Vibration Project

‫داﻧﺸﮕﺎه آزاد اﺳﻼﻣﯽ واﺣﺪ ﺗﺎﮐﺴﺘﺎن‬ ‫داﻧﺸﮑﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﻣﮑﺎﻧﯿﮏ‬ ‫ﭘﺮوژه ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻣﺘﻠﺐ )‪(MATLAB‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ‪:‬‬ ‫ﻣﻬﺮداد زﮐﯽ زاده ﺷﺒﺴﺘﺮي‬ ‫ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ ‪:‬‬ ‫‪860340624‬‬ ‫اﺳﺘﺎد ‪:‬‬ ‫دﮐﺘﺮ ﻓﺮﯾﺒﺎ‬

‫آذر ‪1389‬‬

‫ﭼﮑﯿﺪه ‪:‬‬ ‫دراﯾﻦ ﭘﺮوژه ﻫﺪف ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي و رﺳﯿﺪن ﺑﻪ ﭘﺎﺳﺦ زﻣﺎﻧﯽ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻧﺮم اﻓﺰار ﻣﺘﻠﺐ‬ ‫)‪ (MATLAB‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﻣﻮرد آزﻣﺎﯾﺶ در اﯾﻨﺠﺎ ارﺗﻌﺎش آزاد ﺳﯿﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي از ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﻣﯿﺮا ‪ ،‬ﻧﺎﻣﯿﺮا ‪ ،‬ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﮐﻮﻟﻤﺐ و وﯾﺴﮑﻮز و ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ دو درﺟﻪ آزادي ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﮑﭽﻨﯿﻦ در ﻗﺴﻤﺖ دوم‬ ‫ﻫﺪف رﺳﯿﺪن ﺑﻪ ﭘﺎﺳﺦ زﻣﺎﻧﯽ اي ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﮐﻠﯿﺪ واژه ‪ :‬ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ‪ ،‬ﻧﺮم اﻓﺰار ﻣﺘﻠﺐ )‪ ، (MATLAB‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ‪ ،‬ﻣﯿﺮاﺋﯽ‬ ‫وﯾﺴﮑﻮز ‪ ،‬ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﮐﻮﻟﻤﺐ ‪ ،‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي دو درﺟﻪ آزادي‬

‫ﻓﺼﻞ ‪ -1‬ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي‪: 1‬‬

‫اﮐﺜﺮ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ‪ ،‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ ﺑﺮ اﺳﺎس اﯾﻨﮑﻪ ﺣﺮﮐﺖ آن ﻫﺎ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﯾﮏ ﻣﺘﻐﯿﯿﺮ ﯾﺎ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺗﮑﯽ ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻨﺪي ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم و‬ ‫ﻓﻨﺮ ﺷﮑﻞ ‪ 1-1‬زﯾﺮ ﺑﺮاي ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﯾﻌﻨﯽ ) ‪ x(t‬در راﺳﺘﺎي ﺣﺮﮐﺖ ﻋﻤﻮدي ﺟﺴﻢ ﻧﯿﺎز‬ ‫اﺳﺖ وﻟﯽ در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﻧﺪول ﺳﺎده ﺷﮑﻞ ‪ 2-1‬ﺑﺮاي ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم ﺑﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ) ‪  (t‬ﻧﯿﺎز دارﯾﻢ ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﻧﺪول ﺳﺎده راﺑﻄﻪ ﺑﯿﻦ ) ‪ x(t‬و ) ‪  (t‬از ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﺑﻪ ﻗﺮار ‪ x(t )  L sin‬اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 1-1‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم و ﻓﻨﺮ‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 2-1‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﻧﺪول ﺳﺎده‬

‫ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ :‬ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت اوﻟﯿﻪ و ﻧﯿﺮو ﻫﺎي ﺧﺎرﺟﯽ ‪ .‬رﻓﺘﺎر ﺳﯿﺴﺘﻤﯽ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺣﺮﮐﺖ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫از اﯾﻦ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻨﺪي ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﻠﯽ ﺑﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ ﻫﺎ ﺗﺸﺮﯾﺢ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬

‫‪ -1-1‬ارﺗﻌﺎش آزاد ﺳﯿﺴﺘﻢ اﻧﺘﻘﺎﻟﯽ ﻧﺎ ﻣﯿﺮا ‪:‬‬

‫ﺳﺎده ﺗﺮﯾﻦ ﻣﺪل ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﺷﺎﻣﻞ ﯾﮏ ﺟﺮم ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻓﻨﺮ ﺑﺪون وزن ﺧﻄﯽ ﺑﻪ ﺗﮑﯿﻪ ﮔﺎه ﺻﻠﺐ ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ )ﺷﮑﻞ ‪ .(1-1‬ﺟﺮم ﻣﻘﯿﺪ ﺑﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺗﻨﻬﺎ در ﺟﻬﺖ ﻋﻤﻮدي اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﺮﮐﺖ ﺳﯿﺴﺘﻢ در ﻣﺨﺘﺼﺎت ) ‪ x(t‬ﺑﯿﺎن‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد و از اﯾﻦ رو ﺳﯿﺴﺘﻢ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ) ‪ ( DOF  1‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺑﺮاي ارﺗﻌﺎش آزاد ﺳﯿﺴﺘﻢ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻧﺎ ﻣﯿﺮا ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪:‬‬ ‫‪mx  k ( x   st )  mg  0‬‬

‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ اﺳﺘﺎﺗﯿﮑﯽ ﻣﺴﺎﻟﻪ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫‪k st  mg  k st  mg  0‬‬

‫ﭘﺲ ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎﻻ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫‪mx  kx  0‬‬

‫اﮔﺮ ‪ x  e st‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري ﻣﺸﺘﻘﺎت دوم اﯾﻦ ﺣﺪس در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎﻻ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫‪Free vibration of single of freedom system 1‬‬

‫‪ x  e st‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  s 2 e st‬‬ ‫‪st‬‬ ‫‪ x  se‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪ s   i n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪(ms 2  k )e st  0  ms 2  k  0  s   ‬‬ ‫‪s1t‬‬

‫‪s 2t‬‬

‫‪Ae A e‬‬ ‫‪x(t )  A e   A e   A cos( t )  i sin( t )   A cos( t )  i sin( t ) ‬‬ ‫) ‪x(t )   A  A cos( t )  i  A  A sin( t )  C cos( t )  C sin( t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪nt‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪nt‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x(t ) ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪ x(t )  C1 cos( n t )  C 2 sin( n t‬‬

‫‪k rad‬‬ ‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ‬ ‫‪m sec‬‬

‫‪  n ‬ﯾﮏ ﺛﺎﺑﺖ ﺣﻘﯿﻘﯽ اﺳﺖ و ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﻧﺎﻣﯿﺮا ‪ 2‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬

‫ﻓﻮق ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ ﺣﺮﮐﺖ‪ 3‬زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ‪:‬‬ ‫‪x (0)  x 0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x(0)  x 0‬‬

‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ‪ x0‬و ‪ x0‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ اوﻟﯿﻪ و ﺳﺮﻋﺖ اوﻟﯿﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري در ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪ C1  x0‬‬ ‫‪ x(0)  C1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ x ‬‬ ‫‪,   tan -1  0 ‬‬ ‫‪ x 0 n ‬‬ ‫دوره‪ 4‬ﺗﻨﺎوب ‪ ، ‬زﻣﺎن ﻣﻮرد ﻧﯿﺎز ﺑﺮاي ﺗﮑﻤﯿﻞ ﯾﮏ ﭼﺮﺧﻪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﯾﺎ زﻣﺎن ﻣﺎ ﺑﯿﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺘﻮاﻟﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪ n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪, X  x0‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪ x(t )  cos( n t )  0 sin( n t )  X sin( n t  ‬‬ ‫‪n‬‬

‫زﯾﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻃﺒﯿﻌﯽ راﺑﻄﻪ دارد ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m 1‬‬ ‫‪ Hz‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ fn  n  fn ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ واﺣﺪ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ‪ ،‬ﭼﺮﺧﻪ ﺑﺮ ﺛﺎﻧﯿﻪ )‪ (CPS‬اﺳﺖ ‪ ،‬ﮐﻪ ﯾﮏ ﭼﺮﺧﻪ ﺑﺮ ﺛﺎﻧﯿﻪ ﻣﻌﺎدل ﯾﮏ ﻫﺮﺗﺰ)‪ (Hz‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫‪ -2-1‬ارﺗﻌﺎش آزاد ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﯿﭽﺸﯽ ﻧﺎ ﻣﯿﺮا ‪:‬‬

‫ﺟﺮم ﻣﺘﺼﻞ ﺷﺪه ﺑﻪ ﯾﮏ ﺷﻔﺖ‪ ،‬ﯾﮏ ﻧﻮﻧﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﯿﭽﺸﯽ ﺳﺎده اﺳﺖ )ﺷﮑﻞ‬ ‫‪ . (3-1‬ﺟﺮم ﺷﻔﺖ در ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎ ﺟﺮم دﯾﺴﮏ ﺑﺴﯿﺎر ﮐﻮﭼﮏ اﺳﺖ ‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ‬ ‫دﻟﯿﻞ از ﺟﺮم ﺷﻔﺖ ﺻﺮف ﻧﻈﺮ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎوري ﮐﻪ ﭘﯿﭽﺶ را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ ، M t ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪:‬‬ ‫‪Gj‬‬ ‫‪Jo‬‬

‫‪Mt ‬‬

‫‪d 4‬‬ ‫ﮐﻪ ‪ J‬ﻣﻤﺎن ﺟﺮم ﻗﻄﺒﯽ ﺷﻔﺖ اﺳﺖ‪).‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﺑﻪ ﻗﻄﺮ ‪ d‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫‪natural Frequency 2‬‬ ‫‪Initial conditions 3‬‬ ‫‪period 4‬‬

‫‪ ( J ‬ﺑﺮاي ﯾﮏ ﺷﻔﺖ داﯾﺮه اي‬

‫‪ G‬ﻣﺪول ﺑﺮﺷﯽ ﻣﻮاد ﺷﻔﺖ و ‪ l‬ﻃﻮل ﺷﻔﺖ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻨﺮﯾﺖ ﭘﯿﭽﺸﯽ ‪ ، k t‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪:‬‬ ‫‪T GJ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪kt ‬‬

‫ﺷﮑﻞ‪ 3-1‬ارﺗﻌﺎش ﭘﯿﭽﺸﯽ ﯾﮏ دﯾﺴﮏ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﯿﮑﺮه آزاد ﺟﺴﻢ در ﺷﮑﻞ ‪ 3-1‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ ‪:‬‬ ‫‪J o  k t  0‬‬

‫‪rad‬‬ ‫‪sec‬‬

‫‪kt‬‬ ‫‪Jo‬‬

‫‪n ‬‬

‫ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ دوراﻧﯽ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﭼﻨﯿﻦ ﺳﯿﺴﺘﻤﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺎﻻ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ و ﺣﻞ ﻋﻤﻮﻣﯽ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪sin( n t‬‬ ‫‪IG‬‬

‫‪ (t )   0 cos( n t ) ‬‬

‫‪ -3-1‬ﭘﺎﯾﺪاري‪ 5‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﺧﻄﯽ و ﻧﺎﻣﯿﺮا ‪:‬‬

‫ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي ﺟﺮم ﯾﺎ اﯾﻨﺮﺳﯽ‪)6‬ﻟﺨﺘﯽ( و ﺳﺨﺘﯽ ﻫﺮ دو در ﭘﺎﯾﺪاري ﺳﯿﺴﺘﻢ ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻧﺎﻣﯿﺮا ﻣﻮﺛﺮاﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺿﺮاﯾﺐ ﺟﺮم و ﺳﺨﺘﯽ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﮐﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ وارد ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬از اﯾﻦ رو ﻫﺮ ﺗﻐﯿﯿﺮي‬ ‫در اﯾﻦ ﺿﺮاﯾﺐ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺗﻐﯿﯿﺮ در رﻓﺘﺎر ﯾﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ اﺛﺮات ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي ﺟﺮم و ﺳﺨﺘﯽ ﺑﺮ‬ ‫ﭘﺎﯾﺪاري ﺣﺮﮐﺖ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻧﺎﻣﯿﺮا ارزﯾﺎﺑﯽ ﺷﺪه اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﺿﺮاﯾﺐ ﻟﺨﺘﯽ و ﺳﺨﺘﯽ ﻣﯽ ﺗﻮان از ﻧﺎﭘﺎﯾﺪاري ﺳﯿﺴﺘﻢ اﺟﺘﻨﺎب ﮐﺮد ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﯾﺪ ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در ارﺗﻌﺎﺷﺎت‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ﺳﺎده اﺳﺖ و ﭼﻨﯿﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯾﯽ در ﻣﺮز ﭘﺎﯾﺪاري ﻗﺮار دارﻧﺪ‬ ‫ﮐﻪ در اﯾﻨﺠﺎ ﻣﻨﻈﻮر از ﭘﺎﯾﺪاري ﻫﻤﯿﻦ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﯾﺪار ﺳﯿﺴﺘﻤﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﻮل ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺗﻌﺎدل‪ 7‬ﺧﻮد‬ ‫ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت ﮐﺮاﻧﺪار اﻧﺠﺎم ﻣﯽ دﻫﺪ ‪.‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﻧﺪول ﺳﺎده ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ در ﻣﺮز ﭘﺎﯾﺪاري ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ‬ ‫‪g‬‬ ‫ﭘﺎﻧﺪول را ﮐﻤﺘﺮ از ‪6‬درﺟﻪ دوران دﻫﯿﻢ ﺳﯿﺴﺘﻢ ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﺧﻮد ﯾﻌﻨﯽ‬ ‫‪l‬‬

‫‪  n2 ‬ﺣﻮل‬

‫ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺗﻌﺎدل ﺧﻮد اﻧﺠﺎم ﻣﯽ دﻫﺪ وﻟﯽ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭘﺎﻧﺪول ﻣﻌﮑﻮس را اﮔﺮ از ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺗﻌﺎدﻟﺶ ﻣﻨﺤﺮف ﮐﻨﯿﻢ ﻫﺮﮔﺰ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺗﻌﺎدل ﺧﻮد ﻧﻤﯽ رﺳﺪ ﭘﺲ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻧﺎ ﭘﺎﯾﺪار و ﭘﺎﻧﺪول ﺳﺎده ﺑﻪ دﻟﯿﻞ ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ در ﻣﺮز ﭘﺎﯾﺪاري‬ ‫ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫‪Stability 5‬‬ ‫‪Mass/Inertia 6‬‬ ‫‪About Equilibrium position 7‬‬

