Численные методы обработки данных в системе Mathcad: Практикум

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

Численны е м етоды обработки данны х всистем е MathCad

П р акт и ку м п о с п еци ально с т и «Рад и о ф и зи ка и элект р о ни ка» 071500

Во р о неж 2004

2

Ут вер жд ено нау чно -мет о д и чес ки м с о вет о м ф и зи чес ко го ф аку льт ет а (14.01.2004 г. п р о т о ко л № 1 )

Со с т ави т ели : Рад ченко Ю .С., Захар о в А.В

П р акт и ку м п о д го т о влен на каф ед р е р ад и о ф и зи ки ф и зи чес ко го ф аку льт ет а Во р о нежс ко го го с у д ар с т венно го у ни вер с и т ет а Реко менд у ет с я д ля д ля с т у д ент о в2 ку р с а д невно го о т д елени я (071500)

3

Содержание Час т ь I. Mathcad..................................................................... Общи е с вед ени я ................................................................. Час т ь II. Лабо р ат о р ные р або т ы № 1. Фу нкци о нальный мас ш т аб. И нт ер п о ляци я.......... № 2. Чи с ленно е и нт егр и р о вани е..................................... № 3. П р и менени е и нт егр ала вер о ят но с т и д ля анали за д анных № 4.М о д ели р о вани е с лу чайных вели чи н. М ет о д М о нт е-К ар ло № 5 П ер ви чная о бр або т ка д анных. ................................ Час т ь 1. Выбо р о чные мо мент ы. Рас чет п о гр еш но с т ей Час т ь 2. Выбо р о чные р ас п р ед елени я. К р и т ер и и с о глас и я № 6 М ет о д наи меньш и х квад р ат о в.................................. П р и ло жени е............................................................................ Н еко т о р ые вс т р о енные ф у нкци и Mathcad..................... Ли т ер ат у р а..............................................................................

3 9 11 13 16 18 20 24 27 30

Часть I. Mathcad М ат емат и чес ки й п акет Mathcad п о зво ляет с п еци али с т ам, не вд аваяс ь в т о нко с т и п р о гр амми р о вани я, р еали зо ват ь мат емат и чес ки е мо д ели . От мет и м ко нкр ет ные п р еи му щес т ва п акет а Mathcad: • мат емат и чес ки е выр ажени я в с р ед е Mathcad зап и с ываю т с я в и х о бщеп р и нят о м ви д е. Текс т о вый п р о цес с о р п акет а п о зво ляет о ф о р ми т ь, нап р и мер , нау чну ю с т ат ью . Mathcad — эт о п о лно ценно е Windowsп р и ло жени е, п о эт о му ClipBoard (Б у ф ер Обмено в) п о зво ляет п ер енес т и ф р агмент ыMathcad-д о ку мент а вр азли чные п р и ло жени я ; • в с р ед е Mathcad п р о цес с с о зд ани я п р о гр аммы и д ет п ар аллельно с ее о т лад ко й; • в п акет Mathcad и нт егр и р о ван д о во льно мо щный мат емат и чес ки й ап п ар ат . Во т неп о лный п ер ечень вычи с ли т ельных и нс т р у мент о в, д о с т у п ных в с р ед е Mathcad: 1) р еш ени е алгебр аи чес ки х у р авнени й и с и с т ем (ли нейных и нели нейных); 2) р еш ени е с и с т ем о быкно венных д и ф ф ер енци альных у р авнени й ; 3) р еш ени е д и ф ф ер енци альных у р авнени й вчас т ных п р о и зво д ных; 4) р або т а с вект о р ами и мат р и цами (ли нейная алгебр а и д р .); 5) п о и с кмакс и му мо ви м и ни м у мо вф у нкци о нальных зави с и мо с т ей; 6) с т ат и с т и чес кая о бр або т ка д анных; • п акет Mathcad д о п о лнен с п р аво чни ко м п о о с но вным мат емат и чес ки м и ф и зи ко -хи ми чес ки м ф о р му лам и ко нс т ант ам : • вп акет Mathcad и нт егр и р о ваныс р ед с т ва с и м во льно й мат емат и ки .

4

Ри с . 1. Окно д о ку мент а Mathcad 8.0 1 — п анель и нс т р у мент о в; 2 — кно п ки ф о р мат и р о вани я т екс т а; 3 — мат емат и чес ко е меню ; 4 — выбр анные п анели мат емат и чес ко го меню . А рифм етич еские вы ч исления Д л я вы чис л ен ия зн а чен ий а риф м ет ичес ких вы ра ж ен ий в р або чем п о ле Mathcad с лед у ет с п о мо щью клави ат у р ы и ли нажав на п и кт о гр амму кальку лят о р а вмат емат и чес ко м меню Mathcad (с м. р и с . 1) набр ат ь выр ажени е, завер ш аю щеес я знако м “ =”. П р и м е р.

1−

3 + 0.2 ⋅ 4 = 1.2 5

И сп ользование форм ул вMathcad Д л я н а б ора ф орм ул в Mathcad мо жно и с п о льзо ват ь чи с ла, п ер еменные, ф у нкци и как с т анд ар т ные (вс т р о енные), т ак и о п р ед еляемые п о льзо ват елем, а т акже р азли чные мат емат и чес ки е о п ер ат о р ы (с ло жени я, вычи т ани я, у м но жени я, д елени я, во звед ени я в с т еп ень, и нт егр и р о вани я, д и ф ф ер енци р о вани я и т .д .). Н або р ф о р му л мо жно о с у щес т влят ь т акже с п о мо щью п анели мат емат и чес ко го меню Mathcad (с м. р и с . 1). Зам еч ание. Им ен а вс т роен н ы х ф ун кций н ечувс т вит ел ьн ы к шриф т у, н о чувс т вит ел ьн ы к регис т ру (верхн ем у, н иж н ем у) — их с л едует печа т а т ь в т очн ос т и, ка к он и приведен ы в н а с т оящ ем пос об ии или докум ен т а ции по Mathcad. Д л я определ ен ия перем ен н ой с лед у ет п о с ле у казани я ее и мени ввес т и знак п р и с во ени я “ :=” (нажав клави ш у “ :”), п о с ле ко т о р о го вво д и т с я алгебр аи чес ко е (и ли ло ги чес ко е) выр ажени е, вс е о п ер анд ыко т о р о го д о лжныбыт ь о п р ед елены. Замет и м, чт о знак“ :=” д ейс т ву ет п о п о лю Mathcad п р авее и ни же у казанно го выр ажени я. Е с ли вмес т о знака “ :=” вво д и т ь “ ≡ ” (клави ш а “ ~”, а т акже с м. меню

