Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad: Учебное пособие по курсу ''Математическое моделирование задач радиофизики и электроники на ЭВМ''

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е ЗА Д А Ч РА Д И О Ф И ЗИ К И И ЭЛЕ К Т РО Н И К И В СИ СТ Е М Е MATHCAD У чебн ое пособие по курсу«М атематическое модел иров ан ие з адач радиофиз ики и эл ектрон ики н а ЭВ М » Специал ьн ость Радиофизика и эл ектрон ика (013800)

В О РО Н Е Ж 2004

2

У тв ерж ден о н аучн о-методическим сов етом физ ического факул ь тета ( 07.04.04 протокол № 4)

А в торы :

Радчен ко Ю .С. К оробов аА .Д

У чебн ое пособие подготов л ен о н а кафедрах радиофизики и эл ектрон ики физического факул ь тета В орон еж ского государств ен н ого ун ив ерситета. Рекомен дуется дл я студен тов 4 курса дн ев н ого отдел ен ия и 6 курса в ечерн его отдел ен ия физического факул ь тета (специал ьн ость радиофизика и эл ектрон ика - 013800)

3

Т Е М А 1. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е Н А О СН О В Е И Н Т Е РП О ЛЯ Ц И И Ф У Н К Ц И Й И Ч И СЛЕ Н Н О ГО Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО В А Н И Я Н еобх од имос т ь в применении инт ерполяции ф унк ций возник ает в различных зад ачах при пос т роении х арак т ерис т ик ус т ройс т в, эле мент ов, процес с ов по резуль т ат ам их эк с перимент аль ного ис с лед ования или рас чет а в от д ель ных т очк ах , при ис поль зовании х арак т ерис т ик в т ак ой ф орме д ля д аль нейш его анализа. Ч ис ле нное д иф ф еренцирование ф унк ций т ак же ис поль зует с я в к ачес т ве ос новной или вс помогат ель ной процед уры при реш ении ряд а зад ачрад иоф изик и и элек т роник и. К ним от нос ят с я, например, опред еление д иф ф еренциаль ных парамет ров ус т ройс т в и их элемент ов: к рут изны х арак т ерис т ик , провод имос т ей и с опрот ивлений переменному т ок у и т .д . Задача ин терпол яции зак лю чает с я в с лед ую щ ем : Н а от резк е [a,b] зад аны n+1 т очк и (узлы инт ерполяции): xi (i=0,n) и значения нек от орой ф унк ции yi = f(xi) в эт их т очк ах . Требует с я пос т роит ь алгебраичес к ий многочлен с т е пени n: Pn (x) = a0 + a1 x + … + anxn , принимаю щ ий в узлах т е же значения, чт о и f(x). Инт ерполяционный м ногочлен Pn(x) может быт ь запис ан различным и с пос обами [I –4,13-20] . Рас с мот рим нек от орые из них . Инт ерполяционный м ногочлен Лагранжа имеет вид n

Pn (x) = ∑ y i ⋅ l i ( x) ,

(1.1)

i= 0

гд е

l i (x) =

n

∏ ( x − x k ) ⋅ (x i − x k )

.

(1.2)

k =0,k ≠ i

Из (I.I) и (1.2) вид но, чт о Pn (xi) = yi , т ак к ак l i ( x ) = 1 (при x = x i ), .

l i ( x ) = 0 (при x = xk ≠ x i ) Погреш нос т ь инт ерполяции оценивает с я выражением

R(x ) = f ( x) − Pn (x) ≤ M n +1 (x − x 0 ) ⋅ (x − x1 )...(x − x n ) /(n + 1)!. Зд ес ь

M n +1 = max f (n +1) ( x) , x ∈ [a, b ] .

Инт ерполяция по Лагранжу являет с я глобаль ной. Поэт ому д обавление ещ е од ного узла инт ерполяции т ребует перес чет а вс ех ф унк ций. Инт ерполяционным м ногочленом Н ь ю т она называет с я полином

4

Pn ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x0 ) ⋅ f ( x 0 , x1 ) + ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ f ( x 0 , x1 , x 2 ) + ...

,

+ ( x − x 0 ) ⋅ ( x − x1 )...( x − x n − 1 ) ⋅ f ( x 0 , x1 ,...xn )

(1.3)

гд е f ( x 0 , x 1 ,... x k ) = f ( x 1 , x 2 ,... x k ) − f ( x 0 , x 1 ... x k −1 ) /( x k − x 0 ) разд еленная разнос т ь k -ого поряд к а. Ес ли ш аг инт ерполяции h=xi – xi-1пос т оянен, т о ф ормулу (1.3) уд обно перепис ат ь либо в вид е первой инт ерполяционной ф ормулы Н ь ю т она (инт ерполяция вперед ) x − x 0 ∆y 0 ( x − x 0 )( x − x 1 ) ∆2 y 0 Pn ( x) = y 0 + ⋅ + ⋅ + ... h 1! 2! h2 , (1.4) n ( x − x 0 )( x − x 1 )...(x − x n −1 ) ∆ y 0 + ⋅ n! hn либо в вид е вт орой инт ерполяционной ф ормулы (инт ерполяция назад ) x − x n ∆y n −1 ( x − x n )( x − x n −1 ) ∆2 y n − 2 Pn ( x) = y n + ⋅ + ⋅ + ... h 1! 2! h2 , (1.5) ( x − x n )( x − x n−1 )...( x − x 0 ) ∆n y 0 + ⋅ n! hn ∆y i = y i +1 − y i к онечная разнос т ь первого поряд к а, гд е ∆k y i = ∆k −1 y i +1 − ∆k − 1y i к онечная разнос т ь k-ого поряд к а. Ч ас т ным и с лучаями ф ормул (1.4) являю т с я: 1.Линейная инт ерполяция P1 (x) = y 0 + p∆y 0 ; ∆y 0 = y 1 − y 0 . (1.6)

2. Квад рат ичная инт ерполяция P2 ( x ) = y 0 + p∆y 0 + p( p − 1) ⋅

∆2 y 0 2 , ∆ y 0 = y 2 − 2y 1 + y 0 2

.

(1.7)

Зд ес ь p = (x-x0)/h . В от личие от инт ерполяции по Лагранжу полином Н ь ю т она при д обавлении новой т очк и не т ребует перес чет а вс его многочлена, а выд еляет с я д обавочное с лагаемое, поэт ому при инт ерполяции по Н ь ю т ону варь ируя чис ло узлов инт ерполяции, легк о менят ь т очнос т ь аппрок с имации ф унк ции f(x) полиномом Pn(x) . Задача числ ен н ого дифферен циров ан ия зак лю чает с я в с лед ую щ ем : Н а зад анном инт ервале [a,b] ис с лед уемая ф унк ция y = f(x) заменяет с я ф унк цией Pn(x) при с овпад е нии значений f(x) и Pn(x) в узлах . (к) (к) Пред полагает с я равенс т во производ ных f (x) = P n (x).

5

В завис имос т и от вид а Pn(x) применяю т с я различные ф орм улы чис ленного д иф ф еренцирования: ф ормулы Н ь ю т она, Лагранжа, Ст ирлинга, Ричард с она и Ромберга (на ос нове с оот вет с т вую щ их инт ерполяционных с оот нош ений) и т .д . Вывод ф ормул с од ержит с я в [1-4,13-20]. Выбор к онк рет ной ф ормулы д ля чис ленного д иф ф еренцирования ос ущ ес т вляет с я в с оот вет с т вии с необх од имой т очнос т ь ю резуль т ат а, т очнос т ь ю зад ания ис х од ных д анных и вид ом f(x). Привед ем получивш ие ш ирок ое рас прос т ранение с оот нош ения на ос нове инт ерполяции по ф ормулам Лагранжа (1.1). 1. Д иф ф еренцирование ф унк ции, зад анной т аблицей, по т рем равноот с т оящ им т очк ам x-1 , x0, x1 (к вад рат ичная инт ерполяция) [19]: 1  1 1   f ′( x) =  p − y − 1 − 2py 0 +  p + y 1  . (1.8) h  2 2   В(2.1): h = x1 - x0 = x0 - x –1 , p=(x1 - x0 )/h. 2. Д иф ф еренцирование ф унк ции, зад анной равноот с т оящ им т очк ам x-1 , x0, x1,x2 [19]: 1  1 − 3р 2 − 6p + 2 y −1 + 3p 2 − 4p − 1 y 0  1 6 2 f ′( x ) =  h 1 1 − 3p 2 − 2p − 2 y 1 + 3p 2 − 1 y 2  2 6

( (

) )

3. Д иф ф еренцирование в неравноот с т оящ их т очк ах :

(

(

узлах

)

)

ф унк ции,

y 2 − y1 y 3 − y1 y 3 − y 2 + − x 2 − x1 x 3 − x1 x 3 − x 2 y − y i−1 y i +1 − y i y i +1 − y i −1 f ′( x i ) = i + − xi − xi−1 xi +1 − xi xi +1 − xi −1 y − y n −1 y n − y n − 2 y n − 1 − y n − 2 f ′( x i ) = n + − xn − xn −1 xn − xn − 2 x n − 1 − x n − 2

f ′( x i ) =

т аблицей,  −   

по

(1.9)

.

зад анной

при при при

чет ырем

т аблицей

в

i=1, i=2,3… n-1, i=n.

(1.10)

При зад ании инт ерполяционного полинома в ф орме Н ь ю т она (1.4) легк о запис ат ь выражения д ля т рех первых производ ных ф унк ции f(x) 1 1 1  f ′( x ) =  ∆y 0 + (2p − 1)∆2 y 0 + 3p 2 − 6p + 2 ∆3 y 0 + ... , h 2 6 

(

f ′′( x) =

(

)

)

1  2 1  ∆ y 0 + (p − 1)∆3 y 0 + 6p 2 − 18p + 11 ∆4 y 0 + ... 2  12 h  

,

6

f ′′′( x ) =

1  3 1 ∆ y + (2p − 3)∆4 y 0 + ... 0 3  2 h  

,

(1.11)

гд е h = xi - xi-1, p=(x - x0)/h . Значения производ ных в узлах инт ерполяции xi (i=0… n), д ля к от орых p – целое чис ло, можно найт и из (1.10) при x = x0 и p = 0. Реал изация числ ен н ы х методов ин терпол яции и диф ферен циров ан ия в системе MathCAD может быт ь провед ена на ос нове аппарат а инд ек с ированных переменных и с т анд арт ных ф унк ций вычис ле ния с умм и произвед ений с ис т емы и на ос нове применения программных с ред с т в [6-10]. Н а рис . 1.1 привед ё н пример программы инт ерполяции полиномам и Лагранжа. Инт ерполируемая завис имос т ь зад ана век т орами значений аргумент а X и ф унк ции Y. Д ок умент с ос т оит из программы опред еле ния к оэф ф ициент ов Лагранжа L(X,Y,k,) и процед уры нах ожд е ния инт ерполирую щ его полинома P(X,Y,x) по эт им к оэф ф ициент ам. Перед вызовом программы необх од имо зад ат ь вид инт ерполируемой завис имос т и в вид е век т оров (пример 1) или инд ек с ированных переменных (пример 1) . Программа иллю с т рирует с я на примере инт ерполяции д вух завис имос т ей: уд овлет ворит ель ной инт ерполяции глад к ой к ривой (пример 1) и неуд овлет ворит ель ной инт ерполяции более с ложной ф унк ции (пример 2). Д ля улучш ения к ачес т ва инт ерполяции и умень ш ения ос цилляции инт ерполирую щ его полинома можно применит ь рас положение узлов инт ерполяции не через равномерные инт ервалы, а в с оот вет с т вии с нулям и полиномов Ч ебыш ева [1,2]: 2i + 1 xi = cos[π ]. 2( n + 1) Сис т ема MathCAD позволяет ос ущ ес т вит ь инт ерполяцию завис имос т ей, зад анных век т ором значений по ос и абс цис с X и орд инат Y, на ос нове нес к оль к их с т анд арт ных ф унк ций: 1. Ф унк ции линейной инт ерполяции linterp(X,Y,x) (x - переменная, от к от орой завис ит инт ерполирую щ ая (аппрок с им ирую щ ая) ф унк ция). 2. Ф унк ции инт ерполяции к убичес к ими с плайнами. При применении эт их ф унк ций провод ит с я пос т роение выбранного вид а с плайнов на ос нове ф унк ций: lspline(X,Y)(ф унк ция ис поль зует с я д ля пос т роения с плайна с линейным прод олжением); pspline(X,Y)(ф унк ция ис поль зует с я д ля пос т роения с плайна с прод олжением параболой); cspline(X,Y)(ф унк ция ис поль зует с я д ля пос т роения с плайна с прод олжением к убичес к ой параболой). Резуль т ат ом д ейс т вия перечис ленных ф унк ций являет с я пос т роение век т ора, с од ержащ его с пециаль ные переменные, опред еляю щ ие вид с плайна (3

7

первых с т рок и), и век т оры вт орых производ ных инт ерполируемой завис имос т и. Инт ерполирую щ ая ф унк ция I(x) с т роит с я к ак I(x)=interp(lspline(X,Y),X,Y,x)(инт ерполяция с линейной эк с т раполяцией);

8

И н терпол яция Инт ерполяция полиномами Лагранжа L ( X , Y , k , x) :=

p←1 for i ∈ 0 .. last ( X) c ← 1 if k

i

c←

if k ≠ i

( x − Xi) X k − Xi

p ← p ⋅c p last( X)

P ( X , Y , x) :=

∑

Yk ⋅ L ( X , Y , k , x)

k=0

Примеры 1.

i := 0 .. 5

2.

