ACTES DU
Xleme C O N G RES INTERNATIONAL DE PHILOSOPHIE PROCEEDINGS OF THE Xlth INTERNATIONAL CONGRESS . OF PIDLOSOPHY
VOLUME V
LOG I QUE ANALYSE PHILOSOPHI Q U E PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES
LOGIC PHILOSOPHICAL ANALYSIS PHILOSOPHY OF M ATHEMA T ICS
BRUXELLES, 20-26 AOOT 1953 NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY EDITIONS E. NAUWELAERTS
•
AMSTERDAM
LOUVAIN
VOL. V
LOG I QUE /
ANALYSE PHILOSOPHIQUE :PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES
VOL. V
LOGIC PHILOSOPHICAL ANALYSIS PHILOSOPHY OF MATHEMATICS
PROCEEDINGS OF THE Xlth INTERNATIONAL CONGRESS OF PHILOSOPHY BRUSSELS, AUGUST 20-26, 1953
VOL.
Xleme
ACTES DU CONGRES INTERNATIONAL DE PHILOSOPH!£ BRUXELLES, 20-26 AOUT
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1953
VOL. V
LOGIC PHILOSOPHICAL ANALYSIS PHILOSOPHY OF MATHEMATICS
LOG I QUE ANALYSE PHILOSOPH! QUE PHiLOSOPHIE DES MATHEMATIQUES
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1953 NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY- AMSTERDAM EDITIONS E. NAUWELAERTS- LOUVAIN
1953
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY- AMSTERDAM EDITIONS
E.
NAUWELAERTS- LOU VAIN
LOG I QUE
LOGIC
v-
1 - 46
STEPHEN TOULMIN WHAT KIND OF DISCIPLINE IS LOGIC?
I During the past half-century many logicians have concentrated on a single aspect of logic so completely that they have come to forget, and even to despise, the origins and practical application of their discipline. Carnap, for instance, rejects all characterizations of logic as the
conjectandi:
art de penser
or
ars
any suggestion that the logician is concerned with "correct or
rational thinking" he condemns as 'psychologism' 1). Logic, in his view, is as pure a science as higher geometry. The logician must be left free to indulge his imagination unfettered by any demands but those of consistency: references to 'rational thinking'
are
as irrelevant to logic as theodolite
readings would be to the study of nine-dimensional hyper-space. Can Carnap's account of logic be maintained? I think not. To divorce the subject entirely from the canons of correct reasoning is to turn it into a branch of pure mathematics: once this is done, it becomes misleading to
call it logic any more. Carnap (I shall argue) advocates this course only because he misunderstands the nature of the view he is opposing. He has
not recognized the price of complete purity, nor is he prepared to pay it in full; for this would mean expelling from logic many of the problems which he himself attempts, as a logician, to solve. The case Carnap makes out for 'purification' depends on his refutation of psychologism, and this in its turn involves a simple confusion. For what he sets out to refute
is
the doctrine that logic is the critical study of
techniques of inference-drawing and
procedures).
inference-justifying
(i.e. reasoning
But all he actually produces evidence against is the proposition
that logic is the scientific study of people's habits of inferring (i.e. their thought
processes).
psychologism',
is
Certainly this latter view, which he calls 'primitive
quite
indefensible- though
whether
perhaps Piaget, has ever held it is another question.
anyone,
except
Unfortunately the
arguments which are so devastating against this ludicrous doctrine have no
1) Logical
Foundations
of Probability, §§ 11-12. 7
STEPHEN TOULMIN relevance at all to the former, Frege in his
support 2 ).
WHAT KIND OF DISCIPLINE IS LOGIC?
correct one. Carnap appeals to
oversight, they had become pure mathematicians, and ceased to be physicists
But did Frege intend his views to be applied in
any longer? And can logic hope, any more than physics, to set up as a
prima facie
this way? The passage Carnap cites from the
Grundlagen der Arithmetik 3)
completely pure and formal discipline, without losing its character?
at any rate does not support the interpretation he places on it. It is simply a well-merited attack on the view that numbers are a variety of
stellung - by
Vor
image'- and this has no bearing at all on the question at issue: nobody.,. holds that logic has to do with mental images. Carnap, of course, is not alone in confusing habits of inferring with procedures of inference-drawing and justifying: some of his opponents do the same. Dewey, for instance, in an important passage
5),
goes out of his way to do so:
"Any habit is a way or manner of action not a particular act or deed. When it is formulated it becomes, as far as it is accepted, a rule, or more generally, a principle or "law" of action. It can hardly be denied that there are habits of inference and that they may be formulated as rules or principles". Still, the scientific study of inferring habits is one thing: the critical study of inferring procedures is quite another. The former task may indeed be left to the psychologists, but the latter has always been, and still remains, one of the chief provinces of logic. This is not to depreciate mathematical logic, but rather to try and see it for what it is. There is room for the mathematical treatment of problems in logic, as in physics; and this has proved in each case such a technical business as to become a profession in itself. Symbolic logic is, accordingly, just as much a part of logic as mathematical physics is of physics. But is it more?
That is what I am questioning.
It would be no reflection on
mathematical physics to point out that some problems in physics are rather a matter for the cyclotron; and that, divorced from all application, the mathematical calculations would cease to be part of physics at all. Suppose, for instance, that mathematical
physicists
became so absorbed in the
axiomatization of their theories that they no longer bothered to keep in touch with their colleagues in the laboratories, fell into the habit of talking about the different axiomatic systems they studied as different 'physics' (in the plural), as geometers now do of different 'geometries', and ended u p by mocking the experimenters for continuing t o speak o f their humble occupation, in the singular, as 'physics'. Would not Carnap feel that they had somehow overlooked an important feature of their work - that, by an
2)
II
which, as Frege carefully explains 4), he means 'mental
Op. cit., pp. 40-41.
3) §§ 26-27, pp. SS-38.
4) Introduction, p. x. 6) Logic: the Theory of Inquiry, p. 13. 8
It is worth reminding ourselves of some of the problems facing the logician which could not be admitted to a fully 'purified' discipline. Let me illustrate the point by reference to three interrelated subjects:
(i)
the
logical status of laws of nature, (ii) the relation between major premisses and rules of inference, and (iii) the distinction between deduction and induction. (i)
When logicians begin discussing induction, they commonly repre
sent laws of nature as universal empirical generalizations of the form as are fJ s"
6).
"all
This done, they take as their central problem the analysis
of arguments purporting to establish the truth or falsity of such generaliza tions:
the key-notions of
the theories
they propound
are accordingly
'confirmation-functions' (Carnap), 'falsification possibilities' (Popper) and the like. Now someone might ask the question, "Is this way of representing laws of nature correct?", and be led to give either of two answers to it. He might, on looking into the matter, acquiesce in the opinion that it is. Alternatively he might argue, as I have done myself elsewhere 7), that such a treatment of laws of nature in fact misrepresents them, since the operative question in physics is never "Is this law true or false?" but rather "Under what circumstances, and how far, does this law hold?"
The rights and
wrongs of the two answers to this question need not for the moment concern us.
What is important is that we notice two things about the
question itself: first, it is certainly a question which logicians have to answer as a part of their work, and secondly, it is a question which cannot be answered on the basis of formal considerations alone- one must examine also the inferring procedures physical scientists actually employ. (ii)
In many arguments, one of the expressions appearing seems to
have an ambiguous status: one can think of it either as a major premiss or as a rule of inference. One accordingly finds in the history of logic recur rent disputes as to how such classes of expressions should be classified laws of nature are again an example. From the formal point of view, of
6) Cf. W. Kneale, Induction and Probability, K. R. Popper, Logik der For schung, R. Carnap, op. cit., p. 572. 7) Tile Philosophy of Science (London, 1953). 9
STEPHEN TOULMIN
WHAT KIND OF DISCIPLINE
course, the distinction between major premiss and rule of inference is not a helpful one, being replaced by the rather different distinction between 'primitive
propositions'
and
'rules
of
substitution
and
detachment':
mathematical logicians do not, therefore, have much to say on this subject. Nevertheless the old problems remain, and must be tackled before the logical calculi can be given any satisfactory application (e.g.) to the analysis of arguments in physics. Here, too, we can make no progress without going beyond the field of purely formal considerations. As we remarked earlier, physicists in practice regard laws of nature as expressions 'holding' more or less widely and 'applying' to different types of system rather than as being in themselves 'true (or false) reports' on the. facts; and this provides an argument for construing laws of nature as rules of inference rather than as major pre misses. (On this view, we should think of the motions of the planets, not as
deduced from Newton's laws of in accordance with these laws.)
motion and gravitation, but as computed Again, the important thing is not whether
we accept this view: it is to notice the nature of the question at issue- in particular, how the distinction between data and inferring-techniques, and so between premisses and rules of inference, when reconsidered in the context of actual scientific arguments, puts on once more the flesh and life it loses by formalization. (iii)
Connected with these two points is the traditional distinction
between deduction and induction. As commonly presented, this telescopes two radically different distinctions. On the one hand, one can mark off from one another (a) arguments in which, the data (premisses) being what they are, the established inferring-procedures in the field concerned admit of only one conclusion, and (b) those in which a number of conclu
sions, though weighted differently, are all consistent with the data: this is naturally spoken of as the distinction between 'necessary' and 'probable'
inferences. On the other hand, one can mark off (x) inferring-procedures, such as those of syllogistic reasoning, whose soundness is guaranteed by semantic considerations alone, from (y) inferring-procedures, like those of geometrical optics or quantum mechanics, whose soundness and scope have to be determined by experience: this latter distinction might be spoken of as that
between 'semantically-guaranteed'
LOGIC?
the most characteristic arguments in the physical sciences represent just this combination.
To give an example: although the astronomer's inferring
procedures had to be proved by experience, he has no hesitation in regarding as 'necessary' the inferences he draws when applying these procedures and with reason, since they lead not to a variety of tentative (probable) conclusions but to a single (necessary) one. Arguing in accordance with the methods of Newtonian dynamics from the past positions of the Sun, Moon and Earth, for instance, he is led to one and only one conclusion about the time of the next eclipse of the Moon
8).
The idea that the results
of scientific inference cannot be more than highly probable, never necessary, comes of mixing up two questions: first, the question of the validity of an argument conducted in accordance with an established inferring-procedure, and secondly, that of the soundness and method of establishment of the procedure itself. The distinction between necessary and probable inferences is one which can be drawn within any field (e.g. the arguments of physics) and the empirical origin of the inferring-procedures involved is irrelevant to it. These are only three of the many difficult issues which face one when one considers the practical side of logic.
None of them turns on formal
considerations alone. Yet they are all issues over which formal logicians regularly take sides- perhaps unwittingly. Carnap, for instance, accepts the current distinction between deduction and induction, treats laws of nature as major premisses of physical arguments, and holds that such laws can be safely construed on the "all as are {Js" pattern. But he nowhere argues for these positions: he takes their correctness for granted- indeed, he scarcely recognizes that there are questions here for him to consider. This is no doubt natural for him, limiting the field of logic as h e does. But it has consequences which in due course he will be forced to recognize; for, among other things, his elaborate and laboriously constructed 'system of inductive logic' will have no application to real science until h e gives such questions as these the consideration they require. Nether Field, Iffley OXFORD
and 'empirically-established'
techniques of inference-drawing. Often enough these two distinctions have been confounded, and the term 'necessary inference' reserved for a sub-class of arguments admitting of only one conclusion,
viz.
those which are con
8) Cf. Laplace, Essai Philosophique sur les Probabilites, ch. the discussion of the "third principle".
ducted in accordance with semantically guaranteed inferring-procedures: the combination (a) (y) has been ruled out as inconceivable. Yet many of
10
IS
11
III,
at the end of
DIE ONTOLOCISCHE
V- -2 - 22
UNO DIE
OPERATIVE
AUFFASSUNG
bewiesen werden. Die Axiomatisierbarkeit von Existenz einer (endlichen) Menge M0 von Menge von Relationen
Rv der Form
PAUL LORENZEN
$2!1,
DIE ONTOLOGISCHE UND DIE OPERATIVE AUFFASSUNG DER LOGIK
�
�
Die gegenwartig vorherrschende Auffassung der Logik, wie s e hau t 1 kelt 1st, sachlich von Bolzano, Frege, Tarski, Carnap und Scholz entwc Aussage sinnvolle) ( jede daB chnet, gekennzei ist durch die Yoraussetzung
entweder wahr oder falsch ist, ferner durch die Benutzung des naiven Mengenbegriffs, genauer: durch die Verwendung der unverzweigten Stufenlogik in der Metasprache. Der Aufbau der Logik nach dieser Auffas sung laBt sich etwa so skizzieren:
11.
