Théorie de la renormalisation: Cours donné à l'Ecole Polytechnique, Paris

Lecture Notes in Physics Edited by J. Ehlers, Austin, K. Hepp, ZQrich and H. A. Weidenm(Jller, Heidelberg Managing Edito...

Author: K. Hepp

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Lecture Notes in Physics Edited by J. Ehlers, Austin, K. Hepp, ZQrich and H. A. Weidenm(Jller, Heidelberg Managing Editor: W. Beiglb6ck, Heidelberg

2 K. Hepp Eidgen6ssische Technische Hochschule, ZUrich

Theorie de la renormalisation Cours donn6 & I'Ecole Polytechnique, Paris

¢ Springer-Verlag Berlin.Heidelberg • New York 1969

Table

des m a t i ~ r e s

Chapitre

0

Introduction .........................................

1

Chapitre

I

L'espace

de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chapitre

II

Les

s&ries des p e r t u r b a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chapitre

III Les

m o d u l e s de Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chapitre

IV

Hamiltoniens

Chapitre

V

Le r o y a u m e

Chapitre

VI

Les f o n c t i o n s

locaux ..................................

78

i n t e r m & d i a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 de G r e e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Epilogue ..........................................................

202

Appendice:

Estimations ............................................

203

R&f~rences ........................................................

2"11

-

1

-

C H A P I T R E

0

INTRODUCTION

II exis%e deux approches extr%mes aux probl~mes de la m~canique quantique rela%ivis%e : la description ph~nom~nologique et la m4thode axiomatiqu£. La premiere utilise

une

mnl~i%ude

de

modules approxima%ifs num~riquemen% ac-

cessibles (modUle p4riph6rique, p$1es de Regge,...), don% la justification est tir4e des donn~es exp6rimen%ales et de leur param6%risa~ion plu%8% que par d4duc%ion d'une th4orie globale. Ces schemas ne permet%en% pas une extrapolation dans un autre domaine sans danger de contradiction. La description axioma%ique part d'un cadre ma%h4ma~ique e% presque sacr4, dans lequel des propri~%~s %res g~n4rales , comme invarianee de Loren%z, causali%4 e% uni%ari%4, son% exprim~es par des relations entre

un

hombre infini d'ampli%udes. Si

l'on

in%rodui% des

informations suppl~men%aires sur les par%icules observ~es, comme le spectre de masse e% des r~gles

de

s~leetion, on arrive ~ des relations int~ressan%es, et

d'une grande g~n4rali%~ , entre des quan%it~s mesurables. II est clair que ces deux niveaux de description vont coexisterdans l'avenir pendan% une tr~s longue p~riode. Mais, malgr~ %cures les difficul%~s bien connues,

il fau% cons%ruire des modeles qui in%erpolen%

ph~nom~nologique et le monde axioma%ique. Faute

d'id~es

entre

le monde

meilleures, nous al-

lons chercher dans ce cours une interpolation qui est bas~e sur les modeles formels des champs quantiques en interaction non-lin6aire

polynSmiale.

Un

traitement satisfaisant de ces interactions fai% constamment appel, comme ~ nn "dens ex machina", ~ des renormalisations. En exigeant que

les

solutions

des

4quations de mouvement donnent eorreetemen% certaines qnantit~s observables, comme l'~nergie de l'~tat fondamental, la masse

et

la charge,

on

est forc~

d'introduire des eon%retermes dans l'in%eraction, qui sont de degr6 sup6rieur dans la constante de couplage. Pour la plupar% des interactions, ces renormalisations sont infinies, mais e l l ~ n e

changen% pas radicalement la structure

formelle de la th~orie. Les premiers grands travaux snr la r e n o r m a l i s a t i o n (..., Dirae, StUeckelberg, Tomonaga, Schwinger, Feynman, Dyson, Pauli, K~ll~n, Bogoliubov,...) on% d~velopp4 cette m~%hode dans la s6rie des perturbations. R~cemment, la th6orie quantique des champs (TQC) constructive a justifi~ ces manipulations par un grand hombre de th~or~mes non-triviaux (...Friedriehs, Wigh%man, Segal, Symanzik, Ruelle, Nelson, Jaffe, Lanford, Glimm,...). La rdaii%4 des divergences de la TQC est maintenan% 4tablie hors des sSries formelles des perturbations, et la %h~orie de la renormalisation a %rouv4 nne base

-

math~matique, crises

qui nous

renomm~s sur

faTon

choisi

et

toujours

tions

et

pitre

II,

introduire

Lee v o n t

recommencer

le

certaines Studier

III.

crY,

rigoureusement

tion

du f o r m a l i s m e g~n~rale

de l ' a u t e u r

~ z~ro dans nos

terminer

et

~4~).

pas

I,

avec une carac-

de F o c k .

Dans le

des perturbations.

allons

d~terminer

les

sSries

finies

tousles

canonique.

et

perturbative

sera

infinies

Vest

des perturbations, Pour

chade

hamiltoniens

Le c h a p i t r e

de G r e e n .

nota-

Les modules

de r e n o r m a l i s a t i o n s

aux fonctions

de l a r e n o r m a l i s a t i o n

d'une

les

dans

en utilisant

d'aspects

ou s e u l e m e n t

on v a f i x e r

les

nous

l'espace

des trai-

subjectif,

que b e a u c o u p

introduction

chapitre

operations s~ries

Ce c h o i x

expliquent

cette

dans un formalisme

hamiltonien

comme c o m p l d m e n t

~3],

n'apparaissent

exemples

Ensuite,

renormalisables

~2~,

TQC. D a n s l e

d'excellents

chapitre

locaux

de c e c o u r s ~1~,

relativiste

d'une

allons

fournir

exemple

Nous a l l o n s

qualitative

nous

le materiel

l'ignorance

quantique

carricaturale.

t~risation

rie

de n e p l u s

l a TQC ( p a r

l e m a n q u e de t e m p s de l a m ~ c a n i q u e

dans

-

de d ~ s e s p o i r .

Nous a v o n s ~s

permet

2

consa-

~ la

celle-ci

d~velopp~

transi-

une th~o-

dans

le

dernier

chapitre.

Qu'est-ce physiquement on a i m e r a i t ~ar

des

d6crit

n6cessaire d6crire

op6rateurs

expriment

des

TQC r e l a t i v i s t e

du f o r m a l i s m e

les

les

de l a m 6 c a n i q u e

de H i l b e r t ,

fondamentales

par un potentiel

@(x),

? Dans une extension

champs 61ectromagn6tiques

dans un espace

restrictions

F~V(x)

de D i r a c

qu'une

~quations

A~(x)

pour

et

si

de M a x w e l l

8v F g ' ( x )

=

quantique

FgV(x)

dont les

l'on

logique

les

et

non-relativiste

les

courants

relations

mesures

associe

et

simultan4es. les

Jg(x)

de c o m m u t a t i o n

charges

Si l'on ~ u n champ

deviennent

e ~(x)yg~(x)

(o.1) (i ~ - m)~(x)

Des r e l a t i o n s

d'incertitude

=

comme :

[~oA~(°,~ ), A'(°,~)~ apparaissent

comme c o n d i t i o n s

non-lin~aires

du t y p e

dans une th$orie tions

et

pace mais

Dirac

initiales pr~sentent

de c h a m p s c l a s s i q u e s .

du p r o b l ~ m e

Maxwell

(0.1)

de C a u c h y d a n s avec

seulement

des

locales

e ~(x)%(x)

donn~es dans

= 1~ ~" ~(~-~) pour x

o

= 0.

d~jA des Jusqu'~

le

present

rgguli~res,

temps

Les ~quations

difficult~s

l'~lectrodynamique tr~s

(0.2)

on c o n n a i t

classique qui

sont

Eh~. Le p r o b l ~ m e

de c h a m p s

consid~rables des

solu-

d e s c h a m p s de globales

initial

dans

ltes -

singulier

-

3

-

(0.2) de la TQC implique que los solutions sont des distributions h valeurs op4rateurs, pour lesquelles une multiplication es% extr~mement d41icate. On d~finit la multiplication des champs quantiques iocanx sans interaction avec des soustractions,

:%(x)2:

par exemple ([63 eL Chap. I)

=

lim

[%(h)%(~2)

(o.3)

- (%,%(xl)%(~2)%)~

Xl,X2~X La thdorie des perturbations sugg~re des renormalisa%ions une d~finition correcte de (0.i) ([73,[83,[93,[i03).

singuli~res pour

Mais, on est dans un cer-

cle vicieux : pour d~finir les ~quations de champs, il faut conna~tre qualitativement les solutions qui, d'autre part, d~pendent d'une faTon %r~s singuliere de la forme des ~quations de mouvement.

La d d c o u v e r t e g 6 n i a l e ,

visant h o b t e n i r

des 4 q u a t i o n s de mouvement,

o~ les variables cin4matiques sont d4finies ind4pendan~nent d'une connaissance des solutions, revient aux premiers jours de la TQC Ill]. Pour simplifier, nous allons discuter la "quantification" de l'~quation de champ

(D+m2)~(x) + ~ ~(x) n L'analogue

c o n t i n u des r e l a t i o n s ~(O,z)]

=

[~(0,~),

[~(o,~),

~(O,z)]

=

1 8(~ - z)

--

classique

=

~

~(x)

~XO

o

(0.4)

de c o m m u t a t i o n s e n t r e

[~(0,~),

~(o,~) Dans l a t h ~ o r i e

=

(0.4) est

~(O,z)]

les qi,p jest =

0

(0.5)

O=o l'~quation

d'Euler

associ~e

~ une d e n s i t 6

hamiltonienne

H(~(~), ~(~))

=

Ho(~(x),

Y(x)) + ~ ~

~(x) n + l

(o.6) Ho(~(x), ~ ( x ) )

1 = ~[~(~)2

+

I~ ~(x)l 2 + m2~(x) 2]

Le f o r m a l i s m e c a n o n i q u e p e r m e t l a r 6 d u c t i o n de ( 0 . 4 )

hun

probl~me de l ' a n a -

lyse fonctionnelle lin6aire. On o b s e r v e que H o ( ~ o ( X ) , Yo(X)) e s t h a m i l t o n i e n n e d ' u n champs l i b r e ~ (x) avee

la densitg

O

([]+ 2 )

%(x)

=

0

(0.7)

-

On c h o i s i t

des solutions

de ( 0 . 7 )

~(0,~) H

=

H° Ceci

sont

les

donn~es

=

4

qui

-

satisfont

%(o,~),

~(0,~)

H o + ~ f~a x _ .

=

=

et

on p o s e

~o(O,D

~o(0 ,_, x~ n + l ..

f a~'o(%(°,~),

cingmatiques,

~ (0.5),

(o.s)

~o(O,~))

en p a r t i c u l i e r

:~ ( x ) n + l :

est

bien

d~fini

o

par ( 1 . 5 1 ) . 1'on

peut

On ob~ion~ u~e s o l u t i o n du p~obl~me dynamique (0.4) e~ (0.5) si d~montrer

que H e s t

un o p ~ r a t e u r

autoadjoint.

Car ceci

permet

les

d~finitions ~(x)

=

e iItx° ~o(0,x)

e -iHx°

if(x)

=

e iItx° ffo(0,x)

e -iHx°

=

e i H x ° :¢o (0

¢(~)n e t on o b t i e n t ,

grace

aux r e l a t i o n s

x n : e -ittx ° ,_)

de c o m m u t a t i o n s

~(~)

~x °

=

~(~)

(0.9)

=

des ~o(0,~), f f o ( 0 , Z )

iEH,

~(~)]

(o.io) 52 5 02 ~(~)

=

(5-m2)~(x)-

~ ~(x)n

Une simplification additionnelle revient h Guenin [12] et Segal E13] : la localit~ de H(x) implique (voir Chap. V) que l'on peut remplacer H par H(g) dans

(0.9)

et

(0.10),

o~

o

~

f dx_ g(~) :5o(0,x)n+i:_

(o.ll)

Ici 0 s g(E) E ~ ( R s) est un cut-off spatial arbitraire qui satisfait ~ g(~) e 1 d a n s un voisinage de la r d g i o n un o p ~ r a t e u r des relations lit~

autoadjoint,

si

de c o m m u t a t i o n s ,

du champ de g e i s e n h e r g [~(x),

devrait

~tre

I~ - El

s

prend pour

les

chances

]x°]].

Alors

que H n ' e s t

~o(X) l a r e p r e s e n t a t i o n

pour H(g)

sont meilleures.

jamais de F o c k La l o e a -

$(x),

if(y)]

ind4pendante

{2 '

l'on

=

d'un

0 cut-off

pour

(x - y , x - y )

dans H(g)

"tr~s

< 0

loin".

(o.12)

-

Un hamiltonien du type

5

-

(0.8) apparait aussi tr~s naturellement,

l'on consid~re un autre schema du couplage relativiste.

iL:

Pg et M pd les g~n~rateurs infinit~-

(1.55). Soient

simaux, en partieulier Ho =

PO.o Nous

(X) o Uo(a,A ) du groupe

Le champ libre ~

peut ~tre d4fini avec une representation unitaire continue de Lorentz inhomog~ne

o

o

aimerions "perturber" Ho,

=. Ho + v

H

si

~0.13~

de telle fagon que H puisse ~tre un des dix g~ndrateurs,

H = pO, d'une nouvel-

le representation unitaire de iL l . Ceei es% formellement possible si

V =

f d~ Vo(O,~ )

(0,14)

o~ Vo(X ) est une d e n s i t ~ sym~trique, Vo(X)~ = Vo(X), et s e a l a i r e

Er~, Vo(X)]

= - i ~ Vo(X) (o.15)

[M~',Vo(X)j

= i(~% ~ _ x'~')Vo(X)

qui satisfai~ h

[Vo(O,~), Vo(O,z)j

(o.i~)

= o

Car, si l ' o n pose (k,1 = 1 , 2 , 3 )

~1

= ~1,

rk

o

= pk

o

(o.17) pO

=

pO o

+

V,

M°k

=

~:k + / dx k Vo(O,x)

l e s P~ e t Mk l ont d5j~ l e s bonnes r e l a t i o n s

Epo,~l]

=

de commutations. Par exemple

[po, Mkl]o-- i J d x _ ( x k ~ 1 - x l ~ k ) v o ( 0 , ~ )

= 0 (0.18)

D'autre part, [M°k,P°J =

=

ok o o CMo ,Po ] + [M°k,vJ + EJ d x xkVo(O,x),Poj + [ f d~ xkVo(O,~),V j

ipko- i f dx xk~°Vo(O,x) + i f dx xk~°Vo(O,x) + f d x d y

xk[Vo(O,x),Vo(O,x)J

= iPk

(o.19) grace h ( 0 . 1 6 ) ,

e t on o b t i e n t l e s a u t r e s r e l a t i o n s

de l a m~me mani~re.

-

Malheureusement

6

-

les densit~s scalaires V (x) avec (0.16) ne

d~fi-

o

nissent jamais un op4rateur V. Les t r o i s illustr4es

avec V (x)

principales

difficult~s

peuven% ~%re

:~o(X) k

=

o

~)

Le %erme p u r e m e n t c r 4 a t e u r

dans V donne %ypiquement

k __ k d~ ~+(O,x) k -- ~ -~- d ~ i 5 ( Z £ i ) ~

i=i J~i e% c r ~ e k p a r t i c u l e s (m2 + ~ ) ~ 2 , associ4e tions

a v e c une f o n c t i o n

au volume i n f i n i

d'onde 8(Z£i ) ~ ~i~'

d'interaction

a v e c une p o l a r i s a t i o n

(~)

du v i d e )

:~o(0,x)k:,

(strictement

d'un cut-off

spatial

k > 2, ~ temps f i x e , autres

cas,

pour les "hautes fr6quences").

th~me c e n t r a l (7)

~ deux d i m e n a i o n s ,

s o n t des d i s t r i b u t i o n s

~ valeurs

op4ra-

l e domain~ de V(g) = f d~ g ( x ) V o ( 0 , ~ ) e s t (d4croissance

Leur traitement

M~me dans l ' e s p a c e - t e m p s singuli~re

multiple

de H

de p a r t i c u l e s .

des perturbations

faible de ~ 2

par une renormalisation

sera le

comme ~o(X), q u i e s t les difficult~s

par exemple, la

( v o i r %h4or~me 6 . 1 6 ) .

.

O

+ f dx v ( 0 , D -- O

(0.21)

nous a l l o n s

en champs f e r m i o n s .

locaux, Malgr~

c h e r c h e r une dynamique en p a r t a n t

es% l e s e u l sch4ma de c o u p l a g e q u a n t i q u e des p e r t u r b a t i o n s .

de

que nous c o m p r e -

Un o p d r a t e u r Hr e n a u t o a d j o i n t ,

~ H, r d s o u d une 4 q u a t i o n de mouvemen% du t y p e de S c h r S d i n g e r

i $ = Hren~ e%, dans un sch4ma c a n o n i q u e , I1 e s t

interaction,

s i Vo(X ) e s t un polynSme de Wick en ~amps l i b r e s

du moins en s 4 r i e s

q u i es% a s s o c i 4

Pour une t e l l e

s y m 6 t r i q u e e% de d e g r 4 p a i r

~ ) , (~), ~ ) ,

car (0.21)

es%

l a forme =

un h a m i l % o n i e n l o c a l ,

~ deux d i m e n s i o n % f d ~ g ( ~ ) : ~ o ( O , ~ ) k :

p o u r k > 2, e% inversemen%, h c a u s e de l a

o

peut diverger

Nous a p p e l o n s

nions,

de t r a n s l a -

de ce c o u r s .

une p e r t u r b a t i o n

(0.21),

: invariance

dans H ( g ) .

trivial ~ cause de divergences ultraviolettes

s~rie

~i = ~ ( Z i ) =

a ~t6 ~ v i t 4 e p o u r l e s champs de H e i s e n -

S e u l e m e n t p o u r #o(X) darts l ' e s p a c e - t e m p s

%eurs. Darts t o u s l e s

cr4ation

(0.20)

q u i n ' e s % p a s l o c a l e m e n t L 2 ~ c a u s e de 5 ( Z ~ i ) . C e t t e d i v e r g e n c e

berg par l'introduction

les

a*(~i)

i=l

clair

une 6 q u a t i o n de champs n o n - l i n ~ a i r e .

que l e s champs de H e i s e n b e r g

une description de la nature.

~(x) s e u l s ne d o n n e n t p a s

Les r~sul%a%s exp~rimen%aux

son% exprim~s par

des valeurs moyennes de produi%s ~Ai(xi) de champs dans les ~%ats physiques q,

-

7

-

(9, ~ A i ( x i) 9)

(0.22)

Nous allons caract~riser la relation entre les ~tats physiques et les op~rateurs de champs dans une TQC par les axiomes de Wightman Symanzik et Zimmermann

[3~ et de Lehmann,

[i4~ (LSZ). Pour simplifier la notation, nous choisis-

sont le module d~un champs neutre scalaire avee une sorte de particules asymptotiques h masse m > 0 et spin O. Le cadre pour un tel module est le suivant

i)

Dans l'espace d' Hilbert ~ de la th6orie,

il y a u n e

reprdsen-

ration unitaire continue U(a,h) de iL:. Le spectre S des translations

U(a,~)

=

exp i ( P , a )

:

~ dE(p) e i(p'a)

(0.23)

S est

S Le p r o j e c t e u r

= E

{0} U { P ° > 0 ,

o

( p , p ) = m2} U { p ° > 0 ,

( p , p ) ->4m2}

(0.24)

sur {0} a la dimension nn

E x o

=

[~®, II~ll = 1}

(0.25)

et ~ est appeld l'dtat du vide.

2)

Pour tout f E 4 ( ~ 4)

i l e x i s t e un o p $ r a t e u r

~(f) de domaine D

invariant

~(f)D C

D

S(a,A)D

=.

wED

(0.26)

Pour t o u t 9 , ¢ E D, f ~ ( 9 , ~ ( f ) ¢ )

=

(#(?)9,¢)

e s t une distribution temp~rde

dans 4 ' ( ~ 4) ( p l u s g d n 4 r a l e m e n t une d i s t r i b u t i o n 3)

Au sens des d i s t r i b u t i o n s , U ( a , A ) I ( x ) U ( a , A ) -1

strictement

localisable

[153).

on a sur D =

}(Ax+ a)

(0.27) [~(x),

4)

~(Y) 3

=

S o i t E11e p r o j e e t e u r

0

pour

(x-y,

x-y)

0, ( p , p ) = m2}. A l o r s E l ~ ( x ) w ~ 0 .

:

-

Les axiomes ( 1 , 2 , 3 , 4 ) tiques

lim

H

$ ( f i , % ) Cew =

c > 0

a~u%(fi~ ~

[17] : (0.28)

in

= $ dx ~(x) ~(x,t)

= c ] dp y(p) exp i[~(~)~ - (p,x)] ~(~)

(0.29)

~(~(~),~)

=

s.pp Yi = [pO > 0 , 1 ( p , p ) - ~21 < m2/2]. Soien% ,%/n e% ~ou% l e s s o u s - e s p a c e s

asymptotiques.

implique

de ~ g4n4rds p a r l e s d t a t s

Alors

= ~i. (0.30)

asympto-

e%

r(x,t)

5)

~ i=l

~(f,t)

et z i E ~ ( ~ ,

de champs l i b r e s

suivan% ten %h@or~me de Haag [16] e t R u e l l e

i=l

%~+m

avec uric consLan%e

-

impliquen% d4jh l ' e x i s % e n c e

~in(X) e% S o u r ( x ) , .-

8

l'uni%ari%4

de l'op~ra%eur

S g a~t(fi)~ Nous e s p d r o n s q u ' i l

existe

= ~o~t

=

S

~ a~%(fi)w

des TQC r e l a t i v i s t e s

qui s a t i s f o n % e s s e n t i e l l e m e n %

aces

(0.30)

parmi l e s i n t e r a c t i o n s

(0.31) locale%

axiomes avec une ma%rice S n o n - L r i v i a l e .

9 -

CHAP

ITRE

I

L'ESPACE DE FOCK

Les exp6riences dans et

la m6canique

que l e u r

crire

nombre nTest

et

description

compacte

interaction

nelle

de c e s

Notations nombres

conservg.

Le f o r m a l i s m e

de p a r t i c u l e s

d'annihilation

:

des op~rateurs

le plus

l~espace

espace

parmi

sera

simple

coupldes pour d$-

Les op6rateurs

concret lesquels

consacrd

que,

sont

de F o e k .

d'Hilbert

lin6aires,

Ce c h a p i i r e

nous d~signons r~els

R s+l (s

et

respectivement entiers.

E Z+) s e r a l~ s + l

la

est

dans cet

montrent

de p a r t i c u l e s

permettent nous

h l'analyse

la

cherchons fonetion-

op~rateurs.

complexes,

oh x ° e s t

Snergies

beaucoup

relativiste.

L'espace-temps

pose

des hautes

relativiste,

pas

un nombre non-born~

de c r e a t i o n

une

de l a p h y s i q u e

quantique

eomposante

~galement

la mesure

=

par ~,

Soit

N , Z,

les

ensembles

E + = In E Z, n > O ] e t

des

Z ÷ = Z+ U [ 0 ] .

d6compos6 en

1~1 x l~ s ~ x

temporelle

et ~ la

de L e b e s g u e ,

:

(x ° , x )

composante

dx = dx ° d x .

(i.l)

spatiale

La f o r m e

de x .

On d d c o m -

de M i n k o w s k i

s'6crit O

(x,y)

x y

=

L'espace

de F o c k s y m d t r i q u e

m6trique

sur L2(R s)

O

~.z

~ ~, '.):o

=

-

(non-relativiste)

5 est

(1.2)

x ~x'

g~v

l'alg~bre

tensorielle

sy-

: co

(1.3)

n=o

~n Les

616ments

~ E B

sont

des

=

suites

(~,~)

:

B1 ®s'''®s {~n

E

I%I 2 +

51

~n } a v e c ~ n=i

(%,%) (1.4)

n

(%'%)

= f, i -FF d~i %(k_I . . . . . ~)~n(k_i . . . . . ~ ) =

-

Nous i d e n t i f i o n s

10

-

~n E ~n avec [ 0 , . . . , ~ n , . . . , 0 ] .

vide (sans interaction).

S o i e n t ~n = ~ ( R s n ) N ~n' ~n = ~ ( R s n ) n ~n l e s e s p a c e s

de Schwartz [18J des f o n c t i o n s et h d6croissance

9o = 1 C ~o es% a p p e l 6 le

sym4%riques C~ r e s p e c t i v e m e n t ~ s u p p o r t compact

rapide. Soi%

=

, n=o

~n c ~ =

•

~n c ~ °

=

•

n=o

~n c ~

n=o

(1.5)

off les ~ E ~o ont presque routes leurs composan%es ~n = O. ~ et ~ seront munis de

la topologie de la somme directe localement convexe

([19], p. 214). Leurs

duals forts sont ~' et ~',

n

n=o

c'est-h-dire sym6triques

n=o

n

le p r o d u i t d i r e c t ([19~ , p. 286) des e s p a c e s de d i s t r i b u t i o n s ( t e m p 4 r 6 e s ) , oh ~' = ~ ' ( R s n ) . n

Les o p ~ r a t e u r s applications

de c r e a t i o n

et d'annihilation

a*(k) e t a ( k )

s o n t des

lin4aires de ~ ~ ~' :

( a ( ~ ) ~ n ) ( ~ 1 . . . . . k_n_1 )

=

( a * ( ~ ) ~ n ) ( ~ 1 . . . . . k_n+1 )

=

(n)f2 ~n(~ ~ ..... k _ l , ~ )

(1.7)

(n+i)-~2 n+iz

On a a(k)T

j : l 5(~-~J)~n(~l ..... ~J ..... k-n+1)

6 ~ pour ~ E ~ e% pour f E L 2 ( R s)

a#(f)

=

; dk f ( k ) a # ( k )

a#(k)

=

a(k)

(~.s) o~

a#(k)

est bien d~fini sur ~o : a#(f) ~o C ~o. La restriction a#(f) n ~ chaque ~n e s t une application born4e de ~

Ila(f)lln,n_l Finalement,

n

~ ~

n+l

:

= tla~(f)tl~_i,n

=

( n)~2

]lfll2

(1.9)

on a

a(f)~:" ~ a*(¥)

(1.10)

il

Les a#(k)

ddfinissen%

une representation

-

(au sens des distributions

d e s relations

[a(k),

a(!)]

eanoniques

=

h valeurs

op6rateurs

de c o m m u t a t i o n s

[a*(k),

a*(!)]

=

sur

~ O

)

(CCR)

0 (i.il)

[a(k),

a*(!)]

=

6(k-i)

a v e c a ( k ) + ° ~ O.

Sot% N l'op4rateur

nombre de particules

(N?) n II r 4 s u l t e

=

dans ~,

n~n

(1.12)

de (1.9) que

a#(f)(N+ ~)-¢2 e B(~) oh B@) e s t la topologie

Y e s p a e e de B a n a e h d e s o p 6 r a t e u r s normique).

On d~dui% de ( 1 . 1 3 )

(i.13)

lin6aires que,

bornds

de 0 ~ ~

(avec

p o u r %ou% ~ E 5° e% z E

Izln Ila#(f>%ll < ~ n=o

Donc 8 ° e s t

un e n s e m b l e

dense

(i.14)

n!

de v e c t e u r s

entiers

[203 p o u r a # ( f )

e% a u s s i

pour

(i.15) ~(~)

Done les #(f), ~(f),

=

i 2-¢2(a*(~)

- a(~))

f = ~ E L2(Es), sont essentiellement

au%oadjoints

sur 8 ° .

Grace aux GCR sur ~ o

(1.16)

les fermetures

#(f)-, ~(f)- d6finissent une representation

darts le sens de Weyl

r~guli~re

des CCR

: soit U(f) = exp i~(f)-, V(I) = exp i ~(f)-. Alors

t ~ u(tf), v(t~) es~ ¢ortomen~

eontinu et

- 12 -

Dans l ' i n t r o d u c t i o n ,

u(~)u(g)

= ~(f+g)

v(~)v(g)

= v(~+g)

u(f)v(g)

=

(i.17)

exp - i ( f , g )

nous a v o n s vu l ' i n t d r S %

dynamique h a m i l t o n i e n n e .

I1 e x i s t e

V(g) U(f)

de l a s t r u c t u r e

une m u l t i t u d e

Weyl, q u i s o n t deux h deux u n i t a i r e m e n % i n 6 q u i v a l e n t e s [ 2 1 J . IV e t V, nous a l l o n s

rencontrer

type Fock, caract6ristiques En g ~ n ~ r a l , ~ ~'

des repr6sentations

pour certaines

un p r o d u i t

( p a r exemple a ( k ) a * ( k ) n ' a

~i a*(~i)~C

~,. On d 4 f i n i t

: ~J[ a # ( i ) ( k i ) : i=l oh ( p l , . . . , P j ) cr6ateurs d6finition

~ gauche de t o u s l e s

est unique.

CCR s o u s l ' o p 4 r a t i o n

On a r r i v e

Si A est un po ly n S m e

a*(!):

j)

w :

~

:a*(~) a(k):

e t en a p p l i q u a n t

lin6aire

que dans ( 1 . 1 8 )

tousles

A c a u s e de ( 1 . 1 1 )

cette

si l'on

applique

les

+ 5(k-i)

:A: par une

(1.19)

d6composition

en mon$-

~ chaque monSme ( 1 . 1 8 ) .

i T T 1 % w(k 1 . . . . . k j) de ~ ~ ~ ' .

West

J iT~ :1 a#(i)(ki):

(1.20)

a p p e l 4 monSme de Wick, a v e c

(r~d~it) et ~ ( k l . . . . . k j ) : ~ a ~ ( i ) ( ~ i ) :

son

(r4duit).

Le domaine D(W) de W e s t 0 ~ T¢ C ~ t '

(1.18)

Alors

~(k I . . . . . ~j) son noyau n ~ r i ~

a m crSateurs

telle

annihilateurs.

j

noyau op6rateur

de

par

a ~ ( p j ) (kpj ) - "

h des inconsistances,

en a#(ki),- on obtien%

(1.11)

Soit W 6 [D'(RJs).

e s t un o p 6 r a t e u r

p a s une a p p l i c a t i o n

:...:, :a(k)

mes s a n s u t i l i s e r

infinies.

C e p e n d a n• t ~.1 a ( k~ 1. ) " ~ C ~ ,

" de (1 . . . . .

des CCR de

Dans l e s c h a p i t r e s

d e Wick de ffi a # ( * ) ( ~ i )

a #(pl) ( k p l ) . .

=

e s t une p e r m u t a t i o n

soient

n'est

p a s de s e n s ) .

le produit

p o u r une

des CCR q u i ne son% p a s du

renormalisations

~i a#(i)(k)

(1.16)

de r e p r 6 s e n t a t i o n s

l'ensemble

et n annihilateurs,

des T E ~, t e l s

alors

que W~ E ~. Si W = Wm ~ n

D(W) e s t n o n - t r i v i a l ,

t ~ n, W~t E ~. P a r e x e m p l e ,

s i p o u r un

si W es¢ purement erSateur,

alors

-

D(W)

=

~

O

si IIw%ll2 < ~

Nous a l l o n s

i 3

-

o~ ~i s~ ~ L2(~ j~)

reprSsenter

l'op~rateur

gnes h gauche pour l e s c r d a t e u r s

W

(s = sym~trisation).

par un graphe

et n lignes h droite

avec un sommet, m l i (voir Fig.

i.1 et

[22])

in

1.1

Fig.

Th4orbme 1.1 Va, b e t

:

s o i e n t Va, b e t

W

m~n

deux monSmes de Wick dont l e s noyaux

Wm,n s o n t s y m ~ t r i q u e s dans l e s v a r i a b l e s

(s~par~ment).

crdateurs

et annihilateurs

Alors

Va, b W

=

m,n

:V

a,b

W

m,n

rain [b ,m } E W t= i Va,b m,n

: +

Le monSme de Wick :Va, b W

m,n : ~ Va , b W m,n a

-or

a+m-t

W Va,b ..m,n

=

f

~

i=i

(1.21)

v a , b ® wm,n c o m m e noyau num4rique.

b+n-t

(dP i a * ( P i ) )

~

j=l

(dqj a ( q j ) ) u t ( p , q )

(1.22)

t

(1.2a1 x V a , b ( p 1 . . . . . P a ; k l . . . . . k t , R 1 .... d t b _ t ) W m , n ~ l , . . . k t , P a + l .... p a + m _ t ; E b _ t + l . . . a b + n _ t )

Si le produit de distributions Va,b(...;k I ..... ~t .... ) x Wm,n(kl ..... ~t

n ' r e s t pas i n t 6 g r a b l e DSmonstration

:

sur kl,...,kt,

,...)

= ~.

on voit par induction que

b

m

a(li)

i=l

~in[b,m} z ~=I

on pose u t ( p , q )

~a*(p~)

j=l

J

z

75

m b "~- a * ( p j ) ~ a ( l i ) j=l i=l

,

t

.(~) k=l

=

6(!i(k)-

-Pj(k)) ~(t) a * ( ~ )

~

(1.24)

,,

)

-

o~ a ( t )

varie

sur tous

les

f

II

choix

14

-

{i(1) .....

i(t)]

{ i . . . . . m} e% Ka(%) e% H a ( t ) s e n t s u r [ l , . . . , m ] {I, ,b} - {i(1) . . . . . i ( ~ ) } .

C [1 . . . . .

La sym~%rie des noyaux perme% la specification V

'hontrac%~". Si Va, b e t

b},

{j(1) .....

- [j(1) ..... j(t)} W

Wm, n ne sent pas sym6%riques,

j(t)}C

et

d'un produit ~ fois

les var~]~bles contraetdes

son% sp4cifi~es par ~(%). CQFD

Exemple

:

sous certaines hypotheses suppl~men%aires,

es% fini, associatif e% distributif.

v

a,b

le produi% V

II y a deux cas importants

6 L2(B(a+b)s), w

a,b

E L2(B (m+n)s)

m,n

W

m,n

:

(1.25)

et a

V a , b ( ~ 1 . . . . . ~ a ; R 1 . . . . . Rb )

=

b

5(i=Elpim

Wm,n(~ 1 . . . . . P m ; a l , ....

~.n)

=

^

E R ) v a , b ( ~ l . . . . . ~ a ; a l .... , a b ) j=l J n

8 ( Zi=1 pi-

z a . )J~ , n ( p l j=i

..... %~) •

..... ~ 1

(1.2~) ^

^

avee v a,b

a

e t Wm,n

L2 s u r

b

m

{52 P i - U qio } e t

n

{5~ P i - W. ~tio ] e t

a + b > 0,

(a,b,m,n) ~ (0,b,b,0). Nous i n i r o d u i s o n s

une repr6sentaiion

fort utile (voir Fig. 1.2). Le produi% Va, b W phes du %ype de la Fig. i.i

avee V

graphique m~n

de ( 1 . 2 2 )

qui sera

es% repr~sen%6 par deux gra-

~ gauche de W

. Chaque %erme a,b m,n Va,h W m es% ob%enu en connec%an~ % lignes annihila%eurs de V avee ~n a,h t lignes cr~ateurs de W . Teutes les autres lignes passen% ~ l'ex'

m~n

tr$me droite ou ~ 1 'exireme gauche du diagramme

V2,2

W2

i

: V W :

VW~

'

1

Fig.

i. 2

---.-V W 2

-

15

-

I1 est c l a i r que l ' i n t d g r a n d V a , b ( . . . ; k 1 . . . . . ~t . . . . ) ' Wm,n(kl . . . . . ~t . . . . ) de (i.23), et les graphes de la Fig. i.~ contiennent plus d'informations que le noyau num4rique

r~duit ut(p,q). Nous allons introduire

uormalisations)

dans cet int~grand,

localement ~i ..... ~t - int~grable. noyau numSrique

de V

;k,.) Wm,n(k,. ) n'est que

Va,b(.,k,. ) Wm,n(k,. ) es~ appel~

si elle fair la connexion entre deux sommets.

c'est une ligne ext~rieure. Apr~s l'int4gration

~k~l 8(!i(k)sur laquelle

(re-

W a,~m,n"

Une ligne est dire int6rieure, Autrement

an cas oh Va,b(. D~sormais,

des contretermes

~ j ( k ) ) de ( 1 . 2 4 ) on i n t S g r e

chaque

en p a s s a n t

It6rativement,

ligne

int~rieure

sur

porte

une i m p u l s i o n ,

au n o y a u r ~ d u i t .

on peut d~terminer la d4composition

de Wl...W

n

en

mon~mes de Wick :

w1

...

w

n

=

E

W 1

...

~(l,m)

W

m

...

W

(1.27)

n

a(m,n)

~(i,n) oh

E

s'4tend sur t o u s l e s

schSmas de contraction possibles.

Naturellement,

les(g)lignes

annihilateurs de W. ne peuvent ~tre contract~es~hvec les lignes 1 de Wi+I,...,W n. Le noyau r~duit de chaque terme s'obtient de

cr4ateurs

w I ®...® w n e n

identifian%

certaines variables

selon (~) et en int~grant sur

les impulsions des lignes int6rieure~ Chaque (g) donne un graphe G(~) avec n sommets VI,...,Vn,

et un hombre L = L(a) de lignes Ii,...,I L.

Chaque s o u s - e n s e m b l e

~ % [V~ . . . .

lignes de [i I .... ,ILl qui y sont attach$es,

'V'm } ~ IV1,. . . ,Vn] avec routes les d4finit un sous-graphe H c G.

