Halbexakte Homotopiefunktoren (Lecture Notes in Mathematics, 12)

Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited...

Author: Albrecht Dold

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Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zerich

12

m

m

Albrecht Dold Mathematisches Institut der Universit~t Heidelberg

Halbexakte Homotopi efu n kto re n

1966

9

Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York

!

0.0

Inhalt.

Oe

Einleitung

1.

Darstellbare

2.

Multiplikative

3.

Die H o m o t o p i e e r w e i t e r u n g s e i g e n s c h a f t

4.

Die

5.

Halbexakte

6.

Beispiele

von halbexakten

7.

Vergleich

halbexakter

8.

Halbexakte

Funktoren

mit M o n o i d s t r u k t u r

I

.................

8.1

9.

11

II

II

11

II . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1

lO.

II

II

I!

II

Rolle

Funktoren

...................................

1.1

.................................

2.1

Strukturen

des G r u n d p u n k t e s

......................

................................

Homotopiefunktoren

.............................

Postnikov-Paktoren

12.

"

13.

Hindernistheorie

14.

Die

15.

Produkte

16.

Darstellbarkeit

17.

Literatur

...........................

7.1

(III)

und

rationalen 10. I

.......................................

1 1. I

.....................................

12.1

..........................................

13.1

-Invarianten

Spektralsequenz

Anhang

5.1 6.1

Koeffizienten ll.

4.1

.......................

Funktoren

Funktoren

3.1

halbexakter

in der Spektralsequenz halbexakter

Monoidfunktoren

..........

...........................

Funktoren

....................

................................................

14.1 I~.I 16.1 17.1

O.1

Einleitung.

Ein grundlegendes Problem der Topologie ist die Homotopieklassifikation der stetigen Abbildungen eines topologischen Raumes einem anderen

Y , also die "Berechnung"

Homotopieklassen von Abbildungen

X

der Menge

so erkennt man schnell,

individuelle R~ume

X , Y

also die Transformationen

~(X'

untersuchen,

~(X , Y)

oder

aller

dass es verfehlt wgre,

zu betrachten. Vielmehr hat man X

in

> Y . Besch~ftigt man sich

mit diesem Problem,

als Funktor der Variablen

X

Y

~(X , Y)

(oder beider) aufzufassen,

, Y)
X

bezw.

Y

zu > Y'

induziert werden. NatGrlich wird man die Klasse der zugelassenen (oder

Y)

X

beschr~nken mGssen, um konkrete Ergebnisse zu erhalten;

wir werden meist annehmen,

dass

X

ein zusammenh~ngender (kompakter

oder wenigstens endlich-dimensionaler)

CW-Raum ist. Ausserdem ist

es (aus technischen GrGnden) zweckm~ssig, Abbildungen und Homotopien mit Grundpunkt zu betrachten. Wir dr~cken das durch die Schreibweise ~(X , Y).

aus und benutzen ~berhaupt das Zeichen

*

stets als Hin-

weis auf den Grundpunkt.

Es sei also

W.

(bezw.

W~

bezw

.

_. W ~ )

die Kategorie der zusam-

menh~ngenden kompakten (bezw. endlich-dimensionalen bezw. beliebigen) es sei

CW-R~ume und ihrer stetigen Abbildungen mit Grundpunkt, und HtW.

(bezw.

HtW~

bezw.

HtW~ )

die Kategorie derselben

R~ume aber mit Homotopieklassen als Morphismen. F~r jeden CW-Raum W ~ Y ~ _.

ist

~(-, Y).

ein kontravarianter Funktor von

W.

in die

0.2

Kategorie der Mengen

Ens

; diese Funktoren wurden von E.H. BROWN

axiomatisch charakterisiert keitsvoraussetzung). Ein Funktor

(unter einer zusgtzlichen Abz~hlbar-

Wir nehmen Brown's Axiome als Ausgangspunkt:

t : W.

> Ens

heisst halbexakt, wenn er Brown's

Axiomen gen~gt. Die halbexakten Funktoren und ihre nat~rlichen Transformationen bilden selbst eine Kategorie nung

Y ~

~(-,Y).

BROWN ist

ist ein Funktor

> HEF . Nach

B bijektiv auf (Equivalenzklassen yon) 0bjekten und

surjektiv (aber nicht injektiv setzung

~ : HtW~

HEF , und die Zuord-

HtW. C H t W ~

B> HEF

!) auf Morhpismen. Die Zusammenist eine volle Einbettung,

also die Homotopietheorie kompakter CW-R~ume in ist. Beim Ubergang von

HtW ~ zu

HEF

HEF

so dass

enthalten

dagegen geht etwas verloren:

man vernachlgssigt Terme, die auf allen kompakten CW-Unterr~umen verschwinden.

HEF

ist eine (echte) Quotientenkategorie von

Es gibt verschiedene Gr~nde daf~r, neben die Kategorie

HEF

HtW .

auch

zu betrachten: Einmal lassen sich einige Kon-

struktlonen der Homotopietheorie ~ll

HtW____. ~ oder

HtW~ .

- 12) leichter in

(z.B. die Postnikovzerlegung

HE___F als in

HtW~

ausfGhren.

Zum anderen

gibt es wichtige halbexakte Funktoren (wie Kohomologie oder K-Theorie),

die von Natur aus in

ohne Anstrengung nach

HtW~

HEF

zuhause sind und die nicht

gebracht werden k~nnen. Ferner ~ber-

tragen sich Methoden und Ergebnisse ~ber halbexakte Funktoren auf andere, nicht mehr "darstellbare"

Situationen (vgl. Anhang,

insb.

Abschnitt 8). Schliesslich ist es wohl immer von Vorteil, wenn ein Problemkreis in verschiedenen

(aber ~quivalenten) Kategorien

behandelt werden kann (wie z.B. Homotopie in semi-simplizialen oder geometrischen Kategorien).

o.3

Ersetzt man in der Definition yon endlich-dimensionale

(also

W

HEF

durch

kompakte 0W-Rgume durch W~), so erh~lt man eine

ganz analoge Theorie (5.2). Lgsst man aber auch die Dimensionsbeschr~nkung fallen (und geht zu

W~

~ber), so entstehen wesent-

liche Enderungen und neue Schwierigkeiten,

die ich nicht systema-

tisch untersucht habe.

Der vorliegende Text ist im wesentlichen die Ausarbeitung einer Vorlesung,

die ich im Winter 1964/65 in Heidelberg gehalten habe.

Eine fr~here Vervielf~ltigung

(Amsterdam 1963) wurde benutzt und

in ver~nderter Form mit aufgenommen. Vortrags

Im Anhang ist ein Tell eines

(Seattle 1962) wiedergegeben,

der als einfache Einf~hrung

in die Theorie dienen kann. - Den Herren R. Fittler und F. Kraus, die Teile des Manuskripts gelesen haben, verdanke ich Berichtigungen und Verbesserungen.

1.1

1

Darstellbare

Funktoren

[ GROTHENDIECK

1.1 D E F I N I T I O N .

Es sei ~ [ e i n e

ein k o v a r i a n t e r universell

(1.2)

Palls

Kategorie

und F : ~

.> Ens

Ein E l e m e n t u e FK, K ~ ,

heisst

(f~r P), w e n n die A b b i l d u n g

[K,X] bijektiv

Funktor.

]

> Px

ist f~r alle X ~ .

ein solches

und wir sagen

Paar

(K,u)

(K,u)

existiert,

so h e i s s t P dars~eilbar,

- oder auch e i n f a c h K - stelle

den P u n k t o r

F dar. W e n n P dutch men zu

~ : K

(K,u) d a r g e s t e l l t > X vollkommen

1.3 SATZ:

ergibt

ein

~ : K

> X mit

des d a r s t e l l e n d e n

Objektes)

durch (K',u')

(K,u) als auoh

eine e i n d e u t i g b e s t i m m t e A q u i v a l e n z Zungchst gibt es n ~ m l i c h ~:

K'

. > K , ~'

(P~')u = u' also

ZZ,

: K

, also

= id

Kategorie.

dargestellt, ~:

K' ~

Wird F sowohl

dann ~ibt as

K mit

(F~)u' = u

eindeutig bestimmte Morphismen > K' mit

P(XM')

, Z'Z=

Die k o n t r a v a r i a n t e n eindeutig

(P~)u = x.

aioh leicht der

(Eindeutigkeit

duroh

dann sind also die M o r p h i s -

durch ihren E f f e k t auf u bestimm%;

jedem x e FX gibt es genau

Daraus

wird,

u = u

(Fx)u' ,

= u,

F(~'Z)

u' = u'

,

id.

Funktoren ~

den k o v a r i a n t e n

> Ens

Funktoren

Die D e f i n i t i o n e n

1.1,

tragen sich daher sinngem~ss.

~op

entsprechen umkehrbar > Ens

der dualen

1.2 und der Satz 1.3 ~ b e r -

1.2

Wir b e t r a c h t e n nun einige B e i s p i e l e 1.4 Die F u n k t o r e n mengenwertige hK(x)

.

hK, h K

durch

K e~

d e f i n i e r e n wit

hK(X ) = [K , X],

E i n E l e m e n t u a h K L = [K , L] ist genau dann

(fGr hK) , w e n n

, x] bijektiv

F~r jedes Objekt

Funktoren

= [X , K]

universell (1.5)

hK, h K .

>

, x]

,

ist ffir alle X. Das ist sicher der Pall, w e n n

eine A q u i v a l e n z Ist u m g e k e h r t

ist, u'

eine A q u i v a l e n ~

z.B. fGr

: K

> L

~ . 9 K

u = id K

(also L = K).

universell,

> L

mit

u : K~L

dann gibt es n a c h 1.3

~-id = u'

, also ist

u'

eine A q u i v a l e n z . Der F u n k t o r h K ist also stets d a r s t e l l b a r Umgekehrt

ist

~quivalent

jeder d a r s t e l l b a r e

(die A b b i l d u n g

Teilmengen wir

Pf

: PY

kontravarianten

F u n k t o r e n h K (vgl. auch 1.13).

> Y

f : X

> PX

eine Abbildung,

(Pf)B = f-lB.

durch

Funktor

P : Ens

u a PK, also eine T e i l m e n g e

universell,

w e n n die A b b i l d u n g e n

nur dann m~glich,

w e n n sowohl

bestehen.

2-Punkt-Menge

dargestellt.

1.7 I d e n t i f i k a t i o n s r a u m .

~f

Komposi•

: A

> X

> K

eineindeutig

sind. Das ist o f f e n b a r

P wird

K - u

A. F~r

aus genau

d e m n a c h durch eine

Es sei A ein t o p o l o g i s c h e r jedes X ~ Top

Raum und R sei

I R ( a , a ~) - - ~ fa = f a ' ~

von A b b i l d u n g e n

F : Top

> Ens.

r a u m A/R,

und die P r o j e k t i o n

Element 9

u C K, ist genau dann

ale auch

Der F u n k t o r

eine A q u i v a l e n z - r e l a t i w ~ i n FX =

u

Damit wird P mum

~ : X

charakterisiert

einem E l e m e n t

so d e f i n i e r e n

> Ens.

Ein E l e m e n t

d u r c h das Urbild ~ - l u

Entsprechen-

X a Ens ordnen wir die Menge PX ihrer

Jeder Menge

zu. Ist

F einem F u n k t o r h K

1.2 ist eine ~quivalenz).

des gilt f~r k o n t r a v a r i a n t e 1.6 P o t e n z m e n g e .

Funktor

(trivialerweise).

Er wird

macht

F mum k o v a r i a n t e n

dargestellt A

Funktor

dutch den I d e n t i f i k a t i o n s -

> A/R

ist ein u n i v e r s e l l e s

1.8 T e n s o r p r o d u k t . B

Es seien

zwei Moduln.

FX die M e n g e

F~r

~

jede a b e l s c h e

der b i l i n e a r e n

position

mit H o m o m o r p h i s m e n

F

> Ens

: Ab

A |

, und

selles

E&ement

1.9 Freie

Menge. M

~

Er wird

> X

rianten

jedes

X e ~

durch

bezw.

Sind

: ~"

> Ens

die G e s a m t h e i t

IF,T]

> T

viel

den f r e i e n k[M].

Beispiels

betrachten~

sagen,

und

bezeichne

. > X

.

Kom-

Funktur

ist ein u n i v e r -

nicht

der Gruppen,

k-Algebren

und M eine

feste

durch

F zum k o v a -

die freie

von M

von M e r z e u g t e n

~-Modul

Ein u n i v e r s e l l e s

Element

gegeben. finden

Funktoren

- Der L e s e r wird

k~nnen.

Im a l l g e m e i n e n

ist

reicht

-

gleicher

aller natGrlichen

einmal

bezw.

aller Abbildungen

von ~ macht

dargestellt

die I n k l u s i o n

dieses

F

A

das T e n s o r p r o d u k t

, b)~--~ a | b

mit M o r p h i s m e n

Varianten

F,T

durch

sei FX die Menge

die P o l y n o m a l g e b r a

jeweils

A N B

sei ~ die K a t e g o r i e

Er wird

Gruppe

(a

X a Ab

F zum k o v a r i a n t e n

dargestellt

kommutativen

. Komposition

erzeugte bezw.

Es

Funktor.

Gruppe

Eins,

F(A ~B).

in

bezw.

F~r

Ring mit

Abbildungen macht

die A b b i l d u n g

Strukturen.

~-Moduln,

ein f e s t e r

Varianz,

so k a n n m a n

Transformationen

l~sst

sich

ob sie eine Menge

dar~ber

ist.

nicht

Es gilt

aber

der 1.10

SATZ

:

F

Wird

T : ~"

> Ens

> TK

eine Bi~ektion.

jedem mit

Transformation, Diese

Formel

an, wie ~u

= a

man ; man

also

durch

ihren Wert

ist

dar-

auf dem

~: ~x

F

voraussetzen.

bestimmtes > T

= ~(F~)

u =

n~mlich

a ~ TK

ein

~

Zu

~ : K

> X

eine n a t ~ r l i c h e (T~)~u

dass ~ durch ~u b e s t i m m t

zu g e g e b e n e n setzt

Transformationen^eines

T als k o v a r i a n t

jetzt

dann gilt

zeigt,

und

ist

es ein e i n d e u t i g

. Ist

dargestellt

u klassifiziert. Fund

gibt

(K,u)

= rK(U )

F werden

Wir k ~ n n e n

~ = (F|) u

dann

Die n a t ~ r l i c h e n

Element

~ ~ F X

durch

, ~(Z)

Funktors

universellen Beweis:

> Ens

beliebig,

IF , T]

stellbaren

:~

~

ist und

sie gibt

c IF , T] findet

mit

1.4

(l.ll)

:

a

Zu b e w e i s e n nat~rlich F~r

z

.

ist nur,

ist,

e FX

dass diese F u n k t i o n

also v e r t r ~ g l i c h

T : FX

mit M o r p h i s m e n

> TX a : X

>Y

gilt abet

(Ta)T ~ = (Ta)(T~)

a = T(~)

a ~

T F(a~)

u = T(Fe)(F~)

u

=

also w i r k l i c h

(Ta)~ = T(Fa)

Wenden wit diesen

, wie behauptet.

Satz auf die Beispiele

1.4 an,

so erhalten

jeweils

durch Kom-

wir das 1.12

KOROLLAR:

[h K, hL]

~.~ [L , K]

[h K, h L]

~'~ [K , L]

Die A b b i l d u n g

von rechts

position

~ a[L

Z.B.

mit

entsprechen

(s. Beispiel

nach links wird

, K]

~' ~ [K , L]

die n a t ~ r l i c h e n

1.6) u m k e h r b a r

2-Punktmenge.

bezw.

ge~eben.

Transformationen

eindeutig

Es gibt daher folgende

P

den T e i l m e n g e n 4 natGrliche

> P der

Transfor-

mationen

wobei

(~

wie ~ b l i c h

Die Beispiele nen,

Ist K ~ ~ ist~

(1.14)

1.9 liefern weitere

die wir dem Leser Gberlassen.

folgende 1.13

das Komplement

yon

~ ~ PX bezeichnet.

interessante Wichtiger

f~r uns ist der

Gesichtspunkt.

F 9 ~-

> Ens

ein Funktor~

dann wird F ~enau dann durch

dar~estellt t wenn F dem Funktor h K bezw. d.h. wenn es eine natGrliche

[K, X] ~

Illustratio-

FX

bezw.

[X , K ] ~

h K ~quivalent

Bi~ektion

FX

gibt. Eine

solche

Bijektion

ist n ~ m l i c h

nach 1.10,

1.11 immer von

.

1.5

der Porm

[~---~ (F~) a

mit

1.1 besagt,

dass dann F durch

un•

Element

Wit k~nnen also (wenn

F

K

a ~ FK

und die Definition

(K,a) dargestellt wird. Das

a E PK

ist das Bild von

id K e [ K

, K].

dutch die Gleichung (1.14) definieren

gegeben ist). NatGrlich mGssen wit uns jeweils ~ber-

zeugen, ob ein solches 0bjekt wenn es existiert,

K

Gberhaupt existiert, abet

ist es dutch die Gleichung 1.13 bis auf

Aquivalenz festgelegt. Wir illustrieren die Methode an einigen Beispielen. 1.15 Punkt und Copunkt. Element

Sei

I~

(n~mlich ~) besteht.

wit den Funktor die Menge

X ~ - @ ~

~ ~ ~

In jeder Kategorie betrachten,

?~

Morphismen,

,

cpt E ~

[cpt , X] =

die durch

der jedem Objekt X

pt

dutch

~

faktorisieren,

Z.B. besteht das Punktobjekt von einem Element,

k~nnen

Wit definieren nun das Punktobjekt

bezw. Copunktobjekt

[X , pt] =

~

zuordnet. Je nach Belieben ist er kovari-

ant oder kontravariant. pt ~ ~

die Menge, die nut aus einem

Ens

heissen konstant.

oder

Top

aus genau

das Copunktobjekt ist leer (= ~). In der Kate-

gorie der abelschen Gruppen

Ab

stimmen Punkt- und Copunkt-

objekt mit der O-Gruppe Gberein. Situation sagen wir

0 e ~

In Verallgemeinerung dieser

sei ein Nullobjekt, wenn es zu-

gleich Punkt- und Copunktobjekt ist. In

Ens

gibt es also

kein Nullobjekt. Besitzt

~

ein Nullobjekt

zwei 0bjekten der durch Sind

U

0

X,Y ~ ~

8> Z

, dann gibt es zwischen je

genau einen Morphismus

faktorisiert;

Y> X , Y

0 e ~

0xy : X

> Y,

er heisst Nvllmorphismus.

beliebige Morphismen,

dann ist

~ * O x Y~ y = 0UZ . Wir schreibe~ abkGrzend 0 statt 0xy. 1.16 Direkte S~mme t direktes Produkt. wird die direkte Summe wie folgt definiert

A U B

FGr je zwei 0bjekte A,B e

und das direkte Produkt

(wenn sie existieren)

A n B

1.6

[AuB , X] = [A , X] X [B , X] IX , AnB] = Ix , A] x Ix , B] Rechts

stehen

jeweils

Die u n i v e r s e l l e n Paare

i : A

bezw.

p : AnB

die gewGhnlichen

Elemente

sind

> AuB, > A,

Sie werden Gblicherweise

) B

Injektion

der Summanden

In den Kategorien

Ens,

Top hat n die Bedeutung

und u ist die disjunkte

Vereinigung

bezw.

bezw. Pro~ektion

des Gblichen

die topologische

Produkts, Summe.

G__rrder Gruppen • u das freie und n das ~bliche In Ab stimmen u und ~ mit der ~blichen direkten

Die direkte Summe bezw. Ob jekten A7 e ~ y ~ [UTE~Ay

> AuB

q : AnB

genannt.

Produkte.

jeweils

j : B

auf die Fm~ktoren

In der Kategorie direkte Produkt. Summe Gberein.

mengentheoretischen

, X] = ~ e ~ [ A y

Ix , f] rAy] = Er[X

das direkte Produkt yon beliebig vielen wird dutch

, X] ,

A?]

definiert. FGr jedes Ny ~Ay

A

ist

A ~ cpt = A = A n pt. Ferner

Uy ~ A y

= cpt

= pt.

> B Morphismen in 1.17 Pasersumme und -produkt. Sind A A u~B , und is = j~ .

I~

i : A

= ~

I

) AaU ~B ,

,

1.7 ~t

Dual dazu iet die Situation A a~ M < B . Man definiert Paserprodukt ( = pullback) A m,~,B durch IX , A ~ , ~ , B B

=

~ (~'

, ~') ~ IX , A ] X [ X

Das universelle Element ist ein Paar q : AaI~,B > B , und a'p = ~'q .

, BS

das

I a'~' = ~"F' ~ .

p : Aa,n~,B

> A ,

Statt Auu~B schreiben wir auch AauB oder A u M B , wenn die anderen Data sich aus dem Zusammenhang ergeben; entsprechend fur Aa,~,B 9 Ist

M

ein Copunkt,

direkte Summe,

dann reduziert

A Ucp t B = A U B.

sich die Fasersumme Dual dazu ist

auf die

A nptB = A~

B .

In der Kategorie Gr der Gruppen h e i s s t ~ A u M B Ublicherweise freies Produkt mit Amal~amierung. Iet M ( P ~ e i n e Easerung (in der Kategorie Top), dann beisst A ,~ B I ~ ~ A Ublicherweise die durch a' induzierte

Faeerung.

Fixiert man ein 0bjekt M a ~ , so kann man die Kategorie ~ M der 0bjekte Uber M betrachten. Die 0bjekte in ~ M sind Pfeile Y ~> M von ~ , die Morphismen yon ~ M sind Pfeile ?: y ~ yt ! mit ~'~ = ~ . Das direkte Produkt von A ~> M undd B ~ > M in dieser Kategorie ~ M stimmt mit A ~ M B ~ M Uberein. Entsprechendes gilt fur A ~ M B.

1.18 Kern, Cokern. hat man also diff. coker

Stimmen im Beispiel 1.17 die 0bjekte A und B Uberein, A ~ M , dann kann man den Differenz-Cokern / (ate))durch

[diff coker (at~)

, X] =

I~ ~ [A , XS

I ~a = ~

~ t

definieren. Ebenso im dualen Pall diff. ker (a',~'), durch [X , diff ker (a',~')]= In der Kategorie

Ens

~'

A ~

E [X , AS

M

den Differenz-Kern

I a'~' = ~' ~ ' ~

9

z.B. stimmt diff. ker mit der'Koinzidenz-

,

1.8

menge" Eberein. Besonders wichtig ist der Spezialfall, dass ~ bezw. ~' mit dem Nullmorphismus Gbereinstimmt (wenn ~ ein Nullobjekt besitzt). In diesem Fall spricht man einfach von Kern, ker(a'), und Cokern,

coker (a),

[eoker(a)

also

, xS = ~

[X , ker(~')]

: A

= ~',

>x

I.I

= o}

X

In der Kategorie Ab der abelschen Gruppen haben Kern und Cokern die ~bliche Bedeutung. In der Kategorie G__:r der Gruppen stimmt coker(a : M ) A) mit der F ~ k t o r g r u p p e A /:m~-C~ ~berein, wobei im a den vom Bild, im(a), erzeugten Hormalteiler bezeichnet. Ubungsaufgabe: auf Fasersumme

Man reduziere und -produkt.

die Begriffe

diff.coker und diff.ker

1.19 Limites. Ist I ein teilweise geordnetes System, so versteht man unter einem projektiven System in ~ eine Abbildung A , die jedem i E I ein 0bjekt A i ~ ~" und jeder Relation i ~ j i id und einen Morphismus A~ .- Ai---~A j zuordnet, so dass A = A A~i = A ki . Ein induktives System ist dual definiert; es stimmt mit einem projektiven System in ~ o p Gberein. In der Kategorie Ens sind projektive und induktive Limites, ~im bezw li~ , gel~ufige Begriffe. Sie werden durch folgende Funktorgleichungen auf beliebige

Kategorien Gbertragen

IX , ~im IAi,A~ ] : ~

[X , A i]

[li_~IAi,AJ I, X]

[A i , X]

= ~

Dabei ist A ein projektives bezw. induktives System; auf der rechten Seite stehen gew~hnliche projektive Limites von Mengen. Ein projektives (induktives) System A ist nichts anderes als ein kontravarianter (kovarianter) Funktor A : I > ~" , wobei

1.9

als Morphismen yon I gerade die Relation i > j werden. Dies legt es nahe, das teilweise geordnete

betrachtet System I

durch eine beliebige Kategorie ~ zu ersetzen. [KAN, Chap. II] Im Palle der Mengen ist ohne weiteres klar, wie damn der Limesbegriff zu verallgemeinern ist : ~im ist nach wie vor ein Teil des P r o d u k t s ~ . A ( j ) l~dr beliebige Kategorien ~ und beliebige Funktoren A ~ > setzt man

[X , ~im A] = ~im [X , A] [li~ A , X] = ~im [A , X] Man beachte,

dass

[X , A]

ein Funktor

~

> Ens

ist (f~r jedes X).

2.1

2.

Multiplikative

[Literatur:

2.1 DEFINITION:

varianter

Es sei

Funktor.

ECKMANN-HILTON

~ Ist

Strukturen.

(a)]

eine Kategorie, ~

V : ~

eine weitere

) Ens

ein ko-

und

K E~@,

Kategorie,

so verstehen wir unter einer V-Struktur in K einen kontravarianten Funktor ~ : ~ ) ~ so dass V ~ = h K , also

[x , K] = v ~ x

f~r-

~'~

ist. In allen folgenden Anwendungen ist die Kategorie der Monoide,

V

ein'~ergiss"-Funktor

der (abelschen)

und

Gruppen,der Mengen

mit Operatoren o.~. Da der Funktor V dann also durch T festl gelegt ist, sprechen wir besser yon einer ~ - S t r u k t u r (statt V-Struktur). Ein T - O b ~ e k t ist damn ein 0bjekt K E~- zusammen mit einer 9 -Struktur. Konkret bedeutet dies, dass in der Menge (Monoid-,

Gruppen-

...Struktur)

bezGglich der Variablen Ein

~-Morphismus

Morphismus, [x

, f]

9 [x

:

[X,

eine T - S t r u k t u r

eingef~hrt ist, die natGrlich ist

X a ~ .

f : K

) K'

zwischen

T-0bjekten

ist ein

so dass , K]

fGr jedes X die sagen

Ix , KS

fS

> [x

, K']

T-Struktur muss im

erh~lt. V-Bild

Stattdessen kann man auch von

[~X,

sein. Folgende Beispiele fur

T

werden vorkommen

~'xS

enthalten

2.2

2.2

~=

Ens,, punktierte

0bjekte.

Die 0bjekte von

mit a u s g e z e i c h n e t e m Element,

die M o r p h i s m e n

dieses Element

T-0bjekte

Die

erhalten. Die

T-Struktur

besteht darin,

sind Abbildungen,

h e i s s e n punktierte

hat.

Transformation

(s. 1.15) in IX , K] vergibt,

also

gibt,

so entspricht

4 :

d.h. ein punktiertes

einem Morphismus pt

~

> IX , K] ~

ein Punktobjekt

T: pt

pt

> K (s. 1.10),

Objekt ist dann einfach ein 0bjekt

men mit einem Morphismus

K

zusam-

> K.

Die p u n k t i e r t e n 0bjekte v o n 9 bezeichnen.

des Punktfunktors

I~l

darstellbar ist, d.h. wenn es in ~

0bjekte.

Stattdessen kann man auch sagen,

dass man sich eine natGrliche

~~

die

dass man in IX , K] in n a t ~ r l i c h e r

Weise einen Punkt ausgezeichnet

Wenn

Ens, sind M e n g e n

bilden eine Kategorie,

In den sp~teren A N w e n d u n g e n

( ~ 3 ff~

die wir mit

~.

werden wir auch

das Punktobjekt pt meist mit * bezeichnen. Ein copunktiertes

0bjekt in

Objekt in ~ op . Falls

~

ist nach D e f i n i t i o n

K

>cpt.

= Mul, Ob~ekte mit Multiplikation. Menge

M

meist

u(x

plikation,

die

f(x 9 y) = (fx).(fy)

die Mul-Objekte

(von~).

gibt;

: IX

, K]•

entsprechend

IX

, K]

~

existiert,

~~

> M ; man schreibt

gen~gen,

f : M

> M',

bilden eine Kate-

h e i s s e n 0b~ekte mit Multi-

h e i s s e n 0b~ekte mit Comultiplia

in K

besteht also darin,

dass

Transformation > IX

, K]

> [K , El.

das direkte Produkt

K nK

dann ist (nach 1.12) eine

ein Morphismus

~

in einer

f~r eine C o m u l t i p l i k a t i o n

v = v x : [K , X] x [K , X] Wenn in

yon

yon

Eine M u l t i p l i k a t i o n

man sich eine nat~rliche u = ux

u : Mx M

, y) = x 9 y . Die m u l t i p l i k a t i v e n A b b i l d u n g e n

eben Mul. Die Mul-0bjekte

kation

Eine M u l t i p l i k a t i o n

ist einfach eine A b b i l d u n g

also diejenigen, gorie,

ein punktiertes

einen Copunkt besitzt, handelt es sich

einfach um die Situation 2.3

9

u : KnK

> K

bezw.

bezw. die direkte Summe (Co-) M u l t i p l i k a t i o n v : E

) KuK

K u K

einfach

2.3

Ein m u l t i p l i k a t i v e r K,K'

f~hrt d e f i n i t i o n s g e m ~ s s

KnK

u

~=

f : K

> K'

zwischen Mul-Objekten

zu einem k o m m u t a t i v e n D i a g r a m m

>K

K'nK'

2.4

Morphismus

> K'

H, H - 0 b j e k t e ~ .......... ,

Eine p u n k t i e r t e

k a t i o n heisst H-Menge

(oder Monoid),

neutral

der M u l t i p l i k a t i o n ,

ist b e z G g l i e h

H - M e n g e n und ihre M o r ~ h i s m e n H-Struktur handelt und 2.3.

Falls

Morphismen

u

w e n n der G r u n d p u n k t

: KnK

bilden die K a t e g o r i e H. Bei einer

pt

> K

e a M

e -m = m -e = m . Die

es sich o f f e n b a r um eine K o m b i n a t i o n

K n K und

die E i g e n s c h a f t ,

Menge M mit M u l t i p l i -

existieren, und

yon 2.2

ist die H - S t r u k t u r

e : pt

> K

gegeben;

durch

sie h a b e n

dass die Z u s a m m e n s e t z u n g e n

pt~K K

KnK %

>K

Knpt

mit dem i d e n t i s c h e n M o r p h i s m u s H'-Strukturen Kategorie

2.5

v

: K

> K~K,

Inversem.

