Peter P. Eckstein Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Peter P. Eckstein
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Eine realdatenbasierte Einführung mit SPSS 2., aktualisierte und erweiterte Auflage
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Professor Dr. Peter P. Eckstein lehrt Statistik, Ökonometrie und empirische Wirtschaftsforschung an der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin.
1. Auflage 2008 2. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr | Renate Schilling Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2345-5
Vorwort
V
Vorwort zur 2. Auflage Die überaus positive Resonanz, die das Lehrbuch erfuhr, bestärkte mich, umgehend eine zweite, aktualisierte und erweiterte Auflage bereitzustellen. Die augenscheinlichen Neuerungen der zweiten Auflage werden vor allem durch aktualisierte Daten, durch das Programmpaket PASW Statistics 18 (das als Nachfolger des „legendären“ Programmpakets SPSS unterdessen unter Bezeichnung SPSS IBM Statistics firmiert) sowie durch die inhaltlich erweiterten Kapitel zur Statistischen Induktion und zur Zeitreihenanalyse getragen. Die im Lehrbuch benutzten Datendateien stehen im Internet unter der im Anhang B angegebenen Adresse zur freien Verfügung. Zudem erfährt das vorliegende Lehrbuch eine Ergänzung durch das im Jahr 2009 gleichsam im GABLER-Verlag erschienene Lehrbuch „Datenanalyse mit SPSS“, das als Kompendium eine breite Palette realdatenbasierter Übungs- und Klausuraufgaben mit vollständigen Lösungen bereitstellt. Die zweite Auflage wäre ohne die Unterstützung von geschätzten Damen und Herren nicht möglich gewesen. In diesem Zusammenhang gilt mein besonderer Dank: Frau Chef-Lektorin Jutta HAUSER-FAHR und Frau Renate SCHILLING für die Betreuung dieses Buchprojekts seitens des Verlages, Frau Professor Dr. Monika KUMMER, Herrn Professor Dr. Rudolf SWAT, Herrn Dr. habil. Manfred MOCKER, Herrn Dr. Gerhard BUROW und Frau Stud. oec. Lilia ZIUNEL für ihre sachdienlichen Hinweise sowie Herrn Diplom-Wirtschaftsinformatiker Frank STEINKE für die Gestaltung und Betreuung des Downloadbereichs. Berlin, im Juni 2010 Peter P. ECKSTEIN Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Die Einrichtung von Bachelor- und Master-Studiengängen an den deutschen Universitäten und Hochschulen hat in logischer Konsequenz auch die Installation und Umsetzung geeigneter und effizienter Methoden der akademischen Bildung zur Folge. Der politische, gesellschaftliche und unternehmerische Ruf nach einer theoretisch anspruchsvollen, problemorientierten, praxisrelevanten und zeitlich straffen akademischen Bildung ist nicht zu überhören. Soll der fordernde Ruf nicht ungehört verhallen, bedarf es gleichermaßen Anstrengungen seitens der Lehrenden und der Studierenden. Bloßes theoretisches Dozieren ist ebenso wenig zielführend wie amorphes und stupides Absorbieren vermittelten Wissens. Eine theoretisch profunde, praxisrelevante, anschauliche und zugleich verständliche curriculare Wissensvermittlung gilt es durch ein konsequentes, kontinuierliches und effektives extracurriculares Selbststudium zu ergänzen. Das vorliegende Lehrbuch ist in diesem Sinne konzipiert und soll einen Beitrag zur Qualifizierung akademischer Lehre auf dem Gebiet der Statistik in wirtschaftswissenschaftlichen Bachelor- und Master-Studiengängen leisten.
VI
Vorwort
Der Zugang zur Statistik, der in diesem Lehrbuch angeboten wird, ist sowohl das Resultat meiner langjährigen Lehrerfahrungen auf dem Gebiet der Statistik als auch das Komprimat von vorlesungs- und übungsbegleitenden Skripten sowie der gleichsam im GABLER Verlag in mehreren Auflagen publizierten StatistikLehrbücher. Anhand realer Daten werden mit Hilfe des Statistik-ProgrammPakets SPSS 15 einfache und anspruchsvolle Verfahren und Modelle der Deskriptiven Statistik, der Explorativen Datenanalyse, der Stochastik und der Induktiven Statistik paradigmatisch dargestellt. Dabei liegt der inhaltliche Schwerpunkt des Lehrbuches nicht auf der mathematischen Herleitung und theoretischen Begründung der dargestellten statistischen Verfahren, sondern auf ihrer wirtschaftswissenschaftlichen und realdatenbasierten Applikation, worin stets eine sachlogische Interpretation der Analyseergebnisse eingeschlossen ist. Das Lehrbuch ist in zwölf Kapitel gegliedert. Das erste Kapitel beinhaltet einige historische Notizen zur Statistik. Das zweite Kapitel hat die Erläuterung statistischer Grundbegriffe zum Gegenstand, ohne deren elementares Verständnis ein statistisches Arbeiten nicht möglich ist. Im dritten Kapitel werden zwei praxisrelevante Datenerhebungskonzepte paradigmatisch eingeführt: das so genannte Urlisten- und das Fragebogenkonzept. Das vierte Kapitel hat eine Einführung in das Statistik-Programm-Paket SPSS 15 in der deutschen Ausgabe zum Inhalt. Das fünfte Kapitel ist der Beschreibung statistisch erhobener Daten gewidmet. Das sechste Kapitel hat eine elementare Einführung in die Stochastik zum Gegenstand, ohne die das Verständnis von Verfahren der statistischen Induktion, die ein spezieller Gegenstand des siebenten Kapitels sind, nicht denkbar ist. Im achten Kapitel werden klassische Verfahren der statistischen Zusammenhangsanalyse exemplarisch dargestellt. Während das neunte Kapitel eine Einführung in die Regressionsanalyse zum Gegenstand hat, vermittelt das zehnte Kapitel die Grundidee der Zeitreihenanalyse. Schließlich und endlich werden im elften und zwölften Kapitel zwei Analysekonzepte am praktischen Sachverhalt skizziert, ohne die man in der empirischen Wirtschaftsforschung nicht mehr auskommt: die Faktorenanalyse und die Clusteranalyse. Um die Arbeit mit dem Lehrbuch zu erleichtern, wurden die Beispiele, Tabellen und Abbildungen „verschlüsselt“. So besitzt zum Beispiel der Schlüssel Abbildung 1.2-1 (Statistik als empirische Wissenschaft) die folgende Semantik: eine Abbildung, die im Abschnitt 1.2 dargestellt ist und innerhalb des Abschnittes 1.2 die fortlaufende Nummer 1 besitzt. Analog sind die Schlüssel für die Beispiele und Tabellen zu deuten. Für meine Frau Regina Berlin, im Februar 2008 Peter P. ECKSTEIN
Inhaltsverzeichnis
VII
Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2
Statistik ............................................................... Historische Notizen .................................................... Statistik-Begriff ........................................................
1 2 9
2 2.1
Grundbegriffe ....................................................... Einheit, Gesamtheit, Stichprobe ....................................... Reine Zufallsauswahl ............................................... Systematische Zufallsauswahl ..................................... Geschichtete Zufallsauswahl ....................................... Merkmal, Merkmalsausprägung, Skala ............................... Zustandsmenge ..................................................... Nominale Skala ..................................................... Ordinale Skala ...................................................... Metrische Skala .................................................... Diskretes Merkmal ................................................. Stetiges Merkmal ................................................... Zusammenfassung .....................................................
11 12 16 17 18 21 23 24 25 26 28 29 30
3 3.1 3.2 3.3
Datenerhebung ..................................................... Grundbegriffe ......................................................... Urlistenkonzept ........................................................ Fragebogenkonzept ....................................................
31 32 34 37
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4
PASW Statistics .................................................... Wofür steht PASW Statistics? ........................................ PASW Statistics starten und beenden ................................ PASW Statistics Editoren und Viewer ............................... PASW Statistics Dialogfelder ........................................ PASW Statistics Hilfesystem und Optionen ......................... PASW Statistics Daten- und Datei-Management .................... PASW Statistics Variablendefinition ................................. Daten eingeben und speichern ........................................ Einlesen einer Datendatei ........................................... PASW Statistics Datendateien bearbeiten .......................... Dateien zusammenfügen, Fälle hinzufügen ....................... Merkmalsträger nummerieren ...................................... Variablenwerte berechnen ......................................... Merkmalsträger auswählen und/oder löschen .....................
41 42 43 44 47 49 51 51 57 59 62 63 65 66 68
2.2
VIII 5 5.1
5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5 6 6.1 6.2
6.3
6.4
Inhaltsverzeichnis Datendeskription ................................................... Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilungen ........................... Empirische Verteilungsfunktion ................................... PARETO-Diagramm ................................................. Analyse von Mehrfachantworten .................................. Kreisdiagramm ..................................................... Balkendiagramm ................................................... Stem-and-Leaf-Plot ................................................ Histogramm ........................................................ Lagemaße .............................................................. Modus ................................................................. Quantile ............................................................... Box-and-Whisker-Plot ............................................. Arithmetisches Mittel ................................................. Streuungsmaße ........................................................ Spannweite und zentraler Quantilsabstand ........................... Varianz und Standardabweichung .................................... Verteilungsmaße ...................................................... Schiefemaße ........................................................... Wölbungsmaß ......................................................... Standardisierung ......................................................
71 72 74 78 80 86 89 92 96 98 99 100 106 108 114 114 118 124 125 127 128
Stochastik ........................................................... Zufallsexperimente und Ereignisse ................................... Wahrscheinlichkeitsbegriffe .......................................... Axiomatische Wahrscheinlichkeit ................................. Klassische Wahrscheinlichkeit ..................................... Subjektive Wahrscheinlichkeit ..................................... Statistische Wahrscheinlichkeit .................................... Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten .............................. Elementare Rechenregeln .......................................... Additionsregel ...................................................... Bedingte Wahrscheinlichkeit ...................................... Stochastische Unabhängigkeit ..................................... Multiplikationsregel ................................................ Totale Wahrscheinlichkeit ......................................... BAYESsche Formel ................................................. Zufallsgrößen .......................................................... Diskrete Zufallsgröße .............................................. Stetige Zufallsgröße ................................................
131 132 140 140 141 143 144 146 146 147 148 150 151 152 154 156 157 164
Inhaltsverzeichnis 6.5 6.5.1
6.5.2
6.6 7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 7.2.1 7.2.2
7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4
7.3.5
8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2
IX
Wahrscheinlichkeitsverteilungen ..................................... Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ........................... Binomialverteilung ................................................. POISSON-Verteilung ................................................ Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ............................. Normalverteilung .................................................. Exponentialverteilung ............................................. Grenzwertsätze und das Gesetz großer Zahlen .......................
169 169 169 175 180 180 190 194
Statistische Induktion ............................................ Stichprobenverfahren ................................................. Stichprobenziehung ................................................... Stichprobenvariablen und Stichprobenfunktionen ................... Stichprobenverteilungen .............................................. STUDENT t-Verteilung .............................................. Schätzverfahren ....................................................... Punktschätzung ....................................................... Intervallschätzung ..................................................... Konfidenzintervall für einen Erwartungswert ..................... Konfidenzintervall für einen Anteil ............................... Testverfahren .......................................................... Aufbau eines statistischen Tests ...................................... Chi-Quadrat-Anpassungstest ......................................... Chi-Quadrat-Verteilung ............................................ KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest ........................... t-Test für zwei unabhängige Stichproben ............................ Doppelter t-Test .................................................... WELCH-Test ........................................................ Einfaktorielle Varianzanalyse ........................................ Varianzhomogene Faktorgruppen ................................. Varianzinhomogene Faktorgruppen ............................... FISHER-Verteilung .................................................
201 202 202 205 212 214 218 218 223 224 233 236 237 240 249 253 259 259 265 267 268 272 275
Zusammenhangsanalyse ........................................ Kontingenzanalyse .................................................... Kontingenztabelle ..................................................... Konditionalverteilungen ........................................... Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest .................................... Kontingenzmaß nach CRAMÉR .................................... CHAID-basierter Entscheidungsbaum ................................. Rangkorrelationsanalyse ..............................................
277 278 278 283 286 287 289 295
X
Inhaltsverzeichnis
8.3
Maßkorrelationsanalyse ............................................... Streudiagramm ………………………………………………...… Maßkorrelationskoeffizient ........................................ Maßkorrelationsbasierter Unabhängigkeitstest .................... Partielle Maßkorrelationsanalyse .................................. Nonsense-Korrelation ..............................................
301 301 302 307 309 313
9 9.1
Regressionsanalyse .............................................. Bivariate lineare Regression .......................................... Kleinste-Quadrate-Regression ..................................... Grenz- und Elastizitätsfunktion .................................... Bivariate nichtlineare Regression ..................................... Funktionstypen ..................................................... Grenz- und Elastizitätsfunktionen ................................. Multiple Regression ...................................................
315 316 317 318 330 330 331 336
Zeitreihenanalyse .................................................. Zeitreihen ............................................................. Gleitende Durchschnitte .............................................. Trend-Saison-Modelle ................................................ Additives Trend-Saison-Modell ................................... Multiplikatives Trend-Saison-Modell ............................. WINTERS-Modell der exponentiellen Glättung .................... ARIMA-Modelle ....................................................... ARIMA-Modell ohne saisonale Parameter ......................... ARIMA-Modell mit saisonalen Parametern ........................
341 342 348 353 354 361 364 367 368 375
11 11.1 11.2 11.3 11.4
Faktorenanalyse ................................................... Grundprinzip .......................................................... Faktoren-Extraktion ................................................... Faktoren-Rotation ..................................................... Faktorwerte ...........................................................
381 382 383 393 397
12 12.1 12.2 12.3 12.4
Clusteranalyse ..................................................... Grundprinzip und Verfahrensüberblick .............................. Geometrische Klassifikation .......................................... Hierarchisch-agglomerative Klassifikation ........................... Partitionierende Klassifikation ........................................
401 402 405 409 415
9.2
9.3 10 10.1 10.2 10.3
10.4
Anhang ............................................................... 421 A Verzeichnis der PASW Statistics Datendateien ............... 422 B Datenzugriff via Internet ........................................ 424 Stichwortverzeichnis .............................................. 425
Statistik
1
1 Statistik Schlüsselwörter Deskriptive Statistik Explorative Statistik Induktive Statistik Materielle Statistik
Politische Arithmetik Statistikbegriff Stochastik Universitätsstatistik
Zielstellung. Das Ziel des ersten Kapitels besteht in der Vermittlung elementarer historischer Fakten zur Statistik, worin final die Bestimmung und die Erläuterung des modernen Statistikbegriffs eingeschlossen ist, der allerdings in der einschlägigen Literatur und in der statistischen Praxis unterschiedlich weit gefasst und interpretiert wird. Gegenstand. Das erste Kapitel hat historische Notizen zur Statistik zum Gegenstand. Darin eingeschlossen sind sowohl Wortursprungserklärungen als auch ein kurzgefasster Überblick über traditionelle Teilgebiete und über aktuelle Neuerungstendenzen in der Statistik. Wortursprung. Was heutzutage allgemein mit dem Begriff „Statistik“ umschrieben wird, bedeutet aus etymologischer (grch.: etymologia o Nachweis eines Wortursprungs) Sicht nichts anderes, als eine Zustandsbeschreibung (lat.: status o Zustand + statisticus o den Zustand betreffend) realer gesellschaftlicher, ökonomischer und/oder wissenschaftlicher Vorgänge und Prozesse. h
2
1.1
Statistik
Historische Notizen
Materielle Statistik. Die Abbildung 1.1-1 beinhaltet das Faksimile von Originaltextseiten des Weihnachtsoratoriums von Johann Sebastian BACH (1685-1750) aus dem Jahr 1734, das zu Zeiten des Genius der spätbarocken Musik traditionell „... in der Frühe zu Sankt Nicolai und Nachmittage zu Sankt Thomae in den beyden Haupt-Kirchen zu Leipzig musiciret wurde.“ BACH lässt in Anlehnung an das Biblische Geschichtsbuch nach LUKAS in der ersten Kantate seines Weihnachtsoratoriums nach dem Eingangschor „Jauchzet, frohlocket ...“ den Evangelisten in einem Tenor-Rezitativ mitteilen, „... daß ein Gebot von dem Kayser Augusto ausgieng, daß alle Welt geschätzet würde. Und jedermann gieng, daß er sich schätzen liesse, ein ieglicher in seine Stadt ...“ Abbildung 1.1-1: Faksimile des BACH´schen Weihnachtsoratoriums1
Gleichwohl die biblische Weihnachtsgeschichte nach LUKAS historisch nicht belegt ist, eignet sie sich dennoch vorzüglich zur Erleuchtung einer der historischen Quellen der modernen Statistik, der so genannten materiellen Statistik. Wann, wo und wie auch immer Menschen in einem Gemeinwesen lebten, sie bedurften zu dessen Verwaltung stets Kenntnisse über seine elementaren inneren Strukturen sowie über seine natürlichen und seine räumlichen Veränderungen. Das Motiv der Volkszählung, die in der Weihnachtsgeschichte erwähnt wird, liegt daher auf der Hand: Der römische Landpfleger CYRENIUS konnte sich anhand dieser „Schätzung“ zum Beispiel nicht nur einen Überblick über die Anzahl der waffenfähigen Männer, sondern auch über die Anzahl der steuerpflichtigen Bevölke1
Quelle: Begleittext zum Weihnachtsoratorium, Deutsche Schallplatten GmbH, Berlin 1992
Statistik
3
rung in Judäa verschaffen. Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang gleichsam die allegorische Darstellung dessen, was heute in der modernen Bevölkerungsstatistik unter dem Begriff der räumlichen und der natürlichen Bevölkerungsbewegung subsumiert wird: „Da machte sich auch auf Joseph aus Galiläa ... in das jüdische Land zur Stadt David, die da heißet Bethlehem ..., daß er sich schätzen liesse mit Maria, seinem vertrauten Weibe, die war schwanger. Und als sie da selbst waren, kam die Zeit, daß sie gebären sollte.“ Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass im Unterschied zur biblischen Weihnachtsgeschichte nach LUKAS der römische Zensus, der ihr zugrunde liegt, historisch verbrieft ist. Die synonyme Verwendung des Begriffs „Zensus“ für die Bevölkerungszählung eines bestimmten Territoriums findet ihren Ursprung in der Vermögensschätzung der freien Bürger des alten Roms und ihrer Erfassung in so genannten Steuerlisten unter Angabe ihres Namens und ihres Wohnortes. Universitätsstatistik. Interessant ist dabei, dass der heute allseits geläufige Begriff „Statistik“ allerdings erst ausgangs des 17. Jahrhunderts und eingangs des 18. Jahrhunderts in den Vorlesungstiteln deutscher Universitätsprofessoren auftaucht, die traditionell ihre Kollegien in lateinischer Sprache ministrierten. Der wohl bekannteste Vertreter der so genannten deutschen Universitätsstatistik, die als eine zweite historische Quelle der modernen Statistik angesehen werden kann, ist Gottfried ACHENWALL (1719-1772), der als Ordinarius für „Staatenkunde“ an der Universität Göttingen lehrte und im Jahre 1748 begann, seine Kollegien zu den „Staatsmerkwürdigkeiten“ mit dem originären lateinischen Titel „Noticia politica vulgo statistica“ (lat.: noticia o Kunde, Aufzeichnung + politicus o den Staat betreffend + vulgo o allgemein + statisticus o den Zustand betreffend) zu versehen und zu lesen. ACHENWALL bezeichnete erstmalig sein Kolleg als Statistik, weshalb ihm in der einschlägigen historischen Literatur auch der Ehrenname „Vater der Statistik“ verliehen wurde.2 Der etymologische Ursprung des Begriffs „Statistik“ liegt letztlich in der Zustandsbeschreibung eines Staates bzw. von „Land und Leuten“ und koinzidiert mit den eingangs skizzierten Vorgängen und Zielstellungen der so genannten materiellen Statistik. Die „verstaubte“ Kathederlehre der Universitätsstatistiker erfuhr allerdings eingangs des 18. Jahrhunderts eine „erfrischende“ und anfangs von den Universitätsstatistikern schärfstens befehdete Konkurrenz: die politischen Arithmetiker. Politische Arithmetik. Im Unterschied zu der verbalen Kathederlehre der deutschen Universitätsstatistiker mit ihren vorrangig theoretischen Arbeiten zu den Staatsmerkwürdigkeiten waren die so genannten politischen Arithmetiker mit Hilfe von Zahlen auf der Suche nach den Gesetzmäßigkeiten sozialer und 2
vgl. VON TYSZKA, Carl: Statistik, Teil I: Theorie, Methode und Geschichte der Statistik, Gustav Fischer Verlag, Jena 1924, Seite 84 ff
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Statistik
wirtschaftlicher Zustände und Vorgänge. Der wohl bekannteste deutsche Vertreter der so genannten Politischen Arithmetik, die als eine dritte historische Quelle der modernen Statistik angesehen werden kann, war der Brandenburg-Preußische Feldprediger und spätere Probst zu Berlin-Cölln Johann Peter SÜßMILCH (17071767). SÜßMILCH erbat sich von seinen Pastorenkollegen aus insgesamt 1068 Dörfern der Kurmark Kirchenbuchauszüge über Taufen, Trauungen und Sterbefälle und fasste seine fundamentalen und im Wesentlichen heute noch gültigen bevölkerungsstatistischen Erkenntnisse in seiner faszinierenden „Göttlichen Ordnung“3 zusammen, deren Titelblatt in der Ausgabe aus dem Jahr 1741 als Faksimile in der Abbildung 1.1-2 dargestellt ist. Abbildung 1.1-2: SÜßMILCH-Porträt, Faksimile „Göttliche Ordnung“ 4
Bereits in der „Vorrede des Verfassers“, in der SÜßMILCH den Leser in seine Gedankenwelt einführt, vermag er diesen mittels seiner theologisch und allegorisch geprägten Sprache und durch sein geradezu modern anmutendes statistisches Denken zu fesseln, wenn er konstatiert: „Alles ist hieben nach gewissen Zahlen und Verhältnissen eingerichtet. Die Menschen werden gebohren und sterben, 3
SÜßMILCH, Johann Peter: Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, Tod, Fortpflanzung desselben erwiesen von Johann Peter Süßmilch, Prediger beym hochlöblichen Kalcksteinischen Regiment. Nebst einer Vorrede Herrn Christian Wolffens. Berlin, zu finden bey J. C. Spener 1741, Faksimile der Originalausgabe 4 Quelle: BIRG, Herwig, Eckart ELSNER, Jacqueline HECHT: Über Johann Peter Süßmilchs „Göttliche Ordnung“, Verlag Wirtschaft und Finanzen Düsseldorf 2001, Seite 16
Statistik
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aber allezeit in einer gewissen Verhältniß. Es werden Kinder, Söhne und Töchter durcheinander, geboren, aber ohne Verletzung der einmal von der Vorsehung beliebten Ordnung. Die Menschen sterben in Ansehung des Alters dem ersten Anblick nach ganz unordentlich untereinander, bey genauerer Wahrnehmung aber gleichfalls nach einer bestimmten Verhältniß. Da nun zu dem allen der Mensch wenig oder nichts beyträget, und ein ohngefehrer Zufall ein verlachungswürdiges Unding ist: so werden wir dadurch in dieser Wahrheit bevestiget, dass Gott für das menschliche Geschlecht Sorge trage.“5 Mathematische Statistik. Als eine vierte Quelle der modernen Statistik kann die so genannte mathematische Statistik aufgefasst werden, die im Unterschied zur politischen Arithmetik nicht nur die bloße statistische Deskription massenhaft erhobener Informationen über soziale Phänomene, sondern ursprünglich die Beschreibung und Nachbildung massenhaft erhobener Informationen über natürliche Phänomene mit Hilfe mathematischer Verfahren zum Gegenstand hatte. Abbildung 1.1-3: 10-Mark-Note mit Porträt von Carl Friedrich GAUß6
Stellvertretend für die Phalanx berühmter mathematischer Statistiker sollen im Kontext der historischen Notizen zur Statistik lediglich zwei Berühmtheiten erwähnt und zugleich gewürdigt werden: zum einen der geniale deutsche Mathematiker, Astronom und Geodät Carl Friedrich GAUß (1777-1855) und zum anderen der englische Erforscher, Meteorologe, Biometriker und Statistiker Sir Francis GALTON (1822-1911). Mit GAUß, dessen Porträt als markanter Bestandteil der 10-Mark-Banknote in Abbildung 1.1-3 dargestellt ist, werden in der mathemati5
SÜßMILCH, a.a.O., Seite 21 ff Die 10-Mark-Banknote war von 1991 bis zur Einführung des Euro im Jahre 2002 im Umlauf. Dem seitenverkehrten Bildnis von GAUß liegt ein Gemälde des dänischen Malers Christian Albrecht JENSEN (1792-1870) aus dem Jahr 1840 zugrunde. Während die Normalverteilungskurve ein Hinweis auf die mathematischen Leistungen von GAUß ist, symbolisieren die Universität und die Neue Sternwarte seine Wirkungsstätten in Göttingen. 6
6
Statistik
schen Statistik vor allem die Methode der kleinsten Quadratesumme (vgl. Kapitel 9) und das Modell einer Normalverteilung (vgl. Kapitel 6) assoziiert, die er beide im Zuge der Auswertung massenhaft erhobener geodätischer Daten, die im Rahmen seiner langjährig währenden Landesvermessung des Königreichs Hannover anfielen, zum Zwecke der Ausgleichsrechnung von Messfehlern entwickelte bzw. als Messfehlergesetz entdeckte. Abbildung 1.1-4: GALTON´s Regressionsprinzip
GALTON, der ein Cousin des Begründers der Evolutionstheorie Charles DARWIN (1809-1882) war und dessen Porträt in der Abbildung 1.1-4 dargestellt ist, gilt nicht nur schlechthin als der geistige Vater der Korrelationsanalyse und der Regressionsanalyse, die er in seinem 1889 erschienenen Werk „Natural Inheritance“ (engl.: natural o natürlich + inheritance o Erbe) im statistischen Sinne anhand der Vererbung der menschlichen Körpergröße begründete und die beide ein spezieller Gegenstand der Kapitel 8 und 9 sind, sondern er gilt auch als der Erfinder des nach ihm benannten GALTON-Brettes (vgl. Abbildung 6.6-1), das wegen seiner Originalität und Anschaulichkeit ein brillantes didaktisches Instrument zur bildhaften Verdeutlichung anspruchsvoller und substantieller statistischer Konzepte ist, worunter vor allem das schwache Gesetz großer Zahlen und die beiden theoretischen Verteilungsmodelle einer Binomialverteilung und einer Normalverteilung zu nennen wären, die ein spezieller Gegenstand des Kapitels 6 sind. Stochastik. Der Vollständigkeit halber muss im Kontext der historischen Notizen zur Statistik noch die Stochastik (grch.: stochastikos o im Erraten geschickt, dem Zufall geschuldet) als eine fünfte historische Quelle der modernen Statistik erwähnt werden, die im Unterschied zu den vorher erwähnten vier Quellen losgelöst von realen wirtschaftlichen, sozialen und natürlichen Phänomen
Statistik
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ihren Ursprung in theoretischen Abhandlungen über das Glücksspiel hat. Ihr Kernstück ist die Wahrscheinlichkeitstheorie, die neben Verfahren und Modellen zur mathematisch-statistischen Beschreibung von zufälligen Ereignissen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten auch Aussagen über deren Gesetzmäßigkeiten liefert und ohne deren Axiome, Methoden und Modelle heute keine Entscheidungsfindung unter Risiko mehr denkbar erscheint, unabhängig davon, ob es sich um Entscheidungsprozesse in Natur-, Ingenieur-, Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften handelt. Als die geistigen Väter der Stochastik im Allgemeinen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Speziellen können der Schweizer Mathematiker Jacob BERNOULLI (1654-1705) und der französische Physiker und Mathematiker Pierre Simon Marquis le Comte LAPLACE (1749-1827) angesehen werden. Abbildung 1.1-5: BERNOULLI „Ars conjectandi“7
Während Jacob BERNOULLI (als Spross einer berühmten Schweizer Mathematiker-Familie) in seinem 1713 postum veröffentlichten Traktat „Ars conjectandi“, dessen Faksimile in der Abbildung 1.1-5 enthalten ist, dem Wahrscheinlichkeitsbegriff eine universelle Bedeutung zuweist und ihn damit von den Ketten befreit, die ihn ursprünglich an die bloße und pragmatische Betrachtung von Chancen (frz.: chance o Glücksfall) beim Glücksspiel schmiedeten, fasste LAPLACE in seinem erstmals 1812 erschienenen Buch „Théorie analytique des probabilités“, dessen Faksimile in der Abbildung 1.1-6 dargestellt ist, das wahrscheinlichkeitstheoretische Wissen seiner Zeit zusammen. 7
Quelle: Kleine Enzyklopädie Mathematik, 10., völlig überarbeitete Auflage, VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1977, Bilderanhang
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Statistik Abbildung 1.1-6: LAPLACE „Théorie des probabilités“ 8
Auf LAPLACE geht unter anderem der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff zurück, der ein spezieller Gegenstand des Kapitels 6 ist und didaktisch-methodisch im Kontext von Glücksspielen (etwa das Werfen einer Münze oder eines „idealen“ Spielwürfels) eingeführt wird. Abbildung 1.1-7: KOLMOGOROV „Theory of Probability“
Nicht unerwähnt bleiben darf und soll in diesem Zusammenhang der russische Mathematiker Andrej Nikolajewitsch KOLMOGOROV (1903-1987), der in einem 8
Quelle: Kleine Enzyklopädie Mathematik, 10., völlig überarbeitete Auflage, VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1977, Bilderanhang
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erstmals 1933 publizierten Traktat nicht nur den axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff begründete, sondern damit auch das theoretische Fundament der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie legte, die heute ein integraler Bestandteil der akademischen Ausbildung auch und gerade auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften ist. Die Kernaussagen der drei KOLMOGOROVschen Axiome (grch.: axioun o für recht halten bzw. Lehrsatz, den man nicht zu beweisen braucht) lassen sich auf die folgende Kernaussage zusammenfassen: Die Wahrscheinlichkeit ist ein reellwertiges Maß für den Grad der Gewissheit bzw. Ungewissheit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses, das nur Werte zwischen null und eins annehmen kann. Die erwähnten drei Axiome und daraus abgeleitete elementare Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten sind ein spezieller Gegenstand des sechsten Kapitels dieses Lehrbuches. Fazit. Wenn auch losgelöst von den praktischen Dingen des Lebens, so leisteten die Wahrscheinlichkeitstheoretiker, aus deren Phalanx einmal nur drei Persönlichkeiten eine Erwähnung und kurze Würdigung fanden, zweifelsfrei einen unschätzbaren und substantiellen Beitrag zur inhaltlichen Gestaltung und methodischen Qualifizierung dessen, was heute unter dem Begriff der „modernen Statistik“ subsumiert wird und der im Kontext der folgenden Abschnittes kurz umrissen und erläutert wird. h
1.2
Statistik-Begriff
Motivation. Aus den historischen Notizen zur Statistik als der „Wissenschaft von der empirischen Erkenntnis“ kann der folgende moderne Statistikbegriff abgeleitet werden, der (obgleich in der einschlägigen Literatur unterschiedlich gefasst) mittels der Abbildung 1.2-1 allegorisch untermauert werden soll. Abbildung 1.2-1: Statistik als empirische Wissenschaft
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Statistik
Statistik Statistik ist die Bezeichnung für die Gesamtheit von Verfahren und Methoden zur Gewinnung, Erfassung, Aufbereitung, Analyse, Darstellung, Modellierung und Vorhersage von (möglichst) massenhaften, zähl-, mess- und systematisch beobachtbaren Daten über reale Sachverhalte zum Zwecke der Erkenntnisgewinnung und Entscheidungsfindung (meist unter Ungewissheit). Hinweise. Für das Verständnis des Statistikbegriffs erweisen sich die folgenden Anmerkungen und Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Anwendungsgebiete. Die Statistik kommt sowohl in den Wirtschafts-, Kommunikations-, Sozial-, Natur- und Ingenieurwissenschaften als auch in Wirtschaft, Verwaltung, Politik und in den Medien zu einer breiten und universellen Anwendung. ii) Synonyme. Umgangssprachlich wird der Begriff der Statistik funktionell im Sinne der Auflistung von Daten (etwa in Preis-, Einkommens-, Unfall- oder Besuchsstatistiken) und institutionell hinsichtlich der daran beteiligten Institutionen (etwa in Gestalt der amtlichen Statistik, Industrie-, Banken- oder Betriebsstatistik) erweitert und gebraucht. iii) Teilgebiete. Aus der historischen Entwicklung der Statistik erklärt sich die heute in der einschlägigen Fachliteratur noch übliche Untergliederung in die Teilgebiete der Deskriptiven Statistik (lat.: descriptio o Beschreibung), der Stochastik (grch.: stochastikos o dem Zufall geschuldet) und der Induktiven Statistik (lat.: inductio o das Hineinführen). Während die Deskriptive Statistik auf das „bloße“ Beschreiben von statistisch erhobenen Daten abstellt, wagt man unter Einbeziehung der Stochastik mit Hilfe der Induktiven Statistik einen wahrscheinlichkeitstheoretisch begründeten statistischen Schluss von einem „bekannten“ Stichprobenbefund auf eine „unbekannte“ Grundgesamtheit, also einen statistischen Schluss „vom Teil aufs Ganze“. iv) Methodenlehre. Als Methodenlehre unterteilt man die Statistik in die theoretische Statistik und in die angewandte Statistik. Die theoretische Statistik umfasst alle Methoden, die unabhängig von der konkreten fachwissenschaftlichen Anwendung zur Verfügung gestellt werden. Die angewandte Statistik vermittelt die konkrete fachwissenschaftliche Anwendung der statistischen Methoden etwa im Kontext der Wirtschafts-, der Sozial- oder der Bevölkerungsstatistik. v) Neuerungen. Mit der Verfügbarkeit leistungsfähiger Rechentechnik und einschlägiger Software entstanden neue Teilgebiete, worunter vor allem die Computerstatistik, die explorative Datenanalyse oder das Data-Mining zu nennen sind. Während die explorative Statistik (lat.: exploratio o Erforschung) vor allem auf die „Ergründung“ massenhaft erhobener Daten abstellt und somit eine Brücke zum „Data-Mining“ (engl.: data o Daten + mining o Bergbau) schlägt, hat die Computerstatistik vor allem die Erforschung spezieller Eigenschaften statistischer Schätzfunktionen zum Gegenstand. vi) PASW. Aus dem umfangreichen Katalog der heutzutage angebotenen Statistik-Programm-Pakete kommt dem Nachfolger von SPSS, PASW (engl.: Predictive Analytics Soft-Ware), wegen seiner Leistungsfähigkeit sowohl in der akademischen Lehre als auch in der statistischen Praxis eine besondere Bedeutung zu. i
Lehrbuch. Das vorliegende Lehrbuch hat eine paradigmatische und realdatenbasierte Einführung in die statistische Methodenlehre für Studierende in wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen mit Hilfe des Programm-Pakets PASW Statistics 18 zum Gegenstand. h
Grundbegriffe
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2 Grundbegriffe Schlüsselwörter Erhebungsmerkmal Identifikationsmerkmal Merkmalsausprägung Metrische Skala Nominale Skala
Ordinale Skala Statistische Einheit Statistische Gesamtheit Statistische Skala Zustandsmenge
Gegenstand. Das zweite Kapitel hat die inhaltliche Bestimmung und die paradigmatische Erläuterung statistischer Grundbegriffe zum Gegenstand, ohne die sowohl ein elementares Verständnis als auch ein sinnvoller sowie zielführender Einsatz der Verfahren und Methoden, die in den nachfolgenden Kapiteln skizziert und appliziert werden, nicht möglich ist. Grundbegriffe. Im Kontext des ersten Kapitels wurde vermerkt, dass die Statistik eine historisch gewachsene wissenschaftliche Disziplin ist. Dies ist auch ein Grund dafür, warum die statistischen Grundbegriffe zu einem überwiegenden Teil ihren etymologischen Ursprung sowohl in der lateinischen als auch in der griechischen Sprache haben. Um den Zugang zu und den Umgang mit den Fachtermini zu erleichtern, werden die Fachbegriffe mit ihrer inhaltlichen Einführung auch kurz etymologisch erläutert. Darin eingeschlossen sind zudem die Fachtermini, die der englischen Sprache entlehnt sind und vor allem mit dem Einzug moderner Rechentechnik und einschlägiger Software Eingang in den statistischen Sprachgebrauch gefunden haben. h
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Grundbegriffe
2.1
Einheit, Gesamtheit, Stichprobe
Motivation. Die Berliner Senatsverwaltung für Stadtentwicklung veröffentlicht alle zwei Jahre den so genannten Berliner Miet(en)spiegel, der eine statistische Beschreibung des Berliner Mietwohnungsmarktes im Allgemeinen und der ortsüblichen Vergleichsmieten für verschiedene Wohnungstypen vergleichbarer Art, Größe, Ausstattung, Beschaffenheit und Lage im Speziellen zum Gegenstand hat. Ein integraler Bestandteil des Berliner Mietspiegels für das Jahr 2009 ist die Wohnlagenkarte, die in der Abbildung 2.1-1 dargestellt ist und auf einem Blick eine bildhafte Vorstellung vom Berliner Mietwohnungsmarkt vermittelt. Abbildung 2.1-1: Berliner Mietspiegel 2009, Wohnlagenkarte
Aus statistisch-methodischer Sicht ist der Berliner Mietwohnungsmarkt nichts anderes als eine endliche, allerdings hinsichtlich ihres Umfanges nicht näher bestimmte, jedoch sachlich, örtlich und zeitlich genau abgegrenzte Menge von Mietwohnungen, die es hinsichtlich interessierender Eigenschaften wie Wohnlage, Wohnfläche, Warm- oder Kaltmiete, Mietpreis, Ausstattungsgrad usw. statistisch zu erfassen und zu beschreiben gilt. Dabei erscheint das reale Objekt in Gestalt einer Mietwohnung als das kleinste statistische Element der angestrebten Marktbeschreibung, das synonym auch als statistische Einheit, Merkmalsträger, Beobachtungseinheit, Erfassungs- oder Erhebungseinheit bezeichnet wird. Während man im konkreten Fall die Menge aller Berliner Mietwohnungen unter dem Begriff der statistischen Grundgesamtheit subsumiert, bezeichnet man eine wohldefinierte, bezüglich der Marktgegebenheiten repräsentative und bezüglich ihres Umfanges konkret bestimmte Teilmenge von Berliner Mietwohnungen im Sinne
Grundbegriffe
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der Deskriptiven Statistik (lat.: descriptio o Beschreibung) als eine statistische Gesamtheit und im Sinne der Induktiven Statistik (lat.: inductio o das Hineinführen) als eine Stichprobe, mit der man einen Schluss von der Mietwohnungsteilmenge auf die statistische Grundgesamtheit aller Mietwohnungen wagt. Grundbegriffe. Aus den einführenden und paradigmatischen Betrachtungen lassen sich die folgenden statistischen Grundbegriffe ableiten: Statistische Einheit Eine statistische Einheit J (lies: Klein-Gamma) ist das kleinste Element in der Statistik. Eine statistische Einheit J ist Träger von Informationen bzw. Eigenschaften, die für eine statistische Untersuchung von Interesse sind. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Einheit sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Synonyme. Eine statistische Einheit wird synonym auch als Merkmalsträger, Beobachtungseinheit, Erfassungs- oder Erhebungseinheit bezeichnet. ii) Objekt versus Fall. Eine statistische Einheit J, die in der englischsprachigen Literatur als „case“ (engl.: case o Fall) bezeichnet wird, kann ein reales Objekt (zum Beispiel eine Person, ein Unternehmen, ein Kraftfahrzeug etc.) oder ein Vorgang bzw. ein Fall (zum Beispiel ein Verkehrsunfall, ein Krankheitsfall, ein Theaterbesuch, ein Arztbesuch etc.) sein. Bei einer Vorgangs- bzw. Fallstatistik ist stets zwischen dem einzelnen Vorgang und den daran beteiligten realen Objekten zu unterscheiden. i
Beispiel 2.1-1: Statistische Einheit als reales Objekt Im Sommersemester 2010 haben sich am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin in den Bachelor- Studiengängen insgesamt 292 Studierende in die Lehrveranstaltung „Statistik“ eingeschrieben. In dieser Einschreibestatistik repräsentiert eine Studentin bzw. ein Student die statistische Einheit J, die erfassungsstatistisch als ein reales Objekt betrachtet wird. h Beispiel 2.1-2: Statistische Einheit als Vorgang9 Verkehrsunfall. In Deutschland wurden im Jahr 2008 insgesamt 320614 Verkehrsunfälle mit Personenschaden registriert. In dieser Unfallstatistik ist der einzelne Verkehrsunfall die statistische Einheit J. Das Charakteristische am Vorgang eines Verkehrsunfalls ist, dass daran in der Regel mehrere reale Objekte (etwa verunglückte Personen und/oder beschädigte Fahrzeuge) beteiligt sind. Theaterbesuch. In der Spielzeit 2006/07 wurden in den 16 Privattheatern Berlins 811961 Theaterbesuche registriert. In dieser Besuchsstatistik ist der statistisch erfasste Vorgang eines einzelnen Theaterbesuches die (kleinste) statistische Einheit J. Das Charakteristische am Vorgang eines Theaterbesuches ist, dass ein Theaterbesucher als ein und dieselbe Person durch Wiederholung des Vorganges eines Theaterbesuches mehrmals statistisch erfasst werden kann. h 9
Quelle: Statistisches Jahrbuch 2009 für die Bundesrepublik Deutschland, Seite 440 und 178
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Grundbegriffe
Statistische Gesamtheit Eine endliche Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} wohl unterschiedener statistischer Einheiten Ji, die hinsichtlich sachlicher, örtlicher und zeitlicher Identifikationsmerkmale gleich abgegrenzt sind, heißt statistische Gesamtheit *n (lies: GroßGamma) vom Umfang n. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Gesamtheit sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Synonyme. Eine statistische Gesamtheit wird synonym auch als statistische Masse, statistische Population, statistisches Kollektiv oder statistische Grundgesamtheit bezeichnet. ii) Abgrenzung. Die Festlegung einer gleichen sachlichen (wer, was), örtlichen (wo) und zeitlichen (wann) Abgrenzung einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Merkmalsträgern Ji wird durch die Zielsetzung der statistischen Untersuchung bestimmt und mit Hilfe so genannter Abgrenzungs- oder Identifikationsmerkmale bewerkstelligt (vgl. Beispiel 2.2-1). iii) Umfang. Die Anzahl n der statistischen Einheiten bzw. der Merkmalsträger Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n heißt Umfang der Gesamtheit. Hinsichtlich des Umfangs einer statistischen Gesamtheit unterscheidet man zwischen endlichen und potentiell unendlichen Gesamtheiten. In der angewandten Statistik werden stets nur endliche statistische Gesamtheiten betrachtet. iv) Grundgesamtheit. In der Induktiven Statistik (vgl. Kapitel 7) erfährt vor allem aus theoretischer Sicht der Begriff einer statistischen Gesamtheit eine Erweiterung derart, dass man ihn im Sinne des statistischen Schlusses „vom Teil aufs Ganze“ nicht nur auf eine (in der Regel hinreichend große) endliche Menge von Merkmalsträgern Ji begrenzt. Im Kontext der Induktiven Statistik wird eine (in der Regel endliche und hinreichend große) Menge * = {Ji, i = 1,2,...,N} wohl unterschiedener, sachlich, örtlich und zeitlich gleich abgegrenzter statistischer Einheiten (bzw. Merkmalsträger) Ji als eine statistische Grundgesamtheit * (lies: Groß-Gamma) vom Umfang N bezeichnet, deren Umfang N nicht immer bekannt ist bzw. sein muss. v) Stichprobe. In praxi ist aus Zeit-, Kosten- und Realisierbarkeitsgründen die „Totalerhebung“ (vgl. Kapitel 3) einer in der Regel sehr großen und hinsichtlich ihres Umfanges N nicht näher bestimmten statistischen Grundgesamtheit * oft nicht praktikabel und/oder nicht sinnvoll. Man erhebt daher aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N eine (möglichst repräsentative) Teilmenge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n < N statistische Einheiten Ji, mit dem Ziel, einen induktiven Schluss „von einer statistischen und zugleich zufallsbedingten Stichprobe *n auf eine statistische Grundgesamtheit *“ zu bewerkstelligen. vi) Notation. Der Begriff einer Stichprobe *n ist ebenso wie der Begriff einer statistischen Grundgesamtheit * untrennbar mit den Konzepten der Induktiven Statistik (vgl. Kapitel 7) verbunden. Im Kontext der Deskriptiven Statistik bzw. einer „bloßen“ Datendeskription (vgl. Kapitel 5) wird eine endliche Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von statistischen Einheiten Ji, selbst wenn sie stichprobenartig erhoben wurde, als eine statistische Gesamtheit *n vom Umfang n bezeichnet, da in der Deskriptiven Statistik bzw. Datendeskription der induktive Schluss von einer Stichprobe *n auf eine Grundgesamtheit * ohne Belang ist. Die begriffliche und zugleich formale Unterscheidung zwischen einer statistischen Gesamtheit bzw. Stichprobe *n im „deskriptiven Sinne“ und einer statistischen Grundgesamtheit * im „induktiven Sinne“ ist einzig und allein theoretisch und statistischmethodisch begründet. i
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Beispiel 2.1-3: Statistische Gesamtheiten Studierende. Gemäß Beispiel 2.1-1 bildet die wohldefinierte und endliche Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der Studierenden Ji, die sich am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I im Sommersemester 2010 in den Bachelor- Studiengängen in die Lehrveranstaltung „Statistik“ eingeschrieben haben, eine statistische Gesamtheit. Ihr Umfang umfasst n = 292 Studierende Ji. Die statistische Gesamtheit *n ist wie folgt abgegrenzt bzw. kann inhaltlich wie folgt identifiziert werden: i) sachlich: Studierende Ji in den Bachelor-Studiengängen, die sich in die Lehrveranstaltung „Statistik“ eingeschrieben haben, ii) örtlich: am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der HTW Berlin und iii) zeitlich: im Sommersemester 2010. Verkehrsunfälle. Analog bilden gemäß Beispiel 2.1-2 die n = 320614 Verkehrsunfälle Ji mit Personenschaden, die in Deutschland im Jahr 2008 insgesamt registriert wurden, eine statistische Gesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,n}, die inhaltlich wie folgt abgegrenzt ist bzw. inhaltlich wie folgt identifiziert werden kann: i) sachlich: Verkehrsunfall Ji mit Personenschaden, ii) örtlich: in Deutschland und iii) zeitlich: im Jahr 2008. h Statistische Stichprobe Eine n-elementige Teilmenge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von Merkmalsträgern, die mit Hilfe eines bestimmten Auswahlverfahrens aus einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2, ...,N} vom Umfang N ermittelt bzw. „gezogen“ wurde, heißt Stichprobe vom Umfang n. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Stichprobe sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Statistische Induktion. Der Stichprobenbegriff ist ebenso wie der Begriff einer statistischen Grundgesamtheit untrennbar mit den Konzepten der Induktiven Statistik verbunden (vgl. Kapitel 7). Im Kontext der Deskriptiven Statistik bzw. in Zuge einer „bloßen“ Datendeskription (vgl. Kapitel 5) wird eine Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von statistischen Einheiten Ji auch als eine statistische Gesamtheit *n vom Umfang n gedeutet bzw. bezeichnet. ii) Auswahlsatz. Der Quotient A = (n/N)100 % aus dem Umfang n einer Stichprobe *n und dem Umfang N einer (endlichen) Grundgesamtheit * heißt (prozentualer) Auswahlsatz. iii) Stichprobenverfahren. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung häufig angewandte Auswahl- oder Stichprobenverfahren sind in der Tabelle 2.1-1 zusammengefasst. Tabelle 2.1-1: Auswahlverfahren zufallsbedingt nicht zufallsbedingt reine Zufallsauswahl Quotenauswahl systematische Zufallsauswahl typische Auswahl geschichtete Zufallsauswahl willkürliche Auswahl
iv) Zufallsstichprobe. Stichproben, die mit Hilfe von zufallsbedingten Auswahlverfahren gezogen werden, heißen Zufallsstichproben. Zufallsstichproben bilden das theoretische und empirische Rüstzeug für einen induktiven Schluss „vom Teil aufs Ganze“ (vgl. Kapi-
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Grundbegriffe tel 7). v) Repräsentativität. Motiv und Grundidee einer statistischen Stichprobenerhebung bestehen darin, Rückschlüsse auf eine zugrunde liegende statistische Grundgesamtheit * zu ziehen. Die Zuverlässigkeit eines „induktiven Schlusses“ ist wesentlich davon abhängig, inwieweit eine statistische Zufallsstichprobe *n eine statistische Grundgesamtheit * sachadäquat repräsentiert. Im statistisch-methodischen Sinne bezeichnet man eine Zufallsstichprobe *n als repräsentativ, wenn sie die „innere Struktur und die Charakteristika“ einer statistischen Grundgesamtheit * adäquat (lat.: adaequatus o gleichgemacht) abbildet. vi) Historie. Ursprünglich stammt der Begriff einer Stichprobe aus dem Hüttenwesen. Er bezeichnete den Vorgang, mit dem Probelöffel aus der Schmelzmasse eines Hochofens, auch Stichofen genannt, eine Probe zu ziehen. i
Beispiel 2.1-4: Grundgesamtheit, Stichprobe, Auswahlsatz Grundgesamtheit. Im Abschnitt 7.1.1 wird das Grundprinzip einer Stichprobenziehung paradigmatisch anhand der zufälligen Auswahl eines Dutzends Hühnereier aus einem großen Los von Hühnereiern erläutert. Im Kontext dieser Betrachtungen wird die endliche Menge * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N = 785 Hühnereier Ji als eine statistische Grundgesamtheit gedeutet. Zufallsstichprobe. Ein zufällig ausgewähltes Dutzend *n = {Ji, i = 1,2,...,12} von Hühnereiern Ji aus der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N = 785 Hühnereiern Ji bezeichnet man aus mengentheoretischer Sicht als eine Teilmenge und aus statistischer Sicht als eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 Hühnereier Ji. Auswahlsatz. Der prozentuale Anteil A = (12/785)100 % | 1,53 % des Stichprobenumfanges von n = 12 Hühnereiern am „bekannten“ Grundgesamtheitsumfang von N = 785 Hühnereiern wird in der Induktiven Statistik (vgl. Kapitel 7) auch als (prozentualer) Auswahlsatz A bezeichnet. h Reine Zufallsauswahl Ein Auswahlverfahren, bei dem jeder Merkmalsträger Ji * einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N eine gleiche Chance (frz.: chance o Glücksfall, Zufall) besitzt, in die Auswahl zu gelangen, heißt reine Zufallsauswahl. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer reinen Zufallsauswahl sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Synonyme. Eine reine Zufallsauswahl wird synonym auch als eine uneingeschränkte oder einfache Zufallsauswahl bezeichnet. ii) Zufallsstichprobe. Das Ergebnis einer reinen Zufallsauswahl in Gestalt statistischer Informationen heißt reine oder einfache Zufallsstichprobe. Aus statistisch-methodischer Sicht ist dabei stets zwischen einem Auswahlverfahren und einem Auswahlergebnis in Gestalt einer Zufallsstichprobe zu unterscheiden. iii) Lostrommel. Ein „alt bewährtes, einfaches und praktikables“ Auswahlverfahren, mit dem man reine Zufallsstichproben ziehen kann, ist die Auslosung mit Hilfe einer Lostrommel (Urnenmodell). Dabei unterscheidet man zwischen einer Auswahl „mit Zurücklegen“ und „ohne Zurücklegen“ eines Loses. iv) Zufallszahlen. In praxi werden reine Zufallsstichproben mit Hilfe gleichver-
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teilter Zufallszahlen gezogen, die mittels Zufallsgeneratoren erzeugt und als „Lostrommel bzw. Urne auf Vorrat“ angesehen werden können (vgl. Abschnitt 7.1.1). v) Homogenität. Der induktive Schluss auf der Grundlage einer reinen Zufallsstichprobe ist an die Bedingung gebunden, dass die statistische Grundgesamtheit * homogen ist, also die Merkmalsträger Ji sachlich, örtlich und zeitlich vergleichbar sind und ein Abbild der Grundgesamtheit * (etwa in Form einer Urliste) der Merkmalsträger Ji vorliegt. i
Beispiel 2.1-5: Reine Zufallsauswahl Das Prinzip einer reinen Zufallsauswahl wird im Kontext des Abschnittes 7.1.1 am praktischen Sachverhalt des zufälligen Auswählens von jeweils n = 12 Hühnereiern (Dutzendauswahl) aus einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N = 785 Hühnereiern Ji exemplarisch und rechengestützt erläutert und demonstriert. h Systematische Zufallsauswahl Ein Auswahlverfahren, bei dem aus einer ungeordneten und „gut gemischten“ endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N die Merkmalsträger Jr * mit der Nummer r = 1 + (i 1)INT(N/n) in die Auswahl gelangen, heißt systematische Zufallsauswahl. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer systematischen Zufallsauswahl erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Zufallsstichprobe. Das Ergebnis einer systematischen Zufallsauswahl in Gestalt statistischer Informationen heißt systematische Zufallsstichprobe. ii) Bedeutung. In der angewandten Statistik kommt der systematischen Zufallsauswahl wegen ihrer einfachen Handhabung eine besondere praktische Bedeutung zu. Unterliegen die Merkmalsträger Ji einer statistischen Grundgesamtheit * keinem Ordnungsprinzip, gelten sie also als „gut gemischt“, dann kann in der praktischen statistischen Arbeit eine systematische Zufallsstichprobe als ein „gleichwertiger Ersatz“ für eine reine Zufallsstichprobe angesehen werden. iii) Zählabstand. Ist ein Auswahlsatz A = n/N bzw. ein prozentualer Auswahlsatz A* = A100 % vorgegeben, dann kann die Auswahlordnung mittels der folgenden Berechnungsvorschriften bestimmt werden: r = 1 + (i – 1)INT(N/n) bzw. r = 1 + (i – 1)INT(100/A*). Die natürliche Zahl INT(N/n) = INT(100/A*) kennzeichnet den Zähl- oder Auswahlabstand zwischen den „systematisch“ zu ziehenden Merkmalsträgern. Der Auswahlabstand ist der (ganzzahlig gerundete) reziproke Auswahlsatz A. In Anlehnung an Programmiersprachen gibt die Funktion INT (engl.: integer o ganze Zahl) den ganzzahligen Teil des Quotienten N/n an. Für den Fall, dass der Umfang N einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * nicht bekannt ist, legt man einen geeigneten und sachlogisch begründeten Zählabstand fest. iv) Spezialfälle. Als Spezialfälle einer systematischen Zufallsauswahl können die Buchstaben- und die Geburtstagsauswahl sowie das Schlussziffernverfahren aufgefasst werden. So können zum Beispiel aus einer Personaldatei alle die Personen ausgewählt werden, deren Nachname mit E oder der Vorname mit der Buchstabenkombination Pe beginnt bzw. die am 28. Oktober Geburtstag haben. Das Schlussziffernverfahren findet vor allem bei der Gewinnauslosung in Lotterien eine breite Anwendung. In praxi gleichsam üblich ist die Auswahl und zeitliche Zuordnung von Studierenden zu einem Klausurtermin nach den Schlussziffern ihrer Immatrikulationsnummer. i
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Beispiel 2.1-6: Systematische Zufallsauswahl Motivation. Das Prinzip einer systematischen Zufallsauswahl soll anhand des folgenden Szenarios exemplarisch erläutert werden: Zur wöchentlich stattfindenden Statistik-Vorlesung haben sich im Hörsaal N = 222 Studierende eingefunden, die aus statistisch-methodischer Sicht als eine endliche statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N = 222 Studierende Ji aufgefasst werden können. Für das Auditorium wird (als durchaus realistisch) unterstellt, dass die Sitzordnung der Hörer als „bunt gemischt“ angesehen werden kann. Zur Verdeutlichung des statistischen Sachverhalts einer Zufallsauswahl beabsichtigt der Professor, n = 10 Studierende Ji auszuwählen und sie nach ihrem Geburtstag zu fragen. Da er die Studierendenauswahl im statistischen Sinne als „gerecht“ verstanden wissen, also dem Zufall genügend „Spielraum“ bei der Auswahl der Studierenden einräumen möchte, entschließt er sich kurzerhand, die n = 10 Studierenden mittels einer systematischen Zufallsauswahl zu bestimmen. Zufallstichprobe. Dazu bestimmt er den Zählabstand INT(222/10) = 22, zählt laut und für alle vernehmbar die „bunt gemischt“ sitzenden Hörer ab und erfragt für alle i = 1,2,...,10 jeweils vom Hörer Jr der Ordnung r = 1 + 22(i 1), also vom 1., vom 23., vom 45. und letztlich vom 199. Hörer Jr den Geburtstag X, den er jeweils auf seiner „Geburtstagsurliste“ sorgfältig notiert. Während man in der statistischen Methodenlehre die n = 10 zufällig ausgewählten Hörer Ji als eine systematische Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 10 Hörer Ji bezeichnet, subsumiert man die erfassten n = 10 Geburtstagsdaten X(Jr) = xr bzw. X(Ji) = xi unter dem Begriff einer realisierten systematischen Zufallsstichprobe, die sich als eine Menge {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} von n = 10 Geburtstagsdaten xi darstellen lässt. h Geschichtete Zufallsauswahl Eine endliche Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} mit einem Umfang von N Merkmalsträgern Ji wird in m (ausreichend) homogene und disjunkte Teilgesamtheiten *j mit den Umfängen Nj (j = 1,2,...,m) aufgeteilt. Das Auswahlverfahren, bei dem aus jeder der m endlichen Teilgesamtheiten *j proportional zu ihrem Umfang Nj zufällig nj Merkmalsträger J ausgewählt werden, heißt geschichtete Zufallsauswahl. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer geschichteten Zufallsauswahl sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Synonyme. Eine geschichtete Zufallsauswahl wird synonym auch als eine stratifizierte oder proportionale Zufallsauswahl bezeichnet. ii) Zufallsstichprobe. Eine Teilmenge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} aus n = n1 + n2 + ... + nm Merkmalsträgern, die im Zuge einer geschichteten Zufallsauswahl aus einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * ausgewählt wurde, heißt geschichtete Zufallsstichprobe vom Umfang n. iii) Schichten. Die (ausreichend) homogenen und disjunkten (lat.: disiunctio o Trennung) bzw. elementefremden Teilgesamtheiten *j werden auch als
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Schichten oder Strata (lat.: stratum o Decke, Schicht) bezeichnet. Die Homogenität einer Schicht bezieht sich vor allem auf gleiche Identifikationsmerkmale der Merkmalsträger. Für metrische Merkmale (vgl. Abschnitt 2.2) wird der Homogenitätsbegriff auch auf eine relativ kleine Streuung (vgl. Abschnitt 5.3) der jeweiligen Merkmalswerte innerhalb der jeweiligen Schicht bezogen. In der Reduzierung der Streuung und damit des Hochrechnungsfehlers liegt das treibende Motiv für eine geschichtete Zufallsauswahl. In der Tat liefert eine geschichtete Zufallsstichprobe in der Regel bessere Hochrechnungsergebnisse als eine reine Zufallsstichprobe. iv) Applikation. Geschichtete Zufallsauswahlen finden vor allem in der Marktforschung eine breite Anwendung. i
Beispiel 2.1-7: Geschichtete Zufallsauswahl Motivation. Das Prinzip einer geschichteten Zufallsauswahl soll anhand des folgenden Szenarios exemplarisch erläutert werden: Gemäß dem Immatrikulationsverzeichnis haben sich am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der HTW Berlin im Sommersemester 2007 insgesamt 240 Studierende für die Vorlesungen und Übungen zur Statistik eingeschrieben. Die statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N = 240 Studierende Ji ist hinsichtlich der Geschlechtsspezifik und der Studiengangsspezifik wie folgt strukturiert: Tabelle 2.1-2: Immatrikulationsstruktur (Angaben in %) Studiengang insgesamt Geschlecht BWL Immobilien Banken 66,6 16,7 16,7 100 männlich 40 50 70 weiblich 60 50 30 insgesamt 100 100 100
Schichtungsmerkmale. Die beiden nominalen Merkmale (vgl. Abschnitt 2.2) „Geschlechtszugehörigkeit“ und „Studiengangszugehörigkeit“ eines Studierenden Ji der Ordnung i fungieren dabei als so genannte Schichtungsmerkmale. Demnach gehörten zum Beispiel 66,6 % aller Studierenden, die sich in die Lehrveranstaltungen zur Statistik eingeschrieben haben, dem Studiengang Betriebswirtschaftslehre (BWL) an. Von diesen 24066,6 %/100 % # 160 im betriebwirtschaftlichen Studiengang eingeschriebenen Studierenden sind wiederum 40 % bzw. 16040 %/100 % = 64 männlichen Geschlechts und in logischer Konsequenz 60 % bzw. 16060 %/100 % = 96 weiblichen Geschlechts. Analog sind die restlichen Strukturdaten und die darauf beruhenden „homogenen und disjunkten Teilgesamtheiten“ zu interpretieren. Zufallsstichprobe. Aus didaktisch-methodischen Gründen soll aus der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N = 240 Studierende Ji eine Zufallsstichprobe *n gezogen werden, die wiederum auf einem prozentualen Auswahlsatz von A* = 10 % basiert. Für eine endliche statistische Grundgesamtheit * vom Umfang N = 240 Studierende Ji ist die Festlegung
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eines 10 %-igen Auswahlsatzes von A* = 10 % wegen 10 % = (n/240)100 % und n = 24010 %/100 % = 24 identisch mit einem Stichprobenumfang von n = 24 Studierenden Ji, die es zum Zwecke einer „zeitsparenden und hinsichtlich der beiden Schichtungsmerkmale möglichst repräsentativen statistischen Erhebung“ zufällig auszuwählen gilt. Stichprobenplan. Unter Verwendung der Immatrikulationsstruktur aus der Tabelle 2.1-2 ergibt sich der in der Tabelle 2.1-3 skizzierte Stichprobenplan, der aus Praktikabilitätsgründen auf ganzzahlig gerundeten Werten beruht. Tabelle 2.1-3: Stichprobenplan (Anzahlen gerundet) Studiengang Geschlecht BWL Immobilien Banken männlich 160,4 | 6 40,5 = 2 40,7 | 3 weiblich 160,6 | 10 40,5 = 2 40,3 | 1 insgesamt 16 4 4
insgesamt 11 13 24
Beachtenswert ist dabei, dass im Stichprobenplan aus der Tabelle 2.1-3 nur festgelegt ist, wie viele Studierende J in jeder Schicht zufällig auszuwählen sind. Wie diese schichtenspezifischen Zufallsauswahlen zu bewerkstelligen sind, etwa mittels einer reinen oder einer systematischen Zufallsauswahl, hängt vom jeweiligen Untersuchungsdesign ab. Eine einfache, praktikable und in praxi häufig applizierte Auswahlstrategie wäre in Anlehnung an das Beispiel 2.1-6 die Folgende: In einem ersten Schritt richtet der Professor an das Auditorium die Frage: „Wer von Ihnen ist im Studiengang BWL eingeschrieben?“ Von denjenigen, die ihre Zugehörigkeit zum Studiengang BWL mit gehobener Hand bekunden, entschließt er sich gemäß dem Anstandsprinzip „lady is every time first“, mit der ersten weiblichen Person, die in der ersten Sitzreihe Platz genommen hat, zu beginnen, sie nach ihrem Geburtstag X zu fragen, diesen zu notieren und jeweils jede weitere dritte weibliche Person, die ihre Hand gehoben hat, auszuwählen und zu befragen. Nachdem er insgesamt zehn weibliche Studierende zufällig ausgewählt und befragt hat, wiederholt er das Prozedere in einer „zweiten Schicht“ für die männlichen Studierenden aus dem BWL-Studiengang bis er schließlich und endlich in einer „sechsten und letzten Schicht“ die einzige Studentin des Immobilien-Studienganges auswählt und befragt. Urliste. Als gewissenhafter Statistiker hat der Professor alle erfragten Geburtstage der zufällig und schichtenspezifisch ausgewählten Studierenden auf einem Blatt Papier notiert, das in der statistischen Terminologie auch als Urliste bezeichnet wird (vgl. Kapitel 3). Die Urliste {xi, i = 1,2,...,n} mit den insgesamt n = 24 notierten Geburtstagsdaten xi subsumiert man in der Induktiven Statistik (vgl. Kapitel 7) unter dem Begriff einer realisierten geschichteten Zufallsstichprobe vom Umfang n = 24 Geburtstagsdaten. h
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2.2
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Merkmal, Merkmalsausprägung, Skala
Motivation. In Anlehnung an die paradigmatischen Betrachtungen, die eingangs des Abschnittes 2.1 angestellt wurden, plakatiert die Abbildung 2.2-1 eine Mietspiegelabfrage. Abbildung 2.2-1: Mietspiegelabfrage
In der plakatierten Mietspiegelabfrage fungiert eine Mietwohnung als die statistische Einheit J, die durch solche Eigenschaften wie zum Beispiel Adresse, Stadtgebiet, Wohnlage, Gebäudeart, Lärmbelastung, Größe und Mietpreis beschrieben wird. Interessierende Eigenschaften, die an einer statistischen Einheit J erhoben werden, subsumiert man unter dem statistischen Merkmalsbegriff. Aus erfassungsstatistischer Sicht unterscheidet man zwischen Identifikations- und Erhebungsmerkmalen. Während in Abhängigkeit vom Untersuchungsgegenstand statistische Identifikationsmerkmale für alle interessierenden statistischen Einheiten auf bestimmte Ausprägungen fixiert werden, können statistische Erhebungsmerkmale hinsichtlich ihrer möglichen Ausprägungen, die mittels einer Zustandsmenge definiert bzw. gekennzeichnet werden, auf dieser Zustandsmenge beliebig variieren. Aufgrund dessen, dass im Zuge einer statistischen Untersuchung vor allem statistische Erhebungsmerkmale von Interesse sind, leuchtet es in diesem Zusammenhang auch ein, warum in der statistischen Methodenlehre eine statistische Einheit J synonym als Merkmalsträger bezeichnet wird. Statistisches Merkmal Eine Eigenschaft einer statistischen Einheit J *n, welche die zielführende Grundlage bzw. der interessierende Gegenstand einer statistischen Untersuchung ist, heißt statistisches Merkmal.
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Grundbegriffe Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs eines statistischen Merkmals sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Unterscheidung. Für die statistische Datenerfassung ist die Unterscheidung von Identifikations- und Erhebungsmerkmalen von Bedeutung. ii) Identifikationsmerkmal. Die eindeutige Definition und inhaltliche Abgrenzung (Identifikation) der statistischen Einheiten Ji einer statistischen Gesamtheit bzw. Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n bzw. einer (endlichen) statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N erfordert die Festlegung mindestens eines sachlichen, örtlichen und zeitlichen Identifikationsmerkmals, das auf jeweils eine Merkmalsausprägung festgelegt ist. iii) Erhebungsmerkmal. Im Unterschied zu den fixierten Identifikationsmerkmalen variieren in der Regel die Erhebungs- oder Beobachtungsmerkmale, hinsichtlich ihrer möglichen bzw. empirisch beobachteten und in einer Zustandsmenge definierten Ausprägungen. Erhebungsmerkmale sind der eigentliche Gegenstand einer statistischen Untersuchung. iv) Notation. Statistische Erhebungsmerkmale, die ihrem Wesen nach Variablen sind, werden in der Regel mit den großen lateinischen Endbuchstaben ... X, Y, Z bezeichnet. Die lateinischen Großbuchstaben fungieren dabei als Variablennamen. i
Beispiel 2.2-1: Identifikationsmerkmale Gemäß Beispiel 2.1-3 bildet die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 292 Studierenden Ji, die sich am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I im Sommersemester 2010 in den Bachelor-Studiengängen in die Lehrveranstaltung „Statistik“ eingeschrieben haben, die statistische Gesamtheit *n. Die statistische Gesamtheit ist inhaltlich wie folgt abgegrenzt: i) sachlich: Studierende, die sich in die Lehrveranstaltung „Statistik für Bachelor-Studiengänge“ eingeschrieben haben, ii) örtlich: Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der HTW Berlin, iii) zeitlich: Sommersemester 2010. Beachtenswert ist dabei, dass die Identifikationsmerkmale für eine statistische Gesamtheit in ihren Ausprägungen festgelegt sind und daher nicht variieren. h Beispiel 2.2-2: Erhebungsmerkmale Ist man zum Beispiel an der statistischen Analyse der geschlechtsspezifischen Altersstruktur in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der an der HTW Berlin im Sommersemester 2010 in den wirtschaftswissenschaftlichen Bachelor-Studiengängen immatrikulierten Studierenden interessiert, dann bilden das Alter X und die Geschlechtszugehörigkeit Y die interessierenden Erhebungsmerkmale der statistischen Einheit Ji „Studentin bzw. Student“ der Ordnung i. Die jeweils beobachteten Ausprägungen X(Ji) = xi bzw. Y(Ji) = yi der Erhebungsmerkmale X bzw. Y sind im Zuge einer statistischen Untersuchung zu erfassen, aufzubereiten und zu analysieren (vgl. Kapitel 3). h Merkmalsausprägung Eine merkmalsbezogene Aussage bzw. ein Wert, die bzw. der für eine statistische Einheit statistisch erhoben wird, heißt Merkmalsausprägung.
Grundbegriffe
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Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Merkmalsausprägung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich. i) Synonyme. Für eine Merkmalsausprägung werden (in Abhängigkeit von der Skalierung) die Begriffe Modalität, Realisation, Datum (lat.: datum o das Gegebene), Beobachtung bzw. Merkmalswert synonym verwendet. ii) Notation. Die Merkmalsausprägungen eines Erhebungsmerkmals werden (im Unterschied zum jeweiligen Erhebungsmerkmal) in der Regel mit den jeweiligen kleinen lateinischen Endbuchstaben ... x, y, z bezeichnet. Bezeichnet X ein interessierendes Erhebungsmerkmal, das zum Beispiel an n statistischen Einheiten Ji einer statistischen Gesamtheit bzw. Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,…,n} beobachtet wird, dann kann eine beobachtete Merkmalsausprägung formal durch die folgende Zuordnung beschrieben werden: Jeder statistischen Einheit Ji *n der Ordnung i wird durch die Abbildung X: Ji *n o xi = X(Ji) ; eine Merkmalsausprägung xi der zugehörigen Zustandsmenge ; zugeordnet. i
Zustandsmenge Die Menge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aller m theoretisch möglichen bzw. aller m empirisch beobachteten und wohl voneinander unterschiedenen Merkmalsausprägungen eines statistischen Erhebungsmerkmals X, die an den n Merkmalsträgern Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} erhoben werden können bzw. erhoben wurden, heißt Zustandsmenge ; (lies: Groß-Xi) des statistischen Erhebungsmerkmals X. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer Zustandsmenge sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Verzeichnis. Die Zustandsmenge eines statistischen Erhebungsmerkmals lässt sich bildhaft deuten als ein Verzeichnis aller möglichen bzw. empirisch beobachteten und voneinander verschiedenen Aussagen [j (lies: Klein-Xi) über eine interessierende Eigenschaft X einer wohldefinierten statistischen Gesamtheit *n von statistischen Merkmalsträgern Ji. ii) Aussagen. Die voneinander verschiedenen Aussagen [j, die Elemente einer Zustandsmenge ; sind, können Begriffe und/oder Zahlen sein. iii) Skala. Die Betrachtung einer beobachteten Merkmalsausprägung xi = X(Ji) ; eines statistischen Erhebungsmerkmals X, die ein Element der zugehörigen Zustandsmenge ; ist, führt unmittelbar zum statistischen Skalenbegriff. i
Statistische Skala Eine relationstreue Abbildung von Merkmalsausprägungen eines Erhebungsmerkmals auf eine Zeichen- bzw. Zahlenmenge heißt statistische Skala. Hinweise. Für das Verständnis des statistischen Skalenbegriffs sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Semantik. Eine Skala (lat., ital.: scala o Treppe, Leiter) ist (stark vereinfacht ausgedrückt) eine Art „Messlatte“ für Merkmalsausprägungen eines statistischen Erhebungsmerkmals. ii) Bedeutung. Die Anwendung statistischer Analyseverfahren hängt entscheidend von der Skala ab, mit deren Hilfe die Ausprägungen eines statistischen Merkmals erfasst wurden. iii) Typen. In der angewandten Statistik kommt vor allem den folgenden drei hierarchisch (grch.: hieros o heilig + archein o herrschen) geordneten Skalentypen eine besondere praktische und theoretische Bedeutung zu: der nominalen, der ordinalen und der metrischen Skala. i
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Grundbegriffe
Nominale Skala Eine statistische Skala, mit der lediglich die Gleichartigkeit oder die Verschiedenartigkeit von Merkmalsausprägungen zum Ausdruck gebracht werden kann, heißt nominale Skala. Hinweise. Für das Verständnis des nominalen Skalenbegriffs sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Synonyme. Nominalskala (lat.: nominalis o zum Namen gehörig, begrifflich), Namensskala, Attributskala. ii) Hierarchie. Eine nominale Skala ist in der Statistik die niedrigstwertige Skala mit dem niedrigsten Informationsgehalt und der geringsten Fehlerempfindlichkeit. iii) Ausprägung. Statistisch erfasste Ausprägungen xi = X(Ji) ; eines nominalen Merkmals X, die ein Element der zugehörigen Zustandsmenge ; sind, werden auch als Kategorien oder Attribute bezeichnet. iv) Dichotomie. Ein nominales Merkmal, das nur zwei mögliche Ausprägungen besitzt, heißt dichotom (grch.: dicha o zweifach + tome o Schritt). iv) Häufbarkeit. Ein nominales Merkmal heißt häufbar, wenn sich auf ein und dieselbe statistische Einheit J mehrere Ausprägungen des betreffenden Merkmals „häufen“ können. Ansonsten heißt es nicht häufbar. Der Häufbarkeitsbegriff ist wohl zu unterscheiden vom Häufigkeitsbegriff (vgl. Zusammenfassung, Seite 30 und Abschnitt 5.1).i
Beispiel 2.2-3: Nominale Merkmale Merkmale. Das Geschlecht, der Familienstand, die Religionszugehörigkeit, die Nationalität oder der Beruf sind nominale Merkmale einer Person. Zustandsmenge. Ist für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Personen Ji zum Beispiel das Erhebungsmerkmal X: Familienstand von Interesse, dann ergibt sich das folgende Bild: Die Zustandsmenge ; (lies: Groß-Xi) des Merkmals X ist in der amtlichen Statistik mit ; = {[j, j = 1,2,...,m} = {[1 = ledig, [2 = verheiratet, [3 = geschieden, [4 = verwitwet} durch m = 4 voneinander verschiedene und begrifflich gefasste Merkmalsausprägungen [j (lies: Klein-Xi) gegeben. Merkmalsausprägung. Erfasst man das Erhebungsmerkmal X für alle n statistischen Einheiten Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n, so kann man mittels der n statistisch erfassten Merkmalsausprägungen xi ;, wobei der Anschaulichkeit halber einmal X(J1) = x1 = verheiratet, X(J2) = x2 = ledig, ... und X(Jn) = xn = verheiratet gelten soll, lediglich eine Gleichartigkeit oder eine Verschiedenartigkeit der betrachteten Personen Ji *n bezüglich des statistischen Erhebungsmerkmals X „Familienstand“ mit seinen beobachteten Ausprägungen xi ; statistisch beschreiben. Während die Merkmalsträger Ji *n der Ordnung i = 1 und i = 2 bezüglich des Erhebungsmerkmals X gleichartig sind, kennzeichnet man im paarweisen Vergleich die Merkmalsträger Ji *n der Ordnung i = 1 und i = n bezüglich des erfassten Familienstandes X, der im Hinblick auf seine m = 4 zulässigen und wohl voneinander zu unterscheidenden Merkmalsausprägungen [i ; ein nominales Erhebungsmerkmal ist, als verschiedenartig. h
Grundbegriffe
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Beispiel 2.2-4: Dichotomes Merkmal Die Geschlechtszugehörigkeit ist ein nominales und dichotomes Merkmal X einer Person J. Diese Charakteristik erklärt sich daraus, dass die zugehörige Zustandsmenge ; = {[j, j = 1, 2} = {[1 = männlich, [2 = weiblich) lediglich aus den beiden (theoretisch und praktisch) möglichen Merkmalsausprägungen „männlich“ oder „weiblich“ besteht. Während eine Person als statistische Einheit J *n fungiert, bildet die Menge aller Personen, die für eine statistische Erhebung von Interesse sind, eine statistische Gesamtheit *n, die im konkreten Fall auch als dichotome Gesamtheit bezeichnet wird. h Beispiel 2.2-5: Häufbares versus nicht häufbares Merkmal Der Beruf X(J) ist ein häufbares nominales Merkmal X einer Person J. Dies erklärt sich daraus, dass eine Person durchaus mehrere Berufe besitzen bzw. ausüben kann. Dem gegenüber ist die Geschlechtszugehörigkeit Y(J) ein nicht häufbares nominales Merkmal Y einer Person J. h Ordinale Skala Eine statistische Skala, mit der sowohl die Gleich- oder die Verschiedenartigkeit als auch eine natürliche Rangfolge von Merkmalsausprägungen zum Ausdruck gebracht werden kann, heißt ordinale Skala. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer ordinalen Skala sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Synonyme. Ordinalskala, Intensitätsskala, Prädikatsskala, Rangplatzskala. ii) Ordnungsprinzip. Bei einem statistischen Erhebungsmerkmal X, das mittels einer ordinalen Skala (lat.: ordinare o ordnen) „gemessen“ wurde und dessen voneinander verschiedenen Ausprägungen [i ; sich nach der Intensität unterscheiden, ist das Ordnungsprinzip die Stärke bzw. der Grad der Intensität. Dies ist ein Grund dafür, warum man (meist begriffliche) Ausprägungen [i ; eines ordinalen Merkmals X auch als Intensitäten oder Prädikate bezeichnet und diese in der Regel mit Hilfe von Rangzahlen kodiert. iii) Rangzahl. Mit Hilfe ganzer (meist jedoch natürlicher) Zahlen kodierte begriffliche Ausprägungen eines ordinalen Merkmals X heißen Rangzahlen RX oder Rangwerte. Rangzahlen bilden zum Beispiel die Grundlage des Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN (vgl. Abschnitt 8.2). iv) Applikation. Die Ordinalskala findet bei der statistischen Deskription und Analyse wirtschafts- und sozialwissenschaftlicher Sachverhalte (etwa in Form von Qualitäts- und Leistungsmerkmalen, Prädikaten, sozialer Status etc.) eine breite Anwendung. v) Komparativ. In praxi werden die voneinander verschiedenen und in einer Zustandsmenge ; definierten Ausprägungen [j ; eines ordinalen Merkmals X in der Regel begrifflich und sprachlich mittels des Komparativs (lat.: gradus comparativus o dem Vergleich dienender Steigerungsgrad), also der ersten Steigerungsstufe eines Adjektivs, dargestellt. i
Beispiel 2.2-6: Ordinale Merkmale Prädikat. Das Gesamtprädikat eines abgeschlossenen Bachelor-Studiums mit seinen in der Regel in einer Rahmenprüfungsordnung festgelegten und die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} bildenden, m = 5 (theoretisch möglichen und)
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voneinander verschiedenen Ausprägungen [1 = sehr gut, [2 = gut, [3 = befriedigend, [4 = ausreichend oder [5 = „nicht ausreichend“ ist ein ordinales Merkmal X eines Hochschulabsolventen Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von Hochschulabsolventen. Die formale Symbolik X(Ji) = xi ; bezeichnet eine statistisch erfasste Ausprägung des ordinalen Erhebungsmerkmals X „Gesamtprädikat“ für den Hochschulabsolventen Ji *n der Ordnung i. Konfektionsgröße. Die Konfektionsgröße X ist ein ordinales Merkmal einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Personen Ji. Die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} ist durch die m = 7 voneinander verschiedenen und der englischen Sprache entlehnten Ausprägungen [1 = eXtra eXtra Small, [2 = eXtra Small, [3 = Small, [4 = Medium, [5 = Large, [6 = eXtra Large oder [7 = eXtra eXtra Large gegeben. Die formale Symbolik X(Ji) = xi ; bezeichnet eine statistisch beobachtete Ausprägung des ordinalen Merkmals X „Konfektionsgröße“ für die Person Ji *n der Ordnung i. Tabellenplatz. Der Tabellenplatz X nach Ablauf eines Meisterschaftsjahres ist ein ordinales Merkmal der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 18 Fußballclubs Ji, die in der ersten Bundesliga die deutsche Fußballmeisterschaft austragen. Die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} ist durch die m d n voneinander verschiedenen Ausprägungen [1 = Erster, [2 = Zweiter ... gegeben. Die formale Symbolik X(Ji) = xi ; bezeichnet die Ausprägung des ordinalen Merkmals X „Tabellenplatz“ für einen Fußballclub Ji *n der Ordnung i. h Metrische Skala Eine statistische Skala, die mit Hilfe der Menge der reellen Zahlen sowohl die Gleich- oder die Verschiedenartigkeit und die Rangfolge als auch mess- und zählbare Unterschiede (Abstand, Vielfaches) für Merkmalsausprägungen zum Ausdruck bringen kann, heißt metrische Skala. Hinweise. Für das Verständnis des metrischen (grch.: metron o Maß) Skalenbegriffs sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Synonyme. Kardinalskala (lat.: cardinalis o im Angelpunkt stehend, hauptsächlich), kardinale Skala, Hauptskala. ii) Arten. Eine metrische Skala kann eine Intervallskala, eine Verhältnisskala oder eine Absolutskala sein. iii) Intervallskala. Eine metrische Skala, die keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Maßeinheit besitzt, heißt Intervallskala. Die Intervallskala ist die niedrigstwertige metrische Skala. Für ein intervallskaliertes Merkmal ist es nur sinnvoll, Abstände (Differenzen) zwischen seinen Merkmalswerten zu messen, zu berechnen und zu interpretieren. iv) Verhältnisskala. Eine metrische Skala, die einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Maßeinheit besitzt, heißt Verhältnisskala. Für die Merkmalswerte eines verhältnisskalierten Erhebungsmerkmals sind alle Vergleichs- und Rechenoperationen definiert. Die Bezeichnung selbst rührt daher, dass es für ein verhältnisskaliertes Merkmal sinnvoll ist, Verhältniszahlen zu berechnen und zu interpretieren. Messvorgänge basieren auf einer Verhältnisskala, die synonym auch als Ratioskala bezeichnet. Demnach sind zum Beispiel Längen-, Flächen-, Volumen- und Gewichtsanga-
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ben ihrem Wesen nach verhältnisskaliert. v) Absolutskala. Eine metrische Skala, die einen natürlichen Nullpunkt und eine natürliche Maßeinheit besitzt, heißt Absolutskala. Die Absolutskala ist die höchstwertige statistische Skala. Sämtliche Zählvorgänge basieren auf einer Absolutskala. i
Beispiel 2.2-7: Intervallskaliertes Merkmal Temperatur. In der Gemeinde Hönow, Landkreis Märkisch Oderland, wurden am Samstag, dem 22. Mai 2010 um 15 Uhr 22oC gemessen. In dieser statistischen Aussage ist die Temperatur ein intervallskaliertes Merkmal X einer Gemeinde J mit dem beobachteten bzw. gemessenen Merkmalswert X(J) = x = 22oC entsprechend der Temperaturskala, die nach dem schwedischen Naturforscher Anders CELSIUS (1701-1744) benannt wurde und auf einem von CELSIUS künstlich festgelegten Nullpunkt von 0oC beruht. Die Aussage „... heute ist es um 5oC wärmer als gestern ...“ ist sinnvoll. Nicht sinnvoll hingegen ist die Aussage „... 22oC sind doppelt so warm wie 11oC.“ Zustandsmenge. Beachtenswert ist dabei, dass die Zustandsmenge ; des intervallskalierten Merkmals X „Temperatur“ mit Hilfe der Menge der reellen Zahlen R beschrieben werden kann, so dass allgemein für jede in der Gemeinde Hönow statistisch beobachtete Temperatur X(J) = x R gilt. h Beispiel 2.2-8: Verhältnisskalierte Merkmale Fahrleistung. Die jährliche Fahrleistung (Angaben in km) ist ein verhältnisskaliertes Merkmal X eines Kraftfahrzeuges J. Die Maßeinheit „Kilometer“ (grch.: chilioi o tausend + metron o Maß) ist eine durch das „Urmeter“, das im Zuge der französischen Revolution 1795 als „egales Maß“ eingeführt wurde und im Museum zu Sevres bei Paris ausliegt, künstlich festgelegte Maßeinheit. Der natürliche Nullpunkt wäre durch den Umstand gekennzeichnet, dass ein Kraftfahrzeug J im Verlaufe eines Jahres keine Fahrleistung aufzuweisen hätte, für das man im konkreten Fall einen Merkmalswert X(J) = x = 0 km statistisch beobachtet hätte. Sinnvoll ist zum Beispiel die Aussage, dass sich im Jahr t im Vergleich zum Vorjahr t 1 die Fahrleistung eines Kraftfahrzeuges von xt-1 = 10000 km auf xt = 15000 km, also um xt – xt-1 = 5000 km bzw. auf das xt/xt-1 = 1,5-Fache erhöht hat. Beachtenswert ist dabei, dass die Zustandsmenge ; des Merkmals X durch die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen R+ (worin die künstliche Zahl Null eingeschlossen ist) gegeben ist, so dass für eine beobachtete Fahrleistung x eines Kraftfahrzeuges J allgemein X(J) = x R+ gilt. Preise. Der Preis ist ein verhältnisskaliertes Merkmal X(J) = x R+ eines Gutes Ji * eines Warenkorbes *n = {Ji, i = 1,2,...,n}. Es ist sinnvoll einen Preisvergleich für zwei gleichartige Güter anzustellen, wenn die Güter zum Beispiel wie folgt ausgepreist sind: X(J1) = x1 = 5,20 € je kg und X(J2) = x2 = 4,80 € je kg. Mit Hilfe der positiven reellen Zahlen 5,20 und 4,80 kann ein Preisvergleich mittels der hierarchischen Skalen bewerkstelligt werden:
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Nominalskala. Mit der Aussage „... der Preis X(J1) = x1 des Gutes J1 ist gleich bzw. verschieden vom Preis X(J2) = x2 des Gutes x2 ...“ wird lediglich auf dem Niveau einer Nominalskala die Gleichartigkeit x1 = x2 bzw. die Verschiedenartigkeit x1 z x2 der Preise x1 und x2 zum Ausdruck gebracht. Ordinalskala. Durch die Aussage „... das Gut J1 ist teurer als das Gut J2 ...“ wird auf dem Niveau einer Ordinalskala die Verschiedenartigkeit der Preisangaben x1 z x2 noch durch eine Rangfolge x1 > x2 ergänzt. Beachtenswert ist dabei, dass die Verwendung des Komparativs (lat.: comparare o vergleichen), also der ersten und einem Vergleich dienenden Steigerungsstufe eines Adjektivs, im Kontext eines Vergleichs stets ein Indiz für eine Ordinalskala ist. Intervallskala. Die Aussage „... der Preis des Gutes J1 liegt um 0,40 € je kg über dem Preis des Gutes J2 ...“ kennzeichnet auf dem Niveau einer Intervallskala die Preisdifferenz x1 – x2 = 0,40 € je kg. Verhältnisskala. Der stets dimensionslose Quotient (5,20 €/kg)/(4,80 €/kg) = 1,083 aus den beiden Güterpreisen X(Ji) = xi (i = 1, 2) wird als Preismesszahl bezeichnet und lässt auf dem Niveau einer Verhältnisskala die folgende Aussage zu: „Der Preis des Gutes J1 macht das 1,083-Fache des Preises des Gutes J2 aus.“ Hierarchie. Aus den vier preisbezogenen Aussagen wird augenscheinlich, dass die vier verwendeten statistischen Skalen in ihren niveaubezogen abgestuft und somit hierarchisch (grch.: hieros o heilig + archein o herrschen) sind. h Beispiel 2.2-9: Absolutskala Stück- oder Anzahlen sind Ausprägungen absolut skalierter Merkmale. Die Mengenangabe 1 Stück ist im Unterschied etwa zu 1 €, 1 kg, 1 m etc. von keiner künstlich festgelegten Maßeinheit abhängig. Seit jeher benutzten die Menschen ihre (zehn) Finger (als eine Absolutskala) beim Zählen. h Diskretes Merkmal Ein metrisches Merkmal, das in einem geschlossenen Intervall nur einzelne bzw. endlich viele Merkmalswerte annehmen kann, heißt diskretes Merkmal. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs eines diskreten statistischen Merkmals sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Synonyme. diskontinuierliches Merkmal, ganzzahliges Merkmal. ii) Absolutskala. Erhebungsmerkmale, deren Merkmalsausprägungen auf einer Absolutskala definiert sind bzw. statistisch erhoben wurden, sind stets diskrete Merkmale. i
Beispiel 2.2-10: Diskrete Merkmale Anzahl. Die Anzahl der Kinder X(J) ist ein absolut skaliertes und diskretes Merkmal X eines Arbeitnehmers J *n einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Arbeitnehmern. Die Zustandsmenge ; des Merkmals X ist durch die Menge der natürlichen Zahlen N sowie der Zahl Null gegeben, so dass ; = {0} N = {0, 1, 2,...} gilt. Für einen Arbeitnehmer Ji *n der Ordnung i
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symbolisiert die Zuordnungsvorschrift X(Ji) = xi ; eine statistisch beobachtete und erfasste Merkmalsausprägung, die als ein diskreter Merkmalswert xi ; definiert ist. Gehalt. Das monatliche Nettogehalt X(Ji) ist ein verhältnisskaliertes und diskretes Merkmal eines Arbeitnehmers Ji *n, weil es zum Beispiel bei der europäischen Währung „auf Euro und Cent genau“ eine (abzählbar endlich) kleinste Geldeinheit in Gestalt der kleinsten Scheidemünze „1 Cent“ (lat.: centum o Hundert) als hundertster Teil eines Euro gibt. Der Zustandsbereich ; des Merkmals X ist durch die Menge R+ der positiven reellen Zahlen gegeben. Für einen Arbeitnehmer Ji *n der Ordnung i einer wohldefinierten statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Arbeitnehmern symbolisiert die Zuordnungsvorschrift X(Ji) = xi R+ eine beobachtete Merkmalsausprägung, die zum Beispiel wegen xi = 1234,56 € als ein diskreter Merkmalswert aufgefasst wird. h Stetiges Merkmal Ein metrisches Merkmal, das in einem geschlossenen Intervall jeden beliebigen aller theoretisch möglichen (und potenziell unendlich vielen) Merkmalswerte annehmen kann, heißt stetiges Merkmal. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs eines stetigen statistischen Erhebungsmerkmals sind die folgenden Hinweise nützlich. i) Synonyme. kontinuierliches Merkmal, reellwertiges Merkmal. ii) Messvorgänge. Statistische Erhebungsmerkmale, deren Merkmalsausprägungen auf einer Intervall- oder einer Verhältnisskala definiert sind bzw. statistisch erhoben wurden, sind ihrem Wesen nach stetige Merkmale, selbst wenn sie der Einfachheit halber nur ganzzahlig erfasst werden. Diese Aussage gilt insbesondere für Gewichts-, Längen-, Flächen- und Volumenangaben, die auf Messvorgängen basieren. i
Beispiel 2.2-11: Stetige Merkmale Zapfmenge. Die gezapfte Tagesmenge X (Angaben in Hektolitern) an Dieselkraftstoff ist ein verhältnisskaliertes und stetiges Merkmal einer Tankstelle J. Die Zustandsmenge ; des Merkmals X ist durch die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen R+ gegeben, worin die Zahl Null eingeschlossen ist. Demnach kennzeichnet zum Beispiel X(J) = x = 28,1050 hl eine gezapfte und statistisch erfasste Tagesmenge Dieselkraftstoff. Wohnfläche. Die Wohnfläche X (Angaben in m²) ist ein verhältnisskaliertes und stetiges Merkmal einer Mietwohnung J. Die Zustandsmenge ; des Merkmals X ist durch die Menge der positiven reellen Zahlen R+ gegeben, worin die Zahl Null aus Plausibilitätsgründen nicht eingeschlossen ist. Demnach kennzeichnet zum Beispiel X(J) = x = 67,89 m² eine statistisch erfasste Wohnfläche einer Mietwohnung J. Gewinn. Obgleich der Gewinn X streng genommen ein verhältnisskaliertes und diskretes Merkmal eines Unternehmens J ist, das auf Euro und Cent genau
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Grundbegriffe
angegeben werden kann, wird ein statistisch erfasster Gewinn zum Beispiel von X(J) = x = 1,234 Mio. € meist wegen seiner Darstellung in einer höheren Dimension als ein quasi-stetiges statistisches Erhebungsmerkmal behandelt, dessen Zustandsmenge ; durch die Menge R der reellen Zahlen gegeben ist, worin die positiven R+ und die negativen R reellen Zahlen sowie die Zahl Null eingeschlossen sind. Dies erklärt sich sachlogisch daraus, dass ein Unternehmen J zum Beispiel im Verlaufe eines Wirtschaftsjahres durchaus einen Gewinn oder keinen Gewinn bzw. Verlust oder einen Verlust erwirtschaften kann. h Zusammenfassung
In der Tabelle 2.2-1 sind der Übersichtlichkeit halber nochmals die Skalen und Merkmalsklassifikationen zusammengefasst, die in der Statistik üblich sind. Tabelle 2.2-1: Skalen und Merkmalsklassifikationen Skala Typ kategorial metrisch Name NominalOrdinalIntervall- Verhältnis- AbsolutOperation = z = z > < =z> < + Beispiel Geschlecht Prädikat Temperatur Umsatz Anzahl Merkmal Art qualitativ quantitativ Skalierung nominal ordinal kardinal, metrisch AuspräKategorie Wert gung Begriff Intensität stetig quasi-stetig diskret Beispiel männlich sehr gut 20,2o C 1,2 Mio. € 20 Stück Hinweise. Für das Verständnis und für die Nutzung der Tabelle 2.2-1 erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Operationen. Die Symbole, die in der Rubrik „Operation“ aufgeführt wurden, kennzeichnen die für die jeweilige Skala definierten und aus statistisch-methodischer Sicht zulässigen und sinnvollen Vergleichs- und Rechenoperationen. ii) Erfassbarkeit. Im Blickwinkel der Erfassbarkeit von statistischen Erhebungsmerkmalen unterscheidet man in der Statistik zwischen direkt bzw. indirekt erfassbaren Erhebungsmerkmalen. Während zum Beispiel die Geschlechtszugehörigkeit einer Person direkt bzw. unmittelbar erfassbar ist, kann die Intelligenz einer Person (etwa mittels eines IQ-Tests) nur indirekt bzw. mittelbar erfasst bzw. gemessen werden. iii) Häufbarkeit. Vor allem im Blickwinkel der Analyse von Mehrfachantworten, die ein spezieller Gegenstand des Beispiels 5.1-2 ist, erweist sich die Betrachtung von häufbaren nominalen Erhebungsmerkmalen als substantiell. Ein nominales Erhebungsmerkmal X heißt häufbar, wenn sich mehr als eine der m wohl voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen [j ; = {[j, j = 1,2,...,m} auf einen Merkmalsträger J „häufen“. iv) Häufigkeit. Im Unterschied zum Häufbarkeitsbegriff subsumiert man in der Statistik die Anzahl n(X = [j) der Merkmalsträger Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n}, die sich auf eine zulässige Merkmalsausprägung [j ; „häufen“, unter dem Begriff einer absoluten Häufigkeit (vgl. Abschnitt 5.1). i
Datenerhebung
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3 Datenerhebung Schlüsselwörter Datenbegriff Erhebungskonzept Fragebogen Primärerhebung
Sekundärerhebung Teilerhebung Totalerhebung Urliste
Gegenstand. Das dritte Kapitel hat eine Einführung in die Grundbegriffe und ausgewählte Verfahren einer statistischen Erhebung zum Gegenstand. Dabei stehen zwei Konzepte der statistischen Primärerhebung, die in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung eine breite Anwendung erfahren, im Vordergrund. Es ist dies zum einem das so genannte Urlistenkonzept und zum anderen das so genannte Fragebogenkonzept. Die beiden paradigmatisch skizzierten primärstatistischen Erbebungskonzepte können gleichsam als „Musterlösungen“ für eine Vielzahl praktischen Problemstellungen angesehen werden. Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitel besteht darin, anhand praktischer Problem- und Fragestellungen die beiden primärstatistischen Erhebungskonzepte paradigmatisch zu erläutern und zu demonstrieren. Aus didaktisch-methodischen Gründen ist in die Darstellung der Erhebungskonzepte eine problembezogene Erläuterung der statistischen Grundbegriffe, die im Kontext des zweiten Kapitels eingeführt wurden, eingeschlossen. h
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Datenerhebung
3.1
Grundbegriffe
Motivation. Eine statistische Erhebung, deren Kernstück die Datenerhebung ist, bildet den Ausgangspunkt jeglichen statistischen Arbeitens. Im Vorfeld einer statistischen Erhebung ist es stets geboten, sich der statistischen Grundbegriffe zu bedienen, die im Kontext des zweiten Kapitels paradigmatisch eingeführt wurden. Darin eingeschlossen ist die exakte inhaltliche Abgrenzung der zu analysierenden statistischen Gesamtheit, die Festlegung der Erhebungsmerkmale, die Definition der jeweiligen Zustandsmenge und der zugehörigen statistischen Skala. Voll- und Teilerhebung. In Abhängigkeit davon, ob alle Merkmalsträger einer statistischen Grundgesamtheit oder nur eine (möglichst repräsentative) Teilmenge von Merkmalsträgern in Gestalt einer Stichprobe erhoben werden, unterscheidet man im Kontext einer Datenerhebung zwischen einer Voll- bzw. Totalerhebung oder einer Teil- bzw. Stichprobenerhebung. Datenerhebung Für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Merkmalsträgern Ji heißt der Vorgang der Ermittlung und der Erfassung von Ausprägungen X(Ji) = xi ; (mindestens) eines statistischen Merkmals X, das über einer Zustandsmenge ; definiert ist, Datenerhebung. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Datenerhebung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Arten. Werden die Daten für eine statistische Untersuchung durch eine besondere Erhebung nach speziellen Ausprägungen von sachlichen, örtlichen und zeitlichen Identifikationsmerkmalen gewonnen, spricht man von einer Primärerhebung, deren Resultat eine Primärstatistik ist. Die Verwendung von bereits vorhandenem (im Allgemeinen nicht für die jeweilige Untersuchung erhobenem) Datenmaterial bezeichnet man als Sekundärerhebung bzw. Sekundärstatistik. ii) Primärerhebung. Primärerhebungen werden in der Regel mit Hilfe von mündlichen bzw. schriftlichen Befragungen, Beobachtungen oder Experimenten bewerkstelligt. Die Ergebnisse einer Primärerhebung werden in einer so genannten statistischen Urliste erfasst. iii) Sekundärerhebung. In nahezu allen Unternehmen, Verbänden und Verwaltungen werden Daten statistisch erhoben und aufbereitet. Sie bilden die Quellen für so genannte sekundärstatistische Daten. vi) Träger. Hinsichtlich der Träger (Produzenten) von Statistiken unterscheidet man zwischen der amtlichen bzw. staatlichen und der nichtamtlichen bzw. privaten Statistik. Träger der amtlichen Statistik sind das Statistische Bundesamt in Wiesbaden sowie die Statistischen Ämter der Länder und Gemeinden. Träger der nichtamtlichen Statistik sind zum Beispiel die Wirtschaftsverbände, die Wirtschaftsinstitute, die Marktforschungsinstitute und der Paritätische Deutsche Wohlfahrtsverband. vii) Datenquellen. Die Vielzahl von Datenquellen ist vor allem seit der Verfügbarkeit von modernen Kommunikationsmitteln (etwa des Internets) schier unerschöpflich. Eine nützliche und ergiebige sekundärstatistische Datenquelle ist das vom Statistischen Bundesamt herausgegebene und jährlich erscheinende Statistische Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland. i
Datenerhebung
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Urliste Ist X ein über einer Zustandsmenge ; definiertes Merkmal, das für die n Merkmalsträger Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erhoben wurde, dann heißt die Zusammenstellung der Merkmalsausprägungen X(Ji) = xi ; in der Reihenfolge ihrer statistischen Erhebung (statistische) Urliste. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Urliste sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Index. Der Index i (lat.: index o Zeiger, Verzeichnis) ist eine Variable, die im Bereich der natürlichen Zahlen variiert und die an den Merkmalsträgern Ji erhobenen Merkmalsausprägungen xi nummeriert. ii) Reihe. Eine (meist aufsteigend) geordnete Folge von Merkmalsausprägungen aus einer Urliste heißt geordnete Urliste, statistische Reihe oder Datenreihe. In Abhängigkeit vom Ordnungskriterium (Reihungsmerkmal) unterscheidet man zwischen Querschnittsreihen und Zeitreihen. Datenreihen, welche die statistische Beschreibung (nur) eines statistischen Erhebungsmerkmals zum Gegenstand haben, heißen univariat (lat.: unus o eins + varia o Allerlei). Basiert eine Datenreihe auf zwei oder mehr Erhebungsmerkmalen, dann wird sie als bivariat (lat.: bis o zweifach) oder multivariat (lat.: multus o vielfach) bezeichnet und klassifiziert. iii) Querschnittsreihe. Eine Querschnittsreihe ist eine Folge statistischer Daten, die auf eine gleiche Zeit bezogen sind und entweder im sachlichen oder im örtlichen Reihungsmerkmal variieren. iv) Zeitreihe. Eine Zeitreihe ist eine Folge von sachlich und/oder örtlich gleichartigen Daten, deren Ordnungskriterium die Zeit ist (vgl. Kapitel 10). v) Daten. In Anlehnung an die Begriffswelt der Informatik wird für alle weiteren Betrachtungen der statistische Datenbegriff inhaltlich wie folgt gefasst. i
Datenbegriff Eigenschaften von Merkmalsträgern einer sachlich, örtlich und zeitlich abgegrenzten statistischen Gesamtheit, die statistisch erhoben wurden, werden als Erhebungsmerkmale bezeichnet. Aussagen über Erhebungsmerkmale, die primärstatisch erhoben und in einer Urliste erfasst wurden bzw. im sekundärstatistischen Sinne bereits aufbereitet vorliegen, heißen Merkmalsausprägungen. Merkmalsausprägungen, die für die automatisierte statistische Verarbeitung mittels einer statistischen Software (zum Beispiel mit PASW Statistics) formalisiert werden, heißen Daten. Die für die Erhebungsmerkmale eines Merkmalsträgers aufbereiteten Daten bilden einen Datensatz. Die Menge aller im Kontext einer statistischen Erhebung erfassten Datensätze bilden eine Datendatei. Hinweis. Für das Verständnis des statistischen Datenbegriffs ist der folgende Hinweis nützlich: Eine zweidimensionale Tabelle mit ihren Zeilen und Spalten ist eine bildhafte und anschauliche Betrachtung einer Datendatei. Projiziert man gemäß dem Programmpaket PASW Statistics (vgl. Kapitel 4) die Merkmalsträger einer Gesamtheit in die Tabellenzeilen und die Erhebungsmerkmale in die Tabellenspalten, dann fungiert eine Tabellenzeile als ein Platzhalter für einen merkmalsträgerbasierten Datensatz, eine Tabellenspalte als ein Platzhalter für ein Erhebungsmerkmal und eine Tabellenzelle als Zeilen-Spalten-Schnittstelle als ein Platzhalter für eine Merkmalsausprägung. i
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3.2
Datenerhebung
Urlistenkonzept
Motivation. Analog zu den problemorientierten Betrachtungen, die eingangs des Abschnittes 2.1 skizziert wurden, soll wiederum der Berliner Mietspiegel die Grundlage zur paradigmatischen Erläuterung und Verdeutlichung des so genannten Urlistenkonzepts bilden. Aus didaktisch-methodischer Sicht kann diese Herangehensweise wie folgt motiviert und begründet werden: Erstens ist ein Mietspiegel das Resultat einer primärstatistischen Beschreibung des Mietwohnungsmarktes eines Territoriums in einem bestimmten Zeitraum und damit eine spezielle Form von Marktforschung. Zweitens kann die Beschreibung eines sachlich, örtlich und zeitlich abgegrenzten Mietwohnungsmarktes bereits durch die statistische Erhebung vergleichsweise weniger Eigenschaften von Mietwohnungen bewerkstelligt werden, die ohne großen Erhebungsaufwand den einschlägigen Seiten lokaler Tageszeitungen oder des Internets entnommen werden können. Drittens eignet sich eine Mietwohnung und die statistische Beschreibung ihrer marktrelevanten Eigenschaften wie monatliche Kaltmiete, Wohnfläche, Zimmeranzahl, Wohnlage etc. ideal für eine problemorientierte Einführung sowohl in eine urlistenbasierte Datenerhebung als auch in das PASW Statistics Datei- und Daten-Management. Erhebungskonzept. Im Zuge einer statistischen Datenerhebung im Allgemeinen und der praktischen Arbeit mit PASW Statistics als einem merkmalsträgerorientierten Programmpaket im Speziellen ist stets erforderlich, die in der Tabelle 3.2-1 zusammengefassten Grundbegriffe konkret zu spezifizieren. Tabelle 3.2-1: Erhebungskonzept Merkmalsträger Wohnung Grundgesamtheit (unbestimmte) Menge von Wohnungen Identifikationsmerkmale mit Mietwohnung Stadt Zeitraum festgelegter Ausprägung annonciert Berlin I/2010 Erhebungsmerkmal(e) Variablenname Skalierung Typ Stadtteil Stadtteil nominal String Zimmeranzahl Zimmer metrisch numerisch Wohnfläche (m²) Fläche metrisch numerisch monatliche Kaltmiete (€) Miete metrisch numerisch Datenerhebung primärstatistisch, direkt, Stichprobenerhebung Auswahlverfahren geschichtete und systematische Zufallsauswahl
Grundgesamtheit. Gleichwohl die statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} in Gestalt des zu beschreibenden Wohnungsmarktes durch eine endliche Menge von annoncierten Berliner Mietwohnungen Ji * definiert ist, kann im konkreten Fall ihr Umfang N nicht genau angegeben werden. Es ist lediglich
Datenerhebung
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bekannt, dass der Umfang N der statistischen Grundgesamtheit endlich und hinreichend groß ist. Da aus Zeit-, Kosten- und Realisierbarkeitsgründen eine statistische Totalerhebung des Berliner Mietwohnungsmarktes nicht sinnvoll erscheint, gilt es, den Mietwohnungsmarkt mittels einer (möglichst repräsentativen) Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n Mietwohnungen Ji zu beschreiben. Abbildung 3.2-1: Urlistenauszug
Primär- und Teilerhebung
Identifikationsmerkmale Stadtteil Zimmer Pankow 3 Prenzlauer Berg 3 : :
Erhebungsmerkmale
Fläche (m²) 108,35 100,17 :
Kaltmiete (€) 670,00 691,17 :
Urlistenauszug Merkmalsträger
Stichprobe. Als Stichprobenverfahren wurde im konkreten Fall ein geschichtetes Zufallsauswahlverfahren praktiziert, wobei die Erhebungsmerkmale Stadtteil und Zimmeranzahl als Schichtungsmerkmale (und damit streng genommen als Identifikationsmerkmale) fungierten. Innerhalb jeder Schicht wurde im Sinne einer systematischen Zufallsauswahl zum Beispiel jede dritte Mietwohnung, die analog zur Abbildung 3.2-1 im Immobilien-Magazin der Berliner Zeitung im ersten Quartal 2010 annonciert wurde, ausgewählt und deren interessierende Eigenschaften statistisch erfasst. Variablendefinition. Hat man die im erfassungsstatistischen Sinne elementaren und substantiellen Festlegungen getroffen, so ist es für das Datei- und DatenManagement unter PASW Statistics, das beispielhaft im Kontext des vierten Kapitels skizziert wird, erforderlich, für jedes interessierende Erhebungsmerkmal und für jedes variierende Identifikationsmerkmal, das in der statistischen Terminologie auch als Variable bezeichnet wird, sowohl einen geeigneten Variablen-
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Datenerhebung
namen zu vereinbaren als auch den Variablentyp festzulegen. Innerhalb der Tabelle 3.2-1 ist zugleich der Übergang von der Benennung eines Erhebungsmerkmals zur Variablendefinition unter PASW Statistics exemplarisch dargestellt. Urliste. In der angewandten Statistik finden alle bisherigen Überlegungen Eingang in die Verwendung so genannter statistischer Erfassungsbelege bzw. Urlisten. Als ein anschauliches Beispiel für eine statistische Urliste können die Datentabellen innerhalb der Abbildungen 3.2-1 und 3.2-2 angesehen werden. Abbildung 3.2-2: Urlistenauszug
Der Urlistenauszug innerhalb der Abbildung 3.2-2 zeigt die im Zuge einer systematischen Zufallsauswahl erhobenen Daten von Berliner Drei-Zimmer- Mietwohnungen, die im ersten Quartal 2010 im Immobilien-Magazin der Berliner Zeitung annonciert wurden und im Berliner Stadtteil Weißensee angesiedelt sind. Gleichwohl im konkreten Fall die Merkmale Stadtteil und Zimmer(anzahl) als Identifikationsmerkmale für die geschichtete Zufallsstichprobe fungieren und daher bezüglich ihrer Ausprägungen „Wei(ßensee)“ und „3“ fixiert sind, erscheinen sie im Kontext der Beschreibung des Berliner Mietwohnungsmarktes jeweils als ein in seinen Ausprägungen variierendes Erhebungsmerkmal einer Berliner Mietwohnung. Dies leuchtet ein, zumal eine annoncierte Berliner Mietwohnung zum Beispiel in Köpenick liegen und zwei Zimmer besitzen kann. PASW Statistics Datendatei. Die interessierenden und empirisch erhobenen Urlistendaten, die zudem noch durch stadtteilbezogene Informationen wie Ortskode und Lagekoordinaten auf der West-Ost- und Nord-Süd-Achse erweitert wurden, sind in der Abbildung 3.2-2 in Gestalt des PASW Statistics DatenEditors auszugsweise dargestellt und in der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav gespeichert. h
Datenerhebung
3.3
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Fragebogenkonzept
Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung kommt der Erstellung und der statistischen Auswertung von Fragebögen, die aus Gründen der Einheitlichkeit und Vergleichbarkeit stets „standardisiert“ sein sollten, eine besondere praktische Bedeutung zu. Die statistische Auswertung von Fragebögen ist eine spezielle und praxisrelevante Form einer primärstatischen Datenerhebung. Aus statistisch-methodischer Sicht kann ein Fragebogen wie folgt charakterisiert werden: Fragebogen Ein Fragebogen ist ein Instrument der primärstatistischen Datenerhebung. Mit Hilfe eines einheitlich gestalteten (standardisierten) Fragebogens werden über eine sachlich, örtlich und zeitlich gleichartig abgegrenzte statistische Grundgesamtheit bzw. über eine Teilgesamtheit (Stichprobe) von Merkmalsträgern interessierende Eigenschaften via mündliche, schriftliche, telefonische oder multimediale Befragung erhoben und statistisch ausgewertet. Hinweise. Für die Erstellung und für die statistische Auswertung eines standardisierten Fragebogens erweisen sich die folgenden Hinweise und Anmerkungen als hilfreich und nützlich: i) Exemplar. In der Abbildung 3.3-1 ist das Exemplar eines einfachen standardisierten Fragebogens dargestellt, der einzig und allein didaktisch-methodisch motiviert ist und jeweils zum Semesterbeginn in den obligatorischen Lehrveranstaltungen zur Statistik an alle eingeschriebenen Studierenden verteilt wird, mit der Bitte, diesen im Sinne einer schriftlichen Befragung wahrheitsgemäß zu beantworten. ii) Fragetypen. Nach ihrer Funktion im Fragebogenkonzept unterscheidet man zwischen Einleitungsfragen (auch Kontaktfragen genannt) zur Eröffnung einer Befragung und Sachfragen als Kernstück der primärstatistischen Untersuchung. Bei Sachfragen unterscheidet man zwischen offenen und geschlossenen Fragen. Während für offene Fragen keine Antworten vorgegeben sind, liegen bei geschlossenen Fragen (etwa in Gestalt von Alternativoder Skalafragen) bereits sachlogisch begründete, strukturierte Antworten vor. Der Fragebogen innerhalb der Abbildung 3.3-1 basiert ausschließlich auf geschlossenen Fragen. Weiterhin unterscheidet man zwischen Kontrollfragen zur Überprüfung der Antwortkonsistenz und Interviewer-Ehrlichkeit und persönliche Fragen, die interessierende Eigenschaften einer interviewten Person (zum Beispiel Geschlecht, Alter, Familienstand, soziale Herkunft etc.) zum Gegenstand haben. iii) Identifikator. Jeder Fragebogen ist mit einem Identifikator bzw. Schlüssel zu versehen. Der Identifikator erweist sich vor allem bei der Fehlersuche und der Plausibilitätsüberprüfung der gegebenen Antworten als nützlich. In praxi erweisen sich oft dekadische bzw. Nummernschlüssel als ausreichend, mit denen lediglich die Fragebögen nummeriert werden. Da die Datenerhebung semesterweise erfolgt, ist im Fragebogenexemplar innerhalb der Abbildung 3.3-1 links oben ein vierstelliger Platzhalter für den Identifikator vorgesehen, mit dem maximal 10000 Fragebögen nummeriert werden können. iv) Kodierung. Jede geschlossene Frage ist bezüglich ihrer vorgegebenen Antworten (engl.: response o Antwort, item o Punkt, Posten, Antwort) zum Zwecke ihrer softwaregestützten Auswertung zu kodieren. Bezieht sich eine Antwort
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Datenerhebung auf eine erfragte Eigenschaft, die bezüglich ihrer Ausprägungen mindestens auf einer Intervallskala definiert ist (etwa die Frage 3 nach der Körpergröße), dann ist der Vorgang der Kodierung durch den zugrunde liegenden Messvorgang definiert, in dessen Ergebnis stets nur ein Merkmalswert erscheinen kann. Bezieht sich hingegen die Antwort auf eine erfragte Eigenschaft, deren Ausprägungen entweder auf einer Nominalskala oder einer Ordinalskala definiert sind und als Begriffe, Kategorien oder Prädikate erscheinen (etwa die Frage 6 nach der Konfektionsgröße), dann ist der Vorgang der Kodierung durch eine Abbildung der Begriffe, Kategorien oder Prädikate auf die Menge der ganzen Zahlen gekennzeichnet. v) Einzelantwort. Stellen die vorgegebenen Antworten einer geschlossenen Frage Einzelantworten dar, dann genügt es, die vorgegebene Antwortbatterie zu kodieren und die vereinbarten Kodes als Ausprägungen des interessierenden Erhebungsmerkmals zu deklarieren. Eine vorgegebene Antwort heißt Einzelantwort, wenn (etwa bei der Beantwortung der Frage 11 nach der Anzahl der Prüfungswiederholungen) nur einer der vorgegebenen Punkte als Antwort markiert werden kann und darf. vi) Mehrfachantworten. Erscheinen analog zur Frage 12 die vorgegebenen Antworten einer geschlossenen Frage als eine Batterie (Set, Bündel, Menge) von Mehrfachantworten, dann ist gemäß dem Konzept der multiplen Dichotomien (vgl. Beispiel 5.1-2) für jede vorgegebene Antwort eine dichotome Variable (meist in Gestalt einer so genannten 0-1-Variablen) zu vereinbaren. v) Erhebungskonzept. Gleichsam wie beim Urlistenkonzept, das im Abschnitt 3.3-1 skizziert wurde, ist es auch im Zuge einer fragebogengestützten statistischen Datenerhebung stets erforderlich, analog zur Tabelle 3.3-1 das zugrunde liegende Erhebungskonzept konkret zu spezifizieren. i
Tabelle 3.3-1: Erhebungskonzept Merkmalsträger Student(in) statistische Gesamtheit Student(inn)en, BA-Programme, Statistik-Kurs Identifikationsmerkmale mit Studiengänge Hochschule Semester festgelegter Ausprägung FB WiWi I HTW Berlin fortlaufend Erhebungsmerkmale Variablenname Skalierung Typ Semester Semester nominal numerisch Geschlechtszugehörigkeit F1 nominal numerisch Alter F2 metrisch numerisch Körpergröße F3 metrisch numerisch Körpergewicht F4 metrisch numerisch Familienstand F5 nominal numerisch Konfektionsgröße F6 ordinal numerisch Berufsabschluss F7 nominal numerisch Bafög-Empfänger F8 nominal numerisch Studentische Aktivitäten F9a bis F9f metrisch numerisch Zufriedenheitsgrad F10 metrisch numerisch Prüfungswiederholungen F11 metrisch numerisch Verkehrsmittelnutzung F12a bis F12l nominal numerisch Datenhebung primärstatistisch, direkt, Totalerhebung
Datenerhebung
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Abbildung 3.3-1: Standardisierter Fragebogen Fragebogen-Nummer:
Semester: _______________
Hinweis. Füllen Sie bitte den anonymisierten Fragebogen aus, indem Sie die jeweilige Antwort ankreuzen bzw. den jeweiligen Wert angeben. Ihre Angaben werden vertraulich behandelt und dienen ausschließlich einer praxisnahen Gestaltung Ihrer Ausbildung im Studienfach „Statistik“.
männlich 1 weiblich F2: Alter: Jahre F3: Körpergröße: cm F4: Körpergewicht: kg F5: Familienstand: 1 ledig 2 verheiratet F6: Konfektionsgröße: 1 XS 2S 3M F7: Berufsabschluss: 0 nein 1 ja F8: Bafög-Empfänger: 0 nein 1 ja F1: Geschlecht:
F9:
0
verwitwet 4L 5 XL 3
geschieden 6 XXL 4
Bewerten und markieren Sie jeweils auf der dargestellten 100 %-Skala die Intensität Ihrer bisherigen studentischen Aktivitäten bezüglich ...
a) Vorlesungsbesuch
b) Übungsbesuch
d) Selbststudium
e) Studiengruppenarbeit
c) Bibliotheksbesuch
f) Nebenjobtätigkeit
F10: Bewerten und markieren Sie auf der dargestellten Zufriedenheitsskala den Zufriedenheitsgrad mit Ihrem bisherigen Studium an der HTW Berlin. unzufrieden
zufrieden
F11: Wie viele Prüfungswiederholungen hatten Sie im vergangenen Semester? 0 keine 1 eine 2 zwei 3 drei 4 vier 5 fünf 6 sechs F12: Welche Verkehrsmittel nutzen Sie in der Regel auf dem Weg zur Hochschule? (Mehrfachnennungen sind möglich.) a) U-Bahn 1 b) S-Bahn 1 c) Tram 1 d) Bus g) Taxi j) Motorroller
1 1 1
e) Regionalbahn h) PKW k) Fahrrad
1 1 1
f) Fernbahn i) Motorrad l) Roller
1 1 1
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Datenerhebung
PASW Statistics Datendatei. Die Daten, die auf der Grundlage des standardisierten Fragebogens innerhalb der Abbildung 3.3-1 in den Lehrveranstaltungen zur Statistik in den vergangenen Semestern am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin empirisch erhoben wurden, sind in der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav gespeichert. In der Abbildung 3.3-2 ist aus Anschaulichkeitsgründen ein „Urlistenauszug“ aus der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav dargestellt. Abbildung 3.3-2: Urlistenauszug
Aufgrund dessen, dass im standardisierten Fragenbogen innerhalb der Abbildung 3.2-1 die Ausprägungen aller nominalen und ordinalen Erhebungsmerkmale kodiert wurden (vgl. Abschnitt 4.6), erscheinen in logischer Konsequenz alle Merkmalsausprägungen innerhalb der primärstatistischen PASW Statistics Datendatei als zahlenmäßige Informationen. Da im PASW Statistics Daten-Editor (vgl. Abschnitt 4.3) die Merkmalsträger Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} in den Editor-Zeilen platziert werden und gemäß Abbildung 3.2-2 insgesamt 685 Editor-Zeilen „belegt“ sind, ist es evident, dass die zugrunde liegende statistische Gesamtheit *n aus n = 685 Merkmalsträgern besteht, für die gemäß Abbildung 3.3-1 mittels eines standardisierten Fragebogens jeweils m = 30 Identifikations- und Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,...,m) empirisch erhoben wurden. Die empirisch erhobenen Daten füllen letztlich eine tabellarisch gestaltete primärstatistische Urliste aus, die im konkreten Fall aus 685 Zeilen und 30 Spalten besteht und im „idealen“ Fall ausschließlich valider (lat.: validus o gültig) Daten im Sinne der linearen Algebra eine (685 u 30)-Datenmatrix mit 68530 = 20550 Einzeldaten „aufspannt“. Wie diese Datenmenge im konkreten Fall mit PASW Statistics aufbereitet und analysiert werden kann, ist ein Gegenstand der folgenden Kapitel. h
PASW Statistics
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4 PASW Statistics Schlüsselwörter PASW Datenmanagement PASW Dialogfeld PASW Editor PASW Funktionsaufruf
PASW Hilfesystem PASW Optionen PASW starten und beenden PASW Viewer
Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitels besteht in der Vermittlung elementarer Kenntnisse über das Programmpaket PASW Statistics 18 in der deutschen Version unter Verwendung des Betriebssystems „Windows XP“ oder „Windows Vista“. Die Abbreviatur PASW steht für „Predictive Analytics Software“ und kennzeichnet als solche ein umfassendes und leistungsfähiges Programmpaket zur Analyse und Vorhersage statistischer Daten, das in seinen vorhergehenden Versionen unter der Bezeichnung SPSS firmierte. Gegenstand. Den Gegenstand dieses Kapitels bilden Notizen zur Entwicklungsgeschichte und zur Produktfamilie von PASW, zum Vorgang des Startens und Beendens von PASW Statistics, zu den Arten und Zweckbestimmungen von PASW Statistics Editoren, zur Nutzung des PASW Statistics Viewer, zum Aufbau, zur Funktion und zur Handhabung von Dialogfeldern, zum Hilfesystem sowie zu den Optionen unter PASW Statistics. Einführung. Die einführenden Bemerkungen sind lediglich auf die Inhalte und Funktionen von PASW Statistics 18 beschränkt, die für alle weiteren Betrachtungen von Bedeutung sind. Ausführliche Darstellungen hinsichtlich des Aufbaus und der Wirkungsweise von PASW Statistics 18 sind den Handbüchern bzw. dem Hilfesystem zu entnehmen. h
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PASW Statistics
4.1
Wofür steht PASW Statistics?
Programmpaket. Die Abbildung 4.1-1 beinhaltet das Eröffnungsbild von PASW Statistics 18. Die Abbreviatur PASW steht für „Predictive Analytics Software“ und kennzeichnet als solche ein umfassendes und leistungsfähiges Programmpaket zur Analyse und Vorhersage statistischer Daten, das in seinen vorhergehenden Versionen unter der Bezeichnung SPSS firmierte. Abbildung 4.1-1: PASW Statistics
PASW Statistics basiert auf einer grafischen Benutzeroberfläche, übersichtlichen und aussagekräftigen Menüs sowie übersichtlich gestalteten Dialogfeldern, die eine praktische Arbeit mit PASW Statistics wesentlich erleichtern. Hinweis: Die in diesem Lehrbuch gezeigten und auf Realdaten beruhenden Anwendungen basieren ausschließlich auf der Produktfamilie bzw. dem Programmpaket „PASW Statistics“. Das Programmpaket PASW Statistics, das wiederum ein integraler Bestandteil der Produktsuite „Predictive Analytics Software“ von „2010 SPSS Inc., an IBM Company“ ist, kann je nach Erfordernis zudem noch durch weitere Produktfamilien bzw. Programmpakete erweitert werden. i
Im Vergleich zu ihren SPSS Vorgänger-Versionen wird die PASW Produktsuite durch eine breite Palette von Neuerungen getragen, die von der Datenaufbereitung und dem Datentransport über das automatische und zeitsparende Durchführen von Datenanalysen bis hin zum Erstellen von Analyseberichten in Gestalt von einfachen oder umfangreichen Pivot-Tabellen bzw. klassischen und modernen grafischen Darstellungen reichen. h
PASW Statistics
4.2
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PASW Statistics starten und beenden
Voraussetzung. Die Nutzung von PASW Statistics 18 setzt seine ordnungsgemäße Installation unter einem der Microsoft Betriebssysteme voraus. Sequenz. Für das Dokumentieren und für das Nachvollziehen von Funktionsaufrufen wird für die weiteren Betrachtungen gemäß Abbildung 4.2-1 die skizzierte Darstellungsform mit Hilfe einer so genannten Sequenz vereinbart. Sequenz Eine Sequenz ist eine Abfolge von Menüpunkten und/oder Funktionselementen zur plakativen Darstellung eines Funktionsaufrufes in PASW Statistics. Hinweise. Für den Aufbau und für die Verwendung von Sequenzen sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Hauptmenüpunkt. Abgesehen von der Sequenz 4.2-1 bezieht sich der erstgenannte Menüpunkt in einer Sequenz stets auf das Hauptmenü im jeweiligen Anwendungsfenster bzw. Daten-Editor von PASW Statistics. ii) Funktionselemente. Die Menüpunkte innerhalb einer Sequenz, die stufenweise nach rechts versetzt wurden, kennzeichnen die jeweiligen Funktionselemente in den nachfolgend geöffneten Dialogfeldern. Dies sind in der Regel Schaltflächen oder Optionen, die entweder durch das Ziehen des Mauszeigers auf das jeweilige Funktionselement oder durch einen Klick mit der linken Maustaste aktiviert werden. iii) Abbildung. Die in diesem Lehrbuch aufgelisteten Sequenzen werden noch durch eine Abbildung ergänzt, die das Fenster bzw. Dialogfeld, das final geöffnet wurde, vollständig bzw. als Ausschnitt darstellt und somit ein Nachvollziehen der skizzierten Analyseschritte erleichtern soll. i
PASW Statistics starten. Die Sequenz 4.2-1 skizziert den Vorgang des Startens von PASW Statistics 18. Sequenz 4.2-1: PASW Statistics starten Start Programme PASW Statistics 18 o Abbildung 4.2-1 Abbildung 4.2-1: PASW Statistics Daten-Editor (Eröffnungsbild) Titelleiste
Menüleiste
Symbolleiste Editor-Zeile als Platzhalter für einen Merkmalsträger
Editor-Spalte als Platzhalter für ein Erhebungsmerkmal
Daten- oder Variablenansicht
Statusleiste
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PASW Statistics
Die Abbildung 4.2-1 skizziert das Eröffnungsbild, das nach dem Startvorgang im Standardformat von PASW Statistics 18 erscheint und im konkreten Fall in der Präsentation des Daten-Editors besteht. Zum Zwecke eines besseren Verständnisses des Aufbaus des PASW Statistics Daten-Editors wurde zudem die Abbildung 4.2-1 noch durch Anmerkungen ergänzt, welche die Bestandteile des PASW Statistics Daten-Editors markieren und benennen. Abbildung 4.2-2: PASW Statistics 18 beenden
Sequenz 4.2-2: PASW Statistics beenden Datei Beenden
PASW Statistics beenden. Über das schrittweise Aktivieren der Menüpunkte innerhalb der Sequenz 4.2-2 kann PASW Statistics 18 beendet werden. h
4.3
PASW Statistics Editoren und Viewer
Motivation. Die für PASW Statistics typischen und für die weiteren Betrachtungen relevanten Editoren und Viewer lassen sich wie folgt charakterisieren: PASW Statistics Daten-Editor Der PASW Statistics Daten-Editor ist ein Instrument (engl.: tool), mit dessen Hilfe hauptsächlich das Datei- und Daten-Management bewerkstelligt wird. Das Kernstück des PASW Statistics Daten-Editors ist ein in Zeilen und in Spalten aufgeteiltes Arbeitsblatt. Hinweise. Für die Arbeit mit dem PASW Statistics Daten-Editor sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Komponenten. Der PASW Statistics Daten-Editor setzt sich aus den folgenden Komponenten zusammen, die in der Abbildung 4.2-1 zur leichteren Identifizierung jeweils mittels einer Legende markiert und kommentiert sind. Dies sind die Titelleiste PASW Statistics Daten-Editor, die Menüleiste mit den Hauptmenü-Punkten Datei, Bearbeiten, ..., Hilfe, die Symbolleiste, deren Symbole (engl.: icon(s)) durch eine Kurzinformation (engl.: short info) erklärt werden und die Arbeit mit PASW Statistics wesentlich vereinfachen und erleichtern, das Arbeitsblatt, das in Zeilen und Spalten aufgeteilt ist und die Statusleiste, die jeweils über den „aktuellen Zustand“ von PASW Statistics informiert. Über die Statusleiste werden folgende Status- Informationen bereitgestellt: der Befehlsstatus, der zum Beispiel über die nach Aufruf einer Prozedur bereits verarbeiteten Fälle informiert, der Filterstatus, der darüber informiert, ob bestimmte Merkmalsträger einer PASW Datendatei nach bestimmten Kriterien ausge-
PASW Statistics
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wählt bzw. gefiltert wurden (vgl. Beispiel 4.6.4-4), der Gewichtungsstatus, der über eine vereinbarte Gewichtung von Merkmalswerten informiert und der Aufspaltungsstatus, der über die Gliederung einer PASW Datendatei in Gruppen informiert. ii) Zeilen. Die Zeilen des Arbeitsblattes fungieren als Platzhalter für die statistischen Merkmalsträger Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n}. Die Anzahl der mit Daten (inklusive fehlenden Werten, engl.: missing values) belegten Arbeitsblattzeilen ist stets mit dem Umfang n der statistischen Gesamtheit *n bzw. mit der grau unterlegten letzten Zeilennummer identisch. iii) Fälle. Die Merkmalsträger Ji *n werden in der Terminologie von PASW Statistics als Fälle (engl.: case o Fall, Element) bezeichnet. iv) Spalten. Die Spalten des Arbeitsblattes fungieren als Platzhalter für die Erhebungsmerkmale, die in der PASW Statistics Terminologie als Variablen bezeichnet werden und in der Kopfzeile des Arbeitsblattes durch die grau unterlegten Abbreviaturen var gekennzeichnet sind. In der praktischen Arbeit mit PASW Statistics ist der Dateneingabe stets eine geeignete Variablendefinition vorzulagern. v) Zelle. Eine Arbeitsblattzelle (als Schnittmenge einer Arbeitsblattzeile und einer Arbeitsblattspalte) fungiert als Platzhalter für eine Ausprägung eines Erhebungsmerkmals eines Merkmalsträgers. Je nach Vereinbarung kann eine Merkmalsausprägung, also ein Zelleninhalt ein Begriff, ein Wert oder eine Datumsangabe sein. Merkmalsausprägungen als Zelleninhalte bezeichnet man auch als Daten (vgl. Abschnitt 3.3). vi) Daten- oder Variablenansicht. Das Fenster des PASW Statistics DatenEditors wird mit Beginn einer PASW Statistics Sitzung automatisch geöffnet. Zudem besteht gemäß Abbildung 4.2-1 die Möglichkeit, im Daten-Editor optional zwischen einer Daten- oder einer Variablenansicht zu wählen, indem man in der Status-Leiste jeweils die Schaltfläche Datenansicht bzw. Variablenansicht aktiviert. vii) Datenmatrix. Ein mit Daten „ausgefülltes“ Arbeitsblatt bezeichnet man in Anlehnung an die lineare Algebra als Datenmatrix bzw. in Anlehnung an die Informatik auch als Tabelle (engl.: spreadsheet). Die Größe eines „ausgefüllten“ Arbeitsblattes und damit die Größe der PASW Statistics Datendatei hängt von der Speicherkapazität des verwendeten Rechners ab. viii) Aktives Fenster. Zu Beginn einer PASW Statistics Sitzung ist der Daten-Editor stets ein aktives Fenster. Ein aktives Fenster ist ein aktuell ausgewähltes Fenster, das im Unterschied zu einem nicht aktiven Fenstern dadurch gekennzeichnet ist, dass seine Überschriftsleiste farbig unterlegt ist. In PASW Statistics 18 können mehrere Editor-Fenster gleichzeitig geöffnet werden. ix) PASW Statistics Datendatei. Daten im PASW Statistics DatenEditor können unter Verwendung des Dateiformats PASW Statistics (*.sav), das durch die Extension *.sav (engl.: to save o retten, schützen) kenntlich gemacht wird, gespeichert werden. i
PASW Statistics Viewer Der PASW Statistics Viewer (engl.: viewer o Betrachter) ist ein Instrument zur Präsentation und Bearbeitung von statistischen Auswertungsergebnissen in Gestalt von Tabellen, Kommentaren, Überschriften und/oder Diagrammen. Hinweise. In der praktischen Arbeit mit dem PASW Statistics Viewer sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Abbildung. Die Abbildung 4.3-1 beinhaltet das Fenster des Viewer, das als eine Art „Schaufenster“ für PASW Statistics Ausgaben fungiert. Der Viewer wird automatisch nach dem Aufruf einer Prozedur, die eine Ausgabe erzeugt, geöffnet. ii) Aufbau. Der Aufbau des PASW Statistics Viewer ähnelt dem des
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PASW Statistics PASW Statistics Daten-Editors. Charakteristisch sind die unterschiedlich konstruierte Symbolleiste und das zweigeteilte Ausgabefenster. Während im linken Fensterflügel mit Hilfe eines Navigators die Ausgabestruktur angezeigt wird, beinhaltet der rechte Fensterflügel das eigentliche Ausgabefenster für die jeweilig erstellten Tabellen und Diagramme. iii) Hauptfenster. Beachtenswert ist, dass (analog zum PASW Statistics Daten-Editor) im PASW Statistics Viewer mehrere Fenster gleichzeitig geöffnet werden können. Dabei ist ein Hauptfenster wohl zu unterschieden von einem aktiven Fenster. Ein im PASW Statistics Viewer neu geöffnetes Fenster fungiert automatisch als ein Haupt- und ein aktives Fenster. Während ein Hauptfenster in der Titelleiste des PASW Daten-Editors bzw. des PASW Viewer mit einem grünen Kreuz (®) kenntlich gemacht wird, ist ein aktives Fenster stets an der farbig unterlegten Titelleiste zu erkennen. Jedes im PASW Statistics Viewer geöffnete Fenster kann mittels Mausklick auf das Symbol ® in der Symbolleiste als Hauptausgabefenster festgelegt werden. Dies hat den praktischen Vorteil, dass interessierende Ausgaben stets in das vereinbarte Hauptfenster „umgeleitet“ und dort präsentiert werden können. Abbildung 4.3-1: PASW Statistics Viewer, Hauptausgabefenster Ausgabe-Fenster
Navigator-Fenster
iv) Pivotieren. Das Bearbeiten einer Ausgabe im PASW Statistics Viewer kann auf vielfältige Art und Weise bewerkstelligt werden. Ist man daran interessiert, eine im PASW Statistics Viewer ausgegebene Tabelle zu bearbeiten, braucht man das gewünschte Tabellenobjekt nur mittels eines Doppelklicks mit der linken Maustaste zu markieren, um sie analog zur Abbildung 4.3-2 in dem Sinne zu „pivotieren“, dass man die Zeilen und Spalten vertauscht (frz.: Pivot o Drehzapfen, allgemein für drehen und bearbeiten). Abbildung 4.3-2: PASW Statistics Viewer, Pivot-Tabellen-Editor
v) Tabellenformat. Eine weitere nützliche Option kann via Format, Tabellenvorlagen … aufgerufen werden, mit deren Hilfe man mittels einer unter dem Datei-Format TableLooks (*.stt) gespeicherten Tabellenvorlage eine Tabelle nach einem „individuellen Standard“ gestalten kann. vi) Diagramm-Editor. Der Diagramm-Editor ist ein Instrument zur
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Bearbeitung von hochauflösenden Grafiken (engl.: high resolution graphics), die im PASW Statistics Viewer ausgegeben und angezeigt werden. Möchte man ein Diagramm bearbeiten, das im PASW Statistics Viewer angezeigt wird, kann man das Diagramm via Doppelklick mit der linken Maustaste in den Diagramm-Editor projizieren. Die Abbildung 4.3-3 zeigt den Diagramm-Editor mit dem Dialogfeld Eigenschaften, mit dessen Hilfe im konkreten Fall die Farbe der Box im Boxplot bearbeitet wurde. Abbildung 4.3-3: PASW Statistics Diagramm-Editor
Für die Bearbeitung einer Grafik braucht man nur den Cursor auf das jeweilige Grafikelement zu platzieren, um mit einem Doppelklick das jeweilige Dialogfeld Eigenschaften öffnen zu können. Mit den verschiedenen Dialogfeldern Eigenschaften steht eine Vielzahl von Gestaltungsbausteinen zur Verfügung. Als vorteilhaft erweist sich die Arbeit mit Diagrammvorlagen, die man via Datei, Diagrammvorlage speichern unter dem DateiFormat Templates (*.sgt) (engl.: template o Schablone) speichern und via Datei, Diagrammvorlage zuweisen applizieren kann. Eine kopierte Grafik kann in unterschiedlichen Grafik-Formaten zu jeder Zeit in andere Anwendungen (etwa in Microsoft Word oder Microsoft Power Point) exportiert werden. vii) Viewer-Datei. Viewer-Inhalte können in einer Ausgabedatei gespeichert werden. Ausgabedateien werden in PASW Statistics unter dem Dateiformat Viewer-Dateien (*.spv) gespeichert. viii) Schließen. Das Schließen des PASW Statistics Viewers bzw. des Diagramm-Editors realisiert man am einfachsten über die Menüpunkte Datei, Schließen. i
4.4
PASW Statistics Dialogfelder
Motivation. Analog zu Windows-Anwendungen ist es auch in PASW Statistics möglich, über die Menüpunkte in der Hauptmenü-Leiste des PASW Statistics Daten-Editors Dialogfelder zu öffnen. Ein Dialogfeld in PASW Statistics kann wie folgt charakterisiert werden: PASW Statistics Dialogfeld In PASW Statistics ist ein Dialogfeld ein spezielles Fenster, das als „Kommunikationsplattform“ zwischen dem Programmsystem und dem Nutzer fungiert.
