Teoria maszyn i mechanizmów: zestaw problemów analizy i projektowania

ANTONI GRONOWICZ STEFAN MILLER W£ADYS£AW TWARÓG

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW ZESTAW PROBLEMÓW ANALIZY I PROJEKTOWANIA WYDANIE TRZECIE

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ WROC£AW 2000

Opiniodawca Antoni DZIAMA

Opracowanie redakcyjne Maria KOPEÆ

Korekta Aleksandra WAWRZYNKOWSKA

Projekt ok³adki Ma³gorzata BODAK

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 1996

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-395-1

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. nr 32/99.

Spis treœci Rozdzia³ 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Rozdzia³ 2. Przyk³ady rozwi¹zañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Rozdzia³ 3. Problemy analizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Rozdzia³ 4. Problemy syntezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Rozdzia³ 5. Problemy analizy wspomaganej komputerem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Rozdzia³ 6. Komentarze do problemów analizy i syntezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .179

Rozdzia³ 7. Zadania kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Rozdzia³ 8. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Wprowadzenie Zrozumienie zasad budowy i dzia³ania mechanizmów oraz zjawisk towarzysz¹cych ich pracy jest niezbêdnym warunkiem efektywnego eksploatowania, a przede wszystkim projektowania maszyn, a tak¿e urz¹dzeñ, aparatów i narzêdzi. Niniejsze opracowanie zawiera problemy, których rozwi¹zywanie, wspierane wyk³adem i wiedz¹ podrêcznikow¹ (wybrane pozycje zestawiono w spisie literatury), powinno siê przyczyniæ do lepszego opanowania metod analizy i syntezy mechanizmów. Materia³ obejmuje podstawowe dzia³y teorii maszyn i mechanizmów, zw³aszcza dotyczy analizy strukturalnej i kinematycznej, kinetostatyki oraz dynamiki. Omówiono równie¿ problematykê projektowania (syntezy) obszernej grupy mechanizmów. Wiele problemów jest ukierunkowanych na istotne zagadnienia tzw. syntezy strukturalnej, polegaj¹cej na doborze typu uk³adu do realizacji wymaganej funkcji, narzucanej potrzebami praktyki. Publikacja zawiera: • przyk³ady rozwi¹zañ (rozdz. 1) • problemy analizy (rozdz. 2) • problemy syntezy (rozdz. 3) • problemy analizy wspomaganej komputerem (rozdz. 4) • komentarze do problemów analizy i syntezy (rozdz. 5) • zadania kontrolne (rozdz. 6). Sposób zestawienia materia³u powinien stanowiæ istotn¹ pomoc w studiowaniu teorii maszyn i mechanizmów. Dotyczy to przede wszystkim problemów analizy i syntezy. Ich rozwi¹zanie, samodzielne lub przy pomocy nauczyciela, umo¿liwi efektywne zmaganie siê z problemami praktycznymi. U¿ytkownikom tego opracowania autorzy s³u¿¹ pomoc¹ w postaci za³¹czonego zestawu rozwi¹zanych przyk³adów (rozdz. 1), a tak¿e zestawem komentarzy i podpowiedzi (rozdz. 5). Wyra¿amy jednak nadziejê, ¿e u¿ytkownicy siêgn¹ po te pomoce i podpowiedzi w ostatecznoœci. W zestawieniu problemów analizy i syntezy starano siê uwzglêdniæ mo¿liwie szerok¹ grupê uk³adów kinematycznych – wiele z nich to rozwi¹zania spotykane w praktyce. Dziêki temu niniejsze opracowanie mo¿e byæ tak¿e pomocne praktykom, zw³aszcza w doborze idei rozwi¹zania konkretnego problemu technicznego. S¹dzimy, ¿e ta cecha powinna poszerzyæ kr¹g odbiorców równie¿ o in¿ynierów mechaników – projektantów maszyn. Autorzy

Rozdzia³ 1 Przyk³ady rozwi¹zañ

9

Zadanie 01 Na rysunku 01 przedstawiono przyk³adowe rozwi¹zania par kinematycznych. Przeprowadziæ klasyfikacjê tych par. Rozwi¹zanie a) cz³on 2 ma wzglêdem cz³onu 1 jedn¹ mo¿liwoœæ ruchu: przesuw wzd³u¿ osi y. Ze wzglêdu na 5 stopni swobody odebranych cz³onowi 2 jest to para I klasy; ze wzglêdu na charakter styku (powierzchniowy) – para ni¿sza, b) cz³on 2 zakoñczony kul¹ umieszczon¹ w otworze cylindrycznym cz³onu 1 o tej samej œrednicy wewnêtrznej ma mo¿liwoœæ wykonywania 4 ruchów niezale¿nych (obroty wokó³ osi x, y i z oraz przesuniêcie wzd³u¿ osi y). Jest to para IV klasy, ze wzglêdu na styk liniowy – para wy¿sza, c) cz³on 2 ma wzglêdem cz³onu 1 mo¿liwoœæ wykonywania 2 ruchów niezale¿nych (obrót wokó³ osi y i przesuw wzd³u¿ osi x). Przy 4 wiêzach narzuconych cz³onowi 2 przez cz³on 1 jest to para II klasy; ze wzglêdu na charakter styku – para wy¿sza.

Rys. 01

Zadanie 02 Okreœliæ liczbê stopni swobody cz³onu 2 (organu roboczego równiarki) wzglêdem ramy maszyny dla ustalonej d³ugoœci si³owników hydraulicznych 3, 4, 5 i 8 (rys. 02). Rozwi¹zanie Traktuj¹c zgodnie z za³o¿eniami si³owniki hydrauliczne jako pojedyncze cz³ony stwierdzamy, ¿e uk³ad sk³ada siê z 9 cz³onów (8 cz³onów ruchomych + 1 podstawa). Stwierdzamy ponadto 2 pary I klasy oraz 11 par III klasy, czyli n = 9, p1 = 2, p3 = 11.

10

Rys. 02

Po zastosowaniu wzoru strukturalnego dla uk³adów przestrzennych

W = 6(n − 1) −

i= 5

∑ (6 − i ) p

i

i =1

otrzymamy Wt = 6 ⋅ 8 − 2 ⋅ 5 − 11 ⋅ 3 = 5.

Na wynik ten sk³adaj¹ siê ruchliwoœci (stopnie swobody) ka¿dego z cz³onów oddzielnie. Niektóre spoœród cz³onów uk³adu maj¹ mo¿liwoœæ obrotu wokó³ w³asnych osi, np. cz³ony 3–6 i 8, tzw. ruchliwoœæ lokaln¹ WL, nie maj¹c¹ wp³ywu na liczbê stopni swobody innych cz³onów. Poniewa¿ WL = 5, otrzymamy dla pozosta³ych cz³onów, w tym równie¿ dla cz³onu 2 W = Wt – WL = 5 – 5 = 0. Cz³on 2 jest unieruchomiony.

Zadanie 03 Okreœliæ ruchliwoœæ uk³adu przedstawionego na rys. 03. Otrzymany wynik zinterpretowaæ. Rozwi¹zanie Uk³ad przedstawiony na rys. 03 jest z³o¿ony z 4 (n = 4) cz³onów tworz¹cych 5 par kinematycznych. Klasyfikuj¹c te pary stwierdzono, ¿e p1 = 2, p2 = 1, p3 = 2.

11

Rys. 03

Po zastosowaniu wzoru strukturalnego dla uk³adów przestrzennych otrzymano Wt = 6 · (4 – 1) – 5 · 2 – 4 · 1 – 3 · 2 = –2. Otrzymany wynik sugeruje, ¿e analizowany uk³ad jest przesztywniony. Nale¿y jednak zauwa¿yæ, ¿e para B (I klasy) jest powtórzeniem ju¿ istniej¹cej pary A (równie¿ I klasy). Ta dodatkowa para wprowadza 5 dodatkowych, a zbêdnych kinematycznie ograniczeñ ruchu. A wiêc Rb = 5. Z kolei ka¿dy z cz³onów si³ownika (t³ok 3 i cylinder 2) dysponuje ruchliwoœci¹ lokaln¹ (obrót wokó³ w³asnej osi), czyli: WL = 2. Ostatecznie: Wrz = Wt – WL + Rb = –2 – 2 + 5 = 1. Oznacza to, ¿e skrzynia 4 (przy odpowiednim zamontowaniu ³o¿ysk A i B) dla ka¿dej zmiany d³ugoœci si³ownika reaguje jednoznacznie okreœlon¹ zmian¹ po³o¿enia.

Zadanie 04 Wykreœliæ tor ocechowany punktu M (koñca wide³ przetrz¹sacza do siana) wzd³u¿ ziemi. Dane: lAB = 0,17 m, lBC = 0,3 m, lCD = 0,75 m, lDA = 0,75 m, obroty korby n = 60 obr/min, prêdkoœæ ramy maszyny v = 1,2 m/s (rys. 04).

12

Rys. 04

Rozwi¹zanie 1. Wykreœlamy tor ocechowany punktu M wzglêdem ramy AD maszyny. W tym celu dzielimy tor punktu B na odcinki przebyte w jednakowych odstêpach czasu ∆t = 1/12 s. Korzystaj¹c ze wzornika wykreœlonego na kalce w formie ³¹cznika CBM prowadzonego punktem C po torze γ, a punktem B po torze β, znajdziemy miejsce geometryczne odpowiednich po³o¿eñ punktu M (krzywa µ). 2. Tor ocechowany µ′ w uk³adzie sta³ym, zwi¹zanym z ziemi¹, znajdziemy rozwijaj¹c krzyw¹ µ, tj. przesuwaj¹c poszczególne punkty w kierunku ruchu maszyny o odcinki równe odpowiednim drogom, jakie wykonuj¹ te punkty wraz z maszyn¹ od punktu wyjœciowego. Fragment toru M1 M4 zakreœli³ punkt M w czasie równym t14 = 3∆t = 3/12 s. W czasie ∆t rama maszyny przesuwa siê na odleg³oœæ ∆s = v ∆t = 1,2· 1/12 = 0,1 m. Wobec tego odcinek 4–4′ równa siê 0,3 m.

Zadanie 05 Okreœliæ wysokoœæ podniesienia skrzyni 1 po skróceniu si³ownika CF o dany skok h (rys. 05.1). Rozwi¹zanie W celu okreœlenia wysokoœci podniesienia skrzyni 1 dogodnie jest przyj¹æ skrzyniê za cz³on odniesienia (ruch wzglêdny cz³onów pozostanie bez zmian), a nastêpnie:

13

Rys. 05.1

1. Roz³¹czyæ mechanizm w punkcie C oraz skróciæ si³ownik CF o skok h. Now¹ d³ugoœci¹ si³ownika FC1* zakreœliæ ³uk (rys.05.2). 2. Poniewa¿ mechanizm FBDE jest równoleg³obokiem, znajdujemy œrodek S krzywizny toru punktu C nale¿¹cego do cz³onu ABCD. Nastêpnie z punktu S zakreœlamy ³uk o promieniu SC (SC = DE, ES||DC, ES = DC). Punkt przeciêcia torów punktu C, nale¿¹cego do cz³onu ABCD oraz cz³onu FC1* , daje nowe po³o¿enie punktu C – punkt C1. 3. Znaj¹c po³o¿enie punktu C1 znajdujemy nowe po³o¿enie ³¹cznika A1B1C1D1.

Rys. 05.2

14 4. Rysujemy równoleg³¹ do prostej I stycznie do ko³a K1 i znajdujemy prost¹ II. Odleg³oœæ skrzyni 1 od prostej II jest now¹ wysokoœci¹ h1. 5. Ostatecznie mo¿na znaleŸæ nowe po³o¿enie punktów J i L, których odleg³oœæ od prostej I lub II jest sta³a. Z punktów G i H zakreœlamy ³uk o promieniu HJ = GL. Nastêpnie kreœlimy równoleg³¹ do prostej II w odleg³oœci a. Punkt przeciêcia prostej oraz ³uku daje poszukiwany punkt L1.

Zadanie 06 Dla podanego mechanizmu 6-cz³onowego okreœliæ chwilowe œrodki obrotu Sij (rys. 06.1). Rozwi¹zanie Okreœlamy liczbê n wszystkich chwilowych œrodków obrotu wed³ug wzoru

 6 n =   = 15.  2 Wypisujemy je w sposób uporz¹dkowany 12 13 14 15 16 23 24 25 26 34 35 36 45 46 56 Niektóre z tych chwilowych œrodków obrotu, tzw. œrodki sta³e i trwa³e (rys. 06.2), narzucaj¹ wprost po³o¿enia par kinematycznych (zosta³y one podkreœlone). Pozosta³e wyznaczamy na podstawie twierdzenia o trzech chwilowych œrodkach obrotu, np. wed³ug podanego schematu:

Rys. 06.1

15

Rys. 06.2

12 − 14   → 24 32 − 34 13 − 15   → 35 36 − 56 24 − 25  → 45 14 − 15 56 − 15  → 16 46 − 14

14 − 34  → 13 12 − 23 23 − 35  → 25 12 − 15 34 − 36  → 46 45 − 56  16 − 12   → 26 36 − 23

Kolejnoœæ wyznaczania mo¿e byæ oczywiœcie inna. Na koniec zwróæmy uwagê, ¿e w ka¿dym chwilowym œrodku obrotu przecinaj¹ siê 4 proste.

16

Zadanie 07 Dla czworoboku przedstawionego na rys.07 okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ ω4 przy za³o¿eniu, ¿e znana jest prêdkoœæ k¹towa ω2, a mechanizm zosta³ narysowany w podzia³ce. Rozwi¹zanie Zadanie zostanie rozwi¹zane metod¹ równañ wektorowych. W analizowanym uk³adzie (rys.07) para postêpowa nie pokrywa siê z par¹ obrotow¹, a wiêc mo¿na wprowadziæ równowa¿ny kinematycznie mechanizm zastêpczy, w którym para postêpowa zostanie przesuniêta do pary obrotowej (rys. 07). (Zwróæmy uwagê, ¿e mo¿na tê parê równie¿ przesun¹æ do pary obrotowej B.) Zabieg taki nie zmienia po³o¿eñ œrodków obrotu (S34 le¿y w nieskoñczonoœci), a wiêc nie zmienia prêdkoœci k¹towych cz³onów mechanizmu. Dla mechanizmu zastêpczego (rys. 07) mo¿na za pomoc¹ równañ wektorowych wyznaczyæ dowolne prêdkoœci. Najpierw okreœlono prêdkoœæ punktu B nale¿¹cego do cz³onu napêdowego vB = ω2 · AB. Punkt ten jednoczeœnie nale¿y do cz³onu 3, z którym jest zwi¹zany punkt C, którego prêdkoœæ mo¿na wyraziæ zwi¹zkiem

v C = v B + v CB . Równania tego nie mo¿na rozwi¹zaæ ze wzglêdu na brak kierunku wektora vC. W celu okreœlenia wektora vC wykorzystano fakt, ¿e punkt C nale¿y do cz³onu 3 i pokrywa siê z punktem D (o znanej prêdkoœci) nale¿¹cym do cz³onu 4, a wiêc

vC = v D + vCD .

Rys. 07

17 Równania okreœlaj¹ce vC rozwi¹zano graficznie na rys. 07 i otrzymano modu³y oraz zwroty prêdkoœci vC i vCB. Do wyznaczenia prêdkoœci k¹towej cz³onu 4 wykorzystano zwi¹zek miêdzy prêdkoœciami k¹towymi dwóch cz³onów tworz¹cych parê postêpow¹

ω 4 = ω 3 + ω 43

.

W parze postêpowej ω43 = 0, czyli

ω4 = ω3 . Prêdkoœæ k¹tow¹ cz³onu 3 wyznaczono z prêdkoœci vCB ruchu obrotowego punktu C wokó³ B

v CB CB Zwrot tej prêdkoœci jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

ω3 =

Zadanie 08 Dany jest mechanizm wytrz¹sacza narysowany w podzia³ce κi = li /(li). D³ugoœæ cz³onu lAB = 0,1 m. Okreœliæ chwilow¹ prêdkoœæ vK punktu K oraz chwilow¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ω36 ruchu wzglêdnego cz³onu 3 wzglêdem podstawy 6 przy za³o¿eniu, ¿e ω1 = 5 rad/s. Rozwi¹zanie Zadanie rozwi¹¿emy graficznie metod¹ planu prêdkoœci. Analizowany uk³ad wytrz¹sacza stanowi mechanizm III klasy. Mo¿na wiêc go rozwi¹zaæ, stosuj¹c odpowiedni¹ metodê planu prêdkoœci. W tym przypadku mo¿na te¿ proœciej rozwi¹zaæ zagadnienie z wykorzystaniem chwilowego œrodka obrotu. Obliczamy prêdkoœæ punktu B cz³onu AB (rys. 08.1) vB = (vAB)κv = lABω1 = 0,5 ms–1. Punkt B jest jednoczeœnie punktem cz³onu BC. Miêdzy prêdkoœciami punktów B i C tego cz³onu zachodzi relacja

vC = v B + vCB . Wektor vB jest okreœlony co do modu³u, kierunku i zwrotu, vCB – tylko co do kierunku. Kierunek szukanego wektora vC znajdziemy wykorzystuj¹c chwilowy œrodek obrotu S36 cz³onu 3 wzglêdem podstawy 6 (rys. 08.2). Obieramy podzia³kê prêdkoœci κv = vi /(vi) i z dowolnie obranego bieguna prêdkoœci πv odk³adamy (vB) = πv b = vB /κv . Prowadz¹c przez b prost¹ prostopad³¹ do BC oraz przez πv kierunek prostopad³y do

18

Rys. 08.1

S36C znajdziemy na przeciêciu punkt c i tym samym (vC ) i (vCB). Aby znaleŸæ prêdkoœæ punktów D i F, wykorzystujemy odpowiednie zale¿noœci wektorowe:

v D = v C + v DC oraz v F = v C + v FC . Opieraj¹c siê na tak znalezionych punktach c oraz f na planie prêdkoœci, znajdziemy prêdkoœæ dowolnego punktu cz³onu kieruj¹c siê zasad¹ podobieñstwa, która dla naszego

Rys. 08.2

19 przypadku oznacza, ¿e figura cdfk jest podobna do figury CDFK i obrócona o k¹t π/2 rad. Szukane wielkoœci wynosz¹: vK = (vK)κv = 1,03 m/s,

ω 36 =

( vC )κ v ( v D )κ v (v )κ (v )κ = = F v = DC v = 0,685 rad s . (CS36 ) ( DS36 )κ l ( SF )κ l ( DC)κ l

Zadanie 09 Okreœliæ przyspieszenie k¹towe ε4 cz³onu 4 w mechanizmie przedstawionym na rys. 09.1, je¿eli: AD = 1,4 m; AC = 0,8 m; CB = 0,8 m; vw = 0,1 m/s. Rozwi¹zanie Zadanie zostanie rozwi¹zane metod¹ równañ wektorowych. W uk³adzie tym si³ownik zostanie zast¹piony uk³adem zastêpczym (rys.09.2), w którym prêdkoœæ vw zmiany d³ugoœci si³ownika reprezentowana jest prêdkoœci¹ wzglêdn¹ vBA. Prêdkoœæ punktu B okreœlono (vA = 0) z zale¿noœci:

v B = v A + v BA ⇒ v B = v BA = v w . Znaj¹c vB mo¿emy wyznaczyæ vC:

v C = v B + v CB . Rozwi¹zanie tego równania, przedstawione na rys. 09.2, pozwala okreœliæ prêdkoœci k¹towe cz³onów 3 i 4:

ω3 =

v CB ; CB

ω4 =

Rys. 09.1

vC . CD

20 Zwrot prêdkoœci k¹towej ω3 jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, a zwrot ω4 jest przeciwny do ω3 (jak to wykazaæ?). Po okreœleniu prêdkoœci k¹towych cz³onów i prêdkoœci liniowych punktów B i C mo¿na przyst¹piæ do wyznaczenia przyspieszenia ε4. Modu³ tego przyspieszenia mo¿na okreœliæ z zale¿noœci: t a CD , CD co oznacza koniecznoœæ wyznaczenia przyspieszenia punktu C, a wczeœniej, analogicznie jak dla prêdkoœci, przyspieszenia punktu B:

ε4 =

t c a B = a A + a BA + a nAB + a BA ,

gdzie aA = 0,

Rys. 09.2

21

a tBA =

dv BA = 0, bo v BA = v w = const, dt n a BA

2 v BA = = 0, ρ=∞

c a BA = 2ω 3 × v BA ,

po podstawieniu otrzymano c . a B = a BA

c jest prostopad³y do v Wektor aBA BA , a jego zwrot (rys.09.2) otrzymano przez obrót wektora v BA o 90° zgodnie z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω3. t Szukane przyœpieszenie aC wystêpuje w relacji n t aCn + aCt = a B + aCB + aCB .

