Secuencias gráficas de perspectiva

SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA JOSÉ ANTONIO PÉREZ RAMÍREZ INSTITUTO POLITÉCNIC...

Author: Pérez Ramírez | José Antonio

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SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA

SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA JOSÉ ANTONIO PÉREZ RAMÍREZ

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL — MÉXICO —

PRIMERA EDICIÓN: 2001 D.R. © 2001, INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, México, D. F. ISBN Impreso en México / Printed in Mexico


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PERSPECTIVAS PRÓLOGO Este trabajo puede parecer extemporáneo a juicio de muchos; todos aquellos formados recientemente en el aula, en la práctica y más aún para aquellos que han nacido y se han desarrollado en la vertiginosa época de la computación, y es cierto, mucho de lo aquí descrito puede ser sustituido y desarrollarse a través de la paquetería creada por especialistas en el campo del dibujo, la informática y medios afines, prueba de ello son las animaciones en tercera dimensión que se observan en decenas y tal vez en cientos de películas de ciencia ficción, más aún, la animación ahora cubre no sólo los aspectos de entretenimiento, sino todos aquellos en los que la representación gráfica es útil, el diseño en todas sus ramas, la publicidad, la pedagogía, la didáctica, la ciencia y hasta el arte, cierto es que muy probablemente la forma tradicional y clásica de representar gráficamente como lo hicieron los griegos e incluso culturas y tribus anteriores a ellos, nunca vuelva a requerir la labor ardua y metódica que en este trabajo se describe; sin embargo, la conclusión de este esfuerzo, y el deseo de que llegue a ver la luz, tiene el objetivo de preservar algunos de esos eslabones del conocimiento que la humanidad ha ido engarzando lenta y difícilmente durante miles de años y ahora corren el riesgo de quedar perdidos dentro de la carrera de productividad, rapidez y eficiencia que nos impone la época y que tienen en la computadora, sin lugar a duda, una herramienta poderosísima para ello. No es nuestra pretensión el aferrarnos al pasado o devaluar la importancia de los avances científicos y tecnológicos de nuestra era, más bien pretendemos dejar una

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PRÓLOGO

muestra de cómo, hasta hace muy poco, fueron elaborados estos trabajos; compendiar, aunque de manera breve, una serie de conocimientos que corren el riesgo de ser considerados materia de archivo o sólo de especialistas. Se pretende que éstos perduren un poco más en la conciencia de la humanidad y sigan siendo estudiados y analizados por su gran riqueza y capacidad formativa como disciplina indispensable para quienes trabajan con el volumen, el espacio, las formas y características de los cuerpos, para quienes viven de representar gráficamente sus idea, proyectos y sensaciones, pero además, para aquellos que gozan con ir descubriendo trazo a trazo la belleza gráfica generada en su mente y convertida en realidad, gracias a la perspectiva.


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INTRODUCCIÓN GENERAL Este libro está organizado de manera tal que permite un avance gradual y escalonado en el conocimiento de los temas y ejemplos que presenta. Inicia con una introducción que facilita a todos aquellos poco relacionados con el dibujo técnico o arquitectónico conocer las bases de esta forma de representación y sus antecedentes más característicos; muestra, en forma por demás detallada, ejemplos con figuras geométricas elementales y señala los principales elementos de la perspectiva aplicándolos en este tipo de figuras, las que de manera progresiva se complican y suman consiguiendo composiciones cada vez más elaboradas con las cuales se introducen al desarrollo de perspectivas de tipo libre o intuitivas, en las que aun sin la aplicación de algún método se pueden elaborar perspectivas rápidas de gran utilidad. La unidad número tres es, sin duda, parte fundamental de esta primera etapa del libro, en ella se describe la perspectiva paralela y sus reglas, así como los métodos perspectivos más importantes; con las secuencias gráficas se permite el detallado análisis, comprensión y comparación entre los métodos expuestos. Posteriormente se tratan las variantes de la composición perspectiva y se ejemplifica con la realización de perspectivas de ambientes cerrados y abiertos con la realización de perspectivas interiores y exteriores. Como segunda parte de este trabajo, se describe la perspectiva oblicua, se retoman algunos ejemplos ya presentados, se integran variantes, se muestran las reglas de la perspectiva faltantes y se realizan secuencias gráficas de perspectivas interiores y exteriores, en las que se incluyen la aparición de caras o planos inclinados de los objetos.

10

INTRODUCCIÓN GENERAL

En la parte final usted encontrará los fundamentos, descripción y ejemplos secuenciados de perspectivas con el plano de cuadro inclinado, para de esta manera abordar las llamadas perspectivas áreas, o a ojo de pájaro, monumentales, o a ojo de hormiga, y la variante y aplicación de un método perspectivo más; por último se presenta toda la teoría necesaria para desarrollar el tema de la perspectiva de las sombras que se ejemplifica a través de planos, volúmenes y figura humana en una perspectiva paralela interior, todo ello nuevamente usando las secuencias gráficas que le dan su nombre a este libro de perspectiva.


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AGRADECIMIENTOS Sirvan estas sencillas líneas para reconocer y agradecer la valiosa colaboración y apoyo de un numeroso grupo de jóvenes alumnos que en su momento aportaron su esfuerzo para avanzar en la realización de esta obra, a aquellos que gustosos brindaron su apoyo e incluso sugerencias valiosas para mejorarla y organizarla. Agradezco en forma especial a Gina, Mariana, Joan, a mis padres y hermanos por su tolerancia, paciencia y aliento permanente. Gracias, muchas gracias, a todos. EL AUTOR


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UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Objetivo general El lector contará con los recursos que le permitan representar en perspectiva todo tipo de formas y elementos relativos al diseño, mediante la correcta aplicación de los principios ópticos y geométricos en que se fundamenta la representación tridimensional del sistema de proyecciones cónicas. 1.2. Dibujo, geometría y geometría descriptiva Para entender la relación existente entre la perspectiva, la geometría y la geometría descriptiva, debemos partir de un mayor conocimiento sobre la disciplina de la cual surgen: el dibujo. El dibujo Se puede definir como una forma de comunicación gráfica usada por el hombre para representar las formas de lo que le rodea e incluso transmitir sensaciones e ideas. La necesidad del hombre por desarrollar su propia esencia, sentimientos e ideas; es decir, la necesidad de expresar aspectos diferentes de un mismo ser, origina la formación de dos ramas del mismo tronco:

14

INTRODUCCIÓN

• Dibujo artístico y • Dibujo técnico.

como la ciencia que estudia las propiedades de las figuras en su forma mensurable (lineal, de superficie y de volumen), por medio de las matemáticas y su representación mediante el dibujo.

Cada una de ellas ha conformado su propio lenguaje tan sólo a partir del punto y la línea. La división del dibujo en sus dos ramas se establece con el uso de un tercer concepto básico, exclusivo y diferente para cada una: el tono o mancha, en el dibujo artístico y, el plano, en el dibujo técnico.

Dibujo artístico

Punto Línea Tono o mancha

Por ello, la geometría se define como la parte de las matemáticas que trata de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio.

Dibujo artístico Punto

Dibujo Dibujo técnico

Dibujo

Dibujo técnico

Punto Línea Plano

Entendemos el dibujo como la acción de representar gráficamente algo y, como parte de éste, el dibujo técnico en relación con sus conceptos básicos: el punto, la línea y el plano, este último resulta ser un elemento que puede ser medido en longitud y área, y que al agruparse forma volúmenes. Entonces surge la geometría

Línea Plano

Geometría

Estudio de las características de líneas, figuras y cuerpos mediante las matemáticas

La geometría descriptiva es la rama de la geometría encargada de representar gráficamente los problemas que plantean la línea, el plano y el volumen. Es decir, la geometría descriptiva une al dibujo técnico y a las matemáticas para resolver los problemas que se plantean al representar gráficamente (en un plano: el papel) las líneas, los planos y los volúmenes.

15


Para esto, la geometría descriptiva hace uso de tres sistemas de proyección, que son: • Sistema de proyección diédrico ortogonal • Sistema de proyección axonométrica • Sistema de proyección cónica.

Esquema 1.2

Dibujo

Geometría

artístico Dibujo

De éstos, el sistema de proyección cónica es la base de la representación perspectiva. Esto se debe, como se verá posteriormente, a la similitud que este tipo de proyecciones tiene con el fenómeno de la visión humana.

Geometría:

descriptiva:

estudio de las

representación

Dibujo

Punto

características de

gráfica de las

Dibujo

técnico

Línea

las líneas, planos

líneas, planos

de

Plano

y volúmenes

y volúmenes

perspectiva

apoyado en las

mediante

matemáticas

Esquema 1.1 Relación entre la geometría descriptiva y el dibujo perspectivo

Geometría descriptiva

los sistemas de proyección

Sistema de proyección cónica

Dibujo de perspectivas

1.3. Los elementos geométricos y su representación ortogonal En el tema anterior se expuso a grandes rasgos la evolución que el dibujo técnico ha experimentado, su relación con la geometría y la geometría descriptiva, y los sistemas de representación. Por ello, es conveniente ampliar el conocimiento tanto del sistema diédrico ortogonal como axonométrico, ya que a través de ellos se realizará y facilitará la comprensión de muchas de las explicaciones que nos encaminan a nuestro objetivo. Para empezar, se mostrarán los elementos geométricos, punto y línea, en estos sistemas.

