Théorie de la renormalisation: Cours donné à l'Ecole Polytechnique, Paris

Lecture Notes in Physics Edited by J. Ehlers, Austin, K. Hepp, ZQrich and H. A. Weidenm(Jller, Heidelberg Managing Edito...

Author: K. Hepp

25 downloads 782 Views 6MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Lecture Notes in Physics Edited by J. Ehlers, Austin, K. Hepp, ZQrich and H. A. Weidenm(Jller, Heidelberg Managing Editor: W. Beiglb6ck, Heidelberg

2 K. Hepp Eidgen6ssische Technische Hochschule, ZUrich

Theorie de la renormalisation Cours donn6 & I'Ecole Polytechnique, Paris

¢ Springer-Verlag Berlin.Heidelberg • New York 1969

Table

des m a t i ~ r e s

Chapitre

0

Introduction .........................................

1

Chapitre

I

L'espace

de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chapitre

II

Les

s&ries des p e r t u r b a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chapitre

III Les

m o d u l e s de Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chapitre

IV

Hamiltoniens

Chapitre

V

Le r o y a u m e

Chapitre

VI

Les f o n c t i o n s

locaux ..................................

78

i n t e r m & d i a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 de G r e e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Epilogue ..........................................................

202

Appendice:

Estimations ............................................

203

R&f~rences ........................................................

2"11

-

1

-

C H A P I T R E

0

INTRODUCTION

II exis%e deux approches extr%mes aux probl~mes de la m~canique quantique rela%ivis%e : la description ph~nom~nologique et la m4thode axiomatiqu£. La premiere utilise

une

mnl~i%ude

de

modules approxima%ifs num~riquemen% ac-

cessibles (modUle p4riph6rique, p$1es de Regge,...), don% la justification est tir4e des donn~es exp6rimen%ales et de leur param6%risa~ion plu%8% que par d4duc%ion d'une th4orie globale. Ces schemas ne permet%en% pas une extrapolation dans un autre domaine sans danger de contradiction. La description axioma%ique part d'un cadre ma%h4ma~ique e% presque sacr4, dans lequel des propri~%~s %res g~n4rales , comme invarianee de Loren%z, causali%4 e% uni%ari%4, son% exprim~es par des relations entre

un

hombre infini d'ampli%udes. Si

l'on

in%rodui% des

informations suppl~men%aires sur les par%icules observ~es, comme le spectre de masse e% des r~gles

de

s~leetion, on arrive ~ des relations int~ressan%es, et

d'une grande g~n4rali%~ , entre des quan%it~s mesurables. II est clair que ces deux niveaux de description vont coexisterdans l'avenir pendan% une tr~s longue p~riode. Mais, malgr~ %cures les difficul%~s bien connues,

il fau% cons%ruire des modeles qui in%erpolen%

ph~nom~nologique et le monde axioma%ique. Faute

d'id~es

entre

le monde

meilleures, nous al-

lons chercher dans ce cours une interpolation qui est bas~e sur les modeles formels des champs quantiques en interaction non-lin6aire

polynSmiale.

Un

traitement satisfaisant de ces interactions fai% constamment appel, comme ~ nn "dens ex machina", ~ des renormalisations. En exigeant que

les

solutions

des

4quations de mouvement donnent eorreetemen% certaines qnantit~s observables, comme l'~nergie de l'~tat fondamental, la masse

et

la charge,

on

est forc~

d'introduire des eon%retermes dans l'in%eraction, qui sont de degr6 sup6rieur dans la constante de couplage. Pour la plupar% des interactions, ces renormalisations sont infinies, mais e l l ~ n e

changen% pas radicalement la structure

formelle de la th~orie. Les premiers grands travaux snr la r e n o r m a l i s a t i o n (..., Dirae, StUeckelberg, Tomonaga, Schwinger, Feynman, Dyson, Pauli, K~ll~n, Bogoliubov,...) on% d~velopp4 cette m~%hode dans la s6rie des perturbations. R~cemment, la th6orie quantique des champs (TQC) constructive a justifi~ ces manipulations par un grand hombre de th~or~mes non-triviaux (...Friedriehs, Wigh%man, Segal, Symanzik, Ruelle, Nelson, Jaffe, Lanford, Glimm,...). La rdaii%4 des divergences de la TQC est maintenan% 4tablie hors des sSries formelles des perturbations, et la %h~orie de la renormalisation a %rouv4 nne base

-

math~matique, crises

qui nous

renomm~s sur

faTon

choisi

et

toujours

tions

et

pitre

II,

introduire

Lee v o n t

recommencer

le

certaines Studier

III.

crY,

rigoureusement

tion

du f o r m a l i s m e g~n~rale

de l ' a u t e u r

~ z~ro dans nos

terminer

et

~4~).

pas

I,

avec une carac-

de F o c k .

Dans le

des perturbations.

allons

d~terminer

les

sSries

finies

tousles

canonique.

et

perturbative

sera

infinies

Vest

des perturbations, Pour

chade

hamiltoniens

Le c h a p i t r e

de G r e e n .

nota-

Les modules

de r e n o r m a l i s a t i o n s

aux fonctions

de l a r e n o r m a l i s a t i o n

d'une

les

dans

en utilisant

d'aspects

ou s e u l e m e n t

on v a f i x e r

les

nous

l'espace

des trai-

subjectif,

que b e a u c o u p

introduction

chapitre

operations s~ries

Ce c h o i x

expliquent

cette

dans un formalisme

hamiltonien

comme c o m p l d m e n t

~3],

n'apparaissent

exemples

Ensuite,

renormalisables

~2~,

TQC. D a n s l e

d'excellents

chapitre

locaux

de c e c o u r s ~1~,

relativiste

d'une

allons

fournir

exemple

Nous a l l o n s

qualitative

nous

le materiel

l'ignorance

quantique

carricaturale.

t~risation

rie

de n e p l u s

l a TQC ( p a r

l e m a n q u e de t e m p s de l a m ~ c a n i q u e

dans

-

de d ~ s e s p o i r .

Nous a v o n s ~s

permet

2

consa-

~ la

celle-ci

d~velopp~

transi-

une th~o-

dans

le

dernier

chapitre.

Qu'est-ce physiquement on a i m e r a i t ~ar

des

d6crit

n6cessaire d6crire

op6rateurs

expriment

des

TQC r e l a t i v i s t e

du f o r m a l i s m e

les

les

de l a m 6 c a n i q u e

de H i l b e r t ,

fondamentales

par un potentiel

@(x),

? Dans une extension

champs 61ectromagn6tiques

dans un espace

restrictions

F~V(x)

de D i r a c

qu'une

~quations

A~(x)

pour

et

si

de M a x w e l l

8v F g ' ( x )

=

quantique

FgV(x)

dont les

l'on

logique

les

et

non-relativiste

les

courants

relations

mesures

associe

et

simultan4es. les

Jg(x)

de c o m m u t a t i o n

charges

Si l'on ~ u n champ

deviennent

e ~(x)yg~(x)

(o.1) (i ~ - m)~(x)

Des r e l a t i o n s

d'incertitude

=

comme :

[~oA~(°,~ ), A'(°,~)~ apparaissent

comme c o n d i t i o n s

non-lin~aires

du t y p e

dans une th$orie tions

et

pace mais

Dirac

initiales pr~sentent

de c h a m p s c l a s s i q u e s .

du p r o b l ~ m e

Maxwell

(0.1)

de C a u c h y d a n s avec

seulement

des

locales

e ~(x)%(x)

donn~es dans

= 1~ ~" ~(~-~) pour x

o

= 0.

d~jA des Jusqu'~

le

present

rgguli~res,

temps

Les ~quations

difficult~s

l'~lectrodynamique tr~s

(0.2)

on c o n n a i t

classique qui

sont

Eh~. Le p r o b l ~ m e

de c h a m p s

consid~rables des

solu-

d e s c h a m p s de globales

initial

dans

ltes -

singulier

-

3

-

(0.2) de la TQC implique que los solutions sont des distributions h valeurs op4rateurs, pour lesquelles une multiplication es% extr~mement d41icate. On d~finit la multiplication des champs quantiques iocanx sans interaction avec des soustractions,

:%(x)2:

par exemple ([63 eL Chap. I)

=

lim

[%(h)%(~2)

(o.3)

- (%,%(xl)%(~2)%)~

Xl,X2~X La thdorie des perturbations sugg~re des renormalisa%ions une d~finition correcte de (0.i) ([73,[83,[93,[i03).

singuli~res pour

Mais, on est dans un cer-

cle vicieux : pour d~finir les ~quations de champs, il faut conna~tre qualitativement les solutions qui, d'autre part, d~pendent d'une faTon %r~s singuliere de la forme des ~quations de mouvement.

La d d c o u v e r t e g 6 n i a l e ,

visant h o b t e n i r

des 4 q u a t i o n s de mouvement,

o~ les variables cin4matiques sont d4finies ind4pendan~nent d'une connaissance des solutions, revient aux premiers jours de la TQC Ill]. Pour simplifier, nous allons discuter la "quantification" de l'~quation de champ

(D+m2)~(x) + ~ ~(x) n L'analogue

c o n t i n u des r e l a t i o n s ~(O,z)]

=

[~(0,~),

[~(o,~),

~(O,z)]

=

1 8(~ - z)

--

classique

=

~

~(x)

~XO

o

(0.4)

de c o m m u t a t i o n s e n t r e

[~(0,~),

~(o,~) Dans l a t h ~ o r i e

=

(0.4) est

~(O,z)]

les qi,p jest =

0

(0.5)

O=o l'~quation

d'Euler

associ~e

~ une d e n s i t 6

hamiltonienne

H(~(~), ~(~))

=

Ho(~(x),

Y(x)) + ~ ~

~(x) n + l

(o.6) Ho(~(x), ~ ( x ) )

1 = ~[~(~)2

+

I~ ~(x)l 2 + m2~(x) 2]

Le f o r m a l i s m e c a n o n i q u e p e r m e t l a r 6 d u c t i o n de ( 0 . 4 )

hun

probl~me de l ' a n a -

lyse fonctionnelle lin6aire. On o b s e r v e que H o ( ~ o ( X ) , Yo(X)) e s t h a m i l t o n i e n n e d ' u n champs l i b r e ~ (x) avee

la densitg

O

([]+ 2 )

%(x)

=

0

(0.7)

-

On c h o i s i t

des solutions

de ( 0 . 7 )

~(0,~) H

=

H° Ceci

sont

les

donn~es

=

4

qui

-

satisfont

%(o,~),

~(0,~)

H o + ~ f~a x _ .

=

=

et

on p o s e

~o(O,D

~o(0 ,_, x~ n + l ..

f a~'o(%(°,~),

cingmatiques,

~ (0.5),

(o.s)

~o(O,~))

en p a r t i c u l i e r

:~ ( x ) n + l :

est

bien

d~fini

o

par ( 1 . 5 1 ) . 1'on

peut

On ob~ion~ u~e s o l u t i o n du p~obl~me dynamique (0.4) e~ (0.5) si d~montrer

que H e s t

un o p ~ r a t e u r

autoadjoint.

Car ceci

permet

les

d~finitions ~(x)

=

e iItx° ~o(0,x)

e -iHx°

if(x)

=

e iItx° ffo(0,x)

e -iHx°

=

e i H x ° :¢o (0

¢(~)n e t on o b t i e n t ,

grace

aux r e l a t i o n s

x n : e -ittx ° ,_)

de c o m m u t a t i o n s

~(~)

~x °

=

~(~)

(0.9)

=

des ~o(0,~), f f o ( 0 , Z )

iEH,

~(~)]

(o.io) 52 5 02 ~(~)

=

(5-m2)~(x)-

~ ~(x)n

Une simplification additionnelle revient h Guenin [12] et Segal E13] : la localit~ de H(x) implique (voir Chap. V) que l'on peut remplacer H par H(g) dans

(0.9)

et

(0.10),

o~

o

~

f dx_ g(~) :5o(0,x)n+i:_

(o.ll)

Ici 0 s g(E) E ~ ( R s) est un cut-off spatial arbitraire qui satisfait ~ g(~) e 1 d a n s un voisinage de la r d g i o n un o p ~ r a t e u r des relations lit~

autoadjoint,

si

de c o m m u t a t i o n s ,

du champ de g e i s e n h e r g [~(x),

devrait

~tre

I~ - El

s

prend pour

les

chances

]x°]].

Alors

que H n ' e s t

~o(X) l a r e p r e s e n t a t i o n

pour H(g)

sont meilleures.

jamais de F o c k La l o e a -

$(x),

if(y)]

ind4pendante

{2 '

l'on

=

d'un

0 cut-off

pour

(x - y , x - y )

dans H(g)

"tr~s

< 0

loin".

(o.12)

-

Un hamiltonien du type

5

-

(0.8) apparait aussi tr~s naturellement,

l'on consid~re un autre schema du couplage relativiste.

iL:

Pg et M pd les g~n~rateurs infinit~-

(1.55). Soient

simaux, en partieulier Ho =

PO.o Nous

(X) o Uo(a,A ) du groupe

Le champ libre ~

peut ~tre d4fini avec une representation unitaire continue de Lorentz inhomog~ne

o

o

aimerions "perturber" Ho,

=. Ho + v

H

si

~0.13~

de telle fagon que H puisse ~tre un des dix g~ndrateurs,

H = pO, d'une nouvel-

le representation unitaire de iL l . Ceei es% formellement possible si

V =

f d~ Vo(O,~ )

(0,14)

o~ Vo(X ) est une d e n s i t ~ sym~trique, Vo(X)~ = Vo(X), et s e a l a i r e

Er~, Vo(X)]

= - i ~ Vo(X) (o.15)

[M~',Vo(X)j

= i(~% ~ _ x'~')Vo(X)

qui satisfai~ h

[Vo(O,~), Vo(O,z)j

(o.i~)

= o

Car, si l ' o n pose (k,1 = 1 , 2 , 3 )

~1

= ~1,

rk

o

= pk

o

(o.17) pO

=

pO o

+

V,

M°k

=

~:k + / dx k Vo(O,x)

l e s P~ e t Mk l ont d5j~ l e s bonnes r e l a t i o n s

Epo,~l]

=

de commutations. Par exemple

[po, Mkl]o-- i J d x _ ( x k ~ 1 - x l ~ k ) v o ( 0 , ~ )

= 0 (0.18)

D'autre part, [M°k,P°J =

=

ok o o CMo ,Po ] + [M°k,vJ + EJ d x xkVo(O,x),Poj + [ f d~ xkVo(O,~),V j

ipko- i f dx xk~°Vo(O,x) + i f dx xk~°Vo(O,x) + f d x d y

xk[Vo(O,x),Vo(O,x)J

= iPk

(o.19) grace h ( 0 . 1 6 ) ,

e t on o b t i e n t l e s a u t r e s r e l a t i o n s

de l a m~me mani~re.

-

Malheureusement

6

-

les densit~s scalaires V (x) avec (0.16) ne

d~fi-

o

nissent jamais un op4rateur V. Les t r o i s illustr4es

avec V (x)

principales

difficult~s

peuven% ~%re

:~o(X) k

=

o

~)

Le %erme p u r e m e n t c r 4 a t e u r

dans V donne %ypiquement

k __ k d~ ~+(O,x) k -- ~ -~- d ~ i 5 ( Z £ i ) ~

i=i J~i e% c r ~ e k p a r t i c u l e s (m2 + ~ ) ~ 2 , associ4e tions

a v e c une f o n c t i o n

au volume i n f i n i

d'onde 8(Z£i ) ~ ~i~'

d'interaction

a v e c une p o l a r i s a t i o n

(~)

du v i d e )

:~o(0,x)k:,

(strictement

d'un cut-off

spatial

k > 2, ~ temps f i x e , autres

cas,

pour les "hautes fr6quences").

th~me c e n t r a l (7)

~ deux d i m e n a i o n s ,

s o n t des d i s t r i b u t i o n s

~ valeurs

op4ra-

l e domain~ de V(g) = f d~ g ( x ) V o ( 0 , ~ ) e s t (d4croissance

Leur traitement

M~me dans l ' e s p a c e - t e m p s singuli~re

multiple

de H

de p a r t i c u l e s .

des perturbations

faible de ~ 2

par une renormalisation

sera le

comme ~o(X), q u i e s t les difficult~s

par exemple, la

( v o i r %h4or~me 6 . 1 6 ) .

.

O

+ f dx v ( 0 , D -- O

(0.21)

nous a l l o n s

en champs f e r m i o n s .

locaux, Malgr~

c h e r c h e r une dynamique en p a r t a n t

es% l e s e u l sch4ma de c o u p l a g e q u a n t i q u e des p e r t u r b a t i o n s .

de

que nous c o m p r e -

Un o p d r a t e u r Hr e n a u t o a d j o i n t ,

~ H, r d s o u d une 4 q u a t i o n de mouvemen% du t y p e de S c h r S d i n g e r

i $ = Hren~ e%, dans un sch4ma c a n o n i q u e , I1 e s t

interaction,

s i Vo(X ) e s t un polynSme de Wick en ~amps l i b r e s

du moins en s 4 r i e s

q u i es% a s s o c i 4

Pour une t e l l e

s y m 6 t r i q u e e% de d e g r 4 p a i r

~ ) , (~), ~ ) ,

car (0.21)

es%

l a forme =

un h a m i l % o n i e n l o c a l ,

~ deux d i m e n s i o n % f d ~ g ( ~ ) : ~ o ( O , ~ ) k :

p o u r k > 2, e% inversemen%, h c a u s e de l a

o

peut diverger

Nous a p p e l o n s

nions,

de t r a n s l a -

de ce c o u r s .

une p e r t u r b a t i o n

(0.21),

: invariance

dans H ( g ) .

trivial ~ cause de divergences ultraviolettes

s~rie

~i = ~ ( Z i ) =

a ~t6 ~ v i t 4 e p o u r l e s champs de H e i s e n -

S e u l e m e n t p o u r #o(X) darts l ' e s p a c e - t e m p s

%eurs. Darts t o u s l e s

cr4ation

(0.20)

q u i n ' e s % p a s l o c a l e m e n t L 2 ~ c a u s e de 5 ( Z ~ i ) . C e t t e d i v e r g e n c e

berg par l'introduction

les

a*(~i)

i=l

clair

une 6 q u a t i o n de champs n o n - l i n ~ a i r e .

que l e s champs de H e i s e n b e r g

une description de la nature.

~(x) s e u l s ne d o n n e n t p a s

Les r~sul%a%s exp~rimen%aux

son% exprim~s par

des valeurs moyennes de produi%s ~Ai(xi) de champs dans les ~%ats physiques q,

-

7

-

(9, ~ A i ( x i) 9)

(0.22)

Nous allons caract~riser la relation entre les ~tats physiques et les op~rateurs de champs dans une TQC par les axiomes de Wightman Symanzik et Zimmermann

[3~ et de Lehmann,

[i4~ (LSZ). Pour simplifier la notation, nous choisis-

sont le module d~un champs neutre scalaire avee une sorte de particules asymptotiques h masse m > 0 et spin O. Le cadre pour un tel module est le suivant

i)

Dans l'espace d' Hilbert ~ de la th6orie,

il y a u n e

reprdsen-

ration unitaire continue U(a,h) de iL:. Le spectre S des translations

U(a,~)

=

exp i ( P , a )

:

~ dE(p) e i(p'a)

(0.23)

S est

S Le p r o j e c t e u r

= E

{0} U { P ° > 0 ,

o

( p , p ) = m2} U { p ° > 0 ,

( p , p ) ->4m2}

(0.24)

sur {0} a la dimension nn

E x o

=

[~®, II~ll = 1}

(0.25)

et ~ est appeld l'dtat du vide.

2)

Pour tout f E 4 ( ~ 4)

i l e x i s t e un o p $ r a t e u r

~(f) de domaine D

invariant

~(f)D C

D

S(a,A)D

=.

wED

(0.26)

Pour t o u t 9 , ¢ E D, f ~ ( 9 , ~ ( f ) ¢ )

=

(#(?)9,¢)

e s t une distribution temp~rde

dans 4 ' ( ~ 4) ( p l u s g d n 4 r a l e m e n t une d i s t r i b u t i o n 3)

Au sens des d i s t r i b u t i o n s , U ( a , A ) I ( x ) U ( a , A ) -1

strictement

localisable

[153).

on a sur D =

}(Ax+ a)

(0.27) [~(x),

4)

~(Y) 3

=

S o i t E11e p r o j e e t e u r

0

pour

(x-y,

x-y)

0, ( p , p ) = m2}. A l o r s E l ~ ( x ) w ~ 0 .

:

-

Les axiomes ( 1 , 2 , 3 , 4 ) tiques

lim

H

$ ( f i , % ) Cew =

c > 0

a~u%(fi~ ~

[17] : (0.28)

in

= $ dx ~(x) ~(x,t)

= c ] dp y(p) exp i[~(~)~ - (p,x)] ~(~)

(0.29)

~(~(~),~)

=

s.pp Yi = [pO > 0 , 1 ( p , p ) - ~21 < m2/2]. Soien% ,%/n e% ~ou% l e s s o u s - e s p a c e s

asymptotiques.

implique

de ~ g4n4rds p a r l e s d t a t s

Alors

= ~i. (0.30)

asympto-

e%

r(x,t)

5)

~ i=l

~(f,t)

et z i E ~ ( ~ ,

de champs l i b r e s

suivan% ten %h@or~me de Haag [16] e t R u e l l e

i=l

%~+m

avec uric consLan%e

-

impliquen% d4jh l ' e x i s % e n c e

~in(X) e% S o u r ( x ) , .-

8

l'uni%ari%4

de l'op~ra%eur

S g a~t(fi)~ Nous e s p d r o n s q u ' i l

existe

= ~o~t

=

S

~ a~%(fi)w

des TQC r e l a t i v i s t e s

qui s a t i s f o n % e s s e n t i e l l e m e n %

aces

(0.30)

parmi l e s i n t e r a c t i o n s

(0.31) locale%

axiomes avec une ma%rice S n o n - L r i v i a l e .

9 -

CHAP

ITRE

I

L'ESPACE DE FOCK

Les exp6riences dans et

la m6canique

que l e u r

crire

nombre nTest

et

description

compacte

interaction

nelle

de c e s

Notations nombres

conservg.

Le f o r m a l i s m e

de p a r t i c u l e s

d'annihilation

:

des op~rateurs

le plus

l~espace

espace

parmi

sera

simple

coupldes pour d$-

Les op6rateurs

concret lesquels

consacrd

que,

sont

de F o e k .

d'Hilbert

lin6aires,

Ce c h a p i i r e

nous d~signons r~els

R s+l (s

et

respectivement entiers.

E Z+) s e r a l~ s + l

la

est

dans cet

montrent

de p a r t i c u l e s

permettent nous

h l'analyse

la

cherchons fonetion-

op~rateurs.

complexes,

oh x ° e s t

Snergies

beaucoup

relativiste.

L'espace-temps

pose

des hautes

relativiste,

pas

un nombre non-born~

de c r e a t i o n

une

de l a p h y s i q u e

quantique

eomposante

~galement

la mesure

=

par ~,

Soit

N , Z,

les

ensembles

E + = In E Z, n > O ] e t

des

Z ÷ = Z+ U [ 0 ] .

d6compos6 en

1~1 x l~ s ~ x

temporelle

et ~ la

de L e b e s g u e ,

:

(x ° , x )

composante

dx = dx ° d x .

(i.l)

spatiale

La f o r m e

de x .

On d d c o m -

de M i n k o w s k i

s'6crit O

(x,y)

x y

=

L'espace

de F o c k s y m d t r i q u e

m6trique

sur L2(R s)

O

~.z

~ ~, '.):o

=

-

(non-relativiste)

5 est

(1.2)

x ~x'

g~v

l'alg~bre

tensorielle

sy-

: co

(1.3)

n=o

~n Les

616ments

~ E B

sont

des

=

suites

(~,~)

:

B1 ®s'''®s {~n

E

I%I 2 +

51

~n } a v e c ~ n=i

(%,%) (1.4)

n

(%'%)

= f, i -FF d~i %(k_I . . . . . ~)~n(k_i . . . . . ~ ) =

-

Nous i d e n t i f i o n s

10

-

~n E ~n avec [ 0 , . . . , ~ n , . . . , 0 ] .

vide (sans interaction).

S o i e n t ~n = ~ ( R s n ) N ~n' ~n = ~ ( R s n ) n ~n l e s e s p a c e s

de Schwartz [18J des f o n c t i o n s et h d6croissance

9o = 1 C ~o es% a p p e l 6 le

sym4%riques C~ r e s p e c t i v e m e n t ~ s u p p o r t compact

rapide. Soi%

=

, n=o

~n c ~ =

•

~n c ~ °

=

•

n=o

~n c ~

n=o

(1.5)

off les ~ E ~o ont presque routes leurs composan%es ~n = O. ~ et ~ seront munis de

la topologie de la somme directe localement convexe

([19], p. 214). Leurs

duals forts sont ~' et ~',

n

n=o

c'est-h-dire sym6triques

n=o

n

le p r o d u i t d i r e c t ([19~ , p. 286) des e s p a c e s de d i s t r i b u t i o n s ( t e m p 4 r 6 e s ) , oh ~' = ~ ' ( R s n ) . n

Les o p ~ r a t e u r s applications

de c r e a t i o n

et d'annihilation

a*(k) e t a ( k )

s o n t des

lin4aires de ~ ~ ~' :

( a ( ~ ) ~ n ) ( ~ 1 . . . . . k_n_1 )

=

( a * ( ~ ) ~ n ) ( ~ 1 . . . . . k_n+1 )

=

(n)f2 ~n(~ ~ ..... k _ l , ~ )

(1.7)

(n+i)-~2 n+iz

On a a(k)T

j : l 5(~-~J)~n(~l ..... ~J ..... k-n+1)

6 ~ pour ~ E ~ e% pour f E L 2 ( R s)

a#(f)

=

; dk f ( k ) a # ( k )

a#(k)

=

a(k)

(~.s) o~

a#(k)

est bien d~fini sur ~o : a#(f) ~o C ~o. La restriction a#(f) n ~ chaque ~n e s t une application born4e de ~

Ila(f)lln,n_l Finalement,

n

~ ~

n+l

:

= tla~(f)tl~_i,n

=

( n)~2

]lfll2

(1.9)

on a

a(f)~:" ~ a*(¥)

(1.10)

il

Les a#(k)

ddfinissen%

une representation

-

(au sens des distributions

d e s relations

[a(k),

a(!)]

eanoniques

=

h valeurs

op6rateurs

de c o m m u t a t i o n s

[a*(k),

a*(!)]

=

sur

~ O

)

(CCR)

0 (i.il)

[a(k),

a*(!)]

=

6(k-i)

a v e c a ( k ) + ° ~ O.

Sot% N l'op4rateur

nombre de particules

(N?) n II r 4 s u l t e

=

dans ~,

n~n

(1.12)

de (1.9) que

a#(f)(N+ ~)-¢2 e B(~) oh B@) e s t la topologie

Y e s p a e e de B a n a e h d e s o p 6 r a t e u r s normique).

On d~dui% de ( 1 . 1 3 )

(i.13)

lin6aires que,

bornds

de 0 ~ ~

(avec

p o u r %ou% ~ E 5° e% z E

Izln Ila#(f>%ll < ~ n=o

Donc 8 ° e s t

un e n s e m b l e

dense

(i.14)

n!

de v e c t e u r s

entiers

[203 p o u r a # ( f )

e% a u s s i

pour

(i.15) ~(~)

Done les #(f), ~(f),

=

i 2-¢2(a*(~)

- a(~))

f = ~ E L2(Es), sont essentiellement

au%oadjoints

sur 8 ° .

Grace aux GCR sur ~ o

(1.16)

les fermetures

#(f)-, ~(f)- d6finissent une representation

darts le sens de Weyl

r~guli~re

des CCR

: soit U(f) = exp i~(f)-, V(I) = exp i ~(f)-. Alors

t ~ u(tf), v(t~) es~ ¢ortomen~

eontinu et

- 12 -

Dans l ' i n t r o d u c t i o n ,

u(~)u(g)

= ~(f+g)

v(~)v(g)

= v(~+g)

u(f)v(g)

=

(i.17)

exp - i ( f , g )

nous a v o n s vu l ' i n t d r S %

dynamique h a m i l t o n i e n n e .

I1 e x i s t e

V(g) U(f)

de l a s t r u c t u r e

une m u l t i t u d e

Weyl, q u i s o n t deux h deux u n i t a i r e m e n % i n 6 q u i v a l e n t e s [ 2 1 J . IV e t V, nous a l l o n s

rencontrer

type Fock, caract6ristiques En g ~ n ~ r a l , ~ ~'

des repr6sentations

pour certaines

un p r o d u i t

( p a r exemple a ( k ) a * ( k ) n ' a

~i a*(~i)~C

~,. On d 4 f i n i t

: ~J[ a # ( i ) ( k i ) : i=l oh ( p l , . . . , P j ) cr6ateurs d6finition

~ gauche de t o u s l e s

est unique.

CCR s o u s l ' o p 4 r a t i o n

On a r r i v e

Si A est un po ly n S m e

a*(!):

j)

w :

~

:a*(~) a(k):

e t en a p p l i q u a n t

lin6aire

que dans ( 1 . 1 8 )

tousles

A c a u s e de ( 1 . 1 1 )

cette

si l'on

applique

les

+ 5(k-i)

:A: par une

(1.19)

d6composition

en mon$-

~ chaque monSme ( 1 . 1 8 ) .

i T T 1 % w(k 1 . . . . . k j) de ~ ~ ~ ' .

West

J iT~ :1 a#(i)(ki):

(1.20)

a p p e l 4 monSme de Wick, a v e c

(r~d~it) et ~ ( k l . . . . . k j ) : ~ a ~ ( i ) ( ~ i ) :

son

(r4duit).

Le domaine D(W) de W e s t 0 ~ T¢ C ~ t '

(1.18)

Alors

~(k I . . . . . ~j) son noyau n ~ r i ~

a m crSateurs

telle

annihilateurs.

j

noyau op6rateur

de

par

a ~ ( p j ) (kpj ) - "

h des inconsistances,

en a#(ki),- on obtien%

(1.11)

Soit W 6 [D'(RJs).

e s t un o p 6 r a t e u r

p a s une a p p l i c a t i o n

:...:, :a(k)

mes s a n s u t i l i s e r

infinies.

C e p e n d a n• t ~.1 a ( k~ 1. ) " ~ C ~ ,

" de (1 . . . . .

des CCR de

Dans l e s c h a p i t r e s

d e Wick de ffi a # ( * ) ( ~ i )

a #(pl) ( k p l ) . .

=

e s t une p e r m u t a t i o n

soient

n'est

p a s de s e n s ) .

le produit

p o u r une

des CCR q u i ne son% p a s du

renormalisations

~i a#(i)(k)

(1.16)

de r e p r 6 s e n t a t i o n s

l'ensemble

et n annihilateurs,

des T E ~, t e l s

alors

que W~ E ~. Si W = Wm ~ n

D(W) e s t n o n - t r i v i a l ,

t ~ n, W~t E ~. P a r e x e m p l e ,

s i p o u r un

si W es¢ purement erSateur,

alors

-

D(W)

=

~

O

si IIw%ll2 < ~

Nous a l l o n s

i 3

-

o~ ~i s~ ~ L2(~ j~)

reprSsenter

l'op~rateur

gnes h gauche pour l e s c r d a t e u r s

W

(s = sym~trisation).

par un graphe

et n lignes h droite

avec un sommet, m l i (voir Fig.

i.1 et

[22])

in

1.1

Fig.

Th4orbme 1.1 Va, b e t

:

s o i e n t Va, b e t

W

m~n

deux monSmes de Wick dont l e s noyaux

Wm,n s o n t s y m ~ t r i q u e s dans l e s v a r i a b l e s

(s~par~ment).

crdateurs

et annihilateurs

Alors

Va, b W

=

m,n

:V

a,b

W

m,n

rain [b ,m } E W t= i Va,b m,n

: +

Le monSme de Wick :Va, b W

m,n : ~ Va , b W m,n a

-or

a+m-t

W Va,b ..m,n

=

f

~

i=i

(1.21)

v a , b ® wm,n c o m m e noyau num4rique.

b+n-t

(dP i a * ( P i ) )

~

j=l

(dqj a ( q j ) ) u t ( p , q )

(1.22)

t

(1.2a1 x V a , b ( p 1 . . . . . P a ; k l . . . . . k t , R 1 .... d t b _ t ) W m , n ~ l , . . . k t , P a + l .... p a + m _ t ; E b _ t + l . . . a b + n _ t )

Si le produit de distributions Va,b(...;k I ..... ~t .... ) x Wm,n(kl ..... ~t

n ' r e s t pas i n t 6 g r a b l e DSmonstration

:

sur kl,...,kt,

,...)

= ~.

on voit par induction que

b

m

a(li)

i=l

~in[b,m} z ~=I

on pose u t ( p , q )

~a*(p~)

j=l

J

z

75

m b "~- a * ( p j ) ~ a ( l i ) j=l i=l

,

t

.(~) k=l

=

6(!i(k)-

-Pj(k)) ~(t) a * ( ~ )

~

(1.24)

,,

)

-

o~ a ( t )

varie

sur tous

les

f

II

choix

14

-

{i(1) .....

i(t)]

{ i . . . . . m} e% Ka(%) e% H a ( t ) s e n t s u r [ l , . . . , m ] {I, ,b} - {i(1) . . . . . i ( ~ ) } .

C [1 . . . . .

La sym~%rie des noyaux perme% la specification V

'hontrac%~". Si Va, b e t

b},

{j(1) .....

- [j(1) ..... j(t)} W

Wm, n ne sent pas sym6%riques,

j(t)}C

et

d'un produit ~ fois

les var~]~bles contraetdes

son% sp4cifi~es par ~(%). CQFD

Exemple

:

sous certaines hypotheses suppl~men%aires,

es% fini, associatif e% distributif.

v

a,b

le produi% V

II y a deux cas importants

6 L2(B(a+b)s), w

a,b

E L2(B (m+n)s)

m,n

W

m,n

:

(1.25)

et a

V a , b ( ~ 1 . . . . . ~ a ; R 1 . . . . . Rb )

=

b

5(i=Elpim

Wm,n(~ 1 . . . . . P m ; a l , ....

~.n)

=

^

E R ) v a , b ( ~ l . . . . . ~ a ; a l .... , a b ) j=l J n

8 ( Zi=1 pi-

z a . )J~ , n ( p l j=i

..... %~) •

..... ~ 1

(1.2~) ^

^

avee v a,b

a

e t Wm,n

L2 s u r

b

m

{52 P i - U qio } e t

n

{5~ P i - W. ~tio ] e t

a + b > 0,

(a,b,m,n) ~ (0,b,b,0). Nous i n i r o d u i s o n s

une repr6sentaiion

fort utile (voir Fig. 1.2). Le produi% Va, b W phes du %ype de la Fig. i.i

avee V

graphique m~n

de ( 1 . 2 2 )

qui sera

es% repr~sen%6 par deux gra-

~ gauche de W

. Chaque %erme a,b m,n Va,h W m es% ob%enu en connec%an~ % lignes annihila%eurs de V avee ~n a,h t lignes cr~ateurs de W . Teutes les autres lignes passen% ~ l'ex'

m~n

tr$me droite ou ~ 1 'exireme gauche du diagramme

V2,2

W2

i

: V W :

VW~

'

1

Fig.

i. 2

---.-V W 2

-

15

-

I1 est c l a i r que l ' i n t d g r a n d V a , b ( . . . ; k 1 . . . . . ~t . . . . ) ' Wm,n(kl . . . . . ~t . . . . ) de (i.23), et les graphes de la Fig. i.~ contiennent plus d'informations que le noyau num4rique

r~duit ut(p,q). Nous allons introduire

uormalisations)

dans cet int~grand,

localement ~i ..... ~t - int~grable. noyau numSrique

de V

;k,.) Wm,n(k,. ) n'est que

Va,b(.,k,. ) Wm,n(k,. ) es~ appel~

si elle fair la connexion entre deux sommets.

c'est une ligne ext~rieure. Apr~s l'int4gration

~k~l 8(!i(k)sur laquelle

(re-

W a,~m,n"

Une ligne est dire int6rieure, Autrement

an cas oh Va,b(. D~sormais,

des contretermes

~ j ( k ) ) de ( 1 . 2 4 ) on i n t S g r e

chaque

en p a s s a n t

It6rativement,

ligne

int~rieure

sur

porte

une i m p u l s i o n ,

au n o y a u r ~ d u i t .

on peut d~terminer la d4composition

de Wl...W

n

en

mon~mes de Wick :

w1

...

w

n

=

E

W 1

...

~(l,m)

W

m

...

W

(1.27)

n

a(m,n)

~(i,n) oh

E

s'4tend sur t o u s l e s

schSmas de contraction possibles.

Naturellement,

les(g)lignes

annihilateurs de W. ne peuvent ~tre contract~es~hvec les lignes 1 de Wi+I,...,W n. Le noyau r~duit de chaque terme s'obtient de

cr4ateurs

w I ®...® w n e n

identifian%

certaines variables

selon (~) et en int~grant sur

les impulsions des lignes int6rieure~ Chaque (g) donne un graphe G(~) avec n sommets VI,...,Vn,

et un hombre L = L(a) de lignes Ii,...,I L.

Chaque s o u s - e n s e m b l e

~ % [V~ . . . .

lignes de [i I .... ,ILl qui y sont attach$es,

'V'm } ~ IV1,. . . ,Vn] avec routes les d4finit un sous-graphe H c G.

On dit que deux sous-graphes H 1 et H 2 de G son% disjoints, de sommets communs. Get Exemple

ext4rieures

Ii peuvent avoir des lignes communes,

s'ils n'ont pas qui sont int4rieures

~ H 1 et H 2.