Wir gehen von den primitiven Aussagen aus, die aus einem Subjekt x, d.h. einem Namen fiir ein Ding (eventuell fiir mehrere Dinge) und einem Pradikat P bestehen. Wir betrachten nur solche Faile, in denen bestimmt
ist, daB das Pradikat dem Subjekt zukommt, bzw. nicht zukommt, und nennen dann x e P, bzw. x e' P, ,wahr" und x e' P, bzw. x e P, ,falsch". Aus
v den primitiven Aussagen werden rnithilfe der logischen Konstanten A,_ , r (und, oder, nicht) weitere Aussagen zusammengesetzt. Der Wahrhe1tswert
wird berechnet durch die bekannten Matrizen der Wahrheitswerte. Eine Aussagenform $2!, in der Aussagenvariable A, B, . . . vorkommen, v
Bv
1
A, wird allgemeingiiltig genannt- in Zeichen f- $2! wenn $2{ bei allen Ersetzungen der Variablen durch Konstanten den Wert wahr annimmt. Um die logische Implikation 2{ f- 5B fiir Aussageformen zu
z.B.
A
definieren, wird zunachst jede Ersetzung der Variablen, bei der eine Aus te sageform 2I wahr wird, eine ,Erfiillung" von $2! genannt. $2! f- 5B bedeu. dann, daB jede Erfiillung von $2{ eine Erfiillung von � ist. Hiernach gilt $2{ f- 5B genau dann, wenn f- 1 $2! v 5S. Das ist der Grund, weshalb r
$2{ v � eine ,Implikation" genannt wird. Zum Aufbau der Pradikaten logik werden auch Zusammensetzungen mit Az• Vz (fiir aile x, fiir ein x)
Fallen zugelassen. Der Wahrheitswert IaBt sich dann nicht mehr in allen _ die Wahrend bestimmt. berechnen man nimmt aber an, er sei ,an sich" tigkeit von Aussageformen in der Aussagenlogik entscheidbar Allgemein
�iil
.•.
,
M
DER LOGIK
bedeutet dabei die
�me!!- und einer
(endlichen)
2In R, 2I
so daB ( l)M0�M (2) fiir alle
2l:1, ...,
u n d $2!1 eM, .
.
�. $2!, die fiir ein . , 2In, eM erfiillen, (1)
(3) fur alle Mengen M', die
'V:
2I1,
.
..
, � R, 2I
gilt 2! EM
und (2) erfi.illen, gilt M' � M
Nach dieser Auffassung ist also die Axiomatisierbarkeit der Pradikatenlogik ein Existenztheorem. Jede Bezugnahme auf Handlungen, auf unseren
deduktiven Umgang mit Axiomen und Regeln, ist bier sorgfaltig vermieden.
Die Aufstellung eines Logikkalkiils mit operativen Regeln zur Ableitung von Ausdriicken findet vielmehr erst ihre Rechtfertigung durch dieses Existenztheorem, also durch eine Erkenntnis iiber Seiendes, durch eine ontologische Erkenntnis. Wegen dieser Reihenfolge, in der ontologische Erkenntnisse den operativen Regeln vorausgehen, mochte ich die bisher dargestellte Auffassung
nennen, und die Auffassung, nach
,ontologisch"
der die Reihenfolge umzukehren ist,
,operativa.
Die ontologische Auffas
sung scheint eine einleuchtende Erklarung zu geben fiir das Phanomen der Allgemeingiiltigkeit der logischen Regeln, fiir die Unveranderlichkeit des logischen Denkens gegeniiber den iibrigen Handlungen der Menschen, die sich den wechselnden Zwecken anpassen. Es ist die platonische Auffassung von der Unveranderlichkeit der Ideen, mit der hier dieses Phanomen der
Allgemeingiiltigkeit der Logik zu verstehen gesucht wird.
Bei diesem Versuch bleibt aber die Kantische Frage, die wir hier for
mulieren konnen als:. ,wie sind ontologische Erkenntnisse allererst mog lich?" unbeantwortet. Das ist kein Einwand gegen die ontologische Auf fassung und erst recht keine Widerlegung, denn die ontologischen Erkennt nisse werden durch diese Frage nicht bezweifelt- es ist nur eine ganz andere Richtung, in die die Untersuchung durch die Kantische Frage gelenkt wird. Der erste Schritt
zur
Beantwortung ist Ieicht. Die ontologischen Erkennt
nisse, hier also z.B. The9reme iiber die Allgemeingiiltigkeit von Aussage
ist ist das in der Pradikatenlogik nicht mehr der Fall. Mithilfe des G del'schen Vollstandigkeitstheorems kann aber die Axiomatisierbarkeit der Menge M aller allgemeingiiltigen pradikatenlogischen Aussageformen
formen, sind Theoreme, die in einer Metasprache formuliert sind und zu
12
13
�
deren Beweis mit metasprachlichen Aussagen gemaB den logischen Regeln operiert wird.
DIE ONTOLOCISCH£ UNO DIE OPERATIVE AUFFASSUNC
PAUL LORENZEN
Die Wissenschaft, deren Aufgabe es ist, diese zu beantworten, moge- in
der logischen Regeln, insbesondere ihre Allgemeinverbindlichkeit zu ver
Obereinstimmung mit der Definition von H. B. Curry- ,Mathematik" I -1
stehen? Da wir nicht mehr nach der Syntax der Objektsprache fragen,
Circulus vitiosus vor.
Trotzdem kann die ontologische Auffassung
der Logik keine Antwort geben. Wir erhielten sofort einen unendlichen RegreB von Sprache
zu
Metasprache, Metametasprache usw. Auch dies ist
keine Widerlegung der ontologischen Auffassung, man kann von ihr keine Antwort auf eine Frage erwarten, die sie nicht gestellt hat. Versuchen wir der Kantischen Frage weiter nachzugehen, so bleibt uns keine Moglichkeit, das Operieren nach den logischen Regeln auf etwas
r.
LOCIK
Bei der Beschaftigung mit solchen Kalkiilen entstehen mancherlei Fragen.
Wie ist aber- jetzt auf der metasprachlichen Ebene- die Benutzung
liegt kein
DER
,
hei13en. Das Teilgebiet dieser Mathematik, das sich auf die Beantwortung derjenigen Fragen beschrankt, die sich nicht auf spezielle Kalkiile beziehen, sondern auf beliebige Kalkiile, moge ,Logik" heiBen. Die Fragen, von denen hier die Rede ist, sind nicht als Fragen
zu
verstehen, die in einer
schon vorhandenen Sprache formuliert sind. Wer z.B. versucht, nach dem -*
obigen Kalkiil das Zeichen * *
'*
00
abzuleiten- es wird ihrn iibrigens
nicht gelingen- stellt auch eine Frage. Wir formulieren diese als die Frage
Ableitbarkeit
nach der
gewinnen trachten. Aber ist das eine Moglichkeit? Ist es nicht unbestreitbar,
Es ist wichtig, sich klar dariiber
daB Miinchhausen log, als er erzahlte, er babe sich
eigenen Zopf aus
gemacht werden konnen, ohne die Ableitbarkeit exp l izit zu definieren mit
dem Sump£ gezogen? Nun, das ist sicher unbestreitbar, aber iiber Leute,
Worten wie: ,es gibt endlich viele Zeichen, so daB ...". Es geniigt hinrei
die in Siimpfen stecken, wird im Folgenden, wenn ich versuchen werde,
chend viele Beispiele von Ableitungen vorzumachen und deren Ergebnis
am
von
* * * 0 0 * , in Zeichen f- * * * 0 0 * � " lc,.
davon Verschiedenes zuriickzufiihren, wir miissen es ,aus sich selbst" zu
zu
werden, daB solche Fragen verstandlich
das Operieren nach logischen Regeln aus dem Operieren selbst zu begriin
stets durch ein vorgesetztes 1- zu markieren. Damit ist dann der Begriff der
den, nicht das mindeste behauptet werden.
Ableitbarkeit eingefiihrt, ein erster Schritt in die Logik gemacht. Zur
Das Operieren mit Zeichen (Figuren) nach Regeln ist eine Tatigkeit,
deutlichen Abgrenzung von dem Teil der Logik, der von den logischen
die jeder Mathematiker zu vollziehen gelernt hat- ganz unabhangig davon
Konstanten handelt und der wohl meist als die eigentliche Logik angesehen
auf welche Weise er diese seine eigene Tatigkeit auffaBt oder deutet.
wird, moge dieser erste Teil der Logik
Einfache Formen dieser Tatigkeit, wie z.B. die Herstellung von Zeichen
Mit der Ableitbarkeit ist jedoch
*•
* * 0 0 *• .. .
* 0 0,
·lt
* *• ...
ausgehend von * durch rechtsseitiges Anfiigen von 0 oder durch beiderseitiges Anfiigen von *, kann schon jedes Kind Iemen. Die Regeln eines solchen Kalkiils- er kann ein Spiel sein, vielleicht aber auch in einem ernsthaften Zusammenhang stehen -lassen sich mithilfe von Variablen fiir beliebige
Zeichen (wir schreiben hierfiir X, Y, ... ) anschreiben, etwa in der Form
nennt
- wir schreiben hierfiir J+-, nicht gleichzeitig mitdefiniert. Urn die Un ableitbarkeit von
* * * 0 0 * einzusehen, muB man schon etwas Ubung
haben; die Unableitbarkeit von z.B. 0 trivial, da Ll in den Regeln
R1
-
Ll
0 dagegen, also J+
0 Ll
0 , ist
R3 gar nicht vorkommt, positiv aus
gedriickt: von allen vorkommenden Zeichen verschieden ist. Von einer Beweismoglichkeit fiir die Unableitbarkeit sind wir aber noch weit entfernt. Es wird zwar auch dem Nichtmathematiker Ieicht fallen, sich zu iiberlegen,
(Rt) (R2)
X� X 0
wahrend jedes ableitbare Zeicben links mit * beginnt- aber in dieser
(R3)
X� *X*
Oberlegung kommt ein genereller Satz vor: aile ableitbaren Zeicben be
*
daB z.R. 0* unableitbar sein muB, weil dies Zeichen links mit 0 beginnt,
� ist ein Operationssignal. Eine Ableitung nach einem solchen Kalkiil ist ein sukzessives Anschreiben von Zeichen. Wir schreiben eine Ableitung in folgender Form auf, z.B.
R1
,Protologik" heiSen. das, was man ,Unableitbarkeit«
1
* * ** * 0
ginnen links mit * . Wie kommt man zur Aufstellung und zum Beweis solcher Satze? Wir definieren zunachst, wann eine Regel
,widerlegbar"
heiBen soli, niimlich
dann, wenn nach Hinzunahme der Regel zum Kalkiil ein Zeicben ableitbar wird, das vorber unableitbar war. Z.B. ist die Regel
(R)
X� 0 X
widerlegbar, denn nach Rt - Rs und R gilt
f- 0 *,
nach R1- Ra aber
l+ 0 * . Auch bier muB man sich klar machen, daB keine logisch ausgebil-
14
15
I�, I•
-�
,
(,
,
DIE ONTOLOGISCHE
PAUL LORENZEN dete Sprache vorhanden sein muB, urn diesen Begriff der Widerlegbarkeit
verstandlich zu machen, es geniigt die Begriffe J- und H- zu haben. Fiir
die Widerlegbarkeit einer Regel benutzen wir der Einfachheit halber auch
das Zeichen f-1- und schreiben also fiir den Kalkiil R1
-
Rs
Das Verfahren einer solchen Umformung, durch die hier aus der Ableitung die Regel R4 eliminiert wird, nennen wir ein
�
,Eliminationsuerfahren".
