Высшая математика. Часть 2: Учебное пособие для студентов специальностей 012500 - ''География'', 013400 - ''Природопользование'', 013600 - ''Геоэкология''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

В Ы США Я М А Т Е М А Т И К А ЧА СТ Ь II У чебноеп особиедля студентов сп ециальностей «геогр аф ия» 012500, «п р ир одоп ользование» 013400, «геоэкология» 013600.

В ор онеж 2004

2 У твер ж дено научно-м етодическим советом ф акультета геогр аф ии и геоэкологии В ор онеж ского государ ственного универ ситета. П р отокол № 2 от 12 декабр я 2003 г.

Составители: У ксусов С.Н ., Ф етисов Ю .М . П р огр ам м аф акультета геогр аф ииигеоэкологии В ГУ «учебник студенту»

У чебное п особие «В ы сш ая м атем атика (часть I)» п одготовлено на каф едр е п р ир одоп ользование ф акультета геогр аф ии и геоэкологии В ор онеж ского государ ственного универ ситета.

Реком ендовано У чены м советом ф акультетагеогр аф ииигеоэкологи.

3

О ГЛ А В Л Е Н И Е В В Е Д Е Н И Е … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … .… … … … ..4 ГЛ А В А 6. П олноеисследованиеф ункцииип остр оение гр аф ика… … … … … … … … ...… ...............................................6 §6.1. Э кстр ем ум ф ункции. М онотонность.… … … … … … … … … … … … … ...6 §6.2. И сследованиеф ункциинаэкстр ем ум … … … … … … … … … … … … … ..7 §6.3. Н ап р авлениевы п уклостииточкип ер егибагр аф икаф ункции… … ...10 §6.4. А сим п тоты гр аф икаф ункции.… … … … … … … … … … … … … … … … 12 §6.5. П олноеисследованиеф ункцииип остр оениегр аф ика… … … … … ....14

ГЛ А В А 7. Н еоп р еделенны й интегр ал....… … … .....… … … … … … … .17 §7.1. О п р еделениеисвойстванеоп р еделенного интегр ала.… .… … … … … 17 §7.2. Т абличноеинтегр ир ование.… ..… … .… … ..… … … … … … … … ..… … .20 §7.3. П одведением нож ителя п од знак диф ф ер енциала.… … … … … ..… … .20 §7.4. Зам енап ер ем енной п од знаком неоп р еделенного интегр ала… ..… … 21 §7.5. М етод интегр ир ования п о частям … .… … ..… … … .… … … … … ..… … .22 §7.6. И нтегр ир ованиевы р аж ений, содер ж ащ их квадр атны й тр ех член в знам енателе… … … … … … … … .… .… … ..… … … .… … … … … ..… … .23 §7.7. И нтегр ир ованиетр игоном етр ических ф ункций....… … … … … ..… … .24

ГЛ А В А 8. О п р еделенны й интегр ал. Н есобственны е интегр алы ....................................................................... 26 §8.1. Задачаоп лощ адикр иволинейной тр ап еции. О п р еделениеоп р еделенного интегр ала… … … … … ...… ..… … … … … 26 §8.2. Свойстваоп р еделенногоинтегр ала. Ф ор м ула Н ью тона-Л ейбница… … … … … … .… … … … … … … … .… … ...… … … ..27 §8.3. Зам енап ер ем енной иинтегр ир ованиеп очастям п од знаком оп р еделенного интегр ала… … ...… … … … … … … .… … … … … ..… … ...29 §8.4. П р илож ения оп р еделенны х интегр алов.… … ...… … … … … … … .… … 30 §8.5. Н есобственны еинтегр алы .… … ...… … … … … … … .… … … … … ..… ....35

ГЛ А В А 9. Ф ункциинескольких п ер ем енны х … … ...… … … .… … … 38 §9.1. О бластьоп р еделения ф ункциинескольких п ер ем енны х . Н еп р ер ы вность… … .… … … … … ....… … … … … … … … … … … … .… ...38 §9.2. Л инииур овня ф ункциидвух п ер ем енны х … … … ...… … … … ..… .… ...39 §9.3. Частны еп р оизводны еп ер вогоп ор ядка… … … … … … … … … … … … .40 §9.4. Гр адиентф ункциинескольких п ер ем енны х . П р оизводная п о нап р авлению … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … ...42 §9.5. Д иф ф ер енциал ф ункциинескольких п ер ем енны х иего п р им енениек п р иближ енны м вы числениям .… … ..… … .… … … .… … 45 §9.6. Частны еп р оизводны евы сш их п ор ядков...… … ..… … .… … … .… … … 46 §9.7. Э кстр ем ум ф ункциидвух п ер ем енны х .… … ..… … .… … … .… … … … .48

4

ГЛ А В А 10. Д иф ф ер енциальны еур авнения.....… … … .… … … .50 §10.1. Д иф ф ер енциальны еур авнения п ер вого п ор ядка.… … .… … … … … ..50 §10.2. П р остейш иеслучаип ониж ения п ор ядкадиф ф ер енциального ур авнения… … … … … … … … … … … … … … … … .… … .… … … … … ..53 §10.3. Л инейны едиф ф ер енциальны еур авненния втор огоп ор ядка сп остоянны м икоэф ф ициентам и… … … … … … ...… … .… … … … … ..56

Л И Т Е РА Т У РА … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … 58

В В ЕД ЕНИ Е Д анное учебное п особие является п р одолж ением учебного п особия «вы сш ая м атем атика (часть 1)» для студентов 1-го кур са ф акультета геогр аф ии и геоэкологии. Е го содер ж ание соответствует п р огр ам м е кур са вы сш ей м атем атики, изучаем ой наф акультетево втор ом сем естр е. В п особиип р иводятся основны е оп р еделения, ф ор м улы итеор ем ы , вош едш ие в п р огр ам м у экзам ена, р азобр ано больш ое количество п р им ер ов. П оэтом у данное учебноеп особие м ож но исп ользовать как основу п р ип одготовкек экзам ену. П р едлагаем ое п особие состоит из п яти глав. Н ум ер ация глав п р одолж ает нум ер ацию глав п ер вой частип особия. В ш естой главе изучается п оведение ф ункции (возр астание, убы вание), даны оп р еделение, необх одим оеидостаточное условия экстр ем ум аф ункции. И зучены такиесвойствагр аф икаф ункции, как нап р авлениевы п уклости, п оведениевблизиасим п тот. В заклю чение п р иводится п р остая сх ем а п олного исследования ф ункции, п озволяю щ ая п остр оитьеегр аф ик. В седьм ой главе даны оп р еделения п ер вообр азной ф ункциииоп р еделенного интегр ала. В ы ведены основны е п р авила интегр ир ования итабличны еф ор м улы . И зучаю тся основны ем етоды интегр ир ования ф ункции– зам ена п ер ем енной и интегр ир ование п о частям . Н а п р им ер ах р азобр аны основны е п р ием ы интегр ир ования р азличны х классов ф ункций (р ациональны х , ир р ациональны х , тр игоном етр ических ). В восьм ой главеп особия изучается оп р еделенны й интегр ал иего основны е свойства. Д аны п р остейш ие м етоды нах ож дения оп р еделенного интегр ала. И зучены п р илож ения оп р еделенного интегр ала к вы числению п лощ адей, нах ож дению длин дуг п лоской кр ивой, вы числению объем ов тел сизвестны м п оп ер ечны м сечением ител вр ащ ения. В данной главеданы оп р еделения несобственны х интегр алов п ер вого ивтор ого р ода. П р иводятся основны е м етоды оп р еделения сх одим ости несобственны х интегр алов. Д евятая глава п освящ ена изучению ф ункций нескольких п ер ем енны х . И зучен м етод исследования ф ор м ы п овер х ности, заданной ф ункцией двух п ер ем енны х , с п ом ощ ью линий ур овня. Д аны п онятия им етоды на-

5 х ож дения частны х п р оизводны х , п р оизводной п о нап р авлению вектор а и гр адиента ф ункциинескольких п ер ем енны х . П р иведены п р им ер ы нах ож дения частны х п р оизводны х n-го п ор ядка. Д ано п онятие экстр ем ум а ф ункциидвух п ер ем енны х ир азобр ан м етод нах ож дения экстр ем ум а. В десятой главе изучены основны е м етоды р еш ения некотор ы х видов диф ф ер енциальны х ур авнений п ер вого, втор ого и n-го п ор ядка. П р иведены п р им ер ы нах ож дения р еш ения задачи К ош и и общ его р еш ения диф ф ер енциальны х ур авнения п ер вого п ор ядка с р азделяю щ им ися п ер ем енны м и, однор одны х и линейны х ур авнений. Рассм отр ены п р остейш ие случаи, в котор ы х диф ф ер енциальны е ур авнения втор ого иболее п ор ядка доп ускаю тп ониж ениеп ор ядка. П р иведен м етод р еш ения линейны х , однор одны х диф ф ер енциальны х ур авнений втор ого п ор ядка с п ом ощ ью х ар актер истических ур авнений. В целях наиболеекр аткого излож ения м атер иалав п р едлагаем ом п особиип р иведены следую щ иеобозначения: Сим волом 2 обозначаю тся оп р еделения р азличны х м атем атических п онятий иливеличин. Сим волом g обозначаю тся теор ем ы , п р иводим ы е в п особиис доказательством . П р иэтом сим волом 4 обозначается начало доказательства, асим волом 3 – окончаниедоказательстватеор ем . Сим волом 1 обозначаю тся теор ем ы , п р иводим ы е в п особии без доказательства. К р ом е того, в п р едлагаем ом п особииисп ользую тся стандар тны е м атем атическиесокр ащ ения (квантор ы ): квантор ом ⇒ обозначается словосочетание«отсю даследует, что»; квантор ом ⇔ обозначается словосочетание«тогдаитолькотогда, когда»; квантор ом ∀ обозначается словосочетание«для лю бого» («для лю бой»); квантор ом ∃ обозначается слово «сущ ествует»;

6

Глава6. П олноеисследованиеф ункциии п остр оениегр аф ика § 6.1. Э кстр е м у м ф у н кции. М он отон н ость П р едп олож им , что на некотор ом интер вале (a, b) оп р еделена некотор ая ф ункция y = f(x). 2 Т очка x0 назы вается точкой м аксим ум а (локального м аксим ум а) ф ункции y = f(x), еслисущ ествуеттакая окр естность (x0 – δ; x0 + δ) точки x0, для всех точек котор ой (∀x∈(x0 – δ; x0 + δ)), отличны х отточки x0, вы п олнено нер авенство f(x) < f(x0). А налогично оп р еделяю тся точким иним ум а. 2 Т очка x0 назы вается точкой м иним ум а (локального м иним ум а) ф ункции y = f(x), еслисущ ествуеттакая окр естность (x0 – δ; x0 + δ) точки x0, для всех точек котор ой, отличны х отточки x0, вы п олнено нер авенство f(x) > f(x0). Т очким аксим ум аим иним ум аф ункцииназы ваю тся точкам иэкстр ем ум а (локального экстр ем ум а). 1 Т еор ем а Ф ер м а. П усть ф ункция y = f(x) оп р еделена на некотор ом интер вале (a, b) ив некотор ой точке x0∈(a; b) им еетэкстр ем ум . Т огда, еслив точке x0 сущ ествуетп р оизводная, тоонар авнанулю (f′(x0) = 0). 1 Т еор ем а Ролля. П усть на отр езке [a; b] задана неп р ер ы вная ф ункция y = f(x), п р ичем : 1) f(x) диф ф ер енцир уем анаинтер вале (a; b); 2) f(a) = f(b). Т огдасущ ествуетточка x0∈(a; b), в котор ой f′(x0) = 0. 1 Т еор ем а Л агр анж а. П усть на отр езке [a; b] задана неп р ер ы вная ф ункция y = f(x), диф ф ер енцир уем ая на интер вале (a; b). Т огда сущ ествуетточка с ∈(a; b) такая, что сп р аведливаф ор м ула f (b ) − f (a ) = f ′(c ) . (6.1) b−a Равенство (6.1) м ож ноп ер еп исатьв видеф ор м улы f (b ) − f (a ) = f ′(c ) ⋅ (b − a ), a < c < b .

(6.2)

Ф ор м улу (6.2) назы ваю тф ор м улой Л агр анж а. О насвязы ваетп р ир ащ ение ф ункциинаконечном отр езкесп р оизводной ф ункциинаэтом отр езке. Следствие. Е слинанекотор ом отр езке [ a; b ] п р оизводная ф ункции тож дественнор авнанулю , то онаявляется константой наданном отр езке. 2Ф ункция назы вается возр астаю щ ей (неубы ваю щ ей) на интер вале (a; b), еслионаоп р еделенанаданном интер валеи для лю бы х x1, x2∈(a; b) таких , что x2 > x1, сп р аведливо нер авенство f(x2) > f(x1) (f(x2) ≥ f(x1)). 2Ф ункция назы вается убы ваю щ ей (не возр астаю щ ей) на интер вале (a; b), еслионаоп р еделенанаданном интер валеидля лю бы х x1, x2∈(a; b) таких , что x2 > x1, сп р аведливо нер авенство f(x2) < f(x1) (f(x2) ≤ f(x1)). 2В озр астаю щ иеиубы ваю щ иеф ункцииназы ваю тм онотонны м и.

7 g П р изнак м онотонностиф ункции. Е слиф ункция f(x) диф ф ер енцир уем анаинтер вале (a; b) и f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0) на (a; b), то ф ункция не убы вает(невозр астает) на (a; b). 4П р едп олож им , что f′(x) ≥ 0 для лю бого x∈(a; b), ип усть x1 и x2 две п р оизвольны е точки из (a; b) такие, что x2 > x1. Т огда на отр езке [x1; x2] вы п олняю тся все условия теор ем ы Л агр анж а. Согласно ф ор м уле (6.2) п олучим f (x2 ) − f ( x1 ) = f ′(c ) ⋅ ( x2 − x1 ) , где с ∈(x1; x2). П о условию , обасом нож ителя, стоящ иев п р авой частип олученного р авенства, неотр ицательны (f′(с ) ≥ 0, x2 – x1 > 0). Т огда f(x2) – f(x1) ≥ 0 и, следовательно, f(x2) ≥ f(x1). Случай f′(x) ≤ 0 доказы вается аналогично. 3 Зам ечание1. Е сли f′(x) > 0 (f′(x) < 0) на (a; b), то ф ункция возр астает(убы вает) на (a; b) (доказы вается аналогично). Зам ечание 2. П олож ительность (отр ицательность) п р оизводной на интер вале (a; b) неявляется необх одим ы м условием возр астания (убы вания) ф ункции. Н ап р им ер , ф ункция y = x3 возр астаетп р ивсех x, однако в точке x = 0 им еетп р оизводную f′(0) = 0.

§ 6.2. И ссле дов а н ие ф у н кции н а экстр е м у м И з оп р еделения (см . §6.1) следует, чтоп онятиеэкстр ем ум аим еет локальны й (м естны й) х ар актер . Н ер авенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) м ож ет, невы п олняться для всех значений x, вх одящ их в областьоп р еделения ф ункции, онодолж новы п олняться лиш ьв некотор ой окр естности точки x0. В областиоп р еделения ф ункция м ож етим етьнесколько локальны х экстр ем ум ов. Н е обходим ое у слов ие экстр е м у м а g Е слив некотор ой точке x0∈(a; b) ф ункция y = f(x), неп р ер ы вная на интер вале (a; b), им еет экстр ем ум , то в сам ой точке x0 п р оизводная данной ф ункциир авнанулю илинесущ ествует. 4В озм ож ны два случая: 1) в точке x0 сущ ествует п р оизводная ф ункции f(x), тогдап о теор ем еФ ер м а f′(x0) = 0, 2) в точке x0 п р оизводная ф ункциинесущ ествует.3 2 Говор ят, что в точке x0∈(a; b) вы п олнено необх одим ое условие экстр ем ум а ф ункции y = f(x), еслив точке x0 п ер вая п р оизводная р авна нулю , илинесущ ествует. 2 Т очки, в котор ы х вы п олнено необх одим ое условие экстр ем ум а назы ваю т кр итическим иточкам ип ер вого р ода илиточкам и, п одозр ительны м ина экстр ем ум . Т е кр итические точки, в котор ы х f′(x) = 0, назы ваю т стационар ны м и. В стационар ны х точках касательная, п р оведенная к гр аф ику ф ункции, п ар аллельнаоси OX. Зам ечание. Н еобх одим ое условиеэкстр ем ум а не является достаточны м . Н ап р им ер , в точке x = 0 вы п олнено необх одим оеусловиеэкстр ем ум а ф ункции y = x3 (f′(0) = 0). О днако, в точке x = 0, как ив остальны х

8 точках числовой оси, ф ункция возр астает (и, следовательно, не им еет экстр ем ум а). С болееслож ны м ип р им ер ам им ы п ознаком им ся п озднее. Пе р в ое доста точн ое у слов ие экстр е м у м а g П усть ф ункция диф ф ер енцир уем а в некотор ой δ-окр естности точки x0 заисклю чением , бы тьм ож ет, сам ой точки x0 (в сам ой точке x0 она п р едп олагается, как м иним ум – неп р ер ы вной). Е сли f′(x) > 0 ∀x∈(x0 – δ; x0) и f′(x) < 0 ∀x∈(x0; x0 + δ), то естьп р оизводная м еняетзнак с п лю са на м инус п р ип ер ех оде чер ез точку x0, то в точке x0 ф ункция им еет локальны й м аксим ум . Е сли п р оизводная м еняет знак с м инуса на п лю с,– то м иним ум . Е сли ж е п р оизводная п р и п ер ех оде чер ез точку x0 знаканем еняет, тов точке x0 ф ункция экстр ем ум анеим еет. 4Рассм отр им случай, когдап р ип ер ех одечер ез точку x0 п р оизводная м еняет знак с п лю са на м инус. В ы бер ем п р оизвольно x∈(x0 – δ; x0). П р им еним ф ор м улу Л агр анж а(6.2) к ф ункции f(x) нап р ом еж утке [x; x0]: f ( x0 ) − f ( x ) = f ′(c ) ⋅ ( x0 − x ),

x < c < x0 .

