Teoria maszyn i mechanizmów : analiza układow kinematycznych

Stefan Miller

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW Analiza uk³adów kinematycznych

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ

3

Spis treœci Wstêp .......................................................................... I. Struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Cz³on (ogniwo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. £añcuch kinematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Wzory srtukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ruchliwoœæ lokalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Wiêzy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Klasyfikacja mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Kinematyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Metody graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Podzia³ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Po³o¿enia i trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Po³o¿enia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Œrodki obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Metoda toru ocechowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Metoda planów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Metoda wykresów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Metoda zapisu wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Metoda klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Metoda macierzowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Metoda przyrostów skoñczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Mechanizmy dŸwigniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. P³aski czworobok przgubowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Sprzêg³o Cardana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Manipulatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Mechanizmy krzywkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Mechanizmy zêbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Analiza dok³adnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Si³y i ich przegl¹d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Metoda mas zastêpczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 10. Kinetostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Grupy statycznie wyznaczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Analiza si³ w grupach ststycznie wyznaczalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Równowaga cz³onu czynnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Tarcie w parach postêpowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Tarcie w parach obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Tarcie w parach wy¿szych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Bilans energetyczny maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Równanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Sprawnoœæ mechaniczna maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Badanie ruchu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Redukcja si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Modele maszyn i równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Ko³a zamachowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego . . . . . 13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Wywa¿anie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Wywa¿anie mas obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura

5

Wstêp Wiêkszoœæ urz¹dzeñ technicznych, stosowanych we wszelkich procesach produkcyjnych, jak równie¿ wykorzystywanych do obs³ugi podstawowych sfer ¿ycia wspó³czesnego cz³owieka, stanowi¹ najogólniej tzw. systemy mechaniczne. Wszystkie te systemy, z³o¿one z cia³ materialnych (sta³ych, p³ynnych,...), mo¿na podzieliæ na dwie ró¿ne grupy. Do pierwszej z nich zaliczamy systemy mechaniczne charakteryzuj¹ce siê tym, ¿e ich funkcja nie wi¹¿e siê ze wzajemnym ruchem elementów sk³adowych, czyli inaczej systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ nieruchowo. Przyk³adami takich urz¹dzeñ s¹ wszelkie konstrukcje sztywne, jak np. obudowy, ramy, zbiorniki itp. Drug¹ grupê tworz¹ systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ ruchowo i w procesie wype³niania swojej funkcji wystêpuje wzajemne ich przemieszczanie. Do nich nale¿¹ przede wszystkim maszyny, oraz ró¿ne aparaty i narzêdzia, których budowê i dzia³anie okreœlaj¹ uk³ady kinematyczne (mechanizmy). Z t¹ grup¹ urz¹dzeñ, stanowi¹cych przedmiot rozwa¿añ, jest zwi¹zany szeroki kr¹g zagadnieñ dotycz¹cych ich analizy i syntezy. Wiêkszoœæ problemów, niezale¿nie od specyfiki i przeznaczenia urz¹dzeñ, jest wspólna. Nale¿¹ do nich miêdzy innymi: zagadnienia torów zakreœlanych przez pewne punkty zwi¹zane z elementami ruchomymi, zagadnienia wzajemnych po³o¿eñ elementów w kolejnych fazach ruchu, prêdkoœci i przyspieszeñ k¹towych poszczególnych cz³onów. Wspólne w zasadzie dla wszystkich urz¹dzeñ tego typu jest zagadnienie si³ przenoszonych przez elementy ruchome i ich po³¹czenia, ruch okreœlonych uk³adów pod dzia³aniem si³, zjawisko tarcia i jego efekty, moc potrzebna do utrzymania urz¹dzenia w ruchu itd. Ogólne problemy i metody ich rozwi¹zywania, interesuj¹ce zarówno konstruktorów, technologów, jak i eksploatatorów systemów mechanicznych, s¹ przedmiotem nauki teoria maszyn i mechanizmów, który dzieli siê na trzy dzia³y: struktura, kinematyka, dynamika. W pierwszym dziale, poœwiêconym strukturze, omawia siê ogólne w³aœciwoœci ruchowe uk³adów mechanicznych wi¹¿¹ce siê z pewnymi cechami ich budowy, a wiêc liczb¹ i rodzajem elementów sk³adowych oraz sposobem ich po³¹czeñ. Dzia³ kinematyki jest poœwiêcony metodom badania wzajemnych ruchów cz³onów i punktów zwi¹zanych z cz³onami uk³adów mechanicznych. Nale¿y podkreœliæ, ¿e punktem wyjœcia w kinematyce jest tylko ruch elementów napêdzaj¹cych i geometria uk³adu, bez uwzglêdniania wp³ywu mas tych elementów i dzia³aj¹cych na nie si³.

6 W dziale poœwiêconym dynamice bada siê zwi¹zki zachodz¹ce w uk³adzie miêdzy parametrami kinematycznymi elementów sk³adowych a ich masami i dzia³aj¹cymi na nie si³ami. Teoria maszyn i mechanizmów stanowi w du¿ej mierze ukierunkowane rozwiniêcie mechaniki, jest wiêc na pograniczu nauk podstawowych i stosowanych. Wyjaœnia wa¿niejsze zjawiska zachodz¹ce w uk³adach kinematycznych, zarazem umo¿liwia zrozumienia istotnych problemów budowy i dzia³ania maszyn oraz urz¹dzeñ mechanicznych. W tym sensie znajomoœæ tego przedmiotu powinna stanowiæ skuteczn¹ pomoc dla wszystkich, którzy zajmuj¹ siê twórcz¹ prac¹ in¿yniersk¹.

7

I. STRUKTURA 1. Pojêcia podstawowe 1.1. Cz³on (ogniwo) W uk³adach kinematycznych mo¿na wyró¿niæ elementy sk³adowe wykonuj¹ce w stosunku do siebie ruchy wzglêdne. Elementy te bêdziemy nazywaæ ogólnie cz³onami lub ogniwami. Przyk³adami cz³onów s¹ elementy sk³adowe (1–3) uk³adu pompy przedstawionej na rys.1 oraz (1–9) uk³adu wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej z rys. 2. Cz³ony mog¹ wystêpowaæ w postaci jednoczêœciowej (rys.3a) lub, jak to czêsto bywa, mog¹ byæ zbudowane z wielu czêœci (rys. 3b). Mówimy o jednym cz³onie wówczas, gdy poszczególne czêœci (jak na rys. 3b) s¹ po³¹czone ze sob¹ sztywno. Najczêœciej mamy do czynienia z cz³onami sztywnymi, tzn. takimi, których odkszta³calnoœæ nie ma istotnego wp³ywu na przenoszony ruch; cz³onami jednak bêdziemy nazywaæ równie¿ elementy podatne, jak ciêgna i sprê¿yny, a tak¿e uczestnicz¹ce w przekazywaniu ruchu okreœlone objêtoœci gazów lub cieczy. Przyk³adami tego typu cz³onów mog¹ byæ: sprê¿ysty element (4) uk³adu napêdowego m³ota (rys. 4) lub zamkniêta ciecz (3) w hydraulicznej prasie (rys. 5). W dalszym ci¹gu zajmiemy siê przede wszystkim uk³adami cz³onów sztywnych.

Rys. 1. Mechanizm pompy rotacyjnej: 1 – podstawa, 2 i 3 – wirniki

8

Rys. 2. Uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej: a) widok ogólny uk³adu, b) schemat kinematyczny uk³adu

Rys. 3. Przyk³ady cz³onów dwuwêz³owych: a) cz³on prosty, b) cz³on z³o¿ony, c) schemat

Rys. 4. Mechanizm napêdu m³ota: 4 – cz³on sprê¿ysty

9 Jeden z cz³onów uk³adu, wzglêdem którego badamy ruchy pozosta³ych cz³onów, bêdziemy nazywaæ podstaw¹ lub ostoj¹. Jest to zwykle cz³on nieruchomy i nietrudno go odró¿niæ. Podstaw¹ jest obudowa (1) pompy z rys. 1, rama (1) ³adowarki z rys. 2, a tak¿e korpus m³ota i prasy przedstawiony na rys. 4 i 5. Wœród pozosta³ych (poza podstaw¹) ruchomych cz³onów uk³adu bêdziemy wyró¿niaæ cz³ony czynne, do których jest przy³o¿ony napêd uk³adu, cz³ony bierne, czyli napêdzane, oraz grupê cz³onów poœrednicz¹cych w przekazywaniu ruchu i si³. Uwzglêdniaj¹c charakter ruchu, bêdziemy cz³onom ruchomym przypisywaæ bli¿sze okreœlenia. I tak, korb¹ bêdziemy nazywaæ cz³ony wykonuj¹ce pe³ny ruch obrotowy, wahaczem – cz³on o nawrotnym ruchu obrotowym w granicach k¹ta niepe³nego, suwakiem – cz³on o ruchu postêpowym itp. W naszych rozwa¿aniach nie bêdziemy siê interesowaæ tymi cechami cz³onów, które nie maj¹ wp³ywu na ruch i jego przenoszenie. Traktuj¹c cz³ony jako cia³a sztywne, zaakcentujemy tylko te ich wymiary, które okreœlaj¹ wzajemne po³o¿enie miejsc przystosowanych do wejœcia w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Wed³ug liczby tych miejsc, zwanych dalej pó³parami lub pó³wêz³ami, mo¿na dzieliæ wszystkie cz³ony na 2-, 3- i n-wêz³owe. Cecha ta jest widoczna wyraŸnie przy schematycznym sposobie rysowania uk³adów i cz³onów (rys. 2b, 3c), z którego bêdziemy powszechnie korzystaæ. Wêz³owoœæ cz³onów bêdziemy oznaczaæ symbolami N2, N3, ..., Nn, natomiast liczby takich cz³onów w uk³adzie odpowiednio przez n2, n3, ..., nn. Istotê podzia³u cz³onów p³askich wed³ug wêz³owoœci wyjaœniono na rys. 6, na którym wyró¿niono dodatkowo cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach p³askich i przestrzennych. Czêsto jest u¿yteczne przypisywanie okreœlonym typom cz³onów charakterystycznych dla nich liczb b wszystkich krawêdzi, czyli odcinków, jakimi mo¿na po³¹czyæ poszczególne pó³wêz³y miêdzy sob¹ oraz liczb bw tych odcinków schodz¹cych siê w jednym pó³wêŸle.

Rys. 5. Mechanizm napêdu prasy hydraulicznej: 3 – ciecz spe³niaj¹ca rolê cz³onu

10

Rys. 6. Oznaczenia p³askich i przestrzennych cz³onów wielowêz³owych

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) Istotn¹ cech¹ ka¿dego uk³adu kinematycznego s¹ ruchowe po³¹czenia cz³onów. Po³¹czenia takie, umo¿liwiaj¹ce wzajemny ruch wzglêdny dwóch cz³onów, nazywa siê powszechnie par¹ kinematyczn¹ lub wêz³em kinematycznym. Kilka przyk³adów par kinematycznych mo¿na wskazaæ ju¿ w uk³adach przedstawionych na rys. 1 i 2. Du¿a ró¿norodnoœæ wystêpuj¹cych w praktyce par sugeruje potrzebê dokonania pewnego podzia³u i systematyki. Stosuje siê wiêc nie wymagaj¹cy wyjaœnienia podzia³ par na przestrzenne i p³askie. Powszechnie stosowanym kryterium podzia³u par jest rodzaj miejsca styku dwóch tworz¹cych parê cz³onów. Parami ni¿szymi nazywa siê pary, w których styk cz³onów jest powierzchniowny, jak np. w parze przedstawionej na rys. 7a (powierzchnia kulista), parami wy¿szymi zaœ, w których miejscem styku cz³onów pary jest linia lub punkt (rys. 7b i c). Wœród wielu stosowanych podzia³ów tych ró¿norodnych po³¹czeñ powszechnie stosuje siê podzia³ par na klasy wed³ug liczby stopni swobody jednego cz³onu wzglêdem drugiego cz³onu pary. Cz³on swobodny dysponuje, jak wiadomo, szeœcioma stop-

Rys. 7. Przyk³ady podzia³u par ze wzglêdu na rodzaj styku: a) styk powierzchniowy (para ni¿sza), b) styk liniowy (para wy¿sza), c) styk punktowy (para wy¿sza)

11 niami swobody. Najbardziej obrazowo i dogodnie – z punktu widzenia technicznego – mo¿na je przedstawiæ jako trzy niezale¿ne od siebie ruchy postêpowe Tx, Ty, Tz (translacje) wzd³u¿ trzech prostopad³ych osi uk³adu x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe Rx, Ry, Rz (rotacje) wokó³ tych osi (rys. 8). W ka¿dej parze tworz¹ce j¹ cz³ony nak³adaj¹ na siebie pewne ograniczenia ruchu lub inaczej – wiêzy. Ka¿dy cz³on pary rozporz¹dza wzglêdem drugiego odpowiednio mniejsz¹ liczb¹ Rys. 8. Stopnie swobody i ich oznaczenia stopni swobody. Kieruj¹c siê tak¹ liczb¹ posiadanych stopni swobody [1], [7], [13] dzieli siê wszystkie pary na 5 klas, oznaczanych dalej cyframi rzymskimi I, II, III, IV i V*). W tej konwencji na przyk³ad parê przedstawion¹ na rys. 7a, w której cz³on (2) mo¿e wykonywaæ wzglêdem cz³onu (1) trzy ruchy obrotowe, zaliczymy do kl. III, parê wy¿sz¹ z rys. 7c zaœ do klasy V. Przyk³ady par wszystkich klas zestawiono w tabeli 1. Ka¿da z klas obejmuje ca³y zbiór par ró¿ni¹cych siê jednak miêdzy sob¹ nie tylko cechami konstrukcyjnymi, ale nawet kinematycznymi. Ró¿nice te mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie, zestawionych na rys. 9 i 10, par II klasy. W parach a i b z rysunku 9, cz³on (2) dysponuje wzglêdem cz³onu (1) mo¿liwoœci¹ obrotu i przesuniêcia, lecz osie tych ruchów s¹ do siebie b¹dŸ równoleg³e (rys. *) Mo¿na siê spotkaæ równie¿ z innym podzia³em na klasy [2], [9], [12], w którym o klasie decyduje liczba odebranych stopni swobody.

Rys. 9. Przyk³ady par II klasy: a) oœ ruchu obrotowego równoleg³a do kierunku ruchu postêpowego, b) oœ ruchu obrotowego prostopad³a do kierunku ruchu postêpowego

12 Tabela 1

13

Rys. 10. Przyk³ady par kinematycznych II klasy: a) przecinaj¹ce siê osie obrotów, b) zwichrowane osie obrotów

9a), b¹dŸ prostopad³e (rys. 9b). W parach przedstawionych na rys. 10a i 10b cz³on (2) mo¿e wykonywaæ 2 obroty, przy czym w przypadku a) osie tych obrotów przecinaj¹ siê pod k¹tem prostym, w przypadku b) zaœ s¹ do siebie równie¿ prostopad³e, lecz wzajemnie zwichrowane. Nie zawsze te¿ stopnie swobody odnosz¹ siê do prostych ruchów postêpowych lub obrotowych. W pewnych rozwi¹zaniach jeden prosty ruch wzglêdny dwóch rozpatrywanych cz³onów wywo³uje œciœle okreœlony jeden lub kilka innych ruchów prostych. Znanym przyk³adem takiego zjawiska jest para œrubowa przedstawiona na rys. 11a. Ruchowi obrotowemu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) towzrzyszy œciœle okreœlony ruch postêpowy. Te ruchy Tx i Rx, dla odró¿nienia od odpowiednich ruchów niezale¿nych, bêdziemy sygnalizowaæ przez zapis ich symboli w jednym nawiasie okr¹g³ym (TxRx). Kolejny przyk³ad tego typu funkcyjnych powi¹zañ ruchów dwóch cz³onów pary przedstawiono na rys. 11b. Ruch postêpowy Tx cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) wywo³uje jednoczeœnie przesuniêcie wzd³u¿ osi y, a wiêc Ty.