On dit que deux sous-graphes H 1 et H 2 de G son% disjoints, de sommets communs. Get Exemple

ext4rieures

Ii peuvent avoir des lignes communes,

s'ils n'ont pas qui sont int4rieures

~ H 1 et H 2.

:

A/ V

V4

G

H1 Fig.

1.3

H 2

-

Remarque

:

en comparaison

se d ' d q u i v a l e n c e l'ordre

des

W1 . . .

annihilateurs

Un g r a p h e

est

(voir

G est

int~rieures.

rupture

Exemple

:

de

D'apr~s

h droite

notre

correspond

crdateurs

si

tousles

k-particule

ne peut

de F e y n m a n ( C h a p .

restreinte.

vont

VI)

la

clas-

convention,

~ l'ordre

h gauche

et

les

lignes

1.3).

connexe

r~ductible

diagrammes

lignes

Fig.

G est

de < k l i g n e s

k-particule

les

1

~ droite

-

n de g a u c h e

sommet V.

n

les

de G e s t

sommets VI,...,V

W . A chaque

de l i g n e s

avec

topologique

i6

le

sommets sont

irrdductible

rendre

non-eonnexe.

lids

(kPI),

par une chaSne

k E Z+,

Autrement,

si

on d i t

aucune que G

(kPR).

le

graphe

:W1 . . .

:

WI_ ~ :W2 . . .

W : n'a

pas

n

de s o u s - g r a p h e

connexe

ayant

plus

d'un s o m m e t .

Ddfinition les

Wn:

(resp.

monSmes de Wick de WitW 2 . . .

sont

connexes.

:W2 . . .

Wn: ( r e s p .

Wn: 2 W ~

:W2 . . .

est

la

somme de t o u s

WntW1) , d o n t

les

graphes

Nous p o s o n s

w /

:i:

=

w

=

:i:

_~w

(~.2s) :exp W:

qui

est

bien

existent entre

d6fini

dans

le

applications

Lemme i. 2

=

:eW:

comme a p p l i c a t i o n

sens

du t h d o r ~ m e

de ~ ~ ~ '

=

1 :wn: ~,

~ n~o

de ~ ~ ~ .

1.i,

le

Si toutes

lemme s u i v a n t

les

[22]

est

contractions une identitg

:

:

V :exp W:

=

:(V _ ~ :exp W:) exp W:

(1.29) :exp W: V

D$monstration v:wn:

:

=

e x p W:

:(:exp W: / V )

Soit r le hombre d'annihilateurs de V. Chaque produit

est une somme de contributions o~ V e s t

:wn:, 0 < m ~ min[n,r].

La contribution ~ m (:):(V

/

eontract~ avec m

facteurs de

facteurs contractds est

(1.30)

:Win:) wn-m:

Done (1.31) V "expW"

=

F, n~ n~ ( : ) : ( V n=o m=O

_ ~ :Wmt)Wn - m :

=

~ 1! Z n!m n ,m=o

" (V /

:wm:)wn: CQFD

-

17

-

Nous allons introduire une famille d'op4rateurs sera utile pour des estimations.

autoadjoint

et No = N e t

Si l'on 4quipe les ~

scalaire

m bosons

scalaires -iH

En utilisant

libre d'apr&s

invariant

n les ~n(~ 1 ..... ~n ) penvent etre interpr6t4s relativistes

qui

(1.32)

N I = Ho, l'hamiltonien

avec un produit

(1.54)),

(e

autoadjoints,

et

= f dk ~(k)~ a * ( k ) a ( k )

N N Test

Soit T £ ~i

de Lorentz

comme fonctions

(0.8). (voir d'onde de

libres avec une energze • . E~i

t

:

o ~ n ) ( ~ l . . . . . p_n)

lee relations

ad N (Win,n)= IN ,Wm,n] .=

exp(-it Z ~i)~n(~ I . . . . . p_n)

de commutation

f dk

on a

m n W a*(k i) TT i=l j=l

w(k)

(1.33)

T

m

a(k_.j) ( E

n

~i-

i=l

Z ~j) j =i

(1.34) Si m + n > 0 e t si le noyau num4rique w e s t d~finir l'inverse

r+(Wm,n)

suffisamment r4gulier,

on p e u t

de a d g ° par m

= f dk w(k)

--

n

m

n

TT a*(k i)

TTa(k_j) ( Z ~ i - z

i=l

j=l

i=l

~j + io) -I j=l

(1.35) Moins singuli~re Soit m > 0

que les F + de F r i e d r i c h s

[22] e s t l ' o p d r a t i o n

m

r ( w , n)

= Jdk~(k)

F e s t une o p d r a t i o n r 4 g u l a r i s a n t e ,

n

1.3

:

Soit

W

=

W

m~n

.

Si

[Ho, r+(w)J

m

m

]Ta*(k_ i)

]Ta(k_j) ( Z

i=l

j=l

~i) -1

(1.a~)

i=l

car

D(r(Wm,n)) ~ D ( ~ , n ) ,

Lemme

F de Glimm [23~

et

+

n

>

m> 0

(1.37)

0,

= w (1.3s)

[~o, : ~ p r+(w),j

= :Wexp r+(w):

-

18

-

Sire>0,

Hot(W)

= w + :r(w)H o, (1.39)

Ho:eXp F(W): D~monstration

:

=

:(H ° + W) exp F(W):

D ' a p r ~ s l e %h~or%me 1 . 1 , Hor(W )

=

on a :

:H F(W): + H

(1.4o)

r(w)

o

1 et H

F(W)

=

W.

En u t i l i s a n t

(1.29)

on o b t i e n t

1 H° :exp F(W):

=

=

:(H ° _.~ :exp F(W):) exp F(W):

:(H o + w ) exp F(W):

(1.41) On a,

d'apr~s

(1.35),

[R o

r+(w)]

= w = ~ 0 r+(w) - r+(w) n 0

-

1 e% ( 1 . 2 9 )

(1.42)

- ~

~

1

donne

[~

:~xp r+(w):3

=

:(~o r+(w) - r+(W)Ho) cxp r+(w): 1

1

(1.43) CQFD

Une classe impor%an%e de polynSmes de Wick sont les polynSmes de Wick locaux. Soit

L (x)

=

(2~)_s/2

~

dk

~(k)ei(k,~

)

k°=~

L(x)

=

Pour %ou% f = ~ 6 ~(Rs+l)' que sur ~

L(x)%

~o(x) =

(1.44)

%(~), L(~)

~o (f) = ~ dx f(x) ~o(X) est un op~ra%eur sym4%ri-

~ e% f ~ (9, ~o(f)~) es% une dis%ribu%ion %emp4r~e pour ~,~ E ~.

Au sens des dis%ribu%ions on a sur

-

19

-

Cff+(x), ~ + ( y ) ]

=

C~_(x),

Z_(y)]

=

[~_(x),

=

-C~+(-x),~_(-y)]

=

~+(y)]

--- i A + ( x - y )

=

(2~) -s

-

o

- i A_(y-x)

dk

[

~p-i(~-y,k)

(1.45)

k°=~ Grace ~ i L +~- i n v a r i a n c e on a pour ( x , x )

< 0

de l a mesure da(k) = (2~) -1 dk = f l ( ( k , k ) - m 2 ) 8 ( k ° ) d k

A+(x) = A+(-x). C ' e s t

['~5o(X), ~o(y)'] = go(X)_ e s t c o v a r i a n t

par rapport

0

~ exp-

pourquoi

pour iH

(x-y,

go(X) e s t l o c a l x-y)

: (i.46)

< 0

t 0

exp(iHot)~o(X ) exp(-iH 0 t)

~

=

~0 ( x ° + t , ~ )

(1.47)

et est une solution de l'~qua~ion de Klein-Gordon

( ~ + m 2) L ( x ) Dans le c h a p i t r e exotiques

V, nous a l l o n s

qui s a t i s f o n t

:

0

(1.48)

dans ~ des champs l i b r e s

locaux

~ ( 1 . 4 6 ) e~ ( 1 . 4 8 ) mais pas ~ ( 1 . 4 7 ) .

Le th~or~me s u i v a n t Th$or~me 1.4

introduire

=

e s t dfi ~ Wightman e t Garding [6] :

soient Ao(X), Bo(X ) .... des polyn3mes de Wick a

Ao(X )

Bo(X )

=

Z ~a :Dai go (x) a=l

=

b E d~ :D~z go(X) . . . ~=i

avec des monSmes d i f f ~ r e n t i e l s Ao(f ) = f dx Ao(x ) f ( x ) distributions on a sur [A O (x)

" ' "

Dar(a)~o (x):

(1.49) D~s(~l~o(X):

Dcq , D~j en 5/5x ~, 0 < ~ < 3. Pour f E ~(l~ s + l )

e s t une a p p l i c a t i o n

lin~aire

Bo(Y)]

(x-y,

=

0

pour

de ~ ~ ~ .

x-y)
n-j,

se r g d u i t j

c(r) f x

E~

iVldki

r

i__"~n_j+l d~i[

[ , , ( ~ ..... ~ )

- ~,~(k_1 ..... k )

~ r ( k j + l . . . . . k_n,p_n_j+ 1 ..... ~r)l 2 ~ ( s )

que S~lim ][WN-W]]~ :

0

(1.79)

e t W , ~r ~ 5 r + 2 j - n "

i m p l i q u e que W[r = W[r , done W = W. CQFD

Exemple : l e s £ o n e t i o n s d ' H e r m i t e ~m' m E l + , f o r m e n t une base o r t h o n o r m a l e dans L 2 ( ~ l ) . P r e n o n s poUr Hn(k) une base o r t h o n o r m a l e dans L 2 ( ~ s) de p r o d u i t s tensoriels

des X . On s a l t m

des c o e f f i c i e n t s

[18] que w E ~ ( ~ s n ) ,

e(~) de son

si et seulement si la suite

d~veloppement darts L 2 ( ~ ns) s u i v a n t

l e s H(a ) e s t

rapidement ddcroissante

s

pour t o u t N E Z+,

N le(

)l 2
0, l a norme L 2 de [ . . . I m,o -~2, que c(1 + J r [ ) ee q u i e s t t y p i q u e p o u r l e s s o l u t i o n s r ~ -

de l ' ~ q u a t i o n

dire~tes

de K l e i n - G o r d o n

de l a ~ o n ~ e r g e n ~ o -iHki

car %(t)~

a~(t)

-iH i

~

=

s- lim ~%(t + r) e r

La g ~ n 4 r a l i s a t i o n

forte,

[~7~. (2.5) et (2.6)

+

e

Krohn

pour

(2.7,...10)

o

2

=

s o n t des c o n s ~ -

= net -iH t

~k e

o

(2.13)

~

pour v

m~o

0 a 6t~ d 4 m o n t r ~ e p a r

H~egh-

[301.

CQFD Nous a l l o n s llVl[ < =, c e r t a i n e s son% p a r f o i s l'op~rateur

voir

quantit6s

des fonctions d'~volution Uk(t,s)

et avec cut-off

que p o u r une p e r t u r b a t i o n importantes entibres

sans cut-off =

adiabatique

born~e,

e n k. Nous i n t r o d u i s o n s

de k = 0 e%

:

adiabaiique

exp iHo% e x p - i H k ( % - s) e x p - iHo% (e ~ 0)

Hk = Ho + kV,

sont analy%iques autour

(2.14)

-

Uhc(t,s )

=

29

-

t 11- ik f dr Va(r ) U k e ( r , s ) S

(2.15)

Va(r )

=

exp(-

~Irl * iHor)

V exp(-iEor )

les champs de Heisenberg

A~(t) la

iH~t =

-iHkt A e

c

A e

B(~)

(2.1~)

' resolvante

R~(z)

= (~ - H~) -1

~ E-I~I IIvll,~)

(2.17)

l'dtat fondamental de Hk (s'il existe)

(2.1s) les v a l e u r s moyennes dans le vide ou f o n c t i o n s de Wightman

1 ..A~(tn)~ (%, AX(h)"

)

(2.19)

les f o n c t i o n s de Green (q)k' T ( A l ( t l ) ' ' ' A ~ ( t n ) ) q ) k ) (sit

Pl fermion),

> ...> t

Pn

, avecla

Pl Pn (~p(q~k'Ak ( t p l ) ' ' ' A k (tpn)q)k)

=

signature ~

P

(2.20)

des transpositions d'op~rateurs de

+

les op~rateurs d'onde g~n~ralis4$

T k avec

+

Hx ~x

+

T~(,o

=

.

%)

(2.21)

la renormalisation dtamplitude ~-l avec +

+

(~)~ ~

= z/

S u i v a n t le "diagramme de f l u x " de la Fi$ 2.1, la q u a n t i t ~ c e n t r a l e

V~(t,s)

:

(2.22) sera

-

30

-

+

Tx

,

,

U~(t,s)

uk(t,s)

Zk ck

1

[

"voie

exp - iHlt royale"

L R~(z)

t ~k

Ax(t)

, fonctions de Green

Fig. 2.1

Le th4or~me

Thdorbme 2.2 Soit

:

Soit ~ > 0

llVll < ~. Alors

a 4t4 d~montr4 par Lanford [28] :

suivant

et -= ~ s,t ~ + ~

ou e = 0 et - ~ < s , t

< +~.

(2.15) possede une solution it~rative

ux~(t,s)

= ~+

z un ( t , s ) n=l

k~ t

U~e(t,s )

=

(-ik) n

f

(2.23)

rn-1 drl''" ~ dr n Ve(rl)-..Ve(r n)

S

S

(2.23) converge dans B(5) vers une f a m i l l e d ' o p d r a t e u r s u n i t a i r e s , a n a l y t i q u e s e n t i e r s en k et fortement continus en s e t t avec

ux~(t,t)

= n

Uka(r,s) Uke(s,t )

ux~(t,s)*

qui sont

(2.24)

= Uxe(r,t)

(2.25)

(2.26)

= ux~(s,t)

Pour ~ E -iH t lim t -1 ( e t~o

s-

°

Uko(t,O)

- ~)~

=

H~

(2.27)

Remarque : puisque Ho et Hk sont e s s e n t i e l l e m e n t a u t o a d j o i n t s sur ~ [29], le g6n4rateur i n f i n i t 4 s i m a l du groupe u n i t a i r e e x p ( - i H o t ) U k ~ t , 0 ) e s t ~gal Hk, et on o b t i e n t l ' i d e n t i f i c a t i o n

-

=

e

Vhot~,0!

t E ( - i k ) n f dr 1 . . .

-iH % 0

(11+

0

n=o

:

=

rn-1 f dr n V o ( r l ) . . .

Vo(rn) )

0

,~(,,~) D6mons%ra%ion

-

-iHo t

-iHk% e

e

31

= ~ho(,,~)

(2.2s)

l'es%ima%ion cen%rale es%

rn-1 -~Er. f drn e x

flU~e(¢,O)I I ~ I~l n IIVIIn ~ d r 1 . . , 0

(l~llIvlt)n (; nl

0

dr e-Cr) n

0

(2.29) ( 2 . 2 9 ) en%ra~ne la c o n v e r g e n c e normique de ( 2 . 2 3 ) , e t la con%inui%~ f o r t e en s , t . Aussi (2.25 chaque o r d r e de k. S o i e n t ~,~ E ] . A l o r s

(9, u~(t,~),) t (ih) n f drl''"

l'analyticitd

enti~re

en h

, 26, 27) peuvent ~ t r e ~%udi6es en

= (~(t,~)~

~,¢)

rn-1 ~ dr n ( V a ( r n ) - . . V e ( r l ) ~ , ~ )

S

S

% f dr 1 ( V s ( r n ) . - . V s ( r l ) ~ , * ) r2

(ih) n f d r n ' ' " s

(~(~,t)v,¢)

(2.30)

VSrifions que

Unhe (%,s)

=

~ k+l=n

Ukhe ( g , r ) U1k e ( r ' s )

(2.31)

Le membre de droi%e de ( 2 . 3 1 ) es% $gal t Ul Un-1 Ul (i~)Zl[f du 1 V~(u 1) [ ( f d u 2 . . . f du n + f d u 2 ' ' ' r r r r r Un- 1 ...

r + f %

+ 2 eu2.., j" 8

Ul f %'''

S

S

...]

=

Un-2 s f dUn_ 1 f du n + r r

% ) v (u2)...v (%)J

(2.32)

S

Un-1 ~ %

Va(Ul) V 2 % ) . - - L ( U n ) }

$

Par une i n d u c t i o n uI Un_ 1 f du2-., f du n V ~ ( u 2 ) . . . S

S

V~(un)

(2.33)

-

32

-

e t la somme des deux termes dans (2 " 321 donne U nh C ( t , s ) . L'unitarit~ L'existence

s4rie

de U ~ e ( t , s )

de ia l i m i t e

(2.27)

e s t une consequence de ( 2 . 2 4 . . . . . 26). sur ~

se d~montre terme ~ terme dans la

(2.23).

CQFD

La s ~ r i e pour l e s champs de Heisenherg Ak(t I ( 2 . 1 6 )

se d6duit du theorize 2.2. Si 1'on introd~it ~x(t) = exp(-iHot)Ax(t) exp(iHot) avec t

Xk(t)

= A + iX f ds [Vo(-S), ~X(,)]

(2.341

O

on obtient l a s 6 r i e de D y s o n - S c h w i n g e r pour Ak(t ) directement en it4rant (2.34)

Ak(t)

=

Akn(t )

S

Ako(t)

= Ao(t)

(2.35)

n=o

t

Ahn(tl

t (iX~f dsl.., f dSnEVo(Sl)...EVo(%), o Sn_ 1

=

La c o n n e x i o n e n t r e oop4ratoriel p4ratoriel

la rdsolvante

Ao(t)]...]

Rk(z / e t exp iHkt e s t donn6e p a r le c a l c u l

[33 1 :: [331

-i• ~~

izt

dte

e -iHkt

Im

z > 0

O

Rx(z)

=

-izt dt e

exp iH~t

I

=

iHkt e

2hi f

Im z < 0

eiZt R ~ ( z ) d z

(2.36)

Fk I e i Fk e n t o u r e transformer Cependant,

le s p e c t r e

de Hk dans le sens d i r e c t .

Avec (2.36 / on p e n t

la s 4 r i e pour exp iHkt en l a s ~ r i e pour Rk(z) e t i n v e r s e m e n t . pour des q u e s t i o n s

Rh(~)

de c o n v e r g e n c e , on p a r t i r a

plutSt

= Ro(~ ) + ~ Ro(,) v R~(,)

de (2.37)

dont la solution it~rative est la s~rie de Neumann (ou Born) Rk(z ) =

E n=o

hn Ro(Z) (V Ro(Z)) n

(2-381

33 -

Thdor~me 2 . 3

soit

:

d(z)

la distance

entre

z et

[ 0 ] U Em,~). La s ~ r i e

(2.38)

converge dans B(5) pour

[~lllv[I

DSmonstration

:

< d(~)

(2,39)

on utilise l'estimation II~v ~o(-)II ~ ]xlllvll

(2.40)

d(-)-i CQFD

Soit positif, Alors

F une c o u r b e de J o r d a n ,

q u i coupe l ' a x e

rectifiable

r ~ e l h o r s du s p e c t r e

et orient~e

de l ' o p ~ r a t e u r

dans le sens autoadjoint

Hk.

E33~ Pk

donne l a p r o j e c t i o n En p a r t i e u n e r , analytique

spectrale

soit

1

Jr dz Rk(z)

2hi

pour la partie

r = [z : ]z] = m / 2 ] .

s u r F, s i

[kI]]vll < m / 2 ,

p~

p

-

I

= 2hi

m

du s p e c t r e

2hi

f

de Hk c o n t i n u e

Puisque d(z)

e t Pk e s t

=

d a n s F.

= m/2 s u r F, R x ( z )

analytique

2 d~R~(~) l~ l=m/2

i

-

(2.41)

est

en k :

z ~mPm m=o

dz Ro(Z) (V Ro(z))m

(2.421

(2.43)

l~l=m/2 Puisque

deux p r o j e c t e u r s

P,Q a v e c

[[P- Q[I < 1 o n t l a m~me d i m e n s i o n e t p u i s q u e

dim Pk k=o

on a dim P~ = i p o u r

I~1 < m/2IIVll.

=

dim Po

=

1 ,

(2.44)

Nous e s t i m o n s

co

llP~olr2 :

i + m=i z Xm ~ i

/r (%'R°(z) (Va°(~))%°)dz

co

-> 1 -

=

1-

E [~[m I m=l

z

12=i

(

m

(2~ m

2)

)

=

1

m~

m-4~

m

(

m~2 m )

v

(2.45)

-

34

-

qui est positif pour

=

O

(2.46)

m/4 ]IVI[

Ceci entra~ne avec le th~or%me 2.2 le

Th6or%me 2 . 4

:

IX] < Xo, H X p o s s ~ d e un 4tat fondamental non d d g d n d r d

pour

~X dont l'dnergie

=

Pk~o/[IPx~olI'

(2.47)

est

% = (%, H~P~o)/I]P~oll 2

(2.47), (2.48)

ainsi

que l e s v a l e u r s

(2.48)

moyennes dans le v i d e

(~k' A~(ti)''"

A~(%n)~k ) sont analytiques en k pour [k[ < k ° et continues en (t I ..... in) E R ~ La s~rie des perturbations r6sultante pour les fonctions de Green est un quotient compliqu~ du produit de plusieurs s~ries. En particulier, on n'obtient pas sans peine les diagrammes de Feynman avec les propagateurs habi%uels (voir Chap. VI), si i'on remplace V par une interaction locale. La s~tie de Gell-Mann et Low (GML) [34] va montrer qu'une r6duciion miraculeuse se produi%. Nous a v o n s vu que

(ux~(o,+~)%, A ~(tl)...A~(t i n) u~(o,-~)vo)

(2.49)

et

(~x~(o,÷~)%, ux~(o,-~)%) s o n t des f o n c t i o n s pour sit

enti~res

[k[ s u f f i s a m m e n t I > ...

= (%, ux~(÷~,-~)%)

en I p o u r e > O. ( 2 . 5 0 )

petit.

(2.49)

est

p r e n d une forme t r ~ s

diff4rent

(2.50) de z~ro

dldgante,

> tn :

= (Uxa(0,+~)To, U)~(0,t 1) Alo(t 1) Ux~(tl,t2)... ... U~(tn_l,tn) A'o(tn) U~(tn,0) ~ ( 0 , - ~ ) % ) =

=

(q)o' U k c ( + ~ ' t l ) co

Z ]11= 0

(-ik)m m:

A~(tl)

+~f ds _co

UX~(tl't2)'''A:(tn)

;e+mds i""

-co

m

-aEI si[

(2.51)

Uk¢(tn'-°°)~°)

(~o' T (Vo(Si) ""Vo(Sm )AIO(tl) " "An(tn)) ~°)

35 -

Nous a v o n s u t i l i s 4 km d e s s ~ r i e s suivant niformit~

(2.25)

(2.23)

(2.26)

et

dans l'int4gration

a 4%4 d 4 m o n t r ~ p a r de W i t t de l a c o n v e r g e n c e

Th~or~me 2 . 5

I~1

pour

:

et nous avons sym4tris~ par rapport

[35] et Lanford

d~ns B(~)

et

~olim Pk~ = P k ' e t

< ~1

limites

an~lytiques

(2.53)

suivantes

et

=

s-

~m/(4x+4)llVI/

= P~

(2.52) (2.53)

(~o' u~(+~'-~)~o)

(2.54)

en X et

Continues

diff~rents

en

~ e [0,~),

de z ~ r o .

~vee

En p a r t i c u l i e r ,

Ule(0'±~)~° _ Pi~o (%' ~X~(0'±~)Vo) (%' P~Vo)

lim

(%, ui~(o!-~)~o)(V o, "~(o,+~)~ o) = (9o' Fifo ) (%, U ~ ( + ~ , - 9 % )

iim

~o

:

de l ' u -

les

:

~o

Ddmonstration

m. Le %h~orbme

~ l'exception

(%, u~(o,±~)%)

(2.54)

existent

~ Sl,...,s

[283,

contributions

:

u~(o,±~)P ° u~(±~,o)

sont

les

p o u r ~ > 0, U k c ( 0 , - ~ ) P ° U ~ c ( - ~ , 0 ) e s t

analytique

(2.55)

(2.56)

entier

en

k. Ave e

U~e(O,-~)~ °

iHoSI x

e

=

-iHo(Si-S2) Ve

(-ik)n

=

nous obtenons

e

~Zs. 1 e

-iHo(Sn_I- sn) V...e

o S_~ dtl " ' "

(n-l)~t 2 x

o Sn-i ( - i i ) n ~ ds 1" • • ~ ds n

o ~

din e

V

... e

iHot 1

net I

iHot 2 e

V ~o

e ~t

kn Ro(in~ ) V Ro(i(n-l)~ ) V

n e

...

V X

iH t o n V ~o

R 9 ( i ~ ) V ~o

(2.57)

-

ux~(o,-~)v o ~x~(-~,o) =

3 6

-

=

Z X m+n Ro(in~)V...Ro(i~)V m,n=o

P

0

+

z

~n[Ro(i~)V...Ro(i~)V

n=l

+ ~k=in-iRo(ik~)V...Ro(iC)V Z

P

kn

Po V Ro(-ie)...V Ro(-im~ )

~

P +P 0

0

v Ro(-i~)...VRo(-i~)

Po V(-i~)...V Ro(-i(n-k)e)?

P

(2

58)

D=O

D'apr~s

le

th6or~me d e s r ~ s i d u e s p

=

1

2~i

n~

d~ ao(~ + in~)V a O (~ + i(n- 0~)...V R 0 (~) (2.59)

Jr nE

avec

le

contour

F

nE

de

la

fig.

2.2

Im

F3

z

im/2

n£

Re z

I:

#-

I

0

m

-1E

-2ic

,

F2

F1

nE

F4~ ne

-nis-

im/2

Fig.

Nous

cherch0ns

tributions de F 3 nc

F3

nc

U F4

nc

O r4

2.2

une majoration

uniforme

de

IIPn~]l p o u r

~ ~ 0.

Les

con-

sont estim~es par (2]]VH/m) n, puisque la longueur de

nE

cs% ~m. La longueur de F 1

nc

U F 2' est 2n~. Pour z 6 F 1 ns

na

U F2

ns

-

37

-

(ne) 2 + m2 -~2

,.~n {lIRo(~)ll, IIRo(~+ in~)]l} -< [ e%

IIRo(Z+ i k ~ ) I I

-< 2/m pour

O ~ k

4

(2.60)

]

~ n.

On o b g i e n t

(2.61) e% ( 2 . 5 8 )

c o n v e r g e uniform~mentpour

P~E es% a n a l y t i q u e

ILl < m/el[v]l e t

en ~ e t con%inu e n e .

norm-lim

~ e

[0,~)

dans B ( ] ) ,

et

La e o m p a r a i s o n avec ( 2 . 4 2 ) donne

Uk¢(O,~)P ° Uk~(~,O )

=

P~

(2.62)

e% l'applica%ion sur To implique

s -~$o lim Uk~ ( 0 ' L ~ ) ~ o (~o' UL~(O ,L~)~o )

lira I(qDo, U~s(O,_+~)q~o)l 2

:

:

(2.63)

PL~ °

(2.64)

(~o,Pkq)o)

On d6duit de (2.61) que pour E 6 [ 0 , ~ ) e% [~l < k I co

I(%, ux~(o,±~)%)l 2

>- 1 -

E I~l n IIPn~ll > 0 n=l

(2.65)

Egalement, (%, U ~ ( + ~ , - ~ ) % )

(~o' PX~o )

=

~(o,-~)Vo)

(%, ux~(o,+=)%)(%,

(2.66)

es% different de z6ro pour ¢ E [0,~) e% [LI < ki" Le quotient de (2.63) e%

(2.64) donne (2.55) et 1'inverse du produit ~calaire (2.56). CQFD Nous sommes a r r i v S s simplici%~ j u s t i f i e

ainsi

au %h~or~me de Gell-Mann e% Low, don% la

la l o n g u e u r de nos m a n i p u l a t i o n s

:

38 -

Thdor~me

2.6

pour Ixl

:

e~ ~ E

+~ +~ f "'" t dsl'''ds

(_i~)-

m!

Z

< h

m=o

_~

_~

m=o

_®.

_~

E0,~)

-~xlsil m

. .

e

(%,~(Vo(Sl)..-~(~n)) %) (%,T(Vo(Sl)...Vo(%)) %)

e

(e.67) est une fonction analytique

en k e% continue e n e

e% (%l,...,tn)

E R n. La

limite pour 8$o est identique ~ (~k,T(A~(%l)...A~(tn))~l). D~monstration

dans B(~),

:

les v~s(t,s)

si -~ < t,s

sont

entiers

en ~ e t

< +~. P o u r %1 > " ' "

> ~

continues

en s

nous utilisons

n

E[0,~)

l e %h4orgme 2 . 5

(P%~o' U%(O'tl)A~(tl)'''P%~o)

(~k,A:(tl)'..A~(tn)~~)

=

IIPx%tl2

lim (~o' Ukc(+~'tl)Ai(tl) Uxs(tl't2)'''A~(tn) Uka(tn'-~)~o) ~4o

(~o' U~s(+~'

-~)~o )

(2.68)

CQFD Jusqu'~ modifications ~chelle est

techniques

d'espace

lin~aire

les

ce c h a p i t r e

e% ~ n o y a u d a n s ~ .

D6finition

:

contributions

certaines

valables,

[283,[3i],[32]).

manipulations

de d e g r ~ p a i r

une si V

formclles.

dans les

V sera

opdrateurs

soient Wl,...,W n des polynSmes de Wick. La somme de %outes les

''"

(W1 . . . c'est-~-dire

restent

et h noyan dans ~'(voir

par

Avec certaines

de WI,...,W n ~ graphes connexes es% la partie connect~e,

(W 1 ... Wn) c de W 1

W n"

La partie li4e (W 1

Wn) L

=

(W1 . . .

"'"

Wn) L de W I

Wn)C - ( + o , ( W i

...

"'"

W en s t

Wn)C 90 )

(2.69)

la somme des graphes connexes avec des lignes ext6rieures.

Le th6or~me extrSmement particules

prgc~dents

u n p o l y n S m e de Wick s y m ~ t r i q u e ,

de f e r m i o n s

[Iv[I < ~.

darts £ ( B a , B ~ ) , oh B a c B~ = ~ e s t

r~sultats

d e s a ~ de b o s o n s

terminer

maintenant

(convergence

de B a n a c h )

dans

Nous a l l o n s

n o n s a v o n s s u p p o s ~ que

maintenant,

importante :

suivant,

le "linked cluster theorem",

dans les s~ries des perturbations

est une identit4

pour plus de deux

-

Th~or~me 2 . 7

:

39

-

les identit4s suivantes entre s6ries formelles en k sont

bien d~finies pour a > 0 et -~ ~ s,t ~ +~ o u £

Uka(t,s )

=

:exp

rn_ I

t (-ik) n ; drl...

E n=l

~ 0 et -~ < s,t < +m :

drn(V~(rl)'''V~(rn))C:

s

S

t

rn_ I

(2.7o) Uks(t's)

=

:exp

(-i~) n f drl...

n=l

(~o,Uke(t, S)~o )

D6monstration

Z

:

drn(V~(rl)'''V~(rn))L : S

s

nous appliquons

(2.71)

(1.27)

~, ( 2 . 2 3 ) .

Chaque g r a p h e G de

V (rl)...V (rn) peut ~tre d~compos~ en composantes connexes

G

=

o~ H k appara~t n k fois dans G e t

Puisque mions,

(2.72)

~ n k Hk k=l

presque t o u s l e s

n k = 0.

chaque Vmn / 0 contient un nombre pair d'opSrateurs de fer-

l'ordre relatif des sommets d'un produit connect6 par rapport aux

autres sommets est sans importance. Par exemple

:Vc(rl)V

(r2)V (r3)...V

(rn):

:

:V ( r 2 ) V c ( r l ) V c ( r 3 ) . . . V

=

~ Si l'on

nk! et

~

somme s u r t o u s l e s

dans (2.23)

le produit

int~gr~

(1 ~ k l

~ ...

sin k = 0,1,

sur

Is ~ rk 1

~ kl(k)) d'apr~s

(2.73)

graphes avec la d6composition

des contributions ~ '''

des graphes

~ rkl(k)

~ t]

L'interversion

toutes

les permutations

bution

par ~ nk!

o~ r k l . . . . .

on o b t i e n t par

rkl(k )

Ceci est

de d e u x ~ m p o s a n t e s

~vident

identiques

ne

C e p e n d a n t , on p e u t sommer s u r

de c o m p o s a n t e s i d e n t i q u e s ,

. La somme s u r t o u s l e s

(2.72),

c o n n e x e s Hk d i v i s ~

s o n t l e s temps d e s sommets de Hk . (2.73).

donne p a s u n n o u v e a u schema de c o n t r a c t i o n s .

tributions

(rn):

U~(t,s)

si l'on

divise

donne ( 2 . 7 0 ) .

la contriIci

les

con-

scalaires donnent le facteur exp ~(~o,(...)C~o ) = (~o,Ukc(t,x)~o).

Avec (2.69) on obtient (2.71). CQFD

Nous allons appliquer le th6or~me 2.7 pour diagonaliser H k. P o u r les interactions

sans polarisation du vide on a

+

a7

itH~

=

s

lime

t~+~

-itH

e

o

=

s-limU~o(0,t) t~+~

(274)

-

4 0

-

et sur D(Ho) +

+

"x% = %'o Th~or~me 2 . 8

:

(~'~)

sol% s a 3. Dans chaque %erme de l a s ~ r i e

U~a(O,~)

~

o

:e~p E (-i~) " f

= (To' U~e(O'~)+o)

n=l

formelle

rn-1

dr1... ~

~

dr(V~(rl)...V(r)) c

~

(e.76) la limi%e e$o exis%e +

Tk

=

c~olim UXe ( 0 , Z ~ ) / ( ~ o, U ~ e ( 0 , ~ ) + o )

(2.77)

e% sa%isfai% +

+

,~ T~ = T~(I,o+ %) (T~) ~ ± avec (m : n o m b r e

zJ

+

(2.7s) +

des F's) co

%

=

z

(_x)m (%(V r ( v . . . r ( v ) ) ) c %)

(2.80)

m=l co

z~ x

=

[lexp S ( - x ) m ( r ( v . . . r ( v ) ) c a

+o[[2

(2.sl)

m=l oh ( ' ' ' ) C R e s t

la contribution

D~monstration

:

puremen~ c r ~ a t e u r

p o u r ~ > O, l ' i n t ~ g r a t i o n

de ( ' ' ' ) L "

sur r 1,...,r

n peut ~tre effectu4e

avec l'identitd r

i f as w ( s )

= r+~ (W)(r)

(2.S2)

-b cO

s i W e s £ un monSme de Wick. F+~(W) a l e ~+~ w(k)

=

--

a v e c E, E somme s u r l e s c r 4 a % e u r s , C A

n o y a u w(k) de W r e m p l a c d p a r

w ( k ) ( E ~ i - ~ ~i + i ~ ) - I C

(2.83)

A

annihilateurs.

Donc ( 2 . 7 6 )

devien%

41 -

+

co

--

Tk~

=

,exp

Z (-k) n F+n ~ (V F+(n_I)£(V...F+a(V).. n=l --

Pour les graphes l i ~ s aucun d6nominateur

.

))L

$

(2.84)

de (2.84) ne s ' a n n u l e identiquement

pour ~1o. Nous a l l o n s v o i r que chaque graphe de

r_+n~(V r+_(n_l)~(v...r±~(v)...)) L d~finit une application de ~ les noyaux de V sont dans

(2.85)

~, qui est fortement continue pour e a O, si

~.

Considdrons le graphe G de la f i g . 2.3

1

5

2_

~

~3

1 8 D6

4

D5

D4

D3

D2

D1

Fig. 2.3

Le noyau de G a six d6nominateurs DI,...,D 6. On voit que D 1 et D 2 ne sont pas singuliers pour a$o, car les sous-graphes G(VI) e% G(V~VI) n'on% pas de lignes d~annihilateurs ext6rieurs. Dans un graphe G sans annihila%eurs ext4rieurs, t o u s l e s D. m n t C pour g a 0. Si D. ne r6sulte pas de la deri j nitre op4ration F+, alors D. es% singulier, si G(Vj,...,VI) annihile des _

particules.

J

Le dernier d~nominateur es% singulier,

si G(Vn,...,VI)

cr4e et

annihile des particules.

Pour ~ > O, nous a l l o n s r e p r 6 s e n t e r un Dm s i n g u l i e r (avec EmC et EmA la somme des 6nergies des par%icules c r ~ e s

G(v m . . . . .

vl))

et annihil~es par

come

--

m

exp÷i%(EC-EmA÷i --

J

m)

(2S6)

0

Donc les d~nominaieurs s i n g u l i e r s de la f i g .

2.3 deviennent pour F+ = F+

-

e% ~ i

:

42

-

~(~i) 6

:o

o~

6

6

TE Dm = ~o ... ~o m?3 dim exp ( - ~m=3 %m =

m=3

6

5

me)

x

6

exp i[#l i=47' t.i + #2 i~4 %i - ~3 i=E3 ti + ~4(t3 + t4) 5 ~5 i =Z3 t .i + ~ 6 ( % + % )

Si

l'on

applique

un noyau

dans ~.