(6.3)

Т ак как п о условию f′(x) > 0 ∀x∈(x0 – δ; x0), то f′(с ) > 0, кр ом е того, x0 – x > 0. И з ф ор м улы (6.3) видно, что f(x0) – f(x) > 0 или f(x0) > f(x). В ы бер ем теп ер ь п р оизвольную точку x∈(x0; x0 + δ) и п р им еним ф ор м улу Л агр анж ак ф ункции f(x) нап р ом еж утке [x0; x]: f (x ) − f (x0 ) = f ′(c ) ⋅ ( x − x0 ),

x0 < c < x .

(6.4)

П о условию на интер вале (x0; x + δ) f′(x) < 0 и, следовательно, f′(с ) < 0. К р ом етого, x – x0 > 0. И з ф ор м улы (6.4) следует, что f(x) – f(x0) < 0 или, как ив п р еды дущ ем случае, f(x0) > f(x). Т аким обр азом , м ы доказали, что в точке x0 ф ункция им еетлокальны й м аксим ум . А налогичнодоказы ваю тся остальны еутвер ж дения теор ем ы .3 П р им ер 6.1. И сследоватьнаэкстр ем ум ф ункцию y = x − ln x . Реш ение. Н айдем п р оизводную данной ф ункциииоп р еделим кр итическиеточкип ер вогор ода. 1 x −1 y′ = 1 − = . x x О чевидно, что п ер вая п р оизводная исх одной ф ункцииобр ащ ается в ноль в точке x0 = 1 ине сущ ествуетв точке x1 = 0. О днако из этих двух найденны х точек, п одозр ительной на экстр ем ум является только точка x0 = 1. Т очка x1 = 0 невх одитв область оп р еделения исх одной ф ункции и, следовательно, не является кр итической. И сследуем знак п ер вой п р оизводной на всей областиоп р еделения ф ункции y = x − ln x , т.е. п р ивсех x > 0 (р ис. 6.1):

9

Рис. 6.1. Н ап р ом еж утке x∈(0; 1) п ер вая п р оизводная м еньш енуля, следовательно ф ункция убы вает (обозначается y(x)↓). П р и x∈(1; +∞) п р оизводная больш енуля, следовательно, ф ункция возр астает(обозначается y(x)↑). В точке x = 1 ф ункция им еетм иним ум , п р ичем ymin = y(1) = 1 – ln1 = 1. П р им ер 6.2. И сследоватьнаэкстр ем ум ф ункцию

(

)

y = 3 x2 − 1

2

.

Реш ение. Н айдем п р оизводную данной ф ункциииоп р еделим кр итическиеточкип ер вогор ода. 2 ′ 1  − 2 4x 2 2 y′ =  x − 1 3  = ⋅ x − 1 3 ⋅ 2 x = . 3 2   3 x 3 ⋅ − 1   К р итическим иточкам ип ер вого р одаданной ф ункцииявляю тся точка x1 = 0, в котор ой п ер вая п р оизводная обр ащ ается в 0, и точки x2 = 1 и x3 = –1, в котор ы х п ер вая п р оизводная данной ф ункциине сущ ествует. Зам етим , что во всех найденны х точках исх одная ф ункция оп р еделена и, следовательно, м ож ет им еть экстр ем ум . И сследуем знак п ер вой п р оизвод-

(

)

(

)

(

)

ной на всей областиоп р еделения исх одной ф ункции y = 3 x 2 − 1

2

, т.е.

п р ивсех действительны х x (р ис. 6.2):

Рис. 6.2. В точках x ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 0; 1) п ер вая п р оизводная м еньш е нуля, следовательно, ф ункция убы вает. В точках x ∈ ( −1; 0 ) ∪ (1; + ∞ ) п р оизводная больш е нуля, следовательно, ф ункция возр астает. В точках x = ±1 п ер вая п р оизводная м еняет знак с м инуса на п лю с, следовательно, ф ункция в этих точках им еетм иним ум (ymin = y(±1) = 0). В точке x = 0 п ер вая п р оизводная м еняетзнак сп лю санам инус, следовательно, ф ункция им еет м аксим ум (ymax = y(0) = 1). Зам етим , что в п р иведенном п р им ер е ф ункция им еет м иним ум ы в тех точках , в котор ы х п ер вая п р оизводная не сущ ествует, т.е. не является гладкой. Гр аф ик исх одной ф ункциив этих им еетизлом ы (р ис. 6.6).

10

§ 6.3. Н а пр а в ле н ие в ыпу клости и точки пе р е гиба гр а ф ика ф у н кции П устьф ункция y = f(x) диф ф ер енцир уем а наинтер вале (a; b). Т огда сущ ествует касательная к гр аф ику ф ункциив лю бой точке A(x; f(x)) (x∈(a; b)), п р ичем этакасательная неп ар аллельнаоси OY. 2 Гр аф ик диф ф ер енцир уем ой наинтер вале (a; b) ф ункции y = f(x) назы вается вы п уклы м ввер х (вы п уклы м ), если он р асп олож ен не вы ш е лю бой касательной, п р оведенной к гр аф ику наинтер вале (a; b) (р ис. 6.3). 2 Гр аф ик диф ф ер енцир уем ой наинтер вале (a; b) ф ункции y = f(x) назы вается вы п уклы м вниз (вогнуты м ), еслион р асп олож ен не ниж е лю бой касательной, п р оведенной к гр аф ику наинтер вале (a; b) (р ис. 6.4).

Рис. 6.3.

Рис. 6.4.

2 Т очки, отделяю щ ие вы п уклую часть гр аф ика ф ункцииот вогнутой (илинаобор от), назы ваю тся точкам ип ер егибагр аф икаф ункции. 1 Е слиф ункция y = f(x) им еетнаинтер вале (a; b) втор ую п р оизводную , п р ичем f″(x) > 0 (f″(x) < 0), то во всех точках интер вала (a; b) гр аф ик ф ункцииявляется вогнуты м (вы п уклы м ). g Н е обходим ое у слов ие пе р е гиба гр а ф ика ф у н кции. П усть гр аф ик ф ункции y = f(x) в точке М (x0; f(x0)) им еетп ер егиб, ип устьф ункция y = f(x) им еет в точке x0 неп р ер ы вную втор ую п р оизводную . Т огда f ′′ ( x0 ) = 0 . 4П р едп олож им п р отивное, т.е. что f ′′ ( x0 ) ≠ 0 . Т огда в силу неп р ер ы вностивтор ой п р оизводной сущ ествуеттакая окр естность точки x0, в котор ой втор ая п р оизводная им ееттотж езнак, что ив точке x0. Следовательно, в этой окр естностигр аф ик ф ункциисох р аняет нап р авление вы п уклости. Т аким обр азом , в точке x0 гр аф ик неим еетп ер егиба. 3 Зам ечание. Н еобх одим ое условие не является достаточны м условием п ер егиба гр аф ика ф ункции. В качестве п р остейш его п р им ер а м ож но y = x4 . п р ивести ф ункцию В тор ая п р оизводная данной ф ункции y ′′ = 12 x 2 обр ащ ается в ноль в точке x = 0, однако в этой точке гр аф ик

ф ункциип ер егибанеим еет(очевидно, что в точке x = 0 ф ункция y = x 4 им еетм иним ум ).

11 2 Т очки x0, в котор ы х вы п олнено условие f ′′ ( x0 ) = 0 , назы ваю тся кр итическим точкам ивтор огор ода. Т очкип ер егибагр аф икаф ункциинах одятся из числакр итических точек втор огор ода. Д остаточны м условием п ер егибагр аф икаф ункцииявляется следую щ ая очевидная теор ем а. 1 Д оста точн ое у слов ие пе р е гиба гр а ф ика ф у н кции. П усть сущ ествуеттакая δ-окр естность ( x0 − δ ; x0 + δ ) точки x0, в котор ой ф ункция y = f(x) им еет неп р ер ы вную втор ую п р оизводную f″(x), п р иним аю щ ую значения р азны х знаков в интер валах ( x0 − δ ; x0 ) и ( x0 ; x0 + δ ) (т.е. п р ип ер ех оде чер ез точку x0 втор ая п р оизводная м еняет знак). Т огда в точке x0 гр аф ик ф ункции f(x) им еетп ер егиб. 1 Зам ечание. Д остаточноеусловиеп ер егибаостается вер ны м в том случае, когдав сам ой точке x0 втор ая п р оизводная несущ ествует, но п р и этом в точкеМ (x0; f(x0)) сущ ествуеткасательная к гр аф ику ф ункцииy= f(x). П р им ер 6.3. О п р еделить участки вы п уклости, вогнутости и точки

(

)

п ер егибагр аф икаф ункции y = 3 x 2 − 1

2

.

(

)

1

− 4 Реш ение. П ер вая п р оизводная данной ф ункции y ′ = ⋅ x ⋅ x 2 − 1 3 3 бы ла найдена р анее (п р им ер 6.2). Н айдем втор ую п р оизводную данной ф ункциииоп р еделим кр итическиеточкивтор огор ода.

(

)

1 4 3 x2 − 1 − 2x2 4 − − 4 4 4 x2 − 3 2 2 3 3 y′′ = ⋅ x − 1 − x ⋅ x −1 ⋅ 2x = ⋅ = ⋅ . 4 4 3 9 9 9 3 x2 − 1 3 x2 − 1

(

)

(

)

(

)

(

)

К р итическим иточкам ивтор ого р одаданной ф ункцииявляю тся точки x1,2 = ± 3 , в котор ы х втор ая п р оизводная данной ф ункцииобр ащ ается в 0, и точки x3,4 = ±1 , в котор ы х втор ая п р оизводная несущ ествует. И сследуем знак втор ой п р оизводной (р ис. 6.5) учиты вая, что знам енатель x2 − 3 др оби п олож ителен п р ивсех x ≠ ±1 . 3

( x2 − 1)

4

Рис. 6.5.

Н а интер валах

(−

)

12

3; − 1 ,

( −1; 1)

(

и 1;

)

3 втор ая п р оизводная

м еньш е нуля, следовательно, гр аф ик ф ункции является вы п уклы м . Н а интер валах

( −∞; − 3 )

и

(

)

3; + ∞ втор ая п р оизводная больш е нуля,

следовательно, гр аф ик ф ункции является вогнуты м . В точках x1,2 = ± 3 втор ая п р оизводная м еняет знак, следовательно, гр аф ик ф ункции в этих 2 точках им еет п ер егиб  yпер ег. = y ± 3 = 3 ( 3 − 1) = 3 4 ≈ 1.6  . В точках   x3,4 = ±1 втор ая п р оизводная знака не м еняет, следовательно, в этих точках п ер егиба нет (в п р им ер е 6.2 бы ло установлено, что в точках x = ±1 ф ункция им еет м иним ум ). Гр аф ик ф ункции, р ассм отр енной в п р им ер ах 6.2 и 6.3, изобр аж ен нар ис. 6.6.

(

)

Рис. 6.6.

§ 6.4. А сим птоты гр а ф ика ф у н кции 2 А сим п тотой гр аф икаф ункции y = f(x) назы вается п р ям ая линия, к котор ой неогр аниченно п р иближ аю тся точки гр аф ика ф ункции п р и их неогр аниченном удаленииотначалакоор динат. П р иэтом гр аф ик ф ункции м ож етп ер есекатьасим п тоту неболеечем конечноечислор аз. Различаю твер тикальны е, гор изонтальны еинаклонны еасим п тоты . 1 П р ям ая линия x = x0 является вер тикальной асим п тотой гр аф ика ф ункции y = f(x) слева (сп р ава), если соответствую щ ий одностор онний  п р едел в точке x0 (ч. 1, гл. 4) р авен бесконечности  lim f ( x ) = ∞ или  x→ x0 − 0  lim f ( x ) = ∞  . x → x0 + 0 

13 Е слип р ям ая линия x = x0 является вер тикальной асим п тотой гр аф икаф ункции y = f(x), то, очевидно, что x0 является точкой р азр ы вавтор ого р одаданной ф ункции. 1 П р ям ая линия y = y0 является гор изонтальной асим п тотой гр аф ика ф ункции y = f(x) п р и x → −∞ ( x → +∞ ), если lim f ( x ) = const ( lim f ( x ) = const ). x →+∞

x →−∞

1 Е слисущ ествую тиконечны п р еделы f ( x) k1 = lim и b1 = lim ( f ( x ) − k1 ⋅ x ) , x →−∞ x →−∞ x

(6.5) то п р ям ая линия y = k1x + b1 является наклонной асим п тотой гр аф икаф ункции y = f(x) п р и x → −∞ . 1 Е слисущ ествую тиконечны п р еделы f ( x) k2 = lim и b2 = lim ( f ( x ) − k2 ⋅ x ) , (6.6) x →+∞ x →+∞ x то п р ям ая линия y = k2x + b2 является наклонной асим п тотой гр аф икаф ункции y = f(x) п р и x → +∞ . О чевидно, что гор изонтальны е асим п тоты являю тся частны м случаем наклонны х (п р и k = 0). 1 П р им ер 6.4. Н айтиасим п тоты гр аф икаф ункции y = . x−3 Реш ение. 1) Н айдем одностор онниеп р еделы в точкер азр ы ваданной 1 1 = ( −∞ ) , lim = ( +∞ ) . Т ак как обап р еделар авф ункции: lim x →3 − 0 x − 3 x →3 + 0 x − 3 ны бесконечности, то п р ям ая линия x = 3 является вер тикальной асим п тотой гр аф икаф ункции(как слева, так исп р ава). 1 lim = 0, 2) О чевидно, что x →±∞ x − 3 следовательно, п р ям ая линия y = 0 (ось OX) является гор изонтальной асим п тотой. Гр аф ик данной ф ункции сх ем атически изобр аж ен нар ис. 6.7.

Рис. 6.7. 1 xe x .

П р им ер 6.5. Н айтиасим п тоты гр аф икаф ункции y = Реш ение. 1) Н айдем одностор онниеп р еделы в точкер азр ы ваданной ф ункции(в точке x = 0).

14 1

1

1 Е сли x → −0 , то → −∞, e x → 0 и, следовательно, lim xe x = 0 . x x →−0 1

1 → +∞, e x → +∞ . В этом случае п р едел вы Е сли x → +0 , то x числяем п о п р авилу Л оп италя:  1 ′ 1 ex   1  1 ex ⋅− 2  1   ex  ∞   x  = +∞ . lim xe x = ( 0 ⋅ ∞ ) = lim =   = lim   = lim ( ) 1 x →+0 x →+0 1  ∞  x→+0  1 ′ x→+0 − 2   x x  x Следовательно, п р ям ая линия y = 0 является вер тикальной асим п тотой гр аф икаисх одной ф ункциисп р ава. 2) Н аклонны еасим п тоты будем искать, исп ользуя ф ор м улы (6.5) – (6.6). k1,2 = lim

1 xe x

x →±∞

x

= lim

x →±∞

1 ex

= e0 = 1 ,

 1 ′ 1 x − 1 1 0  1   e   ex ⋅− 2    0  1  x   e −1  = lim  x  =1. b1,2 = lim  xe x − x  = lim = lim  1 1  x→±∞ x→±∞  x→±∞ x →±∞  1 ′ − 2     x x  x Следовательно, п р ям ая линия y = x + 1 является наклонной асим п тотой гр аф икаисх одной ф ункции(п р и x → +∞ ип р и x → −∞ ). Гр аф ик ф ункции y =

1 xe x

п остр ойтесам остоятельно(в качествеуп р аж нения).

§ 6.5. Полн ое иссле дов а н ие ф у н кции и постр ое н ие гр а ф ика 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Схе м а общ е го иссле дов а н ияф у н кции: Н айтиобластьоп р еделения ф ункции D( y ) . Н айтиобласть значений ф ункции E ( y ) (еслиэто возм ож но), точкип ер есечения гр аф ика ф ункциис осям икоор динат, участкизнакоп остоянства. О п р еделитьвид ф ункции(четная, нечетная, общ еговида). О п р еделитьп ер иодичностьф ункции. И сследовать ф ункцию на неп р ер ы вность. Н айтивер тикальны е, наклонны еилигор изонтальны еасим п тоты гр аф икаф ункции. Н айтикр итическиеточкип ер вого р ода. Н айтикр итическиеточкивтор огор ода. Зап олнитьтаблицу исследования. П ор езультатам исследования п остр оитьгр аф ик ф ункции.

