Teoria de Conjuntos, una introduccion

Teor´ıa de Conjuntos (una introducción) Fernando Hernández Hernández Contenido Prefacio vii 1 Introducci´ on Hi...

Author: Fernando Hernandez Hernandez | 2003

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Teor´ıa de Conjuntos (una introducción)

Fernando Hernández Hernández

Contenido

Prefacio

vii

1 Introducci´ on Hist´ orica

1

2 Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos 2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Los Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9

´ 3 Algebra de Conjuntos 23 3.1 Operaciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Familias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Relaciones y Funciones 4.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios 4.4 Equivalencias y Particiones . . . . ´ 4.5 Ordenes . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Sobre Clases . . . . . . . . . . . . .

43 43 49 63 69 77 92

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N´ umeros Naturales Introducción . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los N´ umeros Naturales El Teorema de Recursi´ on . . . . . . . Aritmética de los N´ umeros Naturales .

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95 . 95 . 100 . 105 . 111

6 La Extensi´ on de los Naturales a los Reales 6.1 Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales

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5 Los 5.1 5.2 5.3 5.4

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119 119 122 126 132

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Contenido

6.5

Los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Cardinalidad 7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . 7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos 7.4 Conjuntos Numerables . . . . . . . . 7.5 N´ umeros Cardinales . . . . . . . . . 7.6 Aritmética Cardinal . . . . . . . . . 7.7 El Continuo . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 150 154 156 161 164 169

8 El Axioma de Elecci´ on 8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . 8.2 El Axioma de Elecci´ on . . . . . . . 8.3 Cuatro Equivalencias Importantes 8.4 Uso del Axioma de Elecci´ on . . . . 8.5 El Teorema del Ideal Primo . . . . 8.6 Otras Proposiciones Relacionadas. 8.7 Matem´ aticas sin Elecci´ on. . . . . .

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175 175 177 181 188 199 210 214

9 Ordinales 9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . 9.2 N´ umeros Ordinales . . . . . . . . . 9.3 El Axioma de Reemplazo . . . . . 9.4 Inducci´ on y Recursión Transfinita . 9.5 Aritmética Ordinal . . . . . . . . . 9.6 Ordinales Iniciales y Alephs . . . . 9.7 Suma y Multiplicaci´ on de Alephs .

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217 217 218 222 227 232 245 250

10 Teor´ıa de Cardinales 10.1 N´ umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´ on 10.2 Sumas y Productos Infinitos . . . . . . . . . . 10.3 Cardinales Regulares y Singulares . . . . . . . 10.4 La Hip´ otesis Generalizada del Continuo . . . 10.5 La HGC y los N´ umeros Cardinales . . . . . . 10.6 Medidas y Cardinales . . . . . . . . . . . . . 10.7 Cardinales Medibles . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Otros Cardinales Grandes . . . . . . . . . . .

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255 255 260 266 271 275 281 286 288

Contenido

11 Dos 11.1 11.2 11.3

T´ opicos Especiales El Problema de Souslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencias del Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . .

iii

297 297 301 312

A Axiomas de Zermelo-Fraenkel

319

B Axiomas Bernays-G¨ odel

321

C Axiomas Adicionales

323

Bibliograf´ıa

329

´ Indice

337

iv

Contenido

Teor´ıa de Conjuntos

Cada cuerpo tiene su armon´ıa y su desarmon´ıa en algunos casos la suma de armon´ıas puede ser casi empalagosa en otros el conjunto de desarmon´ıas produce algo mejor que la belleza

Mario Benedetti Viento del Exilio

Prefacio Casi todos los libros de matemáticas hablan de conjuntos y est´ an libremente salpicados de extra˜ nos s´ımbolos como ∈, ⊆, ∪, ∩, ∅. P. R. Halmos apunta en el ya cl´ asico Naive Set Theory: “Los matem´ aticos est´ an de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algo de Teor´ıa de Conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar de decidir qué tanto es algo”. Hay motivos bien fundamentados detr´ as de esta obsesión por los conjuntos. La Teor´ıa de Conjuntos es un lenguaje. Sin ella, no s´ olo es imposible hacer matem´ aticas, sino que ni siquiera podemos decir de qué se trata ésta. Es lo mismo que intentar estudiar literatura francesa sin saber algo de francés. Hewitt y Stromberg en su libro Real and Abstract Analysis dicen: “Desde el punto de vista de un l´ ogico, las matem´ aticas son la Teor´ıa de Conjuntos y sus consecuencias”. La Teor´ıa Intuitiva de Conjuntos funciona bien para los primeros cursos ´ de matemáticas (C´ alculo, Algebra, entre otros), pero definitivamente para los cursos de matemáticas superiores es muy conveniente contar con una Teor´ıa de Conjuntos sólida pues, de hecho, nociones como las de cardinalidad o aplicaciones del Axioma de Elecci´ on son fundamentales y, en ocasiones, indispen´ sables en t´ opicos especializados del Análisis, Algebra, Topolog´ıa, etc. En este texto se presenta la Teor´ıa de Conjuntos basada en la Axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on (ZFC) tratando de requerir el m´ınimo de formalismo lógico. Una justificaci´ on para optar por la axiomatizaci´ on de Zermelo-Fraenkel (ZF) es que ésta es la m´ as apropiada para un primer encuentro con la Teor´ıa de Conjuntos y lo más importante es que, como veremos, los n´ umeros reales, sus operaciones aritméticas y las demostraciones de sus propiedades pueden ser expresados a partir de los axiomas de ZermeloFraenkel. Pero no sólo el sistema de los n´ umeros reales encuentra sustento en la Axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel, la mayor parte de las matem´ aticas contemporáneas (posiblemente la u ńica excepci´ on es la Teor´ıa de Categor´ıas) puede desarrollarse dentro de la Teor´ıa de Conjuntos as´ı axiomatizada. Por ´ ejemplo, los objetos fundamentales de Topolog´ıa, Algebra o Análisis (espacios topol´ ogicos, espacios vectoriales, grupos, anillos, espacios de Banach) son apropiadamente definidos como conjuntos de una clase espec´ıfica. Propiedades topológicas, algebraicas o anal´ıticas de estos objetos son entonces derivadas a

viii

Prefacio

partir de las propiedades de conjuntos, las cuales se pueden obtener usando los axiomas ZFC. En este sentido, la Teor´ıa de Conjuntos as´ı axiomatizada sirve como una fundamentación satisfactoria para otras ramas de la matem´ atica. Una consulta rápida al contenido anal´ıtico será suficiente para enterarse de cuál es el material que se expone en este texto y c´ omo est´ a organizado este material. Sin embargo, son convenientes algunos comentarios. En primer lugar, en el Cap´ıtulo 2, la noci´ on de propiedad se da de manera intuitiva y se introducen los primeros axiomas del sistema ZF. En el Cap´ıtulo 6, la extensión de los n´ umeros racionales a los n´ umeros reales se hace estableciendo clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, en lugar del método clásico que utiliza cortaduras de Dedekind (que también se expone brevemente en el Cap´ıtulo 11). El Cap´ıtulo 8, que trata del Axioma de Elecci´ on, contiene mucha información, en especial, las Secciones 8.4 y 8.5 incluyen ejemplos que posiblemente no sean accesibles a todos los lectores; en particular, las demostraciones de éstos est´ an destinadas a aquellos lectores con mayor conocimiento y madurez matem´ atica. El propósito de incluir toda esta informaci´ on es el de mostrar las vastas aplicaciones de dicho axioma en diversas a´reas de la Matem´ atica. La exposici´ on del material dedicado a los n´ umeros ordinales se pospone hasta después del Axioma de Elecci´ on por considerar a éste más importante, aunque por ello se sacrifique un poco el seguimiento de la exposici´ on de los conceptos de cardinalidad; además de que es necesario dicho axioma en algunas proposiciones importantes que se refieren a n´ umeros ordinales. El Cap´ıtulo 10 contiene tópicos especializados de Teor´ıa de Cardinales y es deseable cubrir la mayor parte de él. Las dos u ´ltimas secciones de este cap´ıtulo requieren de los conceptos de ideales y filtros (para el caso especial del a´lgebra Booleana P(X)) expuestos en la Sección 8.5. Por u ´ltimo, el Cap´ıtulo 11 puede considerarse optativo, el material que ah´ı se presenta es para aquellos lectores con mayor interés en la Teor´ıa de Conjuntos o ramas afines como la Topolog´ıa. Cabe mencionar que las secciones 11.2 y 11.3 est´ an basadas en las notas de clase del curso sobre forcing que el Prof. Oleg G. Okunev imparti´ o en la Facultad de Ciencias de la UNAM en el segundo semestre de 1997. Por lo regular las secciones est´ an seguidas de una lista de ejercicios. En pocas excepciones, los ejercicios no se refieren a los conceptos tratados en el texto. Hay varios tipos de ejercicios, algunos rutinarios y otros más dif´ıciles, los cuales frecuentemente est´ an acompa˜ nados con sugerencias para su solución. Los ejemplos en el texto s´ olo ocasionalmente son desarrollados con todo detalle. La verificaci´ on de que un ejemplo tiene las propiedades deseadas se deja como ejercicio (usualmente fácil) para el lector.

Prefacio

ix

El final de una demostración se indica con el s´ımbolo . Las definiciones, observaciones, lemas, proposiciones y teoremas de cada cap´ıtulo son numerados consecutivamente por un par de n´ umeros que indican el cap´ıtulo y el elemento respectivamente: ver Lema 3.2, significa ver el Lema 2 del Cap´ıtulo 3. Para hacer referencia a los ejercicios usaremos una terna de n´ umeros separados por puntos: Ejercicio 2.3.7, significa ejercicio 7 de la secci´ on 3 del cap´ıtulo 2. Los axiomas se numeran consecutivamente a lo largo de todo el texto. Hay referencias de carácter hist´ orico, pero como es un poco inc´ omodo poner todos los datos de la obra que se esté citando en el lugar donde se realizan los apuntes, en la bibliograf´ıa se encuentran algunas segundas referencias. Por otra parte, me parece oportuno indicar la bibliograf´ıa básica empleada en la elaboración del material aqu´ı presentado, la cual est´ a integrada por: [E1 ], [H1 ], [HJ], [J3 ], [K1 ], [KM], [P4 ], [P5 ], [R2 ], [S10 ]. A los autores de estos textos es a quien ha de atribuirse lo acertado de las demostraciones presentadas. El mérito (si existe) de este trabajo es la selecci´ on, modo de presentaci´ on del material, modificaci´ on y adaptaci´ on de algunas de las demostraciones. La idea de escribir el presente trabajo tuvo su origen en las notas “Breve Resumen de Introducción a la Teor´ıa de Conjuntos”. En estas u ´ltimas se bas´ o un seminario que realizamos algunos estudiantes de la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas de la BUAP en 1992, el cual fue motivado por la falta de un curso de esta bella teor´ıa. En los a˜ nos en que han sido usadas las notas originales se observó que requer´ıan de una revisión que las hiciera, hasta donde fuera posible, más entendibles y sobre todo más completas; as´ı, el presente volumen difiere en mucho de las notas originales. Es mi deseo que este libro sirva a cualquier interesado en las matemáticas; en especial a los estudiantes, para ayudarles a no sentirse confundidos (como en su momento yo lo estuve) por el concepto de conjunto. Finalmente, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sincero agradecimiento a todas las personas que de una u otra manera han colaborado en la realizaci´ on de este libro y que por temor a aburrir al lector con una larga lista de nombres no citaré expl´ıcitamente. No obstante, es para mi un placer dar a conocer las personas que me ayudaron a culminar este trabajo y a quienes reitero mi agradecimiento: el Prof. Agust´ın Contreras Carreto, que pese a sus m´ ultiples ocupaciones hizo un gran esfuerzo por brindarme su apreciable ayuda como el mejor de los amigos; el Prof. Fidel Casarrubias Segura, que me hizo observaciones muy acertadas sobre la manera en que se presentaba el material, que me estimuló en muchas ocasiones y que sobre ´ todo me ha apoyado en tantos momentos dif´ıciles; el Prof. Angel Tamariz Mascar´ ua, cuya eficaz revisión mejoró notablemente la exposici´ on del material

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Prefacio

aqu´ı presentado y de quien he recibido adem´ as de un muy especial apoyo, su confianza. Los comentarios constructivos y cr´ıticas de todos ellos fueron muy apreciados; adem´ as de que han influido de manera sustancial en la redacción final de este trabajo. Expreso también mi gratitud a mi esposa quien ha sufrido y soportado mis locuras desde que inicié con aquel proyecto de 1992 y que para culminar este trabajo me respald´ o a pesar de sentirse desplazada. A mis padres por todo el apoyo y comprensi´ on que de ellos he recibido.

Fernando Hernández Hernández.

1 Introducci´ on Hist´ orica Puede decirse que en todas las épocas los matem´ aticos y fil´ osofos han empleado razonamientos de la Teor´ıa de Conjuntos de modo más o menos consciente. Sin embargo, es necesario separar claramente todas las cuestiones relacionadas con la idea de n´ umero cardinal (y en particular, la noción de infinito) de aquellas en las que solamente intervienen las nociones de pertenencia e inclusi´ on pues éstas son más intuitivas. Solamente apoy´ andose en ellas es como se puede fundamentar una teor´ıa de silogismos o axiomas como “el todo es mayor que cualquiera de sus partes”. Para la introducci´ on de la Teor´ıa de Conjuntos es muy u ´til trabajar con conjuntos concretos cuyos miembros sean objetos reales, pero los conjuntos de interés en matem´ aticas siempre tienen por miembros objetos abstractos: el conjunto de todos los c´ırculos del plano, el conjunto de todos los puntos sobre una esfera, el conjunto de todos los n´ umeros, etc. A finales del siglo XIX ya no hay dificultad alguna en hablar del conjunto de los objetos que poseen tal o cual propiedad; la célebre “definición” dada por el matem´ atico alem´ an Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)1 :“Se entiende por conjunto a la agrupaci´ on en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuici´ on o nuestra mente”, apenas despert´ o objeciones en el momento de su publicación. No sucedi´ o as´ı cuando a la noci´ on de conjunto vinieron a unirse las de n´ umero y magnitud. El problema de la divisibilidad de extensión da lugar a dificultades filos´ oficas 2 considerables; matem´ aticos y fil´ osofos fracasar´ıan ante la paradoja de una magnitud finita formada por infinitos puntos “sin medida”. Las matem´ aticas cl´ asicas evitan introducir en sus razonamientos el “infinito actual”, es decir, conjuntos formados por una infinidad de elementos simultáneamente existentes, conformándose con el “infinito potencial”, que se 1

Profesor de la Universidad de Halle. Public´ o sus art´ıculos b´ asicos sobre Teor´ıa de Conjuntos en “Mathematische Annalen” durante los a˜ nos 1879-1893. Estos art´ıculos fueron editados nuevamente en [C2 ]; este volumen contiene también una biograf´ıa de Cantor escrita por Zermelo. 2 Del griego παρ` α δ` oξα, expectaci´ on.

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1. Introducci´ on Hist´ orica

refiere a la posibilidad de aumentar toda magnitud dada. Si bien este punto de vista implicaba una cierta dosis de hipocres´ıa, permit´ıa al menos desarrollar la mayor parte de las matemáticas cl´ asicas, incluyendo la teor´ıa de las proporciones y m´ as tarde el C´ alculo Infinitesimal. Las necesidades del An´ alisis (en particular el estudio a fondo de las funciones de variables reales que se desarrolla sobre todo durante el siglo XIX) son el origen de lo que iba a convertirse en la moderna Teor´ıa de Conjuntos. Cuando Bolzano, en 1817, demuestra la existencia del extremo inferior de un conjunto de n´ umeros reales acotado inferiormente, todav´ıa razona, como la mayor´ıa de sus contemporáneos, “en comprensi´ on”; no hablando de un conjunto cualquiera de n´ umeros reales, sino de una propiedad arbitraria de estos u ´ltimos. Pero cuando treinta a˜ nos más tarde redacta sus Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del Infinito), no dudaba en reivindicar el derecho a la existencia del “infinito actual” y en hablar de conjuntos arbitrarios. En este trabajo define la noci´ on general de equipotencia de conjuntos, y demuestra que cualesquiera dos intervalos compactos en R son equipotentes; observa también que la diferencia fundamental entre conjuntos finitos e infinitos radica en que un conjunto infinito E es equipotente a un subconjunto distinto de E, pero no da ninguna demostración convincente de esta afirmaci´ on. Por otra parte, el tono general de esta obra tiene mucho m´ as de filos´ ofico que de matem´ atico, y no pudiendo separar de una forma suficientemente clara la noci´ on de potencia o cardinalidad de un conjunto de la de magnitud y de la de orden de infinitud, fracasa en sus tentativas de formar conjuntos infinitos de potencias cada vez mayores y termina por intercalar en sus razonamientos una serie de consideraciones sobre las series divergentes, totalmente fuera de contexto. La Teor´ıa de Conjuntos, en el sentido que le damos hoy en d´ıa, se debe al genio de Georg Cantor. También él parte del An´ alisis y, sus estudios sobre las series trigonométricas, inspirados en los trabajos de Riemann (1826-1866), le llevan de modo natural, en 1872, a un primer intento de clasificaci´ on de los conjuntos “excepcionales” que aparecen en dicha teor´ıa, mediante la noci´ on de “conjuntos derivados sucesivos” que introduce con este fin. Como consecuencia de estas investigaciones y de su método para definir los n´ umeros reales, Cantor comienza a interesarse por los problemas de equipotencia, ya que en 1873 hace notar que el conjunto de los n´ umeros racionales (o el de los n´ umeros algebraicos) es numerable. En su correspondencia con Dedekind, que da comienzo hacia esta fecha, le vemos plantear el problema de equipotencia entre el conjunto de los n´ umeros enteros y el conjunto de todos los n´ umeros reales, que resuelve algunas semanas m´ as tarde. En 1874, Cantor intuye equivocadamente la imposibilidad de una biyección entre R y Rn (n > 1). Posteriormente des-


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cubre estupefacto que tal correspondencia biun´ıvoca existe. Una vez en posesi´ on de estos resultados, tan nuevos como sorprendentes, se consagra por entero a la teor´ıa de conjuntos. En una serie de seis memorias publicadas en los Mathematische Annalen entre 1878 y 1884 ataca simult´ aneamente los problemas de equipotencia, la teor´ıa de conjuntos totalmente ordenados, las propiedades topol´ ogicas de R y Rn , y el problema de la medida. Entre sus manos van deslind´ andose poco a poco, con una claridad admirable, nociones en apariencia indisolublemente unidas en la concepci´ on cl´ asica del “continuo”. Ya en 1880 tiene la idea de iterar “transfinitamente” la formación de “conjuntos derivados”, idea genitiva, que fructifica dos a˜ nos después con la introducci´ on de conjuntos bien ordenados, uno de los descubrimientos m´ as originales de Cantor, que le permite abordar un estudio detallado de los n´ umeros cardinales y formular el “problema del continuo”. Resultaba totalmente imposible que concepciones tan atrevidas, contrapuestas a una tradici´ on dos veces milenaria, que conclu´ıan resultados tan inesperados y de un aspecto tan paradójico, se aceptasen sin resistencia. De hecho, entre los matemáticos influyentes de ese entonces en Alemania, Weiestrass (1815-1897) fue el u ńico en seguir con cierto interés los trabajos de Cantor (que hab´ıa sido alumno suyo); pero Cantor se encontró con una actitud de oposición empecinada por parte de Schwarz, y sobre todo de Kronecker. La tensi´ on constante engendrada por la oposici´ on a sus ideas, as´ı como los esfuerzos infructuosos realizados para demostrar la hip´ otesis del continuo, parecen ser las causas de los primeros s´ıntomas de una enfermedad nerviosa cuyos efectos sobre su producci´ on matem´ atica pronto se hicieron notar. Dedekind, guiado por sus trabajos en Aritmética y sobre todo por la teor´ıa de ideales, lleg´ o a considerar la noci´ on de conjunto ordenado desde un punto de vista más general que Cantor. Mientras que este u ´ltimo se limita a los conjuntos totalmente ordenados, Dedekind ataca el caso general y realiza un estudio profundo de los conjuntos reticulados. Estos trabajos no tuvieron gran audiencia en su momento; sus resultados fueron analizados posteriormente por diversos autores dando lugar a numerosas publicaciones desde 1935. La importancia histórica de los trabajos de Dedekind reside en el hecho de haber constituido uno de los primeros ejemplos de construcci´ on axiomática; sin embargo, las aplicaciones de esta teor´ıa han sido escasas. En contraposición, los primeros resultados de Cantor sobre conjuntos numerables y de la potencia del continuo dieron lugar r´ apidamente a numerosas e importantes aplicaciones, incluso dentro de las cuestiones m´ as cl´ asicas del An´ alisis. As´ı pues, hacia finales del siglo XIX, las concepciones esenciales de Cantor hab´ıan ganado la partida. En esta misma época, se completa la formalizaci´ on

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de las matemáticas y el método axiom´ atico fue casi universalmente aceptado. Pero simult´ aneamente surg´ıa una “crisis de fundamentos” de proporciones considerables que conmovió al mundo matemático durante más de treinta a˜ nos, y que parec´ıa desquebrajar, no sólo todas las adquisiciones recientes en aquel entonces, sino también las partes m´ as cl´ asicas de la matemática. En 1899 Cantor observa en una carta a Dedekind que no puede hablarse del “conjunto de todos los conjuntos” sin llegar a una contradicción. En 1905 Russell encontr´ o que la noción del “conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de s´ı mismos” es también contradictoria. Podr´ıa pensarse que tales antinomias aparec´ıan u ńicamente en regiones periféricas de las matem´ aticas, caracterizadas por considerar conjuntos de una “magnitud” inaccesible a la intuici´ on. Eran razonamientos tan alejados del uso com´ un de los matemáticos, que a muchos de ellos les parec´ıan simples juegos de palabras. No obstante, estas paradojas insist´ıan en se˜ nalar la necesidad de una revisión de las bases de la Teor´ıa de Conjuntos a fin de eliminarlas. Pero si bien hab´ıa unanimidad en cuanto a la urgencia de esta revisión, enseguida surgieron divergencias en la forma y método de llevarla a cabo. Pese a esto se trató de dar a la Teor´ıa de Conjuntos una base axiomática como se hizo en el caso de la geometr´ıa elemental, donde no hay que ocuparse de a qué “cosas” se llama “conjuntos” ni de qué significa x ∈ y, sino que enumeren las condiciones impuestas a esta u ´ltima relación. Naturalmente esta axiomatizaci´ on se trató de hacer de tal manera que se pudieran abarcar en todo lo posible los resultados de Cantor, teniendo cuidado de evitar la aparición de conjuntos paradójicos. El primer ejemplo de este tipo de axiomatizaci´ on fue dado por Zermelo en 1904. En ésta, la introducci´ on de conjuntos “muy grandes” se evita mediante un “axioma de comprensión” que grosso modo plantea que para determinar un conjunto con una propiedad P(x) es necesario (y suficiente) que P(x) implique una relación de la forma x ∈ A para alg´ un conjunto ya existente A. Después aparecieron otras axiomatizaciones de la Teor´ıa de Conjuntos. Citamos principalmente la de Von Neumann mucho más cercana, que la de Zermelo, a la concepci´ on primitiva de Cantor. Cantor hab´ıa ya propuesto en su correspondencia con Dedekind la distinci´ on de dos tipos de entes para evitar los conjuntos paradójicos: las “multiplicidades” y los “conjuntos” propiamente dichos; caracteriz´ andose los segundos por ser pensados como un objeto u ńico. Esta idea fue precisada por Von Neumann distinguiendo dos tipos de objetos: los “conjuntos” y las “clases”. En su sistema (casi totalmente formalizado) las clases a diferencia de los conjuntos, no poden ser colocadas a la izquierda del signo ∈. Una de las ventajas de este sistema es que rehabilita la noción de “clase


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universal” empleada por los l´ ogicos del siglo XIX (y que, naturalmente no es un conjunto). Además, la introducción de esquemas de axiomas es sustituida por axiomas convenientes, lo que simplifica el estudio l´ ogico. Bernays y Gödel dieron variantes al sistema de Von Neumann. La axiomatizaci´ on de la teor´ıa intuitiva de conjuntos de Cantor no sólo fue en s´ı misma un acontecimiento muy destacado en los avances de las matem´ aticas del siglo XX, también estableci´ o que el método axiom´ atico es posiblemente la manera más clara y precisa en la cual se puede dar una representación del conocimiento.