16

INTRODUCCIÓN

Sistema diédrico ortogonal

Figura 1.1

Para los fines de nuestro estudio, sólo se analizará el primer cuadrante (método europeo) por ser el más usual entre arquitectos, ingenieros civiles y especialistas afines.

PVS 2o.

Tenemos: Proyección: Es el pie de la línea perpendicular que une al punto (en el espacio) con el plano (de referencia). En el sistema de proyecciones ortogonales, estas líneas (proyectantes) son perpendiculares al plano, y su punto de contacto con éste es lo que se llama proyección. Cabe señalar que aun conociendo la proyección de un punto y su pie no es posible fijar su posición exacta en el espacio, dado que todos los puntos dentro de esta línea de proyección tienen el mismo pie. Por medio de las proyecciones diédricas ortogonales se consigue determinar exactamente la posición de cualquier punto, para lo cual se utilizan planos de referencia que se cortan formando ángulos de 90°. La línea que surge del corte entre los planos vertical y horizontal se llama línea de tierra y divide a los planos en:

1o.

PHP

PHA 3o.

4o.

PVI

Abatimiento del plano horizontal: Se considera que el plano vertical permanece fijo y el horizontal se abate; gira hasta integrarse en uno solo en el que el plano horizontal anterior se une al vertical inferior, y el horizontal posterior queda unido al vertical superior. Figura 1. 2

• PVS: plano vertical superior • PVI: plano vertical inferior • PHP: plano horizontal posterior • PHA: plano horizontal anterior.

PVS PVS

PHP

PHP

PVS

PVI

PHA

PHP

PHA PVI PHA PVI


El abatimiento produce una figura llamada “montea” que contiene a los dos planos (figuras 1.1 y 1.2). Dado que los planos de referencia (horizontal y vertical) se consideran ilimitados y que el observador siempre se ubica de frente al vertical superior y sobre el horizontal anterior, la montea se representa por comodidad, simplemente con una línea horizontal y dos pequeños trazos gruesos abajo de los extremos. La representación de un punto en el espacio y en la montea se muestra claramente en las figuras 1.3 y 1.4.

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Figura 1. 4

a’

PHP PVS

a’

A

a,

Figura 1. 3 a PHA a

PVI

Representación del abatimiento (montea) Nótese que los puntos en el espacio están marcados con mayúsculas; las proyecciones hechas hacia el plano horizontal tienen minúsculas con subíndice (a); las proyecciones al plano vertical, minúsculas con coma alta (a’), y que en la representación de montea desaparece el subíndice del plano horizontal y se señala simplemente la literal. Para simplificar la comprensión de lo representado en cada plano es aconsejable entender el plano vertical superior como plano de vista frontal; y al plano horizontal anterior, como plano de vista superior, o sea:

• PVS = VF • PHA = VS

• PVS = VF • PHA = VS

Representación del punto en el espacio Representación ortogonal del punto en la montea Conociendo la representación ortogonal de un punto, pasaremos al estudio de la representación de la recta y el plano (figura 1.5 a 1.10).

18

INTRODUCCIÓN

a'

b'

b' a'

Vis a'

al ont r f ta

b'

al ont b'

B

fr ista

B

V A

a'

A

b,

b'

Vista superior a,

a

Representación en el espacio

b

Representación de montea

Figura 1.5. Recta frontal

Vista superior a'


a

b


Figura 1.6. Recta frontal cualquiera o frontal inclinada

19


a'

al ont r f b' ta Vis a'

b'

B A

a' b'

B

a'

A b'

a

a Vista superior a'

Vista superior a'


b'

l

a ont r f ta Vis b'

b

b


Figura 1.7. Recta horizontal con cualquier posición



Figura 1.8. Recta inclinada cualquiera

20

INTRODUCCIÓN

a'-b' l nta o fr

sta Vi a'-b'

A

a'

l nta

fro a t s Vi a'

B

A b'

a

b'

B

b'

VS

a'-b'

a' Vista superior

b



Figura 1.9. Recta de punta

Vista superior a-b



Figura 1.10. Recta vertical


1.4. Principios básicos de los sistemas de proyecciones y su aplicación a los dibujos tridimensionales La geometría descriptiva cuenta con tres sistemas de proyección, que son: • Sistema de proyección diédrico ortogonal • Sistema de proyección axonométrico • Sistema de proyección cónico o de convergentes. Cada uno de estos sistemas utiliza líneas rectas de proyección llamadas proyectantes; las proyecciones son dirigidas desde un punto en el espacio hacia un plano de referencia. El punto de contacto o corte, entre la proyección y el plano de referencia, es la proyección del punto y marca la posición relativa de este punto en el plano. Las líneas proyectantes pueden ser de dos tipos. El sistema diédrico ortogonal y el axonométrico se basan en las proyecciones paralelas (llamadas por muchos autores cilíndricas). El sistema cónico utiliza las proyecciones cónicas (o de convergencia central). El grupo de proyecciones paralelas considera a la recta o rayo proyectante dirigido desde el infinito; tal consideración produce el paralelismo. En el caso de las proyecciones cónicas, el punto de origen de éstas es lo suficientemente cercano como para formar un cono que en su base comprende a todos los puntos a proyectar y del cual su cúspide es el origen “o” (punto central), del que surgen los rayos proyectantes (figuras 1.11, 1.12a y 1.12b). Figuras 1.11. Proyección paralela

21

22

INTRODUCCIÓN

+ * )

? > =

2

Figuras 1.12a. Proyección paralela (o cilíndrica)

Figura 1.12b. Proyección cónica (o de convergentes)


23

Sistema diédrico ortogonal

Sistema axonométrico

• Los rayos de proyección, paralelos entre sí, son dirigidos hacia el plano en forma perpendicular a éste. • Todas las medidas mantienen su verdadera magnitud. • Es necesario un mínimo de dos planos: vertical y horizontal, para poder reproducir un objeto.

• Los rayos de proyección son paralelos entre sí, interceptan al plano de manera oblicua. • Los objetos a representar se muestran sobre tres planos formados por los ejes X, Y, Z. En ellos “z” siempre es vertical y los otros forman ángulos variables. El plano de dibujo corta a los tres planos coordenados en su vértice. • En este sistema, dependiendo de las variantes que engloba, las medidas pueden o no conservar su verdadera magnitud. • Este sistema es un sustituto de la perspectiva exacta.

Ejemplos: Método europeo (o del primer cuadrante) Método americano (o del tercer cuadrante). Observe figura 1.13

Ejemplos: Subsistema isométrico, dimétrico, trimétrico, representación caballera y militar (figura 1.14).

Plano lateral

n Pla

o

a rtic ve

l

Plano horizontal

Figura 1.13

Figura 1.14

24

INTRODUCCIÓN

Sistema cónico o de convergentes • Los rayos de proyección son convergentes. • Estos rayos son dirigidos desde el observador hacia el objeto, y en su trayectoria cortan al plano. • Las medidas varían dependiendo de la distancia y posición del objeto respecto al plano y al observador.

Ejemplos: Método de visuales y dominantes, método de la línea a 45° y método de puntos métricos (figura 1.15).

Figura 1.15


25

UNIDAD 2 TEORÍA DE LA PERSPECTIVA 2.1. Antecedentes históricos La perspectiva muestra ejemplos realizados intuitivamente desde la prehistoria (año 30 mil a 10 mil a.C.). Como se puede constatar en pinturas rupestres como las de las cavernas de Lascaux, Roufinac, Niaux y Altamira, en Europa occidental (figura 2.1).

Bisonte a la carrera, pintura de las cuevas de Lascaux, Francia. Fechado entre los años 15000 y 10000 a.C.