5

на р и с . 1), т о его д ейс т ви е р ас п р о с т р аняет с я п о вс ему п о лю д о ку мент а незави с и мо о т мес т о п о ло жени я р ас с мат р и ваемо го выр ажени я. То ес т ь знак “ ≡ ” о п р ед еляет , во т ли чи е о т “ :=”, п ер еменну ю гло бально . П р и м е р. z=0.2 v=0.9 x:=1 y:=4 z:= x + y v := x + 2 ⋅ y 10

10

Д л я определ ен ия ф ун кции о д но го и ли нес ко льки х п ер еменных т р ебу ет с я зад ат ь и мя ф у нкци и , у казав в кр у глых с ко бках чер ез зап ят у ю и мена ее ар гу мент о в, и п р авее знака “ :=” (и ли “ ≡ ”) ввес т и с о о т вет с т ву ю щее ф у нкци и ар и ф мет и чес ко е (и ли ло ги чес ко е) выр ажени е. П о с ле о п р ед елени я ф у нкци и ее мо жно и с п о льзо ват ь в выр ажени и как с т анд ар т ну ю (вс т р о енну ю ) ф у нкци ю Mathcad. Ос о бо о т мет и м, чт о к мо мент у вычи с лени я п о ф о р му ле вс е п ер еменные вэт о й ф о р му ле д о лжныбыт ь о п р ед елены. П р и м е р. f(x, y):= sin(x) + x2 − 2 ⋅ y ⋅ cos(x + y) о п р ед елени е ф у нкци и f(x,y) 2 g(x) := cos(x + 1) − f(4, x) и с п о льзо вани е ф у нкци и f(x,y) ввычи с лени ях Работасвекторам и и м атрицам и Д ля вво д а мат р и цы (и ли вект о р а) т р ебу ет с я п р о д елат ь с лед у ю щу ю п о с лед о ват ельно с т ь о п ер аци й: 1. Зад аем и мя мат р и цыи вво д и м знакп р и с ваи вани я. Н ап р и мер , д ля зад ани я мат р и цы“ A” п и ш ем “ A:”. П о лу чаем “ A:=”. 2. В п анели мат емат и чес ко го меню Mathcad нажи маем на кно п ку с и зо бр ажени ем мат р и цы. П о с ле эт о го на экр ане д и с п лея во зни кает о кно р або т ыс мат р и цами . Вэт о м о кне д ва п о ля и т р и кно п ки . 3. Вп ер во м п о ле с лед у ет у казат ь чи с ло с т о лбцо вс о зд аваемо й мат р и цы, а во вт о р о м — чи с ло с т р о к(п о у мо лчани ю вэт и х п о лях зап и с аныт р о йки ) Д ля с о зд ани я мат р и цы щелкаем п о кно п ке Create (Со зд ат ь). Д ве о с т альные кно п ки Insert (Вс т ави т ь) и Delete (Уд али т ь) п р ед назначеныд ля и зменени я р азмер о в р анее с о зд анных мат р и ц: зад анно е в п о лях чи с ло с т о лбцо в и ли (и ) с т р о к вс т авляет с я (у д аляет с я) п р авее и ни же о т меченно го ку р с о р о м элемент а у же с о зд анно й мат р и цы. 4. П о с ле щелчка п о кно п ке Create с п р ава о т выр ажени я п о являет с я ш абло н д ля вво д а и нф о р маци и . Зап о лнени ем ваканс и й завер ш ает с я ф о р ми р о вани е мат р и цы. Вт о р о й вар и ант ф о р ми р о вани я мат р и ц и вект о р о в о с у щес т вляет с я чер ез п ер еменные с и нд екс ами , нап р и мер , Ai,j , Bi . И нд екс к и мени п ер еменно й п р и п ечат ывает с я нажат и ем ли бо на кно п ку Xi на п анели мат емат и чес ки х и нс т р у мент о в, ли бо на клави ш у “ [”. Зам еч ание. Н о мер п ер во го элемент а вект о р о в и мат р и ц хр ани т п ер еменная ORIGIN. Э т а п р ед о п р ед еленная (с и с т емная) п ер еменная, п о у мо лчани ю ORIGIN=0. И змени т ь значени е с и с т емно й п ер еменно й ORIGIN мо жно ли бо в п у нкт е меню Math (п о д п у нкт (Вс т р о енные п ер еменные)), ли бо чер ез ко манд у п р и с ваи вани я вп о ле д о ку мент а Mathcad.

6

Оп ер аци и с мат р и цам и и вект о р ами о с у щес т вляю т с я п о т ем же п р ави лам, чт о и д ля ар и ф мет и чес ки х выр ажени й (с м . П р и ло жени е). П р и м е р 1. ORIGIN:=1 о п р ед еляем но мер п ер во го элемент а  1 1 A:=   ф о р ми р у ем мат р и цу A 5 3 

 138   B:=   540 

ф о р ми р у ем мат р и цу B

X:= A −1B

р еш аем мат р и чно е у р авнени е AX=B

 63  X =    75 

выво д р еш ени я

0  AX − B =   0 

п р о вер ка

П р и м е р 2. ORIGIN:=0 A 0,0:= 1

A 0,1:= 1

A 1,0:= 5

A 1,1:= 3

о п р ед еляем но мер п ер во го элемент а ф о р ми р у ем мат р и цу A ф о р ми р у ем мат р и цу B р еш аем мат р и чно е у р авнени е AX=B выво д р еш ени я п р о вер ка