Die
Kenn nis eines Eliminationsverfahrens ist es, die gestattet, die Unwiderl�g . barkeit emer Regel zu behaupten. :Oj�. EliiOinationsverfahren bilden fiir
ratsam, sich mit einem moglichst groBen Vorrat von solchen Verfahren
Unwiderlegbarkeit- wir werden hierfiir entsprechend
J- verwenden
nicht definiert. In der operativen einer Regel ist dadurch wiederum noch Wir miissen daher fragen, wie sich Logik gibt es primar keine Negation. erfassen laSt. Wiirde nicht jeder ·die Unwiderlegbarkeit von Regeln positiv behaupten, daB z.B.
auszuriisten. �ies kann dadurch geschehen, daB man sich jedes Verfahren, das gestattet eine Regel
R
mithilfe der Regeln
Rl>..., Rn
zu eliminieren,
durch Aufstellung einer Metaregel
�,
.
.. ,R,.�R
merkt,, z.B.
(R4) X�* X 0 *
unwiderlegbar ist,
DIE OPERATIVE AUFFASSUNG DER LOGIK
die operative Auffassung das eigentliche Fundament der Logik. Es ist daher
H-X�ox Die
UND
obwohl keiner alle nach R1 - Rs mit allen nach
X� Y; Y � Z-=+ X� Z.
R1- R4 ableitbaren Zeichen verglichen hat? Wer die Protologik be
Die
uberlegen, daB aus Rs durch Einsetzung die Regel X 0 � * X 0 *
von Regeln. Man kann dann weiter nach den giiltigen Metaregeln dieses
herrscht, wie das unbewuBt jeder logisch Gebildete tut, wird sich sofort entsteht und daB er damit zwei Regeln der Form
X� Y Y�Z
(mit Y statt
X0
gultigen
Metaregeln, d.h. diejenigen, die aufgrund eines Eliminations
verfahrens aufgestellt sind, definieren einen neuen Kalkul zur Ableitung Kalkiils fragen, die also Metametaregeln im urspriinglichen Sinne sind. :Qj_e.
��rchfu:h�g dieses Ansatzes zeigt, daB man durch die operative Auf f�sung der Regeln, Metaregeln usw. genau zu den Ausdriicken gelangt,
)
(mit Z statt *X 0 *)
d1e als Theoreme der positiven oder intuitionistischen Implikationslo"'ik o
hat, woraus er auf (R4) X� Z ,logisch schlieBt". Dieser einfachste ,Schlu13" lii.Bt sich auf unserer operativen Basis ohne Berufung auf schon vorhandene logische Kenntnisse begriinden.
Eine
Ableitung des Kalkiils Rt - Rs, die zusatzlich R4 benutzt, sieht namlich
folgendermaBen aus:
bekannt sind.
Damit ist der Schritt von der Protologik zur eigentlichen Logik vollzogen. Trotzdem ist selbstverstandlich noch ein einigermaBen miihsames Stuck
�
rbeit zu erledig�n, bis man weiter zurn vollen Priidikatenkalkiil gelangt 1st- wenn man s1ch an keiner Stelle auf logische Kenntnisse berufen will
:
so lange man sie noch nicht selbst operativ begriindet hat. Ich hoffe jedoch
den Anfang ausfiihrlich genug dargestellt zu haben, daB diese Arbeit nicht
m
mehr mit einer Miinchhausiade verwechselt wird, und darf daher den Rest
X
iibergehen. Nach der Gewinnung der Priidikatenlogik vom operativen Ansatz her nehmen nun verstiindlicherweise viele mathematische oder logische Pro und HiBt sich umformen in eine Ableitung nach R1 - Ra allein: m
X
bleme eine ganz andere Gestalt an, als sie bisher batten, solange man sie nur mit der ontologischen Auffassungsweise betrachtete.
Die operative
A�ffassung l: gt eine Reform der gesamten Mengenlehre und Analysis nahe. D1ese habe 1ch an anderer Stelle ein Stuck weit durchgefiihrt. Hi�r mochte ich zum Abschlu13 nur noch einmal betonen, daB die heiden geschilderten Auffassungen einander nicht widersprechen. Es ist vielmehr
n n � n
+
1
n r so, daB sie sich in der Richtung des Fragens unterscheiden. In zuge � . spitzter Formuherung konnte man von der ontologischen Logik und der v-
16
2
17
v- 3
PAUL LORENZEN
Gegenstanden enschaften mit verschiedenen operativen Logik als von Wiss es allassung hat zur Vo:aussetzung, sprechen. Die ontologische Auff der tradttlonell ge. - diese Voraussetzung wud ' e s·a'tze uibt "Ittg gememgu o. he . t d. e onto1og1sc . fmde entnommen: h1er � gebenen Logik und Mathematik g su Auff ve � zu erkennen gilt. Die o�erat1 Logik ihren Gegenstand, den es t ang b � Gegenstand in method1sche� Una dagegen erschafft sich erst ihren . WlC Traditionen. Solche Spt� lkalkule keit von allen wissenschaftlichen logischen Fragen smd auch dem Rs und die sich anschliel3enden proto R1 an nicht einmal rechnen gelernt hat. verstandlich zu machen, der noch r nube gege e ein Kind sich verhalten wiird vergegenwartige sich wie etwa der me uptung, daS z.B. die Hinzunah diesem Spiel und ge eniiber der Beha
��13
�
�
�
_
Regel
�
(R5) X-+ * *X
der macht. Hieriiber miiBte wohl auch keine neuen Zeichen ableitbar man n e r N en. denk ent lang nach � :w � Erwachsene wenigstens einen Mom hin mdenkt, ndt nasce statu in k Logi einer tion � Situa he sich in die menschlic Begnff�ystem, uates adaq kein noch en Frag er in der zur Beantwortung solch 1st, be keine logische Syntax vorhanden keine logischen Konstanten und tiven Logik zu Gesicht. kommt man den Gegenstand der opera
BONN LuiseostraBe 3 Deutschland
- 130
,
BRUNO BARON VON FREYTAG LORINGHOFF ZUR LOGIK ALS LEHRE VON IDENTITAT UND VERSCHIEDENHEIT
Im ersten Band seiner ,Allgemeinen
Ontologie der Wirklichkeit" definiert
G. Jacoby Logik als die Lehre von der Identitat. So scharf, wie es selten geschah, trennt er dort den Problembereich der Logik von Ontologie, Erkenntnistheorie, Psychologic und Sprachphilosophie. Dieser Begriff der Logik erweist sich als aul3erordentlich klarend, insbesondere ist er, wie ich in einer hoffentlich bald erscheinenden groBeren Arbeit zeigen mochte, besonders geeignet, eine Basis zur Beurteilung der logischen Bedeutung der modernen Logistiken zu liefern. Dazu aber muB nachgewiesen werden, daB diese Abgrenzung der logischen Thematik zumindest die Lehren der logischen Elementarlehre beweiskraftig zu entwickeln erlaubt. Ich habe mich iiberzeugt, daB das moglich ist, ja daB dabei diese Lehren besonders durchsichtig und in neuer Systematik heraus kommen. Aus diesen Untersuchungen kann ich Ihnen heute nur eine ganz kleine Kostprobe geben. Zuvor aber muB einiges Allgemeine iiber diesen Aufbau der Logik gesagt werden. Identitat, wo immer sie auftritt und wie immer wir sie erkennen, wird interessant nur in ihrem Zusammenspiel mit Nichtidentitat, Verschiedenheit, dort also, wo sie zwar die Selbstidentitat ein und desselben mit sich selbst, also Identitat im einzig strengen Sinne ist, aber doch Mehreres zugleich in den Blick gebracht werden kann. Fruchtbar fur die Logik ist nur die ,par tielle" Identitat in der Form der ,Teilhabe" von Konkretem an Abstraktem oder der Beziehung von genus und species zwischen Abstraktem. Diese Beziehung der partiellen Identitat, d.h. der strengen Identitat eines echten oder unechten ,Teiles", schafft die bekannten pyramidenartigen logischen Strukturen aus Begriffen. Diese werden das eigentliche Feld der Logik. Die Untersuchung solcher Strukturen liefert in iiberraschend einfacher Weise die gesamte SchluBlehre der elementaren Logik. Da die strenge Identitat ein und desselben mit sich selbst nicht erst fur
das Urteilen, sondern bereits fur das bloBe Meinen erforderlich ist, bloB
Gemeintes aber Begriff ist, ist diese Logik nicht erst die des Urtcilens und Sch!ieBens, sondern primar die der Begriffsbildung. Sie beginnt also mit der 18
19
LOGIK
BRUNO BARON VON FREYTAG LORINOHOFF
Begriffslehre und legt diese der Urteils- und SchluB!ehre zugrunde. Sie . . . Hier mochte ich Ihnen nur zu zeigen versuchen, in welcher We1se s1e die
Lehre von den ,unmittelbaren" Schliissen, die bekanntlich meist vernach
�
�
lassigt und schlecht dargestellt worden ist, in Ordnung b ngt. Auch a s
LEHRE VON IDENTlTAT
tet der Akzent, und so faBte die ,klassische" Logik die negativen Begriffe auf. Die beim SchlieBen funktionierenden Iogischen Prinzipen treten nun in
rehabiliert in dieser Disposition und auch sonst weithin die ,klassische" Logik gegen bekannte abfallige Kritiken von logistischer Seite.
ALS
Form von Operationsregeln mit den eben erlliuterten Symbolen auf:
B�B -
.
I
A
/
B I.
A
StoBt ein Negatpfeil oben an einen Identitlitsstrich, so darf zwischen die belden auBersten Begriffe dieser Struktur ein gewohnlicher Verschiedenheitspfeil ge-
diesem Kapitel kann ich in so beschrlinktem Raume nur emen Ausschmtt
setzt werden. Man i.iberlegt sich Ieicht, daB dieser Regel der Satz vom
andeutungsweise bringen.
Widerspruch (,Was B ist, ist nicht Nicht-B") zugrunde liegt.
Dazu muB eine in meinemAufsatz ,DasSystem der modi desSyllogismus"
(..(.eitsch. f. philos. Forschung,
2. StoBt ein Negatpfeil an einen Verschiedenheits
IV/2, 1949) bereits benutzte Symbolik kurz
pfeil, so darf zwischen die liuBeren Begriffe ein
erlautert und etwas erweitert werden.
t r Strich zwischen den Symbolen zweier Begriffe bedeute p Ein schrage voile seiner in d.h. z' ga Identitat in dem Sinne, daB der bere / . schon das a-Urteil S Bedeutung, im unteren enthalten 1st. Dam1t 1st . Die moglicherwe1se Aile A sind B" in seinem Identitatsgehalt symbolisiert. behauptet. Wie A steckende Verschiedenheit zu B ist erlaubt, aber nicht nicht . Pradikat das k die Sprache, so quantifiziert auch unsere Symboli .. t1ge gegense1 Ein Doppelpfeil zwischen zwei Begriffen bedeutet
�
�
�
i:n
S.._p
Verschiedenheit. Partielle Identitat zu einem heiden i.iberge Rede. Hier ist bereits ordneten Begriff ist erlaubt, aber es ist davon nicht die iert. das e-Urteil ,Aile A sind nicht B" symbolis '
bedeutet Eine Klammer, die einen Akzent oder dergleichen enthalt, Begriff, auf einen nicht genannten, vielleicht auch nicht genau bekannten ( )
in einem den nur hingewiesen wird, von dem nicht mehr als seine Stellung s Zeichen dieses Hilfe Mit wird. benutzt logis s
s
P
. . ..
s..
P
.
.
..
.
s � s '* - - ·P�P (') ( ')
e :
_.P
1 ·· · · 1 >< 'p·1> P!> ..
..
.
/ s �-�-�:s-:- � (') (') 0
I
3
P
,
�
�
Macht man von Regel
s,
__.
P
und
S � S folgt nun nach Regel
2
die Conclusion
s
_/ p
wobei S herausfallt. Ein solcher Syllogismus tritt im System der allgemein giiltigen Syllogismen nicht auf, denn er ist nur auf Grund des
datur, also nur dann moglich, wenn eine der Pramissen Verschiedenheit,
sondem
spezieller
tertium non
nicht nur gegenseitige
Negatverschiedenheit
aussagt.
Der
Struktur nach aber ist es ein Syllogismus. Der ganze ,unmittelbare" SchluB
Gebrauch, so findet man bier im a-Schema das
i-Schema enthalten und entsprechend im e-Schema
S
das o-Schema.
