Algebre Locale, Multiplicites: Cours au College de France, 1957-1958 (Lecture Notes in Mathematics 11)

Lecture Notes in Mathematics An informai series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zürich

11 Jean -Pierre Serre Collège de France, Paris

Algèbre Locale· Multiplicités Cours au Collège de France, 1957 -1958 rédigé par Pierre Gabriel Seconde édition, 1965

1965

Springer-Verlag · Berlin · Heidelberg · New York

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Préface de la seconde édition

Cette édition diffère de la première par les points suivants 1 Un certain nombre de passages ont été récrits, notamment le § A du Chap.II , le Chap.III, le § B du Chap.IV et le § C du Chap.V. Ont été ajoutés: une Introduction, deux Appendices et une Bibliographie.

Le travail de dactylographie a été fait par les soins de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis très reconnaissant.

Jean-Pierre Serre

, T A BLE

DES

MATIERES

INTRODUCTION Chapitre I. DÉCOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES A) Généralités. 1. Radical de Jacobson de

A

1-1

2. Lemmes sur les idéaux premiers

1-3

3. Foncteurs additifs en théorie des modules

1-5

4. Modules noethériens

1-9

B) Décomposition primaire et théorèmes d'unicité

1-11

C) Quelques applications 1. Variété associée à un module

1-21

2. Idéaux étrangers

1-25

3. Modules de longueur finie

1-30

Chapitre II. OUTILS ET SORlTES A) Filtrations et graduations 1. Anneaux et modules filtrés

1I-1

2. Topologie définie par une filtration

1I-2

3. Complétion des modules filtrés

1I-3

4. Anneaux et modules gradués

1I-4

5. Où tout redevient noethérien; filtrations

1-adiques

6. Modules différentiels filtrés

II- 8 1I-13

B) Polynômes de Hilbert-Samuel 2. Fonctions additives sur les catégories de modules

1I-19 1I-20

3. Le polynôme caractéristique de Hilbert

1I-22

4. Les invariants de Hilbert-Samuel

1I-25

1. Rappel sur les polynômes à valeurs entières

, Chapitre III. THEORIE DE LA DIMENSION A) Dimension des extensions entières 1. Définitions

III- 1

2. Le premier théorème de Cohen-Seidenberg

III- 2

3. Le second théorème de Cohen-Seidenberg

III- 4

B) Dimension dans les anneaux noethériens 1. Dimension d'un module

III- 6

2. Le cas semi-Iocal noethérien

III- 1

3. Systèmesde paramètres

1II-10

C) Anneaux normaux 1. Caractérisation des anneaux normaux

1II-11

2. Propriétés des anneaux normaux

1II-14

3. Fermeture intégrale

1II-16

D) Anneaux de polynômes 1. Dimension de l'anneau

A[X 1 , ••• ,Xn ]

2. Le lemme de normalisation

1II-11 1II-20

3. Applications. I. Dimension dans les algèbres de polynômes

1II-22

4. Applications. II.Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini

1II-25

5. Applications. III.Dimension d'une intersection dans l'espace affine

1II-21

Chapitre IV. DIMENSION ET CODIMENSION HOMOLOGIQUES A) Le complexe de l'algèbre extérieure (Koszul) 1. Le cas simple

IV- 1

2. Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe

de l'algèbre extérieure

IV- 3

3. La suite spectrale associée au complexe de l'algèbre extérieure 4. La codimension homologique d'un module sur un anneau semi-Iocal

IV- 8 IV-12

B) Modules de Cohen-Macaulay 1. Définition des modules de Cohen-Macaulay

IV-l1

2. Diverses caractérisations des modules de Cohen-Macaulay 3. Variété d'un module de Cohen-Macaulay

IV-19 IV-22

4. Idéaux premiers et complétion

IV-25

C) Dimension homologique des modules noethériens 1. La dimension homologique d'un module

IV-21

2. Le cas noethérien

IV-29

3. Le cas local

IV-33

D) Les anneaux réguliers 1. Propriétés et caractérisations des anneaux locaux réguliers

IV-35

2. Propriétés de permanence des anneaux locaux réguliers

IV-40

3. Délocalisation

IV-42

4. Un critère de normalité

IV-44

1

Appendice I. RESOLUTIONS MINIMALES

IV-46

1. Définition des résolutions minimales

IV-46

2. Application

IV-48

3. Cas du complexe de l'algèbre extérieure

IV-50

1

1

1

Appendice II. POSITIVITE DES CARACTERISTIQUES D'EULER-POINCARE 1

SUPERIEURES.

IV-53 1

Chapitre V. LES MULTIPLICITES A) La multiplicité d'un module 1. Le groupe des cycles d'un anneau 2. La multiplicité d'un module

V- 1 V- 2

B) La multiplicité d'intersection de deux modules

3. Anneaux réguliers d'égale caractéristique 4. Conjectures

V- 4 V- 6 V-12 V-14

5. Anneaux réguliers d'inégale caractéristiques (cas non ramifié) 6. Anneaux réguliers quelconques

V-15 V-18

1. La réduction à la diagonale 2. Produits tensoriels complétés

C) Raccord avec la géométrie algébrique 1. Formule des Tor

V-21

2. Cycles sur une variété affine non singulière

V-22 V-23 V-24 V- 27 V-21 V-2B

3. Premières formules

4. Démonstration du théorème 1 5. Rationalité des intersections 6. Images directes

1. Images réciproques B. Extensions de la théorie des intersections BIBLIOGRAPHIE

V-31 B-1

l N T R 0 DUC T ION =======================

Les multiplicités d'intersectionsde la géométrie algébrique sont égales à certaines "caractéristiques d'EulerPoincaré" fonnées au moyen des foncteurs Tor de CartanEilenberg. Le but essentiel de ce cours est d'établir ce résultat, et de l'appliquer à la démonstration des fonnules fondamentales de la théorie des intersections. Il a fallu d'abord rappeler quelques résultats d'algèbre locale: décomposition primaire, théorèmes de CohenSeidenberg, normalisation des anneaux de polynômes, dimension (au sens de Krull), polynômes caractéristiques (au sens de Hilbert-Samuel).

L'homologie appara!t ensuite, lorsque l'on considère la multiplicité

9-

= rapport à un

d'un idéal de définition

e tE,r)

d'un anneau local noethérien A-module E

nôme caractéristique

dans le poly[on note

A-module F

par

de type fini. Cette multiplicité

est définie comme le coefficient de

longueur d'un

A

J

la

• On démontre alors la fonnule

suivante, qui joue un rôle essentiel dans la suite: i=r

e (E,r)

-

q

=:

2:

i=O

(-l)i~(Hi(E,~))

-

H. (E,x)

où les

1.

2 -

désignent les modules d'homologie du

-

complexe de l'algèbre extérieure construit sur

E

au

x.

moyen des

1.

Ce complexe peut d'ailleurs être utilisé dans d'autrej questions d'algèbre locale, par exemple pour étudier la codimension homologique des modules sur un anneau local, les modules de Cohen-Macaulay (ceux dont la dimension de Krull coIncide avec la codimension homologique), et aussi pour montrer que les anneaux locaux réguliers sont les seuls anneaux locaux dont la dimension homologique soit finie.

Une fois la formule

démontrée, on peut aborder

l'étude des caractéristiques d'Euler-Poincaré formées au moyen des Tor. Lorsque l'on traduit dans le langage de l'algèbre locale la situation géométrique des intersections, on obtient un anneau local régulier Modules

E

et

F

de dimension

A,

de type fini sur A

les variétés correspondant à

F

et

A-

A , dont le produit

tensoriel est de longueur finie sur

E

n, et deux

~cela

signifie que

ne se coupent qu'au

point considéré). On est alors conduit à conjecturer les énoncés suivants :

i)

On a

dim. (E) + dim.

tF) ~ n

t "formule des dimensions").

i=n ii) L'entier XA(E,F) =

~ (_l)i IA(Tor~(E,F) ) est> O.

i=O iii) On a ~A(E,F) = 0 est stricte.

si et seulement si l'inégalité

i)

- J La formule

~*)

montre que ces énoncés sont en tout dim (F)

avec

cas vrais si

=n

- r

•

Grâce à un procédé, utilisant des produits tensoriels complétés, et qui est l'analogue algébrique de la "réduction à la diagonale", on peut en déduire qu'ils sont vrais lorsque

A

a même caractéristique que son corps des restes, ou bien quand

est non ramifié. A partir de là, on peut, en se

A

servant des théorèmes de structure des anneaux locaux démontrer la formule des dimensions général. Par contre, et

iii)

i)

complet~

dans le cas le plus

je ne suis parvenu, ni à démontrer

ii)

A , ni à en donner

sans faire d'hypothèses sur

des contre-exemples. Il semble qu'il faille aborder la question sous un angle différent, par exemple en définissant di-

rectement

(par un procédé asymptotique convenable) un entier ~

0

dont on montrerait ensuite qu'il est égal à

Heureusement, le cas d'égale caractéristique est suffisant pour les applications à la géométrie algébrique (et aussi à la géométrie analytique). De façon précise, soit une variété non singulière, soient variétés irréductibles de

V

A, A , A

Soient

V

v

1\1

i(V.w,c;lC)

Si et

=

"Iv

la formule

en

C

dim. V + dim. W

c =

VnW

x , avec (intersection "propre").

les anneaux locaux de

X, V et W en C.

désigne la multiplicité d'intersection de (au sens de lieil,

1

(Ee)

deux sous-

W

X , et supposons que

soit une sous-variété irréductible de dim. X + dim. C

et

X

i(V.W,C;X)

,~-;hevalley,

Samuel), on a

- 4 Cette fonnule tla "fonnule des Tor tl ) par réduction à la diagonale, en se ramenant à il est commode de prendre

se démontre

(*) .

En fait,

comme définition des multi-

plicites. Les propriétés de celles-ci s'obtiennent alors de façon naturelle: la commutativite resulte de celle des Tor l'associativité résulte des deux suites spectrales qui expr i ment l'associativité des Tor; la formule de projection résuIte des deux suites spectrales reliant les images directes d'un faisceau cohérent et les Tor (ces dernières suites spectraIes ont d'autres applications intéressantes, mais il n'en a pas été question dans le cours). Chaque fois, on utilise le fait bien connu que les caractéristiques d'Euler-Poincaré restent constantes dans une suite spectrale.

Lorsque l'on définit les intersections au moyen de la formule des Tor, on est conduit à étendre la théorie au delà du cadre strictement "non singulier" de lveil et de Chevalley. Par exemple, si d'une variété

X

f

:

X~

bliste à

est un morphisme

dans une variété non singulière

peut faire correspondre à deux cycles un "produit"

y

x'fY

xl\f-1 (y)

x et y

de

Y, on X et de

Y

qui correspond au point de vue ensem(bien entendu, ce produit n'est défini

que sous certaines conditions de dimensions). Lorsque

f

est

l'application identique, on trouve le produit ordinaire. Les formules de commutativité, d'associativité, de projection, peuvent s'énoncer et se démontrer pour ce nouveau produit.

I-1

, CHAPITRE I. - DECOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES 1

/

A) GENERALITES Ce paragraphe a pour but de rappeler un certain nombre de notions qui seront supposées connues, et de démontrer quelques lemmes préparatoires. Nous désignerons par unité, par

Ef

A un anneau commutatif, à élément

E

M un A-module unitaire. Un idéal

AIE

A et si

sera dit premier, si

est intègre.

1) Radical de Jacobson de

A.

Nous utiliserons cette notion seulement pour les anneaux commutatifs. Definition et proposition 1. - On appelle radical de Jacobson de A

~(A)

,et on note

oondi tions

, l'idéal de

équivalentes:

1)

~(A)

2)

xfr(A)(: a

Cette sui te est do no stationnaire, par exemple pour soit

tel que

aé.A

N

1

et

N

M

plus grands. Si

2

il est N

1

ou

n'est pas primaire, on reoommenoe pour oes modules, et ainsi

de suite: on oonstruit de oette manière un de modules au-dessus de

N

"arbre généalogique"

,et la oonstruotion s'arrête au bout

d'un nombre fini de pas (oar dans un ensemble ordonné où toutes les suites oroissantes s'arrêtent, tout

"arbre généalogique"

a un

nombre fini d'éléments). Autrement dit, au bout d'un nombre fini de pas, tous les modules atteints sont primaires et

N est interseotion de oes

modules primaires. Soit maintenant de

N

=~

N!

la déoomposition obtenue

1

N oomme interseotion finie de primaires et soit

ensemble de

l

tel que:

N=W

N!

1

et pour tout

J

iGJ

un sous-

1-15 Méprisons les éléments de (N~

)

e

i

1

pour

N=N

Pi -

1

correspondent aux idéaux premiers

Ek

l'intersection des

p.

-J

... ("\ Nr

pour

i

f

N.1 et

j

N

est

qui correspon-

r j

nf

p.-primaire, -1 pour

N.

1

i

On appelle décomposition réduite de de

• Soit

et admirons:

n N2 Il

f

,et supposons que les

J

1.( k " r,

dent à

I-J

1~ j

~r

N toute représentation

N comme intersection de sous-modules primaires satisfaisant

aux conditions précédentes.

Théorème et définition 1:

Tout sous-module

N de

M admet une

décomposition réduite. En outre, les idéaux premiers qui interviennent dans une telle décomposition ne dépendent Que de et de

N

M et non pas de la décomposition. Ce sont les idéaux

premiers essentiels de associé à

N dans

M • On apuelle idéal premier

M tout idéal premier essentiel de

l'ensemble de ces idéaux est noté

a

dans

M

Ass(M)

Il nous reste à montrer que les idéaux premiers essentiels de

N ne dépendent pas de la décomposition; comme ce sont

les idéaux premiers associés à

M/N

, i l suffit de prouver l'uni-

cité des idéaux premiers associeés à un module va résulter de, et

~tre

M

Cette unicité

précisée par, les deux propositions qui

suivent: La première proposition étudie les liens entre les décompositions réduites de

N et le foncteur

MS:

1-16

Soit

composition réduite de d'indices

A

, soit

et soit, pour

1)

(N.),., = M,.. ù

1

= N1 /\

••• t\Nr

p.-primaire, et

est

N.

une déItensemble

l

-1

De même

l'ensemble des -1

NS

S(M/N)

dans

e

tels que

l

N = S

n

iG Il

(Ni)S

MS

= S-comEosante de

aEEelle les comEosantes isolées de

1 c:

n

=

iE: l

1

s=

si

li

=

n

N (quand

N dans

S

et la dé-

M seulement

varie). On les

M et elles ne

déEenden~

S(N.)= 1

n

iE::-I'

N.

et la décomposition est

1

manifestement réduite. Il résulte alors de la bijection canonique des S-composantes de N

S

M sur les sous-modules de ;:

nrr

(N. ),

i€

1

Ù

M S

, que:

et qu'il n'y a pas de termes superflus dans

cette intersection. Corollaire 1.

