Статистический анализ данных в пакете Mathcad: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Статистический анализданны х в пакетеMathcad Пособиедля студентов по кур су Т В и М С (с п ециа л ьно с т ь 010200 — П рикл а дна я м а т ем а т ика )

В о ро неж 2004

У т верж дено на учно -м ет о дичес ким с о вет о м фа кул ьт ет а П М М , п ро т о ко л № 4 о т 10.12.03

Со с т а вит ел и: Ра дченко Т.А . Дыл евс кий А .В . П о с о бие п о дго т о вл ено на ка федре т ехничес ко й кибернет ики и а вт о м а т ичес ко го регул иро ва ния фа кул ьт ет а п рикл а дно й м а т ем а т ики, инфо рм а т ики и м еха никиВ о ро неж с ко го го с уда рс т венно го универс ит ет а . Реко м ендует с я дл я с т удент о в 3 курс а д/о и4 курс а в/о фа кул ьт ет а П М М .

3

Содер ж ание В ведение Ч а с т ь I. Mathcad А рифм ет ичес кие вычис л ения И с п о л ьзо ва ние фо рм ул в Mathcad Ра бо т а с вект о ра м иим а т рица м и П о с т ро ение гра фико в в с реде Mathcad Ч т ение иза п ис ь да нных Ч а с т ь II. Ла бо ра т о рные ра бо т ы Зна ко м с т во с Mathcad № 1. Ра с чет выбо ро чныхха ра кт ерис т ик № 2. То чечна я о ценка п а ра м ет ро в ра с п редел ения № 3. До верит ел ьный инт ерва л № 4. Крит ериис о гл а с ия П рил о ж ение Неко т о рые вс т ро енные функцииMathcad В с т ро енные о п ера т о ры П редо п редел енные п ерем енные Лит ера т ура

3 3 4 5 6 7 9 10 10 10 12 13 14 15 15 19 20 22

В ведение Ц ел ью да нно го л а бо ра т о рно го п ра кт икум а явл яет с я фо рм иро ва ние на выко в реш ения о с но вных за да ч м а т ем а т ичес ко й с т а т ис т ики на ко м п ью т ере. Ла бо ра т о рные ра бо т ы вып о л няю т с я с п ривл ечением м а т ем а т ичес ко го п а кет а Mathcad. Дл я т о го чт о бы вып о л нят ь л а бо ра т о рные ра бо т ы, нео бхо димо п о зна ко м ит ьс я с т ео рией реш ения с о о т вет с т вую щ ей за да чи [1], о с во ит ь м ет о дику ее реш ения на п ра кт ике [2] иим ет ь на выкира бо т ы на П К в О С Windows. М иним а л ьные с ведения о п а кет е Mathcad, нео бхо димые дл я вып о л нения л а бо ра т о рныхра бо т , с о держ а т с я в п ерво й ча с т ина с т о ящ его п о с о бия. В т о ра я ч а с т ь п о с о бия с о держ ит о п ис а ния л а бо ра т о рных ра бо т п о ма т ем а т ичес ко й с т а т ис т ике, ко т о рые вкл ю ча ю т : • цел ь ра бо т ы; • за да ния дл я п редва рит ел ьно йп о дго т о вки; • п о рядо к вып о л нения ра бо т ы; • с о держ а ние ит о го во го до кум ент а ; • ко нт ро л ьные во п ро с ы. Ч асть I. Mathcad В п о с л едние го ды дл я п ро ведения ра зл ич но го ро да ра с чет о в на ко м п ью т ере вс е ча щ е ис п о л ьзую т с я не т ра дицио нные языки п ро гра мм иро ва ния, а с п ециа л ьные м а т ем а т ичес кие п а кет ы Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad, Gauss и др. М а т ем а т ичес кие п а кет ы, в о с о бенно с т и Mathcad — с а м ый п о п ул ярный п а кет из выш еп еречис л енно го с п ис ка , п о зво л яю т с п ециа л ис т а м в ко нкрет но й п редм ет но й

4

о бл а с т и, не вда ва яс ь в т о нко с т ип ро гра м м иро ва ния, реа л изо ва т ь м а т ема т ичес кие м о дел и. О т м ет им ко нкрет ные п реим ущ ес т ва п а кет а Mathcad: • м а т ем а т ичес кие выра ж ения в с реде Mathcad за п ис ыва ю т с я в их о бщ еп ринят о м виде. Текс т о вый п ро цес с о р п а кет а п о зво л яет о фо рм ит ь, на п рим ер, на уч ную с т а т ью , не п рибега я к с п ециа л изиро ва нным с редс т ва м (т екс т о вые п ро цес с о ры Word, LaTeX и др.). Кро м е т о го , п а кет Mathcad — эт о п о л но ценно е Windows-п рил о ж ение, п о эт о м у ClipBoard (Б уфер О бм ено в) п о зво л яет п еренес т и фра гм ент ы Mathcad-до кум ент а в Word-до кум ент и п ри нео бхо дим о с т и до о фо рм ит ь их; • в с реде Mathcad п ро цес с с о зда ния п ро гра мм ы идет п а ра л л ел ьно с о т л а дко й; • в п а кет Mathcad инт егриро ва н до во л ьно м о щ ный ма т ем а т ичес кий а п п а ра т , п о зво л яю щ ий реш а т ь м а т ем а т ичес кие за да чи безвызо ва внеш нихп ро цедур. В о т неп о л ный п ереч ень вычис л ит ел ьных инс т рум ент о в, до с т уп ных в с реде Mathcad: 1) реш ение а л гебра ичес кихура внений ис ис т ем (л инейныхинел инейных); 2) реш ение с ис т ем о быкно венных дифференциа л ьных ура внений (за да ча Ко ш иикра ева я за да ча ); 3) реш ение дифференциа л ьныхура вненийв ча с т ныхп ро изво дных; 4) ра бо т а с вект о ра м иим а т рица м и(л инейна я а л гебра идр.); 5) п о ис к м а кс им ум о в им иним ум о в функцио на л ьныхза вис им о с т ей; 6) с т а т ис т ичес ка я о бра бо т ка да нных; • п а кет Mathcad до п о л нен с п ра во чнико м п о о с но вным м а т ем а т ичес ким и физико -хим ичес ким фо рм ул а м и ко нс т а нт а м , ко т о рые м о ж но а вт о м а т ичес кип ерено с ит ь в до кум ент ; • в п а кет Mathcad инт егриро ва ны с редс т ва с им во л ьно й м а т ем а т ики, чт о да ет во зм о ж но с т ь реш а т ь м а т ем а т ичес кие за да чи не т о л ько ч ис л енно , но и а на л ит ичес ки; • с ис т ем а Mathcad о бо рудо ва на с редс т ва м и а нима ции, чт о п о зво л яет реа л изо выва т ь с о зда нные м о дел и не т о л ько в с т а т ике (чис л а , т а бл ицы), но и в дина м ике (а ним а цио нные кл ип ы). Ка к видно из п риведенно й выш е ха ра кт ерис т ики, п а кет Mathcad о бл а да ет бо л ьш ими во змо ж но с т ям и дл я реш ения с а м ых ра зно о бра зных за да ч. В на с т о ящ ем п о с о бии п а кет Mathcad будет ра с с м о т рен п рим енит ел ьно к кл а с с у за да ч, с вяза нно м у с о с т а т ис т ичес ко йо бра бо т ко й да нных. А р иф метическиевы числения Д л я вы чис л ен ия зн а чен ий а риф м ет ичес ких вы ра ж ен ий в ра бо чем п о л е Mathcad с л едует с п о м о щ ью кл а виа т уры ил и, на ж а в на п икт о гра м м у ка л ькул ят о ра в м а т ем а т ичес ко м м еню Mathcad (с м . рис . 1), на бра т ь выра ж ение, за верш а ю щ еес я зна ко м “=”. П р им е р.