In dieser Identitats- und Verschiedenheitsstruktur ha:ben wir nun das System der unmittelbaren Schlusse vor uns, wie es den darauf bezuglichen Lehren der Logik zugrunde liegt. Die Schemata geben eindeutigen Auf
durch Contraposition hat sich so als Polysyllogismus erwiesen. 4.
Wei! dem so ist, stellt sich das Kapitel der ,unmittelbaren" Schlusse
als gegenuber dem der Syllogismen spezieller und komplizierter dar. Es sollte in der Logik erst nach diesem behandelt werden. Das Vorhandensein ,unmittelbarer" Schlusse kann nicht als Einwand gegen die Behauptung
schluB uber das Zustandekommen all dieser Conclusionen, wenn man die
gebraucht werden, daB alles SchlieBen syllogistisch sei.
Herkunft der darin auftretenden Striche und Pfeile sowie der (') -Zeichen
chend ist jeder SchluB, in dessen Conclusion das Zeichen ( ') neu auftritt,
aus den Operationsregeln beachtet. Zum Gesamtproblem der ,unmittelbaren" Schlusse ergibt sich unter Anderem: 1.
Die sogenannten unmittelbaren Schlusse bilden in der Logik unter
sich ein System innerhalb einer Identitats- und Verschiedenheitsstruktur.
2.
In Kalkiilen, welche die Regel 4 ausschlieBen, zerfallt dieses Gebaude
in zwei getrennte Strukturen,. in Kalkiilen, welche das
22
tertium non datur
5.
Zum Begriff des ,abschwachenden" Schlusses ergibt sich : Abschwa
der also von der Operationsregel
3
Gebrauch macht. Denn wir geben bei
ibm unsere Kenntnis des durch dieses Zeichen ersetzten Begriffes auf. Dariiber hinaus abschwachend ist jeder SchluB, in dessen Konklusion ein punktierter, also aus der Regel 4 hervorgegangener Identitatsstrich, der ja vollstandige Identitat bedeutet, als gewohnlicher Identitatsstrich, also als moglicherweise partielle Identitat gelesen wird. Hier geben wir also nicht
23
BRUNO BARON VON
FREYTAG
v-
LORINGHOFF
nur Kenntnis des Inhaltes eines Begriffes auf, sondern dazu die Kenntnis
4 131 -
•
seiner genauen logischen Stellung.
6. Die Bedeutungslosigkeit von Rechts und Links in allen Schemen HiBt conversio simplex nicht mehr als Schlui3, sondern nur als Ausdruck der
die
ERNESTO MAGGIONI
Freiheit erscheinen, in welcher Weise man den im Schema abgebildeten logischen Sachverhalt ablesen und aussprechen will. Sie ist eine sprachliche
APOFANTICITA E SEMANTICITA N E L GIUDIZIO E NEI
und nicht logische Umformung und ist nicht syllogistisch.
CONCETTI
Man dar£ vermuten, daB die so gegebene Zerlegung der logischen Proble me dieser ,unmittelbaren" Schliisse auf kompliziertere Fragen der Logik Licht werfen wird.
La potenza «intenzionale», cioe la potenza di riferimento alia realta, che
BrunsstraBe 35 (14b) TOBINGEN Allemagne
e nel giudizio, e maggiore che non quella di cui sono dotati i cobcetti
e ancora spiegata in modo suffi
inclusi nel giudizio stesso. Questa tesi non
ciente, quando si dice che l'«intenzionalita» dei concetti rimane semantica (cioe priva di valore enunciativo) pur quando si fa apofantica l' «intenzio nalita» giudicativa che la sorregge
c
la permea. Se questo solo fosse il
rapporto fra concetti e giudizio, il secondo sarebbe un
intorno
affermare
qualcosa
a un altro qualcosa, anziche essere un atto piu profondo che i
suoi momenti logici, capace di riferirsi a un piano dell'essere inattingibile
e B», insomma, quando e e il mero esplicarsi di un sistema logico dall'interno, si volge a un essere che non e (come vorrebbe Ia tesi che da parte di questi ultimi. L'enunciazone «A
caricata di un vettore «intenzionale» e non
qui combattiamo) il rapporto tra l'essere cui si riferisce il concetto «A»
e l'essere cui
si riferisce il concetto «B»,
ma
ha una sua consistenza ontica
irriducibile a quella relazione. II rapporto,
in tal modo, non e essere,
almeno rispetto al piano cui si volge 1'«intenzionalith diretta del giudizio ; rna e piuttosto strumento di apertura giudicativa all'essere. Quest'ultimo, dal suo canto, viene incontro al giudizio e si rivela per mezzo di esso proprio opponendosi alia struttura relazionale in cui si articola il giudizio
e 1'explicatio di una complessita virtuale e piuttosto ( si potrebbe dire scolasticamente) il quo che
stesso. Tale struttura, percio, non della realta, rna ci apre al
quod
' dell'essere: solo, anziche porsi come attuazione del
su un diverso registro metafisico, i1
articolato secondo una determinazione diversa
quod,
quod
gnoseologico deve riconoscersi
quo
da
quella che caratterizza il
e proprio su tale base lanciato verso quest'ultimo in un oblio (per
dir cosi) di se stesso. Ora questa potenza di lancio, che «intenzionale» dell'apertura gnoseologica,
e la concreta forza
e appunto piu intensa nel giu
dizio che non nei concetti inclusi, pur quando questi sono assunti entro il vivo atto enunciante. Tale maggiore intensita non riguarda, d'altronde, la pura ampiezza dell'essere preso di mira
0
messo
n i
evidenza, rna l'energia
stessa di approccio con Ia quale il pcnsare si avvicina all'essere. La
25
ERNESTO MAGGIONI
persistente semanticita dei concetti, anche nel lo.t;o essere inclusi in un giudizio attualmente apofantico, da sola significherebbe invece una mera diversita di ampiezza fra l'esserc rivelato attraverso il giudizio e quello rivelato, pur indirettamente, dai concetti. Infatti sempre Ia semanticita, persistente o non persistente, nasconde in se e svela a un tempo attraverso se una tenue rna ineliminabile virtu apofantica: se penso «A e B» seman ticamente, cioe comprendendo il significato del giudizio senza assumerlo, scnza farlo
mio
enunciativamente, a dispetto di me stesso io enuncio tutta
via un giudizio, cioe emetto un atto apofantico; atto che poi posso esplicare con l'asserzione (poniamo) della possibilita di esser B come propria di A, rna al quale dcbbo, sin dal suo confuso emergere, riconoscere un valore enunciativo, cioe un tendere all'esserc, pur diverso da quello fondamentale cui Ia semanticita stessa prelude e allude. In modo simile, Ia seman ticita
(questa volta persistente,
e priva di virtu apofantica diretta)
di un concetto, includibile (o incluso) come termine in un giudizio, lascia trasparirc un valore apofantico, un implicito
intent
enunciativo,
diverso dal valore con cui il concetto e assunto nel giudizio medesimo.
Se la profondita «intenzionale» dei due modi cogitativi ( concetto e giu dizio) fosse la medesima, il concetto dovrebbe, visto dal Iato dell'aspetto apofantico emergente dalla sua pur tenace semanticita, aprirsi a un essere capace poi di apparire altrettanto
vero
che quello cui si apre, invece, il
giuclizio. Questa conseguenza logico-metafisica della teoria criticata assume un particolare e caratteristico rilievo nel caso del giudizio esistenziale, del
tipo «A esiste» : qui il persistere della semanticita di «A», pur apofantico
•
APOFANTICITA E SEMANTICITA NEL OIUDIZIO E NEI CONCETTI
senso) sol tanto virtuale, finche l'impeto del movimento verso l'essere oblia, trascinato dalla propria medesima pienezza, Ia complessita della sua arti colazione. L'evidenziarsi dell'erronea apofanticita concettuale, senza Ia consapevolezza di tale erroneita, costituisce, in una seconda fase del pen siero, un regresso (forse) rispetto alla verginale innocenza della primitiva
apertura all'essere; rna e anche ( di fronte ai troppo ristretti limiti di
quclla) il preludio di una conoscenza piu ricca, di un piu differenziato e strutturato affermarsi del movimento cogitativo. Infatti la profondita di approccio all'essere propria dell'apofanticita concettuale rimane inferiore a quella del giudizio, e anzi (nella sua irnmediatezza) erronea, solo finche quell'apofanticita medcsima, illuminandosi sempre piu, non si capovolge in apertUI-a al proprio stesso essere, cioe all'essere di un dario e strumentale) del
quod
quo
(pur secon
cui direttamente si riferiscc il giudizio. In
quest'ultima prospettiva, Ia diversa forza di lancio prima riscontrata nelle varic forme cogitative perde importanza, e lascia il posto a un'uguaglianza nella profondita di approccio : l'essere cui si apre quest'ultima e (in certo
modo) riflessa apofanticita ora emersa dal concetto e altrettanto
vero
che quello verso cui si dirige l'enunciazione giudicativa. Ma tale ugua glianza e, d'altra parte, puramente formale: essa e
compensata dalla
diversita dei piani in cui emergono le rispettive oggettivita ontiche. L'essere
cui si riferisce il giudizio rimane, pur nella sua rivelativa ( e tuttavia pro blematica) vicina�za, lontano nella sua solenne maesta, nella sua piu tenacc resistenza alia scelta prospettica del pensiero; mentre l'essere del
quo
concettuale si leva con figura esile, con tratti netti rna deboli e
poi a suo modo, viene interpretato come il distinguersi dell'esse�za. di A
sottili, a breve distanza dal movimento cogitativo, e non ha, in mezzo al
� � �sso
quella pur relativa unicita di autoimposizione oggettiva e quella resistenza
dalla sua
esistenza.
Ma, se questo nesso puo conservare un suo s1gmficato
profondo in una prospettiva metafisica modernamente illumi at ,
( ci sembra) e caduco in quanto sia collegato a una struttura g!Udicativa.
Altre volte, come nella prova ontologica, il credito dato alia apofanticita emergente dalla s�anticita concettuale, anziche dar luogo a una distin zione ontica (illusoria, o almeno illusoriamente fondata), produce l'opposto effetto di sottrarre al giudizio ogni origirlalita apofantica e di rovesciarla (per cosl dire) sui solo concetto. L' essere, cui si r.iferisce nella sua im plicita enunciativita quest'ultimo (qui come negli altri casi) , deve esscre invece riconosciuto
falso,
o non abbastanza vero, dalla riflessione cntlca.
In tal modo l'«intenzionalitb cui
riesce
sopra
vera,
a esser tale), si rivela, per
una
quella del giudizio (nella misura in
un
certo aspetto, costruita e innalzata
viva trama di tensioni erronee, di
finzioni
mediante le quali il
pensiero riesce, su un piano diverso, ad avvicinarsi all'essere. D'altra quest'inganno incluso negli strumenti della verita rimane celato e 26
�arte,
(m
l'infinita turba dei
quo
secondari ( cioe dei puri
strumenti
semantici) ,
alia scelta prospettica chc caratterizzano il primo essere. Anche il piano di quest'essere piu vicino alia mente, piu
zuhanden
(rna non nel senso dei
fenomcnologi), ha non di meno la sua oggcttivita, la sua capacita di resi stere ad ogni sforzo cogitative di annullamcnto. Qui il pensiero puo colti varc il suo privato giardino, o puo vagare libero senza mai raggiungere confini; ma gli esili, tenui appoggi che esso trova in questo orizzonte per effettuare i suoi sondaggi nel piu lontano essere, rimangono tutti, pur nella !oro infinita e inesauribile diversita, in eterna attesa. Via Contardo 2/5 GENOVA
un
27
DrE ,IDENTISCHEN URTEILE" DER SYLLOGISTIK
v - 5 - 369
KLAUS H.ARTIG
DIE ,IDENTISCHEN URTEILE" DER SYLLOGISTIK VORBEMERKUNGEN
Zunachst werde die Terminologie festgelegt. Die Bezeichnung Urteil wollen wir in sehr spezieller Bedeutung gebrauchen, namlich lediglich fur die Aussageformen Alle S sind P (abgekurzt: SaP), Kein S ist P (SeP), Einige S sind P (SiP), Einige S sind nicht P (SoP) und fur jede Aussage, die aus einer dieser vier Formen hervorgeht, wenn man fur beide Variablen (Allgemein-) Begriffe einsetzt. Eine Aussageform ist eine Funktion (im in der Mathematik iiblichen Sinne), deren Werte vorrat aus Aussagen besteht. Die Urteile sind demnach Funktionen ( oder Funktionswerte von Funktionen) zweier Variabler mit gleichem Variabili tatsbereich 9R, und 9R ist eine Menge von ( Allgemein-) Begriffen. An Veranderlichen, die auf 9R variieren, werden M, S, P und X vorkommen. Wahrend jede Aussage entweder richtig oder falsch ist, ist jede Aussage form entweder giiltig oder ungultig. Gultig ist sie genau dann, wenn sie bei jeder Wertekonstellation der Variablen, von denen sie abhangt, zu einer richtigen Aussage wird. Je eine der (fur S aus ID1 und P aus 9R zu definierenden) Aussageformen SaP oder SoP und SeP oder SiP denken wir uns vorgegeben und definieren jeweils die andere durch Kontradiktion, d.h. als Negation der schon vorge gebenen. Die unrnittelbaren Schlusse und die syllogistischen Modi werden wir ebenfalls als Aussageformen ansehen. (Man kann sie auch a)s SchluB-Regeln interpretieren.) Unmittelbare Schliisse heiBen die 32 Aussageformen ·
SaP-7 S{JP und SyP -7 PtJS
(a = a, e, i, o ; fJ = a, e, i, o) ( r = a, e, i, 0 ; tJ = a, e, i, 0)'
von denen genau 10 gultig sind, namlich 28
S{JP -7 S{JP, SaP --7 SiP, SeP --7 SoP , ( Subalternation) SiP-7PiS, SeP -7PeS, (Konversion) SaP --7 PiS, SeP --7 PoS .
