Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen

Heinrich Martini

Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen M it 52 Abbildungen und 5 Tabellen

Dr. Alfred Hüthig Verlag Heidelberg

Fachbuchreihe Angewandte Elektronik für Fachhochschulen Herausgeber: Dr. phil. VIKTOR FETZER

Dipl.-Ing. H e in r ic h M a r t in i , Jahrgang 1928, beendete 1953 mit der Diplom­ hauptprüfung sein Studium der Eiektroteehnik an der Technischen Universi­ tät München. Von 1954 bis 1963 war er Entwicklungsingenieur für Nachrich­ tenkabel bei der Siemens AG , Neustadt b. Coburg. Seit 1963 ist er Dozent für Technische Elektrizitätslehre, Theoretische Elektrotechnik und Nachrichten­ übertragungstechnik an der Fachhochschule Coburg.

ISB N 3 - 7 7 8 5 - 0 2 9 2 - 1 D as W erk ist u rh eb errech tlich g esch ü tzt. D ie dadurch b egrü n d eten R ech te, in sb eso n d ere d ie d er Ü b e rsetzu n g d es N ach d ru ck es, der E n tn a h m e v o n A b b ild u n g en , der F u n k ­ sen d u n g, der W iedergab e a u f p h o to m e ch a n isc h e m oder äh n lich em W eg e und der S p eich erun g in D aten verarb ei­ tu n gsan lagen b leib e n , auch b ei nur a u sz u g sw eiser V erw ertung, Vorbehalten. B ei V erv ielfä ltig u n g en für gew erb lich e Z w eck e ist gem äß § 54 U rh G e in e V erg ü tu n g an d en V erlag zu za h le n , deren H ö h e m it d em V erlag zu verein b aren ist. © 1974 D r. A lfred H ü th ig V erlag G m b H , H eidelberg Printed in G erm a n y E in b a n d g e sta ltu n g : A lfred K ru g m a n n , S tuttgart B in d u n g: G ro ß b u ch b in d erei A lo y s G raf, H eid elb erg

Vorwort Dieses Buch will ausführliches und grundlegendes Wissen über die gewöhnliche Leitungstheorie vermitteln. Es werden die Aus­ breitungsvorgänge auf idealen und wirklichen Mehrfachleitungen für den stationären Zustand bei sinusförmiger Erregung behandelt. Die für alle Leitungen unabhängig vom Verwendungszweck gelten­ den theoretischen Grundlagen werden so dargestellt, daß die Zusam­ menhänge zwischen den exakten Ergebnissen der Theorie und den in der Praxis üblichen Näherungen zur Berechnung sowie Messung der vom Konstruktionsprinzip abhängigen Übertragungseigenschaf­ ten untersucht werden können. Einzelheiten über den Aufbau von Nachrichten- und Starkstromleitungen werden insofern berück­ sichtigt, als sie die verschiedenen Größenordnungen der Leitungs­ daten mitbestimmen. Die in den Text eingestreuten Zahlenbeispiele sollen eine Vorstellung von den Größenverhältnissen der elektri­ schen Eigenschaften wirklich ausgeführter Leitungen geben. Voraussetzung zum Verständnis des vorliegenden Buches sind die Grundlagen der Mathematik und Elektrotechnik, die im ersten Stu­ dienabschnitt an einer Fachhochschule gelehrt werden. Ich hoffe, daß dieses Buch allen Studenten der Elektrotechnik eine praxisnahe Einführung in die Leitungstheorie, den in der Praxis tätigen Ingenieur eine nützliche Arbeitsunterlage bei der Lö­ sung von Leitungsproblemen sein wird. Coburg, im Sommer 1973

Heinrich Martini

Inhaltsverzeichnis

3.10 Zusammenhang zwischen den Wellenparametern und den Leerlauf- und Kurzschlußwiderständen ...........

Inhaltsverzeichnis

V orw ort........................................................................................... Verwendete Form elzeichen......................................................... 1.

5 9

Einleitung .............................................................................

13

Leitungskonstanten............................................................. 2.1 Leitungsbeläge...................................................................... 2.1.1 Widerstandsbelag .................................................... 2 . 1.2 A bleitungsbelag......................................................... 2.1.3 K apazitätsbelag......................................................... ' 2.1.4 Induktivitätsbelag .................................................... 2.2 Wellenparameter................................................................... 2.2.1 W ellenwiderstand....................................................... 2 .2.2 Übertragungskonstante..............................................

17 17 17

2.

3. 3.1 3.2 3.3

3.4 3.5 3.6

3.7 3.8 3.9

Verlustbehaftete homogene Leitung .......................... .... Herleitung der Wellengleichung........................................... Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung. Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung........... 3.3.1 Beliebiger V erbraucherw iderstand......................... 3.3.2 A npassung.................................................................. Vierpol- und Betriebsdäm pfung........................................ Phasen-und Gruppengeschwindigkeit............... ............... Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen..................................................................... 3.6.1 Exakte Beziehungen für beliebige Frequenzen . . . 3.6.2 Näherungen für tiefe F requenzen ........................... 3.6.3 Näherungen für hohe Frequenzen ......................... 3.6.4 Kriterien für die Verwendung der Näherungen . . . 3.6.5 Berechnung der Phasen- und Gruppenge­ schwindigkeit .............................................................. Berechnung der Leitungsbeläge aus den W ellenparametern.................................................................. Komplexer R eflexionsfaktor............................................ Eingangsw iderstand............................................................

20

20 21

23 23 24 26 26 27 29 29 34 37 40 42 42 44 45 47 49 53 54 55

3.11 Leistungsbeziehungen ........................................................ 3.11.1 Leistungsübertragung bei A np assu n g.................. 3.11.2 Leistungsübertragung bei F ehlanpassung ........... 3.12 Starkstrom leitungen............................................................. 4. Hochfrequenzleitungen...................................................... 4.1 Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung.................... 4.1.1 Spannungs- und Stromverteilung bei beliebigem V erbraucherw iderstand........................................... 4.1.2 Spannungs-und Stromverteilung bei reellem V erbraucherw iderstand........................................... 4.1.3 Eingangsw iderstand.................................................. 4.1.4 R eflex io n sfak to r....................................................... 4.1.5 Leitungsdiagramme ................................................ 4.1.5.1 Buschbeck-Diagram m '.......................................... 4.1.5.2 Smith-Diagramm .................................................. 4.1.6 Hochfrequenzm eßleitung......................................... 4.2 Homogene Hochfrequenzleitung mit kleinen. Verlusten . 4.2.1 Wellenparameter.................................... .................... 4.2.2 Spannung und Strom auf der offenen und kurzgeschlossenen Leitung ..................................... 4.2.3 Eingangswiderstand der offenen und kurz­ geschlossenen L e itu n g .............................................. 4.2.4 Leitungsresonatoren ................................................ 4.3 Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen H ochfrequenzleitung........................................................... Berechnung der Leitungskonstanten homogener Leitungen .............................................................................. 5.1 Ungeschirmte L eitungen...................................................... 5.1.1 Doppelleitung ........................................................... 5.1.2 Symmetrische Drehstromfreileitung ..................... 5.2 Geschirmte L e itu n g e n ......................................................... 5.2.1 Doppelleitung ........................................................... 5.2.2 Symmetrisches D rehstrom kabel.............................. 5.2.3 K oaxialleitung...........................................................

1

62 64 64 67 71 75 75 75 76 80 82 85 85 88

93 96 96 99 102 104 109

5.

114 115 115 12J 123 123 127 128

8

Inhaltsverzeichnis

5.2.3 .1 Leitungskonstanten .............................................. 128 5. 2 .3 .2 K opplungsw iderstand........................................... 134

Verwendete Formelzeiehen

6. 6.1 6.2

Inhomogene Leitungen.................. ................................... 139 Pupinleitung ........................................................................ 139 Wirkliche H ochfrequenzleitung......................................... 146

a aB

Vierpoldämpfungsmaß, Leiterabstand Betriebsdämpfungsmaß

7. 7.1 7.2

Gekoppelte verlustlose Hochfrequenzleitungen............. 149 Grundlegende B eziehungen ............................................... 149 R ich tk o p p ler........................................................................ 152

b B

Phasenmaß, Winkelmaß Blindleitwert

C’

Kapazitätsbelag

Gegenüberstellung von Nachrichten- und Starkstrom­ leitungen ................................................................................ 154 8.1 Nachrichtenleitungen ........................................................ 154 8.2 Starkstrom leitungen............................................................. 156

d D

Leiterdurchmesser, Dicke Außenleiterdurchmesser

ejw t

Zeitfaktor

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Anhang: Wichtige mathematische B eziehungen............. N äherungen.......................................................................... Kreisfunktionen ................................................................. Hyperbelfunktionen .......................................................... Ellipse in komplexer Form ............................................... Taylorscher S atz...................................................................

/ /j fc /G

Frequenz Metallverlustfrequenz Kritische Frequenz Grenzfrequenz

10.

Literaturverzeichnis............................................................ 160

G’ G

Ableitungsbelag Wirkleitwert

11.