Entsprechendes

L : K

> K ; falls

dass das D i a g r a m m

K (id,L~ K n K

pt --~-@ K

fGr

in der dualen

sind a s s o z i a t i v e

H - M e n g e n mit

gilt dann fGr die G r u p p e n o b j e k t e .

ist eine n a t ~ r l i c h e

dingung,

das sind H - S t r u k t u r e n

Gruppen

Transformation

mit der e v i d e n t e n Bedingung. mus

entsprechend

~P.

9 = Gr, G r u p p e n o b j e k t e . Inverse

~bereinstimmen;

KnK

Ihr entspricht und

pt

~ : IX , K]

Das > IX , K]

n a c h 1.12 ein M o r p h i s -

existieren,

besagt

die Be-

2.4

kommutativ ist ("Rechtsinverses");

ebenso f~r (~, id)

Ein Cogruppenobjekt ist, wie zu erwarten,

statt (id ,L).

ein Gruppenobjekt der dualen

Kategorie. 2.6 Operation eines 0b~ekts

K

auf einen anderen

L.

Dieser Begriff

ordnet sich nicht unmittelbar der allgemeinen Definition 2.1 unter. Man kann 2.1 entsprechend erweitern, aber da wit es nur mit einem Beispiel zu tun haben werden, verzichten wir auf diese Erweiterung. Es sei

K

ein Gruppenobjekt in

Eine Rechts-0peration von

~=

~x : I x

, T,],~[X

die fGr jedes Gruppe

X

, K]

K

auf

> [X

L

L

ein beliebiges 0bjekt.

ist eine natGrliche Abbildung

, T,]

,

eine Rechts-Operation

Ix , K] auf der Menge

dann entspricht

~ und

IX , L]

~ einem Morphismus

(im ~blichen Sinne) der ist. Wenn

~ 9 L nK

Ln K

existiert,

> L , dessen Eigen-

schaften wir nicht ausdrGcklich formulieren. Dual dazu ist eine (Rechts-) Co-Operation ~,

9 IT, , x ] x [ K

definiert ~'

: L

, x]

> IT, , X]

( K ein Cogruppenobjekt); > Lu

K

ihr entspricht ein Morphismus

.

Als Beispiele seien erw~hnt die Gruppenobjekte in den Kategorien Ens, Gr, Top, Diff (= differenzierbare Mannigfaltigkeiten), (= algebraische Mannigfaltigkeiten). folge Gruppen, abelsche Gruppen,

Alg

Sie heissen in dieser Reihen-

topologische Gruppen, Lie-Gruppen,

algebraische Gruppen. Die Cogruppen in der Kategorie der kommutativen (graduierten) Algebren heissen Hopf-Algebren.

Die H~0bjekte

in der Kategorie

Ht~ (= Homotopieklassen stetiger Abbildungen)

heissen H-R~ume,

die H'-Objekte heissen H'-R~umeo Beispiele yon

H'-R~umen werden in 2.7 DEFINITION:

Es sei

@ 4 eingehend diskutiert. ~

eine Kategorie, welche einen Copunkt be-

sitzt und in welcher alle endlichen ~

direkten Summen existie-

ren. Ein kovarianter bezw. kontravarianter Funktor

T : ~

>

2.5

heisst additiv~ wenn er endliche direkte Summen in direkte Summen (bezw. direkte Produkte) ein Co-Punkt-

GberfGhrt;

(bezw. Punkt-)

insbesondere

Injektionen direkter Summanden, TK~
TK

X ~ ~

) [TX , TK]

$ KuK

(eine Cogruppenstruktur))

Tv : TK n TK Pfir ~edes

v : K

dann ist

T

)[TK,TX]

Abbildung. : TLnTK

) TL

~=e~)o

Der (leichte) Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe Wir stellen nun noch eine B e z i e h u n g

Gberlassen.

zwischen H- und H ' - O b j e k t e n her.

Zun~chst ein 2.9 LEMMA:

Es sei

u x : IX , L]~[X

L ~~

ein Ob~ekt mit M u l t i p l i k a t i o n

, L]

) IX , L]. Wenn

stimmt die A b b i l d u n ~ mit IX , L]x[Y

, L]x[X, ~x

Gberein.

UXu Y

Dabei ist

LIllY , ~ x

t

wit die M u l t i p l i k a t i o n (x , y).(x' Beweis:

, y ') =

Xu Y

: [XuY , L]X[XuY

, L] i d x t ~ i d , Ll~[Y

, L]

, y .y'

) [XuY , L]

, L~%-/~[x

der F~-ktoren.

generell mit einem

(x. x'

, ~[Y

Es genGgt,

IX , L],

diese K o m p o n e n t e n

, Ll

Bezeichnen

so lautet die B e h a u p t u n g

).

Beide A b b i l d u n g e n b e s t e h e n aus zwei Komponenten;

ist eine A b b i l d u n g in

d ann

>

, L~E~

die V e r t a u s c h u n g

existiert,

die erste

die zweite eine A b b i l d u n g in [Y , L].

zu vergleichen.

Die erste Komponente

2.6

von

Uxu Y

stimmt

die I n j e k t i o n

mit

[i , L] ~ U x u Y

bezeichnet.

[i , L] O U x u Y = Ux.([i

2.10

gerade

die

SATZ:

Es sei

(K , u) d a n n also

v K. W e n n

beiden

, L] x[ i

erste K o m p o n e n t e

. Wit haben und

Wegen

L ~ L

yon

auf den ~ o r p h i s m u s

und

und

v

S ei te

ist

davon

ein H ' - O b ~ e k t

[L , K], n g m l i c h dann

beide

kommutativ__und

: L

sind

stimmen

Wi r w e n d e n

) L uL

ist a b e r

wie b e h a u p t e t .

(L , v) in

u

> XuY

in uL

di es e assoziativ.

die N a t G r l i c h k e i t

an und

erhalten

ein kom-

Diagramm

[T, ~ T, , K ] ~, [ L ~ T, , K ]

(2.11)

L~',K]~,K]

> [T, , K] X [T, , K ]

UL~L

[T,-T,

von

existiert,

existiere~

LuL

i : X

(uXXUy).(idxt~id),

K, K

Nehmen

mutatives

Die r e c h t e

zwei H - S t r u k t u r e n

Beweis: u

, L]).

von

H-Strukturen_Gberein,

wenn

der N a t G r l i c h k e i t

ein H - O b ~ e k t

oder

w i r an

Gberein,

~

, K]

Wir schreiben

iv";E]

9

statt

u

und

>

+

UL

[T, , K ]

st at t

.

v. N a c h L e m m a

2.9 gilt

(x I , x 2) und (x~', x~) (x I , x2)'( ~' , x ~ ) = (Xl" ~ , x2"x~) fGr [L u L , K]. Die K o m m u t a t i v i t ~ t des D i a g r a m m s 2. 11 b e s a g t also aus (2.m2)

(x I .x~,) + (x 2 .~%,) = (x z + x 2 ) . ( x ~, + ~ ) Bezeichnen +

mit

a)

w i r das N e u t r a l e l e m e n t

O, so e r g i b t

x~

c)

x.y = (e + x ) - ( y

d)

= (x + e)-(e

9

mit

e, das b e z ~ g l i c h

sich nacheinander

e = e 9 e = (e + o).(o

b)

bez~glich

.

+ e) = e.O + O-e = 0 + 0 = 0

+ y) = x.e

+

e.y = x + y

+ e) = e-y + x.e = y + x = y . x

(x + y) + z = (x + y) + (0 + z) = (x + y ) . ( e =~x.e~+

(y-z)

+ z) = = x + (y + z)

2.7

2.13 Bemerkung:

Eine leichte A n a l y s e

auf f o l g e n d e m

einfachen Sachverhalt

Ist eine Men~e dass

u

Daraus

dass der v o r s t e h e n d e

beruht:

mit zwei H - S t r u k t u r e n > M

homomorph

dann ist

Im B e i s p i e l

u = u'

ist

Beweis

u, u'

versehen~

ist b e z G ~ l i c h

der

u'~u'

derart~ bezw.

und beide sind k o m m u t a t i v und asso-

M ~

[L

, K]

, u = u L , u' = v K .

folgt

2.14 SATZ: v

M

: MxM

u'-Struktur, ziativ.

zeigt,

Ist

: L

L e~

> L u L

v', v ' u v',

mit

zwei H ' - S t r u k t u r e n

ein H ' - M o r p h i s m u s

dann ist

v = v'

v, v'

bezG~lich

und beide

v e r s e h e n und ist

der S t r u k t u r e n

sind k o m m u t a t i v und asso-

ziativ. Als U b u n g Ist

L'

e m p f e h l e n wir dem Leser folgende K o n s e q u e n z ein H ' - O b j e k t

in der K a t e g o r i e

dann ist die S t r u k t u r von von

L'u L'

der H - O b j e k t e

k o m m u t a t i v und a s s o z i a t i v

sei n o c h f o l g e n d e r E i n d e u t i g k e i t s s a t z

F~r ~edes P a a r

H-Strukturen

m, n

X,Y ~ ~

seien in

H-Abbildun~en m = n

Zum Beweis

~,

(Existenz

eingef~Lhrt

sind. A u s s e r d e m

und beide

n

zwei n a t ~ r l i c h e

(m = n ist erlaubt). soll

X ~ X

oy

NatGrlichkeit

bezw.

stets

existieren.

Dann

sind k o m m u t a t i v und assoziativ.

b r a u c h t m a n nur v e r m ~ g e

und v e r m ~ g e

vermerkt

IX , Y]

b e d e u t e t t dass alle K o m p o s i t i o n s a b b i l d u n ~ e n ist

von

vorausgesetzt).

Schliesslich 2.15 SATZ:

L'

~'

von 2.14:

m

jedes Objekt als H - O b j e k t

jedes Objekt als H ' - O b j e k t

a u f z u f a s s e n und 2.10

anzuwenden. Als w e i t e r e A n w e n d u n g Eigenschaften -

von 2.10 ergeben sich z.B. die b e k a n n t e n

der H o m o t o p i e g r u p p e n

von H - R ~ u m e n

~STEENROD,

16.6

-

16.9].

2.16 U b u n g s a u f g a b e :

Ein Ring

~

kann als K a t e g o r i e

einem Objekt und den M o r p h i s m e n Komposition in ~ zeige,

fGr M o r p h i s m e n

k e~

sie nicht

Voraussetzung, GberflGssig

in 2.15

a u f g e f a s s t werden.

(in ~

Summen

existieren,

existieren

aus Als

Die A d d i t i o n +

wie in 2.15 beschrieben.

durch die M u l t i p l i k a t i o n

dass direkte

bestehend

dient die M u l t i p l i k a t i o n .

ist dann eine Z u s a t z s t r u k t u r dass

~

bestimmt

ist

Man ! Die

ist also nicht

sie nicht).

3.1

3.

Die Homotopieerweiterungseigenschaft

3.1 Wir wenden uns nun der Kategorie und

Htp

Top

(= HEE).

der stetigen Abbildungen

der Homotopieklassen stetiger Abbildungen zu. Letztere

ist bekanntlich eine Quotientenkategorie der ersteren; man erh~lt sie, indem man homotope Abbildungen identifiziert. Will man diese Betrachtungen einem allgemeinen Schema unterordnen, etwa yon der Funktion 0 ausgehen,

die jedem Paar

von stetigen Abbildungen die Menge @(f,g) fund und

so kann man

f,g : X

> Y

der Homotopien zwischen

g zuordnet. Man kann dann versuchen, Eigenschaften yon @

Top

als Axiome zu formulieren und darauf eine abstrakte Homoto-

pietheorie zu gr~nden. M~glicherweise nut Morphismen und Homotopien,

empfiehlt es sich auch, nicht

sondern auch Homotopien zwischen

Homotopien etc. zu betrachten. Man wird dann etwa darauf gef~hrt, eine Kategorie trachten, ordnet, :~x~

9

zusammen mit einer ~kmktion

die jedem Paar

so dass --@~

~ (X , Y) zu be-

X,Y a ~g eine semisimpliziale Menge zu-

IX , Y] = ~ o ( X

, Y). Genauer sollte

ein lhmktor in die Kategorie der semisimplizialen

Mengen sein, so dass

~- , -] = (0-Skelett).~

nicht in dieser abstrakten Weise vorgehen,

ist. Wir werden

aber immerhin versuchen,

die wichtigsten Definitionen und S~tze so zu formulieren,

dass sie

sich ohne Schwierigkeiten auf andere Situationen Gbertragen lassen. ~-,-I bezeichnet in diesem w stets die Menge der stetigen Abbildungen (also nicht etwa die Homotopieklassen). 3.2 Wie schon in 3.1 vorweggenommen, Menge aller Homotopien yon c [0 , 1] , so bezeichnet ~ ( ~ ) .

Sind

man ~ : f ~ g ~o = f , ~

f,g : X

X

bezeichnen wir mit

nach ~

: X

~ Y

Y . Ist > Y

~

@(X , Y)

a e(X , Y)

die

und

die Abbildung

stetige Abbildungen,

so schreibt

(lies " ~ ist eine Deformation von f in g"), falls

= g.

3.2

3.3 DEFINITION: i

Sei

i : A

) B

eine stetige Abbildung.

hat die H o m o t o p i e e r w e i t e r u n ~ s e i g e n s c h a f t

folgendes Gegeben

Wir sagen

(abgekGrzt

HEE),

wenn

gilt: 8 e [B , Y]

und d e e(A

, Y)

mit

d O = Boi,

dann existiert D E e(B

, Y)

mit

F~r A b b i l d u n g e n gebr~uchlich. Ist z.B.

B

Doi = d

(d.h.

und

Do = B .

mit der HEE ist auch die B e z e i c h n u n g

Der Quotient

B/iA

ein CW-Raum und


Dti = d t )

i : A

~berdies

kompakt,

die HEE;

dies

) B

heisst

A

dann besitzt

die Cofaser yon i.

ein CW-Unterraum,

die HEE

(HILTON,

VII,

jede injektive

ist ein Spezialfall

eines

Cofaserung

dann besitzt 1.4).

Ist

Abbildung

allgemeineren

A

A

) B

Satzes

(3.15)

Gber ANR-R~ume. 3.4 SATZ:

Sind

die HEE~ Dabei

B (i

dann auch

bezeichnet

Beweis:

Seien

stetige A b b i l d u n ~ e n

j : C BUAC

) BUAC

, Y]

der Fasersumme

Well

i

und besitzt

("induzierte

die in 1.17 definierte und

d a e(C

ist

Y1 i = T2 f ' Y2 = T j" Ferner

d'o = dof

und

f~ C

y a [BuAC

Nach D e f i n i t i o n und

A

Cofaserung").

Fasersumme.

, Y)

y = (T1,T2) ist

i

mit

d o = T J-

~ [B, Y]x[C

d' = d f E e(A

, Y]

, Y) und

y j f = T2 f = T1 i die HEE besitzt,

D'

o

TI

gibt

es

D'

~ e(B, Y)

mit D'i = d' = d f

"

Dann ist aber

D t = (D~

, dt)

eine H o m o t o p i e

mit

Do = y

und

Di = d . D i e s e r Beweis induzierte Argumente

Faserung dieses

3.9 Beispiel: ~: B

ist n a t ~ r l i c h

~ A

i : A

mit

~i ~ id

r : B

) A

der gleiche

(a), 4.3].

w , und die Liste

Besitzt

Retraktion

[DOLD

formal

~ B

Dasselbe

liesse

wie der f~r die gilt fGr die m e i s t e n

sich noch verl~ngern.

die HEE und ~ibt

dann ~ibt

, ri = id.

es sogar

es eine A b b i l d u n ~

eine zu

~ homotope

Beweis:

Sei

d E e(A

Nach Voraussetzung Dann

3.6

ist

SATZ:

r = D~

Gegeben

bildung

f

> B'

gibt

Deformationen

dti

= i,

B = B'

d~i'

3.7 K O R O L L A R :

A

die

d

= i'

steti~e

Di = d

, d i = id. und

D o = ~.

Retraktion.

. Ist

und f

eine

stetige

Ab-

eine H o m o t o p i e g q u i f-

: B'

: f f - ~ id,

> B

mit

und

f i' = i,

.

: es g i b t

dann

eine

Homotopiegquivalenz

A i ' > B'

eine

Cofaserun~ ist

A

und

ist

starkes

i'

Gberdies

Deformationsretrakt

B~ .

Der Beweis bereits

SATZ:

ngmlich yon

unter

3.6

nur ist

B = A dual

Voraussetzung

Besitzt

i : A

ist

B ~ B/iA.

Beweis:

sei

d

konstante

Es

: idA=

Abbildung.

Dann

formation

D'

: B

> B/iA

Deformation ( d e n n ~ D'i induziert

auf

i A

und

, d.h.

faktorisiert

id B ~ ~ = ~ ~

Definition

Deformation gilt,

3.3

ist

~

, B/iA)

= ~ d' = ~ i d);

Sie

sie

ist

der Satz

der H E E l e g t

also

> B

ebenfalls

= ~

dort

kann

gefGhrt

werden.

von

id A

in eine

Deformation sich

von

zu e i n e r D e -

~i = D~i

= c'

ist

die P r o j e k t i o n

mit

~ = ~

konstant daher

durch

bewiesen.

Begriff

. Die

auf

. Da a u s s e r d e m

den folgenden

er

zusammenziehbar~

durch

faktorisiert

idB/iA

HEE

l~sst

Wegen

: B/iA

Wie

A

eine

erweitern.

es g i b t

~ D T ~ e(B

eine

c' = i C.

~ = D~

ist

Deformation

d' = i d

zu s e t z e n .

6.1].

"schwachen"

eine

ist

f = i'

(a),

die H E E und

c

in die K o n s t a n t e

konstant

[DOLD

einer

i = id~i

: id B =

, i = id,

zu

> B

A ~ 0, d a n n

Die

mit

i ~ B'

d'

d o = ~i

.

Ist

Man braucht

3.8

mit

Abbildung

= id,

eine. H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z ~ d a n n yon

A

fi = i'

: f~f

, A)

gesuchte

B

mit

es eine

Worten

rel.

> A

D ~ e(B

Cofaserungen

~

In a n d e r e n

eine D e f o r m a t i o n

existiert : B

: B

valenz r dann

, A)

nahe

i A ~

und

5.4

3.9 DEPINITION:

FGr jede stetige A b b i l d u n g

wir einen t o p o l o g i s c h e n Raum (3.10) [ Z f ,

X] = I ( ~ , ~ ) e

[B,

Zf

f : A

> B

durch die F u n k t o r g l e i c h u n g

X]Xe(A,

X)j~o

= ~f

(Die rechte Seite ist ein F u n k t o r in X verm~ge von

~ t ~ mit A b b i l d u n g e n

X

[0 , ~ , l o g i s c h e n Summe (0 , a)

e [0

I

der Z u s a m m e n s e t z u n g

> X'). Eine explizite K o n s t r u k t i o n

(und damit ein Existenzbeweis) Zf = ([0 , l ] x A ) ~

definieren

ist g e g e b e n durch

B , d.i. die Fasersumme von

io(a ) = (0 , a). Sie entsteht aus der topo([0 , 1 ] X A ) ~ B dutch I d e n t i f i z i e r e n yon

, 1]~A

Ist insbesondere

mit

A = B

f(a)

und

e B.

f = id , dann ist

Zf = ZB = [0 , 1]XB;

dies folgt aus 3.10 oder der expliziten Konstruktion. FGr jedes

f

ist

~ = (id X f ) U f ~ B :

Zf

> ZB

eine stetige Abbil-

dung und die D e f i n i t i o n 3.3 besagt nichts anderes als 3.11 SATZ:


es zu jedem 3.12 KOROLLAR:

~:

i : A

Zi

> Y


) B ein

E : ZB

i : A

und findet E =~L .

E ~

3.13 KOROLLAR:

Besitzt ) A

sion und ist iA

i =

~>

mit

i : A

> B

y

iA

yon

gibt mit

E,i, = ~ .

hat genau dann die HEE r w e n n

besitzt~

die HEE,

also Zi Retrakt ist

so setzt man

~ = idzi

L ,i, = id, dann 8etzt man

die HEE, dann gibt es eine abgein

B

und eine stetige A b b i l d u n g

~i = id . Die A b b i l d u n g

ist Umgebungsretrakt.

ausserdem

Wenn

eine abgeschlossene

i B

ist also eine Inkluhausdorffsch

Abbildung

ist,

(insbesondere

iA).

Beweis: B

iA

i

L

= id. Ist u m g e k e h r t

schlossene U m g e b u n g : V

Hat

> Y

> B

: Zi > ZB ein Linksinverses von ZB , i ~ = id. Beweis des Korollars:

hat ~enau dann die HEE t w e n n

Sei

L : ZB

[0 , I]~B

i

> Zi

eine Retraktion.

) [0 , l ] X A ~ i B ~ [ I

Wir betrachten

, I]XA

>A

,

3.5

wobei

tlb = (1 , b)

, E(t

V = (L ~,)-I @[1 , 1 ] x A ~ , l ) 2 Retraktion. Wir k 6 n n e n 3.14 SATZ. r : ~(t

, b) ~ [0 , l]xB

Anschaulich ( r, b ) ~ @

gesprochen

, 1] ~ a u f liegen,

L.

A

mist

Sind

b)

und

> B

gibt mit den ~ A.

von A, und

ist eine D e f o r m a t i o n s r e t r a k t i o n

(innerhalb

B) derart,

dass Punkte,

beschreiben.

3.14 auch n o t w e n d i g

und

r

gegeben,

> [0 , l]xB

von die nahe bei

- Die Bemerkung, ist, v e r d a n k e

dass

ich

, b)

Zi = [0 , 1]~A

b]) f I l r ~

dass

> [0 , 1]~B wir

~(b)

> 1

- 2t(~b) 2 , b]) ft~r I ( Wb (- i 2 r[t(~b) ,

%/ (0~ X B

L 1 : [0 , 1]*B

dann d e f i n i e r e n t e [0 , 1 ] ~ .

wir

fur

sich sofort,

L : [0 , 1]•

dann d e f i n i e r e n

durch

(0 ~ r[2t(~b)

=

Man G b e r z e u g t

nenten

> [0 , ~

~ die E n t f e r n u n g

((i - 2Tb).t,

in

hat g e n a u dann die

-

[o , 1]xB

, b)

B

I t A

L ~4: V

Inklusion

es steti~e A b b i l d u n ~ e n

Ei6enschaften

A

dann ist

3.13 noch v e r f e i n e r n :

Eine a b ~ e s c h l o s s e n e

HEE~ wenn

Setzen wir

, a) = a .

L

ist.

eine R e t r a k t i o n

[0 , l]xB

Ist u m g e k s h r t

eine solche R e t r a k t i o n

> [0 , l]

yon

und

= 2"Max ~It

mit den K o m p o -

L 2 : [0 , 1]•

- Ll(t

, b)l

> B,

, wobei

1 Ist~).t > i ~ ( b ) , dann ist Ll(t , b) > 0 , also L2(t , b) e A . Weil A a b g s s c h l o s s s n ist, folgt L 2 ( ~ ( b ) , b ) e A , falls ~ ( b ) < ~. Wit kGnnen

daher

r = L 2 setzen. |

~Aus der C h a r a k t e r i s i e r u n g

3.14 ergibt sich unschwer der folgende

Satz von D.Puppe 3.14'

SATZ:

Besitzen

auch

iI 9 A 1

(ilxid , idxi2)

Beweisskizze: 3.14 fGr

und

i l, i 2

existieren. dass

~(b~)

~ i

durch

3.1~ Beispiel:

Sind

Beweis: Seien ~: U ) A , ~: nehmen,

~ : Bl~B 2

t ~(bv)

) [0 ,~@)

und r : [0 , 1]~BixB 2

kompakte Teile des

(also ANR)j dann hat

U , V Umgebungen von V ~ B Retraktionen.

dass alle Segmente

Wir setzen

alle ~ l) durch

) BlXB 2

(rl(t)~bl) , r2(t)b2) ).

i : A @ B

Um~ebungsretrakte

die nach

nach wie vor nur fGr

gilt. Nun definiere man

r(t, bl, b 2 ) =

die Abbildungen,

ist (nioht nut f~r

, b~) E A

~(b I , b2) = Min(~lb I , ~2b2)

die HEEI dann

) BlXB 2

r~, ~= l, 2 , s

r~(~b~

) B2

Dutch eine naheliegende M o d i f i k a t i o n

b ) ~ [0 , 1]xB~ definiert

wobei allerdings

i2 : A 2

9 AlWB2WBlXA2

Seien Tl' rl' ~2' r2

kann man erreichen, ( ~,

) B1

uj~u

~b = 2 od(b' A)

i

~

und sind beide

die HEE.

A , B und Wir k6nnen

, u aU,

in

V

U

so klein an-

enthalten sind.

, d : Abstand.

U,A) Ist

~b (_ 1 ,

dann ist

auf jeden Fall r(t

d(b

, A) ( d ( ~ -

U, A)

oder

b a A ,

b ~ U. Wir definieren dann

, b) =$'[b + t ( ~ b ~b

- b)S

, t < ~b ( 1 , und v e r i f i z i e r e n --

leicht

die V o r a u s s e t z u n g e n von 3.14. 3~16 SATZ:

FGr jede A b b i l d u n ~

i : B

) Zf

und

i~: A

f : A

) B

sind die Inklusionen

) Zf , i~a = (1 , a) c [0, l~A ~ Z f

Cofaserun~en. Beweis" ~(~,

Betrachten wir zun~chst

a) = 2 7 ,

und v e r i f i z i e r e n

r(t , b ) = b

f~r

i. Wit setzen

~I B = 0 ,

t a) b E B , r(t, (~,a)) = (T- ~ , ,

die V o r a u s s e t z u n g e n von 3.14. Mit

i I verf~hrt

,

3.7

man analog, 3.17 KOROLLAR:

wobei man

~ durch

1 -~

Jede steti~e A b b i l d u n g

ersetzt. > B

f : A

ist einer Cofaserung

homotopie~quivalent. Beweis:

Man betrachte

das Diagramm f

A

>B

zf

Darin

ist

ii

eine Cofaserung

(man ziehe die Segmente

und

[0 , 1]xa

i

eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z

von

[0 , 1]xA

auf

(0 , a ) = fa

zusammen). 3.18 DE~INITION: der

Z(f, g)

wiederum

(3.19)

eines Paares

durch

von A b b i l d u n g e n

wir den A b b i l d u n ~ s z y l i n B Cf

ist

dann heisst

f.

. In diesem Palle heisst A. Man erh~lt sie aus

~ A = Z ( * , *)

[0 , 1]~A,

die

indem man

jeweils zu einem Punkt i d e n t i f i z i e r t .

0 • A

Ihre P u n k t o r g l e i -

chung lautet (3.22)

[~ A, X] = ~ Alle

@(A

, X)

diese K o n s t r u k t i o n e n

rielle E i g e n s c h a f t e n ,

I ~ O konstant, ~ i Z(f

, g)

konstant

besitzen naheliegende

die w i t nicht a u s d r G c k l i c h

funkto-

formulieren

(ob-

w o h l wit einige davon s p ~ t e r b e n u t z e n werden). 3.23 N a c h 3.17 ist ~quivalent, nahe,

jede stetige A b b i l d u n g

n~mlich

der I n k l u s i o n

die C o f a s e r von

Cofaser

Zf/i~A

il

stimmt,

und die B e z e i c h n u n g

f : A ----> B

ii : A ~

einer C o f a s e r u n g

Zf. Es liegt daher

als C o f a s e r yon f zu bezeichnen. wie man leicht

sieht,

"Cf = Cofaser von f" wird

mit

Cf

Die

~berein,

durch f o l g e n d e n

Satz

gerechtfertigt 3.24 SATZ:

Ist

i : A

> B

eine Cofaserung,

eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z . ~ektion und Beweis:

*

=

lenz = b e s t e h t n a c h 3.8, 3.25 SATZ: A

f

9~dr ~ede A b b i l d u n g > B

~

~'

> Cf

> CL

homotopie~quivalent

zu

A

> E A

f

Dabei

> B

ist

L .> Cf

~

Dabei b e z e i c h n e t

die k o n s t a n t e

Ci = B u i CA

~

dann ist

Nullhomotopie

B u i CA/CA = B/iA

(~, 9 : Ci - - ~ B ~ A > B/iA

~ : B von

die Pro-

~i.

; die H o m o t o p i e ~ q u i v a -

denn CA = 0 . f : A 9 > B > CC

E B

ist die Fol~e

L > CL"

> ~. Cf

die P r o j e k t i o n - Cf - - - - ) C f / L B ~

>

...

> ....

A. p i e

zweite Folge

rGckt bei A n w e n d e n von ~ um drei S t e l l e n n a c h rechts.

3.9

Jede der beiden Folgen heisst Abbildun~sfolge von

f. Ein ausf~hrlicher

Die wesentlichen

Schritte

oder Puppe-Folge

Beweis von 3.25 findet sich bei [PUPPE]. (bis auf einige Vertr~glichkeiten)

er-

geben sich wie folgt: a)

C~ ~ Cf/~B = ~ A in M

b)

nach 3.24. Bei dieser Aquivalenz geht

Gber.

C U = C~/Cf = Cf u B CB/Cf = CB/B = ~ B; bei dieser ~quivalenz geht C in ~ f Gber. Daher ist C C ~ = C ~ f , und die fol-

genden Schritte ergeben sich (wegen der 3-er Periodizit~t) c)

U

aus

C ~ f = ~ C f . Dies ergibt sich aus der geometrischen Konstruktion yon

C

und

~

oder(instruktive~aus

3.26 Der Abbildungszylinder topieanalogen besitzen,

Z(f, g)

der Fasersumme

von

den Funktorgleichungen.