15 П р овести п олное исследование и п остр оить гр аф ик

П р им ер 6.6. x2 − 3 ф ункции y = . x−2 Реш ение. 1. О бластьоп р еделения D( y ) = ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

2. П усть x = 0, тогда y = 1,5. П усть y = 0, тогда x = ± 3 . Т о есть точки (0; 3/2) и ( ± 3 ; 0) – являю тся точкам ип ер есечения гр аф икаф ункциисосям икоор динат. Е сли x ∈ − ∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0. Е сли

(

)

(

) (

)

x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; + ∞ ), то y(x) > 0. 3. Ф ункция общ его вида, т. е. неявляется ничетной, нинечетной. Д ей2 ( − x) − 3 x2 − 3 ствительно, y (− x ) = =− . Т о есть y(-x) ≠ y(x) иy(-x)≠ - y(x). −x−2 x+2 4. Ф ункция не является п ер иодической, так как она им еет только одну точку р азр ы ва. 5. Ф ункция неп р ер ы вна в областиоп р еделения, так как является др обно-р ациональной. Д ля исследования тип а р азр ы ва в точке x = 2, найдем одностор онниеп р еделы x2 − 3  + 1  x2 − 3  + 1  = = − ∞ = lim ( ) , lim   = (+ ∞ ). x →2 − 0 x − 2 x → 2+ 0 x − 2 − 0 + 0 Следовательно, точка x = 2 является точкой р азр ы вавтор ого р ода, ип р ям ая линия x = 2 является вер тикальной асим п тотой гр аф икаф ункции. У р авнения наклонны х (гор изонтальны х ) асим п тот гр аф ика ф ункции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b оп р еделяю тся п о ф ор м улам (6.5) – (6.6): 3 − 1 x2 − 3 x2 − 3  ∞  x 2 = 1, = lim 2 =   = lim k1, 2 = k = lim x →∞ ( x − 2 ) ⋅ x x →∞ x − 2 x  ∞  x →∞ 1 − 2 x 3 2−  x2 − 3  x 2 − 3 − x 2 + 2x 2x − 3  ∞  x = 2. b = lim − 1 ⋅ x  = lim = lim =   = lim x →∞ x − 2 x →∞ x x → ∞ → ∞ 2 x−2 x − 2 ∞   1− x Т аким обр азом , п р ям ая y = x + 2 является наклонной асим п тотой. 6. Н айдем п ер вую п р оизводную ф ункции: ′  x 2 − 3  2 x ⋅ (x − 2 ) − (x 2 − 3) 2 x 2 − 4 x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3  = y ′ =  = = . (x − 2 )2 (x − 2)2 (x − 2)2  x−2  1− 3 9−3 y ′ = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3. y( x1 ) = = 2, y ( x2 ) = = 6. 1− 2 3−2 И так, кр итическим и точкам и 1-го р ода являю тся точки x = 1 и x = 3. Т очка x=2 кр итической не является, т. к. она не п р инадлеж ит области оп р еделения ф ункции.

16 7. Н айдем втор ую п р оизводную ф ункции: ′  x 2 − 4 x + 3  (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 )2 − 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ (x 2 − 4 x + 3)  = y ′′ =  = 2 (x − 2 )4  (x − 2 ) 

( 2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) − 2(x 2 − 4 x + 3) 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 8 x − 3 2 = = = ≠ 0. 3 3 (x − 2) (x − 2) (x − 2)3

К р итических точек втор огор одаф ункция неим еет. 8. Составим таблицу исследования ф ункции: x y′(x) y″(x) y(x)

9.

(–∞; 1) + –

1 0 – max y = 2.

[1; 2) – –

2 Н есущ . Н есущ . Н есущ .

П остр оим гр аф ик ф ункции (р ис.6.8):

Рис. 6.8.

(2; 3) – +

3 0 + min y= 6.

(3; ∞) + +

17

Глава7. Н еоп р еделенны й интегр ал § 7.1. О пр е де ле н ие и св ойств а н е опр е де ле н н ого ин те гр а ла П р едп олож им , что на некотор ом п р ом еж утке x ∈ [ a; b ] оп р еделена неп р ер ы вная ф ункция y = f ( x ) . 2П ер вообр азной ф ункции y = f ( x ) на п р ом еж утке x ∈ [ a; b ] назы вается ф ункция y = F ( x ) такая, что F ′( x ) = f ( x ) п р илю бом x ∈ [ a; b ] . g Т еор ем а (об общ ем виде всех п ер вообр азны х ). П ер вообр азная ф ункции y = f ( x ) оп р еделяется с точностью до константы , а точнее вы п олняю тся дваутвер ж дения: 1) еслиф ункция F ( x ) является п ер вообр азной ф ункции f (x ) на некотор ом п р ом еж утке [ a; b] , то ф ункция F1 ( x ) = F ( x ) + C так ж е является п ер вообр азной ф ункции f ( x ) наданном п р ом еж уткедля лю бой константы С; 2) если F1 (x ) и F2 ( x ) – двеп ер вообр азны еф ункции f ( x ) нап р ом еж утке [ a; b ] , то их р азностьявляется константой: F1 ( x ) − F2 ( x ) = C ∀x ∈ [ a; b ] . 4 1) Н айдем п р оизводную ф ункции F1 ( x ) = F ( x ) + C : F ′ ( x ) = (F ( x ) + C )′ = F ′( x ) + C ′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) ∀x ∈ a; b .

[

1

]

Т аким обр азом , ф ункция F1 (x ) является п ер вообр азной ф ункции f ( x ) на п р ом еж утке [ a; b ] . 2) Н айдем п р оизводную ф ункции F1 ( x ) − F2 ( x ) : (F (x ) − F (x ))′ = F ′ (x ) − F ′ (x ) = f (x ) − f (x ) = 0 . П о следствию из теор ем ы 1

2

1

2

Л агр анж а (гл. 6) отсю давы текает, что F1 ( x ) − F2 ( x ) = const ∀x ∈ [ a; b ] .3 2 М нож ество всех п ер вообр азны х ф ункции y = f ( x ) нанекотор ом п р ом еж утке [ a; b ] , назы вается неоп р еделенны м интегр алом от ф ункции f (x ) иобозначается

∫ f (x )dx .

Т аким обр азом ,

∫ f (x )dx = F (x ) + C ,

где

F ( x ) – однаиз п ер вообр азны х ф ункции f ( x ) . 2 Ф ункция y = f ( x ) , им ею щ ая х отя бы одну п ер вообр азную на п р ом еж утке [ a; b ] , назы вается ф ункцией, интегр ир уем ой на п р ом еж утке x ∈ [ a; b ] . 1 И нтегр ир ование и диф ф ер енцир ование являю тся взаим нообр атны м иоп ер ациям и, в том см ы сле, что ′ 1) ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ;

(

2)

)

∫ F ′ ( x ) dx = F ( x ) + C .

(данны есвойствап р овер яю тся неп оср едственно).

18 2 Д ва интегр ала назы ваю тся р авны м и на некотор ом п р ом еж утке

[ a; b] ( ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx ) , еслип ер вообр азны еобеих п оды нтегр альны х ф ункций F ( x ) и G ( x ) соответственно, отличаю тся неболее, чем наконстанту: F ( x ) − G ( x ) = C , ∀x ∈ [ a; b ] .

И нтегр алы от наиболее р асп р остр аненны х ф ункций п р иведены в следую щ ей таблице:

Т а блица инт егр а лов x n +1 1. ∫ x ⋅ dx = + C (n ≠ −1), n +1 ax x 3. ∫ a ⋅ dx = + C, ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , dx = tgx + C , 7. ∫ cos 2 x dx x = arcsin + C , 9. ∫ 2 a a − x2 1 dx a+x 11. ∫ 2 = ⋅ ln + C, 2 2a a −x a−x n

2.

∫

dx = ln x + C , x

4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx 8. ∫ 2 = −ctgx + C , sin x dx x 1 = ⋅ arctg + C , 10. ∫ 2 2 a +x a a dx 12. ∫ 2 = ln x + x 2 + a + C. x +a

В сетабличны еф ор м улы м ож но доказатьсп ом ощ ью диф ф ер енцир ования. Д окаж ем некотор ы еиз них : dx x = arcsin + C . g 9. ∫ a a2 − x2

4Н айдем п р оизводную ′ 1 1 1 1   x ⋅ = = .  arcsin  + C  = 2 a 2 2 2 2 a   − − a x a x  x a⋅ 1−   a2 a   лучилип оды нтегр альную ф ункцию .3 dx = ln x + x 2 + a + C . g 12. ∫ 2 x +a

М ы п о-

41) Н айдем п р оизводную ф ункции ln x + x 2 + a + C в том случае, когдавы р аж ение x + x 2 + a > 0 : ′ ′ 2 2 ln x + x + a = ln x + x + a + C = =

) )

) ( (

(

1 x + x2 + a

⋅

x2 + a + x x2 + a

=

1 x2 + a

.

  2x ⋅ 1 + +0= x + x2 + a  2 x2 + a  1

19 2) П устьтеп ер ь x + x 2 + a < 0 . Т огда: ′ ′ ln x + x 2 + a = ln − x − x 2 + a + C =

) ( (

(

)

)

  2x 1 − x2 + a − x = ⋅  −1 − ⋅ = = − x − x2 + a  2 x2 + a  − x − x2 + a x2 + a В обоих случаях м ы п олучилип оды нтегр альную ф ункцию .3 1

1 x2 + a

.

Свойс т ва неопр еделенного инт егр а ла 1. g П усть ф ункция y = f ( x ) , является интегр ир уем ой на п р ом еж утке [ a; b] и α – некотор ая константа, отличная от нуля. Т огда п остоянны й м нож ительм ож но вы носитьзазнак интегр ала: (7.1) ∫ α f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx , ∀x ∈ [ a; b] 4 О бозначим чер ез F ( x ) – одну из п ер вообр азны х ф ункции f ( x )

нап р ом еж утке [ a; b ] . Т огда

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C α ⋅ ∫ f ( x ) dx =α ⋅ ( F ( x ) + C ) = α ⋅ F ( x ) + C , 1

и (7.2)

где C1 = α ⋅ C − п р оизвольная константа. О чевидно, что ф ункция α ⋅ f ( x ) является интегр ир уем ой на п р ом еж утке [ a; b ] , и в качестве одной из ее п ер вообр азны х м ож но взять ф ункцию α ⋅ F ( x ) . Д ействительно,

(α ⋅ F ( x ) )′ = α ⋅ F ′ ( x ) = α ⋅ f ( x ) , ∫ α ⋅ f ( x ) dx = α ⋅ F ( x ) + C , 2

∀x ∈ [ a; b ] .

Следовательно (7.3)

где C2 − п р оизвольная константа. Ср авнивая р авенства (7.2) и (7.3), м ы п р их одим к вы воду, ор авенствеинтегр алов: ∫ α f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx , ∀x ∈ [ a; b] . 3 2. g П устьф ункции y = f ( x ) и y = g ( x ) интегр ир уем ы на п р ом еж утке [ a; b ] . Т огда на п р ом еж утке [ a; b] интегр ал от сум м ы данны х ф ункций р авен сум м еинтегр алов: (7.4) ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx 4 О бозначим чер ез F ( x ) – п р оизвольную п ер вообр азную ф ункции f (x ) , а чер ез G ( x ) – п р оизвольную п ер вообр азную ф ункции g ( x ) на

п р ом еж утке [ a; b ] . Т огда ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C1 и ∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C2 . Т .е.

20

∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C ,

(7.4)

1

где C = C1 + C2 О чевидно, что ф ункия F ( x ) + G ( x ) является п ер вообр азной сум м ы f ( x ) + g ( x ) . Д ействительно,

( F ( x ) + G ( x ) )′ = F ′ ( x ) + G′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C

Следовательно,

3

(7.5)

Ср авнивая р авенства (7.4) и(7.5), м ы убеж даем ся в том , что ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) ⋅ dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . 3

§ 7.2. Т а бличн ое ин те гр ир ов а н ие Рассм отр им п р остейш ие интегр алы , котор ы е м ож но найтитолько с п ом ощ ью таблицы интегр алов исвойств неоп р еделенногоинтегр ала. dx П р им ер 7.1. Н айтиинтегр ал ∫ 2 . x (4 + x 2 ) Реш ение. У м нож им ир азделим числитель на 4, а затем п р ибавим и вы чтем в числителе x2: dx 1 4 + x2 − x2 1 4 + x2 1 x2 dx dx = ⋅ = ⋅ − ⋅ dx = ∫ x 2 ( 4 + x 2 ) 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) 1 dx 1 1 −2 1 1 1 x dx dx − = − arctg x dx = − − + С (здесь м ы ∫ ∫ ∫ ∫ 4 x2 4 4 + x2 4 4 22 + x 2 4x 8 2 п р им енили 1-е и 2-е свойства неоп р еделенного интегр ала и табличны е ф ор м улы 1 и10). П р им ер 7.2. Н айтиинтегр ал ∫ tg 2 x ⋅ dx . =

Реш ение. sin 2 x 1 − cos 2 x 1 cos 2 x 2 ∫ tg x ⋅ dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx − ∫ cos 2 x dx = dx =∫ − ∫ dx = tgx − x + C (см . ф ор м улы 7 и1). cos 2 x

§ 7.3. Подв е де н ие м н ожите ляпод зн а к диф ф е р е н циа ла Д анны й м етод основан на свойстве диф ф ер енциала ф ункции dϕ ( x ) = ϕ ′( x ) ⋅ dx . Т огда интегр алы вида ∫ f (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx м ож но п р е-

обр азоватьследую щ им обр азом : ∫ f (ϕ (x )) ⋅ ϕ ′(x )dx = ∫ f (ϕ (x )) ⋅ dϕ (x ) = F (ϕ (x )) + C , где F (u ) – п ер вообр азная ф ункции f (u ) .

21 П р им ер 7.3. Н айтинеоп р еделенны й интегр ал

x3

∫ cos 2 x 4 ⋅ dx.

Реш ение. У м нож им ир азделим п оды нтегр альную ф ункцию на 4 и внесем м нож итель 4x3 п од знак диф ф ер енциала: x3 1 4 x3 1 d x4 1 4 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 = 4 ⋅ tgx + C.

( )

Д ля того чтобы п од знаком диф ф ер енциалап олучитьлинейную ф ункцию , достаточно восп ользоваться очевидны м р авенством : d ( ax + b ) = adx или dx =

1 d ( ax + b ) . a

1 м ож но п р иэтом вы нестизазнак интегр ала. a П р им ер 7.4. Н айтинеоп р еделенны й интегр ал ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ dx.

П остоянны й м нож итель

Реш ение. У м нож им ир азделим п оды нтегр альную ф ункцию на –8 и внесем м нож итель –8 п од знак диф ф ер енциала: ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ dx = 1 1 1 = − ⋅ ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ (− 8)dx = − ⋅ ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ d (7 − 8 x ) = ⋅ cos(7 − 8 x ) + C . 8 8 8 П ознаком им ся сдвум я основны м им етодам инах ож дения неоп р еделенны х интегр алов – зам еной п ер ем енной иинтегр ир ованием п очастям .

§ 7.4. Зам е н а пе р е м е н н ой под зн а ком н е опр е де ле н н ого ин те гр а ла 1. Упр ощ а ющ ие пос т а нов ки. В ы бир ая в стр уктур е п оды нтегр альной ф ункциинекотор ое вы р аж ение, иназначая его новой п ер ем енной интегр ир ования, иногда удается сущ ественно уп р остить интегр ал (а иногда даж есвестиего к табличном у). x П р им ер 7.5. Н айтинеоп р еделенны й интегр ал ∫ ⋅ dx. x +1 Реш ение. П р оизведем зам ену п ер ем енной x + 1 = t . Т огда x +1 = t

∫

x x +1

x = ( t − 1)

⋅ dx =

2

dx = 2 ( t − 1) dt

=∫

( t − 1) t

2

⋅ 2 ( t − 1) dt = 2 ∫

t 3 − 3t 2 + 3t − 1 dt = t

1 2t 3  2 = 2∫  t − 3t + 3 −  ⋅ dt = − 3t 2 + 6t − 2ln t + C = t 3  =

2

(

)

x +1 3

3

−3

(

)

2

x +1 + 6

(

)

x + 1 − 2ln

(

)

x +1 + C .

22 Д альнейш ие уп р ощ ения, связанны е с р аскр ы тием скобок и п р иведением п одобны х членов, п р едоставляем читателям . dx П р им ер 7.6. Н айтиинтегр ал ∫ . x x+3x

(

)

Реш ение. П р оизведем зам ену x = t 6 . П р иэтом 6

∫

x

= 6∫

(

dx x+3x

d ( t + 1) t +1

)

x =t

= x = t6 dx = 6t 5dt

)

a 2 − x 2 dx,

∫ R ( x;

3

x = t2 :

6t 5dt 6t 5dt = = 5 t 3 ⋅ ( t 3 + t 2 ) ∫ t ⋅ ( t + 1)

= 6ln t + 1 + C = 6ln

2. Т р игономет р ичес кие

∫ R ( x;

=∫

x = t3 ,

6

x +1 + C .

подс т а нов ки.