:

A/ V

V4

G

H1 Fig.

1.3

H 2

-

Remarque

:

en comparaison

se d ' d q u i v a l e n c e l'ordre

des

W1 . . .

annihilateurs

Un g r a p h e

est

(voir

G est

int~rieures.

rupture

Exemple

:

de

D'apr~s

h droite

notre

correspond

crdateurs

si

tousles

k-particule

ne peut

de F e y n m a n ( C h a p .

restreinte.

vont

VI)

la

clas-

convention,

~ l'ordre

h gauche

et

les

lignes

1.3).

connexe

r~ductible

diagrammes

lignes

Fig.

G est

de < k l i g n e s

k-particule

les

1

~ droite

-

n de g a u c h e

sommet V.

n

les

de G e s t

sommets VI,...,V

W . A chaque

de l i g n e s

avec

topologique

i6

le

sommets sont

irrdductible

rendre

non-eonnexe.

lids

(kPI),

par une chaSne

k E Z+,

Autrement,

si

on d i t

aucune que G

(kPR).

le

graphe

:W1 . . .

:

WI_ ~ :W2 . . .

W : n'a

pas

n

de s o u s - g r a p h e

connexe

ayant

plus

d'un s o m m e t .

Ddfinition les

Wn:

(resp.

monSmes de Wick de WitW 2 . . .

sont

connexes.

:W2 . . .

Wn: ( r e s p .

Wn: 2 W ~

:W2 . . .

est

la

somme de t o u s

WntW1) , d o n t

les

graphes

Nous p o s o n s

w /

:i:

=

w

=

:i:

_~w

(~.2s) :exp W:

qui

est

bien

existent entre

d6fini

dans

le

applications

Lemme i. 2

=

:eW:

comme a p p l i c a t i o n

sens

du t h d o r ~ m e

de ~ ~ ~ '

=

1 :wn: ~,

~ n~o

de ~ ~ ~ .

1.i,

le

Si toutes

lemme s u i v a n t

les

[22]

est

contractions une identitg

:

:

V :exp W:

=

:(V _ ~ :exp W:) exp W:

(1.29) :exp W: V

D$monstration v:wn:

:

=

e x p W:

:(:exp W: / V )

Soit r le hombre d'annihilateurs de V. Chaque produit

est une somme de contributions o~ V e s t

:wn:, 0 < m ~ min[n,r].

La contribution ~ m (:):(V

/

eontract~ avec m

facteurs de

facteurs contractds est

(1.30)

:Win:) wn-m:

Done (1.31) V "expW"

=

F, n~ n~ ( : ) : ( V n=o m=O

_ ~ :Wmt)Wn - m :

=

~ 1! Z n!m n ,m=o

" (V /

:wm:)wn: CQFD

-

17

-

Nous allons introduire une famille d'op4rateurs sera utile pour des estimations.

autoadjoint

et No = N e t

Si l'on 4quipe les ~

scalaire

m bosons

scalaires -iH

En utilisant

libre d'apr&s

invariant

n les ~n(~ 1 ..... ~n ) penvent etre interpr6t4s relativistes

qui

(1.32)

N I = Ho, l'hamiltonien

avec un produit

(1.54)),

(e

autoadjoints,

et

= f dk ~(k)~ a * ( k ) a ( k )

N N Test

Soit T £ ~i

de Lorentz

comme fonctions

(0.8). (voir d'onde de

libres avec une energze • . E~i

t

:

o ~ n ) ( ~ l . . . . . p_n)

lee relations

ad N (Win,n)= IN ,Wm,n] .=

exp(-it Z ~i)~n(~ I . . . . . p_n)

de commutation

f dk

on a

m n W a*(k i) TT i=l j=l

w(k)

(1.33)

T

m

a(k_.j) ( E

n

~i-

i=l

Z ~j) j =i

(1.34) Si m + n > 0 e t si le noyau num4rique w e s t d~finir l'inverse

r+(Wm,n)

suffisamment r4gulier,

on p e u t

de a d g ° par m

= f dk w(k)

--

n

m

n

TT a*(k i)

TTa(k_j) ( Z ~ i - z

i=l

j=l

i=l

~j + io) -I j=l

(1.35) Moins singuli~re Soit m > 0

que les F + de F r i e d r i c h s

[22] e s t l ' o p d r a t i o n

m

r ( w , n)

= Jdk~(k)

F e s t une o p d r a t i o n r 4 g u l a r i s a n t e ,

n

1.3

:

Soit

W

=

W

m~n

.

Si

[Ho, r+(w)J

m

m

]Ta*(k_ i)

]Ta(k_j) ( Z

i=l

j=l

~i) -1

(1.a~)

i=l

car

D(r(Wm,n)) ~ D ( ~ , n ) ,

Lemme

F de Glimm [23~

et

+

n

>

m> 0

(1.37)

0,

= w (1.3s)

[~o, : ~ p r+(w),j

= :Wexp r+(w):

-

18

-

Sire>0,

Hot(W)

= w + :r(w)H o, (1.39)

Ho:eXp F(W): D~monstration

:

=

:(H ° + W) exp F(W):

D ' a p r ~ s l e %h~or%me 1 . 1 , Hor(W )

=

on a :

:H F(W): + H

(1.4o)

r(w)

o

1 et H

F(W)

=

W.

En u t i l i s a n t

(1.29)

on o b t i e n t

1 H° :exp F(W):

=

=

:(H ° _.~ :exp F(W):) exp F(W):

:(H o + w ) exp F(W):

(1.41) On a,

d'apr~s

(1.35),

[R o

r+(w)]

= w = ~ 0 r+(w) - r+(w) n 0

-

1 e% ( 1 . 2 9 )

(1.42)

- ~

~

1

donne

[~

:~xp r+(w):3

=

:(~o r+(w) - r+(W)Ho) cxp r+(w): 1

1

(1.43) CQFD

Une classe impor%an%e de polynSmes de Wick sont les polynSmes de Wick locaux. Soit

L (x)

=

(2~)_s/2

~

dk

~(k)ei(k,~

)

k°=~

L(x)

=

Pour %ou% f = ~ 6 ~(Rs+l)' que sur ~

L(x)%

~o(x) =

(1.44)

%(~), L(~)

~o (f) = ~ dx f(x) ~o(X) est un op~ra%eur sym4%ri-

~ e% f ~ (9, ~o(f)~) es% une dis%ribu%ion %emp4r~e pour ~,~ E ~.

Au sens des dis%ribu%ions on a sur

-

19

-

Cff+(x), ~ + ( y ) ]

=

C~_(x),

Z_(y)]

=

[~_(x),

=

-C~+(-x),~_(-y)]

=

~+(y)]

--- i A + ( x - y )

=

(2~) -s

-

o

- i A_(y-x)

dk

[

~p-i(~-y,k)

(1.45)

k°=~ Grace ~ i L +~- i n v a r i a n c e on a pour ( x , x )

< 0

de l a mesure da(k) = (2~) -1 dk = f l ( ( k , k ) - m 2 ) 8 ( k ° ) d k

A+(x) = A+(-x). C ' e s t

['~5o(X), ~o(y)'] = go(X)_ e s t c o v a r i a n t

par rapport

0

~ exp-

pourquoi

pour iH

(x-y,

go(X) e s t l o c a l x-y)

: (i.46)

< 0

t 0

exp(iHot)~o(X ) exp(-iH 0 t)

~

=

~0 ( x ° + t , ~ )

(1.47)

et est une solution de l'~qua~ion de Klein-Gordon

( ~ + m 2) L ( x ) Dans le c h a p i t r e exotiques

V, nous a l l o n s

qui s a t i s f o n t

:

0

(1.48)

dans ~ des champs l i b r e s

locaux

~ ( 1 . 4 6 ) e~ ( 1 . 4 8 ) mais pas ~ ( 1 . 4 7 ) .

Le th~or~me s u i v a n t Th$or~me 1.4

introduire

=

e s t dfi ~ Wightman e t Garding [6] :

soient Ao(X), Bo(X ) .... des polyn3mes de Wick a

Ao(X )

Bo(X )

=

Z ~a :Dai go (x) a=l

=

b E d~ :D~z go(X) . . . ~=i

avec des monSmes d i f f ~ r e n t i e l s Ao(f ) = f dx Ao(x ) f ( x ) distributions on a sur [A O (x)

" ' "

Dar(a)~o (x):

(1.49) D~s(~l~o(X):

Dcq , D~j en 5/5x ~, 0 < ~ < 3. Pour f E ~(l~ s + l )

e s t une a p p l i c a t i o n

lin~aire

Bo(Y)]

(x-y,

=

0

pour

de ~ ~ ~ .

x-y)
n-j,

se r g d u i t j

c(r) f x

E~

iVldki

r

i__"~n_j+l d~i[

[ , , ( ~ ..... ~ )

- ~,~(k_1 ..... k )

~ r ( k j + l . . . . . k_n,p_n_j+ 1 ..... ~r)l 2 ~ ( s )

que S~lim ][WN-W]]~ :

0

(1.79)

e t W , ~r ~ 5 r + 2 j - n "

i m p l i q u e que W[r = W[r , done W = W. CQFD

Exemple : l e s £ o n e t i o n s d ' H e r m i t e ~m' m E l + , f o r m e n t une base o r t h o n o r m a l e dans L 2 ( ~ l ) . P r e n o n s poUr Hn(k) une base o r t h o n o r m a l e dans L 2 ( ~ s) de p r o d u i t s tensoriels

des X . On s a l t m

des c o e f f i c i e n t s

[18] que w E ~ ( ~ s n ) ,

e(~) de son

si et seulement si la suite

d~veloppement darts L 2 ( ~ ns) s u i v a n t

l e s H(a ) e s t

rapidement ddcroissante

s

pour t o u t N E Z+,

N le(

)l 2
0, l a norme L 2 de [ . . . I m,o -~2, que c(1 + J r [ ) ee q u i e s t t y p i q u e p o u r l e s s o l u t i o n s r ~ -

de l ' ~ q u a t i o n

dire~tes

de K l e i n - G o r d o n

de l a ~ o n ~ e r g e n ~ o -iHki

car %(t)~

a~(t)

-iH i

~

=

s- lim ~%(t + r) e r

La g ~ n 4 r a l i s a t i o n

forte,

[~7~. (2.5) et (2.6)

+

e

Krohn

pour

(2.7,...10)

o

2

=

s o n t des c o n s ~ -

= net -iH t

~k e

o

(2.13)

~

pour v

m~o

0 a 6t~ d 4 m o n t r ~ e p a r

H~egh-

[301.

CQFD Nous a l l o n s llVl[ < =, c e r t a i n e s son% p a r f o i s l'op~rateur

voir

quantit6s

des fonctions d'~volution Uk(t,s)

et avec cut-off

que p o u r une p e r t u r b a t i o n importantes entibres

sans cut-off =

adiabatique

born~e,

e n k. Nous i n t r o d u i s o n s

de k = 0 e%

:

adiabaiique

exp iHo% e x p - i H k ( % - s) e x p - iHo% (e ~ 0)

Hk = Ho + kV,

sont analy%iques autour

(2.14)

-

Uhc(t,s )

=

29

-

t 11- ik f dr Va(r ) U k e ( r , s ) S

(2.15)

Va(r )

=

exp(-

~Irl * iHor)

V exp(-iEor )

les champs de Heisenberg

A~(t) la

iH~t =

-iHkt A e

c

A e

B(~)

(2.1~)

' resolvante

R~(z)

= (~ - H~) -1

~ E-I~I IIvll,~)

(2.17)

l'dtat fondamental de Hk (s'il existe)

(2.1s) les v a l e u r s moyennes dans le vide ou f o n c t i o n s de Wightman

1 ..A~(tn)~ (%, AX(h)"

)

(2.19)

les f o n c t i o n s de Green (q)k' T ( A l ( t l ) ' ' ' A ~ ( t n ) ) q ) k ) (sit

Pl fermion),

> ...> t

Pn

, avecla

Pl Pn (~p(q~k'Ak ( t p l ) ' ' ' A k (tpn)q)k)

=

signature ~

P

(2.20)

des transpositions d'op~rateurs de

+

les op~rateurs d'onde g~n~ralis4$

T k avec

+

Hx ~x

+

T~(,o

=

.

%)

(2.21)

la renormalisation dtamplitude ~-l avec +

+

(~)~ ~

= z/

S u i v a n t le "diagramme de f l u x " de la Fi$ 2.1, la q u a n t i t ~ c e n t r a l e

V~(t,s)

:

(2.22) sera

-

30

-

+

Tx

,

,

U~(t,s)

uk(t,s)

Zk ck

1

[

"voie

exp - iHlt royale"

L R~(z)

t ~k

Ax(t)

, fonctions de Green

Fig. 2.1

Le th4or~me

Thdorbme 2.2 Soit

:

Soit ~ > 0

llVll < ~. Alors

a 4t4 d~montr4 par Lanford [28] :

suivant

et -= ~ s,t ~ + ~

ou e = 0 et - ~ < s , t

< +~.

(2.15) possede une solution it~rative

ux~(t,s)

= ~+

z un ( t , s ) n=l

k~ t

U~e(t,s )

=

(-ik) n

f

(2.23)

rn-1 drl''" ~ dr n Ve(rl)-..Ve(r n)

S

S

(2.23) converge dans B(5) vers une f a m i l l e d ' o p d r a t e u r s u n i t a i r e s , a n a l y t i q u e s e n t i e r s en k et fortement continus en s e t t avec

ux~(t,t)

= n

Uka(r,s) Uke(s,t )

ux~(t,s)*

qui sont

(2.24)

= Uxe(r,t)

(2.25)

(2.26)

= ux~(s,t)

Pour ~ E -iH t lim t -1 ( e t~o

s-

°

Uko(t,O)

- ~)~

=

H~

(2.27)

Remarque : puisque Ho et Hk sont e s s e n t i e l l e m e n t a u t o a d j o i n t s sur ~ [29], le g6n4rateur i n f i n i t 4 s i m a l du groupe u n i t a i r e e x p ( - i H o t ) U k ~ t , 0 ) e s t ~gal Hk, et on o b t i e n t l ' i d e n t i f i c a t i o n

-

=

e

Vhot~,0!

t E ( - i k ) n f dr 1 . . .

-iH % 0

(11+

0

n=o

:

=

rn-1 f dr n V o ( r l ) . . .

Vo(rn) )

0

,~(,,~) D6mons%ra%ion

-

-iHo t

-iHk% e

e

31

= ~ho(,,~)

(2.2s)

l'es%ima%ion cen%rale es%

rn-1 -~Er. f drn e x

flU~e(¢,O)I I ~ I~l n IIVIIn ~ d r 1 . . , 0

(l~llIvlt)n (; nl

0

dr e-Cr) n

0

(2.29) ( 2 . 2 9 ) en%ra~ne la c o n v e r g e n c e normique de ( 2 . 2 3 ) , e t la con%inui%~ f o r t e en s , t . Aussi (2.25 chaque o r d r e de k. S o i e n t ~,~ E ] . A l o r s

(9, u~(t,~),) t (ih) n f drl''"

l'analyticitd

enti~re

en h

, 26, 27) peuvent ~ t r e ~%udi6es en

= (~(t,~)~

~,¢)

rn-1 ~ dr n ( V a ( r n ) - . . V e ( r l ) ~ , ~ )

S

S

% f dr 1 ( V s ( r n ) . - . V s ( r l ) ~ , * ) r2

(ih) n f d r n ' ' " s

(~(~,t)v,¢)

(2.30)

VSrifions que

Unhe (%,s)

=

~ k+l=n

Ukhe ( g , r ) U1k e ( r ' s )

(2.31)

Le membre de droi%e de ( 2 . 3 1 ) es% $gal t Ul Un-1 Ul (i~)Zl[f du 1 V~(u 1) [ ( f d u 2 . . . f du n + f d u 2 ' ' ' r r r r r Un- 1 ...

r + f %

+ 2 eu2.., j" 8

Ul f %'''

S

S

...]

=

Un-2 s f dUn_ 1 f du n + r r

% ) v (u2)...v (%)J

(2.32)

S

Un-1 ~ %

Va(Ul) V 2 % ) . - - L ( U n ) }

$

Par une i n d u c t i o n uI Un_ 1 f du2-., f du n V ~ ( u 2 ) . . . S

S

V~(un)

(2.33)

-

32

-

e t la somme des deux termes dans (2 " 321 donne U nh C ( t , s ) . L'unitarit~ L'existence

s4rie

de U ~ e ( t , s )

de ia l i m i t e

(2.27)

e s t une consequence de ( 2 . 2 4 . . . . . 26). sur ~

se d~montre terme ~ terme dans la

(2.23).

CQFD

La s ~ r i e pour l e s champs de Heisenherg Ak(t I ( 2 . 1 6 )

se d6duit du theorize 2.2. Si 1'on introd~it ~x(t) = exp(-iHot)Ax(t) exp(iHot) avec t

Xk(t)

= A + iX f ds [Vo(-S), ~X(,)]

(2.341

O

on obtient l a s 6 r i e de D y s o n - S c h w i n g e r pour Ak(t ) directement en it4rant (2.34)

Ak(t)

=

Akn(t )

S

Ako(t)

= Ao(t)

(2.35)

n=o

t

Ahn(tl

t (iX~f dsl.., f dSnEVo(Sl)...EVo(%), o Sn_ 1

=

La c o n n e x i o n e n t r e oop4ratoriel p4ratoriel

la rdsolvante

Ao(t)]...]

Rk(z / e t exp iHkt e s t donn6e p a r le c a l c u l

[33 1 :: [331

-i• ~~

izt

dte

e -iHkt

Im

z > 0

O

Rx(z)

=

-izt dt e

exp iH~t

I

=

iHkt e

2hi f

Im z < 0

eiZt R ~ ( z ) d z

(2.36)

Fk I e i Fk e n t o u r e transformer Cependant,

le s p e c t r e

de Hk dans le sens d i r e c t .

Avec (2.36 / on p e n t

la s 4 r i e pour exp iHkt en l a s ~ r i e pour Rk(z) e t i n v e r s e m e n t . pour des q u e s t i o n s

Rh(~)

de c o n v e r g e n c e , on p a r t i r a

plutSt

= Ro(~ ) + ~ Ro(,) v R~(,)

de (2.37)

dont la solution it~rative est la s~rie de Neumann (ou Born) Rk(z ) =

E n=o

hn Ro(Z) (V Ro(Z)) n

(2-381

33 -

Thdor~me 2 . 3

soit

:

d(z)

la distance

entre

z et

[ 0 ] U Em,~). La s ~ r i e

(2.38)

converge dans B(5) pour

[~lllv[I

DSmonstration

:

< d(~)

(2,39)

on utilise l'estimation II~v ~o(-)II ~ ]xlllvll

(2.40)

d(-)-i CQFD

Soit positif, Alors

F une c o u r b e de J o r d a n ,

q u i coupe l ' a x e

rectifiable

r ~ e l h o r s du s p e c t r e

et orient~e

de l ' o p ~ r a t e u r

dans le sens autoadjoint

Hk.

E33~ Pk

donne l a p r o j e c t i o n En p a r t i e u n e r , analytique

spectrale

soit

1

Jr dz Rk(z)

2hi

pour la partie

r = [z : ]z] = m / 2 ] .

s u r F, s i

[kI]]vll < m / 2 ,

p~

p

-

I

= 2hi

m

du s p e c t r e

2hi

f

de Hk c o n t i n u e

Puisque d(z)

e t Pk e s t

=

d a n s F.

= m/2 s u r F, R x ( z )

analytique

2 d~R~(~) l~ l=m/2

i

-

(2.41)

est

en k :

z ~mPm m=o

dz Ro(Z) (V Ro(z))m

(2.421

(2.43)

l~l=m/2 Puisque

deux p r o j e c t e u r s

P,Q a v e c

[[P- Q[I < 1 o n t l a m~me d i m e n s i o n e t p u i s q u e

dim Pk k=o

on a dim P~ = i p o u r

I~1 < m/2IIVll.

=

dim Po

=

1 ,

(2.44)

Nous e s t i m o n s

co

llP~olr2 :

i + m=i z Xm ~ i

/r (%'R°(z) (Va°(~))%°)dz

co

-> 1 -

=

1-

E [~[m I m=l

z

12=i

(

m

(2~ m

2)

)

=

1

m~

m-4~

m

(

m~2 m )

v

(2.45)

-

34

-

qui est positif pour

=

O

(2.46)

m/4 ]IVI[

Ceci entra~ne avec le th~or%me 2.2 le

Th6or%me 2 . 4

:

IX] < Xo, H X p o s s ~ d e un 4tat fondamental non d d g d n d r d

pour

~X dont l'dnergie

=

Pk~o/[IPx~olI'

(2.47)

est

% = (%, H~P~o)/I]P~oll 2

(2.47), (2.48)

ainsi

que l e s v a l e u r s

(2.48)

moyennes dans le v i d e

(~k' A~(ti)''"

A~(%n)~k ) sont analytiques en k pour [k[ < k ° et continues en (t I ..... in) E R ~ La s~rie des perturbations r6sultante pour les fonctions de Green est un quotient compliqu~ du produit de plusieurs s~ries. En particulier, on n'obtient pas sans peine les diagrammes de Feynman avec les propagateurs habi%uels (voir Chap. VI), si i'on remplace V par une interaction locale. La s~tie de Gell-Mann et Low (GML) [34] va montrer qu'une r6duciion miraculeuse se produi%. Nous a v o n s vu que

(ux~(o,+~)%, A ~(tl)...A~(t i n) u~(o,-~)vo)

(2.49)

et

(~x~(o,÷~)%, ux~(o,-~)%) s o n t des f o n c t i o n s pour sit

enti~res

[k[ s u f f i s a m m e n t I > ...

= (%, ux~(÷~,-~)%)

en I p o u r e > O. ( 2 . 5 0 )

petit.

(2.49)

est

p r e n d une forme t r ~ s

diff4rent

(2.50) de z~ro

dldgante,

> tn :

= (Uxa(0,+~)To, U)~(0,t 1) Alo(t 1) Ux~(tl,t2)... ... U~(tn_l,tn) A'o(tn) U~(tn,0) ~ ( 0 , - ~ ) % ) =

=

(q)o' U k c ( + ~ ' t l ) co

Z ]11= 0

(-ik)m m:

A~(tl)

+~f ds _co

UX~(tl't2)'''A:(tn)

;e+mds i""

-co

m

-aEI si[

(2.51)

Uk¢(tn'-°°)~°)

(~o' T (Vo(Si) ""Vo(Sm )AIO(tl) " "An(tn)) ~°)

35 -

Nous a v o n s u t i l i s 4 km d e s s ~ r i e s suivant niformit~

(2.25)

(2.23)

(2.26)

et

dans l'int4gration

a 4%4 d 4 m o n t r ~ p a r de W i t t de l a c o n v e r g e n c e

Th~or~me 2 . 5

I~1

pour

:

et nous avons sym4tris~ par rapport

[35] et Lanford

d~ns B(~)

et

~olim Pk~ = P k ' e t

< ~1

limites

an~lytiques

(2.53)

suivantes

et

=

s-

~m/(4x+4)llVI/

= P~

(2.52) (2.53)

(~o' u~(+~'-~)~o)

(2.54)

en X et

Continues

diff~rents

en

~ e [0,~),

de z ~ r o .

~vee

En p a r t i c u l i e r ,

Ule(0'±~)~° _ Pi~o (%' ~X~(0'±~)Vo) (%' P~Vo)

lim

(%, ui~(o!-~)~o)(V o, "~(o,+~)~ o) = (9o' Fifo ) (%, U ~ ( + ~ , - 9 % )

iim

~o

:

de l ' u -

les

:

~o

Ddmonstration

m. Le %h~orbme

~ l'exception

(%, u~(o,±~)%)

(2.54)

existent

~ Sl,...,s

[283,

contributions

:

u~(o,±~)P ° u~(±~,o)

sont

les

p o u r ~ > 0, U k c ( 0 , - ~ ) P ° U ~ c ( - ~ , 0 ) e s t

analytique

(2.55)

(2.56)

entier

en

k. Ave e

U~e(O,-~)~ °

iHoSI x

e

=

-iHo(Si-S2) Ve

(-ik)n

=

nous obtenons

e

~Zs. 1 e

-iHo(Sn_I- sn) V...e

o S_~ dtl " ' "

(n-l)~t 2 x

o Sn-i ( - i i ) n ~ ds 1" • • ~ ds n

o ~

din e

V

... e

iHot 1

net I

iHot 2 e

V ~o

e ~t

kn Ro(in~ ) V Ro(i(n-l)~ ) V

n e

...

V X

iH t o n V ~o

R 9 ( i ~ ) V ~o

(2.57)

-

ux~(o,-~)v o ~x~(-~,o) =

3 6

-

=

Z X m+n Ro(in~)V...Ro(i~)V m,n=o

P

0

+

z

~n[Ro(i~)V...Ro(i~)V

n=l

+ ~k=in-iRo(ik~)V...Ro(iC)V Z

P

kn

Po V Ro(-ie)...V Ro(-im~ )

~

P +P 0

0

v Ro(-i~)...VRo(-i~)

Po V(-i~)...V Ro(-i(n-k)e)?

P

(2

58)

D=O

D'apr~s

le

th6or~me d e s r ~ s i d u e s p

=

1

2~i

n~

d~ ao(~ + in~)V a O (~ + i(n- 0~)...V R 0 (~) (2.59)

Jr nE

avec

le

contour

F

nE

de

la

fig.

2.2

Im

F3

z

im/2

n£

Re z

I:

#-

I

0

m

-1E

-2ic

,

F2

F1

nE

F4~ ne

-nis-

im/2

Fig.

Nous

cherch0ns

tributions de F 3 nc

F3

nc

U F4

nc

O r4

2.2

une majoration

uniforme

de

IIPn~]l p o u r

~ ~ 0.

Les

con-

sont estim~es par (2]]VH/m) n, puisque la longueur de

nE

cs% ~m. La longueur de F 1

nc

U F 2' est 2n~. Pour z 6 F 1 ns

na

U F2

ns

-

37

-

(ne) 2 + m2 -~2

,.~n {lIRo(~)ll, IIRo(~+ in~)]l} -< [ e%

IIRo(Z+ i k ~ ) I I

-< 2/m pour

O ~ k

4

(2.60)

]

~ n.

On o b g i e n t

(2.61) e% ( 2 . 5 8 )

c o n v e r g e uniform~mentpour

P~E es% a n a l y t i q u e

ILl < m/el[v]l e t

en ~ e t con%inu e n e .

norm-lim

~ e

[0,~)

dans B ( ] ) ,

et

La e o m p a r a i s o n avec ( 2 . 4 2 ) donne

Uk¢(O,~)P ° Uk~(~,O )

=

P~

(2.62)

e% l'applica%ion sur To implique

s -~$o lim Uk~ ( 0 ' L ~ ) ~ o (~o' UL~(O ,L~)~o )

lira I(qDo, U~s(O,_+~)q~o)l 2

:

:

(2.63)

PL~ °

(2.64)

(~o,Pkq)o)

On d6duit de (2.61) que pour E 6 [ 0 , ~ ) e% [~l < k I co

I(%, ux~(o,±~)%)l 2

>- 1 -

E I~l n IIPn~ll > 0 n=l

(2.65)

Egalement, (%, U ~ ( + ~ , - ~ ) % )

(~o' PX~o )

=

~(o,-~)Vo)

(%, ux~(o,+=)%)(%,

(2.66)

es% different de z6ro pour ¢ E [0,~) e% [LI < ki" Le quotient de (2.63) e%

(2.64) donne (2.55) et 1'inverse du produit ~calaire (2.56). CQFD Nous sommes a r r i v S s simplici%~ j u s t i f i e

ainsi

au %h~or~me de Gell-Mann e% Low, don% la

la l o n g u e u r de nos m a n i p u l a t i o n s

:

38 -

Thdor~me

2.6

pour Ixl

:

e~ ~ E

+~ +~ f "'" t dsl'''ds

(_i~)-

m!

Z

< h

m=o

_~

_~

m=o

_®.

_~

E0,~)

-~xlsil m

. .

e

(%,~(Vo(Sl)..-~(~n)) %) (%,T(Vo(Sl)...Vo(%)) %)

e

(e.67) est une fonction analytique

en k e% continue e n e

e% (%l,...,tn)

E R n. La

limite pour 8$o est identique ~ (~k,T(A~(%l)...A~(tn))~l). D~monstration

dans B(~),

:

les v~s(t,s)

si -~ < t,s

sont

entiers

en ~ e t

< +~. P o u r %1 > " ' "

> ~

continues

en s

nous utilisons

n

E[0,~)

l e %h4orgme 2 . 5

(P%~o' U%(O'tl)A~(tl)'''P%~o)

(~k,A:(tl)'..A~(tn)~~)

=

IIPx%tl2

lim (~o' Ukc(+~'tl)Ai(tl) Uxs(tl't2)'''A~(tn) Uka(tn'-~)~o) ~4o

(~o' U~s(+~'

-~)~o )

(2.68)

CQFD Jusqu'~ modifications ~chelle est

techniques

d'espace

lin~aire

les

ce c h a p i t r e

e% ~ n o y a u d a n s ~ .

D6finition

:

contributions

certaines

valables,

[283,[3i],[32]).

manipulations

de d e g r ~ p a i r

une si V

formclles.

dans les

V sera

opdrateurs

soient Wl,...,W n des polynSmes de Wick. La somme de %outes les

''"

(W1 . . . c'est-~-dire

restent

et h noyan dans ~'(voir

par

Avec certaines

de WI,...,W n ~ graphes connexes es% la partie connect~e,

(W 1 ... Wn) c de W 1

W n"

La partie li4e (W 1

Wn) L

=

(W1 . . .

"'"

Wn) L de W I

Wn)C - ( + o , ( W i

...

"'"

W en s t

Wn)C 90 )

(2.69)

la somme des graphes connexes avec des lignes ext6rieures.

Le th6or~me extrSmement particules

prgc~dents

u n p o l y n S m e de Wick s y m ~ t r i q u e ,

de f e r m i o n s

[Iv[I < ~.

darts £ ( B a , B ~ ) , oh B a c B~ = ~ e s t

r~sultats

d e s a ~ de b o s o n s

terminer

maintenant

(convergence

de B a n a c h )

dans

Nous a l l o n s

n o n s a v o n s s u p p o s ~ que

maintenant,

importante :

suivant,

le "linked cluster theorem",

dans les s~ries des perturbations

est une identit4

pour plus de deux

-

Th~or~me 2 . 7

:

39

-

les identit4s suivantes entre s6ries formelles en k sont

bien d~finies pour a > 0 et -~ ~ s,t ~ +~ o u £

Uka(t,s )

=

:exp

rn_ I

t (-ik) n ; drl...

E n=l

~ 0 et -~ < s,t < +m :

drn(V~(rl)'''V~(rn))C:

s

S

t

rn_ I

(2.7o) Uks(t's)

=

:exp

(-i~) n f drl...

n=l

(~o,Uke(t, S)~o )

D6monstration

Z

:

drn(V~(rl)'''V~(rn))L : S

s

nous appliquons

(2.71)

(1.27)

~, ( 2 . 2 3 ) .

Chaque g r a p h e G de

V (rl)...V (rn) peut ~tre d~compos~ en composantes connexes

G

=

o~ H k appara~t n k fois dans G e t

Puisque mions,

(2.72)

~ n k Hk k=l

presque t o u s l e s

n k = 0.

chaque Vmn / 0 contient un nombre pair d'opSrateurs de fer-

l'ordre relatif des sommets d'un produit connect6 par rapport aux

autres sommets est sans importance. Par exemple

:Vc(rl)V

(r2)V (r3)...V

(rn):

:

:V ( r 2 ) V c ( r l ) V c ( r 3 ) . . . V

=

~ Si l'on

nk! et

~

somme s u r t o u s l e s

dans (2.23)

le produit

int~gr~

(1 ~ k l

~ ...

sin k = 0,1,

sur

Is ~ rk 1

~ kl(k)) d'apr~s

(2.73)

graphes avec la d6composition

des contributions ~ '''

des graphes

~ rkl(k)

~ t]

L'interversion

toutes

les permutations

bution

par ~ nk!

o~ r k l . . . . .

on o b t i e n t par

rkl(k )

Ceci est

de d e u x ~ m p o s a n t e s

~vident

identiques

ne

C e p e n d a n t , on p e u t sommer s u r

de c o m p o s a n t e s i d e n t i q u e s ,

. La somme s u r t o u s l e s

(2.72),

c o n n e x e s Hk d i v i s ~

s o n t l e s temps d e s sommets de Hk . (2.73).

donne p a s u n n o u v e a u schema de c o n t r a c t i o n s .

tributions

(rn):

U~(t,s)

si l'on

divise

donne ( 2 . 7 0 ) .

la contriIci

les

con-

scalaires donnent le facteur exp ~(~o,(...)C~o ) = (~o,Ukc(t,x)~o).

Avec (2.69) on obtient (2.71). CQFD

Nous allons appliquer le th6or~me 2.7 pour diagonaliser H k. P o u r les interactions

sans polarisation du vide on a

+

a7

itH~

=

s

lime

t~+~

-itH

e

o

=

s-limU~o(0,t) t~+~

(274)

-

4 0

-

et sur D(Ho) +

+

"x% = %'o Th~or~me 2 . 8

:

(~'~)

sol% s a 3. Dans chaque %erme de l a s ~ r i e

U~a(O,~)

~

o

:e~p E (-i~) " f

= (To' U~e(O'~)+o)

n=l

formelle

rn-1

dr1... ~

~

dr(V~(rl)...V(r)) c

~

(e.76) la limi%e e$o exis%e +

Tk

=

c~olim UXe ( 0 , Z ~ ) / ( ~ o, U ~ e ( 0 , ~ ) + o )

(2.77)

e% sa%isfai% +

+

,~ T~ = T~(I,o+ %) (T~) ~ ± avec (m : n o m b r e

zJ

+

(2.7s) +

des F's) co

%

=

z

(_x)m (%(V r ( v . . . r ( v ) ) ) c %)

(2.80)

m=l co

z~ x

=

[lexp S ( - x ) m ( r ( v . . . r ( v ) ) c a

+o[[2

(2.sl)

m=l oh ( ' ' ' ) C R e s t

la contribution

D~monstration

:

puremen~ c r ~ a t e u r

p o u r ~ > O, l ' i n t ~ g r a t i o n

de ( ' ' ' ) L "

sur r 1,...,r

n peut ~tre effectu4e

avec l'identitd r

i f as w ( s )

= r+~ (W)(r)

(2.S2)

-b cO

s i W e s £ un monSme de Wick. F+~(W) a l e ~+~ w(k)

=

--

a v e c E, E somme s u r l e s c r 4 a % e u r s , C A

n o y a u w(k) de W r e m p l a c d p a r

w ( k ) ( E ~ i - ~ ~i + i ~ ) - I C

(2.83)

A

annihilateurs.

Donc ( 2 . 7 6 )

devien%

41 -

+

co

--

Tk~

=

,exp

Z (-k) n F+n ~ (V F+(n_I)£(V...F+a(V).. n=l --

Pour les graphes l i ~ s aucun d6nominateur

.

))L

$

(2.84)

de (2.84) ne s ' a n n u l e identiquement

pour ~1o. Nous a l l o n s v o i r que chaque graphe de

r_+n~(V r+_(n_l)~(v...r±~(v)...)) L d~finit une application de ~ les noyaux de V sont dans

(2.85)

~, qui est fortement continue pour e a O, si

~.

Considdrons le graphe G de la f i g . 2.3

1

5

2_

~

~3

1 8 D6

4

D5

D4

D3

D2

D1

Fig. 2.3

Le noyau de G a six d6nominateurs DI,...,D 6. On voit que D 1 et D 2 ne sont pas singuliers pour a$o, car les sous-graphes G(VI) e% G(V~VI) n'on% pas de lignes d~annihilateurs ext6rieurs. Dans un graphe G sans annihila%eurs ext4rieurs, t o u s l e s D. m n t C pour g a 0. Si D. ne r6sulte pas de la deri j nitre op4ration F+, alors D. es% singulier, si G(Vj,...,VI) annihile des _

particules.

J

Le dernier d~nominateur es% singulier,

si G(Vn,...,VI)

cr4e et

annihile des particules.

Pour ~ > O, nous a l l o n s r e p r 6 s e n t e r un Dm s i n g u l i e r (avec EmC et EmA la somme des 6nergies des par%icules c r ~ e s

G(v m . . . . .

vl))

et annihil~es par

come

--

m

exp÷i%(EC-EmA÷i --

J

m)

(2S6)

0

Donc les d~nominaieurs s i n g u l i e r s de la f i g .

2.3 deviennent pour F+ = F+

-

e% ~ i

:

42

-

~(~i) 6

:o

o~

6

6

TE Dm = ~o ... ~o m?3 dim exp ( - ~m=3 %m =

m=3

6

5

me)

x

6

exp i[#l i=47' t.i + #2 i~4 %i - ~3 i=E3 ti + ~4(t3 + t4) 5 ~5 i =Z3 t .i + ~ 6 ( % + % )

Si

l'on

applique

un noyau

dans ~.

G sur

u n T E ~,

Pour

+ ~7%

) + ~9% ]

(2.87)

les

~ > 0 on p e u t

+ ~8(%+%

variables

23,...,~

interchanger

9 yon% f i g u r e r

l'ordre

des

dans

in%4grations.

Chaque

(2.88)

f d~i exp Z i~ i Z tij f(...~i... )

donne une d6croissance ~ IE tijl-~2 d'apr~s le lemme de Ruelle

[17] pour s 83.

Donc (2.87) devien% absolumen% %-in%6grable

apr~s int4gra%ion sur ~3,...,£9,

uniform4ment pour ~ ~ 0. La fonc%ion d'onde

(G~)(~l,~2,e)

e% rapidement d4croissan%e

es% H~Ider continue

en ~i,~ 2 [36].

