Statistik-Übungen: Beschreibende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Schließende Statistik 3. Auflage (Lehrbuch)

Günther Saurier

Statistik-Übungen

Günther Baurier ••

Statistik-Ubungen Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Schließende Statistik 3., überarbeitete Auflage

•

GABLER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalb ibliografie; detail lierte bibliografische Daten sind im Internet über -chttpv/dnb.d-nb.deo abrufbar.

Professor Dr. Günther Bourier lehrt Statistik an der Hochschule Regensburg.

Die ersten beiden Auflagen des Werkes sind im Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne/Berlin, erschienen. 3., überarbeitete Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten

© Gabler Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr I Renate SChilling Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmed ien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urhebe rrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrovertilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Hancelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berün Gedruckt auf säurefreiem und chlortrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2389-9

V()n~'()rl

v

Vorwort Für di e Aneignung statistischen Wissens und für die Fähigkeit, di eses Wi ssen in der Praxis anzuwenden, ist neben den beiden Bau steinen - Besuch statistisc her Vorlesungen - Stud ium statistischer Lehrbücher der dritte Bau stein - Bearb eiten von Übungsaufgaben erforderlich. Das intensive Bearbeiten von Übu ngsaufgaben hilft ganz wesentl ich dab ei, sich die statistisc hen Methoden anzueignen und zu verinnerlichen sowie praktisch umzu setzen. Die beiden Bausteine "Statistische Vorles ungen" und "Sta tistische Lehrbü cher " mü ssen schwerp unktmäßig die theoreti sche Vermittlung der Metho den zum Gegenstand haben, d.h. sie können der Nachfrage bzw. dem Erfordern is nach Übungsaufgaben nur in begrenztem Ma ße entsprechen. Dieses Such befasst sich als Übungs buch gez ielt mit dem dritten Baustein. Es soll den Stu dierenden eine ausreichende Möglichke it geben, die augee igneten statistischen Method en auf Übungsau fgaben anzuwenden. Zusamme n m it den von mir ver fassten Lehrbüc hern "Beschreibende Stat istik" und "Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Stat istik", die beide ebenfalls im Gabler Verlag erschienen sind, bildet es eine Einhe it, d ie den Studierenden die Aneign ung und Umse tz ung statistischer Methoden erm öglicht . Als hilfreiches Zusatzmaterial gibt es zu di esem Übungsbuch die Lern soft ware "PC-Statistiktrainer", die unter www.gabler.de (siehe dazu S. 3) heruntergelad en werden kann . Das Üb ungs buch wurde für die dritte Auflage kritisch durchgesehen lind übera rbeitet. Zahlreiche Aufgaben wu rden dabei aktualisiert .

Günther Saurier

Inhaltsverzeichnis

VII

In haltsverzeichn is Vorwo rt . . . . Einführung

V

.

2 Besc hreibe nde Statistik

5

2. 1 Parameter von Häufigkeitsverteilungen

5

2.2 Ver hältn isza hlen

30

2.3 Indexzahlen

37

2.4 Ze itreihenanalyse

56

2.5 Regressions- und Korrelationsanalyse

78

3 Wahrsc heinlichke itsrechnung

3.1 Sätze der Wa hrscheinl ichkeitsrechn ung

10 1 ...........

101

3.2 Kom binatorik . . .. . . . .

11 7

3.3 Diskrete Verte ilungen

127

3.4 Stetige Verteilungen

149

4 Schließe nde Stati stik

165

4.1 Schä tzve rfahre n

165

4.2 Testverfahren

187

Ta bellenanhang

209

J Ein{fi hr llng

1 E infü h r ung Gegenstand un d Z ielsetzu ng des Buches Das Gebiet der Statistik kann in die drei Teilgebiete - beschreibende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - schließende Statistik gegliedert werden. Zielsetzung des Buches ist es, die Studierenden zu befähigen , praktisc he Problemstellungen aus diesen drei Teilgebieten selbstständig lösen zu können. Dazu dienen die zahlreichen Übungsaufgaben. die ausführlich Schritt um Schritt gelöst werden und abschließend interp retiert werden. Die ausführliche schrittwe ise Darstellung der Lösung soll den Studierenden helfen, sich die Lösungstech niken zu erarbeiten, zu verinnerlichen und diese praktisch anwenden zu können. Wie im VOTW0I1 ausgeführt, kann es nicht Gegenstand eines Übungsbuches sein, die statistischen Methoden theoretisch zu vermitteln, d.h. die Methoden herzuleiten und deren Sinn und Zweck zu erklären. Dies ist vielmehr der zentrale Gegenstand von Statistikvorlesungen und Statistiklehrbüchern. Die Arbeit mit diesem Buch setzt also voraus, dass die Studierenden entsprechende Vorlesungen besucht und/oder entsprechende Lehrbücher durchgearbeitet haben. In ha lte Das Übungsbuch umfasst Stoffbereic he. die sich Studierende der Wirtsc haftswissensc haften an Univers itäten und Fachhochschulen im Grundst udium zu erarbeiten haben. Die hier ausgewählten Stoffbere iche können aus dem Inhaltsverzeichnis ersehen werden. Aufga ben und Lösunge n Zu jedem der für dieses Übungsbuch ausgewählten Probleme we rden in der Regel nich t nur eine, sondern mehrere Übungsaufgaben gestellt, um den Studierenden ausreichende Übungsmöglichkeiten zu gehen. Für die jeweils erste von ähnlichen Aufgaben wird der Lösungsweg ausführlich aufgezeigt. Für die weiteren, analog zu lösenden Übungsaufgahen werde n mindestens die Zwisch energe bnisse

2

I Hin6"ilm mg

und die Endergebnisse angegeben. Dadurch werden die Studierenden gefordert, die Aufgab en aktiv zu bearbei ten, und nicht verleitet, d ie aufgezeigten Lös ungswege nu r nachzuvollziehen. - Die Lösung einer j eden Üb ungsaufgabe erfolgt im un mittelb aren An sch luss an die AufgabensteIlung, um dem Leser ein mühevolles Hin- und Herb lätt em zu ersparen.

Zum Lern- und A rbe itsprozess Für das Erarbe iten und die Umsetzung der Lösungstechniken bzw . für die Vorbe-

reitung auf die Statistikklausur empfiehlt der Verfasser folgendes phasenweises

Vorgehen. Phase I: Aneignung der statistischen Methode Im Rahmen der Statistikvorlesung und/oder beim Studium der Fachliteratu r I erfolgt di e erste intensive Beschäfti gung mit der statistisc hen Me thode . Phase 1I: Erste praktische An wendung Für die erste praktische Anwendun g einer statistischen Metho de ist die entsprechen de Übungsaufga be mit der ausführlich en Lösu ng vorgesehen. Stud ierende, die sich mit der Lösungstech nik noch nicht vertr aut fühle n, so llten die Lö sung Schritt um Schritt intensiv durcharbeiten und sich dad urch die Lösu ngstechnik erarbe iten. Stud ierend e, die sich mit der Lösung stechnik bereits vertraut fühl en, sollten die Au fgabe schon möglichst eigenständig bearbe iten und ihre Lösung Schritt um Schritt mit der vorgegebenen Lösu ng verg leichen. Phase III: Wiederh olte p raktische Anwendung Für di e wieder holte praktische Anwendung einer statistische n Metho de kann eine weitere Aufgabe aus dem entsprechend en Probl emfe1d ausgewählt werden. Bei der Lös ung der Aufga be sollten Klau surbedi ngungen hergestellt werden, d.h. nur die an der j eweiligen Hochsch ule zugelasse nen Hilfsmittel sollten bei der Lö sung der Aufgabe verwendet werden. Auf dieses Weise kann individ uell festgestel lt werden, wo eventuell noch Wissensl ücken bestehen. I Stellvertretend seien hier genannt: Bourier, Günther: Beschreibende Statistik, 8. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 20 I0 Bour ier, Günther: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 6. Auflage, Wiesbaden: Gabler, 2009

J Ein fÜhrun g

3

Phase IV: Gene ralp robe In der Klau sur sind Au fgaben aus versc hiedenen Bereich en der Statistik zu lösen. Auf genau diese Sit uation sollten sich die Studierenden in der letzten Phase vor der Klausur einstellen. Dies geling t, indem nicht A ufgabe um Aufgabe aus einem einz igen Themenkreis nacheinander bearbeitet wird, sondern indem A ufgaben aus verschied enen Themenbereichen in zufällig er Abfolge gelöst werden. Auf diese We ise wird man , wie in der Klausur, ständ ig ge forde rt, sich neu in Themenkreise einzudenken und verschiedenartige Aufgaben zu lösen. Fe hlerq uel len Aus langjähriger Lehr- und Korrekturerfahr ung we iß der Verfasser, dass bei der Lösung von Aufgaben bestimmte Fehler gehäuft auftreten. Um derartige typische Fehl er vermeiden zu hel fen, wird im Rahmen der a usfü hrlic hen Lösung von Aufgaben auf diese Feh ler explizit aufme rksam gemac ht. Übungs- und Lernhilfe Vom Verfasser wurde die interaktive Lernsoftware PC-Statistiktrainer. Mit Hil fe des PC-Statistiktrainers kann ein breites Spektrum von Au fgaben au s der beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitsre chnung und der schließenden Statistik ge löst werden . Der Benu tzer ist dabei nic ht an fest vorgege bene Datensätze gebunden, er kann vielmehr für alle dargestell ten Method en die Datensätze frei wählen. Für nahezu j ede Aufgabe wird der Lösungsweg Schritt fü r Schritt deta illie rt aufgezeigt und d ie Lösung interpre tiert . Das schrittweise Vorgehen so ll den Benutzer der So ftware zum einen bei dem Erarbeiten der Lösungstechni k unterstützen und ihm den praktischen Umgang mit den statistische n Me thod en erleichtem . Zum anderen soll das schrittwe ise Vorge hen dcm Benutzer ermögliehen, seine persönli chen Rechenergebn isse detailliert auf ih re Richtigkeit hin zu überprü fen und eventuell gemachte Fehler schnell und einfach zu identifizieren . Der PC- Statistiktrainer kann über den Onl ine-Service des Gabler Verlags als Z usatzmaterial heru ntergeladen werd en. Dazu ist unter www.gabler.d e die Web seite zu d iesem Üb ungsbuch aufzur ufen; unter dem Icon "0 + " (Online Plus) gelangt man zu der Ler nsoftware .

5

2./ Parameter von H äl/figkeit.l'verteif /lngen

2 Beschreib end e Stat ist ik In diesem Kapitel werd en Übungsa ufgaben zu de n Themenbereichen Parameter von Häufigkeitsverteilungen. Messzahlen, Verhä ltniszahlen , Indexzahlen, Zeitreihenanalyse und Regressions- und Korr elation sanaly se gestellt.

2.1 Param et er vo n Hliufigkeitsvertei lu ngen Häufi gkeitsverteilu ngen informieren, wie sich die Merkmal sträger einer Gesamtheit auf die Merkmalsweite oder auf Klassen von Merkm alsw erten vert eile n. Die typ ischen Eigenschaften von Häufigkeit svert eilun gen können mit Hilfe VOll Parametern in kom primiert er Form ausgedrückt bzw . be schrieben werd en. Die folgenden Übu ngsaufga ben befa ssen sich mit den Bereichen -l\l ittelwerte - St reuu ngsma ße - Q uantile - Konzent rations rec hnu ng

Aufgab e 2.1 - A I : Feh lzeiten In der nachstehenden Tab elle sind d ie Fehlzeit en (in Tagen) von 50 Arbe itnehmem (AN) eines Unterne hmens für das verg angene Jahr angegeben . Fehlzeit (Tage)

0

3

5

9

12

IR

21

Anzahl der AN

5

9

13

9

8

4

2

a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Med ian ! b) Berechnen Sie das 3. Qua rtil und das 9. Dezil! c) Berechnen Sie d ie mittlere absolute Abweic hung, die Varian z und die Standardabweichung ! d) Au f welchen Anteil der AN entfallen d ie unieren 75 % der gesamten Fehlzeit? e) Welc her Anteil der gesamten Fehlzeit entfallt auf die obere n (k ränksten) acht Ar beitnehmer?

2 Beschreibende Statistik

6

Lösung 2.1 - AI : Fehlzeiten

Die nachstehende Arbeitstabelle dient der Durchführung und zugleich der übersichtlichen Darstellung erford erlicher Rech enop erationen. (I ) (2) (3)

(4)

(5) (6) x ' · h· H ~

(7)

, h·, fj ,. F·, , , ,

Fe,

0 3

5 9

5 9 12 18 21

13 9 8 4 2

0,00 0,07 0, 24 0,45 0,70 0,89 1,00

x·

5 0, 10 14 0,28 27 0,54 36 0,72 44 0,88 48 0,96 50 1,00

=

0 27

65 81 96 72 42

92 173 269 34 1 383

(9)

(10 )

Ix;-xl Ix; -xl . hj (Xi - x)2 . h 7,66 4,66 2,66 1,34 4,34 10,3 4

13,34

383

~ Xi hj

0 27

(8)

j

293,3 8 195,44

38,30 4 1,94 34,58 12,06 34, 72 41,36 26,6 8

9 1,98 16,16 150,68 427,66 355, 9 1

229 ,64

1.53 1,2 1

Merkmalswert

absolute einfache Häufigkeit H , = absolute kum ulierte Häufigkeit F i = relative kumulierte Häufigkeit Hi = absolute kumuliert e Häufigkeit (wobei hj = Xi . h j ; Spalte 5) x = arithmetisches Mittel n = Anzahl der Merkmalsträger (hier: n = 50) v = Anzahl der verschiedenen Merkmalswerte (hier: v = 7) =

a) Mitte lwer te

i) Arithmetisches Mittel: _

I

v

1

x = _ . :E x : . h· = - · 383 = 7,66 n i= 1 I I 50

(Berechnung s. Spalte 5)

Die durchschnittliche Fehlzeit der Arbeitnehmer beträgt 7,66 Tage. Fehlerquelle: Division der gesamten Fehlzeit 383 Tage mit v

verschiedenen Merk malswert e) anstalt mit n =

(Anzahl der 50 (Anzahl der Arbeitnehmer). = 7

ii) Modus: Am häufigsten, nämlich lScmal. wurde die Fehlzeit 5 Tage beobachtet.

7

2./ flamme/er von Häll{igkeils verieilllngen

iii) Median: Die relative kum ulierte Häufigkeit F = 0,5 0 (Spal te 4) wird bei dem Merkma lswert 5 erreic ht. (Mindestens) 50 % der Arb eitnehmer haben höchstens 5 Ta ge gefehlt, (mindes tens) 50 % der Arbeitnehm er haben m indestens 5 Tage ge fehlt. b) Q ua nt ile

i) 3. Quartil (75 % / 25 %): Die rela tiv e kumu lierte Häufigk eit F = 0,75 (Spalte 4) wird bei dem Merkma lswert 12 erreicht. (M indes tens) 75 % der Arbeitnehmer haben höchstens 12 Tage gefehlt. ii) 9. Dezi l (9 0 % / 10 %) : Die relative kumul iert e Häu figkeit F = 0,90 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalswert 18 erreicht. (Mindes tens) 90 % der Arbeitnehmer haben höchstens 18 Tage ge fehlt. c) St reuu ngs maße i) Mittler e absolute Abwei chung:

ö = .!. ·

f

n i=1

Ix , - x l · h· I

I

= 1.. .229, 64 = 4,59 50

(Berec hnungs. Sp. 9)

Die Feh lzeit der Arbeitnehmer weicht durchschn ittlich um 4,59 Tage von der d urchsc hnittlichen Fehlzeit 7,66 Tage ab .

Fehlerquelle: Division der gesamt en Abweichung 229,64 mit v = 7 (Anz ahl der verschie denen Me rkmalswerte) anstatt mit n = 50 (Anzahl der Arbe itne hmer). ii) Varianz (m ittlere quadrat ische Abwe ich ung) und Standardabweichung:

cr 2 = .!.n . . ~ ~(x I. 1=1

_x) 2 ' h I' =

...!... 5312J = 30 , 62 Tage 2 SO ·1 . ,

(S. SIJ .IO)

Fehlerqu elle: Division der gesamt en quadri erten Abweich ung 1.53 1,21 m it v = 7 (Anzahl der Merk mal swerte) anstatt mit n = 50 (An zahl der Arbeitnehmer).

o=

JlJ2

=

j30, 62 = 5,53 Tage

Eine inhaltliche Interp retation der Varia nz (Dimens ion: Tage 2 !) und da mit auch der Standardabw eichu ng als Wurzel aus der Varia nz ist nicht mögli ch .

2 Reschreihende Statistik

8 d) Konzen tration sr echn un g

Gegeben: F* = 0,75 (s. Sp. 7);

F

gesucht: F (5. Sp. 4)

F' 0,70

0,88

+- 0,75

_

0,75 - 0,70

F - 0,88 + 0,89 _0,70 ' (0,96 - 0,88) F = 0,88 + 0,02 = 0,90

0,96

0,89

Die unteren 75 % der gesamten Fehlzeit entfallen auf 90 % der Arbe itne hmer.

Feltlerquellen : Al s Intervallgrenzen für F* we rden nicht die beid en

ruf F*

"" 0,75 unm ittelba ren

Nachbarwerte 0,70 und 0,89 gewählt, sondern weiter en tfernt liegende Werte. Es wird vergessen, f = 0,02 zum Basi swert F5 = 0,88 zu addieren. Ob erflächliches Lesen der AufgabensteIlung fuhrt zu Fehlern wie - Quantil sberechn ung austart Konzentrationsrechnu ng - Verw ech slung VOll Fund F*, d.h . F = 0,75 anstatt F* = 0,75 e) Konzentrationsrechnun g Gegeben: Die ob eren 8 Ar beitn ehmer; gesucht F* Lösungsansatz I : Die oberen 2 + 4 + 2 = 8 Arbe itnehmer haben

2· 2 1 + 4 · 18+ 2· 12 = 138 Tag e gefehlt . Das sind j~~ . 100 = 36,0 % der gesa mten Fehl zeit . Lösungsansatz 2: (hier aufwändiger als Lösungsan satz I) Kompl ementfrage: Welch er Ante il der gesa mten Fehlzei t entfällt au f die unteren (= "gesündesten ") 50 - 8 = 42 Arbe itnehmer? Gegeben : H = 42 (s. Sp. 3); ges ucht: P (s. Sp. 7) H

::!--+! 44

F*

0,45 0,70

42 -36 F' = 0, 45 + 44 - 36 . (0' 70 - 0 , 45)

F* = 0,45 + 0, 19 = 0,64 Endergebn is: F* = I - 0,64 = 0,36

Auf die ob eren acht Arbeitne hmer entfallen 36 % der gesamten Feh lzeit.

2. I Parameier von Häufigkeils verleilungen

9

Fehlerqu ellen beim Lösungsansatz 2: Als Intervallgrenzen für H werde n nicht die beiden für H

=

42 unmittelb aren

Nachbarwerte 36 und 44 ge wä hlt, son dern weiter entfernt liegende Werte. Es w ird vergessen, f* = 0, 19 ZUIll Basiswe rt F* = 0 ,45 zu addieren. Bei dem Lö sungsansatz über das Komplement wi rd vergessen, das Z w ischene rgebnis 0,64 vo n I ab zu ziehen . Oberflächli ches Lesen der Aufga benstellu ng fuhrt zu Fehlern wie • Quan tilsb erech nung ans tatt Kon zentrationsrechnung - Verwechs lung von F und F*, d .h. Umwa ndlu ng der abso luten Häufigkeit I1 in d ie re lative Iläufigkeit F

Aufga be 2. 1 - A2: Betriebsrente Ein Untern ehmen za hlt an seine 50 ehe maligen A rbe itne hmer (AN) monatlich e Betriebsrenten . Nachs tehe nd find en Sie die Häufigkeitsverteilu ng. Betrieb srente (€)

40

50

60

70

80

90

Anz ahl der AN

4

10

14

8

5

4

100 140 3

2

a) Berechnen Sie den ges amte n Ren tenb etrag. den das Un ternehmen mona tlich an d ie 50 Betriebsrentn er ausbezahlt ! b) Berechnen Sie das arithm etische M ittel, den Medi an und den Mod us! c) Berechn en Sie das I. Quanil und da s I. Dezil! d) Be rech nen Sie d ie mittl ere abso lute Abweic hu ng, d ie Varia nz, di e Standardab weich ung un d den Variarionskoeffizien tcn! e) Wie viele Ren tner erha lten höch stens 80 € Betrie bsrente?

t) Welchen Ant eil an der ges amt en Betriebsreute h aben die einkommen sch w äch sten 20 % und welchen die einkommens tärksten 20 % Betriebsren tn er? g) Welche r Anteil der Rent ner erhält die Hälfte der ges amten Rent enb etrags? Lös ung 2.1 - A2 : Hen-iebsren te

a) Gesa mte Betriebsrente 8 L Xi ' h i = 3 .400

i=!

(Berec hn ung s. S. 10, Tabell cnsp. 5)

Die mo natl ich en Betri ebsrenten betragen insgesam t 3.400 €.

2 Beschreibende Statistik

10

Die nachstehende Arbeitstabelle dient der Durch führung und zugleich der übersichtlichen Darstellung erforderlicher Rech enope rat ionen ( I ) (2) (3) h· H·

x;

,

,

40

(4)

(5)

, x,· · h·,

F·

4 50 10

4 0,08 14 0,28

60

14

70

8

28 0,56 36 0,72

80

5

41

0,8 2

90

4

100 140

(6)

H',

(7)

(8)

(9 )

, Ix. -xl Ix,-xl. hi

F~

( 10) (x - x)2 . h i l

500

160 660

0,05 0, 19

28 18

112 180

3.240

840

1.500

0,44

8

112

896

560 2.06 0

0,6 1

2

16

32

400 2.460

0,72

12

60

720

45 0,90

360

2.820

22

88

1.936

3

48

0,96

300

3. 120

0,8 3 0,92

32

2

50

1,00

280 3.400

1,00

72

96 144

10.368

808

23.4 00

2Q.

160

3.400

3. 136

3.072

b) Mittelwerte i) Arithmetisches Mittel: _ 1 v I x = n· .L xi ' h i = 50 . 3.400 ]= ]

=

68

(Berechnung s. Sp. 5)

Die durchschnittliche Betriebsrente beträgt 68 E.

Modus: Am häufigsten, nämlich 14-mal, wurde die Betriebsrente 60 € ausbezahlt. ii) Median: Die relative kumulierte Häufigkeit F = 0,50 (Spalte 4) \vird bei dem Merkmalswert 60 erreicht. (Mindestens) 50 % der Rentn er erhalten eine Rente von höch-

stens 60 € . c) Quantile

i) 1. Quartil (25 % / 75 %) : Die relative kumuliert e Häufi gkeit F = 0,25 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalsweit 50 erreicht. Das untere Viertel der Rentner erhält eine Rente von höchstens 50 € .