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2 Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos 2.1 Propiedades Com´ unmente los conjuntos son introducidos como colecciones de objetos con alguna propiedad com´ un. La noción de propiedad merece un poco de análisis. Algunas propiedades frecuentemente consideradas en la vida diaria son tan vagas que dif´ıcilmente son admitidas en las matem´ aticas. Consideremos, por ejemplo, el “conjunto de todos los borregos gordos”; cabe preguntar ¿qué tan gordo es gordo? Si nos muestran alg´ un borrego ¿c´ omo podemos saber si es gordo o no? Como otro ejemplo, consideremos el “conjunto” de aquellos n´ umeros naturales que pueden ser escritos (digamos que con papel y lápiz) en notaci´ on decimal. Claramente 0 puede ser escrito. Si un n´ umero n puede ser escrito, entonces seguramente el n´ umero n+1 también puede ser escrito. Por el familiar principio de inducci´ on, cualquier n´ umero n puede ser escrito. Pero, ¿conoce o 10 umero conocerá usted de alguien que pueda escribir el n´ umero 1010 ? Este n´ en notaci´ on decimal requiere de un 1 y 1010 ceros, que para lograr escribirse requiere de al menos trescientos a˜ nos de trabajo continuo anotando un cero por segundo. El problema para admitir a estas propiedades como “buenas” propiedades para definir conjuntos es causado por el significado vago de “puede”. Una forma de remediar este tipo de dificultades o algunas otras similares es decir expl´ıcitamente qué significa “puede” o ponernos de acuerdo en qué significa “gordo”; por ejemplo, estableciendo que gordo es pesar m´ as de cien kilogramos. Sin embargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son los que satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar esta afirmaci´ on, construiremos un “conjunto” en el que ser´ a m´ as dif´ıcil ponerse de acuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto. Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato hab´ıa un barbero llamado As-Samet, ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar sanguijuelas. Un d´ıa el Emir, d´ andose cuenta de la escasez de barberos en el emirato, dio o´rdenes de que

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

todos los barberos del emirato sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por s´ı mismas (todas las personas en este pueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un cierto d´ıa el barbero fue llamado a afeitar al Emir y le cont´ o a éste sus congojas. – En mi pueblo soy el u ńico barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por m´ı mismo y por lo tanto, no deber´ıa afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si no me afeito, lo debe hacer un barbero por m´ı ¡pero no hay all´ı más barbero que yo! El Emir pens´ o que tales razonamientos eran muy profundos, a tal grado que premió al barbero con la mano de la m´ as virtuosa de sus hijas, y el barbero vivió eternamente feliz. Consideremos como P(x) la propiedad “el habitante x del pueblo no se afeita a s´ı mismo (y, por tanto, es afeitado por el barbero)”. Sea b el barbero. La cuesti´ on es: ¿b tiene o no la propiedad?, es decir, ¿P(b) se verifica o no? Si b tiene la propiedad, entonces b no se afeita a s´ı mismo y es afeitado por el barbero. Pero b es el barbero, as´ı que se afeita a s´ı mismo. Esto significa que b no tiene la propiedad. Si b no tiene la propiedad, entonces b se afeita a s´ı mismo y por lo tanto, no es afeitado por el barbero. Como b es el barbero, entonces b no se afeita a s´ı mismo, as´ı que tiene la propiedad. En conclusión, no sabemos si b tiene o no la propiedad, pues la propiedad P(b) es cierta y falsa a la vez, es una paradoja, frecuentemente conocida como la paradoja del barbero. Las propiedades anteriores y otras similares no definen conjuntos; esto es, todos los objetos que gozan de la propiedad no pueden ser coleccionados en un conjunto. Esta observación nos puede llevar a preguntar ¿qué propiedades s´ı definen conjuntos?. Desafortunadamente, no hay manera de conocer esto, y algunos resultados de lógica, especialmente el llamado Teorema de Incompletitud de Gödel, indican que una respuesta plena es imposible. Para nosotros, una propiedad es una proposici´ on tal que para cualquier objeto es posible decidir, sin ambig¨ uedad, si dicho objeto la verifica. Si un objeto x verifica la propiedad P(x) decimos que la propiedad es verdadera (V); en caso contrario decimos que la propiedad es falsa (F). Cuando P(x) es verdadera también decimos que el objeto x tiene la propiedad P(x). Desde propiedades arbitrarias P(x) y Q(x), podemos formar nuevas propiedades: la conjunci´ on P(x) ∧ Q(x), la disyunci´ on P(x) ∨ Q(x) y la negaci´ on de P(x), ¬P(x). En cuanto al significado de estas nuevas propiedades generadas por P(x) y Q(x) tenemos que: Para que un objeto x verifique la conjunción es necesario que x verifique simult´ aneamente a cada una de las propiedades que

2.2. Los Axiomas

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la componen; para que x verifique la disyunci´ on es necesario que x verifique por lo menos una de sus componentes, y para que x verifique la negación de P(x) es necesario que x no verifique P(x). Los valores de verdad de estas propiedades pueden ser resumidos por la Tabla 1. P (x) V V F F

Q(x) V F V F

Tabla 1 P (x) ∧ Q(x) P (x) ∨ Q(x) V V F V F V F F

¬P (x) F F V V

La propiedad ¬ (P(x) ∧ ¬Q(x)) se abrevia como P(x) ⇒ Q(x). La propiedad [P(x) ⇒ Q(x)] ∧ [Q(x) ⇒ P(x)] se abrevia como P(x) ⇔ Q(x). En la Tabla 2 se exponen los valores de verdad de estas propiedades en términos de los valores de verdad de sus componentes. P (x) V V F F

Q(x) V F V F

Tabla 2 P (x) ⇒ Q(x) V F V V

P (x) ⇔ Q(x) V F F V

Una cuantificaci´ on existencial es una propiedad de la forma ∃x P(x), donde P(x) es una propiedad cualquiera conocida como cuantificado y ∃ es el cuantificador existencial. La propiedad ∃x P(x) es verdadera si P(x) es verdadera para al menos un objeto x; de otro modo es falsa. La propiedad ∀x P(x), conocida como cuantificaci´ on universal, es una abreviaci´ on de la propiedad ¬(∃x) (¬P(x)). Abreviaremos con ∀x ∈ X, P(x) la propiedad ∀x (x ∈ X ⇒ P(x)) y denotaremos por ∃x ∈ X, P(x) a la propiedad ∃x (x ∈ X ∧ P(x)). Una propiedad puede depender de m´ as de un parámetro. Una propiedad del estilo P(x, y, . . . z) tiene varios parámetros (una cantidad finita), y su valor de verdad depende de todos los parámetros.

2.2 Los Axiomas Como se aseguró en la introducción, el enfoque adoptado para el desarrollo de la Teor´ıa de Conjuntos será axiom´ atico y la manera de realizar esta axiomática

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será parecida a aquella de la Geometr´ıa. Es decir, en nuestra axiom´ atica no examinaremos directamente el significado del término “conjunto” –tal y como en Geometr´ıa no se examinan los significados de los términos “punto”, “recta” y “plano”–; pero a partir de sus axiomas –al igual que en Geometr´ıa– se deducen todos los teoremas sin recurrir a los significados intuitivos de los términos primitivos. Los axiomas tienen su origen en el concepto intuitivo de conjunto, pero el método axiom´ atico asegura que el concepto intuitivo de la palabra “conjunto” no interviene en las demostraciones de teoremas o en definiciones de conceptos conjuntistas. Las nociones primitivas de la Teor´ıa de Conjuntos son “conjunto”, y la relaci´ on de pertenencia “ser un elemento de”, la cual se simbolizar´ a por ∈; su negaci´ on: x no es un elemento o miembro de y la denotamos con x ∈ / y.1 Para simplificar la notación usaremos letras may´ usculas para referirnos a conjuntos. En ocasiones (cuando sea posible) indicaremos la jerarqu´ıa de un conjunto denot´ andolo con letras caligr´ aficas. Ahora empezaremos a dar nuestro sistema axiomático. Intentaremos aclarar el significado intuitivo de cada axioma. Para dar sustancia a la discusión, el primer axioma que adoptaremos postula que al menos existe un conjunto. Para concretar, postularemos la existencia de un conjunto espec´ıfico, a saber, el conjunto vac´ıo. Ya que más adelante formularemos una suposición de existencia más profunda y más u ´til, la siguiente juega sólo un papel temporal.

Axioma 1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos. Un conjunto sin elementos puede ser descrito de manera intuitiva de varias formas; por ejemplo, como “el conjunto de los perros que han escrito obras literarias” o como “el conjunto de n´ umeros reales que satisfacen la ecuaci´ on x2 + 1 = 0”. Intuitivamente los ejemplos de esta clase describen al mismo conjunto, a saber, el conjunto vac´ıo, conjunto vacuo. Pero no podemos probar esta afirmaci´ on; necesitamos otro axioma que exprese el hecho de que un conjunto est´ a determinado por sus elementos, tal y como intuitivamente lo concebimos.

Axioma 2 (de Extensión) Si todo elemento de X es un elemento de Y, y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y . 1

El s´ımbolo ∈ se deriva de la letra griega épsilon. El uso de esta letra para la relaci´ on de pertenencia fue introducido por Peano [P2 ] quien la seleccion´ o como abreviaci´ on de la palabra Griega estar (` ²στ´ι)

2.2. Los Axiomas

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El Axioma de Extensión puede expresarse en otras palabras diciendo: dos conjuntos que tienen los mismos elementos son idénticos. Simbólicamente este axioma puede expresarse as´ı: X=Y

⇔

(∀x : x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) ∧ (∀x : x ∈ Y ⇒ x ∈ X).

Por otra parte, es valioso comprender que el Axioma de Extensi´ on no es s´ olo una propiedad l´ ogicamente necesaria de la igualdad, sino que es una proposici´ on no trivial acerca de la pertenencia. Una manera de llegar a entender este punto es considerar una situación en la cual el an´ alogo al Axioma de Extensión no se cumpla. Supóngase, por ejemplo, que consideramos seres humanos como (en lugar de) conjuntos y que, si x y A son seres humanos, escribiremos x ∈ A siempre que x es un ancestro de A (por ejemplo, x ∈ A si x es padre de A o si x es bisabuelo de A). El an´ alogo del Axioma de Extensi´ on dir´ıa en este caso que “dos seres humanos tienen los mismos ancestros si y s´ olo si son iguales”. Pero, ¿qué pasa con dos hermanos? Proposici´ on 2.1 Hay un u ńico conjunto que no tiene elementos. ´ n: Demostracio Asumamos que A y B no tienen elementos. Entonces todo elemento de A es un elemento de B (puesto que A no tiene elementos la proposici´ on “a ∈ A ⇒ a ∈ B” es automáticamente cierta). Similarmente, todo elemento de B es un elemento de A. Por el Axioma de Extensi´ on concluimos que A = B. La proposición anterior nos posibilita para hacer la siguiente definición. Definici´ on 2.2 El u ńico conjunto que no tiene elementos es llamado el conjunto vac´ıo y es denotado por ∅. Intuitivamente, los conjuntos son colecciones de objetos que satisfacen alguna propiedad, y ser´ıa deseable tener un axioma que exprese este hecho. Este axioma retomar´ıa el esp´ıritu de la “definici´ on” de conjunto dada por Cantor. El problema es que no toda propiedad describe un conjunto, pues algunas propiedades pueden introducir paradojas y nuestra intención al axiomatizar la Teor´ıa de Conjuntos es precisamente evitar las paradojas. En seguida demostraremos que la colección {x : x es un conjunto} no es un conjunto, es decir, la propiedad P(x) : “x es un conjunto”, no describe en realidad un conjunto.

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El problema estar´ a resuelto si postulamos solamente la existencia del conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada, los cuales pertenezcan a otro conjunto ya dado de antemano. El siguiente axioma puede considerarse como de los m´ as importantes, pues permite la construcci´ on de nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes.

Axioma 3 (Esquema de Comprensión) Sea P(x) una propiedad de x. Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y P(x). En contraste a los otros axiomas, los cuales son proposiciones, el Axioma Esquema de Comprensi´ on es una colecci´ on infinita de proposiciones. Esto es, éste es un esquema para producir axiomas, uno por cada elecci´ on de la propiedad P. Por ejemplo, si P(x) es “x = x” el axioma dice: Para cualquier conjunto A, hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y x = x. (En este caso A = B). Si P(x) es “x ∈ / x”, el axioma postula: Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y x ∈ / x. Por lo anterior el Axioma 3 se llama Esquema de Comprensi´ on. La propiedad P(x) puede depender de otras variables p, q, . . . , r; el correspondiente axioma postula entonces que para cualquier selecci´ on de las variables p, q, . . . , r, y cualquier conjunto A, hay un conjunto B (que depende de p, q, . . . , r y A) que consiste exactamente de los elementos de A para los cuales se verifica P(x, p, q, . . . , r). Ejemplo 2.3 Si P y Q son conjuntos, entonces hay un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ P y x ∈ Q. ´ n: Demostracio Considérese la propiedad P(x, Q) de x y Q: “x ∈ Q”. Entonces por el Axioma Esquema de Comprensi´ on, para todo Q y cualquier P hay un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ P y P(x, Q), es decir, si y s´ olo si x ∈ P y x ∈ Q. Ejemplo 2.4 El conjunto de todos los conjuntos no existe. ´ n: Demostracio Supongamos lo contrario, sea U el conjunto de todos los conjuntos y consideremos la propiedad P(x): “x ∈ / x”. El Axioma 3 nos dice que existe un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ U y x ∈ / x; o sea, x es un elemento de R si y s´ olo si x es un conjunto y x no es miembro de s´ı mismo. Como R es un conjunto entonces R ∈ U, as´ı entonces R puede o no verificar la propiedad P. Si R ∈ / R entonces R ∈ R, es decir, (R ∈ / R) ∧ (R ∈ R), una contradicción.

2.2. Los Axiomas

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Por otro lado, si R ∈ R entonces R s´ı verifica la propiedad P, es decir, R ∈ / R, nuevamente (R ∈ R) ∧ (R ∈ / R), una contradicci´ on. Por lo tanto, suponer la existencia de U y considerar la propiedad leg´ıtima P siempre lleva a una contradicci´ on, concluimos que no existe tal conjunto U. Nótese que de hecho U mismo no es esencial para el razonamiento anterior. En efecto, si en lugar de U tom´ aramos otro conjunto cualquiera X y razonamos por medio del Axioma Esquema de Comprensión de la misma manera que en la demostraci´ on anterior, tendr´ıamos que concluir que R ∈ / X. Esta deducci´ on es interesante, pues nos permite decir que hay algo (es decir, R) que no pertenece a X. Como el conjunto X en este razonamiento es arbitrario, hemos demostrado que no hay un conjunto que contenga todo, o bien que no hay un universo. “Universo” se usa aqu´ı en el sentido de “universo de discurso”, lo cual significa, en cualquier discusi´ on particular, un conjunto que contiene a todos los objetos que intervienen en ese estudio. En tratamientos m´ as antiguos (preaxiomáticos) a la Teor´ıa de Conjuntos, se daba por supuesta la existencia de un universo. El razonamiento del Ejemplo 2.4 se conoce como la Paradoja de Russell 2 y en la literatura toma muchas formas equivalentes a la que hemos planteado aqu´ı. La moraleja es que es imposible, especialmente en matem´ aticas, obtener algo a partir de nada. Para especificar un conjunto no basta dar una propiedad; es necesario también disponer de un conjunto a cuyos elementos pueda aplicarse esa propiedad. Esta es la limitaci´ on impuesta por el Axioma 3; la manera de suprimir las dificultades que surgen al definir “conjuntos muy grandes” es proceder a la inversa, garantizando por medio de axiomas la existencia de conjuntos m´ınimos y la obtenci´ on de nuevos conjuntos a partir de los ya existentes. En cap´ıtulos posteriores tendremos la oportunidad de conocer otras colecciones (distintas de U, la colecci´ on de todos los conjuntos) que no son conjuntos; pero nos permitimos hacer la siguiente: Convenci´ on 2.5 Si P(x) es una propiedad de x, a K = hx : x es un conjunto y P(x)i le llamaremos clase. Debe quedar claro que no se está definiendo lo que es una clase, la convenci´ on anterior nos facilitar´ a m´ as adelante referirnos a ciertas colecciones. La 2

En 1903 fue publicada por primera vez la Paradoja de Russell, en el apéndice de [F4 ].

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discusi´ on anterior también nos dice que una clase no necesariamente es un conjunto. La diferencia entre estos dos conceptos origin´ o parte de los problemas l´ ogicos de Cantor. Lema 2.6 Sea P(x) una propiedad de x. Para todo A hay un u ńico conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y P(x). ´ n: Demostracio olo si x ∈ A y P(x), entonces x ∈ B Si B 0 es un conjunto tal que x ∈ B 0 si y s´ 0 0 on. si y s´ olo si x ∈ B . As´ı, B = B por el Axioma de Extensi´ Ahora tenemos derecho de hacer la siguiente definición que provee de una notaci´ on al conjunto B un´ıvocamente determinado. Definici´ on 2.7 {x ∈ A : P(x)} es el conjunto de todos los x ∈ A con la propiedad P(x). Nuestro sistema axiom´ atico hasta este momento no es muy poderoso; el u ńico conjunto cuya existencia postulamos es el conjunto vac´ıo, y las aplicaciones del Esquema de Comprensión a éste, producen nuevamente el conjunto vac´ıo: para cualquier propiedad P(x), {x ∈ ∅ : P(x)} = ∅. Los siguientes tres axiomas postulan que algunos de los procedimientos frecuentemente usados en matem´ aticas producen conjuntos.

Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera a y b hay un conjunto C tal que x ∈ C si y s´ olo si x = a o x = b. As´ı, a ∈ C y b ∈ C, y no hay otros elementos en C. Por el Axioma de Extensión el conjunto C es u ńico. Definimos el par no ordenado de a y b como el conjunto que tiene a a y a b como elementos, y lo denotamos por {a, b}. Podemos formar el par no ordenado {a, a} el cual se denota simplemente por {a} , y se llama conjunto singular o unitario de a. El Axioma del Par asegura que todo conjunto es un elemento de alg´ un conjunto, y dos conjuntos cualesquiera son simultáneamente elementos de alg´ un mismo conjunto. Ejemplo 2.8 Sean A = ∅ y B = ∅, entonces {∅} = {∅, ∅} es un conjunto tal que ∅ ∈ {∅}. Note que ∅ 6= {∅} , puesto que ∅ no tiene elementos y {∅} tiene un elemento. Ejemplo 2.9 Sean A = ∅ y B = {∅}. Entonces ∅ ∈ {∅, {∅}} y {∅} ∈ {∅, {∅}}; adem´ as, ∅ y {∅} son los u ńicos elementos de {∅, {∅}}. Note que ∅ 6= {∅, {∅}} y {∅} 6= {∅, {∅}} .

2.2. Los Axiomas

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Ejemplo 2.10 Sean A = {∅} y B = {∅} , entonces ∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}} . Pero ∅ ∈ / {{∅}} , ya que el u ńico elemento del conjunto {{∅}} es {∅} , y por el Ejemplo 2.8, ∅ 6= {∅}. Del ejemplo anterior podemos deducir que ∅ 6= {{∅}} y que {∅} 6= {{∅}} , lo cual nos permite inferir la existencia de much´ısimos conjuntos singulares como: {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, . . . , {· · · {{∅}} · · ·}, o bien pares no ordenados como {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, etc. Sin embargo, una pregunta interesante es: ¿Son realmente distintos estos conjuntos? La respuesta se deja como un ejercicio, aqu´ı u ńicamente notaremos que no debemos confundir los conjuntos de un solo elemento con el elemento propiamente dicho. No es cierto que x y {x} sean iguales, lo cual puede confirmarse observando que {x} s´ olo tiene un miembro, a saber x; mientras que x puede tener cualquier n´ umero de miembros. Véase el Ejemplo 2.8 y m´ as adelante el Teorema 2.33 para derivar razones más convincentes. Si A y B son conjuntos, es deseable reunir a sus elementos en un solo conjunto. Este conjunto es diferente del que se construyó con el Axioma 4: mientras que los elementos del par no ordenado son los conjuntos A y B, nuestro nuevo conjunto tendrá por elementos a los elementos de A y B (ver Ejemplo 2.15).

Axioma 5 (de Unión) Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U tal que x ∈ U si y s´ olo si x ∈ X para alg´ un X ∈ S. ´ Nuevamente el conjunto U es u ńico. Este es llamado uni´ on de S y denotado S por S. Decimos que S es un sistema de conjuntos o familia de conjuntos cuando queremos hacer énfasis en que los elementos de S son conjuntos. La uni´ on de una familia de conjuntos S es entonces el conjunto de, precisamente, todos los x que pertenecen a alg´ un conjunto que forma parte de la familia S. S olo si x ∈SA para Ejemplo 2.11 Sea S = {∅, {∅}}; entonces x ∈ S si y s´ alg´ un A ∈ S, es decir, si y s´ o lo si x ∈ ∅ o x ∈ {∅}. Por lo tanto, x ∈ S si y S sólo si x = ∅; o sea, S = {∅} . S Ejemplo 2.12 ∅ = ∅ S Ejemplo 2.13 Sean olo si x ∈ A o S A y B conjuntos, x ∈ {A, B} si y s´ x ∈ B. El conjunto {A, B} es llamado la uni´ on de A y B y es denotado por A ∪ B. Obsérvese que el Axioma del Par y el Axioma de Uni´ on son necesarios para definir la uni´ on de dos conjuntos, y el Axioma de Extensi´ on es necesario para

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garantizar la unicidad. Además nótese que la unión de dos conjuntos tiene el significado usual: x∈A∪B

⇔

x∈A

∨

x ∈ B.

Ejemplo 2.14 {{∅}} ∪ {∅, {∅}} = {∅, {∅}} Ejemplo 2.15 Si A = {∅, {∅}} y B = {{{∅}}} , entonces el par no ordenado de A y B es distinto de A ∪ B. El Axioma de Unión es muy poderoso; éste nos capacita no sólo para formar uniones de dos conjuntos, sino también para formar la uni´ on de un n´ umero infinito de conjuntos (más tarde se aclarar´ a tal situación).3 Dados a, b y c, puede probarse la unicidad del conjunto P cuyos elementos son exactamente a, b y c, en efecto P = {a, b}∪{c}. P es denotado por {a, b, c} y se llama terna no ordenada de a, b y c. An´ alogamente puede definirse una cuarteta, quinteta, sexteta no ordenada, etc. Ahora introduciremos un concepto simple y familiar para el lector. Definici´ on 2.16 A es un subconjunto de B si cualquier elemento de A pertenece a B. En otras palabras, A es un subconjunto de B si, para todo x, x ∈ A implica x ∈ B. Escribiremos A ⊆ B o B ⊇ A para denotar que A es subconjunto de B. Ejemplo 2.17 {∅} ⊆ {∅, {∅}} y {{∅}} ⊆ {∅, {∅}} . Ejemplo 2.18 x ∈ A si y s´ olo si {x} ⊆ A. Seg´ un la Definici´ on 2.16, todo conjunto debe considerarse subconjunto de s´ı mismo. Ejemplo 2.19 ∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo conjunto A. Ejemplo 2.20 Para cualesquiera conjuntos A, B y C tales que A ⊆ B y B ⊆ C se tiene que A ⊆ C. El Axioma Esquema de Comprensi´ on puede ahora interpretarse como un axioma que nos permite la formaci´ on de subconjuntos. Ejemplo 2.21 {x ∈ A : P(x)} ⊆ A. 3 Las nociones de finito e infinito ser´ an formalizadas posteriormente, por el momento las emplearemos en forma intuitiva.