Un graphe li~ gSn~ral G qui annihile des particules peu% ~tre trait4 de la m~me maui~re. La d$croissance

en t n pour le dernier d~nominateur pro-

vient des impulsions des annihilateurs apparaissent

Un p o l y n S m e de W i c k d a n s chaque

composante

On obtient

(2.85)

agit

÷

a 6vidammen% l e s

des variables

m6mes p r o p r i ~ % d s ,

diff4ren%es.

co

=

:exp

E n=l

(_x)n (r+(v...r+(v))L,

(2.89)

= a = ux~(o,±=) v~(o,±=)+

(2.90)

~ > O, o n a

ux~(o,±=)+ ux~(o,±=) C'est

(2.76) sur

:

Tk

Pour

Les autres %n_l,...,tk

chacun dans le E t.. xj (voir (2.88)) de n - k impulsions int~rieures si G es% connexe.

diff~rentes,

car

ex%4rieurs.

pourquoi

- 43

__+ W

+__

(T~)

sur ~o'

Appliqu4s

tre

l'op~ration

seuls

:...:

1.3

les

+ IIT~ %1/2

:

termes

dans

+ Tk e s t

Puisque

T~

-

(2.89)

+ + T~(T~)

--

F+(...))CR

F+(V ; ~eci

donne

(2.91)

survivent

on p e u t

et

omet-

(2.81). +

de l a f o r m e

:exp

F+(Q~):,

l'application

du l e m m e

donne +

+

H T~

co

= T~H

o

+,

m=l

o

et

+ --

+

+

~VT x

=

(2.92)

(-~)~(vr+(v...)) LT~,

z

+

~ :(v~/~)~:

= +

(2.~a)

r+(v...)) L T~:

: Z (-Xlm(V m=l

+

+

+ (~o,(~v/T~l~o)T~ Une

analyse

graphique

simple

montre

que

+

(%,(~v / T~)%) est

de l a f o r m e

puisque

(2.80)

seules

les

car physiquement H~ p a r r a p p o r t

de G o l d s t o n e

contributions

s~ e s t

~tre

particules

entrantes

infSrieure

ind~pendante

survivent.

de l a b o r n e

sortantes

r_(...)%

Ceci est

inf~rieure

0 de Ho. Une t e l l e

de son d v a l u a t i o n

(T;)ou

(2.94)

~x

avec F+(...)T ° =

crdateurs

le ddplacement

h la borne

de H~ d o l t

[37],

=

raisonnable, du s p e c t r e

propridt~

d a n s une b a s e

= r(...)%, de

spectrale

orthonormale

de

(T;). CQFD

Une d 4 r i v a t i o n richs

[22].

Exereiee

Pour :

a)

~tablir

diff~rente

du t h ~ o r b m e

le contact

a v e c son f o r m a l i s m e ,

d~montrer

+

la

solution

it~rative

+

%

nous posons

1'

que

T~ est

2 . 8 a ~t~ donnde p a r F r i e d -

+

=

"exp-

0

Soit

8 peut

1 _

0.

ql,...,q

[V,Eq]

=

charge

~,

qui

ne

additive

d~compos~ dans une

asso-

somme d i r e c t e

(3.2)

q

® ...

®~n

(3.3) mn

H

o

commute avec

u n p o l y n S m e de W i c k V d a n s 8 e s t de c h a r g e s

> 0 une

q :

. ~niqi=q

q

E

(3.1)

u n p o l y n ~ m e de W i c k d a n s

de p a r t i c u l e s .

=

Soit

~i

o

particule ~

n ® i=l

de b o s o n s ,

x

Une i n t e r a c t i o n couple

a #i -( -k-)-

nombre fini

une

tousles

interaction

E

q

pour

de L e e ,

si

n > 0

0

pour

tout q

=

~miq i

(3.4)

46 -

(3.4) est satisfait, charge

totale

er~4e

Exemple

:

Galilei,

la masse

si et seulemen%

si dans ehaque monSme

est 6gale ~ la charge

dans une

interaction

totale

%otale

qui est invariante

d4finit une

de Wick de V l a

annihil~e.

par rapport

r~gle de s61ection

[38],

au groupe

de

[39j. Donc

qi = mi" observe

On

qu'une

interaction

de Lee V ne polarise

pas le vide

~o 6 ~ :

H~o La d y n a m i q u e d ' u n teur (a)

~

etq(7)

est

~:(x)

Nous allons

HoT °

m o d u l e de Lee p e u t

o~ l e n o m b r e t o t a l

Soient

=

~tre

des particules

payde p a r une d y n a m i q u e ,

les

parties

4tudier

cr4ateurs

des modules

=

(3.5)

0

~tudi4e est

qui

s4pardment

born4.

sera

dans chaque

sec-

L'absence

des difficultds

ineurablement

non-relativiste.

e% a n n i h i l a t e u r s

(1.44)

des

~(x),

i ~i S n.

de Lee avee

=

(a.6)

V(x_) = ~ C(a)(b) # ~ + i ( x ) a ( i ) # o n t une

certaine

interactions gences sont

ultraviolettes.

pas

sant,

D'autre

pour

de H i l b e r t

rigoureuse

est

bien

ThSor~me 3 . 1 VI

q

la

d4finie

:

Vl

(2)

H

O

q

: ~ + ~V

que l a

plupart

pas trouver o~ H

ren

interactions assez

simple

~ ~

sans

est

q

(0.21).

d'horreurs des densit4s

un o p 4 r a t e u r

Ces

en d i v e r -

H

(3.6)

ne

satisfai-

ren = H + kV + 0 ( k 2) d a n s un s e n s o peu singuli~res vont permettre et

de d i m e n s i o n renormalisation

fournir

s + 1 = 2,

des exemples

ins-

est

born4 pour ehaque q,

autoadjoint

sur

route

interaction

de Lee

:

de V ~ ~ . A l o r s q

q

locales

un a r s e n a l

s o i % s = 1 e t V une i n t e r a c t i o n

restriction

(1)

et

interactions

tout

g4ndrale.

Dans l ' e s p a c e - t e m p s (3.6)

~ren'

certaines

la thdorie

les

voir

: on ne p e u t

part,

renormalisation

tructifs

avec

yon% p r e s e n t e r Nous a l l o n s

renormalisables

d a n s un e s p a c e

pr~ciser. une

ressemblance

singuli~res

V(x)*

j=l

i=l

qui

~J(x)b(i)=

de Lee du t y p e

(3.6).

Soit

47 -

D(H ° + ~V)

=

£~ : Wq e D(Ho), Z II(H° + ~V)¢q[I 2 < ~}

(3.7)

q D6monstra%ion

le noyau num4rique r~dui% d'un monSme de V es% %ypiquemen%

: k

cS(Z

l! i

~Lj)

Z

j=l

i=l

(mp(i)+ll i

TT i=i

j~i

(m~(j)+ a )-~

(3.8)

e% k > 0, 1 > 0. (3.8) es% L 2 dans les impulsions rela%ives des par%icules • . , cr4es e% annlhllees,

avec une

L 2

-norme qui es% uniform~men% born~e pour tou%e

valeur de l'impulsion %o%ale. Car pour s = 1 k

sup f p

U

dai

i=l

~C

5(a-

Donc Vlq es¢ born4 pour chaque q et (H ° Ceci implique

k Z ~i ) < ~ i=l

+ xv)l

(3.9)

es% au%oadjoin% s u r D(Ho) ~ q .

(3.7).

CQFD Pour s > I, il y a deux %ypes in%6ressan%s d'inZeractions les modules X (rive l'Ecole Poly%echnique

de Lee,

I) et Y. Le module X, avec une den-

si%4 d'in%eraction

vx(~ ) dans l'espace particules

(les

p a r T.D. Lee

5 = 5a ® ~b c o n t i e n t

d6cri¢ une interaction singulier.

Nous a l l o n s

Le m o a ~ l e Ys+I

:

soit

=

entre

paires

Le m o d u l e Y a d i d d%udide

omettre

eertaines

d~corations

a 2 @b(~) + ~ b ( ~ ) ¢ a ( ~ ) 2 %(~)

deux p a r t i c u l e s

m > 0, qa = q b / 2 = 1, e t

x(t)

s~parable [40j.

(3.10)

N, U e t V) e¢ i n t r o d u i r e

Vy(~) Ici

~+(~)2 ~_(~)2

particule,

avec un potentiel

premi~rement physiques

de Fock d ' u n e

=

les

cr6ateurs

× E C ~ ( ~ 1)

= 0 p o u r t ~ 0. S o i t

les

a e t b, a v e c ma = mb =

et annihilateurs

a v e c 0 g X g 1, x ( t )

a#(k),

b#(k).

= 1 pour t g -i,

~ ~ 0 et

×~(k) Nous i n t r o d u i s o n s

diff~rentes

(3.11)

interactions

= ×(~2_k2) ~ cut-off

(3.12)

de

-

Vg

=

Vlg + V26

V I~

=

; G

3 "~

dPi ~q

i=l

3

V26

Ici

f d$note

i=l

l'int~gration

chaque secteur V2g n ' a

m

~/ff

-

~(2~-22-23) b*(21) a(22) a(23) (3.~3) ~(21+ 22-23) a*(2~)a*(22) b(23)

avec ~ Xg(~i).

e t Ho + ~V6 e s t

autoadjoint.

p a s de d o m a i n e n o n - t r i v i a l Dans l e c a s

48

Pour 6 < ~ los Vi~ sent born6s dans P o u r ~ ~ ~, D(VI~ ) m ~,

tandis

que

p o u r s > 1.

s = 2, n o u s a l l o n s

voir

que l a somme He + ~V~ p e u t ~ t r e

d6finie sur un domaine Dg, qui est dense dans 8, mais D~ n D(Ho) c ~a ® ~ " Dg sera l~image de ~ par une transformation d'habillement ("dressing transfer+ marion") T~ qui est une version approximative de T~ (2.89). Une approximation est n~eessaire, parce que la convergence de (2.89) est douteuse saul pour les potentiels r6guliers faibles (voir [41], [42], [363). Pour bien mon-

trer la libert4 de ehoix pour le domaine initial de l'hamiltonien renormalis4 (avant de passer ~ la fermeture), nous allons discuter deux eandidats

T~1 = exp[- xr(v2~)] 2

exp[-

(3'.14) ]

(3.15)

T~ est le prototype des transformations de Glimm dans le chapitre suivant, 2 et il est mal adapt6 ~ la solution exaete. Tg est plus physique et motiv4 par la th~orie asymptotique (voir th~or~me 3.3). 1 e t T 2 s e n t d e s p o l y n S m e s de d e g r 6 s n / 2 . S u r c h a q u e ~ n ' Tff

Hr(v2~)lnl] e t IIr+(v2~)tnll

s e n t uniform~ment b o r n ~ p o u r g ~ ~ e% s < 4 :

2

IIr(v2~1%ll 2 < %11%112 sup ~

2 d~ 6 ~ - P1_.~2) £ T[ - - - )2

IIr+(v2~)~nll 2<enlbnll

2 sup ~ 2

p o u r ~n E ~ . Le supr6mum d a n s ( 3 . 1 6 ) n

(3.17)

sera

5(21+ P 2 - 2 )

discut4

dans l'appendice.

2

2

~(2- 21- 22)

~ TI d2-! i=l

(3.16)

(~I + ~t2

i=l

~i

est manifestement

-

-

-

(~1 + ~2

fini

(3.17)

~)2

p o u r 6 ~ ~.

On o b s e r v e que s u r l e s u p p o r t

de

(#i + #2- # 2 i°)-I = (~I + ~2- g)-i est r~gulier (stabilitd de

-

la particule

b par rapport

49

-

~ l a %ransi%ion b ~ 2 a ) . Donc F+(V2~ ) = F_(V2~ ).

Pour ~ < ~ on ob%ien% s u r ~, g r a c e aux lemmes 1.2 e% 1 . 3 ,

~ ~ o (Ho+ ~V2.)T ~ i kVl~ %

=

=

T~H °

(3.18)

i : % ( X V l ~ - ~2V1~ /

ri(v2~)

lk3 + 2 Vl~ - /

q(V2~)2):

avec i = 1,2 et F 1 = F, F2 = F+. Les o p d r a t e u r s VI~Fi(V2~) e% V l q / 1 s o n t b i e n d 4 f i n i s s u r ~ pour 6 ~ ~ e% s < 4 ( v o i r F i g . 3 . 1 )

Fi(V2~)2

F

V 1 r i ( V 2)

V 1 r i ( V 2)

1

2 Fig.

V1 /

Fi(V2)2

3.1

Considdrons

%

:

VlJ+. (v

:

b$(2)b(p) %(2)

(3.19)

2 2 m~(p) D'apr~s l'appendice,

=

2 dp i

~

~ ~

~i

5 ( ~ - ~1

~2 )~

~1+~2 -~(p)

sup m~(£) < ~ pour s < 3. Donc M~]n' e% £,g

Vlff F(V2~)I n son% 2

unxformemen% born4s pour n f i x e e% ff ~ ~. Th~or~me 3.2

:

pour i = 1,2,

s = 2, ~ E ~ e% --i Hg = Ho + kVff

s - lira T i

ff~

(~ --* co

=

T i ~o~

(3.20)

- 50 -

s- li~

existent.

~.V~)

(H o +

Hi est un op~rateur

= ~i~ T¢o_i~

Ti~

r~el et sym6trique

(3.21)

avec le domaine T i ~ qui est

dense dans ~. Pour k ~ 0 Tico ~) Q D(H o)

Ddmonstration convergence

:

la convergence

born6e

[33].

forte

=

est

2Da ® 11

(3.22)

une c o n s e q u e n c e

du t h d o r ~ m e

sur la

Consid4rons

lt(H° + ~ v ) ~ 2

2 II - (H° + ~,v~) T~

11( 2 -

Ho~ II (3.23)

+..+ ~ Chaque

int~grand

E L1 e t

converge

II(.'T2

r+(v2~

/

d a n s c h a q u e norme e s t uniformdment

sur les

r+(V2z) 2:

b o r n 6 pour• t o u t compacts vers

~tablit (3.20) et (3.21). ~i est sym4trique, i " (T69, (Ho+ ~Vg)T~*) = ((Ho+.kVff)T~9 , T ~ * ) .

tension

autoadjointe),

car

Pnisque

ri(v2~)]n

est

=

si

p , ~ ~ ~. C e c i

Hi~ e s t

r~el

(et

conjugaison

~n(-~l .....

poss6de

une e x -

complexe

K

-211 )

(3.24)

borne, (T~) -1

est born6

P-n )

z~ro,

car pour d < ~ et ~,* E

H~ commute a v e c l a

(K Tn ) (21 . . . . .

9 , 6 p a r une f o n c t i o n

=

sur chaque 0n, et T ~ Soit ~ E ~) - ~a

est dense dans 8, puisque . Done b(k_)T ~ O. Comme

et

HoT2 ~

(3.25)

exp k F i ( V 2 ~ )

et llT v2 il =

~ l'est.

~l~ment

de ~',

o.

CQFD

La c o n n e x i o n rants tion

d'un

processus

de e e r t a i n e s

pre (g~n4ralis~)

2 de T~ a v e c l a p r 4 p a r a t i o n

de d i f f u s i o n

va clarifier

renormalisations. --i de Hd : H6--i a , ( E ) T °

P o u r b * ( 2 ) 9 ° on o b g i e n t

=

I1 e s t

Ho a * ( ~ ) ~ o

pour ~
E~/2]

montren~

lrexis%ence

son~ n u l s d'une

I1 es~ clair

sur ~ . A u ~ r e ~ e n t , m

constante

d(m)

< ~ %elle

les

que d a n s

estimations

que p o u r

(3.87)

les

(3.66

...71)

0 ~ ~ ~

IIHo ['''}(Ro(Z)V1ffRo(Z)Vi(k+2)ff...Vi(n)ffRo(Z))renlmll (3.s9)

Si n ~ [m/2j

e~ ~ d(m) a u t r e m e n t .

Ceci

en£ra~ne

que

( T ~ ) - 1 R ( z ) ~ m C D(Ho)

p o u r Rez < - 5 ( p , m ) .

Pour discu%er T~ on observe que

['o' r(v2~)]

avec r(V )Ho Ro(Z)~Im (3.87

,88,89)

sont

sans

= v2~ + r(v2~)Ho

(3.90)

bornd pour s > 0. Donc les termes suppldmentaires dans danger.

CQFD

64 -

Pour s+l = 5 une nouvelle

D(ri(V2g)) e t mff(R,z) e s t liras

lindairement

pour associer a)

appara~t

:

pour ~ ~

Nous a l l o n s

(3.9~)

discuter

plusieurs

possibi-

u n e d y n a m i q u e h Y5"

(~o,b(~)A~(T~)~A6b*(R')Oo) thgor~me

= {0}

divergent.

Nous a v o n s c h o i s i

superficiellemen%

difficul£d

T ~ A de t e l l e

= 8(R-~').

au r d s u l t a t

f a g o n que

C e c i donne u n t h ~ o r ~ m e q u i r e s s e m b l e

principal

de 61imm p o u r l a t h d o r i e

4 (voir ~3

(4.15~.

Thdor~me 3 . 8

:

soit

s = 4 e t ~ , ~ E ~. A l o r s

~i~ ( ~ ,

"0 ~ ¢ 1

lira HH6T~6~]I 2

=

= (~"o ¢1 (V, (HI

+

(3.93)

X2V2~VI~)¢)

(3.94)

1 Remarque

:

normalisation

T ~

d ' a m p l i % u d e A~ e s ~ t r o p

mique triviale. rien,

n e c o n v e r g e p a s f o r t e m e n % p o u r T E ~ • On v o l t Une r e n o r m a l i s a t i o n

car k entre

D~monstration

:

forte

p o u r Y5 e% n o u s a m i n e h u n e d y n a -

s i m u l % a n g e de c h a r g e ,

d a n s A~ comme ( 1 + ~2 n ~ ( ~ ) ) - ~ 2 soit

= 1 sans restric%ion.

T,~ E ~,

T E 8 ka ® ~ ,

Dans l e s u p p o r t

que l a r e -

~ ~ ~ff, ne c h a n g e

= ag(~).

~ E 5 am ® ~bn ' k + 21 = m+ 2n e t

c o m p a c t de ~ , ~ ,

a6(~)

~ 0 uniform~ment

en ~ p o u r 6 ~ ~. C o n s i d ~ r o n s

(3.95) o~ s g 1, ~ g n . F + ( V 2 6 ) ~ s F+(V26)% e s £ u n e somme de g r a p h e s :Gr~(F+(V2Z)~ r+(V2a))r:

(3.96)

2 o~ ( ~ , G r 6 +) res%e h o r n ~ p o u r 6 ~ ~, ~,@ E ~. A u s s i

i i . %(~)2 ~ YV dpi

~(P- Pl- P2)

=

1

(3.97)

-

uniformdment

sur

le

support

de ~ , ~ .

65

-

Ergo

1 s:t: (r+(v2s)sAsV, r+(v2s)tA6¢)

pour

g ~ ~,

except$

pour

s = 1 = t = n oh l ' o n

(3.98)

-~ 0

obtient

(~,~).

Ceci

~tablit

(3.92).

+ (T~,

,T~(vl~ vl~ r(vi~)+ ~ vl~ / r(vi~)2), %¢) _

(3.99)

1

1 Le p r e m i e r

terme

~ droite

donne

(3.93).

Discutons

le

second

terme,

(r+(v2~)s %~, ,r+(vi~)t vl~, %~) Les conditions assez autres

k + 21 = m+ 2 n ,

de c o n t r a c t i o n s termes

de

m ~ 2,

s + 1 ~ 1,

F + ( V 2 ~ ) * F+(V26 ) p o u r

(3.99)

2 pareils.

sont

t

~ n nous

compenser

les

par

exemple

(3.1oo) emp~chent faeteurs

d'avoir a~(~).

Les

Finalement

+ (,T~(v:~ .... 1, %~, T~,o¢)

(3.1011

+ ( : ~ ( v ~ - . . . ) , %~, :T~(vt~-...): %*1 Le p r e m i e r troisi~me

terme seul

h droite

donne

V2~ Vlff n ' a

(Ho~ , H o ~ ) ,

p a s de l i g n e

le

second

ext~rieure

zdro,

du t y p e

tandis

que d a n s

le

b.

CQFD

b) Nous n o u s

Au l i e u

restreignons

d'6tudier

, nous pouvons

H

aux secteurs

82 e t

83,

H~

=

H ° + kVff + k2Mff

M~

=

vl~

r+

- k2Nff

T~HffTff.

posons

H°

(3.1o2)

N~

= V I ~ + (V2~) 2

T~

=

-

oh n o u s

l'op4rateur

(v2~)

2

I

discuter

xr+(vi~)

66 -

Un c a l c u l

simple

=

H O

donne

+ ~HoF+(Vl~)- ~F+(V2~)H ° - ~iVl~r+(V2~)- ~2r+(Vla)F,~+(Viz)Hol m i

Nous avons

utilis~

F+(W)*=

l

- F_(W*) e t V l g F i + ( V 2 ~ )

= -

r+(Vl~)r+(vi~).

2

Les derniers forme

deux termes

explicitement

sont

nuls

sym~trique

pour m = 2 et

F+(V2~)H ° n'

une deuxibme

peuvent

6tre

de d o m a i n e d e n s e

transformation

sous une

÷

i

a pas

~crits

comme

i

Seul

2

-

-

(3.Io3)

(3.i04)

i

d a n s 8m pour g ~ ~. Nous

introduisons

de " d r e s s i n g "

%lm

1 + ~ri(vi~).ol m

:

(3.1o5) ~Ho, S ~ ] ] m

3.9

Thdorbme m = 2,3

:

avec

les

notations

=

kF+ (V2~) Ho[m

(3.102)

et

(3.105),

on a p o u r T E ~m'

: s-

lim

S~

=

S~

(3.10~) s-

S~iDm e s t

dense

dans ~

H S ~

m

l i m T~It TgS~T

ei H

=

esi

S~o~

=

un opdrateur

+ kHor+(Vla)~

H S ~

r4el

et

symdtrique

o

1

+ k2HoF+(VI~)F2+(V2~)Ho~ 2

S~ m

- k2Vlar+(V2z)~

xir÷(vl~)r+(vi~)'o ~ ÷ XiHor÷(v'-)ri(v--)"lo~o 1

sur

(3.107)

- 67 -

Aussi s- lim HffT~S~ existe.

Quelle s e n t l e s propri4%4s p h y s i q u e s de l ' h a m i l t o n i e n Pour m = 2, nous peuvdns e a l c u l e r

explieitement

la s g r i e

H~[m

de N e ~ a n n

co

u~(~)l= =

(i

=

[(~Hor+(Vl~)-~r+(v2~)Ho)Ro(Z)]nl2

~o(~,) n=o

-

~Ro(z)r+(v2~) IIo)Ro(Z)T~(z)ao(Z)(l+X~or+(vl~))le (3. 108)

% ( ~ ) a o ( = ) l = = f dp b * ( p ) b ( p ) t ~ ( ~ , z ) [ 2 ff tff(~,z)

=

[i -

2

k2 z-

6(p - Pl

i=l

~

~i

P2 )

(~1 + ~ 2 - ~ ) 2 ( z -

~1-

Nous o b s e r v o n s que ( 3 . 1 0 8 )

devient

si l'on re.place , o r ÷ ( v l ~ )

par Vl~ et -r+(v2~), ° par V2~. Pour Im ~ ~ 0,

R~(z)I 2 s a t i s f a i t

aux r e l a t i o n s

la s ~ r i e n o n r e n o r m a l i s ~ e

-i

Ro(Z)E(~Voa °

(~))n

(3.54 . . . . 57). Done

fi:[e

=

z

R~(z)l~ 1

(3.1o9)

sur R ( z ) l 2 5 2 c ~2' qui est un candidat pour

d4finit un op4rateur autoadjoint

la dynamique du module de Lee Y5 sans cut-off. Malheureusement,

on d~duit de

^

(3.108) que H~I 2 nous rejetons probl~me

n'est pas born~ inf4rieurement Jm

.

pour k % 0. Pour cette raison

Ce n'est pas non plus une solution satisfaisante

du

de renormalisation.

c)

Au lieu de la renormalisation

introduire une deuxieme renormalisation

multiplicative

comme dans le chapitre VI. m~(~gz) est lin4airement renormalisation logarithmique

Ag, nous pouvons

additive dans les fonctions de Green, divergent,

et apres une

de masse kV~ ~ kV~ + k2Mg dans la s4rie (3.60) une divergence

persiste.

Celle-ei ne peut pas ~%re compens4e en remplaTant kV~

par un op4rateur kV~ + k2W~ ind6pendant

de z. La renormalisation

convention-

nelle de la TQC (voir (6.41)) remplace m~(~,z) par

%(~,~)

- %(e,A

- (z - ~)(~

%(~,~)1~=~)

=

(3.11o) 2 ( ~ - z) 2

2

d~ i

8 ( ~ - ~ 1 - ~2)

~f i--Tit=~i (Z-~l-P2)(~l+~2-p)2

- 68

Dans l a s $ r i e

-

(3.60) ceci e s t impl4ment4 par

~V~ - kV~ + k2M~ + R6(z)[ 2 peut

~tre

%(~)[2

calcul4

:

explicitement.

h2 N ~ ( Z - H o )

On obtient

(3.ili)

comme

forme

~o(~) ~(~) ao(~)(n+

(n + ~ao(z)V2~)

sur ~ x

~Vl~ao(~))12

(3.112) o~ ~(~) ao(Z)I2 ~ la ~o~

~ ~ b'~(~)~(~) ~(~,z)[2, ~ec

^

d~ i

= [1- ~(~- ~) f~ i=~ h

%(~,z)

(z . ~1. .~2)(~ . ~1

%)2~

(3.113) La r e n o r m a l i s a % i o n ( 3 . 1 1 1 ) a des p r o p r i d % 6 s ex%r~memen% d 6 s a g r 6 a b l e s .

On v 6 r i -

f i e que l a s 4 r i e co

a~(~)l,.

= ~o(~)

r

[(xv +xe%+xa%%(~)-l)%(~)]nl~

(3.114)

n=o

es% a n a l y t i q u e

elle

en h e% z pour

ne s a t i s f a i %

op6rateur lin4aire

ff < ~ fixe

plus h (3.56).

e%

[hi < p, Rez

mais

H~, e t on a quit%~ l e f o r m a l i s m e h a m i l % o n i e n . I1 y a une

m a n i f e s t a % i o n e n c o r e p l u s 6 c l a % a n t e de cet%e d i f f i c u l t Y . rdsolvante

< - 8(p,m,6),

Done R~(z)[ m n ' e s % p l u s l a r ~ s o l v a n t e d ' u n Si R ( z ) l 2 6 f a i r

d ' u n o p 6 r a t e u r a u t o a d j o i n % HJ 2 , sa mesure s p e c t r a l e

la

serai% donn4e

p a r [33J : (~, dE ( x ) ] 2 } )

=

w-lim

c$o

T = ~ £ 8 ao ® 51" b

1

[Ro(x-i~)I2-Roo(x+i~)[2}¢)

(~,

: $ x ~(~)[2

Hi2 Soi%

~

(3.115)

On ob%ien%

(~, dE (x)[ 2

%(~, x [ x-~

~)

=

lim ~ 1

~ d~[W(~)

12 x (3. 116)

x- i~)

~(~, x + i~)

- i~

x-~+ic

}

Pour x s

8(~- ~1- ~2 ) (~- ~1- ~2)(~- h - ~2 ~2

-> 0 (3.117)

-

et

devient a r b i t r a i r e m e n t

z = Xo(~)

< G(2),

si

grand

k ~ 0,

69

-

p o u r x ~ -~. Donc t

avec une contribution

(~,z)

darts

a un pSle

(3.116)

pour

~gale

f d2 Iw(~)l 2 S(x- ~o(~)) p(2)

(311s) 2 d2i 6(2-21-22) P(~) = ~(2)/2k2(~(2)- Xo(2)) ~ 1~ > 0 i=~ ~i (~o(~)- ~1- ~)~(~1 + ~ - ~(2)~ (3.ii8) est incompatible a v e c l a positivit~ de la mesure (T, dE (x)I2~). On dit que l'6tat correspondant est un "fantSme" [443 . La renormalisation (3.i10) est done incompatible avec la m~trique positive dans l'espace de Hilbert, et la fonction de Wightman associ~e ~ ( % , b(2) R (z)l 2 b~(2')~o) ne d~finit pas un produit scalaire. Notre

conclusion

est

que l ' o n

ne peut

pas associer

~ Y5 u n e d y n a m i -

que s a t i s f a i s a n t e .

Le m o d u l e Xs+ 1

:

nous 4

V(~ =

introduisons

l'interaction

avec

cut-off

d2i

(~ i?l'= ~/~i --~ 5 ( 2 1 + ~ 2 - P s - P 3 ) a * ( P l ) a * ( 2 2 )

a(p3) a(24)

(3.119) H ° + %V~ e s t singulier pri~tgs est

un hamiltonien

pour

~ ~ ~ et

que Y3 e t Y 4 '

bien

:

s > i.

tandis

connue pour

Th@or~me 3 . 1 0

de S c h r ~ d i n g e r

les

soit

avec un potentiel

Nous a l l o n s

voir

que X 3 a l e s

que X 4 v a p r d s e n t e r

potentiels

du t y p e

s = 2 , m 6 Z+ e t

R~(z)I m

=

~

I1 existe

et

est pro-

difficult~,qui s > i

un 6(p,m)

Ro(Z)(~V ff Ro(z))nl m

qui

m~mes b o n n e s

une nouvelle

Zi<j~6(~ i-~j)

p < ~.

s6parable,

[47].

< ~ tel

que

(3.120)

n=o

converge

d a n s B(~m) e t e s t

Rez < - 6 ( p , m ) existe

et

analytique e n k e t z e t c o n t i n u

0 ~ ~ ~ ~.

un op~rateur

(3.120)

auto-adjoint

R~o(z)

satisfait

Hi

sur R (z)

:

Im

aux relations 8 tel

en ~ pour lkl (3.54 ....

< p,

57).

que

(z - H l ) - i J ~

(3.121) =

p o u r Rez < - 6 ( p , m ) .

~-.(~)i~

1

I1

-

D~monstration

:

pour tout

c > 0, i l

7 0

-

existe

un C ( c ) < = t e l

que

da ~sup ,~

f~

[~(;_/2+K)

~(~2_K)~l*

(a.lee)

~/2 < C(~)

C'es% pourquoi IIRo(Z) ~ V % ( z l ~ [ m [ I < C(~) p o u r Rez ~ 0. Avec c e t t e

information

(~)

on p e u t r S p ~ t e r

(3.123)

la ddmonstration

du

th~orbme 3 . 4 .

CQFD Nous a l l o n s

4

v~~

R s ( z ) l 2 explicitement. Soit

calculer d~i

2

v~(~,z)

=

2 f

i?i

d~__!

~(~ ~2 -~)

~i

( z - ~ 1 - ~2 )

(~.i~4)

+

On o b t i e n t

%(~)[2

:

%(~)12 ~ ao(Z)l 2 + Ro(Z) %(~) Ro(~)l 2 4 x ~ U dai- 8(al +Re - ~a - a 4 ) ~ ( 1 ) ~ ( 2 ) 4 a ) ~ ( 4 ) % ( ~ l

+ ~2 '~)

i=l ~ i t~(~,z) L'int~raction

=

[i- i v ~ ( z , z ) ] -1

(3.125)

(H o + kV6) 12 c o r r e s p o n d h ce q u ' o n en a t t e n d

physiquement.

Pour

X > 0, T ~ ( z ) l 2 e s t h o l o m o r p h e p o u r z ~ [2m, ~) e t i l n ' y a p a s d ' ~ t a t

li~ pour

cette

des

interaction

z ( 2 ) < 2m t e l

r6pulsive.

Pour ~ < 0 et ~ s ~ il

existe

toujours

que

v~(~, ~(z~

= 1

(3.126)

c a r p o u r ~ = ~ e t z < 2m

v~(o,~)

et l'int~grale

diverge

logarithmiquement

~ q2

< o

en K = ~ p o u r z ~ 2m.

(3.12~)

71 -

Nous allons

construire

obtenir un autre hamiltonien

une transformation

de "dressing"

T~ pour

H~ sans recourir ~ la s4rie de Born pour Rg(z).

Soi% p > 0 et Vg

=

V'

Dans fD(p

f

on i n t ~ g r e

,~)

iT

V'p(:; + V"p~

=

dPi

5(~i + 2

2

-23 - 24)a*(1)a*(2)a(3)a(4 ) (3.128)

s u r ~ X~(2i) X(2(p3+ ~4 ) + p- ~ i - ~2 )"

dans ( 3 . 1 2 8 )

On a donc

(~I + P2- ~t3-~4 )-I -< C avee C < ~ et

I

m

Th4or~me

ind4pendant a un domaine

3.11

de ~i'

. .

p-~2 ~ ~i~

"'~4 . Pour tout m

dense dans ~

qui contient

m

(3.129)

i=l

6 Z+, F+(V ~ ~)Im E U

E>o

D(H

:) m

B(Sm)

•

pour tout k ° > O, m E Z + il existe un p(ko,m ) < ~ tel que

:

Tpo. 1m

=

71

( - k ) n F+(V~ff

. . .

F+(V~)...)]

m

(3.130)

n=o

T-iIm p~

=

E

kn F+(...

F+(V~)...

V~)l m

(3.131)

n=o

soient analytiques

en t pour Ikl < k O et c o n t i n u e s en p,~ pour p > p ( k o , m ) ,

0 g ~ ~ ~ dans B(~m). On a dans B(~m) lim

Tp~Im

=

p~

Tpo. lm T-t p~rlm et pour T £ D( H° )m

et

T-llmp~

lim

=

p~ =

n

(3.132)

Tpo. I m

(3.133)

0 ~ ff
0) e t A k + l . . .

s i A 1 . . . Ak

scalaire

Exercice T

.

Pour obtenir

r+(...r+(.A.k+l)...An)

(-i) k r+(A 1 ... r+(Ak)) .

(3.132).

et l'identit4

n

k=o

-

(3.140)

entratne

T-1

po" Ro'(")Im

=D(Ho)

(3.142)

m

pour ~ < ~

-1 a:(~)-n- xv,, = Tp:(~ p~ R:(~))l~

=

(3.143) et

les

termes

th4or&mes

h droite

3.6 et 3.7,

• . Theoreme 3.12

sont

des op~rateurs

nous obtenons

2 Im : soit Hp~

H~[m avec p > p(ko,m),

Ikl

0,

On v o i t

qu'en

(3.125)

avee

remplacd par fff(p,z,v).

P o u r Im z ~ 0 e t 0 ~ ~ ~ m R g ( z ) l 2 E B(~2) e i s a i i s f a i t aux r e l a 1 r e n ormalisd %ions ( 3 . 5 4 , . . . , 5 7 ) . I 1 e x i s t e doric u n h a m i l t o n i e n H~I 2 p o u r X 4 par

(3.101).

Mais l e s p e c t r e

du c h o i x du p o i n t

de H~I 2 d ~ p e n d d ' u n e

de s o u s % r a c t i o n

P o u r k < 0 e% z < v ( ~ ) , d'dtat

lid,

mais il

y a toujours

f a T o n %r~s s e n s i b l e

de k e%

v(p). % ~ ( £ , z ) ne p r o d u i % p a s de s i n g u l a r i t d un dtat

lid

pour v(~) < z < 2~(p/2),

IPl e%

-

k suffisamment tel

petit.

P o u r k > 0,

que k f ( £ , z ( ~ ) , 0 )

infdrieurement.

75

v(~)

= 1 e% l i m z ( £ )

Cependant,

-

= 0 et tout

~ 6 R 3, i l

= - ~. Dans ce c a s H~I

p o u r k > 0 e% v ( ~ )

= ~(~),

il

existe

un z ( ~ )

n'est

2

existe

pas born6

un C = C ( ~ ) - C. La difference entre les deux soustractions est conventionnellement appel~e une "renormalisation finie". On voit qu'une telle op4ration peut changer violemment le spectre de l'hamiltonien renormalis4

! 0bservez que

pour I > O, D(W~(l,O) - W~(k,v)) = [O] pour ~ fini et suffisamment grand.

La renormalisation

(3.150) est appel4e une "renormalisation de

charge". La "fonction ~ quatre points"

(~o,a(21)a(22)[(zes% p o u r g < ~, Le p o s t u l a %

z f

(£ = ~i + ~ 2 )

H ° - hV6) - 1 - R o ( z ) J a * ( 2 3 ) a * ( 2 4 ) ~ o

[ 2 ~ ( p / 2 ) , ~) une f o n c t i o n

que p o u r z = v ( ~ )

(~o,a(~l)a(~2)

cette

Ro(Z ) ~ V

fonction

(3.£50).

champs e s t

comme v a l e u r

certain

point

hors

du s u p p o r t

sens physique

car

Green par

formules

les

61ectrique formule

d4finie

les

singulier.

amplitudes

de Thompson r e s t e

d'une

~ chaque

fonction

es% d 4 f i n i e ordre

en k

(3.i53)

~o )

en t h ~ o r i e

son% l i 6 e s

de k = 0.

comme s ~ r i e

Une % e l l e d 6 f i n i t i o n

de LSZ ( 6 . 1 8 1 ) .

quantique

exacte

a*(~4)

(3.152)

en k a u t o u r

identique

Une c h a r g e


de r ~ d u c t i o n

en 4 1 e c t r o d y n a m i q u e

est

Ro(Z ) a * ( ~ 3 )

nous amine ~ la renormalisation gdn4ralement

analytique

)

quantique

des

de G r e e n en un peu% a v o i r

aux f o n c t i o n s

Par exemple,

un

de

la charge

de % e l l e f a ? o n que l a

de l a s 6 r i e

des perturbations.