5

1−

3 + 0.2 ⋅ 4 = 1.2 5

Рис . 1. О кно до кум ент а Mathcad 1 — п а нел ь инс т рум ент о в; 2 — кно п кифо рм а т иро ва ния т екс т а ; 3 — м а т ем а т ичес ко е м еню ; 4 — выбра нные п а нел им а т ем а т ичес ко го м еню .

И споль зованиеф ор м улв Mathcad Д л я н а б ора ф орм ул в Mathcad м о ж но ис п о л ьзо ва т ь чис л а , п ерем енные, функции, ка к с т а нда рт ные (вс т ро енные), т а к и о п редел яем ые п о л ьзо ва т ел ем , а т а кж е ра зл ичные м а т ем а т ичес кие о п ера т о ры (с л о ж ения, вычит а ния, ум но ж ения, дел ения, во зведения в с т еп ень, инт егриро ва ния, дифференциро ва ния и т .д.). На бо р фо рм ул м о ж но о с ущ ес т вл ят ь т а кж е с п о м о щ ью п а нел и м а т ем а т ич ес ко го м еню Mathcad (с м . рис . 1). Замечание. И м ена вс т ро енных функций неч увс т вит ел ьны к ш рифт у, но чувс т вит ел ьны к регис т ру (верхнем у, ниж нем у) — их с л едует п еча т а т ь в т о чно с т и, ка к о нип риведены в на с т о ящ ем п о с о бииил идо кум ент а циип о Mathcad. Д л я определ ен ия перем ен н ой с л едует п о с л е ука за ния ее им ени ввес т и зна к п рис во ения “:=” (на ж а в кл а виш у “:”), п о с л е ко т о ро го вво дит с я а л гебра ичес ко е (ил ил о гичес ко е) выра ж ение, вс е о п ера нды ко т о ро го до л ж ныбыт ь о п редел ены.

6

За м ет им , чт о зна к “:=” дейс т вует п о п о л ю Mathcad п ра вее и ниж е ука за нно го выра ж ения. Е с л и вм ес т о зна ка “:=” вво дит ь “ ≡ ” (кл а виш а “~”, а т а кж е с м . м еню на рис . 1), т о его дейс т вие ра с п ро с т ра няет с я п о вс ем у п о л ю до кум ент а неза вис имо о т м ес т о п о л о ж ения ра с с м а т рива ем о го выра ж ения. То ес т ь зна к “ ≡ ” о п редел яет , в о т л ич ие о т “:=”, п ерем енную гл о ба л ьно . Замечание. Е с л и в до кум ент е им еет с я нес ко л ько о п редел ений, т о , п о ум о л ча нию , в Mathcad п рим еняю т с я с л едую щ ие п ра вил а : ес л и п ерем енна я ис п о л ьзует с я в п ра во й ча с т и гл о ба л ьно го о п редел ения, т о о на до л ж на быт ь о п редел ена гл о ба л ьно выш е него ; изнес ко л ькихгл о ба л ьныхо п редел ений о дно й п ерем енно й (ил ифункции) дейс т вует о п редел ение, с т о ящ ее бл иж е к ко нцу до кум ент а . П р им е р. x+y x + 2⋅ y v := x:=1 y:=4 z:= 10 10 z=0.5 v=0.9 Д л я определ ен ия ф ун кции о дно го ил и нес ко л ьких п ерем енных т ребует с я за да т ь им я функции, ука за в в кругл ыхс ко бка хчерезза п ят ую им ена ее а ргум ент о в, и п ра вее зна ка “:=” (ил и “ ≡ ”) ввес т ис о о т вет с т вую щ ее функцииа рифмет ичес ко е (ил и л о гич ес ко е) выра ж ение. П ри эт о м о п ера нды выра ж ения, явл яю щ иес я а ргум ент а м и функции, м о гут п редва рит ел ьно не о п редел ят ьс я. П о с л е о п редел ения функции ее м о ж но ис п о л ьзо ва т ь в выра ж ении ка к с т а нда рт ную (вс т ро енную ) функцию Mathcad. О с о бо о т м ет им , ч т о к м о м ент у вычис л ения п о фо рм ул е вс е п ерем енные в эт о йфо рм ул е до л ж ныбыт ь о п редел ены. П р им е р.

f(x, y):= sin(x) + x 2 − 2 ⋅ y ⋅ cos(x + y) g(x):= cos(x 2 + 1) − f(4, x)

о п редел ение функцииf(x,y) ис п о л ьзо ва ние функцииf(x,y) в выч ис л ениях

Работа с вектор ам и и м атр иц ам и Дл я вво да м а т рицы (ил и вект о ра ) т ребует с я п ро дел а т ь с л едую щ ую п о с л едо ва т ел ьно с т ь о п ера ций: 1) За да ем им я м а т рицы и вво дим зна к п рис ва ива ния. На п рим ер, дл я за да ния м а т рицы“A” п иш ем “A:”. П о л уча ем “A:=”. 2) В п а нел и м а т ем а т ичес ко го м еню Mathcad на ж им а ем на кно п ку с изо бра ж ением м а т рицы. П о с л е эт о го на экра не дис п л ея во зника ет о кно ра бо т ы с м а т рица м и. В эт о м о кне два п о л я ичет ыре кно п ки. 3) В п ерво м п о л е с л едует ука за т ь ч ис л о с т о л бцо в с о зда ва ем о й м а т рицы, а во вт о ро м — чис л о с т ро к (п о ум о л ча нию в эт их п о л ях за п ис а ны т ро йки — с чит а ет с я, чт о ква дра т на я м а т рица п о рядка 3 с а м а я ра с п ро с т ра ненна я). 4) Дл я с о зда ния ма т рицы щ ел ка ем п о кно п ке OK (Со зда т ь). Две о с т а л ьные кно п ки Insert (В с т а вит ь) и Delete (У да л ит ь) п редна зна чены дл я изм енения ра зм еро в ра нее с о зда нных м а т риц: за да нно е в п о л ях чис л о с т о л бцо в ил и (и) с т ро к вс т а вл яет с я (уда л яет с я) п ра вее и ниж е о т м еченно го курс о ро м эл ем ент а уж е с о зда нно й м а т рицы. Кно п ка Cansel (О т м ена ) о т м еняет вс т а вку м а т рицы.