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PASW Statistics Sequenz 4.4-1: Dialogfeld Häufigkeiten Analysieren Deskriptive Statistiken Häufigkeiten o Abbildung 4.4-1
Abbildung 4.4-1: Dialogfelder Häufigkeiten
Hauptdialogfeld
Schaltflächen für Unterdialogfelder Unterdialogfeld
Variablenliste
Parameteroptionen funktionale Schaltflächen
Hinweise. In der praktischen Arbeit mit PASW Statistics Dialogfeldern sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Arten. In PASW Statistics werden zwei Arten von Dialogfeldern unterschieden: die so genannten Hauptdialogfelder und die so genannten Unterdialogfelder. ii) Grundaufbau. Hauptdialogfelder bestehen im Allgemeinen aus den folgenden Elementen: a) aus einer linksseitig platzierten Variablenliste, in der alle in der PASW Arbeitsdatei definierten Variablen aufgelistet werden, b) aus einer zentriert platzierten und in der Regel mit Variable(n) überschriebenen Rubrik, in der die für eine Analyse ausgewählten Variablen aufgelistet werden und c) aus rechtsseitig bzw. unten platzierten Befehlsschaltflächen, die bestimmte Aktionen auslösen bzw. mit deren Hilfe Unterdialogfelder aufgerufen werden können. iii) Beispiel. Die Abbildung 4.4-1 beinhaltet das via Sequenz 4.4-1 geöffnete Hauptdialogfeld Häufigkeiten und das zugehörige Unterdialogfeld Häufigkeiten: Statistik, das via Schaltfläche Statistik... aktiviert werden kann. Im konkreten Fall wurden für die metrische Variable Preis (aus der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav) die drei Mietpreisquartile, das arithmetische Mittel, die Varianz, die Spannweite, das Minimum und Maximum, die Standardabweichung, das Schiefe- und das Wölbungsmaß (Kurtosis) angefordert. iv) Charakteristik. Hauptdialogfelder sind stets durch die funktionale Schaltfläche OK, Unterdialogfelder durch die funktionale Schaltfläche Weiter kenntlich gemacht und somit auf einen ersten Blick hin wohl voneinander zu unterscheiden. i
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4.5
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PASW Statistics Hilfesystem und Optionen
Hilfesystem. Für die Arbeit mit PASW Statistics erweist sich das breitgefächerte und umfangreiche Hilfesystem als äußerst vorteilhaft, dessen Bestandteile analog zur Abbildung 4.5-1 angefordert werden können. Abbildung 4.5-1: PASW Statistics Hilfesystem
Aufrufsequenz
Aus dem umfangreichen Angebot können die gewünschten Informationen ausgesucht werden, derer man bei der praktischen Arbeit mit PASW Statistics bedarf. Lernprogramm. In der Abbildung 4.5-2 ist ein Auszug aus dem so genannten PASW Statistics Lernprogramm plakatiert, das einen anschaulichen und elementaren Einstieg in die Arbeit mit dem Programmpaket ermöglicht. Abbildung 4.5-2: PASW Statistics Lernprogramm
Kontextsensitive Hilfe. Eine kontextsensitive Hilfe kann gemäß Abbildung 4.4-1 zum Beispiel in einem Dialogfeld via Schaltfläche Hilfe oder analog zum Abschnitt 4.3 auch in einem der dargestellten PASW Statistics Editoren angefordert werden, indem man den Mauszeiger auf den interessierenden Begriff plat-
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PASW Statistics
ziert und die rechte Maustaste betätigt. Kontextsensitive Hilfen besitzen den Vorteil, dass man sich zu jeder Zeit schnell und ohne großen Aufwand eine kurze und leicht verständliche Erläuterung eines statistischen Begriffes, Verfahrens oder einer Maßzahl zu Eigen machen kann. Systemeinstellungen. Die programminternen Berechnungen als auch deren Protokollierung in Text-, Tabellen-, Skripte- oder Grafikausgaben werden in PASW Statistics durch Systemeinstellungen organisiert. Sequenz 4.5-2: Optionen Bearbeiten Optionen o Abbildung 4.5-3 Abbildung 4.5-3: Dialogfeld Optionen
Via Sequenz 4.5-2 ist es möglich, mittels übersichtlich gestalteter Dialogfelder Voreinstellungen zu verändern und den individuellen Bedürfnissen eines Nutzers anzupassen. Im konkreten Fall wurde im Dialogfeld Optionen unter der Karte Allgemein in der Rubrik Variablenlisten vereinbart, dass innerhalb eines Dialogfeldes die Variablenauflistung stets mit den vereinbarten und alphabetisch geordneten Variablennamen bewerkstelligt wird. h
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4.6
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PASW Statistics Daten- und Datei-Management
Motivation. Dieser Abschnitt hat eine elementare, problemorientierte und exemplarische Einführung in das Datei- und Daten-Management unter PASW Statistics zum Gegenstand. Während das Daten-Management durch eine breite Palette von Datenbearbeitungskonzepten getragen wird, von denen ausgewählte Konzepte im Abschnitt 4.6.3 am praktischen Sachverhalt skizziert und demonstriert werden, kann das Datei-Management im Wesentlichen durch die folgenden zwei Arbeitsweisen charakterisiert werden: Erstens durch das Erstellen einer PASW Statistics Datendatei auf der Grundlage von Urlistendaten und zweitens durch das Einlesen von Daten, die bereits in einer PASW Statistics Datendatei oder in einer andersartigen Datendatei gespeichert sind. Konzepte. In Anlehnung und in Weiterführung der Abschnitte 3.2 und 3.3 werden aus der breiten Palette von Bearbeitungsmöglichkeiten von Daten und Dateien lediglich die Funktionsgruppen exemplarisch auf der Grundlage des Mietspiegel- und des Fragebogenkonzepts skizziert, die für die weiteren Betrachtungen unabdingbar sind. Darin eingeschlossen sind die Arbeit mit dem PASW Statistics Daten-Editor, das Definieren von Variablen, das Eingeben von Daten über die Tastatur, das Einlesen von Daten aus bereits existierenden PASW Statistics Datendateien oder Excel-Dateien, das Speichern von Daten und/oder Objekten, das Bearbeiten von Daten in Form des Berechnens und Umkodierens von Variablen, das Nummerieren sowie das Auswählen bzw. „Filtern“ von Merkmalsträgern. h
4.6.1 PASW Statistics Variablendefinition Motivation. Die Variablendefinition, die eine Voraussetzung für die Erstellung einer PASW Statistics Datendatei ist, kann wie folgt charakterisiert werden: PASW Statistics Variablendefinition Die Festlegung eines zulässigen Namens, eines geeigneten Typs und Spaltenformats, von Labels und fehlenden Werten für eine Variable kennzeichnet den Vorgang einer Variablendefinition unter PASW Statistics. Hinweise. In Zuge einer Variablendefinition unter PASW Statistics erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Voraussetzung. Eine Variablendefinition setzt voraus, dass der PASW Statistics Daten-Editor das aktive Fenster ist. ii) Variablenansicht. Um eine Variablendefinition bewerkstelligen zu können, braucht man nur gemäß Abbildung 4.2-1 die Option Variablenansicht in der Status-Leiste des PASW Statistics Daten-Editors zu aktivieren und für die angezeigten Variableneigenschaften Name, Typ, Format, Labels, Ausrichtung und Messniveau (Skala) die jeweiligen Festlegungen zu treffen (vgl. Beispiel 4.6.1-1). Beachtenswert ist dabei, dass im Unterschied zur Datenansicht in der Variablenansicht die Variablen in den Zeilen und die Variableneigenschaften in den Spalten des Arbeitsblattes vermerkt werden. iii) Regeln. Bei der Festle-
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PASW Statistics gung von Variablennamen sind die folgenden Regeln zu beachten: a) Ein Variablenname muss stets mit einem Alphazeichen, also mit einem Buchstaben beginnen. Dabei ist es ohne Belang, ob man Groß- oder Kleinbuchstaben verwendet. b) Das letzte Zeichen eines Variablennamens darf kein Punkt sein. c) Ein Variablenname darf bis zu 64 Zeichen umfassen. d) Nicht erlaubt sind Leerzeichen und die Zeichen !, ?, -, ,, und *. iv) Typ. Der Variablentyp ist per Voreinstellung auf numerisch festgelegt. Via Mausklick mit der linken Maustaste auf die grau unterlegte Veränderungsoption ... können gemäß Abbildung 4.6.1-2 weitere Variablentypen vereinbart werden. v) Label. Für eine Variablendefinition ist es nicht zwingend, jedoch stets zu empfehlen, eine Variable durch ein Variablenlabel (engl.: label o Beschriftung, Etikett) und kodierte nominale bzw. ordinale Ausprägungen mit Hilfe von Wertelabels zu kennzeichnen. vi) Fehlende Werte. Für fehlende Werte (engl.: missing values) ist die Option Keine fehlenden Werte per Voreinstellung aktiviert und kann je nach Erfordernis auf einzelne bzw. Wertebereiche via Mausklick mit der linken Maustaste auf die grau unterlegte Veränderungsoption ... erweitert werden. vii) Spaltenformat. Während die Spaltenbreite mittels eines aufwärts bzw. eines abwärts zählenden Zeigers eingestellt werden kann, besteht für die Ausrichtung die Möglichkeit einer optionalen Festlegung. viii) Messniveau. Die Festlegung eines nominalen, ordinalen oder metrischen Skalen- bzw. Messniveaus erfolgt analog zur Ausrichtung optional und ist unter PASW Statistics vor allem beim Erstellen von interaktiven Grafiken von substantieller Bedeutung. i
Beispiel 4.6.1-1: Variablendefinition, Mietspiegelkonzept Motivation. Sollen die Urlistendaten aus der Abbildung 3.2-1 einer statistischen Analyse mit PASW Statistics zugänglich sein, ist es erforderlich, auf ihrer Grundlage eine PASW Statistics Datendatei zu erstellen und die zugehörigen Variablen zu definieren. In der Abbildung 4.6.1-1 ist der PASW Statistics DatenEditor in der Variablenansicht mit den definierten Variablen im Kontext der Beschreibung des Mietspiegelkonzepts dargestellt. Abbildung 4.6.1-1: PASW Statistics Daten-Editor, Variablenansicht
Hinweise. Im Zuge einer Variablendefinition unter PASW Statistics erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Variablenansicht. Zur Definition von Variablen ist es erforderlich, in der Status-Leiste des PASW Statistics Daten-Editors die Option Variablenansicht zu aktivieren. ii) Variablenname. Im Zuge der Eingabe der vereinbarten Variablennamen via Tastatur in die Zellen der Namensspalte ist zu beachten, dass ein Variablenname aus maximal 64 zulässigen Zeichen bestehen kann. iii) Vari-
PASW Statistics ablentyp. Ist gemäß Abschnitt 4.5 optional nichts anderes vereinbart worden, dann ist der Variablentyp numerisch per Voreinstellung festgelegt. Wünscht man einen anderen als den voreingestellten Variablentyp zu vereinbaren, dann platziert man einfach den Mauszeiger auf das Symbol ... in der zugehörigen, mit „Typ“ überschriebenen Zelle und klickt die linke Maustaste, um das Dialogfeld Variablentyp definieren zu öffnen und den jeweiligen Typ zu vereinbaren. iv) Zahlenformat. Die Grundidee eines Datenformats in Gestalt eines Zahlenformats soll exemplarisch anhand der numerischen Variablen Miete und Zimmer verdeutlicht werden. Die Festlegung des Zahlenformats kann in der Variablenansicht in den Spalten Spaltenformat und Dezimalstellen im Dialogfeld Variablentyp definieren mit Hilfe der Parameter Breite und Dezimalstellen erfolgen. Das voreingestellte Zahlenformat, das für numerische Variablen auf ein Spaltenformat mit einer Breite von 8 Zeichen inklusive 2 Dezimalstellen festgelegt ist, basiert auf der Programmiersprache FOR(mular)TRAN(slator) und lässt sich unter Verwendung der so genannten Rauten- Notation wie folgt bildhaft darstellen: # # # # #,# #. Anhand der Rauten-Notation ist die Struktur des voreingestellten Formats leicht zu erkennen. Die auszugebende Zahl besteht maximal aus 8 Zeichen, worin 7 Zeichen (meist Vorzeichen und Ziffern) und ein Dezimalzeichen (meist Dezimalkomma) eingeschlossen sind. Vor dem Dezimalzeichen sind 5 Stellen, nach dem Dezimalzeichen 2 Dezimalstellen vorgesehen. Die insgesamt acht Stellen für Ziffern, Vorzeichen und Dezimalzeichen kennzeichnen in PASW Statistics das so genannte Spaltenformat für eine numerische Variable. Während für die numerische PASW Variable Miete aufgrund der reellwertigen Wertangaben „auf Euro und Cent genau“ das (voreingestellte) Standardformat 8 : 2 vereinbart wurde, ist für die numerische PASW Variable Zimmer das Zahlenformat speziell auf 8 : 0 festgelegt worden. Die letztere Festlegung leuchtet gleichermaßen ein, zumal Anzahlen stets ganzzahlige Informationen darstellen. v) String. Der Typ der Variable Stadtteil, die bezüglich ihrer Ausprägungen die Ortslage einer annoncierten Berliner Mietwohnung beschreiben soll, wurde im Vorfeld der statistischen Untersuchung vereinbarungsgemäß auf den Variablentyp String festgelegt. In der Informatik ist der String-Begriff (engl.: string o Schnur, Kette) die Bezeichnung für eine alphanumerische Zeichenkette. Die Festlegung dieses Variablentyps erklärt sich im konkreten Fall daraus, dass die Ausprägungen des Erhebungsmerkmals Stadtteil begrifflich gefasst sind. Um den vereinbarten und gewünschten Variablentyp festlegen zu können, platziert man einfach den Mauszeiger auf das Symbol ... in der zugehörigen Variable-Typ-Zelle, klickt die linke Maustaste und erhält das Dialogfeld Variablentyp definieren, in dem es nur noch die Option String einschließlich seiner Länge von 3 Zeichen zu vereinbaren gilt. Da die Namen der Stadtteile informationstechnisch alphanumerische Zeichenketten unterschiedlicher Länge darstellen, müsste man der Eindeutigkeit halber bei der Festlegung der Stringlänge, also der Anzahl der Zeichen, auf den längsten Berliner Stadtteilsnamen zurückgreifen. Da dies im konkreten Fall der Stadtteilsname Hohenschönhausen ist, müsste man für die Variable Bezirk vom Typ String eine Länge von 17 Zeichen vereinbaren. Im Fall der zu erfassenden Berliner Stadtteile genügt es bereits, wenn man nur die ersten drei Buchstaben erfasst, die stets eine eindeutige Zuordnung eines der 23 „traditionellen“ Berliner Stadtteile zum jeweiligen String von der Länge 3 Zeichen garantieren. vi) Spaltenformat. In PASW Statistics wird unter dem Begriff des Spaltenformats das Format der Datenausgabe subsumiert. vii) Variablenlabel. Bei der Vereinbarung von Variablenlabels (engl.: label o Kennzeichnung, Etikett) via Tastatur ist zu beachten, dass ein Variablenlabel bis zu 256 Zeichen umfassen kann.
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PASW Statistics Gemäß Abbildung 4.6.1-1 wurde zum Beispiel für die Variable Miete das Label monatliche Kaltmiete (€) vereinbart und vermerkt. viii) Wertelabel. Die Vereinbarung von Wertelabels ist nur für kodierte bzw. abgekürzte nominale bzw. ordinale Merkmale bzw. Variablen sinnvoll. Um Wertelabels vereinbaren zu können, platziert man einfach den Mauszeiger auf das Symbol ... in der zugehörigen Zelle des Arbeitsblattes und klickt die linke Maustaste, infolge dessen gemäß Abbildung 4.6.1-2 das Dialogfeld Wertelabels definieren geöffnet wird. Im konkreten Fall wurden die Ausprägungen für die numerische Variable Ortskode definiert. Dabei ist zum Beispiel die Festlegung 23 = “Zehlendorf“ semantisch wie folgt zu deuten: Der Wert 23 der numerischen Variable Ortskode ist identisch mit der „Beschriftung“ des Berliner Stadtteils Zehlendorf. Hat man ein Wertelabel vereinbart, muss es stets durch das Betätigen der „aktivierten“ Schaltfläche Hinzufügen in die Wertelabelliste aufgenommen werden. Abbildung 4.6.1-2: Dialogfeld Wertelabels
Kodierung der Berliner Stadtteile
ix) Fehlende Werte. In PASW werden zwei Arten von fehlenden Werten (engl.: missing value(s)) unterschieden: systemdefinierte und benutzerdefinierte. Wird ein Datenfeld im PASW Daten-Editor mit einer nicht zulässigen Ausprägung belegt, so wird automatisch ein systemdefinierter fehlender Wert gesetzt. Für numerische Variablen werden systemdefinierte fehlende Werte durch ein Komma angezeigt. Bei String-Variablen erfolgt die Kennzeichnung eines systemdefinierten fehlenden Wertes durch ein Leerzeichen. Da im Fall der Variablen Miete alle Angaben vollständig sind, ist es nicht erforderlich, die voreingestellte Option keine fehlenden Werte zu verändern. x) Spaltenbreite. Bei der Festlegung der Spaltenbreite für die vier PASW Variablen wurde der Einfachheit halber die voreingestellte Spaltenbreite von 8 Zeichen verwendet. Die Spaltenbreite kann beliebig verkleinert bzw. vergrößert werden. xi) Ausrichtung. Analog zur Festlegung der Spaltenbreite wird für die Ausrichtung die per Voreinstellung vereinbarte rechtsbündige Ausrichtung der in die Datenzellen einer PASW Variablen einzugebenden Daten verwendet. Es ist allgemein üblich, Strings linksbündig und Zahlen rechtsbündig auszugeben. xii) Messniveau. Im Zuge der Vereinbarung des Messniveaus, das in PASW synonym für den Begriff Skala bzw. Skalierung verwendet wird und das beim Ausführen zum Beispiel von interaktiven PASW Diagramm-Prozeduren von Bedeutung ist, gelten die folgenden Standardeinstellungen: a) String-Variablen ohne definierte Wertelabels werden per Voreinstellung automatisch auf das Messniveau „nominal“ gesetzt. Analog zur Abbildung 4.1.6-1 wird eine nominale Variable mittels dreier gleichgroßer, aber verschiedenfarbiger
PASW Statistics
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Kreise bildhaft etikettiert. b) String-Variablen mit weniger als 25 definierten Wertelabels und numerische Variablen ohne definierte Wertelabel mit weniger als 25 Werten werden per Voreinstellung automatisch auf das Messniveau „ordinal“ festgelegt. Analog zur Abbildung 4.1.6-1 wird eine ordinale Variable mittels dreier der Größe nach geordneter und verschiedenfarbiger Balken bildhaft etikettiert. c) Numerische Variablen, die keine definierten Wertelabel und per Voreinstellung mehr als 24 verschiedene Werte besitzen, werden automatisch auf das Messniveau „metrisch“ festgelegt und unter PASW Statistics mit dem „didaktisch missglückten“ Etikett „Skala“ gekennzeichnet. Analog zur Abbildung 4.1.6-1 wird eine metrische Variable mittels eines Metermaßes bildhaft etikettiert. d) In der Standardeinstellung ist die Anzahl eindeutiger Werte auf 24 festgesetzt. Die Voreinstellung kann gemäß Abbildung 4.5-2 in der Registerkarte Daten je nach Erfordernis verändert werden. xiii) Rolle. Im Vergleich zu den Vorgängerversionen von PASW Statistics 18 ist Option Rolle eine Neuerung, mit der bereits im Zuge der Variablendefinition die „Rolle“ der Variablen festgelegt werden kann, die sie im Kontext der Datenanalyse „spielen“ soll. Die Option Eingabe ist als „Standardrolle“ vorab eingestellt. Weitere „Rollenoptionen“ sind in der Abbildung 4.6.1-3 plakatiert. i
Identifikator. Einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen auf die Vereinbarung einer Identifikatorvariable für jeden Merkmalsträger in Gestalt einer Berliner Mietwohnung verzichtet. Das automatische Einfügen eines Identifikators in eine bereits erstellte PASW Statistics Datendatei mit Hilfe geeigneter Funktionen wird exemplarisch im Kontext des Beispiels 4.6.4-2 demonstriert. Dateneingabe. Sind alle Variablen definiert, so braucht man nur noch die erhobenen Daten via Tastatur in den PASW Statistics Daten-Editor einzugeben und die eingegebenen Daten in einer PASW Statistics Datendatei zu speichern. Wie man dies bewerkstelligen kann, wird im Abschnitt 4.6.2 skizziert. h Beispiel 4.6.1-2: Variablendefinition, Fragebogenkonzept Motivation. Unter Verwendung des standardisierten Fragebogens aus der Abbildung 3.3-1 erhält man im Zuge der Variablendefinition den PASW Statistics Daten-Editor in der Variablenansicht, der in der Abbildung 4.6.1-3 auszugsweise dargestellt ist. Abbildung 4.6.1-3: PASW Statistics Daten-Editor, Variablenansicht
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PASW Statistics Hinweise. Im Unterschied zur Variablenansicht innerhalb der Abbildung 4.6.1-1 (Mietspiegelkonzept) sind gemäß Abbildung 4.6.1-3 (Fragebogenkonzept) die folgenden Besonderheiten zu beachten: i) Identifikator. Die erstgenannte Variable Nummer fungiert als Platzhalter für die jeweilige Fragebogennummer, die wiederum als Identifikator für den jeweils zugrundeliegenden Fragebogen bzw. für die jeweils befragte Person fungiert. ii) Variablenname. Die Variablennamen wurden der Einfachheit halber analog zum Fragebogen festgelegt. So kennzeichnet zum Beispiel die Variable F1, die im Ensemble aller Fragen die erste Frage darstellt, im konkreten Fall die Frage nach der Geschlechtszugehörigkeit eines befragten Studenten. iii) Messniveau. Gleichwohl ausschließlich numerische Variablen vereinbart wurden, variiert in Abhängigkeit von der vorab im Fragebogen vereinbarten und verwendeten Skala das jeweilig festgelegte Messniveau. Aus didaktisch-methodischer Sicht sehr anschaulich erweisen sich die drei Piktogramme zur Messniveau-Kennzeichnung: das Metermaß für ein metrisches, ein farbiges und abgestuftes Diagramm für ein ordinales und drei farbige und gleichgroße bzw. „gleichwertige“ Kreise für ein nominales Messniveau. iv) Rolle. In PASW Statistics unterstützen einige Dialogfelder vordefinierte Rollen für Variablen, die in den Dialogfeldern in der so genannten Zielliste automatisch angezeigt werden und im Zuge einer statistischen Analyse verwendet werden können. Die Rollenzuweisung betrifft nur Dialogfelder, die Rollenzuweisung unterstützen. Sie hat keine Auswirkungen auf die Befehlssyntax. Verfügbare Rollen sind gemäß Abbildung 4.6.1-3: a) Eingabe. Die Variable wird als Eingabe verwendet (z. B. Einflussvariable, unabhängige Variable). Standardmäßig werden alle Variablen der Rolle Eingabe zugewiesen. Dazu zählen Daten aus externen Dateiformaten und Datendateien aus Versionen von PASW Statistics vor Version 18. b) Ziel. Die Variable wird als Ausgabe oder Ziel verwendet (z. B. abhängige Variable). c) Beides. Die Variable wird sowohl als Eingabe als auch als Ausgabe verwendet. d) Keine. Der Variable wird keine Rolle zugewiesen. e) Partitionieren. Die Variable wird verwendet, um die Daten in separate Stichproben zum Training, zum Test und zur Validierung zu partitionieren. f) Splitten. Diese Variablenrolle ist für spezielle Prozeduren mit dem so genannten PASW Modeler nützlich. Beachtenswert ist dabei, dass Variablen mit dieser Rolle in PASW Statistics nicht zum Splitten (engl.: to splitt o aufteilen, gliedern) von Datendateien verwendet werden können. v) Multiple Dichotomien. Im Ensemble aller vereinbarten Variablen bedürfen die zwölf Variablen F12a bis F12l zur Beschreibung der Verkehrsmittelnutzung einer besonderen Aufmerksamkeit. Aus statistisch-methodischer Sicht sind diese zwölf Variablen nicht nur dichotome und 0-1-kodierte, sondern zugleich auch häufbare nominale Merkmale einer befragten Person. Diese Klassifikation resultiert aus dem Umstand, dass ein Student bzw. eine Studentin auf dem Weg zur Hochschule durchaus mehrere Verkehrsmittel nutzen kann. Ist man daran interessiert zu erfahren, welche Verkehrsmittelnutzung am häufigsten genannt wurde, braucht man nur noch die Anzahl der jeweiligen Verkehrsmittel-Nennungen zu „zählen“, die im konkreten Fall mit dem Wert 1 kodiert wurden. Diese Form der Analyse von Mehrfachantworten auf der Basis von kodierten Dichotomien subsumiert man in der angewandten Statistik unter dem Begriff der multiplen Dichotomien. Das Konzept der multiplen Dichotomien ist ein spezieller Gegenstand des Beispiels 5.1-2 im Kontext des fünften Kapitels. i
PASW Statistics Datendatei. Die fragebogenbasierten Daten sind in der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav gespeichert. h
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4.6.2 Daten eingeben und speichern Motivation. Dateneingabe und Datensicherung unter PASW Statistics 18 sollen gemäß Abbildung 3.2-1 anhand der primärstatistisch erhobenen Mietwohnungsdaten exemplarisch demonstriert werden, wobei aus didaktisch-methodischen Gründen lediglich auf die vier Erhebungsmerkmale Stadtteil, Zimmeranzahl, monatliche Kaltmiete und Wohnfläche zurückgegriffen wird. In Anlehnung an die lineare Algebra kann die auf vier Erhebungsmerkmale reduzierte Urliste innerhalb der Abbildung 4.6.2-1 auch als eine (3 u 4)-Datenmatrix gedeutet werden, die insgesamt 34 = 12 Daten beinhaltet, wobei die drei Datenzeilen die ersten drei zufällig ausgewählten Drei-Zimmer-Mietwohnungen aus dem Berliner Stadtteil Pan(kow) und die vier Datenspalten die vier in Rede stehenden Erhebungsmerkmale repräsentieren. Abbildung 4.6.2-1: PASW Statistics Daten-Editor, Datenansicht Zellen-Editor
(3 u 4)-Datenmatrix
Dateneingabe. Im Vorfeld einer Dateneingabe ist es geboten, in der StatusLeiste des PASW Statistics Daten-Editors die Option Datenansicht zu wählen. Die Daten können in die Datenzellen des PASW Statistics Daten-Editors fallweise oder variablenweise über die Tastatur eingegeben werden. Hinweise. Für eine Dateneingabe unter PASW Statistics erweisen sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Dateneingabe. Die Dateneingabe und die Korrektur einer fehlerhaften Dateneingabe können sowohl mit Hilfe von Funktionstasten wie etwa der Returntaste oder der Cursortasten m n o p als auch unter Verwendung der Maus bewerkstelligt werden. Weitere Informationen können zudem über das PASW Statistics Hilfesystem angefordert werden. ii) Zellen-Editor. Jeder Dateneintrag in ein Datenfeld des PASW Statistics Daten-Editors wird gleichzeitig vor dem Zellen-Editor in der Form Zeilennummer : Variablenname vermerkt. iii) Daten-Cursor. Der Daten-Cursor erscheint stets in einer für die Dateneingabe aktivierten Datenzelle. Im konkreten Fall ist es die im Zellen-Editor unterhalb der Symbolleiste angezeigte Datenzelle der Ordnung 3 : Fläche. Dies ist die Datenzelle, die sich im Arbeitsblatt in der Zeile 3 und in der Spalte mit der Kennung „Fläche“ befindet und in die im konkreten Fall der Wert 91,00 via Tastatur eingegeben wurde. i
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PASW Statistics
Datensicherung. Hat man alle Daten via Tastatur eingegeben, dann gilt es, diese in einer PASW Statistics Datendatei zu speichern. Beachtenswert ist dabei, dass Daten, die via Tastatur in das Arbeitsblatt des PASW Statistics DatenEditors eingegeben und noch nicht in einer PASW Statistics Datendatei gespeichert wurden, in der Kopfzeile durch das Etikett „Unbenannt“ gekennzeichnet werden. Beim Speichern einer PASW Statistics Datendatei ist (analog zu allen Microsoft Windows-Anwendungen) stets zwischen dem ersten und allen weiteren Speichervorgängen zu unterscheiden. Den ersten Speichervorgang realisiert man analog zu allen klassischen Microsoft-Software-Produkten am einfachsten via Sequenz 4.6.2-1. Sequenz 4.6.2-1: PASW Statistics Datendatei speichern Datei Speichern unter o Abbildung 4.6.2-2 Abbildung 4.6.2-2: Dialogfeld Daten speichern als
Extension einer PASW Statistics Datendatei: *.sav
Hinweise. Im Zuge des Speicherns einer Datendatei unter PASW Statistics erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Namenskonventionen. Bei der Vergabe eines Datei-Namens ist zu beachten, dass den Namenskonventionen von Windows entsprochen wird. ii) Extension. In PASW Statistics wird (wie bei allen Vorgänger-Versionen von PASW Statistics und von SPSS) eine Datendatei mit der Extension *.sav (engl.: to save o retten, schützen) versehen. Im konkreten Fall wurde eine PASW Statistics Datendatei für den Dateityp: PASW Statistics (*.sav) mit dem Dateinamen: Mietspiegelkonzept im Verzeichnis 4 PASW Statistics gespeichert. Alle weiteren Speichervorgänge können über das Speichersymbol in der Symbolleiste des PASW Statistics Daten-Editors vorgenommen werden. iii) Variablen speichern. Über das Aktivieren der der Schaltfläche Variablen... kann optional vereinbart werden, welche Variablen einer im PASW Statistics Daten-Editor „residenten Arbeitsdatei“ in einer PASW Statistics Datendatei gespeichert werden sollen. Im konkreten Fall wurden alle vier Variablen gespeichert. i
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4.6.3 Einlesen einer Datendatei Motivation. Unter dem Begriff Datei einlesen wird das Transportieren von Daten unterschiedlichen Typs von internen oder externen Datenträgern in PASW Statistics subsumiert. Als interner Datenträger fungiert eine Festplatte, als externer Träger in der Regel ein USB-Massenspeicher (engl.: universal serial bus) oder eine CD (engl.: compact disk). Aus der Vielzahl der Prozeduren zum Einlesen von Datendateien, die in PASW Statistics 18 implementiert sind, wird lediglich für die zwei in praxi häufig benutzten Datei-Formate *.sav (PASW) und *.xls (Microsoft Excel) das Einlesen von Daten paradigmatisch skizziert. h Beispiel 4.6.3-1: Einlesen einer PASW Statistics Datendatei Motivation. Das Einlesen einer PASW Statistics Datendatei, die stets durch die Extension *.sav gekennzeichnet ist, kann grundsätzlich auf zwei Wegen erfolgen. Der erste Weg ist durch die Sequenz 4.6.3-1 gekennzeichnet. Der zweite (zweifellos einfachste und schnellste) Weg besteht darin, das dafür in Windows- Anwendungen vorgesehene Symbol für Öffnen zu nutzen. Sequenz 4.6.3-1: Daten öffnen Datei Öffnen Daten ... o Abbildung 4.6.3-1 Abbildung 4.6.3-1: Dialogfeld Daten öffnen
Aufrufsequenz
PASW Statistics Datendateien
Dialogfeld. Nachdem gemäß Abbildung 4.6.3-1 im konkreten Fall im Dialogfeld Daten öffnen die gewünschte PASW Statistics Datendatei Fragebogen, die stets mit der Extension *.sav gekennzeichnet ist, im Verzeichnis 4 PASW Statistics ausgewählt wurde, kann sie über das Betätigen der Schaltfläche Öffnen in den PASW Statistics Daten-Editor eingelesen werden. h
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Beispiel 4.6.3-2: Einlesen einer Microsoft Excel-Datei Motivation. In der praktischen statistischen Arbeit steht nicht zu jeder Zeit und an jedem Ort das Programmpaket PASW Statistics zur Verfügung. Demgegenüber ist die Verfügbarkeit der allgemein zugänglichen und weit verbreiteten Software Microsoft Excel 2003 (oder höher) eher gegeben. Aus diesem Grunde wird im Folgenden die Erstellung einer Excel Datei, ihr Transport in PASW Statistics 18 und ihre Ablage als PASW Datendatei paradigmatisch skizziert. Excel-Tabelle. Die Abbildung 4.6.3-2 zeigt eine Urliste in Gestalt einer Microsoft Excel 2003-Tabelle. In die Zellen A, B, C, D der Arbeitsblatt-Zeile 1 wurden die vereinbarten Variablennamen Stadtteil, Zimmer, Miete und Fläche, in die übrigen Zeilen die jeweiligen Merkmalsausprägungen als Zahlen bzw. Begriffe eingegeben und via Datei, Speichern unter... mit dem Namen Mietspiegelkonzept.xls gespeichert. Abbildung 4.6.3-2: Excel 2003-Tabelle
Hinweis. Beim Einlesen einer Excel-Datei in den PASW Statistics Daten-Editor ist zu beachten und sicherzustellen, dass keine Microsoft Excel-Anwendung geöffnet ist, da sonst Programm- oder Konvertierungsfehler auftreten können, die den Datentransport von Microsoft Excel nach PASW Statistics scheitern lassen. i
Dateiformat. Im PASW Statistics Dialogfeld Daten öffnen ist analog zur Abbildung 4.6.3-3 in der Rubrik Dateityp das Dateiformat Excel (*.xls) auszuwählen und zugleich der Name der Excel-Datei, die importiert werden soll, in der Rubrik Dateiname zu vermerken. Optionen. Nach dem Betätigen der Schaltfläche Öffnen erscheint das PASW Statistics Dialogfeld Öffnen einer Excel-Datenquelle, das gleichsam in der Abbildung 4.6.3-3 dargestellt ist, in dem man je nach Bedarf den Bereich der Microsoft Excel-Tabelle vereinbaren bzw. markieren kann, der nach PASW Statistics importiert werden soll. Dabei ist zu beachten, dass die Option Variablennamen aus ersten Dateizeile lesen zu aktivieren ist, wenn die Variablennamen übernommen werden sollen.
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Abbildung 4.6.3-3: Dialogfelder Daten öffnen und Öffnen einer Excel-Daten…
Im konkreten Fall wurde die Tabelle1 der Excel-Datei Mietspiegelkonzept.xls, welche gemäß Abbildung 4.6.3-2 im Arbeitsblatt von Microsoft Excel 2003 die Excel-Zellen A1 bis D4 belegt, aus dem Unterverzeichnis C:\Users\Standard\ ... \Mietspiegelkonzept.xls für den Import nach PASW Statistics ausgewählt. Nach dem Betätigen der Schaltfläche OK im Dialogfeld Öffnen einer ExcelDatenquelle wird die Excel-Tabelle in den PASW Statistics Daten-Editor transportiert. Der PASW Statistics Daten-Editor, der in der Titelleiste mit dem Etikett Unbenannt3 versehen ist, wurde der Vollständigkeit und Anschaulichkeit halber zusätzlich im unteren Bereich der Abbildung 4.6.3-3 plakatiert. Speichern. Man braucht dann nur noch analog zu den Abschnitten 4.6.1 und 4.6.2 für die in PASW Statistics transportierte Excel-Datei die Variablendefinition zu komplettieren und die PASW Statistics Datendatei unter einem zulässigen Dateinamen im Dateiformat PASW Statistics (*.sav) zu speichern. Hilfe. Im Bedarfsfall können kontextsensitive Informationen zum Transport einer Microsoft Excel-Tabelle nach PASW Statistics via Schaltfläche Hilfe angefordert werden. Hilfreich und empfehlenswert ist zudem die Nutzung des Lernprogramms (vgl. Abschnitt 4.5), wo das Einlesen von Daten in PASW Statistics aus Tabellenkalkulationsanwendungen wie Microsoft Excel oder Datenbankanwendungen wie Microsoft Access paradigmatisch demonstriert wird. h
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4.6.4 PASW Statistics Datendateien bearbeiten Motivation. Das Zählen, Auswählen oder Ermitteln von „Doppelten Fällen“ bzw. das Berechnen oder Umkodieren von Variablen sowie das Zusammenfügen oder Aggregieren von PASW Statistics Datendateien sind typische Konzepte des Datei- und Daten-Managements unter PASW Statistics, die gemäß Abbildung 4.6.4-1 in den Funktionsgruppen Daten und Transformieren des PASW Statistics Daten-Editors zusammengefasst sind. Abbildung 4.6.4-1: Funktionsgruppen Daten und Transformieren
Funktionsgruppe „Daten“
Funktionsgruppe „Transformieren“
Tabelle 4.6.4-1: Konzepte des Datei- und Daten-Managements Konzept Beispiel Seite Dateien zusammenfügen, Fälle hinzufügen 4.6.4-1 63 Fälle (Merkmalsträger) nummerieren 4.6.4-2 65 Variable berechnen für alle Fälle (Merkmalsträger) 4.6.4-3 66 Fälle (Merkmalsträger) auswählen und/oder löschen 4.6.4-4 68 Mehrfachantworten-Sets definieren 5.1-2 82 Visuelles Klassieren 5.1-5 91 Rangfolge bilden 5.2.2-1 102 Standardisieren 5.5-1 128 Datum definieren 10.1-1 345 Zeitreihen erstellen 10.2-1 350
Konzepte. In der Tabelle 4.6.4-1 sind aus der babylonischen Vielfalt von Konzepten des Datei- und Daten-Managements unter PASW Statistics nur diejenigen zusammengestellt, die in den folgenden Kapiteln dieses Lehrbuches aus methodischer Sicht von praktischem und/oder theoretischem Belang sind. h
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Beispiel 4.6.4-1: Dateien zusammenfügen, Fälle hinzufügen Motivation. Im Abschnitt 3.3 wurde die statistische Datenerhebung anhand des Fragebogenkonzepts motiviert. Im Zuge einer primärstatistischen und fragebogengestützten Datenerhebung wurden im Sommersemester 2010 in den Vorlesungen zur Statistik am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der HTW Berlin die Studierenden sowohl in den Bachelor-Studiengängen als auch in den Master-Studiengängen befragt und die jeweiligen Befragungsergebnisse aus arbeitsteiligen Gründen von den Assistenten in den PASW Statistics Datendateien Bachelor.sav und Master.sav gespeichert. Alle Befragungsergebnisse sollen letztlich in einer PASW Statistics Datendatei zusammengefasst werden. Aus dieser Zielstellung wird bereits ersichtlich, dass es sich bildhaft um das Zusammenfassen von Merkmalsträgern (Fällen) handelt, die bezüglich gleicher Eigenschaften (Variablen) statistisch beschrieben wurden. Dieses PASW Statistics Konzept Fälle hinzufügen wird exemplarisch anhand der PASW Statistics Datendateien Bachelor.sav und Master.sav skizziert. Sequenz. Das Zusammenfügen gleichartig strukturierter PASW Statistics Datendateien kann via Sequenz 4.6.4-1 realisiert werden. Sequenz 4.6.4-1: Dateien zusammenfügen, Fälle hinzufügen Daten Dateien zusammenfügen Fälle hinzufügen... Dialogfeld Fälle hinzufügen zu ... o Abbildung 4.6.4-2 Dialogfeld Fälle hinzufügen aus ... o Abbildung 4.6.4-3 Abbildung 4.6.4-2: Dialogfelder Fälle hinzufügen zu … Datei lesen
Arbeitsdatei: Bachelor.sav Externe Datei: Master.sav
Hinweise. Beim Vorgang des Zusammenfügens von PASW Datendateien sind die folgende Hinweise nützlich: i) Optionen. In PASW Statistics werden gemäß Abbildung 4.6.4-2 zwei Optionen angeboten: erstens das Zusammenfügen von PASW Statistics Datendateien aus bereits geöffneten und speicherresidenten Dateien und zweitens (gemäß Abbildung 4.6.4-2) das Hinzufügen einer externen und nicht speicherresidenten PASW Statistics Datendatei zur einer bereits geöffneten und speicheresidenten PASW Statistics Datendatei. ii) Gleichartigkeit. Die PASW Statistics Datendateien sollten möglichst gleichartig strukturiert sein. Zwei PASW Statistics Daten- Dateien
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PASW Statistics heißen gleichartig strukturiert, wenn sie eine gleiche Anzahl gleichartig definierter Variablen besitzen, worin insbesondere die Festlegung gleicher Variablennamen und gleicher Variablentypen eingeschlossen ist. Nicht gleichartige Variablen werden im Dialogfeld Fälle hinzufügen aus... in der Rubrik Nicht gepaarte Variablen: aufgelistet (vgl. Abbildung 4.6.4-3). iii) Arbeitsdatei. Eine Datendatei, die in den PASW Statistics DatenEditor eingelesen wurde, also dort „residiert“, wird auch als Arbeitsdatei bezeichnet. Im konkreten Fall ist die PASW Statistics Datendatei Bachelor.sav die „speicherresidente“ Arbeitsdatei. iv) Dateiauswahl. Gemäß Abbildung 4.6.4-2 braucht man im Dialogfeld Fälle hinzufügen zu nur via Schaltfläche Durchsuchen die jeweilige PASW Statistics Datendatei auszuwählen. Da im konkreten Fall die externe PASW Statistics Datendatei Master.sav ausgewählt wurde, erhält man via Schaltfläche Weiter schließlich und endlich das in der Abbildung 4.6.4-3 plakatierte Dialogfeld Fälle hinzufügen aus. i
Gepaarte Variablen. Auf Grund dessen, dass in den beiden separat erstellten PASW Statistics Datendateien Bachelor.sav und Master.sav jeweils insgesamt 30 gleichartig definierte Variablen vorkommen, werden diese automatisch als „gepaarte Variablen“ behandelt, gleichermaßen an die „speicherresidente“ Arbeitsdatei Bachlor.sav „angehängt“ und zu einer bezüglich der Merkmalsträger (Fälle) erweiterten PASW Statistics Datendatei zusammengefügt. Abbildung 4.6.4-3: Dialogfeld Fälle hinzufügen aus
gepaarte Variablen
Analog lassen sich mehrere gleichartig strukturierte PASW Statistics Daten- Dateien zu einer „neuen und erweiterten“ PASW Statistics Datendatei zusammenfügen. Im konkreten Fall wurden die zusammengefügten PASW Statistics Datendateien unter dem Namen Fragebogen.sav gespeichert. Hilfe. Kontextsensitive bzw. kontextbezogene Informationen können im Bedarfsfall via Schaltfläche Hilfe angefordert werden. h
PASW Statistics
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Beispiel 4.6.4-2: Merkmalsträger nummerieren Motivation. Ein elementares statistisches Arbeitsprinzip bei der Erstellung einer PASW Statistics Datendatei besteht darin, jeden Merkmalsträger mit einem Identifikator zu versehen, der seine eindeutige Identifizierung und die seines ihn beschreibenden Datensatzes ermöglicht. In Anlehnung an die Urlistendaten innerhalb der Abbildung 4.6.2-1 soll in die PASW Statistics Datendatei Mietspiegelkonzept.sav eine Variable eingefügt werden, die jedem Merkmalsträger einen Identifikator zuordnet. Ein einfacher und für praktische Zwecke oft ausreichender Identifikator ist ein dekadischer Schlüssel, auch Nummernschlüssel genannt, mit dessen Hilfe die Merkmalsträger nummeriert bzw. gezählt werden. Sequenz. Das automatische Nummerieren der Merkmalsträger einer PASW Statistics Arbeitsdatei kann via Sequenz 4.6.4-2 erfolgen. Sequenz 4.6.4-2: Merkmalsträger nummerieren Transformieren Variable berechnen o Abbildung 4.6.4-4 Abbildung 4.6.4-4: Daten-Editor und Dialogfeld Variable berechnen
Hinweise. Beim Vorgang des Nummerierens von Merkmalsträgern einer „speicherresidenten“ PASW Statistics Datendatei erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Funktion. Die Funktion $CASENUM (engl.: casenum(ber) o Fallnummer), die in der Funktionsgruppe Alle bzw. Verschiedene angeboten wird, bewirkt das Nummerieren aller Merkmalsträger einer PASW Statistics Datendatei. Dabei wird automatisch in die nächstfolgend freie (im konkreten Fall in die achte) Spalte des PASW Statistics Daten-Editors eine numerische Variable mit dem (vereinbarten) Variablennamen Nummer eingefügt. ii) Format. Da dekadische Schlüssel ihrem Wesen nach
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PASW Statistics natürliche Zahlen sind und insgesamt mehr als 100 Berliner Mietwohnungen statistisch erfasst wurden, ist es vorteilhaft, gemäß Abschnitt 4.6.1 für die eingefügte PASW Variable Nummer im „Nachhinein“ die Variablendefinition noch zu vervollständigen, etwa derart, dass man das Zahlenformat Numerisch 4.0, das Variablenlabel Nummer der Berliner Mietwohnung und das Messniveau nominal vereinbart. i
Speichern. Nach jeder Veränderung einer PASW Statistics Arbeitsdatei ist es im Sinne einer Datenfixierung geboten, gemäß Abschnitt 4.6.2 die erweiterte bzw. bearbeitete PASW Statistics Datendatei unter einem geeigneten Namen zu speichern. h Beispiel 4.6.4-3: Variablenwerte berechnen Motivation. Eine Kennzahl, die im Zentrum des Mietspiegelkonzepts steht und das im Abschnitt 3.2 skizziert wurde, ist der Miet- oder Quadratmeterpreis (Angaben in €/m²), definiert als Quotient aus der monatlichen Kaltmiete (Angaben in €) und der Wohnfläche (Angaben in m²) einer statistisch erfassten Mietwohnung. Die „retrospektive“ Berechnung der Variable Preis = Miete / Fläche zur Beschreibung des Quadratmeterpreises für alle erfassten Berliner Mietwohnungen kann via Sequenz 4.6.4-2 bewerkstelligt werden. Hinweise. Bei der Eingabe des Terms Miete / Fläche, der als Berechnungsvorschrift für die Zielvariable Preis fungiert, in die Rubrik Numerischer Ausdruck im Dialogfeld Variable berechnen (vgl. Abbildung 4.6.4-4) sind zur Vermeidung von formalen und/oder syntaktischen Fehlern folgende Hinweise zu beachten: i) Numerische Variablen. Es können nur numerische Variablen mit Hilfe arithmetischer Operationen „verknüpft“ werden. Numerische Variablen sind in der im linken Dialogfeldbereich angezeigten Variablenliste durch das Piktogramm „gelbes Lineal“ gekennzeichnet. ii) Taschenrechner-Tastatur. Zur Vermeidung von syntaktischen Fehlern sollten die Variablennamen und die Symbole für die erforderlichen Rechenoperationen stets über das Aktivieren des jeweiligen Variablennamens in der Variablenliste und der Schaltfläche bzw. über das Betätigen der Taschenrechner-Tastatur bewerkstelligt werden. iii) Variablenlabel. Nach dem Betätigen der Schaltfläche OK wird automatisch für alle Merkmalsträger der Arbeitsdatei die numerische Variable Preis in die nächstfolgend freie Spalte des PASW Statistics Daten-Editor eingefügt. Es ist vorteilhaft, gemäß Abschnitt 4.6.1 die Definition der numerischen Variable Preis etwa noch durch das Vermerken des Variablenlabels Mietpreis (€/m²) zu komplettieren und die erweiterte PASW Statistics Datendatei zu speichern. iv) Konzepte. Beachtenswert ist zudem, dass es in PASW Statistics zwei wohl zu unterscheidende Konzepte gibt, Variablenwerte zu berechnen: Erstens das im Kontext dieses Beispiels skizzierte Berechnen von Variablenwerten für alle Merkmalsträger und zweitens das Berechnen von Variablenwerten nur für ausgewählte Merkmalsträger, das in Folge der Betrachtung des Beispiels 4.6.4-6 selbständig erarbeitet und logisch nachvollzogen werden kann. v) Funktionen. Im Dialogfeld Variable berechnen, wird in den (rechts angeordneten) Rubriken Funktionsgruppe und Funktionen und Sondervariablen eine breite Palette von mathematisch-statistischen und datenbearbeitenden Funktionen angeboten, die sich im PASW Statistics Datei- und Daten-Management als nützliche Instrumente erweisen und bei ihrer Anforderung in der im Dialogfeld Variable
PASW Statistics
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berechnen mittig platzierten Rubrik inhaltlich kurz erläutert werden. Die in der Tabelle 4.6.4-2 angebotene Zusammenstellung soll das Auffinden von ausgewählten und in praxi häufig applizierten Funktionsgruppen erleichtern. i
Tabelle 4.6.4-2: Ausgewählte PASW Statistics Funktionen Funktionsgruppe Funktion Anmerkung Arithmetisch Exp Exponent zur Basis e Ln Logarithmus zur Basis e Rnd Rundung eines Wertes Sqrt Quadratwurzel Verteilungsfunktionen Cdf.Binom Binomialverteilung (engl.: cumulative distribution Cdf.Exp Exponentialverteilung function) Cdf.Normal Normalverteilung Cdf.Poisson Poisson-Verteilung Fehlende Werte Missing Quantilsfunktionen Idf.Chisq Chi-Quadrat-Verteilung (engl.: inverse distribution func- Idf. Exp Exponentialverteilung tion) Idf.F F-Verteilung Idf. Normal Normalverteilung Idf.T t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichten Pdf.Binom Binomialverteilung (engl.: probability density func- Pdf.Poisson Poisson-Verteilung tion) Signifikanz(niveau) Sig.Chisq Chi-Quadrat-Verteilung Sig.F F-Verteilung Statistisch Mean Arithmetisches Mittel Sd Standardabweichung Sum Summe Variance Varianz Suchen Index Stringsuche Rindex Zahlensuche Umwandlung Number String in numerische Variable String Numerische Variable in String Verschiedene $Casenum Fälle nummerieren Zufallszahlen Rv.Normal normalverteilte Zufallszahlen (engl.: random variable) Rv.Uniform gleichverteilte Zufallszahlen
Erläuterung. Die in der Tabelle 4.6.4-2 aufgelisteten und in praxi häufig applizierten Funktionen werden nach ihrem Aufruf gemäß Abbildung 4.6.4-4 im PASW Statistics Dialogfeld Variable berechnen in der mittig platzierten Rubrik jeweils kurz erläutert. h
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PASW Statistics
Beispiel 4.6.4-4: Merkmalsträger auswählen und/oder löschen Motivation. Mitunter ist es aus sachlogischen, statistisch-methodischen und/oder formalen Gründen erforderlich, aus einer PASW Statistics Datendatei Merkmalsträger nach bestimmten Kriterien auszuwählen. Eine Auswahl von Merkmalsträgern wird in PASW Statistics mit Hilfe eines so genannten Filters bewerkstelligt. PASW Statistics Filter Unter PASW Statistics ist ein Filter eine numerische, dichotome (grch: dicha o zweifach + tome o Schritt) und 0-1-kodierte Variable. Im Zuge eines Auswahlvorganges werden alle Merkmalsträger einer PASW Statistics Arbeitsdatei, die eine formulierte Auswahlbedingung erfüllen, mit dem Filterwert „eins“ und die Merkmalsträger, die einer Auswahlbedingung nicht genügen, mit dem Filterwert „null“ kodiert. Zur Kennzeichnung nicht ausgewählter Merkmalsträger wird zudem deren Editor-Zeilennummer „durchgestrichen“.
Sequenz. Das Auswählen bzw. das „Filtern“ und/oder das Löschen von Merkmalsträgern einer Arbeitsdatei lassen sich via Sequenz 4.6.4-3 umsetzen. Sequenz 4.6.4-3: Merkmalsträger auswählen und/oder löschen Daten Fälle auswählen ... o Abbildung 4.6.4-5 Abbildung 4.6.4-5: Daten-Editor und Dialogfelder Fälle auswählen
Auswahlbedingung
Variablenliste
PASW Statistics
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Auswahlbedingung. Für das Formulieren einer einfachen oder einer zusammengesetzten Auswahlbedingung erweisen sich die in der Tabelle 4.6.4-3 zusammengefassten und gemäß Abbildung 4.6.4-5 im Unterdialogfeld Fälle auswählen: Falls aufgelisteten und hinsichtlich ihrer Semantik kommentierten logischen Operatoren als nützlich. Tabelle 4.6.4-3: Logische Operatoren für Merkmalsträgerauswahl Logische Operatoren Symbol Semantik numerische Variable Stringvariable < kleiner als niedrigerwertig als > größer als höherwertig als = größer oder gleich höherwertig oder identisch = gleich identisch ~= nicht gleich nicht identisch & sowohl als auch sowohl als auch | entweder oder (oder beide) entweder oder (oder beide) ~ nicht nicht
Auswahlvarianten. Eine Auswahl von Merkmalsträgern kann analog zur Rubrik Ausgabe im Dialogfeld Fälle auswählen grundsätzlich auf drei Wegen erfolgen: Erstens mittels der Option Nicht ausgewählte Fälle filtern, zweitens mittels der Option Ausgewählte Fälle in ein neues Datenblatt kopieren und drittens mittels der Option Nicht ausgewählte Fälle löschen. Filtern. Ist man zum Beispiel unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav lediglich an einer statistischen Analyse der Mietpreise von Vier-Zimmer-Mietwohnungen interessiert, so wird man in logischer Konsequenz alle erfassten Berliner Mietwohnungen auswählen, die vier Zimmer besitzen. Diese merkmalsträgerbezogene Auswahl bewerkstelligt man einfach dadurch, dass man analog zur Abbildung 4.6.4-5 im Dialogfeld Fälle auswählen via Mausklick die Option Falls Bedingung zutrifft wählt, danach die Schaltfläche Falls... aktiviert und letztlich im Unterdialogfeld Fälle auswählen: Falls die einfache Auswahlbedingung Zimmer = 4 vermerkt. Auswahlbedingung. Die einfache Auswahlbedingung Zimmer = 4 besitzt im aufgezeichneten Dialog die folgende Semantik: Wähle aus der Arbeitsdatei Mietspiegel 2010.sav alle die Merkmalsträger (Fälle bzw. Mietwohnungen) aus, die bezüglich der numerischen und metrischen Variable Zimmer die metrische Merkmalsausprägung bzw. den Wert 4 besitzen. Im Zuge der Merkmalsträgerauswahl wird in die nächst freie Spalte der Arbeitsdatei die numerische und 0-1kodierte Filtervariable filter_$ eingefügt, die alle ausgewählten Merkmalsträger
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PASW Statistics
mit „eins“ und alle nicht ausgewählten mit „null“ kodiert. Zudem werden im PASW Statistics Daten-Editor die Zeilennummern mit den nicht ausgewählten Merkmalsträgern markiert und bildhaft „durchgestrichen“. Erweiterungen. Die einfache Auswahlbedingung Zimmer = 4 kann unter Verwendung der in der Tabelle 4.6.4-2 aufgelisteten logischen Operatoren beliebig erweitert werden, etwa derart, dass die einfache Auswahlbedingung die folgende und in der verbindlichen PASW Statistics Syntax formulierte Ergänzung erfährt: Zimmer = 4 & Preis >= 7 & NordSüd < 3. Diese „zusammengesetzte“ Auswahlbedingung besitzt die folgende Semantik: Wähle aus der PASW Statistics Arbeitsdatei Mietspiegel 2010.sav alle die Mietwohnungen aus, die vier Zimmer (Zimmer = 4), einen Mietpreis von mindestens 7 €/m² (Preis >= 7) und einen Nord-Süd-Koordinatenwert kleiner als 3 (NordSüd < 3) besitzen. Dies sind im konkreten Fall Vier-Zimmer-Mietwohnungen in gehobener Wohnlage in den südlichen Stadtteilen Berlins. Im Vergleich dazu ist die zusammengesetzte Auswahlbedingung (Zimmer = 4 | Zimmer = 5) & Preis >= 7 & NordSüd < 3 sachlogisch und semantisch wie folgt zu deuten: Wähle aus der PASW Statistics Arbeitsdatei Mietspiegel 2010.sav alle die Mietwohnungen aus, die entweder vier oder fünf Zimmer (Zimmer = 4| Zimmer = 5), einen Mietpreis von mindestens 7 €/m² (Preis >= 7) und einen Nord-Süd-Koordinatenwert kleiner als 3 (NordSüd < 3) besitzen. Kopieren. Ist man im konkreten Fall zum Beispiel daran interessiert, die empirischen Daten für die ausgewählten Berliner Mietwohnungen in einer separaten PASW Statistics Datendatei zu speichern, dann vereinbart man gemäß Abbildung 4.6.4-5 im Dialogfeld Fälle auswählen in der Rubrik Ausgabe entweder die Option Ausgewählte Fälle in neues Datenblatt kopieren, im Zuge dessen alle ausgewählten Merkmalsträger in eine neue PASW Statistics Datendatei kopiert werden. Man braucht dann nur noch die „gestutzte“ Arbeitsdatei gemäß Abbildung 4.6.2-2 unter einem geeigneten Namen zu speichern. Löschen. Wählt man hingegen die Option Nicht ausgewählte Fälle löschen, dann werden die jeweiligen Daten aus der Arbeitsdatei gelöscht. Hinweis. Unabhängig davon, welche der drei Filter-Optionen man im konkreten Fall wählt, der Vorgang des „Setzens“ eines Filters wird in der so genannten Statusleiste des PASW Statistics Daten-Editors mit dem Hinweis „Filter aktiv“ angezeigt. Die Statutsleiste ist gemäß Abbildung 4.2-1 im unteren rechten Segment des PASW Statistics Daten-Editors angesiedelt. i
Deaktivieren. Das Deaktivieren bzw. Desaktivieren eines „gesetzten“ Filters kann man am einfachsten dadurch bewerkstelligen, indem man gemäß Abbildung 4.6.4-5 im Dialogfeld Fälle auswählen die Option Alle Fälle wählt. Gleichsam möglich ist es, einfach die Filtervariable filter_$ in der PASW Statistics Arbeitsdatei zu löschen. h
Datendeskription
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5 Datendeskription Schlüsselwörter Grafische Darstellungen Häufbarkeit Häufigkeit Häufigkeitsverteilung Lagemaße
Mehrfachantwortenanalyse Multiple Dichotomien Standardisierung Streuungsmaße Verteilungsmaße
Gegenstand. Der Gegenstand des fünften Kapitels besteht in einer elementaren und paradigmatischen (grch.: paradeigma o Musterbeispiel) Einführung in die statistische Deskription (lat.: descriptio o Beschreibung) empirisch erhobener Daten. Das Kernstück der Datendeskription bildet die univariate (lat: unus o eins + varia o Allerlei) statistische Verteilungsanalyse, die auf die Beschreibung der Häufigkeitsverteilung eines statistischen Erhebungsmerkmals abstellt. Dabei steht die Charakterisierung der Verteilung mit Hilfe geeigneter grafischer Darstellungen und/oder Verteilungsmaßzahlen im Vordergrund. Zielstellung. Die Zielstellung dieses Kapitel besteht darin, Begriffe und Verfahren der univariaten Verteilungsanalyse zu erläutern und diese mit Hilfe von PASW Statistics anhand realer Daten paradigmatisch zu applizieren und sachlogisch zu interpretieren. h
72
Datendeskription
5.1
Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilungen
Motivation. In der statistischen Datendeskription im Allgemeinen und in der statistischen Verteilungsanalyse im Speziellen ist der Häufigkeitsbegriff von substantieller Bedeutung. Der Häufigkeitsbegriff bildet (unabhängig davon, ob eine Datendeskription auf Urlistendaten oder klassierten Daten beruht) die Grundlage für die Bestimmung des Begriffs einer Häufigkeitsverteilung, einer Summenhäufigkeit und einer empirischen Verteilungsfunktion. Die nachfolgenden Betrachtungen gehen von der Prämisse aus, dass die zu beschreibenden Daten primärstatistisch erhoben wurden. Häufigkeit Ist X ein beliebig skaliertes statistisches Merkmal, das über einer Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} mit m d n voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen [j ; definiert ist und für eine endliche statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n statistischen Einheiten Ji erhoben und zudem in einer Urliste erfasst wurde, dann heißt die Anzahl n(X = [j) = nj der statistischen Einheiten Ji mit der Merkmalsausprägung [j absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung [j und die Anteilszahl p(X = [j) = pj = nj/n relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung [j. Hinweise. Für das Verständnis und für den Umgang mit dem statistischen Häufigkeitsbegriff sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Index. Der Index j (lat.: indicare o anzeigen) ist ein Zeiger, der im Bereich der natürlichen Zahlen variiert und der alle sich voneinander unterscheidenden Merkmalsausprägungen [j ; (lies jeweils: Xi) eines Erhebungsmerkmals X in einer Urliste nummeriert. ii) Summenoperator. Die Summe der absoluten Häufigkeiten n(X = [j) = nj ist stets gleich der Anzahl n der statistischen Einheiten Ji einer statistischen Gesamtheit *n, wobei stets m
¦n
j
n1 n 2 ... n m
n
j 1
gilt (lies: Summe aller nj für alle j gleich 1 bis m). Der griechische Großbuchstabe 6 (lies: Sigma) fungiert als Summenoperator. iii) Indikatorfunktion. Formal kann eine absolute Häufigkeit n 1 falls x i [ j nj I ; ( x i ) mit I ; ( x i ) ® sonst ¯0 i 1
¦
der Ordnung j (j = 1,2,...,m) mit Hilfe einer so genannten Indikator- oder Zählfunktion I;(xi) dargestellt werden. Für die Zustandsmenge ; (lies: Groß-Xi) eines Erhebungsmerkmals X nimmt die Indikatorfunktion I;(xi) stets den Wert eins an, wenn eine beobachtete Merkmalsausprägung X(Ji) = xi der Ordnung i (i = 1,2,...,n) innerhalb einer statistischen Urliste mit einer beobachteten, jedoch wohl verschiedenen Merkmalsausprägung [j ; der Ordnung j übereinstimmt. Stimmt eine Beobachtung xi mit einer der voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen [j nicht überein, dann nimmt die so genannte Indikator- oder Zählfunktion I;(xi) den Wert null an. iv) Vergleichbarkeit. Vor
Datendeskription
73
allem zu Vergleichszwecken sind absolute Häufigkeiten nj (etwa aus zwei disjunkten (lat.: disiunktio o Trennung, elementefremd), jedoch vergleichbaren statistischen Gesamtheiten) nicht geeignet. Aus diesem Grunde bestimmt man auf deren Basis die relativen Häufigkeiten p(X = [j) = pj = nj/n und/oder die prozentualen relativen Häufigkeiten p*j = pj100 % für die stets m
¦p j 1
j
p1 p 2 ... p m 1 bzw.
m
¦p * j
100 %
j 1
gilt. Dabei ist zu beachten, dass es streng genommen nur für eine statistische Gesamtheit *n mit einem Umfang von n > 100 Merkmalsträgern Ji sinnvoll ist, prozentuale relative Häufigkeiten zu bestimmen. v) Anwendung. Relative Häufigkeiten bilden die Grundlage für die Begriffsbestimmung einer empirischen Verteilungsfunktion F(a). i
Empirische Häufigkeitsverteilung Ist X ein beliebig skaliertes statistisches Erhebungsmerkmal mit m voneinander verschiedenen (empirisch beobachteten bzw. definierten) Merkmalsausprägungen [j (j = 1,2,...,m), dann heißt die Menge der geordneten Paare {([j, nj), j = 1,2,...,m} bzw. {([j, pj), j = 1,2,...,m} absolute bzw. relative empirische Häufigkeitsverteilung des Merkmals X. Hinweise. Für das Verständnis des statistischen Begriffs einer empirischen Häufigkeitsverteilung sowie für die tabellarische und/oder grafische Präsentation einer empirischen Häufigkeitsverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Unterscheidung. Im Unterschied zu einer theoretisch begründeten bzw. konstruierten Verteilung bezeichnet man eine Verteilung, die auf empirisch erhobenen Urlistendaten oder bereits klassierten Daten basiert, als empirische Häufigkeitsverteilung. ii) Häufigkeitstabelle. Die tabellarische Darstellung einer Häufigkeitsverteilung heißt Häufigkeitstabelle. Ist das Erhebungsmerkmal X mindestens ordinal, dann sind die Merkmalsausprägungen [j in einer Häufigkeitstabelle (in der Regel aufsteigend) zu ordnen. iii) PARETO-Diagramm. Für die grafische Präsentation eines nominalen Erhebungsmerkmals ist ein PARETO-Diagramm eine aussagefähige grafische Darstellung, vor allem dann, wenn es die am häufigsten beobachteten Ausprägungen aufzuzeigen gilt (vgl. Beispiel 5.1-1). iv) Säulendiagramm. Für ein nominales, ordinales bzw. diskretes metrisches Merkmal mit wenigen voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen [j kann man zur grafischen Präsentation einer Häufigkeitsverteilung ein Strich-, Stab- oder Säulendiagramm verwenden (vgl. Beispiel 5.1-4). v) Struktogramm. Für die grafische Präsentation der Verteilungsstruktur einer statistischen Gesamtheit ist ein Struktogramm geeignet. Ein in praxi häufig verwendetes Struktogramm ist das Kreisdiagramm (vgl. Beispiel 5.1-3). vi) Plots. In der Explorativen Datenanalyse verwendet man für die Beschreibung der Häufigkeitsverteilung eines metrischen Erhebungsmerkmals mit vielen voneinander verschiedenen Merkmalswerten das Stem-and-Leaf-Plot (vgl. Beispiel 5.1-5) und das Box-and-Whisker-Plot (vgl. Beispiel 5.2.2-2). vii) Histogramm. Die klassische Form der grafischen Darstellung eines klassierten metrischen Erhebungsmerkmals ist ein Histogramm (grch.: histion o Gewebe + (dia)gramma o Zeichnung). Das Charakteristikum eines Histogramms ist die flächenproportionale Darstellung der Klassenhäufigkeiten (vgl. Beispiel 5.1-5). i
74
Datendeskription
Summenhäufigkeit Ist X ein mindestens ordinales Merkmal, dessen absolute bzw. relative Häufigkeitsverteilung gegeben ist, dann heißt die Kumulation
Hj
n( X d [ j )
j
¦n r 1
r
bzw. Fj
p( X d [ j )
j
¦p
r
r 1
der absoluten bzw. der relativen Häufigkeiten nr bzw. pr derjenigen Merkmalsausprägungen [r (r d j), welche die Merkmalsausprägung [j nicht überschreiten, absolute Summenhäufigkeit Hj bzw. relative Summenhäufigkeit Fj der Ordnung j (j = 1,2,...,m). Hinweise. Für das Verständnis einer kumulierten bzw. Summenhäufigkeit sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Kumulation. Eine Kumulation (lat.: cumulus o häufen) kennzeichnet eine schrittweise Summation von absoluten bzw. relativen Häufigkeiten einer Häufigkeitsverteilung. ii) Interpretation. Die absolute Summenhäufigkeit Hj gibt die Anzahl und die relative Summenhäufigkeit Fj den Anteil der statistischen Einheiten Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} an, die eine Merkmalsausprägung X(Ji) = xi bzw. einen Merkmalswert X(Ji) = xi besitzen, die gleich- oder niedrigerwertig bzw. der gleich oder kleiner als [j ist. iii) Resthäufigkeit. Die absolute bzw. relative Summenhäufigkeit derjenigen Merkmalsausprägungen, die höherwertig sind als die Merkmalsausprägung [j bzw. den Merkmalswert [j überschreiten, heißt absolute Resthäufigkeit HjR = n – Hj oder relative Resthäufigkeit FjR = 1 – Fj. Dabei gilt stets: Hm = n und Fm = 1. iv) Bedeutung. Die relative Summenhäufigkeit bildet die Grundlage für die Begriffsbestimmung einer empirischen Verteilungsfunktion F(a). i
Empirische Verteilungsfunktion Ist X ein mindestens ordinales, zahlenmäßig erfasstes und geordnetes Erhebungsmerkmal mit m voneinander verschiedenen (empirisch beobachteten bzw. definierten) Merkmalswerten [j (j = 1,2,...,m}, dann heißt die Funktion F(a) mit
a 1 0 für alle ° F(a) ®Fj für alle j d a j1 , j = 1,2,...,m 1, ° 1 für alle a t m ¯ die jeder reellen Zahl a R den Anteil der Merkmalsträger J *n einer statistischen Gesamtheit *n mit einem Merkmalswert [j zuordnet, die diese reelle Zahl a nicht überschreiten, empirische Verteilungsfunktion. Hinweise. Für das Verständnis einer empirischen Verteilungs- bzw. Summenfunktion sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Eigenschaften. Eine empirische Verteilungsfunktion F(a) besitzt u.a. die folgenden charakteristischen Eigenschaften: a) Sie kann nur Werte zwischen null und eins annehmen, d.h. es gilt stets 0 d F(a) d 1. b) Sie ist ihrem Wesen nach eine monoton nicht fallende Funktion, d.h. für zwei beliebige reelle Werte a d b R gilt stets F(a) d F(b). c) Sie ist nicht stetig. d) Der Graph y = F(a) einer empirischen Verteilungsfunktion F(a) ist eine monoton wachsende bzw. nicht fallende Treppenfunktion mit Sprunghöhen pj an den Stellen a = [j. i
Datendeskription
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Beispiel 5.1-1: Häufigkeitsverteilung, nominales Erhebungsmerkmal Motivation. Die statistische Analyse der Häufigkeitsverteilung eines nicht häufbaren nominalen Merkmals soll anhand der PASW Statistics Datendatei Fahrscheinart.sav für die Variable Billet demonstriert werden. Die Datei basiert auf einem Marktforschungsprojekt, im Rahmen dessen mittels einer geschichteten Zufallsauswahl im November 1995 n = 561 Fahrgäste des Berliner Öffentlichen Personen- Nahverkehrs (ÖPNV) unter anderem danach befragt wurden, welche Fahrscheinart sie nutzen.10 Urlistenauszug. In der Abbildung 5.1-1, die den PASW Statistics Daten- Editor mit einem Urlistenauszug beinhaltet, sind die Analyseschritte zur Erstellung einer Häufigkeitsverteilung für das nominale Erhebungsmerkmal X „benutzte Fahrscheinart (Billet)“ skizziert. Abbildung 5.1-1: PASW Statistics Daten-Editor mit Urlistenauszug
Grundbegriffe. Das Repetieren der statistischen Grundbegriffe anhand der Abbildung 5.1-1 ergibt das folgende Bild: Die statistische Einheit bzw. der Merkmalträger J ist ein befragter Fahrgast. Die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 561 zufällig ausgewählten und befragten Fahrgäste umfasst die statistische Gesamtheit, die inhaltlich durch die Ausprägungsfestlegung der Identifikationsmerkmale wie folgt abgegrenzt ist: Fahrgast (Sache), Berliner ÖPNV (Ort), November 1995 (Zeit). Das Erhebungsmerkmal X ist die benutzte Fahrscheinart eines befragten Fahrgastes. Die m = 7 Merkmalsausprägungen [j, die im zugrunde liegenden standardisierten Fragebogen vorab vereinbart wurden und die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} = {Monatskarte, Jahreskarte,...,7-Tage-Karte} des Erhebungsmerkmals X bilden, erscheinen in der Häufigkeitstabelle 5.1-1 als Kategorien, deren Reihenfolge im konkreten Fall der Häufigkeit ihrer Nennung entspricht. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das nominale Erhebungsmerkmal X(J) bezüglich seiner sieben als Fragebogen-Items vorgegebenen begrifflichen und nominalen Ausprägungen [j ; (Fahrscheinarten) aus Plausi10
Quelle: PÖRNER, R. und P. ECKSTEIN: Bargeldloses Zahlen im Öffentlichen Personennahverkehr – Chancen und Barrieren aus der Sicht Berliner Fahrgäste, fhtw-transfer 1996
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Datendeskription
bilitätsgründen als ein nicht häufbares Erhebungsmerkmal gedeutet wird, zumal eine befragte Person J *n (in der Regel und von anormalen Ausnahmen einmal abgesehen) nur eine Fahrscheinart der m = 7 in der Zustandsmenge ; definierten Fahrscheinarten [j nutzt. Häufigkeitstabelle. Die tabellarische Darstellungsform der empirischen Häufigkeitsverteilung des nominalen und des nicht häufbaren Erhebungsmerkmals X „Fahrscheinart bzw. Billet“ kann via Sequenz 5.1-1 angefordert werden. Sequenz 5.1-1: Häufigkeitstabelle Analysieren Deskriptive Statistiken Häufigkeiten ... o Abbildung 5.1-2 Abbildung 5.1-2: Daten-Editor und Dialogfelder Häufigkeiten
Interpretation. Die Häufigkeitstabelle 5.1-1 ist in ihren Bestandteilen statistisch und sachlogisch wie folgt zu interpretieren: Häufigkeiten. Von den insgesamt 561 befragten Fahrgästen gaben 555 Fahrgäste eine valide (lat: validus o gültig, engl.: valid o gültig) Antwort auf die Frage nach der benutzten Fahrscheinart, worunter wiederum 240 Fahrgäste angaben, eine Monatskarte zu nutzen. Dies sind (240/555)100 % # 43,2 % aller empirisch erfassten und gültigen Antworten. Kennzeichnet aus statistisch- methodischer Sicht die Zahl 240 die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung Monatskarte, so markieren die 43,2 % die als gültige Prozente (engl.: valid percent) ausgewiesene prozentuale relative Häufigkeit gültiger und somit statistisch auswertbarer Antworten. Fehlende Werte. Aufgrund der Tatsache, dass im konkreten Fall sechs befragte Fahrgäste auf die Frage nach der benutzten Fahrscheinart keine der im standardisierten Fragebogen vermerkten (und somit „gültigen“) Antworten gaben, besitzt die Variable Billet sechs systemdefinierte fehlende Werte (engl.: missing value) bzw. Ausprägungen. Ist eine Variable durch keine fehlenden Werte
Datendeskription
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bzw. Ausprägungen gekennzeichnet, wurden im Sinne der Variablendefinition also nur zulässige Werte bzw. Ausprägungen statistisch erfasst, dann stimmen die Tabellenspalten Prozent und Gültige Prozente überein. Ist hingegen eine Variable durch fehlende Werte bzw. Ausprägungen affiziert, dann weichen die beiden Tabellenspalten bezüglich ihrer Ergebnisse voneinander ab. In diesem Falle fungiert für die Tabellenspalte Prozent die Anzahl der (erfassten bzw. ausgewählten) Merkmalsträger als Basis, unabhängig davon, ob für die betreffende Variable fehlende Ausprägungen existieren oder nicht. Die Spalte Gültige Prozente basiert auf der (stets gleichen oder kleineren) Anzahl der Merkmalsträger, die bezüglich der interessierenden Variablen definitionsgemäß gültige Ausprägungen besitzen. Tabelle 5.1-1: Häufigkeitstabelle: benutzte Fahrscheinart
Kumulation. Die Tabellenspalte Kumulierte Prozente (engl.: cumulative percent) beinhaltet die kumulierten (lat.: cumulus o vermehren, häufen) prozentualen Häufigkeiten für die m = 7 vorgegebenen nominalen Merkmalsausprägungen [j in Gestalt der sieben vorab festgelegten Fragebogen-Items (engl.: item o Punkt, Posten, Antwort), welche eine bildhafte Vorstellung von der Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} des Erhebungsmerkmals X: Fahrscheinart ermöglichen. Da bei nominalen Merkmalen die Reihenfolge der Merkmalsausprägungen in einer Häufigkeitstabelle wegen nicht existierender Ordnungsrelationen stets willkürlich ist, erhält man je nach Festlegung der Reihenfolge der Merkmalsausprägungen anders geartete kumulierte Häufigkeiten. Aus diesem Grunde sind in konkreten Fall die kumulierten prozentualen Häufigkeiten nur bedingt interpretierbar. Eingedenk der Tatsache, dass gemäß Abbildung 5.1-2 im Unterdialogfeld Häufigkeiten: Format eine Häufigkeitstabelle mit absteigenden Häufigkeiten vereinbart wurde, ist die folgende Interpretation möglich und sinnvoll: 70,1 % der befragten Fahrgäste gaben „gültig und statistisch verwertbar“ an, entweder eine Monatskarte oder eine Jahreskarte zu benutzen.
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Datendeskription
Diagramme. Wann und wo es im Kontext einer Verteilungsanalyse möglich und sinnvoll ist, sollte eine Häufigkeitstabelle stets durch eine geeignete und aussagekräftige grafische Darstellung ergänzt bzw. ersetzt werden. Eine geeignete Form der grafischen Präsentation der empirischen Verteilung eines nominalen Erhebungsmerkmals mit wenigen sich voneinander unterscheidenden Merkmalsausprägungen ist ein Kreis- oder ein Balkendiagramm. Beide Diagramme können in PASW Statistics auf verschiedenen Wegen und in unterschiedlichen Arten bereits mit dem Erstellen einer Häufigkeitstabelle gemäß Abbildung 5.1-2 im Dialogfeld Häufigkeiten via Schaltfläche Diagramme oder gemäß Abbildung 4.2-1 via Hauptmenüpunkt Diagramme im PASW Statistics Daten-Editor angefordert werden. Neben einem Kreisdiagramm erweist sich in der nominalen Verteilungsanalyse vor allem ein PARETO-Diagramm, das seinem Wesen nach ein Balkendiagramm ist, als sehr anschaulich und analytisch nützlich. PARETO-Diagramm Ein PARETO-Diagramm ist ein einfaches Balkendiagramm bzw. ein kombiniertes Balken-Linien-Diagramm, das zum einen auf den gemäß ihrer absoluten Häufigkeiten nj = n(X = [j), j = 1,2,...,m, geordneten Ausprägungen [j eines nominalen Merkmals X und zum anderen auf den kumulierten absoluten Hj = n(X d [j) bzw. den kumulierten relativen Häufigkeiten Fj = p(X d [j) beruht. Hinweise. Für den Bau und für die Interpretation eines PARETO-Diagramms sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Applikation. Ein PARETO-Diagramm kann als eine grafische Darstellungsform einer geordneten Häufigkeitstabelle eines nominalen Erhebungsmerkmals aufgefasst werden. Es erweist sich in der Verteilungsanalyse vor allem dann als besonders hilfreich, wenn man sich schnell einen Überblick über die am häufigsten beobachteten Ausprägungen eines nominalen Erhebungsmerkmals verschaffen möchte bzw. muss. In praxi finden PARETO-Diagramme vor allem in der statistischen Qualitätskontrolle bei der Erkennung der häufigsten Fehlerquellen in einem laufenden Produktionsprozess oder in der Marktforschung bei der Häufigkeitsanalyse nominaler Fragebogen-Items (engl.: item o Antwort) eine breite Anwendung. ii) Spezifik. In praxi ergänzt man mitunter ein PARETO-Diagramm noch durch einen Polygonzug (grch.: polys o viel + gonia o Winkel), der auf den kumulierten relativen bzw. prozentualen Häufigkeiten beruht. Obgleich für nominale Merkmale wegen nicht definierter Ordnungsrelationen kumulierte Häufigkeiten nicht definiert (und in der Regel auch nicht sachlogisch plausibel interpretierbar) sind, werden sie im speziellen Fall (vgl. Abbildung 5.1-3) durch die Ordnungsrelationen begründet, die sich aus den absteigend geordneten Häufigkeiten, also aus der statistischen Modalität der Merkmalsausprägungen ergeben. iii) Historie. PARETO-Diagramme sind nach dem italienischen Nationalökonomen und Statistiker Vilfredo PARETO (1848-1923) benannt. i
Konstruktion. Im Unterschied zu den vorhergehenden SPSS bzw. PASW Statistics Versionen kann in PASW Statistics 18 ein einfaches bzw. ein gestapeltes PARETO-Diagramm via Sequenz 5.1-2 erstellt werden.
Datendeskription
79 Sequenz 5.1-2: PARETO-Diagramm Analysieren Qualitätskontrolle Pareto-Diagramme o Abbildung 5.1-3
Abbildung 5.1-3: Dialogfelder Pareto-Diagramme
einfaches Pareto-Diagramm mit Kumulationspolygonzug
Interpretation. Hinsichtlich seiner Komponenten kann das PARETO-Diagramm innerhalb der Abbildung 5.1-3, das im speziellen Fall der Anschaulichkeit halber zudem noch im PASW Statistics Diagramm-Editor „bearbeitet“ wurde, wie folgt interpretiert werden: Abszisse. Auf der Abszisse sind die m = 7 möglichen und in der Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} definierten Fahrscheinarten [j abgetragen, die im konkreten Fall der Einfachheit halber nur durch den Anfangsbuchstaben bzw. durch das erste alphanumerische Zeichen gekennzeichnet sind. Analog zur Häufigkeitstabelle 5.1-1 fungiert als „Ordnungskriterium“ für die nominalen Merkmalsausprägungen [j (Fahrscheinarten) die absolute bzw. die kumulierte prozentuale Häufigkeit nj = n(X = [j) bzw. Fj = p(X d [j)100 % ihrer Nennung. Häufigkeit. Die Häufigkeit der Nennung einer Fahrscheinart [j wird durch die Höhe des jeweiligen Balkens bildhaft dargestellt, wobei gemäß dem so genannten PARETO-Konzept das Balkenensemble absteigend angeordnet ist. Während die M(onatskarte) die Fahrscheinart ist, die von den befragten Fahrgästen, die eine gültige Antwort gaben, am häufigsten genannt bzw. genutzt wird, wurden
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die Fahrscheinarten k(eine Fahrkarte), D(ienstausweis) und 7(-Tage-Karte) von den befragten Fahrgästen vergleichsweise selten genannt bzw. genutzt. Polygonzug. Der „stückweise linear ansteigende“ Polygonzug (grch.: polys o viel + gonia o Winkel) über den absteigend geordneten Balken im Balkendiagramm ist die bildhafte Darstellung der jeweiligen kumulierten absoluten Häufigkeit Hj = n(X d [j)bzw. der prozentualen Häufigkeit Fj = p(X d [j)100 % der m = 7 Fahrscheinarten [j der Ordnung j = 1,2,...,m, die auf den beiden Ordinaten abgetragen wurden. Referenzlinien. Die gestrichelten Referenzlinien, die den schrittweise linear ansteigenden Polygonzug an der Stelle [2 = J(ahreskarte) absolut auf dem Höhenniveau H2 = n(X d [2) = 240 + 149 = 389 und prozentual auf dem Höhenniveau F2 = p(X d [2)100 % = ((240 + 149)/555)100 % # 70,1 % schneiden, können sachlogisch wie folgt gedeutet werden: 389 bzw. 70,1 % der befragten Fahrgäste, die eine gültige Antwort gaben, nutzten entweder eine Monats- oder eine Jahreskarte. Demnach waren zum Zeitpunkt der Befragung die Monats- und die Jahreskarte die beiden Fahrscheinarten, die im Berliner Öffentlichen PersonenNahverkehr am häufigsten genutzt wurden. h Beispiel 5.1-2: Analyse von Mehrfachantworten Motivation. Eine spezielle Form der statistischen Auswertung von häufbaren nominalen Merkmalen ist die Analyse von Mehrfachantworten (engl.: multiple responses), mit der man in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung vor allem im Zuge der Auswertung von Fragebögen konfrontiert wird und die in PASW Statistics mittels der dichotomen oder der kategorialen Methode bewerkstelligt werden kann. Als ein typisches Beispiel für eine dichotome Mehrfachantwortenanalyse kann gemäß dem Fragebogen innerhalb der Abbildung 3.3-1 die statistische Analyse der Frage 12 nach den benutzten Verkehrsmitteln angesehen werden, welche die befragten Studierenden in der Regel auf dem Weg zur Hochschule nutzen. Die erhobenen Daten sind in der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav gespeichert. Im Kontext der Frage 12 leuchtet es intuitiv ein, dass eine interviewte Studentin bzw. ein interviewter Student auf dem Weg zur Hochschule durchaus mehrere Verkehrsmittel nutzen kann. Aus statistisch- methodischer Sicht kann im konkreten Fall die individuelle Verkehrsmittelnutzung als ein häufbares nominales Merkmal einer Studentin bzw. eines Studenten aufgefasst werden, zumal eine interviewte Person keine, eine, zwei oder (theoretisch auch) alle zwölf aufgelisteten Verkehrsmittel nennen bzw. ankreuzen kann, je nachdem, ob sie diese in der Regel auf dem Weg zur Hochschule benutzt oder nicht. Das gleichzeitige Nennen mehrerer Nutzungsmöglichkeiten seitens einer interviewten Person, die im speziellen Fall als Merkmalsträger fungiert, subsumiert man im Kontext von Fragebogenauswertungen unter dem Begriff Mehrfachantworten bzw. Mehrfachnennungen.
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Dichotome Methode. Die Methode der multiplen Dichotomien beruht auf der Darstellung jeder zulässigen Ausprägung eines häufbaren nominalen Merkmals mit Hilfe einer numerischen und dichotomen Variablen. Die Anzahl der in PASW Statistics zu definierenden dichotomen (grch.: dicha o zweifach + tome o Schritt) Variablen ist stets identisch mit der Anzahl der zulässigen Ausprägungen eines zu analysierenden häufbaren nominalen Merkmals in Gestalt so genannter Fragebogen-Items (engl.: item o Punkt, Posten, Einzelheit). Bei der Beschreibung von Dichotomien erweist sich aus statistisch-methodischer Sicht die in der Abbildung 5.1-4 skizzierte Null-Eins-Kodierung als sehr nützlich und anschaulich. So kann zum Beispiel das arithmetische Mittel einer 0-1-kodierten Variablen X als Anteil p(X = 1)/n der Merkmalsträger Ji *n mit der Merkmalsausprägung „eins“ in der statistischen Gesamtheit *n aller n Merkmalsträger Ji gedeutet werden. In praxi gleichsam üblich ist die „Kodierung“ einer Dichotomie derart, dass lediglich eine Nennung mit einer „Eins“ kodiert wird. Ansonsten wird ein systemdefinierter fehlender Wert, der in PASW Statistics für eine numerische Variable durch einen Punkt kenntlich gemacht wird, vereinbart und durch die Betätigung der Entertaste bei der Dateneingabe automatisch gesetzt. Abbildung 5.1-4: PASW Statistics Daten-Editor mit multiplen Dichotomien
Student 666 nutzt 2 Verkehrsmittel: U-Bahn (F12a) und Tram (F12c)
Zum Beispiel gab der befragte Studierende Ji der Ordnung i = 666 an, auf dem Weg zu Hochschule in der Regel die U-Bahn und die Tram zu nutzen. Mehrfachantwortenanalyse. Eine statistische Auswertung der Frage 12, deren Antwortmöglichkeiten mit Hilfe multipler Dichotomien abgebildet wurde, kann auf zwei Wegen erfolgen: Entweder über die umständliche, zeitaufwendige und letztlich unübersichtliche Auswertung jeder einzelnen der 12 dichotomen und 0-1-kodierten Variablen F12a bis F12l oder über das zeitsparende Definieren und Analysieren eines Bündels oder Sets (engl.: set o Menge, Bündel) von Mehrfachantworten. Häufigkeitstabelle. Die Häufigkeitstabelle 5.1-2, die im konkreten Fall via Sequenz 5.1-1 erstellt wurde, beschreibt die empirische Häufigkeitsverteilung für die U-Bahn-Nutzung.
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Datendeskription Tabelle 5.1-2: Häufigkeitstabelle, dichotome Variable F12a
Demnach gaben 423 Studierende bzw. (423/678)100 % = 62,4 % aller n = 678 befragten Studierenden Ji *n „valide und verwertbar“ an, auf dem Weg zur Hochschule in der Regel die U-Bahn zu nutzen. Gemäß der praktizierten 0-1Kodierung wurde die Menge der 255 Studierenden, die das Verkehrsmittel UBahn nicht nannten, mit einer Null kodiert. Variablen-Set. Wesentlich eleganter als das singuläre Auswerten von dichotomen Variablen erweist sich die Nutzung von multiplen Dichotomien bzw. dichotomen Variablen-Sets, die via Sequenz 5.1-3 definiert und via Sequenz 5.1-4 statistisch ausgewertet werden können. Sequenz 5.1-3: Mehrfachantworten-Sets definieren Analysieren Mehrfachantworten Variablen-Sets definieren ... o Abbildung 5.1-5 Abbildung 5.1-5: Dialogfeld Mehrfachantworten-Sets
Mit dieser Schaltfläche das Variablen-Set F12 schnüren.
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Hinweise. Für die Definition von Variablen-Sets im Kontext der Analyse von Mehrfachantworten sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Set-Definition. In PASW Statistics ist es auch möglich, Variablen-Sets via Daten, MehrfachantwortenSets definieren ... zu „schnüren“, die allerdings in der Mehrfachantworten-Prozedur nicht verfügbar sind. ii) Set-Name. Im Zuge einer Fragebogenauswertung sollte bei Mehrfachantworten-Sets der jeweilige Set-Name so vereinbart werden, dass (gleichsam wie in Abbildung 5.1-5 für das Variablen-Bündel „F12“ praktiziert) bereits aus dem Set-Namen eine semantische Verbindung zum Variablen-Set ersichtlich wird. iii) Gezählter Wert. Im konkreten Fall wird im „geschnürten“ Variablen-Set der dichotome Ausprägungskode bzw. Wert „eins“ gezählt. iv) Hinzufügen. Die Definition eines Mehrfachantworten-Sets gilt erst dann als abgeschlossen, wenn die getroffenen Vereinbarungen (also die Variablenauswahl, die Festlegung des Namens und des zu zählenden Wertes für das Set) via Schaltfläche Hinzufügen in der Rubrik Mehrfachantworten-Set protokolliert wurden. Ein Set von Mehrfachantworten wird dabei stets mit dem Präfix $ gekennzeichnet. Im konkreten Fall lautet der Name des Variablen-Sets $F12. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass definierte Variablen-Sets stets nur temporär sind. Da Variablen-Sets nicht gespeichert werden können, werden sie beim Schließen einer Arbeitsdatei in PASW Statistics automatisch gelöscht. iv) Schließen. Der Vorgang des Definierens eines Sets von Mehrfachantworten kann mit dem Betätigen der Schaltfläche Schließen ordnungsgemäß beendet werden. i
Häufigkeitstabelle. Ist mindestens ein interessierendes MehrfachantwortenSet definiert, braucht man nur noch das Dialogfeld gemäß Abbildung 5.1-5 zu „schließen“, um via Sequenz 5.1-4 die Häufigkeitstabelle für das „geschnürte“ Mehrfachantworten-Set $Frage12 anfordern zu können. Sequenz 5.1-4: Mehrfachantworten, Häufigkeiten Analysieren Mehrfachantworten Häufigkeiten o Abbildung 5.1-6 Abbildung 5.1-6: Daten-Editor und Dialogfeld Mehrfachantworten: Häufig…
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Datendeskription
Ergebnisse. Die Ergebnisse der Mehrfachantwortenanalyse, die in den Tabellen 5.1-3 und 5.1-4 zusammengefasst sind, können wie folgt interpretiert werden: Gültige und fehlende Fälle. Die Basis für die statistische Auswertung bilden 653 gültige Fälle (engl.: valid cases). Demnach gaben gemäß dem Fragebogen innerhalb der Abbildung 3.3-1 insgesamt 653 der befragten Studierenden bezüglich der Frage 12 mindestens eine gültige Antwort. Lediglich 32 von den insgesamt 685 Befragten gaben bezüglich der Verkehrsmittelnutzung keine bzw. eine ungültige Antwort. Aus diesem Grunde werden in der Tabelle 5.1-3 insgesamt 32 bzw. (32/685)100 % # 4,7 % fehlende Fälle ausgewiesen. Tabelle 5.1-3: Mehrfachantworten, Fallzusammenfassung
Tabelle 5.1-4: Mehrfachantworten, Häufigkeiten
Antwortanzahlen. In den 653 hinsichtlich der Mehrfachantwortenbündels F12 statistisch auswertbaren und „gültigen“ Fragebögen wurden insgesamt 1468 Antworten (engl.: responses) gezählt, die eine der 12 vorgegebenen Verkehrsmittelnutzungen betreffen. Während das Verkehrsmittel U-Bahn mit 423-mal am häufigsten genannt wurde, gaben zum Beispiel vier Studierende an, in der Regel auf dem Weg zur Hochschule ein Taxi zu nutzen.
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Antwortprozente. In der Rubrik Fälle, Antworten, Prozent ist die sich auf 100 % addierende (vollständige) prozentuale Verteilungsstruktur der gültigen verkehrsmittelspezifischen Antworten an der Gesamtzahl aller gültigen Antworten vermerkt. Demnach entfielen zum Beispiel auf das Verkehrsmittel S-Bahn (423/1468)100 % # 28,8 % aller erfassten gültigen Antworten. Fallprozente. In der mit Prozent der Fälle überschriebenen letzten Tabellespalte ist die prozentuale Verteilung der gültigen verkehrsmittelspezifischen Antworten an der Gesamtzahl aller auswertbaren Fragebögen aufgelistet. Demnach gaben zum Beispiel (340/653)100 % # 52,1 % aller befragten Studierenden, die wenigstens ein „gültiges“ Verkehrsmittel auf dem Fragebogen vermerkten, an, auf dem Weg zur Hochschule die S-Bahn zu nutzen. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die so genannten Fallprozente, die ihrem Wesen nach Antwortintensitäten sind, in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung in der Regel von praktischem und analytischem Interesse sind. Antwortintensität. Die Summe aller Fallprozente von 224,8 %, die als eine durchschnittliche Antwortintensität gedeutet werden kann, ist sachlogisch wie folgt zu interpretieren: Im Durchschnitt benutzte eine befragte Person auf dem Wege zur Hochschule 2,248 Verkehrsmittel, letztlich also geringfügig mehr als zwei Verkehrsmittel. Bei der Auswertung von Fragebögen, die zum Beispiel auf Paneldaten (engl.: panel o Kontrollfeld) beruhen, kann diese Kennzahl auch als ein Indikator zur Sichtbarmachung zeitlicher und/oder örtlicher Veränderungen im Antwort- bzw. Konsumverhalten von Befragten herangezogen werden. h Beispiel 5.1-3: Häufigkeitsverteilung, ordinales Erhebungsmerkmal Motivation. Die Abbildung 5.1-7 plakatiert sowohl den PASW Statistics DatenEditor, der als Arbeitsdatei die PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav beinhaltet, als auch das Dialogfeld Häufigkeiten sowie das zugehörige Unterdialogfeld Häufigkeiten: Diagramme, die beide via Sequenz 5.1-1 aufgerufen wurden, um eine Verteilungsanalyse für das ordinale Erhebungsmerkmal Konfektionsgröße, das bezüglich der merkmalsträgerspezifischen Ausprägungen in der Variable F6 gespeichert ist, bewerkstelligen zu können. Grundbegriffe. Die Abbildung 5.1-8 beinhaltet die Häufigkeitsverteilung des ordinalen Erhebungsmerkmals X: Konfektionsgröße eines befragten Studenten J. Die statistische Einheit J ist ein(e) Student(in). Die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} aller n = 685 Studierenden bildet die statistische Gesamtheit, die inhaltlich wie folgt abgegrenzt ist: Studierende der Wirtschaftswissenschaften (Sache), HTW Berlin (Ort), fortlaufende Semester seit 2007 (Zeit). Die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} = {XS, S, M, L, XL, XXL} für das Erhebungsmerkmal X: Konfektionsgröße ist durch die m = 6 voneinander verschiedenen, empirisch beobachteten und begrifflich gefassten ordinalen Ausprägungen [j gegeben.
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Abbildung 5.1-7: Verteilungsanalyse für ein ordinales Merkmal Konfektionsgröße
Struktogramm. Da die Häufigkeitstabelle innerhalb der Abbildung 5.1-8 nur auf sechs ordinalen Merkmalsausprägungen [j beruht und die m = 6 prozentualen relativen Häufigkeiten pj* in Gestalt der Werte innerhalb der Rubrik „gültige Prozente“ in ihrer Gesamtheit die „gültige und auswertbare“ Verteilungsstruktur des Erhebungsmerkmals X: Konfektionsgröße kennzeichnen, ist zum Beispiel ein Kreisdiagramm als ein spezielles und in praxi häufig appliziertes Struktogramm eine geeignete Form der grafischen Präsentation der Konfektionsgrößenverteilung in der statistischen Gesamtheit *n der befragten n = 685 Studierenden Ji. Kreisdiagramm Ein Kreisdiagramm ist eine grafische Darstellungsform der Verteilungsstruktur einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} durch die Aufteilung einer Kreisfläche in Segmente derart, dass die Flächen der Kreissegmente proportional zu den jeweiligen absoluten Häufigkeiten n(X = [j) = nj bzw. zu den jeweiligen relativen Häufigkeiten p(X = [j) = pj von m empirisch beobachteten und voneinander verschiedenen Ausprägungen [j ; = {[j, j = 1,2,...,m} eines beliebig skalierten Erhebungsmerkmals X sind. Hinweise. Für die Erstellung und Nutzung eines Kreisdiagramms, das auch als Torten-, Kreis-Sektoren-, Kreis-Segment-Diagramm (engl.: pie chart) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Applikation. Kreisdiagramme finden vor allem bei der grafischen Präsentation von Häufigkeitsverteilungen nominaler oder ordinaler Merkmale bzw. zur Sichtbarmachung von Strukturen oder Gliederungen von Merkmalswertesummen metrischer Merkmale eine breite Anwendung. Aus diesem Grunde subsumiert man sie auch in die Gruppe statistischer Struktogramme. Typische und in praxi häufig applizierte Struktogramme sind gestapelte Balken-Diagramme, Ring-Segment-Diagramme, Torten-Diagramme oder Spinnennetz-Diagramme. ii) Konstruktion. Das Konstruktionsprinzip eines Kreisdiagramms lässt sich wie folgt skizzieren: Man multipliziert für alle j = 1,2,...,m die relativen Häufigkeiten pj (bzw. die Anteile
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an einer Merkmalswertesumme) mit dem Winkelfaktor 360o, um die Kreisinnenwinkel wj = pj360o zu erhalten, die das jeweilige Kreissegment eines Kreises aufspannen. Der Übersichtlichkeit und Praktikabilität halber sollte man beachten, dass die Anzahl m der voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen [j, die in der Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} des Erhebungsmerkmals definiert sind, mindestens zwei aber nicht größer als acht ist. i
Abbildung 5.1-8: Häufigkeitstabelle mit Kreisdiagramm Zustandsmenge
Kreisinnenwinkel für das Segment M: (274/680)360o = 0,403360o # 145o
Interpretation. Die Abbildung 5.1-8 ist in ihren tabellarischen und grafischen Bestandteilen wie folgt zu interpretieren: Häufigkeitstabelle. In der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} aller n = 685 befragten Studierenden Ji gaben insgesamt 680 Studierende eine im erfassungsstatistischen Sinne „gültige“ und insgesamt 5 Studierende keine bzw. eine „ungültige“ Antwort auf die Frage nach der Konfektionsgröße (vgl. Frage 6 des Fragebogens in der Abbildung 3.3-1). Wegen n(X = [3) = 274 ist die Konfektionsgrößenausprägung [j der Ordnung j = 3 diejenige, die am häufigsten beobachtet wurde. Man sagt daher auch, dass die Konfektionsgröße M(edium) die modale Konfektionsgröße ist. Da nur gültige Antworten von Interesse sind, beläuft sich der prozentuale Anteil der Konfektionsgröße [3 = M im Ensemble aller m = 6 voneinander verschiedenen und ordinalen Konfektionsgrößenausprägungen [j auf (274/680)100 % # 40,3 %. Schließlich und endlich erlauben nunmehr auch die „kumulierten Prozente“, die in der letzten Tabellenspalte vermerkt sind, eine plausible Interpretation: Demnach gaben 70,1 % aller Befragen an, bestenfalls bzw. höchstens die Konfektionsgröße M(edium) zu besitzen.
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Kreisdiagramm. Das Kreisdiagramm ist eine geeignete bildhafte Darstellung der empirischen Verteilung des ordinalen Erhebungsmerkmals Konfektionsgröße. Die Kernaussage des Kreisdiagramms koinzidiert mit den vorhergehenden Ausführungen: Das Kreissegment für die Ausprägung [3 = M ist mit einem Kreisinnenwinkel von w3 = 145o das größte Kreissegment. Beachtenswert ist, dass sich auf der Basis der gültigen Fälle für alle j = 1,2,…,6 die absoluten Häufigkeiten nj zum Umfang n = 680, die prozentualen relativen Häufigkeiten pj* zu 100 % sowie die Kreisinnenwinkel wj zu 360o addieren. h Beispiel 5.1-4: Häufigkeitsverteilung, diskretes metrisches Erhebungsmerkmal Motivation. Die Abbildung 5.1-9 skizziert anhand der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav den Funktionsaufruf im Kontext der Verteilungsanalyse des diskreten metrischen Erhebungsmerkmals X: Anzahl der Prüfungswiederholungen im vergangenen Semester, dessen ganzzahlige Werte im PASW Statistics Daten-Editor in der Variable F11 abgebildet sind. Abbildung 5.1-9: Verteilungsanalyse für ein diskretes metrisches Merkmal Anzahl der Prüfungswiederholungen
Grundbegriffe. Analog zum Beispiel 5.1-3 ist der Merkmalsträger bzw. das kleinste statistische Element J ein Studierender. Die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 685 befragten Studierenden bildet die statistische Gesamtheit, die inhaltlich wie folgt abgegrenzt ist: Studierende der Wirtschaftswissenschaften (Sache), HTW Berlin (Ort), fortlaufende Semester seit 2007 (Zeit). Die Zustandsmenge ; = {[j, j = 1, 2, 3, 4, ...} = {0, 1, 2, 3, ...} für das diskrete metrische Erhebungsmerkmal X: Anzahl der Prüfungswiederholungen eines Studierenden J im vergangenen Semester ist theoretisch durch die Menge der natürlichen Zahlen N (einschließlich der Zahl null) und empirisch durch die voneinander verschiedenen und ganzzahligen Ausprägungen bzw. Werte [j gegeben, die sich im Kontext der Frage 11 des standardisierten Fragebogens (vgl. Abbildung 3.3-1) auf insgesamt sieben „Realisationen“ beschränkt.
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Interpretationen. In der „gestutzten“ Häufigkeitstabelle innerhalb der Abbildung 5.1-10 sind die Häufigkeiten etwa der j = 3-ten Merkmalsausprägung [3 = 2 sachlogisch wie folgt zu deuten: Von den n = 677 Studierenden Ji, die eine gültige Antwort auf die Frage 11 nach der Anzahl der Prüfungswiederholungen gaben, wurden n3 = n(X = 2) = 66 Studierende „gezählt“, die im vergangenen Semester „genau zwei“ Prüfungswiederholungen zu „verkraften“ hatten. Anteilsmäßig sind dies p3* = p(X = 2)100 % = (66/677)100 % # 9,7 % der 677 Studierenden, von denen letzten Endes F3* = p(X d 2)100 % = 95,9 % „höchstens zwei Prüfungswiederholungen“ im vergangenen Semester zu „stemmen“ hatten. Abbildung 5.1-10: Häufigkeitstabelle mit Balkendiagramm
Balkendiagramm Zustandsmenge
relative Häufigkeitsverteilung
Balkendiagramm. Eine geeignete Form der grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilung eines diskreten metrischen Erhebungsmerkmals X mit wenigen voneinander verschiedenen Merkmalswerten [j ist ein Balkendiagramm, für das synonym auch die Bezeichnungen „Strichdiagramm, Stabdiagramm oder Säulendiagramm“ verwendet werden. Beachtenswert ist bei der Konstruktion eines Balkendiagramms, dass die jeweilige absolute Häufigkeit n(X = [j) bzw. relative Häufigkeit p(X = [j) bildhaft als ein Balken über dem diskreten Merkmalswert [j erscheint und dass die Länge bzw. die Höhe eines Balkens proportional ist zum jeweilig dargestellten absoluten bzw. relativen Häufigkeitswert. Die Kernaussage des Balkendiagramms innerhalb der Abbildung 5.1-10 ist so einfach wie eindeutig: Während die überwiegende Menge der Studierenden im jeweils vergangenen Semester keine Prüfung zu wiederholen hatte, ist der prozentuale Anteil der Studierenden, die eine größere Anzahl von Prüfungen zu wiederholen hatten, vergleichsweise gering oder ein „eher selten zu beobachtendes Ereignis“.
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Datendeskription Hinweis. Gleichwohl das Balkendiagramm innerhalb der Abbildung 5.1-10 eine gewisse Ähnlichkeit zum linken PARETO-Diagramm innerhalb der Abbildung 5.1-4 besitzt, sind diese beiden grafischen Darstellungen aus statistisch-methodischer Sicht wohl voneinander zu unterscheiden. Während die Anordnung der Balken im Balkendiagramm innerhalb der Abbildung 5.1-10 durch die Ordnungsrelationen der Merkmalswerte definiert ist, resultiert die Balkenanordnung im PARETO-Diagramm innerhalb der Abbildung 5.1-4 aus den absteigend geordneten Häufigkeiten. i
POISSON-Verteilung. Inwieweit die empirisch beobachtete Häufigkeitsverteilung des Erhebungsmerkmals X: Prüfungswiederholungen etwa durch das theoretische Verteilungsmodell einer POISSON-Verteilung, die auch als Verteilung seltener zufälliger Ereignisse bezeichnet wird, beschrieben werden kann, ist ein spezieller Gegenstand der Kapitel 6 und 7. h Beispiel 5.1-5: Häufigkeitsverteilung, stetiges metrisches Erhebungsmerkmal Motivation. Vor allem bei der Analyse der Häufigkeitsverteilung eines stetigen metrischen Merkmals X, dessen Zustandsmenge ; = {[j R, j = 1,2,...,m} durch die Menge R der reellen Zahlen gegeben ist, wird man in praxi eher mit vielen als mit wenigen voneinander verschiedenen Merkmalswerten [j konfrontiert. Mitunter ist die Anzahl m der voneinander verschiedenen Merkmalswerte [j nahezu identisch mit den beobachteten und in einer Urliste zusammengefassten Merkmalswerten X(Ji) = xi einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Merkmalsträgern bzw. statistischen Einheiten Ji. Die Abbildung 5.1-11 verdeutlicht diesen Sachverhalt anhand der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav und der darin enthaltenen Variable Durch, welche die jahresdurchschnittliche Laufleistung (in 1000 km) zum Inhalt hat und die der Anschaulichkeit halber in ihren Werten aufsteigend geordnet wurde. Grundbegriffe. Aus erfassungsstatistischer Sicht ist die PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav eine realisierte Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n}, die auf n = 200 Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6 LiterTriebwerk beruht, die im Zuge einer systematischen Zufallsauswahl im zweiten Quartal 2006 auf dem Berliner Gebrauchtwagenmarkt erfasst wurden. Das interessierende und in der Variablen Durch abgebildete Erhebungsmerkmal jahresdurchschnittliche Laufleistung (Angaben in 1000 km) wurde im Nachhinein via Sequenz 4.6.4-2 mittels der Berechungsvorschrift Durch = Lauf/(Alter/12) in die Arbeitsdatei eingefügt. Aus statistisch-methodischer Sicht handelt es sich um stetiges metrisches Merkmal, zumal die jahresdurchschnittliche Laufleistung eines gebrauchten VW Golfs in einem geschlossenen Merkmalswerteintervall theoretisch „auf den Millimeter genau“ jeden beliebigen Wert annehmen kann. Explorative Datenanalyse. Aus der babylonischen Vielfalt der statistischen Methoden, die sich für eine Verteilungsanalyse eines stetigen Merkmals eignen, erweist sich das moderne und leistungsstarke Instrument Explorative Datenana-
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lyse (lat.: exploratio o Erforschung) als ein nützliches statistisches Analysekonzept, das selbst wiederum eine breite Palette von Verfahren und Techniken der „erforschenden und ergründenden“ Datenanalyse bereitstellt. Sequenz. Eine Explorative Datenanalyse der jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten kann via Sequenz 5.1-5 bewerkstelligt werden. Sequenz 5.1-5: Explorative Datenanalyse Analysieren Deskriptive Statistiken Explorative Datenanalyse ... o Abbildung 5.1-11 Abbildung 5.1-11: Dialogfelder Explorative Datenanalyse
Problem: keine Werte, die sich häufen …
Hinweis. Bei der Durchführung einer Explorativen Datenanalyse ist zu beachten, dass im Dialogfeld Explorative Datenanalyse in der Rubrik Abhängige Variablen stets nur numerische und auf dem metrischen Messniveau definierte Variablen platziert werden. Hingegen sind in der Rubrik Faktorenliste stets nur die String- und/oder numerischen Variablen einzutragen, die auf einem nominalen oder ordinalen Messniveau definiert sind und als Faktoren-, Gruppen-, Gruppierungs- oder Identifikationsvariablen fungieren. Das Platzieren der Identifikatorvariable Nr, welche die erfassten Gebrauchtwagen nummeriert, in die Rubrik Fallbeschriftung erweist sich vor allem im Hinblick auf das Aufdecken von Ausreißer- und Extremwerten als hilfreich und vorteilhaft. i
Diagramme. Im Zuge der angestrebten Explorativen Datenanalyse wurden einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen im Dialogfeld Explorative Datenanalyse in der Rubrik Anzeige nur die Option Diagramme und im Unterdialogfeld Explorative Datenanalyse: Diagramme in der Rubrik Deskriptiv die Optionen Stengel-Blatt (engl.: Stem-and-Leaf-Plot, stem o Stamm, Stengel + leaf o Blatt + plot o Zeichnung) und Histogramm (grch.: histion o Gewebe + gramma o Zeichnung) aktiviert und die jeweiligen Diagramme angefordert.
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Stem-and-Leaf-Plot Ein Stem-and-Leaf-Plot ist ein semigrafisches Verfahren der Explorativen Datenanalyse, das zur Kennzeichnung der Verteilung eines metrischen Merkmals erstellt wird. Das Charakteristikum eines Stem-and-Leaf-Plots besteht darin, dass jeder Merkmalswert in einen Stamm- und in einen Blatt-Teil zerlegt wird. Die Aneinanderreihung der Blätter in Gestalt von Ziffern, die zu einem Stammteil gehören, bildet die Basis für die semigrafische Häufigkeitsdarstellung.
Stem-and-Leaf-Plot. Die Abbildung 5.1-12 beinhaltet das Stem-and-LeafPlot der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen aus der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav, das in seinen Komponenten wie folgt zu interpretieren ist: Abbildung 5.1-12: Stem-and-Leaf-Plot jahresdurchschnittliche Laufleistung (1000 km) Frequency Stem & Leaf 1 0 . 1 2 0 . 23 9 0 . 444455555 13 0 . 6666666666777 22 0 . 8888889999999999999999 31 1 . 0000000000000000000000111111111 37 1 . 2222222222222222233333333333333333333 30 1 . 444444444444445555555555555555 24 1 . 666666666666677777777777 13 1 . 8888888999999 10 2 . 0000000011 6 2 . 223333 2 2 . 45 Stem width: 10 Each leaf: 1 case
Frequency. Die Spalte Frequency (engl.: frequency o Häufigkeit) beinhaltet die absoluten Häufigkeiten, die mit der Anzahl der „Laufleistungsblätter“ identisch sind, mit denen die „Laufleistungsstämme belaubt“ sind. Stem. Ein Stammwert repräsentiert im konkreten Fall eine Stammwertigkeit (engl.: stem o Stamm, Stängel + width o Weite, Breite) von 10 Laufleistungseinheiten. Die Metapher von der „Stängel- bzw. Stammbreite“ verdeutlicht man sich am einfachsten anhand des dekadischen Zahlensystems, bei dem der Ziffernfolge 12 wegen 1101 + 2100 = 12 eine Wertigkeit von zwölf zukommt. Zerlegt man die so genannte Zehner-Einer-Ziffernfolge 12 in einen Stamm 1 und in ein Blatt 2, so besitzt bei Unterstellung des dekadischen Zahlensystems die Ziffer 1 als so genannter Zehner eine Wertigkeit von 1101 = 10 und die Ziffer 2 als so genannter Einer eine Wertigkeit von 2100 = 2. Leaf. Jedes Blatt (engl.: each o jedes + leaf o Blatt) repräsentiert im konkreten Fall einen beobachteten und in der Urliste statistisch erfassten Merkmalswert
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X(Ji) = xi eines Gebrauchtwagens Ji *n aus der Menge aller n = 200 erfassten Gebrauchtwagen, welche die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} bilden. Dabei ist zu beachten, dass die Anzahl der Merkmalswerte, die durch ein Blatt repräsentiert werden, vom Umfang der zu analysierenden statistischen Gesamtheit abhängt. Im konkreten Fall repräsentiert analog zur Anzeige „each leaf: 1 case“ ein Blatt einen Merkmalsträger J in Gestalt eines Gebrauchtwagens. Abbildung 5.1-13: Grundidee eines Stengel-Blatt-Diagramms
Frequency Stem & Leaf 10 2 . 0000000011 Die Darstellung ist äquivalent mit der Laufleistungsklasse 20 d X < 22, die insgesamt 10 PKW umfasst.
8 mal ein 0er Blatt am 2er Stamm
2 mal ein 1er Blatt am 2er Stamm
Laufleistungsklasse. Die Abbildung 5.1-13 verdeutlicht die Grundidee und das Konstruktionsprinzip eines Stem-and-Leaf-Plots. Demnach befinden sich in der Stichprobe der n = 200 Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf insgesamt 10 PKW, deren jahresdurchschnittliche Laufleistung aus einem „Zweier-Stamm“ besteht, der jeweils 8 mal mit einem „Nuller-Blatt“ und 2 mal mit einem „EinerBlatt“ „belaubt“ ist. Diese Stamm-Blatt-Darstellung wird in PASW Statistics wie folgt bewerkstelligt: Der als reelle Zahl in der geordneten Urliste erfasste jahresdurchschnittliche Laufleistungswert x192 = 21,818 (1000 km) wird mit Hilfe der TRUNCate-Funktion (engl.: truncate o stutzen) auf einen ganzzahligen Wert „gestutzt“, wobei TRUNC(21,818) = 21 gilt. Sodann wird der ganzzahlige Wert 21 in Anlehnung an das dekadische Zahlensystem mit Hilfe geeigneter StringFunktionen in einen Stamm „2“ und in ein Blatt „1“ zerlegt. Da mittels der Truncate-Funktion im konkreten Fall für jeden reellen Laufleistungswert lediglich die Dezimalstellen „abgeschnitten“ werden, kann die elfte Zeile im Stem-and-LeafPlot wie folgt interpretiert werden: In der Zufallsstichprobe *n von n = 200 gebrauchten VW Golf J *n gibt es n(20 d X < 22) = n11 = 10 Gebrauchtwagen mit einer jahresdurchschnittlichen Laufleistung von 2101 + 0100 = 20(1000 km)
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oder mehr, aber weniger als 2101 + 2100 = 22(1000 km). Dieses geschlossene Laufleistungsintervall wird in der Statistik als Merkmalswerteklasse und das zugrunde liegende Analysekonzept als Klassierung bezeichnet. Offensichtlich ist die elfte Zeile im Stem-and-Leaf-Plot identisch mit der Laufleistungsklasse (20 d X < 22) der Ordnung j = 11 innerhalb der Häufigkeitstabelle 5.1-16, für die eine absolute Häufigkeit von n11 = 10 Gebrauchtwagen angezeigt wird. Analog sind auch die anderen Zeilen des Stem-and-Leaf-Plots bzw. des Stängel-BlattDiagramms zu interpretieren.11 Häufigkeitsverteilung. „Kippt“ man die semigrafische Darstellung des Stemand-Leaf-Plots aus der Abbildung 5.1-12 entgegen dem Uhrzeigersinn um 90o, so wird augenscheinlich, dass die absolute Häufigkeitsverteilung der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen der n = 200 Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf eingipflig und nahezu symmetrisch ist. Beachtenswert ist dabei, dass im konkreten Fall die unter „Frequency“ aufgelisteten absoluten Häufigkeiten nj für alle m = 13 Klassen der Ordnung j = 1,2,...,m mit denen in der Häufigkeitstabelle innerhalb der Abbildung 5.1-15 übereinstimmen. Klassieren. Gleichwohl in PASW Statistics die Klassierung metrischer Daten ein integraler Bestandteil vieler Analysekonzepte ist, erweist sich eine „bloße“ und „separate“ Klassierung metrischer Daten vor allem dann erforderlich und vorteilhaft, wenn es zum Beispiel zu Präsentationszwecken gilt, massenhaft erhobene metrische Daten explizit in aggregierter Form in einer Häufigkeitstabelle darzustellen. Ein sehr nützliches Analyseinstrument ist die so genannte PASW Statistics Prozedur „Visuelles Klassieren“, die via Sequenz 5.1-6 angefordert werden kann. Gemäß der Abbildung 5.1-14 wurden im konkreten Fall im Dialogfeld Trennwerte erstellen insgesamt m = 13 äquidistante (lat.: aequus o gleich + distantia o Abstand) Klassen mit einer Klassenbreite von jeweils ' = 2 (1000 km) = const (lies: Groß-Delta) für die n = 200 jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerte vereinbart. Aufgrund dessen, dass der erste Trennwert, der als obere Klassengrenze x1o der Laufleistungsklasse der Ordnung j = 1 und zugleich als untere Klassengrenze x2u der Laufleistungsklasse der Ordnung j = 2 fungiert, auf den Wert 2 festgelegt wurde, wobei x1o = x2u = 2 (1000 km) gilt, ist es evident, dass sich der letzte Trennwert für die jahresdurchschnittlichen Laufleistungen auf 26 (1000 km) belaufen muss. Im konkreten Fall berechnet man den letzten Trennwert, der die obere Grenze xmo der Laufleistungsklasse der Ordnung m = 13 markiert, aus der äquidistanten Klassenbreite ' und der Klassenanzahl m, wobei xmo = m' = 132 (1000 km) = 26 (1000 km) gilt. 11
Eine elementare und paradigmatische Einführung in die statistische Klassierung findet man unter anderem in: ECKSTEIN, Peter P., Repetitorium Statistik Deskriptive Statistik, Stochastik, Induktive Statistik, Mit Klausuraufgaben und Lösungen, 6., aktualisierte Auflage, GablerVerlag Wiesbaden 2006, S. 27 ff
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Sequenz 5.1-6: Visuelles Klassieren Transformieren Visuelles Klassieren ... o Abbildung 5.1-14 Abbildung 5.1-14: Visuelles Klassieren
äquidistante Klassierung
äquifrequente Klassierung
Drei-Sigma-Klassierung
Hinweis. Der PASW Statistics Prozedur Visuelles Klassieren bietet drei Klassierungsoptionen für metrische Merkmalswerte an: Die gemäß Abbildung 5.1-14 praktizierte Konstruktion äquidistanter (lat.: aequus o gleich + distantia o Breite) Klassen sowie die Konstruktion von äquifrequenten (lat.: aequus o gleich + frequentia o Häufigkeit) Klassen und von Klassen, die auf der so genannten Drei-Sigma-Regel basieren (vgl. Abschnitte 5.2 und 5.3). i
Häufigkeitstabelle. Die Auswertung der PASW Variablen Klasse, welche die äquidistanten Laufleistungsklassen zum Inhalt hat und die nach dem Betätigen der Schaltflächen Zuweisen und OK automatisch in die Arbeitsdatei eingefügt wird, liefert via Sequenz 5.1-1 schließlich und endlich die Häufigkeitstabelle für die klassierten jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten, die gemeinsam mit dem zugehörigen normierten Histogramm in der Abbildung 5.1-15 dargestellt ist. Demnach hat man zum Beispiel in der Laufleistungsklasse der Ordnung j = 3 wegen n3 = n(4 d X < 6) = 9 insgesamt 9 Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf erfasst, die durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von mindestens 4 (1000 km), aber weniger als 6 (1000 km) gekennzeichnet sind. Dies sind antei-
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lig p3* = (9/200)100 % = 4,5 % aller n = 200 erfassten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk von denen offensichtlich wegen F3* = ((1 + 2 + 9)/200)100 % = 0,5 % + 1,0 % + 4,5 % = 6,0 % insgesamt nur 6 % eine jahresdurchschnittliche Laufleistung unter 6 (1000 km) besaßen. Analog sind die restlichen Tabellenwerte zu interpretieren. Abbildung 5.1-15: Häufigkeitstabelle für klassierte Daten mit Histogramm jahresdurchschnittliche Laufleistung (1000 km/Altersjahr) Klasse der Ordnung j = 3 Gültig
0 bis unter 2 2 bis unter 4 4 bis unter 6 6 bis unter 8 8 bis unter 10 10 bis unter 12 12 bis unter 14 14 bis unter 16 16 bis unter 18 18 bis unter 20 20 bis unter 22 22 bis unter 24 24 bis unter 26 Gesamt
Häufigkeit
Prozent
1 2 9 13 22 31 37 30 24 13 10 6 2 200
,5 1,0 4,5 6,5 11,0 15,5 18,5 15,0 12,0 6,5 5,0 3,0 1,0 100,0
Kumulierte Prozente ,5 1,5 6,0 12,5 Normalverteilungsdichte 23,5 39,0 57,5 72,5 84,5 91,0 96,0 99,0 100,0
normiertes Histogramm
Histogramm. So wie eine Häufigkeitstabelle für klassierte Daten unmittelbar aus einem Stem-and-Leaf-Plot entlehnt werden kann, so kann ein Histogramm aus einer Häufigkeitstabelle für klassierte Daten konstruiert werden. Histogramm Ein Histogramm ist die klassische Form der grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals, dessen Merkmalswerte in disjunkten Klassen zusammengefasst wurden. Die Repräsentation der Klassenhäufigkeiten durch die Flächeninhalte der aneinander grenzenden Rechtecke ist das wesensbestimmende Charakteristikum eines Histogramms. Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation eines Histogramms (grch.: histion o Gewebe + gramma o Zeichnung) erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Flächenproportionalität. In einem Histogramm ist nicht die Höhe eines Rechtecks über einer Merkmalswerteklasse Kj (j = 1,2,...,m), sondern stets seine Fläche als Produkt aus der absoluten bzw. relativen Häufigkeitsdichte njD = nj/'j bzw. pjD = pj/'j und Klassenbreite 'j der statistische Repräsentant der jeweiligen Klassenhäufigkeit nj bzw. pj. Die Eigenschaft der Flächenproportionalität ist vor allem bei Er-
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stellung eines Histogramms auf der Basis nicht äquidistanter (lat.: aequus o gleich + distantia o Abstand) Klassen zu beachten. ii) Normiertes Histogramm. Sowohl aus didaktisch-methodischen als auch aus theoretischen Gründen erweist sich die Berechnung von Häufigkeitsdichten pjD auf der Basis relativer Klassenhäufigkeiten pj als vorteilhaft, da man anschaulich zeigen kann, dass sich wegen p1 + p2 +...+ pm = 1 die Flächeninhalte pj = pjD 'j der aneinandergrenzenden Rechtecke eines Histogramms stets zu eins addieren. Ein flächenproportionales Histogramm mit einer normierten Gesamtfläche von eins wird als normiertes Histogramm bezeichnet. iii) Konstruktion. Um in PASW Statistics ein normiertes Histogramm konstruieren zu können, projiziert man ein Histogramm, das im PASW Statistics Viewer angezeigt wird, via Doppelklick in den Diagramm-Editor und vereinbart im Unterdialogfeld Eigenschaften in der Rubrik Zahlenformat: Skalierungsfaktor den Wert, der sich als Produkt aus dem Umfang n der statistischen Gesamtheit *n und der optional wählbaren äquidistanten Klassenbreite ' (lies: Groß-Delta) ergibt. i
Normiertes Histogramm. Im normierten Histogramm innerhalb der Abbildung 5.1-15 sind für das stetige Erhebungsmerkmal X: jahresdurchschnittliche Laufleistung der n = 200 VW Golf Ji *n auf der Abszisse die m = 13 äquidistanten Laufleistungsklassen Kj = (xju d X < xjo) mit einer konstanten Breite von jeweils 'j = 2 (1000 km) und auf der Ordinate die relativen Häufigkeitsdichten pjD abgetragen. Das Prinzip der Flächenproportionalität kann man sich recht anschaulich an der Laufleistungsklasse K7 = (12 d X < 14) der Ordnung j = 7 verdeutlichen, welche im konkreten Fall nicht nur die mittlere, sondern wegen n7 = 37 zugleich auch die modale bzw. die „am häufigsten besetzte“ Laufleistungsklasse ist. Während die „größte“ Rechteckfläche eine bildhafte Darstellung der relativen Klassenhäufigkeit p7 = 37/200 = 0,185 ist, markiert die relative Häufigkeitsdichte p7D = p7/'7 = 0,185/2 = 0,0925 die Rechteckhöhe und die Klassenbreite '7 = 2 die Rechteckbreite des Rechtecks der Ordnung j = 7 im normierten Histogramm. Leicht nachzuvollziehen ist dabei die Tatsache, dass die Gesamtfläche aller m = 13 aneinandergrenzenden Rechtecke ihrem Wert nach eins ist und sich im konkreten Fall der „Skalierungsfaktor“ auf n' = 2002 = 400 belaufen muss. Kernaussage. Allein aus der Betrachtung des normierten Histogramms innerhalb der Abbildung 5.1-15 kann die folgende verteilungsanalytische Kernaussage entlehnt werden: Die jahresdurchschnittlichen Laufleistungen der n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk sind augenscheinlich nicht nur symmetrisch verteilt, sondern sogar hinreichend genau normalverteilt. Dieser explorative Befund, der mit der Verteilungsaussage aus der Abbildung 5.1-12 koinzidiert, wird durch die stetige, eingipflige und glockenförmige Dichtefunktion bildhaft untermauert. Das Normalverteilungsmodell, das ein spezieller Gegenstand der Kapitel 6 und 7 ist, wurde im Dialogfeld Eigenschaften des Diagramm-Editors unter Optionen für Histogramme angefordert und in das normierte Histogramm projiziert. h
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5.2
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Lagemaße
Motivation. Lagemaße sind spezielle Kennzahlen zur parametrischen Beschreibung einer Verteilung. Ihre Bedeutung erklärt sich aus ihrer repräsentativen Lage innerhalb einer Verteilung. Dabei kommt den Repräsentanten der „Mitte“, die in der statistischen Methodenlehre auch als „Mittelwerte“ bezeichnet werden, eine besondere Bedeutung zu. In der Statistik häufig applizierte Lagemaße sind der Modus, die Quantile, worunter vor allem der Median und die Quartile zu nennen sind, sowie das arithmetische Mittel. Eine sinnvolle Berechnung eines Lagemaßes ist untrennbar mit der Skalierung der Merkmalsausprägungen eines statistischen Erhebungsmerkmals verbunden. So ist zum Beispiel die Berechnung eines arithmetischen Mittels nur für ein metrisches Erhebungsmerkmal sinnvoll. Sequenz. Die erwähnten Lagemaße kann man in PASW Statistics unter anderem via Sequenz 5.2-1 optional anfordern. Sequenz 5.2-1: Lagemaße Analysieren Deskriptive Statistiken Häufigkeiten... Schaltfläche Statistiken... o Abbildung 5.2-1 Abbildung 5.2-1: Dialogfeld Häufigkeiten: Statistik
Alternative. Ein alternativer Aufruf von Lagemaßen ist unter PASW Statistics zudem via Sequenz 5.1-5 im Unterdialogfeld Explorative Datenanalyse: Statistik bzw. via Sequenz 5.2-1 im Dialogfeld Deskriptive Statistik möglich. h
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5.2.1 Modus Motivation. Wenn etwas „in Mode gekommen“ ist, meint man umgangssprachlich nichts anderes, als dass man im Alltagsleben bestimmte Phänomene häufig beobachten kann. Analog ist auch der statistische „Modebegriff“ zu deuten. Modus Diejenige wohlunterschiedene Merkmalsausprägung [j ; eines beliebig skalierten Erhebungsmerkmals X, die in einer Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} definiert ist und in einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} am häufigsten beobachtet wurde, heißt modale Merkmalsausprägung oder kurz: Modus. Hinweise. Im Kontext der Bestimmung und Interpretation eines Modus (lat.: modus, modal o Maßzahl, am häufigsten vorkommend) erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Synonyme. Der Modus wird synonym auch als Modalwert, Dichtemittel, Mode, häufigster oder dichtester oder Gipfelwert bezeichnet. ii) Nominalskala. Für nominale Erhebungsmerkmale ist der Modus das einzig sinnvolle Lagemaß. ii) Klassierte Daten. Für metrische Merkmalswerte, die in Klassen zusammengefasst wurden (vgl. Beispiel 5.1-5), verwendet man in praxi der Einfachheit halber die Klassenmitte derjenigen Merkmalswerteklasse, die im Vergleich zu ihren beiden Nachbarklassen die größte Häufigkeitsdichte besitzt, als einen Näherungswert für den Modus. Die Klassenmitte ist das arithmetische Mittel (xu + xo)/2 aus der unteren xu und der oberen xo Grenze einer Klasse. iii) Deutung. Eine Häufigkeitsverteilung mit einem Modus heißt unimodal (lat.: unus o einfach) oder eingipflig, mit zwei Modi bimodal (lat.: bis o zweifach) oder zweigipflig und mit mehreren Modi multimodal (lat.: multus o vielfach) oder mehrgipflig. i
Beispiel 5.2.1-1: Modus für ein nominales Merkmal In Anlehnung an das Beispiel 5.1-1 und gemäß der Tabelle 5.1-1 ist für das nominale Erhebungsmerkmal X: genutzte Fahrscheinart der Modus durch die nominale Merkmalsausprägung [1 = M(onatskarte) gekennzeichnet. Dies resultiert daraus, dass wegen n1(M) = 240 bzw. p1(M) = 0,428 die Monatskarte die Fahrscheinart [j ; war, die von den n = 561 befragten Fahrgästen Ji *n am häufigsten benutzt wurde. h Beispiel 5.2.1-2: Modus für ein ordinales Merkmal In Anlehnung an das Beispiel 5.1-3 und gemäß der Abbildung 5.1-8 ist für das ordinale Erhebungsmerkmal X: Konfektionsgröße die gültige Merkmalsausprägung [3 = M(edium) die modale Merkmalsausprägung bzw. der Modus, da wegen n(X = [3) = 274 bzw. p(X = [3) = 0,403 die Konfektionsgröße „M(edium)“ die am häufigsten beobachtete Merkmalsausprägung [j ; in der statistischen Gesamtheit *n der n = 680 befragten Studierenden Ji *n ist, die hinsichtlich des interessierenden ordinalen Erhebungsmerkmals X eine in der Zustandsmenge ; definierte und daher „erfassungsstatistisch valide Antwort“ gegeben haben. h
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Beispiel 5.2.1-3: Modus für ein diskretes metrisches Merkmal In Anlehnung an das Beispiel 5.1-4 ist gemäß der Abbildung 5.1-10 der Modus für das diskrete metrische Merkmal X: Anzahl der Prüfungswiederholungen eines Studierenden im jeweils vergangenen Semester durch die Merkmalsausprägung [1 = keine bzw. durch den Merkmalswert [1 = 0 gegeben, da wegen 6
6
j 1
j 1
n ([1 ) max n ([ j ) 416 bzw. p([1 ) max p([ j ) 0,614
am häufigsten die Merkmalsausprägung „keine Prüfungswiederholung“ bzw. „null Prüfungswiderholungen“ statistisch beobachtet wurde. h Beispiel 5.2.1-4: Modus für ein klassiertes stetiges Merkmal In praxi verwendet man (für praktische Zwecke meist ausreichend) als Näherungswert für den Modus eines stetigen und klassierten Erhebungsmerkmals die Klassenmitte der modalen Merkmalswerteklasse. In Anlehnung an das Beispiel 5.1-5 und gemäß der Abbildung 5.1-15 ist für das metrische und stetige Merkmal X: jahresdurchschnittliche Laufleistung (Angaben in 1000 km) die Laufleistungsklasse Kj = (xju d X < xjo) der Ordnung j = 7 die modale Laufleistungsklasse, deren Klassenmitte x7* = (x7u + x7o)/2 = (12 + 14)/2 = 13 ist. Demnach beläuft sich für die n = 200 erfassten Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf die modale jahresdurchschnittliche Laufleistung auf ca. 13000 km. h
5.2.2 Quantile Motivation. In der statistischen Methodenlehre kommt dem Quantilsbegriff eine besondere praktische und theoretische Bedeutung zu. Gleichwohl der Quantilsbegriff für mindestens ordinale Merkmale definiert ist, wird er in den nachfolgenden Betrachtungen in seiner Anwendung lediglich auf metrische Merkmale mit vielen voneinander verschiedenen Merkmalswerten begrenzt. In diesem Sinne ist ein Quantil (lat.: quantus o wie viel, wie groß) ein empirisch beobachteter Merkmalswert oder ein berechnetes Fraktil (lat.: fractio o Bruch), der eine statistische Gesamtheit zweiteilt. Quantil Ist X ein metrisches Erhebungsmerkmal einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n, dessen Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aus hinreichend vielen voneinander verschiedenen und aufsteigend geordneten Merkmalswerten [j besteht und für die zudem die relativen Summenhäufigkeiten Fj = p(X d [j) gegeben sind, dann heißt für 0 < p < 1 und Fj < (n + 1)p/n d Fj+1 der beobachtete bzw. berechnete Merkmalswert [ j1 für (n 1) p / n Fj t 1 / n Qp ® ¯(1 p) [ j p [ j1 für (n 1) p / n Fj 1 / n
Quantil der Ordnung p.