Dans les sec%eurs ~m' m > 2, le modele X 4 pr~sente la difficult6 que t o u s l e s

graphes de la s4rie de Neumann ou de la transformation de "dres-

sing" (3.130) sont bien d~finis,

sans que l'on puisse d~montrer la convergence

des s~ries.

D'abord, pour ~ assez petit, e% - Rez suffisamment grand, on v6rifie que

z m

=

n=o

z n=o

n

Ro(Z)(T~(Z)Ro(Z))ren consiste en t o u s l e s graphes

(3.154)

76 -

G~(n,j,z)

:

Ro(z ) T~(z) J

de R o ( Z ) ( T ( ~ ( Z ) R o ( z ) ) n

o{1 a u c u n e p a i r e

: J~2' .. "'Jn-l,n

con%rac%4e

Th~or~me 3.13 ~(~) ~(~))

:

....... iv

Tff(Z)Ro(Z )

(3.155)

J~

de To.(z ) a d j a c e n % s n ' e s % doublemen%

< 2.

p o u r Im z ~ O, ou Re z s u f f i s a m m e n t

peti~

( p o u r k > O,

=

[[%(n,j,z)~[] e% G d ( n , j , z ) l

-

(v

2 ;~'~

v~ll

(vOl)

.

Fig.

Soit

1 ,3

3

=

20 01 V~ + V~

-

=

(v~O)*

4.1

est une interaction de Lee, qui ne requier% aucun cut-off spatial.

g v0i(1)p ~(V~0(1))'O o =

Alors Ho +V 0(i) + Vd (i) + M6 se comporte comme

i ii vlO le module Y4" Ho + V~ + ~ est un mod~le cut-off

21

(~ ~ ~, g ~ i). V~

polarise

00

+ Vd

"persistant"

es% la contribution

qui n'exige aucun

la plus singuli~re,

le vide et requiert une renormalisation de masse et d'4nergie

Pour rester formellement dans le cadre des hamiltoniens

qui

infinie.

Ioeaux (pour ~ ~ ~)

nous cherehons des contre-termes

(4.17)

1

avec md, ed 6 R ~ Le th6or~me s u i v a n t r e p o s e e s s e n t i e l l e m e n t [2s]

sur les idles

,

Th~or~me 4.2

:

il existe une famille

pq de t r a n s f o r m a t i o n s

de d r e s s i n g ,

0 ~ ~ K ~, p E Z+, avec

T

: ~ ~ 8

p6

s-

lim

T

s-lim~p~ p .., co

I1 e x i s t e

une r e n o r m a l i s a t i o n

( 4 . 1 7 ) e t mg, e~ c r o i s s a n t

~

inversible

=

~

=

~

~

(4.18) (~ ~ ~)

(4.19)

(~ e g )

(4.20)

Ha = Ho + V ~ + M~+ Ed, avec M~, E~ de l a forme

v e r s +~ pour ~

tel

que

de

-

83

-

^

s - lim H ~

existe

~

pour ~ E ~ e t p 6Z+. La f e r m e t u r e

dans ~. H

e s t un o p S r a t e u r l i n ~ a i r e

=

H

(4.21)

T

lin~aire

D(H ) de U T p ~

s u r D(II ), s y m 6 t r i q u e ,

e s t dense

r 6 e l e t born~ i n -

D(%) n D(Ho) = {0}.

f~rieurement. D~monstration

:

l'op~rateur V ~,,

a son d o m a i n e

~ dans

V aiO + VOi a + V00

=

~ p o u r ~ ~ ~ • Soit V 6' = V

(4.22)

" Alors - V6.

^

Noyau

de F(V~ 1)

=

g ( ~ l +~2 +~3 ) S ( - ~ 2 ' - ~ 3 )

(4.23)

%~i(~i + ~2 + ~3) ^

Noyau de F(V~ 0)

=

g(~2 + ~ 3 - ~ 1 ) S ( - ~ 2 ' - ~ 3

)

(4.24)

Noyau de F(V~I) = g(~l+~2-~3) T(-~2' -~3)

(4.25)

Z~i(~i+ ~2) Pour routes

Lemme 4 . 3

les e s t i m a t i o n s ,

:

le lemme

soient f : ~sn

suivant

est tr~s u t i l e

~ ~ e t g : ms ~ {

c o n t i n u e s p a r morceaux avec C(.

m

If(k_i

.....

~)I

~c ~

i=i

:

(i + l~-il) (4.26)

I~(E)I ~ o~ ~i = Z j =n I d i j k j , d < ~ t e l l e que

d.xj E B.

c(i

+ l k l ) -a

Si a > s + E l a i l , i l e x i s t e

m

une c o n s t a n t e

C¢.

I f ~-i g(k-i) ~(~i . . . . . N)l -< d 7V (i + rzil) i i=i avec Yi

=z

(4.27)

n j=2 d i j k j .

Ce lemme, dent la d ~ m o n s t r a t i o n s e r a rel~gu~e ~ l ' a p p e n d i c e , permet dans l e s e s t i m a t i o n s 8(k). Puisque

ISl

~ 2 et

de t r a i t e r

les cut-offs

ITt ~ 4, l e s noyaux ( 4 . 2 3 ) ,

nous

g ( k ) n comme des ~ o n c t i o n s (4.24) et (4.25)

sont

-

d a n s L 2. Chaque p u i s s a n c e D'abord, lettes,

c'est-~-dire

84

de F(V~) e s t

nous allons

isoler

d a n s une s ~ r i e

alors

ddfinie

formellement

s u r ~. les

en puissances

divergences

ultravio-

de g. Nous d ~ f i n i s s o n s

co

Ta

=

E

Trig , Toa

=

1

n=o Tn~ = La r e l a t i o n

(1.39),

Hor(W )

=

(4.2S)

(-i) n r(v~ ... r(v~)) W + :r(W)Ho:

(Ho+V~) % Pour T E 2~, T~p et :TgHo:

a

(i,j

:nombre

4.5

sera

termes,

=

2 Z

pour cf - ~. Par contre,

i r. V" r ( v - . , ,

i=o

j=o

r(v~))

(4.3o)

a..~.~. ~

1,J

et bosons contractds).

Une c o n s g q u e n c e du t h d o r ~ m e

les termes avec i = 2 divergent

p o u r ~ ~ ~ e t que, p o u r c e s

differences

v~ r(v} r(v~ ... r ( v } ) ) . . . )

~ - v~ r(v~) r(v~ ... r(v~))~

2,j convergent

(4.29)

dangereuses

"

de f e r m i o n s

que s e u l s

les

r(V~))

que

"%~o"

=

cp n'ont pas de divergence

II darts VC~ T d £I y a des contractions

V" r(v~ ..

implique

fortement

(4.31)

2,j p o u r a - ~, ~ E ~. Nous o b t e n o n s

2,1

2,0

a v e c sff de ' b o n n e a p p a r e n c e " 3

4

v°°r(v21 )

v ° l r ( v 20 )

2,1

2,0 Fig.

4.2

(4.32)

-

85

ehoisissons E~ : V600 F(Va21 1, q u i e s t de l a forme ( 4 . i 7 1 p o u r g / 0.

Nous

2,i

v~ir(v~ 0) ( v o i r f i g . 4 . 2 ) est de l a forme 2,0 2

dp i

(4.33)

~*(~i)~(~2)%(~i,~2)

cr

4

2s("3'"4 )2 ~(P3 + P4 - P2) ~("l - ~3 - P4)

%(~i,~2) P

2s(~ f

dpdq

D(~)

a v e c D((~) = { ( P , t t ) : r e rme ~ I

+

~, ~ - ~)2 ~(~l - P) ~("- ~2) (4.34)

~(~÷~) + ~ ( ~ )

I p +_ KI < ~}- Avec Glimm, nous i n t r o d u i s o n s

le confre-

ave c

(4.35)

2~(a)

Lemme

4.4

:

p o u r chaque c > 0 e t N < ~, i l

existe

une c o n s t a n t e

C = C(c,N)

telle que If6(~i , -~2 ) -m6(g ~ g)(~l ÷a2)l

~ c ( l ÷ la 1÷~21) -~

~i~2 ~ ~ (4.36)

( D ~ m o n s t r a t i o n dans l ' a p p e n d i c e ) . Du lemme 4 . 4 e t des e s t i m a t i o n s

analogues pour les autres

termes,

on d ~ d u i t que MC~

(vO0 + v~O1 ) r(v 2t + v2°~

=

fia

(4.37)

2,0 est

l a somme de trois

op~rateurs

2

(~ j=l

d~j 8i(~i,~ 2) a*(-~l)...a*(-~i) a(~i÷l)...a(~2) (4.38)

-

-

satisfait

( i = 0 , 1 , 2 ) , o~ 8 i ( ~ 1 , ~ 2 ) ~ 1 ~ 2 5. e s t donc L 2. 1 Nous allons maintenant :HoTg:~,

86

h une estimation

4tudier le comportement

comme ( 4 . 3 6 ) .

de T ~ ,

Sg~ pour ~ £ ~ et ~ - ~. Pour nos besoins ult6rieurs,

A6Tg~, nous choisis-

sons un cadre un peu plus g~n~ral.

Tout g r a p h e de T~n T~n , T*~n A~A~T~n' T~n V~~ V6 T~n , n = 0 , 1 , 2 , . . . , est appel4 admissible.

Certains

~ ~. Soit 8 > 0 arbi%raire,

5-r4gularis~, criptions

(a)

(b),

(e),

(d)

(b)

(e)

P o u r une c o n t r a c t i o n

selon les pres-

p a r un f a c t e u r

V~ V~ ( v a r i a b l e

V~- Vcy

de c e s l i g n e s

: ~1,£2 )

du t y p e de l a f i g .

(variables

P o u r routes les autres contractions

Le th~or~me s u i v a n t

4.5

de Glimm e s t

de e e s l i g n e s

4 . 3 un

:

£i,£2,~3 )

:

p a r un facteur 1.

f o n d a m e n t a l p o u r une r e n o r m a l i s a -

en %h4orie d e s h a m i l t o n i e n s

locaux :

pour tout 5 > 0, il existe des eonstantes K = K(5) < ~,

L = L(8) > 0, tel que tout graphe Gg admissible

et 6-r~gularis4

d'ordre n

p o u r tout 0 ~ s ~ L, 0 ~ ~ ~ ~

satisfasse

II ~

~1+c

f

c [g~[. inTT ~ ~jl[2 ~ K n

(4.39)

ex%

Remarque sation.

: ~ ext

g~ est e%

~

l e n o y a u de Gg sous l a forme ( 1 . 2 3 ) portent

sur routes

les lignes

5 e t g~ s a 6 - r 6 g u l a r i -

ext~rieures

e% i n t ~ r i e u r e s

int

de G~, l'int4gration

darts (4.39) porte sur les variables

norme L 2 sur les variables

ext6rieures.

et

(~1 + ~2 ) - 8 .

(~1 + ~2 + ~3 ) - 1 - 6 "

tion non-formelle Th4or~me

:pl,P2)

(~1 + g2 ) - 8 e% p o u r une c o n t r a c t i o n

p a r un f a e t e u r

est appel~

de f e r m i o n d o u b l e e n t r e un sommet V

de c e s l i g n e s

Pour une c o n t r a c t i o n

p a r un f a c t e u r -6 f a c t e u r ~1 "

est multipli~

pour

:

P o u r ehaque c o n t r a c t i o n

un sommet T(V~) # ( v a r i a b l e s

sont divergents

mais fixe. Un graphe admissible

s i son n o y a u ( s o u s forme ( 1 . 2 3 ) )

(a),

(d)

graphes de T~n V~V~Tgn

int4rieures

et la

87

Avant la d4monstration,

-

nous allons appliquer le th6or%me 4.5 pour

v4rifier qu'apr~s la renormalisation de (4.32) T ~ formelles bien d4finies pour g ~ m. En utilisant le fait qne les variables de H

et H g T ~

sont des s~ries

l'in6gali%4 de Sehwarz

et

dans :HoT~: ~ n'op~rent que sur 9, il ne resO

tent que des termes

jIT~n ~112, IIA~~n ~112 ItV~ F (V! . . . O

F(v~))~II 2

(i,j)

~ (2,1),(2.0)

(4.40)

i,j

IIv~,, r~f(v~, r(v~...))9 - v ~,, )r c v , 2,j

r(v~.

..

)~li 2

2,j

Pour T £ ~ e t chaque graphe G~, i l e x i s t e une c o n s t a n t e C = C(~) < ~, t e l 1(9, G~ 9)]

< CII ~ [ ext

-I

gi

f Ig~l

II2

que

(4.41)

D'apr~s le th$or~me 4.5, les trois premiers termes de (4.40) n'exigent aucune r~gularisation et (4.41) reste fini pour ~ ~ ~. Dens le dernier terme la r4gularisation provient d'une estimation de la diffSrenee

B5

I 1 A+B

&l ~ Al+5 A

(4.42)

oh A est la somme des 4nergies des particules cr64es au premier sommet ~ gauche V~ et B la somme des ~nergies des particules er~4es ant~rieurement et pas encore annihil4es.

Si ~ > 0 est suffisamment petit,

le faeteur B 5 peut ~tre

absorb4 par la d4eroissanee des noyaux des sommets a droite.

D ~ m o n s t r a t i o n du th~or~me 4 . 5

:

s o i t G u n graphe de noyau g. Pour s i m p l i f i e r

une e s t i m a t i o n

II f Igl II2 I(G) oh 1 ( 6 ) ,

domaine des v a r i a b l e s

intgrieures

de G, e s t un e s p a c e ~ t r ~ s grande

d i m e n s i o n , nous d~composons G en une u n i o n d i s j o i n t e (caract~ris~e par ~iJ1 gi' H., on a 1

p a r une p a r t i t i o n

(4.43)

de s o u s - g r a p h e s H1,...,Hj

des sommets de G). Si Igl p e u t ~ t r e major~

oh l e s gi ne d4pendent que des v a r i a b l e s

des l i g n e s a t t a c h ~ e s

-

8 8

-

J IIf Ig[ I]2 i(~) lei I(H~)~ ..... I(H.)] es% le domaine ex%(G)

ou ex%(Hi)

ext(. i)

~ T~ [ I f gill2 i=l i(Hi ) des variables

int6rieures

(4.44)

~ H i ..... Hj e%

d6no%e une norme L2 par rappor% aux variables

ex%6rieures

G ou H.. 1 Car

ext(G)

e t(G)

I(G)

ex*(G)

I(6)/UI(Hi ) i i(Hi )

I(G)/UI(Hi )

i i(Hi ) (4.45)

d'apr~s

l'in6gali%6

%riangulaire.

La droi%e de (4.45) es% major6e

par la

droi%e de (4.44) en u%ilisan%

I[ ]-[

;

ext(G) gi][ 2

=

i i(.i ) e% l'in6galit6

ext(G) gill2

~ll

~

i

i(.i )

(4.46)

de Schwarz.

L ' i n 6 g a l i % 4 ( 4 . 4 4 ) d6mon~re le th6or~me 4.5 pour un graphe G de T*gm T~n ou de T*~m A~ A6 Tgn. Car on peu% a l o r s d6composer G en une union de s o u s g r a p h e s r 6 d u i t s ~ un somme%. Le noyau g~ s e r a major6 par ~ f g i ' oh l e s gi son% des noyaux de F(V~) # ou At, oh l ' o n ome% dans l e s dSnominateurs l e s 6 n e r g i e s des p a r t i c u l e s c r 6 4 e s ant~rieuremen% e t pas e n c o r e a n n i h i l 4 e s . D ' a p r ~ s (4.23),

(4.24),

(4.25) e% (4.38) ces noyaux res%en% dans L 2 si on les mul%i-

plie par ~ g~, avee ~ < 1/6. ex% Sol% G u n

graphe

r6gularis~

de T* v ~

•

. Nous allons d6%erminer un

• Vd e% au plus deux somme% du %ype sousgraphe HI, qui con%iendra V~,

A

=

F(V') #

(4.47)

G s e r a d6coup6 en Hi, H 2 , . . . , H j , oh l e s Hi, i a ~ son% des somme%s du type A, e% l e s gi des noyaux du t y p e ( 4 . 2 3 , . . . 2 5 ) m u l t i p l i 6 s par T]- p+x 1

x

=

:l./12

gl = glg sera le noyau de H 1 (apr~s simplifica%ion

(4.48) des d4nomina%eurs

d'4nergiQ

-

89

-

multipli4 par ~-X pour chaque ligne ext~rieure -i par ~ , si cette ligne est ext4rieure ~ G.

~ HI, mais

~ G, et

int~rieure

2 ~ i ~ j, a l o r s

Si

II 77 ~j×+~ gi I 2 < ~

(4.49)

ext

p o u r tout O ~ ¢ ~ e 1 et 0 < e I < X. Nous allons 0 < L

~ ¢1'

et

tel

que p o u r t o u t

ext Puisque

-I+~

l e n o m b r e de s o u s g r a p h e s

deux

sommets

ment

le th4oreme

i?t

form,s

de type A est fini,

d6terminer

~(0 ~ ¢ ~ L) e t

tout

~(0

un L v4rifiant ~ ~ ~ ~)

c

(4.50)

a v e c d e u x s o m m e t s de t y p e V e t

de (4.49) et de (4.50)

on obtiendra

4.5.

Toutes

les difficult4s

V. Les contractions

de fermions

suivante

:

Distance

entre V * et V

=

proviennent

des lignes de fermions

dans T~g VgVgTn~re sont class~es

z~ro

: V

V

V

V

A

(A)

V

V

A

E

V

(D)

Distance

entre V * et V

v

A

(c)

(B)

V

A

E

V

=

V

E

V

E

(F)

(E)

un

[A

l

A~

"V (G)

t

:

J

m

V

A

V

A

(H)

V

A

(~)

de V* et

de la mani~re

V

A

au p l u s directe-

-

Distance

entre V * et V > un

A

V

Get

A

E

V

A

E

V

(K)

,--- p e u t 6 t r e

attach~

-

:

(J) Une l i g n e

90

intdrieure

(L)

h Get

attach6e

i un sommet E ( m u l t i p l i c a t i o n

t y p e A ou V, une l i g n e

de b o s o n e s t

E

~ un sommet A ou e x t S r i e u r e

avec b-l).

attach6e

A chaque sommet du

avec des contractions

intdrieures

possibles. Nous c o n s i d d r o n s Ici

les

lignes

ext~rieures

de f e r m i o n s e x t ~ r i e u r e s

d'abord

les diagrammes (A),

sont des lignes

(B),

(C),

(F) et

de b o s o n s a v e c un f a c t e u r

h G a v e c un f a c t e u r

-i

~ ~-~-X

m-~+X

TT ~¢2-× ~ L2

suffit

de v d r i f i e r

que l ' i n t 6 g r a t i o n

boson int6rieur

un f a c t e u r

r6gularisations

fournissent

p

sur les variables

supplSmentaire.

Le c a s de l a F i g .

intdrieures g(E ± k i ) ,

e t chaque sommet A un d 4 n o m i n a t e u r

darts l e s c a s ( a ) , 4.3 est

V

on

(4.51)

u n i f o rmdment p o u r ff s ~. Or, chaque sommet p o r t e un f a c t e u r --1

~-~-×

Puisque

ext il

(G).

(b),

typique

( c ) un f a c t e u r

converge chaque

(Ep.)-l.

Les

(Ep~)_8(_l)1

:

V f

A

F i g . 4.3

Ici A est n6cessairement

4gal ~ F(V~I) # et fournit

un d ~ n o m i n a t e u r

(~2 + P3 + ~4 ) - 1 " Une r ~ g u l a r i s a t i o n

du t y p e (b) f o u r n i t

une m a j o r a t i o n

on o b t i e n t

triviale

de ( 4 . 1 5 ) ,

un f a c t e u r

p~8. A p r ~ s

4

0 et ( 2 + 8 ) ( 1 - ~ ) > 2.

(C),

(F) e t

(G), i l

faut tenir

compte de l ' o r d r e

qui implique que routes les variables

raissent dans its d~nominateurs

des

critiques appa-

des A.

Si plus d'une ligne de fermion est extdrieure

~ H 1 et intdrieure ~G,

le facteur ~-X seul ns suffi% pas pour ob%enir un noyau r4duit dans L 2. En ^

utilisan% une variante du lemme 4.3, le produit ~ g(E~k?+-i E +)~impulsions

int4rieures

et ext~rieures

~ H I au sommet s) peut ~tre remplac4 par

(7

+

La c o n s e r v a t i o n a p p r o x i m a t i v e de l ' i m p u l s i o n , sauce r a p i d e dans l a v a r i a b l e Les g r a p h e s

(D) e t

ext~rieure (J)

g(E ~ i ) ,

p r o d u i t une d 4 c r o i s -

Z± ~ i .

s o n t t y p i q u e s du comportement d ~ s a g r d a b l e de

deux lignes de fermions ext~rieures.

2

A

(k~,~js :

Dans (J) (voir Fig. 4.4)

3

6

4

7

V

A

Fig. 4.4

les lignes

1 e t 5 ne s o n t pas c o n t r a c t d e s

l a d i s t a n c e e n t r e V* e¢ V e s t

avec l e deuxi~me sommet V, p u i s q u e

~ 2. Soi¢ H l e

s o u s g r a p h e composd de V avec l e

sonnnet A h g a u c h e . Si l e s l i g n e s 2 e t 3 ne s o n t pas c o n t r a e t d e s , H est

l e n o y a u de

( d ' a p r ~ s l e lemme 4 . 3 ) major~ p a r

)(~2%)_f2_x(

dr6

-< C~ g ( l + 2+ 3 - 7)(~2~3)-¢2-X(~l~7)-×rt~l+2~-i + ~3-7~-1] donc L2 p o u r ~ > 0 suffisammen% p e t i t .

Si l e s l i g n e s 2 e t 3 s o n t c o n t r a c t ~ e s ,

il faut identifier ~2 et ~3 dans (4.54) et multiplier grer sur £2" En utilisant

la majoration

(4.54)

(4.54) par ~ X

et int4-

-

f

92

-

c~ ~(!) ~-8

d~

-~ ~ ( ~ ) ~ ( ~ _ !) 6

(4.55)

( v a l a b l e pour 5 ~ 1 e t ~ > O) on obtien% au l i e u de ( 4 . 5 4 ) un noyau L 2

(4.56)

+

Pour le deuxibme E-V Het

- ou - A - V -

sommet V, on peut trouver un sousgraphe H' analogue de type . Nous posons H 1 = H U H ' .

H' ne sont pas contraet~es,

gl de H 1 est dans L 2. Autrement,

Si les lignes de boson ext~rieures

(4.54) et (4.56) montrent hies que le noyau

il fau% r~p6ter l'argument qui menait de

(4.54) ~ (4.57). Si les deux sommets V satisfont a (J), (K) ou (L), on peut toujours trouver un sousgraphe H 1 ~ noyau r~dnit L2, qui eontien% les deux V et au m a x i m u m deux sommets du type A. Finalement

2

3

7

A

(D) a la forme de la Fig. 4.5

4

8

V

V

5

9

A

Fig. 4.5

Si les lignes I,... 6 sont ~ t ~ r i e u r e s ,

on obtien% apr~s une int4gration sur

7, 8, 9 un noyau du type

O, e t

t i o n donne Jn

-

a p r ~ s k i. n t e,g r a t i o. n s

on o b t i e n t

E~i=l ~i Jn ~ dk n

Lemme 4 . 6

:

, dk > 0

(4.63)

pour t o u t 0 s d s ~, p E Z+, ~ E • l a s g r i e ca

E

=

Tnpcr ~

Tpo" ~

(4.64)

n = o

converge et d~finit

Tpd : ~ ~ 5" Pour ~ E

un o p ~ r a t e u r i n v e r s i b l e ^

s

iim

-

Tpd ~

=

~

(4.65)

u n i f o r m ~ m e n t p o u r 0 s d s ~. DSmonstration

:

nous a l l o n s

e s t i m e r pour ~ E ~, m + n ~ 1

(~, Tmpd*

^ ~) Tnp~

=

(~, Z Gpd ~)

^

b ~ Z Gpd s ' ~ t e n d

sur tousles

^

g r a p h e s de Tmp~

Comme dans ( 4 . 4 1 ) il e x i s t e

Tnp d.

c o n s t a n t e C(~) < ~, tel que

une

f Igp lll=

c( )II TT ext

Le n o y a u gpd de Gpd e s t t r o n q u $ s e l o n ( 4 . 6 1 ) . rieure

En s o r t a n t

=

(4.67)

D'apr~s (4.62),

pour l e k(b)max au b-i~me sommet (de d r o i t e )

k ( b ) > 2 dbl"~ max

(4.66)

la borne infg-

de TnpcY s a t i s f a i t

k (b) max ]min

(4.68)

et T

une p u i s s a n c e ( k m a x l m i n ) - ~ pour chaque sommet de ^Tm~~ I

obtient

npd

pour 4c = L -l+4e II]7 i I 1% I I12 JI]7 i ext ext

4~

-

T-~ e x p ( - c ( m~ dal_ T + a=l

T-~ nE dbl_ T + p ) l n 2 ) b=l

Ig Iil2 x

"

i-~ 1-,~ Km+n i-~ I-~) s exp[-×(p+m + n } (4.69)

o~ X = X(~) > 0 e s t i n d ~ p e n d a n t de God. Nous c h o i s i s s o n s a ~ (1- ~)/(1-

0 < ~ < T

x) > 1. Le nombre de g r a p h e s Gpff d ' o r d r e m+ n e s t

et

born~ par

on

95

[3(m+n)]!

-

Alors

~mpd* Tnp d @)1 g C ( 9 ) K m + n [ 3 ( m +

I(~,

est rapidement

ddcroissant

avec m e t

La b o r n e supdrieure

n)] ! exp[-x(P

n, et sommable

(4.70)

+m~ + n a ) }

sur m e t

n.

( u n i f o r m e en 6 p o u r 0 ~ a ~ ~) e t l a

^

continuit4

vertible,

(4.70)

^

forte de Tnpa~ e n d

et p impliquent

(4.64) et (4.65). Tpd est in-

car

pd

:

1 + S

(4.71)

pd

^

oh S pd augmente l e nombre des p a r t i c u l e s . On observe que T > 0 est suffisan% pour le lemme 4.6. Si l'on remplaee^V~ par IV~, la cons%ante K dans le th4oreme 4.5 es% remplae~ par IkIK. Done Tp~(~)

est une fonction enti~re en k. (4.65) implique que D(H ), ferme-

ture lin4aire de U T p ~ ,

est dense dans ~ e% par consequent,

Le lemme suivant montre que la restriction

dans 5.

0 < x < i n'a pas 4td

trop forte e% quTil existe un domaine pour H~ dans la limite ff ~ m.

Lemme 4.7

:

pour ~ 6 ~, p 6 Z

s-lira (Ho+V~) Tp0. ~ s-lira

(v~+%+%){

(4.72) (4.73)

-

existent.

D6monstration

:

soit ~ E 2D, p E Z+, d
0. C'es% pouri=l quoi Ik(n) max I2 pout ~tre m a j o r 4 p a r n-1

C~ < 4.2

~ 2

Ji

2 i=l

n-i

(iax)l~

-< d~ i=~l.= ]k

(4.77)

avec d~] < ~. Donc pour ~ > 0 suffisamment petit, on peu~ dans l a r d g i o n d'int4-

gration de (4"74)'2extraire( 7 des d~nominateurs de F(V...F(V)) un facteur r~gularisateur k "n" pour V~. L appllcatlon des theoreme 4.5 et 4.6 demontre max

(4.72/. Dans ( 4 . 7 3 ) ,

un t e n n e t y p i q u e e s t

(V~ 1 +m~ f d, ~+~)~ D'abord,

(4.78)

(,)g2(~))~p~

A6 & noyau L2, on peut r e m p l a c e r 01 F(V - 21 + V~20 ). De m~me, la difference par V ~..~.~ 2,0

modulo un o p ~ r a t e u r

-- ~ + ~ ( ~ ) ~ ( ~ ) g 2 ( ~ ) m~ ~ dx

V Ol~ ~ nV ~^

(Jn) r ( . . . V ~ (Jl)1)~ - V ~ I ~ v ~ J n

2,0

) ) r ( . . . V ~ (Jl) )~

2,0

e s t une r 4 g u l a r i s a t i o n

d'apr&s (4.42).

I1 r e s t e

(4.79)

comme terme d a n g e r e u x

V~01 (-i)n . E p . F(V~(Jn) ) F(v(Jn-I)... F(V~(Jl) ))~ (4.80) _

vOi(i)

n

~ J n

; =°

Ep

2,0 qui e s t r 4 g u l a r i s 4

. (Jn)-

r~v~ J i "" Jn_fl!~.-I

par (4.75).

(Jn I ) ) r(v~ - . . .

(J*) r(v~ ))~

-

Chaque ~

97

~ D(Hoo) p e u t S t r e

-

reprSsent$

comme

k Z Tp(i) d ~i' i=1 ^

¢~ Nous a i m e r i o n s

=

¢d'

s-lim

d~finir

H

un op~rateur

c h a q u e ~a de l a forme 9 ~ Z+. A l o r s

=

¢~

=

lin~aire

(4.81)

la sym~trie

H

=

= 0,

est

Th~or~me 4 . 8 il

d ~ m o n t r e r que p o u r

sg-~lim~ Hd~ d = 0. S o i t

0 ~ ~ et

de Hg, d < ~ i m p l i q u e

O,

s-

lim H¢ ¢¢) =

l i m (~dTpd0 ,

( l i m Hff Tpde , l i m 6d ) d ~ d~

r~el

et sym~trique

=

¢~)

0

s u r D(H ) . Le f a i r

m6me a p r ~ s une r e n o r m a l i s a ~ i o n

61imm en u t i l i s a n t

b E ~

faut

(4.83)

{Tp e, 0 E ~, p E z+} s o n t d e n s e s d a n s ~, on o b b i e n t

H rieurement,

(4.82)

: D(H ) ~ ~ i l

l i m (Tp 9, H ~ )

les

(4.81)

s - l i m Hd Cd

avec ~

(Tp~

Puisque

~i ~ ~

s u r D(H ) p a r H

Pour obtenir

¢d

des techniques

tr~s

que H

de m a s s e f i n i e ,

diff~rentes

soit

soit

NT = Y dk ~ T ( a * a + b ~ b ) e t T < 1. P o u r t o u t

unc

= c(a,b)

-
0 W(~,al¢ 1+ a2¢25 D4monstration

[

facilement

T ~ est v r a i m e n t

que


w--(EVY pour

~ # 0

alW(~,~l)

=

+

la commutativitd une

:

troncation

(4.107 5

a2W(~,¢ 2)

des F ( v ~ i S ) ,

de

(4.925

i E 5+, on voi%

:

n=o

^

%n . o~ l a sommation s ' 4 t e n d j E Z+ a p p a r a i s s e

(-1)n z' r(v~ jl)) .

n!

.

sur t o u t e s

.

les suites

r(v

(in5

)

(j 1 . . . . . jn ) E ~+ t e l l e s

(4.108) que

au p l u s j l o i s .

L ' a s p e c t nouveau du th~or~me 4.10 e s t le f a c t e u r e x p - A5 avec h l o g a r i t h m i q u e m e n t d i v e r g e n t . C e t t e r e n o r m a l i s a t i o n de f o n c t i o n d ' o n d e e s t de l a forme ( 4 . 1 0 5 , c a r exp h e s t l a somme de t o u s l e s t e r m e s d i v e r g e n t s de

103 -

Z(V 0 + MO)-I. Chaque graphe de (To~ , Tg~) e s t au p l u s l o g a r i t h m i q u e m e n t

diver-

g e n t pour 0 4 ~, e t s e r a annul~ par e x p - A 0. La d ~ m o n s t r a t i o n de la nontrivialit~

de W(~,~) r e q u i e r t

a v a n t de p a s s e r ~ la l i m i t e

donc une sommation p a r t i e l l e

infinie

de g r a p h e s

a ~ ~. ^

~

S o i t 6 . _ un graphe de T j Jo

..,

o~m*j !

avee e x a e t e m e n t j eomposantes A

^

T_,

.\ ( d i t

okn+j!

"d'ordre

(m+j, n + j ) " )

(voir Fig. 4.7)

A

F i g . 4.7

Le s o u s g r a p h e Goo , le eompl~ment des eomposante AO, e s t a p p e l g le s q u e l e t t e de 6 j ~ . Pour ehaque s q u e l e t t e somme p a r t i e l l e

sur tousles

600 de noyau g o o ( p ) , nous a l l o n s

g r a p h e s GjO de s q u e l e t t e

noyau de 6j~ avec p l e s v a r i a b l e s

calculer

la

6o0. S o i t g j O ( p , q ) le

des l i g n e s dans 6o0 e t q ceux des compo-

s a n t e s A. S o i t

J gja(p,q) dq

(4.109)

h le noyau p a r ~ i e l l e m e n t

r d d u i t de Gja , apr~s l ' i n t ~ g r a t i o n

sur l e s v a r i a b l e s

des h. S o i t go~(p ) le noyau ZGjd e x p - h a apr~s l ' i n t d g r a t i o n

sur les variables

des h. Lemme 4.11

:

pour ehaque s q u e l e t t e goo(p)

=

Go~ , ~ < ~,

exp(-Ao)[goa(p ) +

Z f gjO(p,q)dq] j>o a

oo

J=o avee ha(J)

=

4! 117 v(J)ll 2 e t t ( j , p ) d ~ t e r m i n ~

par ( 4 . 1 1 3 ) .

(4.11o)

-

D~monstration

un s q u e l e t t e

:

Go~

104

-

Gog d ' o r d r e

(m,n)

(_i) m+n m! n! ( F ( V 4 ) * ' ' ' F ( V 4 ) *

=

impulsions

p de r o u t e s

les

a,b,c..,

lignes

de l a f o r m e

F(V4)'''F(V4))

a

a v e c un schema de c o n t r a c t i o n s

est

b

sans

tronqu~

e

composante

(4.111)

h.

Si l ' o n

de Gog , l e n o y a u g o a ( p ) e s t

fixe

identique

les au

n o y a u de

(._1)m+n m: n:

(i I) ,~

(i m)

(F(V ¢y ) ~ . . . ~ a

a v e c l e m~me c h o i x fonction

de v a r i a b l e s .

de p. P o u r c h a q u e

(Jl)

0"~ b

Bien entendu,

j E Z+,

soit

r(j,p)

Your p fix~,

t(j,p)

=

= j presque

Gig avec squelette

(il,...im,Jl,...jn)

est

i m iden-

toujours.

calculer

la

(4. i13)

de sommer t o u s l e s somme de t o u s l e s

graphes graphes

de

co

#

j =o

(4.112)

une

~ j, et

Au l i e u

oo

ont

(4.112)

j-max{r(j,p),s(j,p)}

Go~ , n o u s a l l o n s

exp(qui

c

))

l e nombre d e s i 1 7 " ' '

tiques A j, s(j,p) celui des jl,...jn identique t(j,p)

(Jn)

O"~ g

n

exp i

i=o

(4..4)

j=o

comme s q u e l e t t e .

Le n o y a u p a r t i e l l e m e n t

rgduit

de c e t t e

somme

^

au p o i n t

pest Soient

dgal ~ gog(p ). (k)

= (ko,k 1 .... km....

),

(1)

= (1 ° . . . . I m . . . .

) deux suites

avec

Z+ ) km, 1m

s

m

pour tout

m

E +

(4.115) f

o

~k

-

~

rtm,p~

~

m

i

-

stm,p~

m

Pour ~ < ~ l'op~rateur •

i=o

k.1 '

k.

I.

j=o

1 j. l

(4. 116 )

-

105

-

es% nul, except4 pour presque %ous les k. e% I. 6gaux ~ z6ro. (4.116) con%ien% 1 3 des graphes avee squele%%e (4.112). La somme sur %ous ces graphes es% 4gale (4.i12), multipli6 par ff (ki _ r(i,p)),_l, i=o Car ( 4 . 1 1 2 )

e s t l a somme de t o u s l e s

h ( i1)~( k

- r(i,p))

g r a p h e s de s(j ,p)

.

i=o

avec le s q u e l e t t e

j=o

r(i,p)!

(i 1) *

F(V ff ~ . . ~

(ig~m) * ) ~ (

a

1

s(i,p)

(h(~))(ki

facteurs

- r(i,p)).

(4.118)

apr&s une p e r -

1 et (-r(V(~)))

et les contracter Ceei

(Jl))j "" r(v(Jn))

L

.)k i 1.

s(j,p):

b c e n t r e enx ou de ceux du t y p e F(V J ) ) .

m u t a t i o n des sommets du type r ( v Parmi ( - F ( V ( ~ ) )

(4.117)

i il faut choisir

de r o u t e s

k i- r(i,p)

=

l e s f a c o n s dans

donne

1

(k i - r ( i , p ~ !

i- r(i,p

(4.119)

i- s(i,p

possibilit~s.

Les a u t r e s sommets d o i v e n t ~%re c o n t r a c ~ 6 s s e l o n le sch6ma du squelette (4 119) multipli6 par (kill i.,)-i donne [r(~p)!s(~p)' (h-r~p))l]-I qui est le bon multiplicateur pour obtenir (4.112) multipli~ par (4.1i7). •

.

La sommation sur r o u t e s donne ( 4 . 1 1 2 ) m u l t i p l i 6

les suites

(k),

(1) qui s a t i s f o n t

~ (4.115)

par

j=O

e~p~(j p) A(~)

(4.120)

Ceci, multipli6 par exp- hd, a un noyau partiellement r~duit, qui est 6gal (4.1i0)

au p o i n t p.