)

x 2 − a 2 dx,

∫ R ( x;

В

интегр алах

)

вида

a 2 + x 2 dx , где чер ез

R ( x; L) обозначена р ациональная ф ункция, от квадр атного кор ня м ож но a избавиться сп ом ощ ью зам ены x = a sin t , x = , x = atgt соответственно. sin t

x2 − 4 ∫ x dx . Реш ение. В данном случае а 2 = 4 (а = 2) и, следовательно, м ы п р о2 : изводим зам ену x = sin t 4 2  2cos t  − 4 ⋅− x= 2  2 x −4 sin t sin 2 t  sin t  =∫ dt = ∫ x dx = 2 2cos t dx = − dt sin t sin 2 t П р им ер 7.7. Н айтиинтегр ал

= −2∫

cos 2 t ⋅ cos t cos 2 t 1 − sin 2 t 1 sin 2 t dt = −2∫ dt = − 2 dt = −2∫ 2 dt + 2∫ dt = 2 2 ∫ sin t sin t sin t sin t

= 2ctgt + 2t + C .

§ 7.5. М е тод ин те гр ир ов а н ияпо ча стям g Д окаж ем ф ор м улу инт егр ир ов а ния по ча с т ям:

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du.

(7.6)

4В осп ользуем ся ф ор м улой п р оизводной п р оизведения двух ф ункций (Часть1, гл.5):

23

( uv )′ = u ′v + v′u .

(7.7)

П р оинтегр ир уем обечастир авенства (7.7): ( uv )′ dx = uv + C ,

∫ ∫ ( u′v + uv′ ) dx = ∫ u ′vdx + ∫ uv′dx = ∫ vdu + ∫ udv . И з р авенств (7.8) и (7.9), следует, что ∫ vdu + ∫ udv = uv + C .

(7.8) (7.9) П ер е-

нося п ер вы й из интегр алов в п р авую часть, м ы п олучим нуж ную нам ф ор м улу ∫ udv = uv − ∫ vdu . К онстанту С п р иэтом м ож нооп устить, так как в обеих частях п олученного р авенстванах одятся интегр алы . 3 П р им ер 7.8. Н айтиинтегр ал ∫ x ⋅ e 3 x dx .

Реш ение. В осп ользуем ся ф ор м улой (7.6) интегр ир ования п о частям . Д ля этогообозначим x чер ез u, а e2xdx чер ез dv: u=x dv = e3 x dx x ⋅ e3x 1 3x 3x = x ⋅ e dx = − ⋅ ∫ e 3 x dx = ∫ 1 e 3x 3x 3 3 du = dx v = ∫ e dx = ⋅ ∫ e d (3x ) = 3 3 x ⋅ e3x 1 e3x x ⋅ e3x e3x = − ⋅ +C = − + C. 3 3 3 3 9 П р им ер 7.9. Н айтинеоп р еделенны й интегр ал ∫ x ln xdx .

Реш ение. О бозначим lnx чер ез u, а xdx чер ез dv, и восп ользуем ся ф ор м улой (7.6): ln x = u xdx = dv ln x ⋅ x 2 1 x 2 ln x ⋅ x 2 x 2 2 ∫ x ln xdx = du = 1 dx v = x = 2 − 2 ∫ x dx = 2 − 4 + C . 2 x

§ 7.6. И н те гр ир ов а н ие в ыр а же н ий, соде р жа щ их кв а др а тн ый тр е хчле н в зн а м е н а те ле П р им ер 7.10. Н айтинеоп р еделенны й интегр ал ∫

x+4

dx . x 2 + 6x + 9 Реш ение. В ы делим п олны й квадр ат в знам енателе: x+4 x+4 1 x+4 dx = ⋅ ∫ dx = ∫ 2 x 2 + 6 x + 9 dx = ∫ 2 2 9 9 9 2 3 9 9   2( x + 3x + − + ) x +  − + 4 4 2 2 4 2  3 5 x+ =t t+ 1 2t 5 dt 2 2 dt = 1 ⋅ = = ⋅∫ dt + ⋅ = 3 4 ∫ t2 + 9 4 ∫ t2 + 9 2 t2 + 9 x = t − , dx = dt 4 4 4 2

24 9  dt 2 +  1 dt 1 9 5 2 2t 4 5 = ⋅∫  + ⋅∫ = ⋅ ln t 2 + + ⋅ ⋅ arctg + C = 9 4 4 t2 + 9 4 4 4 3 3 t2 + 4 4 1  9 5 2t 1  9 5 2x + 3 = ln  t 2 +  + arctg + C = ln  x 2 + 3 x +  + arctg +C . 4  4 6 3 4  2 6 3

§ 7.7. И н те гр ир ов а н ие тр игон ом е тр иче ских ф у н кций 1. И нт егр а лы в ида

∫ sin

n

x cos m x ⋅ dx , где m и n – натур альны е

числа. (a) Ср едип оказателей степ еней n и m есть х отя бы одна нечетное число. В этом случае исп ользуем п р ием п одведения м нож ителя п од знак диф ф ер енциала. П р им ер 7.11. ∫ sin 5 x ⋅ cos 4 x ⋅ dx = ∫ sin 4 x ⋅ cos 4 x ⋅ (sin x ⋅ dx ) =

(

)

(

)

= − ∫ 1 − cos 2 x ⋅ cos 4 x ⋅ d (cos x ) = − ∫ 1 − 2 cos 2 x + cos 4 x ⋅ cos 4 x ⋅ d (cos x ) = 2

= − ∫ cos 4 x ⋅ d ( cos x ) + 2 ∫ cos6 x ⋅ d ( cos x ) − ∫ cos8 x ⋅ d ( cos x ) = cos5 x 2cos7 x cos9 x =− + − + C. 5 7 9 (b) О ба п оказателя степ ени n и m – четны е числа. В этом случае п р им еняем тр игоном етр ическиеф ор м улы п ониж ения степ ени: 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin 2α . sin 2 α = , cos 2 α = , sin α ⋅ cosα = 2 2 2 П р им ер 7.12. =∫ =

∫ sin

2

x ⋅ cos 4 x ⋅ dx = ∫ (sin x ⋅ cos x )2 ⋅ cos 2 x ⋅ dx =

sin 2 2 x 1 + cos 2 x 1 1 ⋅ ⋅ dx = ⋅ ∫ sin 2 2 x ⋅ dx + ⋅ ∫ sin 2 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ dx = 4 2 8 8

1 1 x 1 1 (1 − cos 4 x ) dx + ∫ sin 2 2 x ⋅ d (sin 2 x) = − sin 4 x + sin 3 2 x + C . ∫ 16 16 16 64 48 2. И нт егр а лы вида ∫ sin α x ⋅ cos β x ⋅ dx,

∫ cosα x ⋅ cos β x ⋅ dx, ∫ sin α x ⋅ sin β x ⋅ dx.

В данном случае, п р им еняя известны етр игоном етр ическиетож дества 1 sin α x ⋅ cos β x = ⋅ ( sin (α + β ) x + sin (α − β ) x ) , 2

25 1 ⋅ ( cos (α + β ) x + cos (α − β ) x ) , 2 1 sin α x ⋅ sin β x = ⋅ ( cos (α − β ) x − cos (α + β ) x ) 2 м ож но интегр ал от п р оизведения двух тр игоном етр ических ф ункций свестик интегр ир ованию сум м ы двух др угих тр игоном етр ических ф ункций. 1 П р им ер 7.13. ∫ sin 5 x ⋅ cos 3x ⋅ dx = ∫ ( sin 8 x + sin 2 x ) dx = 2 1 1 cos8 x cos 2 x = ∫ sin 8 x ⋅ d (8 x ) + ∫ sin 2 x ⋅ d ( 2 x ) = − − +C. 16 4 16 4 cos α x ⋅ cos β x =

3. Унив ер с а льна ят р игономет р ичес ка яподс т а нов ка . И нтегр алы вида ∫ R(sin x, cos x )dx , где R (sin x, cos x ) − р ациональная

ф ункция от sinx и cosx, м ож но свести к интегр алам от частного двух м ногочленов. Э то м ож но сделатьп р ип ом ощ итак назы ваем ой универ сальx ной тр игоном етр ической п одстановки: tg = t . П р иэтом 2 x x 2tg 1 − tg 2 1− t2 2 t 2 2 = , = , cos x = sin x = 2 2 2 x 2 x + 1 + 1 t t 1 + tg 1 + tg 2 2 2dt . x = 2arctgt ⇒ dx = 1+ t2 x 1− t2 tg = t cos x = dx 2 1+ t2 = П р им ер 7.14. ∫ = 3 − 5 cos x 2dt dx = 1+ t2 2dt 2 dt dt 1 dt = ∫ 1 + t 2 = 2∫ = 2 = − = ∫ ∫ 4 1 2 1− t 3 + 3t 2 − 5 + 5t 2 8t 2 − 2 −t 3−5⋅ 4 1+ t2 x 1 +t 1 + 2tg 1 1 1 1 + 2t 1 2 + C. =− ⋅ ln 2 + C = − ln + C = − ln 1 1 4 2⋅ 4 1 − 2t 4 1 − 2tg x −t 2 2 2 М ы восп ользовалисьтабличной ф ор м улой 11.

26

Глава8. О п р еделенны й интегр ал. Н есобственны еинтегр алы § 8.1. Зада ча о площ а ди кр ив олин е йн ой тр а пе ции. О пр е де ле н ие опр е де ле н н ого ин те гр а ла П р едп олож им , нам тр ебуется найтип лощ адь кр иволинейной тр ап еции, огр аниченной линиям и y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некотор ая неп р ер ы вная неотр ицательная наотр езке [a; b] ф ункция (р ис. 8.1). Разобьем отр езок [a; b] точy кам и x0 = a, x1, x2 ,..., xn = b на n частей. В ы бер ем накаж дом из п олуB ченны х отр езков п р оизвольную точy=f(xi) f(αi ) ку α i ∈ [ xi −1 ; xi ] . П р иэтом кр иволиA нейная тр ап еция вер тикальны м и п р ям ы м и x = a, x = x1 ,..., x = b р азx бивается на n п олос, каж дую из коxi-1 αi xi xn-b 0 x0=a x1 x2 тор ы х условно м ож но считать п р яРис. 8.1 м оугольником . Д лина основания i-го п р ям оугольника р авна ∆xi = xi – – xi –1, азавы соту п р иближ енно м ож но п р инятьзначениеф ункции y = f(x) в точке αi ( hi = f (α i ) ) . Т аким обр азом , п лощ адь i-й п олосы п р иближ ен-

но р авна Si ≈ f (α i ) ⋅ ∆xi . П лощ адьвсей кр иволинейной тр ап ециисклады вается из п лощ адей составляю щ их ееп олос: n

n

i =1

i =1

S = ∑ Si ≈ ∑ f (α i ) ⋅ ∆xi .

(8.1)

Равенство (8.1) тем точнее вы р аж ает п лощ адь кр иволинейной тр ап еции, чем каж дая из составляю щ их ее п олос больш е нап ом инает п р ям оугольник, тоесть, чем м еньш екаж дое ∆xi. Д адим теп ер ь оп р еделение опр еделенного инт егр а ла . П усть f(x) – п р оизвольная ф ункция, оп р еделенная на п р ом еж утке [a; b] (см . р ис. 8.1). Разобьем отр езок [a; b] точкам и x0 = a, x1, x2 ,..., xn = b на n частей и вы бер ем на каж дом из п олученны х отр езков п р оизвольную точку α i ∈ [ xi −1 ; xi ] . В п олученны х точках вы числим значения ф ункции f (α i ) и n

вы числим сум м у

∑ f (α ) ⋅ ∆x i =1

i

i

(данная сум м аназы вается интегр альной).

2 П р едел интегр альной сум м ы п р и max ∆xi → 0 , еслион сущ естi

вует, конечен инезависитотсп особар азбиения отр езка [a; b] начасти, и от вы бор а точек α i ∈ [ xi −1 ; xi ] , назы вается оп р еделенны м интегр алом от

27 b

ф ункции f(x) нап р ом еж утке [a; b] иобозначается

∫ f ( x ) dx .

Т аким об-

a

р азом , b

∫ f ( x ) dx = a

n

lim

∑ f (α ) ⋅ ∆x . i

max ∆xi →0 i =1 i

(8.2)

i

Зам ечание. У словие max ∆xi → 0 означает, что длина каж дого из i

отр езков [ xi −1 ; xi ] стр ем ится к нулю , а это возм ож но лиш ь тогда, когда число р азбиений стр ем ится к бесконечности (n→ ∞). О бр атноеутвер ж дение не вер но. П р и n→ ∞ м огут остаться отр езки [ xi −1 ; xi ] , длины котор ы х не стр ем ятся к нулю . Т аким обр азом , в оп р еделении оп р еделенного интегр алаусловие max ∆xi → 0 нельзя зам енитьусловием n→ ∞. i

1 Д ля лю бой неп р ер ы вной нап р ом еж утке [a; b] ф ункции f(x) суb

щ ествуетоп р еделенны й интегр ал

∫

f ( x ) dx = lim

n

∑ f (α ) ⋅ ∆x .

max ∆xi i =1 i

a

i

i

И з ф ор м ул (8.1) и (8.2) следует, что п лощ адь кр иволинейной тр ап еции, огр аниченной линиям и y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некотор ая неп р ер ы вная неотр ицательная ф ункция р авна: b

S = ∫ f ( x ) dx .

(8.3)

a

§ 8.2. Св ойств а опр е де ле н н ого ин те гр а ла . Ф ор м у ла Н ьютон а -Ле йбн ица П ер ечислим без доказательства основны е свойства оп р еделенного интегр алаотнеп р ер ы вной наотр езке [a; b] ф ункции f(x). 1. П остоянны й м нож итель м ож но вы носить за знак оп р еделенного интегр ала: b

b

∫ α ⋅ f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx (α ≠ 0 ) . a

(8.4)

a

2. О п р еделенны й интегр ал от сум м ы двух (или нескольких ) ф ункций р авен сум м еинтегр алов отэтих ф ункций: b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

(8.5)

3. П усть с – п р оизвольная точкаиз п р ом еж утка [a; b], тогда: b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

(8.6)

4. П р иизм енениип ор ядка интегр ир ования, оп р еделенны й интегр ал м еняетзнак нап р отивоп олож ны й:

28 b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

(8.7)

5. Т еор ем а о с р еднем зна чении. Н а п р ом еж утке [a; b] сущ ествует такая точка с , что b

∫ f ( x ) dx = f ( c )( b − a ) .

(8.8)

a

6. О ценкаоп р еделенногоинтегр ала b

∫ a

b

f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ max f ( x ) ⋅ ( b − a ) .

(8.9)

a ≤ x ≤b

a

П р идоказательствеэтих идр угих свойств исп ользуется оп р еделение оп р еделенного интегр ала(ф ор м ула (8.2)), однако, п р ир еш ениип р актических задач п ользоваться оп р еделением оп р еделенного интегр ала кр айне затр уднительно. О бы чно в таких случаях п р им еняется ф ор м ула Н ью тонаЛ ейбница в сочетании со свойствам иоп р еделенного интегр ала, илип р иближ енны ем етоды . 1 Ф ор мула Ньют она -Лейбница : b

∫

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) . b

(8.10)

a

Здесь чер ез F(x) обозначена п ер вообр азная ф ункции f(x) на п р ом еж утке [a; b]. Е слиф ункция f(x) неп р ер ы вна на п р ом еж утке [a; b], то онаинтегр ир уем ана [a; b] и, следовательно им еетп ер вообр азную . π 4

П р им ер 8.1. В ы числитьоп р еделенны й интегр ал: π 4

Реш ение.

∫x

0

x

2

2

+1

π 4

dx = ∫ 0

π 4

x 2 dx ∫0 x 2 + 1 .

π 4

π π x +1−1 dx 4 − arctgx 4 = dx = dx − = x ∫ 0∫ x 2 + 1 0 0 x2 + 1 0 2

π π π − 0 − arctg + arctg 0 = − 1 . 4 4 4 П р ивы численииданного интегр ала, м ы восп ользовались 1-м и 2-м свойствам иоп р еделенного интегр алаиф ор м улой Н ью тона-Л ейбница. 100 dx П р им ер 8.2. В ы числитьоп р еделенны й интегр ал: ∫ . x lg x 10 Реш ение. У м нож им ир азделим п оды нтегр альную ф ункцию на ln10 1 ивнесем м нож итель п од знак диф ф ер енциала: x ln10 100 100 100 d ( lg x ) dx dx 100 = ln10 = ∫10 x lg x ∫10 x ln10 ⋅ lg x 10∫ lg x = ln lg x 10 = ln lg100 − ln lg10 = =

= ln 2 − ln1 = ln 2 − 0 = ln 2 .

29

§ 8.3. Зам е н а пе р е м е н н ой и ин те гр ир ов а н ие по ча стям под зн а ком опр е де ле н н ого ин те гр а ла 1 За мена пер еменной п од знаком оп р еделенного интегр ала отличается от изученной р анее зам ены п ер ем енной п од знаком неоп р еделенного интегр аладвум я обстоятельствам и: 1. В х одезам ены п ер ем енной необх одим о изм енить п р еделы интегр ир ования. Т ак, еслистар ы м ип р еделам иинтегр ир ования являлись числа x1 и x2, и м ы осущ ествилип одстановку x = ϕ ( t ) , ( t = ϕ −1 ( x ) ) , то новы м и п р еделам иинтегр ир ования будутчисла t1 = ϕ −1 ( x1 ) и t2 = ϕ −1 ( x2 ) .