G sur

u n T E ~,

Pour

+ ~7%

) + ~9% ]

(2.87)

les

~ > 0 on p e u t

+ ~8(%+%

variables

23,...,~

interchanger

9 yon% f i g u r e r

l'ordre

des

dans

in%4grations.

Chaque

(2.88)

f d~i exp Z i~ i Z tij f(...~i... )

donne une d6croissance ~ IE tijl-~2 d'apr~s le lemme de Ruelle

[17] pour s 83.

Donc (2.87) devien% absolumen% %-in%6grable

apr~s int4gra%ion sur ~3,...,£9,

uniform4ment pour ~ ~ 0. La fonc%ion d'onde

(G~)(~l,~2,e)

e% rapidement d4croissan%e

es% H~Ider continue

en ~i,~ 2 [36].

Un graphe li~ gSn~ral G qui annihile des particules peu% ~tre trait4 de la m~me maui~re. La d$croissance

en t n pour le dernier d~nominateur pro-

vient des impulsions des annihilateurs apparaissent

Un p o l y n S m e de W i c k d a n s chaque

composante

On obtient

(2.85)

agit

÷

a 6vidammen% l e s

des variables

m6mes p r o p r i ~ % d s ,

diff4ren%es.

co

=

:exp

E n=l

(_x)n (r+(v...r+(v))L,

(2.89)

= a = ux~(o,±=) v~(o,±=)+

(2.90)

~ > O, o n a

ux~(o,±=)+ ux~(o,±=) C'est

(2.76) sur

:

Tk

Pour

Les autres %n_l,...,tk

chacun dans le E t.. xj (voir (2.88)) de n - k impulsions int~rieures si G es% connexe.

diff~rentes,

car

ex%4rieurs.

pourquoi

- 43

__+ W

+__

(T~)

sur ~o'

Appliqu4s

tre

l'op~ration

seuls

:...:

1.3

les

+ IIT~ %1/2

:

termes

dans

+ Tk e s t

Puisque

T~

-

(2.89)

+ + T~(T~)

--

F+(...))CR

F+(V ; ~eci

donne

(2.91)

survivent

on p e u t

et

omet-

(2.81). +

de l a f o r m e

:exp

F+(Q~):,

l'application

du l e m m e

donne +

+

H T~

co

= T~H

o

+,

m=l

o

et

+ --

+

+

~VT x

=

(2.92)

(-~)~(vr+(v...)) LT~,

z

+

~ :(v~/~)~:

= +

(2.~a)

r+(v...)) L T~:

: Z (-Xlm(V m=l

+

+

+ (~o,(~v/T~l~o)T~ Une

analyse

graphique

simple

montre

que

+

(%,(~v / T~)%) est

de l a f o r m e

puisque

(2.80)

seules

les

car physiquement H~ p a r r a p p o r t

de G o l d s t o n e

contributions

s~ e s t

~tre

particules

entrantes

infSrieure

ind~pendante

survivent.

de l a b o r n e

sortantes

r_(...)%

Ceci est

inf~rieure

0 de Ho. Une t e l l e

de son d v a l u a t i o n

(T;)ou

(2.94)

~x

avec F+(...)T ° =

crdateurs

le ddplacement

h la borne

de H~ d o l t

[37],

=

raisonnable, du s p e c t r e

propridt~

d a n s une b a s e

= r(...)%, de

spectrale

orthonormale

de

(T;). CQFD

Une d 4 r i v a t i o n richs

[22].

Exereiee

Pour :

a)

~tablir

diff~rente

du t h ~ o r b m e

le contact

a v e c son f o r m a l i s m e ,

d~montrer

+

la

solution

it~rative

+

%

nous posons

1'

que

T~ est

2 . 8 a ~t~ donnde p a r F r i e d -

+

=

"exp-

0

Soit

8 peut

1 _

0.

ql,...,q

[V,Eq]

=

charge

~,

qui

ne

additive

d~compos~ dans une

asso-

somme d i r e c t e

(3.2)

q

® ...

®~n

(3.3) mn

H

o

commute avec

u n p o l y n S m e de W i c k V d a n s 8 e s t de c h a r g e s

> 0 une

q :

. ~niqi=q

q

E

(3.1)

u n p o l y n ~ m e de W i c k d a n s

de p a r t i c u l e s .

=

Soit

~i

o

particule ~

n ® i=l

de b o s o n s ,

x

Une i n t e r a c t i o n couple

a #i -( -k-)-

nombre fini

une

tousles

interaction

E

q

pour

de L e e ,

si

n > 0

0

pour

tout q

=

~miq i

(3.4)

46 -

(3.4) est satisfait, charge

totale

er~4e

Exemple

:

Galilei,

la masse

si et seulemen%

si dans ehaque monSme

est 6gale ~ la charge

dans une

interaction

totale

%otale

qui est invariante

d4finit une

de Wick de V l a

annihil~e.

par rapport

r~gle de s61ection

[38],

au groupe

de

[39j. Donc

qi = mi" observe

On

qu'une

interaction

de Lee V ne polarise

pas le vide

~o 6 ~ :

H~o La d y n a m i q u e d ' u n teur (a)

~

etq(7)

est

~:(x)

Nous allons

HoT °

m o d u l e de Lee p e u t

o~ l e n o m b r e t o t a l

Soient

=

~tre

des particules

payde p a r une d y n a m i q u e ,

les

parties

4tudier

cr4ateurs

des modules

=

(3.5)

0

~tudi4e est

qui

s4pardment

born4.

sera

dans chaque

sec-

L'absence

des difficultds

ineurablement

non-relativiste.

e% a n n i h i l a t e u r s

(1.44)

des

~(x),

i ~i S n.

de Lee avee

=

(a.6)

V(x_) = ~ C(a)(b) # ~ + i ( x ) a ( i ) # o n t une

certaine

interactions gences sont

ultraviolettes.

pas

sant,

D'autre

pour

de H i l b e r t

rigoureuse

est

bien

ThSor~me 3 . 1 VI

q

la

d4finie

:

Vl

(2)

H

O

q

: ~ + ~V

que l a

plupart

pas trouver o~ H

ren

interactions assez

simple

~ ~

sans

est

q

(0.21).

d'horreurs des densit4s

un o p 4 r a t e u r

Ces

en d i v e r -

H

(3.6)

ne

satisfai-

ren = H + kV + 0 ( k 2) d a n s un s e n s o peu singuli~res vont permettre et

de d i m e n s i o n renormalisation

fournir

s + 1 = 2,

des exemples

ins-

est

born4 pour ehaque q,

autoadjoint

sur

route

interaction

de Lee

:

de V ~ ~ . A l o r s q

q

locales

un a r s e n a l

s o i % s = 1 e t V une i n t e r a c t i o n

restriction

(1)

et

interactions

tout

g4ndrale.

Dans l ' e s p a c e - t e m p s (3.6)

~ren'

certaines

la thdorie

les

voir

: on ne p e u t

part,

renormalisation

tructifs

avec

yon% p r e s e n t e r Nous a l l o n s

renormalisables

d a n s un e s p a c e

pr~ciser. une

ressemblance

singuli~res

V(x)*

j=l

i=l

qui

~J(x)b(i)=

de Lee du t y p e

(3.6).

Soit

47 -

D(H ° + ~V)

=

£~ : Wq e D(Ho), Z II(H° + ~V)¢q[I 2 < ~}

(3.7)

q D6monstra%ion

le noyau num4rique r~dui% d'un monSme de V es% %ypiquemen%

: k

cS(Z

l! i

~Lj)

Z

j=l

i=l

(mp(i)+ll i

TT i=i

j~i

(m~(j)+ a )-~

(3.8)

e% k > 0, 1 > 0. (3.8) es% L 2 dans les impulsions rela%ives des par%icules • . , cr4es e% annlhllees,

avec une

L 2

-norme qui es% uniform~men% born~e pour tou%e

valeur de l'impulsion %o%ale. Car pour s = 1 k

sup f p

U

dai

i=l

~C

5(a-

Donc Vlq es¢ born4 pour chaque q et (H ° Ceci implique

k Z ~i ) < ~ i=l

+ xv)l

(3.9)

es% au%oadjoin% s u r D(Ho) ~ q .

(3.7).

CQFD Pour s > I, il y a deux %ypes in%6ressan%s d'inZeractions les modules X (rive l'Ecole Poly%echnique

de Lee,

I) et Y. Le module X, avec une den-

si%4 d'in%eraction

vx(~ ) dans l'espace particules

(les

p a r T.D. Lee

5 = 5a ® ~b c o n t i e n t

d6cri¢ une interaction singulier.

Nous a l l o n s

Le m o a ~ l e Ys+I

:

soit

=

entre

paires

Le m o d u l e Y a d i d d%udide

omettre

eertaines

d~corations

a 2 @b(~) + ~ b ( ~ ) ¢ a ( ~ ) 2 %(~)

deux p a r t i c u l e s

m > 0, qa = q b / 2 = 1, e t

x(t)

s~parable [40j.

(3.10)

N, U e t V) e¢ i n t r o d u i r e

Vy(~) Ici

~+(~)2 ~_(~)2

particule,

avec un potentiel

premi~rement physiques

de Fock d ' u n e

=

les

cr6ateurs

× E C ~ ( ~ 1)

= 0 p o u r t ~ 0. S o i t

les

a e t b, a v e c ma = mb =

et annihilateurs

a v e c 0 g X g 1, x ( t )

a#(k),

b#(k).

= 1 pour t g -i,

~ ~ 0 et

×~(k) Nous i n t r o d u i s o n s

diff~rentes

(3.11)

interactions

= ×(~2_k2) ~ cut-off

(3.12)

de

-

Vg

=

Vlg + V26

V I~

=

; G

3 "~

dPi ~q

i=l

3

V26

Ici

f d$note

i=l

l'int~gration

chaque secteur V2g n ' a

m

~/ff

-

~(2~-22-23) b*(21) a(22) a(23) (3.~3) ~(21+ 22-23) a*(2~)a*(22) b(23)

avec ~ Xg(~i).

e t Ho + ~V6 e s t

autoadjoint.

p a s de d o m a i n e n o n - t r i v i a l Dans l e c a s

48

Pour 6 < ~ los Vi~ sent born6s dans P o u r ~ ~ ~, D(VI~ ) m ~,

tandis

que

p o u r s > 1.

s = 2, n o u s a l l o n s

voir

que l a somme He + ~V~ p e u t ~ t r e

d6finie sur un domaine Dg, qui est dense dans 8, mais D~ n D(Ho) c ~a ® ~ " Dg sera l~image de ~ par une transformation d'habillement ("dressing transfer+ marion") T~ qui est une version approximative de T~ (2.89). Une approximation est n~eessaire, parce que la convergence de (2.89) est douteuse saul pour les potentiels r6guliers faibles (voir [41], [42], [363). Pour bien mon-

trer la libert4 de ehoix pour le domaine initial de l'hamiltonien renormalis4 (avant de passer ~ la fermeture), nous allons discuter deux eandidats

T~1 = exp[- xr(v2~)] 2

exp[-

(3'.14) ]

(3.15)

T~ est le prototype des transformations de Glimm dans le chapitre suivant, 2 et il est mal adapt6 ~ la solution exaete. Tg est plus physique et motiv4 par la th~orie asymptotique (voir th~or~me 3.3). 1 e t T 2 s e n t d e s p o l y n S m e s de d e g r 6 s n / 2 . S u r c h a q u e ~ n ' Tff

Hr(v2~)lnl] e t IIr+(v2~)tnll

s e n t uniform~ment b o r n ~ p o u r g ~ ~ e% s < 4 :

2

IIr(v2~1%ll 2 < %11%112 sup ~

2 d~ 6 ~ - P1_.~2) £ T[ - - - )2

IIr+(v2~)~nll 2<enlbnll

2 sup ~ 2

p o u r ~n E ~ . Le supr6mum d a n s ( 3 . 1 6 ) n

(3.17)

sera

5(21+ P 2 - 2 )

discut4

dans l'appendice.

2

2

~(2- 21- 22)

~ TI d2-! i=l

(3.16)

(~I + ~t2

i=l

~i

est manifestement

-

-

-

(~1 + ~2

fini

(3.17)

~)2

p o u r 6 ~ ~.

On o b s e r v e que s u r l e s u p p o r t

de

(#i + #2- # 2 i°)-I = (~I + ~2- g)-i est r~gulier (stabilitd de

-

la particule

b par rapport

49

-

~ l a %ransi%ion b ~ 2 a ) . Donc F+(V2~ ) = F_(V2~ ).

Pour ~ < ~ on ob%ien% s u r ~, g r a c e aux lemmes 1.2 e% 1 . 3 ,

~ ~ o (Ho+ ~V2.)T ~ i kVl~ %

=

=

T~H °

(3.18)

i : % ( X V l ~ - ~2V1~ /

ri(v2~)

lk3 + 2 Vl~ - /

q(V2~)2):

avec i = 1,2 et F 1 = F, F2 = F+. Les o p d r a t e u r s VI~Fi(V2~) e% V l q / 1 s o n t b i e n d 4 f i n i s s u r ~ pour 6 ~ ~ e% s < 4 ( v o i r F i g . 3 . 1 )

Fi(V2~)2

F

V 1 r i ( V 2)

V 1 r i ( V 2)

1

2 Fig.

V1 /

Fi(V2)2

3.1

Considdrons

%

:

VlJ+. (v

:

b$(2)b(p) %(2)

(3.19)

2 2 m~(p) D'apr~s l'appendice,

=

2 dp i

~

~ ~

~i

5 ( ~ - ~1

~2 )~

~1+~2 -~(p)

sup m~(£) < ~ pour s < 3. Donc M~]n' e% £,g

Vlff F(V2~)I n son% 2

unxformemen% born4s pour n f i x e e% ff ~ ~. Th~or~me 3.2

:

pour i = 1,2,

s = 2, ~ E ~ e% --i Hg = Ho + kVff

s - lira T i

ff~

(~ --* co

=

T i ~o~

(3.20)

- 50 -

s- li~

existent.

~.V~)

(H o +

Hi est un op~rateur

= ~i~ T¢o_i~

Ti~

r~el et sym6trique

(3.21)

avec le domaine T i ~ qui est

dense dans ~. Pour k ~ 0 Tico ~) Q D(H o)

Ddmonstration convergence

:

la convergence

born6e

[33].

forte

=

est

2Da ® 11

(3.22)

une c o n s e q u e n c e

du t h d o r ~ m e

sur la

Consid4rons

lt(H° + ~ v ) ~ 2

2 II - (H° + ~,v~) T~

11( 2 -

Ho~ II (3.23)

+..+ ~ Chaque

int~grand

E L1 e t

converge

II(.'T2

r+(v2~

/

d a n s c h a q u e norme e s t uniformdment

sur les

r+(V2z) 2:

b o r n 6 pour• t o u t compacts vers

~tablit (3.20) et (3.21). ~i est sym4trique, i " (T69, (Ho+ ~Vg)T~*) = ((Ho+.kVff)T~9 , T ~ * ) .

tension

autoadjointe),

car

Pnisque

ri(v2~)]n

est

=

si

p , ~ ~ ~. C e c i

Hi~ e s t

r~el

(et

conjugaison

~n(-~l .....

poss6de

une e x -

complexe

K

-211 )

(3.24)

borne, (T~) -1

est born6

P-n )

z~ro,

car pour d < ~ et ~,* E

H~ commute a v e c l a

(K Tn ) (21 . . . . .

9 , 6 p a r une f o n c t i o n

=

sur chaque 0n, et T ~ Soit ~ E ~) - ~a

est dense dans 8, puisque . Done b(k_)T ~ O. Comme

et

HoT2 ~

(3.25)

exp k F i ( V 2 ~ )

et llT v2 il =

~ l'est.

~l~ment

de ~',

o.

CQFD

La c o n n e x i o n rants tion

d'un

processus

de e e r t a i n e s

pre (g~n4ralis~)

2 de T~ a v e c l a p r 4 p a r a t i o n

de d i f f u s i o n

va clarifier

renormalisations. --i de Hd : H6--i a , ( E ) T °

P o u r b * ( 2 ) 9 ° on o b g i e n t

=

I1 e s t

Ho a * ( ~ ) ~ o

pour ~
E~/2]

montren~

lrexis%ence

son~ n u l s d'une

I1 es~ clair

sur ~ . A u ~ r e ~ e n t , m

constante

d(m)

< ~ %elle

les

que d a n s

estimations

que p o u r

(3.87)

les

(3.66

...71)

0 ~ ~ ~

IIHo ['''}(Ro(Z)V1ffRo(Z)Vi(k+2)ff...Vi(n)ffRo(Z))renlmll (3.s9)

Si n ~ [m/2j

e~ ~ d(m) a u t r e m e n t .

Ceci

en£ra~ne

que

( T ~ ) - 1 R ( z ) ~ m C D(Ho)

p o u r Rez < - 5 ( p , m ) .

Pour discu%er T~ on observe que

['o' r(v2~)]

avec r(V )Ho Ro(Z)~Im (3.87

,88,89)

sont

sans

= v2~ + r(v2~)Ho

(3.90)

bornd pour s > 0. Donc les termes suppldmentaires dans danger.

CQFD

64 -

Pour s+l = 5 une nouvelle

D(ri(V2g)) e t mff(R,z) e s t liras

lindairement

pour associer a)

appara~t

:

pour ~ ~

Nous a l l o n s

(3.9~)

discuter

plusieurs

possibi-

u n e d y n a m i q u e h Y5"

(~o,b(~)A~(T~)~A6b*(R')Oo) thgor~me

= {0}

divergent.

Nous a v o n s c h o i s i

superficiellemen%

difficul£d

T ~ A de t e l l e

= 8(R-~').

au r d s u l t a t

f a g o n que

C e c i donne u n t h ~ o r ~ m e q u i r e s s e m b l e

principal

de 61imm p o u r l a t h d o r i e

4 (voir ~3

(4.15~.

Thdor~me 3 . 8

:

soit

s = 4 e t ~ , ~ E ~. A l o r s

~i~ ( ~ ,

"0 ~ ¢ 1

lira HH6T~6~]I 2

=

= (~"o ¢1 (V, (HI

+

(3.93)

X2V2~VI~)¢)

(3.94)

1 Remarque

:

normalisation

T ~

d ' a m p l i % u d e A~ e s ~ t r o p

mique triviale. rien,

n e c o n v e r g e p a s f o r t e m e n % p o u r T E ~ • On v o l t Une r e n o r m a l i s a t i o n

car k entre

D~monstration

:

forte

p o u r Y5 e% n o u s a m i n e h u n e d y n a -

s i m u l % a n g e de c h a r g e ,

d a n s A~ comme ( 1 + ~2 n ~ ( ~ ) ) - ~ 2 soit

= 1 sans restric%ion.

T,~ E ~,

T E 8 ka ® ~ ,

Dans l e s u p p o r t

que l a r e -

~ ~ ~ff, ne c h a n g e

= ag(~).

~ E 5 am ® ~bn ' k + 21 = m+ 2n e t

c o m p a c t de ~ , ~ ,

a6(~)

~ 0 uniform~ment

en ~ p o u r 6 ~ ~. C o n s i d ~ r o n s

(3.95) o~ s g 1, ~ g n . F + ( V 2 6 ) ~ s F+(V26)% e s £ u n e somme de g r a p h e s :Gr~(F+(V2Z)~ r+(V2a))r:

(3.96)

2 o~ ( ~ , G r 6 +) res%e h o r n ~ p o u r 6 ~ ~, ~,@ E ~. A u s s i

i i . %(~)2 ~ YV dpi

~(P- Pl- P2)

=

1

(3.97)

-

uniformdment

sur

le

support

de ~ , ~ .

65

-

Ergo

1 s:t: (r+(v2s)sAsV, r+(v2s)tA6¢)

pour

g ~ ~,

except$

pour

s = 1 = t = n oh l ' o n

(3.98)

-~ 0

obtient

(~,~).

Ceci

~tablit

(3.92).

+ (T~,

,T~(vl~ vl~ r(vi~)+ ~ vl~ / r(vi~)2), %¢) _

(3.99)

1

1 Le p r e m i e r

terme

~ droite

donne

(3.93).

Discutons

le

second

terme,

(r+(v2~)s %~, ,r+(vi~)t vl~, %~) Les conditions assez autres

k + 21 = m+ 2 n ,

de c o n t r a c t i o n s termes

de

m ~ 2,

s + 1 ~ 1,

F + ( V 2 ~ ) * F+(V26 ) p o u r

(3.99)

2 pareils.

sont

t

~ n nous

compenser

les

par

exemple

(3.1oo) emp~chent faeteurs

d'avoir a~(~).

Les

Finalement

+ (,T~(v:~ .... 1, %~, T~,o¢)

(3.1011

+ ( : ~ ( v ~ - . . . ) , %~, :T~(vt~-...): %*1 Le p r e m i e r troisi~me

terme seul

h droite

donne

V2~ Vlff n ' a

(Ho~ , H o ~ ) ,

p a s de l i g n e

le

second

ext~rieure

zdro,

du t y p e

tandis

que d a n s

le

b.

CQFD

b) Nous n o u s

Au l i e u

restreignons

d'6tudier

, nous pouvons

H

aux secteurs

82 e t

83,

H~

=

H ° + kVff + k2Mff

M~

=

vl~

r+

- k2Nff

T~HffTff.

posons

H°

(3.1o2)

N~

= V I ~ + (V2~) 2

T~

=

-

oh n o u s

l'op4rateur

(v2~)

2

I

discuter

xr+(vi~)

66 -

Un c a l c u l

simple

=

H O

donne

+ ~HoF+(Vl~)- ~F+(V2~)H ° - ~iVl~r+(V2~)- ~2r+(Vla)F,~+(Viz)Hol m i

Nous avons

utilis~

F+(W)*=

l

- F_(W*) e t V l g F i + ( V 2 ~ )

= -

r+(Vl~)r+(vi~).

2

Les derniers forme

deux termes

explicitement

sont

nuls

sym~trique

pour m = 2 et

F+(V2~)H ° n'

une deuxibme

peuvent

6tre

de d o m a i n e d e n s e

transformation

sous une

÷

i

a pas

~crits

comme

i

Seul

2

-

-

(3.Io3)

(3.i04)

i

d a n s 8m pour g ~ ~. Nous

introduisons

de " d r e s s i n g "

%lm

1 + ~ri(vi~).ol m

:

(3.1o5) ~Ho, S ~ ] ] m

3.9

Thdorbme m = 2,3

:

avec

les

notations

=

kF+ (V2~) Ho[m

(3.102)

et

(3.105),

on a p o u r T E ~m'

: s-

lim

S~

=

S~

(3.10~) s-

S~iDm e s t

dense

dans ~

H S ~

m

l i m T~It TgS~T

ei H

=

esi

S~o~

=

un opdrateur

+ kHor+(Vla)~

H S ~

r4el

et

symdtrique

o

1

+ k2HoF+(VI~)F2+(V2~)Ho~ 2

S~ m

- k2Vlar+(V2z)~

xir÷(vl~)r+(vi~)'o ~ ÷ XiHor÷(v'-)ri(v--)"lo~o 1

sur

(3.107)

- 67 -

Aussi s- lim HffT~S~ existe.

Quelle s e n t l e s propri4%4s p h y s i q u e s de l ' h a m i l t o n i e n Pour m = 2, nous peuvdns e a l c u l e r

explieitement

la s g r i e

H~[m

de N e ~ a n n

co

u~(~)l= =

(i

=

[(~Hor+(Vl~)-~r+(v2~)Ho)Ro(Z)]nl2

~o(~,) n=o

-

~Ro(z)r+(v2~) IIo)Ro(Z)T~(z)ao(Z)(l+X~or+(vl~))le (3. 108)

% ( ~ ) a o ( = ) l = = f dp b * ( p ) b ( p ) t ~ ( ~ , z ) [ 2 ff tff(~,z)

=

[i -

2

k2 z-

6(p - Pl

i=l

~

~i

P2 )

(~1 + ~ 2 - ~ ) 2 ( z -

~1-

Nous o b s e r v o n s que ( 3 . 1 0 8 )

devient

si l'on re.place , o r ÷ ( v l ~ )

par Vl~ et -r+(v2~), ° par V2~. Pour Im ~ ~ 0,

R~(z)I 2 s a t i s f a i t

aux r e l a t i o n s

la s ~ r i e n o n r e n o r m a l i s ~ e

-i

Ro(Z)E(~Voa °

(~))n

(3.54 . . . . 57). Done

fi:[e

=

z

R~(z)l~ 1

(3.1o9)

sur R ( z ) l 2 5 2 c ~2' qui est un candidat pour

d4finit un op4rateur autoadjoint

la dynamique du module de Lee Y5 sans cut-off. Malheureusement,

on d~duit de

^

(3.108) que H~I 2 nous rejetons probl~me

n'est pas born~ inf4rieurement Jm

.

pour k % 0. Pour cette raison

Ce n'est pas non plus une solution satisfaisante

du

de renormalisation.

c)

Au lieu de la renormalisation

introduire une deuxieme renormalisation

multiplicative

comme dans le chapitre VI. m~(~gz) est lin4airement renormalisation logarithmique

Ag, nous pouvons

additive dans les fonctions de Green, divergent,

et apres une

de masse kV~ ~ kV~ + k2Mg dans la s4rie (3.60) une divergence

persiste.

Celle-ei ne peut pas ~%re compens4e en remplaTant kV~

par un op4rateur kV~ + k2W~ ind6pendant

de z. La renormalisation

convention-

nelle de la TQC (voir (6.41)) remplace m~(~,z) par

%(~,~)

- %(e,A

- (z - ~)(~

%(~,~)1~=~)

=

(3.11o) 2 ( ~ - z) 2

2

d~ i

8 ( ~ - ~ 1 - ~2)

~f i--Tit=~i (Z-~l-P2)(~l+~2-p)2

- 68

Dans l a s $ r i e

-

(3.60) ceci e s t impl4ment4 par

~V~ - kV~ + k2M~ + R6(z)[ 2 peut

~tre

%(~)[2

calcul4

:

explicitement.

h2 N ~ ( Z - H o )

On obtient

(3.ili)

comme

forme

~o(~) ~(~) ao(~)(n+

(n + ~ao(z)V2~)

sur ~ x

~Vl~ao(~))12

(3.112) o~ ~(~) ao(Z)I2 ~ la ~o~

~ ~ b'~(~)~(~) ~(~,z)[2, ~ec

^

d~ i

= [1- ~(~- ~) f~ i=~ h

%(~,z)

(z . ~1. .~2)(~ . ~1

%)2~

(3.113) La r e n o r m a l i s a % i o n ( 3 . 1 1 1 ) a des p r o p r i d % 6 s ex%r~memen% d 6 s a g r 6 a b l e s .

On v 6 r i -

f i e que l a s 4 r i e co

a~(~)l,.

= ~o(~)

r

[(xv +xe%+xa%%(~)-l)%(~)]nl~

(3.114)

n=o

es% a n a l y t i q u e

elle

en h e% z pour

ne s a t i s f a i %

op6rateur lin4aire

ff < ~ fixe

plus h (3.56).

e%

[hi < p, Rez

mais

H~, e t on a quit%~ l e f o r m a l i s m e h a m i l % o n i e n . I1 y a une

m a n i f e s t a % i o n e n c o r e p l u s 6 c l a % a n t e de cet%e d i f f i c u l t Y . rdsolvante

< - 8(p,m,6),

Done R~(z)[ m n ' e s % p l u s l a r ~ s o l v a n t e d ' u n Si R ( z ) l 2 6 f a i r

d ' u n o p 6 r a t e u r a u t o a d j o i n % HJ 2 , sa mesure s p e c t r a l e

la

serai% donn4e

p a r [33J : (~, dE ( x ) ] 2 } )

=

w-lim

c$o

T = ~ £ 8 ao ® 51" b

1

[Ro(x-i~)I2-Roo(x+i~)[2}¢)

(~,

: $ x ~(~)[2

Hi2 Soi%

~

(3.115)

On ob%ien%

(~, dE (x)[ 2

%(~, x [ x-~

~)

=

lim ~ 1

~ d~[W(~)

12 x (3. 116)

x- i~)

~(~, x + i~)

- i~

x-~+ic

}

Pour x s

8(~- ~1- ~2 ) (~- ~1- ~2)(~- h - ~2 ~2

-> 0 (3.117)

-

et

devient a r b i t r a i r e m e n t

z = Xo(~)

< G(2),

si

grand

k ~ 0,

69

-

p o u r x ~ -~. Donc t

avec une contribution

(~,z)

darts

a un pSle

(3.116)

pour

~gale

f d2 Iw(~)l 2 S(x- ~o(~)) p(2)

(311s) 2 d2i 6(2-21-22) P(~) = ~(2)/2k2(~(2)- Xo(2)) ~ 1~ > 0 i=~ ~i (~o(~)- ~1- ~)~(~1 + ~ - ~(2)~ (3.ii8) est incompatible a v e c l a positivit~ de la mesure (T, dE (x)I2~). On dit que l'6tat correspondant est un "fantSme" [443 . La renormalisation (3.i10) est done incompatible avec la m~trique positive dans l'espace de Hilbert, et la fonction de Wightman associ~e ~ ( % , b(2) R (z)l 2 b~(2')~o) ne d~finit pas un produit scalaire. Notre

conclusion

est

que l ' o n

ne peut

pas associer

~ Y5 u n e d y n a m i -

que s a t i s f a i s a n t e .

Le m o d u l e Xs+ 1

:

nous 4

V(~ =

introduisons

l'interaction

avec

cut-off

d2i

(~ i?l'= ~/~i --~ 5 ( 2 1 + ~ 2 - P s - P 3 ) a * ( P l ) a * ( 2 2 )

a(p3) a(24)

(3.119) H ° + %V~ e s t singulier pri~tgs est

un hamiltonien

pour

~ ~ ~ et

que Y3 e t Y 4 '

bien

:

s > i.

tandis

connue pour

Th@or~me 3 . 1 0

de S c h r ~ d i n g e r

les

soit

avec un potentiel

Nous a l l o n s

voir

que X 3 a l e s

que X 4 v a p r d s e n t e r

potentiels

du t y p e

s = 2 , m 6 Z+ e t

R~(z)I m

=

~

I1 existe

et

est pro-

difficult~,qui s > i

un 6(p,m)

Ro(Z)(~V ff Ro(z))nl m

qui

m~mes b o n n e s

une nouvelle

Zi<j~6(~ i-~j)

p < ~.

s6parable,

[47].

< ~ tel

que

(3.120)

n=o

converge

d a n s B(~m) e t e s t

Rez < - 6 ( p , m ) existe

et

analytique e n k e t z e t c o n t i n u

0 ~ ~ ~ ~.

un op~rateur

(3.120)

auto-adjoint

R~o(z)

satisfait

Hi

sur R (z)

:

Im

aux relations 8 tel

en ~ pour lkl (3.54 ....

< p,

57).

que

(z - H l ) - i J ~

(3.121) =

p o u r Rez < - 6 ( p , m ) .

~-.(~)i~

1

I1

-

D~monstration

:

pour tout

c > 0, i l

7 0

-

existe

un C ( c ) < = t e l

que

da ~sup ,~

f~

[~(;_/2+K)

~(~2_K)~l*

(a.lee)

~/2 < C(~)

C'es% pourquoi IIRo(Z) ~ V % ( z l ~ [ m [ I < C(~) p o u r Rez ~ 0. Avec c e t t e

information

(~)

on p e u t r S p ~ t e r

(3.123)

la ddmonstration

du

th~orbme 3 . 4 .

CQFD Nous a l l o n s

4

v~~

R s ( z ) l 2 explicitement. Soit

calculer d~i

2

v~(~,z)

=

2 f

i?i

d~__!

~(~ ~2 -~)

~i

( z - ~ 1 - ~2 )

(~.i~4)

+

On o b t i e n t

%(~)[2

:

%(~)12 ~ ao(Z)l 2 + Ro(Z) %(~) Ro(~)l 2 4 x ~ U dai- 8(al +Re - ~a - a 4 ) ~ ( 1 ) ~ ( 2 ) 4 a ) ~ ( 4 ) % ( ~ l

+ ~2 '~)

i=l ~ i t~(~,z) L'int~raction

=

[i- i v ~ ( z , z ) ] -1

(3.125)

(H o + kV6) 12 c o r r e s p o n d h ce q u ' o n en a t t e n d

physiquement.

Pour

X > 0, T ~ ( z ) l 2 e s t h o l o m o r p h e p o u r z ~ [2m, ~) e t i l n ' y a p a s d ' ~ t a t

li~ pour

cette

des

interaction

z ( 2 ) < 2m t e l

r6pulsive.

Pour ~ < 0 et ~ s ~ il

existe

toujours

que

v~(~, ~(z~

= 1

(3.126)

c a r p o u r ~ = ~ e t z < 2m

v~(o,~)

et l'int~grale

diverge

logarithmiquement

~ q2

< o

en K = ~ p o u r z ~ 2m.

(3.12~)

71 -

Nous allons

construire

obtenir un autre hamiltonien

une transformation

de "dressing"

T~ pour

H~ sans recourir ~ la s4rie de Born pour Rg(z).

Soi% p > 0 et Vg

=

V'

Dans fD(p

f

on i n t ~ g r e

,~)

iT

V'p(:; + V"p~

=

dPi

5(~i + 2

2

-23 - 24)a*(1)a*(2)a(3)a(4 ) (3.128)

s u r ~ X~(2i) X(2(p3+ ~4 ) + p- ~ i - ~2 )"

dans ( 3 . 1 2 8 )

On a donc

(~I + P2- ~t3-~4 )-I -< C avee C < ~ et

I

m

Th4or~me

ind4pendant a un domaine

3.11

de ~i'

. .

p-~2 ~ ~i~

"'~4 . Pour tout m

dense dans ~

qui contient

m

(3.129)

i=l

6 Z+, F+(V ~ ~)Im E U

E>o

D(H

:) m

B(Sm)

•

pour tout k ° > O, m E Z + il existe un p(ko,m ) < ~ tel que

:

Tpo. 1m

=

71

( - k ) n F+(V~ff

. . .

F+(V~)...)]

m

(3.130)

n=o

T-iIm p~

=

E

kn F+(...

F+(V~)...

V~)l m

(3.131)

n=o

soient analytiques

en t pour Ikl < k O et c o n t i n u e s en p,~ pour p > p ( k o , m ) ,

0 g ~ ~ ~ dans B(~m). On a dans B(~m) lim

Tp~Im

=

p~

Tpo. lm T-t p~rlm et pour T £ D( H° )m

et

T-llmp~

lim

=

p~ =

n

(3.132)

Tpo. I m

(3.133)

0 ~ ff
0) e t A k + l . . .

s i A 1 . . . Ak

scalaire

Exercice T

.

Pour obtenir

r+(...r+(.A.k+l)...An)

(-i) k r+(A 1 ... r+(Ak)) .

(3.132).

et l'identit4

n

k=o

-

(3.140)

entratne

T-1

po" Ro'(")Im

=D(Ho)

(3.142)

m

pour ~ < ~

-1 a:(~)-n- xv,, = Tp:(~ p~ R:(~))l~

=

(3.143) et

les

termes

th4or&mes

h droite

3.6 et 3.7,

• . Theoreme 3.12

sont

des op~rateurs

nous obtenons

2 Im : soit Hp~

H~[m avec p > p(ko,m),

Ikl

0,

On v o i t

qu'en

(3.125)

avee

remplacd par fff(p,z,v).

P o u r Im z ~ 0 e t 0 ~ ~ ~ m R g ( z ) l 2 E B(~2) e i s a i i s f a i t aux r e l a 1 r e n ormalisd %ions ( 3 . 5 4 , . . . , 5 7 ) . I 1 e x i s t e doric u n h a m i l t o n i e n H~I 2 p o u r X 4 par

(3.101).

Mais l e s p e c t r e

du c h o i x du p o i n t

de H~I 2 d ~ p e n d d ' u n e

de s o u s % r a c t i o n

P o u r k < 0 e% z < v ( ~ ) , d'dtat

lid,

mais il

y a toujours

f a T o n %r~s s e n s i b l e

de k e%

v(p). % ~ ( £ , z ) ne p r o d u i % p a s de s i n g u l a r i t d un dtat

lid

pour v(~) < z < 2~(p/2),

IPl e%

-

k suffisamment tel

petit.

P o u r k > 0,

que k f ( £ , z ( ~ ) , 0 )

infdrieurement.

75

v(~)

= 1 e% l i m z ( £ )

Cependant,

-

= 0 et tout

~ 6 R 3, i l

= - ~. Dans ce c a s H~I

p o u r k > 0 e% v ( ~ )

= ~(~),

il

existe

un z ( ~ )

n'est

2

existe

pas born6

un C = C ( ~ ) - C. La difference entre les deux soustractions est conventionnellement appel~e une "renormalisation finie". On voit qu'une telle op4ration peut changer violemment le spectre de l'hamiltonien renormalis4

! 0bservez que

pour I > O, D(W~(l,O) - W~(k,v)) = [O] pour ~ fini et suffisamment grand.