CQFD

Remarquez q u ' u n e sommation p a r t i e l l e du v i d e e s t u t i l i s ~ e

dans le th~or~me 2 . 8 .

analogue

sur l e s f l u c t u a t i o n s

106

-

Les f o n c t i o n s

g o ~ ( p ) e t go~(p)

e%, p a r u n p r o c 4 d ~ de % r o n e a t i o n ^ g o ~ ( p ) es% c o n s t a n t e

-

(4.110)

dans

faiblemen% modifi~,

s e n t C ~ par m o r c e a u x , elles

pour 6 suffisammen% grand et p fix~,

form4men% s u r d e s c o m p a c t s p o u r 6 ~ ~ v e r s

une f o n c t i o n

^

s e r a i e n % C~ p a r t o u ~ e% c o n v e r g e donc u n ~

go(p)

qui est

C

par

morceaux. ^

Lemme

4.12

:

il exis%e

une

fonetion

lim uniform6men%

sur %ou%e

r4gion

go(p) , C e° par morceaux,

goa(p)

compacte

%elle

que

= go(p )

(4.121)

de p. On a pour

0 s ~ s

(4.122)

Igo~(P) l ~ Igo6(p)l ~ Igo(p) l :

D@mons%ra%ion van%e

(qni

l'es%ima%ion

sera d ~ m o n % r 4

dans

essen%ielle l'appendice)

sup o ~ % ~

j~g

es% bas~e

sur la m a j o r a % i o n

sui-

:

(4.123)

h(i ) ~ k < ~ ÷

P o u r x > O, on u % i l i s e n e -x exPix

Ceci

d~ mo nt re

que pour

=

%ou%

i - e -x

i+1

x__ a I Z n~ n=i+l

x

(4.124)

j £ ~+ e% 0 ~ ~ ~

e x p ( - A ( ~ ) ) e x p t ( j , p ) A(~ ) K 1

(4.125)

^

e%

Igo~(P)l ~ Igo~(P)l ~ Igo(p)l. Puisque

presque dui%

infini

%eurs, 606.

%oujours, dans

(4.123) (4.110)

e% ( 4 . 1 2 4 ) pour

p o u r p d a n s u n compae%, % ( ~ , p ) : j

montren% l a c o n v e r g e n c e u n i f o r m e

du p r o -

0 ~ ~ ~ ~.

Soien% ~ l , . . . £ r , £r+l,...~s , ~s+l,...~% les variables des r c r 4 a des s-r annihilateurs e% d e s t - s l i g n e s i n % 4 r i e u r e s d ' u n s q u e l e t % e

Soi% ^

A

go~(~l . . . . ~s ) le n o y a u e x p - A6).

r4duit

de la somme

Consid6rons

= f d ~ s ÷ l " " % go6(~1 . . . . ~t)

des g r a p h e s

avec

squele%%e

606

(mul%ipli~

(4.126) par

107

-

-

^

w~(Pl . . . . Pr ; P r + l ' ' ' P s o~ Z s'~%end

sur Lous les squeleLLes

)

=

Z goo.(.p_1 . . . . p s )

avec r cr~a%eurs

eL s-r annihila%eurs.

Nous allons d~monLrer que (4.127) converge poncLuellemen% gie L 2, uniform4menL Lion~ ~

pour 0 K ~ K ~ eL (~l,...~s)

seronL C ~ p~r morceau~.

[~

eL dans une Lopolo-

dans un compacL.

Les

ser~ ~e noyau de la ~orme ~ ~ans

Soil T,~ E ~ eL 6od un squeleLLe [~[ E ~ par

(4.127)

fonc-

(410~

avec le noyau goff" Nous d6finissons

[T[n(p ) = [Tn(p) I eL IG O [ comme le monSme

de Wick avec le noyau

[go[. Le lemme 4.11 donne imm~diaLemenL -h

I(T~,

T~)I e

~ ~ z(l~l,lGot[~l)

^~

avec Z sur Lous les squeleLLes

(4.128)

^

de T~ T a. Pour ces squeleL%es une es%imaLion

du

Lype de celle du Lh4or~me 4.5 (voir [561) donne le

Lemme 4.13

:

pour LouL ~ > 0, il exisLe L > 0, K < ~, Lels que le noyau go~ ^¢$

d'un squeleLLe

d'ordre

^

(m,n) de Tff T~ sa%isfaiL

pour tou% 0 ~ c ~ L, 0 ~ ~ ~ ~. Avec une consLanLe C = C(~,~) < ~, on a

(ITI, (4.129)

e% l a t r o n c a t i o n

[Go} I~l) ~ ell T i" ~ exL

entra~nent

donc l a c o n v e r g e n c e

k (I) .... k (m), 1 (I) .... 1 (n) les valeurs maximales d'lul squeletLe G O d'ordre

j' Igolll2

(m~n). Consid~rons

(4.130)

de ( 4 . 1 2 8 )

des impulsions

l'inLersecLion

: soient

aux somme%s

du supporL de go

avec

k (1) ~ k (2) g . . .

g k (m)

1 (1) ~ 1 (2) ~ . . .

~ 1 (n)

(4.13I)

La %ronca%ion

implique

k (1) >_ 21 ; k ( 2 ) ,

k (3) ~ 2 2 ~ . . .

k(J-l)J/2+I

,...

k (j(j÷!)/2)

-> 2J (4.132)

-

ou avec une constante

-

d > 0

k (j) En p r e n a n t

i08

~ d '/~,

p o u r les m! n! diff~rentes

entre I(i),...I (n) des minorations

1 ( j ) ~ d#'~ relations

analogues,

A,B < ~, C, D > O, qui sont ind~pendantes

(4.133)

d'ordre

e n t r e k (I) . . . . k (m) et

on obtient avec des constantes

de G , 0

IIext TT ~i-m# Igolllm m

' (4.180)

on v o i t qu~ Z c i ~ ( A i i , . . . A i s ( i ) , g i ) ^ = 0. Donc A e s t b i e n d 6 f i n i e$ s u r

= 0 implique

A~ = A ,

f),

E~(D, ~(g)]

= (f,~)

[Np, ^ Z#(f)] [el

fp(p)

= f(p),

si

]Pl -< P, e t f p ( p )

remplac6 par N -N.,

~aXe ~ f }

implique

?(~),°~

de

=

0
m=[

Donc u n t h 6 o r ~ m e de D e l l ' A n t o n i o Th6orbme 4 . 1 7 non-bornde

faible

NO 9 > < co

(4.i82)

[63J donne l e

(4.167)

d6finit

"localement

np h L2(Bo) e s t u n i t a i r e m e n t

repr6sentation tion

L'approximation

n d e s CCR d a n s ~, q u i e s t

restriction Avec l e s

:

et Doplicher

= 0, f n : f'n

-

et

l i m []~5(f n - f ) n 2 = 0", a l o r s n ~

s-lim(V(fn)

- C(f))

=

s-

n ~

N_

9

a la d6composiLion

- V(f))

=

(4.184)

0

specLrale

N-

=

O

eL s a t i s f a i t

lim(V(fn)

n ~

co

^

E

mE

m=o

(4.185)

pm

p o u r Lout f E L 2 ( B 9 )

[v(f. ~(¢osL~)

V(sintf)

[V(cosLf) W ~9'

La r e p r 6 s e n t a t i o n de r e p r 6 s e n t a t i o n s

P e~p ~ ~osL

s i n t II~ll2

i exp ~ c o s t

~(-sintf)

9 < ~, e s t

(4.186) sinL

unitairement^dquivalenLe

de F o c k W9F" Soit 0 ~ ^~ E ~

:

Ill 112j

h une somme d i r e c L e

et

< ;

> II; I1-

(418

)

^

la probabiliL6 Pour tout

de t r o u v e r

m particules

W

impulsions

dans B .

m E Z+

9 lim

et ~

dans ~ avec les

= ~

W

esL u n i t a i r e m e n t

.m9(;)

in6quivalente

=

0

(4.188)

~ une somme d i r e z t e

de r e p r 6 s e n t a -

L i o n s de F o c k . D~monstration (4.169).

plique

(4.184)

enti~re

suiLes

F(s)

on d6monLre l e s ^

^

relations

de ( 4 . 1 6 8 )

de c o m m u t a t i o n

que s - l i m e x p^( i s^ N ; # =

Fm(S ) .= < T, e x p ( i

le support

(4.185).

une c o n s 6 q u e n c e

et

(4.183)

et

donc comme i d e n L i t 6 s e n t r e d e s o p ~ r a t e u r s ^ 5g se d ~ d u i L de l a s ~ r i e s u r ~, en ^u L i l i s a n t l e f a^ c t e u r ]I II

= < 9, e x p ( i et

est

s u r ~ x ~,

(4.168). lim c t = 0 en~raSne

Donc l e s ~'(~')

s~ries

comme f o r m e s

unitaires.

vers

l'analyticiL6

Avec l e s

(4.186) dans

:

s N;);

>. P u i s q u e

de l a t r a n s f o r m d e

L'6quivalence

exp(i

s N g ) p o u r LouL

s N ; m ) ; >, T E ~, c o n v e r g e n L p o n c L u e l l e m e n t

unitaire

IFm(S)l de F o u r i e r

~ II~ll 2, F = l i r a Fm d a n s de F e s t

pour p < ~ est

d a n s ~+.

Ceci

im-

donc une c o n s d q u e n c e

[61] et [62]. Finalement (4.188) est impliqu6e par (4.170), W Donc u e s t n o n - F o c k d ' a p r ~ s un t h d o r ~ m e de C h a i k e n [ 6 1 j .

car lim ~

CQFD

P

= ~.

de

117b -

Puisque tent une

que ~

[21j ? Comment

du cut-off obtient tions

nous

~tude plus appronfondie.

= ~ et est-ce CCR

la physique

spatial

W

impose Est-ce

est irr~ductihle

dSpend W

des representations

w

~ , elles mSri-

que T T ° est cyclique, et une representation

de la transformation

et de la constante

de couplage

non-disjointes

de dressing

est-ce

que

discrete

des

~ en particulier

? D'apr~s Fahrey

pour une grande

classe

[60],

on

de tronca-

diff~rentes.

Un exemple Fock ultraviolettes l'interaction

simple pour la connexion et une renormalisation

quadratique

classique

est

O

entre

les representations

de fonction

V (~) = :~ (x)2:. O

est du type A pour

Ce module

d'onde

infinie

exactement

non-

est

r~soluble

--

s = i, B pour s = 2 et 3 et C pour

s e 4. Une

r~f~rence

[64].

Pour simplifier d'une

les reprSsentations

"bo~te p~riodique"

les calculs,

nous allons utiliser

A, de longueur

le cut-off

spatial

I. Soit

co

n=o

n

=

o

{fn : F(~) n ~ C sym4trique,

(fn,fn)

r(~)

n

=

=

Z

kl ..... ~ e r ( ~ )

fk = ~ 2 ~ ,

(fn,fn)

Ifn(ki. . . .

~ ~ z 8,

< ~}

k) t2

Ikl_ < - ~

(4.189)

118 -

Dans ~ on a d e s c r ~ a % e u r s

~6(x)

et annihilateurs

[a(k),

a(!)~

[a(k),

a*(!)]

=

E

~r(~)

et

=

op6rateurs

a*(!)j

:a*(k),

=

les

=

de champ ~ ( x )

o

6(k,!)

(4.190)

(2~) -(2 [a(k)e-i (k'x) + a*(k) e i ( k ' x ) ]

k =~(k) Nous

allons

voir,

dans

Hk~

=

H

=

le chapitre

est

lid ~ une

D(F(V~))

renormalisation

es% t r i v i a l

que

l'hamiltonien

H ° + k V~

Z

o

v:

V,

~ a@(k)a(k )

(4.191)

k:r(~) i

- 2 ~: d: :%(:)2 de masse

finie

m

2

p o u r ~ ~ ~. Nous a t t e n d o n s

Hkff = ~ =

-~ m

2

+ k. Soit

s = 4. A l o r s

que

Ho + kV~ + 12 Eft

(4.192)

v~ :(v~) 2

soit bien Z~ z Ao

d6fini

exp-kF(VZ~)

Exercice

:

Pour le

calcul

sur l~image avec une

V~rifier-le non-formel,

d'une

%ransforma%ion

renormalisation

de d r e s s i n g

de f o n c t i o n

du %ype

d'onde

! nous

remarquons

que Vg ne c o u p l e

que l e s modes

:

119 -

k et - k .

Soit

a(~)

= [k e r(~) : k =

k 1.

oh

. . . .

k j = 0, k j + l > O} (4.193)

Pour k E A(~), s o i t Ek = V k F(

)

et

2 =

~(k)(a*(k)a(k)

V°-

=

~ 1

Vk_

=

~

S o i t ~k l ' e s p a c e

+ a*(-k)a(-k)}

[a*(_O) 2 + 2a*(O_)a(O_) + a(O) 2}

1

[a*(k)a*(-k)

+ a*(k)a(k)

+ a*(-k)a(-k)

+ a(k)a(-k)}

de Foek des modes ~ e% - k a v e c l e v i d e Tko e t ~ko C ~ k

semble des v e c t e u r s

a v e e un nombre f i n i

de p a r t i c u l e s ,

k 2 < 16~(k) 4 e t %ou% Tk e ~ko l e s s 6 r i e s

Tkk ~k

=

e x p - IF(V~)

Tk

=

suivantes

s - lim

n -~

H~k TKk Tk

- k Vk

+

Pour %ou% k a v e c

n

(-xr(v~))"

E m=o

m!

) + "~- Vk

1

l'en-

convergen% fortemen% :

--- (Ht~ + kVk + k21~k)TKk q~k =

Vk

~k -- (4. 195)

Tk(HI~ + kVki +

-/ F(Vk2 ) )

~k

1

^

^

ttk~

(4. 194)

=

5~6) gkk s i n i e r p r ~ i e

naiurellemeni

I

dans l e p r o d u i t

tensoriel

infini

d e s ~k" D ' a p r ~ s yon Neumann [ 6 5 J , une s u i t e z

[~k E ~k : k E A(~)} es% une C - s u i t e

I lp~kl[ -

1[ < ~

eb on y a t t a c h e un C - v e e % e u r ~ = ® Tk a v e e O 9 , ~ s o n t ~ q u i v a l e n t s (~ ~ ~ ) , s i --

z et faiblement

6quivalents

(9 ~ ~ ) ,

I (%,~ k) si

II~ll

si

(4.196)

=

11 < ~

-IT II~kll

"

Deux C - v e c t e u r s 0

(4.197)

-

X

120

-

[l(gk,~k)l

(4. 198)

- *[
- C gt(k)-4, C > 0

et c'est pourquoi Uk~ To et ~o sont faiblement inEquivalents. D'autre part

E

k_e ~(~)

I(z~ Txk %0' U~k % o) - 11 2

(1 - ~--k---)f2 (i- (th ek_)a)¢2 (I - 4-~ th Ok)-i + C

E

16g 4

k__6 A(~) ~2 Itl + I~1

(~-~)

On remarque que Hn~ ~ n (Hn). C'est pourquoi la s6rie en t pour ~n(t,~),

~n(t,~) n'est

pas bien d~finie

e s t une d i s t r i b u t i o n

Pour n > I t l = Em=° ~ m ( t , ~ ) .

que

opdrateurs

Les t r a n s l a t i o n s

p o u r t 2 < (~ - Z) 2, on o b t i e n t [~(t,x), --

pour (t-

~n(t,~)

=

~(s,z) J

est

~gal

~ ( t + s,~)

(5.a5)

unitaire exp(-iHns )

en k a v e c n a n(R) p o u r Is I + I t l

~o(O,z)]

=

(5.26)

+ ]~l < R ) . Done ( 5 . 2 5 )

de p o l y n 3 m e s en ¢ ( t , ~ ) .

[~m(t,~),

en k

darts l e temps

exp(iHns ) #(t,~)

e s t un * - a u t o m o r p h i s m e de l ' a l g % b r e

(5.22)

p o u r n ~ ~.

impldment6es par l'opdration

formelle

(5.24)

a v e e l e domaine ~ e t ne r e q u i e r t

~ %(~(t,~))

=

+ ...

chaque t e r m e de l a s d r i e

+ I~1 l e champ de H e i s e n b e r g

as(i(t,~)) (en s 4 r i e

+ it[Un,~o(O,z)j

de masse e t d ' ~ n e r g i e

~(t,~) sont localement

~o(O,!)

s u r ~, a l o r s

~ valeurs

aucune r e n o r m a l i s a t i o n

~(t,~)

=

Puisque

0

(5.27)

la loealit~ =

a ([~(tS

s

~), ~

~ (0,Z)])

=

0

(5.28)

O

s ) 2 < ( ~ - Z ) 2, en chaque o r d r e de k. F i n a l e m e n t

~(t,~)

satisfait

131

-

l'gquation

de mouvement (n >

-

I~l + Iml)

~-~

_

[Hn

=

=

(5.29) exp(iHnt ) Fo(0,£)

exp(-iHnt )

=

g(t,£)

5t2 =

i exp(iHnt)[Hn, 52

(

~o(0,~)]

- me) ~ ( t , D

(5.30)

exp(-iHnt )

- 4~ ~ ( t , D 3

5x 2 au s e n s de l ' i n t r o d u c t i o n

(0.9).

La c o n c l u s i o n violettes, teurs

les

de G u e n i n e s t

champs de H e i s e n b e r g

sur ces bonnes propri~t~s

b e a u que Glimm e t J a f f e ces propri~t~s

~ valeurs

:

Soit H

et local,

et

exp(-

satisfait

f = f e ~(R2),

~(f)

iHnt ) =

= ~ ~(t,~)f(t,~)

de l a l u m i ~ r e ,

repose

l'influence

est

ind~pendant

de mouvement ( 5 . 2 9 ) d t d~

est

opSra-

d o n n e d ~ j ~ l e champ de H e i s e n h e r g

correct

~(t,~)

gn(D

I1 est

rigoureuse

Alors

~n(t,x)

tr~s pour

=

de n p o u r n > I t l + I~1 et

(5.30).

[13] sur le fair

la propagation

du e u t - o ~

Dirac a

Pour tout

autoadjoint.

essentiellement 5.2,

ultra-

:

se p r o p a g e a v e c une v i t e s s e

c = 1. Dans l a f i g .

~n > J~l + I~J ], o~ 1 ' i n f l u e n c e

des p e r t u r b a t i o n s du t h g o r ~ m e 5 . 1 .

~(t,~)

aux ~ q u a t i o n s

La d d m o n s t r a t i o n une d y n a m i q u e l o c a l e ,

[76].

t r o u v ~ une d ~ m o n s t r a t i o n

de l a s ~ r i e l'Hamiltonien

n

exp(iHnt ) }o(0,~)

d e s champs de H e i s e n b e r g

[71] aient

qualitatives

Th~or~me 5 . 2

n

s o n t des d i s t r i b u t i o n s

darts ~, m~me p o u r n ~ ~. D ' u n e f a ~ o n c o m p l ~ t e m e n t i n d ~ p e n d a n t e ,

insist~

g

que d a n s une TQC s a n s d i v e r g e n c e s

~o(0,~)

que,

~ ~n(t,~)

dans le diamant

~ ~ n'est

dans

bornde par celle

pas m e s u r a h l e

avec

-

1 3 2

-

~t

region

~kl I XI I

gn~X) ~ k est

mesurable

1

Fig.

ou

.

~.,-~--~-~

5.2

Soi% A une fonction born~e de ~o(O,f) ou ~o(O,f) localis~e dans [I~I < n}, par exemple U(f) ou V(f) avec supp f = [Ix I < n}. Comme H es% n au%oadjoint, l'ind4pendance de n pour Itl suffisammen% petit se d4duit de la formule de Trotter [773 iHot/k exp(iHnt ) A exp(-iHnt )

=

iVnt/kk

S-lim[e

e

A [e

-iHo%/k

e

-iVnt/k

]k

k ~

(5.31) A droite libre

qui

sont

de ( 5 . 3 1 )

propagdes

dans H dispara~% n Pour "robustes" trer

heureusement

illustrer

que l e s

~tats

les

quan~it4s

dans

ce f a i r

l'automorphisme

que l e s

physiques

dans

sont

relativiste

des fonctions libre.

limi~e

n

(5.19).

champs de H e i s e n b e r g la

du champ

L'4nergie

sont

plus

n ~ ~, n o u s a l l o n s

d~mon-

le

Thdor~me 5 . 3 sans

routes

avec la dynamique

cut-off

: et

la s~rie sans

de D y s o n - S c h w i n g e r

pour l'interaction

~2 s+l

(a 6 Z+)

renormalisations t

~(~,~) =

E (i~) k f k=o

t

dsl... ; o

as k ; d ~ 1 . . .

d~

Sk_ 1

x E,~o(Sl,~l)2, [...L:~o(Sk,~k)2,,

~o(t,~)] ... ]]

(5.a2)

133

converge

fortement

en ~, continues sur

~

~ Son

sur ~ ( c o m m e

-

sdrie de distributions

en t) vers une fonction analytique

vec%orielles

tempdr4es

enti~re en k. Comme forme

a

[iHn,

~(t,E)]

-

~(t,m)

~t

(5.33)

52 [iHn,

[iHn,

avee H

= H n

tion

d'aprbs

le thdor~me

du t y p e ABC p o u r

correctement

faible

(5 - m2 - 2 k ) ~ ( ¢ , ~ )

=

Itl +

e% n >

4.21

s = 1

'

le ddplacement

avecla

H

n

l~l.

parcourt

s = 2,3 et

"les

s > 3.

infinit4simal

d e s champs de H e i s e n b e r g

champ l i b r e

~(t,~)

5t 2

- -

:

des modules crivent

-

+ k f dx gn(~):$(~)2: o

Remarque

@(t,~)]]

- et

masse incorrecte.

ceei

Aussi,

de l ' e n f e r "

Cependant H

n

dans dans

cercles

et H

d~-

l e t e m p s comme d 6 r i v a -

l'espace

~ peu¢ p r e n d r e

de Fock d ' u n une v a l e u r

comple-

xe a r b i i r a i r e . D6monstration

:

(1.53),

avec

on 4value le commutaleur multiple

(2i) m A(s~- s2, Z l - z 2 ) ' " A ( % D'apr~s et

le th4or~me

int4gr~

de c o n v o l u t i o n

sur Zl,...,y_k

, ~,

dans

- t, ~k- D % ( s I ' Z l ) (5.34)

~',

L2-norme est facteur

tk/k!

d'essai

s o n t C~ en S l , . .

t)ia(~)e

la convergence


-i~s I

., sk , t h valeurs

p a r e k Ilfl]2, e < ~ . L' i n t 4 g r a t i o n

born6e et

multipli4

(5.~)

par f(x)

E ~(]R s)

donne

d ok [~-~k ~(e) sin ~(s 1- s2)...sin ~(s kLes f o n c t i o n s

dans (5.32)

forte.

(5.33)

la transformation

+ a*(-~)e

darts sur

es¢ ~¢ablie

de B o g o l i u b o v

~(~s)

s 1 .... ordre

(4.212)

i

~sl}

en ~.

Leur

,s k produit

un

par ordre

enL

onpeut

6valuer

~(t,D (voir [7S]). On ohtient ~(¢,x) =

=

(2~1 - s / 2

dp f ~

(2n)-s/2

[a(p,t)

+ a(-p,t)*]

e ip'x

(5.35)

dp f--~

[b(p)

e -iMt + b(-p)*

e iMt] e ip'$

ave c 2 a(t,p)

=

[cos

Mt-

i ~

g2 +

2~M

sinMt]

a(p)

+ [i

2 _ M2 2~M

(5.36)

:

-

M = e% [ b ( ~ ) ,

b*(-~)]

et

M(r)

[a(~),

b(~)

=

=

a*(-E)] 21

134

-

(m2 + 2 ~ + r 2 )

~/~

s o n t li~s~ p a r

[(1 + ~ ) a ( ~ )

L'analytieit~ enti~re en k est 6vidente.

(5.37)

+ ( 1 - ~) a * ( - ~ ) ]

II existe donc dans ~ une solution

locale de l'6qua%ion de mouvement

D + m2 +

2~) ~(x)

~(0,~)

=

~(0,~)

-

=

0

%(0,~)

(5.3s)

5 %(0,~)

5x ° Mais l ' a u t o m o r p h i s m e plus unitairement s,t

5x °

des t r a n s l a t i o n s

dans le t e m p s ,

impl~ment~ p a r un h a m i l t o n i e n

~(t,~)

autoadjoint

~ ~ ( t + s, ~ ) ,

n'es%

dans 8 p o u r t o u t

e% ~.

Une TQC "alg6brique"

a 4t~ d4finie par Haag e% Kastler

[79]

en

par%ant de la s%ructure des champs de Heisenberg.

D4finition

:

Une f a m i l l e

de C * - a l g ~ b r e s

[~(B)

: B = ~s+l

ouvert,

borne] (5.39)

(fermeture

normique)

B e t tme f a m i l l e

d'automorphismes _[% ~ A u t ( ~ )

d4finit

une t h ~ o r i e

quantique

locale

: g e i L~]+

relativiste,

(a)

~ ( B I ) C ~(B2)

(b)

[~(nl),

(e)

%(~(B))

(d)

Pour tou% A E ~ l'applica%ion de iL: dans

~(Be)3

=

:

~(g~)

o

pour

B 1 c B2

pour

B 1 - B2 s p a t i a l

pour tout

g E i L+t

(5.40)

si

a v e c gB = [gx : x 6 B)

-

135

-

~(~) e~

eiL'+ ~

(~.4~)

est c o n t i n u e (e)

~ est primitif

(poss~de une representation fiddle irr~duetible).

4 ¢2 on p e u t e n g e n d r e r des C * - a l g ~ b r e s ~(B) p a r l e s f o n c t i o n s

Dans l a t h d o r i e b o r n d e s de ~ ( f ) ,

f = ~ e ~(R2)

e t des a u t o m o r p h i s m e s a v e c l e th6or~me 5 . 2 .

Alors Th$or~me 5.4 4 ~2" Remarque

:

:

il existe une thdorie quantique locale relativiste associde

jusqu'h

Lorentz n'est e t A. J a f f e

prdsent,

l'invariance

pas e n c o r e c o m p l ~ t e m e n t d t a b l i e , [80] s o n t t r ~ s

de volume i n f i n i e .

aux r o t a t i o n s

mais l e s r d s u l t a t s

de

de J .

Cannon

encourageants.

Le f o r m a l i s m e des C ~ - a l g ~ b r e s limite

par rapport

Soit ~+

[ 8 1 j e s t b i e n adapt@ pour t r a i t e r

la 1-sphere

dans l e c3ne p o s i t i f

de l a C ~ - a l g ~ b r e ~. Un d t a t ~ de ~ e s t une f o n c t i o n n e l l e de norme 1, done ~ E ~ + .

Si ~ e s t

lindaire

c o n c r ~ t e m e n t donn6e,

la

du d u a l positive

~ ~ B(~),

sur

l'ensemble

~I ~ B(~) des op~rateurs positifs ~ trace i d~finit des dtats sur ~ :

~T(A)

Si ~ = B ( ~ ) , il

existe,

(5.42)

d~finit

en g ~ n ~ r a l ,

t~ dans ~ . D ' a p r ~ s

en interaction.

Puisque ~ +

pours.

Tr(TA)

pour T ~ T~,

une b i j e c t i o n

des ~ t a t s

de d e n s i t ~

(5.42)

Si ~ e s t moins r i c h e ,

s u r ~ q u i ne s o n t p l u s des m a t r i c e s dans ~ p u i s s e

[3j et

[82])

dgfinir

q u i c o r r e s p o n d au v i d e i n v a r i a n t ~

A ~ ~

de ~1 s u r ~ + .

l e th6or~me de Haag ( v o i r

p6rer qu'une matrice du thgor~me 5 . 4 ,

=

de d e n s i -

on ne p e u t pas e s -

l'gtat

w

de l ' a l g ~ b r e

de L o r e n t z du syst~me i n f i n i

doit satisfaire

est faiblement compact, on obtient imm@diatement des candidats

SoitO

~hee(~,fd~h(~)

®n(A) A cause de (5,~),

=

I%} ~ ~+

f dm

=

1~tpourAe

h(~n) (%, Uo(m) A %(-m) %)

poss~de u. point d'.¢eumulation .

(5.44) ~ ~+

de la convergenee faible des filtres. 0n voit que -.(A) = - A % ( A ) ) ,

au sen. si g est

-

une t r a n s l a t i o n naire

d'une

avec vide bas~

sur

spatio-temporelle,

telle

limite

~ . Glimmet l'estimation

Th4or~me 5 . 5 . . . . . qui converge

:

la g~n~ralitd

mal ~ une a n a l y s e

[73]

et pathologie ddtaillde

o n t o b t e n u un r ~ s u l t a t

extraordi-

d'une

plus

fort

th~orie qui est

(5.4)

la

suite

faiblement.

normiquement.

-

mais

se p r a t e Jaffe

136

[w } poss&de une s u i t e p a r t i e l l e (~ ~ . \ , n , n~j/ Pour tout B ouver~ et borne, ~n(j)i~(B)}

La r e p r e s e n t a t i o n

eanonique

~ de ~ ( d a n s un e s p a c e

j

E Z+}

converge^ d'Hilbert

^

a v e c un v e c t e u r

cyclique

T) a s s o c i S e

®(A)

~ ~

(~, i ~)

=

[83]

satisfait

~(~(t,~)(A))

=

(5.45) ^

Dans ~ i l ^

P qui

existe

des op~rateurs

autoadjoints

de l ' ~ n e r g i e

Het

de l ' i m p u l s i o n

satisfont ^

~>-o, H ~

~ (A a ( t , ~ ) ( B ) )

=

=

pour tout

A,B E ~. ~ p o r t e

L'alg&bre

~ d e s champs de H e i s e n b e r g

^

[H,

P]

o

=

P ~

=

0

(5.46)

(~, A exp i ( H t

une r e p r e s e n t a t i o n

- P~) B ~)

r~guli~re

d e s CCR de W e y l .

^

est

localement

Fock

: pour tout

B ouvert

^

et born~

il

existe

un o p ~ r a t e u r

UB : ~ * X

unitaire,

tel

que

~(B) = ~B ~(B) U~I Remarque

:

il

est

ment in~quivalente pour

s+l = 2

iL

+

tr&s probable

~ une somme d i r e c t e est

le produit

e s p @ r e r que l ' i n v a r i a n e e type

(5.44))

plus

d~taill~e

tiques qui

du s p e c t r e

e t une m a t r i e e

restent,

nous

^

S selon

sommes e o n v a i n c u s a v e c une m a t r i c e

(voir

que l e S % ~.

ab~liens,

( p a r une a u t r e

iL~-invariant. +

n@cessaire

[16,17]

de F o e k .

de d e u x g r o u p e s

de ~ p e r m e t

un @tat de v i d e de H e s t

d e s CCR e s t

des repr@sentations

semidireet

de L o r e n t z

de c o n s t r u i r e

une TQC r e l a t i v i s t e

que l a r e p r @ s e n t a t i o n

(5.47) unitairePuisque on p e u t

moyenne du

Une c o n n a i s s a n c e

pour obtenir

des @tats asympto-

[84]). Malgr~ tousles schSma de l a f i g .

obstacles

5 . 3 n o u s amine

137 -

^

^

^

H n

""~(t,~)

~ ~ ^

espaee ~ des S t a t s

e s p a c e de Fock

physiques

Fig.

5.3

Pour illustrer ces r~sultats, nous allons ~tudier les expressions perturbatives

qui correspondent ~ ~n(A). Les valeurs moyennes dans le vide

physique d'un produit de champs de Heisenberg se ealculent ~ partir des s4ries (5.20) et (2.55). Pour n fini, mais s u f f i s a ~ e n t k

(~n'

=

grand,

on obtient :

k

i__~l ) ~. n ( t =i ' x i ) ~ n

=

(~n'

i=1~ ~ ( % i ' x i ) O n )

lim [ (~o' Une(+co'O)~o)(~o'Unc(O'-co)~o) ~o (%, Un ~ (+~, _~)%)

x

(5.48)

k

(~o' exp Q:c ~ ~(li'-xi) exp Qn¢ To) } i=l avec ( 5 . 2 2 ) pour ~(%,~) et rm_ 1

o

Qna

=

(-i)m f

drl

"'"

dr m e

_co

_~

+co

Q:e

=

rm_ 1 -¢Er. dr e drl "'" f l(Vn(rl)...Vn(rn))A N m

(-i)m f 0

Une a n a l y s e c o m b i n a t o i r e

£~r. l(Vn(rl)...Vn(rn))C R

0

( v o i r th4or~me 2 . 7 ) montre que ( 5 . 4 8 ) es% ~gal ~ la +

somme de %ous l e s g r a p h e s de exp Qnc ~ ~ ( % i ' ~ i ) res,

(5.49)

exp Qn~ s a n s l i g n e s e x t ~ r i e u -

o~ chaque composante es% l i 4 e ~ un ~ o ( % i , ~ i ) .

une d i s t r i b u t i o n la l i m i t e

Pour un t e l graphe (qui es%

temp6r4e en ~ l . . . . '~k e% une f o n e t i o n c o n t i n u e en % 1 , . . . , % k )

e~o e x i s t e

e% peu% ~%re exprim4e comme dans le th~or~me 2 . 8 . E g a l e -

men% l a l i m i t e n ~ ~ e x i s t e En p a r t i c u l i e r ,

e t donne l e s m~mes noyaux avec gn(~) remplae~ p a r k .

la s ~ r i e de GML ( 2 . 6 7 ) d e v i e n t

- 138 -

k

in(ti,xi))~n)

(Tn' T( TT i=l

X ( - im! )m

m=o

lim

~

e*o

~m

j=l

dyj

k

x

avec ( . . . ) '

(%, ~(77%(ti,~ i) i=l

la restriction

sur tousles

avec un ~ o ( t i , ~ i ) . La d i s c u s s i o n r e p r i s e darts le c h a p i t r e VI. Nous pouvons c a l c u l e r pour Vo(x ) "= k : ~ o ( X ) 2 : / 2

lira (~n'

exp-e~

Iyjl o

gn(XJ)

m ]7

j=l

x

m

]7 : ¢o(Yj) 4 : ) ~ o ) ,

(5.50)

j =1

g r a p h e s o~ chaque composante e s t l i d e

de l a l i m i t e

explicitement

~o

et n~

la fonction

dans ( 5 . 5 0 )

sera

de deux P o i n t s

:

T(¢n(Xl)~n(X2))On

)

=

,~ dp TL(p) e-i(p'xl-x2

)

n--~ co

~k(P)

=

( 2 x ) s + l ( p 2 - m 2 - ~+ i o ) -1

-

(2u) s+l r=oZ k r ( p 2 _ m 2+ i o ) - l - r

(5.51) Donc les valeurs moyennes dans le vide poss~dent des propri~tds de r~gulari%6 en k, qui sont interm6diaires en%re celles des champs de Heisenberg et celles des fonc%ions propres de l'hamil%onien

: Tk(p) est analytique autour de I = 0

pour Ip 2 - m21 > 5 > 0, mais pas comme distribution dans

~,(R4).

Les champs de H e i s e n b e r g pour l e s ABC-mod~les En s6rie des perturba%ions,

les champs de Heisenberg existent dans 8

sans renormalisaZion et sans cu%-off spatial, si V es% de type A, mais aussi pour cer%ains modules du %ype B ou C, si les seules divergences sont dans les 2 Dans ce cas les champs son% '~luc%ua%ions du vide" (par exemple : ~3 3' ~s+l ) (formellement)

locaux e% la solution d'une ~qua%ion de mouvemen% rela%ivis%e.

Qu'es%-ce qu'il se passe, si l'in%eraction locale devient plus singuli~re

? Le domaine de l'hamiltonien renormalis6 d6pend du cu%-off spatial

d'une mani~re tr~s d61icate. Pour le B-modUle

(#~)2

on trouve que

(5.52) si g ~ g' et p E Z+, car la compensation des divergences ultraviolettes

sur

-

139

Tp~(g) ~ n ' e s t

m~me ~ ce que l e s r e p r e s e n t a t i o n s lentes.

I1 y a e n c o r e une a u t r e

en ~ (x)

4

p l u s compl~6e p o u r H ( g ' ) .

*o(X)

~o(X)

Pour l e C-modUle ~3 on s ' a t t e n d

~(g) et ~(g~) soient pathologie

qui s o n t i n t ~ g r ~ s

unitairement

: s o i t ~O l ' a l g ~ b r e a v e c des

fonctions

indquiva-

des polynSmes darts ~ ( R s ) .

Alors

%~ ~ D(,) pour tout la sdrie

~ E ~ et certains (5.24)

A C~.

Doric H

dans l a s ~ r i e

(2.35)

Sl,...,s

une o p e r a t i o n

r6gularisante.

nest

importante

n'est

est encore plus singuli~re.

disparaissent

darts l ' a p p l i c a t i o n

(5.53) p l u s une d ~ r i v a t i o n

Cependant,

toutes

de D y s o n - S c h w i n g e r ,

(La r ~ g u l a r i s a t i o n

les divergences

S o i t R~(g) ~ R ~ ( g ) * une r e n o r m a l i s a t i o n

contribution

m de l a s d r i e

~(g,x),

~(g,x)

. ~'*

%m(~,t,~)

:

p a r exp i H o t e s t

calculds

~ partir

de H

~

e t A~m(g,x ) l a

+ V~(g) + Rff(g)

0

s o i t V une i n t e r a c t i o n

Soit

p o u r l e s champs de H e i s e n b e r g

= ~ ~ A~(~,t,~)~(~).

Th6or~me 5 . 6

sur

darts l a s ~ r i e de TZ(V~(g))

sont logarithmiques.