Sachwörterverzeichnis........................................................ 163

i / , 1= 1- eJi^

Reeller Augenblickswert des Stromes Komplexer Augenblickswert des Stromes Reelle Amplitude des Stromes Komplexe Amplitude des Stromes

k

Knotenbreite, Koppelfaktor

/ L’ L d, Lg Lh Lj Ln L Sp Lx

Leitungslänge Induktivitätsbelag Äußere Induktivität Gesamtinduktivität Hülleninduktivität Innere Induktivität Induktivität infolge Nähewirkung Induktivität einer Pupinspule Induktivitätsbelag für co -* °°

m

Anpassungsfaktor

8.

157 157 157

158 159 159

2 = / • ejw t

10

Verwendete Formelzeichen

Verwendete Formelzeichen

Blindleistung Scheinleistung Wirkleistung

Zoo

Q

Güte

r r_ ra> ri rh R R’

Ro

Betrag des Reflexionsfaktors Komplexer Reflexionsfaktor Radius des Außen- bzw. Innenleiters Hüllenradius Wirkwiderstand, Außenleiterradius Widerstandsbelag Gesamter Verlustwiderstand Verlustwiderstand einer Hülle Wirkwiderstand eines Leiters Verlustwiderstand infolge Nähewirkung Gleichstromwiderstand

765

.

Ist R ’0 der Gleichstromschleifenwiderstand bei 20 °C, dann folgt für die Betriebstemperatur T, Einheit °C

18

2.1 Leitungsbeläge

2. Leitungskonstanten

R o t = K S t ! + a 20 C T - 2 0 )]

für x > 1

a 20 = 0,00392 1/°C, a 2o = 0,00403 1/°C.

für Kupfer für Aluminium

a 20 ist der Temperaturkoeffizient —bezogen auf die Temperatur 20 °C. Der Widerstandsbelag R ’ nimmt infolge des Skineffekts mit wachsender Frequenz zu. Der komplexe Widerstand eines zylin­ drischen Leiters m it dem Durchmesser d = 2r-i setzt sich aus dem Wirkwiderstand R und dem Blindwiderstand coL-. zusammen. L\ ist die innere Induktivität des Leiters. Es wird die äquivalente Leit­ schichtdicke £ eingeführt.

Vico Mo Mr •

für Aluminium

#

_ 6,67 • 10"

cm

vT/M H z

£

8,72 ■ 10“3

cm

jR 1 ,3 T 0 =X + 4 +64x 3

coL^ R0

X

(5) 3

6 4 x + 128x2

^

Der Gesamtverlauf der Größen R /R o und coLj R 0 ist au f B i 1 d 2 als Funktion von x aufgetragen (s. S. 22). Für x = 5, d.h., d = 20 d , können die zweiten und dritten Glie­ der in den Näherungen (5) und ( 6 )vernachlässigt werden. Diese Be­ dingung wird bei hohen Frequenzen erfüllt. Es wird dann

(i)

k

R T s - - rV

Die zugeschnittenen Größengleichungen lauten für Kupfer

19

(8 )

Aus Gl. (7) folgt der Widerstandsbelag eines zylindrischen Einzel­ drahtes R ’ m it dem Durchmesser d = 2 rj für den Gültigkeitsbe­ reich d > 2 0 a

Mit der Abkürzung

und dem Gleichstromwiderstand des Leiters R 0 erhält man aus den Reihenentwicklungen der Besselchen Funktionen Nähe­ rungen für kleine und große Argumente nach [7], [24]. Für x < 1

~ (7>

m it dem wichtigen Zusammenhang R = coLr

V /p H z

* = f Vo t - K -MoMr ' / = 4 ^ 5-

d ' x ‘ T s

R ’ = ----- ------ = — --------K^7t2r{ K dizd ' ( 2)

(9) y}

Die zugeschnittenen Größengleichungen für einen Einzeldraht aus Kupfer bzw. Aluminium lauten KuPfer

R ’ _ 8,32 v ^ = d/cm ' V //M H z £o2T/km

Gültigkeitsbereich

f > 0,0176 [d/cm ]2 MHz

Aluminium

R’ £2 /km /

11,5 d/cm >

0,0305

20

2.1 Leitungsbeläge

2 . Leitungskonstanten

Bei symmetrischen Leitungen m it metallischem Schirm tragen zum gesamten Widerstandsbelag R,l neben den Verlusten in den stromführenden Leitern selbst die Wirbelstromverluste im Schirm (Hülleneffekt) und in den benachbarten Leitern (Nähewirkungs­ oder Proximityeffekt) bei. Im allgemeinsten Fall ist der Widerstands­ belag Rg

21

Kabel haben im Vergleich zu Freileitungen etwa 5- bis 30mal höhere Kapazitätsbeläge, da im Kabel die Leiterabstände wegen eines tragbaren Außendurchmessers begrenzt sind. Erfahrungsgemäß ist der Kapazitätsbelag nahezu unabhängig von der Frequenz, so­ lange die DK der Isolierung frequenzkonstant ist. Die relativen DKs einiger für die Leitungstechnik wichtiger Isolierstoffe findet man in T a b e 11 e 1 .

R g= R i+ R h+ R n

( 10 )

R \ ist der bezogene Verlustwiderstand aller stromführenden Leiter, R h berücksichtigt die Verluste in der äußeren Hülle, R ^ die Verluste durch Nähewirkung benachbarter Leiter. Alle Verlustwiderstände sind frequenzabhängig. 2.1.2 Ableitungsbelag Der Ableitungsbelag G ’beschreibt die Isolationsverluste, die dielektrischen Verluste sowie die Koronaverluste in der Isolierung zwischen den Leitern. An Stelle des oft stark frequenzabhängigen Ableitungsbelages G ’wird der Verlustfaktor tan 6 angegeben.

=S Die Größe des Verlustfaktors hängt vom verwendeten Isolierstoff, vom Aufbau der Isolierung und häufig von der Frequenz und Tem­ peratur ab. Bei allen Leitungen soll der tan 5 möglichst klein und konstant sein. In T a b e 11 e 1 sind die Verlustfaktoren einiger Isolierstoffe zusammengestellt. Bei Freileitungen wird der Verlust­ faktor stark durch Rauhreif und Eis beeinflußt. An vereisten Frei­ leitungen wurden bei Frequenzen zwischen 10 bis 30 kHz schon Maxima des tan 6 von 2,4 gemessen. Richtwerte des Ableitungsbelages G ’ für Freileitungen und Kabel G ' = 0,1 bis 1 (iS/km

Tabelle 1 Eigenschaften von Isolierstoffen und Kabelisolierungen (Durchschnitsswerte bei 5 0 Hz und 20 °C) Stoff bzw. Aufbau der Isolierung

relative DK er

Verlustfaktor tan 5

Papier, trocken Papier, ölgetränkt Papier-Hohlraumisolierung

2,1 bis 2,5 3,3 bis 3,5 1,5 bis 1,7

(25 bis 4 0 )' IO"4 3 • IO”3 2 ■IO"3

Polyäthylen (PE) Polyäthylen, verschäumt PE-Hohlraumisolierung PE - Scheibenisolierung

2,25 1,4 bis 1,8 1,3 bis 1,8 1,08

4 • IO"4 (1 bis 5) • 10-4 < 2 - IO"4 < 1 ■ 10-4

Polystyrol (Styroflex) Polystyrol, verschäumt Polystyrol-Hohlraumisolierung

2,5 1,04 bis 1,08 1,2

Polyvinylchlorid (PVC)

3 bis 8

Synthetischer Kautschuk Butylkautschuk Sinotherm

3 bis 20 2’5

3 • IO-4 < 1 • 10-4 < 2 - 10-4

0,1 (2 bis 40) • IO-2 3 • 10-^

...

Richtwerte für den Kapazitätsbelag C ’ Freileitungen C’ = 5 bis 7 Nachrichtenkabel C ’ = 20 bis 50 Drehstromkabel C ’ = 0,16 bis 1,3

nF/km nF/km ^F/km

2.1.3 Kapazitätsbelag

2.1.4 Induktivitätsbelag

Der Kapazitätsbelag C ’ ist eine Funktion der Leitungsgeometrie und der Dielektrizitätskonstanten (Abkürzung DK) der Isolierung.

