Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen

Prof. Dr.-lng. habil. P. Vielhauer

T h eo rie d e r O b e rtra g u n g au f elektrischen Leitungen Hochschullehrbuch

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VEB VERLAG T E C H N IK BERLIN

VORWORT

Das vorlieeende Buch iiber Leitungstheorie will den Studenten der Informationstechnik und anderer elektrotechnischer Disziplinen sowie den in der Praxis stehenden Diplomingenieur mit den Methoden zur Untersuchung der elektrischen Ubertragung auf Leitungen, also den Grundlagen zur Untersuchung und Beschreibung von linearen Systemen mit verteilten Parametern vertraut machen. Sie spielen heute nicht nur in der Naehrichten- und Energieiibertragungstechnik eine wichtige Rolle, sondem werden wegen der Verwendung im m er hoherer Frequenzen in den verschiedensten Gebieten der Analog- und Digitalteehnik benotigt. Dabei soli vorausgesetzt werden, dafi die betrachteten Leitungen so beschaffen slnd, da6 die bei der Ubertragung entstehenden elektromagnetischen Felder als transversale Felder (TEM-Wellen) betrachtet werden konnen. Entsprechend der in der letzten Zeit im m er m ehr in den Vordergrund getretenen Problematik der Ubertragung impulsformiger Signale, wird vom dynamischen Verhalten der Leitungen ausgegangen, d .h ., es wer­ den zeiflich beliebig verlaufende Spannungen und Strome zugelassen. Die in der klassischen Theorie als Ausgangspunkt verwendeten Falle, namlich das stationare Verhalten bei sinusformlger Urspannung und die Einschwingvorgange, werden hier als Sonderfalle angesehen und behandelt. Obwohl stets nur von elektrischen Leitungen die Rede ist, lassen sich die entwickelten Methoden und Ergebnisse auf eindimensionale Ausbreitungsvorgange jeglicher Art (mechanisch, pneumatisch, akustisch, usw.) anwenden, wenn nur die beschreibenden Differentialgleichungen den Leitungsgleichungen entsprechen. Es istm ir ein Bediirfnis, Herrn Prof. em . D r . phil. K . Freitag fur die Anregung zu dieser Arbeit und die Unterstiitzung bei ihrer Durchfiihrung meinen herzlichsten Dank auszusprechen. AuBerdem danke ich Frau Mischnick fur die tatkraftige Unterstiitzung bei der Anfertigung des Manuskripts, sowie Frau Netz vom Verlag Technik fur die gute Zusammenarbeit. Dresden, 1 .3 .1 9 6 9 P . Vielhauer

Lektor: Doris Netz D K : 6 2 1 .3 .0 9 ES: 20 K 5 V T 0 /3 /4 4 5 8 Alle Rechte vorbehalten. Copyright 1970 by V E B Verlag Teohnik, Berlin V L N 201. Dg. Nr. 370 /1 2 4/69 Deutsche Demokratische Republik Offsetdruek: V E B Graphische Kunstanstalt Reprocolor, W erk III, Leipzig Bestellnummer: 551 584 1 5

INHA LTSVERZEICHNIS

Symbolverzeichnis....................................................................

9

0.

Einleitung.......................... : ............................................................

1.

Die Operatorenrechnung zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens von linearen zeitinvarianten S y s t e m e n ..................

1 .1 . 1 .2 . 1 .3 .

lineare zeitinvariante S y s t e m e ................................................. Operatorenreehnung nach M ikusinski......................................... Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten elektrischen Systems mit konzentrierten Schaltelementen............. Der Verschiebungsoperator......................................................... Operatorfunktionen.........................................................................

23 26 34

2.

Die elektrische Leitung.................................................................

37

3.

Leitungskonstanten.........................................................................

39

3 .1 . 3 .2 . 3 .3 . 3 .4 .

Widerstandsbelag R ' ...................................................................... Ableitungsbelag G ' ......................................................................... Kapazitatsbelag C ' ......................................................................... Induktivitatsbelag I f ......................................................................

39 39 39 40

4.

Die Leitungsgleiehungen und ihre L o s u n g ..................................

41

4 .1 . 4 .2 . 4 .3 .

Ableitung der Leitungsgleiehungen............................................ Operatorform der Leitungsgleiehungen.................................... Allgemeine Losung der Leitungsgleiehungen fur die homogene, im Einschaltmoment energielose Leitung ...................................

41 44

5.

Dynamische Vorgange auf verlustlosen Leitungen.....................

47.

5 .1 . 5 .2 . 5 .3 .

Die verlustlose Leitung................................................................. Ri = 0 , J a = Z ................................................................................. Generatorseitig angepafite Leitung (Rj = Z ) ............................... 5 .3 .1 . Kurzgeschlossene Leitu ng.............................................. 5 .3 .2 . Offenlaufende Leitung...................................................... 5 .3 .3 . Reell abgeschlossene Leitung ...................................... 5 .3 .4 . Induktiv abgeschlossene Leitung................................... 5 .3 .5 . Kapazitiv abgeschlossene Leitung................................. 5 .3 .6 . Mit einem Elementarzweipol abgeschlossene Leitung 5 .3 .7 . Rational abgeschlossene Leitung........................... Beliebiger Innenwiderstand.......................................................... Die Leitung als Vierpol................................................................. 5 .5 .1 . Kettenschaltung von zwei Leitungsstticken................. 5 .5 .2 . Die Kettenmatrix der verlustlosen Leitung................. 5 .5 .3 . Die Wirkung einer Storstelle.........................................

47 47 50

1 .4 . 1 .5 .

5 .4 . 5 .5 .

11

14 14 19

45

52 55 * 55 57 62 64 67 68 71 71 75 78 7

5 .6 . 5 .7 .

Zusam m en fassun g........................................................................ Die im Einschaltmoment elektrlsch geladene Leitung............

82 86

6.

Stationare Vorgange auf verlustlosen Leitungen.......................

90

6 .1 . 6 .2 . 6 .3 . 6 .4 . 6 .5 . 6. 6. 6 .7 .

Spannung und Strom bei sinusformiger Urspannung fur groflet Hin- und rucklaufende Welle, komplexer Reflexionsfaktor . . . Spannung und Strom entlang der Leitung, Welligkeit............... Leitung als V i e r p o l ...................................................................... Eingangswiderstand..................................................................... Leitungsdiagramm........................................................................ MeBleitung.....................................................................................

90 92 95 99 99 101 106

7.

Dynamische Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen..........

108 ,

7 .1 .

7 .2 .

Allgemeiner F a l l ........................................................................... 7 .1 .1 . Hinlaufende W e l l e ......................................................... 7 .1 .2 . Riieklaufende W e l l e ....................................................... 7 .1 .3 . B eispiele......................................................................... 7 .1 .3 . 1 . Ubertragung eines Rechteckimpulses.......................... 7 . 1 .3 .2 . Ubertragung einer Sinusschwingung............................. 7 .1 .3 . 3. Ubertragung eines sin2- Im pulses............................... Verzerrungsfreie L e itu n g ...........................................................