(2.35)

et

ces difficult~s

o~ l ' i n t S g r a t i o n

de l a f o r m u l e de Feynman e t Kac ~ 5 2 , 5 3 ] ) .

V~(g) de t y p e B ou C. A l o r s r o u t e s d'ordre

de p ,

Soit "

locale

du t y p e B ou C, e t f . 1

E ~(~),

1 ~ i g k, ~ E ~. Alors

s- lim g~I

k ~ i=l

k

A~m(i)(g,ti,fi)

~

=

~

Am(i)(ti,fi)

~

i=l

~ existe

et d~finit une distribution

continue

temp~r$e

:

dans l e c h a p i t r e

les fonctions

suivant,

de Green r e n o r m a l i s d e s

~ ~ ~, g ~ 1 de l a s d r i e

peut construire

d'apr~s

qui est fortement

coincider

la localit~

de ( 5 . 5 4 ) .

que p o u r (~7~)2 e t

dSmontrer la localit$ :

avec la

a s y m p t o t i q u e de LSZ, on on d e v r a i t

voir

loeaux et directement

de ( 5 . 5 4 ) . 4 p o u r ~3' on o b t i e n t

en p r e m i e r o r d r e

t ~l(g,t,f

)

=

i ~o ds ~ dZ g ( x )

4 ~3

renormalisation

qui s o n t ( f o r m e l l e m e n t )

avec les YA(xi). Cependant,

D ~ m o n s t r a t i o n du thdor~me 5.6

voir

Bogoliubov cofncident

la condition

des champs de H e i s e n b e r g ,

qui doivent

:

nous a l l o n s

de GML p o u r une c e r t a i n e

Rff(g) C R f f ( g ) * de ¥ f f ( g ) . En u t i l i s a n t

Exercice

en ~i .... '~k'

en Li,...,tk.

Remarque limite

(5.54)

[:}o6(S,Z) 4',

}o(t,f) ]

(5.55/

-

140

-

La localit~ (approximative) permet le passage g ~ i. L'existence de la limite ~ m sur ~ p r o v i e n t purement cr~ateur,

de l'int~gration sur s. Nous calculons la contribution

qui est la plus singuli~re

f(R1 + ~ 2 + ~ 3

)(ei(~l

~3)t- ei~l+2+3t)

+ ~2 +

3 (dzi a*(zi)) { ~i+2+3(~i

+ ~2 + ~3- ~i+2+3 )

f ( - ~ l - ~2- ~3 ) ( e i ( ~ l + ~2 + ~3)t - e-i~l+2+3t) ~I+2+3(~i

Visiblement

(5.56)

}

+ ~2 + ~3 + ~I+2+3 )

(5.56) est bien d4finie sur ~ p o u r

s = 2 et fortement continue en

t. Pour s > 2, (5.56) diverge sur ~ m~me apr%s int4gration s u r t g(t) 6 ~(~i).

avec

Puisque une renormalisation n'est pas effective au premier

ordre, on d4couvre une nouvelle difficult~ du formalisme hamiltonien pour les DEF-mod~les. 4 k La renormalisation de A n(t,x_) utilise le th6or~me 2.7. Pour #3 une renormalisation de masse Mffn surf it. Une analyse graphique montre que A(~n(t,x ~ Ek= O

n(t,x) est de la forme

Agn(t,~ )

=

+

(:exp Qgn(t): Ao(t,~): exp Q~n(t):)c

(5.57)

+

avec ( . . . ) c

sommation sur t o u s l e s t

Q~n(t)

=

Q~n(t)

:

Sm_ I

E (-i) m ~ dSl... ~ m=l o o t

Sm_ t

Z im ~ dsl... m=l O

graphes connexes et Q~n(t) de la forme

~

dSm[(Vgn(S 1) + M~n(Sl))...(Vgn(S m) + M~n(Sm~JL (5.58) dSm[(Vgn(S m) + Mffn(Sm))...(Vgn(S 1) + Mffn(Sl~] L

O +

avec [ ' ' ' ] L r e s t r i c t i o n aux graphes l i d s . Dans les s~ries pour Q~n(t), les seules divergences proviennent des contractions du type V ( s . ) l ~ + i ) , 3 et c e l l e s - c i peuvent ~tre compens~es ~ar Ia renormalisation de masse. Le r 4 sultat

est

que ¢ h a q n e

ordre

en

X de

Q= ( t ) o n

existe

pour

~

~ ~,

.

~ ~

co~e

polynSme de Wick ainsi que les contractions dans (5.57) et dans k A~n (ti,~i)~ , comme distributions en ~i ..... ~k fortement continues en i=l 3 t l , . . . , t k. Le C-modUle ~4 requiert aussi une renormalisation

Nffn = n~ j

dL

gn(~)

~g(~)

[68].

CQFD

-

D i f f i c u l % 4 s avec l e s DEF-mod%les.

1 4 1

-

Consid4rons l'in%eraction

(super-renormali-

s a b l e d ' a p r ~ s l e chap. W ) Vo(X) = : ~ o ( X ) 3 : avec s + l = 5. On t r o u v e dans l a s 4 r i e de TZ(Vg(g)) des %ermes l i n ~ a i r e m e n % d i v e r g e n % s

(~.~)

(-1) ~ r+(vz(z) r+(vz(g)) 2 Les t e r m e s de l a F i g .

5 . 4 son~ de l a forme s u i v a n ~ e

=

2 (dPiX~(Pi)

2 %(zl,z2)

2

(5.60)

i=3

~i

~3 + ~4 + ~2

= ~ ~ (d~iX~(ri) a(~i)) W~(~l,r2)

v~(g) r+(v2~(g))

i=l

~i (5.61)

2

%%,%)o

4 (drixz(ro)2 = is ~ -ff i=3

^ ) g(~3 +r4+r2 ) ~(~3+r4-rl)

~i

~3 + ~4 - ~1 + i o

3

3

2

2 Fig. 5.4

La p a r t i e

a n t i s y m ~ t r i q u e puremen~ c r ~ a t e u r d e v i e n t

-2

- v~(g) r+(v~(D)

~ 2

2 (dPiX~(Pi) :JTF ~(~i)) i=l

2

w2~(~i'~2) (5.62)

- 142 -

2a W~ ( p 1 , % )

1 2 ~[W~(pl,P2)

=

o - W~(pl,P2)}

4 (d~i×~(~i)2 ~(~3+ ~4- el) ~(~ +~4 ÷ ~2)(~ ÷ ~2) = 9~

77 ' i=3

)

~i

(5.62) es% logari%hmiquemen%

+ ~4

(~3

divergent

+

~2)(~3

+

~4 - ~

-

io)

(m~me aprbs symd%risa%ion

£i et £2 ) e% ne peu% pas 8%re compens~ par un con%reterme

par rappor%

R~(g) C R6(g)* de

de deuxi~me ordre e n g . Donc ~3 e% ( ~ ) 3 son% du %ype DEF. La divergence 5 2a ^ W~ _(£1,£2) persisLe pour g ~ 6, dans la limi%e du volume infini. Donc la cons%ruc%ion diagonalisa%ion

direc%e de l'hamil%onicn

(4.7) n'es% plus possible.

n'es% pas %rop res%ric$if.

renormallSe

par une

On peu% se demander si ee schema

II exis%e une approche plus gSn~rale pour g fixe.

On cherche Hk~

=

H

Tk~

=

~

o

+ kVff +

E in n=2 R~n

+

kn

(5.63)

avec (9, R~n¢)

=

(R~n~,6),

Z n=l

Tgn

%el que formellemen%

lim (T~Z¢, TXZ¢) : w~(¢,+) l i m (Tk6~,

Hk~ Tkff¢ )

l i m lIHkd TX~II 2

(5.64)

ex.

ex.

0"...~ co

p o u r %ou% ~ , ~ Conjecture deuxi~me

: ordre

6 ~. pour

DEF-mod~lcs,

(5.63)

e% ( 5 . 6 4 )

son% i n c o m p a % i b l e s

au

en ~.

Nous a v o n s s4rie

les

observ4

d e D y s o n e% S c h w i n g e r )

m~me apr~s une in%~gra%ion gences son% appel4es

que l e s d'un

champs de H e i s e n b e r g

(d~finis

par

DEF-mod~le ne son% p a s d e s o p S r a t e u r s

sur % avec un g(%) E ~ ( R I) (voir (5.56)).

"divergences

de S%ueckelberg"

la s u r ~,

Ces dive~

[853 e% proviennen%

des

%ermes %ransitoires exp Z i~i+2+3% de la d4fini%ion de ~(%,~) en parian% de ~o(0,~). Ces %ermes %ransi%oires disparaissen%, si l'on in%~gre sur des fonctions de %es% sym~%riques.

Une d4fini%ion plus sa%isfaisan%e

des champs de

- i43 -

Heisenberg

est obtenue par l'~quation

Soit ~ = ~n

= ~out

de Yang et Feldman

(voir chap.

0) l ' e s p a c e

[863.

de H i l b e r % des ~%ats

4 Nous c h e r c h o n s un champ de LSZ-Wightman } ( x ) , p h y s i q u e s du module ~4" interpole

entre

Iin(X) et

qui

¢oui(X) e% qui s a t i s f a i t

(~ + m2 )~(x)

~ v e c R(x) une r e n o r m a l i s a t i o n

nn e a l c u l des p e r t u r b a t i o n s

-4X:~(x)3:

; voir

=

+ R(x)

=

(~) in

par [863

~in(X) + ~ dy 5re t ( x - y )

avec (D+m2)Aret(X) = 5(x),

(5.65)

J(x)

E9~).

~(~) e s t l i ~ e ~ ~

•

~(x)

=

: (8.66)

J(x)

supp Aret(X ) E V-. A l ' o r d r e

~ pros,

on o b t i e n t

X O

~(x)

=

~in(X) + l i m i ~

f

ds e i s s f dz [ : ~ i n ( S , i ) 4 : ,

~in(X)]

(5.67/

-~

Une prescription

analogue

les termes exp ± i~i+2+3t dans

41imine

s+l = 4, (5.67) n'est pas une distribution jours apr~s int4gration

surf

Si l'on d~finit tions des 4quations est l'existenee

~(B4).

sur les variables

pour ~35 et ( ~ ) 3 '

cadre d'id4es appartient

pour x

O

(5.56). Pour

fixe, mats tou-

m

les champs de Heisenberg

de Yang eL Feldman,

des champs canoniqnes

fixe et int~gr~s exemple,

E

sur ~ = ~

dans ~ = ~. comme soluin la limite entre les ABC et DEF-mod~les

comme op~ra%eurs

spatiales)

sur ~ = 9. (a temps in en premier ordre en ~. Par

~(t,f)~ ne d~fini% plus un vec%eur dans ~in" A c e le th~or~me

"ICAR" de Powers

[87~ e% son analogue

[88~ p o u r des b o s o n s . Pour l e s m o d u l e s du t y p e DEF, on d o i t mouvement l o c a l e s

darts l e temps ( v o i r

~tudi6 syst~matiquement

de Yang e t F e l d m a n . Darts l e e h a p i t r e sation

des f o n c t i o n s

on n ' a

de l ' ~ q u a t i o n

suivant,

nous a l l o n s locale

alors des ~l~ments de matrice

de Yang et Feldman renormalis4es,

axiomes de Wightman

§35). J u s q u ' ~ p r e s e n t de l a s o l u t i o n

de Green p o u r une i n t e r a c t i o n

%ions de Green d~terminent 6qua%ions

[i],

la renormalisation

r e n o n c e r aux ~ q u a t i o n s de

(~ eertaines

ambiguit6s

qui satisfont techniques

it~r~e traiter

pas

la renormali-

arbitraire.

Ces f o n c -

d'une solution des (en s~rie en k) aux

pros).

-

1 4 4

CHAP

-

ITRE

VI

LES FONCTIONS DE GREEN

Les t e n t a t i v e s que ( p o u r sante)

s + 1 = 4 et

du c h a p i t r e

des perturbations.

des perturbations nes dans

Pour v4rifier

renormalisges

le vide

ggn~ralis~es

de p r o d u i t s

moyennes

[90J ¢l(Xl) $ ... ~ ~n(Xn)). [913,

[92~,

Wightman n'a pas encore generalisation

(T~,

o~ l e

sens

des autres

chaque

[941

ordre

a x i o m e s de LSZ e t stabilit~

est

senter

ici

prenante

leur

de l a

trailemeni

ei

donn~es

lisme

hamiltonien

d'une

th4orie

pour

g4n~rale

vement qui remplacent

les les

dans

d'autres

bres

de c o u r a n t s ,

domaines

par

les

sgrie ses

~89~, d4te~

des distributions

de

des DRG est une

tr~s

d4montr~

ordre

en k. P o u r

les

fonciions


formelles

(voir

a 4i~ d~montr~e

en a p p a r e n c e

dcvenues

pour

et

la pr$-

la connexion

insurmontables,

et qui

perturbative sont

de

(6.181))

sur-

[98~.

perturbativc attitude

aux

~973. Nous a l l o n s

du t y p e DEF, n o u s e s p ~ r o n s

Cette

Epstein

satisfait

[1],

sens

renormalisation

qui

de S p e e r

de S c h r S d i n g e r

le

int~ressant,

qu'apr~s

ultravioleites

renormalisation

: avec l'analyse

~ imo(Xm)~o)

temp4r~e

amplitudes

analytique

rigoureuses.

~ ...

l e m~me d e s d e u x c S t ~ s e t

de GML ( 5 . 5 0 )

interactions

l'4quation

ees s~ries

de distributions

directe

collaboraleurs

difficultY%

de l a

des m~thodes math4matiqnes

est

des divergences

avec la renormalisation Etant

retardg~

:

une d i s t r i b u t i o n

et

par Bogoliubov

moyen-

de monSmes de S t e i n m a n n

~ Vo(Y n) ~ i l o ( X l )

E96])ont

de W i g h t m a n o r d r e

strueturelle

lois

sSrie

(valeurs

) ou d e s d i s t r i b u t i o n s

le vide

Dans un t r a v a i l

E95J,

(T~,T(~l(Xl)...~n(Xn))~

premiere

la

for-

(6.1)

arbitraire.

en k de ( 6 . 1 )

que s ~ r i e

construire

de Wightman

La s4rie non-renormalis~e

~l,...,~m

aussi

m6me en r a n t

faudrait

convaincre

Vo(x ) intSres-

=

entre

est

(voir

scalaire

de ces deux familles

4t~ faite.

$ ~m(Xm)T~)

des fl~ches

il

[93~. Une construction

f dYl...dYn(~o,Vo(Yl)~...

fl~ches

et Glaser

Chacune

dans

de la s4rie de GML (5.50)

~1(Xl)~...

E (-ik)n n=o n!

ceci

p a s pu n o u s

et

des distributions

de champs ~ ~ i ( x i )

(DRG) ( v a l e u r s

mine une TQC

la

n'ont

locale

une TQC au s e n s de LSZ e t Wightman e x i s t e ,

melle

Green

prgcgdent

p o u r une i n t e r a c t i o n

du f o r m a sortir

des ~quations sont est

abordables aussi

avec

fructueuse

de l a s t r u c t u r e "un v ~ r i t a b l e

de mou-

des alg~laboratolre

145 -

de p h y s i q u e nous est

fournira projetSe

quable

plus

s~rie

s~rie

de P a d ~ ,

pour

pour

d'une

idles les

les

Notre

et

Pour traiter

la

thdorie

plage

local

d~fini

par

r~sultat et

d'un

seul

de GML r e n o r m a l i s 4 e

relativiste

quantique,

succ~s

(th~or~me

6.16)

r~gularis~e, un certain

peut

pour

8tre

de n o t a t i o n

champ s c a l a i r e et

~(x)

et

(divergence

~ la

sans

remar-

faibles

et,

la manifestation

le module

optimisme

qui nous

numdrique

dlectromagndtiques

fortes

~Vo(X ) ( d d r i v a t i f

s~rie

Car le

interactions

des difficult~s

polynSmial

(1.48)

dynamique

interactions

nous laissera

~viter

que l a

platoniciennes.

de GML r e n o r m a l i s d e

catastrophique

m6me e s p d r e r

l'ombre

des

asymptotique.

s~rie

On p e u t

que

du c i e l

de c e t t e

en forme

la

thdorique".

~)

fin

pour est

d'une

~ < 0 de donc moins

de ce c o u r s .

importance,

nous

allons

avec une masse m > 0 en cou-

de d e g r 4

arbitraire).

Soit

~ (x) o

et

Vo(X) =

A z

a=l

VoW(X) (6.2)

V:(x)

D pest

=

u n monSme d i f f ~ r e n t i e l

DaD a v e c Da~

=

1,

si

c a :Dal¢o(X )

...

Daa~o(X ):

du t y p e

=

i=o

Z c(a,~,i)

=

1

1

O. L e s c o e f f i c i e n t s

c a sont

tels

que

Vo(~) = Vo(x)* (6.4) U ( a , A ) V o ( X ) U o ( a A) - 1 o :

Nous a l l o n s cut-offs

dtudier

les

fonctions

=

V (hx + a) o

de G r e e n t r o n q u d e s

[16J,

d'abord

avec

deux

:

(%g, T(%g(xl)... %g(Xn))%g)T : (%~, T(%g(xl)-..%g(~n))%g) -z

(6.5)

est

(6.5)

k~) p P P j=l (%g' W(%g(Xjl)'''%g(Xjr(j)))%g)T

une d~finition

r~cursive

dans

laquelle

la

sommation porte

sur

routes

-

les partitions

146

-

P P P P [Xll ,. ..Xlr(l ) ],. .. [Xkl .... Xkr(k)] de [x I , .. .x n ] avec

k : k(P) > iet (%g T(%g(x))%g) (T) : (%g, %g(x) % g ) analogue

rant pour les distributions

Vod(Xn))~o) ~ d6note

Lennne 6.1

:

la troncation

de Wightman.

Une d~fi.ition

(~o' T(~o(Xl)''"

par rapport an vide ~o de Fock.

pour ~ < ~ et g : g E ~ ( R s)

(%g, T(%g(~i)

=

x

...

%g(x~))%g) T :

~ (ds+li g ( x i ) e -~1~I)

E ~

lim ~ c~o i= +i

n=m in-m) !

(~o' T ( ~ o ( X l ) ' ' ' ~ o ( X m ) Vo6(Xm+l)'''Vo6(Xn))~o)~ (6.6)

Ddmonstration : si l ' . n c a l c u l e (~ffg, T ( ~ g ( X l ) . . . O f f g ( X m ) ) ~ g ) avec l ' i n v e r se de (6.5) en p a r t a n t de ( 6 . 6 ) , on o b t i e n t l a s 6 r i e (5.50) de GML. Dans le chapitre

I, nous avons vu que les valeurs moyennes

des poly-

nSmes de Wick

(~o,~o(Xl)...~o(xm)Voff(Xm+i)...Vo~(Xn)~o)~ sont de bonnes distributions la limite thermodynamique, ficult6s.

L'ordre

dans

~ ' ( R (s+i)n)

(6.7)

pour ff ~ m. Dans le passage

g ~ I, dans (6.6), avec 6 < ~ on rencontre

(%,T(%(h) "Vo/Xn))%)~ requiert

(nalvement)

la multiplication

d'une distribution

earact~ristiques c o n e

e(x~ - x 2I ) . .°. O ( X n _o

transform6e

dans

la limite vari4t4

deux d i 9

des temps

de Fourier

g~o et g ~1 exige

(6.8) par des fonctions

~,(~[s+i)n

- x:). Si (6.8) .xiste avec une ) de "±a iorme " mff, n , [pi,...pm,Pm+l, ...pn)

(na~vement)

que la restriction

de m , n

~ la sous-

lin4aire

[Pm+l

e x i s t e dans ~ ' ( ] R ( s + l ) m ) .

.....

Pn

=

0]

(6.9)

-

Lemme 6.2

:

(6.7) appartient lente).

-

avec un cut-off ultraviolet

X~(£)

sance

147

Donc

exp - ~ £ 2 ,

=

~ ~(~(s+l)n)

Gaussien,

(espace

(6.8) existe dans

~

=

de Schwartz ~,(~(s+l)n).

~-1,

(6.10)

des fonctions m,n

C ~ ~ crois-

est C ~ en P m + l , . . . p n

dans un v o i s i n a g e 6 ~(R(s+l)m) •

de (6.9) apr~s l ' i n t 6 g r a t i o n

sur p l , . . . p m

avec un

D6monstration

(6.7) peut ~tre calcul~ avec le th6orbme

de Wick.

On fait

VI,...V

dans un

correspondrc

:

les n arguments

plan. Un sous-ensemhle

[D~ ~o(a)

de l ' e n s e m b l e

Xl,...x n ~ n points

(sommets)

n

~ deux ~l~ments f D1 ~ o ( a ) ( x f ( 1 ) )}

(xi(1))'

des o p ~ r a t e u r s

i(1) < f ( 1 ) ,

(6.ii)

de champs

[~o(Xl) . . . . ~o(Xm) ,

Da~ ~o (Xm+l), ** D75 ~o (Xn) }

(6.12)

. Xm . )Vom+l . . (Xm+l ) .Von ( Xn ) ' 1 s a x s A, e s t r e p r e"s e n t e " par une dans ~o(Xi ) . ~o( ligne 1 orient~e de Vi(1) (sommet initial) ~ Vf(1) (sommet final). Alors (6.7) e s t ~gal n

( ~

ca

am+ 1 , .. a n i=m+l

(~o' D1i ~o ( ~ ) ( x i ( 1 ) )

) Z ~ i

G

D1f ~o ( ~ ) ( x f ( 1

))%)

i

(6.13) o~ la somme ~G s ' 4 t e n d sur r o u t e s l e s p a r t i t i o n s de (6.12) en s o u s - e n s e m b l e s du type ( 6 . 1 1 ) , t e l s que i ( 1 ) < f ( 1 ) (car Va(x) e s t en ordre normal) e t t e l s que le graphe G = G(~',£) avec l e s sommets 2Y= IV 1 . . . . Vn] e t l e s l i g n e s £ = [I 1 .... IL], L = (m + Z~m+l at)/2 , soit connexe

(effet de la troncation).

On a dans (6.18) (%'

i D1%(~)(xi(1))

i (2~) -s D1 ( x i ( 1 ) )

f Dl(Xf(1))

i

=

f pO= f

f D1 ~o(~) ( x f ( 1 ) )

%)

=

dpS2~ ×~(£)P e x p - i ( p , x i ( 1 ) -

+

D 1 (xi(1)) Dl(Xf(1))Sp~ (xi(1)

-

xf(1) )

xf(1) )

(6.14)

-

et

p E ~1,2),

puisque G est

et

int~rieure

si

connexe.

ff < ~. Doric ( 6 . 8 )

et

(6.14)

existe

D~(xi(1))

On a p p e l l e

entra~nent

et peut ~tre

f Dl(Xf(1))

5~g(x)

-

que ( 6 . 7 )

calcul~

(6.15)

(p,p)

1

La t r a n s f o r m ~ e

•g

de F o u r i e r

~pl,...pn ) est C

=1, r

s

pour

par

_ xf(1))

(6.15)

(de F e y n m a n ) de l a l i g n e

(voir

r~gularisge est

aussi

1 et

(6 16)

- xf(1))

de ( 6 . 1 6 )

E99]. On y t r o u v e

m,nt

(6.14)

F ~l~(Xi(1)

=

sip

darts % ( R ( s + l ) n )

- m2 + i o

(de F e y n m a n ) du g r a p h e G, q u i e s t

~tudi~e par Brandt

est

en remplaTant

le propagateur

r Y[ ~1~ (xi(1) l'amplitude

extSrieure

e t m sommets e x t e •r l e" u

dp s + l Xff(~)p exp - i ( p , x )

(2g) s+l f

Nous a p p e l o n s

1 une ligne

ext~rieures

A~ff(xi(1) -xf(1)) +i

(6.13).

-

9 = 2. G p o s s ~ d e m l i g n e s

• V 1 . . . . Vm. ( 6 . 1 3 )

dans

1 4 8

par le cut-off

une c o n v o l u t i o n , l'exemple

en (Pm+1 .... pn ) apr~s l'int~gration

suivant)

~.

q u i a ~tg que

sur (Pl .... Pm )

avec ~ E ~(R(S+l)m).

Dans l a l i m i t e est

bonne et unique

darts u n a - v o i s i n a g e

g ~ ~ la d~finition

sur les

fonctions

de ( 6 . 7 )

d'essai

[

p a r l%e t h ~ o r ~ m e de Wick

~ E ~(R [s+l]m)

qui s'annulent

de

o

(6.17)

1 ~ i <j ~n

i1 y a ~me an ~ou~-e~p~ce ~ ( R (~+l)n) de~(R(s+l)n), de Wick a u n s e n s .

Pour prdciser

une r6gularisation F AI~(X ) a l a forme

covariante.

ce r d s u l t a t ,

nous allons

La t r a n s f o r m ~ e

i

~)~(P-

=

(p,p)

~ur lequel l ' e ~ p r e ~ i o .

de F o u r i e r

remplaeer ~[(p)

ZI(P) -m

2

(6.15)

de A [ ( x ) =

(6 18)

+io

o~ Zl(p) est un mon~me. Soit c,r > 0 et ~,r(p)51

=

Zl(p)

f da exp i a [ ( p , p ) r

- m2 + i ~ ]

(6.19)

par

149

-

-

Alors ~F AI

Evidemment 7 ~ ' r ( p )

~C

lim lim e~o r~o

=

r

E 0M(RS+I), e t sa t r a n s f o r m 4 e

5; ' r ( x )

-

(6.2o)

AI '

de F o u r i e r

4i Z l ( i ~ x ) ~ da exp - i V ( x4a ' x ~ + a(m2 - i~)]

(6.2i)

r

appartient

aus s i ~ ~ M ( ~ +1) . Donc ~T 1 Aa 1, r t k x i ( 1 ) -

s~de une t r a n s f o r m g e l'int$gration

de F o u r i e r ,

xf(1))

o) la convolution

s u r l e s a. L ' i n t 4 g r a l e

gaussienne

E ~M(~ ( s + l ) n )

peut 6tre

est triviale

pos-

interchangge

avec

e t donne ( v o i r

(6.27)) 5[~ I n

=

~

~

=

n

8( E pi ) 7 .... 7 7 i=l r

h ~ ' r }(p 1 . . . . . Pn )

d~l R(a,p)

exp i [

r

Aij(Pi,Pj ) - Z al(m 2- i~)] E i,j=l 1 (6.22)

I c i A . . = A . . ( a ) e s t une f o n c t i o n c o n t i n u e , r a t i o n n e l l e e t homog&ne de d e g r g 1J 1O - -L (s+i)n un en ~, e t R ( a , p ) e s t c o n t i n u e e t r a t i o n n e l l e en ~ e t p dans J r , ) x ~ ~e f a c t e u r

e x p - aE a l c o n t r ~ l e Soit

~N(~(s+l)n)

tous les ~ E ~ ( ~ s + l ) n )

doric l a c o n v e r g e n c e de ( 6 . 2 2 )

le sous-espace

avee

(avecla

topologie

& l'infini. induite)

de

(D~)(x I ..... Xn) = 0 sur

u l 0 ( 6 . 2 8 ) localement in%~grable gemen% de v a r i a b l e s

es% d a n s

e% (~1~2 + ~1~3 +

k

=

-

~'(1~+1),

a2~3) ~

a 1 + a 2 + a 3,

ear

(ala2 + ala3+ a2a3 ) ~

0 p o u r a.i ~ 0. Si ~ = 0

ai

=

~6i_

es%

l e eham

..(6.29)

mon%re un compor%emen% dk/k s-l, q u i n'es% pas localemen% in%6grable pour s > La % r a n s f o r m ~ e

de F o u r i e r

de ( 6 . 2 6 )

4

devient

2

(-i) 2 96

dx i exp i "=

F

F 3 ,

E (Pi'Xi) AI~ ~2~ i=l

/il~ (6.30)

2

-

-(2~) - [ s + l

qui exis%e dans

)6(p I

~ ' ( 1 ~ +1)

+

~I~i )2(_i~)s+l 96 ( ( p l , P l ) _ m 2 + i o

p2)(_i)2

(voir

F~(Pl)

+i exp-

l a d~mons%ra%ion du t h d o r b m e 6 . 1 3 ) ,

conformd-

men% a u lemme 6 . 2 . de m a s s e rend F ~ ( p )

Une r e n o r m a l i s a % i o n invariante

de Loren%z p o u r ~ - ~, s i s

M(2)

= 2. D ' a p r ~ s

4 v_oo ~r+ "(v_) o

=

+

deuxi~me

ordre

d~finie e%

bien

l e %h~or~me 5 . 4 ,

3 v~i r+(v~)

3 garan%i% que j u s q u ' a u

e% ( 6 . 3 0 )

le choix

(6.31)

3

la masse physique

es% 4 g a l e ~ m. A v e c l a

normalisa%ion (1.48) dSp I M (2)

m(~(Pl)

= 48(2u)-2s

=

~

4

2~ I

(dspi

2 ]-F i=2

-2~d~

e

2 a*(21)a(£i)m~(£i) 4 5( E

exp-2112i2) [

i=l

4

~ 2~i i=l

(6.32) 4

Zi ) +

i=2 4

]

i=2 (6.33)

Soi%

T6(~)

= (2~)-S/2 S dsp mff(~) e ipx- 7~2 (6.34)

-

On a M (2)g

:

; d~[~g+(~) ~ _ ( ~ )

153

-

+ 7~+(~)~_(~)}

et Mg

:

7 dx:~ff(~)7~(~):_

4 est une renormalisation de masse pour ~3' qui pourrait ~tre employee dans le lh~or~me 4.15 avec un cutoff spatial. Le remplaeemen~ V

~ Vg + Mg introduil

une correction au deuxi~me ordre

(-i) ~ dx3( %, T ( ~ o ( h ) % ( ~ 2 ) : % ~ ( ~ ) 7 o . ( X 3 ) : ) % )

~

(6.35)

dont la transform~e de F o u r i e r e s t 6gale h 2 2 +i e x p - 7~1 ) ( - i ) 2 m~(~l ) (2~)s+l 6(Pl+ P 2 ) ( ( p i , p i ) - m 2 + io

(6.36)

Un c a l c u l p~nible, bas~ sur le thgor~me des r~sidus, d~montre que

m~(zl )

=

48 (2u) -2(s+l) f

5 TT

.s+l -2?~ a pi e

i=3

(pi,Pi) - m 2 + io

5( E5 Pi - Pl) i=3

°

Pl=~I (6.37) Donc F6(Pl ) d a n s A v e c l a formule

(6.30) d o i t ~tre remplac6 par

f(p)

=

-

i ~

E ni+... +nm- 0 et F ¢ ' r ( p ) l ' e x p r e s s i o n correspondan%e ~ F ~ ( p ) , si l ' o n F p a r l e s p r o p a g a t e u r s A1~ , r qui s o n t r ~ g u l a r i s ~ s s e l o n ( 6 . 1 9 ) remplace l e s ~2g On o b t i e n t

donc une r e l a t i o n

de c o n s i s t a n c e

~tolim rtolim [ F e ' r ( ( p , p ) )

(6.40)

importante

- F a ' r ( m 2)}

=

e s t une bonne augure pour l a t h 6 o r i e

~ ~ des f o n c t i o n s

hamiltonienne

locale

: la l i m i t e

de Green, qui s o n t c a l c u l ~ e s avec un h a m i l t o n i e n n o n - c o v a -

riant et une renormalisation festemen%

~lim [ F 6 ( p ) - F 6 ( ~ ( ~ ) , ~ ) } ( 6 . 4 0 )

invariante

de masse non-covariante

de Lorentz

et divergente,

et 4gale a la fonction

est mani-

de Green renormalis4e

d'apr~s Bogoliuhov. = f d~ : ~ ( ~ )

M

le plus g4n6ral type

T~(~),,

dans H~, qui

avec m6(~)

, au deuxi~me

(6.39) et qui peut servir eomme

contreterme

remplace

Fa"r(p)

Rc'r(P)

ordre,

soustraetion

dans Hd ne peu% renormaliser

de Bogoliubov

arbiiraire,

est le contre-terme

donne une contribution dans

(6.30).

(6.30) pour s > 2. La prescription

par

1 f1 dr ( I - z )d bzd+ bd+l I F a , r (Tp+ ( 1 - Z)po) dI

-

du

Done aucun

(6.41)

o

avee

Po a r b i % r a i r e

s u r [ ( p o , P o ) = m 2] e% d

d est la "divergence

F~'r(p)

superfieielle"

= F~'r((p,p)), R¢,r(p)

=

2(s + i) - 6

(6.42)

de l'int4grale

(6.34).

Puisque

on obtient

_

i

-

e-Y

i

f dr (1-~

)c

~C+I

~c+1

F C'r

(%(P P) + (i_ T)m2)

=

o 1

c+l

dr ( i - T ) e l c !

-

r r x

avec d = 2c(+I).

exp i [ A [ T ( p , p )

Nous pouvons

tion sur k (6.29).

Done

+ ( 1 - Z)m 2] - E ai(m 2 - i e ) ]

passer ~ la limi%e

r$o et effectuer

(6.43)

l'in%dgra-

-

155

i lim lim ~a,r(p) ~o

=

r~o

-

I

TT d~ i 8(I- ~ ~i)

; d~ ; ; ; o

(~i~2 +

o

)(s+3+2e)/2

x

"'"

(6.44)

(~i~a)c+i((p,p)_ m~)C+i(i_~)c ei~(¢+i-d/~)/~ ÷ (1 - ;)m e] - m2 ÷

[A(~)[~(p,p) existe

dana

Programme ris~e

iojC+l-d/2

~ ' ( l ~ +1) e% donne une i n t ~ g r a l e :

soit

~[A; 'r.

G(~Y,£) u n g r a p h e

Nous a l l o n s

dSfinir

fixe

F(c + i - d/2)

de Feynman de l a forme h a b i t u e l l ~

de ( 6 . 7 )

une f o n c t i o n

avec son amplitude

Fe'r(p 1 .....

~M(R 4 n ) s a u l a n f a c % e u r 5 ( Z p i ) % e l l e qne < F e ' r , T >

pn),

r~gula-

qui eat dana

= O p o u r %ou% ~ E ~N(R 4 n )

e% que lira lira < (W Ae~r +

p~,r),~

>

c~o r~o

existe

pour tout

~ E ~(R 4n) et

cette

construction

avec la structure

champs s e r a

traitde

D~fini~ion

:

g~n~ralisd.

2 eat a~omique,

qu'une

ligne

(Ul,...,Us] f~rents

formelle

d'une

(R2).

La c o m p a t i b i l i ~ d

de

~ h ~ o r i e q u a n ~ i q u e des

dana l e t h d o r ~ m e 6 . 1 4 .

1E

si

~

contient

e x a c t e m e n t u n d l ~ m e n t . Nous d i s o n s

£ e a t c o n t e n u e d a n a U(1 * ~ ) ,

une p a r t i t i o n

si Vi(1) , Vf(1)

de %Vet ~ C £ l ' e n s e m b l e

des l i g n e s ,

E U. S o i t qui relient

dif-

~i~men~s de IU1 . . . . . ~s ] (i ~ U i, l~ i ~ s). Le graphe, que i'on obtie~

contraction

:

de t o u s

de r o u t e s

sans crainte

Exemple

au c r i t ~ r e

u n s o u s - e n s e m b l e ~ ~ ~ C ~ r d e s sommets de G e a t u n sommet

par identification ou,

satisfait

l e a sommets d e ~ q u i

lea lignes

de c o n f u s i o n ,

dans la Fig.

V1 .

6.1,

son~ dana l e m6me ~. e~ p a r 1 1 ~ Ui, 1 ~ i g s, eat nots G(~ 1 .... ,Us],~ )

G(iU 1 .....

U1

.V2

=

Us},£ ).

[V1,V3},

U3 = IV4] e t ~ = £.

~i ~ U 2

u ~ V4 -

lI2 = IV2 } ,

v ¥3

Fig. 6.1

G( ~Ul,U2,U3},~ )

-

156

La d i m e n s i o n d(U) d ' u n sommet g 6 n 6 r a l i s 6

perfieielle

-

U = [ V i , . . . , V ' } m e s t la d i v e r g e n c e su-

du s o u s - g r a p h e G([V I . . . . . V~},£) de G(O~;) : d(tl)

Iei r 1 = deg(Zl)

Soitd

E (rl+2) l'ell

=

( v o i r (6.i8)) e t

-

4(lul

- 1)

(6.45)

IUl est le nombre d ' 6 1 ~ m e n t s dans U.

E Z, (pO) = (p~ . . . . . p~) 6 R4k et T E ~(R 4k) de l a forme k

6( ~ p i ) T ( p ) , i=l Alors g(d,p°)T e s t d 6 f i n i

"~ E C~(R 4k)

(6.46)

par

k 6( E pi ) 8(p) i=1 oh e(p) = O s i d < O e t

(6.47)

s i n o n 8(p) e s t l a s 6 r i e de T a y l o r de ¢ ( p ) a u t o u r de

(pO) j u s q u ' a u degr6 d. L'amplitude G(~)',Z) s ' o b t i e n t ligne

de Feynman n o n - r e n o r m a l l s e e'"

en a t t a e h a n t

1 E £ le f a c t e u r

(r6gularis6e),

~ chaque sommet V. E ~2"le f a c t e u r 1

Ae~ r . Le c o n t r e - t e r m e

F ~ ' r de B o g o l i u b o v e t P a r a s i u k se

e a l e u l e dans l ' e s p a c e x d ' n n e f a ? o n t r ~ s a n a l o g u e : s o i t p a r t i t i o n de ~ ' a v e e m(i) < n. A ehaque sommet g ~ n ~ r a l i s 6 der ~ P dre une distribution P VP [VI''''' r}" Alors

~

£ (~)

r a x r , (l r . "~

avec support dans

Ix I . . . .