2.2. Los Axiomas

Ejemplo 2.22 Si A ∈ S entonces A ⊆

S

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S.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A y B tienen los mismos elementos y, por lo tanto, en virtud del Axioma de Extensi´ on, A = B. De hecho el Axioma de Extensión puede ser formulado en estos términos: Si A y B son dos conjuntos, una condición necesaria y suficiente para que A = B es que A ⊆ B y B ⊆ A simult´ aneamente. Por lo anterior, casi todas las demostraciones de igualdad entre dos conjuntos A y B están divididas en dos partes, hacer ver primero que A ⊆ B y mostrar después que B ⊆ A. Obsérvese que la pertenencia (∈) y la contención (⊆)4 son, conceptualmente, cosas muy diferentes. Una diferencia importante es la que manifiesta el Ejemplo 2.19 al mostrarnos que para cualquier conjunto A, A ⊆ A mientras que no est´ a del todo claro que cualquier conjunto A, A ∈ A. Indudablemente que esto u ´ltimo no es posible para cualquier conjunto razonable, de hecho ∅ ∈ / ∅ y por ende ⊆ es reflexiva pero ∈ no lo es. Sin embargo, no podremos demostrar que para cualquier conjunto A, A ∈ / A, hasta que introduzcamos el Axioma de Fundaci´ on. Otra diferencia entre ∈ y ⊆ la podemos derivar de los Ejemplos 2.10 y 2.20 como sigue: ∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}} pero ∅ ∈ / {{∅}}, es decir, la pertenencia (∈) a diferencia de la contención (⊆) no tiene car´ acter transitivo. Ahora introducimos el siguiente axioma, el cual nos asegura que dado un conjunto cualquiera podemos formar un nuevo conjunto cuyos miembros son exactamente los subconjuntos del conjunto dado; en forma precisa:

Axioma 6 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X existe un conjunto S tal que A ∈ S si y s´ olo si A ⊆ X. Puesto que el conjunto S está un´ıvocamente determinado, llamamos al conjunto S de todos los subconjuntos de X, el conjunto potencia de X y es denotado por P(X). Ejemplo 2.23 P(∅) = {∅} . Ejemplo 2.24 P({a}) = {∅, {a}} . Ejemplo 2.25 P({a, b}) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} . Ejemplo 2.26 Para cualquier conjunto X, siempre ∅, X ∈ P(X). En particular siempre se cumple P(X) 6= ∅ para cualquier X. Ejemplo 2.27 Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). 4 El crédito de la distinci´ on entre pertenencia y contenci´ on se da generalmente a Peano, quien introdujo diferentes notaciones para los dos conceptos.

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Ejemplo 2.28 Si X = {∅, a, b, {a}} y A = {a} ⊆ X entonces P(A) ⊆ X. Ejemplo 2.29 Si X = {∅, a, b} y A = {a} entonces P(A) * X. A continuación responderemos la pregunta: ¿Para alg´ un conjunto X puede ocurrir que X ∈ X? Para conjuntos “razonables” que a uno se le puedan ocurrir la respuesta es indudablemente no, pero en realidad esta pregunta no puede ser respondida sin el siguiente axioma.

Axioma 7 (de Fundación) En cada conjunto no vac´ıo A existe u ∈ A tal

que u y A no tienen elementos en com´ un, es decir, para cualquier x, si x ∈ A entonces x ∈ / u.

Este axioma también se conoce como Axioma de Regularidad y postula que “conjuntos” de cierto tipo no existen. Esta restricci´ on no es contradictoria (es decir, el axioma es consistente con los otros axiomas) y es irrelevante para el desarrollo de los n´ umeros naturales, reales, cardinales u ordinales; y de hecho para casi todas las matemáticas ordinarias. Sin embargo, es extremadamente u ´til en las matem´ aticas de la Teor´ıa de Conjuntos, para la Construcci´ on de 5 Modelos. En [A1 ] se desarrolla una Teor´ıa de Conjuntos con la negación del Axioma de Fundaci´ on. Ejemplo 2.30 Si A = {{∅} , {∅, {∅}}} entonces u = {∅} y A no tienen elementos en com´ un. Ejemplo 2.31 Si A = {{∅} , {{∅}} , {{{∅}}}} entonces {{{∅}}} y A tienen a {{∅}} como elemento com´ un. También {{∅}} y A tienen a {∅} como elemento com´ un, pero {∅} y A no tienen elementos comunes. Ejemplo 2.32 Si ∅ ∈ A entonces tomando a u = ∅ tenemos que u y A no tienen elementos comunes. Teorema 2.33 (a) Ning´ un conjunto no vac´ıo puede ser elemento de s´ı mismo, es decir, para cualquier X 6= ∅, X ∈ / X. (b) Si A y B son conjuntos no vac´ıos, entonces no es posible que ocurran simult´ aneamente A ∈ B y B ∈ A. 5 ´ Kurucz demostraron que el Axioma de Fundaci´ En 1994 H. Andréka, I. Németi y A. on ´ es necesario para derivar un importante teorema del Algebra Universal como es el Teorema de Variedad de Birkhoff. [AKN]

2.2. Los Axiomas

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´ n: Demostracio (a) Supongamos que existe un conjunto no vac´ıo X tal que X ∈ X. Por el Axioma del Par, {X} también es un conjunto, y puesto que X es el u ńico miembro de {X}, el conjunto {X} contradice el Axioma de Fundaci´ on, ya que X y {X} tienen a X como elemento com´ un, es decir, todo elemento de {X} tiene un elemento com´ un con {X} . (b) Para este caso considere el par no ordenado {A, B} y proceda de modo análogo a (a). La parte (a) del teorema anterior responde a la pregunta planteada anteriormente: ¿para alg´ un conjunto X puede ocurrir que X ∈ X? Mientras que de la parte (b) podemos deducir que no pueden existir ciclos de la forma A ∈ B ∈ A. Hasta ahora nuestra lista de axiomas no est´ a completa. Pospondremos los restantes para cap´ıtulos ulteriores cuando introduzcamos otros conceptos y hayamos establecido algunos teoremas que nos permitirán entenderlos. Ahora introduciremos una notación convencional. Sea P(x) una propiedad de x (y, posiblemente de otros par´ ametros). Si hay un conjunto A tal que para todo x, P(x) implica x ∈ A, entonces {x ∈ A : P(x)} existe; y m´ as a´ un, no depende de quién sea el conjunto A. En efecto, si A0 es otro conjunto tal que, para todo x, P(x) implica x ∈ A0 , entonces ª © x ∈ A0 : P(x) = {x ∈ A : P(x)} . Podemos ahora definir {x : P(x)} como el conjunto {x ∈ A : P(x)}, donde A es cualquier conjunto para el que P(x) implica x ∈ A. {x : P(x)} es el conjunto de todo x que tiene la propiedad P(x). Enfatizamos nuevamente que esta notaci´ on podrá ser usada solamente después que se haya probado que alg´ un conjunto A contiene a todos los x con la propiedad P(x). Recuerde que lo que llamamos clase tiene otra notación, a saber, hx : P(x)i .

Ejemplo 2.34 {x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} existe. ´ n: Demostracio Sea P(x, P, Q) la propiedad “x ∈ P y x ∈ Q”. Sea A = P ; entonces P(x, P, Q) implica x ∈ A. Por lo tanto, {x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : x ∈ Q} es el conjunto del Ejemplo 2.3. Ejemplo 2.35 {x : (x = a) ∨ (x = b)} existe. Para una prueba, t´ omese A = {a, b} y demuéstrese que A = {x : (x = a) ∨ (x = b)} .

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Ejemplo 2.36 {x : x ∈ / x} no existe (recuérdese la Paradoja de Russell Ejemplo 2.4); as´ı en este caso, la notación {x : P(x)} es inadmisible. Como ya se dijo, la primera axiomatizaci´ on de la Teor´ıa de Conjuntos fue dada por Zermelo [Z2 ]. La formulación del Axioma Esquema de Comprensi´ on, al cual le llamaba Aussonderungsaxiom, fue m´ as bien ambiguo y dio lugar a serias discusiones; la versi´ on adoptada fue formulada por T. Skolem [S7 ] en 1922. El Axioma de Fundaci´ on fue propuesto por D. Mirimanoff en 1917. Russell y Whitehead en su famoso Principia Mathematica (primera edici´ on 1910-1913) dieron también una de las primeras y más influyentes axiomatizaciones para la Teor´ıa de Conjuntos. Ellos evitaban las paradojas introduciendo la llamada “teor´ıa de tipos”; en la cual se definen una cantidad infinita de diferentes tipos de variables de conjuntos. Para cada tipo de variables de conjuntos hay una cantidad infinita de variables del siguiente tipo superior. La propiedad “x es un miembro de y” tiene significado si y s´ olo si y es de exactamente un tipo superior a x. La paradoja de Russell, por ejemplo, al estar representada por la propiedad “x no es un miembro de x” carece de sentido en la teor´ıa de tipos. Ya que la teor´ıa de tipos es complicada, y puesto que es pesado dar seguimiento a todos los tipos de variables, esta teor´ıa es inconveniente para el desarrollo de las matem´ aticas. Otra axiomatización de la Teor´ıa de Conjuntos fue propuesta por Quine en 1931. Su enfoque puede decirse que es mas bien semántico; él dio reglas para la construcci´ on de propiedades. La teor´ıa de Quine es m´ as manejable que la teor´ıa de los tipos pero contiene fallas fatales que no permite desarrollar la matemática a partir de esta teor´ıa. Specker [S8 ] en 1953 demostró que el Axioma de Elección (que después formularemos) es inconsistente en el sistema de Quine. on Von Neumann [N2 ], [N3 ] entre 1925 y 1928 propuso otra axiomatizaci´ en la cual se hac´ıa preciso el ambiguo Axioma Esquema de Comprensi´ on de Zermelo. En lugar de usar propiedades como Skolem, Von Neumann admiti´ o una nueva noci´ on primitiva dentro de la Teor´ıa de Conjuntos: la de clase. Este sistema fue posteriormente reformulado por Bernays [B1 ] en 1937 y por Gödel [G2 ] en 1938. La ventaja del sistema resultante, llamado en la literatura “sistema BG”, es que est´ a basado en un n´ umero finito de axiomas. Otros sistemas axiom´ aticos fueron propuestos por Morse y por Kelley [M5 ], [K3 ].

2.2. Los Axiomas

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Ejercicios 2.2 1. Muestre que los conjuntos ∅, {∅}, {{∅}}, . . . , {· · · {∅} · · ·} son distintos. 2. Indique cu´ ales de las siguientes expresiones son falsas: (a) A = {A} ,

(b) {a, b} = {{a} , {b}} ,

(c) ∅ ∈ {∅} .

3. Muestre que el conjunto de todos los x tales que x ∈ A y x ∈ / B existe. ¿Es u ńico? 4. Pruebe que para cualquier conjunto X hay alg´ un a ∈ / X. 5. Demuestre la unicidad del conjunto U asegurado por el Axioma de Unión. S 6. Pruebe que ∅ = ∅. 7. Verifique la afirmaci´ on hecha en el Ejemplo 2.15.

8. Sean A y B conjuntos. Muestre que existe un u ńico conjunto C tal que x ∈ C si y s´ olo si (x ∈ A y x ∈ / B) o (x ∈ B y x ∈ / A). 9. Demuestre que {a} = {b, c} si y s´ olo si a = b = c. 10. (a) Muestre que para cualesquiera conjuntos A, B y C existe un u ńico conjunto P tal que x ∈ P si y s´ olo si x = A o x = B o x = C. (b) Generalice (a) para cuatro o más elementos.

11. Demuestre que A ⊆ {A} si y s´ olo si A = ∅. 12. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 2.18, 2.19, 2.20. 13. Pruebe la afirmaci´ on del Ejemplo 2.22. 14. Demuestre que si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). 15. Pruebe la afirmaci´ on del Ejemplo 2.35. 16. Complete la demostraci´ on del Teorema 2.33(b). 17. Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo: A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈ · · · ∈ An ∈ A0 para toda n ∈ N.

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18. (a) Demuestre que para cualquier conjunto X es falso que P(X) ⊆ X. En particular X 6= P(X). (b) Demuestre que el conjunto de todos los conjuntos no existe usando el inciso (a).

19. Reemplace el Axioma de Existencia por el siguiente axioma: Axioma D´ ebil de Existencia. Existe al menos un conjunto. Deduzca el Axioma de Existencia usando el Axioma Débil de Existencia y el Axioma Esquema de Comprensión. 20. El Axioma de Unión, el Axioma del Par y el Axioma del Conjunto Potencia pueden reemplazarse por las siguientes versiones más débiles: Axioma D´ ebil del Par. Para cualesquiera a, b existe un conjunto C tal que a ∈ C y b ∈ C. Axioma D´ ebil de Uni´ on. Para cualquier conjunto S existe un conjunto U tal que si x ∈ A y A ∈ S entonces x ∈ U . Axioma D´ ebil del Conjunto Potencia. Para cualquier conjunto S existe un conjunto P tal que X ⊆ S implica X ∈ P . Deduzca el Axioma del Par, el Axioma de Unión y el Axioma del Conjunto Potencia, usando las versiones débiles. (Sugerencia: use el Axioma Esquema de Comprensión).

3 ´ Algebra de Conjuntos En este cap´ıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjuntistas más comunes, por lo que moment´ aneamente supondremos la existencia umeros reales de conjuntos como el de los n´ umeros naturales N,1 el de los n´ R, o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es s´ olo con el af´ an de proporcionar ejemplos ilustrativos de los conceptos que tratemos. La existencia de estos conjuntos será formalizada en su momento.

3.1 Operaciones Fundamentales En el cap´ıtulo anterior la Definici´ on 2.16 reza “A se dice subconjunto de B, A ⊆ B, si todo elemento de A es también un elemento de B”. La relaci´ on de contenci´ on ⊆ tiene las siguientes propiedades para conjuntos A, B y C. (1) A ⊆ A. (2) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C. (3) A ⊆ B y B ⊆ A si y s´ olo si A = B. (1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenci´ on es reflexiva, transitiva y antisimétrica, respectivamente. En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostró la existencia de dos u ´tiles conjuntos; ahora hacemos una definici´ on formal de ellos. Definici´ on 3.1 Si A y B son conjuntos, la uni´ on de A y B, es el conjunto A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} . La intersecci´ on de A y B es el conjunto A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} . Acorde a la definici´ on anterior, una condición necesaria y suficiente para que A ∩ B 6= ∅ es que A y B tengan elementos en com´ un. 1

Aqu´ı consideraremos N = {0, 1, 2, . . .}.

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´ 3. Algebra de Conjuntos

Definici´ on 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A ∩ B = ∅. Con la terminolog´ıa proporcionada por las definiciones anteriores podemos formular el Axioma de Fundaci´ on como sigue: “En cada conjunto no vac´ıo A existe un elemento u ∈ A que es ajeno a A, es decir, u ∩ A = ∅”. El siguiente teorema nos muestra c´ omo se comportan la uni´ on ∪ y la intersecci´ on ∩ con respecto de la contenci´ on. Teorema 3.3 Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos: (a) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. (b) Si A ⊆ C y B ⊆ D entonces A ∩ B ⊆ C ∩ D y A ∪ B ⊆ C ∪ D. (c) A ⊆ C y B ⊆ C si y s´ olo si A ∪ B ⊆ C. ´ n: Demostracio Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b) y (c). Si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B, as´ı en particular x ∈ A, es decir A ∩ B ⊆ A. Por otra parte, para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ A ∪ B por definici´ on de A ∪ B, es decir, A ⊆ A ∪ B. El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad. Teorema 3.4 Las operaciones ∩ y ∪ son: (a) Reflexivas: para todo A, A ∩ A = A = A ∪ A. (b) Asociativas: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

y

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

y

A ∪ B = B ∪ A.

(c) Conmutativas: A∩B =B∩A

M´ as a´ un, ∩ distribuye sobre ∪ y ∪ distribuye sobre ∩: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

3.1. Operaciones Fundamentales

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En virtud de la asociatividad, podemos designar a A ∪ (B ∪ C) simplemente por A∪B ∪C. Similarmente, una unión y una intersección de cuatro conjuntos, digamos (A ∪ B) ∪ (C ∪ D) y (A ∩ B) ∩ (C ∩ D), pueden ser escritas como A ∪ B ∪ C ∪ D y A ∩ B ∩ C ∩ D puesto que la distribución de paréntesis es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los términos también es irrelevante. Por inducci´ on, la misma observación es aplicable a la uni´ on y la intersección de cualquier n´ umero finito de conjuntos. La uni´ on y la intersecci´ on de n conjuntos son escritas como n [

k=1

Ak ,

n \

Ak .

k=1

Ahora daremos una caracterizaci´ on de la propiedad A ⊆ B en términos de la uni´ on y la intersecci´ on. Teorema 3.5 Los siguientes enunciados son equivalentes: (a) A ⊆ B. (b) A = A ∩ B. (c) B = A ∪ B. ´ n: Demostracio (a) ⇒ (b). Supongamos que A ⊆ B. Por 3.3(a) sabemos que A ∩ B ⊆ A. Ahora, si x ∈ A entonces x ∈ A y x ∈ B (ya que A ⊆ B); o sea, x ∈ A ∩ B. Por lo tanto, A ⊆ A ∩ B. As´ı concluimos que A = A ∩ B. (b) ⇒ (c). Si A = A ∩ B entonces se tienen las siguientes implicaciones: x ∈ A ∪ B ⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ B) ⇒ x ∈ B, lo cual muestra que A ∪ B ⊆ B, y nuevamente 3.3(a) nos proporciona B ⊆ A ∪ B. Por lo tanto, B = A ∪ B. (c) ⇒ (a). Si B = A ∪ B entonces A ⊆ A ∪ B = B. Definici´ on 3.6 La diferencia de dos conjuntos A y B es A \ B = {x ∈ A : x ∈ / B} . El Ejercicio 2.2.3 del cap´ıtulo anterior nos muestra que tal conjunto existe. ª © Ejemplo 3.7 Si© A = {x ∈ R : 0 ≤ªx ≤ 1} y B = x ∈ R : 12 < x ≤ 2 , entonces A \ B = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 12 . Ejemplo 3.8 A \ ∅ = A y A \ B = A \ (A ∩ B).

Ejemplo 3.9 Si A \ B = A, entonces A ∩ B = ∅.

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Ejemplo 3.10 A \ B = ∅ si y s´ olo si A ⊆ B. La operación diferencia no tiene propiedades tan simples como ∩ y ∪; por ejemplo: si A 6= ∅, (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A), es decir, la colocaci´ on de paréntesis en A ∪ A \ A es importante. Otra diferencia es que, mientras que la uni´ on y la intersecci´ on son operaciones conmutativas, por su propia definici´ on la diferencia de conjuntos no es conmutativa. Por otra parte, obsérvese que la negaci´ on de la proposición x ∈ A \ B, es equivalente a la proposici´ on: x ∈ / A ∨ x ∈ B, es decir, x ∈ / A \ B si y s´ olo si x no es un elemento de A o x es un elemento de B. Ahora x ∈ A \ (A \ B) si y s´ olo si x ∈ A ∧ x ∈ / A \ B si y s´ olo si [x ∈ A] ∧ [x ∈ / A ∨ x ∈ B] si y s´ olo si [x ∈ A ∧ x ∈ / A] ∨ [x ∈ A ∧ x ∈ B] si y s´ olo si x ∈ A ∩ B; hemos probado la siguiente proposición. Proposici´ on 3.11 Para conjuntos arbitrarios A y B tenemos que A ∩ B = A \ (A \ B). Definici´ on 3.12 Si A ⊆ B el complemento de A con respecto de B es el conjunto B \ A. Teorema 3.13 Para cualesquiera dos conjuntos A y B, y cualquier conjunto E que contenga a A ∪ B, A \ B = A ∩ (E \ B). ´ n: Demostracio Como A ∪ B ⊆ E, tenemos que A \ B = {x ∈ E : (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B} = {x ∈ E : x ∈ A} ∩ {x ∈ E : x ∈ / B} = A ∩ (E \ B). Teorema 3.14 Si E es un conjunto que contiene a A ∪ B, entonces: (a) A ∩ (E \ A) = ∅, A ∪ (E \ A) = E. (b) E \ (E \ A) = A. (c) E \ ∅ = E, E \ E = ∅. (d) A ⊆ B si y s´ olo si E \ B ⊆ E \ A. El siguiente es uno de los resultados elementales de mayor uso, se conoce habitualmente como Leyes de De Morgan. Teorema 3.15 Si A, B ⊆ X entonces: (a) X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B). (b) X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B).

3.1. Operaciones Fundamentales

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´ n: Demostracio x ∈ X \ (A ∪ B) si y s´ olo si x ∈ X y x ∈ / A ∪ B si y s´ olo si x ∈ X, x ∈ /Ay x∈ / B si y s´ olo si x ∈ X \ A y x ∈ X \ B. Esto establece (a); para probar (b) hacemos: X \ [(X \ A) ∪ (X \ B)] = [X \ (X \ A)] ∩ [X \ (X \ B)] = A ∩ B; entonces (X \ A) ∪ (X \ B) = X \ (A ∩ B). Definici´ on 3.16 Sean A y B conjuntos, se define la diferencia simétrica de A y B como: A 4 B = {x ∈ A : x ∈ / B} ∪ {x ∈ B : x ∈ / A} . En el Ejercicio 2.2.8 del cap´ıtulo anterior se pide demostrar que la diferencia simétrica de dos conjuntos existe.2 La diferencia simétrica tiene las siguientes propiedades: Teorema 3.17 Para conjuntos A, B y C se tiene: (a) A 4 ∅ = A. (b) A 4 A = ∅. (c) A 4 B = B 4 A. (d) (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C). (e) A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C). (f ) Si A 4 B = A 4 C entonces B = C. Observemos adem´ as que, para cualesquiera dos conjuntos A y C existe exactamente un conjunto B tal que A 4 B = C, a saber, B = A 4 C, en otras palabras: A 4 (A 4 C) = C, A 4 B = C ⇒ B = A 4 C. En efecto, los incisos (a), (b) y (d) del Teorema 3.17 implican que A4(A4C) = (A 4 A) 4 C = ∅ 4 C = C 4 ∅ = C. Adem´ as si A 4 B = C entonces A 4 (A 4 B) = A 4 C y por tanto, B = A 4 C. Lo anterior nos dice que la operaci´ on 4 es inversa de s´ı misma. El lector que conozca la definici´ on de anillo, utilizando el Teorema 3.4 en sus partes (b) y (c) referentes a la intersecci´ on y el Teorema 3.17, podrá darse cuenta que para cualquier conjunto X, el conjunto P(X) con las operaciones 4 y ∩ funcionando como suma y producto, es un anillo conmutativo con unidad X. Una peculiaridad de este anillo es que la operaci´ on “sustracci´ on” coincide con la operaci´ on “suma” y m´ as a´ un, el “cuadrado” de cualquier elemento es 2 Las propiedades de la diferencia simétrica fueron investigadas extensivamente por Hausdorff en [H5 ].

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igual a ese elemento. Note que ∪ y \ no funcionan como suma y sustracción, respectivamente. Usando 4 y ∩ como las operaciones b´ asicas, los c´ alculos en el a´lgebra de conjuntos pueden resolverse por aritmética ordinaria. Adem´ as, podemos omitir todos los exponentes y reducir todos los coeficientes m´ odulo 2 (es decir, 2kA = ∅ y (2k + 1)A = A). Este resultado es significativo puesto que las operaciones ∪ y \ pueden ser expresadas en términos de 4 y ∩. Este hecho hace que toda el a´lgebra de subconjuntos de un conjunto particular X pueda ser representada como la aritmética en el anillo P(X). En efecto, uno puede fácilmente verificar que: A ∪ B = A 4 B 4 (A ∩ B) A \ B = A 4 (A ∩ B).

Ejercicios 3.1 1. Demuestre las partes (b) y (c) del Teorema 3.3. 2. Demuestre el Teorema 3.4. 3. (a) Demuestre que si A ⊆ C entonces A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.

(b) ¿Será cierto el resultado anterior si se suprime la hip´ otesis A ⊆ C? (c) Demuestre que A ⊆ C si y s´ olo si A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.

4. Pruebe las afirmaciones hechas en los Ejemplos 3.8, 3.9 y 3.10. 5. Muestre que si A 6= ∅ entonces (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A). 6. Demuestre el Teorema 3.14. 7. Pruebe que (a) A \ B = (A ∪ B) \ B.

(b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C). (c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C.

(d) (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C. (e) (A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. (f) (A \ B) \ (A \ C) = A ∩ (C \ B).

3.2. Producto Cartesiano

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T (g) A1 ∪A2 ∪· · ·∪An = (A1 \A2 )∪· · ·∪(An−1 \An )∪(An \A1 )∪( nk=1 Ak ).

(h) Si A, B ⊆ X, entonces (X \ A) \ (X \ B) = B \ A.

8. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son falsas. (a) A \ B = B \ A.

(b) A ⊆ (B ∪ C) implica A ⊆ B o A ⊆ C. (c) B ∩ C ⊆ A implica B ⊆ A o C ⊆ A.

9. Sea X un conjunto que contiene a A ∪ B. (a) Demuestre que si A ∪ B = X entonces X \ A ⊆ B.

(b) Demuestre que si A ∩ B = ∅ entonces A ⊆ X \ B.

(c) Utilizando los incisos anteriores demuestre que A = X \ B si y s´ olo si A ∪ B = X y A ∩ B = ∅.