Der Induktivitätsbelag L ’ setzt sich aus der frequenzunabhängi­ gen äußeren Induktivität L und der frequenzabhängigen inneren

22

2. Leitungskonstanten

2:2 Wellenparameter

Induktivität L{ zusammen. Bei geschirmten symmetrischen Leitun­ gen müssen außerdem die frequenzabhängige Hülleninduktivität Lfr sowie die durch Nähewirkung erzeugte Induktivität L ’n berück­ sichtigt werden. Der gesamte Induktivitätsbelag Lg wird dann L g = L ’a + L{+ L i + Lä

(12)

Die äußere Induktivität L I wird von der Leitungsgeometrie und den magnetischen Werkstoffeigenschaften der Leitung bestim m t. Da vorwiegend nichtferromagnetische Stoffe eingesetzt werden, ist Z,a unabhängig von der Größe des Leitungsstromes. Freileitungen haben auf Grund ihrer größeren Leiterabstände um etw a 3- bis 5mal höhere Induktivitätsbeläge als Kabel. Die innere Induktivität L{ rührt von den Magnetfeldern in den Leitern her. L] nim m t m it wachsender Frequenz ab, da die Leiterquerschnitte m it wachsender Frequenz mehr und mehr feldfrei werden. Die inneren Induktivitäten werden aus den Näherungen (4), ( 6 ) oder aus der Kurve ( B i l d 2) erm ittelt. Für Starkstromfre­ quenzen gilt für einen Einzelleiter aus nichtferromagnetischem Material die gute Näherung L[ = 0,05 mH/km

(13)

Richtwerte für den Induktivitätsbelag L ’ Freileitungen L ’ = 1 bis 2,5 mH/km Kabel L ’ = 0,3 bis 1 mH/km

23

Bei wirklich ausgeführten Leitungen ist immer

G

C’

^

^

Zur Berechnung von Drehstromleitungen sind für die Beläge die entsprechenden Betriebsgrößen einzusetzen. Das Grandelement einer Leitung ist der Leiter m it Isolierhülle, die Ader. Die Isolierstoffe müssen mechanisch hochwertig, elek­ trisch verlustarm und für eine moderne Fertigungstechnik geeignet sein. Für Nachrichtenleitungen werden möglichst niedrige DK-Werte angestrebt. Durch Isolierungen m it hohem Luftanteil (Hohlraum­ und Scheibenisolierung) werden relative DK-Werte bis zu 1,04 er­ reicht. Für Starkstromleitungen müssen verlustarme Isolierstoffe m it hoher elektrischer Durchschlagfestigkeit ausgewählt werden. Die maximale Feldstärke eines isolierten Leiters m it dem wirk­ samen Radius der von einer metallischen Hülle m it dem wirk­ samen Außenradius ra umgeben ist, herrscht an der Leiterober­ fläche. Liegt zwischen Leiter und Hülle die Spannung U, dann gilt für die maximale elektrische Feldstärke E

ax

-

U r-x ln r j t i

Bei festem ra wird E msx ein Minimum, wenn das Radienverhältnis ra/ri = e = 2,72 beträgt. Diese Dimensionierung wird bei Hoch­ spannungsadern gewählt. 2.2 Wellenparameter Eine Leitung ist ein symmetrischer Vierpol. Das Übertragungs­ verhalten eines symmetrischen Vierpols wird durch den komplexen Wellenwiderstand Z und das komplexe Übertragungsmaß g eindeu­ tig beschrieben.

Bild 2: Frequenzgang des Wixkwiderstands Ji und der inneren Induktivität L [ eines zylindrischen Drahtes (R 0 Gleichstromwiderstand)

2.2.1 Wellenwiderstand Der komplexe Wellenwiderstand Z l hängt von der Leitungsgeo­ metrie, den Materialeigenschaften sowie von der Frequenz ab. Der

24

2 .2 Wellenparameter

2. Leitungskonstanten

Wellenwiderstand einer Leitung ist dagegen unabhängig von der Lei­ tungslänge. Zwischen dem Wellenwiderstand Z l und den vier Lei­ tungsbelägen R G ’, C ’und U besteht die Verknüpfung

25

Der Ausdruck Konstante besagt, daß diese Größen auf 1 km Lei­ tungslänge bezogen sind. Für eine Leitung der Länge l wird g = 7 • / = a - l + iß - l

S . - Z L -e‘^

- Z, +jZ2 -

(15)

Der Index L weist darauf hin, daß die exakte Bezeichnung für Z i Leitungswellenwiderstand oder charakteristischer Widerstand einer Leitung lautet. Damit sind Verwechslungen m it dem in der Theorie der elektromagnetischen Wellen wichtigen Begriff des Feldwellen­ widerstands Z p ausgeschlossen. Bei sehr hohen Frequenzen strebt der Wellenwiderstand einem reellen frequenzunabhängigen Grenz­ wert Zx zu lim ^L = Z 00 = ]/p7r~

wobei

7 •/

= Übertragungs- oder Fortpflanzungsmaß, ot- l = Dämpfungsmaß, ß ■l = Phasen- oder Winkelmaß.

Das Wort ,,Maß“ gibt an, daß sich diese Größen auf die Leitungslänge / beziehen. Die Wellenparameter konstanten genannt.

und y werden auch sekundäre Leitungs­

Verknüpft man die Gl. (15) m it (17), so folgt Z l - 7 = R ’ + icoL’

(16)

(18)

f-*oo

m it

1

L U = -^a + ^ o o + ihoo

^

Der Grenzwert des Wellenwiderstands Z ^ stellt sich theoretisch erst für /-*• °° ein. Nach der Erfahrung wird aber Z«,, je nach Lei­ terabmessungen, schon bei Frequenzen zwischen 1 und 10 MHz erreicht. Solange der Fehler bis zu 2 % betragen darf, kann m it Z x gerechnet werden, wenn für die Innenleiter m it dem Durchmesser d die Bedingung d t* 20 # erfüllt ist.

2 .2.2 Übertragungskonstante

Zwischen der komplexen Übertragungs- oder Fortpflanzungs­ konstanten 7 und den Belägen R ’, G ’, C ’und L ’ einer Leitung be­ steht der Zusammenhang 7 = a +)ß = V T tf’ + jcoL’H G ’ + jcoC’) wobei

a = Dämpfungskonstante, ß = Phasen- oder Winkelkonstante.

(17)

= G ’ + jwC”

(19)

3.2 Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung

3. Verlustbehaftete homogene Leitung Die Leitungsbeläge R G ’, C\ L ’sind im allgemeinsten Fall Funk­ tionen der Zeit und des Ortes. Bei fast allen in der Praxis vorkom­ menden Leitungen sind aber die Beläge zumindest zeitunabhängig. Hat eine Leitung über die gesamte Länge konstante Querschnitts­ abmessungen, dann sind auch die Beläge ortsunabhängig. Eine der­ artige Leitung nennt man eine homogene Leitung. Eine Leitung ist verlustbehaftet, wenn der Widerstands- und Ableitungsbelag nicht vernachlässigbar ist.

27

R'dz

Bild 4: Ersatzschaltbild eines Leitungselements dz einer verlustbehafteten homogenen Leitung

3.1 Herleitung der Wellengleichung Spannungen und Ströme auf einer Leitung sind Funktionen der Zeit und des Ortes. Die Ortskoordinate z und die Zählrichtungen der Spannungen und Ströme werden gemäß B i 1 d 3 festgelegt.

durch Differenzieren und Einsetzen folgen für Spannung und Strom die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. du d2u du = R ’- G ’ u + i R ’C’ + L ’G ’J z ^ + L ’C 9z^ d t2

(20) (21)

d2i = R ’- G ’- i + ( R ’C’ + L ’G ’)-|^ + L ’C ’f ^ 9z" j--------- / ---------j 2-1 * =o GEHERATOfl Verbraucher

B ild 3: Festlegung der Ortskoordinate z auf einer Leitung

Dem Ort des Verbrauchers Z ^ entspricht die Koordinate z = 0, dem Ort des Generators die Koordinate z = /. Solange die in der Praxis stets zutreffende Bedingung erfüllt ist, daß der Abstand der stromführenden Leiter klein im Vergleich zur Wellenlänge ist, gilt für ein differentielles Leitungsstück dz die Ersatzschaltung des B i l d e s 4. Mit der Maschen- und Knotenpunktsgleichung erhält man aus dem Ersatzschaltbild die partiellen Differentialgleichun­ gen erster Ordnung 9u _ , . , 9z

Die Gin. (20) und (21) heißen Wellengleichungen. Sie gelten für beliebige Zeitabhängigkeit von Spannung und Strom, also auch für Ausgleichsvorgänge. In der Literatur sind diese Gleichungen unter dem Namen „Telegrafengleichungen“ bekannt. Sie wurden zuerst von Oliver Heaviside zur Untersuchung von Ausbreitungsvorgängen in der theoretischen Telegrafie benützt. 3.2 Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung Für die Praxis sind die Lösungen der Wellengleichungen am wich­ tigsten, die sich für den eingeschwungenen Zustand ergeben, wenn die Leitung von einem Generator m it sinusförmiger Spannung ge; speist wird. Die Wellengleichungen (20) und (21) gehen in gewöhn­ liche Differentialgleichungen zweiter Ordnung über, wenn für Spannung und Strom die komplexen Augenblickswerte t) bzw. z'(Z; t) eingeführt werden.