II

2. J Para meter von Hä uOgke it.werteilunge n

ii) I. Dezil ( 10 % / 90 %): Die relative kumulierte Häufigkeit F = 0, 10 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalswert 50 erreicht. Das untere Zehntel der Rentner erhält eine Rente von höchstens 50 E. d) St re uungsma ße

i) Mittlere absolute Abweichung: I

v_I

8 =n: ' ,L

IXi- x l · hi

1=1

=

50· S08

=

16,16

(Berechnullgs .S p. 9)

Die einzelnen Betriebsrenten weichen durchschnittlich 16,16 € von der durch schnittlichen Bet riebsrente 68 € ab. ii) Varianz (mittlere quadratische Abweichung) und Standardabweichung: 0'2

I ,

=

i

(x· • x)2 , h· = ...!.. . 23 400 = 468 €2 1 50 .

n i= 1 I

(Berechnung s. Sp. 10)

Eine Interpretation ist nicht möglich (€ 2 l}.

o~ Ja 2

~

J468

~ 21,63 €

Auch für die Standardabweichung ist eine Interpretation nicht möglich. iii) Variat ionskoeffizient

I ' 100

=

2 ~,:3 . 100

=

31,8 %

Die Standardabweichung 21,63 € beträgt 31,S % der durchschnittlichen Rente von 68 €, e) Q uantil Gegeben: x ~ 80 (5. Sp. I); gesucht: 11 (5. Sp. 3); Zu dem Wert x 5 = 80 € gehört die absolute kumuliert e Häufigkeit H 5 = 4 1. 41 Rentner erhalten höchstens 80 € Rente.

f) Konzent ration srechn un g

i) Gegeben: F = 0,20 (5. Sp. 4); gesucht: F* (s. Sp. 7) F' ~

°

F'

0,05 + 0,08

~

,

°

05 + 0,20 - 0,08 . (0 19 _ 05) 0,28 • 0,08 ' , ~

0, 13

Die einkommenschwächsten 20 % der Rentner erhalten 13 % der Gesamtrente.

12

2 Heschreihellde Slalisrik

ii) Gegeben : Komp lement zu F = 0,80 (s. Sp. 4) ; gesucht: F* (s. Sp. 7)

F' = 06 1 + 0,80 -0,72 . (072 _ 0 6 1) ,

F'"

=

0,82-0,72

0,61 + 0,09

=

'

,

0,70 bzw. 70 %

Die eink.stärksten 20 % der Rentn er erhalten 100 - 70 = 30 % der Ge samtr ente. g) Konz ent r at ionsre ch nu ng

Gegeben : F' = 0,50 (s. Sp. 7); gesucht: F (s. Sp. 4) F = 0,56 +

~:~~ : ~::: . (0, 72 - 0,56)

F = 0,56 + 0,06

= 0,62

50 % der Gesamtr ente entfallen auf die ein kommenschw achen 62 % der Rentn er (bzw . 50 % der Gesamtrente entfallen auf die eink.starkcn 38 % der Rentn er).

Aufgabe 2.1 - A3: Überstunden Die nachstehende Häufigkeitsverteilung zeigt auf, wie viele Überstunden die 30 Arbeitnehmer (A N) einer Firma in der letzten Wo che geleistet haben. Überstunden Anzahl der AN

° 7

1

2

3

4

5

8

J

4

9

4

2

1

a) Wie viele Überstunden haben die Arbeitnehmer insgesamt geleistet? b) Berechnen und interpr etieren Sie das arithmetische Mittel, den Median und c) d) e)

f)

den Mod us! Er mitteln und interpretieren Sie da s 3. Quanil und das 9. Dezil! Berechnen Sie die mitt lere absolu te Abweichung, die Varianz, die Stan dardabwei ch ung lind den Variationskoe ffizienten! Welchen Anteil an den Gesamtüb erstunden haben die unteren 25 % der Arbeitnehmer, welchen die oberen 25 % der Arbeitne hmer und welchen die unteren 25 Arbeitnehmer? Auf welc hen An teil der Arbeitnehmer entfalle n die unteren 80 % der Überstunde n, auf welch en die unteren 50 % der Überstunden?

2. J Parameter von Hällfigkei/sverleilllngen

13

Lösu ng 2.1 - A3 : Überstunden a)

7 .L x · . h: ~ 72 1= 1

b)

X"" -30 ' · 72 "" 2 ' 4',

c)

3. Quartil: 3;

d)

8 ~ 3~ ' 4 5,2 ~ 1,5 1; cr 2 ~ 310 ' 1 05, 2 ~3,5 1 ;

, ,

VK ""

e)

i)

Modus: 3',

Median : 3

9. Dezentil: 4

cr ~ J3:51 ~ 1 ,87

1, 87 . 100 = 77,9 %

2,4

F' ~0 00 + 0,25. 0,23'(004.000) ~ 0,008 ,

0, 33 • 0,23

'

,

ii ) I· F' ~ 1 • [0 15 + 0,75 -0,47 (0 53 - 0 15)] ~ 0,495 , 0,77 -0,47 ' , ii i) F' f)

~ 0,53 + ;~ =;~

.(0, 75 - 0, 53) ~ 0,64

i) F ~ 0,90 + 0,80 .0,75 . (0, 97 . 0,90) ~ 0,925

0, 89 - 0,75

" ) F ~ 0 , 47 + 0, 7 0 550 -0, 0 15" (0 ' 77 - 0,4)

II

, 3

, I)

~0 ,746

Aufga be 2.1 - A4: Liefer t reue Zur Ermittlung der Liefergenauigkeit einer Firma werden für 120 zufällig ausgewählte Artikel die Verspätungen festgestellt. Ve rspätung (Tage)

0

I

2

3

4

6

10

Anzahl der Artikel

55

37

13

7

4

2

2

a) Berechnen und interpr etieren Sie das arithmetische Mittel, den Median und den Modus! b) Ermitteln und interpretieren Sie das 9. Dezil und das 95. Perzentil! c) Berechnen Sie die mittlere absolute Abwe ichung, die Varianz und die Standardabweichung! d) Welchen Anteil an der Gesamtverspätung haben 95 % der Artikel, welchen die oberen 10 % der Artikel und welchen die oberen 10 Arti kel?

14

2 Beschreibende Statistik

e) Aufweic hen Anteil der A lt . entfallen die ob eren 50 % der Gesam tvcrspät ung? f) Auf wie viele der Arti kel entfallen die oberen 30 % der Gesamtver sp ätung? Lösu ng 2.1 - A4: Lie fer t reu e 1_ . 132 = I ' I , a) x = _120

Median: I',

1\'10du5: 0

b)

9. Dezi l: 3;

95. Perze ntil: 4

c)

ö ~ 1~0 ·1 2 8, 4 ~ 1,07; cr2 ~ 1 ~0 ' 3 42, 8 ~ 2, 86 ; c

d)

F' ~ 0 64 + 0,95 - 0,93 . (076 _ 0 64) ~ 0 70 0,97 - 0,93

,

'

,

>

j 2, 86

~ 1 ,69

,

F' ~ I _ [0 48 + 0,90 - 0,88. (064 _ 0 48») ~ I - 0 544 ~ 0 456 , 0,93 - 0,88 " , ,

F' ~ 1- [0 48 + 110 105 (0 64 -048)J ~ 1 - 0 5 94 ~ 0406 ,

112- 105

"

"

e)

F ~ I - [0 88 + 0,50 - 0,48 . (0 93 _0 88) J ~ I _ 0 886 ~ 0 114

t)

II ~ 120- [1 12 + 0,70 - 0,64 · ( 1 16 - 1 1 2» ) ~ 1 2 0 - 11 4 ~ 6

,

0, 64 - 0,48

"

"

0,76 - 0,64

Aufga he 2.1 - A5 : Kap italanl age Ein Investor hatte am 0 1. Jan uar 100.000 € für se chs Jahre angelegt. Die Verz insung ste igt von Jah r zu Jahr an und zwar von 3,0 0 übe r 3,25 , 3,50, 4,00, 5,00 auf zuletzt 6,00 %. Die Zinsen werden dem ange leg ten Betrag stets zugeschrieben und mitverzinst. a) Be sti mm en Sie die durchsc hnittliche j äh rliche Verzi nsung! b) Wie hoch ist da s Kapital am Ende der Laufzeit? Lös ung 2.1 - A5: Kapita la n lage a) Durchsch nitt liche Verzin sung Da die Zinse n dem Kapital zugesc hr iebe n lind mitverzin st werden, hand elt es sich um einen Wa chstum spro zess. Das geo metrische Mittel ist zu berechn en.

6j l, 03 . 1,0325 · 1,035 · 1,04 . 1,0 5 . 1,06

~ 6j l ,27407 8 ~ 1,0412

Die dur chschnittliche j ährliche Verzins ung beträgt 4, 12 % .

2. J Parameter von HällOgkeitsvert eifllngcn

15

Fehlerquelle (sehr häufig): Verwendung des arit hmetisch en (4,13 % ; hier geringe Fehlera uswirk ung) anstatt des geometrischen Mittels. b) Kapitalendbe trag Nac h sechs Jahren beträgt das Kapital 100.000 · 1,04 12 6 = 100.000 · 1,274 104 = 127.410,4 €

Aufga be 2. 1 - A6 : Ge winnentwickl ung In nachstehender Tab elle ist für den Zeitraum 2004 bis 2009 die Gewinn entw icklung eines Handwerkbetriebes beschrieben. Jahr Gewinn (€)

2004

2005

2006

2007

2008

2009

60.000

69.000

84.180

78.287

97.0 76

122.3 16

Die Handwerksmeister will von Ihnen den durchschn ittlichen prozentualen Gewinnanstieg pro Jahr (Vervielfachung) erfahren. Lösung 2.1 - A6: Gewinnentwicklung Schritt I : Berech nung der Wach srumsfakt oren x Jahr

Gew inn (€)

2004 2005 2006 2007 2008 2009

60.000 69.000 84. 180 78.287 97.076 122.3 16

Wachst umsfaktor x

-

1,15 1,22 0,93 1,24 1,26

Schritt 2: Berechnung des geometrischen Mittels 5j l , 15' 1, 22 '0, 93 ' 1,24' 1, 26

=

5 j2,038 604

=

ode r einfac her und kürzer: 5 ~~goI06 == 5 j2, 0386 0

1,1531 =

1, 1531

Der Gewi nn ist von Jahr zu Jahr durchschnittlich um 15,31 % gestiegen.

2 Beschreibende Statistik

16

Fehlerquelle : Bei letzterem Lösungsweg. Ziehen der 6. Wurzel (A nzahl der Ze iträ ume ) anstatt Zieh en der 5. Wurzel (Anza hl der Wa chstumsfaktoren).

Aufga be 2.1 - A7: Energ iep reise Die Preise für Gas betrugen im Jahr 200 8 in der Bund esrepubl ik Deutschl and das l .Süa -fach e gegenüber 2005. Um wie viel Prozent sind d ie Energiepreise von Jahr zu Jahr durchschn ittlich gestiegen? Lösu ng 2. t - A7: Energiepreise 3 J I, 304 ~ 1,092 5 bzw. + 9,25 %

A ufga be 2. t - A8: Aktienkurs Der Kurs einer Aktie (in E) betrug j eweils zum 3 1. 12. fü nf aufe inander folgender Jahre 80, 94 ,4, 141 ,6, 113,28 und 120. Um w ie viel Pro zent hat sich der Aktien kurs durchsch nittlich von Jah r zu Jahr verändert?

Lösun g 2.1 - A8: Ak tleukurs 4jJ 20/80 = 1, 1067 bzw. + 10,67 %

Aufga be 2. 1 - A9: Abfüllanlage Ein Limon adenhersteller verfügt über zwe i Abfüllanlagen A und B. Auf A kön nen pro Stunde 10.000 Flaschen und auf B pro Stunde 30 .000 Flaschen abgefüllt werden. Wie viele Flaschen wu rden pro Stunde durchschnittlich abgefüllt, wenn auf A 120.000 Flaschen und aufB 240.000 Flaschen abgefüllt wurden? Lö su ng 2. 1 - A9: A bfü lla nlage Es ist das harm onisch e Mittel zu berechn en, da das Me rkmal als Quotient (Flaschen/S tund e) definiert ist und die Häufigkeit (Flasc hen) dieselbe Dimension wie der Zäh ler des Q uotienten besitzt. xA

10.000 Flaschen/Stunde;

h A = 120 .000 Flaschen

xB = 30.000 Flaschen/Stu nde;

h S = 240.000 Flaschen

=

Ge samtzahl Fl. Gesa mtzeit

120 .000 + 240 .000 120.000 + 240,000 10.000 30.000

= 360 .000 = 18 00 0

20

.

0. 11. pro Stunde w urd en durchschni ttlich 18.000 Flaschen Limonade abgefüllt .

17

2. J Parame ter von fläuOgkeifsrertcilungen Fehlerqu elle: Berechnung des arithmetischen Mittels anstatt des harm oni schen Mitt els.

A ufgabe 2.1 - AIO : Kipplure Eine vo ll belad ene Kipplore legt die vier Kilometer von eine r Tongrube zur Ziegelei mit 20 kmJh zurück, für die Leerfahrt von der Ziegele i zur Tongrube erreicht die Kipplore eine Geschwin digkeit von 40 krn/h . • Wie hoch ist die Durchschnittsgeschw indigkeit der Kipplor e auf der Gesa mtstrec ke? Lös ung 2.1 - A IO: Kipplor e Gesamtstrecke = 4 + 4 = 26,67 kmJh Gesamtzeit ..:!... + ..:!... 20

40

Aufga be 2.1 - AI I: .la hreseinkommen In der folgenden Abbildung finden Sie die klassifizierte Häufigkeit svert eilung für die Jahr eseinkommen (in Tsd. €) VOll 200 Arbeitnehmern. Einkomm en (Tsd . €) von .. bis unter ..

20 40 60 80 120 160 a) b) c) d) e) f)

40 60 80 120 160 200

Anzahl der

Arb.nehmer

12 32 70 56 28 2

Berechnen Sie das gesamte Jahreseinkomm en der 200 Arbeitne hmer! Ber echnen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Median! Berechnen Sie das I. Quani l und das 9. Dezil! Wie viele Arbeitn ehmer haben ein Jahreseinkommen unter 72 Tsd . €? Wie viele Arbeitn ehmer haben ein Einkommen von mindestens 125 Ts d. €? Berechnen Sie die mittlere abso lute Abwe ichung, den zentralen Q uartil sabsta nd, die Varianz und die Standardabweichung!

g) Berechnen Sie den Variarion skoeffizienten!

18

2 Beschreibende Statistik

h) We lcher einkomm enschwache Anteil der Arbeitnehmer erhält 50 %, welc her einkomm enschwache Anteil 25 % des gesamten Jahreseinkommens? i) Welch er Anteil des ges am ten Jahreseinkom mens entfallt auf die einko mmenschwächsten 10 %, welch er auf die einkommenstärkste n 25 % der Arbe itnehmer und we lcher auf die einkommenstärksten 10 Arbe itnehmer?

j ) Wie viele einkomm en stärkste AN erhalten 20 % des gesamten Einkomm ens? k) Berech nen Sie den Gini-Koeffizienten l Lösun g 2.1 - Al l : Jahreseinkom men Die nac hstehende Arbe itsta belle dient der Durchführu ng und zug leic h der üb ersichtlichen Darstellu ng er for derlicher Rechenoperationen. Ja hreseink. (Tsd . E) ( I ) von

..

h· J

bis unter ..

(2)

(3)

(4)

I

Xj . hj

H· J

x· J

I

(5)

-xt (6)

Ixj -xl·hj (xi

hj

20

40

12

30

360

12

644 ,4

34.604,28

40

60

32

50

1.600

44

1.0 78,4

36.342 ,08

60

80

70

70

114

959 ,0

13.138,30

80

120

56

120

160

28

100 140

4.900 5.600 3.920

170 198

9 12,8 1.576,4

14.878,64 88.75 1,32

160

200

2

180

360

200

192,6

18.547,38

5.363 ,6

206.262,0 0

16 .740

~ I

Klassenm itte der Klass e j

=

Xj

h· =

abso lute einfac he Klassenhäufigkeit

J H· = J

absol ute kum ulierte Klassenhäu figkeit

x

arithm etisches Mittel Anza hl der Mer kmalsträg er (n « 200 ) Anzahl der Klass en (v ::: 6)

n =

v

a) Gesamtes J ah r esein kommen 6

I

L X. . hj

je l J

= 16.740

(Berec hnung s. Sp. 3)

Das jährliche Gesam teinkomm en der 200 Ar beitnehmer beträgt 16 .740 Tsd. € .

Fehlerquelle (relativ häufig): Als Klassen mitte wird die halbe Klassenbreite angesetzt.

2. J Parame ier von Häll figkeifsverleilungen

19

b) Mittelwerte i) Arithmetisches Mittel x=

~ Lxj.hj

=

2~0 ·

16.740 = 83, 70 Ts d. €

(Be rechnung s. Sp . 3)

Das d urchsch nittl iche Jahreseinkommen beträgt zirka 83,7 0 Tsd. €.

Feh lerq uelle : Divi sion mit v = 6 (Anzahl der Klassen) anstatt mit n = 200. ii) Modus Mo

h·

J Schritt I : Berechnung der Häufigkeitsdi chten d. ~ J Klassenbreite 12 ~ 0,6; d ~ 1, 6; d ~ 3,5; d ~ 1, 4; d ~ 0, 7; d d l ~ 20 2 3 4 S 6

~

0,05

Schritt 2: Bestim mung der Modusklasse Mo dusklasse ist die Klasse 3, da diese mit 3,5 d ie grö ßte Dicht e aufweist. Schritt 3: Lokalis ieru ng

d3 - d2 (d] - d 2 ) + (d 3

= 60

+

3, 5 - 1,6 (3,5 - 1,6) +(3,5- 1,4)

= 60 + 0,475

· 20

(80

60)

= 69, 50 Tsd. €

Das am häufigsten beobachtete Jahreseinkommen beträgt 69,50 Tsd. €.

FelJlerquelle (sehr häufi g): In den Sch ritten 2 (Mod usklasse) und 3 (Lokalisierung) werden die ein fac hen Häufi gkeit en h verw endet artstatt die H äufigkeitsdich ten d. Be i untersch iedli chen Klassenbreit en im relevanten Ber eich führt dies zu Fehlern . iii) Me dian Me Sch ritt I : Bestimm ung der Media nklasse Mediankl asse ist die Klasse 3. In dieser Klasse liegt der Merkmalstr äger. bei dem H den Wert 200/2 = 100 erreicht bzw . F den Wert 0,50 (Halbieru ng der Gesamth eit). Sch ritt 2: Loka lisierung Lö sungsweg 1: Gegeben: H = 100 (oder auch: F = 0,50); ges ucht: x

20

2 Beschreibende Sta tistik

x

H

~ l e ""60 + : ~ ~ 1: · ( 80 - 60} Me = 60 + 0,80 ·20 = 76,0

50 % de r Arbeitnehmer habe n ein Jahre seinkommen von höchstens 76 .000 f . Lösungsweg 2: Formel (a us ob igem Strahl ensatz abl eitba r)

n - HZ

Me = x) + 2 h

3

. (x ~ - x3)

= 60

+ 10°

7044 - (80 -

60)

= 60 + 0, 80 · 20 = 76, 0 Tsd. € c) Q uuntile Die Ve rgehensweis e bei der Ermit tlu ng des Media ns ist auf die Ermi ttlung der

Q uantile zu übert rage n. Hier wird der Lösungsweg 2 aufgezeig t. i) J. QuartiJ QI Schri tt I: Besti mmu ng der I. Qu arti lsklasse I. Q uartilsk lasse ist die Klasse 3.ln d ieser Klasse liegt der Mer krnalsträger ,

be i dem H de n We rt 200/4

=50 erreicht

bzw. F den Wert 0,25 (A ufteilung

der Gesamtheit in 2S % und 75 %) . Schri tt 2: Lokalisierun g Ql =

II - 11 2

x~ + 4 h

J

. (X') -

X~) = 60 + 50 ; 44 . (80 _ 60) = 61,71

25 % der Arbe itne hmer haben ein Jahreseinkommen von höchstens 61 .7 10 €. ii) 9. Dezil D 9 Schritt I: Bestimm ung der 9. Dczils klasse 9 . De zilsklasse ist die Klasse 5. In dieser Klasse liegt der Me rkmalsträger. bei dem H den Wert 9110 von 200 = 180 erreicht bzw . F den Wert 0,90 (Aufteilun g der Gesamthe it in 90 % und 10 %). Schri tt 2: Lokalisieru ng

-2.. · n - H4 D = x u + 10 . (xo _ x u ) = 120 + 180 -1 70 . (160_ 120) = 134 29 9 S h S S 28 ' S

90 % de r Ar beitneh mer haben ein Jahreseinkommen von höchstens 134.290 €.

2./ Parameter von HöuOgkeilsverleilungen

21

d) Q ua n tll: Il öch steinkomm en Gegeben : x < 72 ; gesucht H Die Erm ittlung der Häufigkeit H erfolgt analog zu den Aufgaben unter b) und c) . Der Unter sch ied besteh t darin, dass j etzt der Merkmalswert gegebe n und die Häufi gkeit gesu cht ist; unter b) und c) war es umgekehrt .

II

Lösungsweg I : Stra h lensatz

x 60 72 80

fI Il(x < 72) ~ 44 + 72 -6° (1 14 _44) 80 - 60

44

fI(x < 72)

~

44 + 0,60 . 70 ~ 86

~

114

86 Arbeitnehmer haben ein Jahreseinkommen unter 72.00 0 E. Lösungsweg 2: Form el (a bgeleitet aus dem Stra hlensatz) H(x < 72 ) = H 2 +

72 - x~ 0 u · h3 x3 - x3

44 + 72 - 60 . 70 ~ 86 80 - 60

e) Q ua ntil : Miadcstein kom mcn Geg ebe n: x

z 125

bzw. das Komplement x < 125; ges ucht: H

H (x < 1 25 ) ~ H 4 +

lI (x

~

1 2 5- x ~ 0

u · h 5 ~ 170 +

xs - x s

125) ~ 200 - 173,5

~

125 120 · 2 8~ 1 73 5 160 - 120 '

26,5

26 (26,5) Arbe itnehmer hab en ein Ja hreseinkomme n von mindestens 125 .000 E.

f) St reuungsmaße

i) Mittlere absolut e Abwe ichung Ö Schri tt I : Bestimmung des arithmetischen Mittels:

x = 83,7 Tsd.

€ (siehe b) )

Schritt 2: Summe der absoluten Abweichunge n

f

je l

I x~ J

- 83,71 · hj = 5.363,6 Tsd. €

Sch ritt 3: Division mit n = 200 I)

~

5.363,6 200

~

26,82 Tsd. €

(Berec hnungs .S p.5)

2 Beschreibende Statistik

22

Die Jahreseinkommen weichen im Durchschnitt um 26. 820 € vom durch schni ttli chen Jahresei nkommen 83 .700 € ab.