Rys. 11. Przyk³ady par kinematycznych I klasy o funkcyjnym powi¹zaniu ruchów elementarnych: a) Tx = f(R x), b) Tx = f(Ty)

14 Tabela 2

Zgodnie z wprowadzon¹ umow¹, tej parze przypiszemy symbol (TxTy). W obydwu przypadkach (rys. 11) ruch cz³onu (2) wzglêdem (1) jest œciœle okreœlony przez jeden ruch prosty, mo¿na wiêc mówiæ o jednym stopniu swobody i parze I klasy. Ju¿ z tych kilku przyk³adów widaæ, ¿e poszczególne klasy par obejmuj¹ liczne zbiory par ró¿ni¹cych siê liczbami mo¿liwych ruchów postêpowych i obrotowych, wzajemnym usytuowaniem osi tych ruchów oraz ró¿nymi powi¹zaniami funkcyjnymi miêdzy tymi ruchami. W tej sytuacji celowy jest dalszy podzia³ par nale¿¹cych do jednej klasy na rzêdy i odmiany, wed³ug wymienionych cech kinematycznych. Istotê tego podzia³u ilustruje tabela 2, w której wszystkie mo¿liwe odmiany par I kl. zestawiono w rzêdy 1–6 wed³ug liczby ruchów funkcyjnych ze sob¹ zwi¹zanych. Pary p³askie W zdecydowanej wiêkszoœci uk³adów kinematycznych ruchy wzglêdne cz³onów odbywaj¹ siê w p³aszczyznach wzajemnie równoleg³ych. Mówimy wtedy o uk³adach p³askich. W takich uk³adach wystêpuj¹ niektóre tylko spoœród omawianych par, zwane krótko parami p³askimi. Ruch cz³onu mo¿na opisaæ dwoma ruchami postêpowymi wzd³u¿ osi do siebie prostopad³ych (np. x i y), ruchem obrotowym wokó³ osi prostopad³ej do poprzednich (np. z) lub ich kombinacj¹. W tej sytuacji pary p³askie mog¹ zapewniaæ wzajemny ruch tworz¹cych je cz³onów w zakresie jednego lub dwóch stopni swobody, co oznacza, ¿e mog¹ wystêpowaæ tylko jako pary I i II klasy, i to tylko wybranych odmian. Przyk³ady najprostszych i najczêœciej spotykanych par kinematycznych zestawiono w tabeli 3.

1.3. £añcuch kinematyczny £añcuchem kinematycznym nazywamy szereg cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ruchowo. Kilka przyk³adów ³añcuchów przedstawiono na rys. 12. Wed³ug przyjêtego kryterium podzia³u wyró¿niamy trzy grupy ³añcuchów:

15 Tabela 3

a) p³askie, przestrzenne, b) otwarte, zamkniête, c) jednobie¿ne, niejednobie¿ne. O ³añcuchu p³askim mówimy wtedy, gdy wszystkie jego cz³ony wykonuj¹ ruchy w p³aszczyznach równoleg³ych (rys. 12a, b, c). Gdy warunek ten nie jest spe³nionyjak to ma miejsce w przypadku ostatnim (rys. 12d) mówimy o ³añcuchu przestrzennym.

Rys. 12. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych

16

Rys. 13. Przyk³adowe ³añcuchy kinematyczne: a) jednobie¿ny, b) niejednobie¿ny

Do ³añcuchów otwartych zaliczymy te, które zawieraj¹ cz³ony tworz¹ce pary tylko z jednym cz³onem. Na rys. 12a przedstawiono ³añcuch otwarty, na rysunku 12 b, c, d natomiast ³añcuchy zamkniête. Zwróæmy uwagê na pewne zjawiska kinematyczne. Niech bêdzie dany p³aski ³añcuch kinematyczny z³o¿ony z czterech cz³onów, po³¹czonych jak na rys. 13a. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e w uk³adzie tym ka¿demu po³o¿eniu cz³onu (2) w p³aszczyŸnie zwi¹zanej z cz³onem (1) odpowiadaj¹ okreœlone po³o¿enia pozosta³ych cz³onów (3) i (4). Oznacza to, ¿e zadanemu ruchowi cz³onu (2) wzglêdem dowolnego innego cz³onu odpowiadaj¹ okreœlone ruchy pozosta³ych cz³onów wzglêdem siebie. £añcuch o takich w³aœciwoœciach nazywamy jednobie¿nym. W uk³adzie piêciocz³onowym, przedstawionym na rys. 13b, ruch wzglêdny cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) nie warunkuje jednoznacznych ruchów wzglêdnych pozosta³ych cz³onów. Jest to przyk³ad ³añcucha niejednobie¿nego. Oczywiœcie i w tym ³añcuchu mo¿na otrzymaæ ruchy œciœle okreœlone, je¿eli jednoczeœnie bêdziemy napêdzaæ jakikolwiek inny cz³on, np. obracaj¹c korb¹ (2) przesuwaæ wzd³u¿ prowadnicy suwak (5). Ju¿ z tych przyk³adów widaæ, ¿e jednobie¿noœæ wi¹¿e siê z jednej strony z liczb¹ cz³onów czynnych (napêdzaj¹cych), z drugiej zaœ z pewnymi cechami budowy uk³adu lub – jak powiedzmy inaczej – ze struktur¹ uk³adu. 1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha Ruchliwoœæ ³añcucha lub stopieñ ruchliwoœci w sensie fizycznym okreœla, przy istnieniu pewnych zastrze¿eñ, liczbê stopni swobody, jakimi dysponuj¹ cz³ony uk³adu wzglêdem jednego z nich. Ruchliwoœæ mo¿na inaczej okreœliæ liczb¹ ograniczeñ ruchów prostych (wiêzów), które na³o¿one na ruchome cz³ony uk³adu powoduj¹, ¿e uk³ad staje siê sztywny. W p³askim ³añcuchu przegubowym ABCD (rys. 14a) cz³ony dysponuj¹ wzglêdem siebie jednym stopniem swobody (W = 1), o czym mo¿na siê przekonaæ choæby po zbudowaniu jego fizycznego modelu. Je¿eli jednak w tym modelu wyeliminujemy jedn¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów, np. w parze C (rys. 14b), bêdziemy mieli do czynienia z uk³adem sztywnym (W = 0). Takiemu uk³adowi przypiszemy wiêc ruchliwoœæ W = 1. W ten sam sposób mo¿na siê przekonaæ, ¿e

17

Rys. 14. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœæi W = 1, b) uk³ad sztywny

uk³ad ABCDE, z rys. 15a, charakteryzuje siê ruchliwoœci¹ W = 2; do otrzymania zeñ uk³adu sztywnego potrzeba dwóch ograniczeñ ruchu, np. w parach B i E (rys. 15b). Uk³ad jest jednobie¿ny, je¿eli liczba cz³onów czynnych odpowiada jego ruchliwoœci. Ruchliwoœæ uk³adu mo¿na wiêc w prostych przypadkach oceniæ intuicyjnie, mo¿na jednak równie¿ dokonaæ tego w sposób formalny, stosuj¹c tzw. wzory strukturalne (podrozdz. 1.5).

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna 1. Pojêciem mechanizm bêdziemy okreœlaæ zamkniêty ³añcuch kinematyczny z jednym cz³onem spe³niaj¹cym funkcjê podstawy, charakteryzuj¹cy siê liczb¹ cz³onów czynnych równ¹ jego ruchliwoœci. Bêdziemy wiêc nazywaæ mechanizmem uk³ad jednobie¿ny umo¿liwiaj¹cy przekazywanie ruchu, czêsto z jednoczesn¹ zmian¹ jego parametrów. Oczywiœcie, realizacja tego zadania jest mo¿liwa z udzia³em si³, ale istot¹ mechanizmu jest ruch. Kilka przyk³adów mechanizmów zestawiono na rys. 16. Na rysunku 16a przedstawiono uk³ad umo¿liwiaj¹cy zamianê ruchu obrotowego cz³onu (2) wzglêdem podstawy (1) na ruch obrotowo-zwrotny (wahad³owy) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Mechanizm krzywkowy (rys. 16b) zamienia ruch obrotowy krzywki (2) na ruch postêpowy cz³onu (3), mechanizm zêbaty zaœ (rys. 16c) umo¿li-

Rys. 15. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœci W = 2, b) uk³ad sztywny

18

Rys. 16. Przyk³ady mechanizmów: a) jarzmowy, b) krzywkowy, c) zêbaty z cz³onem czynnym w postaci si³ownika hydraulicznego

wia zamianê wzglêdnego ruchu postêpowego w si³owniku hydraulicznym AB na ruch obrotowy ko³a (5). 2. Istnieje wiele urz¹dzeñ o budowie opartej na ³añcuchu kinematycznym, które nie spe³niaj¹c wszystkich w/w kryteriów – nie zas³uguj¹ na miano mechanizmu. S¹ wiêc urz¹dzenia, które s³u¿¹ do przekazywania si³, jednak bez udzia³u ruchu, a wiêc jako ³añcuchy sztywne, przynajmniej w pewnych fazach pracy. S¹ ³añcuchy kinematyczne niejednobie¿ne, wystêpuj¹ wreszcie ³añcuchy kinematyczne bez wyraŸnie akcentowanej podstawy itp. Wszystkie takie urz¹dzenia, wraz z ca³¹ grup¹ zdefiniowanych mechanizmów, bêdziemy obejmowaæ szerokim pojêciem uk³adów mechanicznych lub uk³adów kinematycznych. Przyk³adem uk³adu mechanicznego mo¿e byæ urz¹dzenie zaczepowe (rys. 17a) umo¿liwiaj¹ce przeniesienie si³y uci¹gu ci¹gnika na ramê maszyny. Uk³ad ten wykonuje swoje zadanie w zasadzie bez udzia³u ruchu wzglêdnego tworz¹cych go cz³onów. Ruch wzglêdny cz³onów, potrzebny w fazie jego ustawiania, wystêpuje w tym przypadku przed jego obci¹¿eniem. Na rysunku 17b przedstawiono schematycznie uk³ad pewnego zawiesia do przenoszenia ³adunków paletowych. Uk³ad ten, dziêki odpowiednio dobranym przeciwciê¿arom, wisi swobodnie i umo¿liwia przeniesienie elementów, zachowuj¹c potrzebne poziome ich po³o¿enie. Istotny jest tu wiêc nie ruch wzglêdny czy wzajemne po³o¿enie cz³onów, lecz po³o¿enie jednego cz³onu (2) wzglêdem ziemi. 3. W jêzyku potocznym pojêcie maszyny odnosi siê do wielu ró¿norakich urz¹dzeñ i podk³ada siê pod nie ró¿ne znaczenia. Tu maszyn¹ bêdziemy nazywaæ urz¹dzenie, w którym z udzia³em ruchu mechaniczengo zachodzi proces energetyczny polegaj¹cy na wykonywaniu pracy u¿ytecznej lub przekszta³ceniu energii. Stosownie do tego, maszyny dzielimy na: 1. Maszyny robocze, w których w³aœciwy efekt uzyskuje siê przez zamianê dostarczonej energii w pracê (tokarka, prasa, koparka).

19

Rys. 17. Przyk³ady uk³adów mechanicznych: a) uk³ad zaczepu, b) uk³ad zawiesia

2. Silniki i generatory, w których zachodzi przekszta³canie jednego rodzaju energii w drugi (silnik spalinowy, generator pr¹du elektrycznego...). Istotn¹ cech¹ maszyny jest to, ze zawiera co najmniej jeden, a zwykle kilka odpowiednio ze sob¹ wspó³pracuj¹cych mechanizmów. Rozpatrzmy dla przyk³adu maszynê przeznaczon¹ do seryjnego wyt³aczania z taœmy (1) pó³wyrobu x (rys.18). Mo¿na w niej wyró¿niæ mechanizmy:

Rys. 18. Przyk³ad maszyny do przeróbki plastycznej z zakcentowaniem mechanizmów sk³adowych

20 – zêbaty (z³o¿ony z cz³onów 0, 4, 5), – cierny (0, 2, 1, 3), – maltañski (0, 7, 6), – krzywkowy (0, 9, 10, 13), – dŸwigniowe korbowo-wodzikowe: (0, 8, 11, 12) i (0, 13, 14, 15). Podobnie, w ka¿dym silniku spalinowym mo¿na wyró¿niæ: uk³ad korbowo-t³okowy, mechanizm krzywkowy rozrz¹du, mechanizmy przek³adni itd. Na inny aspekt pojêcia maszyny zwrócimy uwagê w rozdz. 12.

1.5. Wzory strukturalne Wszystkie cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych podzielono, ze wzglêdu na liczbê pó³par, na typy Ni (rys. 6). Je¿eli przez ni oznaczyæ liczbê cz³onów Ni, przez n zaœ ogóln¹ liczbê cz³onów w uk³adzie, to oczywiœcie n = n2 + n3 + n4 +...+ nw.

(1)

Na ka¿d¹ parê sk³adaj¹ siê dwie pó³pary. Je¿eli przez p oznaczyæ ogóln¹ liczbê par w uk³adzie, przez m natomiast liczbê pó³par, to m = 2 p,

(2)

m = 2n2 + 3n3 + 4n4 +...+ nw.

(3)

albo inaczej Po uwzglêdnieniu wzorów (2) i (3) otrzymamy 2p = 2n2 + 3n3 + 4n4 +...+ nw.

(4)

Zarówno ze wzglêdu na analizê, jak i syntezê uk³adów kinematycznych istotny jest zwi¹zek, jaki zachodzi miêdzy budow¹ uk³adu a jego ruchliwoœci¹. W celu wyprowadzenia tego zwi¹zku rozwa¿my dowolny ³añcuch kinematyczny (rys. 19) zbudowany z n cz³onów. Jeden z cz³onów uk³adu spe³nia rolê podstawy, a zatem liczba ruchomych (wzglêdem podstawy) cz³onów wynosi n – 1.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzorów strukturalnych: a) n cz³onów przygotowanych do po³¹czenia w ³añcuch, b) ³añcuch z³o¿ony z n cz³onów

21 Wszystkie cz³ony ruchome przed wejœciem w pary kinematyczne (rys. 19a) dysponowa³y ³¹cznie x = 6 (n – 1) stopniami swobody. Wskutek po³¹czenia tycz cz³onów ze sob¹ i z podstaw¹ (rys. 19b) liczba ich stopni swobody zosta³a pomniejszona. Je¿eli w rozpatrywanym ³añcuchu przez pi oznaczyæ liczbê par i-tej klasy, przy czym w ka¿dej parze jeden cz³on odbiera drugiemu (6 – i) stopni swobody, to ³¹cznie wszystkie ruchome cz³ony trac¹ #

y =

∑ ($ − i ) pi 

stopni swobody. W tej sytuacji ruchliwoœæ W, rozumiana jako liczb¹ pozosta³ych stopni swobody ruchomych cz³onów uk³adu, wyrazi siê wzorem W = x – y, czyli W = 6 (n – 1) –

#

∑ ($ − i ) pi .

(5)



Odpowiednio dla ³añcuchów p³askich W = 3 (n – 1) –

2

∑ (3 − i ) pi .

(6)

1

Po rozpisaniu wzorów (5) i (6) otrzymamy dla ³añcuchów przestrzennych W = 6 (n –1) – 5p1 – 4p2 – 3p3 – 2p4 – 1p5 ...,

(7)

dla ³añcuchów p³askich W = 3 (n –1) – 2p1 – 1p2 .

(8)

Na przyk³ad dla mechanizmu krzywkowego z rys. 20 otrzymamy W = 3 (5 – 1) – 2 · 5 – 1· 1 = 1. Oznacza to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym (krzywka 2) uk³ad jest jednobie¿ny. Tym razem wynik by³ oczywisty równie¿ intuicyjnie. Trudniej by³oby ju¿ jednak dokonaæ tego w przypadku nawet tak prostego uk³adu przestrzennego, jak przedstawiony na rys. 21. Stosuj¹c œrodki formalne ustalimy: n = 4, p1 = 2, p2 = 1, p3 = 1, p5 = 1 i po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 4 · 1 – 3· 1 – 2 · 0 – 1· 1 = 0. Wynik W = 0 oznacza tu, ¿e uk³ad jest sztywny. Mimo ruchliwych po³¹czeñ nie wystêpuj¹ w tym uk³adzie ruchy wzglêdne cz³onów.