28

3 .3 Spannungs- u n d Strom verteilung a u f d e r L eitung

3. Verlustbehaftete homogene Leitung

=

ejW‘

(22)

W ) = hz) ■ejw t

(23)

29

damit lauten die Ausdrücke für die komplexen Am plituden von Spannung und Strom am O rt z auf einer verlustbehafteten homo­ genen Leitung E m = j ( V i + h - Z O - z - Z + | (U2 - h Z O - e ~ - Z (30)

Mit diesen Ansätzen findet man nach Division durch den Zeitfaktor ejWt für die komplexen Amplituden die Differentialgleichungen

(3i)

d2 U(z) dz

= ( R ’ + }toL’) (G ’ + j coC’) - U (z)

= y 2 • U(z}

(24)

d 2L(z)

mit Hyperbelfunktionen kann gemäß Anhang (A 19) und (A 20) auch geschrieben werden U(z) =

= ( R ’ + jeoL’) (G ’ + j ojC’) • I j #

= f

• / (z)

(32)

(25)

dz I(z) = h Die komplexen Amplituden t/(z) und / fz) sind nur noch F unk­ tionen der Ortskoordinate z. Die Lösungen der Wellengleichungen sind Exponentialfunktionen U(z) = A • eIZ + B - e l z

cos^ T z + h 2 l • sinh y z

(26)

U2 cosh 1 z + —— Sinh T z Zk

(33)

Sämtliche Beziehungen für die Spannungen und Ströme gelten für die Maximal- und Effektivwerte. 3.3

Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung

3.3.1 Beliebiger Verbraucherwiderstand J z ) - z- ^ - e

- £ - e

-y

(27)

Die noch unbekannten komplexen Konstanten und 5 sind nach ihrer Dimension Spannungen. Aus den Belastungsbedingungen am Leitungsende findet man m it z = 0

Mit dem Ansatz für die komplexen Amplituden A

= Uy = Uy ■eJ^ v

B = U^ = Ur - e I

(34) (35)

wird aus Gl. (26) durch Multiplikation m it dem Zeitfaktor ejWt der komplexe Augenblickswert der Spannung auf der Leitung her­ geleitet » j(COt + . j L = A _

—

£

(41)

Die komplexen Amplitude der sich vom Generator zum Ver­ braucher fortpflanzenden Welle wird m it Gl. (28) 7z j Spannung Uv ■e~ = j (U j + I 2

1

( ~ 2 ^ V

Strom

yz ly ■e~

7z ■ZL) • e~

=

—\ 7z + z T / e“ yz ■e-

=—

(46)

1 /U 2

\

\jr ^ h )

e

Tz =

'L

(42,

l

entnimmt man aus Gl. (27) den reellen Augenblickswert Die komplexe Amplitude der reflektierten Welle wird m it *(z) = / v ' e “ Z c o s

e

Gl. (29)

+

ist der Abstand Zj ~ z 2 = 1 km, dann gilt ea ==——i-o d e r U(z2)

a = ln

(55) Utz2)

b)

-i

Bild 8: Zeigerdiagramm für Spannung und Strom auf einer verlustbehafteten homogenen Leitung bei Anpassung a) Spannungsdiagramm für eine lange Leitung b) Spannungs- und Stromdiagramm für eine kurze Leitung

Die an sich dimensionslose Größe a wird in Neper pro Kilometer (Abkürzung Np/km ) angegeben. Die Gesamtdämpfung oder das Dämpfungsmaß einer bei Anpassung betriebenen Leitung der Länge l ist somit a = a ■l =

1. Z a h le n b e isp ie l: Am Eingang einer 50 km langen reflexionsfrei abgeschlossenen Fernsprechleitung m it der Übertragungskonstanten 7 = (51,8 + j 51,8) • 10"3 ‘/km liegt die Spannung = 10 V. Gesucht ist die Verbraucherspannung U2 . Aus Gl. (53) findet man U2 = Ut -e ' ? ' 1 = 10 . e- ®) 10-3 * = 0,75 • e"j 2,59 V

V

ln ~

U2

Np

(56)

Nach Gl. (56) kann die Bestimmung des Dämpfungsmaßes einer mit dem Wellenwiderstand abgeschlossenen Leitung auf einfache Spannungsmessungen zurückgeführt werden. Von diesem Verfah­ ren wird in der Praxis Gebrauch gemacht. » Das nach Gl. (56) definierte Dämpfungsmaß einer Leitung a = a • / ist kennzeichnend für jeden symmetrischen Vierpol. Die exakte Bezeichnung für a ist deshalb Vierpol- oder Wellendämp­ fung. Die Vierpol- oder Wellendämpfung einer Leitung kann auch

38

3.4 Vierpol- und Betriebsdäm pfung

3. Verlustbehaftete homogene Leitung

aus den Scheinleistungen am Leitungseingang PS] und Leitungsende Ps2 bei Anpassung definiert werden. Im Anpassungsfall erhält man aus den Gin. (53) und (54) für die Scheinleistung am Ort z auf der Leitung P ^ ) = \ V ( z ) - h z ) = \ u 2 - I 2 - t 2az

= \

B = 10 ■log — L dB

$2

daraus ergibt sich für das Spannungsverhältnis a = a ■l = 2 • log Hl U2

■h ■e 2 a l und

= \ ü 2 -l2

(58)

oder das Leistungsverhältnis

mit Gl. (59) wird die Vierpol- oder Wellendämpfung a = a . i = 1 ^ _PSl _ Np

(61)

S2

(57)

aus Gl. (57) folgt ^

a = a - l = log -=p-

39

(60)

r s2

Wie aus den Gin. (56) bzw. (60) abzulesen ist, werden bei der Vierpol- oder Wellendämpfung Eingangsgrößen m it Ausgangs­ größen verglichen. Im englischen Sprachbereich ist für die Dämpfung das Bel (Ab­ kürzung B) bzw. Dezibel (Abkürzung dB) gebräuchlich. Für die Umrechnung gelten die Beziehungen 1 Np = 0,8686 B = 8,686 dB 1 B = 1,151 Np 1 dB = 0,1151 Np Ausgangspunkt bei der Definition des Neper waren die der Messung leicht zugänglichen Spannungen. Dagegen ging man beim Bel von der dem elektrischen und akustischen Gebiet gemeinsamen Größe der Leistung aus. Zweckmäßig wählt man den Briggschen Logarith­ mus und erhält für das Leistungsverhältnis

B = 2 0 • log Hl U2

dB

(62)

Die Beziehungen (61) und (62) haben nur für reflexionsfrei abge­ schlossene Leitungen Gültigkeit. Bei Fernsprechkabeln kann die Anpassungsbedingung Z 2 = Z^ im gesamten Betriebsfrequenzbereich häufig nur angenähert er­ füllt werden. An Stelle der Vierpol- oder Wellendämpfung wird dann die Betriebsdämpfung eingeführt. Dabei werden nicht Eingangsmit Ausgangsgrößen verglichen, sondern die dem Generator maxi­ mal entnehmbare Scheinleistung P.Jmax wird mit der Scheinleistung Ps verglichen, die dem Verbraucher vom Generator über die Leitung zugeführt wird. Wird ein Generator m it seinem Innenwiderstand Zj als Verbraucher belastet, dann wird in diesem Verbraucher maxi­ male Scheinleistung umgesetzt. Ist die Leerlaufspannung des Generators, dann erhält man u

0\ 2

(63) smax

2 ■Z:

Mit den Bezeichnungen des B i l d e s 9 berechnet sich das Be­ triebsdämpfungsmaß in Neper bzw. Dezibel zu 1 ,

D

smax

,

Un

1 i

Z 2 XI

/s .

5 . Mit den Verlustwinkeln wird dann

aus öNI.- aber ÖN F

G’ to n -^ tan 8£ =r z —

( £ Lo (lu 6 8Q ),\

43

/? ’ + j oj U = co £ ’(tan e + j), G' + j co C ’ = co C ’(tan 8 + j)

Nach der Erfahrung wandert die Energie auf einer Leitung mit der Gruppengeschwindigkeit z>c . Zwischen Phasen- und Gruppen­ geschwindigkeit besteht wegen ß = — die Verknüpfung »p

somit folgt für den Wellenwiderstand Z l

Zl

- Z L ■e jlpL L _ - Z7 l + j Z 2 = 1i1V/ Ic>T

/tan i a nße++ ji yi C’ y t;

döp dß _ _ 1

dw

vg

1 /

vl

VPV

co d 5p

mit der Umformung

ÖP dw

ta n e + j _ cos 5 sin e + j cos e _ cos 8

oder

tan 8 + j

cos e sin 5 + j cos 8

^

cos e

dco T äT

(66)

findet man

dw Ist die Phasengeschwindigkeit vp unabhängig von der Frequenz, dann wird z>g = vp . Der Reziprokwert der Gruppengeschwindig­ keit zig ist die Gruppenlaufzeit rg.

=



Beispielsweise darf die absolute Gruppenlaufzeit einer Fern­ sprechweitverbindung in einer Gesprächsrichtung 250 ms nicht überschreiten, da sonst Störungen im Gesprächsfluß auftreten. 3.6

Z L = ZL • 1

=

[in

r C’

Betrag des Wellenwiderstands

Zi + jZ 2 .e- 8 i / cosS ' » cos e 6 ^ L

(70)

= l/^ ’ 'C

l / cc>s ^ cos e

(71)

Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen

3.6.1 E xakte Beziehungen fü r beliebige Frequenzen Zur praktischen Berechnung werden der frequenzabhängige Me­ tallverlustwinkel e und Isolationsverlustwinkel 8 in die Beziehungen (15) und (17) eingeführt.