Modu³y przyspieszeñ normalnych wyliczono z zale¿noœci

v C2 v2 n , aCB = CB . CD CB Powy¿sze równanie wektorowe rozwi¹zano graficznie na rys.09.2 uzyskuj¹c poszukiwane przyspieszenie aCt ; co pozwoli³o okreœliæ ε4 z zale¿noœci aCn =

ε4 =

aCt , CD

zwrot tego przyspieszenia jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Zadanie 010 Wykreœliæ plan przyspieszeñ mechanizmu zadanego na rys. 010 w podzia³ce κl. D³ugoœæ cz³onu AB wynosi 0,05 m, a jego prêdkoœæ k¹towa ω1 = 10 rad/s. Rozwi¹zanie Jest to mechanizm III klasy, bowiem po wydzieleniu podstawy 6 i cz³onu czynnego 1 pozostaje tylko grupa III klasy z³o¿ona z cz³onów 2, 3, 4 i 5. Okreœlenie przyspieszeñ poprzedzimy analiz¹ prêdkoœci: vB = ω1 lAB= 10·0,05 = 0,5 m/s. Zak³adamy podzia³kê prêdkoœci κv = vi /(vi) i z bieguna πv odk³adamy odcinek (rys.010):

22

π vb =

vB . κv

Wyra¿amy vC równaniami:

vC = v B + vCB , vC = v D + vCD . Do rozwi¹zania graficznego tych równañ jest potrzebny kierunek vC, który mo¿na znaleŸæ wykorzystuj¹c chwilowy œrodek obrotu cz³onu 3 wzglêdem 6. Rozwi¹¿emy to zadanie bez wyznaczania œrodka obrotu za pomoc¹ punktu pomocniczego (Assura). Jest to metoda umo¿liwiaj¹ca rozwi¹zywanie mechanizmów III klasy. Obieramy punkt P nale¿¹cy do cz³onu 3 na przeciêciu kierunków prostopad³ych do prêdkoœci wzglêdnych vBC i vED. Dla punktu tego napiszemy:

Rys. 010

23

v P = vC + v PC = v B + vCB + v PC , v P = v D + v PD = v E + v DE + v PD , Zauwa¿amy, ¿e w pierwszym z tych równañ prêdkoœci wzglêdne vCB i vPC maj¹ ten sam kierunek. To samo mo¿na powiedzieæ o wektorach vDE i vPD z drugiego równania (tak w³aœnie celowo zosta³ obrany punkt P). Wykorzystuj¹c to mo¿na okreœliæ prêdkoœæ punktu P. Na podstawie pierwszego równania z koñca b wektora vB prowadzimy wspólny kierunek prêdkoœci vCB i vPC, a na podstawie równania drugiego (przy vE = 0) z bieguna prowadzimy kierunek prêdkoœci wzglêdnych vDE i vPD. Na przeciêciu otrzymujemy punkt p jako koniec wektora vP. Gdy znamy prêdkoœæ punktu P, znajdziemy bez trudu prêdkoœæ punktu F na podstawie relacji

v F = v P + v FP , a nastêpnie, np. na zasadzie podobieñstwa, równie¿ prêdkoœci pozosta³ych punktów D i C. Podczas wykreœlania planu przyspieszeñ pos³u¿ymy siê analogiczn¹ metod¹. Dla obranego punktu P (rys.010) mo¿na u³o¿yæ równania:

a P = aC + a nPC + a tPC , n a P = a D + a PD + a tPD .

Po uwzglêdnieniu n t aC = a B + aCB + aCB

oraz n t a D = a E + a DE + a DE ,

otrzymamy n t a P = a B + a CB + a nPC + a CB + a tPC ,

n t a P = a E + a DE + a nPD + a DE + a tPD .

24 Wektory podkreœlone w tym uk³adzie równañ 3 kreskami mo¿na okreœliæ bezpoœrednio na podstawie znanych prêdkoœci, przyspieszenia styczne zaœ s¹ znane co do kierunków (wykorzystanie punktu Assura P). W tej sytuacji mo¿na znaleŸæ wykreœlnie aP. Obieramy podzia³kê przyspieszeñ κa = ai /(ai) i ustalamy modu³y przyspieszeñ sk³adowych podkreœlonych trzema kreskami:

(a B ) =

l ABω 12 κa

n ( aCB )=

2 v CB (v ) 2 ⋅ κ 2v , = CB lCB ⋅ κ a lCB ⋅ κ a

n ( a PC )=

2 v PC (v ) 2 ⋅ κ 2v , = PC lPC ⋅ κ a l PC ⋅ κ a

a E = 0, n ( a DE )=

2 v DE (v ) 2 ⋅ κ 2v = DE , lDE ⋅ κ a lDE ⋅ κ a

n ( a PD )=

2 ( v ) 2 ⋅ κ v2 v PD . = PD l PD ⋅ κ a l PD ⋅ κ a

Tak wyliczone modu³y przyspieszeñ oraz znane ich kierunki i zwroty, jak równie¿ kierunki przyspieszeñ stycznych, pozwol¹ znaleŸæ przyspieszenie punktu P (plan przyspieszeñ – rys.010). Teraz mo¿na ju¿ okreœliæ przyspieszenie, np. punktu F, bowiem: n t a F = a P + a FP + a FP ,

gdzie n ( aFP )=

2 v FP (v FP ) 2 ⋅ κ 2v . = lFP ⋅ κ a (lFP ) ⋅ κ l ⋅ κ a

Gdy znamy przyspieszenie punktów P i F, okreœlimy przyspieszenie pozosta³ych punktów, wykorzystuj¹c np. metodê podobieñstwa.

25

Zadanie 011 Okreœliæ prêdkoœæ i przyspieszenie punktu F, je¿eli: lAC = 5 m, lAB = 4 m, lCD = 10 m, lDE = 10 m, lEF = 7 m, lDF = 9 m, ω = 10 rad/s, α = π/4 rad. Rozwi¹zanie W sk³ad mechanizmu wchodz¹ grupy I oraz II klasy. Jest to wiêc mechanizm II klasy. Prêdkoœæ i przyspieszenie punktu F znajdziemy za pomoc¹ planów prêdkoœci i przyspieszeñ. 1. Okreœlenie prêdkoœci punktu F Prêdkoœæ punktu B vB = ω lAB = 10 · 4 = 40 m/s. Zak³adamy podzia³kê prêdkoœci κv i z bieguna πv (rys.011) odk³adamy odcinek

π v b = (v B ) =

vB . κv

Piszemy równanie wektorowe okreœlaj¹ce vG:

v G = v B + v GB . W równaniu tym znamy modu³, kierunek i zwrot wektora prêdkoœci vB (trzy podkreœlenia) oraz kierunki wektorów vG i vGB (jedno podkreœlenie). Równanie to mo¿na wiêc rozwi¹zaæ graficznie. Nastêpnie korzystaj¹c z proporcji

(v D )κ v (vG )κ v = lCD lCG okreœlamy

(v D ) = (vG )

lCD lCG

oraz vD = (vD) κv = 35 m/s. Podobnie mo¿na napisaæ równanie wektorowe okreœlaj¹ce prêdkoœæ punktu E:

v E = v D + v ED . W równaniu tym znamy modu³ i zwrot wektora prêdkoœci punktu D oraz kierunki wektorów vE i vED. Równanie mo¿na rozwi¹zaæ graficznie. Prêdkoœæ punktu F okreœli-

26

Rys. 011

my z uk³adu równañ (naturalnie nie jest to jedyny mo¿liwy sposób okreœlenia prêdkoœci punktu F): v F = v D + v FD ,

v F = v E + v FE . W uk³adzie równañ znamy modu³, kierunek i zwrot wektorów prêdkoœci punktów D i E oraz kierunki wektorów prêdkoœci wzglêdnych vFD i vFE. Punkt przeciêcia prêdkoœci wzglêdnych po³¹czony z biegunem πv daje szukany wektor prêdkoœci (vF). Ostatecznie otrzymamy: vF = (vF) κv = 27 m/s. 2. Okreœlenie przyspieszenia punktu F Plan przyspieszeñ okreœlamy analogiczn¹ metod¹ jak prêdkoœæ. Przyspieszenie punktu B

a B = a Bn + a Bt ,

27 gdzie a Bt = ε ⋅ l AB = 0 , poniewa¿ przy za³o¿eniu ω = const, ε = 0. aBn = ω2 · lAB = 102 · 4 = 400 m/s2. Zak³adamy podzia³kê przyspieszeñ κa i z bieguna πa (rys.11) odk³adamy odcinek

π a b = ( a Bn ) =

a Bn κa

.

Dla punktu G mo¿na u³o¿yæ równanie

aG = a B + aGB lub n t c aGn + aGt = a B + aGB + aGB + aGB .

Wektory podkreœlone w tym równaniu trzema kreskami s¹ znane i mo¿na je okreœliæ bezpoœrednio z nastêpuj¹cych zale¿noœci:

( aGn ) =

n ( aGB )=

c ( aGB )=2

v G2 , lGC ⋅ κ a

2 vGB = 0, bo ρ = ∞, ρ ⋅κ a

vGB ⋅ ω u (v )(v )κ 2 = 2 GB D v . lCD ⋅ κ a κa

Przyspieszenie Coriolisa jest prostopad³e do kierunku prêdkoœci wzglêdnej vGB, a zwrot jest zgodny z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ωu = vD/lCD. Przyspieszenie punktu D okreœlamy z zale¿noœci:

a D = a Dn + a Dt , gdzie

( a Dn ) =

v D2 ( v ) 2 ⋅ κ v2 , = D lCD ⋅ κ a lCD ⋅ κ a

(a Dt ) = ε ⋅ lCD =

( aGt ) l . lCG CD

28 Przyspieszenie punktu E okreœlamy z równania n t a E = a D + a ED + a ED ,

gdzie n ( a ED )=

(v ED ) 2 ⋅ κ 2v . l ED ⋅ κ a

Przyspieszenie punktu F okreœlimy z uk³adu równañ: n t , a F = a E + a FE + a FE n t . a F = a D + a FD + a FD n n W tym celu okreœlamy przyspieszenie normalne a FE i a FD

n ( a FE )=

(v FE ) 2 ⋅ κ 2v , lFE ⋅ κ a

n ( a FD )=

(v FD ) 2 ⋅ κ 2v . l FD ⋅ κ a

t t i a FD , po³¹czony z biegunem πa , Punkt przeciêcia kierunków przyspieszeñ a FE

daje szukane przyspieszenie punktu F: aF = (aF) κa = 365 m/s2.

Zadanie 012 Wykreœliæ przebieg prêdkoœci i przyspieszeñ punktu M ³¹cznika BMC podanego mechanizmu (rys. 012.1) dla pe³nego cyklu ruchu, je¿eli: lAB = 0,2 m, lAC = 0,5 m, lBM = 0,3 m, α = π/3 rad, ω = 8π rad/s. Rozwi¹zanie Zadanie to rozwi¹¿emy metod¹ wykresów czasowych, stosowan¹ zwykle w przypadkach bardziej z³o¿onych mechanizmów, gdy inne metody s¹ zbyt pracoch³onne. Wykreœlamy mechanizm w podzia³ce κl oraz tor ocechowany punktu M metod¹ geometryczn¹ lub wzornikow¹ (rys. 012.2). Liczymy okres (czas pe³nego cyklu):

T=

2π 2π 1 = = s. ω 8π 4

29

Rys. 12.1

Przy podziale drogi k¹towej cz³onu napêdzaj¹cego AB na 8 równych czêœci, drogê punktu M podzielono na odcinki przebyte w czasie

T 1 = s. 8 32 Wprowadzamy dowolny uk³ad odniesienia (tu prostok¹tny uk³ad xAy) i budujemy wykresy (Sx) = fx(t) i (Sy) = fy(t) przy za³o¿eniu odpowiedniej podzia³ki czasu κt. Zak³adaj¹c, ¿e przedzia³owi ∆t = 1/32 s na rysunku bêdzie odpowiada³ odcinek (∆t), otrzymamy

∆t =

κt =

∆t . (∆t )

Po zró¿niczkowaniu graficznym (operacjê ró¿niczkowania pokazano dla punktu 2) otrzymano wykresy (vx ) = fx′(t) i (vy) = fy′(t) oraz (ax) = fx′′(t) i (ay) = fy′′(t). Liczymy podzia³ki wykresów:

κv = κa =

κ1 , κ t ⋅ ev

κ t2

κ1 . ⋅ ev ⋅ ea

Nastêpnie wyznaczamy prêdkoœæ i przyspieszenie punktu M, przyk³adowo w po³o¿eniu 2 bêdzie

(v 2 ) = ( v 2 x ) + (v 2 y ) i (a 2 ) = (a 2 x ) + (a 2 y ) ,

30

Rys. 012.2

31 a wartoœci rzeczywiste wynios¹ v2 = (v2)·κv = 5,1 m/s i a2 = (a2)·κa = 77 m/s2. Powtarzaj¹c takie operacje dodawania wektorowego sk³adowych prêdkoœci i przyspieszeñ dla kolejnych po³o¿eñ punktu M i odk³adaj¹c otrzymane wektory z jednego punktu (bieguna), otrzymamy biegunowe wykresy prêdkoœci i przyspieszeñ dla pe³nego cyklu ruchu, zwane hodografami.

Zadanie 013 Ruch czworoboku ABCD (rys. 013) jest wymuszany zmian¹ d³ugoœci si³ownika MN wyd³u¿aj¹cego siê ze sta³¹ prêdkoœci¹ vw. Okreœliæ prêdkoœæ i przyspieszenie punktu ³¹cznikowego M. Przyj¹æ vw = 0,1 m/s; wymiar mechanizmu okreœla rysunek narysowany w podzia³ce κl = 10. Rozwi¹zanie Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e punkty M i N mocowania si³ownika s¹ ruchome, w zwi¹zku z czym bezpoœrednie wykorzystanie równañ wektorowych prêdkoœci i przyspieszeñ nie jest mo¿liwe. Spoœród kilku mo¿liwych metod rozwi¹zania wybrano metodê toru ocechowanego. Wymaga ona narysowania uk³adu w trzech kolejnych po³o¿eniach, charakteryzuj¹cych siê tym, ¿e czasy ∆t przejœcia mechanizmu miêdzy tymi po³o¿eniami s¹ sobie równe. Wtedy mo¿liwe jest okreœlanie prêdkoœci i przyspieszeñ punktów w po³o¿eniu poœrednim. W rozpatrywanym uk³adzie, w którym interesujemy siê ruchem punktu M, oznacza to koniecznoœæ wykreœlenia (oprócz nominalnego) dwóch dodatkowych po³o¿eñ: 1. Dla M1N1 = MN – vw∆t (punkt M zajmie wtedy po³o¿enie M1). 2. Dla M2N2 = MN + vw∆t (punkt M zajmie wtedy po³o¿enie M2). Czytelnik zechce siê zastanowiæ nad metod¹ konstrukcyjnego wyznaczenia tych po³o¿eñ. Podpowiadamy tylko, ¿e zadanie siê upraszcza, jeœli za cz³on odniesienia (podstawê) przyj¹æ jeden z wahaczy ABM lub CDN. Na rysunku 013 pokazano mechanizm w wymaganych po³o¿eniach i wykreœlono fragment toru punktu M, który zosta³ powiêkszony. Prêdkoœæ punktu M wed³ug metody toru ocechowanego okreœla zale¿noœæ:

vM =

a +b c , = 2 ∆ t 2∆ t

a po uwzglêdnieniu podzia³ki

(c)κ l . 2 ∆t Natomiast wektor przyspieszenia jest reprezentowany przez wektor d, przy czym jego wartoœæ okreœla zale¿noœæ vM =

32

Rys. 013

aM =

v MM 2 − v M 1 M d = 2, 2 ∆t ∆t

a po uwzglêdnieniu podzia³ki

aM =

( d )κ l . ∆t 2

Po wstawieniu odpowiednich wartoœci vw = 0,1 m/s, ∆ t = 0,04 s, κl =10, (c) = 0,017 m, (d) = 0,003 m, otrzymano vM = 2,1 m/s, aM = 0,07 m/s2.

33

Zadanie 014 Dla manipulatora p³askiego (rys. 014) nale¿y: 1. Wyprowadziæ macierz transformacji 0)3, opisuj¹cej ruch chwytaka 3 w uk³adzie x0,y0. 2. ZnaleŸæ wyra¿enia okreœlaj¹ce sk³adowe prêdkoœci punktu M wzglêdem podstawy. 3. Dla znanych wartoœci qi, dqi /dt wyznaczyæ analitycznie i graficznie prêdkoœæ punktu M. Rozwi¹zanie Ad. 1. Macierz 0A3 wystêpuje w relacji 0r

M

= 0A3 3rM = 0A1 1A2 2A3 3rM

gdzie i–1Ai maj¹ postaæ

cosϕ i  i–1A =  sin ϕ i i  0

− sin ϕ i cosϕ i 0

ui   vi  , 1 

i opisuj¹ w istocie transformacjê uk³adu wspó³rzêdnych xiyi w xi–1 yi–1. Poszczególne zmienne oznaczaj¹: ui, vi – wspó³rzêdne pocz¹tku uk³adu xi yi w xi–1 yi–1,

ϕ i – k¹t obrotu osi xi w stosunku do osi xi–1.

W rozpatrywanym przypadku jest wiêc (oznaczenia zgodne z rys. 014):

cos q1  0A =  sin qi1 1  0

− sin q1i cos q1i 0

0  0 , 1

cos q 2  1 A =  sin q 2 2  0

− sin q 2 cos q2 0

a  0 , 1

1 0 q 3   b  2A =  0 1 . 3 0 0 1  Po wymno¿eniu macierzy otrzyma siê:

34

Rys. 014

35

cos q1  0A =  sin q1 3  0

− sin q1 cos q1 0

0 0 1

cos q 2  sin q 2   0

− sin q 2 cos q2 0

q3 cos q2 − b sin q 2 + a  q3 sin q 2 + b cos q 2  =  1

cos( q1 + q 2 ) − sin( q1 + q 2 ) q3 cos( q1 + q2 ) − b sin( q1 + q 2 ) + a cos q1   sin( q + q ) cos( q + q ) q sin( q + q ) + b cos( q + q ) + a sin q  1 2 1 2 3 1 2 1 2 1. =   0 0 1 Ad. 2. Wspó³rzêdne punktu M w uk³adzie x0y0 wyznaczone z równania

xM  y   M  = 0A3  1 

0  − c    1 

wynosz¹:

xM = c sin(q1 + q2 ) + q3 cos(q1 + q2 ) − b sin(q1 + q2 ) + a cos q1 yM = −c cos( q1 + q 2 ) + q 3 sin( q1 + q 2 ) + b cos( q1 + q 2 ) + a sin q1 .

Po upochodnieniu po czasie otrzyma siê wyra¿enia okreœlaj¹ce prêdkoœci punktu M (w uk³adzie x0y0):

vMx = x M = c( q1 + q 2 ) cos(q1 + q2 ) + q 3 cos( q1 + q 2 ) − q3 ( q1 + q 2 )sin( q1 + q 2 ) − b( q1 + q 2 ) cos( q1 + q 2 ) − aq1 sin q1 , vM y = y M = c (q1 + q 2 ) sin( q1 + q 2 ) + q 3 sin( q1 + q 2 ) + q3 ( q1 + q 2 ) cos( q1 + q 2 ) − b( q1 + q 2 ) sin( q1 + q 2 ) + aq1 cos q1 . Ad. 3. Przyjêto nastêpuj¹ce dane: a = 0,47 m, b = 0,14 m, c = 0,19 m, q1 =150[deg], q2 = 240 deg[deg], q3 = 0,67[m],

[ ]

[ ]

[

]

q1 = 1 s −1 , q 2 = 0,5 s −1 , q 3 = 0,257 ms −1 . Wtedy na podstawie wyprowadzonych zale¿noœci otrzyma siê:

36

xM = 0, 20 m  0  → rM = 0,56 m, y M = 0,53 m  vMx = – 0,456 m/s, vMy = 0,623 m/s, vM =

(v Mx )2 + (v My )

2

= 0,77 m/s.

Rozwi¹zanie graficzne jest oparte na nastêpuj¹cych zale¿noœciach:

v B = q1 a, v C = v B + v CB , v CB = ( q1 + q 2 ) BC, v D = v C + v DC , v DC = q 3 , v M = v C + v MC , v MC = ( q1 + q 2 ) c. Podzia³ki wynosz¹:

κl = 10 , κv = 15,7 1/s. Wartoœci uzyskane z planu prêdkoœci to: vMx = – 0,44 m/s , vMy = 0,61 m/s.

Zadanie 015 Okreœliæ przyspieszenie punktu F popychacza, w po³o¿eniu jak na rys. 015.1, je¿eli: l1 = 0,12 m, l2 = 0,02 m, ϕ = 5π/6 rad, lAB = 0,04 m, lBC = 0,077 m, l3 = 0,08 m, R = 0,06 m, l4 = 0,01 m, rk = 0,02 m, ω = 10 rad/s. Rozwi¹zanie 1. Okreœlenie przyspieszenia punktu F w po³o¿eniu jak na rys. 015.1 Zadanie rozwi¹¿emy za pomoc¹ mechanizmu zastêpczego, który pokazano na rys.015.2 w podzia³ce κl. Wyznaczenie przyspieszeñ poprzedzimy niezbêdn¹ analiz¹ prêdkoœci: vB = ω lAB = 10 · 0,04 = 0,4 m/s. Zak³adamy podzia³kê prêdkoœci κv i z bieguna πv odk³adamy odcinek πvb = vB/κv (rys.015.2). Piszemy równanie wektorowe

37

Rys. 015.1

Rys. 015.2

38

vC = v B + vCB oraz

v D = vC + v DC i wykreœlamy plan prêdkoœci. Podczas wykreœlania planu przyspieszeñ pos³u¿ymy siê analogiczn¹ metod¹ aB = ω2 lAB = 102 · 0,04 = 4 m/s2. Obieramy podzia³kê przyspieszeñ κa i z bieguna πa odk³adamy odcinek πa b = aB /κa. Dla punktu C mo¿na napisaæ n t a C = a C + aCB + aCB ,

gdzie n aCB =

2 vCB . lCB

Równanie to rozwi¹¿emy graficznie. Analogicznie dla punktu D mo¿na napisaæ n t a D = aC + a DC + a DC

,

gdzie n a DC =

2 V DC . lDC

Przyspieszenie punktu F równe jest przyspieszeniu punktu D aF = aD = (aD) κa = 3,5 m/s2.