�1 besage, daB diese 10 unmittelbaren Schliisse giiltig sind; 2ro besage, daB die restlichen 22 tingiiltig sind. � sei �1 & �0. Von den syllogistischen Modis setzen wir als bekannt voraus, daB es 256 gibt, daB 24 davon gultige Aussageformen sind, 232 ungiiltige, und welche 24 Modi die giiltigen sind. �lh besage, daB jene 24 Modi giiltig sind; iBo besage, daB die ubrigen 232 ungiiltig sind. 58 sei 581 & 580 . SchlieBlich definieren wir als identische Urteile die vier Aussageformen XtJX. Uns interessieren in der vorliegenden Studie hauptsachlich die heiden gi.iltigen identischen Urteile XaX und XiX, und zwar im Rahmen der klassischen Syllogistik, d.h. im Zusammenhang mit den Urteilen StJP, der Lehre von den unmittelbaren Schliissen (�) und der Syllogistik im engeren Sinne {58). Der Kiirze halber habe ich mich auf sehr wenige - teils unumgangliche, teils Zusammenfassungen gestattende - Literaturhinweise beschrankt. Zi tiert werden [1]: 0puscules et fragments inedits de Leibniz. Extraits des manuscrits de Ia Bibliotheque royale de Hanovre par · Louis Couturat, Paris 1903; [2]: Jan Lukasiewicz, Aristotle's syllogistic from the standpoint of modern formal logic, Oxford 195 1 ; [3]: Klaus Hartig, Uber die Struktur der klassischen Syllogistik, Wissen schaftliche .(,eitschrift der Martin-Luther-Universitiit Halle Wittenberg, Jahrgang II, 1952/53, Heft 4, S. 165-189.
§ 1 Wer die Gilltigkeit des identischen Urteils ,Alle X sind X" als ,inhalts leer" ansieht, bleibt wohl bei der Vorstellung stehen, daB ein Urteil eine ,Verbindung" zwischen Subjekt und Pradikat herstelle ; falls Subjekt und Pradikat ubereinstimmen, sei ein ,Verbinden" weder (irgendwozu) notig noch moglich, die Feststellung der Richtigkeit von XaX also iiberflussig. Die Gilltigkeit des identischen Urteils XaX laBt sich aber auch ,weniger trivial" auffassen. Sie sagt uns namlich etwas uber den Operator a und etwas uber die Mengen ID1 von Begriffen X: 1.) ,Aile . . . sind . . . " ist so beschaffen, daB eine richtige Aussage 29
DTE ,IDENTISCHEN URTEILE" DER SYI.LOGISTIK
KLAUS HARTIG
zustandekommt, wenn in beide Leerstellen der gleiche Begriff eirf gesetzt wird. 2.) Jeder (Allgemein-)Begriff ist so beschaffen, daB man, wenn man ihn in beide Leerstellen des Operators ,Aile . . . sind . . ." einsetzt, eine richtige Aussage erhalt. Kurz: Die Gultigkeit von ,Aile X sind X" ist ein charakteristisches Merkmal sowohl des Terminus ,aile" als auch des Terminus ,(Allgemein-) Begriff".
§ 2 Wir betrachten Beispiele fiir die Vet·wendbarkeit identischer Urteile bei Deduktionen innerhalb von � und }B. ( 1 ) Leibniz gewinnt �1 aus der Gultigkeit einiger Modi und der Urteile XaX und XiX ([1], S. 412 und 416); in einem geeigneten Modus setzt er entweder M = S oder M P und macht dadurch entweder den Unter oder den Obersatz zu einem identischen Urteil. Es ist reizvoll, neben den Leibnizschen Text die (im Grunde genommen ahnlichen, aber iri logisti scher Sprache vorgefuhrten) Beweisgange von Lukasiewicz zu halten ([2], =
S.
Besteht ffi1 aus den heiden Elementen A und B, und sind
Demnach folgt SaP ---') SiP aus }B1 und der Gultigkeit von XaX,
2. )
aus }B1 und der Gultigkeit von XiX.
(2) In [3) (Abschnitt 2, 2) wird vorgerechnet, daB aus �1 und der Nicht-Konvertierbarkeit von SoP fast ganz �0 folgt, namlich die Ungii l tig keit von 2 1 von den 22 zu �0 gehorigen unmittelbaren Schlussen; ubrig blcibt nur
(x) (,SoP ist nicht konvertierbar" bedeutet: Die vier Aussageformen SoP---') P!JS sind ungiiltig. ,SoP ist nicht konvertierbar" ist also ein ,Teil" von �!0.) Man uberzeugt sich Ieicht, daB die Ungii.ltigkeit von (x) nicht aus �1 und dem restlichen �0 herleitbar ist: so
BoA BiA
BoB BeB
Satz. Ist der Modus Barbara giiltig, so ist (x) dann und nur dann ungultig, wenn das identische Urteil XoX ungiiltig ist. Beweis. 1. Ist XoX ungultig, so gibt es in 9JC ein Element A mit fal schem AoA, also richtigem AaA. Daher ist (x) fur S = P = A falsch, wei! die Pramisse richtig, die Konklusion aber falsch wird. 2. Ist (x) ungultig, so gibt es in 9)1 ein A und ein B derart, daB AaB ---') BoA falsch ist. Dann ist AaB richtig, BoA falsch, BaA richtig. Da nach Voraussetzung AaB MaP SaM BaA . . . (Barbara) guIt1g, also nchtJg SaP BaB ist, wird BaB richtig, also BoB falsch und damit XoX ungiiltig. (3) In [3) (Abschnitt 4, 1.4.3) wird gezeigt, daB 9n gewiB dann min destens 3 Elemente besitzt, wenn � zutrifft und i.iberdies XaX gi.iltig ist.
SaP SaP MaP MaP SiS SiM SaS MaS . und (Darii) zu (Darapt1 ) zu SiP . SiP SiP SiP
1.)
AaB AiB
allesamt richtige Aussagen, so trifft erstens �1 und zweitens � bis auf (x) bei diesem 9'.n und bei dieser Wahl der vier Funktionen S!JP zu, doch (x ) ist giiltig statt ungultig.
91).
Als Beispiel - eins moge genugen - wollen wir einen der Konversions schlusse sogar auf zweierlei Art herleiten: Fiir M = S wird
AoA AeA
(4) Aus der Giiltigkeit von XaX und XiX folgt auch die Ungiiltigkeit gewisser Modi, z.B. hier gleich eines ganzen Bi.indels : Jeder Modus mit positiven Pramissen und negativer Konklusion ist ungiil tig. (32 derartige Modi gibt es.) Fur S = P = M werden namlich bei jedem Wert von M die Pramissen richtig, die Konklusion falsch, so daB eine falsche Aussage dasteht. § 3 Nach diesen einzelnen Ableitungszusammenhangen, in denen identische Urteile vorkamen, seien Beispiele systematischer syllogistischer Unter suchungen genannt, bei denen identische Urteile in Beweisen verwendet werden. ( 1) Leibniz deduziert �1 und }B1 aus der Gultigkeit von Barbara, Celarent, Darii, Feria, XaX und XiX ([1], S. 410--4 1 6). Sl
KLAUS HARTIG
DIE ,IDENTISCHEN URTEILE" DER SYLLOGISTIK
Nach Lukasiewicz folgen �1 und }B aus der Giiltigkeit von XaX,
(2)
XiX, Barbara, Datisi und der Ungiiltigkeit zweier bestimmter Modi S.
88-98). Bei der in [2],
([2],
ch. V, dargestellten Verallgemeinerung der klas
sischen Syllogistik werden XaX und XiX als Axiome beibehalten. In
(3)
[3]
� von }B.
einfache) Nachweis, daB Barbara und Celarent giiltig sind. (AuBer Barbara & Celarent gibt es iibrigens genau
keit fiir �1--?}Bl hinreicht; vgl.
werden � und die Giiltigkeit von XaX vorausgesetzt, und
gesucht werden dann samtliche Axiomensysteme
Zur Bestatigung von }B1 geniigt, da jetzt � gesichert ist, der (hier recht
Dabei ist unter
einem Axiomensystem von }B . (kurz gesagt) ein ,Teil" }B' von }B zu ver
4, 7.1,
Axiomensysteme }B' gibt. Sie werden in
432
4, 8.2.)
wenn sowohl die Modi
Teil }B" des Teils }B' die Herleitung von ganz }B ermoglicht. Es stellt sich Abschnitt
weitere Modus-Paare, deren Giiltig
Abschnitt
Nun bl�iben noch die 232 ungiiJt.ige M odi. Wieder stiitzen wir uns auf [3]; . dem dortlgen Abschnitt 4, 5 entnimmt man, daB }B0 gewiB dann zutrifft,
stehen, der zur Herleitung van ganz }B hinreicht, wobei aber kein ( echter) heraus, daB es genau
35
[3],
[3],
angegeben. Jedes besagt die Giiltigkeit zweier bestimmter
Modi und die Ungiiltigkeit zweier bestimmter Modi, besteht also aus vier
(1 )
(2)
(3)
MeP SeM
(4)
MaP SeM
MaP SeM
MoP
SaM
PoM MaS
SiP
SiP
SoP
SoP
SoP
(5 )
Axiomen.
als auch diejenigen Modi ungiiltig sind, die zwei positive Prarnissen und
§ 4
M
eine negative Konklusion besitzen. Die zuletzt genannten Modi werden fiir
In [2], S. 48, sind als ,simplest logical formulae" XaX und
iibergestellt. Die Giiltigkeit von
p --7 p
p --7 p
gegen
(,the propositional law of identity")
=S = P
[2],
S.
8 1 ).
AeA
Die Giiltigkeit von XaX (,the
AeA
Aristotelian law of identity") gehort zur Syllogistik, aber
aus
und }B s i t die Giiltigkeit von XaX oder von XiX nicht herleitbar. Beweis dieser Behauptung lassen wir we aus den 3 Elementen A, B,
AiA
�
Zum
c bestehen und wahlen fiir
AoA AeA
AaC AiC
AoB AeB
BoA BeA
BaB BiB
GoA CiA
bewiesen sein, denn XaX und XiX sind hier ungiiltig, wei! AaA und AiA
Subalternation und Konversion sind hier offensichtlich giiltig. Als nachstes
findet man, daB sich SoP nicht konvertieren laSt. Wie wir wissen, trifft
(x)
fiir S = B, P
32
=
(x) B falsch.
CoB BaG
AoC
BoB
(5)
CoB BaG CoG
sind durchweg falsch.
§ 4)
§ 2
sahen, gewisse Deduktio
auch selber herleiten.
aus XaX auch ohne Hilfe der Subalternation gewinnen kann: Man wiihlt
falsch sind.
ungiiltig ist; in der Tat ist
(4)
Ehe wir uns solchen Herleitungen �uwenden, sei erwah.nt, daB man XiX
CaC GiG
.