B0 := 138 B0:= 540

X := lsole(A,B) X 0 := 63

X1:= 75

A 0,0X 0 + A 0,1X1 − B 0 = 0 A 1,0X 0 + A 1,1X1 − B 1 = 0

П остроение графиковвсреде Mathcad 60 50

x( α ) y(α)

0

z( α )

50 60 0 0

1

2

3 α

4

5

6 6

Ри с . 2. Д екар т о вгр аф и к Д вум ерн ы й дека рт ов гра ф ик с т ро и т с я вт р и эт ап а: 1. Зад ает с я ви д ф у нкци й о д но й п ер еменно й. 2. Фо р ми р у ет с я вект о р значени й ар гу мент а. 3. Н еп о с р ед с т венно е п о с т р о ени е гр аф и ка: a) р и с о вани е на экр ане д и с п лея заго т о вки гр аф и ка п р и нажат и и на о д ну и з кно п о кмат емат и чес ко го меню «Гр аф и ки »;

7

b) зап о лнени е заго т о вки гр аф и ка и менем ф у нкци и и и менем ар гу мент а. В с лу чае, ес ли ф у нкци й бо льш е о д но й, т о и х и мена вво д ят с я чер ез зап ят у ю . Гр аф и к п о являет с я на д и с п лее п о с ле выво д а ку р с о р а и з зо ны гр аф и ка (авт о мат и чес ки й р ежи м р ас чет о в) и ли п о с ле нажат и я клави ш и F9 (р у чно йр ежи м р ас чет о в); c) ес ли п ар амет р ы гр аф и ка, у с т ано вленные п о у мо лчани ю , п о льзо ват ель хо чет и змени т ь, т о д во йным щелчко м лево й клави ш и мыш и , ко гд а у казат ель мыш и нахо д и т с я в п о ле гр аф и ка, вызват ь с о о т вет с т ву ю щее меню . Д л я за да н ия диа па з он а изм ен ен ия перем ен н ой с лед у ет р у ко во д с т во ват ьс я с лед у ю щи м п р ави ло м : x: = x1 ,x 2 .. x n . Зд ес ь x1 — п ер во е значени е, x 2 — вт о р о е значени е и x n — п о с лед нее значени е. Таки м о бр азо м, ш аг и зменени я о т x1 д о x n бу д ет x 2 -x1 . Е с ли же и с п о льзу ет с я зап и с ь x: = x1 .. x n , т о ш аг и зменени я п ер еменно й x бу д ет п о у мо лчани ю р авен 1. Д ля вво д а “ ..” с лед у ет нажат ь клави ш у “ ;” и ли во с п о льзо ват ьс я мат емат и чес ко й п анелью меню . П р и м е р 1. i :=0 .. 10 i п р и ни мает значени я о т 0 д о 10 с ш аго м 1 j :=-15,-14 .. 12 j п р и ни мает значени я о т -15 д о 12 с ш аго м 1 П р и м е р 2. a :=1 b :=2 c :=20 −c ⋅ (a + b) ⋅ sin(2 ⋅ α ) c ⋅ [a-cos(α)2 ⋅ (a + b)] c ⋅ cos(α ) z(α): = (a + b) ⋅ y(α ): = −a −2 ⋅ a a α: = 0,5 ⋅ deg .. 360 ⋅ deg (deg — п о у мо лчани ю о д и н у гло во й гр ад у с ). x(α ): =

Чтение и зап ись данны х В п акет е Mathcad и мею т с я с т анд ар т ные ф у нкци и д ля чт ени я д анных и з ф айла, а т акже зап и с и и ли д о бавлени я д анных в ф айл. Ст р у кт у р и р о ванные ф айлыи мею т р ас ш и р ени е prn. Ч т ен ие да н н ы х п р о и зво д и т с я с п о мо щью ко манд ыREADPRN(file). П р о цед у р а READPRN(file) о с у щес т вляет п р и с ваи вани е мат р и це значени й и з с т р у кт у р и р о ванно го ф айла с и менем file (ф айл и меет р ас ш и р ени е prn). П р и эт о м р азмер мат р и цы у с т анавли вает с я в с о о т вет с т ви и с о бъемо м ф айла. К о п и р о вани е д анных и з ф айла п р о и зво д и т с я п о с т р о чно . К ажд о й с т р о ке мат р и цыс о о т вет с т ву ет с т р о ка ф айла. П р и м е р. A :=READPRN(“ D:\TSR\Paper1.prn”)

8

Д л я з а писи да н н ы х в ф а йл с лед у ет во с п о льзо ват ьс я ф у нкци ей WRITEPRN(file). Фу нкци я WRITEPRN(file) выво д и т мат р и цу в с т р у кт у р и р о ванный ф айл file (с р ас ш и р ени ем prn). П р и м ер ORIGIN :=0 i :=0, 2 .. 10

j :=0 .. 8

Yi,j := sin(i − j)

WRITEPRN(“ d:\ user \ file2.prn“ ) := Yi,j Д л я доб а вл ен ия да н н ы х к с ущ ес т вующ ем у ф а йл у и с п о льзу ет с я ф у нкци я APPENDPRN. Фу нкци я APPENDPRN(file) д о бавляет мат р и цу к с у щес т ву ю щему на д и с ке с т р у кт у р и р о ванно м у ф айлу file. П р и м ер .