Zadanie 016 Dla przedstawionej na schemacie przek³adni (rys. 016.1) okreœliæ obroty ko³a 7 dla danych: nJ = 100 obr/min, z1 = 60, z2 = 20, z2′ = 60, z3 = 20, z5 = 18, z6 = 18, z7 = 36. Rozwi¹zanie Zauwa¿my, ¿e z³o¿on¹ przek³adniê mo¿na podzieliæ na dwie przek³adnie A oraz B i analizowaæ je oddzielnie. Dla przek³adni B, metod¹ Willisa, zapiszemy:

n3 − n J z z' = 1 ( +1) 2 ( +1), n1 − n J z2 z3

39

Rys. 016.1

gdy n1 = 0, otrzymamy

 z z'   60 ⋅ 60  n3 = nJ 1 − 1 2  = 1001 −  = −800 obr min . z 2 z3   20 ⋅ 20   Dla przek³adni A jest

n7 − n J 3 n5 − n J 3

=

z5 z ( −1) 6 ( +1), z6 z37

gdy n5 = 0 i nJ3 = n3, otrzymamy

 z   18  n7 = nJ 3 1 + 5  = −8001 +  = –1200 obr/min.  36   z7  To samo zadanie rozwi¹¿emy metodami graficznymi. Rozpoczynamy, jak poprzednio, od czêœci B i rysujemy przek³adniê w dowolnej podzia³ce κl w drugim rzucie (rys. 016.2), oznaczamy punkty obrotu i zazêbienia przez O, A, B i C. Wychodz¹c z danej prêdkoœci k¹towej jarzma J rysujemy w dowolnej podzia³ce κv znan¹ prêdkoœæ (vA) = Aa i kreœlimy lJ (miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoœci punktów le¿¹cych na linii OA). Poniewa¿ punkt A nale¿y równie¿ do ko³a 2, którego chwilowy œrodek obrotu le¿y w punkcie B, kreœlimy analogiczn¹ liniê l2, która obrazuje rozk³ad prêdkoœci liniowych punktów le¿¹cych na pionowej œrednicy ko³a 2, co pozwala okreœliæ prêdkoœæ punktu C – (vC) = Cc. Punkt C nale¿y jednoczeœnie do ko³a 3, wiêc ³¹cz¹c c z O otrzymamy liniê l3. Oczywiœcie szukane

40

Rys. 016.2

ω3 =

(Cc) κ v (OC) κ 1 .

Linie li umo¿liwiaj¹ równie¿ sporz¹dzenie wykresu Kutzbacha, z którego mo¿na odczytaæ wprost prze³o¿enie i szukane obroty. Z dowolnego punktu P (rys. 16.3) kreœlimy linie li′ równoleg³e do li. W dowolnej odleg³oœci h prowadzimy prost¹ s⊥ OA, która na przeciêciu z liniami li′ wyznacza odcinki okreœlaj¹ce obroty odpowiednich cz³onów (dlaczego?). Aby przek³adniê A rozwi¹zaæ metod¹ graficzn¹ Bayera, rysujemy j¹ w dowolnej podzia³ce (rys. 016.4) i wykreœlamy kierunki wektorów prêdkoœci wzglêdnych ω6, ω6J i ω65. 3 Skorzystamy z zale¿noœci

ω 6 = ω J3 + ω 6J . 3

Równanie to pozwala wykreœliæ plan prêdkoœci k¹towych (rys.016.4) i znaleŸæ ω6 i ω6J . 3

Rys. 016.3

41

Rys. 016.4

Teraz zapiszemy kolejn¹ zale¿noœæ

ω 7 = ω 6 + ω 76 i znajdziemy ω 7. Oczywiœcie ω 7 = (ω 7)κω , gdzie κω oznacza podzia³kê, w jakiej wykreœlono znan¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ωJ . 3

Zadanie 017 Okreœliæ si³ê bezw³adnoœci cz³onu p³askiego (rys. 017.1), je¿eli: lAB = 1 m, lAS = 0,5 m, ϕ = π/6 rad, aA = 20 m/s2, IS = 2 kg·m2, mS = 10 kg. Rozwi¹zanie 1. Jak wiadomo, wypadkow¹ si³ bezw³adnoœci mo¿na okreœliæ z zale¿noœci

Pb = − m ⋅ aS , Aby znaleŸæ przyspieszenie aS,, rysujemy w podzia³ce κa plan przyspieszeñ (rys. 017.2). W tym celu z dowolnego bieguna πa odk³adamy (aA) = πa a oraz (aB) = πa b i korzystaj¹c z podobieñstwa figury ABS na cz³onie z figur¹ abs na planie przyspieszeñ znajdujemy punkt s, a tym samym przyspieszenie punktu S. Mamy wtedy modu³, kierunek i zwrot si³y bezw³adnoœci Pb. Jej liniê dzia³ania okreœlimy zastêpuj¹c ogólny ruch p³aski cz³onu ABS ruchem postêpowym, z przyspieszeniem aA punktu A i ruchem obrotowym, scharakteryzowanym przyspieszeniem aSA. Wtedy si³ê bezw³adnoœci Pb mo¿na wyraziæ jako sumê si³y od ruchu postêpowego Pp przy³o¿onej w œrodku ciê¿koœci S i si³y P0 ruchu obrotowego przy³o¿onej w punkcie wahañ W, czyli:

Pb = Pp + P0 .

42

P0 .

Z tego wynika, ¿e wypadkowa Pb przechodzi przez punkt K przeciêcia kierunków Pb i

Aby znaleŸæ punkt K, okreœlimy wczeœniej po³o¿enie punktu W na przed³u¿eniu AS w odleg³oœci:

e = SW =

i S2 IS = = 0,4 m l AS m ⋅ l AS

Rys. 017.1

Rys. 017.2

43 i przez tak okreœlony punkt wahnieñ W prowadzimy liniê równoleg³¹ do aSA. Z kolei przez punkt S prowadzimy prost¹ o kierunku aA, która na przeciêciu z lini¹ poprzednio znalezion¹ wyznacza szukany punkt K. Linia równoleg³a do aS, przechodz¹ca przez punkt K, jest lini¹ dzia³ania si³y Pb = m (as) κa = 80 N. Odleg³oœæ linii dzia³ania tej si³y od œrodka ciê¿koœci: h = (h) κl = 0,8 m. 2. Okreœlenie si³y bezw³adnoœci cz³onu AB za pomoc¹ rozk³adu mas W metodzie tej zastêpujemy cz³on AB modelem mas skupionych. Jak wiadomo, model taki, aby spe³niæ warunki dynamicznego rozk³adu mas, musi byæ minimum dwumasowy. W naszym przypadku za³o¿ymy model trzymasowy z masami skupionymi w punktach A, B i C (rys. 017.3). Moment ten okreœla 9 parametrów: mA, xA, yA, mB, xB, yB, mC, xC, yC – piêæ z nich mo¿na za³o¿yæ. Niech bêd¹ to wspó³rzêdne punktów A i B oraz jedna wspó³rzêdna, np. y trzeciego punktu C w przyjêtym uk³adzie wspó³rzêdnych xSy. Mamy wiêc xA = – 0,5 m, yA = 0. xB = – 0,336 m, yB = 0,5 m, yC = 0,2 m. Pozosta³e parametry xC , mA, mB i mC wyliczamy z uk³adu równañ, stanowi¹cego warunki dynamicznego rozk³adu: mA + mB + mC = m,

Rys. 017.3

44 xAmA + xBmB + xCmC = 0, yAmA + yBmB + yCmC = 0, (xA + yA)2mA + (xB + yB)2mB + (xC + yC)2mC = IS. Po podstawieniu danych za³o¿onych uk³ad przyjmie postaæ: mA + mB + mC =10, –0,5mA + 0,366mB + xCmC = 0, 0,5mB + 0,2mC = 0, 0,25mA + 0,384mB + x2CmC + 0,04mC = 2,. Po rozwi¹zaniu otrzymujemy:

m A = 3,45 kg, mB = 1,87 kg, mC = 4,68 kg, x C = 0,222 m . Teraz mo¿na nanieœæ na rys. 017.3 po³o¿enie punktu C i okreœliæ jego przyspieszenie aC . Na ka¿d¹ skupion¹ w punktach A, B i C masê dzia³aj¹ si³y bezw³adnoœci

PA = m A ⋅ a A = 69 N , PB = mB ⋅ a B = 46,7 N, PC = mC ⋅ aC = 22,2 N . Oczywiœcie ca³kowita si³a bezw³adnoœci Pb jest sum¹ wektorow¹ si³ PA, PB i PC

P b = P A + P B + PC . Sumowania dokonano na planie si³, a liniê dzia³ania uzyskano za pomoc¹ wieloboku sznurowego (rys. 017.3). Ostatecznie: P b = ( P b ) κ P = 80 N , h = 0,8 m.

Zadanie 018 Okreœliæ moment M1 równowa¿¹cy si³ê P = 100 N oraz si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych, je¿eli: lAD = 2 m, lAB = 1 m, lCD = 2 m, lBF = lFC = lDE = 0,5 m, lGS = lES . Rozwi¹zanie Je¿eli to mo¿liwe, zadanie tego typu najdogodniej rozwi¹zaæ metod¹ wydzielania cz³onów i rozpatrywania ich w równowadze. Korzystaj¹c z tej uwagi podejmujemy tak¹ próbê i po narysowaniu uk³adu w podzia³ce κl (rys. 018.1) zaczynamy od cz³onu 5, który jest obci¹¿ony znan¹ si³¹ P. £¹cznie na cz³on 5 (rys. 018.2) dzia³aj¹ 3 si³y zewnêtrzne, których wypadkowa jest równa zeru

P + P 35 + P 45 = 0.

(18.1)

45

Rys. 018.1

Równanie to w tej postaci nie daje siê rozwi¹zaæ, gdy¿ o si³ach P35 i P45 jak dot¹d, poza punktami ich przy³o¿enia, nic nie wiadomo. Jednak z analizy cz³onu 4 w równowadze wynika, ¿e

P24 + P54 = 0 .

(18.2)

co oznacza, ¿e kierunek P54 pokrywa siê z kierunkiem P24. Poniewa¿ jednak jednoczeœnie

P54 + P 45 = 0,

(18.3)

wiêc kierunek P45 jest okreœlony – prostopad³y do cz³onu 2. Teraz mo¿na powróciæ do rozpatrzenia równowagi cz³onu 5 i napisaæ

P + P 35 + P45 = 0.

Rys. 018.2

(18.4)

46 Ta postaæ równania sugeruje mo¿liwoœæ okreœlenia kierunku si³y P35 (rys. 18.2) (kierunki trzech si³ w równowadze zawsze przecinaj¹ siê w jednym punkcie), a tym samym graficznego rozwi¹zania równania (18.4). Po uwzglêdnieniu podzia³ki planu si³ odczytamy: P35 = (P35) κp = 48 N, P45 = (P45) κp = 110 N. Z równañ (18.2) i (18.3) otrzymamy równie¿:

P42 = 110 N . W dalszych rozwa¿aniach odrzucimy z uk³adu cz³ony 4 oraz 5 i zast¹pimy je si³ami oddzia³ywania (rys. 018.3). Analogiczne próby rozpatrzenia poszczególnych cz³onów w równowadze nie daj¹ wyników pozytywnych. Zmusza to nas do rozpatrzenia grupy cz³onów statycznie wyznaczalnych – w tym uk³adzie wydzielamy dwucz³on 2–3. Dla tej grupy, po zast¹pieniu nieznanych si³ P63 i P12 sk³adowymi normalnymi i stycznymi, dla oznaczeñ jak na rys. 018.3 mo¿na u³o¿yæ równania momentów wzglêdem punktu C:

− P12t ⋅ lBC + P42 ⋅ h2 = 0 , + P63t ⋅ l DC − P53 ⋅ h3 = 0 ,

Rys. 018.3

47 sk¹d:

P12t = P42 P63t = P53

h1 = 55 N , l BC

h3 = 35,5 N . l DC

Aby znaleŸæ znane co do kierunku sk³adowe normalne P63n i P12n wykorzystaæ mo¿na warunek, ¿e suma si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na dwucz³on 2–3 równa siê zeru: n

t

t

n

P 12 + P 12 + P 42 + P 53 + P 63 + P 63 = 0 . Graficzne rozwi¹zanie tego równania przedstawia wielobok si³ (rys. 018.3). Oczywiœcie P12 = P12n + P12t

P12 = ( P12 )κ P = 57 N,

P63 = P63n + P63t

P63 = ( P63 )κ P = 68 N.

W celu znalezienia si³y oddzia³ywania cz³onów 2 i 3 w punkcie C rozpatrzymy w równowadze, np. cz³on 2, dla którego:

P 12 + P 42 + P 32 = 0. Rozwi¹zanie tego równania przedstawiono na rysunku 018.3. Pozosta³ do rozpatrzenia cz³on 1, dla którego oczywiœcie (rys.018.4)

P 61 + P 21 = 0, M1 = P21 ⋅ h1 , sk¹d P61 = 57 N,

M1 =37,4 Nm.

rys. 18.4

48

Zadanie 019 Okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz si³ê równowa¿¹c¹ S, uwzglêdniaj¹c tarcie w parach postêpowych, je¿eli: l1 = 0,03 m, l2 = 0,025 m, d = 0,01 m, lAC = 0,07 m, α = π/6 rad, β =π/4 rad, P = 100 N, µ = 0,1 (rys. 019.1). Rozwi¹zanie Przy braku wprawy zaleca siê rozwi¹zanie tak postawionego zadania poprzedziæ okreœleniem si³ oddzia³ywania bez uwzglêdnienia tarcia. W tym celu rozpatrujemy w równowadze cz³on 3 (rys. 19.2) i zapisujemy:

P + P23 + P43 = 0 . Równanie to mo¿na rozwi¹zaæ graficznie, bowiem przy znanej sile P znane s¹ kierunki si³ P23 i P43. Kierunek si³y P23 jest prostopad³y do prowadnicy 1 w punkcie B, co wynika z równowagi cz³onu 2: n

P12 = P 32 = 0;

P 33 = − P 32 .

Kierunek si³y P43 otrzymamy z warunku przeciêcia siê kierunków trzech si³ zewnêtrznych, dzia³aj¹cych na cz³on 3 w równowadze (rys. 019.2) W tej sytuacji modu³y si³ P23 i P43 odczytamy z planu si³ (rys. 019.2), który otrzymano odk³adaj¹c znan¹ si³ê P w za³o¿onej podzia³ce κP oraz prowadz¹c przez koñce tej si³y kierunki pozosta³ych dwóch si³. Zwroty si³ P23 i P43 przyjmujemy tak, by wektory P, P23 i P43 tworzy³y „obieg” zamkniêty. Maj¹c teraz kierunek, modu³ i zwrot si³y P32 = –P43 i rozpatruj¹c w równowadze cz³on 4 znajdziemy pozosta³e si³y oddzia³ywania.

Rys. 019.1

49

Rys. 19.2

Na ten sam cz³on dzia³aj¹ 4 si³y zewnêtrzne, znane co do kierunku, o których wiadomo ponadto, ¿e:

P 34 + P 14 D + P 14 E + S = 0 . Równanie to rozwi¹¿emy metod¹ graficzn¹ Culmana (rys. 019.2). Rozpatrzenie równowagi uk³adu z uwzglêdnieniem tarcia w parach kinematycznych rozpoczynamy od okreœlenia kierunku ruchu wzglêdnego w poszczególnych parach. W tym celu wykreœlamy plan prêdkoœci (rys. 19.3) zak³adaj¹c ruch mechanizmu, wynikaj¹cy z przyjêcia si³y P jako si³y czynnej. Zwroty okreœlonych si³ otrzymanych do analizy bez tarcia oraz zwroty prêdkoœci wzglêdnych v21 i v41 pozwalaj¹ na ustalenie kierunków si³ oddzia³ywania z uwzglêdnieniem tarcia.

50

Rys. 019.3

Wykorzystuj¹c te kierunki rozwi¹¿emy zadanie powtórnie w sposób analogiczny do przedstawionego. A wiêc z równowagi cz³onu 3 (rys.019.3) wynika, ¿e:

P + P23T + P43T = 0 . T , jak wynika z równowagi cz³onu 2, pokrywa siê z kierunkiem, Kierunek si³y P23 który ustalimy rozumuj¹c nastêpuj¹co. T tarcia rozwiniêtego bêdzie odchylony w stosunku do kierunku P Kierunek P12 12 o k¹t tarcia ρ = arc tg µ. Z dwóch hipotetycznych kierunków a oraz b za w³aœciwy T na kierunek ruchu cz³onu 2 przyjmiemy ten, który zapewnia sk³adow¹ T12 si³y P12 wzglêdem 1 o zwrocie przeciwnym do prêdkoœci wzglêdnej v21. U nas warunek ten T , co umo¿liwia spe³nia kierunek b. Kierunek b z kierunkiem si³y P okreœla kierunek P34 wykreœlenie planu si³ (rys.019.3). T , = –P T , umo¿liwia z kolei, po okreœleniu kierunZnaleziona w ten sposob si³a P34 43 T T ków P14D i P14E , wykreœlenie planu si³ dzia³aj¹cych na cz³on 4 (rys. 019.3). Uwzglêdniaj¹c za³o¿on¹ na wstêpie podzia³kê si³ κP odczytamy szukane wartoœci si³:

51

S T = ( S T ) κ P = 10 N , P14T E = ( P14T E ) κ P = 128 N , P14T D = ( P14T D ) κ P = 240 N , P34T = ( P34T ) κ P = 128 N , P23T = ( P23T ) κ P = 196 N .

Zadanie 020 W mechanizmie zaczepu p³uga ci¹gnikowego (rys. 020.1) okreœliæ si³ê sprê¿yny S, niezbêdn¹ do utrzymania mechanizmu w równowadze, maj¹c dane: lAD = 0,25 m, lAB = 0,075 m, lBC = 0,145 m, lCD = 0,14 m, lFD = 0,1 m, lCE =0,125 m, lEF = 0,175 m, l = 0,05 m, lA = 0,11 m, P = 10 kN. Œrednice czopów: dA = dB = dC = dD = dE = dF = 0,03 m, µ = 0,4. Rozwi¹zanie Rozpoczniemy od rozwi¹zania zadania bez uwzglêdnienia tarcia. Najpierw ustalimy kierunki si³ oddzia³ywania. Z równowagi cz³onów 4 i 5 wynika, ¿e kierunki P51 i P53 oraz P41 i P43 przebiegaj¹ odpowiednio wzd³u¿ cz³onów 5 i 4, czyli s¹ z góry okreœlone. Poniewa¿ trzy si³y zewnêtrzne, dzia³aj¹ce na cz³on 3 w równowadze, musz¹ przecinaæ siê w jednym punkcie (K), otrzymamy równie¿ kierunek si³y P23, czyli kierunek KB (rys.020.2), który wraz z kierunkiem si³y P wyznacza kierunek si³y P12 (P, P12, P32 przecinaj¹ siê w punkcie L). Rozpatruj¹c teraz w równowadze cz³on 2, dla którego:

P + P 12 + P 32 = 0

Rys. 020.1

52

Rys. 020.2

oraz cz³on 3, gdzie

P 23 + P 43 + P 53 = 0, wykreœlimy plan si³ (rys. 020.2). Teraz przyst¹pimy do rozwi¹zania zadania z uwzglêdnieniem tarcia. Zak³adamy kierunek ruchu wynikaj¹cy z przyjêcia si³y P jako czynnej i w dowolnej podzia³ce wykreœlamy plan prêdkoœci (rys. 020.3). Nastêpnie obliczymy promienie kó³ tarcia wed³ug zale¿noœci

h1 =

d1 µ ′. 2

gdzie µ′ = 1,27 µ (dla czopów dotartych). Po uwzglêdnieniu podzia³ki rysunku:

( h1 ) =

h1 κ1

,

wykreœlimy ko³a tarcia w poszczególnych parach (rys. 20.3).