La renormalisation

(3.150) est appel4e une "renormalisation de

charge". La "fonction ~ quatre points"

(~o,a(21)a(22)[(zes% p o u r g < ~, Le p o s t u l a %

z f

(£ = ~i + ~ 2 )

H ° - hV6) - 1 - R o ( z ) J a * ( 2 3 ) a * ( 2 4 ) ~ o

[ 2 ~ ( p / 2 ) , ~) une f o n c t i o n

que p o u r z = v ( ~ )

(~o,a(~l)a(~2)

cette

Ro(Z ) ~ V

fonction

(3.£50).

champs e s t

comme v a l e u r

certain

point

hors

du s u p p o r t

sens physique

car

Green par

formules

les

61ectrique formule

d4finie

les

singulier.

amplitudes

de Thompson r e s t e

d'une

~ chaque

fonction

es% d 4 f i n i e ordre

en k

(3.i53)

~o )

en t h ~ o r i e

son% l i 6 e s

de k = 0.

comme s ~ r i e

Une % e l l e d 6 f i n i t i o n

de LSZ ( 6 . 1 8 1 ) .

quantique

exacte

a*(~4)

(3.152)

en k a u t o u r

identique

Une c h a r g e


de r ~ d u c t i o n

en 4 1 e c t r o d y n a m i q u e

est

Ro(Z ) a * ( ~ 3 )

nous amine ~ la renormalisation gdn4ralement

analytique

)

quantique

des

de G r e e n en un peu% a v o i r

aux f o n c t i o n s

Par exemple,

un

de

la charge

de % e l l e f a ? o n que l a

de l a s 6 r i e

des perturbations.

Dans les sec%eurs ~m' m > 2, le modele X 4 pr~sente la difficult6 que t o u s l e s

graphes de la s4rie de Neumann ou de la transformation de "dres-

sing" (3.130) sont bien d~finis,

sans que l'on puisse d~montrer la convergence

des s~ries.

D'abord, pour ~ assez petit, e% - Rez suffisamment grand, on v6rifie que

z m

=

n=o

z n=o

n

Ro(Z)(T~(Z)Ro(Z))ren consiste en t o u s l e s graphes

(3.154)

76 -

G~(n,j,z)

:

Ro(z ) T~(z) J

de R o ( Z ) ( T ( ~ ( Z ) R o ( z ) ) n

o{1 a u c u n e p a i r e

: J~2' .. "'Jn-l,n

con%rac%4e

Th~or~me 3.13 ~(~) ~(~))

:

....... iv

Tff(Z)Ro(Z )

(3.155)

J~

de To.(z ) a d j a c e n % s n ' e s % doublemen%

< 2.

p o u r Im z ~ O, ou Re z s u f f i s a m m e n t

peti~

( p o u r k > O,

=

[[%(n,j,z)~[] e% G d ( n , j , z ) l

-

(v

2 ;~'~

v~ll

(vOl)

.

Fig.

Soit

1 ,3

3

=

20 01 V~ + V~

-

=

(v~O)*

4.1

est une interaction de Lee, qui ne requier% aucun cut-off spatial.

g v0i(1)p ~(V~0(1))'O o =

Alors Ho +V 0(i) + Vd (i) + M6 se comporte comme

i ii vlO le module Y4" Ho + V~ + ~ est un mod~le cut-off

21

(~ ~ ~, g ~ i). V~

polarise

00

+ Vd

"persistant"

es% la contribution

qui n'exige aucun

la plus singuli~re,

le vide et requiert une renormalisation de masse et d'4nergie

Pour rester formellement dans le cadre des hamiltoniens

qui

infinie.

Ioeaux (pour ~ ~ ~)

nous cherehons des contre-termes

(4.17)

1

avec md, ed 6 R ~ Le th6or~me s u i v a n t r e p o s e e s s e n t i e l l e m e n t [2s]

sur les idles

,

Th~or~me 4.2

:

il existe une famille

pq de t r a n s f o r m a t i o n s

de d r e s s i n g ,

0 ~ ~ K ~, p E Z+, avec

T

: ~ ~ 8

p6

s-

lim

T

s-lim~p~ p .., co

I1 e x i s t e

une r e n o r m a l i s a t i o n

( 4 . 1 7 ) e t mg, e~ c r o i s s a n t

~

inversible

=

~

=

~

~

(4.18) (~ ~ ~)

(4.19)

(~ e g )

(4.20)

Ha = Ho + V ~ + M~+ Ed, avec M~, E~ de l a forme

v e r s +~ pour ~

tel

que

de

-

83

-

^

s - lim H ~

existe

~

pour ~ E ~ e t p 6Z+. La f e r m e t u r e

dans ~. H

e s t un o p S r a t e u r l i n ~ a i r e

=

H

(4.21)

T

lin~aire

D(H ) de U T p ~

s u r D(II ), s y m 6 t r i q u e ,

e s t dense

r 6 e l e t born~ i n -

D(%) n D(Ho) = {0}.

f~rieurement. D~monstration

:

l'op~rateur V ~,,

a son d o m a i n e

~ dans

V aiO + VOi a + V00

=

~ p o u r ~ ~ ~ • Soit V 6' = V

(4.22)

" Alors - V6.

^

Noyau

de F(V~ 1)

=

g ( ~ l +~2 +~3 ) S ( - ~ 2 ' - ~ 3 )

(4.23)

%~i(~i + ~2 + ~3) ^

Noyau de F(V~ 0)

=

g(~2 + ~ 3 - ~ 1 ) S ( - ~ 2 ' - ~ 3

)

(4.24)

Noyau de F(V~I) = g(~l+~2-~3) T(-~2' -~3)

(4.25)

Z~i(~i+ ~2) Pour routes

Lemme 4 . 3

les e s t i m a t i o n s ,

:

le lemme

soient f : ~sn

suivant

est tr~s u t i l e

~ ~ e t g : ms ~ {

c o n t i n u e s p a r morceaux avec C(.

m

If(k_i

.....

~)I

~c ~

i=i

:

(i + l~-il) (4.26)

I~(E)I ~ o~ ~i = Z j =n I d i j k j , d < ~ t e l l e que

d.xj E B.

c(i

+ l k l ) -a

Si a > s + E l a i l , i l e x i s t e

m

une c o n s t a n t e

C¢.

I f ~-i g(k-i) ~(~i . . . . . N)l -< d 7V (i + rzil) i i=i avec Yi

=z

(4.27)

n j=2 d i j k j .

Ce lemme, dent la d ~ m o n s t r a t i o n s e r a rel~gu~e ~ l ' a p p e n d i c e , permet dans l e s e s t i m a t i o n s 8(k). Puisque

ISl

~ 2 et

de t r a i t e r

les cut-offs

ITt ~ 4, l e s noyaux ( 4 . 2 3 ) ,

nous

g ( k ) n comme des ~ o n c t i o n s (4.24) et (4.25)

sont

-

d a n s L 2. Chaque p u i s s a n c e D'abord, lettes,

c'est-~-dire

84

de F(V~) e s t

nous allons

isoler

d a n s une s ~ r i e

alors

ddfinie

formellement

s u r ~. les

en puissances

divergences

ultravio-

de g. Nous d ~ f i n i s s o n s

co

Ta

=

E

Trig , Toa

=

1

n=o Tn~ = La r e l a t i o n

(1.39),

Hor(W )

=

(4.2S)

(-i) n r(v~ ... r(v~)) W + :r(W)Ho:

(Ho+V~) % Pour T E 2~, T~p et :TgHo:

a

(i,j

:nombre

4.5

sera

termes,

=

2 Z

pour cf - ~. Par contre,

i r. V" r ( v - . , ,

i=o

j=o

r(v~))

(4.3o)

a..~.~. ~

1,J

et bosons contractds).

Une c o n s g q u e n c e du t h d o r ~ m e

les termes avec i = 2 divergent

p o u r ~ ~ ~ e t que, p o u r c e s

differences

v~ r(v} r(v~ ... r ( v } ) ) . . . )

~ - v~ r(v~) r(v~ ... r(v~))~

2,j convergent

(4.29)

dangereuses

"

de f e r m i o n s

que s e u l s

les

r(V~))

que

"%~o"

=

cp n'ont pas de divergence

II darts VC~ T d £I y a des contractions

V" r(v~ ..

implique

fortement

(4.31)

2,j p o u r a - ~, ~ E ~. Nous o b t e n o n s

2,1

2,0

a v e c sff de ' b o n n e a p p a r e n c e " 3

4

v°°r(v21 )

v ° l r ( v 20 )

2,1

2,0 Fig.

4.2

(4.32)

-

85

ehoisissons E~ : V600 F(Va21 1, q u i e s t de l a forme ( 4 . i 7 1 p o u r g / 0.

Nous

2,i

v~ir(v~ 0) ( v o i r f i g . 4 . 2 ) est de l a forme 2,0 2

dp i

(4.33)

~*(~i)~(~2)%(~i,~2)

cr

4

2s("3'"4 )2 ~(P3 + P4 - P2) ~("l - ~3 - P4)

%(~i,~2) P

2s(~ f

dpdq

D(~)

a v e c D((~) = { ( P , t t ) : r e rme ~ I

+

~, ~ - ~)2 ~(~l - P) ~("- ~2) (4.34)

~(~÷~) + ~ ( ~ )

I p +_ KI < ~}- Avec Glimm, nous i n t r o d u i s o n s

le confre-

ave c

(4.35)

2~(a)

Lemme

4.4

:

p o u r chaque c > 0 e t N < ~, i l

existe

une c o n s t a n t e

C = C(c,N)

telle que If6(~i , -~2 ) -m6(g ~ g)(~l ÷a2)l

~ c ( l ÷ la 1÷~21) -~

~i~2 ~ ~ (4.36)

( D ~ m o n s t r a t i o n dans l ' a p p e n d i c e ) . Du lemme 4 . 4 e t des e s t i m a t i o n s

analogues pour les autres

termes,

on d ~ d u i t que MC~

(vO0 + v~O1 ) r(v 2t + v2°~

=

fia

(4.37)

2,0 est

l a somme de trois

op~rateurs

2

(~ j=l

d~j 8i(~i,~ 2) a*(-~l)...a*(-~i) a(~i÷l)...a(~2) (4.38)

-

-

satisfait

( i = 0 , 1 , 2 ) , o~ 8 i ( ~ 1 , ~ 2 ) ~ 1 ~ 2 5. e s t donc L 2. 1 Nous allons maintenant :HoTg:~,

86

h une estimation

4tudier le comportement

comme ( 4 . 3 6 ) .

de T ~ ,

Sg~ pour ~ £ ~ et ~ - ~. Pour nos besoins ult6rieurs,

A6Tg~, nous choisis-

sons un cadre un peu plus g~n~ral.

Tout g r a p h e de T~n T~n , T*~n A~A~T~n' T~n V~~ V6 T~n , n = 0 , 1 , 2 , . . . , est appel4 admissible.

Certains

~ ~. Soit 8 > 0 arbi%raire,

5-r4gularis~, criptions

(a)

(b),

(e),

(d)

(b)

(e)

P o u r une c o n t r a c t i o n

selon les pres-

p a r un f a c t e u r

V~ V~ ( v a r i a b l e

V~- Vcy

de c e s l i g n e s

: ~1,£2 )

du t y p e de l a f i g .

(variables

P o u r routes les autres contractions

Le th~or~me s u i v a n t

4.5

de Glimm e s t

de e e s l i g n e s

4 . 3 un

:

£i,£2,~3 )

:

p a r un facteur 1.

f o n d a m e n t a l p o u r une r e n o r m a l i s a -

en %h4orie d e s h a m i l t o n i e n s

locaux :

pour tout 5 > 0, il existe des eonstantes K = K(5) < ~,

L = L(8) > 0, tel que tout graphe Gg admissible

et 6-r~gularis4

d'ordre n

p o u r tout 0 ~ s ~ L, 0 ~ ~ ~ ~

satisfasse

II ~

~1+c

f

c [g~[. inTT ~ ~jl[2 ~ K n

(4.39)

ex%

Remarque sation.

: ~ ext

g~ est e%

~

l e n o y a u de Gg sous l a forme ( 1 . 2 3 ) portent

sur routes

les lignes

5 e t g~ s a 6 - r 6 g u l a r i -

ext~rieures

e% i n t ~ r i e u r e s

int

de G~, l'int4gration

darts (4.39) porte sur les variables

norme L 2 sur les variables

ext6rieures.

et

(~1 + ~2 ) - 8 .

(~1 + ~2 + ~3 ) - 1 - 6 "

tion non-formelle Th4or~me

:pl,P2)

(~1 + g2 ) - 8 e% p o u r une c o n t r a c t i o n

p a r un f a e t e u r

est appel~

de f e r m i o n d o u b l e e n t r e un sommet V

de c e s l i g n e s

Pour une c o n t r a c t i o n

p a r un f a c t e u r -6 f a c t e u r ~1 "

est multipli~

pour

:

P o u r ehaque c o n t r a c t i o n

un sommet T(V~) # ( v a r i a b l e s

sont divergents

mais fixe. Un graphe admissible

s i son n o y a u ( s o u s forme ( 1 . 2 3 ) )

(a),

(d)

graphes de T~n V~V~Tgn

int4rieures

et la

87

Avant la d4monstration,

-

nous allons appliquer le th6or%me 4.5 pour

v4rifier qu'apr~s la renormalisation de (4.32) T ~ formelles bien d4finies pour g ~ m. En utilisant le fait qne les variables de H

et H g T ~

sont des s~ries

l'in6gali%4 de Sehwarz

et

dans :HoT~: ~ n'op~rent que sur 9, il ne resO

tent que des termes

jIT~n ~112, IIA~~n ~112 ItV~ F (V! . . . O

F(v~))~II 2

(i,j)

~ (2,1),(2.0)

(4.40)

i,j

IIv~,, r~f(v~, r(v~...))9 - v ~,, )r c v , 2,j

r(v~.

..

)~li 2

2,j

Pour T £ ~ e t chaque graphe G~, i l e x i s t e une c o n s t a n t e C = C(~) < ~, t e l 1(9, G~ 9)]

< CII ~ [ ext

-I

gi

f Ig~l

II2

que

(4.41)

D'apr~s le th$or~me 4.5, les trois premiers termes de (4.40) n'exigent aucune r~gularisation et (4.41) reste fini pour ~ ~ ~. Dens le dernier terme la r4gularisation provient d'une estimation de la diffSrenee

B5

I 1 A+B

&l ~ Al+5 A

(4.42)

oh A est la somme des 4nergies des particules cr64es au premier sommet ~ gauche V~ et B la somme des ~nergies des particules er~4es ant~rieurement et pas encore annihil4es.

Si ~ > 0 est suffisamment petit,

le faeteur B 5 peut ~tre

absorb4 par la d4eroissanee des noyaux des sommets a droite.

D ~ m o n s t r a t i o n du th~or~me 4 . 5

:

s o i t G u n graphe de noyau g. Pour s i m p l i f i e r

une e s t i m a t i o n

II f Igl II2 I(G) oh 1 ( 6 ) ,

domaine des v a r i a b l e s

intgrieures

de G, e s t un e s p a c e ~ t r ~ s grande

d i m e n s i o n , nous d~composons G en une u n i o n d i s j o i n t e (caract~ris~e par ~iJ1 gi' H., on a 1

p a r une p a r t i t i o n

(4.43)

de s o u s - g r a p h e s H1,...,Hj

des sommets de G). Si Igl p e u t ~ t r e major~

oh l e s gi ne d4pendent que des v a r i a b l e s

des l i g n e s a t t a c h ~ e s

-

8 8

-

J IIf Ig[ I]2 i(~) lei I(H~)~ ..... I(H.)] es% le domaine ex%(G)

ou ex%(Hi)

ext(. i)

~ T~ [ I f gill2 i=l i(Hi ) des variables

int6rieures

(4.44)

~ H i ..... Hj e%

d6no%e une norme L2 par rappor% aux variables

ex%6rieures

G ou H.. 1 Car

ext(G)

e t(G)

I(G)

ex*(G)

I(6)/UI(Hi ) i i(Hi )

I(G)/UI(Hi )

i i(Hi ) (4.45)

d'apr~s

l'in6gali%6

%riangulaire.

La droi%e de (4.45) es% major6e

par la

droi%e de (4.44) en u%ilisan%

I[ ]-[

;

ext(G) gi][ 2

=

i i(.i ) e% l'in6galit6

ext(G) gill2

~ll

~

i

i(.i )

(4.46)

de Schwarz.

L ' i n 6 g a l i % 4 ( 4 . 4 4 ) d6mon~re le th6or~me 4.5 pour un graphe G de T*gm T~n ou de T*~m A~ A6 Tgn. Car on peu% a l o r s d6composer G en une union de s o u s g r a p h e s r 6 d u i t s ~ un somme%. Le noyau g~ s e r a major6 par ~ f g i ' oh l e s gi son% des noyaux de F(V~) # ou At, oh l ' o n ome% dans l e s dSnominateurs l e s 6 n e r g i e s des p a r t i c u l e s c r 6 4 e s ant~rieuremen% e t pas e n c o r e a n n i h i l 4 e s . D ' a p r ~ s (4.23),

(4.24),

(4.25) e% (4.38) ces noyaux res%en% dans L 2 si on les mul%i-

plie par ~ g~, avee ~ < 1/6. ex% Sol% G u n

graphe

r6gularis~

de T* v ~

•

. Nous allons d6%erminer un

• Vd e% au plus deux somme% du %ype sousgraphe HI, qui con%iendra V~,

A

=

F(V') #

(4.47)

G s e r a d6coup6 en Hi, H 2 , . . . , H j , oh l e s Hi, i a ~ son% des somme%s du type A, e% l e s gi des noyaux du t y p e ( 4 . 2 3 , . . . 2 5 ) m u l t i p l i 6 s par T]- p+x 1

x

=

:l./12

gl = glg sera le noyau de H 1 (apr~s simplifica%ion

(4.48) des d4nomina%eurs

d'4nergiQ

-

89

-

multipli4 par ~-X pour chaque ligne ext~rieure -i par ~ , si cette ligne est ext4rieure ~ G.

~ HI, mais

~ G, et

int~rieure

2 ~ i ~ j, a l o r s

Si

II 77 ~j×+~ gi I 2 < ~

(4.49)

ext

p o u r tout O ~ ¢ ~ e 1 et 0 < e I < X. Nous allons 0 < L

~ ¢1'

et

tel

que p o u r t o u t

ext Puisque

-I+~

l e n o m b r e de s o u s g r a p h e s

deux

sommets

ment

le th4oreme

i?t

form,s

de type A est fini,

d6terminer

~(0 ~ ¢ ~ L) e t

tout

~(0

un L v4rifiant ~ ~ ~ ~)

c

(4.50)

a v e c d e u x s o m m e t s de t y p e V e t

de (4.49) et de (4.50)

on obtiendra

4.5.

Toutes

les difficult4s

V. Les contractions

de fermions

suivante

:

Distance

entre V * et V

=

proviennent

des lignes de fermions

dans T~g VgVgTn~re sont class~es

z~ro

: V

V

V

V

A

(A)

V

V

A

E

V

(D)

Distance

entre V * et V

v

A

(c)

(B)

V

A

E

V

=

V

E

V

E

(F)

(E)

un

[A

l

A~

"V (G)

t

:

J

m

V

A

V

A

(H)

V

A

(~)

de V* et

de la mani~re

V

A

au p l u s directe-

-

Distance

entre V * et V > un

A

V

Get

A

E

V

A

E

V

(K)

,--- p e u t 6 t r e

attach~

-

:

(J) Une l i g n e

90

intdrieure

(L)

h Get

attach6e

i un sommet E ( m u l t i p l i c a t i o n

t y p e A ou V, une l i g n e

de b o s o n e s t

E

~ un sommet A ou e x t S r i e u r e

avec b-l).

attach6e

A chaque sommet du

avec des contractions

intdrieures

possibles. Nous c o n s i d d r o n s Ici

les

lignes

ext~rieures

de f e r m i o n s e x t ~ r i e u r e s

d'abord

les diagrammes (A),

sont des lignes

(B),

(C),

(F) et

de b o s o n s a v e c un f a c t e u r

h G a v e c un f a c t e u r

-i

~ ~-~-X

m-~+X

TT ~¢2-× ~ L2

suffit

de v d r i f i e r

que l ' i n t 6 g r a t i o n

boson int6rieur

un f a c t e u r

r6gularisations

fournissent

p

sur les variables

supplSmentaire.

Le c a s de l a F i g .

intdrieures g(E ± k i ) ,

e t chaque sommet A un d 4 n o m i n a t e u r

darts l e s c a s ( a ) , 4.3 est

V

on

(4.51)

u n i f o rmdment p o u r ff s ~. Or, chaque sommet p o r t e un f a c t e u r --1

~-~-×

Puisque

ext il

(G).

(b),

typique

( c ) un f a c t e u r

converge chaque

(Ep.)-l.

Les

(Ep~)_8(_l)1

:

V f

A

F i g . 4.3

Ici A est n6cessairement

4gal ~ F(V~I) # et fournit

un d ~ n o m i n a t e u r

(~2 + P3 + ~4 ) - 1 " Une r ~ g u l a r i s a t i o n

du t y p e (b) f o u r n i t

une m a j o r a t i o n

on o b t i e n t

triviale

de ( 4 . 1 5 ) ,

un f a c t e u r

p~8. A p r ~ s

4

0 et ( 2 + 8 ) ( 1 - ~ ) > 2.

(C),

(F) e t

(G), i l

faut tenir

compte de l ' o r d r e

qui implique que routes les variables

raissent dans its d~nominateurs

des

critiques appa-

des A.

Si plus d'une ligne de fermion est extdrieure

~ H 1 et intdrieure ~G,

le facteur ~-X seul ns suffi% pas pour ob%enir un noyau r4duit dans L 2. En ^

utilisan% une variante du lemme 4.3, le produit ~ g(E~k?+-i E +)~impulsions

int4rieures

et ext~rieures

~ H I au sommet s) peut ~tre remplac4 par

(7

+

La c o n s e r v a t i o n a p p r o x i m a t i v e de l ' i m p u l s i o n , sauce r a p i d e dans l a v a r i a b l e Les g r a p h e s

(D) e t

ext~rieure (J)

g(E ~ i ) ,

p r o d u i t une d 4 c r o i s -

Z± ~ i .

s o n t t y p i q u e s du comportement d ~ s a g r d a b l e de

deux lignes de fermions ext~rieures.

2

A

(k~,~js :

Dans (J) (voir Fig. 4.4)

3

6

4

7

V

A

Fig. 4.4

les lignes

1 e t 5 ne s o n t pas c o n t r a c t d e s

l a d i s t a n c e e n t r e V* e¢ V e s t

avec l e deuxi~me sommet V, p u i s q u e

~ 2. Soi¢ H l e

s o u s g r a p h e composd de V avec l e

sonnnet A h g a u c h e . Si l e s l i g n e s 2 e t 3 ne s o n t pas c o n t r a e t d e s , H est

l e n o y a u de

( d ' a p r ~ s l e lemme 4 . 3 ) major~ p a r

)(~2%)_f2_x(

dr6

-< C~ g ( l + 2+ 3 - 7)(~2~3)-¢2-X(~l~7)-×rt~l+2~-i + ~3-7~-1] donc L2 p o u r ~ > 0 suffisammen% p e t i t .

Si l e s l i g n e s 2 e t 3 s o n t c o n t r a c t ~ e s ,

il faut identifier ~2 et ~3 dans (4.54) et multiplier grer sur £2" En utilisant

la majoration

(4.54)

(4.54) par ~ X

et int4-

-

f

92

-

c~ ~(!) ~-8

d~

-~ ~ ( ~ ) ~ ( ~ _ !) 6

(4.55)

( v a l a b l e pour 5 ~ 1 e t ~ > O) on obtien% au l i e u de ( 4 . 5 4 ) un noyau L 2

(4.56)

+

Pour le deuxibme E-V Het

- ou - A - V -

sommet V, on peut trouver un sousgraphe H' analogue de type . Nous posons H 1 = H U H ' .

H' ne sont pas contraet~es,

gl de H 1 est dans L 2. Autrement,

Si les lignes de boson ext~rieures

(4.54) et (4.56) montrent hies que le noyau

il fau% r~p6ter l'argument qui menait de

(4.54) ~ (4.57). Si les deux sommets V satisfont a (J), (K) ou (L), on peut toujours trouver un sousgraphe H 1 ~ noyau r~dnit L2, qui eontien% les deux V et au m a x i m u m deux sommets du type A. Finalement

2

3

7

A

(D) a la forme de la Fig. 4.5

4

8

V

V

5

9

A

Fig. 4.5

Si les lignes I,... 6 sont ~ t ~ r i e u r e s ,

on obtien% apr~s une int4gration sur

7, 8, 9 un noyau du type

O, e t

t i o n donne Jn

-

a p r ~ s k i. n t e,g r a t i o. n s

on o b t i e n t

E~i=l ~i Jn ~ dk n

Lemme 4 . 6

:

, dk > 0

(4.63)

pour t o u t 0 s d s ~, p E Z+, ~ E • l a s g r i e ca

E

=

Tnpcr ~

Tpo" ~

(4.64)

n = o

converge et d~finit

Tpd : ~ ~ 5" Pour ~ E

un o p ~ r a t e u r i n v e r s i b l e ^

s

iim

-

Tpd ~

=

~

(4.65)

u n i f o r m ~ m e n t p o u r 0 s d s ~. DSmonstration

:

nous a l l o n s

e s t i m e r pour ~ E ~, m + n ~ 1

(~, Tmpd*

^ ~) Tnp~

=

(~, Z Gpd ~)

^

b ~ Z Gpd s ' ~ t e n d

sur tousles

^

g r a p h e s de Tmp~

Comme dans ( 4 . 4 1 ) il e x i s t e

Tnp d.

c o n s t a n t e C(~) < ~, tel que

une

f Igp lll=

c( )II TT ext

Le n o y a u gpd de Gpd e s t t r o n q u $ s e l o n ( 4 . 6 1 ) . rieure

En s o r t a n t

=

(4.67)

D'apr~s (4.62),

pour l e k(b)max au b-i~me sommet (de d r o i t e )

k ( b ) > 2 dbl"~ max

(4.66)

la borne infg-

de TnpcY s a t i s f a i t

k (b) max ]min

(4.68)

et T

une p u i s s a n c e ( k m a x l m i n ) - ~ pour chaque sommet de ^Tm~~ I

obtient

npd

pour 4c = L -l+4e II]7 i I 1% I I12 JI]7 i ext ext

4~

-

T-~ e x p ( - c ( m~ dal_ T + a=l

T-~ nE dbl_ T + p ) l n 2 ) b=l

Ig Iil2 x

"

i-~ 1-,~ Km+n i-~ I-~) s exp[-×(p+m + n } (4.69)

o~ X = X(~) > 0 e s t i n d ~ p e n d a n t de God. Nous c h o i s i s s o n s a ~ (1- ~)/(1-

0 < ~ < T

x) > 1. Le nombre de g r a p h e s Gpff d ' o r d r e m+ n e s t

et

born~ par

on

95

[3(m+n)]!

-

Alors

~mpd* Tnp d @)1 g C ( 9 ) K m + n [ 3 ( m +

I(~,

est rapidement

ddcroissant

avec m e t

La b o r n e supdrieure

n)] ! exp[-x(P

n, et sommable

(4.70)

+m~ + n a ) }

sur m e t

n.

( u n i f o r m e en 6 p o u r 0 ~ a ~ ~) e t l a

^

continuit4

vertible,

(4.70)

^

forte de Tnpa~ e n d

et p impliquent

(4.64) et (4.65). Tpd est in-

car

pd

:

1 + S

(4.71)

pd

^

oh S pd augmente l e nombre des p a r t i c u l e s . On observe que T > 0 est suffisan% pour le lemme 4.6. Si l'on remplaee^V~ par IV~, la cons%ante K dans le th4oreme 4.5 es% remplae~ par IkIK. Done Tp~(~)

est une fonction enti~re en k. (4.65) implique que D(H ), ferme-

ture lin4aire de U T p ~ ,

est dense dans ~ e% par consequent,

Le lemme suivant montre que la restriction

dans 5.

0 < x < i n'a pas 4td

trop forte e% quTil existe un domaine pour H~ dans la limite ff ~ m.

Lemme 4.7

:

pour ~ 6 ~, p 6 Z

s-lira (Ho+V~) Tp0. ~ s-lira

(v~+%+%){

(4.72) (4.73)

-

existent.

D6monstration

:

soit ~ E 2D, p E Z+, d
0. C'es% pouri=l quoi Ik(n) max I2 pout ~tre m a j o r 4 p a r n-1

C~ < 4.2

~ 2

Ji

2 i=l

n-i

(iax)l~

-< d~ i=~l.= ]k

(4.77)

avec d~] < ~. Donc pour ~ > 0 suffisamment petit, on peu~ dans l a r d g i o n d'int4-

gration de (4"74)'2extraire( 7 des d~nominateurs de F(V...F(V)) un facteur r~gularisateur k "n" pour V~. L appllcatlon des theoreme 4.5 et 4.6 demontre max

(4.72/. Dans ( 4 . 7 3 ) ,

un t e n n e t y p i q u e e s t

(V~ 1 +m~ f d, ~+~)~ D'abord,

(4.78)

(,)g2(~))~p~

A6 & noyau L2, on peut r e m p l a c e r 01 F(V - 21 + V~20 ). De m~me, la difference par V ~..~.~ 2,0

modulo un o p ~ r a t e u r

-- ~ + ~ ( ~ ) ~ ( ~ ) g 2 ( ~ ) m~ ~ dx

V Ol~ ~ nV ~^

(Jn) r ( . . . V ~ (Jl)1)~ - V ~ I ~ v ~ J n

2,0

) ) r ( . . . V ~ (Jl) )~

2,0

e s t une r 4 g u l a r i s a t i o n

d'apr&s (4.42).

I1 r e s t e

(4.79)

comme terme d a n g e r e u x

V~01 (-i)n . E p . F(V~(Jn) ) F(v(Jn-I)... F(V~(Jl) ))~ (4.80) _

vOi(i)

n

~ J n

; =°

Ep

2,0 qui e s t r 4 g u l a r i s 4

. (Jn)-

r~v~ J i "" Jn_fl!~.-I

par (4.75).

(Jn I ) ) r(v~ - . . .

(J*) r(v~ ))~

-

Chaque ~

97

~ D(Hoo) p e u t S t r e

-

reprSsent$

comme

k Z Tp(i) d ~i' i=1 ^

¢~ Nous a i m e r i o n s

=

¢d'

s-lim

d~finir

H

un op~rateur

c h a q u e ~a de l a forme 9 ~ Z+. A l o r s

=

¢~

=

lin~aire

(4.81)

la sym~trie

H

=

= 0,

est

Th~or~me 4 . 8 il

d ~ m o n t r e r que p o u r

sg-~lim~ Hd~ d = 0. S o i t

0 ~ ~ et

de Hg, d < ~ i m p l i q u e

O,

s-

lim H¢ ¢¢) =

l i m (~dTpd0 ,

( l i m Hff Tpde , l i m 6d ) d ~ d~

r~el

et sym~trique

=

¢~)

0

s u r D(H ) . Le f a i r

m6me a p r ~ s une r e n o r m a l i s a ~ i o n

61imm en u t i l i s a n t

b E ~

faut

(4.83)

{Tp e, 0 E ~, p E z+} s o n t d e n s e s d a n s ~, on o b b i e n t

H rieurement,

(4.82)

: D(H ) ~ ~ i l

l i m (Tp 9, H ~ )

les

(4.81)

s - l i m Hd Cd

avec ~

(Tp~

Puisque

~i ~ ~

s u r D(H ) p a r H

Pour obtenir

¢d

des techniques

tr~s

que H

de m a s s e f i n i e ,

diff~rentes

soit

soit

NT = Y dk ~ T ( a * a + b ~ b ) e t T < 1. P o u r t o u t

unc

= c(a,b)

-
0 W(~,al¢ 1+ a2¢25 D4monstration

[

facilement

T ~ est v r a i m e n t

que


w--(EVY pour

~ # 0

alW(~,~l)

=

+

la commutativitd une

:

troncation

(4.107 5

a2W(~,¢ 2)

des F ( v ~ i S ) ,

de

(4.925

i E 5+, on voi%

:

n=o

^

%n . o~ l a sommation s ' 4 t e n d j E Z+ a p p a r a i s s e

(-1)n z' r(v~ jl)) .

n!

.

sur t o u t e s

.

les suites

r(v

(in5

)

(j 1 . . . . . jn ) E ~+ t e l l e s

(4.108) que

au p l u s j l o i s .

L ' a s p e c t nouveau du th~or~me 4.10 e s t le f a c t e u r e x p - A5 avec h l o g a r i t h m i q u e m e n t d i v e r g e n t . C e t t e r e n o r m a l i s a t i o n de f o n c t i o n d ' o n d e e s t de l a forme ( 4 . 1 0 5 , c a r exp h e s t l a somme de t o u s l e s t e r m e s d i v e r g e n t s de

103 -

Z(V 0 + MO)-I. Chaque graphe de (To~ , Tg~) e s t au p l u s l o g a r i t h m i q u e m e n t

diver-

g e n t pour 0 4 ~, e t s e r a annul~ par e x p - A 0. La d ~ m o n s t r a t i o n de la nontrivialit~

de W(~,~) r e q u i e r t

a v a n t de p a s s e r ~ la l i m i t e

donc une sommation p a r t i e l l e

infinie

de g r a p h e s

a ~ ~. ^

~

S o i t 6 . _ un graphe de T j Jo

..,

o~m*j !

avee e x a e t e m e n t j eomposantes A

^

T_,

.\ ( d i t

okn+j!

"d'ordre

(m+j, n + j ) " )

(voir Fig. 4.7)

A

F i g . 4.7

Le s o u s g r a p h e Goo , le eompl~ment des eomposante AO, e s t a p p e l g le s q u e l e t t e de 6 j ~ . Pour ehaque s q u e l e t t e somme p a r t i e l l e

sur tousles

600 de noyau g o o ( p ) , nous a l l o n s

g r a p h e s GjO de s q u e l e t t e

noyau de 6j~ avec p l e s v a r i a b l e s

calculer

la

6o0. S o i t g j O ( p , q ) le

des l i g n e s dans 6o0 e t q ceux des compo-

s a n t e s A. S o i t

J gja(p,q) dq

(4.109)

h le noyau p a r ~ i e l l e m e n t

r d d u i t de Gja , apr~s l ' i n t ~ g r a t i o n

sur l e s v a r i a b l e s

des h. S o i t go~(p ) le noyau ZGjd e x p - h a apr~s l ' i n t d g r a t i o n

sur les variables

des h. Lemme 4.11

:

pour ehaque s q u e l e t t e goo(p)

=

Go~ , ~ < ~,

exp(-Ao)[goa(p ) +

Z f gjO(p,q)dq] j>o a

oo

J=o avee ha(J)

=

4! 117 v(J)ll 2 e t t ( j , p ) d ~ t e r m i n ~

par ( 4 . 1 1 3 ) .

(4.11o)

-

D~monstration

un s q u e l e t t e

:

Go~

104

-

Gog d ' o r d r e

(m,n)

(_i) m+n m! n! ( F ( V 4 ) * ' ' ' F ( V 4 ) *

=

impulsions

p de r o u t e s

les

a,b,c..,

lignes

de l a f o r m e

F(V4)'''F(V4))

a

a v e c un schema de c o n t r a c t i o n s

est

b

sans

tronqu~

e

composante

(4.111)

h.

Si l ' o n

de Gog , l e n o y a u g o a ( p ) e s t

fixe

identique

les au

n o y a u de

(._1)m+n m: n:

(i I) ,~

(i m)

(F(V ¢y ) ~ . . . ~ a

a v e c l e m~me c h o i x fonction

de v a r i a b l e s .

de p. P o u r c h a q u e

(Jl)

0"~ b

Bien entendu,

j E Z+,

soit

r(j,p)

Your p fix~,

t(j,p)

=

= j presque

Gig avec squelette

(il,...im,Jl,...jn)

est

i m iden-

toujours.

calculer

la

(4. i13)

de sommer t o u s l e s somme de t o u s l e s

graphes graphes

de

co

#

j =o

(4.112)

une

~ j, et

Au l i e u

oo

ont

(4.112)

j-max{r(j,p),s(j,p)}

Go~ , n o u s a l l o n s

exp(qui

c

))

l e nombre d e s i 1 7 " ' '

tiques A j, s(j,p) celui des jl,...jn identique t(j,p)

(Jn)

O"~ g

n

exp i

i=o

(4..4)

j=o

comme s q u e l e t t e .

Le n o y a u p a r t i e l l e m e n t

rgduit

de c e t t e

somme

^

au p o i n t

pest Soient

dgal ~ gog(p ). (k)

= (ko,k 1 .... km....

),

(1)

= (1 ° . . . . I m . . . .

) deux suites

avec

Z+ ) km, 1m

s

m

pour tout

m

E +

(4.115) f

o

~k

-

~

rtm,p~

~

m

i

-

stm,p~

m

Pour ~ < ~ l'op~rateur •

i=o

k.1 '

k.

I.

j=o

1 j. l

(4. 116 )

-

105

-

es% nul, except4 pour presque %ous les k. e% I. 6gaux ~ z6ro. (4.116) con%ien% 1 3 des graphes avee squele%%e (4.112). La somme sur %ous ces graphes es% 4gale (4.i12), multipli6 par ff (ki _ r(i,p)),_l, i=o Car ( 4 . 1 1 2 )

e s t l a somme de t o u s l e s

h ( i1)~( k

- r(i,p))

g r a p h e s de s(j ,p)

.

i=o

avec le s q u e l e t t e

j=o

r(i,p)!

(i 1) *

F(V ff ~ . . ~

(ig~m) * ) ~ (

a

1

s(i,p)

(h(~))(ki

facteurs

- r(i,p)).