APPENDPRN(“d:\ user \ file.prn”) := A

Знаком ство сMathcad Ц ель работы . И зу чи т ь во змо жно с т и р або т ы в с р ед е Mathcad п о п р ед ло женно му ни же п лану , п о д кр еп ляя и зу чени е вып о лнени ем с о о т вет с т ву ю щи х зад ани й. 1. П р о и звес т и р азли чные ар и ф мет и чес ки е и алгебр аи чес ки е д ейс т ви я. 2. Вып о лни т ь р ас чет ып о ф о р му лам. 3. Вект о р ыи мат р и цы. Зад ат ь нес ко лько вект о р о в и мат р и ц п р о и зво льно й р азмер но с т и (д ву м я с п о с о бами ) и п р о и звес т и с ни ми р азли чные о п ер аци и . 4. П о с т р о ени е гр аф и ко в. П о с т р о и т ь гр аф и клю бо й ф у нкци и , и змени т ь п ар амет р ыгр аф и ка, нанес т и на о д и н гр аф и кд ве-т р и кр и вые. 5. Чт ени е д анных и з ф айла и зап и с ь вф айл. П р о чи т ат ь ф айл д анных, с о о т вет с т ву ю щи х Ваш ем у вар и ант у , п р ео бр азо ват ь вект о р д анных вмат р и цу , п р ед с т ави т ь д анные вви д е гр аф и ка. Зап и с ат ь ф айл.

9

Часть II. Л абораторны е работы Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 1 Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н ЫЙ М А СШ Т А Б . И Н Т Е РП О Л Я Ц И Я ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Д ля у д о бно го гр аф и чес ко го п р ед с т авлени я ф у нкци о нально й зави с и мо с т и y=f(х) мо гу т п р и менят ьс я: a) ло гар и ф ми чес ки й мас ш т аб; b) о бр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб; c)п р ямо й ф у нкци о нальный мас ш т аб. ОБ РАТ Н Ы Й ФУН К Ц И ОН АЛЬН Ы Й М АСШ Т АБ . П у с т ь y=f(х)=f(kx). П р ео бр азу ем гр аф и к в п р ям у ю ли ни ю у*=kx. Э т о мо жно с д елат ь п р ео бр азо вани ем y* = f −1 ( y ) . Е с ли и с хо д ная ф у нкци я и меет бо лее о бщу ю зави с и мо с т ь y = f (x ) = f ((x − c ) / s ) , т о д анно е п р ео бр азо вани е ко о р д и нат ы у д ает у р авнени е вс и с т еме ко о р д и нат (x,y*) y* = ( x − c ) / s П рим ер: у = 1-ехр (- k(x-с )), х > с . П р ео бр азо вани е у* = — ln(1-у) п р и во д и т ку р авнени ю п р ямо йли ни и у* = k(x-c). Обр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб у д о бно п р и менят ь к "S" -о бр азным кр и вым. П РЯ М ОЙ ФУН К Ц И ОН АЛЬН Ы Й М АСШ Т АБ . П у с т ь y=f{x)=kf1(x)+c. То гд а п р ео бр азо вани е х* = f1 (x) п р и во д и т гр аф и к к п р ямо й ли ни и у = kx* + с . Тако й ф у нкци о нальный мас ш т аб целес о о бр азно и с п о льзо ват ь д ля "U" и "J"о бр азных кр и вых. П рим ер: y = 5tg ( x ) − 2.5, − π / 2 < x < π / 2, x* = tg ( x ) . То гд а у = 5х* 2.5. Обр ат и т е вни мани е, чт о о бр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб в эт о м п р и мер е менее у д о бен, т ак как бес ко нечну ю кр и ву ю о н п р ео бр азу ет в ко нечный о т р езо к п р ямо й (− π / 2 < x < π / 2; − π / 2 < x < π / 2;) , а эт о п р и вед ет к с гу щени ю т о чекна ко нцах о т р езка. ВЕ РОЯ Т Н ОСТ Н АЯ Б УМ АГ А. Вер о ят но с т но й бу маго й называет с я ф у нкци о нальный мас ш т аб, в ко т о р о м ф у нкци я р ас п р ед елени я F(x) с лу чайно й вели чи ны х п р ео бр азу ет с я в п р яму ю ли ни ю . Д ля эт о го с лу чая нео бхо д и мо п р и мени т ь о бр ат но е ф у нкци о нально е п р ео бр азо вани е у* = F-1 (y) . Е с ли на вер о ят но с т но й бу маге п о с т р о и т ь п о ли го н нако п ленных час т о т Рq (хq ), хq ∈[a;a+q∆], гд е1 ≤ q ≤ r , ∆ = ( b − a ) / r , т о :

( )

1) нели нейная зави с и мо с т ь Ρ*q = F −1 Ρ q о т хq у казывает на нес о о т вет с т ви е эмп и р и чес ко й и т ео р ет и чес ко й ф у нкци й р ас п р ед елени я; ли нейная зави с и мо с т ь, нап р о т и в, го во р и т о с о о т вет с т ви и эмп и р и чес ко й и т ео р ет и чес ко й ф у нкци й р ас п р ед елени я; 2) п о ли нейно й зави с и мо с т и Ρ*q = ( x − c ) / s легко найт и п ар амет р ы с и s в ф у нкци и р ас п р ед елени я F(x) с лу чайно й вели чи ных. И Н ТЕ РП ОЛЯ Ц И Я ЛАГРАН Ж А, Н ЬЮ ТОН А. Е с ли зад аны n+1 у зло в ( xk , yk ) , k = 0..n , т о мо жно чер ез у казанные т о чки п о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нный п о ли но м с т еп ени «n» ви д а

10 n

∑

1. Pn ( x ) =

k =0

L( x,k ) =

гд е

yk L( x,k ) ,

n

( x − xi ) ( x − xi ) i = 0 ,i ≠ k k

∏

вс п о мо гат ельные

п о ли но м ыЛагр анжа. 2. Pn ( x ) =

n

∑

k =0

ak N( x,k ) , гд е N( x,k ) =

k −1

∏ ( x − xi ) , i =0

(

ak = ∆ k y0 / k ! hk

)

Д ля у меньш ени я неу с т о йчи во с т и и нт ер п о ляци о нных п о ли но мо в п р и меняю т р ас п о ло жени е т о чекп о зако ну ну лей Чебыш ева xk =

(a + b) (b − a) +

2

2

 ( 2k − 1 )  cos  π  , a = x0 , b = xn  2( n + 1 ) 