X0 i := 0.5 ⋅ i

Y0 i := 1 + 1.8 ⋅ X0i − ( X0i)

3

T

X := ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ) T

Y := ( 1 3 2 −3 5 3 2 0 )

10 Y0

0

Y

P ( X0 , Y0 , x)

P ( X , Y , x)

0

20 0

10

2 X0 , x

0

0.5 X, x

Рис . 1.1

1

9

Ст анд арт ные процед уры инт ерполяции Линейная инт ерполяция L ( x) := linterp ( X , Y , x) Инт ерполяция к убичес к ими с плайнами с линейным прод олжением , эк с т раполяцией параболой и к убичес к ой параболой s1 := lspline ( X , Y)

s2 := pspline ( X , Y)

I1 ( x) := interp ( s1 , X , Y , x)

s3 := cspline ( X , Y)

I2 ( x) := interp ( s2 , X , Y , x)

I3 ( x) := interp ( s3 , X , Y , x) 10

10

Y L ( x)

Y 0

10

I1 ( x)

0

0.5

0

10

1

0

X,x 10

Y

Y

0

I3 ( x)

10

1

X, x

10

I2 ( x)

0.5

0

0.5

0

10

1

X,x

0

0.5 X,x

Рис . 1.2

1

10

I(x)=interp(pspline(X,Y),X,Y,x)(инт ерполяция с эк с т раполяцией параболой); I(x)=interp(cspline(X,Y),X,Y,x)(инт ерполяция с эк с т раполяцией к убичес к ой параболой). Перед ис поль зованием ук азанных ф унк ций д олжны быт ь зад аны век т оры X,Y. 3. Ф унк ции инт ерполяции В –с плайнами. Ф унк ции пред ус мат риваю т возможнос т ь выбора с т епени инт ерполирую щ его полинома n, т очек с ш ивк и ф рагмент ов инт ерполирую щ его полинома (век т ор V). Парамет ры инт ерполирую щ ей к ривой в рас с мат риваемом с лучае зад аю т с я ф унк цие й B= bspline(X,Y,V). Инт ерполяционная ф унк ция с т роит с я к ак Ib(x)=interp(B,X,Y,x). 4. Д вуxмерная с плайн-инт ерполяция. Ст роит с я аналогично п.2 с заменой век т оров X,Y мат рицей значений к оорд инат Mxy и ф унк цией Z , а величины аргумент а ф унк ции X на д вух мерный век т ор [x,y]T [6] . Пример применения наиболее рас прос т ранё нной инт ерполяции к убичес к ими с плайнам и д ля ломаной к ривой, пред варит ель но зад анной век т орами X,Y, пред с т авле н на рис . 1.2 . Ч ис ленное д иф ф еренцирование в с ис т еме MathCAD наиболее прос т о ос ущ ес т вит ь при применении с т анд арт ной процед уры взят ия производ ной (операт ор производ ной на панели вычис лений) к ф унк ции, полученной на ос нове инт ерполяции завис имос т и Y=f(X). Возможна т ак же программная реализация извес т ных мет од ов чис ленного д иф ф еренцирования [7-9]. Рас с мот рим применение опис анных мет од ов и процед ур к реш ению прик лад ных зад ач. П ример 1.1 Ис поль зуя инт ерполяцию с емейс т в вх од ных и вых од ных х арак т ерис т ик биполярного т ранзис т ора, опред елит ь h- парамет ры т ранзис т ора в зад анной рабочей т очк е:UК Э = - 6 В, IК =3 мА , UБ Э = -190 мВ, IБ = 60 мк А . Вх од ные с т ат ичес к ие х арак т ерис т ик и IБ = f(UБ ) (мк А ) зад аны т аблицей 1.1. Вых од ные с т ат ичес к ие х арак т ерис т ик и IК = f(UК Э) (мА ) зад аны т аблицей 1.2. Таблица 1.1

-UБ Э,[м В]

120

140

160

180

200

210

7

5

10

20

35

60

80

6

5.2

11

24

45

74

100

5

5.5

12

26

50

90

130

- UК Э,[В ]

11

Таблица 1.2

UК Э,[В]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

30

1

1.1

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.4

1.4

60

2.4

2.7

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

90

4.1

4.3

4.5

4.7

4.9

5.1

5.3

5.6

5.8

IБ ,[мк А ]

Д ок умент , с ос т авленный д ля реш ения зад ачи в с ис т еме MathCAD 2001, пред с т авлен на рис . 1.3-1.5. Д ля запис и ис х од ных д анных ис поль зованы д ве мат рицы: М i - д ля вх од ных х арак т ерис т ик , Mо - д ля вых од ных ВА Х . Инт ерполяция провед ена с ис поль зованием с т анд арт ных процед ур: - процед уры cspline(x,y), ф ормирую щ ей к убичес к ий с плайн с к убичес к им прод олжением (процед ура применена к т рем вх од ным и т рё м вых од ным ВА Х ); - процед уры interp(s,x,y), производ ящ ей инт ерполяцию вх од ных и вых од ных х арак т ерис т ик к убичес к им и с плайнами. Резуль т ат ы инт ерполяции пок азаны на граф ик ах . Д ля од ной из завис имос т ей к ажд ого с емейс т ва х арак т ерис т ик проиллю с т рировано с равнение ис х од ной и инт ерполирую щ ей к ривых . Зат ем по извес т ным ф ормулам [11] провед ено опред еление вх од ного с опрот ивления h11, вх од ной провод имос т и h22 , к оэф ф ициент а перед ачи т ок а h21. Д ля опред еления к оэф ф ициент а обрат ной с вязи по напряжению h12 применена процед ура реш ения нелинейного уравнения, опис анная д алее. ЗА Д А Н И Е 1.Рас с мот рит е применение мет од ов инт ерполяции и чис ленного д иф ф еренцирования, с т анд арт ных процед ур с ис т ем ы MathCAD на примере привед енных иллю с т раций, а т ак же а) инт ерполяции и д иф ф еренцирования элемент арных ф унк ций: axN( N=1,2,3); eAX; sin(ax), cos(ax) при x= 0 - π/2; 1 б) инт ерполяции ф унк ции Рунге f (x ) = на инт ервале [-1, 1] при 1 + 25x 2 зад ании 8 значений на рас с мат риваемом инт ервале. Сравнит е к ачес т во инт ерполяции при зад ании равноот с т оящ их узлов, инт ерполяции с узлам и Ч ебыш ева, инт ерполяции с т анд арт ным и с ред с т вам и MathCAD. 2. Реш ит е рек оменд уем ые прик лад ные зад ачи с ис поль зованием инт ерполяции и чис ленного д иф ф еренцирования.

12

Рас чет парамет ров т ранзис т ора А ппрок с имация вх од ных х арак т ерис т ик

 120   140  160 Mi :=   180  200  210  〈 〉 Ub := Mi 0

5.2 5.5 

5

10 11 20 24 35 45 60 74 80 100

 12  26   50  90   130 

Uk 1 := 7 Uk 2 := 6 Uk 3 := 5

〈〉 Ib i := Mi i

i := 1 , 2 .. 3

Ci := cspline ( Ub , Ib i)

Fi1 ( u) := interp ( C1 , Ub , Ib 1 , u) Fi2 ( u) := interp ( C2 , Ub , Ib 2 , u)

100

Fi3 ( u) := interp ( C3 , Ub , Ib 3 , u)

Fi1( u) 〈 〉 Mi 1

50

150 0 Fi1(u)

150

200

u , Ub

100

Fi2(u) Fi3(u) 50

0

150

200

Вх од ное с опрот ивление вОм

u,u,u

d  fh11 ( u) :=  Fi2 ( u)   du 

−1

−3

⋅

10

−6

10

h11 = 727.782

Рис . 1.3

h11 := fh11 ( 190 )

13

А ппрок с имация вых од ных х арак т ерис т ик

1  2 3 4  Mo :=  5 6  7 8  9

1

2.4 4.1 

1.1

2.7 4.3  2.9 4.5 

1.2



1.25

3

1.3

3.1

1.35 3.2 1.4

3.3

1.4

3.4

1.4

3.5

〈 〉 Uk := Mo 0

  4.9  5.1   5.3  5.6   5.8  4.7

i := 1 , 2 .. 3

Fo1 ( u ) := interp ( C1 , Uk , Ik 1 , u)

Ib 1 := 30 Ib 2 := 60 Ib 3 := 90

〈〉 Ik i := Mo i Ci := cspline ( Uk , Ik i) Fo2 ( u) := interp ( C2 , Uk , Ik 2 , u )

Fo3 ( u) := interp ( C3 , Uk , Ik 3 , u) 6 4 Fo1 ( u)

4

Fo2 ( u) 〈 〉 Mo 2

Fo2 ( u) Fo3 ( u)

3

2 2 0

5 u , Uk

5

Вых од ное с опрот ивление вОм

u

 d Fo2 ( u)  ⋅0.001  du 

fh22 ( u) := 

−5

h22 = 9.925 × 10

h22 := fh22 ( 6) Ro = 1.008 × 10

Рис 1.4

Ro := 4

1 h22

14

Коэф ф ициент перед ачи т ок а dIk := Fo3 ( 6) − Fo1 ( 6)

dIb := Ib 3 − Ib 1

−3

dIk 10 h21 := ⋅ dIb 10 − 6

h21 = 62.5

Коэф ф ициент обрат ной с вязи по напряжению Ub3 := root ( Fi3 ( u ) − 60 , u , 180 , 210 )

Uk3 := 5

Ub1 := root ( Fi1 ( u ) − 60 , u , 180 , 210 )

Uk1 := 7

−3

( Ub3 − Ub1 ) ⋅ 10 h12 := Uk3 − Uk1

−3

h12 = 6.635 × 10

О пред еление рабочей т очк и при зад ании с опрот ивления нагрузк и, напряжения с мещ ения и вх од ного т ок а R := 1 n ( u) :=

Ek := 10

Ib := 60

( Ek − u) R

10

f ( u) := Fo2 ( u ) − n ( u) Fo2 ( u)

Применение с т анд арт ной процед уры с зад анием инт ервала и началь ного приближения

n(u)

5

0

10 u

ur := root ( f ( u) , u , 6.5 , 7)

u := 6.5

ur = 6.727

ur := root ( f ( u) , u) ur = 6.727

ir := Fo2 ( ur)

5

ir = 3.273

Рис . 1.5

15

Задачи Пос т ройт е х арак т ерис т ик и нелинейных элемент ов рад иоэлек т ронных ус т ройс т в в д анном инт ервале с зад анным ш агом по извес т ным значениям в нес к оль к их т очк ах . О пред елит е инт ерполирую щ ие ф унк ции, пос т ройт е их граф ик и и с равнит е с вид ом ис х од ных завис имос т ей. 1.1. Х арак т ерис т ик а д иод ной емк ос т и (q = 0 – 500 с ш агом 50): Таблица 1.3 12 q10 0 68 115 150 205 228 273 315 397 432 468 500 Кл U, B

0

1

2

3

5

6

8

10

14

16

18

20

1.2. Воль т -амперная х арак т ерис т ик а т уннель ного д иод а (x = 0 –2,25 с ш агом 0,25): Таблица 1.4 x(U) 0 0.1 0.3 0.5 0.65 1.0 1.25 1.75 2.0 2.25 y(i),

0

0.5

0.9

0.75

0.53

0.28

0.2

0.11

0.09

0.16

1.3. Вебер-амперная х арак т ерис т ик а инд ук т ивнос т и ( x = -9 – 9 с ш агом 0,5): Таблица 1.5 3 -7 -5 -3 -1 0 Ψ10 , -9 Вб i, A -0.655 -0.32 -0.18 -0.095 -0.03 0 (к ривая с иммет рична от нос ит ель но начала к оорд инат ). 1.4. Воль т -амперная х арак т ерис т ик а нелинейного с опрот ивления ( x = -4 - 4 с ш агом 0,25): Таблица 1.6 -1.5 -0.9 -0.7 -0.47 -0.35 -0.27 -0.17 -0.08 0 u, B -4.0 i, A

-0.25

-0.225

-0.2

-0.175

-0.125

-0.1

-0.075

-0.05

-0.025

0

(к ривая с иммет рична от нос ит ель но начала к оорд инат ). 1.5. Ис поль зуя чис ленное д иф ф еренцирование, рас с чит айт е к рут изну х арак т ерис т ик пп. 1-4. Пос т ройт е её завис имос т ь от аргумент ов х арак т ерис т ик в ук азанном д иапазоне. 1.6. Ис поль зуя д анные примера 1.1, пос т ройт е завис имос т ь вх од ного с опрот ивления т ранзис т ора от уровня напряже ния UБ Э в д иапазоне 130 – 200 мВ и завис имос т ь вых од ного с опрот ивления от напряжения UК Э в д иапазоне 4-8 В.

