XO est donc égal au rapport de eA à AI; ce qui n'est pas possible. Il ne peut donc se trouver un troisième cône qui entoure cette section et qui soit semblable au cône EZK. Ce qu'il fallait démontrer. Le sixième livre de l'ouvrage d'Apollonius sur les Coniques est achevé.
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NOTES COMPLÉMENTAIRES
[1, p. 100; ar. p. 101, 7] Dans les deux traditions manuscrites, ce paragraphe est placé au début de la troisième proposition. Le numéro de celle-ci a été noté au début du paragraphe. Il est cependant évident que celui-ci est un complément - un corollaire pour ainsi dire - des deux premières propositions. En effet, dans les propositions VI. 1 et VI.2, Apollonius rapporte les sections coniques à l'axe et au côté droit qui lui est relatif. Il lui restait donc à recommencer avec un diamètre quelconque, pas nécessairement l'axe, et son côté droit relatif, et par conséquent à tenir compte de l'angle formé par ce diamètre et les ordonnées. Problème assez facile; Apollonius n'éprouve aucun besoin de s'y appesantir, puisque, comme il le rappelle, le modèle de la démonstration est le même que dans le cas de l'axe. Il écrit: «~W ~ ~~J \ l+-J\ tj (on montre cela, comme on l'a montré pour les axes) ». Si on désigne par (9 et (9/ les angles des diamètres et de leurs droites ordonnées, on aura immédiatement les résultats suivants: paraboles: 9= 9/ Ç::} C = c/ et (9 = (9/ coniques à centre : ~ = ~ / Ç::} C = C ~ d = d/ et (9 = (9/. Le paragraphe complète donc les deux premières propositions. Cette conclusion s'est imposée aux lecteurs - commentateurs et traducteurs - des Coniques. Ainsi al-Shïrazï (seconde moitié du xr siècle) place ce paragraphe, dans son Examen des Coniques (Ta~afful:t), à la fin de VI.2 et le sépare ainsi de VI.3 (ms. Istanbul, Ahmet III, 3463, fol. 111 J. Na~ïr al-Dïn al-Tusï, dans sa Rédaction des Coniques, sépare ce même paragraphe de la troisième proposition et le place là où il doit être (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 Ibn Abï Jarrada écrit en marge du manuscrit A, face au début de la proposition VI.3 : V
).
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\11 ~ ~ ~j ,:;~Jji (J~ (Ji ~ l:Ak:~»
.«o~\fr~i ~~ ~ ~~j.()~ lç « Je dis: c'est ici que doit être le début de la proposition 3 ; ce qui précède (le paragraphe évoqué) est l'achèvement de la proposition 2, étant donné qu'il lui est lié et qu'il n'a aucun lien à ce qui suit. Rédigé par Mu1)ammad ibn ~Umar ibn Abï Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 240r ) ».
Dans sa traduction latine, E. Halley fait de même (p. 68).
[2, p. 100 ; ar. p. 101, 13-15] Dans les deux premières propositions et dans le corollaire évoqué dans le paragraphe rédigé à leur suite, Apollonius établit les conditions pour que deux sections coniques d'un même genre soient égales. Il est naturel de soulever
220
Notes complémentaires
ensuite la question de l'égalité entre deux sections coniques de genres différents. C'est précisément ce qu'il fait. Or on s'attendrait à un énoncé qui englobe tous les cas qu'il considère ensuite où il distingue d'une part entre l'ellipse - courbe fermée - et les autres courbes ayant des branches infinies, et puis d'autre part entre ces dernières; c'est-à-dire un énoncé du genre :
. « -û\)\ ~\ i.fJL.: '1 t}l5:1\ ~\J ,yy\ t~\ i.fJ~ '1 ~W\ ~\» « L'ellipse n'est pas égale aux sections qui restent, et la parabole n'est pas égale à l' hyperbole» ou, comme l'a proposé Na~ïr al-Dïn al-Tüsï dans sa Rédaction:
« une section n'est pas égale à une section qui n'est pas d'un même genre» (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 V
).
On note que le paragraphe débute par la locution ~W\ ~\ ~i (quant à l'ellipse) ; ceci suggérerait donc qu'un énoncé plus global a précédé cette locution. En tout cas, tout indique que, s'il y avait eu une omission (dans le texte grec ou dans la version arabe), celle-ci n'aurait pas dépassé quelques mots. C'est pour cette raison que nous avons placé cette phrase dans le texte, à titre bien entendu conjectural. Dans son commentaire du traité d'Archimède De l'équilibre des figures planes, Eutocius rappelle la définition d'Apollonius des segments semblables. L'examen de cette définition citée par Eutocius montre qu'elle n'est pas identique à celle effectivement donnée dans le livre VI. Il manque à la définition rapportée par Eutocius la condition sur les angles, ce qui ne pouvait pas échapper à Eutocius s'il avait entre les mains le texte du livre VI. Voir la discussion de cette question au Tome 1, p. 21-22, de cette édition des Coniques.
[3, prop. 3, p. 102 ; ar. p. 103,4] Glose d'al-Tüsï :
~ ~J~J? eLJi~J~~eL~~i,J? Ji~~0P:~6.» ~JL-,
\
~
j
,~ ~ ~
J J ;L...., ~ ~ \ ~ j
,n ~ J ~ eL Ji ~ ~ \ ~ eL . «U1>.
\~ ~J ~J
«Glose: le rapport de MK à KA, c'est-à-dire le rapport du rectangle MK par AB au rectangle KA par AB, est donc égal au rapport du rectangle BM par MK au rectangle BA par AK, donc BM par MK est égal à AB par MK, donc BM est égal à eA ; ce qui est absurde» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 122).
221
Notes complémentaires
[4, prop. S, p. 104 ; aI. p. lOS, 14] Au lieu de AKe et BAe, on trouve AK et BA dans les deux familles de manuscrits représentées par A et B ; ce qui indique qu'il en était ainsi dans la traduction du manuscrit grec, et très vraisemblablement dans le manuscrit lui-même. Or cet exemple - entre bien d'autres que nous ne relevons pas - est significatif de la traduction latine de Halley, et de l'impact qui fut le sien sur les traductions française et anglaise. Commençons par rappeler le texte : ,(ms. 31) ~ .JAJ ,~L:J\J ~ ~ ~ 1, ~ 1, ~ \
0H '( ~ 1, ~ 1, 01J ,~iJ» 0 \
~ ~ ~ .~ J~.w..;~ ~.1>J ,(ms. J ~)1, J~.JAJ ,~L:-U;~
.«~J~ \.w..~.1>J~J~ \~~;~ De ce texte, voici la traduction, littérale, que nous avons donnée: « De même ABe est égale à eBH; Are est alors égale à eBL1 et le reste, qui est AKe (ms. AK), est égal au reste, qui est BAe (ms. BA) ; et la ligne AKL1 est égale à la ligne rAB. La surface AKL1B tout entière est donc égale à la surface ArAB tout entière, et la ligne AKL1B à la ligne ArAB. » Ainsi, une fois montré que Are est égale à eBL1, on entend établir que AKL1B est égale à ArAB ; les restes sont aussi égaux: AKe plus un quart d'ellipse d'une part, BAe plus un quart d'ellipse d'autre part. La conclusion s'ensuit nécessairement. Dans sa traduction latine, Halley s'est arrêté à AK et BA, et les a considérés non pas comme deux segments (il arrive souvent que dans le texte un segment ou une surface soit désigné par deux lettres seulement), mais comme deux courbes, estimant que le texte est lacunaire. Il a donc ajouté une phrase pour combler ce qu'il pensait être une lacune. Il écrit : « Triangulum autem ABe aequale est triangulo BHe : Area igitur Are Areae BL1e aequalis est, ac Area residua AeK residuae BAe ut & Curva AK Curvae BA aequalis. » (p. 69). Or cette lacune, comblée par la phrase soulignée, n'existe pas. On remarque aussi que Halley ajoute des termes tels que triangle, aire, courbe, absents du texte. Disons-le une fois pour toute : la traduction de Halley, grâce à laquelle le texte d'Apollonius a été connu, est bien de son temps, une traduction libre, qui s'autorise certaines gloses. Ver Eecke l'a rendue rigoureusement telle quelle, jugeant lui aussi le texte lacunaire. D'autres ont depuis suivi le même chemin, mais avec moins de bonheur.
[5, prop. 6, p. 106; ar. p. 107, 2 ; trad. p. 20] Ibn Abï Jarrada écrit en marge de l'énoncé de cette proposition la glose suivante (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) :
222
Notes complémentaires
'0~r:J\ ~ 0~y:J\J ,~\)\ tlli\.1 ~ 0-:!~\ ~\ \~ ~ ()~ ~~ ,)~
\.a :~»
'«;;~\ft '-Ii ~~ ~ ~ ~J Sur cette question, voir le commentaire mathématique, p. 20.
[6, prop. 6, p. 106 ; are p. 107, 13] Ibn Abi Jarrada propose la formulation suivante:
W' ,J ~ ~ ~ ~ .b>. ~
* \ ~ ~ ~ ~~\ :\~ 0~ 0i ~ :~»
'«;;~\ft'-li ~~ ~ ~~J·(;;j~~~)YtlLQ1\ ~ j~\~~ « Je dis: il faut que ce soit ainsi: la tangente à la section L1rM coupe la droite L1N en deux moitiés au point 1\., comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) ».
[7, prop. 7, p. 108 ; ar. p. 109, 13] Ibn Abi Jarrada a écrit dans une glose une remarque sur la démonstration par Apollonius de l'égalité des droites BZ et ZL1 d'une part, et AH et EH, d'autre part:
.~ û~i ~i ~ ,~\ ~~.rJ 1,.# ~~ ,tlL1~\ o.a ~J~ ~J~
o.a :~»
'«;;~\ft'-li ~~~ ~~J « Je dis : celles-ci (les droites) sont égales, sans qu'il soit besoin de s'étendre, car elles sont des ordonnées à l'axe et sont partagées aussi en des moitiés par lui. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 242) ».
[8, prop. 8, p. 112 ; are p. 113, 1] À la lecture de ces lignes, on constate que l'énonciation avec l'expression habituelle ÀÉyw OTt rendue en arabe par 01 J~i manque. D'aucuns pourraient croire qu'il y a là une omission qu'il faudrait restituer. Or l'examen des quatre premiers livres des Coniques, c'est-à-dire ceux qui nous sont parvenus dans la version d'Eutocius et dans une traduction arabe d'un manuscrit indépendant, nous montre qu'une telle situation se présente plus d'une fois, par exemple dans les propositions 2, 26, 29 du second livre, pour ne considérer que lui, aussi bien dans le texte grec que dans le texte arabe; c'est dire que rien n'autorise à faire endosser la responsabilité de cette absence aux traducteurs ou aux copistes. Mais cela confirme d'autre part qu'Eutocius n'a pas omis cette énonciation lors de son
Notes complémentaires
223
édition. L'examen des situations où celle-ci manque également montre qu'il s'agit ou bien d'une proposition dont tout ou partie découle d'une - ou des - propositions précédentes, ou bien d'une proposition qui traite d'un problème de construction, ou bien enfin d'une proposition qui n'est qu'une réplique d'une autre, démontrée dans une précédente section. Dans cette proposition 8, Apollonius veut démontrer: a) que le segment ril se superpose au segment EZ, ainsi qu'aux segments MN et
se; b) qu'il ne se superpose à aucun autre segment. Or a) découle directement de VI.7 et V1.4. C'est donc un corollaire. On comprend qu'Apollonius n'insiste pas et donne directement la démonstration. Mais b) est une affirmation nouvelle qu'Apollonius démontre par réduction à l'absurde. Ainsi, avant cette démonstration, il en énonce l'objet par l'expression habituelle. Or cette situation n'est nullement unique: Apollonius procède ainsi dans 1.51 par exemple. Nous voulons dire par cette remarque qu'il s'agit là, selon toute vraisemblance, d'une variante du style de rédaction d'Apollonius, style uniforme certes, mais non mécanique et qui parfois varie.
[9, prop. 9, p. 114 ; ar. p. 115,2-3] « or les segments )~
ze et EH ... du centre »,
~J
... L 01, j.
Cette locution est parfaitement correcte et n'a subi aucune altération. Elle signifie que ze et EH ne sont pas découpés par deux mêmes cordes perpendiculaires à l'axe, ni par deux couples de cordes symétriques par rapport au centre de la section, cas qui peut se présenter pour l'ellipse et les deux sections opposées. Dans sa rédaction des Coniques, al-Shirazi a introduit le terme « mêmes» (4L:c~), terme utilisé par Apollonius en d'autres endroits, par exemple VI.22, pour faire ressortir le sens. Il écrit ainsi:
«car deux mêmes perpendiculaires ne tombent pas sur eux (les deux segments) et leurs distances du centre ne sont pas égales (ms. Istanbul, Carullah 1507, fol. 115) ».
[10, prop. 12, p 122 ; ar. p. 123, 8] « ... et que le rapport de KA à An est égal au rapport de or à rx », J~ J~ ~ t ~ J \ J~ E ~J . Ibn Abi Jarrada a isolé cette phrase dans le texte même entre deux signes "'1" et "J~" . Il écrit alors en marge:
224
Notes complémentaires
~J ,4-)i ~~ :i ;;~L:) ~J ,\~ ~\ ~ ~ ~J
~ ~~ 4...;J~~ ~\ ~ ~~\
~ ~ d:..iJj.4 ~ ~\ '4...;J~\
Ji ~J lf)J .J"k 0~~~ ~\~\
v
r
)
~
·~JJiJt ~ .kJ
~J ,t~.,l\ ~ ~
Ji 4...;J~\ ~ wl$ II cûi ~J' ~ 0~y-:J\
.... ~ ·l:QJ~\\ü ~,I- A",Y\-;i ~J
"Ji" ":i" ~Y\c ~ ~jJ\ \~: ~»
Ji JS
..
~wi ~~"k
JJ
' . W~\\I...-l·.:.1\ \II...-l . .:.1\ L-.;5 ,1 -A",YWi 0-4 r . ~ t5~ . ...r--. ~
~
~~'~~Ji~t~~JiU ~J
.«;;~\~ ~i ~ ~ ~ ~ ~J .o.J~ W' '0~y-:J\ \11 ~ ~J « Je dis: ce qui est entre les deux signes "la" "i/cr' se trouve ainsi dans toutes les copies [des Coniques] ; c'est un ajout dont on n'a pas besoin et qui ne relève pas du sujet. Sa [Apollonius] démonstration est longue, et il est possible de parvenir à ce que l'on cherche de cette proposition d'une manière plus accessible, mais il sous-entend au cours de la démonstration la chose suivante: puisque le rapport du produit au produit, qui est composé des deux rapports de leurs côtés, est égal au rapport du produit au produit, composé des deux rapports de leurs côtés, alors les deux rapports composés sont égaux et le rapport de KA à Ae est égal au rapport de OT à TE. Il reste donc le rapport de Kn à ne égal au rapport de OX à XE. C'est sur cela que l'on bâtit l'achèvement de la démonstration, comme il [Apollonius] l'avait mentionné. Rédigé par Mu}:1ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 245 r ). La remarque d'Ibn Abi Jarrada est exacte, mais l'authenticité de la phrase d'Apollonius n'est pas objet de doute: elle figure dans tous les manuscrits de la traduction. Al-Tüsi, à son tour, isole cette même phrase et écrit la glose suivante:
«Glose : car les rectangles proportionnels sur les côtés proportionnels sont semblables» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 125r ).
[11, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14; voir supra, p. 33] Voici le texte d'Ibn Abi Jarrada: Ü
\J~~ b\S.,J ~~'~\~EJ~~0~:ii~W\~\~~:~»
~~ ~ ~\ wW
't ~~~ ~Jü~~ ~ \ 0 1SJ ,~~ J~~ ~.rJ\~t
~
~ ~~J.~~ ~yAJ\~J'0-=~\J.c;;~i ~,~~~~\..illJ~ [) .«;;~\~~i~~
225
Notes complémentaires
« Je dis : Il faut dans les deux ellipses que les deux points T et y ne soient pas sur les sections, car, s'ils y étaient, et si AT et .1y étaient des ordonnées pour les diamètres Ar et ME , alors Aç serait égale à çT et .1r serait égale à 'l'Y, et ainsi ATet ~y seraient divisées en deux moitiés par les diamètres ZH et IX des deux cercles et elles seraient donc des perpendiculaires aux diamètres; or ceci n'est pas l'hypothèse. Rédigé par Mu1).ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada » (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 246 ». V
)
[12, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14] Au cours de la démonstration de cette proposition VI.13, Apollonius déduit l'égalité des deux angles Z et !, sans justification aucune. Les Banu Musa ont ajouté à cet endroit du texte la phrase « d'après les lemmes qui précèdent ce traité ». Il s'agit du septième lemme (voir Tome 1.1, p. 492-493 et 520-525). Dans sa Rédaction des Coniques, al-Tusi modifie en quelque sorte la rédaction de cette proposition. Il commence par établir un lemme qu'il utilisera dans la démonstration de cette proposition, comme dans quelques autres par la suite. Lemme d'al-Tusi : ." ~lil\ \ ~ v. w,li.., v. ~ ~ ~J)0'4(rJ A
j1."J\
".
\.
•
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G ~b \~ ~ .1l>i ~..J \)\
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~~
~ ~ ~l5'J '~J~ ~J\j ~ ~ Ji (\..;>-~\ ~ ~w\ ~j1~J ~~\..JJ '0~~ 4~ ,~..;>-~\ ~ ~ ~\J>.1 ~
L~Y \ ~~\::J~~\."J\jo ::J~y \F~~l.4J\~Çi-=J\j ~ (~J ::J.1
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\j~ ~~J '04-!~j o::J~ Y \ L-:l:LJ :J~ ,n~ ~ L ~ ~y ~J ~J~ 0~~ .1 \
~~
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- ~ <Jl>
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~ '~\~ ~ j ::J ~ \ J ~~ iJ'"' \
~~
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~:o\JL.J.Y,~~ ~ ~yy ( ~~~~ 0~J~
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~LsJ ~ ~çi-=J\j~JL..:J -~ 0Y L ~'~ 0 L~J'iJ'"'O ~ 10
226
Notes complémentaires ~ o .
~
~
\.- ·L:.JIJ ~J ,.~ ~~-~ l'~,'' A'~ 0 ..J L ..J.r 0~
,,:?,.r~0
y 1~
-
A·~I t)L;~1 ..
~
\
'0~J~ - ~J~I ~ - ~ y l ":?'~ ~ 0l:..JI.,JI j:; ~Jly '~ ~ .y
- [~] ~4Jlj : ~41Jj 8 -
[J] ~ [~]
-=-
L1e
et
Xç
L1e
Xç
eL1 _ çX el _ çY el - çY' er - çH'
d'où
Ke er
= aç
çH
[22, prop. 23, p. 170 ; ar. p. 171, 12] Ibn Abï Jarnlda conteste la référence à la proposition VI.18 et propose en revanche VI.13. Il écrit en marge :
~ ~ ,ül.ilil.l ~ L,J-').I }iIJwU~ ~ ~I I~ 0i Ji )ui ~~ :~ ~I~J'~ I~»
~ ~I t~1 JL(.;i ~~ 0~ ~ y ~I llA ~ ~}j '~ J- d - dl >
15 Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. IV : Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques, Londres, 2002, p. 1-11.