2. П осле нах ож дения п ер вообр азной F (ϕ ( t ) ) нет необх одим ости возвр ащ аться к стар ой п ер ем енной x, нуж но лиш ь в соответствие с ф ор м улой Н ью тона-Л ейбница п одставить в нее новы е п р еделы интегр ир оваb

∫ f ( x )dx = F (ϕ ( t ) ) − F (ϕ ( t ) ) .

ния t1 и t2:

2

1

a

0

П р им ер 8.3. В ы числитьоп р еделенны й интегр ал:

∫

−4

x ⋅ dx 1 − 2x

.

1 − 2x = t 0

∫

Реш ение.

−4

1− t2 1 x= , dx = −tdt x ⋅ dx 1− t2 13 = = − ⋅ tdt = 1 − t 2 ) ⋅ dt = 2 ( ∫ ∫ 21 1 − 2x 3 2t x = −4 ⇒ t = 9 = 3 x = 0 ⇒ t = 1 =1

 1  3 t3 ∫1 dt − ∫1 t dt  = 2 ⋅  t 1 − 3 

1  = ⋅ 2 

3

3

3

2

1

 1  1 20 1  = ⋅ 3 −1− 9 +  = − = −3 .  2  3 6 3 

1 Ф ор мула инт егр ир ова ния по ча с т ям в случае оп р еделенного интегр алаим еетвид: b

∫ udv = ( u ⋅ v ) a

b a

b

− ∫ vdu .

(8.11)

a

П р им ер 8.4. В ы числитьинтегр ал:

π 4

∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx .

0 π 4

u = x dv = sin 3 xdx π 1 Реш ение. ∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx = = − (x ⋅ cos 3x ) 04 + 1 3 du = dx v = − cos 3 x 0 3

30 π 4

π

1 3π 1 2π 1 3π 2π 2 π . + ∫ cos 3xdx = − cos + 0 + sin 3 x 04 = + sin −0= + 30 12 4 9 24 9 4 24 18

§ 8.4. Пр иложе н ияопр е де ле н н ых ин те гр а лов 1. Вычис лениеплощ а дей плос ких фигур g П лощ адь ф игур ы , огр аниченной линиям и x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), где f1(x) и f2(x) – некотор ы е неп р ер ы вны е на отр езке [a; b] f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ф ункции, п р ичем (р ис. 8.2), м ож но найтип о ф ор м уле b

S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x ) )dx .

(8.12)

a

Рис. 8.2. 4 Без огр аничения общ ности м ож но считать, что 0 ≤ f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) . В п р отивном случае обеф ункциим ож но увеличитьнаодну иту ж еконстанту (п р иэтом гр аф икиобеих ф ункций см естятся ввер х ) такую , что новы еф ункцииокаж утся неотр ицательны м и. И з р исунка 8.2 видно, что иском ая п лощ адь р авнар азностип лощ адей двух кр иволинейны х тр ап еций S = S2 − S1 . К аж дую из п лощ адей S1 и S2 м ож нонайтип оф ор м уле (8.3). Следовательно b

b

b

a

a

a

S = ∫ f 2 ( x )dx − ∫ f1 ( x )dx = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x ) )dx . 3

П р им ер 8.5. В ы числитьп лощ адьзем ельного участка, огр аниченного линиям и y = −3 x 2 − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2 . Реш ение. П остр оим данны е линии в декар товой систем е коор динат (р ис. 8.3). Зем ельны й участок изобр аж ен заш тр их ованны м . Н айдем точку А п ер есечения п ар аболы с п р ям ой y = x – 1. Д ля этогор еш им систем у:  y = −3 x 2 − 5 x + 8 .  y = x −1  x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8 ⇒ 3x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ x1 = −3, x2 = 1. Т аким обр азом , x B = −3, x A = 1. Рис. 8.3. И ском ую п лощ адьнайдем п оф ор м уле (8.12):

31 S=

∫ (− 3x

1

2

)

− 5 x + 8 − (x − 1) ⋅ dx =

−2

 3 x3 6 x 2  = − − + 9x  2  3 

1

−2

∫ (− 3x

1

2

)

− 6 x + 9 ⋅ dx =

−2

= ( − x3 − 3x 2 + 9 x )

= −1 − 3 + 9 − ( 8 − 12 − 18 ) = 27 ( ед. ) .

1

= −2

2

g П устькр иволинейная тр ап еция (р ис. 8.1) свер х у огр аниченагр а y = y ( t ) ф иком ф ункции, заданной п ар ам етр ически  нанекотор ом отр ез x = x ( t ) ке [t1; t2], п р ичем ф ункция y(t) является неп р ер ы вной, а ф ункция x(t) – диф ф ер енцир уем ой на данном отр езке. Т огда п лощ адь S кр иволинейной тр ап ециинах одится п о ф ор м уле: t2

S = ∫ y ( t ) ⋅ x′ ( t ) dt .

(8.13)

t1

4Ф ор м ула (8.13) п олучена из ф ор м улы п р оизвестизам ену п ер ем енной: b

y = y (t )

S = ∫ f ( x ) dx = x = x ( t ) a

dx = x′ ( t ) dt

(8.3), если в п оследней

t2

= ∫ y ( t ) ⋅ x′ ( t ) dt . t1

Н овы е п р еделы интегр ир ования t1; и t2 нах одятся из систем  a = x ( t1 )  b = x ( t2 ) ,  . О нисоответствую тначалу иконцу дуги, со  y ( a ) = y ( t1 )  y ( b ) = y ( t2 ) ответственно.3 П р им ер 8.6. В ы числить п лощ адь, огр аниченную п ер вой ар кой  y = a (1 − cos t ) циклоиды  .  x = a ( t − sin t ) Реш ение. П остр оим п ер вую ар ку циклоиду п о точкам : t

0

x y

0 0

π 3π 2π π 2 2 0.57a 3.14a 5.71a 6.28a a 2a a 0

Т аким обр азом , началу ар ки(точРис8.4. кеА) соответствуетзначениеп ар ам етр а t1 = 0, вер ш ине(точке В) – значение t2 = π, иконцу (точке С) – зна-

32 чение t3 = 2π . П лощ адьвсей ар кициклоиды м ож но найти, вы числив п лощ адьп оловины ар ки S1 (р ис. 8.4). П оф ор м уле 8.13 п олучим π

π

2 S = 2S1 = 2 ∫ a (1 − cos t ) ⋅ ( a ( t − sin t ) )′ dt = 2a 2 ∫ (1 − cos t ) dt = 0

0

π    π 1 + cos 2t  π 2 2 = 2a  ∫ dt − 2 ∫ cos tdt + ∫ cos tdt  = 2a  t 0 − 2sin t 0 + ∫ dt  = 2 0 0 0 0    π π   1 1 π 1 π   = 2a 2  π − 0 − 0 + 0 + ∫ dt + ∫ cos 2td 2t  = 2a 2  π + + sin 2t 0  = 20 40 2 4      3π  = 2a 2  + 0 − 0  = 3π a 2 ( ед.2 ) .  2  π

π

π

2

2. Вычис лениедлины дуги плос кой кр ив ой 1 П р едп олож им , что на п лоскости некотор ая дуга (кр ивая линия) ! AB является гр аф иком неп р ер ы вно-диф ф ер енцир уем ой ф ункции y = f(x) наотр езке [a; b] (р ис. 8.1). В этом случаедлину l дуги ! AB м ож но вы числитьп оф ор м уле: b

l = ∫ 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . 2

(8.14)

a

1 П р едп олож им , что дуга ! AB (р ис. 8.1) является гр аф иком ф унк y = y ( t ) на некотор ом отр езке [t1; t2], ции, заданной п ар ам етр ически   x = x ( t ) п р ичем ф ункции y(t) и x(t) неп р ер ы вно-диф ф ер енцир уем ы наданном отAB м ож но вы числитьп о ф ор м уле: р езке. Т огдадлину l дуги ! t2

l=∫

( x′ ( t ) ) + ( y ′ ( t ) ) 2

2

dt .

(8.15)

t1

П р им ер 8.7. В ы числить длину дуги п олукубической п ар аболы y = x3 нап р ом еж утке [0; 1] (р ис. 8.5): Реш ение. П олукубическая п ар абола состоит из двух сим м етр ичны х относительно оси 2

OX ветвей y = x

3 2

3 2

и y = − x . И ском ая длина l AB (l1) и ! AС (l2). Т ак р авна сум м е длин дуг ! AB и ! AС совп адаю т, то l = 2l1. как длины дуг ! Т аким обр азом , п о ф ор м уле (8.14) м ы п олучим Рис8.5.

33 2

1 1  3 12  4 + 9x 1 1 +  x  dx = 2 ∫ dx = ∫ 4 + 9 x ⋅ d ( 4 + 9 x ) = 2 4 90   0

1

l = 2∫ 0

1

3 1 2 2 = ⋅ (4 + 9x)2 = 9 3 27 0

(

)

133 − 43 ≈ 2.88 ( ед.)

 y = a cos3 t П р им ер 8.8. В ы числитьдлину астр оиды  (р ис. 8.6): 3  x = b sin t Реш ение. А стр оиду, так ж е как ициклоиду (п р им ер 8.6) м ож но п остр оить п о точкам (в качестве уп р аж нения сделайте это сам остоятельно). А стр оидасостоитиз четы р ех р авны х п о длинечастей. Н айдем длину дугиастр оиды , р асп олож енной в п ер вой четвер ти, иум нож им еена четы р е. Н ачалу дуги (точке M) соответствует значениеп ар ам етр а t1 = 0 , концу дуги(точкеN) π Рис8.6. соответствуетзначениеп ар ам етр а t2 = . 2 Т аким обр азом , п о ф ор м уле (8.15) нах одим длину астр оиды : π 2

l = 4⋅ ∫

( 3a sin

2

t ⋅ cos t ) + ( 3a cos2 t ⋅ ( − sin t ) ) ⋅ dt = 2

2

0

π 2

π 2

= 12a ∫ sin 4 t ⋅ cos 2 t + sin 2 t ⋅ cos 4 t ⋅ dt = = 12a ∫ sin t ⋅ cos t sin 2 t + cos 2 t ⋅ dt = 0 π 2

= 12a ∫ sin t ⋅ d ( sin t ) =12a ⋅ 0

0

sin 2 t 2

π 2

= 6a ( ед.) .

0

3. Вычис лениеобъема т ела с изв ес т ным попер ечным с ечением. П р едп олож им , что некотор ое тело сп р оектир овано на отр езок [a; b] числовой оси OX (р ис. 8.7). П р едп олож им , что в каж дой точке x отр езка [a; b] нам известна п лощ адь S(x) п оп ер ечного сечения данного тела. Разобьем отр езок [a; b] точкам и x0 = a, x1, x2 ,..., xn = b на n частей и п р оведем в каж дой из п олученны х точек п лоскость, п ер п ендикуляр ную оси OX. П р идостаточно больш ом числе р азбиений отр езка [a; b], тело р азр езается на больш ое Рис. 8.7. количество частей (слоев), каж дую

34 из котор ы х п р иближ енно м ож но считать цилиндр ом . В ы сота i-го слоя (цилиндр а) р авна ∆xi = xi – xi –1. За п лощ адь основания i-го цилиндр а п р им ем S (α i ) , где α i ∈ [ xi −1 ; xi ] – п р оизвольная точка i-го отр езка. Т огда объем i-го слоя п р иближ еннор авен Vi ≈ S (α i ) ⋅ ∆xi , следовательно, объем телар авен n

n

i =1

i =1

V = ∑Vi ≈ ∑ S (α i ) ⋅ ∆xi .

(8.16)

Н о сум м а в ф ор м уле (8.16) является интегр альной сум м ой для оп b

р еделенного интегр ала

∫ S ( x ) dx .

Т аким обр азом , еслиф ункция S(x) яв-

a

ляется неп р ер ы вной на отр езке [a; b], то объем тела с известны м п оп ер ечны м сечением S(x) р авен b

V = ∫ S ( x ) dx .

(8.17)

a

4. Вычис лениеобъема т ела вр а щ ения П р едп олож им , что на п р ом еж утке [a; b] оп р еделена неп р ер ы вная ф ункция y = f(x). Н айдем объем тела, котор ое п олучается п р ивр ащ ении гр аф ика данной ф ункции вокр уг оси OX на данном п р ом еж утке. Л ю бое сечение данного тела п лоскостью , п ер п ендикуляр ной оси OX, является кр угом (р ис. 8.8). Радиус кр уга в п р оизвольной точке x∈[a; b] р авен значению ф ункцииf(x) в этой точке. Следовательно, п лощ адь кр уга р авна S ( x ) = π f 2 ( x ) . П одставляя S(x) в Рис. 8.8. ф ор м улу (8.17), м ы п олучим ф ор м улу объем ателавр ащ ения: b

VOX = π ∫ f 2 ( x ) dx .

(8.18)

a

П р им ер 8.9. В ы числитьобъем вер етена (р ис. 8.9), п олученного п р и вр ащ ениивокр уг оси OX участка синусоиды , р асп олож енного на п р ом еж утке [0; π ]. И ском ы й объем тела Реш ение. вр ащ ения найдем п о ф ор м уле (8.18): π π 1 − cos 2 x 2 VOX = π ∫ sin ( x ) dx = π ∫ dx = 2 0 0 Рис. 8.9.

35 π

π

π π π π π π2 π = ∫ dx − ∫ cos 2 x ⋅ d 2 x = x 0 − sin 2 x 0 = ед.3 ) ( 20 40 2 2 2

§ 8.5. Н е собств е н н ые ин те гр а лы 2 Нес обс т венными инт егр а ла ми пер в ого р ода назы ваю тся интегр а+∞

а

лы вида

∫

f ( x)dx,

−∞

+∞

∫

f ( x) dx,

∫

f ( x) dx. П оды нтегр альная ф ункция п р ед-

−∞

а

п олагается неп р ер ы вной навсем участкеинтегр ир ования. а

2 Е слисущ ествуетиконечен п р едел lim

A→− ∞

∫ f ( x)dx ,

то говор ят, что

A

а

несобственны й интегр ал

∫

f ( x) dx сх одится ир авен

−∞ а

∫

а

f ( x) dx = lim

A→− ∞

−∞

∫ f ( x)dx .

(8.19)

A

+∞

А налогичнооп р еделяю тся интегр алы

∫

+∞

f ( x) dx и

а

+∞

∫ ∫

f ( x) dx :

B

f ( x)dx = lim

B →+∞

а

+∞

∫

−∞

∫ f ( x)dx ,

а

f ( x )dx =

−∞

∫

f ( x )dx +

−∞

(8.20)

a

+∞

∫

(8.21)

f ( x )dx,

а

где а – лю бое действительное число. П р ичем п р о п оследний интегр ал говор ят, что он сх одится тогда и только тогда, когда сх одятся оба составляю щ их егоинтегр ала. +∞ dx П р им ер 8.10. В ы числитьнесобственны й интегр ал ∫ . x ⋅ ln x e +∞

B B dx dx d (ln x ) B Реш ение. ∫ = lim ∫ = lim ∫ = lim ln(ln x) e = B →+∞ x ⋅ ln x B →+∞ e x ⋅ ln x B →+∞ e ln x e = lim (ln(ln B) − ln(ln e)) = ( +∞), следовательно, интегр ал– р асх одится.

B → +∞

+∞

П р им ер 8.11. В ы числитьнесобственны й интегр ал

dx

∫ 1+ x

2

.

−∞ +∞

0 B dx dx dx 0 Реш ение. ∫ = lim ∫ + lim ∫ = lim arctgx A + 2 2 2 A→−∞ 1 + x B →+∞ 1 + x A→−∞ −∞ 1 + x A 0

+ lim arctgx 0 = lim (arctg 0 − arctgA) + lim (arctgB − arctg 0) = B

B →+∞

A →−∞

B →+∞

36  π π = 0 −  −  + − 0 = π . Д анны й интегр ал– сх одится.  2 2 2 Нес обс т венными инт егр а ла ми в т ор ого р ода назы ваю тся интеb

гр алы вида:

∫ f ( x)dx ,

где п оды нтегр альная ф ункция f(x) им еетр азр ы вы

a

втор ого р ода на п р ом еж утке [a; b]. О п р еделяю тся несобственны е интегр алы втор ого р одап о-р азном у, в зависим остиотр асп олож ения точек р азр ы ванап р ом еж утке [a; b]. 1) П р едп олож им , что ф ункция f(x) им еет единственную точку р азр ы ва втор ого р ода, леж ащ ую внутр иобластиинтегр ир ования (c∈(a; b)). c −ε

Е сли сущ ествую т и конечны

lim

∫

lim

ε →0

∫

и

f ( x)dx

a

b

b δ →0

п р еделы

f ( x) dx , тоговор ят, что интегр ал

c +δ

a

c −ε

b

∫ f ( x)dx сх одится ир авен

b

∫ f ( x)dx = εlim ∫ f ( x)dx + δlim ∫ f ( x)dx . →0 →0

a

(8.22)

c +δ

a

2) П устьединственная точкар азр ы ваф ункции f(x) совп адаетсточкой а . b

Т огда, еслисущ ествует иконечен п р едел lim

ε →0

∫ f ( x)dx ,

то говор ят,

a +ε

b

что интегр ал

∫ f ( x)dx – сх одится, ир авен

a b

b

∫ f ( x)dx = εlim ∫ →0

f ( x) dx .