)~p ~ ~ ' r ( 'd-Pj '~ Z m]z[

=

P

~ A e ' r l , de 1 e t ~ chaque

j=l

T]-

[ ~ i l . . . . . U i m ( i ) } une liP. on f a i r c o r r e s p o n J P}, si gP = = Xr

A e1' r

(6.48)

eenn

avee Zp 6tendu ~ routes les partitions avee m(P) < n, et le produit 4tendu ~ toutes les lignes 1 qui relient diff@rents Le s ~ e ~ r ( u )

sent d~finis

3

r@cursivement.

"conn"

sommets g4n6ralis48.

S e i t g = [Vi . . . . . V ~ } =

Alors i

~a~r(u)

=

~e)r(u)

-

k ~¢~r(u)

=

~ U P j=l

,

si U est atomique

,

si

,

autrement

G(U,2) est

IPR

(6.49) p . VP e,r ~e~r({Vjl,'" ' jr(j) ]) ]-[ A 1

corm

157

-

-

~p est 4%endu ~ %ou%es les par%i%ions de U avec k > I. Induc%ivemen% qne ~g'r(u) est de la forme

on volt

(6.46). Done M = M(d(~),0) es% bien d6fini. Une

d4fini%ion plus g4n4rale avec un choix arbi%raire de "renormalisa%ions finies"

~er~ donn~e p ~ s

t~rd (~oir (~.~3V)).

Nous appelons

~}r(ly)

=

TT 52~r + F 2 , r ( ~ 1

=

~ } r ( l ~ + ~£2'r(q~

(6.50)

l ' a m p l i t n d e (de Feynman) r e n o r m a l i s ~ e (e% r ~ g u l a r i s ~ e ) de G(~)',£). Pour d~mont r e r que lim lim ~c~r(~) 6 ~ ' ( R 4 n ) , nous a l l o n s ~%udier l e s p r o p r i ~ t ~ s combi~ o r$o na%oires e t a n a l y t i q u e s de R. Exemple

:

( v o i r [1053).

S o i t G('~,~) de l a forme

V2

V t / 1 4 ~ 3

V3

V4 Fig. 6.2

avec r l .

= 1,

1 ~ i ~ 4,

z

r1

= 0,

comme pour ( ~ ) 4 "

Alors

5

+

sA.

,~

ip ~

+ /s •

~J

II

Fig.

6.3

-

158

-

Ghaque e n c e r c l e m e n t d~note une ( - M ) - o p d r a t i o n . La somme des t r o i s graphes est

6gale ~ ~ ( [ V 1 , V 2 , V 3 , V 4 ] ) . Nous avons omis r o u t e s l e s p a r t i t i o n s

q u i ne c o n t r i b u e n t vergent

derniers

~5 e'r,

il

pas.

On c o n s t a t e une d i f f i c u l t ~

f a u t un c o n t r e t e r m e n o n - t r i v i a l

{V1,V2,V4} , IV3] e t

sdrieuse

: pour r e n d r e c o n -

pour l e s p a r t i t i o n s

[V1}[V2,V3,V4] , qui ne se r e c o u v r e n t que p a r t i e l l e m e n t

("overlapping divergencies"). Pour d o n n e r une a u t r e D~finition

:

un ensemble ~

(1)

IV1] . . . . .

(2)

Si Ua, U~ E ~,

Si U 6 ~

Exemple

:

~o

Ua c ~

alors

la

de ~Y*est un buisson si

n'est pas atomique,

=

[ IV1] . . . . .

es% ordonn~ p a r t i e l l e m e n t

de U(I). I = (il,...,if) On a r r i v e

ou ~

c ~a ou Ua n ~

~ 0

: inclus ou disjoint).

les 614ments maximaux de ~ D ~(I).

des sous-ensembles

de R nous i n t r o d u i s o n s

[Vn] E

(alternative (3)

caract4risation

alors G(U,£) est IPI.

[Vn] ]

e s t un b u i s s o n .

par rapport ~ l'inclusion.

S o i e n t U(1) ..... U(k)

et U(I,i) .... ,U(I,j) les sous-ensembles

d5signera

la cha~ne d'inclusions

maximaux

U(il) D U(iii2)...

h la Fig. 6.4

u(1223)

\

~(kl)

a(k2)

u(122)

u(1) Fig.

6.4

L ' a m p l i t u d e de Feynman, ~ ( ~ 0 ) , d ' u n b u i s s o n e s t d ~ f i n i e

rScursivement par

-

1,

159

-

si ~ ( I ) es% atomique

O£(U(I)) -M(T~. ~ £ ( U ( I , j ) ) j

U

A1),

autremen%

conn

(~.~) ~£(~)

:

TT 3 £ ( H ( J ) ) j

TT h 1 eonn

Nous avons supprim~ la d~pendance de s , r > 0. Exemple : ~£(~.)__ = TT 51" £ Lemme 6 . 4

:

RZ('t~) = E 3 £ ( ~ ) ,

I1 e s t c l a i r

o~ E s ' ~ t e n d ~ t o u s l e s

que t o u s l e s ~ r ( ~ )

son avec deux e s p ~ c e s de sommets g ~ n ~ r a l i s ~ s o p S r e r dans l ' a m p l i t u d e

b u i s s o n s de G(~*,£).

p e u v e n t d i v e r g e r pour r i o . (sur lesquels

de Feynman c o r r e s p o n d a n f e )

(l-M)

Un b u i ~

e% (-M) v o n t

e s f un a r b r e .

Plus pr$cisd-

men% : D~finition

: ~

=

(~,g,~)

(i)

~ est un buisson

(Z)

g : ~

(3)

e s t un arbre d6pouilld,

{+i, -1} avec (a)

g(U(I))

=

-1,

(b)

~(N(i))

= +1,

~ ~ £ c o n t i e n t n-1 l i g n e s . avec 1 ~ H ( I ) ,

ferm~e Exemple

si

1 ~U(I,i)

si U(I) es% afomique si U(i) n ' e s f

pas a%omique

Pour chaque U(I) e ~ n o n - a f o m i q u e , ~i,

relienf

e n t r e eux l e s U ( I , i ) (voir Fig. 6.5). Aussi G({U(i)},~) es% l-connexe.

les 1E

sans b o u c l e

:

tl(I,I)

f .

'

/

,

/

'.

•

I

I I

j

| ~

U(T,2)

,

:

I i

i I

/ j

~

•

~

n

'

U(1,4 /

tl(I,3)

F i g . 6.5

Un U(I) C g - l ( + l )

es% appel~ b r a n c h e , un U(I) E g - i ( - 1 )

Feynman, ~(0~), d ' u n a r b r e d ~ p o u i l l 4 es% d 6 f i n i e

rameau. L ' a m p l i t u d e de

r~cursivemen% p a r

160

-

1

:

-M(~T ~ £ ( U ( I , i ) )

~£(11(I))

U(I)

atomique

TT hi) : o ( u ( I ) ) conn

~£(U(I,i))

(I-M)(T[

-

T[

A I)

= -1

non-atomique

: ff(U(II) = +1

conn

(6.52) ~(~¢)

:

~

~£(u(i))

]7

Ai

corm

~(~) est une somme E'~£(~) d'ampli%udes d'un sous-ensemble des b u i s s o n s , qui d 6 f i n i s s e n % R dans le lemme 6 . 4 . Si G(~,£) poss~de des s o u s - g r a p h e s d i v e r g e n t s qui ne se recouvren% que p a r t i e l l e m e n % , a l o r s chaque oc~r(4~) peu% a u s s i d i v e r g e t pour r4o. Ce%%e %4gra%ion

si%ua%ion

Snr Nous

~i'

chaque

1 ~ i ~ J(x),

aej:r(p /

[~(~/(a,p)

radicalemen%

{ai(~l)~

=

allons voir que, dans

d'arbres

change

si l'on subdivise

la r~gion

d'in-

en sec%eurs

: a-iniSgrand

al(n2)

sec%eur

a " ' " a l ( ~ L ) a r}

(6.53)

S r , on peu% %rouver un nombre

fini

%el que

=

Z

J(~) C

S f ^~ 3£ gr

i--1

de ~ c j r ( ~ i ) ( p )

lim r~o

~ ^~ ~£ S ~r

(~i)(~,p)5(zpi)

(6 54)

sans 5 ( Z p i / ] e t t e l que

(,~i)(,,p)

(6.55)

~£ (~: i ) ( a , p ) 5 ( Z p i ) ^c

(6.56/

exis%e dans Og(~4n / e% lim lim

~o existe

rto

~

S %r

darts ~ ' ( R 4 n / avec des propri4%4s d'analy%ici%6 en p d'une i n t 4 g r a l e

de

Feynman u s u e l l e . Nous allons l'a-in%~grand

d'une

done fixer un sec%eur

ampli%ude

de Feynman.

I' > i", si i' = l(x(i)) ~ I" = l(~(j))

S e% discu%er dans la sui%e ~r Dans (6.531 l'ensemble £ es% ordonn4 :

et i < j.

161

-

S o i t d~f= [ ~ , a , ~ } suivantes

-

un a r b r e d d p o u i l l ~ .

: g(I) = g(U(I))

; d(I) = d(U(I))

On i n t r o d u i t

les notations

; I > I', si U(I) ~ U(I') ; I a I',

s i U(I) n U(I'), Alors

£(I)

I1 E £ : 1 ~ U ( I ) ]

Z'(~)

£(I)

- U £(I,i)

m(~)

(~.57)

~'(~)

~(I)

~'(I)

~(I) -

- U ~(I,i) U JII

~i(J)

~(J)=-i Le thdor~me s u i v a n t divergencies") Thdorbme 6 . 5

contr31e

les divergences

chevauchantes

("overlapping

darts l ~ e s p a c e d e s ~ : :

dans chaque s e c t e u r

nr =

il

existe

(~,~,~)

un nombre f i n i

d'arbres

d~pouill~s

o t ~ i avec ( 6 . 5 4 ) .

un U E ~ .

Soit ~(i I ..... ir) la branche minimale qui contient I e t

l'~l~ment minimal d e ~

Soit&i

S

e t 1 E ~ - ~ ¢ o n t e n ~ e dans

H(i I .... it)

qui contient 1. Alors

I > 1'

pour route

I' E

t U

~'(i I . . . . ,is)

(6.58)

s=r

par rapport

h l'ordre dans S

Puisque

la d4monstration

nerie combinatoire, dans l'application Thdorbme 6 . 6

:

~r de ce th~or&me requiert une certaine machi-

nous allons dlabord nous familiariser principale

soit

~

=

: [~,~,~]

un a r b r e

du th~or~me 6 . 5 dans S n r . S o i t U ( I ) E ~ l'~-int~grand

~(U(I))(~,p)

8(V.E~(I) pi)

x

exp[i

avec son contenu

d S p o u i l l 4 dans l a d ~ c o m p o s i t i o n

une b r a n c h e

e s t une somme f i n i e

1 J~I~ ~ d x ( j ) Z I ( P ) ~(J)=l o

(if(I) = i).

Alors

de t e r m e s du type

QI(a'T)

E ~(i)2 I Vi,VjEU(I) Aij(Pi,Pj ) - i

jsiT~[ D J R J ( A J ) s J ( B J ) ~

Z

x

~l(m s - i ~ ) ] (6.59)

162

Pour un rameau (~(I) Dans ( 6 . 5 9 )

on a :

(1)

:

(2)

ZI(p) QI(a,T)

= -1),

fonetion

a l a m@me s t r u c t u r e

8e(~(1))(~,p)

monSme e n P i ( V i :

-

~ U(I))

rationnelle

de d e g r 6 2 x ( I )

avec ~(I)

= O.

+ z(I).

en a 1 (1 ~ U ( I ) )

et T(J)

(J ~ I),

homog~ne de d e g r 4 0 e n a, u n i f o r m 4 m e n t b o r n 4 e d a n s T

=

T (I)

=

[ ( ~ .... T ( J )

) : ~ E Sxo ,

0 g T(J)

g i

(J ~ I)] (6.60)

(3)

DJ

=

~

D12,

d e g r ~ +1 e n ~ (4)

AJ = ( A ~ j ) A~(a,T) a(J)

en a , T ,

homogbne de

e t D1 ~ ~1 d a n s TR. ( V i , Vj E U ( J ) )

rationnelle

ld

a v e c D1 = D I ( a , T ) r a t i o n n e l l e

: forme p o s i t i v e m e n t

en a,T,

semi-d~finie

homog~ne de d e g r d +1 e n a.

avec

I1 e x i s t e

< ~ d a n s Tx : [AiJjl -< a ( J ) m a x

(5)

RJ(A J )

: monSme de d e g r ~ x ( J )

(6)

J (~,z) Bij

(1 t i , j

~ lU(J)I

(6.61)

~a 1 : 1 E ~ " ( J ) }

e n A J .. ij

+ [Z'(J)

- l[

homog~ne de d e g r ~ - 1 en ~. I1 e x i s ~ e

' rationnelle

b(J)

< ~ tel

en a,T,

que d a n s T (6.62)

(7)

SJ(B J) : ~ o . ~ e

(8)

x(J),

y(J), x(J)

de d~gr~ y(J) ~ .

z(J)

E Z+ a v e c

= y(J)

= z(J)

x(J) ~ m i . x(J) 2y(J)

~

= 0,

si U(J) est

[k CZ, k ~ ( d ( J )

g (d(J)

+ z(J)

1j

- z(J))/2,

E I~U(J)

+ l-

si ~(J)

r1 + r [2x(J,i) i

atomique

z(~))/2], = -1

si*(J)

non atomique

+ z(J,i)].

= 1 (6.63)

D4mons%ration

-

163

-

(par un calcul pddan%)

:

soi% s 6 Z + maximal %el que

pour

i i ..... i s E Z+, U(I,i I ..... is) es% a%omique. S = s(I) es% l'0rdre de ~(I). Si S(I) = 0, U(1) es% a%omique e% le %h~or~me es% %rivialemen% vrai. Dans l'induction, nous supposons doric que le %h~or~me 6.6 sol% vrai pour %ous les U(J) E ~ avec s(J) < s(I), donc pour %ous les U(J) ~ U ( I ) .

Dans l a sui%e A1, ~ ( ~ ( J ) ) . . . . . supprimons l e s i n d i c e s ~ e% ~6. Puisque ~ ' ( I ) culer ~

relie

son% t o u j o u r s

les U(I,i)

des a - i n ~ g r a n d s .

Nous

sans b o u c l e f e r m d e , nous pouvons c a l -

~(U(I,i))

~ ) 5 1 % r i v i a l e m e n % . D ' a p r ~ s le thdor~me de c o n v o l u t i o n 1610/'(I pour la %ransformation de Fourier d'un produi%, on a une int6grale sur les

I~'(I)1

i m p u l s i o n s des A1, qui es% % r i v i a l e avec ] ~ ' ( I ) ] des I ~ ' ( I ) ] + 1 f o n c %ions 5 dans ~ ( U ( I , i ) ) , On ob%ient darts l ' e s p a c e p une somme de %ermes 1 5(V.EU(IE )pi) J~ d(I), deg Z I

(6.78)

eL au%remen% =

2x(I) + z(1) ~ d(I)

(6.79)

oh x ( I ) (i),

2~(i)

esL l e d e g r 4 du mon~me RI en A~ . Evidemmen% Z I , QI, R I , S I saLisfonL ij (2), (5), (7) e% (8). Si g(1) = +I on uLilise (6.38) eL on obLienL

+ ~(I)

~ d + ~ o~ x(I)

~ min[k 6 Z : k ~ (d(I)

(6.80)

+ 1 - z(I))/2} CQFD

Le Lh4or~me 6.6 donne assez d'informations

expliciLes

rameaux eL branches d'un arbre pour obienir (6.55)

Th6or~me 6.7

:

soil ~

sur les a-ini6grands des

:

= [~,ff,~} un arbre d~pouill4 dans la d6composi%ion ^

du Lheoreme' " 6.5 dans S r. Alors ~ ( ~ ) ( a , p )

esL absolumen% a-in%~grable

dans

S o ainsi que %ou%es ses d6riv4es par rappor% ~ p, e%

Sf dg ~(0%)(~,p) E • ( R

4n)

(6.81)

~O

D4mons%raLion

:

il faut d4mon%rer que, dans chaque arbre,

dans le num4raLeur)

x (grands g dans le d4nominaLeur)

soit ~ = (21~I) -I. Avee

(6.59) pour ~(U(1))(~,p),

le budge%

(peLi%s

n'esL pas d~ficiLaire.

o. voiL q.e

-

i 6 7

TT

l~£~I)-~ ol est

localement intdgrable

men% d S c r o i s s a n t

-

l~(I)

dans S o. P u i s q u e exp - i Z a l ( m 2 - i c ) e s t

e t que l e s au%res f a c % e u r s son% t e m p 4 r 4 s ,

il

suffit

rapideque p o u r

chaque b r a n c h e ~ ( I )

I,-

Nous a l l o n s

faire

=

[u(J) , J ~ i ,

l'hypoth~se

u(J> n

d'induction

(a)

Si

U(1) es% a t o m i q u e ,

(b)

si

g(I)

u u(K) K i enA 1 est 4tendu a routes les lignes 1 6 ~ qui relient diff6rents

COrm

Ui . . . . . U~. M = M(d(U~ U . . . U U~), 0) est d 4 f i n i

par (6.47).

Ce%%e d ~ f i n i t i o n

es% r d c u r s i v e . Remarque

:

~ ne contrSle que la l-par%icule

G([~ i ..... U~],~),

tandis que ~ entre dans

~ corm

irr$duc%ibilit6

des

e% dans la d4finition de

171

-

-

d(U~ U . . . U ~). Si l'on introdui% la notion de buisson g~n~ralis~ ~ partir des 41~ments minimaux ~i'''''~' alors %(Ul ....

es% l a somme s u r l e s Si l'on

r~duit

~,

'US)

= ~(Ul'''''

amplitudes

sU ) + ~ ( U l , . . . ,

de Feynman de %ous l e s b u i s s o n s

on rSdui% l e nombre des b u i s s o n s

l'amplitude

de Feynman de c e u x q u i r e s t e n t .

Exemple

dans la figure

:

6.6,

V 1

les

g~ndralis~s

1 E ~ E £ sont dessin6s

(6.I04)

g~n~ralis~s. sans changer

en t r a i t s

forts

V 2

R

=

V4

4-

V3

\' Fig.

6.6

%(Ib~) c o n t i e n % d0nc m o i n s de con%re-%ermes que sommets V 1 . . . .

sU )

,V 4 s a n s b o u c l e

fermde,

%(~Y) =

~£(~). ]-~

Si ~ r e l i e

les

h 1.

corm

Lemme 6 . 8 unique

:

soit

G([U 1 . . . . .

U s ] , ~ ) I P R. A l o r s

il

existe

une p a r t i t i o n

:

[U01, ],... [!I0S(0) ], avec s(1),...s(r)

> 1, t e l l e

{Ull .... llis(i ) ],''" [llri .... llrs(r ) }

que t o u s

%({u 1 . . . . u })

(6.io5)

les G({!Ijl .... lljs(j)},~ ) sont IPI et

= ~(~u

1

.... u })

=

s-~)~(UOi) ~ R~Q~([tlj Ujs(j)]) corm -~" 51

(6,106)

....

i=l

oh

~-~

porte

sur routes

j=l

les

lignes

qui relient

des ensembles diff5rents

corm

dans (6.105).

Ddmonstration la ~inition

:

(6.105)

s'obtient

~ partir

~e ~ ( { U 1 . . . . Us}) e x c l u t

routes

du g r a p h e G([U 1 . . . . ~ s ] , ~ ) . les partitions,

Puisque

q u i s o n t moths

172

-

que (6.105), on o b t i e n t

fines

-

(6.106).

Soit ~ I , . . . U m u n e n s e m b l e de sommets g ~ n 6 r a l i s d s d i s j o i n t s . Soit E ~et 1 E ~ une ligne qui relie ~i et Uj, I ~ i < j ~ m. Avec le lemme suivant, d~ ~ Bogoliubov et Parasiuk, on contrSle le remplacement de ~ par ~/i : ~ - h i d a n s (6. 102). :

Lemme 6 . 9

~ ( ~ i .... Urn) = ~/l(~l''''~m ) + ~ / l ( U j l J

U...U ~jr(j),~j(r(j)+l),...~jm) (6.107)

E porte

Ici,

sur tousles

G({UjI,...~

j r(j)],~),

1 < r(j)

~ m, q u i

J sont I P I avec 1 et I P R si

~/I((Ujl de ~ ( U j k ) , nouvelle

r(j)

l'on

U... ~jr(j)) .... Ujm ) est d~fini par (6.102), en partant

< k g m, e t p o u r l e sommet g S n d r a l i s ~

amplitude

l e lemme e s t tons

les

Ujl U...U U.jr(j) d'une

:

2E~/I(Ujl U... Ujr(j)) Ddmonstration

r e m p l a c e ~ p a r '~/1.

:

(Induction

certainement

[U i . . . . ~ ]

=

par rapport

vrai.

M~l

(Ujl .... ~jr(j))

(6.108)

h m, a v e c 1 E ~ ~ £ f i x e ) .

P o u r m = 1,

Nous s u p p o s o n s donc l e lemme 6 . 9 v r a i

pour

C {U1 . . . . Um] a v e c k < m.

Si G({U 1 .... ~m],~) est I P R, G({UI,...~m] , ~/I) esi~ a fortiori, z P R. G(IUjl .... Ujr(j)],~0est p o s a n t e

Ujm],~),

de G ( { U l , . . . ~ m } , ~ I ) . est

Soit

I P R, e t

les

Puisque

Si I ~HjP. I U . . . UPj r ( j ) '

1 ~e Uj 1 U... U / j r ( j ) ,

deux membres de ( 6 . 1 0 7 )

G({111 .... ~],~)

*~(U i ..... U )

I P I, il est ~lors cont~nu d~ns .~e z P I com-

=

I P I. Alors

G({•jlU...U ! 1 j r ( j ) , . . .

sont nuls.

:

k M PZ jTT : i *~(~I~. 1 . . . . . uPj r ( j )

)

TT

conn

alors

~ ~(11~.1 ....,UPjr(j) ) = ~6~/l(tljP.l, " .. ' UPj r ( j )) "

A1

( 6 . 109)

173

-

L'autre alternative pour un sous-ensemble ~ des partitions P eoncerne un seul faeteur de (6.109). Your une telle partition P E ~ on peut supposer que P P 1 ~ UII U.. ~ U l r ( l ). Puisque k > i, l'hypoth~se d'induction donne

~(U l ....

,%)

A -

M

=

_ M~VI(U 1 .....

P

E

E ~/i PEg a = l

P U...U

(Ulal

17 X~/l(Uj~

G( [ LIP. lal . . . .

Ular(1) ) x

r(j)) conn TF ~l

. . . . .

sur tousles

P

Ulas(a) ....

j=2 ~a : 1 p o r t e

%)

, ~ Pl a s ( a ) ] , ~ ) ,

(6. ii0)

qui s o n t I P I e t deviennent

IPR sans i. On voit que (6.iiO) est Sgal ~ (6.107)

m ~ ~/I(~I _ . r

/l(U l . . . .

,%)

Le d e u x i ~ m e t e r m e G([Ujl .....

Ujr(j)]

[

dans

~/I(Ul

(6.110)

, ~),

r(j)

les partitions non-triviales

est

..... ~)' U

si G([U 1 ..... %},

.U %)

(6.111)

autrement

~ g a l ~ l a somme s u r t o u s l e s

< m, q u i d e v i e n n e n t

de [~jl U...U U.

IPR s a n s

..

jr(j)'

Lemme 6 . 1 0

~/I) est IPI

~ "

IPI

1, e t

sur toutes

}. jm

CQFD

:

~2~(tIl,...,11m)

= ~]~/1(t11. . . . . Urn) + E' ~l~/l(lljl U...@ Ujr(j ) .... Ujm) J

(6.~12) a v e c Z[ s u r t o u s l e s J

IPI

G([Ujl . . . . , J j r ( j ) ] qui deviennent

IPR s a n s

(6.112) rbme 6 . 5 . qui est

En o u t r e ,

moins fin

est

, '11)I)

1 < r ( j ) <m,

1.

la relation

pour automatiser

nous avons besoin que c e l u i

en a r b r e s

d'un

la d4monstration

regroupement

d~pouill~s.

des termes

du t h 4 o de R £ ( ] ~ )

- i74-

D6fini%ion

: ~=

[b~P,~,~} es% un arbre,

(I)

~4~ es% un b u i s s o n .

(2)

~ C £ avec pour tou% U(I) ~ o ~ - ~ o ~ i q u e , G({U(i)],=)

(3)

=

-I

~(I)

=

:

~ior~ G(IU(I,i)},m)

IPR

on i-~onnexe ;

e~

IPI ~

~(I,i)

=

-i

p o u r d(I)E[OFl}non-a%omique

~(I) E ~-I(-i)

e% ~(I) E g-l(+l) une branche la hauZeur

~

pour U(i) non-a~om~quo O,

G([U(I,i)},~) D~finition

e~

pour U(1) a%omique

~(i) e {+~,o} ~i

G([U(~,i)},~)

es% l-connexe.

~ [+i,0,-i} a v e c

~ : ~ ~(I)

si

es% un rameau, d~pouill6e.

~(I)

E ~-i(0) une branche

%ouffue

Si U(1) = U(i I ..... il) , alors

i es%

de ~(I). L'ampli%ude

~(d~) d'un arbre es% r6cursivemen%

1

si

~(I)

]-[ A1) , conn

i

- M)(i~ ~ ( ~ ( I , i ) )

(1 (1

par

es% a%omique

- M (]-[ ~ 2 ( ~ ( I , i ) ) =

d6finie

~

conn

51),

M) ~ ( [ [ ( I , i ) } )

,

q(I)

= -1 n o n - a t o m i q u e

g(I) = ~(I)

=

+i

0

(6.ii3) ~(~)

~-[

por%e

(77 ~ ( u ( ~ ) ) ) (

=

i

sur %ou%es

les lignes

77

A~)

corm

1 E Z, qui relien%

les

{U(I,i)}.

conn ~({~(I,i)}) co~e

es% d4fini par (6.102)

amplitude

Exemple.

:

des s o ~ e ~ s

d'apr~s [Vo1} . . . . .

e% (6.103),

g~n6ralis~

le lemme 6 . 8 , [Vos(o ) ] ,

il

U(I,i)

en par%an% (~(I,i) = -i

des 5~(U(I,i))

~)

exis%e une p a r % i t i o n

[Vii . . . . . V l s ( 1 ) } . - " [Vri . . . . . V r s ( r ) (6. 114)

-

connexe G(~,£)

du g r a p h e

en I P I

175

-

sous-graphes

Vjs(j)],£

G([Vjl .....

) telle

que

r

R£(tl~") = -F R~(Vjl..... Vjs(j )) -IF j=l

Soit

~o

1' e n s e m b l e

Soit

~o({Vk])

un a r b r e

et

plitude

(6 114) et de

go([Vjz .....

(6.115)

[ V i i ] . . . . , {Vls(1) ],. . . , [ V r l ] , . . , { V r s ( r ) }.

Vjr(j)} )

=

0. A l o r s

¢~o = ( ~ o ' g o

'£)

est

= fi(~o).

du ~hSor~me 6 . 5

d'un

de l i g n e s

: -1 e t

R£(~

Ddmonstration

des

A1

conn

arbre.

:

n o u s a v o n s vu que R £ ( ~ )

Nous a l l o n s

m = [£1 -

I~l

procgder

d a n s £ - ~,

inductivement

avec l'hypoth~se

= ~(0~o)

par rapport suivanCe

Dans chaque S r , il existe des arbres # ~ i '

est

l'am-

au hombre

:

I s i s j(~) < ~, iels

que

j(~) =

a£(~) (a,p)

S

~(~i)

(a,p)

(6.116)

i=l et

que p o u r

dTordre

ehaque

$~i

° (~'~'~)

et

ehaque

1 E ~ - ~ on a ( a v e c l a

relation

d a n s S% ) t U

1 > i' pour routes I' E

~"(i I ..... i s )

(6.1i7)

s=r

Ici ~(i I ..... ir) est la branche minimale ment minimal touffue

est

m = [Zi

-

touffue

de

de ~

qui eontient

de hauteur

est satisfaite

< n - 1 et ~i

hauteur

=~=

k minimale.

%(u(z)) =

qui contient

I1 e x i s t e

iet

un k E Z + t e l

U(i I ..... it) l'616que r o u t e

branehe

h ~ k.

Cette hypoth~se

I~I

1.

=

(1 - M)

Par

par R £ ( ~ .

(~'~'~)

Soit donc

un a r b r e

avee ~ ( I )

d(I,i)

= -i et

d~finition,

(i - M) ~ ( u ( I , i ) . . . u ( I , s ) ) ~/I

(u(z,1)

.....

une branehe

=

u(s,s))

(6. 118)

q

+

Z (l-M) j=l

Nous avons appliqu6 (qui IPI

~2~l(tl(I,Jl)tJ...tl(1,Jr(j))

(6.i12) et choisi

est la plus grande ligne qui relie les graphes

G([~(I,Jl)

..... H(l,Jr(j)},~

) nut

.... l~(l,Js) )

la plus grande ligne i E ~"(I)

[g(l,i)}. sont

IPR

Ej porte sur t o u s l e s sans

i,

i < r(j)

< s.

-

Soit la partition

[U(I,hi)],

1 s i s a, e t

de { ~ ( I , J i ) . . . . U ( I , J r ( j ) ]

G({U(I,jI) . . . . U(I,Jr(j)}, X~/I(U(I,j

176

-

[U(I,hij],

1 s i s b, 1 s j ~ e ( i ) ,

qui d 6 f i n i t

l e s I P I e o m p o s a n t e s de

~V1). D'apr&s ( 6 . 1 0 8 )

1) U . . . U U ( I , J r ( j ) )

:

M ~ l ( ~ ( I , J l ) .... ~(I,Jr(j))) a

et (6.106)

b

M{ ~-~ 8 1 ( U ( I , h i ) ) ~ ~ 2 ~ l ( ~ ( I , h i l ) i=l i=l Si G([~(I,i),...~(I,s)],~/1)

(6.118)

(6.119)

= .... U(I,hic(i)~

e s t IPR, a l o r s

~ 51} conn

le p r e m i e r terme dans

devient

(~

- M) ~ V l ( U ( I , ~ )

.... ~(I,~))

d

(1-

M ) { TT

i=l

=

(6.1so)

e

%(U(1,ki~i~ %/1(U(I,ki~),...~(I,ki~(i)~ ~ A1} '= conn

Cependant, tons les G([U(I,Jl)U...U U(I,Jr(j)) .... U(I,Js)],~/1 ) sont IPI et leur amplitude ne se factorise pas. Nous a l l o n s

d~finir de nouveaux a r b r e s q

~(a)

:

s

C~j = (~j,~j,~l),

~(~j),

tels

que

(6.121)

j=o l'hypoth~se

(a)

d'induction ~tant satisfaite pour t o u t ~j.

Si G([~(I,I),...~(I,s)},~VI)

est IPI,

0

:

a[ors

(~,~,~1)

(6.122)

et ~j = [tlj(J)} et 0. sont d4finis par : J llj(J)

si ~(J) ~ ~(I) ou ~(J) n ~(I)

=

tl(J), ~j(Uj(J))

=

@. lutrement

=

:

6j(J)

(6.123)

177 -

t~j(I,l)

=

tl(I,jI) U...U tl(I,Jr(j)),

t lj. ( I , t )

=

tl(I,Jr(j)+t_l

~j(Uj(I,t)

=

-I,

=

~.(I,l,i) J

lj(I,t)

t~(I,hi) ,

dj (1~j(I,l,i)

=-I,

uj(I,i,~+i)

:

2 -< t -< s - r ( j )

+ I,

=

;

(I,Jr(j)+t_l)

Ij(I,l,i)

= =

=

(I,hi)

U(I,hij),

=

-i,

I -< i < b,

;

i ~ i -< b,

I < j < e(i),

Ij(I,l,a+i,j)

=

Pour J = (I,i) (2 g t -< s - r(j) + I), ou (l,l,i) (I -< i I" pour routes les I" E ~"(I)

J- j 1 ~. La c h a ~ n e d e s

' dldments

soit U' E ~. le de ~ .

j

entre

J

:

U[ C U'~ C . . . ~ J J

~(I,i)

C U. J

J

11[ J

(6.132)

pour un i, et le eas U! = U(I,i) est possible. Dans ~(I,i) les relation J dlordre de"J~resient valables : i v > l" pour ioutes les i" e m"(U(I,i)U...U ~"(II~), e% en plus nous avons I" E ~'(Uj) d'apr~s l'argumeni precedent.

(c)

S i U. = U ( I ) , l a c h a ~ n e d e s J avoir la forme

rameaux entre

~ . e% l e J

pent

u~ c u'~ c . . . = J

J

u(I,i)

rameau minimal

= u. = u. J

~t ~ 1 ' J

(6.133)

J

^

o~ •.j es% du type U(I,j 1 ) . . U...U ~l(I'Jr'J ' ) ' t " )"

De n o u v e a u ,

l'ancien

ne change pas dans ~I[ ...,~(I i), si l'on remplace ~ par ~/I

ordre

pendant

-

180

-

^

que ~(tlj) U ~l'~(tlj) j = :DI"(I). Doric l'hypoth~se d'induction es% toujours satisfaite. CQFD

Exemple (a)

:

c o n s i d ~ r e r G(q~',£) (voir Fig. 6.2) dans les deux secteurs %ypiques :

11 > 12 > 13 > 14 > 15

+

~r

2

~+

-

Wl

=

[V1 . . . . . V4'

~2([VI, V2, V4] ) =

[Vl . . . . . V4'

-1,

=

+1

IV1 . . . . . V4 }} '

62([Vl ..... V4] )

=

+I

{V2' V3' V4 }' [V1 . . . . 'V4 } }' :

-1,

dans ~.J s o n t d e s s i n S e s Maintenant,

~1([v1""'v4 })

{VI' V2' V4 }' =

~3([V2, V3, V4} ) Les l i g n e s

-

[vl .....v4' ~vl .....v4}}'

~'~2 =

~3

181

(~3({V1 . . . . . V4} )

:

+1.

f o r t e m e n t dans l a F i g .

un changement fini des param~tres de la th~orie. Une renormalisation finie e s t une a p p l i c a t i o n

nous a l l o n s

g~n~raliser

6.7 e t 6 . 8 .

l'op6ration

~ pour i n c l u r e

qui a t t r i b u e k chaque somme% g g n ~ r a l i s ~ { V ~ , . . . ~V ~une m '} ~ ^E,r y, ~ £ ( V ~ . . . , m) , qui e s t 6gale ~ un pour m = 1, zero pour

distribution G({V 1 . . . . . Vm},£) IPR et autrement de la forme m

5(

z pl)

Y ¢ , r ( P i ' ' " ,, Pm, )"

i=l y¢,r

e s t un polynSme a y a n t

tes les lignes cients

l a mSme c o v a r i a n c e

(6 134)

que ~ ' A ¢ ~ r [ ~

' produit

sur rou-

de G([V~ . . . . . Vm},£ ) de degr4 -< d([V~ . . . . ,V'm})' dont l e s c o e f f i -

sont continus

pour a , r -> 0 e t

d~pendent s e u l e m e n t de G(~VI,.

""

V' },£)

~ 111

^c,r~ u x A p a r t i r des ~ £ ( i ) (~l,...,~s : sommets g ~ n g r a l i s 4 s deux & deux disjoints) on d ~ f i n i t r 6 e u r s i v e m e n t d ' a u t r e s sommets g ~ n ~ r a l i s ~ s pour chaque [~I . . . . ,u~} = [u 1 . . . . . u S} : • ^

x~'r(u ') £

ie' r(lI' £

~-1 . . . .

,11~)

t

1

0

=

1

a ( [ U i . . . . ,U~ },£)

-M R~£r (tll . . . . . tt~)

IPR

autremen% (6.i35)

Ici ~

~£r(. I . . . . . U;)

=

R ~ r ( u l . . . . . U~)

:

Z' P

j=l

~r(u

por%e s u r %ou%es l e s p a r t i t i o n s

^~,r U: £ ( jl

~

....

,~P jr(j))

AS,

-[-F

conn

i . . . . ,U~) + ~ r ( ~

i ..... '~)

pour l e s q u e l l e s

k(P) > iet

r 1

182

-

-

M = M(d(~ i ..... ~'m) ,O). Avec une modificaLion e% 6.7 on d~mon%re

Corollaire

6.11

triviale

des th4or~mes

6.5, 6.6

le

:

A un f a c t e u r

5 ( Z p ~ ) prSs,

lim ^~E £, r . [Pli . ... . p{) 6 OM(R4%) rio La forme

la plus g4n4rale

une renormalisa%ion

'~e'r(v' £

finie

....

~

de l'op4raiion

V mI

1'

chaque

soustraciion

avec

[Vi,... ,V'm} ~ ~ e %

: sol%

)

a combine

(6.136)

1,

si

0

si G([V~,...,

m = 0

-g'~alr(vi,. - -

•

.

V' m},£)

es% IPR

,V~) + ~^g~r £ ( V ll , .

•

, V tm) a u i r e m e n t

•

(6.137/

'~cir(v i ..... V'm)

=

' ~ s l r ( v i . . . . . v'm)

=

k~),

Z'

P

j=l

¢,r,vP ~

'~ir(vi,..