22

Rys. 20. Schematy mechanizmu jarzmowo-krzywkowego: a) kinematyczny, b) strukturalny

Rys. 21. Przyk³ady przestrzennego z³o¿onego ³añcucha kinematycznego

1.6. Ruchliwoœæ lokalna Przeanalizujmy mechanizm przedstawiony na rysunku 22. Nietrudno sie zgodziæ z tym, ¿e przy zadanej prêdkoœci k¹towej w2 krzywki (2) popychacz (4) wykonuje ruch œciœle okreœlony. Mo¿na by z tego wysun¹æ wniosek, ¿e uk³ad jest jednobie¿ny, a zatem charakteryzuj¹cy siê ruchliwoœci¹ W = 1 (przy jednym cz³onie czynnym). Tymczasem zastosowawszy wzór (8) otrzymamy W = 3 (4 – 1) – 2· 3 – 1· 1 = 2. Pozorn¹ niezgodnoœæ wyników t³umaczy siê tym, ¿e rachunek formalny, poza wspomnian¹ ju¿ ruchliwoiœci¹ W = 1 popychacza (4), wykaza³ bezb³êdnie równie¿ jeden stopieñ swobody kr¹¿ka (3). Kr¹¿ek ten mo¿e siê obracaæ wokó³ w³asnej osi, nie zak³ócaj¹c zreszt¹ w ¿adnym stopniu istotnego tu ruchu popychacza (4). Wi¹¿e siê to tym razem z kszta³tem cz³onu (3) i jego centrycznym u³o¿yskowaniem (por. przypadek ogólny na rys. 22b). Tego typu lokalne stopnie swobody cz³onu lub pewnej grupy cz³onów, nie zmieniaj¹ce ruchliwoœci pozosta³ej czêœci ³añcucha, nazywa siê ruchliwoœci¹ lokaln¹. Istotê tego zjawiska mo¿na przeœledziæ równie¿ na przyk³adzie uk³adu przestrzennego (rys. 23). £¹cznik (3), poœrednicz¹cy tu w jednoznacznym przeka-

23

Rys. 22. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci lokalnej: a) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (ruchliwoœæ lokalna cz³onu 3), b) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (brak ruchliwoœæi lokalnej)

zywaniu ruchu z cz³onu czynnego (2) na cz³on bierny (4), mo¿e, jak widaæ z rysunku, obracaæ siê wokó³ w³asnej osi przechodz¹cej przez œrodki obu przegubów kulistych. I znów ruch ten, nieistotny ze wzglêdu na realizowany ruch cz³onu biernego, zostanie w rachunku odnotowany. Mamy tu bowiem: W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 3· 2 = 2. Z dokonanych rozwa¿añ wynika, ¿e na u¿ytek praktyczny nale¿y omówione wzory okreœlaj¹ce ruch uzupe³niæ do postaci W = Ww + WL,

(9)

w której: W – ruchliwoœæ liczona wed³ug zale¿noœci (7) i (8), Ww – ruchliwoœæ wykorzystywana, WL – ruchliwoœæ lokalna cz³onu lub grupy cz³onów. W³aœciwa interpretacja wyników otrzymanych ze wzoru okreœlaj¹cego ruchliwoœæ wymaga znajomoœci WL. Niestety, dotychczas nie mo¿na poleciæ dostatecznie ogólnej i prostej metody okreœlania ruchliwoœci lokalnej.

Rys. 23. Przyk³ad mechanizmu przestrzennego z ruchliwoœcia lokaln¹

24

1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na Rozpatruj¹c ruchliwoœæ uk³adów nale¿y pamiêtaæ, ¿e uzyskanego za pomoc¹ wzorów strukturalnych wyniku nie mo¿na interpretowaæ jednoznacznie. W pewnych przypadkach wynik okreœla liczbê stopni swobody wszystkich cz³onów wzglêdem podstawy. Takie zjawisko wystêpuje w prostych uk³adach charakteryzuj¹cych siê ruchliwoœci¹ W = 1, np. w uk³adzie przedstawionym na rys. 14a. Ka¿dy z cz³onów (2, 3 i 4) ma wzglêdem podstawy jeden stopieñ swobody. Innym razem ruchliwoœæ W okreœla liczbê stopni swobody cz³onu najbardziej „ruchliwego”. Z takim przypadkiem spotykamy siê w uk³adzie przedstawionym na rys. 24. Ruchliwoœæ W = 3 odpowiada tu trzem stopniom swobody (f = 3) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Z pozosta³ych cz³onów, (3) i (5) maj¹ po dwa (f = 2), (2) i (6) zaœ po jednym stopniu swobody (f = 1) wzglêdem podstawy. Kolejny przypadek zilustrowano na rys. 25. Obliczona wed³ug wzoru (8) ruchliowoœæ daje W = 0. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e na ten wynik z³o¿y³y siê: ruchliwoœæ W24 = 1 (lewej strony) i W59 = –1 (prawej strony uk³adu). W tym przypadku wynik W = 0 nie odpowiada sytuacji ruchowej ¿adnego cz³onu. Jest jeszcze inny aspekt pojêcia ruchliwoœæ [7]. Na rysunku 26 przedstawiono dwa uk³ady zbudowanej z tej samej liczby takich samych cz³onów i par. Oczywiœcie, równie¿ ruchliwoœæ obydwu uk³adów, obliczona za pomoc¹ wzoru (8), jest identyczna i wynosi W = 1. Jak nietrudno zauwa¿yæ, w uk³adzie z rys. 26a cz³ony 1, 4, 5, 6 i 7 tworz¹ sztywn¹ figurê, ruchliwoœæ W = 1 zaœ dotyczy tylko cz³onów (2) i (3), natomiast w uk³adzie z rys. 26b mo¿liwoœci¹ ruchu dysponuj¹ jednoczeœnie wszystkie cz³ony wzglêdem podstawy. Przytoczone przyk³ady sugeruj¹ potrzebê wprowadzenia nowych okreœleñ umo¿liwiaj¹cych bli¿szy opis omawianych tu cech uk³adów ruchomych. Gdy ruchliwoœæ W = 1, tzn. wszystkie cz³ony uk³adu wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie, wówczas mówimy o tzw. ruchliwoœci zupe³nej, gdy zaœ dodatkowo wszysktie ruchome cz³ony dysponuj¹ wzglêdem podstawy tak¹ sam¹ liczb¹ stopni swobody f, mówimy o ruchli-

Rys. 24. Schemat uk³adu kinematycznego z podanymi stopniami swobody poszczególnych cz³onów

Rys. 25. Przyk³ad uk³adu kinematycznego o ruchliwoœci niezupe³nej

25

Rys. 26. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych o W = 1: a) ruchliwoœæ niezupe³na, b) ruchliwoœæ zupe³na i jednorodna

woœci jednorodnej. Stosownie do tego, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 24 okreœlilibyœmy jako zupe³n¹, lecz niejednorodn¹, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 25 jako niezupe³n¹, uk³adowi z rys. 26b zaœ przypisywalibyœmy ruchliwoœæ zupe³n¹ i jednorodn¹.

1.8. Wiêzy bierne W uk³adzie przedstawionym na rysunku 27a zachodz¹ nastêpuj¹ce zwi¹zki: AB = CD = EF oraz AC = BD i CE = DF. Przy takim wykonaniu uk³adu mo¿e byæ wykorzystany do jednoznacznego przekazywania ruchu obrotowego (w okreœlonych granicach) z cz³onu AB na EF. Sugerowa³oby to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym nale¿y siê spodziewaæ ruchliwoœæi uk³adu W = 1. Tak¹ ruchliwoœæ mo¿na stwierdziæ w praktyce, np. na wykonanym modelu. Jednoczeœnie, po zastosowaniu wzoru (8) otrzymamy W = 3 (5 – 1) – 2· 6 = 0. Wynik obliczeñ wskazuje na to, ¿e mamy do czynienia z uk³adem sztywnym. Tak te¿ jest w istocie w przypadku ogólnym (rys. 27b). Fizyczn¹ ruchliwoœæ W = 1 mo¿na przypisaæ omawianemu uk³adowi tylko wtedy, gdy bêd¹ spe³nione podane równoœci. Wtedy bowiem pewne wiêzy, jako powtórzenia ju¿ istniej¹cych, nie daj¹ o sobie znaæ. Takie dodatkowe i zbêdne kinematycznie ograniczenia bêdziemy nazywaæ wiêzami biernymi. Liczbê wiêzów biernych Rb w ³añcuchu mo¿na okreœliæ, je¿eli s¹ znane ruchliwoœæ rzeczywista Wrz (realizowana) oraz ruchliwoœæ teoretyczna W (obliczona ze wzoru (6): Rb = Wrz – W.

(10)

W przyk³adowym uk³adzie (rys. 27a) Wrz = 1, W = 0, czyli Rb = 1. Do uk³adów kinematycznych z liczb¹ wiêzów biernych Rb ¹ 0 stosuje siê, nie bez racji, okreœlenie nieracjonalne. Okreœlenie to wydaje siê trafne, zw³aszcza je¿eli uzmys³owiæ sobie, jak

26

Rys. 27. Ilustracja pojêcia wiêzów biernych

nie³atwo w praktyce spe³niæ wi¹¿¹ce siê z wiêzami biernymi wymagania dok³adnoœciowe. Poniewa¿ uzyskanie absolutnej dok³adnoœci jest zwykle niemo¿liwe, istnienie wiêzów biernych oznacza jednoczeœnie: – trudnoœci monta¿owe, – pojawienie siê dodatkowych naprê¿eñ wewnêtrznych w cz³onach uk³adu, – przyspieszone zu¿ycie elementów wêz³ów kinematycznych, – inne ujemne skutki. Z tego te¿ wzglêdu rozwi¹zañ takich ogólnie nale¿y unikaæ. W omawianym przypadku mo¿na tego dokonaæ, np. przez rezygnacjê z cz³onu dodatkowego DC (rys. 27c) lub zast¹pienie jednego cz³onu BDF dwoma cz³onami BD i DF (rys. 27d). Z uk³adami zawieraj¹cymi wiêzy bierne mo¿na siê spotkaæ w praktyce niestety bardzo czêsto, przy czym s¹ one czêœciej wynikiem nieœwiadomoœci projektuj¹cego ni¿ z przemyœlanej decyzji. Przyk³adem takiego uk³adu z wiêzami biernymi z przekonuj¹cym uzasadnienniem mo¿e byæ przek³adnia obiegowa (rys. 28). Do jednoznacznego przeniesienia ruchu, np. z ko³a (1) na jarzmo J (rys. 28a) wystarczy jedno ko³o satelitarne (2), instaluje siê jednak zwykle wiêksz¹ liczbê satelitów (rys. 28b) w celu uzyskania roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych. Niezamierzone zapewne, bo niczym nie usprawiedliwione, wydaje siê rozwi¹zanie pewnego klinowego uk³adu zaciskowego (rys. 29a). Na podstawie wzoru strukturalnego (7) dla uk³adów przestrzennych otrzymamy W = 6 (3 – 1) – 5· 2 – 3· 1 = –1.

27

Rys. 28. Przyk³ady przek³adni obiegowej: a) bez wiêzów biernych, b) z wiêzami biernymi

Uk³ad jest przesztywniony. Potrzebne przeniesienie ruchu cz³onu (2) na ruch cz³onu (3) mo¿na uzyskaæ i przy tym rozwi¹zaniu, lecz wymaga to zachowania pewnych warunków dok³adnoœci. Bez tego typu ograniczeñ bêdzie dzia³aæ niezawodnie rozwi¹zanie przedstawione na rys. 29b, w którym, w wyniku podwy¿szenia klasy par 1–2 i 1–3, cz³ony (2) i (3) bêd¹ oddzia³ywaæ na siebie ca³ymi p³aszczyznami klinowymi niezale¿nie od wartoœci k¹tów ich œciêcia. W ogólnym przypadku w ³añcuchach kinematycznych mog¹ wystêpowaæ zarówno wiêzy bierne, jak i ruchliwoœæ lokalna. Wtedy ruchliwoœæ rzeczywist¹ okreœlonego cz³onu lub grupy cz³onów biernych mo¿na wyznaczyæ z nastêpuj¹cej zale¿noœci Wrz = W – WL – Rb.

Rys. 29. Mechanizm klinowy: a) z wiêzami biernymi, b) bez wiêzów biernych

(11)

28 Omówione zagadnienia ruchliwoœci, ruchliwoœci lokalnej, zupe³nej, jednorodnej oraz wiêzów biernych umo¿liwiaj¹, za pomoc¹ wzorów strukturalnych (5)–(11), okreœlenie rzeczywistej sytuacji ruchowej w ³añcuchu kinematycznym. Tym samym wzory te umo¿liwiaj¹ analizê i kontrolê poprawnoœci intuicyjnych za³o¿eñ dokonanych podczas projektowania uk³adów kinematycznych. Wyprowadzone zwi¹zki (5)–(11) wraz z (1)–(4) mog¹ byæ równie¿ stosowane skutecznie w procesie wyczerpywania mo¿liwych form strukturalnych uk³adów spe³niaj¹cych z góry za³o¿one wymagania. Postêpowanie takie, le¿¹ce u podstaw tzw. syntezy strukturalnej, nie bêdzie przedmiotem dalszych rozwa¿añ.

2. Klasyfikacja mechanizmów Bogactwo i ró¿norodnoœæ mechanizmów spotykanych w budowie maszyn stwarza potrzebê okreœlonego ich uporz¹dkowania i systematycznego uszeregowania lub wrêcz pewnego podzia³u wed³ug okreœlonych zasad i kryteriów. W³aœciwie opracowana klasyfikacja mog³aby z jednej strony u³atwiæ i inspirowaæ dobór mechanizmów do okreœlonych zastosowañ, z drugiej zaœ umo¿liwiæ opracowanie w miarê ogólnych metod analizy kinematycznej i dynamicznej oraz ogólnych podstaw i metod syntezy nowych mechanizmów. Niestety, nie istnieje dotychczas taka w pe³ni zadowalaj¹ca klasyfikacja, która by³aby jednoczeœnie naukowo uzasadniona,metodologicznie racjonalna i u¿yteczna w praktyce in¿ynierskiej. Licznie podejmowane od wielu lat prace w tym zakresie posz³y w zasadzie w dwu odmiennych kierunkach, a ich wynikiem s¹ ró¿ne wersje tzw. klasyfikacji funkcjonalnych i kolejne propozycje klasyfikacji strukturalnej. 1. Klasyfikacja funkcjonalna otwiera historyczny ju¿ (rok 1875) podzia³ mechanizmów zasugerowany przez Reuleaux. Istotê tego podzia³u, przewijaj¹c¹ siê zreszt¹ przez kolejne propozycje, mo¿na przedstawiæ na przyk³adzie jednej z ostatnich klasyfikacji [2] (rys. 30). Klasyfikacja ta, jak zreszt¹ inne tego typu, nie spe³nia podstawowych kryteriów ka¿dej klasyfikacji naukowej, a mianowicie: a) kryterium podzia³u wed³ug jednej zasady, b) kryterium wy³¹cznoœci, c) kryterium zupe³noœci. Nie rozwijaj¹c bli¿ej tych kryteriów, zwrócimy tylko uwagê, ¿e pozostaj¹c przy tej klasyfikacji, mielibyœmy sporo k³opotu z zakwalifikowaniem ogromnej liczby mechanizmów bardziej z³o¿onej. Taki podzia³ mechanizmów nie sugeruje równie¿ odpoweidniego podzia³u metod ich analizy. 2. Klasyfikacja strukturalna. Niedoskona³ym próbom klasyfikacji funkcjonalnych mo¿na przciwstawiæ klasyfikacjê, sugeruj¹c¹ mo¿liwoœæ podzia³u wszystkich mechanizmów wed³ug cech strukturalnych. Klasyfikacja ta zosta³a zapocz¹tkowana przez Assura (rok 1914), i by³a kolejno uzupe³niana. Podstawowe jej zasady przeœledzimy pobie¿nie na przyk³adzie opracowania Artobolewskiego. Wszystkie mechanizmy dzieli siê na rodziny (rys. 31), przy czym kryterium takiego podzia³u jest liczba ogólnych wiêzów na³o¿onych na cz³ony mechanizmu. Istotê tego podzia³u wyjaœniaj¹ przyk³ady mechanizmów reprezentuj¹cych poszczególne rodziny (rys. 32). Do rodziny 0. nale¿¹ wiêc wszystkie mechanizmy przestrzenne, na które nie na³o¿ono ¿adnych ograniczeñ (rys. 32a). Rodzinê 1. tworz¹ mechanizmy, których cz³ony nie mog¹ korzystaæ z jednego (tego samego) stopnia swobody. Na przyk³ad w mechanizmie z rys. 32b

30

Rys. 30. Przyk³ad klasyfikacji funkcjonalnej

Rys. 31. Ilustracja klasyfikacji strukturalnej

¿aden z cz³onów nie mo¿e wykonywaæ obrotu wokó³ osi prostopad³ej do p³aszczyzny rysunku. Do rodziny 3. nale¿¹ miêdzy innymi mechanizmy p³askie (rys. 32d), gdy¿ cz³onom takich mechanizmów odebrano generalnie 3 stopnie swobody itd. W ramach ka¿dej rodziny dzieli siê mechanizmy na klasy, przy czym o klasie mechanizmu decyduje najwy¿sza klasa grupy. Pojêciem grupy okreœla siê ³añcuch kinematyczny, w którym ruchowe po³¹czenie wolnych cz³onów z podstaw¹ zamienia go w uk³ad sztywny. Oznacza to, ¿e dla grup, zwanych dalej grupami Assura, obowi¹zuje równanie strukturalne w postaci

31

Rys. 32. Przyk³ady mechanizmów z podzia³em na rodziny

3k – 2p1 – p2 = 0

(12)

lub w razie uwzglêdnienia istnienia tylko par I klasy 3k = 2p1, gdzie: k – liczba cz³onów grupy, p1 – liczba par kinematycznych I klasy.