B ~f

A -~

B U A C ; wenn

dann kann man leicht beweisen

f

C und

ist das Homog

die HEE

(wie 3.24), dass

Z(f, g) ~ B u A C. Wit besprechen nun noch kurz das Homotopieanalogen T(f , g) des Differenzen-Cokerns (1.18) zweier Abbildungen A ~ B g

mit gleichem Start und Ziel. Wir definieren diesen

Abbildungstorus

(3.27)

durch die Punktorgleichung

[T(f,g), X] =~(~,~) ~ [B , X]XO(A , X) I ~o = ~f , ~ = Eine explizite Konstruktion

(3.28)

T(f, g) = B(f, g)U (i,)s

:, }

ist gegeben durch [0 , I]NA

,

d.i. die Fasersumme von B

A u A

Anschaulicher

(~o,L~~

[0 , 1]XA , ita = ( t , ~ .

entsteht

B ~ [0 , 1]~A, indem man

T(f, g)

aus der topologischen

(0, a) ~ [0 , 1]xA

mit

Summe

f(a) e B

und

(1, a) mit g(a) identifiziert. Ist f = g = id A , dann ist T(f, g) = S~XA ( S 9 die Kreislinie~ daher die Bezachnung Abbildungstorus.

4.1

4.

Die Rolle des Grundpunktes.

4.1 Betrachten wir anstelle von Top.

Top

und

Htp

die Kategorien

, Htp. der punktierten stetigen Abbildungen bezw. ihrer

Homotopieklassen, S~tzen des

so gndert sich an den Definitionen und

~ 3 nichts Wesentliches. Das ist von vornherein

zu erwarten, well diese Ergebnisse im Grunde formaler Art sind. Interessant sind aber die neuen Ph~nomene in

Htp.

insbesondere die Existenz zahlreicher Cogruppenobjekte rend

Htp

Sind mit

X , Y [X,

und

Top

ausser

~

,

(w~h-

keine Cogruppen besitzt~

punktierte topologische R~ume, so bezeichnen wit

Y], ~[X , Y],

IX,

Y]., ~ [ X ,

folge die Menge der Morphismen

X

Y].

in dieser Reihen-

> Y in Top, Htp, Top.,

Htp.. Analog bezeichnet

@(X , Y)~ die Menge der punktierten

Homotopien ~

, Y].

von

mit

~t E ~

Top. und Htp.

(also ein Punkt) wird mit

ebenso der Nullmorphismus Summe in

Top.

, 0 ~ t ! 1 . Das Nullobjekt

, Htp.

* - * -

X,Y

9 X

*

>Y

"

bezeichnet, Die direkte

entsteht aus der topologischen Summe

A U B, indem man die beiden Grundpunkte identifiziert; wird ~blicher-Weise mit

= A U B~* A = * B ~ Entsprechend fGr mehr Summanden. Anstatt "direkte Sum~i,e" sagen wit auch

V

bezeichnet,

also

sie

AvB

Bouquet.

4.2 Sin8 B Y'AvY'A

.

ist aber keine H'-Struktur

in

Top., weil

4.~

eben * ' ~ # ~ ' ~ ist. Die Homotopieklassen von ~.~ , ~ , ~ ' ~ jedoch sind gleich (wie man leicht sieht) und y ist mit der Homotopierelation vertr~glich, daher ist J

~ : ~[~'A , X].N ~[~'A , X]. ~(~,~)

= ~

>~[~'A , X],,

= Klasse von ~ . ~

eine H'-Struktur in

Htp..

Allgemeiner gilt

4.6 SATZ: p ist eine Gruppenstruktur, also eine Cogruppenstruktur in H t p . . Ist f tierte Abbildun~1 dann ist ~'f : ~'A > von Cogruppen r also Z' ein Funktor von der Cogruppen von H t p . .

w : ~'A > ~'Av~'A : A > B eine punk~'B eine Abbildun~ Top. in die Kategorie

Beweis: Die Punktorialit~t ist klar. Die Assoziativit~t folgt, weil ( ~ . ~ ) . y und ~-(~.~) sich nur durch eine Umparametrisierung des Einheitsintervalles [0 , l] unterscheiden. Das Inverse wird gegeben durch S - , wobei ~ = ~ l - t " Diese und einige der folgenden Beweise geh~ren zu den g~Lugigsten der Homotopietheorie [HILTON, Chap. II]; sie werden daher nicht genauer ausgef~hrt. 4.7 KOROLLAR: Die doppelte Einh~n~un~ ~'2A = ~'~'A Ist ein abelsches go~ruppenob~ekt, also ~[~'2A , X]. eine abelsche Gruppe. Beweis: In ~'~'A haben wir zwei Comultiplikationen, n~mlich ~'A und ~ A ) : ~'2A > ~'(~'Av~'A) = ~ ' 2 A v ~ ' 2 A , und ~(VA) ist eine H'-Abbildung, daher folgt die Behauptung aus 2.14 . Als Beispiel seien die klassischen Homotopiegruppen ~ 4 X = ~[S i, X]. genannt (HUREWICZ); man beachte, dass S i = ~'S i-1 = ~ ~ ist f~r i > 0 . Die Gruppen ~[~'A , X] wurden zum ersten Mal von M. BARRATT unter der Bezeichnung "track groups" systematisch untersucht. Relative Homotopie- oder Traokgruppen k~nnen analog in der Kate~orie der Paare punktierter R~ume behandelt werden. 4.8 Allgemeiner als die Comultiplikation in

~'A

kann man eine

4.4

Cooperation

yon ~'A auf dem Abbildungskegel In der Tat ist

definieren.

und wir kSnnen daher

~

wie folgt definieren

: [ C ' f , X].X[Z'A , X],

dabei ist

~'~

> [ C ' f , X].

wieder die Zusammensetzung

Gehen wir zu Homotopieklassen [c,f

,

, x].

~[C'f

, X].

: C'f

4.5 von Homotopien.

~ber, so wird daraus

'f

x].

~[Z'A

, X].

>

und es ist klar, dass die Gruppe rechts auf

C'f = C'(f~ A -~ B)

operiert;

9

verm~ge

von

anders gesagt

> C'fv~'A

ist eine Cooperation der Cogruppe ~'A auf C'f . - Ist dann reduziert sich C'f auf ~'A und ~ auf ~ . Die erste systematische Untersuchung von gef~lhrt.

B = * ,

~! wurde von PUPPE durch-

Wir kommen auf ~ und ~ und auf Exaktheitseigenschaften etwas allgemeinerem Rahmen zurGck.

in

w 5 in

4.9 Ein punktierter Raum A heisst wqhlpunktie~t, wenn die Inklusion i: * --> A die HEE besitzt. F~r wohlpunktierte R~ume wollen wit nun das Verh~ltnis yon wlr die Inklusion

~[A,X] Jl: A - - >

zu

~[A,X].

dlskutieren. Dazu betraohten

A v S 1 . Die 1-Sphare

S1

denken wir uns

aus [0,I] dutch ldentifizleren der Endpunkte entstanden; dann konnen wit die Inklusion J 2 : S 1 m > A v S 1 als De~ormatlon von JlOi: 9 ~ > A v S 1 auffassen. Well i die HEE besitzt, gibt es eine Homotopie D E ~(A,AvS l) mlt D i = J 2 llud D o = J l " Die Abbildung ~ = D1 [A,AvS1]. ist eine Cooperation der Cogruppe S 1 auf A ; ihr entspricht

(nach 1.12) eine naturliche Operation

~: ~[A,X],x~I X = ~[A,X],• ~[S1,X].

> ~[A,X].

, d . h . e i n e Operatlm der Ftm-

4.5

damentalgruppe Gegeben

~l x

f : A

aus

> X

~[A

und

, X]..

Explizit

a : [0 , 1]

.> X

sieht mit

~ so aus

:

a(O) = a(1) = * .

Man w~hle eine Homotopie ~ s @(A , X) mit ~ o = f und ~ t ( * ) = ~(t) (sie existiert wegen der HEE) und setze ~ (f ' a) = ~ l " Der Querstrich bezeichnet,

wie immer,

den Ubergang

zur Homotopieklasse.

4.10 SATZ: ~ ist eine nat~rliche Transformation (bezGglich X und bezf~glich w o h l p u n k t i e r t e r A's). I s t X bo~enweise zusammenh~n~end t dann induziert ~: ~[A , X]. > ~A , X~ (das Ignorieren des Grundpunktss)

eine Bi~ektion

die Menge Beweis:

der Bahnen

(orbits)

Wir Gbergehen

beliebig,

~:

~A

, X]~lX

von

den NatGrlichkeitsbeweis.

dann gibt es einen Weg

und

w : ~0 , 1]

~(fo)

~X

= ~(f~),

konstant

~

~l ~ ~[A

~ surjektiv.

Als Beispiel 4.11 SATZ: in

Ist

ist und daher

[vgl. SERRE,

ein bogenweise

Htp) T dann ist

~

~EA

A, B

zusammenh~n~ender Abbildungen y : A~B

mit > C

> X

mit ~

@(A

, X)

dass

~ auf den

Ist umgekehrt , X)

mit

ein geschlossener

Weg

, U]. = ~EA

, C]

Lemma,

wohlpunktierte

H-Raum und

a : A

H-Ra_um (ein H-Ob~ekt

fGr jede Wahl eines GrundRaum

A,

d.h. ~ C

das auch selbst~ndiges

Rgume r C

mit

~ I AvB C

> C, B : B ~

C

Inter-

stetige

= (~, B).

selbst wohlpunktiert,

ope-

ein bogenweise

a(*) = B(*). Dann gibt es eine A b b i l d u n g

(Ist insbesondere

mit

und

induziert. ~

w(o) = g(*),

@(A

, X~.

zusammenh~n~ender

Der Beweis beruht auf folgendem esse besitzt Es seien

g : A

IV, 31

punktes * ~ C und jeden w o h l p u n k t i e r t e n riert trivial auf ~ A , C]..

4.12 LEMMA:

Ist

"

sei erw~hnt C

steht

Es ist klar,

dann gibt es eine Homotopie

(~o' ~) = f~

; links

> X

~ o = fo ' ~I= f~ " Dann ist aber a(t) = ~t(*) und

, X]

eine Homotopie

~ t ( * ) = w(t). Dann ist

~(~l ) = ~ o = ~ ; also ist Bahnen von

a~A

~X.

w(1) = * . Wegen der HEE existiert ~o = g

~

dann gibt es eine

4.6

- zur A u s g a n g s m u l t i p l i k a t i o n

homotope

~:

= (id, id),

C•

., > C

mit

Wenn

C

~I

CvC

- Multiplikation also

eine H - S t r u k t u r

in,

op). B eweis:

ist

ein e c h t e s E i n ~ e l e l e m e n t

ist,

dann

hier

jedoch nut voraus,

g ibt mit Seien und

sei

a'

(s. 4.9)

: A

auf

aus

> C

dI

ist

bei der dl-T~ = ~v

ist

(~--)

d o : Av B

Weg; vw-

" Insbesondere besitzt

(a , ~)

v o n 4.11:

: [0 , 1] als A b b i l d u n g

d

dI

operiert

."

verm~ge ist

= e.B(b)

(dies

,

ist

mit

~(0)

der K r e i s l i n i e (~, B)

: AvS ~

eine H o m o t o p i e , also

= ~(1)

A•

auf

zu

,

d o , und

(3.14'),

~ , wi e b e h a u p t e t ~

ein g e s c h l o s s e n e r . Wi t b e t r a c h t e n

A X $~

, 1] - - @ C

~ ( ~ , ~) = ~ , wi e

a'

zeigt

die H E E hat

und

= a(*)

von

A x B, n ~ m l i c h

S * = [0 , 1 ] / ( 0 % > C

P:

auf

eine E r w e i t e r u n g > C

also

, C]..

zusammen

homotop

> AxB

a : A

*

ist

Beides

(a , ~)

AvB

beschreibt,

eine D e f o r m a t i o n also

bilden

I B , eine D e f o r m a t i o n

w w-

eine E r w e i t e r u n g

Gegeben

9 .> C

d

I B = ~ e ~[B

I A,

beschreibt,

selbst

auch

ist

von

besitzt

~t (*) = S(t)

= Wt(e),

~.(~-=)-l

(a, B) . B e i d e

von

den Weg

daher

. Weil

existiert

= B(*).

es eine D e f o r m a t i o n

mit

= ~ (~---)-l(~---) = ~ .

> C

sich

w(t)

wohlpunktiert

gibt

> C *

(a, b)~J~-~ a ' ( a ) . ~ ( b )

l ~sst

3.4),

W o B , gefolgt

I B, bei der

den W e g

, B) = ~l

Beweis

aus d er K l a s s e

Av B

= e

Wi t s e t z e n

e = ~(*)

= Vt(e),

~ ~l C

a(*)

: C --> C, V t : C --> C

= e.y,

d o ( a ) = ~'(a). e , do(b)

V o ~' , g e f o l g t

*

Weil

d I : AvB

einen nullhomotopen

~

Yt

v(t)

(~-=)-i

und

und

= Wl_t(*).

Ferner

in

Weiter

, C]..

mit

wit nun

ab. ~

und

der V o r a u s s e t z u n g

Vergleichen von

es H o m o t o p i e n

die W e g e

= w(1-t)

besitzt

eine E r w e i t e r u n g .

eine A b b i l d u n g

a ~ ~[A

dt(* ) =~-(t)

e

> C

> C

w-(t)

d t : AvB

in

dass

: [0 , 1]

ist

f olgt

, b) = ~ ( a ) . B ( b )

V o = id = V o , V 1 ( y ) = y.e, V ~ ( y )

v,w

dabei

y(a

e

= ~l~

behauptet.

B

. N a c h 4~

erweitern, mit

We g

~o

=

d.h. ~

es

= ~ '

4.7

4.13 Die S~tze 4.10 und 4.11 legen die folgende Definition nahe: Ein bogenweise

zusammenh~ngender

wenn ~ : ~[Y , B]. tierten Y .

punktierter Raum

> ~[Y , B]

B

heisst einfach,

bijektiv ist f~r alle wohlpunk-

Aus 4.10 folgt, dass jeder einfach zusammenhgngende (~ ~ B = ~ R a u m einfach ist, aus 4.11, dass jeder bogenweise zusammenhgngende H-Raum einfach ist. 4.14 SATZ:

Ein wohlpunktierter

i~ c E[B , B].

Raum

B

ist genau dann einfach, wenn

invariant ist bei der 0peration von

~l B

Dies folgt sofort aus der Nat~rlichkeit der Operation ~ (s. 4.9) und Satz 4.10 : Sind X f~ Y g) B punktierte Abbildungen, so besagt die Nat~rlichkeit det auf g = id B Behauptung.

folgt

~(g~,

y) = ~(~, T)@~ , y a ~l B . Angewen-

~(~, T) = ~(i-S, T)of , und daraus die

4.15 In den weiteren Paragraphen werden wir uns vor allem f~r

~[X , B].

interessieren, wenn X ein Polyeder (= CW-Raum) ist; besonders wichtig sind die Sphgren sn,n ~ o. Dies f~hrt zu folgender Definition : Ein bogenweise zusammenh~ngender punktierter Raum heisst n-einfach (n > o), wenn ~[S n, B]. = ~[S n, B] ist, also wenn ~iB t~ivial auf ~nB operiert. Attf den Grundpunkt kommt es dabei nioht an; ein CW-Raum X wird dutch jede Wahl yon . X wohlpunktiert.

5.1

5.

5.0 Es sei

W

Halbexakte Homotopiefunktoren.

die Kategorie der zusammenh~ngenden kompakten CW-R~ume

(= CW-Komplex$ und ihrer stetigen Abbildungen,

W.

die Kategorie

derselben R~ume und Abbildungen mit Grundpunkt. Die Kategorie der entsprechenden Homotopieklassen sei

HtW

bezw.

HtW,

. Lassen wir

allgemeiner (punktierte) R~ume zu, wenn sie nur vom Homotopietyp eines kompakten zusammenh~ngenden CW-Raumes sind (und nehmen wir wie vorher die - punktierten - Homotopieklassen als Morphismen), so erhalten wir eine ~quivalente Kategorie, Bezeichnung

HtW

den Grundpunkt

bezw.

HtW.

fGr die wir dieselbe

verwenden. Mit

(= Nullobjekt) in

W. , HtW.

*

, Ens.

bezeichnen wir und auch den

Nullmorphismus. F~r die Ergebnisse dieses Paragraphen 5 kann man ~brigens durch eine ganz beliebige Kategorie I v o n

W.

wohlpunktierten topolo-

gischen Rgumen ersetzen, wenn sie nur abgeschlossen ist bezGglich der Bildung von Abbildungskegel~,

-zylinder,

-torus. Erst ab

wird die Beschr~nkung auf CW-Rgume wesentlich. HtW

~7

- Die Kategorie

der endlichen CW-R~ume ist formal zu charakterisieren als

kleinste Unterkategorie von

Htp, die einen Punkt enth~lt und die

abgeschlossen ist bezUglich der Bildung von en@lichen direkten Summen und von Abbildungskegeln. 5.1 DEFINITION: t : W.

(vgl. E.H. BROWN,

> Ens

~l)

Ein kontravarianter ~unktor

heisst halb-exakt, wenn er den folgenden drei Be-

dingungen gen~gt

(h) d.h.

f =g t

-~

t f = tg,

ist homotopieinvariant,

W.

> HtW.

(a)

Sind

> Ens j, : X v

kann also in der Form

zerlegt werden. .> X l v X 2

,

~)=i,

2

,

die Inklusionen in das Bouquet (= direkte Summe), dann ist

5.2

(tJ I , tJ 2) : t ( X l v X 2) ~ d.h.

t

(e)

Sind

tXl~ tX 2 ,

ist additiv.

i~ : D

C> X

, ~=

l, 2 ,

das gleichbedeutend

mit Einbettungen;

j ~ : X~

die Inklusionen,

> Xl~X 2

(tJ 1 , tJ 2) : t ( X l ~ X 2) surjektiv,

> tXlX~

d.h. zu jedem Paar

existiert ein

u e t(XlU D X2)

von dieser Eigenschaft (tJl , tJ2 )

Cofaserungen

ist

dann ist tX 2 = tX l ~ t x mit

2

(t il)u I = (t i2)u 2

(t j~)u = u~ .

rGhrt die Bezeichnung

sogar bijektiv

W_.

vgl. 3.15), und sind

u~ e tX~ mit

(in

(fGr alle

"halb-exakt"

iv) , dann heisst

her. Ist t

exakt.

Ubrigens ist (tJl , tJ2) nach (a) immer dann bijektiv, wenn D nut aus einem Punkt besteht. - Statt (t~)u etc. schreiben wit auch

u I X~

etc. Die Bedingung

u I I Xlll x 2 = u 2 I Xln x 2 ~ 5.2 Ersetzt man

W.

(e) sagt also

3 u e t ( X l V X 2)

(h), (e) erf~llt, t(Vkx~)~

d.h. wenn

t

mit

u I x~ = u~ .

in 5.1 durch die Kategorie der zusammenh~ngenden

endlich-dimensionalen (statt kompakten) von einem halbexakten Funktor t : W_.

(A)

:

CW-Rgume, so spricht man > En__~s, wenn die Bedingungen

sowie die folgende Versch~rfung von (a)

~k t x ~ , streng additiv ist.

Diese Theorie verlguft ganz analog wie f~r kompakte CW-R~ume. Wit werden uns daher auf den kompakten ~all beschr~nken, aber immerhin an einer isolierten Stelle ( ~ 1 6 . 8 ) Ergebnisse der nichtkompakten Theorie benutzen.

Die meisten Beispiele

Ausdehnung auf den nicht-kompakten 5.3 Wenden wit 5.1(a) auf den Fall

(~ 6) haben eine

Pall.

X 1 = * = X2

an, so erhalten wit

5.3

t* = (t*)x(t*), Ist

t* = ~

also besteht

und

X E W.

eine A b b i l d u n g dlesem t*

trivialen

aus genau

induziert t

tX

t : ~.

und wenn die Cogruppe

dann operiert stets

die Gruppe

eine Gruppe;

dann co-operiert

auf

Insbesondere i

ist > 1

> 0, h e i s s e n

Ist

f : X

endlichen

Die Fol~e

t : H~W.

(d.h.

in Gruppen)

Y E HtW. tY .

cooperiert,

Z.B. ist

) Gr

> Y

--~Ens.

(abelsche)

t ~ X

ein gruppen-

eine Abbildung,

also operiert

(Urbild v o n . t ~ X

> C fv~X

(4.8)

auf

Die A b b i l d u n ~

zu unterscheiden.

) Y

eine Gruppe

t ~ X Ebenso

f~r

Gruppe.

f~r jedes

Diese Gruppen

des Funktors

Cf

3.25 von

wieder f

in

, d.h.

f~hrt

7 ~ t~X

t Si ,

zwischen

HtW. Wir k~nnen

anwenden.
tCf

tX ,

X

und -kegel). tS i

5.5 Die Puppe-Folge.

t

Ens.

auf der Menge

Cf

Einh~ngung

Abbildungszylinder

i

tX

~unktor.

~X

t*

dass

(n.b. Wegen 3.8 brauchen wit zwischen Einh~ngung

und r e d u z i e r t e r

und f~r

in

X r HtW.

allgemeiner

wertiger halbexakter t Cf.

Grundpunkt

t : HtW.

in (abelsche)

von

wir daher annehmen,

t. = . . Nach 2.8 f~hrt

Cogruppen-0bjekte

> X

Abgesehen

(h) k~nnen wir auch schreiben

Funktor

und

.

t* = *. Die A b b i l d u n g

ein ~unktor mit Werten Wegen

t X = ~.

(und werden) besteht

einem Element.

die Inklusion

> t* = ~, also ist

Fall k~nnen

> Ens..

(5.1a),

auf

, dann liefert

einem Element

5.4 Ein h a l b e x a k t e r

~ber,

aus h~chstens

daher einen n a t ~ r l i c h e n

ist sogar

~ber

t*

(tZ)7 = *'7 = ( t ~ ) ( . , u

5.4

~ber. bei

Zwei Elemente

t~

atb a

tC f

haben ~ e n a u

I wenn es einen Operator

Gberf~hrt~

y ~ t ~ X

dann dasselbe

Bild

~ibt I der

in

(vgl. PUPPE)

Aus

gekehrt

y a t Y

(tf)y = . , dann stimmen

Y ~ t Y = t([O Durchschnitt also auf

und

~f ~ .

, ~]xXUfY)

in

Cf

zusammen,

also

Dies beweist

1]xX/~l~xX ~ auf

5.1e

(tL)z = y .

die Exaktheit

exakt.

an der Stellen punktierten

Homotopietyp;

Die G r u p p e n e i g e n s c h a f t e n

t Cf

nachzupr~fen.

Dass

a, b ~

t Cf

Einschr~nkungen

dasselbe auf

bedeutet in

haben,

Y' = [0 , l ~ x u f Y

nach

Bild der k a n o n i s c h e n

(tL)-Bild

im(tr)).

indem man zwei Kegel

dass ihre Dies

(a,b) ~ t ( O f v C f )

CfUy,

Cf

1 , 1 ]XX~l ~~ X [~

CX=

es

an der Stelle

bedeutet,

r : CfvCf

Dieser Raum

5.4;

Gbereinstimmen.

5.1e und a, dass

Abbildung

die Folge

sind klar nach

bleiben also nur noch die O p e r a t o r e i g e n s c h a f t e n

(genauer:

dem

z ~ t Cf

sind naeh 3.25 vom gleichen

wiederum

= * . Ist um-

und

t Y . Alle anderen

ist also

(tf)(tL)

(s. Pigur),

I~IXX, G b e r e i n

zu einem Element

folgt . a t([ 1 ,

und

sich daher nach Axiom

Stelle

b

a.y = b .

Beweis:

setzen

a

im

> CfUy,

Cf

entsteht

aus

l~ngs

liegen Y'

~ll~x

an-

enthaltenen

Kegel

heftet. Identifiziert C~X

man den im linken Summan~.

zu einem Punkt,

Andererseits

ist

dann ~ndert

C f

sich der Homotopietyp

(C f Uy, Cf )/~ X -~ C f v ~ X

geht dabei

in

( i e ~

C fvC~-~CfV~

Inklusion,

~ die Cooperation).

aus allen Paaren

(~j r'T)

also auch gerade

die Paare

und die A b b i l d u n g

X

Das Bild bei

mit

nicht.

~ber

(is = linke

t(i~,~)

besteht

x E t Cf , y ~ t ~X.

(a , b)

mit

(tL)a = (t~)b

Dies

sind

, wie

behauptet. Die A b b i l d u n g lenz)

~

schliesslich

mit der P r o j e k t i o n

Letztere

faktorisiert

kann man

Cs

wie folgt

> Cf~,

(bis auf H o m o t o p i e ~ q u i v a = ~.X

identifizieren.

5.5

Wendet man darauf

t

an, so folgt

Aus 5.6 folgt insbesondere, bei der O p e r a t i o n t ~ f

: t ~ Y ~

Wie verh~lt =

t~

(tz)y

..T

=

.

dass die Isot[opiegruppe von

. e t Cf

gerade mit dem Bild von

t ~ X

Gbereinstimmt.

es sich mit den I s o t o p i e g r u p p e n

IT e t ~ X

I z,y = z}

der anderen Elemente

D a r ~ b e r geben die folgenden S~tze 5.7, 5.18,

z a t Cf ?

5.19 Auskunft.

(vgl. BROWN, 2.6 und E O K M A N N T H I L T O N (b), P~'e 3.9) 5.7 SATZ: Mit den B e z e i c h n u n g e n von 5.6 sei W f der reduzierte A b b i l d u n g s torus von 0fv~

X

Cfi~

Cfv~

X . Anders ausgedr~ck_t entsteht

d ~ n h e f t e n

von

([0 , 1]MCf)

(~0%wC~((~xCf)

verm~ge

J : Cfv~X

die Inklusionp

(5.8)

> Wf

im (tJ) = ~(z

( ~, il)

, T) e (t C ~

Wf

aus

l~ngs

. Bezeiohnet

dan~ ist

~X)1

z.y = z~.

D.H.~ betrachten wir im Bild von t J alle Elemente mit fester erster Komponente

z e t C f I dann durchl~uft

die Iso~opiegruppe

von

Beweis:

W f

Man kann

schreiben,

z . auch in der Form

wobei n a t ~ r l i e h I d e n t i f i k a t i o n e n wie oben v o r z u n e h m e n

sind. Die linke Klammer mit 1

C fv~

X

zusammen),

ist bezw.

die zweite Komponente gerade

~berein

K~

stimmt bis auf H o m o t o p i e g q u i v a l e n z

(zie~e

[0,

die rechte Klammer

Kl~K 2 ~Cfv0f (id , id)

Wann l~sst sich

K2

auf ist

0

und

[~,

l]

(~, i~)

: CfvCf

~ K2 .

(z , T) e t K 1

Genau dann (5.1 e) wenn es ein

auf

Wf

erweitern ?

u E t K2 = t Cf

gibt,

sodass

I K l n K 2 9 Nun ist aber

(z , T) I K l ~ K 2 = (z'T , z)

und

u

auf

--~'Cf , der Durchschnitt

und die Inklusionen sind

: C fvCf

u I K l n K 2 = (z , y)

~]

I K l ~ K 2 = (u , u)

; die

> K1

5.6

Bedingung

lautet also gerade

5.9 Wenn die Gruppe

t ~ X

z y = z , wie behauptet.

abelsch

ist, so h~lugt die Isotopiegruppe 4

~z ' z e t Cf , nur von y = (t~)z e t Y ab. Sie kann dann direkt als Funktion von y beschrieben werden. Diese Beschreibung (5.19) ist interessant,

erfordert

aber einige kompliziertere

U b e r l e g u n g e n und wird nur im einem Beispiel Der eilige Leser kann sie also Gbergehen. Zun~ch~ige von

Vorbetrachtungen.

A g-~ B

schreibt

(13.15,

13.16)

Der Abbildungstorus

sich in der Form

T(f

geometrische benutzt.

T(f , g)

, ~) = B(f,g)W([0,1]xA)

(s. 3.28); wir benutzen daher die"Koordinanten"

b e B

und

(t, a) e [0 , 1]KA zur Beschreibung selner Punkte. NatGrlich m G s s e n wir dann die Identifizierungen (0 , a) = f(a) , (I , a) = g(a), (t , .) = (0 , .) = * Wir k~nnen

f : X

beaohten.

> Y

als Cofaserung

voraussetzen,

und wit benutzen wie oben die Bezeiohnungen Wir definieren

X ~@ Y A> Of ~

nun

j : T(id~lid Y) = S ~ Y / s , ~ ( ~

> T($, iI) = W f ,

(5.1o) j(8 Weil Ebenso

, y) = (s

S~Y

[:yr

ist L~ C X ~

eine Inklusion, Wf

wo

fl Y = i~ I Y , ist dies eine Inklusion.

j' : T ( 0 X

(5.11)

,

X) = W(idx)

und

-- i m ( j ) v i m ( j ' ) ~ t%W(idv) = S ~ X

S~•

W(idx)

>Wf

also

X ( Y , ~ X .

5.7

Beachten wir noch,

Z

x

=

'

dass

-

W(idx) = T ( C X ~ C X v ~ X) mit homotopie~quivalent ist, so erhalten wit

wegen 5.1 e 5.12 LEF~KA :

Das Bild yon

aus denjenigen auf

t W f

)

> t(S~xY/s~

t(S*~Y/sg•

im Bild yon

> t(S~X/s~

auch sagen (5.13)

Elementen von

SI~X/s~

t ~ X

tj : t W f

)

) , deren Einschrgnkung

t ~ X = t(S~X/sgxx)

> t X

besteht gerade

liegt. Well

exakt ist, kann man stattdessen

: Die Folge

t~

) t(S4~Y/s~,~)

t(*,~> t X

ist exakt. Perner gilt 5 914 LEF~MA :

(5.15)

S~'•

Die zusammen~esetzten

•

Abbildun~en

idxf> S~ ~y/s~x~, ~

J ~Wf

und

P-. s ~ X/s~ vX

(5.16)

i2

) Cfv~, X

J > W f

sind homotop. Beweis: (5.15) ist die Inklusion. kann man s i e / ~ a c h 5.1~durch dann folgt die Behauptung

Anstatt durch S I ~ Y / s ~ , ~ W(idx) = ~ X faktorisieren;

5.17 LEMP~: In der Puppe-Fol~e der Inklusion X (~'~ S~xX/s~x~ stimmt der Abbildun~ske~el C(*,id) bis auf H o m o t o p i e ~ u i v a l e n z mit ~ X ~berein~ und die Operation von t ~ X auf tC(.,id) = t ~ X wird durch inhere Automorphismen

gegeben.