Н аи бо лее т о чно е п р и бли жени е ф у нкци и д ает и нт ер п о ляци я с плай н ам и. В п акет е Mathcad и мею т с я с лед у ю щи е с т анд ар т ные ф у нкци и д ля и нт ер п о ляци и : linterp(VY,VY,x)- ф у нкци я д ля ку с о чно -ли нейно й и нт ер п о ляци и . VX, XYмас с и выу зло вых т о чек- { xk } ,{ yk } с о о т вет с т венно , x- значени е ар гу мент ; cspline(VX,VY)-вс п о мо гат ельная ф у нкци я д ля вычи с лени я мас с и ва VS вт о р ых п р о и зво д ных п р и и нт ер п о ляци и ку би чес ки м и с п лайнами ; interp(VS,VX,VY,x)- и нт ер п о ляци о нный п о ли но м п р и с п лайн-ап п р о кс и маци и . К онтрольны е задания 1. П о с т р о и т ь в ло гар и ф ми чес ко м мас ш т абе гр аф и ки ф у нкци й

(

)

x ∈ [1..5] ;

f ( x ) = exp − x 2 / 2 / x,

(

)

x ∈ [1..5] ; a = 0.5,1, 2;

f ( x ) = x exp − ax 2 / 2 ,

(

))

(

f ( x ) = 1 − exp − m ⋅ exp − x 2 / 2 , x ∈ [1..5] ; m = 10,50,80; Ρ ( k ) = λ k exp ( − λ ) / k!, k ∈ [1..6] ; λ = 0.5,1, 2; f (z, m) = 1 −

z+ 4

∫

exp( −m ⋅ exp(−

0 h

x2  f (h,n) = 1 − 2k ∫  1 +   n  0

2. Оп р ед ели т ь,

x2 (x − z) 2 )− )dx / 2 π z ∈ [1..6] , m = 10,40 2 2

− (n +1) / 2

dx, h ∈ [0..8], n = 2,8, 20

како й о д но й и з д ву х во змо жных ф у нкци о нальных

(

)

зави с и мо с т ей y = 1 − exp ( −lx ) , y = 1 − exp −l 2 x 2 , п р и над лежат д анные и з ф айло в El.prn,..., E10.prn. Н айт и значени е l. (Д анные в ф айлах зап и с анып о п ар но (x,y) д ля кажд о й т о чки гр аф и ка). 3. П о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нные п о ли но м ы Лагр анжа д ля зави с и мо с т ей и з ф айло в Lag1.prn..Lag10.prn. 4. Рас с мо т р ет ь п р и мер Ру нге. П о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нные п о ли но мы Лагр анжа с р авно мер но й с ет ко й, с у злам и Чебыш ева. И с п о льзо ват ь и нт ер п о ляци ю с п лайнами . 5. Н айт и о бр ат ные ф у нкци и д ля д анных, и мею щи х ф у нкци о нальные зави с и мо с т и

11

a) F(x)=1-exp(-xc ) b) F(x)=arctg((x-a)/c)

c) F(x)=Φ((x-m)/σ)

d)

x

F(x)=1-1/(1+x2k ) e) F( x ) = (Γ (c) )−1 ∫ x c −1 exp( − x )dx

f) F(x)=arcsin(x/c)

g)

0 k

F(x)=1-1/(x/c) 6. П р и п о мо щи вер о ят но с т но й бу маги о п р ед ели т ь, к како му т и п у р ас п р ед елени я – но р мально му и ли р елеевс ко м у п р и над лежат ф у нкци и р ас п р ед елени я, зап и с анные вф айлах Paper1.prn,… Paper 10.prn. Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 2 ЧИ СЛ Е Н Н О Е И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Рас с мо т р и м зад ачу вычи с лени я о п р ед еленно го и нт егр ала I = ф у нкци и y = f(x) на и нт ер вале x ∈ [ a; b ] . И нт егр ал I п р и бли женно п р ед с т авляет с я вви д е квад р ат у р но й ф о р му лы I ≈ IN =

b

∫

f ( x ) dx

a

N

∑

i =0

Ai f ( x i ) ,

(1)

гд е ко эф ф и ци ент ы Ai и т о чки о т с чет а (у злы) xi о п р ед еляю т с я вс о о т вет с т ви и с выбр анным с п о с о бо м ап п р о кс и маци и п о д и нт егр ально й ф у нкци и f(x). П о гр еш но с т ь квад р ат у р но й ф о р му лы (1) зави с и т о т ви д а ап п р о кс и м и р у ю щи х ф у нкци й f ai (x) , а т акже о т р ас п о ло жени я и ко ли чес т ва у зло в xi . То чно с т ь ф о р му лы(1) у вели чи вает с я с р о с т о м чи с ла у зло вN. П р и п р акт и чес ки х р ас чет ах значени е N о бычно выби р аю т и з с о о т но ш ени я ( I2 N − I N ) / I2 N < ε , (7) П ер ечи с ли м наи бо лее у п о т р еби т ельные квад р ат у р ные ф о р м у лы чи с ленно го и нт егр и р о вани я д ля р авно о т с т о ящи х у зло в xi = a + ih , гд е h = (b − a ) / N - ш аг и нт егр и р о вани я. Укажем т акже о ценки п о гр еш но с т ейR кажд о й ф о р му лы. 1.Фо р му лып р ямо у го льни ко в: М о д и ф и ци р о ванная ф о р му ла п р ямо у го льни ко в. Фу нкци я f(x) на кажд о м и з и нт ер вало в[ x i ; x i+1 ] заменяет с я на п о с т о янну ю f ai = f ( x i + h / 2) . То гд а

I ≈h

N −1

∑

i =0

f ( xi + h / 2) = h

N

∑

i =1

f ( xi − h / 2) .