Rys. 33. Przyk³ad grupy Assura: a) grupa ABC, b) grupa przy³¹czona do podstawy jest uk³adem sztywnym

(13)

32 Na podstawie warunku (13) mo¿na okreœlaæ formy strukturalne grup Assura kolejnych klas. Najprostsz¹ grupê, tzw. grupê II klasy, charakteryzuj¹ liczby k = 2, p1 = 3. Schemat strukturalny tej grupy przedstawiono na rys. 33a, przy czym parê B bêdziemy nazywaæ par¹ wewnêtrzn¹, pary A i C zaœ parami zewnêtrznymi. Nietrudno sprawdziæ, ¿e po pod³¹czeniu tego dwucz³onu parami zewnêtrznymi do podstawy (rys. 33b) otrzymamy uk³ad sztywny. Schemat strukturalny omawianej grupy II klasy obejmuje ca³¹ rodzinê grup kolejnej postaci. Otrzymamy je przypisuj¹c parom I klasy A, B, C (rys. 34a) postacie par obrotowych lub postêpowych (rys. 34b).

Rys. 34. Dwucz³onowa grupa Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

33

Rys. 35. Przyk³ad czterocz³onowej grupy Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

Rys. 36. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat kruszarki, b) cz³on czynny, c) grupa dwucz³onowa

34

Rys. 37. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat no¿yc do blachy, b) cz³on czynny, c) grupa czterocz³onowa

Kolejne liczby k = 4, p1 = 6, spe³niaj¹ce warunek (13), odnosz¹ siê do grupy III klasy (rys. 35a). Rzeczywiste postacie tej grupy (rys. 35b) otrzymamy rozpatruj¹c wszystkie mo¿liwe kombinacje par obrotowych i postêpowych. Omówione najprostsze grupy II i III klasy (rys. 34 i 35) mo¿na wyró¿niæ i wydzieliæ z ogromnej wiêkszoœci spotykanych w praktyce mechanizmów dŸwigniowych. Na rysunku 36a przedstawiono schemat opartego na czworoboku mechanizmu kruszarki do ska³. Po wydzieleniu cz³onu czynnego (2), stanowi¹cego tzw. mechanizm I klasy, pozosta³y dwucz³on (3–4) jest typow¹ grup¹ II klasy pierwszej postaci (rys. 34b). Z tego powodu mechanizm ten zaliczymy do II klasy. Mechanizm no¿yc do ciêcia blachy, przedstawiony na rysunku 37a, jest mechanizmem III klasy. Decyduje o tym grupa III klasy (cz³ony (4), (3), (5), (6)) (rys. 37c), jaka pozostaje po wydzieleniu cz³onu czynnego (2) (rys. 37b). Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e taka mo¿liwoœæ dokonania podzia³u ka¿dego mechanizmu dŸwigniowego na cz³on lub cz³ony czynne (napêdzaj¹ce) oraz grupy Assura okreœlonych klas ma istotne znaczenie. Stwarza szansê uogólnienia metod analizy i syntezy strukturalnej, kinematycznej i dynamicznej. Jednoczeœnie jednak trzeba uprzedziæ Czytelnika, ¿e problem ten nie jest do koñca rozwi¹zany. Zaproponowana klasyfikacja strukturalna dotyczy tylko mechanizmów dŸwigniowych, a jej zasady budz¹ wci¹¿ wiele w¹tpliwoœci merytorycznych. 3. Mechanizmy w pewnych przypadkach mo¿na równie¿ podzieliæ na dwie grupy: a) z parami ni¿szymi, b) z parami wy¿szymi. Do grupy pierwszej (a) nale¿¹ popularne mechanizmy dŸwigniowe, typowymi zaœ przedstawicielami drugiej grupy (b) s¹ mechanizmy krzywkowe i zêbate. Do takiego podzia³u odwo³amy siê przy omawianiu metod analizy kinematycznej.

II. KINEMATYKA Kinematyka obejmuje zagadnienia zwi¹zane z badaniem ruchu mechanizmów, przy za³o¿eniu, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ sztywne i nie uwzglêdnia siê ani wp³ywu ich mas, ani dzia³aj¹cych si³. Przedmiotem rozwa¿añ s¹ wiêc: – po³o¿enia cz³onów, – trajektorie punktów, – prêdkoœci liniowe i k¹towe, – przyspieszenia liniowe i k¹towe. Do okreœlenia tych parametrów mo¿na korzystaæ z ró¿norakich metod, np.: – graficznych, – analitycznych, – numerycznych, – kombinowanych. O wyborze metody decyduj¹: rodzaj badanego problemu, potrzeby dotycz¹ce szybkoœci otrzymanych wyników i ich dok³adnoœci. Rozwój wspó³czesnych œrodków obliczeniowych (komputery, kalkulatory programowane) nobilituje przede wszystkim metody analityczne i numeryczne, w obecnej dobie jednak stosowane s¹ wci¹¿ jeszcze i metody graficzne.

36

3. Metody graficzne Metody graficzne, dziœ ju¿ klasyczne, umo¿liwiaj¹ w pewnych przypadkach okreœlenie parametrów ruchu mechanizmów w sposób prosty i bardzo pogl¹dowy. Maj¹ niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, ³atwiej te¿ z ich pomoc¹ wyjaœniæ pewne pojêcia kinematyczne. Znajomoœæ metod graficznych u³atwia zwykle dokonanie zapisu analitycznego. Stanowi¹ one cenne uzupe³nienie pozosta³ych metod przez to równie¿, ¿e umo¿liwiaj¹ sprawdzenie poprawnoœci wyników uzyskanych na innej drodze. Podstawow¹ wad¹ metod graficznych jest to, ¿e uzyskane wyniki dotycz¹ zwykle jednego po³o¿enia mechanizmu i charakteryzuj¹ siê okreœlon¹ dok³adnoœci¹.

3.1. Podzia³ki Stosuj¹c graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy wystêpuj¹ce wielkoœci, np. przemieszczenie, czas, prêdkoœæ, przyspieszenie, w postaci odcinka linii prostej. Aby to przedstawienie by³o jednoznaczne, wprowadza siê pojêcie podzia³ki. Podzia³k¹ bêdziemy nazywaæ stosunek wartoœci wielkoœci rzeczywistej do wartoœci wielkoœci rysunkowej wielkoœæ wartoœci rzeczywistej Podzia³ka = wielkoœæ wartoœci rysunkowej Okreœlenie to zapiszemy w postaci

κx =

x . ( x)

(14)

Podzia³kom nale¿y przypisaæ wymiar zale¿ny zarówno od wymiaru wielkoœci rzeczywistej, jak i wymiaru wielkoœci rysunkowej. Zazwyczaj wymiarami czasu t, przemieszczenia l, prêdkoœci v,..., bêd¹ odpowiednio sekunda, metr, metr na sekundê, ... Wielkoœæ rysunkowa jest przedstawiana najczêsciej w milimetrach. Przy takich za³o¿eniach bêdzie

κt =

t  s  , ( t )  mm 

κl =

l  m  , (l )  mm 

37

κv =

v  m  . (v )  s ⋅ mm 

Podzia³ki mo¿na przyjmowaæ dowolnie, nale¿y tylko pamiêtaæ o tym, ¿e wartoœæ podzia³ki ma istotny wp³yw na dok³adnoœæ uzyskanego wyniku. Oczywiœcie im mniejsza wartoœæ podzia³ki k, tym wiêksza dok³adnoœæ odczytu.

3.2. Po³o¿enia i trajektorie Okreœlanie po³o¿eñ cz³onów w poszczególnych fazach ruchu mechanizmu oraz trajektorii (torów), jakie zakreœlaj¹ pewne charakterystyczne punkty zwi¹zane z cz³onami ruchomymi, nale¿y do najprostszych zadañ analizy kinematycznej. Czynnoœci takie, niezbêdne np. w fazie projektowania uk³adów ruchliwych, przy korzystaniu z metod graficznych s¹ zwykle elementarne. 3.2.1. Po³o¿enia Jak zaznaczono w podrozdziale 2.2, ka¿dy mechanizm mo¿na roz³o¿yæ na grupy cz³onów, z których ka¿da po przy³¹czeniu wolnymi pó³parami do podstawy tworzy uk³ad sztywny. Taki podzia³ mechanizmu umo¿liwia badanie jego paramterów poprzez analizê poszczególnych grup. Jest to pewne udogodnienie, gdy¿ pozwala zarówno na uogólnienie metod badania, jak równie¿ ograniczenie rodzajów omawianych mechanizmów. Jednymi z prostszych (wed³ug klasyfikacji strukturalnej) s¹ mechanizmy II klasy, najelementarniejszymi zaœ grupami s¹ grupy II klasy, tzn. grupy sk³adaj¹ce siê z dwóch cz³onów typu N2 oraz trzech par I klasy postaci obrotowej lub postêpowej. Rozwa¿my na pocz¹tek przypadek dwucz³onu ABC (rys. 38a). Za³ó¿my, ¿e po pewnym czasie Dt punkty A i C przyjm¹ po³o¿enia A1 i C1 (rys. 38b). Wtedy punkt B -- przejdzie w po³o¿enie B1, które znajdziemy na przeciêciu ³uków k'B i k"B zakreœlonych z A1 i C1 promieniami równymi d³ugoœci AB i CB.

Rys. 38. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z parami obrotowymi

38

Rys. 39. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 40. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów II klasy z wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 41. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ i wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

39 Je¿eli para zewnêtrzna dwucz³onu ABC jest par¹ postêpow¹ (rys. 39a), to po okreœ³onym czasie Dt znane jest nowe po³o¿enie A1 punktu A oraz nowe po³o¿enie c1 prowadnicy c. Nowe po³o¿enie cz³onu (1) i (2) znajdziemy okreœlaj¹c po³o¿enie B1 punktu B na przeciêciu ³uku k'B i prostej k"B (rys. 39b). Podobnie, równie elementarnie, mo¿na okreœlaæ nowe po³o¿enia pozosta³ych grup i ich mo¿liwych odmian. Dla æwiczenia proponujemy przeœledziæ samodzielnie konstrukcje nowych po³o¿eñ cz³onów kolejnych odmian dwucz³onu (rys. 40–42) oraz grupy III klasy z parami obrotowymi (rys. 43). Korzystaj¹c z omówionej metody rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na ju¿ bez trudu okreœlaæ nowe po³o¿enia wszystkich cz³onów mechanizmów. Przyk³ady wyz-

Rys. 42. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrznymi parami postêpowymi

Rys. 43. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy III klasy

40

Rys. 44. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu

Rys. 45. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu (wytrz¹sacza do s³omy) z grup¹ III klasy

naczania nowych po³o¿eñ mechanizmów p³askich napêdu listwy no¿owej kosiarki i uk³adu wytrz¹sacza s³omy w kombajnie przedstawiono na rys. 44 i 45. 3.2.2. Trajektorie Trajektori¹ lub torem punktu nazywamy miejsce geometryczne jego kolejnych po³o¿eñ w przyjêtym uk³adzie odniesienia. Trajektoriê mo¿na wyznaczyæ metod¹ geometryczn¹, okreœlaj¹c kolejne po³o¿enia cz³onu, do którego rozpatrywany punkt nale¿y (rys. 46), lub metod¹ wzornikow¹ (rys. 47). Je¿eli na wykreœlonej drodze punktu M nanieœæ kolejne jego po³o¿enia wyznaczaj¹ce odcinki drogi przebyte w jednakowych odstêpach czasu, to otrzymamy tzw. tor ocechowany (rys. 48). Wykreœlanie

41

Rys. 46. Wykreœlanie trajektorii kM metod¹ geometryczn¹

Rys. 47. Wykreœlanie trajektorii kM przy wykorzystaniu wzornika

jego jest u³atwione, gdy, jak to zwykle bywa, cz³on napêdzaj¹cy pozostaje w ruchu obrotowym jednostajnym. W mechanizmie z rysunku 48 tak jest, i wtedy jednakowym przedzia³om czasu mo¿na przyporz¹dkowaæ takie same drogi k¹towe korby AB lub odcinka toru punktu B. Znajomoœæ kszta³tu trajektorii niektórych punktów mechanizmu jest czasem niezbêdna do okreœlania kolejnych po³o¿eñ mechanizmu (rys. 45). Czêsto kszta³t wykreœlanej trajektorii decyduje o istocie dzia³ania ca³ego mechanizmu (rys. 88, 89). Tor ocechowany mo¿e byæ wykorzystany do okreœlania parametrów ruchu rozpatrywane-

42

Rys. 48. Przyk³ad toru ocechowanego

go punktu, np. prêdkoœci i przyspieszenia. Mamy tu na myœli np. metodê toru ocechowanego lub metodê wykresów czasowych (patrz p. 3.3.5.).