Les idéaux Eremiers

E 1, ••• ,Er

ne déEendent Eas

de la décomposition; il en va de même des comEosantes Erimaires Ni

0

i El'

N

Eas de la décomEosition de

S(N)=S(. QI N.)

n

MS

S-comEosantes de

En effet:

-1

est une décomEosi-

N. 1 i é l' comEosition est réduite. En Earticulier, il y a dans

un nombre fini de

p.

Alors:

p.AS· -1

dans q·-Erimaire -1

est

(Ni)S

i

l'idéal premier

q.

sinon. De Elus,

ù

tion rédui t.e de 2)

l'

itG.I'

PrOPosition 6: 1

N où

N

(1,2, ..• ,r) • Si S eat une partie multiplicativement

stable de

et

M

N un sous-module de

dont les idéaux Eremiers sont minimaux dans l'ensemble

I-11 En effet, si pour

E premier

S

désigne l'ensemble

E

A - E

on a l'équivalenoel S (N) f= S (N) ~

E

idéal premier

pour tout

(

c:

~

~

Si d'autre part

Corollaire 21 assooié à

P

Si

rédui te de

0

est un sous-module de

est assooié à

En effet, si

0

dans

- N (\ ••• (lNr 1

M ,on a aussi

0

= (N

1

P

n (Nr n p)

;

: en effet

p.-ooprimaire

-1

Aveo les notations oi-dessus, si

E-ooprimaire de

pour tout

f'\ ...

flP)

l!i-primaire dans

M

E

p.-ooprimaire si et seulement si ~ i

est assooié à

pn

i f= j

P

est un sous-

M ;

Pest

N. = 0 • En partioulier, 1 -

il existe des sous-modules de

Ei-coprimaires. Enfin, si P

est une déoomposition

~i-coprimaire.

Corollaire 31 module

M ,tout idéal premier

est un sous-module non nul du module

et est dono

p.

-1

M

Ni {\ Pest

p/pnN.1

est l'un des

est minimal,

p.

-1

P

l!

>

,et

M qui sont

P (\ (Ni+N .) - 0

-

J

alors

=0 En effet, l'idéal premier assooié à

Dire que

Pest

Pest assooié à

M

p.-ooprimaire signifie que la déoomposition -1

rédui te obtenue après le oontient le seul terme

"nettoyage" Ni (l P

de

0

= (N

1

('\ p) ('\ ••• (\(Nr ('\ p)

,0' est-à-dire que P n Ni

=

0

1-18

Ceci est le cas pour tout sous-module non nul de

M. = 1

n

j

P

~ i

P ('\ (N. +N .) = 0

• Enfin, si

N. J

est à la fois

et si

P

J

1

p.-coprimaire et -1

f

0

p.-coprimaire, ce qui est -J

absurde. Pr0Eosition 1:

Si

N est un sous-module de

( 0 : N)

miers essentiels de idéaux premiers

E

dans

de la forme

E

A

={

sont les idéaux premiers associés à aux Sous-modules mon°eiènes En effet,

de

N

1

est

sont associés à

,

0 : N)

et on peut

1

En particulier,

M

• Les

N convenable,

pour

(O:N)=(nN. :N)=()(N.:N)

m~me

se restreindre

, où, avec les

1

(N. :N) 1

N

4: Ni

(0 : N)

est

p.-primaire si -1

les idéaux Ere-

M

notations du corollaire précédent,

(N.:N)

M

,

M

si

= A

Ne N. 1

,

si

N

et

•

E-primaire dans

A

est

E-coprimaire, et la proposition sera démontrée si l'on montre que, pour tout module

E-coprimaire

d'un sous-module non nul de

N

E

est l'annulateur

N • Pour cela, nous aurons besoin

du lemme: Lemme.

Si

N

est un module noethérien sur un anneau noethérien

il existe un entier En effet, si soient

n

tel que

~ ( 0 )~

=0

~( 0 )

est engendré par ni tels que: a. N = 0 pour 1

suffit alors de prendre

n ~ n 1+ ••• n - p +1 p

• Il

,d'après la for-

mule du binôme. Soit donc

n

tel que

n

E .N

= 0 'En-1 N r.1 o

(N

étant

A

1-19

de nouveau supposé

f

et

x

et

E.(x)

E .::>

, on a

0

0

=

Corollaire 1c nul de

E-ooprimaire). Si alors

• D'où

(

0 c (x»

=(

E

Les éléments

, oar

0 cCx»~

de

0(

x

(x)

est

, o.q.f.d.

E1

U •.• U En divisent

M

D'autre part, oe sont les seuls, oar si

Corollaire 3: assooié à

Si

M==N

(0: M)

sentiels de

n (A-p.) -1

Si

, on en déduit que les idéaux premiers esdans

• Si

E Ax

E

Corollaire 4:

o=

M , tout idéal premier

dire que

M , o'est

isomorphe au module

E-ooprimaire

E-ooprimaire de

N

M/N

M admet une suite de oomposition

M C M C •.• CM o n 1 Mi +1 / Mi

est premier dans

A

=

M

N , il en résulte que

(sinon oe serait un sous-module est assooié à

M

M/N

est assooié à

E n'est pas assooié à

nN =0

telle que

N ou à

M est assooié à

oontient un Sous-module

et do no

A sont assooiés à

N est un Sous-module de

En effet, dire que

Ax

S ==

0) == 0

Corollaire 2:

A/E

E-coprimaire,

M , forment la réunion

zéro dans

(M/

n-1 E .N

A qui annulent un élément non

En effet, tous les éléments de

S

€

M

soit isomorphe à un module • En outre l'ensemble

oontient tous les idéaux premiers assooiés à

A/p. -1

où

p.

-1

(E o ' E1, ••• ,En -1 ) M

),

1-20

Ceci résulte directement des corollaires précédents. Proposition 8:

Si

N est un sous-module de

M

~(N)

est

l'intersection des idéaux premiers essentiels minimaux de

En effet, si !:. :>

r

N dans

est cette intersection, il est clair que

~(N) • D'autre part, si

a éA

a ~ !r.l:(N)

et

soi t

n 2 S = (1,a,a , ••• ,a , ••• ) Alors, par hypothèse,

s(MI

0

)

rM

, et donc

rencontre pas tous les idéaux premiers associés à Corollaire 1:

~(N)

En effet,

= ~(N:M)

~(N:M)

ne

M , c.q.f.d.

Les idéaux premiers minimaux associés à

sont les idéaux premiers (essentiels) de

S

MIN

dans

A

•

et cet idéal est intersection

réduite de deux familles d'idéaux premiers. Ces deux familles coincident donc. Corollaire 2:

Pour qu'un idéal premier de

A contienne

~(N)

il faut et il suffit qu'il contienne l'un des idéaux premiers minimaux associés à

MIN

M

1-21

C. - QUELQUES APPLICATIONS 1) Variété associée à un module Soit, oomme toujours,

A un anneau noethérien,

M un

A-module

de type fini. On définit alors: Définition et proposition 9:

Si

E

est un idéal premier de

A

les assertions suivantes sont équivalentes:

1)

E

est idéal

2)

M E

= AE®AM ,

3)

E :) Ann (M)

4)

E On

~remier

M

0

contient un i.d.éal aJ2~elle

essentiel d'un sous-module de

associé de

~remier

vari été associée à

M

,

M

et on note

V(M)

Supp(M))

(ou

l'ensemble des idéaux premiers satisfaisant à ces conditions. Si est un idéal de

A

,on écrira aussi

W(!J

au lieu de

V(A/a)

a •

La variété aS30ciée au module nul est v.ide.

1)~2): En effet, ceci est vrai si

M=

A/p

(alors

Il en résulte que la propriété est vraie si M contient un sous-module

d'où

Il

E

est associé à on tire donc

ME

E

est associé à

, on a bien

est premier essentiel d'un sous-module

M/p

=,=

; de 0

M

E

~

(M/p) --t E

M

AIE

isomorphe à

et comme Enfin, si

E

AIE ).

Q,u corps des fractions de

car

s'identifie

M

0

et

ME' P

de

(M/p) , E

o M

o

,

1-22

2)-----)3)1 En effet, si s.x

f

r0

s é A - ~

pour tout

0

ME

, i l existe

et

A - E

x€M

tel que

ne rencontre pas

Ann(M)

3)==) 4): Déjà vu • 4)====>1)1 Supposons en effet que associé à à

A/~

M

,et

Alors

et donc que

essentiel de

Corollaire:

M contient un sous-module

N'

Si

M/N' E

dans

A/p. -1

N isomorphe EI~

N/N'

isomorphe à

ou est un idéal premier

M

E€V(M)

p. -1

M/N'

idéal premier

N'isomorphe à

contient un sous-module

est associé à

o = MoC:M 1C: ••• C:Mn = M module

~

contienne

N contient alors un sous-module

Il en résulte que A/p

E

, i l existe une suite de composition de telle que

Mi+1/Mi

M

soit isomorphe à un

premier, où l'un au moins des p. -1

-

est égal à

P_

En effet, avec les notations de la démonstration précédente il suffit de mettre bout à bout une suite de composition de sui te de composition de

M/N'

N'et une

qui satisfait aux conditions du Corol·-

laire 4 de la proposition 1. Par exemple, si les idéaux premiers de n

V(A) =

M= A A

De

m~me,

w (0)

est l'ensemble de tous

si

est un idéal de

a

A et

un entier positif, on a les équivalencesl

La proposition suivante sera souvent utile dans les calculs:

•

1-23 1)

sui te exacte de

A-modules,

2)

Si

P

et

Si

0 --i' M' ~ M --1 Mil 4

Proposi tion 101

0

est une

V(M) = V(M') U V(M")

Q sont deux sous-modules de

M

V(M/P() Q) = V(M/P) V V(M/Q)

3)

Si

M et

N sont deux

V(M®A N) :: V(M)

n

A-modules (de type fini),

VeN)

,

La première assertion résulte trivialement de l'existence, pour tout idéal premier

o -7

Mt

E

E

de

A

de la suite exacte:

-4 M -7 Mil --i 0

E

E

La seconde n'est qu'une qutre formulation de l'égalité:

Enfin, pour la dernière assertion, on note que:

On est ainsi ramené au corollaire 2 de la propDsition 1. Si

Corollaire:

M est un

A-module et

a

un idéal de

A

,

= V(M)()W(a)

V(M/aM)

Enfin la démonstration des propriétés suivantes exigera du lecteur un travail insignifiant: Si

(~.)

est une famille d'idéaux de i6t qu'ils engendrent, on a: 1

n

i E. l

W(~) = W(~) ...

A

a

l'idéal

1-24 m~me

De

si

a

et

b

sont deux idéaux de

A

• W(~

Les idéaux de

A

satisfont donc, quand

V(M)

la topologie de Zariski de

Si

V(A)

V(M)

• Si

M est un

A -module,

sera la topologie induite dans

par la topologie de Zariski de

Dans

parcourt le treillis des

, aux axiomes des fermés d'une topologie. Cette topo-

logie est la topologie de Zariski de

V(M)

a

V(A)

toute suite décroissante de fermés est stationnaire.

V(M)

R est un idéal premier de

W(R)

est un fermé de

V(M)

et n'est pas réunion de deux fermés plus petits: on dit que

W(R)

est irréductible. Tout fermé irréductible est de la forme

et tout fermé

F

W(~)

est réunion d'un nombre fini de fermés irréductibles

ne satisfaisant à aucune relation d'inclusion entre eux et déterminés de manière unique par

F

Si

F = W(~ , ces fermés irréductibles sont

les

W(p.)

où

les

W(Ri)

sont les composantes irréductibles de

-~

i parcourt les composantœpremières minimales de W(~

a

:

(Ces

propriétés ne sont qu'une traduction de quelques lemmes, déjà démontrés, sur les idéaux premiers). Remarquons aussi au tout fermé de

V(M)

composantes connexes 1 car tout irréductible

a un nombre fini de W(R)

est connexe

(cela résulte de la définition de l'irréductibUité). D'autre part, W(~)

W(R)

\J

W(~)

est connexe si et seulement si

ne sont pas disjoints, c'est-à-dire si

nus dans une Si

m~me

R et

~

R

W(R) ~

et

et

sont conte-

idéal maximal. appartiennent à

V(M)

R

et

~

appartiennent

I-25 à la

m~me

composante connexe si et seulement si il existe une suite

d'idéaux premiersl Pi e V(M)

et que

2)

= ..'[)

p

-0

V W(Pi_1)

W(Pi)

soit connexe.

Idéaux étrangers

Nous allons d'abord rappeler brièvement quelques résultats élémentairesl Deux idéaux

a

et

b

de

a + b

qu'ils engendrent est

existe

a

dans

a

et

=a

1

Si

.ê:.1 ' • • • ,~

telles aue

a.

--'l.

et

alors

b

et b.

-J

et

A

a.

-1

et

, alors

tout entier, autrement dit s'il

A

dans

b

tels aue:

+ b b -b 1 ' • • • , -m

sont deux familles d'idéaux

sont étrangers pour tout couple -b 1 ·b - 2 ···b -m

à fortiori de m~me de a 1 (l ~ ... Enfin, si

sont dits étrangers si l'idéal

a.

sont étrangers, et il en est

n~

W(~

et

b1

n ~ ... n ~

sont étrangers deux à deux, pour

-J

-a1n~ -, ••• n a -n =a - 1 .a - 2 ···a -n

Avec ces définitions deux idéaux et seulement si

(i,j)

et

W(È0

a

et

b

sont étrangers si

sont disjoints.

