Traite de Geophysique Interne. 1. Sismologie et Pesanteur

TRAITÉ DE

GÉOPHYSIQUE I N T E R N E

CHEZ

TRAITÉ

LE MÊME

D ' I N F O R M A T I Q U E GÉOLOGIQUE,

ÉDITEUR

SOUS la direction

de P . L A F I T T E .

1 9 7 2 , 6 2 4 pages,

1 5 6 figures, 1 3 tableaux, 3 planches, 9 abaques. T R A I T É DE TECTONIQUE, par J . G O G U E L . 2 143")

294 301 305 305 308

6. Séismes profonds

309

7. Spectre des ondes de volume

314

8. Détermination des paramètres du foyer. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Tables de durée de propagation

Méthode des couples de stations Méthode de Jeffreys Tables de durée de propagation Correction pour l'ellipticité de la Terre

314 315 316 316 318

9. Déformation des ondes par la croûte et les couches superficielles

319

BIBLIOGRAPHIE

319

CHAPITRE 1 2 .

— Ondes guidées.

Vibrations propres : résultats expérimentaux, par

Nelly JOBERT

321

1. Observation des vibrations propres

321

2. Observation des ondes superficielles

327

2 . 1 . Ondes dites d u manteau 2 . 2 . Ondes de la croûte 2.3. Effets d'une couche d'eau. Cause et propagation de l'agitation microsis­ mique générale 2.4. Ondes Τ BIBLIOGRAPHIE

327 330 336 337 337

XVUI

TABLE

DES

MATIÈRES

Modèles mathématiques de failles sismiques, par Georges

CHAPITRE 1 3 . —

JOBERT

341

1. Introduction

341

2. Formule de Betti

343

3. Application

345

au jeu d'une faille

4. Radiation à grande distance d'un foyer étendu

348

5. Problème inverse

351

6. Champ du déplacement au voisinage d'une faille mobile

352

7. Déformations statiques

353

7 . 1 . Dislocation dans un milieu indéfini 7.2. Faille dans une sphère

353 354

8. Autres types de sources

355

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE

355

Paramètres des sources sismiques. Sismicité, par Jean

14. —

1. Introduction 2. Direction

d'un séisme

2 . 1 . L a répartition en quadrants 2 . 2 . Cas des séismes lointains

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

357 357

du premier mouvement

3. Estimation

COULOMB

classique de l'énergie émise au cours d'un séisme

Généralités Energie d'une onde plane Corrections de trajet en théorie des rais Utilisation des ondes de surface

4. Magnitudes 4 . 1 . Définition des magnitudes 4 . 2 . Relation entre la magnitude et l'énergie émise 4 . 3 . Statistique des séismes par magnitude 5. Sismicité

357 357 360 361 361 361 363 364 364 364 366 366 368

5 . 1 . Cartes de sismicité 5.2. Répartition géographique des séismes normaux et profonds

368 368

6. Energie libérée, rendement sismique, modèles statiques de sources sismiques

373

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Généralités Energie libérée, rendement sismique Modèles à fissures aérées Modèles à glissements prescrits Modèles à frottement (quasi statiques)

7. Modèles dynamiques de sources sismiques 7 . 1 . Généralités 7.2. Modèle ponctuel. M o m e n t sismique

373 373 373 375 376 383 383 383

TABLE

DES

XIX

MATIÈRES

7.3. Source à propagation uniforme 7.4. Directivité des ondes de surface. Réduction au cas ponctuel 7.5. Le moment sismique d'après les ondes d u manteau. Exemple d u séisme de Niigata 7.6. La coda des séismes faibles 7.7. Observations près d'une faille 7.8. Conclusions 8. Energie et moment sismique d'après les ondes de volume 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

388 391 391 392 392

Généralités Source à propagation uniforme. Calcul des déplacements Calcul d u moment sismique et de l'énergie Modèles statistiques de sources sismiques Résultats : Corrélation entre magnitude et moment sismique; chutes de contrainte, dimensions de la source

8.6. Evolution d'une région faillée

392 394 397 398 400 402

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE 1 5 . —

384 384

403

Les instruments de géodésie, de topographie et de gravimétrie,

par A l a i n CouzY

407

1. Géodésie classique

407

1.1. Mesures angulaires 1.2. Mesures de longueurs 1.3. Nivellements

407 409 410

2. Géodésie spatiale

411

2 . 1 . Mesures angulaires (méthodes optiques) 2.2. Mesures de distances 3. Topographie