3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia 3.3.1. Œrodki obrotu Rozpatrzmy dwa cz³ony k oraz l realizuj¹ce wzglêdem siebie ruch wzglêdny p³aski (rys. 49.). Za³ó¿my, ¿e z tymi cz³onami s¹ zwi¹zane sztywno odpowiednie p³aszczyzny pl i pk . Na p³aszczyznach tych zawsze mo¿na zanleŸæ takie dwa punkty Sl oraz Sk, które pokrywaj¹ siê ze sob¹ i maj¹ identyczne prêdkoœci liniowe (vSl = vSk). Oznacza to, ¿e wzglêdna prêdkoœæ tych punktów jest równa zeru (vSkSl = 0) . Punkt oznaczony dalej symbolem Skl , bêdziemy nazywaæ œrodkiem obrotu cz³onu k wzglêdem l. Je¿eli we wzajemnym p³askim ruchu wzglêdnym bêdzie siê znajdowaæ n cz³onów, to liczba i œrodków obrotu wyrazi siê zale¿noœci¹

Rys. 49. Ilustracja chwilowego œrodka obrotu cz³onów k i l

43

 n n (n − 1) (15) . i =   = 1⋅ 2  2 W liczbie tej mog¹ wyst¹piæ tzw. œrodki obrotu sta³e, trwa³e i chwilowe. Pojêcia te wyjaœnimy na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 50). W uk³adzie tym cz³ony (1), (2), (3) wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie oraz wzglêdem podstawy (4). Liczba i mo¿liwych œrodków obrotu wynosi tu  4 3⋅ 4 i =   = = 6 1⋅ 2  2

Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany: S12

S13 S23

S14 S24 S34

Wœród nich œrodki obrotu S14 i S34 nale¿¹ do sta³ych, S12 i S23 zaœ do trwa³ych œrodków obrotu. Chwilowymi œrodkami obrotu s¹ S13 oraz S24. W uk³adach kinematycznych po³o¿enie sta³ych i trwa³ych œrodków obrotu jest zadane przez po³o¿enie odpowiednich par kinematycznych. Chwilowe œrodki obrotu mo¿na wyznaczyæ korzystaj¹c z tego, ¿e le¿¹ na liniach prostopad³ych do prêdkoœci wzglêdnych punktów jednego wzglêdem drugiego rozpatrywanego cz³onu, lub z twierdzenia o trzech œrodkach obrotu. Mówi ono, ¿e przy 3 cz³onach k, l, m, bêd¹cych wzglêdem siebie w ruchu p³askim, œrodki obrotu Skl, Skm, Slm le¿¹ na jednej prostej. Przydatnoœæ tego twierdzenia mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie rozpatrywanego czworoboku z rys. 50. Na jednej linii prostej le¿¹ tu odpowiednie œrodki obrotu S12, S23 i S13 cz³onów (1), (2), (3), a tak¿e nastêpne kombinacje. Zauwa¿my przy tym, ¿e istnieje pewna regularnoœæ dotycz¹ca samych indeksów. Przejawia siê ona w tym, ¿e

Rys. 50. Œrodki obrotu cz³onów czworoboku przegubowego

44 indeks dowolnego œrodka obrotu mo¿na zestawiæ z nie powtarzaj¹cych siê znaków pozosta³ych œrodków. Fakt, ¿e w ka¿dym œrodku obrotu przecina siê ze sob¹ kilka linii (co najmniej 2) mo¿na wykorzystaæ do ich znalezienia. W œrodku S13 przecinaj¹ siê linie b (S23, S12, S13) oraz d (S34, S14, S13), co mo¿na odnotowaæ skrótowo S13

S12 — S23 S14 — S34

Podobnie, w poszukiwanym œrodku S24, przecinaj¹ siê proste a i c, czyli S24

S14 — S12 S34 — S23

W przypadku okreœlania chwilowych œrodków obrotu w mechanizmach wielocz³onowych, pewne k³opoty mo¿e sprawiaæ ustalenie w³aœciwej kolejnoœci okreœlania œrodków. Mo¿na wtedy skorzystaæ z metody opartej na przedstawieniu mechanizmu w postaci grafu struktury [14]. Metodê tê wyjaœnimy na przyk³adzie. W mechanizmie szeœciocz³onowym (rys. 51a) nale¿y okreœliæ po³o¿enia wszystkich œrodków obrotu. Ze wzoru (15) wynika, ¿e jest ich 15. Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany, obwodz¹c kó³kiem te, które s¹ wyznaczone przez pary I klasy S12 S13 S14 S15 S16 S23

S24

S25

S26

S34

S35

S36

S45

S46 S56

Rys. 51. Ilustracja metody wyznaczania œrodków obrotu cz³onów uk³adu w mechanizmach z³o¿onych

45 Po³o¿enie pozosta³ych nie oznaczonych (chwilowych) œrodków obrotu nale¿y okreœliæ. W tym celu narysujmy pomocniczo graf struktury tego mechanizmu (rys. 51b), na którym punkty zaczernione oznaczaj¹ cz³ony, ³¹cz¹ce zaœ je linie pary kinematyczne, rozumiane równie¿ jako œrodki obrotu. Jak siê wykazuje [14], mo¿na bez trudu znaleŸæ te œrodki obrotu, których symbol graficzny (odcinek) dzieli ju¿ istniej¹cy czworobok, wyznaczony przez znane œrodki obrotu, na dwa trójk¹ty. W naszym przypadku znane ju¿ œrodki obrotu wyznaczaj¹ dwa czworoboki 1 2 3 4 1 i 1 4 5 6 1 (rys. 51b). Ka¿dy z nich mo¿na podzieliæ na dwa trójk¹ty, ³¹cz¹c w nich punkty 1–3, 2–4, 1–5 i 4–6. Okreœlmy dla przyk³adu S24. Sposób najprostszy podpowiadaj¹ dwa trójk¹ty 1 2 4 oraz 2 3 4, czyli S24

S23 — S34 S12 — S14

Inaczej œrodek chwilowy S24 znajdziemy na przeciêciu linii a, przechodz¹cej prze œrodki S23 i S34, oraz linii b, przechodz¹cej przez S12 i S14. Podobnie mo¿na wyznaczyæ pozosta³e chwilowe œrodki obrotu. Nale¿y tu przypomnieæ, ¿e znajomoœæ po³o¿eñ chwilowych œrodków obrotu u³atwia okre¿lanie kierunków prêdkoœci, prze³o¿eñ itd. 3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noœci dotycz¹ce prêdkoœci i przyspieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów. Ruch postêpowy Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch taki realizuje suwak po prowadnicy prostoliniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³oboku przegubowego (rys. 52). Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹ jednakowe (rys. 53a), prêdkoœci vi zaœ i przyspieszenia ai w tym samym po³o¿eniu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêdkoœci s¹ styczne do torów, kierunki przy- Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3) spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i w ruchu postêpowym parametrów ruchu. Jest wiêc v B = v c = v i,

w = 0,

(16)

a B = a C = a i,

e = 0.

(17)

46

Rys. 53. Tory, prêdkoœci i przyspieszenia punktów cz³onu BC w ruchu postêpowym

Ruch obrotowy Ruch obrotowy cz³onu BC (rys. 54a) wokó³ œrodka obrotu O charakteryzuje siê tym, ¿e wszystkie punkty tego cz³onu zakreœlaj¹ tory ko³owe koncentryczne. Jak wiadomo vi = w ri lub vi = ω × ri , przy czym: ri – promieñ obrotu punktu w – prêdkoœæ k¹towa cz³onu BC.

Rys. 54. Cz³on w ruchu obrotowym: a) rozk³ad prêdkoœci, b) rozk³ad przyspieszeñ

(18)

47 Wektory vi prêdkoœci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów, czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze œrodka obrotu O pod tym samym k¹tem a B = a C = a i. Na przyspieszenie ai punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê: przyspieszenie normalne

a ni = ω 2 ⋅ ri lub a ni = ω × (ω × ri ) oraz przyspieszenie styczne

a ti = ε ⋅ ri

lub a ti = ε × ri .

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa ain ma kierunek promienia obrotu i zwrot do œrodka obrotu O, sk³adowa ait natomiast kierunek prostopad³y do promienia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b). Ca³kowite przyspieszenie ai wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

a i = a ni + a ti

(19)

lub algebraicznie

ai =

(a ni ) 2 + (a ti ) 2 = ri ω 4 + ε 2 .

(19a)

Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite ai jest równe przyspieszeniu normalnemu. Ruch z³o¿ony p³aski 1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym

Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego œrodka obrotu

48 Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego œrodka obrotu S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoœci liniowych punktów zwi¹zanych z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoœci dowolnych punktów cz³onu bêd¹cego w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω =

vC v v = B = I SC SB SI

(20)

jest prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznaczenia prêdkoœci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkoœciach dwóch innych punktów lub prêdkoœci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego œrodka obrotu S. Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego i obrotowego jednoczeœnie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkoœciami dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

vC = v B + vCB lub v B = vC + v BC .

(21)

Wektor vCB = − v BC reprezentuje tu prêdkoœæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem B. Prêdkoœæ wzglêdna vCB ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje z prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji vCB = wCB lCB . Przez analogiê do chwilowego œrodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwilowego œrodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³onem, którego przyspieszenie jest równe zeru (ap = 0), rys. 58.

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako suma ruchu postêpowego i obrotowego

Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askim i jego chwilowy œrodek przyspieszeñ

49 Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia œrodka obrotu S. Wektory przyspieszeñ np. a B i aC (rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y. W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczególnych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punktów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

aC = a B + aCB ,

(22)

w którym n

t aCB = aCB + aCB . Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego n aCB = ω 2 ⋅ lCB =

2 vCB , lCB

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa zaœ styczna przyspieszenia wzglêdnego t

a CB = ε × lCB jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspieszeniem k¹towym. Jest wiêc n

t

aC = a B + aCB + aCB .

Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego aCB cz³onu BC w ruchu z³o¿onym p³askim

(23)

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy prêdkoœciami wybranych punktów B i C nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów

50 Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okreœlenie przyspieszenia dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e i odleg³oœæ tych punktów. Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ruchom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyniku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoœæ vB, punkt C natomiast przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoœci¹ vCB. Wynikow¹ prêdkoœæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

vC = v B + vCB , gdzie vCB – prêdkoœæ wzglêdna punktu C wzglêdem B. Kierunek tej prêdkoœci okreœla oczywiœcie aktualne po³o¿enie prowadnicy. Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

aC = a B + aCB ,

(24)

w którym aCB jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ: normalnego, stycznego i Coriolisa, n

t

c

(25)

aCB = aCB + aCB + aCB , Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co n

aCB =

2 vCB , ρ

gdzie r – promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w punkcie B). Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy prowadnicach krzywoliniowych. w przypadku stosowania prowadnicy prostoliniowej (r = ¥) jest wiêc n

aCB =

2 vCB ∞

= 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z kierunkiem promienia r, skierowany zaœ jest do œrodka krzywizny. Sk³adowa styczna przyspieszenia ma kierunek równoleg³y Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego do prêdkoœci wzglêdnej vCB, modu³ zaœ okreœla zale¿noœæ wybranych punktów B i C nale¿¹cych do cz³onów (1) i (2)

51 t

aCB =

d vCB . dt

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego c

aCB = 2 ω × vCB , mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoœci wzglêdnej vCB o 90°, zgodnie z prêdkoœci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc n t c aC = a B + aCB . + aCB + aCB

(26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych metodach okreœlania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punktów. 3.3.3. Metoda toru ocechowanego Niech bêdzie dana trajektoria ki punktu I (rys. 62a), nale¿¹cego do cz³onu mechanizmu. Trajektoriê tê ocechowano tak, ¿e przemieszczenia po jej fragmentach p i q, pomiêdzy punktami K – 1, K oraz K, K + 1, odpowiadaj¹ równym przedzia³om czasowym Dt. Po zast¹pieniu rzeczywistych przemieszczeñ p i q odpowiednio wektorami a i b (rys. 62b), œredni¹ prêdkoœæ punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ zale¿noœci¹

vK ≅

va + vb , 2

Rys. 62. Wyznaczanie prêdkoœci i przyspieszeñ metod¹ toru ocechowanego

52 czyli

a +b 2∆t

vK ≅

(27)

lub

vK ≅

c , 2∆t

(27a)

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ kl uzyskano

(c)κ l . 2∆t

vK ≅

(28)

Œrednie przyspieszenie punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ wzorem

vb − va , ∆t

aK ≅ co prowadzi do

b −a

aK ≅

(29)

∆t 2

lub

d . ∆t 2 Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ aK ≅

(d)κ l , (30) ∆t 2 Jak wiadomo, mechanizmy charakteryzuj¹ siê cyklicznoœci¹ ruchu, to znaczy po pewnym okresie T powtarza siê po³o¿enie, prêdkoœæ oraz przyspieszenie. Za³ó¿my, ¿e liczba okresów T wynosi n w czasie jednej minuty. Cechowanie toru przeprowadzono w ten sposób, ¿e okres T podzielono na m równych przedzia³ów Dt. Jest wiêc aK ≅

T = mDt oraz T =

60 . n

Ostatecznie wiêc, ze wzoru (28) i (30)

κ l ⋅m⋅n , 120

(31)

κ l ⋅ m2 ⋅ n 2 . 3600

(32)

v K ≅ (c) a K ≅ (d)

53 Dla porz¹dku nale¿y odnotowaæ, ¿e wraz ze wzrostem m przedzia³ów wzrasta dok³adnoœæ uzyskanych wyników. Jednak wraz ze wzrostem liczby przedzia³ów m roœnie wp³yw b³êdów rysunkowych. Zalecane jest [11] nastêpuj¹ce przyjêcie liczby przedzia³ów: m = 18 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A6, m = 24 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A4. Orientacyjne b³êdy w wyznaczeniu prêdkoœci wynosz¹ wtedy 6–4%, a w wypadku przyspieszeñ 12–8%. W liczbach tych nie jest zawarty b³¹d zwi¹zany z dok³adnoœci¹ wyznaczenia punktów toru ocechowanego. 3.3.4. Metoda planów Niech bêdzie dany cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim (rys. 63a) i niech vB, vC, vM bêd¹ prêdkoœciami punktów B, C i M tego cz³onu. Je¿eli wektory prêdkoœci narysowaæ w dowolnej podzia³ce kv, rozpoczynaj¹c z dowolnego punktu pv, to koñce ich, oznaczone odpowiednimi symbolami b, c i m, wyznacz¹ pewn¹ figurê bcm (rys. 63b). Figura taka, jako miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoœci punktów tego samego cz³onu, nosi nazwê planu prêdkoœci cz³onu, a punkt pv bieguna planu prêdkoœci. Pos³uguj¹c siê odpowiednimi zwi¹zkami miêdzy prêdkoœciami punktów B, C i M, np. vC = v B + vCB ,

v M = v B + v MB , v M = vC + v MC

Rys. 63. Plan prêdkoœci: a) cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim, b) plan prêdkoœci cz³onu BCM

55 (rys. 64a) od³o¿ione w tej samej podzia³ce z jednego bieguna pa tworz¹ koñcami b, c i m figurê bcm (rys. 64b). Przez analogiê do planu prêdkoœci, figurê tak¹ bêdziemy nazywaæ planem przyspieszeñ cz³onu. Plan bcm jest podobny do cz³onu BCM i obrócony wzglêdem niego o k¹t (180 – j), zgodnie z przyspieszeniem k¹towym e, przy czym

ε . ω2 Odcinki ³¹cz¹ce odpowiednie koñce wektorów okreœlaj¹ przyspieszenie wzglêdne poszczególnych punktów, np. ϕ = arc tg

a MC , κa

mc =

gdzie ka [m/s2·mm] jest podzia³k¹ planu przyspieszeñ. Na ogó³ przyspieszenie wzglêdne ca³kowite jest sum¹ wektorow¹ sk³adowej normalnej i stycznej, co przyk³adowo pokazano dla przyspieszenia aMC n

t

a MC = a MC + a MC lub

cm = cn + nm . n Wektor a MC ma kierunek MC, zwrot od M do C, a modu³ n

a NC =

v MC . l MC

t

Przyspieszenie wzglêdne styczne a MC = ε l MC ma kierunek prostopad³y do MC. Plany przyspieszeñ kolejnych cz³onów mechanizmu wykreœlone z jednego bieguna pa tworz¹ plan przyspieszeñ mechanizmu, za którego pomoc¹ mo¿na okreœlaæ dowolne przyspieszenia liniowe i k¹towe. W dalszym ci¹gu przedstawiono sposoby wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ dla wybranych grup Assura. Grupa dwucz³onowa drugiej klasy z trzema parami obrotowymi Grupê tê pokazano schematycznie na rysunku 65a. Za³ó¿my, ¿e w wyniku wstêpnych obliczeñ kinematycznych okreœlono: – prêdkoœæ vA oraz przyspieszenie aA punktu A, – prêdkoœæ vC oraz przyspieszenie aC punktu C. Analizuj¹c ruch punktu B napiszemy: – dla cz³onu AB v B = v A + v BA ,

56

Rys. 65. Plan prêdkoœci i przyspieszeñ grupy II klasy

– dla cz³onu BC

v B = vC + v BC , tak wiêc

v B = v A + v BA = vC + v BC .

(33)

W zale¿noœci (33) znane s¹ wektory prêdkoœci punktów A oraz C, co zaznaczono przez ich trzykrotne podkreœlenie. Kierunki prêdkoœci wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a), co zaznaczono przez jednokrotne podkreœlenie vBA i vBC w rozpatrywanej zale¿noœci. Równanie to rozwi¹¿emy graficznie. Wykreœlaj¹c z bieguna pv wektory v A oraz vC , a nastêpnie odpowiednio kierunki prêdkoœci wzglêdnych, wyznaczymy prêdkoœæ vB punktu B (rys. 65b).

57 Podobnie, aby wyznaczyæ przyspieszenie a B punktu B napiszemy – dla cz³onu AB n

a B = a A + a BA + a BAt , – dla cz³onu BC n

a B = aC + a BC + a BCt , tak wiêc n

t

n

t

a B = a A + a BA + a BA = aC + a BC + a BC .