10. Pruebe que el sistema de ecuaciones A ∪ X = A ∪ B, A ∩ X = ∅ tiene a lo m´ as una soluci´ on para X. 11. Sea A un conjunto. Demuestre que el “complemento” de A no es un conjunto. (El “complemento” de A es el conjunto de todos los x ∈ / A). 12. Pruebe el Teorema 3.17. 13. Pruebe que A 4 B = ∅ si y s´ olo si A = B. 14. Pruebe que A ∪ B = A 4 B 4 (A ∩ B) A \ B = A 4 (A ∩ B).

3.2 Producto Cartesiano Las operaciones de uni´ on e intersecci´ on nos proporcionan nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos dados. En esta sección introduciremos otro conjunto construido a partir de dos conjuntos A y B, que denotaremos por A × B y llamaremos el producto cartesiano de A y B. El producto cartesiano es una de las construcciones más importantes de la Teor´ıa de Conjuntos, pues permite expresar muchos conceptos fundamentales de matemáticas en términos de conjuntos.

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A diferencia de los elementos de la uni´ on y de la intersecci´ on, los elementos del producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos de A y de B, ya que A × B consistir´ a de lo que a continuaci´ on definiremos como parejas ordenadas de elementos. Intuitivamente una pareja ordenada es una entidad consistente de dos objetos en un orden espec´ıfico. Para el empleo de la noci´ on de par ordenado en matemáticas, uno desea que los pares ordenados tengan dos propiedades: (i) dados dos objetos a y b, exista un objeto, el cual puede ser denotado por (a, b) que esté un´ıvocamente determinado por a y b; (ii) si (a, b) y (c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. Por el Ejemplo 2.35, es posible definir un objeto, de hecho un conjunto, con la propiedad (i). Definici´ on 3.18 Se define el par ordenado de elementos a y b como (a, b) = {{a} , {a, b}} . Si a 6= b, (a, b) tiene dos elementos, un singular {a} y un par no ordenado {a, b}. La primera coordenada de (a, b) es el elemento que pertenece a ambos conjuntos, o sea a, y la segunda coordenada es el elemento perteneciente a sólo uno de los conjuntos, a saber, b. Si a = b, entonces (a, a) = {{a} , {a, a}} tiene un u ńico elemento; en este caso ambas coordenadas son iguales. Es muy oportuno observar que (a, b) ⊆ P({a, b}). Probaremos ahora que los pares ordenados tienen la propiedad (ii) antes mencionada. Teorema 3.19 (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. ´ n: Demostracio ⇐] Si a = c y b = d, entonces: (a, b) = {{a} , {a, b}} = {{c} , {c, d}} = (c, d). ⇒] Supongamos que {{a} , {a, b}} = {{c} , {c, d}}. Si a 6= b, entonces debe suceder que {a} = {c} y {a, b} = {c, d}. As´ı, a = c, y entonces {a, b} = {a, d}. De esto se deduce que b = d. Si a = b, {{a} , {a, b}} = {{a}}. As´ı {a} = {c} y {a} = {c, d} , lo cual implica que a = c = d. Por lo tanto, a = c y b = d. Con los pares ordenados a nuestra disposici´ on podemos definir ternas ordenadas como (a, b, c) = ((a, b), c),


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cuartetas ordenadas como (a, b, c, d) = ((a, b, c), d), etc.; y es evidente que la correspondiente caracterizaci´ on (Teorema 3.19) de igualdad también es apropiada. on satisfactoria de Kuratowski [K6 ] en 1921 fue el primero en dar una definici´ par ordenado. Lo complicado de tal definici´ on reside en evitar toda referencia a la forma de escribir los s´ımbolos (a, b). Los fil´ osofos de la primera época de la Teor´ıa de Conjuntos se encontraron metidos en un problema en lo relativo a dicha cuestión. La dificultad reside en eliminar la simetr´ıa existente entre a y b. El motivo por el cual los fil´ osofos no consiguieron hacerlo fue su confusi´ on en cuanto a la distinción que existe entre x y {x}, pues quer´ıan que fuese lo mismo. Poniendo (a, b) = {{a} , {a, b}}, la asimetr´ıa del segundo miembro basta para probar el Teorema 3.19, el cual hace que la definici´ on de par ordenado sea adecuada. Definici´ on 3.20 Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y de B es el conjunto A × B es el conjunto consistente de todos aquellos pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B, esto es, A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} . Estamos describiendo un nuevo conjunto y por ende debemos asegurar su existencia como tal, es por ello que damos la siguiente proposici´ on que nos afirma que A × B es un conjunto. Proposici´ on 3.21 Para cualesquiera A y B, A × B es un conjunto. ´ n: Demostracio Por el Ejemplo 2.27 del Cap´ıtulo 2 tenemos que siempre que a ∈ A y b ∈ B entonces P({a, b}) ⊆ P(A ∪ B), y como (a, b) ⊆ P({a, b}), se sigue que cuando a ∈ A y b ∈ B se tiene que (a, b) ⊆ P(A ∪ B), o bien (a, b) ∈ P(P(A ∪ B)). Por lo tanto, A × B = {(a, b) ∈ P(P(A ∪ B)) : a ∈ A ∧ b ∈ B} . Ya que P(P(A ∪ B)) existe, la existencia de A × B como conjunto se sigue del Axioma Esquema de Comprensi´ on.

32


Denotaremos A×A por A2 . Hemos definido una terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = ((a, b), c). Para ser consistentes con esa definición, introducimos el producto cartesiano de tres conjuntos A, B y C como A × B × C = (A × B) × C. Note que A × B × C = {(a, b, c) : a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C} . Usando una obvia extensi´ on de nuestra notaci´ on, A × A × A será denotado 3 por A . De modo análogo, el producto cartesiano de cuatro conjuntos puede también ser introducido. Ejemplo 3.22 Sean A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5}. Entonces A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5)} . Ejemplo 3.23 Si A = R = B, entonces A × B = {(x, y) : x, y ∈ R} = R2 es el plano usual de la geometr´ıa anal´ıtica. ª © Ejemplo 3.24 Sea A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 (es decir, A es la circunferencia unitaria) y sea B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces, A × B es el an en el cilindro unitario de altura 1. conjunto de los puntos de R3 que est´ Teorema 3.25 (a) A × B = ∅ si y s´ olo si A = ∅ o B = ∅. (b) Si C × D 6= ∅, entonces C × D ⊆ A × B si y s´ olo si C ⊆ A y D ⊆ B. (c) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). (d) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). ´ n: Demostracio La demostración de la proposici´ on en (a) es inmediata a partir de las definiciones. (b) ⇒] Veamos que D ⊆ B. Un argumento simétrico ser´ a suficiente para establecer C ⊆ A. Puesto que C × D 6= ∅, aplicando (a) obtenemos que C 6= ∅. Fijemos un c ∈ C arbitrario. Ahora, deseamos demostrar que para todo x, x ∈ D ⇒ x ∈ B. Sea x ∈ D. Entonces (c, x) ∈ C × D y luego (c, x) ∈ A × B. De aqu´ı se sigue que x ∈ B. Por lo tanto D ⊆ B. ⇐] Sea (c, d) ∈ C × D. Entonces c ∈ C y d ∈ D. Como por hip´ otesis C ⊆ A y D ⊆ B, se tiene que c ∈ A y d ∈ B; de aqu´ı (c, d) ∈ A × B. Por lo tanto, C × D ⊆ A × B.


33

(c) (x, y) ∈ A × (B ∪ C) si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B ∪ C si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B o y ∈ C si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B o bien x ∈ A y y ∈ C si y s´ olo si (x, y) ∈ A × B o (x, y) ∈ A × C si y s´ olo si (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C). (d) Ejercicio. Para conjuntos no vac´ıos A y B se tiene que A × B = B × A si y s´ olo si A = B; as´ı, la operaci´ on producto cartesiano no es conmutativa.

Ejercicios 3.2 1. Pruebe que (a, b) ⊆ P({a, b}). 2. Pruebe que (a, b), (a, b, c) y (a, b, c, d) existen para todo a, b, c y d. 3. Pruebe que (a, b, c) = (a0 , b0 , c0 ) si y sólo si a = a0 , b = b0 y c = c0 . 4. Encuentre a, b y c tales que ((a, b), c) 6= (a, (b, c)). A pesar de este resultado, puede definirse la terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = (a, (b, c)), y el producto cartesiano de A, B y C como A × B × C = A × (B × C). M´ as adelante veremos que en términos conjuntistas esta discrepancia es irrelevante. 5. Demuestre que A × B = B × A si y s´ olo si A = B. 6. Muestre que (a) A × (B × C) 6= (A × B) × C.

(b) A3 6= A × A2 , es decir, (A × A) × A 6= A × (A × A). Este ejercicio muestra que × no es asociativo. 7. Si A, B son conjuntos no vac´ıos y (A × B) ∪ (B × A) = C × C, demuestre que A = B = C. 8. Pruebe la parte (d) del Teorema 3.25. 9. Demuestre que: (a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

(b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

34


(c) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).

(d) A × (B 4 C) = (A × B) 4 (A × C). 10. Sean A, B ⊆ X y C, D ⊆ Y . Demuestre que: (a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).

(b) (A × C) ∪ (B × D) ⊆ (A ∪ B) × (C ∪ D). Muestre que es posible que no se dé la igualdad. (c) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D) ∪ (A × D) ∪ (B × C).

(d) (X × Y ) \ (B × C) = ((X \ B) × Y ) ∪ (X × (Y \ C).

11. Para dos conjuntos A y B, se define la uni´ on ajena de A y B como: A t B = (A × {x}) ∪ (B × {y}), donde x ∈ / B, y ∈ / A. Demuestre el análogo del Teorema 3.4 para uniones ajenas.

3.3 Familias de Conjuntos En el párrafo que sigue al Axioma de Uni´ on hablamos de un tipo muy especial de conjuntos: los sistemas o familias de conjuntos. Estos conjuntos (como otros) tienen como elementos a conjuntos, es decir, una familia de conjuntos es un “conjunto de conjuntos”. Las familias de conjuntos juegan un papel destacado en otras ramas de las matem´ aticas, donde el objetivo es estudiar a familias especiales de conjuntos. Por ejemplo, la Topolog´ıa no es otra cosa que el estudio de las propiedades un sistema especial de subconjuntos de un conjunto dado X. La terminolog´ıa sistema o familia de conjuntos tiene por objeto resaltar el hecho de que trataremos a los elementos de la familia como conjuntos mismos. Usualmente denotaremos a las familias de conjuntos con letras may´ usculas caligr´ aficas tales como A, B, C, X , Z. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3.26 A = {∅, {∅}} es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto unitario {∅} . Ejemplo 3.27 Sea M = {{x ∈ N :x es par} , {x ∈ N : x es impar}}. Entonces M es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de los n´ umeros naturales pares y el conjunto de los n´ umeros naturales impares. Obsérvese que N 6= M. Ejemplo 3.28 Para cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X, P(X), es la familia de todos los subconjuntos de X.

3.3. Familias de Conjuntos

35

Ejemplo 3.29 Recuerde que a una circunferencia en R2 con centro en el punto x ∈ R2 y radio rª> 0, la podemos considerar como el conjunto C(x, r) = © y ∈ R2 : kx − yk = r . Sea Ex la familia de todas las circunferencias en Rª2 © 2 con centro x ∈ R , es decir, Ex = {C(x, r) : r > 0}, y sea E = Ex : x ∈ R2 . Entonces E es un sistema de conjuntos cuyos elementos son familias de conjuntos. Note que ni los puntos de R2 , ni las circunferencias son elementos de E. El Axioma de Unión y el Axioma Esquema de Comprensi´ on (véase el p´ arrafo que sigue al Ejemplo 2.15) dan posibilidad de la siguiente definici´ on. Definici´ on 3.30 Sea F es una familia no vac´ıa de conjuntos. (a) La uni´ on de la familia F es el conjunto [ [ A = {x : ∃A ∈ F, x ∈ A} . F= A∈F

(b) La intersecci´ on de la familia F es el conjunto \ \ A = {x : ∀A ∈ F, x ∈ A} . F= A∈F

Ejemplo 3.31 Si M es la familia definida en el Ejemplo 3.27, entonces N = S M. S Ejemplo 3.32 Para cualquier conjunto X, X = P(X). S T Ejemplo 3.33 Si F = {A, B} , entonces F = A ∪ B y F = A ∩ B. Ver Ejemplo 2.13. S T Ejemplo 3.34 Si F = {A} , entonces F = A = F. A continuaci´ on introduciremos un concepto asociado con las familias de conjuntos. Supongamos que tomamos un conjunto I 6= ∅ y que a cada α ∈ I le corresponde un u ńico conjunto Aα . Al sistema A = {Aα : α ∈ I} le llamamos familia de conjuntos indizada por el conjunto I. En este caso, se dice que I es el conjunto de ´ındices de A. N´ otese que no se requiere que a distintos ´ındices les correspondan distintos conjuntos. Para referirnos a familias indizadas de conjuntos, en ocasiones emplearemos la forma breve {Aα }α∈I , o simplemente {Aα }α cuando sea claro el conjunto de ´ındices que se está usando.

Observaci´ on 3.35 Cualquier familia no vac´ıa de conjuntos F puede considerarse como una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındices es el mismo F, a saber: F = {FA : A ∈ F}, donde FA = A para cada A ∈ F.

36


Ejemplo 3.36 Sean I = {1, 2, 3} y A1 = {1, 2, 5} , A2 = {5, 7, 1} , A3 = {2, 5, 7}. Entonces A = {Ai }i∈I es una familia indizada de conjuntos. Ejemplo 3.37 Para x ∈ R2 , la familia Ex del Ejemplo 3.29 es una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındices es el conjunto de los n´ umeros reales positivos I = {r ∈ R : r > 0}. También el sistema E es una familia indizada de conjuntos, aqu´ı el conjunto de ´ındices es R2 . Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la unión de la familia F = {Aα }α∈I puede denotarse como [

F=

[

{Aα : α ∈ I} =

[

{Aα }α∈I =

[

Aα

α∈I

y es el conjunto {x : ∃α ∈ I tal que x ∈ Aα }. La intersecci´ on es denotada por \ \ \ \ Aα {Aα }α∈I = F= {Aα : α ∈ I} = α∈I

y es el conjunto {x : ∀α ∈ I, x ∈ Aα }. Cuando el conjunto de ´ındices sea el conjunto de los n´ umeros naturales N, denotaremos con ∞ [

An

∞ \

An

a

n=0

y con

n=0

[

An

\

An .

n∈N

a

n∈N

Ejemplo 3.38 Para cualquier conjunto X, X =

S

{{x} : x ∈ X} .

N : n ≥ k}, k = 0, 1, 2, 3, . . . . Note que A0 ⊇ Ejemplo 3.39 Sea Ak = {n T∈ ∞ A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · ·, y que k=0 Ak = ∅.

Ejemplo 3.40 Sean x ∈ R2 ySEx la familia indizada de conjuntos T definida S 2 \ {x} y en el Ejemplo 3.29. Entonces E = C(x, r) = R Ex = x r>0 T C(x, r) = ∅. r>0

Ejemplo 3.41 Si ª © C = C ∈ P(R2 ) : Ces una circunferencia no degenerada S y E es el sistema del Ejemplo 3.29, entonces C = E.


Ejemplo 3.42 Si A ⊆ B entonces

T

B⊆

T

37

A.

No hay problema con la Definición 3.30 si uno de los elementos de F es el conjunto vac´ıo. Por otra parte el Ejemplo 2.12 muestra que si F = ∅ entonces S F = ∅; en efecto, aplicando literalmente el Axioma de Unión, vemos que no existen x que satisfagan la propiedad que define a la uni´ on de la familia F. Sin embargo, en el caso en que F = ∅ no es posible definir a la intersección de F pues esto generar´ıa contradicciones dado que cualquier x satisface la propiedad que define a la intersecci´ T on de F, es decir, x ∈ A para todo A ∈ F (puesto que no hay tales A). As´ı ∅ podr´ıa ser el “conjunto de todos los conjuntos”, por lo cual la intersecci´ on de una familia vac´ıa de conjuntos no est´ a definida. Por las observaciones anteriores y 3.35, restringiremos el estudio a familias indizadas no vac´ıas de conjuntos. El siguiente teorema nos proporciona propiedades que relacionan a las uniones e intersecciones “generalizadas” con las uniones e intersecciones “elementales”, la generalizaci´ on de las Leyes de De Morgan y el producto cartesiano. T S Teorema 3.43 (a) α distribuye sobre ∩ y α distribuye sobre ∪.  #  " [ [ [ Aα ∩  Bβ  = (3.3.1) {Aα ∩ Bβ : (α, β) ∈ I × J} α∈I

"

β∈J

#

\



Aα ∪ 

α∈I

\

β∈J



Bβ  =

\

{Aα ∪ Bβ : (α, β) ∈ I × J} .

(b) Si el complemento es tomado respecto a X, entonces: [ \ X \ {Aα : α ∈ I} = {X \ Aα : α ∈ I} (c)

S

T

{Aα : α ∈ I} =

[

{X \ Aa : α ∈ I} .

distribuyen sobre el producto cartesiano:  #  " [ [ [ Aα ×  Bβ  = {Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J} α

y

\

X\

α

α∈I

"

\

α∈I

(3.3.2)

(3.3.3) (3.3.4)

(3.3.5)

β∈J

#



Aα × 

\

β∈J



Bβ  =

\

{Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J} .

(3.3.6)

38


´ n: Demostracio S S S (a) olo si x ∈ α∈I Aα y x ∈ S x ∈ [ {Aα : α ∈ I}] ∩ [ {Bβ : β ∈ J}] si y s´ olo si x ∈ Aαo para alg´ un αS un βo ∈ J o ∈ I y x ∈ Bβo para alg´ β∈J Bβ si y s´ olo si x ∈ {Aα ∩ Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Esto si y s´ olo si x ∈ Aαo ∩ Bβ0 si y s´ establece la igualdad (3.3.1). Similarmente se establece (3.3.2). S S olo si x ∈ X y x ∈ / α∈I Aα si y s´ olo si (b) x ∈ X \ {Aα : α ∈ I} si y s´ olo si x ∈ X \ Aα para cada α ∈ I, si y s´ olo si x∈X / Aα si y s´ T y ∀α ∈ I, x ∈ on (3.3.3). An´ alogamente se x ∈ {X \ Aα : α ∈ I}. Esto establece la ecuaci´ establece (3.3.4). S S olo si existen α ∈ I (c) (a, b) ∈ [ {Aα : α ∈ I}] × [ {Bβ : β ∈ J}] si y s´ y b ∈ B si y s´ o lo si (a, b) ∈ Aα × Bβ si y s´ olo y β ∈ J tales que a ∈ A α β S si (a, b) ∈ {Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Lo que establece la igualdad (3.3.5). Del mismo modo se prueba (3.3.6). El siguiente corolario establece formas m´ as concretas del teorema anterior, las cuales son usadas con mayor frecuencia. S S Corolario 3.44 (a)A ∩ {AT {A ∩ Aα : α ∈ I}. α : α ∈ I} = T (b) A ∪ S {Aα : α ∈ I} = S {A ∪ Aα : α ∈ I}. (c) A × T {Aα : α ∈ I} = T {A × Aα : α ∈ I}. (d) A × {Aα : α ∈ I} = {A × Aα : α ∈ I}. Finalmente:

T

Teorema 3.45

α

y P conmutan \

α∈I

Sin embargo,

S

α

P(Aα ) = P

Ã

\

α∈I

!

Aα .

y P no conmutan, aunque Ã ! [ [ Aα . P(Aα ) ⊆ P α∈I

α∈I

´ n: Demostracio T A ∈ α∈I P(Aα ) si y sólo si paraTcada α ∈ I, A ∈ P(Aα ) si¡Ty sólo si¢ para olo si A ⊆ α∈I Aα si y s´ olo si A ∈ P cada α ∈ I, α∈I Aα . S A ⊆ Aα y s´ Si AS∈ α∈I P(Aα ) entonces existe¡S α ∈ I tal¢ que A ∈ P(Aα ), o sea, A ⊆ Aα ⊆ α∈I Aα , lo que implica A ∈ P α∈I Aα .


Para ver que

S

α

39

y P no conmutan, sean A1 = {1}, A2 = {2}. Entonces [ P(Aα ) = {∅, {1} , {2}} α∈I

y P

Ã

[

Aα

α∈I

!

= {∅, {1} , {2} , {1, 2}} .

Ejercicios 3.3 1. Sea M = {{x ∈ S N :x es par} , {x ∈ N : x es impar}}. Muestre que M 6= N y que N = M.

2. Suponiendo que R es un conjunto, demuestre que los conjuntos definidos en el Ejemplo 3.29 existen. T 3. Demuestre que F existe para toda F 6= ∅. ¿Dónde se utiliza la hip´ otesis F 6= ∅ en la demostraci´ on? T 4. Muestre que para cualquier conjunto X, P(X) = ∅. S 5. Sea F una familia de conjuntos. Pruebe que F = ∅ si y s´ olo si F = ∅ o A ∈ F implica A = ∅. 6. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 3.40, 3.41 y 3.42. 7. Si A y B son conjuntos y X es el par ordenado (A, B), pruebe lo siguiente: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

S

T

X = {A, B} .

X = {A} . S T ( X) = A. T T ( X) = A. S S ( X) = A ∪ B. T S ( X) = A ∩ B.

8. Sup´ ongase que se sabe que la familia X es un par ordenado. Use los resultados del ejercicio anterior para obtener la primera y la segunda coordenadas de X.

40


9. Pruebe las ecuaciones (3.3.2), (3.3.4) y (3.3.6) del Teorema 3.43. 10. Una familia de conjuntos F se dice ajena por pares si para cualesquiera A, B ∈ F, con A 6= B, se tiene que A ∩ B = ∅. Sea F = S {An : n ∈ N} una familia de conjuntos ajena por pares, y sea Sn = nk=0 Ak para n = 0, 1, 2, 3, . . .. (a) Muestre que la familia E = {A0 } ∪ {An \ Sn−1 : n ∈ N y n ≥ 1} es ajena por pares. S S (b) Muestre que ∞ E = A0 ∪(A1 \S2 )∪· · ·∪(An \Sn−1 )∪· · ·. n=0 An =

11. Sean F 6= ∅ y X conjuntos.

(a) Sea ES1 = {AS∈ P(X) : A = F ∩ X para alg´ un F ∈ F}. Pruebe que X ∩ F = E1 .

(b) Sea S E2 = {A : A = XS\ F para alg´ un F ∈ F}. Pruebe que T∈ P(X) T X \ F = E2 , X \ F = E2 .

12. Demuestre que la uni´ on y la intersecci´ on generalizada satisfacen la siguiente forma de asociaci´ on: Ã ! [ o [ [ [n Aα : α ∈ I = Aα I∈I

\ o \ \n I = Aα : α ∈

I∈I

α∈I

Ã

\

!

Aα ,

α∈I

donde I es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos. 13. Sea F = {An : n ∈ N\ {0}} una familia de subconjuntos de X, es decir, F ⊆ P(X). Defina Ã∞ ! ∞ \ [ lim sup An = An+k , n=1

lim inf An =

∞ [

n=1

k=0

Ã

∞ \

k=0

An+k

!

.

Sea también para cada x ∈ X, Jx = {n ∈ N : x ∈ An }. Demuestre lo siguiente:


41

(a) lim sup An = {x ∈ X : Jx es infinito} .

(b) lim inf An = {x ∈ X : N \ Jx es finito} . T S∞ (c) ∞ n=1 An ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ n=1 An .

(d) lim inf(X \ An ) = X \ lim sup An .

(e) Si {Bn }n∈N es otra familia de subconjuntos de X entonces: i. ii. iii. iv.

lim inf An ∪ lim inf Bn ⊆ lim inf(An ∪ Bn ). lim inf An ∩ lim inf Bn = lim inf(A ln ∩Bn ). lim sup(An ∩ Bn ) ⊆ lim sup An ∩ lim sup Bn . lim sup(An ∪ Bn ) = lim sup An ∪ lim sup Bn .

(f) Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · o A1 ⊇ A2 ⊇ · · ·, entonces lim inf An = lim sup An .

42


4 Relaciones y Funciones Los conceptos de relaci´ on y función son, sin duda alguna, de los m´ as importantes dentro de las matemáticas modernas. La mayor parte de la investigaci´ on en matem´ aticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba que el concepto de funci´ on es casi tan primitivo como el de conjunto, y qué decir del concepto de relaci´ on, el cual intuitivamente parece más esencial que el de funci´ on. En matemáticas la palabra relaci´ on es usada en el sentido de relacionar. Las siguientes oraciones parciales son ejemplos de relaciones: es menor que, divide a, es congruente a,

est´ a incluido en, es miembro de, es madre de.

En este cap´ıtulo enfocaremos conceptos como los de orden y funci´ on desde el punto de vista conjuntista. Veremos que estos pueden ser tratados como relaciones, y que las relaciones pueden ser definidas de manera natural como conjuntos de una estructura especial.