53 Linie si³ oddzia³ywania, przechodz¹ce dot¹d przez œrodki przegubów, bêd¹ teraz przebiegaæ stycznie do kó³ tarcia. Do ustalenia w³aœciwych kierunków (spoœród wielu mo¿liwych linii stycznych) wykorzystamy zwroty si³ (z planu si³ bez tarcia) oraz zwroty wzglêdnych prêdkoœci k¹towych cz³onów wchodz¹cych w poszczególne pary obrotowe (okreœlonych za pomoc¹ planu prêdkoœci). I tak przegub E jest par¹ obrotow¹ utworzon¹ przez cz³ony 5 i 3. Wzglêdna prêdkoœæ k¹towa

ω 35 = ω 3 − ω 5 , gdzie

ω3 = +

eπ v ⋅ κ v lS31 E

ω5 = −

eπ v ⋅ κ v . l FE

Przyj¹wszy jako dodatni¹ prêdkoœæ k¹tow¹ zgodn¹ z ruchem wskazówek zegara stwierdzamy na podstawie danych zwi¹zków, ¿e prêdkoœci k¹towej ω35 nale¿y przypiT od si³ tarcia cz³onu 5 na cz³on 3 saæ znak +. Ruchowi temu towarzyszy moment M35 T = – M T , który ma przeciwny co do znaku ω35. Moment ten równowa¿y moment M35 53 znak zgodny z ω35. T = h P T , a zwrot P T sugeruje si³a P , wynika z tego, ¿e kierunek Poniewa¿ M35 E 35 35 35 T P35 powinien przebiegaæ stycznie do ko³a tarcia przegubu E tak, jak pokazano na rys.020.3.

Rys. 020.3

54 Powtarzaj¹c takie rozumowanie w kolejnych wêz³ach F, C, D, E i A ustalono wszystkie nowe kierunki si³, co umo¿liwi³o wykreœlenie analogicznego planu si³ (rys. 020.3). Oczywiœcie ST = P53T = (ST) κp = 1950N.

Zadanie 021 Okreœliæ si³y oddzia³ywania miêdzy cz³onami oraz moment czynny M1 przy równowa¿¹cej sile F = 300 N, z uwzglêdnieniem tarcia w parach kinematycznych, je¿eli: l1 = 0,5 m, e = 0,1 m, D = 0,45 m, l2 = 0,6 m, lBC = 0,7 m, d = 0,2 m, b = 0,12 m, r = 0,09 m, l3 = l4 = 0,4 m, l5 = 0,25 m. Przyj¹æ µ = 0,2 oraz promienie kó³ tarcia h = 0,015 m. Dodatkowo wyznaczyæ sprawnoœæ mechanizmu (rys. 021.1). Rozwi¹zanie Tak jak w zadaniu poprzednim, rozpoczniemy od rozwi¹zania zagadnienia bez uwzglêdnienia tarcia. Dla poszczególnych cz³onów w równowadze napiszemy: – dla cz³onu 4:

F + P54 K + P54 L + P34 = 0

– dla cz³onu 3:

F43 + P53 + P23 = 0

– dla cz³onu 2:

P32 + P12 = 0

– dla cz³onu 1:

P21 + P51 = 0

oraz

− P21 ⋅ h1 + M 1 = 0 .

Rys. 021.1

55

Rys. 021.2

Równania te przy znanych kierunkach si³ pozwalaj¹ na wykreœlenie planu si³ (rys. 021.1). Dla rozwi¹zania z tarciem zak³adamy kierunek ruchu cz³onu 1 zgodny z momentem czynnym M1, kreœlimy w dowolnej podzia³ce plan prêdkoœci (rys. 021.2). Plan ten umo¿liwi nam okreœlenie zwrotów wzglêdnych prêdkoœci k¹towych oraz wzglêdnych prêdkoœci liniowych. Prêdkoœæ k¹tow¹ ω23 okreœlimy z zale¿noœci:

ω 23 = ω 2 − ω 3 ,

56

gdzie ω 2 =

v NB vB , ω3 = . NB BC

Jakoœciowa ocena poszczególnych prêdkoœci k¹towych (ω2 > ω3, bo vNB > vB, a NB < BC) wykazuje, ¿e zwrot wzglêdnej prêdkoœci k¹towej ω23 jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Pozosta³e prêdkoœci wzglêdne wynikaj¹ z planu prêdkoœci w sposób nie budz¹cy w¹tpliwoœci. Na podstawie okreœlonych zwrotów prêdkoœci i zwrotów si³ bez tarcia mo¿na okreœliæ kierunki si³ oddzia³ywania z uwzglêdnieniem tarcia oraz plan si³ (rys. 021.2). Z planu tego odczytujemy interesuj¹ce nas modu³y si³:

P15T = P12T = P23T = ( P23T )κ P = 193 N , P34T = ( P34T )κ P = 582 N , P53T = ( P53T )κ P = 436 N , P45T = ( P45T L )κ P = 290 N ,

P45T K = ( P5TK 4 )κ P = 627 N oraz okreœlamy moment T · hT = (P T )κ (hT )κ = 28,6 N·n. MT1 = P12 12 p 1 1 l

Jak wiadomo, sprawnoœæ mechaniczn¹ uk³adu wyra¿a siê zale¿noœci¹

η=

N u F v 4 cos ( F, v 4 ) , = Nd M 1T ⋅ ω 1

ale dla η = 1 jest Fv4 = M1ω1. Wykorzystuj¹c tê zale¿noœæ mo¿na wyraziæ sprawnoœæ równie¿ w postaci

η=

M 1ω 1

M 1T

ω1

=

P12 ⋅ h1

P12T ⋅ h1T

= 0,33 .

Zadanie 022 Dla przedstawionego na rysunku 022.1 mechanizmu okreœliæ: a) masowy moment bezw³adnoœci zredukowany do cz³onu 1, b) masê zredukowan¹ do cz³onu 3. Dane: lAB = 0,06 m, ϕ = π/3 rad, R = 0,18 m, l1 = 0,05 m, lBC2 = 0,04 m, α = π/6 rad, G1 = 6 N, G2 = 6 N, G3 = 10 N, I1A = 0,005 kg·m2, IS2 = 0,002 kg·m2.

57

Rys. 022.1

Rozwi¹zanie 1. Wychodzimy z zasady, ¿e energia kinetyczna cz³onu redukcji równa siê energii kinetycznej ca³ego uk³adu, czyli:

E K zr = ∑ E Ki

.

Energia kinetyczna cz³onu 1, do którego zredukujemy bezw³adnoœæ uk³adu, wyra¿a siê zale¿noœci¹

I1 zr ⋅ ω 12 . 2 Na energiê kinetyczn¹ ca³ego uk³adu sk³adaj¹ siê: E K zr =

EK = 1

EK =

I 1 A ⋅ ω 12 , 2

m2 ⋅ v S2

2

2

2

EK = 3

+

I S ⋅ ω 22 2

m3 ⋅ v32 . 2

2

,

58

Rys. 022.2

Po porównaniu i przekszta³ceniu otrzymujemy 2

I 1 zr = I 1 A

2

2

 vS  ω  v  + m2  2  + I S  2  + m3  3  . 2  ω1  ω1   ω1 

W celu okreœlenia ilorazów prêdkoœci wykreœlamy w podzia³ce schemat mechanizmu oraz plan prêdkoœci (rys. 022.2). Na podstawie planu wykreœlonego w dowolnie za³o¿onej prêdkoœci dowolnego cz³onu i w dowolnej podzia³ce okreœlimy potrzebne ilorazy prêdkoœci

v S2

ω1

=

π v s2 ⋅ κ v ⋅ l AB π s = lAB v 2 , π v b ⋅κ v πv b

59

ω 2 bs2 ⋅ κ v ⋅ lAB lAB bs2 = = ω 1 lBS2 π v b ⋅ κ v l BS2 π v b , v3 π v d ⋅ κ v ⋅ lAB π d = lAB v . = ω1 π v b ⋅κ v πv b Po podstawieniu i wyliczeniu otrzymamy I1zr = 0,0116 kg·m2. 2. Aby okreœliæ masê zredukowan¹, wychodzimy z analogicznego wzoru okreœlaj¹cego energiê kinetyczn¹:

m3 zr ⋅ v 32 2

2 2 l1 A ⋅ ω 12 m2 ⋅ v S2 LS2 ⋅ ω 2 m3 ⋅ v 32 . = + + + 2 2 2 2

W wyniku przekszta³cenia otrzymamy 2

2

m3 zr

2  v S2  ω1  ω2   + lS  = l1 A   + m2   + m3 , 2  v1   v13   v3 

gdzie 2

ω1  πv b ,   = π v d ⋅ l AB  v1  2

 v S2  π s   = v 2 , πv d  v3  2

ω2  bs2 .   = π v d l BS2  v3  Po podstawieniu wartoœci otrzymamy m1zr = 7,115 kg.

Zadanie 023 Moment bezw³adnoœci pewnej maszyny zredukowany do wa³u napêdowego jest sta³y i wynosi Izr = d. Moment czynny zmienia siê wed³ug funkcji Mc = a – bω. Moment bierny jest sta³y i wynosi Mb = c. Zak³adaj¹c, ¿e a = 100 N·m, b = 1 N·m·s, c

60

Rys. 023

= 5 N·m i d = 0,1 kg·m2, okreœliæ funkcjê przebiegu prêdkoœci k¹towej oraz prêdkoœæ k¹tow¹ ruchu ustalonego (rys. 023). Rozwi¹zanie Wyjdziemy z równañ ruchu maszyn w postaci:

 I ω Mdϕ = d zr  ,  2  dϕ = ω. dt Wykonamy ró¿niczkowanie prawej strony równania pierwszego i obydwie strony tego równania podzielimy przez dt. Otrzymamy M

dϕ dω = I zr ⋅ ω . dt dt

a po przekszta³ceniu:

dω . dt Po podstawieniu wartoœci na M oraz Izr (M = Mc – Mb = a – c – bω i Izr = d ) otrzymano M = I zr ⋅

d 2 ϕ b dϕ a − c + = d dt 2 d dt lub y′′ + m y′ = n,

61 gdzie

dϕ d 2ϕ b a−c , n= , y′ = i y ′′ = 2 . d d dt dt Stosujemy podstawienie i rozwi¹zujemy otrzymane równanie ró¿niczkowe y = ert, y′ = r e rt i y′′ = r2 ert. Po przyrównaniu lewej strony równania do zera otrzymamy r2 e rt + m r e rt = 0 , st¹d r1 = 0 i r2 = –m. Ogólna postaæ rozwi¹zania m=

rt rt y = C1 e 1 + C2 ⋅ e 2 , rt y = C1 + C2 ⋅ e 2 ,

wtedy rt

y ′ = C2 r2 ⋅ e 2 , rt

y ′′ = C2 r22 ⋅ e 2 , oraz r t C2 ⋅ r2 ⋅ e 2 m ⋅ y ′ = n ,

a st¹d

n . m Aby okreœliæ sta³¹ C2 korzystamy z warunków pocz¹tkowych t = 0 → y′ = 0, a wtedy y ′ = −C2 ⋅ m ⋅ e − mt +

C2 =

n , m2

czyli

y′ = −

n − mt n e + m m

y′ = −

n (1 − e − mt ) m

i ostatecznie

62 lub

de n  1  = 1 − − mt  . dt m  e  Po podstawieniu danych szczegó³owych otrzymamy ostatecznie

1   ω = 95 1 − 10t  .  e  Oczywiœcie dla ruchu ustalonego

ω = 95 rad/s.

Zadanie 024 Wyrównowa¿yæ statycznie dany mechanizm p³aski ABC (rys. 024.1), w którym l1 = 0,25 m, l2 = 1,0 m, e = 0,1 m, l = 0,8 m, lAS = 0,1 m, lBS = 0,7 m, m1 = 1,2 kg, m2 = 1 2 7 kg, m3 = 3 kg. Rozwi¹zanie Przez wywa¿enie statyczne rozumiemy tak¹ operacjê, w wyniku której wypadkowy wektor si³ bezw³adnoœci przyjmuje wartoœæ Pb = 0 . Poniewa¿ Pb = − m ⋅ a S , wynika st¹d, ¿e warunek wywa¿enia statycznego sprowadza siê do ¿¹dania, by wspólny œrodek ciê¿koœci S ruchowych cz³onów mechanizmu w ca³ym cyklu ruchu mia³ po³o¿enia sta³e – tylko wtedy bowiem aS = 0.

Rys. 024.1

63 Przystêpuj¹c do rozwi¹zania zadania okreœlimy po³o¿enie œrodka ciê¿koœci S dla dowolnego po³o¿enia mechanizmu przy za³o¿onych danych wyjœciowych. Na pocz¹tek zauwa¿ymy, ¿e œrodek S3 cz³onu 3 w czasie ruchu mechanizmu nie zmienia swego po³o¿enia, nie ma wiêc wp³ywu na ruch wspólnego œrodka ciê¿koœci S. Pomijaj¹c ten cz³on w rozwa¿aniach, okreœlimy po³o¿enia œrodka ciê¿koœci S12 ruchomych cz³onów 1 i 2. Po wprowadzeniu oznaczeñ r1 = s1 oraz r2 = l1 + s2

otrzymamy

rS

12

=

s1 ⋅ m1 + (l1 + s2 ) m2 m1 + m2

lub

rS

12

= h1 + h2 ,

gdzie

h1 =

m1 ⋅ s1 + m2 ⋅ l1 , m1 + m2

h2 =

m2 ⋅ s2 , m1 + m2

h1 jest wektorem o kierunku cz³onu 1,

h2 ma kierunek cz³onu 2. Po wykreœleniu wektorów h1 i h2 w podzia³ce rysunku otrzymamy po³o¿enie œrodka S12 dla danego po³o¿enia (rys. 024.2). Z rysunku tego widaæ, ¿e œrodek S12 podczas ruchu mechanizmu zmienia swoje po³o¿enie. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e w naszym przypadku ustalenie po³o¿enia S12 uzyskamy, gdy h1 = 0 i h2 = 0.

Spe³nienie tego warunku jest mo¿liwe przez odpowiedni¹ korekcjê mas cz³onów i rozk³adu mas na cz³onach. Je¿eli w wywa¿anym uk³adzie wprowadzimy analogiczne oznaczenia m1′, m2′, s1′ i s2′, to musi zachodziæ

h1′ = 0 =

m1′ ⋅ s1′ + m2′ ⋅ l1 m′ ⋅ s′ oraz h2′ = 0 = 2 2 , m1′ + m2′ m1′ + m2′

64

rys. 024.2

co prowadzi do

m2′ ⋅l . s2′ = 0 i s1′ = m1′ 1 Otrzymany uk³ad równañ pozwala na wyznaczenie dwu niewiadomych, co oznacza, ¿e dwa spoœród czterech parametrów (m1′, m2′, s1′, s2′) mo¿na za³o¿yæ. Oczywiœcie

m1′ = m1 +

G1 g

i

m2′ = m2 +

G2 , g

gdzie G1 i G2 – dodatkowe ciê¿ary (rys.024.2). Po przyjêciu wartoœci G1 = 300 N oraz G2 = 200 N, otrzymano s1′ = 0,217 m.

65 Przy za³o¿eniu, ¿e dodatkowe masy zostan¹ uformowane w przeciwciê¿ary skupione i po³o¿enie œrodków tych przeciwciê¿arów opiszemy przez e1 i e2, otrzymamy: e1 = 0,2278 m, e2 = 0,2403 m. Mo¿liwoœci realizacji wyrównowa¿enia statycznego tego mechanizmu jest dowolnie wiele. Nale¿y jednak zwróciæ uwagê, ¿e wszystkie prowadz¹ do rozwi¹zañ ma³o konstrukcyjnych, dlatego zabieg ten zastêpujemy czêsto wyrównowa¿eniem czêœciowym, doprowadzaj¹c np. do wyrównowa¿enia tylko si³ bezw³adnoœci poziomych lub pionowych.

Zadanie 025 Dany jest schemat po³¹czeñ cz³onów w p³askim uk³adzie jednobie¿nym (rys. 025). Okreœliæ wszystkie mo¿liwe struktury tego uk³adu. Rozwi¹zanie Dla uk³adu jednobie¿nego p³askiego przy jednym cz³onie czynnym zachodzi: Wt = 3(n – 1) – 2p1 – 1p2 = 1. W naszym przypadku n = 4, czyli 8 = 2p1 + p2. Z równania tego, po uwzglêdnieniu, ¿e p = p1 + p2 = 5 (z rysunku), mo¿na okreœliæ liczby p1 i p2 par klasy 1 i 2. W istocie, poniewa¿ pi s¹ liczbami ca³kowitymi, otrzymamy: p1 = 3, p2 = 2. Wychodz¹c z za³o¿enia, ¿e ka¿da z par A, B, C, D i E mo¿e byæ par¹ I lub II klasy, otrzymujemy ró¿ne mo¿liwe wersje struktur. Mo¿na je otrzymaæ w wyniku formalnego wyczerpywania. Rezultat tego zabiegu przedstawiono w tabeli 025. Dwie spoœród wy-

Rys. 025

66 szczególnionych w tabeli wersji nale¿y w dalszych rozwa¿aniach pomin¹æ (wersjê 1 i 9) ze wzglêdu na ruchliwoœæ niezupe³n¹. Tabela 025 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

II

II

II

II

I

I

I

I

I

I

B

II

I

I

I

II

II

II

I

I

I

C

I

II

I

I

II

I

I

II

II

I

D

I

I

II

I

I

II

I

II

I

II

E

I

I

I

II

I

I

II

I

II

II

Zadanie 026 Z rozwa¿añ strukturalnych (metoda U) wynika, ¿e do przeniesienia ruchu cz³onu czynnego c na ruch cz³onu biernego b (rys. 026.1) mo¿na miêdzy innymi wykorzystaæ jeden cz³on poœrednicz¹cy ABC (rys. 026.1) z par¹ A I klasy i parami B i C II klasy. Aby uzyskaæ oczekiwane uk³ady, nale¿y w³¹czyæ cz³on ABC w uk³ad cz³onów wejœciowych c-o-b na wszystkie mo¿liwe sposoby. W tym celu dogodnie jest rozpocz¹æ od sporz¹dzenia tabeli formalnie mo¿liwych po³¹czeñ (tab.026). Podczas jej sporz¹dzania nale¿y pamiêtaæ, ¿e: – cz³on ABC musi tworzyæ pary z cz³onem c i b – cz³on ABC mo¿e ale nie musi tworzyæ par z podstaw¹ o – wyklucza siê po³¹czenia (wersja 6 i 7) prowadz¹ce do sztywnoœci lokalnych.

Rys. 026.1

67

Rys. 026.2 Tabela

026 Cz³on Wersja

c

o

b

1

A

B

C

2

B

A

C

3

B

C

A

4

BC

A

5 6

A AB

BC C

7

C

AB

Otrzymane w ten sposób wersje rozwi¹zañ przedstawiono w postaci schematów podstawowych na rys. 026.2. Ka¿dy z tych podstawowych schematów sugeruje okreœlony zbiór konkretnych rozwi¹zañ uk³adów kinematycznych, których schematy mo¿na otrzymaæ przez podstawienie pod symbole odpowiednich postaci par.

Zadanie 027 Mechanizm korbowo-wodzikowy rozwi¹zano jak na rys. 027.1. Okreœliæ liczbê wiêzów biernych uk³adu, traktuj¹c go jako mechanizm przestrzenny oraz zaproponowaæ rozwi¹zanie racjonalne bez wiêzów biernych.

68

Rys. 027.1

Rys. 027.2

Rozwi¹zanie Liczymy ruchliwoœæ mechanizmu: liczba cz³onów n = 4, liczba par kinematycznych I klasy p1 = 4. Ruchliwoœæ teoretyczna wynosi wiêc 5

Wt = 6(n − 1) − ∑ ( 6 − 1) pi = 6 ⋅ 3 − 5 ⋅ 4 = −2. i =1

69 Poniewa¿ z za³o¿enia pracy mechanizmu s³u¿¹cego do zamiany ruchu obrotowego korby 1 na ruch posuwisto-zwrotny suwaka 3 wynika, ¿e ruchliwoœæ Wrz = 1, wiêc liczba wiêzów biernych Rb = Wrz – Wt = 1 – (–2) = 3. Aby zredukowaæ liczbê wiêzów biernych do zera, nale¿y przy tej samej liczbie cz³onów obni¿yæ klasê pewnych par kinematycznych, co prowadzi do ró¿nych rozwi¹zañ. Przyk³adowe rozwi¹zania pokazano na rys. 027.2, gdzie n = 4, p1 = 2, p3 = 2, Wt = 2 = 1 + 1 (ruchliwoœæ lokalna), Rb = 0 dla uk³adu z rys. 027.2a, n = 4, p1 = 2, p2 = 1, p3 = 1, Wt = 1, Rb = 0 dla uk³adu z rys. 027.2b.