16

1.7. Н ормированная с т ок – зат ворная х арак т ерис т ик а т ранзис т ора 3П321А -2 при UCИ = 2 Взад ана т аблицей 1.7. Таблица 1.7 В

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

IC/IC(0)

1

0.72

0.5

0.31

0.15

0.7

0

UЗИ ,

О пред елит е завис имос т ь к рут изны т ранзис т ора от напряжения зат ворис т ок . Т Е М А 2. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е Н А О СН О В Е ЧИ СЛЕ Н Н О ГО И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Я Различные мет од ы чис ленного инт егрирования приме няю т с я при реш ении на Э ВМ ш ирок ого к лас с а зад ач, в час т нос т и: -при рас чет е парамет ров с игналов (эф ф ек т ивных значений, с ред нек вад рат ичной д лит ель нос т и, д оли энергии с игнала в зад анной облас т и с пек т ра, инт ервалов к орреляции и т .д .); - при преобразовании с игналов из од ной ф орм ы пред с т авления в д ругую ; - при рас чет е и преобразовании различных х арак т ерис т ик элек т ронных цепей и ус т ройс т в (час т от ных , перех од ных , энергет ичес к их ); - при анализе возд ейс т вия с игналов на элек т ричес к ие цепи (например, при опред елении энергии, рас с еиваемой в д анной цепи при возд ейс т вии с игнала зад анной ф ормы). В общ ем вид е к вад рат урная ф ормула д ля приближенного вычис ле ния опред еленного инт еграла I может быт ь запис ана к ак b

I = ∫ f ( x ) dx = a

n

∑ A if ( x i ) + R ,

i=o

гд е R - ос т ат ок , опред еляю щ ий т очнос т ь инт егрирования. Извес т ен ряд с пос обов опред еления к оэф ф ициент ов Ai и т очек от с чет ов xi [1-5, 13-20]. Квад рат урные ф ормулы инт ерполяционного т ипа пред полагаю т замену ф унк ции y = f(x) на д анном от резк е [а,b] инт ерполирую щ им полиномом Pn (x) и опред еление

b

b

a

a

∫ Pn (x )dx ≅ ∫ f (x)dx .

Ф ормулы т ак ого т ипа, пос т роенные на равномерной с ет к е с ш агом h = xi – xi-1 с ис поль зованием полинома Лагранжа, называю т ф ормулами Н ь ю т она Кот ес а. О д нак о при n> 7 к оэф ф ициент ы Ai в ф ормуле Н ь ю т она - Кот ес а име ю т громозд к ий вид , а при n >10 мет од с т ановит с я чис ленно неус т ойчивым из-за пред с т авле ния Ai в вид е д робей с боль ш им чис лом значащ их циф р и разных знак ов.

17

Сос т авные к вад рат урные ф ормулы являю т с я с амыми упот ребит ель ным и из-за их прос т от ы и т очнос т и. При получении эт их ф ормул инт ервал [a,b] разбивает с я на n под ынт ервалов величиной h , внут ри к от орых ф унк ция f(x) инт ерполирует с я м ногочленом неболь ш ой с т епени. Так им образом, получаю т с я с ос т авные или "общ ие" ф ормулы прямоуголь ник ов, т рапеций, Симпс она и т .д . Ф ормулы Н ь ю т она - Кот ес а с n узлами инт ерполяции являю т с я не приближенным и, а т очным и д ля ф унк ции y = f (x) в вид е полинома с т епени n-1. Ес ли узлы инт ерполяции xk выбрат ь неравномерно в с оот вет с т вии с рас положением нулей полинома Лежанд ра поряд к а n , т о получает с я ф ормула Г аус с а. Ф орм ула Г аус с а являет с я т очной, ес ли f(x) - полином с т епени 2n-1. Перечис лим нек от орые наиболее упот ребит ель ные ф ормулы чис ленного инт егрирования [19]. I. Ф орм улы прямоуголь ник ов: а) левых прямоуголь ник ов

n −1

I = h ∑ f ( a + ih ) + R , i =0

б) правых прямоуголь ник ов

n

I = h ∑ f ( a + ih ) − R , i=1

гд е R = nh / 2f (ξ), ξ∈ [a,b] - т очк а, в к от орой f′(x) д ос т игает мак с имума; в) мод иф ицированная ф ормула прямоуголь ник ов n h nh 3 I = h ∑ f (a + ih + ) + ⋅ f ′′( ξ ) . 2 24 i=1 2

`′

2.Ф ормула т рапеций n f ( a) + f ( b )  nh 3 I = h  ∑ f ( a + ih ) +  − 12 f ′′′( ξ ) 2 i=1 

.

3. М од иф ицированная ф ормула т рапеций (ф ормула Э йлера-М ак лорена) n f ( a) + f ( b )  h 2 11nh 5 4 I = h  ∑ f ( a + ih ) +  − 12 [f ′(b ) − f ′(a )] + 720 f (ξ ). . 2  i =1  4. Ф ормула Симпс она (ф ормула парабол) I = (h / 3){f(a) + f(b)+4[f(a+h)+f(a + 3h) + … +f(a +(n-1)h)] + 2[f(a+2h)+f(a + 4h) + … +f(a +(n-2)h]} – nh5 f4(ξ) / 180, n = 2k,

k = 1,2… .

18

5. Ф ормула Г аус с а b−a n 22n + 1 (n! )4 I= A if ( x i ) + f 2n ( ξ ), ∑ 3 2 i =1 ( 2n + 1)[( 2n )! ] b+a b−a + ti , 2 2 t i - значения узлов на с т анд арт ном инт ервале [-1,1], с овпад аю щ ие с положением нуле й полиномов Лежанд ра. Значения узлов ti и к оэф ф ициент ов Ai . привед ены в [19]: гд е

n= I:

xi =

ti= 0,

Ai= 2;

n= 2:

- t1= t2 = 0,577 350 269,

A1=A2= 1;

n= 3:

- t1 = t3 = 0,774 596 669, t 2=0,

A1=A3= 0,555 555 555, A2 = 0,888 888 ;

n = 4:

- t1= t4 = 0,861 136 311, -t2 =t 4 = 0,339 981 043,

А 1=А 4= 0,347 854 845, А 1= А 3=0,652 145 155;

n= 5:

- t1= t5 = 0.906 179 846, - t2=t4= 0,538 468 310, - t3=0,

A1=A5= 0,236 926 885, A2=A4=0,478 628 670, A3 = 0,568 888 888.

Сравнит ель ный анализ резуль т ат ов рас чет а по различным к вад рат урным ф ормулам пок азывает , чт о: а) ф ормула Сим пс она при n орд инат ах д ает примерно т у же с т епень т очнос т и, чт о ф ормула т рапе ций при 2n орд инат ах ; б) мет од Г аус с а при n орд инат ах д ает примерно т у же с т епень т очнос т и, чт о и ф ормула Сим пс она при 2n орд инат ах ; в) мод иф ицированные ф ормулы прямоуголь ник ов и т рапеций имею т т ак ой же поряд ок т очнос т и, чт о ф ормулы т рапеций и Симпс она с оот вет с т венно.

Реал изацию раз л ичн ы х формул числ ен н ого ин тегриров ан ия средств ами системы MathCAD - 2001 иллю с т рирую т программ ы вычис ления опред елё нного инт еграла от ф унк ции f(x) на от резк е [a,b] с чис лом разбиений N (рис . 2.1), а т ак же эк с т раполяционные ф ормулы (рис . 2.2). О т очнос т и мет од ов и эф ф ек т ивнос т и эк с т раполяционных ф ормул позволяет с уд ит ь с равнение резуль т ат ов инт ерполирования д ля д вух примеров.

19

В ы числ ен ие определ ен н ого ин теграл а Ис поль зование программной реализации ф ормул чис ленного инт егрирования P ( f , a , b , N ) :=

h←

( b − a) N

мод иф ицированная ф ормула прямоуголь ник ов

s←0 for i ∈ 0 .. N − 1 s ← s + f [ a + h ⋅( i + 0.5 ) ] s⋅ h T ( f , a , b , N) :=

h←

( b − a) N

s ← 0.5( f ( a) + f ( b) ) for i ∈ 1 .. N − 1

ф ормула т рапеций

x ← a + i ⋅h s ← s + f ( x) s ⋅h S ( f , a , b , N) :=

h←

( b − a) N

s←0 ф ормула Симпс она

for i ∈ 1 .. N x1 ← h ⋅ ( i − 1) + a x2 ← h ⋅ i + a

 

x3 ← h ⋅  i −

1 +a 2

p ← f ( x1) + f ( x2) + 4 ⋅f ( x3) s ← s + h⋅

p 3

s 2

Рис . 2.1

20

Э к с т раполяционная ф ормула Ричард с она R ( f , a , b , N) :=

( 4 ⋅ T ( f , a , b , 2N ) − T ( f , a , b , N) ) 3

Э к с т раполяционная ф ормула Б уля

B ( f , a , b , N) :=

( 16 ⋅S ( f , a , b , 2N) − S ( f , a , b , N ) ) 15

Ст анд арт ная процед ура инт егрирования b

⌠ Int ( f , a , b) :=  f ( x) dx ⌡a Сравнение т очнос т и мет од ов 2

f ( x) := x ⋅sin ( x) a := 0

b := π

g( x) := ln ( 1 + x) N := 100

5

P ( f , a , b , N ) = 5.8700102698

f ( x)

T ( f , a , b , N) = 5.8687926615

g( x)