26

TEORÍA DE LA PERSPECTIVA

Las pinturas rupestres son las primeras muestras del deseo del hombre por expresar el espacio gráficamente. En ellas se observan figuras zoomorfas en las que las diferencias de tamaño son utilizadas para representar, con un tipo de perspectiva intuitiva, las diferencias de distancia entre las figuras y el observador. La perspectiva como se le conoce actualmente, basada en una serie de conocimientos geométricos, tiene sus antecedentes más remotos en los trabajos realizados por las culturas griega y romana, en los siglos III y IV a.C., respectivamente. En estas culturas se aprecian trabajos decorativos en los que la copia al natural indica el deseo de mostrar la volumetría de los cuerpos. Los trabajos de Euclides (matemático griego, siglo III a.C.) y de Vitrubio (arquitecto romano, 88-26 a.C.) nos proporcionan ciertos conocimientos geométricos e integran las bases de una perspectiva incipiente, pero con un alto grado de evolución y realismo. Mucho tiempo después, en el siglo XV, al final de la Edad Media, y retomando los estudios de los clásicos, se resuelven las primeras dificultades de la representación tridimensional mediante la prolongación de líneas que convergen. Son dos los personajes a quienes se les puede considerar como fundadores de la perspectiva geométrica: • Fillipo Brunelleschi, arquitecto florentino (1377-1446) • Pablo Ucello, pintor florentino (1397-1475). Las primeras notas sobre el tema se deben al arquitecto Leo Batista Alberti (14041472) y el primer texto de esta técnica se atribuye al pintor y matemático Pietro Degli Franceshi (muerto en 1492). El gran Leonardo da Vinci (1452-1519) define el trazo para las líneas perpendiculares al plano de cuadro (pantalla sobre la cual se realiza la perspectiva), y Alberto Durero (pintor y grabador alemán, 1471-1528) demuestra físicamente la convergencia de estas líneas en un punto y su corte con el plano de cuadro. En el siglo XVIII, Guido Ubaldi indica el procedimiento para ubicar el punto de convergencia de las líneas horizontales, paralelas entre sí, con ángulos diferentes a los 45° respecto al plano de cuadro.

Por otra parte, René Descartes (1596-1650) desarrolla la geometría analítica y, en el siglo XVIII, Gaspar Monje (1746-1818) crea la geometría descriptiva, con lo que se ordenan y definen los sistemas de representación gráfica, en particular, el sistema de proyección cónica, utilizado hasta la fecha para obtener la perspectiva geométrica exacta. Esta evolución ha permitido el aumento del número de diferentes métodos perspectivos, de sus bases teóricas y, sobre todo, la investigación fructífera en la capacidad de expresión del volumen y la distancia; el espacio y los objetos que conforman el diseño y lo existente en el mundo del hombre actual.

2.2. Principios fundamentales del fenómeno perspectivo Todos los objetos, al ser iluminados, reflejan los rayos procedentes de la fuente luminosa. Estos rayos son captados por la retina de nuestros ojos y ésta reacciona mediante cambios electroquímicos que son registrados por el cerebro, formándose en él la imagen de lo que observamos. Las cámaras fotográficas, de película o video, funcionan de manera similar; al hacer concurrir los rayos reflejados por los objetos sobre un rollo sensibilizado químicamente, éste reacciona a la luz y fija la imagen de lo que se tenga enfocado. Tanto el ojo humano como la cámara fotográfica reciben los rayos luminosos en un lente que resulta ser el vértice o cúspide de un cono, dentro del cual se halla lo visto o fotografiado. Bajo un sistema similar funcionan las proyecciones cónicas (figuras 2.2, 2.3 y 2.4).

Objeto

Ojo humano

Figura 2.2

Imagen racionalizada


Objetos

Convergencia de visuales

Perspectiva

Imaginemos por un momento que tenemos una crayola y trazamos el perfil de un objeto sobre un cristal vertical, mirando con un ojo solamente. El dibujo que obtendremos será una perspectiva. Por lo tanto, una perspectiva es la representación gráfica de un objeto como si fuera visto a través de un cristal. Por etimología, perspectiva viene del latín perspiciere; que significa “ver a través”.

Figuras 2.3, 2.4 y 2.5

27

28


2.3. Generalidades para la obtención de la perspectiva La perspectiva que estudiaremos en nuestro curso es la llamada exacta. Su realización requiere del conocimiento de los sistemas de proyección, las definiciones propias de la materia y de métodos de resolución que de manera ordenada y secuencial nos permiten obtener perspectivas correctamente ejecutadas. Además de la perspectiva exacta, existe otro tipo: la perspectiva del pintor. En ella se deben utilizar las reglas de la perspectiva exacta y algunos de los conceptos básicos de ésta. Como su nombre lo indica, es la perspectiva que el pintor aprende a desarrollar a través de la imitación y copia del natural; es decir, copia de la naturaleza la perspectiva que en ella se presenta. La aparente disminución de tamaño de los árboles o postes en una calle, las vías del tren que aparentemente se unen a la distancia y muchos otros ejemplos nos muestran la perspectiva de la naturaleza. Esta aparente deformación de tamaño en los objetos idénticos es lo que permite al ojo y al cerebro humano entender y distinguir la distancia; es por este fenómeno óptico que podemos decidir nuestros movimientos para atajar o recibir un balón de futbol, calcular la distancia del autobús en la calle o impedir que nos golpee algún objeto que cae. Representar la distancia en un papel o lienzo, como los artistas, requiere de mucha práctica y cientos o miles de dibujos. Nosotros no podemos dedicar años de nuestra vida practicando, como lo hacen los pintores, hasta dominar las aparentes deformaciones de los objetos al verse en diferentes posiciones y distancias. Lo haremos, como ya se ha dicho, mediante los sistemas de proyección, las definiciones y los métodos, con la ventaja de que nuestras perspectivas son exactas y les podemos añadir todo el sentido artístico del que seamos capaces. Partiendo de que ya hemos realizado un breve recorrido por los sistemas de proyección, resulta evidente que los siguientes pasos nos encaminan al conocimiento de los conceptos; las definiciones que nos permitirán, a su vez, introducirnos al manejo de los métodos perspectivos. Veamos, entonces, algunos conceptos.

En toda perspectiva, ya sea elaborada por un artista o por alguien que maneje los métodos perspectivos, siempre se encontrarán cuatro elementos básicos, que son: 1. Línea de horizonte 2. Línea de tierra 3. Punto o puntos de fuga 4. Líneas de fuga. Las definiciones escritas de cada uno de estos elementos se darán al abordar el tema de definiciones. Por el momento sólo los conoceremos gráficamente, de forma que veamos su funcionamiento dentro de una perspectiva, tal y como podrían ser usados por un pintor, un dibujante, un diseñador o un constructor, al realizar una perspectiva sin método. 1. Ubiquemos en una hoja de papel una línea horizontal, LH representa a la línea de horizonte (figura 2.6). L

LH

H

2. Ahora tracemos una línea más, también horizontal y separada del borde inferior de la hoja más o menos lo mismo que la línea anterior, sólo que ahora estamos trazando la línea de tierra (figura 2.7). L

H

LT L

T

Figuras 2.6 y 2.7


3. Marquemos el punto de fuga, que se ubica en la línea de horizonte (figura 2.8).

29

Un cubo 1. Ubiquemos en el papel los cuatro elementos (figura 2.10).

PF L

H

L

H

PF

LF L

T

L

T

Figura 2.10

Figura 2.8 4. Hasta ahora tenemos tres de los elementos necesarios de una perspectiva, el cuarto es la línea de fuga (figura 2.9). L

H

2. En la línea de tierra y partiendo de la unión de ésta y la línea de fuga, marcaremos la recta 1-2 que será la base del futuro cubo (figura 2.11). PF

L

H

LF

LF L

T L

Figura 2.9 Estos cuatro elementos siempre estarán en una perspectiva, aunque nunca son visibles, pues son líneas de procedimiento, útiles en el trazo perspectivo, pero que desaparecen al tener al objeto perspectivado; es decir, nunca se mostrarán como las hemos visto en las figuras anteriores; sin embargo, siempre estarán ahí como parte de la perspectiva y de los trazos que le dieron origen. Con la finalidad de entender su función en la perspectiva, ejemplificaremos con algunos volúmenes; su trazo mostrará el desempeño como líneas de procedimiento de estos cuatro elementos básicos.

T 1

2

Figura 2.11 3. Trazando otra línea de fuga desde el punto 2 hasta el PF se puede marcar en ella el punto 3 de la base del cubo, y mediante un trazo paralelo a LT cortaremos la fuga 1-2 desde el punto 1 y otra desde el punto 2. En lo alto de estas rectas marcaremos los puntos con los que se ubica el cuarto de la base. Nótese que la distancia 2-3 es aproximadamente la mitad de la existente entre 1-2 (figura 2.12).

30


PF

L

En el desarrollo anterior sólo falta borrar los trazos de procedimiento, los elementos necesarios de trazo. La perspectiva del cubo tendrá el aspecto de la figura 2.15.

H

LF 4

3

L

T 1

2

Figura 2.12 4. Ya tenemos la perspectiva de un cuadrado en el piso, la base del cubo. Pasemos a realizar la cara frontal del mismo. Para esto debemos levantar una vertical con la dimensión exacta de 1-2 desde el punto 1 y otra desde el punto 2, en lo alto de estas rectas marcamos los puntos 5 y 6 respectivamente y luego los unimos (figura 2.13). PF

L

Figura 2.15 Los ejemplos siguientes muestran el trazo de un prisma rectangular (figura 2.16a a 2.16d) y de una pirámide de base cuadrangular vista desde abajo (figura 2.17). 5

Perspectiva de un prisma rectangular

6

H

5

6 4

PF

L

3

L

H

PF

L

H

T 1

2

4

3

Figura 2.13 5. Para conseguir las caras faltantes realizaremos otras líneas de fuga, una partiendo del punto 5 hacia el PF y la otra desde el punto 6 hasta el PF. Con estas fugas tenemos la altura del cubo alejándose. Ahora desde los puntos 4 y 3 levantamos líneas verticales que se corten con las fugas 5-PF y 6-PF. Los puntos de corte 7 y 8 nos auxilian formando las caras faltantes (figura 2.14).