411 412 413

et radiolocalisation

3 . 1 . Cartographie 3.2. Topographie 3.3. Radiolocalisation

413 413 415

4. Gravimétrie 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

416

Mesures absolues Les gravimètres Dérive et étalonnage de l'appareil Mesures e n mer

416 417 419 419

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE 1 6 . —

Champ de pesanteur et forme de la Terre, par Jean

420

KOVALEVSKY

421

1. Introduction

421

2. Le champ de la pesanteur

422

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Le potentiel de gravitation newtonien Le potentiel axifuge Verticales et surfaces équipotentielles ; le géoïde A l t i t u d e d ' u n lieu

423 424 425 425

XX

TABLE

DES

MATIÈRES

3. Modèles simplifiés 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

427

Théorème de Stokes Les ellipsoïdes de M a c l a u r l n L a formule de Somigliana Ellipsoïde international de référence

4 . Forme de la Terre par des mesures au sol

427 428 430 431 432

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

L a triangulation et le nivellement 433 Les déviations de la verticale 434 Nivellement astro-géodésique 436 Réduction des mesures gravimétriques 437 Le champ de pesanteur déduit des anomalies à l'air libre 442 Relations entre les anomalies de la pesanteur et les déviations de la ver­ ticale 446 4 . 7 . Détermination globale d u géoïde 446

5. Mouvement 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

d'un satellite artificiel

Expression d u potentiel extérieur Le problème des deux corps ; éléments de l'orbite Théorie des perturbations Mouvement d ' u n satellite soumis à la perturbation en Effet des autres perturbations

6 . Méthodes spatiales 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

456

Les observations de satellites Méthodes géométriques Méthodes dynamiques Méthode semi-dynamique Méthodes mixtes Résultats obtenus

7. Conclusions

et méthodes d'avenir

Méthodes géométriques Méthodes semi-dynamiques Méthodes dynamiques Satellite altimétrique

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE 1 7 . —

448 448 450 452 453 455

456 457 459 461 461 463 467 467 468 468 469 470

Isostasie, propriétés rhéologiques du manteau supérieur, par

Louis L L I B O U T R Y 1. Concepts d'isostasie,

473 de régionalité, et anciens modèles

1 . 1 . Equilibre isostatique et anomalie isostatique 1 . 2 . Modèle d ' A i r y - V e n i n g Meinesz 1 . 3 . Conceptions actuelles 2 . Le problème inverse : origine des anomalies gravimétriques 3. Mouvements

verticaux

3 . 1 . V a r i a t i o n d u niveau des océans 3 . 2 . Mouvements tectoniques 3 . 3 . Soulèvement post-glaciaire

473 473 475 476 477 481 481 483 484

TABLE 4. Théories du relèvement isostatique 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

DES

XXI

MATIÈRES

489

post-glaciaire

Equations pour une viscosité linéaire uniforme 489 Asthénosphère extrêmement épaisse (A:// J> 1) 490 Asthénosphère très mince ( A : / / 1 ) 491 Modèles plus complexes 492 Exploitation des données d u soulèvement post-glaciaire de la Fennoscandie 496

5. Propriétés mécaniques de la lithosphère

499

5 . 1 . Rigidité en flexion de la lithosphère : problème bidimensionnel (chaîne de volcans) 5.2. Rigidité en flexion de la lithosphère : cas général 5.3. Evolution au cours d u temps BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE 1 8 . —

499 502 503 505

Marées terrestres, par Georges

507

JOBERT

1. Introduction

507

2. Forces et potentiels

507

de marée

3. Ondes de marée

510

4. Déformations de la Terre dues aux marées

513

5. Phénomènes observables 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

514

Surface d'équilibre d ' u n corps fluide Déviation de la verticale par rapport au sol Variation de l'intensité de la pesanteur Variation de la direction de la verticale par rapport à l'axe des pôles Détermination des nombres Λ et / par des mesures d'extension Détermination d u nombre A: : r o t a t i o n de la Terre, orbites de s a t e l l i t e s . . . .