(8.23)

a +ε

a

3) П устьединственная точкар азр ы ваф ункции f(x) совп адаетсточкой b. b −δ

Т огда, еслисущ ествует иконечен п р едел lim

δ →0

∫ f ( x)dx ,

то говор ят,

a

b

что интегр ал ∫ f ( x) dx сх одится, ир авен a

b

b −δ

∫ f ( x)dx = δlim ∫ f ( x)dx . →0

a

a

В сю ду п р едп олагается, что ε > 0 и δ > 0.

(8.24)

37 2

П р им ер 8.12. В ы числитьнесобственны й интегр ал

x ⋅ dx

∫

.

4−x Реш ение. П оды нтегр альная ф ункция им еет р азр ы в втор ого р ода в точке x = 2. Следовательно, 2

0

2

x ⋅ dx

0

4− x

∫

2

= lim

2−δ

δ →0

= − lim (4 − x 2 )

∫

0 2 −δ

δ →0

2−δ

x ⋅ dx

0

1 d (4 − x 2 ) = − lim ∫ = 2 2 2 0 δ → 4− x 4− x 0 = lim  2 − 4δ − δ 2  = 2.  δ →0  1 ex

1

П р им ер 8.13. В ы числитьнесобственны й интегр ал

∫

−1

x

2

⋅ dx .

Реш ение. П оды нтегр альная ф ункция им еет р азр ы в втор ого р ода в точке x = 0 (внутр иобластиинтегр ир ования). Следовательно, 1

1 ex

−ε

1 ex

1

1 ex

−ε

∫ x 2 ⋅ dx = εlim ∫ x 2 ⋅ dx + δlim ∫ x 2 ⋅ dx = − εlim ∫ →0 →0 →0 −1 −1 δ −1 1

− lim

δ →0

∫

δ

1 ex

1 −ε

1 ⋅ d   = − lim e x ε →0 x

− lim −1

δ →0

1  = lim  e −1 − e −ε ε →0   δ

1 1 ex

1 ex

1 ⋅d −  x

1    − lim  e1 − e δ  δ →0   

 .  

П ер вы й п р едел сущ ествует иконечен, но втор ой п р едел р авен бесконечности ( e р асх одится.

1 δ

→ +∞ п р и δ → +0 ). Следовательно, данны й интегр ал –

38

Глава9. Ф ункциинескольких п ер ем енны х § 9.1. О бла сть опр е де ле н ияф у н кции н е скольких пе р е м е н н ых. Н е пр е р ыв н ость 2 Ф ункцией n п ер ем енны х назы вается такое п р авило (закон) п о котор ом у каж дом у набор у, состоящ ем у из n п ер ем енны х ( x1 ; x2 ;...; xn ) , взятом у из некотор ой области D n-м ер ного п р остр анства R n , ставится в соответствиеединственноечисло z. В частном случае 2 Ф ункцией 2-х п ер ем енны х z = f ( x; y ) назы вается такое п р авило (закон) п о котор ом у каж дой точке M(x; y), п р инадлеж ащ ей некотор ой области D, п лоскости xOy ставится в соответствиеединственноечисло z. М нож ество точек в п р остр анстве с коор динатам и ( x; y; f ( x; y ) ) обр азую т некотор ую п овер х ность (р ис. 9.1), возвы ш аю щ ую ся над областью D (геом етр ический см ы сл ф ункциидвух п ер ем енны х ). 2 О бласть D, для котор ой п остр оено указанное вы ш е соответствие, назы вается областью оп р едеРис. 9.1 ления ф ункции z = f ( x; y ) . П р им ер 9.1. z = y − x + ln ( xy ) .

Н айти

область

оп р еделения

ф ункции

Реш ение. И ском ая область оп р еделения является м нож еством точек на п лоскости xOy, удовлетвор яю щ их систем е неy=x y − x ≥ 0 1 р авенств  . Н е2 x ⋅ y > 0 6 р авенства y − x ≥ 0 и x⋅ y >0 м еняю т свой 0 x 3 знак на п р отивоп олож 5 ны й (соответственно) п р и 4 п ер есечении следую щ их линий: x = y и x = 0, y = 0. Э ти линии р азбиваю т п лоскость xOy на Рис. 9.2 6 областей. П оследовательно, п одставляя п р оизвольны е точки, из каж дой области в систем у y

39 y − x ≥ 0 , убеж даем ся в том , что объединениеобластей (1) и (3) явля x ⋅ y > 0 ется областью оп р еделения исх одной ф ункции. П р ичем п р ям ая x = y, за исклю чением точки (0; 0), вх одитв областьоп р еделения, ап р ям ы е x = 0, и y = 0 – невх одят (р ис. 9.2). 2 Зам ы канием D области D ⊂ R n назы вается м нож ество точек п р остр анства R n , в лю бой окр естности каж дой из котор ы х содер ж атся точкиобласти D. П усть, нап р им ер , D – некотор ая откр ы тая (гр аница не вклю чается) областьнап лоскости xOy. Т огдазам ы каниеобласти D п олучится, если к области D п р исоединитьеегр аницу Г ( D = D ∪ Г ). 2 П усть в некотор ой области D п лоскости xOy задана ф ункция z = f ( x; y ) , ип усть M 0 ( x0 ; y0 ) – некотор ая точка зам ы кания области D

( M 0 ∈ D ). Число А назы вается п р еделом ф ункции z = f ( x; y ) в точке М 0, еслидля лю бого числа ε > 0 найдется такоечисло δ > 0, что для всех точек M ( x; y ) ∈ D , удаленны х от точки М 0 м еньш е, чем на δ (

( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ ),

вы п олненонер авенство f ( x; y ) − A < ε .

П р едел ф ункциидвух п ер ем енны х обозначается lim f ( x; y ) = A . x→ x0 y→ y0

2 Ф ункция z = f ( x; y ) назы вается неп р ер ы вной в точке M 0 ( x0 ; y0 ) если она оп р еделена в этой точке ( M 0 ∈ D ) и им еет м есто р авенство lim f ( x; y ) = f ( x0 ; y0 ) . x→ x0 y→ y0

§ 9.2. Лин ии у р ов н яф у н кции дв у х пе р е м е н н ых 2 Л иниина п лоскости xOy, заданны е ур авнениям и f ( x; y ) = С , где С – п р оизвольная константа, назы ваю тся линиям и ур овня ф ункции z = f ( x; y ) . Л инии ур овня являю тся линиям и п ер есечения п овер х ности, заданной ф ункцией z = f ( x; y ) и п лоскости z = C, п ар аллельной п лоскости xOy. С п ом ощ ью линий ур овня м ож но изучатьф ор м у п овер х ности, заданной ф ункцией z = f ( x; y ) . П р им ер 9.2. Н айтилинииур овня иоп р еделить ф ор м у п овер х ности, заданной ур авнением z = 2 x 2 + 5 y 2 . Реш ение. У р авнения линий ур овня в данном случае им ею т вид 2 x 2 + 5 y 2 = C . П р и C < 0 ур авнение 4 x 2 + 9 y 2 = C даетп устое м нож ество р еш ений (следовательно, вся п овер х ностьр асп олож енавы ш еп лоскости xOy). П р и C = 0 ур авнению линииур овня удовлетвор яеттолько одна

40 точка x = 0, y = 0 (с п лоскостью xOy п овер х ность п ер есекается только вначале коор динат). П р и C > 0 линии ур овня являю тся эллип сам и x2 y 2 C C + = 1 , с п олуосям и a = и b= . Л инииур овня, соответстC C 2 3 2 5 вую щ ие р азличны м значениям С, изобр аж ены на р ис. 9.3. П овер х ность, заданная ур авнением z = 2 x 2 + 5 y 2 , назы вается эллип тическим п ар аболоидом (р ис. 9.4). z C=9 C=4 C=1

y

0

x

y

x Рис.9.3

Рис. 9.4

§ 9.3. Ч а стн ые пр оизв одн ые пе р в ого пор ядка П усть в некотор ой области D п лоскости xOy задана ф ункция z = f ( x; y ) , ип усть M 0 ( x0 ; y0 ) – некотор ая точкаобласти D. 2 Частной п р оизводной ф ункции f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) п о п е∂z р ем енной x (обозначается или z x′ ) назы вается ∂x f ( x0 + ∆x; y0 ) − f ( x0 ; y0 ) lim , (9.1) ∆x → 0 ∆x еслиданны й п р едел сущ ествуетиконечен. 2 Частной п р оизводной ф ункции f ( x; y ) в точке ∂z п ер ем енной y (обозначается или z ′y ) назы вается ∂y f ( x0 ; y0 + ∆y ) − f ( x0 ; y0 ) lim , ∆y →0 ∆y

( x0 ; y0 )

по

(9.2)

еслиданны й п р едел сущ ествуетиконечен. 2 Частной п р оизводной ф ункции n п ер ем енны х z = f ( x1 ;...; xi ;...xn ) в точке ( x1 ;...; xi ;...xn ) п оп ер ем енной xi назы вается

41 f ( x1 ;... xi + ∆xi ;...xn ) − f ( x1 ;... xi ;...xn )

lim

∆xi

∆xi →0

,

(9.3)

еслиданны й п р едел сущ ествуетиконечен. К ак видно из ф ор м ул (9.1) – (9.3), частны е п р оизводны е оп р еделяю тся аналогично том у, как оп р еделялась п р оизводная ф ункцииодной п ер ем енной. П р ивы числениип р едела п р ир ащ ение п олучает только одна из п ер ем енны х , остальны е п ер ем енны е п р ир ащ ения не п олучаю т иостаю тся п остоянны м и. Следовательно, частны е п р оизводны е м ож но вы числять п о тем ж е п р авилам , что и обы чны е п р оизводны е, обр ащ аясь со всем и свободны м ип ер ем енны м и(кр ом етой, п о котор ой п р оизводится диф ф ер енцир ование) как сконстантам и. П р им ер 9.3. Н айтичастны еп р оизводны еф ункции x z = 5 x 2 − 4 xy + 2 x − . y Реш ение. ' ' 1 2 1 ' ' z ′x = 5 x 2 − 4 y ( x ) x + 2 x − ( x ) x = 10 x − 4 y + − . x x y 2 x y

( )

( )

z ′y = 5 x

2

( )

' y

− 4x ( y ) + 2 ' y

( x)

' y

'

 1  x 1 − x   = 0 − 4x + 0 − x  − 2  = 2 − 4x .  y y  y  y

П р им ер 9.4. Н айтичастны еп р оизводны еф ункции z = ( ctgx ) . Реш ение. П р идиф ф ер енцир ованииданной ф ункциип о п ер ем енной x м ы п ользуем ся п р авилом диф ф ер енцир ования степ енной ф ункции, ап р и нах ож дениичастной п р оизводной п о п ер ем енной y – п р авилом диф ф ер енцир ования п оказательной ф ункции: tgy

1   ⋅− 2 ,  sin x  1 tgy . z′y = ( ctgx ) ⋅ ln ctgx ⋅ cos 2 y z′x = tgy ( ctgx )

tgy −1

П р им ер 9.5. В ы числитьчастны еп р оизводны е

(

ции u = ln x + z 2 − y 2

) в точке M ( 0; 1;

)

∂u , ∂x

∂u , ∂y

∂u ф унк∂z

2 .

Реш ение. П р им еняя п р авило диф ф ер енцир ования слож ной ф ункции, найдем частны еп р оизводны е ∂u 1 1 = ⋅ (1 + 0 ) = , ∂x x + z 2 − y 2 x + z2 − y2

42 ∂u 1 = ∂y x + z 2 − y 2

 −2 y ⋅0 +  2 z2 − y2 

 y =− , 2 2 2 2  x z − y + z − y 

∂u 1 = ∂z x + z 2 − y 2

 2z ⋅0 +  2 z2 − y2 

 z = .  x z 2 − y2 + z2 − y2 

П одставляя в частны еп р оизводны екоор динаты точки М , п олучим ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z

= M

1 x + z2 − y2

=− M

= M

= M

1 = 1, 0 + 2 −1

y

=−

x z2 − y2 + z 2 − y2

M

z x z2 − y2 + z2 − y2

= M

1 = −1, 0 + 2 −1

2 = 2. 0 + 2 −1

§ 9.4. Г р а дие н тф у н кции н е скольких пе р е м е н н ых. Пр оизв одн а япо н а пр а в ле н ию 2 Гр адиентом ф ункции z = f ( x; y ) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) назы вается вектор , составленны й из частны х п р оизводны х данной ф ункции, вы численны х в данной точке: grad z

M0

=  z x' 

M0

; z 'y

M0

.  

(9.4)

1 Е слив точке M 0 ( x0 ; y0 ) гр адиент ф ункции z = f ( x; y ) отличен отнулевого вектор а, то он нап р авлен в стор ону наибольш его возр астания данной ф ункциив точке М 0. Э то означает, что сущ ествуеттакоедостаточно м алоечисло ε > 0, что в точке M ( x; y ) , нах одящ ейся отточки M 0 ( x0 ; y0 ) нар асстоянии r < ε (

( x − x0 )

2

+ ( y − y0 ) = r ), п р ир ащ ение 2

ф ункции ∆z = f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) будетм аксим альны м , еслинап р авление uuuuur вектор а MM 0 = ( x − x0 ; y − y0 ) совп адает с нап р авлением вектор а grad z

M0

.

43 2 П р оизводной ф ункции z = f ( x; y ) в точке M 0 ( x0 ; y0 ) п о нап р авлению вектор а l назы вается п р оекция вектор а гр адиента данной ф ункции, вы численногов точке М 0, наданноенап р авление ∂z ∂l

= П р l grad z M0

M0

.

(9.5)

И з ф ор м улы (9.5) следует, что п о знаку п р оизводной п о нап р авлению в точке М 0 м ож но оп р еделить п оведение ф ункции(возр астание или убы вание) в данной точкеив данном нап р авлении. У гол м еж ду вектор ам и l и grad z остр ы й (ф ункция в данном нап р авлениивозр астает), тогда M0

итолько тогда, когдап р оизводная п о нап р авлению вектор а l в точке М больш е нуля. У гол м еж ду вектор ам и l

и grad z

M0

0

туп ой (ф ункция в

данном нап р авленииубы вает), тогдаитолько тогда, когдап р оизводная п о нап р авлению вектор а l в точке М 0 м еньш енуля. В ы числяя п р оекцию вектор а на вектор в соответствие с ф ор м улой (2.6) п ер вой частип особия, п олучим ∂z grad z ⋅ l = . ∂l l Зам ечая, что

(9.6)

l = ( cos α ; sin α ) , где α – угол, котор ы й вектор l l

обр азует с осью OX, п олучим ещ е одну ф ор м улу для вы числения п р оизводной п онап р авлению вектор а ∂z ∂z ∂z = cos α + sin α . ∂y ∂l ∂x

П р им ер 9.6. Н айтигр адиентф ункции z = 3 ln

(9.7) x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в 4 y

точке М 0(4; 2) ип р оизводную п онап р авлению вектор а l = ( 8; − 6 ) . Реш ение. Н айдем частны еп р оизводны е πx π 3 πy πx ′ 3y 1 1 zx = ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ +0= + ⋅ cos , 4 4 2x 4 4 x y 2 x

′

zy =

 1 ⋅ x ⋅− 2 x  y

3y

3  π x 3 1 − 32 3 πx 4 + 4 ⋅ ⋅ y = − + sin + .  + sin 4 3 y 4 3 ⋅ 3 y2 

В ы числим значения частны х п р оизводны х в точке М 0:

44 z x′ z y′

M0

3 π 3 π = + ⋅ cos π = − ≈ −1,2. 8 2 8 2

M0

3 3 4 3 1 7 = − + sin π + 3 = − + 0 + = − ≈ −1,17. 2 2 3 6 3⋅ 4

Гр адиентф ункциив точке М

найдем п о ф ор м уле (9.4):

0

  =  z x′ ; z x′  = ( −1,2; −1,17 ) . M0 M0   M0 П р оизводную ф ункции в точке М 0 п о нап р авлению вектор а l найдем п оф ор м уле (9.6): grad z

∂z −1, 2 ⋅ 8 + ( −1,17 ) ⋅ ( −6 = ∂l 64 + 36

)

−2,58 = −0, 258. 10

=

П р им ер 9.7. В точке М 0(0; 1) вы числить п р оизводную ф ункции yesin x z= п о нап р авлению биссектр исы втор ого коор динатного угла и 2 y +7 сделатьвы вод о п оведенииф ункциив данном нап р авлении. yesin x Реш ение. Н айдем частны еп р оизводны еф ункции z = : y2 + 7 ' y y ∂z = ⋅ esin x = esin x ⋅ cos x , 2 2 x ∂x y +7 y +7

(

∂z = esin x ⋅ ∂y

)

1⋅ y2 + 7 − y ⋅

2y 2 y2 + 7

y +7 2

=e

sin x

⋅

y2 + 7 − y2

(

y +7 2

)

3

= esin x ⋅

(

7 y +7 2

)

3

.