4

L

T 1

7

PF

T 1

6 8

L L

L

2 5

PF

H

H

7

8

5

6 4

4

3

L

T 1

2

Figura 2.14

3

L

T 1

3

2

Figuras 2.16a, 2.16b, 2.16c y 2.16d

2


En el cubo, tanto como el prisma y la pirámide, además de usar los elementos básicos, también se han utilizado algunas reglas de la perspectiva, en cuyo estudio profundizaremos posteriormente. Mientras tanto, analice las imágenes del prisma y de la pirámide y compárelas con lo escrito en el ejemplo del cubo. El propósito de los ejercicios anteriores es introducirnos de manera fácil al

L

31

entendimiento de la representación del volumen, aun sin el manejo de una amplia teoría que poco a poco se irá mostrando para su comprensión y manejo. Por el momento puede empezar a realizar algunas perspectivas por su cuenta con una caja, silla o mesa, o tal vez con ambientes interiores como los que se muestran en las figuras 2.18, 2.19 y 2.20. Además, observe el trabajo de los cuatro elementos básicos.

PF

H

T

L

Figura 2.17. Perspectiva de una pirámide (vista desde abajo)

32


L

PF

L

LH

LT

Figura 2.18

33


L

H

L

T

Figura 2.19

34


LH

PF

LT

Figura 2.20

LI


2.4. Clasificación de la perspectiva La perspectiva suele clasificarse según la posición del objeto a perspectivar respecto al plano de cuadro (PC). Partiendo de esto, la perspectiva puede ser: A. Perspectiva paralela B. Perspectiva oblicua. La perspectiva paralela es la que presenta una o más de las caras principales del objeto, paralelas al plano de cuadro.

PC

PF

35

La perspectiva oblicua es la perspectiva que muestra una o más de las caras principales del objeto formando algún ángulo respecto al plano de cuadro. Para la mejor comprensión de esta clasificación en las figuras 2.21 y 2.22, se muestra un cubo, representado en los tres sistemas de proyección. La primera parte corresponde al sistema diédrico ortogonal y es lo equivalente a una vista superior. La parte de en medio es una prepresentación axonométrica que corresponde a una vista en isométrico. En las dos se representa el plano geometral, el plano de cuadro, e incluso se muestra la posición del observador y, naturalmente, el objeto a perspectivar posteriormente. En la tercera parte se muestra la perspectiva del objeto (cubo). Nótese la diferencia en el resultado.

LH

PC

75 15

PFI

PC

PC

PC

Figura 2.21. Perspectiva paralela

PFD

PG

PG

PG

LH

PG

PC

Figura 2.22. Perspectiva oblicua

36


2.5. Definiciones de los elementos perspectivos y su representación convencional Perspectiva. Es la rama de la expresión gráfica que une a la geometría con el dibujo artístico. Conjuga los conceptos teóricos con las técnicas artísticas, se basa en las proyecciones cónicas y representa en el plano (de manera aproximada a la visión humana) el espacio y las tres dimensiones de los objetos, así como las aparentes deformaciones de éstos al ser analizados y/o ubicados en diferentes posiciones.

Elevación o alzado. Representación vertical de un objeto, muestra su altura, así como el largo o ancho del mismo. Ésta es la vista frontal o lateral de las proyecciones diédricas ortogonales. Plano geometral (PG). Plano horizontal. Generalmente sirve de apoyo o referencia para la ubicación del observador y del objeto a perspectivar.

Punto. Es el límite mínimo de la extensión; se considera sin longitud, anchura, ni altura. Lugar en el que se cortan dos líneas o una línea y un plano. Línea. Es la suma de dos o más puntos, sucesión ordenada de puntos. Tiene largo pero no ancho, tiene posición y dirección, está limitada por dos puntos. Es la trayectoria de un punto en movimiento.

PG PG — Plano geometral

Mancha. Conjunto de puntos. Pigmento que ocupa una superficie. Tono. Es la cantidad de puntos en una superficie, grado de saturación de puntos o pigmento en una superficie dada.

Punto de vista (PV). Punto que señala la ubicación del observador, representa el ojo de éste.

Plano. Conjunto ordenado de tres o más líneas que contienen una superficie. Tiene sólo dos dimensiones, largo y ancho, pero no espesor (profundidad). Espacio. Es lo que contiene a todos los objetos; los objetos ocupan una parte del espacio. El hombre lo relaciona con tres dimensiones: largo, ancho y profundidad. Suele interpretarse como volumen. Planta. Representación horizontal de un objeto, muestra su largo y ancho. Es la vista superior de las proyecciones diédricas ortogonales. Es frecuente que se defina también de esta manera al corte horizontal, que permite representar el interior de una construcción (planta arquitectónica). El PG ubica al observador

Figuras 2.23 y 2.24


Proyección del punto de vista (PPV). Punto que representa la proyección perpendicular del ojo hacia el plano geometral (figuras 2.25).

37

Visual principal (VP). Representa el eje de la visión del observador y es perpendicular al plano de cuadro (figura 2.27). Punto principal (PP). Representa el contacto de la visual principal con el plano de cuadro (figura 2.27).

PV

PP

VP PPV

PV

Figura 2.25 Plano de cuadro (PC). Plano imaginario, transparente y vertical (generalmente), en el que se realiza la representación de la perspectiva (figura 2.26).

PPV

Línea de tierra (LT). Línea que representa el corte entre el plano de cuadro (PC) y el plano geometral (PG) (figura 2.26).

Figura 2.27 Línea de horizonte (LH). Línea horizontal y perpendicular a la visual principal, se traza en el plano del cuadro, a izquierda y derecha del punto principal y representa la altura del observador (figura 2.28).

PC

LH VP

PV LT

PP

PV LT

PPV PPV

Figura 2.26

Figura 2.28

38


Visual (o rayo visual). Recta que representa un rayo de visión; se traza desde el punto de vista hasta cualquier punto del objeto, y en su trayectoria corta al plano de cuadro. Cono de rayos visuales (CRV). Cono que representa la amplitud de la visión del observador. Contiene todos los rayos visuales de uno de sus ojos. Puede tener hasta 75° en su vértice, pero en perspectiva se recomienda no considerarlo mayor de 60° ni menor de 30°. Línea de fuga (LF). Línea mediante la cual se ubican y representan en perspectiva los puntos o líneas de todo objeto. Es una línea de procedimiento fundamental en perspectiva; define la ubicación, la magnitud y la representación adecuada de puntos y líneas, mediante los cortes entre dos o más de estas líneas de fuga, o entre éstos y algún otro tipo de trazo auxiliar. Siempre se dirige hacia un punto particular, llamado punto de fuga. Punto de fuga (PF). En su forma más general, el punto de fuga es todo aquel punto de la perspectiva en el que convergen una o más líneas de fuga. Puede

localizarse dentro o fuera de la línea de horizonte. Dada esta última característica, se tienen dos tipos de puntos de fuga: uno que agrupa las líneas horizontales (paralelas al plano geometral), y el que agrupa a las líneas inclinadas (formando un ángulo) con respecto al mismo plano geometral. Punto de distancia (PD). Son puntos de fuga exclusivos para las líneas del objeto o las fugas del mismo que, siendo horizontales y paralelas entre sí, formen un ángulo de 45° con respecto al plano de cuadro. Son dos y se ubican en la línea de horizonte, a izquierda y derecha del punto principal (PDI y PDD respectivamente). Punto de fuga accidental (PFA). Es todo punto de la perspectiva en el que convergen las prolongaciones o líneas del objeto (fugas) que sean inclinadas con respecto al plano geometral y paralelas entre sí. Se clasifican en ascendentes y descendentes y se ubican arriba o abajo de la línea de horizonte. En la figura 2.29 se muestra una representación en planta de los principales de estos conceptos, así como en la figura 3.30 se hace una representación en isométrico.