‫‪ -4-1‬ارﺗﻌﺎش آزاد ﺑﺎ ﻣﺴﺘﻬﻠﮏ ﮐﻨﻨﺪه وﯾﺴﮑﻮز ‪:‬‬

‫ﻧﯿﺮوي ﻣﺴﺘﻬﻠﮏ ﮐﻨﻨﺪه ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ و در ﺟﻬﺖ ﻋﮑﺲ ﺳﺮﻋﺖ اﻋﻤﺎل ﺷﺪه ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ﮐﻪ ﻣﯽ ﺗﻮان آن‬ ‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﯿﺎن ﮐﺮد ‪:‬‬

‫) ‪Fd  c( x 2  x1‬‬

‫ﮐﻪ ‪ c‬ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺘﻬﻼك ﯾﺎ ﺿﺮﯾﺐ ﻣﯿﺮاﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺣﺮﮐﺖ ﺑﺮاي ارﺗﻌﺎش آزاد ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و‬ ‫دﻣﭙﺮ ﻣﯿﺮا ﺷﮑﻞ ‪ 4-1‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷﮑﻞ اﺳﺖ ؛‬

‫ب ‪ -‬ﭘﯿﮑﺮه آزاد ﺟﺴﻢ‬

‫اﻟﻒ ‪ -‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ‬ ‫ﺷﮑﻞ ‪4-1‬‬

‫اﮔﺮ ‪ x  ce st‬را ﺣﻞ ﻓﺮض ﻧﻤﺎﺋﯿﻢ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﯾﺎ ﮐﻤﮑﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ؛‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪s 0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬

‫ﮐﻪ داراي رﯾﺸﻪ ﻫﺎي زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ 2m ‬‬

‫‪s1, 2 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ﮐﻤﯿﺖ ‪   ‬ﺻﻔﺮ ‪ ،‬ﯾﺎ ﻣﺜﺒﺖ ﯾﺎ ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﯾﮑﯽ از ﺳﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬ ‫‪ 2m  m‬‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﻮد ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ ﻣﻘﺪاري اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت ﺻﻔﺮ ﺷﻮد ‪ .‬ﭘﺲ ؛‬ ‫‪2‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ cc ‬‬ ‫‪ 2 km  2m n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0  c c  2m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ 2m ‬‬

‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ) ‪ ( ‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﺴﺒﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﻪ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ؛‬

‫‪c‬‬ ‫‪cc‬‬

‫‪‬‬

‫آﻧﮕﺎه ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ؛‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪? ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪cc 2m n‬‬ ‫‪2m‬‬

‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ رﯾﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴﯽ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪s1, 2      2  1  n‬‬ ‫‪s 2t‬‬ ‫‪    2 1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪C 2 e ‬‬

‫‪ C2e‬‬

‫‪s1t‬‬

‫‪x(t ) C 1 e‬‬

‫‪    2 1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x(t ) C 1 e ‬‬

‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ارﺗﻌﺎﺷﯽ آزاد ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﮐﻮﭼﺘﺮ ﯾﺎ ﺑﺰرﮔﺘﺮ و ﯾﺎ ﻣﺴﺎوي ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﺳﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣﯽ ﺷﻮد ؛‬ ‫‪ -1‬ﺗﺤﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ )‪ (Under damped‬؛ ‪  1‬‬ ‫‪ -2‬ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ )‪ (Critically damped‬؛ ‪  1‬‬ ‫‪ -3‬ﻓﻮق ﻣﯿﺮا )‪ (Over damped‬؛ ‪  1‬‬ ‫‪-1-4-1‬‬

‫ﺗﺤﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ )‪ (Under damped‬؛ ‪  1‬‬

‫در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﭼﻮن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ از ﺻﻔﺮ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻋﺒﺎرت ‪  2  1‬ﻣﻨﻔﯽ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ و رﯾﺸﻪ ﻫﺎي‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ؛‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪s     i 1   2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s 2     i 1    n‬‬

‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رﯾﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎزﻧﻮﯾﺴﯽ ﮐﺮد ؛‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  nt‬‬

‫‪‬‬

‫‪ C2e‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪   i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  nt‬‬

‫‪x(t )  C1e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪i 1  n t‬‬ ‫‪i 1  n t ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ C 2e‬‬ ‫‪C1e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ e  n C1  C 2  cos( 1   2 ) n t  i C1  C 2 sin( 1   2 )  n t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ A‬‬ ‫‪,   tan 1  ‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪) n t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ e  A cos( 1   ) t  B sin( 1  ‬‬ ‫‪ Xe  sin  1    t   ‬‬ ‫‪, X‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫در اﯾﻨﺠﺎ ‪ 1   2  n‬ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻣﯿﺮا ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ؛‬ ‫‪ 1   2 n‬‬

‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪t‬‬

‫‪n‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬و ﻋﺒﺎرت ‪ nt‬‬

‫‪-2-4-1‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫ﮐﺎﻫﺶ دﻫﻨﺪه ﻧﻤﺎﺋﯽ ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ ﮐﻪ در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ)‪ (5-1‬آﻣﺪه اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ )‪ (Critically damped‬؛ ‪  1‬‬

‫در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻫﻨﮕﺎﻣﯽ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺮاﺑﺮ واﺣﺪ ﻣﯿﺸﻮد ﮐﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺎ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﺷﻮد ﯾﻌﻨﯽ‬ ‫) ‪ ( c  cc‬ﺷﻮد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ رﯾﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺗﮑﺮاري ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪:‬‬ ‫‪cc‬‬ ‫‪2m n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪2m‬‬

‫‪s1, 2  ‬‬

‫ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﯽ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ؛‬

‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫) ‪x(t )  e  n ( A  Bt‬‬

‫‪-3-4-1‬‬

‫ﻓﻮق ﻣﯿﺮاﺋﯽ )‪ (Over damped‬؛ ‪  1‬‬

‫در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﺒﺮاﺋﯽ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از واﺣﺪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺤﺮاﻧﯽ از ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺑﻮد ) ‪ ( cc  c‬؛ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ رﯾﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد و ﺑﺮاﺑﺮ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪s      2  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s      2  1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n  0‬‬

‫ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﯽ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ؛‬ ‫‪    2 1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪C 2 e ‬‬

‫‪    2 1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫در ﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺣﺮﮐﺖ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻏﯿﺮ ﻧﻮﺳﺎﻧﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ؛‬

‫‪x(t ) C 1e ‬‬

‫ﺣﺎل اﯾﻦ ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺮاي ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ در ﯾﮏ ﻧﻤﻮدار ﺗﺮﺳﯿﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ؛‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 5-1‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﻪ ازاي ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ‬

‫‪ -5-1‬ﮐﺎﻫﺶ ﻟﮕﺎرﯾﺘﻤﯽ‬

‫ﮐﺎﻫﺶ ﻟﮕﺎرﯾﺘﻤﯽ ﺑﯿﻠﻨﮕﺮ ﻧﺮﺧﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ در آن داﻣﻨﻪ ارﺗﻌﺎش آزاد ﻣﯿﺮا ﮐﺎﻫﺶ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻟﮕﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﻃﺒﯿﻌﯽ ﻧﺴﺒﺖ ﻫﺮ دو داﻣﻨﻪ ﻣﺘﻮاﻟﯽ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﯽ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ ؛‬ ‫‪X e  nt i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e  n d  cte.‬‬ ‫) ‪  n (t i  d‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫و ﮐﺎﻫﺶ ﻟﮕﺎرﯾﺘﻤﯽ آن ‪:‬‬ ‫‪ ln e  n d    n d‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪  d ‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ؛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪  ln‬‬