Die erste Behauptung folgt aus 3.24; fGr die zweite muss man auf die Definition der Operation zurGckgehen. Sie folgt dann ebenso

5.8

wie das klassische Ergebnis, das besagt, dass die Operation yon ~l x auf ~i x fGr i = 1 durch innere Automorphismen gegeben ist. 5.18 SATZ: Es sei z e t C f , y = (tk)z e t Y , die Isotropiegruppe von z und

Fy : {

I[t(..

iay)]

Dann haben die zusammen~esetzten @z

&z = {y e t ~. X I z-y = z

=,

Abbildungen

C t ~ X ~-@ t ( S I X X / s ~ •

und Fy C t(S'xY/s~{,~)

t(ic~f~ t ( S { x X / s g x ~ )

dasselbe Bild. Zwei Elemente von t ~ X (tp)-Bild r wenn sie konju~iert sind.

haben genau dann dasselbe

Identifiziert man Elemente in ~z ' wenn sie konjugiert sind in t ~ X , dann stimmt die so entstehende Menge ~z also mit t(idxf)(Fy) Gberein. Ist insbesondere t Z X abelsch, also ~z = Gz ' so folgt 5.19 KOROLLAR:

Ist

y ~ ker(tY

> tX)

und

Fy = { ~ t(S~• I t(.,id)~ = y}, dann fGhrt t(idxf) diese Nenge in (aber i.a. nicht auf) k e r ( t ( S ~ x X / s i ~ ~) > tX) ~ber. Ist t ~ X abelsch~ dann stimmt dieser K__ern mit t ~ X Gberein (naoh 5.17) und [t(idxf)](Fy) = ~z = Isotro~iegruppe von z ~ (tL) -1 N . Beweis von 5.18:

Wir betrachten

t(S~xY/s~ x

(5.2o)

[~) ~ tj .

das Diagramm

tW

f

t(idxf)

t(S~xX/s~x~,~) ~

t ZX ~

Wegen 5.14 ist es kommutativ. Fz = ~

~ ~ t W f ] (ti~)(tJ)~

t Cfvt Z X Ist = z~

, dann ist

5.9

(ti2)(tJ)Fz seits

ist

= @z

die I s o t r o p i e g r u p p e

(tj)F z = Fy

nach

5.12.

Wir d i s k u t i e r e n

nun kurz die Rolle

der h a l b e x a k t e n

Funktoren.

5.21 DEFINITION:

Ein Funktor

t'

wenn die Z u s a m m e n s e t z u n g U~gekehrt einfach,

heisst wenn

legen l~sst. Beziehung

t ~ = t(~-y)

f~r alle

dann heisst

t

Es sei

jetzt

, Y].

(5.24)

t

t(L.k)

auf

Funktor

in der Theorie

halb-exakt,

t : HtW.

t : HtW. dies,

, y ~ ~l Y

~ ~ ~n Y

wieder

L'k a ~[X

: tX~tS ~

,

---~ Ens

> HtW dass

) Ens

, y c ~l Y

zer-

t~ = t(~.7)

X, Y ~ ~ . .

X = Sn

ist.

Besteht

diese

, ist also

, Y ~ W.

,

beliebig,

Die O p e r a t i o n

y ~ ~Y

, Y ~ ~..

die O p e r a t i o n

, X~S~].

bezw.

der Summanden.

Anwen-

liefert

der Gruppe

t(~oy)

= t~

stets ~.y

~berein.

t(~,?)=

t S~

auf

t X

ist genau dann trivial

Insbesondere


t(~'~') = t ( L - k )


, X v S~].

t(L.~)

t(L.~)

L,~) X v S ~ (~'Y~ Y

LE~[X

> tX ,

Operation

= t~ ), wenn

X

die Behauptung.

halbexakt

f~r die n-Sphgre

X c ~.

t(Lo~)

Beweis:

. Anderer-

n-einfach

eine natGrliche 5.25 SATZ:

5.8

heisst

HtW.

~ ~[S ~, X v $I]. = ~l(X v S i) den yon

folgt

> Ens

Nach Satz 4.10 bedeutet

wenigstens

nach

des Grundpunktes

: HtW

ein h a l b e x a k t e r

~ ~ ~[X

z

Daraus

er sich in der Form

ist fGr alle

von

ist fGr alle ist

trivial

t

~

. (d.h. ~[X

, Y].

genau dann einfach~

,

wenn

ist.

stimmt mit der Z u s a m m e n s e t z u n g Daher ist

t(L) t ( ~ , y ) =

t[(~,y)~]

= t~ ,

wie behauptet. 5.26 Als A n w e n d u n g

b e w e i s e n wir nun noch,

dass

ein h a l b e x a k t e r

Funktor

t

5.10

mit M o n o i d s t r u k t u r struktur wobei

(= H-Struktur)

ist eine Zerlegung

H

wie in ( 2 ~

t(f

: X'

stets

die Inklusionen

homomorphismen

t(XvY)

5.27 SATZ:

des Axioms

Nach

betrachten

tXxtY

(5.1,a)

Funktor

C ' k ~. X x S

= (id,.)L

und

tc

im ~t(*,id)}

=

und

Insbeson-

) Xv Y

Monoid-

dass die B i j e k t i o n

ein M o n o i d i s o m o r p h i s m u s multipliziert.

mit M o n o i d s t r u k t u r

~l~ ~ tS ~

mit

dass

id X

(*,id)(c.k)

jedenfalls

gen aber das Monoid

auf

t(t.k)

bezw.

Gberein.

*

= (.,id)L

im ~t(id,.)~

ist einfach.

= tL

ist. Dazu

Gberein, . Also

= t X ~ ~l~

also

stimmen und

Diese beiden U n t e r m o n o i d e

tX x t S ~ = t ( X ~ S g ) ,

also

erzeu-

ist w i r k l i c h

= t L .

5.28 Wie sind halbexakte zu b e h a n d e l n CW-Rgume. O-Sphgren

~.

Man definiere

auf n i c h t - z u s a m m e n h ~ n g e n d e n

die Kategorie halbexakte

aller kompakter

Funktoren

man das A d d i v i t ~ t s a x i o m

~ : ~.

(a)

CW-R~umen

punktierter > Ens

wie

auf ein Bouquet

von

an, so findet man

~ E = [E , ~ s O ] . E ~ ~.

beliebiger

Funktoren

? Sei

in 5.1. Wendet

aus

t

ist.

X,Y

folgt,

ein Monoid

9 .,"

(id,*)(L.k)

falls

stets

und

wit die Z u s a m m e n s e t z u n g e n

(bis auf Homotopie)

(5.29)

sogar

es zu zeigen,

Sie stimmen

t(c.k)

(= Monoide)

tX

der Summanden

komponentenweise

5.25 genGgt

X

t(~.k)

dass

> tX, tY . Daraus

Jeder halbexakte

Beweis:

der H - M e n g e n

ein M o n o i d h o m o m o r p h i s m u s

dere i n d u z i e r e n

ist, wenn man in

t

einfach

ist. Dies bedeutet,

> X)

t(XvY)~tXxtY

ist. Eine M o n o i d Y in der Form W_. > H > Ens

die Kategorie

der V e r g i s s f u n k t o r und

von

stets

,

eine endliche

kompakter

punktierte

CW-Raum und

jeder,, B o g e n k o m p o n e n t e

Yk

Y/E = V k u k . Die Puppe-Folge

E ( Y

gerade

Menge

ist.

Sei nun

eine endliche

einen Punkt

der Inklusion

Merge,

enth~lt;

j : E ( Y

Y

ein die

dann ist

gibt eine

5 .II

exakte Folge 9 E ~. ~j Well

j

~Y
B

Homotopie~quivalenz

(Wenn

Eine E q u i v a l e n z

p : E

> B

F

werden kann

ein fester

(a) 5) besitzt.

bestimmte)

des Grundpunktes. nach DOLD

p : E

von

eben nicht

wenn sie die schwache

s. DOLD

auf H o m o t o p i e

rung.

besteht

sie i.a.

Wit b e t r a c h t e n schwache F a s e r u n ~ e n Grundfaser ~. : ~ ~ > p-l(.) .

schwache

,

der E q u i v a l e n z k l a s s e n

dass man die volle A u t o m o r p h i s m e n g r u p p e

Transformationsgruppe

E~ ~ E~,

X , dann erhalten wit wie in 6.2 einen halb-

t . Ungenau

formationsgruppe

Eine

Hom~omorphismus

> X~ ,

Umgebung l~sst.

r~

Sei

I Xv = i d

U

von

D

r : U ~D

,

r~

in

X l~X 2 ,

eine D e f o r m a -

I U - X~ =

r

I U - ~

6.4

Deformationsretraktionen.

Sind

p~ : E~

~ X v , ~ = 1,2 , schwache

Faserungen, die Gber D ~quivalent sind, sind auch die induzierten Faserungen (q~ : H ~ - - @ ~quivalent

Gber

U

X~U)

(wegen

: H

= r-l(p~

Pl

[ D ~ P2

: E~ ~

[ D , dann

X~)

U ~ D). Sei

> H

,

eine Faserhomotopie~quivalenz.

9 = q Wie in [DOLD (a), S. 233] betrachten

wir nun den Raum und er wird zum Raum ~ber

U

~:R

w(1) = ~ ( y ) ~ ;

verm6ge > U ,

~(y,w) = ql(y) = q2 w(0)

.

Wir haben H~ r R

verm6ge

y~-~(y

,~(y))

H~ r R

verm~ge

z~-~(~'(z)

und , ~z ) ;

dabei ist ~(y) als konstanter Weg aufzufassen, ~' : H~ ~ H~ ist homotopieinvers zu ~ , ~ : id = ~ ' ist eine Faserhomotopie, und ~ z ist der Deformationsweg, den z r H~ dabei beschreibt. Es ist klar, dass H~ ~aserdeformationsretrakt in R ist: man braucht nur jeden Weg w auf seinen Endpunkt zusammenzuziehen. Nach [DOLD (a), Lemma 3.4] ist aber auch trakt von R ~

H~

Faserdeformationsre-

Betrachten wir nun p : E

> XI~X 2

,

E = HI~H2~R

dabei ist zu beachten, Wegen

HN ~ R f o l g t

dass

,

P I H~ = q~

H~ ~ R = H~

p - l ( x p ~ u ) ~ H~

9

ist.

,

P

I R=

~ ;

6.5

Die Teile v o n ? ~ber I X~U I sind also faserhomotopie~quivalent zu schwachen Faserungen und daher selbst schwache Faserungen [DOLD

(a),

5.2]. Dann ist abet auch

p

eine schwache

Faserung,

denn ~ X v ~ U ] ist eine numerierbare Uberdeckung yon X l ~ X 2 [DOLD (~), 5.12] . Wegen p-l(xp) ~ q-f(X,) = E y haben wir damit Pl

und

Xl~X 2

P2

wie verlangt

zu einer schwachen

Faserung

p

~ber

zusammengefGgt.

Es bleibt

also nut noch das Axiom

(a) zu prUfen,

und zwar nur die

Injektivit~t. Es seien also p : E > X l v X 2 , p' : E' ---@ X l v X 2 schwache Faserungen, und ~: E > E' ~quivalenzen der Teile Gber X ~ , ~ = 1,2 . Wir haben

p ~ p'

zu zeigen.

Sei

Y2

der Raum,

der aus der topolo-

gischen Summe [0 , 1 ] u X 2 durch Identifizieren von 1 g [0 , 1] mit * g X 2 entsteht; Grundpunkt sei 0 e [0 , 1] c Y2 " Bilden wir [0 , 1] in den Grundpunkt ab, so erhalten wir Homotopie~quivalenzen f : Y2 ~ X2 und idvf : X l v Y 2 ~ XIV X2 " Da t ein Homotopiefunktor ist, genGgt es zu zeigen, dass die induzierten Faserungen Pid v f und P'id v f Gber X 1 V Y2 gquivalent sind. Beide sind trivial Gber [0 , 1] und die induzierte Equivalenz ~ id 2 v f hat die Form

2

id w f = i d x W

: [0 , I ] X

p-l(.

> [0 , l ] * p ' - l ( * )

)

, wobei

p-l(.) ~Y

Well die Grundfaser erh~lt, : [0 , 1Ix p-l(.) > p,-l(.)

gibt es eine Deformation von ~ I p-l(.) in ~ 2

Wir definieren

"\ p 'i d v f

nun

~:

Pidvf

I pildvf(Xy) = Tu , ~ ( t , ~ )

= (t,~t,x'))

wie folgt

fGr

:

(t ,~') a [0 , l ~ p - l ( * ) =

-i

= Pidvf Dies ist eine Faserhomotopie~quivalenz, jede Faser eine Homotopie~quivalenz Erg~nzend

sei noch folgendes

erw~hnt

ist. :

I m-l(.)

[o

'

i]

"

well die Beschr~hukung auf [DOLD,

c~)

6.3]

.

6.6

SATZ:

Jede schwache Paserung

B

p : E

ist einer Hurewicz-

Pas~run~ ~uivalentf t

Wir h~tten uns bei der Definition von

also auch auf Hurewicz-

Faserungen beschr~nken kSnnen. Beweis des Satzes:

Wie zu jeder stetigen Abbildung

p

gibt es ein

kommutatives Diagramm

E

fh E' B

in welchem

f

eine gew~hnliche

Hurewicz-Paserung ist nach

Homotopie~quivalenz und

(dual zu 3.17; s. CARTAN-SERRE,

Lemme 3). Nach [DOLD (a) 6.1] ist

f

p'

eine

construction

sogar eine Faserhomoto-

pie~quiyalenz. 6.6 Ist

h

eine

(aussergew~hnliche) Kohomologietheorie,

von kontravarianten Funktoren

h q : W.

also eine Folge

~ AG , die den Axiomen von

EILENBERG-STEENROD genGgen ausser evtl. dem Dimensionsaxiom, jeder einzelne der Funktoren exakt.

~q

(= reduzierte Kohomologie) halb-

In der Tat stimmt 5.1 (h) mit dem Eilenberg-Steenrod Axiom

5 c Gberein und (a), EILENBERG-STEENROD,

(e) folgen aus den anderen Axiomen wie in I, 15 ; wir werden sehen, dass man schon mit

erheblich schwgcheren Voraussetzungen auskommt sei noch, dass

~q-1

~qoz

logie; insbesondere 6.7 Ist

t Ens

~ Ens

dann ist auch

(s. 8.7). Hemerkt

gilt genau wie fGr gew~hnliche Kohomo-

~ - q = ~ o o Z q , q ~ 0 (Z = Einh~ngung)

ein halbexakter Funktor,

Homotopiefunktor, ~:

dann ist

~ : W.

~ W.

.

ein (kovarianter)

der Kofaserungen in Kofaserungen GberfGhrt und ein (kovarianter) Funktor, der Fasersummen erh~lt,

~ o t o ~

halbexakt

("die Zusammensetzung eines

halbexakten Funktors mit einem exakten Funktor ist halbexakt") Dies folgt leicht aus der Definition. ist das smash-Produkt

~X

= Xo~ X

insbesondere der Einh~ngungsfunktor santes Beispiel

~

Sind die Werte von

Beispiel eines l~mktors

mit einem festen E = Si ~.

X o r W. ,

Mir ist kein interes-

bekannt. t

.

abelsche Gruppen oder

P-Moduln,

also

6.7

t : W.

>F-Mod , dann k~nnen wir

t

mit elnem beliebigen

exakten

/

Funktor

g

:P-Mod

>F-'Mod zus-mmensetzen

NatUrlich kann man auch mehrere halbexakte Z.B. ist das Produkt yon halbexakten

~k

cJt t~

(z.B. 6" =

, F flach).

Funktoren kombinieren.

einer beliebigen

Funktoren wieder halbexakt;

|

Familie

(~tk)X-

~tk~ ~ c Jr

~k(tkX)

.

7.1

7.

7.1 SATZ:

[E.H. BROWN,

Transformation

(i)

V e r g l e i c h h a l b e x a k t e r Funktoren.

Ist

1.5].

dim X < n

(ii) Ist

~S j : tS j

~X : t X

> t'X

) t'S j

isomorph fGr

j > n

Sei nun

X e W_.

Xj

~>

A n w e n d e n von tS q-I < ta

xq-i ~

q

mit

X . Wir fGhren den Beweis von Wir erhalten a : ~ S q-I

X = X q aus ) X q-I eine

Ihre Puppefolge hat die Form

i> xq

> 7, xq-l.

~> ~ S q

ergibt ein kommutatives tX q-1 ~

t'Xq-1 ~ - -

Diagramm.

tX 1

und epimorph fGr

dim X t'

isomorph fGr

~X : tX

> t'X

fGr (i)

~quivalenz

> t'S j

dann ist

mit

Beweis:

~: t

zwischen h a l b e x a k t e n Funktoren.

~S j : tS j

j = n,

Es sei

t 7, X q-1

h

t'X Wa)

1 < q < n

q) = t ' ( X v ~ S

in 5.7 mit

5.7 g i b t

wir

Xl-U = x2 . Daraus

das E l e m e n t

u a ~ ? l ( u ') ,

Induktionsvoraussetzung),

= ~(Xl.U)

) X v ~ V S q-1

t'(Xv~VS weil

mit

t'X

5.6 ein O p e r a -

= x'. W i r h a b e n

~x 2 = ~'

nach

w ir n u n

also

~z, x'e

nach

I_2

wie gewILuscht.

k~nnen

~x I =

injektiv

multiplikation, Nach

und

= ( ~Xl)(~1~

u' = ~l u

= ~z.u'

= (t'i)~x I : (t'i)~x 2 =

~-l

x ' (~lu)

. W~hlen

gefunden,

der I n j e k t i v i t ~ t

ein O p e r a t o r

il,r

x'

existiert

(denn

z ~ tX,

. Die E l e m e n t e

daher

= x'

= ( ~ z).(~u)

x l, x 2 a tX

~_l(ti)xl

ment

(t'i)-Bild; ~z.u'

(ta)y = *

fGr ein g e e i g n e t e s

~_ly = (t'i)x'

mit

~(z-u)

x = z-u

Seien

=

= * , a ls o

=

weil

=

t VS q

=

kommutativ

=

x I

ist fGr

q

> 1), wie ge-

7.3

Zum Beweis des Teiles

(ii) benutzt man, dass yon einem n-zusammen-

h ~ n g e n d e n CW-Raum

(bis auf Homotopie~quivalenz)

kann, dass ~

X

X~ = *

ist. Man beginnt den Induktions-Beweis

dann mit

(statt mit l) und verf~hrt sonst wie in (i). - N a t G r l i c h kann man

die beiden ~glle 7.4 KOROLLAR:

(i) und

(ii) auch zusammenfassen.

~J.H.C. WHITEHEAD]

bildung zwischen (kompakten) ~jf : ~jY1

> ~jY2

epimorph fGr Beweis:

~=

gorie

W_~ f

Ist

) u

9 ~[-,YI] .

eine stetige Ab-

CW-Rgumen und ist

j ~ N = M a x ( d i m Yl' dim Y2)

j = N + 1 , dann ist ~[-,f].

f : Y1

zusammenh~ngenden

isomorph fGr

halbexakter Funktoren. ist

angenommen werden

f

eine Homotopie~quivalenz.

> ~[-,Y2] .

ist eine T r a n s f o r m a t i o n

Nach 7.1 ist sie eine Equivalenz

der CW-Rgume,

deren Dimension

eine H o m o t o p i e g q u i v a l e n z

nach

~.4~

N

in der Kate-

nicht Gbersteigt.

Also

8.1

Anwendung:

Halbexakte

Die folgenden

~w

Funktoren

t

der spgteren Paragraphen Ein Hauptergebnis

fGr Funktoren,

deren Koeffizienten

sind. Die Beweisidee

Komplikationen

empfohlen,

sich zun~chst

k~nnen

Struktur; w

t Sj

fGr

9 - lO ~ber-

ist der Einduutigkeitssatz

ist recht einfach,

technische

I~

des Isomorphie-

mit multiplikativer

gangen werden.

( ~ ,

mit Monoidstruktur

- l0 enthalten Anwendungen

satzes 7.1 auf Funktoren das Verstgndnis

t

10.7

rationale Vektorrgume sie wird

etwas verdeckt.

jedoch durch

Dem Leser wird daher

einmal mit dem entsprechenden

Satz

2.5, 2.6) f~r den einfacheren Pall der stabilen Funkto-

ren vertraut bereitende

zu machen.

Die

Betrachtungen,

w

die

8 - 9 enthalten vor allem vorjedoch auch selbst~ndiges

Inter-

esse haben.

8.1 Wir nehmen im ganzen gestatte

~ 8 an, der halbexakte

eine Multiplikation

als Funktor

t : HtW.

(~ H-Mengen,

Mon ~ H in 5 . ~ )

mit Eins

)Mon

Funktor

(s. 5.26),

in die Kategorie aufgefasst werden.

d~

t : H t W . - ~ Ens. er kann

der Monoide Explizit heisst

das, dass es eine natGrliche Multiplikation /%~X

: t Xxt

X

) t X

schreiben abk~rzend

Die Gruppenobjekte (vgl. 2.13).

mit

~(x,x')

in

Mon

~ x x'

~ x ~ ~(.,x)

insbesondere

H'~ HtW. ist

gibt. Wir

.

sind abelsche

F~r jede Cogruppe

abelsche Gruppe;

~(x,.)

t ~ Y

Gruppen bez~glich ist daher

t H'

~ eine

stets eine abelsche

,

8.2

Gruppe.

8.2

SATZ:

Ausserdem

(vgl.

JAMES

Translationen x ~

8.3

x a

gilt

(b),

mit

a

1.1).

, also

, bijektiv.

F~r

~edes

t X

> t X

Insbesondere

natGrliche

Linksinverse

KOROLLAR:

t X

und

ist g e n a u

a ~ t X ,

sind

x ~-)

besitzt

das

a x

die bezw.

Monoid

t X

Rechtsinverse.

dann

eine

Gruppe~

wenn

~

assoziativ

ist.

Beweis:

Die

Abbildung

~:

ist

eine

ist

X

> t X xt

Transformation

Sph~ren, also

t X~t

X = S i , ist

ist

~ immer

also

bijektiv

Element

x -1

fGr

* ~

(t f ) ( x

d.h.

x ~9

x -1

translation

und

jedes

x x -1 ~ .

Ist

gilt

f

x -1)

: Z =

und

Rechtstranslationen

F~r

jedes

b ~ M

hat

Die

, d.h.

ein

eine

(t f x)(t

ist

F~r

eine

Gruppe;

Linkstranslation gibt

eindeutig Abbildung

f x -1)

, also

- Entsprechend

y-~9

es g e n a u

,

(~ ~ - M e n g e )

M

bijektiv

sind,

bestimmtes in

~.

, dann

t f(x -1) ~

behandelt

Gleichung

'Cx ,

(tfx)-l;

man Rechts-

Cx , yx)

, in w e l c h e m heisst

die

.

Links-

Divisionsmonoid.

a x ~ b

xy

ein

verm~ge

)tX~tX

die

(x, xy)

Funktoren.

t Si

. Insbesondere

> X

Linksinverses

Ein Monoid

a,

x

~(x, y ) ~

denn

7.1.

ist n a t ~ r l i c h .

7' : t X ~ t X

8.4 D E F I N I T I O N :

nach

,

halbexakten

sie b i j e k t i v ,

bijektiv

mit

Rechtsinverses.

zwischen

X

bezw.

x a = b

8.3

genau

eine LSsung;

rechts

o d e r v o n links),

besagt, und

dass

t X

Schl~sse

8.~ SATZ:

Ist

d a n n sind

dividieren

ein D i v i s i o n s m o n o i d lassen

(von

D er Satz 8.2

ist.

Viele

Begriffe

sich auf D i v i s i o n s m o n o i d e

z.B.

auoh

> M'

ker(a)

Divisionsmonoide

gibt mit

eindeutig

die B e z e i c h n u n g .

der G r u p p e n t h e o r i e

a : M

genau

daher

stets

verallgemeinern,

haben

m a n k a n n also

=

ein H o m o m o r p h i s m u s {~ a M

I a(x)

(. = E i n s e l e m e n t ) .

dann dasselbe

Bild

von Divisionsmonoiden r

= . }

und

im(a)

Zwei E l e m e n t e

bei

a , wenn

( M'

x, y e M

es ein

a a ker(a)

x a = y .

Beweis:

Es ist klar,

zu p r G f e n

dass

ker(a)

und

im(a)

ist die D i v i s i o n s e i g e n s c h a f t .

Monoide

Zu jedem

sind;

x, y e M

gibt

3e~4~

es^ein

z e M

mit

x z = y . Sind

* = a(y)

= ~ ( x z) -- a(x)

besitzt

ker(a)

folgt

a(x)

schaft.

also

8.6 K O R O L L A R :

= a(y),

also

folgt

aus

a(z) = *

Ist

a(x) =

und

*

> M'

yon D i v i s i o n s m o n o i d e n eine A b b i l d u n 6

, also

besitzt

z e k e r a , so folgt

und u m g e k e h r t ist,

= a(z)

die D i v i s i o n s e i g e n s c h a f t .

a(z)

Ist

a(z)

x, y ~ ker(a),

a(y)

z e ker(~)

L> M

, dass

eine B i j e k t i o n l u n d

> M

,

~(z)

a(x)

a(z)

eine

exakte

= a(x),

= a(x)

.

~ > M"

> *

homomorph)

=

x, y

die D i v i s i o n s e i g e n -

und mit

ist ~'

dann ist : M" X M'

also

F~r b e l i e b i g e

= a(x z) = a(x)

und H o m o m o r p h i s m e n ~

(nicht n o t w e n d i ~

z e ker(a),

im(a)

a(y)

da nn folgt

(z,,').(

x,)

~'

Fo l6 e

: M" = id

) M ,

8 9162

) M'

M

,

x

ist linksinvers

Aus 8.5 folgt

alle

zu

in der Tat,

t : W.

)Mon

gekehrt

voraus,

heblioh

8.7 SA~Z:

M'

dass

~:

~x"~x M' ~

die Bijektivit~t

von

~

~-l(x '')

f~r

. Die z w e i t e B e h a u p -

durch Einsetzen.

Satz 8.2 besagt,

sind

x.(~' ~ x ) -1 E ker(~) ~

L .

x" ~ M", a l s o

tung folgt

noide

~

dass die Werte automatisch

Divisionsmonoide

dass die Werte von

(z.B. Gruppen),

einfacher

~:

dann l~sst

charakterisieren,

Ein k o n t r a v a r i a n t e r

dann h a l b e x a k t

eines h a l b e x a k t e n

als Funktor

Ens

sind.

Setzen wir um-

i) Mon

Divisionsmo-

sich die H a l b e x a k t h e i t

er-

nAmlich

Funktor in

W.

Funktoren

t : W_.

)Mon

ist genau

, wenn er den folgenden

Bedin-

gunmen genUgt

(d)

t X

ist stets

(h)

f ~g

(e')

Ist

: X

tp.

(p : X

Beweis:

) X'

i : A ( X

t(X/A)

Wenn

f

t

(d),

(h),

~

,

X 8 W.

.~ t f = t g

eine Cofaserung

t X ti~

~ X/A

(e') aus 5.6 und jetzt

ein D i v i s i o n s m o n o i d

t A

exakt,

d.h

die Pro~ektion)

halbexakt

ist,

(h) stimmt mit

W_. , dann ist

in

9

ker(ti)

,

.

dann folgt

(d) aus 8.2,

5.1 h ~berein.

(e') vorausgesetzt;

= im(tp)

wir m ~ s s e n

Umgekehrt

werde

5.1 a und

5.1 e

8.5

nachweisen. Setzen wir in (e') zun~chst exakte Polge dann

yon

t I.~ id) t~*~ id) t~*~,

(e') auf

t B

X ~ Av B

) t(AvB) AvB),

Der Nachweis

an,

also

t(A vB) ~

t A~t

B

Xr

k~nnen P' ~_P

I, 15.3,

(5)]. Gegeben

X~ ~ .

sind

das r-Skelett

annehmen, q

folgt

also

X p'q'

X pq ~ Xlv~.Durch doppelte wir Elemente

ist dann

Retrakt

ist

u pq a t X pq

X

bezeichnet;

aus

r X 2 . Aus

p q ~ dim X~ folgt p,q ~ 0

konstruieren

I xp~

, u~

und

u p-l'q

gesuchte E t X p-l'q

I xpq

= u 2 I x~

u~176~ u I I X l ~ X 2 ~ u 2 I X l ~ X 2 9 E r

p q )0

wir

I xpq ~ upq ~ uP'q+l

up o ~ Ul

mit

mit

(Xl X2)

X p~ ( X I , X ~

uP+l'q

u2 ~ t X2

xPq

von

X pq

mit

~vgl. E I L E N B E R G -

u E t ( X l V X2)

ist

u = u pq E t X pq ~ t ( X i ~ a s

Es seien also

A

u I ~ t X1,

Induktion nach

und mit dem I n d u k t i o n s a n f a n g insbesondere

. Wenden wir

(bei diesem Schluss wird

I X 2 ~ u 2 9 Wir setzen

wie ~blich

, q'(

(z.B. well

von 5.1 e ist etwas k o m p l i z i e r t e r

I XI ~ uI , u

wobei

*

dies ist 5.1 a.

u I I X l ~ x 2 = u 2 I X l ~ X 2 , gesucht u

t~*~

so erhalten wir eine exakte Folge

) t A , die zerf~llt

also

8.5 benutzt);

STEENROD,

A ~ X = * , dann erhalten wir eine

,

p,q ~ dim X~

Element. , uP'q-iE

t X p'q-I

P

uP-l'q

I xP-I'q-I

X pq ~ x P - l ' q v

~ up,q-i

( ~ S I)

9

, X p'q-I ~ x P - l ' q - l v

u p'q-I ~ (u p-l'q-l, v) , u p'q = (u p - l ' q , v )

I xp-l'q-I

v ~ t(~kS I)

setzen;

Ist

p = i , dann ist

(~kS I)

, also

, und wir k~nnen

dabei haben wir das bereits

bewiesene

8.6

Axiom

5.1 a benutzt.

Ist nun

p, q

Genauso

von

X1 - X2

eine anheftende kommutatives

wir, wenn

~ l, so bemerken wir zun~chst,

X p'q - X p-l'q = X p'q-1 ~e~

verfahren

- X p-l'q-1

besteht.