(4.118)

apr&s une p e r -

1 et (-r(V(~)))

et les contracter Ceei

(Jl))j "" r(v(Jn))

L

.)k i 1.

s(j,p):

b c e n t r e enx ou de ceux du t y p e F(V J ) ) .

m u t a t i o n des sommets du type r ( v Parmi ( - F ( V ( ~ ) )

(4.117)

i il faut choisir

de r o u t e s

k i- r(i,p)

=

l e s f a c o n s dans

donne

1

(k i - r ( i , p ~ !

i- r(i,p

(4.119)

i- s(i,p

possibilit~s.

Les a u t r e s sommets d o i v e n t ~%re c o n t r a c ~ 6 s s e l o n le sch6ma du squelette (4 119) multipli6 par (kill i.,)-i donne [r(~p)!s(~p)' (h-r~p))l]-I qui est le bon multiplicateur pour obtenir (4.112) multipli~ par (4.1i7). •

.

La sommation sur r o u t e s donne ( 4 . 1 1 2 ) m u l t i p l i 6

les suites

(k),

(1) qui s a t i s f o n t

~ (4.115)

par

j=O

e~p~(j p) A(~)

(4.120)

Ceci, multipli6 par exp- hd, a un noyau partiellement r~duit, qui est 6gal (4.1i0)

au p o i n t p.

CQFD

Remarquez q u ' u n e sommation p a r t i e l l e du v i d e e s t u t i l i s ~ e

dans le th~or~me 2 . 8 .

analogue

sur l e s f l u c t u a t i o n s

106

-

Les f o n c t i o n s

g o ~ ( p ) e t go~(p)

e%, p a r u n p r o c 4 d ~ de % r o n e a t i o n ^ g o ~ ( p ) es% c o n s t a n t e

-

(4.110)

dans

faiblemen% modifi~,

s e n t C ~ par m o r c e a u x , elles

pour 6 suffisammen% grand et p fix~,

form4men% s u r d e s c o m p a c t s p o u r 6 ~ ~ v e r s

une f o n c t i o n

^

s e r a i e n % C~ p a r t o u ~ e% c o n v e r g e donc u n ~

go(p)

qui est

C

par

morceaux. ^

Lemme

4.12

:

il exis%e

une

fonetion

lim uniform6men%

sur %ou%e

r4gion

go(p) , C e° par morceaux,

goa(p)

compacte

%elle

que

= go(p )

(4.121)

de p. On a pour

0 s ~ s

(4.122)

Igo~(P) l ~ Igo6(p)l ~ Igo(p) l :

D@mons%ra%ion van%e

(qni

l'es%ima%ion

sera d ~ m o n % r 4

dans

essen%ielle l'appendice)

sup o ~ % ~

j~g

es% bas~e

sur la m a j o r a % i o n

sui-

:

(4.123)

h(i ) ~ k < ~ ÷

P o u r x > O, on u % i l i s e n e -x exPix

Ceci

d~ mo nt re

que pour

=

%ou%

i - e -x

i+1

x__ a I Z n~ n=i+l

x

(4.124)

j £ ~+ e% 0 ~ ~ ~

e x p ( - A ( ~ ) ) e x p t ( j , p ) A(~ ) K 1

(4.125)

^

e%

Igo~(P)l ~ Igo~(P)l ~ Igo(p)l. Puisque

presque dui%

infini

%eurs, 606.

%oujours, dans

(4.123) (4.110)

e% ( 4 . 1 2 4 ) pour

p o u r p d a n s u n compae%, % ( ~ , p ) : j

montren% l a c o n v e r g e n c e u n i f o r m e

du p r o -

0 ~ ~ ~ ~.

Soien% ~ l , . . . £ r , £r+l,...~s , ~s+l,...~% les variables des r c r 4 a des s-r annihilateurs e% d e s t - s l i g n e s i n % 4 r i e u r e s d ' u n s q u e l e t % e

Soi% ^

A

go~(~l . . . . ~s ) le n o y a u e x p - A6).

r4duit

de la somme

Consid6rons

= f d ~ s ÷ l " " % go6(~1 . . . . ~t)

des g r a p h e s

avec

squele%%e

606

(mul%ipli~

(4.126) par

107

-

-

^

w~(Pl . . . . Pr ; P r + l ' ' ' P s o~ Z s'~%end

sur Lous les squeleLLes

)

=

Z goo.(.p_1 . . . . p s )

avec r cr~a%eurs

eL s-r annihila%eurs.

Nous allons d~monLrer que (4.127) converge poncLuellemen% gie L 2, uniform4menL Lion~ ~

pour 0 K ~ K ~ eL (~l,...~s)

seronL C ~ p~r morceau~.

[~

eL dans une Lopolo-

dans un compacL.

Les

ser~ ~e noyau de la ~orme ~ ~ans

Soil T,~ E ~ eL 6od un squeleLLe [~[ E ~ par

(4.127)

fonc-

(410~

avec le noyau goff" Nous d6finissons

[T[n(p ) = [Tn(p) I eL IG O [ comme le monSme

de Wick avec le noyau

[go[. Le lemme 4.11 donne imm~diaLemenL -h

I(T~,

T~)I e

~ ~ z(l~l,lGot[~l)

^~

avec Z sur Lous les squeleLLes

(4.128)

^

de T~ T a. Pour ces squeleL%es une es%imaLion

du

Lype de celle du Lh4or~me 4.5 (voir [561) donne le

Lemme 4.13

:

pour LouL ~ > 0, il exisLe L > 0, K < ~, Lels que le noyau go~ ^¢$

d'un squeleLLe

d'ordre

^

(m,n) de Tff T~ sa%isfaiL

pour tou% 0 ~ c ~ L, 0 ~ ~ ~ ~. Avec une consLanLe C = C(~,~) < ~, on a

(ITI, (4.129)

e% l a t r o n c a t i o n

[Go} I~l) ~ ell T i" ~ exL

entra~nent

donc l a c o n v e r g e n c e

k (I) .... k (m), 1 (I) .... 1 (n) les valeurs maximales d'lul squeletLe G O d'ordre

j' Igolll2

(m~n). Consid~rons

(4.130)

de ( 4 . 1 2 8 )

des impulsions

l'inLersecLion

: soient

aux somme%s

du supporL de go

avec

k (1) ~ k (2) g . . .

g k (m)

1 (1) ~ 1 (2) ~ . . .

~ 1 (n)

(4.13I)

La %ronca%ion

implique

k (1) >_ 21 ; k ( 2 ) ,

k (3) ~ 2 2 ~ . . .

k(J-l)J/2+I

,...

k (j(j÷!)/2)

-> 2J (4.132)

-

ou avec une constante

-

d > 0

k (j) En p r e n a n t

i08

~ d '/~,

p o u r les m! n! diff~rentes

entre I(i),...I (n) des minorations

1 ( j ) ~ d#'~ relations

analogues,

A,B < ~, C, D > O, qui sont ind~pendantes

(4.133)

d'ordre

e n t r e k (I) . . . . k (m) et

on obtient avec des constantes

de G , 0

IIext TT ~i-m# Igolllm m

' (4.180)

on v o i t qu~ Z c i ~ ( A i i , . . . A i s ( i ) , g i ) ^ = 0. Donc A e s t b i e n d 6 f i n i e$ s u r

= 0 implique

A~ = A ,

f),

E~(D, ~(g)]

= (f,~)

[Np, ^ Z#(f)] [el

fp(p)

= f(p),

si

]Pl -< P, e t f p ( p )

remplac6 par N -N.,

~aXe ~ f }

implique

?(~),°~

de

=

0
m=[

Donc u n t h 6 o r ~ m e de D e l l ' A n t o n i o Th6orbme 4 . 1 7 non-bornde

faible

NO 9 > < co

(4.i82)

[63J donne l e

(4.167)

d6finit

"localement

np h L2(Bo) e s t u n i t a i r e m e n t

repr6sentation tion

L'approximation

n d e s CCR d a n s ~, q u i e s t

restriction Avec l e s

:

et Doplicher

= 0, f n : f'n

-

et

l i m []~5(f n - f ) n 2 = 0", a l o r s n ~

s-lim(V(fn)

- C(f))

=

s-

n ~

N_

9

a la d6composiLion

- V(f))

=

(4.184)

0

specLrale

N-

=

O

eL s a t i s f a i t

lim(V(fn)

n ~

co

^

E

mE

m=o

(4.185)

pm

p o u r Lout f E L 2 ( B 9 )

[v(f. ~(¢osL~)

V(sintf)

[V(cosLf) W ~9'

La r e p r 6 s e n t a t i o n de r e p r 6 s e n t a t i o n s

P e~p ~ ~osL

s i n t II~ll2

i exp ~ c o s t

~(-sintf)

9 < ~, e s t

(4.186) sinL

unitairement^dquivalenLe

de F o c k W9F" Soit 0 ~ ^~ E ~

:

Ill 112j

h une somme d i r e c L e

et

< ;

> II; I1-

(418

)

^

la probabiliL6 Pour tout

de t r o u v e r

m particules

W

impulsions

dans B .

m E Z+

9 lim

et ~

dans ~ avec les

= ~

W

esL u n i t a i r e m e n t

.m9(;)

in6quivalente

=

0

(4.188)

~ une somme d i r e z t e

de r e p r 6 s e n t a -

L i o n s de F o c k . D~monstration (4.169).

plique

(4.184)

enti~re

suiLes

F(s)

on d6monLre l e s ^

^

relations

de ( 4 . 1 6 8 )

de c o m m u t a t i o n

que s - l i m e x p^( i s^ N ; # =

Fm(S ) .= < T, e x p ( i

le support

(4.185).

une c o n s 6 q u e n c e

et

(4.183)

et

donc comme i d e n L i t 6 s e n t r e d e s o p ~ r a t e u r s ^ 5g se d ~ d u i L de l a s ~ r i e s u r ~, en ^u L i l i s a n t l e f a^ c t e u r ]I II

= < 9, e x p ( i et

est

s u r ~ x ~,

(4.168). lim c t = 0 en~raSne

Donc l e s ~'(~')

s~ries

comme f o r m e s

unitaires.

vers

l'analyticiL6

Avec l e s

(4.186) dans

:

s N;);

>. P u i s q u e

de l a t r a n s f o r m d e

L'6quivalence

exp(i

s N g ) p o u r LouL

s N ; m ) ; >, T E ~, c o n v e r g e n L p o n c L u e l l e m e n t

unitaire

IFm(S)l de F o u r i e r

~ II~ll 2, F = l i r a Fm d a n s de F e s t

pour p < ~ est

d a n s ~+.

Ceci

im-

donc une c o n s d q u e n c e

[61] et [62]. Finalement (4.188) est impliqu6e par (4.170), W Donc u e s t n o n - F o c k d ' a p r ~ s un t h d o r ~ m e de C h a i k e n [ 6 1 j .

car lim ~

CQFD

P

= ~.

de

117b -

Puisque tent une

que ~

[21j ? Comment

du cut-off obtient tions

nous

~tude plus appronfondie.

= ~ et est-ce CCR

la physique

spatial

W

impose Est-ce

est irr~ductihle

dSpend W

des representations

w

~ , elles mSri-

que T T ° est cyclique, et une representation

de la transformation

et de la constante

de couplage

non-disjointes

de dressing

est-ce

que

discrete

des

~ en particulier

? D'apr~s Fahrey

pour une grande

classe

[60],

on

de tronca-

diff~rentes.

Un exemple Fock ultraviolettes l'interaction

simple pour la connexion et une renormalisation

quadratique

classique

est

O

entre

les representations

de fonction

V (~) = :~ (x)2:. O

est du type A pour

Ce module

d'onde

infinie

exactement

non-

est

r~soluble

--

s = i, B pour s = 2 et 3 et C pour

s e 4. Une

r~f~rence

[64].

Pour simplifier d'une

les reprSsentations

"bo~te p~riodique"

les calculs,

nous allons utiliser

A, de longueur

le cut-off

spatial

I. Soit

co

n=o

n

=

o

{fn : F(~) n ~ C sym4trique,

(fn,fn)

r(~)

n

=

=

Z

kl ..... ~ e r ( ~ )

fk = ~ 2 ~ ,

(fn,fn)

Ifn(ki. . . .

~ ~ z 8,

< ~}

k) t2

Ikl_ < - ~

(4.189)

118 -

Dans ~ on a d e s c r ~ a % e u r s

~6(x)

et annihilateurs

[a(k),

a(!)~

[a(k),

a*(!)]

=

E

~r(~)

et

=

op6rateurs

a*(!)j

:a*(k),

=

les

=

de champ ~ ( x )

o

6(k,!)

(4.190)

(2~) -(2 [a(k)e-i (k'x) + a*(k) e i ( k ' x ) ]

k =~(k) Nous

allons

voir,

dans

Hk~

=

H

=

le chapitre

est

lid ~ une

D(F(V~))

renormalisation

es% t r i v i a l

que

l'hamiltonien

H ° + k V~

Z

o

v:

V,

~ a@(k)a(k )

(4.191)

k:r(~) i

- 2 ~: d: :%(:)2 de masse

finie

m

2

p o u r ~ ~ ~. Nous a t t e n d o n s

Hkff = ~ =

-~ m

2

+ k. Soit

s = 4. A l o r s

que

Ho + kV~ + 12 Eft

(4.192)

v~ :(v~) 2

soit bien Z~ z Ao

d6fini

exp-kF(VZ~)

Exercice

:

Pour le

calcul

sur l~image avec une

V~rifier-le non-formel,

d'une

%ransforma%ion

renormalisation

de d r e s s i n g

de f o n c t i o n

du %ype

d'onde

! nous

remarquons

que Vg ne c o u p l e

que l e s modes

:

119 -

k et - k .

Soit

a(~)

= [k e r(~) : k =

k 1.

oh

. . . .

k j = 0, k j + l > O} (4.193)

Pour k E A(~), s o i t Ek = V k F(

)

et

2 =

~(k)(a*(k)a(k)

V°-

=

~ 1

Vk_

=

~

S o i t ~k l ' e s p a c e

+ a*(-k)a(-k)}

[a*(_O) 2 + 2a*(O_)a(O_) + a(O) 2}

1

[a*(k)a*(-k)

+ a*(k)a(k)

+ a*(-k)a(-k)

+ a(k)a(-k)}

de Foek des modes ~ e% - k a v e c l e v i d e Tko e t ~ko C ~ k

semble des v e c t e u r s

a v e e un nombre f i n i

de p a r t i c u l e s ,

k 2 < 16~(k) 4 e t %ou% Tk e ~ko l e s s 6 r i e s

Tkk ~k

=

e x p - IF(V~)

Tk

=

suivantes

s - lim

n -~

H~k TKk Tk

- k Vk

+

Pour %ou% k a v e c

n

(-xr(v~))"

E m=o

m!

) + "~- Vk

1

l'en-

convergen% fortemen% :

--- (Ht~ + kVk + k21~k)TKk q~k =

Vk

~k -- (4. 195)

Tk(HI~ + kVki +

-/ F(Vk2 ) )

~k

1

^

^

ttk~

(4. 194)

=

5~6) gkk s i n i e r p r ~ i e

naiurellemeni

I

dans l e p r o d u i t

tensoriel

infini

d e s ~k" D ' a p r ~ s yon Neumann [ 6 5 J , une s u i t e z

[~k E ~k : k E A(~)} es% une C - s u i t e

I lp~kl[ -

1[ < ~

eb on y a t t a c h e un C - v e e % e u r ~ = ® Tk a v e e O 9 , ~ s o n t ~ q u i v a l e n t s (~ ~ ~ ) , s i --

z et faiblement

6quivalents

(9 ~ ~ ) ,

I (%,~ k) si

II~ll

si

(4.196)

=

11 < ~

-IT II~kll

"

Deux C - v e c t e u r s 0

(4.197)

-

X

120

-

[l(gk,~k)l

(4. 198)

- *[
- C gt(k)-4, C > 0

et c'est pourquoi Uk~ To et ~o sont faiblement inEquivalents. D'autre part

E

k_e ~(~)

I(z~ Txk %0' U~k % o) - 11 2

(1 - ~--k---)f2 (i- (th ek_)a)¢2 (I - 4-~ th Ok)-i + C

E

16g 4

k__6 A(~) ~2 Itl + I~1

(~-~)

On remarque que Hn~ ~ n (Hn). C'est pourquoi la s6rie en t pour ~n(t,~),

~n(t,~) n'est

pas bien d~finie

e s t une d i s t r i b u t i o n

Pour n > I t l = Em=° ~ m ( t , ~ ) .

que

opdrateurs

Les t r a n s l a t i o n s

p o u r t 2 < (~ - Z) 2, on o b t i e n t [~(t,x), --

pour (t-

~n(t,~)

=

~(s,z) J

est

~gal

~ ( t + s,~)

(5.a5)

unitaire exp(-iHns )

en k a v e c n a n(R) p o u r Is I + I t l

~o(O,z)]

=

(5.26)

+ ]~l < R ) . Done ( 5 . 2 5 )

de p o l y n 3 m e s en ¢ ( t , ~ ) .

[~m(t,~),

en k

darts l e temps

exp(iHns ) #(t,~)

e s t un * - a u t o m o r p h i s m e de l ' a l g % b r e

(5.22)

p o u r n ~ ~.

impldment6es par l'opdration

formelle

(5.24)

a v e e l e domaine ~ e t ne r e q u i e r t

~ %(~(t,~))

=

+ ...

chaque t e r m e de l a s d r i e

+ I~1 l e champ de H e i s e n b e r g

as(i(t,~)) (en s 4 r i e

+ it[Un,~o(O,z)j

de masse e t d ' ~ n e r g i e

~(t,~) sont localement

~o(O,!)

s u r ~, a l o r s

~ valeurs

aucune r e n o r m a l i s a t i o n

~(t,~)

=

Puisque

0

(5.27)

la loealit~ =

a ([~(tS

s

~), ~

~ (0,Z)])

=

0

(5.28)

O

s ) 2 < ( ~ - Z ) 2, en chaque o r d r e de k. F i n a l e m e n t

~(t,~)

satisfait

131

-

l'gquation

de mouvement (n >

-

I~l + Iml)

~-~

_

[Hn

=

=

(5.29) exp(iHnt ) Fo(0,£)

exp(-iHnt )

=

g(t,£)

5t2 =

i exp(iHnt)[Hn, 52

(

~o(0,~)]

- me) ~ ( t , D

(5.30)

exp(-iHnt )

- 4~ ~ ( t , D 3

5x 2 au s e n s de l ' i n t r o d u c t i o n

(0.9).

La c o n c l u s i o n violettes, teurs

les

de G u e n i n e s t

champs de H e i s e n b e r g

sur ces bonnes propri~t~s

b e a u que Glimm e t J a f f e ces propri~t~s

~ valeurs

:

Soit H

et local,

et

exp(-

satisfait

f = f e ~(R2),

~(f)

iHnt ) =

= ~ ~(t,~)f(t,~)

de l a l u m i ~ r e ,

repose

l'influence

est

ind~pendant

de mouvement ( 5 . 2 9 ) d t d~

est

opSra-

d o n n e d ~ j ~ l e champ de H e i s e n h e r g

correct

~(t,~)

gn(D

I1 est

rigoureuse

Alors

~n(t,x)

tr~s pour

=

de n p o u r n > I t l + I~1 et

(5.30).

[13] sur le fair

la propagation

du e u t - o ~

Dirac a

Pour tout

autoadjoint.

essentiellement 5.2,

ultra-

:

se p r o p a g e a v e c une v i t e s s e

c = 1. Dans l a f i g .

~n > J~l + I~J ], o~ 1 ' i n f l u e n c e

des p e r t u r b a t i o n s du t h g o r ~ m e 5 . 1 .

~(t,~)

aux ~ q u a t i o n s

La d d m o n s t r a t i o n une d y n a m i q u e l o c a l e ,

[76].

t r o u v ~ une d ~ m o n s t r a t i o n

de l a s ~ r i e l'Hamiltonien

n

exp(iHnt ) }o(0,~)

d e s champs de H e i s e n b e r g

[71] aient

qualitatives

Th~or~me 5 . 2

n

s o n t des d i s t r i b u t i o n s

darts ~, m~me p o u r n ~ ~. D ' u n e f a ~ o n c o m p l ~ t e m e n t i n d ~ p e n d a n t e ,

insist~

g

que d a n s une TQC s a n s d i v e r g e n c e s

~o(0,~)

que,

~ ~n(t,~)

dans le diamant

~ ~ n'est

dans

bornde par celle

pas m e s u r a h l e

avec

-

1 3 2

-

~t

region

~kl I XI I

gn~X) ~ k est

mesurable

1

Fig.

ou

.

~.,-~--~-~

5.2

Soi% A une fonction born~e de ~o(O,f) ou ~o(O,f) localis~e dans [I~I < n}, par exemple U(f) ou V(f) avec supp f = [Ix I < n}. Comme H es% n au%oadjoint, l'ind4pendance de n pour Itl suffisammen% petit se d4duit de la formule de Trotter [773 iHot/k exp(iHnt ) A exp(-iHnt )

=

iVnt/kk

S-lim[e

e

A [e

-iHo%/k

e

-iVnt/k

]k

k ~

(5.31) A droite libre

qui

sont

de ( 5 . 3 1 )

propagdes

dans H dispara~% n Pour "robustes" trer

heureusement

illustrer

que l e s

~tats

les

quan~it4s

dans

ce f a i r

l'automorphisme

que l e s

physiques

dans

sont

relativiste

des fonctions libre.

limi~e

n

(5.19).

champs de H e i s e n b e r g la

du champ

L'4nergie

sont

plus

n ~ ~, n o u s a l l o n s

d~mon-

le

Thdor~me 5 . 3 sans

routes

avec la dynamique

cut-off

: et

la s~rie sans

de D y s o n - S c h w i n g e r

pour l'interaction

~2 s+l

(a 6 Z+)

renormalisations t

~(~,~) =

E (i~) k f k=o

t

dsl... ; o

as k ; d ~ 1 . . .

d~

Sk_ 1

x E,~o(Sl,~l)2, [...L:~o(Sk,~k)2,,

~o(t,~)] ... ]]

(5.a2)

133

converge

fortement

en ~, continues sur

~

~ Son

sur ~ ( c o m m e

-

sdrie de distributions

en t) vers une fonction analytique

vec%orielles

tempdr4es

enti~re en k. Comme forme

a

[iHn,

~(t,E)]

-

~(t,m)

~t

(5.33)

52 [iHn,

[iHn,

avee H

= H n

tion

d'aprbs

le thdor~me

du t y p e ABC p o u r

correctement

faible

(5 - m2 - 2 k ) ~ ( ¢ , ~ )

=

Itl +

e% n >

4.21

s = 1

'

le ddplacement

avecla

H

n

l~l.

parcourt

s = 2,3 et

"les

s > 3.

infinit4simal

d e s champs de H e i s e n b e r g

champ l i b r e

~(t,~)

5t 2

- -

:

des modules crivent

-

+ k f dx gn(~):$(~)2: o

Remarque

@(t,~)]]

- et

masse incorrecte.

ceei

Aussi,

de l ' e n f e r "

Cependant H

n

dans dans

cercles

et H

d~-

l e t e m p s comme d 6 r i v a -

l'espace

~ peu¢ p r e n d r e

de Fock d ' u n une v a l e u r

comple-

xe a r b i i r a i r e . D6monstration

:

(1.53),

avec

on 4value le commutaleur multiple

(2i) m A(s~- s2, Z l - z 2 ) ' " A ( % D'apr~s et

le th4or~me

int4gr~

de c o n v o l u t i o n

sur Zl,...,y_k

, ~,

dans

- t, ~k- D % ( s I ' Z l ) (5.34)

~',

L2-norme est facteur

tk/k!

d'essai

s o n t C~ en S l , . .

t)ia(~)e

la convergence


-i~s I

., sk , t h valeurs

p a r e k Ilfl]2, e < ~ . L' i n t 4 g r a t i o n

born6e et

multipli4

(5.~)

par f(x)

E ~(]R s)

donne

d ok [~-~k ~(e) sin ~(s 1- s2)...sin ~(s kLes f o n c t i o n s

dans (5.32)

forte.

(5.33)

la transformation

+ a*(-~)e

darts sur

es¢ ~¢ablie

de B o g o l i u b o v

~(~s)

s 1 .... ordre

(4.212)

i

~sl}

en ~.

Leur

,s k produit

un

par ordre

enL

onpeut

6valuer

~(t,D (voir [7S]). On ohtient ~(¢,x) =

=

(2~1 - s / 2

dp f ~

(2n)-s/2

[a(p,t)

+ a(-p,t)*]

e ip'x

(5.35)

dp f--~

[b(p)

e -iMt + b(-p)*

e iMt] e ip'$

ave c 2 a(t,p)

=

[cos

Mt-

i ~

g2 +

2~M

sinMt]

a(p)

+ [i

2 _ M2 2~M

(5.36)

:

-

M = e% [ b ( ~ ) ,

b*(-~)]

et

M(r)

[a(~),

b(~)

=

=

a*(-E)] 21

134

-

(m2 + 2 ~ + r 2 )

~/~

s o n t li~s~ p a r

[(1 + ~ ) a ( ~ )

L'analytieit~ enti~re en k est 6vidente.

(5.37)

+ ( 1 - ~) a * ( - ~ ) ]

II existe donc dans ~ une solution

locale de l'6qua%ion de mouvement

D + m2 +

2~) ~(x)

~(0,~)

=

~(0,~)

-

=

0

%(0,~)

(5.3s)

5 %(0,~)

5x ° Mais l ' a u t o m o r p h i s m e plus unitairement s,t

5x °

des t r a n s l a t i o n s

dans le t e m p s ,

impl~ment~ p a r un h a m i l t o n i e n

~(t,~)

autoadjoint

~ ~ ( t + s, ~ ) ,

n'es%

dans 8 p o u r t o u t

e% ~.

Une TQC "alg6brique"

a 4t~ d4finie par Haag e% Kastler

[79]

en

par%ant de la s%ructure des champs de Heisenberg.

D4finition

:

Une f a m i l l e

de C * - a l g ~ b r e s

[~(B)

: B = ~s+l

ouvert,

borne] (5.39)

(fermeture

normique)

B e t tme f a m i l l e

d'automorphismes _[% ~ A u t ( ~ )

d4finit

une t h ~ o r i e

quantique

locale

: g e i L~]+

relativiste,

(a)

~ ( B I ) C ~(B2)

(b)

[~(nl),

(e)

%(~(B))

(d)

Pour tou% A E ~ l'applica%ion de iL: dans

~(Be)3

=

:

~(g~)

o

pour

B 1 c B2

pour

B 1 - B2 s p a t i a l

pour tout

g E i L+t

(5.40)

si

a v e c gB = [gx : x 6 B)

-

135

-

~(~) e~

eiL'+ ~

(~.4~)

est c o n t i n u e (e)

~ est primitif

(poss~de une representation fiddle irr~duetible).

4 ¢2 on p e u t e n g e n d r e r des C * - a l g ~ b r e s ~(B) p a r l e s f o n c t i o n s

Dans l a t h d o r i e b o r n d e s de ~ ( f ) ,

f = ~ e ~(R2)

e t des a u t o m o r p h i s m e s a v e c l e th6or~me 5 . 2 .

Alors Th$or~me 5.4 4 ~2" Remarque

:

:

il existe une thdorie quantique locale relativiste associde

jusqu'h

Lorentz n'est e t A. J a f f e

prdsent,

l'invariance

pas e n c o r e c o m p l ~ t e m e n t d t a b l i e , [80] s o n t t r ~ s

de volume i n f i n i e .

aux r o t a t i o n s

mais l e s r d s u l t a t s

de

de J .

Cannon

encourageants.

Le f o r m a l i s m e des C ~ - a l g ~ b r e s limite

par rapport

Soit ~+

[ 8 1 j e s t b i e n adapt@ pour t r a i t e r

la 1-sphere

dans l e c3ne p o s i t i f

de l a C ~ - a l g ~ b r e ~. Un d t a t ~ de ~ e s t une f o n c t i o n n e l l e de norme 1, done ~ E ~ + .

Si ~ e s t

lindaire

c o n c r ~ t e m e n t donn6e,

la

du d u a l positive

~ ~ B(~),

sur

l'ensemble

~I ~ B(~) des op~rateurs positifs ~ trace i d~finit des dtats sur ~ :

~T(A)

Si ~ = B ( ~ ) , il

existe,

(5.42)

d~finit

en g ~ n ~ r a l ,

t~ dans ~ . D ' a p r ~ s

en interaction.

Puisque ~ +

pours.

Tr(TA)

pour T ~ T~,

une b i j e c t i o n

des ~ t a t s

de d e n s i t ~

(5.42)

Si ~ e s t moins r i c h e ,

s u r ~ q u i ne s o n t p l u s des m a t r i c e s dans ~ p u i s s e

[3j et

[82])

dgfinir

q u i c o r r e s p o n d au v i d e i n v a r i a n t ~

A ~ ~

de ~1 s u r ~ + .

l e th6or~me de Haag ( v o i r

p6rer qu'une matrice du thgor~me 5 . 4 ,

=

de d e n s i -

on ne p e u t pas e s -

l'gtat

w

de l ' a l g ~ b r e

de L o r e n t z du syst~me i n f i n i

doit satisfaire

est faiblement compact, on obtient imm@diatement des candidats

SoitO

~hee(~,fd~h(~)

®n(A) A cause de (5,~),

=

I%} ~ ~+

f dm

=

1~tpourAe

h(~n) (%, Uo(m) A %(-m) %)

poss~de u. point d'.¢eumulation .

(5.44) ~ ~+

de la convergenee faible des filtres. 0n voit que -.(A) = - A % ( A ) ) ,

au sen. si g est

-

une t r a n s l a t i o n naire

d'une

avec vide bas~

sur

spatio-temporelle,

telle

limite

~ . Glimmet l'estimation

Th4or~me 5 . 5 . . . . . qui converge

:

la g~n~ralitd

mal ~ une a n a l y s e

[73]

et pathologie ddtaillde

o n t o b t e n u un r ~ s u l t a t

extraordi-

d'une

plus

fort

th~orie qui est

(5.4)

la

suite

faiblement.

normiquement.

-

mais

se p r a t e Jaffe

136

[w } poss&de une s u i t e p a r t i e l l e (~ ~ . \ , n , n~j/ Pour tout B ouver~ et borne, ~n(j)i~(B)}

La r e p r e s e n t a t i o n

eanonique

~ de ~ ( d a n s un e s p a c e

j

E Z+}

converge^ d'Hilbert

^

a v e c un v e c t e u r

cyclique

T) a s s o c i S e

®(A)

~ ~

(~, i ~)

=

[83]

satisfait

~(~(t,~)(A))

=

(5.45) ^

Dans ~ i l ^

P qui

existe

des op~rateurs

autoadjoints

de l ' ~ n e r g i e

Het

de l ' i m p u l s i o n

satisfont ^

~>-o, H ~

~ (A a ( t , ~ ) ( B ) )

=

=

pour tout

A,B E ~. ~ p o r t e

L'alg&bre

~ d e s champs de H e i s e n b e r g

^

[H,

P]

o

=

P ~

=

0

(5.46)

(~, A exp i ( H t

une r e p r e s e n t a t i o n

- P~) B ~)

r~guli~re

d e s CCR de W e y l .

^

est

localement

Fock

: pour tout

B ouvert

^

et born~

il

existe

un o p ~ r a t e u r

UB : ~ * X

unitaire,

tel

que

~(B) = ~B ~(B) U~I Remarque

:

il

est

ment in~quivalente pour

s+l = 2

iL

+

tr&s probable

~ une somme d i r e c t e est

le produit

e s p @ r e r que l ' i n v a r i a n e e type

(5.44))

plus

d~taill~e

tiques qui

du s p e c t r e

e t une m a t r i e e

restent,

nous

^

S selon

sommes e o n v a i n c u s a v e c une m a t r i c e

(voir

que l e S % ~.

ab~liens,

( p a r une a u t r e

iL~-invariant. +

n@cessaire

[16,17]

de F o e k .

de d e u x g r o u p e s

de ~ p e r m e t

un @tat de v i d e de H e s t

d e s CCR e s t

des repr@sentations

semidireet

de L o r e n t z

de c o n s t r u i r e

une TQC r e l a t i v i s t e

que l a r e p r @ s e n t a t i o n

(5.47) unitairePuisque on p e u t

moyenne du

Une c o n n a i s s a n c e

pour obtenir

des @tats asympto-

[84]). Malgr~ tousles schSma de l a f i g .

obstacles

5 . 3 n o u s amine

137 -

^

^

^

H n

""~(t,~)

~ ~ ^

espaee ~ des S t a t s

e s p a c e de Fock

physiques

Fig.

5.3

Pour illustrer ces r~sultats, nous allons ~tudier les expressions perturbatives

qui correspondent ~ ~n(A). Les valeurs moyennes dans le vide

physique d'un produit de champs de Heisenberg se ealculent ~ partir des s4ries (5.20) et (2.55). Pour n fini, mais s u f f i s a ~ e n t k

(~n'

=

grand,

on obtient :

k

i__~l ) ~. n ( t =i ' x i ) ~ n

=

(~n'

i=1~ ~ ( % i ' x i ) O n )

lim [ (~o' Une(+co'O)~o)(~o'Unc(O'-co)~o) ~o (%, Un ~ (+~, _~)%)

x

(5.48)

k

(~o' exp Q:c ~ ~(li'-xi) exp Qn¢ To) } i=l avec ( 5 . 2 2 ) pour ~(%,~) et rm_ 1

o

Qna

=

(-i)m f

drl

"'"

dr m e

_co

_~

+co

Q:e

=

rm_ 1 -¢Er. dr e drl "'" f l(Vn(rl)...Vn(rn))A N m

(-i)m f 0

Une a n a l y s e c o m b i n a t o i r e

£~r. l(Vn(rl)...Vn(rn))C R

0

( v o i r th4or~me 2 . 7 ) montre que ( 5 . 4 8 ) es% ~gal ~ la +

somme de %ous l e s g r a p h e s de exp Qnc ~ ~ ( % i ' ~ i ) res,

(5.49)

exp Qn~ s a n s l i g n e s e x t ~ r i e u -

o~ chaque composante es% l i 4 e ~ un ~ o ( % i , ~ i ) .

une d i s t r i b u t i o n la l i m i t e

Pour un t e l graphe (qui es%

temp6r4e en ~ l . . . . '~k e% une f o n e t i o n c o n t i n u e en % 1 , . . . , % k )

e~o e x i s t e

e% peu% ~%re exprim4e comme dans le th~or~me 2 . 8 . E g a l e -

men% l a l i m i t e n ~ ~ e x i s t e En p a r t i c u l i e r ,

e t donne l e s m~mes noyaux avec gn(~) remplae~ p a r k .

la s ~ r i e de GML ( 2 . 6 7 ) d e v i e n t

- 138 -

k

in(ti,xi))~n)

(Tn' T( TT i=l

X ( - im! )m

m=o

lim

~

e*o

~m

j=l

dyj

k

x

avec ( . . . ) '

(%, ~(77%(ti,~ i) i=l

la restriction

sur tousles

avec un ~ o ( t i , ~ i ) . La d i s c u s s i o n r e p r i s e darts le c h a p i t r e VI. Nous pouvons c a l c u l e r pour Vo(x ) "= k : ~ o ( X ) 2 : / 2

lira (~n'

exp-e~

Iyjl o

gn(XJ)

m ]7

j=l

x

m

]7 : ¢o(Yj) 4 : ) ~ o ) ,

(5.50)

j =1

g r a p h e s o~ chaque composante e s t l i d e

de l a l i m i t e

explicitement

~o

et n~

la fonction

dans ( 5 . 5 0 )

sera

de deux P o i n t s

:

T(¢n(Xl)~n(X2))On

)

=

,~ dp TL(p) e-i(p'xl-x2

)

n--~ co

~k(P)

=

( 2 x ) s + l ( p 2 - m 2 - ~+ i o ) -1

-

(2u) s+l r=oZ k r ( p 2 _ m 2+ i o ) - l - r

(5.51) Donc les valeurs moyennes dans le vide poss~dent des propri~tds de r~gulari%6 en k, qui sont interm6diaires en%re celles des champs de Heisenberg et celles des fonc%ions propres de l'hamil%onien

: Tk(p) est analytique autour de I = 0

pour Ip 2 - m21 > 5 > 0, mais pas comme distribution dans

~,(R4).

Les champs de H e i s e n b e r g pour l e s ABC-mod~les En s6rie des perturba%ions,

les champs de Heisenberg existent dans 8

sans renormalisaZion et sans cu%-off spatial, si V es% de type A, mais aussi pour cer%ains modules du %ype B ou C, si les seules divergences sont dans les 2 Dans ce cas les champs son% '~luc%ua%ions du vide" (par exemple : ~3 3' ~s+l ) (formellement)

locaux e% la solution d'une ~qua%ion de mouvemen% rela%ivis%e.

Qu'es%-ce qu'il se passe, si l'in%eraction locale devient plus singuli~re

? Le domaine de l'hamiltonien renormalis6 d6pend du cu%-off spatial

d'une mani~re tr~s d61icate. Pour le B-modUle

(#~)2

on trouve que

(5.52) si g ~ g' et p E Z+, car la compensation des divergences ultraviolettes

sur

-

139

Tp~(g) ~ n ' e s t

m~me ~ ce que l e s r e p r e s e n t a t i o n s lentes.

I1 y a e n c o r e une a u t r e

en ~ (x)

4

p l u s compl~6e p o u r H ( g ' ) .