108 109 116 120 120 122 133 133

8.

Stationare Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen...............

137

8 .1 .

Spannung und Strom bei sinusformiger Eingangsspannung fur groBe t .............................................................................................. 8 .2 . Hin-und riieklaufende Welle, Reflexionsfaktor...................... 8 .3 . Widerstandstransformation........................................................ 8 .4 . Leitung als V i e r p o l ...................................................................... 8 .5 . Wellenwiderstand, Fortpflanzungskonstante............................ 8 . 6 . Ersatzschaltbilder........................................................................ 8 .6 .1 . Ersatzschaltbild fur das Leitungselement.................. 8 .6 .2 . Ersatzschaltbilder fur ein Leitungsstiiek der Lange 1 ......................................................................

137 138 142 144 146 149 149 149

9.

Anhang.............................................................................................

154

9 .1 .

Rechenautomaten-Programme zur Berechnung der Vorgange auf verlustbehafteten L e itu n g e n ................................................. T a f e l n .............................................................................................

154 159

Literaturverzeichnis...................................................................

163

9 .2 . 10.

8

SYMBOLVERZEICHNIS

Amplitude Kettenmatrix Dampfungskonstante Verlustdampfung Phasenkonstante fi Kapazitatsbelag C' Fortpflanzungskonstante 7 Dampfungskoeffizient D Einheitsimpuls tf (t) (Dirac' sehe Deltafunktion) kleine Zahl £ Frequenz f MagnetfluB 0 Phase f Operator G Ableitungsbelag G' Impulsreaktion g (Gewichtsfunktion) Verschiebungsoperator hT Integrationsoperator I Strom i komplexe Amplitude 7 des Stromes Zahlenfaktor k Indu ktivi tatsbe lag L' Leitungslange 1 X Wellenlange Nennerpolynom N(s) ganze Zahl n Kreisfrequenz 01 Zahlerpolynom P(s) Ladungsmenge Q Polynom Q(s) Widerstandsbelag R' Rj, ft j Innemviderstand Reflexionsfaktor K Reflexionsfunktion e Differentiationsoperator s Zeit, Schwingungsdauer T Impulslange T0 Zeit (variabel) t r Zeit (meist Integrationsvariable) Spannung u hinlaufende Spannungswelle uh

A (A) a. a0

riieklaufende Spannungswelle Spannung am Ausgang Spannung,am Eingang komplexe Amplitude der Spannung Ubergangsfaktor «12 (Leitung 1 auf Leitung 2) Verzerrungskoeffizient V V Geschwindigkeit Phasengeschwindigkeit vDh v (x, t) Verzerrungsfimktion hinlaufende Welle wh rucklaufende Welle Wr Hilfsfunktion w(t) Ortskoordinate (Entfemung X vom Leitungseingang) EingangsgroBe x(t) Ortskoordinate (Entfernung y vom Leitungsausgang) AusgangsgroBe y(t> Wellenwiderstand z Wellenwiderstand der verlust­ Zo losen Leitung Hilfsfunktion S

ur «a ue U

o. e i n l e i t u n g

In dem vorliegenden Buch wird eine umfassende Darstellung der Ubertragungsvorgange auf homogenen Leitungen gegeben. Dabei werden die dynamisohen Vorgange als primar, die stationaren Vorgange als Sonderfall betraehtet und behandelt.

Die Besohreibung der beliebig verlaufenden Spannungen und Strome entlang der Leitung erfolgt mit Hilfe der neuen von Mikusinski entwickelten Operatorenrechnung. Ihre Grundlagen werden im Abschnitt 1. dargestellt, wobei besonderer Wert auf eine enge Verkniipfung mit der Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme gelegt wird. AusfUhrlieh wird auf den Verschiebungsoperator eingegangen, der den grundlegenden Operator zur Besohreibung von Sy s t e m e n mit verteilten Parametern darstellt. Die Anwenduhg der MikusinskiOperatoren fiihrt zu einfaehen ansehaulichen Ergebnissen, die die komplizierte Frage der ItRiicktransformation" Uberhaupt nicht erst aufkommen lassen. Auch Konvergenzuntersuchungen, wie sie bei der Laplaoe-Transformation notwendig sind, und die Probleme im Zusammenhang mit der Dirac'sehen Deltafunktion entfallen bei Anwendung der neuen Operatorenrechnung. Im Abschnitt 2. wird festgelegt, was unter einer elektrischen Leitung zu verstehen ist und wie die verschiedenen Leitungsformen nach bestimmten theoretischen Gesichtspunkten zusammengefaRt bzw. unterschieden werden konnen. Im Abschnitt 3. folgt die Definition der vier Leitungskonstanten. Die Leitungsgleiehungen werden nicht wie ttblich aus einem konzentrierten Ersatzschaltbild abgeleitet, dessen Giiltigkeit erst zu beweisen w are, sondern aus den elektromagnetischen Grundgesetzen (Abschn. 4.). Dadurch kommt man z u einem allgemeinen System partieller Differentialgleichungen, das auch die inhomogene und zeitlich variante Lieitung beschreibt. AuBerdem wird der W eg zur Behandlung von Mehrleitersystemen gewiesen. Fiir die allgemeine Losung der Leitungsgleiehungen wird vorausgesetzt, dafl die Leitungskonstanten auch wirklich konstante GroBen sind. Diese Idealisierung wurde in der Leitungstheorie bisher stets vorgenommen und die Praxis zeigt, daB m an damit eine gute Besohreibung der Wirklichkeit erhalt. Im Abschnitt 5. werden die dynamischen Vorgange auf verlustlosen Leitun­ gen systematisch untersucht. Zur Einfiihrung wird zunachst der einfaehe Fall betraehtet, dafl der Innenwiderstand des Generators gleich Null und der Abschlufiwiderstand gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist, also der in der Literatur bisher meist als „unendlich lange Leitung" bezeichnete Fall. Es ergibt sich dabei die bekannte Tatsache, daB eine verlustlose Leitung bei AbschluB mit dem Wellenwiderstand wie eln ideales Verzogerungsglied wirkt. Urn die Wirkung eines vom Wellenwiderstand abweichenden Abschlusses zu erkennen, werden die wichtigsten Varianten vom KurzschluB bis zum beliebigen Netzwerk betraehtet. Zur Vermeidung von Mehrfachreflexionen ist der Generatorwiderstand gleich dem Wellenwiderstand zu setzen. Zur einfaehen Beschreibung der Reflexion wird der Reflexionsfaktor als der Operator definiert, der auf die hinlaufende Welle anzuwenden ist, um die rucklaufende Welle zu erhalten. LaBt m an schlieBlich die Voraussetzung des angepaBten Genera­ tors fallen, so erhalt m an den allgemeinsten Betriebsfall mit unendlich vielen 11