246 dl - d; > d 2
Le septième livre des Coniques
=0
pour l'ellipse; ou encore les autres proposItIons conclues à partir de VII.2I. Plus généralement, on cherche dans ce livre à savoir comment se comportent les diamètres dans l'ellipse, entre le grand axe et le petit axe; quels sont les rapports entre les diamètres et les diamètres conjugués dans une hyperbole, en fonction des axes ; ou comment se placent les parallélogrammes évoqués plus haut par rapport à la courbe: inscrits ou circonscrits, etc. On comprend alors la nature des relations entre le premier livre et le septième d'une part; et entre ce dernier et le cinquième d'autre part. Le septième livre dépend des résultats du premier, mais les exploite dans une autre perspective, pour un autre projet. Cette fois on s'intéresse bien plus aux courbes coniques et à certaines de leurs propriétés qu'aux sections planes, comme dans le premier livre. Apollonius tire efficacement parti dans le livre VII de ce qu'il avait établi au premier, mais pour explorer un autre terrain : l'étude de la variation des relations métriques entre certaines grandeurs, aussi bien que les rapports qui les lient. Or c'est bien là que réside toute la nouveauté et la force de la recherche géométrique à l' œuvre dans ce livre. On y traite des relations métriques (parfois affines) intrinsèques aux courbes coniques et à leurs variations. Et c'est d'autre part cette étude de la variation des distances qui rapproche le livre VII du livre V, et justifie sa place dans l'ordre des livres des Coniques. Mais ici - comme dans le livre V - étudier les variations d'une grandeur géométrique, c'est déterminer les limites entre lesquelles elle varie, c'est-àdire le maximum et le minimum qu'elle peut atteindre, aussi bien que son comportement entre ces deux valeurs limite. Cette étude n'a rien de classificatoire, dans la mesure où Apollonius ne cherche pas, par exemple, à ordonner les diamètres entre deux valeurs extrémales, mais à décrire le comportement d'un diamètre quelconque entre les valeurs extrémales que peut prendre cette grandeur. Or déterminer ces valeurs extrémales et décrire le comportement de la grandeur géométrique considérée entre ces valeurs, c'est d'abord formuler les conditions sous lesquelles cette grandeur varie aussi bien que les conditions requises pour qu'elle puisse atteindre ces valeurs extrémales; c'est-à-dire procéder par l'établissement des diorismes. C'est dire, in fine, qu'on ne peut séparer la recherche sur les variations de celle qui mène aux diorismes. Le diorisme est partie intégrante de la proposition que l'on veut démontrer. Ainsi par exemple la proposition VII.2I - comme celles qui la suivent - englobe le diorisme des limites de possibilité. C'est l'étude de la variation qui permet de concevoir et d'énoncer le diorisme. Sans doute est-ce dans cet esprit qu'il faut comprendre la formule d'Apollonius selon laquelle le septième livre contient « des théorèmes relatifs aux diorismes ». -
d;
247
1. Introduction
Reste à comprendre ce qu'Apollonius écrivait à Attale: les théorèmes du septième livre sont utiles à de nombreux genres de problèmes dont certains appartiennent au huitième livre. Tout ce qu'on sait de ce dernier, c'est qu'il était consacré aux problèmes. Or, si Apollonius a jugé bon d'achever son magistral traité consacré à la géométrie des coniques par un livre voué aux problèmes et non aux théorèmes, il y a bien des chances que ces problèmes fussent de ceux susceptibles d'être étudiés au moyen des sections coniques et grâce aux outils forgés dans les livres précédents et notamment le septième, selon ce que lui-même affirme. Au moins une partie des problèmes du livre VIII devaient recourir aux « théorèmes relatifs aux diorismes » établis au livre VII. Ceci étant, et d'après ce que l'on sait des prédécesseurs alexandrins d'Apollonius, il s'agissait selon toute vraisemblance de problèmes de construction géométrique à l'aide de l'intersection des coniques. Depuis Conon d'Alexandrie, on sait en effet que la préférence allait aux sections coniques pour la solution des constructions géométriques - ce qui impose de concevoir des diorismes. N'oublions pas la critique qu'Apollonius adresse à Nicotélès dans le prologue du livre IV, où il lui reproche de n'avoir pas compris que l'étude de l'intersection et du contact des sections coniques permet de concevoir des diorismes. Tels sont les problèmes qu'on pourrait s'attendre à voir figurer dans le huitième livre. Mais, si on souscrit à cette conjecture, reste à se demander quelles sont les propositions du septième livre, celles « relatives au diorismes », qu'Apollonius aurait pu utiliser dans le huitième. Le mathématicien du XIe siècle Ibn al-Haytham a répondu pour ainsi dire à cette question. Dans son livre intitulé L'Achèvement de l'ouvrage des 16 Coniques où il propose une restitution du huitième livre, il a conçu un ensemble de problèmes de construction dont les solutions font appel aux « théorèmes relatifs aux diorismes » du livre VII. En voici deux exemples: • Trouver sur une conique à centre un point tel que le diamètre d issu de ce point et le côté droit, c, qui lui est associé vérifient dc = k, avec k une / 17 1ongueur donnee . • Trouver dans une conique à centre d'axe transverse do et de côté droit associé d~ un diamètre d et le côté droit associé c, vérifiant d + c = k, avec 18 k longueur donnée . Pour construire ces grandeurs, Ibn al-Haytham fait appel aux propositions 12, 13, 21, 22 et 23 du septième livre et à l'intersection de la conique avec un cercle. Ces problèmes, comme d'autres proposés par Ibn al16 17 18
Les Mathématiques infinitésimales du Ibid., p. 123-126 et 242-249. Ibid., p. 126-135 et 249-255.
Ixe
au
XIe
siècle, vol. III, p. 147 sq.
248
Le septième livre des Coniques
Haytham au cours de sa restitution du huitième livre, sont des problèmes plans. Cependant les diorismes sont loin d'être simples: pour les problèmes qui viennent d'être évoqués, il n'a pas fallu moins de cinq propositions du livre VII. Par « théorèmes relatifs aux diorismes », il semble donc qu'Apollonius entende deux choses à la fois. Il s'agit de propositions qui d'une part renferment elles-mêmes des diorismes, et qui d'autre part interviennent dans la conception des diorismes lors de la construction des problèmes au moyen de l'intersection des coniques. Tel est bien le cas pour un bon nombre des propositions du septième livre. Or cette dualité de sens, seulement implicite, ne pouvait qu'intriguer les commentateurs. Venons-en à présent aux propositions de ce livre VII, que nous allons commenter successivement et systématiquement.
2. LEMMES PRÉPARATOIRES
Dans ce livre VII, Apollonius consacre en tout trois propositions à la parabole: 1, 5 et 32. Commençons par rappeler ces propositions avant de reprendre dans l'ordre toutes les autres. Soit une parabole f?lJ de sommet A, d'axe AT et de côté droit AL1 = co. Soit B E f?lJ quelconque; on mène l'ordonnée BT, alors
PROPOSITION VILI. -
AB2 = TA · TL1. y B
x
r
Fig. 2
Ce résultat est une conséquence immédiate de la proposition 1.11. En effet, posons Ar=x, BT=y; on a, pour B(x, y), y2 = cox. Or - AB 2 = BT 2 + Ar 2 = x ( Co + x ) = AT . L1r .
248
Le septième livre des Coniques
Haytham au cours de sa restitution du huitième livre, sont des problèmes plans. Cependant les diorismes sont loin d'être simples: pour les problèmes qui viennent d'être évoqués, il n'a pas fallu moins de cinq propositions du livre VII. Par « théorèmes relatifs aux diorismes », il semble donc qu'Apollonius entende deux choses à la fois. Il s'agit de propositions qui d'une part renferment elles-mêmes des diorismes, et qui d'autre part interviennent dans la conception des diorismes lors de la construction des problèmes au moyen de l'intersection des coniques. Tel est bien le cas pour un bon nombre des propositions du septième livre. Or cette dualité de sens, seulement implicite, ne pouvait qu'intriguer les commentateurs. Venons-en à présent aux propositions de ce livre VII, que nous allons commenter successivement et systématiquement.
2. LEMMES PRÉPARATOIRES
Dans ce livre VII, Apollonius consacre en tout trois propositions à la parabole: 1, 5 et 32. Commençons par rappeler ces propositions avant de reprendre dans l'ordre toutes les autres. Soit une parabole f?lJ de sommet A, d'axe AT et de côté droit AL1 = co. Soit B E f?lJ quelconque; on mène l'ordonnée BT, alors
PROPOSITION VILI. -
AB2 = TA · TL1. y B
x
r
Fig. 2
Ce résultat est une conséquence immédiate de la proposition 1.11. En effet, posons Ar=x, BT=y; on a, pour B(x, y), y2 = cox. Or - AB 2 = BT 2 + Ar 2 = x ( Co + x ) = AT . L1r .
249
2. Lemmes préparatoires
Soit une parabole g; d'axe AH, de sommet A, BI un diamètre quelconque, AT = C le côté droit relatif à l'axe et BZ .1 AH. Le côté droit relatif au diamètre BI est alors égal à Cl = AT + 4 AZ. PROPOSITION VIL5. -
E
B
e Z
H
1
Fig. 3
Démonstration : La tangente en A coupe B.1 en e et BI en E, la normale en B coupe l'axe en H. Les triangles B.1H et BEe sont semblables ; on a
donc, d'après 1.49, HL1 = .!.(c,). 2
Mais BZ2 = .1Z· ZH et BZ2 = AT· AZ (d'après 1.11), donc .1Z· ZH = AT· AZ. D'autre part, .1Z = 2AZ (d'après 1.35) et donc AT= 2ZH et Cl = 2H.1 = 2HZ + 2.1Z = AT + 4AZ = C + 4XB. Soit une parabole d'axe AZ et de côté droit AK = c. Soit TH et Be deux diamètres quelconques, Cl et C2 les côtés droits associés. Si l'abscisse de r, soit X2, est plus grande que l'abscisse de B, soit Xl, alors C2 > Cl.
M
PROPOSITION VII.32. -
A
B --------~De lhl---t--------oH
Cette proposition est un corollaire de VII.5. En effet, d'après celle-ci, on a Cl = C + 4x 1 et C2
=
C
A
Q-D-O----------Oz
E
~
+ 4X2. K
Fig. 4
250
Le septième livre des Coniques
Remarque : Ce corollaire établit que le côté droit C associé au diamètre issu du point B(x, y) est une fonction croissante de l'abscisse x, C = Co + 4x. Notons qu'Apollonius n'utilise plus loin ni la proposition ni le corollaire. Tout indique donc qu'il voulait démontrer cette propriété c = Co + 4x pour elle-même et que le côté droit est une fonction croissante de l'abscisse du point. Ce corollaire porte donc sur la variation du côté droit en fonction de l'abscisse. Apollonius l'a placé dans le groupe des propositions où il étudie une telle variation - VII.33, VII.34 - au lieu de le placer à la suite de VII.5. Le choix est à la fois thématique et logique. Dans le reste du livre VII, Apollonius traite des sections à centre. PROPOSITION VII.2. -
côté droit A.1. Soit (1)
Soit une hyperbole cJ? d'axe transverse AT et de
e un point de [AIl tel que
eT _ AT _ do . eA - AL! -~'
alors pour tout point B(x, y)
E
cJ? tel que BE 1- AT, on a AB 2
AT Te
-
eE·AE y
B
e
r
A
E
Z
x
~
Fig. 5
Démonstration: Soit Z tel que AE· EZ = BE 2 donc rectangle. D'après 1.12, on a pour tout point B 2
C _BE _ _ -----!L •
AE·TE - do ' Co . on a d onc -EZ =; d'" ou -EZ =-eA ; on en de~d Ult
TE
do
TE
eT
;
le triangle BAZ est
251
2. Lemmes préparatoires TE+EZ TE
= Te+eA et Te
TZ TE
= TA Te'
d'où AZ eE
TA Te
---
AZ·AE eE·AE
Mais AZ . AB = AB2 (le triangle ABZ est rectangle) ; d'où le résultat.
B
A
['
E
z
e
Fig. 6
Remarques: laC' est dans cette proposition qu'Apollonius définit le concept de « segment semblable en proportion ». Il s'agit du segment eA défini par la proportion (1). 2 0 Dans le repère (Ax, Ay), on a pour tout B(x, y) E d?
d'où
. on a pose"Te do d' ou" malS -==:= =-, eA
Co
d'où 2 TA ( - - ) TA AB =AE·-==:= AE+eA =-·AE·eE. Te Te
252
Le septième livre des Coniques
On a ainsi le résultat annoncé que l'on peut écrire sous la forme
Notons que dans le raisonnement on ne fait appel au point Z que pour écrire le symptôme sous une nouvelle forme. Comme dans la proposition 1 pour la parabole, il s'agit ici d'une transformation du symptôme de la courbe, qui servira comme lemme pour la suite. Soit une ellipse ~ d'axe AT (grand axe ou petit axe) et de côté droit Ad, et soit le point de la droite AT défini par PROPOSITION VII.3. -
e
er _ Ar _ do
. eA - Ail -~'
y
B
B A O---O-----0---o-------{::>----------?>
r
z
e
--(}------O----U---------------Dr
x
(*)
AB 2
Ar
AE·eE
re
z
e
Fig.7.!
alors pour tout point B(x, y) de
-_
Fig. 7.2 ~avec
BE 1.. AT, on a
Démonstration: D'après les figures, Apollonius prend l'ellipse, donc
e en dehors de
253
2. Lemmes préparatoires
Si AT est le grand axe, on a do > Co, le point B est au delà de A. Si AT est le petit axe, on a do < Co ; le point B est au delà de T. On définit Z dans les deux cas par AB . BZ = BB 2 ; le triangle ABZ est donc rectangle. 2
"
D'apres 1.21 on a ,
BE AE·Er
C EZ c eA " = -.JL donc - = -.JL =d'ou
do'
Er
do
zr Ar AZ Ar AZ . AE Er = er :::} eE = er :::} eE· AE
er'
Ar. er'
or AZ· AB = AB2 (dans le triangle ABZ), donc AB 2 eE·AE
Ar er
Remarques: 1° Si AT est le grand axe, on a BB · AB> 0 et Ar > 0 ; et si AT est le er
petit axe, on a BB . AB < 0 et Ar < 0, les deux membres de (*) ont bien le er
même signe. 2° Apollonius donne le résultat en fonction des longueurs. 3° Soit le repère (Ax, Ay), on a pour tout point B(x, y), y2
c = -.JLx(d o-
do
x) et AB2
d -c d -c cd J. = x 2 + y2 = X ( x_o_ _o + Co J= x_o_ _o ( x + _0_0_
do
do
On a
d'où
on a donc 2 rA rA AB =AE·-(AE+eA)=-·AE·eE re re
qui est le résultat cherché; on peut donc l'écrire sous la forme
do -
Co
254
Le septième livre des Coniques
Soit une hyperbole ou une ellipse d'axe AT et de centre La tangente en un point B de la courbe coupe AT en Ll. Soit BZ le diamètre issu de B et eH le demi-diamètre conjugué de BZ, et BE l' ordonnée de B, alors on a
PROPOSITION VII.4. -
e.
BL1 2 BH 2
-
L1E BE H
B
E
z
M
Fig. 8
Démonstration : La tangente au sommet A de la courbe coupe BZ en A et B.1 en O. On mène .1K .lAT (K sur Be). D'après 1.50, la longueur M définie par M OB --BL1 BA
est celle de la moitié du côté droit relatif au diamètre BZ. Les triangles BAO et BK1 sont semblables, donc
d'où
K A
H cr-------(,r---u----~----__vr
e
z Fig. 9
2. Lemmes préparatoires
255
D'après les secondes définitions du premier livre des Coniques (d/ = dc), on a ici BH2 = M· BB et par conséquent 2
2
BL1 BH 2
-
BK. BB '
or
donc
Remarque: Ainsi, le rapport du carré de la tangente au carré du demidiamètre conjugué est égal au rapport de la sous-tangente à l'abscisse par rapport au centre.
Dans les propositions suivantes (6 à 20) et qui concernent l'hyperbole et l'ellipse, Apollonius définit des segments sur l'axe de référence Arpar (1)
rN
EA
_do
AN
Er
Co
-=-=+-
(A le sommet de la courbe; le signe supérieur pour l'hyperbole et inférieur
pour l'ellipse). Ce sont les rapports entre ces segments donnés sur l'axe transverse qui serviront à exprimer les valeurs des rapports entre les grandeurs étudiées dans ce livre. Ces segments de l'axe donnent une représentation du rapport fondamental do. Co
Dans le texte, la position des points N et S par rapport à A et r est précisée sur les figures. a) Dans le cas de l'hyperbole, les points N et S sont symétriques par rapport au point B, milieu de Ar, et se trouvent entre A et r. Supposons l'axe orienté de rvers A, alors: si do > Co, on a rN > NA, le point N entre A et B et S entre e et r; si do < Co, on a rN < NA, le point N entre r et B et S entre B et A. De la définition des points N et S, on déduit des relations qui interviendront fréquemment dans les démonstrations :
256
Le septième livre des Coniques
(1)
or rA
~
rA _ do + Co • rN do '
NA _ Co rN do
---==>----
= do, donc 2
rN= SA
d0 _ . = __
do + Co
'
et on en déduit AN = sr
=
do Co do + Co
•
Pour l'ellipse, N et S sont symétriques par rapport à e, et ils sont extérieurs à l'ellipse. Si Ar est le grand axe, do > Co ; le point N est au delà de A et S au delà de r. Si Ar est le petit axe, do < Co ; le point N est au delà de r et S au delà deA. De la définition des points N et S, si l'on suppose Ar orienté de A vers
r, on déduit les relations: (1)
d'où __ _d2 rN=SA=--O- . do - Co '
et on en déduit AN=Ar+rN
-dc
=_0_0
=sr.
do -co
Jusqu'à la proposition 20, les figures sont définies de manière unique pour l'hyperbole et pour l'ellipse. L'hyperbole: à tout point de la branche ~ de l'hyperbole, on associe le diamètre transverse BK et la tangente BL1. On mène Ai\. Il BL1 (A sur ~), i\.M -.L AT et BE -.L AT, donc à tout point B on associe les points E et M
257
2. Lemmes préparatoires
On désigne par d, d/ et c les longueurs du diamètre BK, de son diamètre conjugué et de son côté droit. On a
L'ellipse: À tout point B de l'ellipse d'axe ATon associe le diamètre BK et la tangente BL1. On mène TA Il BK, BE 1- ATet AM1- AT.