‫ﻓﺼﻞ ‪ -2‬ارﺗﻌﺎﺷﺎت اﺟﺒﺎري ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ‪:‬‬

‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﯾﺎ ﺳﺎزه ﻫﺎ اﻏﻠﺐ در ﻣﻌﺮض ﻧﯿﺮوﻫﺎ ﯾﺎ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت ﺧﺎرﺟﯽ ﻫﺴﺘﺪ ‪ .‬ﻧﯿﺮو ﻫﺎي ﺧﺎرﺟﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ‪ ،‬ﻏﯿﺮ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ اﻣ‪‬ﺎ ﻣﺘﻨﺎوب ‪ ،‬ﻏﯿﺮ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ اﻣ‪‬ﺎ داراي ﺷﮑﻞ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﯾﺎ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ‬ ‫ﺑﻪ ﭼﻨﯿﻦ ﻧﯿﺮوﻫﺎ ﯾﺎ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎﺗﯽ ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ اﺟﺒﺎري ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻨﺎوب ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻣﺘﻨﺎوب ﯾﺎ ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺗﺤﺮﯾﮏ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت ﻏﯿﺮ دوره اي ﻧﺎﮔﻬﺎﻧﯽ ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺬرا ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﻨﺎﺑﻊ ﻧﺤﺮﯾﮏ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ در ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻫﺎي دو‪‬ار ﻧﺎﻣﯿﺰان‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻧﯿﺮوﻫﺎ ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻫﺎي رﻓﺖ و ﺑﺮﮔﺸﺘﯽ ﯾﺎ در ﺑﺮﺧﯽ از ﻣﻮارد ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺧﻮد ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬

‫‪ -1-2‬ارﺗﻌﺎش اﺟﺒﺎري ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﯿﺮا‬

‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ وﯾﺴﮑﻮز ﺷﮑﻞ ‪1-2‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺗﺤﺖ ﻧﯿﺮوي ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ ‪sin t‬‬

‫ﻗﺮار دارد ﮐﻪ‬

‫‪0‬‬

‫‪F‬‬

‫داﻣﻨﻪ ﻧﯿﺮو ‪  ،‬ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ زاوﯾﻪ اي ﺗﺎﺑﻊ ﻧﯿﺮو ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫ب ‪ -‬ﭘﯿﮑﺮه آزاد ﺟﺴﻢ‬

‫‪0‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F (t ) ‬‬

‫اﻟﻒ‪ -‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺗﺤﺖ ﻧﯿﺮوﻫﺎ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ‬ ‫ﺷﮑﻞ ‪1-2‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﭘﯿﮑﺮه آزاد ﺟﺴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻧﯿﺘﻮن را ﺑﺮاي اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﯽ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ ؛‬ ‫‪cos  t‬‬

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﺷﺎﻣﻞ دو ﻗﺴﻤﺖ ‪ ،‬ﺣﻞ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

‫‪h‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪F‬‬

‫‪mx  cx  kx ‬‬

‫و ﺣﻞ اﺧﺘﺼﺎﺻﯽ‬

‫‪p‬‬

‫‪x‬‬

‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ x(t )  xh  x p‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫ﺣﻞ اﺧﺘﺼﺎﺻﯽ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﯿﺮو اﺳﺖ و ﺣﻞ ﻋﻤﻮﻣﯽ ‪ ، xh‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺬرا ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺣﻀﻮر ﻣﺴﺘﻬﻠﮏ ﮐﻨﻨﺪه از ﺑﯿﻦ ﻣﯽ رود ‪ .‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﺨﺼﻮص ‪ x p‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺣﻞ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ از اﯾﻨﮑﻪ ارﺗﻌﺎش ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺬرا از ﺑﯿﻦ رﻓﺖ ‪ ،‬ارﺗﻌﺎش ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ﺑﻪ ﻣﺪت ﻃﻮﻻﻧﯽ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽ ﻣﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ ﺧﺼﻮﺻﯽ ﯾﺎ ﺣﻞ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻓﺮض ﻣﯽ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫‪x  c sin t  c cos t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪p‬‬

‫‪1‬‬

‫ﭼﻮن در اﯾﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻣﺎ ﺗﺤﺮﯾﮏ را ﺳﯿﻨﻮﺳﯽ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﯿﻢ ﺣﻞ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ﻫﻢ در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺳﯿﻨﻮﺳﯽ در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ ‪:‬‬ ‫) ‪ X cos( t  ‬‬

‫‪p‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﺎﻻ اﯾﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺪس زده ﺷﺪه را در ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺟﺎﯾﮕﺬاري ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ؛‬ ‫‪sin t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪F‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪X k  m cos(t   )  c sin(t   ) ‬‬

‫از ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎت دارﯾﻢ ؛‬ ‫‪sin(t   )  sin t cos   sin  cost‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos(t -  )  cost cos - sint sin‬‬

‫ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري اﯾﻦ ﻣﻘﺎدﯾﺮ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ و ﺳﺎده ﺳﺎزي رواﺑﻂ آن دارﯾﻢ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ X (k  m 2 ) cos   c sin  F0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ X (k  m 2 ) sin   c cos  0‬‬

‫ﺳﭙﺲ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫‪F0‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪k  m   (c‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪X ‬‬

‫‪ c ‬‬ ‫‪  tan 1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ k  m ‬‬

‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ ﭘﺎﺳﺦ ﮐﻠﯽ ﺳﯿﺴﺘﻢ از دو ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺸﮑﯿﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ ﯾﮑﯽ ﭘﺎﺳﺦ ﻋﻤﻮﻣﯽ ﯾﻌﻨﯽ ‪ xh‬و دﯾﮕﺮي ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﺧﺼﻮﺻﯽ ﯾﺎ ﺣﻞ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ﯾﺎ ﻫﻤﺎن ‪ x p‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن از ﺑﯿﻦ ﻧﻤﯽ رود ‪ .‬اﮔﺮ دو ﭘﺎﺳﺦ را‬ ‫ﺟﺪا ﮔﺎﻧﻪ رﺳﻢ ﮐﻨﯿﻢ و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ادﻏﺎم آﻧﻬﺎ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار ار ﺗﺮﺳﯿﻢ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ؛‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 2-2‬ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﯾﺪار‬

‫در اﯾﻨﺠﺎ ﺑﺎز ﻫﻢ رواﺑﻂ زﯾﺮ ﺣﺎﮐﻢ اﻧﺪ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ Underdamped natural frequency .‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪;  2  n‬‬ ‫‪c c 2m  n m‬‬ ‫‪ defelection under static force F 0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ frequency ratio‬‬

‫ﺑﺮاي ﺑﯽ ﺑﻌﺪ ﮐﺮدن ﭘﺎﺳﺦ ﺑﺎ ﺑﮑﺎر ﮔﯿﺮي از ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺎﻻ دارﯾﻢ ؛‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪st‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1  r   2r ‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪st‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2 r ‬‬ ‫‪  tan 1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 r ‬‬