AiB
(3)
AaC AeA
Identische Urteile ermoglichen, wie wir in
diesem we und dieser Wahl von SoP zutreffen. Damit wird die Behauptung
SaP --7 PoS
AeB
nen. Aber sie lassen sich (,trotz"
irgendwelche richtigen Aussagen. Wir werden zeigen, daB � und }B bei
� zu, wenn iiberdies·
(2)
BaB
§ 5
BaG BiG
CoB CiB
B zu falschen Aussagen, sind also ungiiltig. Wir bestatigen
(1)
gehort in den Aussagenkalkiil und ist Ieicht aus dessen gebrauchlichen Axiomen herleitbar (siehe z.B.
=
zum SchluB die Ungiiltigkeit der fiinf vorher genannten Modi: Die Aussagen
in Barbari oder Darapti oder Bamalip M = S = P.
Der Dbersichtlichkeit zuliebe setzen wir bei den heiden folgenden Satzen
ganz �1 und ganz }B 1 voraus, obgleich nur ein kleiner Teil davon gebraucht wird.
Definition.
Wenn SaP richtig ist, nennen wir S einen Unterbegriff vonP•
P einen Oberbegriff von
Satz
1.
S.
Wenn es zu jedem Begriff X mindesten.s einen Begriff X* gibt,
�er s�wohl Unterbegriff von X als auch Oberbegriff von X ist, dann ist das 1denttsche Urteil XaX giiltig.
V-3
33
KLAUS HARTIG
Beweis. Bei festem X ist nach Voraussetzung sowohl X*aX als auch XaX* richtig. Der Modus Barbara geht fur S = X, M = X*, P = X in dieAussage X*aX XaX* XaX uber, aus deren Richtigkeit die von XaX folgt - und das bei jedem Wert von X. Satz 2. Wenn es zu jedem Begriff X mindestens einen Unterbegriff X' gibt, ist das identische Urteil XiX gi.iltig. Beweis. Angenommen, XiX sei bei einem bestimmten Wert von X falsch. Dann ist XeX richtig. Nach Voraussetzung gibt es ein X' derart, daB auch X'aX richtig ist, so das X'oX falsch (Kontradiktion) und X'iX richtig ist ( Subalternation) . Die Aussage XeX X'iX (* ) X'oX ist demnach falsch- wegen falscher Konklusion bei richtigen Prlirnissen. Das steht im Widerspruch zur Gultigkeit des Modus Ferio: MeP SiM
SoP ,
der ja fiir S = X' , M = X , P = X in (* ) ubergeht.
Also ist XiX bei jedem Wert von X richtig. . Anmerkung. Es gibt 9 analog verlaufende Beweise, in denen statt Feno je einer der 9 Modi. Celarent, Celaront, Cesare, Cesaro, Cemestres, Festino, Ferison, Calemes, Fresison herangezogen wird. § 6
Noch heute trifft man gelegentlich auf das Vorurteil, die identischen Urteile seien inhaltsleer und nutzlos, aber unableitbar. dIn § 1, § 2 und § 5 sahen wir etwas von ihrem ,,Inhalt'', ihrer Verwen barkeit und ihrer Ableitbarkeit. Uoiversitat,
Mathematisches Seminar
HALLEJSAALE Allemagne D.D.R.
34
v - 6 - 406
UUNO SAARNIO
DER TElL UND DIE GESAMTHEIT In dem fiir die Logik fundamentalen Problem des Verhaltnisses zwischen dem Ganzen und den Teilen lassen sich mit Hilfe der mathematischen Logik bestimmte in logischer Hinsicht wesentliche Relationen unterscheiden, durch welche die Klarung dieses Problems moglich ist. Die Worter ,Teil" und ,Gesamtheit" haben dabei mehrere Bedeutungen, zwischen denen diese Relationen bestehen. Die Relation des Ganzen zu den Teilen geht ursprunglich auf raumliche Verhaltnisse zuruck und wird erst spliter auch fUr mehr oder weniger abstrakte Begriffe benutzt. Ein einheitliches Ding wird durch eine begren £ende Unterscheidung aus der weiteren Umgebung losgelost gedacht. Das Ding ist dann cine Gesamtheit oder ein Ganzes, das Teile besitzt. Oder abstrakter aufgefa.Bt: ,Ein Gebilde, das in einem anderen enthalten und ibm zugleich homogen ist, hei.Bt Teil, - das andere, in dem es enthalten, heiSt Ganzes. . . . Unter der gemeinsamen Grenze zweier Gebilde verstehen wir etwas, was in ihnen heiden enthalten ist, ohne daB sie doch einen gemeinsamen Teil haben. Werden hierbei beide Gebilde als Teile cines und desselben Ganzen angesehen, so wird ihre gemeinsame Grenze als Schnitt des Ganzen bezeichnet." (Leibniz, Math. VII.) Das Ding ist nlimlich ein Ganzes, wenn keiner ,seiner" Teilc fehlt oder keiner ,seiner" Teile zu viel ist. Denn das, was fiir jedes, woraus es besteht, gesetzt wird, heiSt das ,Ganze" (Hobbes). Z.B. ein Blatt eines Buches ist ein Ding und insofern ein Ganzes, als es aus seinen Teilen gebildet vorge stellt wird. Das Blatt lai3t sich auf mehrere Arten teilen. Etwa in zwei ebenso groi3e Teile: der obere und der untere Teil oder der Iinke und der rechte Teil. Es ist selbstverstlindlich, daB nur cine von diesen Teilungen jeweils vollzogen werden kann. Die ubrigen Teilungen bleiben bloi3 ,mog lich". Was bedeuten nun die Teile eines Dinges, die man ,seine" oder ,aile" Teile nennen kann? Es ist offensichtlich, daB, wenn man das Ding als Ganzes auffaBt, man nur die Teile, die man durch eine bestimmte Teilung erhalten hat, im obigen Sinne fUr ,seine" Teile halten kann. Aile ,seine" ubrigen Teile sind die moglichen, die nicht im Ganzen enthalten sein konnen. Es gibt 35
UUNO SAARNIO flir das Pronomen ,sein" in dem das Ganze und seine Teile", von denen nur die erste Bedeutung zum
DER TElL
"
Relationsglied in dem Sinne verwendet werden kann, daB das Ganze aus
seinen Teilen gebildet wird. Aus dieser Analyse folgt, daB der Teil eines Teiles des Ganzen keinesfalls ein Teil des Ganzen sein kann. Also: die Relation ,Teil" ist
intransitiu.
Ebenso folgt daraus, daB ein Teil nie als Teil in zwei verschiedenen Ganzen sein kann, d.h. also daB zwei verschiedene Ganze teilfremd sind. Die Rela tion ,Teil" ist somit
trisch
und
mehr-eindeutig.
Sie ist weiter offensichtlich
irrefiexiu.
Wir bezeichnen nun diese Relation durch
,[.t"
asymme
und konnen dann die
genannten Eigenschaften wie folgt exakt darstellen:
1) 2)
Die Relation
0
x [ ·y & y [. z � x[,z x[ly & x['z � y = z
3)
x[.ty � y [:x
4)
xGx.
ist von der
Die e-
asymmetrtsch
und
zrrefiexw. S1e unterscheidet sich vom Teil einer Kollek mehr-mehrdeutig aber der Teil mehr-eindeutio ist.
tion dadurch, daB sie
Die e-Relation ist nur eine Abstraktion von dem Kollektionsteil:
man von einem Kollektionsteil nichts anderes in Betracht zieht'
�
·
·
�
�
In dem Verhaltnis der Teile zum Ganzen gibt es also drei Relationen namlich
�
C·,
C und e, und der Begriff
1)
transitiu:
oc
aus emer Menge oder einer Kollektion bestehen.
b 21
FinJand
C {3 & {3 C y -+ oc C y
2)
mehr-mehrdeutig: oc C {3 & oc C y -+ {3 =I= y V {3 = y
3)
asymmetrisch:
4)
oc
refiexiu: oc C oc.
C {3 & oc
=I= f3 -+ f3 C oc
Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen den Gesamtheiten, die Mengen sind, und denjenigen, die es nicht sind. Man braucht somit eine besondere allgemeine Bezeichnung fUr die leztgenannten. Wir wahlen fiir sie das Wort ,Kollektion" nach dem Worterbuch von Clauberg und Dubislav : ,EineGesamtheit, welche keineMenge ist, heiBe eineKollektion". Nach dieser Wahl des Wortes sind also Dinge, Maschinen, Sammlungen, Aggregate, Massen, Organismen, usw. Kollektionen. Auf Grund dieser wesentlichen Distinktion bestehen die folgenden Satze : Die Menge als eine Gesamtheit wird nicht durch aile ihre Teilmengen, sondern durch aile ihre Elemente gebildet. In Bezug auf eine Kollektion gibt es nur Teile, wahrend es in Bezug auf eine Menge sowohl Teilmengen als auch Elemente gibt. Nicht die Teilmengen sondern die Elemente ent sprechen den wirklichen Teilen einer Kollektion. 56
Teil kann
37
�
entweder ein Kollektions
teil, ine Teilmenge oder ein Element sein und der Begriff
charakterisiert wird, genau zu unterscheiden. Denn die Teilmenge ist, wie bekannt:
a1s daB er
sch n Menge und Kollektion (,Methodos" II, 306 f.). Es IaBt sich auch die log�sche Verschiedenheit der Gesamtheiten auf folaende Weise definieren .. o . Wenn me Gesamtheit Teile und Elemente hat, so ist sie eine Menge, und . wenn s1e Teile, aber keine Elemente hat, so ist sie eine Kollektion.
Toolonk. 32
die durch das Zeichen ,C"
Wenn
m die KollektJon ge ort, so wird aus der Kollektion eine Menge und aus . . dem KollektwnsteJl em Element. Dieser Satz definiert den Unterschied zwi
Toolo - HELSINKI
Teilmenge,
DIE GESAMTHEIT
�elation ( �Iemen:) is�, wie bekannt, intransitiu, mehr-mehrdeutig,
somit zwei wesentliche Bedeutungen Begriff
UNO
Ganzes entweder
UBER DEN BEGRIFF DES MERK;)1ALRAUMES
v - 7 - 407
Als cine besondere Regel des SchlieBens hat man in der Inhaltslogik: Wenn a = b gilt, kann a immer durch b ers•etzt werden. Ferner sollen einige fundamentale Relation1en definiert werden, nli.mlich RAILI
die Merkmalverwandtsthaft :
KAUPPI
a >< b = (Ex) (a > x & b > x), Def
OBER DEN BEGRIFF DES MERKMALRAUMES
die Merkmalfremdheit:
a )( b == (Ex) (a> x & b > x), Die Entwicklung der symbolischen Logik, auf die die Grundlagenforschung der Mathematik tief eingewirkt und die mit den Problemen der Mengen lehre in enger Verbindung gestanden hat, ist in uberwiegendem MaBe
i m
Zeichen der Umfangslogik vor sich gegangen. Es gibt aber, besonders wcnn
man sich mit den Geisteswissenschaften bescha.ftigt, Probleme, bei denen man es wesentlich mit dem Begriffsinhalt zu tun hat und deren Behandlung Schwierigkeiten verursacht, wenn man nicht imstande ist, ihn formal zu behandeln. Im folgenden wird ganz kurz ein Versuch entworfen, die wichtigsten Relationen und Operationen der Inhaltslogik zu definieren, mit deren Hilfe man verschiedene Systeme von Begriffen, z.B. den Merkmal raum, ihrcm Inhalte nach behandeln kann. In der Formulierungen der Ausdrucke werden die bekannten Zeichen und Bezeichnungen des Satz- und Pradikatenkalkiils benutzt. Als Zeichen der Begriffe werden kleine Buchstaben a, b,
c,
. . ., x, y, z,
...
gebraucht. Die Grundrelation, die Folge, wird mit
>
bezeichnet. 'a
> b'
bedeutet
also "aus dem Begriff a folgt der Begriff b" oder vielleicht besser "der Begriff a enthalt den Begriff b als Merkmal". (Z.B. Mensch
> Lebewesen.)
l Die Folge ist eine ordnende Relation und erfiillt also in jedem beiebigen
De£
die Vereinbarkeit:
Dee
die Unvereinbarkeit:
D5:
a y b = (Ex) (x > a & ::r: > b). Def
In einem Begriffssystem, das man behandeln will, soli also in jedem Paar von Begriffen [a, b] entweder a
>b
oder a >· b bestehen. Dann besteht
auch in jedem Begriffspaar entweder Merkmalverwandtschaft oder Merk malfremdheit, entweder Vereinbarkeit oder Unvereinbarkeit. Die Summe von zwei Begriffen definiert man durch die Formel:
D5:
c = a + b = (x) (x >a & x >- b = x >c). DOC
Die Addition von a und b ist nur unter der Voraussetzung der Vereinbar keit derselben moglich. Aus der Vereinbarkeit folgt jedoch noch nicht die Existenz der Summe. Hierfiir wird man darum ein besonderes Axiom auf stellen:
A8:
System von Begriffen die Axiomc:
a A b = (Ex) (x > a & x > b),
D" :
a A b - (Ex) (y) (y > a & y >· b = y > x).