3. RELATIONS ENTRE LES PARAMÈTRES INITIAUX ET DE NOUVEAUX PARAMÈTRES: RELATIONS MÉTRIQUES FONDAMENTALES
Le second groupe comprend quinze propositions, de 6 à 20. Dans cellesci, les hypothèses sont celles de VII.6 pour l'hyperbole et VII.7 pour l'ellipse. En possession de la définition des segments de rapport semblable à l'aide des points symétriques N et E, Apollonius s'efforce de déterminer un certain nombre de relations - somme, différence, produit - entre les diamètres conjugués, l'axe transverse et le côté droit. Il s'agit pour ainsi dire d'un « calcul» sur les diamètres conjugués, qui servira dans le groupe suivant pour étudier la variation de d, d~ d ± d/ et c, d ± c. Voici ces relations:
d~
d2 + d'2 = d2 + d' 2 0 0 ,
d 2 + d'2 '
C
PROPOSITION VII.6. -
d~ (d =+= C)2'
2 '
d~ d· C'
d~ d 2 ± c2
•
Soit une hyperbole d'axe transverse AT, de centre
8, BK = d un diamètre et ZH = d/ son conjugué, BL11a tangente en B. On mène AA Il BL1, AM 1- AT et BE 1- AT. Si les points N et E sur AT sont
tels que A
o M K
Z
Fig. 10
257
2. Lemmes préparatoires
On désigne par d, d/ et c les longueurs du diamètre BK, de son diamètre conjugué et de son côté droit. On a
L'ellipse: À tout point B de l'ellipse d'axe ATon associe le diamètre BK et la tangente BL1. On mène TA Il BK, BE 1- ATet AM1- AT.
3. RELATIONS ENTRE LES PARAMÈTRES INITIAUX ET DE NOUVEAUX PARAMÈTRES: RELATIONS MÉTRIQUES FONDAMENTALES
Le second groupe comprend quinze propositions, de 6 à 20. Dans cellesci, les hypothèses sont celles de VII.6 pour l'hyperbole et VII.7 pour l'ellipse. En possession de la définition des segments de rapport semblable à l'aide des points symétriques N et E, Apollonius s'efforce de déterminer un certain nombre de relations - somme, différence, produit - entre les diamètres conjugués, l'axe transverse et le côté droit. Il s'agit pour ainsi dire d'un « calcul» sur les diamètres conjugués, qui servira dans le groupe suivant pour étudier la variation de d, d~ d ± d/ et c, d ± c. Voici ces relations:
d~
d2 + d'2 = d2 + d' 2 0 0 ,
d 2 + d'2 '
C
PROPOSITION VII.6. -
d~ (d =+= C)2'
2 '
d~ d· C'
d~ d 2 ± c2
•
Soit une hyperbole d'axe transverse AT, de centre
8, BK = d un diamètre et ZH = d/ son conjugué, BL11a tangente en B. On mène AA Il BL1, AM 1- AT et BE 1- AT. Si les points N et E sur AT sont
tels que A
o M K
Z
Fig. 10
258
Le septième livre des Coniques TN = AE =do AN TE Co
(c est le côté droit relatif à AI), alors BK 2 d 2 EM ZH 2 - d,2 - MN A
H
o M K
z Fig. Il
Démonstration : On a (1)
LlB
AM AM
- -
BB
D'autre part, AA Il BL1 et AA Il HZ, donc BB coupe AA en son milieu 0; mais e est milieu de AT, donc TA Il eo, d'où (2)
BB
AM.
Be
MT'
de (1) et (2) on a LlB AM --Be MT
Mais, d'après VII.4, on a LlB
LlB
2
Be - eH 2 ' donc
259
3. Relations métriques fondamentales
Mais les triangles eB~ et TM sont semblables, donc
BB 2 L1B
--2
T/12 Ai\.
= - 2 ' d'où
BB 2
T/12 AM BH 2 = A/12 • MT ·
Mais, d'après VII.2, T /12 = AT et AM· MN = TN . TM . ME AE A/12 AT
Or, puisque AS= TN, on a 2
T/1 A/12
2
TM ·ME et BB = TM ·ME . AM = ME AM . MN BH 2 AM . MN MT MN
Soit C le côté droit associé à BK, on a ZH2 = C • BK, d'où
donc d ME --c MN
Remarques: la On a donc pour l'hyperbole
On a deux cas de figure selon que do > Co et do < Co. La démonstration fait appel à la similitude des triangles ~EB et AMA, celle des triangles EBe et MAT, ainsi qu'aux résultats établis dans les propositions VII.4 et VII.2.
e;
2 0 Les points N et S ainsi définis sont symétriques par rapport au centre d'où deux figures selon que c > d et c < d.
260
Le septième livre des Coniques
Pour c > d, on a AN> Ae, le point N entre e et T et le point S entre Aet e. Pour c < d, on a AN < AB, le point N entre A et e et le point E entre eetT. PROPOSITION VIL? -
Soit une ellipse d'axe AT = do, les points N et S tels
que TN
AE
AT
AN
TE
Co
-=-=-
(co le côté droit associé à do). Soit BK = d et ZH = d/ deux diamètres conjugués. On mène AA Il ZH et AM ..1 AT, alors
Remarquons d'abord qu'il Y a deux cas de figure : Si AT = do est le grand axe, alors Co < do, d'où TN> AN; N est du côté du sommet A et TE < AS ; S est du côté du sommet T. Mais si AT = do est le petit axe, on a au contraire N du côté de Tet E du côté de A. A
r
N
K
z z
K
Fig. 12.2
Fig. 12.1
Démonstration: Soit BL! la tangente en B, BL! Il AA. Les triangles BEe et AMT sont semblables, de même que les triangles BEL! et AMA, donc L1B = AM BB AM
et BB Be
d'où L1B AM ---Be MT
= AM
MT'
261
3. Relations métriques fondamentales
Mais, d'après VII.4, Bi1 2
i1B
Bi1 2
AM MT
-=--= :>--=-2 2
Be eH
eH
•
Les triangles L1Be et AATsont semblables, d'où
Be 2 eH 2
AM T/12 = MT . A/12
Be: = TA: ,d'où Bi1
AA
•
Mais, d'après VII.3, AT AS
2
2
• T/1 et AT = A/1 TM·MS TN AM·MN'
et AS = TN, donc 2
T/1 A/12
TM ·MS et AM·MN
Be 2 = AM. TM ·MS MS eH 2 MT AM.MN·= MN'
donc
Si
C
est le côté droit associé au diamètre BK, on a ZH2 = BK · c, donc
BK 2
BK MS ZH 2 =-c-= MN Remarques: 1° On a donc pour l'ellipse
On a deux cas de figure selon que do > Co et do < Co. La démonstration fait appel à la similitude des triangles LlBB et AMA, celle de BBe et MAT et celle de LlBe et AAT, ainsi qu'aux résultats établis dans VII.4 et VII.3. 2° On vient de montrer que
d2 -2
d'
';;'M
= ~
NM
3° Il est évident que, si Mtombe en
et
d2 -2
d'
d
=-.
c
e, on aura le corollaire d = d/.
262
Le septième livre des Coniques
PROPOSITION VIL8. -
Avec les notations et les hypothèses précédentes, on
a d~
(d + d')
2
=
SM·TN (SM + -V NM . MS)
2 •
A
H
o M
/K
z
K
z Fig. 13.2
Fig. 13.1
Démonstration: Par 1.37 (division harmonique), on a BA 2 = eE· e1\, d'où AT 2 BK 2
Ae 2 Be 2
-
on en déduit AT 2 TA·TM = 2 (car Mil 1\BetATII Be). BK TA
-2
D'après les propositions VII.2 pour l'hyperbole et VII.3 pour l'ellipse, on a
TA2
TA
SM·TM
AS
avec AE = TN, d'où (*)
TA·TM TN.TM
TA·TM TA2
---~---
SM·TM
TN SM '
on a donc (1)
AT 2 BK 2
-
TN SM
TN·SM SM 2
•
Du résultat établi dans VII.6 pour l'hyperbole et dans VII.7 pour l'ellipse, on déduit
263
3. Relations métriques fondamentales
BK 2 ZH 2
SM 2 MN·SM A
['
K
z
z Fig. 13.3
K
Fig. 13.4
Posons Sl2 = SM ·MN (les points let M ont été pris de part et d'autre de S, donc lM = IS + SM). On a donc (**)
BK
SM
ZH - SI '
d'où BK
SM
BK +ZH
SM +SI
et (2)
BK 2 SM 2 (BK + ZH)2 - (SM + SI)2 .
De (1) et (2), on déduit Ar 2
rN·SM
(BK +ZH)2 = (EM +."JEM oMNf'
le résultat cherché. Remarque: Par la suite, on utilise la relation (1) plutôt que l'énoncé de VIL8. PROPOSITION VII.9. -
On a pour l'hyperbole et l'ellipse
264
Le septième livre des Coniques
La démonstration se déduit de VII.8 avec sP définition du point 1. On a
PROPOSITION VILlü. -
d2
a
= SM· MN,
d'après la
rN
-
----;:====
-J NM . SM ·
d .d' -
La démonstration se déduit des relations (*) et (**) (proposition VIL8). Pour l'hyperbole seulement, on a
PROPOSITION VIL Il. -
rN MN+MS'
que l'on peut écrire
rN 2MB'
car, d'après VII.6, on a 2
BK MS -2 =- ==> ZH
MN
BK 2 BK 2 + ZH 2
MS =- -MN + MS
et on a vu dans la relation (1) de la proposition VII.8 que
Ar 2 BK 2
rN -
MS'
d'où
rN MN+MS PROPOSITION VILI2. -
Soit ~ une ellipse, alors pour tout diamètre d, on a
'2 d' "d~ " . 0 n salt . que d oc = d 0 do D emonstratlon: ' OU --;:l =-. o
do
Co
Mais, par définition dans le cas de l'ellipse, on a pour les points N et S
Nr = SA = do NA sr Co donc
(avec AT= do),
265
3. Relations métriques fondamentales TN d2 AN - do'2
___ 0
'
d'où TN
(1)
AN+TN
r
...
r
N
K
z
Fig. 14.1
Fig. 14.2
Mais AN = TE et, pour l'ellipse, dans les deux cas de figure NT + TE = NE, donc d~ d~ +d~2
TN
NE'
et d'après VII.7
d'où 2
d 2 d +d '2
ME NE'
et, d'après la relation (1) de la proposition VII.8, on a
donc (2)
d~
d 2 +d '2
TN
NE'
de (1) et (2), on a d 2 + d '2
= d~
+ d~2.
266
Le septième livre des Coniques
Soit ~une hyperbole d'axe transverse AT= do ; alors on a pour tout diamètre d 2 d~ - d~2 = d - d '2 .
PROPOSITION VILI3. -
A
A
K
z
H
K
z Fig. 15.1
Fig. 15.2
Démonstration: On conduit le raisonnement comme dans VII.12 pour l'ellipse en utilisant les résultats de VII.6 et VII.8 et en tenant compte de NE= IME-MN). Notons que si do > Co, on a ME> MN; et si do < Co, on a ME < MN. PROPOSITION VILI4. -
Soit
~une
ellipse, alors pour tout diamètre d, on a
Démonstration : On a (1) 2
et, d'après VIL7, d 2 = EM dans les deux cas de figure, d'où d'
(2)
d
MN
2 _
EM
Id 2- d'21- ISM - MNI
. '
de (1) et (2), on a do2 TN _ 2 Id - d'21-'EM - MN'·
Or lEM - MNI
= IME + MNI = 21Mel = 2Me
; d'où le résultat.
267
3. Relations métriques fondamentales PROPOSITION VILI5. - Soit l'hyperbole ~ou l'ellipse droit associé à BK (diamètre quelconque BK = d) ; on a
G: et soit c le côté
d~ _ rN·MS
--:! -
MN 2
•
Démonstration: D'après VIL6 et VIL7 et la relation d 2 = ~, on a 2
d'
d
2 _
--:! -
MS 2 MN 2
c
• '
mais, d'après la relation (1) de la proposition VIL8, on a
~~ =
r:;s,
donc d~ _ rN·MS
MN 2
c2
-
c2
d ·MN_ = _0"'------_
'
d'où 2
2
rN·SM PROPOSITION VILI6. -
Soit une hyperbole ~ ou une ellipse
~
on a
~
on a
d~ _ rN·MS (d - C)2 - [MS - MN]2 .
PROPOSITION VILI7. -
Soit une hyperbole ~ ou une ellipse d~ _ rN·MS (d+C)2 -[MS+MN]2·
Remarque : Les propositions VII.16 et VII.17 se démontrent à partir des propositions 6, 7, 8 de ce même livre: d'après VII.6 et VII.7, on a d c
MS MN
d d±c
-=--==>--=
MS d2 MS 2 ==>--2 = 2 MS±MN (d±c) [MS±MN]
et d'après la relation (1) de la proposition VII.8, on a d~ _ rN·MS
d2
d'où les conclusions.
-
MS 2
'
268
Le septième livre des Coniques
PROPOSITION VII.18. -
Soit une hyperbole d?ou une ellipse ~ on a d 2 = __ rN d·c MN
_0
Démonstration: D'après VIL8, on a Ar 2 BK 2
-
rN ME '
et d'après VII.6 et VII.7, on a BK
ME
-c-- MN'
d'où BK 2 ME c·BK = MN'
d'où la conclusion. Soit une hyperbole d? ou une ellipse ~
PROPOSITIONS VII.19 et VII.20. -
on a ~_
d2 ± c2
-
rN·ME ME 2 ± MN 2
'
le signe supérieur pour VII.19 et le signe inférieur pour VII.20. Les deux démonstrations se font à partir des propositions 6, 7 et 8 de ce livre.
4. VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES AUX PARAMÈTRES d, d/,
C,
c/
Dans les trois propositions suivantes - 21 à 23 - Apollonius considère un point B qui décrit l'hyperbole d? de sommet A et étudie la variation du d
rapport d'. Soit une hyperbole d?d'axe transverse AT= do tel que AT > ID = d~. Si BK = dl est un diamètre transverse et d; son diamètre conjugué, alors dl > d;. Si de plus ZH = d2 est un diamètre transverse plus éloigné de l'axe que le diamètre BK = dl et d; son conjugué, on
PROPOSITION VII.21. -
a
268
Le septième livre des Coniques
PROPOSITION VII.18. -
Soit une hyperbole d?ou une ellipse ~ on a d 2 = __ rN d·c MN
_0
Démonstration: D'après VIL8, on a Ar 2 BK 2
-
rN ME '
et d'après VII.6 et VII.7, on a BK
ME
-c-- MN'
d'où BK 2 ME c·BK = MN'
d'où la conclusion. Soit une hyperbole d? ou une ellipse ~
PROPOSITIONS VII.19 et VII.20. -
on a ~_
d2 ± c2
-
rN·ME ME 2 ± MN 2
'
le signe supérieur pour VII.19 et le signe inférieur pour VII.20. Les deux démonstrations se font à partir des propositions 6, 7 et 8 de ce livre.
4. VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES AUX PARAMÈTRES d, d/,
C,
c/
Dans les trois propositions suivantes - 21 à 23 - Apollonius considère un point B qui décrit l'hyperbole d? de sommet A et étudie la variation du d
rapport d'. Soit une hyperbole d?d'axe transverse AT= do tel que AT > ID = d~. Si BK = dl est un diamètre transverse et d; son diamètre conjugué, alors dl > d;. Si de plus ZH = d2 est un diamètre transverse plus éloigné de l'axe que le diamètre BK = dl et d; son conjugué, on
PROPOSITION VII.21. -
a
269
4. Variations des grandeurs
1\
z
E
M
K H
Fig. 16
Démonstration : Soit N et E définis comme précédemment par TN AN
AE TE
AT
-=-=-
c
a) Soit AL! et AA les droites ordonnées pour les diamètres BK et ZH respectivement et L!E .1 AT, AM .1 AT; on a d'après VII.6 (1)
Or par hypothèse AT > JO, donc AT > c, d'où EE > EN, et ME> MN ; on a donc BK = dl > d; et ZH = d2 > d;. b) On a EE= EA + AEet EN= EA + AN, avec AN < AE, d'où EE EA ---'
et d'après (1) BK
ZR
->-
d;
d;'
d'où Ar
BK
ZR
JO
d;
d;
->->-.
Remarques:
1° Si c est le côté droit relatif à AT = do, on a cdo = d~2 d
2
= 10 2, d'où
d
----f2 = ~, donc do > d~ {:::} do > c ; dans ce cas, AN < AB et AS> AB. do
c
2° Le raisonnement est le suivant: d'après la définition des points symétriques S et N, on a pour tout point M de l'axe transverse à l'intérieur de dt: MS> MN. Or, pour tout point B de la courbe, les diamètres d et d/ qui lui correspondent vérifient, d'après VII.6, 2
d d' 2
-
MS. MN '
on a donc d> d/. D'autre part, AN = TS < AS et MS> MN; on en déduit
271
4. Variations des grandeurs
on a donc
Quand B(x, y) décrit d? de sommet A, en partant de A, le point M ~ . Ax et 1e rapport ME "de -AE =-AE,a 1. decrIt - d,/ecrolt
MN
TE
AN
PROPOSITION VII.22. - Si dans une hyperbole l'axe transverse AT= do est plus petit que l'axe conjugué 10= d~, si BK = dl et HZ = d 2 sont deux diamètres transverses, BK le plus proche de AT, et si d: et d; sont leurs diamètres conjugués respectifs, alors dl < d: et d 2 < d; et
A
o
Fig. 17
On procède à la démonstration selon la même méthode que dans les propositions précédentes, en tenant compte des positions des points S et N ; on a ici AS< Ae< AN. Remarques: 10 L'hypothèse do < d~ entraîne do < Co. Dans ce cas, d'après la définition de S et N, pour tout M pris sur l'axe à l'intérieur de l' hyperbole de sommet A, on a MS < MN. On raisonne comme dans VII.21 en partant de
272
Le septième livre des Coniques d2 d 1'2
_1
-
MS _ MN'
résultat établi dans VII.6, et on montre que d2 d;2
d2
_1 >_0
d~2·
Le rapport dl croît de do à 1. d~
d;
2° Le résultat de VII.22 peut se déduire directement de VII.21 si on considère l'hyperbole conjuguée pour laquelle /0, dl et d2 sont respectivement l'axe transverse et deux diamètres transverses vérifiant les hypothèses de VII.22. Si les axes d'une hyperbole sont égaux, alors deux diamètres conjugués quelconques sont égaux.
PROPOSITION VII.23. -
A
z
E
M
K H
Fig. 18
Démonstration: L'hypothèse do = d~ entraîne do = Co. Dans ce cas, les points S et N sont confondus et se trouvent au point 8, milieu de AT. On a donc
donc d = d~ ce qui entraîne d = c. Dans ce cas, tout diamètre est égal à son côté droit et à son diamètre conjugué. Le rapport :' est constant et égal à 1.
Remarque: Ce cas correspond à l'hyperbole équilatère.