Zadanie 028 Zaprojektowaæ uk³ad napêdowy ABC (AB – si³ownik hydrauliczny), gdy: d³ugoœæ pocz¹tkowa si³ownika – l0 = 0,5 m, jego skok – h = 0,36 m oraz k¹t obrotu ramienia CB – γ = π/3 rad. Punkt A mocowania si³ownika przyj¹æ na linii a (rys. 028). Rozwi¹zanie Przed przyst¹pieniem do rozwi¹zania tego zadania nale¿y rozpatrzyæ ruch wzglêdny cz³onu AC wzglêdem CB, przyjêtego chwilowo jako nieruchomy. Przy takim za³o¿eniu, po wyd³u¿eniu siê si³ownika o skok h, punkt A przejdzie w po³o¿enie A′ (OA′ = OA, k¹t ACA′ = γ ). Zauwa¿my, ¿e dysponuj¹c punktem A′ i A mo¿na ju¿ znaleŸæ

Rys. 028

70 po³o¿enie punktu B mocowania si³ownika na ramieniu CB (punkt B1 le¿y na przeciêciu ³uków zakreœlonych z p. A i A′ promieniami AB1 = l0 oraz A′B1 = l0 + h). Korzystaj¹c z t e g o i przyjmuj¹c na linii a kolejne punkty Ai , mo¿na graficznie okreœliæ miejsce geometryczne punktów Bi w postaci krzywej b. Istnieje wiêc dowolnie wiele mo¿liwych rozwi¹zañ spe³niaj¹cych wstêpnie sformu³owane za³o¿enia. Podczas typowania ostatecznej wersji nale¿y siê kierowaæ dodatkowymi za³o¿eniami dotycz¹cymi np. gabarytów uk³adu, parametrów kinematycznych (rozk³ady prêdkoœci i przyspieszeñ), rozk³adem si³ w parach kinematycznych, zmian¹ wartoœci momentów na ramieniu CB itd. Po tak przeprowadzonej wstêpnie analizie metod¹ graficzn¹ mo¿na dopiero uœciœliæ rozwi¹zanie, pos³uguj¹c siê metodami analitycznymi.

Zadanie 029 Zaprojektowaæ zarys krzywki p³askiej obrotowej wspó³pracuj¹cej z popychaczem kr¹¿kowym o ruchu postêpowym, gdy: a) skok popychacza H = 0,044 m, b) k¹t obrotu krzywki odpowiadaj¹cy podnoszeniu ϕp = 2π/3 rad, c) k¹t obrotu krzywki odpowiadaj¹cy spoczynkowi w górnym po³o¿eniu ϕg = 2π/9 rad, d) k¹t obrotu krzywki odpowiadaj¹cy opadaniu ϕo = π/2 rad, e) k¹t obrotu krzywki odpowiadaj¹cy spoczynkowi w dolnym po³o¿eniu ϕd = 11π/18 rad, Przyj¹æ rozk³ad przyspieszeñ popychacza wed³ug sinusoidy oraz maksymalny k¹t nacisku podczas podnoszenia i opadania

α pmax = α omax =

Rys. 029.1

π rad . 6

71 Rozwi¹zanie Do wykreœlenia zarysu krzywki niezbêdna jest znajomoœæ prawa ruchu popychacza wyra¿onego funkcj¹ S(ϕ). Dane wyjœciowe okreœlaj¹ wstêpnie w sposób jednoznaczny jedynie pewne odcinki prostoliniowe takiego wykresu (rys. 029.1). Brakuj¹ce fragmenty wykresu znajdziemy z przyjêtego rozk³adu przyspieszeñ popychacza. Wykorzystamy zale¿noœæ

a=

d 2S d2 S = ⋅ω 2 2 2 dt dϕ

i zak³adamy kolejno: 1. Dla podnoszenia

d2 S 2π = A ⋅ sin ⋅ ϕ. 2 ϕp dϕ

(29.1)

ϕp dS 2π = −A ⋅ cos ϕ + C1 , dϕ 2π ϕp

(29.2)

Po sca³kowaniu (1) otrzymamy

2

ϕ p  2π S = − A  sin ϕ + C1ϕ + C2 . ϕp  2π 

(29.3)

W celu okreœlenia sta³ej A i sta³ych ca³kowania C1 i C2 wykorzystujemy warunki brzegowe: dla ϕ = 0 → dS/dϕ = 0 i S = 0, dla ϕ = ϕp → S = H. Uwzglêdniaj¹c je otrzymamy ostatecznie:

 ϕ 1 2π  sin S = H  − ϕ , ϕ p   ϕ p 2π

(29.4)

2π  dS H  1 cos = − ϕ , dϕ ϕ p  ϕ p 

(29.5)

d 2 S 2π ⋅ H 2π ϕ. = sin 2 2 ϕp dϕ ϕp

(29.6)

72

Rys. 029.2

73

Rys. 029.3

2. Dla opuszczania otrzymamy w analogiczny sposób

 1 1 2π  S = H 1 − sin ϕ + ϕ , 2π ϕ0   ϕ0

(29.7)

 dS H  2π  cos ϕ − 1 , = dϕ ϕ 0  ϕ0 

(29.8)

d 2 S 2π ⋅ H 2π ϕ. = sin 2 2 ϕ0 dϕ ϕ0

(29.9)

Zale¿noœci (29.4)–(29.6) oraz (29.7–(29.9) przedstawiaj¹ pe³n¹ charakterystykê ruchu popychacza w fazie podnoszenia i opadania. Przedstawiono je na rys. 29.2a. Otrzymany w ten sposób pe³ny wykres S(ϕ) umo¿liwia wykreœlenie zarysu krzywki przy zadanych ro i e. Wielkoœci te, najczêœciej niejednoznacznie okreœlone w za³o¿eniach

74 wstêpnych, decyduj¹, jak wiadomo, o wartoœci k¹ta nacisku α. Na podstawie maksymalnej wartoœci tego k¹ta okreœlamy ro i e metod¹ graficzn¹. W tym celu, opieraj¹c siê na wykresach (ds/dϕ)(ϕ) i S(ϕ) sporz¹dzamy wykres (ds/dϕ)(S) (rys.029.2b) i prowadzimy styczne tp i to tworz¹ce z kierunkiem ruchu popychacza zadane k¹ty nacisku αpmax i αomax. Na przeciêciu otrzymujemy po³o¿enia œrodka obrotu krzywki 0, a tym samym ro i e. Wykorzystuj¹c otrzymane parametry wykreœlamy na podstawie wykresu S(ϕ) zarys krzywki, co konstrukcyjnie pokazano na rysunku 29.3 na przyk³adzie fazy podnoszenia. Otrzymany teoretycznie zarys krzywki zt realizuje zadany ruch popychacza zakoñczonego ostrzem. W przypadku zakoñczenia popychacza kr¹¿kiem zarys rzeczywisty zrz krzywki bêdzie w stosunku do zarysu teoretycznego ekwidystant¹ – wykreœlimy j¹ jako obwiedniê okrêgów o promieniu rk kr¹¿ka, zakreœlonych z punktów le¿¹cych na zarysie teoretycznym. Przyjêty promieñ kr¹¿ka rk powinien spe³niaæ nierównoœci: rk ≤ 0,8 ρmin i rk ≤ (0,4 – 0,5) r0 . W ten sposób zaprojektowana krzywka spe³nia zadane w temacie za³o¿enia. Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e omówiony tok postêpowania dotyczy koñcowej fazy projektowania mechanizmu krzywkowego. Nie omówiono tu wa¿nego zagadnienia doboru w³aœciwego rozk³adu przyspieszeñ i dyskusji dopuszczalnych maksymalnych wartoœci k¹tów nacisku, decyduj¹cych w sposób istotny o walorach dynamicznych mechanizmu.

Rozdzia³ 2 Problemy analizy

Analiza strukturalna

Zad. 1 Sklasyfikowaæ podane pary kinematyczne.

Zad. 2 Narysowaæ schematycznie przedstawiony fragment ³añcucha i okreœliæ liczbê stopni swobody cz³onu 3 wzglêdem cz³onu 1.

Zad. 3 Ustaliæ liczbê stopni swobody cz³onu 1 wzglêdem cz³onu 3. Narysowaæ schemat pary kinematycznej, zapewniaj¹cej cz³onom 1 i 3 tê sam¹ liczbê wzglêdnych stopni swobody.

77

78

Analiza strukturalna

Zad. 4 Narysowaæ przedstawiony robot schematycznie. Okreœliæ liczbê stopni swobody chwytaka c wzglêdem podstawy.

Zad. 5 Uk³ad napêdu listwy no¿owej kosiarki przedstawiæ w postaci schematycznej. Czy para C jest potrzebna i ewentualnie kiedy?

Zad. 6 Sprzêg³o Cardana narysowaæ w sposób schematyczny i okreœliæ ruchliwoœæ W oraz liczbê wiêzów biernych Rb. 2

Analiza strukturalna

Zad. 7 Zaproponowaæ rozwi¹zanie par, zapewniaj¹cych narzucone ruchy wzglêdne dwóch cz³onów.

Zad. 8 Zaproponowaæ rozwi¹zanie par, zapewniaj¹cych narzucone ruchy wzglêdne dwóch cz³onów.

Zad. 9 Okreœliæ intuicyjnie ruchliwoœæ W tego mechanizmu, a nastêpnie sprawdziæ za pomoc¹ odpowiedniego wzoru.

79

80

Analiza strukturalna

Zad. 10 Dla danego uk³adu p³askiego okreœliæ ruchliwoœæ W, a nastêpnie zinterpretowaæ wynik.

Zad. 11 Okreœliæ ruchliwoœæ W mechanizmu: a) intuicyjnie, b) wed³ug wzoru. Zinterpretowaæ wynik.

Zad. 12 Okreœliæ ruchliwoœæ W mechanizmu przedstawionego na rysunku i zinterpretowaæ wynik.

Analiza strukturalna

Zad. 13 Sprawdziæ czy podany uk³ad kinematyczny jest jednobie¿ny przy zadanej prêdkoœci k¹towej ω ko³a zêbatego 7.

Zad. 14 W ogólnym przypadku ruchliwoœæ W dotyczy cz³onów 2, 3 i 4. Co siê stanie, gdy h = 0?

Zad. 15 Dla podanego na rysunku uk³adu okreœliæ ruchliwoœæ W i zinterpretowaæ wynik.

81

82

Zad. 16 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu obrotu ³y¿ki ³adowarki. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 17 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu napêdu wycieraczki samochodowej. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 18 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu uruchamiania czcionki w maszynie do pisania. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Metoda inwersji

Metoda inwersji

Zad. 19 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu prowadzenia drzwi gara¿owych w fazie zamykania i otwierania. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 20 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu napêdu wycieraczki samochodowej. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 21 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu prowadzenia ramy 1 p³uga. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

83

84

Metoda inwersji

Zad. 22 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu sterowania ruchem przeciwwagi W w uk³adzie ¿urawia portowego. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

w

Zad. 23 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu podnoszenia platformy samoza³adowczej pojazdu samochodowego. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 24 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu napêdu suportu strugarki poprzecznej. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Metoda inwersji

Zad. 25 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu wywrotu skrzyni samochodowej. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 26 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu napêdu suportu strugarki poprzecznej. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. 27 Znane jest rozwi¹zanie mechanizmu obudowy górniczej, gdzie si³owniki 4 i 5 umo¿liwiaj¹ uzyskiwanie ró¿nych po³o¿eñ cz³onów 2 i 3. Wykorzystuj¹c metodê inwersji zaproponowaæ inne mo¿liwe rozwi¹zania.

85

86

Zad. 28 W za³¹czonym mechanizmie prêdkoœæ k¹towa ruchu wzglêdnego cz³onów 3 i 4 zmienia siê w funkcji k¹ta ϕ2 obrotu korby. Okreœliæ ϕ2, dla którego ω34 = 0, Dane: AB = 0,2 m, BC = CD = 0,3 m, AD = 0,4 m.

Zad. 29 W przedstawionym na rysunku mechanizmie wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: AB = BC = 0,08 m, AC = 0,13 m, z2/z4 = 3/5.

Zad. 30 Dla przedstawionego mechanizmu wyznaczyæ po³o¿enia, w których cz³on 3 znajduje siê w ruchu postêpowym. Dane: za³o¿yæ geometriê mechanizmu.

Œrodki obrotu

Œrodki obrotu

Zad. 31 Dla podanego na rysunku mechanizmu wyznaczyæ punkty le¿¹ce na obwodzie kr¹¿ka 3, które w danym po³o¿eniu charakteryzuj¹ siê pionowym kierunkiem prêdkoœci. Dane: a = 0,03 m, b = 0,045 m, r = 0,04 m, R = 0,075 m.

Zad. 32 Dla przedstawionego mechanizmu jarzmowego wyznaczyæ po³o¿enia, w których wzglêdne przyC przyjspieszenie Coriolisa aCD muje wartoœæ zerow¹. Dane: AC = 3 AB = 0,45 m.

Zad. 33 W zadanym po³o¿eniu mechanizmu ustaliæ: a) zwrot ruchu suwaka 6 wywo³anego si³¹ F, b) dla jakiego kierunku si³y F mechanizm jest w po³o¿eniu martwym (tarcie pomin¹æ). Dane: a = 0,2 m, b = 0,24 m, c = 0,18 m, h = 0,15 m.

87

88

Zad. 34 W przedstawionym na rysunku mechanizmie wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: a = 0,025 m, r = 0,02 m, h = 0,1 m, ϕ = π/3.

Zad. 35 W przedstawionym mechanizmie wyznaczyæ œrodek obrotu S24. Dane: AE = 0,8 m, AB = 0,36 m, BD = 0,72 m, BO3 = 0,5 m, r3 = 0,13 m, r4 = 0,15 m, r5 = 0,38 m, α = π/6, ϕ2 = 2π/3.

Zad. 36 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: a = 2b = 0,06 m, R = BC = 0,05 m, AB = 2r = 0,02 m, DO = 0,035 m, ϕ2 = 3π/4.

Œrodki obrotu

Œrodki obrotu

Zad. 37 W mechanizmie przedstawionym na rysunku wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: AB = BC = CD = 0,1 m, ϕ2 = π/3.

Zad. 38 W mechanizmie przedstawionym na rysunku wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: AB = BD = 0,1 m, DC = BC = 0,18 m, AE = ED = 0,12 m.

Zad. 39 W mechanizmie przedstawionym na rysunku wyznaczyæ œrodki obrotu. Dane: a = 0,3 m, AC = 2 AB = 0,4 m, ϕ2 = π/3.

89

90

Zad. 40 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku wykreœliæ nowe po³o¿enia, je¿eli: a) cz³on 2 obróci siê o k¹t ϕ = π/6, b) cz³on 4 przemieœci siê o skok h = 0,1 m. Dane: h2 = h3 = 0,05 m, xB = 0,12 m, yA = – 0,065 m.

Zad. 41 Przedstawiony na rysunku mechanizm narysowaæ w po³o¿eniu zadanym nastêpuj¹cymi parametrami: a) ϕ = 2π/3, b) DG = 0,05 m. Dane: AB = 0,08 m, BC = 0,17 m, CD = 0,12 m, AD = 0,11 m, EF = 0,09 m, FG = 0,08 m, EG = 0,14 m.

Zad. 42 Przedstawiony na rysunku mechanizm narysowaæ w po³o¿eniu zadanym nastêpuj¹cymi parametrami: a) ϕ = π/2, b) EF = 0,08 m. Dane: AB = 0,065 m, BC = 0,18 m, CD = 0,1 m, AD = 0,15 m, BF = 0,07 m, CF = 0,12 m, ED = 0,04 m, EC = 0,1 m.

Po³o¿enia

Po³o¿enia

Zad. 43 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ zmianê energii potencjalnej, wynikaj¹c¹ z obrotu: a) cz³onu AB o k¹t ϕ1 = π/4, b) cz³onu ED o k¹t ϕ2 = π/6. Dane: a = 0,055 m, b = 0,065 m, FD = 0,15 m, AB = ED = 0,03 m, DS = 0,08 m, ϕ0 = π/12, m = 10 kg. Zad. 44 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ pracê jak¹ nale¿y wykonaæ, aby: a) obróciæ cz³on 3 wzglêdem 4 o k¹t π; b) maksymalnie podnieœæ ramê 1 (rama 1 wykonuje ruch postêpowy). Dane: AB = 0,9 m, BC = 0,18 m, CD = 0,8 m, AD = 0,38 m, r = 0,4 m, α = π/6, β = 2π/9, AS = 0,2 m, m1 = 100 kg. Zad. 45 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ po³o¿enia równowagi przy za³o¿eniu, ¿e masê ma tylko cz³on 3 (skupiona w punkcie S), gdy: a) β = π/6, b) β = – π/6. Dane: AB = 0,04 m, BC = 0,12 m, CD = 0,08 m, AD = 0,1 m, BS = 0,08 m.

91

92

Zad. 46 Przedstawiony na rysunku mechanizm narysowaæ w po³o¿eniu opisanym k¹tem: a) ϕ = π/2, b) ψ = 2π/3. Dane: h = 0,15 m, yA = 0,2 m, yD = 0,7 m, xG = 0,8 m, AB = 0,5 m, BC = 0,6 m, CD = 0,38 m, GF = 0,6 m.

Zad. 47 W mechanizmie przedstawionym na rysunku wykreœliæ przebieg zmian ϕ2 = ϕ2(ϕ1). Dane: BC = 4,22 AB, DC = AD = 3AB, BE = 2,95 AB, EF = 2,5 AB, FG = 5 AB, xG = – 3 AB, yG = 5 AB.

Zad. 48 Dla mechanizmu pisaka rejestratora wyznaczyæ zakresy po³o¿eñ cz³onu AB spe³niaj¹ce warunek |xM| ≤ 0,002 m. Dane: xA = 0,116 m, AB = 0,018 m, BC = 0,046 m, MB = 0,134 m.

Po³o¿enia

Po³o¿enia

Zad. 49 W uk³adzie korbowym silnika spalinowgo okreœliæ zewnêtrzne po³o¿enie zwrotne t³oka 6. Dane: AB = BD = 0,1 m, BC = 0,25 m, DC = DE = 0,2 m, α = π/3.

Zad. 50 Przedstawiony na rysunku mechanizm wykreœliæ w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ. Dane: AB = 0,02 m, x0 = 0,003 m, y0 = – 0,063 m, xF = 0, yF = – 0,1 m, BC = 0,0624 m, CK = 0,06 m, CD = CE = 0,0594 m, ED = 0,044 m, ϕ = π/3.

Zad. 51 Przedstawiony na rysunku mechanizm wykreœliæ w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ. Dane: AB = 0,03 m, xE = xG = – 0,08 m, yE = – 0,09 m, yG = yH = –0,2 m, xH = 0, BC = 0,145 m, ED = GF = 0,075 m, DF = 0,064 m, CD = CF = 0,155 m, CK = 0,12 m, ϕ = π/3.

93

94

Zad. 52 Przedstawiony na rysunku mechanizm wykreœliæ w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ. Dane: AB = 0,02 m, BC = 0,0592 m, xF = –xE = 0,041 m, yE = yF = – 0,08 m, FD = 0,054 m, CD = 0,013 m, xG = 0, yG = – 0,09 m, CK = 0,06 m, ϕ = π/3.

Zad. 53 Przedstawiony na rysunku mechanizm wykreœliæ w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ. Dane: xF = 0,192 m, AG = 0,139 m, FG = 0,133 m, AB = BC = 0,057 m, CD = DE = DG = 0,1 m, EF = 0,054 m, ϕ = 2π/3.

Zad. 54 Przedstawiony na rysunku mechanizm wykreœliæ w po³o¿eniu opisanym po³o¿eniem punktu A. Dane: h = 0,179 m, xE = 0,1 m, yE = 0,094 m, AB = 0,15 m, ED = 0,055 m, α = 93°, BC = CD = CF = 0,1 m, xA = 0,12 m.

Po³o¿enia

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 55 Dla podanego mechanizmu nale¿y: a) narysowaæ przebieg prêdkoœci k¹towej cz³onu 3 w funkcji k¹ta ϕ2; (ω3 = f (ϕ2)), b) wyznaczyæ po³o¿enie, w którym ω3 = ω3max, c) okreœliæ wartoœæ ilorazu ω3max/ω2. Dane: AC = 3 AB = 0,45 m.

Zad. 56 Pomijaj¹c straty na tarcie i masy cz³onów dla podanego mechanizmu nale¿y: a) naszkicowaæ przebieg M2(ϕ2) w przedziale 0< ϕ2 < π, b) wyznaczyæ iloraz M2/F w dwóch po³o¿eniach: a) ϕ2 = π/2, b) ∠ ABC = π/2, Dane: BC = 3AB, F = F0 dla 0 < ϕ2< π, F = 0 dla π < ϕ2 < 2π. Zad. 57 W podanym mechanizmie okreœliæ wartoœci vK oraz ω4 dwiema dowolnymi metodami. Dane (wymiary liniowe w m): AB = 0,12, BC = 0,21, BK = CK = 0,15, z2 = 2z4 = 60, ϕ3 = π/4, ω2 = 5 s–1.

95

96

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 58 Naszkicowaæ przebieg vC (ϕ2), a nastêpnie wyznaczyæ iloraz vCmax/vB dla dwóch wariantów mechanizmu: a) gdy e = AB, b) gdy e = 0. Dane: BC = 4 AB = 0,4 m.

Zad. 59 Warunki strugania wymagaj¹, aby vK > 1 m/s. Nale¿y: a) naszkicowaæ vK(ϕ) dla przedzia³u π/2 < ϕ < 3π/2, b) okreœliæ po³o¿enie, w którym vK = vKmax, c) wyznaczyæ pocz¹tek (x) i zakres (y) strefy strugania. Dane: AB = 0,25 m, ω = 6 s–1. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie. Zad. 60 W przedstawionym uk³adzie okreœliæ zakres d³ugoœci si³ownika, dla którego bêdzie spe³niony warunek (ωBC/ωBCmin) ≤ 1,25. Dane: AC = 0,6 m, BC = 0,5 m, vw = const.