6. Résultats d'observation

concernant

les fadeurs

514 515 516 517 518 519 519

γ et δ

6 . 1 . Méthodes d'analyse

519

6.2. Marée gravimétrique

520

7. Résultats théoriques

521

8. Phénomènes perturbateurs 9. Effets dynamiques

dus au noyau

523 524

fluide

BIBLIOGRAPHIE

CHAPITRE 1 9 . —

Variation du pôle et de la vitesse de la Terre, par Bernard

1. Généralités 2. Rotation de la Terre indéformable 2 . 1 . Précession et n u t a t i o n 2.2. Polhodie et vitesse de rotation

527

GUINOT

529 529 530 530 531

XXII

TABLE

DES

MATIÈRES

3. Méthodes de Vastrométrie classique 3 . 1 . Principes généraux 3 . 2 . C h o i x des paramètres décrivant la r o t a t i o n terrestre 3 . 3 . Réduction des observations astronomiques 4. Méthodes nouvelles

terrestre dans les temps géologiques

5 . 1 . Déplacement des pôles 5.2. Vitesse de r o t a t i o n 6. Principaux

résultats expérimentaux

6 . 1 . Polhodie 6.2. Vitesse de rotation 7. Rotation 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

532 532 534 536

4 . 1 . Interférométrie 4 . 2 . Méthodes dynamiques 4 . 3 . Remarque 5. La rotation

532

536 536 537 537 537 537 538 538 540

de la Terre déformahie, base théorique

Equations de Liouville N u t a t i o n libre de la Terre déformable Polhodie annuelle Effet des marées zonales sur la vitesse instantanée de r o t a t i o n Effets de mouvements cycliques sans changement des moments d'inertie Cas général

541 541 543 546 547 549 549

8. Interprétation détaillée des résultats expérimentaux. Termes annuels

550

9. L'oscillation

chandiérienne

551

9 . 1 . Période de l'oscillation 9 . 2 . Amortissement de l'oscillation

551 551

10. Excitation 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6.

de l'oscillation

cliandiérienne

Mouvements atmosphériques et océaniques Impulsions Séismes Couples-impulsions o u séismes ? Battements Autres excitations

556

\\. La dérive du pôle 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

552 552 552 553 554 555 555

L'aplatissement fossile et la dérive d u pôle Mouvements relatifs lents au sein de la Terre Fonte des glaces Irrégularités de la dérive

12. Petits mouvements périodiques du pôle

556 557 557 558 558

1 2 . 1 . N u t a t i o n diurne

558

12.2. N u t a t i o n presque diurne

559

13. Ralentissement

progressif

de la rotation

559

14. Irrégularités périodiques de la vitesse de rotation

560

15. Fluctuations irrégulières de la vitesse de rotation 1 5 . 1 . Existence d ' u n couple interplanétaire ( ^ 3 )

560 560

TABLE

DES

XXIH

MATIÈRES

1 5 . 2 . Vaiiatioa d u coefficient d'inertie (•33

560

1 5 . 3 . Mouvements relatifs de matière (action sur/13)

561

16. Conclusions

562

BIBLIOGRAPHIE

562

CHAPITRE 2 0 . —

Problèmes inverses en géophysique, par Georges

JOBERT

565

1. Introduction

565

2. Modèles. Fonctionnelles.

566

Non-unicité de la solution

3. Modèle moyen et pouvoir séparateur pour une collection

de fonctionnelles

linéaires.

568

4 . Cas de mesures entachées d'erreurs

571

5. Cas des fonctionnelles

571

non linéaires

BIBLIOGRAPHIE

573

Modèles de l'intérieur de la Terre (densité, élasticité), par

CHAPITRE 2 1 . —

Jean C O U L O M B

575

1. L'hypothèse hydrostatique 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

575

Conditions d'équilibre Conditions supplémentaires classiques L'équation différentielle de Clairaut L'aplatissement hydrostatique

2. La densité déduite des ondes de volume 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Critère de Bullen. C o n d i t i o n d ' A d a m s et W i l l i a m s o n Equation de B i r c h - M u r n a g h a n Relations empiriques Hétérogénéité d u manteau supérieur

3. Modèles récents 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

BIBLIOGRAPHIE

590 591 591 591 592

Généralités sur la prospection géophysique, par Robert

1. Les objectifs

582 582 583 584 588 590 590

L'aplatissement interne Les nombres de Love L a température dans la Terre L'anélasticité de la Terre