Abbildung

gerade

q = 1

ist.

dass

aus allen p-Zellen

Bezeichnet

~: ~ S p-1

f~r diese Zellen,

~ X p-1

so erhalten wir ein

Diagramm

(8.8)

t X p-l'q 4 tL

t Xp q

t( s p) t xP-I'q-I~ ---~ t X

Dabei

sind

L,L,,j, j,

durch A n w e n d e n 4: V~S p-1

von

t

R' = ~ : V~.S p - 1

Es folgt

(t~)u p-l'q

(t j)v

um einen Faktor aus t(~S~

mit

u pq ~ v.L(t~)w~

Zeilen

mit

~ (tj')(tL)v

u p'q-1

ker(tL')

sind

exakt

~ (tj')uP-l'q

unterscheiden

Axiom

.

= (tL')u p'q-1

sich also nur

(s. 8.5),

= u p'q-1

nach

(t ~') (t~)u p'q-1

(tt)v ~ u p-l'q

~ im(tZ')

~(tj)v~L(t~')w~

entsteht

von

(t~')(t j')u p-l'q

und

Zeile

genau so aus

. Die

v ~ t X pq

(tL')~(tj)vB

Die Elemente

wE

, die untere

) Xp - l ' q - 1

gibt es ein Element

die obere

auf die Puppe-Folge

) X p-l'q

(e'). Wegen

Inklusionen,

d.h.

. Setzen wir

, so folgt

(tL)uPq = ~ ( t L ) v ~ ( t ~ ) ( t ~ ) w ~

= (tL)v = u p-l'q

(t j)upq = E ( t j ) v ~ ( t j ) ~ t ~ ) W ~

~ u p'q-1 ,

mud

wie behauptet.

es gibt jetzt

8.7

Bemerkun~:

Die Monoidstruktur von

t

wurde im Beweis yon 8.6

nur indirekt benutzt. Was wirklich eingeht, Puppe-Folge,

8.9 SATZ:

so wie sie in 5.6 formuliert wurde.

Es seien

X, Y e

~.

und

XvY

die In~ektion bezw. die Projektion.

(8.10) *
XxY

) XvY

P) X ~ Y

= XWY/xvy

Die Folge

t(X~Y)

(

ist exakt und zerf~llt in natGrlicher Weise~ o, 9 : X •

ist die Exaktheit der

*

sind

die Pro~ektionen auf die beiden Summanden r

dann ist

j : tXxtY

= t(XvY)

rechtsinvers daraus

(8.11)

zu

> t(XxY)

ti , also

,

(ti)j = id. Insbesondere

Beweis:

t(X~Y)

~t(XxY)

(t i)j ( x , y )

,

(a,b)

rechtsinvers

zu

A~

(j a)[(tp)b]

.

I (t i)[(t ~ x ) ( t Z y ) ]

= [t(~ i)x][t(~ i)y] ~ [ ( x , * ) ] [ ( . , y ) =

auoh

er6ibt sich

(nach 8.6) sine nat~rliche Bijektion

t(XvY)x

j

j(x,y) = ( t a x ) ( t w y )

t i . Insbesondere

(x,y) , ist

ti

also wirklich surjektiv,

also

(t ~)i = t(~ i) . Weil

t(XvY)

B 1 , /~= 1 ... n , in die Summanden von

in die

(8.13)

B~Xl,...Xn)

t Br(Xl...Xn)

B1 = XlvX2v...

Nach

Dazu betrachtet

ergibt sich

haben.

wie in 8.9" man betrachtet : Bs

Anwendung

... x X n , die h~chstens

und besitzt

Ist n~Lmlich

ges

Als weitere

("fat wedge~'). Dabei bezeichnet

aller

~

dass es sich dabei i.a. nicht

sind 8.2,

8.5,

wie im Falle

t = ~[-,~K].)

8.6. Kombiniert

, so erhglt man die Zerfgllungsformel

= ~t(Br+l/B o

~n: X n

tX n , also

> X (n)

X (~)--~Q~X . induzleren

tx(n) C tX n .

Bewels. Wit betrachten das kommutative Diagramm t(xCn)/x (n-l))

,>

~ t (Xn/Bn_l) in welchem

~n-I

tX (n)

~>

~t~ n tp

>

tX n

~tg n-I ___, txn-1

das dlcke ~ouquet (8.12) bezeichnet. Die erste

Zeile ist exakt (die zweite nlcht~), t~ n-1

tX (n-l)

tp

Ist injektiv nach 8.13 ,

ist inJektlv nach Induktlon, und der linke vertikale Pfell

ist bijektiv, well

xnIB

~ x(n)/x (n-l) n-l ~ehauptung mlttels elnfacher DiagrammJagd.

Daraus erglbt sich die

8.10

Welche Elemente von

tX n

liegen in

Im(tX (n) --> tX n) ~ tX (n) ?

Dies ergibt sich rekursiv aus 8.16 SATZ.

Die Folge

9 --> tx (~) , t~-l, 1 > t(xCn'l) xX)

t(i•

> t(x(n.a)xx )

t( n-2,1,,)> ist exakt, d.h.

t~ n-l,l

ist injektiv und

im(t~ n-l'l) = ~zEt(x(n-l)xx) Dabei ist

I t(ixid)z = t(~n-2,1,.)z

~n'l'l([xl,... Xn_l],X) = [Xl,... Xn_l,X ]

i = Inklusion;

[ ]

bezeichnet die Xquivalenzklasse

und .

(NB. Die beiden rechten Abbildungen der Folge kSnnen rekursiv und wegen 8.13 als bekannt angesehen werden; damit ist also Terme

dutch

t(xk/Bk.1 ) , k(~ , ausgedrGckt.)

Beweis.

Die Zusammensetzung

tX (n)

ist injektiv (8.15), also auch aus

tX (n)

x(n-1)xX

(i•

t~ n-l'l > t(x(n-l)xx) --> tX n

t~ n-l'l.

dutch Identifizieren von

Xn_21,x)

Der Raum

X (n)

entsteht

([Xl,... Xn.2S,x )

=

mi~ ([xl,... Xn_2,x1,* )

(~n-2'l,*)([Xl,... Xn_2],x).

Anstatt diese l~mkte zu identifizieren,

k~nnen wit sie (bis auf Homotopieaquivalenz;

auch dutch eine Strecke

verbinden; diese Strecke mu~ abet zu einem Punkt entarten, wenn die beiden Punkte yon vornherein ubereinstimmen, Genauer bedeutet dies, da~ wir den Raum x(n-2)xXx[0,1]

[o,I] x(n) ~

A

d.h. wenn

x= *

ist .

bilden, der aus

entsteht, indem man Jede Strecke

([Xl,,, Xn_2J,*)•

zu einem Punkt identifiziert, und da~ dann (x(n-I)xx)VA

, wobei

A

l~ngs Dach- und GTundfl~che an

8.11

x(n-l)xx wird

anzuheften ist vermoge

(x(n-1)xX)/~A

=

genommen wahlt man fur 1/3 t I(X(n'2) V (X(n-2) }

t .h,12), injektlv ist, damn folgt

a = (%J)al, im(tJ). Die InJektivitat

wlederum ergibt slch mittels einfacher Diagrammjagd aus %(x(n-2)xX) < t i I

t{(x(n-2)xX)v (xCn-21xX)~ ~t (il, i 2 )

4[

t txCn-2) ~ ~ ~ xX )

l'

man benutzt, da B die erste Zeile exakt (8.7e') und da B t(*,proj.) injektiv [8.9) ist.

8.12

8.17 KOROI/J~. Element

Zu Jedem

x E tX

gibt es ~

z E tX (n), so dap Pk: X n --> X

dabei sind

~n: X n __> x(n) ~r

dieses

X

> Xn

z

(t~n)z

(tPl)X-(tP2)X....

ttPn)X

;

die verschiedenen ProJektionen,und

ist die Identifikationsabbildung; n~l . gilt nat~rlich

zIX = x

auf die Glelohung an).

t n)z

=

eln eindeutlg bestimmtes

(man ~mde eine Inklusion

Nennen wir also

= -]'/-k=l(tPk) n (zIX)

z E t X (n)

primltlv ,

ist, dann konnen wit das Korollar

auch so formulieren 8.18 Die Inklusion yon

tX (n)

X --2 X (n)

bi~ektiv auf

bildet die Menge der primitiven Elemente tX

ab ; hA1 .

F~r spater sei noch angemerkt, dab die inklusionen

X (m) --> X (n) ,

l~m~n , primitive Elemente in primitive Elemen%e uberfhhrem (offenbar) und daher naeh 8.18 die Untermengen der primitiven Elemente blJektiv abbilden. Der Beweis des ~orollars ergibt sich leich~ aus 8.16 dutch Induktion nach

n

(unter ~enutzung yon 8.9).

9.1

9.

Es sei

lhmktoren mit Monoidstruktur

T : Htp.

> Mon

mit Monoidstruktur.

ein kontravarianter

T braucht

(muss aber dem Axiom

h

Homotopiefunktor

(zun~chst) nicht halbexakt

gen~gen),

tegorie von R~umen mit Grundpunkt, lich der Produktbildung;

II.

und

Htp.

zu sein

ist irgendeine Ka-

die abgeschlossen ist bez~g-

die Morphismen sind punktierte Homotopie-

klassen.

9.1 DEPINITION: Dann ist

Sei

~[-, ~

Y

ein H-Raum mit Multiplikation

verm~ge

2" ein Homotopiefunktor

~ : Y• Y

> Y.

mit Monoidstruk-

tur. Wir k~nnen also in der Menge der natGrlichen Transformationen [x[-,y],~] ~ aussondern.

TY

(s. 1.10) die multiplikativen

Diese Elemente

y e

TY

heissen primitiv

Die Menge der primitiven Elemente werde mit Ein Element

9.2 SATZ: so ist (T~)y

Beweis:

X

Sind

TpY

y ~ T Y ist also genau dann primitiv,

~[X

fGr jedes

Transformationen

, Y]

> t X ,

~4~9

ein Monoidhomomorphismus

p~ : Y•

y e TY

(bez~glich/~).

bezeichnet. wenn

(t a)y

ist.

> y , ~ m l, 2,

die beiden Projektionen~

~enau dann primitiv r wenn

~ ~(T pl)y ~ 9 ~(T p2)y ~

Primitivit~t

gilt.

bedeutet,

nat~rlichen Transformationen

dass das folgende Diagramm von

kommutativ ist

9.2

7[[-,Yx Y] -- [[-,Y] X ,[-,Y]

Y x7

,L-

~[-,Y]

Nat~rliche Transformationen serem Falle

~ [ - , Y x Y])

> l'•

Y

>

"E

von darstellbaren

Funktoren

stimmen nach 1.10 genau dann ~berein,

wenn sie auf dem universellen Element

(hier

stimmen. Wenden wir das Diagramm auf

idy •

linke Weg

, der rechte

gsgen

~

>

das Element

I(rpl)y~.

9.3 DEFINITION:

I(Tp2)y~

(Z~)y

Ist

Y

CW-Raum,

so setzen wir

idy x Y)

an, so ergibt der

ein beliebiger

t : W.

> Men

Y

selbst kompakt,

varianter Homotopiefunktor

ein halbexakter

~

Ya

von

t

(a)

= t(x(J)xx (k))

hervorgeht. Iteration zelgt

t n)yn _(wo

Mn Xn

(tPl Yl . (tp2)yl .

> X (n)), d.h.

yn ~ tX (n)

.~

(tpn)y 1

ist primltiv im Sinne yon 8.18.

Die Umkehrung ist fast selbstverstandlioh, also ist dann prlmitiv (ira Sinne von 9.1), werm alle

y E ~ X (~)

Yn = YJ X(n)

genau

primitiv

sind (im Sinne yon 8.18). Da die primitiven Elemente bei allen Inklusionen

X C X (2) C X (3) C

...

biJektiv abgebildet werden

(vgl.8.18 und anschlie~ende Bemerkung), folgt die Behauptung aus der ersten Zimesformel 9.4 9 9.6 F ~

die Ergebnisse des folgenden Paragraphen ben~tigen wir auch

einige Eigenschaften von

~ K ( W , 2n+l)

wie ~blich einen Eilenberg-MacLane rationalen Zahlen,

n ~ 0 .

,

wobei

K ( @ , 2n+l)

Komplex bezeichnet,

Man konstruiert

K(@,

@ die

2n+l)

am

einfachsten als "Teleskop"

K = [0 , 1 ] X s2n+lu

(9.7)

Dabei ist

~t : s2n+l

und die Schreibweise mit

[1

,

2])~ s 2 n + l u

> S 2n+l

2n+l U %

dass

((,z) ~ [ ( - 1 , e ] X S 2n+l

zu idsntifiziersn

ist. Bei Beach-

tung dieser Identifikation kBnnen wir die Punkte aus dUrch swei Koordinaten

Das Teilteleskop Sphere Ke

k = e

> Ke+ 1

multipliziert

Eilenberg-MacLane folgt, dass

K~K(@

Insbesondere

ist

fGr

H2n+l K~ = Z

i = 2n+l

einen Isomorphismus sind primitiv,

beschreiben.

; die Inklusion

~ . Es folgt

die gleiche Homologie hat,

ist.

ein abelscher H-Raum.

t

sei ein halbexakter Funktor mit Monoid-

und teilbar,

Die Inklusion

~

und null sonst. Da der

K( @ , 2n+l)

, 2n+l) K

also

K

l~sst sich in die

ausserdem seien die abelschen Gruppen

torsionsfrei

K

z ~ S 2n+l

die Homologie mit

Komplex

Wir nehmen nun an,

9.8 SATZ:

und

Ks : I(k , z) I k ! ~

Hi K = li~ ~i Ks = @

struktur;

k ~ [0 ,~)

deformieren,

....

eine Abbildung vom Grad

9.7 bedeutet,

( ~ ,~(~)) ~ [ ~ , ( + l ] x S 2n+l

[2 , 3 ] •

also ~-Vektorr~ume.

S =I0~xS 2n+l

t Si , i > 0 ,

Dann gilt

> K = K(@,

2n+l)

induziert

K ( @ , 2n+l) ~ t S 2n+l. Alle Elemente von

%pK(~,

2n+l) = ~ K ( @ ,

2n+l)

.

9.S

Wegen

~[X , K] = H2n+l(x

mulieren:

kann man letzteres auch so for-

Alle K o h o m o l o g i e o p e r a t i o n e n

sind additiv

Beweis:

, W)

H2n+l(x

, @)

> t X

(= homomorph).

Die Inklusionen

Ke

der rationalen Kohomologie.

> Kf,~

induzieren Isomorphismen

Daraus folgt

(s. 13.6)

t Ke~ 4 ~ t K e , also

~ K = ~im t K e ~ t K e ~ t K o = t S 2n+l

Nun zur Primitivit~t.

Bekanntlich gibt es eine A b b i l d u n g

SX S

> S

vom Bigrad

eine A b b i l d u n g

(1, 2) (s. S T E S N R ~

: S~S-

> S

vom Bigrad

dann (nach homotoper Ab~nderung)

annehmen,

auf den beiden Summanden ~bereinstimmt, struktion ist Grad eine A b b i l d u n g Se•

a

> S(2)/S z S ~ S

: s (2)

) S ~ (S ~ S )

DimensionsgrLtnden in dung

~ : S (2)

nalen

(Ko-)Homologie,

t~ 8~

~ 2 ~ 0 . Wegen

des reduzierten Produktes

: s (2)

,

(~)

also

induziert

einfache halbexakte t Sj

t'S (2)

~ ;nach

Kon-

induziert

~i ~ ~2 (2) ~ : S

>S

.

dann ist

die sich aus

Isomorphismen der ratio-

~ t S (2) . Nat~rlich kennen wir schon aus Das Neue an dem jetzigen Beweis t

bei

~

nicht benutzt

t , wenn nur

isomorph abbildet),

wenn sie nicht multiplikativ von

~l z ~2

(s. 13.6 ff) auch

daher vertr~glich mit T r a n s f o r m a t i o n e n

t'S

dass

eine Abbildung,

ist, dass er die M o n o i d s t r u k t u r von

Koeffizienten

(2, 2); wit k~nnen

die Projektion;

eine derartige Aufspaltung.

f~r beliebige

also auch

S w ( S ~ S) deformieren l~sst. Diese Abbil-

~ Sv(S~S)

: t(Sv (S~S))

ZKu

.

2~ die

Die Aufspaltung ist ~ : t'

> t , auch

sind; insbesondere

in den Faktor

~

(er gilt

t S

geht der ~aktor

yon

t S (2)

~ber.

Speziell interessieren

wir uns fffr den Fall

t' X = IX , K ( ~ , 2n+l)] = H2n+l(x 9 a = (~ a)y , zeigen,

wobei

~

K

=

in den Faktor

Wegen

~ K 9 t S ,

(L,~)

~ t'(SvS)

wird

und die Transformation

festgew~hlt

ist. Wir haben zu

dass

( Lj L) ~ t' K X t '

bei

y ~ ~ K

; @)

t'(KVK)

~(KvK)

~(K~K)

von

~(KKK)

= t(S~S)

C t'(SwS)

(L = Inklusion

C t'(KXK)

bei

S ( K;

9

in

t(SvS)

~l

t ' ( S x S)

wissen

~l t' S C t S

8.16. Daher ist auch folgt

)

-3

) S (2) und

abgebildet

Diagr~mm

t S(2)

t ( S K S)

die Projektion

(t ~)~ S ) C t ( S v S )

~2(t' ~)L r t ( S v S )

~2(L,L ) ~ t ( S v S )

dass

der Beweis gilt jedoch fffr beliebige

t'(S (2)

~ : SK S

wird.

gen~gt es zu zeigen,

L ~ t' S). Dazu betrachten wir das kommutative

in welchem

abgebildet

, wie behauptet.

bezeichnet. , lstztsrss

. Wegen

Wir naoh

(t' ~)L = ( L ~ L )

lO.1

I0.

F u n k t o r e n mit M o n o i d s t r u k t u r

(III) und rationalen Koeffizienten.

Wit betrachten halbexakte M o n o i d f u n k t o r e n Koeffizienten

t Sj

teilbar und torsionsfrei

r~ume ~ber den rationalen Zahlen t : ~.

> Ens

10.2 Zun~chst noch eine Erg~nzung 9.7 ein Teleskop

=

> Mon

sind, also Vektor-

. Wir zeigen,

dass

Funktor durch seine K o e f f i z i e n t e n

ist nicht durch die K o e f f i z i e n t e n

zu Paragraph 9. Bilden wir wie in

[i , 2]x'S2nLJ?2 [2 , 3])~s2nIjq3

so erhalten wir einen CW-Raum

I

mit

Hi I =

@

f~r

und null sonst. Bilden wir dann das reduzierte Produkt Sinne von [JAMES a], so ist

H*(I (~ ; E )

H2n(I

H * ( K ( @ , 2n) ; Z )

;Z ) , also genau wie in einer U n b e s t i m m t e n

Eilenberg-MacLane Die Inklusionen k (_~

,

S~'e) Is

S 2n = S

~ = O, l,

Kohomologie;

Komplex,

...

nur

t .

(dieses Mal mit einer g e r a d - d i m e n s i o n a l e n

[0 , l ] ~ : s 2 n u q

@[u]

, deren

es gibt aber immer eine und (bis auf Equivalenz)

eine abelsche G r u p p e n s t r u k t u r f~r

I

@

als mengenwertiger

bestimmt ist. Die M o n o i d s t r u k t u r festgelegt,

t : W.

> I~

...

i=2n l@)im

die Tensoralgebra ~ber

u . Daher ist I (~) ~ K ( @ ,

Sphere)

2n)

ein Polynomring I ~@)

selbst ein

.

in die partiellen Teleskope

induzieren Isomorphismen der rati~nalen

ebenso die reduzierten Potenzen dieser Inklusionen

> --I) ~)

. Nach 13.6 ist dann auch

t --I~~) ~ t S ~'~

.

I0.2

Ubergang zum Limes ergibt

~ I (~) ~ ~ S (~) . Ebenso

I

.

Der Satz 9.5 impliziert

10.3 SATZ:

Die Inklusion

~p K ( @ ,

2n) ~ t S 2n

K( @ , 2n)

S 2n

Y

2n)

t S 2n .

die additiven Kohomologieoperationen

2n)~ = H2n(x

ein H-Raum,

induziert eine Bi~ektion

zwischen den primitiven Elementen yon

deutig den Elementen von

Ist

) K(@,

und allen Elementen yon

Mit anderen Worten: ~[X) K(~,

daher

, @)

~ t X

entsprechen umkehrbar ein-

t S 2n .

dann entsprechen die primitiven Elemente

IX , Y~

den natQrlichen Homomorphismen

verm~ge

~y[f] = (~ f)y . Wir w~hlen nun eine Vektorraum-Basis

Bn

t S n ~ ~p K ( @ ,

f~r

n)

~:

und f~hren in

Bn

nung ein. Dann definieren wir eine nat~rliche (i.a. kein Homomorphismus

(10.4)

) t X

ya~Y

~n

) t X

n)]

; fast alle

fb -- *)

auf den einzelnen Summanden homomorph,

nehmen,

~

= Ks b~B~

aber

~n

)

ist i.a. nur

nicht auf der ganzen Summe.

auf der rechten Seite ist in der Reihenfolge

die durch die Ordnung yon

schematisch:

~n ~fb~

die ~bliche direkte Summe (= Menge der B-Familien~

fb E ~X; K ( @ ,

Das Produkt

Transformation

!)

: b ~ B n IX ) K ( ~ ' n)]

Dabei ist ~

eine strenge Ord-

~

Bn

vorgeschrieben

[..-[ L-,-],-],--..-I-]

zu

ist;

9 Man muss beachten,

10.3

dass

t X

Wie die

i.a. weder kommutativ noch assoziativ ist. ~b

k~nnen wir nun auch die Abbildungen

s

zu einer

einzigen Abbildung

E : n

br

'

zusammensetzen.

n l

Setzen wit

~

= n~Ofn(~n )

ist sine Equivalenz.

X = S j , dann wird

IX , K ( @ ,

n)] =

@

f~r

und null sonst. Die Abbildung 10.5 reduziert sich also auf

~j : b ~ B j IS j, K ( @ ,

j)] = ~ b @

sche Gruppe ist und

~j

~j

> t X , ~(21,~2,...)

und es gilt

Die Transformation

Beweis: n = j

'

Diese Abbildung ist sine Transformation von halb-

exakten Funktoren,

10.6 SATZ:

K o

selbst homomorph.

ale Basis die durch i ~ ib : S j

> t S j . Da

Die links Seite b ~ Bj

~[S

j , K(@,

j)]

ist

besitzt

induzierten Inklusionen

b ~ (~ i)b

besondere bijektiv,

sine abel-

jeden Summanden homomorph abbildet,

> K ( @ , j), und die Abbildung

das Basiselement

t Sj

lj

~ber. Daher ist

also ist auch

~

f~[hrt ~j

ib

isomorph,

in ins-

bijektiv nach Satz 7.1 .

Betrachten wir zur Erl~uterung der Xquivalenz 10.5 noch den halbexakten ~hmktor t' X =

Dann ist

j

0

Hj(x

; t S j) =

t' Sn -- Hn(x

;@)@

j ~ > 0 HJ(x

;~)@(t

S j) "

t S n = t S n , besitzt also dieselbe

10.4

Vektorraumbasis Equivalenz

Bn

wie

t Sn . Also gibt es ~ a c h 10.6) eine

~' : ~ n > O { ~ b ~ B n [ X ,

(10.7)

t X

~

t'X

=

K ( @ ' n)] I =

~j>O

Hj(X

t X = [X , K ( ~ ,

es zeigt abet: zienten

2)XK(@,

dann sogar eine

4)]

(ein Gegenbeispiel

konstruiert werden),

Wenn ein halbexakter Funktor

t S j_ Moduln ~ber

@

also

; t S j)

Dies ist nat~rlich i.a. kein Homomorphismus kann mit

t' X ,

t ,dessen

Koeffi-

sind I eine Monoidstruktur besitzt~

@ -Vektorraum-Struktur.

Wir zeigen nun, dass dies die einzige abelsche Gruppenstruktur in t

ist.

10.8 SATZ:

Ist

t X

eine abelsche Gruppe

Satz abet auch f ~ d i v i d u e l l e bildung

t'

formulieren)~

X ; man kann den dann ist die Ab-

~ aus 10.6 ein Homomorphismus und unabh~ngi~ yon der

Wahl der geordneten Basen Ist

X

(fGr alle

Bn .

ein zweiter solcher Funktor und

~J : t S j --> t T S j

eine Polge von Homomorphismen I dann gibt es genau eine homomorphe nat~rliche Transformation

Beweis:

Wenn

t X

~ : t

> t'

mit

~(S j) = ~J .

eine abelsche Gruppe ist, dann ist

~ homo-

morph, weil die Beschr~nkung auf jeden Summanden homomorph ist. W~hlt man f~r

t Sn

eine andere Basis, so kann man mit Hilfe

der Transformationsmatrix die Unabh~ngigkeit v o n d e r sen. Es ist aber vielleicht interesaanter,

Basi~ bewei-

eine Definition von

E

I0.5

zu geben,

die ~berhaupt

keine Basis benutzt.

dass im abelschen Gruppenfall (Y ein H-Raum) Definition.

eine Untergruppe

P~r

isomorphismus

die primitiven

Y = K ( @ , n)

bilden;

Dazu bemerkt man, Elemente

~p Y

dies folgt sofort aus der

ergibt sich dann ein Gruppen-

~p K( @ , n) = t S n . Betrachten

wit nun die Ab-

bildung

~n

: IX , K ( ~ ,

n)])~p

Sie ist h o m o m o r p h

K(@,

n)

> t X ,

in der 2. Variablen

funktor ist, und sie ist h o m o m o r p h weil wir uns auf primitive also einen Homomorphismus

(10.9)

y , well

einstimmen.

Elemente

(i0.i0)

e

=

~en~

: ~n>

0

~

ein Gruppen-

beschr~Luken.

[f] ,

Sie induziert

des Tensorprodukts

leicht,

Daher stimmt

, y) ~ (~ f)y

in der 1. V a r i a b l e n

e n : [X , K ( @ , n)] @ t S n -----> t X

und man verifiziert

~n([f]

dass

en

,

und

en([f]@y)

s

= (~ f)y

(aus 10.4) ~ber-

~ mit

[X , K ( ~ ,

n)] | t S n

~ t X

~berein.

Aus der invarianten e

mit h o m o m o r p h e n

vertr~glich das Diagramm

Konstruktion nat~rlichen

ist, d.h.,

von

e

geht auch hervor,

dass

Traneformationen

~ : t' --@ t

dass f~r jede homomorphe

Transformation

,

9

10.6 e

[X , K ( @ , n)] | t Sn I~

(lo.n) ~[X

•

|

, K(@,

t X

~n

n)] @ t' S n

>

t' X

m

kommutativ Folge

•

( ~n =

~n : t S n

~(sn)).

> t' S n

Ist andererseits

eine beliebige

von Homomorphismen

gibt es ein eind~utig bestimmtes

~ ." t

gegeben,

> t' , welches

dann das

Diagramm 10.11 kommutativ macht.

F~r den zweiten Tell von 10.8 gen~gt es vorauszusetzen,

10.12 KOROLLAR:

t X

genauer

Sind

t,

t !

: W. --@A_~G

halbexakte

abelscher Gruppenstruktur I i s t

~J : t S j

eine Folge von Homomorphismen

und sind alle

torsionsfrei

(~

@-Vektorr~ume),

morphe nat~rliche

Beweis:

Aus 10.8 folgt zun~chst,

~ : t

X ~

> t'

teilbar und

mit

t' X

(t X)O @

ein halbexakter

seine Transformationen

in

eindeutig den Folgen

~(t s J ) - ~

die Behauptung.

t' S j

die Homomorphismen

(t X ) @ ~ t'

> t' S j , j > 0 ,

dass alle

eindeutig den Homomorphismen

Nun ist abet

Funktoren mit

dann ~ibt es genau eine homo-

Transformation

r~ume sind. Daher entsprechen umkehrbar

als abelsche Gruppe

~(S j) = ~J .

~-Vektort X

> t' X

> t' X . Funktor und

entsprechen nach 10.8 umkehrbar ) t' S ~

j>0

" Damit folgt

10.7

lO.13 Beispiel:

Die K o e f f i z i e n t e n der k e m p l e x e n K-Theorie,

t = Kc

(s. 6.3), haben nach einem bekannten Satz von Bott die Gestalt ~C s2j-1 = 0 ,

~C S2j ~ Z ,

einfachen Beweis] t' X = H2+(X

j > 0 Is. ATIYAH-BOTT,

f~r einen

. Setzen wir nun

; @) = i-~O H2i(x

; ~)

' dann ist

t' S 2j ~

es gibt nach lO.12 eine eindeutig bestimmte nat~rliche tion

ch ." ~c

> H2+( - , @ )

ch(S 2j) = Inklusion

: Z

@,

und

Transforma-

mit der Eigenschaft

> @ . Dieses

ch

ist der wohlbekannte

Chern-Charakter. Es erhebt sich die Frage, wie sich seine m u l t i p l i k a t i v e n Eigenschaften in die Theorie der h a l b e x a k t e n F u n k t o r e n einfGgen. r~ber geben die folgenden Abschnitte

lO.14 DEFINITION:

Es seien

mit Monoidstruktur. nat~rliche

r, s, t : W.

io.t~-fo,l~

>Mon

Ein ~usseres Produkt

Auskunft.

halbexakte

r~$

> t

Funktoren

ist eine

Transformation

7 z 7 X y : (r X ) X (s Y)

> t(X~Y)

die h o m o m o r p h ist in jeder V a r i a b l e n

,

("bilinear").

ein zweites solches Tripel mit ~usserem Produkt ~ : r

Da-

> rf , ~ : s

Transformationen, wenn das Diagramm

> s'

, T:

dann sagen wir

t

> t'

(~, ~, 7)

Ist

r', s', t'

T' , und sind

homomorphe nat~rliche sei produkttreu,

I0.8 Y

(r X ) X (s Y)

>

t(X~Y)

>

t'(X~Y)

(lO.15) yf (r' X) X (s' Y)

stets kommutativ ist. Aus einem ~usseren Produkt erh~lt man ein inneres Produkt indem man

X ~ Y

setzt und mit der Diagonale

Z~ : X (id,id); X X X

; X~X

zusammensetzt,

~ ~X : (r X ) X (s X) _19 t ( X ~ X )

UbunKsaufgabe: jektionen,

Sind

p : XxY

stimmt mit

~

also

t X .