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Hinweise. Im Kontext der Bestimmung eines Quantils, das auch als p-Quantil oder Quantil der Ordnung p bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Anwendung. Gleichwohl eine Quantilsbestimmung für wenigstens ordinale Merkmale definiert ist, erweist sie sich in der angewandten Statistik aus Plausibilitätsgründen nur für metrische Merkmale mit vielen voneinander verschiedenen Merkmalswerten als sinnvoll. ii) Quantile. In der angewandten Statistik sind vor allem die in der Tabelle 5.2.2-1 zusammengefassten Quantile von praktischer Bedeutung. Tabelle 5.2.2-1: Spezielle Quantile p Benennung des Quantils xp der Ordnung p 0,10 10. Perzentil oder 1. Dezil : : 0,20 20. Perzentil oder 2. Dezil oder 1. Quintil : : 0,25 25. Perzentil oder 1. bzw. unteres Quartil : : 0,30 30. Perzentil oder 3. Dezil oder 1. Terzil : 0,50 50. Perzentil oder 5. Dezil oder 2. bzw. mittleres Quartil oder Median : : 0,75 75. Perzentil oder 3. bzw. oberes Quartil : : 0,99 99. Perzentil
Während der Median (lat.: medianus o der Mittlere) eine geordnete statistische Gesamtheit hinsichtlich eines metrischen Merkmals in zwei gleichgroße Teile bzw. in Hälften teilt, wird eine geordnete statistische Gesamtheit mit Hilfe von a) zwei Terzilen (lat.: tertius o der Dritte) in drei gleichgroße Teile, b) drei Quartilen (lat.: quartus o der Vierte) in vier gleichgroße Teile, c) vier Quintilen (lat.: quintus o der Fünfte) in fünf gleichgroße Teile, d) neun Dezilen (lat.: decem o zehn) in zehn gleichgroße Teile und in logischer Konsequenz e) mit Hilfe von 99 Perzentilen (lat.: pro cento o für hundert) in 100 gleichgroße Teile gegliedert. iii) Äquifrequenz. Die Aufteilung einer statistischen Gesamtheit in gleichgroße und disjunkte (elementefremde) Teilgesamtheiten subsumiert man in der Statistik unter dem Begriff der Äquifrequenz (lat.: aequus o gleich + frequentia o große Menge, Häufigkeit). iv) Quartile. In der explorativen Verteilungsanalyse bilden die drei Quartile, die eine äquifrequente Vierteilung einer statistischen Gesamtheit ermöglichen, die Grundlage für die Verteilungsbeschreibung mit Hilfe eines Box-and-Whisker-Plots (vgl. Beispiel 5.2.2-2). v) Quantilsberechnung. In PASW Statistics werden für die Berechnung von Quantilen unterschiedliche Algorithmen verwendet, die mitunter zu geringfügig voneinander verschiedenen Quantilswerten führen können. vi) Quantilsbestimmung. Aus didaktisch-methodischer Sicht recht anschaulich und für praktische Zwecke oft ausreichend ist die Bestimmung eines Quantils anhand der empirischen Verteilungsfunktion FX(a) eines stetigen Merkmals X. Definitionsgemäß (vgl. Abschnitt 5.1) wird dabei derjenige geordnete Merkmalswert [ ; als Quantil der Ordnung p bestimmt wird, für den erstmals der Wert der empirischen Verteilungsfunktion FX(a) gleich oder größer als p ist (vgl. Beispiel 5.2.2-1). vii) Fraktil. Ein empirisch nicht beobachtetes, sondern aus empirisch beobachteten und benachbarten Werten berechnetes „fiktives“ Quantil bezeichnet man auch als ein Fraktil (lat.: fractio o Bruch). i
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Beispiel 5.2.2-1: Quantilsbestimmung mittels empirischer Verteilungsfunktion Motivation. Das Konstrukt einer empirischen Verteilungsfunktion, das gemäß der Ausführungen im Kontext des Abschnittes 5.1 auf dem Begriff der relativen Summenhäufigkeit Fj = p(X d [j) beruht, kann man sich via Sequenz 5.2.2-1 anhand des stetigen metrischen Erhebungsmerkmals X: jahresdurchschnittliche Laufleistung sowohl zahlenmäßig als auch grafisch verdeutlichen. Die erfassten Daten für die n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk sind in der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav in der Variablen Durch gespeichert. Sequenz 5.2.2-1: Relative Summenhäufigkeit Transformieren Rangfolge bilden... o Abbildung 5.2.2-1 Abbildung 5.2.2-1: Relative Summenhäufigkeit Cusum als relative Summenhäufigkeit
aufsteigend geordnete Merkmalswerte
Im Zuge der Vereinbarungen, die gemäß Abbildung 5.2.2-1 in den PASW Statistics Dialogfeldern Rangfolge bilden getroffen wurden, wird in die Arbeitsdatei automatisch eine Variable eingefügt, die im konkreten Fall mit dem Variablennamen CU(mulative)SUM gekennzeichnet wurde und die kumulierten relativen Häufigkeiten bzw. die relativen Summenhäufigkeiten zum Inhalt hat. Die relative Summenhäufigkeit Fj der Ordnung j = 10 kann zum Beispiel wie folgt interpretiert werden kann: Wegen F10 = p(X d [10) = p(X d 5,674) = 0,05 sind in der statistischen Gesamtheit *n der n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf, die bezüglich des metrischen und stetigen Erhebungsmerkmals X: jahresdurchschnittliche Laufleistung (Angaben in 1000 km) aufsteigend geordnet wurden, 5 % der Gebrauchtwagen Ji durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von höchstens [10 = 5,674 (1000 km) = 5674 km
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gekennzeichnet. In logischer Konsequenz „liefen“ demnach 95 % der betrachteten Gebrauchtwagen Ji *n im Jahresdurchschnitt mehr als 5674 km. Quantil. Der empirisch ermittelte, aufsteigend geordnete und wohlverschiedene Laufleistungswert [10 = 5,674, der die Menge der n = 200 Gebrauchtwagen Ji *n derart zweiteilt, dass (10/200)100 % = 5 % der Gebrauchtwagen im Jahresdurchschnitt unterhalb dieses Laufleistungswertes und in logischer Konsequenz ((200 – 10)/200)100 % = 95 % der Gebrauchtwagen oberhalb dieses Laufleistungswertes liegen, wird in der Statistik als empirisches Quantil der Ordnung p = 0,05 der jahresdurchschnittlichen Laufleistung bezeichnet. Zu einer analogen Aussage gelangt man bei der Betrachtung der Abbildung 5.2.2-2, in der ein Auszug aus der geordneten Urliste mit den originären Laufleistungsdaten (Variable Durch) und den zugehörigen relativen Summenhäufigkeiten (Variable Cusum) an die bildhafte Darstellung der monoton nicht fallenden empirischen Verteilungsfunktion FX gekoppelt ist. Abbildung 5.2.2-2: Empirische Verteilungsfunktion empirische Verteilungsfunktion
F(13,333) = 0,5
Median: 13,333
Da offensichtlich der Laufleistungswert [100 = 13,333 der Ordnung j = 100, der in der geordneten Urliste in der Editor-Zeile mit der Nummer 100 vermerkt ist, die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 200 Gebrauchtwagen Ji hinsichtlich ihrer aufsteigend geordneten jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerte (Angaben in 1000 km) X(Ji) = xi derart zweiteilt, dass die laufleistungsschwachen (100/200)100 % = 50 % der Gebrauchtwagen Ji *n durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von höchstens 13333 km und die laufleistungsstarken 50 % der Gebrauchtwagen Ji *n eine Laufleistung von mehr als 13333 km gekennzeichnet sind, hat man auf grafischem Wege recht einfach und für praktische Zwecke ausreichend genau den Laufleistungsmedian be-
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Datendeskription
stimmt, der seinem Wesen nach ein empirisch beobachteter Laufleistungswert ist. Diese sachlogische Interpretation des empirischen Laufleistungsmedians, der auch als empirisches Laufleistungsquantil der Ordnung p = 0,5 bezeichnet wird, koinzidiert mit der folgenden Betrachtung: Die „stufenweise“ monoton wachsende empirische Verteilungsfunktion FX(a), die nur Werte zwischen null und eins annehmen kann, besitzt an der reellwertigen Stelle a = 13,333 den Wert 0,5. Der Wert der empirischen Verteilungsfunktion FX(a) = 0,5 an der Stelle a = 13,333 markiert zugleich die Ordnung p = 0,5 des Laufleistungsquantils Q0,5 = 13,333 (1000 km im Jahresdurchschnitt). Quartilsbestimmung. Analog zur grafischen Bestimmung des Medians der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) = xi in Gestalt des mittleren Laufleistungsquartils Q0,5 kann man auch das untere Laufleistungsquartil Q0,25 und das obere Laufleistungsquartil Q0,75 einfach und für praktische Belange ausreichend genau auf grafischem Wege bestimmen, indem man jeweils auf der Ordinate für die kumulierten Anteile von 0,25 bzw. 0,75 parallel zur Abszisse eine Linie zieht und jeweils an der Stelle, an der die Linie den Graph der empirischen, monoton nicht fallenden und treppenförmigen Verteilungsfunktion schneidet, ein „Lot auf die Abszisse fällt“ und jeweils die Stelle markiert, wo das Lot auf die Abszisse trifft. Im konkreten Fall würde man für das untere Laufleistungsquartil einen Wert von Q0,25 | 10 (1000 km im Jahresdurchschnitt) und für das obere Laufleistungsquartil einen Wert von Q0,75 | 16,5 (1000 km im Jahresdurchschnitt) bestimmen und sachlogisch wie folgt interpretieren: Während das laufleistungsschwächste Viertel der Gebrauchtwagen durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von höchstens 10 000 km gekennzeichnet ist, sind die laufleistungsstärksten 25 % der Gebrauchtwagen durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von mindestens 16 500 km gekennzeichnet. h Beispiel 5.2.2-2: Quantilsberechnung Motivation. Gleichwohl eine Quantilsbestimmung mittels einer empirischen Verteilungsfunktion, die im Kontext des Beispiels 5.2.2-1 skizziert wurde, aus statistisch-methodischer Sicht recht anschaulich ist und zudem für praktische Zwecke meist ausreichend genaue Ergebnisse liefert, erweist sich dieses grafische Analysekonzept in der praktischen statistischen Arbeit als zu arbeitsaufwändig und mitunter auch als zu ungenau. Hinzu käme noch die alles andere als unrealistische Vermutung, dass unabhängig voneinander zwei Statistiker vermutlich auch zu zwei voneinander verschiedenen Ergebnissen gelangen, wo doch nur ein „plausibles und einheitliches“ Analyseergebnis erstrebenswert ist. Quartile. In der Tabelle 5.2.2-2 sind die drei „berechneten“ Quartile der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) = xi für die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf aufgelistet. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav können
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die drei Quartile, die als Perzentile der Ordnung 25, 50 und 75 angezeigt wurden, via Sequenz 5.2-1 angefordert werden. Lediglich zum Zwecke eines besseren Verständnisses der eingangs angebotenen Quantilsdefinition soll anhand der aufsteigend geordneten jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerte X(Ji) = xi innerhalb der Abbildung 5.2.2-2 die Berechnung des Quantils der Ordnung p = 0,5 demonstriert und erläutert werden. Tabelle 5.2.2-2: Quartile
Quartilsberechnung. In einem ersten Analyseschritt bestimmt man für den Term (n + 1)p/n den zugehörigen Wert, der sich wegen n = 200 und p = 0,5 auf (200 + 1)0,5/200 = 0,5025 beläuft, wobei dieser Wert offensichtlich im Intervall zu liegen kommt, das durch die relativen Summenhäufigkeiten Fj = 0,500 und Fj+1 = 0,505 der Ordnung j = 100 und j + 1 = 101 (vgl. Abbildung 5.2.2-2, Variable Cusum) begrenzt wird. Aufgrund dessen, dass im konkreten Fall die Prämisse (n + 1)p/n – Fj < 1/n = (200 + 1)0,5/200 – 0,500 < 1/200 = 0,0025 < 0,005 gilt, berechnet man ein Quantil bzw. Fraktil der Ordnung p = 0,5 in Höhe von Q0,5 = (1 – 0,05)13,333 + 0,513,371 = 13,352 (1000 km), das seinem Wesen nach ein arithmetisches Mittel (vgl. Abschnitt 5.2.3) aus den empirisch beobachteten, aufsteigend geordneten und „benachbarten“ jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerten [j = 13,333 und [j+1 = 13,371 der Ordnung j = 100 und j + 1 = 101 ist und wie folgt interpretiert werden kann: Während die laufleistungsschwache Hälfte der Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung X(Ji) gekennzeichnet ist, die unter 13352 km liegt, verzeichnet man für die laufleistungsstarke Hälfte der n = 200 gebrauchten VW Golf Ji *n jahresdurchschnittliche Laufleistungswerte über 13352 km. Dass der Wert des berechneten zweiten Laufleistungsquartils bzw. Laufleistungsmedians von Q0,5 = 13,352 (1000 km) geringfügig vom grafisch bestimmten Laufleistungsmedian Q0,5 = 13,333 (1000 km) abweicht, erklärt sich einzig und allein aus der applizierten Berechungsvorschrift. Im konkreten Fall ist diese Differenz ohne praktischen Belang. Analog erfolgt die Berechnung und die sachlogische Interpretation des unteren und des oberen Laufleistungsquartils, für die man die Werte Q0,25 = (1 – 0,25)10,056 + 0,2510,105 # 10,069 (1000 km) und Q0,75 = (1 – 0,75) 16,258 + 0,7516,333 # 16,315 (1000 km) „rechnerisch und im Jahresdurchschnitt“ ermittelt.
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Datendeskription
Boxplot. Unabhängig davon, ob man die drei Laufleistungsquartile auf grafischem Wege bestimmt oder auf algorithmischem Wege berechnet, man hat die realisierte Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} in Gestalt von n = 200 gebrauchtwagenspezifischen Laufleistungswerten X(Ji) = xi letzten Endes mit Hilfe dreier charakteristischer Werte beschrieben, die aufgrund ihrer Lage in der Laufleistungsverteilung eine äquifrequente Vierteilung der 200 Gebrauchtwagen Ji *n ermöglichen. Bezieht man zudem noch den kleinsten bzw. den größten beobachteten Laufleistungswert in die Verteilungsbeschreibung mit ein, so hat man mit dieser so genannten Fünf-Zahlen-Zusammenstellung die Grundlagen für ein sehr nützliches und zugleich anschauliches Analyseinstrument gelegt, das in der explorativen Datenanalyse unter dem Begriff „Box-and-Whisker-Plot“ firmiert und seinem Wesen nach ein statistisches Pentagramm (grch.: pente o fünf + gramma o Schriftzeichen, Zeichnung) ist. Box-and-Whisker-Plot Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erhoben wurde und dessen Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aus vielen voneinander verschiedenen und aufsteigend geordneten Merkmalswerten [j besteht und für das die fünf Verteilungskennzahlen kleinster Merkmalswert [Min, unteres Quartil Q0,25, mittleres Quartil Q0,5, oberes Quartil Q0,75 und größter Merkmalswert [Max gegeben sind, dann heißt die grafische Darstellung Q0,5 [Min
Q0,25
Whisker
Q0,75
[Max
Box
Box-and-Whisker-Plot, kurz Boxplot. Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation eines Box-and-Whisker-Plots (engl.: box o Schachtel + whisker o Schnurr- oder Barthaar) erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Zweckbestimmung. Ein Boxplot ist ein grafisches Verfahren der Explorativen Datenanalyse zur Kennzeichnung der Häufigkeitsverteilung eines metrischen Erhebungsmerkmals. Wegen der zugrunde liegenden fünf Verteilungskennzahlen, welche eine bildhafte Vorstellung von einer äquifrequenten (lat.: aequus o gleich + frequentia o Häufigkeit) Vierteilung einer geordneten statistischen Gesamtheit *n ermöglichen, wird ein Boxplot auch als statistisches Pentagramm (grch.: pente o fünf + gramma o Zeichnung) bezeichnet. Boxplots eignen sich im besonderen Maße für den Verteilungsvergleich von zwei oder mehr statistischen Gesamtheiten bezüglich eines gleichen metrischen Erhebungsmerkmals bzw. unterschiedlicher, jedoch standardisierter metrischer Erhebungsmerkmale. ii) Interpretation. Mit der Ausdehnung eines
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Boxplots sind die Spannweite und mit der Ausdehnung der Box der Interquartilsabstand als zwei Streuungsmaße bildhaft dargestellt (vgl. Abschnitt 5.3). Beachtenswert ist dabei, dass in PASW Statistics Boxplots noch Modifikationen erfahren, indem Ausreißerund/oder Extremwerte explizit angezeigt werden (vgl. Beispiel 5.3.1-2). Unabhängig davon gelten die folgenden Kernaussagen: Zwischen dem kleinsten Merkmalswert [Min und dem unteren Quartil Q0,25 bzw. zwischen dem unteren Quartil Q0,25 und dem mittleren Quartil Q0,5 bzw. zwischen dem mittleren Quartil Q0,5 und dem oberen Quartil Q0,75 sowie zwischen dem oberen Quartil Q0,75 und dem größten Merkmalswert [Max liegen jeweils 25 % bzw. ein Viertel der Einzelwerte X(Ji) = xi einer geordneten statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n}. Ist ein Boxplot symmetrisch bzw. asymmetrisch, so ist auch die zugehörige empirische Häufigkeitsverteilung eines metrischen Erhebungsmerkmals symmetrisch bzw. asymmetrisch. i
Boxplot. Die Abbildung 5.2.2-3 beinhaltet das Boxplot der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) = xi der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 200 stichprobenartig erfassten Gebrauchtenwagen Ji vom Typ VW Golf aus der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav. Da augenscheinlich das Boxplot in seiner Konstruktion symmetrisch ist, also gleichsam die Box „mittig platziert“ ist, der Laufleistungsmedian die Box halbiert und die beiden Whisker nahezu gleichlang sind, kann dieser explorative Befund als ein Indiz dafür angesehen werden, dass auch die empirisch erfassten Laufleistungswerte symmetrisch verteilt sind. Abbildung 5.2.2-3: Boxplot
symmetrisches Boxplot als ein Indiz für eine symmetrische Verteilung
Diese explorative Verteilungsaussage koinzidiert mit den explorativen und verteilungsanalytischen Ergebnissen im Kontext des Beispiels 5.1-5, indem sowohl das Stem-and-Leaf-Plot innerhalb der Abbildung 5.1-12 als auch das normierte Histogramm innerhalb der Abbildung 5.1-15 eine symmetrische Verteilung der empirisch erhobenen jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) = xi der n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter Triebwerk indizieren. h
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Datendeskription
5.2.3 Arithmetisches Mittel Motivation. „Das durchschnittliche Heiratsalter lag 2007 in Deutschland für ledige Männer bei 32,7 Jahren und für ledige Frauen bei 29,8 Jahren.“ oder „Im Durchschnitt brachten im Jahr 2007 in Deutschland 1000 Frauen im fertilen Alter 1368 Kinder lebend zur Welt.“12 Diese Nachrichten tragen einerseits scheinbar Grundlegendes und Repräsentatives, andererseits aber doch nichts Konkretes und Fassbares in sich. Aus statistisch-methodischer Sicht fungiert ein durchschnittlicher Wert als „Repräsentant der Mitte“ für eine Menge gleichartiger metrischer Merkmalswerte. In der statistischen Methodenlehre firmiert der statistische Durchschnittsbegriff unter dem Begriff eines arithmetischen Mittels. Arithmetisches Mittel Sind X(Ji) = xi die Merkmalswerte eines metrischen Merkmals X, die an den n Merkmalsträgern Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erhoben wurden, dann heißt der Wert, der sich ergibt, wenn man die Summe aller n beobachteten Merkmalswerte X(Ji) = xi gleichmäßig auf alle n Merkmalsträger Ji verteilt, wobei 1 n 1 x ¦ xi ( x 1 x 2 ... x n ) n i1 n gilt, arithmetisches Mittel x (lies: x quer). Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation eines arithmetischen Mittels, das auch als Durchschnitt, durchschnittlicher Wert, Mittelwert oder einfach nur als Mittel bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich und hilfreich: i) Spezialfälle. Die angegebene Berechnungsvorschrift ist die Formel zur Berechnung eines arithmetischen Mittels. Die Formel wird in der statistischen Methodenlehre auch als einfaches arithmetisches Mittel bezeichnet. Demgegenüber bezeichnet man Formeln für Durchschnittsberechnungen auf der Grundlage von Häufigkeitstabellen, klassierten oder gruppierten Daten sowie von statistischen Verhältniszahlen als gewogene arithmetische Mittel. Zudem ist aus statistisch-methodischer Sicht wohl zu unterscheiden, ob ein arithmetisches Mittel als ein Lageparameter zur Charakterisierung einer Verteilung oder als eine Maßzahl zur Charakterisierung von Aggregaten bzw. Beständen fungiert. Letzteres führt zum harmonischen Mittel bzw. zum chronologischen Mittel, die gleichsam wie das geometrische Mittel oder das quadratische Mittel aus statistisch-methodischer Sicht als Spezialfälle eines arithmetischen Mittels aufgefasst werden können.13 ii) Eigenschaften. Ein arithmetisches Mittel besitzt die folgenden charakteristischen Eigenschaften, die vor allem aus statistisch-methodischer Sicht von Bedeutung sind: a) Nulleigenschaft. Sie besagt, dass die Summe der Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte 12
Quelle: Statistisches Jahrbuch 2008 für die Bundesrepublik Deutschland, Seite 51 Eine elementare Darstellung dieser Spezialfälle findet man unter anderem bei ECKSTEIN, Peter P.: Repetitorium Statistik – Deskriptive Statistik, Stochastik, Induktive Statistik, Mit Klausuraufgaben und Lösungen, 6., aktualisierte Auflage, Gabler Verlag Wiesbaden 2006. 13
Datendeskription
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vom arithmetischen Mittel null ist (vgl. Beispiel 5.2.3-1). b) Quadratische Minimumseigenschaft. Sie besagt, dass es keine reelle Zahl gibt, für welche die Summe der quadrierten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte von dieser reellen Zahl kleiner ist als für das arithmetische Mittel selbst. c) Hochrechnungseigenschaft. Sie besagt, dass eine Merkmalswertesumme gleich dem Produkt aus arithmetischem Mittel und der Anzahl der Merkmalswerte ist (vgl. Beispiel 5.2.3-1). d) Transformationseigenschaft. Sie besagt, dass für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} eine lineare Merkmalswertetransformation yi = a + bxi stets auch für das arithmetische Mittel y a b x gilt. Aus Plausibilitätsgründen sollte dabei b z 0 gelten. iii) Ausreißerproblem. Da bei einem arithmetischen Mittel alle Merkmalswerte in das Berechnungskalkül eingehen, ist es (etwa im Unterschied zum Modus oder zum Quantil) empfindlich gegenüber statistischen Ausreißern. Statistische Ausreißer können das Ergebnis derart verzerren, dass es nicht sinnvoll erscheint, ein berechnetes arithmetisches Mittel einer sachlogischen Interpretation zu unterziehen.14 In der Explorativen Datenanalyse werden alle beobachteten Merkmalswerte, die mehr als 1,5 Interquartilsabstände (Boxbreiten) unterhalb des unteren bzw. oberhalb des oberen Quartils liegen, als statistische Ausreißerwerte gekennzeichnet. i
Beispiel 5.2.3-1: Arithmetisches Mittel aus Urlistendaten Urlistendaten. Die Abbildung 5.2.3-1 beinhaltet den PASW Statistics DatenEditor mit einem Urlistenauszug für die jahresdurchschnittliche Laufleistung X (Angaben in 1000 km), die für n = 200 Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf erhoben wurde. Die Urlistendaten sind in der gleichnamigen PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav in der Variable Durch gespeichert. Die zugehörige Mittelwerttabelle, die zudem die Merkmalswertesumme beinhaltet, wurde die via Sequenz 5.2-1 angefordert. Abbildung 5.2.3-1: Urlistenauszug mit Mittelwerttabelle
Urlistenauszug
Mittelwerttabelle
Statistiken jahresdurchschnittliche Laufleistung (1000 km) Umfang Gültig 200 Fehlend 0 Mittelwert 13,302 Summe 2660,315
14
Eine anschauliche, skurrile und zugleich lehrreiche Lektion über das Trügerische der statistischen „Mittelwertmagie“ findet man unter anderem bei ECKSTEIN, Peter P: Kostproben aus der Hexenküche der Statistik – Skurriles, Leichtbekömmliches und Schwerverdauliches, Rainer Hampp Verlag München und Mering 2009, Seite 21 ff
110
Datendeskription
Mittelwert. Anhand der Urliste und der Mittelwerttabelle kann man sich anschaulich und leicht nachvollziehbar die Berechnung eines arithmetischen Mittels verdeutlichen, die sich im konkreten Fall wie folgt darstellt: 1 2660,315 x (12,231 9,302 11,487 ...) # 13,302 . 200 200 Da ein Mittelwert immer eine bezeichnete und in der Regel immer auch eine „fiktive“ statistische Maßzahl ist, die mit der Maßeinheit bzw. Dimension des Erhebungsmerkmals „geladen“ ist, das der statistischen Analyse zugrunde liegt, errechnet man für die n = 200 gebrauchtwagenbezogenen jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerte X(Ji) = xi ein arithmetisches Mittel von 13,302 (1000 km) und interpretiert es wie folgt: Im Durchschnitt wird ein gebrauchter PKW vom Typ VW Golf im Verlaufe eines Jahres 13302 km gefahren. Nulleigenschaft. Zur Festigung elementarer Funktionsabläufe im PASW Daten-Management, kann man sich anhand der Arbeitsdatei die Nulleigenschaft eines arithmetischen Mittels gleichsam leicht und einleuchtend verdeutlichen, indem man via Sequenz 4.6.4-2 etwa mittels der PASW Berechnungsvorschrift Zentriert = Durch – 13.3015729 die Abweichungen der einzelnen Laufleistungsdaten vom reellwertigen und nicht gerundeten arithmetischen Mittel berechnet und für die „neu berechnete“ PASW Variable Zentriert via Sequenz 5.2-1 eine Mittelwertanalyse bewerkstelligt. In der Abbildung 5.2.3-2 sind Ergebnisse für die „mittelwertbereinigten“ Laufleistungsdaten zusammengestellt. Abbildung 5.2.3-2: Nulleigenschaft und Zentrierung
mittelwertbereinigte bzw. zentrierte Daten
Während etwa der Gebrauchtwagen Ji der Ordnung i = 2, für den eine jahresdurchschnittliche Laufleistung von X(J2) = 9,302 (1000 km) „gemessen“ wurde, im Ensemble aller n = 200 Gebrauchtwagen wegen 9,302 – 13,302 = 4,000 durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung gekennzeichnet ist, die um 4000 km „unter dem Durchschnitt“ liegt, ist der Gebrauchtwagen Ji der Ordnung i = 6
Datendeskription
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offensichtlich wegen X(J6) = 15,405 (1000 km) und 15,405 – 13,302 = 2,104 durch eine jahresdurchschnittliche Laufleistung gekennzeichnet, die im konkreten Fall um 2104 km „über dem Durchschnitt“ liegt. Das Faktum, dass sich letzten Endes alle Abweichungen der beobachteten Laufleistungswerte xi von ihrem arithmetischen Mittel x zu null addieren, also gleichsam wegen n
¦ (x
i
x) 0
i 1
in ihrer Summe „verschwinden“, bezeichnet man als Nulleigenschaft oder Schwerpunktseigenschaft des arithmetischen Mittels. Zentrierung. Der Vorgang der „Mittelwertbereinigung“ von Merkmalswerten eines metrischen Erhebungsmerkmals wird auch als Zentrierung bezeichnet und bildet die Grundlage für die Standardisierung von metrischen Daten, die wegen ihrer eminent wichtigen Bedeutung in der statistischen Methodenlehre ein spezieller Gegenstand des Abschnittes 5.5 ist. h Beispiel 5.2.3-2: Arithmetisches Mittel aus gruppierten Daten Motivation. Die Berechnung eines arithmetischen Mittels aus gruppierten Daten soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav für das metrische Erhebungsmerkmal X: Körper-Masse-Index (Angaben in kg/m²) in seiner geschlechtsspezifischen Betrachtung demonstriert und erläutert werden. Der Körper-Masse-Index einer Person, der als Quotient aus dem Körpergewicht, gemessen in Kilogramm, und dem Quadrat der Körpergröße, gemessen im Metern, definiert ist, kann via Sequenz 4.6.4-2 etwa mittels der PASW Berechnungsvorschrift KMI = F4 / (F3 / 100) ** 2 für die empirisch erhobenen und „gültigen“ Gewichtsangaben (PASW Variable F4) und Körpergrößenangaben (PASW Variable F3) „im Nachhinein“ berechnet werden. Datenpool. Dabei wird die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 685 Studierenden Ji, die in den vergangenen Semestern am Fachbereich WiWi I der HTW Berlin in den Statistik-Lehrveranstaltungen befragt wurden, als die statistische Gesamtheit aufgefasst, für die es das metrische Merkmal X: Körper-Masse-Index (KMI) statistisch zu analysieren gilt. Im Kontext der angestrebten Datendeskription wird aus physiologischer Sicht die statistische Gesamtheit *n mittels des nominalen und dichotomen Gruppierungsmerkmals „Geschlechtszugehörigkeit“, das gemäß Abbildung 3.3-1 im Muster-Fragebogen in der 0-1-kodierten Variable F1 abgebildet ist, in m = 2 disjunkte (lat. disiunctio o Trennung), also in zwei sich gegenseitig ausschließende Teilgesamtheiten vom Umfang n1 = 299 männliche und n2 = 386 weibliche Studierende Ji gegliedert, wobei n = n1 + n2 = 299 + 386 = 685 gilt. Statistisch erhobene Daten für disjunkte Teilgesamtheiten subsumiert man in der statistischen Methodenlehre auch unter dem Begriff „gruppierte bzw. gepoolte“ Daten (engl.: pool o Tümpel, Gemeinschaft).
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Datendeskription
Mittelwerttabelle. In der Tabelle 5.2.3-1 sind die Ergebnisse der Mittelwertanalyse der gruppierten, gepoolten bzw. geschlechtsspezifischen Körper-MasseIndex-Daten zusammengefasst. Tabelle 5.2.3-1: Mittelwerttabelle
Bei der sachlogischen Interpretation der Mittelwerttabelle 5.2.3-1, die via Sequenz 5.2.3-1 angefordert wurde, ist zu beachten, dass in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 685 befragten Studierenden Ji insgesamt nur 668 Studierende eine gültige (und damit eine statistisch auswertbare) und 17 Studierende keine gültige bzw. keine statistisch auswertbare Antwort auf die zugrunde liegenden Fragen bezüglich der Geschlechtszugehörigkeit, der Körpergröße und/oder des Körpergewichts gegeben haben, so dass in logischer Konsequenz auch nur 668 Körper-Masse-Indizes berechnet werden konnten. Sequenz 5.2.3-1: Mittelwerte Analysieren Mittelwerte vergleichen Mittelwerte... o Abbildung 5.2.3-3 Abbildung 5.2.3-3: Daten-Editor und Dialogfeld Mittelwerte
Im Dialogfeld Mittelwerte wurde die metrische Variable KMI, welche den Körper-Masse-Index beschreibt, in der Rubrik Abhängige Variablen: und die nominale Variable F1, welche die Geschlechtszugehörigkeit der Befragten zum Inhalt hat und zugleich als nominale Gruppierungsvariable für die statistische Gesamt-
Datendeskription
113
heit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 685 befragten Studierenden Ji fungiert, in der Rubrik Unabhängige Variablen: positioniert. Zudem wurden analog zur Tabelle 5.2.3-1 im PASW Statistics Unterdialogfeld Mittelwerte: Optionen die Merkmalswertsummen, die Anzahlen und die prozentualen Anteile an der Gesamtanzahl für die beiden disjunkten und geschlechtsspezifischen Gruppen als „Zellenstatistiken“ angefordert. Arithmetisches Mittel. Anhand der Mittelwerttabelle 5.2.3-1 überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass im konkreten Fall das arithmetische Mittel m
x
¦x
nj
j
23,716 295 21,217 373 14910,381 # 22,321 kg/m² 295 373 668
j 1
m
¦n
j
j 1
aus den m = 2 geschlechtsspezifischen Mittelwerten x j , die jeweils mit den validen geschlechtsspezifischen Studierendenanzahlen nj gewichtet wurden, identisch ist mit dem Mittelwert aller n = n1 + n2 = 295 + 373 = 668 validen KörperMasse-Index-Daten. Beachtenswert ist dabei, dass im Zähler die beiden Summanden, die auf der so genannten Hochrechnungseigenschaft des arithmetischen Mittels beruhen, wiederum die beiden geschlechtsspezifischen Merkmalswertesummen S1 # 23,716295 = 6996,298 bzw. S2 # 21,217373 = 7914,082 liefern, die in ihrer Addition die Gesamtsumme 14910,381 aller n = 668 validen Merkmalswerte ergibt. Gewichtet man die beiden geschlechtsspezifischen arithmetischen Mittelwerte mit den zugehörigen prozentualen relativen Häufigkeiten p1* = (295/668)100 % # 44,2 % und p2* = (373/668)100 % # 55,8 % bzw. mit den beiden geschlechtsspezifischen Anteilszahlen p1 = 295/668 # 0,442 und p2 = 373/668 # 0,558, dann gelangt man wegen m
x
¦x
j
p *j
j 1
m
¦p
* j
23,716 44,2 21,217 55,8 44,2 55,8
2232,1 # 22,321 kg/m² 100
j 1
bzw. wegen m
x
¦x
j
p1
23,716 0,442 21,217 0,558 # 22,321 kg/m²
j 1
in logischer Konsequenz (und von vernachlässigbaren Rundungsfehlern einmal abgesehen) jeweils zu einem gleichen Ergebnis. Die drei paradigmatisch skizzierten Berechnungsvorschriften firmieren in der statistischen Methodenlehre unter dem Begriff eines gewogenen arithmetischen Mittels, das sich im konkreten Fall als ein gewogenes arithmetisches Mittel aus zwei geschlechtsspezifischen Mittelwerten unter Berücksichtigung der geschlechtsspezifischen Struktur der Befragten berechnet. h
114
5.3
Datendeskription
Streuungsmaße
Motivation. Häufig reichen Lagemaße zur Charakterisierung einer Häufigkeitsverteilung eines statistischen Erhebungsmerkmals nicht aus. Man ergänzt sie daher durch Maßzahlen, die erkennen lassen, ob sich die Merkmalsausprägungen eines nominalen oder eines ordinalen Erhebungsmerkmals mehr oder weniger stark häufen oder ob Merkmalswerte eines metrischen Erhebungsmerkmals mehr oder weniger stark um ein Lagemaß streuen. Während man diese Maßzahlen für nominale und ordinale Daten als Disparitätsmaße bezeichnet, verwendet man für metrische Daten den Begriff des Streuungsmaßes. Abbildung 5.3-1: Dialogfeld Häufigkeiten: Statistik
In diesem Abschnitt werden nur die Streuungsmaße erläutert, die gemäß Abbildung 5.3-1 in PASW Statistics implementiert sind und via Sequenz 5.2-1 angefordert bzw. ohne großen Aufwand berechnet werden können. Disparitätsmaße werden nicht berücksichtigt. h
5.3.1 Spannweite und zentraler Quantilsabstand Motivation. Die Spannweite und der zentrale Quantilsabstand sind zwei einfache und zugleich ausreißerresistente Streuungsmaße. Spannweite Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erhoben wurde und dessen Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aus hinreichend vielen voneinander verschiedenen Merkmalswerten [j besteht, dann heißt die Differenz R = [Max [Min aus dem größten Merkmalswert [Max und dem kleinsten Merkmalswert [Min Spannweite R.
Datendeskription
115
Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation einer Spannweite, die auch als Range (engl.: range o Spanne, Spannweite) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Interpretation. Die Spannweite ist ein einfaches, allerdings wenig aussagefähiges und auf statistische Ausreißer sensibel reagierendes Streuungsmaß, das eher den „Spielraum“ bzw. die „Länge“ oder die „Breite“ des Merkmalswertebereiches der beobachteten Merkmalswerte eines metrischen Erhebungsmerkmals als ihre Streuung kennzeichnet. ii) Bildhaftigkeit. In der Ausdehnung eines Boxplots (vgl. Abbildung 5.3.1-1), das durch den kleinsten und den größten beobachteten Merkmalswert begrenzt ist, findet die Spannweite ihre bildhafte Darstellung. i
Zentraler Quantilsabstand Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erhoben wurde und dessen Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aus hinreichend vielen voneinander verschiedenen und aufsteigend geordneten Merkmalswerten [j besteht und für das die Quantile Q(1 + p)/2 und Q(1 p)/2 der Ordnungen (1 + p)/2 und (1 p)/2 mit 0 < p < 1 gegeben sind, dann heißt die Differenz QAp = Q(1 + p)/2 Q(1 p)/2 aus dem Quantil Q(1 + p)/2 der Ordnung (1 + p)/2 und dem Quantil Q(1 p)/2 der Ordnung (1 p)/2 zentraler oder Interquantilsabstand QAp der Ordnung p. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation eines zentralen Quantilsabstandes, der auch als Interquantilsabstand bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Berechnung. Die Berechnung eines zentralen Quantilsabstandes setzt (strenggenommen) voraus, dass die zugehörigen Quantile eindeutig bestimmt werden können. In diesem Falle kennzeichnet der Interquantilsabstand die Länge bzw. die Breite eines Merkmalswertebereichs, in dem die zentralen p100 % der Merkmalswerte X(Ji) = xi der Merkmalsträger Ji * bzw. *n einer statistischen Gesamtheit *n liegen. ii) Charakteristikum. Ein zentraler Quantilsabstand QAp der Ordnung p ist robust gegenüber statistischen Ausreißern. Dies ist ein Grund dafür, warum zum Beispiel der zentrale Quantilsabstand QAp der Ordnung p = 0,5 in Gestalt des Interquartilsabstandes als Streuungsmaß in der Explorativen Datenanalyse bei der Konstruktion eines Boxplots Anwendung findet. iii) Interquartilsabstand. Der zentrale Quantilsabstand QAp = Q0,75 Q0,25 der Ordnung p = 0,5 heißt Interquartilsabstand. Er kennzeichnet den zentralen Merkmalswertebereich, in den die mittleren 50 % der Merkmalsträger Ji *n einer geordneten statistischen Gesamtheit *n fallen. In einem Boxplot erfährt er durch die Ausdehnung der „Box“ seine bildhafte Darstellung (vgl. Abbildung 5.3.1-1). i
Beispiel 5.3.1-1: Spannweite und Interquartilsabstand Daten. Die Abbildung 5.3.1-1 beinhaltet die berechneten Streuungsmaße für das stetige metrische Erhebungsmerkmal X: jahresDURCHschnittliche Laufleistung (in 1000 km) der n = 200 stichprobenartig erfassten Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf aus der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav, die zu Demonstrationszwecken noch durch die drei Laufleistungsquartile erweitert wurde. Spannweite. Die Spannweite R = 25,091 – 1,714 = 23,377 (1000 km) der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) ist wie folgt zu interpretieren: Die
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Datendeskription
empirisch erfassten jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) variieren auf einem Niveau von 23377 km, wobei sich die größte bzw. die kleinste empirisch beobachtete jahresdurchschnittliche Laufleistung auf [Max = 25091 km bzw. auf [Min = 1714 km beläuft. Im kommentierten Boxplot der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen innerhalb der Abbildung 5.3.1-1 erfährt die Spannweite ihre bildhafte Darstellung in Gestalt der Ausdehnung des Boxplots. Abbildung 5.3.1-1: Boxplot und Streuungsmaße Interquartilsabstand QA
Spannweite R
Interquartilsabstand. Der Interquartilsabstand der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen QA0,5 = 16,315 – 10,069 = 6,246 (1000 km), der mit dem zentralen Quantilsabstand der Ordnung p = 0,5 identisch ist, kann im konkreten Fall wie folgt interpretiert werden: Die mittleren 50 % der n = 200 erfassten Gebrauchtwagen Ji *n vom Typ VW Golf sind hinsichtlich ihrer jahresdurchschnittlichen Laufleistung X(Ji) durch eine Spannweite von R = 6246 km gekennzeichnet. Dies ist äquivalent mit der Aussage, dass die mittlere Hälfte der Gebrauchtwagen bezüglich ihrer jahresdurchschnittlichen Laufleistung im geschlossenen Intervall zwischen 10069 km und 16315 km variieren. Im kommentierten Boxplot der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen innerhalb der Abbildung 5.3.1-1 erfährt der Interquartilsabstand seine bildhafte Darstellung in der Ausdehnung der „grau unterlegten“ Box. h Beispiel 5.3.1-2: Ausreißer- und Extremwerte Motivation. In Anlehnung und in Weiterführung des Beispiels 5.2.3-2 basiert die Abbildung 5.3.1-2 auf der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav und beschreibt mittels der geschlechtsspezifischen Boxplots die beiden empirischen Verteilungen des metrischen Merkmals X: Körper-Masse-Index (Angaben in kg/m²) für die m = 2 disjunkten Teilgesamtheiten *1 = {J1i, i = 1,2,...,n1} und *2 = {J2i, i = 1,2,...,n2} von n1 = 295 männlichen und n2 = 373 weiblichen Studierenden, für die jeweils ein valider Körper-Masse-Index X(Ji) = xi aus den individuell erfragten Gewichts- und Körpergrößenangaben berechnet werden konnte.
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Abbildung 5.3.1-2: Boxplots Extremwert
Ausreißerwert o
Die beiden empirischen Verteilungen sind augenscheinlich asymmetrisch und jeweils im „oberen“ Wertebereich durch Ausreißer- und Extremwerte affiziert. Ausreißer und Extremwerte. Für die Identifizierung von Ausreißer- und/oder Extremwerten gelten in PASW Statistics die folgenden Regeln: Alle beobachteten Merkmalswerte, die mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstandes (in Gestalt der Boxbreite), jedoch weniger als das 3-Fache des Interquartilsabstandes unterhalb des unteren bzw. oberhalb des oberen Quartils liegen, werden als Ausreißerwerte bezeichnet und durch das Symbol q kenntlich gemacht. Analog werden alle beobachteten Merkmalswerte, die mehr als das 3-Fache des Interquartilsabstandes vom unteren bzw. vom oberen Quartil entfernt liegen, als Extremwerte bezeichnet und mit dem Symbol * markiert. Tabelle 5.3.1-2: Geschlechtsspezifische Quartile
Unter Verwendung der Tabelle 5.3.1-2 kann man sich zum Beispiel für die n2 = 373 weiblichen Studierenden die Ausreißer- und Extremwerte des KörperMasse-Indexes wie folgt verdeutlichen: Alle befragten Studierenden, die in der verbindlichen Syntax von PASW Statistics der Auswahlbedingung F1 = 1 & KMI > (22.408 + 1.5 * (22.408 – 19.379)) & KMI < (22.408 + 3 * (22.408 – 19.379)) genügen, besitzen demnach einen Körper-Masse-Index, der im Ensemble aller berechneten Körper-Masse-Indizes per Definition als Ausreißerwert „im oberen Wertebereich“ zu klassifizieren ist. Im konkreten Fall sind dies die Körpermasse-
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indizes von insgesamt 16 weiblichen Studierenden, deren Körper-Masse-Indizes zwischen 27,042 kg/m² und 31,195 kg/m² liegen und im Boxplot mit dem Symbol q markiert wurden. Analog werden alle Körper-Masse-Indizes von Studierenden, die in der verbindlichen PASW Statistics Syntax der Auswahlbedingung F1 = 1 & KMI > (22.408 + 3 * (22.408 – 19.379)) genügen, als Extremwerte „im oberen Wertebereich“ identifiziert. Dies sind im konkreten Fall drei weibliche Studierende, für die jeweils ein Körper-MasseIndex von 31,888 kg/m², 32,388 kg/m² bzw. 33,262 kg/m² errechnet und im Boxplot mit einem Asterix * markiert wurde. h
5.3.2 Varianz und Standardabweichung Motivation. Varianz und Standardabweichung sind in der metrischen Verteilungsanalyse häufig applizierte Streuungsmaße. Ihre Bedeutung erklärt sich aus der quadratischen Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels. Aus statistisch-methodischer Sicht wird dabei zwischen empirischen oder deskriptiven Maßzahlen einerseits und Stichprobenmaßzahlen andererseits unterschieden. Varianz Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine (endliche) statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Merkmalsträgern Ji erhoben wurde, dann heißt das quadratische Mittel n 1 n 1 d 2X ¦ ( x i x )² bzw. s 2X ¦ ( x i x )² n i 1 n 1 i 1 der Abweichungen der beobachteten Merkmalswerte X(Ji) = xi von ihrem arithmetischen Mittel x deskriptive Varianz d²X bzw. Stichprobenvarianz s²X. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation einer Varianz, die auch als mittlere quadratische Abweichung (engl.: mean squared deviation) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Symbolik. Die Bezeichnungen d²X und s²X sollen den Unterschied zwischen einer empirischen oder deskriptiven Varianz und einer Stichprobenvarianz verdeutlichen. Die Notation d²X für eine deskriptive oder empirische Varianz ist dem Dispersionsbegriff (lat.: dispersus o zerstreut) entlehnt. Um im Kontext der statistischen Induktion (vgl. Kapitel 7) für ein metrisches Merkmal X, das über einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N definiert ist, eine erwartungstreue Schätzung für die „wahre, jedoch unbekannte“ Varianz V² (lies: Sigma-Quadrat) zu erhalten, verwendet man die so genannte Stichprobenvarianz s²X. ii) Interpretation. Da eine Varianz in der Regel eine mit der quadrierten Dimension eines metrischen Erhebungsmerkmals X bezeichnete Kennzahl ist, verschließt sie sich einer sachlogisch plausiblen Interpretation. Dennoch spielt sie als Streuungsmaß in der statistischen Methodenlehre wegen der quadratischen Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels eine fundamentale Rolle. Hinzu kommt noch, dass sie nicht nur die Grundlage für die Berechnung der Standardabweichung und des Standardfehlers bildet, sondern zugleich auch die Basis für anspruchsvolle statistische Analy-
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severfahren bildet, worunter zum Beispiel die Varianzanalyse (vgl. Kapitel 7) und die Korrelations- und Regressionsanalyse (vgl. Kapitel 8 und 9) zu nennen sind. iii) Spezifik. In PASW Statistics wird für metrisches Erhebungsmerkmal X generell nur die Stichprobenvarianz s²X berechnet und ausgewiesen. Für die zugehörige deskriptive bzw. empirische Varianz gilt d²X = s²X(n – 1)/n. i
Standardabweichung Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine (endliche) statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Merkmalsträgern Ji erhoben wurde, dann heißt die positive Quadratwurzel n 1 n 1 dX d 2X ¦ ( x i x )² bzw. s X s 2X ¦ ( x i x )² n i1 n 1 i 1
aus der deskriptiven Varianz d²X bzw. aus der Stichprobenvarianz s²X deskriptive Standardabweichung dX bzw. Stichprobenstandardabweichung sX. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation einer Standardabweichung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Symbolik. Hinsichtlich der symbolhaften Bezeichnung einer Standardabweichung gelten die gleichen Konventionen wie für eine Varianz. ii) Interpretation. Eine Standardabweichung misst das durchschnittliche Ausmaß der Abweichung der einzelnen Merkmalswerte von ihrem arithmetischen Mittel. iii) Drei-Sigma-Regel. Für den Fall, dass die Merkmalswerte (hinreichend genau) normalverteilt sind (vgl. Kapitel 6), gilt die folgende Regel, die in der statistischen Methodenlehre auch als Drei-Sigma-Regel bezeichnet wird: Im Intervall von arithmetischem Mittel r k Standardabweichung liegen für k = 1 ca. 68 %, für k = 2 ca. 95 % und für k = 3 ca. 99 % aller beobachteten Merkmalswerte X(Ji) = xi einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n}. Die Drei-Sigma-Regel bildet eine elementare Grundlage für das Verständnis von Verfahren der statistischen Induktion (vgl. Kapitel 7). iv) Taschenrechner. Bereits bei Taschenrechnern mittlerer Preislage ist die Berechnung einer deskriptiven Standardabweichung vorprogrammiert und über eine spezielle Tastenbelegung abrufbar. Die Tastenbelegung ist in der Regel durch das Symbol Vn (lies: Sigma n) gekennzeichnet. n steht für den Umfang einer (endlichen) statistischen Gesamtheit *n. Demgegenüber wird die Tastenbelegung zur Berechnung einer Stichprobenstandardabweichung in der Regel durch das Symbol Vn-1 kenntlich gemacht. Der Index n – 1 kennzeichnet dabei die Anzahl der Freiheitsgrade (engl.: degrees of freedom), die man im Zuge der Schätzung einer „wahren, jedoch unbekannten“ Standardabweichung bei einer realisierten Stichprobe vom Umfang n zur Verfügung hat (vgl. Kapitel 7). v) Spezifik. In PASW Statistics wird für ein metrisches Erhebungsmerkmal X generell nur die Stichprobenstandardabweichung sX berechnet und ausgewiesen. Für die zugehörige deskriptive Standardabweichung gilt dann dX = sX((n – 1)/n). i
Beispiel 5.3.2-1: Stichprobenvarianz und Stichprobenstandardabweichung Motivation. Berechnung und Interpretation einer Stichprobenvarianz und einer Stichprobenstandardabweichung sollen gemäß Abbildung 5.3.2-1 unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav für das metrische Merkmal X: jahresDURCHschnittliche Laufleistung (in 1000 km) demonstriert werden.
120
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Abbildung 5.3.2-1: Urlistenauszug mit Berechnungsvorschrift
Urlistenauszug Berechnungsvorschrift
s2X
1 ((12,231 13,302)² (9,302 13,302)² ...) # 21,653 200 1
Varianz. In der Abbildung 5.3.2-1 sind zum Zwecke eines leichteren Nachvollziehens der augenscheinlich aufwändigen Berechnung der Stichprobenvarianz s²X = 21,653 (1000 km)² für die jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi ein Urlistenauszug und der numerische Berechnungsansatz skizziert. Beachtenswert ist im konkreten Fall, dass die Stichprobenvarianz als eine dimensionsgeladene Maßzahl erscheint, die sich in Gestalt der mittleren quadratischen Abweichung der einzelnen jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten von ihrem arithmetischen Mittel in Höhe von 21,653 (1000 km)² allerdings einer sachlogisch plausiblen Interpretation verschließt. Standardabweichung. Die radizierte Stichprobenvarianz liefert unter Vernachlässigung von Rundungsfehlern die in der Tabelle 5.3.1-1 ausgewiesene Stichprobenstandardabweichung sX = (21,653 (1000 km)²) # 4,653 (1000 km) der jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi, die im konkreten Fall (ebenso wie die Stichprobenvarianz) eine dimensionsgeladene Maßzahl ist und (im Unterschied zur Stichprobenvarianz) sachlogisch wie folgt interpretiert werden kann: Im Mittel streuen die einzelnen jahresdurchschnittlichen Laufleistungswerte der n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf um 4653 km um ihren Durchschnittswert von 13302 km. Streuungsintervall. Anhand der jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi kann man sich einen statistischen Sachverhalt verdeutlichen, der für die Merkmalswerte eines metrischen Erhebungsmerkmals die Bedeutung des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung verdeutlicht, sobald die Merkmalswerte als hinreichend genau normalverteilt angesehen werden können (vgl. Kapitel 7). Gemäß der so genannten Drei-Sigma-Regel kann man zeigen, dass im geschlossenen Merkmalswerteintervall von arithmetischem Mittel plus/minus einmal Standardabweichung nahezu 68 % aller Einzelwerte liegen. Via Sequenz 4.6.4-3 überzeugt man sich im konkreten Fall mittels der problembezogenen und
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syntaxverbindlichen PASW Statistics Auswahlbedingung bzw. des PASW Statistics Filters Durch >= (13.302 4.653) & Durch 0 und M 3 ¦ ( x i x )3 n 1 i 1 i 1
sowohl die Standardabweichung sX als auch das zentrale empirische Moment dritter Ordnung M3 berechnet wurde, dann kennzeichnet die Größe n M3 SX (n 1) ( n 2) s 3X das (relative) Schiefemaß SX für das Erhebungsmerkmal X. Hinweise. Für die Interpretation des skizzierten Schiefemaßes, das auch als Skewness (engl.: skewness o Schiefe) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristika. Das Schiefemaß SX ist dimensionslos und schwankt um null. ii) Interpretation. Für die Beurteilung der Schiefe einer empirischen Verteilung mit Hilfe des Schiefemaßes SX gelten die folgenden Regeln: a) SX > 0 deutet auf eine rechts schiefe bzw. eine links steile Verteilung hin. b) SX # 0 ist ein Indiz für eine (nahezu) symmetrische Verteilung. c) SX < 0 ist ein Hinweis auf eine links schiefe bzw. auf eine rechts steile Verteilung. i
Beispiel 5.4.1-1: Schiefemaß Motivation. Für die in der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav gespeicherten jahresDURCHschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi (i = 1,2,...,n) der n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf ermittelt man via Sequenz 5.2-1 ein Schiefemaß von SX # 0,105 und interpretiert es wie folgt: Interpretation. Wegen SX # 0,105 > 0 deutet man die empirische Verteilung der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen X(Ji) = xi der n = 200 stichprobenartig erfassten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf als nur geringfügig (und daher vernachlässigbar) rechts schief bzw. geringfügig links steil bzw. als nahezu symmetrisch. Diese parametrische Verteilungsaussage koinzidiert mit dem symmetrischen Stem-and-Leaf-Plot innerhalb der Abbildung 5.1-12, dem symmetrischen und normierten Histogramm innerhalb der Abbildung 5.1-15 und schließlich und endlich auch mit dem symmetrischen Box-and-Whisker-Plot innerhalb der Abbildung 5.2.2-3. h
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Quartilskoeffizient der Schiefe Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine endliche statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Merkmalträgern Ji erhoben wurde und dessen Zustandsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} aus hinreichend vielen voneinander verschiedenen und aufsteigend geordneten Merkmalswerten [j besteht und für das die Verteilungskennzahlen unteres Quartil Q0,25, mittleres Quartil Q0,5 und oberes Quartil Q0,75 gegeben sind, dann heißt die Größe (Q 0, 75 Q 0, 5 ) (Q 0 ,5 Q 0 , 25 ) (Q 0 , 75 Q 0 ,5 ) (Q 0, 5 Q 0, 25 ) QSX Q 0 , 75 Q 0 , 25 QA 0 ,5
Quartilskoeffizient der Schiefe. Hinweise. Für die Interpretation des Quartilskoeffizienten der Schiefe erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristika. Der Quartilskoeffizient der Schiefe QSX ist ein dimensionsloses Schiefemaß, dessen Werte um null schwanken. Der Quartilskoeffizient gibt stets nur Auskunft über das Ausmaß der Schiefe der Verteilung der mittleren Hälfte bzw. der mittleren 50 % der Merkmalswerte eines geordneten metrischen Erhebungsmerkmals. ii) Interpretation. Für die Beurteilung der Schiefe einer empirischen Verteilung der mittleren Hälfte der Merkmalswerte mit Hilfe des Quartilskoeffizienten gelten die folgenden Regeln: a) QSX > 0 deutet auf eine rechts schiefe bzw. eine links steile Verteilung der Merkmalswerte hin. b) QSX # 0 ist ein Indiz für eine (nahezu) symmetrische Verteilung der Merkmalswerte. c) QSX < 0 ist ein Hinweis auf eine links schiefe bzw. auf eine rechts steile Verteilung der Merkmalswerte. i
Beispiel 5.4.1-2: Quartilskoeffizient der Schiefe Motivation. Unter Verwendung der drei empirischen Laufleistungsquartile, die im Kontext des Beispiels 5.2.2-2 unter Verwendung der PASW Statistics VW Golf.sav berechnet wurden und in der Tabelle 5.2.2-2 aufgelistet sind, berechnet man einen Quartilskoeffizienten der Schiefe von (16,315 13,352) (13,352 10,069) QSX # 0,051 16,315 10,069 und interpretiert ihn wie folgt: Interpretation. Die mittlere Hälfte bzw. die mittleren 50 % der aufsteigend geordneten jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi (Angaben in 1000 km) der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 200 Gebrauchtwagen Ji (vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter Triebwerk) ist bzw. sind wegen QSX = 0,051 | 0 nahezu symmetrisch verteilt. Boxplot. Diese parametrische Verteilungsaussage koinzidiert mit dem grafischen und explorativen Analysebefund innerhalb der Abbildungen 5.2.2-3 bzw. 5.3.1-1, die jeweils das zughörige Box-and-Whisker-Plot beinhalten, das durch eine „mittig“ geteilte bzw. durch eine „halbierte“ Box gekennzeichnet ist. Diese „symmetrische“ Boxteilung wird durch einen mehr oder weniger gleichen Abstand des Medians vom unteren bzw. oberen Quartil augenscheinlich. h
Datendeskription
127
5.4.2 Wölbungsmaß Motivation. In diesem Abschnitt wird lediglich das auf den zentralen empirischen Momenten basierende Wölbungsmaß paradigmatisch skizziert, das in PASW Statistics unter der Bezeichnung „Kurtosis“ firmiert. Wölbungsmaß Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n t 4 Merkmalsträgern Ji erhoben wurde und für dessen Merkmalswerte X(Ji) = xi sowohl die Standardabweichung n 1 sX ¦ ( x i x )² > 0 n 1 i 1
als auch die zentralen empirischen Momente zweiter und vierter Ordnung n
M2
¦ (x i 1
i
x ) 2 und M 4
n
¦ (x
i
x )4
i 1
berechnet wurden, dann kennzeichnet die Größe n (n 1) M 4 3 (n 1) M 22 WX (n 1) (n 2) (n 3) s 4 das (relative) Wölbungsmaß für das Erhebungsmerkmal X. Hinweise. Für die Interpretation des skizzierten Wölbungsmaßes, das auch als Kurtosis (lat.: cortina o kesselförmige Rundung) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristika. Das Wölbungsmaß WX ist dimensionslos und schwankt um null. ii) Interpretation. Für die Beurteilung der Wölbung einer empirischen Verteilung mit Hilfe des Wölbungsmaßes WX gelten die folgenden Regeln: a) WX > 0 deutet auf eine stark gewölbte bzw. hochgipfelige bzw. leptokurtisch (grch.: leptos o schmal, dünn) Verteilung hin. b) WX # 0 ist ein Indiz für eine (nahezu) normal gewölbte Verteilung. Eine Verteilung kennzeichnet man als normal gewölbt, wenn sie hinreichend genau durch die Dichtefunktion einer Normalverteilung beschrieben werden kann (vgl. Kapitel 7). c) WX < 0 ist ein Hinweis auf eine flach gewölbte bzw. flachgipfelige bzw. platykurtische (grch: platys o flach) Verteilung. i
Beispiel 5.4.2-1: Wölbungsmaß Motivation. Für die in der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav gespeicherten jahresDURCHschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi (i = 1,2,...,n) von n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf ermittelt man via Sequenz 5.2-1 ein Wölbungsmaß von WX # 0,201 und interpretiert es wie folgt: Interpretation. Gleichwohl das Wölbungsmaß eine geringfügig platykurtische Verteilung der jahresdurchschnittlichen Laufleistungen indiziert, koinzidiert dieser parametrische Befund mit dem explorativen und grafischen Befund innerhalb der Abbildung 5.1-15, die eine normal gewölbte Verteilung der jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten augenscheinlich werden lässt. h
128
5.5
Datendeskription
Standardisierung
Motivation. Der Standardisierung, die auch als z-Transformation bezeichnet wird und die nur für metrische Erhebungsmerkmale definiert und sinnvoll ist, kommt in der statistischen Datenanalyse wegen ihrer Vereinfachungswirkung und ihrer Vergleichbarkeitsgarantie eine besondere theoretische und praktische Bedeutung zu. Die Standardisierung ist inhaltlich wie folgt bestimmt: Standardisierung Ist X ein metrisches Merkmal, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n t 2 Merkmalsträgern Ji erhoben wurde und für dessen Merkmalswerte X(Ji) = xi mit n 1 n 1 ¦ x i und s X ¦ ( x i x )² > 0 x n i1 n 1 i 1
sowohl das arithmetische Mittel als auch die Standardabweichung gegeben sind, dann heißt die Transformationsvorschrift xi x zi sX Standardisierung der Merkmalswerte xi. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation von standardisierten Werten, die synonym auch als z-Werte oder z-Scores (engl.: score o Punkt(estand)) bezeichnet werden, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristika. Standardisierte Werte besitzen die folgenden charakteristischen Eigenschaften: sie sind dimensionslos, ihr arithmetisches Mittel ist null und ihre Standardabweichung ist eins. ii) Deskription. Die Standardisierung gilt gleichermaßen für die „bloße“ Deskription der Merkmalswerte X(Ji) = xi eines metrischen Merkmals, das für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n erhoben wurde, wobei gemäß der Festlegungen im Kontext der Abschnitte 5.2.3 und 5.3.2 für die Transformation der Merkmalswerte zi = (xi x )/dX gilt. iii) Applikation. Die Standardisierung ist in der multivariaten Statistik physisch unterschiedlich bemessener Merkmale eine Grundvoraussetzung für die Anwendung vieler Verfahren (vgl. Kapitel 11 und 12). In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bildet sie die Grundlage für die Verwendung der Standardnormalverteilung N(0, 1) (vgl. Kapitel 6). In der Induktiven Statistik bildet sie die Grundlage für die Konstruktion von Stichproben-, Schätz- und Testfunktionen (vgl. Kapitel 7). i
Beispiel 5.5-1: Standardisierung Motivation. Die Standardisierung soll anhand des metrischen Erhebungsmerkmals X der jahresdurchschnittlichen Laufleistung (Angaben in 1000 km) verdeutlicht werden, das für eine Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 200 gebrauchten VW Golf Ji statistisch erfasst wurde und dessen Merkmalswerte X(Ji) = xi in der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav in der metrischen Variable Durch gespeichert sind.
Datendeskription
129
Sequenz. Die angestrebte Standardisierung kann in PASW Statistics am einfachsten via Sequenz 5.5-1 bewerkstelligt werden. Sequenz 5.5-1: Standardisierung Analysieren Deskriptive Statistiken... Deskriptive Statistik... o Abbildung 5.5-1 Abbildung 5.5-1: Daten-Editor und Dialogfeld Deskriptive Statistik
Standardisierung. Nach dem Betätigen der Schaltfläche OK wird in die Arbeitsdatei automatisch eine Variable eingefügt, welche die standardisierten Werte für die Variable Durch beinhaltet. In der Abbildung 5.5-2 ist zur Verdeutlichung der Standardisierungsprozedur der PASW Statistics Daten-Editor wiedergegeben, in welchem sowohl die originären als auch die standardisierten Laufleistungsdaten auszugsweise aufgelistet sind. Abbildung 5.5-2: Originäre und standardisierte Werte
Arithmetisches Mittel
Z12 = (9,882 – 13,302)/4,653 # -0,735 Standardabweichung
Eigenschaften. Die „vorteilhaften“ statistischen Eigenschaften von standardisierten Werten verdeutlicht man sich im konkreten Fall am einfachsten und zugleich am augenscheinlichsten, indem man via Sequenz 5.5-1 für die beiden Variablen Durch und ZDurch sowohl das arithmetische Mittel als auch die Standardabweichung anfordert, wobei es der Übersichtlichkeit halber geboten er-
130
Datendeskription
scheint, im Dialogfeld Deskriptive Statistik, die Option Standardisierte Werte als Variable speichern zu deaktivieren. Tabelle 5.5-1: Mittelwerttabelle für originäre und standardisierte Werte
Während man gemäß Tabelle 5.5-1 für n = 200 originären jahresdurchschnittlichen Laufleistungsdaten X(Ji) = xi ein „dimensionsgeladenes“ arithmetisches Mittel von 13,302 (1000 km) und eine „dimensionsgeladene“ Standardabweichung von 4,653 (1000 km) berechnet, ermittelt man für die standardisierten jahresdurchschnittlichen Laufleistungen Z(Ji) = zi ein „dimensionsloses“ arithmetisches Mittel von null und eine „dimensionslose“ Standardabweichung von eins. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die Informationen, die den originären Laufleistungsdaten „innewohnen“, durch die Standardisierung keineswegs verloren gehen, sondern lediglich auf einen „standardisierten“ Maßstab transformiert werden. So überzeugt man sich anhand der Abbildung 5.5-2 leicht von der Tatsache, dass der Gebrauchtwagen J12 der Ordnung i = 12 im Ensemble aller Gebrauchtwagen durch eine originär erhobene jahresdurchschnittliche Laufleistung von X(J12) = x12 = 9,882 (1000 km) gekennzeichnet ist, die im Vergleich zum Durchschnitt wegen 9,882 – 13,302 = 3,420 letztlich um 3420 km unter dem „üblichen“ Durchschnitt von 13302 km liegt. Dieser unterdurchschnittliche originäre jahresdurchschnittliche Laufleistungswert von 9882 km entspricht gemäß Abbildung 5.5-2 einem standardisierten und zugleich dimensionslosen jahresdurchschnittlichen Laufleistungswert von 0,735. Spätestens an dieser Stelle leuchtet die „statistische Vorteilhaftigkeit“ einer Standardisierung ein: Ohne zusätzliche Berechnungen anstellen zu müssen, erkennt man allein aus dem negativen standardisierten Laufleistungswert Z(J12) = z12 = 0,735, dass der Gebrauchtwagen J12 der Ordnung i = 12 im Ensemble aller betrachteten Gebrauchtwagen im Verlaufe eines Jahres durch eine unterdurchschnittliche Laufleistung gekennzeichnet ist. Im Vergleich dazu ist zum Beispiel der Gebrauchtwagen J10 der Ordnung i = 10 im Jahresdurchschnitt durch eine originär erfasste Laufleistung von X(J10) = x10 = 17,257 (1000 km) gekennzeichnet, die im Ensemble aller Gebrauchtwagen wegen Z(J10) = z10 = 0,850 eine überdurchschnittliche jahresbezogene Laufleistung markiert. Mehr noch: Da für die beiden Gebrauchtwagen Ji der Ordnung i = 10 und i = 12 offensichtlich |zi| < 1 gilt, gehören beide zur Menge der Gebrauchtwagen, die hinsichtlich ihrer jahresdurchschnittlichen Laufleistung X im so genannten Ein-Sigma-Bereich liegen. Gemäß der Drei-SigmaRegel gilt dies für nahezu 68 % aller Gebrauchtwagen Ji *n der zugrunde liegenden statistischen Gesamtheit bzw. Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n}. h
Stochastik
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6 Stochastik Schlüsselwörter Additionsregel Bedingte Wahrscheinlichkeit Ereignis Ereignisoperation Formel von Bayes Multiplikationsregel
Totale Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsexperiment Zufallsgröße
Gegenstand. Das sechste Kapitel hat elementare Verfahren und Modelle der Stochastik zum Gegenstand, die heute zum Standardprogramm der statistischen Methodenlehre an Hochschulen und Universitäten gehören. Dabei werden einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen bewusst einige mathematische Sachverhalte vereinfacht dargestellt. Stochastik. Die Stochastik (grch.: stochastikos o im Erraten geschickt), die man hinsichtlich ihres Wortursprungs auch als die Kunst des geschickten Vermutens bezeichnen kann, ist eine wissenschaftliche Disziplin, die sowohl Verfahren und Modelle zur mathematischen Beschreibung von zufälligen Ereignissen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten bereitstellt als auch Aussagen über deren Gesetzmäßigkeiten liefert. Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist dabei eine Maßzahl für den Grad der Gewissheit (bzw. Ungewissheit) des Eintretens von zufälligen Ereignissen. Die Stochastik, deren Kernstück die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist, bildet das Fundament für die Induktive Statistik, die ein Gegenstand des siebenten Kapitels ist. h
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6.1
Stochastik
Zufallsexperimente und Ereignisse
Motivation. Ein Grundanliegen der Stochastik ist die mathematische Beschreibung und Nachbildung von zufallsbedingten Vorgängen. Für die inhaltliche Bestimmung und für das Verständnis stochastischer Grundbegriffe erweisen sich vor allem Zufallsexperimente, die einem Glücksspiel entlehnt sind, als sehr anschaulich und vorteilhaft. Solche Zufallsexperimente sind zum Beispiel das Werfen eines Würfels oder einer Münze, das Drehen eines Glücksrades oder gemäß Abbildung 6.1-1 auch das Spielen eines Balls oder das Werfen eines Wurfpfeils. Abbildung 6.1-1: Drei Zufallsexperimente
Zufallsexperiment Ein Versuch mit unbestimmtem Ausgang, der unter gleichen Rahmenbedingungen zumindest gedanklich beliebig oft wiederholt werden kann, wobei die Menge der möglichen Versuchsergebnisse vor der Versuchsdurchführung bekannt ist, heißt Zufallsexperiment.
Ergebnismenge. Untrennbar mit der Betrachtung eines Zufallsexperiments sind die Begriffe „Ergebnis“ und „Ergebnismenge“ verbunden, die inhaltlich wie folgt bestimmt sind: Ergebnis und Ergebnismenge Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis Z (lies: Klein-Omega). Die Menge : (lies: Groß-Omega) aller möglichen Ergebnisse Z : eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge, wobei allgemein : = {Z : Z ist ein Ergebnis eines Zufallsexperiments} gilt. Hinweise. Für das Verständnis einer Ergebnismenge, die synonym auch als Ergebnisraum oder Grundraum bezeichnet wird, sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Anzahl. Bezüglich der Anzahl der Ergebnisse Z : einer Ergebnismenge : unterscheidet man zwischen abzählbaren und nichtabzählbaren Ergebnismengen. Abzählbare Ergebnismengen unterteilt man ferner in endliche und in abzählbar unendliche Mengen. Für die weiteren Betrachtungen sind nur abzählbar endliche Ergebnismengen von Interesse. ii) Ereignis. Bei einem Zufallsexperiment interessiert oft nur, ob sein Ausgang in Gestalt eines bestimmten Ergebnisses Z : zu einer gewissen Menge von „interessierenden“ Ergebnissen gehört, die wiederum eine Teilmenge der Ergebnismenge : ist. Dies führt zum Begriff eines zufälligen Ereignisses. i
Stochastik
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Ereignis Eine Teilmenge der Ergebnismenge : eines Zufallsexperiments, die von Interesse ist, heißt Ereignis. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffes eines Ereignisses, das synonym auch als zufälliges Ereignis oder Zufallsereignis bezeichnet wird, sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Symbolik. Zufällige Ereignisse werden in der Regel mit den lateinischen Großbuchstaben A, B, C ... bezeichnet. Ein zufälliges Ereignis A kann formal wie folgt beschrieben werden: A = {Z : Z besitzt eine bestimmte Eigenschaft}. Das Ereignis A ist eingetreten, wenn das Ergebnis Z : eines Zufallsexperiments ein Element der Teilmenge A der Ergebnismenge : ist. ii) Elementarereignis. Eine einelementige Teilmenge heißt Elementarereignis. Dabei ist zu beachten, dass ein Ergebnis Z eines Zufallsexperiments begrifflich wohl zu unterscheiden ist von einem Elementarereignis {Z}, so wie sich eine Brille (Ergebnis) von einem Brillenetui (einelementige Teilmenge), das eine Brille enthält, unterscheidet. Hinzu kommt noch, dass der Begriff eines Elementarereignisses als eine einelementige Teilmenge aus einer Ergebnismenge inhaltlich stets durch das jeweilige Zufallsexperiment bestimmt ist. Besteht zum Beispiel beim Werfen eines Würfels ein Elementarereignis in einer Augenzahl (vgl. Beispiel 6.1-1), so stellt sich beim Zufallsexperiment, das im einmaligen Werfen zweier Würfel besteht, eine einelementige Menge als ein geordnetes Paar zweier Augenzahlen dar (vgl. Beispiel 6.1-4). iii) Sicheres Ereignis. Die Ergebnismenge : eines Zufallsexperiments kennzeichnet das sichere Ereignis. Für eine Ergebnismenge : besteht das sichere Ereignis darin, dass genau eines der möglichen Elementarereignisse Z : eintritt. Aus diesem Grunde bezeichnet man das sichere Ereignis gleichfalls mit :. Streng genommen ist ein sicheres Ereignis kein zufälliges Ereignis, sondern lediglich ein Extremfall. Gleiches gilt auch für das unmögliche Ereignis. iv) Unmögliches Ereignis. Die leere Ergebnismenge eines Zufallsexperiments kennzeichnet das unmögliche Ereignis. Für eine Ergebnismenge : besteht das unmögliche Ereignis darin, dass keines der möglichen Elementarereignisse eintreten kann. Man bezeichnet in Anlehnung an eine leere Ergebnismenge ein unmögliches Ereignis gleichfalls mit . i
Beispiel 6.1-1: Werfen eines Würfels Zufallsexperiment. Das einmalige Werfen eines „idealen“ Spielwürfels ist ein ideales Zufallsexperiment. Es kann beliebig oft wiederholt werden. Die endliche Menge aller Würfe eines Spielwürfels stellt eine Menge voneinander unabhängiger Versuche dar, deren jeweiliger Ausgang im Vorhinein stets zufallsbedingt und daher unbestimmt ist. Ergebnismenge. Die endliche Ergebnismenge
: des Zufallsexperiments, die bereits im Vorfeld des Zufallsexperiments angegeben werden kann, lässt sich formal mit Hilfe der vereinbarten Symbole wie folgt darstellen: : = {Zi = i, i = 1, 2,..., 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Damit ist das Ergebnis „Der Würfel steht auf der Kante.“ von den Ergebnisbetrachtungen des betrachteten Zufallsexperiments ausgeschlossen.
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Stochastik
Ereignisse. Die sechs einelementigen Teilmengen Ai = {Zi = i} der Ergebnismenge : sind zugleich die sechs möglichen Elementarereignisse Ai des Zufallsexperiments „einmaliges Werfen eines sechsseitigen Spielwürfels“. Das zufällige Ereignis B = {gerade Augenzahl} = {Zi = i, i = 2, 4, 6} = {2, 4, 6} erscheint als eine Teilmenge B : (lies: B ist Teil von Omega) der Ergebnismenge : und ist daher im Kontext des Zufallsexperiments kein elementares, sondern ein zusammengesetztes zufälliges Ereignis. Das sichere Ereignis : = {1, 2, 3, 4, 5, 6} besteht darin, dass genau eine der sechs möglichen Augenzahlen angezeigt wird. Das unmögliche Ereignis = {Z : Z :} = { } als eine leere Ergebnismenge deutet man semantisch wie folgt: Das Ergebnis Z ist kein Element der Ergebnismenge : des Zufallsexperiments. h Beispiel 6.1-2: Schadensmeldung Zufallsexperiment. Die Erfassung der Anzahl der Schadensmeldungen, die im Verlaufe eines Wirtschaftsjahres bei einer Versicherung eingehen, kann als ein Zufallsexperiment aufgefasst werden. Ergebnismenge. Die Ergebnismenge : = {Zi = i N 0} = {0, 1, 2,...} des Zufallsexperiments stellt sich im konkreten Fall als eine abzählbar unendliche Menge von Schadensmeldungen dar, da im Vorfeld des Experiments die Anzahl der eingehenden Schadensmeldungen unbekannt ist und zumindest potentiell unendlich groß sein kann. Ereignisse. Das zufällige Ereignis A „genau 2810 Schadensfälle sind eingegangen“ ist eine einelementige Ergebnismenge A = {2810} und damit ein mögliches Elementarereignis des Zufallsexperiments. Das zufällige Ereignis B „mindestens 1000, aber höchstens 5000 Schadensfälle sind eingegangen“ ist eine endliche Teilmenge B = {Z N: 1000 d Z d 5000} = {1000, 1001, ..., 5000} der Ergebnismenge : und erscheint nicht als ein elementares, sondern als ein zusammengesetztes zufälliges Ereignis im Kontext des Zufallsexperiments. h Beispiel 6.1-3: Wartezeit Zufallsexperiment. Die Bestimmung und die statistische Erfassung der Wartezeit eines zufällig ausgewählten Kunden an einer Kasse in einem Supermarkt kann als ein Zufallsexperiment aufgefasst werden. Ergebnismenge. Die Ergebnismenge des Zufallsexperiments kann formal wie folgt beschrieben werden: : = {t R+: 0 d t < f}. Der Buchstabe t symbolisiert die Zeit (lat.: tempus o Zeit). Da die Zeit ihrem Wesen nach ein Kontinuum ist, stellt die beschriebene Ergebnismenge in Gestalt der Menge der positiven reellen Zahlen R+ eine nichtabzählbare Zahlenmenge dar. Ereignis. Das zufällige Ereignis A = {t R+: 0 d t < 5} als eine Ergebnisteilmenge besteht darin, dass sich die Wartezeit (Angaben in Minuten) eines zufällig ausgewählten Kunden auf weniger als fünf Minuten beläuft. h
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Beispiel 6.1-4: Werfen zweier verschiedenfarbiger Würfel Zufallsexperiment. Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen zweier unterschiedlich farbiger sechsseitiger Würfel (etwa eines schwarzen und eines weißen Spielwürfels). Ergebnismenge. Die Ergebnismenge : = {(s, w) N u N: 1 d s, w d 6} = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} des betrachteten Zufallsexperiments besteht im konkreten Fall aus insgesamt 6² = 36 geordneten Augenzahlpaaren (s, w), die wiederum als Elemente einer 36-elementigen Potenzmenge N u N aufgefasst und dargestellt werden können.
:=
Sicheres und unmögliches Ereignis. Das sichere Ereignis besteht bei diesem Zufallsexperiment darin, dass genau eines der 36 gleichmöglichen Augenpaare : = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} beim einmaligen Würfeln „oben erscheint“. Für das unmögliche Ereignis gilt dann: = {(s, w) :} = { }. h Ereignisoperationen. Die Abbildung 6.1-2 beinhaltet die VENN-Diagramme zur bildhaften Beschreibung von Ereignisrelationen und Ereignisoperationen, mit deren Hilfe der Ereignisbegriff erweitert und spezifiziert werden kann. Abbildung 6.1-2: VENN-Diagramme (nach John VENN (1834-1923)) AB AB AB=
:
:
:
B
B
A
A
A
AB
A
A\B
:
: A
B
B
:
A
B
A
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Stochastik
Ereignisoperationen Ist : die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : interessierende zufällige Ereignisse, dann beschreibt die Ereignisrelation x A B, dass das Eintreten des Ereignisses A stets auch das Eintreten des Ereignisses B zur Folge hat (Teilmengenoperation). x A B das zufällige Ereignis, das darin besteht, dass mindestens eines der Ereignisse A oder B eintritt, also entweder das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt oder beide gemeinsam eintreten (Vereinigungsmengenoperation). x A B das zufällige Ereignis, das darin besteht, dass sowohl das zufällige Ereignis A als auch das zufällige Ereignis B eintritt (Schnittmengenoperation). x A \ B das zufällige Ereignis, das darin besteht, dass das zufällige Ereignis A, aber nicht das zufällige Ereignis B eintritt (Differenzmengenoperation).
Spezialfälle. Aus den bildhaft und verbal skizzierten Ereignisrelationen und Ereignisoperationen können spezielle Ereignisbegriffe entlehnt werden, die für die weiteren elementaren Betrachtungen zur Stochastik von substantieller Bedeutung sind. Disjunkte Ereignisse Ist : die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : interessierende zufällige Ereignisse, deren Schnittmenge A B = = { } eine leere Menge ist und somit das unmögliche Ereignis darstellt, dann heißen die zufälligen Ereignisse A und B disjunkte (lat.: disiunctio o Trennung) oder unvereinbare oder elementefremde zufällige Ereignisse. Komplementäres Ereignis Ist : die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnet die Teilmenge A : ein interessierendes zufälliges Ereignis, dann beschreibt die Differenzmenge A : \ A das zum zufälligen Ereignis A komplementäre zufällige Ereignis A , das darin besteht, dass im Zuge des Zufallsexperiments das sichere Ereignis :, aber nicht das zufällige Ereignis A eintritt.
Ereignisfeld. Mit der Beschreibung von zufälligen Ereignissen untrennbar verbunden ist der Begriff eines Ereignisfeldes. Als ein Ereignisfeld bezeichnet man die Menge aller zufälligen Ereignisse, die unter Verwendung der skizzierten Ereignisoperationen im Kontext eines Zufallsexperiments potentiell möglich sind. Für die Einführung der klassischen Wahrscheinlichkeit erweist sich die Betrachtung eines LAPLACEschen Ereignisfeldes als vorteilhaft, das nach dem französischen Mathematiker Pierre Simon Marquis le Comte LAPLACE (17491827) benannt ist (vgl. Kapitel 1).
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LAPLACEsches Ereignisfeld Ein Ereignisfeld, das aus endlich vielen gleichmöglichen Elementarereignissen besteht, von denen bei Durchführung eines Zufallsexperiments genau eines eintritt, heißt LAPLACEsches Ereignisfeld. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffes eines LAPLACEschen Ereignisfeldes sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Gleichmöglichkeit. Elementarereignisse heißen gleichmöglich, wenn sie im Zuge eines Zufallsexperiments die gleiche Chance (frz.: chance o Glücksfall) haben, einzutreten. Gleichmögliche Ereignisse sind daher hinsichtlich des Grades der Bestimmtheit ihres Eintretens nicht unterscheidbar. ii) Eigenschaften. Sind Ai (i = 1,2,...,n) n gleichmögliche Elementarereignisse, so besitzt ein LAPLACEsches Ereignisfeld die folgenden Eigenschaften: A1 A2 ... An = : und Ai Aj = für i z j. Aus den beiden Eigenschaften eines LAPLACEschen Ereignisfeldes ergibt sich unmittelbar, dass sich jedes beliebige zufällige Ereignis A z als Vereinigungsmenge derjenigen gleichmöglichen Elementarereignisse Ai A darstellen lässt, die das Ereignis A nach sich ziehen. iii) Absolute Häufigkeit. Die Anzahl gleichmöglicher Elementarereignisse Ai, die das Ereignis A nach sich ziehen, heißt absolute Häufigkeit n(A) des zufälligen Ereignisses A. iv) Bedeutung. LAPLACEsche Ereignisfelder bilden die Basis des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs (vgl. Abschnitt 6.2). i
Beispiel 6.1-5: Zufällige Ereignisse beim Zufallsexperiment Würfeln Zufallsexperiment. In Anlehnung an das Beispiel 6.1-1 besteht das Zufallsexperiment wiederum im einmaligen Werfen eines „idealen“ bzw. „fairen“ sechsseitigen Spielwürfels. Die Ergebnismenge
:
des Zufallsexperiments ist durch die endliche Menge der möglichen Ergebnisse Z : in Gestalt einer „oben erscheinenden Augenzahl“ gegeben. Ereignisse. Von Interesse sind die folgenden zufälligen Ereignisse: A: „Die Augenzahl ist eine Sechs.“, B: „Die Augenzahl ist gerade.“, C: „Die Augenzahl ist ungerade.“, D: „Die Augenzahl ist höchstens eine Zwei.“ und E: „Die Augenzahl ist keine Fünf.“ Die interessierenden zufälligen Ereignisse können als mathematische Objekte in Gestalt von Teilmengen der Ergebnismenge : stark vereinfacht und formal wie folgt dargestellt werden: A = {6}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 3, 5}, D = {1, 2} und E = {1, 2, 3, 4, 6}. Ereignisrelationen. Anhand der formalen Darstellung der Ereignisse überzeugt man sich leicht davon, dass zum Beispiel die folgenden Ereignisrelationen gelten: A B, B E und A E. Die Aussage, dass zum Beispiel „das Ereignis A das Ereignis E zur Folge hat“ verdeutlicht man sich am einfachsten wie folgt: Erscheint beim einmaligen Würfeln eine Sechs „oben auf dem Spielwürfel“, dann ist das Ereignis A eingetreten und damit in logischer Konsequenz auch das Ereignis E, das ja darin besteht, dass keine Fünf erscheint, dafür aber entweder eine Eins oder eine Zwei oder eine Drei oder eine Vier oder eben eine Sechs
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„oben erscheint“. Somit zieht das Eintreten des zufälligen Ereignisses A stets auch das Eintreten des zufälligen Ereignisses E nach sich. Ereignisoperationen. Die Betrachtung spezieller Ereignisoperationen liefert die folgenden interessanten und leicht vollziehbaren Aussagen: Sicheres Ereignis. Das mittels einer Vereinigungsmenge „zusammengesetzte“ zufällige Ereignis B C = {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = :, das darin besteht, dass beim einmaligen Werfen eines Spielwürfels entweder eine gerade oder eine ungerade Augenzahl „oben erscheint“, kennzeichnet das sichere Ereignis : im betrachteten Zufallsexperiment des einmaligen Werfens eines Spielwürfels, das mit der zugehörigen Ergebnismenge : identisch ist. Unmögliches Ereignis. Das mittels einer Schnittmenge „konstruierte“ zufällige Ereignis B C = {2, 4, 6} {1, 3, 5} = { } = , das darin besteht, dass beim einmaligen Werfen eines Spielwürfels sowohl eine gerade als auch eine ungerade Augenzahl „oben erscheint“, ist eine leere Ergebnismenge und stellt daher ein unmögliches Ereignis im Kontext des Zufallsexperiments dar. Disjunkte Ereignisse. Da die zufälligen Ereignisse B und C bezüglich der möglichen Ergebnisse Z : des Zufallsexperiments keine Ergebnisse (Augenzahlen) gemeinsam haben, schließen sie sich gegenseitig aus, sind also disjunkte bzw. elementefremde zufällige Ereignisse. Demgegenüber ist die Schnittmenge A B der zufälligen Ereignisse A und B wegen {6} {2, 4, 6} = {6} keine leere Menge. Da offensichtlich die Ereignisse A und B das Ergebnis Z = „Eine Sechs erscheint oben.“ gemeinsam haben, sagt man auch: Die zufälligen Ereignisse A und B sind nicht elementefremd bzw. sind nicht disjunkt. Komplementärereignis. Aus den nachfolgend aufgelisteten komplementären Ereignissen lassen sich die folgenden allgemeingültigen Aussagen ableiten: A = : \ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{6} = {1, 2, 3, 4, 5} B = : \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{2, 4, 6} = {1, 3, 5} C = : \ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{1, 3, 5} = {2, 4, 6} D = : \ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{1, 2} = {3, 4, 5, 6} E = : \ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{1, 2, 3, 4, 6} = {5} Sicheres Ereignis. Die Vereinigungsmenge eines zufälligen Ereignisses und seines Komplements liefert die Ergebnismenge :, die wiederum das sichere Ereignis beschreibt. Im konkreten Fall gilt zum Beispiel A A = {6} {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = :. Unmögliches Ereignis. Die Schnittmenge eines zufälligen Ereignisses und seines Komplements ist eine leere Menge, die wiederum als unmögliches Ereignis gedeutet wird. Im konkreten Fall gilt zum Beispiel C C = {1, 3, 5} {2, 4, 6} = { } = . Differenzmenge. Die Differenzmenge zweier zufälliger Ereignisse ist gleich der Schnittmenge aus dem erstgenannten zufälligen Ereignis und dem Komple-
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ment des letztgenannten zufälligen Ereignisses. Im konkreten Fall gilt zum Beispiel D \ B = D B = {1, 2} {1, 3, 5} = {1}. DE MORGANsche Formeln. Die nachfolgend skizzierten Beziehungen bzw. formulierten Aussagen gehen auf den britischen Mathematiker Augustus DE MORGAN (1806-1871) zurück. Ihm zu Ehren werden sie in der Mengentheorie auch als DE MORGANsche Formeln bezeichnet. De Morgansche Formeln x Das Komplement der Vereinigungsmenge zweier zufälliger Ereignisse ist gleich der Schnittmenge aus ihren Komplementen. x Das Komplement der Schnittmenge zweier zufälliger Ereignisse ist gleich der Vereinigungsmenge ihrer Komplemente.
Für die zufälligen Ereignisse D und E gilt gemäß der ersten Formel zum Beispiel ( D E ) D E = {3, 4, 5, 6} {5} = {5}. Demnach tritt genau dann nicht mindestens eines der beiden zufälligen Ereignisse D oder E ein, wenn weder das Ereignis D noch das Ereignis E, also keines der beiden Ereignisse eintritt. Für die zufälligen Ereignisse A und E gilt gemäß der zweiten Formel zum Beispiel ( A E ) A E = {1, 2, 3, 4, 5} {5} = {1, 2, 3, 4, 5}. Demnach treten die beiden Ereignisse A und E dann nicht gemeinsam ein, wenn mindestens eines der zufälligen Ereignisse A oder E nicht eintritt. LAPLACEsches Ereignisfeld. Bezeichnet Ai = {Zi = i}, i {1, 2, 3, 4, 5, 6}, das zufällige Ereignis, dass beim einmaligen Werfen eines „idealen“ sechsseitigen Würfels die Augenzahl Zi = i „auf dem Spielwürfel oben erscheint“, dann überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass a) die endliche Anzahl der sechs zufälligen Ereignisse Ai (i = 1,2,...,6) einelementige Teilmengen der Ergebnismenge : = {Zi = i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6} und damit Elementarereignisse sind, b) die Vereinigungsmenge A1 A2 ... A6 = {1, 2,...,6} = : aus allen gleichmöglichen Elementarereignissen Ai das sichere Ereignis : darstellt, c) wegen Ai Aj = für alle i z j und i, j = 1,2,...,6 die Elementarereignisse Ai sich paarweise gegenseitig ausschließen und damit paarweise als disjunkte zufällige Ereignisse charakterisiert werden können und d) die Anzahl der zufälligen und gleichmöglichen Elementarereignisse Ai = {Zi = i}, die etwa das Ereignis B „gerade Augenzahl“ zur Folge haben, wegen B = {2} {4} {6} = {2, 4, 6} letztlich n(B) = 3 ist. Man sagt daher auch: Die Anzahl bzw. die absolute Häufigkeit der für das zufällige Ereignis B günstigen und gleichmöglichen Elementarereignisse ist gleich drei. Offensichtlich liegt im konkreten Fall ein LAPLACEsches Ereignisfeld vor. Der Begriff eines LAPLACEsches Ereignisfeldes selbst bildet wiederum die Grundlage für den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der ein spezieller Gegenstand des Abschnittes 6.2 ist. h
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6.2
Stochastik
Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Motivation. Der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ ist untrennbar verbunden mit der Betrachtung zufälliger Ereignisse und mit dem Versuch der zahlenmäßigen Beschreibung des Gewissheits- bzw. Ungewissheitsgrades ihres Eintretens. Bei der zahlenmäßigen Beschreibung des Gewissheitsgrades von zufälligen Ereignissen kommt dem axiomatischen, dem klassischen, dem subjektiven und dem statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff eine besondere Bedeutung zu. Axiomatische Wahrscheinlichkeit Ist : z die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : zufällige Ereignisse, dann heißt eine auf den Teilmengen von : definierte reellwertige Funktion P Wahrscheinlichkeitsmaß und P(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, wenn folgende Axiome erfüllt sind: 1. das Nichtnegativitätsaxiom: P(A) t 0, 2. das Normierungsaxiom: P(:) = 1 3. das Additionsaxiom: P(A B) = P(A) + P(B) für A B = . Hinweise. Für das Verständnis des axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs erweisen sich die folgenden Hinweise nützlich: i) Historie. Der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff geht auf den russischen Mathematiker Andrej Nikolajewitsch KOLMOGOROV (1903-1987) zurück, der 1933 in einem publizierten Traktat den axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff begründete (vgl. Kapitel 1). ii) Axiome. Ein Axiom (grch.: axioun o für recht halten) ist ein Lehrsatz, der nicht weiter bewiesen zu werden braucht. Die drei KOLMOGOROVschen Wahrscheinlichkeitsaxiome besitzen jeweils die folgende Aussage: 1) Das Nichtnegativitätsaxiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A eine reelle Zahl ist, die stets nur gleich oder größer als null sein kann. 2) Das Normierungsaxiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses : eins ist. 3) Das Additionsaxiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit P(A B) für die Vereinigung zweier disjunkter zufälliger Ereignisse A und B gleich ist der Summe P(A) + P(B) aus ihren Wahrscheinlichkeiten. iii) Symbolik. Die Funktionsbezeichnung P für ein Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. für eine Wahrscheinlichkeit hat sich in Anlehnung an die englische Literatur (engl.: probability o Wahrscheinlichkeit) auch in der deutschsprachigen Literatur als Standard durchgesetzt. iii) Bedeutung. Die Bedeutung des axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach KOLMOGOROV liegt vor allem darin begründet, dass dieser den theoretischen Rahmen absteckt, woraus Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten (vgl. Abschnitt 6.3) abgeleitet werden können, worin auch abzählbar unendliche Ergebnismengen eingeschlossen sind. i
Beispiel 6.2-1: Wahrscheinlichkeitsaxiome Motivation. Anhand der drei KOLMOGOROVschen Axiome lassen sich die folgenden elementaren und allgemeingültigen Aussagen über Wahrscheinlichkeiten ableiten, die zugleich ein anschauliches Beispiel dafür sind, welche theoretische Bedeutung dem axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff zukommt.
Stochastik
141
Axiome. Für das Normierungsaxiom gilt P(:) = 1. Aus : A A folgt gemäß dem Additionsaxiom 1 P(:) P( A A ) P( A ) P( A ) , wobei P(A) und P( A ) gemäß dem Nichtnegativitätsaxiom jeweils gleich oder größer null sind und somit für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A und seines Komplements A nur 0 d P(A) d 1 bzw. 0 d P( A ) d 1 und P( A ) = 1 – P(A) bzw. P(A) = 1 – P( A ) gelten kann. Unter Verwendung des Normierungs- und Additionsaxioms überzeugt man sich, dass wegen 1 = P(:) = P(: ) = P(:) + P() letztlich nur P() = 1 P(:) = 1 – 1 = 0 gelten kann. Aus diesen elementaren Betrachtungen lassen sich die folgenden allgemeingültigen Aussagen ableiten: Aussagen. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine reelle Zahl, die stets gleich oder größer als null und stets gleich oder kleiner als eins ist. Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist gleich null, die des sicheren Ereignisses ist gleich eins. h Klassische Wahrscheinlichkeit Sind : z eine (nichtleere) Ergebnismenge und A : ein zufälliges Ereignis eines LAPLACEschen Ereignisfeldes, dann heißt der Quotient P(A) = n(A)/n(:) aus der Anzahl n(A) derjenigen zufälligen und gleichmöglichen Elementarereignisse Ai = {Zi :}, i = 1,2,...,n, die wegen Ai A das zufällige Ereignis A zur Folge haben, und der endlichen Anzahl n(:) aller im Kontext eines Zufallsexperiments gleichmöglichen Elementarereignisse Ai : klassische Wahrscheinlichkeit P(A) des zufälligen Ereignisses A. Hinweise. Für das Verständnis des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Historie. Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff geht auf den französischen Physiker und Mathematiker Pierre Simon Marquis le Comte LAPLACE (1749-1827) zurück (vgl. Kapitel 1). Aus diesem Grunde bezeichnet man eine klassische Wahrscheinlichkeit auch als LAPLACE-Wahrscheinlichkeit. ii) Formel. Kennzeichnet man ein Elementarereignis Ai A, das Element eines zufälligen Ereignisses A ist, als ein für das zufällige Ereignis A günstiges Elementarereignis Ai, so lässt sich die klassische Wahrscheinlichkeit nach LAPLACE auch wie folgt formulieren: Die Wahrscheinlichkeit P(A) ist der Quotient aus der Anzahl n(A) der für das zufällige Ereignis A günstigen und zugleich gleichmöglichen Elementarereignisse Ai und der endlichen Anzahl n(:) = n aller gleichmöglichen Elementarereignisse Ai, so dass sich die folgende einfache Formel ergibt: P(A) = n(A)/n. iii) Bedeutung. Die praktische Bedeutung des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs liegt vor allem darin begründet, dass man die Wahrscheinlichkeit von zufälligen Ereignissen mit Hilfe logischer Überlegungen und/oder mit Hilfe der Kombinatorik berechnen kann, ohne das jeweilige Zufallsexperiment selbst durchführen zu müssen. Die Kombinatorik (lat.: combinare o verbinden, verknüpfen) ist die Bezeichnung für die Lehre von der Zusammenstellung von Elementen. iv) Beispiele. Das Werfen einer Münze oder eines Würfels bzw. das Drehen eines Glückrades sind Zufallsexperimente, die einen (vergleichsweise) einfachen Zugang zum klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff ermöglichen. i
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Stochastik
Beispiel 6.2-2: Werfen einer Münze Zufallsexperiment. Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen einer fairen Münze. Die möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments sind die zwei gleichmöglichen Ergebnisse Z1 = „Zahl erscheint oben“ oder Z2 = „Wappen erscheint oben“. Bezeichnet man mit Z = {Z1 = Zahl} und W = {Z2 = Wappen} die im betrachteten Zufallsexperiment gleichmöglichen Elementarereignisse, dann bilden die beiden Elementarereignisse Z und W wegen der Vereinigungsmenge Z W = : und der Schnittmenge Z W = ein LAPLACEsches Ereignisfeld vom Umfang n(:) = 2. : = {Z, W} kennzeichnet dabei das sichere Ereignis im Kontext des betrachteten Zufallsexperiments. Klassische Wahrscheinlichkeit. Da für die beiden gleichmöglichen Elementarereignisse Z und W wegen n(Z) = 1 und n(W) = 1 jeweils nur ein günstiges Ergebnis möglich ist, bestimmt man auf der Basis des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(Z) = 1/2 = 0,5 und P(W) = 1/2 = 0,5 und kennzeichnet die beiden zufälligen Ereignisse W und Z wegen einer gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit als gleichwahrscheinlich. h Beispiel 6.2-3: Werfen eines Würfels Zufallsexperiment. Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen eines „idealen“ Spielwürfels, also eines Spielwürfels, der „nicht gezinkt“ ist. Im Kontext des Beispiels 6.1-5 wurde gezeigt, dass die n = 6 Elementarereignisse Ai = {Zi = i}, i = 1, 2,..., 6, wegen A1 A2 ... A6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = : und Ai Aj = für i, j = 1,2,...,6 und i z j ein LAPLACEsches Ereignisfeld bilden, da sie im Zuge des in Rede stehenden Zufallsexperiments alle eine gleiche Chance (frz.: chance o Glücksfall) besitzen, als Augenzahl „auf dem Würfel oben erscheinen“ zu können. Klassische Wahrscheinlichkeiten. Jedes im Zusammenhang mit dem Zufallsexperiment interessierende zufällige Ereignis lässt sich als Vereinigungsmenge der entsprechenden Elementarereignisse Ai etwa wie folgt darstellen: Ereignis A: „gerade Augenzahl“. Da das zufällige Ereignis A offensichtlich mit jedem der Elementarereignisse A2 = {2}, A4 = {4} oder A6 = {6} eintritt, also A = A2 A4 A6 = {2} {4} {6} = {2, 4, 6}, n(A) = 3 und n(:) = 6 gilt, ist die klassische Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des zufälligen Ereignisses A durch P(A) = 3/6 = 1/2 gegeben. Ereignis B: „ungerade Augenzahl“. Da das zufällige Ereignis B mit jedem der drei Elementarereignisse A1 = {1}, A3 = {3} oder A5 = {5} eintritt, also B = A1 A3 A5 = {1} {3} {5} = {1, 3, 5}, n(B) = 3 und n(:) = 6 gilt, ist gemäß dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des zufälligen Ereignisses B durch P(B) = 3/6 = 1/2 gegeben. Wegen P(A) = ½ und P(B) = ½ kennzeichnet man die beiden zufälligen Ereignisse A und B als gleichwahrscheinlich.
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Ereignis A B: „sowohl gerade als auch ungerade Augenzahl“. Da im konkreten Fall die Schnittmenge A B = der beiden zufälligen Ereignisse A und B eine leere Menge ist, kennzeichnet man die Ereignisse A und B als disjunkte Ereignisse und das Ereignis A B als ein unmögliches Ereignis. In logischer Konsequenz ist die Anzahl der für das Ereignis A B günstigen Fälle null, so dass n(A B) = 0 gilt. Wegen n(:) = 6 errechnet man für das „unmögliche“ Ereignis A B eine klassische Wahrscheinlichkeit von P(A B) = 0/6 = 0. Ereignis A B: „entweder gerade oder ungerade Augenzahl“. Da für die disjunkten Ereignisse A und B die Vereinigungsmenge A B = : das sichere Ereignis : beschreibt, beträgt wegen n(A B) = n(:) = 6 die klassische Wahrscheinlichkeit für das zufällige Ereignis A B n( A B) 6 P( A B) P( A ) P( B) 0,5 0,5 1 P( : ) , n(:) 6 die wiederum eine Anwendung des KOLMOGOROVschen Additionsaxioms darstellt, wonach die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier disjunkter zufälliger Ereignisse gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist. h Subjektive Wahrscheinlichkeit Die erfahrungs- und/oder wissensbasierte Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P(A) eines zufälligen Ereignisses A durch eine Person, die mit dem jeweiligen Zufallsexperiment vertraut ist, heißt subjektive Wahrscheinlichkeit. Hinweise. Für das Verständnis des subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriffs sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Chance. Subjektive Wahrscheinlichkeiten werden in praxi oft als Chancen (frz.: chance o Glücksfall, engl.: odd(s) o Chance(n)) angegeben bzw. als Wetten formuliert. Wird die Chance, dass in Kontext eines Zufallsexperiments ein zufälliges Ereignis A eintritt, subjektiv durch das Verhältnis von „a zu b“ bzw. a : b zahlenmäßig beschrieben, dann beläuft sich die subjektive Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des zufälligen Ereignisses auf P(A) = a/(a + b). In Analogie dazu lässt sich die Chance für das Eintreten eines zufälligen Ereignisses A darstellen als das Verhältnis P(A)/(1 – P(A)) : 1 = a : b der subjektiven Ereigniswahrscheinlichkeit P(A) und ihrer komplementären Ereigniswahrscheinlichkeit 1 – P(A). ii) Applikation. Subjektive Wahrscheinlichkeiten spielen in der Entscheidungstheorie für Lösungsansätze von Entscheidungsproblemen unter Ungewissheit eine praxisrelevante Rolle. i
Beispiel 6.2-4: Subjektive Wahrscheinlichkeit Ein Student der Betriebswirtschaftslehre geht im Kreise seiner Kommilitonen am Biertisch die folgende Wette ein: Er wettet bei einem Wetteinsatz von fünf Bier, dass er beim einmaligen Werfen eines nicht gezinkten Spielwürfels eher eine Sechs würfelt, als dass er zum Semesterende die Statistik-Klausur im ersten Anlauf besteht. Da die klassische Wahrscheinlichkeit für das zufällige Ereignis S(echs) offensichtlich P(S) = 1/6 ist, muss die subjektive Wahrscheinlichkeit dafür, dass er die Klausur besteht, kleiner als ein Sechstel sein. h
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Stochastik
Beispiel 6.2-5: HAMLETs Chancen Wettchance. Der englische Dramatiker William SHAKESPEARE (1564-1616) lässt in der Tragödie „Hamlet, Prinz von Dänemark“ im fünften Aufzug, zweite Szene, den Hofmann OSRICK zu HAMLET sagen: „Der König, Herr, hat gewettet, dass LAERTES in zwölf Stößen von beiden Seiten nicht über drei vor Euch voraushaben soll; er hat auf zwölf gegen neun gewettet.“ Subjektive Wahrscheinlichkeit. Bezeichnet man aufgrund der königlichen Aussage „... wenn HAMLET trifft zum ersten oder zweiten, wenn er beim dritten Tausch den Stoß erwidert, lasst das Geschütz von allen Zinnen feuern ...“ das zufällige Ereignis, dass HAMLET in zwölf Stößen drei hintereinander trifft, mit A, dann entspricht die königliche Wette von „9 zu 12“ wegen a = 9 und b = 12 einer subjektiven Wahrscheinlichkeit von P(A) = a/(a + b) = 9/(9 + 12) | 0,43 und im logischen Umkehrschluss die subjektive Wahrscheinlichkeit P(A) | 0,43 wegen P(A)/(1 – P(A)) : 1 = 0,43/(1 – 0,43) : 1 | 0,75 : 1 einer so genannten Wettchance von 75 : 100 bzw. 3 : 4 bzw. 3(3 : 4) = 9 : 12 = a : b. Unterstellt man einmal, dass der König mit HAMLETs Fechtkünsten vertraut ist und die subjektive Wahrscheinlichkeit als Maßzahl für die Gewinnchance HAMLETs angesehen werden darf, dann ist die Chance (frz.: chance o Glücksfall), dass „das Geschütz von allen Zinnen feuert“, allerdings nicht sehr groß. h Statistische Wahrscheinlichkeit Die Verwendung einer empirisch ermittelten relativen Häufigkeit p(A) als Schätzwert für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit P(A) eines zufälligen Ereignisses A, die sich theoretisch durch das schwache Gesetz großer Zahlen begründen lässt, subsumiert man unter dem statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Beispiel 6.2-6: Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment. Die Abbildung 6.2-1 zeigt die Ergebnisse eines Zufallsexperiments, im Zuge dessen das 10000-malige Werfen eines idealen Spielwürfels simuliert wurde.15 Relative Häufigkeit. Bereits nach simulierten 10000 Würfen ist zu erkennen, dass die Säulen, welche die Abweichungen der beobachteten und zufallsbedingten relativen Häufigkeiten für die sechs Augenzahlen von der klassischen Wahrscheinlichkeit bildhaft verdeutlichen, nur noch als „Stummel“ erscheinen. Selbst die relative Häufigkeit p(S) = 1725/10000 = 0,1725 für das zufällige Ereignis S = {Sechs} scheint sich „auf lange Sicht“ auf die klassische Wahrscheinlichkeit P(S) = 0,167, die bildhaft durch die parallel zur Abszisse verlaufende Linie auf dem Ordinatenniveau von 0,167 gekennzeichnet ist, „einzupegeln“. 15
Das zugrunde liegende Simulationsmodell wurde vom Buchautor mit Hilfe der Programmiersprache PASCAL erstellt und hat einzig und allein die bildhafte Verdeutlichung statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Sachverhalte zum Ziel.
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PEARSONsches Experiment. Ein in der Fachliteratur oft zitiertes Beispiel ist das Experiment des englischen Statistikers Karl PEARSON (1857-1936), der eine Münze 24000-mal geworfen hat und eine relative Häufigkeit p(K) = 0,5005 für das Ereignis {Kopf} ermittelte. Dabei ist allerdings zu beachten, dass das empirische Gesetz der Stabilisierung relativer Häufigkeiten, das sowohl durch das simulierte Würfel-Experiment als auch durch das PEARSONsche Experiment unterlegt wird, eine Erfahrungstatsache und kein mathematischer Sachverhalt ist. Abbildung 6.2-1: Zufallsexperiment: 10000-mal gewürfelt
klassische Wahrscheinlichkeit
relative Häufigkeiten
Statistische Wahrscheinlichkeit. Das auf den deutschen Mathematiker Richard Edler von MISES (1883-1953) zurückgehende Bestreben, unter bestimmten einschränkenden Bedingungen eine statistische Wahrscheinlichkeit als einen Grenzwert für eine relative Häufigkeit zu definieren und somit den so genannten statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff mathematisch zu begründen, zeigte sich nicht mit Erfolg gekrönt. Dennoch erweist sich diese Herangehensweise in praxi vor allem dann von Vorteil, wenn Wahrscheinlichkeiten für interessierende Fragestellungen nicht ohne Weiteres berechnet werden können. Man verwendet dann relative Häufigkeiten, die empirisch ermittelt wurden, als Näherungen für die nicht unmittelbar berechenbaren Wahrscheinlichkeiten. h
146
6.3
Stochastik
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Motivation. Die nachfolgend dargestellten Rechenregeln bilden das grundlegende Regelwerk beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten. Gleichwohl die Rechenregeln meist nur für zwei zufällige Ereignisse skizziert werden, ist ihre Verallgemeinerung für mehr als zwei zufällige Ereignisse möglich. Aus den Betrachtungen zum axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff (vgl. Abschnitt 6.2) können die folgenden Rechenregeln abgeleitet werden: Elementare Rechenregeln Ist A : ein zufälliges Ereignis, so gilt für die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens 0 d P(A) d 1. Für die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses gilt P() = 0. Für die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses : gilt P(:) = 1. Sind A, B : zufällige Ereignisse, wobei das Ereignis A aus dem Ereignis B folgt, dann gilt wegen A B stets P(A) d P(B). Ist A : ein zufälliges Ereignis und A das zum Ereignis A komplementäre Ereignis, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses P( A ) = 1 P(A). Beispiel 6.3-1: Werfen eines Spielwürfels Zufallsexperiment. In Anlehnung an die Beispiele 6.1-1 und 6.2-3 besteht das Zufallsexperiment im einmaligen Werfen eines idealen und sechsseitigen Spielwürfels. Unmögliches Ereignis. Interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses S = {Die Augenzahl ist eine Sieben.}, dann errechnet man wegen S = { } = , n(S) = 0 und n(:) = 6 eine klassische Wahrscheinlichkeit von P(S) = n(S) / n(:) = 0/6 = 0 = P(). Dies ist einleuchtend, denn das Ereignis S stellt im Kontext des Zufallsexperiments ein unmögliches Ereignis dar, so dass sowohl die Anzahl n(S) der für das Ereignis S günstigen Fälle (von den n(:) = 6 gleichmöglichen Fällen) als auch die Wahrscheinlichkeit P(S) null ist. Sicheres Ereignis. In logischer Konsequenz ist gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungsaxiom (vgl. Abschnitt 6.2) wegen P(:) = n(:)/n(:) = 6/6 = 1 die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis : gleich eins. Ereignisse. Für die Ereignisse A, B, C, D und E aus dem Beispiel 6.2-3 berechnet man folgende klassische Wahrscheinlichkeiten: P(A) = n(A)/n(:) = 1/6, P(B) = n(B)/n(:) = 3/6, P(C) = n(C)/n(:) = 3/6, P(D) = n(D)/n(:) = 2/6 und P(E) = n(E)/n(:) = 5/6. Da das zufällige Ereignis B: „Die gewürfelte Augenzahl ist gerade.“ im zufälligen Ereignis E: „Die gewürfelte Augenzahl ist keine Fünf.“ eingeschlossen ist, gilt für die Wahrscheinlichkeiten der zufälligen Ereignisse die leicht nachvollziehbare Relation: P(B) = 3/6 < P(E) = 5/6. Komplementärereignis. Die Wahrscheinlichkeit P( B ) = 1 – P(B) = 1 – 3/6 = P(C) = 3/6 = 0,5 des zum zufälligen Ereignis B komplementären zufälligen Er-
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eignisses B ist im konkreten Fall gleich der Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses C, das darin besteht, dass beim einmaligen Würfeln mit einem idealen und sechsseitigen Spielwürfel eine ungerade Augenzahl erscheint. h Additionsregel Ist : z die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : zwei zufällige Ereignisse, dann heißt die Gleichung P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) allgemeine Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten. Hinweise. Für das Verständnis und für die Anwendung der allgemeinen Additionsregel, die auch als allgemeines Additionstheorem (grch.: theorema o Lehrsatz, Regel) oder allgemeiner Additionssatz oder als Siebformel bezeichnet wird, sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Additionsaxiom. Sind die Ereignisse A, B : zwei disjunkte zufällige Ereignisse, gilt also A B = , dann stimmt die allgemeine Additionsregel für zwei zufällige Ereignisse mit dem Additionsaxiom nach KOLMOGOROV (vgl. Abschnitt 6.2) überein. Aus diesem Grunde bezeichnet man das KOLMOGOROVsche Additionsaxiom P(A B) = P(A) + P(B) auch als Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten zweier disjunkter zufälliger Ereignisse. ii) Verallgemeinerung. Für paarweise disjunkte zufällige Ereignisse Ai gilt wegen Ai Aj = , i z j (i, j = 1,2,...,n) die folgende Verallgemeinerung: P(A1 A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An). i
Beispiel 6.3-2: Additionsregel Zufallsexperiment. Analog zu den Beispielen 6.1-1, 6.2-3 und 6.3-1 besteht das Zufallsexperiment im einmaligen Werfen eines idealen und sechsseitigen Spielwürfels. Additionsregel. In Anlehnung an das Beispiel 6.2-3 errechnet man für drei Zufallsereignisse A, B und A B die klassischen Wahrscheinlichkeiten P(A) = n(A)/n(:) = 1/6, P(B) = n(B)/n(:) = 3/6 und P(A B) = n(A B)/n(:) = 1/6, so dass sich bei Anwendung der allgemeinen Additionsregel für das Ereignis A B eine Wahrscheinlichkeit von P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 1/6 + 3/6 – 1/6 = 1/2 = 0,5 ergibt. Dieses Ergebnis leuchtet ein, da die zufälligen Ereignisse A und B das Ergebnis Z = „Augenzahl sechs“ bzw. das Elementarereignis {6} gemeinsam haben und diese „Doppelzählung“ bei der Wahrscheinlichkeitsbestimmung berücksichtigt bzw. „bereinigt“ werden muss. Klassische Wahrscheinlichkeit. Zu einem gleichen Ergebnis gelangt man bei der Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit für das zufällige Ereignis A B, wobei wegen n(A B) = 3 und n(:) = 6 sich letztlich eine klassische Wahrscheinlichkeit von P(A B) = n(A B)/n(:) = 3/6 = 1/2 = 0,5 ergibt. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Werfen eines idealen Spielwürfels eine Sechs oder eine gerade Augenzahl „auf dem Spielwürfel oben erscheint“, gleich 0,5.
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Additionsaxiom. Ist man hingegen an der Wahrscheinlichkeit interessiert, mit der das zufällige Ereignis A D eintritt, dann errechnet man für die zufälligen Ereignisse A, D und A D die klassischen Wahrscheinlichkeiten P(A) = 1/6, P(D) = n(D)/n(:) = 2/6, P(A D) = n(A D)/n(:) = 0/6 = 0 und unter Verwendung der allgemeinen Additionsregel eine Ereigniswahrscheinlichkeit von P(A D) = P(A) + P(D) P(A D) = 1/6 + 2/6 – 0/6 = 1/2 = 0,5. Da wegen A D = die zufälligen Ereignisse A und D disjunkt sind, gelangt man mittels des Additionsaxioms P(A D) = P(A) + P(D) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 = 0,5 in logischer Konsequenz zu einem gleichen Ergebnis. h Bedingte Wahrscheinlichkeit Ist : z die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : zwei zufällige Ereignisse, dann heißt die Wahrscheinlichkeit P(A | B) = P(A B)/P(B), wobei P(B) > 0 gilt, für das Eintreten des zufälligen Ereignisses A unter der Bedingung, dass das zufällige Ereignis B bereits eingetreten ist, bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B). Hinweise. Für das Verständnis einer bedingten Wahrscheinlichkeit, die auch als Konditionalwahrscheinlichkeit (lat.: conditio o Bedingung) bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Verschiedenartigkeit. Wegen P(B | A) = P(A B)/P(A), wobei P(A) > 0 gilt, sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A) in der Regel voneinander verschieden. ii) Rechenregeln. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten die gleichen Rechenregeln wie für unbedingte Wahrscheinlichkeiten. iii) VENN-Diagramm. Das VENN-Diagramm gemäß Abbildung 6.3-1, das nach dem englischen Mathematiker John VENN (1834-1923) benannt ist, ermöglicht eine bildhafte Deutung einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Abbildung 6.3-1: VENN-Diagramm A B A
B
:
Demnach kann zum Beispiel die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) als der Flächenanteil an der gesamten Fläche B gedeutet werden, der von der Fläche A überlagert wird, also gleichsam als der Anteil der Schnittfläche A B an der Fläche B. i
Beispiel 6.3-3: Würfeln mit zwei Spielwürfeln Zufallsexperiment. Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen zweier idealer, verschiedenfarbiger und sechsseitiger Würfel (etwa von schwarzer und weißer Farbe). Ereignisse. Von Interesse sind die zufälligen Ereignisse A: „Die Summe der Augenzahlen ist vier.“ und B: „Beide Augenzahlen sind gerade.“ Die beiden in Rede stehenden zufälligen Ereignisse A und B lassen sich mit Hilfe der Abbil-
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dung 6.3-2 bezüglich ihrer „günstigen“ Elementarereignisse {(s, w)}, die im konkreten Fall stets als geordnete Augenzahlpaare Z = (s, w) erscheinen, als Teilmengen der Ergebnismenge : wie folgt darstellen: A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} und B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}. Abbildung 6.3-2: Ergebnismenge(n)
:
Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die Anzahl n(B) = 9 der Elementarereignisse, die für das zufällige Ereignis B „günstig“ sind, unter Ausnutzung der Kombinatorik wegen n(B) = VW3, 2 = 3² = 9 als eine Variation VW3, 2 von 3 Elementen (gerade Augenzahlen) zur 2. Klasse (zwei Würfel) mit Wiederholung aufgedeckt werden kann. Analog errechnet sich die Anzahl n(:) aller im Kontext des Zufallsexperiments gleichmöglichen Elementarereignisse in Gestalt aller geordneten Augenzahlpaare (s, w) als eine Variation von 6 Elementen (Augenzahlen) zur 2. Klasse mit Wiederholung, so dass n(:) = 6² = 36 gilt. Wahrscheinlichkeiten. Bei Anwendung des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs errechnet man die zufälligen Ereignisse A und B die folgenden Wahrscheinlichkeiten P(A) = n(A)/n(:) = 3/36 und P(B) = n(B)/n(:) = 9/36. Wegen A B = {(2, 2)} und n(A B) = 1 ist die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten von A und B eben P(A B) = n(A B)/n(:) = 1/36, so dass sich letztlich die (stets voneinander wohl zu unterscheidenden) bedingten Wahrscheinlichkeiten 1 / 36 1 4 1 1 / 36 1 12 1 und P(B A ) P(A B) 1 / 4 36 1 9 1 / 12 36 1 3 ergeben. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Beispiel die Summe der Augenzahlen gleich vier ist, unter der Bedingung, dass beide Augenzahlen gerade sind, 1/9. Dieses Ergebnis leuchtet ein, da es im konkreten Fall nur das eine günstige Elementarereignis {(2, 2)} von den neun gleichmöglichen Elementarereignissen, die das zufällige Ereignis B beschreiben, gibt. Gleichmöglichkeit. Was allerdings im Kontext dieses Zufallsexperiments nicht immer sofort einleuchtet ist das Faktum, dass zum Beispiel die Elementarereignisse {(2, 4)} und {(4, 2)} wohl voneinander zu unterscheiden sind, wenn die LAPLACEsche Forderung der Gleichmöglichkeit gegeben sein soll. h
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Stochastische Unabhängigkeit Ist : z die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : zwei zufällige Ereignisse, deren unbedingte Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie deren bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A) bekannt sind, dann heißen die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, wenn P(A | B) = P(A) bzw. P(B | A) = P(B) gilt. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs der stochastischen Unabhängigkeit bzw. des Begriffs der stochastischen Abhängigkeit sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Abhängigkeit. Gilt P(A | B) z P(A) bzw. gilt P(B | A) z P(B), so heißen die zufälligen Ereignisse A und B stochastisch abhängig. ii) Multiplikationsregel. Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der stochastischen Unabhängigkeit folgen unmittelbar die nachfolgend skizzierten Multiplikationsregeln für stochastisch unabhängige und stochastisch abhängige Ereignisse. iii) Bedeutung. Die stochastische Unabhängigkeit ist einer der fundamentalen Begriffe der Stochastik. Ihre Erweiterung auf mehr als zwei zufällige Ereignisse führt zum Begriff der vollständigen stochastischen Unabhängigkeit. Vollständig stochastisch unabhängige Ereignisse sind stets auch paarweise stochastisch voneinander unabhängig. Aus der paarweisen stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen folgt im Allgemeinen jedoch nicht deren vollständige stochastische Unabhängigkeit. i
Beispiel 6.3-4: Stochastische Unabhängigkeit Ereignisse. In Weiterführung des Beispiels 6.3-3 interessieren zusätzlich die zufälligen Ereignisse C: „Der schwarze Würfel zeigt eine Sechs.“ und D: „Der weiße Würfel zeigt eine Sechs.“, die gemäß Abbildung 6.3-3 als Ergebnisteilmengen formal wie folgt dargestellt werden können: C = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} D = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} Abbildung 6.3-3: Ergebnismenge(n)
:=
Wahrscheinlichkeiten. Wegen n(C) = 6 und n(D) = 6 errechnet man die folgenden klassischen Ereigniswahrscheinlichkeiten: P(C) = n(C)/n(:) = 6/36 = 1/6 und P(D) = n(D)/n(:) = 6/36 = 1/6. Aufgrund dessen, dass im konkreten Fall P(C) = P(D) = 1/6 gilt, charakterisiert man die beiden zufälligen Ereignisse C und D als gleichwahrscheinlich.
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Unabhängigkeit. Ist man daran interessiert, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass im besagten Zufallsexperiment das Ereignis C D = {(6, 6)} eintritt, das darin besteht, dass sowohl der schwarze als auch der weiße Würfel eine Sechs zeigt, so berechnet man wegen n(C D) = 1 für einen Sechser-Pasch eine klassische Wahrscheinlichkeit von P(C D) = n(C D)/n(:) = 1/36. Darauf aufbauend können die beiden (stets wohl voneinander zu unterscheidenden) bedingten Wahrscheinlichkeiten P(C | D) = n(C D)/n(D) = 1/6 und P(D | C) = n(C D)/n(C) = 1/6 berechnet werden. Da offensichtlich P(C | D) = P(C) = 1/6 und P(D | C) = P(D) = 1/6 gilt, hat man neben den logischen Überlegungen auch die mathematische Bestätigung dafür gefunden, dass das Ereignis des Erscheinens einer Sechs auf dem schwarzen Würfel stochastisch unabhängig ist vom Erscheinen einer Sechs auf dem weißen Würfel und umgekehrt. Hinweis. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die stochastische Unabhängigkeit für alle zulässigen Augenzahlvariationen im betrachteten Zufallsexperiment gilt. h Multiplikationsregel Ist : z die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und kennzeichnen die Teilmengen A, B : zwei zufällige Ereignisse, deren unbedingte Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sowie deren bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A) bekannt sind, dann heißt die Gleichung P(A B) = P(A)P(B | A) = P(A | B)P(B) allgemeine Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten. Hinweise. Für das Verständnis und die Anwendung der allgemeinen Multiplikationsregel, die auch als allgemeines Multiplikationstheorem bezeichnet wird, sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Applikation. Die allgemeine Multiplikationsregel, die unmittelbar aus dem Begriff einer bedingten Wahrscheinlichkeit folgt, kann auf die Betrachtung von mehr als zwei zufälligen Ereignissen erweitert werden. Sie findet überall dort Anwendung, wo es Wahrscheinlichkeiten für das gemeinsame Eintreten von zufälligen Ereignissen zu berechnen gilt. ii) Spezialfall. Sind A, B : zwei stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse einer Ergebnismenge :, deren unbedingte Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) bekannt sind, dann heißt die Gleichung P(A B) = P(A)P(B) Multiplikationsregel für zwei stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse. Sie ist ein Spezialfall der allgemeinen Multiplikationsregel und spielt in der statistischen Methodenlehre eine außerordentlich wichtige Rolle. In praxi findet die Multiplikationsregel für stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse überall dort eine Anwendung, wo die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten von unabhängigen zufälligen Ereignissen zu berechnen ist. Dies ist auch eine Erklärung dafür, warum in der Stochastik die stochastische Unabhängigkeit etwa zweier zufälliger Ereignisse wie folgt dargestellt wird: Zwei zufällige Ereignisse heißen stochastisch voneinander unabhängig, wenn das Produkt ihrer unbedingten Wahrscheinlichkeiten gleich der Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens ist. i
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Beispiel 6.3-5: Multiplikationsregel Zufallsexperiment. In Anlehnung an die Beispiele 6.3-3 und 6.3-4 besteht das Zufallsexperiment wiederum im einmaligen Werfen zweier verschiedenfarbiger idealer sechsseitiger Würfel (etwa eines schwarzen und eines weißen Spielwürfels). Ereignisse. Von Interesse sind die zufälligen Ereignisse A: „Die Augensumme ist vier.“ und B: „Die Augensumme ist größer als 10.“, die es unter Verwendung der allgemeinen Multiplikationsregel auf stochastische Unabhängigkeit zu untersuchen gilt. Analog zu den vorhergehenden Betrachtungen und Beispielen erweist es sich auch in diesem Fall als vorteilhaft und geboten, die verbalen Ereignisdefinitionen noch durch die nachfolgend formal dargestellten Ergebnismengen zu beschreiben: A = {(s, w) :: s + w = 4} = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} und B = {(s, w) :: s + w > 10} = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} Wahrscheinlichkeiten. Die klassische Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Zuge des Zufallsexperiments die zufälligen Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten, ist wegen P(A B) = n(A B)/n(:) = 0/36 = 0 gleich null, da offenbar das zufällige Ereignis A B = ihres „gemeinsamen bzw. gleichzeitigen Eintretens“ eine leere Ergebnismenge = { } und damit ein unmögliches Ereignis ist. Man sagt daher auch: Die zufälligen Ereignisse A und B sind disjunkte oder elementefremde Ereignisse. Aufgrund dessen, dass P(A) = n(A)/n(:) = 3/36 = 1/12 und P(B) = n(B)/n(:) = 3/36 = 1/12 die unbedingten Ereigniswahrscheinlichkeiten sind und offensichtlich P(A B) = 0 z P(A)P(B) = (1/12)(1/12) = 1/144 gilt, deutet man die beiden zufälligen Ereignisse A und B als stochastisch voneinander nicht unabhängig bzw. als stochastisch voneinander abhängig. h Hinweis. Nicht immer leuchtet der folgende wahrscheinlichkeitstheoretische Sachverhalt sofort ein, weshalb an dieser Stelle nochmals darauf verwiesen wird: Wohl sind im konkreten Fall die zufälligen Ereignisse A und B disjunkte zufällige Ereignisse, aber sie sind nicht voneinander unabhängig. Dies leuchtet in diesem Kontext ein, denn mit dem Eintreten des zufälligen Ereignisses A kann das zufällige Ereignis B nicht mehr eintreten. Damit ist das Eintreten des Ereignisses A vom Eintritt des Ereignisses B stochastisch abhängig. Man sagt daher auch: Die zufälligen Ereignisse A und B sind hinsichtlich ihres Eintretens stochastisch nicht voneinander unabhängig bzw. stochastisch voneinander abhängig. i
Totale Wahrscheinlichkeit Sind Ai : (i = 1,2,...,n) paarweise disjunkte zufällige Ereignisse einer Ergebnismenge : mit den Wahrscheinlichkeiten P(Ai), wobei P(A1) + ... + P(An) = 1 gilt, und ist B : ein zufälliges Ereignis, dessen bedingte Wahrscheinlichkeiten P(B | Ai) bezüglich der Ereignisse Ai bekannt sind, dann heißt die Gleichung P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2)P(B | A2) + … + P(An)P(B | An) Formel der totalen Wahrscheinlichkeit (für das zufällige Ereignis B).
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Hinweis. Für das Verständnis der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, die auch als Theorem von der totalen Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, erweist sich das VENN-Diagramm in der Abbildung 6.3-4, das die totale Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis B skizziert, als nützlich. Abbildung 6.3.4: VENN-Diagramm : B A1
A2
...
An
Unter der Prämisse einer vollständigen disjunkten Zerlegung der Ergebnismenge : in n disjunkte Teilmengen (Ereignisse) Ai (i = 1,2,...,n) tritt das Ereignis B offensichtlich gemeinsam mit einem der disjunkten Ereignisse Ai ein, so dass das Ereignis B als Vereinigungsmenge der n paarweise disjunkten Ereignisse B Ai dargestellt werden kann, woraus sich gemäß dem KOLMOGOROVschen Additionsaxiom (vgl. Abschnitt 6.2) und der vorhergehend skizzierten allgemeinen Multiplikationsregel die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ableiten lässt. i
Beispiel 6.3-6: Totale Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment. Die befreundeten Studentinnen LYDIA und ELISABETH jobben zusammen in einer stark frequentierten Geschenk-Boutique im Zentrum Berlins. Ihre alleinige Aufgabe besteht im wunschgemäßen Verpacken von gekauften Geschenken. Das Zufallsexperiment bestehe darin, dass aus der Menge der im Verlaufe einer Schicht von LYDIA und ELISABETH verpackten Geschenke ein Geschenk zufällig ausgewählt wird. Ereignisse. Im Kontext des Zufallsexperiments ist es sinnvoll, folgende zufälligen Ereignisse zu betrachten: L, E: „Ein zufällig ausgewähltes Geschenk wurde von L(YDIA) bzw. von E(LISABETH) verpackt.“ G: „Ein wunschgemäß verpacktes und zufällig ausgewähltes G(eschenk) ist mit einem Preisschild versehen.“ Beobachtungen. Obgleich LYDIA im Verlaufe einer Schicht im Durchschnitt drei Fünftel der gekauften Geschenke wunschgemäß verpackt, versäumt sie es im Unterschied zu ELISABETH, die durchschnittlich in 100 Fällen dreimal vergisst, das Preisschild zu entfernen, dies zweimal so häufig. Wahrscheinlichkeiten. Aufgrund dessen, dass die Geschenk-Boutique stark frequentiert wird, ist es sinnvoll, die beobachteten relativen Häufigkeiten p(x) als Schätzwerte für die unbekannten Ereigniswahrscheinlichkeiten P(x) zu verwenden, wobei p(L) = 3/5 | P(L) = 0,6 und p(E) = 1 – p(L) = 2/5 | P(E) = 0,4 sowie p(G | L) = 2(3/100) | P(G | L) = 0,06 und p(G | E) = 3/100 | P(G | E) = 0,03 gilt. Diese Herangehenswiese erweist sich in praxi immer dann als sehr nützlich, wenn man keine modelltheoretisch begründeten Kenntnisse über die interessierenden Ereigniswahrscheinlichkeiten besitzt.
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Stochastik
Totale Wahrscheinlichkeit. Ist man unter den gegebenen Bedingungen daran interessiert, die Wahrscheinlichkeit dafür anzugeben, dass ein Geschenk, das zufällig aus den verpackten Geschenken ausgewählt wurde, noch mit einem Preisschild versehen ist (was beim Öffnen eines überreichten Geschenks sehr peinlich sein kann), dann berechnet man mit Hilfe der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis G eine „totale“ Wahrscheinlichkeit von P(G) = P(G | L)P(L) + P(G | E)P(E) = 0,060,6 + 0,030,4 = 0,048. Beachtenswert ist dabei, dass die berechnete totale Wahrscheinlichkeit ihrem Wesen nach ein gewogenes arithmetisches Mittel aus den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten P(G | L) bzw. P(G | E) ist, die jeweils mit den zugehörigen unbedingten Wahrscheinlichkeiten P(L) und P(E) gewichtet werden. Da wegen L E = die zufälligen Ereignisse L und E disjunkt sind, ist es gemäß dem KOLMOGOROVschen Additionsaxiom wegen P(L E) = P(L) + P(E) = P(:) = 1 sicher, dass ein Geschenk entweder von LYDIA oder von ELISABETH verpackt wurde. Das „peinliche“ Ereignis G tritt demnach stets mit einem der Ereignisse E oder L ein, wobei sich seine Wahrscheinlichkeit „total bzw. durchschnittlich“ auf 0,048 beläuft. Demnach wären aus statistischer Sicht 4,8 % aller verpackten Geschenke noch preisschildbehaftet. h BAYESsche Formel Sind Ai : (i = 1,2,...,n) paarweise disjunkte zufällige Ereignisse einer Ergebnismenge : mit den Wahrscheinlichkeiten P(Ai), wobei P(A1) + ... + P(An) = 1 gilt, und ist B : ein zufälliges Ereignis, dessen bedingte Wahrscheinlichkeiten P(B | Ai) bezüglich der Ereignisse Ai bekannt sind, dann heißt die Gleichung P( B A k ) P( A k ) P( B A k ) P( A k ) P( A k B) n mit k = 1, 2,..., n P( B) P ( B A ) P ( A ) ¦ i i i 1
Formel von BAYES oder kurz: BAYESsche Formel. Hinweise. Für das Verständnis der BAYESschen Formel sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) A-priori-Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten P(Ai) bezeichnet man auch als a-priori-Wahrscheinlichkeiten (lat.: a priori o vom Früheren her). Dies rührt daher, dass die Ereignisse Ai im Kontext eines Zufallsexperiments wohl meist nicht direkt beobachtet, aber ihre Wahrscheinlichkeiten P(Ai) „im Vorhinein“ berechnet werden können. ii) A-posteriori-Wahrscheinlichkeit. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Ak | B) bezeichnet man auch als a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten (lat.: a posteriori o vom Späteren her). Dies rührt aus ihrer Verwendung zur Abschätzung von Risikoentscheidungen, nachdem das Ereignis B bereits beobachtet wurde bzw. bereits eingetreten ist. iii) Applikation. Die BAYESsche Formel findet in praxi bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Risikoentscheidungen eine breite Anwendung. Die Regel für eine Risikoentscheidung im Kontext der BAYESschen Formel lautet:
Stochastik
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Ist das Ereignis B eingetreten, so ist dasjenige Ereignis unter den Ereignissen Ai eingetreten, das unter dieser Bedingung die größte Wahrscheinlichkeit besitzt. Das Prinzip der größten Wahrscheinlichkeit wird auch als Maximum-Likelihood-Prinzip (engl.: likelihood o Mutmaßlichkeit) bezeichnet. iv) Historie. Die BAYESsche Formel geht auf den englischen Presbyterianer-Geistlichen Reverend Thomas BAYES (1701-1761) zurück, der in einem „post mortem“ publizierten Essay versuchte, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie die „Existenz Gottes nachzuweisen“. i
Beispiel 6.3-7: Formel von BAYES Motivation. Einmal angenommen, Sie haben sich in einer Boutique ein Geschenk gekauft, es wunschgemäß verpacken lassen und sind bei der Geschenkübergabe peinlich berührt, weil das Preisschild noch anhängig ist. BAYESsche Formel. Mit Hilfe der BAYESschen Formel ist es unter Verwendung der Informationen aus dem Beispiel 6.3-6 möglich, die beiden a-posterioriWahrscheinlichkeiten P(L | G) = P(G | L)P(L)/P(G) = 0,060,6/0,048 = 0,75 und P(E | G) = P(G | E)P(E)/P(G) = 0,030,4/0,048 = 0,25 zu berechnen und auf deren Grundlage eine Risikoentscheidung zu treffen. Risikoentscheidung. Da die bedingte Wahrscheinlichkeit P(L | G) = 0,75 von den beiden berechneten a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten am größten ist, hätte man ceteris paribus (lat.: ceteris paribus o (wenn) das Übrige gleich (ist)) die peinliche Situation, die darin besteht, dass das wunschgemäß verpackte Geschenk mit einem Preisschild versehen ist (Ereignis G), aller Wahrscheinlichkeit nach LYDIAs Schusseligkeit zu verdanken. Gleichwohl es durchaus auch möglich ist, dass die peinliche Situation (Ereignis G) eine Folge der Nachlässigkeit von ELISABETH ist, würde man unter den gegebenen Bedingungen erwartungsgemäß bei vier preisbeschilderten Geschenken LYDIA dreimal zu Recht und nur einmal zu Unrecht beschuldigen. Offensichtlich ist das Identifizieren der „schuldigen“ Person eine Risikoentscheidung, wobei diese im konkreten Fall eindeutig zu Ungunsten von LYDIA ausgeht. Rechenregeln. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass für die aposteriori-Wahrscheinlichkeiten, die ihrem Wesen nach bedingte Wahrscheinlichkeiten sind, die gleichen Rechenregeln gelten wie für unbedingte Wahrscheinlichkeiten. So überzeugt man sich im konkreten Fall leicht von der Tatsache, dass sich einerseits die beiden Ereignisse (L | G) und (E | G) gegenseitig ausschließen und daher ihr gemeinsames Eintreten (L | G) (E | G) = ein unmögliches Ereignis darstellt und dass sich andererseits gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungs- und Additionsaxiom die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten wegen P(L | G) + P(E | G) = 0,75 + 0,25 = 1 zu eins addieren. Dies leuchtet ein, zumal es im konkreten Fall ein sicheres Ereignis (L | G) (E | G) = : ist, dass ein wunschgemäß verpacktes Geschenk, das mit einem Preisschild versehen ist, entweder von LYDIA oder von ELISABETH verpackt worden sein muss. h
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6.4
Stochastik
Zufallsgrößen
Motivation. Der Betrachtung von Zufallsgrößen und ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilungen kommt in der Stochastik eine besondere theoretische und praktische Bedeutung zu. Eine Zufallsgröße ist eine zufällig variierende Variable, die in Gestalt eines natürlichen und/oder eines suggestiven Konstrukts zur mathematischen Beschreibung von zufälligen Ereignissen dient. Zufallsgröße Ist : die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments, so heißt eine Funktion X, die jedem Ergebnis Z : eine reelle Zahl X(Z) derart zuordnet, dass X : : o R und Z o X(Z) gilt, eine Zufallsgröße X (auf :). Hinweise. Für das Verständnis einer Zufallsgröße, die auch als Zufallsvariable bezeichnet wird, sind die folgenden Hinweise hilfreich und nützlich: i) Symbolik. In der Stochastik ist es üblich, Zufallsgrößen mit den großen lateinischen Endbuchstaben X, Y, Z und nicht mit den aus der Funktional-Analysis vertrauten Symbolen f bzw. g zu bezeichnen. ii) Charakteristika. Eine Zufallsgröße ist keine Unbekannte, kein Platzhalter, keine Variable im Sinne der Algebra, sondern eine Abbildung bzw. eine Funktion, deren Argumente bzw. Werte auf der Ergebnismenge : variieren und in diesem Sinne „variabel“ sind. Als mathematisches Konstrukt ist eine Zufallsgröße X eine reellwertige Funktion. Dabei bilden die Ergebnismenge : den Definitionsbereich und die Menge der reellen Zahlen R den Wertebereich der Abbildung bzw. Funktion X, die im Falle einer endlichen Ergebnismenge : häufig deutlich weniger Funktionswerte X(Z) R besitzt als die Ergebnismenge : Ergebnisse Z enthält. iii) Realisation. Ein reeller Funktionswert X(Z) = a R bezeichnet eine Realisation bzw. eine Realisierung einer Zufallsgröße X. Realisationen einer Zufallsgröße werden in der Regel mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet. Beachtenswert ist dabei, dass Realisationen einer Zufallsgröße X stets reelle Zahlen sind. Das Symbol a steht dabei für eine beliebige reelle Zahl, wobei f < a < f gilt. Dabei wird nichts darüber ausgesagt, um welche Zufallsgröße (etwa X oder Y) es sich handelt. iv) Arten. Ein wesentliches Charakteristikum einer Zufallsgröße ist die Menge der Realisationen, die sie im Zuge eines Zufallsexperiments annehmen kann. Dies führt zum Begriff einer diskreten bzw. einer stetigen Zufallsgröße (vgl. Beispiele 6.4-1 und 6.4-2). v) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zur vollständigen Charakterisierung einer Zufallsgröße X gehört neben der Kenntnis ihres Wertebereichs auch die Kenntnis ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt, dann kann eine Zufallsgröße X bereits eindeutig durch ihre Verteilungsfunktion FX beschrieben werden. Im Abschnitt 6.5 werden für diskrete und stetige Zufallsgrößen ausgewählte theoretische Verteilungsmodelle paradigmatisch skizziert. i
Verteilungsfunktion Ist X eine Zufallsgröße, so heißt die für jede reelle Zahl a R definierte Funktion FX: R o [0; 1] und a o FX(a) = P(X d a) = P({Z :: X(Z) d a}) Verteilungsfunktion FX der Zufallsgröße X und der Wert FX(a) Wert der Verteilungsfunktion FX an der Stelle a R.
Stochastik
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Hinweise. Für das Verständnis und für die Verwendung der Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Interpretation. Der Wert FX(a) der Verteilungsfunktion FX an der Stelle a R gibt die Wahrscheinlichkeit P(X d a) dafür an, dass der im Zuge eines Zufallsexperiments von der Zufallsgröße X angenommene Wert nicht größer als die reelle Zahl a ausfällt. Beachtenswert ist dabei, dass das Symbol a für irgendeine reelle Zahl steht, wobei -f < a < f gilt, und dabei nichts darüber ausgesagt wird, um welche Zufallsgröße es sich handelt. Im Falle einer Zufallsgröße Y würde man zum Beispiel FY(a) schreiben. ii) Eigenschaften. Gleichsam wie eine empirische Verteilungsfunktion (vgl. Abbildung 5.2.2-2) ist auch eine theoretische Verteilungsfunktion eine monoton nicht fallende Funktion, die nur Werte im Bereich [0; 1] annimmt. Jede reellwertige und monoton nicht fallende Funktion FX: a o FX(a), die einer reellen Zahl a R die Wahrscheinlichkeit FX(a) := P(X d a) zuordnet, ist eine Verteilungsfunktion. iii) Rechenregeln. Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf der Basis einer Verteilungsfunktion FX einer diskreten bzw. einer stetigen Zufallsgröße X sind die folgenden neun Rechenregeln allgemeingültig und für praktisches statistisches Arbeiten sehr hilfreich, wobei stets a, b R und a d b gilt: 1. Die Wahrscheinlichkeit P(X = a) kann geometrisch als die Sprunghöhe der Verteilungsfunktion FX an der Stelle a gedeutet werden. 2. P(X d a) = FX(a) 3. P(X < a) = FX(a) – P(X = a) 4. P(X > a) = 1 FX(a) 5. P(X t a) = 1 FX(a) + P(X = a) 6. P(a < X d b) = FX(b) FX(a) 7. P(a d X d b) = FX(b) FX(a) + P(X = a) 8. P(a < X < b) = FX(b) FX(a) P(X = b) 9. P(a d X < b) = FX(b) FX(a) + P(X = a) – P(X = b). i
Beispiel 6.4-1: Diskrete Zufallsgröße Motivation. Studienfreunde von Ihnen sind jung vermählt. Sie träumen davon, drei Kinder zu haben. Dies ist für Sie Anlass, anhand der Abbildung 6.4-1 die folgenden interessanten Überlegungen im Kontext der Familienplanung anzustellen, wobei Sie der Einfachheit halber davon ausgehen, dass der Kinderwunsch durch drei chronologisch ablaufende Einfachgeburten erfüllt wird. Mehrlingsgeburten sind somit ohne Belang. Zufallsexperiment. Aufgrund dessen, dass eine Geburt in der Regel eine um neun Monate verzögerte Ergebnisoffenbarung ist, leuchtet es ein, nicht die Geburt selbst, sondern den zeitlich vorgelagerten Zeugungsakt als ein Zufallsexperiment zu deuten, das (zumindest theoretisch) beliebig oft (unter möglichst gleichen Bedingungen) wiederholbar und dessen Ausgang in Gestalt eines lebendgeborenen Knaben oder eines lebendgeborenen Mädchens unbestimmt ist. Sexualproportion. Deutet man die Sexualproportion, die auf Johann Peter SÜßMILCH (1707-1767) zurückgeht (vgl. Kapitel 1) und wonach zur Zeit in Deutschland 1055 Knaben gegen 1000 Mädchen „das Licht der Welt erblicken“, als eine Chance von 1055 zu 1000 für eine Knabengeburt, so beträgt die Wahr-
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Stochastik
scheinlichkeit für eine Knabengeburt 1055/(1055 + 1000) | 0,5134 und die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt 1000/(1055 + 1000) | 0,4866. Aufgrund dessen, dass bei einer Einfachgeburt entweder nur ein Knabe oder ein Mädchen geboren werden kann und dass ein gemeinsames Eintreten der Geburtsergebnisse „Knabe und Mädchen“ bei einer Einfachgeburt unmöglich ist, kennzeichnet man die Geburt eines Knaben bzw. Mädchens bei einer Einfachgeburt als zwei disjunkte zufällige Ereignisse. Gemäß dem KOLMOGOROVschen Additionsaxiom ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder das zufällige Ereignis „Knabe“ oder „Mädchen“ bei einer Einfachgeburt eintritt, gleich der Summe der Ereigniswahrscheinlichkeiten, wobei 0,5134 + 0,4866 = 1 gilt. Dies ist gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungsaxiom die Wahrscheinlichkeit für das so genannte sichere Ereignis, das stets die Wahrscheinlichkeit eins besitzt. Es ist demnach sicher, dass bei einer Einfachgeburt entweder ein Knabe oder ein Mädchen das Licht der Welt erblickt. Abbildung 6.4-1: Familienplanung Drei Kinder wollen wir einmal haben.