(34)

W równaniu (34) znane s¹ wektory aA oraz aC, modu³y sk³adowych normalnych wektorów zaœ przyspieszeñ wzglêdnych obliczymy odpowiednio n

a BA =

2 v BA v2 n ; a BC = BC . lBA lBC

(35)

Wektory te maj¹ kierunki odpowiednich cz³onów, zwroty zaœ odpowiednio od punktu B do punktów A i C. Kierunki sk³adowych stycznych wektorów przyspieszeñ wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a). Tak wiêc znane co do modu³u, kierunku i zwrotu wektory przyspieszeñ podkreœlono w zale¿noœci (34) trzema kreskami, wektory zaœ znane co do kierunku – jedn¹ kresk¹. Zale¿noœæ (34) rozwi¹¿emy graficznie nastêpuj¹co: Z dowolnie przyjêtego bieguna pa wykreœlimy wektory aC oraz aA. Dodaj¹c odpowiednio wektory przyspieszeñ normalnych wzglêdnych, a nastêpnie wykreœlaj¹c kierunki przyspieszeñ stycznych wyznaczymy punkt b, stanowi¹cy koniec wektora aB przyspieszenia punktu B (rys. 65c). Grupa czterocz³onowa trzeciej klasy z parami obrotowymi Analizê kinematyczn¹ grup tego typu (rys. 66) prowadzi siê korzystajac z tzw. punktów Assura. Punktem Assura bêdziemy nazywaæ punkty R, S lub T cz³onu trójwêz³owego ABC pokrywaj¹ce siê z punktem przeciêcia odpowiednich kierunków jego dwóch cz³onów dwuwêz³owych (rys. 66a). Je¿eli znane s¹ prêdkoœci i przyspieszenia punktów D, E i F, to kolejnoœc operacji zmierzaj¹cych do okreœlenia prêdkoœci i przyspieszenia punktów A, B i C mo¿e byæ nastêpuj¹ca: – dla punktu R napiszemy

v R = v A + v RA = v D + (v AD + v RA ), oraz

(36)

v R = v B + v RB = v E + (v BE + v RD ).

58 Wektory prêdkoœci ruchu wzglêdnego vAD i vRA oraz vBE i vRB maj¹ jednakowe kierunki, mo¿na je wiêc zast¹piæ odpoweidnio jednym wektorem, a zatem zale¿noœci (36) mo¿na zast¹piæ przez równania:

v R = v D + v RD oraz

(37)

v R = v E + v RE . w równaniach tych prêdkoœci vD i vE s¹ zadane, natomiast vRD oraz vRD znane co do kierunku. Odk³adaj¹c od przyjêtego bieguna pv wektory vD i vE oraz przeprowadzaj¹c przez ich koñce d i e, prostopad³e do RD oraz RE, wyznaczymy w ich punkcie przeciêcia r koniec wektora v R (rys. 66b). Prêdkoœæ punktu C wyznaczymy z zale¿noœci

vC = v F + vCF oraz

(38) vC = v R + vCR .

Graficzne wyznaczenie prêdkoœci punktu C pokazano równie¿ na rys. 66b. Korzystaj¹c np. z zasady podobieñstwa planu prêdkoœci cz³onu do cz³onu mo¿na nastêpnie wyznaczyæ prêdkoœc punktów A oraz B. Tym samym punktem R mo¿na okreœliæ przyspieszenie punktów A, B i C cz³onu trójwêz³owego (rys. 67a). Najpierw wyznaczymy przyspieszenie aR korzystaj¹c z równañ n

t

n

t

n

t

a R = a A + a RA + a RA = a D + a AD + a AD + a RA + a RA oraz

(39) n t n t n t a R = a B + a RB + a RB = a E + a BE + a BE + a RB + a RB

w których przyspieszenie normalne n a RA =

n

a RB =

2 v RA v2 n ; a AD = AD , lRA l AD 2 v RB v2 n ; a BE = BE , lRB lBE

obliczamy korzystaj¹c z planu prêdkoœci.

59

Rys. 66. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan prêdkoœci

60

Rys. 67. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan przyspieszeñ

61 Rówanie (39) mo¿na przedstawiæ w postaci n

n

t

t

n

n

t

t

a R = a D + a AD + a RA + a AD + a RA , a R = a E + a BE + a RB + a BE + a RB lub, po wprowadzeniu, dla uproszczenia, odpowiednich symboli sum wektorów równoleg³ych, n t a R = a D + a RD , + a RD n

t

a R = a E + a RE + a RE ,

(40)

Graficzne rozwi¹zanie równañ (40) przedstawiono na rysunku 67b. Przyspieszenie punktu C wyznaczymy z równañ n

t

aC = a R + aCR + aCR oraz

(41) n

t

aC = a F + aCF + aCF , w których n aCR =

2 vCR v2 n ; aCF = CF . lCR lCF

Rozwi¹zuj¹c równanie (41) graficznie, a nastêpnie korzystaj¹c np. z podobieñstwa planu przyspieszeñ cz³onu do cz³onu, mo¿emy wyznaczyæ przyspieszenie punktów A i B. Dysponuj¹c ogóln¹ metod¹ rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na przy ich zastosowaniu analizowaæ praktycznie wszystkie mechanizmy dŸwigniowe. Nale¿y w tym celu dokonaæ w badanym mechanizmie analizy strukturalnej i wydzielenia odpowiednich grup. Idee tê zilustrowano przyk³adem. Niech bêdzie dany mechanizm DABCMN (rys. 68a), w którym nale¿y okreœliæ prêdkoœæ vN przy zadanej prêdkoœci k¹towej w2 korby DA. Zauwa¿my, ¿e przy tych za³o¿eniach jest to mechanizm II klasy i mo¿na w nim wyró¿niæ dwie grupy II klasy, tzn. grupê 34 (ABC) i grupê 56 (MNP) (rys. 68b). Grupy te nale¿y rozwi¹zywaæ w tej kolejnoœci, stosuj¹c omówiony wzór dla grupy II klasy (rys. 65). Za³ó¿my z kolei, ¿e dla tego samego uk³adu nale¿y okreœliæ w4 przy zadanej prêdkoœci v6 cz³onu (6) (rys. 69a). Tym razem, wychodz¹c od cz³onu czynnego (6),

62

Rys. 68. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu II klasy, b) sk³adowe grupy Assura

mo¿na wyró¿niæ tylko jedn¹ grupê III klasy (rys. 69b). Rozwi¹zuj¹c tê grupê wed³ug omówionego wzoru (rys. 66) znajdziemy vc, a wiêc równie¿ w4. 3.5.5. Metoda wykresów kinematycznych Wykresy kinematyczne s¹ graficznym przedstawieniem zale¿noœci funkcyjnej drogi, prêdkoœci liniowej i przyspieszenia liniowego lub k¹ta obrotu, prêdkoœci k¹towej i przyspieszenia k¹towego cz³onu od okreœlonego parametru. W takim przedstawieniu ruchu punktu lub cz³onu mechanizmu parametrem mo¿e byæ czas lub dowolna inna wspó³rzêdna uogólniona, np. droga wybranego punktu lub k¹t obrotu cz³onu czynnego. Podczas sporz¹dzania wykresów kinematycznych pewne przebiegi (np. s = s(t)) nale¿y poddaæ operacji ró¿niczkowania (np. v = ds/dt) lub ca³kowania (np. v = ∫ a dt ). Czasem dogodnie jest operacje te przeprowadzaæ graficznie, korzystaj¹c z odpowiednich metod, które przedstawiono dalej. Ró¿niczkowanie graficzne metod¹ stycznych Dla zadanej krzywej przemieszczeñ s(t) (rys. 70a) nale¿y znaleŸæ przebieg zmian prêdkoœci v(t) w funkcji czasu. Za³ó¿my na pocz¹tku, ¿e zadany wykres s(t) i szukany v(t) bêd¹ mia³y wspóln¹ podzia³kê czasu kt [s/mm], co umo¿liwi usytuowanie uk³adów wspó³rzêdnych jak na rys. 70. Na krzywej s(t) przyjmijmy dowolne punkty 1s, 2s, ..., np. odpowiadaj¹ce jednakowym odcinkom czasu Dt i do krzywej w tych punktach poprowadŸmy styczne.

63

Rys. 69. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu III klasy, b) sk³adowe grupy Assura

Przez punkt Hv, przyjêty dowolnie na ujemnej osi czasu uk³adu (v, t), poprowadŸmy proste równoleg³e do stycznych, które na osi v odetn¹ odcinki proporcjonalne do prêdkoœci w chwilach odpowiadaj¹cych punktom 1s, 2s, ... Konstrukcja przedstawiona na rys. 70b prowadzi do punktów 1v, 2v, ..., a tym samym do szukanej krzywej v(t). Aby ustaliæ podzia³kê kv wykresu v(t) przypomnijmy, ¿e dla dowolnego punktu I vi =

dsi κ d ( si ) κ = s = s tg α i . dt κ t d (t ) κt

Poniewa¿ z drugiej strony

tg α i =

(vi ) , ev

otrzymamy wiêc

vi =

κ s (vi ) . κ t ev

64

Rys. 70. Przyk³ad graficznej metody ró¿niczkowania funcji: a) krzywa s(t), b) rezultat ró¿niczkowania v(t)

Porównuj¹c tê zale¿noœæ ze znan¹ ogóln¹ zale¿noœci¹ vi = (vi) kv, otrzymamy podzia³kê prêdkoœci

κv =

κs . κ t ⋅ ev

(42)

Podobnie, ró¿niczkuj¹c wykres, np. v(t), dla uzyskania przebiegu a(t), otrzymamy podzia³kê

κa =

κv . κ t ⋅ ea

65 Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e o ile jednokrotne ró¿niczkowanie jest operacj¹ stosunkowo dok³adn¹, o tyle dwukrotne powtarzanie tej operacji mo¿e prowadziæ do istotnych b³êdów. Ca³kowanie graficzne metod¹ stycznych Jest to operacja odwrotna do ró¿niczkowania graficznego. Umo¿liwia ona np. znalezienie przebiegu przemieszczeñ s(t) na podstawie wykresu prêdkoœci v(t) (rys. 71). Omówimy j¹ na takim w³aœnie przyk³adzie. Dan¹ krzyw¹ v(t) (rys. 71a) podzielimy dowolnie punktami 1v, 2v, ..., a rzêdne tych punktów przeniesiemy na oœ prêdkoœci v. Tak otrzymane punkty ³¹czymy z dowolnie przyjêtym na ujemnej osi czasu biegunem Hv. Otrzymamy w ten sposób kierunki stycznych do krzywej przemieszczeñ s(t) w odpowiednich punktach 1s, 2s,... Styczne do krzywej o tych kierunkach tworz¹ w uk³adzie (s, t) liniê ³aman¹ 1s, L12, L23, ..., (rys. 71b), która jednoznacznie okreœla szukan¹ krzyw¹ s(t). Do wykreœlenia tej linii, poza kierunkami stycznych jest niezbêdny punkt pocz¹tkowy 1s oraz punkty L12, L23, ...

Rys. 71. Przyk³ad graficznej metody ca³kowania funkcji: a) krzywa v(t), b) rezultat ca³kowania s(t)

66

Rys. 72. Analiza ruchu punktu M metod¹ wykresów kinematycznych

Pierwszy z nich, okreœlaj¹cy jednoczeœnie sta³¹ ca³kowania, ustala siê na podstawie warunków brzegowych. W celu okreœlenia pozosta³ych L12, L23, ... korzystamy z nastêpuj¹cych konstrukcji. Poszczególne przedzia³y czasowe 12, 23, ... dzielimy liniami l12, l23, ... tak, aby utworzone figury, na rysunku jednakowo zakreskowane, mia³y takie same pola. Linia l12 na przeciêciu ze styczn¹ wyprowadzon¹ z 1s daje L12 – pocz¹tek nastêpnej stycznej L12–L23. Okreœlanie po³o¿eñ kolejnych punktów 2s, 3s, ... na stycznych oraz sposób wykreœlania samej krzywej s(t) nie wymaga bli¿szych wyjaœnieñ. Podzia³kê ks otrzymanego wykresu s(t), korzystaj¹c ze wspomnianej ju¿ odwrotnoœci operacji ca³kowania do ró¿niczkowania, zapiszemy na podstawie (42) ks = kv · kt · ev .

(43)

Omówione metody graficznego ró¿niczkowania i ca³kowania umo¿liwiaj¹ otrzymywanie ró¿nych, w zale¿noœci od potrzeby, charakterystyk ruchu punktów lub cz³onów mechanizmów. Charakterystyki takie s¹ przedstawiane zwykle w funkcji czasu

67

Rys. 73. Tor ocechowany, hodograf prêdkoœci i przyspieszeñ punktu M

lub parametru zale¿nego od czasu w sposób liniowy, np. k¹ta obrotu korby o sta³ej prêdkoœci k¹towej. Za³ó¿my, ¿e interesuje nas pe³na charakterystyka ruchu punktu M (rys. 72), nal꿹cego do cz³onu pewnego mechanizmu. Za³ó¿my dalej, ¿e pos³uguj¹c siê metod¹ przedstawion¹ w podrozdz. 3.2. otrzymano tor ocechowany kM punktu M. Nastêpnie, po przyjêciu uk³adu wspó³rzêdnych xy, zrzutowano na jego osie tor ocechowany i otrzymano wykresy przemieszczeñ sx(t) oraz sy(t). Po zró¿niczkowaniu oddzielnie obu wykresów, otrzymano odpowiednio vx(t) i vy(t) oraz ax(t) i ay(t). Rzeczywiste wartoœci prêdkoœci i przyspieszeñ w poszczególnych punktach drogi otrzymujemy sumuj¹c geometrycznie odpowiednie sk³adowe. Na rysunku 72 przedstawiono sumowanie dla: v6 = v x 6 + v y 6 . Nale¿y pamiêtaæ, ¿e dogodnie jest wektorowe rezultaty analizy zestawiæ w tzw. hodografy prêdkoœci i przyspieszeñ (rys. 73), otrzymane przez wykreœlenie wektorów ze wspólnych biegunów pv i pa. Interesuj¹ce w³aœciwoœci tych hodografów (wektor przyspieszenia ai ma kierunek stycznej do krzywej kv w punkcie i, modu³ jego równa siê chwilowej prêdkoœci poruszania siê po kv koñca wektora vi) pozwalaj¹ nie tylko na sprawdzenie poprawnoœci wyników, ale równie¿ umo¿liwiaj¹ okreœlenie interesuj¹cych nas parametrów inn¹ metod¹.

69

4. Metody analityczne W metodach analitycznych d¹¿y siê do uzyskania algebraicznych zwi¹zków okreœlaj¹cych po³o¿enia cz³onów mechanizmu i torów punktów zwi¹zanych z cz³onami w funkcji czasu lub parametru po³o¿enia cz³onu czynnego. Odpowiednie zwi¹zki na okreœlenie prêdkoœci i przyspieszenia uzyskuje siê zwykle na drodze odpowiedniej obróbki (ró¿niczkowanie) funkcji po³o¿enia. Te niezbêdne funkcje po³o¿enia mo¿na uzyskaæ ró¿nymi metodami, dobieranymi stosownie do analizowanego obiektu. Najczêœciej stosuje siê wtedy tzw. metodê zapisu wektorowego.

4.1. Metoda zapisu wektorowego Metoda zapisu wektorowego polega na zastêpowaniu ³añcucha kinematycznego cz³onów mechanizmu odpowiednim ³añcuchem wektorowym. Przyk³ady takich zabiegów przedstawiono na rys. 74. Warunek zamykania siê takich wieloboków wektorowych mo¿na zapisaæ w postaci

∑ li

= 0

∑ lix

= 0,

∑ liy

= 0,

(44)

lub (45)

W równaniach (45) lix i liy oznaczaj¹ rzuty wektorów na osie x i y uk³adu wspó³rzêdnych. Je¿eli wprowadziæ jednolit¹ umowê co do oznaczeñ i odk³adania k¹tów kierunkowych kolejnych wektorów, to rzuty lix i liy mo¿na wyraziæ ogólnie: lix = li cos ai, liy = li sin ai.

(46)

Zwi¹zki okreœlaj¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie mo¿na otrzymaæ z równañ (45) w wyniku ich ró¿niczkowania wzglêdem czasu

70

Rys. 74. Zastêpowanie ³añcuchów kinematycznych ³añcuchami wektorowymi: a) przyk³ady mechanizmów, b) ³añcuchy wektorowe

∑ ∑

dlix = 0, dt dliy dt

(47)

= 0

oraz

∑

d 2 lix = 0, dt 2

(48) d 2 lix ∑ dt 2 = 0. W celu zilustrowania tej metody rozpatrzymy analizê czworoboku przegubowego.