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 61 Dla podanego mechanizmu okreœliæ vF, vG oraz ω3. Dane: AB = 0,3 m, ϕ2 = 2π/3, α = π/3, vCD = 1 m/s. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 62 Wyznaczyæ prêdkoœci vC oraz ω5 w po³o¿eniu okreœlonym k¹tem ϕ2. Dane (wymiary liniowe w m): BC = CE = CD = DG = EF = FG = 0,05, DE = 0,024, l = 0,01, h = 0,025, ϕ2 = 4π/3, ω2 = 5 s–1.

Zad. 63 Dla przedstawionego mechanizmu nale¿y okreœliæ vD oraz ωxy dla zadanej prêdkoœci vw wysuwu si³ownika. Dane (wymiary liniowe w m): AB = BD = 0,1, DC = BC = 0,18, AE = ED = 0,12, vw = 0,1 m/s.

97

98

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 64 Przemieszczanie ³y¿ki AB z urobkiem powinno odbywaæ siê ruchem postêpowym. Sprawdziæ, czy wymóg ten jest spe³niony w zadanym po³o¿eniu mechanizmu. Dane (wymiary liniowe w m): a = 0,34, b = 0,075, ON = 0,435, AO = 1,84, CD = 0,675, AB = AD = 0,55, CE = 0,275, BC = 0,6, EF = 1,28, MN = 0,9, α = π/36, β = π/9, vw1> 0, vw2 = 0. Zad. 65 Dla zadanego po³o¿enia mechanizmu wyznaczyæ energiê kinetyczn¹ cz³onu 8. Dane (wymiary liniowe w m): yA = FG = 0,45, xG = BC = 0,5, AC = AB = EF = 0,3, BC = 0,5, ED = BD = CE = 0,75, ϕ2 = α = π/4, m8 = 2 kg, ω2 = 5 s–1.

Zad. 66 Platforma p jest napêdzana si³ownikiem MN wyd³u¿anym z prêdkoœci¹ vw. Okreœliæ si³ê S w si³owniku dla zadanej wartoœci Q. Obci¹¿enia dynamiczne i tarcie w parach kinematycznych pomin¹æ. Dane (wymiary liniowe w m): AB = BF = 0,35, MN = 0,32, Q = 20 kN. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 67 W mechanizmie napêdu ig³y maszyny do szycia wyznaczyæ prêdkoœæ vK punktu K, je¿eli znana jest prêdkoœæ k¹towa ω2 cz³onu 2. Dane: ω2 = 15 s–1, CD = 0,09 m, DK = 0,3 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 68 Wyznaczyæ œrodek obrotu S 81 cz³onu 8 wzglêdem podstawy 1 w po³o¿eniu zadanym k¹tem ϕ2. Dane (wymiary liniowe w m): AB = 0,06, BC = 0,11, CD = 0,09, AD = 0,04, EF = FG = 0,065, EG = 0,055, ϕ2 = π/6.

Zad. 69 Dla podanego mechanizmu okreœliæ: a) prêdkoœæ vM punktu M w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ2 przy zadanej prêdkoœci k¹towej ω2, b) po³o¿enia mechanizmu, w których aM = 0. Dane (wymiary liniowe w m): AC = 0,6, AB = 0,25, h = 0,4, ϕ2 = π/6, ω2 = 10 s–1.

99

100

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 70 Okreœliæ prêdkoœæ vK i przyspieszenie aK punktu K dla zadanej wartoœci prêdkoœci k¹towej ω2. Dane: AD = 0,04 m, BK = 0,02 m, α = π/4, ω2 = 10 s–1, ϕ2 = 2π/3.

Zad. 71 Okreœliæ prêdkoœæ vK i przyspieszenie aK punktu K dla zadanych wartoœci ω2 i ε2. Dane: AC = 3 BK = 0,06 m, AB = 0,05, ϕ2 = π/3, ω2 = 10 s–1, ε2 = 20 s–2.

Zad. 72 Dla zadanej wartoœci prêdkoœci k¹towej ω2 cz³onu 2 okreœliæ przyspieszenie ε 3 krzy¿a 3 w dwóch po³o¿eniach: a) dla pocz¹tku ruchu krzy¿a (rysunek), b) dla ϕ2 = π. Dodatkowo naszkicowaæ przebiegi ω3(ϕ2) oraz ε3(ϕ2). Dane: AC = 3 AB = 0,3 m, ω2 = 10 s–1.

Prêdkoœci i przyspieszenia

101

Zad. 73 Dla zadanego ruchu cz³onu 2 opisanego wartoœciami ω2 oraz ε2 okreœliæ przyspieszenia aK oraz ε4. Dane: AE = 0,5 m, AB = ED = 0,3 m, BC = CD = 0,55 m, z2/z5 = 3/2, ϕ2 = 2π/3, ϕ5 = α = π/3, ω2 = 10 s–1, ε2 = 5 s–2.

Zad. 74 Dla zadanej wartoœci prêdkoœci k¹towej ω 2 cz³onu 2 okreœliæ prêdkoœæ wzglêdn¹ vKL oraz przyspieszenie aK. Dane (wymiary liniowe w m): AB = 0,18, BC = 0,76, BD = 0,95, CD = 0,25, ED = 0,24, h = 0,08, ϕ2 = π/3, ω2 = 20 s–1.

Zad. 75 W mechanizmie o ruchliwoœci W = 2, w którym znane s¹ prêdkoœci k¹towe ω2 i ω5 wyznaczyæ przyspieszenia k¹towe ε2 oraz ε23. Dane: AB = 0,25 m, BC = 0,6 m, AE = 0,3 m, ϕ2 = 2π/3, ϕ5 = 5π/6, ω2 = 5 s–1, ω5 = 3 s–1.

E

102

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 76 Dla podanego uk³adu wyznaczyæ prêdkoœæ vC i przyspieszenie aC punktu C przy zadanej wartoœci ω2 w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ2. Dane: DG = 0,5 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), ϕ2 = π/6, ω2 = 20 s–1.

Zad. 77 Dla podanego uk³adu korbowego wyznaczyæ ω2 oraz ε2 dla znanych parametrów ruchu vE i aE punktu E. Dane: AB = BD = 0,1 m, BC = 0,25 m, DC = DE = 0,2 m, AC = 0,3, α = π/3, vE = 1 m/s, aE = 3 m/s2.

Zad. 78 Dla podanego uk³adu w po³o¿eniu zadanym katem ϕ2 okreœliæ parametry ω6 i ε6 ruchu cz³onu 6 przy zadanym ruchu korby AB. Dane: xE = 0,5 m, yE = yG = 0,4 m, AB = 0,1 m, ED = GF, EG = DF (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), ϕ2 = 2π/3, ω2 = 10 s–1.

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 79 Dla podanego mechanizmu, w którym znane s¹ parametry ruchu punktu L w postaci vL i aLt , wyznaczyæ prêdkoœæ vK i przyspieszenie aK punktu K. Dane: AE = 0,3 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), vL = 0,1 m/s, aLt = 0,2 m/s2.

Zad. 80 Dla podanego mechanizmu, w którym znana jest prêdkoœæ k¹towa ω2 cz³onu 2 wyznaczyæ: a) aM dla ϕ2 = π/6, b) po³o¿enia mechanizmu, w których aM = 0. Dane: AC = 0,06 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), ω2 = 10 s–1.

Zad. 81 W podanym mechanizmie napêdu ig³y w maszynie do szycia wyznaczyæ przyspieszenie punktu K w zadanym po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ2 przy znanej prêdkoœci k¹towej ω2. Dane: AK = 0,1 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), α = π/4, ϕ2 = π/2, ω2 = 15 s–1.

103

104

Prêdkoœci i przyspieszenia

Zad. 82 Dla po³o¿enia opisanego k¹tem ϕ2 okreœliæ moment M2 utrzymuj¹cy mechanizm w ruchu z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω2. Pomin¹æ masy cz³onów 2, 3, 4, 5 oraz tarcie w parach kinematycznych. Dane: AC = 0,6 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), m6 = 30 kg, ϕ2 = 2π/3, ω2 = 15 s–1.

Zad. 83 Okreœliæ moment M potrzebny do utrzymania ruchu z prêdkoœci¹ ω2 w po³o¿eniu opisanym k¹tem ϕ2. Tarcie w parach kinematycznych i masy cz³onów pomin¹æ. Dane: AB = 0,3 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), m = 80 kg, ϕ2 = π/4, ω2 = 5 s–1.

Zad. 84 Wyznaczyæ si³ê S w si³owniku MN, która zapewnia ruch uk³adu opisany prêdkoœci¹ wysuwu vw. Tarcie w parach i masy cz³onów pomin¹æ. Dane: Q = 5 kN, AB = BD = EB = BC = 0,4 m (pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie), vw = 0,2 m/s.

Manipulatory p³askie

Zad. 85 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do prowadzenia punktu M po zadanej trajektorii. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi. Zad. 86 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do prowadzenia punktu M po zadanej trajektorii przy sta³ym k¹cie orientacji ϕ. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi. Zad. 87 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do przemieszczania elementu p ruchem postêpowym. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi.

105

106

Manipulatory p³askie

Zad. 88 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do realizacji zadania przedstawionego na rysunku. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi. Zad. 89 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do realizacji zadania przedstawionego na rysunku. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi. Zad. 90 Zaproponowaæ schemat kinematyczny manipulatora p³askiego, z³o¿onego z par obrotowych R i/lub postêpowych T, do realizacji zadania przedstawionego na rysunku. Wyprowadziæ macierz transformacji 0Ac. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przemieszczenia w parach kinematycznych oznaczyæ przez qi.

Manipulatory p³askie

Zad. 91 Dla podanego uk³adu manipulatora p³askiego znaleŸæ macierz transformacji 0A3 wystêpuj¹cej w zale¿noœci 0r = 0A 3r . M 3 M Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przez qi oznaczyæ przemieszczenia w parach kinematycznych.

Zad. 92 Dla podanego uk³adu manipulatora p³askiego znaleŸæ macierz transformacji 0A3 wystêpuj¹cej w zale¿noœci 0r = 0A 3r . M 3 M Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przez qi oznaczyæ przemieszczenia w parach kinematycznych.

Zad. 93 Dla podanego uk³adu manipulatora p³askiego znaleŸæ macierz transformacji 0A3 wystêpuj¹cej w zale¿noœci 0r = 0A 3r . M 3 M Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Przez qi oznaczyæ przemieszczenia w parach kinematycznych.

107

108

Manipulatory p³askie

Zad. 94 Dla zadanego uk³adu manipulatora p³askiego wyprowadziæ zale¿noœci okreœlaj¹ce sk³adowe vx i vy prêdkoœci punktu M w uk³adzie globalnym. Dla przyjêtych wartoœci przemieszczeñ qi i prêdkoœci q i oraz wymiarów cz³onów rozwi¹zaæ zadanie graficznie i analitycznie, a nastêpnie porównaæ otrzymane wyniki. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Zad. 95 Dla zadanego uk³adu manipulatora p³askiego wyprowadziæ zale¿noœci okreœlaj¹c sk³adowe vx i vy prêdkoœci punktu M w uk³adzie globalnym. Dla przyjêtych wartoœci przemieszczeñ qi i prêdkoœci q i oraz wymiarów cz³onów rozwi¹zaæ zadanie graficznie i analitycznie, a nastêpnie porównaæ otrzymane wyniki. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów. Zad. 96 Dla zadanego uk³adu manipulatora p³askiego wyprowadziæ zale¿noœci okreœlaj¹c sk³adowe vx i vy prêdkoœci punktu M w uk³adzie globalnym. Dla przyjêtych wartoœci przemieszczeñ qi i prêdkoœci q i oraz wymiarów cz³onów rozwi¹zaæ zadanie graficznie i analitycznie, a nastêpnie porównaæ otrzymane wyniki. Dane: Przyj¹æ oznaczenia wymiarów cz³onów.

Analiza mechanizmów krzywkowych

Zad. 97 Po przesuniêciu krzywki 2 o skok s punkt B popychacza 4 przejdzie w po³o¿enie B1. Okreœliæ: a) skok s przy danym h, b) dŸwigniowy mechanizm zastêpczy, c) nowy punkt K1 styku krzywki 2 z kr¹¿kiem 3. Dane: Geometriê uk³adu za³o¿yæ.

Zad. 98 Po obrocie popychacza 2 o k¹t ψ = π/2 krzywka 4 obróci siê o k¹t ϕ. Okreœliæ: a) k¹t obrotu krzywki ϕ, b) czynny fragment zarysu krzywki, c) dŸwigniowy mechanizm zastêpczy. Dane: Geometriê uk³adu za³o¿yæ.

Zad. 99 Podczas obrotu korby AB w po³o¿enie pionowe kr¹¿ek przetoczy siê po krzywce wzd³u¿ zarysu KL. Okreœliæ: a) po³o¿enie nowego punktu styku (L), b) dŸwigniowy mechanizm zastêpczy. Dane: Geometriê uk³adu za³o¿yæ.

109

110

Analiza mechanizmów krzywkowych

Zad. 100 Przy braku poœlizgu miêdzy kr¹¿kiem i krzywk¹ okreœliæ w po³o¿eniu jak na rysunku: a) prêdkoœæ k¹tow¹ kr¹¿ka ω3, b) wzglêdn¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ω34. Dane: a = 0,1 m, r = 0,03 m, R = 2e = 0,08 m, ω21= 100 s–1.

Zad. 101 W podanym na rysunku mechanizmie okreœliæ: a) wzglêdn¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ω34, b) k¹t nacisku α. Dane: AB = BC = BE = 0,15 m, R = EC = 2r = 0,12 m, DC = FO = 0,2 m, xF = 0,25 m, yA = 0,15 m, AD = 0,08 m, ϕ2 = π/6, ω2 = 10 s–1.

Zad. 102 W przedstawionym na rysunku mechanizmie krzywkowym okreœliæ: a) nowe po³o¿enie popychacza po obrocie krzywki o k¹t ∆ϕ2 = π/4 od k¹ta ϕ2 = π/6, b) prêdkoœæ k¹tow¹ ω4 dla ϕ2 = π/6. Dane: R = 2r = 0,06 m, AO = AB = 0,09 m, BC = 0,15 m, ω2 = 100 s–1.

Analiza mechanizmów krzywkowych

Zad. 103 Dla zadanego po³o¿enia mechanizmu dwukrzywkowego okreœliæ: a) prêdkoœæ poœlizgu vDC, b) przyspieszenie ε3. Dane: AO3 = AB = 2R = 0,06 m, e = ρ = 0,02 m, ω2 = 10 s–1.

Zad. 104 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ: a) ca³kowity k¹t obrotu popychacza, b) przyspieszenie ε3 w zadanym po³o¿eniu. Dane: a = 1,5R = 3AO = 0,03 m, ω2 = 20 s–1, ϕ2 = π/6.

Zad. 105 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ: a) ca³kowity skok popychacza, b) przyspieszenie popychacza w zadanym po³o¿eniu. Dane: R = 2AO = 0,04 m, ω2 = 25 s–1, ϕ2 = π/4.

111

112

Analiza mechanizmów krzywkowych

Zad. 106 Przy braku poœlizgu miêdzy krzywk¹ i kr¹¿kiem okreœliæ liczbê obrotów kr¹¿ka 3 wzglêdem popychacza 4: a) przy obrocie krzywki o k¹t ϕ2 = 2π, b) przy obrocie krzywki o k¹t ϕ2 = π. Dane: R = 3r = 2e = 0,03 m.

Zad. 107 Po przesuniêciu krzywki 2 o skok s = a kr¹¿ek 3 dokona pewnego obrotu wzglêdem popychacza 4. Okreœliæ k¹t obrotu ϕ34 przy za³o¿eniu braku poœlizgu miêdzy krzywk¹ i kr¹¿kiem. Dane: a = 4r = 2AB = 0,08 m.

Zad. 108 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ liczbê obrotów kr¹¿ka (zak³adaj¹c brak poœlizgu) dla ca³kowitego obrotu krzywki. Dane: BC = 0,045 m, OA = a = 0,04 m 1,5R = 2r = 3rk = 0,03 m.

Analiza mechanizmów krzywkowych

Zad. 109 W przedstawionym na rysunku mechanizmie krzywkowym okreœliæ: a) maksymalny k¹t nacisku α, b) pracê wykonan¹ podczas podnoszenia popychacza, c) czynny fragment zarysu popychacza. Dane: M3 = 10 N·m, AO = 2R = 4r = 0,04 m, R1 = 0,05 m, a = 0,06 m, R = 0,04 m. Zad. 110 W mechanizmie przedstawionym na rysunku okreœliæ: a) maksymalny k¹t nacisku α, b) pracê wykonan¹ podczas podnoszenia popychacza od po³o¿enia dolnego do górnego. Dane: F3 = 100 N, R = 2AO = 2rk = 0,04 m.

Zad. 111 W przedstawionym na rysunku mechanizmie krzywkowym okreœliæ si³ê zginaj¹c¹ popychacz w zadanym po³o¿eniu. Dane: R1 = 10rk = 0,05 m, R = 2r = 2e = 0,01 m, m3 = 5 kg, F3 = 100 N, ω2 = 50 s–1, ϕ2 = π/6.

113

114

Analiza mechanizmów obiegowych

Zad. 112 Dla przedstawionej na rysunku przek³adni obiegowej okreœliæ obroty ko³a 2 w uk³adzie podstawy 1 oraz w uk³adzie jarzma J. Dane: z1 = 60, z2 = 20, ωJ = 10 s–1.

Zad. 113 Okreœliæ prze³o¿enie i1J = ω1 /ωJ w podanej przek³adni obiegowej. Dane: z1 = 40, z2 = z4 = 20.

Zad. 114 W zadanej przek³adni obiegowej okreœliæ ωJ i ω2J . Dane: z1 = z3 = 40, z2 = 30, ω1 = 10 s–1.

Analiza mechanizmów obiegowych

Zad. 115 Okreœliæ obroty n5 ko³a 5 podanej przek³adni obiegowej. Zadanie rozwi¹zaæ metod¹ Willisa i graficzn¹. Dane: z1 = 22, z2 = 16, z´2 = 20. z3 = 18, z´3 = 22, z4 = 18, z´4 = 20, z5 = 60, nJ = 1500 obr/min.

Zad. 116 Okreœliæ obroty n1 ko³a 1 podanej przek³adni ró¿nicowej. Dane: z1 = 30, z2 = 30, z´2 = 20. z3 = 80, z´3 = 35, z4 = 14, z5 = 42, z6 = 14, n4 = 1500 obr/min, n6 = 1500 obr/min.

Zad. 117 Wyznaczyæ obroty ko³a 6 przedstawionego na rysunku reduktora. Dane: z1 = 49, z2 = 50, z´2 = 51. z3 = 49, z4 = z5 = 14, z6 = 140, nJ = 3000 obr/min.

115

116

Analiza mechanizmów obiegowych

Zad. 118 Dla zadanego mechanizmu okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ cz³onu 3. Dane: AB = CD, CB = AD, z1 = 30, z2 = 60, ω1 = 100 s–1.

Zad. 119 Okreœliæ prêdkoœci punktów A, B i C podanego na rysunku mieszalnika. Dane: z1 = 40, z2 = 10, a = 0,3 m, b = 0,4 m, r = 0,1 m, ωJ = 10 s–1.

Zad. 120 W podanym mechanizmie okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ cz³onu 2 oraz prêdkoœæ liniow¹ punktu C. Dane: r1 = 0,07 m, r2 = 0,14 m, a = 0,085 m, BC = 0,23 m, ω1 = 200 s–1.

Analiza mechanizmów obiegowych

Zad. 121 Dla podanej wci¹garki okreœliæ prêdkoœæ vG haka G dla zadanej prêdkoœci obrotowej nS wa³u silnika S. Dane: nS = 3000 obr/min, z2 = z4 = 15, z1 = 16, z3 = 14, a = 0,4 m.

Zad. 122 Dla zadanej przek³adni obiegowej okreœliæ prze³o¿enie i1J = ω1/ωJ. Dane: z1 = 30, z2 = 20, z3 = 70, z4 = 20, z5 = 80, z7 = 40.

Zad. 123 Dla za³¹czonej przek³adni okreœliæ prze³o¿enie i1J = ω1/ωJ . Dane: zi – liczba zêbów poszczególnych kó³ zêbatych.

117

118

Si³y bezw³adnoœci

Zad. 124 Sprawdziæ, czy dla zadanego po³o¿enia mechanizmu popychacz 3 oderwie siê od krzywki 2. Dane: ϕ = 5π/4, ω = 20 s–1. Wartoœci R i e przyj¹æ.

Zad. 125 Sprawdziæ, czy dla zadanego po³o¿enia mechanizmu popychacz 3 oderwie siê od krzywki 2. Dane:ϕ = 5π/4, ω = 20 s–1. Wartoœci R i e przyj¹æ.

Zad. 126 Dla zadanego po³o¿enia mechanizmu wyznaczyæ si³ê S sprê¿yny, która zapewni kontakt krzywki 2 i popychacza 3. Dane: ϕ = 3π/2, ω = 20 s–1, IS3 = 0,01 kg·m2 AS3 = l = 2R = 4e = 0,4 m. A

Si³y bezw³adnoœci

Zad. 127 Uwzglêdniaj¹c masê m1 jednorodnego prêta 1 oraz masê m2 ciê¿arka 2 wyprowadziæ zwi¹zek miêdzy prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω i wartoœci¹ y. Dane: l1 = 0,1 m, l3 = 0,18 m, m1 = 0,4 kg, m2 = 1 kg.