273
4. Variations des grandeurs
Soit une ellipse de grand axe AB = do, de petit axe rf1 = d~, de centre e, (do > d~). À tout point E de l'arc AT est associé un diamètre EZ = d et un diamètre conjugué HK = d/, avec d > d/ et H sur l'arc rB. On a : PROPOSITION VII.24. -
a) do > ~ d~ d'
et
b) :' décroît quand E décrit Ar. ['
H
N E A()-ü---ü------=~=__----__oB
A
e
X
Il
z
K
Fig. 19
Démonstration : a) On mène EA 1. AB et HM1. rf1 ; on a d'après 1.21
Ae.eB er 2 AA.AB - AE 2
•
Mais AB· BB = Ae2 > er 2 , donc AA· AB > AE 2 • Or AA· AB eA - eA2 • On a donc
=
2
et par conséquent
(1)
do > d.
D'après 1.21, on a également
er .eL! _ eB 2
•
Mr.ML! - MH 2
'
mais er· Bf1 = Br 2 < eB 2 , donc Mr· Mf1 < MH 2 • Or Mr· Mf1 er- - eM2 , donc er2 < BM2 + MH 2 , et on a er2 < BH2 , et ainsi
=
274
Le septième livre des Coniques
(2)
De (1) et (2) on déduit do d ->-. d~ d'
b) Soit N sur AT tel que AN > JfÈ , et soit NE = dl le diamètre issu de N et orr = d: son diamètre conjugué avec dl > d:. On mène NX ..1 AB et OP.l Tf1. D'après 1.21, on a AA . AB _ AE 2 AX.XB - NX 2
or AA . AB = BA 2 - BA 2 et AX· XB
•
'
= BA2 -
BX 2 , donc
AX· XB>AA· ABetNX>AE;
on a alors AA·AB AX . XB - AA· AB
AE 2
Or AA . AB > AH ; on a donc AX · XB - AA . AB > NX 2 - AE 2 ,
d'où
d'où
d'où
On raisonne de la même manière pour les points H et 0 rapportés au diamètre Tf1, et on montre ainsi que BH 2 < B0 2 , d'où
On a donc do > d> dl et
d~
< d/ < d:, d'où l'on déduit
do> d >_ dl . d~ d' d;'
275
4. Variations des grandeurs
donc le rapport :' associé à un point qui décrit l'arc AT en partant de A décroît. Quand ce point vient en r, le diamètre associé à r est ri1
= d~
et
son conjugué est AB =do, donc ~ décroît de do à d~ (do > 1 ; d~ < 1). d~
d'
do
d~
do
c) Apollonius ne s'arrête pas là, mais donne un résultat relatif à l'excédent d'un diamètre sur son conjugué: AB - ri1 > EZ - HK> NE -
orr ~
[do - d~ > d - d/ > dl - d;].
Ce résultat est une conséquence immédiate de ce qui précède; peut-être est-ce pour cela qu'Apollonius n'en donne pas de justification 19. Apportons toutefois la remarque supplémentaire suivante. On a vu que AB ri1
EZ HK'
->-
d'où AB AB-ri1
--->
EZ . EZ-HK'
or AB > EZ, on a donc AB - r i1 > EZ - HK. Soit l le point de l'arc Ar tel que son diamètre Il = d2 soit égal au diamètre conjugué d; :d 2 - d; = O. Si le point N est comme le point E sur l'arc AI, on aura de même NE > orr et on montrera que EZ - HK > NE - orr. Avec les notations précédentes, on a donc
Quand un point vient sur l'arc Ir en T, le diamètre qui lui correspond TU est plus petit que son conjugué et la différence est négative. On peut résumer en désignant par le point variable.
ç
d) Le dernier paragraphe de cette proposition est relatif au côté droit. Si on désigne par Co, C, Ch C2 et c~ les côtés droits relatifs à AB = do, EZ = d, NE = dl, Il = d 2 et r i1 = d~, on a T i1 2 = Co· AB, H K 2 = C . E Z, orr 2 = Cl • NE, Il 2 = C2 · Il - d'où C2 = Il = d 2 = d; - et AB 2 = c~ . Ti1 ; on a alors Co
19
< C < Cl < C2
d/. Mais on a montré dans VII.25 que d + d/ croît indéfiniment quand
XE,
l'extrémité du diamètre d, décrit l'hyperbole à partir de son sommet A. Donc d - d/ décroît à partir de do - d~ (d 2 - d,2 = (d + d')(d - d')) ; ainsi d - d/
2
= d0
d,2 -
0
d+d'
•
280
Le septième livre des Coniques
Remarques: 1° Si do = d;, on est dans le cas de l'hyperbole équilatère et on a pour tout diamètre d = d/, donc d - d/ = O. 2° Si do < d;, on a pour tout diamètre d/ - d > 0 ; et
d/ + d croît indéfiniment, donc d/ - d décroît de d; - do à O. Étude du produit dd/ pour l'hyperbole et l'ellipse. • Dans le cas de l'hyperbole, on sait que: d croît indéfiniment à partir de do, d/ croît indéfiniment à partir de d;, donc le produit croît indéfiniment à partir de dod;. • Dans le cas de l'ellipse, le raisonnement se fait à partir des résultats de VII.I2 et VII.26. 2 D'après VII.I2, on a pour tout diamètre d, d + d '2 = d~ + d;2 et, d'après VII.26, si l'on s'en tient, comme Apollonius, aux diamètres d tels que do > d> dI, on a d + d/ < 2 dI, car dl = d; ; on a (d + d/)2 croissant de (do + d;)2 à (dl + d;)2 ; donc dd/ croît de dod; à dl d; = d:. Mais si on considère les diamètres qui ont une extrémité x sur l'arc IT, on écrit le tableau comme dans VII.26. PROPOSITION VII.28. -
x
T
l
A
PROPOSITION VII.29. - Dans l'hyperbole, la différence entre le carré d'un diamètre et le produit de ce diamètre par le côté droit qui lui est associé est constante. ~ - dc = cte.
Démonstration: On sait que dc = d '2 et on a établi dans VII.I3 que = d~ - d~2 pour tout diamètre d de l'hyperbole. Par conséquent
d 2 - d '2
2 d - dc
= d~ -
doc o'
différence constante.
Remarque: Si do > Co, ce qui entraîne do > d~, on a d 2 - dc > 0, et si do < Co, on a do < d; et ~ - dc < O. Cette proposition est donc un corollaire de VII.13.
281
4. Variations des grandeurs
Dans l'ellipse, la somme du carré d'un diamètre et du produit de ce diamètre par le côté droit qui lui est associé est constante:
PROPOSITION VII.30. -
cP + dc
= ete.
Démonstration: On a établi dans VII.12 que d 2 + d '2 = do + d~2 pour tout diamètre d. Or d/ = dc et d~2= doco ; par conséquent, on a somme constante. Remarque: Cette proposition est un corollaire de VII. 12. PROPOSITION VII.31. - Soit une ellipse ou deux sections opposées conjuguées. L'aire du parallélogramme déterminé par les tangentes aux extrémités de deux diamètres conjugués est constante et égale à l'aire du rectangle produit par les axes. Démonstration : Soit AB = do et T11 = d~ les deux axes, le centre, ZA = d et NB = d/ deux diamètres conjugués quelconques, les tangentes aux points Z et A sont parallèles ainsi que les tangentes aux points N et B. Elles déterminent le parallélogramme HKMX On démontre
e
aire (HKMX)
= AB . TL1 = dod~.
H
Fig. 23.1
La droite AB coupe HX en B et HK en ç. On mène zn 1.. AB et on prend 0 sur zn tel que n0 2 = nB . ne (0 est donc sur le cercle de diamètre Be).
282
Le septième livre des Coniques
D'après 1.37, si IlE . Ile IlZ
Co
est le côté droit relatif à AB, on a20 AB 2 rL1
AB 2 AB· Co
AB
Il0 2 IlZ
eA 2 er
eA 2 er
IlO IlZ
eA er'
- - -2 = - = - - = - - 2= - ==>--=--==>-=_. 2 2 2 Co
on en déduit IlO.BE AB 2 ==>--IlZ ·BE IlO·eE
Mais, d'après 1.37, on a A& =
Ae·Br IlZ·eE
Brr· BE, d'où
eIl·BE OIl·BE
AB·Br. IlZ ·eE '
on en déduit aIl rrz· eE=Ae· er·-. eIl
(1)
H
K B
E
x
A
TI A
M
Fig. 23.2
D'autre part, on a es Il ZE, donc, d'après VII.4, on a ZE 2 BE 2
On a aussi
20
-
EIl Ile
ze Il Sç ; les triangles eZE et eSÇ sont semblables et
Comme BIl· BE = BA2 (propriété de la tangente), on a
eIl· IlE = BIl· (eE - BIT)
= BA2 -
eIl2 = IlA . IlB.
283
4. Variations des grandeurs (2)
aire( eZE) _ ZE 2 aire( eE;) - eE 2
_
En
-
ne
On a également aire( eZE) _ ZE _ eE aire(eZH) - ZH - e;
et, de la même manière, on a 2aire( es;) aire( eZHE)
= e; eE .
L'aire (eZHS) est le quart du parallélogramme (HKMX). Posons aire (eZHE) = S. Des deux dernières égalités, on déduit 2aire( eZE) S
=
S
2aire( eE;)
=> S2
= 4aire( eZE) . aire(es!;))
,
d'où, d'après (2), 2
ne
S2 = 4aire( eZE) .-
En
=
ne
nz 2 • eE 2 • • En '
et d'après (1), on a
mais par hypothèse oIF =
eIT . EIT, d'où
et S = Ae · eT et 4S = AB . Til. L'aire cherchée est donc aire (HKMX)
= AB· Til =dod~.
Ainsi l'aire du parallélogramme déterminé par les tangentes aux sommets de deux diamètres conjugués ne dépend pas des diamètres considérés ; elle est constante et égale à l'aire du rectangle déterminé par les tangentes
284
Le septième livre des Coniques
aux sommets des axes 21 • Si a est l'angle aigu de deux éléments conjugués d et d/, on a
À la fin de la proposition VII.31, Apollonius mentionne pour l'hyperbole et l'ellipse des propriétés relatives aux diamètres, à leurs conjugués et à leurs côtés droits. Ces propriétés, comme l'affirme Apollonius, peuvent être déduites des résultats établis précédemment. Peut-être est-ce pour cette raison qu'il ne les démontre pas. Considérons donc ces propriétés. L'hyperbole: Soit une hyperbole d'axe transverse AB, de centre e. Posons AB = do et soit d~ son conjugué et Co son côté droit. Soit M un point qui décrit l'hyperbole en partant du sommet A. À toute position Mi de ce point correspond un diamètre transverse di ; soit d: et Ci son conjugué et son côté droit. Notons Mi et M i+ 1 des positions successives ifM;
Co =::} do > di> di+1 > 1. On a donc d~ d: d:+ 1
On a également
Dans VII.22, on a vu que do < Co ===> d~ < di, < di,+l < 1 ; on a alors do di di+l
286
Le septième livre des Coniques
On a également
· SI. da = Co, on a pour tout l: . di = Ci et -do = -..l... d. E n f ln, = 1. Co
Ci
L'ellipse: Pour une ellipse de centre (9, de grand axe AB = do et de petit axe T L1 = d~, l'étude faite dans VII.24 et VII.26 a mis en évidence le rôle des diamètres conjugués égaux. Soit un point l sur l'arc AT qui donne dl = d:. À tout point M pris sur l'arc AT on associe le diamètre d, son conjugué d/ et son côté droit c. Les résultats connus pour d et d/ donnent: 1) cP décroît constamment de d~ à d~2 ; 2) d/ 2 croît constamment de d~2 à d~ ; 3) d 2 - d /2 décroît de d~ - d~ 2 à d~ 2 - d~ ; au point !, cette différence s'annule, puis elle devient négative. Quand M décrit l'arc AI, de A vers l, la différence cP - d/ 2 est positive et décroissante, ce qui correspond à la propriété annoncée par Apollonius. Quand M décrit l'arc IT, de l vers T, la différence ~ - d/ 2 est négative et décroissante, donc si M décrit TI, de Tvers l, la différence d/ 2 - cP est positive et décroissante. On a donc
et Id 2 - d'21 décroît quand les diamètres considérés s'éloignent des axes. La seconde propriété mentionnée par Apollonius fait appel au côté droit C relatif à un diamètre d. On peut formuler cette propriété de la manière suivante, en notant di, d: et Ci les éléments associés à un point Mi. Soit Mi et M i+! deu~ points sur l'arc AI avec ÂMi+~ > AM;' ; on a dol > c.I t d i di+l. >{d + > C + e Ci C+ ' i 1
i 1
i 1
et pour Mi et M i+ 1 pris sur l'arc IT, avec fMi+~ > 11J;, on a dol < c.I t d i di+l d 1l et d 2 > d'2 et -do > -dl > d~
d(
d;
On en déduit
mais do < dl < d2, on a donc nécessairement PROPOSITION VII.34. -
< Cl < C2.
Avec les mêmes notations que dans la proposition
précédente, on prend comme hypothèse Co
Co
Co
2
~ do < Co et on démontre que
< Cl < C2· Démonstration : Apollonius fait intervenir dans cette démonstration les
points N et S définis sur l'axe transverse AT = do par TN AN
= AE = do TE
Co
y
A
M
Fig. 26
On a alors TN = AS et TS = AN, d'où
x
289
4. Variations des grandeurs
or par hypothèse, on a do < Co entraîne TN = AS < AN et do ~
Co
2
entraîne
AS~ AN. 2
On mène TA Il BK, Ti1 Il
Tç, puis AM 1- AT, i1E 1- AT; on a AN
MN + NA = MA + 2NA > 2NA et AS ~ - , 2
d'où (MN + NA)·AS> AN. On a alors (MN +NA)·AM = AM < (MN +NA)·AM (MN+NA)·AS AS AN 2 '
d'où AM +AS AS
(MN +AN)·AM +AN AN
2
--- AS. 2
291
4. Variations des grandeurs
Soit M tel que SM = SN et AM 1- AT. On joint AT et on mène le diamètre BK Il AT. Si on pose BK = dl et Cl le côté droit associé à dl, on a Cl = 2d l , car, d'après VII.6,
!iL =dl = EM =! cId}
c}
MN
2 8
Fig. 27
b) Soit Tet E des points de la courbe entre A et B tels que XT < XE < XB, EL1 et Tç les diamètres qui leur correspondent. On mène TX Il L1E, ra Il Xo 1- AT et arr 1- AT. On a MS = SN et MS > So, d'où MS · So < SN. On en déduit
Tç,
MS· So + (No + SN)· So < SN + (No + SN)· So,
d'où (MS + SN + No) . So < (SN + SO)2,
donc (MN + No)So < Nd ;
292
Le septième livre des Coniques
on en déduit (MN +No)·Mo > (MN + No) Mo 2 (MN +No)·So N0
-=---_----:-._-
~
Mo -Mo > (MN + No) 2
~-_-----:....--
So
N0
et Mo+So (MN + No)Mo+N0 2 > 2 So No
•
Mais MN + No = Mo + 2No, d'où
(MN + No) Mo + N0 2 = (Mo + No)2
= MN,
on a donc MN 2 N0
MS So
->-2
'
d'où Ms·rN MN
So·rN N0
--> - -22
"VII.15, rN· MS or d , apres 2 MN
2
et rN . So 2 = -Ar 2No
c2
( C2
2
Ar = 2-
(
Cl
lecote "" drOlt · assoCIe . " au d·Iametre " BK)
Cl
lecote "" d ' assoCIe . " au d·Iametre " A L.l B ) ,on a d onc rOlt
On démontre de même que oS, srr < en déduit que, si C3 est le côté droit associé à
sN- et srr . SA < SN,
Tç, on a
et on
b) Soit Z et r deux points de l'hyperbole tels que Xo < Xz < X r , ZH et ry les diamètres qui leur correspondent, c; et c; les côtés droits. On démontre par le même procédé que Cl
donc
C
décroît de
Co
3do 2co - do > do + Co,
donc
d'où
Xl>
do . 2
Si, pour une hyperbole, on a do "* co' alors, pour tout diamètre d de cette hyperbole, on a Ida - col> Id - cl et Id - cl décroît quand le diamètre s'écarte de l'axe transverse AT. PROPOSITION VII.36. -
Démonstration : Soit Bd et BK deux diamètres quelconques, Bd = dl et BK = d2 • On mène rz Il Bd, TA Il BK, AM -.L Aret zn -.L Ar.
295
4. Variations des grandeurs A
z
r M K
Fig. 28.1
Comme dans VII.34, on a do _ rN _ rN ~- AN- rs'
d'où rN rN-rS
rN SN
« 0 si do < Co ; > 0 si do> co) ; et, d'après VII.16, on a rN·SA
A
M K
Fig. 28.2
Si
Cl
est le côté droit associé à Ei1
=dl' on a
296
Le septième livre des Coniques
De la même manière, d'après VII.16, si BK= d2 , on a
C2
est le côté droit associé à
or srr < SM , on a donc
Remarques: la On peut montrer la décroissance de Id - cl à l'aide de VII.29. D'après cette proposition, on a d(d - c) = do (do - co), d'où
ainsi (d - c) est une fonction de d. Or on sait que, pour un point B qui décrit l'hyperbole à partir du sommet A, le diamètre d qui lui correspond croît indéfiniment à partir de do. On a donc d - c différence décroissante si do > Co et croissante si do < Co. 2 0 Apollonius étudie (d - C)2 d'où il déduit Id - cl. Dans les deux cas Id - cl décroît de Ido - col à O. 3 0 Le cas où do = Co n'est pas considéré; il correspond à l'hyperbole équilatère. Dans ce cas, pour tout diamètre, on a d - c = O. PROPOSITION VIL37. -
Soit une ellipse de grand axe AT= do, de petit axe
El1 = d~ ; on a do > co' d~
C et d < C, sans toutefois préciser quel est le point de l'arc A.1 qui sera l'extrémité du diamètre qui permet de séparer les deux axes. On a vu dans VII.24 qu'il existe un point 1 sur l'arc AT tel que le diamètre Il qui lui correspond est égal à son conjugué C
=
XI
C /.
Si
17~
Ainsi d
= d/ et
e est le centre de l'ellipse, l'abscisse de 1 comptée à partir de e est
= d~ Considérons les deux cas. 2"/2
a) Si un point B décrit l'arc AI, le diamètre d qui lui est associé décroît de do à dl. D'après VII.24, le côté droit C associé à d croît de Co à CI ; donc d> C et d - C décroît de do - Co à dl - CI = O. b) Si le point B décrit l'arc 1.1, le diamètre d qui lui est associé décroît de dl à d~ et, d'après VII.24, C croît de CI à c~, donc d < C et d - C < 0 décroît de 0 à d/ - c/. Remarques: la On sait que d ac a
= d,2a
et d'c' a a
= d 0'2
d'où d' c~
a
= do
On en déduit
Co
C~
- d~ _ do - co. d' d 1 d' d 1 ,or o>co' oncco - 0> a-co· do Co 2 0 Il est clair qu'Apollonius considère dans cette proposition Id - cl et montre que Id - cl décroît de do - Co à 0 quand B décrit l'arc AI de A à l, et croît de 0 à Id~ - c~1 = c~ - d~ quand B décrit l'arc 1.1, avec Id~ - c~1 > do - co. On a bien le résultat énoncé par Apollonius.