71

Rys. 75. Rysunek pomocniczy do analitycznego badania parametrów ruchu czworoboku przegubowego

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego Niech bêdzie dany czworobok ABCD (rys. 75) o znanych d³ugoœciach cz³onów l1, l2, l3 i l4 oraz prêdkoœci k¹towej w2 cz³onu czynnego. Nale¿y okreœliæ po³o¿enia, prêdkoœci i przyspieszenia wszystkich cz³onów. Przyjmijmy uk³ad wspó³rzêdnych x0y, a cz³ony mechanizmu zast¹pmy przez odpowiednie wektory l1, l2, l3 i l4. Równanie (44) wektorowe wieloboku w tym konkretnym przypadku ma postaæ

l1 + l2 + l3 + l4 = 0,

(49)

natomiast równania (45) przy wprowadzonych oznaczeniach k¹tów ji l1 + l2 cos j2 + l3 cos j3 + l4 cos j4 = 0, l2 sin j2 + l3 sin j3 + l4 sin j4 = 0.

(50)

Podstawiamy a = l1 + l2 cos j2, b = l2 sin j2. Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy wtedy a2 + b2 + 2al3 cos j3 + 2bl3 sin j3 + l32 + l42 = 0. Po podzieleniu zale¿noœci (51) przez 2al3 i oznaczeniu

(51)

72

A =

a 2 + b 2 + l32 + l32 2al3

oraz B =

b a

otrzymano A + cos j3 + B sin j3 = 0, a nastêpnie (1 + B2) + cos2 j3 + 2A cos j3 + (A2 + B2) = 0.

(52)

Po podstawieniu danych liczbowych mo¿na z zale¿noœci (52) wyznaczyæ k¹ty j3. Dla oznaczonych wartoœci j3 i za³o¿onej wartoœci j2 wartoœæ k¹ta j4 wyznaczymy z zale¿noœci (50) cos j4 =

l + l cosϕ + l! cosϕ ! −l"

(53)

Znaj¹c po³o¿enie cz³onów rozpatrywanego czworoboku przegubowego mo¿na przyst¹piæ do wyznaczenia prêdkoœci i przyspieszeñ. Po zró¿niczkowaniu równañ po³o¿eñ (50) otrzymano w2l2 sin j2 + w3l3 sin j3 + w4l4 sin j4 = 0, w2l2 cos j2 + w3l3 cos j3 + w4l4 cos j4 = 0,

(54)

dϕ 2 dϕ 3 dϕ 4 , ω3 = , ω4 = . dt dt dt Obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j3 otrzymamy dla pierwszego z równañ (54)

gdzie ω 2 =

w2 l2 sin (j2 – j3) + w3 l3 sin (j3 – j3) + w4 l4 sin (j4 – j3) = 0. Sk³adnik w3 l3 sin (j3 – j3) jest oczywiœcie równy zeru, wiêc

ω4 =

−l2 sin(ϕ 2 − ϕ 3 ) . l4 sin(ϕ 4 − ϕ 3 )

(55)

Analogicznie, obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j4, dla drugiego z równañ (54) otrzymamy

ω3 =

− l2 sin(ϕ 2 − ϕ 4 ) l3 sin(ϕ 3 − ϕ 4 )

(56)

W celu uzyskania przyspieszeñ k¹towych cz³onów zró¿niczkowano zale¿noœci (55) oraz (56) i uzyskano

73

ε4 =

ε3

ω 22 l2 cos(ϕ 2 − ϕ 3 ) + ω 32 l3 cos(ϕ 4 − ϕ 3 ) , l4 sin(ϕ 4 − ϕ 3 )

ω 2 l cos(ϕ 2 − ϕ 4 ) + ω 32 l3 cos(ϕ 3 − ϕ 4 ) + ω 42 l4 . = 2 2 l3 sin(ϕ 3 − ϕ 4 )

(57)

Przedstawiona metoda zapisu funkcji po³o¿enia i jej obróbki nadaje siê do stosowania w ca³ej grupie mechanizmów dŸwigniowych.

4.2. Metoda klasyczna Czasem potrzebn¹ funkcjê po³o¿enia mo¿na otrzymaæ zapisuj¹c okreœlone zwi¹zki wprost z rysunku. Niech np. bêdzie dany mechanizm jarzmowy (rys. 76). Zak³adaj¹c, ¿e cz³onem czynnym jest tu korba AB, nale¿y okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ w3 i przyspieszenie e3 jarzma (3). Rzutuj¹c d³ugoœæ r korby AB i zmienn¹ d³ugoœæ jarzma BC na liniê AC ustalimy zale¿noœæ miêdzy znanym w dowolnej chwili k¹tem a obrotu korby i k¹tem j

tg ϕ =

r sin α , e + r cosα

Rys. 76. Rysunek pomocniczy do analizy mechanizmu jarzmowego

(58)

74 Po wprowadzeniu

λ =

e r

przepiszemy (58) w postaci

tg ϕ =

sin α , λ + cos α

(59)

st¹d

ϕ = arc tg

sin α . λ + cos α

(60)

Zale¿nie od wartoœci l otrzymujemy mechanizm z jarzmem obrotowym lub wahad³owym. Dla jarzma wahad³owego j < 90°, (tg j < ¥) mianownik zale¿noœci (59) l + cos a ¹ 0, wiêc l > 1. Podobnie dla jarzma obrotowego l < 1 , tzn. e < r. Po zró¿niczkowaniu zale¿noœci (58) przy za³o¿eniu, ¿e (da/dt) = w2 i (dj/dt) = w3, otrzymano

ω3 = ω2 r

(e + r cosα ) cosα + r sin 2 α cos2 ϕ 2 (e + r cosα )

lub po przekszta³ceniu

ω3 = ω2 r

r ( r + e cosα ) e + 2er cos α + r 2 2

oraz

1 + λ cosα . (61) 1 + 2λ cosα + λ2 Ró¿niczkuj¹c powtórnie zale¿noœæ (61), znajdujemy wzór okreœlaj¹cy przyspieszenie k¹towe jarzma

ω3 = ω2

λ (1 − λ2 ) sin α 1 + λ cosα . + ε2 2 2 (1 + 2λ cosα + λ ) 1 + 2 λ cosα + λ2 Je¿eli w2 = const, e2= 0, to otrzymamy oczywiœcie ε 3 = ω 22

(62)

75

ε 2 = ω 22

λ (1 − λ2 ) sin α . (1 + 2λ cosα + λ2 ) 2

(63)

4.3. Metoda macierzowa Metodê macierzow¹, stosowan¹ zw³aszcza przy wykorzystywaniu wspó³czesnych œrodków obliczeniowych, zilustrujemy na przyk³adzie analizy ³añcuchów kinematycznych otwartych. Problemy analizy ³añcuchów otwartych pojawiaj¹ siê najczêœciej przy badaniach manipulatorów. Przedstawion¹ ni¿ej metodê mo¿na jednak zastosowaæ w równym stopniu do badania ³añcuchów zamkniêtych. Niech bêdzie wiêc dany p³aski ³añcuch kinematyczny otwarty z³o¿ony z czterech cz³onów tworz¹cych kolejno ze sob¹ tylko pary obrotowe (rys. 77). Stwierdzaj¹c, ¿e ruchliwoœæ tego ³añcucha wynosi W = 3, przyjmijmy, ¿e jego jednobie¿noœæ uzyskuje siê w wyniku zadanych ruchów wzglêdnych w10, w21 i w32. Przyjmijmy innymi s³owy, ¿e k¹ty j10, j21 i j32 s¹ okreœlonymi funkcjami czasu. Za³ó¿my dalej, ¿e znane s¹ parametry geometryczne ³añcucha (d³ugoœæ cz³onów l1 i l2 oraz wspó³rzêdne xE3 i yE3 punktu E, zwi¹zanego na sztywno z cz³onem (3). Przy takich za³o¿eniach nale¿y okreœliæ trajektoriê punktu E3 w uk³adzie podstawy O. Zadanie to mo¿na sprowadziæ do okreœlenia wspó³rzêdnych punktu E3 w uk³adzie podstawy, czyli xEO i yEO. WprowadŸmy uk³ady pomocnicze x1O1y1, x2O2y2 i x3O3y3 zwi¹zane z kolejnymi cz³onami i wyraŸmy po³o¿enie punktu E w tych uk³adach. Na podstawie rysunku 77 otrzymamy [4]

Rys. 77. Za³o¿enia do macierzowego zapisu po³o¿enia punktu E w uk³adzie 0 x0 y0

76 xE2 = xE3 cos j32 – yE3 sin j32 + l2, yE2 = xE3 sin j32 + yE3 cos j32 , xE1 = xE2 cos j21 – yE2 sin j21 + l1, yE1 = xE2 sin j21 + yE2 cos j21 , xE0 = xE1 cos j10 – yE1 sin j10 , yE0 = xE1 sin j10 + yE1 cos j10 ,

(64)

(65)

(66)

Mamy w ten sposób szeœæ równañ z szeœcioma niewiadomymi. Po rozwi¹zaniu tych równañ mo¿na miêdzy innymi otrzymaæ szukane xE0 i yE0. Dla u³atwienia tego zadania oraz uproszczenia zapisów dogodnie jest przejœæ na zapis macierzowy. W tym celu przepiszmy jeszcze raz uk³ad równañ (64) uzupe³niony to¿samoœci¹ 1 = 1 xE2 = xE3 cos j32 – yE3 sin j32 + l2, xE2 = xE3 sin j32 + yE3 cos j32 + 0, 1 =

1·0

+

1·0

(66a)

+ 1.

Uk³ad równañ (66a) mo¿na zapisaæ w postaci

 xE 2  cos ϕ 32  y  =  sin ϕ 32  E2    1   0

− sin ϕ 32 cos ϕ 32 0

l2   x E 3  0   y E 3 . 1   1 

(67)

£atwo to sprawdziæ dokonuj¹c mno¿enia. Na tej zasadzie, po wprowadzeniu oznaczeñ:

cos ϕ 32 632 =  sin ϕ 32  0

− sin ϕ 32 cos ϕ 32 0

l2  0  1 

cos ϕ 21 − sin ϕ 21 l1  621 =  sin ϕ 21 cos ϕ 21 0   0 0 1  cos ϕ 10 610 =  sin ϕ 10  0

− sin ϕ 10 cos ϕ 10 0

0 0 1

77 oraz

rE 3

 xE 3   xE 2   xE1   xE        =  y E 3 ; rE 2 =  y E 2 ; rE 1 =  y E 1 ; rE 0 =  y E   1   1   1   1 

mo¿na zapisaæ równania (64), (65), (66) w postaci rE2 = T32 rE3,

(68)

rE1 = T21 rE2,

(69)

rE0 = T10 rE1,

(70)

rE0 = T10T21T32 rE3.

(71)

lub po podstawieniu Po wykonaniu mno¿enia z zapisu (71) otrzymamy xE0 = xE3 cos j30 – yE3 sin j30 + l2 cos j20 + l1 cos j10, yE0 = yE3 sin j30 – xE3 cos j30 + l2 sin j20 + l1 sin j10,

(72)

gdzie: j30 = j32 + j20, j20 = j21 + j10. Dok³adnie ten sam wynik (72) otrzymalibyœmy w wyniku rozwi¹zania uk³adu równañ (64), (65) i (66) przy znacznie wiêkszym nak³adzie pracy. Ró¿nice na korzyœæ metod macierzowych ujawniaj¹ siê ze szególn¹ si³¹, zw³aszcza podczas badania ³añcuchów przestrzennych. Trzeba podkreœliæ, ¿e na podstawie zapisów (71) lub (72) mo¿na okreœliæ po³o¿enia dowolnych dwóch punktów zwi¹zanych z cz³onem (3), a wiêc mo¿na okreœliæ

Rys. 78. Ilustracja do macierzowego zapisu ³añcucha zamkniêtego: a) schemat mechanizmu, b) podzia³ na ³añcuchy otwarte

78 po³o¿enie cz³onu (3). Podobnie mo¿na okreœliæ po³o¿enia pozosta³ych cz³onów ³añcucha, a wiêc równie¿ ich po³o¿enia wzajemne. Omówiona metoda nadaje siê równie¿ do rozwi¹zywania uk³adów kinematycznych zamkniêtych. Droga wiedzie przez podzia³ ³añcucha zamkniêtego na ³añcuchy otwarte w wyniku roz³¹czania okreœlonych par kinematycznych. Na przyk³ad badaj¹c czworobok przegubowy ABCD (rys. 78a) mo¿na wyró¿niæ dwa ³añcuchy kinematyczne otwarte ABC3 i ADC4 powsta³e po roz³¹czeniu pary C (rys. 78b). Dla ka¿dego sk³adowego ³añcucha otwartego nale¿y okreœliæ odpowiednie wspó³rzêdne po³o¿enia elementów odpowiednich cz³onów i zapisaæ warunki zamykania. Na przyk³ad dla przytoczonego czworoboku przegubowego, przy jego podziale jak na rys.78, warunki zamykania przyjê³yby postaæ xC4 = xC3, yC4 = yC3.

(73)

Otrzymane w ten sposób uk³ady równañ umo¿liwiaja okreœlenie interesuj¹cych nas parametrów po³o¿enia badanego mechanizmu. Jest to jedna z wielu proponowanych metod. Bardzo skuteczn¹ i godn¹ polecenia jest metoda polegaj¹ca na podziale badanego mechanizmu na grupy cz³onów (grupy Assura) i cz³ony czynne. Opracowane dla poszczególnych grup zapisy macierzowe [10] umozliwiaja równie¿ (w sposób niemal schematyczny) zapis funkcji po³o¿enia dla dowolnego p³askiego mechanizmu dŸwigniowego. Dysponuj¹c zapisem funkcji po³o¿enia mo¿na otrzymaæ nastêpnie poszukiwane funkcje prêdkoœci i przyspieszeñ poprzez odpowiedni¹ ich obróbkê (ró¿niczkowanie po czasie).

79

5. Metody numeryczne Na ogó³ poznane metody graficzne i analityczne s¹ przydatne do analizy stosunkowo prostych mechanizmów. Ograniczeniem stosowania metod graficznych jest ich dok³adnoœæ, a czêsto i przejrzystoœæ konstrukcji geometrycznych. W przypadku metod analitycznych uzyskanie rozwi¹zañ w zamkniêtej postaci jest czêsto ¿mudne i pracoch³onne. w takich przypadkach mo¿na siêgaæ po zwykle niezawodne (zw³aszca przy korzystaniu z techniki komputerowej) metody numeryczne. W praktyce stosuje siê metody numeryczne najczêœciej do korygowania wyników otrzymanych innym sposobem i traktowanych jako pierwsze przybli¿enia, albo do zastêpowania wybranych fragmentów obliczeñ. Metod numerycznych jest bardzo wiele, tu ograniczymy siê jedynie do przytoczenia jednej z nich: metody przyrostów skoñczonych.

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych Metodê przyrostów skoñczonych przedstawimy na przyk³adzie badania ruchu punktu M po torze kM (rys. 79). Interesuje nas prêdkoœæ vi i przyspieszenie ai ruchu tego punktu. Do dyspozycji mamy kolejne po³o¿enia tego punktu oznaczone indeksami ... i – 2, i – 1, i , i + 1, i + 2, ... zajmowane przez niego w równych odstêpach czasu ,t. Przybli¿one wartoœci sk³adowych prêdkoœci wzd³u¿ osi x i y w po³o¿eniu i mo¿na wyznaczyæ z zale¿noœci [12] v xi =

xi +1 − x x −1 , 2∆t

v yi =

yi +1 − yi −1 . 2∆t

(74)

przy czym oczywiœcie

vi =

vix2 + viy2 , α = arc tg

v yi v xi

Podobnie przyspieszenie w po³o¿eniu i okreœlaj¹ wzory

80

a xi = a yi

xi +1 − 2 xi + xi −1 , ∆t 2 (75)

y − 2 yi + yi −1 , = i +1 ∆t 2

przy czym

ai = a xi + a yi , β = arc tg

a yi a xi

.