4.1 Relaciones Empleando parejas ordenadas, intuitivamente podemos pensar que una relaci´ on (binaria) R es una proposición tal que, para cada par ordenado (a, b), uno puede determinar cuándo a está en relaci´ on R con b o cu´ ando no lo está. Parece factible que toda relaci´ on debe determinar de manera u ńica al conjunto de aquellas parejas ordenadas en las cuales la primera coordenada mantiene esta relaci´ on con la segunda. Si conocemos la relaci´ on, conocemos el conjunto y, mejor a´ un, si conocemos el conjunto, conocemos la relaci´ on. En otras palabras, las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos los pares ordenados de objetos mutuamente relacionados. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares ordenados consistente de un n´ umero real y su ra´ız puede ser llamado la relaci´ on ra´ız cuadrada. N´ otese aqu´ı la importancia de considerar

44

4. Relaciones y Funciones

pares ordenados y no s´ olo pares no ordenados. Quiz´ a no sepamos lo que es una relaci´ on, pero sabemos lo que es un conjunto y las consideraciones precedentes establecen una estrecha conexión entre relaciones y conjuntos. El estudio preciso de las relaciones en la Teor´ıa de Conjuntos saca provecho de esta conexión heur´ıstica; lo más fácil de hacer es definir una relación como el conjunto de parejas ordenadas que determina. Definici´ on 4.1 Un conjunto R es una relaci´ on (binaria) si todo elemento de R es un par ordenado, es decir, si para todo z ∈ R, existen x, y tales que z = (x, y). Si R ⊆ A × B diremos que R es una relaci´ on de A en B, o entre A y B; y si R ⊆ A × A diremos simplemente que R es una relaci´ on en A. Ejemplo 4.2 Definimos una relaci´ on entre los enteros positivos y los enteros, diciendo que un entero positivo m est´ a en relaci´ on R con un entero n, si m divide a n. La relaci´ on R es simplemente el conjunto {z : ∃ m, n tales que z = (m, n), m ∈ Z, n ∈ Z, m > 0 y m divide a n} . Los elementos de R son pares ordenados . . . , (1, −3), (1, −2), (1, −1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . . . . , (2, −6), (2, −4), (2, −2), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (2, 6), . . . . . . , (3, −9), (3, −6), (3, −3), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (3, 9), . . . ··· Ejemplo 4.3 Sean A y B conjuntos. La relaci´ on de A en B de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B es llamada relaci´ on producto cartesiano y es denotada por A × B. Ejemplo 4.4 El conjunto ∅ es una relaci´ on llamada relación vac´ıa (para demostrar que ∅ es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento de ∅ que no sea una pareja ordenada). Ejemplo 4.5 Para cualquier conjunto A, la diagonal IdA = {(a, a) : a ∈ A} es la relaci´ on de igualdad o relaci´ on identidad. Note que en una relación en A (como IdA ) cada par de elementos en A no necesariamente están relacionados: / IdA . si a 6= b, (a, b) ∈ / IdA y (b, a) ∈ on diferencia en A. Ejemplo 4.6 R = (A × A) \ IdA es la relaci´

4.1. Relaciones

45

Ejemplo 4.7 La relaci´ on inclusi´ on en P(X) es {(A, B) ∈ P(X) × P(X) : A ⊆ B} . A partir de ahora escribiremos xRy para denotar (x, y) ∈ R. Definici´ on 4.8 (a) Decimos que x est´ a en relaci´ on R con y si xRy. (b) El conjunto de todos los x que est´ an en relaci´ on R con alg´ un y es llamado dominio de R y es denotado por dom R. (c) El conjunto de todos los y tales que para alg´ un x, x est´ a en relaci´ on R con y, es llamado rango de R y denotado por ran R. (d) El conjunto dom R ∪ ran R es llamado campo de R y denotado por cam R. El dominio y el rango de una relaci´ on R también pueden ser descritos como dom R = {x : ∃ y tal que xRy} (o sea, dom R es el conjunto de primeras coordenadas de todos los elementos en R) y ran R = {y : ∃ x tal que xRy} (o sea, ran R es el conjunto de las segundas coordenadas de elementos en R). También obsérvese que si cam R ⊆ X podemos entonces decir que R es una relaci´ on en X. Ejemplo 4.9 En el Ejemplo 4.2, dom R = Z+ , ran R = Z y cam R = dom R ∪ ran R = Z. Ejemplo 4.10 Si R es la relaci´ on identidad o la relaci´ on diferencia en A, entonces dom R = A = ran R, a menos que A sea unitario, en cuyo caso la relaci´ on diferencia es ∅. Ejemplo 4.11 dom (A × B) = A, ran (A × B) = B y cam (A × B) = A ∪ B. Definici´ on 4.12 (a) La imagen de un conjunto A bajo R es el conjunto de todos los elementos y del rango de R en relaci´ on R con alg´ un elemento de A. Este conjunto es usualmente denotado por R(A). As´ı, R(A) = {y ∈ ran R : ∃ x ∈ A tal que xRy} . (b) La imagen inversa de un conjunto B bajo R es el conjunto de todos los elementos x del dominio de R en relaci´ on R con alg´ un elemento de B. Este conjunto es usualmente denotado por R−1 (B). As´ı, R−1 (B) = {x ∈ dom R : ∃ y ∈ B tal que xRy} .

46


Ejemplo 4.13 Sea R como en 4.2, entonces R({2}) es el conjunto de todos los enteros pares (positivos y negativos). R−1 ({−9, −3, 8, 9, 12}) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} . Definici´ on 4.14 Sea R una relación. La relaci´ on inversa de R es el conjunto: R−1 = {z : z = (x, y)

∧

(y, x) ∈ R}

De la propia definici´ on de relaci´ on inversa se sigue inmediatamente que (x, y) ∈ R−1 si y s´ olo si (y, x) ∈ R. Esto justifica el nombre de relaci´ on inversa −1 −1 para R , pues intuitivamente R hace lo contrario que R. Ejemplo 4.15 Consideremos nuevamente la relaci´ on ª © R = (m, n) : m ∈ Z+ , n ∈ Z y m divide a n .

Para tal relaci´ on,

R−1 = {w : w = (n, m) ∧ (m, n) ∈ R} = {(n, m) : m entero positivo, n entero y (m, n) ∈ R} = {(n, m) : n entero, mentero positivo y n es m´ ultiplo de m} . Ejemplo 4.16 (A × B)−1 = B × A. Ejemplo 4.17 ∅−1 = ∅. Ejemplo 4.18 (IdA )−1 = IdA . El lector (esperando que el conjunto de lectores sea no vac´ıo) notar´ a que −1 el s´ımbolo R (B) usado en la Definici´ on 4.12(b) para la imagen inversa de B bajo R, ahora también es usado para denotar la imagen de B bajo R−1 . Afortunadamente estos conjuntos son iguales. Teorema 4.19 La imagen inversa de B bajo R es igual a la imagen de B bajo R−1 . ´ n: Demostracio Primero note que el rango de R es igual al dominio de R−1 . Ahora x ∈ R−1 (B) si y s´ olo si existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R si y s´ olo si (y, x) ∈ R−1 . Por lo olo si para alg´ un y en B, (y, x) ∈ R−1 , es tanto, x ∈ R−1 (B) bajo R si y s´ decir, si y s´ olo si x pertenece a la imagen de B bajo R−1 .

4.1. Relaciones

47

Para simplificar notaci´ on, introducimos la siguiente convenci´ on. En lugar de escribir {w : w = (x, y), para x, y con P(x, y)} , escribiremos simplemente {(x, y) : P(x, y)}. Por ejemplo, dada una relación R, la relaci´ on inversa de R puede ser escrita con esta notación como {(x, y) : (y, x) ∈ R} . Obsérvese que, como en el caso general, esta notaci´ on es admisible sólo si probamos que existe un conjunto A tal que para todo x, y, P(x, y) implica que (x, y) ∈ A. Definici´ on 4.20 Sean R y S relaciones. La composici´ on de R y S es la relaci´ on S ◦ R = {(x, z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S} . Que un par (x, z) pertenezca a S ◦ R, significa que para alg´ un y, xRy y ySz. As´ı que para encontrar objetos relacionados con x en S ◦ R, primero se encuentran objetos y relacionados a x en R y luego objetos z relacionados en S con alguno de los objetos y; todos estos objetos están relacionados en S ◦ R con x. Note que de aqu´ı S ◦ R no es lo mismo que R ◦ S (ver Ejemplo 4.22). Ejemplo 4.21 Para cualquier relaci´ on R, ∅ ◦ R = ∅ = R ◦ ∅. Ejemplo 4.22 Si R = {(1, 2)} y S = {(2, 0)}, entonces S ◦ R = {(1, 0)} ; mientras que R ◦ S es la relaci´ on vac´ıa. Ejemplo 4.23 Si R es una relaci´ on en A, entonces R ◦ IdA = R = IdA ◦ R. Ejemplo 4.24 Si ran R ∩ dom S = ∅, entonces S ◦ R es la relación vac´ıa. Muchas relaciones son de particular interés, aqu´ı introduciremos una muy importante y en el resto del cap´ıtulo definiremos algunas otras. Definici´ on 4.25 La relaci´ on de pertenencia en (o restringida a) A es definida por ∈A = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A y a ∈ b} . También pueden definirse relaciones ternarias. M´ as expl´ıcitamente, S es una relaci´ on ternaria si para cualquier u ∈ S, existen x, y, z tales que u = (x, y, z). on ternaria en A. Muchos de los conceptos Si S ⊆ A3 , se dice que S es una relaci´ de esta sección pueden ser generalizados a relaciones ternarias.

48


Ejercicios 4.1 S S 1. Sea R una S relaci´ S on (binaria). Demuestre que dom R ⊆ ( R) y que ran R ⊆ ( R). Concluya de esto que dom R y ran R existen.

2. Muestre que R−1 y S ◦ R existen. (Sugerencia:

R−1 ⊆ (ranR) × (domR), S ◦ R ⊆ (domR × ranS).) 3. Sean R una relación y A, B conjuntos. Pruebe: (a) R(A ∪ B) = R(A) ∪ R(B).

(b) R(A ∩ B) ⊆ R(A) ∩ R(B). (c) R(A \ B) ⊇ R(A) \ R(B).

(d) Por medio de ejemplos muestre que ⊆ y ⊇ en (b) y (c) no pueden reemplazarse por =. (e) Pruebe los incisos (a), ..., (d) con R−1 en vez de R. 4. Sean A una familia de conjuntos y R una relación. Muestre que: S S (a) R( A) = {R(A) : A ∈ A} . T T (b) R( A) ⊆ {R(A) : A ∈ A} .

5. Sea R ⊆ X × Y . Demuestre:

(a) R(X) = ran R y R−1 (Y ) = dom R. (b) Si a ∈ / dom R, R({a}) = ∅; si b ∈ / ran R, R−1 ({b}) = ∅. (c) dom R = ran R−1 ; ran R = dom R−1 .

(d) (R−1 )−1 = R. (e) R−1 ◦ R ⊇ Iddom R , R ◦ R−1 ⊇ Idran R . Dar un ejemplo de una relaci´ on R tal que R−1 ◦ R 6= Iddom R y R ◦ R−1 6= Idran R . 6. Verifique el Ejemplo 4.24. 7. Pruebe que para tres relaciones R, S y T T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R. (La operación ◦ es asociativa.)

4.2. Funciones

49

8. Sean X = {∅, {∅}} y Y = P(X). Describa: (a) ∈Y .

(b) IdY . (c) Determine el dominio, rango y campo de ambas relaciones. 9. Muestre que si M es una familia no vac´ıa de relaciones entonces es una relaci´ on.

T

M

4.2 Funciones La palabra funci´ on fue introducida a las matem´ aticas por Leibniz, quien originalmente utiliz´ o este término para referirse a cierta clase de f´ ormulas matem´ aticas. La idea de Leibniz estaba muy limitada, y el significado de la palabra tuvo desde entonces muchas fases de generalizaci´ on. Hoy en d´ıa, el significado de función es esencialmente el siguiente: Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una correspondencia que asocia con cada elemento de A un u ńico elemento de B. Una función, por tanto, representa un tipo especial de relaci´ on: una relaci´ on donde todo objeto del dominio está relacionado precisamente con un u ńico objeto del rango, nombrado el valor de la función. Definici´ on 4.26 Una relación f es llamada funci´ on si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f 1 implica que b = c para cualesquiera a, b, c. En otras palabras, una relación f es una función si y s´ olo si para todo a ∈ dom f hay exactamente un b tal que (a, b) ∈ f . Este u ńico b es llamado valor de f en a y es usualmente denotado por f (a); aunque en algunas ocasiones es muy conveniente la notaci´ on fa . Si f es una funci´ on con dom f = A y ran f ⊆ B, entonces f = {(a, f (a)) : a ∈ A} y es costumbre emplear la notación f : A → B para denotar la función f ; o de manera m´ as precisa: f : A −→ B a 7→ f (a) Obsérvese que si a ∈ / A, f (a) carece de sentido. 1

Esta definici´ on de funci´ on fue propuesta por G. Peano [P2 ].

50


Ejemplo 4.27 Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, entonces f = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)} no es una funci´ on ya que (1, 1) y (1, 2) pertenecen a f, y sin embargo 1 6= 2. Ejemplo 4.28 Sean X y Y son conjuntos y sea b ∈ Y . Entonces f = X × {b} es una función, llamada funci´ on constante de X en Y. © ª Ejemplo 4.29 Si X es un conjunto, f = (x, y) ∈ X 2 : x = y es funci´ on, se llama identidad en X, f = IdX . Ver Ejemplo 4.5. Ejemplo 4.30 Sean X un conjunto y A un subconjunto de X. Definamos χA : X → {0, 1} por la regla ½ 1, si x ∈ A χA (x) = 0, si x ∈ /A para cada x ∈ X. Esta importante función se llama la funci´ on caracter´ıstica de A. Ejemplo 4.31 Sean X un conjunto y A ⊆ X. La función iA = {(x, x) : x ∈ A} es llamada inclusi´ on de A en X y usualmente se denotada por iA : A ,→ X. Ejemplo 4.32 Si A y B son conjuntos, entonces tenemos dos funciones naturales: p1 : A×B → A y p2 : A×B → B tales que p1 (a, b) = a y p2 (a, b) = b. Se llaman proyecciones en la primera y la segunda coordenada, respectivamente. Ejemplo 4.33 Sea X un conjunto f : P(X) → P(X) definida como f (A) = X \ A es una función. Puesto que las funciones son relaciones, los conceptos de rango, imagen, inversa y composición pueden ser aplicados. Si f : A → B y A1 ⊆ A, B1 ⊆ B tenemos que f ⊆ A × B, la imagen de A1 bajo f es el conjunto f (A1 ) = {y ∈ B : (x, y) ∈ f, x ∈ A1 } = {f (x) : x ∈ A1 } . La imagen inversa bajo f de B1 es f −1 (B1 ) = {x ∈ A : (x, y) ∈ f, para alg´ un y ∈ B1 } = {x ∈ A : f (x) ∈ B1 } . Obsérvese que la descripción de estos conjuntos es más simple para funciones que para relaciones en general (ver Definici´ on 4.12).

4.2. Funciones

51

Teorema 4.34 Supongamos que f : X → Y es una funci´ on, entonces: (a) Para A ⊆ X resulta que A = ∅ si y s´ olo si f (A) = ∅. (b) f −1 (∅) = ∅. (c) f ({x}) = {f (x)}. (d) Si A ⊆ B ⊆ X entonces f (A) ⊆ f (B) y f (B \ A) ⊇ f (B) \ f (A). (e) Si A0 ⊆ B 0 ⊆ Y entonces f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ) y f −1 (B 0 \ A0 ) = f −1 (B 0 ) \ f −1 (A0 ). (f ) Si {Aα }α∈I es una familia indizada de subconjuntos de X y {A0α }α∈I es una familia indizada de subconjuntos de Y , entonces ! ! Ã Ã [ \ \ [ Aα = f (Aα ) , f Aα ⊆ f (Aα ) f α∈I

f −1

Ã

[

Aα

α∈I

α∈I

!

=

[

α∈I

f −1 (Aα )

α∈I

,

f −1

Ã

\

α∈I

α∈I

Aα

!

=

(g) Si A ⊆ X es tal que A ⊆ f −1 (f (A)), y si A0 ⊆ Y ,

\

f −1 (Aα )

α∈I

f (f −1 (A0 )) = A0 ∩ f (X). ´ n: Demostracio (a) Esto se obtiene ya que f es una funci´ on (para todo x ∈ X, existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f ) y por la definici´ on de f (A) = {f (x) : x ∈ A}. (b) Es clara. (c) Esto se debe a que (x, y1 ) ∈ f y (x, y2 ) ∈ f implica y1 = y2 . (d) Veamos primero que f (A) ⊆ f (B). Si y ∈ f (A) entonces existe x ∈ A tal que f (x) = y. Como A ⊆ B entonces x ∈ B, luego y ∈ f (B). Por lo tanto, f (A) ⊆ f (B). Si y ∈ f (B) \ f (A) entonces y ∈ f (B) y y ∈ / f (A), por lo que se deduce la existencia de x ∈ B tal que f (x) = y. Adem´ as, como y ∈ / f (A), entonces para cualquier a ∈ A, f (a) 6= y, con lo cual x ∈ B \ A; as´ı, y ∈ f (B \ A). Por lo tanto, f (B) \ f (A) ⊆ f (B \ A). (e) Veamos primero que f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ), si A0 ⊆ B 0 . Si x ∈ f −1 (A0 ) entonces existe y ∈ A0 tal que f (x) = y. Como A0 ⊆ B 0 y y ∈ B 0 , x ∈ f −1 (B 0 ). Por lo tanto, f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ). Ahora veamos que f −1 (B 0 \ A0 ) = f −1 (B 0 ) \

52


f −1 (A0 ). En efecto, x ∈ f −1 (B 0 \ A0 ) si y s´ olo si existe y ∈ B 0 y y ∈ / A0 tal que −1 0 −1 0 f (x) = y si y s´ olo si x ∈ f (B ) \ f (A ). (f ) Demostraremos u ńicamente que ! Ã [ [ Aα = f (Aα ), f α∈I

α∈I

dejando ¡como las igualdades restantes. ¢ S S ejercicio olo si existe x ∈ α∈I Aα con f (x) = y si y s´ olo si y∈f α∈I Aα si y s´ olo¡si existe α ∈ I tal que y∈ existen α ∈ I y x ∈ AαStales que f (x) = y si y s´ ¢ S S f (Aα ) si y s´ olo si y ∈ α∈I f (Aα ). Por lo tanto, f α∈I Aα = α∈I f (Aα ). (g) Ejercicio. El Axioma de Extensi´ on puede ser aplicado a funciones como sigue: Lema 4.35 Sean f y g funciones. f = g si y s´ olo si dom f = dom g y f (x) = g(x) para todo x ∈ dom f. ´ n: Demostracio ⇒] Demostraremos primero que f = g implica dom f = dom g. x ∈ dom f si y s´ olo si existe alg´ un y para el cual (x, y) ∈ f si y s´ olo si existe alg´ un y para el cual (x, y) ∈ g (pues el conjunto f es igual al conjunto g) si y s´ olo si x ∈ dom g. Por otra parte si existe x ∈ dom f tal que f (x) 6= g(x) entonces (x, f (x)) ∈ f y (x, f (x)) ∈ / g (pues g es funci´ on), entonces (x, f(x)) ∈ f \ g, es decir, f 6= g. ⇐] Supongamos que dom f = dom g y que para cada x ∈ dom f , f (x) = g(x). (x, y) ∈ f si y s´ olo si x ∈ dom f y f (x) = y si y s´ olo si x ∈ dom g y g(x) = y si y s´ olo si (x, y) ∈ g. Por lo tanto, f = g. Introducimos también otras definiciones. Definici´ on 4.36 Sea f una función y A, B conjuntos: (a) f es una funci´ on desde A si dom f ⊆ A. (b) f es una funci´ on en A si dom f = A. (c) f es una funci´ on hacia B si ran f ⊆ B. (d) La restricci´ on de la funci´ on f a A es la función f |A = {(a, b) ∈ f : a ∈ A} . Si g es una restricción de f para alg´ un A, decimos que f es una extensi´ on de g.

4.2. Funciones

53

Es costumbre emplear la frase: f es una función de A en B, cuando f es una función en A y f es una funci´ on hacia B; o sea, f : A → B. Ejemplo 4.37 Para cualquier conjunto A, hay una u ńica funci´ on f de ∅ en A, a saber, la función vac´ıa, f = ∅. ª © on. En efecto, Ejemplo 4.38 Sea f = (x, x12 ) : x ∈ R \ {0} . f es una funci´ si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = a12 y c = a12 ; as´ı, b = c. La notaci´ on 1 on desde el conjunto de los usual para esta función es f (x) = x2 . f es una funci´ n´ umeros reales, pero no en el conjunto de los n´ umeros reales pues 0 ∈ / dom f . Esta es una funci´ on en A = R\ {0} = dom f y hacia el conjunto de los n´ umeros reales. Si C = {x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1}, entonces f (C) = {x ∈ R : x ≥ 1} y f −1 (C) = {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1} . La composici´ on f ◦ f es la relaci´ on: f ◦f

= {(x, n z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ f } o = (x, z) : ∃ y para el cual x 6= 0, y = x12 , z = y12 ª © = (x, z) : x 6= 0, z = x4 ;

as´ı, f ◦ f (x) = x4 . Note que f ◦ f es una funci´ on; esto no es un accidente. Teorema 4.39 Sean f y g funciones. Entonces g ◦ f es una funci´ on. g ◦ f est´ a definida en x si y s´ olo si f est´ a definida en x y g est´ a definida en f (x), es decir, dom g ◦ f = dom f ∩ f −1 (dom g). ´ n: Demostracio Se mostrará que g ◦ f es una funci´ on. Si (x, z1 ) ∈ g ◦ f y (x, z2 ) ∈ g ◦ f entonces existen y1 , y2 tales que (x, y1 ) ∈ f y (y1 , z1 ) ∈ g, (x, y2 ) ∈ f y on, y1 = y2 . As´ı tenemos que (y1 , z1 ) ∈ g (y2 , z2 ) ∈ g. Puesto que f es una funci´ y (y1 , z2 ) ∈ g. Entonces z1 = z2 , porque también g es una función. Por otra parte, x ∈ dom g ◦ f si y s´ olo si existe alg´ un z tal que (x, z) ∈ g ◦ f , es decir, hay un y tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Lo anterior se satisface si y sólo si: x ∈ dom f y y = f (x) ∈ dom g, o sea, x ∈ dom f y x ∈ f −1 (dom g).

Se desprende inmediatamente el siguiente resultado. Corolario 4.40 Si ran f ⊆ dom g, entonces dom g ◦ f = dom f. Es importante se˜ nalar que la composici´ on de funciones siempre est´ a definida, de hecho, si ran f ∩ dom g = ∅, la composici´ on de f con g es la funci´ on vac´ıa,

54


g ◦ f = ∅. Pero ∅ es una función de poco interés, por lo cual generalmente se restringe la composici´ on al caso en que ran f ⊆ dom g, por ser el caso verdaderamente interesante. Pero no hay alguna raz´ on para no definir la composici´ on de cualquier par de funciones. Veamos un ejemplo t´ıpico del uso del teorema anterior para encontrar la composición de funciones. Ejemplo 4.41 Encontrar la composici´ on y el dominio de la composici´ on de las siguientes funciones: ª ª © √ © f = (x, x2 − 1) : x ∈ R , g = (x, x) : x ∈ R, x ≥ 0 . Determinaremos primero el dominio de g ◦ f. dom f es el conjunto de todos los n´ umeros reales y dom g = {x ∈ R : x ≥ 0}. Entonces {x ∈ R : f (x) ∈ªdom g} f −1 (dom g) = © = x : x2 − 1 ≥ 0 = {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1} . Por lo tanto, dom g ◦ f = dom f ∩ f −1 (dom g) = {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1} y g◦f

© √ ª = n(x, z) : x2 − 1 ≥ 0 ∧ ∃y ∈ R, o y = x2 − 1 ∧ z = y √ = (x, x2 − 1 : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1 .