Realteil

Z j - Z L -cos 5 sind ipL und Z 2 negativ. Mit den Verlustwinkeln erhält man für die Übertragungs- oder Fortpflanzungskonstante

Bei tiefen Frequenzen wird G ’« co ■C \ damit tan 5 ~ 0, R ’» c o - L \ damit tan e » 1. Nach (A l5) bis ( A l 8 ) sind daher nachstehende Näherungen zulässig sin 5 ^ 0

COS 5 ^ 1

i

•e

sm "X ~ 2 COS

e ~ ~

2

7 = a + j ß = oj \J U C’ ■ V (tan e + j)(tan 8 + j)

1

c

yfY 1

cos e

^

.

1

_ col,'

tan e

— r-j,

R

e _ jt

z=r

n

~

A

y f?

24

daraus folgen die NF-Form eln

m it der Umformung

■i

(tan e + j) (tan 5 + j) = ------- ---------- - eJ cos e • cos 5

—(e + 5) ]

komplexer Wellenwiderstand

2 LNF =

Betrag des Wellenwiderstands

Z Ln f =

ergibt sich

y u

i

_j gx

' e

4

nr

(78)

(79)

7 = a +j ß =

■ e+S , . e+ 5 sm —- — + j cos ~~2 ~

= c o -v rr

Real-bzw. Imaginärteil

Z lNp = - Z 2NF = l / 2 'a i c 7

(75)

y / cos e • cos S

(81) r... , Dampiungskonstante

• \ f l T C P e+S a = ------------------- sm 0 • V cos e cos 5

(76)

3.6.3 Näherungen für hohe Frequenzen Die Verlustwinkel nehmen m it wachsender Frequenz ab. Nach (A5) bis (A7) gelten dann die Näherungen

Phasenkonstante

0

W - y j L ’C ’' e+6 -------------------cos —^— V cos e cos 5

(77)

Die abgeleiteten Beziehungen (70) bis (77) gelten exakt für belie­ bige Frequenzen. Im folgenden werden für niedrige und hohe Fre­ quenzen Näherungen entwickelt, die in der Praxis zu ausreichend genauen Resultaten führen.

tan e e sin e e cos e « l

tan 6 5 sin 6 « 6 cos 5 *»1

daraus folgen die H F-Form eln

,— , komplexer Wellenwiderstand

_g

_ §

_ 1 U_ . ~ J ~ 2 Lh f » C’

3 .6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen 46

47

3. Verlustbehaftete hom ogene Leitung

sengeschwindigkeit ypHF und der relativen Dielektrizitätskonstanten _ 1 /Z f LHF V C’

Betrag des Wellenwiderstands

der Isolierung er einer Leitung aus nichtferromagnetischen Werk­ stoffen der Zusammenhang

Phasenwinkel

^L h f =

(91)

“p h f

Real teil

^ iH F

|f ^ , 2’ ' cos

Imaginärteil

Z 2flF = - " j / ^ r ^ (tan e - tan 5)

C

oV C ** "^c*" (^5)

oder wegen der Verknüpfung zwischen der Lichtgeschwindigkeit c0, der absoluten Dielektrizitätskonstanten e0 und der absoluten Permeabilität Mo des freien Raumes

(8 6 )

0 HF = co ■\J L ’ C

Phasenkonstante

(87) wird Gl. (91)

HF Mit den Gin. ( 6 8 ), (69) und (83) kann die Beziehung ( 8 8 ) auch ge­ schrieben werden

1

c0

a HF = co • \ f u C’ ~ (tan e + tan 5) ( 8 8 )

Dämpfungskonstante

V

(93)

V er e0 Mo

mit Gin. (90) und (93) gilt somit im Bereich sehr hoher Frequenzen Wm L ' ■ C = - ~ -= £r - e0 - Mo

«h

f

-

“R + “

c

-

I

^

;

+ 5 C ' Z i-h f

C89)

Der erste Summand wird als Widerstandsdämpfung ör , der zweite Summand als Ableitungsdämpfung oder dielektrische Dämpfung oq bezeichnet. Aus den Gin. (83) und (87) findet man unter Berücksichtigung der Gl. (39) die für Hochfrequenzleitungen wichtige Verknüpfung ZLhf = H

PHF

7 c t = l ’' v phf

(90)

f ^oo

(94)

» p HF

Da infolge des extrem ausgeprägtem Skineffekts die elektrischen und magnetischen Feldlinien praktisch nur in der Isolierung der Leitung verlaufen, wird l i m L ’ = L L = L \ + L ’„ f

oo

+ LI

00

(95) 00

3.6.4 Kriterien für die Verwendung der Näherungen Es wird die Metallverlustfrequenz f x eingeführt. Diese ist defi­

Mit wachsender Frequenz strebt Z lh f dem frequenzunabhängigen Grenzwert Zoonach Gl. (16) zu. Zoo liegt bei Freileitungen zwischen 500 und 800 £2, bei Kabeln zwischen 50 und 200 £2. Bei sehr hohen Frequenzen besteht zwischen der Lichtgeschwindigkeit c0, der Pha-

niert tan e = — = 1 coi L ’

oder

/i ~

T, 2 jf L

(96)

48

3.6 B erechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen

3. Verlustbehaftete homogene Leitung

Die Berechnung der Wellenparameter ist für praktische Belange ausreichend genau, wenn folgende Bedingungen eingehalten wer­ den a) NF-Form eln nach Abschnitt 3.6.2 Betriebsfrequenz / = j Metallverlustfrequenz f x b) H F-Form eln nach Abschnitt 3.6.3 Betriebsfrequenz/ = 4 Metallverlustfrequenz f x c) Exakte Formeln nach Abschnitt 3.6.1 Betriebsfrequenzen, die nicht unter a) bzw. b) fallen Der Frequenzgang der Wellenparameter einer verlustbehafteten homogenen Leitung hat grundsätzlich den auf den B i l d e r n 10 und 1 1 dargestellten Verlauf.

B ild 10:

Frequenzgang des Wellenwiderstands für eine verlustbe­ haftete homogene Leitung (Zj = Real­ teil, Z 2 = Imaginär­ teil)

49

3.6.5 Berechnung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit z>p und deren Kehrwert, die Phasen­ werden aus der Phasenkonstanten ß ermittelt.

la u fzeit Tp,

Tiefe Frequenzen (NF-Formel)

_

Mittlere Frequenzen

V cos e • cos 5 CO »p = — ■=-%r = ---------------------- -

(exakte Formel)

1 ~ TpNp

TP Hohe Frequenzen (HF-Formel)

p j

% F = ^

« _ -\fT Z T %F \ R ’ C’

(

’

(98)

e+ 6

V V C ' co s: w ^

1

=^= = T

(99)

Im Bereich tiefer und m ittlerer Frequenzen ist die Phasenge­ schwindigkeit frequenzabhängig. Bei hohen Frequenzen geht die Phasengeschwindigkeit in einen konstanten Wert über, da C und L ’^ - L ’oo = I ’a + £ 'noo + Xhoo näherungsweise unabhängig von der Frequenz sind. Die Gruppengeschwindigkeit fg und die Gruppenlaufzeit r g können lediglich für tiefe und hohe Frequenzen explizit angegeben werden. Aus Gl. ( 6 6 ) folgt = §NF

- ^ = ^ - 2 - T / | t^ = T% F d% F IR C =NF

2-^p PNF

(100)

Im Hochfrequenzbereich ist die Phasengeschwindigkeit öpHF prak­ tisch frequenzunabhängig. Daraus ergibt sich B ild 11:

Frequenzgang der Dämpfungs- und Phasenkonstanten für eine verlustbe­ haftete homogene Leitung (a = Dämp­ fungskonstante, ß = Phasenkonstante)

Bei m ittleren Frequenzen m uß die Gruppengeschwindigkeit »g durch grafische Differentiation aus dem Frequenzgang der Phasenkönstanten ß bestimmt werden.