£ (

jl'"

.. , ~ j r ( j ) ) TT

Ae'r

conn

., v'm ) + ' ~ £s , r , _( v l , ' ' ' ,

I

v'm)

n

Th4or~me 6 . 1 2

:

A un f a c t e u r

pi ) p r o s ,

6( E

i=l , s,r .. ~ £ (PI' .,pn) E

lim rlo

D6mons%ra%ion

:

(6.138)

se d~dui% de ( 6 . 1 3 6 )

'~'r~v' £

~

,~i~(vl

M

(6. 138) -

e% d e s i d e n ~ i % ~ e s

^s,r,2

,V~) i'''"

[98]

P

P

. . . . . v~)

=

E ~,rr.2 £ ("1 . . . . . P

=

P

2a,r~.P

, ~ ' ~£( v , , 1 " ' " ,v~) avec %

O,,(R4n)

Z

4 t e n d u a tou%es les p a r t i t i o n s

~

£

(~i

de [V i . . . . .

P _~ i1~ ~k(P) j

(6.139)

P

..... ~(P)) V{] en i ~ k ( P )

~ % solamets

g~n~ralis~s. Finalement,

il faut contrSler

6.6 et 6.7, la partie finie ~g(p,a,~)

la limite

elo. D'apr&s

les th4or~mes

d'un graphe IPI est une somme finie de

termes de la forme n

6(EPi ) P(p)

Q(a,T)

exp i

[

E i ,j=l

A

ij

(pi,Pj)

- Z~l(m2 - i a ) ]

(6.140)

-

avec A homog~ne de degr~ +1 en ~ e t A e% Q s o n t c o n t i n u e s

183

-

Q homog~ne de d e g r ~ f - [ £ ] ,

et localement inf~grables

dans T% . Dans l a s ~ r i e de GML

nous avons b e s o i n de l ~ e x i s t e n e e

de l a l i m i ~ e ~ o

~ans

~a~ir

~'(~4m).

Uonc non~ al~on~

t > 0, e n ~ .

de f d X m + l . . d x n ~ £ (xl,...,Xn)

que pour tou~ + ~ ~ ( ~ 4 ~ ) ,

n ~ ~ ~ l,

l'applieation +

~

lim

F

(6.141)

(~)

~o d~finit

une d i s t r i b u t i o n

dans

~,(~4m).

Ici

m

F¢(+)

=

f x

m

i__TTI.=dPi + ( P l ' ' ' ' ' P m ~

) ~(i=lZ p i ) P ( p l , . . . , P m , 0 , . . . , 0 )

d~ dT Q(~,T) exp i [ ( p , A p )

- E~l(m 2 - i c ) ]

T% m

(p,Ap)

D'apr~s

[18],

thdor~me X I I I ,

pour tou~ + ~ ~ ( ~ ) .

il

=

Z

Aij (pi,pj)

i,j=l

suffit

d'~iablir

que l a i i m i t e

(6.141)

existe

Soit

~1

=

P~l'

9

=

E1 a l ,

~(~i. . . . . ~(~i. . . .

1

g 1

g L

(6. 143)

Zl~ 1 = 1

%)

=

'~L-I'

pL-I

P)

A c a u s e de l ' h o m o g ~ n ~ i i ~ de A e~ Q on p e u t e f f e c t u e r L'identit~

(6.142)

l'int~gration

s u r p.

( p o u r Re x > 0, Im y > 0)

f dp pX-1 eipY

=

e ixx/2 F(x) y -x

(6.144)

0

donne

(6. 145 ) E

r(+,~,~)

:

e +i~/2

r(t)

f

dp P ( p , o ) + ( p )

~(Zp i )

E(p,Ap) - m2 + i ~ ] t

(6. 146 )

-

Nous

X E

allons

utiliser

d'une

x(t)=

{i

184-

fa$on

essentielle

2

que m

> O. S o i %

ffM(R1) avec pour

t-<m2/3/

pour

t -> m2/2

(6.i4v)

et

%(p,~,~)

=

¢(p) X(p,Ap) ( 6 . 148)

¢~(p,¢,z)

=

¢(p)

-

¢l(p,~,

~)

lim F~(¢2,~,z) e x i s t e e% e s t eontinue en ~,~. Puisque

Evidemmeni,

~¢o

La i i m i t e de Y ( ¢ l , ~ , z )

e s t eompaete, iim F (¢2) e x i s l e . diseut~e [(p,Ap)

~o avee l'414gante - m2+is3 -ten

m6%hode de S p e e r

peut ~¢re f a e i i e m e n t

[983 en u t i l i s a n %

l'analytieitd

de

t p o u r e > 0. On a

1

2 [(p,Ap)

TnA[E~L=1]

-m

+ is3 -t

=

~

2hi

d~.

I t k[=2I-

(k-t)~(p,Ap)-m2+ie]

~ (6.149)

Ill

E

i=i e%, p u i s q u e

( ( p , A p ) - me + i ~ )-X

(Pi

:

-2k(p,A)((p,Ap)-m2+ia)

' ~-~-i

-k-1

(~.l~o)

(p,Ap) -1 es¢ r~guli~re [ ( p , A p ) - m2 + i ~ 3 -A

[(p'Ap)-I

dans supp ~1' =

on a s u r

It-

k[ = 1 / 2

(-2)n[(x-1)...(X-n)3 -i x

Z (Pi' 5 )3 n [ ( p , A p ) - m2 + i ~ ] n-~

m

(6.151)

i=l Sol% n = t + 2. A l o r s

5/5e

[ ( p , A p ) - m2 + i e ] n - ~ e s t uniformgmen% t e m p 4 r ~ e e n p

pour 0 i,

5 ( X ~ l - X ' PJ 2 ) " " ' 5 ( X -j r (Ij )P

- X .Pj r ( j ) )

(6.155) ok z a ' r ( ~ )

e s t un polyn3me d i f f ~ r e n t i e l , qui op~re s u r l e s v a r i a b l e s VPj'r(j)])" . Or d ' o r d r e d ( [ V Pj l ' ' ' ' '

des d i f f e r e n c e s

lim lim < ~ A aL, r ,9 > ~$o r$o

d6finit

une f o n c t i o n n e l l e

lin4aire

=

lim lim < R s'r , 9 > c$o rio

continue sur ~N avecla

(6.i56)

topologie

induite,

si N e s t

suffisamment grand.

4vidente

La c o v a r i a n c e par r a p p o r t an groupe de L o r e n t z iL +t de R e s t a u s s i : l ' a m p l i t u d e o r i g i n a l e r 4 g u l a r i s ~ e 6 t a i t c o v a r i a n t e a i n s i que l e s

renormalisations

finies,

e t l a s ~ r i e de T a y l o r j u s q u ' a u degr4 d a u t o u r de

186

(p) = (O) d ' u n e f o n c t i o n I1 r e s t e la structure ba£ions.

est

4galement covariante.

~ d ~ m o n t r e r que l a c o n t i n u a t i o n

formelle

D'abord,

eovariante

-

d'une th~orie

nous i n t r o d u i s o n s

Un noyau d ' o p 4 r a t e u r s

quantique

UAL ~ ~ e s t

rela£iviste

compatible avec

en s ~ r i e des p e r t u r -

quelques d~fini~ions.

W(y i . . . . ,yn) e s f p o l y l o c a l ,

si West

une somme

finie

W(y 1 . . . . . yn)

avec Wti(Y),

=

E wt(Y 1 . . . . . y n ) : W t l ( y l ) . . . W t n ( Y n ) : t

1 s i < n, d e s polynSmes de Wick des champs l i b r e s

wt E ~ ' ( R 4 n ) .

W = i d Y l ' ' ' d Y n W(Yl . . . . . yn) e s t

W(y 1 . . . . ,yn) e s t

qu a s i l o c a l ,

s i supp wt c [Yl

.

(6.157)

locaux,

et

done une forme s u r ~ x ~ . .

.

.

.

y n ] . Done wt e s t

une

somme finie n-1

wt(Yl'''''Yn)

=

kE W t k ( Y l ) Dtk Yl'= 5 ( y j - Y j + I )

a v e c Wtk E ~ ' ( R 4) e t Dtk un monSme d i f f 6 r e n t i e l Y n - 1 - Yn" W(Yl . . . . , y n ) e s t x

Uo(~,-a)

variant

=

W(yl+a

par translations,

Dans l ' e s p r i t

invariant

. . . . .

tousles

de l a t h ~ o r i e

renormalis~e

renormalisde

Wtk dans ( 6 . 1 5 8 )

de l a r e n o r m a l i s a t i o n ,

d'apr~s

Bogoliubov,

que l a s ~ r i e soit

d'interaction

"presque" vrai,

si l'on

W~(x) g ~ n 4 r a l i s d e

on a i m e r a i t

w~(x)

=

(1)

h(~)

= Vo(~)

(2)

A ( x 1 . . . . . ~ ) quasilocaZ,

rem-

de 6ML de l a

~gale ~ la s~rie

d~finit

et in-

sonf des constantes.

de l a ~ W ~ - t h ~ o r i e . B o g o l i u b o v e t s e s c o l l a b o r a t e u r s

montr~ que c e c i e s t densitd

~ Yl- Y2'''"

s i U o ( ~ , a ) W(y 1 . . . . yn)

Yn+a) p o u r Lout a E R4. Si W e s f q u a s i l o c a l

alors

p l a c e r Ho + ~V p a r Ho + ~Wk, Wk = V + Rk, t e l kV-th~orie,

par rapport

par translations

(6.i58)

de 6ML n o n -

El] o n t d~-

W~ = ~ W ~ ( 0 , ~ ) d ~ a v e c une

:

z ( -i~),~-I ~ dx 2 . . . . . d x A n ( h , . . . , x n=l ~! '

n)

(6.159t

avec

r~el et totalement

i~aria~

sym~trique

par *ra~sia~io~s,

(n ~ 2)

(6. 160)

-

187

-

Si l'on remplace LVo(X ) par XWL(x )dans la s~rie de GIV[L e% en observant que supp An(X 1 . . . . . . x n). = _{x1 . . . . . en

Xn }' on o b t i e n t

comme s S r i e

formelle

T

(~co, T(~(Xl)-..~(Xm))~co)re n

=

co

=

E

(-iX)nnl f dYl" . dYn(~o'T(~o(Xl . . . .)

"~o(xm)Wk(Yl) .

"Wk(Yn))q~o )T

n=o

oo =

E

n=o

(_i~)n n'

"

n E

n! E

r = l s ( i ) + . . . +s ( r ) = n

x

s(1)i...s(r)irl

tt) x f ~ -' {{1 dy..(~Po,T(+o(Xl) 1J "'"~o(Xm)As(1) ( Y l l ' "'"Yls (i))"'"As (r) (Yrl ....Yrs (r)))~o)To i=l j= (6.161) On observe que n l ( s ( 1 ) l . . . s ( r ) ! r ! )

-1 e s t

le nombre de p a r t i t i o n s

P de [Yl ..... yn] en r ensembles avec s(1),...,s(r) 41~ments. Ceci permet d'~crire (6.161) plus sym4%riquemen% : (_il)n

n!

n E

f dYl "'" dYn r=l

=

n=oZ

x

(To,T(~o(Xl)...~o(Xm)hs(i)(Y~l

E s(1)+...s(r)=n

E P

x

P

P

.... yls(1))...As(r)(Yrl

P .... Yrs(r)))To)

T °

(6.1621 Le c a r a c % b r e remplaee

du changemen% 1Vo(X) ~ IWk(x ) es% c l a i r

: au deuxibme

ordre

on

(%,T(%%)%(~m)Vo(Yl)Vo(Y2))%)~ par

(~o,T(~o(Xl)...[Vo(Yl)Vo(Y2)

+ h2(yl,y2)])io)~

(6.163)

au %roisi~me o r d r e (To,T(~o(Xl)'''Vo(Yl)Vo(Y2)Vo(Y3))To) par

~

(~o,T(~o(Xl)...~Vo(Yl)Vo(Y2)Vo(Y3) + Vo(Yl)A2(Y2,y3) + Vo(Y2)A2(Yl,Y3 ) + V o ( Y 3 ) A 2 ( Y l , y 2) + A 3 ( Y l , Y 2 , Y 3 ) ~ ) ~ o ) ~

(6. 164)

On aimerai% donc d4mon%rer que ies con%re-%ermes dans la ddfini%ion correc%e

-

188

-

de la valeur moyenne T-ordonn4e peuvent 6ire combings dans une suite {An} d'op~rateurs quasiloeaux. Cependant, il faut ajouter une prescription d'Gvaluation a (6.161), pour arriver a u n

tel ~h~or~me. On suppose que les coeffi-

cients Wnt(Xl,...,Xn) de A d4pendent de 8 > 0, r > 0, Wnt = w n%' et que les Fn propagateurs de Feyrunan 81 sont r4gularisGes selon (6.19). Alors [13 : ThGor~me 6 . 1 4

rGgularis4e

:

soit

(~co,r(~(xl)...~(Xm/)~)re

et renormalis4e

n

donn4 p a r

la s4rie

(en r e m p l a $ a n t ~ A~ r p a r ~ r ( 9 ~ )

phe G(%~,£), avee un e h o i x de r e n o r m a l i s a t i o n s

finies

de 6 ~

pour t o u t g r a -

arbitraire,

mais f i x G ) .

invariants par Alors, il existe une suite ~~Ae'r~ n ~n~2 d ' o p G r a t e u r s q u a s i l o c a u x translations, (formellement r~els pour r,g$o) et symGtriques, tels que comme sGrie f o r m e l l e

en ~ : %T,E,r ten

=

co

(-ik) n! n f dYl. . .dYn(~o,T (~o(Xl ). ..$o(Xm)WS~r (Yl). ..Wk~'r(yn))~o)~ 's'r

E n=o

(6.165) I e i Wke'r(y) e s t du t y p e ( 6 . i 5 9 ) DSmonstration

:

e t indSpendan% de m 6 Z+.

s o i t G('~,£) un graphe a r b i t r a i r e

$o(Xm)Vo(Yl)...Vo(Yn))~o )T'c'r.

Les s o u s t r a c t i o n s

attachGes aux IPl-graphes de Vo(Yl)...Vo(Yn). use dimension d 2 0,

de ( ~ o , T ( ~ o ( X l ) . . . ~a'r(v',1

o sont

....

Si G({V I ..... Vn},£)est IPI avee

~E~r([v I ..... Vn} ) a son support dans [Yl . . . . .

Yn }"

Done ce contre-terme doi% provenir de A e'r. D'autre part, pour contribuer nonn trivialement dans

8,r

T,g,r

(90 T(~o(Xl)...~o(Xm) A n (Yl . . . . .

l'opGrateur : W t l ( y l ) . . . W t n ( Y n ) : terme de degr~ m e n

~

d'un terme darts ( 6 . 1 5 7 ) ,

.

dolt

p

et ses derlvees, et m pareourt tout Z

O

des op~rateurs w ~ r ( y )

Yn))~o )

(6. 166 )

contenir un si l'on eherehe

+

qui renormalisent proprement routes les fonctions de

Green. Une d4finition naturelle (mais non-unique l) de A ¢'r est done la suin

vante

: 1)

thGor~me 1 . 1 ,

D ~ v e l o p p e r T(V°(Yl)''-'V°(Yn))F. on polynSme de Wick, s e l o n le avec un p r o p a g a t e u r

/k1 r e g u l a r i s e

r

T(Vo(Yl)...Vo(Yn)) ~'

pour chaque c o n t r a c t i o n

:

8~r

=

X TK A 1 (Yi(1) - Yf(1) ) :WGI(Yl)'''WGn(Yn ):

G

I

(6.167)

189

-

o2 l e s WGi(Yi) 2)

sont

d e s monSmes de Wick en D i j + o ( Y i ) .

Retenir

V1,...,V net

-

tousles

est

IPI,

Ae, r

=

n

et

termes,

remplacer

o2 l e g r a p h e 6 = G ( ~ , £ ) a n sommets 5 a 1, r p a r ' ~ a '£r ( v 1 , . . . . V n ) . h l o r s :

~ 1

' ~ a '£r ( v

6(Vl...Vn,£)ip I

)...WG~Yn):

l"'Vn):~l(Yl

(6. 168 )

deg(WGl...WGn)> 0

Alors

Ae ' r

Satisfait

h (6.160)

et est

formellement

r6el

pour

~o,

r4o.

n

Cette

d6finition

garantit

que l e d 6 v e l o p p e m e n t

de Wick r ~ g u l a r i s ~

de (~o,T(Xl)...~o(xm)A~r(yl .... ,yn))~o): '~'r produit t o u t e s maximales

est

m E Z +. La r e s t r i c t i o n

possible

ration

~ cause

R appliqude

dans

(6.168)~

de l a t r o n c a t i o n .

~ (6.169)

la c o n d i t i o n

L'apparence

comme c o n t r i b u t i o n

avec 1 < r < nest

une c o n s e q u e n c e

de ~. 0 b s e r v e z

directe

deg(WGl...WGn ) > 0

des autres

termes

de l ' o p ~ -

des termes T c,r '

du t h ~ o r b m e

que l e d d v e l o p p e m e n t

( 6 . 169 )

'C'r

P P (~o,T(~o(Xl)'''As(1)(Yll.'')'..hs(r)(Yrl'..))~o)o

nition

soustractions

pour ($o'T(~o(Xl)'''~o(xm)Vo(yl)'''Vo(yn))~o)~

pour tout

les

(6.17o)

de Wick e t de l a d ~ f i -

de Wick r ~ g u l a r i s ~

(6.167)

saris-

fair

T(Wl(Xl)...Wn(Xn)) e'r

Une d ~ m o n s t r a t i o n de b o s o n s

tr~s

et fermions On p e u t

la IV-th~orie k~-th~orie.

est

renormalisation m o d u l e s du t y p e

~labor~e

du t h $ o r ~ m e 6 . 1 4

diff~rents

6gale

Cependant,

T. C ' e s t

T[T(Wl(Xl)...Wk(Xk))~'r...T(Wl(Xl)...Wn(Xn))~'r]

donc d i r e

des contributions produit

:

se t r o u v e

que l a s ~ r i e

~ la sdrie

de 6ML r 6 g u l a r i s 6 e

des diff6rentiations (4.6) B

C

covariante

oh l e s

de S p e e r

du f o r m a l i s m e

local

est

contre-termes

de champs

~98].

e% r e n o r m a l i s 6 e

non-renormalis6e (6.19)

qui proviennent

une 6 q u i v a l e n c e

d'un Hamiltonien ou

p o u r un nombre f i n i la th~se

de GML r ~ g u l a r i s ~ e

la r6gularisation

pourquoi

dans

ne t i e n t

de B o g o l i u b o v possible

ne c o n t i e n n e n t

de

de l a

pas

des discontinuitds

seulement

s'r

compte du

a v e c une

pour les

p a s de d 6 r i v 6 e s

-

190

-

par rapport au temps.

D6finition

une interaction l o c a l e

:

Vest

dire super-renormalisable

pour tout n suffisamment grand, renormalisable

s,rr

~£

si A = 0 n

si le d e g r ~ polynSmial de

tV l,...,Vn) et deg(WGl...WGn ) sont uniform~ment born~s pour tout h a'rn

(6.168),

et autrement non-renormalisable.

Avec cette d4finition, nous pouvons classifier les modules du type DEF d'une fagon plus fine : une interaction locale V du type DEF est du type 3 si V e s t super-renormalisable (exemple ~5' ( ~ ) 3 ) , du type E, si V e s t renor4 malisable (exemple : ~4' ( ~ ) 4 ) et du type F, si V e s t non-renormalisable (exemple

: (~)~).

La renormalisation des interactions du type D qui ne permet-

tent pan de formalisme canonique est encore relativement simple. Quelles sont les 4quations de mouvement correctes pour ces modules

Exemple

:

4 ~3' la seule divergence

pour le mod&le

?

(dire "primitive") dans la

sSrie de GML appara~t au deuxi~me ordre T(

4

4

)e,r

:¢o(Yl)::~o(Y2): 3

4

=

4

:~o(Yl)~o(Y2):

3

+

+ 16 A a ' r ( y l - Y 2 ) : ~ o ( Y l ) ~ o ( Y 2 ) :

72

+ 96 A ~ ' r ( y l - Y 2 ) 3 : ¢ o ( Y 1 ) ~ o ( Y 2 ) : + 2 4

A~

2

'r(yl-Y2)2tIo(Yl)~o(y

2

2):

(6.i71)

As'r(yl-Y2)4

Donc ~r h 2 (Yl'Y2)

La t r a n s f o r m 4 e

de Fourier

graphe logarithmiquement

=

de ~ , r ~ ) divergent

:~o(Yl)~o(Y2) :

~e,r~) est

(6.172)

de l a f o r m e A ~ ' r 6 ( p l + P 2 ) p o u r un

(dimension d = 0). Nous choisissons pour

A ~'r la transform4e de Fourier de - 96 Ac'r(yl-Y2)3 , avec Pl sur la eouche

de m a s s e ,

(pl,pl)

= m2.

Noun a v o n s v ~ d a n s l ' e x e m p l e l'ordre est

~2 e t q u e ,

~gale h la limite

hamiltonienne maintenant

a4o,

r4o l a f o n c t i o n

~ ~ ~ de l ' e x p r e s s i o n

renormalisde

selon

renormalise

correspondante

Glimm. Les t h $ o r ~ m e s

la th~orie

~ deux p o i n t s

(6.40)

de l a t h ~ o r i e

6.13 et 6.14 impliquent

:

Thdor~me 6 . 1 5 fonctions

dans la limite

( 6 . 3 9 ) , que c e c i

:

Avec AS~ r de l a f o r m e

de G r e e n r e n o r m a l i s ~ e s

d'apr~s

(6.172)

e t AC'rn ffi 0 p o u r n > 2, l e s

Bogoliubov

sont

identiques

(~ c h a q u e

191

-

ordre

en k) ~ l a l i m i t e

tonien

local

contient

-

4 de G r e e n du m o d u l e ~3' s i

g ~ ~ des fonctions

une r e n o r m a l i s a t i o n

de m a s s e ~

l'hamil-

= ~2 ~ d~ : ~ ( N ) % ( ~ ) :

de l a forme (6.34). Une p r o p o s i t i o n Exemple et

analogue est vraie 4 ~4'

pour la th~orie

:

A¢'r(x)2 l o g a r i t h m i q u e m e n t

•E•rf 2

\

~Yl'Y2 !

=

5~'r(x)3

est

divergent.

a,r~)

p o u r l e s m o d u l e s (P + Q ~ ) 2 " quadra~quement divergent

Done ( 6 . 1 7 1 )

(d = 2)

n o u s amine

:~o(Yl)~o(Y2) : + ~,ro):~o(yl)2~o(Y2)2

: (6.1~a)

avee les

transform~es

de F o u r i e r ~(Pl + p2)[A~ r + ((pl,Pl)

=

- m2) B£~r]

(6. 174) a,r 8(p I

=

E~r

On p e u t c h o i s i r

p o u r -C 2

72 5 c ' r ( y 1 - y 2 ) 2 au p o i n t fixe

la charge

on c h o i s i t autour

est

la valeur

coefficients

de ( h , p l )

est

= m2.

D'apr~s

analytique

(6.44),

en ce p o i n t

de F o u r i e r cette

meson-meson en ordre

de l a s ~ r i e

uniquement d~terminde.

renormalisation

de l a t r a n s f o r m ~ e

P l = 0. Comme d a n s ( 3 . 1 5 0 ) ,

de l ' i n t e r a c t i o n

les

deux p o i n t s

+ P2 ) ca~ r

de

d~finition

de C~ ' r

~2. P o u r -A¢~ r e t -B% ' r

de T a y l o r de ~ ( 9 6 ! ( s c ' r ) 3 ) ( p i , P 2 ) cette

contrih.tion

~ la fonction

p o u r a$o. Done l a r e n o r m a l i s a t i o n

_ha'r2 e s t une r e n o r m a l i s a t i o n

de m a s s e ,

c~r

B 2

finie une

d'amplitude,

Dans e h a q u e o r d r e n , i l y a des c o n t r i b u t i o n s ~,r h n ( Y l ' . . . . y n ) , q u i s o n t de l a forme

non-triviales

c,rt C ~

5 1 ~Yi(1) - Yf(1) ) : } o ( Y i l ) } o ( Y i 2 ) '

C ~

A 1 (Yi(1)

ou

avec

1 ~ i I ....

les valeurs plitude

, i 4 ~ n. G(W,~)

Dans ce c a s , physiques

renormalisations

de p r e s c r i r e

- Yf(1)

est

off i l

IFI e t

:

"=

d(W)

y a plusieurs

~o(Yi ) :

aux ~ t a t s finies

que c h a q u e g r a p h e

(6.176)

j

= +2 pour

graphes

de l a masse e t de l a c h a r g e e t

du champ r e l a t i v e

unique les est

4

a,r

pour (6.176).

(6.175)

monoparticulaires

et

la normalisation ne f i x e n t

pour chaque graphe. sSpardment soit

(6.175)

primitivement

d(V9

= 0

flivergent~ de 1 ' a m -

p l u s de m a n i ~

La p r o c d d u r e

canonique

proprement normalisS.

Soit

192 -

donc R £ ~pl,...,pn ) = 5(EPi)R £ (Pl , .... pn ) l a par%ie f i n i e (6.176) avan% la soustraction maximale. Alors

~z

~PI""'P~ )

= -~(Zpi)R~r(O

Pour ( 6 . 1 7 5 ) ,

8(zPi)R

nous a l l o n s

--E~r

le. Nous

~ (Pl ..... pn ) la ~on~rib~io~ posons

(ili 2 ~o~e

de K

dans

£

..... 0). --Egr(

distinguer

deux cas. Soi% R £ ~ p l , . . . , p n )

do (6.175)

a~a,~

la so,,tractio~

~a~ima-

darts (6.175))

£ ~Pl'''',Pn )

- 6 ( Z p i ) Teor(p)

i1

=

i2

(6. 177 )

Ici Til,i2~Pl ,c'r , ...,pn) es% la sSrie de Taylor de -e'rR £ jusqu'au degr4 deux au%our de (0 . . . . . . .

Pi2,

0) avec

•~il . . . . .

~i I

=

- Pi2 sur la eouehe de masse,

[PI'''''Pn) es% la s4rie de Taylor de R-~,r £ jusqu'au degr~ (~il,~il ) = m 2. Te'r'o deux au%our de (0,...,O). La mo%iva%ion es% la suivan%e : si i I = i2, la con%ribu%ion du sous-graphe (6.175) dans un graphe de la s6rie de GML es% %ypiqu~ men% celle de la Fig. 6.9

)

Vh

: (

Pl

P2

V.

, Pl

.~i

( P2

k4 Fig.

6.9

F i g . 6.10

Soien% pl,p 2 e% kl,...,k 5 les impulsions ex%6rieures e% in%~rieures, respee%iyemen%. La conservation d'impulsion ~ chaque somme% implique que -Pl = P2 e% que les k i peuven% ~%re ehoisies ind~pendan%es de PI" Donc la Fig. 6.9 es% 4quivalen%e ~ une renormalisa%ion de masse, comme la Fig. 6.10, de la forme g~'rAe'r(pl)2 5(pl+P2 ) avec g~,r ind~pendan% de PI" Le choix (6.177) renormalise ga~r ~ z4ro. Le cas i I ~ i 2 es% %ypiquemen% celui de la Fig. 6.11

-

Pl

193

-

kl

P2
T p o u r

La th~orie

. , p n )T d ~ f i n i t

infiniment

sdpards)

asymptotique

la contribution de l a m a t r i c e

(6. 180)

Pk+l + " ' " Pn ~ Pl + " ' " + Pk par

conS,

(C n E R 1) .

.

>T

(6.181)

T T ( P l - . . P k , - P k + l " " "-Pn )

o pi = ~(pi)

(l_l_U n! a v e c A,B > 0 u n i f o r m ~ m e n t 0 ~ -k ~ ~ d'ordre

< ~, a v e c k

O

nest

pour

(Pi' .... P2e_l)

arbitraire,

O

P2e

= _ E2 e - 1 , M2 j = l Pj fixe

Le nombre de t e l s

et

graphes

p o u r n > 2e m i n o r ~ p a r 2e + 1 ) ! !

(6.192)

que A

diverge

E J,

mais fixe.

n~(n-

de s o r t e

( 6 . 191)

A Bn

pour tout

0

k

>

~

Z ( n - R e * i)!! Bn(-k) n n=2e+l -k

(6.193)

•

O

Th4or~me 6 . 1 6 malis4e

et

:

Pour les

r6gularis~e

une r e s o m m a t i o n

[98]

une n o u v e l l e

pour d'autres

auxiliaire

diverge

comme d a n s

R~cemment, trouv~

T(pi,...,p2e

)T du m o d u l e

pour tout

la Fig

r4f4rences).

dans ~e~r(p)

Ae~r(k,p)

s4rie

(pi,...,P2e_l)

additive

par

de B o g o l i u b o v

la renormalisation

E J,

apr~s

Nous i n t r o d u i s o n s

et Parasiuk

analytique

une v a r i a b l e

a

(voir

complexe

:

Zl(p) F(k) -1 f

=

da

k-1

exp i ~ [ ( p , p ) -

(6.144)

2 m + i~]

(6.194)

r

On obtient a v e c

de GML r e n o r -

6.13.

la renormalisation interpr4iation

0 > k et

~43 l a

:

~l(k,p)

ink exp --~

=

Zl(p)

=

lim lim

[(p,p)-

m 2

+ i o ) ] -k

~r(~,p)

e~o r ; o

Air(p) Pour

c et

r > O, l e p r o d u i t

=

7i(i,p)

(6.195)

199

-

q;~ ' r ( ~- -,-x )

L 7T 1=1

=

-

A~'r( - 1 "kl'

e s t dans OM e n ~ = (x 1 . . . . . Xn) e% e n t i e r a n a l y t i q u e t r a n s f o r m 6 e de F o u r i e r de ( 6 . 1 9 6 ) e s t de l a forme

~,r(~_,p)

n ~ 6(i=12 p i ) {f

:

- xf(1))

xi(1)

(6 • 196)

en ( k l , . . . , k L )

kl-1

]]-I I d o l ~1

r(

kl)_l]

= ~. La

x

R(~,~) exp i[(p,Ap) - Zal(m 2- i $ ) ]

(6.197)

Speer dgmontre sans effort le

Thdor&me 6.17

:

=

s o i t G ( V l , . . . , V n , £ ) un graphe connexe e t

[~ 6 eL: Rekl , M = (2 + Z r l ) ( L - n +

1),

1 ~ 1 ~ L} (6.19S)

A l o r s pour t o u t ~ 6 qSs(~)

existe,

=

limc~'r(~) rto

E ~,(~4n)

(6.199)

e s t holomorphe en ~ 6 ~ e t poss~de une c o n t i n u a t i o n mgromorphe r6g(~)

dans eL.

~(a)

~

r( z

~c£

(h-M))-I

(6.200)

l~

est holomorphe dans C L.

Apr~s avoir enlev6 le cut-off r > 0 pour I E ~, on est tent6 de d4finir une amplitude de Feynman renormalis~e par continuation analytique de

~(~)

~ ~ = (i .... ,1) = !. si ~ ( ~ )

n'est pas analytique a !, une idle natu-

relle dans la th~orie des distributions

[124J,

[125] est de choisir eomme

"valeur finie" le terme constant de la s~rie de Laurent cul unidimensionel,

autour de i. Le eal-

en posant k I =...= IL = ~' ne satisfait pas au th~or~me

6.14. Speer propose une ~valuation itSr4e et sym~tris~e.

O 1

d p,

IPl]

(A. 21 )

> d 'v

d

f ¢[ ~ c Ind(i + [p 1-p21)-N(l+d) IpladP

-~

E

~i (A.22)

l e lemme 4 . 4 .

Soit maintenant

(p,q)

tel

que

(A. 23 )

I~+ ql ~ 2

Alors

d

~

}nl

~ s -

~c

[pJ/2

T~

~ s - sP/e

ou

i~-ql 2

~

~

~ ~ c P ( I c - ~P/21 + i) -i ~ ~(i + c)p-1

(A . 2 4 )

d-alP~2 Donc

l(A~a) ,.j < ~(1 + ~)p-1

(1 + ] h

- P2[ )-N

(A.25)

Dans l a r ~ g i o n

(A.26)

208 -

-

il

faut

utiliser

la compensation

entre

S ( k 2 , k 3 )2

Le d e r n i e r allons

terme,

estimer

la

2

-m (2~2~ 3

)-1

contribution

sdpardment

du t e r m e

I x _ ![ A

pour

I A I - > IBI > o, a l o r s

convergent

constant

- P2 )" On a

(A.27)

d a n s @ e t d;. Nous

en u t i l i s a n t

IA - B I ~ [A

B

pour

et +(P'q'Pl

2 1 _ k2k____33, m 7 (1 ~2~3 ~2~3 )

=

, est

~(p,q,pl,P2)

BI e

(A.28)

iBiI+~

~

IBI > o

IA[,

(A.29)

IA-1-B-11 < IA -Bl~(IA1-1-~ + IB1-1-~) Donc

ID/~)dpdq g(Pl

p)~(p _ p2){(g(~ + q) + ~(~ _ q))-l_ 2 2

~D/~)dpdqlg(Pl

p)~(p

+

_

P2)l{(~( ~ + q) + ~(~ 2

(2~(q))-l-~}{l~(~

+ q) - ~ ( q ) ] e 2

On a I ~ ( ~ ± q) - ~ ( q ) l 2

g c ~(p/2).

_

(2,(q))-*}l

q))-l-e

+

2 + ] ~ ( ~ - q) 2

~(q)l ~}

(A.30)

Si

.(p) > ~(pl) 2

,

(A.a,)

2

alors g(Pl - p) absorbe

~(p/2) ~. Autrement I ~ ( ~ ± q) - ~ ( q ) l ~ ~ C2 ~ ( P l ) 2¢ 2

Dans l e s

deux c a s l ' i n t g g r a l e

e t on o b t i e n t

restante

est

major~e

p a r c(1 + [Pl - P2 ] ) - N '

l e lemme 4 . 4 . g v e e q~ = q ± p / 2 ,

~

= ~(q~) et

(A.32)

[ q ~ ] ~ 1 on a

- 209 -

q+ q_

t

q

2 (A.33)

-2 -( ~I)

~+~ (~+ + ~_)

q

I(P+ + ~_)-1

(=~)-~1 + (2~) -~1~

2

~1

Le p r e m i e r terme e s t d ~ j ~ e s t i m 6 . M a i n t e n a n t 2 q 2 I

q+q_

I~+~_

q 2 - T2p2/4

5

j~ d~ V ~(. + ~p/2)~(. - zp/~)

=

e p2 f l ~dT (~(q + ~p/2) -1 + ~(n - ~p/2)-1) 2

(A.34)

O

et q+q

q

2

q+q_

q

2 (A.35)

Avec (A.34) et (A.35) on obtien~ une d~croissance suppl6men~aire G(q)-¢ 2¢ n n i f o r m 6 m e n t en p e t

z . Le f a e t e u r

~ ( p ) ~ ~ ( p l )2, e~ autrement Ce~te e s t i m a t i o n une d g m o n s t r a t i o n (e)

p

s e r a a b s o r b 6 dans g ( P l

p),

si

par ~(pl )4¢. est

inspirge

par eelle

de Glimm E23~, qui donne

a n a l o g u e du lemme 4 . 8 .

D d m o n s t r a t i o n de ( 4 . 1 2 3 )

:

il

fau~ estimer

typiquement

4 d2k. r~(ki+...+k4)l 2

S

i=I

2J_

Théorie de la renormalisation: Cours donné à l'Ecole Polytechnique, Paris

Theorie de la renormalisation

Cours D'analyse de L'École Royale Polytechnique (Cambridge Library Collection - Mathematics)

La escribana de Paris

Transition de phase et groupe de renormalisation

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 1: Calcul Différentiel, Deuxièmme édition

Cours de mécanique analytique

Cours de mathematiques MP

Kushner,.Donn.-.A.Book.DragonUC

Donn, Son of Midhir

Cours de philosophie positive

Cours de linguistique generale

Cours : Algèbre de Boole

Cours complet de numerologie

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 2: Calcul Intégral, Deuxièmme édition

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 3: Équations Différentielles, Deuxièmme édition

Cours de mathematiques

Cours de mathématiques, MPSI,

Cours de mécanique analytique

Cours pratique de neo

Cours de philosophie positive

Transition de phase et groupe de renormalisation (Broché)

Les Ruffians de Paris - Tome II - La Revanche de Caillebotte

Discours pour le XVВ° anniversaire de la Commune de Paris

Les Mystères de Paris

Le spleen de Paris

Le bourgeois de Paris

Notre Dame de Paris

Notre Dame De Paris

Notre-Dame de Paris

Fleurs de Paris

Théorie de la renormalisation: Cours donné à l'Ecole Polytechnique, Paris

Theorie de la renormalisation

Cours D'analyse de L'École Royale Polytechnique (Cambridge Library Collection - Mathematics)

La escribana de Paris

Transition de phase et groupe de renormalisation

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 1: Calcul Différentiel, Deuxièmme édition

Cours de mécanique analytique

Cours de mathematiques MP

Kushner,.Donn.-.A.Book.DragonUC

Donn, Son of Midhir

Cours de philosophie positive

Cours de linguistique generale

Cours : Algèbre de Boole

Cours complet de numerologie

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 2: Calcul Intégral, Deuxièmme édition

Cours d'analyse de l'École polytechnique, Tome 3: Équations Différentielles, Deuxièmme édition

Cours de mathematiques

Cours de mathématiques, MPSI,

Cours de mécanique analytique

Cours pratique de neo

Cours de philosophie positive

Transition de phase et groupe de renormalisation (Broché)

Les Ruffians de Paris - Tome II - La Revanche de Caillebotte

Discours pour le XVВ° anniversaire de la Commune de Paris

Les Mystères de Paris

Le spleen de Paris

Le bourgeois de Paris

Notre Dame de Paris

Notre Dame De Paris

Notre-Dame de Paris

Fleurs de Paris

Recommend Documents