0

R ( f , a , b , N) = 5.8696044004 S ( f , a , b , N) = 5.8696044004

5

B ( f , a , b , N) = 5.8696044011

0

2

4

x,x

Int ( f , a , b) = 5.8696044011 P ( g , a , b , N ) = 2.7439747359

S ( g , a , b , N ) = 2.7439435435

T ( g , a , b , N) = 2.7438811589

B ( g , a , b , N ) = 2.7439435442

R ( g , a , b , N) = 2.7439435435

Int ( g , a , b ) = 2.7439435442

Рис . 2.2

21

Пак ет MathCAD - 2001 пред ус мат ривает стан дартн ую процедуру числ ен н ого ин тегриров ан ия, от раженную на панели вычис лений операт ором опред елё нного инт еграла. В с ис т ем у вс т роено нес к оль к о чис ленных мет од ов инт егрирования. Выбор мет од а производ ит с я в к онт ек с т ном меню , к от орое появляет с я при первом щ елчк е мыш ь ю по операт ору инт егрирования. Пред ус мот рено ис поль зование 5 с пос обов инт егрирования: 1. А вт омат ичес к ий выбор (AutoSelect). 2. М ет од Ромберга (Romberg). 3. А д апт ивный мет од (Adaptive). 4. М ет од опред еления инт егралов с бес к онечными пред елами (Infinite Limit). 5. М ет од вычис ления нес обс т венных инт егралов вт орого род а (Singular Endpoint). При первом с пос обе выбор мет од а инт егрирования ос ущ ес т вляет с я авт омат ичес к и. О бычно по умолчанию ук азывает с я именно эт от пунк т . В боль ш инс т ве с лучаев его ис поль зование обес печивает д ос т ат очную т очнос т ь . В нек от орых с ит уациях (например, при наличии у ф унк ции т очек разрыва) может быт ь выбран д ругой с пос об. М ет од Ромберга эф ф ек т ивно применяет с я д ля ф унк ций, не имею щ их ос обеннос т ей. М ет од ос нован на ис поль зовании ф ормул т рапеций. Ид ея мет од а в ис поль зовании с лед ую щ их эт апов [6]: 1. В к ачес т ве нулевого приближения вычис ляет с я значение площ ад и т рапеции, ос нования к от орой провед ены через границы промежут к а инт егрирования. Полученное значение занос ит с я в мат рицу к ак элеме нт с инд ек с ами 0,0. 2.Запус к ает с я цик л. Н а к ажд ом его к руге ш аг умень ш ает с я вд вое. Н а первом оборот е цик ла вычис ляет с я инт еграл по ф ормуле т рапеций при ус ловии, чт о инт ервалов инт егрирования уже д ва. Полученное значение занос ит с я в первую с т рок у нулевого с т олбца. Д алее рас с мат риваю т с я 4 инт ервала, резуль т ат занос ит с я во вт орую с т рок у и т .д . 3. По ф ормулам Ромберга и Б уля (рис 2.2 ) рас с чит ываю т с я приближе ния по мет од у Симпс она и Б уля. Заполняю т с я с оот вет с т венно первый и вт орой с т олбцы мат рицы приближений и т .д . 4. О с т ановк а цик ла ос ущ ес т вляет с я при разнос т и д вух пос лед оват ель ных приближений мень ш е зад анной т очнос т и. Пример программы реализации алгорит ма привед ё н в [6]. А д апт ивный мет од пред назначен д ля вычис ления инт егралов от ф унк ций, быс т ро изменяю щ их с я на промежут к е инт егрирования. О с обеннос т ь ю мет од а являет с я завис имос т ь инт ервала инт егрирования от с к орос т и изменения ф унк ции. Ч ет вё рт ый мет од пред назначен д ля вычис ления нес обс т венных инт егралов первого род а (инт егралов с бес к онечным и пред елам и). Перек лю чение на него проис х од ит авт омат ичес к и при появлении в операт оре инт егрирования с им вола бес к онечнос т и.

22

Пят ый мет од пред назначен д ля вычис ления инт егралов в с лучае, ес ли ф унк ция не опред еле на х от я бы в од ной из т очек пред елов инт егрирования. Пом имо ук азанных мет од ов чис ленного инт егрирования при зад ании аналит ичес к ого вид а под ынт еграль ной ф унк ции можно вос поль зоват ь с я с им воль ным процес с ором д ля аналит ичес к ого опред еления инт егралов. Применение с т анд арт ных с ред с т в с ис т ем ы MathCAD - 2001 д ля вычис ления опред елё нного инт еграла иллю с т рирует с я рис . 2.2. Рас с мот рим применение чис ле нного инт егрирования д ля реш ения од ной из прик лад ных зад ач. П ример 2.1 О пред елит ь эф ф ек т ивное значение с ложного с игнала V(t) с период ом T = 1 мк с . Сигнал зад ан т аблицей значений с инт ервалом Т/12 (т абл.2.1). Таблица 2.1 i

1

2

3

4

5

6

7

Vi

-0.433

-0.067

0

0.067

0.433

1

1.299

8

9

10

11

12

0.933

0

-0.933

-1.299

-1

Реш ение зад ачи иллю с т рирует с я на рис . 2.3 Д ля опред еления эф ф ек т ивного значения с игнала VЭФ Ф (t) ис поль зована с т анд арт ная ф ормула. Ч ис ленное опред еление инт еграла ос ущ ес т вляет с я д вумя с пос обами: а) на ос нове ис поль зования с т анд арт ных с ред с т в инт егрирования с ис т емы MathCAD - 2001 с пред варит ель ной инт ерполяцией с игнала, пред с т авленного в вид е век т ора V, к убичес к им и с плайнами; б) при ис поль зовании ф ормулы прямоуголь ник ов, применё нной д ля зад ания с игнала в вид е ряд а от с чё т ов. ЗА Д А Н И Е 1.Рас с мот рит е примене ние программ мет од ов чис ленного инт егрирования и с т анд арт ных процед ур с ис т ем ы MathCAD - 2001 при аналит ичес к ом зад ании под ынт еграль ной ф унк ции и пред с т авлении под ынт еграль ной ф унк ции в вид е ряд а от с чё т ов:

23

О пред еление эф ф ек т ивного значения с игнала, зад анного ряд ом от с чет ов на период е TT TT := 10

−6

i := 0 , 1 .. N

 −1     −0.433   −0.067     0   0.067   0.433    V :=  1   1.299    0.933    0     −0.933   −1.299   −1   

N := 12 T i := i⋅

TT N

Ис поль зование с плайн-инт ерполяции и с т анд арт ной процед уры инт егрирования S := cspline ( T , V) v ( t) := interp ( S , T , V , t) 2 1

TT

V v( t)

0

Vef :=

1 2 0

5 .10 T, t 7

⌠  ⌡0

TT

Vef = 0.791

Ис поль зование ф ормулы прямоуголь ник ов

TT h := N

N−1

I := h ⋅

∑

2

( v ( t) ) dt

(Vi) 2

Vef1 :=

i= 0

Vef1 = 0.791

Рис . 2.3

I TT

24

а) рас с мот рит е т ес т овые зад ачи 1, 2 с извес т ными т очным и значе ниям и инт егралов: Тес т 1.

1

I = ∫ 10e − xdx

(I = 6.321205);

0

1, 95

∫

I=

Тес т 2.

−1,95

2 1 e − x / 2dx 2π

(I = 0,9500);

б) опред елит е инт егралы д ля ф унк ций, зад анных примерах .

в привед енных

2. Ис поль зуя рас с мот ренные программы и с т анд арт ные процед уры, реш ит е ук азанные прик лад ные зад ачи. П римеры поды н теграл ьн ы х ф ун кций (определ ен ие ин теграл ов н а ин терв ал е [a,b]) 2

4

1. x ; 2 2. sin(x+x );

[0, 3]; [0, 0,8];

16. x +1; 2 17. sin(x );

3. cos(x); 2 -1 4. (1+x ) ,

[-1,5, 1,5]; [-4, 4];

18. cos(x ); [-1,5, 1,5]; 19. 1/(1+exp(-x)); [-1, 2];

5. x(1+exp(-x )) ;

[0, 1,5];

20. 1/(2+cos(x )); [-2,5, 2,5];

6. ln(2+cosx); 4 7. 1/(1+2x ) ,

[0, 1,5]; [-2, 2];

21. sh(-x ); 22. sin(cosx);

8. cos(sinx); 3 9. cos(x ); 10. sinx/(2+ sinx) ); 11. exp(cosx) ; 12. arctg(x-1); 13. arctg (exp(-x)); 2 4 14. (x +1)/ (x +1); 4 15. sinx/(1+x );

[-1, 1]; [-0,5, 1,2]; [0, 1,5]; [0, 1]; [0,5, 4]; [-2, 2]; [0, 4]; [0, 3];

23. x /(1+ch(x )) 2 24. ln(1+x+x ); 25. exp(sinx); 26 . sh(cosx); 27. cos(shx); 28. sinx/x; 2 2 29. sin(x )/x ; 2 30. sin(exp(-x ));

-2

-1

[-2,5, 2,5]; [0, 1,5];

2

2

2

2

[0, 3]; [0, 1,5]; 2

[0, 2,5]; [0, 5]; [-1, 1]; [0, 1,5]; [-2, 2]; [-3, 3]; [-3, 3]; [0, 2].

Задачи 2.1. О пред елит е энергию с игнала E =

∞

∫ S(x )dx

−∞

с пек т р

2

S( x ) = e − x (1 + x 2 ) −1 .

,

имею щ его энергет ичес к ий

25 ∞

b

2.2. О пред елит е д олю энергии с игнала ∂ = ∫ S ( x )dx / ∫ S ( x )dx , a

име ю щ его энергет ичес к ий с пек т р [0,0,5], [0,1], [0,1,5].

0

2

S( x ) = e − x (1 + x 2 ) − 2 ,

в инт ервалах

2.3. По ф ормуле ∆t 2 =

∞

∫

−∞

∞

t 2s 2 ( t )dt / ∫ s 2 ( t )dt −∞

опред елит е эф ф ек т ивную д лит ель нос т ь с игналов 4 а) s(t) = exp(-t ); −α t

при α = 103 с -1. б) s( t ) = Ae 2.4.Колок олообразный (гаус с овс к ий) им пуль с зад ан в вид е 2 2 s(t) = A exp(-2t /τ и ), t > 0, τ и = 1 мс . О пред елит е час т от у f ГР, ограничиваю щ ую полос у, в пред елах к от орой с од ержит с я 90% энергии им пуль с а. 2.5. Э к с поненциаль ный им пуль с напряжения u(t) = exp(- α t) t > 0 ; u(t) = 0, t < 0 д ейс т вует на цепь , под авляю щ ую вс е час т от ы, превыш аю щ ие граничное значение fГР , при к от ором А Ч Х с пек т ра с нижает с я д о од ной д ес ят ой мак с ималь ного значения U(0). О пред елит е д олю энергии в от с ек аемой час т и с пек т ра. 2.6. Н айд ит е инт ервал к орреляции к орреляционной ф унк цией

∞

τk = ∫ ρ( τ )dτ

с лучайного процес с а с

0 k

ρ( τ ) = exp[ − τ / τ 0 ]

при k = 1,2,3,4 и τ 0 = 0, 1, 10 2.7. Н айд ит е взаим ную к орреляционную ф унк цию , инт ервал к орреляции д вух прямоуголь ных им пуль с ов с парамет рам и U1 = 1 мВ, τ и1 =1мс и U2 = 2 мВ, τ и2 = 0,5 мс ( t0 = 0). 2.8. Корреляционная ф унк ция импуль с а имеет вид :  A 2 ( 2τ и − 3τ ) τ ≤ τи  2 ρ( τ ) =  A ( τ − 2τ и) 2τ и ≥ τ > τ и  0 τ > 2τ и  τ и = 1 мс О пред елит е инт ервал к орреляции.

26

Т Е М А 3. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е С И СП О ЛЬ ЗО В А Н И Е М ЧИ СЛЕ Н Н О ГО РЕ Ш Е Н И Я Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А ЛЬ Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й Реш ение м ногих зад ач, т ребую щ их анализа нес т ационарных режимов линейных и нелинейных с х ем, ос новано на примене нии мет од ов чис ленного реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений. Э т и мет од ы являю т с я час т ь ю алгорит мов и программ рас чет а перех од ных процес с ов в нелинейных цепях мет од ом переменных с ос т ояния. Прос т ейш ие зад ачи эт ого к лас с а: анализ от к лик а д иф ф еренцирую щ их и инт егрирую щ их цепочек , цепей с зад анной перех од ной х арак т ерис т ик ой на с игнал д анной ф ормы, рас чет процес с ов в цепях с переменными парамет рами. dy Реш ение обык нове нного д иф ф еренциаль ного уравнения = f (x, y ) dx зак лю чает с я в опред елении вид а завис имос т и y(x) при извес т ных началь ных ус ловиях x = x0 , y = y0 . Различные мет од ы чис ленного реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений [I – 5,13-20] можно ус ловно разд елит ь на од нос т упенчат ые (од нош аговые) и многос т упенчат ые (многош аговые). О д нос т упенчат ые мет од ы ис поль зую т инф ормацию о с амой к ривой y(x) в од ной т очк е (значение y(x) в д анной т очк е xi+1: yi+1 , i = 1,2,… опред еляет с я т оль к о величиной y(x) в пред ыд ущ ей т очк е х i, yi). К эт им мет од ам от нос ят с я мет од ы Рунге - Кут т а различного поряд к а. М ногош аговые мет од ы (мет од ы прогноза и к оррек ции или пред ик т ор-к оррек т ор) ос нованы на ис поль зовании инт ерполяции и эк с т раполяции (к онечно-разнос т ные мет од ы). О ни т ребую т д ля нах ожд е ния yi+1 знания нес к оль к их значений yi yi-1 … yi-k в завис имос т и oт поряд к а мет од а. Соглас но эт им мет од ам на ос нове реш ения уравнения в пред ш ес т вую щ их т очк ах опред еляет с я (прогнозирует с я) его реш ение на д анном ш аге, в прос т ейш ем с лучае (ф ормула Э йлера) можно ис поль зоват ь знание т оль к о од ного пред ыд ущ его значения yi , y′i . Привед ем нек от орые из наиболее рас прос т раненных ф ормул д ля реш ения обык новенных д иф ф еренциаль ных уравнений [19] с ук азанием поряд к а погреш нос т и (O(hk )). Ф ормулы Рунге-Кут т а (Р. -К.) 1. Ф ормула Э йлера (Р. -К. первого поряд к а) yi+1 = yi +h f(xi, yi) + O(h2) (h = xi+1 - xi , i = 1,2,… n-1). 2. М од иф ицированный мет од Э йлера (Р. -К. вт орого поряд к а) 3

а) yi+1 = yi + k2 - O(h ),

k1 = h f(xi,yi), 3

б) yi+1 = yi + 0.5(k1 + k2 ) + O(h ),

k2 = h f(xi + h/2, yi + k1 /2),

k1 = h f(xi ,yi),

k2 = h f(xi + h, yi + k1).