1. Kind 2. Kind 3. Kind K K K K K M K M K M K K K M M M K M M M K M M M Zeugungsvorgang ist ein Zufallsexperiment mit unbestimmtem Ausgang: K(nabe) oder M(ädchen)
:
Anzahl Mädchen 0 1
2 3
o
R
Abbildung X: : o R als diskrete Zufallsvariable X, welche die Anzahl X der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern beschreibt
Ergebnismenge. Nun wünscht sich das junge Ehepaar drei Kinder. Die Frage, die es jetzt zu beantworten gilt, ist die folgende: Wie viele Knaben-MädchenKomplexionen sind bei einer Familie mit drei Kindern theoretisch möglich? In der Abbildung 6.4-1 sind die insgesamt acht möglichen Knaben-Mädchen-Tripel aufgelistet. Da es bedeutungsvoll ist, ob zum Beispiel das erstgeborene, das zweitgeborene oder das drittgeborene Kind ein Knabe oder ein Mädchen ist, und aufgrund dessen, dass eine Geschlechterwiederholung nicht nur möglich, sondern im konkreten Fall sogar gegeben sein muss, kann man mit Hilfe der Kombinato-
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rik zeigen, dass die Anzahl der Knaben-Mädchen-Tripel eine Variation von zwei Elementen (Knabe, Mädchen) zur dritten Klasse (drei mit Kindern besetzte und nummerierte Stühle am Familientisch) mit Wiederholung (von Knaben oder Mädchen bei der Stuhlbesetzung) ist, wobei 23 = 8 gilt. Da eine Familie mit drei Kindern betrachtet wird, bilden die acht Knaben-Mädchen-Tripel Z1 = KKK, Z2 = KKM,..., Z8 = MMM die so genannte Ergebnismenge : = {Z | Z = KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} des interessierenden Zufallsexperiments, die wiederum die Grundlage für das Verständnis des theoretischen Konstrukts einer Zufallsgröße bildet. Zufallsgröße. Interessiert man sich in Abkehr von der unheiligen Stammhalterdiskussion einmal nicht für die Anzahl der Knaben, sondern für die Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern, so gelangt man bei der Betrachtung der Ergebnismenge : zu einer vergleichsweise einfachen Funktion, die gemäß Abbildung 6.4-1 mit X bezeichnet wird und jedem Knaben-Mädchen-Tripel Z : eine reelle Zahl X(Z) R derart zuordnet, dass X : : o R und Z o X(Z) R gilt. R bezeichnet dabei die Menge der reellen Zahlen, worin die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...} und die Zahl 0 eingeschlossen sind. Diese reellwertige Funktion X auf :, die im konkreten Fall die Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern beschreibt und hinsichtlich der interessierenden Anzahl der Mädchen „variabel“ ist, wird in der Stochastik als eine Zufallsgröße bezeichnet. Dabei bilden die Ergebnismenge : den Definitionsbereich und die Menge der reellen Zahlen R den Wertebereich der reellwertigen Funktion bzw. Zufallsgröße X. Aufgrund dessen, dass eine Familie mit drei Kindern betrachtet wird und die Zufallsgröße X, welche die Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern „zählt“, nur die Realisationen 0, 1, 2 oder 3 zufallsbedingt annehmen kann, kennzeichnet man die Zufallsgröße X als eine diskrete Zufallsgröße. Ereigniswahrscheinlichkeiten. Allerdings ist das mathematische Konstrukt einer Zufallsgröße zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen nur dann von theoretischem Interesse und praktischem Nutzen, wenn es gelingt, die Zufallsgröße durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung zu charakterisieren. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die diskrete Zufallsgröße X mit ihren vier möglichen und ganzzahligen Realisationen X = k (k = 0, 1, 2, 3) kann man sich anhand der folgenden Überlegungen recht leicht und einleuchtend herleiten: Kein Mädchen. Bezeichnet {X = 0} das zufällige Ereignis, dass in einer Familie mit drei Kindern kein Mädchen vorkommt, so tritt im Sinne der Familienplanung offensichtlich das Ergebnis Z1 = KKK ein, das in seiner Darstellung als einelementige Tripelmenge {X = 0} = {KKK} als ein zufälliges Ereignis gedeutet wird, das darin besteht, dass in einer Familie mit drei Kindern sowohl das erstgeborene als auch das zweitgeborene als auch das drittgeborene Kind ein
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Stochastik
Knabe ist, also letztlich {KKK} = {K} {K} {K} gilt. Da man intuitiv nachvollziehen kann, dass die drei sequentiellen Zeugungsakte mit dem zufallsbedingten Ergebnis Z1 = KKK voneinander unabhängig ablaufen, kann man zeigen, dass gemäß der Multiplikationsregel für stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse (vgl. Abschnitt 6.3), die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zufällige Ereignis {X = 0} = {KKK} eintritt, P(X = 0) = P({KKK}) = P(K)P(K)P(K) ist. Aufgrund der Annahme, dass gemäß der SÜßMILCHschen Sexualproportion die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt P(K) = 1055/(1055 + 1000) | 0,5134 ist, berechnet man für das zufällige Ereignis {X = 0}, das darin besteht, dass in einer Familie mit drei Kindern kein Mädchen vorkommt, eine Wahrscheinlichkeit von P(X = 0) = 0,51340,51340,5134 = (0,5134)³ | 0,1353. Ein Mädchen. Analoge Überlegungen kann man hinsichtlich des zufälligen Ereignisses {X = 1} anstellen, das gemäß Abbildung 6.4-1 darin besteht, dass in einer Familie mit drei Kindern genau ein Mädchen vorkommt. Offensichtlich tritt das interessierende zufällige Ereignis {X = 1} mit einem der drei Knaben- Mädchen-Tripel KKM, KMK oder MKK ein, wobei aus ereignistheoretischer Sicht {X = 1} = {KKM} {KMK} {MKK} und {KKM} {KMK} = {} = bzw. {KKM} {MKK} = {} = bzw. {KMK} {MKK} = {} = gilt. Aufgrund dessen, dass in Anlehnung an die SÜßMILCHsche Sexualproportion die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt P(K) | 0,5134 und für eine Mädchengeburt P(M) = 1000/(1055 + 1000) | 0,4866 = 1 – 0,5134 beträgt und sich die drei Knaben-Mädchen-Tripel paarweise gegenseitig ausschließen, also ihre Schnittmenge jeweils eine leere Menge ist, berechnet man unter Anwendung der Multiplikationsregel für stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse und des KOLMOGOROVschen Additionsaxioms für das interessierende zufällige Ereignis {X = 1} letztlich eine Ereigniswahrscheinlichkeit von P(X = 1) = 0,51340,51340,4866 + 0,51340,48660,5134 + 0,48660,5134 0,5134 = 3(0,5134)²0,4866 | 0,3848. Zwei Mädchen. Hinsichtlich des zufälligen Ereignisses {X = 2}, das darin besteht, dass eine Familie mit drei Kindern mit zwei Mädchen gesegnet ist, bestimmt man analog zu den vorhergehenden Betrachtungen eine Ereigniswahrscheinlichkeit von P(X = 2) = 0,51340,48660,4866 + 0,48660,51340,4866 + 0,48660,48660,5134 = 30,5134(0,4866)² | 0,3647. Drei Mädchen. Schließlich und endlich kann man leicht nachvollziehen, dass für das zufällige Ereignis {X = 3}, das darin besteht, dass eine Familie mit drei Kindern auch genau drei Mädchen besitzt, sich eine Ereigniswahrscheinlichkeit von P(X = 3) = 0,48660,48660,4866 = (0,4866)³ | 0,1152 ergibt. Wahrscheinlichkeitsverteilung. Stellt man gemäß Abbildung 6.4-2 die vier möglichen Realisationen k = 0, 1, 2, 3 der Zufallsgröße X: Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern gemeinsam mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X = k) in einem Stabdiagramm dar, so hat man eine Vorstellung von
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dem, was die Statistiker eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennen und damit im konkreten Fall nichts anderes meinen, als die Verteilung der gesamten Wahrscheinlichkeitsmasse „eins“ auf die vier möglichen Realisationen der Zufallsgröße X, die hinsichtlich ihres Eintretens stets zufallsbedingt sind. Der Graph y = FX(a) der Verteilungsfunktion FX der diskreten Zufallsgröße X, der im rechten Diagramm innerhalb der Abbildung 6.4-2 dargestellt ist, besitzt die Gestalt einer Treppenfunktion. Abbildung 6.4-2: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Tabelle 6.4-1: Verteilungstabelle k 0 1 2 P(X = k) 0,1353 0,3848 0,3647
3 0,1152
Abbildung 6.4-3: Verteilungsfunktion für a 0 0 ° 0,1353 für 0 d a 1 °° FX (a ) ® 0,5201 für 1 d a 2 ° 0,8848 für 2 d a 3 ° °¯ 1 für 3 d a
Neun Rechenregeln. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße X: Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern aus der Tabelle 6.4-1 und den Werten FX(a) der zugehörigen Verteilungsfunktion FX aus der Abbildung 6.4-3 lassen sich in Anwendung der eingangs vermerkten neun Rechenregeln die Wahrscheinlichkeiten P(X d a) folgender (im Sinne einer Familienplanung) interessierender zufälliger Ereignisse angeben: i) P(X = 1) = 0,3848. Demnach besitzt eine Familie mit drei Kindern mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3848 genau ein Mädchen. Dies wird in der Abbildung 6.4-2 durch die Säulenhöhe an der Stelle k = 1 bzw. durch die „Stufenhöhe“ der Verteilungsfunktion FX(1) an der Stelle a = 1 deutlich.
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Stochastik
ii) P(X d 1) = FX(1) = 0,5201. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit drei Kindern höchstens ein, also kein oder ein Mädchen hat, 0,5201. Dies ist der Wert der Verteilungsfunktion FX an der Stelle a = 1. iii) P(X < 1) = FX(1) P(X = 1) = 0,5201 – 0,3848 = 0,1353. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit drei Kindern weniger als ein, also kein Mädchen besitzt, 0,1353. Dies ist gemäß der Verteilungstabelle 6.4-1 die Wahrscheinlichkeit P(X = k) für die Realisation k = 0 bzw. die Säulenhöhe im Säulendiagramm innerhalb der Abbildung 6.4-2 an der Stelle k = 0. iv) P(X > 1) = 1 – FX(1) = 1 – 0,5201 = 0,4799. Demnach kann davon ausgegangen werden, dass in einer Familie mit drei Kindern mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4799 mehr als ein, also zwei oder drei Mädchen vorkommen. v) P(X t 1) = 1 – FX(1) + P(X = 1) = 1 – 0,5201 + 0,3848 = 0,8647. Demnach ist es unter den angenommenen Bedingungen recht wahrscheinlich, dass in einer Familie mit drei Kindern mindestens ein Mädchen vorkommt. vi) P(1 < X d 2) = FX(2) FX(1) = 0,8848 – 0,5201 = 0,3647. Demnach beläuft sich unter den gegebenen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit drei Kindern mehr als ein, aber höchstens zwei Mädchen besitzt, auf 0,3647. Diese Ereigniswahrscheinlichkeit ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit drei Kindern genau zwei Mädchen besitzt. vii) P(1 d X d 2) = FX(2) FX(1) + P(X = 1) = 0,8848 – 0,5201 + 0,3848 = 0,7495. Demnach hätten erwartungsgemäß nahezu drei Viertel aller Familien mit drei Kindern mindestens ein, aber höchstens zwei Mädchen. viii) P(1 < X < 2) = FX(2) FX(1) P(X = 2) = 0,8848 – 0,5201 0,3647 = 0. Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Familie mit drei Kindern mehr als ein, aber weniger als zwei Mädchen vorkommen, null. Dies leuchtet im konkreten Fall ein, zumal das Ereignis {1 < X < 2} eine leere Ergebnismenge hat und damit ein unmögliches Ereignis darstellt. ix) P(1 d X < 2) = FX(2) FX(1) + P(X = 1) – P(X = 2) = 0,8848 – 0,5201 + 0,3848 0,3647 = 0,3838. Demnach hätten erwartungsgemäß 38,4 % aller Familien mit drei Kindern mindestens ein, aber weniger als zwei Mädchen, ein Ergebnis, das mit der Wahrscheinlichkeit P(X = 1) = 0,3848 identisch ist. Hinweis. Man kann sich die betrachteten Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten stets auch anhand der Verteilungsfunktion, deren Graph y = FX(a) die Gestalt einer Treppenfunktion besitzt, verdeutlichen. Da der Definitionsbereich der Verteilungsfunktion FX die Menge aller reellen Zahlen a umfasst, ist es per definitionem auch möglich, den Wert der Verteilungsfunktion etwa an der Stelle a = 1,11 zu bestimmen. Unter Zuhilfenahme der Verteilungstabelle 6.4-1 bzw. der Abbildung 6.4-2 ermittelt man einen Funktionswert FX(1,11) = 0,5201. Dies leuchtet ein, wenn man sich überlegt, dass das Ereignis {X d 1,11} durch die Teilmenge {KKK, MKK, KMK, KKM} der Ergebnismenge : gegeben ist. Die Anzahl der Mädchen ist per Definition dann kleiner gleich 1,11, wenn kein oder ein Mädchen geboren wurde. i
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Erwartungswert. Neben der Verteilungsfunktion FX ist der Erwartungswert P = E(X) ein wesensbestimmender Parameter einer Zufallsgröße X. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße X lässt sich formal als ein gewogenes arithmetisches Mittel aus den Realisationen k und den Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = k) darstellen. In diesem Sinne kann ein Erwartungswert als eine fiktive Realisation einer diskreten Zufallsgröße interpretiert werden, die man auf lange Sicht im Mittel erwarten kann. Der lateinische Großbuchstabe E fungiert als Erwartungswert-Operator (lies: E von X oder Erwartungswert von X). Der griechische Kleinbuchstabe P (lies: My) wird in der Stochastik oft als Kurzschreibweise für einen Erwartungswert verwendet. Anhand der Verteilungstabelle 6.4-1 ermittelt man für die diskrete Zufallsgröße X „Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern“ einen Erwartungswert von PX = E(X) = 00,1353 + 10,3848 + 20,3647 + 30,1152 = 1,4598 und interpretiert ihn wie folgt: Auf lange Sicht ist im Mittel zu erwarten, dass eine Familie mit drei Kindern 1,4598 Mädchen besitzt. Da der Erwartungswert im konkreten Fall eine fiktive und reellwertige Realisation ist und Anzahlen stets ganzzahlig sind, kann der Erwartungswert auch wie folgt interpretiert werden: In 100 Familien mit drei Kindern kommen erwartungsgemäß und auf lange Sicht im Mittel 146 Mädchen vor. Varianz. Da verschiedene Zufallsgrößen gleiche Erwartungswerte besitzen können, genügt eine alleinige Charakterisierung durch ihre Erwartungswerte nicht. Man ergänzt sie daher noch durch ihre Varianz und/oder ihre Standardabweichung. Für die diskrete Zufallsgröße X errechnet man eine Varianz von V²X = V(X) = (0 1,4598)²0,1353 + (1 1,4598)²0,3848 + (2 1,4598)²0,3647 + (3 1,4598)²0,1152 | 0,7494, die das durchschnittliche Ausmaß der gewichteten quadrierten Abweichungen der Realisationen X = k der diskreten Zufallsgröße X von ihrem Erwartungswert E(X) kennzeichnet. Standardabweichung. Die positive Quadratwurzel VX = V(X) = V²X aus der Varianz V(X) heißt Standardabweichung VX (lies: Sigma) einer Zufallsgröße X. Im konkreten Fall berechnet man für die diskrete Zufallsgröße X „Anzahl der Mädchen in einer Familie mit frei Kindern“ eine Standardabweichung von VX = 0,7494 | 0,8657 und interpretiert sie wie folgt: Da Anzahlen stets ganzzahlig sind, erweist es sich (gleichsam wie bei der Interpretation des Erwartungswertes) als vorteilhaft, etwa von 100 Familien mit je drei Kindern auszugehen. Diese 100 Familien besitzen erwartungsgemäß 100PX | 146 Mädchen. Die Anzahl der Mädchen in 100 betrachteten Familien mit drei Kindern streut im Durchschnitt um 100VX | 87 Mädchen um die durchschnittlich und auf lange Sicht zu erwartende Anzahl von PX | 146 Mädchen. Demnach ist für die Mehrheit von diesen 100 Familien mit drei Kindern zu erwarten, dass sie mehr als PX VX = 146 87 = 59 Mädchen, aber weniger als PX + VX = 146 + 87 = 233 Mädchen besitzen. h
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Stochastik
Beispiel 6.4-2: Stetige Zufallsgröße Motivation. Die Abbildung 6.4-4 vermittelt eine bildhafte Vorstellung von einer stetigen Zufallsgröße, die im konkreten Fall durch ihre Dichtefunktion in Gestalt eines gleichschenkligen Dreiecks und ihrer monoton wachsenden und s-förmig verlaufenden Verteilungsfunktion beschrieben wird. Abbildung 6.4.4: Dichte- und Verteilungsfunktion einer Dreieck-Verteilung Dichtefunktion
P(60 d G d 65)
P(G d 65) | 0,64
Verteilungsfunktion FG P(G d 60) | 0,3
Den sachlogischen Hintergrund der Abbildung 6.4-4 bildet die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 785 Hühnereiern Ji, die von Hühnern der Rasse Loheimer Braun gelegt wurden und für die jeweils das Gewicht G (Angaben in g) statistisch erfasst und in der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav gespeichert wurde. Gleichsam wie in der Deskriptiven Statistik, in der man das empirisch erfasste Gewicht G(J) = g R+ eines Hühnereies als ein stetiges metrisches Merkmal charakterisiert, dessen Zustandsmenge ; R+ durch die Menge R+ der positiven reellen Zahlen definiert ist und das in einem gegebenen Intervall theoretisch jeden beliebigen Wert annehmen kann, so ist es auch aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht möglich und sinnvoll, die erfassten Hühnereiergewichte G(Ji) = gi R+ als Realisationen einer stetigen Zufallsgröße G aufzufassen. Unabhängig vom eingangs skizzierten Sachverhalt kann eine stetige Zufallsgröße allgemein wie folgt charakterisiert werden: Stetige Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X heißt stetig oder stetig verteilt, wenn sie in einem hinreichend kleinen Intervall theoretisch jeden Wert annehmen kann und ihre Verteilungsfunktion FX : FX(a) = P(X d a) durch eine reellwertige und nichtnegative Dichtefunktion fX: a o fX(a) t 0 mit a R in der Form und mit der Eigenschaft f
a
FX (a )
P( X d a )
³f
f
gegeben ist.
X
( t ) dt und
³f
f
X
( t ) dt 1
Stochastik
165
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Analog zu einer diskreten Zufallsgröße, die paradigmatisch im Kontext des Beispiels 6.4-1 skizziert wurde, ist auch für eine stetige Zufallsgröße X die Kenntnis ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung in Gestalt ihrer Dichtefunktion fX und/oder Verteilungsfunktion FX das entscheidende Charakteristikum. Aufgrund dessen, dass im konkreten Fall die empirisch beobachtete Verteilung der erfassten Hühnereiergewichte G(Ji) = gi R+, die gemäß Abbildung 6.4-4 mittels eines normierten Histogramms, das wiederum auf m = 26 äquidistanten Gewichtsklassen mit einer Klassenbreite von jeweils einem Gramm basiert, nahezu symmetrisch ist, liegt es nahe, als Wahrscheinlichkeitsverteilung das theoretische Modell einer Dreieck-Verteilung zu verwenden. Dreieck-Verteilung. Aus Gründen einer einfachen Handhabung verwendet man in der angewandten Statistik zur Beschreibung einer stetigen Zufallsgröße X mit einer kompliziert zu bestimmenden bzw. mit einer unbekannten symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung die so genannte Dreieck- oder SIMPSONVerteilung. Eine Dreieck-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgröße X, deren Dichtefunktion fX über einem geschlossenen reellwertigen Intervall [a, b] mit a, b R die Gestalt eines gleichschenkligen Dreiecks besitzt, dessen Fläche gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungsaxiom (vgl. Abschnitt 6.2) dem Werte nach eins sein muss und ist. Dichtefunktion. Gleichwohl die Dichtefunktion einer dreieckverteilten Zufallsgröße einfach zu bestimmen ist, hat dieses „einfache“ stetige Verteilungsmodell auch seinen Preis: Die Dichtefunktion fX über einem Intervall [a, b], deren allgemeiner analytischer Ausdruck in der Abbildung 6.4-5 wiedergegeben ist, besitzt an ihren drei „Ecken“, also an den drei Funktionsstellen fX(a) = 0, fX((a + b)/2) = 2(b – a)/(b – a)² und fX(b) = 0 jeweils eine „Knickstelle“, an denen die Dichtefunktion nicht differenzierbar ist. Abbildung 6.4-5: Dichtefunktion
0 ° 4 (x a ) °° (b a ) 2 f X ( x ) ® 4 (b x ) ° 2 ° (b a ) °¯ 0
x a ab für a d x 2 ab für dxdb 2 für x!b
für
Ausgehend von den Ergebnissen der empirischen Verteilungsanalyse der n = 785 Hühnereiergewichte G(Ji) = gi R+ wird für die weiteren Betrachtungen unterstellt, dass die stetige Zufallsgröße G: Gewicht eines Hühnereies (Angaben in g) über dem geschlossenen reellwertigen Gewichtsintervall [a = 50 g, b = 76 g] dreieckverteilt ist. Dass sich die Flächen unterhalb der beiden „Schenkel“ des Dreiecks und oberhalb der Abszisse insgesamt zu eins addieren, kann man sich
166
Stochastik
im konkreten Fall anhand der Abbildungen 6.4-4 und 6.4-5 wie folgt verdeutlichen: Für das linksseitige Gewichtsintervall [50 g, (50 g + 76 g)/2 = 63 g) besitzt die zugehörige Dichtefunktion die analytische Gestalt von 4 ( x 50) 1 ( x 50) f G (x) (76 50)² 169 und analog für das rechtsseitige Gewichtsintervall [(50 g + 76 g)/2 = 63 g, 76 g] die analytische Gestalt der zugehörigen Dichtefunktion 4 (76 x ) 1 f G (x) (76 x ) . (76 50)² 169 Aufgrund dessen, dass man für das „mittlere und zugleich modale“ Gewicht einen Wert von (50 g + 76 g)/2 = 63 g ermittelt, der im konkreten Fall identisch ist mit dem Erwartungswert PG = E(G) = 63 g der stetigen Zufallsgröße G, berechnet man an der Stelle x = 63 g einen Dichtefunktionswert von 4 (76 63) 1 1 (76 63) , f G (63) (76 50)² 169 13 der grafisch als die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks über dem Gewichtsintervall [50 g, 76 g] gedeutet werden kann. Da sich die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mittels der elementaren Formel „Fläche = BreiteHöhe/2“ berechnen lässt, überzeugt man sich im konkreten Fall leicht davon, dass offensichtlich wegen (76 – 50)(1/13)/2 = 26/26 = 1 die Fläche unterhalb des gleichschenkligen Dreiecks und oberhalb der Abszisse dem Werte nach eins ist. Stetige Funktionen mit dieser Eigenschaft bezeichnet man in der Stochastik als Dichtefunktionen. Verteilungsparameter. Eingedenk dieser elementaren Betrachtungen lässt sich heuristisch (grch.: heuriskein o finden) nachvollziehen, dass der Erwartungswert E(X) = PX und die Varianz V(X) = V²X bzw. die Standardabweichung VX = V(X) einer dreieckverteilten Zufallsgröße X wie folgt definiert sind: PX = (a + b)/2, V²X = (b a)²/24 und VX = ((b – a)²/24). In Anlehnung an die Abbildung 6.4-4 bestimmt man für die stetige Zufallsgröße G einen Erwartungswert von E(G) = PG = (50 g + 76 g)/2 = 63 g, eine Varianz von V(G) = V²G = (76 g 50 g)²/24 # 28,167 g² und letztlich eine Standardabweichung von VG = (28,167 g²) | 5,3 g. Man sagt daher auch: Die stetige Zufallsgröße G: Gewicht eines Hühnereies genügt einer Dreieck-Verteilung mit den Parametern PG = 63 g und VG = 5,3 g und notiert diese „vollständige“ Verteilungsspezifikation kurz wie folgt: G ~ Dr(63 g, 5,3 g). Demnach ist „auf lange Sicht und im Mittel zu erwarten“, dass sich das Gewicht eines zufällig ausgewählten Hühnereies auf 63 g beläuft. In einem hinreichend großen Los von Hühnereiern wäre analog „auf lange Sicht und im Mittel zu erwarten“, dass die Mehrheit aller Hühnereier durch ein Gewicht zwischen 63 g – 5,3 g = 57,7 g und 63 g + 5,3 g = 68,3 g gekennzeichnet ist.
Stochastik
167
Wahrscheinlichkeit. Möchte man analog zur Abbildung 6.4-4 die Wahrscheinlichkeit P(60 g d G d 65 g) dafür bestimmen, dass das zufällige Ereignis {60 g d G d 65 g} eintritt, das im konkreten Fall darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei ein Gewicht G von mindestens 60 g, jedoch höchstens 65 g besitzt, so muss man beachten, dass die SIMPSONsche Dichtefunktion fX im interessierenden Intervall [60 g, 65 g] an der Stelle PG = 63 g, an der sie ihr Maximum besitzt, wegen der „Knickstelle“ fG(63 g) = 1/13 | 0,077 nicht differenzierbar ist. Aus diesem Grunde integriert man die Dichtefunktion für die zwei disjunkten Teilintervalle [60 g, 63 g) und [63 g, 65], wobei
P(60 d G d 65) P(60 d G 63) P(63 d G d 65)
63
65
60
63
³ f G (x )dx ³ f G (x )dx
gilt. Für das Gewichtsintervall [60 g, 63 g) ermittelt man den Wert des bestimmten Integrals der Dichtefunktion fG(x) = (x – 50)/169 für alle reellen Zahlen x in den Integrationsgrenzen 60 und 63. Da 63
º 1 1 63 1 ªx2 P(60 d G 63) ³ ( x 50) dx ³ ( x 50) dx « 50 x » 169 60 169 ¬ 2 ¼ 60 60 169 63
1 ª§ 63² 1 ·º · § 60² «¨ 50 63 ¸ ¨ 50 60 ¸» (1165,5 (1200)) | 0,204 169 ¬© 2 ¹ © 2 ¹¼ 169 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei durch ein Gewicht von mindestens 60 g, aber nicht mehr als 63 g gekennzeichnet ist, 0,204. Demnach sind 20,4 % aller Hühnereier (etwa eines großen Loses) in die interessierende Gewichtsklasse von 60 g d G < 63 g einzuordnen. Analog verfährt man bei der Integration der Dichtefunktion im Gewichtsintervall [63 g, 65 g] mit den Integrationsgrenzen 63 und 65, wobei im speziellen Fall 65
1 1 65 1 ª x2 º (76 x) dx = ( 76 x ) dx 76 x ³ 169 63³ 169 «¬ 2 »¼ 63 63 169
65
P(63 d G d 65)
1 ª§ 65 2 · § 63 2 ·º 1 «¨¨ 76 65 (2827,5 2803,5) | 0,142 ¸¸ ¨¨ 76 63 ¸¸» 169 ¬© 2 ¹ © 2 ¹¼ 169
gilt. Demnach besitzen 14,2 % aller Hühnereier ein Gewicht G von mindestens 63 g, jedoch höchstens von 65 g. Schließlich und endlich beträgt wegen P(60 d G d 65) = P(60 d G < 63) + P(63 d G d 65) = 0,204 + 0,142 = 0,346 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei ein Gewicht von mindestens 60 g, aber höchsten 65 g besitzt, 0,346, wenn unterstellt wird, dass die stetige Zufallsgröße G ~ Dr(63 g, 5,3 g)-verteilt ist. Demnach sind ceteris paribus 35 % aller Hühnereier eines großen Loses der Gewichtsklasse [60 g, 65 g] zuzuordnen. Die berechnete Wahrscheinlichkeit ist in der Abbildung 6.4-4 durch die markierte Fläche bildhaft dargestellt.
168
Stochastik
Verteilungsfunktion. Die mit Hilfe zweier bestimmter Integrale berechnete Ereigniswahrscheinlichkeit P(60 g d G d 65 g) kann man näherungsweise recht einfach auch anhand des s-förmigen Graphen der Verteilungsfunktion FG aus Abbildung 6.4-4 bestimmen, indem man für die „interessierenden“ Intervallgrenzen a = 60 g und b = 65 g, die aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht spezielle Quantile der stetigen und dreieckverteilten Zufallsgröße G: Gewicht eines Hühnereies sind, die zugehörigen Werte der Verteilungsfunktion FG(a) und FG(b) auf der Ordinate abliest. Offensichtlich gelangt man im konkreten Fall wegen P(60 g d G d 65 g) = FG(65 g) – FG(60 g) | 0,64 0,3 = 0,34, wenn auch nur in Näherung, so doch wesentlich leichter, zu einem vergleichbaren Ergebnis. Quantile. Ist man daran interessiert, denjenigen Gewichtswert a R zu bestimmen, den die Zufallsgröße G mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,25 nicht überschreitet, dann bestimmt man wegen a = Q0,25 das Quantil der Ordnung p = 0,25 der Dr(63 g; 5,3 g)-verteilten Zufallsgröße G. Anhand des s-förmig verlaufenden Graphen der Verteilungsfunktion FG innerhalb der Abbildung 6.4-4 bestimmt man auf grafischem Wege für einen Verteilungsfunktionswert von FG(a) = 0,25 näherungsweise einen Gewichtswert von a | 59 g. Auf analytischem Wege gelangt man zu einem vergleichbaren Ergebnis, wenn man die Gleichung a
º 1 ªx2 1 ( x 50) dx « 50 x » FG (a ) P(G d a ) ³ 169 ¬ 2 50 169 ¼ 50 a
1 ª§ a ² · § 50² ·º «¨ 50 a ¸ ¨ 50 50 ¸» 0,25 169 ¬© 2 ¹ © 2 ¹¼ nach a auflöst. Die sich ergebende Normalform der gemischtquadratischen Gleichung a² 100a + 2415,5 = 0 liefert schließlich und endlich gemäß dem VIETAschen Wurzelsatz eine zulässige Lösung von a = 50 + (2500 – 2451,5) | 59,2, die im konkreten Fall sachlogisch als das Gewichtsquantil der Ordnung p = 0,25 in Höhe von Q0,25 | 59,2 g gedeutet werden kann. Demnach besitzt bei Unterstellung einer (vollständig spezifizierten) Dreieck-Verteilung mit den Parametern PG = 63 g und VG = 5,3 g ein Viertel aller Hühnereier, die von Hühnern der Rasse Loheimer Braun gelegt wurden, ein Gewicht von höchstens 59,2 g. Analog können andere interessierende Quantile bestimmt werden, etwa das Gewichtsquantil b = Q0,9 der Ordnung p = 0,9 für das man im konkreten Fall wegen 1 b FG (b) 0,5 P(63 d G d b) 0,5 (76 x ) dx 0,9 169 63³ und der sich daraus ableitenden Normalform der gemischtquadratischen Gleichung b² 152b + 5742,2 = 0 letztlich einen Wert b | 76 – 5,8 = 70,2 g als zulässige Lösung ermittelt und wie folgt interpretiert: In einem hinreichend großen Los von Hühnereiern besitzen 90 % aller Hühnereier ein Gewicht von höchstens 70,2 g bzw. 10 % aller Hühnereier ein Gewicht von mehr als 70,2 g. h
Stochastik
6.5
169
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Abgrenzung. Aus der Vielzahl der theoretischen Verteilungsmodelle, die in der Stochastik im Allgemeinen und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Speziellen bekannt sind sowie in der empirischen Wirtschaftsforschung häufig appliziert werden, sollen in diesem Abschnitt nur ausgewählte diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen paradigmatisch dargestellt werden, die aufgrund ihrer theoretischen, statistisch-methodischen und praktischen Bedeutung für die weiteren Betrachtungen im Kontext dieses Lehrbuches unerlässlich sind. h
6.5.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Motivation. Unter dem Begriff einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung subsumiert man in der Stochastik die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion sowie daraus entlehnte Verteilungsparameter (etwa in Gestalt des Erwartungswertes und/oder der Varianz bzw. der Standardabweichung) einer diskreten Zufallsgröße. Auf Grund ihrer theoretischen und praktischen Bedeutung werden in diesem Abschnitt lediglich die theoretischen Modelle einer Binomialverteilung und einer POISSON-Verteilung paradigmatisch dargestellt. Binomialverteilung Eine diskrete Zufallsgröße X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, kurz: X ~ Bi(n, p), wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion durch §n· P(X k ) ¨¨ ¸¸ p k (1 p) n k für k 0,1,2,..., n ©k¹
gegeben ist. Hinweise. Für das Verständnis und für die Nutzung einer Binomialverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Parameter. Eine Binomialverteilung ist durch die zwei Parameter n und p gekennzeichnet. In Abhängigkeit vom positiven und ganzzahligen n und vom reellwertigen p mit 0 < p < 1 gibt es streng genommen nicht „die Binomialverteilung“, sondern eine ganze Familie von Binomialverteilungen. Dabei bezeichnet n die Anzahl der voneinander unabhängigen Versuche und p die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch im Kontext eines BERNOULLI-Prozesses. ii) BERNOULLI-Prozess. Die Grundidee eines BERNOULLI-Prozesses, der wiederum eine Folge von unabhängigen BERNOULLI-Experimenten ist, lässt sich wie folgt darstellen: Ein Zufallsexperiment, bei dem entweder ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit P(A) = p oder sein komplementäres Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit P( A ) = 1 – P(A) = 1 – p eintritt, wird n-mal unabhängig wiederholt. Die diskrete Zufallsgröße X, die dabei die Anzahl k = 0,1,...,n des Eintretens des zufälligen Ereignisses A zum Inhalt hat, genügt einer Binomial- oder einer BERNOULLI-Verteilung. Die n voneinander unabhängigen Wiederholungen ein und desselben Zufallsexperiments bezeichnet man daher auch als BERNOULLI-Prozess, wobei das Ereignis A (unabhängig von dessen konkreter Bedeutung) als Erfolg und die Wahrscheinlichkeit p als Erfolgswahrscheinlich-
170
Stochastik
keit gedeutet werden. Charakteristisch für einen BERNOULLI-Prozess ist das Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen, wobei die Unveränderlichkeit der Erfolgswahrscheinlichkeit p unterstellt wird. iii) Wahrscheinlichkeitsfunktion. In PASW Statistics bestimmt man die Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = k) einer Bi(n, p)-verteilten Zufallsgröße X mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion PDF.BINOM. Die Abkürzung PDF steht für den englischen Terminus Probability Density Function (vgl. Beispiel 6.5.1-1) iv) Intervallwahrscheinlichkeiten. Intervallwahrscheinlichkeiten etwa der Form P(X d k) oder P(X > k) bestimmt man in PASW Statistics am elegantesten mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion CDF.BINOM. Die Abkürzung CDF steht für den englischen Terminus Cumulative Distribution Function. Für die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten erweisen sich die neun Rechenregeln, die eingangs des Abschnittes 6.4 skizziert wurden, als sehr hilfreich (vgl. Beispiel 6.5.1-1). v) Verteilungsparameter. Für den Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X) einer binomialverteilten Zufallsgröße X gilt: PX = E(X) = np und V²X = V(X) = np(1 p). vi) Historie. Das Modell einer Binomialverteilung (lat.: bis o zweifach + nomen o Name) geht auf den Schweizer Mathematiker Jacob BERNOULLI (16541705) zurück. Ihm zu Ehren nennt man eine Binomialverteilung auch BERNOULLIVerteilung und die n unabhängigen Zufallsexperimente, die der Verteilung zugrunde liegen, einen BERNOULLI-Prozess. i
Beispiel 6.5.1-1: Binomialverteilung Motivation. Ein umtriebiger Student der Betriebswirtschaftslehre vertreibt aus Existenznöten neben seinem Studium Produkte eines Versicherungsunternehmens. In einer Vertriebsberatung berichtet er, dass erfahrungsgemäß einem Vertragsabschluss vier erfolglose Kundenberatungen gegenüberstehen. Demnach liegt die Chance (frz.: chance o Glücksfall) für einen Vertragsabschluss bei 1 : 4. Einmal angenommen, der Student vereinbart im Verlaufe einer Woche zehn voneinander unabhängige Kundenberatungen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ceteris paribus i) keinen, ii) höchstens einen und iii) mindestens einen Vertrag abschließt? Chance. Zwischen der Chance von 1 : 4 für einen Vertragsabschluss (Ereignis A) und der daraus abgeleiteten subjektiven Wahrscheinlichkeit P(A) für einen Vertragsabschluss besteht offensichtlich der folgende leicht nachvollziehbare Zusammenhang: p = P(A) = 1/(1 + 4) = 0,2. Dies leuchtet ein, denn wenn sich die Erfolge zu den Misserfolgen verhalten wie 1 : 4, so hat er genau einen Erfolg bei fünf voneinander unabhängigen Kundenberatungen, was einer subjektiven Erfolgswahrscheinlichkeit von einem Fünftel bzw. p = 0,2 bzw. einer Erfolgschance von P(A)/(1 – P(A)) : 1 = 0,2/0,8 : 1 = 0,25 : 1 bzw. 1 : 4 entspricht. BERNOULLI-Prozess. Da der umtriebige Student im Verlaufe einer Woche n = 10 voneinander unabhängige Kundenberatungen durchführt, können diese Beratungen aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht als ein BERNOULLI- Prozess aufgefasst werden, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit, eine Beratung erfolgreich mit einem Vertrag abzuschließen, als gegeben und unveränderlich mit p = P(A) = 0,2 annimmt.
Stochastik
171
Zufallsgröße. Die Menge {0, 1, 2,..., n} der insgesamt n + 1 denkbar möglichen Vertragsabschlüsse bezeichnet man auch als den Träger der diskreten Zufallsgröße X, der im konkreten Fall aus n + 1 = 11 (endlich vielen denkbar möglichen) Realisationen X = k besteht. Die diskrete Zufallsgröße X, die im betrachteten Fall die „Anzahl der Vertragsabschlüsse bei zehn unabhängigen Kundenberatungen“ zählt, genügt unter den gegebenen Bedingungen einer Binomialverteilung mit den Parametern n = 10 und p = 0,2, kurz: X ~ Bi(10; 0,2). Wahrscheinlichkeiten. Für die drei eingangs notierten zufälligen Ereignisse kann man via Sequenz 4.6.4-3 und unter Berücksichtung der Abbildung 6.5.1-1 die zugehörigen Ereigniswahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen: Abbildung 6.5.1-1: Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsfunktion PDF.BINOM
P(X = 2) = PDF.BINOM(2,10,0.2) = 0,3020 Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X = k)
Ereignis {k Vertragsabschlüsse}
Ereignis {X = 0}. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei n = 10 unabhängigen Beratungen keinen Vertag abzuschließen, §10 · P(X = 0) = ¨¨ ¸¸ 0,2 0 (1 0,2)10 0 = PDF.BINOM(0,10,0.2) | 0,1074. ©0¹ Einmal angenommen, der Student plant im Semester über zehn Wochen hinweg jeweils zehn unabhängige Beratungen pro Woche, dann muss er ceteris paribus wegen 100,1074 | 1 erwartungsgemäß einmal damit rechnen, leer auszugehen. Binomialkoeffizient. Das Symbol (lies: n über k) § n · n ( n 1) ... (n k 1) ¨¨ ¸¸ mit n, k N und k d n 1 2 ... k ©k¹
172
Stochastik
wurde vom Schweizer Mathematiker Leonhard EULER (17071783) als verkürzende Schreibweise für Binomialkoeffizienten eingeführt. Ihm zu Ehren nennt man es auch das EULERsche Symbol. Für das EULERsche Symbol gelten folgende Festlegungen bzw. Eigenschaften: §n· § n · § n · § 0· ¸¸ . ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ 1 und ¨¨ ¸¸ ¨¨ ©k¹ ©n k¹ © 0 ¹ © 0¹ Ereignis {X d 1}. Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei n = 10 voneinander unabhängigen Kundenberatungen und konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,2 höchstens einen Vertrag „unter Dach und Fach“ zu bekommen, ist gemäß der zweiten der neun Rechenregeln, die im Abschnitt 6.4 notiert wurden, P(X d 1) = FX(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758. Demnach kann der Student im Verlaufe des Semesters unter den betrachteten Bedingungen erwartungsgemäß in vier von zehn Wochen mit höchstens einem Vertragsabschluss rechnen. Dabei ist zu beachten, dass hier auch das zufällige Ereignis {X = 0}, das darin besteht, keinen Vertrag bei n = 10 voneinander unabhängigen Kundenberatungen abgeschlossen zu haben, in das Kalkül der Berechnung eingeschlossen ist. Zu einem gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man sich analog zur Abbildung 6.5.1-2 im PASW Statistics Dialogfeld Variable berechnen der Funktion CDF.BINOM aus der Funktionsgruppe Verteilungsfunktionen bedient, die per Definition stets den Wert der Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße liefert. Abbildung 6.5.1-2: Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten
Verteilungsfunktion CDF.BINOM
P(X d 1) = FX(1) = CDF.BINOM(1,10,0.2) | 0,3758
Ereignis {X d 1}: höchstens 1 Vertragsabschluss bei 10 Beratungen
Stochastik
173
Die Berechnungsvorschrift für die interessierende Ereigniswahrscheinlichkeit P(X d 1) = FX(1) ist in der Abbildung 6.5.1-2 explizit vermerkt. Ereignis {X t 1}. Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei n = 10 unabhängigen Beratungen mindestens einen Erfolg konstatieren zu können, beträgt gemäß der fünften der neun Rechenregeln, die für Zufallsgrößen im Abschnitt 6.4 angegeben wurden, P(X t 1) = 1 – FX(1) + P(X = 1) = 1 – CDF.BINOM(1, 10, 0.2) + PDF.BINOM(1, 10, 0.2) = 1 – 0,3758 + 0,2684 = 0,8926. Demnach kann der Student ceteris paribus (lat.: ceteris paribus o (wenn) das Übrige gleich (ist)) in neun von zehn Wochen mit mindestens einem Abschluss rechnen, wenn er pro Woche zehn voneinander unabhängige Beratungen realisiert. Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung in Gestalt der Wahrscheinlichkeitsfunktion fX und der Verteilungsfunktion FX der diskreten und Bi(10, 0,2)-verteilten Zufallsgröße X: Anzahl der Vertragsabschlüsse bei zehn voneinander unabhängigen Beratungen sind in der Abbildung 6.5.1-3 einerseits mit Hilfe eines Stabdiagramms und andererseits mittels eines monoton steigenden und treppenförmigen Polygonzuges bildhaft dargestellt. Abbildung 6.5.1-3: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Anhand der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = PDF.BINOM(k, 10, 0.2), die in der Abbildung 6.5.1-3 als Säulendiagramm dargestellt ist, kann man sich die Wesenheit einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung nochmals bildhaft verdeutlichen: Die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse, die gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungsaxiom eins ist, wird auf die n + 1 = 11 möglichen Realisationen k = 0, 1,...,10 der diskreten Zufallsgröße X derart verteilt, dass sich dieses Verteilungsbild ergibt, das in der Stochastik unter dem Begriff einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung subsumiert wird. Erwartungswert. Da sich im konkreten Fall der Erwartungswert der diskreten und Bi(10, 0,2)-verteilten Zufallsgröße X auf PX = E(X) = 100,2 = 2 beläuft, sagt man auch, dass der Student ceteris paribus bei n = 10 voneinander unabhängigen Beratungen und einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,2,
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Stochastik
„auf lange Sicht und im Mittel“ erwartungsgemäß mit zwei Vertragsabschlüssen rechnen kann. Standardabweichung. Da für die Varianz V²X = V(X) = 100,2(1 0,2) = 1,6 gilt, errechnet man für die Standardabweichung der Bi(10, 0,2)-verteilten Zufallsgröße X einen Wert von VX = 1,6 | 1,26 Vertragsabschlüssen. h Beispiel 6.5.1-2: Binomialverteilung Motivation. Im Kontext des Beispiels 6.4-1 wurde anhand eines Familienplanungsmodells die Grundidee des theoretischen Konstrukts einer diskreten Zufallsgröße erläutert. Beachtenswert ist in diesem Kontext, dass gemäß Abbildung 6.4-1 das Planungsmodell „Familie mit drei Kindern“ aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht als ein BERNOULLI-Prozess und das zugrunde liegende diskrete Wahrscheinlichkeitsmodell als eine Binomialverteilung mit den Modellparametern n = 3 voneinander unabhängige Zeugungsversuche mit jeweils konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,4866 für das Erfolgsergebnis „Mädchen“ aufgefasst werden kann. Demnach berechnet man zum Beispiel für das zufällige Ereignis {X = 3}, das darin besteht, dass eine Familie mit drei Kindern genau drei Mädchen ihr eigen nennen kann, eine Ereigniswahrscheinlichkeit von § 3· P(X 3) ¨¨ ¸¸ 0,4866 3 (1 0,4866) 3 3 PDF.BINOM(3, 3, 0.4866) | 0,1152 . © 3¹
Diese Wahrscheinlichkeit stimmt mit der bereits berechneten und in der Abbildung 6.4-1 an der Stelle k = 3 grafisch dargestellten Ereigniswahrscheinlichkeit von P(X = 3) = 0,4866³ | 0,1152 überein. Stammhalterproblem. Des Gleichheitsgrundsatzes wegen soll in diesem Zusammenhang nicht unerwähnt bleiben, dass man mittels des skizzierten Familienplanungsmodells auch das so genannte Stammhalterproblem modellieren kann, indem man analog zur Tabelle 6.5.1-1 für eine Familie mit einem Kind oder mehreren Kindern die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, dass wenigstens ein Knabe als „Stammhalter“ geboren wird. Tabelle 6.5.1-1: Stammhalterproblem Kinderanzahl 1 2 3 4 5 Stammhalter-Wahrscheinlichkeit 0,5134 0,7632 0,8848 0,9439 0,9727
Die so genannte Stammhalter-Wahrscheinlichkeit ist im konkreten Fall nichts anderes als die zum zufälligen Ereignis {X = n} gehörende Komplementärwahrscheinlichkeit 1 – P(X = n). Das zufällige Ereignis {X = n} besteht im betrachteten Fall darin, dass in einer Familie mit n Kindern genau n Mädchen vorkommen. Im Kontext des skizzierten Familienmodells mit n = 3 Kindern berechnet sich die Stammhalter-Wahrscheinlichkeit wie folgt: 1 – P(X = 3) = 1 – PDF.BINOM(3, 3, 0.4866) | 0,8848.
Stochastik
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Für Apologeten der Stammhalterphilosophie ergibt sich aus der Tabelle 6.5.1-1 die folgende finale reproduktionstheoretische Aussage: Je größer die Anzahl der Kinder in einer Familie ist, umso höher ist auch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens ein Knabe als „Stammhalter“ geboren wird. Würde man das „Ursula-von-der-LEYEN-Modell“ als Familienplanungsmodell präferieren, dann beliefe sich ceteris paribus bei sieben Kindern die Stammhalter- Wahrscheinlichkeit auf 1 – P(X = 7) = 1 – PDF.BINOM(7, 7, 0.4866) = 0,9935. Zu einem gleichen Ergebnis würde man gelangen, wenn man im konkreten Fall die diskrete Zufallsgröße Y betrachten würde, welche die Anzahl k der Knaben in einer Familie mit n Kindern beschreibt. Für das interessierende Stammhalter-Ereignis {Y t 1}, das darin besteht, dass in einer Familie mit n = 7 Kindern mindestens ein Knabe vorkommt, wobei gemäß der SÜßMILCHschen Sexualproportion und dem postulierten BERNOULLI-Prozess eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 1 – 0,4866 = 0,5134 für das Erfolgsergebnis „Knabe“ unterstellt wird, berechnet man eine Stammhalter-Wahrscheinlichkeit von P(Y t 1) = 1 CDF. BINOM(1, 7, 0.5134) + PDF.BINOM(1, 7, 0.5134) | 0,9935. Gleichwohl diese Stammhalter-Wahrscheinlichkeit sehr hoch ist, gäbe es ceteris paribus etwa unter 1000 Familien mit sieben Kindern erwartungsgemäß immerhin noch (1 0,9935)1000 | 7 Familien, bei denen sich bisher partout kein Stammhalter einstellen wollte. In einem solchen Fall bleibt nur die Alternative: entweder weiter experimentieren oder die Familienplanung als abgeschlossen betrachten. h POISSON-Verteilung Eine diskrete Zufallsgröße X heißt poissonverteilt mit dem Parameter O > 0, kurz: X ~ Po(O), wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion durch Ok O P(X k ) e , k 0, 1, 2, ... k!
gegeben ist. Hinweise. Für das Verständnis und für die Nutzung einer POISSON-Verteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Familie. Wegen des „alleinigen“ Verteilungsparameters O > 0 (lies: Lambda) gibt es nicht „die POISSON-Verteilung“, sondern eine ganze Familie von POISSON-Verteilungen. Beachtenswert ist die vorteilhafte Eigenschaft, dass für den Erwartungswert P = E(X) und für die Varianz V² = V(X) einer poissonverteilten Zufallsgröße X stets E(X) = V(X) = O gilt. ii) Applikation. In praxi spielt das theoretische Modell einer POISSON-Verteilung vor allem dann eine Rolle, wenn voneinander unabhängige punktuelle Ereignisse hinsichtlich der Häufigkeit ihres Auftretens im Zeitablauf in festen, meist kleinen Zeitabständen beobachtet und modelliert werden. Die Zufallsgröße X gibt dann die Anzahl der „seltenen Vorkommnisse“ in einem bestimmten, meist kleinen Zeitraum an. Dies ist auch der Grund dafür, warum man eine POISSON-Verteilung als eine Verteilung „seltener Ereignisse“ charakterisiert. Einen im Zeitablauf betrachteten punktuellen Ereignisstrom bezeichnet man in die-
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Stochastik
sem Kontext auch als einen POISSON-Prozess, sofern er bestimmte Bedingungen erfüllt. iii) Grenzverteilung. Wegen der Grenzwertbeziehung §n· Ok O lim ¨¨ ¸¸ p k (1 p) n k e , k 0, 1, 2, ... n of k! ©k¹ po0
np O const
wird in praxi eine POISSON-Verteilung oft als Approximation für eine vor allem für große n und kleine p schwieriger zu berechnende Binomialverteilung verwendet. Dabei bezeichnet e = 2,7182818... die so genannte EULERsche Konstante, die selbst wiederum nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard EULER (17071783) benannt ist. iv) Beispiele. Typische poissonverteilte Zufallsgrößen sind zum Beispiel die Anzahl der Telefongespräche, die in einer Telefonzentrale innerhalb einer Minute ankommen oder die Anzahl der Kunden, die innerhalb von fünf Minuten eine Bankfiliale betreten. v) Historie. Das Modell einer POISSON-Verteilung ist nach dem französischen Mathematiker Simeon Denis POISSON (17811840) benannt. i
Beispiel 6.5.1-3: POISSON-Verteilung Motivation. Ein Beispiel zur Motivation des theoretischen Modells einer POISSON-Verteilung, das in der Literatur nicht nur wegen seiner Anschaulichkeit, sondern wohl auch wegen seiner Skurrilität gern zitiert wird, ist die vom deutschen Statistiker Ladislaus von BORTKIEWICZ (18681931) zusammengetragene Statistik von Soldaten, die im Verlaufe von zwanzig Jahren in zehn Regimentern des kaiserlich-preußischen Heeres durch Hufschlag getötet wurden.16 Häufigkeitstabelle. Die von BORTKIEWICZ erfassten Todesfälle infolge von Hufschlag, die in der PASW Statistics Datendatei Hufschlagtote.sav gespeichert sind, liefern die Häufigkeitsverteilung innerhalb der Tabelle 6.5.1-2. Tabelle 6.5.1-2: Häufigkeitstabelle Anzahl k der Hufschlagtoten
Gültig
Hufschlagtote in einem Regiment-Jahr
0 1 2 Zustandsmenge 3 4 Gesamt
Häufigkeit 109 65 22 3 1 200
Prozent 54,5 32,5 11,0 1,5 ,5 100,0
Kumulierte Prozente 54,5 87,0 Anzahl der Regimenter-Jahre 98,0 99,5 100,0
Im Blickwinkel der Deskriptiven Statistik erscheint ein so genanntes RegimentJahr als der Merkmalsträger J und die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n) aller n = 200 betrachteten Regimenter-Jahre (= 10 Regimenter mal 20 Jahre) als die statistische Gesamtheit. Die „Anzahl durch Hufschlag getöteter Soldaten“ ist das im BORTKIEWICZschen Sinne interessierende diskrete Erhebungsmerkmal X, dessen Zu16
Quelle: Ladislaus von BORTKIEWICZ: Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig 1898
Stochastik
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standsmenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} im konkreten Fall durch die m = 5 natürlichen Zahlen [1 = 0, [2 = 1, [3 = 2, [4 = 3 und [5 = 4 gegeben ist, worin die Zahl Null eingeschlossen ist. Aufgrund dessen, dass zum Beispiel die beobachtete diskrete Merkmalsausprägung [2 = 1 der Ordnung j = 2 in n = 200 Regimenter-Jahren insgesamt n2 = n(X = 1) = 65 mal „gezählt“ wurde, sagt man auch, dass in 65 Regimenter-Jahren bzw. in p2 = p(X = 1) = (65/200)100 % = 32,5 % aller n = 200 betrachteten Regimenter-Jahre das zufällige und schadenstiftende Ereignis {X = 1} eingetreten ist, das darin bestand, dass genau ein Hufschlagtoter zu beklagen gewesen war. Anhand dieser sachlogischen Interpretation der Merkmalsausprägung [2 der Ordnung j = 2 und der zugehörigen absoluten bzw. prozentualen Häufigkeit n2 bzw. p2 überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass in insgesamt n = 109 + 65 + 22 + 3 + 1 = 200 Regimenter-Jahren wegen 5
¦[
j
nj
0 109 1 65 2 22 3 3 4 1 122
j 1
insgesamt 122 Soldaten durch Hufschlag getötet wurden. Im Mittel sind es 5
x
1 5 ¦[j n j n j1
¦[
j
nj
j 1
5
¦nj
122 200
0,61
j 1
durch Hufschlag getötete Soldaten pro Regiment und Jahr. Das gewogene arithmetische Mittel, das aus der Häufigkeitstabelle 6.5.1-2 berechnet wurde, ist in logischer Konsequenz identisch mit dem arithmetischen Mittel, das man gemäß Tabelle 6.5.1-3 via Sequenz 5.2-1 für die Variable Tote berechnet. Tabelle 6.5.1-3: Mittelwerttabelle Hufschlagtote in einem Regiment-Jahr Mittelwert ,610 Varianz ,611
Die augenscheinlichen Tatsachen, dass mit sX² = 0,611 { x = 0,61 zum einen die Varianz sX² = 0,611 der Anzahl der durch Hufschlag getöteten Soldaten in ihrem Wert nahezu identisch ist mit dem arithmetischen Mittel x = 0,61 und zum anderen eine „größere“ Anzahl von Todesfällen infolge von Hufschlag in einem Regimenter-Jahr „ein eher seltenes zufälliges Ereignis“ darstellt, sind zwei unumstößliche Indizien dafür, dass die von BORTKIEWICZ empirisch beobachtete Verteilung der Anzahl der durch Hufschlag getöteten Soldaten in einem RegimentJahr durch das theoretische Verteilungsmodell einer POISSON-Verteilung beschrieben bzw. modelliert werden kann. POISSON-Verteilung. Fasst man das diskrete Erhebungsmerkmal X: Anzahl der Hufschlagtoten in einem Regiment-Jahr als eine diskrete und poissonverteilte
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Stochastik
Zufallsgröße X auf, wobei nunmehr X a Po(O) gelten soll, und verwendet man das empirisch ermittelte arithmetische Mittel von x = 0,61 Hufschlagtoten pro Regiment-Jahr als einen Schätzwert für die Anzahl der Hufschlagtoten, die man (bedingt durch das freie Spiel des Zufalls) in einem Regiment-Jahr „auf lange Sicht im Mittel erwarten kann“, so leuchtet es ein, diesen empirisch ermittelten Durchschnittswert als Erwartungswert E(X) = O = 0,61 für die nicht näher spezifizierte POISSON-Verteilung zu verwenden, wobei jetzt X ~ Po(0,61) als das zu betrachtende und vollständig spezifizierte theoretische Verteilungsmodell gilt. Wahrscheinlichkeit. In der Abbildung 6.5.1-4 ist die Berechnung von ereignisbezogenen POISSON-Wahrscheinlichkeiten exemplarisch skizziert. Abbildung 6.5.1-4: Berechnung von POISSON-Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsfunktion PDF.POISSON P(X = 2) = PDF.POISSON(2,0.61) = 0,1011
P(X d 2) = CDF.POISSON(2,0.61) = 0,9759
Ereignis {X = k Hufschlagtote}
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Unterstellung des theoretischen Modells einer POISSON-Verteilung mit dem Parameter O = 0,61 Hufschlagtote pro Regiment und Jahr das zufällige Ereignis {X = 2} bzw. {X d 2} eintritt, das darin besteht, dass genau zwei bzw. höchstens zwei Soldaten in einem Regiment-Jahr durch Hufschlag getötet werden, ist P(X = 2) = PDF.POISSON(2, 0.61) = 0,1011 bzw. P(X d 2) = FX(2) = CDF.POISSON(2, 0.61) = 0,9759. Demnach ist im Verlaufe von n = 200 Regimenter-Jahren „im Mittel“ zu erwarten, dass erwartungsgemäß in ne(X = 2) = nP(X = 2) = 2000,1011 = 20,22 Regimenter-Jahren genau k = 2 Soldaten durch Hufschlag getötet werden. Bemerkenswert ist dabei, dass die theoretisch zu erwartende absolute Häufigkeit von ne(X = 2) = 20,22 Regimenter-Jahren nahezu identisch ist mit der von BORTKIEWICZ beobachteten absoluten Häufigkeit von n(X = 2) = 22 Regimenter-Jahren.
Stochastik
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Anpassungstest. In Anlehnung an diese vergleichenden Häufigkeitsbetrachtungen überzeugt man sich anhand der Häufigkeitstabelle 6.5.1-2 und der Abbildung 6.5.1-4 leicht von der Tatsache, dass sich auch die restlichen empirisch beobachteten absoluten Häufigkeiten n(X = k) „recht gut“ an die absoluten Häufigkeiten ne(X = k) = nP(X = k) „anpassen“, die man theoretisch erwarten würde, wenn man die Anzahl der Hufschlagtoten in einem Regiment-Jahr als eine Po(0,61)-verteilte Zufallsgröße auffasst. Inwieweit bzw. wie „gut“ sich empirisch beobachtete absolute Häufigkeiten n(X = k) an die unter einer Verteilungsannahme theoretisch zu erwartenden absoluten Häufigkeiten ne(X = k) „anpassen“, überprüft man in der Statistik mit Hilfe so genannter Anpassungstests, die ein spezieller Gegenstand des Kapitels 7 sind. Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Vollständigkeit und der Anschaulichkeit halber sind in der Abbildung 6.5.1-5 sowohl die Wahrscheinlichkeitsfunktion PDF.POISSON(k, 0.61) in Gestalt des Säulendiagramms als auch die monoton steigende und treppenförmige Verteilungsfunktion FX : CDF.POISSON(k, 0.61) der diskreten und Po(0,61)-verteilten Zufallsgröße X: Anzahl der in einem Regiment-Jahr durch Hufschlag getöteten Soldaten bildhaft dargestellt. Abbildung 6.5.1-5: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Die beiden Grafiken verdeutlichen im konkreten Fall auf eine sehr anschauliche Art und Weise, warum man in der Stochastik das theoretische Modell einer POISSON-Verteilung auch als ein Verteilungsmodell zur Beschreibung seltener zufälliger Ereignisse verwendet. Das zufällige Ereignis {X > 3}, das darin besteht, dass in einem Regiment-Jahr mehr als drei Soldaten wegen Hufschlags zu Tode kommen, ist eben eher selten. Das „seltene zufällige Ereignis“ wird letztlich durch seine geringe Wahrscheinlichkeit zahlenmäßig untermauert, die sich im speziellen Fall auf P(X > 3) = 1 – CDF.POISSON(3, 0.61) = 0,0036 beläuft. Demnach könnte man unter den gegebenen Bedingungen wegen 1 = n0,0036 erwartungsgemäß in n = 1/0,0036 | 278 Regimenter-Jahren einmal damit rechnen, dass dieses „seltene und zugleich todbringende“ Ereignis eintritt. h
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Stochastik
6.5.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Motivation. Unter dem Begriff einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung subsumiert man in der Stochastik die Dichte- und die Verteilungsfunktion sowie daraus entlehnte Verteilungsparameter einer stetigen Zufallsgröße. Auf Grund ihrer theoretischen und praktischen Bedeutung werden in diesem Abschnitt lediglich die theoretischen Modelle einer Normalverteilung und einer Exponentialverteilung paradigmatisch skizziert. Normalverteilung Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern P R und V > 0, kurz: X ~ N(P, V), wenn ihre Verteilung durch die Dichtefunktion
f X (a )
1 e V 2S
( a P )2 2V2
mit a R
gegeben ist. Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Modells einer Normalverteilung sind die folgenden Hinweise hilfreich und nützlich: i) Verteilungsparameter. Da eine Normalverteilung durch die zwei Parameter P (lies: My) und V (lies: Sigma) bzw. V² bestimmt ist, gibt es streng genommen nicht die Normalverteilung, sondern eine ganze Familie von Normalverteilungen. Der Parameter P, der auch als Mittelwert- oder Lageparameter bezeichnet wird, ist identisch mit dem Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X. Der Parameter V, der auch als Streuungsparameter gekennzeichnet wird, ist identisch mit der Standardabweichung V = V(X) der Zufallsgröße X. ii) Dichtefunktion. Der Graph der Dichtefunktion fX besitzt die Gestalt einer Glockenkurve. In PASW Statistics kann man die Werte der Dichtefunktion fX einer N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X mittels der Funktion fX(a) = PDF.NORMAL(a, P, V) berechnen. Beachtenswert ist dabei, dass der Lageparameter P die Stelle a = P der Dichtefunktion fX(a) markiert, an der sie ihr Maximum erreicht bzw. ihren „Gipfel besitzt“. Anhand der Abbildung 6.5.2-1 wird deutlich, dass eine Veränderung des Lageparameters P eine Verschiebung der Glockenkurve entlang der Abszisse bewirkt. Abbildung 6.5.2-1: Normalverteilungsdichten
N(P = 1, V = 1)
N(P = 2, V = 2)
Stochastik
181
Zudem lässt sich anhand der beiden Normalverteilungsdichten zeigen, dass der Wert der Dichtefunktion fX(a) an der Stelle a = P sich umgekehrt proportional zum Streuungsparameter V verhält. Je größer (kleiner) die Streuung, desto flacher (steiler) ist die Glockenkurve. iii) Wahrscheinlichkeitsimplikation. Wie bei allen stetigen Verteilungen wird auch bei einer Normalverteilung die Wahrscheinlichkeitsimplikation in der Regel über die Verteilungsfunktion a
FX (a ) P(X d a )
³f
X ( t )dt
= CDF.NORMAL(a, P, V)
f
bewerkstelligt. Die Wahrscheinlichkeit P(X d a) für das zufällige Ereignis A := {X d a} wird dabei geometrisch als Fläche unterhalb der Dichtefunktion fX und oberhalb der Abszisse bis zur Stelle a oder als Wert der Verteilungsfunktion FX(a) an der Stelle a R gedeutet. Beachtenswert ist dabei, dass per Definition lediglich die Werte der PASW Statistics Funktion CDF.NORMAL (nicht jedoch die Werte der PASW Statistics Funktion PDF.NORMAL) als Wahrscheinlichkeiten zu deuten sind. iv) Punktrealisation. Gilt a = b, so ist X = a bzw. X = b eine mögliche punktuelle Realisation von X. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis {X = a} eintritt, ist a
P(X a )
³f
X ( t ) dt
CDF.NORMAL(a , P, V) CDF.NORMAL(a , P, V) 0 .
a
Demnach nimmt (nicht immer sofort einleuchtend) nicht nur eine normalverteilte, sondern generell eine stetige Zufallsgröße X jede ihrer möglichen Realisationen a R nur mit einer Wahrscheinlichkeit von null an. Dies heißt aber nicht, dass das Ereignis {X = a} ein unmögliches Ereignis darstellt. Wohl ist die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis stets null, aber nicht jedes zufällige Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit null ist, ist ein unmögliches Ereignis. Beachtenswert ist dabei folgende Aussage: Wegen P(X = a) = 0, a R, ist für eine stetige Zufallsgröße X stets auch die Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse gegeben: P(a d X d b) = P(a d X < b) = P(a < X d b) = P(a < X < b). v) Rechenregeln. Für die Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten einer N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X erweisen sich die Rechenregeln x P(X d a) = FX(a) = CDF.NORMAL(a, P, V) x P(a d X d b) = FX(b) – FX(a) = CDF.NORMAL(b, P, V) CDF.NORMAL(a, P, V) x P(X > a) = 1 P(X d a) = 1 FX(a) = 1 CDF.NORMAL(a, P, V) als nützlich und hilfreich. vi) Standardnormalverteilung. Ist eine stetige Zufallsgröße X ~ N(P, V)-verteilt, so ist die standardisierte Zufallsgröße Z = (X P)/V standardnormalverteilt oder N(0, 1)-verteilt mit dem Erwartungswert E(Z) = 0 und der Varianz V(Z) = 1, kurz: Z ~ N(0, 1). Die Werte der Verteilungsfunktion )(z) = CDFNORM(z) = CDF.NORMAL(a, 0, 1) der Standardnormalverteilung N(0, 1) (vgl. Beispiel 6.5.2-4) liegen in einschlägigen Fachbüchern für bestimmte Argumente z R in der Regel tabelliert vor. vii) Historie. Das Modell einer Normalverteilung wurde erstmals vom französischen Mathematiker Abraham DE MOIVRE (16671754) formuliert und vom deutschen Mathematiker Carl Friedrich GAUß (17771855) als Verteilungsgesetz für Beobachtungsfehler bei Landvermessungen angewandt. GAUß zu Ehren nennt man eine Normalverteilung auch eine GAUß-Verteilung (vgl. Kapitel 1). Aufgrund dessen, dass die Dichtefunktion einer Normalverteilung die Gestalt einer Glocke besitzt, bezeichnet man eine Normalverteilung mitunter auch als GAUßsche Glockenkurve. i
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Stochastik
Beispiel 6.5.2-1: Normalverteilung als Basis für eine Erlöshochrechnung Motivation. Eine Bäuerin betreibt im Land Brandenburg einen Öko-Bauernhof und hat sich auf die Produktion von Eiern spezialisiert, die von Hühnern der Rasse Loheimer Braun gelegt werden. Auf den Berliner Wochenmärkten sind die von der Bäuerin feilgebotenen Öko-Eier sehr begehrt. Welchen Erlös würde die Bäuerin auf einem Wochenmarkt erwartungsgemäß erzielen, wenn sie eine Palette von insgesamt 2000 Öko-Eiern verkauft und ein Ei der jeweiligen Gewichtskategorie zu den Preisen veräußert, die in der Tabelle 6.5.2-1 aufgelistet sind? Zufallsgröße. In Anlehnung an das Beispiel 6.4-2 soll davon ausgegangen werden, dass das Gewicht G eines Hühnereies (Angaben in g) eine stetige und zugleich eine normalverteilte Zufallsgröße ist. Aus Vereinfachungs- und Plausibilitätsgründen wurden die Parameter des vorerst unvollständig spezifizierten Normalverteilungsmodells N(P, V) aus den empirisch erhobenen Gewichtsdaten der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav geschätzt, wobei im konkreten Fall für den Erwartungswert P = E(G) = 62,78 g | 63 g und für die Standardabweichung V = V(G) = 4,76 g | 5 g gelten soll. Tabelle 6.5.2-1: Preistabelle Gewichtskategorie Gewichtsklasse S(mall) G < 55 g M(edium) 55 g d G < 65 g L(arge) 65 g d G < 75 g (e)X(tra)L(arge) G t 75 g
Preis 0,20 € je Stück 0,25 € je Stück 0,30 € je Stück 0,35 € je Stück
In der Abbildung 6.5.2-2 sind die beiden Graphen der glockenförmigen Dichtefunktion fG(a) = PDF.NORMAL(a, 63, 5) und der monoton wachsenden und sförmigen Verteilungsfunktion FG(a) = P(G d a) = CDF.NORMAL(a, 63, 5) der stetigen und N(63 g, 5 g)-verteilten Zufallsgröße G: Hühnereigewicht (in g) bildhaft dargestellt. Abbildung 6.5.2-2: Dichte- und Verteilungsfunktion der N(63, 5)-Verteilung
Stochastik
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Erlöshochrechnung. Die angestrebte Erlöshochrechnung kann unter Zuhilfenahme der eingangs angegebenen drei Rechenregeln für Ereigniswahrscheinlichkeiten analog zur Abbildung 6.5.2-3 wie folgt bewerkstelligt werden: Ereignis S. Für das zufällige Ereignis S := {G < 55 g}, das darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei in die Gewichtskategorie S einzuordnen ist, berechnet man unter den gegebenen Bedingungen eine Wahrscheinlichkeit von P(G < 55) = FG(55) = CDF.NORMAL(55, 63, 5) | 0,0548 und interpretiert sie wie folgt: Unter der Annahme, dass das Gewicht G von Hühnereiern eine N(63 g, 5 g)-verteilte Zufallsgröße ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Ei leichter als 55 g ist, 0,0548. Aufgrund dessen, dass die Bäuerin 2000 Hühnereier „zu Markte trägt und veräußert“ und das Eintreten des zufälligen Ereignisses S nicht sehr wahrscheinlich ist, kann die Bäuerin erwartungsgemäß davon ausgehen, dass sich in der Verkaufsmenge von 2000 Eiern insgesamt 20000,0548 = 109,6 | 110 Eier der Gewichtskategorie S befinden, für die sie gemäß Preisliste erwartungsgemäß einen Verkaufserlös von (110 Stück)(0,20 €/Stück) = 22 € erzielen kann. Abbildung 6.5.2-3: Berechnung einer Ereigniswahrscheinlichkeit
Verteilungsfunktion CDF.NORMAL
P(65 d G < 75) = CDF.NORMAL(75,63,5) – CDF.NORMAL(65,63,5) | 3364 Ereignis L: {65 g d G < 75 g}
Ereignis M. Für das zufällige Ereignis M := {55 g d G < 65 g}, das darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei in die Gewichtskategorie M gehört, berechnet man ceteris paribus eine Wahrscheinlichkeit von P(55 d G < 65) = FG(65) FG(55) = CDF.NORMAL(65, 63, 5) CDF.NORMAL(55, 63, 5) | 0,6006
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Stochastik
und interpretiert sie wie folgt: Unter der Annahme, dass das Hühnereiergewicht G eine N(63 g, 5 g)-verteilte Zufallsgröße ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Ei der Gewichtskategorie M zuzuordnen ist, 0,6006. Demnach kann die Bäuerin theoretisch erwarten, dass sich in der Verkaufsmenge von 2000 Eiern insgesamt 20000,6006 = 1201,2 | 1201 Eier der Gewichtskategorie M befinden, für die sie gemäß Preisliste erwartungsgemäß einen Verkaufserlös von (1201 Stück)(0,25 €/Stück) = 300,25 € erzielen kann. Ereignis L. Für das zufällige Ereignis L := {65 g d G < 75 g}, das darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei in die Gewichtskategorie L gehört, berechnet man ceteris paribus und analog zur Abbildung 6.5.2-2 eine Wahrscheinlichkeit von 0,3364. Theoretisch kann die Bäuerin für die zu erwartende Anzahl von 20000,3364 = 672,8 | 673 Hühnereiern der Gewichtskategorie L mit einem Erlös in Höhe von (673 Stück)(0,30 €/Stück) = 201,90 € rechnen. Ereignis XL. Für das zufällige Ereignis XL := {G t 75 g}, das darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei zur Gewichtskategorie XL gehört, berechnet man schließlich und endlich eine Wahrscheinlichkeit von P(G t 75) = 1 FG(75) = 1 CDF.NORMAL(75, 63, 5) | 0,0082, eine theoretisch zu erwatende Anzahl von 20000,0082 = 16,4 | 16 XL-Eiern und aus deren Verkauf erwartungsgemäß lediglich einen vergleichsweise geringen Erlös in Höhe von (16 Stück)(0,35 €/Stück) = 5,60 €. Hochrechnungsergebnis. In der Tabelle 6.5.2-2 sind die Ergebnisse der Erlöshochrechnung zusammengefasst. Tabelle 6.5.2-2: Erlöshochrechnung Gewichtskategorie Wahrscheinlichkeit S 0,0548 M 0,6006 L 0,3364 XL 0,0082 insgesamt 1,0000
Stückzahl 110 1201 673 16 2000
Erlös 22,00 € 300,25 € 201,90 € 5,60 € 529,75 €
Das Bemerkenswerte an diesen elementaren ökonomischen Betrachtungen besteht darin, dass sich die Bäuerin bereits im Vorfeld ihrer Verkaufsaktivitäten ein Bild darüber verschaffen kann, welchen Erlös sie allein aus dem Verkauf von 2000 Hühnereiern theoretisch zu erwarten hätte, ohne auch nur ein Ei bereits gewogen, in die jeweilige Gewichtskategorie einsortiert und veräußert zu haben. Prämissen. Was allerdings aus sachlogischen und Plausibilitätsgründen nochmals repetiert werden muss, sind die Prämissen, unter denen die Erlöshochrechnung bewerkstelligt wurde: In Anlehnung an das Beispiel 6.4-2 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav kann man empirisch belegen, dass für eine hinreichend große Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von
Stochastik
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Hühnereiern Ji das Gewicht G(Ji) hinreichend genau durch das theoretische Modell einer Normalverteilung mit den Parametern P = 63 g und V = 5 g beschrieben werden kann. Diese empirisch unterlegte Aussage ist äquivalent mit der wahrscheinlichkeitstheoretischen Annahme, wonach das Gewicht G eines Hühnereies eine N(63 g, 5 g)-verteilte Zufallsgröße ist. Unterstellt man weiterhin, dass die in der Tabelle 6.5.2-1 vermerkten Gewichtskategorien marktübliche Gewichtsklassifikationen sind, dann hat man im Zuge der praktizierten Erlöshochrechnung letzten Endes nichts anderes getan, als die nicht näher bestimmte und sachlogisch nur für die Menge R+ der positiven reellen Zahlen definierte Gewichtsspanne in vier disjunkte Gewichtsintervalle aufgeteilt, die mengentheoretisch das sichere Ereignis : = {S} {M} {L} {XL} beschreiben, das im konkreten Fall darin besteht, dass ein zufällig ausgewähltes Hühnerei „mit Sicherheit“ in eine der vier disjunkten Gewichtskategorien eingeordnet werden kann. Da die vier Gewichtskategorien paarweise disjunkt sind, sie sich also paarweise gegenseitig ausschließen, wobei im konkreten Fall {S} {M} = , {S} {L} = , {S} {XL} = , {M} {L} = , {M} {XL} = und {L} {XL} = gilt, addieren sich gemäß dem KOLMOGOROVschen Normierungs- und dem Additionsaxiom die zugehörigen Ereigniswahrscheinlichkeiten P(S) + P(M) + P(L) + P(XL) = P(:) = 1 in logischer Konsequenz zu eins, die unter der Normalverteilungsannahme theoretisch zu erwartenden kategoriespezifischen Stückzahlen ne zu ne(S) + ne(M) + ne(L) + ne(XL) = 2000 Stück und schließlich und endlich der zu erwartende Gesamterlös Ee aus dem Verkauf der 2000 Hühnereier zu Ee(S) + Ee(M) + Ee(L) + Ee(XL) = 529,75 €. h Beispiel 6.5.2-2: Drei-Sigma-Regel Motivation. Die Tabelle 6.5.2-3 beinhaltet die Körpergrößenverteilung von 906 21-jährigen Rekruten, die im Jahre 1912 im österreichischen kaiserliche und königlichen Bezirk Mistelbach zum Militär eingezogen wurden. Tabelle 6.5.2-3: Körpergrößenverteilung „Die Besetzungszahlen lauten fortlaufend von der Größenstufe 147 cm bis zu der von 183 cm: 1, 0, 0, 2, 4, 3, 4, 7, 6, 12, 14, 25, 22, 30, 35, 43, 48, 47, 60, 63, 74, 60, 64, 47, 48, 36, 31, 33, 21, 24, 13, 9, 9, 3, 3, 4, 1.“17
Empirische Verteilung. Die Abbildung 6.5.2-4 zeigt die Körpergrößenverteilung mittels eines normierten Histogramms auf der Basis von 37 äquidistanten Körpergrößenklassen mit einer Breite von einem Zentimeter, das zudem noch durch den Graph der Dichtefunktion fX der stetigen und normalverteilten Zufallsgröße X: Körpergröße von 21-jährigen Rekruten (Angaben in cm) ergänzt wurde, wobei im konkreten Fall X ~ N(166,8 cm, 5,9 cm) gilt. Die beiden Lage17
Quelle: WINKLER, W.: Statistik, 2. Auflage, Verlag Quelle & Meyer, Leipzig 1933, S. 48
186
Stochastik
parameter P = 166,8 cm und V = 5,9 cm wurden aus den Urlistendaten innerhalb der Tabelle 6.5.2-3 berechnet. Da der Graph der Dichtefunktion fX(a) einer Normalverteilung an den reellwertigen Stellen a = P V und b = P + V seine Wendepunkte besitzt, interessiert die Frage, welche Wahrscheinlichkeitsmasse auf dieses geschlossene Merkmalswerteintervall [a, b] entfällt. Abbildung 6.5.2-4: Körpergrößenverteilung normiertes Histogramm
Normalverteilungsdichte
Ein-Sigma-Bereich. Für die stetige und N(166,8 cm; 5,9 cm)-verteilte Zufallsgröße X gilt es im konkreten Fall die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass die Körpergröße X(J) = x R+ eines zufällig ausgewählten Rekruten J im geschlossenen Intervall [a, b] mit a = 166,8 cm 5,9 cm = 160,9 cm und b = 166,8 cm + 5,9 cm = 172,7 cm liegt. Da analog zur Abbildung 6.5.2-2 P(160,9 d X d 172,7) = FX(172,7) – FX(160,9) = CDF.NORMAL(172.7, 166.8, 5.9) CDF.NORMAL(160.9, 166.8, 5.9) = 2CDF.NORMAL(172.7, 166.8, 5.9) 1 | 0,6827 gilt, hätten demnach erwartungsgemäß 68,3 % aller Mistelbacher Rekruten eine Körpergröße im so genannten 1-V-Bereich (lies: Ein-Sigma-Bereich) der erfassten Körpergrößen besessen. Zwei-Sigma-Bereich. Für den so genannten 2-V-Bereich der Rekrutenkörpergrößen von [166,8 25,9, 166,8 + 25,9] = [155,0 cm, 178,6 cm] errechnet man eine Wahrscheinlichkeitsmasse von P(155,0 d X d 178,6) = FX(178,6) – FX(155,0) = CDF.NORMAL(178.6, 166.8, 5.9) CDF.NORMAL(155.0, 166.8, 5.9) = 2CDF.NORMAL(178.6, 166.8, 5.9) 1 | 0,9545. Demnach hätten erwartungsgemäß 95,5 % aller Mistelbacher Rekruten eine Körpergröße im 2-V-Bereich der erfassten Körpergrößen besessen. Drei-Sigma-Bereich. Analog bestimmt man für den so genannten 3-VBereich der Körpergrößen [166,8 35,9, 166,8 + 35,9] = [149,1 cm, 184,5 cm] eine Wahrscheinlichkeitsmasse von
Stochastik
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P(149,1 d X d 184,5) = FX(184,5) – FX(149,1) = CDF.NORMAL(184.5, 166.8, 5.9) CDF.NORMAL(149.1, 166.8, 5.9) = 2CDF.NORMAL(184.5, 166.8, 5.9) 1 | 0,9973. Demnach ist es „fast sicher“, dass die Körpergröße eines zufällig ausgewählten Mistelbacher Rekruten im 3-V-Bereich aller erfassten Körpergrößen liegt. Drei-Sigma-Regel Kann eine stetige Zufallsgröße X durch das theoretische Modell einer Normalverteilung beschrieben werden, wobei X a N(P, V) gilt, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine beliebige Realisation a R in das geschlossene Intervall [P kV, P + kV] fällt, 0,683 für k 1 ° P(P k V d X d P k V) ®0,955 für k 2 . °0,997 für k 3 ¯
Die Drei-Sigma-Regel ist generell auf stetige metrische Erhebungsmerkmale anwendbar, sobald deren Häufigkeitsverteilung hinreichend genau durch das theoretische Modell einer Normalverteilung beschrieben werden kann. h Beispiel 6.5.2-3: Berechnung von Normalverteilungsquantilen Motivation. Die Drei-Sigma-Regel, die im Kontext des Beispiels 6.5.2-2 anhand der Körpergrößenverteilung paradigmatisch skizziert und erläutert wurde, beschreibt aus statistisch-methodischer Sicht nichts anderes, als die jeweilige zentrale Wahrscheinlichkeitsmasse P(a d X d b), die man für eine N(P, V)-verteilte Zufallsgröße X und für ein ganzzahliges Vielfaches k = 1, 2, 3 jeweils über dem geschlossenen und zugleich symmetrischen Intervall [a, b] mit a = P kV und b = P + kV berechnet. Beachtenswert ist dabei, dass die reellwertigen Grenzen a, b R des geschlossenen Intervalls [a, b] ihrem Wesen nach Quantile einer Normalverteilung sind. In der Induktiven Statistik (vgl. Kapitel 7) ist man aus Praktikabilitätsgründen vor allem bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen für unbekannte Mittel- oder Anteilswerte an speziellen zentralen Wahrscheinlichkeitsmassen (etwa 0,90, 0,95 oder 0,99) interessiert (vgl. Abschnitt 7.2). Die Frage, die sich unmittelbar daraus ergibt, ist, welches reellwertige Vielfache z einer Standardabweichung V um einen Mittelwert P einer N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X zum Beispiel einer zentralen Wahrscheinlichkeitsmasse von 0,95 entspricht, so dass im konkreten Fall P(a d X d b) = 0,95 mit a = P zV und b = P + zV gilt. Da man im konkreten Fall die Wahrscheinlichkeit von 0,95 für das zufällige Ereignis {a d X d b} „vorgegeben hat“ bzw. „kennt“, gilt es nunmehr die Frage zu beantworten, welche „unbekannten“ reellwertigen Quantile a, b R einer N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X einer Wahrscheinlichkeit von P(a d X d b) = 0,95 genügen.
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Stochastik
Quantile. In PASW Statistics können interessierende Quantile einer Normalverteilung via Sequenz 4.6.4-2 und gemäß Abbildung 6.5.2-5 mittels der Quantilsfunktion IDF.NORMAL bestimmt werden. Die Abbreviatur IDF steht für den englischen Begriff „Inverse Distribution Function“, also für die inverse Verteilungs- bzw. Quantilsfunktion, die im speziellen Fall für eine N(P, V)-verteilte Zufallsgröße X und für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeitsmasse p das zugehörige Quantil Qp = IDF.NORMAL(p, P, V) der Ordnung p liefert. Abbildung 6.5.2-5: Berechnung von Normalverteilungsquantilen
Quantilsfunktion IDF.NORMAL Q0,025 = IDF.NORMAL(0.025,166.8,5.9) | 155,2
Q0,975 = IDF.NORMAL(0.975,166.8,5.9) | 178,4
Aus der Datendeskription ist bekannt, dass zum Beispiel die zentralen p = 0,95 Anteile der Häufigkeitsverteilung eines stetigen Merkmals X durch die (1 r p)/2Quantile Q(1 0,95)/2 = Q0,025 und Q(1 + 0,95)/2 = Q0,975 begrenzt werden, sobald diese eindeutig bestimmt werden können. Die Berechnung der beiden Quantile a = Q0,025 = IDF.NORMAL(0.025, 166.8, 5.9) | 155,2 cm b = Q0,975 = IDF.NORMAL(0.975, 166.8, 5.9) | 178,4 cm der Ordnung p = 0,025 und p = 0,975 der N(166,8 cm, 5,9 cm)-verteilten Zufallsgröße X: Körpergröße eines Mistelbacher Rekruten ist in der Abbildung 6.5.2-5 skizziert. Demnach kann unter der vollständig spezifizierten Normalverteilung mit den Parametern P = 166,8 cm und V = 5,9 cm davon ausgegangen werden, dass 95 % aller Rekruten eine Körpergröße von mindestens 155,2 cm, aber höchstens von 178,4 cm besaßen. Analog überzeugt man sich anhand der Abbildung 6.5.2-5 von der Tatsache, dass 90 % aller Rekruten eine Körpergröße zwischen 157,1 cm und 176,5 cm besaßen und letztlich 99 % aller Rekruten dem Körpergrößenintervall [151,6 cm, 182,0 cm] zuzuordnen sind. h
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Beispiel 6.5.2-4: Standardnormalverteilung Motivation. Aufgrund dessen, dass man in praxi einerseits nicht zu jeder Zeit und an jedem Ort leistungsfähige Statistik-Software zur Verfügung hat und andererseits für das theoretische Modell einer Normalverteilung die Verteilungsfunktion FX mit Hilfe einer elementaren Funktion explizit nicht darstellbar ist, hat man die Werte der Verteilungsfunktion )(z) (lies: Phi von z) der Standardnormalverteilung N(0, 1) für bestimmte Argumente z R tabelliert. Das Standardnormverteilungsmodell, das in der Abbildung 6.2.5-6 bildhaft dargestellt ist, kann wie folgt charakterisiert werden: Standardnormalverteilung Ist X eine stetige und N(P, V)-verteilte Zufallsgröße, so ist die standardisierte Zufallsgröße Z = (X P)/V standardnormalverteilt mit dem Erwartungswert E(Z) = 0 und der Varianz V(Z) = 1, kurz: Z ~ N(0, 1). Abbildung 6.5.2-6: Standardnormalverteilung N(0;1) M(z)
)(0) = P(Z d 0) = 0,5 )(z)
P(Z d 0) = 0,5
Charakteristika. Der Graph M(z) der Dichtefunktion M der Standardnormalverteilung N(0, 1) ist eingipflig, glockenförmig und symmetrisch um null. Da die Fläche unterhalb einer Dichtefunktion stets eins ist, leuchtet es sofort ein, dass P(Z d 0) = 0,5 bzw. P(Z t 0) = 0,5 gilt. Der Graph )(z) der Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N(0, 1) ist durch einen s-förmigen Verlauf gekennzeichnet. Die Verteilungsfunktion ) besitzt an der Stelle z = 0 den Wert )(z) = 0,5, der als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet werden kann, dass die standardisierte Zufallsvariable Z nur Werte annimmt, die kleiner gleich z sind, wobei allgemein )(z) = P(Z d z) gilt. Bedeutung. Die Standardnormalverteilung findet neben der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in der Induktiven Statistik bei der Herleitung und Applikation von statistischen Schätz- und Testverfahren eine breite Anwendung (vgl. Kapitel 7). Die theoretische Bedeutung der Standardnormalverteilung liegt nicht zuletzt im zentralen Grenzwertsatz begründet (vgl. Abschnitt 6.6). h
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Stochastik
Exponentialverteilung Eine stetige Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter O > 0, kurz: X ~ Ex(O), wenn ihre Verteilung für alle a t 0 durch die Dichtefunktion f X (a ) O e Oa gegeben ist. Hinweise. Für das Verständnis einer Exponentialverteilung sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Familie. Eine Exponentialverteilung besitzt nur einen Parameter, der mit dem griechischen Kleinbuchstaben O (lies: Lambda) bezeichnet wird. Demnach gibt es streng genommen nicht die Exponentialverteilung, sondern in Abhängigkeit vom positiven und reellwertigen Verteilungsparameter O eine ganze Familie von Exponentialverteilungen. ii) Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße X ist durch für a < 0 0 , FX (a ) P(X d a ) ® O a für a t 0 ¯1 e
gegeben. iii) Parameter. Für den Erwartungswert E(X) und für die Varianz V(X) einer exponentialverteilten Zufallsgröße X gilt: E(X) = 1/O und V(X) = 1/O². iv) Applikation. Das theoretische Modell einer Exponentialverteilung wird zum Beispiel in der Bedienungs- und Zuverlässigkeitstheorie zur Modellierung der Dauer von zeitabhängigen Prozessen angewandt, die „gedächtnislos“ sind bzw. „nicht altern“. v) Beispiele. Typische praktische Problemstellungen für die Anwendung einer Exponentialverteilung sind wahrscheinlichkeitstheoretische Abschätzungen der Lebensdauer eines elektronischen Bauelements oder der Warte- bzw. Bedienzeit eines Kunden etwa an einem Bank- oder Postschalter oder an einem Taxistand oder der Reparaturzeit eines Kraftfahrzeuges. Aus den genannten Gründen kennzeichnet man Exponentialverteilungen oft auch als Wartezeitverteilungen. vi) POISSON-Verteilung. Aus didaktisch-methodischer Sicht ist der Zusammenhang zwischen einer Exponentialverteilung und einer POISSON-Verteilung von besonderem Interesse. Verwendet man eine diskrete POISSON-Verteilung zur wahrscheinlichkeitstheoretischen Abschätzung der Anzahl seltener Ereignisse bestimmter Art in einem festen Zeitintervall, so lässt sich in diesem Kontext eine stetige Exponentialverteilung als eine „Umkehrung“ der Betrachtung interpretieren: die wahrscheinlichkeitstheoretische Abschätzung der Dauer bzw. der Zeitdifferenz bis zum wiederholten Eintreten eines seltenen zufälligen Ereignisses. i
Beispiel 6.5.2-5: Exponentialverteilung Motivation. Zur Optimierung seiner bemessenen Finanzen notierte im vergangenen Semester der Student Martin E. die Dauer X (Angaben in Sekunden) seiner Mobilfunkgespräche Ji. Die Gesprächsdauern X(Ji) = xi R+ der n = 228 im Zuge einer systematischen Zufallsauswahl (aus einer als „bunt gemischten“ und hinsichtlich ihres Umfanges N nicht näher bestimmten Grundgesamtheit *) ausgewählten Mobilfunkgespräche *n = {Ji, i = 1,2,...,n} sind in der PASW Statistics Datendatei Gesprächsdauer.sav gespeichert. Während im Blickwinkel einer bloßen Datendeskription die Gesprächsdauer X(Ji) = xi R+ ein stetiges metrisches Erhebungsmerkmal eines Mobilfunkgespräches Ji ist, deutet man die Gesprächsdauer X im stochastischen Sinne als eine stetige Zufallsgröße.
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191
Gesprächsdauerverteilung. Die Abbildung 6.5.2-7 beinhaltet zum einen das normierte Histogramm der n = 228 Gesprächsdauern X(Ji) = xi R+ und zum anderen die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fX in Gestalt einer stetigen und progressiv fallenden Funktion. Das normierte Histogramm, dessen Säulenflächen sich zu eins addieren, basiert auf m = 50 äquidistanten Klassen mit einer Klassenbreite von jeweils 10 Sekunden. Abbildung 6.5.2-7: Normiertes Histogramm und Wahrscheinlichkeitsdichte
Aus der Abbildung 6.5.2-7 ist bereits zu erkennen, dass die empirisch beobachteten Gesprächsdauern X(Ji) = xi R+ hinreichend genau durch die Dichtefunktion fX einer Exponentialverteilung beschrieben bzw. modelliert werden können, wenn man das in der Tabelle 6.5.2-4 ausgewiesene Stichprobenmittel 1 n 1 x ¦ xi 12733 # 55,85 n i1 228 als einen Näherungswert für den Erwartungswert E(X) der stetigen und Ex(O)verteilten Zufallsgröße X: Dauer (Angaben in Sekunden) eines Mobilfunkgespräches verwendet. Tabelle 6.5.2-4: Stichprobenmittel Dauer (in sec)
Anzahl Summe Mittelwert 228 12733 55,85
Verteilungsparameter. Wegen E(X) = 1/O | 56 Sekunden ergibt sich für den Verteilungsparameter O ein Wert von O = (56 sec)-1 | 0,018 sec-1. Unter der Annahme, dass die Dauer X eines Mobilfunkgesprächs des Studenten Martin E. eine Ex(0,018)-verteilte Zufallsgröße ist, ergibt sich für a t 0 eine Dichtefunktion von fX(a) = 0,018e0,018a, deren Verlauf im rechten Diagramm innerhalb der Abbildung 6.5.2-7 grafisch dargestellt ist und über deren Integration in bestimmten Grenzen man (gleichsam wie bei allen stetigen Zufallsgrößen) die Wahrscheinlichkeit von interessierenden zufälligen Ereignissen berechnen kann.
192
Stochastik
Wahrscheinlichkeiten. Wesentlich „leichter“ lässt sich allerdings die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für interessierende zufällige Ereignisse mittels der Verteilungsfunktion FX(a) = P(X d a) = 1 e0,018a = CDF.EXP(a, 0.018) bewerkstelligen, deren monoton wachsender Graph in Kombination mit dem PASW Dialogfeld Variable berechnen in der Abbildung 6.5.2-8 dargestellt ist. Abbildung 6.5.2-8: Verteilungsfunktion eine Exponentialverteilung
Verteilungsfunktion CDF.EXP
Verteilungsfunktion P(X d 60) = FX(60) = CDF.EXP(60,0.018) | 0,66
Demnach dauern erwartungsgemäß 66 % aller Mobilfunkgespräche des Studenten Martin höchstens 60 Sekunden bzw. höchstens eine Minute. In Anlehnung an das Beispiel 6.5.2-1 können analog Wahrscheinlichkeiten für interessierende zufällige Ereignisse berechnet werden. Quantilsberechnung. Analog zum Beispiel 6.5.2-3 erweist sich vor allem aus didaktisch-methodischen Gründen die Bestimmung eines Quantils Qp der Ordnung p für eine Exponentialverteilung als geboten, da seine Bestimmung für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit p recht einfach ist. Möchte man ceteris paribus zum Beispiel abzuschätzen, wie lange ein Mobilfunkgespräch mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,9 höchstens dauert, so erhält man wegen FX(a) = P(X d a) = 1 e0,018a = 0,9 letztlich via exp(0,018a) = 0,1 und 0,018a = ln(0,1) das zugehörige Quantil a = (2,303)/(0,018) | 128 Sekunden, das in logischer Konsequenz mit dem Gesprächsdauerquantil Q0,9 = IDF.EXP(0.9,0.018) = 127,92 | 128 Sekunden der Ordnung p = 0,9 übereinstimmt, welches man gemäß Abbildung 6.5.2-9 in PASW Statistics mit Hilfe der Quantilsfunktion IDF.EXP(a, O) berechnen kann.
Stochastik
193
Abbildung 6.5.2-9: Quantilsberechnung
Inverse Verteilungsfunktion, Quantilsfunktion IDF.EXP Q0,9 = IDF.EXP(0.9,0.018) | 128
Demnach beläuft sich zum Beispiel die Dauer eines Mobilfunkgesprächs mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,9 auf höchstens 128 Sekunden. h Zusammenfassung Die Kernaussagen der Betrachtungen im Kontext des Abschnittes 6.5 zu ausgewählten Modellen von diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind hinsichtlich der in PASW Statistics implementierten Funktionsgruppen in der Abbildung 6.5.2-10 nochmals plakativ zusammengefasst. Abbildung 6.5.2-10: Funktionsgruppen Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret
stetig
Wahrscheinlichkeitsberechung mittels pdf und/oder cdf
Wahrscheinlichkeitsberechnung mittels cdf Quantilsberechnung mittels idf
Gilt für alle in PASW implementierten Verteilungsmodelle!
Beachtenswert ist dabei, dass die drei Funktionsgruppen pdf, cdf und idf für alle theoretischen Verteilungsmodelle gelten, die in PASW Statistics implementiert sind und im Dialogfeld Variable berechnen angefordert werden können. h
194
6.6
Stochastik
Grenzwertsätze und das Gesetz großer Zahlen
Motivation. Grenzwertsätze und das schwache Gesetz großer Zahlen gehören zu den interessantesten und praktisch bedeutsamsten Resultaten der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dies kommt vor allem bei der wahrscheinlichkeitstheoretischen Deutung von statistischen Fragestellungen zum Ausdruck etwa der Art, dass eine relative Häufigkeit als ein Schätzwert für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit oder ein arithmetisches Mittel aus einem Stichprobenbefund als ein Schätzwert für den unbekannten Durchschnitt in einer Grundgesamtheit angesehen werden kann. In diesem Sinne schlagen Grenzwertsätze und das schwache Gesetz großer Zahlen eine Brücke von der Stochastik zur Induktiven Statistik, deren Verfahren im weitesten Sinne den Schluss vom Teil aufs Ganze zum Gegenstand haben. Im Kontext dieses Abschnittes werden wegen ihrer „zentralen Bedeutung“ einmal nur der zentrale Grenzwertsatz von LINDEBERG-LÉVY sowie das schwache Gesetz großer Zahlen skizziert und exemplarisch am GALTON-Brett demonstriert. Zentraler Grenzwertsatz Ist Sn:= X1 + ... + Xn eine Zufallsgröße, die sich aus der Summe von n stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi (i = 1,2,...,n) ergibt, wobei E(Xi) = P bzw. E(Sn) = nP die Erwartungswerte und V(Xi) = V² > 0 bzw. V(Sn) = nV² > 0 die Varianzen der Zufallsgrößen sind, dann gilt für jede beliebige Realisation z R der standardisierten Zufallsgröße Sn n P Z V n der Grenzübergang
lim P Z d z n of
z
³ M( t ) dt
) (z ) .
f
Dabei bezeichnet M die Dichtefunktion und )(z) den Wert der Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N(0, 1) an der Stelle f < z < f. Hinweise. Für das Verständnis des zentralen Grenzwertsatzes erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Historie. Der zentrale Grenzwertsatz, der auf den finnischen Mathematiker Jarl Waldemar LINDEBERG (1876-1932) und den französischen Mathematiker Paul LÉVY (1886-1971) zurückgeht und daher auch als Grenzwertsatz von LINDEBERG-LÉVY bezeichnet wird, ist einer der fundamentalen Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er hebt die zentrale Bedeutung der Standardnormalverteilung (vgl. Beispiel 6.5.2-4) im Vergleich zu allen anderen theoretischen Verteilungen hervor. ii) Kernaussage. Die Kernaussage des zentralen Grenzwertsatzes besteht darin, dass eine standardisierte Summe von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi (i = 1,2,...,n) mit wachsendem n o f gegen die Standardnormalverteilung N(0, 1) konvergiert (lat.: convergere o sich hinneigen) und ihr wahrscheinlichkeitstheoretisches Verhalten asymptotisch (grch.: asymptotos o nicht zusammentreffen) dabei nur vom Erwartungswert E(Xi) = P und von der Varianz V(Xi) = V²,
Stochastik
195
nicht jedoch von der speziellen Gestalt der Verteilung der n Zufallsgrößen Xi bestimmt wird. iii) i.i.d.-Zufallsgrößen. Zufallsgrößen, die eine gleiche Verteilungsfunktion, insbesondere einen gleichen Erwartungswert und eine gleiche Varianz besitzen, heißen identisch verteilt. Die Abbreviatur i.i.d. ist dem englischen Begriff „independently and identically distributed (random variables)“ entlehnt und steht für alle weiteren Betrachtungen für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen. iv) Relevanz. Die praktische Bedeutung des zentralen Grenzwertsatzes liegt vor allem darin, dass er theoretisch begründet, dass zufällige Prozesse, die sich aus der Überlagerung einer Vielzahl von zufälligen Einzeleffekten ergeben, hinreichend genau durch das theoretische Modell einer Normalverteilung beschrieben werden können, sobald die Anzahl der Zufallsgrößen größer als 50 ist, also n > 50 gilt. Mitunter findet man auch die Faustregel n > 30. In der Induktiven Statistik erweisen sich Approximationen, die aus dem zentralen Grenzwertsatz abgeleitet werden, vor allem für die Herleitung von Stichprobenfunktionen als sehr vorteilhaft (vgl. Kapitel 7). iv) Gesetz großer Zahlen. Während der zentrale Grenzwertsatz die zentrale Bedeutung der Standardnormalverteilung N(0, 1) im Vergleich zu allen anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen hervorhebt, begründet das schwache Gesetz großer Zahlen den wahrscheinlichkeitstheoretischen Zusammenhang zwischen einem arithmetischen Mittel und einem Erwartungswert, worin als ein Spezialfall der Zusammenhang zwischen einer relativen Häufigkeit und einer Wahrscheinlichkeit eingeschlossen ist. i
Schwaches Gesetz großer Zahlen Ist Dn:= (X1 + X2 + ... + Xn)/n eine Zufallsgröße, die das arithmetisches Mittel von n stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi, (i = 1,2,...,n) ist, wobei E(Xi) = E(Dn) = P der Erwartungswert und V(Xi) = V² > 0 bzw. V(Dn) = V²/n > 0 die Varianzen der jeweiligen Zufallsgrößen Xi und Dn sind, dann gilt gemäß der TSCHEBYSCHEV-Ungleichung für jedes beliebige c > 0 V2 P ( D n P t c) d 2 . c n Der Grenzübergang liefert
lim P( D n P t c) no f
0.
Hinweise. Für das Verständnis des schwachen Gesetzes großer Zahlen erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) TSCHEBYSCHEV-Ungleichung. Für die Formulierung des Gesetzes großer Zahlen erweist sich die TSCHEBYSCHEV-Ungleichung als nützlich, die wie folgt skizziert werden kann: Ist X eine Zufallsgröße mit einem Erwartungswert E(X) = P und einer Varianz V(X) = V² > 0, dann gilt für ein beliebiges c > 0 die folgende Ungleichung: V2 P( X P t c) d 2 . c Die Ungleichung geht auf den russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch TSCHEBYSCHEV (18211894) zurück. Ihm zu Ehren wird sie als TSCHEBYSCHEV-Ungleichung bzw. TSCHEBYSCHEVsche Ungleichung bezeichnet. Der praktische Vorteil der TSCHEBYSCHEV-Ungleichung besteht darin, dass sich eine gesuchte Wahrscheinlichkeit ohne jegliche Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung allein schon aus der Varianz V² einer Zu-
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Stochastik
fallsgröße abschätzen lässt. Setzt man in Anlehnung an die so genannte Drei-SigmaRegel c = kV, k N, so folgt unmittelbar aus der TSCHEBYSCHEV-Ungleichung 1 1 P(| X P | t k V) d 2 bzw. P(| X P | k V) t 1 2 . k k Insbesondere eignet sich die TSCHEBYSCHEV-Ungleichung zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit von kV-Bereichen [P - kV; P + kV], k N, einer „fein abgestuften“ diskreten oder einer stetigen Zufallsgröße X. Offensichtlich ist die Abschätzung für k = 1 trivial und wertlos. Für k = 2 bzw. k = 3 ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: P(P 2V < X < P + 2V) t 1 – 1/4 = 3/4 P(P 3V < X < P + 3V) t 1 – 1/9 = 8/9. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der sich vom Erwartungswert P dem Betrage nach höchstens um das Doppelte bzw. um das Dreifache der Standardabweichung V unterscheidet, mindestens 3/4 bzw. 8/9. Da für spezielle Verteilungen, insbesondere für eine Normalverteilung, die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wesentlich bessere Ergebnisse liefert als die TSCHEBYSCHEV-Ungleichung, liegt die grundlegende Bedeutung der TSCHEBYSCHEV-Ungleichung vor allem in der praktischen Motivation und in der theoretischen Begründung des schwachen Gesetzes großer Zahlen. ii) Stochastische Konvergenz. Der Begriff des schwachen Gesetzes großer Zahlen resultiert daraus, dass das arithmetische Mittel aus stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi für große n gegen den Erwartungswert P konvergiert. Die gezeigte Konvergenz wird auch als „stochastische Konvergenz“ bezeichnet. iii) Deutung. Eine für die weiteren Betrachtungen im Kontext der Induktiven Statistik nützliche Deutung des schwachen Gesetzes großer Zahlen ist die folgende: Die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel von n von stochastisch unabhängig und identisch verteilten Zufallsgrößen von ihrem „auf lange Sicht zu erwartenden theoretischen Mittelwert“, also ihrem Erwartungswert, um mindestens eine vorgegebene Zahl c > 0 abweicht, wird für eine hinreichend große Anzahl n von so genannten i.i.d.-Zufallsgrößen, d.h. für eine hinreichend große Stichprobe vom Umfang n, beliebig klein. Die Kurzbezeichnung i.i.d. ist dem englischen Begriff „independently and identically distributed (random variables)“ entlehnt und bezeichnet stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen. iii) Bedeutung. Sind n unabhängig und identisch verteilte Zufallsgrößen Xi (i = 1,2,...,n) zweipunktverteilt oder Bi(1; p)-verteilt mit P(Xi = 0) = 1 p und P(Xi = 1) = p, dann lässt sich ihr arithmetisches Mittel Dn:= pi als relative Häufigkeit pi = n{Xi = 1}/n für das Ereignis {Xi = 1} deuten, dass die n Zufallsgrößen Xi den Wert eins annehmen. Da für den Erwartungswert E(Xi) = E(Dn) = p gilt, liefert für eine zweipunktverteilte (bzw. dichotome und 0-1-kodierte) Zufallsgröße das schwache Gesetz großer Zahlen die wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung dafür, warum eine relative Häufigkeit als eine „Wahrscheinlichkeit in Konvergenz“ gedeutet werden kann und darf. iv) Statistische Wahrscheinlichkeit. Im Abschnitt 6.2 wurde bereits im Kontext des so genannten statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs darauf verwiesen, dass es in praxi (in Ermangelung verfügbarer Informationen und/oder aufgrund der nicht ohne Weiteres berechenbarer Wahrscheinlichkeiten) üblich ist, relative Häufigkeiten als Schätzwerte für unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu verwenden. Diese Herangehensweise wird durch das schwache Gesetz großer Zahlen theoretisch gestützt. Als anschauliche Beispiele dafür können das vielfache Werfen einer Münze oder eines Würfels oder der massenhafte Kugellauf über ein GALTON-Brett angesehen werden. i
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Beispiel 6.6-1: GALTON-Brett Motivation. Wesentliche und elementare Grundaussagen der Stochastik sollen anhand des so genannten GALTON-Brettes, das in der Abbildung 6.6-1 skizziert ist, erläutert und veranschaulicht werden. Das GALTON-Brett, das vom englischen Wissenschaftler Sir Francis GALTON (1822-1911) konstruiert und nach ihm benannt wurde (vgl. Kapitel 1), ist ein einfacher Zufallsmechanismus zur Veranschaulichung einer Binomialverteilung und ihrer Approximation durch eine Normalverteilung im Kontext des zentralen Grenzwertsatzes und des schwachen Gesetzes großer Zahlen. Abbildung 6.6-1: GALTON-Brett18
Konstruktion. Die Konstruktion eines GALTON-Brettes ist denkbar einfach: Auf einem rechteckigen Brett sind n Nagelreihen waagerecht so platziert, dass die jeweils übereinanderliegenden Nagelreihen in einer freiwählbaren Nagelrelation zueinander auf Lücke stehen. Bringt man das Brett in Schieflage und lässt hinreichend viele Kugeln über die Nagelreihen hinabrollen, so werden die Kugeln beim Auftreffen auf einem Nagel zufällig nach rechts oder nach links unten 18
Die Abbildung 6.6-1 ist eine Kopie einer Bildschirmausgabe eines vom Buchautor des erstellten Computerprogramms, das die Abläufe auf einem GALTON-Brett dynamisch simuliert.
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Stochastik
abgelenkt, bis sie letztlich in eines der n + 1 Fächer unterhalb der n-ten und letzten Nagelreihe fallen, dort gesammelt und gezählt werden. Interessant ist dabei, dass man trotz des scheinbaren Chaos der einzelnen Kugeldurchläufe für hinreichend viele Kugeln in ausreichend guter Näherung das jeweilige Bewegungsgesetz des Zufalls in Gestalt einer Verteilung erkennen kann. Abbildung. Gemäß Abbildung 6.6-1 rollten N = 3000 Kugeln über n = 10 Nagelreihen, die in einer Nagelrelation von 50 : 50 zueinander standen, über das „virtuelle“ GALTON-Brett. Die dadurch empirisch gewonnene absolute Häufigkeitsverteilung lässt eine nahezu symmetrische Verteilung erkennen. In dem links stehenden Ergebnisprotokoll sind die absoluten und die relativen KugelHäufigkeiten sowie die Einzelwahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung mit den Parametern n = 10 und p = 0,5 aufgelistet. Im angezeigten Ergebnis des zufallsbedingten Kugeldurchlaufs fielen zum Beispiel n5 = 733 Kugeln letztlich jeweils fünfmal nach rechts unten in das Fach der Ordnung k = 5, woraus sich eine relative Häufigkeit von p5 = 733/3000 # 0,2443 ergibt. Demnach sind nahezu 24,4 % aller N = 3000 Kugeln in das Fach der Ordnung k = 5 zufallsbedingt gefallen. Analog lassen sich alle anderen empirisch beobachteten Häufigkeiten deuten. Da im Zuge des skizzierten Zufallsexperiments die einzelnen auf Lücke stehenden Nagelreihen zueinander in der Nagelrelation 50 : 50 platziert wurden, beträgt gemäß dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel beim Auftreffen auf einem beliebigen Nagel nach links unten oder nach rechts unten fällt, p = 50/(50 + 50) = 0,5. In diesem Zusammenhang leuchtet es bereits intuitiv ein, dass das Fallen einer Kugel nach links unten oder nach rechts unten auf einer beliebigen Nagelreihe unabhängig davon ist, wohin eine Kugel in der davor liegenden bzw. in der nachfolgenden Nagelreihe gefallen ist bzw. fallen wird. Das Auftreffen einer Kugel auf einem Nagel kann als ein Zufallsexperiment mit unbestimmtem Ausgang gedeutet werden, das im Zuge eines Kugeldurchlaufs n = 10 mal voneinander unabhängig mit einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,5 wiederholt wird. BERNOULLI-Prozess. Dies sind ja gerade die Charakteristika eines BERNOULLI-Prozesses, der im konkreten Fall durch eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,5 und eine Anzahl von n = 10 voneinander unabhängigen Versuchswiederholungen gekennzeichnet ist. Definiert man im Kontext des in Rede stehenden BERNOULLI-Prozesses eine diskrete Zufallsgröße X mit den möglichen Realisationen k = 0, 1,..., 10, wobei k die Ordnung des Faches angibt, in das eine Kugel im Zuge eines Kugeldurchlaufs fällt, so ist X ~ Bi(10, 0,5)-verteilt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zufällige Ereignis {X = 5} eintritt, ist §10 · P(X 5) ¨¨ ¸¸ 0,55 (1 0,5)10 5 PDF.BINOM(5,10,0.5) # 0,2461 . ©5¹
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Zweipunktverteilung. Beachtenswert ist dabei, dass man die diskrete Zufallsgröße X auch als eine Summe von n diskreten und zweipunktverteilten Zufallsgrößen Xi (i = 1,2,...,n) auffassen kann, die allesamt wegen Xi ~ Bi(1, 0,5), E(Xi) = 0,5 und V(Xi) = 0,5(1 – 0,5) = 0,25 identisch verteilt sind. Diese Betrachtungsweise verdeutlicht man sich am einfachsten anhand der Darstellung einer zweipunktverteilten Zufallsgröße 0 für links Xi ® ¯1 für rechts als dichotome und 0-1-kodierte Zufallsgröße Xi, mit deren Hilfe der zufallsbedingte Weg einer Kugel durch die n = 10 Nagelreihen zum Beispiel mittels einer Folge {0101110010} von n = 10 Nullen oder Einsen protokolliert werden kann. Da im konkreten Fall die Summe aller 0-1-Realisationen gleich 5 ist, sagt man auch, dass das Ereignis {X = 5} eingetreten ist, also die Kugel insgesamt k = 5 mal nach rechts unten bzw. in das Fach k = 5 gefallen ist. Grenzwertsatz von DE MOIVRE-LAPLACE. So lässt sich bereits für die n = 10 unabhängig und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi auf empirischem Wege zeigen, dass gemäß dem Grenzwertsatz von DE MOIVRE-LAPLACE die Summe der n = 10 stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi ausreichend genau durch eine Normalverteilung beschrieben werden kann, gleichwohl im konkreten Fall wegen 100,5(1 – 0,5) = 2,5 < 9 die Approximationsbedingung für die Berechnung der Binomialwahrscheinlichkeiten mittels der Standardnormalverteilung N(0, 1) nicht erfüllt ist. Interessant erweist sich in diesem Zusammenhang die folgende Darstellung: Beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel, die zufallsbedingt durch die n = 10 Nagelreihen „läuft“, in das Fach X = 5 fällt, 0,2461, so sind in logischer Konsequenz bei N = 3000 Kugeldurchläufen theoretisch 0,24613000 = 738,3 Kugeln im Fach X = 5 zu erwarten. Dies ist gemäß dem Grenzwertsatz von DE MOIVRE-LAPLACE nichts anderes als der Erwartungswert E(Sn) = np = 0,24613000 = 738,3 einer Bi(3000, 0,2461)-verteilten Zufallsgröße Sn, die letztlich die Anzahl der Kugeln zählt, die nach n = 3000 unabhängigen Versuchen bei einer unveränderlichen Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,2461 in das Fach X = 5 fallen. In diesem Blickwinkel wird das Resultat eines zufälligen Kugeldurchlaufs als eine diskrete und zweipunktverteilte Zufallsgröße Xi gedeutet, wobei im konkreten Fall 0 für sonst Xi ® ¯ 1 für X 5 gilt. Die 3000 Kugeldurchläufe können demnach als eine endliche Folge {Xi, i = 1,2,...,3000} von 3000 stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen Xi aufgefasst werden. Aus stichprobentheoretischer Sicht bezeichnet man eine solche von Folge von Zufallsgrößen als eine Zufallsstichprobe.
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Binomialwahrscheinlichkeit. Ist man im konkreten Fall einmal daran interessiert, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass bei 3000 Kugeldurchläufen und einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,2461 das zufällige Ereignis {730 d S3000 d 750} eintritt, das darin besteht, dass wenigstens 730 mal, aber höchstens 750 mal eine Kugel in das Fach X = 5 fällt, so berechnet man in Anlehnung an die Abbildung 6.5.1-2 eine Binomialwahrscheinlichkeit von P(730 d S3000 d 750) = CDF.BINOM(750, 3000, 0.2461) CDF.BINOM(730, 3000, 0.2461) | 0,3267. Demnach wäre unter sonst gleichen Bedingungen zu erwarten, dass zum Beispiel bei 100 Versuchswiederholungen von jeweils 3000 Kugeldurchläufen 33 mal das interessierende Ereignis „erwartungsgemäß“ eintritt. Wahrscheinlichkeitsapproximation. Wegen der Erfüllung der Approximationsbedingung 30000,2461(1 – 0,2461) | 556,6 > 9 kann man für V(Sn) = 556,6 und V = V(Sn) | 23,6 aufgrund des Grenzwertsatzes von DE MOIVRE-LAPLACE mit Hilfe einer Normalverteilung mit den Parametern P = 738,3 und V = 23,6 approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das interessierende zufällige Ereignis {730 d S3000 d 750} eintritt, wonach wenigstens 730 mal, aber höchstens 750 mal eine Kugel in das Fach X = 5 fällt. Gemäß Abbildung 6.5.2-2 berechnet man im konkreten Fall approximativ eine Wahrscheinlichkeit von P(730 d S3000 d 750) | CDF.NORMAL(750, 738.3, 23.6) CDF.NORMAL(730, 738.3, 23.6) | 0,3274, die offensichtlich nur geringfügig von der theoretisch begründeten Binomialwahrscheinlichkeit von 0,3267 abweicht. Relative Häufigkeit versus Wahrscheinlichkeit. Die Interpretations- und Deutungsmöglichkeiten von Ergebnissen am GALTON-Brett sind mit den vorherigen Betrachtungen bei weitem noch nicht erschöpft. Schließlich und endlich kann die Tatsache, dass die relative Häufigkeit p5 = 0,2443 für das zufällige Ereignis {X = 5}, das darin besteht, dass in nahezu 24,4 % aller Kugeldurchläufe eine Kugel in das Fach der Ordnung k = 5, also letztlich k = 5 mal nach rechts unten gefallen ist, sich schon nach N = 3000 voneinander unabhängigen Versuchswiederholungen sehr nahe an die eingangs berechnete Binomialwahrscheinlichkeit von P(X = 5) # 0,2461 annähert, auch als ein anschauliches Beispiel dafür gedeutet werden, dass es für praktische Anwendungen sinnvoll und mitunter nützlich ist, relative Häufigkeiten als Schätzwerte für unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu verwenden, wenn nur garantiert ist, dass die Anzahl der unabhängigen Beobachtungen hinreichend groß ist. In diesem Zusammenhang muss allerdings nochmals darauf hingewiesen werden, dass das mit Hilfe des GALTONBrettes praktizierte Zufallsexperiment zur paradigmatischen Untermauerung des „empirischen Gesetzes der Stabilisierung relativer Häufigkeiten“ eine bloße Erfahrungstatsache und kein mathematischer Sachverhalt ist. h
Statistische Induktion
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7 Statistische Induktion Schlüsselwörter Anpassungstest Intervallschätzung Konfidenzintervall Konfidenzniveau Schätzverfahren
Signifikanzniveau Stichprobenfunktion Stichprobenvariable Stichprobenverfahren Testverfahren
Motivation. Der Schluss vom Teil aufs Ganze unter Einbeziehung der Wahrscheinlichkeit ist die Grundidee der Induktiven Statistik (lat.: inductio o das Hineinführen), die auch als Schließende, Konfirmatorische (lat.: confirmare o bestätigen) oder Inferentielle (engl.: inference o Schlussfolgerung) Statistik bezeichnet wird. Die Induktive bzw. die „vom Teil aufs Ganze schließende“ Statistik basiert auf mathematisch-statistischen Verfahren, mit deren Hilfe man anhand von Zufallsstichproben und unter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeitsmodellen versucht, Aussagen über unbekannte Parameter bzw. Verteilungen von statistischen Grundgesamtheiten zu treffen. Grundlagen. Die theoretischen Grundlagen der Induktiven Statistik bzw. der statistischen Induktion werden aus inhaltlicher Sicht in die Stichprobentheorie, in die Schätztheorie und in die Testtheorie gegliedert. Diese inhaltlich begründete Dreiteilung gilt auch für die in der Induktiven Statistik applizierten Verfahren, die in den modernen Wirtschafts- und Sozialwissenschaften einen integralen Bestandteil für Entscheidungsfindungen unter Risiko darstellen. Die Verfahren der statistischen Induktion, die in diesem Kapitel appliziert werden, basieren auf realen Daten und werden anhand praktischer Sachverhalte paradigmatisch dargestellt und erläutert. h
202
7.1
Statistische Induktion
Stichprobenverfahren
Motivation. Die Stichprobentheorie ist das Teilgebiet der Induktiven Statistik, das die theoretischen Grundlagen und Konstrukte sowie die mathematisch- statistischen Verfahren für die Auswahl einer bestimmten Menge von n < N Merkmalsträgern J in Gestalt einen statistischen Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n aus einer (in der Regel endlichen) statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N zum Zwecke des Schlusses „vom Teil aufs Ganze“ bereitstellt. Motiv und Grundidee einer statistischen Stichprobenerhebung bestehen darin, Rückschlüsse auf eine zugrunde liegende statistische Grundgesamtheit * zu ziehen. Die Zuverlässigkeit eines „induktiven Rückschlusses“ ist wesentlich davon abhängig, inwieweit eine statistische Stichprobe *n eine statistische Grundgesamtheit * sachadäquat repräsentiert. Im statistisch- methodischen Sinne bezeichnet man eine Stichprobe *n als repräsentativ, wenn sie die „innere Struktur und die Charakteristika“ einer statistischen Grundgesamtheit * adäquat (lat.: adaequatus o gleichgemacht) abbildet. Da bereits im Kontext des Abschnittes 2.1 die Begriffe einer statistischen Grundgesamtheit, einer statistischen Stichprobe und eines statistischen Auswahlverfahrens eingeführt wurden, werden in diesem Abschnitt aus dem umfassenden Begriffskatalog der Induktiven Statistik zudem noch diejenigen Begriffe, theoretische Konstrukte und praktischen Verfahren paradigmatisch skizziert, die für das Verständnis der statistischen Induktion im Allgemeinen und der in den folgenden Abschnitten und Kapiteln applizierten Verfahren im Speziellen unabdingbar sind. Dies sind vor allem die folgenden Begriffe bzw. theoretischen Konstrukte: Stichprobenvariable, Stichprobenfunktion und Stichprobenverteilung. Der Erläuterung dieser theoretischen Konstrukte vorgelagert ist die exemplarische Demonstration des Ziehens einer reinen Zufallsstichprobe. h
7.1.1 Stichprobenziehung Motivation. In Anlehnung und in Weiterführung des Beispiels 2.1-5 soll anhand der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav das Ziehen einer reinen Zufallsstichprobe exemplarisch demonstriert werden. Dabei wird die Menge * = {Ji, i = 1,2,...,N} der N = 785 Eier Ji, die von Hühnern der Rasse Loheimer Braun gelegt wurden, als die zugrunde liegende endliche statistische Grundgesamtheit * aufgefasst. Im Abschnitt 2.1 wurde bereits vermerkt, dass der Vorgang des zufallsbedingten Auswählens von Merkmalsträgern Ji aus einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * in der statistischen Methodenlehre unter dem Begriff eines Zufallsauswahlverfahrens subsumiert wird, wobei in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung vor allem den Zufallsauswahlverfahren eine besondere praktische Relevanz zukommt, die in der Tabelle 2.1-1 aufgelistet sind.
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Zufallsstichprobe. Der Anschaulichkeit halber soll in einem ersten Analyseschritt via Sequenz 7.1.1-1 aus der statistischen Grundgesamtheit * der N = 785 Hühnereier ein Dutzend Hühnereier zufällig ausgewählt werden. Aus statistischmethodischer Sicht ist dabei zu beachten, dass eine Zufallsauswahl immer eine Auswahl von Merkmalsträgern darstellt. Während im konkreten Fall die zufällig ausgewählte Teilmenge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 12 Hühnereiern Ji die Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 Hühnereier kennzeichnet, subsumiert man zum Beispiel die Menge {xi, i = 1,2,...,n} der zugehörigen reellwertigen Gewichtsangaben X(Ji) = xi R+ als eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 Gewichtsangaben xi eines Dutzends zufällig ausgewählter Hühnereier Ji. Sequenz 7.1.1-1: Zufallsstichprobe Daten Fälle auswählen o Abbildung 7.1.1-1 Abbildung 7.1.1-1: Ziehen einer Zufallsstichprobe
Zufallsstichprobe: n = 12 Eier
Stichprobenbefund als Datenblatt Grundgesamtheit: N = 785 Eier
Gemäß der Abbildung 7.1.1-1 wurden im konkreten Fall zufällig und unabhängig voneinander n = 12 aus N = 785 Hühnereiern ausgewählt. Da in PASW Statistics eine Zufallsstichprobe mit Hilfe gleichverteilter Pseudo-Zufallszahlen gezogen wird, kann davon ausgegangen werden, dass in der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der N = 785 Hühnereier jedes Hühnerei Ji eine gleiche Chance (frz.: chance o Glücksfall) besitzt, in die Auswahl zu gelangen. Beim praktischen Nachvollziehen der skizzierten reinen Zufallsauswahl ist zu beachten, dass das Ergebnis stets zufallsbedingt ist. Zudem gilt es gemäß Abbildung 7.1.1-1, die zufällig ausgewählten Merkmalsträger in ein „neues Da-
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Statistische Induktion
tenblatt zu kopieren“ und dieses Datenblatt für die n = 12 zufällig ausgewählten Hühnereier in einer PASW Statistics Datendatei mit dem Namen Stichprobe01.sav zu speichern. Im Vorfeld des Speichervorgangs wurde analog zur Abbildung 7.1.1-2 in die „neue“ und hinsichtlich ihres Umfanges auf n = 12 Merkmalsträger reduzierte Arbeitsdatei zudem noch eine numerische Variable Stichprobe eingefügt, deren Werte mit der Nummer der gezogenen Zufallsstichprobe übereinstimmen, wobei für die erste Stichprobe die Werte nur Einsen sind. Abbildung 7.1.1-2: Realisierte Zufallsstichprobe Stichprobenkennung
In der achten Ziehung der ersten Stichprobe wurde das Hühnerei J317 mit der Nummer 317 zufällig ausgewählt. Sein Gewicht X(J317) = 64,5 g erscheint in der realisierten Stichprobe als achte Gewichtsangabe x8 = 64,5 g.
realisierte Gewichtsstichprobe: {66,0 g; …; 62,5 g; 61,5 g}
Monte-Carlo-Experiment. Nach dem Speichervorgang wurde wiederum die PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav aktiviert und das skizzierte Ziehen einer Zufallsstichprobe insgesamt zehnmal wiederholt. Schließlich und endlich wurden analog zum Beispiel 4.6.4-1 die zehn PASW Statistics Datendateien Stichprobe01.sav bis Stichprobe10.sav zu einer PASW Statistics Datendatei zusammengefügt, die Merkmalsträger gemäß Beispiel 4.6.4-2 „neu“ nummeriert und die so erzeugte Arbeitsdatei unter dem Namen Zehn Dutzend.sav gespeichert. Die „finale“ PASW Statistics Datendatei umfasst insgesamt 1210 = 120 Merkmalsträger, die in 10 unabhängig voneinander gezogenen „reinen“ Zufallsstichproben mit einem konstanten Umfang von n = 12 Merkmalsträgern ausgewählt wurden. Jeder der 120 Merkmalsträger in Gestalt eines Hühnereies wird letztlich durch die numerischen Variablen Nr, ID, Gewicht, Höhe, Breite und Stichprobe beschrieben. Beachtenswert ist dabei, dass im konkreten Fall bei der Zufallsauswahl das Auswahlmodell „mit Zurücklegen“ praktiziert wurde, zumal stets von der gleichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der in der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav erfassten N = 785 Hühnereier Ji ausgegangen wurde. Auf der Grundlage der „experimentell erzeugten“ PASW
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Statistics Datendatei Zehn Dutzend.sav, die als das Resultat eines so genannten Monte-Carlo-Experiments19 aufgefasst werden kann, ist man nunmehr in der Lage, weitere elementare Konzepte der statistischen Stichprobentheorie am praktischen Sachverhalt bildhaft zu verdeutlichen. h
7.1.2 Stichprobenvariablen und Stichprobenfunktionen Motivation. In der Stichprobentheorie kommt den Begriffen „Stichprobenvariable“ und „Stichprobenfunktion“ eine substantielle Bedeutung zu. Stichprobenvariablen und Stichprobenfunktionen, die ihrem Wesen nach Zufallsgrößen sind, fungieren als theoretische Konstrukte zur Beschreibung von Zufallsstichproben. Stichprobenvariable Ist X eine Zufallsgröße, die über einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} mit einer Verteilungsfunktion FX definiert ist, und bezeichnet {Xi, i = 1,2,...,n} eine Folge von Zufallsgrößen Xi, die die gleiche Verteilungsfunktion besitzen wie die Zufallsgröße X, dann heißen im Kontext einer Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} die n Zufallsgrößen Xi Stichprobenvariablen. Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Konstrukts einer Stichprobenvariablen erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Charakteristikum. Das entscheidende Charakteristikum einer Stichprobenvariablen besteht darin, dass sie eine Zufallsgröße ist, die im Zuge einer zufallsbedingten Stichprobenziehung eine zufällige Realisation annimmt. Dabei werden die n Stichprobenvariablen Xi nicht als eine nmalige Anwendung einer Zufallsgröße X, sondern als eine Folge {Xi, i = 1,2,...,n} von n Zufallsgrößen Xi, gedeutet, die alle die gleichen Eigenschaften besitzen wie die Zufallsgröße X in der statistischen Grundgesamtheit *. ii) Reine Zufallsstichprobe. Zufallsgrößen, die gleiche Eigenschaften, insbesondere gleiche Verteilungsfunktionen, Erwartungswerte und Varianzen besitzen, heißen identisch verteilt. Insbesondere bezeichnet man eine Folge {Xi, i = 1,2,...,n} von n Stichprobenvariablen Xi als eine reine Zufallsstichprobe vom Umfang n, sobald die Stichprobenvariablen Xi stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind, also Xi ~ i.i.d. gilt. Die Abkürzung i.i.d. ist der englischen Bezeichnung für eine reine Zufallsstichprobe entlehnt und steht für die Bezeichnung „independently and identically distributed (random sample)“. iii) Realisierte Zufallsstichprobe. Eine Folge {xi, i = 1,2,...,n} von n beobachteten Realisationen xi bezeichnet man als eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n. Dabei erweist sich die folgende verbale Darstellung als sehr anschaulich: Die Ziehung der Ordnung i (i = 1,2,...,n) liefert im Kontext einer Zufallsstichprobe vom Umfang n den Stichprobenwert xi, der als eine konkrete und zufallsbedingte Realisation der zugehörigen Stichprobenvariablen Xi gedeutet wird, die selbst wiederum die gleichen Eigenschaften besitzt, wie die Zufallsgröße X in der zugrunde liegenden statistischen Grundgesamtheit *. i 19
In der statistischen Methodenlehre subsumiert man unter dem Begriff eines Monte-CarloExperiments mathematisch-statistische Verfahren zur numerischen Lösung analytisch schwer bzw. nicht lösbarer zufallsbedingter Prozesse und/oder Probleme. Monte Carlo ist der Name des Stadtteils von Monaco, der durch sein Spielcasino berühmt wurde und ist.
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Stichprobenfunktion Eine Funktion f, die einer Folge {Xi, i = 1,2,...,n} von n Stichprobenvariablen Xi eine Zufallsgröße Vn = f(Xi) zuordnet, heißt Stichprobenfunktion. Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Konstrukts einer Stichprobenfunktion erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonym. Eine Stichprobenfunktion nennt man in Anlehnung an die englischsprachige Literatur auch eine „Statistik“. ii) Charakteristik. Eine Stichprobenfunktion ist eine Funktion von Zufallsgrößen und damit selbst wieder eine Zufallsgröße. Stichprobenfunktionen werden wie Zufallsgrößen in der Regel mit großen lateinischen Endbuchstaben ..., X, Y, Z bezeichnet. iii) Stichprobenfunktionswert. Ein beobachteter, aus n Stichprobenwerten xi ermittelter Wert einer Stichprobenfunktion heißt empirischer Stichprobenfunktionswert. Während Stichprobenfunktionen mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet werden, kennzeichnet man beobachtete Stichprobenfunktionswerte mit den jeweiligen lateinischen Kleinbuchstaben. iv) Beispiele. Wichtige Stichprobenfunktionen sind insbesondere Schätzfunktionen und Testvariablen, die ein spezieller Gegenstand der Abschnitte 7.2 und 7.3 sind. Stellvertretend für die Vielzahl der Stichprobenfunktionen, die in der Induktiven Statistik appliziert werden, werden im Kontext der Beispiele 7.1.2-1 und 7.1.2-2 die Stichprobenfunktionen „Stichprobenmittel, Stichprobenvarianz, Stichprobenanteil“ am praktischen Sachverhalt erläutert und skizziert. i
Beispiel 7.1.2-1: Stichprobenvariable Motivation. In Anlehnung an den Abschnitt 7.1.1, im Kontext dessen das Ziehen von Zufallsstichproben paradigmatisch skizziert wurde, soll im Kontext dieses Beispiels der Begriff einer Stichprobenvariablen exemplarisch erläutert werden. Zum leichteren Verständnis dieses theoretisch nicht einfachen Sachverhalts soll das folgende Gleichnis dienen, das aus theoretischer Sicht sinnvoll und aus praktischer Sicht eher unsinnig erscheint: Aus der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der N = 785 Eier Ji, die auf einem Bauernhof im Brandenburgischen von Hühnern der Rasse Loheimer Braun im Verlaufe einer Woche gelegt wurden und deren Gewichts-, Breite- und Höhendaten in der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav gespeichert sind, wird (virtuell) ein Hühnerei J zufällig ausgewählt bzw. „gezogen“, gewogen und nach der statistischen Gewichtserfassung wieder in das Ausgangslos zurückgelegt. Ziehung. Aufgrund dessen, dass das im Zuge einer Ziehung zufällig ausgewählte Hühnerei J wieder in das Ausgangslos zurückgelegt wird, hat man im konkreten Fall das Modell „Zufallsauswahl mit Zurücklegen“ praktiziert. Das Auswahlmodell „mit Zurücklegen“ erweist sich vor allem aus theoretischer Sicht als vorteilhaft, da beim n-maligen Wiederholen des gleichen Zufallsexperiments garantiert ist, dass die n Ziehungen im Kontext einer Zufallsstichprobe vom Umfang n stochastisch voneinander unabhängig sind und jedes Hühnerei theoretisch eine gleiche Chance (frz.: chance o Glück(sfall)) besitzt, ausgewählt zu werden und somit in die Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} zu gelangen.
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Zufallsgröße. Gemäß der Ausführungen im Abschnitt 6.4 ist es theoretisch möglich und sachlogisch sinnvoll, auch den Vorgang einer reellwertigen Gewichtsbeschreibung X(J) = x R+ für ein Hühnerei J *, das im Zuge einer zufälligen Ziehung aus der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der N = 785 Eier Ji ausgewählt wurde, als eine stetige Zufallsgröße X zu deuten. So besitzt gemäß Abbildung 7.1.1-2 zum Beispiel das zufällig ausgewählte Hühnerei J317 * mit der Nummer 317 ein reellwertiges Gewicht von X(J317) = x317 = 64,5 g, das eine konkrete und zufallsbedingte Realisation der stetigen Zufallsgröße X: Hühnerei-Gewicht ist. Stichprobenvariable. Da im erfassungsstatistischen Sinne die Ausprägungen X(J) = x R+ des stetigen Erhebungsmerkmals X: Gewicht (Angaben in g) und im stochastischen Sinne die Realisationen X(J) = x R+ der stetigen Zufallsgröße X: Gewicht (Angaben in g) positive reelle Zahlen sind, kann man sich anhand der Abbildung 7.1.2-1 für die n = 12 Hühnereier Ji, die jeweils in eine der zehn gezogenen Zufallsstichproben *n = {Ji, i = 1,2,...,n} gelangt sind, das theoretische Konstrukt einer Stichprobenvariablen Xi wie folgt verdeutlichen: Abbildung 7.1.2-1: Stichprobenvariablen stetige Zufallsgröße X: Gewicht (g) eines Hühnereies
Die Ergebnisse der jeweils 8. Ziehung sind Realisationen der Stichprobenvariablen X8.
Gemäß Abbildung 7.1.1-2 besitzt das zufällig ausgewählte Hühnerei J317 * mit der Nummer 317 ein Gewicht von X(J317) = 64,5 g. Dies ist äquivalent mit der formalen Aussage, dass sowohl die Zufallsgröße X über der statistischen Grundgesamtheit * aller Hühnereier Ji * als auch die Stichprobenvariable X8 in der Ziehung der Ordnung i = 8 im Rahmen der ersten Stichprobe (Stich1) einen Stichprobenwert von X(J317) = X1(J317) = x8 = 64,5 g annehmen. Analog sind die jeweiligen zufallsbedingten Realisationen der Stichprobenvariablen X8 im Rahmen der restlichen neun reinen Zufallsstichproben (Stich2 bis Stich10) innerhalb
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der Abbildung 7.1.2-1 zu deuten. Dass es sich bei der Stichprobenvariablen X8 um eine Zufallsgröße handelt, leuchtet bereits intuitiv ein, wenn man sich jeweils die Realisationen x8 der restlichen neun realisierten Zufallsstichproben anschaut, die offensichtlich zufallsbedingt im „üblichen Gewichtsbereich“ eines Hühnereies variieren. Dieses augenscheinliche und scheinbar triviale Faktum kann man auch für die restlichen elf Ziehungen innerhalb einer Stichprobe konstatieren. Das entscheidende Charakteristikum des theoretischen Konstrukts einer Stichprobenvariablen besteht ja gerade darin, dass sie ihrem Wesen nach eine Zufallsgröße ist, die im Zuge einer zufallsbedingten Stichprobenziehung eine zufällige und reellwertige Realisation annimmt. Zufallsstichprobe. Während man im konkreten Fall die endliche Menge {xi, i = 1,2,...,n} von n = 12 zufallsbedingten Realisationen der stetigen Zufallsgröße X: Hühnerei-Gewicht im Rahmen einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 12 Hühnereier Ji als eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 empirisch beobachtete Hühnereiergewichte X(Ji) = xi interpretiert, deutet man aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht das theoretische Konstrukt in Gestalt der Menge {Xi, i = 1,2,...,n} von n = 12 Stichprobenvariablen Xi als eine reine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12, sobald die Stichprobenvariablen Xi a i.i.d. als stochastisch unabhängig und identisch verteilt angesehen werden können. Die Abkürzung i.i.d. ist der englischen Bezeichnung für eine reine Zufallsstichprobe entlehnt und steht für „independently and identically distributed (random sample)“. Dabei liefert die Ziehung der Ordnung i im Kontext einer Zufallsstichprobe vom Umfang n den Stichprobenwert xi, der als eine konkrete und zufallsbedingte Realisation der zugehörigen Stichprobenvariablen Xi gedeutet wird, die selbst wiederum die gleichen stochastischen Eigenschaften besitzt, wie die Zufallsgröße X in der zugrunde liegenden endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N Merkmalsträger. Monte-Carlo-Experiment. Hätte man ceteris paribus nicht nur zehn, sondern etwa 1000 reine Zufallsstichproben (mit Zurücklegen) vom Umfang n = 12 Hühnereiern Ji aus der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N = 785 Hühnereiern gezogen, dann würde man im konkreten Fall zu der Feststellung gelangen, dass die zwölf Stichprobenvariablen Xi identisch verteilt sind und die gleichen Eigenschaften (etwa eine gleiche Verteilungsfunktion FX, einen gleichen Erwartungswert E(X) = P und eine gleiche Varianz V(X) = V²) besitzen, wie die stetige Zufallsgröße X: Hühnerei-Gewicht über der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier. Diese Form eines unabhängig und beliebig oft wiederholten Zufallsexperiments zur numerischen Beschreibung von Zufallsprozessen subsumiert man, wie bereits im Abschnitt 7.1.1 erläutert wurde, unter dem Begriff eines so genannten MonteCarlo-Experiments. h
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Beispiel 7.1.2-2: Stichprobenfunktionen Motivation. Aus den Betrachtungen im Kontext des Beispiels 7.1.2-1 wurde ersichtlich, dass der Zugang zum Begriff einer Stichprobenvariablen an eine Menge von unabhängigen Stichproben gebunden ist, wobei im konkreten Fall insgesamt zehn reine Zufallsstichproben von je einem Dutzend Hühnereiern gezogen wurden, deren Realisationen in Gestalt von zehn realisierten und gewichtsbezogenen Zufallsstichproben in der Abbildung 7.1.2-1 in Form einer (12 u 10)Datenmatrix zusammengefasst sind. Demgegenüber bedarf der Zugang zum theoretischen Konstrukt und zum Begriff einer reinen Zufallsstichprobe und einer aus ihr abgeleiteten Stichprobenfunktion der Betrachtung einer Folge {Xi, i = 1,2,...,n} von n unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen Xi, wobei vereinbarungsgemäß die folgende Notation gelten soll: Xi a i.i.d. Stichprobenmittel. So stellt zum Beispiel das arithmetische Mittel 1 n X ¦ Xi n i1 aus den n = 12 Stichprobenvariablen Xi (i = 1,2,...,n) eine spezielle Stichprobenfunktion dar, die auch als Stichprobenmittel bezeichnet wird. Da eine Stichprobenfunktion ihrem Wesen nach eine Zufallsgröße ist, kann man zum Beispiel für das Stichprobenmittel mit Hilfe der folgenden Erwartungswertoperationen 1 ª1 º 1 E( X ) E « ( X1 ... X n )» >E( X1 ... X n )@ >E( X1 ) ... E( X n )@ n ¬n ¼ n zeigen, dass die Stichprobenfunktion eines Stichprobenmittels wegen E(X1) = E(X2) = ... = E(Xn) = P letztlich einen Erwartungswert von E( X ) = nP/n = P besitzt. Nun kann ein Stichprobenmittel X nicht nur durch seinen Erwartungswert, sondern auch durch seine Varianz charakterisiert werden, für die wegen 1 ª1 º 1 V( X ) V « ( X1 ... X n )» >V( X1 ... X n )@ >V( X1 ) ... V( X n )@ 2 n2 ¬n ¼ n letztlich V 1 V2 2 V( X ) und V X V 2X V( X ) V n 2 n n n gilt. Die daraus abgeleitete Stichprobenfunktion V X bezeichnet man auch als
Standardfehler eines Stichprobenmittels. Offensichtlich wird der Standardfehler immer kleiner, je größer man den Stichprobenumfang n wählt. Wurzel-n-Gesetz. Allerdings reduziert sich der Standardfehler eines Stichprobenmittels nicht linear, sondern nur mit dem Faktor 1/n. So ist zum Beispiel ein vierfacher Stichprobenumfang n erforderlich, um den Standardfehler eines Stichprobenmittels zu halbieren. Dieser Sachverhalt wird in der statistischen Methodenlehre auch als Wurzel-n-Gesetz, kurz:n-Gesetz, bezeichnet.