Les propositions 38, 39 et 40 portent sur l'hyperbole et sont consacrées C quand l'extrémité d'un diamètre décrit l'hyperbole en partant du sommet A. Dans la proposition 38 l'hypothèse est à l'étude de la somme d +
do ~ Co' dans la proposition 39,
Co
3
~ do < co.
Dans les deux cas d + c > do + Co et d + c croît quand le point B qui décrit la courbe s'éloigne du sommet. PROPOSITION VII.38. -
Si dans une hyperbole de sommet A et de centre
e, do ~ Co' alors pour un diamètre quelconque d, on a d + C > do + Co et la somme d + C croît quand le diamètre s'écarte de l'axe.
298
Le septième livre des Coniques
K A
\.,}------------=oiJ"--------()
r
B
T
Fig. 30
Démonstration: Soit BK = dl et Tç = d2 , avec XB < XT; on a do < dl < d2, et, d'après VII.33, on a Co < Cl < C2 ; donc do + Co < dl + Cl < d2 + C2' PROPOSITION VII.39. -
L'hypothèse est
Net S déjà définis, on mène TL1 Il
Co
3
~ d < C • On considère les points
Tç, TA Il KB, L1E 1- Aret AM1- Ar.
A
B
r
-0----0----0.-
---~-~
E
K
Fig. 31
0 n salt . que -rN = ~ AE do / . D emonstratlon: = - , avec do NA
TN ~
r~
~
Co
-Co . 0 n a done 3
.!. NA. Or rN = AS, donc AS ~ .!. NA. On en déduit 3
3
d'où AS ~ ~(NA + AS) et 4AS (NA + AS) ~ (NA + AS)2. 4
4. Variations des grandeurs
On en déduit AM = 4AM(NA + AE) < 4AM(NA + AE) AE 4AE(NA + AE) (NA + AE)2 ,
d'où AM + AE = ME < 4AM(NA + AE) + (NA + AE)2 AS AS (NA + AE)2
4AM(AM + NA + AE) + (NA + AE)2 (NA+AE)2 ,
4 EM (NM + Eo) > 4Eo (NM + Eo),
d'où (NM + EM)2 - 40M (NM + Eo) > 4(NM + Eo) (EM - Mo),
d'où (2)
(No + EO)2 > 4(NM + Eo) . Eo.
301
4. Variations des grandeurs
De (2) on en déduit Mo = 4(NM +30)·Mo > 4(NM +30)·Mo 30 4(NM + 30)·30 (No + 30)2
et Mo+30 30
>
4(NM +30).Mo+(No+30)2 2 ' (No + 30)
d'où M3 (MN+M3)2 -> 30 (No + 80)2
==}
rN·SM rN·30 >---(NM + 8M)2 (No + 30)2
donc d'après VII.17 d02
d2
_--..::..0_>
(dl
+ C I )2
(d2 + C2)2
(si on pose BL1 = d2 )
;
on a donc d2 +
C2
> dl + Cl·
De la relation (2), on déduit, en observant que
srr < So et No < NM,
(No + SO)2 > 4(No + SIl) · srr.
À l'aide de la même méthode et de VII.17, on aura
c) Pour les diamètres ZH et 'l'y plus éloignés de l'axe, toujours par la même méthode, on aura
Remarque: Si le point B est l'extrémité d'un diamètre qui vérifie do
= CB
,
3
alors, quand un point décrit l'hyperbole en partant du sommet A, la somme d + C qui lui correspond décroît quand ce point décrit l'arc AB, passe par un minimum au point B et croît ensuite indéfiniment.
302
Le septième livre des Coniques
Remarque sur les propositions 38, 39 et 40 : étude de d + On a vu que de la proposition VII.29, on déduit C
= d + C0 d0 d
d2 0
==> C + d = 2d +
d - d2
C 0
0
d
0
= g( d)
C
avec d 2:: do.
On a alors
et gl(d) a le signe de cp(d) = 2d 2 - (codo - d~). a) Puisque d 2:: do, gl(d) > 0 pour tout d si
Si do
= ~,
c2 2 cp(d)=2d _2 ;, d'où
qJ(d)
= 0 et g/(d) = 0 si d = c; = do
et cp(d) > 0 ==} gl(d) > 0 si d> do, c'est-à-dire pour tout d. Si donc do 2::
Co
3
(cas étudié dans VII.39 pour
Co
3
~ do
Xl.
3
X
croît de 0 à Xl' puis croît
c) Calcul de l'abscisse ç1 dans un repère d'origine L'équation de ~ dans ce repère est
e milieu de AT. d
avec Ç2 2.. 2
303
4. Variations des grandeurs
On cherche sur une hyperbole de sommet A le point B(Çl' 1]1)' tel que dl
= 2eB = S-, condition qui correspond à 2d 3
2 1
= codo - dg.
On a
On doit donc avoir
d'où
Vérifions qu'avec l'hypothèse do < Co , on a bien 3
~
'=>\
;1
> do : 3
do ~2 dg 3co - do Co • > - '=>1 > - ( ) > 1 Co > 3do do < - , 2 4 2 do + Co 3
c'est la condition posée dans l'hypothèse. PROPOSITION VII.41. - Soit une ellipse de grand axe AT = do et de petit axe BL1 d~. Soit B et Z sur l'arc AB, B plus proche de A. Si BK dl et
=
=
ZH = d2 sont les diamètres issus de B et Z, on a
Z
A
E
B
e N
A
o
r K H
Fig. 32
Démonstration: Soit TA Il BK, TI Il ZH, AM 1- AT et JO 1- AT. On pose
304
Le septième livre des Coniques rN _ AB _ do . AN - rB - -;;;; ,
on a alors TN = EA et AN = ET, d'où ~= rN do +co rN +AN
rN NB'
d'où rN·BA NB 2
(1)
"1 15 ,on a d 0'2 a) D ' apres.
--
•
d oC o' d'" ou
d~
do, ----;2 -- do Co
d' ou"
(2)
on a donc
d'où d'o d~ +c~
rB Nr+rE
rB NE
et (3)
De (2) et (3), on a rN·rE NE
rN·AE NE '
--< - -22
d'où, en comparant à (1), on a
4. Variations des grandeurs
305
b) D'après VII.17, on a dg
(d1 +C1)
2
rN·MS rN·MS (MS + MN)2 NS 2
or AS> MS, d'où
D'après VII.17 également dg
(d2 + C2 )2
_ rN·SO NS 2
-
or MS> SO, d'où
Et enfin de SO > ST, on déduit
Remarques: 1° Apollonius vient de montrer que d + C croît de do + Co à d~ + c~. 2° On peut raisonner également comme suit: on a vu dans VII.30 que la somme cP + dc est invariable,
Le produit d(d + c) est constant; or, quand un point décrit l'arc AB, le diamètre d décroît de do à d~, donc d + C croît de do + Co à d~ + c~. Dans une hyperbole d'axe transverse AT = do, on a pour tout diamètre transverse d, doco < dc, et le produit d · c croît quand le diamètre s'écarte de l'axe.
PROPOSITION VII.42. -
306
Le septième livre des Coniques
Démonstration: Soit BK = dl et Tç = d 2 deux diamètres quelconques tels que x B < XT les abscisses des points B et T. Par définition de N, on a rN NA
= do = d~ Co
Co
do
Or, d'après VII.18,
Or NM> NA, d'où
E
Fig. 33
D'après VII.18, on a également rN _ d~ . NE - d2 c2 '
Remarques: 1° Apollonius montre donc que, lorsqu'un point B décrit la courbe en s'éloignant du sommet A, la longueur NM croît indéfiniment, donc le produit dc croît indéfiniment à partir de doc o. 2° Apollonius utilise dans la démonstration le résultat établi dans VII.18. On peut également partir de VII.29 ; on aura alors
307
4. Variations des grandeurs
différence constante. Mais on sait que d croît en fonction de l'abscisse de B, à partir de do ; dc croît donc à partir de doco. 3 0 Si on considère l'angle a que le diamètre d fait avec l'axe transverse, on voit que le rectangle cd dépend de cet angle. En effet, on a
pour a
= 0, on a d = do et c = Co.
Dans une ellipse de grand axe AT = do et de petit axe BL1 = d;, avec les hypothèses de VII.41, on montre
PROPOSITION VII.43. -
do . Co < d . c < d; .
c~.
Démonstration : Soit BK un diamètre, le point B décrit l'arc AB, donc d décroît de do à d;. Par définition de N, on a
d'où TN _ d~c~ --NA
A
do Co
E
B
r N
A
M
e
0
.....
K ~
Fig. 34
ç
308
Le septième livre des Coniques
TN d 2 = -.JL ; or NM> NA, donc dc NM dc
D'après VII.18, on a -
> doco. Quand B
décrit l'arc AB, NM croît de NA à Ne (e milieu de AI), donc dc croît de
doco à d; c~. Remarques: 1° On peut aussi raisonner ainsi: d'après VII.30, on a
somme invariable. Or d décroît de do à d;, donc dc croît de doco à d; c~. 2° On voit, comme dans la proposition précédente, que le rectangle cd dépend de l'angle a. Ainsi on écrit d '2 d2
et on a pour
d o2sin 2 a + d0'2 cos 2 a d2o cos 2 a + d'2 ' 2 0 sIn a
C
2
- + tan a _---=-d~_ _ C
-
1 + _ tan 2 a d
'
'TC a = 0, d = do et d/ = d;, donc c = co' et pour a = -, on a d =
2
d; et d/ = do. Dans les trois propositions suivantes, 44, 45 et 46, Apollonius étudie la variation de la somme d 2 + c 2 pour l'hyperbole quand l'extrémité du diamètre d décrit la courbe en partant de son sommet, soit A. Si do ~ co' alors ~ + c 2 croît à partir de d~ + c~. Démonstration : On sait que d croît à partir de do, et on a montré dans VII.33 que c croît également à partir de co' donc d 2 + c 2 croît à partir de do + co' PROPOSITION VII.44. -
PROPOSITION VII.45. -
Si do < Co et
dg ;: : .!.(Co - dS, 2
alors d 2 + c 2 croît à
. d e d02 + Co2 • partIr
Démonstration : On a recours dans le raisonnement aux points N et S définis par TN NA
Or
= AE = do ET
Co
309
4. Variations des grandeurs
or par hypothèse d~ ~ .!.(co - dO)2, donc 2A2 ~ N2. 2
E
Fig. 35
Au diamètre variable BK on associe TA Il BK et AM .l TA, alors MS> AS, donc 2MS · AS> Ne ; et on déduit 2MS· AS+ 2NA· AS> Ne + 2NA· AS.
Mais NS = NA - AS et MS + NA
= MN + AS ; on en déduit
2(MN + AS) . AS> NA 2 + A2,
d'où 2(MN +AS)·MA MA ----'---------'--->NA 2 +AS 2 AS
et 2
2
2(MN +AS)·MA+NA +AS > MA+AS . NA 2 +AS 2 AS '
mais MN+ AS= MA + AN+ AS, d'où 2(MN + AS) . MA + NA2 + A2 = = (MA + AN)2 + (MA + AS)2 = MN + Me
on a donc MN 2 +MS 2 NA +AS
MS AS
-- -2 > 2
et on déduit
;
310
Le septième livre des Coniques rN·ME rN·AE MN 2 +ME 2 < NA 2 +AE 2
•
Or d'après VII.19, on a ~_ rN·ME d 2 + c 2 - MN 2 + ME 2
'
et de la définition de N et E on déduit
=
do2 2
2
do + c0
AE 2 NA
2
_
AE·rN 2 NA + AE 2
+ AE 2
par conséquent, on a dg d +C
-2--2
d02 + Co2 •
Ainsi, quand le point B s'éloigne du sommet A, la longueur ME croît. Si B vient en T, M vient au point E et on a EE > ME. Mais on avait 2ME 2 > NE 2 , donc 2EE . ME > NE 2 ; et, en raisonnant comme précédemment, on montre que di + c; > d~ + c~, donc cP + c 2 croît quand B s'éloigne du point A. Remarques:
d~ ;:: ~ (co -
1° co> do et
do)2
-2- - -2 2MT.ME NM +ME '
soit
23
Cette conclusion est absente du texte.
12'
+ do
d'où
316
Le septième livre des Coniques
AM 2AM·Mr - - > -2- - -2 MS NM +MS '
d'où AM + MS MS
NM 2 + MS 2 + 2AM . Mr NM + MS
AS MS
- - - - = - > - - - -2- - 2 --
ou AS MS
Nr 2 + rs 2 24 NM +MS '
->-2 - -2
donc
Nr 2 +rs 2 NM +MS '
As.rN Ms·rN
- - - > - 2- - -2
ou encore rN·AS rN·MS - -2- - > ----Nr + rs 2 NM 2 + MS 2 '
donc, d'après (1) et VII.19, on a
c;.
2° Montrons que dl2 + c~ < di + Soit TI Il TÇ et ID ..1 AT, avec AD> AM. Le point 0 peut être entre M et e, en e ou entre e et T, et on peut avoir MN < DE et MN> DE.
D'autre part, DE < AE et par (5) on a NE 2 > 2TN· DE, d'où 24
Cette inégalité donnée sans explication dans le texte, se justifie ainsi
NM2 + MS2 + 2AM . Mr= (XM-XN)2 + (XM-XS)2 + 2XM(Xr-XM) -- x 2 + XE 2 - 2 x ( x + XE - x ) - x 2 + XE2 -- AN 2 + A:;-2 - 1r:;-2 + TN 2 N M N r N I...J
-
I...J
= -AN = -XN)' 25 MN < OS ~ MN . MO < OS . MO ~ ~ MN, MO+MN' OS< OS'MO+MN' OS, d'où MN ·MS< OS· NO. Mais NM + MS= NO+ OS entraîne MN2 + MS2 + 2MN· MS = Nd + OS2 + 20S . NO, (avec Xs-Xr= rs
donc
NM2 + MS2 > N0 2 + OS2.
On montre d'une manière analogue MN~ OS ~ NM2 + MS2 ~ Nd + OS2.
4. Variations des grandeurs
317
Ne - 2NO· OS> 20S (TN - NO). Mais OT= TN-NO= OS-TS; on a (NO + 0E)2 - 2NO . OS =N0 2 + OS2 > 20S (OS - TE) ; et, afortiori, N0 2 + OS2 > OS· 2 [OS - MN] (car MN> AN et AN = TE). On a alors
-MO = MO·2[OS-MN] > MO·2[OS-MN] 2 OS
---=-----~
N0 +OS2
OS·2[OS-MN]
on en déduit MO+OS OS
MS OS
---=->
MO·2[OS-MN]+N0 2 +OS2 A. =B ' N0 2 +OS2
mais MN= ON- OMet OS-MN= OS+ OM- ON, d'où
donc A
B
Or on a rN2 ·MS 2 et - 2dg rN ·OS,....2 (d' apres "VII ·19) , --2 = 2 MN +MS d 2 +c2 ON +0:=
d'où
b) MN ~ OS, dans ce cas MN 2 + MS 2 ~ N0 2 + OS2 ; et on raisonne comme dans le cas a) ; on obtient encore dl2 + c~ < d; + c~. Et à partir des égalités rN·rs et ~= rN·OS rN 2 + rs 2
di + ci
on obtient par un raisonnement identique 2 d 2 + C 22 < d'2 a
+ Co12 .
ON 2 + OS2
318
Le septième livre des Coniques
Si d~ > .!.(do + CO)2, alors il existe un point B sur
PROPOSITION VII.48. -
2
l'arc AB auquel correspond le diamètre BK = dl tel que
d~ = .!.( dl + CI)2 ; la 2
somme d 2 + c 2 est décroissante à partir de d~ + c~ quand le diamètre d s'écarte de l'axe AT= do, passe par un minimum d l2 + c~ qui correspond au diamètre BK = dl' et croît ensuite jusqu' à d~2 + C~2.
r
e Fig. 37
Démonstration : Apollonius fait appel comme précédemment à la /f' .. d e N et.!:j - : ----:::::; AE = -do de InItIon - , et engage b eaucoup d e ca1cu1s. NJ::j
do +co
D'après l'hypothèse, on a 2AE 2 > NE 2 • Soit M sur Artel que 2ME 2 = NE 2 , donc M est entre A et e. On mène MA 1- AT et le diamètre BK tel que BKII TA. Or, d'après VII.7, on a
Soit ensuite les points T et B sur l'arc AB dans l'ordre A, T, B, B ; on mène les diamètres BL1 et Tç et les droites TO Il L1B, TY Il Tç, 00 1- AT, YII 1- AT. Posons Tç = d2 et BL1 = d3 • a) Montrons que dl2 + c~ < di + c~ . On a défini M par 2ME 2 = NB 2 ; or
e
est milieu de NE ; on a donc
a- '.!:j -N =.!:j -M 2 ==> NE-ME =-MN ==> N. èY.!:j .!:j' Ma èY = M.!:j' MN . M aIS ME-Ee
Me
No < NM ==> NE . Me > ME . No ==> 4 eE · Me > 2MB· No, ce qui entraîne 4eB· Me+ 2Mo' ME > 2MN· MB,
319
4. Variations des grandeurs
d'où
4eE · Me + 2Mo . ME + 4 eM2 > 2MN· ME + 4eM 2.
Or
ME = NE - NM = 2Ne - MN = MN + 2Me ==> 2eM = ME - MN, on a donc
2ME (2Me + Mo) > 2MN· ME + (ME - MN)2 et
2ME (eM + eo) > MN 2 + ME 2 ;
on a alors 2(eo+eM)·Mo = Mo < 2(eo+eM)·Mo 2( eo + eM)ME ME MN 2 + ME 2 '
d'où Mo+ME < 2(eo+eM).Mo+MN 2 +ME 2 ME MN 2 +ME 2
•
'
mais eo + eM = Mo + 2eM = Mo + 2( eN - NM)
et
= Mo + ME -
MN
2(Mo+ ME-MN) Mo+ MN 2 + ME 2 = = (Mo + ME)2 + (MN - Mo)2 = E02 + oN2 ;
on a donc oE M0 2 +oN 2 - Me, que AE> ilE et que MN . ME> NA . ilE 27, on déduit NE· Ile> NA· ilE
et on a AE NA 2 +AE 2 -
do
(M) 'V 2 - 1 > co'
. con d·1tion
qui correspond à l'hypothèse d'Apollonius dans VII.48. Soit Xl la valeur de X pour laquelle u(x) = U I ; Xl est une solution de l'équation
322
Le septième livre des Coniques
on a donc
il faut que x?
0 do -
2 - Co
2
< d1
-
2
Cl .
Co
On a également, comme NM < SM, SE SM
NE NM
SE SM
SE+NE SM+NM'
--
~
A~
< AN).