> X ,

q : XxY

> Y

die Pro-

i : X v Y C X x Y , dann ist die Zussmmensetzung

X)X~ ~ (r p ) X (s q)) r ( X ~ Y ) X null, und

V

~(r y

s(X~Y)

p ) X (s q)] : ~ X ) ~

~

~ ) t(XXY) >

ker(t s ) ~

ti> t ( X v Y ) t(X~Y)

~berein. Man kann also das ~ussere aus dem inneren

Produkt zur~ckerhalten.

Das gel~ufigste Beis~iel f~r ein ~usseres Produkt ist das X-Produkt der (reduzierten) Kohomologie Hm(x ; A)X ~n(y ; B)

> Hm+n(x~Y

; A|

das zugeh~rige innere Produkt ist das V-Produkt.

;

In der K-Theorie

gewinn% man mit Hilfe des O-Produktes yon VektorbGndeln ein ~usseres Produkt, f~r dessert Definition wir auf [ATIYAH-HI,RZEBRUCH, 1] verweisen.

10.9

Der Chern-Charakter (~ = ~ = ~ =

Es seien

homomorphe toren

~- r

---@ t ,

y' : r ' • s' Gber

@

s.lO.8).

(r' si)w(s

f~r alle

s j)

i, j > 0

Beweis:

Gruppen)

~-

t

> t'

halbexakten

t'

im wesentlichen

yon

t'

rationale

ist

~

)

t S i+j

(~, ~,~)

~

> t'

t(si~s j )

si+J

ist. D.h.,

es gen~gt,

Produkttreue

zu verifizieren.

Wit fixieren

j > 0

und

b e s S j . Dann sind

t(X~S j )

r X

Punk-

mit ~usseren Produkten

> t' . ~ie Koeffizienten

(also

kommutativ

auf den Koeffizienten

> s'

wenn das Diagramm

S j)

,

~ 9 s

Unter diesen Voraussetzungen

genau dann produkttreuf

(r s i ) ~ ( s

dass man dies nur auf

Transformationenzwischen

(- abelsche

Kohomolo~ie;

ist produkttreu,

braucht.

> r'

~ AG

seien Vektorr~ume

'@ )

Satz zeigt,

zu verifizieren

nat~rliche

W.

y : r~s

> H2+(-

ch). Der folgende

den Koeffizienten

lO.16 SATZ:

KC

ch :

~b > (r X ) X (s S j)

s

t ' ( X ~ S j)

(r' x)x (s' sJ)

i0.i0

zwei homomorphe

nat~rliche

Transformationen,

zung auf den Koeffizienten

r Si ,

~bereinstimmen

> O,

i

die nach Voraussetund da-

her nach 10.12 ~berhaupt ~bereinstimmen. Dies gilt f~r alle den Paaren

b ~ s Sj

(X , S j)

also ist

produkttreu

(~, ~,~)

jedenfalls

auf

(d.h. lO.15 ist kommutativ f~r

diese Paare). Nun fixieren wir

X

und

a ~ r X

und finden wie eben, dass die

beiden Transformationen

t(x Y) s Y

a~

> (r X ) X (s Y)

Gbereinstimmen.

t'(X~Y)

Weil das fGr alle

a ~ r X

gilt,

folgt die Pro-

dukttreue.

lO.18 Bemerkung: ten

t Sj

Ein halbexakter Monoidfunktor nicht

teilbar und torsionsfrei

nicht als direktes scheint

jedoch,

Heidelberg),

Methoden folgendes Analogen

tionen

sind,

Funktoren

(i.a. nicht-homomorph)

Koeffizien-

l~sst sich i.a.

Produkt von Kohomologiegruppen

(Hoffmann,

Es gibt halbexakte

t ,dessen

schreiben.

Es

dass man mit den obigen

eines Satzes von Thom beweisen kann: u, ~
Ens

t : E-

t In] : W.

> Ens

, t[n]x = Im(tX n

> tX n-l)

t[n ] : W.

> Ens

, t[n]X = I 4 t ~ / x n )

Funktor~

, n > 0

und

Dabei bezeichnet

Xn

Bild der Abbildung Inklusion nen

das n-Skelett

in der Klammer.

der Skelette

(und wollen)

induziert.

wir voraussetzen,

Da

X

dass

X~ = ,

(beide auch P o s t n i k o v f a k t o r e n

~.

Im(

zusammenh~ngend

-faser von

betrachten

und

, n _> 0 .

)

das

Diese A b b i l d u n g wird dutch die

t In]

Etwas allgemeiner

tin ]

X E E.

Die Funktoren t

bezw.

yon

> t(X/X n-l))

ist, k~n-

ist.

heissen n-te Postnikovbasis

wit Paare

von

(X , A)

bezw.

t ). yon CW-Rgumen

aus

und setzen t[n](x

, A) = I m [ t ( x n ~ A)

t[n](X

, A) : Im[t(X/Xn~A )

> t(xn-lvA)]

,

> t(~/xn-lvA)]

,

n > 0 .

Dies sind dann H o m o t o p i e f u n k t o r e n auf Paaren (X , A) , mit Additivit~ts- und Exaktheitseigenschaften, die wir nicht ausdrGcklich formulieren.

Wir nennen

sie ebenfalls

Postnikov-Faktoren

von

t .

t ~ t[n ] sind funktoriell, d.h. natGrliche Transformatione~D___~ : ~ z w i s c h e n ' h a l b e x a k t e n Funktoren induzieren ~[n] : sin] > t L~J bezw. ~[n] : Sin] > t[n] mit den E i g e n s c h a f t e n Die Zuordnungen

(~)[n]

t~

= ~[n]~[n]

t In]

und

bezw.

id[n] = id

(ebenso fGr

~[n]).

ii .2

Beweis: Wir schreiben abkGrzend X An = x n v A und X nA = X / x n ~ A 9 Ist f : (X , A) ) (Y , B) eine stetige Abbildung, dann gibt es eine homotope f zX~ ( Y ~ ) .

zellul~re Wend en wir

Abbildung t

fz : (X , A)

.) (Y , B)

auf das kommutative

(also

Diagramm

fn+l z > vn+l ~B

xn+l A

t n XA

n

) YB

fn Z

an, so ergibt sich t f nz

: I m ( t Y n+l B

Diese Abbildung natGrlich abh~ngt.

> t yB~

bezeichnen

> I m ( t k ~ +l

wir mit

mUssen wir zeigen,

tCn+l]f

) tX

) .

: tCn+lB(y,B)

dass sie nur von

f

--> t[n+l](x,A~

nicht von

fz

Ist f = g : (X , A) > (Y , B) , dann auch fz ~ gz ' und wit k~nnen sogar eine zellul~re Homotopie @ : fz ~ gz finden, also vn+l @(X x CO , 11) ( ~B . Dann sind also auch die beiden Zusammensetzungen n

n

n fz'gz) n XA YB homotop,

also

vn+l ) ~B

t f zn I t Cn+l~(Y I

t~n+l~f = tCn+l~g ist (man setze

' B) = t g ~ I tCn+l~( Y ' B) , also _

J

. Damit ist gezeigt,

dass

g = f), und gleichzeitig

t~n+l]f

wohldefiniert

ist das H o m o t o p i e a x i o m

5.1 (h) nachgewiesen. Wir ~berlassen es dem Leser, die Punktoreigenschaften und das A d d i t i v i t ~ t s a x i o m 5.1 (a) fGr t Cn+l~ nachzuprGfen; beide sind fast selbstverst~ndlich. Das Axiom (e) kostet etwas mehr Arbeit. Gegeben X l v X 2 = X und zwei Elemente v~ ~ t X ~ +l , ~ = 1,2 , deren Bilder bei t X n+l Ln+l ) tX n - ~ t(X~X~) ~bsreinstimmeno Gesucht ist n+l v ~ tX , das sich bei

11.5 .n

tX n+l

~n) t X n ~ @

tX~

in

L~vp abbildet.

Das folgende Diagramm soll den Beweis illustrieren: tX n+l I t~n+ll n

Ix#)

>

t Xn

.n+l J~

I

t X n +I

L#. >

II

~l~n+l n+l ~i ~ X2 )

)

.n J~

t Xn

ql :

x +i^ x !i t( n ~l ~

L~ >

> t

(X~nX~)

~

tC~s n)

X~

>$$ , also Die Elemente v ~ e t X #n+l haben dasselbe Bild bei auch bei $i ) . Die Zeilen (insbesondere die untere) sind partielle Puppe-Folgen (der anheftenden Abbildung VS n > X ~ n X n2 f~r die ~+l)-Zellen). Daher gibt es einen Operator +l x~+l w e t(X~ m n XI n X2

mit

(ilVl)-W = i 2 v 2 .

Nun ist

~n+lj A 1 /Xy

ein

Bouquet von Sph~ren und _n+l X1 n + ~ lA2 n

X1 ~

n+l w I e t(X 1 /X~)

ergibt

es daher .n n

Jl ~

dann

v e tX n+l n .n+l

(v) = ~I ~I

Die entsprechenden wir

sie

mit

il(Vl.Wl) mit

,t~

surjektiv;

=

~iWl = w . Die NatUrliohkeit = i2v 2 . Well

n+l

Jl

(v) = ~

.n Ln (v) = L n2 J2 _.n+l v J2

dass

"'

Daher ist

X2

es gibt Folge

ist ein T e i l b o u q u e t .

n

t

halbexakt

ist,

der Puppegibt

v = VlW 1 , J + l v = v 2 , a l s o

(Vl.W11 = ~nI

Vl

und

L2n v 2 , wie verlangt.

Beweise f~r den Funktor

fibergehen k~nnen.

tin ]

sind so ~hnlich,

Die Punktoreigenschaften

von

ll.4

t ~

ll.2

t [n]

t ~9

,

tin ]

schliesslich

sind

klar.

SATZ: (• Die n a t ~ r l i c h e T r a n s f o r m a t i o n x n = un(x , A; t) : t X ) tCnJ(x , A) , die durch


n-I XA

(X , A)

~

X

induziert

dim{X

-A)
u eine beliebige Transformation = ~, n , dann betrachten wir das Diagramm

mit

> uX

tX

tEn]x

>

~,[n]

u[n]x

Das ~ussere Quadrat ist kommutativ und nach Voraussetzung auch das obere Dreieck. Zu zeigen ist, dass das untere Dreieck kommutativ ist, also ~ - ~ =- (~nu)-l~[n]. ~ - - - - ~ ~ ~Nun ' ist t[n]x = t[n]x n (nach Definition von ~ setzen,

n ] ~ d.h. wir k~nnen

; wir d~rfen also X durch dim X < n annehmen. D~nu ist abet

X n er~nt

m

surjektiv, und die Behauptung Dreiecks und des Quadrate. Ist

~ : tS i ~ uS i

fGr

alle

i , also ist

~n

i < n

folgt aus der Kommutativit~t

dann gilt

eine Equivalenz

des oberen

~n .- t[n]si ~ uSi

nach 7.1.

Teil (ii) ergibt sich in dualer Weise aus dem Diagramm

fGr

11.6

tX< ~nt I

vX

~

-~I~nV

t[n]X t[n]Y.(X,~/2-~ t ~.(X,A) ~--~

t[n+l]7.(X , A)

a > t[n] (x , A)~n > t X ~ n+l > t [n+l] (X , A)

exakt ist. Alle Pfeile links von t[n+l]~ sind Gruppenhomomorphismen. Rechts yon t~n+l]~ stehen i.a. nut punktierte Men~en~ aber wie in 5.6 kann man Gber die Exaktheit an der Stelle t[n ] ~enauere AussaKen machen (wir fGhren das nicht aus). 11.5 Bemerkung:

FGr

n = 0

ist

t[n+l](x

X ~ = yS ~) und t[n](X , A) = t(X/A) w~hnlichen Puppe-Folge 5.6 , ........

; t ~ A

) t X/A

) t X

, A) = tA

(man beachte, dass

; die Folge wird dann zur ge-

> t A

Satz 11.4 ist also eine Verallgemeinerung von 5.6; im Gegensatz zu 5.6 ist er auch f~r A = ~ nicht trivial. Es erhebt sich nat~rlich die Frage, wie die Postnikov-Faktoren berechnet werden k~nnen; dayon handelt der n~chste w Beweis von ll.4: Wie schon frGher, benutzen wir die Abk~rzungen n A = XA = XnwA und X n X/xn w A .

11.7

Die Exaktheit mutativen

an der Stelle

t

ergibt

sich aus dem folgenden

Diagramm ~n+l

im[t(X/x~)

> t(X/x~_l)]

n- > t X

.. n+l > Im[ ~ A

t (X/x~)

Zu beweisen surjektiv,

>

tX~]

tX~

ist die Exaktheit

der Zeile.

die rechte injektiv

Die linke Vertikale

(trivialerweise),

Definition

von

a

und Exaktheit

an den Stellen

tln ] L

ergeben sich aus dem folgenden

kn-1

.

n ;

folgt die

und

t[n+l]~

J

Diagramm

~n-i > t ~ X ~ -1

~n t ~,x

kommutativen

ist

und die Polge

. / w ~9. _ist exakt als partielle Puppe-Folge. Daraus ~ B e h a u p t u n g dutch einfache Diagrammjagd.

t~X

kom-

t E xA

", t(X/x~-l)

~n

Ln-1 > t X

Ln t(X/xn)

> t X

Zeilen und Spalten sind partielle Puppe-Polgen. ~ induziert eine Abbildung der j-Bilder, und dies ist nach Definition n .,n+l a = ~ ." Im(j) > Im(j'); man beachte, dass ~ XA = (~ ~)~A ist. Zu beweisen ist die Exaktheit yon t ~X

k) Im(j)

Z ) Im(j')

L > t X . Es ist klar,

dass

~ k = * ist. Sei umgekehrt y z t(X/x~) und L(~'y)= Dann ist Lny = * , also y = ~nz fgr ein geeignetes

~

= ~

und

Ln-l(j'y) = n z z t ~ XA .

11.8

Es folgt lich

zn-l(jz)

= j'~nz

ker(~) = im(i)

~(jy) = I n - l j y

gewGnscht.

mit

y ~ t ~ X~

j,(~ny) = . , also

also wirk-

und

~ny

= i'z = an(iz)

knv = y(iz) -1. Dann ist aber

j[y(iz) -1] = (jy)(jiz) -1 = jy , also

Der Rest der Folge,

dem reohten AnfangsstGok, ersetzt;

j'y E im(~),

z ~ t ~(X~/x~-l ) . Well die zweite Zeile exakt ist,

v e t ~ X

kn-lv = j k n v =

also

. Sei schliesslich

= . . Dann ist

fGr ein geeignetes gibt es ein

= j'y,

links von

indem man

er ist daher ebenfalls

t[n+ll~,

(X , A)

exakt.

dutch

j y ~ im(k), wie ergibt sich aus ~(X,~,

~(X,~,...

12 .i

12.

Postnikov-lnvarianten.

In der Gblichen Homotopietheorie Raumes

K

selbst R~ume

Kohomologieklassen

sind die Postnikov-Paktoren eines

K In] P und die Postnikov-Invarianten

~[n] ~ Hn+l(K[n], ~nK)"

sind

Wir ersetzen R~ume durch

halbexakte Punktoren

t ; die Postnikovfaktoren sind dann ebenfalls

halbexakte Funktoren

t In] t

llche Transformationen

und die Postnikov-Invarianten

E[n]

: tin]

> Hn+l(- , tS n) .

gibt es duale Postnikov-Invarianten; tionen dass

~[n] t

: t[n]

sind nat~r-

Ausserdem

das sind natGrliche Transforma-

> Hn+l( - , tS n+l) . Wir m~ssen voraussetzen,

ein n-einfacher Funktor ist, oder wir m~ssen uns auf ein-

fach zusammenh~ngende CW-R~ume

X

beschr~nken. Diese Beschr~ukung

kann wohl vermieden werden, wenn man Kohomologie mit lokalen Koeffizienten heranzieht

(vgl. 0LUM); wegen der zus~tzlichen Komplikationen,

die dabei auftreten, gehen wlr nicht darauf ein. I

12.1Wir

betrachten ein Paar

(X , A)

Stellen ist es unwesentlich,

von CW-R~umen aus

dass

A

zusAmmenh~ngend

innern daran, dass die Homologie von des zellul~ren Kettenkomplexes

W. (an vielen

X mod A

ist). Wir er-

mit der Homologie

~Cn(X , A)= Hn(X~, x~-l)In ~ E

~ber-

einstimmt; der Randoperator ist die Zus~mmensetzung Hn(X ~, X~ -I)

> Hn_I(XA

)

Entsprechend stimmt die Kohomologie des Komplexes

>

_

H*(X, A ; G)

cn(X,A; G) = Hom[Hn(X ~, XAn-1), G] ,

(wie schon fr~her schreiben wir

X~ = X n ~ A ) .

) 9

mit der. Homologie n 92

,

~berein

12.2

Der Quotient

X~/x~-l

, n > 0 ,

ist ein Bouquet von n-Sph~ren.

Nach dem Satz von Hurewicz ist daher

~[8 n, X ~ / X ~ - I ] .

= ~n(X~A/x~-l)

= Hn(X~/x~-l)

= 0n(X , A) , n > 1 .

Die Evaluation E : t(X~/x~-l)X ~[S n, X~/x~-l] . ---@ t Sn, C (Y , f) = (tf)y

,

hat daher die Form ~ : t(X~/x~-I)XCn(X

, A)

> t Sn

(dies Ist auch noch richtig fGr n - l, well

t S1

abelsch ist).

Sie ist linear in der zweiten Variablen (nach 2.8) und in der ersten, well alle Argumente Einh~ngungen sind (n.b.

t ~

ist gruppenwertig).

Sie kann daher auch in der adjungierten Form alm Homomorphismus (12.3)

~ : t(X~/x~-l)

> Hom(On(X,A), t ~ ) =

cn(X,A; t sn), ( ~ y ) f = (t f)y

geschrieben werden. Dann gilt 12.4 LEMMA:

~ ist ein Isomorphismus,

Er ist nat~rlich in

t

(X , A)

.

> (X', A')

t(X~/x~-I ) ~ cn(x, A; t Sn) .

und b e z ~ l i c h zellul~rer Abbildungen

In der Tat sind beide Seiten das direkte Produkt von soviel Paktoren t Sn

wie es n-Zellen in

X - A

gibt.

Wir betrachten ferner die Zussmmensetzung t(X ) x n ~n+l~A(Vn+l;x~) idX~ t ( X ~ ) ) ~ n ( X ~ ) Wobei

~

~ > t Sn

/

wie immer die Evaluation bezeichnet; sie ist linear in

der zweiten Variablen. Die Hurewicz-Abbildung

12.3 n+l : ~n+l(X~ , X~)

.n+l ) Hn+l(A A , X~)mCn+I(X

und der Kern wird von den Elementen x a ~ n + l ~9.n+l A , X~) Ist

t

n-einfach,

T E ~l(X~) dann folgt

= t(~ x~- t~8 x ) ~ = Ker(~)

x - x~

, A)

ist epimorph

mit

erzeugt (siehe HU). t l a(x - xu

= t 18 x - ( 8 ~ y l ~

0 . Man kann also in 12.5 zum Quotienten nach

~bergehen und erh~lt eine Abbildung : t(X~)~

Cn+l(X

, A)

) t Sn ,

die linear ist in der zweiten Variablen.

Stattdessen kann man auch

schreiben

(12.6)

~

:

Hom(Cn+l(X,A),

dabei ist

t.n+l , X~) f c ~n+liAA

tS~

= cn+I(x,A; t S n) , (~y)z = [t(af)]y;

ein ~-Urbild von

~yn+l ' X~) . z ~ H n+l'"A

N

Diese Abbildung Abbildungen

Ist

t

Z ist nat~rlich in

(X , A)

A

und

X

und bezGglich zellul~rer

~ (X', A').

nicht n-einfach aber

nen, wenn

t

X1 = .

(was wir immer annehmen k~n-

einfach zusammenh~ngend

sind), dann k~nnen wir

natGrlich genau so schliessen; dann ist ja sogar x - xT selbst schon null. Noch allgemeiner gen~gt es, X nA als n-einfach vorauszusetzen.

12. 7 LEMMA:

Die Zusammensetzung

cn(X,A; t Sn) =~ t(X~/X~-I)

) t(X~)

etimmt mit dem Randoperator Beweis:

Es bezeichne

sein Bild in

t

y

~

cn+I(x,A; tS n)

or" ~berein.

ein Element aus

. Zu beweisen ist

t(X~/x~-I )

cy) = ~ y

und ebenso

. Es gen~gt, die

12.4

Werte dieser beiden Koketten auf einen Repr~sentanten f c ~n+l~.~AfVn+l, X~) ~(~

zu vergleichen.

y)~ f = ( ~ y ) ( 0

12.8 Bemerkun~:

Ist

~

(n+l)-Zellen yon : t(X~)

f)=

Man erh~lt

It(0 f)~ y = ( ~ y ) f, > X nA

: ~S n

wie behauptet.

sine anheftende Abbildung fffr die

X - A , dann sieht man leicht, dass

> on+l(x,A; t S ~

uns also die Definition von ~

mit

t~

ffbereinstimmt. Wir h~tten

leichter machen k~nnen. Es w~re

dann aber keineswegs klar gewesen, dass zellul~rer Abbildungen

g : (X , A)

~ natGrlich ist bezffglich

) (Y , B)

(denn

g

i.a. nicht mit den anheftenden Abbildungen vertauschbar).

ist ja Tats~ch-

lich ist dies sine Stells, wo n-Einfachheit wesentlich bsnutzt wird. Ehe wir das Hauptergebnis 12.10 dieses Paragraphen formulieren, sei noch einmal an die Definition der Postnikov-Faktoren t[n](x , A) = I m (tX nA

12.9 SATZ:

Es sei

t

erinnert,

) t X ~ -i) .

sin n-einfacher Funktor oder

(X , A)

sin sin-

n ~) t X A

induziert

fach zusammenhffngendes Paar. (i)

Die Abbildun~

~ ~ cn(x, A; tS n) ~ t(X /X -1)

sine natffrliche (bsz. (X , A)

und

A In] = A [ n ] ( X , A ; t )

: Hn(X,A;tS~

(ii) Die Abbildun~

~N : t X An

nat~rliche

(bsz. (X , A)

~[n] = ~ [ n S ( X , A ; t )

und

t ) Abbildun~ > t[n+l](x , A) .

> cn+l (X , A ; t S n)

induziert sine

t ) Abbildung

: t[n](x , A)

Diese natffrlichsn Transformationen heissen die Postnikov-lnvarianten

) Hn+l(x

,

~ In]: t[n~ von

t

.

A;tS n

)

9

> Hn+l( - ~ t S n)

12.5 (iii)

Die Eolge

(12.10) ... k[n]~ t[n+l]~(X, A) ~[n]~ t[n]~(X, A) ~[n~

>

H n C X , A ; t ~ ) k [ n S > t [n+l] ( x , ~ ~[n]> t[n] (X,A) , [ n l Hn+l(x,A;tS n)

ist exakt. Inklusion

r ] Dabei bezeichnet ~Lnj die Abbildung, die durch die n-1 n XA ~ X A induziert wird. Alle Pfeile links von

Hn(x, A; t S n) slnd Homomorphismen (alle, wenn struktur hat). Rechts yon

Hn(X,A; t S n)

t

eine Monoid-

stehen i.a. nur punk-

tierte Mengen, aber wie in 5.6 kann die Exaktheitsaussage an der Stelle

tLn+lJ(x , A)

verfeinert werden; letzteres wird in einem

besonderen Satz 12.15 formuliert. Diese Folge zeigt, wie

t = lim t [n] ( toren aufgebaut werden kann.

rekursiv aus Kohomologiefunk-

Zur Bezeichnung "Postnikov-Invarianten" ist noch zu bemerken, dass man sich Gblicherweise (fGr t = [- , K]) bei der Definition der Postnikov-Invarianten auf den absoluten Fall also auf die Transformation

t[n]x

A = ~

beschr~nkt,

> Hn+l(x , t S n) . In unserer

Darstellung w~re es gerechtfertigt, auch die

~[n]

unter die Be-

zeichnung "Postnikov-Invarianten" mit einzubeziehen. Beweis:

Wir betrachten zun~chst das DiagrAmm yn+l t-- A ~n+l

|2,11)

t Z(X~ -I)

~>

cn(X,A; t S ~ - ~ @

tX nA

~

> t(Vsn)=

cn+l(x,A;tS n)

tX~ -1 ~> cn(X,A; tS n-l)

12.6

Die Teile

>

~$

>

und

~

>

sind partielle Puppe-Polgen

(siehe 12.4 und 12.8) und daher exakt. Die Abbildung mlt dem Korand Uberein. P~r Kozyklen (~ z) = 0 , also ~ = (~(~))(~

~ ~

z ~ zn(x, A; t Sn)

stimmt gilt also

~ z a im(~) = t~*~(X , A) . Wegen ~) = 0 ,

ist

~

null auf Kor~ndsrn

Bn

und in-

duziert also wirklich eine Abbildung k[n+l] man beachte, dass dem

: Zn/B n = H n ~

> t~'~(X , A) ;

zwar i.a. kein Homomorphismus

k x = k x' ~ ),(x - x')e im(~ Z)

gilt (siehe 5.6) 9

Wegen der Exaktheit der Puppe-Polge t In

](X , A) = im(~ n)

0peratorgruppe

ist, aber trotz-

>~_.__>

kann

mit dem Quotienten von

t X nA

nach der

c n ( X , A ; t S n) identifiziert werden. Die Abbildung

ist eine 0peratorabbildung

(Beweis unten); sie induziert daher

eine Abbildung : t In

tX~ ](X , A) = cn(x,A;tsn)

Wir zeigen welter unten, dass zyklen

Z n+l

i =~[n] ~= ~: also

ab, und ~

: t[n](x , A)

in

> cn+l(xIA;tSn) ~C~X,A;tsn)

~

= 0

cn+l = Bn+~

ist, d.h. ~

zn+l/Bn+l = H n+l , also

9 $ Hn+l(x , A; t S n)

. Zum Bewsis, dass

0 ist, betrachten wir eine charakteristische Abbildung (Y , *)

o > (X , A)

f~r die

cn+2(X , A) ~ cn+2y

und

(n+2)-Zellen yon yn = . (y

hat nur

(n+2)-Zellen). Die Behauptung folgt aus dem Diagramm t X nA

0=tyn

bildet in Ko-

~ > cn+l (X , A ; t S n)

) cn+2(X , A ;t S n)

3 > cn+l( y; t S n )

) cn+2( Y; t S n ) .

X - A ; es ist (n+l)- und

12.7

Nun zur Exaktheit. [z] ~ Hn(x

z r zn(x , A ; t S n)

, A ; t S n)

und letzteres also

Ist

seine Klasse,

bedeutet

dann gilt

z = (~ ~.) y

[z] = (~[n]~,)[(Rn~,)y]

und

~n~ = 0

y = ~n+l(x) folgt

folgt

x[n]A[n]

a t[n+l](x

y - ~ z

und

, A)

also

~ ~ = 0

folgt

~ y E B n+l

[~x~.y]

Hn(x

0peratorabbildung also

und

x[nSy = 0 , also

.

Rny = 0 , damn

t [n+l~

x E On

= 0

~[n](~ny)

mit

~x

(man benutzt wieder,

ist; Beweis

folgt),

also

y - A[n][z]

.

.

= 0 . Ist umgekehrt

, dann gibt es eln

, A)

.

= 0 . Ist umgekehrt

~[n]x[n]

~ny = ~ n [ ~ ]

~n+lv ~ t [ ~ ( X

, A ;t S n)

~ z = ~ ~ z = ~ ~n+lx = 0 , also

= (- ~ x) + ~ y

y ~ t ~. (X~ -I),

[(~n~,)y] E t[n]~,(X , A)

Die Folge ist also exakt an der Stelle

Aus

A[n]z = 0 @ - @ ~ z = 0 ,

f~r ein geeignetes

Die Polge ist also exakt an der Stelle

Aus

und

= ~y

, also

dass ~

I(- x)l.y!

w 0 ,

eine

~n+l(v)

9

= ~n~n+l v = ~[n](~n+lv) ~-/und . Die Folge

ist also auch exakt an der Stelle

tin].

Der Rest der Folge,

links yon

rechten Anfangsst~ck, ~2(X

, A)

, ...

Hn(x

indem man

ersetzt.

, A ; t S n)

(X , A)

durch

Er ist daher ebenfalls

Es bleibt noch zu beweisen,

dass

~

deutet, dass das Diagramm

(12.12)

lr,

SvS

~"

)

-----@

~(X , A)

,

exakt.

eine Operatorabbildung

also ~ (y.x) -- ~ x + ~ y , x ~ t(X~/x~-l)

S

, ergibt sich aus dem

n

XA

XAV(X

/X

, y ~ t(X~)

. me8

ist,

be-

12.8

durch Anwenden von tende Abbildung

t

kommutativ wird; dabei ist

fGr die (n+l)-Zellen von

ein Bouquet von n-Sph~ren, (=~ in 4.8); ten, also

ebenso

S = Sn

und

r

die Behauptung

=

i)

t.V = ~ot)

x - x.y

S = Vs n

yon

kommutativ

t

zu betrach-

. Wir zeigen damn,

y E ~l[X~ v (X~/x~-l)]

wegen der Additivit~t

t(x - x.y) = t x (bezw.

und

X - A , also

eine einzige n-Sphere

(wegen

dass 12.12 bis auf Terme der Porm x E ~n[XAVn (X~/x~_I)]

eine anhef-

ist die Gbliche Komultiplikation

r' . Es gen~gt, anzunehmen

~

ist, wobei

. Daraus folgt dann

(vgl. 2.8), denn

t(x.~) = 0 ; letzteres weil

t

n-einfach

ist

.

Es ist klar, dass die Bilder von ~n[X~X(X~/xn-1)]

roa

~bereinstimmen.

und

( a v ~ s)~

in

Daher folgt die Behauptung

aus

folgendem allgemeinen 12.13 LEMMA:

Ist

der Kern yon x-

Y

bogenweise

L. : ~n(Y%sSn)

x.y , x e ~ n ( Y v S ~

Beweis:

zusammenh~Lnfiend und

Wir betrachten

> ~ n ( Y X S n)

n

yon Elementen der Form

, y ~ ~ I ( Y V S ~) , erzeugt.

das Diagramm

~n+l(YV Bn+l, Y v S n)

> ~n ( Y v S n )

Hn+l(Y~, B n+l, y v s n)

> Hn(Y ~'S n)

wo

Die Zeilen sind partielle

B n+l = (n+l)-Zelle.

bezw. Homologiefolgen, Ist

z ~ k e r [ ~ n ( Y V S n)

> 0 , dann wird

ll*) ~n ( Y v B n + l )

die vertikalen > ~n(YX sn)],

= ~n Y

exakte Homotopie-

Pfeile sind Hurewicz-Abbildungen. dann ist

il.z = 0

und

12.9

~'z = 0 , letzteres Also existiert

weil

H ( Y v S n)

w a ~ n + l ( Y V B n+l, Y v S n)

d. ~(w) = ~'~.w = 0 , also Nun ist

yon

=

a.w

12.15 SATZ:

=

Z(a.x

Sei

Hn(X

y ~ Hn(x

, A ;t S ~ , A ; t sn) A)

also

Man beachte

w

w = ~(x - x.y)

Operatorabbildung y e t X An . Ist

auf

(s.

i_.nn . .T

zun~chst,

, also auch

A).