aufeinanderfolgenden Reflexionen, deren Starke jedoch nach einer geometrisohen Reihe abnimmt. U m den tibergang einer Welle von einer Leitung auf eine zweite mit abweiehendem Wellenwiderstand oder die Wirkung einer konzentrierten Storstelle untersuchen zu konnen, wird die Leitung als Vierpol betraehtet. Die Besohreibung der in die zweite Leitung „ubergehenden" Welle gelingt am einfachsten mit Hilfe des „Ubergangsfaktors", der analog zum Reflexions­ faktor definiert wird. Aus den gefundenen Ergebnissen werden einfache Grundgesetze fiir die dynamisehen Vorgange auf verlustlosen Leitungen herausgearbeitet, die es gestatten, die versehiedensten Anwendungsfalle (beliebiger LeitungsabschluB, tibergang auf anderen Wellenwiderstand, konzentrierte Inhomogenitat) ohne komplizierte Rechnung zu analysieren. A m SchluB die­ ses Abschnitts wird nooh ein Beispiel fiir eine im Einschaltmoment elektrisch geladene Leitung untersuoht. E s zeigt sich, daB mit ihrer Hilfe in einfaeher Weise ein Rechteckimpuls ganz bestimmter Lange an einem ohmschen Widerstand erzeugt werden kann. Im Abschnitt 6 . werden die stationaren Vorgange auf verlustlosen Leitun­ gen betraehtet. Durch Anwendung der allgemeingiiltigen Formeln auf eine Sinusschwingung und Grenziibergang t — °° erhalt m an Beziehungen, die es gestatten, die komplexen Amplituden von Spannung und Strom bei beliebigem Abschlufl der Leitung aus der komplexen Amplitude der Urspannung zu berechnen. Durch Spezialisierung ergeben sich die klassischen Vierpolgleichungen der Leitung. E s wird gezeigt, daB sich der komplexe Reflexionsfaktor zur Besohreibung der stationaren riicldaufenden Welle am LeitungsabschluB aus dem allgemeinen Reflexionsfaktor in der iibliehen Weise durch Ersetzen des Differentiationsoperators s durch ja> ergibt. Dies gilt aber nicht an LeitungsUbergangen bzw. Storstellen, da der allgemeine Reflexionsfaktor nur eine einmalige Reflexion erfaBt, wahrend sich die stationare rucklaufende Welle i. allg. aus mehreren Anteilen zusammensetzt, deren Amplitude und Phasenlage von der Lange der anschlieBenden Leitung und deren AbschluBwiderstand bestimmt werden. Im Gegensatz zu vielen friiheren Darstellungen der Leitungstheorie wird hier der Reflexionsfaktor besonders betont, da man einmal die Vorgange auf den Leitungen besonders anschaulich deuteri und zum anderen das fiir die A n ­ wendung so wichtige Leitungsdiagramm in einfaeher Weise herleiten kann. Die verschiedenen Anwendungsmoglichkeiten des Leitungsdiagramms werden ausfiihrlich erlautert. Abschnitt 7. behandelt die dynamisehen Vorgange auf verlustbehafteten Lei­ tungen. Zunachst wird gezeigt, daB sich der Operator zur Berechnung der hinlaufenden Welle in drei Faktoren zerlegen laBt, wobei der erste die zeitliche Verschiebung, der zweite die Verlustdampfung und der dritte die Verzerrung beschreibt. Die beiden ersten Faktoren lassen erkennen, daB die durch eine verlustbehaftete Leitung bewirkte Verzdgerung und Verlustdampfung unabhangig von der Form des Eingangssignals, bei sinusformiger Erregung heiBt das unabhangig von der Frequenz, sind. Beide stimmen mit den entsprechenden Werten der verzerrungsfreien Leitung iiberein. Insbesondere stimmt die Signallaufzeit auf einer verlustbehafteten Leitung mit der auf der entsprechen­ den verlustlosen Leitung iiberein. Die Verzerrung aufiert sich darin, daB dem verzogerten und gedampften Eingangssignal ein zweites, mit der „Verzerrungsfunktion" gefaltetes Signal uberlagert wird. D a das Ergebnis der Faltung vom Eingangssignal wesentiich bestimmt wird, ist die Verzerrung vom Eingangs­ signal abhangig. So erklart sich, daB Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz verschieden verzerrt werden und sich daraufhin bei Betrachtung 12

des stationaren Zustands eine frequenzabhangige Dampfung und Phasenlaufz e it ergibt. Die allgemeine Rechnung fiihrt fur groBe t zu den seit langem bekannten und auch experimentell bestatigten Ergebnissen. Die „Verzerrungsfunktion" wird durch den Verzerrungskoeffizienten V bestimmt und ist als u n e n d l i c h e Reihe gegeben, deren einzelne Glieder durch wiederholte Faltung entstehen. Die Untersuchung der Reflexion an einem ohmschen Widerstand zeigt, daB der Reflexionsfaktor in zwei Summanden, eine Zahl und eine Funktion, zerlogt werden kann. D er erste Summand stimmt mit dem Reflexionsfaktor der verlustlosen Leitung iiberein, der zweite soil „Reflexionsfunktion" genannt werden. Damit setzt sich die riieklaufende Welle zusam men aus einem Anteil, den wir bei Betrachtung der verlustlosen Leitung bereits kennengelernt haben, und einem zweiten Anteil, der sich durch Faltung der „Reflexionsfunktion" mit der hinlaufenden Welle ergibt. Die „Reflexionsfunktion" hangt wieder vom Verzerrungskoeffizienten V ab. Im Abschn. 7 .1 .3 . werden verschiedene typische Leitungen und Signalformen untersucht. E s zeigt sich dabei, daB eine optimale Leitungslange existiert, bei der sich die Signalverformungen infolge der Verzerrung und der Reflexion nahezu aufheben und somit eine nahezu verzerrungsfreie Uber­ tragung stattfindet. Eine einfache Formel zur Berechnung dieser optimalen Leitungslange wird angegeben. Auch wird abgeschatzt, wie lang ein Recht­ eckimpuls sein darf, damit die Verzerrung einen bestimmten Prozentsatz nicht tibersteiet. Betrachtungen zur verzerrungsfreien Leitung schlieBen diesen Abschnitt ab. Im letzten Abschnitt werden schlieBlich die stationaren Vorgange auf ver­ lustbehafteten Leitungen dargestellt. Neu ist hier insbesondere die Anwen­ dung des gewohnliehen Leitungsdiagramms zur Widerstandstransformation unter Benutzung eines zusatzlichen Diagram m s zur Bestimmung des Dampfungsfaktors K v . M a n erspart sich dadurch die umstandlichen Rechnungen mit den komplexen Hyperbelfunktionen. Der Abschnitt wird abgesehlossen durch die Angabe der konzentrierten Ersatzschaltbilder fur die verlustbehaftete Leitung. Im Anhang werden die Rechenautomaten-Programme zur Untersuchung der dynamisehen Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen kurz beschrieben und einige Tafeln angegeben.