П о гр еш но с т ь ф о р му л п р ямо у го льни ко вр авна R = ( Nh3 / 24) f ( 2)' (ξ ) . Зд ес ь и

( x) п о ни мает с я m-я п р о и зво д ная ф у нкци и f(x), а ξ ∈ [ a; b] т о чка макс и м у ма ф у нкци и f ( m)' ( x ) . 2. Фо р му ла т р ап еци й. Зд ес ь ф у нкци я f(x) на кажд о м и нт ер вале [ x i ; x i +1 ] заменяет с я на ку с о чно -ли нейну ю ф у нкци ю , с о вп ад аю щу ю с о значени ями ф у нкци и f(x) п р и x = xi и x = xi+1 . Фо р му ла и меет ви д д алее п о д f

(m)'

 N −1 f (a ) + f (b)  I ≈ h  ∑ f ( xi ) + , 2  i =1 

R = ( Nh 3 / 12) f (3)' (ξ ) .

12

3. Фо р му ла Си м п с о на (ф о р му ла п ар або л). Фу нкци я f(x) на кажд о м и нт ер вале [ xi −1 ; xi +1 ] заменяет с я на п ар або лу . То гд а N / 2 −1  N/2  4 f ( x ) 2 + ∑ ∑ f ( x2i ) + f (a ) + f (b)  , 2i −1  i =1  i =1  6 ( 4 )' R = ( Nh / 180) f (ξ ) . Зд ес ь с лед у ет выби р ат ь чет но е значени е N . 4. Фо р му лыН ью т о на-К о т ес а замкну т о го т и п а. Вкачес т ве ап п р о кс и ми р у ю щей ф у нкци и зд ес ь и с п о льзу ю т с я п о ли но мыЛагр анжа п о р яд ка n.

I ≈

h 3

I≈

n

∑ Ai f ( xi ),

i =0

b

Ai = ∫ Lk ( x )dx . a

П р и n > 8 ко эф ф и ци ент ыAi вф о р му лах Н ью т о на-К о т ес а и мею т гр о мо зд ки й ви д . П р и n ≥ 10 мет о д с т ано ви т с я чи с ленно неу с т о йчи вым и з-за п р ед с т авлени я ко эф ф и ци ент о в Ai вви д е д р о бей с бо льш и м чи с ло м значащи х ци ф р и с р азными знаками . 5. Э кс т р ап о ляци я п о Ри чар д с о ну . П о д хо д квычи с лени ю и нт егр ала с о с т о и т в т о м, чт о и нт егр ал вычи с ляет с я д важд ы: с чи с ло м п о д и нт ер вало вN и 2N и п о с лед у ю щи м о бъед и нени ем р езу льт ат о в. Так, п р и и с п о льзо вани и ф о р му лы т р ап еци й вкачес т ве базо во го алго р и т ма квад р ат у р но й ф о р му лып о лу чаем I ≈ ( 4I 2N − I N ) / 3 П р и и с п о льзо вани и ф о р му лыСи м п с о на I ≈ ( 16 I 2 N − I N ) / 15 6. Фо р му ла Гау с с а. То чно с т ь и нт егр и р о вани я п о квад р ат у р но йф о р м у ле (1) мо жно п о выс и т ь, ес ли о п т и м и зи р о ват ь значени я у зло в xi и вес о в Ai . Фо р му ла Гау с с а, гд е значени я x i выби р аю т с я вс о о т вет с т ви и с р ас п о ло жени ем ну лей п о ли но мо вЛежанд р а п о р яд ка n , а Ai с вязаныс эт и ми п о ли но мам и I ≈

n

∑

i =1

A j f ( xi ) ,

xi =

a + b ( b − a) + tj, 2 2

гд е n - п о р яд о к и с п о льзу емо го п о ли но ма Лежанд р а, ti -нер авно о т с т о ящи е значени я у зло в на с т анд ар т но м и нт ер вале [−1;1] , с о вп ад аю щи е с п о ло жени ем ну лей с о о т вет с т ву ю щего п о ли но ма Лежанд р а. Значени я у зло в ti и ко эф ф и ци ент о в Ai д ля р азли чных n р авны: п р и n = 1 : t1 = 1, A1 = 2 ; п р и n = 2 : t2 = −t1 = 0.577350269, A1 = A2 = 1 ; п р и n = 3 : t 3 = −t1 = 0.774596669 , t 2 = 0 , A1 = A3 = 0.555555555, A2 = 0.888888 ; п р и n = 4 : t4 = −t1 = 0.861136311, t3 = −t2 = 0.339981043, A1 = A4 = 0.347854845 , A2 = A3 = 0.652145155 ; п р и n = 5 : t5 = −t1 = 0.906179846 , t4 = −t2 = 0.538468310, t 3 = 0 , A1 = A5 = 0.236926885, A2 = A4 = 0.478628670; A3 = 0.568888888 . 6. Фо р му лыа) Гау с с а-Э р м и т а, б) Гау с с а-Лагер р а

13

а) I =

∞

∫

exp( − x 2 ) f ( x )dx ≈

n

∑ Ai f ( xi ) ;

i =0

−∞ ∞

n

∑ Ai f ( xi ) ,

б) I = ∫ exp( − x ) f ( x )dx ≈

i =0

0

гд е Ai ,xi с вязаныс п о ли но мам и Э р м и т а и Лагер р а п о р яд ка n. ЗАД АН И Я . И с п о льзу я о д ну и з ф о р му л чи с ленно го и нт егр и р о вани я, вычи с ли т ь и нт егр ал и з т абли цы f(x) a=0, b=3

2

1. x ,

f(x) a=-2.5,b=2.5

4

16. 1+x

2. sin(x+x2), a=0, b=0.8 3. cos(x) a=-1.5, b=1.5 4. (1+x2) -1 a=-4, b=4 5. x(1+exp(-x2))-1 a=0, b=1.5 6.ln(2+cos(x)) a=0, b=1.5 7. 1/(1+2x4) a=-2, b=2 8. cos(sin(x)) a=-1, b-1 9. cos(x3 ) a=-0.5, b=1.2 10. sin(x)/(2+sin(x)) a=0,b=1.5 11. exp(cos(x)) a=0, b=1 12. arctg(x-1) a=0.5 ,b=4 13. arctg(exp(-x)) a=-2, b=2 14. (x2 +1)/(x4 +1) a=0, b=4 15. sin(x)/(1+x4) a= 0,b=3