Ahora derivemos algunas propiedades de la composici´ on de funciones. Teorema 4.42 Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D funciones. (a) Si A0 ⊆ A, entonces g ◦ f (A0 ) = g(f (A0 )). (b) Si C 0 ⊆ C, entonces (g ◦ f )−1 (C 0 ) = f −1 (g −1 (C 0 )). (c) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , es decir, la composici´ on de funciones es asociativa. ´ n: Demostracio Se dejan como ejercicio las partes (a) y (b). Pasaremos a demostrar la parte (c). (x, z) ∈ h ◦ (g ◦ f ) si y sólo si existe w tal que (x, w) ∈ g ◦ f y (w, z) ∈ h si y sólo si existe y tal que (x, y) ∈ f , (y, w) ∈ g y (w, z) ∈ h si y s´ olo si (x, y) ∈ f

4.2. Funciones

55

y (y, z) ∈ h ◦ g si y s´ olo si (x, z) ∈ (h ◦ g) ◦ f . Si f es una función, f −1 es una relaci´ on, pero no necesariamente una función. Decimos que una funci´ on f es invertible, si f −1 es una función, es decir, la relaci´ on f −1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f } , es una función. Es importante encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una funci´ on sea invertible. Definici´ on 4.43 Una funci´ on f es llamada inyectiva (o uno a uno) si a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f y a1 6= a2 implica f (a1 ) 6= f (a2 ). La definición anterior se puede expresar en otras palabras diciendo que: a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f y f (a1 ) = f (a2 ) implica a1 = a2 . As´ı, una función inyectiva asigna diferentes valores para diferentes elementos de su dominio. Teorema 4.44 Una funci´ on es invertible si y s´ olo si es inyectiva. ´ n: Demostracio ⇒] Sea f una función invertible entonces f −1 es una función. Si a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f , y f (a1 ) = f (a2 ), entonces tenemos que (f (a1 ), a1 ) ∈ f −1 y (f (a2 ), a2 ) ∈ f −1 , lo cual implica que a1 = a2 . As´ı, f es inyectiva. ⇐] Sea f una función inyectiva. Si (a, b1 ) ∈ f −1 y (a, b2 ) ∈ f −1 , tenemos que (b1 , a) ∈ f y (b2 , a) ∈ f . Por lo tanto, b1 = b2 , y as´ı hemos probado que f −1 es función. Si consideramos la funci´ on f : X → R, donde X = {x ∈ R : x ≥ 0} y f (x) = x2 , podemos demostrar que dicha funci´ on es inyectiva, por lo cual f es −1 es {x ∈ R : x ≥ 0}. De modo una función invertible. Pero el dominio de f que a f −1 no la podemos considerar como una función de R en X tal que f −1 ◦ f = IdX y f ◦ f −1 = IdR . Estamos interesados en hallar una función ue inversamente con respecto a g : A → B cuando sea g −1 : B → A que act´ posible; o sea, g −1 ◦ g = IdA y g ◦ g −1 = IdB . Si observamos, el problema de la función f : X → R es que su rango no es todo R. Definici´ on 4.45 Sea f : A → B una función: (a) f se llama sobreyectiva si f (A) = B. (b) f se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

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Notemos que una función f : A → B es biyectiva si y s´ olo si para cada b ∈ B, existe un u ńico a ∈ A tal que f (a) = b. Este a ∈ A existe por la sobreyectividad de f , y es u ńico por la inyectividad de f . Ahora, si f : A → B es una funci´ on biyectiva entonces dom f −1 = B, es decir, se puede definir f −1 : B → A

ńico a ∈ A tal que f (a) = b. Adem´ as, con esto por la regla: f −1 (b) es el u u ´ltimo tenemos que f −1 cumple las relaciones: f −1 ◦ f = IdA

y f ◦ f −1 = IdB ,

las cuales expresan precisamente que f −1 act´ ua de manera inversa a como lo hace f sobre todo el conjunto A y que f act´ ua de manera inversa a como lo hace f −1 sobre todo el conjunto B. En el Teorema 4.52(c), mostraremos ńica, lo cual nos permite hacer la definición 4.47; antes un u ´til que f −1 es u ejemplo. Ejemplo 4.46 Para cualquier conjunto A, la funci´ on identidad es una biyecci´ on en A. Obsérvese que en caso de que A = ∅, IdA es la función vac´ıa y que es biyectiva en este (´ unico) caso. Definici´ on 4.47 Si f : A → B es una funci´ on biyectiva, a la función f −1 : B → A se le llamar´ a funci´ on inversa de f : A → B. Note que a f −1 : B → A se le llama funci´ on inversa de f : A → B, y no s´ olo −1 de f , para recalcar el hecho de que f depende de los conjuntos A y B. En seguida daremos m´ ultiples caracterizaciones del concepto de inyectividad y sobreyectividad. Teorema 4.48 Sea f : X → Y una funci´ on con X 6= ∅. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: (a) f es inyectiva. (b) Para todo x1 ∈ X, x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) implica x1 = x2 . (c) Existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX . (d) Para cualesquiera h, k : Z → X, f ◦ h = f ◦ k implica h = k. (e) Para todo A ⊆ X, f −1 (f (A)) = A. (f ) Para cualesquiera A ⊆ B ⊆ X, f (B \ A) = f (B) \ f (A). (g) Para cualesquiera A ⊆ X, B ⊆ X, f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

4.2. Funciones

57

´ n: Demostracio (a) ⇒ (b) Obvio. (b) ⇒ (c) Sea x0 ∈ X y definamos g : Y → X del siguiente modo: ½ si y ∈ / f (X) x0 , g(y) = x, si y = f (x). g es claramente una función, pues si (y, x1 ) ∈ g y (y, x2 ) ∈ g tenemos dos posibilidades: si y ∈ / f (X), por definición x1 = x2 = x0 . Si y ∈ f (X) entonces f (x1 ) = f (x2 ) y por (b) x1 = x2 . Luego, para x ∈ X, g ◦ f (x) = g(f (x)) = x; con lo cual, g ◦ f = IdX . (c) ⇒ (d) Si h, k : Z → X son funciones tales que f ◦ h = f ◦ k, entonces por hipótesis existe una función g : Y → X tal que g ◦ f = IdX , con lo cual: h = IdX ◦ h = (g ◦ f ) ◦ h = g ◦ (f ◦ h) = g ◦ (f ◦ k) = (g ◦ f ) ◦ k = IdX ◦ k = k. (d) ⇒ (e) Sea A ⊆ X. Sabemos que A ⊆ f −1 (f (A)) para cualquier función (Teorema 4.34(g)). Ahora bien, si x ∈ f −1 (f (A)) entonces f (x) ∈ A, luego existe a ∈ A tal que f (a) = f (x). Sean h, k : {1} → X definidas como h(1) = a y k(1) = x, entonces f ◦ h = f ◦k. Por hipótesis h = k, y as´ı a = x; con esto concluimos que A ⊇ f −1 (f (A)). (e) ⇒ (f) Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊆ B ⊆ X y supongamos que f (x) ∈ f (B \ A) con x ∈ B \ A. Entonces f (x) ∈ f (B); pero como x ∈ /A / f −1 (f (A). Esto implica que f (x) ∈ / f (A); as´ı, y A = f −1 (f (A)), entonces x ∈ f (x) ∈ f (B) \ f (A). Como siempre ocurre f (B) \ f (A) ⊆ f (B \ A), concluimos entonces que f (B) \ f (A) = f (B \ A). (f ) ⇒ (g) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Se sabe que f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B). Si y ∈ f (A) ∩ f (B), entonces y = f (x) con x ∈ A. Si ocurriera x ∈ / B, entonces x ∈ X \ B. Por lo cual, f (x) ∈ f (X \ B) = f (X) \ f (B), y as´ı, y = f (x) ∈ / f (B) que es una contradicción. Por lo tanto, f (x) ∈ f (B) implica x ∈ B, y as´ı x ∈ A ∩ B. Por todo lo anterior, y ∈ f (A ∩ B). (g) ⇒ (a) Trivial. Teorema 4.49 Si f : X → Y es una funci´ on entonces, son equivalentes: (a) f es sobreyectiva. (b) Para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. (c) Para todo subconjunto no vac´ıo A de Y , f −1 (A) 6= ∅. (d) Para todo subconjunto B de Y , B = f (f −1 (B)). (e) Para cualesquiera h, k : Y → Z, h ◦ f = k ◦ f implica h = k. ´ n: Demostracio Las implicaciones (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (c) son obvias.

58


(c) ⇒ (d) Sabemos que f (f −1 (B)) = f (X) ∩ B ⊆ B. Si la contenci´ on fuese estricta, entonces A = B \ f (f −1 (B)) 6= ∅, lo que implica f −1 (A) 6= ∅; con lo cual se deduce que existe un x ∈ X tal que f (x) ∈ B \ f (f −1 (B)); pero esto es imposible. (d) ⇒ (e) Sean h, k : Y → Z dos funciones cualesquiera tales que h◦f = k◦f . Sea y ∈ Y . Como f (f −1 ({y})) = {y}, por el Teorema 4.34(a), f −1 ({y}) 6= ∅. Sea x ∈ X tal que x ∈ f −1 ({y}); o sea, f (x) = y. Tenemos entonces que h(y) = h(f (x)) = h ◦ f (x) = k ◦ f (x) = k(f (x)) = k(y). Por el Lema 4.35, se sigue que h = k. (e) ⇒ (a) Si f : X → Y no es sobreyectiva, defina funciones h, k : Y → {1, 2} por h = Y × {1} y ½ 1, si y ∈ f (X) k(y) = 2, si y ∈ / f (X). Entonces, h ◦ f = k ◦ f , pero h 6= k. La parte (d) del Teorema 4.48 motiva la siguiente definici´ on. Definici´ on 4.50 Sea f : X → Y una función. (a) A una función g : Y → X tal que g ◦ f = IdX se le llama inversa izquierda de f : X → Y . (b) A una función h : Y → X tal que f ◦ h = IdY se le llama inversa derecha de f : X → Y. Es factible pensar que, as´ı como las funciones inyectivas se caracterizan por tener inversa izquierda, las funciones sobreyectivas se caractericen por tener inversa derecha; esta conjetura es correcta, no obstante, en un cap´ıtulo posterior veremos que esta proposici´ on es equivalente a uno de los Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos (el Axioma de Elecci´ on), por lo cual no es trivial (aunque s´ı fácil de establecer a partir de ese axioma). Lo que s´ı es posible demostrar ahora es la siguiente proposici´ on. Proposici´ on 4.51 Si f : X → Y tiene una inversa derecha g : Y → X, entonces f es sobreyectiva. ´ n: Demostracio Para cualquier y ∈ Y , poniendo x = g(y), se tiene que f (x) = y. Por lo tanto, f es sobreyectiva.

4.2. Funciones

59

Teorema 4.52 Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Entonces: (a) La inyectividad de f y g implica la inyectividad de g ◦ f . (b) La sobreyectividad de f y g implica la sobreyectividad de g ◦ f . (c) Si X = Z, y f y g son tales que g ◦ f = IdX

y

f ◦ g = IdY ,

ńica. entonces g = f −1 , es decir, la inversa de f : X → Y es u ´ n: Demostracio (a) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Entonces haciendo uso de los Teoremas 4.42(a) y 4.48(g), g ◦ f (A ∩ B) = g(f (A ∩ B)) = g(f (A) ∩ f (B)) = g(f (A)) ∩ g(f (B)) = g ◦ f (A) ∩ g ◦ f (B). Por lo tanto, g ◦ f es inyectiva. (b) Sea A ⊆ Z un subconjunto no vac´ıo, usemos los Teoremas 4.42(b) y 4.49(c). (g ◦ f )−1 (A) = f −1 (g −1 (A)). Como g es sobreyectiva g −1 (A) 6= ∅, y puesto que f también es sobreyectiva, f −1 (g −1 (A)) 6= ∅. Por lo tanto, g ◦ f es sobreyectiva. (c) Empleando el Teorema 4.48(c) y la Proposici´ on 4.51, obtenemos que f y g también son funciones biyectivas. De aqu´ı se sigue que dom f −1 = dom g = Y . Ahora, si y ∈ Y, entonces f (g(y)) = y = f (f −1 (y)). Por la inyectividad de f se sigue que g(x) = f −1 (x). Concluimos que g = f −1 , por el Lema 4.35. Una de las razones por las cuales las funciones biyectivas son tan importantes es la que a continuación exponemos. Supongamos que X y Y son dos conjuntos y que f : X → Y es una función biyectiva entre ellos. Si u ńicamente estamos interesados en X como conjunto, es decir, sin atender a la naturaleza de sus elementos, entonces podemos considerar a estos dos conjuntos como “equivalentes” desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos puesto que cualquier afirmaci´ on y construcción de la Teor´ıa de Conjuntos que sea posible realizar con X también se puede realizar con Y . S´ olo como una muestra, si Z es otro conjunto y estamos interesados en funciones de X en Z, entonces cualquier funci´ on g : X → Z tiene una u ńica funci´ on correspondiente ge : Y → Z, a saber, ge = g ◦ f −1 . As´ı entonces, podemos “cambiar” nuestro estudio de las funciones de X en Z por el estudio de las funciones de Y en Z. Podr´ıamos dar

60


otros ejemplos que muestren la paridad de afirmaciones o construcciones que podemos realizar con X y Y ; sin embargo, creemos que es más conveniente notar que esta paridad se debe al hecho de que la funci´ on f traslada uno a uno tanto a los elementos como a los subconjuntos de X a Y . Por ende, reiteramos que desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos, aunque X y Y sean objetos (posiblemente) distintos, ellos pueden considerarse “equivalentes” ya que son, salvo por “sus nombres”, indistinguibles. Definici´ on 4.53 (a) Las funciones f y g son llamadas compatibles si f (x) = g(x) para todo x ∈ dom f ∩ dom g. (b) Un conjunto de funciones F es llamado sistema compatible de funciones si cualesquiera dos funciones f ∈ F y g ∈ F son compatibles. Lema 4.54 (a) Las funciones f y g son compatibles si y s´ olo si f ∪ g es una funci´ on. (b) Las funciones f y g son compatibles si y s´ olo si f |dom f ∩dom g = g |dom f ∩dom g . ´ n: Demostracio (a) ⇒] Sean (x, y) ∈ f ∪ g y (x, z) ∈ f ∪ g, entonces x ∈ dom f ∪ dom g. Si x ∈ dom f 4 dom g, necesariamente (x, y) ∈ f \ g y (x, z) ∈ f \ g. O bien, (x, y) ∈ g \ f y (x, z) ∈ g \ f , y en este caso, se concluye que y = z. Si por el contrario x ∈ dom f ∩ dom g, por hip´ otesis f (x) = g(x); as´ı, y = f (x) = z. Por lo tanto, f ∪ g es función. ⇐] Sea x ∈ dom f ∩ dom g. Entonces (x, f (x)) ∈ f ∪ g y (x, g(x)) ∈ f ∪ g. Como f ∪ g es funci´ on, se sigue que f (x) = g(x). (b) Ejercicio. El siguiente teorema nos dice que las funciones en un sistema compatible pueden reunirse en una u ńica funci´ on la cual extiende a cada función que es elemento del sistema. S Teorema 4.55 Si F es S un sistema de funciones compatibles, entonces S SF es una funci´ on con dom F = {dom f : f ∈ F } . Adem´ as, la funci´ on F extiende a cada f ∈ F. ´ n: Demostracio S Claramente S F es una relaci´ on; probaremos que es una funci´ on. Si (a, b) ∈ S F y (a, c) ∈ F, hay funciones f1 , f2 ∈ F tales que (a, b) ∈ f1 y (a, c) ∈ f2 .

4.2. Funciones

61

Pero f1 y f2 son compatibles, y como (a, b) ∈ f1 ∪ f2 , (a, c) ∈ f1 ∪ f2 y f1 ∪ f2 es una función, entonces S b = c. S Luego, x ∈ dom F si y s´ olo si para alg´ un y, (x, y) ∈ F si y s´ olo si (x, y) ∈ f para alguna f ∈ F si y s´ o lo si x ∈ dom f si y s´ o lo si x S S S S∈ {dom f : f ∈ F }. Por lo tanto, F = {dom f : f ∈ F }. Claramente F extiende a cada f ∈ F. Para finalizar esta secci´ on tenemos la siguiente definici´ on. Definici´ on 4.56 Sean A y B conjuntos, el conjunto de todas las funciones de A en B es denotado por B A . De hecho, nosotros deber´ıamos mostrar que tal conjunto existe, pero nos basta observar que B A ⊆ P(A × B).

Ejercicios 4.2 1. Sea f : X → Y una función. Pruebe que F : P(X) → P(Y ) y G : P(Y ) → P(X) definidas por: F (A) = f (A),

G(A) = f −1 (A),

son funciones. 2. Completar la demostraci´ on del Teorema 4.34. 3. Justifique los procedimientos de los Ejemplos 4.38 y 4.41. 4. Encuentre la funci´ on inversa de la funci´ on del Ejemplo 4.38. 5. Sean A ⊆ X y sea f : X → Y una función. Sea i : A ,→ X la inclusión. Muestre que: (a) f |A = f ◦ i.

(b) Pongamos g = f |A . Entonces g −1 (B) = A ∩ f −1 (B) para cada B ⊆Y.

62


6. Las funciones fi , i = 1, 2, 3, 4, est´ an definidas como sigue: f1 f2 f3 f4

= {(x, 2x − 1) : x ∈ R} √ = {(x, x) : x 6= 0} √ 3 = {(x, x) : x ∈ R} © ª 1 = (x, x ) : x ∈ R, x 6= 0

Describa cada una de las siguientes funciones y determine sus dominios y rangos: f2 ◦ f1 , f1 ◦ f2 , f3 ◦ f1 , f1 ◦ f3 , f4 ◦ f1 , f1 ◦ f4 , f2 ◦ f4 , f4 ◦ f2 , f3 ◦ f4 . 7. Sean f : X → Y y g : Y → Z. (a) Si g ◦ f es inyectiva, qué se puede decir de la inyectividad de f y de g. (b) Si g ◦ f es sobreyectiva, qué se puede decir de la sobreyectividad de f y de g. 8. Sean f : A → C y g : A → B funciones. Demostrar que existe una función h : B → C tal que f = h ◦ g si y s´ olo si para cada x, y ∈ A, g(x) = g(y) implica f (x) = f (y). 9. Pruebe la siguiente importante propiedad del producto cartesiano A × B y de las proyecciones p1 y p2 . Si A 6= ∅ y B 6= ∅, entonces para cualquier conjunto C y cualesquiera funciones f1 : C → A y f2 : C → B existe una u ńica función f : C → A × B tal que f1 = p1 ◦ f y f2 = p2 ◦ f . Las funciones f1 y f2 se llaman las funciones coordenadas de f. 10. Sean f : X → Y y g : Y → X dos funciones. Demuestre que X y Y pueden expresarse como uni´ on de subconjuntos ajenos, es decir, X = X1 ∪X2 con X1 ∩X2 = ∅ y Y = Y1 ∪Y2 con Y1 ∩Y2 , tales que f (X1 ) = Y1 y para cada A ⊆ X, sea Q(A) = X \ g(Y \ f (A)). g(Y2 ) = X2 . (Sugerencia: T Tómese X1 = {Q(A) : Q(A) ⊆ A} .) 11. (a) Dar un ejemplo de una función que tenga inversa izquierda pero no inversa derecha.

(b) Dar un ejemplo de una función que tenga inversa derecha pero no inversa izquierda. (c) Dar un ejemplo de una función que tenga dos inversas izquierdas. (d) Dar un ejemplo de una función que tenga dos inversas derechas.

4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios

63

(e) Muestre que si f : X → Y tiene inversa derecha e izquierda entonces es biyectiva. 12. Pruebe que las funciones del Ejercicio 6 son inyectivas. 13. Completar la demostraci´ on del Teorema 4.42. 14. Muestre que si f : A → B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 15. Dar un ejemplo de una función f y un conjunto A, tal que f ∩A2 6= f |A . 16. Si f es una función inyectiva muestre que ! Ã \ \ Aα = f (Aα ). f α∈I

α∈I

17. Probar el Lema 4.54(b). 18. Muestre que B A existe. 19. Pruebe que el conjunto de todas las funciones desde A hacia B es igual S a X⊆A B X . 20. Demuestre la siguiente forma general de distribución: Ã ! Ã ! \ [ [ \ Fa,b = Fa,f (a) , a∈A

b∈B

f ∈B A

a∈A

suponiendo que Fa,b1 ∩Fa,b2 = ∅ para todo a ∈ A y cualesquiera b1 , b2 ∈ B con b1 6= b2 . (Sugerencia: Sea L el conjunto en el ladoSizquierdo de la igualdad Fa,f (a) ⊆ b∈B Fa,b ; por lo ¢ T en ¡elSlado derecho. T y R el conjunto tanto, a∈A Fa,f (a) ⊆ a∈A b∈B Fa,b = L, y as´ı finalmente R ⊆ L. Para probar que L ⊆ R, tome x ∈ L. Defina (a, b) ∈ f si y s´ olo T si x ∈ Fa,b . Pruebe que f es una función de A en B para la cual x ∈ a∈A Fa,f (a) ; as´ı, x ∈ R.)

4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios En esta peque˜ na sección se generaliza el producto cartesiano de conjuntos en términos de funciones. Consideraremos primero casos especiales.

64


Dados un conjunto no vac´ıo X y un n´ umero natural m ≥ 2, definimos una m-ada de elementos de X como una funci´ on x : {1, 2, . . . , m} → X. Si x es una m-ada, es conveniente denotar el valor de x en i ∈ {1, 2, . . . , m} por xi en lugar de x(i). Adem´ as, representamos la funci´ on x por el s´ımbolo (x1 , x2 , . . . , xm ). En la Secci´ on 3.2 definimos el producto cartesiano de dos conjuntos, introdujimos con base en aquella definici´ on el producto cartesiano de tres conjuntos yu ńicamente sugerimos la generalizaci´ on a cuatro conjuntos. En la siguiente definici´ on haremos la primera generalizaci´ on definiendo el producto cartesiano de una familia de m conjuntos, para cualquier m ∈ N. Definici´ on 4.57 Supongamos que {A1 , A2 , . . . , Am } está indizada sobre el conjunto {1, 2, . . . , , m}. El producto cartesiano de esta familia indizada de conjuntos denotado por m Y i=1

Ai

o

A1 × A2 × · · · × Am

es el conjunto de todas las m-adas (x1 , x2 , x3 , . . . , xm ) de elementos de X = S m i=1 Ai tales que xi ∈ Ai para cada i ∈ {1, 2, . . . , m} .

Ejemplo 4.58 Tenemos hasta este momento dos definiciones para el s´ımbolo A × B. Una definici´ on es la dada en la Sección 3.2; seg´ un ésta, A × B denota el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. La segunda definici´ on, presentada en esta secci´ on, define a A×B como el conjunto de todas las funciones x : {1, 2} → A ∪ B tales que x1 ∈ A y x2 ∈ B. Hay una obvia correspondencia biyectiva entre estos dos conjuntos: al par (a, b) le hacemos corresponder la función x:{1, 2} → A ∪ B definida como x1 = a y x2 = b. Hemos acordado denotar a esta función con el s´ımbolo (x1, x2 ). Esta notaci´ on sugiere en s´ı misma la correspondencia mencionada.