CHAPITRE 2 2 . —

578 578 579 580 581 582

E m p l o i des ondes longues et des oscillations propres Modèles de Bullen et H a d d o n Modèle de D e r r Modèles de Press Modèles régionaux Modèles de Dziewonski et G i l b e r t

4 . Autres paramètres 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

575 576 576 577

de la prospection

2. Les méthodes

géophysique

NEUMANN

593

593 593

XXIV

TABLE

3 . Champ d'application

DES

596

géophysique

597

des résultats

Les méthodes de prospection sismique, par Jean

CHAPITRE 2 3 . —

FOURMANN

et

Robert N E U M A N N

599

1. Remarque

599

préliminaire

2 . Les différents types de trajets sismiques

599

3. Principe

601

de la méthode sismique-réfraction ; les dromochroniques

4 . Exploitation

602

des résultats en sismique-réfraction

5. Quelques variantes de la méthode sismique-réfraction

603

6 . Principe de la méthode sismique-réflexion

604

7. Composition

605

; couverture multiple

8 . Les corrections

605

9 . Les réflexions multiples

606

10. Représentation des résultats : la section

606

1 1 . Déconvolution ; anti-résonance

608

12. Interprétation

609

BIBLIOGRAPHIE

609

CHAPITRE 2 4 . —

'i.

595

des différentes méthodes ; aspect traditionnel

4 . Quelques aspects actuels de la prospection 5. L'interprétation

MATIÈRES

Prospection gravimétrique par Robert

NEUMANN

613

1. Introduction

613

2 . Mesures et corrections

613 613

Interprétation des résultats 4 . Traitement

614

des résultats

5. Interprétation quantitative 6 . Développements modernes de la prospection

619 619

gravimétrique

BIBLIOGRAPHIE

CHAPETRE 2 5 . —

1. Fonctions 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.

Fonctions de Legendre et de Bessel, par Georges de Legendre

Polynômes orthogonaux sur (— 1 , + 1 ) Formule de Rodrigues Normalisation Equation diffcrentielie Fonctions harmoniques sphériques de révolution Potentiel d'une source Relations de récurrence Fonctions harmoniques sphériques dans le cas général Fonctions de Legendre associées Orthogonalité des fonctions associées

620

JOBERT

623

623 623 624 624 625 625 626 627 627 628 628

TABLE i . 11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15.

DES

MATIÈRES

Relations de récurrence Normalisation des fonctions associées Fonctions harmoniques de surface Formules d ' a d d i t i o n Expressions asymptotiques

2. Fonctions de Bessel et de Hankel 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

Equation des ondes en coordonnées cylindriques Equation des ondes en coordonnées sphériques Représentation intégrale. Fonctions de H a n k e l Fonctions de Bessel et de N e u m a n n Relations de récurrence des fonctions de Bessel Fonctions d'ordre demi-entier Intégrale de Fourier-Bessel Zéros des fonctions de Bessel Méthode d u col A p p l i c a t i o n a u calcul d ' u n développement asymptotique des fonc­ tions de Hankel

BIBLIOGRAPHIE

Index alphabétique

XXV 629 629 630 631 631 632 632 633 633 634 634 635 635 635 635 636 637

639

CHAPITRE

PREMIER

MÉCANIQUE DES SOLIDES

: BASES PHYSIQUES

par Louis

LLIBOUTRY

Introduction Ce long chapitre renferme des n o t i o n s de mécanique physique des m i l i e u x continus, indispensables a u géophysicien mais q u i o n t à peu près disparu de l'enseignement donné aux physiciens dans l'Université française, au p r o f i t de la mécanique statistique et quantique. A partir des expériences c o u r a m m e n t réalisées dans les laboratoires d'essais de matériaux se sont dégagés des modèles mathématiques simples, constituant des cas limites : u n corps peut être élastique, visqueux « newtonien », plastique « idéal ». I l peut devenir plastique o u casser à u n seuil bien défini de c o n t r a i n t e . Ces modèles seront exposés en premier lieu, ainsi q u ' u n aperçu de solutions mathématiques auxquelles ils conduisent. Mais la réalité est i n f i n i m e n t plus complexe que ne le laissent entrevoir ces modèles avec lesquels t r a v a i l l e n t les mathématiciens s'occupant de mécanique. Pour en rendre compte i l faut s'intéresser aux processus se p r o d u i s a n t à l'échelle atomique, aux défauts d u réseau cristallin, et à l'agencement des cristaux. Cette connaissance est d ' a u t a n t plus nécessaire que les pressions, températures et durées intervenant en géophysique interne ne sont presque jamais reproductibles en laboratoire. O r o n ne peut extrapoler les lois physiques expérimentales que si l'on a de bonnes raisons de penser que les processus mis en j e u ne changent pas de nature. 1. — C O N T R A I N T E S ET