Fehler quelle: Division mit v = 6 (Anzah l der Klassen) anstatt mi t n = 200. ii) Varianz 0 2 Schr itt 1: Bestimmu ng des arithmetischen Mittels : x

=

83,7 Tsd. E (sie he b) )

Schritt 2: Summe der qu adrierten Abweichungen

L ( xf -

83,7 ) 2 . h j

= 206 .262

Tsd. €2

(Berechnung s. Sp. 6)

Schritt 3: Division mit n = 200 ,,2 = 206.262 = 1 03 1 3 1 Tsd . €2 200 . , iii) Standarda bwe ichung cr

,, ~f 0 und b > 0) Schri tt 3: Numerische Festleg ung der Funktionalparameter Für die Expon entia lfunkti on sind die beid en Parameter a und b nu meri sch festzu legen . Schritt 3. 1: "Lin earisienmg" der Exponentialfunkt ion Die Exponentialfunktion ist auf dem Wege der Logarith mierun g in die lineare Fonn

In

y=

In a + x - In b

zu transformieren. Die numerische Festlegurig der Parameter a und b für die Trendgerade erfolgt mit

In a =

:Lln Yi n

- ln b - x

In Yi - n· x·

Lxt - nx

2

L ln Yi

n

2..1 Zeilreihenanalyse

63

Schritt 3.2: Berechnung der Funktionalparameter In a und In b Zunächst werden in der nachstehenden Arbeitstabelle die Summenaus drücke. die für die Bestimmung von a und b benötigt werden, berechnet.

x-

,

Yl

In Yi

x: -ln y '

,

x-2

I 2 3

50 64 71 81 112 125 144 183

3,9 120 4, 1589 4,2627 4,3944 4,7185 4,82 83 4,9698 5,209 5

3,9 120 8,3178 12,7880 17,5778 23,5925 28,9699 34,78 87 4 1,6759

I 4 9

16 25 36 49 64

36,454 1

171,6226

204

4 5 6 7 8 36

x = 36 = 4 8

"

L ln Yi n

5-

L Xi , In Yj = 171, 6226;

n';;::'

,

= 36, 454 1 = 4 8

L ln Yj n

,

"

5568-

= 8·4,5 ·4,5568 = 164,0448;

n·;;::2 = 8 .4, 5 2 = 162 .

Damit errechnen sich:

In b In .

=

171, 6226 - 164, 0448 204 162

= 4,5568

- 0, 1804 -4, 5

=

7,5778 42

=

0, 1804

= 3,745

Schritt 3.3: Berechnung der Funktionalparameter a und b (Delogarithmierung) b = 1, 1977; a

~

42,3090

Damit lautet die Trend funktion .

y=

42, 3090 - 1, 1977 x

Der Funktionalparam eter 1, 1977 besagt, dass der Absatz eines Monats durc hschnittlich das 1, 1977-fache des Vonnonatsabsatzcs betragen hat, d.h. der Absatz ist von Monat zu Monat um durchschnittl ich 19,77 % gestiegen.

64

2 Reschreihende Statistik y 200 160

-•• N

•

120

•

,D

-c

•

80 40

> 3

2

5

4

6

7

8

Ja hr

Abb . 2.4-3: Zeitreihenwerte mit Exponentialfunktion als Trendfunktion

Aufga be 2.4 - A4: Peri odische Schwa nkungen (I ) In der nachstehenden Tabelle sind die Quartalsumsätze (in Tsd. E} eines Arti kels für die letzten drei Jahre wiedergegeben.

Quartal xi

I

2

3

4

Umsatz Yj

5

1

4

11

5

6

13,7 9,5

7

8

9

10

11 12

12,6

19,7

22

18

2 1 28

a) Ermitteln Sie den Trend mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate! b) Berechnen Sie die Trend-Umsätze! c) Be rechnen Sie die additiven und multiplikativen Schwankungskomponenten! d) Stellen Sie die Verkn üpfungsform von Trend und periodischer Schwan kung fest und berechnen Sie die Sais onnormalen l Lösung 2.4 - A4: Pe r iodisc he Schwa nkungen (I) a) T ren dermittlung Schritt I : Erkennen des Tren dverlaufs Die Ze itreihe ist in Abb. 2.4-4 grafisch wiedergege ben. Es ist zu erkenne n, dass der Umsatz in den 12 Quartalen tendenziell ges tiegen ist.

65

2.-1 Zeif r eihenanal yse

Tsd. E

28 24 20 N

16

•e

12

:;;

:>

- - Trendlinie 8

. - . -. Zeitreihe

4 4

2

6

8

10

12 Qu alt al

Abb .2.4-4: Zeitreihe mit Trendlinie nach der Methode der kleinsten Quadrate

Schritt 2: Festlegung des mathematischen Funkt ionstyp s Als "glatte Mittellinie" kommt hier eine Funktion I . Grade s infrage . Schritt 3: Nume rische Festleg ung der Funktionalparameter Die Festlegung der Parameter der Trendgeraden a

=y -

bx

b

y = a + bx

erf olgt mit

LXY - I1xy

= =--"::c'-'-r-r-iL X ~ - nx2

Schritt 3. 1: Berechnung des Steigungs maßes b

L xi Yi

x=

= 1.379,3 (s. Sp. 3);

L xf

= 650 (s. Sp. 4);

= 78 = 6 50' - = L Yi = 165, 5 = 13 79' 12 " y n 12 "

nxy

= 12 · 6, 5 · 13, 79 = 1.075, 62;

b =

L XjYi - nxy LX~ - nx2

=

nx2

= 12 - 6,5 - 6, 5 = 507.

1.379,3 - 1.075, 62 303, 68 = 2,124 = 650 - 507 143

2 Beschreibende Statistik

66

Sc hritt 3.2 : Berechnung des Sc hnittpunktes mit der Ordinate a

a =

5' -

bx = 13,79 - 2, 124 ·6,5 = -0,0 16

Schritt 3 .3 : Aufstellung der Trendgeraden

y=

2, 124x - 0,016

In Abb. 2.4-4 (s.S. 65) sind Ze itreihe und Trend grafisc h wied ergegeben.

b) Trend umsätze

Der Trendumsatz ist der Umsatz, der sich einstellen würd e, wenn es keine periodischen und sonstige n Einflüsse gäbe, d.h. we nn alle in die Grundrichtung der Umsatzentw icklung entscheidend für den Umsatz wäre. Für die Ermittlung des Trendumsatzes gilt:

Yi

=::

2, 124x j - 0,01 6

Die Trendum sätze sind in Spalte 5 der Arbeitstabelle wiedergegeben. ( I)

(2)

(3)

(4)

(5)

x'

,

Yi

XjYi

x·

,2

Yi

I 2

5,0 1,0

I 4 9 16

2, 1I 4,23 6,36 8,48

25 36 49 64 8J

10,60 12,73 14,85 16,98 . 19,10

100

2 1,22 23,35 25,47

3 4,0 1...... 4 .. 1 1 1 ,0 13,7 5 6 9,5 7 12,6 8 19,7 9 10 \I 12 78

.. ,

5,0 2,0 12,0 1 4 4 ,0 68,5 57,0 88,2 157,6

22,0 18,0 2 1,0 28,0

198,0 180,0 23 1,0 336,0

121 144

165,5

1379,3

650

.

(6)

Sa

(7)

•

i =Yi -Yj

2,89 -3,23 -2,36 2,52 3, 10 -3,23

-2,25 2,72 2,90 -3,22 -2,35 2,53

S~ I

=

:i Yj

2,37 0,24 0,63 1,30 1,29 0,75 0,85 1, 16 1, 15 0,85 0,90 1, 10

...

2.4 Zeifreihenanalyse

67

c) Schwankun gskompon cntc Die Schwankungs kom ponente beschreibt die Abweichung des beobachteten Umsatzes vom Trend umsatz. Die Schwankungskom po nente beschreibt also, wie die peri od ische Schwanku ng und die Restkom ponente auf den Umsatz einwirken. Sie wird nachstehend abso lut als auch relativ gemessen. Die additive Schwanku ngskom ponente misst den Ein fluss von periodischer Schw ankung und Restkomponente als Differenz zw ischen Umsatz und T rendumsatz .

• Si' = Yj - Yi Die mu ltiplikative Schwankungskompone nte mi sst den Einfluss von pe riod ischer Schwankung und Restkomponente als Quotient aus Umsatz und Trendum sat z.

S!1' = Yj I

Yi

Die addit ive n u nd multiplikativen Schwa nkungskomponenten sind in Spalte 6 bzw . Spalt e 7 der Arbe itstabe lle (s.S. 66) wiedergegeben. Die additive Schwanku ngskompo nente des z.B. 4 . Quartals besagt , dass der tatsächlic he Umsatz im 4. Quartal 2,52 Tsd . € über dem Trendumsatz gelege n ist, die des 6. Quartals besagt, dass der tatsächliche Um satz im 6 . Q uarta l 3,23 Tsd. € unter dem Trendumsa tz gelege n ist. Die mu lti plikative Schwa nkungs komponente des z. B. 4. Quartals besagt, dass der tat sächliche Umsatz im 4. Quartal 30 % über dem T rendumsatz gelege n ist, d ie des 6 . Quartal s besagt, dass der tatsäc hliche Umsa tz im 6. Quartal 25 % unter dem Trendumsat z gelegen ist. d) Tren d un d period isc he Sc hwan kung Ana lys iert man die Schwankungskomponenten g leicher Phasenabschnitte. d.h. zum Beispiel nur die der 1. Quart ale, dan n ist z u erkennen, dass d ie additive Schwankungskompon en te in jewei ls entsprec hen den Quartalen ann ähernd gleich groß (z .B. I. Qu artale : 2,89 ; 3,10 ; 2,90) ist, wä hrend die multiplikative Schwa nkungskomponente im Zeitablau f zu nimm t oder abnimmt (z .B. l. Q uarta le : 2,37 ; 1,29 ; 1,15). Die weitgehen de Stabil ität der addit iven SChwa nkungskompo nente spricht dafür, da ss in entsprechenden Qu artalen der Einfluss der per iod ischen Schwankung additive r Art ist. Unterstellt man, dass der Einfl uss der Restkompo nente zufällig ist, dann ist der Einfl uss im Durchsc hnitt Null. Der Einfluss der periodischen Schwankung kann

68

2 Beschre ibende Stat istik

daher ann ähernd festgestellt werde n, wenn man die Schwa nkungs kompo nenten gleicher Qu artal e addiert und mittelt. Die periodi sche Schwankung wird auch als Saison normale bezeichnet. . a 2,89 +3 , 10 +2,90 Saison normale SN des 1. Quartals: SN ) = 3 = 2,96

Der We rt 2,96 besagt, dass der Umsa tz in den L Quartal en dur chschnittlich 2,96 Tsd. € über dem Trendumsa tz liegt, d.h . vom I. Quartal gehen günstige Einflüsse au f den Ums atz aus. Die Sa iso nnonnalen der ande re n Quart ale lauten : SN fI = -3 ,23 Tsd. e , SN fn = -2,32 Tsd. €;

SNfv = 2,59 Tsd. €

Der Ums atz des z .B. 4. Quarta ls 11,0 Tsd. € lässt sich damit wie folgt zerlege n: - Trendumsatz:

8,48 Tsd . € (5. Arbeitstabelle, S. 66)

- Saisonnon nale:

2,59 Tsd. €

- Restkomponente :

- 0,0 7 Tsd. E ( 11,0 - 8,48 - 2,59)

Aufga be 2.4 - A5: Periodische Schwankungen (11) In der nachstehenden Tabelle sind die Quartalsum sätze (in Tsd. €) eines Artikels für di e letzten dre i Jah re wiedergegeben. Q uartal x i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1I

12

Umsat z Yi 13,5 9,7 19,8 16,8 26,6 17,0 33,6 27,0 40,0 26,0 47,0 36,3 a) Er mitteln Sie d en T rend mit Hilfe der Method e der kleinsten Quadrate! b) Berechnen Sie die Trend -Umsätze! c) Berechnen Sie die add itiven und multipli kativen Schwanku ngsko mpo nenten! d) Ste llen Sie die Ve rknü pfungs form von Trend und periodi scher Schwankung fes t und berechn en Sie die Saiso nn ormalen ! e) Ermitteln Sie, für welche Umsatzbestand teile Trend, per iodische Schwankung und Restk omponente im Quartal 9 verantwortlic h sind!

Lösung 2.4 - A5: Periodis che Schwan kun gen (11) a) T rend ermittlun g Schri tt I : Erk enn en des Trendverlau fs Die Zeitreih e ist in Abb. 2.4-5 gr afisc h wiedergegeben. Es ist zu erkennen, dass der Um satz in den 12 Quartal en tendenziell ges tiege n ist.

2. .f Zeitreihenanalrse

69

Tsd . € 48

40

1ii

32

~

E 24

=>

16

- - Trendlinie

8

•

4

2

6

• Zeitreihe

10

8

12 Quart al

Abb. 2.4-5: Zeitreihe mit Trendlinie nach der Methode der kleinsten Quadrate

Schritt 2: Festlegurig des mathematischen Funktionstyps Als "glatt e Mitte llinie" kommt hier eine Funktion I. Grade s infrage. Schritt 3: N umerische Festlegung der Funktionalparameter Die Festlegung der Parameter der Trendgeraden

a

=y -

bx

b

y=

a

+ bx erfolgt mit

LX 'Y' - nxy = ::C:'! '"-,' - -='-

,

nx 2

L X~ -

Schritt 3. 1: Berechnung des Steigungsmaßes b

L x;Yi _

= 2.4 18,3

LXi

x = - n-

nxy = b =

L xf = 650

(s. Sp. 3);

78 = T2 = 6, 50;

y

12 · 6, 5 · 26, 11 = 2.036, 58 ;

2: XjYi -

Lx f -

nxy 2.4 18,3 = 650 nx2

= 3 13,3 = 26 11.

=

nx2

2.036, 58 507

(s Sp. 4); 12

"

= 12 · 6, 5 · 6, 5 = 507.

=

38 1,72 143

=

2,669

2 Beschreibende Statistik

70

Schritt 3.2: Berechnung des Schn ittpunktes mit der Ordinate a a

=y -

=

bx

=

26, 1I - 2, 669 ' 6, 5

8,762

Schritt 3.3: Aufstellung der Trendgeraden

y=

2,669x + 8, 762

In Abb. 2.4-5 (5. 69) sind Zeitreihe und Trend grafisch wiedergegeben. b) Trendumsätze

Für die Ermittlung des Trendumsatzes gilt;

Yj =

2, 669xj + 8,762

Die Trendum sätze sind in Spalte 5 der Arbeitst abell e wiedergegeben. ( I)

(2)

(3)

(4)

(5 )

(6)

x'

,

Yi

XjYi

2 x'

,

Yl

,

S'i = Yi - Yi '

1

13,5

13,5

I

11 ,43

2,07

1, 18

2

9,7

19,4

4

14, 10

-4,40

0, 69

3 ......4

19,8

59,4 67,2

1, 18 0,86

133,0

25

16,77 19,44 "22, 11

3,03 -2 ,64

5

16,8 26,6

9 16

4,49

1,20

6

17,0

102,0

36

24,78

-7,78

0,69

7 8 ' I) ~ 1 - W(X 5 I) ~ 1 - F B(l 19; 0.09) ~ 1 - 0,4279 - 0,3809 = 0,1912 bzw . 19,12 % Lösung zu b)

Schritt 3: Fu nktio nalp aram eter. n = 80 ; e = 0,09 Schritt 4: Approx imation durch die Poissonverteilung i) Zuläss igke it gege ben wegen n = 80 2:: 30; e = 0,09 ::5 0, 1 ii) Funktionalparame ter I..t

=

80 · 0,09 = 7,2

iii) Wahrsche inlichkeiten b l) FB (5180; 0,09)

~

b2) 1 - FB (7180; 0,09)

Fp(5 17,2) ~ 0.2759 bzw. 27.59 % ~

1 - Fp(717,2)

~

1 - 0,5689

~

0,43 11 bzw. 43,11 %

Aufga be 3.3 - A 16: Spurtsc hü tze Von einem Sportsc hützen ist bekannt, dass er bei einem Schuss in normaler Tage sfon n mit einer Wahrsche inlichkeit VOll 92 % ins Schwarze tr ifft. Wie gro ß ist d ie Wahrscheinlichkeit, dass von 50 abgegebenen Schüsse n in normaler Tagesform mindesten s 45 ins Schwarze gehen?

3.3 Diskrete Verteilungen

147

Lösung 3.3 - AI6: Sportschütze Schritt I: X = Anzahl der Treffer ins Schvv arze Schritt 2: Binomialverteilung Schritt 3: Funktionalparameter: n = 50; e = 0,92 Schritt 4: Approximation durch die Poissonverteilung i) Zulässigkeit gegeben wegen n = 50 ?: 30 und 8 = 0,92 ?: 0,90 ii) Funktionalparameter J1 = 50 · 0,92 = 46 iii) Wahrscheinlichkeit

FB(X ~ 45150; 0,92)

~

Fr (X ~ 45146)

Die Wahrscheinlichkeit kann in Tabelle 2b mittelbar nachgeschlagen werden. Mindestens 45 Treffer ins Schwarze bedeuten zugleich höchstens 5 Schüsse, die nicht ins Schwarze treffenji = 50 · (1 ·0,92) = 4. Fp (X ~ 5 14) ~0,785 1

bzw. 78,5 1%

Aufg'lbe3.3-A17: l l- er Wette Gegenstand der l l-er Wette ist es, den Ausgang von l 1 Fußballspielen vorherzu sagen, wobei zwischen dem Sieg der Heimmannschaft, dem unentschiedenen Ergebnis und dem Sieg der Auswärtsmannschaft zu wählen ist. Bei der Wette gewinnt man, wenn man neun, zehn oder elf Spiele richtig vorhersagt. Wie groß ist die Wahr scheinlichkeit, dass ein Spieler, der seine Vorhersagen rein zufällig abgibt , gewinnt?

Lösung 3.3 - AI7 : l l- er Wette Schritt I: Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4 :

X = Anzahl der richtig vorhergesagten Spiele Binomialverteilung Funktionalparameter n = 11 ; 0 = 1/3 Wahrscheinlichkeit

FB(X ~ 9111; 1/3)

~

0,00 124 + 0,000 12 + 0,0000 1 ~ 0,00137

Bei rein zufälligen Vorhersagen beträgt die Gewinnchance 0, 137 % .

Aufga be 3.3 - A IS: Sta tistische Q ualitä tskont rolle Eine Unternehmung erhält monatlich 5.000 Mengeneinheiten eines Artikels, wobei sie Lieferungen mit mehr als 2,5 % Ausschuss nicht annimmt. Sie sind damit beauftragt, alternat ive Prüfpläne auf ihre Trennschärfe zu untersuchen, d.h. wie

148

3 Wahr.\'Cheinlichkeirsrechnu ng

scharf diese zwi schen "gute r" und "schlechter" Lieferu ng trennen können. Für die Stichpr obe numfange n (60, 120, 180) gelten die Annah mezahlen c (2, 4, 6), d.h. z. B., bei einer Stichprobe von 120 Artikeln werden maximal 4 feh lerha fte Art ikel ge dul det. Als A usschu sssätze sind 1, 2, 3, 4 und 5 % zu verv....enden . Ermitteln Sie

die Anuahmewehrschei nlichkeiren für alle möglichen Kombinationen aus Stichprobenumfang und Ausschusssatz! Analys ieren Sie Ihre Ergebni sse! Lösu ng 3.3 - A lS : Statistische Qua litiitskontrolle Schritt 1: X = An zahl der fehlerhaften Art ikel Schritt 2: Hypergeometrische Vert eil ung Schritt 3: Funktionalparameter : N = 5.000; M = 50 ( 100, 150,200,25 0); n = 60 ( 120, 180) Schritt 4 : Appro ximation du rch die Pois son verteilung i) Z uIässigk ei t ge ge be n wegen : n "" 60 ( 120, 1SO) ~ 30; Ausschus ssä tze ::;: 0, I0 ; Auswah lsätze nIN < 0,05 . ii) Wahrscheinlichkeiten - Stic hprobenumfan g n "" 60: Ausschusssatz 1% : FH(215.000; 50; 60) = F p(2 10,60) = 0,976 9 Ausschusssatz 2% : FH (215.000 ; 100; 60 ) "" Fp (21 1,2) "" 0,8795 ; usw - St ichproben umfang n "" 120 : Ausschusssa tz 1% : F H (415.000 ; 50; 120 ) "" Fp (4 11,2) "" 0 ,99 23 Aus schusssalz 2%: FH (415.000 ; 100 ; 120) "" F p(412,4) = 0,904 1; usw. ~ Stichprobenumfang n = 160: A usschusssatz 1% : FH (615.000; 50; 180 ) "" Fp (6 1 1,8) = 0,9 974 ; usw Gesamt bersich t: An nahm ewahrscheinIichkei t ü

~

60

120

180

M/N

(2)

(4)

(6)

1% 2% 3%

0,9769 0,8795 0,7306

0,9923 0,9041 0,7064

0,9974 0,9267 0,7017

4%

0,5697 0.4232

0,476 3 0,285 1

0,4204 0,2068

5%

Die Wahrschei nlic hkeit , da ss ein e Liefenmg mit 2 % Aussc huss irrt üm lich abgelehn t wird, beträgt be i einer Stichprobe von 60 Artike ln 100 - 87 ,95 = 12,05 % , bei 180 Artikel 100 - 92 ,67 "" 7,33 % . Die Wa hrsc he inlichkei t, eine Lieferung mit

3. .j Stetige Verteilungen

149

3 % Aus schuss irrtümlicherweise anzun ehmen, beträ gt bei eine r Stichp rob e von 60 Artikeln 73,06 % , bei einer Stichprob e von 180 Art ikel 70,17 % . Die beiden Bei spiele zeigen, dass mit wach sendem Stichprobenumfang n die Risiken einer Fehlbeurteilung für Lieferant und Abnehmer kleiner werden.

3.4 Stetige Verteilungen Einer stetigen Verteilung liegt eine Zufallsvariable zugrunde, die in einem festgelegten Intervall j eden belieb igen Werte annehmen kann. Die folgend en Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen

- Nor malv er teilu ng bzw. Standurdnor mulvertcllu ng - Exp oncntlalverteilung - App roxim ationen Im Tab ellenanhang 3a und 3b (S. 2 18 - 220) ist für die Standardnonnalverte ilung die Verteilungsfunktion angegeben.

Aufga be 3.4 - A I: Expunentia lverteilung Ein Software-H ersteller hat für seine Kunden in Südde utschland die Hotline SO eingerichtet. An Werktag en rufe n zwischen 20.00 und 2 1.00 Uhr dur chschnittlich 5 Kunden an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zw ischen zwe i Anrufen höch sten s 6 ( 15) Minuten vergehen? Lös ung 3.4 - Al : Exponcntia lvcrtcilung Schritt 1: Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Zeitspanne (in Stunde n) zwischen zwe i Anrufen Schritt 2: Erkennen der Vertei lungsform Die Z ufallsvariable X ist exponcntialverteil t, da Folgendes anzun ehm en ist: - Stationarität: Innerhalb des n-ten Teils einer Stund e gehe n du rch schn ittlich 51n Anrufe ein - Nachwirk ungs freiheit. die Anzahl der Anru fe in einem Ze itsegme nt ist ohne Einflu ss auf die Anzahl der Anru fe in einem anderen Ze itseg ment - Ordi narität: Bei genügend feiner, gleichmäßiger Zeitseg mentierung geh t in einem Zeitsegment höchstens ein Anruf ein.