Podemos generalizar a´ un más, si {An }n∈N es un sistema de conjuntos no vac´ıos indizado sobre el conjunto de los n´ umeros naturales N, es factible definir el producto cartesiano de la familia {An } como: ) ( ∞ ∞ Y [ An = x : N → An : ∀n ∈ N, xn ∈ An n=0

n=0


65

y como antes representamos las funciones x como: (x0 , x1 , . . . , xi , . . .) o (xn )∞ n=0 . Q ∞ Entonces los elementos de ∞ n=0 An son sucesiones (xn )n=0 de elementos en S ∞ esimo término, xi = x(i), pertenece a Ai . n=0 An cuyo i-´ Note que las definiciones anteriores no requieren que los conjuntos Ai sean diferentes uno del otro. De hecho, ellos pueden ser todos iguales a un mismo conjunto A. En este caso, el producto cartesiano A1 × A2 × · · · × Am es justamente el conjunto Am de m-adas de elementos en A, y el producto A1 ×A2 ×· · · es justamente el conjunto AN de todas las sucesiones de elementos en A. Ejemplo 4.59 Rm denota el espacio euclidiano m-dimensional. Análogamenon infinita. te, RN es algunas veces llamado espacio euclidiano de dimensi´ ´ Este es el conjunto de todas las sucesiones (como se definen en los cursos Cálculo Diferencial e Integral) de n´ umeros reales; o sea, el conjunto de todas las funciones x : N → R. Ahora pasaremos a la definici´ on más general de producto cartesiano, la cual incluirá estos casos especiales. Primero haremos preciso el significado de familia indizada de conjuntos, un concepto que hasta ahora no hemos definido formalmente. Definici´ on 4.60 Sea A un sistema de conjuntos. Una funci´ on indizadora para A es una función sobreyectiva A : I → A, donde I es un conjunto no vac´ıo. I es llamado conjunto de ´ındices. La colecci´ on A, junto con la función indizadora, es llamada familia indizada de conjuntos. Ejemplo 4.61 Cualquier familia no vac´ıa de conjuntos puede considerarse como una familia indizada de conjuntos, donde la función indizadora es S : on 3.35. A → A dada por SA = A. Ver Observaci´ El principal uso de las funciones indizadoras es para definir el producto cartesiano de familias arbitrarias de conjuntos. Definici´ on 4.62 Sea {Aα }α∈I una familia indizada de conjuntos. El producto cartesiano de la familia {Aα }α∈I , denotado por Y Aα , α∈I

S es definido como el conjunto de todas las funciones x : I → α∈I Aα , representadas por (xα )α∈I , tales que x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ I. Si β ∈ I,

66


Q el conjunto Aβ es llamado el β-ésimo factor del producto Qα∈I Aα . La coordenada β-ésima de un elemento (xα )α∈I en el producto α∈I Aα es por definici´ on xβ = x(β). Estamos definiendo un nuevo conjunto; un ejercicio de esta sección es probar Q que α∈I Aα existe para cualquier familia de conjuntos {Aα }α∈I en donde I es un conjunto no vac´ıo. Observemos u ńicamente que si en la familia {Ba }a∈A Q cada Ba = B, el producto a∈A Ba es justamente B A . Q Ejemplo 4.63 Si cada Aα tiene exactamente un elemento, entonces α∈I Aα tiene un elemento. Q Ejemplo 4.64 Si I 6= ∅ y alg´ un Aα = ∅, entonces α∈I Aα = ∅.

Ejemplo Q 4.65 Considere An = {0, 1} para cada n ∈ N. El producto cartesiano n∈N An es precisamente el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, a veces llamado Conjunto de Cantor.

Sean I 6= ∅Q y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I. Hasta este momento no podemos asegurar que α∈I Aα 6= ∅. Aunque intuitivamente esto parece cierto, no es posible demostrarlo sin usar el Axioma de Elecci´ on, el cual a en un Q se abordar´ cap´ıtulo posterior. Por el momento supondremos que α∈I Aα 6= ∅ siempre que I 6= ∅ y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I. Definici´ on 4.66 Si {Aα }α∈I es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos, se define la proyecci´ on en la β-ésima coordenada como la función: Y Aα → Aβ pβ : α∈I

dada por Es decir, si x ∈

Q

α∈I

pβ ((xα )α∈I ) = xβ . Aα , entonces pβ (x) = x(β) = xβ .

Con respecto al álgebra de productos cartesianos tenemos el siguiente teorema cuya demostraci´ on se deja como un ejercicio. Teorema 4.67 Sea {Xα }α∈I una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, y no Q vac´ıos de Xα , para cada α ∈ I. Entonces: sean AαQy Bα subconjuntos Q (a) Q α∈I Aα ∩ Q α∈I Bα = Q α∈I (Aα ∩ Bα ). (b) α∈I Aα ∪ α∈I Bα ⊆ α∈I (Aα ∪ Bα ).


67

−1 Q Para β ∈ I y Cβ ⊆ Xβ , denotemos a pβ (Cβ ) por hCβ i; éste es el “gajo” en esimo, el cual es Cβ . Similarα∈I Xα donde cada factor es Xα excepto el β-´ mente, para una cantidad finita de ´ındices α1 , α2 , . . . , αm y los conjuntos

Cα1 ⊆ Xα1 , . . . , Cαm ⊆ Xαm , T Tm −1 el subconjunto m i=1 hCαi i = i=1 pαi (Cαi ) es denotado por hCα1 , . . . , Cαi i .

Estas notaciones nos permiten formular el siguiente corolario. Q Corolario Q 4.68 EnT α∈I Xα , (a) Qα∈I Cα = α∈I hCα i. Cβ i. (b) (Qα∈I Xα ) \ hC Qβ i = hXβ \ S (c) ( α∈I Xα ) \ ( α∈I Cα ) = α∈I hXα \ Cα i .

´ n: Demostracio Q olo si para cada olo si para cada c ∈ α∈I Cα si y s´ T α ∈ I, pα (c) ∈ Cα si y s´ (C ) si y s´ o lo si c ∈ α ∈ I, c ∈ p−1 hC i. Esto establece (a); (b) se prueba α α α α∈I de manera similar a (a), y (c) se sigue de (a) y (b) usando el Teorema 3.43.

Ejercicios 4.3 1. Muestre que existe una correspondencia biyectiva entre A × B y B × A. 2. Sea A × B × C el producto cartesiano de tres conjuntos tal como fue definido en la Secci´ on 3.2, y sea (A × B × C)0 el producto cartesiano de los tres mismos conjuntos como fue definido en esta sección. Pruebe que existe una biyecci´ on f : A × B × C → (A × B × C)0 . 3. Justifique los ejemplos 4.63, 4.64 y 4.65. 4. Pruebe el rec´ıproco del Ejemplo 4.64. 5. (a) Demuestre que existen biyecciones entre A× (B ×C) y (A×B) ×C. (b) Muestre que si n > 1, entonces hay una función biyectiva de A1 × A2 × · · · × An

en (A1 × A2 × · · · × An−1 ) × An .

68


(c) Sea I un conjunto de ´ındices. Pongamos I = J ∪ K, donde J y K son no vac´ıos. Pruebe que existe una funci´ on biyectiva de Q ajenos y Q Q α∈I Aα en α∈J Aα × α∈K Aα .

6. Sea I 6= ∅ un conjunto de ´ındices. Considere dos familias indizadas {Aα }α∈I y {Bα }α∈I . Demuestre lo siguiente: (a) Si Aα ⊆ Bα para cada α ∈ I, entonces Y Y Aα ⊆ Bα . α∈I

(b) El rec´ıproco de (a) se cumple si

α∈I

Q

α∈I

Aα 6= ∅.

7. Pruebe que si {Aα }α∈I es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, entonces para cualquier conjunto X y cualquier familia {fα } de funciones ńica función fα : X → Aα , existe una u Y Aα f :X→ α∈I

tal que para cada α ∈ I, fα = pα ◦f . Las funciones fα se Qllaman funciones coordenadas de f , y a veces f se denota por (fα )α∈I o fα (ver Ejercicio 4.2.9). 8. Sean m, n enteros positivos y sea X 6= ∅. (a) Para m ≤ n, encuentre una función inyectiva f : X m → X n .

(b) Encuentre una función biyectiva g : X m × X n → X m+n . (c) Encuentre una función inyectiva h : X n → X N .

(d) Encuentre una función biyectiva k : X n × X N → X N . (e) Encuentre una función biyectiva l : X N × X N → X N .

(f) Si A ⊆ B, encuentre una función inyectiva m : X A → X B .

9. Pruebe el Teorema 4.67. 10. Pruebe las partes (b) y (c) del Corolario 4.68. Q S Q 11. Demuestre que α∈I Aα \ α∈I Bα = α∈I Qα , donde cada Qβ es un producto cuyo factor α 6= β es Aα , y el β-ésimo factor es Aβ \ Bβ .

4.4. Equivalencias y Particiones

69

12. ¿Cu´ ales de los siguientes subconjuntos de RN pueden ser expresados como el producto cartesiano de subconjuntos de R? (a) {x = (xn )∞ n=0 : xn es entero para cada n ∈ N} ,

(b) {x = (xn )∞ n=0 : xn ≥ n para cada n ∈ N} ,

(c) {x = (xn )∞ n=0 : xn es un entero para cada n ≥ 100} ,

(d) {x = (xn )∞ n=0 : x2 = x3 } .

4.4 Equivalencias y Particiones En esta secci´ on abordaremos dos importantes conceptos. Las nociones de relaci´ on de equivalencia y de clases de equivalencia, que fueron primeramente estudiadas en su plena generalidad por Frege [F3 ] en 1884. Definici´ on 4.69 Sea R una relación en A. (a) R es llamada reflexiva en A, si para todo a ∈ A, aRa. (b)2 R es llamada simétrica en A, si para todo a, b ∈ A, aRb implica bRa. (c) R es llamada transitiva en A, si para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc implica aRc. Definici´ on 4.70 Una relaci´ on R se llama de equivalencia en A, si es reflexiva simétrica y transitiva en A. Generalmente una relaci´ on de equivalencia en A se denota por E, ≡, ∼ =, ≈, o ∼. Cuando dos elementos a, b ∈ A satisfacen aEb se dice que a es Eequivalente a b o que a es equivalente a b m´ odulo E. Observe que si E es una relaci´ on de equivalencia en A entonces el dominio de E es igual a A; en efecto, la reflexividad implica que para cualquier a ∈ A, (a, a) ∈ E, es decir, a ∈ dom E. Por otro lado como E es una relación en A, entonces E ⊆ A × A, por lo que dom E ⊆ A. Por lo tanto, dom E = A. Ejemplo 4.71 Cada una de las relaciones siguientes satisfacen exactamente dos de las propiedades de la©Definición 4.69 y, por tanto, no son de ª equivalencia. 2 2 (a) La relaci´ on I = (x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 en R, no es reflexiva. © ª (b) La relaci´ on R1 = © (x, y) ∈ R2 : x ≤ y en ªR, no es simétrica. (c) La relaci´ on R2 = (x, y) ∈ R2 : |x − y| ≤ 1 en R no es transitiva. 2

a, b ∈ A significa a ∈ A y b ∈ A.

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Ejemplo 4.72 La relaci´ on vac´ıa en un conjunto A es simétrica y transitiva, pero no reflexiva salvo que A = ∅. Ejemplo 4.73 Sea P el conjunto de todas las personas que viven en la tierra. Decimos que una persona p es equivalente a q (p ∼ = q) si ambos p y q viven ∼ en el mismo pa´ıs. Trivialmente = es reflexiva, simétrica y transitiva en P . Note que el conjunto P del ejemplo anterior puede ser “partido” en clases de elementos mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en México forman una de estas clases, todas las personas que viven en Francia forman otra clase, etc. Todos los miembros de una misma clase son equivalentes. Las clases de equivalencia corresponden exactamente a los diferentes pa´ıses. Ejemplo 4.74 Defina la relaci´ on ≡ en el conjunto de los enteros Z como sigue: x ≡ y si y s´ olo si y − x es divisible3 por 2. Se puede verificar fácilmente que ≡ cumple (a), (b) y (c) de la Definición 4.69, es decir, ≡ es una equivalencia. Nuevamente el conjunto Z, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo ≡. En este caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dos impares est´ an relacionados, pero nunca un par est´ a relacionado con un impar. Los ejemplos anteriores reflejan una regla general; una relaci´ on de equivalencia en un conjunto A genera una partición del conjunto A en clases de equivalencia; rec´ıprocamente, dada una partición en A hay una equivalencia en A determinada por la partici´ on de A. Definici´ on 4.75 Sea E una equivalencia en A y sea a ∈ A. La clase de equivalencia de a m´ odulo E es el conjunto [a] = {x ∈ A : xEa} . Obsérvese que efectivamente lo que hemos llamado clase de equivalencia de a, es un conjunto. Por el peso de la tradici´ on histórica llamamos clase a [a] , aqu´ı el término clase es diferente al usado en la Convención 2.5. Es conveniente también notar que para todo a ∈ A, [a] 6= ∅, pues al menos a ∈ [a] . Cuando se trabaja con varias relaciones en un mismo conjunto A, es preferible emplear la notaci´ on Ea para denotar la clase de equivalencia de a m´ odulo E. 3

m es divisible por n si existe k ∈ Z tal que m = k · n.


71

Ejemplo 4.76 En Z se define la congruencia módulo n como a ≡ b mod n si y s´ olo si b − a es divisible por n. ≡ es una relaci´ on de equivalencia y la clase de equivalencia de a ∈ Z es el conjunto {a + kn : k ∈ Z} . Lema 4.77 Sean E una equivalencia en A y a, b ∈ A. (a) a es equivalente a b m´ odulo E si y s´ olo si [a] = [b]. (b) a no es equivalente a b m´ odulo E si y s´ olo si [a] ∩ [b] = ∅. ´ n: Demostracio (a) Supóngase que aEb. Sea x ∈ [a], entonces xEa y aEb. Por la transitividad de E, xEb, lo que significa x ∈ [b] . Similarmente x ∈ [b] implica x ∈ [a]. As´ı, [a] = [b] . (b) Supongamos que no ocurre aEb, y que existe x ∈ [a] ∩ [b]. Entonces xEa y xEb, y en virtud de la reflexividad y transitividad de E, aEb. Esto contradice el supuesto. Por u ´ltimo supongamos que [a] ∩ [b] = ∅. Si ocurriera aEb, entonces a ∈ [b]. Pero a ∈ [a], lo que contradice la relaci´ on [a] ∩ [b] = ∅. Definici´ on 4.78 Una familia de conjuntos F no vac´ıos se llama partici´ on de A si: (a) Los conjuntos que forman F son ajenos dos a dos, es decir, C, D ∈ F y C 6= D implica C ∩ D = ∅. S (b) La unión de F es A, es decir, A = F. Definici´ on 4.79 Sea E una relación de equivalencia en A. La familia de todas las clases de equivalencia m´ odulo E es denotada por A/E y A/E = {[a] : a ∈ A} . Usualmente a A/E se le llama conjunto cociente de A por la relaci´ on E. Teorema 4.80 Sea E una equivalencia, entonces A/E es una partici´ on de A. ´ n: Demostracio La parte (a) de la Definici´ on 4.78 se sigue del Lema 4.77: si [a] 6= [b], entonces a y bS no son equivalentes módulo E, as´ı [a] ∩ [b] = ∅. Para probar (b), note que A = A/E porque a ∈ [a] para cada a ∈ A. Adem´ as, por la misma raz´ on, no hay clases de equivalencia vac´ıas.

72


Definici´ on 4.81 Sea F una partición de A. La relaci´ on EF determinada por F es definida por: EF = {(a, b) ∈ A × A : ∃B ∈ F tal que a, b ∈ B} . La definición de la relación EF puede hacerse en otras palabras: a, b ∈ A olo si ellos pertenecen al mismo elemento de la est´ an EF -relacionados si y s´ partición F. on de Teorema 4.82 Sea F una partici´ on de A. Entonces EF es una relaci´ equivalencia en A. ´ n: Demostracio S (a) Reflexividad. Sea a ∈ A. Puesto que A = F, entonces existe C ∈ F tal que a ∈ C, as´ı; (a, a) ∈ EF . (b) Simetr´ıa. Sup´ ongase que (a, b) ∈ EF , entonces existe C ∈ F tal que a ∈ C y b ∈ C. Por lo cual b ∈ C y a ∈ C; lo cual implica (b, a) ∈ EF . (c) Transitividad. Supongamos que (a, b) ∈ EF y (b, c) ∈ EF , entonces existen conjuntos C, D ∈ F tales que a, b ∈ C y b, c ∈ D. Como los elementos de F son mutuamente ajenos entonces D = C, por lo que a, c ∈ D y as´ı (a, c) ∈ EF . El siguiente teorema, que establece la relación entre equivalencias y particiones, se demuestra de modo an´ alogo. Teorema 4.83 (a) Si E es una relaci´ on de equivalencia en A y F = A/E, entonces E = EF . on de (b) Si F es una partici´ on de A y EF es la correspondiente relaci´ equivalencia determinada por F, entonces F = A/EF . As´ı las relaciones de equivalencia y las particiones son dos descripciones diferentes del mismo concepto. Toda equivalencia E determina una partición on F = A/E es F = A/E. La equivalencia EF determinada por la partici´ idéntica a la original. Rec´ıprocamente, cada partici´ on determina una relaci´ on de equivalencia; cuando formamos las clases de equivalencia m´ odulo EF , recobramos la partici´ on original. Cuando trabajamos con equivalencias o particiones, es muy conveniente tener un conjunto que consista precisamente de un elemento de cada clase de equivalencia. Definici´ on 4.84 Sea E una relación de equivalencia en A. Un conjunto X ⊆ A es llamado conjunto de representantes para las clases de equivalencia m´ odulo


73

E (o para una partici´ on F), si para todo C ∈ A/E (C ∈ F), X ∩ C = {a} para alg´ un a ∈ C. Ejemplo 4.85 Para la relación de equivalencia definida en el Ejemplo 4.73, el conjunto X de los presidentes o jefes de estado de cada pa´ıs son un conjunto de representantes. El conjunto X = {0, 1} lo es para la relaci´ on de equivalencia del Ejemplo 4.74. ¿Cualquier partición tiene un conjunto de representantes? Intuitivamente la respuesta es s´ı, pero, nuevamente, sin el Axioma de Elección, es imposible probar tal afirmaci´ on. Es decir, necesitamos usar el Axioma de Elecci´ on para demostrar la existencia de un conjunto de representantes, salvo para relaciones simples. En el siguiente ejemplo se muestra una relaci´ on de equivalencia para la cual la existencia de un conjunto de representantes no es obvia. Ejemplo 4.86 Sea I = {x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1}. La relaci´ on ≡ definida por a ≡ b si y s´ olo si la diferencia a − b es un n´ umero racional, es una relaci´ on de equivalencia.4 Definici´ on 4.87 Sean A un conjunto y E una relaci´ on de equivalencia en A. La función que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia m´ odulo on proyecci´ on E, es decir, pE : A → A/E tal que pE (a) = Ea, se llama funci´ o proyecci´ on natural. El que pE : A → A/E sea una función puede deducirse del Lema 4.77; en efecto, para a ∈ A, (a, Eb) ∈ pE y (a, Ec) ∈ pE implica a ∈ Eb y a ∈ Ec con on sobreyectiva, lo cual Eb ∩ Ec 6= ∅; as´ı Eb = Ec. Claramente pE es una funci´ pero en general no es inyectiva (puesto que Ea = Eb siempre que aEb). Definici´ on 4.88 Sean A, B dos conjuntos y sean R, S relaciones de equivalencia en A y en B, respectivamente. Una funci´ on f : A → B preserva las relaciones R y S, si aRb implica f (a)Sf(b). Teorema 4.89 Sea f : A → B una funci´ on que preserva las relaciones R y S. Entonces existe una u ńica funci´ on f∗ : A/R → B/S tal que pS ◦f = f∗ ◦pR . on inducida por f en “el paso al cociente”. A f∗ se le llama funci´ 4 Este ejemplo se debe a Vitali [V] quien prob´ o que ninguno de los conjuntos de representantes de la relaci´ on definida en el ejemplo es medible seg´ un Lebesgue (ver Ejemplo 8.18).

74


´ n: Demostracio Definamos f∗ : A/R → B/S como f∗ (Ra) = Sf(a) para cada Ra ∈ A/R. a bien definida. La funci´ on f∗ asigna a Ra el u ńico Veamos primero que f∗ est´ (por el Lema 4.77) elemento Sb ∈ B/S tal que f (a) ∈ Sb. As´ı entonces, para ver que f∗ está bien definida es suficiente con mostrar que la clase Sf(a) no depende del representante a seleccionado. Si Ra = Ra0 , por el Lema 4.77, aRa0 . Puesto que f preserva relaciones, tenemos que f (a)Sf(a0 ). Por lo tanto, a un´ıvocamente definida. El dominio de f∗ es A/R ya que A es el dominio f∗ est´ de f y pR es sobreyectiva. Por otro lado, (pS ◦ f )(a) = pS (f (a)) = Sf (a) = f∗ (Ra) = f∗ (pR (a)) = (f∗ ◦ pR )(a), lo cual significa que pS ◦ f = f∗ ◦ pR (véase el Lema 4.35). Finalmente, ńica puesto que pR es sobreyectiva: si g∗ fuera otra función tal que f∗ es u pS ◦ f = g∗ ◦ pR , entonces f∗ ◦ pR = g∗ ◦ pR y, por el Teorema 4.49(e), f∗ = g∗ . ńica. Por lo tanto, que f∗ es u El rec´ıproco del teorema anterior también es v´ alido, esto es: si f : A → B y f 0 : A/R → B/S son funciones tales que pS ◦ f = f 0 ◦ pR , entonces f necesariamente preserva las relaciones, y f 0 = f∗ . En efecto, supongamos que f y f 0 son dos funciones tales que pS ◦ f = f 0 ◦ pR . Sean a, a0 ∈ A con aRa0 , entonces pR (a) = pR (a0 ) y puesto que pS ◦ f = f 0 ◦ pR , tenemos que (pS ◦f )(a) = (pS ◦f )(a0 ). Esto muestra que f (a)Sf(a0 ) y prueba que f preserva las relaciones. Que f 0 = f∗ se sigue de la unicidad de f∗ en el teorema anterior. Ejemplo 4.90 Sean A = B = Z. Sea R la congruencia m´ odulo 4 y sea S la congruencia m´ odulo 2 del Ejemplo 4.76. Entonces f : A → B dada por f (n) = n, preserva las relaciones. Usando el conjunto de representantes {0, 1, 2, 3} para A/R y {0, 1} para B/S, es fácil verificar que f∗ (0) = f∗ (2) = 0 y f∗ (1) = f∗ (3) = 1. Muchas de las aplicaciones de las relaciones de equivalencia en matem´ aticas est´ an en la direcci´ on de formular nociones matemáticas, o como usualmente se dice, formalizar las definiciones por abstracci´ on. La esencia de esta técnica es definir una noción como el conjunto de todos los objetos los cuales se desea tengan la cualidad para la noci´ on. Por ejemplo, en un cap´ıtulo posterior definiremos un concepto extremadamente necesario en las matem´ aticas, como es el de n´ umero real. La técnica en este caso particular ser´ a definiendo relaciones de equivalencia, primero en el conjunto de los n´ umeros naturales, después en el conjunto cociente, y m´ as a´ un, en el “cociente del cociente” para


75

llegar a definir los n´ umeros racionales y finalmente definir otra relaci´ on de equivalencia para llegar a definir “un n´ umero real”.

Ejercicios 4.4 1. Sea X un conjunto. Pruebe que la relaci´ on ⊆ en P(X) es siempre reflexiva y transitiva. Pruebe también que es simétrica si y s´ olo si X = ∅. 2. Aqu´ı damos una “demostración” de que toda relación R en un conjunto A que es a la vez simétrica y transitiva, es también reflexiva: “Como R es simétrica, aRb implica bRa. Ahora, dado que R es transitiva, aRb y bRa juntas implican aRa, como se deseaba.” Encuentre el error de este argumento. 3. Pruebe que una relaci´ on E en A es de equivalencia si y s´ olo si IdA ⊆ E, E = E −1 y E = E ◦ E. 4. Si R es una relación reflexiva y transitiva en A = dom R, muestre que E = R ∩ R−1 es una relación de equivalencia en A. 5. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.71. 6. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.76. 7. Considere la relaci´ on E en R2 definida por ª © E = ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) : y1 − (x1 )2 = y2 − (x2 )2 .

Muestre que E es una relación de equivalencia y describa las clases de equivalencia módulo E.

8. Sean E y E 0 las siguientes relaciones en R: E = {(x, y) : y = x + 1}

,

E 0 = {(x, y) : y − x ∈ Z} .

(a) Muestre que E 0 es una relaci´ on de equivalencia en R y que E ⊆ E 0 .

(b) Describa las clases de equivalencia m´ odulo E 0 . (c) ¿Es E una relaci´ on de equivalencia? 9. Sea f : X → Y una función. Muestre que:

76


(a) Ef = {(x, y) : f (x) = f (y)} es una relación de equivalencia en X. (b) Las clases de equivalencia módulo Ef son precisamente los conjuntos f −1 ({y}) para y ∈ f (X). 10. Sean f : A → B una función y E una relación de equivalencia en B. Pruebe que © ª f ← (E) = (x, y) ∈ A2 : f (x)Ef (y) es una relaci´ on de equivalencia en A.

11. Para relaciones R, S en A y B, respectivamente, defina R × S en A × B por R × S = {((a, b), (c, d)) : aRc ∧ bSd} .

Si R, S son relaciones de equivalencia, pruebe que R × S es una relaci´ on de equivalencia en A × B.

12. Sean S y R relaciones de equivalencia en A, con S ⊆ R. Defina ª © R/S = (Sa, Sb) : ∃a0 ∈ Sa, ∃b0 ∈ Sb tales que (a0 , b0 ) ∈ R .

Muestre que R/S es una relaci´ on de equivalencia en el conjunto cociente A/S y que hay una biyecci´ on de (A/S)/(R/S) en A/R. (Sugerencia: demuestre primero que Sa ⊆ Ra para cada a ∈ A. Para construir la biyecci´ on use 4.89.)