Le but de ce paragraphe est alors la démonstration de la Prpposition 11:

Tout module

M admet une décomposition uniQue

M , •••• ,M s ' 1 dont les annulateurs sont étrangers deux à deux et qui n'admettent comme somme directe de modules

plus eux-m~mes de telle décomposition. Les variétés sont les composantes connexes de

V(M)

V(M 1), •.• ,V(M s )

1-26 Si

sont les annulateurs de

n

nê:.g :: ~1.a2 ••• ê:.g

~:: a 1 a 2 fl .. . seule représentation de

on a

a

et on obtient ainsi la

comme intersection d'idéaux étrangers

deux à deux et qui n'ont plus

eux-m~mes

de telle représentation.

Nous allons monter au ciel en nous tirant par nos lacets de chaussures (la démonstration est celle du théorème chinois; on peut l'ignorer sans préjudice): M = M f1 ... ()M s 1

Supposons d'abord donné une décomposition les

Mi

a

= (O:M)

::

(0:M a

-1

soit donc

a 1 , ••• ,ê:.g

ont des annulateurs étrangers deux à deux, soit

Alors:

1

)n ... n (O:M s )

n ... () -s a

b. = -a 1 ···a. 1 a i +1 ···ê:.g --'l. -

--'l.

Ni:: :M 1~··· ~

$ Mi-1

t'r.!.

q;7

Mi+1···~ ~, M s

n

j

f

a.

, pour

et

-J

i 1./ ~

où

i t.. s ~

On a alors les formules) suivantes: Lemme 1:

3)

M.1

1)

a.

(O:a.) --'l.

=

2)

(O:M. )

=

--'l.

1

b.M

--'l.

=

n

j

f

N.= 1

4)

N. J

i

En effet, la formule 1) est claire. Formule 2):

(O:N.) 1

Formule 3): de D'autre part Ax

(a. + b.) x --'l. --'l.

a. :: (O:M.)

~Ni

=

j

--'l.

a

1

:: a

et si

on tire

x~Ni

:: (O:N.), 1

b.

--'l.

nf

(O:b.) --'l.

(O:M .) i

(O:~) ~ Mi

n (O:~)

J

=

a. M •

--'l.

1-21

Formule 4): La démonstration est analogue. V(M.) = W(a.) 1 --'l.

D'autre part, a.

--'l.

et

a.

-J

et dire que, pour

sont étrangers, c'est dire que

V(M. )

et

1

1j

i

V(M.) J

sont

disjoints.

et

~1

' • • • '.ê:.s

Soit en effet

1 .( i, j ~ s

,

où

et où

miers associés à Comme, pour

et appartenant à

M

i

désignent les idéaux pre-

p. 1'···'P. -J; -J, t'J

1j ,

aucun

V(M .) =

J

p. -1,e

W(a.) -J

n'est contenu dans un

n'est pas contenu dans la réunion des p. k et p. P -i ,e -J, k -J, S. rencontre tous les p. et donc aussi a. • La S.-composante 1 --'l. 1 -1,e de

a dans M contient alors M.1 et coupe

Ni

suivant

a • On

a ainsi: S.