27

3. Ф ормула Рунге-Кут т а т рет ь его поряд к а 4 yi+1 = yi + (k1 + 4k2 + k3 ) / 6+ O(h ), k1 = h f(xi,yi), k2 = h f(xi + h/2, yi + k1/2), k3 = h f(xi + h, yi - k1 + 2 k2). 4. Ф ормула Рунге-Кут т а чет верт ого поряд к а 5 yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k 3 + k4) / 6+ O(h ), k1 = h f(xi,yi), k2 = h f(xi + h/2, yi + k1/2), k3 = h f(xi + h/2, yi + k 2/2), k4 = h f(xi + h, yi + k3 ). Ф ормулы т ипа прогноз–к оррек ция 5. Прогноз вт орого поряд к а y(0)i+1 = yi-1 +2h f(xi ,yi) + O(h3 ) а) Коррек ция по ф ормуле т рапеций y(1)i+1 = yi +h [f(xi ,yi) + f(xi+1 ,y(0)i+1)] / 2. б) Коррек ция с ит ерациям и y(j) i+1 = yi +h [f(xi ,y i) + f(xi+1 ,y(j-1)i+1 )] / 2. (Прогноз по ф ормуле Э йлера yi+1 = yi +h f(x i ,yi) д ает мень ш ую т очнос т ь , чем ф ормула пунк т а 5). 6. Э к с т раполяционная ф ормула А д амс а чет верт ого поряд к а yi+1 = yi + h [55yi′ +59 y′i-1 +37y′i-2 - 9 y′i-3 ] / 24 + O(h5 ), yi′ = f(xi,yi) 7. Ф ормула М илна Прогноз y(0)i+1 = yi-3 + 4h [2yi′ + y′i-1 + 2y′i-2] / 3 + O(h5 ). Коррек ция y(1)i+1 = yi-1 + h [4yi′ + y′i-1 + f(xi+1 ,y(0)i+1 )] / 3 + O(h5) О с обеннос т ь ю ф орм ул т ипа прогноз-к оррек ция являет с я т о, чт о нес к оль к о началь ных значений yi необх од имо вычис лят ь д ругим и мет од ами (например, мет од ом Рунге-Кут т а). Д ос т оинс т во мет од ов - с ок ращ ение времени с чет а (по с равнению с мет од ами Р.-К.) вс лед с т вие умень ш е ния чис ла обращ ений к вычис лению f(x,y). Н ед ос т ат ок - возможная неус т ойчивос т ь (из привед енных ф ормул наиболь ш ей ус т ойчивос т ь ю облад ает ф ормула А д амс а). Д ос т оинс т вом мет од а Рунге-Кут т а являет с я возможнос т ь начинат ь инт егрирование и легк о изменят ь его ш аг. Реш ен ие диф ферен циал ьн ы х урав н ен ий с ис поль зованием привед енных ф ормул иллю с т рирует д ок умент , с ос т авленный в системе MathCAD-2001, на рис .3.1- 3.2. Иллю с т рация провед ена на примере мет од а Э йлера, мод иф ицированного мет од а Э йлера и мет од а Рунге-Кут т а чет верт ого поряд к а (РК4). М ет од ы реализую т с я с ис поль зованием инд ек с ированных переменных и программных с ред с т в (мет од Э йлера). Д ля с равне ния привед ено т очное реш ение уравне ния yt.

28

П рименение вс т роенных ф унк ций д ля реш ения д иф ф еренциаль ного уравнения D ( x , y) := sin ( x) ⋅ y y0 := 1

N := 100

x1 := 0

y1 := rkfixed ( y0 , x1 , x2 , N , D)

x2 := 10

y2 := Bulstoer ( y0 , x1 , x2 , N , D)

y3 := Rkadapt ( y0 , x1 , x2 , N , D) Применение вычис лит ель ного блок а д ля реш ения д иф ф еренциаль ного уравнения Given d y ( x) dx

sin ( x) ⋅ y ( x)

i := 0 , 1 .. 100

y ( 0)

y := odesolve ( x , 10 , 100 )

1

yi := y ( xi)

xi := 0.1 ⋅i

10 y 〈1〉 y1

Пример программной реализации мет од а реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений (мет од Э йлера) RK1 ( f , x0 , y0 , h , xmax) :=

5

0

0

5 〈 〉 x , y1 0

y 0 ← y0 n←0 for x ∈ x0 , x0 + h .. xmax − h

yn+ 1 ← yn + h ⋅ f ( x + h , yn)

Xn ← x n←n+1

X  y

E←

Рис . 3.1

10

29

Реш ен ие диф ф ерен циал ьн ого урав н ен ия числ ен н ы ми методами f ( x , y) := x⋅ y h := 0.1

N := 10

x0 := 0

y0 := 1

i := 1 .. N

М ет од Э йлера

 xi    :=  yi 

xi− 1 + h      yi− 1 + h ⋅ f ( xi− 1 , yi−1) 

 ( xi) 2    2   yti := e

y1 := y

М од иф ицированный мет од Э йлера

 xi    :=  yi 

xi−1 + h      yi−1 + h ⋅f ( xi−1 + 0.5 ⋅ h , yi−1 + 0.5 ⋅f ( xi−1 , y i−1) ) 

y2 := y

М ет од Рунге-Кут т а чет верт ого поряд к а k1 ( x , y) := h ⋅f ( x , y)

 

k3 ( x , y ) := h ⋅f  x +

 

k2 ( x , y) := h ⋅ f  x +

h k2 ( x , y )  ,y +  2 2 

h k1 ( x , y)  ,y +  2 2 

k4 ( x , y ) := h ⋅f ( x + h , y + k3 ( x , y) )

k ( x , y) := k1 ( x , y) + 2 ⋅k2 ( x , y) + 2 ⋅ k3 ( x , y ) + k4 ( x , y)

 xi    :=  yi 

xi−1 + h   k ( xi−1 , y i−1) y +  i− 1 6 

   

y4 := y 2 y1i

1.8

y2i

1.6

y4i

1.4

yti 1.2 1

0

0.5 xi

Рис . 3.2

1

30

Стан дартн ы е средств а системы MathCAD-2001пред ус мат риваю т реш ение обык новенных д иф ф еренциаль ных уравнений (О Д У ) при помощ и вс т роенных ф унк ций и вычис лит ель ного блок а Given - Odesolve. При приме нении вс т роенных ф унк ций с чит ает с я, чт о О Д У зад ано в вид е зад ачи Кош и: y′= D(x y) при зад анном значении y0 д ля x0 = 0. Зад аю т с я т ак же начало инт ервала x1, к онец инт ервала x2, чис ло ш агов N. Привед ё м вс т роенные ф унк ции, наиболее час т о применяю щ иес я д ля реш ения О Д У : rkfixed(y0, x1, x2, N, D) - ф унк ция реализует мет од Рунге-Кут т а чет вё рт ого поряд к а; rkadapt(y0, x1, x2, N, D) - ф унк ция реализует ад апт ивный алгорит м мет од а Рунге-Кут т а с завис ящ им от с к орос т и изменения ф унк ции ш агом (уд обна д ля ос циллирую щ их ф унк ций); Bulstoer(y0, x1, x2, N, D) - ф унк ция реализует мет од Б улирш а-Ш т ера, обес печиваю щ ий д ля глад к их ф унк ций более т очное реш ение за мень ш ее время, чем РК4. Ф унк ции пред назначены д ля реш ения линейного О Д У первого поряд к а. При необх од имос т и реш ения уравнения более выс ок ого поряд к а оно может быт ь с вед ено к с ис т еме уравнений первого поряд к а. Применение привед ё нных ф унк ций д ля реш ения О Д У пок азано на рис .3.1. Д ля реш ения с ис т емы линейных д иф ф еренциаль ных уравнений в ук азанных ф унк циях ис поль зует с я век т ор переменных Y=[y1,y2… yn], век т орная ф унк ция D(x, Y), ве к т ор началь ных ус ловий Y0 ==[y01,y02 … y0n]. В ряд е с лучаев уд обно применят ь д ругие с пециаль ные вс т роенные ф унк ции д ля реш ения О Д У . О ни опис аны в [6 ]. Применение вычис лит ель ного блок а Given - Odesolve пред полагает реш ение линейного О Д У мет од ом РК4. При реализации реш ения выполняет с я с лед ую щ ая пос лед оват ель нос т ь д ейс т вий: - Зад аё т с я ввод ное с лово Given (д ано). - Н иже ввод ного с лова зад аё т с я уравнение. Д ля зад ания производ ных ис поль зую т с я с пециаль ные операт оры панели Calculs или мет к и-ш т рих и ввод ят с я при помощ и с очет ания [Ctrl] + [F7]. - В к ачес т ве знак а раве нс т ва ис поль зует с я логичес к ое равенс т во (панель Bold Equal). - Зад аю т с я началь ные ус ловия. - Вызывает с я с пециаль ная ф унк ция odesolve(x,b,[step]), гд е x переменная, от к от орой завис ит д анная ф унк ция, b - верх няя граница инт ервала поис к а реш ения (нижняя граница зад аё т с я в началь ных ус ловиях ), step - чис ло ш агов (ес ли оно не зад ано, т о по умолчанию парамет р зад аё т с я т ак , чт о д лина ш ага h = 0,1). Пример реш ения лине йного д иф ф еренциаль ного уравне ния с ис поль зованием вычис лит ель ного блок а привед ё н на рис . 3.1.

31

Рас с мот рим примеры реш ения прик лад ных зад ач, пред полагаю щ их реш ение д иф ф еренциаль ных уравнений и с ис т ем д иф ф еренциаль ных уравнений. П ример 3.1 Проанализироват ь процес с ы в к онт уре с нелине йной ё мк ос т ь ю (рис . 3.3) в инт ервале времени 0-2 мк с . Парамет ры с х емы: R = 10 к О м, U = 20 В. Х арак т ерис т ик а рас с мат риваемой ё мк ос т и привед ена в зад аче 1.1, началь ные ус ловия q(0) = 0. Рас с чит ат ь временные д иаграмм ы заряд а, т ок а в цепи и напряжения на ё мк ос т и. Рас с мат ривае мый к онт ур (рис 3.3) опис ывает с я уравнением U = iR + UC, гд е i = dq/dt. Д ля опред еления завис имос т и q(t) необх од имо реш ит ь уравнение dq/dt = f(q,t), гд е f(q,t) = [U-UC(q)]/R и q(0) = 0. Реш ение зад ачи с ис поль зованием с ис т емы MathCAD-2001 иллю с т рирует д ок умент на рис . 3.4 и 3.5. Д ля опред еления ф унк ции f(q,t) провед ена инт ерполяция завис имос т и UC (q) к убичес к ими с плайнами. Реш ение провед ено при ис поль зовании чис ленной реализации мет од а Э йлера и на ос нове д вух вс т роенных ф унк ций rkfixed (y0, x1, x2, N, D) и rkadapt (y0, x1, x2, N, D) с ис т ем ы MathCAD-2001. О пред еление i(t), UC (t) провед ено по привед ё нным ф ормулам. (Коэф ф ициент ы в ф ормулах введ ены д ля учё т а размернос т ей величин).