Figura 2.29. Representación en planta (vista superior)

39

40


Figura 2.30. Representación en isométrico


41

UNIDAD 3 PERSPECTIVA PARALELA 3.1. Características y definición de la perspectiva paralela La perspectiva paralela es aquella que presenta en una o más de sus caras principales “paralelas” al plano de cuadro (PC). Entre sus principales características podemos mencionar las siguientes: 1. Presenta un aspecto de cierta rigidez. 2. Al utilizar el método de visuales, requiere un reducido espacio para procedimiento. 3.2. Descripción del método de visuales El método se basa en una serie de trazos de procedimiento, de los cuales los rayos visuales y el trazo llamado inicial son dirigidos desde el observador (PV) hacia el plano de cuadro (PC). Los rayos visuales son dirigidos a los puntos importantes del objeto y deben cortar el plano de cuadro. En algunas ocasiones es necesario utilizar un trazo auxiliar que genera un punto llamado punto de alturas (PA). Con el auxilio del PA se traza una línea de alturas que

42

PERSPECTIVA PARALELA

nos permite realizar las mediciones verticales necesarias, empezando por ubicar la LT (con altura 0.00) y la LH (con altura correspondiente a la del observador). Además de los trazos mencionados, se requiere realizar las proyecciones de visuales, la proyección que ubica al punto de fuga, y con esto realizar las líneas de fuga que al cortarse con las proyecciones de visuales o con otras líneas de fuga ubican a los puntos del objeto ya perspectivado. Para su mejor comprensión, el método descrito se ha dividido en dos etapas: trabajo de planta y abatimiento del plano de cuadro. Primera parte: trabajo de planta 1. Se dibuja el objeto a perspectivar en planta y a escala (los puntos que lo definen se marcan con mayúsculas). 2. Se define la posición del observador y del plano de cuadro (PV y PC) respectivamente. 3. Se trazan las visuales hacia el punto o puntos dominantes del objeto a perspectivar. Éstas deben cortar al plano de cuadro (su corte se marca con la letra minúscula del punto al que se dirigen). 4. Cuando los puntos del objeto se encuentran separados del plano de cuadro, se realiza un trazo auxiliar perpendicular al plano de cuadro. El contacto de esta perpendicular y el PC genera un punto llamado punto auxiliar o punto de altura (PA). 5. Se traza la visual principal (VP) y su contacto con el plano de cuadro se marca como el punto principal (PP).

Dado que la perspectiva se realiza en el plano de cuadro, éste se ha considerado, hasta el momento, simplemente como una línea (visto desde arriba); resulta imposible mostrar en él alguna perspectiva. Es necesario abatirlo; girarlo hasta conseguir que quede horizontal, paralelo a nuestro papel. Este abatimiento se realiza suponiendo unido el PC con el PG en la LT (figuras 3.1 y 3.2).

PC

L

T PG PC

NOTA: El trazo auxiliar (punto 4) siempre es perpendicular al PC en perspectiva paralela. No así en perspectiva oblicua, como se verá posteriormente.

L

T

Antes de iniciar la descripción de la segunda parte del procedimiento llamado abatimiento del plano de cuadro, es conveniente explicar algunas consideraciones fundamentales. PG

Figuras 3.1 y 3.2


Reunir la parte del trabajo de planta con el abatimiento del plano de cuadro implica obtener la perspectiva encima del dibujo del objeto a perspectivar y de todos los trazos ya realizados en planta, lo que complica innecesariamente la claridad del procedimiento y la limpieza del resultado final. Es por eso que normalmente además de abatir el plano de cuadro, éste se traslada fuera, hacia arriba o abajo del plano geometral (figura 3.3).

PC

Perspectiva L

T

43

Segunda parte: abatimiento del plano de cuadro 1. Se traza la línea de tierra (base del plano de cuadro, principio del campo perspectivo), arriba o abajo de planta. 2. Se trasladan las proyecciones de visuales (marcándolas con letra minúscula y coma alta) en forma perpendicular hasta la nueva línea de tierra. 3. A partir de algún punto del objeto en contacto con el plano de cuadro o del PA (punto auxiliar), se traslada su proyección hasta LT y se marca en ésta (proyección) la altura del observador trazando la línea de horizonte (LH). 4. Posteriormente, por medio de una línea de proyección se traslada el punto principal (de planta) hasta la línea de horizonte, lugar en el que funciona como punto de fuga (PF). 5. Desde la referencia del punto auxiliar (correspondiente en caso de ser varias), se fuga y se corta a la proyección del punto que está perspectivado, el corte entre la fuga y la proyección de visual, para determinar la ubicación del punto perspectivado (que se marca con mayúscula y coma alta).

PG

3.2.1. Aplicación del método de visuales dominantes en figuras geométricas y volúmenes

PC

Todas las figuras geométricas y los volúmenes, sean regulares o irregulares, se delimitan por puntos. La sucesión de puntos forma líneas, las líneas planos y los planos volúmenes. Todos los métodos perspectivos utilizan el punto como parte fundamental en el proceso resolutivo. Para facilitar la comprensión del método de visuales dominantes y de sus variantes, como la perspectiva paralela (que es la que nos ocupa) y la perspectiva oblicua, se ha considerado conveniente analizar la representación perspectiva del punto (figuras 3.4 y 3.5). Perspectiva

Figura 3.3

44


Punto

3.2.2. El punto en perspectiva por el método de visuales dominantes El punto puede encontrarse en dos posiciones con respecto al plano geometral: en contacto con él o en el espacio. Iniciaremos analizando la primera posibilidad (figuras 3.6 y 3.7). Dos líneas

PG B

B

Punto

C D

C PC

D

PP b

d

VP

Una línea y un plano

Figuras 3.4 y 3.5

PV

PV

Figuras 3.6 y 3.7

c


PG

Pimera parte: trabajo en planta 1. Se dibuja la ubicación de los puntos B, C y D (apoyados en el plano geometral), debemos notar que el punto D se localiza en el corte entre el PG y el plano de cuadro (PC) (figura 3.6). 2. Se define la posición del observador (PV) y del plano de cuadro (PC). 3. Se trazan las visuales a los diferentes puntos, marcando su corte con el PC con letra minúscula (figura 3.7). 4. Desde los puntos B y C, se baja una perpendicular al PC que genera a sus respectivos puntos auxiliares. El punto D por estar en contacto con el PC tiene a su punto auxiliar en él mismo (figura 3.8). 5. Se traza la visual principal (VP) y su contacto con el PC, se marca como punto principal (PP).

B

C PC

D

Pa b

Pa c

PP d

b

c

PV

PC

Segunda parte: abatimiento del plano de cuadro 1. Se traza la línea de tierra. 2. Se trasladan las proyecciones de visuales (minúsculas con coma alta). 3. A partir de alguno de los diferentes puntos auxiliares (de planta), se traslada su proyección hasta la línea de tierra (LT), y se mide ésta para marcar la línea de horizonte (LH) a la altura conveniente o señalada como dato (ejemplo 1.70). 4. Se traslada el punto principal a la línea de horizonte y se marca como punto de fuga (PF) (figura 3.8).

L

PF

H 1.70

L

d`

b`

c`

T Pa c

Pa d Pa b

Figura 3.8

45

46


5. Desde el punto auxiliar correspondiente (Pa b, Pa c o Pa d) fugar al PF. El lugar en que esta fuga se corta con la proyección de visual del mismo punto (B, C o D), se localiza el punto perspectivado B’, C’ o D’ (figura 3.9).

El punto D, por encontrarse en contacto con el plano de cuadro, reúne tanto al trazo auxiliar como su punto auxiliar con su proyección de visual; por lo tanto, la línea de fuga se corta con la proyección de la visual y su punto auxiliar en el punto d’, esto señala que es ahí donde se localiza la ubicación del punto D’ perspectivado.

PC

PG

A

B

PV

C

D

Hasta el momento hemos analizado el método de visuales perspectivando puntos aislados, apoyados en el piso (PG) separados del PC y en contacto con éste. Es recomendable realizar algunos ejercicios más, a fin de reforzar la comprensión del método. Las figuras de la 3.10 a la 3.13 están destinadas a ser resueltas por el lector. En caso de tener dudas se recomienda volver a la lectura y análisis de la explicación previa.

Figura 3.9

Figura 3.10

D

C

B

PG PC

PC

PG

A

A

B

PV

PV

C

D


Figura 3.11

Figura 3.12

47

48


Primera parte: trabajo en planta

PV

D

1. Se empieza por dibujar el objeto A, B, C y D en planta y a escala (medida). 2. Se marca la ubicación del plano de cuadro (PC) y del observador (PV). Para fines explicativos y sólo por el momento también se marca el plano geometral (PG) (figura 3.14).

B

B

C

A

D

PC

PG

A

C

PG

PC

Para realizar estos ejercicios, se deben utilizar todos los pasos indicados en la descripción del método. La altura del observador (1.70) se dio sólo como ejemplo, por lo que puede modificarse o no. Ésta es una medida que representa la altura del observador, pero por el momento no se está utilizando ninguna escala.

3.2.3. El cuadrado PV

Método de visuales dominantes, perspectiva paralela Supongamos un cuadro apoyado en el plano geometral (PG) y en contacto con el plano de cuadro (PC). Figura 3.13

Figura 3.14


49

3. Desde el observador; es decir, el punto de vista (PV), se trazan las visuales a los puntos dominantes que determinan la figura (A, B, C y D). 4. Se señala la visual principal (PV) y su contacto con el plano de cuadro, conocido como punto principal (PP) (figura 3.15).