Al:
Man verifiziert leicht folgende elementare Slitze:
Az:
a + b >�
Man beweist Ieicht:
a+ a a+
a > b = (x) (x > a - x > b) = (x) (b > x - a > x) Die Begriffsidentitat wird als der symmetrische Fall von
>
DeC
b + a,
Das Produkt zweier Bcgriffe wird dann folge-nderweise dcfiniert :
Dp:
Dann hat man
=
(a -f- b ) + c = a + (b -f- c ) .
definiert:
a = b = a > b & b > a.
b
a+b>�
= a,
c = ab = (x) (a > x & b > x = c > x). Dee
a = b = (x) (x > a = x > b) = (x) (a > x == b > x).
Die Existenz des Produkts ab setzt die Merkmalverwandtschaft von
38
39
a
RAILI KAUPPI und
b
UBER DEN BEORIFF DES MERKMALRAUMES
voraus, aber nicht umgekehrt. Wie m i Zusammenhang der Addition
braucht man auch hier ein neues Axiom, wenn man die Existenz des Produkts sicherstellen will :
Ap
Der Existenz der Differenz kann man sich dann durch folgendes Axiom versichern :
b > a � (Ex) (y) (a >- y & b > y = c > y).
AD :
a X b � (Ex) (y) ( :a >- y & b >- y = x >- y).
Es gelten dann folgende Satze :
Die folgenden Satze folgen aus der Definition:
a >- ab,
b >- ab,
aa = a,
ab = ba,
b >a-a-b = O a = ab + ( a - b ) . Aus dem letztgenannten sieht man, daB dann, wenn
(ab)c = a(bc).
Die Differenz gibt die unterscheidenden Merkmale von
Es gelten auch die heiden Distributionsgesetze :
Es ist zweckmaBig, den merkmalleeren Begriff, den
oder die
der Multiplikation tun, weil hier die Null zum ersten Mal in Frage kommt und ihre Benutzung die Multiplikation immer durchfiihrbar macht. =
0
Es ist zu bemerken, daB
0 = (Ex) (a>- x).
Variable nur dann durch nach Do mit
0
identisch
kann eine
0 ersetzen, wenn der durch sie bezeichnete Begriff ist. Aus a > 0 dar£ man also nicht (Ex) (a > x)
schlie8en. Urn jetzt das Rechnen
zu
Quote c
kein eigentliches Merk.mal ist. Man dar£ es
x substituieren. Man
vereinfachen, kann
man
Bezug auf
b.
a - bc
= (a - b) + (a - c) ,
ab - c
= (a - b) ( b - c).
folgendes Axiom
folgenderweise: =
afb = (x) (x >- a & x > b = x >-c), Def
und setzt das Axiom :
AQ :
a >- b � (Ex) (y) (y > a & y >- b = y >- x)
Dann hat man
a(a/b) = a,
b(a/b) = a,
setzen :
a = ( a + b) (a/b),
(x) (x >- 0).
Ao :
a in
Analog mit der Subtraktion kann die Division behandelt werden. Man definiert die
Def
besonders nicht fiir ein willkiirliches
ab = b,
a ( b - c) = ab- ac,
Nullbegriff
Null in Gebrauch zu nehmen, und man kann es im Zusammenhang mit
a
also
Es gilt "weiter:
a + be = (a + b) ( a + c).
a(b + c) = ab + ac,
a >- b,
besteht, die Subtraktion sich als die inverse Operation der Addition zeigt.
b >- a - b (a/b) = a.
Dann hat man
a)( b � ab Fur das Rechnen mit
0 gilt
=
0.
Man konnte sagen, daB die Quote die gemeinsamen Merkmale aller
in Bezug auf b darstellt.
sonst:
Oa = 0.
a + 0 = a,
Ein fiir die Inhaltslogik eigentiimlicher Begriff ist der der
a's
Negation.
Wenn man zwei Begriffe, deren Umfange untereinander Komplemente
Die Subtraktion konnte man direkt als die inverse Operation der Addi
sind, dem Inhalt nach charakterisieren will, hat man zwei Begriffe, von
tion erkHiren. Weil es aber zweck.maBiger erscheint, sie nicht nur auf die
denen der eine die Negation des anderen ist. Die Negation bekommt man
Faile zu beschrl:inken, in welchen der Minuend den Subtrahenden als
nicht durch die Subtraktion, und sie kann durch die folgende Formel
Merkmal enthalt, ist fiir die
Differenz folgende
Definition gewahlt worden:
c = a - b = (x) (a >- x & b >- x = c >- x). Def
40
definiert werden: C =
a= (x) (XV a Def
41
=
X >- C).
RAILI KAUPPI
UBER DEN BECRIFF DES MERKMALRAUMES
'a' bedeutet dann 'etwas anderes als a'. Auch hier braucht man ein Existenz axiom:
In einem Merkmalraum miissen die Axiome A1, A2, A8, Ap, A0, und AN erfiillt sein, und dazu noch ein Existenzaxiom fiir den universellen Begriff, womit die Bedingung 1) erfiillt ware:
(x) (Ey) (z) (z y x = z > y). Es ist zu bemerken, daB a + ;i nie existiert, es ist ein Widerspruch, und daB aa im Allgemeinen nicht gleich 0 ist. Sonst bestehen fur die Negation die Relationen =
Wie man gesehen hat, ist im Rahmen der hier gesetzten Axiome und Definitionen die Multiplikation immer durchfiihrbar, aber die Addition nicht, solange man nicht die Widerspriiche in das System mitnimmt. Es kann darum auch keinen solchen Allbegriff geben, der in der Addition dieselbe Rolle spielen wiirde wie die Allmenge in der Umfangslogik. Da gegen kann es Begriffe geben, deren Inhalt durch die Addition nicht erweitert werden kann. Solche Begriffe wollen wir individuelle Begriffe des Systems nennen und ein Pradikat individuell, I, folgenderweise definieren : I (a)
= Dcf
(x) (x > a -+ a > x).
Es kann auch ein Element definiert werden, welches, wenn es existiert, in der Multiplikation dieselbe Rolle spielt wie die Allmenge in der Addition der Begriffsumfange, namlich der universelle Begriff, den das Pradikat U reprasentiert: U (a}
= Dcf
(x} (x > a) & (Ey) (a > y).
Wenn ein universeller Begriff existiert, ist er eindeutig bestimmt, und kann urn der Kiirze willen durch u bezeichnet werden. Er kann nach Du nicht gleich 0 sein. a + u = a,
Die Bedingung 2) ist in einem endlichen System immer erfiillt. In einem unendlichen System fordert sie ein besonderes Axiom, z.B.
a + b = 7zb,
a > a.
D1 :
(Ex) (y) (y > x)
au = u,
(x) (Ey) (z) (y > x & (z > y -+ y > z)). Man kann auf verschiedene Weisen einen Merkmalraum bestimmen. Als ein einfaches und anschauliches Beispiel kann das Folgende erwahnt werden. Wir haben eine Menge von Primbegriffen, d.h. von solchen Be griffen, durch die sich jeder individuelle Begriff des Systems als ihre Summe darstellen laBt. Die Primbegriffe lassen sich in verschiedene Prim systeme Pv einteilen: P.
=
{pJ , p;, . . . , p!Y}
1, 2, . . . n,
so daB immer aile zu demselben P gehorigen Begriffe paarweise unverein bar sind, zwei zu verschiedenen Primsystemen gehorige Begriffe aber immer vereinbar sind. Ein individueller Begriff ist dann eine Summe von Prim begriffen, in dem von jedem Primsystem ein und nur ein Reprasentant enthalten ist. Andere Begriffe des Systems lassen sich z.B. als Produkte von Summen von Primbegriffen darstellen. Man kann auch unendliche Systeme von Primbegriffen in Anwendung nehmen, muB aber dann die Definitionen von Summe und Produkt erweitern, was man auf eine einfache Art voll ziehen kann. Toolonk. 34 HELSINKI - Toolo Finlande
� = 0.
Merkmalraum kann man ein System von Begriffen nur unter den Be dingungen nennen, 1) daB es einen universellen Begriff enthalt und 2) daB es darin individuelle Begriffe gibt. Unter Merkmalraum verstehen wir ein solches System von Begriffen, wo jedes Ding, das unter dem universellen Begriff des Systems fallt, seinen bestimmten Platz finden kann. Wenn es in seiner ganzen Individuaitiit, l soweit es im Rahmen des zur Verfiigung stehenden Begriffsapparats moglich ist, aufgefaBt worden ist, fallt es unter einen individuellen Begriff.
42
v =
43
..
v-8-4
DIE PHJLOSOPHISCHE IDEE EINER NICHT-ARISTOTELISCHEN LOGIK mation. Das Negationszeichen der ersten Tafel repdisentiert den
Proze{3
des Denkens und weil das Denken als systematische Einheit des lchs der Welt als der Einheit des ,Anderen'·' total disjunktiv gegeniibersteht, ist die Welt der Negation (Reflexion) gegeniiber durch die einzige Aussage "p"
GOTTHARD GONTHER
vertreten. Das ganze System ist zweiwertig, folglich ist auch sein Wahrheits begriff zweiwertig. D.h. die Wahrheit ist gegen das schlechthin ,Andere",
DIE PHILOSOPHISCHE IDEE EINER NICHT-ARISTOTELISCHEN LOGIK
das Falsche, abgegrenzt. Die grossere Tafel enthalt samtliche sinngebenden Wahrheitsmotive, die auf dem Boden .dieser Logik strukturell relevant sind. Rein kombinatorisch sind auch noch andere Wertfolgen moglich, wie
Es kann keinem Zweifel unterliegen, daB seit dem Erscheinen der ,Kritik
"WWWW"
oder
"FWFW";
dieselben haben jedoch eine differente Bedeu
der reinen Vernunft" neue philosophische Problemstellungen sich nicht mehr
tung, die·sie von der Interpretation als Wahrheitsmotive ausschlieBt. Dem
den Denkformen fiigen wollen, die in der klassischen, aristotelischen Logik
sinngebenden Wahrheitsmotiv gegeniiber ist die Welt kontingent, weshalb
entwickelt werden. Kant selbst spricht von einer neuen ,transzendentalen"
nicht
"p"
allein sondern auch
"q" das Aussagesystem iiber die Wirklichkeit
Logik, die er dem tradierten System des Formalismus ausdriicklich ent
vertritt. Entsprechend der Zweiwertigkeit dieses logischen Formprinzips
gegensetzt. Ein anderer und neuerer Versuch, die von Aristoteles und
hat jedes positive Wahrheitsmotiv eine negative Variante. So tritt z.B.
seinen Nachfolgern gesetzten Grenzen exakt rationalen Denkens zu iiber
neben die Konjunktion
schreiten, liegt in der modernen symbolischen Logik vor. Allerdings hat aile
zweiwertigen Gegensatz sich entwickelnde Systematik der Rationalitat stellt
Kalkiiltechnik die unvermeidbare Schwache aus methodischen Grunden
die unmittelbare Beziehung von BewuBtsein-iiberhaupt (Denken) zur Welt
unphilosophisch zu sein, weshalb sie nicht in der Lage ist,
ein prinzipielles
"p
·
" q die Unvereinbarkeit "p I
" q . Die aus diesem
iiberhaupt (Gedachtes) dar. Sie definiert was in diesem einfachen nicht
Kriterium fiir den Unterschied von klassischen und trans-klassischen For
auf sich selbst reflektierten Verhaltnis als wahr erlebt wird.