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wyniki uzyskane t¹ metod¹ s¹ z za³o¿enia przybli¿one, przy czym przybli¿enie to zale¿y dodatkowo od dok³adnoœci okreœlenia przyrostów ,xi, ,yi oraz wartoœci przedzia³u czasu ,t. Metoda ta mo¿e byæ z powodzeniem stosowana do okreslania prêdkoœci i przyspieszenia w przypadku, gdy przyrosty po³o¿eñ s¹ okreœlone dok³adnie, np. z zale¿noœci anlitycznej – funkcji po³o¿enia. Mo¿na w ten sposób okreœlaæ równie¿ parametry ruchu w przypadku danych o po³o¿eniu, uzyskanych z pomiaru. Koniecznoœæ taka wystêpuje np. przy ocenie parametrów ruchu popychacza w rzeczywistym mechanizmie krzywkowym, gdzie geometria profilu krzywki nie jest bli¿ej znana. Nale¿y pamiêtaæ, ¿e w takich przypadkach, w wyniku nieodzownych b³êdów pomiarowych, nale¿y liczyæ siê równie¿ z du¿¹ niedok³adnoœci¹ wyników obliczeñ, zw³aszcza przy okreœlaniu przyspieszeñ. Zachodzi wtedy potrzeba stosowania odpowiednich metod statystycznych, które do okreœlania przyspieszeñ w danym po³o¿eniu mechanizmu stosuj¹ dane z pomiaru w kilku s¹siednich po³o¿eniach. Odpowiednia metoda numeryczna nazywa siê rachunkiem wyrównawczym [12].

Rys. 79. Ilustracja do metody przyrostów skoñczonych

81

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów Omówione w rozdzia³ach 3, 4 i 5 ogólne metody analizy kinematycznej umo¿liwiaj¹ badanie praktycznie dowolnego uk³adu kinematycznego. Nale¿y jednak podkreœliæ, ¿e podczas analizy pewnych grup mechanizmów preferuje siê czêsto równie¿ inne metody specjalnie dla danej grupy opracowane. Zwróæmy na to uwagê przy okazji dokonywania przegl¹du najbardziej znanych i powszechnie we wspó³czesnej technice stosowanych grup mechanizmów. Do nich nale¿y zaliczyæ: mechanizmy dŸwigniowe oraz niektóre grupy mechanizmów z parami wy¿szymi.

6.1. Mechanizmy dŸwigniowe Mechanizmy dŸwigniowe s¹ to mechanizmy, w których wystêpuj¹ tylko pary ni¿sze, tj . pary o styku powierzchniowym (rys. 80). Liczne walory tego typu ruchowych po³¹czeñ sprawi³y, ¿e mechanizmy dŸwigniowe odgrywaj¹ w budowie maszyn zasadnicz¹ rolê. Spotkaæ je mo¿na w podstawowych podzespo³ach maszyn i urz¹dzeñ. Wystêpuj¹ w uk³adach przenoszenia i transformacji ruchu, w uk³adach napêdowych i regulacyjnych, w uk³adach wykonawczych i sterowania. Kilka przyk³adów mechanizmów dŸwigniowych zestawiono na rys. 81. Jako pierwszy (nie bez powodu) przytoczono czterocz³onowy mechanizm p³aski, zwany czworobokiem przegubowym (rys. 81a), oraz jego odmianê – powszechnie stosowany uk³ad korbowo-wodzikowy (rys. 81b). Przyk³adami bardziej z³o¿onych mechanizmów dŸwigniowych s¹ uk³ad wytrz¹sacza do s³omy (rys. 81c) oraz uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej (rys. 81d). By³y to tzw. mechanizmy p³askie, w których wszystkie punkty nale¿¹ce do cz³onów ruchomych wykreœlaj¹ trajektorie w p³aszczyznach równoleg³ych. Jako przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych przestrzen-

Rys. 80. Przyk³ady par kinematycznych ni¿szych

82

Rys. 81. Przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych

83 nych za³¹czono tu powszechnie stosowany uk³ad kinematyczny sprzêg³a Cardana (rys. 81c) oraz manipulator robota (rys. 81f). 6.1.1. P³aski czworobok przegubowy P³aski czworobok przegubowy tworz¹ cztery cz³ony obrotowe wchodz¹ce z sob¹ w cztery pary obrotowe. Nale¿y do najprostszych, a jednoczeœnie do najczêœciej w praktyce spotykanych mechanizmów (rys. 82). Wystêpuje w trzech odmianach ró¿ni¹cych siê stosunkami wymiarów poszczególnych cz³onów oraz wynikaj¹cymi st¹d ruchami. Bêdziemy wiêc mówiæ o odmianie korbowo-wahaczowej wtedy, gdy ruchowi obrotowemu cz³onu (2), zwanego korb¹, towarzyszy ruch wahad³owy napêdzanego cz³onu (4) (rys. 82a). Przy innej proporcji wymiarów obydwa ramiona (2) i (4) mog¹ wykonywaæ wzglêdem podstawy (1) tylko ruchy obrotowo-zwrotne (rys. 82c). tak¹ odmianê nazywa sie dwuwahaczow¹. Jest mo¿liwa odmiana, w której ruch obrotowy cz³onu (2) wywo³uje ruch obrotowy cz³onu (4) (rys. 82b). Mówimy wtedy o czworoboku dwukorbowym. Przynale¿noœæ badanego uk³adu do jednej z wymienionych odmian mo¿na ustaliæ opieraj¹c siê na tzw. nierównoœciach Grashofa, które mo¿na bez trudu wyprowadziæ na podstawie rys. 83. Naniesione tu dwa po³o¿enia szczególne, jakie musz¹ zaj¹æ wzglêdem siebie cz³ony czworoboku przy pe³nym obrocie korby (2), prowadz¹ wprost do nierównoœci: l2 + l3 < l1 + l4, l4 < l3 – l2 + l1, l1 < l3 – l2 + l4, z których po przekszta³ceniu otrzymamy: l2 + l3 < l1 + l4, l2 + l4 < l1 + l3, l2 + l1 < l3 + l4.

Rys. 82. Podstawowe rodzaje czworoboku przegubowego: a) korbowo-wahaczowy, b) dwuwahaczowy, c) dwukorbowy

(76)

84

Rys. 83. Po³o¿enie zwrotne czworoboku przegubowego

Z nierównoœci tych, zwanych czêsto postulatem Grashofa, wynika, ¿e w czworoboku korbowo-wahaczowym suma d³ugoœci korby (2) i ka¿dego innego cz³onu jest mniejsza od sumy d³ugoœci dwóch cz³onów pozosta³ych. Innymi s³owy, w czworoboku korbowo-wahaczowym najkrótszym cz³onem jest korba – cz³on tworz¹cy parê obrotow¹ z podstaw¹. Jeszcze inaczej: – je¿eli s¹ spe³nione zwi¹zki (76) oraz cz³on najkrótszy jest przy podstawie, czworobok jest korbowo-wahaczowy; – je¿eli przy spe³nionych nierównoœciach (76) cz³on najkrótszy jest ³¹cznikiem, mamy do czynienia z uk³adem dwuwahaczowym; – je¿eli postulat Grashofa jest spe³niony i cz³on najkrótszy jest podstaw¹, wystêpuje czworobok dwukorbowy. Je¿eli zwi¹zki (76) nie s¹ spe³nione, to czworobok jest dwuwahaczowy. Z czworoboku, w wyniku zmiany wymiarów geometrycznych cz³onów i par kinematycznych, mo¿na otrzymaæ wiele ró¿nych modyfikacji mechanizmów pochodnych, jak np. mechanizm korbowo-wodzikowy, jarzmowy itd. (rys. 84). Z czworoboku przegubowego mo¿na wywieœæ wiele prostych i powszechnie stosowanych mechanizmów czterocz³onowych, w wielu zaœ bardziej z³o¿onych mechanizmach daje siê ten charakterystyczny uk³ad czêsto wydzieliæ i wyró¿niæ jako czêœæ istotn¹. W analizie czworoboku przegubowego mo¿na stosowaæ skutecznie ka¿d¹ z metod omówionych w rozdzia³ach 3, 4 i 5. Czworobok przegubowy wykorzystano zreszt¹ jako przyk³ad przy omawianiu metody analitycznej (p. 4.1.1). Jak wynika z wyprowadzonych tam zale¿noœci (53), (55) i (57), wartoœci k¹ta obrotu y4 cz³onu napêdzanego (4) (rys. 85) wzglêdem podstawy (1) jego prêdkoœci k¹towej w4 i przyspieszenia k¹towego e4 s¹ wyra¿one z³o¿onymi funkcjami czterech d³ugoœci cz³onów mechanizmu i k¹ta obrotu j2 cz³onu napêdzaj¹cego (2).Przyk³adowe przebiegi tych funkcji dla czworoboku korbowo-wahaczowego o za³o¿onej geometrii (l2/l1 = 0,325, l3/l1 = 1,125, l4/l1 = 1,025) przedstawiono na rys. 86. Przez dobór odpowiednich wartoœci li mo¿na za pomoc¹ tego mechanizmu realizowaæ nawet bardzo z³o¿one wymagania dotycz¹ce ruchu wzglêdnego ró¿nych jego cz³onów.

85

Rys. 84. Czworobok przegubowy i jego pochodne

Dowolny punkt M (rys. 85) zwi¹zany na sztywno z ³¹cznikiem (3) (za³ó¿my, ¿e jego po³o¿enie na ³¹czniku jest opisane wspó³rzêdnymi u i v) zakreœla w uk³adzie podstawy (1) trajektoriê kM , zwan¹ powszechnie krzyw¹ ³¹cznikow¹. Trajektoria ta

86

Rys. 85. Czworobok przegubowy w ruchu

jest opisana równaniem 6. stopnia o szeœciu parametrach (l1, l2, l3, l4, u, v). Dlatego te¿, jak ³atwo siê domyœleæ, krzywe ³¹cznikowe czworoboku charakteryzuj¹ siê du¿¹ róznorodnoœci¹ kszta³tu odmian i postaci. Kilka przyk³adów takich krzywych wykreœlonych przez punkty ³¹cznika tego samego czworoboku przedstawiono na rys. 87. Du¿a mo¿liwoœæ w zakresie realizacji ró¿norakich kszta³tów krzywych ³¹cznikowych le¿y u podstaw budowy i dzia³ania wielu podzespo³ów maszyn i urz¹dzeñ. Dla przyk³adu przytoczymy tu jedynie uk³ad prowadzenia pi³y poprzecznej przedstawionej na

Rys. 86. Charakterystyki ruchu czworoboku z rys. 85

87

Rys. 87. Przyk³ady krzywych ³¹cznikowych czworoboku przegubowego ABCD

rys. 88. Wykorzystuje siê tu, w zakresie ruchu roboczego M1–M2, zbli¿ony do prostoliniowego poziomy odcinek trajektorii kM zakreœlonej przez punkt M specjalnie dobranego czworoboku przegubowego ABCD. Tego typu mechanizmy, zwane potocznie prostowodami s¹ stosowane w uk³adach napêdowych (np. w uk³adzie napêdowym listwy no¿owej kosiarki) w uk³adach wodzenia (np. w ¿urawiach portowych) itd. Równie czêsto stosuje siê w budowie maszyn fragmenty krzywych ³¹cznikowych zbli¿one do ³uku ko³a. Przyk³adem (rys. 89) mo¿e byæ uk³ad realizuj¹cy zamianê ci¹g³ego ruchu obrotowego cz³onu (2) na ruch przerywany (z przystankami) suwaka (6). Przerwa w ruchu suwaka (6) wystêpuje wtedy, gdy punkt ³¹cznikowy (M) czworoboku ABCD wêdruje po odcinku M1M2 zbli¿onym do ³uku o œrodku krzywizny w punkcie E.

Rys. 88. Pi³a poprzeczna jako przyk³ad wykorzystania prostoliniowego odcinka krzywej ³¹cznikowej czworoboku ABCD

88

Rys. 89. Przyk³ad wykorzystania kszta³tu krzywej ³¹cznikowej do zamiany ci¹g³ego ruchu obrotowego korby AB na ruch przerywany cz³onu (6)

Nie przytaczaj¹c ju¿ dalszych przyk³adów mo¿na stwierdziæ, ¿e ró¿norakie mo¿liwoœci czworoboku przegubowego (zarówno w zakresie realizacji prawa ruchu, jak i kreœlenia trajektorii) zdecydowa³y o niezwykle powszechnym jego stosowaniu we wspó³czesnej technice. 6.1.2. Sprzêg³o Cardana Do przenoszenia ruchu miêdzy wa³ami o osiach przecinaj¹cych siê pod zmiennym w czasie pracy k¹tem d stosuje siê wiele rozwi¹zañ sprzêgie³ wychylnych synchronicznych (homokinetycznych). Jednoczeœnie wystêpuje powszechnie w budowie maszyn znane niesynchroniczne sprzêg³o Cardana. Jest to zdwojony czworobok przestrzenny ABCD (rys. 90), który w klasycznym rozwi¹zaniu sk³ada siê z dwóch osadzonych na wa³ach (1) i (2) wide³ek po³¹czonych ze sob¹ za pomoc¹ czteroramiennego krzy¿ulca. Jak ju¿ zasugerowano, to niesynchroniczne sprzêg³o przenosi obroty z wa³u czynnego na bierny, z pewnym prze³o¿eniem w2/w1 ¹ 1. Przystêpuj¹c do jego okreœlenia zauwa¿ymy, ¿e w czasie ruchu mechanizmu punkt B opisuje okr¹g ko³a w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi wa³u (1), punkt C zaœ w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi wa³u (2). K¹t miêdzy tymi p³aszczyznami jest oczywiœcie równy k¹towi d zawartemu miêdzy osiami wa³ów (1) i (2). Zrzutujmy drugi z tych okrêgów na p³aszczyznê okrêgu pierwszego (rys. 90b): Wychodz¹c z po³o¿enia pocz¹tkowego ramion OB0 i OC0 dokonajmy korb¹ OB wa³u (1) obrotu o k¹t j1. Wtedy ramiê OC jako prostopad³e do OB zajmie po³o¿enie OC 1, przy czym 0, gdy zaœ w > wk, wówczas y < 0. Nale¿y to rozumieæ tak, ¿e przy prêdkoœciach ponadkrytycznych strza³ka ugiêcia y ma zwrot przeciwny do zwrotu si³y wymuszaj¹cej (jest przesuniêta w fazie o k¹t p). W zakresie prêdkoœci ponadkrytycznych, gdy w ® ¥, strza³ka y maleje i zmierza do a, (y ® e). Si³a bezw³adnoœci ma wtedy wartoœæ Pb = m (e + y) w2. Jak wynika z tych rozwa¿añ, wirniki podatne nale¿y wywa¿aæ przy prêdkoœciach ich pracy i masy korekcyjne umieszczaæ w odpowiednio dobranych p³aszczyznach. Wprowadzenie mas korekcyjnych w niew³aœciwych miejscach, okreœlonych przy prêdkoœciach wywa¿ania ró¿nych od prêdkoœci roboczych, mo¿e (zamiast poprawiæ) pogorszyæ efekt wywa¿ania. Wywa¿anie wirników podatnych jest zabiegiem trudnym i oczekiwany, a w³aœciwie kompromisowy, efekt uzyskuje siê zwykle na drodze kolejnych prób.

LITERATURA [1] ADAMCZYK E., JUCHA J., MILLER S., Teoria mechanizmów i maszyn, Wroc³aw, PWr., 1980. [2] ARTOBOLEWSKI J. J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva 1967. [3] DZIOGLU B., Getrieblehre, Fr Vieweg, Sohn. Braunschweig 1965. [4] LEVITSKIJ N.J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva, Nauka, 1979. [5] KO¯EWNIKOW S., Teoria mechanizmów i maszyn, Warszawa, Wyd. MON, 1956. [6] MILLER S., Zarys teorii mechanizmów i maszyn, Wroc³aw, PWr., 1974. [7] MILLER S., Uk³ady kinematyczne (podstawy projektowania), Warszawa, WNT, 1988. [8] MINKOV K., Robotika (skrypt Uniwersytetu sofijskiego), Sofia, 1986. [9] MORECKI A., ODERFELD J., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, PWN, 1987 [10] NOWIÑSKI W.L., Komputerowy system dialogowy przeznaczony do rozwi¹zywania zagadnieñ TMM. Rozprawa doktorska 1987 (Bibl. Nauk. Politechniki £ódzkiej). [11] ODERFELD J., Wstêp do mechanicznej teorii maszyn, Warszawa, WNT, 1962. [12] OLÊDZKI A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1987. [13] PARSZEWSKI Z., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1974. [14] PYLAK K., BARTNIK R., Zbiór zadañ z TMM, Wydawnictwa Uczelniane Politechniki Lubelskiej 1986. [15] SZALA W., Zasady stabilizacji zmiennych obci¹¿eñ momentowych w maszynach ceramicznych. Praca doktorska. Politechnika Wroc³awska 1976. [16] VOLMER J., Getriebtechnik, VEB, Verlag Technik 1969