R

R

U

L

E

C

C

Рис . 3.3 Рис . 3.6 П ример 3.2 Проанализироват ь работ у генерат ора на т уннель ном д иод е (рис . 3.6). Изобразит ь ф азовый порт рет к олебаний, временные д иаграм мы т ок а в с х еме и напряжения на ё м к ос т и в инт ервале 0-40 нс с ш агом 0,2 нс . Парамет ры с х ем ы: Е = 0,35 В, R = 10 О м. Рас с мот рет ь к олебания д ля с лучаев 1) C = 50 пк Ф , L = 20 нГ н, 2) C = 20 пк Ф , L = 50 нГ н. Воль т -амперная х арак т ерис т ик а д иод а зад ана т аблицей 3.1 Таблица 3.1 U, B

-0.05

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

I, A

-0.01

0.01

0.004

0.001

0.0009

0.003

0.01

32

 0    68    115   150    176    205    228  Q :=   272    315    360   397    432    468     500  U0 := 20

 0     1   2   3     4   5     6  U :=  8     10   12   14     16   18     20 

R := 10

k := 10

А н ал из процессов в кон туре с н ел ин ейн ой емкостью Зад ание и аппрок с имация х арак т ерис т ик и емк ос т и

S := cspline ( Q , U) uc ( q ) := interp ( S , Q , U , q) 20 U uc( q) 9

10

0

0

200

( U0 − uc ( q) ) ⋅k R

f ( t , q) :=

400

600

Q ,q

Рас чет к ривой заряд а нелинейной емк ос т и мет од ом Э йлера −8

h := 2 ⋅ 10

dt := 2 ⋅10

−6

dt N := h

 T0    := Qt 0  

0   0

i := 0 , 1 .. N

 T i+ 1    := Qt i + 1  

Ti + h     Qt + h ⋅ f T , Qt ( ) i i i  

Рас чет к ривой заряд а нелинейной емк ос т и при помощ и с т анд арт ных ф унк ций

(

−6

y := rkfixed 0 , 0 , 2 ⋅ 10

,N ,f

)

(

−6

ya := Rkadapt 0 , 0 , 2 ⋅ 10

Рис . 3.4

,N ,f

)

33 0

y=

1

0

0

0

1

2·10 -8

39.511

2

4·10 -8

77.83

3

6·10 -8

114.67

4

8·10 -8 149.746

5

1·10 -7 182.495

6

1.2·10 -7 212.983

7

1.4·10 -7 241.051

8

1.6·10 -7 266.691

9

1.8·10 -7 290.075

10

2·10 -7 311.365

11

2.2·10 -7 330.821

12

2.4·10 -7 348.661

13

2.6·10 -7

14

2.8·10 -7 379.674

15

3·10 -7 392.875

364.95

Сравнение т очнос т и рас чет а завис имос т и q(t)

Qt35 = 493.174

Y35 := 491.169

Qt40 = 496.713

Y40 := 495.513

Qt45 = 498.43

Y45 := 497.738

Qt50 = 499.253

Y50 := 498.864

А ппрок с имация к ривой заряд а нелинейной емк ос т и и опред еление т ок а в цепи и напряжения на емк ос т и St := cspline ( T , Qt) i( t) :=

qt ( t) := interp ( St , T , Qt , t) 600

d qt ( t) dt

qt( t) 400 −9

i( t) := i( t) ⋅ 10

Qt 200

uct ( t) := U0 − R ⋅i( t) 0

i(t)

2

20

1

uct(t) 18

0 0

1 .10

0

1 .10 t,T

0

1 .10

16

6

t

6

6

t

Рис . 3.5

34

Рас чет генерат ора на т уннель ном д иод е

 −0.05    0.2    0.4   0.6  U :=    0.8   1     1.2 

 −0.01    0.01    0.004    I := 0.001    0.0009   0.003     0.01 

E := 0.35

R := 10

Зад ание х арак т ерис т ик д иод а и парамет ров с х емы k := 0 .. 6 V := −0.1 , −0.05 .. 1.2 Is := cspline ( U , I) J ( V) := interp ( Is , U , I , V) − 12

C := 50 ⋅ 10

L := 20 ⋅10

−9

Рас чет х арак т ерис т ик генерат ора мет од ом Э йлера N := 200

 i0   0    :=    v0   0 

−9

K := 0 .. N

dt := 0.2 ⋅10

( E − iK ⋅R − vK) ⋅dt   iK +  iK + 1   L   :=  (iK − interp ( Is , U , I , vK )) ⋅dt  vK + 1   vK + C 

     

0.02 0.01 iK 0

0.02

0.01 J (V) iK

0

100

200

K

0.02 0.04

0

0.6 0.4 0.5 0

0.5

1

1.5

vK

V , vK

0.2 0

0

100 K

Рис . 3.7

200

35

Цепь на рис . 3.6 опис ывает с я уравнениями Кирх гоф а д ля т ок а в цепи i и напряжения на ё мк ос т и u с учё т ом зад анной ВА Х д иод а I(u):  di E − iR − u  dt = L  du i − I(u )  = C  dt Реш ение с ис т ем ы мет од ом Э йлера пок азано в д ок умент е на рис . 3.7. Зад ание N -образной ВА Х т уннель ного д иод а ос ущ ес т влялос ь век т орами U, I, зат ем провед ена с плайн-инт ерполяция завис имос т и I(u), на ос нове ис поль зования к от орой реш ена привед ё нная с ис т ема уравнений. Резуль т ат ы реш ения позволили изобразит ь ф азовый порт рет к олебаний (на ф оне х арак т ерис т ик и д иод а), временные д иаграмм ы т ок а и напряжения. В первом из рас с мат риваемых с лучаев получены почт и гармоничес к ие к олебания, во вт ором –к олебания релак с ационные. ЗА Д А Н И Е 1. Изучит е применение привед ё нных ф ормул д ля реш е ния д иф ф еренциаль ных уравнений и с т анд арт ные с ред с т ва с ис т ем ы MathCAD2001 на примере а) зад ач, рас с мот ренных в привед ё нных примерах , и т ес т овой зад ачи реш ения уравнения y' = -y д ля началь ных ус ловий x0 = 0, y0 = 1 (т очное реш ение y = exp (-x)); б) реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений из привед енных примеров. Сравнит е т очнос т ь реш ений, полученных разным и мет од ами. 2. Реш ит е ук азанные прик лад ные зад ачи, ис поль зуя чис ленное реш ение О Д У. П римеры диф ферен циал ьн ы х урав н ен ий и их точн ы х реш ен ий (реш ен ие н а ин терв ал е[a,b] при н ачал ьн ы х усл ов иях y(x))

1. y′= y - 2x/y; 2. y′+ 2xy = x exp(-x2 ); 3. y′+ y cosx = 0,5sin2x; 4. x2y′-y = x2 exp(x-1/x); 5. (x2 +1)y′+ xy –1 =0; 6 . y′ + exp(x-y) = exp[x(1-x)]+2x; 7. xy′= ylny; 8. y′′+ 10y′x +10y = 0;

y(0)=1; [0,1]; y(0)=0; [0,1]; y(0)=0; [0,1]; y(1)=1; [1,2]; y(0)=0; [0,1]; y(0)=0; [0,1]; y(1)=e; [1,2]; y′(0) =0; y(0) =1; [0,1];

(2x+1) 1/2. 0,5x2 exp(-x2). sinx + exp(- sinx) - 1. exp(x-1/x). ln([x+(x2 +1)1/2 ]/ (x2+1)1/2. x2 . exp(x)/x. exp(-5x2).

36

9.

y′′+ y′= 2y;

10. y′′′+ y′′+ y′= -x sinx; 11. y1′(x) = 1 –y2(x) 2 2 y2′(x) = y1 (x) - y2 (x) ;

y′(0)=3; y(0)=1;

[0,5].

y′′(0)=2; y′(0)=1; y(0)=0;

[0,30].

y1(0)=0; y2(0)=-1;

[-2,2].

Задачи 3.1. М ет од ом Рунге-Кут т а вт орого поряд к а рас с чит айт е перех од ный процес с в RL-цепи (рис . 3.8) при L = 750 мГ н, R = 1,5 к О м при под аче на вх од напряжения s(t) = kt при 0 < t < 250 мк с и s(t) = 1 при 103 > t > 250 мк с , k = 4 x10-3мк с -1 Н ачаль ные напряжения в цепи с чит ат ь равными нулю . 3.2. М ет од ом Рунге-Кут т а чет верт ого поряд к а рас с чит айт е перех од ный процес с в RC -цепи (рис .3.9) при R = 2к О м, C =2,5 мк Ф на инт ервале [0, 10 мс ] при под аче на вх од им пуль с а s(t) = 1 при 0< t 2.5 мс . L

C

R

Рис . 3.8

R

R

Рис . 3.9

C

Рис . 3.10

3.3. Н а вх од цепи под аё т с я импуль с s(t) = A exp(-α t), t > 0, A = 10 B, α = 4 106 c-1. Рас с чит ат ь с игнал на вых од е а) д иф ф еренцирую щ ей цепи с пос т оянной времени τ = 0,5мк с (рис .3.9); б) инт егрирую щ ей цепи с τ = 0,5 мк с (рис . 3.10). 3.4.Реш ит ь пред ыд ущ ую зад ачу д ля д ейс т вия импуль с а s(t) = At exp(-α t), t > 0, A = 104 B/c, α = 103 с -1 и RC = 2 мс . 3.5. Н айт и от к лик д иф ф еренцирую щ ей цепи (рис . 3.9) с RC = 1 мс и инт егрирую щ ей цепи (рис .3.10) с RC = 5 мс на положит е ль ный прямоуголь ный импуль с , под анный в момент времени t = 0. А мплит уд а им пуль с а - E = 10 В, д лит ель нос т ь - τИ =3 мс .

37

3.6. Рас с чит ат ь напряжения на ё мк ос т и при перех од ном процес с е в цепи (рис . 3.10) при д ейс т вии напряжения u(t) = sin t и началь ных нуле вых ус ловиях . Рас чё т произвес т и на инт ервале t = 0 - 10 при R = 1, C = 1. 3.7. Рас с чит айт е перех од ный процес с на вых од е цепи с перед ат очной ф унк цией Н (р)=1/(1+p τ1 )(1+p τ2 ) ( τ1= 10мс , τ2 = 20 мс ) при под аче на вх од а) с игнала s(t) = 1 при t>0; б) импуль с а s(t) = 1 при 0< t < 10 мс и s(t) = 0 при t > 10 мс . 2 2 в) импуль с а s(t) = exp [-(t – t0) / a ], t0 = 8 мс , а = 5 мс на инт ервале [0, 20мс ]. 3.8. Рас с чит айт е по эк с т раполяционной ф ормуле А д амс а чет верт ого поряд к а перех од ный процес с в це пи с перед ат очной ф унк цией H(p) = p τ/ (1+p τ ) ( τ = 5мс ) на инт ервале [0, 20 мс ] при под аче с игнала s(t) = exp(-t/ τ) при 0< t< ∞ s(t) = 0 при t < 0. 3.9. Рас с чит ат ь процес с ы в перек лю чаю щ ей с х еме на т уннель ном д иод е (рис . 3.11) при д ейс т вии прямоуголь ного им пуль с а т ок а: 12 мА при t ≤ t И , tИ = 3 нс . i( t ) =  0 t > t  И О пред елит ь временную д иаграмму напряжения U(t) в инт ервале 0-10 нс с ш агом 0,1 нс при CO = 20 пк Ф и аппрок с имации х арак т ерис т ик и д иод а I(U) = A U exp(-αU) + D[exp(βU) – 1], гд е α = 1/U, β = 1/mφ Т, А = е IП /U1 , U1 = 0,1 В, mφ Т = 0,055 В, D =10-8 А , IП = 10 мА , A = 0,2718

+Ec Rc IВ Х (t)

С0

U(t)

U(t) UВ Х (t)

Рис . 3.11

RГ

СН

Рис . 3.12

3.10. Рас с чит ат ь перех од ные процес с ы в к лю че на мощ ном М Д П-т ранзис т оре (рис .3.12) при д ейс т вии импуль с а

38

10 B при t < t И u( t ) =  0 t > tИ 

,t И = 3 нс .