‫ﮐﻤﯿﺖ‬

‫‪X‬‬ ‫‪st‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ،‬ﺿﺮﯾﺐ ﺑﺰرﮔﻨﻤﺎﯾﯽ ‪ ،‬ﯾﺎ ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮐﻤﯿﺖ ﻫﺎي‬

‫‪X‬‬ ‫‪st‬‬

‫‪‬‬

‫و ‪ ‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ‬

‫) ‪ ( r‬و ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ ) ‪ ( ‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ﻫﺎﯾﺸﺎن ﮐﻪ در ﺑﺎﻻ ﺑﺪﺳﺖ آوردﯾﻢ در ﺷﮑﻞ ‪ 1-8‬ﺗﺮﺳﯿﻢ ﺷﺪه اﻧﺪ ‪.‬‬ ‫در ﺗﺮﺳﯿﻢ اﯾﻦ ﻧﻤﻮدار ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﻧﮑﺎت زﯾﺮ را دﻗٌﺖ ﮐﺮد ‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﺮاي ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻧﺎﻣﯿﺮا ﯾﻌﻨﯽ ‪   0‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ زاوﯾﻪ ي ﻓﺎز ﺑﺮاي ‪ r  1‬ﯾﺎ ‪ r  1‬در‬ ‫‪ 180‬درﺟﻪ رﺳﻢ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﯿﺮاﺋﯽ ﺑﻪ ازاي ﺗﻤﺎﻣﯽ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ اﺟﺒﺎري ﺑﺎﻋﺚ ﮐﺎﻫﺶ ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ داﻣﻨﻪ در ﻣﺤﺪوده ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ از ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ واﺣﺪ رخ ﻣﯽ دﻫﺪ ‪ .‬ﺑﺮاي ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن اﯾﻦ‬ ‫ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ از راﺑﻄﻪ ي ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﺮﻓﺖ ‪ ،‬ﺳﭙﺲ اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت را ﻣﺴﺎوي ﺻﻔﺮ ﻗﺮار‬ ‫ﻣﯽ دﻫﯿﻢ ‪ .‬ﺑﻪ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻣﯿﺮا ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫‪2(1  r 2 )(2r )  8 2 r‬‬ ‫‪d  X ‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dr   st ‬‬ ‫‪(1  r 2 ) 2  (2r ) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2(1  r 2 )(2r )  8 2 r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2(1  r 2 )(2r )  8 2 r  0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1  r 2 ) 2  (2r ) 2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1  r 2  2 2  0‬‬ ‫‪ r  1  2 2   d   n 1  2 2‬‬

‫‪ .4‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ داﻣﻨﻪ از ﺟﺎﯾﮕﺬاري ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻣﯿﺮا در راﺑﻄﻪ ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫‪ X ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  st  max 2 1  ‬‬

‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ اﮔﺮ ‪    n‬ﺑﺎﺷﺪ از راﺑﻄﻪ ي ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ‪ ،‬ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ داﻣﻨﻪ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫‪ X ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  st  max 2‬‬

‫ﮐﻪ اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺸﺎﺑﻪ آن اﺳﺖ ﮐﻪ در راﺑﻄﻪ اﺻﻠﯽ ﺣﺪاﮐﺜﺮ داﻣﻨﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺧﯿﻠﯽ ﮐﻮﭼﮏ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ را‬ ‫ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ﯾﻌﻨﯽ ‪  1‬‬ ‫‪ .5‬داﻣﻨﻪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ در ﺣﺎﻟﺖ ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ واﺣﺪ ﯾﻌﻨﯽ ‪ r  1‬رخ ﻣﯽ دﻫﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ دﻗﯿﻘﺎ ﺣﺎﻟﺘﯽ‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ ‪    n‬ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ در ﻧﻤﻮدار ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﺧﻮاﻫﯿﺪ دﯾﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاي‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ r ‬دﯾﮕﺮ‬

‫ﻗﻠﻪ اي ﻧﺨﻮاﻫﺪ داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫‪ .6‬زاوﯾﻪ ﻓﺎز ‪ ‬و ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ‬

‫‪X‬‬ ‫‪st‬‬

‫ﺑﺴﺘﮕﯽ دارد ‪.‬‬ ‫‪ .7‬در ﺣﺎﻟﺖ ‪  n‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي ﺳﯿﺴﺘﻢ ﯾﻌﻨﯽ ‪ m , k , c‬و ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﺗﺤﺮﯾﮏ ‪‬‬

‫‪ ‬ﺑﺎ اﻓﺰاﯾﺶ ﻣﯿﺮاﺋﯽ زاوﯾﻪ ﻓﺎز اﻓﺰاﯾﺶ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ و ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ‪.‬‬

‫اﻟﻒ – ﻧﻤﻮدار ﻧﺴﺒﺖ داﻣﻨﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ‬

‫ب – ﻧﻤﻮدار ﻓﺎز ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ‬ ‫ﺷﮑﻞ ‪3-2‬‬

‫ﺗﺸﺪﯾﺪ ) رزوﻧﺎﻧﺲ‪: ( 8‬‬

‫ﭘﺪﯾﺪه ﺗﺸﺪﯾﺪ ﻫﻨﮕﺎﻣﯽ رخ ﻣﯽ دﻫﺪ ﮐﻪ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﺗﺤﺮﯾﮏ ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﺷﻮد ﯾﻌﻨﯽ‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﮐﻪ در ﻧﮑﺎت ﺑﺎﻻ ﺗﺮ ﻫﻢ ذﮐﺮ ﺷﺪ‬

‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﯾﺎ ‪ 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺷﻮد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ ) ‪ x(t‬ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ‬

‫ﻣﻘﺪار ‪ t‬ﺑﻪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﻣﯿﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر در ﺷﮑﻞ ‪ 4-2‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ‪ ،‬داﻣﻨﻪ ﭘﺎﺳﺦ اﺟﺒﺎري ﺑﺎ زﻣﺎن اﻓﺰاﯾﺶ ﭘﯿﺪا ﮐﺮده و ﺳﺮاﻧﺠﺎم در ﻧﻘﻄﻪ اي‬ ‫ﺑﻪ ﺑﯿﻨﻬﺎﯾﺖ ﻣﯽ رﺳﺪ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻓﻨﺮ در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم و ﻓﻨﺮ ﻣﯽ ﺷﮑﻨﺪ ‪.‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 4-2‬ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺸﺪﯾﺪ‬

‫‪ -2-2‬ﻧﺎ ﻣﯿﺰاﻧﯽ دو‪‬ار‪: 9‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 5-2‬ﻧﺎ ﻣﯿﺰان دو‪‬ار‬

‫ﻧﺎﻣﯿﺰاﻧﯽ در ﺑﺴﯿﺎري از ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ دو‪‬ار ﻣﻨﺒﻌﯽ ﺑﺮاي ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت اﺗﻌﺎﺷﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺗﻮﻟﯿﺪ‬ ‫ﻧﯿﺮوﻫﺎي ﻧﺎﻣﯿﺰاﻧﯽ ﻧﯿﺰ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬اﮔﺮ ‪ M‬ﺟﺮم ﮐﻞ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﯾﮏ ﺟﺮم ﻧﺎﻣﺮﮐﺰ ‪) m‬ﺟﺮم ﺧﺎرج از ﻣﺮﮐﺰ (‬ ‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ زاوﯾﻪ اي ‪ ‬ﺑﺎ ﻧﺎ ﻣﺮﮐﺰي ‪ e‬دوران ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ ،‬ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Mx  cx  kx  me  sin t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪me‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(k  m  ) 2  (c ) 2‬‬