PG

B

PC

A

C

PP

D

RV VP

PV

Figura 3.15

Segunda parte: abatimiento del plano de cuadro 1. Se ubica el campo perspectivo (lugar del papel en el que se realiza la perspectiva, arriba o abajo del trabajo de planta), lo que se consigue marcando la línea de tierra (LT). 2. Se trasladan todas las proyecciones de visuales (perpendicularmente) hasta la línea de tierra. 3. Con el dato de altura del observador y midiendo hacia arriba, desde la línea de tierra (altura cero), se traza la línea de horizonte (ejemplo 1.70). 4. Se traslada hasta la línea de horizonte la posición del punto principal (de planta); éste, al entrar a perspectiva, trabaja como punto de fuga (PF). 5. Se fuga desde los puntos A y D hasta el punto de fuga (PF). 6. Donde la fuga A-PF corta a la proyección de visual B se localiza el punto B’ de perspectiva. En el corte de la fuga D-PF con la proyección de la visual del punto C, se localiza su ubicación perspectivada C’. 7. Una los puntos A’, B’, C’, D’ (figura 3.16).

50


3.2.4. Empleo de la escala de alturas

Los puntos que conforman los objetos no sólo se ubican en contacto con el plano geometral, porque los objetos también tienen altura. Hasta el momento se han resuelto ejemplos en los que los puntos están en el piso (PG). Veamos la manera en la que se perspectiva la altura. Para perspectivar la altura, se utiliza la línea llamada escala de alturas o también línea de alturas. Esta línea de alturas requiere que el punto en el espacio sea referido al PG y PC. Para conseguir esta doble referencia, se procede realizando una proyección ortogonal a cada uno de los planos mencionados: hacia el PG y hacia el PC (figura 3.17).

PC

A

Punto en el espacio Punto proyectado al PG

Punto proyectado al PC

Pa

Pa = Punto auxiliar o punto de alturas Proyecciones ortogonales

PG

Figura 3.16

Figura 3.17


La proyección al PG en su representación de planta queda indicada precisamente abajo del punto en el espacio; es decir, el punto en el espacio cubre su propia proyección, por lo que no se requiere realizar ningún otro trazo. Para proyectar el punto hacia el PC, simplemente trazamos una perpendicular desde éste hacia el PC y ahí lo señalamos como punto auxiliar (PA) (figura 3.18).

La proyección ortogonal del punto al plano de cuadro es un trazo auxiliar y el punto auxiliar se convierte en punto de alturas (al estar en perspectiva). Además, al ser proyectado hasta la línea de tierra, su proyección es la llamada línea o escala de alturas, en la cual se realizan mediciones verticales de los objetos; es decir, las alturas de los puntos (figura 3.19).

A

Trazo auxiliar

PC Pa

PV PG

Figura 3.18

51

Figura 3.19

52


3.2.5. El punto en el espacio (separado del PG)

Primera parte: trabajo en planta (figura 3.21):

La obtención de la perspectiva de puntos en el espacio requiere del conocimiento de su referencia en el plano geometral. La representación perspectiva de los puntos apoyados en este plano ya se ha descrito. Supongamos que se desea obtener la perspectiva en puntos separados de PG (elevados), los puntos E, F, y G, suspendidos en el espacio. Considérense los siguientes datos:

1. Se dibuja en planta la posición de los puntos E, F y G (proyección hacia el PG). 2. Se dibuja en planta la posición del PV y del PC (según datos). 3. Se trazan visuales a los diferentes puntos y se marcan con minúscula sus cortes con el PC. 4. Trazamos auxiliares, se bajan perpendiculares al PC desde los puntos E y G. El punto F por estar contenido en el PC tiene su trazo auxiliar en él mismo (estos trazos generan a los puntos auxiliares respectivos). 5. Se traza la visual principal y su contacto con el PC se marca como punto principal PP.

• El punto E se localiza separado del plano de cuadro (como se indica en la representación de planta), y a una altura 3x separado del PG. • El punto F se localiza en contacto con el plano de cuadro y a una altura de 2x. • El punto G se ubica separado del PC y la altura x respecto al PG. • La altura del observador (PV) es de 4x (superior a la altura de los puntos). • Las distancias entre punto de vista, plano de cuadro y los diferentes puntos, serán las indicadas en la representación de planta.

PG

E

E

G PC

F

Trabajo de planta

Representación en planta

PG

G

e PP

g

PC

F Pa f Pa g Pa e

PV

Figura 3.20

PV

Figura 3.21

f


Segunda parte: abatimiento del plano de cuadro 1. Se traza la línea de tierra. 2. Se trasladan las proyecciones de visuales. 3. A partir de alguno de los auxiliares perspectivados en la LT del PC y, sobre su traslado, se mide la altura de observador (4x) y se traza la línea de horizonte (LH). 4. Se traslada el punto principal (PP) a la línea de horizonte y se marca como un punto de fuga (PF). 5. Desde el punto auxiliar correspondiente (Pa g, Pa e, o Pa f), se fuga a PF. El corte entre proyección de visual y fuga determina las posiciones de los puntos, pero en el plano geometral (ejemplo e”, su referencia en piso); falta ubicarlos en el espacio. 6. Partiendo de la altura 3x marcada en la línea de alturas se fuga al PF; desde el punto e”; fugue a infinito (trazo paralelo a la LT) hasta cortar la fuga del punto de alturas Pa g; levante en ese corte una vertical hasta la fuga de 3x, y a partir de ese otro corte, nuevamente fugue a infinito, pero ahora hasta cortar la proyección de la visual e, este último corte ubica la posición perspectivada (E’) del punto E, en concordancia con los datos. Esta secuencia se repite (de manera aproximada) para localizar los puntos G y F perspectivados.

Figura 3.22

53

54


El procedimiento completo y ampliado (para mayor claridad), se representa en la figura 3.23. Se recomienda que el lector resuelva en forma aislada la perspectiva de cada uno de los puntos, empezando por el punto E. Esto le permitirá una menor cantidad de trazos de procedimiento, facilitándole la comprensión de cada uno. Asimismo, se recomienda que el ejercicio se resuelva considerando el punto en el espacio y su referencia en el PG y no como puntos aislados, sino como los pun-

tos externos de una línea; es decir, el ejercicio deja de ser para perspectivar puntos en el espacio y se convierte en ejercicio para perspectivar líneas verticales, con diferentes posiciones en el plano geometral y con diferentes alturas. Nótese que los puntos auxiliares o puntos de alturas generan la línea de alturas, en la cual deben realizarse las mediciones verticales a los objetos o puntos, como en este caso.

Figura 3.23


3.3. Deducción de las reglas de la perspectiva paralela Del conjunto de perspectivas realizadas hasta el momento podemos deducir lo siguiente: 1. Las líneas rectas al ser perspectivadas continúan rectas (figura 3.24).

Figura 3.24

55

56


2. Las líneas verticales al ser perspectivadas se mantienen verticales (figura 3.25).

Figura 3.25


3. Las líneas horizontales paralelas a la línea de tierra al ser perspectivadas se mantienen paralelas a esa línea (figura 3.26).

Figura 3.26

57

58


4. Las líneas horizontales y perpendiculares a la base del PC al ser perspectivadas fugan al punto de fuga central (PFC) (figura 3.27).

Figura 3.27


La aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes se muestra en la secuencia que va de la figura 3.28 a la 3.35b.

Figura 3.28. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes (inicio)

59

60


Figura 3.28a. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.28b. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)

61

62


Figura 3.29. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.29a. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición

63

64


Figura 3.29b. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.30. Aplicación de método de visuales en polígonos. Perspectiva de las figuras “B, C y D” (secuencia gráfica)

65

66


Figura 3.30a. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)


Figura 3.30b. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)

67

68


Figura 3.30c. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)


Figura 3.31. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

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70


Figura 3.31a. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31b. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

71

72


Figura 3.31c. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31d. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

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74


Figura 3.31e. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31f. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

75

76


Figura 3.32. Aplicación del método de visuales en polígonos. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.32a. Aplicación del método de visuales en polígonos. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)

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78


Figura 3.32b. Aplicación del método de visuales en polígono. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.33. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)

79

80


Figura 3.33a. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.33b. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)

81

82


Figura 3.34. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.34a. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)

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84


Figura 3.34b. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.34c. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)

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86


Figura 3.35. Aplicación del método de visuales en polígonos (secuencia gráfica)


Figura 3.35a. Aplicación del método de visuales en polígonos (secuencia gráfica)

87

88


Figura 3.35b. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


"

!