В ы числим значения частны х п р оизводны х и гр адиент ф ункции в точке М 0: ∂z = ∂x ( 0; 1) ∂z = ∂y ( 0;1)

grad z

y y2 + 7

(

7esin x y2 + 7

esin x ⋅ cos x

= ( 0; 1)

)(

=

3

0;1)

7

( 8)

 2 7 2 = ; . ( 0; 1) 32   4

3

=

1 1+ 7 7 2 , 32

⋅ e0 ⋅ 1 =

1 8

=

2 , 4

45 П р оизводную ф ункции в точке М 0 п о нап р авлению биссектр исы втор ого коор динатного угла (данное нап р авление составляет с осью OX угол α = 135°) найдем п оф ор м уле (9.7): ∂z 2  2 7 2 2 1 7 −8 + 7 1 = ⋅− ⋅ =− + = =− . + 4  2  32 2 4 32 32 32 ∂l Т ак как п р озиводная п о данном у нап р авлению отр ицательна, то, следовательно, в точке М 0 п о вы бр анном у нап р авлению ф ункция убы вает.

§ 9.5. Д иф ф е р е н циа л ф у н кции н е скольких пе р е м е н н ых и е го пр им е н е н ие к пр иближе н н ым в ычисле н иям 1 Е слив точке M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ D ф ункция z = f ( x; y ) им еетнеп р ер ы вны е частны е п р оизводны е п р ип ер ех одеотточки М в виде: ∆z = f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) =

где α → 0 п р и

0

∂z ∂z и ∂x M 0 ∂y

, то ее п олное п р ир ащ ение M0

к точке M ( x; y ) ∈ D м ож етбы тьп р едставлено

∂z ∂z ∆x + ∂x M 0 ∂y

( ∆x )2 + ( ∆y )2 → 0 ,

2 В ы р аж ение dz ( x0 ; y0 ) =

∆y + α ⋅

( ∆x )2 + ( ∆y )2 ,

(9.8)

M0

∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 .

∂z ∂z ∆x + ∂x M 0 ∂y

∆y назы вается п олны м M0

диф ф ер енциалом ф ункции z = f ( x; y ) . И з ф ор м улы (9.8) следует, что диф ф ер енциал ф ункции является главной линейной частью п олного п р ир ащ ения ф ункции z = f ( x; y ) . П р и достаточно м лы х ∆x и ∆y вы р аж ение α ⋅ ( ∆x ) + ( ∆y ) сущ ественно м еньш е диф ф ер енциала и им м ож но п р енебр ечь. Т акаим обр азом м ы п р их одим к следую щ ей п р иближ енной ф ор м уле: 2

f ( x; y ) ≈ f ( x0 ; y0 ) +

∂z ∂z ∆x + ∂x M 0 ∂y

2

∆y = f ( x0 ; y0 ) + dz ( x0 ; y0 )

(9.9)

M0

Зам ечание. Ф ор м улой (9.9) м ож но п ользоваться для п р иближ енного вы числения значений ф ункций только в точках ( x; y ) , достаточно близких к точке Чем м еньш е значение ( x0 ; y0 ) .

( ∆x )2 + ( ∆y )2 ,

тем точнеезначение f ( x; y ) , найденноеп оф ор м уле(9.9).

46 П р им ер 9.8. диф ф ер енциала.

В ы числить

3

e 0, 09 + 6,95 п р иближ енно, с п ом ощ ью

Реш ение. Рассм отр им ф ункцию z = 3 e x + y . Т р ебуется вы числить значение z1 этой ф ункциив точке (x1; y1) = (0,09; 6,95). В осп ользуем ся п р иближ енной ф ор м улой (9.9), вы бр ав в качестве точки ( x0 ; y0 ) точку (0; 7). Т огда ∆x = x1 – x0 = 0,09 – 0 = 0,09, ∆y = y1 – y0 = 6,95 – 7 = – 0,05. z0 = f ( x0 ; y0 ) = 3 e0 + 7 = 3 8 = 2 . ∂z = ∂x ( x0 ; y0 )

∂z ∂y ( x

0 ; y0 )

=

1

(

3 ⋅ 3 ex + y

)

2

(

И так, dz =

)

=

1 1 ⋅ e0 = . 3⋅ 4 12

( 0;7 )

1 3 ⋅ 3 ex + y

⋅ ex

2

⋅1

=

1 1 = . 3 ⋅ 4 12

( 0;7 )

1 1 1 ⋅ 0,09 + ⋅ (− 0,05) = ⋅ 0,04 ≈ 0,003. 12 12 12

Следовательно,

3

e 0, 09 + 6,95 ≈ 2 + 0,003 = 2,003.

§ 9.6. Ч а стн ые пр оизв одн ые в ысш их пор ядков П усть в области D задана ф ункция z = f ( x; y ) , им ею щ ая в этой областинеп р ер ы вны е частны е п р оизводны е z′x и z′y . Т аким обр азом , в области D м ы п олучилидве новы е неп р ер ы вны е ф ункциидвух п ер ем енны х z′x = ϕ ( x; y ) и z′y = ψ ( x; y ) . Е слив некотор ой точке ( x; y ) области

D ф ункции ϕ ( x; y ) и ψ ( x; y ) им ею тчастны еп р оизводны екак п о п ер ем енной x, так ип о п ер ем еной y, то этип р оизводны еназы ваю тся п р оизводны м ивтор ого п ор ядка ф ункции f ( x; y ) . О ниобозначаю тся следую щ им обр азом : z′′xx = f xx′′ ( x; y ) = ϕ ′x ( x; y ) , z′′xy = f xy′′ ( x; y ) = ϕ ′y ( x; y ) ,

′′ ( x; y ) = ψ ′x ( x; y ) , z′′yx = f yx

′′ ( x; y ) = ψ ′y ( x; y ) . z′′yy = f yy

47 1 Е сли в некотор ой точке ( x; y ) области D ф ункция f ( x; y ) ′′ ( x; y ) , то в им еетнеп р ер ы вны есм еш анны еп р оизводны е f xy′′ ( x; y ) и f yx

′′ ( x; y ) . точке ( x; y ) этип р оизводны ер авны : f xy′′ ( x; y ) = f yx И з данной теор ем ы следует, что у ф ункции двух п ер ем енны х , им ею щ ей неп р ер ы вны еп р оизводны евтор ого п ор ядкадостаточно найтине четы р е, авсего лиш ьтр ип р оизводны евтор ого п ор ядка.

П р им ер 9.10. Н айти все втор ы е частны е п р оизводны е ф ункции y z = arctg и убедится в том , что см еш анны е п р оизводны е р авны x (z "xy = z "yx ). Реш ение. 1) Н айдем частны еп р оизводны еп ер вого п ор ядка: '

1 y  y  1  ⋅  = ⋅ y ⋅− 2  = − 2 z = . 2  2 x + y2  x   y   x x  y 1+   1+   x x 1

' x

'

1 1 x  y z = ⋅  = ⋅ = 2 . 2  2 2  y   x y  y x x + y 1+   1+   x x 1

' y

2) Н айдем частны еп р оизводны евтор ого п ор ядка:

)

)

 y  x2 − y2 y2 − x2 1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 yy =  − 2  = − = − = . 2  (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2  x + y y

)

 x  1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y2 − x2 =  2  = = . 2  (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2  x + y x

z = (z z = (z

' ' x y

z = (z

' ' y x

" xy

" yx

'

 y  0 − 2 xy 2 xy =  − 2 =  = − . 2  2 2 2 2 2 2 + x y (x + y ) (x + y )  x

' ' x x

" xx

'

'

Т аким обр азом , z "xy = z "yx . z = (z " yy

)

' ' y y

'

 x  0 − 2 yx 2 xy  = =− . =  2 2  2 (x 2 + y 2 )2  x + y  y (x 2 + y 2 )

А налогично том у, как бы ли оп р еделены частны е п р оизводны е втор ого п ор ядка, м ож но оп р еделить частны е п р оизводны е более вы соких п ор ядков.

48 П р им ер 9.11. Н айти частную п р оизводную тр етьего п ор ядка z′′′x2 y ф ункции z = x3 ⋅ cos y . Реш ение. П оследовательно диф ф ер енцир уя исх одную дваж ды п оп ер ем енной x, азатем , п оп ер ем еной y, п олучим :

(

z′x = x 3 ⋅ cos y

)

' x

= 3 x 2 ⋅ cos y ,

( ) = 6 x ⋅ cos y , = ( z′′ ) = ( 6 x ⋅ cos y ) = −6 x ⋅ sin

z′′xx = z′′x2 = 3 x 2 ⋅ cos y

z′′x2 y

x

2

ф ункцию

'

x

'

'

y

y

y⋅

1 2 y

.

§ 9.7. Э кстр е м у м ф у н кции дв у х пе р е м е н н ых П р едп олож им , что в некотор ой области D задана некотор ая неп р ер ы вная ф ункция z = f ( x; y ) . 2 Т очка ( x0 ; y0 ) ∈ D назы вается точкой м аксим ум а (локального м аксим ум а) ф ункции f ( x; y ) , еслисущ ествуеттакая окр естность U точки ( x0 ; y0 ) , целиком леж ащ ая в области D, во всех точках котор ой вы п олнено нер авенство: f ( x; y ) ≤ f ( x0 ; y0 ) ∀ ( x; y ) ∈ U . 2 Т очка ( x0 ; y0 ) ∈ D назы вается точкой м иним ум а(локального м иним ум а) ф ункции f ( x; y ) , еслисущ ествует такая окр естность U точки ( x0 ; y0 ) , целиком леж ащ ая в области D, во всех точках котор ой вы п олненонер авенство: f ( x; y ) ≥ f ( x0 ; y0 ) ∀ ( x; y ) ∈U . 2 Т очким аксим ум аим иним ум аф ункции z = f ( x; y ) назы ваю тся точкам иэкстр ем ум а. 1 Необходимое ус ловие экс т р емума функции двух пер еменных. П усть в точке ( x0 ; y0 ) ∈ D ф ункция z = f ( x; y ) им еет неп р ер ы вны е частны е п р оизводны е. Т огда для того чтобы ф ункция f ( x; y ) им ела экстр ем ум в точке ( x0 ; y0 ) , необх одим о вы п олнениеусловий:  f x′ ( x0 ; y0 ) = 0 . (9.10)  ′ f x ; y = 0 ( )  y 0 0 2 Е слив некотор ой точке ( x0 ; y0 ) ∈ D вы п олнены условия (9.10), то точка ( x0 ; y0 ) назы вается стационар ной (п одозр ительной на экстр ем ум ) точкой ф ункции z = f ( x; y ) .

49 1 Д ос т а т очное ус ловие экс т р емума функции дв ух пер еменных. П усть в стационар ной точке ( x0 ; y0 ) ∈ D ф ункция z = f ( x; y ) им еет неf xx′′ ( x0 ; y0 ) = A , п р ер ы вны е частны е п р оизводны е втор ого п ор ядка f xy′′ ( x0 ; y0 ) = B , f yy′′ ( x0 ; y0 ) = C . О бозначим чер ез ∆ = AC − B 2 – дискр и-

м инантф ункции f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) . Т огда 1) если ∆ > 0 , то ф ункция f ( x; y ) им еет экстр ем ум в точке ( x0 ; y0 ) . А им енно м аксим ум , если A < 0 (или C < 0 ) им иним ум , если A > 0 (или C > 0 ). 2) если ∆ < 0 , то ф ункция f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) экстр ем ум а неим еет. 3) если ∆ = 0 , то воп р осо наличииэкстр ем ум аф ункции f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) р еш ается сп ом ощ ью п р оизводны х болеевы сокого п ор ядкаиф ор м улы Т ейлор а. В данном п особиисоответствую щ иеисследования неп р иводятся. П р им ер 9.12. Н айтиэкстр ем ум ы ф ункции z = 4 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + x + 9 y + 5 . Реш ение. Н айдем частны е п р оизводны е п ер вого п ор ядка: ' ' z x = 8 x + 3 y + 1 , z y = 3x + 4 y + 9 . П р ир авняем п олученны е частны е п р оизводны е к нулю . П олучим систем у ур авнений для оп р еделения точек, п одозр ительны х наэкстр ем ум : 8 x + 3 y = −1 . Реш им данную систем у, нап р им ер , м етодом К р ам ер а.  3x + 4 y = −9 83 −1 3 8 −1 ∆= = 32 − 9 = 23, ∆ x = = −4 + 27 = 23, ∆ y = = −72 + 3 = −69. 34 −9 4 3 −9 ∆y ∆ 23 69 Следовательно, x0 = x = = − = −3 . Т аким обр азом , = 1, y0 = ∆ ∆ 23 23 точка М (1; -3) – является единственной точкой, п одозр ительной на экстр ем ум . Н айдем частны еп р оизводны евтор огоп ор ядка: ' ' ' " z xx = (8 x + 3 y + 1)x = 8, z "xy = (8 x + 3 y + 1) y = 3, z "yy = (3x + 4 y + 9 )y = 4 . В точке М вы числим дискр им инант D п о ф ор м уле D = AC – B2, где A = z "xx M = 8, B = z "xy M = 3, C = z "yy M = 4. Т о есть D = 32 – 9 = 23. Т ак как дискр им инант больш е нуля, то в точке М ф ункция им еет экстр ем ум . А им енно, м иним ум , п оскольку А и С больш енуля. П р иэтом z min = z (M ) = 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (− 3) + 2 ⋅ 9 + 1 + 9 ⋅ (− 3) + 5 = 4 − 9 + 18 + 1 − 27 + 5 = −8.

50

Глава10. Д иф ф ер енциальны еур авнения 2 Д иф ф ер енциальны м ур авнением назы вается ур авнениевида

(

)

f x, y ( x ), y ' (x ),..., y (n ) ( x ) = 0 ,

(10.1)

где x – независим ая п ер ем енная, y(x) – неизвестная ф ункция y(i)(x) – п р оизводная ф ункции y(x) i-го п ор ядка. П ор ядок стар ш ей п р оизводной, вх одящ ей в ур авнение (10.1), назы вается п ор ядком диф ф ер енциального ур авнения. 2 Ф ункция y(x), обр ащ аю щ ая диф ф ер енциальноеур авнение (10.1) в тож дество, назы вается р еш ением диф ф ер енциального ур авнения. К ак п р авило, диф ф ер енциальное ур авнение им еет бесчисленное м нож ество р еш ений. М нож ество всех р еш ений ур авнения (10.1) назы ваю т общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения. К онкр етны й п р едставитель общ его р еш ения (обы чно удовлетвор яю щ ий каком у-нибудь доп олнительном у тр ебованию ) назы ваю тчастны м р еш ением диф ф ер енциального ур авнения. О бщ ееиличастноер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения, п олученное в виде неявной ф ункции, назы ваю т соответственно общ им или частны м интегр алом диф ф ер енциального ур авнения. С п р остейш им идиф ф ер енциальны м иур авнениям ивида y ' ( x ) = f ( x ) м ы сталкивались, р еш ая задачу интегр ир ования ф ункции. П р им ер 10.1. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения: ' y ( x ) = cos x .

Реш ение. О чевидно, что y ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C – общ еер еш ение

диф ф ер енциального ур авнения, частны ер еш ения.

y ( x ) = sin x,

y ( x ) = sin x + 5 − некотор ы е

§ 10.1. Д иф ф е р е н циа льн ые у р а в н е н ияпе р в ого пор ядка В общ ем случаедиф ф ер енциальное ур авнениеп ер вого п ор ядкаим еетвид: f x, y ( x ), y ' ( x ) = 0 (10.2)

(

)

2 Задача нах ож дения частного р еш ения диф ф ер енциального ур авнения (10.2), удовлетвор яю щ его некотор ом у начальном у условию , назы ваю тзадачей К ош и:

(

)

 f x, y ( x ), y ' ( x ) = 0   y ( x0 ) = y 0

(10.3)

Рассм отр им некотор ы е тип ы диф ф ер енциальны х ур авнений п ер вого п ор ядка.

51 1. Д иффер енциа льныеур а вненияс р а зделяющ имис япер еменными 2 Д иф ф ер енциальны м и ур авнениям и с р азделяю щ им ися п ер ем енны м иназы ваю тся ур авнения вида y ' (x ) = f (x ) ⋅ g ( y ) . (10.4) О бщ ее р еш ение диф ф ер енциальны х ур авнений с р азделяю щ им ися п ер ем енны м инах одят с п ом ощ ью м етода, котор ы й так иназы вается «м етод р азделения п ер ем енны х »: 1. В ур авнении(10.4) п р оизводную y ' ( x ) п р едставим , как частное dy диф ф ер енциалов = f (x ) ⋅ g ( y ) . dx 2. У м нож им обечастип олученного ур авнения на dx ир азделим на dy g(y) = f ( x ) ⋅ dx (п ер ем енны ер азделились). g(y) 3. И нтегр ир уя обе части п олученного ур авнения, нах одим общ ее dy = f (x ) ⋅ dx . р еш ениеисх одногодиф ф ер енциального ур авнения ∫ g(y) ∫ П р им ер 10.2. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения: xyy = 1 − x 2 . Реш ение. О чевидно, что данное ур авнение является ур авнением с р азделяю щ им ися п ер ем енны м и. Разделяя п ер ем енны е, п олучим : dy 1 − x2 1 − x2 2 xy = 1 − x , ydy = dx, ∫ ydy = ∫ dx . dx x x Т аким обр азом , м ы нах одим общ ий интегр ал диф ф ер енциального y2 x2 = ln x − + C , или y 2 = ln x 2 − x 2 + C . ур авнения: 2 2 '

2. О днор одныедиффер енциа льныеур а внения1-го пор ядка 2 Д иф ф ер енциальны е ур авнения п ер вого п ор ядка y ' = f ( x, y ) назы ваю тся однор одны м и, если f ( x, y ) является однор одной ф ункцией. Т .е. f (λx, λy ) = f ( x, y ) , для лю бого λ ≠ 0 . Е сли y ' = f ( x, y ) – однор одноедиф ф ер енциальноеур авнениеп ер вого п ор ядка, то оно с п ом ощ ью зам ены y ( x ) = u ( x ) ⋅ x сводится к диф ф ер енциальном у ур авнению с р азделяю щ им ися п ер ем енны м и. П р и этом y' (x ) = u ' x + u . П р им ер 10.3. Реш итьзадачу К ош и:  xdy − ydx = x 2 + y 2 dx,   y (1) = 0.