‫‪Resonance 8‬‬ ‫‪Rotating Unbalance 9‬‬

‫‪X ‬‬

‫‪‬‬

‫)‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪)2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫(‬

‫‪‬‬

‫‪) 2  (2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫( ‪1‬‬

‫‪M X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m e‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 6-2‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﻧﺎ ﻣﯿﺰاﻧﯽ دو‪‬ار‬

‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺑﺮاي ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ﯾﮏ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻟﺒﺎس ﺷﻮﯾﯽ در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻧﺼﻒ )‪ (1/2‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮا ﭘﺎﯾﻪ ﻫﺎﯾﺶ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪:‬‬

‫ب ‪ -‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻟﺒﺎﺳﺸﻮﯾﯽ‬

‫اﻟﻒ – ﻣﺪل ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﯾﮏ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻟﺒﺎس ﺷﻮﯾﯽ‬ ‫ﺷﮑﻞ ‪7-2‬‬

‫‪ -3-2‬ﺗﺤﺮﯾﮏ ﭘﺎﯾﻪ ‪: 10‬‬

‫در ﺑﺴﯿﺎري از ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﮐﻪ روي ﺗﮑﯿﻪ ﮔﺎه ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﻣﺘﺤﺮك ﺳﻮار ﺷﺪه اﻧﺪ ‪ ،‬ارﺗﻌﺎش اﺟﺒﺎري ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺣﺮﮐﺖ‬ ‫ﺗﮑﯿﻪ ﮔﺎه ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺣﺮﮐﺖ ﺗﮑﯿﻪ ﮔﺎه ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﻣﻮﺟﺐ اﻧﺘﻘﺎل ﻧﯿﺮوﻫﺎي ﺑﻪ وﺟﻮد آﻣﺪه ﺑﻪ ﺗﺠﻬﯿﺰات ﺳﻮار ﺷﺪه روي‬ ‫آن ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ دﻣﭙﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ ‪:‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 8-2‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﻪ وﺳﯿﻠﻪ ﺗﺤﺮﯾﮏ ﭘﺎﯾﻪ‬

‫ﭘﺎﺳﺦ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ ؛‬ ‫‪2‬‬

‫)‪‬‬ ‫‪‬‬

‫(‪1 ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ) 2   2  ‬‬ ‫( ‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n    n ‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪|‬‬ ‫‪Y‬‬

‫|‬

‫و اﮔﺮ اﯾﻦ ﭘﺎﺳﺦ را روي ﻧﻤﻮداد ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﻢ ؛‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 9-2‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ دﻣﭙﺮ ﺑﻮﺳﯿﻠﻪ ي ارﺗﻌﺎش ﺗﺤﺮﯾﮏ ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪Base Excitation 10‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﻣﺸﻬﻮر ﮐﺎرﺑﺮد اﯾﻦ ﻧﻮع از ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺗﻌﻠﯿﻖ ﯾﮏ ﺧﻮدرو ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫داده ﺷﺪه اﺳﺖ ؛‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 10 -2‬ﯾﮏ ﺧﻮدو ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ﺷﺪه‬

‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺳﯿﺴﺘﻢ )‪ (1/2‬ﺧﻮدرو ﺑﺎ دو درﺟﻪ آزادي‪ 11‬را ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﻗﺮار زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ‪:‬‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 11-2‬ﻣﺪل )‪ (1/2‬ﺧﻮدرو‬ ‫‪Half car Model with 2 dof 11‬‬

‫ﻓﺼﻞ ‪ -3‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي دو درﺟﻪ آزادي‬

‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺮاي ﺗﺸﺮﯾﺢ ﺣﺮﮐﺘﺸﺎن ﻧﯿﺎز ﺑﻪ دو ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺴﺘﻘﻞ دارﻧﺪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي دو درﺟﻪ آزادي‪ 12‬ﻣﯽ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺷﮑﻞ ﻫﺎي ‪ 1-3‬اﻟﻒ و ب ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﯾﯽ از ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﯽ دو درﺟﻪ آزادي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ‪.‬‬

‫اﻟﻒ ‪-‬‬

‫ب‪-‬‬ ‫ﺷﮑﻞ ‪ 1-3‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي دو درﺟﻪ آزادي‬

‫‪ -1-3‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺣﺮﮐﺖ‬

‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮو ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ وﯾﺴﮑﻮز را ﮐﻪ در ﺷﮑﻞ ‪ 2-3‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ؛‬

‫ﺷﮑﻞ ‪ 2-3‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ دو درﺟﻪ آزادي‬

‫اﮔﺮ ﭼﯿﮑﺮه آزاد ﺟﺴﻢ را ﺑﺮاي ﻫﺮ دو ﺟﺮم‬

‫‪m‬‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪m‬‬

‫رﺳﻢ ﮐﻨﯿﻢ ؛‬

‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ دو ﻣﺨﺘﺼﺎت ) ‪ x1 (t‬و ) ‪ x2 (t‬ﮐﻪ ﺑﺘﺮﺗﯿﺐ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﻫﺎي ﺟﺮم ﻫﺎي‬ ‫ﺗﻌﺎدل ﻧﺴﺒﯽ در ﻫﺮ زﻣﺎن دﻟﺨﻮاه ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫‪Tow Degree Of Freedom System 12‬‬

‫‪m‬‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪m‬‬

‫از وﺿﯿﻌﺖ‬

‫ﻧﯿﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﯽ ﮐﻪ ﺑﺮ ﺟﺮم ﻫﺎي ‪ m1‬و ‪ m2‬اﻋﻤﺎل ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ) ‪ F 1 (t‬و ) ‪ F 2 (t‬ﻫﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺟﺮم ﻫﺎي ‪ m1‬و ‪ m2‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن دوم ﻧﯿﻮﺗﻮن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫) ‪ m1 x1 (t )  (c1  c 2 ) x1 (t )  c 2 x 2 (t )  (k1  k 2 ) x1 (t )  k 2 x 2 (t )  F 1 (t‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪m2 x2 (t )  c 2 x1 (t )  (c1  c 2 ) x 2 (t )  k 2 x1 (t )  (k 2  k 3 ) x 2 (t )  F 1 (t‬‬

‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﻧﺸﺎن ﻣﯿﺪﻫﻨﺪ ﮐﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم‬

‫‪ -2-3‬ﺗﺤﻠﯿﻞ ارﺗﻌﺎش آزاد‬

‫‪m‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺑﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم‬

‫‪2‬‬

‫‪m‬‬

‫ﺗﺎﺛﯿﺮ ﻣﯽ ﮐﺬارد و ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ‪.‬‬

‫ﺣﻞ ارﺗﻌﺎﺷﺎت آزاد ﺣﺮﮐﺖ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪x1 (t )  X 1 cos(t  ‬‬ ‫) ‪x 2 (t )  X 2 cos(t  ‬‬