1

~~~!~~~~~~ID~~~=

a.

--'l.

'"' a 1

1

n ···n .ê:.s

sont étrangers deux à deux.

Soit alors j

Alors

= M.

supposons donnée une décomposition

~ où les

(Mio)

n1

b.M,

et

--'l.

i

M est somme directe des

dans la situation précédente:

Mi

et

a.

-1

i

~M. 1j J

, et l'on est

1-28

En effet, o(i €~

f3 i

et

Mi

~

ê ~

engendrent

M

cl.. 1. + /,l1 ~.

tels que

i

car pour tout

1

il existe

On en déduit

= 1.

l'égalitél

l = ~ l + 11(1 ( f:2 + 0(2( ~ 3 + ••• +

qui e8t du type

l = b

+ ••• + b

1

S

+

, où

0(

c

D'où

.

(~+~)

0

et

X

= A:x

. Si donc

b.N. --'l. 1 = 0

,

= 0

et

Reste à montrer que on tire que x€N.

a.

::> (O:M.) 1

0

, alors

f

, x

1

--'l.

V(M) = W(a)

connexes de

Si alors et

~

et

W(~ ) = li (a . 1) -~ --'l.,

et

V , ••• ,V 1

f

n ... nW(a--'l.,s. . ) :; 1

0

1

-

0

• D'où

a. 1, ••• ,a. --'l. , --'l. , s i

et soient

a

V.l

on a l'égalité i

li ( q . 1)

-1,

f

les primaires

et dont les idéaux

j

a = a () ••• 1

n~

car

n ... n

sont disjoints.

-J

On détermine ainsi une décomposition de

V(Mi)=Vi

M.

soient les composantes

s

sont étrangers pour

et

~

, et l'on vient de voir que si

appartiennent à

W(a.)

entratne

j

, alors

mais de

a. = (OIM. ): --'l. 1

a. = a. 1 ••• a. --'l. -1 , --'l. , si

aj

-1

x = 0

intervenant dans une décomposition de premiers associés

f

i

xE:MinN i

a.x = (a. + b.)x --'l. --'l.--'l.

Supposons finalement que

1

b M• • •• + -s

D'autre 12art la somme est directe carl b .• b. --'l. -J

et o(E s.

b. E b.

M.

1

ne peut

~tre

M en somme directe

décomposé davantage, car

est connexe. De m~me pour la décomposition de

~

qui

lui correspond. Enfin ces décompositions sont uniques car déter-

1-29

Corollaire 1:

V(M. )

complémentaire de la réunion des idéaux premiers de

M.l.

T.l.

Avec les notations ci-dessus, désignons par

est isomorphe au A-module sous jacent au

le

• Alors

l.

AT.-module l.

D'abord tels que:

rencontre

Ti

j ~ i

pour

, car si les

a .. l.J

sont

a .. +a .. = 1, a ..

Alors

l.J

Jl.

T.

contient

l.

l.J

Il en résulte que

a ..

J l.

~.l.

M.l.

D'autre part,

s'envoie injectivement dans

et il

M'l. T •

l.

suffit de montrer que cette application est surjective. Soit donc

mis

un élément de

MT.

,où

mE.M

l.

Comme il existe déduit que dans

~.

s a

i

et

séTi

n'appartient à aucun idéal premier contenant dans

a.

--'l.

et

m = ma + mbs

b

dans

et que

A

tels

mis

~ue

et mb/1

a+bs = 1

a.

--'l.

• On en

sont confondus

' c. q • f • d •

l.

Corollaire 2: A/a

b./a

M

= A/a

Mi

= ~/a

est composé direct des anneaux -

En effet, --'l. -

Si

A/~

• Mais, comme

et

b./a

--'l. -

N.l. = --'l.a./a

• Alors

, isomorphes à

A/a . •

est somme directe, comme A-module, des b .• b. = -J

--'l.

a

pour

composé direct en tant qu'anneau.

i

1 j 1"

A/a

•

est même

--'l.

1-30

Il en résulte en particulier que le treillis des idéaux de

A/~

3)

Modules de longueur finie.

•

A/~

est composé direct des treillis des idéaux des

Nous supposerons connus les résultats de Bourbaki, Algèbre, chapitre 1. Proposition 12: A/m

où

~

Les modules simples sur

A

sont les quotiena

A

est un idéal maximal.

En effet, tout module simple est monogène, i.e. de la forme A/a

où

a

est un idéal de

A

les sous-modules de

pondent bijectivement aux idéaux de est simple et seulement si

a

A

contenant

corres-

; donc

A/~

est maximal.

Il en résulte que les modules semi-simples sur sommes directes de corps isomorphes à Définition 2:

a

A/a

A/~

,m.

--'l.

A sont les maximal.

On appelle module de longueur finie un module

M

possédant une suite de Jordan-Helder. Nous noterons par la longueur de

M

On a alors la proposition: Proposition 131

Les modules nons nuls de longueur finie sont

ceux dont tous les idéaux premiers associés sont maximaux, ou encore c,eux dont la variété est formée d'idéaux maximaux.

La condition est nécessaire: On sait en effet que tout sousmodule et que:

N d'un module leM) ::

M de longueur finie est de longueur finie,

-l(N) + {(MIN)

I-31

E

Donc, si isomorphe à

est associé à

A/E •

idéal maximal

Si

E

M ,soit

N un sous-module de

M

n'était pas maximal, il y aurait un

m contenant

E ,et la sui te

une suite de composition infinie de

A/E

n m / (E

n

n m )

serait

N ne serait pas de

longueur finie. Réciproquement, on a vu que tout module de type fini tait une suite de composition: où

M./M. 1 1. 1.Si

V(M)

est isomorphe à

o A/p. -1.

= M

o

C

et où

M 1

C ... C. Mn

p. -1.

M admet= M

,

e V(M)

n'est formé que d'idéaux maximaux,

M est donc

extension d'un nombre fini de modules simples et est de longueur finie. Corollaire:

Tout module de longueur finie

M est somme directe

de modules coprimaires associés à des idéaux maximaux de En effet, les idéaux premiers associés à et donc étrangers deux à deux.

A

M sont maximaux

11-1

CHAPITRE

Conventions

II

OUTILS ET SORITES

les anneaux considérés sont supposés commutatifs à

1

élément unité, et les modules sont supposés unitaires. A - FILTRATIONS ET GRADUATIONS (Pour plus de détails, le lecteur se reportera à EoœBAKI, Alg. Comm., Chap.III.) 1. Anneaux et modules filtrés.

Définition famille

Nous appellerons anneau filtré un anneau

1~

(An)nEZ

A muni d'une

d'idéaux vérifiant les conditions suivantes:

= Ap .A q

C

Ap +q

Nous appellerons module filtré sur l'anneau filtré dule

M muni d'une famille

(Mn ) n4:Z

A un

A-mo-

de sous-modules vérifiant les

conditions suivantesl A p .M q

C Mp +q

~Noter que ces définitions sont plus restrictives que celles

--

de BOURBAKI, loc.cit.-1 Les modules filtrés forment une catégorie additive morphismes étant les applications que

u(Mn )

=

Nn • Si

P

(p ) n

n

= (M

n

+p)/p

Dans

FA

P

n

telles

par la filtration de

définie par la formule

n = M/P

appelle filtration quotient sur N

u: M -t

,les

est un sous-A-module du module filtré

on appelle filtration induite sur filtration

A-linéaires

FA

est l'image de

P

n

= P(\M

n

la filtration

M

M ,la

• De

m~me,

(n ) n

on

où

M n

,les notions de morphismes injectifs (resp. surjectifs)

11-2

sont les notions habituelles. Tout morphisme noyau à

Ker(u)

Ker(u)

et un conoyau

et

COker(u)

COker(u)

u: M

~

N admet un

: les modules sous-jacents

sont les noyau et conoyau habituels, munis

de la filtration induite et de la filtration quotient. On définit également

= Ker(N-t COker(u))

Im(u)

et

Coim(u) = COker(Ker(u) -t M).

On a une factorisation canonique : Ker (u) -t où

Coim( u) ~

M -t

lm (u) -t N--t

est bijectif. On dit que

g

u

Coker (u)

est un morphisme strict si

est

g

un isomorphisme (de modules filtrés); il revient au même de dire que u(M ) = N ('\ u(M) n n

neZ=

pour -tout

• Il existe des morphismes bijec-

tifs qui ne sont pas des isomorphismes

(FA

n'est pas une catégorie

abélienne au sens de Grothendieck). Exemples de filtrations: a)

Si

~

(resp. du

A-module

(resp. M

n )- 1

b)

est un idéal de

n

Soient

M)

= m~4 pour

=

n

de

A

pour

~

n) 1).

A un armeau filtré,

HomA(M, N)

~-adique

,on appelle filtration

la filtration pour laquelle

A-module. Les sous-modules sur

A

N un

HomA(M, Nn )

A-module filtré, et de

HomA(M, N)

M

un

définissent

une structure de module filtré.

2. Topologie définie par une filtration. Si

M

est un A-module filtré, les

et définissent sur

M n

forment une base de filtre,

M une structure uniforme (donc une topologie)

compatible avec Sa structure de groupe (cf.BOURBAKI, Top.Gén., Chap.III).

--

Ceci vaut en particulier pour to~ologique

Si

~

; de même,

A

lui-même qui devient ainsi un anneau

M est un A-module topologique.

est un idéal de

A, on appelle topologie

~-adique

sur un

II-3

A-module

Pro12osition 1 :

N

L'a.dhérence

Soit de

=

pas à

de

M

M

est égale à ( \ (N + M ) n

N

x

n'appartient pas à

(x + M )(\ N =

tel que

Z

un sous-module d'un module filtré

N

En effet, dire que n~

~-adique

M la topologie définie par la filtration

n

0

N

signifie qu'il existe

,d'où le fait que

x

n'appartient

N + M n

Corollaire!

M

n

est séparé si et seulement si

o

M n

3. Complétion des modules filtrés. Si

M est un A-module filtré, nous noterons

séparé; crest un

A-module.

On vérifie tout de suite qutil stidentifie A

tim. M/Mn

à

• Si Iron pose

~

..

A-module filtré, et de

Mn

..

M = n

Ker (M ~ M/Mn )

s'identifie à

M/M

Mn

n

,muni de la filtration induite par celle de Soit

~xn

,converge dans

x éM n

xn

M devient un

A

M/Mn

Pr012osition 2!

raI

..

M son complété-

est le complété M

M un module filtré séparé et com121et. Une série M si et seulement si son terme géné-

tend vers zéro.

La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, si x

n

7

0

, i l existe pour tout

n } n(p) tout

k~O

x €M n p

p

un entier

n(p)

tel que pour

• On a al or s

,et le critère de Cauchy s'applique.

Pr012osition 3:

Soient

A un anneau et

m un idéal de

A est sé12aré et complet pour la t01201ogie séries formelles (~, X)-adi'lue.

A [[X]

~-adique,

A

. Si

l'anneau de

est sé12aré et com12 1et 12 0ur la t01201ogie

11-4 L'idéal

(m, X)n

telles que

n-n a p €!!!. ~

idéaux sur

A[ [X]]

coefficients

ai

est formé des séries pour

~

0" p

• La topologie définie par ces

n

est donc la topologie de la convergence simple des

; en d'autres termes

groupe topologique) au produit Proposition 4:

,qui est bien sépar~ et complet.

Al

des idéaux maximaux deux à deux

Soient

distincts de l'anneau

est isomorphe (comme

A[[X]]

A

,et soit

r

=

m () ••• f)!!!.k 1

• On a alors

un isomorphisme canonique

..

A

où

.. A

~

m.

-J.

..

A est le complété de

~-adique,

A pour la topologie

est le complété -séparé de

pour la topologie

A

!!4.

et où

!!!oz A

!!!:i.

-.L

-adique.

~ On a un résultat analogue pour les modules.-'

Comme les

m.

sont deux à deux étrangers, on a

-J.

Am. /mr: -]. Am. --'l.

--'l.

(la démonstration donnée au Chap.1 dans le cas noethérien s'applique sans changement au cas général). On en déduit:

...

1 T (=im(A!!4. jmr:A~ ) 1", i , k

A

~

--'l.

Remarque~

La proposition s'applique notamment au cas d'un anneua

semi-local

A

de

A

, en prenant pour

; l'idéal

r

m.

--'l.

l'ensemble des idéaux maximaux

est alors le radical

de

A

4. Anneaux et modules gradués. Définition 2: Nous appellerons anneau gradué un anneau

A muni d'une

II-5 décomEosition en somme directea

>-

A=

An

néZ

telle que

= fOJ si nLO

A n

et

Ap .A q C

Ap +q

Nous appellerons module gradué sur l'anneau gradué A-module

M muni d'une décomposition en somme directe:

11

M =

Mn

nE.Z

telle que

n =

M

~ 01

si

Soit maintenant Nous noterons

dans

Ap .Mq CM p+q

et

n~O

M un module filtré sur un anneau filtré

gr(M)

ou

a(M)

la somme directe ~ Mn/Mn+1

gr n (M) = fil nlM n +1

groupes abéliens Ap X Mq

A un

Mp+q

A des

• Les applications canoniques de

définissent, par passage au quotient, des appli-

cations bilinéaires de

gr (A))( gr (M)

application bilinéaire

de

p

En particulier, pour

dans

q

gr(A) x gr(M) M= A

dans

gr p+q (M)

, d'où une

gr(M)

,on obtient sur

gr(A)

une structure

d'anneau gradué; c'est l'anneau gradué associé à l'anneau filtré De même, l'application structure de

gr(A)-module gradué • Si

de modules filtrés, mes degré

gr(A) ~ gr(M) ~ gr(M)

u

d'une

est un morphisme

,d'où un homomorphisme (homogène de

gr(u): gr(M) ~ gr(N)

Exemple . Soit

k

un anneau, et soit

k-algèbre des séries formelles. Soit munissons

gr(M)

définit par passage au quotient des homomorphis-

gr n (u) : MnlM n +1 ~ NnIN n +1 0)

u: M-i •

munit

A

A

= k[[X l , ••• ,XrJlla

m = (Xl' .•• ,X r ) , et

A de la filtration !!!-adique. 1e gradué associé

s'identifie à l'algèbre de polynOmes

k[X l , ••• ,X ] r

gr(A)

, graduée par

le degré total. Les modules

#0

M, M et gr(M)

se "resselnblent" beaucoup. Tout

II-6

d'abord: Proposi tion 5:

Les applications canoniques

.

...

M ~ M et

A~

..

... induisent des isomorphismes

gr(M)

gr(M)

=

et

gr(A)

A

gr(A) •

=

C'est immédiat. u: M ~

Proposition 6:

Soit

On suppose gue

M est complet,

jectif. Alors

u

N un morphisme de modules filtrés.

N séparé, et que

gr(u)

est sur-

est surjectif, c'est un morphisme strict, et

N

est complet.

Soit

n

un entier, et soit d'éléments de

~

gr(u)

Mn

est construit, on a monl.ire j.!existence de

mod.Nn +k + 1

; on prend alors

limites dans on a

n

xeM n

,

et

xk+1~

telle que

u(x )- YéN + k n k

xk

mod.Mn +k

et

tel que

x k+1 =

- tk

Soit

(xk )

comme

~

= lim.u(xk )

u(x) u

x

a

o

et la surjectivité de

t k E-M n +k

M de la suite de Cauchy

ce qui montre bien que logie de

• On va construire une suite

• On procède par récurrence à partir de

mod.N n+ k Si

yeN

u( t ) :. u(x k ) - y k

est égal à

l'une des

x Mn

est fermé, u(M )=N n n

Donc

y

est un morphisme strict surjectif. La topo-

N est quotient de celle de

X

,et c'est donc un module

complet. Corollaire 1:

Soient

filtre séparé,

(n. ) 1.

(X )

i

i

A un anneau filtré complet,

dans

gr n. (M)

• Si les

x.

1.

E. M

n.

, les

x.

1.

engendrent

M , et

engendrent le

M est complet.

M

• On note

1.

1.

gr(M)

un A-module

une famille finie d'éléments de