*o(X)

~o(X)

Pour l e C-modUle ~3 on s ' a t t e n d

~(g) et ~(g~) soient pathologie

qui s o n t i n t ~ g r ~ s

unitairement

: s o i t ~O l ' a l g ~ b r e a v e c des

fonctions

indquiva-

des polynSmes darts ~ ( R s ) .

Alors

%~ ~ D(,) pour tout la sdrie

~ E ~ et certains (5.24)

A C~.

Doric H

dans l a s ~ r i e

(2.35)

Sl,...,s

une o p e r a t i o n

r6gularisante.

nest

importante

n'est

est encore plus singuli~re.

disparaissent

darts l ' a p p l i c a t i o n

(5.53) p l u s une d ~ r i v a t i o n

Cependant,

toutes

de D y s o n - S c h w i n g e r ,

(La r ~ g u l a r i s a t i o n

les divergences

S o i t R~(g) ~ R ~ ( g ) * une r e n o r m a l i s a t i o n

contribution

m de l a s d r i e

~(g,x),

~(g,x)

. ~'*

%m(~,t,~)

:

p a r exp i H o t e s t

calculds

~ partir

de H

~

e t A~m(g,x ) l a

+ V~(g) + Rff(g)

0

s o i t V une i n t e r a c t i o n

Soit

p o u r l e s champs de H e i s e n b e r g

= ~ ~ A~(~,t,~)~(~).

Th6or~me 5 . 6

sur

darts l a s ~ r i e de TZ(V~(g))

sont logarithmiques.

(2.35)

et

ces difficult~s

o~ l ' i n t S g r a t i o n

de l a f o r m u l e de Feynman e t Kac ~ 5 2 , 5 3 ] ) .

V~(g) de t y p e B ou C. A l o r s r o u t e s d'ordre

de p ,

Soit "

locale

du t y p e B ou C, e t f . 1

E ~(~),

1 ~ i g k, ~ E ~. Alors

s- lim g~I

k ~ i=l

k

A~m(i)(g,ti,fi)

~

=

~

Am(i)(ti,fi)

~

i=l

~ existe

et d~finit une distribution

continue

temp~r$e

:

dans l e c h a p i t r e

les fonctions

suivant,

de Green r e n o r m a l i s d e s

~ ~ ~, g ~ 1 de l a s d r i e

peut construire

d'apr~s

qui est fortement

coincider

la localit~

de ( 5 . 5 4 ) .

que p o u r (~7~)2 e t

dSmontrer la localit$ :

avec la

a s y m p t o t i q u e de LSZ, on on d e v r a i t

voir

loeaux et directement

de ( 5 . 5 4 ) . 4 p o u r ~3' on o b t i e n t

en p r e m i e r o r d r e

t ~l(g,t,f

)

=

i ~o ds ~ dZ g ( x )

4 ~3

renormalisation

qui s o n t ( f o r m e l l e m e n t )

avec les YA(xi). Cependant,

D ~ m o n s t r a t i o n du thdor~me 5.6

voir

Bogoliubov cofncident

la condition

des champs de H e i s e n b e r g ,

qui doivent

:

nous a l l o n s

de GML p o u r une c e r t a i n e

Rff(g) C R f f ( g ) * de ¥ f f ( g ) . En u t i l i s a n t

Exercice

en ~i .... '~k'

en Li,...,tk.

Remarque limite

(5.54)

[:}o6(S,Z) 4',

}o(t,f) ]

(5.55/

-

140

-

La localit~ (approximative) permet le passage g ~ i. L'existence de la limite ~ m sur ~ p r o v i e n t purement cr~ateur,

de l'int~gration sur s. Nous calculons la contribution

qui est la plus singuli~re

f(R1 + ~ 2 + ~ 3

)(ei(~l

~3)t- ei~l+2+3t)

+ ~2 +

3 (dzi a*(zi)) { ~i+2+3(~i

+ ~2 + ~3- ~i+2+3 )

f ( - ~ l - ~2- ~3 ) ( e i ( ~ l + ~2 + ~3)t - e-i~l+2+3t) ~I+2+3(~i

Visiblement

(5.56)

}

+ ~2 + ~3 + ~I+2+3 )

(5.56) est bien d4finie sur ~ p o u r

s = 2 et fortement continue en

t. Pour s > 2, (5.56) diverge sur ~ m~me apr%s int4gration s u r t g(t) 6 ~(~i).

avec

Puisque une renormalisation n'est pas effective au premier

ordre, on d4couvre une nouvelle difficult~ du formalisme hamiltonien pour les DEF-mod~les. 4 k La renormalisation de A n(t,x_) utilise le th6or~me 2.7. Pour #3 une renormalisation de masse Mffn surf it. Une analyse graphique montre que A(~n(t,x ~ Ek= O

n(t,x) est de la forme

Agn(t,~ )

=

+

(:exp Qgn(t): Ao(t,~): exp Q~n(t):)c

(5.57)

+

avec ( . . . ) c

sommation sur t o u s l e s t

Q~n(t)

=

Q~n(t)

:

Sm_ I

E (-i) m ~ dSl... ~ m=l o o t

Sm_ t

Z im ~ dsl... m=l O

graphes connexes et Q~n(t) de la forme

~

dSm[(Vgn(S 1) + M~n(Sl))...(Vgn(S m) + M~n(Sm~JL (5.58) dSm[(Vgn(S m) + Mffn(Sm))...(Vgn(S 1) + Mffn(Sl~] L

O +

avec [ ' ' ' ] L r e s t r i c t i o n aux graphes l i d s . Dans les s~ries pour Q~n(t), les seules divergences proviennent des contractions du type V ( s . ) l ~ + i ) , 3 et c e l l e s - c i peuvent ~tre compens~es ~ar Ia renormalisation de masse. Le r 4 sultat

est

que ¢ h a q n e

ordre

en

X de

Q= ( t ) o n

existe

pour

~

~ ~,

.

~ ~

co~e

polynSme de Wick ainsi que les contractions dans (5.57) et dans k A~n (ti,~i)~ , comme distributions en ~i ..... ~k fortement continues en i=l 3 t l , . . . , t k. Le C-modUle ~4 requiert aussi une renormalisation

Nffn = n~ j

dL

gn(~)

~g(~)

[68].

CQFD

-

D i f f i c u l % 4 s avec l e s DEF-mod%les.

1 4 1

-

Consid4rons l'in%eraction

(super-renormali-

s a b l e d ' a p r ~ s l e chap. W ) Vo(X) = : ~ o ( X ) 3 : avec s + l = 5. On t r o u v e dans l a s 4 r i e de TZ(Vg(g)) des %ermes l i n ~ a i r e m e n % d i v e r g e n % s

(~.~)

(-1) ~ r+(vz(z) r+(vz(g)) 2 Les t e r m e s de l a F i g .

5 . 4 son~ de l a forme s u i v a n ~ e

=

2 (dPiX~(Pi)

2 %(zl,z2)

2

(5.60)

i=3

~i

~3 + ~4 + ~2

= ~ ~ (d~iX~(ri) a(~i)) W~(~l,r2)

v~(g) r+(v2~(g))

i=l

~i (5.61)

2

%%,%)o

4 (drixz(ro)2 = is ~ -ff i=3

^ ) g(~3 +r4+r2 ) ~(~3+r4-rl)

~i

~3 + ~4 - ~1 + i o

3

3

2

2 Fig. 5.4

La p a r t i e

a n t i s y m ~ t r i q u e puremen~ c r ~ a t e u r d e v i e n t

-2

- v~(g) r+(v~(D)

~ 2

2 (dPiX~(Pi) :JTF ~(~i)) i=l

2

w2~(~i'~2) (5.62)

- 142 -

2a W~ ( p 1 , % )

1 2 ~[W~(pl,P2)

=

o - W~(pl,P2)}

4 (d~i×~(~i)2 ~(~3+ ~4- el) ~(~ +~4 ÷ ~2)(~ ÷ ~2) = 9~

77 ' i=3

)

~i

(5.62) es% logari%hmiquemen%

+ ~4

(~3

divergent

+

~2)(~3

+

~4 - ~

-

io)

(m~me aprbs symd%risa%ion

£i et £2 ) e% ne peu% pas 8%re compens~ par un con%reterme

par rappor%

R~(g) C R6(g)* de

de deuxi~me ordre e n g . Donc ~3 e% ( ~ ) 3 son% du %ype DEF. La divergence 5 2a ^ W~ _(£1,£2) persisLe pour g ~ 6, dans la limi%e du volume infini. Donc la cons%ruc%ion diagonalisa%ion

direc%e de l'hamil%onicn

(4.7) n'es% plus possible.

n'es% pas %rop res%ric$if.

renormallSe

par une

On peu% se demander si ee schema

II exis%e une approche plus gSn~rale pour g fixe.

On cherche Hk~

=

H

Tk~

=

~

o

+ kVff +

E in n=2 R~n

+

kn

(5.63)

avec (9, R~n¢)

=

(R~n~,6),

Z n=l

Tgn

%el que formellemen%

lim (T~Z¢, TXZ¢) : w~(¢,+) l i m (Tk6~,

Hk~ Tkff¢ )

l i m lIHkd TX~II 2

(5.64)

ex.

ex.

0"...~ co

p o u r %ou% ~ , ~ Conjecture deuxi~me

: ordre

6 ~. pour

DEF-mod~lcs,

(5.63)

e% ( 5 . 6 4 )

son% i n c o m p a % i b l e s

au

en ~.

Nous a v o n s s4rie

les

observ4

d e D y s o n e% S c h w i n g e r )

m~me apr~s une in%~gra%ion gences son% appel4es

que l e s d'un

champs de H e i s e n b e r g

(d~finis

par

DEF-mod~le ne son% p a s d e s o p S r a t e u r s

sur % avec un g(%) E ~ ( R I) (voir (5.56)).

"divergences

de S%ueckelberg"

la s u r ~,

Ces dive~

[853 e% proviennen%

des

%ermes %ransitoires exp Z i~i+2+3% de la d4fini%ion de ~(%,~) en parian% de ~o(0,~). Ces %ermes %ransi%oires disparaissen%, si l'on in%~gre sur des fonctions de %es% sym~%riques.

Une d4fini%ion plus sa%isfaisan%e

des champs de

- i43 -

Heisenberg

est obtenue par l'~quation

Soit ~ = ~n

= ~out

de Yang et Feldman

(voir chap.

0) l ' e s p a c e

[863.

de H i l b e r % des ~%ats

4 Nous c h e r c h o n s un champ de LSZ-Wightman } ( x ) , p h y s i q u e s du module ~4" interpole

entre

Iin(X) et

qui

¢oui(X) e% qui s a t i s f a i t

(~ + m2 )~(x)

~ v e c R(x) une r e n o r m a l i s a t i o n

nn e a l c u l des p e r t u r b a t i o n s

-4X:~(x)3:

; voir

=

+ R(x)

=

(~) in

par [863

~in(X) + ~ dy 5re t ( x - y )

avec (D+m2)Aret(X) = 5(x),

(5.65)

J(x)

E9~).

~(~) e s t l i ~ e ~ ~

•

~(x)

=

: (8.66)

J(x)

supp Aret(X ) E V-. A l ' o r d r e

~ pros,

on o b t i e n t

X O

~(x)

=

~in(X) + l i m i ~

f

ds e i s s f dz [ : ~ i n ( S , i ) 4 : ,

~in(X)]

(5.67/

-~

Une prescription

analogue

les termes exp ± i~i+2+3t dans

41imine

s+l = 4, (5.67) n'est pas une distribution jours apr~s int4gration

surf

Si l'on d~finit tions des 4quations est l'existenee

~(B4).

sur les variables

pour ~35 et ( ~ ) 3 '

cadre d'id4es appartient

pour x

O

(5.56). Pour

fixe, mats tou-

m

les champs de Heisenberg

de Yang eL Feldman,

des champs canoniqnes

fixe et int~gr~s exemple,

E

sur ~ = ~

dans ~ = ~. comme soluin la limite entre les ABC et DEF-mod~les

comme op~ra%eurs

spatiales)

sur ~ = 9. (a temps in en premier ordre en ~. Par

~(t,f)~ ne d~fini% plus un vec%eur dans ~in" A c e le th~or~me

"ICAR" de Powers

[87~ e% son analogue

[88~ p o u r des b o s o n s . Pour l e s m o d u l e s du t y p e DEF, on d o i t mouvement l o c a l e s

darts l e temps ( v o i r

~tudi6 syst~matiquement

de Yang e t F e l d m a n . Darts l e e h a p i t r e sation

des f o n c t i o n s

on n ' a

de l ' ~ q u a t i o n

suivant,

nous a l l o n s locale

alors des ~l~ments de matrice

de Yang et Feldman renormalis4es,

axiomes de Wightman

§35). J u s q u ' ~ p r e s e n t de l a s o l u t i o n

de Green p o u r une i n t e r a c t i o n

%ions de Green d~terminent 6qua%ions

[i],

la renormalisation

r e n o n c e r aux ~ q u a t i o n s de

(~ eertaines

ambiguit6s

qui satisfont techniques

it~r~e traiter

pas

la renormali-

arbitraire.

Ces f o n c -

d'une solution des (en s~rie en k) aux

pros).

-

1 4 4

CHAP

-

ITRE

VI

LES FONCTIONS DE GREEN

Les t e n t a t i v e s que ( p o u r sante)

s + 1 = 4 et

du c h a p i t r e

des perturbations.

des perturbations nes dans

Pour v4rifier

renormalisges

le vide

ggn~ralis~es

de p r o d u i t s

moyennes

[90J ¢l(Xl) $ ... ~ ~n(Xn)). [913,

[92~,

Wightman n'a pas encore generalisation

(T~,

o~ l e

sens

des autres

chaque

[941

ordre

a x i o m e s de LSZ e t stabilit~

est

senter

ici

prenante

leur

de l a

trailemeni

ei

donn~es

lisme

hamiltonien

d'une

th4orie

pour

g4n~rale

vement qui remplacent

les les

dans

d'autres

bres

de c o u r a n t s ,

domaines

par

les

sgrie ses

~89~, d4te~

des distributions

de

des DRG est une

tr~s

d4montr~

ordre

en k. P o u r

les

fonciions


formelles

(voir

a 4i~ d~montr~e

en a p p a r e n c e

dcvenues

pour

et

la pr$-

la connexion

insurmontables,

et qui

perturbative sont

de

(6.181))

sur-

[98~.

perturbativc attitude

aux

~973. Nous a l l o n s

du t y p e DEF, n o u s e s p ~ r o n s

Cette

Epstein

satisfait

[1],

sens

renormalisation

qui

de S p e e r

de S c h r S d i n g e r

le

int~ressant,

qu'apr~s

ultravioleites

renormalisation

: avec l'analyse

~ imo(Xm)~o)

temp4r~e

amplitudes

analytique

rigoureuses.

~ ...

l e m~me d e s d e u x c S t ~ s e t

de GML ( 5 . 5 0 )

interactions

l'4quation

ees s~ries

de distributions

directe

collaboraleurs

difficultY%

de l a

des m~thodes math4matiqnes

est

des divergences

avec la renormalisation Etant

retardg~

:

une d i s t r i b u t i o n

et

par Bogoliubov

moyen-

de monSmes de S t e i n m a n n

~ Vo(Y n) ~ i l o ( X l )

E96])ont

de W i g h t m a n o r d r e

strueturelle

lois

sSrie

(valeurs

) ou d e s d i s t r i b u t i o n s

le vide

Dans un t r a v a i l

E95J,

(T~,T(~l(Xl)...~n(Xn))~

premiere

la

for-

(6.1)

arbitraire.

en k de ( 6 . 1 )

que s ~ r i e

construire

de Wightman

La s4rie non-renormalis~e

~l,...,~m

aussi

m6me en r a n t

faudrait

convaincre

Vo(x ) intSres-

=

entre

est

(voir

scalaire

de ces deux familles

4t~ faite.

$ ~m(Xm)T~)

des fl~ches

il

[93~. Une construction

f dYl...dYn(~o,Vo(Yl)~...

fl~ches

et Glaser

Chacune

dans

de la s4rie de GML (5.50)

~1(Xl)~...

E (-ik)n n=o n!

ceci

p a s pu n o u s

et

des distributions

de champs ~ ~ i ( x i )

(DRG) ( v a l e u r s

mine une TQC

la

n'ont

locale

une TQC au s e n s de LSZ e t Wightman e x i s t e ,

melle

Green

prgcgdent

p o u r une i n t e r a c t i o n

du f o r m a sortir

des ~quations sont est

abordables aussi

avec

fructueuse

de l a s t r u c t u r e "un v ~ r i t a b l e

de mou-

des alg~laboratolre

145 -

de p h y s i q u e nous est

fournira projetSe

quable

plus

s~rie

s~rie

de P a d ~ ,

pour

pour

d'une

idles les

les

Notre

et

Pour traiter

la

thdorie

plage

local

d~fini

par

r~sultat et

d'un

seul

de GML r e n o r m a l i s 4 e

relativiste

quantique,

succ~s

(th~or~me

6.16)

r~gularis~e, un certain

peut

pour

8tre

de n o t a t i o n

champ s c a l a i r e et

~(x)

et

(divergence

~ la

sans

remar-

faibles

et,

la manifestation

le module

optimisme

qui nous

numdrique

dlectromagndtiques

fortes

~Vo(X ) ( d d r i v a t i f

s~rie

Car le

interactions

des difficult~s

polynSmial

(1.48)

dynamique

interactions

nous laissera

~viter

que l a

platoniciennes.

de GML r e n o r m a l i s d e

catastrophique

m6me e s p d r e r

l'ombre

des

asymptotique.

s~rie

On p e u t

que

du c i e l

de c e t t e

en forme

la

thdorique".

~)

fin

pour est

d'une

~ < 0 de donc moins

de ce c o u r s .

importance,

nous

allons

avec une masse m > 0 en cou-

de d e g r 4

arbitraire).

Soit

~ (x) o

et

Vo(X) =

A z

a=l

VoW(X) (6.2)

V:(x)

D pest

=

u n monSme d i f f ~ r e n t i e l

DaD a v e c Da~

=

1,

si

c a :Dal¢o(X )

...

Daa~o(X ):

du t y p e

=

i=o

Z c(a,~,i)

=

1

1

O. L e s c o e f f i c i e n t s

c a sont

tels

que

Vo(~) = Vo(x)* (6.4) U ( a , A ) V o ( X ) U o ( a A) - 1 o :

Nous a l l o n s cut-offs

dtudier

les

fonctions

=

V (hx + a) o

de G r e e n t r o n q u d e s

[16J,

d'abord

avec

deux

:

(%g, T(%g(xl)... %g(Xn))%g)T : (%~, T(%g(xl)-..%g(~n))%g) -z

(6.5)

est

(6.5)

k~) p P P j=l (%g' W(%g(Xjl)'''%g(Xjr(j)))%g)T

une d~finition

r~cursive

dans

laquelle

la

sommation porte

sur

routes

-

les partitions

146

-

P P P P [Xll ,. ..Xlr(l ) ],. .. [Xkl .... Xkr(k)] de [x I , .. .x n ] avec

k : k(P) > iet (%g T(%g(x))%g) (T) : (%g, %g(x) % g ) analogue

rant pour les distributions

Vod(Xn))~o) ~ d6note

Lennne 6.1

:

la troncation

de Wightman.

Une d~fi.ition

(~o' T(~o(Xl)''"

par rapport an vide ~o de Fock.

pour ~ < ~ et g : g E ~ ( R s)

(%g, T(%g(~i)

=

x

...

%g(x~))%g) T :

~ (ds+li g ( x i ) e -~1~I)

E ~

lim ~ c~o i= +i

n=m in-m) !

(~o' T ( ~ o ( X l ) ' ' ' ~ o ( X m ) Vo6(Xm+l)'''Vo6(Xn))~o)~ (6.6)

Ddmonstration : si l ' . n c a l c u l e (~ffg, T ( ~ g ( X l ) . . . O f f g ( X m ) ) ~ g ) avec l ' i n v e r se de (6.5) en p a r t a n t de ( 6 . 6 ) , on o b t i e n t l a s 6 r i e (5.50) de GML. Dans le chapitre

I, nous avons vu que les valeurs moyennes

des poly-

nSmes de Wick

(~o,~o(Xl)...~o(xm)Voff(Xm+i)...Vo~(Xn)~o)~ sont de bonnes distributions la limite thermodynamique, ficult6s.

L'ordre

dans

~ ' ( R (s+i)n)

(6.7)

pour ff ~ m. Dans le passage

g ~ I, dans (6.6), avec 6 < ~ on rencontre

(%,T(%(h) "Vo/Xn))%)~ requiert

(nalvement)

la multiplication

d'une distribution

earact~ristiques c o n e

e(x~ - x 2I ) . .°. O ( X n _o

transform6e

dans

la limite vari4t4

deux d i 9

des temps

de Fourier

g~o et g ~1 exige

(6.8) par des fonctions

~,(~[s+i)n

- x:). Si (6.8) .xiste avec une ) de "±a iorme " mff, n , [pi,...pm,Pm+l, ...pn)

(na~vement)

que la restriction

de m , n

~ la sous-

lin4aire

[Pm+l

e x i s t e dans ~ ' ( ] R ( s + l ) m ) .

.....

Pn

=

0]

(6.9)

-

Lemme 6.2

:

(6.7) appartient lente).

-

avec un cut-off ultraviolet

X~(£)

sance

147

Donc

exp - ~ £ 2 ,

=

~ ~(~(s+l)n)

Gaussien,

(espace

(6.8) existe dans

~

=

de Schwartz ~,(~(s+l)n).

~-1,

(6.10)

des fonctions m,n

C ~ ~ crois-

est C ~ en P m + l , . . . p n

dans un v o i s i n a g e 6 ~(R(s+l)m) •

de (6.9) apr~s l ' i n t 6 g r a t i o n

sur p l , . . . p m

avec un

D6monstration

(6.7) peut ~tre calcul~ avec le th6orbme

de Wick.

On fait

VI,...V

dans un

correspondrc

:

les n arguments

plan. Un sous-ensemhle

[D~ ~o(a)

de l ' e n s e m b l e

Xl,...x n ~ n points

(sommets)

n

~ deux ~l~ments f D1 ~ o ( a ) ( x f ( 1 ) )}

(xi(1))'

des o p ~ r a t e u r s

i(1) < f ( 1 ) ,

(6.ii)

de champs

[~o(Xl) . . . . ~o(Xm) ,

Da~ ~o (Xm+l), ** D75 ~o (Xn) }

(6.12)

. Xm . )Vom+l . . (Xm+l ) .Von ( Xn ) ' 1 s a x s A, e s t r e p r e"s e n t e " par une dans ~o(Xi ) . ~o( ligne 1 orient~e de Vi(1) (sommet initial) ~ Vf(1) (sommet final). Alors (6.7) e s t ~gal n

( ~

ca

am+ 1 , .. a n i=m+l

(~o' D1i ~o ( ~ ) ( x i ( 1 ) )

) Z ~ i

G

D1f ~o ( ~ ) ( x f ( 1

))%)

i

(6.13) o~ la somme ~G s ' 4 t e n d sur r o u t e s l e s p a r t i t i o n s de (6.12) en s o u s - e n s e m b l e s du type ( 6 . 1 1 ) , t e l s que i ( 1 ) < f ( 1 ) (car Va(x) e s t en ordre normal) e t t e l s que le graphe G = G(~',£) avec l e s sommets 2Y= IV 1 . . . . Vn] e t l e s l i g n e s £ = [I 1 .... IL], L = (m + Z~m+l at)/2 , soit connexe

(effet de la troncation).

On a dans (6.18) (%'

i D1%(~)(xi(1))

i (2~) -s D1 ( x i ( 1 ) )

f Dl(Xf(1))

i

=

f pO= f

f D1 ~o(~) ( x f ( 1 ) )

%)

=

dpS2~ ×~(£)P e x p - i ( p , x i ( 1 ) -

+

D 1 (xi(1)) Dl(Xf(1))Sp~ (xi(1)

-

xf(1) )

xf(1) )

(6.14)

-

et

p E ~1,2),

puisque G est

et

int~rieure

si

connexe.

ff < ~. Doric ( 6 . 8 )

et

(6.14)

existe

D~(xi(1))

On a p p e l l e

entra~nent

et peut ~tre

f Dl(Xf(1))

5~g(x)

-

que ( 6 . 7 )

calcul~

(6.15)

(p,p)

1

La t r a n s f o r m ~ e

•g

de F o u r i e r

~pl,...pn ) est C

=1, r

s

pour

par

_ xf(1))

(6.15)

(de F e y n m a n ) de l a l i g n e

(voir

r~gularisge est

aussi

1 et

(6 16)

- xf(1))

de ( 6 . 1 6 )

E99]. On y t r o u v e

m,nt

(6.14)

F ~l~(Xi(1)

=

sip

darts % ( R ( s + l ) n )

- m2 + i o

(de F e y n m a n ) du g r a p h e G, q u i e s t

~tudi~e par Brandt

est

en remplaTant

le propagateur

r Y[ ~1~ (xi(1) l'amplitude

extSrieure

e t m sommets e x t e •r l e" u

dp s + l Xff(~)p exp - i ( p , x )

(2g) s+l f

Nous a p p e l o n s

1 une ligne

ext~rieures

A~ff(xi(1) -xf(1)) +i

(6.13).

-

9 = 2. G p o s s ~ d e m l i g n e s

• V 1 . . . . Vm. ( 6 . 1 3 )

dans

1 4 8

par le cut-off

une c o n v o l u t i o n , l'exemple

en (Pm+1 .... pn ) apr~s l'int~gration

suivant)

~.

q u i a ~tg que

sur (Pl .... Pm )

avec ~ E ~(R(S+l)m).

Dans l a l i m i t e est

bonne et unique

darts u n a - v o i s i n a g e

g ~ ~ la d~finition

sur les

fonctions

de ( 6 . 7 )

d'essai

[

p a r l%e t h ~ o r ~ m e de Wick

~ E ~(R [s+l]m)

qui s'annulent

de

o

(6.17)

1 ~ i <j ~n

i1 y a ~me an ~ou~-e~p~ce ~ ( R (~+l)n) de~(R(s+l)n), de Wick a u n s e n s .

Pour prdciser

une r6gularisation F AI~(X ) a l a forme

covariante.

ce r d s u l t a t ,

nous allons

La t r a n s f o r m ~ e

i

~)~(P-

=

(p,p)

~ur lequel l ' e ~ p r e ~ i o .

de F o u r i e r

remplaeer ~[(p)

ZI(P) -m

2

(6.15)

de A [ ( x ) =

(6 18)

+io

o~ Zl(p) est un mon~me. Soit c,r > 0 et ~,r(p)51

=

Zl(p)

f da exp i a [ ( p , p ) r

- m2 + i ~ ]

(6.19)

par

149

-

-

Alors ~F AI

Evidemment 7 ~ ' r ( p )

~C

lim lim e~o r~o

=

r

E 0M(RS+I), e t sa t r a n s f o r m 4 e

5; ' r ( x )

-

(6.2o)

AI '

de F o u r i e r

4i Z l ( i ~ x ) ~ da exp - i V ( x4a ' x ~ + a(m2 - i~)]

(6.2i)

r

appartient

aus s i ~ ~ M ( ~ +1) . Donc ~T 1 Aa 1, r t k x i ( 1 ) -

s~de une t r a n s f o r m g e l'int$gration

de F o u r i e r ,

xf(1))

o) la convolution

s u r l e s a. L ' i n t 4 g r a l e

gaussienne

E ~M(~ ( s + l ) n )

peut 6tre

est triviale

pos-

interchangge

avec

e t donne ( v o i r

(6.27)) 5[~ I n

=

~

~

=

n

8( E pi ) 7 .... 7 7 i=l r

h ~ ' r }(p 1 . . . . . Pn )

d~l R(a,p)

exp i [

r

Aij(Pi,Pj ) - Z al(m 2- i~)] E i,j=l 1 (6.22)

I c i A . . = A . . ( a ) e s t une f o n c t i o n c o n t i n u e , r a t i o n n e l l e e t homog&ne de d e g r g 1J 1O - -L (s+i)n un en ~, e t R ( a , p ) e s t c o n t i n u e e t r a t i o n n e l l e en ~ e t p dans J r , ) x ~ ~e f a c t e u r

e x p - aE a l c o n t r ~ l e Soit

~N(~(s+l)n)

tous les ~ E ~ ( ~ s + l ) n )

doric l a c o n v e r g e n c e de ( 6 . 2 2 )

le sous-espace

avee

(avecla

topologie

& l'infini. induite)

de

(D~)(x I ..... Xn) = 0 sur

u l 0 ( 6 . 2 8 ) localement in%~grable gemen% de v a r i a b l e s

es% d a n s

e% (~1~2 + ~1~3 +

k

=

-

~'(1~+1),

a2~3) ~

a 1 + a 2 + a 3,

ear

(ala2 + ala3+ a2a3 ) ~

0 p o u r a.i ~ 0. Si ~ = 0

ai

=

~6i_

es%

l e eham

..(6.29)

mon%re un compor%emen% dk/k s-l, q u i n'es% pas localemen% in%6grable pour s > La % r a n s f o r m ~ e

de F o u r i e r

de ( 6 . 2 6 )

4

devient

2

(-i) 2 96

dx i exp i "=

F

F 3 ,

E (Pi'Xi) AI~ ~2~ i=l

/il~ (6.30)

2

-

-(2~) - [ s + l

qui exis%e dans

)6(p I

~ ' ( 1 ~ +1)

+

~I~i )2(_i~)s+l 96 ( ( p l , P l ) _ m 2 + i o

p2)(_i)2

(voir

F~(Pl)

+i exp-

l a d~mons%ra%ion du t h d o r b m e 6 . 1 3 ) ,

conformd-

men% a u lemme 6 . 2 . de m a s s e rend F ~ ( p )

Une r e n o r m a l i s a % i o n invariante

de Loren%z p o u r ~ - ~, s i s

M(2)

= 2. D ' a p r ~ s

4 v_oo ~r+ "(v_) o

=

+

deuxi~me

ordre

d~finie e%

bien

l e %h~or~me 5 . 4 ,

3 v~i r+(v~)

3 garan%i% que j u s q u ' a u

e% ( 6 . 3 0 )

le choix

(6.31)

3

la masse physique

es% 4 g a l e ~ m. A v e c l a

normalisa%ion (1.48) dSp I M (2)

m(~(Pl)

= 48(2u)-2s

=

~

4

2~ I

(dspi

2 ]-F i=2

-2~d~

e

2 a*(21)a(£i)m~(£i) 4 5( E

exp-2112i2) [

i=l

4

~ 2~i i=l

(6.32) 4

Zi ) +

i=2 4

]

i=2 (6.33)

Soi%

T6(~)

= (2~)-S/2 S dsp mff(~) e ipx- 7~2 (6.34)

-

On a M (2)g

:

; d~[~g+(~) ~ _ ( ~ )

153

-

+ 7~+(~)~_(~)}

et Mg

:

7 dx:~ff(~)7~(~):_

4 est une renormalisation de masse pour ~3' qui pourrait ~tre employee dans le lh~or~me 4.15 avec un cutoff spatial. Le remplaeemen~ V

~ Vg + Mg introduil

une correction au deuxi~me ordre

(-i) ~ dx3( %, T ( ~ o ( h ) % ( ~ 2 ) : % ~ ( ~ ) 7 o . ( X 3 ) : ) % )

~

(6.35)

dont la transform~e de F o u r i e r e s t 6gale h 2 2 +i e x p - 7~1 ) ( - i ) 2 m~(~l ) (2~)s+l 6(Pl+ P 2 ) ( ( p i , p i ) - m 2 + io

(6.36)

Un c a l c u l p~nible, bas~ sur le thgor~me des r~sidus, d~montre que

m~(zl )

=

48 (2u) -2(s+l) f

5 TT

.s+l -2?~ a pi e

i=3

(pi,Pi) - m 2 + io

5( E5 Pi - Pl) i=3

°

Pl=~I (6.37) Donc F6(Pl ) d a n s A v e c l a formule

(6.30) d o i t ~tre remplac6 par

f(p)

=

-

i ~

E ni+... +nm- 0 et F ¢ ' r ( p ) l ' e x p r e s s i o n correspondan%e ~ F ~ ( p ) , si l ' o n F p a r l e s p r o p a g a t e u r s A1~ , r qui s o n t r ~ g u l a r i s ~ s s e l o n ( 6 . 1 9 ) remplace l e s ~2g On o b t i e n t

donc une r e l a t i o n

de c o n s i s t a n c e

~tolim rtolim [ F e ' r ( ( p , p ) )

(6.40)

importante

- F a ' r ( m 2)}

=

e s t une bonne augure pour l a t h 6 o r i e

~ ~ des f o n c t i o n s

hamiltonienne

locale

: la l i m i t e

de Green, qui s o n t c a l c u l ~ e s avec un h a m i l t o n i e n n o n - c o v a -

riant et une renormalisation festemen%

~lim [ F 6 ( p ) - F 6 ( ~ ( ~ ) , ~ ) } ( 6 . 4 0 )

invariante

de masse non-covariante

de Lorentz

et divergente,

et 4gale a la fonction

est mani-

de Green renormalis4e

d'apr~s Bogoliuhov. = f d~ : ~ ( ~ )

M

le plus g4n6ral type

T~(~),,

dans H~, qui

avec m6(~)

, au deuxi~me

(6.39) et qui peut servir eomme

contreterme

remplace

Fa"r(p)

Rc'r(P)

ordre,

soustraetion

dans Hd ne peu% renormaliser

de Bogoliubov

arbiiraire,

est le contre-terme

donne une contribution dans

(6.30).

(6.30) pour s > 2. La prescription

par

1 f1 dr ( I - z )d bzd+ bd+l I F a , r (Tp+ ( 1 - Z)po) dI

-

du

Done aucun

(6.41)

o

avee

Po a r b i % r a i r e

s u r [ ( p o , P o ) = m 2] e% d

d est la "divergence

F~'r(p)

superfieielle"

= F~'r((p,p)), R¢,r(p)

=

2(s + i) - 6

(6.42)

de l'int4grale

(6.34).

Puisque

on obtient

_

i

-

e-Y

i

f dr (1-~

)c

~C+I

~c+1

F C'r

(%(P P) + (i_ T)m2)

=

o 1

c+l

dr ( i - T ) e l c !

-

r r x

avec d = 2c(+I).

exp i [ A [ T ( p , p )

Nous pouvons

tion sur k (6.29).

Done

+ ( 1 - Z)m 2] - E ai(m 2 - i e ) ]

passer ~ la limi%e

r$o et effectuer

(6.43)

l'in%dgra-

-

155

i lim lim ~a,r(p) ~o

=

r~o

-

I

TT d~ i 8(I- ~ ~i)

; d~ ; ; ; o

(~i~2 +

o

)(s+3+2e)/2

x

"'"

(6.44)

(~i~a)c+i((p,p)_ m~)C+i(i_~)c ei~(¢+i-d/~)/~ ÷ (1 - ;)m e] - m2 ÷

[A(~)[~(p,p) existe

dana

Programme ris~e

iojC+l-d/2

~ ' ( l ~ +1) e% donne une i n t ~ g r a l e :

soit

~[A; 'r.

G(~Y,£) u n g r a p h e

Nous a l l o n s

dSfinir

fixe

F(c + i - d/2)

de Feynman de l a forme h a b i t u e l l ~

de ( 6 . 7 )

une f o n c t i o n

avec son amplitude

Fe'r(p 1 .....

~M(R 4 n ) s a u l a n f a c % e u r 5 ( Z p i ) % e l l e qne < F e ' r , T >

pn),

r~gula-

qui eat dana

= O p o u r %ou% ~ E ~N(R 4 n )

e% que lira lira < (W Ae~r +

p~,r),~

>

c~o r~o

existe

pour tout

~ E ~(R 4n) et

cette

construction

avec la structure

champs s e r a

traitde

D~fini~ion

:

g~n~ralisd.

2 eat a~omique,

qu'une

ligne

(Ul,...,Us] f~rents

formelle

d'une

(R2).

La c o m p a t i b i l i ~ d

de

~ h ~ o r i e q u a n ~ i q u e des

dana l e t h d o r ~ m e 6 . 1 4 .

1E

si

~

contient

e x a c t e m e n t u n d l ~ m e n t . Nous d i s o n s

£ e a t c o n t e n u e d a n a U(1 * ~ ) ,

une p a r t i t i o n

si Vi(1) , Vf(1)

de %Vet ~ C £ l ' e n s e m b l e

des l i g n e s ,

E U. S o i t qui relient

dif-

~i~men~s de IU1 . . . . . ~s ] (i ~ U i, l~ i ~ s). Le graphe, que i'on obtie~

contraction

:

de t o u s

de r o u t e s

sans crainte

Exemple

au c r i t ~ r e

u n s o u s - e n s e m b l e ~ ~ ~ C ~ r d e s sommets de G e a t u n sommet

par identification ou,

satisfait

l e a sommets d e ~ q u i

lea lignes

de c o n f u s i o n ,

dans la Fig.

V1 .

6.1,

son~ dana l e m6me ~. e~ p a r 1 1 ~ Ui, 1 ~ i g s, eat nots G(~ 1 .... ,Us],~ )

G(iU 1 .....

U1

.V2

=

Us},£ ).

[V1,V3},

U3 = IV4] e t ~ = £.