210
Statistische Induktion
Stichprobenmittelwert. Die skizzierten theoretischen Konstrukte kann man sich am praktischen Sachverhalt verdeutlichen, indem man unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Zehn Dutzend.sav, deren „Erzeugung“ im Abschnitt 7.7.1 skizziert wurde, via Sequenz 7.1.2-1 für die zehn Zufallsstichproben die interessierenden gewichtsspezifischen Stichprobenfunktionswerte bestimmt. Sequenz 7.1.2-1: Stichprobenfunktionswerte Analysieren Mittelwerte vergleichen Mittelwerte o Abbildung 7.1.2-2 Abbildung 7.1.2-2: Stichprobenfunktionswerte stetige Zufallsgröße X: Gewicht (g)
Stichprobenfunktionen
nominales Gruppierungsmerkmal
In der Tabelle 7.1.2-1 sind die angeforderten Stichprobenfunktionswerte, die ihrem Wesen nach Realisationen der jeweiligen Stichprobenfunktion sind, zusammengestellt. Ihre Berechnung und Interpretation ergibt das folgende Bild: Stichprobenmittelwert. Für die erste realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 Hühnereiergewichte ermittelt man für die Stichprobenfunktion des arithmetischen Mittels, also für das so genannte Stichprobenmittel X , einen realisierten Stichprobenmittelwert von 66,0 62,5 ... 6,15 774 x 64,5 . 12 12 Demnach beläuft sich das durchschnittliche Gewicht der im Zuge der ersten Zufallsstichprobe ausgewählten n = 12 Hühnereier auf 64,5 g. Stichprobenstreuung. Analog zur Stichprobenfunktion des Stichprobenmittels X kann gezeigt werden, dass für die Stichprobenfunktion S² der Stichprobenvarianz bzw. für die Stichprobenfunktion S der Stichprobenstreuung
Statistische Induktion
211
n 1 S 2 und E(S²) = V² bzw. V V2 ¦ ( X i X ) 2 bzw. S n 1 i 1 gilt. Demnach berechnet man für die erste Stichprobe eine realisierte Stichprobenvarianz von (66,0 64,5)² (62,5 64,5)²... (61,5 64,5)² s2 # 16,591 [g]² 12 1 und darauf aufbauend eine realisierte Stichprobenstreuung von n 1 s ¦ (x i x) 2 16,591 # 4,073 g. n 1 i 1 Standardfehler. Final erhält man als eine konkrete Realisation der Stichprobenfunktion V X einen realisierten Standardfehler des Stichprobenmittels von s 4,073 sx # 1,176 g, n 12 der als ein Maß für den Fehler interpretiert werden kann, der einem bei der Schätzung des „wahren, jedoch unbekannten“ Durchschnittsgewichts aller N = 785 Hühnereier „im Mittel und auf lange Sicht“ unterläuft, wenn man die Mittelwert-Schätzung auf der Grundlage der realisierten Zufallsstichprobe Nummer 1 bewerkstelligt. Offensichtlich ist zu erwarten, dass der Standardfehler eines Stichprobenmittels in seinem Wert immer kleiner wird, je größer man den Stichprobenumfang n einer Stichprobe wählt.
S2
Tabelle 7.1.2-1: Stichprobenfunktionswerte
Analog können die in der Tabelle 7.1.2-1 aufgelisteten Stichprobenfunktionswerte für die restlichen neun realisierten reinen Zufallsstichproben vom Umfang n = 12 berechnet und interpretiert werden. h
212
Statistische Induktion
7.1.3 Stichprobenverteilungen Motivation. In der Stichprobentheorie bezeichnet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stichprobenfunktion auch als Stichprobenverteilung. Stellvertretend für die Vielzahl der Stichprobenverteilungen, die in der Induktiven Statistik im Allgemeinen und in der Stichprobentheorie im Speziellen bekannt sind und appliziert werden, sollen hier nur die Stichprobenverteilungen eines arithmetischen Mittels unter speziellen Verteilungsannahmen skizziert werden. Stichprobenverteilung eines arithmetischen Mittels Ist {Xi, i = 1,2,...,n} eine Folge von n Stichprobenvariablen Xi, die unabhängig und identisch verteilt sind mit einem Erwartungswert E(Xi) = P und einer Varianz V(Xi) = V², dann ist das Stichprobenmittel X asymptotisch normalverteilt mit den Parametern P und V/n. Hinweise. Für das Verständnis der in Rede stehenden Stichprobenverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Kurzschreibweise. In Kurzschreibweise notiert man diesen Sachverhalt wie folgt: Gilt für alle Stichprobenvariablen Xi der Ordnung i (i = 1,2,...,n) Xi ~ i.i.d., dann gilt V X P X n ) und Z n n o N (0;1) . o N (P; of of V n ii) GAUß-Statistik. Ein Stichprobenmittel aus unabhängig und identisch verteilten Zufallsgrößen ist asymptotisch (grch.: asymptotos o nicht zusammentreffen) normalverteilt, da gemäß dem zentralen Grenzwertsatz (vgl. Abschnitt 6.6) mit wachsendem Stichprobenumfang n o f die Verteilungsfunktion der angegebenen und so genannten GAUßStatistik Z schwach gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0; 1) konvergiert (lat.: convergere o sich hinneigen). iii) Standardnormalverteilung. Das theoretische Modell der Standardnormalverteilung N(0; 1) wurde im Beispiel 6.5.2-4 skizziert und in der Abbildung 6.5.2-5 bildhaft dargestellt. i
Stichprobenverteilung von X bei bekanntem V Ist {Xi, i = 1,2,...,n} eine Folge von n Stichprobenvariablen Xi, die normalverteilt sind mit den Parametern P und V, wobei V bekannt ist, dann ist das Stichprobenmittel X normalverteilt mit den Parametern P und V/n. Hinweise. Für das Verständnis der in Rede stehenden Stichprobenverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Kurzschreibweise. In Kurzschreibweise notiert man diesen Sachverhalt wie folgt: Gilt für alle Stichprobenvariablen Xi der Ordnung i (i = 1,2,...,n) Xi a N(P, V), dann gilt V X P X ~ N (P; ) bzw. Z n ~ N(0; 1). V n ii) GAUß-Statistik. In der praktischen Arbeit mit der GAUß-Statistik Z wird die Kenntnis des wahren (jedoch unbekannten) Streuungsparameters V der Grundgesamtheit als gegeben bzw. aus früheren Untersuchungen als bereits bekannt angesehen. Gleichwohl diese Annahme wenig realitätsnah ist, kommt ihr vor allem aus theoretischer Sicht eine sub-
Statistische Induktion
213
stantielle Bedeutung zu. Vor allem in der statistischen Qualitätskontrolle findet man diese Annahme mitunter als gerechtfertigt, wenn Toleranzen, die ja ihrem Wesen nach Streuungsaussagen implizieren, technologisch vorgegeben sind. iii) Normalverteilung. Das theoretische Modell einer Normalverteilung wurde im Kontext des Abschnittes 6.5.2 paradigmatisch eingeführt. i
Stichprobenverteilung von X bei unbekanntem V Ist {Xi, i = 1,2,...,n} eine Folge von n Stichprobenvariablen Xi, die normalverteilt sind mit den Parametern P und V, wobei V unbekannt ist, dann ist das Stichprobenmittel X STUDENT t-verteilt mit df = n – 1 Freiheitsgraden. Hinweise. Für das Verständnis der in Rede stehenden Stichprobenverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Kurzschreibweise. In Kurzschreibweise notiert man diesen Sachverhalt wie folgt: Gilt für die Stichprobenvariablen Xi a N(P; V), dann gilt für die so genannte STUDENT t-Statistik X P n ~ t(df). T S df steht für den englischen Begriff „degrees of freedom“ (Freiheitsgrade). ii) t-Statistik. Der Unterschied zwischen der so genannten GAUß-Statistik Z und der so genannten STUDENT t-Statistik T besteht in der Verwendung der Stichprobenstreuung
S
S2
1 n 1
n
¦ (X
i
X)2
i 1
an Stelle der wahren, jedoch unbekannten Standardabweichung V in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N. iii) Faustregel. Mit wachsendem Stichprobenumfang n o f konvergiert die Verteilungsfunktion FT einer t-Statistik T gegen die Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N(0;1). Für die praktische Arbeit verwendet man in diesem Zusammenhang die folgende Faustregel: Für einen Stichprobenumfang n > 50 kann die Verteilungsfunktion FT einer t-Statistik hinreichend genau durch die Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N(0; 1) approximiert werden. iv) t-Verteilung. Das theoretische Modell einer t-Verteilung wird im Kontext des Beispiels 7.1.3-1 paradigmatisch eingeführt. i
Stichprobenverteilung für eine Mittelwertdifferenz Sind X 1 und X 2 die Stichprobenmittel zweier unabhängiger Zufallsstichproben vom Umfang n1 und n2, die aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten stammen, dann ist die Stichprobenvariable D = X 1 X 2 normalverteilt. Hinweise. Für das Verständnis der Stichprobenverteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Kurzschreibweise. In Kurzschreibweise notiert man diesen Sachverhalt wie folgt: Gilt für j = 1, 2 und i = 1,2,...,nj Xij ~ N(Pj; Vj), dann gilt
Z
D E( D) ~ N(0; 1) mit E(D) = P1 P 2 und V D VD
V12 V 22 . n1 n 2
Die standardisierte Stichprobenmitteldifferenz Z ist eine GAUß-Statistik. ii) Asymptotik. Stammen die beiden Stichprobenmittel X j (j = 1, 2) aus zwei unabhängigen und identisch
214
Statistische Induktion
verteilten Grundgesamtheiten, dann ist gemäß dem zentralen Grenzwertsatz (vgl. Abschnitt 6.6) ihre Differenz D asymptotisch normalverteilt. iii) t-Verteilung. Stammen die beiden Stichprobenmittel aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten, jedoch homogenen Varianzen V1² = V2² = V², dann genügt die Stichprobenfunktion D einer t-Verteilung mit df = n1 + n2 2 Freiheitsgraden. Das Modell einer STUDENT t-Verteilung wird im Beispiel 7.1.3-1 paradigmatisch skizziert. Auf der Varianzhomogenitätsprämisse basiert der so genannte doppelte t-Test, der als ein spezieller Mittelwerthomogenitätstest ein Gegenstand des Kapitels 8 ist. i
Beispiel 7.1.3-1: STUDENT t-Verteilung Motivation. Das Modell einer t-Verteilung geht auf den englischen Chemiker William Sealy GOSSET (1876-1937) zurück, der bei den Brauereien „Guinness“ beschäftigt war und das Verteilungsmodell erstmals 1908 unter dem Pseudonym STUDENT im Zusammenhang mit seinen Arbeiten zu kleinen Stichproben veröffentlichte. Aus diesem Grunde wird eine t-Verteilung in der einschlägigen Literatur auch als STUDENTVerteilung oder STUDENT t-Verteilung bezeichnet, die als eine spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt charakteW. Gosset risiert werden kann: STUDENT t-Verteilung Sind Y ~ F²(df) und Z ~ N(0; 1) stochastisch unabhängige stetige Zufallsgrößen, wobei Y einer Chi-Quadrat-Verteilung mit df Freiheitsgraden und Z der Standardnormalverteilung genügt, dann genügt die stetige Zufallsgröße T = Z/(Y/df) einer STUDENT t-Verteilung mit df Freiheitsgraden, kurz: T ~ t(df). Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Modells einer t-Verteilung erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Basis. Das theoretische Modell einer t-Verteilung basiert selbst wiederum auf den theoretischen Modellen einer Chi-Quadrat-Verteilung (vgl. Beispiel 7.3.2-2) und der Standardnormalverteilung (vgl. Beispiel 6.5.2-4). ii) Charakteristika. Der Graph der Dichtefunktion fT einer t- Verteilung ist dem der Standardnormalverteilung N(0; 1) sehr ähnlich. Sie ist gleichsam stetig, eingipflig, glockenförmig, allerdings um null symmetrisch und in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade df flacher gewölbt als die Standardnormalverteilung. Die Form einer t-Verteilung wird durch den Verteilungsparameter df (Anzahl der Freiheitsgrade) bestimmt, der eine ganze Familie von t-Verteilungen charakterisiert. In der Abbildung 7.1.3-1 ist der Graph der Dichtefunktion fT und der Graph der monoton wachsenden und s-förmig verlaufenden Verteilungsfunktion FT für eine t-Verteilung mit df = 11 Freiheitsgraden bildhaft dargestellt. iii) Erwartungswert und Varianz. Für den Erwartungswert E(T) und die Varianz V(T) einer stetigen und t-verteilten Zufallsgröße T gilt: E(T) = 0 für df t 2 und V(T) = df/(df 2) für df t 3. iv) Approximation. Für eine hinreichend große Anzahl von Freiheitsgraden (bzw. wenn df o f gilt) konvergieren die Dichte- und die Verteilungsfunktion einer t-Verteilung gleichmäßig gegen die Dichte- und die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0; 1). Für df > 50 kann eine t-verteilte Zufallsgröße bereits hinreichend genau durch die N(0; 1)-Verteilung approximiert werden.
Statistische Induktion
215
Aus diesem Grunde interpretiert man eine t-Verteilung auch als die Standardnormalverteilung kleiner Stichproben und ordnet sie in die Familie der statistischen Prüfverteilungen ein. v) Applikation. In der Induktiven Statistik kommt dem theoretischen Modell einer t-Verteilung vor allem bei der Schätzung von Konfidenzintervallen über einen unbekannten Mittelwert einer statistischen Grundgesamtheit (vgl. Abschnitt 7.2) bzw. bei der Prüfung von Hypothesen über unbekannte Parameter aus statistischen Grundgesamtheiten eine besondere Bedeutung zu (vgl. Kapitel 8). i
Abbildung 7.1.3-1: STUDENT t-Verteilung für df = 11 Freiheitsgrade
FT(2,2) | 0,975 P(T d 2,2) | 0,975
t0,975,11 | 2,2
Quantil. Die Bedeutung des theoretischen Modells einer t-Verteilung als eine spezielle Prüfverteilung wird dabei vor allem im Zuge der Bestimmung von Quantilen tp;df der Ordnung p (0 < p < 1) für eine bestimmte Anzahl df von Freiheitsgraden fassbar und augenscheinlich. Für p = 0,975 und df = 11 Freiheitsgrade berechnet man analog zur Abbildung 6.5.2-3 mit Hilfe der PASW Statistics Quantilsfunktion IDF.T(p, df) ein Quantil von t0,975,11 = IDF.T(0.975, 11) # 2,201, das in der Abbildung 7.1.3-1 durch die gestrichelten Linien kenntlich gemacht ist, die jeweils parallel zur Ordinate verlaufen. Im konkreten Fall ist die Fläche unterhalb der Dichtefunktion fT, die per Definition dem Wert nach eins ist, derart zweigeteilt, dass an der Stelle t0,975,11 = 2,201 ein Flächenanteil von p = 0,975 unterhalb des Wertes t0,975, 11 = 2,201 und ein Flächenanteil von 1 – p = 0,025 oberhalb des Wertes t0,975, 11 = 2,201 liegt. Einen solchen Wert tp, df einer stetigen Zufallsgröße T mit df Freiheitsgraden bezeichnet man als ein Quantil der Ordnung p (0 < p < 1). Diese Betrachtung koinzidiert mit der Aussage, dass die Verteilungsfunktion FT einer stetigen und STUDENT-t-verteilten Zufallsgröße T mit df = 11 Freiheitsgraden wegen FT(2,201) = P(T d 2,201) = CDF.T(2.201, 11) = 0,975 an der Stelle t0,975, 11 = 2,201 einen Funktionswert liefert, der im konkreten Fall als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet wird, dass die stetige Zufallsgröße T Realisationen annimmt, die gleich oder kleiner als 2,201 sind. h
216
Statistische Induktion
Beispiel 7.1.3-2: Q-Q-Diagramm für eine t-Verteilung Motivation. Sehr anschauliche explorative Analyseinstrumente zur bildhaften Verdeutlichung und/oder zur Identifizierung von theoretischen Verteilungsmodellen sind die so genannten Q(uantil)-Q(uantil)-Diagramme (vgl. Abschnitt 7.3). Die Idee eines Q-Q-Diagramms ist einfach und faszinierend zugleich: Dazu trägt man für eine Zufallsgröße auf der Ordinate die Quantile des vermuteten theoretischen Verteilungsmodells und auf der Abszisse die (mittels einer oder mehrerer Zufallsstichproben) empirisch beobachteten Quantile ab. Erscheinen die Quantilspaare in der zweidimensionalen Hyperebene als eine geradlinige Punktekette, dann kann man davon ausgehen, dass das zugrunde liegende theoretische Verteilungsmodell ein geeignetes Modell ist zur Beschreibung des Verteilungsgesetzes der betrachteten Zufallsgröße. Normalverteilung. Im Kontext des Beispiels 6.5.2-1 wurde das Gewicht X eines Hühnereies als eine stetige und N(63 g, 5 g)-verteilte Zufallsgröße aufgefasst. Dass diese Verteilungsannahme durchaus als realitätsnah angesehen werden kann, wird im Kontext des Beispiels 7.3.3-1 gezeigt, in dem die Normalverteilungsannahme mit Hilfe eines Anpassungstests geprüft wird. Man darf daher davon ausgehen, dass die Hühnereier J *, die gemäß Abschnitt 7.1.1 im Zuge eines so genannten Monte-Carlo-Experiments in Gestalt von m = 10 Zufallsstichproben *n = {Ji, i = 1,2,...,n} jeweils im Dutzend bzw. vom Umfang n = 12 ausgewählt wurden, hinsichtlich ihres Gewichts X aus einer normalverteilten Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} stammen. Stichprobenfunktion. Interessiert man sich einmal nur für die Stichprobenfunktion X eines arithmetischen Mittels aus einer N(P, V)-verteilten Grundgesamtheit mit unbekannter Standardabweichung V, dann kann man zeigen, dass im konkreten Fall für die m = 10 Zufallsstichproben die Stichprobenfunktionen X j (j = 1,2,...,m) einer t-Verteilung mit df = 10 – 1 = 9 Freiheitsgraden genügen. Freiheitsgrade. Was sich hinter dem Freiheitsgradbegriff verbirgt, kann man sich im konkreten Fall stark vereinfacht wie folgt veranschaulichen: Die m = 10 Stichprobenmittelwerte aus der Tabelle 7.1.2-1 bzw. aus der Abbildung 7.1.3-2 ergeben in ihrer Summe einen Wert von 66,0 + 62,5 + ... + 61,5 = 625,53. Fasst man diesen Wert einmal als vorgegeben bzw. fixiert auf, dann lässt sich leicht verdeutlichen, dass im Ensemble der m = 10 Stichprobenmittelwerte eben nur df = 10 – 1 = 9 Stichprobenmittelwerte beliebig und frei wählbar wären. Der zehnte Stichprobenmittelwert wäre durch die vorherige Festlegung der Summe und der neun anderen Werte stets berechenbar und daher nicht mehr frei wählbar. Man sagt daher: Bei m = 10 Stichprobenmittelwerten besitzt man im induktiven Sinne eben nur df = m – 1 = 10 – 1 = 9 Freiheitsgrade. Q-Q-Diagramm. Im Kontext des Beispiels 7.1.2-2 wurde gezeigt, dass die m = 10 zufallsbedingt variierenden Stichprobenmittelwerte innerhalb der Tabelle
Statistische Induktion
217
7.1.2-1 ihrem Wesen nach Realisationen der Stichprobenvariablen X j sind, die selbst wiederum Zufallsgrößen sind und einer t-Verteilung mit df = 9 Freiheitsgraden genügen. Diesen Sachverhalt kann man sich im konkreten Fall anhand der sich selbst erklärenden Abbildung 7.1.3-2 bildhaft verdeutlichen. Abbildung 7.1.3-2: Daten aggregieren und Q-Q-Diagramme PASW Statistics Arbeitsdatei via Daten … Aggregieren Stichprobenmittelwerte
via Sequenz 5.1-1
Q-Q-Diagramm der Stichprobenmittelwerte
Im Q-Q-Diagramm der m = 10 Stichprobenmittelwerte sind die empirischen Quantile der standardisierten Stichprobenmittelwerte den theoretischen Quantilen einer STUDENT t-Verteilung mit df = 9 Freiheitsgraden gegenüberstellt. Da sich die Punktekette an der „idealen Verteilungsgeraden“ entlang schlängelt, hat man mit diesem explorativen Befund bereits ein augenscheinliches Indiz dafür gefunden, dass Stichprobenmittelwerte aus normalverteilten Beobachtungsbefunden (hineichend genau) durch das theoretische Modell einer STUDENT t-Verteilung beschrieben werden können. Man sagt daher auch: Stichprobenmittelwerte aus normalverteilten Merkmalswerten genügen einer STUDENT t-Verteilung. h
218
7.2
Statistische Induktion
Schätzverfahren
Motivation. Die Schätztheorie ist das Teilgebiet der Induktiven Statistik, das die theoretischen Grundlagen und die mathematisch-statistischen Verfahren zur Schätzung von unbekannten Parametern einer statistischen Grundgesamtheit auf der Basis von Zufallsstichproben zum Gegenstand hat. Im Kontext von Parameterschätzungen unterscheidet man zwischen Punkt- und Intervallschätzungen. h
7.2.1 Punktschätzung Motivation. Die Schätzung eines unbekannten Parameters mit Hilfe einer Schätzfunktion liefert für eine realisierte Zufallsstichprobe stets einen Wert, der bildhaft als ein Punkt auf einem reellwertigen Zahlenstrahl erscheint. Dabei ist es aus statistisch-methodischer Sicht zum Beispiel wünschenswert, dass die zufallsbedingten Realisationen (also die realisierten Punktschätzungen) einer Schätzfunktion im Durchschnitt möglichst nahe am unbekannten (und daher zu schätzenden) Parameter einer statistischen Grundgesamtheit liegen. Schätzfunktion Eine Stichprobenfunktion 4* = f(X1, X2,..., Xn), die aufgrund bestimmter Eigenschaften zur näherungsweisen Bestimmung eines wahren, jedoch unbekannten Parameters T einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N geeignet ist, heißt Schätzfunktion. Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Konstrukts einer Schätzfunktion erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Zufallsgröße. Eine Schätzfunktion ist ihrem Wesen nach eine Zufallsgröße. ii) Symbolik. Eine Schätzfunktion wird allgemein mit dem Symbol 4 (lies: Groß-Theta) und einem (lies: Dach) oder einem * (lies: Stern bzw. Asterix) bezeichnet. Der mittels einer realisierten Zufallsstichprobe {xi, i = 1,2,...,n} ermittelte empirische Wert einer Schätzfunktion 4* wird als eine realisierte Punktschätzung bzw. als Punktschätzer T* für den unbekannten (und daher zu schätzenden) Parameter T (lies: Klein-Theta) einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} gedeutet und analog zur Schätzfunktion 4* gleichsam mit einem Dach () oder einem Asterix (*) gekennzeichnet. iii) Beispiel. Eine Schätzfunktion ist die Stichprobenfunktion des arithmetischen Mittels 1 n 4* f (X1 ,..., X n ) Xi , n i 1
¦
die zur Schätzung eines Erwartungswertes P, also zur Schätzung des wahren, jedoch unbekannten arithmetischen Mittels T = P einer statistischen Grundgesamtheit * verwendet wird. Das aus den Stichprobenwerten {xi, i = 1,2,...,n} einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n } berechnete Stichprobenmittel x ist ein realisierter Punktschätzwert und wird daher mit T* = P* bezeichnet. iv) Güteeigenschaften. Wünschenswerte Eigenschaften von Schätzfunktionen sind zum Beispiel die Erwartungstreue, die Wirksamkeit, die Konsistenz und die Robustheit. Sie fungieren als Gütekriterien beim Vergleich und bei der Auswahl von Schätzfunktionen. i
Statistische Induktion
219
Schätzmethoden. Aus schätztheoretischer Sicht erweist es sich als vorteilhaft, zwei Schätzmethoden zu skizzieren, die im Rahmen der statistischen Induktion für Parameterschätzungen häufig appliziert werden: die Kleinste-QuadrateSchätzung und die Maximum-Likelihood-Schätzung. Kleinste-Quadrate-Schätzer Ist {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n, auf deren Grundlage ein unbekannter Parameter T aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} geschätzt werden soll, dann heißt derjenige Wert T* aus allen für möglich erachteten Werten von T, für den die Summe der quadrierten Abweichungen n
¦ (x i 1
n
i
T*) 2 d ¦ ( x i T) 2 i 1
von den realisierten Zufallsstichprobenwerten xi am kleinsten ist, Kleinste-Quadrate-Schätzwert und die zugehörige Funktion 4* = f(X1, X2,..., Xn) KleinsteQuadrate-Schätzfunktion. Hinweise. Für das Verständnis einer Kleinste-Quadrate-Schätzfunktion erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonyme. In der statistischen Methodenlehre werden oft Schätzwert und Schätzfunktion kurz unter dem Begriff eines KQ-Schätzers oder OLS-Schätzers (engl.: Ordinary-Least-Squares Estimator) zusammengefasst. ii) Eigenschaften. Als vorteilhaft erweist sich, dass KQ-Schätzer keine genaue Kenntnis des Verteilungsgesetzes von Zufallsgrößen über einer statistischen Grundgesamtheit * erfordern. Dies ist ein Grund dafür, warum KQ-Schätzer in der praktischen Arbeit eine so breite Anwendung erfahren. Hinzu kommt noch, dass Kleinste-QuadrateSchätzer im Allgemeinen erwartungstreu und konsistent und somit aus schätztheoretischer Sicht „nützlich und wertvoll“ sind. iii) Beispiele. In praxi häufig applizierte KQSchätzer sind das arithmetische Mittel T* = P* = x (vgl. Beispiel 7.2.1-1) oder der Regressionskoeffizient T* = E* = b1 einer einfachen linearen Kleinste-Quadrate-Regression y* = b0 + b1x (vgl. Abschnitt 11.1). iv) Historie. Das Verfahren zur Herleitung von Kleinste-Quadrate-Schätzern wird auch als Methode der kleinsten Quadrate(summe) bezeichnet, die selbst wiederum auf den genialen deutschen Mathematiker und Astronomen Carl Friedrich GAUß (17771855) zurückgeht (vgl. Kapitel 1). i
Beispiel 7.2.1-1: Kleinste-Quadrate-Schätzer Motivation. Die Grundidee eines Kleinste-Quadrate-Schätzers soll anhand eines unbekannten Erwartungswertes E(X) = P einer stetigen Zufallsgröße X über einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N mit einer endlichen und bekannten Varianz V² demonstriert werden. Zur Schätzung des „wahren, jedoch unbekannten“ Parameters P dient eine realisierte Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} vom Umfang n. Kleinste-Quadrate-Kriterium. Eine Möglichkeit, um anhand der realisierten und daher „bekannten“ Stichprobenwerte xi den „unbekannten“ Wert P zu ermitteln, besteht darin, denjenigen Wert unter allen möglichen Werten von P zu ver-
220
Statistische Induktion
wenden, der die Summe der quadrierten Abweichungen der Stichprobenwerte xi minimiert, so dass S(P)
n
¦ (x
i
P) 2 o min
i 1
gilt. Da es sich hier um ein einfaches Extremwertproblem handelt, bedient man sich zu dessen Lösung der Differentialrechnung. Kleinste-Quadrate-Schätzer. Die notwendige Bedingung, d.h. das Verschwinden der Ableitung erster Ordnung der Summe S(P) nach dem unbekannten Wert P bei gegebenen Stichprobenwerten xi, liefert das folgende Resultat: d S(P) n 2 ( x i P) ( 1) 0 . ¦ dP i 1 Nach Umformungen der Gleichung ergibt sich wegen n n § n · § n · 2 ¦ ( x i P) 2 ¨¨ ¦ x i ¦ P ¸¸ 2 ¨¨ ¦ x i n P ¸¸ 0 i 1 i 1 ©i 1 ¹ ©i 1 ¹ ein Schätzwert für den unbekannten Parameter P von 1 n P* ¦ xi , n i1 der offensichtlich das arithmetische Mittel x aus den n Stichprobenwerten xi ist. Kernaussage. Das arithmetische Mittel x aus den Stichprobenwerten xi einer realisierten Zufallsstichprobe {xi, i = 1,2,...,n} vom Umfang n, auch Stichprobenmittelwert genannt, ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer P* für den unbekannten Durchschnitt P einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N}. Die zugrunde liegende Schätzfunktion 1 n 4* f (X1 ,..., X n ) ¦ Xi X n i 1 ist erwartungstreu, effizient und konsistent für den Erwartungswert P einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N}, sobald Xi a i.i.d. gilt, also die n Stichprobenvariablen Xi unabhängig und identisch verteilt sind. Die Abbreviatur i.i.d. steht für „independently and identically distributed (random sample)“. h Maximum-Likelihood-Schätzer Ist {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n, auf deren Grundlage ein unbekannter Parameter T (lies: Klein-Theta) aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} geschätzt werden soll, dann heißt diejenige Realisation T* (lies: Klein-Theta-Stern), bei der die realisierte Zufallsstichprobe die größte Wahrscheinlichkeit hat, also gleichsam die LikelihoodFunktion L maximiert wird, so dass für alle für möglich erachteten Werte von T L(T*| x1, x2,..., xn) t L(T | x1, x2, ..., xn) gilt, Maximum-Likelihood-Schätzer.
Statistische Induktion
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Hinweise. Für das Verständnis eines Maximum-Likelihood-Schätzers erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonyme. In der statistischen Methodenlehre werden Schätzwert und Schätzfunktion oft unter dem Begriff ML-Schätzer oder Likelihood-Schätzer gefasst. ii) Eigenschaften. ML-Schätzer sind in der Schätztheorie eine oft verwendete Alternative zu OLS-Schätzern, die unter bestimmten Voraussetzungen gleiche Resultate liefern. Als nachteilig erweist es sich dabei, dass ML-Schätzer im Allgemeinen spezielle Annahmen über das Verteilungsgesetz von betrachteten Zufallsgrößen einer statistischen Grundgesamtheit erfordern. ML-Schätzer sind in der Regel asymptotisch erwartungstreu, konsistent und asymptotisch effizient. Sie besitzen im Vergleich zu OLS-Schätzern nicht mit Notwendigkeit „bessere“ Eigenschaften. iii) Likelihood-Funktion. Eine Funktion L, welche die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer realisierten Zufallsstichprobe {xi, i = 1,2,...,n} angibt und von den Parametern eines angenommenen Verteilungsmodells abhängt, heißt Likelihood-Funktion (engl.: likelihood o Glaubwürdigkeit, Mutmaßlichkeit). iv) Historie. Das Verfahren zur Herleitung von Maximum-Likelihood-Schätzern (engl.: maximum-likelihood o größte Glaubwürdigkeit, größte Mutmaßlichkeit), das auch als Maximum-Likelihood-Methode bezeichnet wird, geht auf den genialen und berühmten deutschen Mathematiker Carl Friedrich GAUß (17771855) zurück, verdankt jedoch seine breite Anwendung dem englischen Statistiker Sir Ronald Aylmer FISHER (18901962). i
Beispiel 7.2.1-2: Maximum-Likelihood-Schätzer Motivation. Die Grundidee eines Maximum-Likelihood-Schätzers soll analog zum Beispiel 7.2.1-1 gleichfalls für die Schätzung des Erwartungswertes E(X) = P einer nunmehr N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X über einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} demonstriert werden. Zufallsstichprobe. Zur Schätzung des unbekannten Parameters P wird eine realisierte reine Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} vom Umfang n gezogen. Dabei sind die Stichprobenwerte xi Realisationen von n stochastisch unabhängigen Stichprobenvariablen Xi, für die Xi ~ N(P, V) gilt. Likelihood-Funktion. Besitzt eine normalverteilte Stichprobenvariable Xi die Dichtefunktion
1
( x P ) 2
mit x R , V 2S so besitzen die n Stichprobenvariablen Xi einer reinen Zufallsstichprobe unter der Voraussetzung vollständiger stochastischer Unabhängigkeit eine gemeinsame Dichtefunktion f X (x)
e
i
f X ( x 1 ,..., x n P)
n
V
1
( x i P) 2
L(P x 1 ,..., x n ) , 2S die auch als Likelihood-Funktion L(P | x1,...,xn) bezeichnet wird. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Likelihood-Funktion L(P | x1,...,xn) algebraisch identisch ist mit der gemeinsamen Dichtefunktion fX(x1,...,xn | P). Der Unterschied zwischen beiden Funktionen besteht darin, dass im konkreten Fall i 1
e
2V 2
2V 2
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die gemeinsame Dichtefunktion fX(x1,...,xn | P) als eine Funktion in variablen Stichprobenwerten xi für einen fest vorgegebenen Parameter P, die LikelihoodFunktion L(P | x1,...,xn) hingegen als eine Funktion in variablen Parameterwerten P für fest vorgegebene Stichprobenwerte xi zu interpretieren ist. Maximum-Likelihood-Schätzer. Der interessierende Maximum-LikelihoodSchätzer P* ist in Abhängigkeit von den „bekannten“ Stichprobenwerten xi dann der Wert aus allen möglichen Werten von P, der die Likelihood-Funktion L maximiert, so dass allgemein L(P*| x1,...,xn) t L(P | x1,...,xn) gilt. Dieses Extremwertproblem lässt sich algebraisch mit Hilfe der Differentialrechnung lösen. Logarithmische Likelihood-Funktion. Da sich Summen „leichter“ differenzieren lassen als Produkte, verwendet man meist an Stelle der Likelihood- Funktion L(P | x1,...,xn) die logarithmische Likelihood-Funktion LL = ln L(P | x1,...,xn) auf der Basis des logarithmus naturalis. Sie besitzt genau dort ihr Maximum, wo die Likelihood-Funktion ihr Maximum annimmt. Bekanntlich besitzt eine stetige Funktion ein (lokales) Maximum genau an der Stelle, an der ihr Anstieg, also die Ableitung erster Ordnung null und die Ableitung zweiter Ordnung negativ ist. Da für die logarithmische Likelihood-Funktion ( x P) 1 ° n °½ e 2V ¾ LL ln L(P x 1 ,..., x n ) ln ® °¯ i 1 V 2 S °¿ gilt, lässt sich unter Anwendung der Potenz- und Logarithmengesetze die logarithmische Likelihood-Funktion auch wie folgt darstellen: 1 (x P) ½ n 2¦ V 1 n ( x i P) 2 °§ 1 · ° LL ln ®¨ . ¸ e ¾ n ln V n ln( 2S ) ¦ 2 i1 V2 °© V 2S ¹ ° ¯ ¿ Die notwendige Bedingung für das Auffinden des Wertes P*, der die logarithmische Likelihood-Funktion LL maximiert, ist das Verschwinden der Ableitung erster Ordnung der logarithmischen Likelihood-Funktion LL nach P, so dass · d LL 1 § n 1 n x n P 0 und letztlich P * ¦ xi ¨ ¸ ¦ i ¸ n i1 dP V 2 ¨© i 1 ¹ gilt. Offensichtlich ist das arithmetische Mittel x aus den Stichprobenwerten xi der Maximum-Likelihood-Schätzwert P* für den unbekannten Parameter P einer N(P, V)-verteilten Zufallsgrößen X über einer endlichen Grundgesamtheit *. Kernaussage. Da man zeigen kann, dass die Ableitung zweiter Ordnung wegen –n/V² stets negativ ist, sobald eine von null verschiedene und endliche Varianz V² existiert, sagt man auch, dass das arithmetische Mittel x aus den realisierten Stichprobenwerten xi einer normalverteilten Zufallsgrößen X der MaximumLikelihood-Schätzer, also der Schätzwert mit der größten Glaubwürdigkeit für den unbekannten Durchschnittswert P einer endlichen Grundgesamtheit * ist. h 2
i
2
n
2
i
2
i 1
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7.2.2 Intervallschätzung Motivation. Ein realisierter Schätzwert T* einer Schätzfunktion 4* ist seinem Wesen nach eine zufallsabhängige Punktschätzung, die nur im seltensten Fall mit dem wahren, jedoch unbekannten Parameter T einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} übereinstimmt. Streng genommen ist zum Beispiel für eine stetige Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Punktschätzwert T* aus einer realisierten Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} vom Unfang n mit dem unbekannten Parameter T einer statistischen Grundgesamtheit * übereinstimmt, null. Aus diesem Grunde ersetzt man in der Induktiven Statistik eine Punktschätzung in der Regel durch eine Intervallschätzung, die mit einer möglichst großen Wahrscheinlichkeit den unbekannten Parameter T überdecken soll. Die in der Induktiven Statistik am häufigsten applizierte Form einer Intervallschätzung für einen unbekannten Parameter T über einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} ist ein Konfidenzintervall (lat.: confidentia o Vertrauen), das auch als Vertrauensintervall bezeichnet wird. Abbildung 7.2.2-1: Punktschätzung versus Intervallschätzung Eine Punktschätzung gleicht dem Töten einer Fliege mit einem Dart ... theoretisch möglich, praktisch jedoch unwahrscheinlich ... Eine Intervallschätzung funktioniert dagegen wie eine Fliegenklatsche: Je breiter, desto sicherer ... aber, je breiter und sicherer, desto unschärfer im Sinne einer Punktschätzung ...
Gleichwohl die Metapher vom Dart und von der Fliegenklatsche, die der Abbildung 7.2.2-1 zugrunde liegt, nicht sehr wissenschaftlich anmutet, ist sie dennoch geeignet, die Grundidee des statistischen Schätzens allegorisch zu vermitteln. Konfidenzintervall Ein zufallsbedingter Wertebereich [Vu, Vo], der auf Grund einer Zufallsstichprobe {Xi, i = 1,2,...,n} vom Umfang n im Ergebnis einer Intervallschätzung für einen unbekannten Parameter T einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} mittels zweier Stichprobenfunktionen Vu = g(X1, X2,..., Xn) und Vo = h(X1, X2,..., Xn) ermittelt wird und einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit P(Vu d T d Vo) t 1 D genügt, heißt Konfidenzintervall für einen unbekannten Parameter T zum Konfidenzniveau 1 D. Hinweise. Für das Verständnis des theoretischen Konstrukts eines Konfidenzoder Vertrauensintervalls erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich und hilfreich: i) Konfidenzniveau. Die für die Konstruktion eines Konfidenzintervalls im Voraus festgelegte Wahrscheinlichkeit 1 D heißt Konfidenzniveau. ii) Charakteristika. In praxi konstruiert man in der Regel nur zweiseitig begrenzte Konfidenzintervalle.
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Das entscheidende Charakteristikum eines Konfidenzintervalls [Vu, Vo] besteht darin, dass sowohl die untere Intervallgrenze Vu als auch die obere Intervallgrenze Vo, für die stets Vu d Vo gelten soll, ihrem Wesen nach Stichprobenvariablen und damit Zufallsgrößen sind. Aus dieser Eigenschaft leitet sich die Aussage ab, dass ein Konfidenzintervall [Vu, Vo] mit einer vorgegebenen und möglichst großen Konfidenzwahrscheinlichkeit P(Vu d T d Vo) t 1 D einen wahren und in der Regel unbekannten Parameter T aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} überdeckt. Dabei ist inhaltlich stets zwischen einem theoretischen Konfidenzintervall [Vu, Vo] und einem auf der Basis einer realisierten Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} vom Unfang n berechneten und daher „realisierten“ Konfidenzintervall [vu, vo] zu unterscheiden. i
Konfidenzintervall für einen Erwartungswert Ist X eine N(P, V)-verteilte Zufallsgröße über einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} mit einem unbekannten Erwartungswert E(X) = P und einer endlichen und unbekannten Varianz V(X) = V² (bzw. einer endlichen und unbekannten Standardabweichung V) und sind für eine realisierte Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} vom Umfang n n 1 n 1 ¦ x i und s x ¦ (x i x) 2 n i1 n 1 i 1
der Stichprobenmittelwert x und der Wert der Stichprobenstandardabweichung s, dann heißt das geschlossene Merkmalswerteintervall [vu, vo] mit s s v u x t p , df und v o x t p , df n n realisiertes Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 D für einen unbekannten Erwartungswert P bei unbekannter Varianz V². Hinweise. Für die Konstruktion eines realisierten Konfidenzintervalls für einen Erwartungswert sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Quantil. tp,df bezeichnet das Quantil der Ordnung p = 1 D/2 einer t-Verteilung mit df = n 1 Freiheitsgraden. Spezielle Quantile der Ordnung p einer t-Verteilung mit df Freiheitsgraden sind in der Regel in einschlägigen Fachbüchern tabelliert. In PASW Statistics kann man die Quantile mit Hilfe der so genannten Quantilsfunktion IDF.T(p,df) berechnen (vgl. Beispiel 7.1.3-1). ii) Charakteristika. Ein zweiseitig begrenztes Konfidenzintervall für einen unbekannten Erwartungswert P ist stets symmetrisch. Zudem können bei einem realisierten Konfidenzintervall die Intervallgrenzen vu und vo, die Realisationen zweier Zufallsgrößen in Gestalt der beiden Stichprobenfunktionen Vu und Vo sind, in Abhängigkeit vom jeweiligen Stichprobenbefund zufallsbedingt variieren. iii) Konfidenzniveau. Das Konfidenzniveau 1 D ist im Vorfeld der Konstruktion eines Konfidenzintervalls festzulegen. In praxi übliche Konfidenzniveaus sind 0,9, 0,95 bzw. 0,99. D bezeichnet die zu einem Konfidenzniveau 1 D gehörende Komplementärwahrscheinlichkeit. Im Unterschied zu den im Abschnitt 7.3 skizzierten Testverfahren, wo D inhaltlich als Irrtumswahrscheinlichkeit oder als Signifikanzniveau (lat.: significans o bedeutsam) gedeutet wird, kommt diesem Wert D bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen keine inhaltliche Bedeutung zu. i
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Beispiel 7.2.2-1: Realisiertes Konfidenzintervall für einen Erwartungswert Motivation. Die Konstruktion eines realisierten Konfidenzintervalls über dem unbekannten Parameter P einer N(P, V)-verteilten Zufallsgröße X soll in Anlehnung an die stichprobentheoretischen Betrachtungen im Kontext des Abschnittes 7.1 anhand der endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N = 785 Hühnereiern Ji demonstriert werden, für die das metrische und stetige Erhebungsmerkmal X: Gewicht (Angaben in g) statistisch erfasst wurde. Zufallsgröße. Dabei wird das stetige Erhebungsmerkmal X: Gewicht als eine stetige Zufallsgröße gedeutet, die in der Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier normalverteilt ist, so dass X ~ N(P, V) gilt. Dass diese Verteilungsannahme als berechtigt erscheint, ist bereits anhand der Abbildung 7.2.2-2 zu erkennen, in der einerseits das normierte Histogramm mit Normalverteilungsdichte und andererseits das Boxplot für die beobachtete Gewichtsverteilung skizziert ist. Die beiden Grafiken wurden unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav via Sequenz 5.1-5 im Zuge einer explorativen Datenanalyse angefordert und erstellt. Abbildung 7.2.2-2: Histogramm mit Normalverteilungsdichte und Boxplot
Zudem wird aus methodischen Gründen angenommen, dass sowohl das durchschnittliche Gewicht P, die Gewichtsvarianz V² und somit die Standardabweichung der Gewichte V = V² aller N = 785 Hühnereier Ji in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} unbekannt sind. Mit dieser realitätsnahen und plausibel erscheinenden Annahme wird man in der Regel in der angewandten Statistik im Kontext von Punkt- und Intervallschätzungen konfrontiert. Grundsatz. „Was der Bauer nicht kennt, frisst er nicht.“ pflegt der Volksmund zu sagen und beschreibt mit diesem Gleichnis eher eine pragmatische als eine wissbegierige Lebenssicht. Eher zielführender klingt da der Professorenmund, wenn er verlauten lässt: „Was der Statistiker nicht kennt, schätzt er anhand einer Stichprobe.“, ein Grundsatz, der in der Induktiven Statistik hinsichtlich unbekannter Parameter einer statistischen Grundgesamtheit allgemeingültig,
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pragmatisch und zugleich zielführend ist: Ein unbekannter Parameter einer statistischen Grundgesamtheit wird auf der Grundlage eines Zufallsstichprobenbefundes mit Hilfe einer geeigneten Stichprobenfunktion geschätzt. Zufallsstichprobe. Im Kontext des Abschnittes 7.1 wurde das Ziehen von insgesamt m = 10 Zufallsstichproben jeweils mit einem Umfang von n = 12 Hühnereiern skizziert. Zur Gewähr des theoretischen Konstrukts einer reinen Zufallsauswahl *n = {Ji, i = 1,2,...,n} wurde (zumindest gedanklich) jedes zufällig und unabhängig „gezogene“ Hühnerei Ji nach der statistischen Erfassung seines Gewichts X(Ji) = xi wieder in die endliche statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N = 785 Hühnereier zurückgelegt. Die m = 10 realisierten Zufallsstichproben in Gestalt von jeweils n = 12 Gewichtsdaten X(Ji) = xi sind in der Abbildung 7.1.2-1 aufgelistet und in der PASW Statistics Datendatei Zehn Dutzend.sav gespeichert. Konfidenzniveau. So, wie man Jemandem „Vertrauen schenkt“, so ist man auch im Sinne der statistischen Induktion stets bestrebt, einer Intervallschätzung „Vertrauen zu schenken“, dessen „Höhe“ man stets im Vorfeld einer Schätzung in Gestalt des so genannten Vertrauens- oder Konfidenzniveaus optional vereinbart. Legt man einmal ein Konfidenzniveau in Höhe von 1 D = 0,95 fest und deutet dieses als eine Vertrauens- oder Konfidenzwahrscheinlichkeit, so ist es evident, dass sich die Komplementärwahrscheinlichkeit auf D = 1 0,95 = 0,05 beläuft, der allerdings im Kontext einer Intervallschätzung aus statistisch- methodischer Sicht keine inhaltliche Bedeutung zukommt. Konfidenzintervall. Auf der Grundlage der m = 10 realisierten Zufallsstichproben kann man via Sequenz 5.1-5 und analog zur Abbildung 7.2.2-3 die m = 10 stichprobenspezifischen realisierten 95 %-Konfidenzintervalle für das unbekannte Durchschnittsgewicht P in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier schätzen. Abbildung 7.2.2-3: Schätzung eines Konfidenzintervalls für einen Mittelwert Erhebungsmerkmal
Gruppierungsmerkmal
optionales Konfidenzniveau (1 D)100 %
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In der Tabelle 7.2.2-1 sind der Übersichtlichkeit halber einmal nur für die erste realisierte Zufallsstichprobe das realisierte 95%-Konfidenzintervall und die zu seiner Konstruktion erforderlichen Stichprobenparameter aufgelistet. Tabelle 7.2.2-1: Realisiertes 95 %-Konfidenzintervall
Punktschätzungen. Verwendet man aus der Tabelle 7.1.1-2 die Ergebnisse der ersten realisierten Zufallsstichprobe {66,0 g; 62,5 g;..., 61,5 g} vom Umfang n = 12 Hühnereiergewichte, so erhält man einen Stichprobenmittelwert von 1 x (66,0 62,5 ... 61,5) 64,5 g 12 und eine Stichprobenstandardabweichung von 1 s ((66,0 64,5)² (62,5 64,5)² ... (61,5 64,5)²) # 4,07 g. 12 1 Die beiden Stichprobenparameter sind ihrem Wesen nach Punktschätzungen für die in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier als unbekannt angenommenen Parameter des Durchschnittsgewichtes P und der Standardabweichung V der Hühnergewichte. Dabei leuchten die folgenden Überlegungen bereits intuitiv ein: Wohl ist es theoretisch möglich, dass das unbekannte durchschnittliche Gewicht P aller N = 785 Hühnereier mit dem Stichprobenmittel von 64,5 g aus der ersten Stichprobe übereinstimmt. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis {P = 64,5 g} eintritt, sehr klein, streng genommen sogar null, da das Gewicht X(J) eines Hühnereies J seinem Wesen nach eine stetige Zufallsgröße ist. Die Problemlösung dieser „unwahrscheinlich“ erscheinenden Punktschätzung liegt offensichtlich in ihrer Ergänzung durch eine „vertrauenswürdigere“ Intervallschätzung über das unbekannte durchschnittliche Gewicht P aller N = 785 Hühnereier. Den Zusammenhang zwischen einer Punktschätzung und einer Intervallschätzung kann man sich nochmals recht anschaulich mittels des Gleichnisses innerhalb der Abbildung 7.2.2-1 verdeutlichen: Eine penetrante Schmeißfliege hat sich gerade auf der Bürowand niedergelassen. Wohl ist es theoretisch möglich, aber praktisch sehr unwahrscheinlich, sie mit einem Wurfpfeil an die Wand „zu heften“ und gleichsam (auf den Punkt genau) zu töten. Offensichtlich sind die Chancen, sie zu töten, wesentlich größer, wenn man den Wurfpfeil durch eine traditionelle und hinreichend breite Fliegenklatsche ersetzt, die den Zufallsvorgang des „Fliegetötens“ offensichtlich vertrauenswürdiger und sicherer erscheinen lässt.
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Konfidenzintervall. Ergänzt man die Punktschätzung (in Gestalt des Stichprobenmittels x = 64,5 g aus der ersten Stichprobe) für das unbekannte Durchschnittsgewicht P in der Grundgesamtheit aller Hühnereier durch eine Intervallschätzung, so erhält man gemäß Tabelle 7.2.2-1 schließlich ein realisiertes 95 %Konfidenzintervall von [61,91 g, 67,09 g] für das unbekannte durchschnittliche Gewicht P bei unbekannter Standardabweichung V des Gewichts X(Ji) in der Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier. Konstruktion. Einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen soll in diesem Zusammenhang die Konstruktion des realisierten Konfidenzintervalls auf der Grundlage der ersten realisierten reinen Zufallsstichprobe aus der PASW Statistics Datendatei Zehn Dutzend.sav zahlenmäßig skizziert werden, für das vorab ein Konfidenzniveau von 1 D = 0,95 vereinbart wurde, so dass sich im konkreten Fall die Größe D auf 1 – 0,95 = 0,05 beläuft. Die Grundlage für die Konstruktion eines realisierten Konfidenzintervalls für einen Erwartungs- bzw. Mittelwert bilden die folgenden drei Bausteine: das Stichprobenmittel x = 64,5 g, der Standardfehler des arithmetischen Mittels s 4,07 sx # 1,18 g, n 12 der sich definitionsgemäß aus der Stichprobenstandardabweichung s und dem radizierten Stichprobenumfang n berechnet, sowie das Quantil tp,df der Ordnung p = 1 D/2 = 1 – 0,05/2 = 0,975 einer t-Verteilung mit df = n 1 = 12 – 1 = 11 Freiheitsgraden, für das man gemäß Beispiel 7.1.3-1 einen Wert von t0,975,11 = IDF.T(0.975, 11) = 2,201 ermittelt, woraus sich letztlich die Intervallgrenzen vu = 64,5 g – 2,2011,18 g # 61,91 g vo = 64,5 g + 2,2011,18 g # 67,09 g für das realisierte 95 %-Konfidenzintervall zur „induktiven Schätzung“ des unbekannten Durchschnittsgewicht P in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier Ji bestimmen lassen. Interpretation. Aufgrund dessen, dass man im Vorfeld ein „hohes“ Konfidenz- oder Vertrauensniveau von 1 D = 0,95 vereinbart hat, kann man unter Verwendung des Stichprobenbefundes aus der ersten Zufallsstichprobe erwartungsgemäß und mit „hoher Sicherheit bzw. großem Vertrauen“ davon ausgehen, dass in der statistischen Grundgesamtheit aller Hühnereier das unbekannte Durchschnittsgewicht P zwischen ca. 61,9 g und ca. 67,1 g liegt. Analog können die restlichen neun realisierten und stets zufallsbedingt voneinander verschiedenen 95 %-Konfidenzintervalle für das wahre, jedoch unbekannte Durchschnittsgewicht P = E(X) aller N = 785 Hühnereier Ji in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} konstruiert, rechnerisch nachvollzogen und sachlogisch interpretiert werden. h
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Beispiel 7.2.2-2: Realisierte Konfidenzintervalle und Fehlerbalken Motivation. Die Konstruktion von realisierten Konfidenzintervallen [vu, vo] für einen unbekannten Erwartungswert P kann man sich zum Beispiel via Sequenz 7.2.2-1 mit Hilfe so genannter Fehlerbalken bildhaft verdeutlichen. Sequenz 7.2.2-1: Fehlerbalken Diagramme Diagrammerstellung o Abbildung 7.2.2-4 Abbildung 7.2.2-4: Dialogfeld Diagrammerstellung und Elementeigenschaften
Fehlerbalkenbedeutung
optionales Konfidenzniveau (1 D)100 %
Option: Fehlerbalken
Fehlerbalken. Im konkreten Fall wurden unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Zehn Dutzend.sav m = 10 stichprobenspezifische Fehlerbalken zur bildhaften Darstellung von realisierten 95 %-Konfidenzintervallen für das „wahre“ Durchschnittsgewicht P von N = 785 Hühnereiern angefordert. Der didaktisch-methodische Vorteil der so genannten Fehlerbalken innerhalb der Abbildung 7.2.2-5 besteht darin, dass mit ihrer Hilfe das logische Zusammenspiel von Punkt- und Intervallschätzung augenscheinlich gemacht werden kann. Der Punkt im jeweiligen symmetrisch konstruierten Fehlerbalken markiert den jeweiligen Stichprobenmittelwert, der jeweils als eine Punktschätzung für das „wahre“ Durchschnittsgewicht von P = 62,78 g aller Hühnereiergewichte X(Ji) = xi in der
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statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der N = 785 Hühnereier Ji fungiert. Da im konkreten Fall das realisierte 95 %-Konfidenzintervall, das auf der Grundlage der Zufallsstichprobe Nummer 9 konstruiert wurde, das wahre Durchschnittsgewicht P = 62,78 g in der statistischen Grundgesamtheit aller Hühnereier, das in der Abbildung 7.2.2-5 durch die parallel zur Abszisse verlaufende und gestrichelte Linie gekennzeichnet ist, nicht mit einschließt, deutet man die neunte Intervallschätzung (von insgesamt m = 10 Intervallschätzungen) als „nicht vertrauenswürdig“. Im Unterschied dazu interpretiert man auf dem vorab vereinbarten Konfidenzniveau von 0,95 die restlichen neun Intervallschätzungen als „vertrauenswürdige“ Intervallschätzungen, da sie augenscheinlich das „wahre“ Durchschnittsgewicht aller Hühnereier „überdecken.“ Abbildung 7.2.2-5: Konfidenzintervalle als Fehlerbalken „vertrauenswürdige“ Intervallschätzung „wahrer“ Mittelwert in der Grundgesamtheit
Stichprobenmittelwert als Punktschätzung keine „vertrauenswürdige“ Intervallschätzung
Bemerkenswert und augenscheinlich ist zudem, dass die einzelnen realisierten 95 %-Konfidenzintervalle wohl symmetrisch um die Punktschätzwerte, aber unterschiedlich lang bzw. breit sind und dass die Punktschätzwerte auf der Basis der einzelnen, voneinander unabhängig gezogenen Zufallsstichproben gleichen Umfangs variieren. Dies liegt in der Natur der Sache, denn die m = 10 realisierten 95 %-Konfidenzintervalle sind letztlich nichts anderes als konkrete Realisationen zweier Stichprobenfunktionen Vu und Vo (unter und obere Intervallgrenze), die ihrerseits wiederum Zufallsgrößen sind. Eine andere anschauliche Interpretation der Fehlerbalken ist die folgende: Bei hinreichend vielen gezogenen Zufallsstichproben würden erwartungsgemäß mindestens 95 % aller realisierten Konfidenzintervalle [vu, vo] das „wahre“ durchschnittliche Gewicht von P = 62,78 g in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,..,N} der N = 785 Hühnereier Ji überdecken. Im konkreten Fall hat man im Zuge des praktizierten Monte-CarloExperiments auf einem vorab vereinbarten Konfidenzniveau von 0,95 insgesamt neun „vertrauenswürdige“ und eine „nicht vertrauenswürdige“ Intervallschätzung für den unbekannten Mittelwert zu konstatieren. h
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Beispiel 7.2.2-3: Unschärfeproblem Motivation. Ist man im Kontext einer statistischen Mittelwertanalyse daran interessiert, eine realisierte, jedoch recht unscharfe Intervallschätzung hinsichtlich ihrer „Genauigkeit“ zu verbessern, so ergeben sich die folgenden Möglichkeiten: Entweder man wählt ein niedrigeres Konfidenzniveau 1 D und/oder man vergrößert den Stichprobenumfang n. Konfidenzniveau. So hätte man in Anlehnung an das Beispiel 7.2.2-1 zum Beispiel anhand der ersten realisierten Zufallsstichprobe vom Umfang n = 12 Hühnereier für ein im Voraus festgelegtes Konfidenzniveau von 1 D = 0,9 wegen D = 1 – 0,9 = 0,1 (analog zum Beispiel 7.1.3-1) mittels der Quantilsfunktion IDF.T(p, df) ein Quantil der Ordnung p = 1 D/2 = 1 – 0,1/2 = 0,95 einer STUDENT t-Verteilung mit df = n – 1 = 12 – 1 = 11 Freiheitsgraden von t0,95, 11 = IDF.T(0.95, 11) = 1,796 ermittelt und darauf aufbauend ein realisiertes 90 %-Konfidenzintervall [vu, vo] für das unbekannte durchschnittliche Gewicht P aller N = 785 Hühnereier mit vu = 64,5 g – 1,7961,18 g # 62,38 g vo = 64,5 g + 1,7961,18 g # 66,62 g geschätzt. Offensichtlich verspricht diese Strategie wenig Erfolg, zumal man stets bestrebt ist, Intervallschätzungen eher auf einem höheren als auf einem niedrigeren Vertrauensniveau 1 D zu bewerkstelligen. Eine Verringerung des Konfidenzniveaus um (0,95 0,90)100 % = 5 Prozentpunkte würde im konkreten Fall die „Unschärfe“ der 90 %-Konfidenzintervallschätzung im Vergleich zum realisierten 95 %-Konfidenzintervall von [61,91 g, 67,09 g] lediglich um (67,09 g 61,91 g) (66,62 g – 62,38 g) = 0,94 g reduzieren können. Stichprobenumfang. Geht man einmal von der theoretischen (und streng genommen unrealistischen) Annahme aus, dass die „wahre“ Standardabweichung der Hühnereiergewichte von V = 4,76 g in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller N = 785 Hühnereier Ji bekannt ist, dann kann man zeigen, dass für die Konstruktion eines realisierten Konfidenzintervalls über den (als unbekannt angenommen) Erwartungswert E(X) = P nicht das Quantil tp,df einer tVerteilung, sondern das Quantil zp der Standardnormalverteilung N(0, 1) relevant ist. Für ein vorgegebenes Konfidenzniveau von 1 D = 0,95 würde sich nunmehr die Länge L des realisierten Konfidenzintervalls wegen 4,76 V L = 2 zp 2 1,96 | 5,39 n 12 auf etwa 5,4 g belaufen. Dabei bezeichnet gemäß Beispiel 6.5.2-4 z0,975 = IDF.NORMAL(0.975, 0, 1) # 1,96 das Quantil der Ordnung p = 1 D/2 = 0,975 der Standardnormalverteilung N(0, 1). Möchte man die Genauigkeit bzw. die „Schärfe“ dieser Intervallschätzung in dem Maße erhöhen, dass sich die Länge L des realisierten und stets sym-
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metrischen Konfidenzintervalls bestenfalls auf L = 2 g beläuft, also die Intervallgrenzen vu und vo gleichsam jeweils um ein Gramm nach oben und nach unten vom Stichprobenmittel x 64,5 g abweichen, so wäre unter den gegebenen Bedingungen wegen 2
ª 2 1,96 4,76 g º L 2 g und n t « » | 87 2g ¬ ¼ mindestens eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 87 Hühnereier erforderlich, um ein 95 %-Konfidenzintervall für das unbekannte Durchschnittsgewicht P (bei einer als bekannt angenommenen Standardabweichung V) aller N = 785 Hühnereier mit der gewünschten „Unschärfespannweite“ von höchstens 2 g zu schätzen. Dass die Erhöhung des Stichprobenumfangs n das einzig erfolgversprechende Konzept ist, um eine „genauere“ Intervallschätzung erzielen zu können, untermauert letztlich auch das realisierte 95 %-Konfidenzintervall für das unbekannte Durchschnittsgewicht von [61,91 g, 63,97 g] aus der Tabelle 7.2.2-2, das auf der Grundlage einer realisierten reinen Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 Hühnereier aus der statistischen Grundgesamtheit der N = 785 Hühnereier auf der Grundlage eines Stichprobenmittelwertes von x = 62,94 g und eines Stichprobenstandardfehlers von 5,17 g sx # 0,52 g 100 geschätzt wurde. 4,76 g 2 1,96 n
Tabelle 7.2.2-2: Realisiertes 95 %-Konfidenzintervall, Basis: n = 100
Paradoxon. In diesem Zusammenhang sei noch auf eine scheinbare Widersinnigkeit hingewiesen, die erfahrungsgemäß nicht immer sofort einleuchtet. Für Zufallsstichproben gleichen Umfangs und ihrer Verwendung für Intervallschätzungen gilt allgemein die folgende Regel: Je höher man im Vorfeld einer Intervallschätzung ein Konfidenzniveau wählt, um so „sicherer“ werden Intervallschätzungen im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne. Je „sicherer“ Intervallschätzungen sind, desto „unschärfer“ werden sie. Dieses scheinbare Paradoxon (lat.: paradoxus o widersinnig) leuchtet spätestens dann ein, wenn man sich auch hier in Anlehnung an die Abbildung 7.2.2-1 der Metapher von der lästigen Fliege bedient, die es alternativ entweder mit einem Pfeil oder mit einer Fliegenklatsche zu töten gilt. h
Statistische Induktion
233
Beispiel 7.2.2-4: Realisiertes Konfidenzintervall für einen Anteil Motivation. In der empirischen Wirtschaftsforschung und in der Marktforschung ist man oft an der Schätzung eines unbekannten Anteils S (lies: Klein-Pi) aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N interessiert etwa derart, dass man zum Beispiel den „wahren“, jedoch unbekannten Anteil S der Kunden in einer endlichen und hinsichtlich ihres Umfanges N nicht näher bestimmten, jedoch umfangreichen statistischen Grundgesamtheit * von Kunden Ji, die mit einem bestimmten Produkt und/oder mit einer bestimmten Leistung zufrieden bzw. unzufrieden sind, „abschätzen“ möchte. Fasst man im deskriptiven Sinne die Kundenzufriedenheit als ein dichotomes Erhebungsmerkmal X(Ji) = xi auf, dessen dichotome Zustandsmenge ; = {[1 = unzufrieden, [2 = zufrieden} durch die beiden Zufriedenheitsaussagen definiert ist, so ist es im stochastischen Sinne gleichsam möglich und sinnvoll, die Kundenzufriedenheit X(Ji) = xi eines zufällig ausgewählten und befragten Kunden Ji wegen [ 0 für unzufrieden X( J i ) x i ® 1 ¯[ 2 1 für zufrieden als eine diskrete und zweipunktverteilte Zufallsgröße X zu deuten, die über einer so genannten dichotomen und 0-1-kodierten endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} definiert ist. Anteil. Im Kontext dieser Betrachtungen lässt sich zeigen, dass das arithmetische Mittel einer Folge von 0-1-kodierten Größen ein Anteil ist. Anteil Ist X(Ji) = xi {0, 1} ein dichotomes und 0-1-kodiertes Erhebungsmerkmal bzw. eine diskrete und 0-1-verteilte Zufallsgröße, das bzw. die über einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N bzw. über einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n < N definiert ist, dann kennzeichnet das arithmetische Mittel 1 N 1 n S ¦ x i bzw. p n ¦ xi N i1 n i1 den Anteil S bzw. den Stichprobenanteil pn der Merkmalsträger Ji mit der Ausprägung X(Ji) = xi = 1 in der statistischen Grundgesamtheit * aller N Merkmalsträger Ji bzw. aller n Merkmalsträger Ji in der Zufallsstichprobe *n.
Approximationsbedingung. Mit Hilfe der Grenzwertsätze und des schwachen Gesetzes großer Zahlen, die im Kontext des Abschnittes 6.6 inhaltlich kurz erläutert wurden, kann man theoretisch begründen, dass es unter bestimmten und zu beachtenden Einschränkungen möglich und sinnvoll ist, für ein vorab vereinbartes Konfidenzniveau 1 D ein realisiertes Konfidenzintervall für einen „wahren, jedoch unbekannten“ Anteil S aus einer dichotomen und 0-1-kodierten sta-
234
Statistische Induktion
tistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N gemäß Abbildung 7.2.2-3 zu konstruieren. Die einschränkenden Bedingungen in Gestalt so genannter Approximationsbedingungen (lat.: approximare o annähern) können wie folgt zusammengefasst werden: Approximationsbedingungen Auf einem vereinbarten Konfidenzniveau von 1 D ist gemäß Abbildung 7.2.2-3 die Konstruktion eines realisierten Konfidenzintervalls für einen unbekannten Anteil S aus einer dichotomen und 0-1-kodierten statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n näherungsweise möglich, wenn für den Auswahlsatz A = n/N d 0,05 und für den Stichprobenumfang n > 300 gilt.
Anteilsschätzung. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Parkhausnutzer.sav, die auf einer Befragung von n = 1000 voneinander unabhängig und zufällig ausgewählten Nutzern von Berliner Parkhäusern im Jahr 2006 basiert, soll der unbekannte Anteil S in der endlichen und hinsichtlich ihres Umfangs N nicht näher spezifizierten statistischen Nutzer-Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von Berliner Parkhäuser geschätzt werden, die mit dem Parkhausinneren insgesamt zufrieden sind. Die Tabelle 7.2.2-3 beschreibt die empirische Häufigkeitsverteilung der n = 967 statistisch auswertbaren und „gültigen“ nutzerspezifischen Zufriedenheitsaussagen. Tabelle 7.2.2-3: Häufigkeitstabelle „Nutzerzufriedenheit“ Häufigkeit Gültig
Fehlend Gesamt
unzufrieden zufrieden Gesamt System
431 536 967 33 1000
Prozent
Gültige Prozente
43,1 53,6 96,7 3,3 100,0
44,6 55,4 100,0
Aufgrund dessen, dass die Variable Zufrieden, welche die dichotomen Zufriedenheitsaussagen der befragten Parkhausnutzer beschreibt, wobei die Kodierung 0 für unzufrieden und die Kodierung 1 für zufrieden steht, als eine dichotome und 0-1-kodierte Zufallsgröße X aufgefasst werden kann, deutet man die „auswertbare“ realisierte und 0-1-kodierte Zufallsstichprobe {X(Ji) = xi (0, 1), i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 967 > 300 als eine repräsentative Teilmenge aus einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N}, die gemäß der Auswahlsatzbedingung 967/N d 0,05 aus mindestens N t 967/0,05 = 19340 Parkhausnutzern Ji bestehen müsste, was für die „Berliner Verhältnisse“ durchaus als realitätsnah anzusehen ist. Aufgrund dessen, dass im konkreten Fall die Approximationsbedingungen für eine Anteilsintervallschätzung als erfüllt angesehen
Statistische Induktion
235
werden können, ist es gemäß Abbildung 7.2.2-3 möglich und sinnvoll, ein realisiertes Konfidenzintervall für den „wahren, jedoch unbekannten“ Anteil S zufriedener Parkhausnutzer in der Grundgesamtheit aller Nutzer von Berliner Parkhäusern zu konstruieren. In der Tabelle 7.2.2-4 sind die Ergebnisse der zufallsstichprobenbasierten Anteilsintervallschätzung für ein vereinbartes Konfidenzniveau von 1 D = 0,95 zusammengefasst. Tabelle 7.2.2-4: Realisiertes 95 %-Konfidenzintervall für einen Anteil
Punktschätzung. Da insgesamt 536 der befragten Parkhausnutzer angaben, mit dem Parkhausinneren insgesamt zufrieden zu sein, ergibt sich ein Stichprobenanteilswert von pn = 536/967 # 0,5543, der als Schätzwert für den Anteil S in der Grundgesamtheit * verwendet wird. Demnach gaben 55,4 % aller befragten Parkhausnutzer an, mit dem Parkhausinneren insgesamt zufrieden zu sein. Konfidenzintervall. Aufgrund dessen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der „wahre“ Anteil S zufriedener Parkhausnutzer in der statistischen Grundgesamtheit aller Nutzer von Berliner Parkhäusern sich auf „genau“ 0,5543 beläuft, streng genommen null ist, gilt es im induktiven Sinne, diese „sehr unwahrscheinliche“ Punktschätzung durch eine „vertrauenswürdigere“ Intervallschätzung zu ersetzen, die gemäß Tabelle 7.2.2-4 auf einem Konfidenzniveau von 0,95 durch die Intervallgrenzen [0,523, 0,586] gekennzeichnet ist. Interpretation. Diese in der Fachsprache auch als statistische Hochrechnung bezeichnete Intervallschätzung für einen unbekannten Anteil S kann wie folgt interpretiert werden: Unter den gegebenen Bedingungen ist es recht sicher, dass der wahre, jedoch unbekannte Anteil S von Parkhausnutzern Ji, die mit dem Parkhausinneren insgesamt zufrieden sind, in der bezüglich ihres Umfangs N nicht näher spezifizierten statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller Nutzer von Berliner Parkhäusern zwischen 52,3 % und 58,6 % liegt. Unschärfeproblem. Da sich die Breite des realisierten 95 %- Konfidenzintervalls auf (0,586 – 0,523)100 % | 6,3 % Prozentpunkte beläuft, hat man mit dieser Intervallschätzung eine alles in allem noch recht „unscharfe“ Anteilsschätzung bewerkstelligt. Eine „genauere“ Anteilsintervallschätzung hat allerdings ihren Preis: Sie ist letztlich nur über einen größeren Stichprobenumfang n zu verwirklichen, der erfassungsstatistisch zweifelsfrei mit einem höheren Zeit- und Kostenaufwand verbunden ist. h
236
7.3
Statistische Induktion
Testverfahren
Motivation. Die Testtheorie ist das Teilgebiet der Induktiven Statistik, das die theoretischen Grundlagen und die mathematisch-statistischen Verfahren zum Prüfen von Hypothesen über unbekannte Verteilungen und/oder ihrer Parameter auf der Basis von Zufallsstichproben zum Gegenstand hat. Grundidee. Die Grundidee eines statistischen Tests besteht darin, statistische Vermutungen, Annahmen oder Behauptungen über Parameter und/oder Verteilungen, die für eine (oder mehrere) endliche statistische Grundgesamtheit(en) definiert sind und die in Gestalt von Hypothesen formuliert werden, mit Hilfe einer (oder mehrerer) Zufallsstichprobe(n) auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D zu überprüfen. Eine Testentscheidung wird dabei auf der Grundlage des so genannten p(robability)-value-Konzepts bewerkstelligt, das im Vergleich eines vorab vereinbarten Signifikanzniveaus D mit einem empirischen Signifikanzniveau D* kulminiert. Klassifikation. In PASW Statistics ist eine breite Palette von statistischen Testverfahren implementiert, die zum einen in so genannte parametrische und nichtparametrische und zum anderen in so genannte Ein-Stichproben-, ZweiStichproben- und k-Stichproben-Tests klassifiziert werden. Verfahrensübersicht. In der Tabelle 7.3-1 sind der Übersichtlichkeit halber ausgewählte statistische Testverfahren zusammengestellt, die sowohl in PASW Statistics implementiert sind als auch im Rahmen dieses Lehrbuches im Kontext praktischer Problemstellungen erläutert, appliziert und interpretiert werden. Tabelle 7.3-1: Verfahrensübersicht Ein-Stichproben-Verfahren Chi-Quadrat-Anpassungstest KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Zwei-Stichproben-Verfahren t-Test für zwei unabhängige Stichproben Varianzhomogenitätstest nach LEVENE k-Stichproben-Verfahren Einfaktorielle Varianzanalyse Post-Hoc-Mittelwerttests Entscheidungsbaum CHAID-Verfahren
Abschnitt 7.3.2 Abschnitt 7.3.3 Abschnitt 8.1.2 Abschnitt 7.3.4 Abschnitt 7.3.4 Abschnitt 7.3.5 Abschnitt 7.3.5 Abschnitt 8.1.3
Zum Zwecke einer besseren Orientierung sind zudem die Lehrbuchabschnitte vermerkt, in denen die Testverfahren realdatenbasiert und paradigmatisch demonstriert werden. h
Statistische Induktion
237
7.3.1 Aufbau eines statistischen Tests Motivation. In der statistischen Methodenlehre bezeichnet man ein zufallsstichprobenbasiertes Verfahren zur wahrscheinlichkeitstheoretischen Überprüfung statistischer Hypothesen (grch.: hypothesis o Unterstellung) als einen statistischen Test (lat.: testari o bezeugen, engl.: test o Probe, Prüfung). Die mit Hilfe eines statistischen Tests zu überprüfenden Hypothesen in Gestalt von statistischen Behauptungen und/oder statistischen Vermutungen unterteilt man dabei in so genannte Ausgangs- oder Nullhypothesen H0 und in so genannte Gegen- oder Alternativhypothesen H1. Im Ensemble statistischer Tests kommt den so genannten Signifikanztests (lat.: significans o bedeutsam, wesentlich) eine besondere praktische Bedeutung zu. Dabei bezeichnet man ein statistisches Prüfverfahren, mit dessen Hilfe man auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau D überprüft, ob ein Zufallsstichprobenbefund wesentlich von einer formulierten Nullhypothese H0 abweicht, als einen Signifikanztest. Analog zu anderen einschlägigen Software-Paketen wird auch in PASW Statistics letzten Endes eine Testentscheidung über den Vergleich eines vorab vereinbarten Signifikanzniveaus D mit einem so genannten empirischen Signifikanzniveau D* bewerkstelligt, das unter Einbeziehung des theoretischen Prüfverteilungsmodells, das dem statistischen Test zugrunde liegt, aus dem empirischen Zufallsstichprobenbefund ermittelt wird. Grundbegriffe. Für das Verständnis eines statistischen Signifikanztests sind die nachfolgend skizzierten Grundbegriffe von theoretischer und praktischer Bedeutung: Signifikanzniveau Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Signifikanztest eine formulierte Nullhypothese H0 abzulehnen, obgleich sie wahr ist, heißt Signifikanzniveau D. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs eines Signifikanzniveaus erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonyme. Ein Signifikanzniveau D (lies: Klein-Alpha) wird synonym auch als Irrtumswahrscheinlichkeit, Fehler erster Art oder D-Fehler bezeichnet. ii) Vorgabe. Bei einem Signifikanztest wird ein Signifikanzniveau D stets vorgegeben bzw. vorab vereinbart. In praxi ist man bestrebt, ein Signifikanzniveau D möglichst klein zu wählen. Üblich sind die Werte D = 0,10, D = 0,05 bzw. D = 0,01. iii) Interpretation. Die Interpretation eines Signifikanzniveaus D als eine Irrtumswahrscheinlichkeit resultiert aus der Möglichkeit, im Zuge einer Testentscheidung beim Verwerfen einer Nullhypothese H0 einem Irrtum zu unterliegen, der darin besteht, eine Nullhypothese H0 zu verwerfen, obgleich sie richtig ist. iv) Komplementärwahrscheinlichkeit. Die zur Irrtumswahrscheinlichkeit D gehörende Komplementärwahrscheinlichkeit 1 D darf im Kontext eines Signifikanztests nicht als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet werden, dass eine Testentscheidung richtig ist. Sie ist streng genommen nur als Komplementärwahrscheinlichkeit zu einem vorab festgelegten bzw. vereinbarten Signifikanzniveau D definiert. i
238
Statistische Induktion
Empirisches Signifikanzniveau Die Irrtumswahrscheinlichkeit, die man bei einem Signifikanztest riskiert, wenn man aufgrund eines Zufallsstichprobenbefundes eine formulierte Nullhypothese H0 ablehnt, obgleich sie wahr ist, heißt empirisches Signifikanzniveau D*. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs eines empirischen Signifikanzniveaus erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonyme. Ein empirisches Signifikanzniveau D* wird synonym auch als Signifikanz, Alpha*, p-Wert oder p(robability)-value bezeichnet. ii) Semantik. In PASW Statistics wird der Begriff Signifikanz synonym zum Begriff empirisches Signifikanzniveau verwandt. Da dies aus statistisch-methodischer Sicht missverständlich sein kann und semantisch streng genommen nicht exakt ist, wurde im Kontext des vorliegenden Lehrbuchs an Stelle des Begriffs Signifikanz der Begriff empirisches Signifikanzniveau vereinbart und mit dem Symbol D* belegt. Das Attribut empirisch erklärt sich daraus, dass das Signifikanzniveau unter Annahme eines Verteilungsgesetzes bzw. einer Prüfverteilung aus dem (bzw. den) empirisch gewonnenen Zufallsstichprobenbefund(en) berechnet bzw. entlehnt wird. i
Testentscheidung. Unabhängig davon, welchen statistischen Signifikanztest man in PASW Statistics praktiziert, es gilt stets die folgende Testentscheidung: Testentscheidung Ist im Kontext eines Signifikanztests ein empirisches Signifikanzniveau D* kleiner oder gleich einem vorgegebenen Signifikanzniveau D, dann wird die Nullhypothese H0 verworfen und die Alternativhypothese H1 angenommen. Ansonsten wird die Nullhypothese H0 beibehalten. Hinweise. Für das Verständnis des Begriffs einer statistischen Testentscheidung auf der Grundlage des so genannten p-value-Konzepts erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Interpretation. Für den Fall, dass D* d D gilt, sagt man auch: Das Testergebnis ist statistisch signifikant bzw. wesentlich (zum vorab vereinbarten Signifikanzniveau D). Gilt D* > D, dann sagt man: Das Testergebnis ist statistisch nicht signifikant bzw. nicht wesentlich (zum vorab vereinbarten bzw. festgelegten Signifikanzniveau D). ii) Wahrscheinlichkeitsaussage. Bei einem statistischen Signifikanztest ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage nur möglich und sinnvoll, wenn eine Nullhypothese H0 verworfen werden muss. Gibt es keinen Anlass, im Zuge eines statistischen Signifikanztests eine Nullhypothese H0 zu verwerfen, so heißt dies nicht, dass die Nullhypothese H0 richtig ist, sondern nur, dass es auf Grund des praktizierten statistischen Tests keinen Anlass gibt anzunehmen, dass die Nullhypothese H0 falsch ist. Mehr nicht! Streng genommen ist das Nicht-Verwerfen einer Nullhypothese H0 bei einem Signifikanztest keine echte Entscheidung. Man übt vielmehr „Stimmenthaltung“ bzw. entscheidet „aus Mangel an Abweichungen“ zugunsten einer Nullhypothese H0, ohne allerdings ihre „Richtigkeit“ statistisch nachweisen zu können. iii) Signifikanz. Beachtenswert ist dabei, dass man mit Hilfe eines Signifikanztests lediglich erkennen kann, ob ein Testergebnis im statistischen Sinne bedeutungsvoll ist. Statistische Signifikanz ist dabei nicht mit Notwendigkeit damit gleichzusetzen, dass ein statistisches Testergebnis auch unter sachlogischen Gesichtspunkten signifikant, bedeutend oder wesentlich ist. i
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239
Arbeitsschritte. Die zu bewerkstelligenden Arbeitsschritte im Kontext eines statistischen Signifikanztests lassen sich wie folgt zusammenfassen: Arbeitsschritte 1. Arbeitsschritt: Aufstellung einer Nullhypothese H0 und einer Alternativhypothese H1 sowie Festlegung eines Signifikanzniveaus D. 2. Arbeitsschritt: In Abhängigkeit vom Signifikanztest, der praktiziert werden soll, sind eine oder mehrere Zufallsstichproben zu ziehen und diese statistisch auswerten. 3. Arbeitsschritt: Eine Testentscheidung über den Vergleich eines vorab vereinbarten Signifikanzniveaus D mit einem empirisch ermittelten Signifikanzniveau D* herbeiführen und das Testergebnis sowohl statistisch als auch sachlogisch interpretieren. Hinweise. Im Hinblick auf die drei skizzierten Arbeitsschritte, die es im Kontext bzw. im Ablauf eines zu praktizierenden statistischen Signifikanztests einzuhalten gilt, sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Hypothesen. Für das Formulieren einer Nullhypothese H0 und einer Alternativhypothese H1 im Kontext eines statistischen Signifikanztests gilt der folgende Grundsatz, auf dessen statistisch-methodische und/oder theoretische Begründung hier nicht näher eingegangen wird: Soll mit Hilfe eines Signifikanztests die statistische Überprüfung einer Behauptung erfolgen, so sollte in der Nullhypothese H0 die Negation dieser Behauptung formuliert werden. Die Behauptung gilt dann auf einem Signifikanzniveau D als statistisch überprüft, bedeutungsvoll, nachweisbar, wenn die Nullhypothese H0 abgelehnt und vereinbarungsgemäß die Alternativhypothese H1 akzeptiert wird. ii) Testvoraussetzungen. In die statistische Auswertung eines Zufallsstichprobenbefundes ist stets auch die Überprüfung der Testvoraussetzungen einzuschließen. Können für einen vorliegenden Zufallsstichprobenbefund die Testvoraussetzungen nicht als erfüllt angesehen werden, dann ist das Praktizieren des statistischen Tests aus statistisch-methodischer Sicht nicht zulässig. Im Falle nicht erfüllter Testvoraussetzungen sind die Testergebnisse nicht bzw. nur bedingt gültig und praktisch verwertbar. iii) Interpretation. Im Kontext der Interpretation eines Testergebnisses ist stets zwischen der statistischen Signifikanz und der sachlogischen Bedeutung zu unterscheiden. Wohl kann ein Testergebnis statistisch signifikant, jedoch ökonomisch irrelevant sein. Die Umkehrung ist gleichsam möglich: Ein nicht signifikantes Testergebnis kann durchaus aus ökonomischer Sicht relevant sein. i
Klassisches Testkonzept. Im Unterschied zum p-value-Konzept, das für alle in PASW Statistics implementierten Signifikanztest gilt und das stets auf einen Vergleich eines vorgegebenen Signifikanzniveaus D mit einem empirischen Signifikanzniveau D* hinausläuft, kann ein statistischer Signifikanztest stets auch auf klassischem Wege praktiziert werden, der analog zum Beispiel 7.3.2-2 letztlich in einem Vergleich eines empirischen Testvariablenwertes, der aus einem Zufallsstichprobenbefund berechnet wird, mit einem Schwellenwert kulminiert, der seinem Wesen nach ein Quantil einer statistischen Prüfverteilung ist. h
240
Statistische Induktion
7.3.2 Chi-Quadrat-Anpassungstest Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung kommt dem Prüfen von Verteilungshypothesen für ein beliebig skaliertes statistisches Erhebungsmerkmal eine besondere praktische Bedeutung zu. Ein Verfahren, das in der angewandten Statistik nicht nur zur Überprüfung einer Verteilungshypothese eine breite Anwendung findet, sondern sich aus statistisch-methodischer Sicht zudem bestens eignet, die „methodische Finsternis“ der statistischen Induktion zu erleuchten, ist der so genannte Chi-Quadrat-Anpassungstest. Chi-Quadrat-Anpassungstest Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist ein nichtparametrischer Ein-StichprobenTest, mit dem man auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D mittels einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n < N prüft, ob ein theoretisches Verteilungsmodell zur Beschreibung der „wahren, jedoch unbekannten“ empirischen Verteilung eines beliebig skalierten statistischen Erhebungsmerkmals X(Ji) genutzt werden kann, das über einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N definiert ist. Hinweise. Für die Applikation eines F²-Anpassungstests (lies: Chi-Quadrat-Anpassungstest) erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Anpassungstest. Das statistische Verfahren eines Anpassungstest (engl.: goodness of fit test) zielt darauf ab, zu überprüfen, ob ein theoretisches Verteilungsmodell (etwa in Gestalt einer Gleichverteilung, einer Binomialverteilung, einer POISSON-Verteilung, einer Normalverteilung oder einer Exponentialverteilung) als ein geeignetes „Verteilungsgesetz“ für eine empirische Verteilung eines Erhebungsmerkmals X bzw. einer Zufallsgröße X angesehen werden kann. Man testet gewissermaßen, ob und inwieweit ein theoretisches Verteilungsmodell auf eine empirische Verteilung „passt“. ii) F²-Verteilung. Die Bezeichnung „F²-Anpassungstest“ resultiert aus dem Umstand, dass für diesen Anpassungstest das theoretische Verteilungsmodell einer F²-Verteilung als Prüf- bzw. Testverteilung fungiert. Das theoretische Verteilungsmodell einer F²-Verteilung wird im Kontext des Beispiels 7.3.2-2 skizziert und erläutert. iii) Testvoraussetzung. Für die unter einer Nullhypothese H0 theoretisch zu erwartenden absoluten Häufigkeiten ne(X = [j) = nej (j = 1,2,...,m) sollte stets nej t 5 gelten, solange m d 8 gilt. Sobald m > 8 gilt, ist es ausreichend, wenn nej t 1 gilt. Die sich wohl voneinander unterscheidenden Ausprägungen bzw. Realisationen [j ; (j = 1,2,...,m) des Erhebungsmerkmals X bzw. der Zufallsgröße X sind ein Element der zugehörigen Zustands- oder Ergebnismenge ; = {[j, j = 1,2,...,m} und können im konkreten Fall auch als Merkmalswerteklassen bzw. Klassen von reellwertigen Realisationen in Erscheinung treten. Für den Fall, dass die Testvoraussetzung nicht gegeben ist, fasst man die jeweiligen Ausprägungen, Realisationen oder Klassen solange zusammen, bis die Testvoraussetzung erfüllt ist. iv) Spezifikation. In Abhängigkeit davon, ob man bei der Formulierung einer Verteilungshypothese für ein Erhebungsmerkmal X bzw. eine Zufallsgröße X Kenntnisse (in Gestalt von vermuteten, angenommenen bzw. bekannten Werten) über die wahren Verteilungsparameter in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} besitzt oder nicht, unterscheidet man zwischen ei-
Statistische Induktion
241
nem vollständig oder einem unvollständig spezifizierten Verteilungstest. Bei einem unvollständig spezifizierten Verteilungstest schätzt man aus einem Zufallsstichprobenbefund die unbekannten Verteilungsparameter zum Beispiel nach dem Kleinste-QuadratePrinzip oder nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip. Diese „Unkenntnis“ hat allerdings ihren Preis: Sie ist im Allgemeinen mit einer Reduktion der für eine Testentscheidung erforderlichen Freiheitsgrade df und letztlich mit der Minderung der Wirksamkeit eines Verteilungstests verbunden. v) Freiheitsgrade. Für ein vollständig spezifiziertes Verteilungsmodell gilt für die Anzahl der Freiheitsgrade df = m – 1. Für ein unvollständig spezifiziertes Verteilungsmodell bestimmt man die Anzahl der Freiheitsgrade mit Hilfe der Beziehung df = m – r – 1. Der Parameter r beschreibt die Anzahl der Verteilungsparameter, die aus einem Zufallsstichprobenbefund zu schätzen sind. So beläuft sich zum Beispiel die Anzahl r der zu schätzenden Verteilungsparameter bei einer unvollständig spezifizierten Normalverteilung wegen N(P, V) auf r = 2 und für eine unvollständig spezifizierte Poisson-Verteilung wegen Po(O) auf r = 1. i
Beispiel 7.3.2-1: Chi-Quadrat-Anpassungstest auf eine Gleichverteilung Motivation. Um seine Studenten mit der Grundidee eines statistischen Signifikanztests im Allgemeinen und eines Anpassungstests im Speziellen vertraut zu machen, führt ein Statistik-Professor gemeinsam mit seinen Studenten in einer Vorlesung das folgende Zufallsexperiment durch: Ein gewöhnlicher sechsseitiger Spielwürfel wird von Vorlesungsteilnehmern unabhängig voneinander und unter gleichen Versuchsbedingungen (etwa mittels eines Würfelbechers und einer festen Unterlage) jeweils einmal geworfen und die erzielte Augenzahl notiert. Grundgesamtheit und Zufallsstichprobe. Fasst man im Kontext des betrachteten Zufallsexperiments einen „Würfelwurf“ als den Merkmalsträger J auf, für den jeweils die „oben erscheinende“ Augenzahl X(J) statistisch erhoben wird, dann ist die statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} durch eine nicht näher bestimmte endliche Menge von N Würfen gekennzeichnet. Das praktizierte Zufallsexperiment, das vereinbarungsgemäß aus n = 60 voneinander unabhängigen und gleichartigen Wurfversuchen Ji bestehen soll, kann dabei als eine reine Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 60 Würfe und die Urliste der erfassten Augenzahlen {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} als eine realisierte reine Zufallsstichprobe von n = 60 statistisch erfassten Augenzahlen X(Ji) = xi ; gedeutet werden. Die Zustandsmenge ; = {[ mit [ = 1,2,...,6} des diskreten statistischen Erhebungsmerkmals X: Augenzahl ist dabei durch die Menge der natürlichen Zahlen von eins bis sechs gekennzeichnet. Zufallsgröße. Aufgrund dessen, dass im konkreten Fall die Zustandsmenge ; = {[ mit [ = 1, 2, 3, 4, 5, 6} des diskreten Erhebungsmerkmals X identisch ist mit der Ergebnismenge :
des in Rede stehenden Zufallsexperiments „einmaliges Werfen eines Würfels“, kann das Zufallsexperiment des einmaligen Würfelns auch mittels einer diskreten
242
Statistische Induktion
Zufallsgröße X beschrieben werden, die selbst als eine Abbildung X : : o R und [ : Z o j mit j = 1,2,...,6 und m = 6 der Ergebnismenge : in die Menge der reellen Zahlen R definiert ist und mit A := {Z : : X(Z) = [} = {X = [} ein zufälliges Ereignis A beschreibt, das darin besteht, dass die diskrete Zufallsgröße X „genau“ den Wert [ annimmt, also dass beim einmaligen Würfeln die Augenzahl [ „oben“ erscheint. Diese wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung ist identisch mit der deskriptiven Betrachtung, wonach mit A := {J * : X(J) = [} = {X = [} ein (stets zufallsbedingtes) Würfelergebnis A beschrieben wird, das darin besteht, dass bei einem Würfelwurf J die zugehörige Augenzahl X(J) genau durch den Wert [ ; = {1,2,...,6} gegeben ist. Testproblem. Da man keinerlei Kenntnis über die Beschaffenheit des Spielwürfels besitzt, man also nicht weiß, ob er „ideal“ oder „gezinkt“ ist, bleibt einem keine andere Wahl, als das in Rede stehende und zugleich in der Abbildung 7.3.2-1 plakatierte Testproblem mit Hilfe eines Zufallsexperiments einer Lösung zuzuführen, indem man gleichsam wie ein „statistischer Detektiv“ mit Hilfe eines geeigneten statistischen Testverfahrens anhand eines vorliegenden Zufallsstichprobenbefundes {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n} von n = 60 gewürfelten Augenzahlen X(Ji) = xi bestrebt ist, die Nullhypothese H0: „Der Würfel ist ideal.“ gegen die Alternativhypothese H1: „Der Würfel ist gezinkt.“ auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 zu überprüfen. Abbildung 7.3.2-1: Testproblem
Für den Fall, dass die Nullhypothese „wahr“, also der Würfel „ideal“ ist, hat bei einem Wurf theoretisch jede der m = 6 voneinander verschiedenen und möglichen Augenzahlen [j aus der Menge : { ; = {[j = j; j = 1, 2, ..., m} eine gleiche Chance (frz.: chance o Glücksfall), aufzutreten. Gleichverteilung. Gemäß dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff nach LAPLACE, der im Kontext des Abschnittes 6.2. inhaltlich skizziert wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Werfen eines „idealen“ Würfels die diskrete Zufallsgröße X: Augenzahl genau den Wert X = [j = j annimmt, also das Zufallsereignis {X = [j} eintritt, P({X = [j}) = P(X = [j) = n(X = [j)/n(:) = 1/6. Aufgrund dessen, dass allen m = 6 elementaren Zufallsereignissen in Gestalt einer Augenzahl {[j = j} eine gleiche Wahrscheinlichkeit P(X = [j) = 1/6 zukommt, kennzeichnet man das zugrunde liegende theoretische Verteilungsmodell
Statistische Induktion
243
der Zufallsgröße X: Augenzahl beim einmaligen Werfen eines idealen Würfels als eine diskrete Gleichverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße X ist in der Abbildung 7.3.2-2 mit Hilfe eines Balkendiagramms bildhaft dargestellt. Abbildung 7.3.2-2: Gleichverteilung Gleichverteilung H0: Der Würfel ist ideal, d.h. die Augenzahlen sind gleichverteilt.
Zufallsstichprobenbefund. Die Tabelle 7.3.2-1 beinhaltet die empirische Häufigkeitsverteilung, die auf der Grundlage einer realisierten reinen Zufallsstichprobe vom Umfang von n = 60 Würfen „beobachtet“ wurde und deren zugehörige Augenzahlwerte in der PASW Statistics Datendatei Würfeln.sav gespeichert sind. Tabelle 7.3.2-1: Empirische Häufigkeitsverteilung Augenzahl
1 2 3 4 5 6 Gesamt
Häufigkeit
Prozent
Kumulierte Prozente
8 13 14 8 11 6 60
13,3 21,7 23,3 13,3 18,3 10,0 100,0
13,3 35,0 58,3 71,7 90,0 100,0
Während in der ersten Tabellenspalte für die Zufallsgröße X: Augenzahl die Ergebnismenge : (bzw. die Zustandsmenge ;, die in diesem Falle mit : { ; = {[j = j; j = 1, 2, ..., 6} identisch sind) aufgelistet ist, bildet die zweite Tabellespalte die Grundlage zur Beschreibung der absoluten Häufigkeitsverteilung {([j, nj), j = 1,2,...,6} = {(1, 8), (2, 13),...,(6, 6)} des Zufallsstichprobenbefundes. In logischer Konsequenz bildet die dritte Spalte die Basis zur Beschreibung der prozentualen Häufigkeitsverteilung {([j, pj100 %), j = 1,2,...,6} = {(1, 13,3 %), (2, 21,7 %),...,(6, 10,0 %)},
244
Statistische Induktion
und die vierte Spalte die Basis zur zahlenmäßigen Beschreibung der empirischen Verteilungsfunktion {([j, Fj100 %), j = 1,2,...,6} = {(1, 13,3 %), (2, 35,0 %),...,(6, 100,0 %)} in Gestalt der kumulierten prozentualen Häufigkeiten. Die prozentuale Häufigkeitsverteilung und die prozentuale Summenhäufigkeitsverteilung sind in der Abbildung 7.3.2-3 in Form eines Balkendiagramms und einer empirischen Verteilungsfunktion grafisch dargestellt. Abbildung 7.3.2-3: Empirische Häufigkeitsverteilung und Verteilungsfunktion Erwartet: 16,7 %
FX(3) = 58,3 %
Interpretationen. Die Zeile der Ordnung j = 3 in der Augenzahlrubrik innerhalb der Tabelle 7.3.2-1 bzw. die Augenzahl [3 = 3 innerhalb der Abbildung 7.3.2-3 kann wie folgt interpretiert werden: Die Augenzahl [3 = 3 wurde nach n = 60 unabhängigen Würfen n3 = n(X = 3) = 14 mal beobachtet. Unter der Gleichverteilungshypothese H0 hätte die Augenzahl [3 = 3 jedoch ne3 = nP(X = 3) = 601/6 = 10 mal erscheinen müssen. Diese Aussage ist äquivalent zur folgenden Darstellung: Der Wert der empirischen Verteilungsfunktion FX der diskreten Zufallsgröße X an der Stelle [3 = 3 beläuft sich im konkreten Fall auf FX(3) = p(X d 3) = 0,583 bzw. 58,3 %. Unter der Nullhypothese H0 hätte man theoretisch an der Stelle [3 = 3 wegen FeX(3) = P(X d 3) = 3/6 = 0,5 einen Wert von 0,5 bzw. 50 % erwartet. Dies ist auch ein Grund dafür, warum man in der Induktiven Statistik anstelle der eingangs verbal formulierten Hypothesen in der Regel mittels der inhaltlich äquivalenten Symbolik H0: FX([j) = FeX([j) versus H1: FX([j) z FeX([j) notiert. Der augenscheinliche Vorteil dieser verteilungsfunktionsbasierten Notation liegt in ihrer Allgemeingültigkeit begründet, unabhängig davon, über welches diskrete bzw. stetige Verteilungsmodell man Hypothesen formuliert und zu prüfen wünscht. Gleich, welche Form der Formulierung von Verteilungshypothesen man bevorzugt, eines wird sowohl aus der Tabelle 7.3.2-1 als auch aus der
Statistische Induktion
245
Abbildung 7.3.2-3 deutlich: Die auf Grund des Zufallsexperiments beobachtete empirische Augenzahlverteilung weicht von der theoretisch erwarteten Gleichverteilung ab. Das jeweilige Ausmaß der Abweichung kann man sich auf zwei Wegen verdeutlichen: Erstens zahlenmäßig in Gestalt der Abweichung (nj nej) der BEOBACHTETen absoluten Häufigkeit nj von den unter der Gleichverteilungshypothese theoretisch ERWARTETen absoluten Häufigkeit nej, die der Tabelle 7.3.2-2 als Residuum (lat.: residuum o Rest) bezeichnet wird und zweitens grafisch anhand der Balken innerhalb der Abbildung 7.3.2-3, die augenscheinlich über- bzw. unterhalb der gestrichelten „Gleichverteilungslinie“ liegen. Chi-Quadrat-Anpassungstest. Die Frage, die es nunmehr mit Hilfe des ChiQuadrat-Anpassungstests zu beantworten gilt, ist, ob zum Beispiel auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 die beobachteten Abweichungen von einer Gleichverteilung noch „als das freie Spiel des Zufalls“ oder „als ein Indiz für einen gezinkten Würfel“ gedeutet werden können. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Würfeln.sav kann der zu praktizierende Chi-Quadrat-Anpassungstest auf eine diskrete Gleichverteilung am einfachsten via Sequenz 7.3.2-1 bewerkstelligt werden. Sequenz 7.3.2-1: Chi-Quadrat-Anpassungstest Analysieren Nichtparametrische Tests Alte Dialogfelder Chi-Quadrat... o Abbildung 7.2.3-4 Abbildung 7.3.2-4: Chi-Quadrat-Anpassungstest
Gleichverteilungshypothese
realisierte Zufallsstichprobe
Die Ergebnisse des praktizierten Chi-Quadrat-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung sind in den Tabellen 7.3.2-2 und 7.3.2-3 zusammengefasst.
246
Statistische Induktion
Tabelle 7.3.2-2: Testergebnis Testvariablenwert: F² = 5
Chi-Quadrata df (Freiheitsgrade) Asymptotische Signifikanz
Augenzahl 5,000 5 ,416
a. Bei 0 Zellen (,0%) werden weniger als 5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste Testvoraussetzung erwartete Zellenhäufigkeit ist 10,0.
df = 6 – 1 = 5
D* = 0,416
Testentscheidung. Wegen D* = 0,416 > D = 0,05 besteht gemäß der p-valuebasierten Entscheidungsregel kein Anlass, die eingangs verbal formulierte Nullhypothese H0: „Der Würfel ist ideal.“ auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 zu verwerfen. Aufgrund des praktizierten statistischen Tests kann davon ausgegangen werden, dass der benutzte Würfel ein „idealer“ und kein „gezinkter“ Spielwürfel ist. Beachtenswert ist dabei, dass man als „statistischer Detektiv“ mit dem praktizierten Zufallsexperiment und dem darauf beruhenden statistischen Anpassungstest allerdings keinen Nachweis erbracht hat, dass der Würfel auch wirklich „ideal“ ist. So, wie zum Beispiel ein Gericht „aus Mangel an Bewiesen“ von einer Unschuldsvermutung bzw. einer nicht bewiesenen Schuld eines Angeklagten ausgeht, so hält man in der Induktiven Statistik „aus Mangel an Abweichungen einer empirischen Verteilung von einer hypothetischen bzw. theoretischen Verteilung“ an der Nullhypothese H0 fest, ohne damit allerdings ihre „Richtigkeit oder Gültigkeit“ nachgewiesen zu haben. Tabelle 7.3.2-3: Ergebnistabelle empirisch beobachtete Verteilung
Augenzahl
Zustandsmenge
Gesamt
1 2 3 4 5 6
Beobachtet 8 13 14 8 11 6 60
Residuum = Beobachtet - Erwartet
Erwartet 10 10 10 10 10 10 60
Residuum -2 3 4 -2 1 -4 0
unter H0 erwartete (Gleich)Verteilung
Testvariablenwert. Einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen soll in diesem Zusammenhang das Grundprinzip eines F²-Anpassungstests auf dem so genannten „klassischen Weg“ demonstriert und erläutert werden. Unter
Statistische Induktion
247
Verwendung der Ergebnisse aus der Tabelle 7.3.2-3 errechnet man einen Testvariablenwert von m ( n n e )² (8 10)² (13 10)² (6 10)² j j F² ¦ ... 5, e nj 10 10 10 j 1 der gewissermaßen als ein standardisierter und aggregierter Wert für das Ausmaß der m = 6 residualen Abweichungen (nj – nej) der empirisch beobachteten absoluten Häufigkeiten nj von den unter der Nullhypothese H0 theoretisch erwarteten absoluten Häufigkeiten nej interpretiert werden kann und der bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: FX([j) = FeX([j) bzw. H0: FX([j) FeX([j) = 0 den Wert null annehmen müsste. Aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht lässt sich der Testvariablenwert F² als eine Realisation einer Zufallsgröße &² (lies: Groß-ChiQuadrat) deuten, die bei Gültigkeit der Nullhypothese H0 einer Chi-QuadratVerteilung mit df Freiheitsgraden genügt (vgl. Beispiel 7.3.2-2). Um aus induktiver Sicht eine Entscheidung darüber herbeiführen zu können, ob im konkreten Fall ein Testvariablenwert von F² = 5 als ein Indiz für einen „gezinkten“ Würfel anzusehen ist, vergleicht man den Testvariablenwert F² = 5 mit einem Quantil einer Chi-Quadrat-Verteilung, das als ein so genannter Schwellenwert für die „klassische“ Testentscheidung fungiert. Schwellenwert. Für ein vorab vereinbartes Signifikanzniveau von D = 0,05 berechnet man analog zum Beispiel 6.5.2-3 in PASW Statistics mit Hilfe der so genannten Quantilsfunktion IDF.CHISQ(p, df) ein Quantil F²0.95, 5 = IDF.CHISQ(0.95, 5) # 11,07 der Ordnung p = 1 D = 0,95 für eine F²-Verteilung mit df = m 1 = 5 Freiheitsgraden und verwendet es als den Schwellenwert für die Testentscheidung. Freiheitsgrade. Das nicht immer sofort einleuchtende und theoretisch nicht ganz so einfache Problem der für eine Testentscheidung verfügbaren Freiheitsgrade im Kontext eines Chi-Quadrat-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung kann man sich allerdings stark vereinfacht wie folgt verdeutlichen: Für das Zufallsexperiment wurden im Vorfeld n = 60 unabhängige Würfe Ji eines gleichen Würfels vereinbart und somit gleichsam der Umfang n der reinen Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} festgeschrieben. Gleich, wie man sich die Augenzahlen X(Ji) = xi dieser n = 60 Würfe Ji zufallsbedingt auf die Ergebnismenge : { ; = {[j = j; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} der m = 6 Augenzahlen verteilt denken mag (dies ist auch ein Grund dafür, warum man das Mengenkonstrukt {([j; n(X = [j)), j = 1,2,...,m} eine absolute Häufigkeitsverteilung nennt), man hat immer nur insgesamt m = 6 – 1 = 5 freiwählbare Möglichkeiten, für sie (zumindest gedanklich) beliebige Werte festzulegen. Hat man „in freier Wahl“ für fünf absolute Häufigkeiten n(X = [j) = nj jeweils einen beliebigen Wert festgelegt, etwa in Gestalt der Folge der natürlichen Zahlen {8, 13, 8, 11, 6}, die im konkre-
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Statistische Induktion
ten Fall identisch ist mit den ersten zwei und den letzten drei empirisch beobachteten absoluten Häufigkeiten nj aus der Tabelle 7.3.2-3, dann leuchtet es sofort ein, dass im konkreten Fall und unter den vereinbarten Bedingungen die absolute Häufigkeit n3 der Ordnung j = 3 „nicht mehr frei wählbar“ ist und wegen n3 = 60 – (8 + 13 + 8 + 11 + 6) = 14 nur noch den Wert 14 annehmen kann und muss. Dieser Vorgang des (zumindest gedanklich) freien Wählens von m – 1 Summanden bei einer festgelegten Summe aus m Summanden verdeutlicht exemplarisch den statistischen Begriff der df = 5 verfügbaren Freiheitsgrade (engl.: degrees of freedom). Testentscheidung. Im Zuge einer „klassischen“ statistischen Testentscheidung verwirft man im Kontext des praktizierten Chi-Quadrat-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung die Nullhypothese H0, sobald für ein vorab vereinbartes Signifikanzniveau D der Testvariablenwert F² den zugehörigen Schwellenwert F²p,df überschreitet, der seinem Wesen nach ein Quantil der Ordnung p = 1 D einer Chi-Quadrat-Verteilung mit df Freiheitsgraden ist. Da im konkreten Fall offensichtlich und augenscheinlich F² = 5 < F²0,95, 5 = 11,07 gilt, besteht kein Anlass, an der eingangs formulierten Nullhypothese eines „idealen“ Spielwürfels zu zweifeln. Abbildung 7.3.2-5: Klassische Testentscheidung
H0-Bereich
Testvariablenwert = 5,0
Schwellenwert = 11,07
Die getroffene Testentscheidung wird in der Abbildung 7.3.2-5 nochmals bildhaft verdeutlicht. Für die asymmetrische und nur für positive Zahlen definierte Dichtefunktion fX² einer F²-Verteilung mit df = 5 Freiheitsgraden liegt der Testvariablenwert von F² = 5 eben unterhalb des Schwellenwertes F²0,95, 5 = 11,07 und damit im so genannten H0-Bereich. Wohl hat der Zufall Abweichungen vom „theoretisch erwarteten Verteilungsmodell einer diskreten Gleichverteilung“ beschert, sie sind aber im statistischen Sinne nicht markant genug, um die Gleichverteilungshypothese oder die Hypothese vom „idealen Spielwürfel“ zum vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 zu verwerfen. h
Statistische Induktion
249
Beispiel 7.3.2-2: Chi-Quadrat-Verteilung Motivation. Für das Verständnis der inneren Logik eines Chi-Quadrat-Tests ist es geboten, das theoretische Modell einer F²-Verteilung kurz zu skizzieren und zu erläutern. Gleichsam wie die Modelle der Standardnormalverteilung N(0; 1) (vgl. Beispiel 6.5.2-4) und einer STUDENT tVerteilung (vgl. Beispiel 7.1.3-1) findet auch das Modell einer Chi-Quadrat-Verteilung vor allem bei der statistischen Prüfung von Hypothesen über unbekannte Parameter oder Verteilungen eine breite Anwendung. Die Idee einer F²-Verteilung geht auf F. R. Helmert K. Pearson den deutschen Mathematiker Friedrich Robert HELMERT (1843-1917) und auf den englischen Statistiker Karl Pearson (18571936) zurück, weshalb sie mitunter auch unter dem Namen HELMERT-PEARSONVerteilung firmiert und wie folgt charakterisiert werden kann: Chi-Quadrat-Verteilung Sind Zi (i = 1,2,...,n) n stochastisch unabhängige und N(0; 1)-verteilte Zufallsgrößen, dann genügt die Zufallsgröße X² = Z1² + Z2² + ... + Zn², die sich aus der Summe der n quadrierten Zufallsgrößen Zi² ergibt, einer Chi-Quadrat-Verteilung mit df = n Freiheitsgraden, kurz: X² ~ F²(df).
Charakteristika. Eine Chi-Quadrat-Verteilung ist in der Regel eine asymmetrische und nur für positive Werte definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Abbildung 7.3.2-6: F²-Verteilung für df = 5 Freiheitsgrade P(F² d 11,07) = 0,95 FX²(11,07) = 0,95
F²0,95, 5 = 11,07
Die Anzahl df (engl.: degrees of freedom) der Freiheitsgrade ist der alleinige Parameter einer F²-Verteilung, durch den eine ganze Familie von Verteilungen charakterisiert wird. In der Abbildung 7.3.2-6 sind der Anschaulichkeit halber die Graphen der Dichtefunktion fX² und der Verteilungsfunktion FX² einer F²- Verteilung mit df = 5 Freiheitsgraden skizziert.
250
Statistische Induktion
Erwartungswert und Varianz. Für den Erwartungswert E(X²) und die Varianz V(X²) einer F²-verteilten Zufallsgröße X² gilt: E(X²) = df und V(X²) = 2df. Approximation. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann bei einer Freiheitsgradeanzahl von df > 100 eine F²-verteilte Zufallsgröße X² durch eine Normalverteilung approximiert werden, wobei X² | N(df, (2df)) gilt. Quantil. Im Kontext der Applikation einer F²-Verteilung als eine statistische Prüfverteilung kommt für eine bestimmte Anzahl df von Freiheitsgraden den Quantilen F²p, df der Ordnung p (0 < p < 1) eine fundamentale Rolle zu. Für p = 0,95 und df = 5 Freiheitsgrade bestimmt man in PASW Statistics mittels der Quantilsfunktion IDF.CHISQ(p, df) das zugehörige Quantil F²0.95, 5 = IDF.CHISQ(0.95, 5) # 11,07, das in der Abbildung 7.3.2-6 durch die gestrichelten Linien kenntlich gemacht ist. In einschlägigen Fachbüchern sind in der Regel ausgewählte Quantile einer Chi-Quadrat-Verteilung tabelliert. Die Kernaussage eines Quantils kann man sich anhand der Abbildungen 7.3.2-5 und 7.3.2-6 wie folgt bildhaft verdeutlichen: Offensichtlich ist ein Quantil ein bestimmter Wert, der eine Verteilung zweiteilt. Im konkreten Fall ist die Fläche unterhalb der Dichtefunktion fX² derart zweigeteilt, dass an der Stelle F² = 11,07 wegen f
³ f X ( t )dt 2
0
11, 07
³ f X ( t )dt 2
0
f
³f
X2
( t )dt
0,95 0,05 1
11, 07
ein Flächenanteil von p = 0,95 unterhalb und ein Flächenanteil von 1 – p = 0,05 oberhalb des Quantils F²0,95;5 = 11,07 liegt. Dies koinzidiert mit der Aussage, dass die Verteilungsfunktion FX² einer mit df = 5 Freiheitsgraden F²-verteilten Zufallsgröße X² wegen FX²(11,07) = P(X² d 11,07) = CDF.CHISQ(11.07, 5) = 0,95 an der Stelle F² = 11,07 einen Funktionswert liefert, der im konkreten Fall als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet wird, dass die Zufallsgröße X² Werte annimmt, die gleich oder kleiner als 11,07 sind. Signifikanzniveau. Im Kontext der statistischen Testtheorie wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine mit df = 5 Freiheitsgraden F²-verteilte Zufallsgröße X² Werte annimmt, die größer als 11,07 sind, auch als Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit D = P(X² > 11,07) = 1 – FX²(11,07) = 1 CDF.CHISQ(11.07, 5) = 0,05 gedeutet und mit dem Symbol D (lies: Alpha) gekennzeichnet. h Beispiel 7.3.2-3: Empirisches und vorgegebenes Signifikanzniveau Motivation. Die innere Logik des Testentscheidungskonzeptes innerhalb des Beispiels 7.3.2-1, das in der einschlägigen Literatur auch unter dem Begriff p(robability)-value-Konzept firmiert, leuchtet nicht immer sofort ein. Während in PASW Statistics eine Testentscheidung über den Vergleich eines empirischen
Statistische Induktion
251
Signifikanzniveaus D* mit einem vorgegebenen Signifikanzniveau D bewerkstelligt wird, führt man im klassischen Testkonzept eine Testentscheidung über den Vergleich eines empirischen Testvariablenwertes mit einem theoretischen Schwellenwert herbei. Die klassische und die unter PASW Statistics praktizierte Testentscheidung aus dem Beispiel 7.3.2-1 sind der Anschaulichkeit halber in der Tabelle 7.3.2-4 zusammengefasst. Tabelle 7.3.2-4: F²-Anpassungstest Klassische Testentscheidung Testvariablenwert versus Schwellenwert F² = 5,0 < F²0,95, 5 = 11,07 Testentscheidung: Gleichverteilungshypothese beibehalten Testentscheidung unter PASW Statistics (p-value-Konzept) empirisches Signifikanzniveau versus vorgegebenes Signifikanzniveau D* = 0,416 > D = 0,050 Testentscheidung: Gleichverteilungshypothese beibehalten
Der logische Zusammenhang zwischen beiden Konzepten lässt sich am Beispiel des praktizierten Chi-Quadrat-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung wie folgt verdeutlichen: In beiden semantisch gleichartigen Testentscheidungen „korrespondieren“ jeweils der aus dem Zufallsstichprobenbefund berechnete Testvariablenwert F² = 5,0 und das empirische Signifikanzniveau D* = 0,416 bzw. der aus dem theoretischen Prüfverteilungsmodell entlehnte Schwellenwert F²0,95; 5 = 11,070 und das vorgegebene Signifikanzniveau D = 0,05 miteinander. Quantilsberechnung. Für das vorab vereinbarte bzw. vorgegebene Signifikanzniveau D = 0,05, das per Definition die (Irrtums)Wahrscheinlichkeit dafür ist, im Zuge des F²-Anpassungstests die Gleichverteilungshypothese zu verwerfen, obgleich sie richtig ist, gilt im konkreten Fall die Beziehung D = P(X² > q) = 1 – P(X² d q) = 1 FX²(q) = 1 – 0,95 = 0,05. Da im praktizierten Anpassungstest das theoretische Verteilungsmodell einer F²Verteilung mit dem Parameter von df = 5 Freiheitsgraden zugrunde liegt, interessiert die Frage, wie groß der Wert des zugehörigen Quantils q der Verteilungsfunktion FX²(q) ist, wenn der Verteilungsfunktionswert p = FX²(q) = 0,95 in seiner theoretischen Deutung als eine Wahrscheinlichkeit bekannt bzw. gegeben ist. Die Problemlösung liegt analog zur Abbildung 3.1.2-3 in PASW Statistics in der Anwendung der so genannten Quantilsfunktion IDF.CHISQ(p, df), die für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit von p = 1 D = 1 – 0,05 = 0,95 und für den (durch den Zufallsstichprobenbefund fixierten) Verteilungsparameter von df = 5 Freiheitsgraden wegen q = F²0,95;5 = IDF.CHISQ(0.95, 5) = 11,07
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Statistische Induktion
einen Wert liefert, der identisch ist mit dem Quantil F²0,95;5 = 11,07 der Ordnung p = 0,95 einer Chi-Quadrat-Verteilung für df = 5 Freiheitsgrade, das im Kontext der klassischen Testentscheidung als so genannter Schwellenwert fungiert. Testvariablenwert. Analog berechnet man für das empirische Signifikanzniveau D* = 0,416, für das im Kontext einer Chi-Quadrat-Verteilung allgemein D* = P(X² > q) = 1 – P(X² d q) = 1 FX²(q) gilt, mit Hilfe der PASW Statistics Quantilsfunktion IDF.CHISQ(p, df) einen Wert der inversen Verteilungs- bzw. Quantilsfunktion von q = IDF.CHISQ(1 0.416, 5) # 5, der mit offensichtlich mit dem Testvariablenwert F² = 5 im Kontext der klassischen Testentscheidung übereinstimmt. Wahrscheinlichkeitsberechnung. Analog zum Zusammenspiel von Testvariablenwert F² und empirischem Signifikanzniveau D* kann im Kontext des praktizierten F²-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung die innere Logik von vorgegebenem Signifikanzniveau D und dem zugehörigen Schwellenwert F²p;df wie folgt dargestellt werden: Die Funktion CDF.CHISQ(q, df), die in PASW Statistics die typische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion FX²(q) einer F²-verteilten Zufallsgröße X² (engl.: chisq(uare)) mit df Freiheitsgraden darstellt, liefert für das Quantil q = 11,07 (Schwellenwert) und den Verteilungsparameter df = 5 Freiheitsgrade einen Funktionswert von p = FX²(11,07) = P(X² d 11,07) = CDF.CHISQ(11.07, 5) = 0,95, der als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet werden kann, dass die Zufallsgröße X² Werte annimmt, die gleich oder kleiner als der Schwellenwert q = F²0,95;5 = 11,07 sind. Die Komplementärwahrscheinlichkeit D = 1 – p = 1 – FX²(11,07) = 1 – P(X² d 11,07) = 1 – 0,95 = 0,05 kennzeichnet das vorgegebene Signifikanzniveau D im Kontext des praktizierten F²-Anpassungstests auf eine diskrete Gleichverteilung. Analog berechnet man für den Testvariablenwert F² = 5, der gleichsam als ein Quantil q einer Chi-QuadratVerteilung mit df = 5 Freiheitsgraden gedeutet werden kann, ein empirisches Signifikanzniveau von D* = 1 CDF.CHISQ(5, 5) = SIG.CHISQ(5, 5) # 0,416, das in PASW Statistics synonym als Signifikanz, als asymptotische Signifikanz, kurz auch als Sig. oder als p(robability)-value bezeichnet wird. Signifikanzniveau. Bleibt noch darauf hinzuweisen, dass in PASW Statistics für das Modell einer Chi-Quadrat-Verteilung sowohl ein empirisches als auch ein vorgegebenes Signifikanzniveau gleichsam auch „vereinfacht“ mit Hilfe der PASW Funktion SIG.CHISQ(q, df) berechnet werden kann. Die PASW Funktion SIG.CHISQ(q, df) kann analog zu den Abbildungen 6.5.1-4 bzw. 6.5.2-3 im Dialogfeld Variable berechnen in der Funktionsgruppe Signifikanz angefordert und zahlenmäßig spezifiziert werden. h
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7.3.3 KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest Motivation. Der KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest erfährt in der angewandten Statistik in seiner Eigenschaft als trennscharfer Omnibus-Test (lat.: omnibus o für alle) eine breite Anwendung, da er für ein metrisches Erhebungsmerkmal gleichermaßen Abweichungen in den Lage-, Streuungs-, Schiefe- und Wölbungsparametern einer empirisch beobachteten Verteilung im Vergleich zu einer theoretisch erwarteten Verteilung aufzudecken vermag. KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest Der KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest ist ein nichtparametrischer EinStichproben-Test, mit dem man auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D mittels einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n < N prüft, ob ein theoretisches Verteilungsmodell zur Beschreibung der „wahren, jedoch unbekannten“ empirischen Verteilung eines metrischen Erhebungsmerkmals X(Ji) angesehen werden kann, das über einer endlichen statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N definiert ist. Hinweise. Für die Applikation eines KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests, der kurz auch als K-S-Test bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Applikation. Der K-S-Test kann gleichermaßen für stetige und für diskrete metrische Erhebungsmerkmale (mit vielen sich voneinander unterscheidenden Merkmalswerten) appliziert werden. In der Tabelle 7.3.3-1 sind die in PASW Statistics implementierten theoretischen Verteilungsmodelle für einen vollständig spezifizierten KS-Test bzw. für einen unvollständig spezifizierten K-S-Test auf eine Normalverteilung in der LILLIEFORS-Modifikation zusammengefasst. Während der modifizierte und unvollständig spezifizierte KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest auf eine Normalverteilung ein integraler Bestandteil der explorativen Datenanalyse ist (vgl. Beispiel 7.3.3-1), kann ein vollständig spezifizierter KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest für eines der vier in der Tabelle 7.3.3-1 angegebenen theoretischen Verteilungsmodelle via Sequenz 7.3.3-1 angefordert werden. Tabelle 7.3.3-1: Verteilungsmodelle für einen K-S-Anpassungstest Theoretisches Verteilungsmodell a) stetig, b) diskret unvollständig spezifiziert vollständig spezifiziert a) Normalverteilung , Normalverteilung a) K-S-Test in der Modifikation Exponentialverteilung a) nach LILLIEFORS, Poisson-Verteilung b), vgl. Beispiel 7.3.3-2 vgl. Beispiel 7.3.3-1 Gleichverteilung b)
ii) Spezifikation. Die Unterscheidung zwischen einem unvollständig und einem vollständig spezifizierten Verteilungsmodell ist (bis auf das Modell einer Gleichverteilung) vor allem im Zuge einer Testentscheidung für die Berechnung des empirischen Signifikanzniveaus D* bedeutungsvoll. Ein Verteilungsmodell heißt vollständig spezifiziert, wenn seine Parameter bekannt sind, unabhängig davon, ob sie vorgegeben oder aus einem realisierten Zufallsstichprobenbefund berechnet bzw. geschätzt wurden. Da man in praxi
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meist jedoch über die „wahren“ Parameter eines Verteilungsmodells keinerlei Vorstellungen bzw. Kenntnisse besitzt, schätzt man diese in Ermangelung an verfügbaren Informationen aus einem realisierten Zufallsstichprobenbefund. In diesem Falle bezeichnet man ein Verteilungsmodell als ein (bezüglich seiner Parameter) unvollständig spezifiziertes Modell. iii) LILLIEFORS-Modifikation. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass in PASW Statistics der im Kontext der Explorativen Datenanalyse bereitgestellte KS-Test auf eine Normalverteilung in der LILLIEFORS-Modifikation seinem Wesen nach ein unvollständig spezifizierter Anpassungstest ist. i
Beispiel 7.3.3-1: Unvollständig spezifizierter Test auf eine Normalverteilung Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 5.1-5 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav soll auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 anhand der Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf mit Hilfe des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests in der LILLIEFORS-Modifikation die folgende unvollständig spezifizierte Verteilungshypothese geprüft werden: „Die jahresdurchschnittliche Laufleistung X(Ji) = xi R+ (Angaben in 1000 km) eines zufällig ausgewählten Gebrauchtwagens vom Typ VW Golf, Benziner, ist eine Realisation einer normalverteilten Zufallsgröße X, kurz: X a N(P, V).“ K-S-Test. Der KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest in der LILLIEFORSModifikation auf eine unvollständig spezifizierte Normalverteilung kann via Sequenz 5.1-5 und analog zur Abbildung 7.3.3-1 bewerkstelligt werden. Abbildung 7.3.3.-1: K-S-Anpassungstest auf eine Normalverteilung Erhebungsmerkmal
K-S-Test mit Q-Q-Diagramm realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 200
Ergebnisse. Die Tabelle 7.3.3-2 beinhaltet die Ergebnisse des praktizierten KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests auf eine unvollständig spezifizierte Normalverteilung der jahresdurchschnittlichen Laufleistung der n = 200 zufällig
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ausgewählten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter Triebwerk. Tabelle 7.3.3-2: Testergebnisse
Testentscheidung. Im Zuge des Vergleichs des vorab vereinbarten Signifikanzniveaus D mit dem (aus dem Zufallsstichprobenbefund ermittelten) empirischen Signifikanzniveau D* gibt es wegen D = 0,05 < D* t 0,200 keinen Anlass, an der unvollständig spezifizierten Normalverteilungshypothese zu zweifeln. Interpretation. Demnach kann die jahresdurchschnittliche Laufleistung eines zufällig ausgewählten Gebrauchtwagens vom Typ VW Golf als eine Realisation einer stetigen Zufallsgröße aufgefasst werden, deren „Bewegungsgesetz“ durch das theoretische Modell einer unvollständig spezifizierten Normalverteilung N(P, V) beschrieben werden kann. Da man keine Kenntnis über die „wahren, jedoch unbekannten“ Verteilungsparametern P und V besitzt, schätzt man sie im induktiven Sinne aus der realisierten Zufallsstichprobe vom Umfang n = 200. Q-Q-Diagramme. Auf diesem induktiven Analysekonzept basieren auch die beiden Q(antil)-Q(antil)-Diagramme innerhalb der Abbildung 7.3.3-2, die im Zuge eines KOLMOGOROV-SMIRNOV-LILLIEFORS-Tests bereitgestellt werden. Abbildung 7.3.3-2: Q-Q-Diagramme Volatilität der „Quantilskette“ als Normalverteilungsindiz
gerade „Quantilskette“ als Normalverteilungsindiz
Aufgrund dessen, dass sich im linken und originären Q-Q-Diagramm die „Quantilskette“, deren Glieder jeweils durch ein Laufleistung-N(0, 1)-Quantilspaar bildhaft dargestellt werden, an der so genannten „Normalverteilungsgeraden“
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entlang „schlängelt“, deutet man diesen explorativen Befund als ein Indiz dafür, dass die jahresdurchschnittliche Laufleistung (Angaben in 1000 km) der n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf, Benziner, als Realisationen einer normalverteilten Zufallsgröße X aufgefasst werden können. Dieser explorative Befund ist äquivalent zu der folgenden Verteilungssaussage, die zudem noch durch das rechte und so genannte „trendbereinigte“ Q-Q-Diagramm ergänzt wird, wo augenscheinlich die „Quantilskette“ durch einen volatilen (lat.: volare o beweglich), zufallsbedingten und daher unsystematischen Verlauf um die so genannte „Null-Linie“ verläuft: Offensichtlich kann davon ausgegangenen werden, dass die n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen Ji aus einer endlichen und hinsichtlich ihres Umfangs nicht näher bestimmten statistischen Grundgesamtheit stammen, für die das metrische und stetige Erhebungsmerkmal „jahresdurchschnittliche Laufleistung (Angaben in 1000 km)“ mit Hilfe des theoretischen Modells einer Normalverteilung beschrieben werden kann. h Beispiel 7.3.3-2: Vollständig spezifizierter Test auf eine POISSON-Verteilung Motivation. Im Kontext des Beispiels 5.1-4 wurde unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav für die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 685 befragten Studierenden Ji das metrische und diskrete Erhebungsmerkmal X: Anzahl der Prüfungswiederholungen im vergangenen Semester, dessen erfasste Merkmalswerte in der Variablen F11 gespeichert sind, analysiert und das Ergebnis der deskriptiven Verteilungsanalyse in der Abbildung 5.1-10 tabellarisch und grafisch dargestellt. Aufgrund des empirischen Analysebefundes, wonach eine größere Anzahl von Prüfungswiederholungen je Student und Semester ein vergleichsweise „seltenes Ereignis“ ist, interessiert nunmehr die Frage, ob dieser deskriptive Befund auch für die Teilmenge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 185 Studierenden Ji zutreffend ist, die in den Bachelor-Studiengängen im Fach Statistik im Wintersemester 2009/10 befragt wurden und mittels der Auswahlbedingung Semester = 4 auszuwählen sind. Hypothese. Einzig und allein aus didaktisch-methodischer Sicht soll auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 mit Hilfe des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests die folgende vollständig spezifizierte Verteilungshypothese geprüft werden: „Die Anzahl X(Ji) = xi der semesterbezogenen Prüfungswiederholungen eines (einer) zufällig ausgewählten Studenten(in) Ji ist eine mit dem Verteilungsparameter O = 0,59 Prüfungen je Student(in) poissonverteilte Zufallsgröße.“ Wegen H0: X a Po(0,59) kennzeichnet man sowohl die zu prüfende Verteilungshypothese bezüglich des empirisch ermittelten Verteilungsparameters O = 0,59 (lies: Klein-Lambda) als auch den zu praktizierenden KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest auf eine POISSON-Verteilung als vollständig spezifiziert (hinsichtlich des Verteilungsparameters O = 0,59).