el

une famille finié d'entiers tels sue

l'image de

M

et

x.

1.

gr (A)-module

11-7 Soit

=

E

AI

, et soit

En

a. E A l. n-n.

le sous-groupe de pour tout

E

formé des

i E l . On définit ainsi

l.

une filtration sur produit de

AI

E

, et la topologie associée est la topologie

• Soit

u

1

E

~

M l'homomorphisme donné parc

C'est un morphisme de modules filtrés, et l'hypothèse faite sur les équivaut à dire que

X.

l.

gr(u)

est surjectif. D'où le résultat

d'après la prop.6. l-La démonstration montre en outre que tout entier

n

Corollaire 2; complet

A

Mn

=L An-n. x.

.:7 Si

pour

l.

l.

M est un module filtré séparé sur l'anneau filtré

, e t si

noethérier..), alors

gr(M)

est un

gr(A)-module de type fini (resp.

M est un module complet de type fini (resp.

noethérien, et tous ses sous-modules sont fermés). Le corollaire 1 montre directement que, si fini,

M

, muni de la filtration induite,

sous-gr(A)-module gradué de

gr(M); si donc N

est de type fini, et

fermé puisque Corollaire A/~

est de type

M est complet et de type fini. D'autre part, si

sous-module de

gr(N)

gr(M)

3:

M

est un

gr(n)

est un

est noethérien,

est de type fini et complet (donc ~1

est séparé); on en conclut bien ::a.ue

Soit

m un idéal d'un anneau

soit noethérien, que

~

m

A

~-adique.

est engendré par

quotient de l'algèbre de polynômes

Alors

x , ••• ,x r 1

est noethérien.

• Supposons que

soit de type fini, et que

séparé et complet pour la topologie En effet, si

gr(M)

n

A

A ~ est noethérien.

gr(A)

est

, donc est

11-8

noethérien. Le corollaire ci-dessus montre alors que Proposition intègre,

7: Si l'anneau filtré A est séparé, et si gr(A)

peut trouver et

est

A est intègre.

En effet, soient

x

A est noethérien.

y

n,m

x

et

tels que

y

deux éléments non nuls de

x. An -An+1

y

E

Am -A + m 1

définissent alors des éléments non nuls de

A

On

; les éléments

gr(A);

puisque

est intègre, le produit de ces éléments est non nul, et ~

gr(A)

xy

fortiori on a

~

a

d'où etc.

On démontre de façon analogue, mais un peu plus compliquée, que si

A est séparé, noethériep, si tout idéal principal de

fermé, et si

gr(A)

A est

A est

est intègre et intégralement clos, alors

intègre et intégralement clos (cf. par exemple Zariski-Samuel, Commutative Algebra, vol.II, p.250). En particulier, si noethérien, et intégralement clos, il en est de de

k

k

m~me

est intègre,

de

k X

et

X

Signalons aussi que, si

k

est un corps valué complet non

discret, l'anneau local noethérien factoriel (cela peut se voir au moyen du "Vorbereitungsatz" de Weierstrass).

5. Où tout redevient noethérien - filtrations

~-adiques.

A partir de maintenant, les anneaux et modules considérés sont supposés noethériens. On se donne un tel anneau de

A; on munit Soit

A de la filtration

somme directe des

q

~-adique.

M un A-module filtré par des

groupe gradué

A et un idéal

M n

(Mk) n)O

On lui associe le ; en particulier,

II-9 ~ n A='-s.

Les applications canoniques

A p X Mq - 1

A~ M

prolongent en une apllication bilinéaire de définit ainsi sur

A une structure de

M une structure de A

se

Mp+q

M ;

dans

on

A-algèbre graduée, et sur ~en géométrie algébrique,

A-module gradué

correspond à l'operation d'''éclatement le long de la sous-variété

s."J.

définie par Comme

S.

est de type fini,

A est une A-algèbre engendrée par

un nombre fini d'éléments, et c'est en particulier un anneau noethérien. Proposition 8!

Les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

= -q.Mn

(a)

On a

(b)

Il existe un entier

(c)

M est un A-module de tlpe fini.

Mn +1

L'équivalence de pour un entier

(a)

n

pour

assez grand

m tel que

et

(b)

(c)

M ni donc

La filtration

(b)

(Mn)

de

k)O •

est vérifié

est engendré par

M

• Réciproquement, si

par des éléments homogènes de degrés

Définition~

k q .M pour m

est triviale. Si

m , i l est clair que

donc est de type fini; d'où

Mm+k

~ Mi

'

i~ m

est engendré

, i l est clair que l'on a (c) ~ (b).

M est dite

s.-bonne si elle

vérifie les conditions éQuivalentes de la proposition 8. (Autrement dit, on doit avoir égalité pour presque tout Théorème 1 (Artin-Rees): Si filtration induite sur

P

M +1Cq.M n

-

n

n

, avec

n.) P

est un sous-module de

M ,la

par la filtration s.-adique de

s.-bonne. En d'autres termes, il existe un entier pour tout On a évidemment

pour tout

; comme

M est

m tel que

k) a

M est de type fini, et que

-

A

1I-10

P

est noethérien,

est de type fini, aid.

L-Cette présentation du théorème d'Artin-Rees est due à Cartier; elle est reproduite dans Bourbaki, Alg.comm., Chap.III, 1~

Corollaire

Tout homomorphisme

u: M

~

N

3.-1

est un homomorphisme

de groupes topologiques lorsqu'on munit les modules topologies

§

M et

N

des

~-adiques.

Il est trivial que la topologie q-adique de de celle de

u(M)

est quotient

M ,et d'autre part le théorème 1 entraîne qu'elle est

induite par celle de

N

Corollaire 2

~

L'application canonique

et l'anneau

A

est

..

A ®A M

~

..

M est bijective,

A-plat.

La première assertion est évidente si

M est libre. Dans le

cas général, on choisit une suite exacte: L où les Â

1

~AL1

~

'f1~,. L Comme

0

..,

0

M -t

.

A ~ALo

~

L

~

1 et

0

\.g

en outre le foncteur A SAM

.

A®AM

~.J,

'Pot,.

'-Po

foncteur

L

sont libres. On a un diagramme commutatif à lignes exactes:

L. ,.

..,

1

-4

..

M

-t

0

~

0

sont bijectifs, il en est de même de

'f .

Comme

M est exact à gauche, il en est de marne du

(sur la catégorie des modules de type fini - donc

aussi sur celle de tous les modules), ce qui signifie bien que

A

est A-plat. Corollaire 3:

Convenons d'identifier le complété-séparé d'un sous-

module

M avec un sous-module de

N de

M

• On a alors les

1I-11

formules:

= A.N

N

N

1

,. + N

= (N 1 + N2 )

2

On laisse au lecteur le soin de faire la démonstration; elle ne fait d'ailleurs intervenir que les hypothèses noethériennes et le fait que

A est plat. En particulier, le corollaire 3 reste valable

l'on remplace le foncteur où

S

M par le foncteur "localisation"

est une partie multiplicativement stable de

Corollaire

4;

(i)

~

(ii)

Tout

lors~ue

MS

A

Les propriétés suivantes sont équivalentes:

est contenu dans le radical

~

r

A

A-module de type fini est séparé pour la topologie

~-adique.

(iii) Tout sous-module d'un A-module de type fini est fermé pour la topologie

>(ii) •

(i) de

P

(U)

a

P =

ceci entraîne

P

===* (iii).

N est un sous-module de

Si

soit séparé entraîne que (iii)-==}(i). Soit

fermé dans

A

Corollaire

5:

nr:J..n

a

~

P l ' adhérence de zéro; la topologie

est la topologie la moins fine, d'où

~ C~,

M/N

Soit

~-adique.

=

et comme

(lemme de Nakayama).

N

M

, le fait que

soit fermé.

m un idéal maximal de

,on a nécessairement Si

~.P

q -adique

A est local, et si

~ c~

~

A

• Puisque

d'où aussi

est distinct de

m est ~ ~

A

,on

Cela résulte du corollaire précédent. Définition~ On appelle anneau de Zariski un anneau topologique noethérien dont la topologie peut être définie par les puissances d'un idéal

~

contenu dans le radical de l'anneau.

r

1I-12 ~

Z-Cette condition ne détermine pas la vérifie on a m

~

n

m

et

C. ~I

pour des entiers

~' C ~

n

et

convenables~

Si

M

est un anneau de Zariski, et si

type fini, la topologie

~-adique

de

M

gie de

M

est un A-module de

ne dépend pas du choix de

(pourvu bien entendu que les puissances de

q

M • Si

NC.NCM

fermé dans

N est un sous-module de et M ).

N C. M C

M

et m~me

q

définissent la topolo-

A); on l'appelle la topologie canonique de M

séparée (cor.4) , ce qui permet d'identifier de

~'

en général; mais si

• Elle est

M à un sous-A-module

M ,on a les inclusions .... N = N (1M (puisque

N

est

1I-13 1

COMPLDŒNT

Soit

C une catégorie abélienne. On rappelle qu'un complexe

(de degré

s)

phismes de et où

n

dn+s.d n

Modules différentiels filtrés

K·

C

de

,soit

parcourt

z

=

C consiste en la donnée d'une suite de mord

n

.K.n

--?

Kn+s

,où

s

est un entier donné,

• On suppose en outre que, pour tout n

a

En particulier, soit catégorie

~

FA

l(.

un complexe de degré

+ 1

des modules filtrés sur un anneau filtré

de la A

(les

hypothèses sont celles du paragraphe 1). On notera toujours par G(A)

l'anneau gradué associé et par

gradués sur l'anneau gradué

A un tel complexe

la catégorie des modules

,le degré d'un morphisme étant

on a l'habitude d'associer une sui-

04 r 4. +

te de complexes la construction

K·

G(A)

GA

CD

,

dont nous allons rappeler

(Voir Godement, Théorie des faisceaux, Suites

spectrales, l, parag.4): Le module

n K

On désignera par

étant muni de la filtration

et

B

n r,p

les sous-modules:

~+1/(Kn+1)

p+r

)

et

1I-14

Dans ces conditions, on posera:

Si lion fixe

r

et

n

le module

En - EJ:1En r,· r,p

est muni natu-

rellement d'une structure de module gradué sur l'anneau gradué a(A)

• (Considérer

Si

r

0

et le groupe abélien

P

Revenant au cas général, on définit dans Roo

)

X(X-1 ) ••• (X-k+1 ) k!

g,-base de

qu'ils engendrent coincide avec

valence

0

soit du type

f

A) (f)= 0

0 ~

est le degré de

0

pour degré de

est tel que le terme dominant de

et

"o...

~

X =

la relation d'équi-

que voici:

f ,v g (Roe ) (:::::::::> Il existe

neZ o

=

Nous identifierons dans la suite

tel que P =

f(n)= g(n)

si

n)n

avec son image canonique

o

1I-20 y

dans

p

(image qui est isomorphe à

=

qu'une fonction

f

de

X =

y

RaO -équiva-

• On remarquera que l'endomorphisme

=

passe au quotient dans

et on dira

est polynomiale si elle est

p

lente à une fonction de

)

=

, et ceci permet la traduction des cri-

=

tères précédents; les conditions suivantes sont équivalentes: a) b)

f est polynomial.

11 f

est polynomial.

c) Il existe un entier

r

Ll

tel que

rf

soit

-équivalent à

Rao

2. Fonctions additives sur les catégories de modules

Soit

C une catégorie abélienne (voir Grothendieck, Tôhoku Math.

Jour., August

Je

1957). Une fonction additive sur C est une application

des objets de Si la sui te

alors

C dans un groupe abélien 0 ~ 14

X (N)= 'X (M)

----4

N

----+ P

r

~ 0

telle que: de

C

est exacte,

+

De la définition on déduit sans difficulté les deux propositions suivantes: Si

M

est un module de

C

une suite de composition de i

=n

i

=

X(M)

exacte de

C

,alors

1

, et

oC Mo C

M •••• 1

M formée d'objets de

"\/(M./M. l'- 1 1-1)

p=n

L p=1

(-1)P

X (M) p

=

0

C

M = M n

C ,alors

0 •

1I-21

Exemplesl

a)

)C(M)

,pour

A est un anneau (noethérien, à élément unité),

C est

groupe multiplicatif des nombres rationnels positifs et MeC

,est l'ordre de b)

M (nombre d'éléments).

X(M)

la catégorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour

M

e. C c)

)UM)

de longueur finie,

Ep (-1 )p t(Mn )

r:: z .

M (ici

de

A est un anneau gradué, A

=

leM)

, est la longueur

gradués sur

r le

C est la catégorie des groupes abéliens finis,

)

::

C est la catégorie des modules

r= ~

,et pour

M = (Mn) n C;Z ~

::

~

(CaractéristiClue d'Euler-Poincaré).

~

d)

(i.e.

A

n

=

0

A est un anneau gradué réduit à son premier élément si

n )

0

)

,

C est la catégorie définie dans

D la catégorie des complexes

K

(K , d) p

p

c),

de longueur finie sur

On définit alors comme dans c):

En outre, si H(K)~

alors

H désigne le foncteur homologiClue et si

K éD

C et il est bien connu Clue:

'X,(K)

Dans le cas où

A

est un anneau noethérien et

catégorie des A-modules de type fini, tout objet

C::

M de

~

la

C admet

une suite de composition dont les facteurs sont isomorphes à des

AIE

,où

E

est un idéal premier de

A

• Il en résulte Clue toute

A

1I-22 fonction additive

)C

f~

sur

est connutdès que l'on connait les

Cette remarque nous servira par la suite.

3. Le polynôme caractéristique de Hilbert. Dans ce paragraphe nous désignerons par anneau gradué commutatif

a)

H

b)

L'anneau

o

(H= Hilbert) un

tel que:

est un anneau d'Artin (i.e. de longueur finie).

Alors Ho

(H ) ne ~ n

H

H est engendré par

H o

et un nombre fini d'éléments

H est le quotient de l'anneau de polynômes

[X1'···'X~

par un idéal homogène (i.e. un idéal qui, avec

tout polyneme contient les composantes homogènes de ce polynôme). En particulier

H est noethérien et nous désignerons par

sous-catégorie de

9n

~H

la

(cf. § A, n04) dont J~s objets sont les

H-modules gradués de type fini, et dont les morphismes coincident avec ceux de Tout module gradué

9n M

=

,si

M et

(M ) n

de

N sont des objets de

est quotient d'une somme

directe finie de modules gradués isomorphes à tenus à partir de culier tous les

A

(ou de modules ob-

A par translation de la graduation). En parti-

Ho -modules Mn

sont de longueur finie et on peut

définir la fonction caractéristique de Hilbert de

à

M

l'aide des formules: X(M,n) = 0

si

La fonction X =

~H

n


-1

A 2), il existe des éléments

, et soit

...

,tJm

• En posant

x.1.

= h(p-1)

r

k [t r + ' ••• , tmJ 1

= t.1.

•

k[t r + , ••• ,t m] 1

x r + , •.• ,x de m 1

satisfaisant aux conditions du théorème pour a ()k't -p ~r+ 1,

• On voit

p.

à