50

3. Verlustbehaftete homogene Leitung

3.6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen

2. Z a h l e n b e i s p i e l :

p’HF = co • AJ T T c ’ = 2 k ■ 10 3 y / 1,9 ■ 10~r - 6 - 10 "9 ' Vkm

Gesucht sind die Wellenparameter für die Frequenz / = 1 kHz einer Nachrichtenfreileitung aus 4 mm dicken Drähten m it den Be­ läg en/?’ = 2,8 O /km , G ’ = 0,5 jiS/km, C = 6,0 nF/km , L ’ = 1,9 mH/km und eines Nachrichtenkabels m it 0,9 mm dicken Leitern und den Belägen R ’ = 5412/km , G ’ = 0,1 (iS/km, L ’ = 0,7 mH/km , C ’ = 33,1 nF/km . Metallverlustfrequenz

= 0,0212 ‘/k m = 1,22 °/km ßl-lF = 0,0212 Vkm = 1,22 °/km

ctfjp — co * \»J U C ’ --z 2 (tan e + tan 6 ) =

für die Freileitung nach Gl. (96) 2 jt ■ 103 V

S' =

2 ^ 1 ,9 -

10-3

= 2 34Hz

• 10 -3 • 6 • 10 -9 • i (0,235 + 0,0133) Np/km

2

ttHF = 2,63 mNp/km

4 - f i = 940 Hz, d.h. für / = 1 kHz HF -Formeln nach Abschnitt 3.6.3

Metallverlustfrequenz f t für das Kabel f

tan e = c o L ’ = 2jc • 103 ■1,9 • 10-3 = 0,235

e = 0,231

0,5 ■10 ~6 = 23 t . 10 3 . 6 . 1 0 -9 = 0,0133

5 = 0,0133

G’ tan 5 - —

51

71

= - R L - = ____ 54_____ 2 jtL ’ 2 « • 0,7 • IO-3

j / , = 2,46 kHz, d.h. f ü r / = 1 kHz NF-Formeln nach Abschnitt 3.6.2. - T

Z lHF ~

V C

C° S 2

Y1

1,9 - 10 “3 6 ■ 10 -9



Aus der Verknüpfung der Beziehungen (29), (108) sowie (110) gewinnt man den Zusammenhang

und die Blindleistung Pb(z) p

U 2}

~ Uy e2al - U 2 e~ 20:1

El

Uy = — = J — -

^ 2)

—

sm ipL —

(152)

1 + (2)

damit wird die Wirkleistung PW(Z) nach Gl. (149) Uy Ur sin (

(162) 5. Z a h l e n b e i s p i e l :

^ I2

+ U2 [G ’ + j u C ’] ' /

(163)

+ /2 [/? ’ + j co L ’\- l

(164)

+ U2 [G ’ + j c oC’ ] - l

(165)

für Freileitungen Ui * U2

co2 L’C ’ l 2

1 - -j co2 L ’ C’ l 2

1 - l co2 L ’ C ’l 2

Über eine 300 km lange Drehstromfreileitung m it den Belägen R ’ = 0,1 £2/km, G ’ = 0 ,2 ß lk m ,C ’ = 11 nF/km , L ’ = 1,0 mH/km wird einem Verbraucher pro Phase die Wirkleistung = 5 MW zugeführt. Die Verbraucherphasenspannung ist U2 = 50 kV (Effek­ tivwert) bei einem induktiven Leistungsfaktor cos i/j2 = 0,866. Betrag des Verbraucherstroms I 2 (Effektivwert)

74

3. Verlustbehaftete homogene Leitung

Der Zeiger der Verbraucherspannung U2 wird in die positive reelle Achse gelegt, also komplexer Effektivwert U2 = 50 kV. Aus cos ip2 = 0,866 folgt ip2 = 30 °, damit wird der komplexe Effektivwert des Verbraucherstroms /2 = 115 e~“j 30 ° A

Aus Gl. (169) erhält man a = 5,5 • 10~7 ( j t - J

= 5,5 • 10~7 • 3002 = 49,5 • 10"3,

1 _ a = 0,9505

damit wird der komplexe Effektivwert der Eingangsspannung £/, nach Gl. (164)

4 . Hochfrequenzleitungen 4 . l Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung

Verlustlos bedeutet, daß R ’ = O u n d G ’ = 0 ist. Diese Voraus­ setzungen sind bei kurzen Hochfrequenzleitungen, beispielsweise bei Verbindungsleitungen zwischen Meßgeräten oder bei Meßleitun­ gen, mit ausreichender Näherung erfüllt. Die äquivalente Leitschicht­ dicke i? eines idealen Leiters (k = °°) ist nach Gl. (1) unabhängig von der Frequenz Null. Daher verschwindet auch dessen innere Induktivität. Für den Induktivitätsbelag der verlustlosen Leitung gilt somit U ^ nach Gl. (95). Der Wellenwiderstand der verlust­ losen Leitung ist demzufolge reell und frequenzunabhängig 5 t = zl = y % -

( i7 °)

Ui == U2 (1 - a ) + J 2 (i?’ + j u l ’) • / = = 50- 103 -0,9505 + 115- e “ '*30° (0,1 + j 0,314) • 300 V-

Ui ~ (5 6 ,0 2 + j 7,643) kV = 56,5 • ej 7’8 ° kV Bei leerlaufendem Leitungsende wäre die Spannung U2 m it dem berechneten U,

Die Übertragungskonstante der verlustlosen L eitung^ wird gemäß Gl. (17) 7 = a + j ß = \ f ^ c o i L r^ C ' = j co ■\ f L ’o o -C ’

(171)

oder a = 0

U2 «s — - =

^ 6,5 • e-i 7’j 0,9505

kV = 59,4 • ej 7-8 ° kV

Der Leerlaufstrom am Leitungseingang wäre nach Gl. (166) 7,o « U2 (G ' + j w C * ) - / = = 59,4 - e j 7’8° • 103 ( 2 • 10 ~7 + j 34,5 • 10~7) • 300 A

ß = w •

(172)

4.1.1 Spannungs- und Stromverteilung bei beliebigem Verbraucher­ widerstand Mit den Umformungen (A23) sowie (A24) leitet man aus den Be­ ziehungen (32) und (33) ab U(z) = U2 cos ß z + j

sin ß z

71 0 ~ 6 1 , 5 - e i 97'8 ° A Ui

/( Z) = I 2 c o s ß z + j

si nß z

76

4.1 Verlustlose hom ogene Hochfrequenzleitung

4. Hochfrequenzleitungen

U2 231 m it ß = - j — und Z^ = - j — wird 2 jtz

. £ ^ J = ü* ( ^ o s - ^ - + j —

. 2 jt z sin

T T ( 2 71 z Z2 2 jr z \ l g ) - h { cos— + J — sin— J

hz) = h

(173)

( 174 )

Die Phasengeschwindigkeit auf einer verlustlosen Leitung ist unabhängig von der Frequenz, d.h. die Phasengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit. Nach Gin (93) und (101) gilt

(.75, Aus Gl. (175) erhält man den Zusammenhang zwischen der Wellen­ länge auf der Leitung X und der Wellenlänge im freien Raum X0

1

c0

X0

/ ' V er

V eT

( 178^

X

mit den Beträgen

h z )

, öp x= _

( c0S^ rX~ +

77

( 176)

A uf verlustlosen Leitungen mit einer relativen DK er > 1 sind also Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sowie die Leitungswellen­ länge kleiner als die entsprechenden Größen im freien Raum. 4.1.2 Spannungs- und Stromverteilung bei reellem Verbraucherwiderstand Die Leitung wird m it dem reellen Verbraucherwiderstand Z 2 = R 2 = w Z l belastet, wobei 0 =■ m => 1 sein soll. Mit R 2 = m Z l folgen aus den Gin. (173) und (174) die Beziehungen

=

h

y

cos2

^

Der Betrag der Spannung (« = 0, 1, 2 ...) wegen cos

+

m 2

sifl2

( 1 8 0 )

durchläuft furz = ^ + H y = ± 1 Maxi-

= 0 und sin

ma, für z - « -y wegen cos = ± 1 und sin ^ X ma. Damit erhält man aus der Beziehung (179)

= 0 MiniX

U2 = U2 ~Rl

Umzx

(181)

C/min = U2

( l 82)

Wie aus Gl. (180) abzulesen ist, durchläuft der Betrag des S tro m s/(z) für z = n ^ M axim a/max = / 2, fürz = - |- + n y Minima/jnj,, - m l 2. Die dimensionslose Größe m wird nach DIN 47 301, Blatt 2, [6 ] Anpassungsfakior, der Kehrwert Welligkeitsfaktor s genannt. 1 ^min 7min ^ 2 m = —= —---------------------------------- 7 — ■s

^ m ax

( 183'

■ ‘ max

Da der Anpassungsfaktor m nur Werte zwischen 0 und 1 annimmt, ist er für viele Anwendungsfälle, besonders für Darstellungen in Kurven und Diagrammen, besser geeignet als der Welligkeitsfaktor s, der Werte zwischen 1 und °° annehmen kann.

78

4. Hochfrequenzleitungen

4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung

bzw. der Strom am Ort z auf der Leitung gegenüber Verbraucher­ spannung- bzw. Strom voreilen, aus den Beziehungen (177) und

Wegen R 2 - t h jst J2 ,,

(178)

R12. i _ ^max Uimm ____ __ ______ m

Anax

(184)

Anin

Mit den Gin. (181) bis (183) können die Ausdrücke (179) sowie (180) auch geschrieben werden U (z) = tfmax ■ ] / s i ,i 2

/m av '' "p/cOS2 (z) = - Anax | / cos —

+ m 2 C0S2 2 | z

+ m m z2 sin sin 2 — ——2 + —

(185)

ta n ip

u

1 23t z = — tan — - —

m

(187)

A

.