3 Wahrscheinlichkcitsrechmmg

150

Schritt 3: Feststelle n des Wert es des Funktio nalparameters Durchsch nittliche Anzahl der Anrufe in einer Stunde: 11 = 5 Schritt 4 : Berech nung der Wahrscheinlichkeiten Mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Expo nentialvert eilung

F( I)

E X J.t =

{O

fürx

----crx - ~

750- 753 ~ - 1 5 ' 2 ' ,

e) z = 754 - 753 = 0 5 2 '

b) z ~ 757 - 753 ~ 2 O· 2 ' , und

z ~ 752 - 753 ~ _ 0 5 2 '

Schritt 4: Nachschlagen der Wahrsc heinlic hkeifen a) FN (750I753; 2) ~ FSN(- 1,510; I) ~ 0,0668 (Tabelle Ja ) Die Wahrschein lichkeit, dass in einem Bocksbeutel die Soll-Füllmenge unterschritten wird, beträgt 6,68 %. b) I - F N (757j 753; 2) ~ I -F SN(210; I) ~ 1 - 0,9772 ~ 0,0228 (Tab. J a) Die Wa hrscheinlichkeit, dass in einem Bocksbeutel die Füllmenge 757 ml überschritten wird, beträgt 2,28 % . c) Die Soll-Füllmenge 753 ml liegt zentral im vorgegeben Intervall [752 ; 754]. Die z-Werte unterscheiden sich dann nur durch das Vorzeichen I-0,5; +0,5]. Die Wahrscheinlichkeit für dieses "zentrale Intervall" FN (754175J ; 2) - FN(7521753; 2) ~ FSN( 0,510; I) - F SN( -O,5j 0; I) kann in der für diese Fälle gesc haffenen Tabelle 3b nachgesch lagen we rden: F SN (0,5j 0; I) ~ 0,3829

(anstatt: 0,69 15 - 0,3085; Tabelle 3a)

Die Wahrschein lichkeit, dass in eine m Bocksbeutel die Füllmenge zwischen 752 und 754 ml liegt, beträgt 38,29 %.

Aufga be 3.4 - A2: Repruduktivität der Nor malverteilung Fortsetzung zu Aufgabe 3A-A I: Eine Kunde der Winzergenosse nsc haft kauft drei Bocksbeutel "Wipfeld er Zehnrgraf". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge der drei Flaschen die Soll-Fü llmenge von 2.250 ml (3 . 750) unterschreitet?

3 Wahrscheinlichkeilsrechnung

152

Lösung 3.4 - A2: Reproduktlvlt ät der Nor ma lver teilung

Schritt 1: Definit ion der Zufallsvariablen X Z ufallsvariable X == Füllmenge der drei Bocksbeutel Z ufall sva riable X i = Füllmenge des Bocksbeutel s Ne i (i = 1, 2, 3)

X =X\ + X Z + X 3 Schritt 2: Feststellen der Funktionalparameter von X i - durchschnittliche Füllmenge: ft j = 753 (i = 1, 2, 3) - Standardabweichung: O'j = 2 (i = 1, 2, 3) Sc hr itt 3: Feststel len der Funktionalparameter von X M it Hil fe der Reproduktivität seigenschaft der Norm alve rt eilu ng kön nen die Funktionalpara me ter der Z ufallsvariablen X er mittelt werden. Ohne d iese Eige n-

schaft wäre die Wahrscheinlichkeitsermittlun g nicht möglich, da für die drei Flasche n unendli ch viele Kom b ina tionen

VOll

Füllme nge n exi sti eren .

Reproduktivit ät der Norm a lve r te ilung S ind di e Z ufallsvariablen X I, X 2 , "" "' X n una bhän g ig lind norm alv erteilt mi t ~l ' ~ 2 , ..., J..l n und 0" 1,0" 2, ... v on , dan n ist die Z ufalls variab le X = X I + X 2 + ... + X n eb enfalls norm alve rteilt mit n n 2 ~ ~ L ~i und ,,2 ~ L "i i=1 i=1 Für das Beisp iel erg ibt sich dam it:

J..l

=

1.1.1 + J.l 2 + ll 3

0" 2 = 0" 2 + 0"2 + 0" 2 I 2 3

= =

3 · 753 = 2.259 m1 3·4

=

12 bzw. 0" = 3,464 1

Fehlerouetle (relativ häufig): Die Berechnung von 0" erfolgt mit 3 . O" i = 3 . 2 = 6 . Schritt 4 : z-Transformation

z ~ 2.250 - 2.25 9 ~ _ 2 60 3, 46 4 1

'

Sc hritt 5: Nac hsc hlage n der Wah rsch einlich keit F N (2. 25012.25 9; 3,464 1) ~ FSN (-2,6010; 1) ~ 0,0047 Die Wahrscheinl ich keit, dass die Füllmenge der dr ei Flasc he n d ie So ll-Füllmenge 2.25 01111 unter schreitet, beträgt 0,47 %.

3. -I St etige Ver/ei/llngen

153

Aufg abe 3.4 - A3: Sta ndard norma lverteilung 11 Fort setzung zu Aufgabe 3.4-A I: Die fränkische Winzergenossenschaft will err eiehen , dass die Wahrscheinlichk eit, dass in einem Bocksbeutel die Soll-Füllmenge von 750 ml unterschritten wird, nicht wie bisher 6,68 % (s.S. 151, A la ), se ndem maximal 3 % betra gt. a) A uf welche Füllmenge muss die Abfüllanlage eingestellt we rde n, wenn die Anlage weiterhin mit einer Ungenauigkeit von o = 2 ml arbeitet? b) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge vo n drei Bocksbeut el die Soll-Fü llmenge von 2.250 ml (3 . 750) Wein unterschreitet? Lösung 3.4 - A3 : Sta ndardnorma lvertei lung 11 a) Im Unte rschied zu den obigen Aufgaben ist die Wahrscheinlichkeit gegeben und der Funktionalparameter

~l .

die durchschnitt liche Abfüllmenge. gesucht.

Schritt I : Nachschlagen des z-Wertes In Tabelle 3a (5. 218 ) kann für die Wahrscheinlichkeit 0,03 der Welt z = - 1.88 nachgeschlagen werden. Schritt 2: Berechnu ng von 11 Mit Hilfe der Formel für die z-Transformation ergibt sich -1,88 =

75 ~- ~

-->

~ = 753,76

F SN( -1,88j 0; I)

• F N (750j 753, 76; 2)

Die Abfül lanlage ist auf die Füllmenge 753,76 ml einzustellen, wenn die Wa hrscheinlichkeit max imal 3 % betrage n soll, dass die Füllmenge eines Bocksbeut els die Soll-Füllmenge von 750 ml unterschreitet. b) Reproduktivität der Norma lverteil ung Die Schritte I bis 3 sind identisch mit denen aus Aufgabe 3.4-Al ., wobei Il jetzt 2.26 1,28 ml (3 '753,76) beträgt. Schritt 4 : z-Transfonnation z

= 2.250 - 2.26 1, 28 = 3 , 464 1

-3 2563 '

Schritt 5: Nachschlagen der Wahr scheinlichkeit FN(2.250j 2.261,28; 3,464 1) = FSN (-3,256310; I) = 0,0006 Die Wa hrschein lichkeit, dass die Füllmenge der drei Flaschen die Soll-F üllmenge 2.250 ml unterschreitet, beträ gt zirka 0,06 % .

3 Wahrschein/ichkeilsrechmmg

154 Aufgabe 3.4 - A4 : Ap proxima tion I

Eine Klau sur besteht aus 48 Multiple-ch oice-Aufgab en. Für j ede Aufgabe sind 4 Antworten vorgegeben, von denen jewe ils genau eine richtig ist. Die Klausur ist bestande n, wen n mindesten s 18 Aufgaben richt ig gelöst wo rden sind. - Wie groß ist die Wahrsch einlic hkeit , da ss die Klausur durc h rein zufälliges Ankre uzen der Antworten bestanden wird? Lösung 3.4 - A4: A p proxima tion I

Schritt 1: Definition der Zu fallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der richtig gelösten Aufgaben

Fehlerquelle (häufig) : Die Zufallsvaria ble wird fehlerhafte n ....eise zahlenmäßig festgelegt (z.8. X ;::: 18). Der Zufallsvariablen dürfen jedoch im Rahmen der Definit ion keine Realisationen zugeordnet wer den. Schritt 2: Erkennen der Verteilungsform Die Zufallsvariable X ist binomi alverteilt, da - 48 -mal eine von vier Antworten angekreuzt wird ~ eine Antwort richtig oder falsch angekreuzt w ird - die Wah rsche inlichkeit für eine richt ige Antwort stets 25 % beträgt.

Fehlerquelle (hä ufig): Verwechslung mit der hypergeometrischen Verteil ung (mit N = 192; M = 48 und n = 48) . Dazu müssten, lind das würde keinen S innmachen, 192 Einzelaufgab en vorl iegen , von denen 48 richtig und 144 falsch sind. Schritt 3: Feststellun g der Funktion alparameter

n =48 ; 0 = 0,25 Die Berechnun g der Wahrsc heinlichkeit FB (X ;' 18148; 0,25) =

~

a=18

( 48 ) , 0,25 ' , 0,75 48-, a

ist offensichtlich sehr aufwändig. Schritt 4 : Zul ässigkelt sprüfung der Normalverteilung Die Approximation der Binomialverteilung durc h die Nonn alverteilung ist vertretbar, da die entsprechenden Approximationsbe ding ungen erfüllt sind.

i) n . 0 . ( I - 0 ) ;, 9 (a uch: n ;, 30)

48 ·0 , 25 · 0, 75 = 9 ;, 9

ii) 0, I < 0 < 0,9

0, 1 < 0,25 < 0,9

3. .J Stetige Verteilungen

155

Schritt 5: Feststellung der Funktionalparameter der Normalvert eilung ~

= n -O

~

=

48-0,25

=

12

jn -0

o

=

o

= j 48 - 0, 25 - 0, 75 =

- (I - 0 )

,f9

=3

Der Wert f.l = 12 bedeutet, dass bei zufälligem Ankreuzen der Antworten durchschnittlich 12 richtige Antworte n zu erwarten sind.

Fehlerquelle (relativ oft): Bei der Berechnu ng von o wird vergessen, die Wurzel aus dem Produkt 9 zu ziehen. Schritt 6: Berechnun g der Wahrscheinlichkeit 1 - FB( 17148; 0,25) = 1 - FN( 17,5112; 3) = I - F SN(

17, 5- 12 3 = 1,8310; I) = 1- 0,9664 = 0,0336

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 48 Aufgaben durch rein zufälliges Ankreuze n mindestens 18 richtig gelöst werden, beträgt approximativ 3,36 %. - Die exakte, über die Binomialverteilung enn ittelte Wahrscheinlichkeit beträgt 3,74 %.

Feh lerqu ellen : Die Stetigkeitskorrektur wird vergessen. Fehlerhafte Bildung des Komplementärereignisses mit W(X ::; 18).

Au fgabe 304 - A5: Approxi mation IJ Ein Artikel wurde von 1.500 Kunden gekauft. 75 % der Kunden \varen mit dem Artikel sehr zufrieden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 120 zufällig ausgewählten Kunden das Befragungsergebnis uni höchstens 5 %-Punkte vom tatsächlichen Welt 75 % abweicht? Lösung 3.4 - A5: Approx imatio n 11 Schritt I: Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der sehr zufriedenen Kunden

Feh lerquelle (häufig): Die Z ufallsvariable wird fehlerhafterweise zahlenmäßig (z.B. 84 ::; X ::; 96) festgelegt. Der Zufallsvariablen dürfen jedoch im Rahmen der Definition keine Realisationen zugeordnet werden.

156

3 Wahrscheinlichkei fsrechnung

Schritt 2: Erkennen der Verteilu ngsform Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt, da • vo n den 1.500 Kun den 75 % sehr zufrieden sind, die restl ichen nich t - von den 1.500 Kun den 120 "ohne Zurücklegen" befragt werden.

Fehlerquelle (häufig) : Verw echslung mit der Binomial verteilung, Dazu müsste jedoc h bei jedem Kunden die Wa hrscheinlichkeit, sehr zufrie den zu se in, 75 % betr agen. - Hier ist die Meng e der Kund en j edoch von vornherein in zwe i Tei le ( 1125 : 375) zerlegt.

Schritt 3: Feststellen der Werte der Funktionalparameter - Anzahl der Kunden : N = 1.500 - Anzahl der sehr zufriedenen Kunden: M • Anzahl der befr agten Kunden : 11 = 120

=

1.125

Die Berechn ung der Wa hrscheinlichkeit

FH( 84 s X s 9611500; 1125; 120) =

96 ( 11: 5). (

L

. =84

12~7~ a )

( 1500 ) 120

ist offe nsichtlich se hr aufw änd ig. Schritt 4: Zuläss igkeitspriifung der No nn aiverte ilung Die Appro ximation der hypergeom etrischen Vert eil ung durch die No rmalve rtellung ist vertr etbar , da die entsprechenden App roximationsbe ding unge n erfüll t sind.

i) n

~

n =120 2:::30

30

ii) 0, I < ~ < 0,9

0,1 < 0,75 < 0,9

...)

120 · 0, 75 . 0,25 = 22,5

l1l

M

M

n . N . (1 - N ) 2::: 9

~

9

Schritt 5: Feststellung der Funkt ionalparameter de r Normalvert eil ung

~ = 120 . 11 25 = 90 ; 1500

cr

=

cr

=

Jn · -M. (I - -M ). N -n N

N

N- I

1125 375 1380 120 · 1500 · 1500 · 1499 = 4,5512

3. .J.

Sisus:

157

Verteilungen

Der Wert I.l. = 90 besagt, dass bei 120 befragten Kunden durchschnittl ich mit 90 sehr zufriedenen Kunden zu rechnen ist. Schritt 6: Berech nung der Wahrscheinlichkeit FH (84

sXs

961 1500; 11 25; 120) " FN(83,5 s X

* 96, 5 -90 " FSN( 4, 55 12 " 1,4310; I) " 0,8473

~ 9 6, 5 1

90; 4,5512)

(s. Tab. 3b, S. 220)

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Befragungsergebn is in der Stichprobe um höchstens 5 o/o-Punkte vom Ergebni s der Grundgesamtheit 75 % abweicht, d.h. zwischen 70 und 80 % liegt, beträgt approximativ 84,73 %. - Die exakte, über die hypergeometrische Verte ilung ermittelte Wahrsc heinlichkeit beträgt 84,75 %.

Aufga be 3.4 - A6: Approxi mation 11 1 In einem Elektronik-Versandhaus treffen zwischen 10.00 und 11.00 Uhr durchschnittlich 90 telefonische Bestellungen ein. a) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, dass mindestens 100 Bestellungen zwischen 10.00 und 11.00 Uhr eingehen? b) Wie viele Personen sind für die Entgegennahme der Bestellungen erforderlich, wenn eine Person pro Stunde 12 Bestellungen entgegennehmen kann und es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % innerhalb einer Stunde nicht zu einer Überlastung kommen soll? Lösung 3.4 - A6: Approxima tion 111 a) Schritt 1: Definit ion der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der eingehen den Anrufe Schritt 2: Erkennen der Verteil ungsform Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt, da Folgendes anzunehmen ist - Stationarität: Innerhalb des n-ten Tei ls der Stunde gehen durchschnittlich 90/n Anrufe ei n (z.B. zwischen 10.00 und 10 .10 Uhr 15 Anrufe). - Nac hwirkungsfreiheit: die Anzahl der Anrufe in einem Zei tseg ment ist ohne Einfl uss auf die Anzahl der Anrufe in e inem anderen Zeitsegment. - Ordinarität: Bei genügend feiner, gleichmäßiger Ze itsegmentierung geht in einem Ze itsegment höchstens ein Anruf ein. Schr itt 3: Feststellen des Wert es des Funktionalparameters Anzahl der durchschnittlichen Anrufe: I.l. = 90

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

158 Die Berech nung der Wahrs chein lichkeit

I - F p(99190) = I - e

. ~ ""' -90' a=O a!

-90

ist offensichtlich sehr aufwändig. Schritt 4; Z ulässigkeitsprüfung der Normalvert eil ung

Die Approximation der Poissonverteilu ng durch die Norm alvert eilu ng ist vertretbar, da die en tsprechende Approximationsbeding ung erfüllt ist. ~

= 90

~

9

Schritt 5: Feststellen der Funktionalparameter der Normalve rteil ung ~

u;

o

=

jI1

~ =

90;

o

=

J90

= 9,4868

Schritt 6: Berechnu ng der Wahrscheinlichkeit 1 - Fp(99190) = 1- FN(99, 5190; 9,4868) 99,5 -90 = 1- F SN ( 9, 4868 = 1,0010; I) = 1-0,84 13 = 0, 1587 Die Wahrsch einlichkeit, dass zwischen 10.00 und 11.00 Uhr mindesten s 100 Kund en anrufen, beträ gt approximativ 15,87 % . - Die exakte, über die Poissonverteilurig ermittelte Wahrscheinlichkeit beträgt 15,82 %. b) Die Wahrschein lichkeit 95 % ist gegeben; ges ucht ist die zugehörige Rea lisation x. Schritt l: Nachsc hlagen des z-Wertes In Tab ell e 3a (S. 2 19) kann für die Wahrscheinlichkeit 0,95 der Wert z näheru ngsweise nachgeschlagen werden.

>

1,64 5

Schritt 2: Berechnung von x Mit Hilfe der Form el für die z-Tra nsformation ergibt sich

x - 90 1,645 = 9 4868 --> x = 105,61 ,

F SN ( I,64510; I)

• FN( 105,6 1190; 9,4868)

Es müssen 105,6 1 12 =: 8,809 bzw . 9 Personen einges tellt werden, wenn mit einer Wahrsch einlichkeit von mindestens 95 % kei ne Überlastung eintreten soll.

159

3..1 Stetige Verteillingen Aufgabe 3.4 - A 7: Ele k t r ik e r I

Ein Betr ieb selektriker muss an seinem 8-St unden-Arbeitstag u.a . durchschni ttlich vier St örfälle an elektrischen Anlagen beh eben. Wie gro ß ist die Wa hrschein lichkeit , dass der Elektrik er sich nicht sofort der Behebung des nächsten Störfalles annehmen kann, wenn er soeben zu einem Störfa ll gerufen w urde, dessen Behebung 96 Minuten er ford ert ? Lösung 3 .4 - A 7: Elekt riker I Schritt I : X

=

Zeitspanne zwischen zwei Störfälle n

Schr itt 2: Expo nentia lve rte ilung Schritt 3: Funktionalparameter: IJ. = 4 [in 8 Stunden}

Schritt 4 : x ~961(8'60) ~0, 2; FE (0,214 ) ~ l _ e-4·0,2 ~ 0,5507

Aufga be 3.4 - AB: Elektriker 11 Der Betr iebselektr iker benöti gt für die Behebu ng eines Störfalles durchschn ittlich 60 Minuten. Die Zeitspann e für die Behebung eines Störfalles se i exponentialverteilt. Wie groß ist die Wa hrs chein lichkeit , dass die Behebu ng eines Störfalles höch stens 4 5 Minuten dauert ? Lösung 3.4 - A8 : Elektr ike r 11 Schritt I: X = Dauer für die Behebung eines Störfalles Schr itt 2: Expo nentialve rteil ung Schri tt 3: Funktionalp arameter. I.t = 1 [in 1 Stunde] Schritt 4: x = 45/60 = 0,75; F E (0,75 1 1) = 1 _ e- 1·O,75

=

0,52 76

A u fg a be 3.4 - A9: Fachz eitsch r ift Die Nac hfrage nach einer Fachzeitschrift se i norma lverteil t mit dur ch schnittlich 2.000 Exemp lare n und einer Sta ndardabw eichung von 40 Exemplaren. a) Wie groß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass die Nachfrage vo llständig gedec kt werden kann, wenn 2.100 Exemplare gedruckt werden? b) Wi e groß ist die Wah rschein lichkeit, da ss mindestens \. 940 Exemp lar e nac hgefragt werden? c) W ie groß ist die Wahrscheinli chkeit, dass zwischen 1950 und 20 50 Exemp lar e nachgefragt werden? d) W ie viele Exemplare müssen gedru ckt werden, dam it die ges amte Nac h frage mit einer Wah rscheinlich keit VOll 97,5 % gedec kt werden kann?

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

160 Lösung 3.4 - A9: Fachzeitschrift

Schritt I : Zufallsvariable X = Anzahl der nachgefragten Fachzeitschriften Schritt 2: Funktion alparameter : jl = 2.000 ; o > 40 Schritte 3 und 4 : z-Transformation und Nachschlagen der Wahrscheinlichkeifen

a) z = 21005'40 2000

=

ickei 'k.rere Grroöße) 2,5 1; 99,40 % (Stetig ettskorrekt UT, d a Xd 15 e

b) z = 1939,540 2000 = _1 "5 1' c) z =

2050,~~2000

1 - F SN (-1, 51) =9345 %0 ,

= 1,26; 79,23 %

(siehe Tabelle 3b)

d) Schritt 3: z-Wert nachschlagen für die Wahrscheinlichkeit 0,975 F(z = 1,96) = 0,975 Schritt 4: "z-Transfonnation" 1,96 =

(X+O,~~2000

-t

x = 2.077,9 bzw. 2.078 Fachzeitsch riften

Aufgabe 3.4 - A IO: Bearb eitun gsdauer Ein Auftrag wird in einem zweistufigen Prozess hergestellt . Die Bearbeitungsdauer auf der ersten Produktionstufe ist nonna iverteilt mit durch schnittlich 120 Minuten bei einer Stan dar dabwe ichung von 5 Minuten. Die Bea rbe itungsdauer auf der zwe iten Produktionstufe ist ebenfalls normalverteilt mit durch schnittlich 240 Minuten bei einer Standarda bweichung von 15 Min uten. - Wi e groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Bearbeitungsdau er a) höchsten s 380 Minuten b) zwi sch en 340 und 370 Minuten dauert? Lös ung 3.4 - A l 0: Bearbei tungsda ue r Schritt I : Zufallsvariable X = Gesamtb earbeitungsdaue r Schritt 2: Funktion alparameter. 11 = 120 + 240 = 360; 0" = J 25 + 225 = 15,8 1 Schritt e 3 und 4 : z-Tran sfc rmation und Nachschlagen der Wah rsch einl ichkeiten

a) z = 380 360 = I 27 - W(X < 380) = 0 8980 bzw 89,80 % 15, 8 1 " , . b)

zu =34~5-:160 = _ 1 ,27; W(X ~ 340) = O,1020 ,

ZO

= 370 360 = 0 63' W(X < 370) = 0 7357 15, 81 " ,

W(340

sXs

370) = 0,7357 - 0,1020 = 0,6337 bzw. 63,37 %

161

3.-1 :,,'Ietige Ver lei /lIngen

Aufga be 3.4 ~ A l l : Konkursmasse Fortführung der Aufgabe 3.3-A6 (5. 138): Aus der Konkursmasse einer Porzellanfabrik wird u.a. ein Posten aus 800 Tellern preisgünstig angeboten. 70 % der Teller sind angeblich 1. Wahl und die restlichen 30 % 11. Wahl. Ein Interessent will den Posten erwerben, wenn von 50 Tellem , die er zufällig und ohne Z urücklegen aus dem Posten entnehmen darf, mindestens 35 Teller (= 70 %) I. Wahl sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Interessent den Posten erwirbt, obwohl von den 800 Tellern tatsächlich nur 60 % I. Wahl sind? Verg leichen Sie das Ergebni s mit dem aus Aufgabe 3.3-A6 (S. 139)1 Lösung 3.4 - A lt : Konkurs mas se Der Interessent kauft die 800 Teller, von denen 480 I. Wahl und 320 11 . Wahl sind, wenn er in einer Stichprobe von 50 Tellern mindestens 35 Te ller I. Wahl findet bzw. höchstens 15 Teller 11. Wahl findet. Schritt I: Zufallsvariable X = Anzahl der Teller 11. Wahl Schritt 2: hypergeometrische Verteilung Schritt 3: Funktional parameter. N = 800; M = 320; n = 50 Schritt 4 : Zulässigkeit der Normalverteilung als Approximationsverteilu ng i )50 ~ 30 ;

ii)O, I < 0,60 < 0,9;

i i i) 50 · 0, 6 · 0, 4 ~

12

~

9

Schritt 5: Funktionalparameter der Normalverteilung

" ~ 50 . 320 ~ 20 ' 800 '

~

cr

~

320 480 750 50 . 800 . 800 . 799 ~ 3,3562

Schritt 6: Berechnu ng der Wahrscheinlichkeit (approximativ)

FH (151800; 320; 50) .