3.4. Descripción del método de la línea a 45° El método de la línea a 45° se realiza en dos etapas. La primera es el trabajo de planta, mientras que la segunda (al igual que en el método de visuales dominantes) se denomina abatimiento del PC u obtención de la perspectiva. En la etapa de trabajo de planta se realizan traslados de todos los puntos a perspectivar. Estos traslados son líneas que se proyectan (desde los puntos a perspectivar) hacia el plano de cuadro, mediante líneas a 45° y por cada punto se realizan dos traslados: uno de izquierda a derecha y el otro inverso. Conocida la ubicación del punto de vista, también se trazan líneas a 45° hacia el PC (en sus dos direcciones) y se ubican los puntos de distancia izquierdo y derecho de planta. Por último, todos los traslados y sus referencias en el PC, así como los puntos de distancia (PDI y PDD) son proyectados hacia el campo perspectivo. En las figuras 3.36 y 3.37 podemos observar el desarrollo del método de la línea a 45°, el cual se inicia con la representación del objeto en planta, y el conocimiento de la ubicación del PC y del PV.

2+

28

Figura 3.36

89

90


Figura 3.37


Posteriormente, se realizan los trazos iniciales (PDI y PDD) y todos los traslados. Este método, al abatir el PC, consigue perspectivar los puntos, figuras o volúmenes, mediante el corte de dos fugas. Las fugas se originan a partir de los traslados marcados en la LT y su trazo hacia el punto de distancia izquierdo y el punto de distancia derecho, según corresponda.

91

Cabe observar que los traslados al cortar el PC reciben el nombre del punto del que surgen, y el subíndice que tienen, que puede ser “i” o “d”, según el traslado sea paralelo al trazo inicial izquierdo o derecho. Esto permite determinar fácilmente hacia qué punto de distancia deben fugar (figura 3.38).

Figura 3.38

92


La figura 3.39 muestra la aplicación completa del método: el trabajo de planta y el abatimiento del plano de cuadro.

Analice la manera en la que se obtiene el punto perspectivado 4’. De la misma forma se prosigue para ubicar 1, 2 y 3 perspectivados.

Figura 3.39


3.4.1. Empleo de la escala de alturas En el método de la línea a 45° debemos considerar que cada uno de los traslados genera un punto auxiliar o punto de alturas. Con esto queda claro que cada uno de estos traslados y su proyección hacia la línea de tierra puede ser utilizado como la línea de alturas y realizar en cada una de ellas las mediciones de los diferentes puntos elevados del objeto.

Por otra parte, el método de la línea a 45° puede prescindir del dibujo de planta mediante el uso de la escala de alturas, y de la escala de anchuras. Para utilizar una escala de alturas, sólo se necesita seleccionar alguna de las proyecciones de traslado y en su corte con la línea de tierra se marca el cero para posteriormente subdividir en una determinada distancia, hasta alcanzar la mayor altura de los puntos u objetos a perspectivar (figura 3.40).

93

Figura 3.40

94


Debemos notar que la escala de alturas es una línea en la que se miden las diferentes alturas de los puntos u objetos, pero las mediciones hechas en esta “escala” deberán transportarse, horizontalmente, a las proyecciones de los traslados de los puntos a los que se desea dar altura, para posteriormente realizar las fugas altas hacia el punto de distancia izquierdo (PDI) y el punto de distancia derecho (PDD). El cruce de éstas determina la posición de los puntos perspectivados a la altura deseada. Por otra parte, todas las mediciones verticales deben realizarse a partir de la LT; es decir, la escala de alturas invariablemente deberá surgir de la LT.

Dado que la línea de horizonte ya se tiene trazada a la altura requerida y esa medición de altura se efectuó sobre la escala de alturas y su origen definido como cero, se toma preferentemente ese origen también para la escala de anchuras y se miden en ella todas las profundidades o alejamientos que presente el objeto para fugar a los puntos de distancia.

20

3.4.2. Empleo de la escala de anchuras La escala de anchuras es una subdivisión realizada en la línea de tierra. Es frecuente que su origen sea el mismo que utiliza la escala de alturas. Es conveniente reiterar que tanto la escala de alturas como la escala de anchuras ubican su origen en la línea de tierra de la perspectiva, lo que quiere decir que su trabajo se realiza a lo alto y a lo ancho del plano de cuadro. Sólo ahí, en el PC, las medidas son reales. Toda medición realizada fuera de este plano será necesariamente modificada por el efecto de fugas y, por lo tanto, errónea. Al utilizar la escala de anchuras y para evitar el dibujo en planta del objeto a perspectivar, el conocimiento de éste, la ubicación del PC y la posición del PV son datos que siempre deberán conocerse; es evidente que nunca se podrá realizar la perspectiva de algo desconocido, pero tampoco podemos aplicar método alguno si no se ha definido claramente la posición de PC y la ubicación del observador (PV). La ubicación de la escala de anchuras se inicia determinando la posición de su origen, pero además debemos conocer la ubicación del punto principal, que como se ha dicho anteriormente depende del punto de vista, dado que el primero (PP) es el resultado de una perpendicular dirigida desde el segundo (PV) hacia el plano de cuadro. Conociendo todos estos datos se ubica el origen de la escala de anchuras en la línea de tierra, se subdivide ésta y se procede a ubicar, con base en la distancia que existe entre PP y PV, la posición del punto de distancia izquierdo (PDI) y el punto de distancia derecho (PDD) sobre la línea de horizonte.

D

C

15

A * 10

B PP

PC

Datos de planta: Acotacin: m

* 50

Escala: 1:1000 Altura del objeto: 20 Altura de obs.: 40 * Sin escala

PV

Figura 3.41


La figura 3.41 muestra al objeto a perspectivar, la posición de PC y la ubicación de PV; además, se indican las mediciones (unidades de medición) usadas, la escala en que se muestra el dibujo, la altura del objeto y la altura del observador. En conclusión, se tienen todos los datos necesarios para efectuar la perspectiva, la cual podrá realizarse utilizando todos los trazos marcados por el procedimiento y partiendo de la planta, como ya se mostró, o sin dibujar la planta y usando las escalas de altura y de anchura, como a continuación se describe: 1. Se traza una línea vertical. Puede ser a partir de la visual principal, la continuación de alguno de los trazos de la figura (perpendiculares al PC) o incluso fuera del objeto a perspectivar (el ejemplo utiliza la primera oPCión). 2. En la parte baja de la línea vertical se traza una línea horizontal. En la unión de estas dos líneas tenemos el origen de las dos escalas y se procede a subdividirlas (figura 3.42).

L

PDI

PDD

40

3. En la escala de alturas y a la altura del observador, trazamos la línea de horizonte. 4. Con el dato de distancia entre PV y el plano de cuadro, se marcan los puntos de distancia, midiendo en la escala de anchuras y trasladando hacia la LH, 50 i; para el PDD y 50 d para el PDI. 5. Para ubicar los vértices del objeto es necesario analizar su posición relativa respecto a la ubicación del eje de alturas; es así que para perspectivar al punto A analizamos su alejamiento del PC. Para este caso, A queda alejado del PC diez unidades (figuras 3.43 y 3.44).

) 22

H

28

30 20 10 L

T 50d

40d

30d

20d

10d

0

10i

20i

30i

40i

50i

Figura 3.42

95

Figuras 3.43 y 3.44

96


Considerando que el método trabaja realizando dos traslados de 45° cada uno desde el punto a perspectivar hacia el PC y dado que sabemos, según las leyes de senos y cosenos de trigonometría, que un triángulo rectángulo posee dos catetos iguales y su hipotenusa mayor, se tiene que el alejamiento del punto respecto al PC es uno de los catetos y el otro cateto tiene un ángulo de 90° (rectángulo) por lo que su dimensión es la misma, siendo entonces la hipotenusa el traslado que marca el método, y el alejamiento es la dimensión idéntica para los dos catetos. En la figura 3.45 se muestra el resultado, aplicando la perspectiva sin planta.

El punto A del objeto al ser analizado en planta muestra un cateto con alejamiento de 10 unidades y los otros dos correspondientes a los traslados de 10 unidades también (cada uno) sobre el PC (figura 3.46). Al analizar su posición en planta respecto al origen de la escala de anchuras, se tiene (como se muestra en la figura 3.46) que el traslado paralelo al trazo inicial izquierdo coincide con el origen, el alejamiento se ubica en la división que marca el 10d y el traslado paralelo al trazo inicial derecho se ubica en la división 20d.

"

!

Figura 3.45

# Figura 3.46


Es importante analizar cada uno de los puntos de la figura a perspectivar de la forma como que se ha indicado; el alejamiento del punto respecto al PC, el punto que se ubica en el traslado izquierdo y el traslado derecho sobre la escala de anchura, marcando además el subíndice “i” o “d” según corresponda, se pueden

97

observar en las figuras que van de la 3.47 a la 3.55e puesto que esto nos indica el punto de distancia al que se debe fugar (PDI O PDD).