du théorème pour la suite

l'idéal

x , ••• ,x m 2

x ,x , ••• ,x répondent à la question. 1 2 m

alors tout de suite que

D'après

A

satisfaisant aux conditions du théorème pour l'al-

k [t 2 , ••• , tm

Soient

, que

x AnC .. x 1C 1

D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des éléments de

m= 1 )

ce n'est pas une constante puisque

D'après ce que l'on vient de voir, il existe

soit entier sur

m~me

(ou

pour

i "

et pour r

, on

obtient la famille cherchée, cqfd.

3. Applications. l. Dimension dans les algèbres de polynômes. Notation: noterons

Si

dim.alkA

fractions de

k

le degré de transcendance sur

k

k

, nous

du corps des

A

Proposition 14: corps

A est une algèbre intègre sur un corps

Soit

A une algèbre intègre de type fini sur un

• On a: dim(A)

=

D'après le lemme de normalisation (théorème 2), il existe une sous-al-

1II-23 gèbre

B de

A qui est isomorphe à une algèbre de polynômes

1

et qui est telle que

k [X 1 ' ••• 'Xn

la proposition 3, on a on a

dim(B)

n

=

dim(A) = dim(B)

,

A et de

L est algébrique sur

B

K

. D'après

B

et d'après la proposition 13

; d'autre part, si l'on déSigne par

corps des fractions de

puisque

soit entier sur

A

L

K les

et

,on a

• D'où la proposition.

Au lieu d'appliquer la proposition 13, on peut appliquer

Variante.

le lemme de normalisation à une cha!ne d'idéaux premiers de

A

• On

en déduit tout de suite que la longueur de cette chaine est inférieure ou égale à

n

Corollaire 1: soit

E

(avec Soit

B = k[X1, ••• ,~1)

et on conclut comme ci-dessus.

A une algèbre de type fini sur un corps

un idéal premier de

A

• On a

coht(E)

k

,et

= dim.alk(A/E)

C'est évident. Corollaire 2 ("Nullstellensatz u ): un corps

k, et soit

algébrique sur

Soit

A une algèbre de type fini sur

m un idéal maximal de

A

• Le corps

A/m

est

k

En effet, puisque

m est maximal, on a

coht(gJ

=a

,et l'on

applique le corollaire 1 • Proposition 15: corps

k

et soit

Soit

A une algèbre

intèt~e

de type fini sur un

n = dim(A) • Pour tout idéal premier

E

de

A

on a:

D'après le lemme de normalisation, il existe une sous-algèbre

B

de

A

1II-24

J , telle

k[X , ••• ,x n 1

isomorphe à

que

A soit entière sur

B

,et

que

Posons

;E'

=

;E

nB

• Comm

oC on a

ht(;E') ~ h

(X ) 1

;E'

c ... C

contient la chaine (X ' ••• ,~) 1

,et l'inégalité opposée résulte de ce que

est engendrée par

h

éléments; donc

ht(;E')

=h

;E'

• D'autre part

B/;E'- k[~+1' ••• 'XnJ ce qui montre que coht(;E') = n-h • Comme A est entier sur

B

,et que

de Seidenberg montrent que

B est

intéb~alement

ht(;E) = ht(;E')

et

clos, les théorèmes

coht(;E) = coht(;E')

D'où la proposition. Corollaire 1:

Les hypothèses étant celles du théorème 2, on a ht(a.) = h(i) --'l.

C'est en fait un corollaire de la démonstration. Nous dirons qu'une chaine d'idéaux premiers est saturée si elle n'est contenue dans aucune autre chaine de mêmes extrémités (autrement dit si l'on ne peut intercaler aucun idéal premier entre deux éléments de la chaine); nous dirons qu'elle est maximale si elle n'est contenue dans aucune autre chaine, ou, ce qui revient au même, si elle est saturée, si son origine est un idéal premier minimal et si son extrémité est un idéal maximal. Corollaire 2: corps

k

Soit

A une algèbre intègre de type fini sur un

• Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de

ont même longueur, à savoir

dim(A) •

A

1II-25 ~C

Soi t

E1 C •••

C

Eh

une chaine maximale d'idéaux premiers.

Puisqu'elle est maximale, on a

~

=a

, et

est idéal maximal de

On a donc

D'autre part, puisque la chaine est saturée, on ne peut intercaler aucun idéal premier entre

et

; on a donc

et la proposition 15 permet donc d'écrire:

Comme bien

dim(A/~)

dim(A)

= dim(A)

,cqfd.

h

et

dim(A/Eh) = a

,on en déduit

Remarques: 1) On peut décomposer le corollaire 2 en deux parties: a) Pour tout idéal maximal

m de

A

, on a

dim(A )

dim(A)

m

b) Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de

A

m

ont

même longueur. Nous verrons au Chapitre suivant que la propriété

b)

est vraie,

plus généralement, pour tout anneau local qui est quotient d'un anneau de Cohen-Macaulay (et en particulier d'un anneau local régulier). 2) Le corollaire 2 peut, lui aussi, se déduire directement du lemme de normalisation.

4. Applications. II. Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini. Proposition 16: corps

k

finie de

,soit K

Soit K

A une algèbre intègre de type fini sur un son corps des fractions, et soit

• La fermeture intégrale

B

de

A dans

L

une extension

L

est alors

un A-module de type fini (et en particulier c'est une k-algèbre de

A.

III-26 type fini).

~On

comparera ce résultat à celui de la proposition 11; nous

ne supposons plus que séparable

A

soit un anneau normal, ni que

isomorphe à

C

C

démonstration lorsque

à augmenter

A

dans

L

contenue dans

et

L

est une algèbre de polynômes. De plus, quitte

,l'extension A

dans

D

,donc sur L/K

A

L/M M

; si l'on sait que

Yi k

est finie B

est

L

est engendrée q

•

y~

, exprimés

1.

X . • L'extension J

L/K

est alors

,avec: -1

L'

la

,montrera que

les coefficients de tous les

L'/K

D

K

,telle que

comme fonctions rationnelles en les

-1

-1

= k'(X; , ••• ,X~ )

La fermeture intégrale de

A -1

B ' '" k'

cqfd.

L/M

D

, e t il existe une puissance

Y{ € K = k(X 1 , .. • ,Xn )

contenue dans

est quasi-ga-

est séparable. Soit

est radicielle. L'extension

de l'exposant caractéristique de

Soient

L/K

• Finalement, nous pouvons donc supposer

par un nombre fini d'éléments

B'

est évidemment la

• Il suffira donc de faire la

la proposition 11, appliquée à

que l'extension

et

B

M la plus grande extension radicielle de

fermeture intégrale de

finie sur

est entier sur une sous-

L, on peut supposer que l'extension

loisienne; si l'on note

A

A

k [X ' ••• ,xnJ 1

fermeture intégrale de

sur

soit

.J

D'après le lemme de normalisation, algèbre

L/K

dans

[x qi , ... ,Xnq

k(C;

k'

]

-1

)

est visiblement égale à

L' -1

, •.• ,c~

,

est un A-module libre de base finie. Donc

B

est fini

sur

A ,

1II-21 Remarque:

Dans la terminologie de Grothendieck (EGA, Chap.O, 23.1.1)

la proposition 16 signifie que tout corps est "universellement japonais". D'après Nagata, tout anneau de Dedekind de caractéristique zéro

z) ,

(en particulier

=

tout anneau local noethérien complet, est

universellement japonais (cf. EGA, Chap.IV, 1.1.4.)

5. Applications.

III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine.

Il s'agit de démontrer que, si

V et

W sont deux sous-variétés

irréductibles d'un espace affine, et si ducti ble de

V

n li

T

est une composante irré-

,on a l ' inégali té:

cOdim(T) )

codim(V) + codim(W)

En langage algébrique, cela s'énonce ainsi: Proposition 11:

Si

E'

et

E"

sont deux idéaux premiers de l'algèbre où

un élément minimal de

W(E' + E")

k

est un corps, et si

E

est

,.2!!.....ê:.:

Démontrons d'abord deux lemmes: Lemme 6: sur

k

Soient

A'

et

A"

deux algèbres intègres de type fini

• Pour tout idéal premier minimal coht(E) = dim(A' ~k A")

E

de

on a:

A'QlA" k

= dim(A")

(En langage géométrique: le produit de deux variétés k-irréductibles de dimensions

r

et

s

se décompose en variétés irréductibles qui

ont toutes pour dimension Soient

B'

et

B"

r+s

.)

des k-algèbres de polynômes dont

A'

et

A"

III-28

soient extensions entières; soient fractions de

A' , A",. B',

B"

K' , K" , L' ,

• On a le diagramme d'injectionsl

0 --.-, L' ~k 1"

) KI

®k K"

r

i o ---+ B'

~k B"

) AI@

T est

K'

L'-libre

et

A"

k

T 0

0

Comme

les corps des

L"

est

K"

L"-libre,

K'

ek

K"

est

L' ®k L" -libre; en particulier, c'est un module sans torsion sur ~

E coupe donc

l'algèbre de polynômes

B'

B' ~k B"

et le théorème de Cohen-Seidenberg montre

sui vant

0

B" • L'idéal premier

que dim(B'

f\

B")

=

dim(B') + dim(B")

dim(A') + dim(A")

=

cqfd. Lemme 71

Soit

~: C.~A

A une

k-algèbre, soit

l'homomorphisme défini par

(i) Le noyau

d

de

C

= A®k

lÇ'(aeb)

est l'idéal de

A ab

=

engendré par les éléments

C

pour (ii) Si l'idéal

E'

E' ® A

E"

et

sont deux idéaux de

+ A C8I pli + d

Il est clair que Inversement, si

1

e

~ a.b. 1. 1.

est égale à

a - a ® 1

=0

~ a. ~ b. 1.

1.

aé A •

A , l'image par

E'

-p

de

E"

+

appartient à

d

pour tout

a

e.

A •

,on peut écrire:

2"(a.81 - 1 e a.)(1 1. 1. ce qui montre que

et soit

«> b.) 1.

appartient à l'idéal engendré par les

1II-29 (a.l. ~ 1 - 1

Qi)

a.) • L'assertion l.

(ii)

est triviale.

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition. Posons C .. A® A k

AlE' ~ AlE" ,

D =

r

;E 'e A + A «;E" •

=

On a la suite exacte:

o ~ E. ---7 C ---t SOl.' t

P = lJj-1 (E) l

;

c'est évidemment un idéal premier minimal de

et son image minimal de

~

W(d') , en notant

le lemme 1 montre que on voit donc que D contenu dans

d

ht(~, ~

D ~ 0

dans d'

D est donc un idéal premier l'image de

d

est engendré par les n

• Soit

; on a a fortiori

So

dans n

D • Mais

éléments

un idéal premier minimal de • Mais, d'après

ht(g/Q ).( n --0

le lemme 6, on a dim(D/~) = dim(A/;E') + dim(A/;E")

;

comme dim(D/Q ) - dim(D/~ --0 on trouve: n~ht(~Sa) = dim(A/;E') + dim(A/;E") - dim(A/E)

Remarque:

La méthode de démonstration a consisté,

remplacer le couple

(E',

;E")

par le couple

(d,

grOSSO

E,)

,cqfd. modo, à

• C'est ce

que l'on appelle la réduction à la diagonale (c'est l'analogue algébrique de la formule

Vn w = (Vx W)n

!J. ) •

Nous verrons au

Chap.V que cette méthode s'applique à des cas sensiblement plus généraux, et permet notamment d'étendre la proposition précédente à tout anneau régulier.

IV-1

CHAPITRE

IV

DIMENSION ET CODnr:mSION HO!:JDWGIgtJES

,

,

A - LE COHPLEXE DE L'ALGEBRE EXTERIEJRE

1.

(KOSZtJL)

Le Cas Simple. La plupart des résultats des paragraphes

sans hypothèse noethérienne, soit donc

et 2

1

sont valables

A un anneau commutatif,

à élément unité, et x un élément de A. Nous noterons alors KA(x)

le complexe suivant:

KA(x) n

En fait, nous identifierons

=0

si

A et

e

de

du complexe

K(x)

x

dans

M est un

=

n ~ 0,

ces modules),

K(x,U)

K 1(x)

K(x,M) K(x,M) 1

ou

o

si

K(x)" AM

.. K (x)œAM 0

= K 1(x)" A.M

,défini

1

a

e

A

A-module unitaire, nous noterons

d : K(x,M) 1 ~ K(x,M) 0 d(e x e> m) - x.m

A sur

• La dérivation

a.x

le complexe produit tensoriel si

et nous choisirons

sera définie par la formule d(a e) x

Si

K 1(x)

• Alors

:::!:JI

K(x,M) K(x,M) n = 0

(nous identifierons

et la dérivation

est définie par la formule

1

m € M • Les modules d'homologie

sont tout simplement

et

K (x) o

une fois pour toutes un isomorphisme de par l'image

n ~ 0, 1

de

IV-2

M/x.M

Ho (K(x,M»

(0

Plus généralement, si

L

.

Proposition p

Sous les

des suites exactes

Ann(x)

est un complexe de K(x) ~ AL

modules d'homologie du complexe aux modules d'homologie de

(x»

A-modules, les

sont reliés simplement

L hypoth~ses

ci-dessus, on a pour tout entier

1

En effet, pour tout entier

p

,(K(x) ~ ALp_1)p

est une

somme directe

comme des on obtient ainsi une

A-modules,

suite exacte de complexes

et la suite exacte correspondante des modules d'homologie: d

~1

------.~ Ko ~ A Hp(L) ~ Hp(K~AL) --~~

~ K1Clt A Hp _ 1(L)

d4> 1> Ko ~ A Hp _ 1(L)

IV-3 La proposition en résulte, car

Corollaire: et si

x

est un complexe acyclique sur

Si

n'est pas diviseur de

est un comple~e acyclique sur

0

dans

M,

K(x)~AM

M, alors

M/xM

En effet, il suffit d'appliquer la proposition au complexe

L - M = (M) n

a

0 On obtient alors

si

p

>1

(x) )r:[

20

Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe de

l'alg~bre

extérieure sont

désignerons par

Alors

éléments de

r

est un

,

de

donné à

Ar

nous

A-module libre engendré par

e. «' 000 0)

, oe qui a déjà été fait

1

On peut dono supposer que la démonstration a été faite pour K(x 1 ' ••• ,x _ 1;M) r Or

et la faire pour

la suite exacte

o ~Ho (K(xr )

~ H1(x 1, ••• ,x

r- 1;M» --?o"H1(x,~I)~ -

---?>H 1(IC(xr ) ~ H0 (x 1, ••• ,xr- 1;M» ~O entraîne que

H1(xp ••• ,xr_1;M)/xr.H1(xp ••• ,xr_1;M:)

H1(K(xr ) ~ li0 (x 1, ••• ,xp- 1;M»

sont nuls,

dono que

et

IV-6 li

(x 1,···,xr- 1;M)

et

1

H1(xr ;H0 (x 1,···,xr- 1;M»

le sont

(Nakayama) et, module d'hypoth~se de réourrenoe, oeoi entrafne le résultat oherohé. Corollaire;

La oondition

0)

La oorrespondanoe entre fonotorielle pour

~

M

ne dépend pas de l'ordre de la suite

et

K(~,M)

est évidemment est

donné, et le fonoteur

est une suite exaote,

exaot. Si on obtient une suite exaote de oomplexes :

et une suite exaote d'homologie

1

o~ Hr(~'M') ~ Hr(~,M) ~ Hr(~,M")~ Hr_1(~'I.i') ~ ••• ~H1(~,M")~ Ho(~,M')~ Ho(~,M)~ Ho(~,M")~O

.••

En outre

rr!(~,M) à

est naturellement isomorphe à

(A/x)~AM

(où

~

HomA(A/x,M)

désigne, par abus de notation,

l'idéal engendré par

x 1 , ••• ,x ) . Ces isomorphismes naturels de r fonoteurs se prolongent de mani~re unique en des transformations

naturelles

0/

et

cp

(Cartan-Eilenberg, Chap. III)

et

IV-7 Si les hypothèses de la proposition

KA(~)

une résolution projeotive A/x

isomorphisme ; en partioulier (voir le paragraphe