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Sequenz. Ein KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest auf eine vollständig spezifizierte POISSON-Verteilung kann in PASW Statistics am einfachsten via Sequenz 7.3.3-1 bewerkstelligt werden kann. Sequenz 7.3.3-1: KOLMOGOROV-SMIRNOV-Test Analysieren Nichtparametrische Tests Alte Dialogfelder K-S bei einer Stichprobe o Abbildung 7.3.3-3 Abbildung 7.3.3-3: Daten-Editor mit Dialogfeld K-S-Test bei einer Stichprobe
vollständige spezifizierte Verteilungsmodelle
realisierte Zufallsstichprobe
Testentscheidung. Die Tabelle 3.2.2-4 beinhaltet die Ergebnisse im Kontext des vollständig spezifizierten K-S-Anpassungstests auf eine POISSON-Verteilung. Tabelle 7.3.3-3: Testergebnisse
Da im Vergleich von vorgegebenem Signifikanzniveau D = 0,05 und empirischem Signifikanzniveau D* = 0,698 letztlich D = 0,05 < D* = 0,698 gilt, gibt es keinen Anlass, die eingangs formulierte und vollständig spezifizierte Verteilungshypothese H0: X a Po(0,59) für die diskrete Zufallsgröße X: Anzahl der Prüfungswiederholungen je Student(in) und Semester zu verwerfen. Demnach kann im konkreten Fall die Anzahl von Prüfungswiederholungen mit Hilfe des theoretischen Modells einer POISSON-Verteilung beschrieben werden. h
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Statistische Induktion
Beispiel 7.3.3-3: Vollständig spezifizierter Test auf eine Exponentialverteilung Motivation. Im Beispiel 6.5.2-4 wurde unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Gesprächsdauer.sav, die das Resultat einer systematischen Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 228 Mobilfunkgesprächen Ji ist, anhand des metrischen und stetigen Erhebungsmerkmals X: Gesprächsdauer (Angaben in Sekunden), das gleichsam als eine stetige Zufallsgröße X aufgefasst werden kann, das theoretische Modell einer Exponentialverteilung paradigmatisch dargestellt, ohne statistisch überprüft zu haben, ob, inwieweit und wie „gut“ sich die empirische Verteilung der n = 228 Gesprächsdauern {X(Ji) = xi, i = 1,2,...,n}, die in der Abbildung 6.5.2-4 mit Hilfe eines normierten Histogramms bildhaft dargestellt wurde, an das gleichsam in der Abbildung 6.5.2-4 grafisch dargestellte theoretische Modell einer Exponentialverteilung „anpasst“. Hypothese. Aus diesem Grunde soll nunmehr „im Nachhinein“ auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 mit Hilfe des KOLMOGOROVSMIRNOV-Anpassungstests wegen E(X) = 1/O = 56 sec und O = 0,018 sec-1 die folgende vollständig spezifizierte Verteilungshypothese H0 X a Ex(0,018) geprüft werden, die semantisch wie folgt zu deuten ist: „Die Dauer X(Ji) eines zufällig ausgewählten Mobilfunkgesprächs Ji ist eine mit dem Verteilungsparameter O = 0,018 sec-1 exponentialverteilte Zufallsgröße.“ K-S-Test. Der zu praktizierende Einstichproben-Anpassungstest kann analog zum Beispiel 7.3.3-2 via Sequenz 7.3.3-1 für die PASW Statistics Variable Dauer angefordert und bewerkstelligt werden. Tabelle 7.3.3-4: Testergebnisse
Testentscheidung. Da im Vergleich von vorgegebenem Signifikanzniveau D = 0,05 und empirischem Signifikanzniveau D* = 0,102 im konkreten Fall D = 0,05 < D* = 0,102 gilt, gibt es keinen Anlass, die eingangs formulierte und vollständig spezifizierte Verteilungshypothese H0: X a Ex(0,018) für die stetige Zufallsgröße X: Dauer eines Mobilfunkgesprächs (Angaben in Sekunden) zu verwerfen. Demnach hat man „im Nachhinein“ eine statistische Bestätigung dafür gefunden, dass die Dauer von Mobilfunkgesprächen mit Hilfe des theoretischen Modells einer Exponentialverteilung beschrieben werden kann. h
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7.3.4 t-Test für zwei unabhängige Stichproben Motivation. Der t-Test für zwei unabhängige Stichproben findet in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung vor allem dort eine breite Anwendung, wo es statistisch zu prüfen gilt, ob in zwei disjunkten statistischen Grundgesamtheiten ein metrisches Erhebungsmerkmal durch ein homogenes durchschnittliches Niveau gekennzeichnet ist. t-Test für zwei unabhängige Stichproben Der t-Test für zwei unabhängige Zufallsstichproben ist ein Zwei-StichprobenTest, mit dem man auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau D prüft, ob die unbekannten Mittelwerte P1 und P2 eines metrischen und N(P1, V1)-verteilten bzw. N(P2, V2)-verteilten Merkmals aus zwei disjunkten statistischen Grundgesamtheiten *1 = {Ji1, i = 1,2,...,N1} vom Umfang N1 und *2 = {Ji2, i = 1,2,...,N2} vom Umfang N2 übereinstimmen. Dabei wird unterstellt, dass die Standardabweichungen V1, V2 > 0 bzw. die Varianzen V²1, V²2 > 0 in beiden disjunkten Grundgesamtheiten *1 und *2 gleichsam unbekannt sind. Hinweise. Für die Anwendung des t-Tests für zwei unabhängige Zufallsstichproben sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Normalverteilungsannahme. Aufgrund dessen, dass der t-Test für zwei unabhängige Stichproben relativ robust ist gegenüber Verletzungen der Normalverteilungsannahme, kann er auch für nicht normalverteilte Stichprobenbefunde appliziert werden, sobald für jede der zwei unabhängigen Zufallsstichproben *n = {Ji1, i = 1,2,...,n1} und *n = {Ji2, i = 1,2,...,n2} der Stichprobenumfang n1 bzw. n2 größer als 50 ist. ii) Varianzhomogenität. Zudem wird unterstellt, dass die unbekannten Varianzen in beiden disjunkten Grundgesamtheiten *1 und *2 gleich sind, also wegen V²1 = V²2 = V² in beiden disjunkten Grundgesamtheiten *1 und *2 Varianzhomogenität existiert. Im Falle von Varianzhomogenität wird der t-Test für zwei unabhängige Stichproben auch als doppelter t-Test bezeichnet. iii) Varianzinhomogenität. Existiert in beiden disjunkten Grundgesamtheiten *1 und *2 keine Varianzhomogenität, gilt also V²1 z V²2, dann ist der modifizierte t-Test für zwei unabhängige Stichproben, der auch als WELCH-Test bezeichnet wird, zu applizieren. i
Beispiel 7.3.4-1: Doppelter t-Test Motivation. Auf dem Berliner Mietwohnungsmarkt ist es ein allgemein bekanntes Faktum, dass (etwa durch die Ortslage, den Ausstattungsgrad etc. bedingt) das durchschnittliche Mietpreisniveau (Angaben in €/m²) von vergleichbaren Mietwohnungen in den einzelnen Stadtteilen unterschiedlich ist. Die gruppierten Boxplots innerhalb der Abbildung 7.3.4-1, welche die empirischen Mietpreisverteilungen für Vier-Zimmer-Mietwohnungen für die drei nördlichen Berliner Stadtteile in ihrer West-Ost-Lage skizzieren, untermauern bildhaft diese Erfahrungstatsache. Mit Hilfe des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 überprüft werden, ob die „wahren, jedoch unbe-
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kannten“ durchschnittlichen Mietpreise, also die marktüblichen Durchschnittspreise Pj (j = 1, 2) für Vier-Zimmer-Mietwohnungen in den beiden Berliner Stadtteilen Reinickendorf (j = 1) und Weißensee (j = 2) homogen oder inhomogen bzw. heterogen sind. Abbildung 7.3.4-1: Gruppierte Boxplots
Hypothesen. Da man lediglich bestrebt ist, mit Hilfe des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben den vermuteten Niveauunterschied in den marktüblichen durchschnittlichen Mietpreisen nachzuweisen, formuliert man genau das Gegenteil als Ausgangs- oder Nullhypothese H0: P1 = P2 bzw. H0: P1 P2 = 0 und deutet diese sachlogisch wie folgt: Das „wahre, jedoch unbekannte“ durchschnittliche Mietpreisniveau Pj (j = 1, 2) in den zwei disjunkten und hinsichtlich ihres Umfanges Nj nicht näher bestimmten statistischen Grundgesamtheiten *j = {Jij, i = 1,2,...,Nj} der eingangs des Jahres 2010 in den disjunkten Mietwohnungsmärkten Reinickendorf und Weißensee angebotenen Vier-Zimmer- Mietwohnungen Jij ist gleich. Ist man aufgrund zweier voneinander unabhängiger Zufallsstichprobenbefunde *n = {Jij, i = 1,2,...,nj} auf einem vorab vereinbarten und festgelegten Signifikanzniveau von D = 0,05 gezwungen, die Ausgangshypothese H0: P1 = P2 zu verwerfen und somit die zweiseitige Alternativhypothese H1: P1 z P2 zu akzeptieren, dann ist statistisch nachgewiesen, dass Anfang 2010 in den beiden nördlichen Berliner Mietwohnungsmärkten ein unterschiedliches durchschnittliches Mietpreisniveau für Vier-Zimmer-Mietwohnungen existiert. Voraussetzungen. Um im Sinne der formulierten Problemstellung den t-Test für zwei unabhängige Stichproben praktizieren zu können, ist es allerdings erforderlich, in Anlehnung an das Beispiel 4.6.4-4 die entsprechenden Mietwohnungen mit den jeweiligen Identifikationsmerkmalen via PASW Auswahlbedingung Zimmer = 4 & (Bezirk = “Rei“ | Bezirk = “Wei“) aus den stichprobenartig erhobenen und in der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav gespeicherten Daten „zu filtern“ und in beiden (bezüglich der
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Mietwohnungen J disjunkten) Stadtteilen für das Erhebungsmerkmal X: Mietpreis (Angaben in €/m²) die Normalitäts- und Varianzhomogenitätsbedingung zu überprüfen. Mittelwerttabelle. Die Tabelle 7.3.4-1 beinhaltet die vereinfachte Mittelwerttabelle, die im Zuge eines t-Tests für zwei unabhängige Stichproben unter der Überschrift „Gruppenstatistiken“ ausgewiesen wird. Tabelle 7.3.4-1: Mittelwerttabelle
Demnach ergibt sich etwa für den Stadtteil Wei(ßensee) das folgende Bild: Der durchschnittliche Mietpreis (Stichprobenmittel) der n2 = 40 zufällig ausgewählten Vier-Zimmer-Mietwohnungen beläuft sich auf 6,10 €/m². Die Mietpreise X(Ji) in dieser Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,40} von 40 Mietwohnungen Ji streuen im Durchschnitt um 0,88 €/m² (Stichprobenstreuung) um ihren Durchschnittspreis von 6,10 €/m². Analog sind die Stichprobenparameter für die n1 = 44 zufällig ausgewählten Reinickendorfer Mietwohnungen zu deuten. Unabhängige Zufallsstichproben. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass mit der praktizierten Mietwohnungsauswahl garantiert ist, dass die betrachteten Vier-Zimmer-Mietwohnungen aus den beiden „disjunkten“ statistischen Grundgesamtheiten (Stadtteilen bzw. Mietwohnungsmärkten) als zwei unabhängige Zufallsstichproben vom Umfang n1 = 40 bzw. n2 = 44 Mietwohnungen aufgefasst werden können. Die Unabhängigkeitsforderung kann im konkreten Fall wie folgt sachlogisch begründet werden: Aufgrund dessen, dass die Mietwohnungen jeweils mittels einer systematischen Zufallsauswahl aus beiden disjunkten Mietwohnungsmärkten *j = {Jij, i = 1,2,...,Nj} der Ordnung j = 1 und j = 2 ermittelt wurden, leuchtet es intuitiv ein, dass die zufällige Auswahl einer annoncierten Mietwohnung in Weißensee nichts zu tun hat mit der zufälligen Auswahl einer annoncierten Reinickendorfer Mietwohnung und umgekehrt. Normalverteilungsannahme. Im Vorfeld des angestrebten Mittelwerthomogenitätstests gilt es in einem ersten Analyseschritt, die Normalverteilungsannahme im Hinblick auf das statistische Erhebungsmerkmal X: Mietpreis etwa mit Hilfe des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests statistisch zu überprüfen. In Anlehnung an das Beispiel 7.3.3-1 soll vor allem aus didaktisch-methodischen und praxisnahen Gründen auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 der K-STest zur Überprüfung der beiden (j = 1, 2) unvollständig spezifizierten Verteilungshypothesen H0: X a N(Pj, Vj) praktiziert werden. Die stichprobenspezifischen Ergebnisse des K-S-Tests sind in der Tabelle 7.3.4-2 zusammengefasst. Da im Vergleich von vorgegebenem Signifikanzniveau D = 0,05 und empirischem
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Signifikanzniveau D* t 0,20 für jede der beiden stadtteilspezifischen Mietwohnungsstichproben D = 0,05 < D* t 0,20 gilt, besteht jeweils kein Anlass, die Ausgangshypothese, wonach der Mietpreis X(J) einer Vier-Zimmer-Mietwohnung J eine normalverteilte Zufallsgröße ist, zu zweifeln. Tabelle 7.3.4-2: K-S-Test auf eine Normalverteilung
Die beiden stadtteilspezifischen Testergebnisse koinzidieren zum einen mit den explorativen und stadtteilspezifischen Boxplots der Mietpreise innerhalb der Abbildung 7.3.4-1, die augenscheinlich für die beiden Stadtteile Reinickendorf und Weißensee eine symmetrische Mietpreisverteilung indizieren, und zum anderen mit den stadtteilspezifischen Q-Q-Diagrammen innerhalb der Abbildung 7.3.4-2, in denen sich die so genannte „Quantilskette“ jeweils an der so genannten „Normalverteilungsgeraden“ entlang schlängelt. Abbildung 7.3.4-2: Stadtteilspezifische Q-Q-Diagramme der Mietpreise
Varianzhomogenität. Nun ist der t-Test für zwei unabhängige Stichproben neben der Normalverteilungsannahme noch an die Varianzhomogenitätsannahme gebunden. Im logischen Testablauf ist es daher stets geboten, die Berechtigung der Homogenitätshypothese H0: V12 = V22 für die unbekannte Mietpreisvarianz V12 im Reinickendorfer Mietwohnungsmarkt und für die unbekannte Mietpreisvarianz V22 im Mietwohnungsmarkt von Weißensee zu prüfen. In PASW Statistics wird im Zuge des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben der Varianzhomogenitätstest nach LEVENE angeboten und praktiziert. Die Tabelle 7.3.4-3 beinhaltet das PASW Statistics Ergebnisprotokoll für den LEVENE- Varianzho-
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mogenitätstest in der BROWN-FORSYTHE-Version, das in PASW Statistics per Voreinstellung stets mit dem Ergebnisprotokoll eines t-Tests für zwei unabhängige Stichproben bereitgestellt wird. Tabelle 7.3.4-3: Varianzhomogenitätstest
Da das empirische Signifikanzniveau D* = 0,186 größer ist als das vorgegebene Signifikanzniveau D = 0,05, besteht kein Anlass, an der Varianzhomogenitätshypothese für die Mietpreise in den disjunkten statistischen Grundgesamtheiten der Vier-Zimmer-Mietwohnungen in den Berliner Stadtteilen Reinickendorf und Weißensee zu zweifeln. Doppelter t-Test. Aufgrund dessen, dass es im bisherigen Mietpreisvergleich keine „statistischen Einwände“ gegen die Normalverteilungs- und Varianzhomogenitätsannahme gibt, kann schließlich und endlich via Sequenz 7.3.4-1 der tTest für zwei unabhängige Stichproben bei gleichen Varianzen in Gestalt des so genannten doppelten t-Tests angefordert und praktiziert werden. Sequenz 7.3.4-1: T-Test bei unabhängigen Stichproben Analysieren Mittelwerte vergleichen T-Test bei unabhängigen Stichproben... o Abbildung 7.3.4-3 Abbildung 7.3.4-3: Dialogfelder T-Test bei unabhängigen Stichproben
Hinweise. Im Zuge des „Ausfüllens“ des Dialogfeldes T-Test bei unabhängigen Stichproben sind die folgenden Hinweise zu beachten: i) Testvariable. Da im konkreten Fall der t-Test für zwei unabhängige Stichproben auf einen stadtteilspezifischen Mittelwertvergleich für die Mietpreise abstellt, fungiert die numerische PASW Variable Preis als so genannte Testvariable und die PASW Stringvariable Stadtteil als so genannte Gruppenvariable. ii) Gruppenvariable. Für die Gruppenvariable ist es stets er-
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forderlich, zwei zulässige Ausprägungen via Schaltfläche Gruppen def(inieren) im Unterdialogfeld Gruppen definieren festzulegen. Bei der Festlegung der Ausprägungen ist zu beachten, dass diese stets mit dem vereinbarten Typ der jeweiligen Gruppenvariable koinzidieren müssen. Eingedenk der Tatsache, dass die Gruppenvariable Stadtteil eine Stringvariable ist, wurden im konkreten Fall im Unterdialogfeld Gruppen definieren in der Rubrik Gruppe 1 der String „Wei(ßensee)“ und in der Rubrik Gruppe 2 der String „Rei(nickendorf)“ vereinbart. Nach dem Betätigen der Schaltfläche Weiter werden die getroffenen Vereinbarungen für die Gruppenvariable protokolliert. Im konkreten Fall lautet die verbindliche PASW Syntax Stadtteil(´Wei´´Rei´). Die in Hochkommata gesetzten Zeichenketten kennzeichnen den zugrunde liegenden Variablentyp „String“. i
Testergebnisse. Die Tabelle 7.3.4-4 beinhaltet ein verkürztes PASW Statistics Ergebnisprotokoll für den t-Test für zwei unabhängige Stichproben, das in seinen Komponenten wie folgt interpretiert werden kann: Tabelle 7.3.4-4: T-Test für zwei unabhängige Stichproben
Für die beobachtete Mittelwertdifferenz der Mietpreise von 1,05 €/m² wurde (unter Berücksichtigung der Mietpreis-Streuungsverhältnisse und der Stichprobenumfänge in den beiden unabhängigen Zufallsstichproben) ein empirisches Signifikanzniveau von D* = 0,000 errechnet. Da im Zuge des LEVENE-Tests kein Anlass bestand, die Varianzhomogenitätshypothese zu verwerfen, ist der doppelte t-Test zu praktizieren, dessen Ergebnisse in der Rubrik Varianzen sind gleich verzeichnet sind. Da gemäß dem im PASW Statistics praktizierten p-valueKonzept offensichtlich D* = 0,000 < D = 0,05 gilt, muss die eingangs formulierte Mittelwerthomogenitätshypothese H0: P1 = P2 bzw. H0: P1 P2 = 0 zugunsten der zweiseitigen Alternativhypothese H1: P1 z P2 bzw. H1: P1 P2 z 0 verworfen und der empirisch beobachtete Unterschied in den Stichprobenmittelwerten der Mietpreise von 1,05 €/m² als ein signifikant von null verschiedener Befund eingestuft werden. Demnach kann davon ausgegangen werden, dass sich die durchschnittlichen Mietpreise für Vier-Zimmer-Mietwohnungen in den Berliner Stadtteilen Reinickendorf und Weißensee voneinander unterscheiden. Dieses zweiseitige Testergebnis kann man sich auch anhand des angezeigten 95 %- Konfidenzintervalls [1,48 €/m², 0,63 €/m²] für die Mittelwertdifferenz verdeutlichen, welches die Zahl Null nicht überdeckt. Man deutet daher die empirisch beobachtete Stichprobenmittelwertdifferenz von 1,05 €/m² als nicht mehr vereinbar mit dem „freien Spiel des Zufalls“ und somit als signifikant verschieden von null. h
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Beispiel 7.3.4-2: WELCH-Test Motivation. In der praktischen statistischen Arbeit wird man allerdings eher mit dem Umstand konfrontiert, dass im Zuge eines t-Tests für zwei unabhängige Stichproben sowohl die Normalverteilungs- als auch die Varianzhomogenitätsannahme als verletzt angesehen werden muss. Ist garantiert, dass die Stichprobenumfänge jeweils größer als 50 sind, dann kann aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes die „strenge“ Normalverteilungsannahme „aufgeweicht“ und im Falle von Varianzinhomogenität der so genannte WELCH-Test, der seinem Wesen nach ein modifizierter t-Test bei Varianzinhomogenität ist, praktiziert werden. Der WELCH-Test soll in Anlehnung an das Beispiel 7.3.4-1 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav anhand des metrischen und stetigen Erhebungsmerkmals „Mietpreis (Angaben in €/m²)“ für die zufällig und unabhängig voneinander ausgewählten Vier-Zimmer-Mietwohnungen in den Berliner Stadtteilen Pankow und Reinickendorf demonstriert werden. Mittelwerttabelle. Unter Beachtung und Anwendung der PASW Statistics Auswahlbedingung Zimmer = 4 & (Bezirk = “Pan“ | Bezirk = “Rei“) erhält man die in der Tabelle 7.3.4-5 dargestellte die Mittelwerttabelle. Tabelle 7.3.4-5: Mittelwerttabelle
Normalverteilungsannahme. Die stichprobenspezifischen Ergebnisse des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Tests in der LILLIEFORS-Modifikation auf eine unvollständig spezifizierte Normalverteilung für die stadtteilspezifischen Mietpreise sind in der Tabelle 7.3.4-2 zusammengefasst. Tabelle 7.3.4-6: K-S-Test auf Normalverteilung
Da im Vergleich von vorgegebenem Signifikanzniveau D = 0,05 und empirischem Signifikanzniveau D* t 0,20 für jede der beiden stadtteilspezifischen Mietwohnungsstichproben D = 0,05 < D* t 0,20 gilt, besteht kein Anlass, die Ausgangshypothese, wonach die Mietpreise von Vier-Zimmer-Mietwohnungen in Pankow und in Reinickendorf normalverteilt sind, zu zweifeln.
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LEVENE-Test. Die Tabelle 7.3.4-7 beinhaltet die Ergebnisse des LEVENETests auf Varianzhomogenität, der auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 entschieden werden soll. Da offensichtlich D* = 0,002 < D = 0,05 gilt, muss die Homogenitätshypothese H0: V1² = V2² bezüglich der unbekannten Mietpreisvarianzen V1² im Stadtteil Pan(kow) und V2² im Stadtteil Rei(nickendorf) verworfen werden. Demnach ist davon auszugehen, dass in beiden Mietwohnungsmärkten inhomogene bzw. heterogene Mietpreisstreuungsverhältnisse existieren. WELCH-Test. Das Ergebnis des so genannten WELCH-Tests ist im reduzierten PASW Statistics Ergebnisprotokoll innerhalb der Tabelle 7.3.4-7 unter der Rubrik Varianzen sind nicht gleich vermerkt. Beachtenswert ist dabei, dass sich die Modifikation des praktizierten t-Tests für zwei unabhängige Stichproben vor allem in einer korrigierten und „reellwertigen“ Anzahl von df = 113,192 Freiheitsgraden und damit auch im „niedrigeren“ empirischen Signifikanzniveau D* = 0,000 niederschlägt. Tabelle 7.3.4-7: LEVENE-Test und WELCH-Test
Testentscheidung. Da im Kontext des WELCH-Tests D* = 0,000 < D = 0,05 gilt, verwirft man auf dem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 die Mittelwerthomogenitätshypothese H0: P1 = P2 und kennzeichnet trotz inhomogener Mietpreisvarianzen das durchschnittliche Mietpreisniveau für VierZimmer-Mietwohnungen in den disjunkten statistischen Grundgesamtheiten der Berliner Stadtteile Pankow und Reinickendorf als voneinander verschieden. Boxplots. Anhand der beiden „benachbarten“ stadtteilspezifischen Boxplots innerhalb der Abbildung 7.3.4-1 kann man sich das Konzept des stadtteilbezogenen Vergleichs der durchschnittlichen Mietpreise im Kontext des praktizierten WELCH-Tests nochmals bildhaft verdeutlichen. Die augenscheinlich unterschiedlich großen Boxplots der Mietpreise beschreiben letztlich nichts anderes als zwei auf der Basis unabhängiger Zufallsstichproben empirisch beobachtete und nahezu symmetrische Mietpreisverteilungen, die nicht nur durch inhomogene Streuungsverhältnisse, sondern jeweils auch durch ein unterschiedliches mittleres „medianes“ Mietpreisniveau gekennzeichnet sind, das bei (nahezu) symmetrischen Verteilungen stets mit dem jeweiligen durchschnittlichen Mietpreisniveau (von geringfügigen und vernachlässigbaren Abweichungen abgesehen) übereinstimmt. h
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7.3.5 Einfaktorielle Varianzanalyse Motivation. Die einfaktorielle Varianzanalyse, die auch als einfache ANOVA (engl.: ANalysis Of VAariance) bezeichnet wird, kann als eine Verallgemeinerung des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben aufgefasst werden, der im Abschnitt 7.3.4 exemplarisch demonstriert wurde. Die einfaktorielle ANOVA findet in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung vor allem dort eine breite Anwendung, wo es zu prüfen gilt, ob Mittelwerte aus zwei oder mehr unabhängigen Zufallsstichproben als homogen angesehen werden können oder nicht. Die einfaktorielle Varianzanalyse kann wie folgt charakterisiert werden: Einfaktorielle Varianzanalyse Eine endliche statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N wird durch die Festlegung eines kategorialen Gruppierungsmerkmals in k disjunkte Teilgesamtheiten aufgeteilt und hinsichtlich eines metrischen Erhebungsmerkmals X beschrieben. Ist das metrische Erhebungsmerkmal X in den k Teilgesamtheiten normalverteilt mit einer homogenen Standardabweichung V, gilt also Xj a N(Pj, Vj), Vj = V > 0 (j = 1,2,...,k, k t 2), dann heißt das parametrische Verfahren zum Prüfen der Homogenitätshypothese H0: P1 = P2 = ... = Pk über die k unbekannten Mittelwerte Pj auf der Grundlage von k unabhängigen Zufallsstichproben vom Umfang nj einfaktorielle oder einfache Varianzanalyse. Hinweise. Für das Verständnis der Grundidee einer einfaktoriellen oder einfachen Varianzanalyse erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) kategoriales Merkmal. Das kategoriale Merkmal, das ein nominales oder ein ordinales Merkmal sein kann, bezeichnet man auch als Faktor und seine k Merkmalsausprägungen als Faktorgruppen. Das metrische Erhebungsmerkmal X wird dabei als ein Merkmal gedeutet, das von den k Faktorgruppen „abhängig“ ist. ii) Normalverteilung. Die Erfüllung der Normalverteilungsbedingung für die k unabhängigen Zufallsstichproben kann gemäß Abschnitt 7.3.3 mit dem KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest überprüft werden. iii) Varianzhomogenität. Die Überprüfung der Varianzhomogenitätsbedingung erfolgt analog zum t-Test für zwei unabhängige Stichproben mit dem LEVENE-Test (vgl. Abschnitt 7.3.4). Existiert keine Varianzhomogenität, dann kann die Mittelwerthomogenitätshypothese mit dem WELCH-Test geprüft werden. iv) Post-Hoc-Tests. Wird auf einem Signifikanzniveau D die multiple Mittelwerthomogenitätshypothese H0: P1 = P2 = ... = Pk verworfen, so heißt das erst einmal nur, dass mindestens ein Mittelwertepaar aus den „k über 2“ möglichen Mittelwertpaaren verschieden ist. Die Prüfung, welche Mittelwerte sich paarweise voneinander unterscheiden, ist eine Aufgabe von speziellen Post-Hoc-Tests (vgl. Beispiele 7.3.5-1 und 7.3.5-2). v) Spezialfall. Für k = 2 unabhängige Stichproben sind die Ergebnisse einer einfaktoriellen Varianzanalyse identisch mit denen eines t-Tests für zwei unabhängige Stichproben. vi) Historie. Die Varianzanalyse wurde vom englischen Statistiker Sir Ronald Aymer FISHER (18901962) im Zusammenhang mit biologischen Feldversuchen zur Auswertung von Versuchsserien hinsichtlich des Einflusses von qualitativen Versuchseffekten auf quantitative Messergebnisse entwickelt. i
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Beispiel 7.3.5-1: Einfache ANOVA bei varianzhomogenen Faktorgruppen Motivation. Die PASW Statistics Datendatei Hochschullogo.sav beinhaltet statusgruppenbezogene Daten, die im Sommersemester 2009 einzig und allein zur Bewertung des neuen Hochschullogos im Zuge einer Blitzumfrage an der HTW Berlin auf der Basis einer systematischen Zufallsauswahl und balancierter Stichproben empirisch erhoben wurden. Als metrische Bewertungsskala diente eine zehnstufige Punkteskala mit den Randwerten null für „Ablehnung“ und neun für „Zustimmung“. Als Schichtungsmerkmal fungierte das nominale Erhebungsmerkmal Statusgruppe. Mit Hilfe der einfachen Varianzanalyse gilt es nunmehr auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 für das metrische Erhebungsmerkmal Votum die folgende Mittelwerthomogenitätshypothese zu prüfen: „Im Durchschnitt sind in den fünf Statutsgruppen die abgegebenen Voten für das neue Hochschullogo gleich.“ Explorative Datenanalyse. Im Vorfeld der Überprüfung der Mittelwerthomogenitätshypothese ist es geboten, die statutsgruppenspezifischen Stichprobenbefunde einer explorativen Datenanalyse zu unterziehen. Die Tabelle 7.3.5-1 beinhaltet in Gestalt einer Mittelwerttabelle die fünf Stichprobenmittelwerte und die fünf Stichprobenstandardabweichungen. Tabelle 7.3.5-1: Mittelwerttabelle
Im induktiven Sinne gilt es nunmehr die Frage zu klären, ob die k = 5 unabhängigen Zufallsstichprobenbefunde jeweils als Realisationen von normalverteilten, varianz- und mittelwerthomogenen Zufallsgrößen aufgefasst werden können. Normalverteilungstest. Die Tabelle 7.3.5-2 beinhaltet die statutsgruppenspezifischen Ergebnisse des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests auf eine unvollständig spezifizierte Normalverteilung, der jeweils auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 entschieden werden soll. Da offensichtlich für alle k = 5 unabhängigen Zufallsstichproben D* > D = 0,05 gilt, besteht kein Anlass, an den k = 5 statusgruppenspezifischen Normalverteilungsannahmen zu zweifeln. Demnach können die in den fünf Statutsgruppen abgegebenen Voten jeweils als Realisationen einer normalverteilten Zufallsgröße aufgefasst werden.
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Tabelle 7.3.5-2: K-S-Test auf Normalverteilung
Varianzhomogenitätstest. Die Tabelle 7.3.5-3 beinhaltet die Ergebnisse des Varianzhomogenitätstests nach LEVENE, der via Sequenz 7.3.5-1 im Unterdialogfeld Einfaktorielle ANOVA: Optionen angefordert werden kann. Tabelle 7.3.5-3: LEVENE-Test
Im konkreten Fall gibt es wegen D* = 0,840 > D = 0,05 keinen Anlass, an der Varianzhomogenitätshypothese zu zweifeln. Demnach kann davon ausgegangen werden, dass die abgegebenen Voten in den k = 5 statusgruppenspezifischen Stichproben Realisationen von varianzhomogenen Zufallsgrößen sind. Einfaktorielle ANOVA. Schließlich und endlich gilt es via Sequenz 7.3.5-1 mit Hilfe der einfaktoriellen Varianzanalyse, die eingangs formulierte (multiple) Mittelwerthomogenitätshypothese auf einem Signifikanzniveau von 0,05 zu prüfen. In der Tabelle 7.3.5-4 ist die „finale“ und so genannte Varianztabelle im Kontext der praktizierten einfaktoriellen Varianzanalyse dargestellt. Tabelle 7.3.5-4: Varianztabelle für einfaktorielle ANOVA
Testentscheidung. Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 verwirft man auf einem Signifikanzniveau von 0,05 die eingangs formulierte Mittelwerthomogenitätshypothese und deutet die k = 5 im Zuge einer Blitzumfrage empirisch erhobenen statusgruppenspezifischen Voten „in Gänze“ als signifikant voneinander ver-
270
Statistische Induktion
schieden. Das Ergebnis des zugrunde liegenden F(ISHER)-Tests wird gleichsam durch die Boxplots und durch das Mittelwertdiagramm innerhalb der Abbildung 7.3.5-2 bildhaft untermauert. Sequenz 7.3.5-1: Einfaktorielle ANOVA Analysieren Mittelwerte vergleichen Einfaktorielle ANOVA ... o Abbildung 7.3.5-1 Abbildung 7.3.5-1: Dialogfelder Einfaktorielle ANOVA
Hinweis. Im Zuge einer einfaktoriellen ANOVA muss die in der Rubrik Faktor verwendete (kategoriale) PASW Statistics Variable numerischen Typs sein. Im konkreten Fall fungiert das nominale Erhebungsmerkmal in Gestalt der numerischen PASW Statistics Variable Status als „Faktor“. i
Abbildung 7.3.5-2: Boxplots und Mittelwertdiagramm
Diagramme. Während die mehr oder weniger symmetrischen und die nahezu gleichgroßen statusgruppenspezifischen Boxplots als ein Indiz für normalverteilte und varianzhomogene Stichprobenbefunde gedeutet werden können, koinzidieren sowohl die k = 5 niveauverschobenen Boxplots als auch der inhomogene
Statistische Induktion
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Polygonzug (grch.: polys o viel + gonia o Winkel) der Stichprobenmittelwerte im Mittelwertdiagramm mit der zum vereinbarten Signifikanzniveau von 0,05 verworfenen multiplen Mittelwerthomogenitätshypothese. Post-Hoc-Tests. Welche der k = 5 Statusgruppen sich im paarweisen Mittelwertvergleich hinsichtlich der abgegebenen Voten wesentlich voneinander unterscheiden, ist allerdings mit dem praktizierten F-Test im Kontext der einfaktoriellen ANOVA allein nicht zu beantworten. Dies ist eine Aufgabe von speziellen Mittelwerttests, die auch als multiple Mittelwerttests oder Post-Hoc-Tests (lat.: post hoc o nach diesem) bezeichnet werden und via Sequenz 7.3.5-1 über die Schaltfläche Post Hoc ... analog zur Abbildung 7.3.5-3 im Unterdialogfeld Einfaktorielle ANOVA: Post-Hoc-Mehrfachvergleiche anzufordern sind. Abbildung 7.3.5-3: Einfaktorielle ANOVA: Post-Hoc-Mehrfachvergleiche
Im konkreten Fall wurde aus dem Ensemble der Post-Hoc-Tests der SCHEFFÉTest angefordert, der gleichermaßen für balancierte und unbalancierte Stichproben geeignet ist und dessen Tabelle 7.3.5-5: SCHEFFÉ-Test Ergebnis in der Tabelle 7.3.5-5 zusammengefasst ist. Demnach können auf einem (vorab vereinbarten) multiplen Signifikanzniveau von D = 0,10 offensichtlich zwei „Statusgruppenbündel“ identifiziert werden, die sich im Hinblick auf die abgegebenen Voten signifikant voneinander unterscheiden: die Hochschullehrer und Angestellten einerseits sowie die Studenten und Alumni andererseits. h
272
Statistische Induktion
Beispiel 7.3.5-2: Einfache ANOVA bei varianzinhomogenen Faktorgruppen Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 7.3.4-1 soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 mit Hilfe der einfaktoriellen Varianzanalyse geprüft werden, ob das durchschnittliche Mietpreisniveau von Vier-Zimmer-Mietwohnungen in den k = 3 nördlichen Stadtteilen Berlins als homogen angesehen werden kann. Zur Gruppe der im Norden Berlins gelegenen Stadtteile gehören im konkreten Fall alle die Stadtteile, deren empirische Mietpreisverteilungen in der Abbildung 7.3.4-1 mit Hilfe von Boxplot bildhaft dargestellt sind und die der PASW Statistics Auswahlbedingung Zimmer = 4 & NordSüd > 6 genügen. Explorative Datenanalyse. Die einfaktorielle Varianzanalyse ist streng genommen an die „unheilige Dreifaltigkeit“ von Unabhängigkeit, Normalität und Varianzhomogenität gebunden. Die Überprüfung dieser Voraussetzungen ist stets unabdingbar, wenn die Analyseergebnisse einer einfaktoriellen Varianzanalyse als valide gelten sollen. Wohl kann man im konkreten Fall davon ausgehen, dass die Unabhängigkeitsforderung für die k = 3 Mietwohnungsstichproben zumindest formal schon dadurch gegeben ist, dass etwa die Auswahl einer annoncierten Vier-Zimmer-Mietwohnung in Pankow nichts zu tun hat mit der Auswahl einer Vier-Zimmer-Mietwohnung in Reinickendorf oder in Weißensee. Die Frage aber, ob die Mietpreise in den k = 3 disjunkten Mietwohnungsmärkten als normalverteilt und varianzhomogen angesehen werden können, bedarf analog zum Beispiel 7.3.5-1 einer eingehenden Überprüfung. Tabelle 7.3.5-6: K-S-Test auf eine Normalverteilung
Normalverteilungstest. In der Tabelle 7.3.5-6 sind die stadtteilspezifischen Ergebnisse des KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstests auf eine unvollständig spezifizierte Normalverteilung zusammengefasst. Da im konkreten Fall für alle k = 3 unabhängigen stadtteilspezifischen Mietwohnungsstichproben das empirische Signifikanzniveau mit D* t 0,2 größer ist als das vorgegebene Signifikanzniveau D = 0,05, gibt es keinen Anlass daran zu zweifeln, dass die zugehörigen Mietpreise X(J) im jeweiligen stadtteilspezifischen Mietwohnungsmarkt *j = {Ji, i = 1,2,...,Nj} der Ordnung j = 1,2,...,k mit k = 3 als Realisationen einer normalverteilten Zufallsgröße Xj a N(Pj, Vj) angesehen werden können. Die stadtteil-
Statistische Induktion
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spezifischen Ergebnisse des K-S-Tests auf eine Normalverteilung koinzidieren mit den k = 3 stadtteilspezifischen Boxplots der Mietpreise innerhalb der Abbildung 7.3.4-1, die symmetrische Mietpreisverteilungen erkennen lassen. Augenscheinlich ist zudem die unterschiedliche Ausdehnung und die niveauverschobene Lage der Boxplots, die gleichsam wie die stichprobenspezifischen Verteilungsparameter innerhalb der erweiterten Mittelwerttabelle 7.3.5-7 ein Hinweis auf eine Inhomogenität der Varianzen und der Mittelwerte der stadtteilspezifischen Mietpreise sind. Tabelle 7.3.5-7: Erweiterte Mittelwerttabelle
Nun wird das „freie Spiel des Zufalls“ immer Abweichungen in den stadtteilspezifischen Verteilungsparametern bescheren. Die Frage ist nur, ob diese stadtteilspezifischen Mietpreisunterschiede auch im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne wesentlich sind oder nicht. LEVENE-Test. Die Vermutung einer Varianzinhomogenität der stadtteilspezifischen Mietpreise wird durch den LEVENE-Test untermauert, dessen Ergebnis in der Tabelle 7.3.5-8 zusammengefasst ist. Tabelle 7.3.5-8: LEVENE-Test
Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 wird auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 die Homogenitätshypothese H0: V²1 = V²2 = V²3 bezüglich der drei „wahren, jedoch unbekannten“ stadtteilspezifischen Mietpreisvarianzen verworfen. Modifikationen. Die in den Boxplots innerhalb der Abbildung 7.3.4-1 angezeigte und gleichsam durch den LEVENE-Varianzhomogenitätstest bestätigte Inhomogenität der stadtteilspezifischen Mietpreisstreuungen ist bei der induktiven Überprüfung der Mittelwerthomogenitätshypothese H0: P1 = P2 = P3 der drei stadtteilspezifischen Mietpreise zu berücksichtigen. Analog zum t-Test für zwei unabhängige Stichproben, der im Abschnitt 7.3.4 exemplarisch dargestellt wurde,
274
Statistische Induktion
muss auch das Modell einer einfaktoriellen Varianzanalyse, das aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht an die Normalverteilungs- und die Varianzhomogenitätsbedingung gebunden ist, modifiziert werden. Zwei Modifikationen, die in PASW Statistics implementiert sind und gemäß Abbildung 7.3.5-1 via Sequenz 7.3.5-1 über die Schaltfläche Optionen... im Unterdialogfeld Einfaktorielle ANOVA: Optionen wahlweise vereinbart und angefordert werden können, sind der WELCH-Test und der BROWN-FORSYTHE-Test. Beide modifizierten Testverfahren stellen einen Versuch dar, das so genannte BEHRENS-FISHER-Problem, also das Prüfen der Gleichheit von zwei oder mehreren Mittelwerten bei inhomogenen Varianzen einer Lösung zuzuführen. Die Modifikation wird vor allem in den wesentlich geringeren Freiheitsgraden df augenscheinlich. Hinzu kommt noch, dass der jeweilige Testvariablenwert (und damit auch das empirische Signifikanzniveau D*) nur asymptotisch einer F(ISHER)-Verteilung genügt. WELCH-Test. Die Tabelle 7.3.5-9 beinhaltet die Ergebnisse des WELCHTests, der als Test auf Mittelwerthomogenität bei Varianzinhomogenität fungiert. Tabelle 7.3.5-9: WELCH-Test
Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 verwirft man auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 die multiple Mittelwerthomogenitätshypothese H0: P1 = P2 = P3 und deutet das wahre, jedoch unbekannte durchschnittliche Mietpreisniveau in den disjunkten Grundgesamtheiten *j = {Ji, i = 1,2,...,Nj} der k = 3 nördlichen Berliner Stadtteile als „in Gänze“ voneinander verschieden. Post-Hoc-Test. Welche der k = 3 Stadtteile sich im konkreten Fall in ihrem durchschnittlichen Mietpreisniveau Pj (j = 1,2,...,k) voneinander unterscheiden, kann mit Hilfe der praktizierten und modifizierten einfaktoriellen Varianzanalyse in Gestalt des WELCH-Tests nicht beantwortet werden. Die Beantwortung dieser Frage ist eine Aufgabe von speziellen Post-Hoc-Tests des multiplen Mittelwertvergleichs, die gemäß Abbildung 7.3.5-3 in der Rubrik Keine Varianzgleichheit angenommen optional vereinbart und angefordert werden können. Ein robuster und daher häufig applizierter Post-Hoc-Test bei Varianzinhomogenität ist der GAMES-HOWELL-Test, der im konkreten Fall auf einem optional vereinbarten Signifikanzniveau von 0,05 das folgende Ergebnis liefert: Die drei nördlichen Berliner Stadtteile Pankow, Reinickendorf und Weißensee unterscheiden sich sowohl „in Gänze“ als auch paarweise hinsichtlich des durchschnittlichen Mietpreisniveaus für annoncierte Vier-Zimmer-Mietwohnungen signifikant voneinander. h
Statistische Induktion
275
Beispiel 7.3.5-3: F- bzw. FISHER-Verteilung Motivation. Für das Verständnis der inneren Logik eines auf einer F-Verteilung basierenden statistischen Testverfahrens (etwa des Varianzhomogenitätstests nach LEVENE oder einer einfaktoriellen Varianzanalyse) ist es geboten, das theoretische Modell einer so genannten F(ISHER)Verteilung kurz zu skizzieren und zu erläutern. Das Modell einer F-Verteilung, das nach dem englischen Statistiker Sir Ronald Aylmer FISHER (1890-1962) benannt ist und in der Induktiven Statistik eine breite Anwendung erfährt, kann wie folgt charakteR. A. Fisher risiert werden: F-Verteilung Sind X²1 und X²2 zwei stetige, stochastisch unabhängige und F²-verteilte Zufallsgrößen mit df1 bzw. df2 Freiheitsgraden, dann genügt die stetige Zufallsgröße F = (X²1/df1)/(X²2/df2) einer F-Verteilung mit df1, df2 R+ Freiheitsgraden, kurz: F ~ F(df1, df2).
Charakteristika. Eine F-Verteilung ist eine stetige, (in der Regel) asymmetrische und nur für positive Argumente definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Zählerfreiheitsgrade df1 R+ und die Nennerfreiheitsgrade df2 R+ in Gestalt positiver reeller Zahlen (worin die natürlichen Zahlen eingeschlossen sind) sind die beiden Parameter einer F-Verteilung. Sie charakterisieren eine ganze Familie von F-Verteilungen. In der Abbildung 7.3.5-4 sind in Anlehnung an das Beispiel 7.3.5-1 die Graphen der Dichtefunktion fF = PDF.F (F, 4, 95) und der Verteilungsfunktion FF = CDF.F(F, 4, 95) einer mit df1 = 4 und df2 = 95 Freiheitsgraden F-verteilten Zufallsgröße F skizziert. Abbildung 7.3.5-4: F-Verteilung für df1 = 4 und df2 = 95 Freiheitsgrade Dichtefunktion
FF(2,47) # 0,95 Verteilungsfunktion
D = P(F > 2,47) # 0,05 F = 2,47
Quantile. Im Zuge der Verwendung einer F-Verteilung als eine statistische Prüfverteilung kommt für eine bestimmte Anzahl df1 und df2 von Freiheitsgraden den Quantilen F(p, df1, df2) der Ordnung p mit 0 < p < 1 eine fundamentale Rolle
276
Statistische Induktion
zu, die man in PASW Statistics mit Hilfe der so genannten Quantilsfunktion IDF.F(p, df1, df2) bestimmen kann. So bestimmt man in Anlehnung an das Beispiel 7.3.5-1 und mit Bezug auf die Abbildung 7.3.5-4 zum Beispiel für p = 0,95, df1 = 4 und df2 = 95 ein Quantil der zugehörigen F-Verteilung von F(0.95, 4, 95) = IDF.F(0.95, 4, 95) # 2,47, das im Zuge einer „klassischen Testentscheidung“ als so genannter Schwellenwert fungiert und in der Abbildung 7.3.5-4 jeweils durch die gestrichelte und parallel zur Ordinate verlaufende Linie markiert ist. Die Kernaussage eines Quantils kann man sich anhand der Abbildung 7.3.5-4 wie folgt verdeutlichen: Offensichtlich ist ein Quantil ein bestimmter Wert, der eine Verteilung zweiteilt. Im konkreten Fall ist die Fläche unterhalb der (asymmetrischen) Dichtefunktion fF derart zweigeteilt, dass an der Stelle F = 2,47 wegen f
2 , 47
f
0
0
2 , 47
³ f F (t )dt
³ f F (t )dt
³f
F
( t )dt
0,95 0,05 1
ein Flächenanteil von p = 0,95 unterhalb und ein Flächenanteil von 1 – p = 0,05 oberhalb des Quantils F = 2,47 liegt. Dies koinzidiert mit der Aussage, dass die (monoton wachsende) Verteilungsfunktion FF einer mit df1 = 4 und df2 = 95 Freiheitsgraden F-verteilten Zufallsgröße F wegen FF(2,47) = P(F d 2,47) = CDF.F(2.47, 4, 111) # 0,95 an der Stelle F = 2,47 einen Funktionswert liefert, der im konkreten Fall als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet wird, dass die Zufallsgröße F Werte bzw. Realisationen annimmt, die gleich oder kleiner als 2,47 sind. Signifikanzniveau. In der statistischen Testtheorie wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine mit df1 = 4 und df2 = 95 Freiheitsgraden F-verteilte Zufallsgröße Werte annimmt, die zum Beispiel größer als F = 2,47 sind, auch als (das vorab vereinbarte) Signifikanzniveau oder als Irrtumswahrscheinlichkeit D = P(F > 2,47) = 1 – FF(2,47) = 1 CDF.F(2.47, 4, 95) # 0,05 gedeutet und mit dem Symbol D (lies: Alpha) gekennzeichnet. Im Unterschied dazu bezeichnet man das Signifikanzniveau, das gemäß Tabelle 7.3.5-3 auf der so genannten LEVENE-Statistik F = 0,355 bzw. in der Varianztabelle 7.3.5-4 auf dem so genannten Testvariablenwert F = 15,37 beruht, wegen D* = P(F > 0,355) = 1 – FF(0,355) = 1 CDF.F(0.355, 4, 95) = 0,840 bzw. wegen D* = P(F > 15,37) = 1 – FF(15,37) = 1 CDF.F(15,37, 4, 95) = 0,000 als das aus den k = 5 statusgruppenbezogenen Stichprobenbefunden berechnete (testspezifische) empirische Signifikanzniveau D*. Gemäß dem in PASW Statistics üblichen p-value-Konzept behält man wegen D* = 0,840 > D = 0,05 im Kontext des LEVENE-Tests die statusgruppenbezogene Varianzhomogenitätshypothese bei und verwirft (im Gegensatz dazu) wegen D* = 0,000 < D = 0,05 die statusgruppenbezogene Mittelwerthomogenitätshypothese. h
Zusammenhangsanalyse
277
8 Zusammenhangsanalyse Schlüsselwörter F²-Unabhängigkeitstest CHAID-Klassifikation Einfache Maßkorrelation Konditionalverteilung Kontingenzmaße
Kontingenztabelle Marginalverteilung Partielle Maßkorrelation Rangkorrelation Streudiagramm
Gegenstand. Dieses Kapitel hat klassische Verfahren der statistischen Zusammenhangsanalyse zum Gegenstand. In der statistischen Zusammenhangsanalyse, die stets sachlogisch zu begründen ist und keine Kausalitätsanalyse (lat.: causalis o ursächlich) ersetzt, steht das Messen der Intensität und/oder der Richtung von Zusammenhängen zwischen zwei oder mehreren Merkmalen mit Hilfe geeigneter Maßzahlen im Vordergrund. Analysekonzepte. In Abhängigkeit davon, ob die Merkmalsausprägungen auf einer nominalen, ordinalen oder metrischen Skala statistisch erhoben wurden, unterscheidet man in der statistischen Methodenlehre zwischen der Kontingenzanalyse (lat.: contingentia o das Zusammenfallen von Ereignissen), der Rangkorrelationsanalyse und der Maßkorrelationsanalyse (lat.: con... o zusammen mit + relatio o Beziehung). Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, anhand praktischer Problemstellungen paradigmatisch zu zeigen, wie man unter Verwendung grafischer und numerischer Verfahren eine statistische Zusammenhangsanalyse a) für nominale und/oder ordinale Merkmale mit wenigen sich voneinander unterscheidenden Ausprägungen auf der Basis einer Kontingenztabelle bewerkstelligt, b) für ordinale Merkmale mit vielen sich voneinander unterscheidenden Ausprägungen bzw. für nicht normalverteilte metrische Daten eine Rangkorrelationsanalyse realisiert sowie c) für (normalverteilte) metrische Daten eine bivariate (lat.: bis o zweifach + varia o Allerlei) und eine partielle (lat.: partialis o anteilig) Maßkorrelationsanalyse durchführt. h
278
8.1
Zusammenhangsanalyse
Kontingenzanalyse
Motivation. In der statistischen Methodenlehre wird die Zusammenhangsanalyse auf der Basis von Kontingenztabellen als Kontingenzanalyse bezeichnet. In diesem Abschnitt werden ausschließlich Verfahren der bivariaten Kontingenzanalyse dargestellt. Aus der Vielzahl der Verfahren zur Kontingenzanalyse, die in PASW Statistics implementiert sind, werden nur diejenigen exemplarisch am praktischen Sachverhalt demonstriert, die vor allem in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung eine breite praktische Anwendung erfahren. h
8.1.1 Kontingenztabelle Motivation. Die Grundlage einer statistischen Kontingenzanalyse bildet eine Kontingenz- bzw. Kreuztabelle, die in der angewandten Statistik in der Regel nur für kategoriale, d.h. für nominale und/oder ordinale bzw. auf eine Nominalskala und/oder eine Ordinalskala transformierte metrische Erhebungsmerkmale mit wenigen sich voneinander unterscheidenden Merkmalswerten erstellt wird. Kontingenztabelle Für zwei kategoriale Erhebungsmerkmale X(Ji) = xi ;X = {[j, j = 1,2,...,r} und Y(Ji) = yi ;Y = {Xk, k = 1,2,...,c} mit r bzw. c voneinander verschiedenen Ausprägungen [j bzw. Xk, die für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n statistisch erhoben wurden, heißt die Häufigkeitstabelle, die in
ihrem „Inneren“ aus r Zeilen und aus c Spalten besteht und der Beschreibung der bivariaten absoluten Häufigkeitsverteilung {([j, Xk), njk} der (r u c)- Ausprägungspaare ([j, Xk) dient, (r u c)-Kontingenztabelle oder (r u c)-Kreuztabelle für die kategorialen Erhebungsmerkmale X und Y. Hinweise. Für das Erstellen und die Interpretation einer Kontingenztabelle erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Typ. Der Typ einer Kontingenztabelle wird durch die Anzahl r der Zeilen (engl.: rows) und der Anzahl c der Spalten (engl.: columns) markiert. Eine (r u c)-Kontingenztabelle heißt quadratisch, wenn r = c gilt. Im Fall r z c heißt sie rechteckig. ii) Zustandsmenge. Die r bzw. c sich wohl voneinander unterscheidenden Merkmalsausprägungen [j (lies: Klein-Xi) bzw. Xk (lies:
Zusammenhangsanalyse
279
Klein-Ypsilon) sind jeweils in der zugehörigen Zustandsmenge ; (lies: Groß-Xi) zusammengefasst und erfassungsstatistisch definiert. iii) Häufigkeit. Die Anzahl n([j, Xk) = njk, bzw. der Anteil p([j, Xk) = pjk = njk/n mit der das Ausprägungspaar ([j, Xk) in einer statistischen Gesamtheit *n beobachtet wurde, heißt absolute bzw. relative Häufigkeit des Ausprägungspaares ([j, Xk). iv) Häufigkeitsverteilung. Die Menge {([j, Xk), njk} bzw. {([j, Xk), pjk} aller (r u c) Ausprägungspaare ([j, Xk) und die zugehörigen absoluten Häufigkeiten njk bzw. relativen Häufigkeiten pjk kennzeichnen die gemeinsame bzw. bivariate absolute bzw. relative Häufigkeitsverteilung der beiden kategorialen Erhebungsmerkmale X und Y. v) Randhäufigkeit. Die absolute Häufigkeit c
¦n
n jx
r
jk
¦n
bzw. n xk
jk
j 1
k 1
der Ordnung j bzw. k „am Rande“ der Kontingenztabelle heißt absolute Randhäufigkeit der Merkmalsausprägung [j bzw. Xk. Das Punktsymbol x im Index dient einer vereinfachten Schreibweise und kennzeichnet jeweils die Summe über Werte in der j-ten Zeile bzw. in der k-ten Spalte. vi) Marginalverteilung. Die Menge der Ausprägungspaare {([j, njx), j = 1,2,...,r} heißt absolute Marginal- oder Randverteilung (lat.: marginalis o den Rand betreffend) des Merkmals X. Sie ist identisch mit der absoluten Häufigkeitsverteilung des Merkmals X. Die Menge der Ausprägungspaare {(Xk, nxk), k = 1,2,...,c} heißt absolute Marginalverteilung des Merkmals Y. Sie ist identisch mit der absoluten Häufigkeitsverteilung des Merkmals Y. Für die Summe der Randhäufigkeiten gilt stets r
n
¦n j 1
c
jx
¦n k 1
c
xk
r
¦¦ n
jk
.
k 1 j 1
vii) Konditionalverteilung. Die relative Häufigkeit, mit der das Merkmal X (bzw. Y) die Ausprägung [j (bzw. Xk) annimmt unter der Bedingung, dass das Merkmal Y (bzw. X) die Ausprägung Xk (bzw. [j) besitzt, heißt bedingte oder konditionale (lat.: conditio o Bedingung) relative Häufigkeit, wobei p([j | Xk) = njk / nxk bzw. p(Xk | [j) = njk / njx gilt. Die c Mengen von geordneten Paaren {([j, p([j | Xk)), j = 1,2,...,r} kennzeichnen die c Konditionalverteilungen des Merkmals X unter der Bedingung, dass das Merkmal Y die Merkmalsausprägung Xk annimmt. Analog kennzeichnen die r Mengen von geordneten Paaren {(Xk, p(Xk | [j)), k = 1,2,...,c} die r Konditionalverteilungen des Merkmals Y unter der Bedingung, dass das Merkmal X die Merkmalsausprägung [j annimmt. viii) Unabhängigkeit. Aus einer (r u c)-Kontingenztabelle können (r + c) Konditionalverteilungen bestimmt werden. Sie bilden die Grundlage des statistischen Unabhängigkeitsbegriffs, der wie folgt skizziert werden kann: Stimmen in einer (r u c)-Kontingenztabelle für zwei kategoriale Erhebungsmerkmale X und Y alle c Konditionalverteilungen {([j, p([j | Xk)), j = 1,2,...,r} bzw. alle r Konditionalverteilungen {(Xk, p(Xk | [j)), k = 1,2,...,c} überein, dann heißen die kategorialen Erhebungsmerkmale X und Y statistisch unabhängig, ansonsten statistisch abhängig. Als sehr anschaulich und praktikabel erweist sich dabei die grafische Darstellung von Konditionalverteilungen mit Hilfe so genannter normierter Struktogramme, mit deren Hilfe man „auf einem Blick“ feststellen kann, ob Konditionalverteilung nahezu identisch sind oder nicht. ix) Unabhängigkeitstest. Stellen die n Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n dar, dann prüft man zum Beispiel mit Hilfe des F²-Unabhängigkeitstests, ob die beiden kategorialen Merkmale X([j) und Y([j) in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N als voneinander unabhängig angesehen werden können. i
280
Zusammenhangsanalyse
Beispiel 8.1.1-1: Kontingenztabelle Motivation. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei FKK.sav, die auf einer Befragung von n = 425 zufällig ausgewählten Studierenden an Berliner Hochschulen im Sommersemester 1996 basiert, soll für die beiden Erhebungsmerkmale „Einstellung zur F(rei)K(örper)K(ultur)“ und „Sozialisation“ die Stärke der statistischen Kontingenz analysiert und „gemessen“ werden. Sequenz. Die angestrebte Kontingenzanalyse, die als Ausgangspunkt das Erstellen einer Kontingenztabelle zum Gegenstand hat, kann via Sequenz 8.1.1-1 bewerkstelligt werden. Sequenz 8.1.1-1: Kreuztabelle Analysieren Deskriptive Statistiken Kreuztabellen... o Abbildung 8.1.1-1 Abbildung 8.1.1-1: Daten-Editor und Dialogfelder Kreuztabellen
Konditionalverteilungsoptionen realisierte Zufallsstichprobe
Hinweise. Im Zuge der Erstellung einer Kontingenztabelle, die synonym auch als Kreuztabelle bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Zuordnung. Bei der Erstellung einer Kreuztabelle ist es ohne Belang, welches kategoriale Merkmal hinsichtlich seiner Ausprägungen in den Zeilen und welches in den Spalten der Kreuztabelle platziert wird, da im Zuge einer Kontingenzanalyse lediglich die Stärke einer Kontingenz gemessen wird. ii) Häufigkeiten. Im Unterdialogfeld Kreuztabellen: Zellen anzeigen können optional verschiedene absolute und/oder prozentuale sowie residuale (lat.: residuum o Rest) Häufigkeiten angefordert werden, die sich im Kontext einer Kontingenzanalyse in vielerlei Hinsicht als nützlich erweisen. Insbesondere können in der Rubrik Prozentwerte über die Optionen Zeilen- bzw. Spaltenweise die Konditionalverteilungen angefordert werden. In der Rubrik Häufigkeiten ist die Option Beobachtet standardmäßig eingestellt. i
Zusammenhangsanalyse
281
Kontingenztabelle. Die Tabelle 8.1.1-1 beinhaltet die angeforderte rechteckige Kontingenztabelle vom Typ (2 u 3) auf der Basis der beobachteten absoluten Häufigkeiten n([j, Xk) = njk für die 23 = 6 nominalen Ausprägungspaare ([j, Xk) der Ordnung j = 1, 2 und k = 1, 2, 3. Tabelle 8.1.1-1: (2 u 3)-Kontingenztabelle Anzahl
Zustandsmenge von Y
Zustandsmenge von X
Einstellung zur Frei-Körper-Kultur
kein Fan Fan
Gesamt
Ost 92 158 250
Marginalverteilung von X
Sozialisation West Ausland 73 37 48 17 121 54
Gesamt 202 223 425
Marginalverteilung von Y bivariate (23)-Verteilung von X und Y
Die Kontingenztabelle innerhalb der Tabelle 8.1.1.-1 kann in ihren Bestandteilen wie folgt interpretiert werden: Zustandsmenge. Während im konkreten Fall die Zufallsstichprobe durch die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 425 zufällig ausgewählten und befragten Studierenden Ji gekennzeichnet ist, ordnet man die beiden interessierenden Eigenschaften X(Ji) = xi (FKK-Einstellung) und Y(Ji) = yi (Sozialisation) in die Gruppe kategorialer Erhebungsmerkmale ein, die erfassungsstatistisch durch die folgenden kodierten Zustandsmengen gekennzeichnet sind: X(Ji) = xi ;X = {[1 = 0 o kein Fan, [2 = 1 o Fan} Y(Ji) = yi ;Y = {X1 = 1 o Ost, X2 = 2 o West, X3 = 3 o Ausland}. Aufgrund dessen, dass die Zustandsmengen der beiden Erhebungsmerkmale X und Y per Definition nur zwei bzw. drei wohl voneinander unterschiedene Ausprägungen [j (j = 1, 2) bzw. Xk (k = 1, 2, 3) beinhalten, mit deren Hilfe man lediglich eine Gleich- oder eine Verschiedenartigkeit der befragten Studierenden J hinsichtlich der interessierenden Eigenschaft begrifflich beschreiben kann, kennzeichnet man das Erhebungsmerkmal X als nominal und dichotom und das Erhebungsmerkmal Y lediglich als nominal. Typ. Aufgrund dessen, dass die in den Zeilen vermerkte nominale Variable FKK r = 2 und die in den Spalten vermerkte nominale Variable Sozial c = 3 Ausprägungen besitzt, bezeichnet man wegen rc = 23 = 6 die Kontingenztabelle auch als eine rechteckige Sechsfeldertafel vom Typ (2 u 3). Häufigkeiten. Jedes der sechs „inneren Felder“ der Kontingenztabelle beinhaltet die bezüglich des jeweiligen Ausprägungspaares ([j, Xk) „gemeinsam“ beobachtete absolute Häufigkeit n([j, Xk) = njk. Demnach gaben von den insgesamt n = 425 befragten Studierenden zum Beispiel n21 = n([2, X1) = 158 Studierende an, FKK-Fan ([2 = 1) und im Osten (X1 = 1) sozialisiert worden zu sein. Das
282
Zusammenhangsanalyse
Symbol n21 kennzeichnet dabei die absolute Häufigkeit in der „Zelle“ der Ordnung j = 2 (Zeile 2) und k = 1 (Spalte 1) im „Inneren“ der Kontingenztabelle. Aus mengentheoretischer Sicht bilden die n21 = n([2 X1) = 158 Studierenden J die Schnittmenge aus der Teilmenge aller n2x = n([2) = 223 Studierenden J, die angaben, [2 = FKK-Fan zu sein und aller nx1 = n(X1) = 250 Studierenden J, die angaben, im X1 = Ost(en) sozialisiert worden zu sein. Marginalverteilung. Die Marginalverteilung (lat.: marginalis o den Rand betreffend) des nominalen Erhebungsmerkmals X „Einstellung zur FKK“ {([j, n([j)), j = 1, 2} = {(kein Fan, 202), (Fan, 223)} kennzeichnet die univariate empirische Verteilung der befragten Studenten Ji in der Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 425 Befragten auf die zwei nominalen Ausprägungen [1 = kein FKK-Fan und [2 = FKK-Fan: Während n(X(Ji) = [1) = n([1) = n1x = 202 Studenten Ji angaben, [1 = kein FKK-Fan zu sein, bezeichneten sich n(X(Ji) = [2) = n([2) = n2x = 223 Studenten Ji als [2 = FKK-Fan. Im konkreten Fall überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass für das dichotome Erhebungsmerkmal X: FKK-Einstellung die Summe der Randhäufigkeiten n = n1x + n2x = n([1) + n([2) = 202 + 223 = 425 identisch ist mit dem Stichprobenumfang n = 425 Studierende. Analog kennzeichnet die Marginalverteilung des nominalen Erhebungsmerkmals Y: Sozialisation {(Xk, n(Xk)), k = 1, 2, 3} = {(Ost, 250), (West, 121), (Ausland, 54)} die univariate empirische Verteilung der befragten Studenten Ji in der Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 425 Befragten auf die drei nominalen Sozialisationsausprägungen X1 = Ost, X2 = West und X3 = Ausland, wobei sich in logischer Konsequenz auch die Randhäufigkeiten für das Erhebungsmerkmal Y: Sozialisation n = nx1 + nx2 + nx3 = n(X1) + n(X2) + n(X3) = 250 + 121 + 54 = 425 zum Stichprobenumfang n = 425 befragte Studierende Ji addieren. Abbildung 8.1.1-2: Bivariate Verteilung
Zusammenhangsanalyse
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Grafik. In der Abbildung 8.1.1-2 ist die in der (2 u 3)-Kontingenztabelle eingefangene zweidimensionale Häufigkeitsverteilung mit Hilfe eines dreidimensionalen Balkendiagramms bildhaft dargestellt, das via Diagramme, Diagrammerstellung, 3D-Balken erstellt werden kann. Aus dem 3D-Balkendiagramm innerhalb der Abbildung 8.1.1-2 wird bereits ersichtlich, dass sich ungeachtet des unterschiedlichen absoluten Niveaus etwa die Einstellung zur FKK bei den Studierenden mit einer Ost-Sozialisation in einem anderen Verhältnis darstellt als bei den Studierenden mit einer West- oder einer Auslandssozialisation. Diese erkennbar „andersartigen“ sozialisationsspezifischen Häufigkeitsverteilungen führen unmittelbar zur Betrachtung der zugehörigen Konditionalverteilungen. Konditionalverteilungen. Aus der rechteckigen (2 u 3)-Kontingenztabelle innerhalb der Tabelle 8.1.1-1 können insgesamt r + c = 2 + 3 = 5 Konditionalverteilungen entlehnt werden, die der Vollständigkeit halber in den Tabellen 8.1.1-2 und 8.1.1-3 aufgelistet und gemäß Abbildung 8.1.1-1 im Unterdialogfeld Kreuztabellen: Zellen anzeigen in der Rubrik Prozentwerte über die Optionen Zeilenweise bzw. Spaltenweise angefordert und wie folgt interpretiert werden können. Tabelle 8.1.1-2: FKK-spezifische Konditionalverteilungen % von Einstellung zur Frei-Körper-Kultur
Einstellung zur Frei-Körper-Kultur Gesamt
kein Fan Fan
Ost 45,5% 70,9% 58,8%
Sozialisation West Ausland 36,1% 18,3% 21,5% 7,6% 28,5% 12,7%
Gesamt 100,0% 100,0% 100,0%
Betrachtet man einmal nur die Teilmenge der befragten Studierenden Ji, die angaben, ein FKK-Fan ([2 = 1) zu sein, so zeigt sich, dass von diesen insgesamt n(X(Ji) = [2) = n([2) = n2x = 223 FKK-Fans p(X1 | [2) = n(X1, [2)/n2x = n(X1 [2)/n([2) = 158/223 # 0,709 bzw. 0,709100 % = 70,9 % angaben, im Ost(en) (X1 = 1) sozialisiert worden zu sein. Analog berechnet man für die FKK-Fans ([2 = 1), die angaben, im West(en) (X2 = 2) sozialisiert worden zu sein, eine bedingte relative Häufigkeit von p(X2 | [2) = n(X2, [2)/n2x = n(X2 [2)/n([2) = 48/223 # 0,215 bzw. 0,215100 % = 21,5 % und schließlich für die FKK-Fans ([2 = 1) mit einer Sozialisation im Ausland (X3 = 3) eine bedingte relative Häufigkeit von p(X3 | [2) = n(X3, [2)/n2x = n(X3 [2)/n([2) = 17/223 # 0,076 bzw. 0,076100 % = 7,6 %. Analog können auch die bedingten relativen bzw. prozentualen Häufigkeiten für die Teilmenge der Studierenden, die angaben, keine FKK-Fans ([1 = 0) zu sein, berechnet und interpretiert werden. Da augenscheinlich die beiden r = 2 FKK-spezifischen Konditionalverteilungen bzw. die durch das nominale und dichotome Erhebungsmerkmal X: Einstellung zur Frei-
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Zusammenhangsanalyse
Körper-Kultur bedingten Verteilungen des nominalen Erhebungsmerkmals Y: Sozialisation kein Fan: {(Ost, 45,5%), (West, 36,1 %), (Ausland, 18,3 %)} Fan: {(Ost, 70,9%), (West, 21,5 %), (Ausland, 7,6 %)} nicht kongruent (lat.: congruere o übereinstimmen, deckungsgleich sein) sind, kann dies bereits als ein Indiz dafür gewertet werden, dass die beiden betrachteten Erhebungsmerkmale X: Einstellung zur Frei-Körper-Kultur und Y: Sozialisation empirisch voneinander nicht unabhängig sind. Zu einer vergleichbaren Aussage gelangt man bei Betrachtung der c = 3 sozialisationsspezifischen Konditionalverteilungen innerhalb der Tabelle 8.1.1-3. Tabelle 8.1.1-3: sozialisationsspezifische Konditionalverteilungen % von Sozialisation
Einstellung zur Frei-Körper-Kultur Gesamt
kein Fan Fan
Ost 36,8% 63,2% 100,0%
Sozialisation West 60,3% 39,7% 100,0%
Ausland 68,5% 31,5% 100,0%
Gesamt 47,5% 52,5% 100,0%
Die sozialisationsspezifischen Konditionalverteilungen innerhalb der Tabelle 8.1.1-3 basieren auf der Betrachtung der Studierendenteilmengen, die erfassungsstatistisch durch die c = 3 Ausprägungen Xk (k = 1, 2, 3) des Erhebungsmerkmals Y: Sozialisation definiert sind. So bestimmt man zum Beispiel für die Studierenden Ji, die angaben, im Ost(en) (X1 = 1) sozialisiert worden zu sein, die folgende „durch die Sozialisation bedingte FKK-Verteilung“: Von den insgesamt n(Y(Ji) = X1) = n(X1) = n1x = 250 im Osten sozialisierten Studierenden Ji gaben p([1 | X1) = n([1, X1)/nx1 = n([1 X1)/n(X1) = 92/250 # 0,368 bzw. 0,368100 % = 36,8 % an, kein FKK-Fan ([1 = 0) zu sein. In logischer Konsequenz gaben dann p([2 | X1) = n([2, X1)/nx1 = n([2 X1)/n(X1) = 158/250 # 0,632 bzw. 0,632100 % = 63,2 % der im Osten (X1 = 1) sozialisierten Studierenden Ji an, ein FKK-Fan ([2 = 1) zu sein. Analog können auch die restlichen zwei sozialisationsspezifischen Konditionalverteilungen konstruiert und interpretiert werden. Da offensichtlich auch die c = 3 durch die Sozialisation bedingten prozentualen FKK-Einstellungsverteilungen Ost: {(kein Fan, 36,8%), (Fan, 63,2 %)} West: {(kein Fan, 60,3%), (Fan, 39,7 %)} Ausland: {(kein Fan, 68,5%), (Fan, 31,5 %)} in ihrem paarweisen Vergleich nicht deckungsgleich sind, ist damit gleichsam angezeigt, dass die beiden kategorialen Erhebungsmerkmale X: Einstellung zur FKK und Y: Sozialisation statistisch nicht voneinander unabhängig sind.
Zusammenhangsanalyse
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Abbildung 8.1.1-4: 3 + 2 = 5 Konditionalverteilungen
Zu einer gleichen Einschätzung gelangt man bei der Betrachtung der jeweils auf 100 % normierten Struktogramme in der Abbildung 8.1.1-3, welche die 3 + 2 = 5 paarweise nicht kongruenten Konditionalverteilungen bildhaft darstellen. Abbildung 8.1.1-4: Erstellung eines normierten Struktogramms
100 %-Normierung
Balken-Struktogramm
Ein „normiertes Struktogramm“ in Gestalt eines gestapelten und auf 100 % normierten Balkendiagramms kann gemäß Abbildung 8.1.1-4 angefordert und im PASW Statistics Diagramm-Editor bearbeitet werden. Die Bezeichnung „normiertes Struktogramm“ resultiert aus dem Umstand, dass in jeder Säule die „innere Struktur“ einer Konditionalverteilung plakativ dargestellt wird. h
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Zusammenhangsanalyse
8.1.2 Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung wird man oft mit der Problemstellung konfrontiert, für zwei (oder mehrere) kategoriale Erhebungsmerkmale mit wenigen sich wohl voneinander unterscheidenden Ausprägungen statistisch zu überprüfen, ob die Erhebungsmerkmale voneinander als unabhängig bzw. abhängig anzusehen sind. Ein statistisches Prüfverfahren, das diese statistische Überprüfung ermöglicht und in der statistischen Kontingenzanalyse eine breite Anwendung erfährt, ist der F²-Unabhängigkeitstest. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest ist ein Ein-Stichproben-Test, mit dem man auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D prüft, ob zwei kategoriale Erhebungsmerkmale X(Ji) ;X = {[j, j = 1,2,...,r < n} und Y(Ji) ;Y = {Xk, k = 1,2,...,c < n}, die mittels einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n in einer (r u c)-Kontingenztabelle abgebildet wurden, in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N als unabhängig voneinander angesehen werden können. Hinweis. Für eine (r u c)-Kreuztabelle (r, c t 2) wird in PASW Statistics die Anzahl der „inneren“ Kreuztabellenfelder explizit angegeben, für welche die (unter der Unabhängigkeitshypothese theoretisch) erwarteten absoluten Häufigkeiten nejk kleiner als fünf sind. Für den Fall, dass nicht mehr als ein Fünftel aller rc erwarteten absoluten Häufigkeiten nejk kleiner als fünf ist und alle rc erwarteten absoluten Häufigkeiten nejk größer als eins sind, kann der F²-Unabhängigkeitstest, der unter der Unabhängigkeitshypothese asymptotisch einer F²-Verteilung mit df = (r 1)(c 1) Freiheitsgraden genügt (vgl. Beispiel 7.3.2-2), praktiziert werden. i
Beispiel 8.1.2-1: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Motivation. In Weiterführung der Kontingenzanalyse im Kontext des Beispiels 8.1.1-1 soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei FKK.sav auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 für die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 425 zufällig und unabhängig voneinander ausgewählten und befragten Berliner Studenten Ji mit Hilfe des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests die folgende Nullhypothese H0 geprüft werden: „In der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller Studenten, die an Berliner Hochschulen eingeschrieben sind, ist die Einstellung zur Frei-Körper-Kultur (FKK) statistisch unabhängig von der Sozialisierung.“ Sequenz. Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest kann in PASW Statistics via Sequenz 8.1.1-1 praktiziert werden. Dabei ist gemäß Abbildung 8.1.1-1 im Dialogfeld Kreuztabellen die Schaltfläche Statistik zu betätigen und analog zur Abbildung 8.1.2-1 im Unterdialogfeld Kreuztabellen: Statistik die Option ChiQuadrat zu aktivieren.
Zusammenhangsanalyse
287
Abbildung 8.1.2-1: Daten-Editor und Dialogfelder Kreuztabellen
F²-Unabhängigkeitstest
Kontingenzmaß
Testentscheidung. Die Tabelle 8.1.2-1 beinhaltet das PASW Statistics Ergebnisprotokoll für den praktizierten F²-Unabhängigkeitstest Tabelle 8.1.2-1: F²-Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat nach Pearson Anzahl der gültigen Fälle
Wert 29,030a 425
df 2
Asymptotische Signifikanz ,000
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit ist 25,67.
Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 verwirft man die eingangs formulierte Unabhängigkeitshypothese H0 und akzeptiert die Alternativhypothese H1. Demnach kann davon ausgegangen werden, dass in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} der Berliner Studenten die beiden Erhebungsmerkmale nicht voneinander unabhängig sind, also zwischen der Einstellung zur Frei-Körper-Kultur und der Sozialisation ein Zusammenhang bzw. eine Kontingenz besteht. Kontingenzmaß. Wie stark allerdings die Kontingenz ausgeprägt ist, kann allein mit Hilfe des F²-Unabhängigkeitstests nicht beantwortet werden. Dies ist eine Aufgabe spezieller Kontingenzmaße, die gemäß Abbildung 8.1.2-1 im Unterdialogfeld Kreuztabellen: Statistik optional angefordert werden können. Dabei kommt dem F²-basierten und normierten Kontingenzmaß r c (n n e )2 F2 mit F 2 ¦ ¦ jk e jk V n jk n ( m 1) j 1k 1 nach CRAMÉR, für das stets 0 d V d 1 und m = min(r, c) gilt, eine besondere praktische Relevanz zu, zumal das Kontingenzmaß V gleichermaßen für eine
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Zusammenhangsanalyse
quadratische oder eine rechteckige (r u c)-Kontingenztabelle berechnet werden kann, unabhängig davon, ob die Kontingenztabelle auf nominalen und/oder ordinalen Erhebungsmerkmalen beruht. Im Vorfeld der Berechnung und Interpretation des Kontingenzmaßes V nach CRAMÉR ist es aus didaktisch-methodischer Sicht vorteilhaft, die inneren Konsistenzen der folgenden und in der Tabelle 8.1.2-2 ausgewiesenen Größen zu beleuchten: die unter der Unabhängigkeitshypothese theoretisch erwarteten absoluten Häufigkeiten nejk, die Residuen (njk nejk) und die standardisierten Residuen (njk nejk)/(nejk), die sämtlich gemäß Abbildung 8.1.1-2 im Unterdialogfeld Kreuztabellen: Zellen in den jeweiligen Rubriken optional vereinbart und angefordert werden können. Tabelle 8.1.2-2: Erweiterte Kontingenztabelle Sozialisation Gesamt West Ausland 92 73 37 202 118,8 57,5 25,7 202,0 -26,8 15,5 11,3 -2,5 2,0 2,2 158 48 17 223 131,2 63,5 28,3 223,0 26,8 -15,5 -11,3 2,3 -1,9 -2,1 250 121 54 425 250,0 121,0 54,0 425,0
Ost Einstellung zur FreiKörperKultur
Gesamt
kein Fan
Fan
beobachtet erwartet residual standardisiert beobachtet erwartet residual standardisiert beobachtet erwartet
Interpretationen. Unter der Annahme, dass die eingangs formulierte Unabhängigkeitshypothese H0 gilt, hätten von den n = 425 zufällig und unabhängig voneinander ausgewählten und befragten Studenten Ji erwartungsgemäß zum Beispiel nur ne11 = 250202/425 # 118,8 Studenten (und nicht wie beobachtet n11 = 92 Studenten) angeben müssen, kein FKK-Fan ([1 = 0) und zugleich im Osten (X1 = 1) sozialisiert worden zu sein. Die sich daraus ergebende residuale absolute Häufigkeit beträgt (n11 ne11) = 92 – 118,8 = 26,8. Es sind somit rund 27 Studenten Ji weniger beobachtet worden als unter der Unabhängigkeitshypothese H0 erwartungsgemäß hätten beobachtet werden müssen. Für das zugehörige standardisierte Residuum (lat.: residuum o Rest) errechnet man im konkreten Fall einen Wert von (n11 ne11)/(ne11) = 26,8/(118,8) # 2,5. Die Summe der Quadrate der standardisierten Residuen F² = (2,5)² + (2,0)² + (2,2)² + (2,3)² + (1,9)² + (2,1)² # 29 ergibt den Testvariablenwert F², der in der Tabelle 8.1.2-1 als PEARSON´s F² benannt ist und die Basis für das Kontingenzmaß V = (29/(425(2 1))) # 0,26 nach CRAMÉR bildet. Wegen m = min(2, 3) = 2 und 0,2 < V < 0,5 deutet man im deskriptiven Sinne die statistische Kontingenz zwischen der Einstellung zur FreiKörper-Kultur und der Sozialisation als mittelstark ausgeprägt. h
Zusammenhangsanalyse
289
8.1.3 CHAID-basierter Entscheidungsbaum Motivation. In Erweiterung der kontingenzanalytischen Betrachtungen im Kontext der Abschnitte 8.1.1 und 8.1.2 soll in diesem Abschnitt die PASW Statistics Prozedur eines Entscheidungs- oder Klassifizierungsbaumes auf der Grundlage des CHAID-Konzeptes paradigmatisch skizziert und erläutert werden. Die Abbreviatur CHAID steht für Chi-square Automatic Interaction Dedectors und bezeichnet das automatische Aufdecken von statistischen Abhängigkeiten im Hinblick auf eine beliebig skalierte Zielgröße (abhängige Variable), derart, dass für eine Menge von vermuteten und beliebig skalierten Prädiktoren (lat.: prae o vor + dictio o das Sagen) einerseits die klassifizierten und disjunkten (lat.: disiunctio o Trennung) Merkmalsträgergruppen so homogen wie möglich sind und andererseits die Prädiktoren zur Vorhersage der Zielgröße benutzt werden können. Grundidee. Die Grundidee einer CHAID-basierten Klassifizierung lässt sich wie folgt skizzieren: Eine Aufteilung der Merkmalsträger Ji eines Knotens (engl.: node) in Gestalt einer Menge {Ji, i = 1,2,...,n} von Merkmalsträgern in stets disjunkte Unterknoten basiert auf unterschiedlichen Baumaufbauverfahren, die sämtlich auf statistischen Tests beruhen. Ist die abhängige (Ziel)Größe nominal skaliert, dann beruht das Baumaufbauverfahren auf dem F²-Unabhängigkeitstest (vgl. Abschnitt 8.1.2). Im Falle einer metrischen Zielgröße basiert die Baumkonstruktion auf dem F(ISHER)-Test (vgl. Abschnitt 7.3.5). Die Ausprägungen eines Prädiktors werden „automatisch“ zusammengefasst, wenn sie im Hinblick auf die Zielgröße nicht signifikant unterschiedlich sind. Ist eine Gruppierung von Merkmalsträgern möglich, dann ist das Resultat einer CHAID-basierten Klassifikation stets ein Entscheidungsbaum mit mindestens zwei Endknoten in Gestalt mindestens zweier disjunkter Merkmalsträgergruppen. h Beispiel 8.1.3-1: CHAID-basierter Entscheidungsbaum Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 8.1.2-1 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei FKK.sav gilt es im konkreten Fall zu analysieren, inwieweit für die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 425 zufällig ausgewählten und befragten Studierenden Ji die Einstellung zur Frei-Körper-Kultur, die in der nominalen und dichotomen PASW Statistics Variable FKK abgebildet ist, von vermuteten und beliebig skalierten Prädiktoren beeinflusst wird und wie diese aufgedeckten statistischen Abhängigkeiten es ermöglichen, sowohl eine Klassifikation der Studierenden Ji als auch eine Vorhersage hinsichtlich ihrer Einstellung zur Frei-Körper-Kultur zu bewerkstelligen. Als vermutlich wesentliche statistische Prädiktoren werden im konkreten Fall die nominalen Erhebungsmerkmale Geschlechtszugehörigkeit, Sozialisation und Religionszugehörigkeit sowie das metrische Erhebungsmerkmal Alter angesehen, die gleichsam in der PASW Statistics Datendatei FKK.sav gespeichert sind.
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Zusammenhangsanalyse
Sequenz. Die angestrebte Analyse mittels eines CHAID-basierten Entscheidungsbaumes kann via Sequenz 8.1.3-1 realisiert werden. Sequenz 8.1.3-1: Entscheidungsbaum Analysieren Klassifizieren Baum... o Abbildung 8.1.3-1 Abbildung 8.1.3-1: Daten-Editor und Dialogfeld Entscheidungsbaum
Hinweise. Für die Nutzung der PASW Entscheidungsbaum-Prozedur sind die folgenden Hinweise nützlich: i) Skalierung. Die Skalierung der interessierenden PASW Variablen muss analog zum Abschnitt 4.6.1 im Zuge der Variablendefinition adäquat vereinbart und in der Rubrik „Messniveau“ vermerkt sein. ii) Zielgröße. Im konkreten Fall fungiert die nominale PASW Variable FKK als Zielgröße bzw. abhängige Variable. iii) Prädiktoren. Als vermutete Prädiktoren bzw. unabhängige Variablen fungieren die drei nominalen PASW Variablen Religion, Sozial, Gender sowie die metrische stetige PASW Variable Alter, die im Zuge der Analyse per Voreinstellung automatisch in 10 Merkmalswerteklassen gruppiert wird. iv) Aufbaumethode. Im konkreten Fall wurde die CHAID-Prozedur als Aufbaumethode für den Entscheidungsbaum vereinbart. v) Einstellungen. Die PASW Prozedur zur Erstellung eines Entscheidungsbaumes ermöglicht eine babylonische Vielfalt von Steuerungsmöglichkeiten, die über die Schaltflächen Ausgabe..., Validierung..., Kriterien..., Speichern... und Optionen... optional vereinbart und angefordert werden können. Im Blickwinkel einer paradigmatischen Einführung in die Prozedur werden der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber bis auf eine Ausnahme die PASW Statistics Standardeinstellungen beibehalten. Die Ausnahme bezieht sich auf die Option Erste Variable erzwingen, mit der im konkreten Fall vereinbart wird, dass die erstplatzierte nominale Variable Religion als „primäre“ unabhängige Variable „zwingend“ festgelegt wird und darauf aufbauend der Einfluss der restlichen Prädiktoren in die statistische Klassifikation der Merkmalsträger Eingang finden. Ein Deaktivieren der Op-
Zusammenhangsanalyse
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tion Erste Variable erzwingen hat zur Folge, dass im prozeduralen Ablauf automatisch derjenige Prädiktor die höchste Priorität eingeräumt bekommt, der die höchste Erklärungsfähigkeit der Zielgröße FKK ermöglicht. Dabei ist zu beachten, dass man je nach Vorgehensweise in der Regel unterschiedliche Analyseergebnisse erhält. vi) Testvoraussetzungen. Aus statistisch-methodischer Sicht besteht ein Nachteil des CHAID-Konzeptes darin, dass die Voraussetzungen für die Anwendung des jeweils betreffenden statistischen Tests nicht „automatisch“ überprüft werden. Aus diesem Grunde sollte man in praxi diese Analyseform nur für eine statistische Gesamtheit bzw. Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem hinreichend großen Umfang n applizieren. i
Analyseergebnisse. Die Ergebnisse der CHAID-basierten MerkmalsträgerKlassifikation, die in der Tabelle 8.1.3-1 und in der Abbildung 8.1.3-2 zusammengefasst sind, können wie folgt interpretiert werden: Tabelle 8.1.3-1: Modell- und Ergebniszusammenfassung Spezifikationen
Ergebnisse
Aufbaumethode Abhängige Variable Unabhängige Variablen Validierung Maximale Baumtiefe Mindestanzahl der Fälle im übergeordneten Knoten Mindestanzahl der Fälle im untergeordneten Knoten Aufgenommene unabhängige Variablen Anzahl der Knoten Anzahl der Endknoten Tiefe
CHAID FKK Sozial, Gender, Alter, Religion Keine 3 100 50 Religion, Alter, Sozial 7 4 2
Prädiktoren. Zur statistischen und modellhaften Beschreibung der Einstellung von Studierenden zur Frei-Körper-Kultur sind von den eingangs vier statistisch erfassten und vermuteten Prädiktoren nur die drei Prädiktoren Religion(szugehörigkeit), Sozial(isation) und Alter von Bedeutung. Die Geschlechtszugehörigkeit einer befragten Person kann unter den beibehaltenen Standardeinstellungen nicht als ein wesentlicher Prädiktor zur statistischen Beschreibung, Modellierung und Vorhersage der persönlichen Einstellung zur Frei-Körper-Kultur aufgedeckt werden. Knoten. Insgesamt wurden im Zuge der CHAID-basierten Klassifizierung sieben Knoten identifiziert, worin im konkreten Fall vier Endknoten in Gestalt von vier disjunkten Teilgesamtheiten von Studierenden eingeschlossen sind. Der Knoten 0 kennzeichnet dabei nichts anderes als die realisierte Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 425 befragten Studierenden Ji in Gestalt der Marginalverteilung des nominalen und dichotomen Erhebungsmerkmals X(Ji): Einstellung zur Frei-Körper-Kultur innerhalb der Kontingenztabelle 8.1.1-1, die wiederum identisch ist mit der univariaten Verteilung der Zielgröße FKK. Demnach
292
Zusammenhangsanalyse
gaben von den insgesamt 425 zufällig ausgewählten und befragten Studierenden 202 Studierende bzw. (202/425)100 % # 47,5 % der Studierenden an, kein FKK-Fan zu sein und in logischer Konsequenz gaben 223 Studierende bzw. (223/425)100 % # 52,5 % der Studierenden an, ein FKK-Fan zu sein. Abbildung 8.1.3-2: CHAID-basierter Entscheidungsbaum
Wahrscheinlichkeiten. Deutet man gemäß dem schwachen Gesetz großer Zahlen eine relative Häufigkeit als eine „Wahrscheinlichkeit in Konvergenz“, dann beträgt (gemäß der Angaben im Knoten 0) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte und befragte Person angibt, ein FKK-Fan zu sein, 0,528. Beachtenswert ist dabei, dass im jeweiligen Knoten die dichotome Ausprägung mit der höchsten prozentualen relativen Häufigkeit (in ihrer Deutung als größte Ereigniswahrscheinlichkeit) grau unterlegt ist. Während zum Beispiel im Knoten 4, der die Menge der atheistisch geprägten Studierenden, die älter 25 Jahre sind, beschreibt, die Wahrscheinlichkeit für das zufällige Ereignis „FKK-Fan“ mit 0,753 am höchsten ist, wird im Knoten 5, also bei den religiös gebundenen Studierenden, die in den alten Bundesländern bzw. im Ausland „sozialisiert“
Zusammenhangsanalyse
293
wurden, dem zufälligen Ereignis „kein FKK-Fan“ mit 0,649 die höchste Wahrscheinlichkeit zugewiesen. Klassifikation. Aufgrund dessen, dass vereinbarungsgemäß der Prädiktor Religion(szugehörigkeit) als „erste Variable zwingend festgelegt“ wurde, wird im konkreten Fall in der ersten „Tiefe“ die Menge der 425 Studierenden in zwei disjunkte religionsspezifische Gruppen bzw. „Knoten“ mit einem Umfang von 241 bzw. 184 Studierenden aufgeteilt, die sich hinsichtlich ihrer Einstellung zur FKK signifikant voneinander unterscheiden und im Entscheidungsbaum mittels der Knoten der Ordnung eins und zwei gekennzeichnet werden. In der zweiten „Tiefe“ erhält man die Knoten 3 bis 6, die im konkreten Fall als Endknoten bezeichnet werden und die eine viergliedrige „finale“ Klassifikation sowie eine Vorhersage der Studierenden hinsichtlich ihrer Einstellung zur Frei-Körper-Kultur anhand der drei zugrundeliegenden Prädiktorvariablen ermöglichen. Abbildung 8.1.3-3: PASW Statistics Daten-Editor mit Prognoseergebnissen
Prognose. Die Abbildung 8.1.3-3 beinhaltet einen Auszug aus den merkmalsträgerbezogenen Prognoseergebnissen, die im Unterdialogfeld Entscheidungsbaum: Speichern optional vereinbart und angefordert werden können. Demnach wurde zum Beispiel der Student der Ordnung Nr = 12 prognostisch dem Knoten bzw. der Teilmenge der Ordnung 5 zugeordnet und bezüglich seiner Einstellung zur Frei-Körper-Kultur mit der Prognose „Fan“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,247 (Prob0) als „kein Fan“, also falsch und in logischer Konsequenz mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,735 (Prob1) als „Fan“, also richtig klassifiziert. Gewinntabelle. Liegt das Augenmerk der Prognose auf der Kategorie „FKKFan“, so erweist sich die Tabelle 8.1.3-2 als nützlich, die man gemäß Abbildung 8.1.3-1 via Schaltfläche Kategorien... durch die Festlegung auf die Ausprägung „Fan“ erhält und die in ihren Bestandteilen wie folgt interpretiert werden kann:
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Zusammenhangsanalyse Tabelle 8.1.3-2: „Gewinntabelle“ für die Endknoten Knoten 4 6 3 5
Knoten Anzahl Prozent 77 18,1% 50 11,8% 164 38,6% 134 31,5%
Gewinn Anzahl Prozent 58 26,0% 28 12,6% 90 40,4% 47 21,1%
Treffer 75,3% 56,0% 54,9% 35,1%
Index 143,6% 106,7% 104,6% 66,8%
Aufbaumethode: CHAID Abhängige Variable: FKK
Von den 77 atheistisch geprägten Studierenden, die älter als 25 Jahre waren und dem „finalen“ Knoten 4 zugeordnet wurden (dies sind (77/425)100 % = 18,1 % aller 425 befragten Studierenden), gaben im Sinne einer „Erfolgs- oder Gewinnmeldung“ 58 Befragte an, FKK-Fan zu sein. Im Ensemble aller 58 + 28 + 90 + 47 = 223 Studierenden, die angaben FKK-Fan zu sein, machen diese 58 FKK-Fans im Knoten 4 einen prozentualen Anteil von (58/223)100 % = 26,0 % aller FKK-Fans aus. Die Trefferquote von (58/77)100 % = 75,3 % für die Kategorie „FKK-Fan“ innerhalb des Knotens 4 indiziert einen überproportionalen FKK-Fan-Anteil von (26,0 %)/(18,1 %)100 % = 143,6 % im Knoten 4. Analog sind die anderen Ergebnisse innerhalb der endknotenbezogenen Gewinntabelle 8.1.3-2 zu interpretieren. Fehlklassifikation. Der Vollständigkeit halber soll letztlich noch die Fehlklassifikationsmatrix innerhalb der Tabelle 8.1.3-3 kommentiert werden. Tabelle 8.1.3-3: Fehlklassifikationsmatrix Beobachtet kein Fan Fan Gesamtprozentsatz
kein Fan 87 47 31,5%
Vorhergesagt Fan Prozent korrekt 115 43,1% 176 78,9% 68,5% 61,9%
Aufbaumethode: CHAID, Abhängige Variable: FKK
Demnach ist man mittels der drei Prädiktoren Religion(szugehörigkeit), Sozial(isation) und Alter letzten Endes in der Lage, nur ((87 + 176)/425)100 % = 61,9 % der 425 zufällig ausgewählten und befragten Studierenden hinsichtlich ihrer Einstellung zur Frei-Körper-Kultur „richtig bzw. korrekt“ zu klassifizieren. Das Risiko einer Fehlklassifikation ist mit ((115 + 47)/425)100 % = 38,1 % zu hoch und daher streng genommen für prognostische Zwecke inakzeptabel. h
Zusammenhangsanalyse
8.2
295
Rangkorrelationsanalyse
Motivation. Unter dem Begriff der Rangkorrelationsanalyse subsumiert man in der statistischen Methodenlehre die sachlogisch begründete Analyse eines statistischen Zusammenhanges zwischen zwei ordinalen bzw. mit Hilfe von Rangwerten ordinalisierten metrischen Erhebungsmerkmalen mit vielen sich voneinander unterscheidenden Merkmalsausprägungen. Ein in der empirischen Wirtschaftsund Sozialforschung häufig appliziertes Zusammenhangsmaß im Kontext einer Rangkorrelationsanalyse ist der Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN. Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN Für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n, an deren Merkmalsträgern Ji die Ausprägungspaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} der beiden mindestens ordinalen Erhebungsmerkmale X(Ji) und Y(Ji) beobachtet wurden, wobei dem Ausprägungspaar (xi, yi) das Rangzahlenpaar (RiX, RiY) zugeordnet wird, heißt die Größe n
rS 1
6 ¦ (R iX R iY )² i 1
n (n ² 1) Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation des Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN sind die folgenden Hinweise hilfreich: i) Maßzahl. Der Rangkorrelationskoeffizient rS nach SPEARMAN ist ein normiertes Zusammenhangsmaß ist, für das stets 1 d rS d 1 gilt. Liegt rS nahe 1, dann ist ein positiver oder gleichläufiger monotoner statistischer Zusammenhang angezeigt. Ein rS nahe 1 kennzeichnet einen negativen oder gegenläufigen monotonen statistischen Zusammenhang. Ein rS um 0 ist ein Indiz dafür, dass zwischen zwei Rangmerkmalen kein monotoner statistischer Zusammenhang nachweisbar ist. ii) Berechnung. Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach SPEARMAN ist streng genommen an die Bedingung gebunden, dass in beiden ordinalen bzw. ordinalisierten Merkmalen X und Y keine Rangbindungen (engl.: ties) auftreten, also gleichsam die ordinalen bzw. ordinalisierten Ausprägungspaare (xi, yi) und damit auch die Rangzahlenpaare (RiX, RiY) voneinander verschieden sind. Da in praktischen Anwendungen Rangbindungen häufig vorkommen, sollten in jeder der beiden Rangreihen höchstens ein Fünftel der Rangzahlen als Bindungen auftreten, wenn der Rangkorrelationskoeffizient rS aussagefähig sein soll. Ordinale Zusammenhangsmaße, die Rangbindungen berücksichtigen, sind die in PASW implementierten Rangkorrelationsmaße Wb und Wc (lies: Tau-b bzw. Tau-c) nach KENDALL. iii) Unabhängigkeitstest. In praxi erweisen sich der Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN und der daraus entlehnte Unabhängigkeitstest, der auf der HOTELLING-PAPST-Statistik beruht, vor allem dann von Vorteil, wenn es zu prüfen gilt, ob zwischen zwei bindungsfreien ordinalen bzw. zwischen zwei metrischen Erhebungsmerkmalen, die nicht normalverteilt sind und/oder durch Ausreißer- bzw. Extremwerte affiziert sind, ein signifikanter monotoner statistischer Zusammenhang besteht. In der angewandten Statistik testet man meist die
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Zusammenhangsanalyse
Nullhypothese H0: US = 0 gegen die zweiseitige Alternativhypothese H1: US z 0 bzw. in Abhängigkeit von sachlogischen Überlegungen gegen die jeweils einseitigen Alternativhypothesen H1: US < 0 bzw. H1: US > 0. Dabei bezeichnet US (lies: Rho) den wahren, jedoch unbekannten Korrelationskoeffizienten in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N Merkmalsträger Ji. iv) Genesis. Der Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN ist ein Spezialfall des Maßkorrelationskoeffizienten nach BRAVAIS & PEARSON, der ein Gegenstand des Abschnittes 8.3 ist. In Anwendung auf zwei bindungsfreie Rangreihen {(RiX, RiY), i = 1,2,...,n} liefern der Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN und der Maßkorrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON ein gleiches Ergebnis. v) Historie. Die Idee des Rangkorrelationskoeffizienten geht auf den amerikanischen Psychologen Charles Edward SPEARMAN (18631945) zurück. i
Beispiel 8.2-1: Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN Motivation. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav soll für die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 45 zufällig ausgewählten Berliner Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji, die im ersten Quartal 2010 im Berliner Stadtbezirk Mitte zwecks Vermietung angeboten wurden, die Stärke und die Richtung des statistischen Zusammenhanges zwischen den beiden metrischen Erhebungsmerkmalen X(Ji) = xi: Wohnfläche (in m²) und Y(Ji) = yi: monatliche Kaltmiete (in €) statistisch analysiert und „gemessen“ werden. Arbeitsdatei. Zur einfacheren Handhabung wurden die interessierenden Mietwohnungsdaten mittels der Auswahlbedingung Zimmer = 1 & Stadtteil = „Mit“ ausgewählt und „in ein neues Datenblatt kopiert“ (vgl. Beispiel 4.6.4-4). Abbildung 8.2-1: Daten-Editor und „standardisierte“ Boxplots Extremwert
Ausreißerwert
Boxplots. Im Vorfeld der angestrebten statistischen Zusammenhangsanalyse erweist es sich als vorteilhaft und geboten, die beiden metrischen Erhebungsmerkmale einer Explorativen Datenanalyse zu unterziehen. Bereits die beiden merkmalsspezifischen Boxplots innerhalb der Abbildung 8.2-1 lassen erkennen, dass die Merkmalswerte {(xi, yi), i = 1,2,...,n} der realisierten Zufallsstichprobe,
Zusammenhangsanalyse
297
die zu Vergleichszwecken via Sequenz 5.5-1 standardisiert und als Boxplots gemeinsam in einem Diagramm dargestellt wurden, sowohl durch Ausreißer- als auch durch Extremwerte affiziert und augenscheinlich schief verteilt sind. K-S-Test. Dass im konkreten Fall die empirisch erfassten Merkmalswerte xi und yi jeweils wegen D* = 0,000 < D = 0,05 nicht als Realisationen einer normalverteilten Zufallsgröße aufgefasst werden können, wird zudem noch durch den KOLMOGOROV-SMIRNOV-Anpassungstest in der LILLIEFORS-Modifikation untermauert, dessen Ergebnisse in der Tabelle 8.2-1 zusammengefasst sind. Tabelle 8.2-1: K-S-Test auf eine Normalverteilung
Rangkorrelationsanalyse. Da offensichtlich die beiden metrischen Erhebungsmerkmale X: Wohnfläche und Y: monatliche Kaltmiete in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji im Stadtteil Berlin-Mitte nicht als normalverteilt angesehen werden können, ist es aus statistisch-methodischer Sicht angezeigt, via Sequenz 8.2-1 eine Rangkorrelationsanalyse durchzuführen. Sequenz 8.2-1: Rangkorrelationsanalyse Analysieren Korrelation Bivariat ... o Abbildung 8.2-2 Abbildung 8.2-2: Daten-Editor und Dialogfeld Bivariate Korrelationen
298
Zusammenhangsanalyse
Ergebnisse. Die Tabelle 8.2-2 beinhaltet die Ergebnisse der Rangkorrelationsanalyse, die aus statistisch-methodischer und sachlogischer Sicht wie folgt interpretiert werden können: Tabelle 8.2-2: Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN
Wegen rS = 0,769 deutet man die positive Rangkorrelation zwischen der Wohnfläche X(Ji) und der monatlichen Kaltmiete Y(Ji) für die Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 45 Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji als ausgeprägt. Demnach geht für diese Mietwohnungen in der Regel ein hoher bzw. ein niedriger Wohnflächenrang RiX mit einem hohen bzw. einem niedrigen Kaltmietenrang RiY einher und umgekehrt. Abbildung 8.2-3: PASW Statistics Daten-Editor mit Rangdaten (R20X R20Y) = 18 – 1 = 17
Rangdifferenzen (RiX RiY)
(R19X R19Y) = 19 – 30 = -11
Aus dieser sachbezogenen Interpretation lässt sich die folgende logische Schlussfolgerung ableiten: Offensichtlich ist eine positive bzw. eine negative statistische Rangkorrelation um so stärker ausgeprägt, je kleiner bzw. je größer die merkmalsträgerbezogenen Rangplatzdifferenzen (RiX RiY) sind. Anhand der Abbildung 8.2-3 kann man sich die Grundidee einer Rangkorrelation zahlenmäßig und bildhaft zugleich verdeutlichen. Aufgrund dessen, dass augenscheinlich für die n = 45 Mietwohnungen Ji die Wohnflächenränge RiX (RFläche) zum Teil gravierend von den Kaltmieterängen RiY (RMiete) abweichen, hat dies zur logischen Folge, dass die Rangkorrelation nur mittelstark ausgeprägt ist. Während man gemäß Abbildung 8.2-3 zum Beispiel für die Mietwohnung Ji der Ordnung i = 19
Zusammenhangsanalyse
299
eine Rangdifferenz von R19X R19Y = 19 – 30 = 11 ermittelt, konstatiert man für die Mietwohnung Ji der Ordnung i = 20 eine merkmalsbezogene Rangdifferenz von R20X R20Y = 20 – 1 = 19 und etwa für die letzte Mietwohnung Ji der Ordnung i = 45 eine Rangdifferenz von R24X R24Y = 45 – 45 = 0. Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass sich gemäß Tabelle 8.2-2 alle n = 45 Rangdifferenzen (RiX RiY), die im Balkendiagramm innerhalb der Abbildung 8.2-3 bildhaft dargestellt sind, zu null addieren. Tabelle 8.2-3: Zwischenergebnisse
Dies ist auch der formale Grund dafür, warum man im Zuge der Berechnung des Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN die quadrierten Rangdifferenzen (RiX RiY)² in das Berechnungskalkül einfließen lässt, die sich gemäß Tabelle 8.2-3 zu einem Wert von 3502 summieren, so dass man gemäß Tabelle 8.2-2 den folgenden empirischen Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN erhält: 6 3502 rS 1 # 0,769 . 45 (45² 1) Bindungen. Aus didaktisch-methodischer Sicht ist es in diesem Zusammenhang geboten, darauf zu verweisen, dass die Wohnflächenwerte X(Ji) = xi und die Kaltmieten Y(Ji) = yi, die für eine Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 45 Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji empirisch erhoben wurden, durch keine Bindungen „affiziert“ sind, also für alle i, j = 1,2,...,n sowohl die Wohnflächenwerte xi z xj als auch die Kaltmietewerte yi z yj und damit auch die zugehörigen Rangzahlen RiX z RjX bzw. RiY z RjY wohl voneinander verschieden sind. Im Falle von existierenden Bindungen also von gleichen Merkmalswerten verwendet man in praxi in der Regel so genannte mittlere Rangzahlen, die im Unterdialogfeld Rangfolge bilden: Rangbindungen vereinbart werden können. Rangfolge. Gleichwohl im konkreten Fall mit dem Aufruf des Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN via Sequenz 8.2-1 alle reellen und „bindungsfreien“ Wohnflächen-Kaltmiete-Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} automatisch auf die Menge der natürlichen Rangzahlen RiX und RiY abgebildet werden, wurden analog zur Abbildung 8.2-3 einzig und allein aus didaktisch-methodischen und Anschaulichkeitsgründen via Sequenz 5.2.2-1 die Rangfolgen RiX { RFläche und RiY { RMiete im Unterdialogfeld Rangfolge bilden: Typen die Option Rang vereinbart und die Rangfolgen zusätzlich in die PASW Statistics Arbeitsdatei eingefügt. Die Rangfolgen werden für eine originäre PASW Statistics Variable durch das Präfixum bzw. die Vorsilbe R(ang) gekennzeichnet. h
300
Zusammenhangsanalyse
Beispiel 8.2-2: Rangkorrelationsbasierter Unabhängigkeitstest Motivation. Ist man in Weiterführung des Beispiels 8.2-1 und im Sinne der Induktiven Statistik daran interessiert, für die endliche statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji, die in Berlin-Mitte angeboten werden, die einseitige Ausgangshypothese H0: US d 0 gegen die einseitige Alternativhypothese H1: US > 0 auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 zu prüfen, dann praktiziert man den zugrundeliegenden Unabhängigkeitstest, dessen Ergebnisse in der Tabelle 8.2-1 vermerkt sind. Hypothesen. Die einseitige Fragestellung lässt sich im konkreten Fall wie folgt motivieren: Da man aus sachlogischen Gründen im Marktsegment von EinZimmer-Mietwohnungen in Berlin-Mitte, das hinsichtlich seiner Größe bzw. seines Umfanges N an Ein-Zimmer-Mietwohnungen Ji nicht näher spezifiziert ist, einen positiven bzw. gleichläufigen monotonen Zusammenhang zwischen der Wohnfläche X und der monatlichen Kaltmiete Y erwartet, formuliert man als Nullhypothese H0 genau das Gegenteil der sachlogischen Erwartung, nämlich, dass in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von Ein-ZimmerMietwohnungen in Berlin-Mitte zwischen den beiden metrischen (und nicht normalverteilten) Erhebungsmerkmalen X und Y kein bzw. ein umgekehrter (monotoner) statistischer Zusammenhang besteht, also H0: US d 0 gilt. Gelingt es aufgrund eines Zufallsstichprobenbefundes, die einseitige Nullhypothese H0: US d 0 zu verwerfen und damit zugleich die Alternativhypothese H1: US > 0 anzunehmen, kann auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D davon ausgegangen werden, dass im besagten Marktsegment * = {Ji, i = 1,2,...,N} von EinZimmer-Mietwohnungen Ji ein positiver monotoner statistischer Zusammenhang zwischen der Wohnfläche X und der monatlichen Kaltmiete Y besteht. Unabhängigkeitstest. Da gemäß Tabelle 8.2-1 im Vergleich von empirischem und vorgegebenem Signifikanzniveau offensichtlich D* = 0,000 < D = 0,05 gilt, verwirft man die einseitige Nullhypothese H0: Us d 0 zugunsten der einseitigen Alternativhypothese H1: Us > 0 und deutet den empirischen Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN in Höhe von rS = 0,769 auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 als signifikant größer als null. Demnach kann man im Mietwohnungsmarkt „Berlin-Mitte“, der aus statistisch-methodischer Sicht als eine endliche statistische Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von Ein-Zimmer- Wohnungen Ji aufgefasst werden kann, davon ausgehen, dass zwischen Wohnfläche X(Ji) und monatlicher Kaltmiete Y(Ji) ein gleichläufiger (bzw. direkter oder positiver) linearer Zusammenhang besteht. Mit dem Verwerfen der einseitigen Nullhypothese H0: Us d 0 findet man letzten Endes die einseitige Alternativhypothese H1: Us > 0 bestätigt, die formal nichts anderes beschreibt, als die eingangs sachlogisch begründete Zusammenhangsvermutung zwischen den beiden Erhebungsmerkmalen Wohnfläche X und monatlicher Kaltmiete Y. h
Zusammenhangsanalyse
8.3
301
Maßkorrelationsanalyse
Motivation. Unter dem Begriff der Maßkorrelationsanalyse fasst man in der statistischen Methodenlehre die sachlogisch begründete Analyse von statistischen Zusammenhängen zwischen mindestens zwei metrischen (und streng genommen normalverteilten) Erhebungsmerkmalen zusammen. Dabei erweist es sich stets als vorteilhaft, einer Maßkorrelationsanalyse sowohl eine explorative als auch eine grafische Datenanalyse vorzulagern. Bei der grafischen Datenanalyse kommt dem Streudiagramm eine besondere praktische Bedeutung zu. Streudiagramm Sind X(Ji) = xi und Y(Ji) = yi die empirisch beobachteten Merkmalswerte zweier metrischer Erhebungsmerkmale X und Y einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} vom Umfang n Merkmalsträger Ji, dann heißt eine grafische Darstellung der Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} in einem kartesischen Koordinatensystem Streudiagramm. Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation eines Streudiagramms erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonym. Ein Streudiagramm wird synonym auch als Scatterplot (engl.: scatter o zerstreuen + plot o Parzelle, Grundriss) bezeichnet. ii) Punktewolke. Die n Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} erscheinen als Punktewolke in einer zweidimensionalen Merkmalsebene. Aus dem Verlauf und der Form der Punktewolke lassen sich Schlussfolgerungen hinsichtlich der Stärke und der Richtung eines statistischen Zusammenhangs bzw. der Form der Abhängigkeit zwischen den beiden Erhebungsmerkmalen ziehen. Dabei werden in der Regel die Merkmalswerte X(Ji) = xi des Merkmals X auf der Abszisse und die Merkmalswerte Y(Ji) = yi des Merkmals Y auf der Ordinate abgetragen. iii) Interpretation. Zeigt die Punktewolke einen gestreckten und steigenden Verlauf, so ist dies ein Indiz für einen positiven oder gleichläufigen statistischen Zusammenhang. Ein gestreckter und fallender Verlauf einer Punktewolke ist ein Hinweis auf einen negativen oder gegenläufigen statistischen Zusammenhang. iv) Modifikationen. Die Konstruktion eines Streudiagramms ist nicht nur an die Betrachtung zweier Erhebungsmerkmale gebunden. Während man für drei Erhebungsmerkmale zum Beispiel ein dreidimensionales Streudiagramm konstruieren kann, so erweist sich vor allem in der explorativen Datenanalyse eine Streudiagramm-Matrix für drei oder mehr Erhebungsmerkmale mitunter als dienlich. v) Maßkorrelationskoeffizient. Während ein Streudiagramm der Erkennung eines statistischen Zusammenhangs dient, ist der Maßkorrelationskoeffizient eine Maßzahl für die Stärke und die Richtung eines linearen statistischen Zusammenhangs. i
Maßkorrelationskoeffizient. Das in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung wohl am häufigsten applizierte Zusammenhangsmaß im Kontext einer bivariaten (lat.: bis o zweifach + varia o Allerlei) Maßkorrelationsanalyse ist der Maßkorrelationskoeffizient, der auch als Korrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON bezeichnet wird und wie folgt charakterisiert werden kann:
302
Zusammenhangsanalyse
Maßkorrelationskoeffizient Ist {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine Menge von n Wertepaaren, die für zwei metrische Merkmale X(Ji) = xi und Y(Ji) = yi einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} vom Umfang n empirisch erhoben wurden, dann heißt die Größe n 1 ¦ ( x i x ) ( y i y) s XY n 1 i 1 rXY rYX n n sX sY 1 1 ¦ (x i x) 2 ¦ ( y i y) 2 n 1 i 1 n 1 i 1
bivariater Maßkorrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation eines Maßkorrelationskoeffizienten erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Synonyme. Der Korrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON wird synonym auch als einfacher linearer oder bivariater oder dualer Maßkorrelationskoeffizient oder als Produkt-MomentKoeffizient bezeichnet. ii) Interpretation. Der Maßkorrelationskoeffizient ist ein normiertes und symmetrisches Zusammenhangsmaß, für das stets 1 d rXY = rYX d 1 gilt. Ein Wert nahe 1 kennzeichnet einen starken gleichläufigen, ein Wert nahe 1 einen starken gegenläufigen linearen statistischen Zusammenhang. Ein Wert um 0 ist ein Indiz dafür, dass zwischen den Merkmalen X und Y statistisch kein linearer Zusammenhang nachweisbar ist bzw. dass die Merkmale X und Y (linear) voneinander unabhängig sind. Beachtenswert ist dabei, dass der Maßkorrelationskoeffizient stets nur die Stärke und die Richtung eines linearen statistischen Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Merkmalen messen kann. iii) Kovarianz. Die Basis einer Maßkorrelation bildet die empirische oder Stichprobenkovarianz sXY n 1 s XY ( x i x ) ( y i y) , n 1 i 1
¦
die jeweils das durchschnittliche Abweichungsprodukt der Merkmale X und Y kennzeichnet. Sie lässt die Grundidee der statistischen Maßkorrelation augenscheinlich werden: die Gleich- oder die Gegenläufigkeit der Abweichungen der jeweiligen Merkmalswerte um ihre Mittelwerte. Ein großer positiver Wert einer Kovarianz ist ein Indiz für eine ausgeprägte positive lineare Maßkorrelation, ein großer negativer Wert einer Kovarianz für eine ausgeprägte negative lineare Maßkorrelation. Allerdings ist eine Kovarianz als ein Korrelationsmaß wenig geeignet, da man für ihre Größe keine Norm kennt. Hinzu kommt noch, dass sie eine dimensionsgeladene Zahl ist, die eine plausible und sachlogische Interpretation erschwert. Aus diesem Grunde standardisiert man sie mit den (empirischen oder Stichproben-) Standardabweichungen sX und sY und interpretiert den Maßkorrelationskoeffizienten rXY als eine standardisierte Kovarianz. v) Unabhängigkeitstest. In praxi erweisen sich der Maßkorrelationskoeffizient und der daraus entlehnte Unabhängigkeitstest vor allem dann von Vorteil, wenn es zu prüfen gilt, ob zwischen zwei metrischen und normalverteilten Erhebungsmerkmalen X und Y ein signifikanter statistischer Zusammenhang besteht. In der angewandten Statistik testet man auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D meist die Nullhypothese H0: UXY = 0 gegen die zweiseitige Alternativhypothese H1: UXY z 0 bzw. in Abhängigkeit von sachlogischen Überlegungen
Zusammenhangsanalyse
303
gegen die einseitigen Alternativhypothesen H1: UXY < 0 bzw. H1: UXY > 0. Dabei bezeichnet UXY (lies: Rho) den wahren, jedoch unbekannten Korrelationskoeffizienten in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N Merkmalsträgern Ji. vi) Derivat. Untrennbar mit dem Begriff eines bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten ist der Begriff eines partiellen (lat.: partialis o anteilig) linearen Maßkorrelationskoeffizienten verbunden. Sind X, Y und Z drei metrische Erhebungsmerkmale, dann verwendet man zum Beispiel den partiellen Maßkorrelationskoeffizienten rXY.Z, um die Stärke und die Richtung des linearen statistischen Zusammenhanges zwischen Y und X unter der „Kontrolle“ von Z zu analysieren und zu messen. vii) Historie. Die Idee des Maßkorrelationskoeffizienten geht auf den französischen Physiker Auguste BRAVAIS (18111863) zurück. Seinem triumphalen statistischen Siegeszug verdankt er dem englischen Statistiker Karl PEARSON (18571936). Ihnen zu Ehren wird der Korrelationskoeffizient auch als Maßkorrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON bezeichnet. i
Beispiel 8.3-1: Bivariate Maßkorrelationsanalyse Motivation. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav soll für die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} von n = 785 Hühnereiern Ji analysiert werden, ob und in welcher Intensität und Richtung zwischen den metrischen, extremwertbereinigten und normalverteilten Merkmalen X: Breite (in mm) und Y: Gewicht (in g) ein statistischer Zusammenhang besteht. Streudiagramm. Im Vorfeld einer Maßkorrelationsanalyse erweist es sich stets als vorteilhaft, mit Hilfe eines Streudiagramms „visuell“ zu prüfen, ob die Annahme eines statistischen Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Erhebungsmerkmalen berechtigt erscheint. Ein Streudiagramm kann in PASW Statistics zum Beispiel analog zur Abbildung 8.3-1 via „Veraltete Dialogfelder“ oder analog zur Abbildung 8.1.1-4 via Diagrammerstellung und mittels der Galerieoption „Streu- oder Punkt- Diagramm“ erstellt werden. Abbildung 8.3-1: Erstellung eines Streudiagramms
Die Abbildung 8.3-2 zeigt das im PASW Statistics Diagramm-Editor bearbeitete und durch Mittelwertlinien ergänzte Streudiagramm für die n = 785 Hühnereier Ji
304
Zusammenhangsanalyse
bezüglich der extremwertbereinigten metrischen und stetigen Erhebungsmerkmale X: Breite und Y: Gewicht. Abbildung 8.3-2: Streudiagramm
Das einfache zweidimensionale Streudiagramm innerhalb der Abbildung 8.3-2 liefert die folgenden elementaren und leicht nachvollziehbaren Erkenntnisse: Die „gestreckte und ansteigende“ Punktewolke besitzt einen linearen Verlauf, der trotz einer augenscheinlichen und zufallsbedingten Streuung erkennen lässt, dass überdurchschnittlich breite Eier in der Regel auch ein überdurchschnittlich hohes Gewicht besitzen und unterdurchschnittlich breite Eier eher durch ein unterdurchschnittlich hohes Gewicht gekennzeichnet sind. Aus sachlogischer Sicht deutet diese noch recht unscharfe Gewichts- und Breitenkonkordanz (lat.: concordare o übereinstimmen, gleichläufig) auf einen gleichläufigen bzw. positiven linearen statistischen Zusammenhang hin. Die gestrichelten Mittelwertlinien, welche die Streufläche in vier Quadranten teilen, ermöglichen eine anschauliche Darstellung der Grundidee der PEARSONschen Maßkorrelation: Das Studium der Gleich- oder der Gegenläufigkeit der Merkmalswerte zweier metrischer Merkmale um ihre Mittelwerte. Zeigt sich anhand eines Streudiagramms, dass die überwiegende Mehrheit der Merkmalsträger bezüglich zweier metrischer Merkmale im ersten und im dritten Quadranten angesiedelt ist, also die Merkmalswerte paarweise jeweils unter- bzw. überdurchschnittlich ausgeprägt sind, dann ist dies ein Indiz für eine positive statistische Maßkorrelation. Streuen hingegen die Punkte der Punktewolke vorwiegend im zweiten und im vierten Quadranten, zeigen sie also mehrheitlich ein diskordantes (lat.: discordare o nicht übereinstimmen, gegenläufig), also ein gegenläufiges Verhalten um ihre Mittelwerte, so ist dies ein Indiz für eine negative oder gegenläufige Maßkorrelation. Kovariation. Da offensichtlich die überwiegende Mehrheit der Hühnereier entweder unterdurchschnittlich leicht und breit (bzw. schmal) oder überdurchschnittlich schwer und breit ist, spricht man in der statistischen Methodenlehre
Zusammenhangsanalyse
305
auch von einer ausgeprägten gleichläufigen oder konkordanten oder positiven Kovariation von Gewicht und Breite der Hühnereier. Maßkorrelation. Das Streudiagramm innerhalb der Abbildung 8.3-1 liefert im konkreten Fall zwar eindeutige Informationen über die Richtung, nicht aber über die Stärke des linearen statistischen Zusammenhangs zwischen Breite X(Ji) und Gewicht Y(Ji) der betrachteten Hühnereier Ji. Beides vermag der einfache oder bivariate Maßkorrelationskoeffizient nach BRAVAIS und PEARSON, den man am einfachsten via Sequenz 8.2-1 anfordert, indem man gemäß Abbildung 8.2-2 im Dialogfeld Bivariate Korrelationen innerhalb der Rubrik Korrelationskoeffizienten die Option Pearson markiert. Die Tabelle 8.3-1 beinhaltet das PASW Statistics Ergebnisprotokoll für die praktizierte bivariate Maßkorrelationsanalyse in Gestalt einer so genannten (2 u 2)-Korrelationsmatrix. Tabelle 8.3-1: Bivariate Maßkorrelationskoeffizienten Gewicht in g Breite in mm
Korrelation nach Pearson Korrelation nach Pearson
Gewicht in g 1 ,821
Breite in mm ,821 1
Interpretation. Der bivariate Maßkorrelationskoeffizient kann wie folgt interpretiert werden: Wegen rXY = rYX = 0,821 besteht in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} der n = 785 Hühnereier Ji zwischen der Breite X(Ji) und dem Gewicht Y(Ji) ein starker gleichläufiger bzw. positiver linearer statistischer Zusammenhang. Demnach sind in der Regel überdurchschnittlich breite Hühnereier überdurchschnittlich schwer und unterdurchschnittlich breite Eier in der Regel unterdurchschnittlich schwer bzw. überdurchschnittlich schwere Hühnereier überdurchschnittlich breit und unterdurchschnittliche schwere Hühnereier unterdurchschnittlich breit. Aus der angebotenen sachlogischen Interpretation wird deutlich, dass der einfache oder bivariate lineare Maßkorrelationskoeffizient seinem Wesen nach ein symmetrisches Zusammenhangsmaß ist. Dies ist auch der Grund dafür, warum in PASW Statistics eine (streng genommen redundante) quadratische und symmetrische (2 u 2)-Korrelationsmatrix bereitgestellt wird. Tabelle 8.3-2: Kreuzproduktmatrix Breite in mm
Gewicht in g
Korrelation nach Pearson Quadratsummen und Kreuzprodukte Kovarianz Anzahl Korrelation nach Pearson Quadratsummen und Kreuzprodukte Kovarianz Anzahl
Breite in mm 1 1092,157 1,393 785 ,821 3616,738 4,613 785
Gewicht in g ,821 Gewicht in g Breite in mm 17769,944 22,666 785
306
Zusammenhangsanalyse
Kreuzproduktmatrix. In der Tabelle 8.3-2 ist die Matrix der so genannten Breite-Gewicht-Kreuzprodukte zusammengefasst, welche die „inneren Zusammenhänge“ bei der Berechnung des Maßkorrelationskoeffizienten verdeutlichen. In der (2 u 2)-Kreuzproduktmatrix kennzeichnet der Wert n
¦ (y
i
y)² # 17769,944 (g)²
i 1
die Summe der quadratischen Abweichungen der empirisch beobachteten Hühnereiergewichte Y(Ji) = yi von ihrem arithmetischen Mittel, der Wert n
¦ (x
i
x )² # 1092,157 (mm)²
i 1
die Summe der quadratischen Abweichungen der empirisch beobachteten Hühnereierbreiten X(Ji) = xi von ihrem arithmetischen Mittel und der Wert n
¦ (x
i
x ) ( y i y) # 3616,738 (mmg)
i 1
die Summe der Abweichungsprodukte der Hühnereierbreiten X(Ji) = xi von ihrem arithmetischen Mittel und der Hühnereiergewichte Y(Ji) = yi von ihrem arithmetischen Mittel, die auch als Kreuzproduktsumme bezeichnet wird. Kovarianz. Die Kreuzproduktsumme bildet wiederum die Grundlage für die Berechnung der empirischen Kovarianz n 1 1 s XY ¦ ( x i x ) ( y i y) # 3616,738 # 4,613 (mmg) n 1 i 1 785 1 der empirisch beobachteten Hühnereierbreiten X(Ji) = xi und Hühnereiergewichte Y(Ji) = yi, die im konkreten Fall als eine Stichprobenkovarianz definiert ist, eine Festlegung, die letztlich für die Berechnung eines Maßkorrelationskoeffizienten ohne Belang ist. Der positive Wert der empirischen Kovarianz bestätigt für die statistische Gesamtheit *n aller n = 785 Hühnereier Ji zumindest im Vorzeichen den im Streudiagramm angezeigten positiven linearen statistischen Zusammenhang. Inwieweit allerdings die empirische Kovarianz von sXY = 4,613 „Millimeter-Gramm“ für deren „Höhe“ man keine „Norm“ kennt, als ein Indiz für einen starken positiven linearen statistischen Zusammenhang anzusehen ist, lässt sich nur plausibel beantworten, wenn man die empirische Kovarianz mit den empirischen Standardabweichungen der beiden Erhebungsmerkmale „normiert“. Standardabweichungen. Verwendet man die jeweilige Summe der quadrierten Abweichungen, dann erhält man mit n 1 1 sY ¦ ( y i y)² 17769,944 # 22,666 # 4,761 (g) n 1 i 1 785 1 die Standardabweichung sY der Hühnereiergewichte Y(Ji) = yi und mit n 1 1 sX ¦ ( x i x )² 1092,157 # 1,393 # 1,180 (mm) n 1 i 1 785 1
Zusammenhangsanalyse
307
die Standardabweichung sX der Hühnereierbreiten X(Ji) = xi, die im konkreten Fall gleichsam als Stichproben-Standardabweichungen definiert sind. Maßkorrelationskoeffizient. Normiert man die dimensionsgeladene empirische Kovarianz mit dem Produkt der ebenso dimensionsgeladenen, jedoch plausibel interpretierbaren empirischen Standardabweichungen, so erhält man letztlich für die beiden metrischen und stetigen Erhebungsmerkmale Gewicht X(Ji) und Breite Y(Ji) in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} aller n = 785 Hühnereier Ji den bivariaten, symmetrischen, dimensionslosen und normierten Maßkorrelationskoeffizienten s XY 4,613 mm g rXY rYX # 0,821 s X s Y 1,180 mm 4,761 g nach BRAVAIS und PEARSON. Verwendet man für die Berechnung nur die Kreuzproduktsummen aus der Kreuzproduktmatrix innerhalb der Tabelle 8.3-2, so gelangt man wegen n
rXY
rYX
¦ (x
i
x ) ( y i y)
i 1
n
¦ (x i 1
i
x) 2
n
¦ (y
i
y) 2
3616,738 mm g # 0,821 1092,157 g ² 17769,994 mm²
i 1
zu einem gleichen Ergebnis. h Beispiel 8.3-2: Maßkorrelationsbasierter Unabhängigkeitstest Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung besitzt man oft keinerlei Kenntnis darüber, ob zwischen zwei Phänomenen eine Wechselwirkung besteht. Aus diesem Grunde ist man bestrebt, anhand eines Zufallsstichprobenbefundes statistisch zu überprüfen, ob im konkreten Fall von einem signifikanten statistischen Zusammenhang ausgegangen werden kann oder nicht. Dieses klassische Problem der angewandten Statistik soll exemplarisch anhand der PASW Statistics Datendatei Evaluation.sav demonstriert werden, indem es auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 die folgende Unabhängigkeitshypothese H0 statistisch zu überprüfen gilt: „Für Lehrveranstaltungen Ji im Studiengang Betriebswirtschaftslehre besteht kein Zusammenhang zwischen dem Evaluationsergebnis X(Ji), das auf einer Intervallskala mit den Randwerten 0 und 5 basiert und von den Studierenden für eine Lehrveranstaltung Ji im Durchschnitt vergeben wurde, und dem Semesterabschlussergebnis Y(Ji), das auf einer Intervallskala mit den Randwerten 1 und 5 definiert ist und von den eingeschriebenen Teilnehmern einer Lehrveranstaltung Ji im Durchschnitt erzielt wurde.“ Explorative Datenanalyse. In der Abbildung 8.3-3 sind die Boxplots der standardisierten Evaluationspunkte und der standardisierten Durchschnittsnoten sowie das Punkte-Noten-Streudiagramm auf der Basis der originären Daten dargestellt. Die symmetrischen Boxplots indizieren jeweils normalverteilte Evalua-
308
Zusammenhangsanalyse
tionspunkte xi und Durchschnittsnoten yi für die im Zuge einer Stichprobe *n = {Ji, i = 1,2,…,n} vom Umfang n = 30 zufällig ausgewählten Lehrveranstaltungen Ji im Studiengang Betriebswirtschaftslehre (Filter: Studiengang = 1). Diesen explorativen Befund findet man zudem durch den jeweiligen KOLMOGOROVSMIRNOV-Anpassungstest auf eine Normalverteilung bestätigt. Abbildung 8.3-3: Standardisierte Boxplots und originäres Streudiagramm
Maßkorrelationsanalyse. Da es sich bei beiden Merkmalen um metrische und normalverteilte Erhebungsmerkmale einer evaluierten Lehrveranstaltung handelt, ist die Maßkorrelationsanalyse in Verbindung mit dem darauf aufbauenden Unabhängigkeitstest für einen bivariaten Zufallsvektor ein geeignetes Analyseinstrument, der via Sequenz 8.2-1 und analog zur Abbildung 8.3-4 im Dialogfeld Bivariate Korrelationen angefordert werden kann. Abbildung 8.3-4: Daten-Editor und Dialogfeld Bivariate Korrelationen
Die Ergebnisse der bivariaten Maßkorrelationsanalyse und des angestrebten und zu praktizierenden Unabhängigkeitstests sind in der vereinfachten und verkürzten Tabelle 8.3-3 zusammengefasst.
Zusammenhangsanalyse
309
Tabelle 8.3-3: Maßkorrelationsanalyse Evaluationspunkte Durchschnittsnote
Korrelation nach Pearson Signifikanz (2-seitig) Anzahl
-,410 ,025 30
Unabhängigkeitstest. Wegen D* = 0,025 < D = 0,05 verwirft man die eingangs formulierte Unabhängigkeitshypothese und deutet (im Sinne eines zweiseitigen Tests) den bivariaten linearen Maßkorrelationskoeffizienten von 0,410 als signifikant verschieden von null. Der negative Maßkorrelationskoeffizient koinzidiert mit dem Streudiagramm innerhalb der Abbildung 8.3-3. Die Punktewolke lässt einen schwach ausgeprägten umgekehrten linearen statistischen Zusammenhang zwischen dem Evaluationsergebnis und der Durchschnittsnote zum Semesterabschluss für die n = 30 zufällig ausgewählten Lehrveranstaltungen Ji erkennen. Die scheinbar paradoxe negative Korrelation wird durch die traditionelle Notengebung „erzeugt“, indem für eine sehr gute Leistung keine „hohe“, sondern eine „niedrige“ Note vergeben wird und umgekehrt. Demnach erfahren in der Regel die Lehrveranstaltungen mit den „besseren und zugleich niedrigeren“ durchschnittlichen Semesterabschlussnoten in der Regel durch die Studentenschaft auch eine „höhere“ mittlere Punktebewertung und umgekehrt. h Beispiel 8.3-3: Partielle Maßkorrelationsanalyse Motivation. Die Grundidee einer partiellen statistischen Maßkorrelation soll in Anlehnung an das Beispiel 8.3-1 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav für die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} der n = 785 Hühnereier Ji, an denen die drei metrischen und normalverteilten Erhebungsmerkmale X(Ji): Breite (mm), Y(Ji): Gewicht (g) und Z(Ji): Höhe (mm) statistisch erhoben wurden, motiviert und erläutert werden. Abbildung 8.3-5: Daten-Editor und Dialogfeld Bivariate Korrelationen
310
Zusammenhangsanalyse
Korrelationsmatrix. In der Tabelle 8.3-4 ist die symmetrische und quadratische (3 u 3)-Matrix der bivariaten linearen Maßkorrelationskoeffizienten dargestellt, die für die drei metrischen Erhebungsmerkmale gemäß Abbildung 8.3-5 im Dialogfeld Bivariate Korrelationen angefordert werden kann. Tabelle 8.3-4: (3 u 3)-Korrelationsmatrix Breite in mm Gewicht in g Höhe in mm
Breite in mm 1 ,821 ,427
Gewicht in g ,821 1 ,734
Höhe in mm ,427 ,734 1
Die (3 u 3)-Korrelationsmatrix findet ihre bildhafte Darstellung in der (3 u 3)Streudiagramm-Matrix innerhalb der Abbildung 8.3-6, die man zum Beispiel via Diagramme, Diagrammerstellung, Streudiagramm-Matrix erstellen kann. Abbildung 8.3-6: (3 u 3)-Streudiagramm-Matrix
rXY = 0,821
rXZ = 0,427
rYZ = 0,734
Bemerkenswert ist dabei, dass in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} der n = 785 Hühnereier Ji der lineare statistische Zusammenhang zwischen Breite X und Höhe Z wegen rXZ = rZX = 0,427 nicht allzu stark ausgeprägt ist. Hinzu kommt noch, dass im Ensemble der drei statistisch erhobenen Merkmale Breite X(Ji), Gewicht Y(Ji) und Höhe Z(Ji) dieser Teilzusammenhang nicht plausibel zu begründen ist, wenn er für eine Menge mehr oder weniger gleichgewichtiger Hühnereier Ji betrachtet wird. In diesem Falle würde man erwarten, dass sich Breite X(Ji) und Höhe Z(Ji) eher umgekehrt proportional zuein-
Zusammenhangsanalyse
311
ander verhalten, etwa derart, dass breitere Eier in der Höhe eher kleiner ausfallen, als weniger breite Eier und umgekehrt. Partielle Korrelation. In der Tat findet man diese Überlegungen auch statistisch anhand der Ergebnisse der partiellen Maßkorrelationsanalyse bestätigt, die man via Sequenz 8.3-1 anfordern kann und deren Ergebnis in der Tabelle 8.3-5 zusammengefasst ist. Sequenz 8.3-1: Partielle Maßkorrelation Analysieren Korrelation Partiell... o Abbildung 8.3-7 Abbildung 8.3-7: Daten-Editor und Dialogfeld Partielle Korrelationen
Kontrollvariable. Im konkreten Fall ist zu beachten, dass für die betrachteten Hühnereier der partielle lineare statistische Zusammenhang zwischen der Breite X und der Höhe Z unter Ausschaltung des Einflusses des Gewichts Y analysiert werden soll. Das Erhebungsmerkmal Y(Ji) eines Hühnereies Ji fungiert dabei als die so genannte Kontrollvariable, welche die Betrachtung des partiellen statistischen Zusammenhangs zwischen Breite X und Höhe Z erster Ordnung im Ensemble der drei Eiermerkmale X, Y und Z erst ermöglicht. Tabelle 8.3-5: Partieller Maßkorrelationskoeffizient Kontrollvariable(n) Gewicht in g
Breite in mm Höhe in mm
Korrelation Korrelation
Breite in mm 1,000 -,453
Höhe in mm -,453 1,000
Interpretation. Wegen rXZ.Y = rZX.Y = 0,453 besteht in der statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,…,n} der n = 785 Hühnereier Ji zwischen der Breite X(Ji) und der Höhe Z(Ji) ein umgekehrter bzw. ein negativer (partieller) linearer statistischer Zusammenhang mittlerer Stärke, wenn der Einfluss des Gewichts Y(Ji) ausgeschaltet bzw. kontrolliert bzw. als konstant angenommen wird.
312
Zusammenhangsanalyse
Berechnung. Verwendet man die bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten aus der (3 u 3)-Korrelationsmatrix innerhalb der Tabelle 8.3-4, so erhält man wegen rXZ rXY rYZ 0,427 0,821 0,734 rXZ.Y # 0,453 2 2 (1 (0,821)²) (1 (0,734)²) (1 rXY ) (1 rYZ )
ein gleiches Ergebnis. Beachtenswert ist dabei, dass man im konkreten Fall insgesamt drei wohl zu unterscheidende partielle Maßkorrelationskoeffizienten berechnen kann. Die beiden verbleibenden partiellen linearen Maßkorrelationskoeffizienten rYZ.X = 0,743 und rXY.Z = 0,826 belegen zahlenmäßig und augenscheinlich, dass die jeweilige Kontrollvariable den zugrundeliegenden bivariaten statistischen Zusammenhang nicht „verzerrend überlagert“. Maßkorrelation. Eine sehr anschauliche Darstellung der Grundidee einer statistischen Maßkorrelation im Allgemeinen und einer partiellen statistischen Maßkorrelation im Speziellen vermittelt letztlich die Abbildung 8.3-8, die gemeinsam mit dem PASW Statistics Daten-Editor das Breite-Höhe-Streudiagramm für die Teilmenge von n = 35 Hühnereiern Ji beinhaltet, die durch ein „konstantes“ Gewicht von Y(Ji) = yi = 64 g gekennzeichnet sind. Abbildung 8.3-8: PASW Statistics Daten-Editor und Streudiagramm
Die Punktewolke im Breite-Höhe-Streudiagramm indiziert mit ihrem „fallenden Verlauf“ eine stark ausgeprägte negative lineare statistische Korrelation zwischen Breite und Höhe von Hühnereiern mit einem „konstanten bzw. kontrollierten“ Gewicht von 64 g. Der bivariate Maßkorrelationskoeffizient von -0,817 untermauert zahlenmäßig den grafischen bzw. explorativen Datenbefund. h
Zusammenhangsanalyse
313
Beispiel 8.3-4: Nonsense-Korrelation Motivation. Was in einschlägigen Lehrbüchern nicht dick unterstrichen genug vermerkt und in der alltäglichen akademischen Lehre nicht lautstark genug verkündet werden kann, ist die einfache und doch so fundamentale Botschaft, dass eine statistische Zusammenhangsanalyse stets sachlogisch zu begründen ist und keine Kausalitätsanalyse ersetzt. Und dennoch wird sowohl in der empirischen Forschung als auch in der angewandten Statistik das Kausalitätslemma als „conditio sine qua non“ oder „unerlässliche Bedingung“ immer wieder missachtet. Das Resultat dieser Missachtung ist allbekannt und hat auch einen Namen: die Nonsense-Korrelation.20 Nonsense-Korrelation. Was meinen eigentlich Statistiker damit, wenn sie sich des Begriffs „Nonsense-Korrelation“ bedienen? Die Antwort auf diese Frage lässt sich schwerlich nur mit einem klugen und überzeugenden Satz beantworten, zumal der Born von sinnentstellenden und sinnentleerten Korrelationen schier unerschöpflich zu sein scheint. Stark vereinfacht formuliert ist die NonsenseKorrelation eine Umschreibung für die folgende Situation: Zwei Variablen oder zwei statistische Erhebungsmerkmale sind korreliert, ohne allerdings ursächlich miteinander in Verbindung zu stehen. Abbildung 8.3-9: Daten-Editor mit Streudiagramm für Nonsense-Korrelation21
In der Abbildung 8.3-9 ist für die 16 Bundesländer der Bundesrepublik Deutschland im Jahr 2006 das zahlenmäßige Zusammenspiel zwischen der Anzahl der 20 Ein lehr- und zugleich aufschlussreiches Kapitel zu Schein- und Nonsense-Korrelationen findet man unter der Kapitelüberschrift „Des Unsinns liebsten Kind“ in ECKSTEIN, Peter P.: Kostproben aus der Hexenküche der Statistik – Skurriles, Leichtbekömmliches und Schwerverdauliches, Rainer Hampp Verlag München und Mering 2009, Seite 43 ff. 21 Quelle: Statistisches Jahrbuch 2008 für die Bundesrepublik Deutschland, Statistisches Bundesamt, Seite 49 und 151
314
Zusammenhangsanalyse
Totgeborenen und der Anzahl der Habilitationen an den Universitäten und Hochschulen bildhaft dargestellt. Die zugehörigen Daten sind in der aus der PASW Statistics Datendatei Nonsensekorrelation.sav gespeichert. Spätestens an dieser Stelle wird der interessierte Leser nach der Sinnhaftigkeit dieser Korrelationsanalyse fragen. Was haben aus sachlogischer Sicht die Totgeborenen und die Habilitationen an Universitäten und Hochschulen miteinander zu tun? Überhaupt nichts, lautet das Urteil eines gesunden Menschenverstandes. Und dies zu Recht. Nur ein Zyniker wird den Maßkorrelationskoeffizienten nach BRAVAIS und PEARSON in Höhe von 0,911, der eine sehr stark ausgeprägte positive lineare statistische Korrelation indiziert, dahingehend zu deuten versuchen, dass manche Habilitation eben von vornherein ein totgeborenes Kind ist. Wenn man sich nicht auf das zweifelhafte Argument verlegen möchte, dass in unserem irdischen Dasein eben alles von allem abhängt, dann wird man im Kontext von Korrelationsanalysen immer nur diejenigen Phänomene betrachten, deren Zusammenspiel auch sachlogisch und plausibel begründet werden kann. Die Kausalitätsanalyse, also die Betrachtung einer plausiblen und nachvollziehbaren Ursache-WirkungsBeziehung, gehört schlechthin nicht nur in das Vorfeld, sondern stets in das Zentrum einer zusammenhangsanalytischen Betrachtung gerückt. Partielle Korrelation. Bereits die partielle Korrelationsanalyse, in deren Kontext gemäß Abbildung 8.3-10 der sinnentleerte statistische Zusammenhang zwischen den Totgeborenen und den Habilitationen unter Berücksichtigung des Bevölkerungsstandes und der Anzahl der Universitäten in den 16 Bundesländern betrachtet wird, scheint den trügerischen Problemnebel etwas zu lichten. Abbildung 8.3-10: Daten-Editor und Dialogfeld Partielle Korrelationen
Der partielle Korrelationskoeffizient in Höhe von -0,313 untermauert zahlenmäßig den kausalanalytisch erwarteten Befund einer sehr schwachen, eher zufallsbedingten und daher auch in ihrem Vorzeichen vernachlässigbaren linearen statistischen Korrelation zwischen den Totgeborenen und den Habilitationen. h
Regressionsanalyse
315
9 Regressionsanalyse Schlüsselwörter Bestimmtheitsmaß Bivariate Regression Elastizitätsfunktion Grenzfunktion Kollinearität
Lineare Regression Multiple Regression Nichtlineare Regression Residualstandardfehler Streudiagramm
Gegenstand. Dieses Kapitel hat die statistische Regressionsanalyse (lat.: regressio o das Zurückführen, Rückgang (auf ein mittleres Niveau)) zum Gegenstand. Im Kontext einer Regressionsanalyse, die ein Teilgebiet der multivariaten (lat.: multus o vielfach + varia o Allerlei) Statistik ist, steht das Messen einseitig gerichteter statistischer Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren Merkmalen mit Hilfe geeigneter Modelle und Maßzahlen im Vordergrund. Kausalität. Analog zur statistischen Zusammenhangsanalyse gelten auch für eine statistische Regressionsanalyse die folgenden Prämissen: Eine statistische Regressionsanalyse ist stets sachlogisch zu begründen und ersetzt keine Kausalitätsanalyse (lat.: causalis o ursächlich). Mit Hilfe der Zusammenhangsanalyse und der Regressionsanalyse ist man stets nur in der Lage, Kausalitäten aufdecken und/oder bestätigen zu helfen. Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, paradigmatisch anhand praktischer Problemstellungen zu zeigen, wie unter Verwendung grafischer und numerischer Verfahren eine Regressionsanalyse mit Hilfe des linearen und des nichtlinearen Regressionsmodells bewerkstelligt werden kann. Dabei stehen Bau und Interpretation der Modelle im Vordergrund. h
316
9.1
Regressionsanalyse
Bivariate lineare Regression
Motivation. Dieser Abschnitt hat die einfache oder bivariate (lat.: bis o zweifach + varia o Allerlei) lineare Regressionsanalyse auf der Basis zweier metrischer Erhebungsmerkmale zum Gegenstand. Dabei stehen Bau und Interpretation eines bivariaten linearen Kleinste-Quadrate-Regressionsmodells im Vordergrund. Das Modell einer bivariaten linearen Regression, das in der empirischen Wirtschaftforschung wegen seiner Einfachheit eine breite Anwendung erfährt, kann wie folgt charakterisiert werden: Bivariate lineare Regression Sind X(Ji) = xi und Y(Ji) = yi die Werte zweier metrischer Erhebungsmerkmale X und Y einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n Merkmalsträger Ji, dann heißt das Modell Y = b0 + b1X + U zur funktionalen Beschreibung der linearen statistischen Abhängigkeit des Merkmals Y vom Merkmal X bivariate oder einfache lineare Regression von Y auf X. Hinweise. Für Verständnis der Grundidee einer einfachen linearen Regression, die auch als bivariate lineare Regression bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich: i) Gegenstand. Die Regressionsanalyse hat stets nur die statistische Analyse einseitig gerichteter Abhängigkeiten zum Gegenstand, wobei im konkreten Fall wegen Y m X bzw. Y = f(X) die statistische Abhängigkeit eines Merkmals Y von einem Merkmal X analysiert wird. ii) Regressand. Das abhängige Merkmal Y wird auch als Regressand bezeichnet. Im stochastischen und induktiven Sinne wird der Regressand Y als eine Zufallsgröße (vgl. Abschnitt 6.4) aufgefasst. iii) Regressor. Das erklärende oder unabhängige Merkmal X, auch Regressor genannt, wird im Sinne eines kontrollierten Experiments als eine Kontrollvariable gedeutet, die in der Regel nur fest vorgegebene Werte annimmt. iv) Restvariable. U bezeichnet eine nicht direkt beobachtbare und zufallsbedingte Residualvariable (lat.: residuum o Rest), die sich sachlogisch wie folgt motivieren lässt: Da in der ökonomischen Realität in der Regel keine „eindeutige“ funktionale Abhängigkeit zwischen einem Merkmal Y und einem Merkmal X existiert, geht man davon aus, dass diese zumindest statistisch „im Mittel“ besteht, wobei diese mittlere statistische Abhängigkeit durch eine nicht unmittelbar beobachtbare, zufällige Rest- oder Störvariable additiv überlagert wird. v) Parameter. Die Koeffizienten b0 und b1 heißen Parameter der linearen Regression von Y auf X, kurz: Regressionsparameter. Der Parameter b0 wird auch Regressionskonstante (engl.: intercept o Anfangswert) und der Parameter b1 linearer Regressionskoeffizient (engl.: slope o Neigung, Anstieg) genannt. Die Regressionsparameter b0 und b1 werden aus den empirisch beobachteten Merkmalswerten {(xi, yi), i = 1,2,...,n} numerisch bestimmt bzw. „geschätzt“. Das in der Statistik am häufigsten applizierte Schätzverfahren ist die Methode der kleinsten Quadratesumme nach Carl Friedrich GAUß (17771855). vi) Zweckbestimmung. Die Schätzung von Werten y*(x) eines Regressanden Y (etwa zur Entscheidungsfindung, Planung oder Prognose) für zulässige und vorgegebene Werte x eines Regressors X ist die eigentliche Zweckbestimmung einer Regressionsanalyse. y*(x) symbolisiert den Regress- oder Schätzwert, den man unter Verwendung der Regressionsfunktion y*(x) = b0 + b1x für ei-
Regressionsanalyse
317
nen bestimmten (meist fest vorgegebenen) Wert x erhält. Die Bestimmung einer Regressionsfunktion ist keineswegs nur an metrische und Querschnittsdaten gebunden. In den Wirtschaftswissenschaften wird die Regressionsanalyse auch auf kategoriale (nominale und ordinale) Daten und auf Zeitreihendaten angewandt. Die theoretischen Grundlagen sind ein spezieller Gegenstand der Ökonometrie (grch.: oikomia o Wirtschaft + metron o Maß). vii) Residuen. Die Abweichung ei = yi – yi* eines beobachteten Regressandenwertes Y(Ji) = yi von seinem Regresswert yi* heißt Residuum (lat.: residuum o Rest). Demnach gilt bei Kenntnis der Regressionsfunktion die folgende Beziehung: yi = yi* + ei (i = 1,2,...,n). Die Residuen ei werden auch als Fehler gedeutet, die bei der Bestimmung einer Regression von Y auf X unterlaufen. Die Bezeichnung ei ist dem lateinischen Wort erratum o Irrtum bzw. dem englischen Begriff error o Fehler entlehnt. viii) Streudiagramm. Zur Erkennung der Form der Abhängigkeit und zur Wahl einer geeigneten Regressionsfunktion ist es stets vorteilhaft, eine bivariate Regressionsanalyse durch ein Streudiagramm zu ergänzen. Dazu trägt man in der Regel den Regressanden Y auf der Ordinate und den Regressor X auf der Abszisse ab. Besitzt die Punktewolke {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine lineare Tendenz, dann ist die einfache lineare Regression eine geeignete Funktion zur Beschreibung der einseitig gerichteten statistischen Abhängigkeit von „Y auf X“. ix) Historie. Der statistische Regressionsbegriff geht auf den englischen Statistiker Sir Francis GALTON (18221911) zurück. GALTON, der ein Cousin des Begründers der Evolutionstheorie Charles DARWIN (18091882) war, widmete sich 1885 diesem Problemkreis in seiner berühmten Arbeit „Die Regression in Richtung auf das allgemeine Mittelmaß bei der Vererbung der Körpergröße“ (vgl. Abschnitt 1.1). i
Kleinste-Quadrate-Regression Ist {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine Menge von n Wertepaaren (X(Ji) = xi, Y(Ji) = yi) zweier metrischer Merkmale X und Y, die für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n Merkmalsträger Ji empirisch erhoben wurden, dann heißt die einfache lineare Regressionsfunktion yi*(xi) = b0 + b1xi, für welche die Summe der quadrierten Residuen n
S(b 0 , b1 )
¦ (y i 1
i
yi *)²
n
¦( y i 1
i
( b 0 b1 x i ))²
n
¦e
2 i
o Min
i 1
ein Minimum wird, bivariate lineare Kleinste-Quadrate-Regression von Y auf X. Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation einer bivariaten linearen Kleinste-Quadrate-Regression, die synonym auch als einfache lineare KQ- oder O(rdinary)L(east)S(quare)-Regression bezeichnet wird, erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Kriterium. Die Forderung S(b0, b1) o min bezeichnet man auch als Kleinste-Quadrate-Kriterium. Das zugrunde liegende mathematische Verfahren subsumiert man unter dem Begriff der Methode der kleinsten Quadratesumme. ii) Methode. Die Methode der kleinsten Quadratesumme, die auf den deutschen Mathematiker Carl Friedrich GAUß (17771855) zurückgeht, ist eine spezielle Anwendung der Differentialrechnung auf Funktionen mit mehreren Variablen. Für das Verständnis der Grundidee dieses Verfahrens ist es wichtig zu beachten, dass die Regressionsparameter b0 und b1 die „unbekannten Größen“ sind, die unter Verwendung der empirisch beobachteten und daher „bekannten“ Werte X(Ji) = xi und Y(Ji) = yi der beiden metrischen Erhebungs-
318
Regressionsanalyse
merkmale X und Y numerisch bestimmt werden sollen. iii) Bestimmungsgleichungen. Unter Beachtung der notwendigen und der hinreichenden Bedingung zur Erfüllung des Kleinste-Quadrate-Kriteriums S(b0, b1) o min erhält man letztlich die folgenden Bestimmungsgleichungen für eine einfache lineare Regressionsfunktion d XY s XY . b 0 y b1 x und b1 d 2X s 2X
Dabei bezeichnet dXY = sXY(n – 1)/n die deskriptive Kovarianz, n 1 s XY ( x i x ) ( y i y) n 1 i 1
¦
die Stichprobenkovarianz, d²X = s²X(n – 1)/n die deskriptive Varianz und n 1 ( x i x )² s 2X n 1 i 1
¦
die Stichprobenvarianz des Regressors X. Bemerkenswert ist dabei, dass der lineare Regressionskoeffizient b1 gleichsam wie der Maßkorrelationskoeffizient rYX nach BRAVAIS und PEARSON (vgl. Abschnitt 8.3) auf der Kovarianz der beiden metrischen Merkmale X und Y beruht. Der Regressionskoeffizient b1 kann daher auch als eine mit der Varianz des Merkmals X normierte Kovarianz interpretiert werden. Die angegebenen Bestimmungsgleichungen erweisen sich in der Hinsicht als vorteilhaft, dass man lediglich auf die Ergebnisse der bivariaten Maßkorrelationsanalyse zurückzugreifen braucht, um eine bivariate lineare Regression numerisch bestimmen zu können. Dies ist ein Grund dafür, warum in der Statistik die Korrelations- und Regressionsanalyse oft „in einem Atemzug“ genannt und dargestellt werden, obgleich sie unterschiedliche theoretische Ansätze darstellen. iv). Signifikanztest. Stellen die n Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n dar, dann verwendet man die Parameter b0 und b1 als Schätzwerte für die „wahren“, jedoch unbekannten Regressionsparameter ß0 und ß1 in einer statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vom Umfang N und prüft mit Hilfe eines t-Tests, ob die geschätzten Regressionsparameter b0 und b1 signifikant verschieden von null sind. i
Grenz- und Elastizitätsfunktion. Für eine sachlogische Interpretation von Regressionsparametern erweisen sich die zu einer Regressionsfunktion gehörende Grenzfunktion und Elastizitätsfunktion als sehr hilfreich. Grenzfunktion und Elastizitätsfunktion Ist y*(x) eine (stetige und differenzierbare) bivariate Regressionsfunktion, dann heißt ihre Ableitung erster Ordnung d y * (x) y *´(x ) dx
Grenzfunktion y*´(x) und die Funktion d y * (x) x x y *´(x ) dx H( x ) y * (x) y * (x) die zur Regressionsfunktion y*(x) gehörende Elastizitätsfunktion H(x).