13

Es soil jetzt an einigen Beispielen gezeigt werden, welche Bedeutung der G haben kann

1. D IE O P E R A T O R E N R E C H N U N G Z U R U N T E R S U C H U N G D E S D Y N A M I S C H E N V E R H A L T E N S V O N L IN E A R E N Z E IT IN V A R IA N T E N S Y S T E M E N

Operator

B eisp iel 1 :

Die Wirkung sei gleich der Ursache; z . B . ein am Eingang eines Ubertragungssystems eingegebenes Signal erscheine unverandert a m Ausgang. Dann gilt also ist

1 ,1 .

Lineare zeitinvariante Systeme

B eisp iel 2 :

Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System mit einem Ein- und einem Ausgang, Die EingangsgroBe werde mit x(t), die AusgangsgroBe mit y(t) bezeichnet, wobei wir auf die Angabe des Arguments meistverzichten werden. E s gilt dann, falls yj die Antwort (Reaktion) des Systems auf die Ursache xj darstellt und cj, C2 beliebige Konstanten bedeuten Ursache cA

x i (t “ t0 )

—

ci y i + V

2

(1 . 2)

y = kx, G = k.

Beispiel 1 ist als Spezialfall im Beispiel 2 enthalten. W ir erkennen, daB jede reelle Zahl als Operator auftreten kann. Die Regeln (1.4) und (1.5) sind offensichtlich erfiillt.

t1 -1)

y x (t-t0 )

Die Wirkung sei das k-fache der Ursache, z . B . ein am Eingang eines Ubertragungssystems eingegebenes Signal erscheine auf das k-fache verstarkt am Ausgang (idealer Verstarker). Dann gilt also ist

— ► Antwort

+ c2x2 —

y 1‘ l x , G ■1 .

B eispiel 3 :

Die Wirkung sei das Integral der Ursache t y = J

Lineares zeitinvariantes System

xiV

Dann ist

y(ti

Beispiel 4: In der Beziehung (1.1) kommt die Linearitat, in (1.2) die Zeitinvarianz des Systems zum Ausdruck (vgl. Wunsch [10]). Lineare zeitinvariante Sy­ steme mit einem Ein- und einem Ausgang lassen sich dureh die Gleichung

G (°\x x + C2X2 ) = c i G x i + c2 Gx2 :

b)

aus

(1.3)

Beispiel 5:

4>

14

Die Wirkung sei die Ableitung der Ursache

also

G = p

=px, .d dt

D e r Operator p kann natiirlich nur auf differenzierbare Funktionen angewendet werden, insbesondere ergeben sich Schwierigkeiten, wenn x im Nullpunkt unstetig ist, wie von der Heavi­ side' schen Operatorenrechnung her bekannt ist. Beispiel 6 :

Die Wirkung sei gleich der u m die Zeit T verschobenen Ursache. y = x(t — T)

5>

D en Operator G zeichnen. Beispiel 7:

Bild 1.2.Mathematisches Modell

; kx + Ix • (k + I)x , = k + I.

dt

G x(t) = y(t)

folgt G x(t - 10 ) = y(t - 10).

Die Wirkung sei die Uberlagerung aus dem k-fachen der Ein­ gangsfunktion und ihrem Integral, also demnach ist

beschreiben. Gl. (1.3) ist eine Funktionalgleichung zwischen der Eingangsfunktion x(t) und der Ausgangsfunktion y(t). Die Grofle G bezeichnen wir als Operator. E r gibt an, welche Operationen mit x ausgefiihrt werden miissen, u m y z u erhalten. Der Operator G ist als mathematisches Modell des betraehteten linearen zeitinvarianten Systems aufzufassen und muR demzufolge entsprechend den Beziehungen (1.1) und (1.2) folgenden Regeln gehorchen: a)

G = I = /. o

W ir wollen I den Integrationsoperator nennen.

Bild 1 .1 . Blocksehaltbild fiir ein lineares zeitinvariantes System

y = Gx

x (r ) d f = I x .

=hT wollen wir als Verschiebungsoperator m-

Die Wirkung sei gleich dem Integral der k-fachen Ursache t y=

k x (t )d t = I k x o G = 1 k.

15

Der Operator erscheint in diesem Fall als Produkt der beiden in den Beispielen 2 und 3 eingefiihrtenOperatoren. M an kann sich vorstellen, daB zwei Systeme hintereinander gesehaltet sind, das erste mit dem Operator k, das zweite mit dem Operator I. Alle hier betrachteten Operatoren erfullen die Regeln (1.4) und (1.5), sind also linear und zeitinvariant. Die aufgezahlten Operatoren und ihre Kombinationen gestatten bereits die Besohreibung sehr vieler linearer zeitinvarianter Systeme. Aber wir konnen nicht erwarten, daB damit alle Falle erfafit sind. U m eine moglichst groBe Klasse von Systemen zu erfassen, machen wir folgendes Gedankenexperiment: Die Antwort eines gegebenen Systems auf einen Rechteckimpuls nach Bild 1 .3

0

IIA

t6 sei

yn =

y = ge(t).

E

i=1 wenn n die Anzahl der Impulse bis zum Zeitpunkt t angibt. Das gefundene Ergebnis ist nur eine Naherung, da wir die Funktion x(t) durch eine Treppenkurve ersetzt haben. Die exakte Antwort des Systems auf die Eingangsfunktion x(t) erhalten wir, wenn wir die Einteilung imm er feiner wahlen, d. h. n -^co und dementsprechend A t — dt gehen lassen. Die Summe in Gl. (1.6) geht dabei in das Integral iiber:

m i e

(1.7) £

t

Bild 1 .3 Rechteckimpuls als Ursache

Lassen wir e gegen Null gehen, so bleibt die Impulsstarke (Impulsbreite mal -hohe) gleich 1. Die Folge der Antwortfunktionen g£(t) konvergiere da­ bei gegen die Funktion g(t). Der Grenzubergang s — 0 bedeutet, daB wir uns die Ursache, die in Wirklichkeit iiber den Zeitraum von 0 bis a verteilt ist, im Nullpunkt konzentriert denken. Die dabei entstehende RecheneroBe bezeichnet man als Kinheitsimpuls oder auch als Dirac'sche Deltafunktion 6 (t), obwohl sie keine Funktion im Sinne der Analysis ist. g (t) ist damit die Ant­ wort des Systems auf den Einheitsimpuls. Sie wird auch Impulsreaktion genannt. Es soil nun die Antwort dieses Systems bei beliebig vorgegebener Eingangsfunktion x berechnet werden. Dazu zerlegen wir die Funktion x nach Bild 1 .4 in Impulse der Lange A t. Der i-te Impuls hat dann die Starke x(tjj A t, wobei tj ein gewisser Mittelwert im i-ten Intervall ist. Diesen Impuls denken wir uns im Zeitpunkt tj kon­ zentriert. Auf Grund der Gesetze (1.1) und (1.2) ruft dieser im Zeitpunkt tj konzentrierte Impuls der Starke x(tj) At im Zeitpunkt t die Wirkung

wenn wir fiir die Integrationsvariable statt tj den Buchstaben r einfiihren. Das Integral wird Faltungsintegral genannt. M an spricht auch einfach von der Faltung der beiden Funktionen g und x. In Worten besagt Gleichung (1 .7): Die Antwort eines linearen zeitinvarian­ ten Systems auf eine Ursache x ergibt sich als Faltung der Impulsreaktion g mit der Ursache x. Da die Impulsreaktion g nach Gl. (1.7) angibt, mit welchem „Gewicht"die Ursache x in den einzelnen Zeitpunkten in die Antwort eingeht, nennt m an sie auch Gewichtsfunktion. Die Faltung der beiden Funktionen g und x konnen wir als Produkt im Sinne der Operatorenrechnung auffassen und schreiben daflir t / 0

g ( t - r ) x (r )d r ={g(t)} {x(t)} = g x

(1 . 8)