D'autre part, puisque NA> SA, ME
MN NA
ME
ME+MN EA+NA'
->--==}->----
EA
EA
d'où ME· rN EA· rN
--->
(ME + MN)(MN - ME) . (EA + NA)(NA - EA)
On a alors rN·ME rN·EA - -2- - -2 > -2- - -2 MN - ME NA - AE '
et, d'après VII.2ü et (1), on a donc d~
-2--2 Cl - dl
>
d~
-2--2 Co - do
==}
2 Cl -
2
2
dl < Co
-
d2
o·
On montre de la même façon que c~ - d; < c: - d1 • La différence ~ croît à partir de c~ - d~ . 2
c2 -
326
Le septième livre des Coniques
Soit un point 0 au delà de K tel que BO
= Cl
;
on a BK . OK =
dl)' donc, d'après VII.29, on a BK· OK = do(co - do), d'où
dl(C I -
donc
et il en est de même pour tout diamètre d
Étude de la différence d 2
-
c 2 pour l'hyperbole (propositions 49 et 50)
Avec les notations utilisées dans l'étude des propositions 44, 45 et 46, le diamètre d issu d'un point (x, y) E dtf est donné par
D'après VII.29, on a
Posonsf(u(x)) = d 2
/
-
c 2 ; on a
(do+coJ
/
u/(x)
2(
u(x)=8x ~ et fx(u) = u2 (x)odo do-co
On a
=
d
x~ ~' donc u/(x) > 0 et j;(u) > 0 (si do '* co).
d a et d 2
-
C2
=
d~
- c~. Quand x ~
)2 0
Pour x=
+00, d ~
~'
on a
+00 et
d - c ~ 2do(d o - co), et ainsif croît de d~ - c~ jusqu'à 2do(d o - co). On doit distinguer deux cas. 1) Si do > Co - hypothèse de VII.49 -, on a d~ - c~ > d~ - doco et, par conséquent, on a 2
2
et on a donc les résultats obtenus dans VII.49.
327
4. Variations des grandeurs
2) Si do < Co - hypothèse de VII.SO -, la différence d 2 - c 2 est alors négative pour tout diamètre. Dans ce cas, Apollonius considère la différence c 2 - d 2 et montre qu'elle est décroissante de c~ - d~ jusqu'à 2do(c o - do). 3) Si do = Co' l'hyperbole est équilatère et, dans ce cas, d 2 - c 2 = a pour tout diamètre. Remarque : Dans les propositions 49 et 50, Apollonius montre que \d 2 reste dans un intervalle borné.
-
c21
PROPOSITION VIL5!. - Soit une ellipse de grand axe Ar= do, de petit axe 11E = d~ ; les côtés droits respectifs Co < do et c~ > d~. Soit çT un diamètre égal à son conjugué, çT = dl = d: = Cl' On considère sur l'arc A11 de l'ellipse les points B, A entre A et ç et les points r et a entre ç et 11 (dans l'ordre: A, B, .11, ç, r, a, 11). On considère ensuite a) les diamètres BK = d2 , AM = d3 ; b) les diamètres aD = d4 , rP = ds, 2 2 2 2 a1ors d 02 - Co2 > d 2 - C22 > d 3 - C32 et Co12 - d a'2 > C42 - d 4 > Cs2 - d s·
N
r
A
Fig. 40
Démonstration : a) On mène rIT Il BK, rx Il AM, ITy 1. Ar, Xo 1. Ar. On a y entre A et e (le centre) et By< yS, d'où EA Ey
eA er
- d22
2
-
C2
•
On démontre de la même manière à partir du point
0 (0
est entre y et
e) que rN·Ey rN·Eo ----==>
Mais 2NE· ye
eL
= YN 2 -
rN·EY 2NE·eY > rN·EL 2NE·eL
YE 2 et 2NE· Le = NL 2 - LE 2 , d'où
rN·EY rN·EL - -2 - -2> - 2- - -2 YN - YE NL - LE '
et d'après VII.2a
Enfin LE rE
Le
rN·LE 2NE·Le > rN·rE 2NE·re
->-==> re
et, en raisonnant comme précédemment, on a 12
Co
-
d 0'2 > Cs2
-
d2S'
4. Variations des grandeurs
329
Remarques: 1° On remarque que, dès le début de la démonstration, Apollonius mentionne l'existence d'un diamètre çT= dl égal à son conjugué, sans toutefois préciser la position du point ç qui donne ce diamètre. Dans notre commentaire de VII.24, nous avons mentionné l'existence de ce diamètre et indiqué sa construction. Ici, on doit avoir çTII .1T. On constate d'ailleurs qu'il en est bien ainsi sur la figure, mais la droite .1Tn' est pas mentionnée dans le texte. Il n'est pas mentionné non plus que, si çTest égal à son conjugué, il le sera '" "drOlt: . d 1 = d'1 =::} d 1 = Cl et d 12 - CI2 = 0. aussI. a" son cote 2° Pour les points pris entre A et ç, on ad> c. En utilisant la définition des points S et N sur AT et les résultats établis dans VII.20, Apollonius montre que d 2 - c 2 décroît à partir de d~ - c~. Il ne mentionne pas cependant que d 2 - c 2 atteint la valeur O. 3° Pour les points entre ç et .1, on a d < c et d 2 - c 2 < O. Apollonius étudie alors la différence c 2 - dl et montre qu'elle est croissante et inférieure à C~2 - d~2. 4° On pouvait très rapidement effectuer cette démonstration en partant 2 des résultats de VII.30 : d + cd = d~ + coda; alors d(c + d) est constant, donc puisque d décroît quand l'extrémité du diamètre décrit l'arc A.1, alors c croît, donc d 2 - c 2 décroît et prend la valeur 0 quand d = dl = Cl' puis devient négative et décroît jusqu'à d~2 - C~2, (d~ < c~).
Étude de la différence d 2 - c 2 pour l'ellipse (proposition 51) Avec les notations du commentaire de VII.48, on a
On a donc
quand un point décrit l'arc A.1, x décroît de do à O. On a 2
donc d 2
-
c 2 = 0 pour d 2
tive de l'équation
(Xl
= do(do + co) , c'est-à-dire pour x = Xl racine posi2
est l'abscisse du point ç)
:
330
Le septième livre des Coniques
Pourx=xl,ona
u'(x)
d -c J, = 8x( -~
donc u/(x) = 0 pour x = 0 et u/(x) < 0 pour 0 < x < do ; et 2
1
gx(u(x)) =
u'(x)
-2-
u
do2( do + Co )2
a le signe de u /(x). Donc d 2 - c 2 décroît de d~ - c~ à d~2 - C~2 ; si au contraire do < Co, U/ > 0 et d 2 - c 2 croît dans le même intervalle. Apollonius considère un point allant de A à
ç, puis de ç à .1, et étudie
Id 2 -c 2 1 qui décroît de d~ -c~ pour x = 0 pour s'annuler en Xl puis croît de 0 à C~2 - d~2 pour x = do. 2
Remarque: On peut exprimer C~2 - d~2 en fonction de do et 12 d'2 do (d02 - co' 2) done Co12 - d0'2 > d20 - Co2• Co 0 = -
Co ;
on trouve
Co
5. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES À d, d/, C, c/ Nous avons tenté de mettre en évidence, ou de restaurer, la structure de la théorie géométrique élaborée au septième livre. Quatre parties bien articulées s'y enchaînent, dont chacune dépend de celle qui la précède, quatre parties parfaitement hiérarchisées. La première se compose de quatre lemmes préparatoires ; la seconde de quatre propositions sur les relations
330
Le septième livre des Coniques
Pourx=xl,ona
u'(x)
d -c J, = 8x( -~
donc u/(x) = 0 pour x = 0 et u/(x) < 0 pour 0 < x < do ; et 2
1
gx(u(x)) =
u'(x)
-2-
u
do2( do + Co )2
a le signe de u /(x). Donc d 2 - c 2 décroît de d~ - c~ à d~2 - C~2 ; si au contraire do < Co, U/ > 0 et d 2 - c 2 croît dans le même intervalle. Apollonius considère un point allant de A à
ç, puis de ç à .1, et étudie
Id 2 -c 2 1 qui décroît de d~ -c~ pour x = 0 pour s'annuler en Xl puis croît de 0 à C~2 - d~2 pour x = do. 2
Remarque: On peut exprimer C~2 - d~2 en fonction de do et 12 d'2 do (d02 - co' 2) done Co12 - d0'2 > d20 - Co2• Co 0 = -
Co ;
on trouve
Co
5. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA VARIATION DES GRANDEURS ASSOCIÉES À d, d/, C, c/ Nous avons tenté de mettre en évidence, ou de restaurer, la structure de la théorie géométrique élaborée au septième livre. Quatre parties bien articulées s'y enchaînent, dont chacune dépend de celle qui la précède, quatre parties parfaitement hiérarchisées. La première se compose de quatre lemmes préparatoires ; la seconde de quatre propositions sur les relations
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
331
métriques fondamentales ; la troisième de douze propositions consacrées à d'autres relations métriques; la quatrième, enfin, de trente et une propositions qui portent sur la variation des grandeurs associées aux paramètres d, d~ C, c/. L'architectonique du livre est solidement bâtie et les regroupements de signification clairement désignés. Il suffit d'examiner le schéma ci-dessous pour s'en convaincre: il reproduit les implications logiques et les réseaux de dépendance entre les propositions, tels que les a conçus Apollonius.
On a également saisi les engagements ontologiques qui sous-tendent la théorie géométrique élaborée dans ce livre. En effet, aux côtés des êtres déjà rencontrés dans les livres précédents, relatifs aux sections coniques, aux éléments qui les composent et à la théorie des proportions, il y a ici l'objet « courbe ». Nous avons noté que, dans le septième livre, Apollonius prend ses distances à l'égard du cône et des sections planes pour considérer de plus en plus les courbes et étudier les paramètres, indépendamment de la manière de les engendrer. Pour mieux comprendre la force et les enjeux de ce nouvel engagement, il nous faut chercher une voie qui nous mène plus loin pour le sonder en profondeur. Seule une autre mathématique que celle d'Apollonius pourra nous indiquer ce chemin. Il nous a donc paru adéquat de traduire la démarche du septième livre dans la langue de l'analyse, ce qui nous fournit
332
Le septième livre des Coniques
non seulement un modèle interprétatif, mais aussi un moyen de contrôle. En effet, le degré de perfection qu'il est possible d'atteindre dans cette traduction est l'indice de l'extension, et aussi des limites, de la contribution d'Apollonius dans ce livre. C'est notamment le moyen de reconnaître et d'évaluer la structure sous jacente à la théorie qu'il renferme. Partons des trois premières propositions, où Apollonius considère une conique J': Choisissons pour axes de coordonnées un diamètre Ar et la tangente à l'extrémité A de ce diamètre, et orientons l'axe Ar des x à l'intérieur de la conique. L'équation de la conique s'écrit sous la forme
où c > 0 le côté droit associé au diamètre Ar et le coefficient À > 0 pour l'hyperbole, À = 0 pour la parabole et À < 0 pour l'ellipse. Lorsque À*-O (conique à centre), Ar recoupe la conique au point r d'abscisse -~ et le centre K a donc pour abscisse _5- ; on pose d = ~, 2À
À
IÀI
de sorte que À = ±~ (signe supérieur pour l'hyperbole, inférieur pour d
l' ellipse). Dans le cas de l'ellipse, la parallèle à ATmenée par le centre K coupe la courbe aux points .1, .1 / d'ordonnées ±
~
= ± -kd
2"IÀI
2
conjugué de Ar et sa longueur d/ est égale à
-kd
; le diamètre .1.1 / est d '2 et d
de sorte que c = -
d '2 .IL. = - - 2 . De même, dans le cas de l'hyperbole, on dit que la parallèle d
.1.1 / à
AT menée par K est le diamètre conjugué de Ar; on le limite aux points .1, Â /
L!
d' ordonnees / ±
C
fI1ï
2,,1 À
= ±~- et
1
2
on a
d '2
Â
Â
L!L!
/
r--; = d / = "cd,
À = - 2 . Le cas À = -1 correspond au cercle et le cas À d
c
= -d
'2
d
et
= 1 à l'hyperbole
équilatère; pour ces courbes on a d/ = d = c. On considère un point B de ~ de coordonnées x, y ; si J est une hyperbole, on suppose B sur la même branche que A, de sorte que x est positive dans tous les cas. En notant
e l'angle
des axes de coordonnées, on a
333
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
AB2 = X 2+ y2 + 2xycose
= x(x + e + Àx + 2ycose).
tangente A T est orthogonale au diamètre AT, donc AB2 = ex
(1)
Si J est un cercle, la
e= !!.-2 et
= AT, AE,
où E est la projection de B sur AT parallèlement à AT (c'est-à-dire orthogonalement) ; c'est une propriété bien connue du cercle, qu'Apollonius utilise d'ailleurs dans sa démonstration des propositions 2 et 3 (en faisant intervenir le point auxiliaire 2). Dans les autres cas, AB2 =
') ( C cose) (l+~)x x++2y -- .
I+À
I+À
Soit Ble point de ATd'abscisse __c_. SiJ est une parabole, eA I+À
"" drOlt; . d ans 1es autres cas, -er est lecote •
') = - À(I+À) , d onc =eA er = -~ = +-. d C
C
1
SOIent encore A sur l'axe des x et T sur l'axe des y tels que
1
= 0 et A
1
AA' 2cose = -AT I+À
-=-
e = !!.-, c'est-à-dire lorsque ATest l'un des axes de~on 2
(Fig. 41) ; lorsque a AA
=e
est confondu avec A (c'est le seul cas considéré par
Apollonius). On projette B sur AT en E parallèlement à A T et en El parallèlement à TAI; ainsi le triangle EBE I est semblable à ATA 1 et El = E 1t 0 SI. e = -. n a donc -BE
2
2cos8 . . =Y et -EE'- = - y (F'Ig. 42) ; aInSI I+À
T
T A'
B
e A K
K
E' E
Fig. 41
Fig. 42
334
Le septième livre des Coniques
x+ _c_ + 2cos8 y = AE-Ae+EE'=eE' l+À
l+À
et 2
AB = l+À AE·eE' '
(2)
indépendamment du choix de B.
Remarque. L'angle AA/T= qJ est donné par tgqJ = 1+À tg8. Dans le cas de l-À
la parabole, on a qJ = 8 ou n = 8 et le triangle A TA / est isocèle ; il en est donc de même de EBE/. Dans le cas de l'hyperbole équilatère, eA = ~ = 2
-er
et qJ = ~ ; donc 2
e est le centre de l'hyperbole et E/ est la projection
orthogonale de B sur AT.
Changement d'axes On considère maintenant un nouveau système d'axes de coordonnées: le diamètre BI passant par B et la tangente B Y à J au point B ; on suppose l'axe BI orienté vers l'intérieur de J et l'orientation de BY choisie de manière que les nouveaux axes définissent la même orientation du plan que les anciens. Les coordonnées de B dans les anciens axes sont notées (xo, Yo) ; un point quelconque, de coordonnées (x, y) dans les anciens axes a pour coordonnées (x /, y) dans les nouveaux axes et on a x = xo + ax / + {3y /, Y = Yo + rt/ + 8y/ où (a, y) et ({3, 8) sont les coordonnées respectives de vecteurs unitaires de BI et de BY dans les anciens axes. On a donc ci + y + 2aycos8 = {32+ 8+ 2{38cos8= 1 et a8- {3y> O. Lorsque J est une parabole, BI est parallèle à Ar: donc (a, y) = (1, 0). Dans le cas d'une conique à centre, le vecteur KB a pour coordonnées
xo +
~, Yo 2À
et la distance BK est donnée par BK2 =
(x o + ~)2 2À
+
y~
+
2Yo(x o + ~Jcos8 = ~((c + 2Àxol + 4A2 y~ + 4AYo(C + 2Àxo)cos8), que nous 2À 4À noterons -f 22 avec 4À
=
'
f >0 ,
" .. pour abreger· aInSI ,
J: 2Àyo o = ~ a = c + 2Àx y= f f' f
21 en posant ç = c + 2Àxo, 1] = 2Àyo. Les variables f
ç, 1] jouent le rôle de
coordonnées par rapport au centre; elles sont liées par la relation
Àç - 1]2 =
335
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
Àc 2 • Notons que ces formules, avec 1] = 0, sont aussi valables dans le cas de
la parabole, car f = c dans ce cas. La pente p de la tangente B Y dans les anciens axes est donnée par
2yop =c + 2Àxo, donc ({3, 8) est proportionnel à (1'], ÀÇ) : {3 = -2L, 8 Àg
+ À2ç 2 + 2Àç1]cos8 et g > 0 pour assurer que a8 L'angle 8 1 des nouveaux axes est déterminé par 2
2
À g = 1]2
= 1g où f3y > o.
cos81 = af3 + y8 + (a8 + f3y)cos8 =
(3)
e
(1 + À)Çll + (À ç2 + 11 2 )cosS . 8 c • SIn 1 = -sIn Àjg , fg' 2
=
e= ~, cosel = (l + À)~ll , sinel = ~ . Dans ce cas, on voit que
soit, lorsque
Àfg
2
fg
cos 8 1 a le même signe que Yo si J est une hyperbole : l'angle 8 1 est donc aigu au-dessus de l'axe AT, obtus au-dessous. Si Jest une ellipse et que AT est son grand axe, 1 + À > 0, donc cos8 l a le signe de yo(c + 2Àxo) : il est positif et 8 1 est aigu lorsque B est sur l'arc A.1, il est négatif et 8 1 est obtus lorsque B est sur l'arc AL! / ; si AT est le petit axe, 1 + À < 0 et on doit échanger les conclusions. Si Jest un cercle, 8= !!.- et À = -1, donc f2 = g2 = (c - 2XO)2 + 4y~ = c 2 2
et
f =
g =
C,
8 1 = !!.- ; si J est une parabole, À = 0, donc f2 = c 2 et 2
g2 = c + 4 y~ + 4cYocos8 = c2 + 4c(xo + yocos8). Dans les autres cas, 2
=
f2 cÀ(1 + À)
+ ~ + 2Çllcos S
c
2
À(1 + À)
Àc
cÀ(1 + À)
et _g_2_ = _c_ c(1+À)
+ ~ + 2Çllcos S 2
1+À
Àc
cÀ(1+À)
Soient N et S les points de AT d'abscisses respectives __ c_, _ 1+À
c
,
À(1+À)
qu'Apollonius introduit pour définir les droites de rapport semblable; N est le point noté plus haut -
deJOn a rN =
e et S est le symétrique de N par rapport au centre
c À(1+À)
et
---;::; r~
c
= - - , de sorte que l+À
TN
=
AN
-
=
AE
-=-
TE
1
= -- = À
336
Le septième livre des Coniques
+~. La droite issue de c
y
= Àç x n
A parallèle à la tangente B Y a pour équation
et elle recoupe /
au point A de coordonnées x
=
;2 ,Y = Ç11 ; ~
Àc
soient M et M/ les projections de A sur AT parallèlement à A T et à TA / de sorte que AM
= 2L et MM' = 2çncos S 2
cÀ(1 + À)
Àc
On a
(4)
/2
cÀ(1 + À)
= AM + MM' - AB = BM'
et 2
-gc(l + À)
= AM + MM'
On rappelle que, dans le cas où
- AN
= NM'.
a= !!.-2 considéré par Apollonius, A =A~
donc M= M~ Remarque. Lorsque /
est une ellipse, il y a trois positions particulières de B
qui simplifient les formules: a) si Xo =-~, Yo 2À
conjugué de AT),
= ± d' 2
(extrémités du diamètre
f = cd', g = dl, a ={) = 0, f3 = -y = ±1, cose = -cose. j
d
Alors A = M = M/ = T. b) si Xo = -~, Yo = 0 (B = T), À
f
= g = c, a = 8 = -1, f3 = y = 0,
cosaI = cosa. Alors A = M = M/ = A. Dans les nouveaux axes, l'équation de/s'écrit
soit (~-
À(32)y 12 = (ac - 2yyo + 2Àaxo)x/ + (ÀŒ - y)x 12 +
+ (f3c - 28yo + 2Àf3xo)Y/ + 2xy/(Àaf3 - y8).