Regressionsanalyse
319
Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation der Grenzfunktion und der Elastizitätsfunktion einer bivariaten (linearen oder nichtlinearen) Regression erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Grenzneigung. Der Wert y*´(x0) der zur einfachen Regressionsfunktion gehörenden Grenzfunktion y*´(x) für ein beliebiges und zulässiges x0 heißt Grenzneigung oder marginale (lat.: marginalis o den Rand betreffend) Neigung des Regressanden Y an der Stelle x = x0. Die marginale Neigung, die in der Regel dimensionsgeladen ist, gibt Auskunft über die durchschnittliche absolute Veränderung der Regressanden Y bei einer infinitesimal (lat.: in ...o nicht + finire o begrenzen + ... esimal o ...zigstmal) kleinen absoluten Veränderung des Regressors X auf dem Niveau x = x0. ii) Elastizität. Der Wert H(x0) der zur Regressionsfunktion y*(x) gehörenden Elastizitätsfunktion H(x) für ein beliebiges und zulässiges x0 heißt Elastizität des Regressanden Y an der Stelle x = x0. Die Elastizität gibt Auskunft über die durchschnittliche relative Veränderung des Regressanden Y bei einer (infinitesimal) kleinen relativen Veränderung des Regressors X auf dem Niveau x = x0. In Anlehnung an die Wirtschaftstheorie gilt die folgende Regel für die Bewertung der „relativen Nachgiebigkeit“ eines Regressanden Y bei (kleinen) Veränderungen eines Regressors X an der Stelle x = x0: !½ überproportional elastisch ½ ° ° ° ° H( x 0 ) ® ¾ 1 ® proportional elastisch ¾ . ° ° °unterproportional elastisch° ¯ ¿ ¯ ¿
iii) Grenzfunktion. Für eine einfache lineare Regressionsfunktion y*(x) = b0 + b1x ist die Grenzfunktion y*´(x) = b1 eine Konstante, die identisch ist mit dem Wert des einfachen oder bivariaten linearen Regressionskoeffizienten b1. iv) Elastizitätsfunktion. Für eine einfache oder bivariate lineare Regressionsfunktion y*(x) = b0 + b1x ist die Elastizitätsfunktion eine gebrochen rationale Funktion, wobei H(x) = b1x/(b0 + b1x) gilt. i
Gütemaße. Der Residualstandardfehler und das Bestimmtheitsmaß fungieren im Kontext einer Regressionsanalyse als Maßzahlen zur Einschätzung der Güte einer Regressionsfunktion. Residualstandardfehler Ist y*(x) = y* eine bivariate Regression von Y auf X, dann heißt die Größe 1 n 1 n 2 n2 de ¦ ( y i y i *) 2 ¦ ei se n i 1 n i 1 n
deskriptiver Residualstandardfehler und die Größe n n 1 1 ¦ ( y i yi *)2 ¦ ei2 se n2 i 1 n2 i 1 Stichproben-Residualstandardfehler der bivariaten Regression von Y auf X. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation eines Residualstandardfehlers einer bivariaten (linearen oder nichtlinearen) Regression erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Synonym. Der Residualstandardfehler wird synonym auch als empirischer oder deskriptiver bzw. Stichprobenstandardfehler einer Regression bezeichnet. ii) Residualvarianz. Das Quadrat des Residualstandardfehlers
320
Regressionsanalyse
heißt empirische oder deskriptive Residualvarianz de² bzw. Stichprobenresidualvarianz s²e. Die Residualvarianz basiert auf dem Kleinste-Quadrate-Kriterium S(b0, b1) o min und kennzeichnet als Streuungs- bzw. Gütemaß den mittleren quadratischen Fehler einer bivariaten Regression. iii) Interpretation. Für den Fall, dass der Regressionsschätzung keine standardisierten, sondern originäre Daten zugrunde liegen, ist der Residualstandardfehler stets eine bezeichnete Zahl und trägt die Maßeinheit des Regressanden Y. iv) Toleranzbreite. Das auf dem Residualstandardfehler basierende (geschlossene) Intervall [Regresswert r Residualstandardfehler] wird auch als Toleranzbreite einer Regression interpretiert. Im „Korridor“ der Toleranzbreite liegt stets die Mehrheit aller Merkmalsträger Ji bezüglich der beobachteten Werte Y(Ji) = yi des abhängigen Erhebungsmerkmals bzw. Regressanden Y. i
Bestimmtheitsmaß Ist y*(x) = y* eine Regression von Y auf X, dann heißt die Größe n 1 n ¦ ( y i y i *)² ( y i y i *)² 2 ¦ d R ² 1 2e 1 n i 1n 1 i 1n 1 dY ( y i y)² ¦ ( y i y)² ¦ n i1 i 1 empirisches Bestimmtheitsmaß einer Regression von Y auf X. Hinweise. Für die Berechnung und Interpretation des Bestimmtheitsmaßes einer Regression erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristik. Das Bestimmtheitsmaß ist ein normiertes Maß, für das stets 0 d R² d 1 gilt. ii) Gütemaß. In der angewandten Statistik und Ökonometrie kommt dem Bestimmtheitsmaß R² als ein Gradmesser für die Güte der Anpassung einer Regressionsfunktion an die beobachteten Werte Y(Ji) = yi des Regressanden Y für beobachtete (meist vorgegebene) Werte X(Ji) = xi des Regressors X eine besondere Bedeutung zu. Je näher das Bestimmtheitsmaß am Wert eins liegt, umso höher sind die Bestimmtheit und damit die statistische Erklärungsfähigkeit einer Regression. Die Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R² ist dabei nicht nur an eine bivariate lineare Regression gebunden. Es wird auch für nichtlineare und/oder multiple Regressionen als Gütemaß berechnet. ii) Nützliche Formel. Für die bivariate lineare Regression y*(x) = b0 + b1x (und nur für diese!) gilt die folgende wichtige Beziehung: R² = r²YX = r²XY. Demnach ist das Quadrat des bivariaten linearen Maßkorrelationskoeffizienten rYX (vgl. Abschnitt 8.3) gleich dem Bestimmtheitsmaß R² einer bivariaten linearen Regression von Y auf X. iv) Interpretation. Das Bestimmtheitsmaß „misst“ den Anteil an der Varianz des Regressanden Y, der durch die Regression von Y auf X statistisch erklärt werden kann. Man sagt daher auch: Mit Hilfe der geschätzten KQ-Regression ist man bereits in der Lage, zu R²100 % die Varianz des Regressanden Y aus der Varianz des Regressors X statistisch zu erklären. v) Signifikanztest. Stellen die n Wertepaare {(xi, yi), i = 1,2,...,n} eine realisierte Zufallsstichprobe vom Umfang n dar, dann kann man mit Hilfe eines F-Tests die Nullhypothese H0: U² = 0 gegen die Alternativhypothese H0: U² > 0 prüfen. Wird auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D die Nullhypothese verworfen, dann deutet man in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N Merkmalsträgern Ji den Regressor X als eine Größe, die einen wesentlichen Einfluss auf den Regressanden Y hat. i
Regressionsanalyse
321
Beispiel 9.1-1: Bivariate lineare Regression der Miete über der Fläche Motivation. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Mietspiegel 2010.sav soll mit Hilfe der Regressionsanalyse die Abhängigkeit der monatlichen Kaltmiete Y(Ji) = yi von der Wohnfläche X(Ji) = xi in der hinsichtlich ihres Umfanges N nicht näher bestimmten Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} in Gestalt des Marktsegmentes von Vier-Zimmer-Mietwohnungen Ji in vergleichbarer Wohnlage im Berliner Stadtteil Pankow statistisch analysiert werden. Modell. Den Ausgangspunkt der statistischen Abhängigkeitsanalyse bilden die folgenden sachlogischen Überlegungen: Da für größere (bzw. kleinere) vergleichbare Mietwohnungen im besagten Wohnungsmarkt offensichtlich höhere (bzw. niedrigere) Kaltmieten zu zahlen sind, kann sachlogisch davon ausgegangen werden, dass zwischen den beiden Phänomenen Kaltmiete Y und Wohnfläche X eine kausale Beziehung besteht, die wohl am einfachsten mit Hilfe des linearen ökonomischen Modells Y = ß0 + ß1X beschrieben werden kann. Es leuchtet intuitiv ein, dass im besagten Marktsegment keine eindeutige funktionale Abhängigkeit zwischen der monatlichen Kaltmiete Y und der Wohnfläche X existiert, wohl aber, dass die Abhängigkeit zumindest statistisch gesehen „im Mittel“ besteht, wobei die monatliche Kaltmiete Y(Ji) von Vier-Zimmer- Mietwohnungen Ji für eine bestimmte Wohnfläche X vom wohnflächenbedingten Mittel Y*(Ji) gleichermaßen nach oben und nach unten abweicht. Dieses Abweichen der monatlichen Kaltmiete Y vom wohnflächenbedingten Mittel Y* lässt sich sachlogisch aus dem Einfluss weiterer Mietfaktoren (etwa die Wohnlage, die Wohnungsausstattung etc.) erklären, die der Einfachheit halber in Gestalt einer Restgröße U Eingang in das Mietmodell Y = ß0 + ß1X + U finden sollen. Grenzfunktion. Unterstellt man weiterhin, dass die lineare statistische Abhängigkeit der monatlichen Kaltmiete Y von der Wohnfläche X mit Hilfe einer stetigen Funktion dargestellt werden kann, so kann die Ableitung dY/dX = ß1 erster Ordnung der linearen Mietfunktion Y = ß0 + ß1X + U nach der Wohnfläche X als Grenzfunktion und somit als marginale Neigung dY der monatlichen Kaltmiete Y bezüglich hinreichend kleiner absoluter Wohnflächenveränderungen dX interpretiert werden. Demnach würde die Kaltmiete Y im Durchschnitt um ß1 Einheiten steigen (fallen), wenn die Wohnfläche X um eine Einheit steigt (fällt). Hypothesen. Da die marginale Mietneigung dY/dX = ß1 für die interessierenden Mietwohnungen im besagten Marktsegment unbekannt ist, soll sie anhand einer Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} mit einem Umfang von n Mietwohnungen Ji geschätzt und die Nullhypothese H0: ß1 d 0 gegen die Alternativhypothese H1: ß1 > 0 auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 getestet werden. Die Nullhypothese H0, die besagt, dass zwischen monatlicher Kaltmiete Y(Ji) und Wohnfläche X(Ji) von Mietwohnungen Ji keine Abhängigkeit bzw. eine negative Abhängigkeit besteht, lässt sich wie folgt begründen: Da ein Signifikanztest stets
322
Regressionsanalyse
auf die Ablehnung einer Nullhypothese H0 abstellt und im konkreten Fall aus Plausibilitätsgründen eine marginale Mietneigung dY/dX = ß1 > 0 größer als null erwartet wird, sollte das Gegenteil der Erwartung als Nullhypothese formuliert werden. Gelingt es im konkreten Fall, anhand eines realisierten Zufallsstichprobenbefundes {(xi, yi), i = 1,2,...,n} die Nullhypothese zu verwerfen, kann zum vereinbarten Signifikanzniveau D davon ausgegangen werden, dass in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von vergleichbaren Mietwohnungen Ji die „wahre, jedoch unbekannte“ marginale Mietneigung dY/dX = ß1 größer als null ist und somit die Wohnfläche X als ein (wesentlicher) Faktor zur Bestimmung der monatlichen Kaltmiete Y aufgedeckt werden kann. Stichprobe. Die statistische Schätzung der marginalen Mietneigung in Gestalt des Regressionskoeffizienten ß1 soll auf der Basis der n = 105 Pankower VierZimmer-Mietwohnungen Ji erfolgen, deren Daten in Gestalt einer realisierten Zufallsstichprobe {(xi, yi), i = 1,2,...,n} in der PASW Datendatei Mietspiegel 2010.sav enthalten sind und zum Beispiel mittels der PASW Auswahlbedingung Zimmer = 4 & Ortskode = 11 bereitgestellt werden können. Streudiagramm. Die Abbildung 9.1-1 beinhaltet das via Sequenz 8.3-1 erstellte Streudiagramm und den Graph der bivariaten linearen Kleinste-QuadrateRegression der monatlichen Kaltmiete Y über der Wohnfläche X. Abbildung 9.1-1: Daten-Editor und Streudiagramm mit Regressionsgerade Regressionsgerade
Mittelwertlinie(n)
Die Punktewolke für die n = 105 zufällig ausgewählten Pankower Vier-ZimmerMietwohnungen Ji lässt eine lineare statistische Abhängigkeit zwischen der monatlichen Kaltmiete Y (Angaben in €) und der Wohnfläche X (Angaben in m²) erkennen. Unter Zuhilfenahme der gestrichelten Mittelwertlinien auf einem Niveau von 559,28 € bzw. 104,28 m² wird ersichtlich, dass für Mietwohnungen mit über- bzw. unterdurchschnittlich großen Wohnflächen in der Regel auch überbzw. unterdurchschnittlich hohe Kaltmieten zu zahlen sind.
Regressionsanalyse
323
Regression. Die Regressionsgerade, die zum Beispiel via Sequenz 9.1-1 angefordert werden kann, kennzeichnet den Graph der Kleinste-Quadrate-Regression yi*(xi) = 48,11 + 4,90xi der monatlichen Kaltmieten Y(Ji) = yi über den Wohnflächen X(Ji) = xi für die n = 105 Pankower Vier-Zimmer-Mietwohnungen Ji,. Beachtenswert ist dabei, dass im Kontext einer linearen Regressionsanalyse eine babylonische Vielzahl verschiedener Statistiken und/oder Diagramme optional vereinbart und angefordert werden kann. Sequenz 9.1-1: Lineare Regression Analysieren Regression Linear... o Abbildung 9.1-2 Abbildung 9.1-2: Daten-Editor mit Dialogfeld Lineare Regression
Grundidee. Anhand der Regressionsgeraden kann man sich recht anschaulich die Grundidee einer statistischen Regression verdeutlichen: Das Zurückführen (lat.: regressio o Rückführung) aller Punkte (xi, yi) einer Punktewolke {(xi, yi), i = 1,2,...,n} auf eine Gerade, die ein durchschnittliches Kaltmieteniveau yi*(xi) in Abhängigkeit von den Wohnflächen X(Ji) = xi der jeweiligen Mietwohnungen Ji kennzeichnet. Von allen Geraden, die man in diese Punktewolke „hineinlegen“ würde, erzeugt die eingezeichnete Gerade die kleinste Summe der quadratischen Abweichungen (yi – yi*)² zwischen der beobachteten Kaltmiete yi und der geschätzten monatlichen Kaltmiete y*i(xi) der n = 105 Mietwohnungen Ji. Aus der Punktewolke ist zudem ersichtlich, dass gleichgroße Mietwohnungen (etwa mit einer Wohnfläche von x = 97 m²) durch unterschiedliche Kaltmieten yi gekennzeichnet sind, die um die wohnflächenbedingte durchschnittliche Kaltmiete, also um den Regresswert y*(x) streuen. Dabei wird aus theoretischer Sicht unterstellt,
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Regressionsanalyse
dass für eine bestimmte Wohnfläche x0 das zugehörige Kaltmiete-Residuum u0 = y0 – y0*(x0) einer Mietwohnung Ji eine Realisation einer normalverteilten Zufallsgröße mit einem Erwartungswert null und einer unveränderlichen (homoskedastischen) Varianz ist. Ergebnisse. Die Tabelle 9.1-1 enthält das PASW Statistics Ergebnisprotokoll für die einfache lineare Kleinste-Quadrate-Regression y*(x) = 48,11 + 4,90x der monatlichen Kaltmiete Y (in €) über der Wohnfläche X (in m²), die in ihren Komponenten wie folgt interpretiert werden kann: Tabelle 9.1-1: Kleinste-Quadrate-Regressionskoeffizienten
Regressionskonstante. Die aus dem Stichprobenbefund geschätzte Regressionskonstante b0 = 48,11 € ist eine bezeichnete Zahl. Sie besitzt die Dimension des Regressanden Y: monatliche Kaltmiete, deren Werte in € angegeben sind. Im Sinne der Funktionalanalysis markiert die Regressionskonstante b0 an der Stelle x = 0 den Schnittpunkt der linearen Regressionsfunktion mit der Ordinate. Da im konkreten Fall auf der Ordinate der Regressand Y: monatliche Kaltmiete abgetragen ist, würde man wegen y*(0) = 48,11 + 4,900 = 48,11 = b0 die Regressionskonstante aus theoretischer Sicht als eine geschätzte durchschnittliche wohnflächenautonome monatliche Kaltmiete y* für die betrachteten Vier-ZimmerMietwohnungen deuten. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass eine sachlogische Interpretation einer Regressionskonstante nicht immer möglich und sinnvoll ist. Dies ist auch ein Grund dafür, warum man in der angewandten Statistik über eine Regressionskonstante b0 in der Regel keine Hypothesen formuliert und testet, gleichwohl in der Tabelle 9.1-1 das für einen Test erforderliche empirische Signifikanzniveau D* = 0,027 angezeigt wird. Im konkreten Fall fungiert die Regressionskonstante b0 = 48,11 € als „bloße“ Ausgleichskonstante, die sich zudem einer sachlogisch plausiblen Interpretation verschließt. Regressionskoeffizient. Wegen D*/2 = 0,000 < D = 0,05 verwirft man die formulierte Nullhypothese H0: ß1 d 0, akzeptiert zum vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 die einseitige Alternativhypothese H1: ß1 > 0 und deutet den „wahren, jedoch unbekannten“ Regressionskoeffizienten ß1 in der statistischen Grundgesamtheit (Marktsegment) * = {Ji, i = 1,2,...,N} von N vergleichbaren Mietwohnungen Ji größer als null bzw. den aus dem Zufallsstichprobenbefund {(xi, yi), i = 1,2,...,105} geschätzten Regressionskoeffizienten b1 = 4,90 der bivariaten linearen Kleinste-Quadrate-Regression als signifikant größer als null. Mehr
Regressionsanalyse
325
noch: Wegen dy*/dx = b1 = 4,90 €/m² kann der geschätzte Regressionskoeffizient b1 als ein Punktschätzwert für die unbekannte marginale Mietneigung ß1 bei hinreichend kleinen Wohnflächenveränderungen dX angesehen und wie folgt sachlogisch interpretiert werden: Steigt (fällt) ceteris paribus für Pankower VierZimmer-Mietwohnungen die Wohnfläche X um 1 m², dann steigt (fällt) im Durchschnitt die monatliche Kaltmiete Y* um 4,90 €. Aufgrund der Tatsache, dass das metrische Erhebungsmerkmal Y: monatliche Kaltmiete in € und das metrische Erhebungsmerkmal X: Wohnfläche in m² „gemessen“ wurden, ist auch der mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme aus dem Zufallsstichprobenbefund {(xi, yi), i = 1,2,...,105} geschätzte Regressionskoeffizient b1 eine dimensionsgeladene Maßzahl, die im konkreten Fall als ein wohnflächenbedingter durchschnittlicher Mietpreis (Angaben in €/m²) für Pankower Vier-ZimmerMietwohnungen Ji interpretiert werden kann. Elastizität. Ist man für ein bestimmtes Wohnflächenniveau x0 an der relativen Nachgiebigkeit der monatlichen Kaltmiete Y bei (hinreichend kleinen) relativen Wohnflächenveränderungen interessiert, dann berechnet man unter Verwendung der auf der linearen Regressionsfunktion y*(x) = 48,11 + 4,90x der monatlichen Kaltmiete Y über der Wohnfläche X beruhenden Elastizitätsfunktion 4,90 x H( x ) 48,11 4,90 x die entsprechende Punkt-Elastizität. So ermittelt man für ein Wohnflächenniveau von x0 = 100 m² eine Punkt-Elastizität der monatlichen Kaltmiete Y von 4,90 € / m ² 100 m ² H(100 m ²) # 0,91 48,11 € 4,90 € / m ² 100 m ² und interpretiert sie wie folgt: Auf einem Wohnflächenniveau von 100 m² sind die relativen Veränderungen in der monatlichen Kaltmiete Y von Pankower VierZimmer-Mietwohnungen unterproportional elastisch bezüglich relativer Veränderungen der Wohnfläche X. Demnach steht auf einem Wohnflächenniveau von 100 m² einer einprozentigen Veränderung der Wohnfläche X eine durchschnittliche Veränderung der monatlichen Kaltmiete Y von „nur“ 0,91 % gegenüber. Bestimmtheitsmaß. Mit Hilfe der bivariaten linearen Kleinste-QuadrateRegressionsfunktion y*(x) = 48,11 + 4,90x der monatlichen Kaltmiete Y über der Wohnfläche X ist man gemäß Tabelle 9.1-2 wegen R² = 0,854 bereits in der Lage, zu 85,4 % die Varianz der monatlichen Kaltmieten yi allein aus der Varianz der Wohnflächen xi statistisch zu erklären. Da für den Vergleich von empirischem und vorgegebenem Signifikanzniveau innerhalb der Varianztabelle 9.1-3 D* = 0,000 < D = 0,05 gilt, deutet man das Bestimmtheitsmaß R² = 0,854 als signifikant größer als null. Dieser induktive Schluss koinzidiert mit der Aussage, dass in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} von vergleichba-
326
Regressionsanalyse
ren Mietwohnungen Ji die Wohnfläche X(Ji) als ein wesentlicher Einflussfaktor zur Erklärung der monatlichen Kaltmiete Y(Ji) aufgedeckt werden kann. Tabelle 9.1-2: Gütemaße
Residualstandardfehler. Der Residualstandardfehler der bivariaten linearen Regressionsfunktion y*(x) = 48,11 + 4,90x der monatlichen Kaltmiete Y über der Wohnfläche X beläuft sich gemäß Tabelle 9.1-2 auf 50,49 €. Demnach streuen im Durchschnitt die beobachteten Kaltmieten yi zu beiden Seiten um ca. 50 € um die bivariate lineare Kleinste-Quadrate-Regression y*(x) = 48,11 + 4,90x, wobei im so genannten „deskriptiven Toleranzintervall“ [y* 50,49, y* + 50,49] bezeichneten „Bandbreite“ (wie man leicht nachprüfen kann) mindestens die Hälfte aller erfassten n = 105 Pankower Vier-Zimmer-Mietwohnungen Ji bezüglich ihrer monatlichen Kaltmiete Y liegen. Varianztabelle. Den Residualstandardfehler se = 50,49 € und das Bestimmtheitsmaß R² = 0,854 kann man im konkreten Fall auch mit Hilfe der varianzanalytischen Zwischenergebnisse innerhalb der Tabelle 9.1-3 berechnen. Tabelle 9.1-3: Varianztabelle
Unter Verwendung der Residualquadratsumme, die auf dem Kleinste-QuadrateKriterium basiert, in Höhe von n
RQS :
¦ (y
y i *)² 262549,642
i
i 1
und der Anzahl df = n 2 = 105 – 2 = 103 der Freiheitsgrade erhält man einen Residualstandardfehler von n 1 262549,642 se ¦ ( y i y i *) 2 # 50,49 €. n2 i 1 105 2 Der Quotient n
1 R²
RQS SQ
¦ (y
i
y i *)²
i 1 n
¦ (y i 1
i
y)²
262549,642 # 0,146 1801065,360
Regressionsanalyse
327
aus der Residualquadratsumme RQS = 262549,642 und der Summe der quadratischen Abweichungen SQ = 1801065,360 der empirisch erhobenen Kaltmietewerte Y(Ji) = yi von ihrem arithmetischen Mittel y kennzeichnet das so genannte Unbestimmtheitsmaß 1 R² = 0,146, das als „komplementäres Bestimmtheitsmaß“ letztlich ein Bestimmtheitsmaß von R² = 1 – 0,146 = 0,854 liefert. Gemäß dem so genannten Varianzzerlegungssatz (vgl. Beispiel 5.3.2-3) kann man im konkreten Fall zahlenmäßig und exemplarisch zeigen, dass sich die Summe der quadratischen Abweichungen SQ des Regressanden Y in zwei Summanden „zerlegen“ lässt, nämlich einerseits in die Summe der quadratischen Abweichungen n
¦ (y
SQR :
* i
y)² 1538515,717
i 1
der Regresswerte yi* vom arithmetischen Mittel y und zum anderen in die Residualquadratsumme RQS, wobei SQ = SQR + RQS gilt. Der Quotient n
R²
SQR SQ
¦ (y
i
i 1 n
¦ (y
i
y)² y)²
1538515,717 # 0,854 1801065,360
i 1
aus der regresswertebasierten Summe der quadratischen Abweichungen SQR und der Summe der quadratischen Abweichungen SQ der beobachteten Kaltmietewerte yi von ihrem arithmetischen Mittel ist in logischer Konsequenz nichts anderes als das Bestimmtheitsmaß R² der bivariaten linearen Kleinste-QuadrateRegression yi*(xi) = 48,11 + 4,90xi der monatlichen Kaltmiete Y über der Wohnfläche X. Anhand dieser Berechnungsvorschrift lässt sich die Idee des Bestimmtheitsmaßes für eine Regression auch bildhaft verdeutlichen: Je „näher“ die Regresswerte yi* an den beobachteten Werten yi des Regressanden Y „zu liegen“ kommen, um so höher vermögen die Regresswerte yi* die beobachteten Werte yi zu „bestimmen“. Im regressionsanalytisch „idealen“ und theoretisch möglichen „Grenzfall“, für den yi = yi* bzw. yi yi* = 0 gilt, wären die Summen der quadratischen Abweichungen SQR und SQ in ihren Werten gleich, ihr Quotient wäre eins und die Regression wäre wegen R² = 1 „vollständig bestimmt“. Korrelationskoeffizient. Gleichwohl in der Maßkorrelationsanalyse dem multiplen Korrelationskoeffizienten R = 0,924 eine gewisse Bedeutung zukommt, ist seine Aussagefähigkeit in der linearen Regressionsanalyse eingeschränkt, da er wegen R = R² = 0,854 # 0,924 nicht mehr Informationen liefert als das Bestimmtheitsmaß R² = 0,854 selbst. Streng genommen ist für eine bivariate lineare Korrelations- und Regressionsanalyse nur die folgende Beziehung sinnvoll: Das Quadrat eines bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten ist gleich dem Bestimmtheitsmaß der entsprechenden bivariaten linearen Regressionsfunktion, wobei im konkreten Fall rXY² = rYX² = (0,924)² # 0,854 = R² gilt.
328
Regressionsanalyse
Mietabschätzung. Ist man schließlich und endlich daran interessiert, im Marktsegment der Pankower Vier-Zimmer-Mietwohnungen die marktübliche monatliche Kaltmiete Y zum Beispiel für eine x0 = 100 m² große Mietwohnung zu bestimmen, dann kann man ceteris paribus und unter Verwendung der mittels der Methode der kleinsten Quadratesumme aus dem Zufallsstichprobenbefund {(xi, yi), i = 1,2,...,105} geschätzten bivariaten linearen Mietfunktion wegen y*0(100 m²) = 48,11 € + 4,90 €/m²100 m² = 538,11 € erwartungsgemäß mit einer monatlichen Kaltmiete von 538 € rechnen, die unter Einbeziehung des Standardfehlers von 50 € durch einen Toleranzbereich von [538 € r 50 € ] = [488 €, 588 €] ergänzt werden kann. h Beispiel 9.1-2: Bivariate lineare Regression des Zeitwertes über dem Alter Motivation. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav soll für die Menge *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 200 zufällig ausgewählten Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6 Liter Triebwerk, die im Sommer 2003 auf dem Berliner Gebrauchtwagenmarkt angeboten wurden, die statistische Abhängigkeit des Zeitwertes Y(Ji) = yi vom Alter X(Ji) = xi mit Hilfe einer linearen Regressionsfunktion beschrieben werden. Streudiagramm. In der Abbildung 9.1-3 ist das Streudiagramm für die realisierte Zufallsstichprobe {(xi, yi), i = 1,2,...,200} dargestellt, das zudem noch durch die (gestrichelten) Mittelwertlinien und durch den Graph der bivariaten linearen Kleinste-Quadrate-Regressionsfunktion y*(x) = 11716,98 – 74,80x des Zeitwertes Y (in €) über dem Alter X (in Monaten) ergänzt wurde. Abbildung 9.1-3: Daten-Editor und Streudiagramm mit linearer Regression Zeitwert | 11717 €
Regressionsgerade
Mittelwertlinie(n)
Regressionsparameter. Die aus der realisierten Zufallsstichprobe {(xi, yi), i = 1,2,...,200} mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme geschätzten Regressionsparameter b0 = 11716,98 und b1 = 74,80 der bivariaten linearen
Regressionsanalyse
329
Regressionsfunktion y*(x) des Zeitwertes Y über dem Alter X können via Sequenz 9.1-1 angefordert und der Tabelle 9.1-4 entnommen werden. Tabelle 9.1-4: Kleinste-Quadrate-Regressionsparameter Koeffizienten Modell linear
B (Konstante) Alter (Monate)
11716,98 -74,80
Standardfehler 213,86 2,36
T 54,79 -31,63
Signifikanz ,000 ,000
Parameterinterpretation. Eine sachlogische Interpretation der Regressionsparameter ergibt das folgende Bild: Fasst man einen Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf mit einem Alter von x0 = 0 Monaten als einen Neuwagen auf, dann liegt wegen y0*(0) = 11716,98 – 74,800 = 11716,98 = b0 der regressionsanalytisch geschätzte Neuwert eines VW Golf bei ca. 11717 €. Der geschätzte Neuwert y0* ist zahlenmäßig identisch mit der Regressionskonstanten b0, die gemäß Abbildung 9.1-3 grafisch als der Schnittpunkt der Regressionsgerade mit der Ordinate bzw. der Zeitwertachse gedeutet werden kann. Der Regressionskoeffizient b1, der im konkreten Fall wegen dy*/dx = b1 = 74,80 €/Monat unabhängig vom jeweiligen Alter x0 als die marginale Zeitwertneigung eines gebrauchten VW Golf interpretiert werden kann, indiziert nicht nur eine fallende Regressionsgerade, sondern zugleich auch einen altersunabhängigen durchschnittlichen monatlichen Zeitwertverlust von ca. 75 €. Parametertest. Gleichwohl wegen D* = 0,000 < D = 0,05 im besagten Marktsegment die beiden unbekannten Parameter ß0 und ß1 sowohl auf einem Signifikanzniveau von D = 0,05 als verschieden von null als auch ökonomisch plausibel gedeutet werden können, versagt die regressionsanalytisch geschätzte und in der Abbildung 9.1-3 skizziert bivariate lineare Zeitwertfunktion allerdings spätestens dann ihren Dienst, wenn sie die Grundlage einer ökonomisch plausiblen Zeitwertabschätzung bilden soll. Offensichtlich liefert die regressionsanalytisch ermittelte Zeitwertfunktion y*(x) = 11716,98 – 74,80x für alle Altersangaben x > (11716,8)/(74,8) | 157 Monate negative Zeitwerte y*(x), die sich einer ökonomisch plausiblen Interpretation verschließen. Punktewolke. Im Unterschied zum Streudiagramm innerhalb der Abbildung 9.1-1 wird aus dem Streudiagramm in der Abbildung 9.1-3 ersichtlich, dass die Punktewolke einen nicht nur einen fallenden, sondern zugleich auch noch einen nichtlinearen Verlauf besitzt, bei dem der Zeitwert Y eines Gebrauchtwagens Ji vom Typ VW Golf mit zunehmendem Alter X gegen null tendiert. Demnach wird man (in Anlehnung an den Abschnitt 9.2) bestrebt sein, ein geeignetes nichtlineares Modell zu konstruieren, das die augenscheinlich nichtlineare statistische Abhängigkeit des Zeitwertes Y vom Alter X für theoretische Analyse- und praktische Prognosezwecke hinreichend genau beschreibt. h
330
9.2
Regressionsanalyse
Bivariate nichtlineare Regression
Motivation. In der angewandten Ökonometrie und in der empirischen Wirtschaftsforschung erweist sich das im Abschnitt 9.1 skizzierte Konzept einer bivariaten linearen Regression mitunter als nicht geeignet, einseitig gerichtete statistische Abhängigkeiten zwischen zwei ökonomischen Phänomenen zu beschreiben. Dies gilt vor allem dann, wenn zwischen zwei ökonomischen Phänomenen eine nichtlineare statistische Abhängigkeit besteht, die in einem Streudiagramm durch eine gekrümmte Punktewolke indiziert wird. In einem solchen Fall erreicht man unter Verwendung spezieller nichtlinearer Funktionen, die sich durch geeignete Transformationen auf linearisierte Funktionen zurückführen lassen, für praktische Belange bereits befriedigende Ergebnisse. Charakteristisch für diese Familie von nichtlinearen Funktionen ist, dass sie nichtlinear in ihren Variablen, jedoch linear in ihren Parametern sind, so dass die Methode der kleinsten Quadratesumme zur Schätzung der Funktionsparameter ohne Einschränkungen anwendbar ist und beste unverzerrte Schätzergebnisse liefert. Funktionen. In der Tabelle 9.2-1 sind sowohl der Funktionstyp als auch die funktionale Form der in PASW Statistics implementierten nichtlinearen Funktionen zusammengefasst, wobei für die beiden metrischen Erhebungsmerkmale X und Y stets Y > 0 und X > 0 gelten soll. Im Kontext einer Regressionsanalyse können die Funktionstypen via Sequenz 9.2-1 optional angefordert werden. Tabelle 9.2-1: Nichtlineare Funktionstypen Funktionstyp funktionale Form Logarithmisch Y = ß0 + ß1(ln X) Invers Y = ß0 + ß1X1 Quadratisch Y = ß0 + ß1X + ß2X² Kubisch Y = ß0 + ß1X + ß2X² + ß3X3 Power bzw. Potenz Y = ß0Xß1 Zusammengesetzt Y = ß0ß1X S (förmig) Y = exp(ß0 + ß1X1) Logistisch Y = (1/c + ß0ß1X)1 Wachstum Y = exp(ß0 + ß1X) Exponentiell Y = ß0exp(ß1X) Hinweis. Die vereinfachende Schreibweise exp(...) = e(...) ist der Syntax von Programmiersprachen entlehnt und kennzeichnet einen EXPonenten zur Basis e. e = 2,71828… bezeichnet dabei die EULERsche Konstante. Das Symbol ln(...) bezeichnet den l(ogarithmus) n(aturalis), also den Logarithmus zur Basis e, der in seiner funktionalen Darstellung y = ln(x) nichts anderes ist, als die zur einfachen Exponentialfunktion y = exp(x) gehörende Umkehrfunktion. Die Parameter ßj (j = 0, 1, 2, 3) bezeichnen die jeweiligen Modellparameter. i
Regressionsanalyse
331
Grenz- und Elastizitätsfunktion. Im Zuge einer sachlogischen Interpretation der Modellparameter einer nichtlinearen Funktion erweisen sich die zugehörige Grenzfunktion und die zugehörige Elastizitätsfunktion als hilfreich und nützlich. In der Tabelle 9.2-2 sind die Grenz- und die Elastizitätsfunktion für ausgewählte und häufig applizierte bivariate nichtlineare Funktionen zusammengestellt. Tabelle 9.2-2: Grenz- und Elastizitätsfunktionen Funktionstyp) Grenzfunktion Elastizitätsfunktion Linear Y´ = ß1 H = ß1X(ß0+ ß1X)1 Logarithmisch Y´ = ß1X1 H = ß1(ß0 + ß1(ln X))1 Invers Y´ = ß1X2 H = ß1(ß0X + ß1)1 ß1 1 Power bzw. Potenz Y´ = ß0ß1X X H = ß1 Wachstum Y´ = ß1exp(ß0 + ß1X) H = ß1X
Die Funktionsbezeichnungen koinzidieren mit den Modelltypen, die in der Tabelle 9.2-1 vermerkt sind und gemäß Abbildung 9.2-1 im Dialogfeld Kurvenanpassung optional vereinbart und angefordert werden können. h Beispiel 9.2-1: Bivariate nichtlineare Regression des Zeitwertes über dem Alter Motivation. In Anlehnung und in Weiterführung des Beispiels 9.1-2 soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav für die Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} von n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6 Liter Triebwerk, die im Sommer 2003 auf dem Berliner Gebrauchtwagenmarkt angeboten wurden, die statistische Abhängigkeit des Zeitwertes Y(Ji) = yi vom Alter X(Ji) = xi mit Hilfe einer geeigneten nichtlinearen Regressionsfunktion beschrieben werden. Streudiagramm. Bereits aus dem Streudiagramm innerhalb der Abbildung 9.1-3 wird ersichtlich, dass die Punktewolke einen nichtlinearen Verlauf besitzt, bei dem der Zeitwert Y(Ji) (Angaben in €) eines Gebrauchtwagens Ji mit zunehmendem Alter X(Ji) gegen null tendiert. Demnach wird man bestrebt sein, ein geeignetes nichtlineares Modell zu schätzen, das die augenscheinlich nichtlineare statistische Abhängigkeit des Zeitwertes Y vom Alter X für praktische Zwecke hinreichend genau beschreibt. Modellwahl. Aus der Vielzahl der nichtlinearen Funktionstypen, die in PASW Statistics gemäß Abbildung 9.2-1 im Dialogfeld Kurvenanpassung in der Rubrik „Modelle“ angeboten werden, gilt es denjenigen Modelltyp herauszufinden, der sich im statistischen Sinne bezüglich der Erklärungsfähigkeit des Zeitwertes Y in Abhängigkeit vom Alter X als geeignet erweist. In der angewandten Statistik und Ökonometrie hat es sich als vorteilhaft erwiesen, als Auswahlkriterium das Bestimmtheitsmaß R² zu verwenden, also das Modell mit dem höchsten Bestimmtheitsmaß R² zu „finden“. Die heuristische (grch.: heuriskein o finden) Funktionswahl kann via Sequenz 9.2-1 realisiert werden.
332
Regressionsanalyse Sequenz 9.2-1: Nichtlineare Regression Analysieren Regression Kurvenanpassung o Abbildung 9.2-1
Abbildung 9.2-1: Dialogfeld Kurvenanpassung
Hinweise. Im konkreten Fall sollen sowohl die beiden logistischen Modellansätze als auch die Polynome zweiten und dritten Grades außer Acht bleiben, zumal zum Beispiel die beiden letztgenannten Ansätze als Spezialfälle einer multiplen Regressionsfunktion angesehen werden können. Beachtenswert ist zudem, dass für alle ausgewählten bivariaten Modelle eine Schätzung der Regressionskonstante ß0 vereinbart wurde. In der Statistik bezeichnet man ein Regressionsmodell, das keine Regressionskonstante ß0 beinhaltet, als homogen und ein Modell, das eine Konstante ß0 beinhaltet, als inhomogen. Je nachdem, ob man ein homogenes oder ein inhomogenes Modell schätzen möchte, muss im Dialogfeld Kurvenanpassung die Option Konstante in Gleichung einschließen aktiviert bzw. deaktiviert werden. i
Schätzergebnisse. Die Tabelle 9.2-3 beinhaltet das vereinfachte PASW Statistics Ergebnisprotokoll aller in der Abbildung 9.2-1 unter der Rubrik Modelle markierten bivariaten nichtlinearen Regressionsfunktionen einschließlich der bivariaten linearen Regression des Zeitwertes Y über dem Alter X, die bereits im Kontext des Beispiels 9.1-2 konstruiert und interpretiert wurde. Modellauswahl. Aus der Tabelle 9.2-3 ist ersichtlich, dass gleichsam drei bivariate nichtlineare Regressionsfunktionen ein Bestimmtheitsmaß von R² = 0,956 liefern: die so genannte zusammengesetzte Funktion y*(x) = 15750,0320,984x, die so genannte Wachstumsfunktion y*(x) = exp(9,665 – 0,017x) = e9,665 – 0,017x sowie die so genannte exponentielle Funktion
Regressionsanalyse
333
y*(x) = 15750,032exp(0,017x) = 15750,032e0,017x, die offensichtlich (unter Vernachlässigung von Rundungsfehlern) wegen y*(x) = e9,665 – 0,017x = 15750,032e0,017x = 15750,0320,984x algebraisch identische bivariate nichtlineare Regressionsfunktionen sind. Tabelle 9.2-3: Bivariate nichtlineare Regressionen Abhängige Variable: Zeitwert (€) Modellzusammenfassung R-Quadrat Gleichung Linear ,835 Logarithmisch ,922 Invers ,556 Zusammengesetzt ,956 Potenzfunktion ,802 Aufbaufunktion ,956 Exponentiell ,956
Parameterschätzer Konstante b1 11716,984 24538,799 3645,739 15750,032 160167,220 9,665 15750,032
-74,798 -4581,809 88188,452 ,984 -,886 -,017 -,017
Die unabhängige Variable ist Alter (Monate).
Streudiagramme. Die Abbildung 9.2-2 zeigt zum einen das Streudiagramm und den Graph der bivariaten nichtlinearen Regressionsfunktion y*(x) = e9,665 – 0,017x = 15750,032e0,017x = 15750,0320,984x des Zeitwertes Y über dem Alter X und zum anderen das Streudiagramm mit der linearisierten Regressionsfunktion ln(y*) = 9,665 – 0,017x. Abbildung 9.2-2: Streudiagramme mit Regressionsfunktion
Linearisierung. Die aus dem originären realisierten Zufallsstichprobenbefund {(xi, yi), i = 1,2,...,200} mittels der Methode der kleinsten Quadratsumme geschätzte linearisierte Regressionsfunktion ln(y*) = 9,665 – 0,017x lässt sich wie folgt motivieren: Überführt man den bivariaten nichtlinearen Funktionsansatz Y = exp(ß0 + ß1X), der in PASW Statistics unter der Bezeichnung „Wachstumsfunktion“ firmiert, durch beidseitiges Logarithmieren in einen quasilinearen
334
Regressionsanalyse
Funktionsansatz ln(Y) = ß0 + ß1X, so ist es ohne Einschränkungen möglich, die unbekannten Parameter ß0 und ß1 mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme zu schätzen, indem man lediglich die beobachteten Zeitwerte yi logarithmiert und über den originären Altersangaben xi regressiert. Dabei ist zu beachten, dass das Kleinste-Quadrate-Kriterium nur für die linearisierte Regressionsfunktion ln(y*) = 9,665 – 0,017x gilt und nicht für die angegebene nichtlineare Regressionsfunktion y*(x) = e9,665 – 0,017x. Das Resultat der Linearisierung kann man sich anhand der Abbildung 9.2-2 recht anschaulich verdeutlichen. Die Punktewolke für die logarithmierten Zeitwerte ln(yi) und die originären Altersangaben xi lässt einen linear fallenden Verlauf erkennen, der durch die bivariate quasilineare Regressionsfunktion ln(y*) = 9,665 – 0,017x untermauert wird. In der Tabelle 9.2-4 sind die zugehörigen Kleinste-Quadrate-Regressionsparameter und das Bestimmtheitsmaß R² nochmals zusammengefasst. Tabelle 9.2-4: Parameter der quasilinearen Regression Abhängige Variable: lnWert Modellzusammenfassung R-Quadrat Signifikanz Gleichung Linear ,956 ,000
Parameterschätzer Konstante b1 9,665
-,017
Die unabhängige Variable ist Alter (Monate).
Bestimmtheitsmaß. Mit Hilfe der bivariaten quasilinearen Kleinste-QuadrateRegressionsfunktion ln(y*) = 9,665 – 0,017x können wegen R² = 0,956 bereits 95,6 % der Varianz der logarithmierten Zeitwerte ln(yi) aus der Varianz der originären Alterswerte xi statistisch erklärt werden. Signifikanztest. Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 deutet man das Bestimmtheitsmaß R² = 0,956 der quasilinearen Regressionsfunktion als signifikant größer als null. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} aller auf dem Berliner Gebrauchtwagenmarkt angebotenen Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf Benziner mit einem Triebwerk von 1,6 Litern das Alter X als ein wesentlicher Einflussfaktor zur Bestimmung des Zeitwertes Y aufgedeckt werden kann. Der auf dem Bestimmtheitsmaß beruhende Signifikanztest liefert das gleiche Ergebnis wie der Signifikanztest des geschätzten Regressionskoeffizienten b1 = 0,017 gegen null, der als ein signifikanter und von null verschiedener Faktor gedeutet werden kann. Obwohl die bivariate Zeitwertregression ln y* = 9,665 – 0,017x hoch bestimmt ist und die geschätzten Regressionsparameter b0 = 9,665 und b1 = 0,017 den induktiven Schluss zulassen, dass die „wahren“ Parameter ß0 und ß1 in der statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} vergleichbarer Gebrauchtwagen verschieden von null sind, lassen sie sich wegen der Nichtlinearität des Regressanden Y „Zeitwert“ allerdings nur bedingt ökonomisch plausibel interpretieren.
Regressionsanalyse
335
Parameterinterpretation. Der geschätzte quasilineare Kleinste-QuadrateRegressionskoeffizient b1 = 0,017 kann mit Hilfe der zur bivariaten quasilinearen Regressionsfunktion gehörenden Grenzfunktion d y* y *´(x ) ( x ) 0,017 e 9 , 665 0 , 017 x dx wie folgt einer sachbezogenen Interpretation zugeführt werden: Ist man etwa am Zeitwertverlust von vergleichbaren Einjahreswagen interessiert, dann bestimmt man den Wert der Grenzfunktion an der Stelle x0 = 12 Monate d y* y *´(12) (12) 0,017 e 9 , 665 0, 01712 | 218 (€/Monat), dx die als marginale Zeitwertneigung wie folgt interpretiert werden kann: Für einen x0 = 12 Monate alten Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Motor hätte man ceteris paribus im Verlaufe eines Monats erwartungsgemäß mit einem Zeitwertverlust von 218 € zu rechnen. Dem gegenüber läge ceteris paribus der durchschnittliche monatliche Zeitwertverlust für zehn Jahre bzw. für x0 = 120 Monate alte Gebrauchtwagen gleichen Typs wegen d y* y *´(120) (120) 0,017 e 9, 665 0 , 017120 | 35 (€/Monat) dx nur noch bei 35 €. Dieser in seinem Ausmaß geringere Zeitwertverlaust leuchtet im speziellen Fall auch intuitiv ein, denn nicht nur bei Unterstellung einer nichtlinear fallenden Zeitwertfunktion, sondern auch „im realen Leben“ fällt eine absolute Zeitwertveränderung umso geringer aus, je älter ein Gebrauchtwagen ist. Elastizität. Ist man für den in Rede stehenden Gebrauchtwagentyp lediglich am Studium der altersbedingten relativen Nachgiebigkeit des Zeitwertes Y interessiert, dann bestimmt man auf der Basis der zur bivariaten nichtlinearen Regressionsfunktion (etwa in Gestalt der Wachstumsfunktion) y*(x) = e9,665 – 0,017x zugehörigen Elastizitätsfunktion H(x) = 0,017x die jeweilige Punkt-Elastizität und interpretiert sie wie folgt: Während für Einjahreswagen, also für x0 = 12 Monate alte Gebrauchtwagen Ji wegen |H(12)| = 0,01712 | 0,2 < 1 bei einer 1 %igen Alterszunahme ein unterproportionaler durchschnittlicher relativer Zeitwertverfall von 0,2 % zu verzeichnen ist, gibt es für x0 = 120 Monate bzw. zehn Jahre alte Gebrauchtwagen Ji gleichen Typs wegen |H(120)| = 0,017120 | 2 > 1 einen überproportionalen durchschnittlichen relativen Zeitwertverfall von 2 % zu konstatieren. Zeitwertabschätzung. Schließlich und endlich schätzt man (etwa mittels der Zeitwertfunktion y*(x) = e9,665 – 0,017x) für einen so genannten Einjahreswagen einen Zeitwert von y*(12) = e9,665 – 0,01712 | 12850 € und analog für einen zehn Jahre bzw. x0 = 120 Monate alten VW Golf Benziner mit einem 1,6-LiterTriebwerk einen Zeitwert von y*(120) = e9,665 – 0,017120 | 2050 €. h
336
9.3
Regressionsanalyse
Multiple Regression
Motivation. Eine multiple (lat.: multus o vielfach + varia o Allerlei) Regressionsfunktion kann dahingehend als eine Verallgemeinerung einer in den Abschnitten 9.1 und 9.2 dargestellten bivariaten linearen bzw. bivariaten nichtlinearen Regressionsfunktion angesehen werden, dass nunmehr zur Schätzung einer Regressionsfunktion nicht nur ein Regressor, sondern zwei oder mehrere Regressoren in das Analysekalkül einbezogen werden. Dies ist auch ein Grund dafür, warum aus statistisch-methodischer Sicht die multiple Regressionsanalyse als ein Teilgebiet der multivariaten Statistik aufgefasst wird. Dem Konzept einer multiplen Regressionsanalyse kommt vor allem in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung sowie in der Ökonometrie bei der Beschreibung und Modellierung einer einseitig gerichteten statistischen Abhängigkeit eines in der Regel metrischen Merkmals Y von zwei oder mehreren metrischen Merkmalen Xj (j = 1,2,...,m) eine besondere praktische Bedeutung zu. Kollinearität. Neben einer Reihe von theoretischen Modellannahmen wird dabei unter anderem unterstellt, dass die m t 2 Regressoren Xj untereinander nicht korreliert sind. In praxi wird man im Kontext einer multiplen Regressionsanalyse mehr oder weniger immer mit dem so genannten Multikollinearitätsproblem (lat.: multus o viel + collinear o in gerader Linie richten) konfrontiert, das (stark vereinfacht) darin besteht, dass die Regressoren Xj untereinander hochgradig korreliert sind. Die Frage, die es vor allem in der angewandten Ökonometrie und in der empirischen Wirtschaftsforschung beim Bau multipler Regressionsfunktionen zu beantworten gilt, ist, ob die stochastische Kollinearität „unter den Regressoren Xj“ extrem, also nahezu vollständig ist, oder ob sie aus stochastischer Sicht so geringfügig ist, dass sie nicht weiter beachtet zu werden braucht. Eine Folge extremer Multikollinearität sind zum Beispiel überhöhte Schätzwerte für die Standardfehler der Regressionskoeffizienten bj kollinearer Regressoren Xj, die wiederum dazu führen, dass fälschlicherweise die entsprechenden Regressionskoeffizienten bj als nicht signifikant bzw. die entsprechenden Regressoren Xj als nicht erklärungsfähig gekennzeichnet werden müssen. Kollinearitätsdiagnostik. In der angewandten Ökonometrie appliziert man eine Reihe von Verfahren und Maßzahlen zur Aufdeckung multikollinearer Beziehungen zwischen zwei oder mehreren Regressoren Xj. Allerdings stellen diese nur mehr oder weniger befriedigende Lösungen des Kollinearitätsproblems dar. Stellvertretend für die in PASW Statistics implementierten Diagnoseverfahren werden hier nur die so genannten Variance-Inflation-Factors VIF zur Multikollinearitätsdiagnose herangezogen. Dabei gilt die folgende einfache und nützliche Faustregel: VIF-Werte größer als fünf sind ein Hinweis auf eine ausgeprägte Kollinearität zwischen den jeweiligen Regressoren. h
Regressionsanalyse
337
Beispiel 9.3-1: Multiple Regressionsfunktion mit zwei Regressoren Motivation. Innerhalb des Beispiels 9.2-1 wurde mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme eine bivariate nichtlineare Zeitwertfunktion für eine Zufallsstichprobe *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n = 200 Gebrauchtwagen Ji vom Typ VW Golf geschätzt. Da allerdings bei Gebrauchtwagen nicht nur das Alter, sondern auch solche Faktoren wie bisherige Laufleistung, Hubraum, Ausstattung etc. zeitwertbestimmend sind, interessiert die Frage, ob das für einen Gebrauchtwagen vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk zusätzlich erfasste und in der PASW Statistics Datendatei VW Golf.sav gespeicherte Erhebungsmerkmal „Laufleistung (Angaben in 1000 km)“ auch im statistischen Sinne als ein wesentlicher Zeitwertfaktor aufgedeckt werden kann. Hypothesen. Aus ökonomischer Sicht lassen sich folgende (sachlogisch plausible und intuitiv nochvollziehbare) Hypothesen über die Zeitwertfaktoren formulieren: Sowohl das Alter X1 als auch die bisherige Laufleistung X2 sind zwei partiell zeitwertmindernd wirkende Faktoren. In der angewandten Ökonometrie ist man bestrebt, anhand eines Zufallsstichprobenbefundes und geeigneter Signifikanztests diese ökonomischen Erwartungen statistisch zu bestätigen. In der Regel formuliert man bei Signifikanztests das Gegenteil der Erwartung als Ausgangshypothese H0 und die Erwartung selbst als Alternativhypothese H1. Gelingt es anhand eines Zufallsstichprobenbefundes auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau D die Ausgangshypothese H0 zu verwerfen und die Alternativhypothese H1 anzunehmen, kann davon ausgegangen werden, dass die vermuteten ökonomischen Abhängigkeiten in der hinsichtlich ihres Umfanges N nicht näher bestimmten statistischen Grundgesamtheit * = {Ji, i = 1,2,...,N} existieren. Für die angestrebte multiple Regressionsanalyse sollen daher die folgenden Festlegungen gelten: Während das metrische Erhebungsmerkmal Zeitwert Y(Ji) (Angaben in €) eines Gebrauchtwagens Ji als Regressand fungiert, bilden die metrischen Erhebungsmerkmale Alter X1(Ji) (Angaben in Monaten) und Laufleistung X2(Ji) (Angaben in 1000 km) die m = 2 zeitwerterklärenden Regressoren Xj. Darauf aufbauend sind auf einem vorab vereinbarten Signifikanzniveau von D = 0,05 die folgenden einseitigen Hypothesen über die unbekannten Koeffizienten ß1 und ß2 des multiplen linearen Zeitwertmodells Y(X1, X2) = ß0 + ß1X1 + ß2X2 + U, die als Zeitwertfaktoren gedeutet werden können, zu prüfen: Für den Zeitwertfaktor Alter X1 der Ordnung j = 1 die einseitigen Hypothesen H0: ß1 t 0 versus H1: ß1 < 0 und für den Zeitwertfaktor Laufleistung X2 der Ordnung j = 2 die einseitigen Hypothesen H0: ß2 t 0 versus H1: ß2 < 0. Vorgehen. In der angewandten Ökonometrie geht man bei der Schätzung einer multiplen linearen bzw. quasilinearen Regressionsfunktion in der Regel so vor, dass man eine Regressionsfunktion schrittweise um jeweils einen Regressor
338
Regressionsanalyse
erweitert und prüft, ob dieser zusätzlich in das Ensemble der Regressoren aufgenommene Regressor wesentlich zur Erklärung des Regressanden beiträgt. Da im Beispiel 9.2-1 die bivariate quasilineare Regressionsfunktion des Zeitwertes Y über dem Alter X1 bereits geschätzt wurde, kann in einem weiteren Schritt der Regressor X2: Laufleistung in das Analysekalkül einbezogen werden. 3D-Streudiagramm. Das nunmehr auf den Dreiklang „Zeitwert, Alter, Laufleistung“ erweiterte Analysekonzept wird durch die Abbildung 9.3-1 verdeutlicht, in der die n = 200 empirisch beobachteten „originären“ Gebrauchtwagendaten {(yi, xi1, xi2), i = 1,2,...,n} jeweils in einem dreidimensionalen Streudiagramm dargestellt sind. Die beiden 3D-Streudiagramme können via Sequenz 8.3-1 angefordert werden, wenn man analog zur Abbildung 8.3-1 im Dialogfeld Streudiagramm erstellen die Option 3D-Koordinate vereinbart. Im Unterschied zum einfachen Streudiagramm innerhalb der Abbildung 9.2-2 erscheint nunmehr die Punktewolke als ein „gekrümmtes Gebilde“ im dreidimensionalen Raum. Abbildung 9.3-1: 3D-Streudiagramm ohne und mit Regressionsfunktion
Die „gekrümmte“ Fläche, die im rechten Streudiagramm „mittig“ in die Punktewolke projiziert wurde, vermittelt eine bildhafte Vorstellung von der geschätzten multiplen nichtlinearen Kleinste-Quadrate-Regressionsfunktion des Zeitwertes Y über dem Alter X1 und der Laufleistung X2. Tabelle 9.3-1: Kleinste-Quadrate-Regressionsparameter Koeffizientena Koeffizienten Modell linear
T
Signifikanz
B (Konstante) Alter (Monate) Laufleistung (1000 km)
a. Abhängige Variable: lnWert
9,707 -,015 -,002
414,960 -35,667 -4,823
,000 ,000 ,000
Kollinearitätsstatistik Toleranz
VIF
,327 ,327
3,058 3,058
Regressionsanalyse
339
Regression. Für den Zeitwert-Alter-Laufleistungsansatz erhält man via Sequenz 9.1-1 die in der Tabelle 9.3-1 zusammengefassten Kleinste-QuadrateParameter der multiplen quasilinearen Regressionsfunktion ln(y*) = 9,707 0,015x1 0,002x2 der logarithmierten Zeitwerte ln(yi) in Abhängigkeit von den originären Alterswerten xi1 und von den originären Laufleistungswerten xi2. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die mittels der Methode der kleinsten Quadratesumme geschätzten Regressionskoeffizienten b1 = 0,015 und b2 = 0,002 in ihren Vorzeichen mit den eingangs formulierten einseitigen Alternativhypothesen koinzidieren. Wegen D*/2 = 0,000 < D = 0,05 verwirft man für beide Regressoren die Ausgangshypothese und deutet den jeweiligen Regressionskoeffizienten als signifikant kleiner als null. Demnach kann davon ausgegangen werden, dass im besagten Gebrauchtwagenmarkt * = {Ji, i = 1,2,...,N} das Alter X1 und die Laufleistung X2 als wesentliche Zeitwertfaktoren aufgedeckt werden können, die jeweils partiell zeitwertmindernd wirken. Kollinearität. Hinzu kommt noch, dass die beiden signifikanten Koeffizienten b1 = 0,015 und b2 = 0,002 der Regressoren X1: Alter und X2: Laufleistung aufgrund des zugehörigen V(ariance)I(nflation)F(actor)s von 3,058 < 5 als untereinander nicht hochgradig kollinear eingestuft werden müssen. Transformation. Über die Exponentialtransformation erhält man für die n = 200 Gebrauchtwagen Ji die multiple nichtlineare Regressionsfunktion y*(x1, x2) = exp(9,707 0,015x1 0,002x2) des Zeitwertes Y über dem Alter X1 und der Laufleistung X2, auf deren Grundlage man Zeitwertabschätzungen und Sensitivitätsbetrachtungen anstellen kann. Parameterinterpretation. Aufgrund dessen, dass die multiple quasilineare Regressionsfunktion ln(y*(x1, x2)) = 9,707 0,015x1 0,002x2 und damit gleichsam auch die zugehörige „transformierte“ multiple nichtlineare Regressionsfunktion y*(x1, x2) = exp(9,707 0,015x1 0,002x2) als geeignet spezifiziert angesehen werden kann, ist es auch sinnvoll, ihre Parameter einer sachlogischen Interpretation zu unterziehen, die wegen der Nichtlinearität nur bedingt möglich ist. Unter Verwendung der partiellen Ableitungen erster Ordnung w y* ( x 1 , x 2 ) 0,015 e 9, 707 0, 015 x 0, 002 x w x1 w y* ( x 1 , x 2 ) 0,002 e 9, 707 0 , 015 x 0 , 002 x w x2 der Regressionsfunktion y*(x1, x2) ergeben sich die folgenden parameterspezifischen Interpretationen, wenn zusätzlich vereinbart wird, dass ein vier Jahre alter Gebrauchtwagen J vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk und mit einer bisherigen Laufleistung von 60000 km von Interesse ist. 1
2
1
2
340
Regressionsanalyse
Marginale Zeitwertneigungen. Demnach muss man ceteris paribus für vier Jahre alte Gebrauchtwagen Ji mit einer bisherigen Laufleistung von 60000 km wegen x1 = 412 = 48 Monate und x2 = 60 (1000 km) sowie w y* (48, 60) 0,015 e 9 , 707 0 , 01548 0 , 00260 | 106 (€/Monat) w x1 im Verlaufe eines Monats erwartungsgemäß und im Durchschnitt mit einem Zeitwertverlust von 106 € rechnen. Analog muss man ceteris paribus für vier Jahre alte Gebrauchtwagen Ji mit einer bisherigen Laufleistung von 60000 km wegen x1 = 412 = 48 Monate und x2 = 60 (1000 km) sowie w y* (48, 60) 0,002 e 9 , 707 0, 01548 0 , 00260 | 14 (€/1000 km) w x2 bei weiteren 1000 km Laufleistung erwartungsgemäß und im Durchschnitt mit einem Zeitwertverlust von 14 € rechnen. Tabelle 9.3-3: Gütemaße Modell linear
R ,980a
R-Quadrat
Standardfehler des Schätzers
,961
,170
a. Einflußvariablen : (Konstante), Laufleistung (1000 km), Alter (Monate)
Bestimmtheitsmaß. Mit Hilfe der multiplen quasilinearen Zeitwertregression ln(y*(x1, x2)) = 9,707 0,015x1 0,002x2 ist man gemäß Tabelle 9.3-3 wegen R² = 0,961 bereits in der Lage, zu 96,1 % die Varianz der logarithmierten Zeitwerte ln(yi) der n = 200 betrachteten Gebrauchtwagen Ji allein aus der Varianz der Alterswerte xi1 und der Varianz der Laufleistungswerte x2i statistisch zu erklären. Aufgrund der angemessenen Erklärungsfähigkeit der multiplen quasilinearen Zeitwertfunktion ist es jetzt auch möglich und sinnvoll, diese für Zeitwertabschätzungen zu verwenden. Zeitwertabschätzung. Ist man zum Beispiel daran interessiert, anhand der regressionsanalytisch ermittelten multiplen Zeitwertfunktion den Zeitwert eines vier Jahre alten VW Golf Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk und einer bisherigen Laufleistung von 60000 km zu schätzen, kann man ceteris paribus wegen x1 = 412 = 48 Monate, x2 = 60 (1000 km) und y*(48, 60) = exp(9,707 0,01548 0,00260) | 7094 (€) mit einem marktüblichen Zeitwert von ca. 7100 € rechnen. Wird die „Punktschätzung“ von 7094 € unter Einbeziehung des Residualstandardfehlers von se = 0,170 durch eine „Toleranzschätzung“ ergänzt, so kann man wegen [ln(y*(48, 60)) r 0,170] = [8,867 r 0,170] = [8,697; 9,037] davon ausgehen, dass der Zeitwert eines so spezifizierten Gebrauchtwagens vom Typ VW Golf (Benziner mit einem 1,6-Liter-Triebwerk) ceteris paribus zwischen exp(8,697) | 5984 € und exp(9,037) | 8408 € variiert. h
Zeitreihenanalyse
341
10 Zeitreihenanalyse Schlüsselwörter ARIMA-Modell Autokorrelationsfunktion BOX-JENKINS-Verfahren Exponentielle Glättung Gleitender Durchschnitt
Korrelogramm Sequenzdiagramm Stochastischer Prozess Trend-Saison-Modell Zeitreihe
Gegenstand. Die Zeitreihenanalyse hat die statistische Beschreibung und die kurzfristige statistische Vorhersage von zeitlich geordneten Merkmalswerten eines oder mehrerer metrischer Merkmale mit Hilfe mathematisch-statistischer Verfahren und Modelle zum Gegenstand. Im Unterschied zur Regressionsanalyse, die auf die Analyse der statistischen Abhängigkeit eines zu erklärenden Merkmals von einem oder mehreren erklärenden Merkmalen abstellt, steht in der Zeitreihenanalyse die Analyse der statistischen Abhängigkeit eines zeitlich geordneten metrischen Merkmals von der Zeit und/oder von seinen vorhergehenden Werten im Vordergrund. Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, anhand praktischer Sachverhalte paradigmatisch zu zeigen, wie in PASW Statistics unter Verwendung grafischer und numerischer Verfahren die statistische Analyse von unterjährigen Zeitreihendaten bewerkstelligt werden kann. Dabei stehen Bau und Interpretation sowohl von methodisch einfachen als auch von methodisch anspruchsvollen Zeitreihenmodellen im Vordergrund. In die paradigmatischen Betrachtungen eingeschlossen ist Verwendung der konstruierten Zeitreihenmodelle für kurzfristige statistische Vorausberechnungen. h
342
10.1
Zeitreihenanalyse
Zeitreihen
Motivation. In der empirischen Wirtschaftsforschung im Allgemeinen und in der angewandten Statistik und Ökonometrie im Speziellen ist man vor allem zu prognostischen Zwecken an der Betrachtung von Merkmalswerten eines metrischen Erhebungsmerkmals in seiner zeitlichen Entwicklung interessiert. Das führt unmittelbar zum statistischen Begriff einer Zeitreihe. Zeitreihe Eine Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} ist eine zeitlich geordnete Folge von Merkmalswerten yt eines metrischen statistischen Erhebungsmerkmals Y eines sachlich und örtlich wohl definierten Merkmalsträgers J. Hinweise. Für das Verständnis des statistischen Konstrukts einer Zeitreihe erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Merkmalsträger. Der Merkmalsträger kann sowohl ein reales Objekt oder ein Vorgang als auch eine statistische Gesamtheit von Merkmalsträgern sein. ii) Zeitvariable. Um eine Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n}, die formal als eine Menge von Merkmalswerten yt dargestellt wird, einer statistischen Analyse zugänglich machen zu können, ist die Vereinbarung einer geeigneten Zeitvariablen erforderlich, welche die Chronologie (grch.: chronos o Zeit + logos o Lehre), also die zeitlich logische Abfolge eines statistisch beobachteten Zustandes oder Prozesses widerspiegelt. In der Zeitreihenanalyse hat sich die Bezeichnung ti (i = 1,2,...,n) für eine Zeitvariable durchgesetzt (lat.: tempus bzw. engl.: time o Zeit). Da in den folgenden Abschnitten ausschließlich Zeitreihen betrachtet werden, die auf einer äquidistanten (lat.: aequus o gleich + distantia o Abstand) Zeitvariablen t beruhen, genügt es, die Zeitvariable t nur auf den natürlichen Zahlen variieren zu lassen, so dass t = 1,2,...,n gilt. Dies hat den Vorteil, dass die Zeitvariable t gleichzeitig als Zeiger bzw. als Index (lat.: index o Register, Verzeichnis) für die zeitlich geordneten Werte yt einer Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} und als äquidistante Zeitvariable t fungieren kann. iii) Indexmengen. In der Zeitreihenanalyse bedient man sich zur Beschreibung des Zeithorizonts einer äquidistanten Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} in der Regel der folgenden Indexmengen: Während die Indexmenge TB = {t | t = 1,2,...,n} den Beobachtungszeitraum von der Länge n, die Indexmenge TP = {t | t = n + 1, n + 2,..., n + h} den Prognosezeitraum von der Länge h kennzeichnet, bezeichnet man die Vereinigungsmenge TR = TB TP aus den beiden disjunkten (lat.: disiunctio o Trennung) Zeiträumen TB und TP als den Relevanzzeitraum TR von der Länge n + h. iv) Stochastischer Prozess. In Anlehnung an die Betrachtungen im Kontext des sechsten Kapitels zur Stochastik kann eine empirisch beobachtete Zeitreihe {yt, t T} auch als eine (mögliche) Realisierung eines stochastischen Prozesses {Yt, t T} gedeutet werden. Ein stochastischer Prozess wird dabei als eine Folge von Zufallsgrößen Yt aufgefasst, die über einem (endlichen) Zeitbereich T definiert sind. Im Zuge der Modellierung eines stochastischen Prozesses {Yt, t T} in seinem zeitlichen Verlauf wird unterstellt, dass er gleichsam in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft existiert und nur zeitdiskret zu bestimmten äquidistanten Zeitpunkten t bzw. in bestimmten äquidistanten Zeitintervallen t statistisch beobachtet wird, wobei der diskrete Zeitbereich T = {t | t = 0, r1, r2,...} jetzt im Bereich der ganzen Zahlen variiert. i
Zeitreihenanalyse
343
Klassifikation. Ein Erhebungsmerkmal Y bzw. ein stochastischer Prozess Yt kann im erfassungsstatischen Sinne hinsichtlich seiner Ausprägungen bzw. Realisationen yt zu bestimmten Zeitpunkten oder in bestimmten Zeitintervallen beobachtet werden. Aus diesem Grunde unterscheidet man zwischen Zeitintervallreihen und Zeitpunktreihen. Zeitintervallreihe Eine Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n}, die den zahlenmäßigen Stand einer Erscheinung oder eines Prozesses Y für bestimmte Zeitintervalle t angibt bzw. beschreibt, heißt Zeitintervallreihe. Hinweise. Für das Verständnis des statistischen Konstrukts einer Zeitintervallreihe erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristikum. Kennzeichnend für eine Zeitintervallreihe ist, dass sich die Zeitreihenwerte yt auf eine Folge von (meist äquidistanten) Zeiträumen t beziehen. Dabei wird für jeden Zeitraum t ein Wert yt statistisch erfasst, der durch das Wirken des beobachteten Prozesses Y während des gesamten Zeitraumes entstanden ist. Zwischenwerte sind nicht nur nicht erfasst, sie existieren per definitionem auch nicht. ii) Beispiele. Charakteristische ökonomische Zeitintervallreihen sind zum Beispiel der mengen- oder wertmäßige Monats-, Quartals- oder Jahresumsatz eines Unternehmens. i
Zeitpunktreihe Eine Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n}, die den zahlenmäßigen Stand einer Erscheinung oder eines Prozesses Y zu bestimmten Zeitpunkten t angibt, heißt Zeitpunktreihe. Hinweise. Für das Verständnis des statistischen Konstrukts einer Zeitpunktreihe erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Charakteristikum. Die Wesenheit einer Zeitpunktreihe besteht darin, dass die Zeitreihenwerte yt für eine genau festgelegte Folge von (meist äquidistanten) Erfassungsmomenten t statistisch erhoben werden. ii) Beispiele. Typische ökonomische Zeitpunktreihen sind zum Beispiel der Bevölkerungsstand eines Territoriums jeweils am Jahresende, der Bargeldbestand einer Kasse jeweils am Ende eines Geschäftstages, die Spareinlagenhöhe inländischer Privatpersonen jeweils am Jahresende oder der Kassakurs eines Wertpapiers am Ende eines Börsentages. iii) Spezifikum. Zeitpunktreihen sind untrennbar verbunden mit der statistischen Erhebung von Beständen über die Zeit hinweg. Während die Zeitreihenanalyse auf die Analyse von Beständen in ihrer zeitlichen Entwicklung abstellt, hat die Bestandsanalyse die statistische Analyse eines Bestandes aus seinen Zu- und seinen Abgängen zum Gegenstand. i
Sequenzdiagramm. Der zeitliche Verlauf eines Zustandes oder Prozesses, kann mit Hilfe eines Sequenzdiagramms grafisch dargestellt werden. Sequenzdiagramm Die grafische Darstellung von Zeitreihenwerten yt einer Zeitreihe {yt, t TR} in einem kartesischen Koordinatensystem mit Hilfe eines Polygonzuges heißt Sequenzdiagramm.
344
Zeitreihenanalyse
Hinweise. Für die Konstruktion und Interpretation eines Sequenzdiagramms erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Konstruktion. Ein Sequenzdiagramm (lat.: sequentia o Aufeinanderfolge) ist ein Liniendiagramm in Gestalt eines Polygonzuges (grch.: polys o viel + gonia o Winkel), bei dem in der Regel auf der Abszisse die Zeitvariablenwerte t und auf der Ordinate die Zeitreihenwerte yt einer Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} abgetragen werden. ii) Interpretation. Bei der Interpretation eines Sequenzdiagramms ist zu beachten, dass die Zeitreihenwerte yt nur für die Zeitvariablenwerte t beobachtet wurden. Zwischenwerte sind nicht definiert bzw. existieren nicht. Der Polygonzug zwischen den Punkten {(t, yt), t = 1,2,...,n} ist streng genommen nicht zulässig und dient lediglich einem besseren Sichtbarmachen des zeitlichen Verlaufes eines beobachteten und in einer Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} erfassten Prozesses. i
Beispiel 10.1-1: Zeitintervallreihe Motivation. Die PASW Statistics Datendatei Flugpassagiere.sav beinhaltet eine empirische Zeitreihe, welche die Anzahl Y der Passagiere (Angaben in 1000 Personen) beschreibt, die jeweils im Verlaufe eines Monats auf den Berliner Flughäfen statistisch erfasst wurden. Die empirische Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} ist ihrem Wesen nach eine Zeitintervallreihe. Dies erklärt sich sachlogisch daraus, dass die Anzahl Y der Flugpassagiere aus statistisch-methodischer Sicht ein ökonomischer Prozess ist, der nicht zu einem bestimmten Zeitpunkt t, sondern nur in einem bestimmten Zeitraum t statistisch erfasst werden kann. Da im konkreten Fall die Anzahl Y der Passagiere auf den Berliner Flughäfen für den Beobachtungszeitraum von Januar 2002 bis Dezember 2009 chronologisch erfasst wurde, hat man wegen a = 8 „vollständigen“ Wirtschaftsjahren (lat.: anus o Jahr) mit jeweils m = 12 Monaten (lat.: mensis o Monat) letztlich eine äquidistante (lat.: aequus o gleich + distantia o Abstand) und zugleich unterjährige Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,n} mit n = 812 = 96 Zeitreihenwerten yt verfügbar. Zeitvariable. Für eine statistische Analyse, Modellierung und Prognose der monatlichen Flugpassagierzahlen erweist es sich als erforderlich, eine geeignete Zeitvariable t zu vereinbaren. Da es sich bei den Flugpassagierzahlen (Angaben in 1000 Personen) um eine äquidistante Zeitintervallreihe handelt, kann man sich in Anlehnung an das Beispiel 4.6.4-2 zum Beispiel mit Hilfe der PASW Statistics Funktion $CASENUM eine äquidistante Zeitvariable t erzeugen, die für den ersten Zeitreihenwert y1 = 708 (1000 Flugpassagiere) den Wert t = 1 und in logischer Konsequenz für den letzten Zeitreihenwert y96 = 1572 (1000 Flugpassagiere) den Wert t = 96 annimmt. Gleichwohl diese Form der Zeitvariablenvereinbarung leicht nachvollziehbar ist, erweist sie sich vor allem bei der statistischen Analyse und Modellierung von unterjährigen Zeitreihendaten als nicht ausreichend. Datum definieren. Sehr hilfreich und nützlich hingegen sind Zeitvariablen, die man in PASW Statistics via Sequenz 10.1-1 aus einer breiten Palette von Variablenkonstrukten erzeugen und für die statistische Analyse einer empirisch erfassten Zeitreihe verwenden kann.
Zeitreihenanalyse
345 Sequenz 10.1-1: Datum definieren Daten Datum definieren o Abbildung 10.1-1
Abbildung 10.1-1: Daten-Editor und Dialogfeld Datum definieren
Aufgrund der Vereinbarungen, die gemäß Abbildung 10.1-1 im Dialogfeld Datum definieren getroffenen wurden, sind in die PASW Statistics Arbeitsdatei automatisch die Zeitvariablen YEAR_, MONTH_ und DATE_ zur Beschreibung der unterjährigen Zeitintervallreihe (in Gestalt einer äquidistanten Monatszeitintervallreihe) der Flugpassagierzahlen eingefügt worden. Beachtenswert ist dabei, dass die in die Arbeitsdatei automatisch eingefügten Zeitvariablen durch einen „Unterstrich“ gekennzeichnet sind und zur Vermeidung von Perturbationen ihre „PASW Statistics interne“ Kennzeichnung nicht verändert werden sollte. Beobachtungszeitraum. Auf der Grundlage der vereinbarten äquidistanten Zeitvariablen t, die im Daten-Editor innerhalb der Abbildung 10.1-1 unter dem Namen Zeit firmiert, ist man nunmehr in der Lage, den Beobachtungszeitraum TB der Anzahl Y der Flugpassagiere von der Länge n = 96 Monate mit Hilfe der folgenden Indexmengen zu beschreiben: TB = {t | t = 1,2,...,96} = {t* | t* = Jan 2002, Feb 2002,..., Dez 2009}. Dabei wurden der Einfachheit halber die PASW Statistics Variablen Zeit und DATE_ durch die Bezeichnungen t bzw. t* ersetzt. Hat man die jeweiligen Zeitvariablen im Dialogfeld 10.1-1 vereinbart, dann steht einer statistischen Zeitreihenanalyse formal nichts mehr im Wege. Sequenzdiagramm. Im Vorfeld einer Zeitreihenanalyse erweist es sich stets als vorteilhaft, den zeitlichen Verlauf eines zu analysierenden Prozesses via Sequenz 10.1-2 in einem Sequenzdiagramm grafisch darzustellen. Sequenz 10.1-2: Sequenzdiagramm Analysieren Vorhersage Sequenzdiagramme... o Abbildung 10.1-2
346
Zeitreihenanalyse
Abbildung 10.1-2: Daten-Editor und Dialogfeld Sequenzdiagramme
Die Abbildung 10.1-3 beinhaltet das Sequenzdiagramm der monatlichen Flugpassagierzahlen im Beobachtungszeitraum TB. Abbildung 10.1-3: Sequenzdiagramm als Polygonzug und als Trajektorie
Aus den inhaltsgleichen, aber statistisch-methodisch wohl zu unterscheidenden Sequenzdiagrammen wird ersichtlich, dass die äquidistante Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,96} der Flugpassagierzahlen yt im Beobachtungszeitraum TB zum einen durch eine steigende Tendenz und zum anderen durch ausgeprägte und periodisch wiederkehrende Schwankungen mit nahezu gleichen Amplituden gekennzeichnet ist, die es im Zuge einer Zeitreihenanalyse modellhaft zu beschreiben gilt. Dabei ist zu beachten, dass die Zeitreihenwerte yt nur für die Zeitvariablenwerte t statistisch beobachtet wurden. Zwischenwerte sind nicht definiert bzw. existieren nicht. Sowohl der „gestrichelte“ Polygonzug als auch die „interpolierte“ Trajektorie (lat.: traicere o hinübertragen) zwischen den Punkten {(t, yt), t = 1,2,...,96} dienen lediglich einer besseren Sichtbarmachung des zeitlichen Verlaufs der beobachteten Flugpassagierzahlen yt mit t TB. h
Zeitreihenanalyse
347
Beispiel 10.1-2: Zeitpunktreihe Motivation. Die PASW Statistics Datendatei Daxkurse.sav beinhaltet eine Zeitreihe, welche für das zweite Halbjahr 2009 die an der Frankfurter Börse börsentäglich erfassten Schlusskurse des Deutschen Aktienindexes DAX (Angaben in Punkten) zum Inhalt hat. Die n = 121 empirisch erfassten Schlusskurse yt bilden im statistischen Sinne eine Zeitpunktreihe {yt, t = 1,2,...,n}. Dies erklärt sich sachlogisch daraus, dass der börsentägliche Schlusskurs Y des DAX aus statistisch-methodischer Sicht ein ökonomischer Indikator ist, der stets nur zu einem bestimmten Zeitpunkt t statistisch erfasst werden kann. Im konkreten Fall wurde der Kurs des DAX jeweils zum Ende eines Börsentages erfasst. Beobachtungszeitraum. Der Beobachtungszeitraum der Zeitpunktreihe {yt, t = 1,2,...,n} des DAX von der Länge n = 121 Börsentage kann im Sinne einer äquidistanten Fünf-Tage-Arbeitswochen-Chronologie mit Hilfe der folgenden Indexmengen beschrieben werden: TB = {t | t = 1,2,...,121} = {t* | t* = 1. Juli 2009, 2. Juli 2009,…, 16. Dezember 2009}. Dabei wurden die PASW Statistics Variablen Zeit und DATUM_ durch die Bezeichnungen t bzw. t* ersetzt. Sequenzdiagramm. Die Abbildung 10.1-4 beinhaltet die beiden jeweils via Sequenz 10.1-2 erstellten Sequenzdiagramme für die Zeitpunktreihe des DAX, die einerseits auf der Basis der originären und andererseits auf der Basis der logarithmierten Schlusskurse erstellt wurden. Abbildung 10.1-4: Sequenzdiagramm der originären und logarithmierten Werte
In der technischen Wertpapieranalyse benutzt man in der Regel nicht die originären, sondern die logarithmierten Schlusskurse eines Wertpapiers. Ungeachtet dieses später noch zu motivierenden und zu erklärenden Spezifikums wird aus den beiden Sequenzdiagrammen innerhalb der Abbildung 10.1-4 ersichtlich, dass im Beobachtungszeitraum TB die börsentäglichen Schlusskurse yt des DAX durch einen ansteigenden und volatilen (lat.: volare o beweglich) Verlauf gekennzeichnet sind, der (etwa im Unterschied zur Zeitreihe der Flugpassagierzahlen in der Abbildung 10.1-3) augenscheinlich nicht saisonal bedingt ist. h
348
10.2
Zeitreihenanalyse
Gleitende Durchschnitte
Motivation. Gleitende Durchschnitte gehören zu den einfachsten und in praxi zweifelsfrei wohl am häufigsten applizierten Verfahren der Zeitreihenanalyse. Ihre Zweckbestimmung besteht in der Sichtbarmachung der Grundrichtung einer volatilen (lat.: volare o beweglich) Zeitreihe, die mehr oder weniger starken Schwankungen unterliegt. Die Grundidee der Methode der gleitenden Durchschnitte besteht darin, eine volatile Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} mittels einer einfachen und schrittweise über die beobachteten Zeitreihenwerte yt hinweg „gleitenden“ Durchschnittsbildung derart zu „glätten“, dass die Grundrichtung der Zeitreihe „leichter und besser“ erkennbar wird. In der Zeitreihenanalyse bedient man sich verschiedener Arten von gleitenden Durchschnitten, wozu auch die so genannten zentrierten gleitenden Durchschnitte (engl.: Moving Averages) zählen, die wie folgt skizziert werden können: Gleitende Durchschnitte Ist {yt, t = 1,2,...,n} eine äquidistante Zeitreihe und k t 0 eine ganzzahlige Konstante, dann heißen die (n 2k) arithmetischen Mittel
1 k ¦ y i j mit j k 1, k 2,..., n k r i k bzw. die (n 2k + 1) arithmetischen Mittel 1 k 1 yj ¦ y i j mit j k 1, k 2,..., n k 1 r i k aus jeweils r chronologischen Zeitreihenwerten yt gleitende Durchschnitte zum ungeraden Stützbereich r = 2k + 1 bzw. zum geraden Stützbereich r = 2k. yj
Hinweise. Für die Berechnung und Nutzung von gleitenden Durchschnitten erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Wortursprung. Die Bezeichnung „gleitender Durchschnitt“ resultiert aus dem Umstand, dass man „gleitend“ über eine originäre Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} hinweg jeweils aus r < n Zeitreihenwerten yt einen Durchschnitt berechnet. ii) Saisonbereinigung. Wählt man für eine volatile und saisonal bedingte Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} den Stützbereich r < so, dass er der „Länge der Saison“ (frz.: Saison o Jahreszeit) entspricht, dann werden durch die gleitenden Durchschnitte die Saisonschwankungen eliminiert. Die Verwendung eines geradzahligen Stützbereiches r ist vor allem dann vorteilhaft, wenn eine Zeitreihe mit „geradzahligen“ Saisonkomponenten (etwa Quartale, Monate) saisonbereinigt werden soll. iii) Stützbereich. Die ganzzahlige Konstante k heißt Stützbereichskonstante. Für k = 0 stimmen die n gleitenden Durchschnitte der Ordnung t mit den originären Zeitreihenwerten yt überein. Ist die Länge n der Zeitreihe ungerade und gilt k = (n 1)/2, dann ergibt sich nur ein gleitender Durchschnitt, der mit dem arithmetischen Mittel aus allen Zeitreihenwerten yt übereinstimmt. Die Wahl der Stützbereichskonstante k hängt vom Umfang n und von der Beschaffenheit einer zu glättenden Zeitreihe ab. Je kleiner (größer) die Stützbereichskonstante k ist, desto kleiner (größer) ist der Stützbereich r für die Berechnung der gleitenden
Zeitreihenanalyse
349
Durchschnitte. Je kleiner (größer) der Stützbereich r ist, umso geringer (stärker) ist die Glättung einer Zeitreihe. iv) Funktionen. In PASW Statistics werden via Sequenz 10.2-1 zwei Funktionen zur Berechnung von gleitenden Durchschnitten bereitgestellt: die MAFunktion (engl.: moving average o gleitender Durchschnitt) zur Berechnung von so genannten „zentrierten gleitenden Durchschnitten“ und die PMA-Funktion (engl.: prior moving average o vorgezogener gleitender Durchschnitt) zur Berechnung von so genannten „zurückgreifenden gleitenden Durchschnitten“. Der Unterschied zwischen den beiden PASW Statistics Funktionen liegt nicht in der Art und Weise der gleitenden Durchschnittsberechnung, sondern lediglich in der grafischen Projektion des jeweiligen Durchschnittswertes auf der Zeitachse. Während bei der MA-Funktion ein Durchschnittswert in seiner grafischen Projektion in der „zeitlichen Mitte“ abgetragen wird, erfolgt die zeitliche Projektion eines gleitenden Durchschnitts bei der PMA-Funktion „zeitlich vorgezogen“ (oder je nach Blickrichtung „zeitlich zurückgreifend“) des jeweils letzten zugleich „aktuellen“ Wertes einer Durchschnittsberechnung. v) Vor- und Nachteile. Ein Vorteil der Methode der gleitenden Durchschnitte liegt in ihrer Einfachheit, Praktikabilität und Wirksamkeit bei der Aufdeckung der Grundtendenz einer volatilen bzw. saisonal bedingten Zeitreihe. Ein Nachteil besteht darin, dass eine geglättete Zeitreihe auf der Basis einer Stützbereichskonstante k nur noch aus (n 2k) Zeitreihenwerten besteht, wobei jeweils am Anfang und am Ende k geglättete Werte entfallen. i
Beispiel 10.2-1: Gleitende Durchschnitte für Flugpassagierzahlen Motivation. In Weiterführung des Beispiels 10.1-1 und unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Flugpassagiere.sav soll mit Hilfe von gleitenden Durchschnitten die Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,96} der monatlichen Passagierzahlen yt auf den Berliner Flughäfen derart geglättet werden, dass die Entwicklungsrichtung der Flugpassagierzahlen im Beobachtungszeitraum TB = {t | t = 1,2,...,96} = {t* | t* = Jan 2002, Feb 2002,..., Dez 2009} augenscheinlicher wird. Da es sich bei den Flugpassagierzahlen yt um Monatsdaten mit offensichtlich jährlich wiederkehrenden Schwankungen handelt, soll (einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen) die Glättung der „unterjährigen“ Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,96} mit Hilfe zentrierter gleitender Durchschnitte auf der Basis eines Stützbereiches von r = 7 Monaten und von r = 12 Monaten praktiziert werden. Sequenz. Eine Zeitreihenglättung mit Hilfe von gleitenden Durchschnitten kann via Sequenz 10.2-1 bewerkstelligt werden. Im Zuge der im Dialogfeld Zeitreihen erstellen innerhalb der Abbildung 10.2-1 getroffenen Vereinbarungen wird in die Arbeitsdatei automatisch eine Variable M(oving)A(verage)7 eingefügt, die im konkreten Fall wegen r = 2k + 1 = 7 und k = (7 1)/2 = 3 sowie n 2k = 96 – 23 = 90 zentrierte gleitende Durchschnitte auf der Basis eines Stützbereiches von r = 7 Monaten beinhaltet. Analog wird durch die PASW Statistics Zeitreihenfunktion zur Generierung von gleitenden Durchschnitten in die Arbeitsdatei automatisch eine numerische Variable MA12 eingefügt, die im konkreten Fall
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Zeitreihenanalyse
r = 2k = 12 und k = 12/2 = 6 sowie n 2k = 96 – 26 = 84 zentrierte gleitende Durchschnitte zum Stützbereich r = 12 Monate beinhaltet. Sequenz 10.2-1: Gleitende Durchschnitte Transformieren Zeitreihen erstellen... o Abbildung 10.2-1 Abbildung 10.2-1: Daten-Editor und Dialogfeld Zeitreihen erstellen
Sequenzdiagramm. Die Abbildung 10.2-2 beinhaltet die Sequenzdiagramme der beobachteten monatlichen Flugpassagierzahlen yt mit den jeweils daraus entlehnten zentrierten gleitenden Durchschnitten MA auf der Basis einer Spanne bzw. eines Stützbereiches von r = 7 Monaten bzw. von r = 12 Monaten, die jeweils durch einen „fett“ gezeichneten Polygonzug kenntlich gemacht sind. Abbildung 10.2-2: Sequenzdiagramme mit gleitenden Durchschnitten
Mit der Hilfe der gleitenden Durchschnitte werden die statistisch beobachteten monatlichen Schwankungen der Flugpassagierzahlen in einem augenscheinlichen Maße „gedämpft“ und „geglättet“. Mehr noch: Während die zentrierten gleiten-
Zeitreihenanalyse
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den Durchschnitte zum Stützbereich von r = 7 Monaten einen ansteigenden und sinusförmigen Verlauf indizieren, werden durch die zentrierten gleitenden Durchschnitte zum Stützbereich von r = 12 Monaten, der mit der Periodizität der Flugpassagierzahlen von m = 12 Monaten identisch ist, die saisonalen Schwankungen eliminiert, so dass die linear ansteigende Entwicklungsrichtung der monatlichen Flugpassagierzahlen noch besser sichtbar wird. Analysebefunde. Bemerkenswert sind im konkreten Fall zwei elementare und zugleich augenscheinliche Analysebefunde: Zum einen sind die Flugpassagierzahlen im Beobachtungszeitraum TB durch eine steigende Tendenz gekennzeichnet, die offensichtlich hinreichend genau durch eine Gerade bzw. durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Zum anderen scheinen ab dem Zeitvariablenwert von t = 72, also mit Beginn des Jahres 2009, offensichtlich auch die monatlich erfassten Flugpassagierzahlen yt im Sog der aktuellen Finanzmarktund Wirtschaftskrise regelrecht „wegzubrechen bzw. einzuknicken“, ein Phänomen, das bei der Konstruktion eines geeigneten Zeitreihenmodells zur kurzfristigen statistischen Vorausberechnung der monatlichen Flugpassagierzahlen zu berücksichtigen sein wird (vgl. Abschnitt 10-3). h Beispiel 10.2-2: Gleitende Durchschnitte für DAX-Schlusskurswerte Motivation. In Weiterführung des Beispiels 10.1-2 soll unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Daxkurse.sav mit Hilfe von gleitenden Durchschnitten die Zeitpunktreihe {yt, t = 1,2,...,n} der n = 121 im zweiten Halbjahr 2009 börsentäglich erfassten Schlusskurse yt des Deutschen Aktienindexes DAX derart geglättet werden, dass die Entwicklungsrichtung der Schlusskurse im Beobachtungszeitraum TB = {t | t = 1,2,...,121} = {t* | t* = 1. Juli 2009, 2. Juli 2009,…, 16. Dezember 2009} augenscheinlicher wird. Abbildung 10.2-3: Daten-Editor und Dialogfeld Zeitreihen erstellen
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Zeitreihenanalyse
Einzig und allein aus didaktisch-methodischen und Vergleichbarkeitsgründen soll analog zur Abbildung 10.2-3 die Glättung der Zeitpunktreihe des DAX sowohl mit Hilfe der MA- als auch der PMA-Funktion zur Erzeugung so genannter zentrierter bzw. zurückgreifender gleitender Durchschnitte auf der Basis eines Stützbereiches von r = 25 Börsentagen praktiziert werden. Sequenzdiagramme. In der Abbildung 10.2-4 sind die beiden Sequenzdiagramme für die logarithmierten DAX-Schlusskurse skizziert, die jeweils durch die „gestutzte“ Zeitreihe der so genannten zentrierten (MA) bzw. zurückgreifenden (PMA) gleitenden Durchschnitte ergänzt wurden. Abbildung 10.2-4: Sequenzdiagramme mit gleitenden Durchschnitten
Es lässt sich im konkreten Fall leicht nachvollziehen, dass die Trajektorien der „gestutzten“ Zeitreihen der gleitenden Durchschnitte MA und PMA zum Stützbereich von 25 Börsentagen wegen r = 2k + 1 = 25 und k = (25 1)/2 = 12 sowie n 2k = 121 – 212 = 97 jeweils aus 97 gleitenden Durchschnittswerten bestehen, die lediglich „zeitlich verschoben“ im jeweiligen Sequenzdiagramm abgebildet werden. Während zum Beispiel der gleitende Durchschnitt der Ordnung n = 97, der aus den „letzten“ 25 beobachteten DAX-Schlusskursen {yt, t = 97, 98,…,121} berechnet wurde und gemäß Abbildung 10.2-3 einen Wert von 5745,45 Punkten lieferte, als logarithmierter zentrierter gleitender Durchschnitt ln(5745,45) # 8.6562 im linken Sequenzdiagramm in der „zeitlichen Mitte“ zum Zeitvariablenwert t = 97 + (25 1)/2 = 109 abgebildet wurde, erfolgte seine grafische Darstellung als logarithmierter zurückgreifender gleitender Durchschnitt PMA „zeitlich nach vorne verschoben“ zum Zeitvariablenwert t = 97 + 25 = 122. Dass im konkreten Fall der Zeithorizont des Beobachtungszeitraumes wegen 122 – 121 = 1 um einen Börsentag „überschritten“ wird, ist dabei ohne Belang. Kernaussage. In der technischen Wertpapieranalyse würde man dem DAX im Beobachtungszeitraum TB eine Hausse (frz.: hausse o Anstieg) zuschreiben, die im PMA-gestützten Chart (engl.: chart o Zeichnung) durch eine degressiv ansteigende 25-Tage-Linie bildhaft untermauert wird. h
Zeitreihenanalyse
10.3
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Trend-Saison-Modelle
Motivation. Die in diesem Abschnitt skizzierten Trend-Saison-Modelle stellen auf die statistische Beschreibung und Modellierung der Trendkomponente yt* und/oder der Saisonkomponente st* einer Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} ab. In praxi häufig konstruierte und applizierte Trend-Saison-Modelle sind das additive und das multiplikative Trend-Saison-Modell. Beide Modelle finden vor allem wegen ihrer Einfachheit, Praktikabilität und Leistungsfähigkeit bei der kurzfristigen statistischen Vorausberechnung von trendbehafteten und/oder saisonal bedingten Prozessen eine breite Anwendung. Trend-Saison-Modell Ist {yt, t = 1,2,...,n} eine äquidistante Zeitreihe, die einen trendbehafteten und/ oder saisonal bedingten Prozess zahlenmäßig beschreibt, dann kennzeichnen die Modelle yt = yt** + ut = yt* + st* + ut bzw. yt = yt** + ut = yt* st* + ut ein additives bzw. ein multiplikatives Trend-Saison-Modell zur statistischen Prozessbeschreibung. Hinweise. Für die Charakteristik und für die Konstruktion eines additiven bzw. multiplikativen Trend-Saison-Modells erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich: i) Additives Modell. Bei einem additiven Modell wird unterstellt, dass die Zeitreihenwerte yt durch drei sich in ihrer Wirkung additiv überlagernde Komponenten beschrieben werden können: durch eine Trendkomponente in Gestalt eines Trendmodells yt* (engl.: trend o Richtung), durch eine Saisonkomponente st* (frz.: saison o Jahreszeit) und durch eine Residualkomponente ut (lat.: residuum o Rest). In diese Betrachtung sind wegen yt = yt* + ut bzw. yt = st* + ut die Spezialfälle eines Trendbzw. eines Saisonmodells eingeschlossen. yt** bezeichnet den Modellwert zum Zeitpunkt t. Charakteristisch für die Saisonkomponente st* in einem additiven Trend-Saison-Modell ist die Existenz periodisch wiederkehrender und in ihrem Ausmaß mehr oder weniger gleichbleibender bzw. homoskedastischer (grch.: homos o gleich + skedastikos o abweichen, streuen) Schwankungen der Zeitreihenwerte yt um die Werte yt* des Trendmodells. ii) Multiplikatives Modell. In der Zeitreihenanalyse werden verschiedene Versionen eines multiplikativen Trend-Saison-Modells appliziert. Für die weiteren Betrachtungen wird die multiplikative Verknüpfung yt*st* einer Trendkomponente in Gestalt eines Trendmodells bzw. einer Trendfunktion yt* mit einer Saisonkomponente st* und deren additive Überlagerung durch eine Residualkomponente ut angenommen. yt** = yt* st* bezeichnet den Modellwert zum Zeitpunkt t. Charakteristisch für die Saisonkomponente st* in einem multiplikativen Modell ist die Existenz periodisch wiederkehrender und sich in ihrem Ausmaß mehr oder weniger proportional zum Verlauf des Trendmodells yt* verhaltender saisonaler bzw. heteroskedastischer (grch.: heteros o anders, verschieden + skedastikos o abweichen, streuen) Schwankungen st* in den Zeitreihenwerten yt. iii) Beispiele. Während die Trend-Saison-Modelle in den Beispielen 10.3-1 und 10.3-2 „per Hand gebastelt“ wurden, können analog zum Beispiel 10.3-3 in PASW Statistics Zeitreihen auch mittels des „Expert Modeler“ auf automatisiertem und heuristischem (grch.: heuriskein o finden) Wege analysiert und modelliert werden. i
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Zeitreihenanalyse
Beispiel 10.3-1: Additives Trend-Saison-Modell Motivation. Die äquidistante Zeitintervallreihe der monatlichen Flugpassagierzahlen (Angaben in 1000 Personen) aus der PASW Statistics Daten- und Arbeitsdatei Additives Modell.sav soll unter Verwendung der Analyseergebnisse im Kontext der Beispiele 10.1-1 und 10.2-1 mit Hilfe eines geeigneten TrendSaison-Modells beschrieben werden mit dem Ziel, das Trend-Saison-Modell für eine statistische Prognose der Flugpassagierzahlen zu verwenden. Trendkomponente. Im Rahmen des Beispiels 10.2-1 wurde mit Hilfe der Methode der gleitenden Durchschnitte für die Zeitintervallreihe des monatlichen Passagieraufkommens auf den Berliner Flughäfen ein linear ansteigender Trend diagnostiziert, der allerdings mit Beginn des Wirtschaftsjahres 2009, also für alle Zeitvariablenwerte t t 84, augenscheinlich durch ein abrupt „absackendes“ Passagieraufkommen „gebrochen“ wird. Dieser indizierte Strukturbruch im Passagieraufkommen, der ursächlich einer eingangs des Jahres 2009 weltweit und rasant um sich greifenden Finanz- und Wirtschaftskrise zuzuschreiben ist, soll mit Hilfe der dichotomen Dummyvariablen (engl.: dummy o Schein, Attrappe) 1 für t 1, 2,..., 83 Dt ® ¯0 für t 84, 85,... modelliert werden und zugleich Eingang in die Konstruktion eines linearen Trendmodells für die monatlichen Flugpassagierzahlen finden. Der Graph des konstruierten linearen Trendmodells y*(t, Dt) = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt zur Beschreibung der Entwicklungsrichtung der monatlichen Flugpassagierzahlen yt in Abhängigkeit von der Zeitvariablen t TB und der Dummyvariablen Dt ist im rechten Sequenzdiagramm innerhalb der Abbildung 10.3-2 dargestellt. Abbildung 10.3-2: Sequenzdiagramm mit PMA und linearem Trend
Aus statistisch-methodischer Sicht und mit Bezug auf die paradigmatischen Betrachtungen im Kontext der Abschnitte 9.1 und 9.3 kann gemäß Tabelle 10.3-1 das lineare Trendmodell yt*(t, Dt) = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt als eine multiple lineare Kleinste-Quadrate-Regressionsfunktion der monatlichen Flug-
Zeitreihenanalyse
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passagierzahlen yt über der Zeitvariablen t TB und der Dummyvariablen Dt gedeutet werden, deren Parameter im induktiven Sinne als signifikant von null verschieden angesehen werden können. Tabelle 10.3-1: Trend- bzw. Regressionsparameter
Parameterinterpretation. Die mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme aus den beobachteten Passagierzahlen yt geschätzten und in der Tabelle 10.3-1 aufgelisteten Trendparameter können wie folgt interpretiert werden: Unter Verwendung des linearen Trendmodells yt*(t, Dt) hätte man wegen t = 0, D0 = 1 und y0*(0, 1) = 685,800 + 11,7380 + 204,9091 = 685,800 + 204,909 = 890,709 das Flugpassagieraufkommen im Dezember 2001 auf 890709 Passagiere geschätzt. Ceteris paribus, besonders unter Berücksichtigung des krisenbedingten Strukturbruchs ist wegen w yt*/w t = 11,738 (1000 Passagiere pro Monat) im Beobachtungszeitraum TB das Passagieraufkommen auf den Berliner Flughäfen von Monat zu Monat im Durchschnitt um 11738 Passagiere gestiegen. Analog kann auch die partielle Wirkung der Dummyvariablen Dt bewertet werden, wobei wegen w yt*/w Dt = 204,909 partiell mit einer durchschnittlichen Veränderung des Passagieraufkommens von 204,9091000 = 204909 Passagieren zu rechnen ist, wenn sich der Wert der Dummyvariablen um eine Einheit verändert. Aufgrund der Konstruktion der Dummyvariablen Dt, die mit dem Zeitvariablenwert t = 84 „abrupt“ (vom Wert eins auf den Wert null) um eine Einheit sinkt, hat man mit dem so genannten Dummy-Trendparameter 204,909 das durchschnittliche Ausmaß des „abrupten Absinkens“ im Passagieraufkommen auf den Berliner Flughäfen um nahezu 205000 Passagiere „gemessen“. Bestimmtheitsmaß. Schließlich und endlich ist man im konkreten Fall aufgrund eines Bestimmtheitsmaßes von R² = 0,729 mit Hilfe des linearen Trendmodells yt*(t, Dt) bereits in der Lage, im Beobachtungszeitraum TB zu 72,9 % die Varianz der empirisch beobachteten Passagierzahlen yt auf den Berliner Flughäfen allein aus der Varianz der Zeitvariablen t und der Dummyvariablen Dt statistisch zu erklären. Der „verbleibende und nicht erklärte“ Varianzanteil bei der statistischen Erklärung der Passagierzahlen von (1 – 0,729)100 % = 27,1 % ist zweifelsfrei und augenscheinlich vor allem den saisonal bedingten Schwankungen der Passagierzahlen st um das lineare Trendmodell yt*(t, Dt) geschuldet. Da
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Zeitreihenanalyse
offensichtlich das lineare Trendmodell yt*(t, Dt) für brauchbare Prognosen der Passagierzahlen allein nicht geeignet ist, bedarf es zudem noch einer sachlogischen und operationalen Berücksichtigung und Modellierung der periodisch wiederkehrenden Schwankungen in den Passagierzahlen, die in der Zeitreihenanalyse unter dem Begriff einer Saisonkomponente st* subsumiert werden. Unterjährigkeit. Bei der Modellierung einer Saisonkomponente st* für unterjährige und äquidistante Zeitreihendaten geht man davon aus, dass der Beobachtungszeitraum TB a N Jahre und jedes Jahr m N Unterzeiträume (etwa Tage, Wochen, Monate, Quartale, Tertiale, Halbjahre) umfasst, wobei letztlich insgesamt n = am Zeiträume betrachtet werden, in denen der zu analysierende ökonomische Prozess bzw. Zustand statistisch beobachtet wurde. Die im Bereich der natürlichen Zahlen N variierenden Variablen a und m sollen der Anschaulichkeit und der symbolischen Assoziation halber für die lateinischen Termini anus o Jahr und mensis o Monat stehen. Im Falle der äquidistanten Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,n} der monatlichen Flugpassagierzahlen yt umfasst der Beobachtungszeitraum TB die Jahre 2002 bis 2009, also insgesamt a = 8 Jahre. Aufgrund dessen, dass die Flugpassagierzahlen yt monatlich erfasst wurden, beläuft sich die Anzahl m der Perioden eines Jahres auf m = 12 Monate, so dass der Beobachtungszeitraum TB in logischer Konsequenz n = am = 812 = 96 Monate und die beobachtete äquidistante und unterjährige Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,n} n = 96 zeitlich geordnete Flugpassagierdaten yt umfasst. Symbolik. Für die Modellierung einer saisonalen Komponente und für die Konstruktion eines additiven Trend-Saison-Modells ist es aus vorteilhaft, die in der Tabelle 10.3-2 vereinbarte Symbolik zu verwenden. Tabelle 10.3-2: Trend-Saison-Modell-Symbole und ihre Semantik Symbol Semantik yjk Zeitreihenwert in Periode k = 1,2,...,m des Jahres j = 1,2,...,a yjk* Trendwert in der Periode k des Jahres j sjk = yjk yjk* Saisonwert in der Periode k des Jahres j (Trendresiduum) sjk* durchschnittlicher Saisonwert in der Periode k des Jahres j yjk**= yjk* + sjk* Modellschätzwert in der Periode k des Jahres j
Trendresiduen. Offensichtlich benötigt man zur Modellierung der Saisonkomponente st* die jeweilige Abweichung st = yt yt* = sjk = yjk yjk* mit t = k + m(j 1) TB der beobachteten Flugpassagierzahl yt = yjk vom jeweiligen Trendwert yt* = y*jk. Da es sich im konkreten Fall bei der zugrunde liegenden Trendfunktion yt* aus statistisch-methodischer Sicht um eine multiple lineare Regressionsfunktion handelt, die mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadratesumme aus den Zeitreihendaten geschätzt wurde, kann man für alle t TB die saisonal bedingten
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Schwankungen st, die im konkreten Fall als Residuen (lat.: residuum o Rest) des linearen Trendmodells yt*(t, Dt) erscheinen, am einfachsten via Sequenz 9.1-1 berechnen, indem man analog zur Abbildung 9.1-2 im Dialogfeld Lineare Regression die Variable Passagiere in Abhängigkeit von der Zeit vereinbart und via Schaltfläche Speichern gemäß Abbildung 10.3-3 im auszugsweise dargestellten Unterdialogfeld Lineare Regression: Speichern die angezeigten optionalen Festlegungen trifft. Abbildung 10.3-3: Unterdialogfeld ... Speichern
Hinweis. Im Zuge der optional vereinbarten Anforderungen werden automatisch in die PASW Statistics Arbeitsdatei die Variablen Pre(dicted)_1 und Res(idual)_1 eingefügt, die zum einen die mittels der linearen Trendfunktion geschätzten Trendwerte und zum anderen die geschätzten Trendresiduen beinhalten. In der PASW Statistics Arbeitsdatei Additives Modell.sav wurden der Anschaulichkeit halber die beiden automatisch berechneten Variablen auf die Namen Trend bzw. Trendres(iduen) umbenannt. i
Berechnung. Im konkreten Fall berechnet man unter Verwendung des linearen Trendmodells yt*(t, Dt) = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt zum Beispiel für den Dezember 2009, also für das Jahr der Ordnung j = 8 und für den Monat der Ordnung k = 12 wegen t = k + m(j 1) = 12 + 12(8 1) = 96 und D96 = 0 einen Trendwert von y96*(96, 0) = 685,800 + 11,73896 + 204,9090 # 1812,64 (1000 Passagiere) und ein Trendresiduum in Höhe von s96 = 1572 – 1812,64 = 240,64 (1000 Passagiere). Demnach lag zum Zeitpunkt t = 96 bzw. im Dezember 2009 die beobachtete Flugpassagieranzahl in Höhe von y96 = 1572 (1000 Passagiere) „absolut gesehen“ um s96 = 240,64 (1000 Passagiere) unter dem Trendwert von y96* = 1812,64 (1000 Passagiere). Analog sind für alle t TB die restlichen Trendresiduen st zu berechnen und (unter Berücksichtigung von vernachlässigbaren Rundungsfehlern) zu interpretieren. Sequenzdiagramm. Die Abbildung 10.3-4 beinhaltet das Sequenzdiagramm der Trendresiduen st TB für die Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,n} der monatlichen Flugpassagierzahlen yt, die auf der Grundlage des linearen Trendmodells yt*(t, Dt) = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt berechnet und gemäß Abbildung 10.3-5 in der PASW Statistics Arbeitsdatei Additives Modell.sav in der numerischen Variable Trendres(siduen) gespeichert wurden.
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Zeitreihenanalyse
Abbildung 10.3-4: Sequenzdiagramme Trendresiduen und Saisonkomponente
Während im Beobachtungszeitraum TB die Flugpassagierzahlen yt jeweils in den Hauptsaison-Monaten Juli bis Oktober mit etwa 200 (1000 Passagieren) über dem Trend lagen, ist vor allem in den Monaten zum jeweiligen Jahresende bzw. Jahresanfang auf den Berliner Flughäfen ein unterdurchschnittliches Passagieraufkommen zu beobachten, welches das Niveau von 300 (1000 Flugpassagieren) teilweise noch unterschreitet. Dieser augenscheinliche empirische Tatbestand legt es nahe, die Saisonkomponente st* im Beobachtungszeitraum TB als eine jahresdurchschnittliche und monatsspezifische Abweichung der Passagierzahlen yt vom jeweiligen Trendmodellwert yt* zu modellieren. Saisonkomponente. Die als eine durchschnittliche monatliche und saisonal bedingte Schwankung erscheinende Saisonkomponente st* berechnet man am einfachsten via Sequenz 10.3-1, wobei im konkreten Fall als abhängige Variable die Variable TrendRes(iduum) und als unabhängige Variable die PASW Statistics Variable MONTH_ (engl.: month o Monat) fungieren. Um allerdings die in der zugehörigen Mittelwerttabelle aufgelisteten Werte der Saisonkomponente st* in Gestalt der monatsspezifischen durchschnittlichen Trendresiduen in das weitere Analysekalkül einbeziehen zu können, ist es erforderlich, die berechneten „Mittelwerte“ vom PASW Statistics Viewer in die Arbeitsdatei „manuell“ zu kopieren. Der Anschaulichkeit halber und zu Vergleichszwecken sind die Saisonkomponentenwerte st* im linken Sequenzdiagramm innerhalb der Abbildung 10.3-4 grafisch und in der Variable Saison innerhalb der Abbildung 10.3-5 numerisch dargestellt. Interpretation. Unter Verwendung der Symbolik, die in der Tabelle 10.3-2 vereinbart wurde, beläuft sich der Saisonkomponentenwert sjk* zum Beispiel im Monat der Ordnung k = 7 bzw. k = 12, also jeweils im Monat Juli bzw. Dezember eines der a = 8 Beobachtungsjahre j = 1,2,...,a auf sj7* = 185,37 (1000 Passagiere) bzw. auf sj12* = 218,19 (1000 Passagiere). Demnach lag im Beobachtungszeitraum TB das Passagieraufkommen in den a = 8 Monaten Juli bzw. De-
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zember durchschnittlich um 185370 Passagiere über der (multiplen) linearen Trendfunktion bzw. um 218190 Passagiere unter dem (multiplen) linearen Trend. Notierens- und beachtenswert ist dabei das Faktum, dass sich im konkreten Fall wegen der Kleinste-Quadrate-Schätzung sowohl die Trendresiduen st als auch die Saisonkomponentenwerte st* zu null addieren bzw. dass sie jeweils die Zahl Null als ihr „gemeinsames“ Schwankungszentrum haben. Sequenz 10.3-1: Saisonkomponente Analysieren Mittelwerte vergleichen Mittelwerte o Abbildung 10.3-5 Abbildung 10.3-5: Daten-Editor und Dialogfeld Mittelwerte
Trend-Saison-Modell. So bestimmt man unter Verwendung eines additiven Trend-Saison-Modells, für das man (etwa via Sequenz 4.6.4-2) mit Hilfe des Dialogfeldes Variable berechnen im konkreten Fall einfach die Berechnungsvorschrift Modell = Trend + Saison appliziert, zum Beispiel für den Dezember 2009 wegen m = 12, j = 8, k = 12, t = 12 + 12(8 1) = 96 und s96* = 218,19 (1000 Passagiere) schließlich und endlich eine Flugpassagierzahl von y96** = 685,800 + 11,73896 + 204,9090 – 218,19 # 1594,45 (in 1000). Die Differenz u96 = y96 y96** = 1572 – 1594,45 # 22,45 (1000 Passagiere) aus der im Dezember 2009 beobachteten Anzahl der Flugpassagiere y96 = 1572 (in 1000) und dem Modellwert y96** = 1594,45 (in 1000) bezeichnet man als das Residuum ut der Ordnung t = 96 des additiven Trend-Saison-Modells.
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Zeitreihenanalyse
Residualstandardfehler. Auf der Basis der n = 96 Modellresiduen ut, t TB, die in der Arbeitsdatei Additives Modell.sav unter dem Variablennamen ModellRes(siduen) gespeichert sind, berechnet man zum Beispiel via Sequenz 5.2-1 einen Residualstandardfehler von su # 46,7 (1000 Flugpassagiere). Demnach hat man ceteris paribus (lat.: ceteris paribus o (wenn) das Übrig gleich (ist)) und unter Verwendung des konstruierten additiven Trend-Saison-Modells yt** = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt + st* sowohl im Zuge der statistischen Modellierung als auch ceteris paribus bei einer statistischen Prognose (grch.: pro o vorher + gnosis o Wissen bzw. Vorhersage) der monatlichen Flugpassagierzahlen yt auf den Berliner Flughäfen mit einem mittleren Modellfehler von 46700 Flugpassagieren zu rechnen. Prognose. Ist man in einen finalen Analyseschritt daran interessiert, auf der Basis des additiven Trend-Saison-Modells die Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen für die m = 12 Monate des Wirtschaftsjahres 2010 zu prognostizieren, so ergeben sich die in der Abbildung 10.3-6 dargestellten Prognosewerte. Abbildung 10.3-6: Daten-Editor und Sequenzdiagramm mit Modellprognose
Das praktizierte Prognose-Szenario lässt sich zum Beispiel für den Monat Juli 2010 wie folgt skizzieren: Der Prognosezeitraum TP = {t | t = 97, 98,..., 108} = {t* | t* = Jan 2010,...,Dez 2010} erstreckt sich über h = 12 Monate, wobei man ceteris paribus, insbesondere bei gleichen wirtschaftlichen Rahmenbedingungen, für den Juli 2010 wegen j = 9, k = 7, m = 12 und t = 7 + 12(9 – 1) = 103 auf den Berliner Flughäfen ein Passagieraufkommen in Höhe von y103** = 685,800 + 11,738103 + 204,9090 + 185,37 # 2080,18 (1000 Passagieren) bzw. von ca. 2,1 Millionen Passagieren prognostiziert. h
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Beispiel 10.3-2: Multiplikatives Trend-Saison-Modell Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 10.3-1, das den Bau und die Interpretation eines additiven Trend-Saison-Modells zum Gegenstand hatte, soll nunmehr vor allem aus statistisch- und didaktisch-methodischen Gründen und zum Zwecke eines Modellvergleichs die äquidistante Zeitintervallreihe der monatlichen Flugpassagierzahlen (Angaben in 1000 Personen) aus der PASW Statistics Datendatei Multiplikatives Modell.sav mit Hilfe eines multiplikativen TrendSaison-Modells beschrieben und mit dessen Hilfe eine Prognose der Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen bewerkstelligt werden. Trendkomponente. Zur statistischen Beschreibung der Entwicklungsrichtung der Zeitreihe der Flugpassagierzahlen wird gemäß dem Beispiel 10.3-1 wiederum das lineare Trendmodell yt*(t, Dt) = 685,800 + 11,738t + 204,909Dt der monatlichen Flugpassagierzahlen yt in Abhängigkeit von der Zeitvariablen t TB = {t | t = 1, 2,..., 96} und der Dummyvariablen Dt mit 1 für t 1, 2,..., 83 Dt ® ¯0 für t 84, 85,... verwendet, welches nunmehr die Basis für das zu konstruierende multiplikative Trend-Saison-Modell bildet. Saisonkomponente. Die Trajektorie der Trendresiduen st innerhalb der Abbildung 10.3-4 zeigt vor allem für die unterdurchschnittlichen bzw. negativen Trendresiduen einen „fallenden“ Trend, der nichts anderes beschreibt, als das Faktum, dass die jeweiligen monatlichen Schwankungen st der Passagierzahlen mit dem steigenden Passagierzahlentrend yt* auch in ihrem absoluten Niveau stärker „ausschlagen“. In einem solchen Fall ist es angebracht, ein multiplikatives Trend-Saison-Modell yt** zu konstruieren etwa derart, dass man die Trendkomponente yt* und die Saisonkomponente st* multiplikativ verknüpft, so dass jetzt yt** = y*t st* gilt. Die Saisonkomponentenwerte st*, die gemäß Abbildung 10.3-7 im konkreten Fall als ein monatsspezifisches arithmetisches Mittel aus den Quotienten st = yt / yt* = sjk = yjk / yjk* mit t = k + m(j 1) TB der beobachteten Flugpassagieranzahlen yjk und dem zugehörigen Trendwert yjk* berechnet wurden, sind in der Arbeitsdatei Multiplikatives Modell.sav in der Variablen Saison gespeichert. Ihre Interpretation ergibt das folgende Bild: Während in den a = 8 Jahren der Ordnung j = 1,2,…,a des Beobachtungszeitraumes TB zum Beispiel im Monat der Ordnung k = 1, also jeweils im Monat Januar, wegen sj1* = 0,797 die Passagierzahlen yj1 im Durchschnitt um (0,797 – 1)100 % = 20,3 % unter dem linearen Trend yj1* lagen, indiziert der Wert sj9* = 1,136 der Saisonkomponente sjk* für den Monat der Ordnung k = 9, also jeweils für den Monat September, eine Flugpassagieranzahl yjk, die im Jahresdurchschnitt um (1,136 1)100 % = 13,6 % über dem linearen Trend yjk* lag. Analog sind die übrigen Saisonkomponentenwerte sjk* zu interpretieren, die gemeinsam mit den
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Zeitreihenanalyse
„beobachteten“ Passagier-Trendwert-Quotienten sjk in den Sequenzdiagrammen innerhalb der Abbildung 10.3-8 grafisch dargestellt sind. Abbildung 10.3-7: Daten-Editor mit Dialogfeld Mittelwerte
Abbildung 10.3-8: Passagier-Trendwert-Quotienten und Saisonkomponente
Trend-Saison-Modell. Die in der Datei Multiplikatives Modell.sav in der Variablen Saison gespeicherten und stets um den Wert Eins schwankenden Saisonkomponentenwerte st* der Flugpassagierzahlen yt sowie die Trendwerte yt*, die in der Variable Trend gespeichert sind, bilden nunmehr den Erweiterungsbaustein für die Konstruktion des multiplikativen Trend-Saison-Modells yt** = (685,800 + 11,738t + 204,909Dt) st*, die man im konkreten Fall einfach über das Dialogfeld Variable berechnen mittels der Berechnungsvorschrift Modell = Trend * Saison bewerkstelligt.