DÉFORMATIONS

/./. — Contraintes. — Considérons u n m i l i e u macroscopiquement c o n t i n u et localement homogène. L a n o t i o n q u ' i l y existe des forces internes à courte distance, assurant sa cohésion (s'il s'agit d ' u n solide) o u permettant le transfert de la quantité de mouvement d'une couche à la couche voisine (s'il s'agit d ' u n liquide visqueux) c o n d u i t à étudier les deux forces directement opposées

2

MÉCANIQUE

DES

SOLIDES

: BASES

PHYSIQUES

d F entre les deux côtés d ' u n élément de surface d'aire dS, de normale u n i t a i r e n. ûF/dS est la contrainte (en anglais : stress). Si o n isole par la pensée u n volume i n f i n i m e n t petit, les forces massiques q u ' i l subit sont négligeables devant les forces de surface. E n écrivant l'équilibre de ces dernières o n démontre que les composantes X, Y, Ζ de la c o n t r a i n t e sur n dS sont des fonctions linéaires des composantes « , /?, y de n : X = τ^,,α + T^yP + τ^,γ y = ry,^(x + τ„β + Xy.y Ζ = τ^.^ α + β + τ,, y .

(1)

N o u s supposons q u ' i l n'existe pas dans le m i l i e u de forces internes assimi­ lables à des couples (tel serait le cas, par exemple, dans un m i l i e u ferromagné­ tique). A l o r s la matrice (TJJ), où / et/désignent x, y o u z, est symétrique. Sur la surface l i m i t a n t u n parallélépipède élémentaire dx, dy, dz s'exercent des contraintes de cisaillement o u cissions (en anglais : shear stresses) T^J, avec / # J, et des contraintes normales τ,·;, p o u r lesquelles o n adopte souvent la n o t a t i o n de V o n K a r m a n σ, (c'est-à-dire σ^, σ^, σ^. D ' u n e façon générale les σ désigneront t o u j o u r s des contraintes normales.) N o u s compterons positivement les contraintes normales q u i tendent à étirer le corps {tractions) ; négativement celles q u i tendent à le c o m p r i m e r {compressions). Les opposés des contraintes normales (— σ;) seront appelées des pressions. ( E n Mécanique des Sols, o n fait la c o n v e n t i o n de signe c o n t r a i r e ; contrainte n o r m a l e et pression sont alors synonymes). Tenons compte maintenant d u fait que les contraintes sont f o n c t i o n de X, y, z, et que le m i l i e u est soumis aux forces massiques de la pesanteur et de l'inertie. I l en résulte sur un volume élémentaire des forces i n f i n i m e n t petites comme dx dy dz q u i doivent également s'équilibrer. O n en déduit, en appe­ lant gj = —dVjdXi les composantes de la pesanteur, celles de l'accélération, et avec la c o n v e n t i o n de s o m m a t i o n d'Einstein :

^

+ Pg. = P7..

(2)

7 . 2 . — Diagramme de Mohr. — Dans le cas général, la c o n t r a i n t e relative à une surface n dS peut être décomposée en une c o n t r a i n t e normale Λ'^ et une cission Τ : N

=aX

+ βΥ + yZ

= {βΖ En u n p o i n t les directions T e s t nulle. A l o r s

yYf

\

+ (yX -

principales

Xja

=

aZf

+ ( α 7 - βΧΫ

| "

de n sont celles p o u r lesquelles la cission

ΥΙβ = Z/y = σ

(4)

CONTRAINTES

ET

DÉFORMATIONS

3

σ est donné par l'équation aux valeurs propres de la matrice (xij) :

Ξ

-

+

/,

-

/2 σ + /3

= 0 .