sont satisfaites pour

~(x) 0-

M = A ,l'applioation oanonique de de

2

de

sur

A/x

fai t alors

et de:vient un

A/x

a pour dimension homologique

r

C)

..

Nous laissons au soin du leoteur de démontrer que sous les memes ~ est un isomorphisme

hypothèses Hom(K.1(x) ,~,1) .-

sur

K

(Il existe un isomorphisme de qui oommute aveo les

. (x)®M

r-1. -

opérateurs bord).

B l'anneau des polynômes en

Dans le oas général, soit indéterminées B

=

X l' ••• ,Xr

A [X 1,··· ,xrJ

à ooeffioients dans A

• Définissons sur

de

B-modules par les égalités :

X.m 1.

=

x.m 1.

si

mE"M

résolution projeotive de

Alors A et

oontient

et

x

1

L'annulateur de

Ann M

On sait en effet que mais

et

M des struotures

Q€A

et

fournit une ;

D'où la

4:

A

si

on a dono l'isomorphisme naturel

Proposition

r

et

) Ext r-i( B A,M.

Iv-8 Enfin, on démontrererait sans diffioulté que si partie multiplioativement stable de

M

=

H(~,Ms)

et

.

H(~,M)S

A,

De même si

de type fini, et si l'on munit les

..

~-adique on a

"'"

=

K(~,M)

et

A est noethérien et A-modules de la filtration

..

=

H(~,M)

K(~,M)

K(~,M)

les relations entre

S est une

K(G(~), G(M»

.......:"-

H(~,M)

;

vont faire

l'objet du paragraphe suivant:

3.

La suite speotrale assooiée au oomplexe de ~nissons,

filtration

sous les

hypoth~ses

oi-dessus, le module

~-adique et désignons par

gradués assooiés à

M et A,

par

l'alg~bre

G(M)

M de la

G(A)

et

~ 1'· •• , ~r

extérieure.

les

les images de ou

l'idéal engendré par oette suite dans

G(A)

lorsqu'il n'y aura

pas de oonfusion. Le oomplexe

KG(A) (r)
Kp (~,~i)/ M Kp (~,~i+1) M

somme dire ote des modules noterons

K(~,M)

K

(~ , G. (M» pl].

applique

est manifestement que nous

• En outre, la différentiation

Kp(X,XiM)

dans

Kp_1(~'~

i+1 )

d définit sur

K( ~ ,G(M)

struoture de oomplexe, somme direote des oomplexes

= p+].=n $ Kpl' (~ G.]. (M»

de

et induit dono

M

une applioation

Cette applioation

d

une 1

IV-9 K(

En fait, la graduation de

~(~,M) aveo

3'

G(14»

définie par les

K(~,M)

est assooiée à une filtration de d

: désignons en effet'par

~(~,M)

Alors

d

la somme direote

.

ou

applique

~~(~,M)

dans

F~(~,M)

manifestement induit par

oompatible

,on a

dn

et

d

est

dans oe passage au quotient.

Nous nous trouvons ainsi dans la situation du Complément au Chapitre II,A, liE

o

Il

et il existe une

n'est autre que

Le terme

et qui aboutit à

(pour

p+i=n)

1 EP , 1 . (x,M) = IIp (K( _~ ,G.1. (M», .-

si

liE oeil

~Hp(~,M)

Hp(~,M)

on a

dont le terme

rrA(x -, 11)

de oette suite est donné par la formule

"E 1"

et est somme direote

Le terme

suite speotrale

des modules

que nous noterons

Hp (~,G.(M». _ 1.

peut être oonstruit de la mani~re suivante :

désigne l'image de

IIp(F~(~,M))

dans

FP+iH (x M) / F i + 1+PH (x,M). p -, p -

IV-10 rrp(~,M)

On sait que la filtration de la

est

x-bonne et que

au sens du Chapitre II •

suite speotrale oonverge

Pour l'étude plus préoise de oette suite speotrale, nous allons nous restreindre noethérien,

M est un

...

De merne,

~(~,M)

p ,

est

est annulé par

V(~(~,M» C V(M) (Î W(~)

A fortiori est un

M/~

A-module de type fini,

Alors pour tout entier

~(~,M)

A est

~ C ~(A)

de longueur finie et

x + AnnM

au oas suivant:

et

A-module de longueur finie.

(S,

H p -

est un

G(M»

longueur finie, et oomme o'est même un

G(A) / ~

en partioulier

Hp _

(S,

G(A)-module gradué de

~

appartient à son annulateur,

=

A/x-module

=

G.(M» 1.

de longueur finie si

0

Ceoi va nous permettre de oalculer la d'Elller-Poinoaré

X(H( ~ ,G(M»

i

est grand.

caractéristi qlle

= XC

p=r

i,

'" L

a(M))

(-1)P .e(H (~, G(M»

paO

En effet, oomme

Hp ( ~, Gi (M»

=

0

pour

= p -

i

grand,

on a

i=s-p

= D

isO

si

s

est assez grand

oelle de son homologie"),

(la

(-1)P .f(H (2',G.(M» p

J

1.

"oaraotéristique d'un oomplexe vaut

IV-11 j

'X (E; (~,M»

L j",o

'"

""

'"

=8

r

i~=S-f

t:

'X- (E~ (~,M) )

j=Û

( -1)P .f(Kp (~, G.l. (M») _

L p=Û

i..o

'"

~

( -1)P l(Kp(~,M)/Kp(~,~S-P+1M»

~

(_1)p(r) -e(M/x s - P+ 1M)

8paO

p

(_1)p(r) P (M,t-p) P ~

pour

t

grand

(t=3+1).

Nous laissons au leoteur le soin de vérifier que oette dernière r

quantité n'est autre que

~p

x

(M,s)

(aveo les notations du

Chapitre II), quantité que nous noterons désormais

y( ~,

Ainsi

-

G(M)

..

e (M,r). x

e (M,r) x

La oonvergenoe de la suite speotrale

1

entra!ne les égalités :

~(~, G(M» et cette

derni~re

= quantité vaut évidemment

1

, paroe que la filtration de est séparée

•

Iv-12 Nous pouvons résumer les résultats dans le Théor~me

1:

de l'anneau noethérien

Si l'idéal

A est contenu dans le radioal de A,

M/xM

type fini tel que a)

Les modules

b)

Si

-

~

alors

hp(~,M)

'X (~,M) = ex (M,r)

peut enoore se faire â l'aide des isomorphes â

modules

H (x,M)

p-

si

i

est assez grand.

La oodimension homologique d'un module sur un anneau semi-looal. Si

M est un module sur l'anneau semi-looal

désigne le radioal de .!.

sont de longueur finie, soit

(-1)P hp (~,M),

Le oaloul de

4.

M est un A-module de

soit de longueur finie, alors :

Hp(~,M)

X(~,M)

~

=

[a 1, ••• ,ap }

A

, on appelle

d'éléments de

r

A ,et si

Y-suite de

A

r

toute suite

quisatisfontauxoondi-

tions équivalentes :

a)

Pour tout

i

dans

ai

où

i!:o = 0

n'est pas diviseur de

et

est un oomplexe aoyolique (en dimension> 0 ) •

0)

H 1 (.!.,M)

= o

0

IV-13 L'équivalence de ces trois assertions a déjà été démontrée ; en particulier, ces conditions ne dépendent pas de l'ordre de

U.1.

la suite. Si l'on désigne par

si

b "" {bp ... ,beJ

{,!,l2.} ""

et seulement si dans

Cette

r

p

, et

-1.

M:-sui te.

existe (et poss~de au moins un élément) si

contient un élément qui n'est pas diviseur de si et seulement si

r

n'est pas

M p derni~re

condition équivaut encore à Itégalité

,

ou maximal de de

est une

c'est-à-dire

M

associé à

b

jÜ

Mp -sui te , la suite

[al"'. ,ap '

Une telle suite

o

est une

".

.~/ a.l.l

le module

(en effet, si aucun idéal

k == A/r

A n'est associé à

r

M

n'annule aucun élément

M et réciproquement), et ne dépend que du nombre

de la suite

~',

comme il résulte de la

Propo si tion

5:

Sous les

hypoth~ses

La proposition est vraie si pour tous les

A-modules

p=Û

N et les

M 1-suite, on a

à montrer que définie par

Hom(k,Mp )

• Supposons la donc démontrée N-suites de moins de

::=:

Comme

M

p

(a , ••• ,ap }

p 1 Ext - (k,M 1)

p 1 Ext - (k,M 1) ~ ExtP(k,M) a 1 dans

,et non

ci-dessus,

éléments, et montrons la dans notre cas: est une

p

2

,et i l reste

; mais l'homothétie

donne naissance aux sui tes exactes a1

--~> M ----) M 1

-->

0

et

IV-14

~

... --7 Ext P- 1 (k,M) --1 Ext P- 1 (k,M 1 ) Ext P- 1 (k,M)

Or, ExtP(k,M)

contient

Ext P- 1 (k,M ) 1

dans

III

ExtP(k,M)

Hom(k,M _ ) ... 0 p 1

Ann(k) = r ExtP(k,M)

Supposons maintenant

M

et

a

~

ExtP(k,M)

et l'annulalieur de l'homomorphisme de

1

est donc un isomorphisme, q.e.d.

r0

• La sui te d'idéaux ~o C !:1 ••• C!:i C ...

étant strictement croissante, il est clair qu'il existe une M-suite maximale a = {a 1 , ••• , a p } On a alors

ExtP(k,M)

r0

et

cette propriété; en particulier

p

p

est le plus petit entier ayant

ne dépend pas de la suite maximale

choisie. D'où la

Proposition et définition 61 nombre d'éléments, soit

m~me

Toutes les p

• Toute M-suite peut atre prolongée

en une M-suite maximale. L'entier tels que de

Extn(k,M)

r0

M-suites maximales ont le

p

est la borne inférieure des

et s'appelle la codimension homologique

M • (On l'appelle aussi la profondeur de

n codh

A

M

M .)

Corollaire: Avec les notations ci-dessus, codhA Mi = codA M - i La codimension homologique de de la variété

V(M)

associée à

M

M s'interprète aisément à l'aide En effet, toute

peut atre construite de -la manière suivante: cohauteurs des idéaux premiers associés à de

r

soit

M et

M-suite de

do a

1

la plus petite de un élément quelconque

qui n'appartient à aucun de ces idéaux premiers

aucun idéal maximal de

A n'est associé à

A

M ). Alors

(a 1 a1

existe si est le premier

IV-15 élément d'un système de paramètres de dans

•

d

des idéaux premiers associés à

la plus petite des cohauteurs

M 1

on a évidemment

. Je dis qu'en outrel

En effet, si

E

~ +

de prouver que socié à M1

1

dim M 1 ~ A 1

d

M1

est un idéal premier associé à (a ) 1

,ou comme

,c'est-à-dire que

0

M = M/a M ,on a les égalités: 1 1

; par suite, si

Désignons maintenant par

et

M et n'est pas diviseur de

do ~ dimA M

M , i l suffit ~

est contenu dans un idéal premier a

1

annule

Hom (A/E' M1 )

M 1

,que

E

as-

annule un élément de

r0

Mais on a la suite exacte:

o

a 1 --~ Hom(A/E' M) ---~ Hom(A/E, M) --~Hom(A/E' M1 ) --~

•••

(lemme de Nakayama) et n'est donc pas nul, c.q.f.d.

Si

d

1

r0

tient à aucun

,soit

idé~l

a

2

un élément quelconque de

premier associé à

M 1

• Alors

quels sont associés les nombres M-suite

{a 1 , a 2 , •••

fournit les égalitésl

'! .

qui n'appar-

[a , a 2 1

tient à un système œ~m~es et est une M-suite; soit On construit ainsi de proche en proche des modules

r

M 2

1

appar-

= M1/a 2 .M 1 •••

M,M ,M ••• 1 2

do' d 1 , d 2 , ••• , s1' s2' ••• '

Le procédé s'arrête lorsque

dp = 0

aux-

et la et

IV-16

La proposition précédente affirme que le nombre somme des "sauts",

s1 + ••• + s p

p

et la

, ne dépend pas de la construction

faite. En outre, si l'on compare le raisonnement fait avec la construction d'un système de paramètres, on voit que toute M-suite peut être prolongée en un système de paramètres:

7:

Proposition " dim AIE

S;...

E est un idéal premier associé

à

M

• Toute M-sui te peut Ihre prolongée en une sui te de

paramètres. Reste à établir quelques propriétés fonctorielles de codhAM La définition à l'aide des 0 --7 M'

Par exemple, si on a l'inégalité: De

Proposition 8:

..

maximale de

permet d'en étudier quelques-unes.

-7 M -~

Mil

--~

0

est une sui te exacte,

codhAM} Inf(codh M', codh A A

si l'on munit

m~me

"Ext ll

M de la topologie

Toute M-suite maximale de

M") ••.. ~-adique,

A est une

est une M-suite de

a = [a 1 , ••• ,ap

A on a les suites exactes:

a.

~

~ M.~_ 1 ~ M.~_ 1 ~ 7 M.~ ~( 0

..

M-suite

A.

En effetl si avec les notations ci-dessus,

o

on a

a.

O~M.~- 1 ~

et donc aussi

l

IV-11 ... La suite

a

...

est donc une M-suite de

A

• Si en plus

a

est

....

maximale pour

M ,elle est maximale pour

ru

(égalité des codimen-

sions). La codimension homologique est une notion locale, comme le montre la propositionl Proposition 91

codhAM

= Inf

où

m

parcourt 18s

m

idéaux maximaux de l'anneau semi-local On peut le démontrer à l'aide des

A "Ext", ou de la construc-

tion précédente, ou encore en remarquant qu'on peut supposer complet; mais alors plets) et

A

A est somme directe d'anneaux locaux (com-

M somme directe de modules sur ces anneaux locaux; le

résultat est trivial.

B) MODULES DE COHEN-MACAULAY Dans tout ce paragraphe, ~(A),

d'idéal maximal note

Ass(E)

et

E

A désigne un anneau local noethérien, désigne un

A-module de type fini. On

l'ensemble dea idéaux premiers de

A associés à

E

(cf.

Chap.I). 1. Définition des modules de COhen-Macaulay.

On sait (prop.1) que, pour tout Comme dim .E

dim.E ~

=

Sup.dim(A/E)

codh .E •

pour

PtAss(E)

EEAss(E)

,on a

dim(A/E)) cOdh(E).

,on a en particulier

IV-18 1~

Définition si l'on a

E

est un module de Cohen-Macaulay

= dim(E)

cOdh(E)

On dit que dule de

On dit que

A est un anneau de

Cohen-~Macaulay

Exemples.

si crest un mo-

Cohen~~acaulay

lui-m~me.

lorsqu'on le considère comme module sur

1) Un anneau local d'Artin, un anneau local intègre

de dimension 1, sont des anneaux de Cohen-Macaulay. 2) Un anneau local intègre et intégralement clos de dimension 2 est un anneau de Cohen-Macaulay. En effet, si nul de

!.(A)

, les

donc distincts de cOdh(A/xA) ~ 1

idéaux premiers !.(A)

d'où

puisque

E

de

est un élément non

x

Ass(A/xA)

sont de hauteur 1 ,

dim.A = 2. On en conclut que

,

cOdh(A) ~ 2

ce qui montre bien que

est

A

un anneau de Cohen-Macaulay. Proposition

Pour que le

10~

A-module

E

soit un module de

..

... Cohen4iacaulay il faut et il suffit que le

A-module complété

E

soit un module de Cohen-Macaulay.

...

Cela résulte des formules Proposition riens et soit

Soient

11~

'P:

A et

B

...

et

dim(E)

§i

E

= dim(E)

deux anneaux locaux noethé-

A --i B un homomorphisme qui fasse de

A-module de type fini. est un A-module de

codh(E) = cOdh(E)

B un

est un B-module de type fini, alors

Cohen~acaulay

E

si est seulement si c'est un B-module

de Cohen-Macaulay. Cela résulte de la proposition plus générale suivante: Proposition riens, et soit

12~

f:

Soient A

~

B

A et

B

deux anneaux locaux noethé-

un homomorphisme qui fasse de

B

un

•

IV-19 A-module de type fini. Si

E

est un

~

B-module de type fini,

alors:

~

L'homomorphisme

applique

~(A)

dans

un A-module de type fini; soit

r(B)

puisque

B

est

une E-suite maximale de

considéré comme A-module. Si l'on pose

, les

E

forment

b.

1.

une B-suite. De plus, cette B-suite est maximale; en effet, puisque (ai)