17 sin(x2) 18. cos(x2) 19. 1/(1+exp(-x)) 20 1/(2+cos(x2)) 21. sh(-x2) 22. sin(cos(x)) 23. x2/(1+ch(x2 )) 24. ln(1+x+x2 ) 25. exp(sin(x)) 26. sh(cos(x)) 27. cos (sh(x)) 28. sin(x)/x 29. sin(x2)/x2 30. sin(exp(-x2))

a=0,b=1.5 a=-1.5, b=1.5 a=-1,b=2 a=-2.5, b=2.5 a=0, b=3 a=0, b=1.5 a=0, b=2.5 a=0, b= 5 a=-1, b=1 a=0. b=1.5 a=-2, b=2 a=-3, b=3 a=-3,b=3 a=0, b=2

Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 3 П РИ М Е Н Е Н И Е И Н Т Е ГРА Л А В Е РО Я Т Н О СТ И Д Л Я А Н А Л И ЗА Д А Н Н ЫХ ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Ст анд ар т ная гау с с о вс кая с лу чайная вели чи на η → N (0,1) и меет п ло т но с т ь вер о ят но с т и

(

W ( x ) = exp − x 2 2

)

2π

и ф у нкци ю р ас п р ед елени я Φ (x ) =

(1) x

∫

−∞

(

exp − t 2 / 2 2π

)dt

(2)

Д ля п р о и зво льно й гау с с о вс ко й с лу чайно й вели чи ны x → N (m,σ 2 ) п ло т но с т ь вер о ят но с т и W(x) и ф у нкци я р ас п р ед елени я F(x) и мею т ви д : W (x) =

(

exp − ( x − m )2 / 2σ 2 2πσ 2

),

(

exp − (t − m ) / 2σ  x−m F (x ) = Φ = ∫ σ   −∞ 2πσ 2 x

2

2

) dt

(3)

Фу нкци я Φ (− x) = 1 − Φ (x ), − ∞ < x < ∞ , Φ (0) = 0.5 . К р о ме ф у нкци и Φ (x ) , в вер о ят но с т ных р ас чет ах и с п о льзу ю т с я ф у нкци и

14 erf (x ) =

2

∫ exp (− t x

2

π 0

) dt,

erfc (x ) = 1 − erf ( x ) =

2

∫ exp (− t

∞

2

π x

) dt ,

(4)

.Д ля эт и х ф у нкци й и мею т мес т о с о о т но ш ени я erf (− x) = − erf (x); 0 < erf (x) < 1; erf (0) = 0; erf ( ∞ ) = 1;

С и нт егр ало м вер о ят но с т и эт и ф у нкци и с вязаныс о о т но ш ени ям и

(

(

Φ ( x ) = 1 + erf x

2

)) 2;

( )

erf ( x ) = 2Φ x 2 − 1;

Ц ент р альные мо мент ы µ k р авны:

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (k − 1)σ k , k − чет н ое µ k =< ( x − m ) k >=  0, k − н ечет н ое

(5)

РАСЧЕ Т Н Ы Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Так как и нт егр ал вер о ят но с т и Φ (x ) являет с я с п еци ально й ф у нкци ей, т о п р о с т о го анали т и чес ко го с о о т но ш ени я д ля Φ (x ) нет . Д ля р ас чет а Φ ( x ) мо жно и с п о льзо ват ь с лед у ю щи е ап п р о кс и маци и

(

)(

Φ(x ) = 1 − exp − x 2 2 a1t + a2t 2 + a3t 3 t = 1 (1 + p x );

)

2π + ε ; x > 0; ε < 10−5 ;

(6)

p = 0.33267; a1 = 0.4361836; a2 = −0.1201676; a3 = 0.937298;

(

)(

Φ (x ) = 1− exp − x 2 2 b1t + b2t 2 + b3t 3 + b4t 4 + b5t 5 t = 1 (1 + p x );

)

2π + ε ; ε < 7.5 ⋅ 10 −8 ;

(7)

p = 0.2316419 ; b1 = 0.31938153 ; b2 = −0.356563782 ;

b3 = 1.781477937 ; b4 = −1.821255978 ; b5 = 1.330274429 ;

Д ля у т о чнени я значени й Ф(x) п р и бо льш и х ар гу мент ах х мо жет п р и менят ьс я ас и м п т о т и чес ки й р яд ( x > 2 ) Φ (x ) = 1 −

(

)1 − 1 + 3 + ... + (− 1) n1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 

exp − x2 2 2π ⋅ x

 

(8)

  Д ля р ас чет о вцелес о о бр азно бр ат ь n = 3 − 5 и x > 2.5 ...5 . x2

1 2π

x

∫

−∞

x 2n

Стандартны е функции систем ы MCAD вычи с ляет и нт егр ал вер о ят но с т ей

cnorm(x) – Φ(x) =

x4

exp( −

t2 )dt 2 x−µ   σ 

pnorm(x,µ,σ) вычи с ляет ф у нкци ю р ас п р ед елени я F( x ) = Φ  x

erf(x)

вычи с ляет ф у нкци ю о ш и бо к (2 / π ) ∫ exp( − t 2 )dt 0

 ( x − µ) 2   / 2πσ 2 dnorm(x,µ,σ) – вычи с ляет w( x ) = exp −  2  2σ  

qnorm(p,µ,σ)-вычи с ляет квант и ль но р мально го зако на с п ар амет р ами (µ,σ) д ля вер о ят но с т и р . К вант и ль р ас п р ед елени я п о р яд ка р являет с я р еш ени ем у р авнени я F(xq)=Φ((xq -µ)/σ)=p. Вычи с ляет о бр ат ну ю ф у нкци ю кΦ (( x − m ) / σ )