52 Реш ение. П р еобр азуем данное диф ф ер енциальное ур авнениек виду ' y = f ( x, y ). Д ля этогор азделим обеегочастина dx: y + x2 + y2 . П одставляя λx вм есто x и x λy вм есто y в п р авую часть п олученного ур авнения, м ы убеж даем ся в том , чтооно является однор одны м : xy ′ − y = x 2 + y 2 , или y ′ =

)

(

λy + (λx) 2 + (λy ) 2 λ ⋅ y + x 2 + y 2 y + x2 + y 2 f (λx; λy ) = = = = f ( x; y ) . λx λx x П р оизведем зам ену п ер ем енной y ( x ) = u ( x ) ⋅ x , y ' ( x ) = u ' x + u . П р и этом наш едиф ф ер енциальноеур авнениеп р им етвид:

(

)

ux + x 2 + u 2 x 2 x ⋅ u + 1+ u2 u ′x + u = . О ткуда u ′x + u = , или x x u ′x = 1 + u 2 . П олученное диф ф ер енциальное ур авнение является ур авнением ср азделяю щ им ися п ер ем енны м и. Н айдем егообщ еер еш ение: du du dx du dx = , ∫ = ∫ , ln u + 1 + u 2 = ln x + ln C . x = 1+ u2 , dx x x 1+ u2 1+ u2 y , м ы п олуx диф ф ер енциального ур авнения:

О ткуда u + 1 + u 2 = Cx . П р оизводя обр атную зам ену u = чим

общ ий

интегр ал

исх одного

2

y  y + 1 +   = Cx , или y + x 2 + y 2 = Cx 2 . Н айдем такое значение конx x станты С, п р и котор ом общ ее р еш ение диф ф ер енциального ур авнения удовлетвор яет начальном у условию y (1) = 0 . Д ля этого п одставим x = 1, y = 0 в общ еер еш ение: 0 + 1 + 0 = C ⋅ 1 . О ткуда C = 1. П одставляя найденную константу С в общ ее р еш ение м ы п олучим иском ое р еш ениеисх одной задачиК ош и: y + x x2 + y2 = x2 . 3. Линейныедиффер енциа льныеур а внения1-го пор ядка 2 Д иф ф ер енциальны еур авнения вида y ′ + p(x ) ⋅ y = q(x ) ,

(10.5)

где p( x ) и q( x ) – ф ункции, зависящ ие только от п ер ем енной x, назы ваю тся линейны м идиф ф ер енциальны м иур авнениям ип ер вогоп ор ядка. Л инейны е диф ф ер енциальны е ур авнения обы чно р еш аю т п р ип ом ощ изам ены п ер ем енны х : y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ), y ′ = u ′ ⋅ v + v′ ⋅ u , (10.6) п р ичем п р итакой зам ене, обе неизвестны е ф ункциинах одятся как р еш ения диф ф ер енциальны х ур авнений ср азделяю щ им ися п ер ем енны м и.

53 П р им ер 10.4. Реш итьзадачу К ош и: y ′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0; y (0 ) = 0. Реш ение. 1) Н айдем общ ее р еш ение диф ф ер енциального ур авнения. Д анное ур авнение п ер вого п ор ядка является линейны м . Следовательно, п р оизведем следую щ ую зам ену п ер ем енной: y ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) , y′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ . Т огда 2

u′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e− x = 0 или u′ ⋅ v + u ⋅ ( v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0 . П одбер ем теп ер ь такую ф ункцию v(x), чтобы v′+2xv=0. Т о есть v(x) будем искатькак р еш ениедиф ф ер енциального ур авнения ср азделяю щ им ися п ер ем енны м и: dv dv dv x2 = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, ∫ v = −2∫ xdx, ln v = −2 ⋅ 2 + C. dx v 2

2

2

П р и С = 0 п олучим : ln| v | = – x2. Следовательно, v = e − x . П р итаком вы бор еф ункции v(x) исх одноедиф ф ер енциальноеур ав2 2 нениеп р им етвид: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , или u ′( x ) = x. x2 Следовательно, u ( x ) = ∫ x ⋅ dx = + C. Т аким обр азом , 2  x2  2 + C  ⋅ e − x . y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ) =   2  2) Д ля р еш ения задачиК ош ивосп ользуем ся начальны м условием y(0)=0. x2 − x2 0 ⋅e Т огда C ⋅ e = 0. ⇒ C = 0 и, следовательно, y ( x ) = . 2

§ 10.2. Пр осте йш ие слу ча и пон иже н ияпор ядка диф ф е р е н циа льн ого у р а в н е н ия 1. Д иффер енциа льныеур а внениявида y ( n ) = f ( x ) .

У р авнения вида y ( n ) = f ( x ) р еш аю тся п р и п ом ощ и n – кр атного интегр ир ования. Рассм отр им п р им ер . П р им ер 10.5. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения y ( 4) = sin x . Реш ение. Четы р еж ды п р оинтегр ир уем данное ур авнение п о п ер ем енной x: y ′′′ = ∫ sin xdx = − cos x + C1 , y ′′ = ∫ (− cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C2 ,

y ′ = ∫ (− sin x + C1 x + C2 )dx = cos x +

C1 x 2 + C2 x + C3 , 2

54   C1 x 2  + C 2 x + C3 dx = sin x + C11 x 3 + C 21 x 2 + C3 x + C 4 , y = ∫  cos x + 2   C C где C11 = 1 , C21 = 2 . 2 6 Т аким обр азом , общ ее р еш ение исх одного ур авнения четвер той степ ени y ( x ) = sin x + C11 x 3 + C21 x 2 + C3 x + C4 зависит от четы р ех п р оизвольны х констант. В дальнейш ем м ы огр аничим ся р ассм отр ением диф ф ер енциальны х ур авнений втор ого п ор ядка f (x, y ( x ), y ′( x ), y ′′( x )) = 0 . Задача К ош и для диф ф ер енциального ур авнения втор огоп ор ядкаим еетвид:

 f ( x, y ( x ), y ′( x ), y ′′(x )) = 0,   y ( x0 ) = y 0 ,  y ′( x ) = y .  0 1

(10.7)

2. Д иффер енциа льныеур а внениявида f (x; y ′; y ′′) = 0 . Е сли в диф ф ер енциальном ур авнении втор ого п ор ядка отсутствует п ер ем енная y, то с п ом ощ ью зам ены п ер ем енной y ′( x ) = z, y′′( x ) = z ′ , данное ур авнение сводится к диф ф ер енциальном у ур авнению п ер вого п ор ядка f ( x; z; z ′ ) = 0 . П р им ер 10.6. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения: x y ′′ = − . y′ Реш ение. П р оизведем зам ену п ер ем енной: y ′( x ) = z , y ′′( x ) = z ′ . Т огда м ы п олучим диф ф ер енциальное ур авнение п ер вого п ор ядка с р аздеx ляю щ им ися п ер ем енны м и: z ′ = − . Разделяя п ер ем енны е, п олучим : z z2 x2 C zdz = − xdx, ∫ zdz = − ∫ xdx, = − + 1 , z 2 = C1 − x 2 , z = ± C1 − x 2 2 2 2 . О чевидно, что константа C1 ≥ 0 . М ы п олучили общ ее р еш ение x z = ± a 2 − x 2 диф ф ер енциального ур авнения z ′ = − . Д ля того, чтобы z x найтиобщ ее р еш ение исх одного ур авнения y ′′ = − м ы долж ны всп ом y′ нить, что y ′( x ) = z . Т аким обр азом , y ( x ) м ож но найти, р еш ая диф ф ер енциальноеур авнение y ′ = ± a 2 − x 2 : a2  x x  2 2  arcsin + 2 a − x + b  . 2  a a  Читателям , в качестве уп р аж нения, п р едлагаем найтиданны й интегр ал сам остоятельно. y = ± ∫ a 2 − x 2 dx = ±

55 В

п олученном общ ем р еш ении a  x x  y ( x ) = ±  arcsin + 2 a 2 − x 2 + b  исх одного диф ф ер енциального 2  a a  x ур авнения y ′′ = − участвую тдвеп р оизвольны еконстанты a и b. y′ 2

3. Д иффер енциа льныеур а внениявида

f ( y; y ′; y ′′ ) = 0 .

Е сли в диф ф ер енциальном ур авнении втор ого п ор ядка отсутствует п ер ем енная x, то с п ом ощ ью зам ены п ер ем енной y ′( x ) = p ( y ( x )), y ′′( x ) = p ′( y ) ⋅ y ′( x ) , (или п р осто y ′ = p, y ′′ = p ′ ⋅ p ) данноеур авнениесводится к диф ф ер енциальном у ур авнению п ер вого п ор ядка f ( y; p( y ); p′( y )) = 0 . П р им ер 10.7. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения: yy ′′ = y 2 y ′ + ( y ′)2 . Реш ение. П р оизведем зам ену п ер ем енной: y ′ = p, y′′ = p′ ⋅ p . М ы п олучим диф ф ер енциальное ур авнение п ер вого п ор ядка относительно п ер ем енной y: yp ′p = y 2 p + p 2 . П ослесокр ащ ения на p, м ы убеж даем ся в том , что данное ур авнение yp ′ − p − y 2 = 0 является линейны м . К ак обы чно, его р еш ениенайдем , п р оизведя зам ену p = u ⋅ v, p ′ = u ′v + v′u : yu ′v + yv′u − uv − y 2 = 0,

yu ′v + u ( yv′ − v ) − y 2 = 0 . (10.8) 1) Ф ункцию v найдем из условия yv′ − v = 0 (как лю бое частное dv р еш ение диф ф ер енциального ур авнения y = v с р азделяю щ им ися п еdy р ем енны м и): dv dy dv dy = , ∫ = ∫ , ln v = ln y , v = y . v y v y П одставляя v = y в ур авнение (10.8), п олучим :

yu ′y − y 2 = 0, u ′( y ) = 1, u = y + C1 . Т аким обр азом , общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения (10.8) является 2 p( y ) = y ⋅ ( y + C1 ) = y + C1 y . В сп ом иная о том , что p = y ′( x ), м ы п р их о-

дим к диф ф ер енциальном у ур авнению п ер вого п ор ядка y ′( x ) = y 2 + C1 y , из котор ого найдем y ( x ): dy dy = y 2 + C1 y, ∫ 2 = ∫ dx . И нтегр ир уя п оследнее р авенство, dx y + C1 y м ы нах одим общ ий интегр алисх одногодиф ф ер енциального ур авнения:

56 C   d y + 1  dy dy 2   x=∫ 2 =∫ =∫ = 2 2 2 y + C1 y C1 C1 C1 C1  C12 2  y +2 y+ − y+  − 2 4 4 2 4  C C y+ 1 − 1 1 y 2 2 + C и, следовательно, x = 1 ln = ln + C2 . 2 C1 C1 C1 C1 y + C1 + y+ 2⋅ 2 2 2

§ 10.3. Лин е йн ые диф ф е р е н циа льн ые у р а в н е н н ияв тор ого пор ядка с постоян н ым и коэф ф ицие н та м и 2 Л инейны м идиф ф ер енциальны м иур авнениям ивтор ого п ор ядкас п остоянны м икоэф ф ициентам идазы ваю тся диф ф ер енциальны е ур авнения вида y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ). (10.9) В данном п особиим ы огр аничим ся р ассм отр ением только линейны х однор одных диф ф ер енцы альны х ур авнений втор ого п ор ядка с п остоянны м икоэф ф ициентам и, т.е. ур авнений вида y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 . (10.10) 2 Х ар актер истическим ур авнением диф ф ер енциального ур авнения (10.10) назы вается квадр атноеур авнеие k 2 + a1k + a2 = 0 , (10.11) котор оеп олучается из ур авнения (10.10) п утем заиены n – ой п р оизводной ф ункции y ( x ) насоответствую щ ую степ ень k. 1 Е сли ур авнение (10.11) им еет два р азличны х действительны х кор ня k1 ≠ k 2 , то общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения (10.10) является y ( x ) = C1e 1 + C2 e 2 . 1 Е слиур авнение (10.11) им еетдвар авны х действительны х кор ня k1 = k 2 = k , то общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения (10.10) является y ( x ) = C1e kx + C 2 xe kx . 1 Е слиур авнение (10.11) неим еетдействительны х кор ней, аим еет дваком п лексно-соп р яж енны х кор ня k1 = a + bi, k 2 = a − bi (где i2 = – 1), тообщ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения (10.10) является y (x ) = e ax (C1 sin bx + C 2 cos bx ) . П р им ер 10.8. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения: y ′′ + 5 y ′ − 6 y = 0 . Реш ение. Н айдем кор ни х ар актер истического ур авнения 2 k + 5k − 6 = 0 . k x

k x

57 k1, 2 =

− 5 ± 25 + 24 −5+7 −5−7 , k1 = = 1, k 2 = = −6 . 2 2 2

Следовательно, общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения является: y ( x ) = C1e x + C 2 e −6 x . П р им ер 10.9. Реш итьзадачу К ош и  y′′ + 4 y′ + 4 y = 0  .  y (0) = 4  ′  y ( 0) = 1 Реш ение. k + 4k + 4 = 0 .

Н айдем

кор ни х ар актер истического

ур авнения

2

− 4 ± 16 − 16 = −2 . 2 Следовательно, общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения является y ( x ) = C1e −2 x + C2 xe −2 x . k1, 2 =

Н айдем п р оизводную y ′( x ) и п одставим в y ( x ) и y ′( x ) начальны е условия: y ′( x ) = −2C1e −2 x + C2 e −2 x − 2C 2 xe −2 x . 4 = C1 .  1 = − 2 C + C  1 2 Реш ая данную систем у, м ы найдем значения констант C1 = 4, C2 = 9 , п р и котор ы х р еш ение диф ф ер енциального ур авнения удовлетвор яет начальны м условиям . Т аким обр азом , м ы наш лир еш ениеисх одной задачиК ош и: y ( x ) = 4e −2 x + 9 xe−2 x . П р им ер 10.10. Н айтиобщ еер еш ениедиф ф ер енциального ур авнения y ′′ + 6 y ′ + 10 y = 0 . Реш ение. Н айдем кор ни х ар актер истического ур авнения k + 5k − 6 = 0 . − 6 ± 36 − 40 − 6 + 2 −1 − 6 − 2 −1 k1, 2 = , k1 = = −3 + i, k 2 = = −3 − i . 2 2 2 Следовательно, общ им р еш ением диф ф ер енциального ур авнения является: y ( x ) = e −3 x (C1 cos x + C 2 sin x ) . 2

58

ЛИ Т Е Р А Т У Р А 1. Д ем идович Б.П . К р аткий кур с вы сш ей м атем атики/ Б.П . Д ем идович, В .А . К удр явцев. – М .: А стель. А СТ , 2001. – 655 с. 2. М инор ский В .П . Сбор ник задач п о вы сш ей м атем атике: У чеб. п особиедля втузов / В .П . М инор ский. – 14-е изд. – М .: И зд-воф из.-м ат. лит., 2001. – 366 с. 3. Шип ачев В .С. О сновы вы сш ей м атем атики: У чеб. п особиедля втузов / В .С. Шип ачев; П од р ед. акад. А .Н . Т их онова. – 2-еизд. стер еотип ное– М .: В ы сш . ш к., 1994.– 352 с. 4. Шип ачев В .С. Сбор ник задач п о вы сш ей м атем атике: У чеб. п особие/ В .С. Шип ачев. – М .: В ы сш . ш к., 1994.– 192 с. 5. Шип ачев В .С. В ы сш ая м атем атика: У чебник для студ. втузов / В .С. Шип ачев. – 5-еизд., стер еотип ное– М .: В ы сш . ш к., 2000.– 479 с. 6. П исьм енны й Д .Т . К онсп ектлекций п о вы сш ей м атем атике: Т р идцать ш естьлекций / Д .Т . П исьм енны й. – М : А йр ис-п р есс, 2000,– Ч. 1.– 279 с. 7. Гусак А .А . В ы сш ая м атем атика: У чеб. для студ. втузов: В 2 т. / А .А . Гусак. – 3-еизд., стер еотип ное– М инск: Т етр аСистем с, 2001. – Т . 2.– 447 с.

59

Составители: доц. Ф етисов Ю р ий М их айлович, ст. п р еп . У ксусов Сер гей Н иколаевич. Редактор : БунинаТ .Д .