F N (1 5 , 5 1 2 0 ; 3 , 3 5 6 2 ) ~ F S N ( - 1 ,3 4 1 0 ; 1 ) ~ 0, 0 901

Die Wahrscheinlichkeit eines "irrtümlichen" Kaufs sinkt aufgrund der größeren Stichprobe von approximativ 38,23 % (s.S. 139) auf approximativ 9,0 I %.

Aufga be 3.4 - A12: Hobb ywinzer Hobbywinzer ürtega hat auf seinem Hanggrundstück 40 Rebstöcke. Er möchte seinen Weingarten um 60 Rebstöcke erweitern. Er hat sich für die vegetative Vermehrung durch Stecklinge entschieden. Aus Erfahru ng weiß er, dass es bei einem Steckling mit 80 % Wahrscheinlichkeit zur erwünschten Wurzelbi ldung kommt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ürtega seinen Rebstockbestand um 60 Rebstöcke erweit ern kann, wenn er 75 Stecklinge setzt?

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

162

b) Wie gro ß ist die Wahrsch einlichkeit, dass Ort ega se inen Reb stockbestand um 60 Rebstöcke erw eitern kann, wenn er 80 Stecklinge setzt?

Lösu ng 3.4 - A 12: Hobbywinzer Schritt I : Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4:

i)

Zufallsvariable X "" Anzahl der Stecklinge mit Wurzelbildung Binom ialvert eilung Funktionalparamerer: n = 75 ( b: 80); e = 0,80 Zul ässigkeif der Norm alvert eil ung als App roximation sverteilung

7 5 ·0 ,80 ·0,20 ~12 ~9

(b: 12,8);

ii) 0, 1 < 0,8 < 0,9

Schritt 5: Fun ktionalparameter der Non nalverte iJung

~ ~ 75 ·0, 8 ~ 60 ; " ~ j 75· 0, 8 .0,2 ~ 3,464 1

( b:64; 3,5777)

Schritt 6: Berech nung der Wah rscheinlichkeit (approx imativ)

a)

1 - FB(59175; 0,8) = 1 - FN(59,5160; 3,464 1) = 1 - F SN = (-0, 1410; I) =

b)

1 - 0,4443

=

0,5557 bzw. 55,57 %

1 - FB(59180; 0,8) = 1 - FN(59,5164; 3,5777) = 1 - FSN(- 1,26 10; I) =

1 - 0, 1038

=

0,8962 bzw. 89,62 %

Aufgabe 3.4 - A13: Eilbestellung Bei einem Versandhandel treffen dur chschnittlich 184 Eilbestellung en pro Tag ein. 200 Eilbestellun gen könn en am Tag des Auftragse ingangs au sgel iefert werden. Der Ver sand han del wi rbt damit, dass mit einer Wa hrscheinlich keit von mindeste ns 95 % alle Eilbestellungen noch am se iben Tag ausgeliefert werde n. Kann der Werbung des Vere ndha ndels vertraut werden? Wie ist die Auss age gegebenen falls zu korrigi eren?

Lösung 3.4 - A13: Eilbes tellung Schritt I : Zufallsvariable X = Anza hl der Eilbes tellungen Schritt 2: Poissonverteilung Schritt 3: Funktionalpara meter: ~l = 184 Schri tt 4: Zuläs sigke lt der Norm alvert eilun g als Approxim ationsvert eil ung ~ =1 8 4 ~ 9

Schri tt 5: Fun ktio nalparameter der Normalve rt eil ung

~ = ~ = 184;

o

>

1\84

~ 13,5647

3../ ,,"eNge VerTeilungen

163

Schritt 6: Berechnung der Wahrschein lichkeit (approxi mativ)

Fp(2001184) = FN(200, 5 1184; 13,5647) = F SN ( I,22 [0; I) = 0,8888 Die Wa hrscheinlichkeit ist von 95 % auf88,88 % herabzusetzen.

Aufga be 3.4 - A 14: Lad enöffnun gszeit Von den 300 Einzelhändlern in ein er Stadt sind 100 für und 200 gegen eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit. Im Rahmen einer Umfrage werden 60 zufällig ausgewählte Einzel händler nach ihrer Meinung befragt. a) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, da ss sich, wie in der Grundgesamtheit. ein Drittel der befragten Einzelhändler für eine Verlä nger ung der Ladenöffnungszeit ausspricht? b) Wie gro ß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens die Hälfte der befragten Händler für eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit ausspri cht? Analysieren Sie den Unterschied gegenüber der Aufgabe 3.3-A2 (s.S. 130)! c) Wie viele Einzelhändler sind in der Umfrage zu erwarten, die sich für eine Verlängerung der Laden öffnungszeit aussprechen? Lösun g 3.4 - A 14: Lad cn iiffnun gszeit Schritt I : Zufallsvariable X = Anzahl der Einzelhändler, die sich für eine Verlän gerung der Ladenöffnungszeit aussprech en Schritt 2; hype rgeom etrische Verteilung Schritt 3 : Funktionalp arameter; N = 300; M = 100; n = 60 Schritt 4; Zul ässigkeit der Nonnaiverteilung als Approximationsverteilung

i) 50 '" 30; ii) 0, 1 < 0,33 < 0,9; iii) 60 , i~~

,;~~

= 13,33 '" 9

Schritt 5: Funktionalparameter der Normalverteilung " = r-

60. 100 300

=

20' '

Schritt 6; Berechnung der Wahrscheinlichkeit (approx imativ) a) [11 (201300; 100; 60) = F N ( 19,5

=

F;N(O, 1510; I)

=

~

X s 20, 5 120; 3,27 14)

0,1 192 bzw. 11,92 %

b) FH(X'" 301300; 100; 60)

=

FN(X '" 29,5120; 3,27 14)

= 1 - FN(29,5120; 3,27 14) = 1 - FSN( 2,90 [ 0; I) = 1 - 0,998 1 = 0,00 19 bzw. 0, 19 %

164

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Risiko des fehler haften Rückschlusses, dass bei der Befragung mindestens 50 % für eine Verlängerung der Ö ffnungszeiten sind, obwo hl nur ein Drittel aller Einzelhändler für eine Verlängerung ist, nimmt mit größerem absolut en Stichprobenumfang deutli ch ab, es sinkt von 30,64 % (5.5. 131) auf 0, 19 % .

c) ~ ~ 20 In der Umfrage sind durchschnittlich 20 Einzelhändler zu erwarten, die sich für

eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit aussprechen.

4. / Schatzvertahren

165

4 Schließende Statistik Mit Hilfe der schließenden Statistik (auch: induktive, beurteilende, analytische, inferentielle Statistik) werden Aussagen über die Grundgesamtheit getroffen , ohne dass alle Elemente dieser Gesamtheit untersucht bzw. erhoben worden sind. Die Aussagen stützen sich auf Informationen, die nur für einen Teil der Elemente (Stichprobe) vorliegen. Auf dieser Basis sind Aussagen über unbekannte Parameter der übergeordneten Grundgesamtheit zu treffen oder es sind Vermutungen über Parameter oder über die Verteilungsform der Grundgesamtheit zu überprüfen. - In diesem Kapitel werden Aufgaben zu den Themenbereichen Schätzverfahren und Testverfahren gestellt.

4.1 Schätzverfahren Schätzverfahren haben die Aufgabe, den oder die unbekannten Parameter der Verteilung eines Merkmals anhand der Daten einer Stichprobe zu schätzen. Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen -

Konfidenzint erv all für das a rit hmetische Mittel Konfidenzint ervall für de n Anteil swer t Konfidenzintervall für die Varia nz Ermittlu ng des notwendi gen Stichp roben umfa ngs

A u fga be 4. 1 - A I: Ko nfi de nz in terva ll fü r das arithm etisch e Mlttcl J.1 (I) Die Molkerei Alpmilch liefeil an eine Lebensmittelkette werktäglich 40.000 Flaschen Milch mit einer Soll-Füllmenge von je 1.000 ml. Der letzten Lieferung wurden 25 Flaschen entnommen; in dieser Stichprobe betrug die durchschnittliche Füllmenge 1000,55 m!. Aufgrund zahlreicher Kontrollen weiß man, dass die Ist-Füllmenge normalverteilt ist mit einer Streuung von o :;:: 1,2 ml. a) Erstellen Sie das zentrale 95 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Füllmenge J.l der 40.000 Flaschen! b) Erstellen Sie das zentrale 99 o/o-Konfidenzintervall für u! c) Erstellen Sie das zentrale 95 %-Konfidenzintervall für J.l für den Fall, dass der Stichprobenumfang n 36 Flaschen umfasst!

166

~

Schließende Statistik

d) Erstellen Sie das n ach unten begrenzte 95 % -Konfidenz intervall fUT ).!. e) Ermitteln Sie die Konfidenz für das mit 1.000 ml nach unten beg re nzte Inter-

vall HiT }.t ! f) En n ittc ln Sie die Konfidenz für das mit 1.000 ml nach oben begrenzte Intervall für u ! g) Ermitteln Sie die Konfidenz ruf das mit 1.000 ml nach unten beg re nzte Intervall für Il für den Fall, dass die durchschn ittliche Füllmenge in der Stichprobe nur 999,88 ml betr agen hat! Lös ung 4.1 - A l : Konfid enzinte rvall

ruf das arithmetische ;\l itte l ll (I>

a) ze ntrales 95 %-Konfide nzin tclvall Schr itt I : Fes tste llung der Verteilu ngsform von X ist nonn alverteilt } Va ria nz 0 2 bekan nt

~

X

( 5. Anha ng, Tab. 6)

- 1 -1 X Ist nonn a verter t

Schritt 2: Fes tstellung der Standarda bwe ichung von X (s . Anha ng, Tab. 6) 2 Varianz 0 ist bekannt } => Stichpro be ohne Zurück lege n Auswahlsatz 0 ,000625 < 0,05 Schri tt 3: Ermi ttlung von z Für 1- 0: = 0,95 ist z = 1,96

(s.Anhang, Tab. 3b )

Fehlerquelle: Der z-Wert wird fehler hafterw eise in Tabelle 3a mit 1,65 (einse itiges Intervall ) nachgesch lagen. Schritt 4: Berechnu ng des maximalen Schätz fehlers z ' 05( = 1,96 · 0, 24 = 0,47 Schr itt 5: Berechnung der Ko nfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,47 W( 1.000,08

s~s

~ ~ ~

1.000,55 + 0,47) = 0,95

1.001 ,02) = 0,95

Die durchschnittli ch e Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wa hrsc heinlichk eit von 95 % vom Intervall [ 1.000,08 ml; 1.00 1,02 ml ] überdeckt.

167

4.1 Schatzvertahren b) zentrales 99 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a) Schritt 3: Ennittlung von z Für I - o: = 0,99 ist z = 2,58

(s. Anhang, Tab. 3b)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

z . cr -X = 2' 58 ' 0, 24 = 0,62 Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,62 $ W( 99 9, 93 S ~ S

~ $

1.000,55 + 0,62) = 0,99

1.00 1, 17) = 0,99

Die durchschnittliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % vom Intervall [999,93 ml; 1.00 1,17 ml] überdeckt. c) zentrales 95 %-Konfidenzintervall bei n = 36 Schritte I bis 3: wie unter Aufgabe a). In Schritt 2 ist lediglich der Stichprobenumfang n = 25 gegen n = 36 auszutauschen.

cr -

X

= ...Q.... =

,fll

Q

136

=

02

'

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

z . cr -X = 1,96 ' 0, 2 = 0, 39 Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,39 s W( 1. 000, 1 6 S~ S

~

s

1.000,55 + 0,39) = 0,95

1.000,94) = 0,95

Die durchschn ittliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [ 1.000, 16 ml; 1.000,94 m1] überdeckt. - Aufgrund der Erhöhung des Stichprobenumfangs von 25 auf 36 hat sich der maximale Schätzfehler von 0,47 ml (Aufgabe a) aufO,39 ml reduziert . d) das nach unten begrenzte 95 %-Konfidenzintervall Schritte 1 und 2: wie unter Aufgabe a).

168

.j

Schließende Statistik

Schritt 3: Enn ittlung von z Für I - u

=:

0,95 ist z = 1,65 (genauer: 1,645)

(5. Anhang, Tab. 3a)

Fehlerquelle: Der z-Wert wird fehl erhaft erw eise in Tabe lle 3b mit 1,96 (zentrales Intervall) nachgesch lagen. Schri tt 4: Berechnu ng des maximalen Schätzfehlers

z . (1 -X = I ,65 . 0 , 24

=

0 ,40

Schritt 5: Berechnung der unteren Konfidenzgrenze (Mindestinhalt) W( 1.000,55 - 0,40 W( 1.000, 15

$ ~) =

$ ~) =

0,95

0,95

Die durchschni ttliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wi rd mit einer W ahrsche inlichkeit von 95 % vom Intervall [ 1.000, 15 ml. ; 0 ml] überdeckt. e) Konfidenz für da s mit 1.000 ml nach unten begrenzte Interva ll Schritt I : Erstellung des Konfidenzintervalls (Ansatz) W(1.000,55 - z · 0 j( = 1.000

$ ~)

= 1-

C(

Fehlerquelle (relativ häu fig): Fehle rha fterwe ise wird "u S 1.000 = 1.000,55 ~ z· O'x: " angesetzt. Schritt 2; Berechnung des maximalen SchätzfehJers 1.000,55 - z . 0 j( = 1.000

z · a-X = + 0 ' 55 ml Schritt 3: Ermittlun g der Konfidenz I - a

z · ~ =0 55 !25 ' z = 2,29

~

I

~

a

= 0,9890

(s. Anhang, T ab. 3a)

Die d urchschn ittliche Füllm enge der 40 .000 Flasc hen wird mit einer Wa hrscheinlichke it von 98,90 % vom Intervall [1.000 ml; 0 1111 ] überdeck t.

4./ Schatzvertahrcn

169

f) Konfidenz für das mit 1.000 ml nach oben begre nzte Interva ll Das Ergebnis ist da s Komp lement zum Ergebnis au s Aufgabe e) und beträgt daher I - 0,9890 =:= 0,0 110. Da dieser Aufgabenty p den Studierenden relativ häufig Sch wierigke iten bereitet, wird die ausfuhrl iehe Lösun g dargestellt. Schritt 1: Erstellu ng des Konfid enzintervalls (Ans atz) W(I-l::;; 1.000

=:=

1.000,55 + z · 0 :x)

=:=

1- c

Schritt 2: Berechn ung des maximalen Schätzfehlers 1.000 = 1.000,55 + z . Cl

°

X

z . 0 -X =:= - ' 55 ml Schritt 3: Ermittlung der Konfid enz 1 - a

z ·Q ,f25

= - 055

z = - 2,29

,

1 - o:

-7

=:=

0,0 110

(s. Anhang, Tab. 3a)

Die durchsch nittliche Füllmenge der 40.000 Flasch en wird mit einer Wah rschein lichkeit von I, I % vom Intervall [0 ml; 1.000 ml] üb erde ckt. g) Konfidenz für das mit 1.000 ml nach unten begrenzte Intervall ; x = 99 9,88 ml Sch ritt I : Erstellu ng des Konfidenzinterva lls (Ansatz) W(999 ,88 - z : Cl

X

= 1.000 ~ ~) = 1 -

a

Schritt 2: Berechnung des maxim alen Sch ätzfehle rs 999,88 - z · " X

°

=

1.000

z · (}"-X = - ' 12 ml

Schritt 3: Ermittlung der Konfid enz 1 - 0:

z · Q = - 0 12

,f25

z = - 0,5

,

-7

1 - c = 0,3085

(s. Anhang, T ab. 3a)

Die d urchschnittliche Füllmenge der 40.000 Flasche n wird mit einer Wahrscheinlichke it von 30 ,85 % vom Intervall [1.000 ml; 00 ] überdeckt.

.f Sehttelsende Statistik

170

Aufgabe 4. 1 - A 2: Notwe ndiger Stichprobe numfa ng Fortsetz ung zu Aufgabe 4. 1-A 1: Wie viele Flasc hen Milch m üssen der Liefe rung

entnommen und geprüft werden, wenn a) das zentra le 95 o/o-Ko nfidenz intervall für J1 e ine Genaui gkeit von e = 0,25 ml aufweisen soll, b) die Lebensmittelkette sich mit einer Wahrschein lichkeit von 99,5 % sicher sein möc hte , dass d ie Soll-Füllmenge in der Grun dgesamthe it nicht unterschritten wird. Lösung 4.1 - A2: Notw endiger Stic hp roben um fang a) Aus Aufgabe 4.I-A 1a) sind bekannt: N = 40.000, a = 1,2, z = 1,96. Die Ge nau igkeit e ist mit 0,25 ml vorgegeben.

z2 ·N · cr2 = 1, 96 2 . 40 .000 ,1 , 2 2 = 88,3 1 - cl . (N- I) + z 2 .(J2 0, 25 2 · 39 .999 + 1, 96 2 . 1, 2 2

n>

Es sind mindestens 89 Flaschen Milch zu entnehmen und zu prüfen. Ode r unter Vernachlässigung der Endlichkeit skorrektur: 2 2 n : --;;:---''----'-'---'--;!-'---'--'-- e 2 . (N - I) + z2 . P . (I - P)

>

nc

2 1, 96 ' 5.200' 0, 6' 0, 4 ~ 4 794,32 ~ 1598 1 2 2 . . 00 ., 0,02 · 5. 199 + 1,96 ·0,6 · 0, 4 "

Um die Genaui gkeit von 2 %-Punkten zu erreichen, müssten 1.599 Studiere nde befragt werden. f) zentrales 95 %-Konfidenz intervall für den f all n = 600 Schritt I : Feststellung der Verteil ungsform von P

n - p . (I - P) ~ 600 · 360 . 240 ~ 144 > 9 600 600 P ist dah er appro ximativ normalverteilt.

(s. Anhang, Ta b. 7)

-1.1 Schälzverfahren

177

Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P

(s. Anhang, Tab. 7)

V~ri anz von e unbe~annt }. ~ Stichprobe ohne Zurücklegen O" p = V~ . mit Auswahlsatz ~ 0,05 O'p =

Jl-

0,6 -0 , 4 600 -1

,lI - ~

600 = 0 0 188 5200 '

Schritt 3: Ermittlung von z Für I - o: = 0,95

ist

z = 1,96

(s. Anhang, Tab. 3b)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers z · o-p = I,96 '0,0 188 =0,0368

bzw.

3,68%-Punkte

Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W(0,6000 - 0,0368 W(0,56 32 s 8

~

8

~

0,6000 + 0,0368) = 0,95

s 0,6368) = 0,95

Der Anteil der Studierenden, die erwerbstätig sind, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [56,32 %; 63,68 %] überdeckt. - Durch die Erhöhung des Stichprobenumfangs VO ll 200 auf 600 hat sich die Genaui gkeit der Aussage um mehr als 3 o/o-Punkte erhöht.

A ufga be 4. 1 - A5: Konfidenzintervall für die Va ria nz Auf einer Anlage wird Zucker in Tüten abgefüllt. Das Soll-Füllgewicht beträgt 1.000 g. Aufgrund zahlreicher Messreihen ist bekannt, dass die Füllmenge der Tüten normalvert eilt ist. Um die Anlage so einstellen zu können, dass höchstens 3 % der Tüten das Soll-Füllgewicht unterschreiten, muss die Ungenauigkeit der Anlage in Form der Varianz bekannt sein. - Aus der Tagesproduktion von 90.000 Zuckertüten wurden 25 Tüten zufällig entnommen und gewogen. Die Varianz s2 in dieser Stichprobe betrug 0,6 g. a) Erstellen Sie das zweiseitige 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 ! b) Ermitteln Sie das nach oben begrenzte 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 ! c) Ermitteln Sie das nach oben begrenzte 99 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 !

178

-I Schließende Statistik

Lösun g 4.1 - A5: Konfidenzi nt e rval l für di e Varia nz

a) zweise itiges 95 %-Kon fldenzintervall Das Kon fidenzintervall für die Varianz wird erstellt mit

(n - I) ·S2

w[ y wo bei

0.

1- - ken- I

~

o

2

S

2'

(n - I) . S2 ) yu. = I - Cl - k- n- l 2'

Y5! k=n- I un d y 1- 5! k-n- t die Symbo le für den c/z -Ouanu tswen bzw. 2'

2'

( I - a/2)-Quant ilswe rt der Chi-Quadrat-Verteilung bei n - 1 Fre iheitsgraden sind. Mit n = 25, 52 = 0,6 und Cl = 0,05 ergibt sich

W( (25 - 1) . 0,6 YO,975, 24

s

,,2

s (25 - 1) '0, 6 ) ~ 0 95 YO,025, 24

W(24 .0,6 < 2 < 24,0,6 ) 39, 364 1 - " - 12,40 11 W(O, 3658 s ,,2

°,95

(s . Anhang, Tab. 4)

'

s 1, 1611) = 0,95

Die Varianz der 90.000 Zuckert üten wird mit einer Wahrschein lichkeit von 95 % vom Intervall (0,3658; 1, 1611] überdeckt .

b) nach oben begrenztes 95 o/o-Konfidenzintervall Das nach oben begrenzte Konfidenzintervall für die Vari anz wird erstel lt mit

w (,,2

s

(n- I) . S2 ) = I." Ya , k-n-I

Mit n = 25, s2 = 0,6 und n = I - 0,95 = 0,05 ergibt sich

w(,,2 W(,,2

s s

(25 - 1) · 0, 6 YO,05, 24

- w ( 2 < 24 ,0, 6 ) a - 13, 8484 ) -

°95 ,

1,0398) = 0,95

Die Varianz der 90.000 Zuckertüten wird mit einer Wa hrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [0; 1,0398] über deckt. c) nach oben beg renztes 99 %-Konfidenzint erva ll Mit n = 25 , s2 = 0,6 und a = 1 - 0,99 = 0,01 ergibt sich

w(

,,2

s

(2;~,~;, ;46

) = \+ 2

s

~~: ~5~3 ) = 0,99

4./ Schatzvertanren W(,,2

s

179

1,3264) = 0,99

Die Varianz der 90 .000 Zuckertüten wird mit eine r Wa hrscheinl ichkeit von 99 % vom Intervall [0 ; 1,3264} überdeckt.