7

5) П о с л е щ ел чка п о кно п ке OK с п ра ва о т выра ж ения п о явл яет с я на бо р ва ка нт ных м ес т дл я вво да инфо рм а ции, о бра м л енный с ко бка м и. Зап о л нением ва ка нс ий за верш а ет с я фо рм иро ва ние м а т рицы. Ф о рм иро ва ние вект о ра о с ущ ес т вл яет с я а на л о гично . Сл едует о т м ет ит ь вт о ро й ва риа нт фо рм иро ва ния м а т риц и вект о ро в без о бра щ ения к о кну ра бо т ы с м а т рица м и, а ч ерез п ерем енные с индекс а м и, на п рим ер, A i, j , B i . И ндекс к имени п ерем енно й п рип еч а т ыва ет с я на ж а т ием л ибо на кно п ку X n на п а нел и ма т ем а т ичес ких инс т рум ент о в, л ибо на кл а виш у “[” (о т крыва ю щ а яс я ква дра т на я с ко бка ). Замечание. Но м ер п ерво го эл ем ент а вект о ро в и м а т риц хра нит п ерем енна я ORIGIN. Э т а п ерем енна я п редо п редел енна я (с ис т ем на я): ес л и п о л ьзо ва т ел ь не за да ет ее зна чение, т о п о умо л ча нию ORIGIN=0. Изм енит ь зна чение с ис т ем но й п ерем енно й ORIGIN м о ж но л ибо в п ункт е м еню Math (п о дп ункт Built-in Variables (В с т ро енные п ерем енные)), л ибо через ко м а нду п рис ва ива ния в п о л е до кум ент а Mathcad. О п ера ции с м а т рица м и и вект о ра м и о с ущ ес т вл яю т с я п о т ем ж е п ра вил а м, чт о идл я а рифм ет ичес кихвыра ж ений (с м . П рил о ж ение). П р им е р 1. ORIGIN:=1 о п редел яем но м ер п ерво го эл ем ент а  1 1 фо рм ируем м а т рицу A A:=    5 3

 138  B:=    540  X:= A −1 ⋅ B  63  X =    75   0 A ⋅ X − B =    0

фо рм ируем м а т рицу B реш а ем м а т рично е ура внение AX=B выво д реш ения п ро верка

П р им е р 2. ORIGIN:=0

о п редел яем но м ер п ерво го эл ем ент а фо рм ируем м а т рицу A

A 0,0 := 1 A 0,1:= 1 A1,0 := 5 A1,1 := 3 B0 := 138 B1:= 540

фо рм ируем м а т рицу B X := lsole(A,B) реш а ем м а т рично е ура внение AX=B выво д реш ения X 0 = 63 X1 = 75 A 0,0 X 0 + A 0,1 X 1 − B 0 = 0 п ро верка

A 1,0 X 0 + A 1,1 X 1 − B1 = 0 Постр оениегр аф иков в ср едеMathcad

8

В п а кет е Mathcad с о держ ит с я бо л ьш о е ко л ичес т во т ип о в гра фико в, ис п о л ьзуем ых дл я визуа л ьно го о т о бра ж ения ра зл ичных за вис им о с т ей. В да нно м м ет о дич ес ко м п о с о бии будет ра с с м о т рен л иш ь двум ерный дека рт о в гра фик (X-Y Plot), ил л ю с т рирую щ ий с вязь м еж ду двум я (о дна крива я на гра фике) ил и нес ко л ьким и(две ил ибо л ее кривых) вект о ра м и. Д вум ерн ы й дека рт ов гра ф ик с т ро ит с я в т риэт а п а : 1) За да ет с я вид функций о дно й п ерем енно й. 2) Ф о рм ирует с я вект о р зна чений а ргум ент а . 3) Неп о с редс т венно е п о с т ро ение гра фика : a) рис о ва ние на экра не дис п л ея за го т о вки гра фика — п рям о уго л ьника с черным и ква дра т ика м и у л ево й и п ра во й с т о ро н; за го т о вка гра фика п о явл яет с я в о т м еченно м курс о ре м ес т е п о с л е т о го , ка к п о л ьзо ва т ел ь на ж м ет на о дну изкно п о к м а т ема т ичес ко го м еню « Гра фики»; b) за п о л нение п о л ьзо ва т ел ем двух черных ква дра т ико в за го т о вки гра фика им енем функции и им енем а ргум ент а . В с л уча е, ес л и функций бо л ьш е о дно й, т о их им ена вво дят с я через за п ят ую . В за го т о вке ес т ь и другие черные ква дра т ики, о п редел яю щ ие п редел ы изм енений зна чений а ргум ент а и функций. Э т иква дра т иким о ж но не за п о л нят ь — с реда Mathcad п о ум о л ча нию за п о л нит их с а м а . Гра фик п о явл яет с я на дис п л ее п о с л е выво да курс о ра иззо ны гра фика (а вт о м а т ичес кий реж им ра с чет о в) ил и п о с л е на ж а т ия кл а виш и F9 (ручно й реж им ра с чет о в). П а ра м ет ры гра фика (на п рим ер, т о л щ ина и т ип л иний, вид о с ей и гра фика и т .п .) за да ю т с я с т а нда рт ным ип о ум о л ча нию ; c) ес л ип а ра м ет ры гра фика , ус т а но вл енные п о ум о л ч а нию , п о л ьзо ва т ел я не ус т ра ива ю т и о н хо чет ихизм енит ь, т о с л едует дво йным щ ел чко м л ево й кл а виш и мыш и, ко гда ука за т ел ь м ыш и на хо дит с я в п о л е гра фика , вызва т ь с о о т вет с т вую щ ее м еню ип ро извес т инео бхо дим ые изм енения. Д л я за да н ия диа па зон а изм ен ен ия перем ен н ой с л едует руко во дс т во ва т ьс я с л едую щ им п ра вил о м :

x := x 1 , x 2 .. x n . Здес ь x 1 — п ерво е зна ч ение, x 2 —

вт о ро е зна чение и x n — п о с л еднее зна чение. Та ким о бра зо м , ш а г изм енения о т x1 до x n будет x 2 - x 1 . Ес л и ж е ис п о л ьзует с я за п ис ь x := x 1 .. x n , т о ш а г изм енения п ерем енно й x будет п о ум о л ча нию ра вен 1. Дл я вво да “..” с л едует на ж а т ь кл а виш у “;” ил и во с п о л ьзо ва т ьс я м а т ем а т ичес ко йп а нел ью м еню . П р им е р 1. i :=0 .. 10 j :=-15,-14 .. 12 x :=2,2.5 .. 7 П р им е р 2.

i п риним а ет зна чения о т 0 до 10 с ш а го м 1 j п риним а ет зна чения о т -15 до 12 с ш а го м x п риним а ет зна чения о т 2 до 7 с ш а го м 0,5.

9

a :=1 b :=2 c :=20 − c ⋅ (a + b) ⋅ sin(2 ⋅ α ) x(α ) := − 2⋅a c ⋅ [a - cos(α )2 ⋅ (a + b)] y(α ) := −a c ⋅ cos(α ) z(α ) := (a + b) ⋅ a α := 0.5 ⋅ deg .. 360 ⋅ deg

(deg — п о ум о л ча нию о дин угл о во йгра дус ).