Perspectiva de la figura en el plano geometral (sin alturas) y el análisis general de planta

Figura 3.47. Método de la línea a 450 en perspectiva paralela. PC en 1a. posición

98


Figura 3.48. Método de la línea a 450 en perspectiva paralela. PC en 2a. posición


Figura 3.49. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)

99

100


Figura 3.49a. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.49b. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)

101

102


NOTA: Es importante observar en esta lámina la aparición del PFC, como se ha podido ver en las láminas anteriores e incluso en ésta. El PFC no es necesario en este procedimiento, sin embargo, note que al mostrarlo en la perspectiva todas las fugas dirigidas hacia él coinciden perfectamente con el resultado previamente obtenido.

Figura 3.49c


Figura 3.50. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

103

104


Figura 3.50a. Aplicación del método de la línea a 45o en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50b. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

105

106


Figura 3.50c. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50d. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)

107

108


Figura 3.51. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.51a. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)

109

110


Figura 3.51b. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.51c. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)

111

112


09 = Figura 3.51d. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


NOTA: Observe que las fugas que no se unen entre sí, antes del PC o su representación en perspectiva LT, deben ser prolongadas hasta encontrar la fuga correspondiente y así definir el punto o elemento que se desea perspectivar.

Figura 3.52. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)

113

114


Figura 3.52a. Método de la línea a 45º. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


NOTA: Observe que las fugas que no se unen entre sí, antes del PC o su representación en perspectiva LT, deben ser prolongadas, hasta encontrar la fuga correspondiente y, así, definir el punto o elemento que se desea perspectivar.

Figura 3.52b. Método de la línea a 45o. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)

115

116


Figura 3.52c. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.52d. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)

117

118


Figura 3.52e. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.53. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)

119

120


Figura 3.53a. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53b. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)

121

122


Figura 3.53c. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53d. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)

123

124


Figura 3.54. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.54a. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)

125

126


Figura 3.54b. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.54c. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)

127

128


Figura 3.55. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55a. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)

129

130


Figura 3.55b. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55c. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)

131

134

COMPOSICIÓN EN LA PERSPECTIVA

guir esto, debe considerarse al objeto fijo y al observador móvil, capaz de ubicarse en cualquier punto de los 360o de una circunferencia en torno del objeto. La ubicación de PV alrededor del objeto muestra diferentes aspectos del mismo. Es evidente que el PV 1 mostrará un resultado perspectivo muy diferente al que se obtendrá trabajando con el PV 4 (figura 4.1)

4.3. Posición del plano de cuadro La posición del PC puede ser analizada sólo desde dos variables: a) el ángulo que forme con respecto al PG (inclinación del PC), y b) su ubicación respecto a la distancia entre PV y el objeto (posición del PC respecto al PV–objeto). Al analizar el ángulo de contacto entre PC y PG se tiene que el PC puede adoptar tres posiciones típicas respecto al plano de sustento geometral, que son: • • •

Plano de cuadro vertical Plano de cuadro inclinado atrás Plano de cuadro inclinado adelante.

Estas definiciones además de considerar al PG, también toman como referencia la posición del observador (figuras 4.2, 4.3 y 4.4).

Figura 4.1

Figura 4.2 Plano de cuadro vertical


143

UNIDAD 5 EXTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA El análisis de los objetos a perspectivar es fundamental. Es necesario conocer plenamente sus dimensiones horizontales y verticales. Tratándose de elementos o conjuntos arquitectónicos, su análisis y representación se basa en el juego de planos en los que se muestran sus plantas, cortes y fachadas. Luego del análisis de plantas, cortes y fachadas, deberá plantearse, como una primera posibilidad, la posición y distancia del PV, la ubicación más conveniente para el PC y la altura del observador. Partiendo de esto, el dibujante podrá visualizar el resultado de la futura perspectiva, destacando aquellos aspectos que, a su juicio, sean sobresalientes o de mayor interés técnico o artístico en la obra arquitectónica. Por otra parte, para seleccionar el método a utilizar en una perspectiva, se deben tomar en cuenta los siguientes aspectos: • Complejidad del exterior arquitectónico • La menor o mayor cantidad de trazos de procedimiento • Disponibilidad de espacio para trabajar el método. Dadas las características propias de los métodos ya estudiados, se deberá utilizar el que en opinión del dibujante proporcione mayor número de ventajas: precisión, limpieza de resultado y rapidez de ejecución, entre otras.

144

EXTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Como ya se ha mencionado, el manejo adecuado de los elementos de la composición perspectiva asegura que el resultado satisfaga los deseos del dibujante. Para tener certeza de que un trabajo terminado cumplirá nuestras expectativas, es recomendable realizar uno o más bosquejos previos al trabajo formal. Dibujar a mano alzada, de manera sencilla y rápida, la planta, la posición del PV, del PC y la altura del observador, permitirá una perspectiva provisional que mostrará un resul-

tado muy aproximado al que se obtendrá al utilizar el método completo con esos datos de composición. Este bosquejo permite hacer los ajustes necesarios para garantizar que el trabajo final muestre lo deseado. En las figuras 5.1 a 5.7 podrá observar distintas aplicaciones de los métodos de visuales dominantes y de línea a 450 en perspectivas paralelas de exteriores arquitectónicos.

!


Figura 5.1. Aplicación en exteriores arquitectónicos. Perspectiva paralela exterior (método de la línea a 450)

145

146


Figura 5.2. Datos para la elaboración de perspectivas exteriores por los métodos de visuales dominantes y línea a 450

LT

PFC Pa'

Pa

PV

Pa'

Pa

LH

PC


Figura 5.3. Perspectiva paralela exterior. Método de visuales

147

148


PC

PV

L

H

L

T

Figura 5.4. Perspectiva paralela exterior. Método de la línea a 450. PC en 4a. posición

149


PC

Perspectiva ampliada PV

L

H

L

T

Figura 5.5. Perspectiva paralela. Método de visuales dominantes. PC en 1a. posición

150


Figura 5.6. Perspectiva exterior paralela


Figura 5.7. Perspectiva paralela exterior

151


153

UNIDAD 6

INTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Para realizar una perspectiva de interiores se deben analizar las características del objeto a perspectivar, en especial los datos de las dimensiones horizontales (ancho y largo), además de las medidas verticales que se obtienen de los cortes arquitectónicos o alzados. Al igual que en el caso de una perspectiva exterior, para una interior deberán considerarse los puntos siguientes:

• Complejidad del interior arquitectónico • La menor o mayor cantidad de trazos de procedimiento • Disponibilidad de espacio para trabajar el método.

El análisis de la composición deberá considerarse como un ejercicio de imaginación mediante el cual se visualice el resultado perspectivo. Para quien se inicia en el conocimiento de la representación perspectiva probablemente no resulte muy fácil el proceso de transformar mentalmente un gráfico bidimensional, como una planta o corte arquitectónicos, hasta visualizarla como algo tridimensional. Por ello, deben realizarse ejercicios en los que se dibuje la planta del local a perspectivar y se ejecuten diversos ensayos hasta conseguir el efecto deseado. Estos ensayos deberán cambiar o modificar uno o más elementos de la composición perspectiva, sea la altura del observador, la posición del PC, el alejamiento o ubicación del PV.


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Las figuras 6.1 a 6.6 muestran diversos aspectos de la realización de perspectivas interiores.

154

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Figura 6.1. Aplicación en interiores arquitectónicos de la perspectiva paralela interior

Sólo practicando de esta manera se podrá adquirir la experiencia necesaria para disminuir, primero, y prescindir, después, de estos ejercicios.

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28

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2+


Figura 6.2. Planta para la ejecución de la perspectiva paralela interior

155

156

0.70

0.60

0.60

0.60

0.30


1.90

0.70 0.40

0.20

2.50

0.50

1.60

0.80

3.00

0.30

0.50

Figura 6.3. Cortes arquitectónicos para la perspectiva paralela interior

3.15

Datos: Esc.: 1:100 Acot. : m Alt. obs. : 1.70 Alt. total : 3.00


Figura 6.4. Perspectiva paralela interior. Método de visuales dominantes. PC en 4a. posición. Local (secuencia gráfica)

157

158

PV

LH

LT


Pa.

Figura 6.5. Perspectiva paralela interior por el método de visuales dominantes. PC en 4a. posición. Local y envolventes (secuencia gráfica)

PC

Pa

PV

LT


LH

Figura 6.6. Perspectiva paralela interior por el método de visuales dominantes con PC en 4a. posición. Local y envolventes

PC

159

160 INTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Figura 6.6a. Perspectiva paralela interior. Método de visuales dominantes

Figura 6.7. Perspectiva paralela interior


161

162 INTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Figura 6.8. Perspectiva paralela interior

Impreso en los Talleres Gráficos de la Dirección de Publicaciones del Instituto Politécnico Nacional Tresguerras 27, Centro Histórico, México, D. F. Agosto del 2001. Edición 1 000 ejemplares CUIDADO EDITORIAL Y CORRECCIÓN: Carmen Sánchez Crespo DISEÑO DE PORTADA: Wilfrido Heredia Díaz

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