Ис поль зоват ь аппрок с имацию с т ок -зат ворной х арак т ерис т ик и IC(U) = S U[1 –exp(-pUC/U)] с парамет рами S = 0,03 А /В, p = 2. Рас чё т uВЫ Х (t) провес т и д ля инт ервала 0-10 нс в ид еаль ных ус ловиях L = 0, RГ = 0 при ЕС = 20, RC = 100 О м и с уммарной ё мк ос т и С = 10 пФ . 3.11. Рас с чит ат ь перех од ные процес с ы в к лю че на полевом т ранзис т оре малой мощ нос т и (рис . 3.13) при д ейс т вии напряжения kt при t < 6 нс u( t ) =  k = 0.5B/нс t ≥ 6 нс  3В Ис поль зоват ь ед иную аппрок с имацию ВА Х полевого т ранзис т ора с управляю щ им p-n перех од ом : I(U) = bU2 [1 – exp(-kUC/U)] При U = UЗ - UО ТС , b = 5мА /В2 , k = 1, UО ТС = 3 В. Рас чё т време нной д иаграммы u(t) провес т и д ля инт ервала 0-20 нс с ш агом 1нс и парамет ров к лю ча R = 1 к О м, E = 15 В, C = 20 пФ .

+EC R CР

В ЫХ

U(t) ВХ

RЗ -Е З

Рис . 3.13

39

Т Е М А 4. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е СИ СП О ЛЬ ЗО В А Н И Е М ЧИ СЛЕ Н Н О ГО РЕ Ш Е Н И Я Н Е ЛИ Н Е Й Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й Н еобх од имос т ь чис ленного реш ения нелине йных уравнений возник ает при мод елировании боль ш ого чис ла разноплановых зад ач рад иоф изик и и элек т роник и. Ч ис ленное реш е ние нелинейного уравнения f(x)=0 [1-5,13-20] с вод ит с я к д вум эт апам : а) поис к у и оценк е от резк а [a,b], на к от ором нах од ит с я к орень (от д еление или изоляция к орня); б) к пос лед оват ель ному ут очнению приближенного значения к орня. Первый эт ап начинает с я с проверк и знак ов f(x) на к онцах ис х од ного инт ервала. При эт ом с чит ает с я, чт о ес ли f(x) знак опеременна на к онцах инт ервала, т о внут ри него с ущ ес т вует х от я бы од ин к орень уравнения f(x)=0, а ес ли f′(x) с ущ ес т вует и не меняет знак а на [a,b], т о к орень являет с я ед инс т венным. Зат ем производ ит с я с ужение от резк а и выбор т ой час т и инт ервала, на к от орой f(x) имеет разные знак и. Выбор мет од а реш ения уравнения ос ущ ес т вляет с я в завис имос т и от вид а ф унк ции f(x): ес ли f(x) на инт ервале [a,b], непрерывна, но не д иф ф еренцируема, т о могут быт ь ис поль зованы мет од ы половинного д еления, золот ого с ечения, с лучайных проб (М онт е-Карло); ес ли f(x) непрерывно д иф ф еренцируема на от резк е [a,b], т о можно применят ь т ак же различные ит ерационные мет од ы: мет од прос т ых ит ераций, мет од х орд , мет од Н ь ю т она, мод иф ицированный мет од Н ь ю т она, мет од Э йт к енаСт еф ф енcона и т .д . Из перечис ленных мет од ов безус ловную с х од имос т ь име ю т мет од ы с лучайных проб, бис ек ции, золот ого с ечения. Сх од имос т ь ит ерационных мет од ов обес печивает с я при наложении д ополнит е ль ных т ребований на вид f(x) и выбор началь ного приближения, причем повыш енной с х од имос т ь ю по с равнению с мет од ом прос т ых ит ераций облад аю т мет од ы Н ь ю т она, Э йт к ена-Ст еф ф енcона. Рас с мот рим нек от орые из наиболее рас прос т раненных чис ленных мет од ов реш ения нелинейных уравнений [l-5,13-20]. I. М ет од половинного д еления (бис ек ции) Ис х од ный инт ервал [a,b] д елит с я пополам , выбирает с я нулевое приближение x0 = (a+b) / 2. О пред еляет с я f(x0). Ес ли f(x0) = 0, т о ξ = x0 являет с я т очным значением к орня уравнения, в прот ивном с лучае выбирает с я т от из от резк ов [a, x0],[x0, b], на к онцах к от орого f(x) имеет разные знак и. Н овый инт ервал с нова д елит с я пополам , пок а не буд ет найд ен т очный к орень уравнения или величина от резк а не с т анет мень ш е зад анной т очнос т и ε. 2. М ет од прос т ых ит ераций Ис х од ное уравнение преобразует с я к вид у x = φ (x). Н а от резк е [a,b], выбирает с я т очк а x0 (нуле вое приближение), в к ачес т ве с лед ую щ его приближения выбирает с я x1 = φ (x0 ) и т .д . Так им образом, мет од реализует с я ит ерационной ф ормулой xi+1 = φ (xi), пок а |xi+1 -xi| > ε. Сх од имос т ь мет од а обес печивает с я при выполнении ус ловия |φ ′(x) | < 1 на от резк е [а, b].

40

3. М ет од х орд (с ек ущ их ) М ет од ос нован на пред положении о линеаризации ф унк ции f(x) на инт ервале [а, b] пут ем замены к ривой y = f(x) х орд ой. В к ачес т ве первого приближения ис поль зует с я т очк а перес ечения х орд ы с ос ь ю абс цис с . Зат ем в к ачес т ве нового инт ервала поис к а к орня выбирает с я т от из от резк ов [a, x1],[x1, b], на к онцах к от орого f(х ) имеет разные знак и. Н а новом инт ервале f (х ) с нова заменяет с я х орд ой и т ак д алее, пок а |xi+1 -xi| не с т анет мень ш е зад анной т очнос т и. Д ля обес печения с х од имос т и мет од а х орд ис поль зую т с я д ве ит ерационные ф ормулы: а) ес ли f(b)f`″ (b) > 0 т о xi+1 =xi – [f(xi)(b-xi)] / [f(b) – f(a)], (в к ачес т ве нулевого приближения ис поль зует с я x0 =a, к онец х орд ы х = b непод вижен); б) ес ли f(a)f`″ (a) > 0, т о xi+1 =xi – [f(xi)(xi - a)] / [f(xi) – f(a)], (в к ачес т ве нуле вого приближения ис поль зует с я x0 = b, к онец х орд ы x = a непод вижен). 4. М ет од Н ь ю т она (к ас ат ель ных ) Ид ея мет од а Н ь ю т она аналогична ид ее мет од а х орд , но линеаризация f(x) производ ит с я в резуль т ат е замены к ривой y = f(x) на рас с мат риваемом инт ервале к ас ат ель ной в т очк е анализируемого приближения. Ит ерационная ф ормула имеет вид xi+1 =xi – f(xi) / f ′(xi). Сх од имос т ь мет од а, к ак и в пред ыд ущ ем с лучае, обес печивает с я выбором началь ного приближения, уд овлет воряю щ его ус ловию f(x)f`″ (x) > 0, т .е. в к ачес т ве x0 выбирает с я т от к онец от резк а [a,b], д ля к от орого знак f″ (x) с овпад ает с о знак ом f(x). Ес ли нах ожд ение производ ной f′(x) зат руд нено, т о могут быт ь ис поль зованы мод иф ицированные ф ормулы: а) xi+1 =xi – f(xi) / k, гд е k - к онс т ант а, близк ая к с ред нему значению f′ (x) на инт ервале [a,b]; б) xi+1 =xi + Δ x f(xi) / [f(xi) - f(xi - Δ x)] или xi +1 =xi - Δ x f(xi) / [f(xi + Δ x) - f(xi)], гд е Δ x - малое приращ ение x. Крит ерием ок ончания ит ерационного процес с а в мет од ах Н ь ю т она и х орд являет с я величина xi+1 - xi , ус ловие ок ончания ит ерационного процес с а |xi+1 - xi | < ε. Реал изация в системе MathCAD 2001 программ числ ен н ы х методов реш ен ия н ел ин ейн ы х урав н ен ий на примере мет од ов половинного д еления (Б оль цано) и к ас ат ель ных (Н ь ю т она) и их применение к реш ению уравнения пок азаны на рис .4.1.

41

Реш ен ие н ел ин ейн ы х урав н ен ий f ( x) := e

0.5 ⋅x

− 1.4

Применение с т анд арт ных ф унк ций с зад анием инт ервала и началь ного приближения root ( f ( x) , x , 0 , 1) = 0.673

2

x := 1

f ( x)

0

root ( f ( x) , x) = 0.673 2

Программное реш ение уравнений

0

0.5

1

x

bis ( f , a , b , tol) :=

while

b − a > tol

c ← ( a + b) ⋅0.5 a ← c if f ( c) ⋅ f ( a) > 0 b ← c if f ( c) ⋅f ( b) > 0

мет од половинного д еления

b ← a + tol⋅0.5 otherwise c bis ( f , 0 , 1 , 0.0001 ) = 0.673 new ( f , df , x , tol) :=

f ( x) xx ← x − df ( x) while

мет од Н ь ю т она

x − xx > tol

x ← xx xx ← x −

f ( x) df ( x)

df ( x) :=

d f ( x) dx

xx new ( f , df , 0 , 0.001 ) = 0.673 О пред еление к орней полинома 4

3

2

x + 5 ⋅x + 826 ⋅ x − 1256 ⋅x − 1478 v := ( −1478 −1256 826 −5 1 )

T

0 R := polyroots ( v)

T

R = ( −0.777 1.733 + 28.627i 1.733 − 28.627i 2.312 )

Рис . 4.1

42

Д ля чис ленного поис к а реш ения алгебраичес к их уравнений f(x) = 0 в MathCAD 2001 с ущ ес т вует с пециаль ная вс т роенная ф унк ция root (к орень ). Ф унк ция может ис поль зоват ь с я с различными началь ными ус ловиями, при эт ом реализую т с я различные мет од ы. Ес ли зад ан инт ервал, на к от ором пред варит ель но лок ализован к орень , т о ис поль зует с я ф унк ция с 4 аргумент ами: root [f(x),x,a,b], гд е f(x) рас с мат риваемая ф унк ция, x - её аргумент , a, b - нижняя и верх няя границы инт ервала поис к а. При ис поль зовании ф унк ции в т ак ой ф орме реш ение производ ит с я мет од ом половинного д еле ния. Ес ли извес т на т очк а началь ного приближения х 0, т о перед вызовом ф унк ции root аргумент у х прис ваивает с я значение х 0, а ф унк ция имеет д ва аргумент а: root [f(x),x] . Вэт ом с лучае применяет с я мет од с ек ущ их . Д ля опред еления к орней полинома в MathCAD 2001 с ущ ес т вует с пециаль ная ф унк ция polyroots(v), гд е: v - век т ор к оэф ф ициент ов полинома. Ф унк ция позволяет опред елит ь вс е к орни полинома. Применение с т анд арт ных ф унк ций MathCAD 2001 к реш ению уравнений пок азано на рис . 4.1. При опред елении к орня алгебраичес к ого уравнения возможно т ак же ис поль зование блок а Given и ф унк ции find(x) и minerr (пос лед няя ф унк ция ис поль зует с я д ля приближё нного реш ения уравнений) [7]. В эт ом с лучае перед с лужебным с ловом Given переменной прис ваивает с я значение началь ного приближения, пос ле с лова Given запис ывает с я уравнение с ис поль зованием знак а логичес к ого равенс т ва, зад аю т с я ограничения. Зат ем д ля опред еления к орня вызывает с я ф унк ция find(x), д ля приближенного нах ожд ения к орня – minerr(x)[7 ]. Рас с мот рим примеры прик лад ных зад ач, реш ение к от орых т ребует ис поль зования чис ленных мет од ов поис к а к орне й нелинейных уравнений. П ример 4.1. Ст абилит рон вк лю чё н в цепь рис . 4.2. Сопрот ивление ограничит ель ного резис т ора R = 240 О м. Н апряжение ис т очник а пит ания E = - 15 В, нес т абиль нос т ь напряже ния 1 В. Рас с чит ат ь к оэф ф ициент с т абилизации, ес ли воль т -амперная х арак т ерис т ик а с т абилит рона зад ана т аблицей 4.1. Таблица 4.1 -U, B

1

5

7

9.8

10

10.2

10.5

I, мA

0

0

0.1

1

12

24

25

Д ля рас чё т а к оэф ф ициент а с т абилизации, опред елё нного с оглас но [11] к ак от нош ение нормированных на с вои с ред ние значения изменений напряжения пит ания и с т абилизации, необх од имо рас с чит ат ь значения UMIN, UO , UMAX, с оот вет с т вую щ ие минималь ному, эт алонном у (с ред нему) и

43

мак с ималь ному напряже ниям ис т очник а пит ания. О ни могут быт ь найд ены мет од ом перес ечения х арак т ерис т ик , т о ес т ь из реш е ния уравнения I(U) = (Ei – U)/R д ля Ei = EMIN, E, EMAX. Реш ение зад ачи на ос нове с т анд арт ной процед уры MathCAD 2001 root с зад анием границ изменения переменной иллю с т рирует рис . 4.4. Д ля рас чет ов провед ено зад ание ВА Х в вид е век т оров U, I, пос лед ую щ ая с плайнинт ерполяция ВА Х , граф ичес к ое опред еление положения к орня уравнения.