Ч тениеи запись данны х Mathcad чит а ет и за п ис ыва ет фа йл ы да нных — фа йл ы ASCII, с о держ а щ ие чис л о вые да нные. Ч ит а я фа йл ы да нных, м о ж но бра т ь да нные из ра зл ичных ис т о чнико в и а на л изиро ва т ь их в Mathcad. Зап ис ыва я фа йл ы да нных, мо ж но экс п о рт иро ва т ь резул ьт а т ы Mathcad в т екс т о вые п ро цес с о ры, эл ект ро нные т а бл ицы идругие п рикл а дные п ро гра м м ы. Mathcad вкл ю ча ет на бо р функций дл я чт ения и за п ис и да нных: READPRN, WRITEPRN и APPENDPRN с чит ыва ю т цел ую м а т рицу из фа йл а с о с т ро ка м и и с т о л бца м ида нныхил иза п ис ыва ю т в виде т а ко го фа йл а м а т рицу изMathcad. Чт ен ие да н н ы х п ро изво дит с я с п о м о щ ью ко м а нды READPRN. П ро цедура READPRN(file) о с ущ ес т вл яет п рис ва ива ние м а т рице зна чений из с т рукт уриро ва нно го фа йл а с им енем file (с т рукт уриро ва нные фа йл ыим ею т ра с ш ирение prn). Ст рукт урирова н н ы е ф а йл ы с о держ а т чис л а , ра зм ещ енные в виде п рям о уго л ьно й м а т рицы (т .е. п о с т ро ка м и с т о л бца м ) и ра здел енные п ро бел а м и ил и за п ят ым и. П ри эт о м ра зм ер м а т рицы ус т а на вл ива ет с я в с о о т вет с т вии с о бъем о м фа йл а . Ко п иро ва ние да нных из фа йл а п ро изво дит с я п о с т ро чно . Ка ж до й с т ро ке м а т рицыс о о т вет с т вует с т ро ка фа йл а . П р им е р. A:= READPRN("c:\Mathcad\qsheet\zscore.prn") Д л я за пис и да н н ы х в ф а йл с л едует во с п о л ьзо ва т ьс я функцией WRITEPRN. Ф ункция WRITEPRN(file) выво дит м а т рицу в с т рукт уриро ва нный фа йл file.prn. П р им е р 1. ORIGIN :=1 i :=1 .. 10 xi :=i! WRITEPRN("d:\ user \ file1.prn") := x П р им е р 2. ORIGIN :=1 file2 := "d:\ user \ file2.prn" i :=1 .. 10 j :=1 .. 8

10

Yi, j := sin(i − j) WRITEPRN(file2.prn) := Y Д л я доб а вл ен ия да н н ы х к с ущес т вую щем у ф а йл у н а дис ке ис п о л ьзует с я функция APPENDPRN. Ф ункция APPENDPRN(file) до ба вл яет м а т рицу к с ущ ес т вую щ ем у на дис ке с т рукт уриро ва нно м у фа йл у file.prn. Сл едует о с о бо о т м ет ит ь, чт о чис л о с т о л бцо в в м а т рице до л ж но быт ь ра вно чис л у с т о л бцо в в фа йл е. П р им е р . k :=0.8 Z k := k+2 APPENDPRN(file2) := Z T Ч асть II. Л абор атор ны ер аботы Знаком ствос Mathcad Ц ель р аботы . И зучит ь во зм о ж но с т и ра бо т ы в с реде Mathcad п о п редл о ж енно м у ниж е п л а ну, п о дкреп л яя изучение вып о л нением с о о т вет с т вую щ ихза да ний. Подготовка к р аботе. И зучит ь во зм о ж но с т иMathcad (Ч а с т ь I). Пор ядок вы полнения р аботы . 1. Ис п о л ьзо ва ние Mathcad ка к ка л ькул ят о ра (Ча с т ь I, с т р. 4). П ро извес т ира зл ичные а рифм ет ичес кие дейс т вия. 2. Ра с чет ып о фо рм ул а м в с реде Mathcad (Ч а с т ь I, с т р. 5–6). В ып о л нит ь ра с чет ып о фо рм ул а м (выбо р фо рм ул п о с во ем у ус м о т рению ). 3. В ект о ры им а т рицы (Ч а с т ь I, с т р. 6–7). За да т ь нес ко л ько вект о ро в п ро изво л ьно й ра зм ерно с т и (двум я с п о с о ба м и) и п ро извес т и с ним и ра зл ич ные о п ера ции, за да т ь м а т рицы (двум я с п о с о ба м и), п рео бра зо ва т ь вект о р в м а т рицу, п ро извес т и с м а т рица м и ра зл ичные о п ера ции (выбо р о п ера цийп о с во ем у ус м о т рению ). 4. П о с т ро ение гра фико в (Ч а с т ь I, с т р. 7–9). П о с т ро ит ь гра фик л ю бо й функции, изменит ь п а ра м ет ры гра фика , на нес т и на о дин гра фик две кривые. 5. Ч т ение да нныхизфа йл а иза п ис ь в фа йл (Ч а с т ь I, с т р. 9–10). П о зна ко м ит ьс я с с о держ а нием фа йл о в tab1, tab2, tab3. П ро ч ит а т ь фа йл да нных, с о о т вет с т вую щ их В а ш ем у ва риа нт у, п рео бра зо ва т ь вект о р да нныхв м а т рицу, п редс т а вит ь да нные в виде гра фика . За п ис а т ь фа йл , п рис во ив ем у им я = фа м ил ия а вт о ра . Содер ж ание итогового докум ента. Ф а йл с им енем а вт о ра . Со держ а ние фа йл а : вект о р, м а т рица игра фик да нныхВ а ш его ва риа нт а . Л абор атор ная р абота № 1 Расчетвы бор очны ххар актер истик Ц ель р аботы . Зна ко м с т во с о с но вными выбо ро чным иха ра кт ерис т ика ми и их ра с чет .

11

Подготовка к р аботе. 1. П о зна ко м ит ьс я с о с но вным ип о нят иямивыбо ро чно й т ео рии: выбо рка , ва риа цио нный ряд, выбо ро ч ные м о м ент ы, выбо ро чна я м едиа на , п о л иго н ча с т о т , гис т о гра мм а , эм п иричес ка я функция ра с п редел ения ([1], с т р. 119–127). 2. И зучит ь м ет о ды ра с чет а выбо ро чных ха ра кт ерис т ик п о груп п иро ва нным и негруп п иро ва нным да нным ([2]). 3. В ып ис а т ь с о о т вет с т вую щ ие фо рм ул ы. Пор ядок вы полнения р аботы . 1. П о дго т о вка да нных. 1.1. Счит а т ь фа йл да нных, с о о т вет с т вую щ ихВ а ш ем у ва риа нт у. 1.2. У п о рядо чит ь зна чения в п о рядке во зра с т а ния. 2. Ра с чет выбо ро чныхха ра кт ерис т ик. C п о м о щ ью с т а нда рт ных функций, с о держ а щ ихс я в Mathcad, п о л учит ь min и max зна чения выбо рки, выбо ро чно е с реднее, выбо ро ч ную дис п ерс ию , с реднеква дра т ичес ко е о т кл о нение, выбо ро чную м едиа ну. 3. Ра с чет гис т о гра м м ы. Дл я п о с т ро ения гис т о гра мм в с ис т еме Mathcad ис п о л ьзует с я функция hist(int, X) (с м . cт р. 16). Э т а функция фо рм ирует вект о р v i ра зм ерно с т ью r, ко т о рый r о п редел яет ко л ичес т во п о п а да ний v i эл ем ент о в выбо рки X = (X1 ,X 2 ,K,X n ) в м а с с ив инт ерва л о в int ра зм ерно с т ью r+1, т .е. v i — ко л ичес т во зна чений выбо рr ки X , удо вл ет во ряю щ ихус л о вию

inti < X k < int i +1,

k = 1, n, i = 0, r − 1.