2jtz

(188)

tan (Pj = m • tan ——

B i l d 16 zeigt den Verlauf der Phasenwinkel

IT/Z

0

verschoben, da in den Gin. (185) bzw. (186) sin und

cos vertauscht sind. Bei Anpassung (m = 1) sind Spannung und Strom längs der Leitung konstant, bei Kurzschluß am Leitungsende (m = 0) durchlaufen Spannung und Strom Nullstellen in den Ab­ ständen *2 . Wegen des reellen Verbrauchers R 2 = m Z L sind Ver­ braucherspannung U2 und Verbraucherstrom I 2 in Phase. Werden die Zeiger von U2 und /2 in die positive reelle Achse gelegt, dann findet man die Phasenwinkel u bzw. um welche die Spannung

Bild 16: Phasenwinkel der Spannung

= ü a ' ' ‘ 2ilJz

83

/*

1UZ

cm

+ l£ 6 6 \l// rMHZ MHZ / cm

oder m it Z x nach Gl. (272) i . + 1,066 r,h

km

* ( 0 ,6 - )

Die Gesamtdämpfung ist wieder die Summe aus der Widerstands­ dämpfung nach Gl. (276) und der Ableitungsdämpfung nach Gl. (258). In T a b e l l e 4 sind die Bemessungen für die optimalen Ei­ genschaften der geschirmten Doppelleitung bei vorgegebenem Lei­ tungsaußendurchmesser. d. h. bei festem Schirmradius rh , nach [12] und_[33] zusammengezogen.

5.2.2 Symmetrisches Drehstromkabel Die Angaben beziehen sich auf das Gürtelkabel, dessen Adern sich in einem gemeinsamen Metallmantel befinden. Für die Leitungs­ beläge des Radialfeldkabels (H-Kabel, Dreimantelkabel) gelten die Beziehungen wie für die Koaxialleitung nach Abschnitt 5.2.3. Auch beim symmetrischen Drehstromkabel beeinflussen der Me­ tallmantel und die Bewehrung aus ferromagnetischem Material die elektrischen Eigenschaften. Der Einfluß der äußeren Hülle auf die Betriebskapazität und Induktivität kann bei wirklichen Kabeln meistens vernachlässigt werden. Mit den Bezeichnungen nach B i l d 39 lautet der Kapazitätsbelag bei Vernachlässigung der Wirbelströme in der Hülle nach [9]

128

43t-e0-er

C'

(277)

(3 R 2 - a 2)3 (27 R 6

km

0,111 • er ln

a2 (3 R 2

/c MHZ

300 Xc m

mit

Ac - f (D + d ) -

(278)

Der Ausdruck für den praktisch frequenzunabhängigen Kapzitätsbelag C” lautet

a2f =

r-2 (27 R b - a6)

2 j t

( 2 7 9 )

e o ’f r

i D

Für den Induktivitätsbelag U gilt näherungsweise die Beziehung für die ungeschirmte Drehstromleitung (264). Als Widerstandsbe­ lag R ’ ist der Wert eines Leiters einzusetzen. Die Zunahme des Wi­ derstandsbelags durch die Stromverdrängung im Leiter, den Nähewirkungs- und Hülleneffekt sowie durch Magnetisierungsverluste in der ferromagnetischen Bewehrung gegenüber dem Gleichstromwi­ derstand des Leiters werden durch einen Zusatzwiderstand A R ’ berücksichtigt. Zl ’ ist von der Leiterabmessung abhängig. Bei Lei­ terquerschnitten unter 25 mm 2 ist dieser Zusatzwiderstand ver­ nachlässigbar. Nach [10] beträgt /3i?’für bewehrte Kabel etwa 0,01 ~

kritische Frequenz f c ist die niedrigste Grenzfrequenz von allen Hohlleiterwellen in der Koaxialleitung. Es gilt

ab )

HF mit 4 Jt • e0 = 0,111 t — erhält man die zugeschnittene Größen­ gleichung C’

129

5.2 Geschirmte Leitungen

5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen

~d oder als zugeschnittene Größengleichung C _ _1_ er . i q3 nF 18 . D E

T

Bei ausgeprägtem Skineffekt, d. h. d ^ 20 ist näherungsweise nur noch die äußere frequenzunabhängige Induktivität L ’a wirk-

bei der Frequenz 50 Hz.

L \d = L'

= -£*2 Jt In 4d

(280>

5.2.3 Koaxialleitung oder

5.2.3.1 L e itu n g s k o n s ta n te n B i l d 40 zeigt den Querschnitt der Koaxialleitung. Unterhalb der kritischen Frequenz f c ist der Betriebszustand eindeutig. Die

mH km

0,2 ln

_D d

Aus den Gin. (279) und (280) wird der reelle und frequenzunab­ hängige Grenzwert des Wellenwiderstands hergeleitet

Bild 40: Koaxialleitung

130

5.2 Geschirmte Leitungen

5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen

damit wird L \ nach Gl. ( 8 )

|/V en-^ (

1

mit 1/ — = 120 it £2 wird ul / eo r 60 V

km

ß

= 7 - ^ ,n 7

P*D

Die Wellenwiderstände der gebräuchlichen Koaxialleitungen sind Z x = 50, 60 oder 75 £2. Die Berechnung des Wellenwiderstands aus Gl. (281) liefert bei wirklichen Leitungen meistens ausreichend genaue Werte, wenn die Bedingung d ^ 20 erfüllt ist. Für sehr genaue Rechnungen geht man von Gl. (213) aus. Im Hochfrequenz­ bereich werden die inneren Induktivitäten von Innen- und Außen­ leiter der Koaxialleitung aus dem Zusammenhang ( 8 ) bestimmt Dazu muß zunächst der Widerstandsbelag R ’ erm ittelt werden, der sich aus dem Widerstandsbelag des Innenleiters R ■und dem Wider­ standsbelag des Außenleiters R ’a zusammensetzt. Mit Gl. (9) er­ hält man R’

R \ + R ’n

Kj d - 3 f

Ka

■D ■3 t - # a

(282)

Beschränkt man sich auf den praktisch wichtigen Fall, daß Innenund Außenleiter aus Kupfer bestehen, dann ergibt sich die zuge­ schnittene Größengleichung R’ ü km

8,32 Lcm

cm

mit dem Gültigkeitsbereich / > 0,0176 MHZ = / d \ * \c m )

131

l/H VMHZ

(283)

8,32 U +i . ' cm cm

(284)

2 3 t- 106 ■ ] / £

Aus Gl. (213) findet man schließlich den komplexen Wellenwider­ stand der Koaxialleitung im Frequenzbereich ausgeprägter Strom­ verdrängung

Beispielsweise wird für die international genormte Koaxialleitung mitZ) = 9,5 mm, d = 2,6 mm, er = 1,1 und ZM = 74 £2 nach Gl. (285) Z l HF = 7 4 +

0 93

(

}

gülüg f ü r / ^^ 0,495 MHz

v S bei der Frequenz 1 MHz wird dann Z Lh f = (74,93 - j 0,93) £2. Die Abweichung gegenüber dem Wert aus der Näherungsgleichung (281) beträgt etwas über 1 %. Die Widerstandsdämpfung der Koaxialleitung bei hohen FreR’ quenzen wird aus der Beziehung a R = mit R ’ aus Gl. (282) CO bestimmt. Bestehen Innen- und Außenleiter aus Kupfer, dann folgt mit Gl. (283)

132

5. Berechnung der Leitungskonstan ten hom ogener Leitungen

Bei der Leitungssynthese sind häufig der Außenleiterdurchmesser D und der Wellenwiderstand Z^'vorgegeben. Zur Lösung dieser Aufgabe wird Gl. (281) nach dem Innenleiterdurchmesser d aufge­ löst und in Gl. (286) eingeführt Zc

r

fL

U i j_ (

N£ km

z^ ^

60

n

D \ crn"

j . i ß l r7fm /

V MHz

(287)

Die Gesamtdämpfung einer Koaxialleitung m it Kupferleitern wird . c , / > 0,0176 „ , , im Frequenzbereich £ ^ unter Berücksichtigung der Vom/ Ableitungsdämpfung nach Gl. (258) 4,16 / 1 D

NP km

£2

cm

d

■V!MHz + 10,5 • V T -

cm

/ '

tan

5

(288)

M I T

MH/.