Aufga be 4. 1 - A6: Aufentha ltsda uer In einem Ferienort wurde eine Urlauber-Befragung durch geführt, um u.a. di e Aufenthaltsdauer der Urlaub er in Erfahrung zu bringen . Von den 4.300 Urlaubsgästen wurde n 250 befragt. Die durch schnittliche Aufenthaltsdauer betrug 12,4 Tage bei einer Standardabweich ung von 4,7 Tagen . a) Erste llen Sie das zentrale 90 % -Konfidenzinte rvall für die durchschn ittliche Aufenthaltsdauer u! b) Erstelle n Sie das zentrale 95 %·Xonfidenzintervall für ~l! c) Erstelle n Sie das nach unten begrenzte 99 %- Ko nfidenz inte rvall für 11. d) Ermi ttel n Sie d ie Konfid enz für das mit 12 Tagen nach unten begrenzte Intervall für IJ ! e) Ermitteln Sie die Konfidenz für das mit 13 Tagen nach oben begr enzte Intervall für u !

f) W ie viele Urlauber hätt en befragt werden müssen, wenn das ze ntrale 95

%~

Konfidenzinterva ll für 11 eine Genauigkeit von 0,25 Tagen hätte aufw eisen solle n?

Lösu ng 4. 1 - A6: Aufen tha ltsd a ue r a) zentrales 90 o/o-Konfi denzint erva ll Schritt I: Fe stste llun g der Vert eilu ngs form von

X

(s. Anhang, Tab . 6)

Ve rteilung von X unbekannt } => wege n n > 30 ist X Varianz 0'2 ist unbekannt app r. normalverteilt Schritt 2: Feststellun g der Standardabweichung von Varianz 0'2 ist unbekan nt } => o-5( Stichprobe ohn e Zurücklegen m it Auswahlsatz ;?: 5 %

. = 4,7 0'· X JzSO- I

=

X

~.

"J1 ~ I

(5. Anhang, Tab . 6)

j1 - ~

~5 1 - - 0- = 0 298· 0 97 1= 0 289 Tage 4.300

'

,

,

180

~

Schließende .\'tatislik

Schritt 3: Für l- a = 0,90 ist z = 1,65 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler.

z . o-5( = 1,65 . 0,289 = 0,48 Tage

Schritt 5: W(J2,4 - 0,48 5 u 5 12,4 + 0,48) = 0,90 W( I I,92 5

~

5 12,88) = 0,90

b) Zentrales 95 o/o-Konfidenzintervall Schritte 1 und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 - c = 0,95 ist z = 1,96 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. z - 0'5( = 1,96 . 0,289 = 0,57 Tage

Schritt 5: W( 12,4 - 0,57 5 W( I I,83 5

~

~

5 12,4 + 0,57) = 0,95

5 12,97) = 0,95

c) nach unten begrenztes 99 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 - a = 0,99 ist z = 2,33 Schritt 4: Maxima ler Schätzfehler: z· 0'5(

Schritt 5: W( 12,4 - 0,67

5 ~) =

=

2,33 . 0, 289 = 0,67

0,99; W( ll ,73

5 ~) =

0,99

d) Konfidenz für das mit 12 Tagen nach unten begrenzte Intervall Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W( 12,4 - z · 0-5( = 12 $ IJ) = I - a Schritt 2: Maximaler Schätzfehler. 12,4 - z - 0-5( = 12 ; z· o- 3( = + 0,4 Tage Schritt 3: Konfidenz 1 - cc z . 0,289 = 0,4; z = 1,38

-7

1 - c = 0,9 162

e) Konfidenz für das mit 13 Tagen nach oben begrenzte Intervall Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W(j.! $ 13 = 12,4 + z . 0'3( )

=

1- c

Schritt 2: Maxim aler Schätzfchler: 13 = 12,4 + z · 0- 3( ; z· o-3( = + 0,6 Tage Schr itt 3: Konfid enz I - c: z · 0,289 f) notwendi ger Stichprobenumfang

= 0,6;

z = 2,08

-7

I-a

= 0,98 12

181

4. J Schatzvertahren A u fga b e 4.1 - A 7: Benzlnverhrauch

Ein Auto mob ilclub befr agte seine Mitglieder, d ie ihr Fahrzeug überw iege nd im Stadtverkehr einse tze n, u.a. nach dem Benzinverb rauch. Für die 32 VW Go lfFahrer, di e sic h u.a . an der Umfrage beteiligten, err echnete der Automo bilc1 ub einen d urchschnittlichen Verbrauc h von 8,3 2 1 auf 100 km bei einer Standardabwei chu ng von 1,2 I. a) Erste llen Sie das ze ntrale 95 o/o-Konfidenzintervall für den durchschn itt lichen Benzinve rbra uch u!

b) Erstellen Sie das zentrale 97,5 %-Konfidenzintervall für u! c) Erstellen Sie das nach unten begre nzte 97,5 %-Konfidenzintervall für u . d) Ermitteln Sie die Konfid enz für das mit 8,5 Lite rn nach oben begrenzte Intervall für ~! e) Ennitte1 n Sie die Konfiden z für das mit 7,7 Litern nac h oben begren zte Inter-

vall für ~ 1 f) Wie viel e Go lf-Fahrer hätten für das zentrale 95 %-Konfidenzinte lvall, da s eine Ge na uigkeit von 0, 1 Litern besitzt, befragt we rden müss en? Lösung 4.1 - A7: Benzinverbrau ch a) ze ntra les 95 o/o-Konfidenzi ntervall Schritt I : Feststellung der Verteilungsform von X

(s. Anhang, Tab. 6)

weg en n > 30 ist X Ve rtei lung von X unbekannt } => appr. nonnaivert eilt Varianz (12 ist unbekan nt Schritt 2: Festste llung der Standarda bwe ichung vo n Va ria nz a 2 ist unbekannt } => Stich probe ohne Zu rück legen mit Auswa hlsatz < 5 %

1, 2

~

cr x =

X

(s. Anhang, Tab . 6)

s

~

= 0 22 1 '

Schritt 3: Für I - a = 0,95 ist z = 1,96 Schritt 4 : Maximaler Schätzfehler.

a- = I ,96 . 0, 22 = 0,43 I

z. x

.J Schließende Statistik

182 Schrirt 5: W(8,32 - 0,43 ~ W(7, 89 s

~

~ ~

8,32 + 0,43) = 0,95

s 8,75) = 0,95

b) zentrales 97,5 o/o-Konfidenz interva ll

Schritte 1 und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 ~ o: = 0,975 ist z = 2,24 Schritt 4 : Maximaler Schätzfehler. zSchritt 5: W(8,32 - 0,49 W(7,8 3

~ ~

~ ~ ~

cr5( = 2,24 ·0, 22 = 0,49

I

8,32 + 0,49) = 0,975

s 8,8 1) = 0,975

c) nach unten begrenztes 97,5 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter a)

Schritt 3: Für l -a =O,975 ist z = I,96 Schritt 4: Maximaler Schätz fehler: z . Schritt 5: W(8,32 - 0,43 ~

~)

o-x= 1,96 . 0,22 = 0,43 1

= 0,975 ; W(7,89 s u ) = 0,975

d) da s mit 8,5 Litern nach oben begrenzte Intervall Schritt I : Konfidenzintervall (Ansatz): W(~ :::; 8,5 = 8,32 + z . o-X) = 1 - a

Schritt 2: Maximaler Schätzfehler: 8 5 = 8 32 + z . "

cr-X

2 - &- =0 18 1

X

'

Schritt 3: Konfidenz l- a : z ·0,22 = 0, 18; z =0,82

l- a = O,7939

~

e) das mit 7,7 Litern nach oben begrenzte Intervall

Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W(M:; 7,7 = 8,32 + z · aX )

Schritt 2: Maximaler Sch ätzfe hler: 7 7 = 8 32 + z "

z·a-X = - 0' 62 1

a-X

Schritt 3: Konfidenz I - c : z · 0,22 = - 0,62; z = - 2,82

f) not wend iger Stichpro benumfa ng z2 . 52 n> - - -2

e

=I-a

2 2 1, 96 , 1, 2 = 5, 53 19 = 553 2 o, 12 0,0 1 '

~

1 - 0: = 0,0024

4. / Schatzvertahren

183

Aufgabe 4.1 - A8 : Teigwa renfabrik In einer Teigwarenfabrik werden u.a. Spag hetti hergestellt. Das Soll-Gewicht einer Packun g Spaghetti beträgt 500 g. Das Gewicht, dies ist aus vielen Messreihen bekannt, ist nonnaIverteilt. Der Tagesproduktion von 10.000 Pack ungen werden 2 1 Packun gen zufällig entnommen und gewogen. Die Messerge bnisse betrugen

500, 12

499,95

501, 10

502,25

503,45

502,88

504,12

502,23

503,78

502,54

503,65

50 1,44

502,2 1

502,65

50 1,69

504,87

502,41

503,33

50 1,89

502,0 1

50 1,95

a) Ermitteln Sie das arithmetische Mitte l, die Varianz und die Standardabweichung für die Stichprobe! b) Erstellen Sie das zentrale 95 o/o-Konfidenzinte rvall für das durchschnitt liche Gew icht 11 der Packungen in der Grundgesamtheit! c) Erstellen Sie das nach unten begrenzte 99 %-Konfidenzintervall für u ! d) Erstellen Sie das 95 o/o-Konfide nzintervall für die Varianz! e) Ein Einzelhänd ler hat von der Teigwarenfabrik 200 Packungen Spagh etti bezogen. Bei ein er Stic hprobe von 2 1 Packungen mögen sich die unter a) enn ittel ten Werte ergeben haben. - Erstellen Sie das zentrale 95 o/o-Kontldenz intervall für das durchschnittliche Gew icht 11 der Packungen in der Lieferu ng! Lösung 4. 1 - A8 : Teigwa re nfa brik a) arithmet isches Mitte l und Varianz der Stichprobe 21 , -c- x: = 502 4057 g = 502 4 1 g 2 1 .""" I ' ,

x = _I

1=1

,2

s

e

= _1_ ,

21

v- Ix' _ 502 4057)2

21-1 i~l

I

'

= I 49 12 ,

J l , 49 12 = 1,22

b) zentrales 95 %-Konfidenz intervall Schritt I : Feststellung der Verteilungsform von X ist normalverteilt } 2 Varianz cr unbekannt

~

X

(s. Anhang, Tab. 6)

- , 'I ' " X Ist t-verter t nur n- I Freih eitsgrad en

184

" Schließende Stafi.\'tik

Schritt 2: Fe ststellung der Standardabweichung von X

(s. Anhang, Tab . 6)

} Varianz 0'2 unbekannt Sti chprobe ohn e Zurücklege n ~ mit Au swahl satz < 5%

•

0 -

X

1, 22

=

=

cr x=

~ n- I

0 2728 g

~'

Schritt 3: Ermittlung von t Für I - rx = 0,9 5 und k = n - I = 20 Schritt 4 : Ma ximaler Sch ätzfe hler. t ·

Schritt 5;

~

(5. Anhang, Tab . 5b)

cr x = 2,0 86 . 0, 272 8 = 0,57 g

502,41 +0,57)

W(5 02 , 4 1- 0,57 S ~ S

W(501,84 S

t = 2,086

--7

~0,95

S 502,98) ~ 0,95

c) nach unten begrenztes 99 %-Konfidenz interva ll Schritte I und 2: wie unter a). Schritt 3: Ermi ttl ung von t Für 1 -

c

= 0,99 und k = n - I

= 20

Schritt 4 : Max im aler Sch ätzfehler. t .

Schritt 5; W(502 ,4 1 - 0,69 S

~

t = 2,528

--7

(5. Anhang, Tab . 5a)

cr x = 2,528 . 0,2728 = 0,69 g

) ~ 0,99; W(50 1,72 S u .) ~ 0,99

d) 95 %-Konfidenzinterv all für die Varianz

(0 - 1) 'S 2

W y [

0:

1- -

2'

k- n- I

$ 0

2

(1l _ [) '$2 ]

$yo:

- k=n- I 2'

= 1 - 0.

W(12 1- 1) , 1,4912 S ,,2 S 12 1- 1 ) ' I,49 1 2)~ 095 YO,975,20

W ( 29,824 < 2 S 34, 1696 - 0'

YO,025, 20

~~;~~: ) ~ 0,95 ;

'

W(O, 8728 S ,,2 S 3, 1096)

~ 0,95

e) zentrales 95 %- Kon fidenzinte rvall für 1.1 bei N = 20 0 Schritt L Feststellung der Verteilungsfon n von X

X ist normal 2 verteilt Varianz 0' unbekannt

(5. Anhang, Tab . 6)

} => -X rst , t-vertetiltt mit mi n- I Frei'Iiertsgra ' d en

4.1 Schatzverfahren

185

Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von Varianz 0 2 unbekannt } Stichprobe ohne Zurücklegen mit Auswahlsatz ;:: 5% 0, - =

1, 22

x~

.

X

~ aX = ~ .

(s. Anhan g, Tab. 6)

jI - ~

HI

1- = 0 2728 . 0 946 = 0 258 g 200 ' "

Sch ritt 3: Ermittlung von t Für I - c

=

0,95 und k = n - I = 20

Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. t · Schritt 5: W(50 2,4 1 - 0,54 S W(50 1,87

~ S

--7

t = 2,08 6 (s. Anhang, Tab . 5b)

a:x = 2,08 6 . 0, 258 =

502,4 1 + 0,54)

=

0,54 g

0,95

s ~ S 502,95) ~ 0,95

Aufgabe 4.1 - A9: Urla uberzufriedenheit Bei der in Aufgab e 4. 1 - A6 beschriebenen Urlauber-Befragung wurden die aus 4.300 Urlaubsgästen zufällig ausgewählten 250 Urlauber auch danach befragt, ob sie den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werden. 90 beantwo rteten die Frage positiv. a) Bestimmen Sie das zentrale 90 %-Konfidenzinterv all für den Anteil 8 der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werd en ! b) Besti mmen Sie das zentrale 90 o/o-Konfidenzinte rvall für die Anza hl der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werd en ! c) Bestimmen Sie das nach unten begrenzte 90 o/o-Konfidenz intervall für 8 !

d) Bestimm en Sie die Konfi denz für das mit 40 % nach ob en begrenzte Intervall für 8! e) Wie viele Urlauber müssen befragt werden, wenn mit einer Genauigkeit von 3 % -Punkten und einer Kon fidenz von 95 % der Anteil der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jah r wieder besuchen werden, zu bestimmen ist?

f) Wie verändert sich das Konfi denzintervall unter Aufgabe a), we nn von 500 anstatt 250 zufällig ausgewählt en Urlaubern ebe nfalls 36 % den Ferienort im näch ste n Jahr wieder besuchen werden.

-I Schließende Statistik

186 Lösu ng 4.1 - A9 : Ur la uber zufrie denhe it a) zentrales 90

%~ K o n fi de nzi n telva l l

Schritt 1: Feststellung der Verteilungsform von P

(5. Anhang , Tab. 7)

n .P . (I -P) = 250 . 90 .160 = 576 >9 250 250 ' P ist daher appro ximat iv normalvert eilt. Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P (5. Anhang, Tab . 7)

V~rianz von 8 unb ekan nt

}. ~ Stichprobe ohne Zurücklegen a p "" V~ . mit Auswahlsatz > 0,05

• = "P

j

n I- N

0,36 ·0,64 . ) 1- 250 = 00295 250 - 1 4.300 '

Schritt 3: Ermittlun g von z Für I - c

=

0,90

ist

(5. Anhang, Tab . 3b)

z = 1,65

Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. z -

cr p= 1,65 . 0,0295 = 0,048 7

Schritt 5: W(0,36 · 0,0487 S 0 S 0,36 + 0,0487) = 0,90 W(0,31 13 S 0 S 0,408 7) = 0,90 b) zentrales 90 %-Konfidenz intervall für die Anzahl

W(0,31 13 . 4.300 S 4.300 . 0 S 0,4087 · 4.300) = 0,90 W(1.338,59 s 4.300 ·0 S 1.757,4 1) =0,90 c) das nach unten begrenzte 90 %-Konfidenzintervall

Schritte I und 2: wie unter e). Schritt 3: Ermittlung von z Für 1 -(1 =0,90

ist

z = 1,28

Schritt 4: Maximal er Schätzfehler: z

(s.Anhang, Tab . 3a)

crp = 1,28 . 0,0295 = 0,0378

Schritt 5: W(0,36 · 0,0378 S 0) = 0,90;

W(0,3222 S 0 ) = 0,90

d) Konfide nz für das mit 40 % nach oben begrenzte Intervall Schritt 1: Konfidenzint erval l (Ansatz): W(e :5 0,40 = 0,36 + z . ap ) = I • a Schritt 2: Maximaler Schätzfehler. 0,40 = 0,36 + z . a p ; z . a p

= 0,04

187

-1.2 Testver{ahren

Schritt 3: Konfidenz 1 - 0.: z ·0, 0295 = 0,04; z = 1,36 -e

1 - 0. =0,9131

e) notwendiger Stichprobenumfang Mit e = 0,03 und z = 1,96 für I - 0.= 0,95 ergibt sich 2 1, 96 . 4.300 . 0, 36 · 0, 64 = 3.805,95 = 800 58 n> 2 2 - 0,03 . 4.299 + 1,96 . 0, 36. 0, 64 4,754 '

f) zentrales 90 o/o-Konfidenzintervall für den Fall 11 = 500 Schritt 1: Feststellung der Vert eilungsform von P n . p . (1 - P) = 500 · -90 . -160

250 250

(s. Anhang, Tab. 7)

= 1152 > 9 '

P ist daher approximativ nonnaIverteilt. Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P

V~rianz von e unbe~annt } . ~ Cl! Stichprobe ohne Zurucklegen crp = V~ ~ 1 - ~ mit Auswahlsatz ;?: 0,05

.

O" p =

0,36 ·0,64 . j l _ 500 = 00202 500 - 1 4.300 '

Schritt 3: Ermittlung von z: Für 1 • Cl. = 0,90 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler: z . Schritt 5: W(0,36 - 0,0333 $ W(0,0,3267 s

es

e$

ist

z = 1,65

o-p = 1,65 . 0, 0202 = 0,0333

0,36 + 0,0333) = 0,90

0,3933) = 0,90

4.2 Testverfa hren Testverfahren haben die Aufgabe, auf der Basis von Stichprobeninformationen zu testen bzw. festzustellen, ob eine Hypothese über interessierende Eigenschaften der Grundgesamtheit. die der Stichprobe übergeord net ist, beibehalten werden kann oder abzulehnen ist. Die Hypothese kann auf die Parameter einer Verteilung, auf die Form der Verteilung oder auf die Unabhängigkeit von Merkmalen bezogen sein.

.J Schließende Statistik

188

Die folgenden Üb ungsaufgaben befassen sich mit den Bereich en

- Testverfahren für das ar ithmetische l\littel - Testverfahren für den Ant eilswert - Chi-Q uad ra t-ver teilungstest - Chi-Q ua dra t-Una bhä ngigkeitstest

Aufgabe 4.2 - AI : Testve rfahren für das a rithmetische Mitteil! Herr Meier behauptet, die zeitliche Gesamtbelastung von Studenten durch Studium un d Erwe rbstätigkeit während der Vorlesungszeit betrage durchschnittlich höchstens 40 Stunden pro Woche. Die Studentin Heike Müller dagege n meint, dass die Gesamtbelastung bei mindestens 43 Stunden liege. Verwenden Sie zur Lösung der folgenden Aufgaben die unter Aufgabe 4.I-A3 beschriebenen Stichprobenergebnisse (N = 4.300; n = 120; x = 42,8 ; s = 11,3)! a) Prüfen Sie bei einem Signifikanznivea u von 5 %, ob die Behauptung von Herrn Me ier w iderlegt werde n kann! b) Die tatsächliche d urchschnittliche Gesa mtbelastung aller Stud enten möge 39,9 Stund en pro Woche betragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass di e Beha upt ung von Herrn Müller intümlich nicht beibehalten wird? c) Die tatsächl iche durchschnittl iche Gesamtbelast ung aller Studenten möge 42,3 Stu nden pro Woc he betragen. Wie groß ist die Wa hrsc he inlic hke it, dass die Behauptung von Herrn Meier irrtümlich beibe halten wird? d) Wie würden d ie Ergebnisse unter a) bis c) ausfallen, wenn di e Stichprobe n 360 anstatt 120 Studenten umfasst hätte? e) Prüfen Sie bei einem Signifika nznivea u von 2,5 %, ob die Behauptung von Studentin Heik e Müller widerlegt werden kann!

Aufga be 4.2· Al : Testverfahre n für das arithm etische Mittel Jl a) Behaupt ung vo n Herrn Meier Schritt I : Erstellen der Hyp othesen Der Test ist laut Au fgabenste ilu ng so zu konstrui eren, dass die Wa hrscheinlichkeit für ein Fälschlicherw eises Ablehnen der Behau ptun g von Herrn Müller ma ximal 5 % (u -Fehler) beträgt. Die Behauptung von Herrn Müller ist damit zur NullHypothese zu machen.

11 1 : 1.l> I.lO = 40 h

189

-1.2 Testverfahren

Fehlerqu elle: Entgegen der Aufgabenstell ung wird die Behauptung "11 > 40" zur Null-Hypothese gemacht . Es ist aber die Behauptung zur Nullhypothese zu machen, die widerlegt werden soll bzw. für die da s Risiko der fäl schli ehen Ablehn ung mit dem Signifikanzni veau a kontrolliert werden soll (J1 s: 40). Schritt 2: Verteil ungsform und Standardabweichung von

X (s. Anhang, Tab. 6)

Verteil ung von X ist unbekannt } => wegen n > 30 ist X Varianz (j 2 ist unbekannt appr . normalverteilt 2 Varianz 0 ist unbekannt Stichprobe ohne Zurücklege n _ Auswa11 mit 1 satz ::::. 0,05

&- ~ X

11,3 -JI-

J 120

1

120 4.300

I

=> &x =

~. n -I

J1 -

~

~ 1 02 1 h '

Sch ritt 3: Feststellung des Signifikanzniveaus Die Signifika nzniv eau s a ist 0,05 vorgegeben. Schritt 4: Ermi ttl ung des Beibehal tungsbereich s Beibeh altun gsbereich : [0; 40 + z - &x I Für I - c = 0,95

~

z = 1,65

z - &X ~ 1, 65 - 1, 021 = 1,685

Beib ehaltungsbereich: [0; 41,685] Schritt 5: Entscheidung Das Stichprobenmittel bzw. der Testfunktion swert 42,8 Stunden liegt im Ablehnungabereich . Die Behauptung von Herrn Meier, die Gesamtbelastung der Student en betra ge höchstens 40 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht beib ehalten . b) Fehlentscheidung: u -Fehler bei J1 = 39,9 h Es ist die Wah rscheinlichkeit zu berechn en, dass da s Stichprobenmittel größer als die obere Gre nze des Beibehaltungsbereich 4 1,685 h ist, wenn J1

=

39,9 h beträgt.