М а с с ив int о п редел яет на бо р т о чек, явл яю щ ихс я гра ница м и п о дынт ерва л о в груп п иро вки в гис т о гра м м е. Mathcad игно рирует да нные, м еньш ие, чем п ерво е зна чение в int, ил ибо л ьш ие, чем п о с л еднее зна чение в int. 3.1. В ып о л нит ь ра с чет гис т о гра мм ы с п о м о щ ью с т а нда рт но й п ро цедуры в Mathcad, п о с т ро ит ь гра фикигис т о гра м мы ип о л иго н ча с т о т . 3.2. В ып о л нит ь ра с чет выбо ро чно го с реднего и выбо ро чно й дис п ерс ии п о груп п иро ва нным да нным (ис п о л ьзо ва т ь груп п иро ва нные да нные, п о л уч енные п ри ра с чет е гис т о гра м м ы) ис ра внит ь их с о зна чениям и выбо ро чных ха ра кт ерис т ик, п о л ученным ив п .2. 4. Ра с чет эм п иричес ко йфункциира с п редел ения. В ып о л нит ь ра с чет эм п иричес ко йфункциира с п редел ения дл я груп п иро ва нных да нных (ис п о л ьзо ва т ь резул ьт а т ы, п о л ученные п ри ра с ч ет е гис т о гра м м ы) и негруп п иро ва нныхда нных, п о с т ро ит ь гра фикиэт ихфункций. 5. На о с но ва нии вида гис т о гра м м ы выдвинут ь гип о т езу о п рина дл еж но с т и да нных к генера л ьно й с о во куп но с т и с о дним из за ко но в ра с п редел ения: но рм а л ьным , экс п о ненциа л ьным , рел еевс ким . Содер ж ание итогового докум ента. Зна чения выбо ро чных ха ра кт ерис т ик, гра фики гис т о гра м м ы, п о л иго на ча с т о т , эм п иричес ко й функции ра с п редел ения дл я груп п иро ва нныхинегруп п иро ва нныхда нных. К онтр оль ны евопр осы . 1. Да йт е о п редел ение генера л ьно йс о во куп но с т иивыбо рки. 2. Ч т о т а ко е реп резент а т ивно с т ь выбо ркиика к ее о бес п ечит ь? 3. Ч т о т а ко е ва риа цио нный ряд?

12

4. Да йт е о п редел ение выбо ро чно го с реднего , выбо ро чно й дис п ерс ии. Ка к о ни с о о т но с ят с я с м а т ем а т ичес ким о ж ида нием и дис п ерс ией генера л ьно й с о во куп но с т и? 5. Ч т о т а ко е гис т о гра мм а ? Я вл яет с я л и о на о ценко й п л о т но с т и ра с п редел ения? Ка кие п редва рит ел ьные выво ды о за ко не ра с п редел ения генера л ьно й с о во куп но с т им о ж но с дел а т ь на о с но ве гис т о гра м м ы? 6. Ч т о т а ко е эм п ирич ес ка я функция ра с п редел ения? Ка к о на с о о т но с ит с я с функцией ра с п редел ения генера л ьно й с о во куп но с т и? 7. Ка к за вис ят выбо ро ч ные ха ра кт ерис т ики и эм п иричес ка я функция ра с п редел ения о т о бъем а выбо рки? Л абор атор ная р абота № 2 Т очечная оц енка пар ам етр ов р аспр еделения Ц ель р аботы . Дл я п редп о л а га ем о го за ко на ра с п редел ения п о л уч ит ь зна чения т о чечныхо цено к п а ра м ет ро в. Подготовка к р аботе. И зучит ь с во йс т ва им ет о дына хо ж дения т о чечныхо цено к п а ра м ет ро в ра с п редел ения ([1], [2]). П ро извес т ио ценку п а ра м ет ро в ра с п редел ения: но рм а л ьно го , экс п о ненциа л ьно го , рел еевс ко го , ис п о л ьзуя извес т ные В а м м ет о ды т о чечно го о ценива ния ([1], с т р. 148–153), и за п ис а т ь с о о т вет с т вую щ ие фо рм ул ы. Зап ис а т ь функцию п ра вдо п о до бия и функцию ра с п редел ения дл я на зва нныхза ко но в ра с п редел ения. Пор ядок вы полнения р аботы . 1. Ра с чет о цено к п а ра м ет ро в. И с п о л ьзуя выбо ро чные да нные, ра с с чит а т ь зна чения о ценки п а ра м ет ро в п редп о л а га ем о го за ко на ра с п редел ения. 2. О ценка п а ра м ет ро в п о функциип ра вдо п о до бия. Ра с с чит а т ь за вис им о с т ь функции п ра вдо п о до бия о т о ценива ем о го п а ра м ет ра , ис п о л ьзуя выбо ро ч ные да нные. П о с т ро ит ь гра фик эт о й за вис им о с т и п ри ра зл ич ных о бъем а х выбо рки. На йт и зна чение п а ра мет ра , о бес п ечива ю щ ее м а кс им ум функции п ра вдо п о до бия. Со п о с т а вит ь эт о зна чение с о зна чением , на йденным в п .1. 3. Ра с чет п л о т но с т иверо ят но с т ей ифункциира с п редел ения. Ра с с чит а т ь т ео рет ичес кие п л о т но с т и веро ят но с т ей и функции ра с п редел ения п редп о л а га ем о го за ко на ра с п редел ения с о зна чениям и п а ра м ет ро в, ра вным и зна чениям о цено к, п о л ученныхв п .1. 4. О ценка п л о т но с т иверо ят но с т ей. П о л учит ь о ценку п л о т но с т и веро ят но с т ей п ут ем с о о т вет с т вую щ ей но рм иро вкигис т о гра мм ы. 5. П о с т ро ение гра фико в. П о с т ро ит ь гра фики: т ео рет ичес ко й (п .3) иэм п ирич ес ко й (Л.р. № 1) функциира с п редел ения; т ео рет ичес ко й (п .3) п л о т но с т иверо ят но с т ииее о ценки(п .4). Замечание. П ри п о с т ро ении на о дно м гра фике т ео рет ичес ких и эм п иричес ких за вис им о с т ей нео бхо дим о о бес п ечит ь о дина ко вую ра зм ерно с т ь а ргум ент о в.

13

К онтр оль ны евопр осы . 1. Да йт е о п редел ение т о ч ечно й о ценкип а ра м ет ро в ра с п редел ения. 2. Да йт е о п редел ение нес мещ енно с т и т о чечных о цено к п а ра м ет ро в. П риведит е п рим ерынес м ещ енныхис м ещ енныхо цено к. 3. Да йт е о п редел ение эффект ивно с т и т о чечно й о ценки п а ра мет ро в. Ка к на йт и эффект ивную о ценку и ее дис п ерс ию , ис п о л ьзуя крит ерий Ра о -Кра м ера ? П риведит е п рим еры эффект ивныхо цено к. 4. Ка к за вис ит дис п ерс ия эффект ивно й о ценки, на йденно й п о крит ерию Ра о Кра м ера о т о бъем а выбо рки? 5. Да йт е о п редел ение с о с т о ят ел ьно с т и о ценки. Сфо рм ул ируйт е ус л о вия, п ри ко т о рых о ценка будет с о с т о ят ел ьно й. П риведит е п рим еры с о с т о ят ел ьных о цено к п а ра м ет ро в. 6. Чт о т а ко е функция п ра вдо п о до бия? За п иш ит е функцию п ра вдо п о до бия дл я п а ра м ет ро в ра с п редел ений: но рма л ьно го , экс п о ненциа л ьно го , рел еевс ко го , ра вно м ерно го . 7. В чем за кл ю ча ет с я м ет о д м а кс им а л ьно го п ра вдо п о до бия о ценки п а ра м ет ро в? Ка ко выс во йс т ва о цено к, п о л ученныхэт им м ет о до м ? 8. В чем за кл ю ча ет с я м ет о д м о м ент о в о ценкип а ра м ет ро в? Ч т о м о ж но с ка за т ь о с во йс т ва хо цено к, п о л ученныхэт им м ет о до м ? Л абор атор ная р абота № 3 Д овер итель ны й интер вал Ц ель р аботы . О п редел ение до верит ел ьно го инт ерва л а дл я п а ра м ет ро в ра с п редел ения. Подготовка к р аботе. П о л учит ь ра с чет ные фо рм ул ы гра ницдо верит ел ьно го инт ерва л а дл я п а ра м ет ро в ра с п редел ений: a) но рм а л ьно го , b) экс п о ненциа л ьно го , c) Рел ея, d) ра вно м ерно го (дл я ра с п редел ений b) – d) — гра ницы а с им п т о т ичес кихдо верит ел ьныхинт ерва л о в). Пор ядок вы полнения р аботы . 1. Ра с чет гра ницдо верит ел ьныхинт ерва л о в. Ра с с чит а т ь зна чения гра ницдо верит ел ьных инт ерва л о в дл я п а ра м ет ро в п редп о л а га емо го за ко на ра с п редел ения п ридо верит ел ьныхверо ят но с т ях0.9 и0.99. 2. Ра с чет гра ницп л о т но с т ей веро ят но с т ейифункцийра с п редел ения. Ра с с чит а т ь т ео рет ичес кие п л о т но с т и веро ят но с т ей и функции ра с п редел ений с о зна чениям и п а ра м ет ро в, ра вным и гра ница м до верит ел ьно го инт ерва л а п ри γ =0.9 и0.99. 3. П о с т ро ение гра фико в. П о с т ро ит ь гра фики: a) функции ра с п редел ения (эмп иричес ко й (Л.р. № 1) и т ео рет ичес ко й с о зна чениям и, ра вным игра ница м до верит ел ьно го инт ерва л а (п .2)); b) п л о т но с т и веро ят но с т ей (эм п иричес ко й (Л.р. № 2) и т ео рет ичес ко й с о зна чениям и, ра вным игра ница м до верит ел ьно го инт ерва л а ).