15

К онтрольны е задания 1. Зап р о гр амми р о ват ь вычи с лени е п о ф о р му ле (6), (7). 2. Зап р о гр амми р о ват ь вычи с лени е п о ф о р му ле (8). 3. Ср авни т ь вычи с лени е и нт егр ала вер о ят но с т и п р и п о мо щи ф у нкци и cnorm(x), ап п р о кс и маци и (6) и ас и мп т о т и чес ко й ф о р му лы (8). П о с т р о и т ь гр аф и ки р азли чных п р ед с т авлени й 1-Φ(х) в д и ап азо не 1<x 0.7 ) . 2. Генер ат о р ш у ма выр абат ывает гау с с о вс ки й с лу чайный п р о цес с с п ар амет р ами m=0 и σ = 1.5 во льт а. Чем у р авна вер о ят но с т ь т о го , чт о мгно венные значени я ш у ма нахо д ят с я в и нт ер вале [-1.5 в; +1.5 в], [-3 в; +3 в], [-4.5 в; +4.5 в]. 3. Н а п о р о го во е у с т р о йс т во с нап р яжени ем с р абат ывани я h во льт п о д ает с я гау с с о вс ки й ш у м с п ар амет р ами т =0.2 в и σ = 0.25 в. Рас с чи т ат ь вер о ят но с т ь п р евыш ени я мгно венным и о т с чет ами ш у ма п о р о го во го у р о вня 0.2 0, k > 0. 2Γ(k/2)

dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(n, r) — экс п о ненци ально е р ас п р ед елени е f(x) = re −rx , x > 0, r > 0.

dF(x,

n1 , n2 ),

pF(x,

n1 , n2 ),

qF(p,

Γ ( (n1 + n 2 ) 2 ) n1 1 n 2 2 n 2 n

f(x) =

n1 , n2 ),

rF(n,

2 (n1 − 2) 2 x

(n n ) 2 Γ (n1 2)Γ (n 2 2)(n 2 + n1x) 1 + 2

n1 , n 2 )

— р ас п р ед елени е Фи ш ер а

, x > 0, n1 ,n 2 > 0.

dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(n, s) — γ -р ас п р ед елени е f(x) =

x s−1e −x , x ≥ 0, s > 0. Γ(s)

dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(n, p) — р ас п р ед елени е

гео мет р и чес ко е

P(k) = p(1 − p)k , 0 < p < 1.

dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(n, ло гно р мально е (ло гар и ф м и чес ки но р мально е) р ас п р ед елени е f(x) =

2 2 1 e−(ln(x) − µ) (2σ ) , x > 0, σ > 0. 2πσx

dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(n, l, s) — р ас п р ед елени е f(x) =

e − (x − l) s s(1 + e − (x − l) s )2

µ ,σ

) —

ло ги с т и чес ко е

, −∞ < x < ∞ , s > 0.

dnbinom(k, m, p), pnbinom(k, m, p), qnbinom(p, m, q), rnbinom(n, m, q) — о т р и цат ельно е би но м и ально е р ас п р ед елени е + k −1 m P(k) = C m p (1 − p)k , 0 < p ≤ 1, m > 0, k ≥ 0. k dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ

р ас п р ед елени е

), rnorm(n,

µ, σ)

— но р мально е

30

1

f(x) =

2πσ

−

e

(x − µ )2 2σ 2

, −∞ < x < ∞ , σ > 0.

dpois(k, λ), ppois(k, λ), qpois(p, λ), rpois(n, λ) — р ас п р ед елени е П у ас с о на P(k) =

λ

k −λ

e k!

, λ > 0, k ≥ 0.

dt(x, k), pt(x, k), qt(p, k), rt(n, k) — р ас п р ед елени е Ст ью д ент а Γ ( (k + 1) 2 ) 

x2  f(x) = 1 +  k  Γ( k 2) πk 

−(k +1) 2

, −∞ < x < ∞, k > 0.

dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b), runif(n, a, b) — р ас п р ед елени е f(x) =

1 , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a

dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(n, s) — Вейбу лла f(x) = sx s −1e − x

s

р авно мер но е

р ас п р ед елени е

, x > 0, s > 0.

Д ругие функции cnorm(x) — и нт егр ал вер о ят но с т и Φ (x) = erf(x) — ф у нкци я о ш и бо к

erf(x) =

1

x

∫

2π −∞

2 e − t 2 dt .

2 x − t2 ∫ e dt . π0

— гамма-ф у нкци я. rnd(x) — р авно мер но р ас п р ед еленно е чи с ло вд и ап азо не о т ну ля д о x. Γ(z)

Л И Т Е РА Т У РА 1. Вер жби цки й В.М . Ос но вычи с ленных мет о д о в/ В.М . Вер жби цки й. – М .:Выс . ш к., 2002.-840 с . 2. Б ахвало вН .С. Чи с ленные мет о д ы/ Н .С.Б ахвало в. М .:Н ау ка, 2000.- 630 с . 3. Т ю р и н Ю .Н . Ст ат и с т и чес ки й анали з д анных на ко м п ью т ер е/Ю .Н .Тю р и н, А.А. М акар о в. М .:И нф а-М , 1998. -528 с . 4. П ли с А. И . Mathcad 2000: мат емат и чес ки й п р акт и ку м д ля эко но м и с т о в и и нженер о в. Учеб. п о с о би е/А.И . П ли с , Н .А. Сли ви на. — М .: Фи нанс ы и с т ат и с т и ка, 1999. — 600 с . 5. Гу р с ки й Д .А. Вычи с лени я в Mathcad/Д .А. Гу р с ки й. — М и нс к.:ООО «Н о во е знани е», 2003. — 814 с . 6. Рад ченко Т. А. Тео р и я вер о ят но с т ей и мат емат и чес кая с т ат и с т и ка / Рад ченко Т. А., Рад ченко Ю . С. – Во р о неж: И зд -во Во р о неж. у н-т а, 1998. — 240 с .

31

Со с т ави т ели : Рад ченко Ю р и й Ст еп ано ви ч Захар о вАлекс анд р Ви кт о р о ви ч Ред акт о р

Ти хо м и р о ва Ольга Алекс анд р о вна