Gber.

ist, also

, A ; t S n)

gibt,

dass nichts

~[n]

der

~[n] a

in

b

zu beweisen ist, falls

, A)

~(y.x) , A)

gesehen

=~y

, d.h.

(12.12),

+ ~x ~y

, d.h.

Zn

Hn(x

Bn

auf

= ..T

chenden Aussagen

und

~[n](a.y)

in der Puppe-Folge

= ~[n]a

, A ;t sn),

~(y.x)

= 0 , also

t In+l]. Wir zeigen

trivial

, A ; t Sn)

eine

= 0 , und

~ x = 0 , dann folgt

dass die Korgnder

dass ~

, x E cn(x

, d.h.

operiert

t

Fall beziehen wir uns auf

operieren,

auf

ziert wird. Da die Operation mit Repr~sentanten ~[n](y)

Die Abbildung

Zwei Elemente

, A ; t S n)

Wir haben bereits

lich eine Operation von

~en

nach dem relativen

5.4) i n d u z i e r t " e i n e Ope-

t[n+lB(x,

y e Hn(x

y E t[n+l](x

y.x E t[n+l](x

n t XA

auf

ist. l~dr den allgemeinen

das Diagramm 12.11.

welter unten,

, also ist

Homo-

a-u = b .

ein Monoidfunktor

x ~ zn(x

ist monomorph.

haben genau dann dasselbe Bild bei

wenn es einen Operator

Beweis:

Form

, A ; t S n)

a, b e t[n+l](x

~berfGhrt~

d.

und

wie in 12.10. Die 02eration von

t(X~/xn-1 ) = cn(x

fGhrt

~.w = z

ist.

-

t

ration yon

monomorph

die erste nicht verschwindende

( Y v B n+l, Y v S n)

Satz von Hurewicz v o n d e r

mit

~(w) = 0 , denn

~n+l ( Y v Bn+l, Y v S n)

topiegruppe

) H ( Y ~ S n)

t[n+l](x

also wirk, A)

definiert

indu-

ist, folg-

sofort aus den entspre-

5.6. Ist umgekehrt

~[n]a=~[n]b,

12.10

also

~ n a = ~nb

, dann existiert

a-x = b . W e n d e n wir

~

also

~a

J x = 0 , denn

darauf an,

sen K o h o m o l o g i e k l a s s e erf~llt,

dass

, A ; t S n) y

als Element

Dann entsteht

Y

~ll~X~ -1

t(Y/B)

= t(X~/x~-l)

wit b e t r a c h t e n ylB

und

B

x

= cn(x

auf

~berein

Daher ist

u E t[n+l](z

~a

+ ~x

=~b

ein Kozykel,

die Gleichung

,

des-

a.y = b

, D)

v

I ~0~X

ist

A = z I

n

t Z = t X~) und

operiert

mit

von

](ZlZD

y-x.

=

z

y

X - A

B

n z a t ZD = t Y

S n)

, und stimmt

. Das

= cn(x, A; t S n)

auf den a n h e f t e n d e n

(12.10,

, insbesondere

Abbildun-

ist also

iii)

existiert

existiert

~bereinstimmt.

sind h o m o t o p i e ~ q u i v a l e n t n

~OIXX~

Setzen wir

n I ~ l ~ X X A , denn Grund-

~01XX A

~-

t Y

a t Y . Auf

) = 0 , also

mit

also auf

[0 , 11~(X - A)),

~[n]u = zlZ~ -1 D

[0,i

. Die Gruppe

, dann ist

[0 , 1]• n

B--

und

. Ferner

der n - Z e l l e n yon

) cn+l ( Z , D ; t

~[n

Z = [0 , IIXx~

n

(man verifiziere

n A = v

Z

n A

~l~XX

mit

des Zylinders I ~O~X

falls

z = (yl Y).x

~l~klX~

v c t ~D~n+l = t Z , das auf

v

x

( denn

, A; t S u)

nun das Element

(n+l)-Zellen

ein Corand.

auf

durch A n h e f t e n

bei ~ : t ZnD

z

t Z

Y/B = X~/x~-I

~berein,

stimmt mit

Nun ist

ist

gilt,

n ~0~(X AV~I~XX~

D = [0 , 1]~A k l ~ O ~ X Bild von

y-x = y

von

aus

l~gs

gender

= 0 . Also

, y E t X nA. Wir setzen

Y = [0 , l ] x X - i k l

es mit

so erhalten wir

mit

wie gew~Luscht.

x E Bn(x

sei

=2b

, A; t S n)

T ~ Hn( x , A ; t S n)

Wir zeigen nun noch,

fassen

x ~ cn(x

und

mit

oder Deckfl~ohe Z . Andererseits

v l ~ l I ~ X ~ = z I ~llX~x~ = y-x,

wie behauptet.

12.16 Betrachtet

man statt der Skelette

X~ = X n ~ A

die "Coskelette"

.

12.11

A

Xn =

n V A ) , so erh~lt man duale Ergebnisse. Wir formulieren sie

ohne Beweis. Dual zu 12.11 benutzt man das Diagramm t XA n+l t ~ ( Xn A_ l )

cn(x , A ; t sn+~ ~-~ t Xn" n+l ~ t(X~ +l/x ~ ) = cn+l(x ' A; t sn+l )

~

t X1n-1 und beweist

12.17 SATZ:

Ist

zieren

n >0 und

oder ist

n = 0

und t S 1

nat~rliche Abbildungen

abelsch~ dann indu-

k[n ]

und

~[n]

' so dass

die Polge

...

~[n]~ t[n+l]Z( X , A) ~ ] Z

) t[n]~.(X , A)

Hn(x , A; t S n+l) k[n]~ t [ n + l ] ( X , ~ [ n ] )

~n]Z

t[n](X,A)~[n]IHn+I(x,A;tS n+l)

exakt ist.

Dies kann benutzt werden, um den Gruppen

H*(X , A ; t ~

t[n](X , A) = . dass

t

t[o](X , A) = t(X/A)

aufzubauen; man beachte, dass

ist fGr grosse

(ausser fGr

rekursiv aus

~ . Besonders bemerkenswert ist,

n = O) nicht einfach zu sein braucht.

13.1

13.

Anwendungen

; Hindernistheorie.

In den Anwendungen von Satz 12.9 spielt vor a11em die Exaktheit der Folge

(i3.i)

t[i+l](x

> t[i](x , A) ~[i]> Hi+l (X , A ; t

, A)

eine wichtige Rolle. Well

t(xi+lvA)

ist, ist sie gleichbedeutend

(13.2)

t(xi+lvA)

.

> t[i+l](x

S i) , A)

surjektiv

mit der Exaktheit der Hindernis-~ol~e > t(xi-lvA)] z[--~ Hi+l(x , A ; t S i) .

> Im[t(XiuA)

Sie drGckt einen vertrauten Sachverhalt aus: In der Mitte stehen die Elemente

y

von

t(xi-luA)

, die sich auf

XivA

lassen. Ein solches Element kann i.a. nicht auf tert werden; beim Versuch zu erweitern, ~[i]y ~ Hi+l(x , A ; t S i) nis verschwindet,

erweitern

xi+lvA

erwei-

tritt ein Hindernis

auf, und genau dann, wenn dieses Hinder-

l~sst sich

y

auf

xi+lvA

erweitern. Daraus

ergeben sich die folgenden Ergebnisse nach bekanntem Schema.

13.3 LEMMA:

Is_._~t Hi+l(x , A ; t si)= 0

n < i < n+q (oder t[n+q](x

, A)

(X , A)

und

t

i-einfach fflr

einfach zusammenh~LnKend), dann ist

> t[n](x , A)

sur~ektiv.

In der Tat, diese Abbildung ist die Zusammensetzung

(13.4)

t[n+q](x

, A)

> ... t[i+l](x

, A) ~[i] t[i](x , A)

> ... t[n](X,A);

aus der Exaktheit yon 13.1 und der Voraussetzung folgt, dass

~[i]

13.2

surjektiv ist.

13.5 LEMMA:

Ist

Hi(x

n t[n](x

und

t

i-einfach

fGr

einfach zus~mmenh~ugend)t

t[n+q](x

, A)

Beweis:

Wegen der Zerlegung 13.4 gen~gt es zu zeigen,

: tLi+l](x

, A)

aus 12.9 wegen

13.6 KOROLLAR: oder

Ist

in,~ektiv.

> t[i](x

, A)

dass

injektiv ist. Dies folgt

H i(x , A ; t S i) = 0 .

Es sei

(X , A)

, A)

dann ist

t

ein i-einfacher F u n k t o r ~

i ~ dim(X - A)

,

einfach zusammenhKngend.

Hi+1(x

, A; t S i) = 0

i , dann ist

f~r alle

t X

> t A

sur,~ ektiv. (ii) Ist

Hi(x

, A ; t S i) = 0

fGr alle

i , d~nu ist

t X

> t A

in ~ ektiv.

Dies folgt aus 13.3, chend kleines

n

13.5, well

und t[n+q~(x

Da man jede stetige A b b i l d u n g

t[n~(x

, A) = t A

, A) = t X

f : Y

ist f~r hinrei-

fGr hinreichend

> X

grosses

bis auf H o m o t o p i e ~ q u i -

valenz als I n k l u s i o n schreiben kann (So 3.17), gibt 13.6 auch ein K r i t e r i u m daf~r,

dass

t f

sprochen besagt es, dass

surjektiv bezw. injektiv ist. GrobgeH*f

: H*Y ~ H*X

)

t f : t Y ~ t X .

Die genaue Formulierung G b e r l a s s e n wir dem Leser. Als Spezialfall von 13.6 sei noch folgendes

13.7 KOROLLAR: und

Hi+l(x

Es sei

(X , A)

, A ; ~i A) = 0

erw~hnt

ein CW-Paar aus fGr

W,

i < dim(X - A)

. Ist

A

i-einfach

, dann gibt es eine

q .

13.3

Retraktion Hi(x

r : X

, A; ~iX) = 0

> A

. Ist a u s s e r d e m

f~r

i ~ dim(X - A)

auch

X

i-einfac h und

, dann ist

r

so~ar eine

Deformationsretraktion.

Beweis:

Setzt man

setzung,

dass

t =~[-, A]~, dann impliziert

IdAE t A

(j = Inklusion),

d.h.

ein Bild yon

es gibt

erreichen

(s. 3.5).

Setzt man nun

die zwelte Voraussetzung, wegen

(t'j)(j

13.8 Bemerkung: zu speziell

dass

Hi(x

i ! dim(X - A)

, A ; ~i(X

Es sei

menh~Lngend.

dann auch

: t'X

X - A

r j = id

> t'A

injektiv

folgt

J r = id X .

fGr P a s e r u n g e n

ist;

(die in unserer,

ist)

erhKlt m a n

unter der a d ~ q u a t e r e n

, A))= 0 , (X , A)

Hit

damn impliziert

Theorie nicht e n t h a l t e n

i-einfach

Voraus-

fGr

.

Wir geben nun eine A n w e n d u n g

13.9 SATZ:

t'J

ist

r j = id.

t' =~[-,X]~,

Aus der H i n d e r n i s t h e o r i e formulierten,

mit

kannman

r) = j r j = j = (t'J)(idx)

eine D e f o r m a t i o n s r e t r a k t i o n setzung

t j : t X --@ t A

r r [X , A]

der H o m o t o p i e e r w e i t e r u n g s e i g e n s c h a f t

die erste Voraus-

t

i-einfach

fGr den a b s o l u t e n

fGr

i ~ dim X

Pall

oder

F e r n e r gelte

i-1(x , t s i) -- o Hi(x

, t S i)

Hi+I(x

fGr

i < n

= 0

"

i ~n

, t S i) -- 0

"

i

> n

.

D n ~ n ist

~n+l t X ~

kin] t[n+l]x

Hn(x

, t S n)

.

X

A = . .

einfach

zusam-

13.4

Beweis:

Aus

Hi(X , t S i) = 0

fur

i < n

folgt

t[n]X ( t[1]X = 0

nach 13.5. Aus

Hi(~ X , t S i) = Hi-l(x

folgt genau so

t[n]~ X = 0 . Die exakte Folge 12.10 enthglt also

das St~ck

0

>Hn(X

wirklich bijektiv

, t S n) ~[n~ t[n+l] X

(12.15).

Dass

~n+l

ist, folgt aus 13.3 und 13.5, weil

13.10 KOROLLAR:

(Hopf-Whitney)

t X = Hn(x , t Sn) (n.b. ist

t

i ~ n t

Ist

fur alle

X

mit

(und t S 1

abelsch),

bijektiv

fGr grosse

q .

i < n , damn ist

n

> 1 ; im Palle

d.h.

n = 1

t als 1-einfach).

III• i0)

dann ist

ein Funktor mit. Monoidstruktur

fGr

k In]

dim X < n

als abelsch vorauszusetzen,

(vgl. EILENBERG-STEENROD,

i < n

) t[n+l]x

t X = t[n+q]x

t Si = 0

fur

> 0 ; also ist

: t X

ist automatisch einfach, wenn

t S1

13.11 KOROLLAR:

, t S i) = 0

Ist

t Si = 0

fur

t X = Hn(x , t Sn) . Palls

ist t handelt es sich dabei um

eine homomorphe Bijektion. FUr den Monoidfall hat man nur zu beachten, Homomorphismen

dass

=n+l

und

x[n]

slnd (s. 12.9).

Wie berechnet man

t [q+l],

wenn

gegeben sind ? Wenn der Punktor

t [q] t

und

~s

t [q]

eine Monoidstruktur

> H q + l ( - , t S q) zul~sst,

dann ergibt sioh die Antwort leicht aus der exakten Polge 12.10. Sie liefert eine natUrliohe

(13.12)

*

die

> coker(a [q] 7,)

exakte Folge

) t[q+l](x

, A)

> ker(~ [q])

tLq+ijrl bis auf ein Erweiterungsproblem

(X , A) einfach

und unter Vernachl~ssigung

> 0 ,

bestimmt,

l~dr festes

der Monoidstruktur

besagt sie

13.5

(13.13) 15.14

t [q+l](x , A) = ker(--IXq!A))~coker(~lq!A)~) F~r beliebiges

t

9

haben wir immer noch eine Surjektion

t [q+l] ~!q]> ker(~ [q]) . Die Prage lautet also, wi~ bestimmt man (u[q])-lb , wenn

b ~ t[q](x , A) , ~[q]b = 0

stimmt mit

Hq(X , A; t sq)/G

Urbild vom

b

von

a

also

und

Ga =

ist ? Dieses Urbild

Gberein, wean

{7 s Hq I a-y = a)

a E (~[q])-lb

elm

die Isotropiegruppe

bezffglich der Operation 12.15 bezeichnet. Wie bestimmt man G a ? DafGr gilt analog zu 5.1~ der folgende

13.1~ SATZ:

Es sei

t

ein ~-einfacher halbexakter Funktor r

a E t[q+l]x , b = ~[q]a E t[q]x Pb =

{m E t [ q ] ( s l x x / s ~

: t[q](s X/s

und

I t[q](.,

idx)Z = b 1 . Die Abbildung

> Hq+l(slxx/sl

, tsq) =

= Hq+l(x , t sq)@Hq+l(E X, t S q)

f~hrt

Fb

in den zweiten Summanden

~ber und es ~ilt

Beeitzt

t

Fb

t [q]~ X

mit

Hq+l(~x,t sq)= Hq(x, tS q)

~Lgr](Fb ) = Ga = Isotropiegruppe von

(also a~h

t [q]) eine Monoidstruktur,

identifizieren

(8.12)

und

~

a .

damn k~nn man mit ~ q ~

,

und man erh~lt 13.13. Der Satz 13.15 l~sst sich auch auf den relativen Fall verallgemeinern;

das macht keine Schwierigkeiten,

~ e r kompliziert die Schreibweise ein wenig.

Beweis:

Wir betrachten zun~chst das Diagr~mm

13.6 >

t sq) ~

Hq+l(*, id)

~[q] t [q] X

> Hq+1(x

Verfolgen wir wir

x a Fb

, t s q)

so erhalten

auf dem linken Weg

~[q]b = 0 , also ist wirklich

~[q]F b ( ker Hq+l(.

Ist

x E Fb

und

, id) = Hq+l(~,X, t S q) .

x' = x I slxxq-I/s~ ~

x' I ~*~ • xq-i = b . Ist umgekehrt

dann gilt

,

x' ~ t(slxxq-i/sl x~.~ )

und

x' I ~*~ • X q-I = b , dann gibt es eine Erweiterung y a t(sl• b

~.~I.~x

eine Erweiterung

(SIx xq-l)~( ~[q](x)

auf

zykel (s. Definition von tende Abbildung

(t~)x' ~.~wXq+l

~*~x X q+l

~*~• q+l) = ~.~XX q-I

a Hq+l(~,X,t S q)

Zellen yon

X q+l) ; dies folgt aus (5.1 e), well

~[q]

und 12.8)

f~r die

, slx)

anheftende Abbildung fGr die q-Zellen,

; die (q+l)-Zellen weil

~ : Y S q-1

dort die

J> X q-1

eine

dann hat man ein kommutatives

Diagr~mm

idx~

-" slxVs

in

x'

SIM xP-I/sI•~*S

S ~ V S q - 1 / s l x ~.~

(q+l)-

und bilde

besitzt. Bezeichnet

(bie auf Homotopie)

Ko-

: Man w~hle eine anhef-

braucht man nicht zu berGcksichtigen, y

und

ist. Das Element

> SI~ xq-I/slx~.~

e t(V S q) : C ~ ( s l x x

Erweiterung

(z[q]b = O)

besitzt folgenden reprgsentierenden

~: V sq

~Xq/SI•

besitzt

-i/sbV S q-1 = V sq

13.7

Man kazan also den Repr~sentanten (tp)-lt(id~)(x') t(~ S q)

erhalten

abelsch ist;

ieren, also

x'

dann liefert

in

von

~ [q](x)

(n.b.

s. 5.17)

t p

auch in der Form

ist monomorph,

9 L~sst man nun

x

gerade das Bild

Ubergang von den Repr~sentanten

zur Kohomologie).

durch Repr~sentanten a ~ t[q]x

15.16 KOROLLAR: X r ~.

Andererseits

t

ein einfacher halbexakter

Funktor und

(0 < n < q)

=

0

fGr

i < n

Hi-~(X , t S i)

=

0

fGr

i < n e~c~

~i

=

0

fGr

i ~ n , q

=

0

fGr

n < i < q ~

(X , t S i) , t S i)

t[q]x = Hn(x , t S n) , t[q+l]x = t X = Hn~sl~x;tsn)~

folgenden Eigenschaften

:

(i)

ker~q]:

m Dp,q ipq> DP-l,q+l

p

und

jk) Ep q

o a o

q

jK. EP+l,q

jk. EP+2,q

i

~

E~ q = HP(E *q)

jK. I

(fGr jedes

o a D

q), dessen p-te Homologie-

bezeichnet wird. Setzen wir ausserdem

D~ q = im(i p+l'q-1 : D p+l'q-1 - - @ D pq), so werden durch Homomorphismen i

(i2' J2' k2)

(14.4) ... ~'~ D~-2'q+l

J2

>

k

~

(i, j, k)

induziert und die Folgen i

~q ~

D~-•

J2

>

~

...

sind exakt. D.H. wir haben (bis aul Umnumerierung der E-Terme) ein neues exaktes Paar ~2 = (E2' D2' i2' J2' k2 )

gewonnen, aas

ab~eleitete Paar. Der Prozess kann iteriert werden, und man erh~lt eine ~olge yon exakten Paaren O 1

= ~ , ~2, ~

.....

Die Doppelfolge yon Komplexen E~-r,q +r-1

dr> Ep q dr=~Er> EP+r,q-(r-l) r

heisst SpeKtralse~uenz yon ~ Er+ 1 = H(Er) 9

,..,

alle ganzen Zahlen durchlaufen. Die Folge

ist dann ein CoEetten-Komp• gruppe mit

j; Ep,q+l ~

dr> ...

r

; sie hat die Eigenschaft

14.2

Ein exaktes Paar ~ n ~ 2

Zahlen

~(n)

(14.5)

D p'n-p = 0

f~r

(14.6)

i : D P+I'n-p-I

heisst stark konver~ent, und

y(n)

i pq

~

D p'n-p

(14.7)

E pq

=

fGr

f~r

r ~

f~r grosse

r

"'"

ist

,

D pq = 0

f~r kleine

p . F~r stark konvergente

~(n)--Y~),

E pq = E pq r+l r+2 =

p ~ /U(n)

n = p+q

isomorph fGr grosse

p,n-p dr = 0

so dass

p ! Y(n)

d.h. bei festem Totalgrad und

gibt,

wenn es zu jedem

~

p gilt

also

E pq ~@

=

(bei festem

p,q)

.

Setzen wir

(14.8)

D n = ~ .im

D ~'n-~ = D p'n-p

f~r

p ~ ~(n)

und

(14.9)

FP+iDn = ker(D n ioioia..

) DP,n-p )

dann gilt a u s s e r d e m

(14.10)

(14.n)

~P~F

p+I

,

FPDn/FP+lDn

~FP

=

0

_-- EP~n-P

,

~

FPDn = D n

.

Diese Ergebnisse werden ~blicherweise

wiesen,

dass

E pq , Dpq

abelsche

unter der V o r a u s s e t z u n g

Gruppen sind.

Tats~chlich

be-

gen~gt

14.3

es abet vorauszusetzen, ein Divisionsmonoid

14.12 SATZ:

dass

E pq

eine abelsche Gruppe und

ist, also

Alle vorstehenden Ergebnisse gelten~ wenn die

abelsche Gruppen, i, j, k

D pq

die

D pq

Homomorphismen

ein Normalteiler von

Divisionsmonoide

sind. Insbesondere

E pq

(8.4) und die

ist

FP+lD n

PPD n (Normalteiler = Kern eines Homomorphis-

mus)~ und die Pormeln 14.10 1 14.11 implizieren~ aufl~sbares Divisionsmonoid

dass

Dn

ein

ist [vgl. hierzu auch G.W. WHITEHEAD,

2.14]. Der Beweis dieses Satzes unterscheidet Beweis

[HU, VIII,

5-7]; man hat 8.5 zu benutzen

Konstruktion von

Es sei jetzt wir wissen

sich kaum vom Gblichen (z.B. f~r die

.J2) v

t : W.

> Mon

(8.2) ist

t X

ein halbexakter Monoidfunktor;

stets ein Divisionsmonoid.

wie

Wir betrach-

ten das folgende exakte Paar

(14.13)

.. ~

t ~ X p+l ~

~> t Xp

> ~ t ~ Xp ~

~ p > zP+l(x, t S ~

Coker(~ y)

Z p+l

(IS,O).

> 0

(_p

~

t X p+l

Coker(~y)

(O,id)-

> 0 ....

handelt es sich einfach um die Puppe-Folge der

anheftenden Abbildung nung ist wie^12.9 Das Bild von ~

> t(xP+l/xp )

(mit

VsP---@ X p

der (p+l)-Zellen;

die Bezeich-

A = .).

besteht nach 12.9 ii wirklich aus Kozyklen.

Rechts

14.4

von

Zp+l

wurde die Polge k~nstlich so fortgesetzt, dass sie mit

Nullen ausklingt. Die Bigraduierung des exakten Paares ist wie folgt :

I

(i4.i4)D pq

fGr

p+q ~Y,,'+,'~

:(xP+(I~YPi+ili~"(X~Y)7(x,YP'vxP)((Y) wobei

o = p+p'+l+Min(~,~')

Ist n~mlich

ei~ e j

Sind

~

Z~hler ,

.

eine Zelle im Z~hler

Z

des letzten Aus-

drucks, die nicht im Zl~hler des zweiten Ausdruoks vorkommt, dann ist

i > p+i

j ~ p'

odor

oder

j > p'+~' . Wegen

i ~ p , also kommt

i+j ~ a

ei ~ e j

folgt daraus

auch im Nenner

N

Daraus folgt die behauptete Gleichung.

0ffenbar ist

(X ~Y)O C Z

q-) v~e ~ouADY, TA--./'~,A

und

(X~Y) p+p'+I

C

N ; wlr haben

vor.

15.3

also Abbildungen

> z/~

(X iY) ~/(X ~ty)p+p '+i und nach Anwenden von (15.7)

= IxP+ I/xp~IYP '+ i '/yP ~

t

r(xP+i/xp) • s (YP '+ ~ '/yp ')

) t(X p+IlX p

) t ~(X~Y)a/(X~y)p+p'+l

,

I

)~Yl~'+t'/yp')

~ ~ p+p'+l+Min(l,~')

Diese Abbildung 15.7, die wir ebenfalls mit natGrlich bezGglich zellul~rer Abbildungen und bezGglich Vergr~sserung yon

y X

.

bezeichnen, ist ) X' , Y ---@Y'

p, i , p', ~' 9 Z.B. haben wir

ein kommutatives DiagrAmm

r(X/xP-l) X s(Y/yp '-i )

T ~ t ~(X ~Y)/(X~ y)p+p'-I

(15.s) (r x) ~ (s Y)

."

t (X~Y)

Die Bilder der vertikalen Pfeile sind aber gerade (FPr X)• (FP'sY) (15.9)

T[(FPrX)•

und

FP+P't(X~Y)

Y)]

(

; also ist

Fp+p' t(X~(Y) 9

Auf diese Inklusion bezieht sich 15.3 (zv); die Behauptung ist, dass

7~

durch Anwenden yon

~

auf Repr~sentanten gegeben ist.

Die Spektralsequenz des exakten Paares 14.2 ist bekanntlich (und wie man leicht sieht) gegeben durch

E~ = Z~/B~ ,wobel

15.4

(l .lO)

Z~ q - k-I im[i ~-I : Dp+~-l,q-~+l

ker[i %-I : DP-I,q

> D p-~'q+~-l]

ist induziert durch

j.(i$'l)-ik .

B~ q ~ J

und

d

> D pq]

F~r das exakte Paar des Funktors

i~.Ii LEMMA:

r

,

gilt

Zp'-p

s

im[r(XP+~-I/xP-I)

~ )

r(xP/xp-l)S

B p'-p

=

im[r 7,(xP-I/xp-~ )

~ >

r(XP/xP-i )]

und

d

: E~# -p

(15.12) r(xP+~-l/xP-1 )

> E p+~'-p-~+I

wird induziert durch

> zP+~(X; r S p+~-I) s Zp+?'-p-~+I

> r X p+~-l

$

(n.b. dies entspricht den Definitionen auf S. 335 in CARTANEILENBERG). Beweis:

Aus dem Diagramm

r(XP+~-I/xP-i )

>

r X p+~-I

(15. 3) r(XP/xP-I)

folgt

im(~) ( Z p'-p

d~nn existiert

~

> r Xp

(s. 15.10) . Ist umgekehrt

y E r X p+~-l

Bis auf Homotopie~quivalenz

mit ist

x ~ Zp,-p

i~-l(y) ~ k(x) .

15.5

xP+~-I/xP-I

k

Die Elemente

xP+~-Iv~xP-I

y E r X p+~-I

dem Durchschnitt einem Element

Xp

=

und

xP+~-Iu(xPv(xP-I ) .

x E r(XPv ~X p-I)

stimmen auf

~berein, setzen sich also nach 5.1 e zu

z ~ r(xP+~-l/xP-1 )

zussmmen, also ist

~ ~(z) ~ im (~) . Aus dem gleichen Diagramm 15.13 folgt dann auch, dass

d~

(auf Repr~sentanten) mit der Zusammensetzung

15.12 ~bereinstimmt.

Die Gleichung

B~ '-p = im(B)

schliesslich folgt aus dem Diagramm

r ~(xP-i/xp-~ )

r ~ X p-I

) r(XP/xP-I)

J wegen

im(~') ~ ker(i~-l: r ~ X p-I

Beweis des Satzes 15.3:

> r Z x p-')

.

Wir betrachten zun~chst das kommutative

Diagramm

r (X p + ~ - I/X p_l ) | s (YP' + ~- i/yp, _i )

Y) t ~(X ~Y)P+P'+~-l/(x~y)p+p'-i 1

(15.14) r(XP/xP-I)

|

s(YP'/yp'-l)

I

~dr die Definition der horizontalen Pfeile vergleiche man 15.7 . Die Bilder der vertikalen Pfeile stimmen nach 15.11 mit Gberein; Beschr~nkung auf diese Bilder liefert also

Z*,-*

15.6

(15.15)

u : zP'-P(r,X)|

Zp+p''-p-p' (t, X~Y) .

Aus dem Diagramm

r ~(xP-I/xp-~)@ s(Y p'+~-I/Yp'-l) ~L@ t I ~

r(XP/xP-I ) @s(YP'/yp'-l)

Y)p+p'-I/(X~Y)p+p,-~

Y ) t ~(X~(Y)P+P'/(X~y)p+p'-I

folgt analog

(15.17)

B~+p',-p-p

T : B~ '-p @ Z~ ''-p' und symmetrisch dazu

(15.17,)

y : Zp'-p @ B

'-P

B p+p ',-p-p,

Aus 15.15, 15.17, 15.17' ergibt sich nun durch Ubergang zu den Quotienten, dass (15.18)

T~

:

T

tats~chlich ein Produkt

EP'-P( r, X)@E~''-P'(s, Y)

E~ +p''-p-p' (t , X~(Y)

induziert. Dieses Produkt wird gegeben durch Anwenden yon auf Repr~sentanten; insbesondere wird ziert. P~r grosse

~ ist

deflniert und wird durch

u

durch

~

y

indu-

E ,-e . E e, - e 9 daher ist auch

T~

T

u

induziert, l~dr ~ z 1

ist

offenbar das ~bliche x-Produkt yon Koketten, also ist

T2

das

~bliche X-Produkt der Kohomologie. Damit sind die Teile (i), (iii), (iV) yon 15.3 bewiesen f~r Terme vom Totalgrad null (d.h.

q - -p, q' = -p') . Die allgemeineren F~lle

p+q - - m ~ 0 ,

15.7

p'+q' - -n ~ 0 und

Y

durch

~ny

In den letztem p'+q' - 1 (15.19)

ergeben sich daraus, indem man

X

durch

~mx

ersetzt.

noch verbleibenden F~llen

p+q - 1

oder

definieren wir

71 : cP(x, rs-q)x ~P'(Y, s S -q')

> cP+P'(x~Y; t S -q-q')

durch das Gbliche Kreuzprodukt. Dies ist zwar nicht ganz ein Produkt fGr die E1-Terme , aber jedenfalls induziert es Produkte in

Z2

und

E2

und zwar for

letztere das ~bliche Kreuzprodukt 72 : HP(x; r s - q ) x HP'(Y; s S -q')

> H P + P ' ( x M Y ; t S -q-q') .