14

Замечание. 1) М о ж но п о с т ро ит ь на о дно м гра фике т ео рет ичес кие кривые с п а ра м ет ра ми, с о о т вет с т вую щ им и ра зным до верит ел ьным инт ерва л а м . 2) П ри п о с т ро ении на о дно м гра фике т ео рет ич ес ких и эм п иричес ких кривых нео бхо дим о о бес п ечит ь о дина ко вую ра зм ерно с т ь а ргум ент о в. Содер ж ание итогового докум ента. Зна чения гра ницдо верит ел ьно го инт ерва л а и гра фики п л о т но с т ей веро ят но с т ей (т ео рет ичес ко й и эм п ирич ес ко й) и функцийра с п редел ения (т ео рет ичес ко й иэм п иричес ко й). К онтр оль ны евопр осы . 1. Чт о т а ко е до верит ел ьный инт ерва л идо верит ел ьна я веро ят но с т ь? За п иш ит е гра ницы до верит ел ьных инт ерва л о в дл я п а ра м ет ро в но рм а л ьно й генера л ьно й с о во куп но с т и. 2. Ч т о т а ко е а с имп т о т ичес кий до верит ел ьный инт ерва л ? За п иш ит е гра ницы а с им п т о т ич ес ких до верит ел ьных инт ерва л о в дл я п а ра м ет ро в ра с п редел ений экс п о ненциа л ьно го , рел еевс ко го . 3. Ка к за вис ит ш ирина до верит ел ьно го инт ерва л а о т до верит ел ьно й веро ят но с т иио бъем а выбо рки? Л абор атор ная р абота № 4 К р итер ии согласия Ц ель р аботы . П ро верка гип о т езы о за ко не ра с п редел ения. Подготовка к р аботе. П о зна ко м ит ьс я с реш ением за да чи с т а т ис т ичес ко й п ро верки гип о т езы о виде функции ра с п редел ения. И зучит ь на ибо л ее ра с п ро с т ра ненные крит ериис о гл а с ия ([1], с т р. 183–187). Пор ядок вы полнения р аботы . 1. Крит ерий с о гл а с ия χ 2 -П ирс о на . 1.1. Ра с с чит а т ь зна чение с т а т ис т ики дл я крит ерия χ 2 -П ирс о на (м о ж но во с п о л ьзо ва т ьс я да нным и, п о л ученным ип рира с чет е гис т о гра м м ы). 1.2. О п редел ит ь п ри уро вняхзна чим о с т и0.1, 0.05, 0.01 крит ичес кие зна чения (п о т а бл ица м ил и с п о мо щ ью функции, о бра т но й функции ра с п редел ения χ 2 П ирс о на ). Сра внит ь эт изна чения м еж ду с о бо й. 1.3. Сра внит ь зна чение с т а т ис т ики, п о л ученно й в п .1.1 с крит ичес ким и зна чениям и из п .1.2 и с дел а т ь выво д о с п ра ведл иво с т и выдвинут о й гип о т езы о за ко не ра с п редел ения. 2. Крит ерий Ко л м о го ро ва . 2.1. Ра с с чит а т ь зна чение с т а т ис т ики дл я крит ерия Ко л м о го ро ва (во с п о л ьзо ва т ьс я п о л ученным и ра нее зна чениями эм п ирич ес ко й и т ео рет ичес ко й (Л.р. № 2) функциям ира с п редел ения). 2.2. О п редел ит ь п ри уро вняхзна чим о с т и0.1, 0.05, 0.01 крит ичес кие зна чения (п о т а бл ица м ра с п редел ения Ко л м о го ро ва ). 2.3. Сра внит ь зна чение с т а т ис т ики, п о л ученно й в п .2.1 с крит ичес ким и зна чениям и из п .2.2 и с дел а т ь выво д о с п ра ведл иво с т и выдвинут о й гип о т езы о эа ко не ра с п редел ения. 2.4. Е с л и выво ды, с дел а нные в п .1.3. и в п .2.3 не с о вп а да ю т , т о о бъяс нит е п о л ученный резул ьт а т .

15

Содер ж ание итогового докум ента. Дл я ка ж до го крит ерия п редс т а вит ь зна чение с т а т ис т ики и крит ичес кие зна чения. За кл ю чение о за ко не ра с п редел ения генера л ьно й с о во куп но с т и. К онтр оль ны евопр осы . 1. Сфо рмул ируйт е за да чу п ро веркигип о т езыо виде функциира с п редел ения и о бщ ую мет о дику ее реш ения. 2. В чем за кл ю ча ет с я крит ерий с о гл а с ия Ко л м о го ро ва ? В чем его до с т о инс т ва инедо с т а т ки? 3. В чем за кл ю ча ет с я крит ерий П ирс о на ? В чем его до с т о инс т ва и недо с т а т ки? 4. Ка ко й крит ерий п редп о чт ит ел ьнее ис п о л ьзо ва т ь п ри реш ении В а ш ей за да чи? ПРИ Л О Ж Е Н И Е Н екотор ы евстр оенны еф ункц ии Mathcad О бозначения: x иy — вещ ес т венные чис л а ; z — вещ ес т венно е л ибо ко м п л екс но е чис л о ; m, n, i, j, k — цел ые чис л а ; v ивс е им ена , на чина ю щ иес я с v – вект о ры; A иB — м а т рицыл ибо вект о ры; M — ква дра т на я м а т рица . Э лем ентар ны еф ункц ии sin(z) — cos(z) — tan(z) — cot(z) — ln(z) —