~i ~ U 2

u ~ V4 -

lI2 = IV2 } ,

v ¥3

Fig. 6.1

G( ~Ul,U2,U3},~ )

-

156

La d i m e n s i o n d(U) d ' u n sommet g 6 n 6 r a l i s 6

perfieielle

-

U = [ V i , . . . , V ' } m e s t la d i v e r g e n c e su-

du s o u s - g r a p h e G([V I . . . . . V~},£) de G(O~;) : d(tl)

Iei r 1 = deg(Zl)

Soitd

E (rl+2) l'ell

=

( v o i r (6.i8)) e t

-

4(lul

- 1)

(6.45)

IUl est le nombre d ' 6 1 ~ m e n t s dans U.

E Z, (pO) = (p~ . . . . . p~) 6 R4k et T E ~(R 4k) de l a forme k

6( ~ p i ) T ( p ) , i=l Alors g(d,p°)T e s t d 6 f i n i

"~ E C~(R 4k)

(6.46)

par

k 6( E pi ) 8(p) i=1 oh e(p) = O s i d < O e t

(6.47)

s i n o n 8(p) e s t l a s 6 r i e de T a y l o r de ¢ ( p ) a u t o u r de

(pO) j u s q u ' a u degr6 d. L'amplitude G(~)',Z) s ' o b t i e n t ligne

de Feynman n o n - r e n o r m a l l s e e'"

en a t t a e h a n t

1 E £ le f a c t e u r

(r6gularis6e),

~ chaque sommet V. E ~2"le f a c t e u r 1

Ae~ r . Le c o n t r e - t e r m e

F ~ ' r de B o g o l i u b o v e t P a r a s i u k se

e a l e u l e dans l ' e s p a c e x d ' n n e f a ? o n t r ~ s a n a l o g u e : s o i t p a r t i t i o n de ~ ' a v e e m(i) < n. A ehaque sommet g ~ n ~ r a l i s 6 der ~ P dre une distribution P VP [VI''''' r}" Alors

~

£ (~)

r a x r , (l r . "~

avec support dans

Ix I . . . .

)~p ~ ~ ' r ( 'd-Pj '~ Z m]z[

=

P

~ A e ' r l , de 1 e t ~ chaque

j=l

T]-

[ ~ i l . . . . . U i m ( i ) } une liP. on f a i r c o r r e s p o n J P}, si gP = = Xr

A e1' r

(6.48)

eenn

avee Zp 6tendu ~ routes les partitions avee m(P) < n, et le produit 4tendu ~ toutes les lignes 1 qui relient diff@rents Le s ~ e ~ r ( u )

sent d~finis

3

r@cursivement.

"conn"

sommets g4n6ralis48.

S e i t g = [Vi . . . . . V ~ } =

Alors i

~a~r(u)

=

~e)r(u)

-

k ~¢~r(u)

=

~ U P j=l

,

si U est atomique

,

si

,

autrement

G(U,2) est

IPR

(6.49) p . VP e,r ~e~r({Vjl,'" ' jr(j) ]) ]-[ A 1

corm

157

-

-

~p est 4%endu ~ %ou%es les par%i%ions de U avec k > I. Induc%ivemen% qne ~g'r(u) est de la forme

on volt

(6.46). Done M = M(d(~),0) es% bien d6fini. Une

d4fini%ion plus g4n4rale avec un choix arbi%raire de "renormalisa%ions finies"

~er~ donn~e p ~ s

t~rd (~oir (~.~3V)).

Nous appelons

~}r(ly)

=

TT 52~r + F 2 , r ( ~ 1

=

~ } r ( l ~ + ~£2'r(q~

(6.50)

l ' a m p l i t n d e (de Feynman) r e n o r m a l i s ~ e (e% r ~ g u l a r i s ~ e ) de G(~)',£). Pour d~mont r e r que lim lim ~c~r(~) 6 ~ ' ( R 4 n ) , nous a l l o n s ~%udier l e s p r o p r i ~ t ~ s combi~ o r$o na%oires e t a n a l y t i q u e s de R. Exemple

:

( v o i r [1053).

S o i t G('~,~) de l a forme

V2

V t / 1 4 ~ 3

V3

V4 Fig. 6.2

avec r l .

= 1,

1 ~ i ~ 4,

z

r1

= 0,

comme pour ( ~ ) 4 "

Alors

5

+

sA.

,~

ip ~

+ /s •

~J

II

Fig.

6.3

-

158

-

Ghaque e n c e r c l e m e n t d~note une ( - M ) - o p d r a t i o n . La somme des t r o i s graphes est

6gale ~ ~ ( [ V 1 , V 2 , V 3 , V 4 ] ) . Nous avons omis r o u t e s l e s p a r t i t i o n s

q u i ne c o n t r i b u e n t vergent

derniers

~5 e'r,

il

pas.

On c o n s t a t e une d i f f i c u l t ~

f a u t un c o n t r e t e r m e n o n - t r i v i a l

{V1,V2,V4} , IV3] e t

sdrieuse

: pour r e n d r e c o n -

pour l e s p a r t i t i o n s

[V1}[V2,V3,V4] , qui ne se r e c o u v r e n t que p a r t i e l l e m e n t

("overlapping divergencies"). Pour d o n n e r une a u t r e D~finition

:

un ensemble ~

(1)

IV1] . . . . .

(2)

Si Ua, U~ E ~,

Si U 6 ~

Exemple

:

~o

Ua c ~

alors

la

de ~Y*est un buisson si

n'est pas atomique,

=

[ IV1] . . . . .

es% ordonn~ p a r t i e l l e m e n t

de U(I). I = (il,...,if) On a r r i v e

ou ~

c ~a ou Ua n ~

~ 0

: inclus ou disjoint).

les 614ments maximaux de ~ D ~(I).

des sous-ensembles

de R nous i n t r o d u i s o n s

[Vn] E

(alternative (3)

caract4risation

alors G(U,£) est IPI.

[Vn] ]

e s t un b u i s s o n .

par rapport ~ l'inclusion.

S o i e n t U(1) ..... U(k)

et U(I,i) .... ,U(I,j) les sous-ensembles

d5signera

la cha~ne d'inclusions

maximaux

U(il) D U(iii2)...

h la Fig. 6.4

u(1223)

\

~(kl)

a(k2)

u(122)

u(1) Fig.

6.4

L ' a m p l i t u d e de Feynman, ~ ( ~ 0 ) , d ' u n b u i s s o n e s t d ~ f i n i e

rScursivement par

-

1,

159

-

si ~ ( I ) es% atomique

O£(U(I)) -M(T~. ~ £ ( U ( I , j ) ) j

U

A1),

autremen%

conn

(~.~) ~£(~)

:

TT 3 £ ( H ( J ) ) j

TT h 1 eonn

Nous avons supprim~ la d~pendance de s , r > 0. Exemple : ~£(~.)__ = TT 51" £ Lemme 6 . 4

:

RZ('t~) = E 3 £ ( ~ ) ,

I1 e s t c l a i r

o~ E s ' ~ t e n d ~ t o u s l e s

que t o u s l e s ~ r ( ~ )

son avec deux e s p ~ c e s de sommets g ~ n ~ r a l i s ~ s o p S r e r dans l ' a m p l i t u d e

b u i s s o n s de G(~*,£).

p e u v e n t d i v e r g e r pour r i o . (sur lesquels

de Feynman c o r r e s p o n d a n f e )

(l-M)

Un b u i ~

e% (-M) v o n t

e s f un a r b r e .

Plus pr$cisd-

men% : D~finition

: ~

=

(~,g,~)

(i)

~ est un buisson

(Z)

g : ~

(3)

e s t un arbre d6pouilld,

{+i, -1} avec (a)

g(U(I))

=

-1,

(b)

~(N(i))

= +1,

~ ~ £ c o n t i e n t n-1 l i g n e s . avec 1 ~ H ( I ) ,

ferm~e Exemple

si

1 ~U(I,i)

si U(I) es% afomique si U(i) n ' e s f

pas a%omique

Pour chaque U(I) e ~ n o n - a f o m i q u e , ~i,

relienf

e n t r e eux l e s U ( I , i ) (voir Fig. 6.5). Aussi G({U(i)},~) es% l-connexe.

les 1E

sans b o u c l e

:

tl(I,I)

f .

'

/

,

/

'.

•

I

I I

j

| ~

U(T,2)

,

:

I i

i I

/ j

~

•

~

n

'

U(1,4 /

tl(I,3)

F i g . 6.5

Un U(I) C g - l ( + l )

es% appel~ b r a n c h e , un U(I) E g - i ( - 1 )

Feynman, ~(0~), d ' u n a r b r e d ~ p o u i l l 4 es% d 6 f i n i e

rameau. L ' a m p l i t u d e de

r~cursivemen% p a r

160

-

1

:

-M(~T ~ £ ( U ( I , i ) )

~£(11(I))

U(I)

atomique

TT hi) : o ( u ( I ) ) conn

~£(U(I,i))

(I-M)(T[

-

T[

A I)

= -1

non-atomique

: ff(U(II) = +1

conn

(6.52) ~(~¢)

:

~

~£(u(i))

]7

Ai

corm

~(~) est une somme E'~£(~) d'ampli%udes d'un sous-ensemble des b u i s s o n s , qui d 6 f i n i s s e n % R dans le lemme 6 . 4 . Si G(~,£) poss~de des s o u s - g r a p h e s d i v e r g e n t s qui ne se recouvren% que p a r t i e l l e m e n % , a l o r s chaque oc~r(4~) peu% a u s s i d i v e r g e t pour r4o. Ce%%e %4gra%ion

si%ua%ion

Snr Nous

~i'

chaque

1 ~ i ~ J(x),

aej:r(p /

[~(~/(a,p)

radicalemen%

{ai(~l)~

=

allons voir que, dans

d'arbres

change

si l'on subdivise

la r~gion

d'in-

en sec%eurs

: a-iniSgrand

al(n2)

sec%eur

a " ' " a l ( ~ L ) a r}

(6.53)

S r , on peu% %rouver un nombre

fini

%el que

=

Z

J(~) C

S f ^~ 3£ gr

i--1

de ~ c j r ( ~ i ) ( p )

lim r~o

~ ^~ ~£ S ~r

(~i)(~,p)5(zpi)

(6 54)

sans 5 ( Z p i / ] e t t e l que

(,~i)(,,p)

(6.55)

~£ (~: i ) ( a , p ) 5 ( Z p i ) ^c

(6.56/

exis%e dans Og(~4n / e% lim lim

~o existe

rto

~

S %r

darts ~ ' ( R 4 n / avec des propri4%4s d'analy%ici%6 en p d'une i n t 4 g r a l e

de

Feynman u s u e l l e . Nous allons l'a-in%~grand

d'une

done fixer un sec%eur

ampli%ude

de Feynman.

I' > i", si i' = l(x(i)) ~ I" = l(~(j))

S e% discu%er dans la sui%e ~r Dans (6.531 l'ensemble £ es% ordonn4 :

et i < j.

161

-

S o i t d~f= [ ~ , a , ~ } suivantes

-

un a r b r e d d p o u i l l ~ .

: g(I) = g(U(I))

; d(I) = d(U(I))

On i n t r o d u i t

les notations

; I > I', si U(I) ~ U(I') ; I a I',

s i U(I) n U(I'), Alors

£(I)

I1 E £ : 1 ~ U ( I ) ]

Z'(~)

£(I)

- U £(I,i)

m(~)

(~.57)

~'(~)

~(I)

~'(I)

~(I) -

- U ~(I,i) U JII

~i(J)

~(J)=-i Le thdor~me s u i v a n t divergencies") Thdorbme 6 . 5

contr31e

les divergences

chevauchantes

("overlapping

darts l ~ e s p a c e d e s ~ : :

dans chaque s e c t e u r

nr =

il

existe

(~,~,~)

un nombre f i n i

d'arbres

d~pouill~s

o t ~ i avec ( 6 . 5 4 ) .

un U E ~ .

Soit ~(i I ..... ir) la branche minimale qui contient I e t

l'~l~ment minimal d e ~

Soit&i

S

e t 1 E ~ - ~ ¢ o n t e n ~ e dans

H(i I .... it)

qui contient 1. Alors

I > 1'

pour route

I' E

t U

~'(i I . . . . ,is)

(6.58)

s=r

par rapport

h l'ordre dans S

Puisque

la d4monstration

nerie combinatoire, dans l'application Thdorbme 6 . 6

:

~r de ce th~or&me requiert une certaine machi-

nous allons dlabord nous familiariser principale

soit

~

=

: [~,~,~]

un a r b r e

du th~or~me 6 . 5 dans S n r . S o i t U ( I ) E ~ l'~-int~grand

~(U(I))(~,p)

8(V.E~(I) pi)

x

exp[i

avec son contenu

d S p o u i l l 4 dans l a d ~ c o m p o s i t i o n

une b r a n c h e

e s t une somme f i n i e

1 J~I~ ~ d x ( j ) Z I ( P ) ~(J)=l o

(if(I) = i).

Alors

de t e r m e s du type

QI(a'T)

E ~(i)2 I Vi,VjEU(I) Aij(Pi,Pj ) - i

jsiT~[ D J R J ( A J ) s J ( B J ) ~

Z

x

~l(m s - i ~ ) ] (6.59)

162

Pour un rameau (~(I) Dans ( 6 . 5 9 )

on a :

(1)

:

(2)

ZI(p) QI(a,T)

= -1),

fonetion

a l a m@me s t r u c t u r e

8e(~(1))(~,p)

monSme e n P i ( V i :

-

~ U(I))

rationnelle

de d e g r 6 2 x ( I )

avec ~(I)

= O.

+ z(I).

en a 1 (1 ~ U ( I ) )

et T(J)

(J ~ I),

homog~ne de d e g r 4 0 e n a, u n i f o r m 4 m e n t b o r n 4 e d a n s T

=

T (I)

=

[ ( ~ .... T ( J )

) : ~ E Sxo ,

0 g T(J)

g i

(J ~ I)] (6.60)

(3)

DJ

=

~

D12,

d e g r ~ +1 e n ~ (4)

AJ = ( A ~ j ) A~(a,T) a(J)

en a , T ,

homogbne de

e t D1 ~ ~1 d a n s TR. ( V i , Vj E U ( J ) )

rationnelle

ld

a v e c D1 = D I ( a , T ) r a t i o n n e l l e

: forme p o s i t i v e m e n t

en a,T,

semi-d~finie

homog~ne de d e g r d +1 e n a.

avec

I1 e x i s t e

< ~ d a n s Tx : [AiJjl -< a ( J ) m a x

(5)

RJ(A J )

: monSme de d e g r ~ x ( J )

(6)

J (~,z) Bij

(1 t i , j

~ lU(J)I

(6.61)

~a 1 : 1 E ~ " ( J ) }

e n A J .. ij

+ [Z'(J)

- l[

homog~ne de d e g r ~ - 1 en ~. I1 e x i s ~ e

' rationnelle

b(J)

< ~ tel

en a,T,

que d a n s T (6.62)

(7)

SJ(B J) : ~ o . ~ e

(8)

x(J),

y(J), x(J)

de d~gr~ y(J) ~ .

z(J)

E Z+ a v e c

= y(J)

= z(J)

x(J) ~ m i . x(J) 2y(J)

~

= 0,

si U(J) est

[k CZ, k ~ ( d ( J )

g (d(J)

+ z(J)

1j

- z(J))/2,

E I~U(J)

+ l-

si ~(J)

r1 + r [2x(J,i) i

atomique

z(~))/2], = -1

si*(J)

non atomique

+ z(J,i)].

= 1 (6.63)

D4mons%ration

-

163

-

(par un calcul pddan%)

:

soi% s 6 Z + maximal %el que

pour

i i ..... i s E Z+, U(I,i I ..... is) es% a%omique. S = s(I) es% l'0rdre de ~(I). Si S(I) = 0, U(1) es% a%omique e% le %h~or~me es% %rivialemen% vrai. Dans l'induction, nous supposons doric que le %h~or~me 6.6 sol% vrai pour %ous les U(J) E ~ avec s(J) < s(I), donc pour %ous les U(J) ~ U ( I ) .

Dans l a sui%e A1, ~ ( ~ ( J ) ) . . . . . supprimons l e s i n d i c e s ~ e% ~6. Puisque ~ ' ( I ) culer ~

relie

son% t o u j o u r s

les U(I,i)

des a - i n ~ g r a n d s .

Nous

sans b o u c l e f e r m d e , nous pouvons c a l -

~(U(I,i))

~ ) 5 1 % r i v i a l e m e n % . D ' a p r ~ s le thdor~me de c o n v o l u t i o n 1610/'(I pour la %ransformation de Fourier d'un produi%, on a une int6grale sur les

I~'(I)1

i m p u l s i o n s des A1, qui es% % r i v i a l e avec ] ~ ' ( I ) ] des I ~ ' ( I ) ] + 1 f o n c %ions 5 dans ~ ( U ( I , i ) ) , On ob%ient darts l ' e s p a c e p une somme de %ermes 1 5(V.EU(IE )pi) J~ d(I), deg Z I

(6.78)

eL au%remen% =

2x(I) + z(1) ~ d(I)

(6.79)

oh x ( I ) (i),

2~(i)

esL l e d e g r 4 du mon~me RI en A~ . Evidemmen% Z I , QI, R I , S I saLisfonL ij (2), (5), (7) e% (8). Si g(1) = +I on uLilise (6.38) eL on obLienL

+ ~(I)

~ d + ~ o~ x(I)

~ min[k 6 Z : k ~ (d(I)

(6.80)

+ 1 - z(I))/2} CQFD

Le Lh4or~me 6.6 donne assez d'informations

expliciLes

rameaux eL branches d'un arbre pour obienir (6.55)

Th6or~me 6.7

:

soil ~

sur les a-ini6grands des

:

= [~,ff,~} un arbre d~pouill4 dans la d6composi%ion ^

du Lheoreme' " 6.5 dans S r. Alors ~ ( ~ ) ( a , p )

esL absolumen% a-in%~grable

dans

S o ainsi que %ou%es ses d6riv4es par rappor% ~ p, e%

Sf dg ~(0%)(~,p) E • ( R

4n)

(6.81)

~O

D4mons%raLion

:

il faut d4mon%rer que, dans chaque arbre,

dans le num4raLeur)

x (grands g dans le d4nominaLeur)

soit ~ = (21~I) -I. Avee

(6.59) pour ~(U(1))(~,p),

le budge%

(peLi%s

n'esL pas d~ficiLaire.

o. voiL q.e

-

i 6 7

TT

l~£~I)-~ ol est

localement intdgrable

men% d S c r o i s s a n t

-

l~(I)

dans S o. P u i s q u e exp - i Z a l ( m 2 - i c ) e s t

e t que l e s au%res f a c % e u r s son% t e m p 4 r 4 s ,

il

suffit

rapideque p o u r

chaque b r a n c h e ~ ( I )

I,-

Nous a l l o n s

faire

=

[u(J) , J ~ i ,

l'hypoth~se

u(J> n

d'induction

(a)

Si

U(1) es% a t o m i q u e ,

(b)

si

g(I)

u u(K) K i enA 1 est 4tendu a routes les lignes 1 6 ~ qui relient diff6rents

COrm

Ui . . . . . U~. M = M(d(U~ U . . . U U~), 0) est d 4 f i n i

par (6.47).

Ce%%e d ~ f i n i t i o n

es% r d c u r s i v e . Remarque

:

~ ne contrSle que la l-par%icule

G([~ i ..... U~],~),

tandis que ~ entre dans

~ corm

irr$duc%ibilit6

des

e% dans la d4finition de

171

-

-

d(U~ U . . . U ~). Si l'on introdui% la notion de buisson g~n~ralis~ ~ partir des 41~ments minimaux ~i'''''~' alors %(Ul ....

es% l a somme s u r l e s Si l'on

r~duit

~,

'US)

= ~(Ul'''''

amplitudes

sU ) + ~ ( U l , . . . ,

de Feynman de %ous l e s b u i s s o n s

on rSdui% l e nombre des b u i s s o n s

l'amplitude

de Feynman de c e u x q u i r e s t e n t .

Exemple

dans la figure

:

6.6,

V 1

les

g~ndralis~s

1 E ~ E £ sont dessin6s

(6.I04)

g~n~ralis~s. sans changer

en t r a i t s

forts

V 2

R

=

V4

4-

V3

\' Fig.

6.6

%(Ib~) c o n t i e n % d0nc m o i n s de con%re-%ermes que sommets V 1 . . . .

sU )

,V 4 s a n s b o u c l e

fermde,

%(~Y) =

~£(~). ]-~

Si ~ r e l i e

les

h 1.

corm

Lemme 6 . 8 unique

:

soit

G([U 1 . . . . .

U s ] , ~ ) I P R. A l o r s

il

existe

une p a r t i t i o n

:

[U01, ],... [!I0S(0) ], avec s(1),...s(r)

> 1, t e l l e

{Ull .... llis(i ) ],''" [llri .... llrs(r ) }

que t o u s

%({u 1 . . . . u })

(6.io5)

les G({!Ijl .... lljs(j)},~ ) sont IPI et

= ~(~u

1

.... u })

=

s-~)~(UOi) ~ R~Q~([tlj Ujs(j)]) corm -~" 51

(6,106)

....

i=l

oh

~-~

porte

sur routes

j=l

les

lignes

qui relient

des ensembles diff5rents

corm

dans (6.105).

Ddmonstration la ~inition

:

(6.105)

s'obtient

~ partir

~e ~ ( { U 1 . . . . Us}) e x c l u t

routes

du g r a p h e G([U 1 . . . . ~ s ] , ~ ) . les partitions,

Puisque

q u i s o n t moths

172

-

que (6.105), on o b t i e n t

fines

-

(6.106).

Soit ~ I , . . . U m u n e n s e m b l e de sommets g ~ n 6 r a l i s d s d i s j o i n t s . Soit E ~et 1 E ~ une ligne qui relie ~i et Uj, I ~ i < j ~ m. Avec le lemme suivant, d~ ~ Bogoliubov et Parasiuk, on contrSle le remplacement de ~ par ~/i : ~ - h i d a n s (6. 102). :

Lemme 6 . 9

~ ( ~ i .... Urn) = ~/l(~l''''~m ) + ~ / l ( U j l J

U...U ~jr(j),~j(r(j)+l),...~jm) (6.107)

E porte

Ici,

sur tousles

G({UjI,...~

j r(j)],~),

1 < r(j)

~ m, q u i

J sont I P I avec 1 et I P R si

~/I((Ujl de ~ ( U j k ) , nouvelle

r(j)

l'on

U... ~jr(j)) .... Ujm ) est d~fini par (6.102), en partant

< k g m, e t p o u r l e sommet g S n d r a l i s ~

amplitude

l e lemme e s t tons

les

Ujl U...U U.jr(j) d'une

:

2E~/I(Ujl U... Ujr(j)) Ddmonstration

r e m p l a c e ~ p a r '~/1.

:

(Induction

certainement

[U i . . . . ~ ]

=

par rapport

vrai.

M~l

(Ujl .... ~jr(j))

(6.108)

h m, a v e c 1 E ~ ~ £ f i x e ) .

P o u r m = 1,

Nous s u p p o s o n s donc l e lemme 6 . 9 v r a i

pour

C {U1 . . . . Um] a v e c k < m.

Si G({U 1 .... ~m],~) est I P R, G({UI,...~m] , ~/I) esi~ a fortiori, z P R. G(IUjl .... Ujr(j)],~0est p o s a n t e

Ujm],~),

de G ( { U l , . . . ~ m } , ~ I ) . est

Soit

I P R, e t

les

Puisque

Si I ~HjP. I U . . . UPj r ( j ) '

1 ~e Uj 1 U... U / j r ( j ) ,

deux membres de ( 6 . 1 0 7 )

G({111 .... ~],~)

*~(U i ..... U )

I P I, il est ~lors cont~nu d~ns .~e z P I com-

=

I P I. Alors

G({•jlU...U ! 1 j r ( j ) , . . .

sont nuls.

:

k M PZ jTT : i *~(~I~. 1 . . . . . uPj r ( j )

)

TT

conn

alors

~ ~(11~.1 ....,UPjr(j) ) = ~6~/l(tljP.l, " .. ' UPj r ( j )) "

A1

( 6 . 109)

173

-

L'autre alternative pour un sous-ensemble ~ des partitions P eoncerne un seul faeteur de (6.109). Your une telle partition P E ~ on peut supposer que P P 1 ~ UII U.. ~ U l r ( l ). Puisque k > i, l'hypoth~se d'induction donne

~(U l ....

,%)

A -

M

=

_ M~VI(U 1 .....

P

E

E ~/i PEg a = l

P U...U

(Ulal

17 X~/l(Uj~

G( [ LIP. lal . . . .

Ular(1) ) x

r(j)) conn TF ~l

. . . . .

sur tousles

P

Ulas(a) ....

j=2 ~a : 1 p o r t e

%)

, ~ Pl a s ( a ) ] , ~ ) ,

(6. ii0)

qui s o n t I P I e t deviennent

IPR sans i. On voit que (6.iiO) est Sgal ~ (6.107)

m ~ ~/I(~I _ . r

/l(U l . . . .

,%)

Le d e u x i ~ m e t e r m e G([Ujl .....

Ujr(j)]

[

dans

~/I(Ul

(6.110)

, ~),

r(j)

les partitions non-triviales

est

..... ~)' U

si G([U 1 ..... %},

.U %)

(6.111)

autrement

~ g a l ~ l a somme s u r t o u s l e s

< m, q u i d e v i e n n e n t

de [~jl U...U U.

IPR s a n s

..

jr(j)'

Lemme 6 . 1 0

~/I) est IPI

~ "

IPI

1, e t

sur toutes

}. jm

CQFD

:

~2~(tIl,...,11m)

= ~]~/1(t11. . . . . Urn) + E' ~l~/l(lljl U...@ Ujr(j ) .... Ujm) J

(6.~12) a v e c Z[ s u r t o u s l e s J

IPI

G([Ujl . . . . , J j r ( j ) ] qui deviennent

IPR s a n s

(6.112) rbme 6 . 5 . qui est

En o u t r e ,

moins fin

est

, '11)I)

1 < r ( j ) <m,

1.

la relation

pour automatiser

nous avons besoin que c e l u i

en a r b r e s

d'un

la d4monstration

regroupement

d~pouill~s.

des termes

du t h 4 o de R £ ( ] ~ )

- i74-

D6fini%ion

: ~=

[b~P,~,~} es% un arbre,

(I)

~4~ es% un b u i s s o n .

(2)

~ C £ avec pour tou% U(I) ~ o ~ - ~ o ~ i q u e , G({U(i)],=)

(3)

=

-I

~(I)

=

:

~ior~ G(IU(I,i)},m)

IPR

on i-~onnexe ;

e~

IPI ~

~(I,i)

=

-i

p o u r d(I)E[OFl}non-a%omique

~(I) E ~-I(-i)

e% ~(I) E g-l(+l) une branche la hauZeur

~

pour U(i) non-a~om~quo O,

G([U(I,i)},~) D~finition

e~

pour U(1) a%omique

~(i) e {+~,o} ~i

G([U(~,i)},~)

es% l-connexe.

~ [+i,0,-i} a v e c

~ : ~ ~(I)

si

es% un rameau, d~pouill6e.

~(I)

E ~-i(0) une branche

%ouffue

Si U(1) = U(i I ..... il) , alors

i es%

de ~(I). L'ampli%ude

~(d~) d'un arbre es% r6cursivemen%

1

si

~(I)

]-[ A1) , conn

i

- M)(i~ ~ ( ~ ( I , i ) )

(1 (1

par

es% a%omique

- M (]-[ ~ 2 ( ~ ( I , i ) ) =

d6finie

~

conn

51),

M) ~ ( [ [ ( I , i ) } )

,

q(I)

= -1 n o n - a t o m i q u e

g(I) = ~(I)

=

+i

0

(6.ii3) ~(~)

~-[

por%e

(77 ~ ( u ( ~ ) ) ) (

=

i

sur %ou%es

les lignes

77

A~)

corm

1 E Z, qui relien%

les

{U(I,i)}.

conn ~({~(I,i)}) co~e

es% d4fini par (6.102)

amplitude

Exemple.

:

des s o ~ e ~ s

d'apr~s [Vo1} . . . . .

e% (6.103),

g~n6ralis~

le lemme 6 . 8 , [Vos(o ) ] ,

il

U(I,i)

en par%an% (~(I,i) = -i

des 5~(U(I,i))

~)

exis%e une p a r % i t i o n

[Vii . . . . . V l s ( 1 ) } . - " [Vri . . . . . V r s ( r ) (6. 114)

-

connexe G(~,£)

du g r a p h e

en I P I

175

-

sous-graphes

Vjs(j)],£

G([Vjl .....

) telle

que

r

R£(tl~") = -F R~(Vjl..... Vjs(j )) -IF j=l

Soit

~o

1' e n s e m b l e

Soit

~o({Vk])

un a r b r e

et

plitude

(6 114) et de

go([Vjz .....

(6.115)

[ V i i ] . . . . , {Vls(1) ],. . . , [ V r l ] , . . , { V r s ( r ) }.

Vjr(j)} )

=

0. A l o r s

¢~o = ( ~ o ' g o

'£)

est

= fi(~o).

du ~hSor~me 6 . 5

d'un

de l i g n e s

: -1 e t

R£(~

Ddmonstration

des

A1

conn

arbre.

:

n o u s a v o n s vu que R £ ( ~ )

Nous a l l o n s

m = [£1 -

I~l

procgder

d a n s £ - ~,

inductivement

avec l'hypoth~se

= ~(0~o)

par rapport suivanCe

Dans chaque S r , il existe des arbres # ~ i '

est

l'am-

au hombre

:

I s i s j(~) < ~, iels

que

j(~) =

a£(~) (a,p)

S

~(~i)

(a,p)

(6.116)

i=l et

que p o u r

dTordre

ehaque

$~i

° (~'~'~)

et

ehaque

1 E ~ - ~ on a ( a v e c l a

relation

d a n s S% ) t U

1 > i' pour routes I' E

~"(i I ..... i s )

(6.1i7)

s=r

Ici ~(i I ..... ir) est la branche minimale ment minimal touffue

est

m = [Zi

-

touffue

de

de ~

qui eontient

de hauteur

est satisfaite

< n - 1 et ~i

hauteur

=~=

k minimale.

%(u(z)) =

qui contient

I1 e x i s t e

iet

un k E Z + t e l

U(i I ..... it) l'616que r o u t e

branehe

h ~ k.

Cette hypoth~se

I~I

1.

=

(1 - M)

Par

par R £ ( ~ .

(~'~'~)

Soit donc

un a r b r e

avee ~ ( I )

d(I,i)

= -i et

d~finition,

(i - M) ~ ( u ( I , i ) . . . u ( I , s ) ) ~/I

(u(z,1)

.....

une branehe

=

u(s,s))

(6. 118)

q

+

Z (l-M) j=l

Nous avons appliqu6 (qui IPI

~2~l(tl(I,Jl)tJ...tl(1,Jr(j))

(6.i12) et choisi

est la plus grande ligne qui relie les graphes

G([~(I,Jl)

..... H(l,Jr(j)},~

) nut

.... l~(l,Js) )

la plus grande ligne i E ~"(I)

[g(l,i)}. sont

IPR

Ej porte sur t o u s l e s sans

i,

i < r(j)

< s.

-

Soit la partition

[U(I,hi)],

1 s i s a, e t

de { ~ ( I , J i ) . . . . U ( I , J r ( j ) ]

G({U(I,jI) . . . . U(I,Jr(j)}, X~/I(U(I,j

176

-

[U(I,hij],

1 s i s b, 1 s j ~ e ( i ) ,

qui d 6 f i n i t

l e s I P I e o m p o s a n t e s de

~V1). D'apr&s ( 6 . 1 0 8 )

1) U . . . U U ( I , J r ( j ) )

:

M ~ l ( ~ ( I , J l ) .... ~(I,Jr(j))) a

et (6.106)

b

M{ ~-~ 8 1 ( U ( I , h i ) ) ~ ~ 2 ~ l ( ~ ( I , h i l ) i=l i=l Si G([~(I,i),...~(I,s)],~/1)

(6.118)

(6.119)

= .... U(I,hic(i)~

e s t IPR, a l o r s

~ 51} conn

le p r e m i e r terme dans

devient

(~

- M) ~ V l ( U ( I , ~ )

.... ~(I,~))

d

(1-

M ) { TT

i=l

=

(6.1so)

e

%(U(1,ki~i~ %/1(U(I,ki~),...~(I,ki~(i)~ ~ A1} '= conn

Cependant, tons les G([U(I,Jl)U...U U(I,Jr(j)) .... U(I,Js)],~/1 ) sont IPI et leur amplitude ne se factorise pas. Nous a l l o n s

d~finir de nouveaux a r b r e s q

~(a)

:

s

C~j = (~j,~j,~l),

~(~j),

tels

que

(6.121)

j=o l'hypoth~se

(a)

d'induction ~tant satisfaite pour t o u t ~j.

Si G([~(I,I),...~(I,s)},~VI)

est IPI,

0

:

a[ors

(~,~,~1)

(6.122)

et ~j = [tlj(J)} et 0. sont d4finis par : J llj(J)

si ~(J) ~ ~(I) ou ~(J) n ~(I)

=

tl(J), ~j(Uj(J))

=

@. lutrement

=

:

6j(J)

(6.123)

177 -

t~j(I,l)

=

tl(I,jI) U...U tl(I,Jr(j)),

t lj. ( I , t )

=

tl(I,Jr(j)+t_l

~j(Uj(I,t)

=

-I,

=

~.(I,l,i) J

lj(I,t)

t~(I,hi) ,

dj (1~j(I,l,i)

=-I,

uj(I,i,~+i)

:

2 -< t -< s - r ( j )

+ I,

=

;

(I,Jr(j)+t_l)

Ij(I,l,i)

= =

=

(I,hi)

U(I,hij),

=

-i,

I -< i < b,

;

i ~ i -< b,

I < j < e(i),

Ij(I,l,a+i,j)

=

Pour J = (I,i) (2 g t -< s - r(j) + I), ou (l,l,i) (I -< i I" pour routes les I" E ~"(I)

J- j 1 ~. La c h a ~ n e d e s

' dldments

soit U' E ~. le de ~ .

j

entre

J

:

U[ C U'~ C . . . ~ J J

~(I,i)

C U. J

J

11[ J

(6.132)

pour un i, et le eas U! = U(I,i) est possible. Dans ~(I,i) les relation J dlordre de"J~resient valables : i v > l" pour ioutes les i" e m"(U(I,i)U...U ~"(II~), e% en plus nous avons I" E ~'(Uj) d'apr~s l'argumeni precedent.

(c)

S i U. = U ( I ) , l a c h a ~ n e d e s J avoir la forme

rameaux entre

~ . e% l e J

pent

u~ c u'~ c . . . = J

J

u(I,i)

rameau minimal

= u. = u. J

~t ~ 1 ' J

(6.133)

J

^

o~ •.j es% du type U(I,j 1 ) . . U...U ~l(I'Jr'J ' ) ' t " )"

De n o u v e a u ,

l'ancien

ne change pas dans ~I[ ...,~(I i), si l'on remplace ~ par ~/I

ordre

pendant

-

180

-

^

que ~(tlj) U ~l'~(tlj) j = :DI"(I). Doric l'hypoth~se d'induction es% toujours satisfaite. CQFD

Exemple (a)

:

c o n s i d ~ r e r G(q~',£) (voir Fig. 6.2) dans les deux secteurs %ypiques :

11 > 12 > 13 > 14 > 15

+

~r

2

~+

-

Wl

=

[V1 . . . . . V4'

~2([VI, V2, V4] ) =

[Vl . . . . . V4'

-1,

=

+1

IV1 . . . . . V4 }} '

62([Vl ..... V4] )

=

+I

{V2' V3' V4 }' [V1 . . . . 'V4 } }' :

-1,

dans ~.J s o n t d e s s i n S e s Maintenant,

~1([v1""'v4 })

{VI' V2' V4 }' =

~3([V2, V3, V4} ) Les l i g n e s

-

[vl .....v4' ~vl .....v4}}'

~'~2 =

~3

181

(~3({V1 . . . . . V4} )

:

+1.

f o r t e m e n t dans l a F i g .

un changement fini des param~tres de la th~orie. Une renormalisation finie e s t une a p p l i c a t i o n

nous a l l o n s

g~n~raliser

6.7 e t 6 . 8 .

l'op6ration

~ pour i n c l u r e

qui a t t r i b u e k chaque somme% g g n ~ r a l i s ~ { V ~ , . . . ~V ~une m '} ~ ^E,r y, ~ £ ( V ~ . . . , m) , qui e s t 6gale ~ un pour m = 1, zero pour

distribution G({V 1 . . . . . Vm},£) IPR et autrement de la forme m

5(

z pl)

Y ¢ , r ( P i ' ' " ,, Pm, )"

i=l y¢,r

e s t un polynSme a y a n t

tes les lignes cients

l a mSme c o v a r i a n c e

(6 134)

que ~ ' A ¢ ~ r [ ~

' produit

sur rou-

de G([V~ . . . . . Vm},£ ) de degr4 -< d([V~ . . . . ,V'm})' dont l e s c o e f f i -

sont continus

pour a , r -> 0 e t

d~pendent s e u l e m e n t de G(~VI,.