.f Schließende Stattsttk

190

I -F

SN

( 4 1,685 -3 9,9 = 1 75 10' I) = 1- 0 9599 = 0 0401 I , 02 1

"

,

,

Die Wahrscheinlichk eit, dass Ho irrt ümlich abgelehnt wird, we nn die tat säch liche zeitliche Belastung 39,9 Stunden beträgt, beläuft sich auf 4,0 I %.

c) Fehlentscheidung; ß-Fehler bei ~ = 42,3 h Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stich probenmitte l kleiner gleich der oberen Grenze des Beibehaltungsbereichs 4 1,685 h ist. wenn ~ = 42,3 Stunden beträgt. FN (X $ 4 1,6851 ~ ~ 42,3;" ~ 1,02 1) ~ F

( ~4 1 , 685 - 42, 3 ~ _ 0 601O: I) ~ 02743 1, 02 1 " ,

SN z

Die Wahrscheinlichkeit, dass HO irrtümlich beibehalten wird, wenn die tatsächliche zeitliche Belastun g 42,3 Stu nde n beträgt, belä uft sich auf2 7,43 %.

d) Stichprobenumfang n = 360 i) Beibehaltungsbereich:

[0; 40,0 + z . " XJ

~ [0' 400 + 1 65 .

[0; 40,0 + 1,65 . 0,57J

,

~

,

,

11, 3 j 360- I

[0; 40,94J

Die obere Grenze des Beibehaltungsbereichs sinkt von 4 1,63 auf 40,94; die Behauptung von Herrn Meier, die Gesamtbelastung der Studenten betrage höchstens 40 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht beibehalten. ii) Fehlentscheidung: n -Fehler bei Il = 39,9 h

I- F

SN

( 40,94 -39,9 ~ 18210' 1) ~ 1- 0,9656 ~ 0,0344 0 , 57 "

Die Wahrscheinlichkeit, dass HO irrtümli ch abgelehnt wird, wenn die tatsächliche zeitliche Belastung 39,9 Stunden beträgt, sinkt von 4,0 1 % auf3 ,44 %.

iii) Fehlentscheidung: ß-Fehler bei Il = 42,3 h F

SN

(40, 94 - 42,3 ~ _ 2 391O' I) ~ 0 0084 0 , 57 " ,

./.2 Testverfahren

19 1

Die Wahrschein lichkeit, dass HO irrtü mlich beibehalten w ird, wenn die tatsächliehe zeitliche Belastung 42,3 Stunden beträgt, sinkt von 27,43 % auf 0,84 %. e) Behau ptu ng von Frau Müller Schritt I : Erstellen der Hypothesen

Schritt 2: wie Schritt 2 unter a) Schritt 3: Feststellung des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau o: ist mit 0,025 vorgegeben . Schritt 4 : Ermi ttlung des Beibchaltungsbereic hs Beibehaltun gsbe reich: [43,0 a - 0x ; M

Für I- ex = 0,975

--7 Z =

"" ]

1,96

z · 0-X = 1" 96 · 1 02 1 = 200 ,

Beibehaltun gsbereich: [41,00; 00 ] Schritt 5: Entscheidung Das Stichprobenmittel bzw. der Tes tfunktionswe rt 42,8 Stu nden liegt im Beib ehaltungsbetei ch . Die Behauptung von Frau Müller, d ie Gesamt bela stung der Smdenten betra ge mindestens 43 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 2,5 % beibehalten.

Aufga be 4.2 - A2: Testverfahren für den Anteilswert

e

In einer Glashütte wird eine neue Maschine zur Herstellung von Pressg läsern einges etzt. Der Hersteller der Maschine behauptet, dass höchsten s 2,5 % der hergestellten Gläser Ausschuss darstelle. Von den ersten 10.000 hergeste llten Gläsern werden 50 0 zufäll ig entno mmen und geprüft; von diesen wiesen 14 G läser bzw. 2,8 % der Gläser Fehler auf. a) Testen Sie die Behauptung des Herstellers der Masch ine be i einem Signifikanzniveau von 10 % !

b) Wi e groß ist der u -Fehler (Fe hler I. Art) bei e = 2,4 %? c) Wie groß ist der ß- Feb ler (Fehler 2. Art) bei E> = 2,7 %? d) Testen Sie die Behauptung des Herstellers der Maschine bei einem Signifikanzn iveau von 5 % !

-I Schließende Statistik

192 Lösung 4.2 - Al: Te stverfahren TUr den Anteilswer t

a

a) Behauptung des Herstellers Schritt I : Erstellen der Hypothesen Die Beha uptung des Herstellers, die Maschine produziere höchstens 2,5 % Ausschus s, wird gleichsam angezweifelt. Das Gegenteil ist daher nach zuweisen . Die

Behauptung des Herstellers ist zur Null-Hypothese zu machen. 11 0 : 8 S 8 0 = 0,025;

H I:

8 > 8 0 = 0,025

Anmerkung: Hätte dagegen der Hersteller der Maschin e die Richtigkeit seiner Beha uptung nachzuweisen, dann müsste dies über den Weg einer Ablehnung der dann anzusetzenden Null-Hypothese e > 2,5 % geschehen. Schritt 2: Verteil ungsform und Standardabwe ichung von P (5. Anhan g, Tab . 7) Wegen

n ' 8 0 ' ( 1- 8 0 ) = 500 · 0, 025 ·0,975 = 12,1875 > 9 ist P app roximativ normalverteilt. 2 Var ianz cr ist "bekannt " }

Stich probe ohne Zurücklegen mit Auswah lsatz ~ 5 %

crp =

0,025 ·0,975 500

:::> crp =

J8 0 . (I - 8 0) n

. ~

i N=!

10.000 - 500 = 0,0068 10.000 I

Fehlerquelle: Für 8 0 wird fälsch licherwei se der in der Stichprobe gefundene Anteilswert 0, 28 verwendet. Schritt 3: Festlegung des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau ist mit 0, 10 vorgegeben. Schritt 4: Ermittlung des Beib ehaltungsbereichs Beib ehaltungsbereich ' [0; 0,025 + z · crp I Mit I - a = 0,90

~

z = 1,28

(s. Anhang, Tab . 3a)

z · cr p = 1,28 · 0, 0068 = 0,0087 bzw. 0,8 7o/o-Punkte Beibehaltungsbereich: [0; 0,0337 ]

4.2 Testverfahren

193

Schritt 5: Entscheidung Der für die Stichprobe ermittelte Anteilswert 2,8 % liegt im Beibeha ltungsbereich von HO' Die Behauptung des Herstellers, der Ausschussanteil der auf der Maschine hergestellten Gläser betrage höchstens 2,5 %, wird beibehalten . b) Fehlentscheidung : u -Fehle r bei 8 '= 0,024 Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stichprobenmittel größer als die obere Grenze des ßeibehaltungsbereichs 0,0337 ist, wenn 8 '= 0,024 beträgt. W(P > 0,033718

~

1 - F SN (z ~ap P- 8

0,024)

~

1 - W(P s 0,03371 8

~

0,0337 - 0,024

---,c~'#,;#-~::=,::~= I 0,024 ·0,9 76 500

0, 0097

I- F S N ( 0 , 0 06 7 ~

10.000 -500 10.000 -1

0,024 )

~

1 0,'

~

I) --

1, 4510; I ) ~ 1- 0 , 92 6 5 ~ 0, 073 5

Beträgt der Ausschussanteil 2,4 %, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 7,35 % die Behauptung des Herstellers irrtümlich abgelehnt. c) Fehlentscheidung: ß-Fehler (Fehler 2. Art) bei 8 '= 0,027 % Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stichprobenmittel kleiner gleich der oberen Grenze des Beibehaltungsbereichs 0,0337 ist, wenn 8 = 0,027 beträgt. W(P

s 0,03371 8

P- 8 F SN (z ~"'-P

~

~

0,027)

~

0,0337 - 0,027 10,' 1) 0,027 · 0,973 10.000 500 500 10.000 - 1

0,0067 F SN (0,0071 =0,9410; I) ~ 0,8264

Beträgt der Ausschussanteil 2,7 %, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 82,64 % die Behauptu ng des Herstellers irrtümlich beibehalten . d) Signifikanzniveau von 5 % Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a) Schritt 3: Festleg urig des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau ist mit 0,05 vorgegeben.

.J Schließende Statistik

194 Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs Beibeh altun gsbereich : [0; 0,0 25 + z · O"p ] Mit I -

c

= 0,95

~

z = 1,65

(5. Anhang, Tab. 3a)

z·(J p = 1,65 · 0, 0068 = 0,0 112

bzw .

1,1 2 o/o-Punkte

Beibehaltun gsbereich: [0; O,0362} Schritt 5: Entscheidung Der für die St ichp robe ermittelte Anteilswert 2,8 % liegt im Beibehaltungsbereich von HO- Die Behau ptu ng des Herstellers, der Ausschussa ntei l der auf der Maschine hergestellten Gläser betrage höchstens 2,5 %, wird irrtümlich beibe halte n.

Aufga be 4.2 - A3: C hi-Q uad ra t-Ver tcilungstest Eine Wohnun gsb augenossen schaft hat an ihre Ge nossen 1200 Wohnungen ver mietet. Die Mieter können an j edem Werktag zwischen 09.00 und 10.00 Uhr Beschwer den üb er die Wo hnung und Woh nverhältnisse bei der Gesch äftsführu ng vorbringen . Die Anz ahl der Besch werden an den letzten 200 Tage n kann der nach folgenden Tabell e entnommen werde n. Anz ahl der Besch werd en Häu figkeit

0

I

2

3

4

5

96

67

25

7

3

2

Prüfen Sie bei einem Signifikanznivea u von 5 %, ob der Geschäftsführer S. Ellmann mit seiner Verm utung Recht hat, die Anzahl der Beschwerd en pro Werktag se i pois son verteilt mit p = 0,7. Lösung 4,2 - A3: C h i-Q ua d r at-Verteilungstes t Vor der Anwendung des Chi-Quadrat-Ve rteilungs testes ist zunächst die zu erwartende Häufigkeitsvertei lung für die Anzahl der Besc hwe rden zu erm itteln, di e sich bei Vorliegen einer Poissonverteilung theo retisch ergeben müsste. Die Häufigkeiten können m it Hilfe der in Tabelle 2a (s. Anha ng) für I.l ::= 0,7 angegebenen Wahrsc he inlic hkeiten einfac h berechnet werden. So ist beispiel swei se mit keiner Beschw erde an 200 . 0,4966 = 99,32 Tagen zu rechnen. In der folgend en Ta be lle sind d ie in der St ichprobe von 200 Ta gen vo rgefunde ne (e mpirisc he) Häufi gkeit svert eilung und die (theoretisc he) Häufigkeitsverteilung. di e bei der behaupteten Verteil ungsform zu erwa rten wäre, gegenüberges tellt.

-1.2 Testverfahren

195

Symbo le : h j = Häufi gkeit des Merkmalswerts Xj in der Stichpro be {i = I, ..., 6) h f = Häufigkeit des Me rkma lswerts xi, die bei der unter stellten Vert eilungsform zu erw arten wäre (i = I, ..., 6) Beschwer de n

, h', h'

0

1

2

96

67

25

99

70

24

4

5

7

3

2

6

1

0

3

Schritt I: Erstellen der Hypoth esen HO : Die Anzahl der Beschw erden ist poisson verteilt.

H 1 : Die Anzahl der Beschwerden ist nich t po issonvertcil t. Schritt 2: Fe stlegung des Signifikanzniv ea us Das Signifikanznivea u ist mit 0,05 vorgegeben. Schritt 3: Berechnung des Testwertes y Der Testw ert wir d mit folgender Fcrmel errec hnet:

v

y ~

' 9

ist P appro ximat iv norm alvert eilt . Varianz (1 2 " bekannt" } Stichpro be oh ne Zurücklege n => Clp = mi t Auswahlsa tz < 5 %

)8

0

. (I - 8 ) 0 n

-1.2 Testverfahren

0p =

203

0,50 -0 ,50 = 0 0 14 1 1.250 '

Schritt 3: Signifikanzniveau 5 % Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs [0; 0,50 +z -" p) = [0; 1,65 - 0,0 141] = [0; 0,5232J Schritt 5: Entscheidung: HO wird abgelehnt, da 52,4 % für A gestimmt haben. c) Fehlentscheidung bei 49,9 % Stimmen für A W(P > 0,523218 = 0,499) = 1 - W(P S 0,523218 = 0,499) = 1- F

SN

(

p-8 = °, 5232 - 0,499 10 ; 1) = I - FSN( I,71 10; 1) )8 (1- 0 ) 0,499-0,501 n 1250

I - 0,9564 = 0,0436 bzw. 4,36 % Aufga be 4.2 - A8: St ich pro ben plan Ein Großhändler bekommt von einem Lieferanten zugesichert , dass weniger als 3 % der gelieferte n Artikel kleinere Fehler aufwe isen. Der gemeinsam erstellte Stichprobenplan schreibt vor, dass einer Lieferung 40 Mengeneinheiten zufällig zu entnehmen und dann zu prüfen sind. Sind alle 40 Einheiten ohne kleinere Mängel, dann wird die gesamte Lieferung akzeptiert, anderenfalls wird ein Preisnachlass gewährt. a) Wie hoch ist bei diesem Stichprobenplan das Signifikanzniveau für die NullHypothese "8 < 0,03"? Gehen Sie nur von ganzen Zahlen für 8 (in %) aus! b) Welche Risiken gehen Lieferant (ß-Fehler) und Abnehmer (c -Fehler) bei diesem Stichprobenplan ein? Verwenden Sie für Ihre Untersuchungen die Mängelquoten 0, 1,2, 3,4 und 5 (in %)! Lös ung 4.2 - A8: Sti chpr obenplan a) Das Risiko, eine "schlechte" Lieferung anzunehmen, ist am größten, wenn die Mängelquote genau 3 % beträgt. FB(X S 0140; 0,03) = 0,2957 Das Risiko (= Signifikanzniveau), eine Lieferung anzunehmen, obwohl sie nicht den Anforderungen entspricht, beträgt maximal 29,57 %.

204

.j .....tchtießende

Statis tik

b) Abnehmerrisiko und Lieferantenrisiko Das Abnehmerrisiko (u -Fehler) tritt bei 8 -Werten 2 3 % auf:

FB(X

~

0140; 0,03) ~ 0,2957;

FB(X

~

0140; 0,05)

~

FB(X ~ 0140; 0,04 ) ~ 0,1954;

0, 1285

Das Lieferantenrisiko (ß-Fehler) tritt bei 8-We rten :5 2 % auf: FB(X

~

1140; 0,00) ~ 0,0000 (!);

FB (X

~

1140; 0,02) ~ 0,5543

FB( X

~

1140; 0,0 1) ~ 0,3310;

Aufga be 4,2 - A9: Lotto-Statistik In der Lotto-Statistik wird u.a. festgehalten, welche Zahlen (ohne Zusatzzahl) seit der ersten Ausspielung am 09 .10. 1955 wie häufig gezogen worden sind. In der folgenden Übersicht sind die Ziehungshä ufigkeiten für di e Zahlen 1 bis 49 in den 3.30 8 Ausspielungen bis zum 2 1.01.2010 angegeben.

408 377 38 1 42 1 386 4 13 423

413 423 382 390 389 405 398

4 14 405 4 14 402 426 435 376

410 4 12 398 422 446 408 384

408 389 398 43 1 422 409

43 1 343 388 420 393 411 396 4 17

410 389 396 375 397 4 19 445

Prüfen Sie bei einem Signifika nzniveau von 10 %, ob jede Zahl die gleiche Chance hat, ausgespielt zu we rden! (Lösungs hilfen: Durchschnittliche Ausspiel ungs häufigk eit: 405,06 ; Varianz: 3 79,03 7 1; YO,90, 48 = 60,9)

Lösung 4,2 - A9: Lotto-St atistik Schritt I: Erstellen der Hypothesen Ho : Die Zieh ungsh äufigkeiten sind gleich vert eilt.

H I : Die Ziehungs häufig keiten sind nicht gle ich verteilt. Schritt 2: Festlegung des Signifikanzniveaus Das Signifi kanzniveau ist mit 0,10 vorgegeben.

4.2 Testverfahren

205

Schritt 3: Berechnung des Testweites y Mit der Lö sungshilfe ergibt sich für den Testwert

Y=

v

L

,1= 1

(h' ' h,)2 , S

h'i

=

2 = -'.49,----;'.;;.3;.-79,;,-,0::,3,,-7.:.1 =

x_'-i;'crh',I

405' 06

45,85

Schritt 4: Erm ittlung des Beib ehalrungsbereich s

[0; YI-(X , k=v. Il = [0; YO ,90, 481 = [0; 60,9) Schritt 5: Entscheidung Der Stichprobenfunktionsw ert liegt mit 45,85 im Beibehaltungsbereic h. Die Behauptung, das Auftreten der Zahlen I M49 ist gleich verteilt, wird bei einem SiM gnifikanzniveau von 10 % beibehalten.

A ufgabe 4.2 - AI0: Alter und w ah lverhaften In einer repräsentativen Umfrage wurden 2002 weibliche Wahlberechtigte aus dem früheren Bundesgebi et nach ihrem Wahlverhalten befragt. Die Befragten wurden in fünf Altersklasse n eingeteilt. In der nachstehenden Tabelle sind die Befragungsergebnisse für die CDUICSU, SPD, die Grünen und die FDP w iedergegeben.

~

CDU/CSU

SPD

Grüne

50

63 110 169 19 1 280

19 37 62 50 32

FD P

Alter

18 · 24 25 - 34 35 · 44 45 ·59

60 und mehr

92

134 213 360

13 24 26 35 42

Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau von I %, ob Alter und Wa hle ntsc heid der wei blichen Wahlberechtigten im frü heren Bundesgebiet voneinander abhängig waren !

-I Schließende Statistik

206 Lösung 4.2 - AlU: Alter und wa hlverhalten

Schritt I: Erstellen der Hypothesen H O: Alter der Frauen und Wah lentscheid sind vo neinander unab häng ig. H I : Alter der Frauen und Wah lentscheid sind von einander abhä ngig. Schritt 2: Signifika nzniveau 1 % Schritt 3: Berechnung des Testwerts y

- theoretische Häufigkeiten bei Unabhängigkeit hij 6 1,49 111,53 165,81 207 ,37

58,88 106,80 158,78 198,58

302 ,79

289,95

14,49 26,27 39,06 48,85 7 1,33

10,14 18,39 27,34 34,2 49,93

- Abw eichungs berechnungen für den Testwert y (h ~ - h ~) 2111 ~ lJ lJ IJ 2, 15 3,42

0,29

1,40

0,81

0, 10

4,38

1,71

6,10 0, 15 10,8 1

0,66 0,29 0,34

13,47 0,03 2 1,69

0,07 0,02 1,26

- Testwert y (Su mme aller Abwe ichungen) y ~ 6 9, 1 5

Schritt 4: Ermi ttlung des Beibehaltungsbereichs [0 ; YI-a , k~(v-I Hw- l)] ~ [0; YO,99, k~4' 3 =12] =

[0; YO,99, 121 = [0; 26,2 170]

(s. Anhang, Tab . 4)

Schritt 5: Entscheidu ng Der Stichprobenfunktion swe rt y liegt mit 69, 15 im Ablehnungsbereich. Die Hypothese, das Alter der weib lichen Wah lberecht igten und da s Wahlverha lten seien voneinander unab hängig, wird bei einer Irrtum swahrschei nlichkeit von I % nicht beibehalten . Anders ausge druckt: Die Behauptung, das Alter der weiblichen Wähler sei ohne Einfluss auf das Wah lverhalten, wird bei einer lrrt umswahrscheinliehkeif von 1 % nicht beibehalten.

207

-1.2 Testverfahren

Aufgabe 4.2 - All : Pausen regelung In Aufgabe 2.5-A5 (s.S. 93) ist das Ergebnis einer Befragung von 500 Student en z u ihrer Einstellung zu einer Verlängerung der Pause wiedergegeben. Prüfen Sie mit Hilfe des Chi-Qua drat-Unabhän gigkeitstests bei einem Signifikan zniveau von 10 % , ob zwischen Geschlecht und Einstellung zur Pausenregel ung eine Abhängigkeit besteht oder nicht! Lösung 4.2 - A 11 : Pausenregelung Schritt I : Erstellen der Hypothesen HO: Geschlecht und Einstellung sind vone inander unabhängig. 11 1 ; Gesch lecht und Einstellung sind voneinander abhängig. Schritt 2 : Signifikanzniveau 10 % Sch ritt 3; Berechnu ng des Testwerts y Die Berechnung der Größe X2 bzw. des Testwerts y ist unter der Lösung 2.5-A5 (S .95) ausführlich aufgezeigt. y ~ 2,73 Schritt 4: Ermi ttlun g des Beibehaltungsbereichs [0; YO,90, k ~2 J

~

[0; 4,6052J

(5. Anhang, Tab. 4)

Schritt 5: Entscheid ung Der Stichproben funktionswert y liegt mit 2,73 im Beibchaltungsbereich. Die Hypothese, Geschl echt und Einstellung sind voneinander unabhän gig, wird bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % beibehalten.