133

5.2 Geschirmte Leitungen

Außenleiterdurchmesser D kann die von der Leitungsgeometrie un­ abhängige Ableitungsdämpfung a G größer werden als die Wider­ standsdämpfung ctR. Die Beziehungen (288) sowie (289) liefern für Koaxialleitungen mit Volldrahtinnenleiter und homogenem Rohraußenleiter sehr ge­ naue Ergebnisse. Bei flexiblen Leitungen, deren Innenleiter aus Litze und deren Außenleiter aus Drahtgeflechten aufgebaut sind, entstehen zusätzliche vom Litzen- und Geflechtsaufbau sowie von der Frequenz abhängige Verluste. Die Leitung m it homogenen Lei­ tern hat stets die niedrigste Dämpfung. In der Nachrichtentechnik sollen die Übertragungsmittel mög­ lichst kleine Dämpfung haben. Da die Material- und Herstellungs­ kosten einer Leitung proportional mit dem Außenleiterdurchmesser steigen, muß dieser gering gehalten werden. Wie oben ausgeführt, dürfen für dämpfungsarme Leitungen nur verlustarme Isolierstoffe mit niedriger relativer DK verwendet werden. Daneben gibt es noch ein Durchmesserverhältnis D /d , für welches die Widerstandsdämp­ fung bei vorgeschriebenem Außenleiterdurchmesser D ein Minimum durchläuft. Aus Gl. (286) liest man ab, das dies der Fall ist, wenn 1+ ln j der A usdruck------—---- einen Extremwert erreicht. Aus der 1. Ab-

'4

oder mit Gl. (287)

leitung.und Nullsetzen folgt ln — = 1 +

a

= 4,16

1

N£ km

^

R_ cm

’r Zc°° 1 + e "60 £2

transzententen Gleichung lautet

y r MHz z

f= + 10,5 • \fel ■tan 5 ... ..... r MHz

3,6

Die Lösung dieser d

(290)

(289)

Aus Gl. (289) erkennt man, daß niedrige Gesamtdämpfung a bei festem Außenleiterdurchmesser D und Wellenwiderstand Z x eine Isolierung mit möglichst kleiner relativer DK er sowie kleinem Ver­ lustfaktor tan 5 verlangt. Bei sehr hohen Frequenzen und großem

Die Koaxialleitung kleinster Dämpfung hat nach Gl. (281) den Wel­ lenwiderstand

134

Bei Vollisolierung mit Polyäthylen wird m it er = 2,25 Z ^ = 51,3 n . Die Abmessungen von Koaxialleitungen mit optimalen Eigen­ schaften sind in T a b e l l e 5 zusammengestellt. Tabelle 5:

Optimale Eigenschaften der Koaxialleitung bei festem Außen­ leiterdurchmesser D (d = Innenleiterdurchmesser, er = rela­ tive DK der Isolierung, Zoo = Grenzwert des Wellenwider­ stands)

Eigenschaft

D d

Kleinste Dämpfung

3,6

Größte Spannungsfestigkeit

2,72

Größte Leistung

1,65

Zoo TT 77

60

30

\/ i r

135

5.2 Geschirmte Leitungen

5. B erechnung der Leitungskonstan ten hom ogener Leitungen

offenen Eingangsklemmen der am Ende kurzgeschlossenen, elek­ trisch kurzen Leitung die Spannung U^. Für den Betrag des Kopp­ lungswiderstand ZK gilt dann Zv = K /St ' l

(292)

Die übliche Einheit für Z ^ ist ~ ~ Die durch den äußeren Störstrom 1$t im inneren System erzeugte Störspannung U2 bleibt klein, wenn der Kopplungswiderstand Z K klein ist. Gute Schirmwirkung des Außenleiters bedeutet also niedri­ ger Kopplungswiderstand. Größe und Frequenzgang des Kopplungs­ widerstands hängen vorwiegend vom Aufbau des Außenleiters der Koaxialleitung ab. Bei Gleichstrom und tiefen Frequenzen ist der Kopplungswiderstand gleich dem Gleichstromwiderstand des Außen­ leiters R 0 , mit wachsender Frequenz weicht Z K erheblich von R 0 ab. Nach VDE 0855 ist beispielsweise für Antennenleitungen in Fernsehgemeinschaftsanlagen ein maximaler Kopplungswiderstand von 500

5.2.3.2 K o p p lu n g sw id e rsta n d Ein Maß für die Schirmwirkung des Außenleiters einer Koaxial­ leitung ist der Kopplungswiderstand Z K , dessen Definition lautet Über den Außenleiter der Koaxialleitung, deren Länge kleiner — ist, fließe der Störstrom /g t ( B i l d 41). Dann entsteht an den^

bei der Frequenz 200 MHz zulässig. Der Ausdruck m füi den Betrag des Kopplungswiderstands Z K für ein homogenes Metallrohr aus nichtferromagnetischem Material lautet nach [13] 2^a K R0

1/

Y cosh

2Ja

- cos

— 2Ja

(293) 2-V2 ^ e ” * V mit

Bild 41: Definition des Kopplungswiderstands der Koaxialleitung

für d a > 0

d a = Rohrdicke i? = äquivalente Leitschichtdicke des Rohres = spezifische Leitfähigkeit des Rohres k R n = -----=— ------ Gleichstromwiderstand des Rohres u

jt ■D ■ d a • k

136

5.2 Geschirmte Leitungen

5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen

Der Außenleiter einer flexiblen Koaxialleitung besteht aus ge­ w endeten Metallbändern, aus einer Drahtbespinnung oder aus ei­ nem Drahtgeflecht. Durch die stets vorhandenen Öffnungen in der­ artigen Außenleitern entsteht ein magnetischer Durchgriff, demzu­ folge der Kopplungswiderstand von einer gewissen Frequenz ab wie­ der ansteigt. Den Frequenzgang des Kopplungswiderstands von Koaxialleitungen m it gebräuchlichen Außenleiterkonstruktionen [11] zeigt B i l d 42. Verfahren zur Berechnung des Kopplungs­ widerstandsverlaufs von Koaxialleitungen mit inhomogenen Außen­ leitern sind bis jetzt nicht bekannt.

137

! r ^ ök (■+eVÖ5} i / £ ■w86■i/ £ km

m it dem G ültigkeitsbereich/ = 0,36 MHz. Die Ableitungsdämpfung wird nach Gl. (258) 4 r “ = 10,5 • y / l Ö T • 4 • 10~4 J r r = 0,0063 J r r Np MHz MHz km Aus Gl. (278) folgt der eindeutige Betriebsfrequenzbereich XC, %

f • \ / 2,25 (0,99 + 0,22) cm

= 2,85 cm,

/ c = 10,5 GHz

Bild 42: Frequenzgang des Betrags des Kopplungswiderstands einer Koaxial­ leitung für verschiedene Außenleiterkonstruktionen 1) homogenes Rohr 2) und 3) Drahtgeflecht

ln B i l d 43 ist der Verlauf der Widerstands-, Ableitungs- und Ge­ samtdämpfung für den Frequenzbereich von 10 MHz bis 10 GHz aufgetragen. Man erkennt, daß ab etwa 2,4 GHz der Anteil der Ab­ leitungsdämpfung a G den Anteil der Widerstandsdampfung a R an der Gesamtdämpfung a überschreitet.

8. Z a h l e n b e i s p i e l : Eine Koaxialleitung mit dem Wellenwiderstand Z M = 60 £2 ist aus homogenen Kupferleitern aufgebaut. Der wirksame Außenlei­ terdurchmesser des 0,25 mm dicken Rohres beträgt 9,9 mm. Die Vollisolierung aus Polyäthylen hat die relative DK er = 2,25 und den Verlsutfaktor tan f c ’ damit rj > 1

Vierpoldämpfung Durchl aßbereich

a = 0

Sperrbereich

a = 2 ar cosh r?

(296)

= 2 arc sin 77

(297)

Vierpo Iphasenmaß Durchlaßbereich

b

Sperrbereich

b = Jt

(298)

Wellenwiderstand

+ s L ’0 V

1-

n

2

(299)

m s- C. ’0 + Cssp-

Der Frequenzgang des Vierpolphasenmaßes b ist auf B i l d 46 aufgetragen. Den Verlauf des Betrags des Wellenwiderstand Z in Ab-

Bild 44: Pupinisiertes Kabel nach europäischer Bauart und Ersatzschaltung

Bild 46:

Frequenzgang des Phasenmaßes für die Ersatzschaltung nach Bild 45

142

6. Inhomogene Leitungen

6.1 Pupinleitung

143

Die Größe a , kann wie die Dämpfungskonstante einer homogenen Leitung nach Abschnitt 3.6 berechnet werden, wenn nachstehende ( oitungsbeläge eingeführt werden R ’ = -R ’0 +

•^Sp

ü,

S

km s km

G ’ = Go

Bild 47: Frequenzgang des Betrags des WellenWiderstands für die Ersatzschal­ tung nach Bild 45

fsp C ’ - C ’o + ——5

L’ = L 0 + hängigkeit von der normierten Frequenz r, zeigt B i l d 47. Nach Gl. (299) ist der Wellenwiderstand im Durchlaßbereich frequenzab­ hängig und reell, im Sperrbereich frequenzabhängig und imaginär. Der Betrag des Wellenwiderstands eines unpupinisierten Kabels ist wesentlich kleiner als der des pupinisierten Kabels. Wie aus genauen Untersuchungen unter Berücksichtigung der Verluste hervorgeht [29], bleiben die Ausdrücke für die Grenzfre­ quenz/Q (294) sowie für das Vierpolphasenmaß b (297) gültig. Für die Phasenkonstante ß eines bespülten Kabels folgt für den Durch­ laßbereich aus Gl. (297)

ß

= -j arc sin 17

(300)

Wie zu erwarten war, muß die Dämpfung eines bespülten Kabels im Durchlaßbereich von Null verschieden sein. Wegen des starken Anstiegs der Dämpfung in der Nähe der Grenzfrequenz / q wird ein Pupinkabel nur bis zu (0,7 bis 0,8) / q ausgenützt. Die Beziehung für die Dämpfungskonstante im Durchlaßbereich (77 < 1) lautet