(5)

σ. — σ Dans le cas général elle a 3 solutions distinctes : σι > ffj > σ^. Ce sont les contraintes principales. O n démontre que les t r o i s directions principales corres­ pondantes Πι, Tii, sont orthogonales entre elles. Si o n les prend c o m m e réfé­ rentiel, les équations (1) se réduisent à X = ασι

Ζ = 7^3

Y =

(6)

et donc : Ν

=

σ2

+

+

(7)

Si l ' o n porte Λ' en abscisse et Γ en ordonnée (diagramme de Mohr), toutes les valeurs possibles de (Λ^, Τ) p o u r u n p o i n t donné d u m i l i e u c o u v r i r o n t u n certain domaine. Repérons η en coordonnées sphériques : α = sin φ cos Q β = s'm ψ sm 0

(8)

y = cos φ et portons ces valeurs dans (7). E n éliminant 0, o n parvient à : (iV -

\

t

^

(σ3 -

^

' cos^

+ ( ^ )

' sm^ cp .

(9)

Lorsque η décrit u n parallèle φ = Cte, le p o i n t (Λ^, Τ) décrit u n arc d ' u n cercle centré au p o i n t (σ, + σ2)/2, 0. En éliminant au contraire φ o n obtient après d'assez longs calculs :

•1' =

ίσ^-Ν]

Ν

-

(aj

- σ , ) σ, cos^ θ + (σ^ -

02) σ2 sin^

— σ, cos^ θ — σ2 sin^ θ

(10)

Lorsque η décrit u n parallèle θ = Cte, le p o i n t (yV, T ) décrit u n arc d ' u n cercle ayant son centre sur l'axe des Ν et passant p a r (03,0). Finalement (Λ'^, Τ) peut se t r o u v e r dans t o u t le domaine limité p a r 3 d e m i cercles centrés sur l'axe des IV ( F i g . 1). Les angles φ et (ί se retrouvent sur ce diagramme de M o h r . O n v o i t que la cission est toujours maximale sur les plans bissecteurs de ( H J , n3), et v a u t (σ^ - σ,)/2.

MÉCANIQUE

4

DES SOLIDES

z

: BASES

PHYSIQUES

Τ n

çLiN θ

FiG. 1 . — Représentation Je Mohr

de l'état des contraintes

en un point.

a) Repérage d ' u n plan par sa normale « ; h) Pression (— Λ0 et cission (T) sur ce plan.

1.3. — Invariants. — Revenons aux coordonnées cartésiennes quelconques, σ ] , ff2, ne dépendant pas d u référentiel constituent trois invariants de ( τ y ) , mais la d o u b l e inégalité obligerait souvent à changer les numérotations d ' u n domaine à l'autre d u m i l i e u . P o u r que les problèmes restent analytiques o n d o i t prendre comme invariants des expressions symétriques en σ^, Oj, σ-^ : /,

=

ffi

+

(T2 +

ffa

Ij = σι σ2 + ffj σ^, +

1^ =

σ^.

(11)

En fait a u l i e u de / i o n utilise la pression moyenne ( o u octaédrale) : -

σο = - /,/3 =

- (σι + σ2 + σ3)/3 = -

(σ^ + σ,, + σ,)/3

(12)

q u i , dans le cas d ' u n état hydrostatique (σι = σ2 = σ^), se réduit à la pression hydrostatique ( o u « lithostatique » , s'il s'agit de roches). A /2 et /3 o n préfère les invariants analogues définis à p a r t i r d u déviateur. O n appelle déviateur des contraintes o u contrainte anisotrope le tenseur (τ,-^· — ô,j), c'est-à-dire :

(13)

O n écrit souvent σ,' au l i e u de τ » . Le déviateur des contraintes a mêmes directions principales que le tenseur des contraintes et c o m m e valeurs propres σι —σο, σ2-σο, σ 3 - σ ο . Son premier i n v a r i a n t est n u l . Le deuxième s'écrira, c o m p t e tenu que τ^^ = τ^^, etc. : / 2 = σ; σ; + σ; σ; - f σ > ; - τ% - τ% -

τΐ

(14)

CONTRAINTES

Soit, compte tenu de (σ'^ +

ET

DÉFORMATIONS

5

+ σ'^Ϋ = Ο

\2

= i[(