Das so definierte Produkt befolgt alle Gesetze eines normalen Produktes der Algebra, z . B . gx=xg

( i . 9)

gfXj + x2 ) = gXi + gx2

(1 . 10)

g2 (Slx ) = (62% ) x = S2glx

^

g(t-tj) x fliM t hervor. 16

U > 17

gx = 0, nur wenn mindestens ein Faktor Null ist.

(1.12)

Die Beweise findet m an z . B . bei Mikusinski [17]. Die Gleichung (1.7), die den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsfunktion angibt, kann damit kiirzer geschrieben werden: y = {g(t)} {x(t)} = g x

(1-13)

Vergleichen wir diese Formel mit Gleichung (1.3), so erhalten wir G = {g(t)}.

L. 2. (.)|>eratorenrechnung nach Mikusinski

(1.14)

Die Gewiehtsfunktion g(t) ist der Operator G, der a.uf die Eingangsfunktion x(t) angewendet werden mufi, nm die Ausgangsfunktion y(t) zu erhalten. Hierbei ist unter „Anwendung" des Operators die Multiplikation im Sinne der Operatorenrechnung also die Faltung zu verstehen. W ir haben damit den Operator G fur eine sehr grofie Klasse von Systemen bestimmt, namlich flir alle Systeme, die eine Gewiehtsfunktion g(t) besitzen. Eine solche Funktion muB nicht in jedem Fall existieren. D a der Einheitsimpuls 6 (t) nur eine RechengroBe und keine reale Funktion ist, kann die Antwort darauf eine Funktion sein, sie muB es aber nicht sein. Ein Beispiel fur ein System, das keine Gewichtsfiinktion besitzt, ist das im Beispiel 1 genannte System. D a Ursache und Wirkung gleich sein sollen, antwortet dieses System auf den Einheitsimpuls wieder mit dem Einheitsimpuls. W enn m an so will, kann m an sagen, die Gewiehtsfunktion ist gleich der Diraeschen Deltafunktion. Die Bildung des Faltungsintegrals mit dieser ,tPseudofunktion'1 ist nicht moglich. W ir haben aber bereits festgestellt, daB G = 1 ist, so daB wir in diesem Fall schreiben konnen: y = Gx = {(5 (t)} |x(t)} = 1 {x(t)}

(1.15)

Die Multiplikation der Diracschen Deltafunktion mit einer beliebigen Funktion x(t) im Sinne der Operatorenrechnung ist offenbar der gewohnlichen M ul­ tiplikation der Zahl 1 mit der Funktion x(t) gleichzusetzen. Das gleiche Ergebnis konnen wir noch auf andere W eise erhalten. Nehmen wir wieder an, daB das betrachtete System die Gewiehtsfunktion g(t) besitzt. Dann gilt auf Grund des Kommutativgesetzes (1.9) und Gl. (1.13) y = {g(t)} {x(t)} = {x(t)} |g(t)}.

v.-ie lassen sich alle die Operatoren, die wir kennengelernt haben, unter einsm Gesichtspunkt zusammenfassen und wie kann m an mit ihnen reehnen, um die A n a l y s e und Synthese von linearen zeitinvarianten Systemen moglichst rationell durchfuhren zu konnen. Diese Frage hat Mikusinski beantwortet [17].

Es zeigt sich, daB m an zu einem geschlossenen Aufbau der Operatorenrech­ nung kommt, wenn m an das Faltungsintegral zur Grundoperation der Opera­ torenrechnung erklart. Die Gleichung (1.3) y = Gx

legt es nahe, den Operator G als Quotient g

Q- x S° U die Funktion sein, deren Produkt mit der Funktion x (im Sinne der Faltung) gleich der Funktion y ist. Die so festgelegten „Quotienten im Sinne der Operatorenrechnung" sind eindeutig, wie sich aus Gl. (1.12) leicht ableiten laBt. Fiir sie gelten die gleichen Rechenregeln wie fiir gebrochen rationale Zahlen (Bruchrechnung), da sie genau wie diese durch Umkehrung der Multiplikation entstanden sind und fiir das Faltungsprodukt die gleichen Regeln gelten wie fiir das gewohnliohe Produkt; 8.

^ =

(1.16)

a b

Die Gleichung ist richtig, wenn wir setzen

Dies stimmt iiberein mit dem gefundenen Ergebnis. M a n sollte die Bezeichnung Deltafunktion vermeiden und statt dessen vom Deltaoperator sprechen. Sehr vorteilhaft ist die Bezeichnung Einheitsimpuls, da dieser Opera­ tor die Rolle des Einheitsoperators spielt. Seine Multiplikation mit einer be­ liebigen Funktion laBt diese unverandert. Die Gl. (1.16) besagt, daB es gleichgultig ist, ob m an den Operator g auf die Funktion x oder den Operator x auf die Funktion g anwendet; das Ergeb­ nis ist das gleiche. M an kann daher auch beide Funktionen g und x als Operatoren betrachten und vom Produkt der beiden Operatoren g und x sprechen. W ir kommen damit zum Reehnen mit Operatoren und es erhebt sich die Frage, 18

C

jj

I

gilt genau dann, wenn ad = be

(1-19)

c a c T b d

(1 -20>

=r f-

d-21)

M

(1.17)

{*(*)} = 1 -

(1.18)

zu definieren, wobei x und y zwei fiir t > 0 stetige Funktionen sein sollen, die fiir t < 0 verschwinden. M a n legt fest:

Wahlen wir als Eingangsfunktion den Einheitsimpuls, dann lautet die Antwort y = g(t). E s gilt also nach Gl. (1.16) {g(t)} = {g(t)} {6 (t)} = | 0 stetig sind und ftir t < 0 verschwinden. Alle Produkte sind im Sinne der Faltung zu verstehen. Es sei vorausgesetzt, daB keine der im Nenner stehenden Funktionen identisch Null ist. Bekanntlich geht die (gewohnliche) Division im Bereich der ganzen Zahlen nicht im m er auf, d .h ., es gibt nicht im m er eine ganze Zahl die mit dem Nen­ ner multpliziert den Zahler ergibt. Genauso ist es hier. Es gibt durchaus nicht im m er eine Funktion, die mit dem Nenner gefaltet den Zahler liefert. Deshalb wird festgelegt:

2

19

‘

Gibt es keine Funktion, deren Faltung mit der Funktion x die Funktion y ergibt, so verstehen wir unter g. elnen Operator, der die Funktion x indie Funktion y transformiert

d' h '

{a}

(1-28)

,Tede reelle oder komplexe Zahl a ist als Spezialfall eines Operators zu hfitrachten. Die Multiplikation mit einem „Zahlenoperator" ist nichts anderes als die gewohnliche Multiplikation.