est maximale, il existe un sous-A-module non nul FI de

F = E/(a 1 , ••• ,a n )E F

sous-B-module de bien que COdhA(E)

F'

, et

qui est de longueur finie sur

b , ••• ,b n

B

engendre un , ce qui montre

est une suite maximale. On a donc

1

=n =

~(A)

qui est annulé par

co~(E)

• La formule sur la dimension se démontre

immédiatement.

2. Diverses caractérisations des modules de Cohen-Macaulay. Proposition dimension

n

Soit

13~

• Pour tout

E.

E.'

=

Cohen~~caulay

dim.A/E. = n

E.

n

de

, et

E.

Supp(E)

=

n

, puisque les termes extrêmes sont égaux. E.'

de

V(E)

on le sait; ce qui précède montre que

, et

dim(A/E')=n=dim(A/E)

, c.q.f.d.

Proposition dimension

, on a

contient un élément minimal

E.0' E Ass (E) d'où

A-module de

dim(E) ~ dim(A/E.) ~ codh(E)

On a en effet

ne plus,

un

E.€Ass(E)

est un élément minimal de

dim(A/E.) = dim(E)

E

14~

Soit

, et soit

E

un

x~~(A)

A-module de Cohen-Macaulay de tel que

dim(E/xE) = n-1

• Alors

IV-20

l'homothétie définie par

dans

.x:

E

est injective, et

E/xE

est

un module de Cohen-Macaula.y.

Soient l'un des

les élé;nents de

E1 ' ••• ,Ek

p.

-1.

,

dim(E/xE) )n

disons

. Donc

, on

E1 x

aurait

= codh(E) - 1

cOdh(E/xE)

fait que

e

x

dans

E

appartenait à

x

, d'où , ce qui

V(E/xE) p-1..

signi-

est injective. On a

(corollaire de la pxp.

6),

d'où le

est de Cohen~mcaulay.

E/xE

Théorème

E1

n'appartient à aucun des

fie que l'homothétie définie par alors

. Si

Ass(E)

2~

Si

E

est un module de Cohen-Macaulay, tout système

de paramètres de

E

est une

E-suite. Réciproquement, si un système

de paramètres de

E

est une

E-suite,

est un module de

E

Cohen-U~-

caulay. Supposons que et soit

E

(x , ••• ,x ) n 1

soit un module de

un système de paramètres de

montrer par récurrence sur que

E/(x , ••• ,x )E k 1

k

que

(x1'.'.'~)

E

de dimension

k

à

k+1

est une E-suite et k

=

a

en utilisant la prop.14, et en

dim(E/(x1, ••• ,~)E) = n-k

un système de paramètres de

n

• Nous allons

est un module de Cohen-Nacaulay. Pour

c'est évident. On passe de remarquant que

Cohen-~Iacaulay

puisque les

x.

1.

forment

E

La réciproque est triviale. Corollaire: est un idéal de de paramètres de

Si

E

est un module de

Cohen-~mcaulay,

A engendré par une partie à A

, le module

de dimension égale à

dim(E) - k

E/aE

k

et si

a

éléments d'un système

est un module de Cohen-!o1acaulay

IV - 21 Cela a été démontré en cours de route. La condition du th.2 yeut se transformer en utilisant les résultats

de

(A)

• Soit

E

x = (x , ••• ,x ) n 1

un

A-module de dimension

un système de paramètres de

l'idéal engendré par les

x

X.

1.

x nar rannort à E _... ... ...

plicité de

n

, et

E

soit

; on note également en(~,E)

• On désigne par

la multi-

Hq(~,E)

(cf. théorème 1), par

les

groupes d'homologie du complexe de l'algèbre extérieure défini par et

x

ax (E)

, par

E

~-adique.

filtration

Théorème 3: un module de x

=

ii)

E

un

Cohen~~caulay,

de

en (~,E)

ax (E)

E

A-module de dimension

H (~,E)

=

0

iV)

Hq (~,E)

=

0

[X1 , •••

tout

}20ur

conque de ces propriétés, Chacune des propriétés est une

d'autre part traîne

H.1.

(s _

i)

,a(E))

qui entraîne i Ù 1

i)

• Si

E

est

les propriétés suivantes:

,xJ

q)- 1

Réciproquement, si un système de paramètres de

x

n

pour tout système de paramètres

, on a

(E/xE)

iii)

que

fil tré par la

= l(E/XE) , . longueur de E/XE =

1

E

Avec ces notations, on a:

Soit

(x , ••• ,x ) n 1 i)

le module gradué associé à

E

et

ii)

pour

iii)

est équivalente au fait

et

iv)

, c'est la prop.3

sont équivalents (Chap.II, th.2);

d'après le théorème 1; enfin sont nuls pour

vérifie l'une quel-

est un module de Cohen-r':;acaulay.

i), ii), iii), iv)

E-suite:

E

i) 1

(cf. suite spectrale de

• Le théorème résulte de là.

ii)

iv)

entraîne que les , ce

et que A), n03)

en-

que

H. (x,E) 1. -

=

0

pour

IV - 22 3. Variété d'un module de Cohen-Macaulay. Théorème 4: et soient

Soit

E

un module de Cohen-)fucaulay de dimension

x1, ••• ,xr~ ~(A) ~

Tout élément

Ass(E/(x , ••• ,xr )E) 1

de

L'hypothèse signifie que système de paramètres de module quotient dimension

n-r

dim.E/(x , ••• ,xr )E 1

tels que

E

est tel que

x , ••• ,x r 1

=

n

n-r

dim(A/~) = n-r

forment une partie d'un

• D'après le corollaire au th.1, le

E/(x , ••• ,X )E r 1

est un module de Cohen-Y~caulay de

, et le théorème s'ensuit en appliquant la proposition 13.

Le th.4 caractérise les modules de Cohen-Macaulay. De façon précisel Théorème

5:

un module de dimension (x , ••• ,xr ) 1

pour toute famille dim.E/(x 1 ,··· ,xr)E on ait

=

n-r

d'éléments de

, et pour tout

dim(A/E) = n-r

Alors

E

On raisonne par récurrence sur Supposons donc

n) 1 •

d'éléments

' on voit que

comme

xi

dim(E)") 1

EEAss(E)

• Supposons que,

n

r(A)

tels que

E E:ASS(E/(x 1 ,··· ,xr)E)

est un module de Cohen-Macaulay. n

, le cas

n

=a

étant trivial.

En appliquant l 'hypothèse à la famille vide

, i l y a donc

dim(A/E)

=

x € ~(A) 1

• L'homothétie définie par

x

n

pour tout

qui n'appartient à aucun des dans

1

E éAss(E)

E

est alors in:j.ective,

et l'on a: cOdh(E) = COdh(E/x E) + 1 1

dim(E) = dim(E/x E) + 1 • 1

De plus, il est clair que le module th.5 avec

n-1

au lieu de

c'est donc un module de

n

E/x1E

vérifie les hypothèses du

; d'après l'hypothèse de récurrence

Cohen-)~caulay,

et il en est de même de

E

IV - 23 Théorème 6:

Soit

E

un module de

E e Supp(E). I l existe alors un entier

et soit éléments

E

E

est un

Soit

ments de

E

, et une partie à

veEl (x 1 ' ••• ,xr)E)

pour tout

• Comme

E

tient l'un des

' soit

Ei

effet, on aurait

, on a

dim(A/E)

p.

-1.

p. -1.

E ê V(E)

, et g,ue les

• Je dis g,ue

E

On a donc

p -

E1

=

dim(A/E1) = dim(A/Ei) E

E

x 1 '··· ,xr , et

E

con-

• Sinon, en

un élément

P -

f.

xr +

p. -1. 1

ferait alors

, contrairement au caractère

x , ••• ,x r 1

=

p -1

, ce g,ui montre g,ue les

x.

1.

condition de l'énoncé, et prouve en m~me temps g,ue xi

-1.

d'où

; le système

partie d'un système de paramètres de maximal du système

les élé-

p.

sont les éléments minimaux

, et on pourrait trouver dans

n'appartenant à aucun des

con-

i

EG. V(E/(x , ••• ,xr)E) 1

E1




i

=

Tor.k (M,N)

A

o

~

anneaux gradués ..

"

k

Tor. (M,N)

sur

les structures de modules gradués sur les

Tor~(A/mP, B/nq)

des

Tor:(M/Mp,N/Nq )

définissent

une structure de module gradué sur l'anneau gradué

k

Tor (A,B) "

k

b) Le module

Tor (M,N)

choisie pour

M ou

ne dépend pas de la bonne filtration

•

N

,mais seulement de

du des idéaux maximaux de

A et de

M et de N (et bien enten-

B contenant

m

et

ll).

V-8 ~ X ~

c) La diagonale de

formant un sous-ensemble cofinal,

il suffit de prendre la limite projective sur cette diagonale: k

(6)

Tor. (M/M , N/N ) 1. P q De la

vant

p

m~me

manière on peut prendre la limite d'abord sui-

,ensuite suivant

Tor~(M,N) ~ ~

q

(im p

(=im q

Tor~(M:/M , N/N q ) 1. P

(lim q

(im p

k Tor. (IvI/M , N/N q ) 1. P

(Propriétés des systèmes projectifs sur des produits d'ensembles ordonnés. ) Ces assertions rendent possible l utilisation des méthodes du Chapitre II. d) Les applications canoniques de

M~ N dans

M/Mp ®k N/N q

induisent des applications

,.. et i l est clair que pour la topologie e) L'anneau ,..

M®k N s'identifie au complété de

(m. ®k B + A®k !0 -adique •

.'"

A ~k B est complet pour la topologie

,..

!. = !!!.~B + A ~!!.

"

et les

k

Tor. (M,N) 1.

la topologie !.-adique. Comme en outre A.

et que

M®k N

~-adique,

où

sont des modules complets pour

" (A~kB)/!. = (A/m) ~k (B/!0

A

(M ®kN)/r. (M®k N)

=

(M/mM) ®k (N/nN)

,le corollaire 3 /\

à la proposition 6 du chapitre II s'applique et

A~k B

est noethérien

V-9 f\

1\

M~ N

et

est un

(AQPk B)-module de type fini.

D'autre part la formule bien connue

2

... 1+x+x + •••

1

1-x montre que

r

est contenu dans le radical de

~

A ®k B

et les idéaux.

1\.

maximaux. de

A~k B

co~respondant à ceux. de

0 ~M' ~ (-- , M--~~1 M"

f) S1'

~ ---7 0

(A/m) I&k(B!n)

es t une SU1·t e exac t e d e

A-modules de type fini, les suites exactes ••• --)

Tor~(M!mPM,N/!!.qN)

Tor~_1 (Mt/Jl'

---}

n mPM,

--1 Tor~(M"!mPM" ,N!nqN)

N/nqN)

-4

--4

se remontent en une suite exacte ~ k ~ k ~ k ----1 Torn (M ,N) ----1 Torn (Mit ,N) ~ Tor n-1 (M' ,N) ~ •••

f:

On a en effet la propriété suivante: si et

\JJ

T

1

(P.) ~ (p'.') 1 1

(Pi) ~ (Pi)

sont deux. morphismes de systèmes projectifs

de k-modules sur un ensemble ordonné inductif, si les

P!

1

sont des

modules artiniens, et si les suites

'l'i ) P'.'1

P! 1

sont exactes, alors la suite

g) Supposons maintenant que et supposons que

{a1,···,ar~ tels que O· "

i

a + i 1

k

soit un anneau régulier de dimension

M , considéré comme k-module, admette une M-suite

i.e. qu'il existe

r

du radical de

éléments a.1

ne soit pas diviseur de zéro dans

~ r-1, a o = 0 •

Je dis qu'alors de le voir quand

...

k

Tor. (M,N) = 0 1

pour

i )

k

M/(a , ••• ,a i ) M 1

n-r

• Il suffit

N est un k-module de longueur finie, puisque

n

V-10 ...

k

.

...

k

Tori(M,N) = ~1m Tori(M,N/~

o~ ...

k

N)

• La suite exacte

a

M ~ M ---i M/a 1 M ---i 0

Tor i (M,N) = 0

o

si

>n

i

s'ensuit que

= 1

r

donne

,jointe au fait que la sui te exacte:

... k ~ Tor (M,N) n

Mais une puissance de

pour

n

...

Tor

k n

a

1

(M,N) ...

• Si

r

annule 0

N

...

Tor

donc aussi

k n

(M,N)

.Il

, ce qui démontre notre assertion

>1

exacte: a1

"

-~) Tor

k

n-

1 (M,N) , etc •••

Dans les exemples que nous utiliserons, l'algèbre toujours une A-suite formée de ...

que

k

Tor.(M',N)

=

1

le foncteur

0

si

...

k

Mt

n

éléments. Il en résultera

...

~M ~ N

0

• Dans ce cas

est le i-ème foncteur dérivé du

1

A

foncteur

i>

est A-libre et

M~Tor.(M,N)

A aura

• On en déduit que

k

Tor i (M,N)

est un

./\

A~k

B-module de type fini. Le monstre qui vient de nattre nous servira dans les deux

cas particuliers suivants: a)

k

est un corps,

A~B::::' k[[x i ,··.,xn]l ...

A

A ®kB

k

Tor.

Dans ce cas les

1

:

sont nuls pour

i>

0

• En outre,

est isomorphe à l'anneau des séries formelles

C ~ k [[x1'··· ,Xn ' Y1 ,···, Yn ]]

Si

E

est un idéal premier de

est un idéal premier de miers de

C

A

E ®k J3

C et toute chaine maximale d'idéaux pre-

A qui passe par

nes maximales de

A

, il est clair que

E

se prolonge facilement en des chai-

V-11 1\

dim M~ N = dim M + dim N

généralement:

Si maintenant idéal primaire de

B

est un idéal primaire de

~

"

1\

:1®kB+A®k~'

de

C

s

~'

un

G (M) ®k G ,(N)

, on graduera l'algèbre

par la graduation somme. On notera

A,

~

~

l'idéal primaire M~N

• Alors l'application de

dans

A.

M~k

N induit manifestement un homomorphisme d'anneaux gradués: Gq (M) ®k Gq ,(JI) ---~ Gs (M®kN )

-

-

-

Samuel a démontré que c'est un isomorphisme et il en résulte

,..

e (M~N, dim M + dim N) s Enfin si

que

...

= e (M, ~

dim M).e

~

,(N,

dim N)

...

et ••• ~L n

sont des résolutions

A

--J ... et

~L

0

---tN ~O

B-libres de

et

M

M~ N

est manifestement une résolution C-libre de En particulier si l'on identifie

p+q

,..

A au C-module

Cid

, où

d'où la formule de réduction à la diagonale: b)

k

est un anneau de valuation discrète, La lettre1t

de

k

et

k

A '::!. B !::! k

désignera un générateur de l'idéal maximal

désignera le corps résiduel

k/~k

Dans ces conditions

C = A~ B

k[[X 1 , •.• ,xn ;Y1' ••• 'Yn]]

A= A/n: A k [[x1 ' ... ,xJ] c

k[Lx 1 ,···,xn ; y1 , ••• ,Yn ] ] , (M ®k N) /1r . (M ®k N) = ~1/17; M®k =

1\

[Lx1 , ••• ,xJ]

A

A

N/1T: N

=n

V-12 I l en résulte que si 1t

n'est pas diviseur de

0

dans

M et

N

....

on a dim M ~k N = dim M + dim N - 1 Enfin, résolvant C-résolution projective de

M et

N comme dans

A = Cid

a), et prenant une

,on aboutit à une suite

spectrale:

La suite dégénère si

3.

tr

ne divise pas

dans

0

M

ou

N

Anneaux réguliers d'égale caractéristique. Le monstre étant avalé, nous allons essayer de le digérer.

Pour cela nous allons d'abord scruter le cas particulier cas le complexe de Koszul de

A = Cid

C

J

M et

• On en déduit que, si

A-modules de type fini, les

A l.

Tor. (M,N)

A

C

IV

N désignent toujours deux

s'identifient aux modules

C K ( (X

d'homologie du complexe de Koszul

Dans ce

est une résolution libre

K «X, - y ,), C) J

a).

j

- y

j)' M3-Tor A p+q (M,N)

En fait la suite exacte : est de dimension homologique

=

montre que sur

A et que

ensemble des éléments de

N annulés par :Jt. •

La sui te spectrale se "réduit" donc à la sui te exacte :

...

~ To~1.- 1(M,-n-N)~Tor~(:M,N)~TO~(M,N/1'tN) ~ 1. 1. ~~

~ To1-_2(M,J'tN)~...

Mais nous supposons que

XN = 0

donc

= di~ + dirrÂr/n N

L

n

,

A

v-18 et l'inégalité stricte a lieu si et seulement si Comme

A A dim M = dim M,

et

~ A(M,Nj-n:: N)

a

A dim N/'fl: N = dimA NI ~ N = dimA N - 1,

la propriété est démontrée.

~)

"ft' annule

M et

N:

Considérant toujours

M comme A-module,

N comme A-module,

la suite spectrale reste valable et donne:

Mais dans ce cas suffi t donc de vérifier que

NI1r; N

=

~N

= N et

'X- A (M,N) = a

A dimA M + dimA N = dimA M + dim N

il