‫ﮐﻪ در اﯾﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﺣﺪس زده ﺷﺪه ‪ X 1‬و ‪ X 2‬ﺑﺴﺸﯿﻨﻪ داﻣﻨﻪ ﻫﺎ و ‪ ‬زاوﯾﻪ ﻓﺎز اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾﮕﺬاري اﯾﻦ ﭼﺎﺳﺦ ﻫﺎ در‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺣﺮﮐﺖ ‪ ،‬دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﺿﺰاﯾﺐ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ‪.‬‬ ‫) ‪ m1 2  (k1  k 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪det ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ k2‬‬ ‫‪m 2  ( k 2  k 3 ) ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺷﺮط ﭘﺎﯾﺪار ﺷﺪن ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺻﻔﺮ ﺷﺪن دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺿﺮاﯾﺐ اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﻌﻨﯽ ؛‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪(m1 m2 ) 2  (k1  k 2 )m2  (k 2  k 3 )m1  2  (k1  k 2 )(k 2  k 3 )  k 22  0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﯾﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﻌﺮوف اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﻞ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻘﺪار ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﯾﺎ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ‬ ‫ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪1  (k1  k 2 )m2  (k 2  k 3 )m1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m1 m2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪12 ,  22 ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ( k  k ) m  ( k  k ) m  2‬‬ ‫‪ (k1  k 2 )(k 2  k 3 )  k 22  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m1 m2‬‬ ‫‪m1m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﮐﻪ ‪ 1‬و ‪  2‬ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻃﺒﯿﻌﯽ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ ‪ -4‬ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزي ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻧﺮم اﻓﺰار ﻣﺘﻠﺐ )‪(MATLAB‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ ‪:‬‬ ‫‪ MATLAB‬ﺣﺎوي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اي ﻏﻨﯽ از دﺳﺘﻮرات و ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺤﻠﯿﻞ ارﺗﻌﺎش ﺑﺴﯿﺎر ﻣﻔﯿﺪ‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ارﯾﻪ ﺷﺪه در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ‪ ،‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﺧﻄﯽ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻌﻤﻮﻻ در دوره ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﺎت‬ ‫ﻣﮑﺎﻧﯿﮑﯽ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ ﺑﯿﺎن ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬در اﯾﻦ ﻓﺼﻞ ﮐﺎرﺑﺮد ‪ MATLAB‬ﺑﺮاي ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎي ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﺗﺤﻠﯿﻠﯽ آﻣﺪه اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫روش ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﯽ ‪ MATLAB‬ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﯿﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺬرا ﺑﺮاي ورودي ﻫﺎي ﺳﺎده ﻧﯿﺰ راﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ‪.‬‬

‫‪ -1-4‬ﻣﺜﺎل ﻫﺎي ﻧﻤﻮﻧﻪ و ﺣﻞ آن ﻫﺎ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -1‬ﭘﺎﺳﺦ ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم و ﻓﻨﺮ را ﮐﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺤﻠﯿﻠﯽ آن ﻗﺒﻼ در ﻓﺼﻞ اول ﺑﺤﺚ ﺷﺪ را ﺑﻪ ﺷﺮط ﺛﻮاﺑﺖ زﯾﺮ‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ؟‬ ‫‪k  5N / m ,‬‬

‫‪m  1kg‬‬ ‫‪, x (0)  6 m/s‬‬

‫‪x(0)  5m‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -2‬ﻋﺒﺎرت ﺗﺤﻠﯿﻠﯽ ﺑﺮاي ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻣﯿﺮا ﮐﻪ در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ ﺑﺮاي ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ و‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ اوﻟﯿﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫) ‪x(t )  C e  n cos( d t  ‬‬

‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪-1‬‬

‫ﮐﻪ ‪ C‬و ‪ ‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﯿﺎﻧﮕﺮ داﻣﻨﻪ و زاوﯾﻪ ﻓﺎز ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻘﺎدﯾﺮ آﻧﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪)2‬‬

‫‪  n x0  V 0‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪x0 ‬‬

‫‪, C‬‬

‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ MATLAB‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﺮاي‬

‫)‬

‫‪  n x0  V 0‬‬

‫( ‪,   tan -1‬‬

‫‪ n 1   2‬‬

‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪rad‬‬ ‫‪   5‬و ‪ ،   0.05 , 0.1 , 0.2‬ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪0‬‬

‫‪n‬‬

‫‪cm‬‬ ‫‪ x (0)  V 0  60‬رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ ‪.‬‬ ‫‪، x ( 0)  0‬‬ ‫‪sec‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫ﭼﻮن ﻧﺴﺒﺖ ﻫﺎي ﻣﯿﺮاﺋﯽ داده ﺷﺪه در ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻫﻤﮕﯽ ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ از واﺣﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﭘﺲ اﻧﺘﻈﺎر ﻣﺎ از ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻣﯿﺮاﯾﯽ )‪ (Under damped‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫ﺧﺮوﺟﯽ اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ‪:‬‬

‫ﺷﮑﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﻪ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت اوﻟﯿﻪ ﻣﺜﺎل ‪-2‬‬

‫‪rad‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ -3‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ MATLAB‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﯿﺎن ﺷﺪه در ﻣﺜﺎل ‪ -1‬را ﺑﺮاي‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪ x (0)  V 0  60‬رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ ‪.‬‬ ‫‪   1.3 , 1.5 , 2‬ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ ‪، x(0)  0‬‬ ‫‪sec‬‬

‫‪، n  5‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫ﺑﺎ ﮐﻤﯽ ﺗﻐﯿﯿﺮ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻣﺜﺎل ‪ -2‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ‪ .‬ﻗﺎﺑﻞ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﭼﻮن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﯿﺮاﺋﯽ در‬ ‫اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از واﺣﺪ اﺳﺖ ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﮐﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﻮق ﻣﯿﺮا ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ‪(Over damped) .‬‬

‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ‪:‬‬

‫ﺷﮑﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺟﺮم ‪ ،‬ﻓﻨﺮ و دﻣﭙﺮ ﺑﻪ ﺗﺤﺮﯾﮑﺎت اوﻟﯿﻪ ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -4‬اﻧﺪازه ﭘﺎﺳﺦ ﺑﯽ ﺑﻌﺪ ﺑﺮاي ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﻣﺘﺤﺮك ﮐﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ دارد ) ﺷﮑﻞ زﯾﺮ( راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ‪ .‬ﺳﭙﺲ‬ ‫زاوﯾﻪ ﻓﺎز ﭘﺎﺳﺦ را ﺑﺮاي ﻫﻤﺎن ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﻣﺘﺤﺮك ﮐﻪ ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺎرﻣﻮﻧﯿﮏ دارد را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ؟‬

‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪-4‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫اﻧﺪازه ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/ 2‬‬

‫‪| G (i ) |‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻘﺪار ) ‪ X (i‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪:‬‬ ‫‪1/ 2‬‬

‫‪| G (i ) | A‬‬

‫ﮐﻪ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪| X (i ) | 1  ‬‬ ‫‪  n‬‬ ‫‪ ‬‬

it

y (t )  Re A e

it

x(t )  X (i ) e

: ‫و ﺑﺮاي ﻓﺎز‬

 3     2      n   ( )  tan 1  2      2   1        n    n  

    2          

. ‫ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ‬r 

 

‫ﮐﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬ n

. ‫ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد‬، ‫اﻧﺪازه ﭘﺎﺳﺦ ﺑﺪون ﺑﻌﺪ ﮐﻪ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ اﻧﺘﻘﺎل ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽ ﺷﻮد‬   2     1      | X (i ) | n     2 A      2    1      n    n 