X x =y

X ______

und die Regeln Gl. (1.19) bis Gl. (1.22) befolgt. Die Unausfiihrbarkeit der zur Faltung inversen Operation fuhrt zur allgemeinen Definition des Operators. Die Operatoren erscheinen damit als eine Verallgemeinerung der Funktionen, so wie die rationalen Zahlen beim Dividieren als Verallgemeinerung der ganzen Zahlen entstanden sind, Jede Funktion kann als Operator aufgefafit werden, derni m an braueht sie lediglich mit einer beliebigen Funktion g(t) zu „erweitern'', um einen Quotienten im Sinne von Gl. (1.18) herzustellen:

Aus Gl. (1.27) folgt namlieh { 1} {ttf(t)} --- ---- = |af(t)}.

■{f(t)}

(1.29)

M an mufi genau unter scheiden zwise hen Zahlen und Funktionen, z . B . bedeutet:

t

2- {x(t)}= {2x(t)}

nach Gl. (1.29)

{2} {x (t )}= jy 2 x (r )d r |

nach Gl. (1 .8).

{im } (era) {»(»>}■

------ {5

Unter der Funktion {1} verstehen wir die Funktion, die fur t > 0 iiberall 1 und fur t < 0 iiberall 0 ist, also die Sprungfunktion. Sie spielt eine grundlegende Rolle beim Aufbau der Operatorenrechnung. E s gilt namlieh fur eine beliebige Funktion f(t):

aber

Durch Umkehrung des Integrationsoperators I kommt m an zum Differentiationsoperator s. Wenden wir I auf f (t) an, so ergibt sich i {ret)} = {i} {f(t)}

{i}{f(t )}

l / m

& t = {f(t)}

W = n 7 i T = ilW ~ r' (1' 24) d .h . die Funktion {1} ist derjenige Operator, der eine beliebige Funktion {f(t)} iiberfiihrt in ihr Integral: {1} {f(t)} = | /

f(r )d tj= l{f(t )}

(1.25)

Damit ist aber die Funktion {1} gleichzusetzen dem von uns oben eingefiihrten Integrationsoperator I (1.26)

I = {1}.

Der O p e r a t o r f l i h r t die Funktion {l} in die Funktion {a} iiber (a ist eine beliebige komplexe Zahl). Wenden wir ihn auf eine beliebige Funktion f(t) an, so ergibt sich

/ 0

f (r )d r f = {f(t)

■f(o)}

f(o) { 1 }.

Dividieren wir jetzt durch {1}, so erhalten wir {f(t)} oder mit

1

{f(t)} - f(o) = s |f(t)} - f(o)

(1.30)

{1}

s {f(t)} = {f(t)} + f(o)

(1.31)

1

(1.32)

{1}

Die Anwendung des Differentiationsoperators s auf eine differenzierbare Funktion liefert deren Ableitung plus den Funktionswert an der Stelle Null. Das Ergebnis ist keine Funktion, sondern ein echter Operator, eine Summe aus einer Funktion und einer Z a h l! Der Differentiationsoperator s stimmt mit dem Heavisideschen Operator p nur iiberein, wenn f(o) = 0. Aus Gl. (1.32) folgt s {1} = 1.

M

{f(t)}

1 /

af(r)d r (1.27)

W

“

=

°

{1} '

(1.33)

Das heifit, die Anwendung des Differentiationsoperators s auf die Sprung­ funktion {1} ergibt den Operator 1, der der Dirac'schen Deltafunktion entspricht [vgl. Gl. (1.15)]. Nur in diesem Sinne ist der in vielen Buchern zu lindende Satzj „Die Dirac'sche Deltafunktion ist die Ableitung der Sprung­ funktion" zu verstehen. Durch wiederholte Anwendung der Gl. (1.31) erhalt man sn {f(t)} = {f(n)(t)} + f(o) s? _1 + f(o) s11-2 + . . . + f(n_1)(o). (n = 1 , 2 , . . . )

(1.34) 21

Wendet m an den Operator s auf die Exponentialfunktion an, so ergibt sich nach Gl. (1.31) ( a komplexe Zahl)

■{«“ }= {»|a e K t } + l

(1.35)

Der Operator {eat} ist damit als Funktion des Differentiationsoperators s dargestellt. Die Beziehung Gl. (1.35) besagt, daB die Multiplikation (im Sinne der Faltung) der Funktion e at mit einer beliebigen Funktion gleichzusetzen ist der Multiplikation des Operators — mi t dieser Funktion. Die o u> Beziehung Gl. (1.35) entspricht formal der von der Laplace-Transformation her bekannten Beziehung; nur hat der Buchstabe s dort die Bedeutung einer komplexen Zahl. E s l&fit sich zeigen [17] , dafl die Darstellung einer beliebigen Funktion mittels des Differentiationsoperators s formal mit der Laplace-Transformierten iibereinstimmt, so daB die bisher in der Operato­ renrechnung verwendeten Tafeln der Laplace-Transformation auch weiterhin verwendet werden konnen, wenn m an dem Buchstaben s die Bedeutung des Differentiationsoperators gibt. Durch einfache Operatorenmultiplikation erhalt m an aus Gl. (1.35)

(s —a)

= { e at} { e at} = / e ^ ^ e k J "• 1 Lb

®

dr

(1.36)

und daraus durch weitere Multiplikation und Sehlufi von n auf n + 1: n -1 t (s - a )

at (n = 2, 3, . . . )

(1.37) d.s^ + d.

( n - 1 )!