337
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
On calcule que
f3c - 28yo + 2Àf3xo s'écrit Y
2
2
2
c C Àc 2 &- - Àf3 = 2 ' ac - 2yyo + 2Àaxo = -, Àa - y = - 2 ' Q
= 12
°
f
g
et Àaf3-y8
= 0,
f
de sorte que la nouvelle équation
g2 = CIX / + ÀIx 12" ou Cl = -
f
= Àg
et À I
2
-2 .
f
Cette équation exprime le résultat établi par Apollonius au premier livre des Coniques. Lorsque / est une parabole Cl = C + 4(yocose + xo), d'où Cl - C = 4 AZ où Z est la projection orthogonale de B sur l'axe AT. Dans le cas considéré par Apollonius, où de plus,
Cl
=
C
e= ~, on a 2
AZ
=xo, abscisse de B (proposition VILS) ;
+ 4xo est une fonction strictement croissante de Xo
(proposition VII.32). Dans le cas général,
Cl - C
=
fonction strictement croissante de Yo si Yo > - ~cos 2
minimum égal à csin 2e lorsque Yo
'''' . ..
el =
4(Y
o COS8+
e; donc Cl passe par un
= -~cose, Xo = ~cos2e. La formule (3) 2 4
2 y 0 + c cos 8 et e Il e montre que g
el = -
1orsque 2 mum : alors B est le sommet de la parabole et BI est son axe. s ecrIt ICI cos
Si / est un cercle, Cl mais pas un cercle, on a
= C et À = À = -1. Si / I
= _g_2_. c(l+ À) = NM'
Cl
c(l+À)
:~) est une
'Tt
Cl
. . est mlnI-
est une conique à centre,
. c(l+ À)
f
1
et
soit 2
(5)
d . EM' ( .. VII . 15) . = rN NM,2 proposItIon c~
Le diamètre dl issu de B est égal à ~ conjugué
d; est égal à ~cA = g
H.
Ainsi
IÀII
Id et le diamètre c
338
Le septième livre des Coniques
soit (6)
-
d2
cId}
=
NM'
±~
rN
NM'
= - - (proposition VII.18) rN
et (7)
d}2 _
d;2 -
1 2d
_
1
_
le - ï)J -
12
c(l+À) = SM' NM'
± cÀ(l + À) -g-2-
si on tient compte de (4) (propositions VII.6 et VII.7). De plus
d1±d;= ~d(1±f~J=d~(1±~=:J = =
d (SM/± -JNM'.SM') -JrN·SM'
de sorte que (7)
d2 rN·SM' ---=--------;;::::=====-:(d} ± d;)2 (SM' ± -JNM'. SM')2
comme dans les propositions 8 et 9 d'Apollonius. On a encore
d'où (8)
Calculons maintenant d}2 ± d;2 comme dans les propositions Il à 14 d'Apollonius: on a
On en conclut qu'en prenant le signe supérieur pour l'ellipse et le signe inférieur pour l'hyperbole, on a d}2±d;2 = d(d ± c), indépendamment du choix de B (propositions VII.12, 13, 29 et 30) ; en particulier, on a toujours dl = d; dans le cas d'une hyperbole équilatère. Ensuite, si on prend le signe
inférieur pour l'ellipse et le signe supérieur pour l'hyperbole,
339
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
~(21i± À?cd + 4ç1]cos8) =
d,2 ± d;2 =
À
C(l+!J( 211: +~+ 4~11
l cÀ
À
=2 d
cÀ(l + À)
À
2
rN
(AM' _ AK)
cose] = 2C(1+!J(AM - AK + MM')
=2 d
À
2
KM'
rN
ou, comme l'écrit Apollonius,
=
(9)
On a encore
dl+CI
m
TN = (propositionsVII.11 et VII. 14). 2KM' NM' + EM' d 2 = -Cf jc
2
Àg )
=
dÀ(l+À)-
NM') (signe
(SM' -
j
supérieur pour une hyperbole, inférieur pour une ellipse), d'où (d1+Cl)2
2
= d À?(l+Ài (SM' _ j2
2
d (SM' _ = rN·SM'
= rN·';;'M'
NM')2
(SM'+NM')
NM')2
c.;j'M'
NM')2
m·SAF (SM'-NM,)2
et,
--
--==------, ..... ==--2 •
= d2Jt.~+Jt.>CSM' _
de
=
même, -
-
Comme rN· SM' est tOU]' ours positif et que SM' et NM'
ont le même sens dans le cas d'une hyperbole et de sens contraires dans le cas d'une ellipse, on peut rassembler ces deux formules en une seule, valable dans les deux cas : 2
(10)
=
d (dl
± C I)2
TN .SM' 2 (propositions VII.16 et VII. 17). (SM' ± NM')
Ensuite 2 d Jt.(l + Jt.) (SM,2±NM,2) = 2 = L(f4+ 12 g4) = d12 + - Cl 2 2 -/1" jc cSM' 2 = d (SM,2±NM,2) rN·SM'
soit 2
(11)
2d+ C 2 -
d1
-
1
rFf'SAF
SM' ±NM'
2
(propositions VII. 19 et VII.20).
340
Le septième livre des Coniques
Enfin l'aire dl d;sin81 du parallélogramme dont les côtés sont les parallèles aux diamètres conjugués passant par les extrémités des diamètres est égale à 3/2
(c J
fg!!...
2
· ~sin8 = dd/sin8, indépendamment du choix de B (proposition fg
VIL31). Dans le cas d'une ellipse, ce parallélogramme est circonscrit à la courbe; dans le cas d'une hyperbole, deux de ses côtés sont tangents à la courbe et les deux autres sont tangents à l'hyperbole conjuguée, dont
l'équation est l = d/l.
+;{
x+
~J.
Variation des diamètres dl,
d; et de l'angle
81
Comme dl = fd, l'étude de la variation de dl se ramène à celle de c
f2 = ç2 + 1]2 + 2ç1]cos8. Lorsque 8 = ~, comme dans le cas considéré par 2
Apollonius, f2 = (1 + À)ç2 - Àc 2 est une fonction croissante (resp. décroissante) de cercle),
f
ç = (c + 2Àxo)2 si À> -1 (resp. À < -1) ; si À = -1 (cas d'un
= c est constante. Lorsque J est une hyperbole, À > 0, donc ç2
croît avec Xo et il en est donc de même de f et de dl ; on voit que l'axe transverse donne le minimum de dl' Lorsque J est une ellipse, ç décroît lorsque
Xo
croît si c + 2Àxo > 0, c'est-à-dire si
Xo
< -~ ; cela signifie que B 2À
est sur l'arc L1L1/ qui contient A. Si Ar est le grand axe, c < d et À > -1, donc dl décroît de d à d / lorsque B parcourt l'arc AL1 ou l'arc AL1 / de A vers L1 ou L1 /; si au contraire Ar est le petit axe, À < -1 et dl croît de d/ à d lorsque B parcourt l'arc AL1 ou l'arc AL1/ de A vers L1 ou L1/ (L1L1/ est alors le grand axe). Ainsi le grand axe donne le maximum de dl et le petit axe en donne le minimum. Sans supposer que 8 = ~, on peut trouver les axes de J en cherchant les 2
positions de B qui donnent des valeurs extrémales de f2 au moyen de la méthode du multiplicateur de Lagrange. On annule donc la différentielle de ç + 1]2 + 2ç1]cos8 + /l(Àç - 1]2 - Àc2), ce qui donne (1 + Àtl)ç + 1]cos8 = çcos8 + (1 - /l)1]
=
°;
341
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
ce système admet une solution non nulle, ç = 1 - fl, 1] = -cos8, à condition que son déterminant Àf.l2 - (À - 1)fl - sin28 soit nul, ce qui détermine la valeur du multiplicateur fl. La formule (3) donne alors cose l
= 0,
soit
'Ir
81 = -. 2
On doit choisir la racine fl telle que la droite d'équations ç = t( 1 - fl), 1]
= -tcos8 rencontre /
2
ce qui impose ç2 - 2L > 0 ; c'est toujours vrai si À
< 1 - 1c~~e 1 si
À < 0, c'est-à-dire si J est une ellipse et c'est équivalent à Il
À > 0, c'est-à-dire si J est une hyperbole. Ainsi les deux racines fl conviennent dans le cas d'une ellipse; l'une est comprise entre 0 et 1 et donne le petit axe, l'autre est plus grande que 1 et donne le grand axe. Dans le cas d'une hyperbole, on vérifie que 1 -
c~~e 1 est compris entre les deux
1
racines et il faut donc choisir la plus petite (négative), qui donne l'axe transverse. De même, la variation de d; se ramène à celle de g2
= ;2 (À2~2 + 1}2 +
2ÀÇ17cos8) ; lorsque 8 = ~, ce que l'on supposera dans toute la suite, on est 2
ramené à À(1 + À)ç2 - Àc 2 fonction croissante (resp. décroissante) de Ç' si À < -1 ou À > 0 (resp. si -1 < À < 0). On en déduit que, lorsque J est une hyperbole, d; croît avec Xo ; le diamètre conjugué de l'axe transverse est donc minimal. Lorsque J est une ellipse et que AT est son grand axe (-1 < À < 0), d; croît avec
Xo ,
de d/ à d, si ç > 0, c'est-à-dire si B est sur
l'arc Lt1/ qui contient A ; au contraire, B étant sur cet arc, d; décroît de d à d/ lorsque Xo croît et que AT est le petit axe (À < -1). Ainsi dl et d; varient en sens contraires alors qu'ils variaient dans le même sens dans le cas d'une hyperbole. Il deviennent égaux lorsque P + Àg2 = I(À(Ç' + 1}2) + À2Ç' + 1}2)
= (l
À)(2~2
+
- c 2) s'annule, c'est-à-dire lorsque à
d'
Yo = ±-_,- ; leur valeur commune est évidemment
~d2 + d,2
2~2
La variation du rapport 2
-ig2 = À À ç ++1111 2
2
ç2
2
2
2
+ 2Ç11cos S + 2ÀÇ11 cosS
d~ dl
=
l f";f g ~-;;
2
Xo
= d 214-V 2 ,
.
se ramène à celle de
ou, si on suppose que
e = -, 2 Tt
à celle de
342
Le septième livre des Coniques
2 ç2 + 11 2 2 2 Àç +11
0,,1
=
-1;c
2 (1 + À)ç2 - Àc 2 2' À((l+À)ç -c )
d
1 d,/' ,/ ']:2'/ l ' ont a erivee par rapport a ~ est ega e a
2
2 2'
À((l + À)ç -c )
Si 0 < À < 1 (resp.
À,
> 1), c'est-à-dire si J est une
hyperbole et que d> c, soit d> d/ (resp. d < c soit d < d/) ; d~ est donc une dl
fonction décroissante (resp. croissante) de
ç, donc de Xo (propositions VII.21
et 22). Si À = ±1, c'est-à-dire si Jest une hyperbole équilatère ou un cercle (d
= c = d/), d~ = 1 est constant (proposition VII.23). Si -1 dl
À,
< À < 0 (resp.
< -1), c'est-à-dire si Jest une ellipse de grand (resp. petit) axe Ar; ~l, est 1
donc une fonction croissante (resp. décroissante) de ç2, donc une fonction décroissante (resp. croissante) de
Xo
le long de l'arc ALl et le long de l'arc
A1/ (proposition VII.24). Dans le cas d'une hyperbole, dl + d; croît avec Xo (proposition VII.25) tandis que d l2 _d(2 = (dl + d:)(d l - d:) reste constant; il en résulte que dl - d; est une fonction décroissante de Xo (proposition VII.27). Dans le cas d'une ellipse, AT étant le grand axe, dl décroît et d; croît sur l'arc A.1, donc dl -
d; décroît; mais sa valeur absolue Idl -
d; 1 décroît de d - d/ à 0
A B 0, ou'B 0 a pour coord , / Xo = d 2 -~ 2, Yo = sur l 'arc onnees
d 'pUIS . croIt "2\12 de 0 à d - d/ sur l'arc BoLl. Au contraire, si AT est le petit axe, dl croît et d; 4
~,
décroît, donc dl - d; croît; Id 1 - d; 1 se comporte comme dans le cas précédent, avec un minimum nul en B o• Il reste à étudier la variation de dl + d; dans le cas d'une ellipse; le carré de cette somme est d~ + d(2 + 2d l d; et d~ + d(2 reste constant, donc on est ramené à étudier la variation de d1d;
= fg ( ~d)3/2
À((1 + À)2(ç4 -
ou aussi bien celle de C
À,2f2 g 2
= (ç2 + 1]2)(À,2 ç 2 + 1]2)
=
2 2) + Àc 2 ). C'est une fonction décroissante de ç2 si ç
2
ç2 > ~ ; on en déduit que dl + d; est croissante sur l'arc ABo et décrois2
sante sur l'arc B 0.1, avec une valeur maximale ~2(d2 + d,2) en B 0 (propositions VII.26 et 28). Dans le cas d'une hyperbole, il est clair que dl dl' croît constamment (VII.28).
343
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
Lorsque J est une hyperbole, comme dl d; sine l reste constant et que
dl d; croît, sine l décroît et l'angle 81 lui-même est donc une fonction décroissante (resp. croissante) de Xo pour Bau-dessus (resp. au-dessous) de AT. Lorsque J est une ellipse de grand axe AT, sine l varie en sens contraire de dl d; et il en résulte que 81 est une fonction décroissante de
Xo
sur l'arc ABo et une fonction croissante de Xo sur l'arc B oL1 ; en B o , il passe . . "1 "A . 2dd' S·' l ". d B Par un mInImum ega a rcsIn d 2 +d' 2. 1 Ba est e symetrIque e 0 par rapport à AT, el est une fonction croissante de B~L1
fonction décroissante de Xo sur l'arc .
- ArcsIn
Xo
sur l'arc A
B~
et une
; il passe par un maximum égal à 'Tt
2dd' 2 2 en B~. Enfin, lorsque J est une ellipse de petit axe AT, 81 d +d'
croît sur les arcs ABo et
B~L1
et il décroît sur les arcs B oL1 et A B~ ; il a un
maximum en B o et un minimum en j
2d2 2d On a d)2±d;2 =7±~
B~.
2 1 = ')}(f2 + Àg ) = I}1 ( (l+À{ ~2+ ~ J+4~llcos8J 2
où le signe supérieur est relatif à l' hyperbole et le signe inférieur est relatif à l'ellipse. En supposant toujours que
e = ~, on voit que l'étude de la varia2
tian de d)2 ± d;2 se ramène à celle de (1 +
À{~2 +
r
J= (1 + À)(2 ç
est une fonction croissante (resp. décroissante) de
2 -
ç2
c 2 ), qui
lorsque  > -1
(hyperbole ou ellipse de grand axe AT )(resp. Â < -1 ; ellipse de petit axe
An et qui est constante lorsque  = -1 (cercle). Il en résulte que
d l2 + d;2
croît avec Xo si J est une hyperbole, ce qui était déjà connu par les résultats précédents, et que d l2 - d;2 est une fonction décroissante (resp. croissante) de Xo sur les arcs AL1 et AL1 / si J est une ellipse de grand (resp. petit) axe AT. Dans le cas d'une ellipse 1 d}2 - d;21 passe par un minimum nul au point B o et prend la valeur
Id dlll aux extrémités des axes (proposition VII.31). 2
-
Variation du côté droit 4
Son étude se ramène à celle de c 2 = L = 1
(on suppose que égale à
e=
j2
Cl
(')}'f:. 2 + 'l1 2)2 ~ '1 À4 (~2 + 11 2)
((1 + À)'f:. 2 _ C 2)2
= ---~--À2((1 + À)~2 _ Àc 2)
~) ; la dérivée de cette expression par rapport à 2
ç est
344
Le septième livre des Coniques 2
(1 + À)((l + À)ç2 -c )((1 + À)ç2 - (2À -1)c
2
)
À2((1 + À)ç2 - ÀC 2)2
et son signe est celui de À(l + À)((l + À)ç - (2À -1)c 2 ) car À((l + À)ç - c2 )
=À 2 ç2 + 1]2 > o. est une hyperbole et que 1 + À - (2À - 1) = 2 - À ~ 0, soit
Lorsque J
d ~ ~, la dérivée est positive et
Cl
2
aussi de
est une fonction croissante de
donc
(propositions VII.33 et 34). Mais lorsque À > 2 ou d < ~ ,
Xo
2
"A
d ecrolt pour
~2
~
2À -1 2 2c - d 2 . - C ; aInsI Cl c+d
d' 2
~c-2d c+d
avant de
est égale à 2d -JÀ -1 =
et celle de dl = d;: est égale à .!.. (proposition VII.35). Notons dl
Cl
2
que, dans le cas où A > 1, Apollonius obtient le résultat en observant que dl Cl
décroît et que dl croît (proposition VII.21). Lorsque J est une ellipse de grand axe AT, la dérivée est négative et Cl est une fonction décroissante de ç2, donc une fonction croissante de Xo le long des arcs AL1 et AL1 /. Lorsque AT est le petit axe, comme ~ c 2 , on a (1 + À)ç - (2À - 1)c2 ~ (2 - À)c2 > 0 et la dérivée est positive; il en résulte que Cl est une fonction décroissante de Xo le long des arcs AL1 et AL1/.