    2        

‫ﺷﮑﻞ اﻟﻒ ‪-‬‬

‫ﺧﺮوﺟﯽ اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﺷﮑﻞ ب ‪-‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ – 5‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ MATLAB‬ﯾﮏ ﻓﺎﯾﻞ اﺳﮑﺮﯾﭙﺖ ﺑﺮاي رﺳﻢ اﻧﺪازه ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﺟﺮم ﻫﺎي ﻧﺎﻣﺘﻌﺎدل ﭼﺮﺧﺸﯽ )ﺷﮑﻞ روﺑﺮو( ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ؟‬

‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪ -5‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﯾﮏ درﺟﻪ‬ ‫آزادي ﺑﺎ ﺟﺮم ﺧﺎرج از ﻣﺮﮐﺰ ﭼﺮﺧﺸﯽ‬

‫ﺣﻞ ‪ :‬اﻧﺪازه ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﮐﺎﻧﺴﯽ از راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/ 2‬‬

‫‪| G (i ) |‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ي ‪ MATLAB‬را ﺑﺮاي ‪   0.05 , 0.01 , 0.15 , 0.2 , 0.25 , 0.5 , 0.75 , 1 , 1.25 , 1.5‬و‬ ‫‪n‬‬

‫ﺑﺎ ﮔﺎم ﻫﺎي ‪ 0/01‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺧﺮوﺟﯽ اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ ‪.‬‬

‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪-5‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -6‬ﻣﺪل ﺳﺎده ﺷﺪه ﯾﮏ ﺳﯿﺴﺘﻢ دو درﺟﻪ آزادي ﺗﻌﻠﯿﻖ ﯾﮏ‬ ‫اﺗﻮﻣﺒﯿﻞ در ﺷﮑﻞ روﺑﺮو ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫‪ MATLAB‬ﯾﮏ ﻓﺎﯾﻞ اﺳﮑﺮﯾﭙﺖ ﺑﺮاي ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﻃﺒﯿﻌﯽ اﯾﻦ‬ ‫ﻣﺪل ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ؟‬ ‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪-6‬‬

‫‪ r ‬از ‪ 0‬ﺗﺎ ‪3‬‬

‫اﺑﺘﺪا ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﻣﻌﺎدﻻت ﺣﺎﮐﻢ ﺑﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻮن ﺑﺮاي ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺎي ﺧﻄﯽ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ اوﻟﺮ‬ ‫ﺑﺮاي ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺎي دوراﻧﯽ ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ‪.‬‬ ‫‪  F  mx‬‬ ‫‪ mx  2kx  (l 2  l1 )k  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ M c. g  I  I  (l 2  l1 )kx  (l 2  l1 )k  0‬‬

‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ اﮔﺮ رواﺑﻂ را ﺑﻪ ﻓﺮم ﻣﺎﺗﺮﯾﺴﯽ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﻢ و ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺟﺮم و ﺳﺨﺘﯽ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﻢ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ؛‬ ‫‪(l 2  l1 )k   x  0‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪(l 22  l12 )k    0‬‬

‫‪m 0  x  2k‬‬ ‫‪ 0 I    (l  l )k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   2 1‬‬

‫ﮐﻪ ‪ x‬ﺟﺎﺑﺠﺎﯾﯽ ﻣﺮﮐﺰ ﺟﺮم و ‪ ‬دوران زاوﯾﻪ اي ﺟﺴﻢ از ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ اﻓﻘﯽ ﺧﻮد اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ در اﯾﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻫﺎي زﯾﺮ ﻣﻔﺮض اﻧﺪ ‪.‬‬ ‫وزن اﺗﻮﻣﺒﯿﻞ ‪ W  5000lb ،‬و ﻣﻤﺎن اﯾﻨﺮﺳﯽ ﻣﺮﮐﺰ ﺛﻘﻞ ‪ I  400 slug / ft 2‬و ﺿﺮﯾﺐ ﻓﻨﺮي ‪k  2500lb / ft‬‬ ‫‪l1  3.4 ft‬‬ ‫‪l 2  4.6 ft‬‬

‫ﺣﻞ اﯾﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ‪:‬‬

‫در ﺻﻮرت دادن ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻫﺎي ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺧﺮوﺟﯽ زﯾﺮ را ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ – 7‬ﺑﺮاي ﺳﯿﺴﺘﻢ ارﺗﻌﺎﺷﯽ ﯾﮏ درﺟﻪ آزادي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم را ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ‬ ‫‪ x(0)  0.15m‬و ‪ x (0)  0.04m / s‬ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ m  1kg‬و ‪ c  5 Ns / m‬و ‪ k  5 N / m‬ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬

‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل ‪-7‬‬

‫ﺣﻞ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻮن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ؛‬ ‫‪mx  cx  kx  0‬‬

‫ﺑﺎ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ داده ﺷﺪه ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻻﭘﻼس ﻣﻌﺎدﻻت ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪m s 2 X ( s )  sx(0)  x (0)  csX ( s )  x(0)  kX ( s )  0‬‬ ‫)‪(ms 2  cs  k ) X ( s )  mx(0) s  mx (0)  cx(0‬‬

‫ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺪﻟﻪ ﺑﺎﻻ و ﺟﺎﯾﮕﺬاري ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻋﺪدي داده ﺷﺪه ‪ ،‬دارﯾﻢ ؛‬ ‫‪mx(0) s  mx (0)  cx(0) 0.15s  0.04  5  0.15 0.15s  0.79‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ms 2  cs  k‬‬ ‫‪s 2  5s  5‬‬ ‫‪s  5s  5‬‬

‫‪X ( s) ‬‬

‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎز ﻧﻮﯾﺴﯽ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ‪:‬‬

‫ﻟﺬا ﺣﺮﮐﺖ ﺟﺮم ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺎم واﺣﺪ‪ 13‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ ؛‬

‫‪0.15s 2  0.79s 1‬‬ ‫‪s 2  5s  5 s‬‬ ‫‪X ( s ) 0.15s  0.79‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫)‪Y ( s‬‬ ‫‪s  5s  5‬‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻣﺘﻠﺐ ‪ ،‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دﺳﺘﻮرات ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﮐﻨﺘﺮل اﺗﻮﻣﺎﺗﯿﮏ در ﯾﮏ ﻓﺎﯾﻞ اﺳﮑﯿﺮﯾﭙﺖ وارد ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ‪.‬‬

‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ ‪،‬‬ ‫‪Unit step 13‬‬

‫‪X ( s) ‬‬

‫‪G (s) ‬‬

-7 ‫ﺷﮑﻞ ﻣﺜﺎل‬

: ‫ﻣﺮاﺟﻊ‬ 1. Fundamentals Of Vibration Leonard Meirovitch_International Edition 2001, Mc Graw-Hill 2. Mechanical Vibration _Second Edition (17-FEB-2000) Singiresu S.Rao 3. Solving Vibration Analysis Problem Using Matlab__Rao V.Dukkipati . ‫ ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‬DJVU ‫ و‬PDF ‫در ﺧﺎﺗﻤﻪ ﯾﮏ ﻟﻮح ﻓﺸﺮده ﺣﺎوي ﻣﺮاﺟﻊ ﺑﺎﻻ در ﻗﺎﻟﺐ ﺳﻨﺪ‬