""

V' },£)

~ 111

^c,r~ u x A p a r t i r des ~ £ ( i ) (~l,...,~s : sommets g ~ n g r a l i s 4 s deux & deux disjoints) on d ~ f i n i t r 6 e u r s i v e m e n t d ' a u t r e s sommets g ~ n ~ r a l i s ~ s pour chaque [~I . . . . ,u~} = [u 1 . . . . . u S} : • ^

x~'r(u ') £

ie' r(lI' £

~-1 . . . .

,11~)

t

1

0

=

1

a ( [ U i . . . . ,U~ },£)

-M R~£r (tll . . . . . tt~)

IPR

autremen% (6.i35)

Ici ~

~£r(. I . . . . . U;)

=

R ~ r ( u l . . . . . U~)

:

Z' P

j=l

~r(u

por%e s u r %ou%es l e s p a r t i t i o n s

^~,r U: £ ( jl

~

....

,~P jr(j))

AS,

-[-F

conn

i . . . . ,U~) + ~ r ( ~

i ..... '~)

pour l e s q u e l l e s

k(P) > iet

r 1

182

-

-

M = M(d(~ i ..... ~'m) ,O). Avec une modificaLion e% 6.7 on d~mon%re

Corollaire

6.11

triviale

des th4or~mes

6.5, 6.6

le

:

A un f a c t e u r

5 ( Z p ~ ) prSs,

lim ^~E £, r . [Pli . ... . p{) 6 OM(R4%) rio La forme

la plus g4n4rale

une renormalisa%ion

'~e'r(v' £

finie

....

~

de l'op4raiion

V mI

1'

chaque

soustraciion

avec

[Vi,... ,V'm} ~ ~ e %

: sol%

)

a combine

(6.136)

1,

si

0

si G([V~,...,

m = 0

-g'~alr(vi,. - -

•

.

V' m},£)

es% IPR

,V~) + ~^g~r £ ( V ll , .

•

, V tm) a u i r e m e n t

•

(6.137/

'~cir(v i ..... V'm)

=

' ~ s l r ( v i . . . . . v'm)

=

k~),

Z'

P

j=l

¢,r,vP ~

'~ir(vi,..

£ (

jl'"

.. , ~ j r ( j ) ) TT

Ae'r

conn

., v'm ) + ' ~ £s , r , _( v l , ' ' ' ,

I

v'm)

n

Th4or~me 6 . 1 2

:

A un f a c t e u r

pi ) p r o s ,

6( E

i=l , s,r .. ~ £ (PI' .,pn) E

lim rlo

D6mons%ra%ion

:

(6.138)

se d~dui% de ( 6 . 1 3 6 )

'~'r~v' £

~

,~i~(vl

M

(6. 138) -

e% d e s i d e n ~ i % ~ e s

^s,r,2

,V~) i'''"

[98]

P

P

. . . . . v~)

=

E ~,rr.2 £ ("1 . . . . . P

=

P

2a,r~.P

, ~ ' ~£( v , , 1 " ' " ,v~) avec %

O,,(R4n)

Z

4 t e n d u a tou%es les p a r t i t i o n s

~

£

(~i

de [V i . . . . .

P _~ i1~ ~k(P) j

(6.139)

P

..... ~(P)) V{] en i ~ k ( P )

~ % solamets

g~n~ralis~s. Finalement,

il faut contrSler

6.6 et 6.7, la partie finie ~g(p,a,~)

la limite

elo. D'apr&s

les th4or~mes

d'un graphe IPI est une somme finie de

termes de la forme n

6(EPi ) P(p)

Q(a,T)

exp i

[

E i ,j=l

A

ij

(pi,Pj)

- Z~l(m2 - i a ) ]

(6.140)

-

avec A homog~ne de degr~ +1 en ~ e t A e% Q s o n t c o n t i n u e s

183

-

Q homog~ne de d e g r ~ f - [ £ ] ,

et localement inf~grables

dans T% . Dans l a s ~ r i e de GML

nous avons b e s o i n de l ~ e x i s t e n e e

de l a l i m i ~ e ~ o

~ans

~a~ir

~'(~4m).

Uonc non~ al~on~

t > 0, e n ~ .

de f d X m + l . . d x n ~ £ (xl,...,Xn)

que pour tou~ + ~ ~ ( ~ 4 ~ ) ,

n ~ ~ ~ l,

l'applieation +

~

lim

F

(6.141)

(~)

~o d~finit

une d i s t r i b u t i o n

dans

~,(~4m).

Ici

m

F¢(+)

=

f x

m

i__TTI.=dPi + ( P l ' ' ' ' ' P m ~

) ~(i=lZ p i ) P ( p l , . . . , P m , 0 , . . . , 0 )

d~ dT Q(~,T) exp i [ ( p , A p )

- E~l(m 2 - i c ) ]

T% m

(p,Ap)

D'apr~s

[18],

thdor~me X I I I ,

pour tou~ + ~ ~ ( ~ ) .

il

=

Z

Aij (pi,pj)

i,j=l

suffit

d'~iablir

que l a i i m i t e

(6.141)

existe

Soit

~1

=

P~l'

9

=

E1 a l ,

~(~i. . . . . ~(~i. . . .

1

g 1

g L

(6. 143)

Zl~ 1 = 1

%)

=

'~L-I'

pL-I

P)

A c a u s e de l ' h o m o g ~ n ~ i i ~ de A e~ Q on p e u t e f f e c t u e r L'identit~

(6.142)

l'int~gration

s u r p.

( p o u r Re x > 0, Im y > 0)

f dp pX-1 eipY

=

e ixx/2 F(x) y -x

(6.144)

0

donne

(6. 145 ) E

r(+,~,~)

:

e +i~/2

r(t)

f

dp P ( p , o ) + ( p )

~(Zp i )

E(p,Ap) - m2 + i ~ ] t

(6. 146 )

-

Nous

X E

allons

utiliser

d'une

x(t)=

{i

184-

fa$on

essentielle

2

que m

> O. S o i %

ffM(R1) avec pour

t-<m2/3/

pour

t -> m2/2

(6.i4v)

et

%(p,~,~)

=

¢(p) X(p,Ap) ( 6 . 148)

¢~(p,¢,z)

=

¢(p)

-

¢l(p,~,

~)

lim F~(¢2,~,z) e x i s t e e% e s t eontinue en ~,~. Puisque

Evidemmeni,

~¢o

La i i m i t e de Y ( ¢ l , ~ , z )

e s t eompaete, iim F (¢2) e x i s l e . diseut~e [(p,Ap)

~o avee l'414gante - m2+is3 -ten

m6%hode de S p e e r

peut ~¢re f a e i i e m e n t

[983 en u t i l i s a n %

l'analytieitd

de

t p o u r e > 0. On a

1

2 [(p,Ap)

TnA[E~L=1]

-m

+ is3 -t

=

~

2hi

d~.

I t k[=2I-

(k-t)~(p,Ap)-m2+ie]

~ (6.149)

Ill

E

i=i e%, p u i s q u e

( ( p , A p ) - me + i ~ )-X

(Pi

:

-2k(p,A)((p,Ap)-m2+ia)

' ~-~-i

-k-1

(~.l~o)

(p,Ap) -1 es¢ r~guli~re [ ( p , A p ) - m2 + i ~ 3 -A

[(p'Ap)-I

dans supp ~1' =

on a s u r

It-

k[ = 1 / 2

(-2)n[(x-1)...(X-n)3 -i x

Z (Pi' 5 )3 n [ ( p , A p ) - m2 + i ~ ] n-~

m

(6.151)

i=l Sol% n = t + 2. A l o r s

5/5e

[ ( p , A p ) - m2 + i e ] n - ~ e s t uniformgmen% t e m p 4 r ~ e e n p

pour 0 i,

5 ( X ~ l - X ' PJ 2 ) " " ' 5 ( X -j r (Ij )P

- X .Pj r ( j ) )

(6.155) ok z a ' r ( ~ )

e s t un polyn3me d i f f ~ r e n t i e l , qui op~re s u r l e s v a r i a b l e s VPj'r(j)])" . Or d ' o r d r e d ( [ V Pj l ' ' ' ' '

des d i f f e r e n c e s

lim lim < ~ A aL, r ,9 > ~$o r$o

d6finit

une f o n c t i o n n e l l e

lin4aire

=

lim lim < R s'r , 9 > c$o rio

continue sur ~N avecla

(6.i56)

topologie

induite,

si N e s t

suffisamment grand.

4vidente

La c o v a r i a n c e par r a p p o r t an groupe de L o r e n t z iL +t de R e s t a u s s i : l ' a m p l i t u d e o r i g i n a l e r 4 g u l a r i s ~ e 6 t a i t c o v a r i a n t e a i n s i que l e s

renormalisations

finies,

e t l a s ~ r i e de T a y l o r j u s q u ' a u degr4 d a u t o u r de

186

(p) = (O) d ' u n e f o n c t i o n I1 r e s t e la structure ba£ions.

est

4galement covariante.

~ d ~ m o n t r e r que l a c o n t i n u a t i o n

formelle

D'abord,

eovariante

-

d'une th~orie

nous i n t r o d u i s o n s

Un noyau d ' o p 4 r a t e u r s

quantique

UAL ~ ~ e s t

rela£iviste

compatible avec

en s ~ r i e des p e r t u r -

quelques d~fini~ions.

W(y i . . . . ,yn) e s f p o l y l o c a l ,

si West

une somme

finie

W(y 1 . . . . . yn)

avec Wti(Y),

=

E wt(Y 1 . . . . . y n ) : W t l ( y l ) . . . W t n ( Y n ) : t

1 s i < n, d e s polynSmes de Wick des champs l i b r e s

wt E ~ ' ( R 4 n ) .

W = i d Y l ' ' ' d Y n W(Yl . . . . . yn) e s t

W(y 1 . . . . ,yn) e s t

qu a s i l o c a l ,

s i supp wt c [Yl

.

(6.157)

locaux,

et

done une forme s u r ~ x ~ . .

.

.

.

y n ] . Done wt e s t

une

somme finie n-1

wt(Yl'''''Yn)

=

kE W t k ( Y l ) Dtk Yl'= 5 ( y j - Y j + I )

a v e c Wtk E ~ ' ( R 4) e t Dtk un monSme d i f f 6 r e n t i e l Y n - 1 - Yn" W(Yl . . . . , y n ) e s t x

Uo(~,-a)

variant

=

W(yl+a

par translations,

Dans l ' e s p r i t

invariant

. . . . .

tousles

de l a t h ~ o r i e

renormalis~e

renormalisde

Wtk dans ( 6 . 1 5 8 )

de l a r e n o r m a l i s a t i o n ,

d'apr~s

Bogoliubov,

que l a s ~ r i e soit

d'interaction

"presque" vrai,

si l'on

W~(x) g ~ n 4 r a l i s d e

on a i m e r a i t

w~(x)

=

(1)

h(~)

= Vo(~)

(2)

A ( x 1 . . . . . ~ ) quasilocaZ,

rem-

de 6ML de l a

~gale ~ la s~rie

d~finit

et in-

sonf des constantes.

de l a ~ W ~ - t h ~ o r i e . B o g o l i u b o v e t s e s c o l l a b o r a t e u r s

montr~ que c e c i e s t densitd

~ Yl- Y2'''"

s i U o ( ~ , a ) W(y 1 . . . . yn)

Yn+a) p o u r Lout a E R4. Si W e s f q u a s i l o c a l

alors

p l a c e r Ho + ~V p a r Ho + ~Wk, Wk = V + Rk, t e l kV-th~orie,

par rapport

par translations

(6.i58)

de 6ML n o n -

El] o n t d~-

W~ = ~ W ~ ( 0 , ~ ) d ~ a v e c une

:

z ( -i~),~-I ~ dx 2 . . . . . d x A n ( h , . . . , x n=l ~! '

n)

(6.159t

avec

r~el et totalement

i~aria~

sym~trique

par *ra~sia~io~s,

(n ~ 2)

(6. 160)

-

187

-

Si l'on remplace LVo(X ) par XWL(x )dans la s~rie de GIV[L e% en observant que supp An(X 1 . . . . . . x n). = _{x1 . . . . . en

Xn }' on o b t i e n t

comme s S r i e

formelle

T

(~co, T(~(Xl)-..~(Xm))~co)re n

=

co

=

E

(-iX)nnl f dYl" . dYn(~o'T(~o(Xl . . . .)

"~o(xm)Wk(Yl) .

"Wk(Yn))q~o )T

n=o

oo =

E

n=o

(_i~)n n'

"

n E

n! E

r = l s ( i ) + . . . +s ( r ) = n

x

s(1)i...s(r)irl

tt) x f ~ -' {{1 dy..(~Po,T(+o(Xl) 1J "'"~o(Xm)As(1) ( Y l l ' "'"Yls (i))"'"As (r) (Yrl ....Yrs (r)))~o)To i=l j= (6.161) On observe que n l ( s ( 1 ) l . . . s ( r ) ! r ! )

-1 e s t

le nombre de p a r t i t i o n s

P de [Yl ..... yn] en r ensembles avec s(1),...,s(r) 41~ments. Ceci permet d'~crire (6.161) plus sym4%riquemen% : (_il)n

n!

n E

f dYl "'" dYn r=l

=

n=oZ

x

(To,T(~o(Xl)...~o(Xm)hs(i)(Y~l

E s(1)+...s(r)=n

E P

x

P

P

.... yls(1))...As(r)(Yrl

P .... Yrs(r)))To)

T °

(6.1621 Le c a r a c % b r e remplaee

du changemen% 1Vo(X) ~ IWk(x ) es% c l a i r

: au deuxibme

ordre

on

(%,T(%%)%(~m)Vo(Yl)Vo(Y2))%)~ par

(~o,T(~o(Xl)...[Vo(Yl)Vo(Y2)

+ h2(yl,y2)])io)~

(6.163)

au %roisi~me o r d r e (To,T(~o(Xl)'''Vo(Yl)Vo(Y2)Vo(Y3))To) par

~

(~o,T(~o(Xl)...~Vo(Yl)Vo(Y2)Vo(Y3) + Vo(Yl)A2(Y2,y3) + Vo(Y2)A2(Yl,Y3 ) + V o ( Y 3 ) A 2 ( Y l , y 2) + A 3 ( Y l , Y 2 , Y 3 ) ~ ) ~ o ) ~

(6. 164)

On aimerai% donc d4mon%rer que ies con%re-%ermes dans la ddfini%ion correc%e

-

188

-

de la valeur moyenne T-ordonn4e peuvent 6ire combings dans une suite {An} d'op~rateurs quasiloeaux. Cependant, il faut ajouter une prescription d'Gvaluation a (6.161), pour arriver a u n

tel ~h~or~me. On suppose que les coeffi-

cients Wnt(Xl,...,Xn) de A d4pendent de 8 > 0, r > 0, Wnt = w n%' et que les Fn propagateurs de Feyrunan 81 sont r4gularisGes selon (6.19). Alors [13 : ThGor~me 6 . 1 4

rGgularis4e

:

soit

(~co,r(~(xl)...~(Xm/)~)re

et renormalis4e

n

donn4 p a r

la s4rie

(en r e m p l a $ a n t ~ A~ r p a r ~ r ( 9 ~ )

phe G(%~,£), avee un e h o i x de r e n o r m a l i s a t i o n s

finies

de 6 ~

pour t o u t g r a -

arbitraire,

mais f i x G ) .

invariants par Alors, il existe une suite ~~Ae'r~ n ~n~2 d ' o p G r a t e u r s q u a s i l o c a u x translations, (formellement r~els pour r,g$o) et symGtriques, tels que comme sGrie f o r m e l l e

en ~ : %T,E,r ten

=

co

(-ik) n! n f dYl. . .dYn(~o,T (~o(Xl ). ..$o(Xm)WS~r (Yl). ..Wk~'r(yn))~o)~ 's'r

E n=o

(6.165) I e i Wke'r(y) e s t du t y p e ( 6 . i 5 9 ) DSmonstration

:

e t indSpendan% de m 6 Z+.

s o i t G('~,£) un graphe a r b i t r a i r e

$o(Xm)Vo(Yl)...Vo(Yn))~o )T'c'r.

Les s o u s t r a c t i o n s

attachGes aux IPl-graphes de Vo(Yl)...Vo(Yn). use dimension d 2 0,

de ( ~ o , T ( ~ o ( X l ) . . . ~a'r(v',1

o sont

....

Si G({V I ..... Vn},£)est IPI avee

~E~r([v I ..... Vn} ) a son support dans [Yl . . . . .

Yn }"

Done ce contre-terme doi% provenir de A e'r. D'autre part, pour contribuer nonn trivialement dans

8,r

T,g,r

(90 T(~o(Xl)...~o(Xm) A n (Yl . . . . .

l'opGrateur : W t l ( y l ) . . . W t n ( Y n ) : terme de degr~ m e n

~

d'un terme darts ( 6 . 1 5 7 ) ,

.

dolt

p

et ses derlvees, et m pareourt tout Z

O

des op~rateurs w ~ r ( y )

Yn))~o )

(6. 166 )

contenir un si l'on eherehe

+

qui renormalisent proprement routes les fonctions de

Green. Une d4finition naturelle (mais non-unique l) de A ¢'r est done la suin

vante

: 1)

thGor~me 1 . 1 ,

D ~ v e l o p p e r T(V°(Yl)''-'V°(Yn))F. on polynSme de Wick, s e l o n le avec un p r o p a g a t e u r

/k1 r e g u l a r i s e

r

T(Vo(Yl)...Vo(Yn)) ~'

pour chaque c o n t r a c t i o n

:

8~r

=

X TK A 1 (Yi(1) - Yf(1) ) :WGI(Yl)'''WGn(Yn ):

G

I

(6.167)

189

-

o2 l e s WGi(Yi) 2)

sont

d e s monSmes de Wick en D i j + o ( Y i ) .

Retenir

V1,...,V net

-

tousles

est

IPI,

Ae, r

=

n

et

termes,

remplacer

o2 l e g r a p h e 6 = G ( ~ , £ ) a n sommets 5 a 1, r p a r ' ~ a '£r ( v 1 , . . . . V n ) . h l o r s :

~ 1

' ~ a '£r ( v

6(Vl...Vn,£)ip I

)...WG~Yn):

l"'Vn):~l(Yl

(6. 168 )

deg(WGl...WGn)> 0

Alors

Ae ' r

Satisfait

h (6.160)

et est

formellement

r6el

pour

~o,

r4o.

n

Cette

d6finition

garantit

que l e d 6 v e l o p p e m e n t

de Wick r ~ g u l a r i s ~

de (~o,T(Xl)...~o(xm)A~r(yl .... ,yn))~o): '~'r produit t o u t e s maximales

est

m E Z +. La r e s t r i c t i o n

possible

ration

~ cause

R appliqude

dans

(6.168)~

de l a t r o n c a t i o n .

~ (6.169)

la c o n d i t i o n

L'apparence

comme c o n t r i b u t i o n

avec 1 < r < nest

une c o n s e q u e n c e

de ~. 0 b s e r v e z

directe

deg(WGl...WGn ) > 0

des autres

termes

de l ' o p ~ -

des termes T c,r '

du t h ~ o r b m e

que l e d d v e l o p p e m e n t

( 6 . 169 )

'C'r

P P (~o,T(~o(Xl)'''As(1)(Yll.'')'..hs(r)(Yrl'..))~o)o

nition

soustractions

pour ($o'T(~o(Xl)'''~o(xm)Vo(yl)'''Vo(yn))~o)~

pour tout

les

(6.17o)

de Wick e t de l a d ~ f i -

de Wick r ~ g u l a r i s ~

(6.167)

saris-

fair

T(Wl(Xl)...Wn(Xn)) e'r

Une d ~ m o n s t r a t i o n de b o s o n s

tr~s

et fermions On p e u t

la IV-th~orie k~-th~orie.

est

renormalisation m o d u l e s du t y p e

~labor~e

du t h $ o r ~ m e 6 . 1 4

diff~rents

6gale

Cependant,

T. C ' e s t

T[T(Wl(Xl)...Wk(Xk))~'r...T(Wl(Xl)...Wn(Xn))~'r]

donc d i r e

des contributions produit

:

se t r o u v e

que l a s ~ r i e

~ la sdrie

de 6ML r 6 g u l a r i s 6 e

des diff6rentiations (4.6) B

C

covariante

oh l e s

de S p e e r

du f o r m a l i s m e

local

est

contre-termes

de champs

~98].

e% r e n o r m a l i s 6 e

non-renormalis6e (6.19)

qui proviennent

une 6 q u i v a l e n c e

d'un Hamiltonien ou

p o u r un nombre f i n i la th~se

de GML r ~ g u l a r i s ~ e

la r6gularisation

pourquoi

dans

ne t i e n t

de B o g o l i u b o v possible

ne c o n t i e n n e n t

de

de l a

pas

des discontinuitds

seulement

s'r

compte du

a v e c une

pour les

p a s de d 6 r i v 6 e s

-

190

-

par rapport au temps.

D6finition

une interaction l o c a l e

:

Vest

dire super-renormalisable

pour tout n suffisamment grand, renormalisable

s,rr

~£

si A = 0 n

si le d e g r ~ polynSmial de

tV l,...,Vn) et deg(WGl...WGn ) sont uniform~ment born~s pour tout h a'rn

(6.168),

et autrement non-renormalisable.

Avec cette d4finition, nous pouvons classifier les modules du type DEF d'une fagon plus fine : une interaction locale V du type DEF est du type 3 si V e s t super-renormalisable (exemple ~5' ( ~ ) 3 ) , du type E, si V e s t renor4 malisable (exemple : ~4' ( ~ ) 4 ) et du type F, si V e s t non-renormalisable (exemple

: (~)~).

La renormalisation des interactions du type D qui ne permet-

tent pan de formalisme canonique est encore relativement simple. Quelles sont les 4quations de mouvement correctes pour ces modules

Exemple

:

4 ~3' la seule divergence

pour le mod&le

?

(dire "primitive") dans la

sSrie de GML appara~t au deuxi~me ordre T(

4

4

)e,r

:¢o(Yl)::~o(Y2): 3

4

=

4

:~o(Yl)~o(Y2):

3

+

+ 16 A a ' r ( y l - Y 2 ) : ~ o ( Y l ) ~ o ( Y 2 ) :

72

+ 96 A ~ ' r ( y l - Y 2 ) 3 : ¢ o ( Y 1 ) ~ o ( Y 2 ) : + 2 4

A~

2

'r(yl-Y2)2tIo(Yl)~o(y

2

2):

(6.i71)

As'r(yl-Y2)4

Donc ~r h 2 (Yl'Y2)

La t r a n s f o r m 4 e

de Fourier

graphe logarithmiquement

=

de ~ , r ~ ) divergent

:~o(Yl)~o(Y2) :

~e,r~) est

(6.172)

de l a f o r m e A ~ ' r 6 ( p l + P 2 ) p o u r un

(dimension d = 0). Nous choisissons pour

A ~'r la transform4e de Fourier de - 96 Ac'r(yl-Y2)3 , avec Pl sur la eouche

de m a s s e ,

(pl,pl)

= m2.

Noun a v o n s v ~ d a n s l ' e x e m p l e l'ordre est

~2 e t q u e ,

~gale h la limite

hamiltonienne maintenant

a4o,

r4o l a f o n c t i o n

~ ~ ~ de l ' e x p r e s s i o n

renormalisde

selon

renormalise

correspondante

Glimm. Les t h $ o r ~ m e s

la th~orie

~ deux p o i n t s

(6.40)

de l a t h ~ o r i e

6.13 et 6.14 impliquent

:

Thdor~me 6 . 1 5 fonctions

dans la limite

( 6 . 3 9 ) , que c e c i

:

Avec AS~ r de l a f o r m e

de G r e e n r e n o r m a l i s ~ e s

d'apr~s

(6.172)

e t AC'rn ffi 0 p o u r n > 2, l e s

Bogoliubov

sont

identiques

(~ c h a q u e

191

-

ordre

en k) ~ l a l i m i t e

tonien

local

contient

-

4 de G r e e n du m o d u l e ~3' s i

g ~ ~ des fonctions

une r e n o r m a l i s a t i o n

de m a s s e ~

l'hamil-

= ~2 ~ d~ : ~ ( N ) % ( ~ ) :

de l a forme (6.34). Une p r o p o s i t i o n Exemple et

analogue est vraie 4 ~4'

pour la th~orie

:

A¢'r(x)2 l o g a r i t h m i q u e m e n t

•E•rf 2

\

~Yl'Y2 !

=

5~'r(x)3

est

divergent.

a,r~)

p o u r l e s m o d u l e s (P + Q ~ ) 2 " quadra~quement divergent

Done ( 6 . 1 7 1 )

(d = 2)

n o u s amine

:~o(Yl)~o(Y2) : + ~,ro):~o(yl)2~o(Y2)2

: (6.1~a)

avee les

transform~es

de F o u r i e r ~(Pl + p2)[A~ r + ((pl,Pl)

=

- m2) B£~r]

(6. 174) a,r 8(p I

=

E~r

On p e u t c h o i s i r

p o u r -C 2

72 5 c ' r ( y 1 - y 2 ) 2 au p o i n t fixe

la charge

on c h o i s i t autour

est

la valeur

coefficients

de ( h , p l )

est

= m2.

D'apr~s

analytique

(6.44),

en ce p o i n t

de F o u r i e r cette

meson-meson en ordre

de l a s ~ r i e

uniquement d~terminde.

renormalisation

de l a t r a n s f o r m ~ e

P l = 0. Comme d a n s ( 3 . 1 5 0 ) ,

de l ' i n t e r a c t i o n

les

deux p o i n t s

+ P2 ) ca~ r

de

d~finition

de C~ ' r

~2. P o u r -A¢~ r e t -B% ' r

de T a y l o r de ~ ( 9 6 ! ( s c ' r ) 3 ) ( p i , P 2 ) cette

contrih.tion

~ la fonction

p o u r a$o. Done l a r e n o r m a l i s a t i o n

_ha'r2 e s t une r e n o r m a l i s a t i o n

de m a s s e ,

c~r

B 2

finie une

d'amplitude,

Dans e h a q u e o r d r e n , i l y a des c o n t r i b u t i o n s ~,r h n ( Y l ' . . . . y n ) , q u i s o n t de l a forme

non-triviales

c,rt C ~

5 1 ~Yi(1) - Yf(1) ) : } o ( Y i l ) } o ( Y i 2 ) '

C ~

A 1 (Yi(1)

ou

avec

1 ~ i I ....

les valeurs plitude

, i 4 ~ n. G(W,~)

Dans ce c a s , physiques

renormalisations

de p r e s c r i r e

- Yf(1)

est

off i l

IFI e t

:

"=

d(W)

y a plusieurs

~o(Yi ) :

aux ~ t a t s finies

que c h a q u e g r a p h e

(6.176)

j

= +2 pour

graphes

de l a masse e t de l a c h a r g e e t

du champ r e l a t i v e

unique les est

4

a,r

pour (6.176).

(6.175)

monoparticulaires

et

la normalisation ne f i x e n t

pour chaque graphe. sSpardment soit

(6.175)

primitivement

d(V9

= 0

flivergent~ de 1 ' a m -

p l u s de m a n i ~

La p r o c d d u r e

canonique

proprement normalisS.

Soit

192 -

donc R £ ~pl,...,pn ) = 5(EPi)R £ (Pl , .... pn ) l a par%ie f i n i e (6.176) avan% la soustraction maximale. Alors

~z

~PI""'P~ )

= -~(Zpi)R~r(O

Pour ( 6 . 1 7 5 ) ,

8(zPi)R

nous a l l o n s

--E~r

le. Nous

~ (Pl ..... pn ) la ~on~rib~io~ posons

(ili 2 ~o~e

de K

dans

£

..... 0). --Egr(

distinguer

deux cas. Soi% R £ ~ p l , . . . , p n )

do (6.175)

a~a,~

la so,,tractio~

~a~ima-

darts (6.175))

£ ~Pl'''',Pn )

- 6 ( Z p i ) Teor(p)

i1

=

i2

(6. 177 )

Ici Til,i2~Pl ,c'r , ...,pn) es% la sSrie de Taylor de -e'rR £ jusqu'au degr4 deux au%our de (0 . . . . . . .

Pi2,

0) avec

•~il . . . . .

~i I

=

- Pi2 sur la eouehe de masse,

[PI'''''Pn) es% la s4rie de Taylor de R-~,r £ jusqu'au degr~ (~il,~il ) = m 2. Te'r'o deux au%our de (0,...,O). La mo%iva%ion es% la suivan%e : si i I = i2, la con%ribu%ion du sous-graphe (6.175) dans un graphe de la s6rie de GML es% %ypiqu~ men% celle de la Fig. 6.9

)

Vh

: (

Pl

P2

V.

, Pl

.~i

( P2

k4 Fig.

6.9

F i g . 6.10

Soien% pl,p 2 e% kl,...,k 5 les impulsions ex%6rieures e% in%~rieures, respee%iyemen%. La conservation d'impulsion ~ chaque somme% implique que -Pl = P2 e% que les k i peuven% ~%re ehoisies ind~pendan%es de PI" Donc la Fig. 6.9 es% 4quivalen%e ~ une renormalisa%ion de masse, comme la Fig. 6.10, de la forme g~'rAe'r(pl)2 5(pl+P2 ) avec g~,r ind~pendan% de PI" Le choix (6.177) renormalise ga~r ~ z4ro. Le cas i I ~ i 2 es% %ypiquemen% celui de la Fig. 6.11

-

Pl

193

-

kl

P2
T p o u r

La th~orie

. , p n )T d ~ f i n i t

infiniment

sdpards)

asymptotique

la contribution de l a m a t r i c e

(6. 180)

Pk+l + " ' " Pn ~ Pl + " ' " + Pk par

conS,

(C n E R 1) .

.

>T

(6.181)

T T ( P l - . . P k , - P k + l " " "-Pn )

o pi = ~(pi)

(l_l_U n! a v e c A,B > 0 u n i f o r m ~ m e n t 0 ~ -k ~ ~ d'ordre

< ~, a v e c k

O

nest

pour

(Pi' .... P2e_l)

arbitraire,

O

P2e

= _ E2 e - 1 , M2 j = l Pj fixe

Le nombre de t e l s

et

graphes

p o u r n > 2e m i n o r ~ p a r 2e + 1 ) ! !

(6.192)

que A

diverge

E J,

mais fixe.

n~(n-

de s o r t e

( 6 . 191)

A Bn

pour tout

0

k

>

~

Z ( n - R e * i)!! Bn(-k) n n=2e+l -k

(6.193)

•

O

Th4or~me 6 . 1 6 malis4e

et

:

Pour les

r6gularis~e

une r e s o m m a t i o n

[98]

une n o u v e l l e

pour d'autres

auxiliaire

diverge

comme d a n s

R~cemment, trouv~

T(pi,...,p2e

)T du m o d u l e

pour tout

la Fig

r4f4rences).

dans ~e~r(p)

Ae~r(k,p)

s4rie

(pi,...,P2e_l)

additive

par

de B o g o l i u b o v

la renormalisation

E J,

apr~s

Nous i n t r o d u i s o n s

et Parasiuk

analytique

une v a r i a b l e

a

(voir

complexe

:

Zl(p) F(k) -1 f

=

da

k-1

exp i ~ [ ( p , p ) -

(6.144)

2 m + i~]

(6.194)

r

On obtient a v e c

de GML r e n o r -

6.13.

la renormalisation interpr4iation

0 > k et

~43 l a

:

~l(k,p)

ink exp --~

=

Zl(p)

=

lim lim

[(p,p)-

m 2

+ i o ) ] -k

~r(~,p)

e~o r ; o

Air(p) Pour

c et

r > O, l e p r o d u i t

=

7i(i,p)

(6.195)

199

-

q;~ ' r ( ~- -,-x )

L 7T 1=1

=

-

A~'r( - 1 "kl'

e s t dans OM e n ~ = (x 1 . . . . . Xn) e% e n t i e r a n a l y t i q u e t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r de ( 6 . 1 9 6 ) e s t de l a forme

~,r(~_,p)

n ~ 6(i=12 p i ) {f

:

- xf(1))

xi(1)

(6 • 196)

en ( k l , . . . , k L )

kl-1

]]-I I d o l ~1

r(

kl)_l]

= ~. La

x

R(~,~) exp i[(p,Ap) - Zal(m 2- i $ ) ]

(6.197)

Speer dgmontre sans effort le

Thdor&me 6.17

:

=

s o i t G ( V l , . . . , V n , £ ) un graphe connexe e t

[~ 6 eL: Rekl , M = (2 + Z r l ) ( L - n +

1),

1 ~ 1 ~ L} (6.19S)

A l o r s pour t o u t ~ 6 qSs(~)

existe,

=

limc~'r(~) rto

E ~,(~4n)

(6.199)

e s t holomorphe en ~ 6 ~ e t poss~de une c o n t i n u a t i o n mgromorphe r6g(~)

dans eL.

~(a)

~

r( z

~c£

(h-M))-I

(6.200)

l~

est holomorphe dans C L.

Apr~s avoir enlev6 le cut-off r > 0 pour I E ~, on est tent6 de d4finir une amplitude de Feynman renormalis~e par continuation analytique de

~(~)

~ ~ = (i .... ,1) = !. si ~ ( ~ )

n'est pas analytique a !, une idle natu-

relle dans la th~orie des distributions

[124J,

[125] est de choisir eomme

"valeur finie" le terme constant de la s~rie de Laurent cul unidimensionel,

autour de i. Le eal-

en posant k I =...= IL = ~' ne satisfait pas au th~or~me

6.14. Speer propose une ~valuation itSr4e et sym~tris~e.

O 1

d p,

IPl]

(A. 21 )

> d 'v

d

f ¢[ ~ c Ind(i + [p 1-p21)-N(l+d) IpladP

-~

E

~i (A.22)

l e lemme 4 . 4 .

Soit maintenant

(p,q)

tel

que

(A. 23 )

I~+ ql ~ 2

Alors

d

~

}nl

~ s -

~c

[pJ/2

T~

~ s - sP/e

ou

i~-ql 2

~

~

~ ~ c P ( I c - ~P/21 + i) -i ~ ~(i + c)p-1

(A . 2 4 )

d-alP~2 Donc

l(A~a) ,.j < ~(1 + ~)p-1

(1 + ] h

- P2[ )-N

(A.25)

Dans l a r ~ g i o n

(A.26)

208 -

-

il

faut

utiliser

la compensation

entre

S ( k 2 , k 3 )2

Le d e r n i e r allons

terme,

estimer

la

2

-m (2~2~ 3

)-1

contribution

sdpardment

du t e r m e

I x _ ![ A

pour

I A I - > IBI > o, a l o r s

convergent

constant

- P2 )" On a

(A.27)

d a n s @ e t d;. Nous

en u t i l i s a n t

IA - B I ~ [A

B

pour

et +(P'q'Pl

2 1 _ k2k____33, m 7 (1 ~2~3 ~2~3 )

=

, est

~(p,q,pl,P2)

BI e

(A.28)

iBiI+~

~

IBI > o

IA[,

(A.29)

IA-1-B-11 < IA -Bl~(IA1-1-~ + IB1-1-~) Donc

ID/~)dpdq g(Pl

p)~(p _ p2){(g(~ + q) + ~(~ _ q))-l_ 2 2

~D/~)dpdqlg(Pl

p)~(p

+

_

P2)l{(~( ~ + q) + ~(~ 2

(2~(q))-l-~}{l~(~

+ q) - ~ ( q ) ] e 2

On a I ~ ( ~ ± q) - ~ ( q ) l 2

g c ~(p/2).

_

(2,(q))-*}l

q))-l-e

+

2 + ] ~ ( ~ - q) 2

~(q)l ~}

(A.30)

Si

.(p) > ~(pl) 2

,

(A.a,)

2

alors g(Pl - p) absorbe

~(p/2) ~. Autrement I ~ ( ~ ± q) - ~ ( q ) l ~ ~ C2 ~ ( P l ) 2¢ 2

Dans l e s

deux c a s l ' i n t g g r a l e

e t on o b t i e n t

restante

est

major~e

p a r c(1 + [Pl - P2 ] ) - N '

l e lemme 4 . 4 . g v e e q~ = q ± p / 2 ,

~

= ~(q~) et

(A.32)

[ q ~ ] ~ 1 on a

- 209 -

q+ q_

t

q

2 (A.33)

-2 -( ~I)

~+~ (~+ + ~_)

q

I(P+ + ~_)-1

(=~)-~1 + (2~) -~1~

2

~1

Le p r e m i e r terme e s t d ~ j ~ e s t i m 6 . M a i n t e n a n t 2 q 2 I

q+q_

I~+~_

q 2 - T2p2/4

5

j~ d~ V ~(. + ~p/2)~(. - zp/~)

=

e p2 f l ~dT (~(q + ~p/2) -1 + ~(n - ~p/2)-1) 2

(A.34)

O

et q+q

q

2

q+q_

q

2 (A.35)

Avec (A.34) et (A.35) on obtien~ une d~croissance suppl6men~aire G(q)-¢ 2¢ n n i f o r m 6 m e n t en p e t

z . Le f a e t e u r

~ ( p ) ~ ~ ( p l )2, e~ autrement Ce~te e s t i m a t i o n une d g m o n s t r a t i o n (e)

p

s e r a a b s o r b 6 dans g ( P l

p),

si

par ~(pl )4¢. est

inspirge

par eelle

de Glimm E23~, qui donne

a n a l o g u e du lemme 4 . 8 .

D d m o n s t r a t i o n de ( 4 . 1 2 3 )

:

il

fau~ estimer

typiquement

4 d2k. r~(ki+...+k4)l 2

S

i=I

2J_

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