Die gedampften Schwingungen lassen sich mit Hilfe von Gl. (1. 35) ebenfalls sehr leicht als Funktion von s darstellen: ( a + j w ) t + e (a - jw )t 2 \s — a — e

at

Per Operator G [vgl. Gl. (1.3)] soil entsprechend seiner physikalischen B e ­ als Ubertragungsfaktor bezeiehnet werden. Aus dem bisher Gesagten folgt: Der Ubertragungsfaktor ist die Antwort des Systems auf den Einh e i t s i m p u l s . Der Ubertragungsfaktor ist nur in speziellen Fallen eine Funk­ tion u n d wird dann auch Gewiehtsfunktion genannt. Im allgemeinen ist der U b e r t r a g u n g s f a k t o r ein Operator im Sinne Mikusinskis. Bisher hatten wir ganz allgemein von linearen, zeitinvarianten Systemen geprochen. In diesem Abschnitt wollen wir elektrische Systeme mit konzen­ trierten Param etem betrachten. M an beschreibt sie gewohnlich durch eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Fiihrt m an in eine solche den Differentiationsoperator s ein, so benotigt man nach Gl. (1.34) die Anfangswerte der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen bis zur Ordnung n —1. Die Bestimmung dieser Anfangswerte macht, sclbst bei energielosem Anfangszustand, ziemliche Schwierigkeiten. Diese vermeiden wir, indem wir gleich in das aus der Schaltung abgelesene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung die Operatoren einfuhren. E s treten dann nur i. Ableitungen auf, so daB wir nach Gl. (1.30) lediglich den Anfangsv.ert der imbekannten Funktionen benotigen. Sorgen wir weiter dafiir, daB nur Ableitungen von stetigen Funktionen auftreten, so stimmen die benotigten A n ­ fangswerte mit den Funktionswerten unmittelbar vor dem Einschalten iiberein, insbesondere konnen dann bei energielosem Anfangszustand alle Anfangswerte gleich Null gesetzt werden. Fiir die praktische Berechnung von Netzwerken bedeutet dies, daB m an als gesuchte GroBen keine Strome durch Kondensatoren und Spannungen an Spulen ansetzen sollte, da diese unstetig sein kbnnen. Betrachten wir wieder die Abhangigkeit einer GroBe y (Strom oder Span­ nung) von einer zweiten GroBe x (Strom oder Spannung), so erhalten wir bei energielosem Anfangszustand des Systems durch Eliminierung aller iibrigen Unbekannten aus dem Operatorgleichungssystem die Beziehung deutung

und hieraus durch Auflosen at

1 . 3 . Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten elektrischen Systems mit konzentrierten Schaltelementen

,| cos cot -

s — a. (s — a)

2

+ (o

2

1_ \ s — a+ jw / (1.38)

Analog ergibt sich f at . 1 ie sin «t !• =

(1.39) (s — a )2 + « 2

’'- - i —

_s^

■*■+...+ d ,s + d

* ^ = i ------- 5—

- *•

f1 -4 0 )

woliei die Koeffizienten dj und bj reelle Zahlen sind, die vom Aufbau des Systems und dem Wert der einzelnen Schaltelemente abhangen. Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten Systems mit kon­ zentrierten Schaltelementen ist eine gebrochen rationale Funktion des Diffe­ rentiationsoperators s. W a s bedeutet nun die Anwendung dieses Operators auf die Funktion x ? Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir den Operator zunaehst durch Division in einen ganzen und einen echt gebrochenen Anteil (dies erub’rigt sich natiirlich, falls j < n): G = Cj s1 + c. _ 1 s1 ~ 1 + . . . + CjS + cQ

(1.41)

m , m —1 , s + m — 1___________________1______ i s + . . . + a. s + a o + am m ________ n , n —1 , , , , , s + b .s + . . . + b, s + b n —1 1 o mit m < n. 22

23

Betrachten wir zunachst den ganzen Anteil. Die Multiplikation des Opera­ tors Cj s1 mit einer Funktion x bedeutet nach Gl. (1.34) nichts weiter als i-fache Ableitung der Funktion x, multipliziert mit dem Faktor Cj, und das Hinzufilgen von Ausdrucken der Gestalt Cjx(v) (0) s-**, die sich als Dirae-Impulse hoherer Ordnung deuten lassen (vgl. Abschn. 1 .4 .). Die Zahl cQ gibt an, mit welcher Starke die Eingangsfunktion x selbst in der Antwort y enthalten ist. Die Anwendung des ganzen rationalen Anteils des Operators G auf die Funktion x bedeutet also die Uberlagerung der Funktion selbst und ihrer Ableitungen bis zur Ordnung i, wobei die v-te Ableitung mit dem Faktor cv multipliziert wird, und aufierdem das Hinzufiigen von Dirac-Impulsen hoherer Ordnung, die von den Anfangswerten der Funktion x abhangig sind: Cy s V v =o

(1.42)

v =o

[Xir Index e soil an die Eingangsfunktion erinnem. Zur Vereinfachung der Rechnung schreiben wir komplex: x = | (1& e^ a +

J

mit der komplexen Amplitude 0L& = A g e ^ e . (1.47)

In Operatorschreibweise gilt dann a e x ~ s — ( a + j (o ) '

(1*48)

Die Anwendung des Operators G 1 (s)

Uefert die Ausgangsfunktion

y = G i<s>x = f ( f ) i - f e j o ; ) -

(1 -4 9 >

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich hieraus

Von besonderem Interesse ist der echt gebrochene Anteil von G : m , m —1 , a s +a ,s + . . . + a, s + a r .. m m - 1___________________ 1 o 1 n ,, n —1 , ,, s +b ,s + . . . + b, -s + b n —1 1 o

Z l<s> ,, (1.43)

mit m < n, da sehr viele Systeme allein durch diesen beschrieben werden, namlieh alle die, die eine Gewiehtsfunktion besitzen. Mit Hilfe der komplexen Zahlen dx , . . . , d m und pj_,. . . , pn kann nach dem Fundamentalsatz der A l­ gebra G j geschrieben werden in der Form a (s - dx) (s - d2) . . . (s - dm ) G ( s ) = _ I 2_ -- ± _ _ -- ----- --- iii_, 1W

( s - P x) ( S - P 2 ) . . .

(s - p n )

(1 . 4 4 )

(1.45)

mit der komplexen Zahl p = a. + jw. Die komplexen Zahlen d^ und pj konnen als Parameter bzw. Kennzeichen des Operators Gi(s) betrachtet werden. Ihre Verteilung in der komplexen Zahlenebene bestimmt die Eigenschaften des Operators. Deshalb ist die Deutung des Operators Gi(s) in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Betrachtung des Ubertragungsfaktors als Funktion der komplexen Zahl p = a + )co eine sehr niitzliche Hilfsvorstellung, die es gestattet, die wesentlichen Eigen­ schaften des Ubertragungsfaktors zu erkennen. Die Bedeutung der komplexen Zahl Gi(p), die wir erhalten, wenn wir im Operator G ^ s ) den Differentiationsoperator s durch die komplexe Zahl p = a + jw ersetzen, wii-d sofort klar durch Anwendung des Operators Gi(s) auf die gedampfte Schwingung Ag e 24

cct,

cos (« t + f e).

(1 -50>

Der erste Teil stellt dabei den Einschwingvorgang, der zweite Teil den eingeschwungenen Zustand y = -- = { q e ) ■

(1.46)

a *- - W (£ W )

a e = o l{a + i a » a e.