Zad. 128 Okreœliæ masê m ciê¿arków, która zapewni po³o¿enie nasuwy 3 opisane wspó³rzêdn¹ z. Dane: a = 0,12 m, b = 0,1 m, R = 0,12 m, z = 0,04 m. Masy cz³onów 2 i 3 oraz tarcie pomin¹æ.

Zad. 129 Dla oznaczeñ jak na rysunku wyprowadziæ postaæ zwi¹zku miêdzy prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω oraz wspó³rzêdn¹ z. Dane:r = 0,05 m, l = 0,1 m, m7 = 1 kg, mQ = 0,2 kg. Masy cz³onów 3, 4, 5, 6 oraz tarcie pomin¹æ.

119

120

Zad. 130 Proces przesiewania wymaga wymuszenia ruchu wzglêdnego ziarna o masie m i sita 4. Sprawdziæ, czy w zadanym po³o¿eniu uk³adu ten ruch wzglêdny zostanie wymuszony obrotem korby AB z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω2. Dane: ϕ2 = 2π/3, µst = 0,1 (wsp. tarcia), ED = GF, EG = DF, AB = 0,07 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie. Zad. 131 Dla uk³adu pompy ³opatkowej okreœliæ si³ê oddzia³ywania P13 miêdzy ³opatk¹ 3 i korpusem 1, pochodz¹c¹ od si³ masowych cz³onu 3. Dane: R = 0,25 m, r = 0,2 m, ϕ2 = π/4, m3 = 0,2 kg, IS3 = 0,01 kg·m2, ω2 = 30 s–1.

Zad. 132 Okreœliæ przebieg momentów gn¹cych dla wa³u 1, na którym zamocowano jednorodny prêt o masie m2 (œrodek masy prêta pokrywa siê z osi¹ prêta). Dane: a = 0,4 m, b = 0,15 m, l = 0,7 m, α = π/18, m2 = 100 kg, ω2 = 100 s–1.

Si³y bezw³adnoœci

Si³y bezw³adnoœci

Zad. 133 Ustaliæ czy w zadanym po³o¿eniu uk³adu cz³ony 2 i 3 stykaj¹ siê na krawêdzi k1 czy k2. Wyznaczyæ si³ê oddzia³ywania P23 miêdzy tymi cz³onami. Dane: r = 0,3 m, e = 0,1 m, ϕ2 = π/3, m3 = 5 kg, ω2 = 30 s–1.

Zad. 134 Ustaliæ czy w zadanym po³o¿eniu uk³adu cz³ony 1 i 4 stykaj¹ siê na krawêdzi k1 czy k2. Wyznaczyæ si³ê oddzia³ywania P14 miêdzy tymi cz³onami. Dane: AB = 0,1 m, e = 0,05, BC = 0,4 m, m2 = m4 = 0, m3 = 0,8 kg, IS3 = 0,02 kg·m2, ϕ2 = 2π/3, ω2 = 100 s–1. Masy cz³onów 2 i 4 pomin¹æ.

Zad. 135 Ustaliæ po³o¿enia (k¹ty ϕ2) mechanizmu, w których w ruchu ustalonym nastêpuje zmiana styku cz³onów 3 i 4 z krawêdzi k1 na k2 oraz z k2 na k1. Dane: AB = 0,25 m, AC = 0,6 m, ω2 = const, IS4 > 0 (œrodek masy cz³onu 4 le¿y w C). Masy cz³onów 2 i 3 pomin¹æ.

121

122

Wyznaczanie si³ bez tarcia

Zad. 136 Dla podanego uk³adu wyznaczyæ: a) moment równowa¿¹cy M1, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. Dane: BC = 2AB = 0,2 m, h = 0,07 m, ϕ1 = π/4, P3 = 200 N, M2 = 30 N·m.

Zad. 137 Dla podanego uk³adu wyznaczyæ: a) si³ê równowa¿¹c¹ P, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. Dane: AB = BC = CE = AC = = CD = EF = DF = 0,5 m, ψ = π/6, Q = 200 N.

Zad. 138 Dla podanego mechanizmu okreœliæ: a) si³ê równowa¿¹c¹ P4, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. Dane (wymiary liniowe w m): AB = 0,25, BC = 0,45, DE = 0,5, a = c = 0,45, β = 0,15, α = π/6, β = π/4, ϕ2 = 2π/3, M2 = 10 N·m, P5 = 500 N.

Wyznaczanie si³ bez tarcia

Zad. 139 W podanym uk³adzie wyznaczyæ: a) si³ê równowa¿¹c¹ S w si³owniku MN, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 250 kN, G = 40 kN, MN = 0,4 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 140 W podanym uk³adzie wyznaczyæ: a) si³ê równowa¿¹c¹ S w si³owniku MN, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 200 kN, G = 60 kN, MN = 0,5 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 141 W podanym uk³adzie wyznaczyæ: a) si³ê równowa¿¹c¹ S w si³owniku MN, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 200 kN, G = 30 kN, MN = 0,8 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

123

124

Wyznaczanie si³ bez tarcia

Zad. 142 Dla zadanego uk³adu okreœliæ: a) si³ê S w sprê¿ynie 5 potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³y Q i momentu M2, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: M2 = 20 N·m, Q = 1 kN, yA = 0,2 m, xD = 0,3 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie. Zad. 143 Dla podanego uk³adu okreœliæ: a) moment M 1 równowa¿¹cy dzia³anie si³ F3 i F5, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: F3 = F5 = 500 N, AB = 0,25 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 144 Dla podanego uk³adu okreœliæ: a) moment M 1 równowa¿¹cy dzia³anie si³ P2, P3 i momentu M4, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia Dane: P3 = 2P2 = 1 kN, M4 = 300 N·m, AB = 0,15 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Wyznaczanie si³ bez tarcia

Zad. 145 Dla uk³adu podnoœnika okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³y Q, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 25 kN, MN = 0,3 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 146 Dla uk³adu podnoœnika okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³y Q, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 25 kN, MN = 0,2 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Zad. 147 Dla uk³adu podnoœnika okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³y Q, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia Dane: Q = 30 kN, MN = 0,25 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

125

126

Wyznaczanie si³ bez tarcia

Zad. 148 Dla podanego uk³adu okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³ Q, QP, G, b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 50 kN, QP = 15 kN, G = 4 kN, MN = 0,6 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie. Zad. 149 Dla podanego uk³adu okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³ Q, QP , b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 80 kN, QP = 15 kN, MN = 0,4 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie. Zad. 150 Dla podanego uk³adu okreœliæ: a) si³ê S w si³owniku MN potrzebn¹ do zrównowa¿enia si³ Q, QP , b) si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych z pominiêciem tarcia. Dane: Q = 120 kN, QP = 25 kN, MN = 0,6 m. Pozosta³e wymiary przyj¹æ proporcjonalnie.

Wyznaczanie si³ oddzia³ywania z tarciem

Zad. 151 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment MT2 potrzebny do zrównowa¿enia si³y zewnêtrznej P4. Tarcie uwzglêdniæ w parach obrotowych A, B i w parze postêpowej. Dane: P4 = 500 N, BC = 2AB = 0,6 m, ρ = π/18, ϕ2 = 5π/9, h = rµ´ = 0,03 m.

Zad. 152 Okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment MT2 równowa¿¹cy si³ê P3. Dane: P3 = 700 N, yA = 0,45 m, yD = –0,15 m, xC = 0,3 m, xE = 0,55 m, AB = 0,28 m, BC = 0,35 m, h = rµ´ = 0,05 m.

Zad. 153 Okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment czynny MT2 potrzebny do pokonania si³y F. Dane: F = 100 N, a = 0,04 m, e = 0,5 m, b = c = d = r = 0,1 m, ϕ2 = π/4, ρ = π/18, h = rµ´ = 0,02 m.

127

128

Wyznaczanie si³ oddzia³ywania z tarciem

Zad. 154 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment czynny MT2 równowa¿¹cy si³ê skrawania Ps (tarcie uwzglêdniæ w parach postêpowych i parach obrotowych C, D i E ). Dane: Ps = 10 kN, AB = 0,04 m, AC = ED = d = 0,15 m, a = 0,3 m, CD = 0,2 m, 2b = c = e = 0,1 m, ϕ = π/3, ρ = π/30, h =rµ´ = 0,008 m.

Zad. 155 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment czynny MT2 równowa¿¹cy si³ê skrawania Ps (tarcie uwzglêdniæ w parach postêpowych i parach obrotowych A i C). Dane: Ps = 20 kN, a = 0,65 m, b = 0,45 m, c = 0,3 m, d = 0,25 m, e = 0,1 m, CD = 1 m, AB = 0,3 m, DE = 0,25 m, ϕ = π/3, ρ = π/30, h =rµ´ = 0,02 m.

Zad. 156 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment bierny MT3 równowa¿¹cy si³ê P1 (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: P1 = 500 N, a = 0,42 m, b = 0,3 m, AF = AC = 2AB = 0,43 m, c = 0,13 m, e = 0,4 m, d = 0,03 m, ρ = π/18, h =rµ´ = 0,03 m, ϕ = α = π/3.

Wyznaczanie si³ oddzia³ywania z tarciem

Zad. 157 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz si³ê P T równowa¿¹c¹ moment czynny M2 (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: M2 = 30 N·m, AB = 0,1 m, yC = 0,2 m, yD = 0,3 m, R = 0,08 m, ϕ2 = π/4, ρ = π/18, h =rµ´ = 0,02 m, a = 0,07 m, r = d = 0,05 m.

Zad. 158 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz si³ê P T równowa¿¹c¹ moment czynny M2 (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: M2 = 10 N·m, AB = 0,15 m, xA = 0,075 m, yB = d = 0,09 m, yC = 0,2 m, yD = 0,28 m, ρ = π/18, h =rµ´ = 0,01 m.

Zad. 159 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment czynny MT2 równowa¿¹cy si³ê skrawania Ps (tarcie uwzglêdniæ w parach postêpowych i parach obrotowych A i C). Dane: Ps = 10 kN, AB = 0,045 m, AC = 0,15 m, a = 0,16 m, b = 0,09 m, c = 0,06 m, d = e = 0,075 m, ϕ2 = 2π/3, ρ = π/30, h =rµ´ = 0,008 m.

129

130

Wyznaczanie si³ oddzia³ywania z tarciem

Zad. 160 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz si³ê PT4 równowa¿¹c¹ moment M2 (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: M2 = 10 N·m, AB = 0,2 m, BC = 0,22 m, CD = 0,1 m, r = c = 0,06 m, BD = R = a = 0,17 m, b = 0,08 m, ϕ2 =π/4, ρ = π/18, h =rµ´ = 0,01 m.

Zad. 161 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment MT2 równowa¿¹cy si³ê czynn¹ S (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: S = 100 N, AB = BC = 0,36 m, AE = 0,31 m, BD = 0,16 m, CD = 0,26 m, l = 0,16 m, ϕ2= π/6, ρ = π/18, h =rµ´ = 0,05 m.

Zad. 162 Okreœliæ si³y oddzia³ywania oraz moment MT2 równowa¿¹cy si³ê czynn¹ S (tarcie uwzglêdniæ we wszystkich parach). Dane: S = 1000 N, AB = AE = 0,28 m, BC = 0,48 m, ED = 0,36 m, a = 0,15 m, d = 0,12 m, e = 0,05 m, l = 0,18 m, ϕ = π/4, ρ = π/18, h = rµ´ = 0,025 m.

Wyznaczanie si³ oddzia³ywania z tarciem

Zad. 163 Na cz³on 1 o ciê¿arze Q dzia³a si³a P przy³o¿ona jak na rysunku. Okreœliæ: a) charakter ruchu popychacza dla α = π/12, b) k¹t α, przy którym ruch bêdzie jednostajny. Dane: P = 100 N, Q = 50 N, a = 0,07 m, b = 0,03 m, d = 0,02 m, ρ = π/18.

Zad. 164 Okreœliæ zakresy po³o¿eñ martwych uk³adu korbowo-wodzikowego obci¹¿onego si³¹ czynn¹ Fc i momentem biernym Mb (tarcie w parach obrotowych). Dane: AB = 0,5 m, BC = 1,5 m, h =rµ´ = 0,05 m.

Zad. 165 Z uwzglêdnieniem tarcia tylko w parze C, rozpatrzyæ zagadnienie po³o¿eñ martwych. Dobraæ wymiar a, którego wartoœæ umo¿liwi ruch w zakresie pe³nego k¹ta obrotu cz³onu AB. Dane: AB = 0,8 m, b = 1 m, d = 0,1 m, µ = 0,3.

131

132

Sprawnoœæ mechanizmów

Zad. 166 Okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej ηch mechanizmu podczas podnoszenia i opuszczania ciê¿aru Q. Dane: Q = 1000 N, AB = 0,5 m, BC = 1,2 m, AD = DC = 0,4 m, h =rµ´ = 0,02 m.

Zad. 167 Okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej ηch czworoboku przegubowego. Dane: AB = 0,24 m, BC = 0,6 m, CD = 0,4 m, AD = 0,55 m, ϕ4 = π/3, M2 = 30 N·m, h =rµ´ = 0,02 m.

Zad. 168 Okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej ηch mechanizmu przy za³o¿eniu, ¿e cz³onem czynnym jest krzywka. Dane: M1 = 0,5 N·m, AO1 = 0,02 m, ϕ1 = π/6, a = 0,08 m, b = 0,03 m, r = 2d = 0,04 m, ρ = π/18, µ´ = 0,15, dA = 0,02 m (dA – œrednica czopa A).

Sprawnoœæ mechanizmów

Zad. 169 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej. Dane: 2AB = BC = 0,2 m, a = 0,05 m, Mc = 20 N·m, ϕ2 = π/4, ρ = π/18, hA = hB = hC = 0,01 m.

Zad. 170 Dla mechanizmu jarzmowego okreœliæ w dwóch po³o¿eniach cz³onu AB wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej . Dane: 3AB = AC = 0,9 m, Mc = 10 N·m, ϕ2(1) = π/6, ϕ2(2) = 5π/6, ρ = π/18, hA = hB = hC = 0,015 m.

Zad. 171 Dla podnoœnika przedstawionego na rysunku okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej. Dane: Q = 1000 N, AB = BC = BD = 0,5 m, AM = 0,2 m, CN = NM = 0,3 m, ρ = π/18, hi = 0,04 m.

133

134

Sprawnoœæ mechanizmów

Zad. 172 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej. Dane: a = 1,5R = 3AO = BS3 = = 0,3 m, M3 = 1 N·m, G3 = 100 N, ϕ2 = π/6, ρ = π/18, hA = hB = 0,01 m.

Zad. 173 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej. Dane: a = 0,08 m, b = 0,03 m, ρ = π/18, R = 2AO = 2d = 0,04 m, ϕ2 = π/6, Mc = 0,5 N·m, hA = 0,0015 m.

Zad. 174 Dla mechanizmu przedstawionego na rysunku okreœliæ wspó³czynnik mechanicznej sprawnoœci chwilowej. Dane: 2AB = AD = CD = 0,4 m, AM = 3BN = NM = 0,3 m, BC = 0,5 m, hi = 0,005 m, S = 10 kN.

Badanie ruchu maszyn

135

Zad. 175 Model dynamiczny maszyny jest obrotow¹ tarcz¹ o sta³ym zredukowanym momencie bezw³adnoœci Izr. Okreœliæ moment M potrzebny do wywo³ania wzrostu prêdkoœci k¹towej ω od ω1 do ω2 w czasie ∆t. Dane: Izr = 2 kg·m2, ω1 = 0, ω2 = 21 s–1, ∆t = 3 s.

Zad. 176 Wa³ A maszyny jest obci¹¿ony momentem czynnym Mc i biernym Mb wed³ug przebiegów jak na rysunku. Okreœliæ prêdkoœæ ruchu ustalonego . Dane: ω = 0 dla ϕ = 0, Izr = 0,3 kg·m2.

Zad. 177 Model maszyny w postaci obrotowej tarczy jest w ruchu ustalonym obci¹¿ony momentem biernym Mbzr (rysunek) i czynnym Mc. K¹t jednego cyklu pracy wynosi 2π. Okreœliæ: a) przebieg ω(ϕ) dla 1 cyklu pracy, b) wspó³czynnik nierównomiernoœci δ. Dane: Mx = 100 N·m, Mc = const, Izr = 2 kg·m2, dla ϕ = 0 ω = ωœr = 20 s–1.

.

.

136

Badanie ruchu maszyn

Zad. 178 Hamowanie tarczy 1, obracaj¹cej siê z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω1, jest realizowane si³¹ P2. Okreœliæ liczbê obrotów, jak¹ wykona tarcza 1 do momentu zatrzymania. Dane: BC = 0,5 m, CD = 0,3 m, d = 0,2 m, P2 = 200 N, I1 = 4 kg·m2, m = 0,2, ω1 = 100 s–1.

Zad. 179 Opadanie ciê¿aru 2 jest hamowane momentem Mh. W chwili poczatkowej bêben 1 jest nieruchomy. Okreœliæ: a) przyspieszenie opadania a2, b) d³ugoœæ liny jaka odwinie siê z bêbna po up³ywie czasu ∆t. Dane: Mh = 100 N·m, ∆t = 2 s, I1 = 3 kg·m2, Q = 10 kN, R = 0,5 m.

Zad. 180 W chwili wy³¹czenia napêdu ko³o 2 o ciê¿arze Q2 i momencie bezw³adnoœci I2 obraca siê z prêdkoœci¹ ω2. Okreœliæ wspó³czynnik tarcia µ12 wiedz¹c, ¿e czas zatrzymania wynosi ∆t. Dane: d = 0,01 m, ω2 = 50 s–1, ∆t = 30 s, Q2 = 300 N, I2 = 0,08 kg·m2.

Badanie ruchu maszyn

Zad. 181 Korbosuw ABC, którego bezw³adnoœæ opisuje masa zredukowana mzr4 , jest obci¹¿ony momentem M2 i si³¹ P4. Okreœliæ przyspieszenie cz³onu AB wiedz¹c, ¿e w chwili pocz¹tkowej mechanizm jest w spoczynku (ω2 = 0). Dane: AB = 0,3 m, BC = 0,7 m, ϕ2 = π/3, M2 = 50 N·m, P4 = 150 N, mzr4 = 2 kg·m2.

Zad. 182 Ruch krokowy cz³onu t jest wymuszany prostowodem ABCDE. Okreœliæ przyspieszenie at z pominiêciem masy cz³onów czworoboku ABCD. Dane: AB = 0,2 m, BC = CD = CE = 0,5 m, AD = 2AB, ϕ = 5π/6, M = 20 N·m, mt = 20 kg.

Zad. 183 Dla uk³adu przedstawionego na rysunku okreœliæ przyspieszenie korby AB wywo³ane momentem M c. Dane: AB = 0,2 m, ϕ = π/4, ω = 30 s–1, M = 20 N·m, F = 15 N, m = 10 kg. Masê korby AB i suwaka pomin¹æ.

137

138

Badanie ruchu maszyn

Zad. 184 Uwolnienie wa³ka w wymaga przemieszczenia zêbatki 2 o wartoœæ h. Okreœliæ czas t uwolnienia wa³ka przyjmuj¹c, ¿e chwytak pracuje w p³aszczyŸnie poziomej. Dane: AS3 = 0,2 m, r3 = 0,05, h = 0,01 m, m3 = 0,4 kg, m2 = 0,1 kg, IS3 = 0,07 kg·m2, Fc = 200 N.

Zad. 185 Do zaciœniêcia palca 5 chwytaka na przedmiocie p wymagane jest przemieszczenie zêbatki 2 o skok h. Okreœliæ czas t, po jakim nast¹pi uchwycenie przedmiotu p, je¿eli chwytak pracuje w p³aszczyŸnie poziomej. Dane: r3 = 0,08 cm, AS3 = BS5 = 0,1 m, BS3 = AS5, m2 = 0,8 kg, m5 = 0,5 kg, IS3 = 0,02 kg·m2, h = 0,01 m, Fc = 150 N. Zad. 186 Do zaciœniêcia palca 4 chwytaka na przedmiocie p wymagane jest przemieszczenie zêbatki 2 o skok h. Okreœliæ czas t, po jakim nast¹pi uchwycenie przedmiotu p, je¿eli chwytak pracuje w p³aszczyŸnie poziomej. Dane: r = 0,08 m, h = 0,01 m, m4 = 3m2 = 0,6 kg, F = 100 N, IS3 = 0,015 kg·m2.

Wywa¿anie i wyrównowa¿anie

Zad. 187 Obliczyæ masy przeciwciê¿arów E, F, niezbêdnych do statycznego wywa¿enia uk³adu przedstawionego na rysunku. Dane: AB = 0,12 m, BC = CD = 0,4 m, AD = 0,45 m, DS3 = 2AS1 = 0,15 m, BS2 = 0,2 m, DF = 2AE = 0,1 m, m3 = 2m2 = 4m1 = 4 kg.

Zad. 188 Obliczyæ masy przeciwciê¿arów D, E, niezbêdnych do statycznego wywa¿enia uk³adu przedstawionego na rysunku. Dane: AB = 0,1 m, AC = 0,25 m, AS1 = 0,05 m, CS3 = 0,2 m, CE = 2AD = 0,1 m, m3 = 2m1 = 2m2 = 4 kg.