с инус ко с инус т а нгенс ко т а нгенс на т ура л ьный л о га рифм

asin(z) — acos(z) — atan(z) — exp(z) — log(z) —

а ркс инус а ркко с инус а ркт а нгенс экс п о нент а дес ят ичный л о га рифм

Д р угиеф ункц ии Re(z) — дейс т вит ел ьна я ча с т ь ко м п л екс но го чис л а z. Im(z) — м ним а я ча с т ь ко м п л екс но го чис л а z. arg(z) — а ргум ент ко мп л екс но го ч ис л а z (в ра диа на х). δ ( x, y) — с им во л Кро некера (1, ес л иx=y, и0, ес л иx ≠ y; x иy — цел о чис л енные вел ичины. Φ (x ) — функция Х евис а йда (1, ес л иx ≥ 0, и0 в п ро т ивно м с л уча е). ceil(x) — на именьш ее цел о е, не п ревыш а ю щ ее x. floor(x) — на ибо л ьш ее цел о е чис л о , м еньш ее ил ира вно е x. mod(x, modulus) — о с т а т о к о т дел ения x п о м о дул ю . А ргум ент ы до л ж ны быт ь дейс т вит ел ьным и. Резул ьт а т им еет т а ко йж е зна к, ка к иx. if(cond, x, y) — x, ес л иcond бо л ьш е 0, ина че y. until(выра ж ение1, выра ж ение2) — выра ж ение1, п о ка выра ж ение2 о т рица т ел ьно е.

16

Ф ункц ии для м атр иц и вектор ов augment(A, B) — п рис о единение м а т рицы B к м а т рице A с п ра ва ; о бе м а т рицы до л ж ны им ет ь о дина ко во е чис л о с т ро к. cols(A) — чис л о с т о л бцо в в м а т рице A. csort(A, n) — с о рт иро вка м а т рицы A п о с т о л бцу n (п ерес т а но вка с т ро к п о во зра с т а нию зна чений эл ем ент о в в с т о л бце n). submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — выдел ение из м а т рицы A с убма т рицы, с о с т о ящ ей из эл ем ент о в, с о держ а щ ихс я в с т ро ка х с ir п о jr и в с т о л бца х с ic п о jc. Дл я с о хра нения п о рядка с т ро к ис т о л бцо в нео бхо дим о , чт о быir ≤ jr, ic ≤ jc. diag(v) — диа го на л ьна я м а т рица , эл ем ент ыгл а вно й диа го на л ико т о ро й — вект о р v. identity(n) — единична я ква дра т на я м а т рица ра зм еро м n. last(v) — индекс п о с л еднего эл ем ент а вект о ра v. lenght(v) — чис л о эл ем ент о в в вект о ре v. matrix(m, n, f) — м а т рица , в ко т о ро й (i, j)-й эл ем ент с о держ ит f(i, j), где i=0,1,... , m иj=0,1, ... , n. max(A) — на ибо л ьш ий эл ем ент м а т рицы A. mean(v) — с реднее зна чение вект о ра v. median(v) — м едиа на . min(A) — на им еньш ий эл ем ент м а т рицы A. norme(M) — евкл идо ва но рм а ма т рицы M. rank(A) — ра нг м а т рицыA. reverse(v) — п еревернут ый вект о р v. rows(A) — чис л о с т ро к в м а т рице A. rsort(A, n) — с о рт иро вка м а т рицы A п о с т ро ке n (п ерес т а но вка с т о л бцо в п о во зра с т а нию зна чений эл ем ент о в в с т ро ке n). sort(v) — с о рт иро вка вект о ра v п о убыва нию . stack(A, B) — фо рмиро ва ние м а т рицы п ут ем ра с п о л о ж ения A на д B. М а т рицыA иB до л ж ныим ет ь о дина ко во е чис л о с т о л бцо в. stdev(v) — с реднеква дра т ичес ко е о т кл о нение эл ем ент о в вект о ра v. tr(M) — с л ед м а т рицы M (с ум м а эл ем ент о в, ра с п о л о ж енных на гл а вно й диа го на л иква дра т но йм а т рицы M). var(v) — ва риа ция эл ем ент о в вект о ра v. hist(intervals, data) — гис т о гра м м а . В ект о р intervals за да ет гра ницы инт ерва л о в в п о рядке во зра с т а ния; data — м а с с ив да нных. В о звра щ а ет вект о р, с о держ а щ ий чис л о т о чек изdata, п о п а вш ихв с о о т вет с т вую щ ийинт ерва л . Л инейная р егр ессия и пр огноз corr(vx, vy) — ко эффициент ко ррел яциидвухвект о ро в — vx иvy. cvar(X, Y) — ко ва риа ция X иY. intercept(vx, vy) — ко эффициент л инейно йрегрес с ииy=a+b ⋅ x вект о ро в vx иvy. predict(v, m, n) — п ро гно з. В ект о р, с о держ а щ ий ра вно о т с т о ящ ие п редс ка за нные зна чения n п ерем енных, вычис л енныхп о m за да нным в м а с с иве v да нным . slope(vx, vy) — ко эффициент л инейно й регрес с ииy=a+b ⋅ x вект о ро в vx иvy.

17

Реш ениеур авнений и систем реш ение с ис т ем ы л инейных а л гебра ичес ких ура внений вида

lsolve(M, v) — M ⋅ x=v. Minerr( x1 , x 2 ,K, x n ) — вект о р зна чений дл я x1 , x 2 ,K, x n , ко т о рые п риво дят к м иним а л ьно й о ш ибке в с ис т еме ура внений. root(expr, var) — зна чение п ерем енно й var, п ри ко т о ро й выра ж ение expr ра вно нул ю (в п редел а хт о чно с т иTOL (с м . с т р. 21)). polyroots(v) — ко рни м но го чл ена с т еп ениn, ко эффициент ы ко т о ро го на хо дят с я в вект о ре v дл ины n+1. О сновны езаконы р аспр еделения Ф ункции, им ена ко т о рыхна чина ю т с я с “d”, вычис л яю т п л о т но с т ь веро ят но с т и (ил и веро ят но с т ь дл я дис крет ных вел ичин), с “p” — функции ра с п редел ения, с “q” — ква нт ил и и с “r” — генерирую т вект о р m с л уча йных чис ел с с о о т вет с т вую щ им за ко но м ра с п редел ения. dbeta(x, s1 , s 2 ), pbeta(x, s1 , s2 ), qbeta(p, s1 , s2 ), rbeta(m, s1 , s2 ) — β -ра с п редел ение Γ (s1 + s 2 ) s1 −1 f(x) = x (1 − x) s2 −1 , 0 < x < 1, s1 , s 2 > 0. Γ (s1 ) Γ (s 2 ) dbinom(k, n, p), pbinom(k, n, p), qbinom(p, n, q), rbinom(m, n, p) — бино м а ил ьно е ра с п редел ение k k n −k P(k) = C n p (1 − p) , 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ p ≤ 1. dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s), qcauchy(p, l, s), rcauchy(m, l, s) — ра с п редел ение Ко ш и 1 f(x) = , − ∞ < x < ∞ , s > 0. 2 πs(1 + ((x − l) s) ) dchisq(x, n), pchisq(x, n), qchisq(p, n), rchisq(m, n) —

χ 2 -ра с п редел ение

n/2 −1

exp( −x/2) x f(x) =   , x > 0, n > 0 . 2 Γ(n/2) 2 dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(m, r) — экс п о ненциа л ьно е ра с п редел ение f(x) = re − rx , x > 0, r > 0. dF(x, n1 , n 2 ), pF(x, n 1 , n 2 ), qF(p, n 1 , n 2 ), rF(m, n 1 , n 2 ) — ра с п редел ение Ф иш ера

((n 1 + n 2 ) 2) n1n

n n2 2 2 x (n1 −2) 2 , x > 0, n i > 0. (n + n ) 2 Γ (n 1 2) Γ (n 2 2)(n 2 + n 1x) 1 2 dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(m, s) — γ -ра с п редел ение f(x) =

Γ

1

2

x s−1 e − x f(x) = , x ≥ 0, s > 0. Γ(s) dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(m, q) — гео м ет ричес ко е ра с п редел ение P ( k ) = p (1 − p ) k , 0 < p < 1 .