(1.52)

E s ist also «a G ( a + }a>)=- f- . 6te

(1.53)

Der komplexe Ubertragungsfaktor Gi ( a + ]a>) ist gleich dem Verhaltnis der komplexen Amplituden der eingeschwungenen Ausgangsfunktion und der Eingangsfunktion, speziell ergibt sich damit fur a = 0 (ungedampfte Schwingung) mit Gx(jw) der bekannte Frequenzgang. W ir haben damit die Verbindung hergestellt zwischen dem Ubertragungs­ faktor G-j^s) als Funktion des Differentiationsoperators s und der althergebrachten Auffassung des Ubertragungsfaktors als Funktion einer komplexen Variablen p = « + j o stetigen Funktionen herstellen. Wir untersuehen nun die Wirkung des Operators Gl. (1.55) auf eine belie­ bige Funktion f, die, wie friiher generell gefordert, fUr t < 0 identisch Null sein soil.

haben. Nach den Gin. (1.35) bis (1.39) lassen sieh diese als Funktionen darstellen, so dafi der Operator Gj(s) als Summe von Exponentialfunktionen und gedampften Schwingungen erscheint, die eventuell mit einer Potenz vont multipliziert sein konnen. Die Wirkung Gj x ergibt sich dann einfach durch Faltung dieser Summe von Funktionen, der Gewiehtsfunktion, mit der Ein­ gangsfunktion x. Im Operator Gl. (1.54) ist pj der Pol mit der N r. i, dessen Realteil die Dampfung und dessen Imaginarteil die Frequenz der zugehorigen Funktion angibt. Der Koeffizient Aj wird durch die Lage aller Pole und Nullstellen bestimmt (vgl. z. B , [6], [8] und [11]).

}ST (t)} |f(t)}

{0}

{1}

(t S T)

hT {f(t)} W

(1.56) {«

Das Integral formen wir um durch Substitution: t ■

(t > T ) : (f - T , - d t = dd

T f(t- ■t )d r = — f t

f T

1 .4 . Der Verschiebungsoperator Unter den im Absehn. 1 .1 . genannten Beispielen fiir lineare zeitinvariante Systeme ist eins, das sich mit den bisher betrachteten Operatoren nicht beschreiben laBt. Es handelt sich um Beispiel 6 , bei dem die Wirkung gleich der um T verschobenen Ursache sein sollte. Iter Verschiebungsoperator hT , der dieses System beschreibt, wird definiert als

10)

f( <j -• T)d d ■ f T

Die letzte Umformung gilt, weil f(t — T) Damit ergibt sich aus Gl. (1.56) hT {f(t)}

f(tf‘ ■T)d T )

(1.57)

Bei Anwendung des durch Gl. (1.55) definierten Operators h T auf eine be­ liebige. Funktion f(t) wird diese um T nach rechts verschoben (Bild I . 6 .).

(1.55) m Hierbei ist {1} die Sprungfunktion, wahrend {Si-(t)} die um T verschobene Sprimgfunktion bedeuten soil (Bild 1. 5). Der Verschiebungsoperator hT ist also der Operator, der die Funktion {1} um T nach rechts verschiebt.

- A

;

m Bild 1 .6 . Wirkung des Verschiebungsoperators

Die Potenzschreibweise hT wird gerechtfertigt durch die Beziehung T I {sT(0 } I I I________________ ^ T t Bild 1 .5 . Definition des Verschiebungsoperators

h

1

T T T T + T 0 1 0 1 n (h f ) = h h f=h u f,

(1.58)

die die offensichtliche Tatsache zum Ausdruck bringt, daB es gleichgiiltig ist, oi) eine Funktion zunachst um T 0 und dann noch um I’x oder ob gleich um 11 + T 0 verschoben wird. M an kann mit Versehiebungsoperatoren wie mit Potenzen reehnen, wenn man zusatzlich festlegt: (1.59)

26

27

h

= 1

(1.60)

Ein negativer Exponent bedeutet Verschiebung nach links, der Exponent 0 bedeutet keine Verschiebung. Die Zahl 1 erscheint damit als Spezialfall eines V er schiebungsoper ator s , Beispiel: 2 h

-4

+2h

-2

+2

=2 + 2h

—3 + h

+1

ji = 1 gesetzt zu werden. Die hier getroffene Festlegung ist also eine echte Erweiterung des klas­ sischen Konvergenzbegriffs der Analysis. Die praktische Bedeutung der Aussage

_ 2h+2

{coswtj —*■0 fiir « —«*>

■3h+4 + h+5 - 2h+2

= 2 - 3 h +4 + h+5 Die Anwendung dieses Operators auf eine Funktion f bedeutet:

(2 - 31144 + h+ 5) {f(t)} =

Jede Funktionenfolge, die im klassischen Sinne gleichmafiig konvergiert, konvergiert auch im Sinne der Operatorenrechnung, denn es braucht ja nur

{2 f(t)}

(ts 4)

{2f(t) - 3 f(t - 4)}

(4< t s 5)

{2f(t) - 3 f(t - 4) + f(t - 5)}

(5 < t)

liegt darin, dafi m an daraus schlieSen kann, daB die Multiplikation (Faltung) cler Funktion {coscjt} mit einer beliebigen Funktion {f(t)} fiir w — °o die Funk­ tion y 2 0 ergibt. W ir wollen den Verschiebungsoperator h 1 als Grenzwert einer Rmktionenfolge darstellen. Das Beispiel wird zeigen, daB eine Folge stiickweise steti­ ger Funktionen einen Grenzwert (im obigen Sinne) haben kann, der ein echter Operator ist, der sich also nicht als Funktion darstellen lafit. Dazu gehen wir aus von der Funktionenfolge1) T+£

T-e 2£

Da

= s, erhalten wir als Verallgemeinerung der Gl. (1.33) aus Gl. (1.55) fiir die wir nach Tafel 3 des Anhangs schreiben konnen

die Beziehung

+') h ll2)

(1.61) Damit ergibt sich die Moglichkeit, den Differentiationsoperator s auch auf Funktionen anzuwenden, die fiir t > 0 Spriinge machen und somit im klassischen Sinne nicht differenzierbar sind. Der Verschiebungsoperator hT kann auch als Grenzwert einer Funktionenfolge dargestellt werden, wenn m an den Grenzwertbegriff der Analysis entsprechend ver allgemeine rt. M an legt zu diesem Zweck fest:

0 1_ 1_ 4g

rechnung) gegen ^ {f (t)} . Hierbei ist

ein beliebiger Mikusinski-Opera-

[t — (T — £ )] ^

(T - £ < t < T + e )

{[t — (T — £)]2 - [t - (T + £ ) ] 2 }

(tfeT + e)

Diese Folge konvergiert, wie m an leicht nachrechnet, fiir e maBig gegen die Funktion

Falls die Funktionenfolge {fjj(t)} gleichmafiig gegen die Funktion {f(t)} konvergiert, konvergiert die Folge ^ {fn (t)} (im Sinne der Operatoren-

(t s T - e )

■0 gleich-

(t s T) {f(t)}

(t s T)

also gegen

tor, der nicht von n abhangt. Hiernach konvergiert beispielsweise die Funktionenfolge {cosoit}, die im klassischen Sinne keinen Grenzwert besitzt, fiir « —