ç
On a
Id cd = l -
1
d 2 - d,21 1
1
;
lorsque J est une hyperbole, le numérateur de
dl
cette expression reste constant et le dénominateur croît avec Xo ; il en résulte que Id l - cIl est une fonction décroissante de xo, qui tend vers 0 lorsque Xo croît indéfiniment (proposition VII.36). Dans le cas d'une hyperbole équilatère, on a constamment dl - Cl = O. Lorsque J est une ellipse, on a
(en supposant toujours que
e= ~) ; sa variation se ramène à celle de 2
345
5. Étude analytique de la variation des grandeurs
((1 + À)(Àç 2 + 11 2))2 _ À2(1 + À)2(2 ç 2 ç 2 + 11 2
-
C
2)2
(1 + À) ç 2 - ÀC 2
La dérivée de (2 ç2 _
C 2)2
(1 + À)ç2 - Àc 2 2
ar rapport à ~2 est égale à (2 ç 2 - c )(2(1 + À)ç2 - (3À -1)c ) et son signe est '=' ((1 + À)ç2 - ÀC 2)2 donc celui de (2ç - c2 )(2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ) ; 2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 est 2
P
évidemment positif lorsque 1 + À ~ 0 et, lorsque 1 + À < 0,2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ~ 2(1 + À)c 2 - (3À - l)c 2 = (3 - À)c2 > 0 car ç ~ c2 • Ainsi le signe de
la dérivée est celui de 2ç - c 2 : comme fonction de ç, l'intervalle
Idl - CIl décroît dans
[0, c;]puis croît dans l'intervalle [c; ,c J. Il en résulte que Id 2
est une fonction décroissante de
Xo
l -
cd
sur l'arc ABo, puis une fonction crois-
sante sur l'arc BoL1 ; au point Bo il Ya un minimum nul (proposition VII.37). On a encore dl +
Cl
=
d 2 + d,2 Il;
dl
lorsque J est une ellipse, le numérateur
de cette expression est constant, donc dl + Cl varie en sens contraire de dl : c'est une fonction croissante (resp. décroissante) de Xo sur l'arc AL1 si AT est le grand (resp. petit) axe proposition VII.41). Lorsque Jest une hyperbole,
et sa variation se ramène à celle de
À2 (2
ç2
2 _ C 2)2
2;
(1 + À)ç - Àc
comme
;2 ~ c 2;2 - c 2 2
,
> 0 et 2(1 + À)ç - (3À - l)c 2 ~ (3 - À)c2 est aussi positif lorsque À ~ 3, soit C ~ 3d : dans ce cas dl + Cl est une fonction croissante de ;2, donc de Xo (proposition VII.39). Notons que, pour C ~ 2d, on sait que Cl et dl croissent avec Xo et qu'il en est donc de même de leur somme (proposition VII.38). Lorsque
C
> 3d, la dérivée de
C 2)2
(2 ç2 _ 2
(l+À)ç -Àc
2
est négative pour
3À-1c 2·1 "1te que d 1 + Cl commence par d"ecroltre '" '~2 =' < ; 1 en resu et passe 2(1 + À)
. . par un mInImum pour
Xo
= -dl 2
J Y ° = -d'
3c-d -1 , 2(c+d)
2
c-3d avant de 2(c+d)
346
Le septième livre des Coniques
croître indéfiniment (proposition VII.40). La valeur du minimum est 2c~2(À -1).
La variation de la «figure» dici = d;2 est la même que celle de d/: c'est une fonction croissante de Xo dans le cas d'une hyperbole ou d'une ellipse dont le grand axe est AT (restreinte à l'arc A.1) et une fonction décroissante de Xo dans le cas d'une ellipse dont le petit axe est AT (restreinte à l'arc A.1) (propositions VII.42 et 43). Apollonius étudie enfin la variation de d2 +c2 1 -
=
1
f4
2
d ± g4 c 2 f2 c 2
= À2(ç2 + 11 2)2 ± (À2ç 2 + 11 2)2 À4 (ç2
+ 11 2)
dans ses propositions 44 à 51. On a donc
et
(1 + À)(2 ç 4 (1 + À)2 - 4Àc 2ç 2(1 + À) + c 4 ((1 + À)2 - 2) ((1 + À)ç2 - ÀC 2)2
Lorsque À > -1 (hyperbole ou ellipse de grand axe AI), son signe est celui de
et lorsque À < -1 (ellipse de petit axe AI) son signe est opposé; lorsque À = -1 (cercle) d l2 + c~ est constant et égal à 2d comme on le sait bien. 2
Le discriminant de (12) est égal à 2c 4 (1 - À 2 )2, donc les racines
" Il es et ega "1 ree es"a
2À -+ (1 - À) -V 2 c 2 2(1 + À)
ç2 sont
.. ; eIl es sont toutes 1es deux posItIves SI.
À < -1 - ~2 ou À > ~2 - 1 et elles sont de signes contraires si -1 - ~2
~2 - 1. On a h( c
2
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15
356
Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques
- 3 - Si on associe au prolongement de l'un des axes d'une ellipse, quel que soit cet axe, une droite telle que l'une de ses extrémités soit l'une des extrémités du diamètre transverse, que l'autre extrémité soit à l'extérieur de la section et que son rapport à la droite située entre sa dernière extrémité et l'autre extrémité du diamètre soit égal au rapport du côté droit au diamètre transverse; si on mène de l'extrémité commune au diamètre et à la droite qui a été associée à l'axe une droite quelconque à la section, et si on mène de son extrémité la perpendiculaire à l'axe, alors le rapport du carré de la droite qui a été menée au rectangle entouré par les deux droites situées entre [M-115 f ] le pied de la perpendiculaire et les deux extrémités de la droite qui a été associée à l'axe est égal au rapport du diamètre transverse à la droite située entre les deux extrémités distinctes parmi les extrémités du diamètre transverse et de la droite qui a été associée. Qu'on appelle la droite qui a été associée ayant un rapport semblable. Soit une ellipse d'axe AT [B-139 f ] et dont la figure est TL1, et la droite associée suivant le prolongement de l'axe, AB. Que le rapport de Te à Ae soit égal au rapport de TA à AL1. Que l'on mène du point A une droite AB à la section. Menons la droite BE perpendiculaire à l' axe. Je dis que le rapport du carré de AB au rectangle eE par EA est égal au rapport de AT à Te. B B
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e
z
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L------o~
Fig. 3.1
Fig. 3.2
Démonstration : Posons le rectangle AE par EZ égal au carré de BE. Le rapport du rectangle AE par EZ au rectangle AE par ET est donc égal au rapport du carré de BE au rectangle AE par Er. Or le rapport du carré de BE au rectangle AE par ET est égal au rapport du côté droit, qui est AL1,
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15
358
Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques
au diamètre transverse, qui est AT, comme on l'a montré dans la proposition 21 du livre 1. Le rapport du rectangle AB par BZ au rectangle AB par BT est donc égal au rapport de L!A à AT, au rapport de ZB à BT et au rapport de Ae à eT. Le rapport de ZB à BT est donc égal au rapport de Ae à eT. C'est pourquoi le rapport de ZT à TB est égal au rapport de AT à Te. C'est pourquoi le rapport de ZA à eB est égal au rapport de AT à Te. Mais le rapport de ZA à eB, si nous posons AB [A-27Üf ] une hauteur commune, est égal au rapport du rectangle ZA par AB au rectangle Be par BA ; le rapport de AT à Te est donc égal au rapport du rectangle ZA par AB au rectangle AB par Be. Mais le rectangle ZA par AB est égal au carré de AB. Le rapport du carré de AB au rectangle AB par Be est donc égal au rapport de ATà Te. Ce qu'il fallait démontrer. - 4 - Si une droite est tangente à une hyperbole ou à une ellipse et tombe sur l'un des diamètres, si du point de contact on mène à ce diamètre une droite d'une manière ordonnée et si on mène du centre une droite parallèle à la droite tangente et égale au demi-diamètre conjugué au diamètre qui passe par le point de contact, alors le rapport du carré de la droite tangente au carré de la droite qui lui est parallèle est égal au rapport de la droite située entre le point de rencontre de la droite tangente et du diamètre et le pied de la perpendiculaire, à la droite située entre le pied de la perpendiculaire4 et le centre. H Soit AT le diamètre de l'hyperB bole ou de l'ellipse, son centre, BL! la droite tangente à la section ; soit la droite BB la droite ordonnée sur TAB ; soit eH une droite paralE lèle à la droite BL! et soit eH égale au demi-diamètre conjugué au diaz mètre qui passe par le point B. Je dis M que le rapport du carré de L!B au Fig. 4.1 carré de eH est égal au rapport de L!Bà Be. Démonstration: Menons du point B le diamètre BeZ et menons les droites AA et L!K [A-27ü V ] parallèles à la droite BE. Que le rapport d'une droite M à la droite BL! soit égal au rapport de OB à BA ; la droite M est
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4
Voir Note complémentaire [2].
359
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25
360
Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques
alors la moitié de la droite selon laquelle les droites ordonnées qui tombent sur Be peuvent les rectangles qui lui sont appliqués - dans l'hyperbole, c'est lorsqu'on ajoute un rectangle [B-139 semblable au rectangle entouré par la droite ZB et le double de la droite M; et dans l'ellipse, c'est lorsqu'on retranche un rectangle semblable au rectangle entouré par le double de M et ZB (on a montré cela dans la proposition 50 du livre 1) - et la droite eH est le demi-diamètre conjugué au diamètre BZ. Le produit de eB par M est donc égal au carré de eH, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 du livre II et dans la proposition 21 5 du même. Mais le rapport de OB à BA est égal au rapport de M à BLl et égal au rapport de LlB à BK ; le rectangle M par BK est donc égal au carré de BLl. Mais le rapport du rectangle obtenu du produit de M par BK au rectangle obtenu du produit de M par Be est égal au rapport de BK à Be ; le rapport du carré de BLl [M-115 au rectangle Be par M est donc égal au rapport de BK à Be. Quant au rapport de BK à Be, il est donc égal au rapport de BLl à Be ; et le rectangle Be par M, nous avons montré qu'il est égal au carré de eH. Le rapport du carré de BLl au carré de eH est donc égal au rapport [A-271 f ] de BLl à Ee. Ce qu'il fallait démontrer. V
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V
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K
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(J'-----------\..>-----v------7U::-------Vr
e
z Fig. 4.2
- 5 - Si on a une parabole, si on mène en elle l'un de ses diamètres et si on mène du sommet de ce diamètre la perpendiculaire à l'axe, alors la droite selon laquelle les droites menées de la section au diamètre parallèlement à la droite tangente menée du sommet du diamètre peuvent les rectangles qui lui sont appliqués, et qui est le côté droit de ce diamètre, est égale au côté droit de l'axe auquel on ajoute le quadruple de ce que la perpendiculaire sépare de l'axe, du côté du sommet de la section.
5
Voir Note complémentaire [3].
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15
364
Le septième livre d'Apollonius sur les coniques
- 6 - Si on associe au prolongement de l'axe d'une hyperbole deux droites, à partir de chacune des extrémités de l'axe qui est un diamètre transverse, telles que chacune soit égale à la droite que nous avons appelée de rapport semblable, et qu'elles soient semblablement placées; si on mène deux des diamètres conjugués de la section et si on mène du sommet de la section une droite parallèle à celui des deux diamètres qui est droit6 , qui coupe la section; et si on mène du point où elle l'a coupée la perpendiculaire à l'axe ; alors le rapport du diamètre transverse des deux conjugués au diamètre droit est en puissance égal au rapport de la droite située entre le pied de la perpendiculaire et l'extrémité de la droite la plus éloignée des deux droites [M-116 r ] de rapport semblable, à la droite située entre le pied de la perpendiculaire et l'extrémité de la droite la plus proche des deux droites de rapport semblable; et le rapport du diamètre transverse au côté que peuvent les droites qui y sont menées et qui sont parallèles à l'autre diamètre, qui est son côté droit, est aussi égal en longueur au rapport des deux droites que nous avons mentionnées, l'une à l'autre, en longueur. Soit une hyperbole d'axe EM, de diamètre transverse porté par l'axe, Ar, et de [A-272 r] centre e. Que chacune des droites AN et TE soit égale à la droite de rapport semblable, et que deux diamètres conjugués ZH et BK passent par le point e. Menons la droite AA parallèle à la droite ZH et menons la perpendiculaire AM à la droite AM. Je dis que le rapport du carré du diamètre transverse BK au carré du diamètre droit ZH, est égal au rapport de EM à MN. A
o M
K
Z
Fig. 6.1
6 Pour la définition du diamètre droit, voir Tome 1.1 des Coniques, p. 254, 22-25 et Tome 1.2, p. 8, 5-7.
365
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10
15
366
Le septième livre d'Apollonius sur les coniques A
H
M
K
z Fig. 6.2
Démonstration: Joignons la droite TA, menons du point B la perpendiculaire BB, et menons de celui-ci également la droite BLl parallèle à la droite ZH. Cette droite sera donc tangente à la section. Mais puisque la droite Te est égale à la droite eA et que la droite AG est égale à la droite GA, la droite TA sera parallèle à la droite Be. Le rapport de LlB à Be est donc égal au rapport de AM à MT, en raison de la similitude des triangles. Mais le rapport de LlB à Be est égal au rapport du carré de LlB au carré de eH, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 4 de ce livre. Le rapport de AM à MT est donc égal au rapport du carré de LlB au carré de eH. Mais, puisque le rapport du carré de eB au carré de BLl est égal au rapport du carré de TA au carré de AA, en raison de la similitude des deux triangles ; et que le rapport du carré de BLl au carré de eH est égal au rapport de AM à MT, le rapport du carré de eB au carré de eH est composé du rapport du carré de TA au carré de AA et du rapport de AM à MT. Mais le rapport du carré de TA au carré de AA est composé du rapport du carré de TA au rectangle TM par ME, du rapport du rectangle TM par ME au rectangle AM par MN et du rapport du rectangle AM par MN au carré de AA. Le rapport du carré de eB au carré de eH est donc composé du rapport du carré de TA au rectangle TM par ME, du rapport du rectangle TM par ME au rectangle AM par MN, du rapport du rectangle AM par MN [B-14ü au carré de AA et du rapport de AM à MT. Quant au rapport du carré de T A au rectangle TM par ME, il est égal au rapport de ATà AE, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre. Quant au rapport du rectangle AM par MN au carré de AA, il est égal au rapport [A-272 V ] de TN à AT, V
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Le septième livre d'Apollonius sur les coniques
plus petit axe sur l'axe lui-même; et telles que le rapport du diamètre que nous avons mentionné à la droite que peuvent les droites ordonnées qui tombent sur lui et qui sont parallèles à l'autre diamètre soit égal au rapport que nous avons mentionné 8 • Soit une ellipse d'axe [B-141 f ] AT; soit ANet TEles deux droites de rapport semblable et soit BK et ZH deux diamètres conjugués quelconques. Menons la droite AA parallèle au diamètre ZH et menons du point A la perpendiculaire AM à l'axe. Je dis que le rapport du carré de KB au carré 9 de ZH est égal au rapport de ME à MN et que son rapport à la droite que peuvent les droites qui lui sont menées dans la section parallèlement à la droite ZH - qui est le côté droit - est lui aussi égal au rapport de ME à MN. A
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Fig. 7.2
Démonstration: Joignons la droite TA et menons du point B la perpendiculaire [A-273 V] BE. Menons de celui-ci également la droite Bil parallèle à la droite ZH. Cette droite sera donc tangente à la section. Mais puisque la droite Te est égale à la droite eA et que la droite AG est égale à la droite GA, on a la droite TA parallèle à la droite Be. Le rapport de LlE à Ee est donc égal au rapport de AM à MT en raison de la similitude des triangles, et le rapport de LlE à Ee est égal au rapport du carré de LlB au carré de eH, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 4 de ce livre; le rapport de AM à MT est donc égal au rapport du carré de LlB au carré de eH. Or, puisque le rapport du carré de eB au carré de BL1 est égal au rapport du carré de T A au carré de AA - en raison de la similitude des triangles - et que le rapport du carré de Bil au carré de eH est égal au rapport de AM à MT, le rapport du carré de eB au carré de eH sera composé du rapport du carré de TA au carré de AA et du rapport de AM à MT. Mais le rapport du
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Voir Note complémentaire [5]. Le rapport de KB.
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Le septième livre ct' Apollonius sur les coniques
carré de T A au carré de AA est composé du rapport du carré de T A au rectangle TM par MS, du rapport du rectangle TM par MS au rectangle AM par MN et du rapport du rectangle AM par MN au carré de AA. Le rapport du carré de eB au carré de eH est donc composé du rapport du carré de TA au rectangle TM par MS, du rapport du rectangle TM par MS au rectangle AM par MN, du rapport du rectangle AM par MN au carré de AA et du rapport de AM à MT. Quant au rapport du carré de TA au rectangle TM par MS, il est égal au rapport de AT à AS, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 3 de ce livre; quant au rapport du rectangle AM par MN au carré de AA, il est égal au rapport de TN à AT, également d'après ce qu'on a montré dans la proposition 3 de ce livre; quant au rapport du rectangle TM par MS au rectangle AM par MN, il est composé du rapport de TM à AM et du rapport de MS à MN; le rapport du carré de eB au carré de eH est donc composé du rapport de AT à AS, du rapport de TN à AT, du rapport de TM à AM, du rapport de MS à MN et du rapport de AM à MT. Or le rapport [A-274 f ] composé de ces rapports que nous avons mentionnés est égal au rapport de MS à MN car, si on compose le rapport de TN à AT avec le rapport de AT à AS, [M-117 f ] il sera égal au rapport de TN à AS ; mais TN est égal à AS, et si on compose le rapport de TM à AM avec le rapport de AM à TM, il sera égal au rapport de TM à ellemême. Le rapport composé de ces rapports est donc égal au rapport qui reste, qui est le rapport de MS à MN; le rapport du carré de Be au carré de eH est donc égal au rapport de SM à MN. De même, le rapport du carré de BK au carré de ZH est égal au rapport de KB à la droite [B-141 V] que peuvent les droites menées de la section à KB parallèlement à la droite ZH. Le rapport de la droite BK à la droite que peuvent les droites ordonnées qui tombent sur elle est donc égal au rapport de MS à MN. À partir de cela, on montre que, si la perpendiculaire abaissée du point A sur l'axe passe par le centre e, alors le diamètre KB sera égal au diamètre ZR, car MS sera égale à MN Ce qu'il fallait démontrer.
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Fig. 8.4
De même, le rapport du carré de BK au carré de ZH est égal au rapport de SM à MN, d'après ce qu'on a montré dans les deux propositions [A275 r ] précédentes. Le rapport de BK à ZH est donc égal au rapport de MS à SI car SI est moyenne proportionnelle entre les droites SM et MN. C'est pourquoi le rapport de BK à la somme de BK et ZH est égal au rapport de MS à MI. [M-117 V ] Le rapport du carré de BK au carré de la somme de BK et ZH est donc égal au rapport du carré de MS au carré de MI. Or nous avons montré que le rapport du carré de AT au carré de BK est égal au rapport du rectangle NT par SM au carré de SM. Par le rapport d'égalité, on a donc le rapport du carré de AT au carré de la somme de BK et ZH égal au rapport du rectangle TN par SM au carré de MI. Mais la droite MI est égale à la droite MS plus la droite qui peut le rectangle NM par MS. Le rapport du carré de AT au carré de la somme des diamètres BK et ZH est donc égal au rapport du rectangle NT par MS au carré de la droite MI, qui est égale à la droite MS, plus la droite qui peut le rectangle NM par MS. Ce qu'il fallait démontrer. [A-275 V]
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