IК

R

RК UП

RБ

E UВ Х

Рис . 4.2

UВ ЫХ

IБ

IЭ

Рис . 4.3

П ример 4.2. О пред елит ь положение ис х од ной рабочей т очк и биполярного т ранзис т ора с ВА Х примера 1.1. Н апряжение к оллек т орного с мещ ения с ос т авляет -10 В, с опрот ивление нагрузк и 1 к О м, т ок базы с оот вет с т вую щ ий с еред ине линейного учас т к а вх од ной х арак т ерис т ик и - 60 мк А . Иллю с т рация реш ения зад ачи в MathCAD 2001 с од ержит резуль т ат ы реш ения примера 1.1 и помещ ена на рис .1.5. О пред еление рабочей т очк и провед ено с ис поль зованием мет од а перес ечения х арак т ерис т ик (вых од ной ВА Х I(U) при зад анном т ок е IБ = 60 мк А и нагрузочной прямой n(u) при д анных R и E). Реш ение уравнения I(u) – n(u) = 0 провед ено на ос нове с т анд арт ной ф унк ции root с зад анием границ измене ния U и c зад анием началь ного приближения. При реш ении ис поль зована пред варит ель но с плайн-инт ерполяция ВА Х при IБ = 60 мк А , полученная при реш ении примера 1.1 (рис . 1.3, 1.4).

44

Рас чет с т абилит рона Зад ание и инт ерполяция воль т амперной х арак т ерис т ик и и нагрузочных прямых T

T

U := ( 5 7 9.8 10 10.2 10.5 ) S := cspline ( U , I)

I := ( 0 0.1 1 12 24 45 )

i1 ( u) := interp ( S , U , I , u) R := 240

0 if u < 9.8

i( u) :=

Ec := 15

Emin := 14

i1 ( u) otherwise

Emax := 16

n ( u , E , R) :=

40

n( u , Emax, R)

i( u) I

( E − u) R

n( u , Ec , R)

20

n( u , Emin, R)

0.05

i( u) ⋅0.001

0 9

9.5

10

10.5

u, U 0

0

10 u

Рас чет напряжения и к оэф ф ициент а с т абилизации f ( u , E , R) := i( u) ⋅0.001 − n ( u , E , R) uc := root ( f ( u , Ec , R) , u , 10 , 10.5 )

uc = 10.139

umax := root ( f ( u , Emax , R) , u , 10 , 10.5 ) umin := root ( f ( u , Emin , R) , u , 10 , 10.5 )

Kst :=

 Emax − Emin    Ec  

d :=

umax − umin uc

Kst = 10.563

d

Рис . 4.4

45

ЗА Д А Н И Е 1. Рас с мот рит е программное реш ение не линейных уравнений, применение с т анд арт ных процед ур д ля уравнений рис .4.1 и привед енных примеров. Пред ус мот рит е проверк у правиль нос т и реш ения, пред варит ель ное граф ичес к ое ис с лед ование вид а ф унк ций. Проверь т е возможнос т и ис поль зования различных мет од ов и с т анд арт ных процед ур д ля реш е ния рас с мот ренных уравнений. 2. Ис поль зуя чис ле нные мет од ы реш ения нелинейных уравнений, реш ит е ук азанные прик лад ные зад ачи. П римеры н ел ин ейн ы х урав н ен ий 2

7. x + eX =0;

1. x + lnx =0; 3

2. (1 + x ) +lnx = 0;

8. x 2X - 1 = 0;

3. 3x – cosx – 1,5 = 0;

9.

2

4. x + log(1 +x ) – 1,5 = 0; 5. ( x + 1)

1/2

–1/x = 0; 3

6. – 0,8 + x + 0,8x = 0;

2

x + cos(0,5x) –x ; X

10. (2 –x) e –0.5 = 0; 3

11.

1 + 0,5x – x =0;

12.

argcos(x) –0,8 = 0;

Задачи 4.1. Вероят нос т ь ош ибочного приема д воичного с игнала зад ает с я выражением Р = (3h2 + 4)(h2 + 3)-2, 1 < h < 120. Н айд ит е значения парамет ра h2 , с оот вет с т вую щ ие Р = 10-1, 10-2 , 10-3. 4.2. О пред елит е порогобнаружения x по к рит ерию Н е ймана-Пирс она из выражения 2  m  α = 1 − exp − x e−x / 2  , 3 < x < 7 при α = 10 -1 , 10-2, m = 20, 50. 2π   Точнос т ь вычис ления порога ε = 10-5 . 4.3. О пред елит е т ок , прот ек аю щ ий через д иод с нагрузк ой при под аче на него напряжения u=0.4В: u = R0 i + ln[(I + I0) / I0] / λ, гд е R0 = 4 О м I0 = 3x10-7 A , λ = 34 B-1 4.4. О пред елит е вых од ное напряжение и т ок в цепи с ид еаль ным германиевым д иод ом (рис .4.2), ес ли E = 5 В, R = 1 к О м обрат ный т ок нас ыщ ения - I0 = 10-12 А , т емперат ура 300о К.

46

4.5. Б иполярный т ранзис т ор с ВА Х , привед ё нной в примере 1.1, ис поль зует с я в ус илит ель ном к ас к ад е (рис . 4.3) с парамет рами RK = 1 к О м, RБ = 2,2 к О м . Величина напряжения с мещ ения на к оллек т оре с ос т авляет 9 В, на базе 0,3 В. Рас с чит ат ь положение ис х од ной рабочей т очк и на вх од ных и вых од ных х арак т ерис т ик ах . Д ля зад анных RK , EK рас с чит ат ь с к возную д инам ичес к ую х арак т ерис т ик у. 4.6. В малош ум ящ ем ус илит еле ис поль зует с я к ремниевый эпит ак с иаль нопланарный полевой т ранзис т ор с управляю щ им p-n-перех од ом КП323А -2. Сопрот ивление нагрузк и с ос т авляет 3 к О м, а величина с мещ ения на с т ок е - 25 В. Ис поль зуя с плайн-аппрок с имацию с правочных д анных , рас с чит ат ь положение ис х од ной рабочей т очк и при UЗИ = -1,5 В. 4.7. Д ля с х ем ы на рис .4.3 опред елит ь вх од ное напряжение, обес печиваю щ ее получение вых од ного напряжения UВЫ Х = UП ./ 2 . Парамет ры с х е мы: UП =15 В, RН = 15 О м, RБ = 50 О м. Ис поль зует с я т ранзис т ор КТ830А . 4.8. Из ус ловий примера 4.7 найт и д иапазон измене ния напряжения на базе, с оот вет с т вую щ ий работ е т ранзис т ора в ак т ивном режиме. 4.9. Рас с чит ат ь к оэф ф ицие нт ус иления по т ок у, напряжению и мощ нос т и, вх од ное и вых од ное с опрот ивление ус илит ель ного к ас к ад а рис .4.5 при EK = 8 В, RK = 1 к О м . В ус илит ель ном к ас к ад е ис поль зует с я т ранзис т ор с ВА Х , привед ё нной в примере 1.1. О пред еление величины с опрот ивле ния резис т ора RБ ос ущ ес т вит ь при ус ловии чис ленного рас чё т а рабочей т очк и в с еред ине линейного учас т к а вх од ной х арак т ерис т ик и.

-Е RБ

UВ Х

К

RК

UВ ЫХ

Рис . 4.5 4.10. О пред елит ь к оэф ф ициент ус иления, вх од ное и вых од ное с опрот ивле ния ус илит ель ного к ас к ад а при зад анном с опрот ивлении нагрузк и RН =3 к О м , с опрот ивлении ис т очник а пит ания R i = 100 О м и напряжении с мещ ения на к оллек т оре -12 В. Д ля рас чет а необх од имых h -парамет ров ис поль зоват ь чис ленное опред еление ис х од ной рабочей т очк и д ля т ранзис т ора примера 1.1.

47

Рекомен дуемая л итература О с новная лит ерат ура 1.Вержбицк ий В.М . О с новы чис ленных мет од ов / В.М . Вержбицк ий - М .: Выс ш . ш к ., 2002. - 840 с . 2. Пирумов У .Г . Ч ис ленные мет од ы / У .Г . Пирумов - М .: Д роф а, 2003. - 224 с . 3. А мос ов А .А . Вычис лит ель ные мет од ы д ля инженеров/ А .А . А мос ов, Ю .А . Д убинс к ий, Н .В. Копченова - М .: Выс ш . ш к ., 1994. - 544 с . 4. Рак ит ин В.И. Прак т ичес к ое рук овод с т во по мет од ам вычис ле ний с приложением программ д ля перс ональ ных к ом пь ю т еров/ В.И. Рак ит ин, В.Е. Первуш ин - М .: Выс ш . ш к ., 1998, - 383 с . 5. Плис А .И. Лаборат орный прак т ик ум по выс ш ей мат емат ик е/ А .И. Плис , Н .А . Сливина - М .: Выс ш . ш к ., 1994. - 416 с . 6. Г урс к ий Д .А . Вычис ления в MathCAD/ Д .А . Г урс к ий - М н.: Н овое знание, 2003.- 814 с . 7. Д ь як онов В.П. MathCAD-2001: Специаль ный с правочник / В.П. Д ь як онов– СПб.: Пит ер, 2002. - 832 с . 8. Д ь як онов В.П. Ком пь ю т ерная мат емат ик а. Теория и прак т ик а/ В.П. Д ь як онов - М .: Н олид ж, 2001. - 1296 с . 9. Д ь як онов В.П. MathCAD-2000: У чебный к урс / В.П. Д ь як онов - СПб.: Пит ер, 2001. - 592 с . 10. Плис А .И. MathCAD-2000. М ат емат ичес к ий прак т ик ум / А .И. Плис , Н .А . Сливина - М .: Ф инанс ы и с т ат ис т ик а, 2000. - 656 с . 11. О пад чий Ю .Ф . А налоговая и циф ровая элек т роник а/ Ю .Ф . О пад чий, Ф .П. Г луд к ин, А .И. Г уров - М .: Г орячая линия - Теле к ом, 2003. - 768 с . 12. Терех ов В.А . Зад ачник по элек т ронным приборам/ В.А . Терех ов - СПб.: Лань , 2003. - 280 с . 13.Корн Г . Справочник по мат емат ик е д ля научных работ ник ов и инже неров/ Г . Корн, Т. Корн - СПб.: Лань , 2004. - 832 с . 14. Б ах валов Н .С. Ч ис ленные мет од ы/ Н .С. Б ах валов - М .: Н аук а, 2000. 630 с . Д ополнит ель ная лит ерат ура 15. М арчук Г .И. М ет од ы вычис лит ель ной мат емат ик и / Г .И. М арчук - М .: Н аук а, 1989. –608 с . 16. Волк ов Е.А . Ч ис ленные мет од ы/ Е.А . Волк ов - М .: Н аук а, 1985. - 248 с . 17. Самарс к ий А .А . Ч ис ленные мет од ы/ А .А . Самарс к ий, А .В. Г улин - М .: Н аук а, 1989. - 429 с . 18.Б оглаев Ю .П. Вычис лит ель ная мат емат ик а и программ ирование/ Ю .П. Б оглаев - М .: Выс ш . ш к ., 1990. - 544 с . 19. Справочник по с пециаль ным ф унк циям с ф ормулам и, граф ик ам и и мат емат ичес к ими т аблицам и/ Под ред . М . А брамовица, И. Ст игана. - М .: Н аук а, 1979. - 832 с . 20.Воробь ева Г .Н . Прак т ик ум по вычис лит ель ной мат емат ик е/ Г .Н . Воробь ева, А .Н . Д анилова - М .: Выс ш . ш к ., 1990. - 208 с .

48

А вт оры:

Ред ак т ор

Рад ченк о Ю рий Ст епанович Коробова А лла Д мит рие вна

Тих омирова О . А .