Zad. 189 Obliczyæ masy przeciwciê¿arów E, F, niezbêdnych do statycznego wywa¿enia uk³adu przedstawionego na rysunku. Dane: AB = 0,12 m, BC = CD = 0,4 m, AD = 0,45 m, DS3 = 2AS1 = 0,15 m, BS2 = BF = 0,2 m, AE = 0,1 m, m3 = 2m2 = 4m1 = 4 kg.

139

140

Wywa¿anie i wyrównowa¿anie

Zad. 190 Okreœliæ po³o¿enie, jakie zajmie uk³ad pod w³asnym ciê¿arem. Tarcie w parach pomin¹æ. Dane: AB = 0,04 m, AS1 = 0,02 m, AC = BS2 = 0,12 m, G1 = 20 N, G2 = 30 N.

Zad. 191 ZnaleŸæ mechanizm wykreœlaj¹cy tor œrodka ciê¿koœci podanego na rysunku uk³adu. Dane: AB = 0,4 m, BC = 0,45 m, a = 0,2 m, b = 0,9 m, AS2 = 2AS1 = 0,2 m, CS3 = 0,4 m, G3 = 2G1 = 800 N, G2 = 500 N.

Zad. 192 Okreœliæ po³o¿enie, jakie zajmie uk³ad pod w³asnym ciê¿arem. Tarcie w parach pomin¹æ. Dane: AB = 0,06 m, BC = 0,3 m, AS1 = 0,03 m, BS2 = 0,1 m, m1 = 1 kg, m2 = 3 kg, m3 = 3,5 kg.

Wywa¿anie i wyrównowa¿anie

Zad. 193 Dla wa³u, którego wszystkie masy i oœ le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie, okreœliæ si³y dynamiczne w ³o¿yskach A i B. Dane: m1 = 2m2 = 4m3 = 1 kg, ρ3 = 2ρ2 = 2ρ1 = 0,2 m, a3 = 4a1 = 0,4 m, a2 = 0,3 m, l = 0,5 m, ω = 20 s–1.

Zad. 194 Okreœliæ dynamiczne si³y oddzia³ywania w ³o¿yskach A i B, je¿eli œrodki wszystkich mas oraz oœ wa³u le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie. Dane: m1 = 10 kg, m2 = 15 kg, m3 = 8 kg, ρ1 = 0,01 m, ρ2 = 0,015 m, ρ3 = 0,025 m, a1 = 0,04 m, a2 = 0,05 m, a3 = 0,1 m, l = 0,15 m, ω = 50 s–1.

Zad. 195 Wyznaczyæ masy mI i mII umieszczone w p³aszczyznach I i II w celu zrównowa¿enia mas m1 i m2, je¿eli obie te masy i oœ wa³u le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie. Dane: m1 = 2m2 = 0,02 kg, ρ1 = ρ2 = 0,1 m, a2 = 2a1 = 0,4 m, l = 0,6 m, rI = rII = 0,1 m.

141

142

Wywa¿anie i wyrównowa¿anie

Zad. 196 Wyznaczyæ masy mI i mII umieszczone w p³aszczyznach I i II w celu dynamicznego zrównowa¿enia ciê¿arów G1 i G2. Dane: m2 = 2m1 = 0,2 kg, ρ1 = 2ρ2 = 0,01 m, α = π/2, a = 0,1 m, b = 0,25 m, l = 0,4 m, rI = rII = 0,01 m.

Zad. 197 Obliczyæ masy mI i mII umieszczone w p³aszczyznach I i II w celu dynamicznego wyrównowa¿enia jednorodnego prêta p. Dane: Ciê¿ar prêta G = 40 N, b = 2a = 2c = 0,6 m, ϕ = π/4, rI = rII = 0,01 m.

Zad. 198 Przy prêdkoœci k¹towej ω2 wirnika 2 poziome si³y oddzia³ywania w ³o¿yskach odpowiednio wynosz¹ PAz i PBz. Okreœliæ, o ile zwiêkszy siê masa wirnika po jego wyrównowa¿eniu masami mI i mII umieszczonymi w p³aszczyznach I i II. Dane: ω2 = 100 s–1, PAz = 700 N, PBz = 300 N, a = 0,5 m, b = 0,05 m, m2 = 100 kg.

Rozdzia³ 3 Problemy syntezy

Synteza mechanizmów

Zad. S-1 Przedstawiony mechanizm s³u¿y do zamiany ruchu korby 2 na ruch wahliwy popychacza 5. Zapisaæ ten mechanizm w postaci: a) schematu strukturalnego, b) zapisu macierzowego.

Zad. S-2 P³aski mechanizm zêbaty zilustrowany na rysunku w postaci grafu struktury przedstawiæ w formie: a) zapisu konturowego, b) schematu kinematycznego. Za³o¿yæ, ¿e: Pary B i C – zazêbienie, pary A, E i D – przeguby.

Zad. S-3 Za³¹czona macierz opisuje p³aski uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej. Przedstawiæ ten uk³ad w formie: a) zapisu konturowego, b) schematu kinematycznego. Przyj¹æ, ¿e: – cz³on 1 – podstawa, – cz³on 7 – ³y¿ka, – cz³ony 2 i 5 – si³owniki, – wszystkie pary obrotowe.

145

146

Synteza mechanizmów

Zad. S-4 Za³¹czony schemat strukturalny reprezentuje okreœlon¹ rodzinê mechanizmów p³askich. Naszkicowaæ wszystkie, objête tym schematem strukturalnym, mo¿liwe wersje schematów kinematycznych. Potraktowaæ pary I kl. (A, C, D) jako obrotowe lub postêpowe, a pary II kl. (B, E) jako zazêbienie lub jako po³¹czenie kulisowe. Zad. S-5 Za³¹czony schemat strukturalny reprezentuje rodzinê mechanizmów p³askich. Naszkicowaæ wszystkie, objête tym schematem strukturalnym, mo¿liwe wersje schematów kinematycznych. Potraktowaæ pary I kl. (A, E, D) jako obrotowe lub postêpowe, a pary II kl. (B, C) jako zazêbienie lub jako po³¹czenie kulisowe.

Zad. S-6 Ze schematu strukturalnego przedstawionego na rysunku mo¿na otrzymaæ wiele mechanizmów zêbatych, je¿eli potraktuje siê parê B jako zazêbienie. Narysowaæ te mechanizmy przyj¹wszy, ¿e wszystkie kolejne cz³ony mog¹ pe³niæ rolê podstawy.

Synteza mechanizmów

Zad. S-7 Rysunek przedstawia uk³ad przeniesienia ruchu z cz³onu 2 na cz³on 4. Zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania ró¿ni¹ce siê klasami par kinematycznych B i C. Uwzglêdniaæ tylko rozwi¹zania racjonalne, dopuœciæ równie¿ ruchliwoœæ lokaln¹ cz³onu 3.

Zad. S-8 Rysunek przedstawia schemat po³¹czeñ uk³adu przeniesienia ruchu z cz³onu 2 na cz³on 4, przy czym nie s¹ okreœlone klasy par B, C i D. Przedstawiæ w postaci schematów kinematycznych mo¿liwe rozwi¹zania tego uk³adu. Uwaga: Uk³ad powinien byæ jednobie¿ny i bez wiêzów biernych.

Zad. S-9 Przez dobór odpowiednich klas par B i C mo¿na otrzymaæ uk³ad umo¿liwiaj¹cy jednoznaczn¹ zamianê ruchu czynnego cz³onu 2 na ruch bierny cz³onu 4. Rozrysowaæ mo¿liwe rozwi¹zania, dopuœciæ równie¿ ruchliwoœæ lokaln¹ cz³onu 3.

147

148

Synteza mechanizmów

Zad. S-10 Uk³ad ABCD charakteryzuje siê ruchliwoœci¹ W = 1. Po przy³¹czeniu przegubowo dodatkowego cz³onu 5 otrzymuje siê uk³ad sztywny. Przyk³adow¹ wersjê rozwi¹zania przedstawiono na rysunku lini¹ przerywan¹. Narysowaæ wszystkie mo¿liwe wersje uk³adów sztywnych otrzymanych przez przy³¹czenie dodatkowego cz³onu dwuwêz³owego 5. Zad. S-11 Przejœcie uk³adu z po³o¿enia AB1C1 w po³o¿enie AB2C2 mo¿na uzyskaæ przez odpowiednie w³¹czenie do uk³adu sprê¿yny rozci¹ganej EF. Rozrysowaæ wszystkie mo¿liwe rozwi¹zania.

Zad. S-12 Ruch platformy p podnoœnika mo¿na uzyskaæ wykorzystuj¹c zmianê d³ugoœci si³ownika AB. Rozrysowaæ wszystkie uk³ady otrzymane przy ró¿nych mo¿liwych pod³¹czeniach si³ownika AB.

Synteza mechanizmów

Zad. S-13 £añcuch poœrednicz¹cy ABCD z wolnymi pó³parami A, C, D, w³¹czony w uk³ad cz³onów wyjœciowych o, c, b, zapewnia jednobie¿noœæ uk³adu. Przyk³adowe rozwi¹zanie naniesiono na rysunku lini¹ przerywan¹. Narysowaæ wszystkie mo¿liwe wersje po³¹czeñ.

Zad. S-14 £añcuch poœrednicz¹cy ABCD, w³¹czony wolnymi pó³parami A, C, D w uk³ad cz³onów wejœciowych o, b, zapewnia jednobie¿noœæ uk³adu (zmiana d³ugoœci si³ownika c powoduje jednoznaczny ruch cz³onu b). Przyk³adowe rozwi¹zanie naniesiono na rysunku lini¹ przerywan¹. Narysowaæ wszystkie mo¿liwe wersje po³¹czeñ. Zad. S-15 £añcuch poœrednicz¹cy ABCDE, w³¹czony wolnymi pó³parami A, C, D w uk³ad cz³onów wejœciowych o, b, zapewnia jednobie¿noœæ uk³adu (zmiana d³ugoœci si³ownika c powoduje jednoznaczny ruch cz³onu b). Przyk³adowe rozwi¹zanie naniesiono na rysunku lini¹ przerywan¹. Narysowaæ wszystkie mo¿liwe wersje po³¹czeñ.

149

150

Synteza mechanizmów

Zad. S-16 Do przeniesienia ruchu z cz³onu c na ruch cz³onu b wykorzystuje siê ³añcuch U cz³onów poœrednicz¹cych. Nale¿y: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych. Zad. S-17 Zmiana d³ugoœci si³ownika c powinna wywo³aæ jednoznaczny ruch cz³onu b. Nale¿y dobraæ odpowiedni ³añcuch U zapewniaj¹cy tak¹ zamianê. W tym celu: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych. Zad. S-18 Do przeniesienia ruchu z cz³onu c na ruch cz³onu b wykorzystuje siê ³añcuch U cz³onów poœrednicz¹cych. Nale¿y: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych.

Synteza mechanizmów

Zad. S-19 Do przeniesienia ruchu z cz³onu c na ruch cz³onu b wykorzystuje siê ³añcuch U cz³onów poœrednicz¹cych. Nale¿y: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych. Zad. S-20 Zmiana d³ugoœci si³ownika c powinna wywo³aæ jednoznaczny ruch cz³onu b. Nale¿y dobraæ odpowiedni ³añcuch U. W tym celu: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych. Zad. S-21 Do przeniesienia ruchu z cz³onu c na ruch cz³onu b wykorzystuje siê ³añcuch U cz³onów poœrednicz¹cych. Nale¿y: a) wyprowadziæ równanie strukturalne ³añcucha U, b) sporz¹dziæ tabele schematów podstawowych dla p2 < 2, k ≤ 3, c) rozrysowaæ jeden schemat podstawowy (strukturalny) w postaci schematów kinematycznych.

151

152

Synteza mechanizmów

Zad. S-22 Przedstawiony na rysunku mechanizm zosta³ zaprojektowany z przeznaczeniem do zamiany ruchu obrotowego cz³onu 2 na ruch postêpowo-zwrotny cz³onu 4. Oceniæ strukturaln¹ poprawnoœæ rozwi¹zania i zaproponowaæ mo¿liwe struktury uk³adów racjonalnych.

Zad. S-23 Mechanizm jarzmowy, s³u¿¹cy do zamiany ruchu obrotowego korby 2 na ruch wahliwy cz³onu 4, rozwi¹zano jak na rysunku. Przeanalizowaæ poprawnoœæ strukturaln¹ uk³adu i zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania racjonalne (bez wiêzów biernych).

Zad. S-24 Przedstawiony mechanizm przestrzenny zaprojektowano w celu zamiany ruchu obrotowego korby 2 na ruch wahliwy cz³onu 4. Przeanalizowaæ rozwi¹zanie pod wzglêdem strukturalnym. Czy jest to uk³ad racjonalny (bez wiêzów biernych)? Zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania racjonalne.

Synteza mechanizmów

Zad. S-25 Mechanizm krzywkowy przedstawiony na rysunku umo¿liwia zamianê ruchu obrotowego cz³onu 2 na ruch postêpowo-zwrotny popychacza 4. Przeanalizowaæ rozwi¹zanie strukturalne tego mechanizmu i zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania racjonalne.

Zad. S-26 Mechanizm zamiany ruchu obrotowego korby 2 na ruch postêpowo-zwrotny suportu rozwi¹zano jak na rysunku. Przeanalizowaæ mechanizm pod wzglêdem strukturalnym i zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania racjonalne.

Zad. S-27 Zastosowane sprzêg³o Cardana umo¿liwia napêd wirnika W pod zmiennym, w czasie pracy, k¹tem δ. Przeanalizowaæ rozwi¹zanie uk³adu pod wzglêdem strukturalnym i zaproponowaæ mo¿liwe rozwi¹zania racjonalne.

153

154

Synteza mechanizmów

Zad. S-28 Zmiana d³ugoœci si³ownika EF wywo³uje ruch uk³adu ABCD obci¹¿onego momentem biernym Mb. Nale¿y okreœliæ k¹t nacisku α w parze F i C. Uwaga: Mechanizm narysowano w podzia³ce.

Zad. S-29 Przedstawiony na rysunku uk³ad umo¿liwia zamianê ruchu cz³onu czynnego 2 na ruch cz³onu 6 obci¹¿onego momentem biernym M b. Okreœliæ k¹t nacisku α w parze K, jak¹ tworzy kr¹¿ek 7 z cz³onem 5. Uwaga: Mechanizm narysowano w podzia³ce.

Zad. S-30 Mechanizm realizuje zamianê ruchu cz³onu czynnego 2 na ruch cz³onu biernego 6. Okreœliæ wartoœæ k¹ta nacisku α w parze F w po³o¿eniu mechanizmu okreœlonym k¹tem ϕ = π/2. Uwaga: Mechanizm narysowano w podzia³ce.

Synteza mechanizmów

Zad. S-31 Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej korby AB (ω = const) iloraz œrednich prêdkoœci suwaka podczas jego ruchu w obie strony jest na ogó³ ró¿ny od jednoœci (k = vCœr 1-2/vCœr 2-1 ≠ 1). Okreœliæ: a) wartoœæ wspó³czynnika k, b) geometriê uk³adu realizuj¹cego ten sam skok C1C2 przy tym samym k. Dane: e = 0,1 m, AB = 0,2 m, BC = 0,45 m. Zad. S-32 Przejœciu wahacza a z po³o¿enia a1 w a2 powinno towarzyszyæ przejœcie suwaka c z po³o¿enia c1 w c2. Dobraæ schemat najprostszego mechanizmu z parami obrotowymi oraz okreœliæ jego wymiary podstawowe. Dane: ϕ1 = 2π/3, ϕ2 = 2π/9, h2 = 0,4 m, h1 = 0,6 m.

Zad. S-33 Zmiana d³ugoœci si³ownika AB o skok B 1B 2 powinna wymusiæ obrót wa³u C o k¹t γ. Zaproponowaæ schemat najprostszego mechanizmu i dobraæ jego wymiary przy za³o¿eniu dodatkowych kryteriów oceny. Dane: AB1 = 0,5 m, B1B2 = 0,3 m, γ = π/3.

155

156

Synteza mechanizmów

Zad. S-34 Ruch jednostajny obrotowy krzywki 2 o zarysie Z2 wymusza ruch jednostajny postêpowy cz³onu 1 z zakoñczeniem Z1 w granicach skoku h. Okreœliæ zarys Z2. Dane: ho = 0,2 m, h = e = 0,3 m, ρ = 0,1 m, v1 = 0,6 m/s, ω2 = π/3 s–1.

Zad. S-35 Obrót krzywki mimoœrodowej o zarysie Z1 wymusza ruch wahad³owy krzywki 2 o zarysie Z2. Okreœliæ zarys Z2. Dane: S1S2 = 0,1 m, S1O = 0,02 m, ω2/ω1 = 0,6, 1 < ϕ 1 < π.

Zad. S-36 Ruch obrotowy popychacza prostoliniowego, wymuszony obrotem krzywki o k¹t ϕp, jest okreœlony po³o¿eniami 1–5, którym odpowiadaj¹ jednakowe przedzia³y czasu ∆t. Okreœliæ zarys krzywki zak³adaj¹c, ¿e obraca siê ona ze sta³¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹. Dane: ψ12 = ψ45 = π/24, ψ 23 = ψ 34 = π /12, ∆t = 0,5 s, ro = 0,02 m, AB = 0,05 m, ϕp = 2π/3.

Synteza mechanizmów

Zad. S-37 Dane jest prawo ruchu popychacza 2 w postaci: Sp = H(1– cos πϕ/ϕp)/2, So = H(1+ cos πϕ/ϕp)/2, Okreœliæ zarys krzywki 1 (graficznie i tabelarycznie) oraz maksymaln¹ wartoœæ k¹ta nacisku (analitycznie i graficznie). Dane: ro = 0,02 m, e = 0,01 m, H = 0,02 m, ϕp = 2π/3, ϕo = π/2, ϕg = ϕd =5π/12. Zad. S-38 Wykreœliæ zarys krzywki o najmniejszych gabarytach, maj¹c zadane prawa ruchu popychacza wed³ug wersji a, b, c lub d oraz odmiany 1 lub 2. Dane: Odmiana 1: H = 0,04 m, ϕp = 2π/3, ϕo = π/2, ϕg = π/6, αpmax = αomax = π/6. Odmiana 2: H = 0,04 m, ϕp = π/2, ϕo = π/6, ϕg = π/6, αpmax = αomax = π/6. Zad. S-39 Popychacz 2 o ciê¿arze Q jest obci¹¿ony tylko si³¹ sprê¿yny F. Okreœliæ charakterystykê sprê¿yny zapewniaj¹cej minimalny docisk popychacza P21min. Dane: ro = 0,01 m, H = 0,04 m, ϕp = ϕo =π, P21min = 1 N, Q = 10 N, prawo ruchu popychacza w postaci przebiegu d 2S/ dϕ2(ϕ).

157

158

Synteza mechanizmów

Zad. S-40 Dla danej przek³adni obiegowej sprawdziæ, czy spe³nione s¹ warunki konstrukcyjne? Dane: z1 = 30, z2 = 20, z3 = 70, k = 5 (k – liczba satelitów).

Zad. S-41 Dla podanego schematu kinematycznego przek³adni obiegowej okreœliæ liczby zêbów kó³ 1, 2 i 3 dla zadanych prze³o¿eñ i = ω1/ωj oraz liczb k satelitów. Dane: a) i = 4, k =3, b) i = 5, k = 4, c) i = 5, k = 6, d) i = 6, k = 6.

Zad. S-42 Dla przedstawionej przek³adni obiegowej dobraæ liczby zêbów. Dane: k2 = 3, k6 = 4, ω1/ω8 = 1/24 (ki – liczba satelitów).

Synteza mechanizmów

Zad. S-43 Podczas pracy mechanizmu maltañskiego, jak na rysunku, wystêpuje zjawisko udaru przy wejœciu i wyjœciu zabieraka z zazêbienia. Zaproponowaæ 4 odmienne rozwi¹zania, w których zjawisko udaru wystêpuje w stopniu mniejszym lub nie wystêpuje.

Zad. S-44 W celu zapewnienia ustalonego po³o¿enia krzy¿a maltañskiego 2 w fazie spoczynku stosuje siê, miêdzy innymi, uk³ad blokowania przedstawiony na rysunku. Przedstawiæ 4 inne alternatywne rozwi¹zania.

Zad. S-45 Obs³ugiwana technologia narzuca potrzebê realizacji ruchu przerywanego, okreœlonego ilorazem Ts /T > 1/4. Warunek ten spe³niaj¹ rozwi¹zania oparte na krzy¿ach maltañskich o zazêbieniu wewnêtrznym. Czy mo¿e byæ rozwi¹zanie o zazêbieniu zewnêtrznym? Uzasadniæ odpowiedŸ. Ts – czas spoczynku, T – czas pe³nego obrotu korby 1

159

Rozdzia³ 4 Problemy analizy wspomaganej komputerem

163 TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW

Zadanie projektowe nr K–1 Wymiary w m yC = – 0,5 a = 0,4 CS4= 0,4 AB = 0,25 DC = 0,8 PS = 3 kN, gdy v6