Die Frage ist nat~rlich, ob es auch Produkte in

Z~ , E$

indu-

ziert. Dies und mehr wird sich aus folgendem DiagrAmm ergeben

r(xP+~/xp) | s(yP'+~/yp,)

> t ~(X ~Y)P+P'+I+~/(X ~Y)P+P'+I

(15.2o) 71 [r(Vsp+~ ) | s(yp'+i/yp,)]~[r(xP+i/x p) |

Dabei ist

~ : VS p+~

> X p+~

die (p+~+l)-Zellen und

r(xP+~/xp)

Analog sind

]

> t(VSp+p'+I+~)

eine anheftende Abbildung for

die Zus8mmensetzung

> r(XP+~) r(~). r(~S p+~) - cP+~+l(x ; r Sp+~) .

~'

bezw.

~,'

definiert; man ersetzt lediglich

15.8

X

durch

Y

bezw.

das Differential

X XY d~

. wir erinnern daran, dass

induzieren.

(s. 15.12).

Wir beweisen nun, dass 15.20 kommutativ iet. Dazu betrachten wir charakteristische mit

Abbildungen von Zellen

i+j = p+p'+~+2

ei

~ X , ej

) Y

. Sie induzieren eine Abbildung von 15.20 in

das entsprechende Diagramm fGr (e i, e j) . Dabei wird der rechte untere Term

t ( ~ S p+p'+I+~)

auf den Paktor

ziert, der der Randsph~re von alle M~glichkeiten tionen yon

ei~ e j

durchlaufen,

t ( V S p+p'+I+~)

n~gt daher zu zeigen,

entspricht.

Wenn

projee i, e j

dann erh~lt man gerade alle Projek-

auf die verschiedenen Faktoren.

dass 15.20 kommutiert,

ist (denn dann kommutiert

t S p+p'+I+~

wenn

Es ge-

X = e i, Y = e j

das Diagramm nach Zusammensetzen mit al-

len Projektionen). Ist

X = e i , dann ist

X p+ ~/X p

zusammenziehbar

t(xP+~/X p) ~ 0 - , es sei denn

i = p+l

oder

brauchen also nur die beiden (symmetrischen) (i, j) = (p+l,p'+~+l) Nehmen wir den ersten YP'+~ ~ S j-1

oder

-

i u p+~+l

X p+~ = e i,

zu untersuchen.

X p+ ~/x p = S i,= Xf~r

und das Diagramm 15.20 reduziert sich auf

(r S i) ~ (s S j-l)

~

)

t S i+j-1

(r S i ) @ ( s

~

)

t S i+j-1

S j-l)

Damit ist die Kommutativit~t

. Wir

F~lle

(i, j) = (p+~+l,p'+l)

: Dann ist

also

von 15.20 bewiesen.

Schalten wir vor das Diagramm 15.20 die Abbildung

15.9

[~|

id : r(xP+~+i/xP)|

> r(xP+~/xp) @s(YP'+~/yp,)]

dann erhalten wir auf dem linken Weg ?io(

~,

~') , denn

Z~+l@B~+ 1

~

)

?l(Z~+l|

ist aber

) (im(~")

= B~+ 1 ;

E~+l-Terme.

Wie schon bemerkt ~nd benutzt), induzieren

~, ~', ~"

die Differen-

d~ . Die Kommutativit~t von 15.20 impliziert also

d~?~(x | y) f~r

~|

Tl(Bs+l@ Z~+l) ( B~+ 1 , also induziert das Produkt

15.19 tats~chlich Produkte fGr alle

tiale

die Abbildung

= 0 . Das Bild von

(vgl. 15.11), also ist

analog folgt

~

=

?~(d~x | y) + ?~(x | d~y)

x ~ EP+I'-p-I(s, X) , y a EP'+I'-p'-I(r,~ Y) , d.i. die Behaup-

tung 15.3 ii f~r Terme vom Totalgrad Null. ~dr Terme X

durch

x, y ~mx

vom Totalgrad und

Y

durch

-m 4_ 0 , -n ( O

braucht man nur

7.ny zu ersetzen. Dann ist

(7.mx) ~ (7.ny) = 7.m+n(x~y ) . Das Vorzeichen

(-i) ] ~

in der Deri-

vationsformel 15.3 ii erkl~rt sich - etwas informell - folgendermaven:

Das Differential

d~

erniedrigt den Totalgrad um l, d.h.

es verringert die Anzahl der Operatoren (einen Unterquotienten von) ten yon)

r 7.-l(XP/xP-1 )

zun~chst in

d~?~(x | y)

(einen Unterquotienr 7.m(xP/xP-i ) und

t ~-l~.m~.n((x~Y)P"/(X~y)p"-i )

t ~.mT.-17.n((x~ Y) P" / ( X ~ y ) p " - l )

Um den z w e i t e n A u s d r u c k i n den e r s t e n Anwendung von

in

~ber, allgemeiner

r 7.-I~m(xP/xP-I ) . Die Terme liegen also in

r(XP/xP-1 )

um I. Z.B. f~hrt es

7,-1

m vorangehenden Faktoren

?~(d~x @ y) s w~hrend

?~(x | d~y)

liegt.

~berzuff~hren,

den (m+l)-ten Paktor

in

7. in

muss man v o r d e r

~mT.n

mit den

7. .... 7. vertauschen. Dies ist eine

15 .I0

Abbildung vom "Grade"

(-i) m ; wendet man

h~it man

(-l)mld

(s. 2.8).

Der Pall

Ixl

oder

-

1

IYl

=

1

t

auf sie an, so er-

echliesslich sei

dem

Leser

lassen. Man kann ein zu 15.20 analoges Diagramm aufstellen, man kann sich mit der Feststellung begn~gen, henden Betrachtung

m

oder

n

~Iberoder

dass in der vorange-

auch negativ sein dUrfen.

16.1

16.

Darstellbarkeit halbexakter l~unktoren.

16.1 Wann ist ein halbexakter Funktor t X ~ ~[X , R]. , wobei

t : E.

R a Top.

> Ens

vonder

nicht unbedingt in

W.

Porm zu

liegen braucht ? +) Diese Prage wurde von [E.H. BROWN] untersucht. Seine Antwort ist positiv in den folgenden F~llen

(a)

W. ~ Kategorie der kompakten zus~mmenh~ngenden CW-R~ume, und die Mengen alle

(b)

t X

sind abz~hlbar (dann sind

abz~hlbar).

W. z W ~ = Kategorie der endlich-dimensionalen zusammenh~ngenden CW-R~ume,

(o)

t Sj , j > 0 ,

t

beliebig.

_W. = W. z Kategorie aller zusammenh~ngenden CW-R~ume und ~t in~ : t X (X , A)

>~im

t(XnvA)

von CW-R~umen in

das n-Skelett und

W..

in : X n ~ A

ist surjektiv f~r jedes Paar Dabei ist > X

Xn

wie ~blich

die Inklusion.

Der Vollst~ndigkeit halber reproduzieren wir Brown's Beweis f~r die F~lle (b) und (c).

16.2 DEPINITION: R e _..

+)

Sei

t : W~

Eine Polge

Man kann

R

> Ens

u n e t Rn

1

n z 1,2...mit

un+l

I Rn = un

stets als CW-Raum voraussetzen; wenn das zun~hst

nicht der Fall ist, so kann man Realisierung

ein halbexakter Punktor und

I s R I

R

z.B. durch die geometrische

des singul~ren Komplexes ersetzen.

16.2

heisst prouniversell,

wenn

bijektiv ist fGr alle

~n : ~[X , R].

X e W.

mit

> t X ,

dim X < n

~n(f) = (t f)un

und surjektiv,

falls

dim X ~ n .

16.3 SATZ:

(i)

Ist

die nat~rliche n > dim X

~u n E t Rnln = 1,2 ... Transformation

durch

prouniversell,

dann ist

~: ~[X , R]. --@ t X , die f~r

~[X , R]. = ~[X , Rn]. ~ n

t X

gegeben ist,

eine E~uivalenz. (ii)

Ist

Y ~ W~

und gen~gt

l y n a t Ynln = 1,2

...

tier V er-

tr~glichkeitsbedingung

yn+l

I y_n ~ yn , d~nu ~ibt es eine zellu-

l~re Abbildung

> R

mit

prouniversell~

Beweis:

h : Y dann ist

h

(t hn)u n - yn . Ist auch

eine Homotopie~quivalenz.

Teil (i) ist klar;

er beruht eben nur auf der Gleichung

%Ix , R]. = ~[X , Rn], , die f~r konstruieren hn+l

konstruiert,

und

~n+l

: yn+l

und

yn h ~

Rn

Effekt auf

u n+l , sind also homotop.

eigenschaft

von

Abbildung

hn+l

bildungen

~hn~

h : Y Ist auch

> R

yn ( yn+l : yn+l

> Rn fGr

mit

i < n

zungchst

> R n+l

schon

eine belie-

. Die beiden Abbildungen

c> Rn+l

haben denselben

Die Homotopieerweiterungs-

mit

hn+l

homotope

I yn = h n . Die Ab-

setzen sich nun zu einer einzigen Abbildung

universell,

Eigenschaften

dann induziert

h

zusammen. Isomorphismen

Homotopiegruppen: -

F~r (ii)

liefert daher eine zu ~ n+l

mit den gewCmschten

~yn I

hi

> R n+l

(t ~ n+l)un+l = yn+l

r > yn+l ~_~.@ Rn+l

besteht.

h n : yn

(t hn)u n = yn . Ist

dann sei

bige Abbildung mit yn

dim X < n

wir induktiv Abbildungen

I yn = h n

~yn~

i,

t si

i,

R .

der

16.3

Nach J.H.C.

Whitehead

[vgl. HILTON,

VII,

3.1~ ist

h

also eine

Homo~opiegquivalenz.

Wir zeigen nun,

16.4 SATZ:

Ist

dass es stets prouniverselle

t : W~

) Ens

halbexakt~

dann gibt es einen CW-Oberraum mit

v~ = a

un = vn

und

vn+l

I Rn)n = 1,2

R~A

I Rn~A

...

= vn

A E W.

Folge

und

und Elemente

a ~ t A , vn ~ t(Rn~A)

derart t dass

~rouniversell

stets eine prouniverselle

Polgen gibt.

ist.

(man setze

Insbesondere

existisrt

A = . , a = .) .

w

Ist

t

sogar auf

f~r

A E W~.

Beweis:

w.

Wir konstruieren

dem Induktionsanfang geben,

definiert;

Rn

und

:

~ n C R n v A)

(dieser Schritt

) t Sn

entf~llt

fGr

,

VS n

und eine Abbildung

X n ( V S n)

auf

ker(v n)

wn+l

Rn , vn

schon ge-

den Kern von

~ncf ) = (t f)v n

abbildet.

Y : VS n

) Rn ~A

, die

Heften wir dann (n+l)-Zellen

T an, d.h. bilden wit den Abbildungskegel

-- ( R n v A ) ~ y

Wegen

induktiv mit

n = 0). Wir w~hlen ein Bouquet yon

Sph~ren

C~

v n ~ t ( R n ~ A)

R ~ = A ~ , v ~ = a . Ist

dann betrachten wir zun~chst ~n

verm~

dann 6ilt d__er Satz auch noch

V e n+l

(tY)vn = 0 I Rn~ A = n

, dann wird

existiert

~n(C~)

w n+l E t(C~)

. Das Diagramm An

xj(Rn~A)

v - > t sj

~j

f j (CY)

sn+l

= ~ n ( R n ~ A)/ker($n ) mit

16.4

zeigt dann,

dass

Die Abbildung

~n+l

~n+l

nicht surjektiv

Rn+lvA

rschtsn Seits)

t

leicht,

~n+l

auf

f~r

> t S n+l

ganz

J ! n . wird im allgemeinen

: ~[X

L@

(z.B.

dass

definiert,

erzeugen.

f~r

j = n+l

> t X

eA,

Dann setzen

e t(C~)X~kt S n + l

: ~j(Rn+lvA)

, Rn+lvA].

dim X < n+l

~w k E t sn+llx

R n+l ~ (n+l)-Skelett

sn+l

und surjektiv

fGr W.

t S n+l

vn+l = ( w n + l , l w ~ )

j ! n

und surjektiv Ist

im(~ n+l)

und

Man verifiziert

aber auch

: ~n+l(C~)

= ( C ~ ) v ( ~ S n+l)

tiv ist fGr

~ t Sj

sein. Wir w~hlen nun Elemente

die zusammen mlt wir

: ~j(C~)

der

= t(Rn+lvA).

> t Sj

injek-

. Nach 7.1 ist dann

injektiv fGr

dim X _< n

.

dann gilt derselbe

Beweis auch f~r

W ~ 9 A ~ _.

16.~ SATZ:

Zu ~edem h a l b e x a k t e n

R r _. W~

und eine prouniverselle

~ : ~[X , R]. ~ t X . exakter Punktor r ~ : lenz und

~ : t

Ist

t'

> Ens

: W~

~[X , R']. = t' X

) t'

eine nat~rliche

h].o~ -I . Ist

~

> Ens

existiert

fun e t Rn I, also

Pol~e

~ibt es eine steti~e Abbildung = ~o~[-,

t : W.

Punktor

ein zweiter halb-

eine natGrliche

Kquiva-

Transformation~

damn

h : R

) R'

, so dass

eine Equivalenz,

dann ist

h

eine

Homotopie~quivalenz.

Beweis:

,~: x[X

Die Existenz

yon

, R']. ~= t' X , dann ist

eine prouniverselle eine zellul~re

t'-~olge

Abbildung

(t'hn)u 'n = ~(u n) e t' R n Ist also

~

eine Equivalenz, h

R , lun~

also

) R' ~o~

dann ist auch

eine Homotopiegquivalenz

Ist

u ' n = 9 [ i': R 'n ( R'] et'R 'n ,n=l,2...

(vgl. 1.10).

h : R y

ist in 16.4 enthalten.

Nach 16.3 ii gibt es

mit Z

~o

~ [ - , h].

~(un)~

nach 16.3 ii.

(vgl. 1.10)

prouniversell,

9

16.5

Wir wenden uns nun den halbexakten

Punktoren

In Ubereinstimmung

u ~ t R

~

mit 1.1 heisst

: ~[X , R]. ---9 t X , ~ ( f )

also

t

dutch

(R , u)

~ (tf) u

dargestellt

W ~4 t : ._..

> Ens

universell,

wenn

sine Equivalenz

wird

zu.

ist,

(in der Kategorie

~[-,-].).

W

16.6 SATZ:

Es sei

t : W.

(16.1 c I. Ein Element wsnn die Fol~e ist fGr

> Ens

Insbesondere

darstellbar

(in der Kate6orie

universelle

Folge

mit

Ww R ~ _.

u a t R,

prouniversell

sind diese ~[~-].)

~ un ~ t Rn B

(s. 16.2)

t : W.~ - - @

Ens

stets

: Man braucht nur sine pro-

zu nehmen

u I Rn - un; sin solches

Punktor wie in

ist genau dann universell,

~un ~ u I Rn~n = 1,2...

t I W~.

u ~ t R

sin halbexakter

(nach 16.5) und dann sin

u

existiert nach Voraus-

setzung 16.1 c .

Beweis: well

let

u

universell,

~[X , Rn].

injektiv fur Umgekehrt n~chst,

> ~[X , R].

dass ~

[ Rn B

prouniversell,

surjektiv ist f~r

fun ~ u I R ~

injektiv ist.

(t f ) u =

Wir betrachten

dim X R

dass

Abbil-

f = g

ist.

den Abbildungstorus

T'(f, g) = R U ( f , g )

[0 , i] 4' X

(s. 3.27); der Strich bei

erinnert daran, dass das Intervall zu identifizieren

u r t R

r t([O , l] ~' X)

R /] ([0 , i] ~ ' X ) = zu einem Element

[0 , 1 ] ~ . ~

ist. Wir k~nnen annehmen,

rungen sind. Die Elements t f u m tgu

~u

dim X < n.

sei jetzt

dungen mit

dann ist

Xv~

zu einem PurLkt f, g

Oofase-

und

stimmen auf dem Durchschnitt

~berein,

v E t T'(f, g)

dass

setzen sioh also ( 5 . 1 )

zusAmmen;

T I ' )r

insbesondere

ist

16.6

(t J ) v ~ u, w e n n

j : R

~ T'

lun~

prouniversell

ist, gibt

dung

h

mit

: T'

) R


bezeichnet.

ss (16.3 ii) eine zellul~re

folgt

16.3 ii),

ist.

k = h j

ein Homotopieinverses, j

eine Oofaserung

r : T'

[0 , 1] ~' X

) T'

) R

mit

D(Xv~)

wn = vn

r) R

fGhrt

I sn~

von

in

~,~

k-

j) ~ id. Weil

). Die Z u s a m m e n s e t z u n g

~[~ . Gegeben ist

vn

vn r t[snv(XvR)]

I (X v R )

v

= (x , u)

Homotopie

f ~ g .

x E t X , gesucht

un

Gber,

und

i : X

> S

, und so dass

~ v n . Die Inklusion

ist also

(t j)v = u . Sel jetzt

, die m i t - e i n a n d e r

ist. Nach V o r a u s s e t z u n g

I snv(xVR)

und

k : S

die Inklusion.

16.1 c gibt j : R

eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z ) R

homotopieinvers

) S (16.3 ii),

zu

j

Dann ist

t(k i)u = (t i) (t k)u = (t i)v = x , also gesuchte

Ist

eine R e t r a k t i o n

ist dann die gesuchte

prouniversell

mit

wn

(s.

(ebenfalls

(t f)u ~ x . Nach 16.4 gibt es einen CW-Raum

sind,

v ~ t S

(k-h)j = k-(h

gibt es nun sogar

und Elemente

vertr~glich

es

dann folgt

r j = id

Nun zur Surjektivit~t f : X

eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z

ist,

> R , also

Abbil-

(t hn)u n = v n , also

t(h j)u n = (t jn)(t hn)u n = (tjn)v n = u n . Daraus dass

Well

f = k i : X

) R

die

Abbildung.

16.7 Das Beispiel

6.2 der (F-G)-Faserb~tudel

ein h a l b e x a k t e r aussetzung

Funktor

der auf

16.1 c erfGllt

klassifizierenden

CW-Raum

man die Grundfaser, abbildungen,

_. W ~

im Sinne von STEENROD

definiert

(~bungsaufgabe R ,

definiert

~

ist und die Vor-

!). Es gibt also

: t X ~ uEX

, RS..

man also Equivalenz

die die Grundfaser

nicht

ist

zu erhalten

einen

Igmoriert

durch BGndelbrauchen,

so

16.7

erh~lt man einen neuen Homotopiefunktor Schwierigkeiten mit be). Die Equivalenz

t X/t S 1 ~

TX

, den man ohne

identifizieren kann (Ubungsaufga-

induziert daher eine Kquivalenz

: ~ X = ~[X , R]./~IR = ~[X , R]

mit den unpunktierten Homotopie-

klassen. Dies ist die Gbliche Form des Klassifikationssatzes Faserb~ndel

CSTEENROD,

w 19]. Es ist bemerkenswert,

fGr

dass der Be-

weis ohne das assoziierte Prinzipalb~ndel auskommt; tats~chlich ~bertr~gt sich das Ergebnis

ja auch auf das Beispiel 6.4 der

"FaserbGndel ohne Strukturgruppe".

Interessanter noch ist das Beispiel 6.5 der Faserhomotopie~quivalenz. Wir erinnern daran, dass serungen ~ber ist

F

X

t X = tFX

mit Grundfaser

F

aus allen schwachen Fa-

> p-l(.)

besteht. Dabei

ein fest~aber beliebig gew~hlter topologischer Raum. Der

halbexakte Funktor

t

ist auf

W.

definiert und g e n t

der Vor-

aussetzung 16.1 c. Letzteres beweist man ~hnlich wie die Eigenschaft (e) in 6.5. Man muss schwache Faserungen, ~pn . E n

> xnl

9

n

zusAmmenheften.

=

1,2

die miteinander vertr~glich sind,

...

Dazu kann man

X

durch den teleskopartigen

iterierten Abbildungszylinder yon .1

.2

xI ~ _ ~ x 2 ~ _ ~ x 3

>

. . . . .

ersetzen (analog 9.6), also durch

x~

[o , l ] •

Das Anfangsst~ck

k < n+l

kann also annehmen, dass

, 2]~x2~[2

, 3]xx3V

ist homotopie~quivalent pn

zu

. . . . .

X n ; man

dar~ber definiert ist und kann

dann sukzessive zusammenkleben wie in 6.5.

16.8 Der Satz 16.6 zeigt also

16.8 SATZ:

Zu ~edem topolo~ischen Raum

F

gibt es einen CW-Raum

Rp

und eine nat~rliche E~uivalenz

tpX ~ ~[X , Rp]. , X E W ~ .

Identifiziert man Elemente von

tpX , die ~quivalent sind bez~g-

lich der Operation yon piefunktor

tpS l, dann erh~lt man einen neuen Homoto-

~F ' und wie oben (16.7) kann man

TFX

mit der Menge

der schwachen P-Faserungen ohne Grundfaser identifizieren.

Aus

16.8 ergibt sich daher das

16.9 KOROLLAR:

~r

Polyeder

worden.

TpX ~ ~[X , Rp]

F

,

X r _. W ~ ,

F beliebig.

war dieser Satz bereits yon STASHEFF bewiesen

17 .I

17 .

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A.1

Anhang

Die Theorie halbexakter wenn die Werte

t X

Funktoren

und

t f

t

wird erheblich

Gruppen und -homomorphismen

oder auch wenn sie in einer abelschen Kategorie den und Konstruktionen dieser einfachere

sind

jedoch im Prinzip

Pall gut als Einf~hrung

liegen.

sodass

in die allgemeine

(~ber den einfacheren Pall)

Autor beim AMS summer institute

sind

Die Metho-

dieselben,

rie dienen kann. Aus diesem Grund wird hier im Anhang eines Vortrags

einfacher,

ein Teil

reproduziert,

for topology,

Theo-

den der

Seattle 1963,

ge-

halten hat. Der Auszug ist gegen~ber der urspr~Luglichen Vortragsvervielf~ltigung

fast unver~ndert.

sequenzen wurden weggelassen, formuliert

sind.

-

Zwei Abschnitte ~ber Spektral-

weil sie oben ( ~ ~ 14 - 15) ~nunlich

Auf den Haupttext wird mit

also z.B. mit M 1.1 auf "darstellbare

1. Half exact functors Let

W

M

Funktoren".

verwiesen, -

of spaces

be the category whose objects are finite CW-complexes

whose morphisms

are homotopy

abelian category.

A

classes

of maps.

(contravariant)

functor

Let

~

t : W

and

be an > ~

is

called half exact if the sequence

(i.i)

t(X/A) is exact for every The objects

X a W

> tX

> tA

and subcomplex

t(si), where

Si

denotes

A ( X . the i-sphere

i = 0,1,2,...

A.2

are called

the coefficients 1.1

If we apply

to

9

X = A = a point

X = AvB

If we apply it to

t

of

(wedge)

we find

we find

t(a point)

t(AvB)

= 0

= tA@tB

;

more generally

(1.2) I.e.,

t

takes

difference to write

sums into products.

betwemn

(finite)

the product

form if one wants

of

1.2

sums and products

sign in

1.2

because

to deal with infinite

thing that follows complexes

There is, of course,

holds

(of finite

in

~

complexes.

provided

; we chose

this is the adequate

for half exact functors

dimensions)

no

Indeed,

every-

on infinite

the "infinite

CW-

analogon"

is satisfied.

If

X c W

is arbitrary

in every component

of

X

and

then

A ( X X/A

contains

is connected

exactly and

one point

1.1,

1.2

imply tX = t(X/A) ~ a natural Moreover, connected

splitting. A =

VjS ~ , tA =

CW-complexes

sider it as obvious Another consider half

a single

remark concerns

However,

therefore

O-cell,

base points.

which are defined

look at

and shall concase.

One could

on h o m o t o p y

classes

it turns out that these are the same

on free h o m o t o p y

an additive

functors

having

. We shall

from 1.3 how to deal with the general

exact functo~s

as those defined

valued

~jt(S ~

only,

simplifying

with base points.

we assume

tA ,

domaine

the situation

classes,

the reason being that

category.

(cf. M,

is quite

different.

5.27) For set (cf. M,

w 4).

A.3

Let

(1.4) Examples: H-space

H

(e.g.

be a homotopy-associative,

H =~2y).

Then

homotopy-commutative

tX =~[X,H]/ Eo H

(homotopy classes

modulo those of constant maps) is half exact. If

A

is the

category of abelian groups then every half exact

t

with countable

coefficients is of this form

(1.5)

Let tX

L

be a fixed space (or a spectrum) and put

{X,L~ = limi[~ix,~iL] = group of stable homotopy classes.

(1.6)

Put over

tX = group of stable vector bundles

X ,

(1.7)

If in

~

i.e.,

h

t = E~

resp.

(real or complex)

K@ .

is a cohomology theory on pairs

(X,A)

with values

(satisfying the Eilenberg-Steenrod axioms except possibly

the dimension axiom) then reduced q-th cohomology of found in

(i.8)

[2].

If

tX = Coker[hq(point) X

--~ hqX] = B q x =

is half exact. Examples can be

[1], [4] st al. ~ : A

> A'

is an exact functor or

~ : W

>

W

a

functcr which takes cofibrations into cofibrations then composition

~t

resp.

t~

with every half exact

exact. Examples for

~

t

is again half

are: the suspension functor

~ , the

~-product with a fixed space, the passage to the n-dual in the sense of Spanier-Whitehead

(the last works in the stable category

only).

2. Comparing half exact functors 2.1 Proposition.

Let

~ : t

half exact functors. I f for all

i ~ n

then

> t'

be a natural transformation of

~(S i) : t(S i) ~ t'(S i)

~ : tX ~ t'X

for all

X

is an e~uivalence of dimension

~ n .

A.4

Proof:

The Puppe sequence [M, 5.6] A

f) B

) Cf

is defined for every continous map homotopy equivalence) any half exact

(2.2)

tA

iI2n+ 1 (X ,A; t'S2n)

= 0 @ @ ~*Cn(7)

,

= 0 , qed.

8. Generalizations. One can generalize t : W

)~

where

one can take half-exactness

~

~ = ENS,

the preceding

results to functors

is not necessarily

abelian.

For instance,

the category of sets, provided we ~eplace

by the Meyer-Vietoris

condition

(e) of Brown [2]

also for most results we then have either to restrict to simply connected

CW-complexes

X

ourselves

or we have to assume that

t

A.13

is n - s i m p l e E ~n X

for all ~ ~l x

,

categories

and

n

; this means:

, and all

ENS

u : W

be half

and for every fibration. t(X,Y,a)

) B

Eor every

Iy) .

~

any c a t e g o r y

of

~

is an

E~ '-q = 0

for

~ : E

.~ B

let

~

--@ X

: E and

be a fibration,

Y ( X

of spaces

be the induced put

over

For instance,

~ 1 ; and

E p'-q

for

with a filtration

is the fibre,

a local c o e f f i c i e n t

Let

This is a f u n c t o r on triples

of pairs

object associated

u(sq•

the following:

system

one has a spectral

~l B

for

p-q ~ 1 ,

p-q ( 0 , is the of

u~q-P(E/F)

* = basepoint

(the group

(X,Y,a)

B) to w h i c h the

E~ '-q = H P ( B , ~ ( s q ~ F / * ~ F ) )

p-q

F ~ n-l(*)

by more general

let

results generalize. such that

consider

a : X --@ B

on the c a t e g o r y

sequence

can be replaced

exact,

a : X

~ u(E /E

preceding

W

As a guiding model

~ ~

Here

take for

category.

categories.

graded

for all

both abelian

of a b e l i a n group objects

On the other hand

(i.e.

X . Generalizing

one can p r o b a b l y

such that the c a t e g o r y abelian

t(~) = t(~.y)

and

~

operates

.

indicates on

= u qF uS q) Other possiblities

the c a t e g o r y of (free)

for

W

are the c a t e g o r y of spectra,

chain complexes

over a fixed ring. Dual

to section l, one could c o n s i d e r h a l f - e x a c t functors w h i c h are exact on fibrations Guided

by these

probably ing in "short

examples

W

a c e r t a i n class

exact sequences",

into exact

sequences.

functors

(instead

of S. Eilenberg)

of m o r p h i s m

X'

) X

t* , i.e.,

of c o f ~ b r a t i o n s ) .

one is lead to a x i o m a t i z e

(following a s u g g e s t i o n

or

W

, too,

by d i s t i n g u i s h ) X"

as

w h i c h the functor would have to carry

A.14

Re~erences

[i]

ATIYAH-HIRZEBRUCH,

Vector bundles and homogenuous spaces,

Proc. Symp. Diff. Geom. Tucson 1960.

ATIYAH, M.

Characters and cohomology of finite groups, Inst. Hautes Etud., Publ. Math., Paris 1961.

[2]

BROWN, E.,

Jr.,

Cohomology theories,

Annals of Math. 75(1962) 467-484.

[3]

CARTAN-EILENBERG,

Homological Algebra,

Princeton Univ. Press 1956.

[4]

DOLD, A.,

Relations between ordinary and extraordinary cohomology, Coll. on Algebr. TopologyjAarhus 1962, p. 1-9.

[5]

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Of~setdruck: Julius Belrz, Welnheim/Bergsrr. Printed in Germany

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