13. Demuestre que una relación R en A es de equivalencia si y s´ olo si existe una partición {Aα }α∈I de A tal que [ R= {Aα × Aα : α ∈ I} .

M´ as a´ un, los conjuntos Aα son precisamente las clases de equivalencia m´ odulo R.

14. Pruebe que si A es un conjunto y E es una relación de equivalencia en A, entonces A/E es un conjunto. 15. Sean A y B dos particiones de X. Demuestre que la condici´ on EA ⊆ EB es equivalente a: cualquier conjunto A ∈ A es la unión de una familia A0 ⊆ B. 16. Sea I = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Para X ⊆ I denótese por X(r) el conjunto de n´ umeros pertenecientes a I que tienen la forma x + r + n, donde x ∈ X y n es un n´ umero entero. Demuestre que, si Z es un conjunto de representantes para la relaci´ on ≡ definida por a ≡ b si y s´ olo si a − b ∈ Q entonces:

´ 4.5. Ordenes

77

(a) Z(r)∩Z(s) = ∅ para cualesquiera n´ umeros racionales r, s con r 6= s. S (b) I = r∈Q Z(r).

17. Muestre que si T M es una familia no vac´ıa de relaciones de equivalencia en A, entonces M es una relaci´ on de equivalencia en A. 18. Preservando la notación del Ejercicio 17 pruebe que existe una relaci´ on de equivalencia E en A tal que (a) R ∈ M implica R ⊆ E,

on de equivalencia en A y ∀R ∈ M, R ⊆ E 0 , (b) si E 0 es una relaci´ 0 entonces E ⊆ E . S 19. Si M = {EA , EB }, describa M y la relaci´ on E cuya existencia se asegura en el ejercicio anterior.

´ 4.5 Ordenes Otro de los conceptos fundamentales en matemáticas es el concepto de orden en un conjunto. Un orden puede ser definido como una relaci´ on con caracter´ısticas especiales. Definici´ on 4.91 Una relaci´ on R en A es antisimétrica si para todo a, b ∈ A, aRb y bRa implica a = b. Definici´ on 4.92 Una relación R en A, que es reflexiva, antisimétrica y transitiva se llama orden (parcial) en A. El par (A, R) se le llama conjunto (parcialmente) ordenado. Primero note que el dominio de un orden en A es A. A aRb se le puede leer como: “a es menor o igual que b”, “b es mayor o igual que a”, “ a precede a b” o “b es sucesor de a” (en el orden R). As´ı, todo elemento de A es menor (mayor) o igual a s´ı mismo. Generalmente se usan los s´ımbolos ≤, ¹, ¿, para denotar órdenes. Ejemplo 4.93 La relaci´ on vac´ıa ∅, en cualquier conjunto A no es un orden, salvo que A = ∅. Ejemplo 4.94 Dado un conjunto A, la relaci´ on identidad es un orden. Ejemplo 4.95 Si ≤ es el orden usual en el conjunto de los n´ umeros reales, entonces ≤ es un orden seg´ un la Definici´ on 4.92.

78


Ejemplo 4.96 La relaci´ on definida por m | n si y s´ olo si m divide a n, es un orden en el conjunto de los n´ umeros enteros positivos. Ejemplo 4.97 Si X es un conjunto, la contención de conjuntos es un orden en P(X). Ejemplo 4.98 La relaci´ on de pertenencia ∈A restringida a un conjunto A no es un orden, pues no es reflexiva (ver Definici´ on 4.25 y Teorema 2.33). Ejemplo 4.99 Sea C el conjunto de los n´ umeros complejos (z = a + ib con olo √si kz1 k ≤ kz2 k, donde ≤ es el a, b ∈ R), y definamos z1 ¹ z2 si y s´ on ¹ orden usual de los n´ umeros reales y kzk = a2 + b2 . Entonces la relaci´ es reflexiva y transitiva, pero no antisimétrica. Por lo tanto, no es un orden parcial en C. A las relaciones como ¹ que son reflexivas y transitivas se les llama pre-´ ordenes. Algunas veces es conveniente modificar una relación de orden como sigue: en lugar de la relaci´ on ≤ entre n´ umeros, se puede preferir el uso de la relación < (estrictamente menor). Similarmente, se usar´ a ⊂ (subconjunto propio) en lugar de ⊆, es decir, A ⊆ B y A 6= B. Definici´ on 4.100 Una relaci´ on S en A es asimétrica si para todo a, b ∈ A, aSb implica que no ocurre bSa. Es decir, (a, b) y (b, a) no pueden ser ambos elementos de S. Definici´ on 4.101 Una relaci´ on S en A es un orden estricto, si es asimétrica y transitiva. Ejemplo 4.102 Para cualquier conjunto A, la relaci´ on ∅ es un orden estricto en A. Teorema 4.103 (a) Sea R un orden en A, entonces la relaci´ on S definida en A por aSb si y s´ olo si aRb y a 6= b, es un orden estricto en A. (b) Sea S un orden estricto en A, entonces la relaci´ on R definida en A por aRb si y s´ olo si aSb o a = b es un orden en A. As´ı podemos decir que los o´rdenes estrictos S corresponden a o´rdenes R y viceversa. Ejemplo 4.104 Sean A 6= ∅ y S = ∅. Entonces el orden R obtenido en el teorema anterior es la relaci´ on identidad, IdA . Obsérvese que si R es un orden en A no necesariamente para cualesquiera a, b ∈ A, ocurre que aRb o bRa, a´ un cumpliéndose que dom R = A.

´ 4.5. Ordenes

79

Definici´ on 4.105 Sean a, b ∈ A y sea ≤ un orden en A. Decimos que a y b son comparables en el orden ≤ (o que son ≤-comparables) si: a≤b

o

b ≤ a.

Decimos que a y b son ≤-incomparables si no son ≤-comparables. Similarmente se define para un orden estricto < las nociones de 1, entonces α ≤ β α .

(g) Si α < ωδ y β < ω δ , entonces α + β < ω δ . δ

δ

δ

(h) Si α < ωω y β < ωω , entonces α · β < ωω .

(i) Si n ∈ ω, n 6= 0 y α 6= 0, entonces nω α = ω α .

11. Supóngase que α = sup {γξ : ξ < ζ}. Demuestre que (a) β + α = sup {β + γξ : ξ < ζ} ,

(b) β · α = sup {β · γξ : ξ < ζ} , (c) β α = sup {β γξ : ξ < ζ} .

12. Encuentre un conjunto de A de n´ umeros racionales tales que (A, ≤Q ) sea isomorfo a (α, ≤), donde (a) α = ω + 1,

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs

245

(b) α = ω · 2,

(c) α = ω · 3,

(d) α = ωω , (e) α = ².

© (Sugerencia: n −

1 m

ª : m ∈ N\ {0} es isomorfo a ω 2 , etc.)

13. Demuestre que si (α, ≤) es isomorfo a alg´ un conjunto de n´ umeros reales X (ordenado por la restricci´ on del orden usual en R) entonces α es a lo m´ as numerable. (Sugerencia: sea f un isomorfismo; para cada γ < α, use el intervalo Iγ = {x ∈ R :f (γ) < x < f (γ + 1)} y la densidad de los racionales.) 14. (Caracterización de la Exponenciaci´ on.) Sean α y β n´ umeros ordinales. Para cada f : β → α, sea s(f ) = {γ < β : f (γ) = 0}. Sea s(β, α) = {f : β → α : s(f ) es finito}. Def´ınase una relaci´ on de orden ≺ en s(β, α) como sigue: f ≺ g si y s´ olo si existe γ0 < β tal que f (γ0 ) < g(γ0 ) y f (γ) = g(γ) para todo γ ≤ γ0 . Muestre que (s(β, α), ≺) es isomorfo a (αβ , |ωα | y que |ωα | < |ωβ | siempre que α < β. umero ordinal inicial infinito para cada α. Teorema 9.59 (a) ωα es un n´ un (b) Si Ω es un n´ umero ordinal inicial infinito, entonces Ω = ωα para alg´ α.

248

9. Ordinales

´ n: Demostracio (a) Se hará por inducci´ on sobre α. El u ńico caso no trivial es cuando α 6= 0 es un ordinal l´ımite (por definición y por el lema). Supóngase que |ωα | = |γ| on de para alg´ un γ < ωα , entonces existe un β < α tal que γ < ωβ (por definici´ supremo). Pero, puesto que α es un ordinal l´ımite si β < α también β + 1 < α, y esto implica que |ωα | = |γ| = |ωβ | < |ωβ+1 | ≤ |ωα | , que es una contradicci´ on. (b) Por inducci´ on se verifica que α ≤ ωα para cada α. Suponiendo este preliminar, para todo ordinal inicial infinito Ω existe α tal que Ω ≤ ωα (por ejemplo α = Ω + 1). As´ı, es suficiente mostrar que para cada ordinal inicial Ω ≤ ωα , hay un ordinal γ ≤ α tal que Ω = ωγ . La demostración procede por inducción sobre α. Supóngase que la propiedad es cierta para todo β < α. Si α = 0, la afirmaci´ on es trivialmente cierta. otesis de Si α = β + 1 y Ω < ωα = ~(ωβ ), entonces Ω ≤ ωβ . Por la hip´ inducci´ on, existe γ ≤ β < α tal que Ω = ωγ . Si α 6= 0 es un ordinal l´ımite y Ω < ωα = sup {ωβ : β < α}, entonces por definici´ on de supremo, existe β < α tal que Ω < ωβ ≤ ωα y nuevamente la hip´ otesis inductiva nos proporciona un γ < α tal que Ω = ωγ . Usando el Axioma de Elecci´ on, la conclusi´ on de esta secci´ on es que cualquier conjunto infinito es equipotente a un u ńico n´ umero ordinal inicial y que los n´ umeros ordinales iniciales son precisamente de la forma ωα cuando α var´ıa en toda la clase Ord. Los ordinales iniciales son, por definición, la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Es costumbre llamar a estos n´ umeros ordinales alephs, y definir ℵα = ωα para cada α ∈ Ord. Los n´ umeros cardinales son o bien n´ umeros naturales o alephs. En particular |N| = ℵ0 coincidiendo con nuestro acuerdo previo. El lector también puede notar que el orden de los n´ umeros cardinales por “tama˜ no”, como se hizo en el Cap´ıtulo 7, coincide con el orden de los n´ umeros naturales y con el orden de los alephs como ordinales, es decir, si |X| = ℵα y |Y | = ℵβ , entonces |X| < |Y |

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs

249

si y s´ olo si ℵα < ℵβ (o sea ωα ∈ ωβ ), y similar equivalencia se cumple si uno o ambos son n´ umeros naturales. En el Cap´ıtulo 7 definimos la suma, multiplicaci´ on y exponenciación de n´ umeros cardinales; estas operaciones desafortunadamente son poco compatibles con las correspondientes suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´ on como n´ umeros ordinales. Por ejemplo, ωα + ωα 6= ωα si + es la suma de ordinales, pero ωα + ωα = ωα si + es la suma de cardinales. La suma de cardinales es conmutativa, pero la de ordinales no. Para evitar confusiones, se usan los s´ımbolos ωα cuando se trata de operaciones ordinales y los s´ımbolos ℵα cuando se refiere a los operaciones cardinales. Por otra parte, el lector podrá demostrar sin dificultad que el conjunto de todos los n´ umeros cardinales no existe. Denotaremos por Car a la clase de todos los n´ umeros cardinales. Uno puede comparar conjuntos por su cardinalidad, es decir, definir las relaciones |X| < |Y | y |X| = |Y |, sin definir el s´ımbolo |X|. Con el Axioma de Elecci´ on, cualquier conjunto es equipotente a un u ńico aleph, y as´ı uno puede definir |X| como el aleph correspondiente. Sin el Axioma de Elecci´ on es imposible hacer una definici´ on del s´ımbolo |X| en ZF. Una de las razones de porque usar los alephs para definir la cardinalidad de conjuntos, si se acepta el Axioma de Elección, es que para cualquier ordinal α, ℵα = |ωα | , y as´ı la cardinalidad umeros cardinales son representantes de de ℵα es ℵα . En otras palabras, los n´ las “clases de equivalencia” de conjuntos de la misma cardinalidad. Finalmente comentaremos que existe también una definici´ on alternativa de |X| usando el Axioma de Fundaci´ on y el concepto de rango de un conjunto que no trataremos aqu´ı pero puede que encontrarse en [R2 ].

Ejercicios 9.6 1. Pruebe que para cada α, α ≤ ωα . 2. Sea X un conjunto numerable de ordinales estrictamente menores que ω1 . Use el Axioma de Elecciones Numerables para mostrar que sup X < ω1 . 3. Pruebe que si α y β son ordinales a lo m´ as numerables, entonces α + β, β as numerables. (Sugerencia: Use las caracterizaciones α·β y α son a lo m´ de las operaciones en términos de conjuntos bien ordenados o bien use inducción transfinita.)

250

9. Ordinales

4. Pruebe sin usar el Axioma de Elecci´ on que ~(A) existe para cada A. (Sugerencia: hay un u ńico ordinal α isomorfo a Y , donde Y es un subconjunto bien ordenado de A. Use el Axioma Esquema de Reemplazo para tener un conjunto de ordinales isomorfos a cualquier subconjunto bien ordenado de A.) 5. Muestre que para cualquier conjunto A, |A| < |A| + ~(A). 6. Sea ~∗ (A) el m´ınimo ordinal α tal que no existen funciones sobreyectivas de A en α. Demuestre que: (a) Si α ≥ ~∗ (A), entonces no existen sobreyecciones de A en α.

(b) ~(A) ≤ ~∗ (A).

(c) Si A es bien ordenable, entonces ~(A) = ~∗ (A).

(d) ~∗ (A) existe para todo A sin usar el Axioma de Elecci´ on. (Sugerenolo si α = 0 o α es igual al ordinal cia: muestre que α ∈ ~∗ (A) si y s´ isomorfo a W , donde W es un buen orden de alguna partici´ on de A en clases de equivalencia.) umeros con esta 7. Demuestre que si α > 0, entonces ωα = ωωα . Los n´ propiedad de llaman n´ umeros épsilon. 8. Encuentre dos conjuntos bien ordenados tales que: (a) Cada segmento inicial es finito. (b) Cada segmento inicial es a lo m´ as numerable. 9. Muestre que Car no es un conjunto.

9.7 Suma y Multiplicación de Alephs La aritmética de n´ umeros infinitos difiere sustancialmente de la aritmética de n´ umeros finitos y de hecho las reglas para sumar y multiplicar alephs es muy simple. Por ejemplo: ℵ0 + n = ℵ0 para cualquier n´ umero natural n (si aumentamos n elementos a un conjunto numerables el resultado es un conjunto numerable.) También tenemos que ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

9.7. Suma y Multiplicaci´ on de Alephs

251

ya que, por ejemplo, podemos ver al conjunto de los n´ umeros naturales como la uni´ on de dos conjuntos numerables ajenos: los pares y los impares. M´ as a´ un, ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 . El conjunto de todas las parejas de n´ umeros naturales es numerable. Ahora probaremos un teorema general que determina completamente el resultado de la suma y la multiplicación de alephs. Teorema 9.60 ℵα · ℵα = ℵα , para todo α. ´ n: Demostracio El teorema se probar´ a por inducción transfinita. Para todo α, construiremos otesis un buen orden conveniente ¹ en el conjunto ωα × ωα , y usaremos la hip´ de inducción, ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α, para concluir que el tipo de as ωα ; con esto, se orden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα , ¹) es a lo m´ seguir´ a que ℵα · ℵα ≤ ℵα . Puesto que ℵα · ℵα ≥ ℵα , podemos concluir que ℵα · ℵα = ℵα . La primera tarea es construir un buen orden para ωα × ωα , para todo α. La manera de realizar esto es definir una relación ¹ que ser´ a un buen orden en cualquier conjunto de pares de ordinales, y as´ı entonces, (ωα × ωα , ¹) será un conjunto bien ordenado. Definamos (α1 , α2 ) ≺ (β1 , β2 ) si y sólo si: max {α1 , α2 } < max {β1 , β2 } o max {α1 , α2 } = max {β1 , β2 }

y α1 < β1

o bien max {α1 , α2 } = max {β1 , β2 }

y α1 = β1

y α2 < β2 .

Veamos que ≺ es transitivo. Sean α1 , α2 , β1 , β2 , γ1 y γ2 tales que (α1 , α2 ) ≺ (β1 , β2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). Se sigue de la definici´ on de ≺ que max {α1 , α2 } ≤ max {β1 , β2 } ≤ max {γ1 , γ2 } ; por lo que, max {α1 , α2 } ≤ max {γ1 , γ2 }.

252

9. Ordinales

Si max {α1 , α2 } < max {γ1 , γ2 } entonces (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). Supongamos que max {α1 , α2 } = max {γ1 , γ2 }, entonces α1 ≤ β1 ≤ γ1 . Si α1 < γ1 se obtiene (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). De otro modo tenemos que α1 = β1 = γ1 , as´ı que necesariamente α2 < β2 < γ2 ; se sigue nuevamente que (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). La asimetr´ıa de ≺ es clara a partir de su definici´ on. Veamos pues que ¹ es un buen orden. Sea X 6= ∅ un conjunto de pares de ordinales y sea δ = min {max {α, β} : (α, β) ∈ X} . Luego sea Y = {(α, β) ∈ X : max {α, β} = δ}. Note que Y 6= ∅ (pues existe al menos un (α, β) ∈ X tal que max{α, β} = δ). δ < max {α, β} para todo (α, β) ∈ X \ Y y por lo tanto, (α, β) ≺ (α0 , β 0 )

siempre que (α, β) ∈ Y y (α0 , β 0 ) ∈ X \ Y . Por lo tanto, el ¹-m´ınimo elemento de Y , si existe, es también el m´ınimo elemento de X. Sean α0 = min {α : (α, β) ∈ Y }

y Z = {(α, β) ∈ Y : α = α0 } .

El conjunto Z es no vac´ıo y (α, β) ¹ (α0 , β 0 ) siempre que (α, β) ∈ Z y (α0 , β 0 ) ∈ Y . Finalmente tomemos β0 = min {β : (α, β) ∈ Z}. Claramente, (α0 , β0 ) = min Z y se sigue que (α0 , β0 ) = min X. Teniendo demostrado que ¹ es un buen orden para cualquier conjunto de pares de ordinales, se sigue que es un buen orden para ωα × ωα (para todo α). Usaremos esto para probar por inducci´ on transfinita sobre α que |ωα × ωα | ≤ ℵα . on es cierta para α = 0. Sea Ya sabemos que ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 , as´ı la afirmaci´ α > 0 y supongamos que ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α. Para demostrar que |ωα × ωα | ≤ ℵα es suficiente mostrar que el tipo de as ωα . orden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα , ¹) es a lo m´ Si el tipo de orden de ωα × ωα fuera mayor que ωα , entonces deber´ıa existir (α1 , α2 ) ∈ ωα × ωα tal que la cardinalidad del segmento inicial determinado por (α1 , α2 ), X(α1 ,α2 ) = {(γ1 , γ2 ) ∈ ωα × ωα : (γ1 , γ2 ) ≺ (α1 , α2 )} , es ℵα . Consecuentemente, es suficiente probar que para todo (α1 , α2 ) ∈ ωα ×ωα ¯ ¯ se tiene que ¯X(α1 ,α2 ) ¯ < ℵα . Sean (α1 , α2 ) ∈ ωα × ωα y β = max {α1 , α2 } + 1. Entonces β ∈ ωα y para todo (γ1 , γ2 ) ∈ X(α1 , α2 ), max {γ1 , γ2 } ≤ max {α1 , α2 } < β.

9.7. Suma y Multiplicaci´ on de Alephs

253

A partir de esta u ´ltima relaci´ on se deduce que γ1 , γ2 ∈ β. Por tanto, X(α1 ,α2 ) ⊆ β × β. Sea γ < α tal que |β| ¯≤ ℵγ (note ¯ que es posible elegir γ ya que ωα es un ordinal inicial), entonces ¯X(α1 ,α2 ) ¯ ≤ |β × β| = ¯|β| · |β| ≤ ¯ ℵγ · ℵγ . Pero, por la hip´ otesis inductiva, ℵγ · ℵγ ≤ ℵγ ; por lo tanto, ¯X(α1 ,α2 ) ¯ ≤ ℵγ < ℵα . on Ahora se sigue que |ωα × ωα | ≤ ℵα . As´ı tenemos probado por inducci´ transfinita que ℵα · ℵα ≤ ℵα para todo α. Terminemos esta sección enumerando algunas consecuencias del Teorema 9.60. Corolario 9.61 Para cualquier α y β tales que α ≤ β, ℵα · ℵβ = ℵβ . También, n · ℵα = ℵα para todo n´ umero natural n. ´ n: Demostracio Si α ≤ β, entonces, por un lado, ℵβ = 1 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ , y por otro lado, por el Teorema 9.60, ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ . Similarmente, n · ℵα = ℵα . Corolario 9.62 Para todo α y β tales que α ≤ β, ℵα + ℵβ = ℵβ . También n + ℵα = ℵα para todo n´ umero natural n. ´ n: Demostracio Si α ≤ β, entonces ℵβ ≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ = ℵβ . La segunda parte se demuestra de manera similar.

254

9. Ordinales

Ejercicios 9.7 1. Demuestre que: (a) ℵnα = ℵα para todo n´ umero natural n.

(b) |[ℵα ]n | = ℵα , donde [ℵα ]n es la familia de todos los subconjuntos de ωα formados de n elementos. ¯ ¯ ¯ λ” puede demostrarse sin el Axioma de Elecci´ on. 3. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes al Axioma de Elecci´ on.

260

10. Teor´ıa de Cardinales

(a) Para cualesquiera n´ umeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuación κ + µ < λ + µ implica κ < λ. (b) Para cualesquiera n´ umeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuación κ·µ < λ · µ implica κ < λ. (c) Para cualquier n´ umero cardinal κ, se tiene 2 · κ = κ.

10.2 Sumas y Productos Infinitos En esta secci´ on procederemos a generalizar la suma de n´ umeros cardinales. Definici´ on 10.9 Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos ajenos por pares, y sea |Ai | = κi para cada i ∈ I. Definimos la suma de {κi }i∈I por ¯ ¯ ¯[ ¯ X ¯ ¯ κi = ¯ Ai ¯ . ¯ ¯ i∈I

i∈I

P

La definici´ on de i∈I κi usa conjuntos particulares Ai (i ∈ I). En el caso finito, cuando I = {1, 2}, y κ1 + κ2 = |A1 ∪ A2 | , demostramos que la elecci´ on de A1 y A2 es irrelevante. Para sumas infinitas, se necesita el Axioma de Elecci´ on para demostrar el lema correspondiente. Esta y otras razones nos llevan a asumir el Axioma de Elecci´ on de ahora en adelante sin decirlo expl´ıcitamente. Lema 10.10 Si {Ai }i∈I y {A0i }i∈I son familias de conjuntos ajenos por pares tales que |Ai | = |A0i | para todo i ∈ I, entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯[ ¯ ¯[ ¯ ¯ ¯ ¯ 0¯ ¯ Ai ¯ = ¯ Ai ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ i∈I

i∈I

´ n: Demostracio

Para cada i ∈ I, seleccione on fi : Ai → A0i . Entonces f = S una biyecci´ S es una biyecci´ on entre i∈I Ai y i∈I A0i .

S

i∈I

fi

P Este lema hace que la definición de i∈I κi sea leg´ıtima. Como las uniones infinitas de conjuntos satisfacen las ley asociativa, se sigue P que las sumas infinitas de cardinales son también asociativas. La operaci´ onP tiene para cada i ∈ I, entonces otras propiedades razonables: Si κ ≤ λ i i i∈I κi ≤ P λi . Sin embargo, si κi < λi para cada i ∈ I, no necesariamente es cierto i∈IP P que i∈I κi < i∈I λi .

10.2. Sumas y Productos Infinitos

261

Si los sumandos son iguales, entonces también se tiene lo siguiente como en el caso finito. Si κ = κi para cada i ∈ λ, entonces X κi =κ | + κ{z+ · ·}·= κ · λ. i∈λ

λ veces

No es muy dif´ıcil evaluar sumas infinitas. Por ejemplo, consideremos

1 + 2 + 3 + ··· + n + ··· (n ∈ N). P Es fácil ver que esta suma, n∈N n, es igual a ℵ0 . Este hecho se deduce del siguiente teorema general. Teorema 10.11 Sea λ un cardinal infinito, sea κα un n´ umero cardinal no nulo para cada α < λ, y sea κ = sup {κa : α < λ}. Entonces X κα = λ · κ = λ · sup {κα : α < λ} . α

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