18

dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(m, µ , σ ) — л о гно рм а л ьно е (л о га рифм ичес кино рм а л ьно е) ра с п редел ение 2 2 1 f(x) = e − (ln(x) − µ ) ( 2σ ) , x > 0, σ > 0. 2π σ x dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(m, l, s) — л о гис т ичес ко е ра с п редел ение e − (x − l) s f(x) = , − ∞ < x < ∞ , s > 0. s(1 + e − (x − l) s ) 2 dnbinom(k, n, p), pnbinom(k, n, p), qnbinom(p, n, q), rnbinom(m, n, q) — о т рица т ел ьно е бино м иа л ьно е ра с п редел ение n + k −1 n P(k) = C k p (1 − p) k , 0 < p ≤ 1, n > 0, k ≥ 0. dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ ), rnorm(m, µ , σ ) — но рм а л ьно е ра с п редел ение (x − µ )

2

− 1 2 f(x) = e 2σ , − ∞ < x < ∞ , σ > 0. 2π σ dpois(k, λ ), ppois(k, λ ), qpois(p, λ ), rpois(m, λ ) — ра с п редел ение П уа с с о на k −λ λ e , λ > 0, k ≥ 0. P(k) = k! dt(x, n), pt(x, n), qt(p, n), rt(m, n) — ра с п редел ение Ст ью дент а − (n +1) 2

x2  + 1) 2)  1 +  f(x) = , − ∞ < x < ∞ , n > 0. n  Γ ( n 2) πn  dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b), runif(m, a, b) — ра вно м ерно е ра с п редел ение 1 f(x) = , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(m, s) — ра с п редел ение В ейбул л а s f(x) = sx s−1e − x , x > 0, s > 0. Γ ((n

Д р угиеф ункц ии cnorm(x) — инт егра л веро ят но с т и 1 x −t2 2 Φ (x) = e dt . 2π −∫∞ erf(x) — функция о ш ибо к 1 x − t2 erf(x) = e dt . 2π −∫∞ Γ (z) — га м м а -функция. rnd(x) — п с евдо с л уча йно е ра вно м ерно ра с п редел енно е чис л о в диа п а зо не о т нул я до x.

19

В СТ РО Е Н Н ЫЕ О ПЕ РА Т О РЫ О п ера т о р

О бо зна чение

Кругл ые с ко бки

(X)

Ниж ний индекс

An

В ерхний индекс

A

n

Кл а виш а

' [ [Ctrl]6

О п ис а ние Груп п а о п ера т о ро в В о звра щ ение индекс иро ва нно го эл ем ент а м а с с ива В ыбо р ко л о нкиn изм а с с ива A

Ф а кт о риа л

n!

Тра нс п о ниро ва т ь

A

Ст еп ень

zw

^

В о зво дит z в с т еп ень w

Ст еп ень м а т рицы

M

n

^

В о зво дит м а т рицу M в с т еп ень n, n – цел о е

Сум м а вект о ра

T

∑V

Ква дра т ный ко рень

! [Ctrl]1

[Ctrl]4

Сум м а эл ем ент а вект о ра V; во звра щ ение с ка л яра

\

Ква дра т ныйко рень дл я нео т рица т ел ьно го z; а бс о л ю т на я вел ичина дл я о т рица т ел ьно го ил ико м п л екс но го z

z

[Ctrl]\

В о звра щ а ет дейс т виит ел ьно е зна чение ко рня вс який ра з, ко гда эт о во зм о ж но

n

Ра зм ер (м о дул ь)

|z|

|

Ра зм ер вект о ра

|v|

Дел ение

X

В о звра щ ение

Re 2 (z) + Im 2 (z)

|

В о звра щ ение

(v, v)

/

Дел ение выра ж ения X на с ка л яр z, не ра вный нул ю . Е с л иX явл яет с я м а с с иво м , т о дел ит ка ж дый эл ем ент м а с с с ива на z

*

П ро изведение с ка л яро в X иY, ес л ика к X, т а к иY — с ка л яры. У м но ж а ет ка ж дый эл ем ент Y на X, ес л иY — м а с с ив иX — с ка л яр. У м но ж ение м а т риц(вект о ро в), ес л иX иY — п о до бные м а т рицы (вект о ры)

z

Сум м иро ва ние

В ып о л няет т ра нс п о ниро ва ние м а т рицы

z

Ко рень n-о й с т еп ени

У м но ж ение

В о звра щ а ет n!. Ц ел о е ч ис л о n не м о ж ет быт ь о т рица т ел ьным

X·Y

n

∑X

[Ctrl][Shift]4 В ып о л нит ь с л о ж ение X дл я i=m,m+1,… ,n. X м о ж ет быт ь л ю бым выра ж ением

i =1

П ро изведение

n

∏X

[Ctrl][Shift]3 В ып о л нит ь ум но ж ение X дл я i=m,m+1,… ,n. X м о ж ет быт ь л ю бым выра ж ением

i=m

Дет ерм ина нт

|M|

|

В о звра щ ение о п редел ит ел я ква дра т но й м а т рицы M

20

О п ера т о р

Кл а виш а

О п ис а ние

∫ f(t)dt

[Shift]7

В ычис л яет о п редел енный инт егра л f(t) на инт ерва л е [a,b], a иb до л ж ныбыт ь реа л ьным и с ка л яра м и. П ерем енные в выра ж енииf(t), ис кл ю ча я п ерем енную инт егриро ва ния t, до л ж ныбыт ь о п редел ены

П ро изво дна я

d f(t) dt

[Shift]/

В о звра щ а ет f ′(t) . В с е п ерем енные в f(t) до л ж ны быт ь о п редел ены, п ерем енна я t до л ж на им ет ь с ка л ярно е зна чение

П ро изво дна я n-го п о рядка

dn f(t) dt n

И нт егра л

О бо зна чение a

b

[Ctrl][Shift]/ В ычис л яет f (n)(t) . В с е п ерем енные в f(t) до л ж ны быт ь о п редел ены, п ерем енна я t до л ж на им ет ь с ка л ярно е зна чение, n=0,1,…

Сл о ж ение

X+Y

+

Cка л ярно е с л о ж ение, ес л иX иY явл яю т с я с ка л яра м и. Cл о ж ение эл ем ент о в, ес л иX иY — вект о рыил им а т рицыо дина ко во го ра зм ера . Е с л иX — м а с с ив, Y — с ка л яр, с кл а дыва ет Y с ка ж дым эл ем ент о м X

В ычит а ние

X–Y

–

В ып о л няет с ка л ярно е вычит а ние, ес л иX иY явл яю т с я с ка л яра м и. В ып о л няет вычит а ние эл ем ент о в, ес л иX иY — вект о ры ил им а т рицы о дина ко во го ра зм ера . Е с л иX явл яет с я м а с с иво м иY — с ка л яро м , выч ит а ет Y из ка ж до го эл ем ент а X

Б о л ьш е, чем

x>y

>

В о звра щ ение 1, ес л иx>y, ина че 0; x иy до л ж ныбыт ь с ка л яра м и.

М еньш е, чем

x