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Residualstandradfehler. Auf der Basis der n = 96 Modellresiduen ut, t TB, die in der Arbeitsdatei Multiplikatives Modell.sav unter dem Variablennamen ModellRes(siduen) gespeichert sind, berechnet man zum Beispiel via Sequenz 5.2-1 einen Residualstandardfehler von su # 40,4 (in 1000 Flugpassagieren). Demnach hat man unter sonst gleichen wirtschaftlichen Rahmenbedingung und unter Verwendung des konstruierten multiplikativen Trend-Saison-Modells sowohl im Zuge der statistischen Modellierung als auch bei einer statistischen Prognose der monatlichen Passagierzahlen yt auf den Berliner Flughäfen mit einem mittleren Modellfehler von 40400 Passagieren zu rechnen. Prognose. Ist man in einem finalen Analyseschritt daran interessiert, auf der Basis des konstruierten multiplikativen Trend-Saison-Modells die Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen für die m = 12 Monate des Wirtschaftsjahres 2010 zu prognostizieren, so ergeben sich die in der Abbildung 10.3-9 dargestellten und in der Variablen Modell gespeicherten Prognosewerte. Abbildung 10.3-9: Prognose mit multiplikativem Trend-Saison-Modell
Das praktizierte Prognose-Szenario lässt sich zum Beispiel für den Monat Juli des Jahres 2010 wie folgt skizzieren: Der Prognosezeitraum TP = {t | t = 97, 98, ..., 108} = {t* | t* = Jan 2010, Feb 2010,...,Dez 2010} erstreckt sich über h = 12 Monate, wobei man ceteris paribus (insbesondere bei gleichen wirtschaftlichen Rahmenbedingungen) wegen j = 9, k = 7, m = 12 und t = 7 + 12(9 – 1) = 103 im Juli 2010 auf den Berliner Flughäfen ein Passagieraufkommen in Höhe von y103** = (685,800 + 11,738103 + 204,9090)1,136 # 2152,50 (Angabe in 1000 Passagieren) bzw. in Höhe von ca. 2,2 Millionen Passagieren prognostiziert. Der im Vergleich zum additiven Trend-Saison-Modell geringfügig höhere Prognosewert erklärt sich aus dem multiplikativen Modellansatz. h
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Zeitreihenanalyse
Beispiel 10.3-3: WINTERS-Modell der exponentiellen Glättung Motivation. In PASW Statistics wird im Ensemble der implementierten zeitreihenanalytischen Verfahren ein so genannter Expert Modeler bereitgestellt, der es (gemäß dem englischen Begriff expert modeler einem Experten gleich) ermöglicht, eine Zeitreihe „ohne großen Aufwand“ auf automatisiertem und heuristischem (grch.: heuriskein o finden) Wege zu analysieren und zu modellieren. Das Spektrum der zeitreihenanalytischen Verfahren, die mit dem Expert Modeler realisiert werden können, ist breit und reicht von Modellen der exponentiellen Glättung bis hin zur Klasse der ARIMA-Modelle, die im Kontext des Abschnittes 10.4 eine paradigmenorientierte Einführung erfahren. Unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Winters Modell.sav, welche die Zeitintervallreihe der monatliches Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen für die Jahre 2002 bis 2009 zum Inhalt hat, soll der Expert Modeler, der via Sequenz 10.3-2 aufgerufen werden kann, in seiner Applikation paradigmatisch demonstriert werden. Sequenz 10.3-2: Expert Modeler Analysieren Vorhersage Modelle erstellen o Abbildung 10.3-10 Abbildung 10.3-10: Dialogfeld Zeitreihenmodellierung
Hinweise. Für Arbeit mit dem PASW Statistics Expert Modeler erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Methode. Als Modellierungsmethode wurde im konkreten Fall die Methode Expert Modeler vereinbart. ii) Kriterien. Via Schaltfläche Kriterien... kann in Abhängigkeit von der gewählten Methode im Unterdialogfeld Zeitreihenmodellierung: Kriterien für Expert Modeler eine Modellauswahl näher
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spezifiziert werden. Im konkreten Fall wurde in der Rubrik Modelltyp die Option Nur Modelle der exponentiellen Glättung ausgewählt. iii) Statistik. Über die Schaltfläche Statistik kann eine breite Palette von Gütemaßen angefordert werden, wobei vor allem dem Bestimmtheitsmaß R² eine besondere praktische Bedeutung zukommt. Dabei ist zu beachten, dass im Expert Modeler das Bestimmtheitsmaß R² (entgegen der formalen Logik, wonach quadrierte Werte nicht negativ sein können) hinsichtlich seiner möglichen Werte wie folgt definiert ist: f < R² d 1. Nimmt das „modifizierte“ Bestimmtheitsmaß negative Werte an, dann ist die Modellerklärungsgüte schlechter als das einfache Mittelwertmodell, das die Grundlage der automatisierten Zeitreihenmodellierung bildet. iv) Diagramme. Mittels der Schaltfläche Diagramme kann optional vereinbart werden, welche finalen Ergebnisse bildhaft dargestellt werden sollen. Im konkreten Fall wurde vereinbart, sowohl die beobachteten Zeitreihenwerte als auch die „Vorhersagen“ in einem Sequenzdiagramm gemeinsam grafisch darzustellen. v) Speichern. Gemäß Abbildung 10.3-10 wurde im konkreten Fall via Schaltfläche Speichern optional vereinbart, die vorhergesagten bzw. Modellwerte und die Modellresiduen in der Arbeitsdatei zu speichern. vi) Optionen. Via Schaltfläche Optionen kann der Prognosezeitraum optional vereinbart werden, der im konkreten Fall die 12 Monate des Jahres 2010 umspannt. i
Ergebnisse. Hat man alle gewünschten Optionen vereinbart, dann werden nach dem Betätigen der Schaltfläche OK auf heuristischem Wege das „beste“ Zeitreihenmodell ermittelt und im PASW Statistics Viewer die Ergebnisse der Zeitreihenmodellierung in Gestalt von Tabellen und Grafiken präsentiert. Tabelle 10.3-3: Modellierungsergebnis
Im konkreten Fall wurde gemäß der Tabelle 10.3-3 das so genannte multiplikative WINTERS-Modell der exponentiellen Glättung als das „beste“ Modell identifiziert, das seinem Wesen nach ein multiplikatives Trend-Saison-Modell auf der Basis eines linearen Trends ist. Residualstandardfehler. Unter Verwendung der eingangs optional angeforderten Modellresiduen berechnet man einen Residualstandardfehler von su = 39,1 (1000 Passagieren), der als ein deskriptives „Gütemaß“ im Vergleich zum additiven und multiplikativen Trend-Saison-Modell im Kontext der Beispiele 10.3-1 und 10.3-2 am geringsten ausfällt und somit das WINTERS-Modell des exponentiellen Glättung als das „beste“ der drei konstruierten Modelle erscheinen lässt. Prognose. In der Abbildung 10.3-11 sind im Sequenzdiagramm die beobachteten Zeitreihenwerte yt und die Werte yt** des WINTERS-Modells auszugsweise für den Beobachtungszeitraum TB = {t | t = 1, 2,…,96} und für den Prognosezeitraum TP = {t | t = 97, 98,…,108} grafisch dargestellt und die berechneten Mo-
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Zeitreihenanalyse
dellwerte yt** in der Variable Modell zahlenmäßig aufgelistet. Demnach prognostiziert man mit Hilfe des multiplikativen WINTERS-Modells zum Beispiel für den Monat Oktober des Jahres 2010 auf den Berliner Flughäfen ein Passagieraufkommen in Höhe von y106** # 2203,47 (1000 Flugpassagieren). Abbildung 10.3-11: Daten-Editor und Sequenzdiagramm für WINTERS-Modell
Exponentielle Glättung. Das Grundidee des statistischen Verfahrens der exponentiellen Glättung lässt sich (stark vereinfacht) wie folgt skizzieren: Das EinSchritt-Modell yt* = Dyt + (1 D)yt1* mit 0 < D < 1 kennzeichnet das Grundmodell der exponentiellen Glättung für eine zu modellierende äquidistante Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n}, wobei der Modellwert yt* als ein Schätzwert für den zu prognostizierenden Wert yt+1 aufgefasst wird, der stets erst mit einer zeitlichen Verzögerung auf Tendenzänderungen in den „vorangegangenen“ Zeitreihenwerten yt und yt1* reagiert. Der Parameter D wird bei Vorgabe der Startwerte y1 und y0* auf der Basis der kleinsten Fehlerquadratsumme ¦(yt – yt1*)² heuristisch auf iterativem (lat.: iterum o wiederum, schrittweise) Wege bestimmt. Die rekursive Darstellung des Grundmodells yt* = Dyt + D(1 D)yt1 + D(1 D)²yt2 ... = g0yt + g1yt1 + ... verdeutlicht das Grundprinzip der exponentiellen Glättung: die Gewichtung der beobachteten Zeitreihenwerte yt entsprechend ihrer Bedeutung. Die exponentiell abnehmenden Gewichte gi stellen wegen 0 < gi < 1 und 0 < D < 1 eine geometrische Folge gi = D(1 D)i dar, woraus sich der Name des Verfahrens ableitet. Aktuelleren Zeitreihenwerten wird dabei ein größeres Gewicht beigemessen als weniger aktuellen Werten. Dieses Bewertungsprinzip gilt gleichermaßen für alle drei in der Tabelle 10.3-1 angezeigten Modellparameter Alpha, Gamma und Delta des WINTERS-Modells. h
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10.4
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ARIMA-Modelle
Motivation. Im Unterschied zu den im Abschnitt 10.3 konstruierten und skizzierten Trend-Saison-Modellen, die in der Regel auf die „bloße“ statistische Deskription und Modellierung einer unterjährigen und saisonal bedingten Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,n} zum Zwecke ihrer kurzfristigen statistischen Vorausberechnung abstellen, wird bei der Konstruktion von stochastischen Zeitreihenmodellen, worunter auch die Familie der ARIMA-Modelle gehört, von der Prämisse ausgegangen, dass eine zu modellierende Zeitreihe {yt, t T} ein „beobachtetes Abbild“ eines stochastischen Prozesses {Yt, t T} ist. Stochastischer Prozess Eine Folge {Yt, t T} von Zufallsgrößen Yt, die über einem (endlichen) Zeitbereich T definiert ist, heißt stochastischer Prozess. Hinweise. Für das Verständnis eines stochastischen Prozesses erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße (vgl. Abschnitt 6.4) ist eine reellwertige Funktion zur Beschreibung zufälligen Geschehens. ii) Zeitbereich. In praxi geht man davon aus, dass ein stochastischer Prozess {Yt, t T} gleichsam in Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft existiert und nur zeitdiskret zu bestimmten äquidistanten Zeitpunkten bzw. Zeitintervallen t in Gestalt einer Zeitreihe {yt, t TB} in einem „begrenzten Zeitfenster“ des abzählbar endlichen Zeitbereiches T = {t | t = 0, r1, r2,...} statistisch beobachtet wird. iii) Charakterisierung. Für die Modellierung eines stochastischen Prozesses (etwa mit Hilfe eines ARIMA-Modells) ist seine Charakterisierung und Identifikation im Kontext der Dichotomie von stationär (lat.: stationarius o stillstehend, zeitlich unveränderlich) oder integriert (lat.: integrare o einbeziehen (einer Trend- und/oder Saisonkomponente)) erforderlich. iv) Integrationsgrad. Im weitesten Sinne heißt ein stochastischer Prozess integriert zum Grade d N, wenn die Differenzenfolge {'d yt, t = d + 1, d + 2,...} der Ordnung d = 0, 1, 2, … stationär ist. Der griechische Großbuchstabe ' (lies: Delta) fungiert als Differenzen-Operator. 'd yt kennzeichnet den Differenzenfilter der Ordnung d, der wegen 'dyt = '('d1yt) = 'd1yt 'd1yt1 rekursiv definiert ist und in seiner Konstruktion und Anwendung auf integrierte und saisonale Zeitreihen erweitert werden kann. v) Stationarität. Ein stochastischer Prozess {Yt, t T} heißt (schwach) stationär, wenn für alle t T (zumindest) der Erwartungswert E(Yt) = Pt = P und die Varianz V(Yt) = V²t = V² > 0 konstant bzw. zeitinvariant sind sowie für beliebige k = 1,2,... die Kovarianz C(Yt, Yt-k) (und damit auch die so genannte Autokorrelation) nur vom Timelag k (engl.: timelag o Zeitverschiebung) abhängt. Stationäre stochastische Prozesse ermöglichen eine sinnvolle und wahrscheinlichkeitstheoretisch begründete Zeitmittelbetrachtung. Diese Prämisse gilt auch für die Konstruktion von ARIMA-Modellen. vi) ARIMA-Modell. Das Initialwort ARIMA basiert auf dem englischen Terminus Auto-Regressive Integrated Moving Average und kennzeichnet eine ganze Familie von Modellen zur Nachbildung autoregressiver und schockwirkungsbasierter stochastischer Prozesse, worin auch die Betrachtung saisonaler Komponenten eingeschlossen ist. Aus der Anzahl p der in Folge signifikanten Autoregressionskoeffizienten, des Integrationsgrades d und der Anzahl q der in Folge signifikanten Schockwir-
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Zeitreihenanalyse
kungskoeffizienten, die mit Hilfe des BOX-JENKINS-Verfahrens identifiziert, spezifiziert und modelliert werden können, erklärt sich auch die in PASW Statistics übliche Notation und Spezifikation eines ARIMA(p, d, q)-Modells ohne saisonale Komponenten bzw. eines ARIMA(p, d, q)(sp, sd, sq)-Modells mit saisonalen Komponenten. vii) Korrelogramme. Als zwei sehr nützliche Werkzeuge erweisen sich in der Diagnostik eines stochastischen Prozesses die Autokorrelationsfunktion ACF (engl.: Auto-Correlation-Function) und die partielle (lat.: partialis o anteilig) Autokorrelationsfunktion PACF (engl.: Partial-AutoCorrelation-Function), deren grafische Darstellungen auch als Korrelogramme bezeichnet werden und die aus statistisch-methodischer Sicht in einem unmittelbaren Zusammenhang mit der bivariaten und der partiellen linearen Maßkorrelationsanalyse (vgl. Abschnitt 8.3) stehen. viii) Literatur. Eine paradigmatische Einführung in die Konstruktion von ARIMA-Modellen unter Nutzung des BOX-JENKINS-Verfahrens findet man u.a. bei ECKSTEIN, Peter P.: Angewandte Statistik mit SPSS – Praktische Einführung für Wirtschaftswissenschaftler, 6., überarbeitete Auflage, GABLER-Verlag Wiesbaden 2008. i
Beispiel 10.4-1: ARIMA-Modell ohne saisonale Parameter Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 10.1-2 soll die Zeitpunktreihe {yt, t = 1,2,...,n} der n = 121 börsentäglichen Schlusskurse yt des Deutschen Aktienindexes DAX (Angaben in Punkten) aus der PASW Datendatei Daxkurse.sav mit Hilfe des BOX-JENKINS-Verfahrens diagnostiziert werden mit dem Ziel, für die beobachteten Zeitreihenwerte ein geeignetes ARIMA-Modell zu konstruieren. Korrelogramme. In der Abbildung 10.4-2 sind die via Sequenz 10.4-1 angeforderten Korrelogramme auf der Basis der originären und logarithmisch transformierten Zeitreihe dargestellt. Sequenz 10.4-1: Korrelogramme Analysieren Vorhersage Autokorrelationen o Abbildung 10.4-1 Abbildung 10.4-1: Daten-Editor und Dialogfeld Autokorrelationen
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Abbildung 10.4-2: Korrelogramme, Basis: logarithmierte DAX-Werte
Diagnose. Die Prozess-Diagnose anhand der beiden Korrelogramme innerhalb der Abbildung 10.4-2 ergibt gemäß dem BOX-JENKINS-Verfahren das folgende Bild: Aufgrund dessen, dass die empirischen Autokorrelationskoeffizienten ACF(k) für die Timelags der Ordnung k = 1,2,…,16 nur „langsam aussterben“, deutet man diesen diagnostischen Befund als einen „augenscheinlichen und unumstößlichen“ Hinweis darauf, dass die Zeitreihe {yt, t TB} der n = 121 logarithmierten börsentäglichen Schlusskurse yt des Deutschen Aktienindexes DAX im Beobachtungszeitraum TB = {t | t = 1,2,…,n} trendbehaftet bzw. integriert ist. Dieses Analyseergebnis koinzidiert mit dem zugehörigen rechten Sequenzdiagramm innerhalb der Abbildung 10.1-4, das eine volatile und trendbehaftete Trajektorie indiziert. Mehr noch: Aufgrund dessen, dass der geschätzte Koeffizient PACF(k) der Ordnung k = 1 der partiellen Autokorrelationsfunktion PACF nahezu bei eins liegt, während die restlichen partiellen Autokorrelationskoeffizienten im Konfidenzbereich von null liegen und im induktiven Sinne als nicht signifikant verschieden von null gedeutet werden, ist dieser Befund zudem noch ein Hinweis darauf, dass der dem DAX innewohnende stochastische Prozess seinem Wesen nach ein „Random Walk“ (engl.: random o Zufall + walk o Spaziergang) ist, der auch als „Irrfahrt“ bezeichnet wird. Differenzenfolge. Die Abbildung 10.4-3 beinhaltet der Anschaulichkeit und der Vergleichbarkeit halber die jeweils via Sequenz 10.1-2 erstellten Sequenzdiagramme für die originären und mittels des Differenzfilters erster Ordnung „trendbereinigten“ logarithmierten DAX-Schlusskurse, die aus sachlogischer Sicht und bei einer Gewichtung mit dem Faktor 100 % als börsentägliche prozentuale Wachstumsraten bzw. Renditen des DAX gedeutet werden können. Im Unterschied zur Trajektorie im linken Sequenzdiagramm, die augenscheinlich durch einen volatilen und ansteigenden Verlauf der logarithmierten Schlusskurse des DAX getragen wird, kann aufgrund der um null schwankenden Trajektorie im rechten Sequenzdiagramm davon ausgegangen werden, dass die Zeitreihe der
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börsentäglichen prozentualen Wachstumsraten des DAX zumindest schwach stationär ist. Aufgrund dieses scheinbar trivialen Analysebefundes deutet man die zugrunde liegende originäre Zeitreihe der logarithmierten Schlusskurse im Beobachtungszeitraum TB als trendbehaftet und integriert zum Grade d = 1. Abbildung 10.4-3: Sequenzdiagramme für integrierte und stationäre Zeitreihe
Chart. Sowohl anhand der beiden Sequenzdiagramme innerhalb der Abbildung 10.4-3 als auch angesichts des spektakulär anmutenden Charts (engl.: chart o Schaubild) in der Abbildung 10.4-4, das originalgetreu der Frankfurter Allgemeinen Zeitung vom Freitag, dem 12. Juni 2009 auf der Seite 21 entnommen wurde, kann man sich an dieser Stelle zudem noch von einem fundamentalen Arbeitsprinzip der technischen Wertpapieranalyse überzeugen: Der Nutzung einer logarithmischen Skala bei der grafischen Darstellung und Bewertung einer (stets als ein zeitstetiger Prozess aufgefassten) Wertpapierentwicklung. Abbildung 10.4-4: Technische Analyse der DAX-Kursentwicklung
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Wachstumsrate. Zur Verdeutlichung des „zeitstetigen“ Analysekonzeptes sollen die originären und im Daten-Editor innerhalb der Abbildung 10.4-1 aufgelisteten Schlusskurse des DAX dienen. Demnach ist der DAX in seiner „zeitdiskreten“ Betrachtung am 2. Juli 2009 (t = 2) im Vergleich zum Vortag (t = 1) wegen 'y2 = y2 – y1 = 4718,49 4905,44 = 186,95 absolut um 186,95 Punkte und wegen rt* = (('y2)/y1)100 % = ((186,95)/4905,44)100 % # 3,81 % relativ bzw. prozentual um 3,81 % gefallen. In Anlehnung an die einfache stetige Zinsformel yt = yt1exp(rt) berechnet sich die stetige Wachstumsrate rt, die im technischen Wertpapieranalyse auch als stetige Rendite bezeichnet wird, wie folgt: Bezeichnet exp(rt) den Exponenten der stetigen Wachstumsrate rt zur EULERschen Basis e = 2,71828…, so gilt für wegen (yt)/(yt1) = exp(rt) für die stetige Wachstumsrate bzw. Rendite rt = ln((yt)/(yt1)) = ln(yt) ln(yt1). Im konkreten Fall überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass die „zeitstetige“ Betrachtung der benachbarten Schlusskurswerte y2 = 4718,49 Punkte und y1 = 4905,44 Punkte in Gestalt der mit dem Faktor 100 % gewichteten Differenz aus den natürlichen Logarithmen wegen r2 = (ln(4718,49) ln(4905,44))100 % # 3,89 % zu einem Ergebnis führt, das wegen des „zeitstetigen“ Ansatzes nur geringfügig und praktisch vernachlässigbar von der „zeitdiskreten“ prozentualen börsentäglichen Wachstumsrate rt* = 3,81% abweicht. Trendelimination. Beachtenswert ist es in diesem Zusammenhang, dass man mit dem praktizierten Analysekonzept des Differenzenfilters erster Ordnung aus den logarithmierten Schlusskurswerten nichts anderes bewerkstelligt hat, als die Elimination eines linearen Trends aus den logarithmierten Schlusskursen bzw. eines exponentiellen Trends aus den börsentäglich in Punkten erfassten originären Schlusskurswerten. Hinzu kommt noch, dass die volatile, um den Wert Null schwankende und somit schwach stationäre Trajektorie der börsentäglichen prozentualen Wachstumsraten des DAX den Aufzeichnungen eines Oszillographen (lat.: oscillare o schwingen + grch.: graphein o schreiben) ähnelt, woraus sich wiederum die in der Zeitreihenanalyse gern benutzte mit der Metapher vom „weißen Rauschen“ semantisch erklären lässt. Weißes Rauschen. In der stochastischen Zeitreihenmodellierung ist der Begriff des „weißen Rauschens“ untrennbar mit dem Begriff eines „reinen Zufallsprozesses“ verbunden. Bei einem reinen Zufallsprozess besteht (vereinfacht ausgedrückt) zwischen den Werten einer Zeitreihe sowohl in „unmittelbarer als auch in ferner Nachbarschaft“ keinerlei Beziehung bzw. Wechselwirkung. Man sagt auch: Die Zeitreihenwerte sind stochastisch voneinander unabhängig. Zur empirischen Überprüfung der stochastischen Unabhängigkeit von Zeitreihenwerte erweisen sich die bewährten diagnostischen Instrumente der Autokorrelationsfunktion ACF und der partiellen Autokorrelationsfunktion PACF als hilfreich. In der Abbildung 10.4-5 sind Korrelogramme mit den Koeffizienten der empiri-
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Zeitreihenanalyse
schen Autokorrelationsfunktion ACF und der empirischen partiellen Autokorrelationsfunktion PACF für die börsentäglichen prozentualen Wachstumsraten des DAX grafisch dargestellt. Abbildung 10.4-5: Korrelogramme für Wachstumsraten des DAX
Die beiden grafischen Diagnosebefunde innerhalb der Abbildung 10.4-5 können wie folgt interpretiert werden: Da sowohl die empirischen Autokorrelationskoeffizienten ACF(k) als auch die empirischen partiellen Autokorrelationskoeffizienten PACF(k) für alle Timelags k = 1,2,…,16 die Konfidenzgrenzen auf einem vorab vereinbarten Konfidenzniveau von 0,95 nicht überschreiten, deutet man die aus den empirisch beobachteten prozentualen DAX-Wachstumsraten geschätzten Autokorrelationskoeffizienten im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne als nicht signifikant verschieden von null und den zugrunde liegenden schwach stationären stochastischen Prozess als einen reinen Zufallsprozess, dessen Trajektorie dem „weißen Rauschen“ auf einem Oszillographen gleicht. Der jeweilige Timelag k markiert dabei das Ausmaß der Zeitverschiebung im Kontext der praktizierten Autokorrelationsanalyse, das im konkreten Fall von einem Börsentag bis zu sechzehn Börsentagen reicht. Random Walk. Aufgrund dessen, dass man im Beobachtungszeitraum TB die prozentualen Wachstumsraten des DAX als Realisationen eines stationären und „reinen“ stochastischen Prozesses identifizieren kann, kennzeichnet man die Trajektorie der zugehörigen Zeitreihe {yt, t TB} der originären DAX-Schlusswerte yt innerhalb der Abbildung 10.4-1 bzw. 10.4-3 unter dem Begriff eines „Random Walk“ oder eines „Irrweges“. Normalverteilung. Untrennbar verbunden mit dem Phänomen des „weißen Rauschens“ ist das Modell einer Normalverteilung, das im Kontext des Abschnittes 6.5.2 paradigmatisch skizziert wurde und die Kernbotschaft der Abbildung 10.4-6 ist. Die beiden Diagramme innerhalb der Abbildung 10.4-6 zeigen sehr anschaulich, dass sich hinter dem zufallsbedingten, unsystematischen und scheinbar chaotischen Auf und Ab der börsentäglichen prozentualen Wachstums-
Zeitreihenanalyse
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raten des DAX ein „ehrenwertes“ Verteilungsgesetz verbirgt: das Modell einer Normalverteilung, das im konkreten Fall einerseits durch die GAUßsche Glockenkurve über dem normierten und nahezu symmetrischen Histogramm und andererseits durch ein „ideales“ Quantil-Quantil-Diagramm plakatiert wird. Abbildung 10.4-6: Histogramm mit Normalverteilungsdichte und Q-Q-Plot
In der Explorativen Datenanalyse (vgl. Beispiel 5.1-5) wird ein Quantil-QuantilDiagramm bzw. Q-Q-Plot als „ideal“ klassifiziert und als ein „unmissverständlicher“ Hinweis auf eine Normalverteilung gedeutet, wenn sich die Punktekette aus dem Zusammenspiel von empirisch beobachteten Quantilen (vgl. Beispiel 5.2.2-2) und den Quantilen der Standardnormalverteilung (vgl. Beispiel 6.5.2-4) an der so genannten Normalitätsgeraden eng anliegend entlang schlängelt. ARIMA-Modell. Aufgrund dessen, dass man in Anlehnung an die Prozessdiagnostik nach BOX und JENKINS die börsentäglichen prozentualen Wachstumsraten der Schlusskurse des DAX als einen stationären und zugleich reinen stochastischen Prozess aufgedeckt hat, der „bar“ jeglicher signifikanter autoregressiver AR(p)-Komponente und/oder Störterm-Komponente MA(q) ist, diagnostiziert für die originären DAX-Schlusskurse einen zum Grade d = 1 integrierten stochastischen Prozess, der letzten Endes wegen p = 0, d = 1 und q = 0 mit einem ARIMA(0, 1, 0)-Modell „nachgebildet“ werden kann. Das so spezifizierte ARIMA(0, 1, 0)-Modell wurde schließlich und endlich via Sequenz 10.3-2 im Unterdialogfeld Zeitreihenmodellierung: ARIMA-Kriterien fixiert und angefordert. Zudem wurden im speziellen Fall in der Rubrik Speichern optional die DAXPrognosewerte einschließlich der „unteren“ und „oberen“ Grenzen eines Konfidenzintervalls auf einem Konfidenzniveau von 0,95 angefordert. DAX-Prognose. In der Abbildung 10.4-7 sind sowohl die mit Hilfe des ARIMA(0, 1, 0)-Modells bestimmten Prognosewerte yt** für den Prognosezeitraum TP = {t | t = 122, 123,…, 128} in der Variablen Modell aufgelistet als auch die Trajektorie der börsentäglichen Schlusskurse des DAX für den Relevanzzeitraum TR = TB TP = {t | t = 1,2,…,128} skizziert, worin auch die Prognosewerte für
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Zeitreihenanalyse
die verbleibenden und fiktiven h = 7 Börsentage der 25. und 26. Börsenwoche des zweiten Halbjahres 2009 eingeschlossen sind. Beachtenswert ist dabei, dass die praktizierte Prognose der DAX-Werte streng genommen nichts anderes darstellt als die Fortschreibung des augenscheinlichen Hausse-Trends, der bereits mittels der Trajektorien der gleitenden Durchschnitte innerhalb der Abbildung 10.2-4 sichtbar wurde. Abbildung 10.4-7: DAX-Prognose, Basis: ARIMA(0,1,0)-Modell
Die gestrichelten und einer „Satellitenschüssel“ gleichenden Werte der so genannten Konfidenzgrenzen für die Modellprognose, die im Daten-Editor innerhalb der Abbildung 10.4-7 in den Variablen Untere und Obere aufgelistet sind, veranschaulichen aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht (besser als eine Vielzahl wohlgesetzter Worte) ein Phänomen, das die Statistiker und Ökonometriker unter dem Begriff der „Prognose-Crux“ subsumieren: Je länger der Prognosehorizont gezogen wird, umso weiter erstreckt sich das „freie Spielfeld des Zufalls“. Darin eingeschlossen sind alle theoretisch möglichen, praktisch vorstellbaren und letztlich doch nicht vorhersehbaren börsentäglichen Schwankungen des DAX-Schlusskurses. Quintessenz. Weder akribisch gestaltete Charts, etwa derart, wie das in der Abbildung 10.4-4 plakatierte und spektakulär anmutende Chart, noch theoretisch anspruchsvolle statistische Analyseverfahren und komplizierte stochastische Zeitreihenmodelle sind ein wirkungsvolles und vertrauenswürdiges Instrument für kurzfristige und schon gar nicht für mittel- oder langfristige Prognosen von Wertpapierentwicklungen. Was erfahrungsgemäß über den Hausse-Trend und den Baisse-Trend einer Wertpapierentwicklung hinaus bleibt, ist letzten Endes und in der Regel nur „weißes Rauschen“. h
Zeitreihenanalyse
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Beispiel 10.4-2: ARIMA-Modell mit saisonalen Parametern Motivation. Die Konstruktion eines ARIMA-Modells mit saisonalen Parametern soll exemplarisch und in Anlehnung an den Abschnitt 10.3 anhand der PASW Statistics Datendatei Flugpassagiere.sav demonstriert werden, in welcher die äquidistante Zeitintervallreihe {yt, t TB} für die Anzahl Y der Passagiere auf den Berliner Flughäfen aus dem Beobachtungszeitraum TB = {t | t = 1,2,…,96} = {t* | t* = Jan 2002, Feb 2002,…, Dez 2009} gespeichert ist. Im Vorfeld der angestrebten Zeitreihenanalyse ist zu beachten, dass via Sequenz 10.1-1 und gemäß Abbildung 10.1-1 im Dialogfeld Datum vereinbaren die „programminternen“ Zeitvariablen YEAR_, MONTH_ und DATE_ zu definieren sind. Korrelogramme. Gemäß der Abbildung 10.4-9 wurden im konkreten Fall die via Sequenz 10.4-1 angeforderten und in der Abbildung 10.4-10 skizzierten Korrelogramme auf der Basis der originären Zeitreihenwerte {yt, t TB} mit einer optional vereinbarten maximalen Timelag-Länge von k = 25 Monaten erstellt. Abbildung 10.4-9: Daten-Editor und Dialogfeld Autokorrelationen
Abbildung 10.4-10: Korrelogramme für Flugpassagieranzahlen
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Zeitreihenanalyse
Die alleinige Betrachtung der Korrelogramme innerhalb der Abbildung 10.4-10 liefert den folgenden diagnostischen Befund: Aufgrund dessen, dass die empirischen Autokorrelationskoeffizienten ACF(k) mit steigendem Timelag k nur „sehr langsam aussterben“ und zudem noch durch eine saisonale Bewegung getragen werden, geht man davon aus, dass die originäre Zeitreihe {yt, t TB} der Flugpassagierzahlen im Beobachtungszeitraum TB sowohl trend- als auch saisonbehaftet ist. Diese Aussage koinzidiert mit den deskriptiven Analysebefunden im Kontext der Beispiele 10.2-1 und 10.3-1. Integrationsgrad. Anhand des Sequenzdiagramms innerhalb der Abbildung 10.4-12 überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass man bereits mit einem Differenzfilter erster Ordnung und einem saisonalen Differenzfilter ersten Ordnung eine schwach stationäre Zeitreihe erzeugen kann. Abbildung 10.4-12: Sequenzdiagramm der stationären Zeitreihe
Differenzenfilter. Die Grundidee eines gewöhnlichen Differenzenfilters und saisonalen Differenzenfilters ersten Ordnung kann man sich anhand der originären Zeitreihe {yt, t = 1,2,...,96} der Flugpassagierzahlen wie folgt verdeutlichen: Bezeichnet '1yt = yt – yt1 die Differenz der Ordnung d = 1, also die Veränderung in den Flugpassagierzahlen im Monat t im Vergleich zum Vormonat t 1, so kennzeichnet '1(s)yt = yt – yts in logischer Konsequenz die saisonale Differenz der Ordnung d = 1, also die Veränderung der Flugpassagierzahlen im Monat t im Vergleich zu einem vorhergehenden Monat der Ordnung t s. Da augenscheinlich bereits aus dem Sequenzdiagramm innerhalb der Abbildung 10.1-3 ersichtlich ist, dass jeweils für die Länge von s = 12 Monaten die Flugpassagierzahlen durch einen mehr oder minder gleichen und saisonal bedingten Verlauf gekennzeichnet sind, misst im konkreten Fall '1(12)yt = yt – yt12 die absolute Veränderung der Flugpassagierzahlen im Monat t im Vergleich zum vorhergehenden
Zeitreihenanalyse
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Monat der Ordnung t 12, also im Vergleich zum gleichen Vorjahresmonat. Anhand der auf der Abszisse der Zeitvariablenwerte im Sequenzdiagramm 10.4-12 abgetragenen Zeitvariablenwerte überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass man im Falle der originären Zeitintervallreihe {yt, t = 1,2,...,96} der Flugpassagierzahlen aufgrund der beiden Differenzfilter erster Ordnung letztlich eine trend- und saisonbereinigte Zeitreihe {xt, t = 14, 15,..., 96} mit insgesamt „nur noch“ 96 1 12 = 83 Werten xt = '1(12)('yt) verfügbar hat. Die Trajektorie dieser offensichtlich stationären und hinsichtlich ihres Umfangs „gestutzten“ Zeitreihe der Flugpassagierzahlen ist in der Abbildung 10.4-12 grafisch dargestellt. Korrelogramme. Die autokorrelationsbezogene Analyse der trend- und saisonbereinigten Zeitreihe {xt, t = 14, 15,..., 96} mit ihren 96 – 14 + 1 = 83 Werten xt ergibt unter Verwendung der Abbildung 10.4-13 das folgende Bild: Abbildung 10.4-13: Korrelogramme für trend- und saisonbereinigte Zeitreihe
Aufgrund dessen, dass die partiellen Autokorrelationskoeffizienten PACF(k) mit wachsendem Timelag k „rasch aussterben“ und in der chronologischen Abfolge der Timelags k nur ein Autokorrelationskoeffizient ACF(k), nämlich der ACFKoeffizient der Ordnung k = 1 die „gestrichelten Konfidenzgrenzen“ überschreitet, diagnostiziert man auf der Basis des BOX-JENKINS-Verfahrens für die bereinigte Zeitreihe einen Störterm-Prozess erster Ordnung, der mit einem MA(1)Modell beschrieben werden kann. Dies entspricht der Spezifikation eines ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)-Modells für die originäre Zeitreihe der Flugpassagiere. ARIMA-Modell. In der Abbildung 10.4-14 sind die Spezifikation und die geschätzten Parameter des ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)-Modells zusammengefasst. Aufgrund dessen, dass für den MA-Parameter der Ordnung q = 1 das empirische Signifikanzniveau D* = 0,000 kleiner ist als das auf D = 0,05 festgelegte Signifikanzniveau, deutet man den geschätzten MA-Koeffizienten in Höhe von 0,434 als signifikant verschieden von null und die Störtermkomponente neben der Trend- und der Saisonkomponente als wesentliche Faktoren zur statistischen Erklärung der monatlichen Flugpassagierzahlen.
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Zeitreihenanalyse Abbildung 10.4-14: ARIMA-Modell
Prognose. Schlussendlich sind in der Abbildung 10.4-15 die prognostizierten Flugpassagierzahlen für den Prognosezeitraum TP ={t | t = 97,98,...,108} = {t*| t*= Jan 2009, Feb 2009,..., Dezember 2009} von der Länge h = 12 Monate zusammengefasst und in einem Sequenzdiagramm gemeinsam mit den beobachteten Passagierzahlen grafisch dargestellt. Abbildung 10.4-15: Prognosewerte für das ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)-Modell
Residualstandardfehler. Bleibt final noch zu vermerken, dass der Residualstandardfehler für das ARIMA-Modell mit su # 49,3 (1000 Passagieren) geringfügig höher ausfällt als für die Trend-Saison-Modelle aus dem Abschnitt 10.3. h
Zeitreihenanalyse
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Beispiel 10.4-3: Residualanalyse Motivation. Im Kontext des Beispiels 10.4-1 wurde in Anwendung der BOXJENKINS-Diagnostik für die Zeitreihe der DAX-Schlusskurse ein stochastischer Prozess identifiziert, der seinem Wesen nach ein „Random Walk“ ist und daher in einem ARIMA(0, 1, 0)-Modell „abgebildet“ wurde. Analog wurde im Rahmen des Beispiels 10.4-2 die Zeitreihe der Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen mit Hilfe des BOX-JENKINS-Verfahrens diagnostiziert mit dem finalen Ergebnis, dass der zugrunde liegende integrierte, saisonale und schockwirkungsbasierte stochastische Prozess mit Hilfe eines ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)-Modells „nachgebildet“ wurde. Aus didaktisch-methodischen, paradigmatischen und Anschaulichkeitsgründen soll im Kontext dieses Beispiels die Diagnose eines autoregressiven stochastischen Prozesses skizziert und seine Nachbildung mit einem geeigneten ARIMA-Modell demonstriert werden. Zeitreihe. Die Basis für die angestrebte statistische Analyse bildet die Zeitreihe {yt, t = 1,2,…,84} der Modellresiduen (lat.: residuum o Rest) für das additive Trend-Saison-Modell, das im Beispiel 10.3-1 für die äquidistante Zeitreihe der monatlichen Passagierzahlen auf den Berliner Flughäfen konstruiert wurde. Abbildung 10.4-16: Daten-Editor und Sequenzdiagramm
Die erforderlichen Daten sind in der PASW Statistics Datendatei Residualanalyse.sav gespeichert und in der Abbildung 10.4-16 auszugsweise unter der Variable Residuen aufgelistet sowie vollständig im Sequenzdiagramm grafisch dargestellt. Diagnostik. Aufgrund dessen, dass die Trajektorie der Modellresiduen im Sequenzdiagramm innerhalb der Abbildung 10.4-16 einen (zumindest schwach) stationären stochastischen Prozess indiziert, braucht man zur Identifikation seiner „Bewegungskomponenten“ nur noch via Sequenz 10.4-1 die in der Abbildung 10.4-17 skizzierten Korrelogramme anzufordern.
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Zeitreihenanalyse
Abbildung 10.4-17: Korrelogramme, Basis: Zeitreihe der Modellresiduen
Aufgrund dessen, dass die empirischen Autokorrelationskoeffizienten ACF(k) mit zunehmendem Timelag k „rasch aussterben“ und es (vom Timelag der Ordnung k = 1 beginnend in Folge) nur einen signifikant von null verschiedenen partieller Autokorrelationskoeffizient PACF(k) gibt, diagnostiziert man gemäß der Identifikationsregeln nach BOX und JENKINS für den zugrunde liegenden stochastischen Prozess eine „autoregressive Bewegungskomponente“, die man im konkreten Fall und analog zur Abbildung 10.4-18 mit Hilfe eines autoregressiven bzw. AR(p)-Modells der Ordnung p = 1 bzw. eines ARIMA(1, 0, 0)-Modells (ohne saisonale Komponenten) beschreiben kann. Abbildung 10.4-18: ARIMA-Modell
Wegen D* = 0,000 < D = 0,05 deutet man auf einem (vorab vereinbarten) Signifikanzniveau von D = 0,05 den zum „Lag 1“ geschätzten AR-Koeffizienten von 0,575 signifikant verschieden von null und somit die autoregressive „Bewegungskomponente erster Ordnung“ als eine im induktiven statistischen Sinne wesentliche Komponente zur Erklärung der zugrunde liegenden Zeitreihe der Modellresiduen. h
Faktorenanalyse
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11 Faktorenanalyse Schlüsselwörter Eigenwert Faktor Faktoren-Extraktion Faktoren-Rotation Faktorladung
Faktorwert Kommunalität Komponentenmatrix Ladungsdiagramm Scree-Plot
Gegenstand. Dieses Kapitel hat eine elementare und paradigmatische Einführung in die Faktorenanalyse zum Gegenstand, die aus statistisch-methodischer Sicht in die Familie der multivariaten (lat.: multus o vielfach + varia o Allerlei) statistischen Analyseverfahren eingeordnet wird. Die Faktorenanalyse, die ursprünglich in der Psychologie (grch.: psyche o Seele + logos o Lehre) aus dem Bemühen erwuchs, ein besseres Verständnis des latenten (lat.: latens o verborgen) Begriffs „Intelligenz“ zu gewinnen, findet vor allem in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung eine breite Anwendung. Grundidee. Die Grundidee einer Faktorenanalyse besteht darin, aus einer bestimmten und meist größeren Anzahl beobachteter und „gleichartiger“ metrischer Merkmale aufgrund ihrer korrelativen Beziehungen eine kleinere Anzahl „neuer“ und voneinander unabhängiger Variablenkonstrukte in Gestalt von „Faktoren“ zu „extrahieren“. Ermöglichen diese extrahierten Faktoren eine sachlogisch plausibel zu benennende Klassifikation der empirisch beobachteten Variablen, dann können sie die Basis für weitere statistische Analysen bilden. Zielstellung. Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, die Grundidee der methodisch anspruchsvollen Faktorenanalyse an einem praktischen Sachverhalt exemplarisch, verständlich und nachvollziehbar zu demonstrieren. In die elementaren Betrachtungen eingeschlossen ist eine kurze Erläuterung des analytischen Grundprinzips einerseits und eine kurze begriffliche und inhaltliche Darstellung der in praxi am häufigsten applizierten Analysetechniken andererseits. h
382
11.1
Faktorenanalyse
Grundprinzip
Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung wird man aus Praktikabilitäts- und Plausibilitätsgründen oft mit der Forderung konfrontiert, im Sinne einer „Dimensionsreduktion“ eine größere Anzahl „gleichartiger“ metrischer Erhebungsmerkmale durch eine kleinere Anzahl (möglichst voneinander unabhängiger) Faktoren so genau und so einfach wie möglich statistisch zu erklären. Ein statistisches Verfahren, mit dessen Hilfe man unter bestimmten Bedingungen in der Lage ist, das praxisrelevante Problem einer „Variablenreduktion“ einer befriedigenden Lösung zuzuführen, ist die Faktorenanalyse, deren analytisches Grundprinzip wie folgt skizziert werden kann: Grundprinzip Für die n Merkmalsträger Ji einer wohldefinierten statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} werden m t 2 gleichartige metrische Merkmale Xj (j = 1,2,...,m) empirisch erhoben und die erhobenen Merkmalswerte Xj(Ji) = xij in einer (n u m)-Datenmatrix X = [xij] zusammengefasst. Aus methodischen Gründen wird mittels der z-Transformation die (n u m)-Datenmatrix X = [xij] in eine standardisierte (n u m)-Datenmatrix Z = [zij] transformiert und auf deren Grundlage eine (m u m)-Korrelationsmatrix R = [rij] = (n – 1)-1Z´Z berechnet, welche mit Hilfe von bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten rij die korrelativen Beziehungen zwischen den m standardisierten Merkmalen Zj beschreibt. Aufgrund ihrer korrelativen Beziehungen werden mittels eines Extraktionsverfahrens aus m standardisierten Merkmalen Zj insgesamt p < m gemeinsame Faktoren Fk (k = 1,2,...,p) „extrahiert“. Werden die p Faktoren Fk mittels der Hauptkomponentenmethode extrahiert, dann bilden sie die Konstruktionsbasis für ein lineares faktoranalytisches Modell Zj = lj1F1 + lj2F2 + ... + ljpFp + Uj, das zum einen der statistischen Beschreibung der standardisierten Merkmale Zj dient und zum anderen die Grundidee einer Faktorenanalyse kennzeichnet. Hinweise. Für das Verständnis der faktoranalytischen Grundprinzips erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich: i) Modell. Auf der Grundlage der m t 2 standardisierten Messvariablen Zj konstruiert man vor allem aus Gründen der Einfachheit das lineare faktoranalytische Modell Zj = lj1F1 + lj2F2 + ... + ljpFp + Uj, das als eine Linearkombination von p gemeinsamen und voneinander unabhängigen Faktoren Fk und den zugehörigen Faktorladungen ljk gedeutet werden kann, die zudem noch von einem Einzelrestfaktor Uj additiv überlagert wird. ii) Unterschied. Der methodische Unterschied eines faktoranalytischen Modells Zj = lj1F1 + lj2F2 + ... + ljpFp + Uj im Vergleich zu einem multiplen Regressionsmodell Y = ß0 + ß1X1 + ß2X2 + ... + ßpXp + U (vgl. Abschnitt 9.3) besteht darin, dass bei einem Regressionsmodell sowohl der Regressand Y als auch die p Regressoren Xk (k = 1,2,...,p) empirisch erhoben wurden, während bei einem Faktorenmodell die Faktoren Fk ihrem Wesen nach latente (lat.: latere o verborgen sein) Variablenkonstrukte sind, die es aus m empirisch beobachteten und standardisierten Er-
Faktorenanalyse
383
hebungsmerkmalen Zj gleichsam „herauszulösen“ bzw. zu extrahieren gilt. In diesem Sinne kann eine Faktorenanalyse stets als ein „variablenreduzierendes“ multivariates statistisches Verfahren interpretiert werden. iii) Extraktionsverfahren. Ein Extraktionsverfahren, das in praxi zur Konstruktion eines linearen faktoranalytischen Modells Zj = lj1F1 + lj2F2 + ... + ljpFp + Uj appliziert wird, ist die so genannte Hauptkomponentenmethode. iv) Faktorladung. Der Koeffizient ljk, der im Kontext einer Faktorenanalyse als eine Faktorladung gedeutet wird, misst den Einfluss oder die „Ladung“ des Faktors Fk der Ordnung k im Hinblick auf das standardisierte Erhebungsmerkmal Zj der Ordnung j. iv) Faktortaufe. Neben der Schätzung der Faktorladungen ljk, die im konkreten Fall als Maßkorrelationskoeffizienten zwischen einem standardisierten Erhebungsmerkmal Zj und einem Faktor Fk gedeutet werden und per Definition nur Werte zwischen –1 und +1 annehmen können, kommt in praxi vor allem einer sachlogischen und plausiblen „Faktortaufe“ bzw. einer „Faktornamensgebung“ eine besondere praktische Bedeutung zu. Bei einer Faktortaufe lässt man sich vor allem von den Faktoren Fk leiten und anregen, die mit einer „hohen Ladung“ versehen sind, also gleichsam durch eine hochgradige Maßkorrelation zwischen einem standardisiertem Erhebungsmerkmal Zj und einem Faktor Fk gekennzeichnet sind. Da es für eine Faktortaufe keine Patentrezepte gibt, kommt man ohne Sachkenntnis, Erfahrung und Inspiration nicht aus. i
Analyseschritte. Die im Kontext dieses Kapitels dargestellte paradigmatische Einführung in die statistische Faktorenanalyse beruht auf den folgenden drei Arbeitsschritten: Erstens auf der so genannten Faktoren-Extraktion, zweitens auf der so genannten Faktoren-Rotation, worin die Taufe der extrahierten Faktoren eingeschlossen ist, und drittens auf der Berechnung und sachlogischen Interpretation der so genannten Faktorwerte. h
11.2
Faktoren-Extraktion
Motivation. Unter dem Begriff der Faktoren-Extraktion subsumiert man im Kontext einer Faktorenanalyse das „Herausrechnen“ von latenten Variablenkonstrukten Fk (k = 1,2,...,p d m) aus einem Variablenkatalog, der aus m t 2 „gleichartigen“ metrischen Variablen Xj (j = 1,2,...,m) besteht, die für eine Menge wohldefinierter Merkmalsträger *n = {Ji, i = 1,2,...,n} statistisch erhoben bzw. gemessen wurden. Die Extraktion von latenten Variablenkonstrukten, die synonym auch als Komponenten oder Faktoren bezeichnet werden, ist „PASW Statistics intern“ mit Analyseschritten verbunden, die der Einfachheit halber und des Überblickcharakters wegen im Folgenden nur verbal skizziert werden. Hinter den „bloßen“ Begriffen verbergen sich anspruchsvolle mathematische Prozeduren, für deren explizite Darstellung es vorteilhaft und geboten ist, sich des Matrizenkalküls zu bedienen. Standardisierung. In einem ersten Analyseschritt werden die „originären“ metrischen Erhebungsmerkmale Xj via Standardisierung bzw. z-Transformation Zj = (Xj – Pj)/Vj in standardisierte Variablen Zj überführt. Gemäß der Betrachtungen im Kontext des Abschnittes 5.5 besitzen standardisierte Variablen die fol-
384
Faktorenanalyse
genden nützlichen Eigenschaften: Sie sind stets dimensionslos, ihr Mittelwert ist stets null und ihre Standardabweichung ist stets eins. Korrelationsmatrix. Die m t 2 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj werden analog zum Abschnitt 8.3 einer Maßkorrelationsanalyse unterzogen und die berechneten bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten zwischen den einzelnen Variablen Zj in einer (m u m)-Korrelationsmatrix R = [rij] = (n – 1)-1Z´Z zusammengefasst, die stets quadratisch und symmetrisch ist. Eigenwerte. Für die (m u m)-Korrelationsmatrix R werden im konzeptionellen Ablauf mittels der so genannten Hauptkomponentenmethode die zugehörigen Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. In der linearen Algebra werden die Lösungen der zu einer quadratischen (m u m)-Matrix gehörenden charakteristischen Gleichung in Gestalt eines Polynoms m-ten Grades als charakteristische Wurzeln oder Eigenwerte bezeichnet. Demnach besitzt eine quadratische Matrix der Ordnung m t 2 genau m t 2 Eigenwerte und eine symmetrische Matrix m-ter Ordnung genau m t 2 reelle Eigenwerte (vgl. Beispiel 11.2-1). Die Eigenwerte, die automatisch in absteigender Folge sortiert werden, bilden die Basis für die Faktoren-Extraktion. Der Eigenwert Ok (lies: Klein-Lambda) eines extrahierten Faktors Fk, der im konkreten Fall als eine varianzerklärende Maßzahl gedeutet werden kann, gibt an, wie viel von der Gesamtvarianz aller m t 2 standardisierten Merkmale Zj (j = 1,2,...,m) durch den extrahierten Faktor Fk der Ordnung k erfasst bzw. statistisch erklärt werden kann. Extraktionsregel. Aus erklärungsstatistischer Sicht kann die folgende Extraktionsregel formuliert werden: Aus m t 2 standardisierten Erhebungsmerkmalen Zj werden so viele Faktoren p d m extrahiert, wie Eigenwerte mit einem Wert größer als eins vorliegen. Die zu diesen Eigenwerten Ok gehörenden Eigenvektoren bilden die extrahierten Faktoren Fk. Die Elemente der Eigenvektoren kennzeichnen die Faktorladungen ljk. Eine Faktorladung ljk ist ihrem Wesen nach ein Korrelationskoeffizient zwischen einem standardisierten Erhebungsmerkmal Zj und einem extrahierten Faktor Fk. Im Zuge einer sachlogischen Interpretation und statistischen Wertung einer Faktorladung ljk, die stets nur Werte zwischen 1 und +1 annehmen kann, ist lediglich deren absoluter Betrag von Interesse. Verfahren. Zur Lösung des „Extraktionsproblems“ sind in PASW Statistics verschiedene Verfahren implementiert, die gemäß Abbildung 11.2-2 im Unterdialogfeld Faktorenanalyse: Extraktion optional vereinbart werden können, worunter auch die in praxi häufig applizierte Hauptkomponentenmethode (engl.: principal components analysis) zählt. Das Charakteristikum der Hauptkomponentenmethode besteht darin, dass sich mit dem linearen Faktorenmodell Zj = lj1F1 + lj2F2 + ... + ljpFp + Uj die Gesamtvarianz der m t 2 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj bis auf einen zufallsbedingten Rest Uj auf die p d m gemeinsamen und voneinander unabhängigen Faktoren Fk zurückführen lässt. h
Faktorenanalyse
385
Beispiel 11.2-1: Eigenwerte einer (2 u 2)-Korrelationsmatrix Motivation. Im Vorfeld der faktoranalytischen Betrachtungen soll die Bestimmung der Eigenwerte einer quadratischen und zugleich symmetrischen Matrix in Gestalt der (2 u 2)-Korrelationsmatrix innerhalb der Tabelle 11.2-1 exemplarisch skizziert werden. Die (2 u 2)-Korrelationsmatrix basiert auf der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav und beschreibt für die Studierenden, die im Wintersemester 2009/10 befragt wurden (Filter: Semester = 4), die Korrelation zwischen den Variablen F9a und F9b, die gemäß dem standardisierten Fragebogen innerhalb der Abbildung 3.3-1 die metrischen Merkmale Intensität des Vorlesungs- und des Übungsbesuches von Studierenden zum Inhalt haben. Tabelle 11.2-1: (2 u 2)-Korrelationsmatrix
Demnach besteht wegen eines Maßkorrelationskoeffizienten von 0,557 (vgl. Abschnitt 8.3) für die n = 184 (von den insgesamt 185) befragten Studierenden, die hinsichtlich dieser beiden Fragen eine gültige Antwort gaben, ein mittelstarker positiver linearer statistischer Zusammenhang zwischen der Intensität des Vorlesungs- und der Intensität des Übungsbesuches. Charakteristische Gleichung. Bezeichnet 0,557º ª 1 R « 1 »¼ ¬0,557 die quadratische und zugleich symmetrische Korrelationsmatrix der Ordnung m = 2, dann kennzeichnet 1 O 0,557 det(R OI) = = (1 O)² (0,557)² = 0 0,557 1 O die zur (2 u 2)-Korrelationsmatrix gehörende charakteristische Gleichung, die wiederum als Normalform O² 2O + 0,68975 = 0 einer gemischtquadratischen Gleichung bzw. als ein Polynom (grch.: polys o viel + nomos o Anteil, Glied) m = 2-ten Grades gemäß dem VIETAschen Wurzelsatz die zwei reellwertigen Lösungen O1 = 1 + (1 0,68975) # 1,557 und O2 = 1 (1 0,68975) # 0,443 besitzt. Diese beiden reellwertigen Lösungen, deren Summe 1,557 + 0,443 = 2 wiederum mit dem Grad m = 2 des Polynoms bzw. der Ordnung m = 2 der quadratischen und symmetrischen Korrelationsmatrix R übereinstimmt, werden auch als die Eigenwerte oder als die charakteristischen Wurzeln der zugrunde liegenden (2 u 2)-Korrelationsmatrix R bezeichnet. h
386
Faktorenanalyse
Beispiel 11.2-2: Faktoren-Extraktion Motivation. In Anlehnung an das Beispiel 11.2-1 sollen die faktoranalytischen Betrachtungen im Allgemeinen und die Faktoren-Extraktion im Speziellen unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav für die sechs metrischen, jeweils auf einer 100 %-Skala „gemessen“ und „gleichartigen“ Variablen F9a bis F9f erfolgen, die gemäß Abbildung 3.3-1 im standardisierten Fragebogen die sechs Fragebogen-Items zur „Messung der Intensität studentischer Aktivitäten“ hinsichtlich des Vorlesungsbesuches, des Übungsbesuches, des Bibliotheksbesuches, des Selbststudiums, der Studiengruppenarbeit und der Nebenjobtätigkeit zum Inhalt haben. Einzig und allein aus didaktisch-methodischen Gründen werden faktoranalytischen Betrachtungen nur für die Studierenden paradigmatisch skizziert und erläutert, die im Wintersemester 2009/10 befragt wurden und der PASW Statistics Auswahlbedingung Semester = 4 genügen. Faktorenanalyse. Zur statistischen Beschreibung des latenten Konstrukts „studentische Aktivitäten“ ist es sinnvoll, für die ausgewählten Merkmalsträger die sechs gleichartigen metrischen Erhebungsmerkmale via Sequenz 11.2-1 einer Faktorenanalyse zu unterziehen. Sequenz 11.2-1: Faktorenanalyse Analysieren Dimensionsreduzierung Faktorenanalyse... o Abbildung 11.2-1 Abbildung 11.2-1: Daten-Editor und Dialogfelder Faktorenanalyse
Deskription. In der Abbildung 11.2-1 ist gemeinsam mit dem Dialogfeld Faktorenanalyse das Unterdialogfeld Faktorenanalyse: Deskriptive Statistiken dargestellt, das man im Dialogfeld Faktorenanalyse via Schaltfläche Deskriptive Statistiken aktivieren kann und mit dessen Hilfe im konkreten Fall die Univariaten Statistiken, die so genannte Anfangslösung sowie die Korrelationsmatrix angefordert wurden, die in den Tabellen 11.2-2 bis 11.2-4 aufgelistet sind.
Faktorenanalyse
387
Tabelle 11.2-2: Deskriptive Statistiken
Von den 184 befragten Studierenden, die im Hinblick auf den sechsgliedrigen Itemkatalog gültige und damit auswertbare Antworten gaben, wurde für die studentische Aktivität „Übungsbesuch“ mit durchschnittlich 90,5 % der höchste und im Hinblick auf die studentische Aktivität „Bibliotheksbesuch“ mit durchschnittlich 37,3 % der niedrigste Intensitätsgrad gemessen. Korrelationsmatrix. Aufgrund dessen, dass für jeden Studenten J insgesamt m = 6 studentische Aktivitäten Xj (j = 1,2,...,m) gemessen wurden, ist es evident, dass die zugehörige Korrelationsmatrix R innerhalb der Tabelle 11.2-3 nicht nur quadratisch und vom Typ (6 u 6), sondern stets auch symmetrisch ist. Hinzu kommt noch die scheinbar triviale Aussage, dass zum einen die Diagonalelemente dem Werte nach eins sind, da man die jeweilig gemessene studentische Aktivität mit sich selbst korreliert und zum anderen sich die bivariaten Maßkorrelationskoeffizienten redundant an der „Einser-Diagonalen“ spiegeln. Tabelle 11.2-3: (6 u 6)-Korrelationsmatrix
Offensichtlich korrelieren im Ensemble der m = 6 analysierten Fragebogen-Items Xj die Variablen X1: Vorlesungsbesuch (F9a) und X2: Übungsbesuch (F9b) wegen eines bivariaten und symmetrischen Maßkorrelationskoeffizienten nach BRA-
388
Faktorenanalyse
VAIS & PEARSON von r12 = r21 = 0,557 am stärksten miteinander. Gleichwohl die paarweisen Korrelationen nicht allzu stark ausgeprägt sind, ist zu konstatieren, dass zwischen den metrischen und gleichartigen Variablen X3: Bibliotheksbesuch (F9c) und X4: Selbststudium (F9d) wegen r34 = r43 = 0,390 die zweitstärkste Maßkorrelation besteht. Faktoren-Extraktion. In der Tabelle 11.2-4 ist das Ergebnis der anfänglichen, „nicht rotierten“ Faktoren-Extraktion angezeigt, die gemäß Abbildung 11.2-1 im Unterdialogfeld Faktorenanalyse: Deskriptive … vereinbart wurde.
Abbildung 11.2-2: Dialogfelder Faktorenanalyse … Extraktion
Aufgrund dessen, dass es im konkreten Fall drei Eigenwerte O1 = 2,050, O2 = 1,276 und O3 = 1,033 gibt, die hinsichtlich ihrer Werte größer als eins sind, wurden aus dem Ensemble der sechs Variablen F9a bis F9f p = 3 Faktoren Fk extrahiert, mit deren Hilfe man bereits in der Lage ist, ca. 72,7 % die Gesamtvarianz der m = 6 standardisierten Fragebogen-Items Zj statistisch zu erklären. Tabelle 11.2-4: Faktoren-Extraktion
Faktorenanalyse
389
Scree-Plot. Im Kontext der Faktoren-Extraktion erweist sich das so genannte Scree-Plot (engl.: scree o Geröll + plot o Zeichnung) innerhalb der Abbildung 11.2-3 vor allem dann als hilfreich, wenn man eine größere Anzahl (etwa m > 10) von standardisierten Variablen Zj einer Faktorenanalyse unterzieht und abweichend von der eingangs formulierten Extraktionsregel „selbstbestimmend“ die extrahierten Faktoren gemäß dem Aschenputtel-Prinzip in „bedeutsame“ und „unbedeutende“ Faktoren aufzuteilen gedenkt. In einem Scree-Plot, das gemäß Abbildung 11.2-2 im Unterdialogfeld Faktorenanalyse: Extraktion angefordert werden kann, klassifiziert man alle diejenigen Faktoren als „bedeutsam“, die numerisch durch vergleichsweise große Eigenwerte und grafisch durch einen Polygonzug mit einem vergleichsweise starken (negativen) Anstieg gekennzeichnet sind. Die restlichen Faktoren, die gemäß der Allegorie von einem „Geröllhang“ im degressiv fallenden Eigenwert-Faktor-Polygonzug durch Polygonzugglieder mit einem geringeren (negativen) Anstieg gekennzeichnet sind, ordnet man den „unbedeutenden“ Faktoren bzw. dem faktoranalytischen „Geröll“ zu. Abbildung 11.2-3: Anfängliche Eigenwerte und Scree-Plot extrahierte Faktoren
Eigenwertlinie
Faktorengeröll
Ungeachtet der eingangs formulierten Extraktionsregel würde man im Scree-Plot innerhalb der Abbildung 11.2-3, das durch einen fallenden Polygonzug getragen wird, zum Beispiel die extrahierten Komponenten bzw. Faktoren 1, 2 und 3, die durch den Polygonzug oberhalb der „gestichelten Eigenwertlinie auf dem Niveau eins“ als „faktoranalytisch bedeutsam“ und die extrahierten Faktoren 4, 5 und 6 im Polygonzugbereich unterhalb der gestrichelten Niveaulinie als „unbedeutendes faktoranalytisches Geröll“ klassifizieren. Faktorladungen. In der Tabelle 11.2-5 ist die im Zuge der Hauptkomponentenanalyse anfallende (6 u 3)-Komponentenmatrix dargestellt, deren Elemente die Faktorladungen ljk für die p = 3 extrahierten Faktoren Fk (k = 1,2,…,p) aus den m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmalen Zj (j = 1,2,…,m) beinhalten.
390
Faktorenanalyse
Tabelle 11.2-5: (6 u 3)-Komponentenmatrix mit Faktorladungen
Die Faktorladung l11 = 0,656, die ihrem Wesen nach ein bivariater Maßkorrelationskoeffizient ist, kann wie folgt interpretiert werden: Zwischen dem standardisierten Erhebungsmerkmal Z1: Vorlesungsbesuch und der im Zuge der Hauptkomponentenanalyse extrahierten Komponente (Faktor) der Ordnung k = 1 besteht eine ausgeprägte positive lineare Korrelation. Demnach kann man wegen l11 = 0,656 > 0,5 eine (vergleichsweise) „hohe Ladung“ der standardisierten Variablen Z1: Vorlesungsbesuch auf dem extrahierten Faktor der Ordnung k = 1 feststellen. Im Vergleich dazu besteht wegen l22 = 0,603 eine ausgeprägte negative lineare Korrelation zwischen dem standardisierten Erhebungsmerkmal Z2: Übungsbesuch und dem extrahierten Faktor der Ordnung k = 2. Dieses Ergebnis deutet man dahingehend, dass die standardisierte Variable Z2: Übungsbesuch auf dem extrahierten Faktor Fk der Ordnung k = 2 wegen _0,603_ = 0,603 auf absolutem Niveau (vergleichsweise) „hoch geladen“ ist. Im Gegensatz dazu etwa ist wegen l53 = 0,184 die standardisierte Variable Z5: Studiengruppenarbeit auf dem extrahierten Faktor Fk der Ordnung k = 3 augenscheinlich „schwach, niedrig oder gering geladen“. Analog sind die restlichen Faktorladungen ljk in der Tabelle 11.2-5 in ihren Absolutwerten zu deuten. Ladungsdiagramm. In einem unmittelbaren Zusammenhang mit der Komponentenmatrix bzw. Matrix der Faktorladungen innerhalb der Tabelle 11.2-5 steht das so genannte Ladungs- bzw. Komponentendiagramm, das in der Abbildung 11.3-2 dargestellt ist und dessen Konstruktion und Interpretation im Kontext des Beispiels 11.3-1 am konkreten Sachverhalt näher erläutert werden. Kommunalitäten. Für ein elementares Verständnis der inneren Konsistenzen einer hauptkomponentenbasierten Faktorenanalyse ist in diesem Zusammenhang noch beachtenswert, dass die p = 3 Faktorladungen ljk für die m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj, die einem 3D-Streudiagramm gleich im Ladungsdia-
Faktorenanalyse
391
gramm innerhalb der Abbildung 11.3-2 grafisch dargestellt sind, unmittelbar zum Begriff der Kommunalitäten führen. In der Tabelle 11.2-6 sind die Kommunalitäten (lat.: communis o gemeinsam) aufgelistet, die im Zuge der praktizierten Faktoren-Extraktion ermittelt wurden. Tabelle 11.2-6: Kommunalitäten
Zwischen den Faktorladungen innerhalb der Tabelle 11.2-5 und den Kommunalitäten aus der Tabelle 11.2-6 bestehen die folgenden elementaren Beziehungen: Bildet man für jedes der m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj das Quadrat der zugehörigen Faktorladung ljk und summiert die quadrierten Faktorladungen (ljk)² über die p Faktoren Fk (k = 1,2,…,p), dann erhält man jeweils mit 0 d h 2j
p
¦l
2 jk
d1
k 1
die merkmalsspezifische Kommunalität h²j, die stets nur Werte zwischen null und eins annehmen kann. Im Falle des standardisierten Erhebungsmerkmals Z3: Bibliotheksbesuch berechnet man wegen h²3 = (l31)² + (l32)² + (l33)² = (0,591)² + (0,424)² + (0,340)² # 0,645 eine bibliotheksbesuchsbezogene Kommunalität, die in ihrem Wert mit der Kommunalität in der Spalte Extraktion innerhalb der Tabelle 11.2-6 übereinstimmt und wie folgt interpretiert werden kann: Aus dem gemeinsamen bzw. „kommunalen“ Zusammenspiel der p = 3 extrahierten Faktoren Fk (k = 1,2,…,p) ist man bereits in der Lage, zu 64,5 % die Varianz des standardisierten Erhebungsmerkmals Z3: Bibliotheksbesuch statistisch zu erfassen bzw. zu erklären. Analog sind die restlichen merkmalsbezogenen Kommunalitäten zu interpretieren. Offensichtlich ist die „kommunale“ statistische Erklärungsfähigkeit der p = 3 extrahierten Faktoren Fk im Hinblick auf das standardisierte Merkmal Z6: Nebenjobtätigkeit wegen h²6 = 0,908 am stärksten und wegen h²5 = 0,622 für das standardisierte Merkmal Z5: Studiengruppenarbeit am geringsten ausgeprägt.
392
Faktorenanalyse
Eigenwerte. Aufgrund dessen, dass eine Korrelationsmatrix stets quadratisch und zugleich symmetrisch ist, existieren für die (6 u 6)-Korrelationsmatrix der m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj (j = 1,2,...,m) innerhalb der Tabelle 11.2-3 genau die m = 6 in der Tabelle 11.2-4 aufgelisteten reellen Eigenwerte O1 = 2,050, O2 = 1,276, O3 = 1,033, O4 = 0,620, O5 = 0,581 und O6 = 0,439, die in ihrer Summe 2,050 + 1,276 + 1,033 + 0,620 + 0,581 + 0,439 = 6 wiederum die Matrixordnung m = 6 ergeben. Summiert man die quadrierten Faktorladungen (ljk)² innerhalb eines extrahierten Faktors Fk der Ordnung k (k = 1,2,…,p) über alle m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj, dann erhält man mit Ok
m
¦l
2 jk
l12k l 22 k ... l 2mk
j 1
den zum extrahierten Faktor Fk der Ordnung k gehörenden reellen Eigenwert Ok. Im konkreten Fall berechnet man gemäß Tabelle 11.2-5 etwa für den extrahierten Faktor F1 einen reellen Eigenwert von O1 = 0,656² + 0,613² + 0,591² + 0,686² + 0,646² + 0,091² # 2,050 und interpretiert ihn wie folgt: Für die m = 6 standardisierten Merkmale Zj errechnet man wegen V(Zj) = 1 eine Gesamtvarianz von 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, die wiederum identisch ist mit der Summe der m = 6 reellen Eigenwerte Ok. Demnach ist man mit Hilfe des extrahierten Faktors F1 bereits in der Lage, zu (2,050/6)100 % # 34,17 % die Gesamtvarianz aller m = 6 empirischen erhobenen und standardisierten Variablen Zj allein durch den extrahierten Faktor F1 statistisch zu erfassen bzw. zu erklären. Analog berechnet und interpretiert man die reellen Eigenwerte O2 = (0,570)² + (0,603)² + 0,424² + 0,276² + 0,415² + 0,399² # 1,276 O3 = 0,131² + 0,198² + (0,340)² + (0,295)² + 0,184² + 0,860² # 1,033 für die extrahierten Faktor Fk der Ordnung k = 2 und k = 3, mit deren Hilfe man jeweils (1,276/6)100 % # 21,27 % bzw. (1,033/6)100 % # 17,22 % der Gesamtvarianz aller m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj statistisch erklären kann. Gemäß Tabelle 11.2-4 ermöglichen letztlich die p = 3 extrahierten Faktoren Fk eine statistische Erklärung der Gesamtvarianz aller m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale von 34,17 % + 26,27 % + 17,22 % # 72,66 %. Interpretation. Die eingangs formulierte Extraktionsregel kann im konkreten Fall anhand der Tabelle 11.2-4 wie folgt motiviert werden: Ein reeller Eigenwert Ok (eines mittels der Hauptkomponentenmethode extrahierten Faktors Fk) gleich oder kleiner als eins ist gleichbedeutend mit einem faktorbezogenen Erklärungsbeitrag für die Gesamtvarianz aller m standardisierten Erhebungsmerkmale Zj, der nicht besser ist, als die Teilvarianz eines standardisierten Erhebungsmerkmals Zj der Ordnung j = 1,2,...,m, die stets ihrem Wert nach eins ist. Aus diesem Grunde deutet man extrahierte Faktoren Fk, deren Eigenwerte Ok gleich oder kleiner als eins sind, als erklärungsstatistisch unbedeutend und im Sinne eines
Faktorenanalyse
393
Scree-Plot als erklärungsstatistisches bzw. faktoranalytisch unbedeutendes „Geröll“. Da im konkreten Fall die extrahierten Komponenten bzw. Faktoren der Ordnung k = 4, 5, 6 durch die zugehörigen Eigenwerte O4 = 0,620 < 1, O5 = 0,581 < 1 und O6 = 0,439 < 1 bzw. durch die prozentualen Erklärungsbeiträge von (0,620/6)100 % # 10,34 % < (1/6)100 % # 16,67 % (0,581/6)100 % # 9,69 % < (1/6)100 % = 16,67 % (0,439/6)100 % # 7,32 % < (1/6)100 % = 16,67 % gekennzeichnet sind, werden sie im faktoranalytischen und erklärungsstatistischen Sinne als unbedeutende Faktoren bzw. Komponenten identifiziert. h
11.3
Faktoren-Rotation
Motivation. Motiv und Ziel einer Faktoren-Rotation bestehen darin, für extrahierte Faktoren bzw. Komponenten, die gemäß Abschnitt 11.2 im Zuge einer Faktorenanalyse als „bedeutsam“ aufgedeckt und identifiziert wurden, für eine angestrebte „Faktorentaufe“ eine möglichst einfache und sachlogisch plausibel interpretierbare Struktur zu finden. Von einer „Einfachstruktur“ extrahierter Faktoren spricht man dann, wenn jeweils auf einem extrahierten Faktor Fk einige standardisierte Erhebungsmerkmale Zj möglichst hoch und andere möglichst niedrig geladen sind. Werden also extrahierte Faktoren im Bestreben, für sie eine Einfachstruktur zu finden, rotiert, dann hat dies zur Folge, dass sowohl die Faktorladungen ljk als auch die Eigenwerte Ok der „rotierten“ Faktoren Fk verändert und zugleich die Varianz der Faktorladungen eines rotierten Faktors „vergrößert“ wird. Beachtenswert ist dabei, dass von einer Faktoren-Rotation die Gesamtvarianz der extrahierten Faktoren unberührt bleibt. Im Zuge einer Faktoren-Rotation wird lediglich die Struktur der Gesamtvarianz in ihrer Verteilung auf die extrahierten Faktoren verändert. Rotationsverfahren. In der Tabelle 11.3-1 sind analog zur Abbildung 11.3-1 die in PASW Statistics implementierten Rotationsverfahren zusammengefasst, die gemäß ihrer Charakteristik in orthogonale (grch.: orthos o richtig, recht + gonia o Winkel) bzw. rechtwinklige Rotationsverfahren oder in oblique (frz.: oblique o schief) bzw. schiefwinklige Rotationsverfahren klassifiziert werden. Tabelle 11.3-1: Rotationsverfahren Verfahren Charakteristik Quartimax orthogonal Varimax orthogonal, in praxi häufig appliziert Equamax orthogonal, Kompromiss aus Vari- und Quartimax Oblimin, direkt oblique Promax Kombination aus orthogonaler und obliquer Rotation
394
Faktorenanalyse
Varimax-Verfahren. Das Varimax-Verfahren nach KAISER wird in praxi häufig appliziert. Dies erklärt sich daraus, dass dieses orthogonale Rotationsverfahren darauf zielt, zum einen die VARIanz der Faktorladungen zu MAXImieren (woraus sich der Name des Verfahrens ableitet) und zum anderen die Anzahl p extrahierter Faktoren Fk (k = 1,2,...,p) zu minimieren. Dabei leuchtet es ein, dass sich die sachlogische „Taufe“ einer kleineren Anzahl extrahierter Faktoren leichter bewerkstelligen lässt als umgekehrt. Hinzu kommt noch, dass orthogonale Rotationsverfahren die Extraktion von Faktoren ermöglichen, die im paarweisen Vergleich selbst wieder orthogonal und damit unkorreliert sind. Im Gegensatz dazu sind Faktoren, die mit Hilfe eines obliquen bzw. „gemixten“ Rotationsverfahrens extrahiert wurden, nicht mehr paarweise untereinander unkorreliert. h Beispiel 11.3-1. Faktoren-Rotation Motivation. In Weiterführung des Beispiels 11.2-1 soll analog zur Abbildung 11.3-1 mit Hilfe des Rotationsverfahrens VARIMAX die Faktorenanalyse der m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj zur Beschreibung „studentischer Aktivitäten“ erweitert und ergänzt werden. Abbildung 11.3-1: Daten-Editor und Dialogfelder Faktorenanalyse … Rotation
Faktorladungen. Während die Tabelle 11.3-2 das Extraktionsergebnis der durchgeführten orthogonalen Faktoren-Rotation beinhaltet, ist in der Abbildung 11.3-2 gemeinsam mit dem so genannten 3D-Ladungsdiagramm die rotierte (6 u 3)-Komponentenmatrix dargestellt. Ein Vergleich der rotierten Komponentenmatrix innerhalb der Abbildung 11.3-2 mit der Komponentenmatrix aus der Tabelle 11.2-4 zeigt, dass im Ergebnis der Rotation eine augenscheinliche „Polarisierung“ der Faktorladungen ljk in den p = 3 extrahierten und rotierten Faktoren Fk (k = 1,2,…,p) zu erkennen ist. Während zum Beispiel auf dem Faktor Fk der Ordnung k = 2 die standardisierten Erhebungsmerkmale Z1: Vorlesungsbesuch und Z2: Übungsbesuch durch die Rotation eine „höhere Ladung“ erfahren, verschwinden für die restlichen vier standardisierten Erhebungsmerkmale Z3: Bib-
Faktorenanalyse
395
liotheksbesuch, Z4: Selbststudium, Z5: Studiengruppenarbeit und Z6: Nebenjobtätigkeit die Faktorladungen ljk nahezu. Für den extrahierten und rotierten Faktor Fk der Ordnung k = 1 und k = 3 gelten analoge ladungsbezogene Rotationsbefunde. Tabelle 11.3-2: Faktoren-Rotation
Ladungsdiagramm. Eine anschauliche Darstellung des Rotationsergebnisses liefert das so genannte Ladungsdiagramm innerhalb der Abbildung 11.3-2. Abbildung 11.3-2: Rotierte Komponentenmatrix und Ladungsdiagramm
Anhand des Ladungsdiagramms wird augenscheinlich, dass nicht nur alle m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmale Zj in Gestalt der empirisch erhobenen studentischen Aktivitäten vom jeweiligen komponentenspezifischen Nullpunkt „weit entfernt“ zu liegen kommen, sondern zugleich auch noch im dreidimensionalen Faktorraum drei grafisch wohl voneinander zu unterscheidende und faktoranalytisch zu begründende Variablenbündel bilden: das ausschließlich auf der Komponente 1 hoch geladene Variablentripel Bibliotheksbesuch (F9c), Selbststudium (F9d) und Studiengruppenarbeit (F9d), das ausschließlich auf der Komponente 2 hoch geladene Variablenpaar Vorlesungsbesuch (F9a) und Übungsbe-
396
Faktorenanalyse
such (F9b) und schlussendlich die ausschließlich auf der Komponente 3 hoch geladene standardisierte Variable Nebenjobtätigkeit (F9f). Faktorentaufe. Gelingt es im Kontext der Faktoren-Rotation letztendlich noch, die p = 3 extrahierten Faktoren bzw. Komponenten einer sachlogisch plausiblen „Faktorentaufe“ zu unterziehen, dann kann die praktizierte Faktorenanalyse als „erfolgreich“ angesehen werden. Offensichtlich beschreibt der extrahierte Faktor Fk der Ordnung k = 1 in Gestalt des empirisch erhobenen Variablentripels Bibliotheksbesuch, Selbststudium und Studiengruppenarbeit die studentischen Aktivitäten im Rahmen eines klassischen Selbststudiums oder extracurricularen Studiums, der extrahierte Faktor Fk der Ordnung k = 2 in Gestalt des Variablenpaares Vorlesungsbesuch und Übungsbesuch die studentischen Aktivitäten im Kontext eines klassischen lehrveranstaltungsbezogenen oder curricularen Studiums und der extrahierte Faktor Fk der Ordnung k = 3 in Gestalt des Erhebungsmerkmals Nebenjobtätigkeit die studentische Aktivität gleichen Namens. Hinweise. Im Rahmen einer Faktorenrotation und einer Faktorentaufe erweisen sich die folgenden Hinweise als nützlich und hilfreich: i) Absolutwerte. Im Ergebnis einer Faktorenrotation sind stets nur die Absolutbeträge der Ladungskoeffizienten einer rotierten Komponentenmatrix von Interesse. ii) Faustregel. Ein empirisch beobachtetes Merkmal bzw. eine Variable gilt auf einem Faktor als „hoch geladen“, wenn der Absolutbetrag des zugehörigen Ladungskoeffizienten größer als 0,5 ist. Beachtenswert ist dabei, dass eine Variable durchaus auf zwei oder mehreren Faktoren „hoch geladen“ sein kann und daher bei jedem Faktor zur „Faktorentaufe“ heranzuziehen bzw. zu berücksichtigen ist. iii) Faktorentaufe. Ist eine plausible Faktorentaufe nicht möglich, dann gilt eine Faktorenanalyse als gescheitert. i
Extraktionsergebnis. Schließlich und endlich gilt es noch das „finale“ Extraktionsergebnis, also das Extraktionsresultat „nach der Rotation“ zu kommentieren, das in der Tabelle 11.3-2 zusammengefasst ist. Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass im Vergleich zur Tabelle 11.2-4 die p = 3 reellen Eigenwerte O1 = 1,686, O2 = 1,580 und O3 = 1,093 für die p = 3 extrahierten Komponenten bzw. Faktoren Fk der Ordnung k = 1,2,...,p und die daraus resultierenden faktorenspezifischen prozentualen Varianzerklärungen von (1,686/6)100 % # 28,11 % > (1/6)100 % # 16,67 % (1,580/6)100 % # 26,34 % > (1/6)100 % # 16,67 % (1,093/6)100 % # 18,21 % > (1/6)100 % # 16,67 % verschieden sind, jedoch in ihrer Summe 28,11 % + 26,34 % + 18,21 # 76,66 % und im Vergleich zur originären Extraktionstabelle 11.2-4 ein gleiches Resultat liefern, das darin kulminiert, dass die p = 3 extrahierten, rotierten und sachlogisch plausibel „getauften“ Faktoren Fk insgesamt nahezu 76,7 % der gesamten Varianz der m = 6 „gleichartigen“, empirisch erhobenen und standardisierten studentischen Aktivitäten Zj zu erfassen vermögen. h
Faktorenanalyse
11.4
397
Faktorwerte
Motivation. Im Beispiel 11.3-1 wurden im Rahmen einer hauptkomponentenbasierten Faktorenanalyse aus den m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmalen Zj (j = 1,2,...,m) in Gestalt des Vorlesungs-, Übungs- und Bibliotheksbesuchs, des Selbststudiums, der Studiengruppenarbeit und der Nebenjobtätigkeit die zur Beschreibung des latenten Konstrukts „studentische Aktivitäten“ empirisch gemessen und statistisch erfasst wurden, insgesamt p = 3 Faktoren Fk extrahiert, welche die lehrveranstaltungsbezogenen bzw. die „curricularen“ Studienaktivitäten eines Studierenden einerseits und die „extracurricularen“ Aktivitäten andererseits in ihrer Gliederung von Selbststudium und Nebenjobtätigkeit beschreiben. Im Unterschied zu den m = 6 empirisch beobachteten und standardisierten Variablen Zj sind diese p = 3 extrahierten Faktoren Fk der Ordnung k = 1,2,...,p ihrem Wesen nach hypothetische bzw. latente Variablenkonstrukte. Was die p = 3 extrahierten Faktoren Fk mit den empirisch beobachteten und standardisierten Variablen Zj gemeinsam haben, ist die Möglichkeit der „individuellen“ Zuordnung der beobachteten Variablenwerte zij bzw. der berechneten Faktorwerte fik zu den n = 185 Merkmalsträgern Ji, welche die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} vom Umfang n befragte Studierende Ji bilden. Faktorwert. Ein berechneter Faktorwert fik für einen Merkmalsträger Ji der Ordnung i (i = 1,2,...,n) beschreibt gewissermaßen dessen Position auf dem Faktor Fk der Ordnung k (k = 1,2,...,p). Ein Faktorwert fik gibt letztlich darüber Auskunft, wie stark die in einem Faktor Fk „zusammengefassten“ und empirisch beobachteten Variablen Zj beim Merkmalsträger Ji der Ordnung i ausgeprägt sind. Gemäß Abbildung 11.4-1 werden in PASW Statistics drei Verfahren zur Berechnung von Faktorwerten angeboten, deren Bezeichnung und Kurzcharakteristik in der Tabelle 11.4-1 zusammengefasst sind. Tabelle 11.4-1. Berechnung der Faktorwerte Verfahren Charakteristik der Faktorwerte Regression Mittelwert von null, korrelierte Faktorwerte BARTLETT Mittelwert von null, minimierte Varianz ANDERSON-RUBIN standardisierte und unkorrelierte Faktorwerte
Beachtenswert ist in diesem Zusammenhang, dass Faktorwerte, die mit Hilfe des ANDERSON-RUBIN-Verfahrens berechnet werden, sehr nützliche statistische Eigenschaften besitzen, welche den orthogonalen (grch.: orthos o recht + gonia o Winkel) und somit unkorrelierten Faktoren Fk entsprechen: Die jeweiligen n merkmalsträgerbezogenen Faktorwerte fik eines Faktors Fk der Ordnung k sind standardisierte und somit dimensionslose Werte, deren Mittelwert stets null und deren Varianz bzw. deren Standardabweichung dem Werte nach stets eins ist.
398
Faktorenanalyse
Zweckbestimmung. Die berechneten und merkmalsträgerbezogenen Faktorwerte fik extrahierter Faktoren Fk können in vielfältiger Art und Weise wiederum zum Bau und zur Konstruktion statistischer Modelle herangezogen werden etwa derart, dass analog zum Abschnitt 9.3 die Faktorwerte als Regressorwerte in einer zu schätzenden multiplen Regressionsfunktion fungieren, die nicht durch hochgradig kollineare Regressoren affiziert ist. h Beispiel 11.4-1: Faktorwerte, Berechnung und Interpretation Motivation. In Weiterführung der Beispiele 11.2-1 und 11.3-1 soll die Berechnung der Faktorwerte für die p = 3 extrahierten Faktoren Fk skizziert werden, wobei im konkreten Fall für die Berechnung der Faktorwerte das Verfahren nach ANDERSON und RUBIN appliziert wird, das via Sequenz 11.2-1 und gemäß Abbildung 11.4-1 im Unterdialogfeld Faktorenanalyse: Faktorwerte optional vereinbart werden kann. Um die Berechnung der Faktorwerte fik exemplarisch verdeutlichen zu können, wurde zudem noch die Koeffizientenmatrix der Faktorwerte angefordert, die in der Tabelle 11.4-2 dargestellt ist. Abbildung 11.4-1: Dialogfelder Faktorenanalyse … Faktorwerte
Tabelle 11.4-2: Koeffizientenmatrix der Faktorwerte
Faktorenanalyse
399
Faktorwerte. In der Abbildung 11.4-2 ist der PASW Statistics Daten-Editor auszugsweise dargestellt, wobei die im Unterdialogfeld Faktorwerte via Option Als Variablen speichern angeforderten Faktorwerte mit FAC1, FAC2 und FAC3 bezeichnet und gespeichert wurden. Die mit dem Präfix Z versehenen Variablen bezeichnen die standardisierten Fragebogen-Items im Kontext der Frage 9 des Fragebogens, der in der Abbildung 3.3-1 abgebildet ist. Die sechs standardisierten Fragebogen-Items ZF9a bis ZF9f wurden für die 184 validen (der insgesamt 185) Fragebögen aus dem Wintersemester 2009/10 via Sequenz 5.5-1 im Dialogfeld Deskriptive Statistik optional vereinbart und angefordert. Abbildung 11.4-2: Daten-Editor mit standardisierten Daten und Faktorwerten
Berechnung. Für den befragten Studenten Ji der Ordnung i = 3 wurde zum Beispiel für den ersten (das extracurriculare Studium kennzeichnenden) Faktor (FAC1) ein Faktorwert f3,1 = 0,969, für den zweiten (das curriculare Studium beschreibenden) Faktor (FAC2) ein Faktorwert f3,2 = 0,467 und für den dritten (die Nebenjobtätigkeit markierenden) Faktor (FAC3) ein Faktorwert f3,3 = 0,952 berechnet. Fasst man gemäß Abbildung 11.4-2 die gemessenen und standardisierten Werte für den Studenten Ji der Ordnung i = 3 in einem (1 u 6) Zeilenvektor z´ = [0,342 0,440 0,089 1,100 1,202 1,391] zusammen, so überzeugt man sich leicht von der Tatsache, dass das Produkt z´K aus dem (1 u 6) Zeilenvektor z´ der standardisierten Messwerte und der (6 u 3)- Koeffizientenmatrix K innerhalb der Tabelle 11.4-2 wegen ª 0,048 0,561 0,023º « 0,101 0,582 0,022 »» « « 0,518 0,135 0,123 » >0,342 0,440 - 0,089 1,100 1,202 - 1,391@ « » « 0,474 0,010 0,124 » « 0,351 0,005 0,336 » « » ¬ 0,097 0,008 0,885 ¼ einen (1 u 3) Zeilenvektor [0,969 0,467 -0,952] liefert, dessen Komponenten (von Rundungsfehlern abgesehen) ihrem Wesen nach nichts anderes sind, als die
400
Faktorenanalyse
zum Studenten Ji der Ordnung i = 3 gehörenden und berechneten Faktorwerte f3,1 = 0,969, f3,2 = 0,467 und f3,3 = 0,952. Analog können im konkreten Fall für alle n = 185 Studierenden Ji der Ordnung i = 1,2,...,n, für die „valide“ standardisierte Messgrößen vorliegen, die zugehörigen Faktorwerte fik berechnet werden. Interpretation. Aufgrund dessen, dass für den befragten Studenten Ji der Ordnung i = 3 die Faktorwerte f3,1 = 0,969 und f3,2 = 0,467 größer als null sind, wird damit indiziert, dass der Student sowohl hinsichtlich seines extracurricularen als auch seines curricularen Studiums überdurchschnittlich aktiv ist. Im Hinblick auf den Faktor Nebenjobtätigkeit ist er aufgrund eines negativen Faktorwertes von f3,3 = 0,952 als unterdurchschnittlich aktiv zu charakterisieren. Im Gegensatz dazu ist gemäß Abbildung 11.4-2 der Student Ji der Ordnung i = 4 wegen f4,1 = 0,248 bezüglich seines extracurricularen Studiums als unterdurchschnittlich und wegen f4,2 = 0,623 hinsichtlich seines curricularen Studiums als überdurchschnittlich aktiv zu kennzeichnen. Hinzu kommt noch, dass es im Hinblick auf den Faktor Nebenjobtätigkeit wegen f4,3 = 1,529 nicht nur als überdurchschnittlich aktiv, sondern zugleich noch als hyperaktiv einzustufen ist. Analog können die übrigen Faktorwerte interpretiert werden. Orthogonalität. Dass es sich bei den p = 3 extrahierten Faktoren Fk um orthogonale, also gleichsam um (paarweise) nichtkorrelierende Faktoren handelt, die bezüglich ihrer merkmalsträgerbezogenen Faktorwerte fik standardisiert sind, kann man sich recht einfach wie folgt verdeutlichen: Fordert man für die (mittels des ANDERSON-RUBIN-Verfahrens ermittelten) Faktorwerte der p = 3 Faktoren via Sequenz 5.5-1 eine Mittelwerttabelle an, dann erhält man jeweils ein arithmetisches Mittel von null und eine Standardabweichung von eins. Fordert man für die Faktorwerte der p = 3 Faktoren etwa via Sequenz 5.2-2 die zugehörige (3 u 3)-Korrelationsmatrix an, dann überzeugt man sich leicht davon, dass die Korrelationsmatrix eine Einheitsmatrix ist. Aufgrund dessen, dass die Diagonalelemente der (stets quadratischen und zugleich symmetrischen) Korrelationsmatrix dem Werte nach eins und die Nebendiagonalelemente dem Werte nach null sind, hat man letztlich eine bildhafte und zahlenmäßig unterlegte Vorstellung dafür gewonnen, dass die Faktoren orthogonal und unkorreliert sind. Faktorladungen. Fordert man hingegen für die n = 184 validen Fragebögen sowohl für die p = 3 extrahierten und rotierten Faktoren und für die sechs empirisch beobachteten und die Studienaktivitäten beschreibenden Variablen Vorlesungs-, Übungs- und Bibliotheksbesuch, Selbststudium, Studiengruppenarbeit und Nebenjobtätigkeit gleichsam via Sequenz 5.2-2 die zugehörige (9 u 9)Korrelationsmatrix an, so überzeugt man sich von der Tatsache, dass die bivariaten linearen Korrelationskoeffizienten zwischen den p = 3 Faktoren Fk und den m = 6 standardisierten Erhebungsmerkmalen Zj mit den rotierten Faktorladungen ljk aus der Abbildung 11.3-2 übereinstimmen. h
Clusteranalyse
401
12 Clusteranalyse Schlüsselwörter Cluster Clusterzentren Dendrogramm Distanzmaß Distanzmatrix
Fusionstabelle Geometrische Klassifikation Hierarchische Klassifikation Partition Partitionierende Klassifikation
Gegenstand. Dieses Kapitel hat eine elementare und paradigmatische Einführung in die Clusteranalyse (engl.: cluster o Klumpen, Gruppe, Bündel) zum Gegenstand. Die Clusteranalyse wird aus statistisch-methodischer Sicht in die Familie der multivariaten (lat.: multus o vielfach + varia o Allerlei) Verfahren eingeordnet und erfährt vor allem in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung eine breite Anwendung. Grundidee. Die Grundidee einer Clusteranalyse besteht darin, eine wohldefinierte Menge von Objekten bzw. Merkmalsträgern, an denen jeweils eine wohldefinierte Menge von nominalen, ordinalen oder metrischen Merkmalen, die auch als Cluster- oder Gruppierungsmerkmale bezeichnet werden, statistisch erhoben wurden, so zu gruppieren, zu bündeln bzw. zu klassifizieren, dass die Objekte innerhalb einer Gruppe möglichst homogen bezüglich der Menge der Clustermerkmale und die Objekte unterschiedlicher Gruppen möglichst heterogen bezüglich der Menge der Clustermerkmale sind. Zielstellung. Das Ziel des Kapitels besteht darin, die Grundidee der methodisch anspruchsvollen und weitgefächerten clusteranalytischen Verfahren und Methoden einmal nur für ausgewählte Verfahren und für metrische Clustermerkmale an einem praktischen Sachverhalt exemplarisch, verständlich und nachvollziehbar zu demonstrieren. h
402
12.1
Clusteranalyse
Grundprinzip und Verfahrensüberblick
Motivation. In der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung wird man oft mit der Forderung konfrontiert, Merkmalsträger einer wohldefinierten statistischen Gesamtheit, die durch gleichartige und problemadäquate Erhebungsmerkmale beschrieben wurden, derart zu klassifizieren, dass diejenigen Merkmalsträger, die sich hinsichtlich der Ausprägungen der erfassten Erhebungsmerkmale am ähnlichsten sind, in Cluster (engl.: cluster o Gruppe, Bündel) zusammengefasst werden. Ein statistisches Verfahren, dass diese Form einer Merkmalsträgerklassifikation ermöglicht, ist die Clusteranalyse, die gemäß Abbildung 12.1-1 selbst wiederum auf einer breiten Palette von Klassifikationsverfahren beruht. Aus dieser breiten Palette der Klassifikationsverfahren soll in den folgenden Betrachtungen die numerische und deterministische Klassifikation näher beleuchtet werden, deren Grundprinzip wie folgt skizziert werden kann: Grundprinzip Werden die n Merkmalsträger Ji einer wohldefinierten statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} durch m t 2 problemadäquate metrische Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,...,m) beschrieben und die Merkmalswerte Xj(Ji) = xij in einer (n u m)-Datenmatrix X = [xij] zusammengefasst, dann können die n Merkmalsträger Ji geometrisch als Punkte in einem m-dimensionalen euklidischen Raum gedeutet werden. Das Grundprinzip einer numerischen Clusterbildung besteht dabei in der Messung bzw. Berechnung der Distanz zwischen den n Merkmalsträgern Ji. Die berechneten Distanzen werden in einer (n u n)-Distanz- oder Unähnlichkeitsmatrix D = [dik] (i, k = 1,2,...,n) zusammengefasst. Dabei deutet man Merkmalsträger Ji und Jk hinsichtlich der metrischen Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,...,m) als ähnlich oder homogen, wenn ihre Distanz dik zueinander vergleichsweise gering ist. Ansonsten bezeichnet man sie als heterogen oder unähnlich. Merkmalsträger Ji, die hinsichtlich der Erhebungsmerkmale Xj als homogen klassifiziert werden, bilden jeweils ein Cluster. In diesem Sinne ist die Clusteranalyse eine Form der statistischen Klassifikation von Merkmalsträgern Ji derart, dass innerhalb der Cluster eine Homogenität der Merkmalsträger und zwischen den Clustern eine Heterogenität der Merkmalsträger angestrebt wird. Hinweise. Für ein elementares Verständnis der methodisch anspruchsvollen Clusteranalyse erweisen sich die folgenden Hinweise als hilfreich und nützlich, worin die Erläuterung von Grundbegriffen und ein Verfahrensüberblick eingeschlossen sind: i) Verfahrensüberblick. Die Abbildung 12.1-1 vermittelt einen Überblick über eine breite Palette von Klassifikationsverfahren, die in der Clusteranalyse appliziert werden. Neben geometrischen Clusterverfahren (vgl. Abschnitt 12.2) erfahren in praxi vor allem die deterministischen Clusterverfahren der hierarchischen Klassifikation (vgl. Abschnitt 12.3) und der partitionierenden Klassifikation (vgl. Abschnitt 12.4) eine
Clusteranalyse
403
breite Anwendung. Während geometrische Verfahren vor allem auf die bildhafte Ähnlichkeit von Merkmalsträgern bezüglich der zugrunde liegenden Clustermerkmale abstellen, basieren die deterministischen Verfahren vor allem auf einer Quantifizierung der durch die Erhebungsmerkmale bedingten Abstände bzw. Distanzen zwischen den Merkmalsträgern. In den folgenden Abschnitten werden der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber die probabilistischen (engl.: Abbildung 12.1-1: Verfahrensüberblick probability o Wahrscheinlichkeit) Clusterverfahren und die hierarchisch (grch.: hieros o heilig + archein o herrschen) divisiven (lat.: divisio o Teilung) Verfahgeometrisch numerisch ren nicht näher beleuchtet. ii) Proximitätsmaße. In der Clusteranalyse bezeichnet man Maße zur Quantifiziedeterministisch probabilistisch rung der Ähnlichkeit bzw. der Unähnlichkeit von Merkmalsträgern als partitionierend hierarchisch Ähnlichkeitsmaße (engl.: similarity measures) bzw. als Unähnlichkeitsoder Distanzmaße (engl.: dissimilarity agglomerativ divisiv measures) und fasst diese unter dem Oberbegriff der Proximitätsmaße (lat.: proximus o der Nächste) zusammen. Aus der babylonischen Vielfalt der Proximitätsmaße, die in der Clusteranalyse appliziert und in PASW Statistics implementiert sind, kommt vor allem der Euklidischen Distanz und der quadrierten Euklidischen Distanz eine besondere praktische Bedeutung zu (vgl. Beispiel 12.1-1). iii) Partition. Die Zusammenfassung oder Fusion von n Objekten Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n}, die durch m gleichartige und problemadäquate Clustermerkmale Xj beschrieben wurden, in eine Folge von c disjunkten (lat.: disiunctio o Trennung) Cluster Pc = {Ck, k = 1,2,...,c} wird auch als Partition Pc der Länge c bezeichnet. Je länger bzw. kürzer eine Partition Pc ist, umso feiner bzw. gröber ist diese Partition. Die feinste Partition Pc von n Merkmalsträgern Ji besteht demnach aus c = n Clustern Ck = i = {Ji} und die gröbste Partition Pc aus c = 1 Cluster Ck = 1 = {Ji, i = 1,2,...,n}, in dem alle n Merkmalsträger Ji der statistischen Gesamtheit *n „fusioniert“ sind. i
Beispiel 12.1-1: Euklidische Distanzmaße Motivation. So fest wie in der griechischen Mythologie „PROMETHEUS an den Felsen geschmiedet“ war, so fest ist die Clusteranalyse an die Betrachtung von Distanzmaßen gebunden. Dabei kommt den Euklidischen Distanzmaßen eine besondere praktische Bedeutung zu. Die Euklidischen Distanzmaße, die nach dem griechischen Mathematiker EUKLID von Alexandria (ca. 365-300 vor Christus) benannt sind, beruhen auf dem so genannten Euklidischen Kathetensatz, aus dem unmittelbar der Satz des PYTHAGORAS abgeleitet werden kann, dessen Formulierung wiederum dem griechischen Philosophen PYTHAGORAS von Samos (ca. 580-496 vor Christus) zugeschrieben wird und der verbal wie folgt zusammengefasst werden kann: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse c gleich der Summe der Flächen der Quadrate
404
Clusteranalyse
über den Katheten a und b, so dass a² + b² = c² gilt. Während die Hypotenuse c (grch.: hypo o unter + teinein o sich erstrecken) die Dreieckseite ist, die sich „unter dem rechten Winkel erstreckt“ bzw. ihm gegenüber liegt, sind die beiden Katheten a und b (grch.: kathetos o Senkblei) die Schenkel des rechten Winkels, die (je nach Blickwinkel) senkrecht aufeinander stehen. Euklidische Distanz. In der Abbildung 12.1-2 ist die Euklidische Distanz für zwei Merkmalsträger Ji (i = 1, 2) skizziert, für die jeweils zwei problemadäquate (lat.: adaequatus o gleichgemacht, entsprechend) metrische Merkmale Xj (j = 1, 2) empirisch erhoben und in einem zweidimensionalen Euklidischen Raum grafisch dargestellt wurden. Abbildung 12.1-2: Euklidische Distanz
Euklidische Distanz
Merkmalsträger
Kathete
Merkmalsträger
Kathete
rechtwinkliges Dreieck
Die Euklidische Distanz zwischen den beiden Merkmalsträgern Ji in Gestalt der Länge der Hypotenuse c berechnet sich gemäß dem Lehrsatz des PYTHAGORAS im konkreten Fall wie folgt: Da gemäß Abbildung 12.1-2 im rechtwinkligen Dreieck die Länge der Kathete a durch die Merkmalswertedifferenz a = 5 – 3 = 2 des Merkmals X1 und die Länge der Kathete b durch die Merkmalswertedifferenz b = 3 – 2 = 1 des Merkmals X2 gegeben ist, ergibt sich zwischen den beiden Merkmalsträgern Ji (i = 1, 2) im Hinblick auf die beiden Erhebungsmerkmale Xj (j = 1, 2) eine quadrierte Euklidische Distanz von c² = a² + b² = (5 – 3)² + (3 – 2) = 2² + 1² = 4 + 1 = 5 und in logischer Konsequenz eine Euklidische Distanz von c a ² b² 4 1 5 # 2,236 . Analog können für die n Merkmalsträger Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n die Euklidischen Distanzen für mehr als zwei problemadäquate Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,…,m) berechnet, als Ähnlichkeitsmaße oder als Unähnlichkeitsmaße bzw. als Proximitätsmaße interpretiert und für eine Merkmalsträgerklassifikation verwendet werden. h
Clusteranalyse
12.2
405
Geometrische Klassifikation
Motivation. Verfahren der geometrischen Klassifikation basieren auf der Grundidee, eine Menge {Ji, i = 1,2,...,n} von Merkmalsträgern Ji mit Hilfe grafischer Darstellungen und/oder geometrischer Figuren zu klassifizieren. Gleichwohl eine geometrische Merkmalsträgerklassifikation stets subjektiv ist, erweist sich diese Analyseform vor allem dann als praktikabel, hinreichend und zielführend, wenn sowohl die Anzahl n der zu klassifizierenden Merkmalsträger Ji als auch die Anzahl m der problemadäquaten Clustermerkmale Xj (j = 1,2,...,m) überschaubar groß ist. Obwohl in PASW Statistics Verfahren der geometrischen Klassifikation etwas „unterbelichtet“ sind, soll im folgenden Beispiel die Idee einer geometrischen Klassifikation an einem praktischen Sachverhalt demonstriert werden. h Beispiel 12.2-1: Geometrische Klassifikation Motivation. Die Abbildung 12.2-1 beinhaltet einen Auszug aus der PASW Statistics Datendatei Grundstudium.sav, in der die fächerspezifischen Abschlussbewertungen für den Diplomstudiengang Betriebswirtschaftslehre an der HTW Berlin aus dem Wintersemester 2002/03 zusammengefasst sind. Abbildung 12.2-1: PASW Statistics Daten-Editor
Die n = 14 Merkmalsträger Ji in Gestalt der Grundstudienfächer, die jeweils durch die m = 3 problemadäquaten und metrischen Erhebungsmerkmale DurchschnittsNOTE, DURCHfallerquote (in %) und von den Studierenden im Durch-
406
Clusteranalyse
schnitt vergebenen EvaluationsPUNKTE in Gestalt der originären und der (via Sequenz 5.5-1) standardisierten bzw. z-Werte beschrieben wurden, sollen einer geometrischen bzw. grafischen Clusteranalyse unterzogen werden. 3D-Streudiagramm. Die Abbildung 12.2-2 beinhaltet das zugehörige dreidimensionale Streudiagramm, das man via Diagramme, Diagrammerstellung, 3DStreudiagramm anfordern und erstellen kann. Abbildung 12.2-2: 3D-Streudiagramm
Fach 11: Statistik
Im dreidimensionalen reellen Euklidischen Raum symbolisiert jeder der n = 14 markierten Punkte einen Merkmalsträger Ji in Gestalt eines Grundstudienfaches. Der Anschaulichkeit halber wurde die dreidimensionale Punktewolke auf der Basis der originären Daten noch durch die Projektionslinien zum so genannten Gesamtzentroid (grch., engl.: centroid o Schwerpunkt) ergänzt. Ohne großen analytischen Aufwand kann man im konkreten Fall (recht augenscheinlich, allerdings subjektiv bedingt) c = 4 disjunkte Cluster bzw. eine Fächerpartition der Länge c = 4 identifizieren: Cluster C1 = {J1: allgemeine BWL, J7: Personalwirtschaft}, Cluster C2 = {J2: Allgemeinwissenschaftliche Ergänzungsfächer AWE, J4: Informatik}, Cluster C3 = {J11: Statistik, J12: Steuern} und Cluster C4 als Menge der restlichen acht Grundlagenfächer. Der Nachteil dieses grafischen Klassifizierungsverfahrens besteht allerdings darin, dass man für mehr als drei Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,...,m) eine andere Form der grafischen Darstellung finden muss, mit der man in der Lage ist, höher dimensionierte (m > 3) Datenbefunde grafisch zu präsentieren. PARETO-Diagramm. Eine weitere und für praktische Zwecke nützliche und hinreichende grafische Klassifikation der n = 14 Grundstudienfächer Ji ermöglicht das gestapelte PARETO-Diagramm innerhalb der Abbildung 12.2-3, das via Sequenz 5.1-2 im Dialogfeld Gestapeltes PARETO-Diagramm definieren: Summe verschiedener Variablen erstellt und im PASW Statistics Diagramm-Editor entsprechend bearbeitet werden kann. Zum Zwecke der Vergleichbarkeit der in Ni-
Clusteranalyse
407
veau und Dimension unterschiedlichen m = 3 Clustermerkmale Xj wurden gemäß Abbildung 12.2-1 die Werte der standardisierten Erhebungsmerkmale Zj verwendet. Aufgrund dessen, dass ein PARETO-Diagramm aufgrund seiner Konstruktion als Häufigkeitsdiagramm nur für positive Werte erstellt werden kann, wurden die standardisierten und mit dem Präfix Z gekennzeichneten Erhebungsmerkmale Zj mittels der Berechnungsvorschriften NNote = ZNote + 3, NDurch = ZDurch + 3 und NPunkte = ZPunkte + 3 derart „niveauverschoben“, dass alle z-Werte innerhalb der Abbildung 12.2-1 als positive reelle Zahlen erscheinen. Abbildung 12.2-3: Gestapeltes PARETO-Diagramm und ANDREW-Plots 4
... Cluster 1 --- Cluster 3
3 2 1 0 -1 -2 -3 -3,14
,00
3,14
t
Der offensichtliche Vorteil des gestapelten PARETO-Diagramms besteht darin, dass man allein schon aus der absteigend geordneten Folge der strukturierten Säulen eine Fächerklassifikation entlehnen kann, die sich weitestgehend mit der vorherigen Klassifikation auf der Basis des dreidimensionalen Streudiagramms in der Abbildung 12.2-2 deckt. Der Nachteil dieses einfachen grafischen Klassifizierungsverfahrens besteht allerdings darin, dass man es in PASW Statistics erst „basteln“ muss. Gleiches gilt auch für die so genannten ANDREW-Plots. ANDREW-Plots. Eine ebenso recht einfache und in PASW Statistics leicht nachvollziehbare grafische Darstellung von mehr als zwei standardisierten Clustermerkmalen Zj (j = 1,2,...,m t 2) ermöglichen die so genannten ANDREWPlots, die in der rechten Grafik innerhalb der Abbildung 12.2-3 mittels orthogonaler (grch.: orthos o recht + gonia o Winkel) trigonometrischer (grch.: tri o drei + gonia o Winkel + metron o Maß) Funktionen dargestellt sind. Die orthogonalen trigonometrischen Funktionen können via Sequenz 10.1-2 mit Hilfe eines Sequenzdiagramms und der Berechnungsvorschrift yi(t) = Z1i(2)-1 + Z2isin t + Z3icos t + Z4isin 2t + Z5icos 2t + Z6isin 3t ... erzeugt werden. Für eine grafische Klassifikation genügt es, wenn die Variable t in äquidistanten (lat.: aequus o gleich + distantia o Entfernung) Abständen die reellen Zahlen zwischen -S und S durchläuft. S = 3,14159... bezeichnet die transzendente LUDOLFsche Zahl Pi, die als Quotient aus Umfang und Durchmesser
408
Clusteranalyse
eines Kreises definiert ist. Im Büschel der n = 14 fächerspezifischen Graphen yi(t) sind der Anschaulichkeit halber die Grundstudienfächer-Cluster Ci der Ordnung i = 1 und i = 3, die eingangs identifiziert wurden, kenntlich gemacht. Im konkreten Fall sind dies jeweils zwei Grundstudienfächer J, die bezüglich der drei Clustermerkmale Xj jeweils durch einen ähnlichen Graphen der orthogonalen trigonometrischen Funktion y(t) gekennzeichnet sind. CHERNOFF-Gesichter. Zu einem vergleichbaren Fusionsergebnis der Grundstudienfächer gelangt man, wenn man die alphabethisch geordneten CHERNOFFGesichter innerhalb der Abbildung 12.2-4 analysiert, die im konkreten Fall mit Hilfe des Software-Paketes Statistica erstellt wurden. Abbildung 12.2-4: CHERNOFF-Gesichter
ABWL
AWE
Finanzierung
Informatik
Marketing
Mathematik
Personal
Produktion
Recht
ReWe
Statistik
Steuern
Clusterbildung auf der Basis ähnlicher Physiognomien … Untern.-Führung
VWL
Die Grundidee der CHERNOFF-Gesichter ist so einfach wie wirkungsvoll: Den m t 2 Clustermerkmalen Xj (j = 1,2,...,m) werden Gesichtspartien zugeordnet, wobei sich Niveau und Variation der Merkmalswerte xij in unterschiedlich ausgeprägten und merkmalträgerspezifischen Physiognomien (grch.: physis o Natur + gnonai o erkennen) niederschlagen. Ähnliche merkmalsträgerspezifische Gesichter bzw. Physiognomien, werden jeweils subjektiv einem Cluster zugeordnet. In der augenscheinlichen und subjektiven physiognomischen Klassifikation der n = 14 Grundstudienfächer Ji springen zumindest die so genannten Fächercluster „Statistik und Steuerlehre“ einerseits und „AWE-Fächer und Informatik“ andererseits wegen ihrer „ähnlichen Physiognomien“ sofort ins Auge. h
Clusteranalyse
12.3
409
Hierarchisch-agglomerative Klassifikation
Motivation. Besitzt man für eine statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} im Vorfeld einer Clusteranalyse keinerlei Kenntnisse über die Anzahl „homogener“ Cluster, dann verwendet man zur Aufdeckung der Clusterstruktur ein geeignetes hierarchisches (grch.: hieros o heilig + archein o herrschen) Klassifikationsverfahren, wobei in praxi lediglich den agglomerativen (lat.: agglomerare o fest anschließen, zusammenballen) Verfahren eine praktische Bedeutung zukommt. Während man bei einem hierarchisch-agglomerativen Klassifikationsverfahren von der „feinsten Partitionierung“ einelementiger Cluster ausgeht und schrittweise die sich jeweils am stärksten ähnelnden Cluster zu einem „neuen“ Cluster zusammenfügt, bis letztlich alle Merkmalsträger Ji *n in einem „finalen“ Cluster zusammengefasst sind, geht man bei einem hierarchisch-divisiven (lat.: divisio o Teilung) Klassifikationsverfahren den umgekehrten Weg. Verfahrensübersicht. Die Tabelle 12.3-1 beinhaltet die in PASW Statistics implementierten hierarchisch-agglomerativen Klassifikationsverfahren. Tabelle 12.3-1: Hierarchisch-agglomerative Klassifikationsverfahren Verfahren Charakteristik Linkage-Methode (engl.: linkage o Verknüpfung) nächstgelegener Nachbar kleinste Distanz zwischen zwei Objekten (engl.: single linkage, nearest neighbour) zweier Cluster; beliebiges Proximitätsmaß entferntester Nachbar größte Distanz zwischen zwei Objekten (engl: complete linkage, furthest neigh- zweier Cluster, beliebiges Proximitätsbour) maß Linkage zwischen den Gruppen mittlere Distanz zwischen den Objekten (engl.: average linkage between groups) zweier Cluster, beliebiges Proximitätsmaß Linkage innerhalb der Gruppen mittlere Distanz zwischen den Objekten (engl.: average linkage within groups) zweier Cluster und innerhalb zweier Cluster, beliebiges Proximitätsmaß Zentroid-Methode (grch., engl.: centroid o Schwerpunkt) Zentroid-Verfahren Distanz zwischen den Zentroiden zweier (engl.: Centroid-Clustering) Cluster; metrische Clustermerkmale, quadriertes euklidisches Distanzmaß Median-Verfahren Modifiziertes Zentroid-Verfahren, quad(engl.: Median-Clustering) riertes euklidisches Distanzmaß Varianz-Methode WARD-Verfahren kleinster Zuwachs der Fehlerquadratsumme bei Clusterfusion, metrische Clustermerkmale, quadriertes euklidisches Distanzmaß
Aufgrund dessen, dass jedes hierarchisch-agglomerative Verfahren noch mit verschiedenen Proximitätsmaßen kombiniert werden kann, ergibt sich eine babylo-
410
Clusteranalyse
nische Vielfalt unterschiedlicher Klassifikationsmethoden, die für die Merkmalsträger Ji *n ein und derselben statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} durchaus unterschiedliche Ergebnisse liefern können. Fusionstabelle. Die Fusionsergebnisse im Kontext einer hierarchischen Klassifikation werden in tabellarischer Form in einer so genannten Zuordnungs- oder Fusionstabelle zusammengefasst. Ist eine statistische Gesamtheit *n, die es hinsichtlich ihrer Merkmalsträger Ji *n zu klassifizieren gilt, bezüglich ihres Umfanges n nicht allzu groß und somit noch „überschaubar“, dann kann das Fusionsergebnis einer hierarchisch-agglomerativen Klassifikation noch durch ein so genanntes Dendrogramm (grch.: dendron o Baum + gramma o Zeichnung) ergänzt werden. Hierarchisch-agglomerative Klassifikationsverfahren finden in praxi vor allem dann eine breite Anwendung, wenn es eine überschaubare Menge von Merkmalsträgern Ji *n zu klassifizieren gilt und man keinerlei Vorstellung bzw. Kenntnis über die Clusterstruktur der statistischen Gesamtheit *n besitzt. In diesem Sinne kann eine hierarchisch-agglomerative Klassifikation auch als eine Vorstufe einer partitionierenden Klassifikation gedeutet werden. WARD-Verfahren. Ein Klassifikationsverfahren, das in praxi eine breite Anwendung findet, sobald die Merkmalsträger Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n ausschließlich mittels metrischer Erhebungsmerkmale Xj (j = 1,2,...,m) beschreiben wurden, ist das so genannte WARD-Verfahren, das paradigmatisch im folgenden Beispiel demonstriert und erläutert wird. h Beispiel 12.3-1: WARD-Verfahren Motivation. Das Grundprinzip einer hierarchischen Clusteranalyse auf der Basis eines agglomerativen Klassifikationsverfahrens soll in Anlehnung an das Beispiel 12.2-1 unter Verwendung der m = 3 fächerspezifischen und auf einer metrischen Skala erfassten Semesterbewertungen demonstriert werden, die für die statistische Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} der n = 14 Grundstudienfächer Ji in der Abbildung 12.2-1 aufgelistet und in der PASW Statistics Datendatei Grundstudium.sav zum Zwecke des „Nachvollziehens“ gespeichert sind. Sequenz. Die angestrebte hierarchische Clusteranalyse für die n = 14 Grundstudienfächer Ji *n auf der Basis der m = 3 problemadäquaten metrischen Clustermerkmale Xj kann in PASW Statistics via Sequenz 12.3-1 bewerkstelligt werden. Standardisierung. Aufgrund dessen, dass für die n = 14 Grundstudienfächer Ji jeweils m = 3 metrische, allerdings unterschiedlich dimensionierte Clustermerkmale Xj statistisch erhoben wurden, ist es für die angestrebte hierarchische Clusteranalyse geboten, gemäß Abbildung 12.3-4 im Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Methode für die m = 3 metrischen Clustermerkmale optional eine Standardisierung bzw. eine z-Transformation zu vereinbaren und zu bewerkstelligen.
Clusteranalyse
411
Sequenz 12.3-1: Hierarchische Clusteranalyse Analysieren Klassifizieren Hierarchische Cluster... o Abbildung 12.3-1 Abbildung 12.3-1: Daten-Editor & Dialogfelder Hierarchische Clusteranalyse
Distanzmatrix. In der Tabelle 12.3-2 ist die gemäß Abbildung 12.3-1 im Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Statistik angeforderte und aus Übersichtlichkeitsgründen „gestutzte“ (14 u 14)-Distanzmatrix der n = 14 Grundstudienfächer Ji auf der Basis des quadrierten Euklidischen Distanzmaßes (QED) dargestellt. Tabelle 12.3-2: Distanz-Matrix
Demnach besteht zum Beispiel zwischen den Grundstudienfächern „Allgemeine BWL“ und „Statistik“ im Hinblick auf die m = 3 metrischen Erhebungsmerkmale X1: DURCHfallerquote, X2: DurchschnittsNOTE und X3: EvaluationsPUNKTE eine vergleichsweise große Distanz bzw. Unähnlichkeit, die sich unter Verwendung
412
Clusteranalyse
der standardisierten Werte aus der Abbildung 12.1-1 für die Grundlagenfächer Ji der Ordnung i = 1 und i = 11 wie folgt errechnet: QED1;11 = (0,781 1,482)² + (1,090 2,211)² + (2,187 0,575)² # 23,650. Analog können die übrigen Distanzwerte innerhalb der Distanzmatrix, die auch als Unähnlichkeitsmatrix bezeichnet wird, berechnet und interpretiert werden. Tabelle 12.3-3: Fusionstabelle
Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Zusammengeführte Cluster Cluster 1 Cluster 2 9 14 8 10 2 4 1 7 5 9 11 12 3 13 5 8 3 6 2 5 3 11 1 2 1 3
Koeffizienten ,080 ,173 ,275 ,470 ,722 ,985 1,400 1,997 3,474 6,763 10,562 20,688 39,000
Erstes Vorkommen des Clusters Cluster 1 Cluster 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 2 7 0 3 8 9 6 4 10 12 11
Nächster Schritt 5 8 10 12 8 11 9 10 11 12 13 13 0
Fusionstabelle. In der Tabelle 12.3-3 ist die Fusionstabelle dargestellt, die in ihren Komponenten wie folgt interpretiert werden kann: Im Zuge des hierarchisch-agglomerativen WARD-Verfahrens sind insgesamt f = n – 1 = 14 1 = 13 Fusionsschritte erforderlich, um die gröbste Partitionierung erzielen zu können, die im konkreten Fall darin besteht, dass alle n = 14 Grundstudienfächer Ji in einem Cluster C1 = {Ji, i = 1,2,...,n} fusioniert werden, das in logischer Konsequenz mit der statistischen Gesamtheit *n identisch ist. Im ersten Fusionsschritt wurden (gemäß der mit „zusammengeführte Cluster“ überschriebenen Rubrik) die einelementigen Cluster C9 = {J9} und C14 = {J14} in Gestalt der Grundstudienfächer „Wirtschaftsrecht“ und „Volkswirtschaftslehre“ als die zwei Cluster mit der größten Ähnlichkeit bzw. der kleinsten quadrierten Euklidischen Distanz von QED9;14 = 0,160 identifiziert und in einem „neuen“ Cluster mit der Ordnungsnummer k = 9 zusammengefasst. Der in der Rubrik Koeffizienten ausgewiesene und kleinste Heterogenitäts- oder Unähnlichkeitskoeffizient von 0,080 koinzidiert mit der Aussage von der größten Cluster- bzw. Merkmalsträgerähnlichkeit. In der Rubrik, die mit „erstes Vorkommen des Clusters“ überschrieben ist, wird angezeigt, in welchen Fusionsschritten das jeweilige Cluster bereits fusioniert wurde. Da sowohl das Cluster C9 (Cluster 1) als auch das Cluster C14 (Cluster 2) bisher keinmal fusioniert wurden, sind die beiden Ordnungsnummern ihres ersten Vorkommens jeweils null. Schließlich und endlich wird in der letzten
Clusteranalyse
413
Tabellenspalte, die mit „nächster Schritt“ überschrieben ist, angezeigt, dass das „neufusionierte“ Cluster C9 (das analog zum traditionellen Familienrecht stets den Namen des Erstgenannten trägt) im Fusionsschritt 5 mit dem erstgenannten Cluster C5 fusioniert wird, das wiederum zu einem „neuen“ Cluster mit dem „Familiennamen“ bzw. der Clusterkennung 5 zusammengefasst wird. Analog sind die weiteren Fusionsschritte clusteranalytisch zu deuten, deren innere Logik im Dendrogramm in der Abbildung 12.3-2 bildhaft nachvollzogen werden kann. Abbildung 12.3-2: Daten-Editor und Dendrogramm
Heterogenitätslinie
Dendrogramm. Im Dendrogramm innerhalb der Abbildung 12.3-2, das mit seiner leicht nachvollziehbaren Baumstruktur als eine bildhafte Umsetzung bzw. Ergänzung der Fusionstabelle 12.3-3 gedeutet werden kann, ist die (subjektiv und „per Hand“ eingefügte) senkrechte und gestrichelte Linie von Interesse, die einer „Baumsäge“ gleich im konkreten Fall an „drei Äste angelegt“ wird. Offensichtlich hat man auf einem Wert des Unähnlichkeits- oder Heterogenitätskoeffizienten von 7,5, der in PASW Statistics auf eine reellwertige Skala mit den Randwerten 0 und 25 umgerechnet wird und im Dendrogramm unter dem „sinnentstellenden“ Begriff „Kombination skalierter Abstands-Cluster“ firmiert, eine vergleichsweise niedrige Heterogenität bzw. eine vergleichsweise hohe Homogenität von letztlich drei schrittweise und hierarchisch fusionierten Clustern von Grundstudienfächern zu vermerken. Clusterstruktur. Die „finale“ Clusterstruktur auf der Basis von drei Clustern, die gemäß Abbildung 12.3-3 im Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Speichern optional vereinbart werden kann und im konkreten Fall auf drei Cluster fixiert wurde, ist für die n = 14 Objekte in Gestalt der Grundstudienfächer in der Tabelle 12.3-4 zusammengefasst.
414
Clusteranalyse
Abbildung 12.3-3: Dialogfelder Hierarchische Clusteranalyse
Tabelle 12.3-4: Finale Clusterstruktur Ward Method (3 Cluster)
1
1 2 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5
2
3
Insgesamt
Objekte
Fach Allgemeine BWL Personal AWE Informatik Marketing Produktion Wirtschaftsrecht Rechnungswesen VWL Finanzierung Mathematik Statistik Steuern Unternehmensführung 14
Hinweise. Für die Festlegung einer finalen und zugleich „optimalen“ Partition Pc einer n-elementigen Objektmenge in Gestalt einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} gibt es keine „harten“ Regeln, die für eine statistisch und sachlogisch plausible Deutung der erzielten Ergebnisse hilfreich sind. Mitunter bedient man sich auf der Suche nach einer „optimalen“ Partition auch der Heterogenitätskoeffizienten innerhalb der Fusionstabelle 12.3-3, wobei man sich im konkreten Fall der folgenden „weichen“ Entscheidungsregel bedienen würde: Da der Heterogenitätskoeffizient mit dem Fusionsschritt der Ordnung f = 11 regelrecht in seinen Werten „zu explodieren“ scheint, identifiziert man letztlich n f = c = 14 – 11 = 3 „optimale“ Cluster. i
Methode. Gleichwohl das Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Methode innerhalb der Abbildung 12.3-4 in einer „zweifachen Ausfertigung“ erst zum Schluss der paradigmatischen Betrachtungen dargestellt wird, ist es zwei-
Clusteranalyse
415
felsfrei eines der „wichtigen“ PASW Statistics Dialogfelder im Kontext einer hierarchischen Clusteranalyse, zumal man mit dessen Hilfe jeweils die Clustermethode und das Distanzmaß sowie die z-Transformation bzw. Standardisierung der Clustermerkmale optional vereinbaren kann. Abbildung 12.3-4: Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Methode
Auf Grund dessen, dass im konkreten Fall die m = 3 Clustermerkmale Xj metrisch skaliert sind, wobei in der statistischen Methodenlehre eine Intervallskala, die in der Abbildung 12.3-4 in der Rubrik Messniveau unter der Option Intervall vereinbart werden kann, stets als die niedrigstwertige Form einer metrischen Skala eingestuft wird, wurde als Clustermethode das WARD-Verfahren appliziert, das gemäß Tabelle 12.3-1 wiederum auf dem quadrierten Euklidischen Distanzmaß basiert. Schlussendlich wurden die m = 3 metrischen Clustermerkmale Xj, die erfassungsstatistisch unterschiedlich „bemessen“ sind, aus Gründen der Vergleichbarkeit im Zuge der hierarchisch-agglomerativen Clusteranalyse standardisiert bzw. in so genannte z-Werte transformiert (vgl. Abschnitt 5.5). h
12.4
Partitionierende Klassifikation
Motivation. Im Unterschied zur hierarchischen Klassifikation, die im Abschnitt paradigmatisch skizziert wurde, besitzt man bei einer partitionierenden (lat.: partitio o Teilung, Verteilung) Klassifikation eine gewisse Vorstellung von der Anzahl mehr oder weniger homogener Merkmalsträgergruppen bzw. Cluster, selbst wenn die antizipierte, vermutete bzw. angenommene Clusteranzahl im Sinne einer numerischen Klassifikation nicht als optimal anzusehen ist. Im Bestreben, für eine Objektmenge in Gestalt einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} eine „optimale“ Partitionierung zu finden, verwendet man optimierende Austauschverfahren bzw. iterative Minimal-Distanz-Verfahren. Im Vergleich zu einem hierarchischen Verfahren, bei dem sich „Schritt für Schritt“ die Anzahl der
416
Clusteranalyse
Cluster verändert, wobei ein bereits fusioniertes Cluster nicht mehr „aufgelöst“ werden kann, bleibt bei einem partitionierenden Verfahren die Clusteranzahl unveränderlich. Hinzu kommt noch, dass bei partitionierenden Verfahren ein bereits gebildetes Cluster wieder „aufgelöst“ werden kann und diese Partitionierungen auch dann noch praktikabel sind, wenn die Anzahl der zu fusionierenden Merkmalsträger vergleichsweise groß ist. Applikation. Partitionierende Klassifikationsverfahren finden in praxi vor allem dann eine breite Anwendung, wenn es eine vergleichsweise große Menge von Merkmalsträgern zu klassifizieren gilt und man (etwa durch eine vorgelagerte geometrische und/oder hierarchisch-agglomerative Klassifikation) bestimmte Vorstellungen und/oder Kenntnisse über die Partitionierung der Merkmalsträgermenge besitzt. Dabei wird die unterstellte bzw. angenommene Ausgangspartition selbst nicht als „optimal“ angesehen. Im Zuge einer partitionierenden Klassifikation wird schrittweise eine Verbesserung einer Partition dadurch angestrebt, dass man mittels eines Merkmalsträgeraustausches eine bessere Partitionierung der Merkmalsträger Ji *n einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} erreicht. Im Unterschied zu einem hierarchischen Klassifikationsverfahren, bei dem die Anzahl der Cluster bzw. die Länge der Partition schrittweise verändert wird, bleibt die Partitionslänge bei einem partitionierenden Klassifikationsverfahren konstant. Einschränkend kommt noch hinzu, dass partitionierende Klassifikationsverfahren nur für metrische Clustermerkmale sinnvoll sind. Standardisierung. Im Unterschied zur hierarchischen Clusteranalyse, die im Abschnitt 12.3 skizziert wurde und bei der gemäß Abbildung 12.3-4 im Unterdialogfeld Hierarchische Clusteranalyse: Methode eine Datentransformation optional vereinbart werden kann, sollte im Vorfeld einer Clusterzentrenanalyse stets eine Standardisierung der Clustermerkmale Xj bewerkstelligt werden, wenn die Analyseergebnisse sachlogisch plausibel und „glaubwürdig“ sein sollen. Eine vorgelagerte Standardisierung der Clustermerkmale, die zum Beispiel via Sequenz 5.5-1 mittels der z-Transformation bewerkstelligt werden kann, ist vor allem immer dann geboten, wenn einer Clusterzentrenanalyse unterschiedlich dimensionierte metrische Clustermerkmale zugrunde liegen. Arten. In Abhängigkeit vom Kriterium, das auf der Suche nach einer „optimalen“ Partition zugrunde gelegt wird, unterscheidet man im Kontext einer partitionierenden Klassifikation zwischen optimierenden Austauschverfahren und iterativen Minimal-Distanz-Verfahren. Im Unterschied zu den optimierenden Austauschverfahren, die unmittelbar von einem Optimierungskriterium Gebrauch machen, basieren die iterativen Minimal-Distanz-Verfahren auf einem „mittelbaren“ Optimierungskonzept, das wie folgt skizziert werden kann: Eine Verbesserung einer bestehenden Partition wird sukzessive dadurch angestrebt, dass durch einen Objektaustausch die Distanz des ausgetauschten Objekts zum „Zentrum“
Clusteranalyse
417
bzw. zum Zentroiden (grch., engl.: centroid o Schwerpunkt) des „neu entstandenen“ Clusters eine geringere Distanz besitzt als zum Zentrum des „ursprünglichen“ Clusters. Clusterzentrenanalyse. In PASW Statistics firmiert die partitionierende Klassifikation von Merkmalsträgern Ji einer statistischen Gesamtheit *n = {Ji, i = 1,2,...,n} unter dem Begriff der so genannten „Clusterzentrenanalyse“, die wiederum auf einem speziellen iterativen Minimal-Distanz-Verfahren, dem so genannten „k-Means-Verfahren“ und dem quadrierten Euklidischen Distanzmaß (vgl. Beispiel 12.1-1) beruht. h Beispiel 12.4-1: Clusterzentrenanalyse Motivation. Im Kontext des Kapitels 11 zur Faktorenanalyse wurden unter Verwendung der PASW Statistics Datendatei Fragebogen.sav p = 3 Faktoren aus m = 6 empirisch erfassten studentischen Aktivitäten extrahiert und auf die Namen „curriculares Studium“, „extracurriculares Studium“ und „Nebenjobtätigkeit“ getauft. Diese faktorspezifischen und zugleich standardisierten sowie orthogonalen statistischen Informationen über die vergleichsweise große Anzahl von n = 184 Studierenden, die bezüglich der Frage 9 im Fragebogen innerhalb der Abbildung 3.3-1 eine gültige Antwort gaben, sollen clusteranalytisch derart aufbereitet werden, dass die n = 184 befragten Studierenden Ji im Hinblick auf ihre Studienaktivitäten der Übersichtlichkeit halber einmal nur in c = 4 disjunkte Studierendencluster eingeordnet werden. Aufgrund dessen, dass für jeden Studierenden Ji der Ordnung i = 1,2,...,n jeweils drei metrische, reellwertige und zugleich standardisierte Faktorwerte fij vorliegen, ist es sinnvoll und angebracht, die angestrebte Partition Pc von der Länge c = 4 mit Hilfe einer partitionierenden Klassifikation zu bewerkstelligen. Sequenz. Die partitionierende Klassifikation von Merkmalsträgern mittels einer Clusterzentrenanalyse kann via Sequenz 12.4-1 realisiert werden. Sequenz 12.4-1: Clusterzentrenanalyse Analysieren Klassifizieren Clusterzentrenanalyse o Abbildung 12.4-1 Hinweise. Im konkreten Fall wurde eine iterative Minimal-Distanz-Partition der Länge c = 4 vereinbart, wobei die für einen „Merkmalsträgeraustausch“ erforderlichen Clusterzentroide der Anfangspartition automatisch erzeugt werden. Damit erübrigt sich ein Einlesen der Anfangswerte aus einer externen PASW Statistics Datendatei. Obgleich im konkreten Fall die Standardeinstellung von 10 Iterationen zum Auffinden der „finalen und optimalen“ Partition ausreicht, wurde zu Demonstrationszwecken die Anzahl der Iterationen im Unterdialogfeld Clusterzentrenanalyse: Iterieren optional auf 25 Iterationen (lat.: iterum o wiederum, wiederholend) verändert. Ist man an einer Zuordnung der Objekte bzw. Merkmalsträger zu einem Cluster interessiert, dann kann man
418
Clusteranalyse
im Unterdialogfeld Clusterzentrenanalyse: Neue Variablen, das man via Schaltfläche Speichern öffnen kann, die Option Cluster-Zugehörigkeit und/oder Distanz vom Clusterzentrum aktivieren. i
Abbildung 12.4-1: Dialogfelder Clusterzentrenanalyse
Ergebnisse. Während in der Tabelle 12.4-1 die vier „finalen“ und faktorspezifischen Clusterzentren in ihrer numerischen Beschreibung zusammengefasst sind, beinhaltet die Tabelle 12.4-2 die Verteilung der n = 184 befragten Studierenden Ji, für die „valide“ Faktorwerte ermittelt werden konnten, auf die vier disjunkten und bezüglich der p = 3 Faktoren studentischer Aktivitäten relativ homogenen Studierenden-Cluster der „finalen“ Klassifikationslösung. Tabelle 12.4-1: Finale Clusterzentren
Interpretation. Aufgrund dessen, dass gemäß der Beispiele 11.3-1 und 11.4-1 die p = 3 extrahierten und auf den Namen „extracurriculares Studium“, „curriculares Studium“ und „Nebenjob“ getauften Faktoren Fj (j = 1, 2,…,p) im konkreten Fall als standardisierte und orthogonale Clustermerkmale erscheinen, die durch einen Mittelwert von null, eine Varianz bzw. eine Standardabweichung von eins und einen Maßkorrelationskoeffizienten von null gekennzeichnet sind, ergibt sich die folgende sachbezogene Ergebnisinterpretation der partitionieren-
Clusteranalyse
419
den Klassifikation der n = 184 befragten Studierenden, die im Hinblick auf die m = 6 studentischen Aktivitäten im Kontext der Frage 9 des Fragebogens innerhalb der Abbildung 3.3-1 valide Antworten gaben: Tabelle 12.4-2: Cluster
Cluster 1: Eingedenk der p = 3 faktorspezifischen Clusterzentren ordnet man (41/184)100 % = 22,3 % der Studierenden in die Gruppe derer ein, die im Hinblick auf das extracurriculare Studium überdurchschnittlich (0,986), hinsichtlich des curricularen Studiums eher durchschnittlich (0,078) und bezüglich der Nebenjobtätigkeit unterdurchschnittlich (0,934) aktiv sind. Cluster 2: Aufgrund dessen, dass die Clusterzentren des extracurricularen (0,489) und des curricularen (2,820) Faktors kleiner als null sind und das Clusterzentrum des Nebenjobfaktors (0,016) geringfügig über dem Durchschnitt liegt, ordnet man (14/184)100 % # 7,6 % der Studierenden in die Gruppe derer ein, die weder ein curriculares noch ein extracurriculares Studium präferieren und praktizieren. Mehr noch: Wegen eines extrem niedrigen bzw. extrem hohen negativen Clusterzentrums von 2,820 handelt es sich offensichtlich um Studierende, die vermutlich nicht nur aus klaustrophobischen (lat.: claustrum o geschlossener Raum + grch.: phobos o Furcht) Gründen einen großen Bogen um Hörsäle, Seminarräume und Labore machen. Cluster 3: Demgegenüber zeigen immerhin (74/184)100 % = 40,2 % der befragten Studierenden gleichsam auf allen drei „Bühnen“ studentischer Aktivitäten ein überdurchschnittliches Engagement (und führen zweifelsohne die akademische Bezeichnung „Studiosus“ (lat.: studiosis o eifrig) zurecht. Cluster 4: Schließlich und endlich ordnet man (55/184)100 % = 29,9 % der Studierenden wegen der negativen Clusterzentrenwerte im extracurricularem Studium (0,852) und in der Nebenjobtätigkeit (0,569) und des positiven Clusterzentrenwertes im curricularen Studium (0,383) in die Gruppe derer ein, die sich einzig und allein nur durch curriculare Studienaktivitäten auszeichnen. Cluster-Diagramm. In der Abbildung 12.4-2 ist zur bildhaften Untermauerung der Ergebnisse der Clusterzentrenanalyse zudem noch ein ClusterzentrenDiagramm dargestellt, das man zum Beispiel via Diagramme, Diagrammerstel-
420
Clusteranalyse
lung mittels eines 3D-Streudiagramms für die p = 3 Faktoren konstruieren kann, wobei in die Rubrik Farbe festlegen die Variable zu platzieren ist, welche die merkmalsträgerspezifischen Clusternummern enthält. In der zugrunde liegenden PASW Statistics Datendatei Faktorenanalyse.sav sind die Clusternummern in der Variable Cluster gespeichert. Projiziert man das Diagramm in den PASW Statistics Diagramm-Editor, dann kann man im Dialogfeld Eigenschaften mittels der Option Projektionslinien die Darstellung Zentroid clusterbezogen anfordern und über die Option Markierung das Diagramm spezifizieren und hinsichtlich seiner grafischen Bausteine komplettieren. Abbildung 12.4-2: 3D-Clusterzentren-Diagramm Cluster 1
Cluster 3 Cluster 2 Randobjekte
Cluster 4
Partitionsbeschreibung. Anhand des 3D-Clusterzentren-Diagramms innerhalb der Abbildung 12.4-2 kann man sich nicht nur die disjunkte Vierteilung der n = 184 befragten Studierenden Ji, für die valide Faktorwerte berechnet werden konnten, hinsichtlich ihrer studentischen Aktivitäten verdeutlichen, man erkennt auch, dass ein Cluster zudem noch durch so genannte Kernobjekte und Randobjekte gekennzeichnet ist. Während die „Kernobjekte“ diejenigen Merkmalsträger bzw. befragten Studierenden sind, die sich mehr oder weniger eng um ein Clusterzentrum „scharen“, sind die so genannten „Randobjekte“ dadurch gekennzeichnet, dass sie eine „größere Distanz“ zum jeweiligen Clusterzentrum besitzen und sich im wahren Sinne des Wortes „am Rande eines Clusters“ befinden. Die zugehörigen Distanzwerte zum Clusterzentrum kann man gemäß Abbildung 12.4-1 im Dialogfeld Clusterzentrenanalyse via Schaltfläche Speichern anfordern und je nach Erfordernis statistisch „tiefer greifend“ analysieren. Offensichtlich sind die Cluster 1, 3 und 4 in einem höheren Maße durch Kernobjekte getragen als das Cluster 2, in dessen Umfeld das Randobjekt-Phänomen eher augenscheinlich wird und vordergründig charakteristisch ist. h
Anhang
421
Anhang
A
Verzeichnis der PASW Statistics Datendateien ..................
422
B
Datenzugriff via Internet .............................................
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422
A
Anhang
Verzeichnis der PASW Statistics Datendateien
In die alphabetische Auflistung sind alle PASW Statistics Datendateien einbezogen, welche die Basis für die paradigmatischen Betrachtungen im Kontext der zwölf Kapitel des vorliegenden Lehrbuches bilden. Additives Modell Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet für den Relevanzzeitraum von Januar 2002 bis Dezember 2010 die beobachteten und mittels eines additiven Trend-Saison-Modells prognostizierten monatlichen Flugpassagieranzahlen auf den Berliner Flughäfen. Bachelor.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf semesterbezogenen Studierendenbefragungen, die seit dem Sommersemester 2007 in den Bachelor-Studiengängen am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin durchgeführt wurden. Daxkurse.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet die an der Frankfurter Börse im zweiten Halbjahr 2009 börsentäglich erfassten Schlusskurse des Deutschen Aktienindexes DAX. Evaluation.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Informationen über Lehrveranstaltungen, die im Wintersemester 2002/03 am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin evaluiert wurden. Fahrscheinart.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf einem Marktforschungsprojekt. Im Rahmen des Projektes wurden im November 1995 mittels einer geschichteten Zufallsauswahl Fahrgäste im Berliner Öffentlichen Personen-Nahverkehrs (ÖPNV) befragt. FKK.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf einer Umfrage unter zufällig ausgewählten Studierenden an Berliner Hochschulen, die im Sommersemester 1996 mit dem Ziel durchgeführt wurde, die Einstellung von Studierenden zur Frei-Körper-Kultur zu erforschen. Flugpassagiere.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet für den Beobachtungszeitraum von Januar 2002 bis Dezember 2009 die Zeitintervallreihe der monatlichen Flugpassagieranzahlen auf den Berliner Flughäfen. Fragebogen.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf semesterbezogenen Studierendenbefragungen, die seit dem Sommersemester 2007 am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin auf der Grundlage eines standardisierten Fragebogens (vgl. Abbildung 3.3-1) durchgeführt wurden. Gesprächsdauer.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Angaben über die Dauer von Mobilfunkgesprächen eines Mobilfunkanschlusses. Grundstudium.sav Die PASW Statistics Datendatei enthält Semesterabschlussbewertungen aus dem Wintersemester 2002/03 für die Grundstudienfä-
Anhang
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cher in den betriebswirtschaftlichen Diplom-Studiengängen des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaften I der HTW Berlin. Hochschullogo.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf einer statusgruppenbezogenen Blitzumfrage, die im Sommersemester 2009 an der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin durchgeführt wurde und die Bewertung des neuen Hochschullogos zum Inhalt hatte. Hühnereier.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Gewichts-, Breiteund Höhendaten von 785 Hühnereiern, die von Hühnern der Rasse Loheimer Braun gelegt wurden. Hufschlagtote.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf einer vom deutschen Statistiker Ladislaus von BORTKIEWICZ (18681931) zusammengetragene Mortalitätsstatistik, welche die durch Hufschlag getöteten Soldaten im kaiserlich-preußischen Heer zum Inhalt hat. Master.sav Die PASW Statistics Datendatei ist das Resultat einer Studierendenbefragung, die im Sommersemester 2010 in den Master-Studiengängen am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften I der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin durchgeführt wurde. Mietspiegel 2010.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Daten von zufällig ausgewählten Mietwohnungen, die im ersten Quartal Jahr 2010 auf dem Berliner Wohnungsmarkt angeboten wurden. Multiplikatives Modell Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet für den Relevanzzeitraum von Januar 2002 bis Dezember 2010 die beobachteten und mittels eines multiplikativen Trend-Saison-Modells prognostizierten monatlichen Flugpassagieranzahlen auf den Berliner Flughäfen. Nonsensekorrelation.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet für das Jahr 2006 die bundesländerspezifischen Angaben über die Anzahl der Totgeborenen und der Anzahl der Habilitationen an Hochschulen und Universitäten. Parkhausnutzer.sav Die PASW Statistics Datendatei basiert auf einem Markforschungsprojekt. Im Rahmen des Projektes wurden im Herbst 2006 mittels einer geschichteten Zufallsauswahl Nutzer von Berliner Parkhäusern befragt. VW Golf.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Daten von zufällig ausgewählten PKW vom Typ VW Golf Benziner mit einem 1,6 Liter- Triebwerk, die im zweiten Quartal 2005 auf dem Berliner Gebrauchtwagenmarkt zum Verkauf angeboten wurden. Winters Modell vgl. Additives bzw. Multiplikatives Trend-Saison-Modell Würfeln.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet die Augenzahlen, die beim sechzigmaligen Werfen eines Spielwürfels empirisch erfasst wurden. Zehn Dutzend.sav Die PASW Statistics Datendatei beinhaltet Daten von Hühnereiern, die jeweils zu einem Dutzend im Zuge einer reinen Zufallsauswahl aus der PASW Statistics Datendatei Hühnereier.sav ausgewählt wurden. h
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B
Anhang
Datenzugriff via Internet
Internet-Adresse. Alle in diesem Lehrbuch verwendeten und im alphabetisch geordneten Verzeichnis A aufgelisteten PASW Statistics Datendateien stehen im Internet unter der Adresse http://www.f3.htw-berlin.de/professoren/eckstein/download.html zur freien Verfügung. Der Download-Bereich ist in der Abbildung B-1 skizziert. Abbildung B-1: Downloadbereich
Download. Das „Herunterladen“ einer PASW Statistics Datendatei aus dem Internet erfolgt in kommentierten Arbeitsschritten, die den Vorgang des „Herunterladens“ begleiten und erleichtern. PASW Statistics Datendatei. Eine „aus dem Netz heruntergeladene“ und gespeicherte PASW Statistics Datendatei kann via Sequenz 4.6.3-1 geöffnet und in den PASW Statistics Daten-Editor „eingelesen“ werden. Hotline. Für den Fall, dass beim Datentransfer Probleme auftreten, wende man sich an eine der folgenden eMail-Adressen:
[email protected] oder
[email protected] Herr Diplom-Wirtschaftsinformatiker Frank STEINKE betreut den Downloadbereich und ist bestrebt, jederzeit sachdienliche Hinweise und Unterstützung bei auftretenden Problemen des Datentransfers zu gewähren. h
Stichwortverzeichnis
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Stichwortverzeichnis A Absolutskala 27 Additionsaxiom 140 Additionsregel 147 ANDREW-Plots 407 Anpassungstest Chi-Quadrat 240 KOLMOGOROV-SMIRNOV 253 Anteilsschätzung 233 ARIMA-Modelle 367 Arithmetisches Mittel 108 Ausreißerwert 117 Auswahlbedingung 70 Auswahlsatz 15 Autokorrelation 368
CRAMÉRs V, Kontingenzmaß 287
D
Balkendiagramm 89, 283 BAYESsche Formel 154 BERNOULLI-Prozess 169 Bestimmtheitsmaß 320 Binomialverteilung 169 Box-and-Whisker-Plot 106
Datei öffnen 59 Daten eingeben 57 einlesen 59 Datenansicht 52 Datendeskription 5 Daten-Editor 44 Datenerhebung 32 Datum definieren 345 DE MORGANsche Formeln 139 Dendrogramm 413 Diagramm-Editor 47 Dialogfeld 48 Dichotome Methode 81 Dichtefunktion 165 Differenzenfilter 376 Distanzmaße, euklidische 403 Distanz-Matrix 411 Doppelter t-Test 259 Dreieck-Verteilung 164 Drei-Sigma-Regel 119, 185
C
E
CDF.BINOM 172 CDF.EXP 192 CDF.NORMAL 181 CDF.POISSON 178 CHAID Klassifizierung 289 Chance 143 CHERNOFF-Gesichter 408 Chi-Quadrat Anpassungstest 240 Unabhängigkeitstest 286 Clusteranalyse 401 Clusterzentrenanalyse 417
Eigenwerte 385 Einheit, statistische 13 Elastizitätsfunktion 318, 331 Ereignis 132 elementares 133 komplementäres 136 sicheres 133 unmögliches 133 Ereignisse, disjunkte 136 Ereignisfeld, LAPLACEsches 137 Ereignisoperationen 136 Ergebnis 132
B
426 Erhebungsmerkmal 22 Erwartungswert 163 Experiment, PEARSONsches 145 Explorative Datenanalyse 91 Exponentialverteilung 190 Exponentielle Glättung 364 Extremwert 117
F Faktorenanalyse 381 Faktoren-Rotation 393 Faktorladung 390 Faktorwerte 397 Fälle auswählen 68 Fehlende Werte 55 Fehlerbalken 229 Filter 68 Fragebogen 37, 39 Fraktil 100 Funktionstypen 330 Fusionstabelle 412 F-Verteilung 275
G GALTON-Brett 197 Gesamtheit, statistische 14 Gesetz großer Zahlen 195 Gleitende Durchschnitte 348 Grenzfunktion 318, 331 Grenzwertsatz, zentraler 194
H Häufigkeit 72 Häufigkeitstabelle 76 Häufigkeitsverteilung 73 Hauptkomponentenmethode 388 Histogramm, normiertes 96
Stichwortverzeichnis IDF.EXP 192 IDF.NORMAL 188 Induktion, statistische 201 Interquartilsabstand 115 Intervallschätzung 223 Intervallskala 26
K Klassierung äquidistante 95 äquifrequente 95 Klassifikation geometrische 405 hierarchisch-agglomerative 409 partitionierende 415 Kleinste-Quadrate-Regression 317 Kleinste-Quadrate-Schätzer 219 Kollinearität 336 Kommunalität 391 Konditionalverteilung 283 Konfidenzintervall 223, 226 Konfidenzniveau 223 Kontingenzmaß, CRAMÉRs V 287 Kontingenztabelle 278 Korrelationsmatrix 310 Korrelogramm 368 Kovarianz 302 Kreisdiagramm 86 Kreuzproduktmatrix 305 Kreuztabelle 280 Kumulation 74 Kurvenanpassung 332
L Ladungsdiagramm 395 Lagemaße 98 Logische Operatoren 69
I
M
Identifikationsmerkmal 22
Marginalverteilung 282
Stichwortverzeichnis Maßkorrelation 301 Maximum-Likelihood-Schätzer 219 Mehrfachantwortenanalyse 81 Merkmal dichotomes 25 diskretes 28 häufbares 25, 80 nicht häufbares 25 stetiges 29 Merkmalsträger 13 nummerieren 65 Merkmalsausprägung 22 Messniveau 55 Modus 99 Moment, empirisches 124 Monte-Carlo-Experiment 204 Multiple Dichotomien 56 Multiplikationsregel 151
N Navigator-Fenster 46 Nichtnegativitätsaxiom 140 Nonsense-Korrelation 313 Normalverteilung 180 Normierungsaxiom 140 Nulleigenschaft 110
P PARETO-Diagramm 78 PASW Statistics 41 PDF.BINOM 171 PDF.NORMAL 180 PDF.POISSON 178 Perzentil 101 Pivot-Tabellen-Editor 46 POISSON-Verteilung 175 Post-Hoc-Test 274 Prädiktor 289 Primärerhebung 32 Punktschätzung 218
427
Q Q-Q-Diagramm 216 Quantil 100 Quantilsabstand, zentraler 115 Quantilsfunktion 188 Quartil 101 Quartilskoeffizient der Schiefe 126
R Random Walk 372 Rangfolge bilden 102 Rangkorrelationskoeffizient 295 Regression 315 bivariate 316 lineare 316 nichtlineare 330 multiple 336 Residualstandardfehler 319 Residuum 317 Rotationsverfahren 393
S Saisonkomponente 358, 362 Schätzfunktion 218 Schiefemaß 125 Scree-Plot 389 Sekundärerhebung 32 Sequenz 43 Sequenzdiagramm 339, 343 Signifikanzniveau 237 Skala 23 metrische 26 nominale 24 ordinale 25 Spannweite 114 Standardabweichung 119, 163 Standardisierung 128 Standardnormalverteilung 189 Stem-and-Leaf-Plot 92 Stichprobe 15
428 Stichprobenfunktion 206 Stichprobenvariable 205 Stichprobenverfahren 15 Stichprobenverteilung 212 Stichprobenziehung 202 Stochastik 6, 131 Stochastischer Prozess 367 Streudiagramm 301 Streuungsmaße 114 STUDENT t-Verteilung 214 Summenhäufigkeit, relative 74, 102 Summenoperator 72
T Testentscheidung 238 totale 152 Trendfunktion 354 Trend-Saison-Modell 353 additives 354 multiplikatives 361 TSCHEBYSCHEV-Ungleichung 195 t-Test für zwei unabhängige Stichproben 259
U Unabhängigkeit, stochastische 150 Unabhängigkeitstest 286, 307 Universitätsstatistik 3 Unschärfeproblem 231 Urliste 33
V Variablenansicht 52, 56 Variablendefinition 51 Variablenlabel definieren 54 Variablentyp definieren 53 Variablenwerte berechnen 66 Varianz 118 Varianzanalyse, einfaktorielle 267 Varianzhomogenitätstest 263
Stichwortverzeichnis Varianzzerlegung 123 Variationskoeffizient 122 VENN-Diagramm 135 Verhältnisskala 26 Verteilung, bivariate 282 Verteilungsfunktion 74 inverse 188 Verteilungsmaße 124 Viewer 45
W Wahrscheinlichkeit axiomatische 140 bedingte 148 klassische 141 statistische 144 subjektive 143 Wahrscheinlichkeitsverteilung 161 diskrete 161 stetige 164 WARD-Verfahren 409 WELCH-Test 265 Wertelabel 54 WINTERS-Modell 364 Wölbungsmaß 127
Z Zeitreihe 342 Zeitreihen erstellen 350 Zentrierung 110 Zufallsauswahl geschichtete 18 reine 16 systematische 17 Zufallsexperiment 132 Zufallsgröße 156 diskrete 157 stetige 164 Zustandsmenge 23 Zweipunktverteilung 199