Hinomia /l'eneilung

209

Tabe lle na nha ng Tabelle la : Hinom ialve rteilun g; \Va h rscheinlichkeitsfunktion fS(x)

n I I

, 0 1 0 1

0.0 5

6 7

0,9500 0.0500 0,902 5 0,0950 0,0025 0,8574 0,1354 0.007 1 0000 1 0.8 145 0,17 15 0.0 135 0 .0005 0,0000 0,7738 0.20 36 0,02 14 0,00 11 0,0000 0,0000 0,735 1 0.23 2 1 0.030S 0.002 1 0.000 1 O.OOI)() 0,0000 0.69113 0,2573 0,0" 06 0.00 36 0.0002 0,0000 0.0000 O.tlOtlO

0

0.663~

8

I

8 8 8 8 8

3

0,2793 0.0515 0.005 4

6 7 8

0,0000 0,0000 0,0000 O.OtlOO

2 2 2 3 3 3 3

2 0 I

2 3

,, ,,, , , 0

1 2 3

,, ,s, ,, 0

1 2

3

6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7

x

0

1 2

,, 3

6 0 1

2

,, 3

" ,2 , "

O.OOO~

I

e

I

0.10

0.9000 0. 10110 0.11100 0, 1800 0 0100 0,7290 0,2430 0,0270 0.00 10 0,6561 0,2916 0.0486 0,0036 0.000 1 0,5905 0,3211 1 0.0729 0,008 1 0,0005 0,0000 0.53 14 0.3543 0.098 4 0.0 146 0,00 12

o.oon

00000 0.4783 0.3720 0, 1240 0.02 30 0,(lO26 0,0002 O.fMMlO

o.oooc

0,4305 0.3826 0. 1-&88 0.033 1 0,0046 0,_ 0,0000 0,0000 0,0000

0,20 I 0.25 0,11000 0.7500 O, 2IX)() 0. 2500 0,6400 0.5625 0,3200 0,3 750 0,0400 0.062 5 0,5 120 OA219 0,3lWI (lA2 19 0,09(,0 0, 1406 0,001\0 0.0 156 0,40% 0,3 16-1 0,40% 0,42 19 0, 1536 0,2 109 0.0256 0.0469 0.00 16 0.0039 0,3277 0,2373 0.4096 0,3955 0,204 8 0.26 37 O.OU~ 0.05 12 0.08 79 0,0022 O,OlJ6.1 0,0146 0,000 1 0.000 3 0.00 10 0,3771 . 0.262 1 0.1780 0.399 3 0,3932 0,3560 0,1762 0.2"S8 0.2966 O,04I S 0.08 19 0.1318 0.00 55 0.0 154 0.0330 O.OI)().. 0.0015 0.0000 0.00111 0.000 2 0.321)(, 0.2097 0. 1335 0.30

I 0,6500 Io.eoeo I 0,5500 I 0.5000 0,35110 OAllOO OA500 , 05000

I0..1225 0,4550

0, 1225 (l,2746 0..1 436 0,23 119 0,0 429 0, 17115 0,31145 0,3105 0.11I S 0,0 150 0, 1160 0.3 124 0.33/l-l 0.18 1I O,04I1K 0,005 3 0,075 4 0.243 7 O,32KO 0.2355 0.0951 0.0205 0.001 11 0.0"')0 O.lIl.. R 1l.2?115 n.267? 0.1....2 0,04(,(, O,OOR4 O.(KII)(, 0.03 19 0. 1373 0.2587 0.278l') 0. 1875 0.080R 0.021 7 0.00 33 0 ,01102

0,3600 I 0, 3025 0,4800 0,49 50 0, 1000 0,20 25 0,2 160 O, I6M 0..1320 0.408 4 0,28110 0,334 1 U,O(>40 0,09 11 tl,12% tl,09 15 0,3456 0.29 95 0,3456 0,36 75 0. 1536 0,200 S 0.0256 0.04 10 0,07711 0.0 50) 0.2592 0.2059 0.3456 0.3369 0,2304 0.2757 O,076K 0. 1128 n.n 102 0.0 1115 0,0467 0,0277 0.1 866 0. 1359 0,3 110 0.2780 0 .2765 0.3032 0. 1382 0.186 1 0.n3 (,9 0,0609 O.lXl4 1 0.00113 lJ,ll21111 0.0 152 0,1306 0.01172 0,2(, 13 O. 2 1 ~0 O,2?03 O.2? 11I O.I?3S O.23R8 n,0774 0. 1172 0.0 172 0.03 20 O.lM1I6 0.0Il]7 O.1l 16K 0.00114 0 ,08% 0.05 411 0 .2()6 1 0,0008 0,00 11 0,00 15 0,0001 0,0002 O,O(}O3 O.OO()(J 0.0000 0.000 1 , 2,5 2,6 I 2,7 I 0,0&21 0,07 .t3 0,0672 0,2052 0, 193 1 0, 1815 0,2565 0,25 10 0.2.t50 0,2 138 0,2 176 0,2205 0, 1336 O,l .tl .t 0, 1.t8& 0,066R 0,07 35 O,O&U.t 0,0278 0,0319 0,0362 0,0099 0,0 118 0,0 139 0,003 1 0,0038 0,0047 0,01109 0,001 1 O,0I)J 4 0,0002 0,0003 O,()(IO.t 0,0000 0,0001 0,0001 0,0000 O,O()(lO 0,(1)(10 3, 6 3,7 3.5 0,0302 0,0273 0,02H 0,105 7 0,098 4 0,09 15 0, 1850 0,1 771 0,1692 0,2158 0,21 25 0,2 0&7 0.1&8& 0,1 912 0.19 3 1 0,13 22 0. 1377 0, 1429 0,07 7 1 0.0826 0.08XI 0,03&5 0.OH5 O.O.tfifi O.OS08

,

0, 1 0.09 0,9 139 0 ,90 ..\8 0,0 823 0,0905 0,003 7 0,0 045 0.000 1 0,0002 0,9 I 0,..\066 0,367 9 0,3659 0.3679 O, IM7 0, 1839 D,D",?", 0,06 13 0,0 111 0,0 153 0,0020 0.003 1 0,0003 0,0005 0.0000 0.000 1 1,9 2 0, 1.t96 0,1353 O,28H 0.2707 0.2700 0.2707 0, 17 10 O, I&O.t 0,0812 0,090 2 0,030 9 0.036 1 0,0098 0,0120 0,00 27 0,003.t O,0I)()6 0,00 09 OJ H)OI 0.0002 2,9 3 0,0550 0,0.t9& 0, 1596 0,1.t9.t 0,231.t 0,22.t0 0.2237 0,22 .t0 0, 1622 0, 16&0 0,09.to 0,1008 0,0.t55 0,0504 0,0 188 0,0216 0,006 8 0,00&1 O,l)()22 0,00 27 0,0006 0,00 08 0,000 2 0,01102 O.OI)()O O.(}()O I 3.9 I 0.0202 0,01 83 0.07R9 0,0733 0,1539 0,1465 O,2()()I 0,195.t 0, 195 1 0, 195.t 0,1522 0, 1563 0.09&9 O.I OH 0.055 1 0.0595

,

2 13

Po issonl'Crleilung

Ta belle 2a: Polssonvert ellung fp (x), Fortsetz ung

x

•

9 10 11

12 13 11

x

0 1 2 3

, s 6 7

• 9

10 11 12 13 11

rs

16

,

0 I 2 3

, , -

" • 7

9 10 11

12 13

"

I'

16 17

"

3. 1 I 3.2 0,0095 0.0 111 0,00 33 O.lXUO 0,0010 0.0013 O,OCI03 0.0004 0.0001 0.000 1

,

,

,

0,‫סס‬OO

I 3.' 3.3 H 0,0 129 0,0 1-&8 0,0 169 O,lXU7 0,0056 0.0066 0,00 16 0,0019 0,002 3 0,000 5 0.0006 0,0007 0,000 1 0,000 2 0,000 2 0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0,000 1 0 .‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0.0000 I 4.3 I H I I U 0,0 150 O,O I ~ (; 0,0 123 0,0 111 0,06 30 O,0 5& ~ 0,0 5-& 0 0.0500 0, 1323 0, 1254 0, 11&& 0, 1125 0. 1&52 0, 1791\ 0,17-& 3 0, 16&7 0, 1944 0, 1933 n, I9 17 1l, I89R 0, 1633 0 1662 0, 1687 0, 1708 0. 1143 0, 119 1 0, 1237 0,128 1 0,06116 0,0732 0,0778 0,08 24 0.0360 0,0393 0,0-& 28 0,0463 0,0 168 O,OIKR 0,0209 0,0232 O,OCl7I 0,008 1 0,009 2 O,OIQ.l 0.00 27 0.003 2 0,0037 O,OOB 0,000 9 0.00 11 0,00 13 0,00 16 0,000] 0,0004 0,0005 0,0006 0,000 1 0,000 1 0.000 1 0,000 2 0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO 0,000 1

0,‫סס‬OO

0.‫סס‬OO

0,‫סס‬OO 0,‫סס‬OO

' ,I I 0,0 166 0,06 79 0,13 93 0, 1904 0, 195 1 0,1600 0,10 93 O,()('}40 0,0328 0,0 150 0,006 1 0,00 23 0,0008 0,0002 0,000 1

,,,

,.

' ,2 I 0,0055 0.0C»5 0,028 7 0,0244 0,07 46 0.06 59 0, 1293 0, 1185 0,168 1 0, 1600 0, 1748 0, 1728 0, 1515 0,1555 0, 1125 0, 1200 0,073 1 0,08 10 0,fl.I23 0,0486 0,0220 0,0262 0,0 104 0,0 129 O,OC»S O,OOS8 n,OOIS OJX)24 0,000 7 0,000 9 0,000 2 0,000 3 0,000 1 0.000 1

0,‫סס‬OO

I

0,‫סס‬OO

0,‫סס‬OO

' ,6 0,00]7 0.0207 0,05110 0,1082 0,15 15 0,1697 0,158-& 0,1267 0,ORR7 O,OS52 0,0309 0,0 157 0,007 3 0.00 32 0,00 13 0,0005 0,000 2 0,000 1

0,‫סס‬OO

0,‫סס‬OO

0,‫סס‬OO

,

0.‫סס‬OO

','

,

0.‫סס‬OO

0,0030 ' 0,0 176 0,050 9 0,0985 0, 1-& 28 0, 1656 0, 160 1 0,132(, O,()%2 0,0620 0,0359 0,0 190 0,n092 0.00 -& \ 0,00 17 0,0007 0.0002 0,000 1

6 0,0025 0.0 149 O,o.l46 0,0&92 0, 1339 0, 1606 0, 1606 0, 1377 0, 1033 0,0688 0,0.f13 0,0225 0.0 113 0,00;2 0,0022 0,_ 0,000 3 0,000 1

0,‫סס‬OO

0.‫סס‬oo

,

3.6 i 0,0 19 1 0,0076 0,0028 0._ 0.0003 0,000 1 O.flCXlO ' .6 I

o,o HII 0,046 2 0,106 3 O, I6 J I n, IK75 0,1725 0, 132 3 0,0869 0,0500 0,0255 0,0 118 0.00-&9 0,00 19 0.0007 0.0fJ()2 0.000 1 0.‫סס‬OO

6,2 0.0020 0,0 126 0,039 0 0,0 806 0.12-*9 0,154 9 0,160 1 0, 1-& 18 0, 1099 0,0757 0,0-&69 0,026 5 0,0 137 O,Ol16S 0,0029 0,00 12 0.0005 0,000 2 0,000 1

,

3.7 I 0,02 15 0,0089 0,0033 0,00 11 0,000 3 0,000 1 O,OOCIO ' ,7 I 0.009 1 0,0427 0, 1005 0, 157-& O, IM9 o 17311

I 3.' 0,02 -& 1 0,0 102 0,003 9 0,(0)) 0,000 -& 0,0001 0.0fJ(1(I I 0,00&2 0,0395 0,09 -&& 0, 15 17 O,I R20 0,17 -&7 n , 1 ~6 2 0,13 9& 0.0 9 14 0,0959 0,05 37 0,0575 0,fl28 1 0,0307 0,0 132 0,0 1-&7 0,0056 0,_ 0 ,0022 0,0026 0,0008 0, _ 0,0003 0,0003 0.000 1 0,000 1 0,‫סס‬OO

6,' O,OC l l7 0,0 106 0.0340 0,0726 0,1162 0,141\7

...

0,‫סס‬OO

I 6.6

0,00 1-& O,OO'X) 0,0296 0,0(,52 0,10 76 0,1-&20 O, I~ 116 0,1562 0, 1-&50 0,1-&72 0, 1160 0,1215 0,08 25 G,OR9 1 0,052 8 0,0588 0,0307 0,0353 O.0 16.f n,ol 9-& O,Ol lX I 0,009 9 0,00 37 n,fMI-&6 0,00 16 0,0020 0,0006 O,()(MIS 0,000 2 0,0003 0,000 1 O.OlM))

,

,

3.9 I 0.026 9 0.029 8 0.0 116 0.0 132 0,00-&5 0.00 53 0.00 16 0.00 19 0.0005 O,OfJ()(, OJ l00 2 0.0002 0.‫סס‬OO 0.000 1 ' ,9 I 0,00 7-& O,(X)(.7 0,0365 0,0337 0,0119-& O,OR-&2 0, 1460 O, 14n-& O, I7R9 0, 1755 0,1753 0, 1755 0, 1432 0, 1462 0. 1002 O,1fl.14 0.(161-& 0.11653 0,0 314 0,0363 0,0 16-1 0,0 18 1 0.0073 OJ)08 2 0.0030 0.0034 0.00 11 0.00 13 0.0004 0.0005 0'(,

,

2.e 0, 1353 0,.1060 0,6767 0,857 1 0,947 3 0,9834 0,9955 0,99 89 0,999 8 1,0000 3,. O,049 R 0, 199 1 0,4232 0,6472 0,R153 0,916 1 0,9665 0,988 1 0,9962 0,99 89 0,9997 0,99 99 [,0000

a.n

0,0 183 0,0916 0,2381 0,4335 0,(,2&8 0,7851 0,8893 0,9.189 0,97 R6 0,99 19 0,9972 0,9991 0,999 7 0,9999 J.(KlOO

Tahellenanhang

2 16

T a belle 2b: Po issonve rteilung F p(x). Fo rtsetzu ng

u

x

,

0

4,2

4 ,3

0,0 166 0,084 5 0,2238

0,0150 0,0780 0,2102 0 ,39 54 0,5898 0 ,75 3 1 0,86 75

0,0136 0,0719 0,1 974 0,3772 0 ,5704 0 ,7367 0,8558

I

.l,4

0,0663 0, 1851 0,3 594 0,55 12 0,7 199 O,lU 36

O,9n7 0,9361 0,9290 0,921 4

8

0,9755

0,9721 0,9683 O,9C>U

9

0,9905 0,9966 0,99 89 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1 0000

0,9&&9 0,9959 0,99&6 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1 00()O

'0

14

15 16 0 I 2 3 4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14

" 16 17

18 19

0, 4 142 0,60 93 0,7693 0,8786

0,9&7 1 0,9952 0,99 &3 0,9995 0,999& 1,0000 1,0000 I O()()()

I

0 ,0 123

2 3 4 5 6 7

11 12 13

x

4, 1

0,9&51 0,994 3 0,99&0 0,9993 0,99 9& 0,9999 1,0000 1.01100

5,2

5,4

5,6

5,8

0,0055 0,03 42 0,10&8 0,238 1 0,40(, 1 0,5809 0, 732 4 0,M 49 0,9 18 1 0,9603 0,9823 0,9927 0,9972 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000

0,0045 0,0289 0,0948 0,2 133 0,3733 0,546 1 0,70 17 0. 82 17 0,902 7 0,95 12 0,9775 0,9904 0.9962 0,99 ll6 0.9995 0,9998 0.9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0037 0,02 44 0,0824 0, 1soe 0,3422 0,5 119 0,6703 0,7970 0,88 57 0,9409 0,9718 0,9875 0,9949 0,99KO 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0030 0,0206 0.07 15 0, 1700 0.3 127 0,4783 0,(,3M 0,7710 0,&672 0.9292 0,965 1 0,984 1 0,9932 0,9973 0,9990 0,9996 0,99 99 1,0000 1,0000 1.000 0

I

4,5

I

-1.,6

I

I

I

4,9

I

0 ,007 4

5 0,006 1

0,0.$39

0,0 404

0, 1333 0,2 793 0,4582 0,6335 0,7767 0,9 134 0,9049 O,S960 n,RM? 0,8769 0,9597 0,95 49 0,9497 0,9442 O,93 111 0,9& 29 0,9&05 0,9778 0,9749 0,97 17 0,9933 0,9922 0,99 10 0,9896 0,988 0 0,9976 0,997 1 0,9966 0,9%0 0,9953 0,9992 0,9990 0,99 88 0,99 86 0,998 3 0,9997 0,99 97 0,9996 0,9995 0,9994 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,999& I ,OOO() 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 I,OOO() I.O()()() I. OO()O I,()OOO r.eooo

0, 1247 0,2650

4,7

4 ,' 0,0 111 0,0 101 0,009 1 0,00 82 0,06 11 0,0 563 0,05\8 0,0 477 0, 1736 0, 1626 0.1523 0 ,1425 O,3UJ 0,3257 0,3097 0,2942 0,532 1 0,5 132 0,-\9-\6 0,4763 0,7029 0,6858 O,66 M 0,65 10 0 ,8 3 11 0,&180 0,&0-16 0,790 8

6.0 0,00 25 0,0 174 0.062 0 0, 1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,7440 0,8472 0,9 161 0,957 4 0,9799 0,99 12 0,9964 0,998(, 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1.0000

6,2 0,O()20 0,0 146 0,0536 0,1 342 0.2592 0,4 14 1 0,574 2 0,7 160 0,8259 0,90 16 0,94&6 0.9 750 0,9&&7 0,9952 0,99&1 0,9993 0,999 7 0.9999 1.0000 1.0000

I

0,-1 -\05

0,6 160 0,7622

11,8666 0,93 19 0,968 2 0,9863 0,9945 0,9')80 0,9993 0,9998 0,9999 1.11000

(, .(, (,,8 7,0 O,()()14 o.oot I O.O()O9 0,01U3 0,00 87 0,00 73 0,0400 0.0344 0.0296 0,10 5 2 0,092 8 0,08 18 0,2127 0. 1920 0. 1730 0,3547 0,3270 0,3007 0,5 108 0,4799 0,4 497 0.65&1 O,62ll5 0,59 ll7 0,7796 0.75 48 0.729 1 0.llfill 6 0,&502 0,8305 0,927 4 0,9 15 1 0,9015 0.9(,27 0.9552 0,94(,7 0,9ll2 1 0,9779 0,9730 0.9920 0,989 8 0,9872 0,9%6 0,9956 0,9943 0,99 8(, 0,9982 0,9976 0,9995 0,9993 0.9990 0,999 8 0,9997 0,9 990 0.999 9 0,9999 0,9999 I ,O()()O r.mco r.moo 1,0000

6,4

0,00 17 0,0 123 0,0463 0, 1189 0,235 1 0,38 37 0,54 23 0.6&73 0.&033 0.885& 0,93&6 0,%93 0,9857 0,9937 0.9 974 0,9990 0.99 96 0.9999 1.000 0

I

tsusseassasüsas:

2 17

Ta belle 2b: Poissonver teilun g F p (x), Fortsetzung

"o

x

I 2

,, 3

6 7

8 9 10 II 12

13 I' I' 16 17 18 19 2. 21

22 23

7,2 0,0007 0,006 1 0,0255 0,0 7 19 0,1555 0,2759 0,420-1 0,568 9 0,7027 0, 8096 0,8867 0,937 1 0,9673 0,9&-\ 1 0,9927 0,9969 0,998 7 0,9995 0,9998 0,9999 1,00 00 1,00 00 1,0000 1,01lOO

I

7,' I 7,6 0,()O06 O,(M)O; 0,00 5 1 0,00 -13 0,02 19 0,OIll.8 0,06 32 0,055 -1 0, 1395 0, 1249 0,2526 0,2307 0,3920 0,36-16 0,5393 0,5 100 0,67 57 0,6482 0,7877 0,7M 9 0,870 7 0,8535 0,926; 0,9 141': 0,960 9 0,9536 O,9ll05 0,9762 0,9908 0,98ll6 0,995 9 0,9948 0,9983 0,997ll 0,9993 0,9991 0,9997 0,9996 0,9 999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 I,OOilO 1.0000

,

7,8 0,(1(104 0,0036 0,0 16 1 0,0485 0, 1117 0,2 103 0,3384 0,-\8 12 0,620-1 0,7-1 11 0,8352 0,9020 0,9454 0,9714 0,9859 0,99 34 0,9971 0,9988 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 I,OOO() I,OOOil

I

8,0 O,(I(MH 0,0030 0,013 8 0,0424 0,0996 0, 1912 0,3 134 0,4530 0,5925 0,7 166 0,8 159 0,1': 1': 8 1 0,9362 0,965 8 0,9ll27 0,9918 0,9963 0,99 84 0,999 3 0,999 7 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

8,2 0,()(l03 0,0025 0,0 118 0,0370 0,08 87 0,1736 0,2896 0,4254 0,56-17 0,69 15 0,7955 0,8 73 1 0,926 1 0,9595 0,979 1 0,9898 0,9953 0,9979 0,999 1 0,999 7 0,999 9 1,0000 1,0000

8,4 0,0002 0,002 1 0,0 100 0,0323 0,0789 0, 1573 0,26 70 0,398 7 0,5369 0,6659 0,77-13 0,857 1 0,9 150 0,9524 0,9749 0,9875 0,994 1 0,9973 0,998 9 0,9995 0,9998 0,999 9 LOOOO

r.ooro r.oooo

I 8,6 0,0002 0,00 18 0,00 86 0,0281 0,070 I 0, 142_2 0,2-157 0,3728 0,509 4 O,MOO 0,7522 0,8-\00 0,9029 0,94-\5 0,970 1 0,98 48 0,9926 0,9966 0,9985 0,999 4 0,999 8 0,9999 1,0000 I,oono

I

8,8

i

9,. 0,000 1 0,00 12 0,0062 0,02 12 0,0550 ~~~-I 0 ,1l57 0,2256 0 ,206 8 0,347 8 0,32 39 0,4823 0, 4557 O,6 B 7 0 ,587-1 0,729 -\ 0,7060 0,8220 0,8030 0,889 8 0,875 8 0,935 8 0 ,926 1 0,964 7 0 ,958 5 0,98 16 0 ,9780 0,9909 0 ,9889 0,9957 0, 9947 0,998 1 0 ,9976 0,9992 0,9989 0,999 7 0,9996 0,9999 0 ,9998 1,0000 0,9999 i.oom J.(lI)(lO 0,0002 0,00 1; 0,0073 0,024-1 0,0621

218

Taheflenanhang

Ta belle 3a : Sta ndard norma lverteilung; F SN(z) = W(-oo :S; Z

, -3,2 -3,1

-0,09

-0,08

0,0005 0,0005 0,000 7 0,0007 0,00 10 0,0010 ~ -2,9 0,00 14 0,001 ~ -2,8 0,00 19 0,00 20 -2,7 0,002 6 0,0027 -2,6 0,0036 0,0037 ~ - 0,00 48 0,00 49 -2,4 0,006 ~ 0,0066 -2,3 0,008" 0,0087 -2,2 0,0 110 0,0 113 -2, 1 0,0 143 0.0 1"6 ~ 0,0 183 0,0 188 - 1.9 0,0233 0,0239 -1,8 0,0 29" O,D30 1 -1,7 0,0367 0,03 75 -1.6 0,0-1-55 0,0-1-65 ~ 0,0559 0,057 1 -1,-10,0681 0,069 -1- 1,3 0,0823 0,0838 -1,2 0,0985 0,1003 -I , I 0, 1170 0, 1190 ~ 0, 1379 0, 140 1 -,9 0, 16 11 0, 1635 0, 1867 0.J 89~ -,8 -,7 0,2 1-1-8 0,2 177 -,6 0,245 1 0,2-183 -,5 0,2 776 0,2810 -,4 0,312 1 0,3 156 -,3 0,3-1-83 0,3520 -,2 0,3859 0,3897 -, I 0,4H7 0,~ 2 86 0,0 0,46..\ 1 0,..\68 1

I

-0,07

-,06

-0,05

0,000 5 0,000 8 0,00 11 0,00 15 0,002 1 0,0028 0,0038 0,005 1 0,006 8 0,0089 0,0 116 0,0 150 0,0 192 0,024-1 0,030 7 0,0384 0,0-1-75 0,OS82 0,070& 0,01l53 0, 1020 0, 1210 0, 1423 0, 1660 0, 1922 0,2206 0,25 1-1 0,2843 0,3 192 0,3557 0,3936 0,4325 0,-1-721

0,0006 0,0008 0,00 11 0,00 15 0,002 1 0,0029 0,0039 0,0052 0,0069 0,009 \ 0,0119 0,0 154 0,0 197 0,0250 0,0 314 0,0392 O,O..\S5

0,0006 O,OOOg 0,00 11 0,00 16 0,00 22 0,0030

-0,0-10,0006 0,0008 0,00 12 0,00 16 0,0023 0,003 1

O ,OO~ O

O,OO~ I

0,005 4 0,0071 O,()O