men des Denkens zu produzieren. Ganz wie im Idealismus so hat man auch
und Objekt machen die ganze Wirklichkeit aus. Ein ,Drittes" gibt es nicht.
hier de facto nicht-aristotelisches Neuland betreten, aber von den darauf
Und das Subjekt ist genau so einfache ldentitat mit sich selbst wie das
beziiglichen symbolischen Formeln und Prozeduren weiB man nur, was sie
Subjekt
Objekt. Andernfalls konnte in der Aquivalenz "p = "" ( "" p)" das Positive
innerhalb des Kalkiils bedeuten, ihre ultra-logische, philosophische Bedeu
nicht in der doppelten Negation zu sich selbst zuriickkehren. Der negative
tung hingegen ist vollig unbekannt. Die allgemeine, das ontologische Thema
Durchgang durch das Subjekt entspricht prazis dem positiven Durchgang
der klassischen Tradition iiberschreitende Thematik eines konsequent in
durch das Objekt. Daraus geht aber hervor, class diese Logik eins jedenfalls
sich durchgefi.ihrten trans-klassischen Denkens ist durch symbolisch-techni
nicht leisten kann, narnlich theoretische Sinnmotive fiir die Unterscheidung
sche Methoden nicht eruierbar. Der neue metaphysische Gehalt Hisst sich
von ,lch" und ,Du" in der Idee von Subjekt-iiberhaupt anzugeben. Was
im
Kalkiil nicht identifizieren. Wohl aber hilft eine sinnanalytische Reflexion auf
nicht Denken ,selbst" ist, das ist Gedachtes resp. Welt. Die Negation ist
den Funktions- und Strukturcharakter der Wahrheit in der logischen Aus
der logische Riickzug aus der Welt, und da die aristotelische Systematik
sagenverbindung an dieser Stelle weiter.
nur eine Negation besitzt, darum gibt es nur
Was Jogische Wahrheit ist, wird fiir den Aussagenkalkiil in den folgenden
I II 'P • q I 'P v q I q
w w W F F
W
F
F
I
'P � q 'P = q
I
'P I q
I
'P 1\ q
I 'P-t-+ I
q 'P ;;/= q
�j: � � � ;I � � ;1� : � : �\ ; �
Diese Tafeln liefern einen erheblichen Betrag an philosophischer lnfor44
reflexives Sich-zuriick
nehmen aus der Welt, das fiir ,Ich" und ,Du" das Gleiche ist. Die Griinde fi.ir diese Ignorierung der ,lch-und-Du"-Differenz liegen in dem gesamten
heiden Tafeln systematisch und erschopfend dargelegt : 'P
ein
metaphysischen Ansatz der aristotelischen Logik begriindet. Das Umtausch verhaltnis zwischen den heiden Aspekten von Subjektivitat-iiberhaupt hat keinen transzendentalen Rang. ,Ich" und ,Du" sind nur subalterne em pirische Perspektiven des universalen Subjekts. Dieses absolute Subjekt steht mit Sein-iiberhaupt in einem ganz genauen Wechselverhaltnis, dessen Charakter durch die klassische Negation bestimmt wird. Im Hintergrund dieser zweiwertigen Negationsrelation steht die metaphysische Identitat 45
OOTTHARD GUNTHER
DIE PHlLOSOPHISCHE IDEE EINER NICHT-ARISTOTELISCHEN LOOI'K
von Denken und Sein. Fiir den Gedanken, daB Subjektivitat-iiberhaupt
des Erlebens im ,Ich" und im ,Du" notwendig dieselbe ,sci", da es andern
selbst vielleicht gar keine metaphysische Wurzel der Wirklichkeit reprasen tiere sondern nur die Vordergrundskulisse fiir zwei autonome Realitats komponenten neben dem Objekt-iiberhaupt darstellen konnte, ist in diesem klassischen Schema nirgends Platz.
Subjekt und Objekt sind einander
logisch aquivalent. Und wenn das Objekt-iiberhaupt identisch mit sich selbst ist und sich nichts hinter ihm verbirgt, dann mu8 das Gleiche auch vom Subjekt-iiberhaupt gelten. Diese klassische Position ist transzendental doppelsinnig, denn der zweiwertige Typ von Logik gibt uns keinen Finger zeig, auf welcher Seite die echte Transzendenz zu suchen ist. Die Versiche rung, daB in der coincidentia oppositorum Subjekt und Objekt zusammen fallen, ist nutzlos. Denn ist die coincidentia seiher Subjekt, dann kann sie
falls keine interobjektiv allgemeingilltigen Begriffe geben konne. Man ver gi8t dabei ganz, daB man in diesem Argument das ,Du" relativ zur Rationalitat als ,Ich" interpretiert. Das Problem aber, dem wir an dieser Stelle nachgehen,
ist n"icht wie jedes ,Ichu fiir sich denkt (dafur ist die klassische Logik unuberbietbar!), sondern wie sich fur jedes beliebige Ich der gesamte rationale ,(usammenhang zwischen Subjekt-uberhaupt und Ob jekt-uberhaupt darstellt, wenn das andere Ich im eigenen Denken als ,,Du" thematisch festgehalten und ausdrucklich nicht als Ich (aber auch nicht als Objekt!) gedacht wird! Zwei Iche "A" und "B" beziehen sich im Denken auf ein Objekt "X". Schon die platonische Ideenlehre stellt fest, daB dann die Relationen"A �x" und "B �X" identisch sind. So kommt
kein Objekt sein. Der exakte Begriff von Subjekt in dieser Logik schlie8t
klassische Allgemeingiiltigkeit zustande. Eine weitere Relation gibt es nicht,
das definitorisch aus. Das Gleiche gilt fiir das Objekt. Die Geschichte der
denn
bisherigen Metaphysik ist deshalb auch die Resultante der folgenden trans zendentalen Theoreme: aile Quelle des Irrtums Iiegt Wahrheit griindet sich im Objektiven; oder umgekehrt
im Subjekt, und
das absolute Sub
fiir die zweiwertige Logik fallt fur "A" immer "B" mit "X" zusammen und fur "B" gehort "A" immer zu "X", wei! in diesem
System
nur
von
Subjektivitat-iiberhaupt im
einfachen Gegensatz zu
Objektivitat-iiberhaupt die Rede ist. Behaupten wir aber, daB ein logisch
,Ich" und ,Du" existiert, dann gibt es
jekt (Gott) ist die Wahrheit und aller Objektivitatscharakter des Seins ist
relevanter Unterschied zwischen
nur ein Abfall von der Gnade und eine Abkehr vom reinen Licht. Wenn
noch eine weitere theoretische Relation, namlich die von
"A � B''.
Und
das Denken schlie8lich die logische Gleichwertigkeit beider metaphysischen
ganz wie die Umtauschrelation von
Ansatze erkannt hat, dann liegt zum ersten Mal die Losung nahe den
eine Negation bestimmt wird, so muB jetzt das Wechselverhaltnis von
absoluten Subjekt-Objekt-Gegensatz als logisches Schema meta-empirischer
"A
Probleme iiberhaupt aufzugeben und vom zweiwertigen Denken zum drei
offenkundig
wertigen System iiberzugehn. Da das Objekt als
Iogische Bedeut'ung als die, daB
unmittelbare
Identitat mit
"X"
zu den Ichen theoretisch durch
�B" durch eine zweite Negation festgelegt werden. Denn "A" s i t nicht "B". Jenes ,nicht" aber hat notwendig eine ganz andere
"A"
und "B'' ,nicht"
"X"
sind. Die
sich selbst sich nicht spalten laSt, miissen der zweite und dritte Wert des
Existenz von zwei Negationsoperatoren erzwingt dann den Ubergang zur
trans-klassischen Begriffs sich aus dcr Idee von Subjektivitat-iiberhaupt
dreiwertigen Theorie des Denkens
entwickeln. Wir unterscheiden jetzt als metaphysisch und deshalb logisch
eines transklassischen Systems der Logik? Die Einfiihrung eines dritten
relevant ,Ich" und ,Du" als differente, von einander unabhangige Nega
Wertes andert auch den Charakter der ersten beiden Werte ! Da ,wahr"
1).
Welches sind nun die drei Werte
tionsmotive. Da die klassisch-aristotelische Theorie des Denkens sich nur
und ,falsch" nur Wahrscheinlichkeitskompromisse zwischeneinander erlau
einer Negation bedient, besitzt sie keine theoretischen Mittel einen Begriff
ben und ein
aus dem subjektiven Ich-Zusammenhang (Ich selbst) in den objektiven Ich
Iogische Wertakzente restlos verschwinden! ,Wahr" ist
Zusamenhang (Du selbst) zu iibersetzen. Der objektive Zusammenhang ist
facher logischer Wert mehr, wei! das Wahre in der Ich �Du Relation
echtes Drittes bedingungslos ausschlie8en, miissen sie selbst als deshalb kein ein
stets der Es-Zusammenhang, in dem kein Unterschied zwischen objektiven
eine andere logische Struktur zeigen muS als in der Ich
Objekten und objektiven Subjekten logisch festgestellt werden kann. (Aus
Du
diesem Grunde besitzen wir heute noch keine exakte Logik der Geistes
Ex:istenzdifferenz zwischen Sein und Nichtsein. Es ist evident, daB der
wissenschaften!) Man hat deshalb bisher iiberhaupt noch nicht entdeckt,
hier aber nichtssagende, Feststellung verdeckt, daB die rationale Struktur
1) Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dall dann die in der klassischen Logik umkehrbaren Relationen von "A" zu "X" und "B" zu "X" nicht umkehrbar werden. D.h. eioe Implikation von "X" durch "A" oder "B" wird nicht mehr von der gleichen Wertfolge dirigiert wie die Implikationen von "A" oder "B" durch "X".
46
47
daB es eine Aufgabe der formalen Logik sein konnte theoretische Strukturen aus der ,Ich"-Projektion in die ,Du"-Projektion zu iibersetzen. Der Aus blick auf dieses neue begriffiiche Problem wird durch die zweifellos richtige,
�
Es oder
� Es Beziehung. In der klassischen Logik etabliert die Negation eine
DIE PHILOSOPHISCHE IDEE
GOTTHARD GUNTHER
Unterschied zwischen ,Ich" und ,Du" nicht als Existenz- sondern als Reflexionsdifferenz gedacht werden muB. Wenn aber das Negationsver haltnis zwischen ,Ich" und ,Du" ein Reflexionsgefalle darstellt, dann muS die urspriingliche klassische Negation im dreiwertigen System ebenfalls als Ubergang von einer Reflexionsstufe zu einer anderen interpretiert werden. Nun hat in der Tat jeder Begriff drei Reflexionseigenschaften: er kann irrefl.exiv, (einfach) reflexiv und doppelt-reflexiv sein. (Hegels Refl.exion in-Anderes, Reflexion-in-sich und Reflexion-in-sich der Reflexion-in-sich und-Anderes). Wir erhalten damit die folgende nicht-aristotelische Nega tionstafel : p
_.._
I pI
_.._ 1
p
I
_.._ 'p&q/t ) =M( p/t) +M(p&q/t) +M(-p&qft)-M(p&qft)= M(p/t) + M(q/t) - M(p&q/t) . M (pvq/t) = M(p/t) + M(q/t) - M (p&q/t ) is the Addition Theorem for Probabilities. As seen, the Division Theorem for Probabilities could have been obtained from the corresponding theorem for modality by simply substituting = for � and + for v and X for & between atomic M-expressions. In the Addition Theorem for Probabilities, however, there occurs a term M (p &q/t ) which is missing in the corresponding theorem for modality. The difference is due to the fact that, in logic, a v a equals a but, in arithmetic, a + a does not equal a. The logic of probability could be called a numerical modal logic. The structural similarity between probability and modality, it should be observed, is independent of any (explicit) definition of probability and thus also of the well-known "modal" definition of probability as a ratio of possibilities. MODALITIES OF ffiGHER ORDER
Al-A4 and RS can also be used to prove theorems about higher order modalities. Such a calculus, however, would hardly be of much interest. In order to get an "interesting'' calculus of higher order modalities we should have to introduce modifications in the axioms and rules of inference. Such modifications would, by and large, serve to establish logical relations between M-expressions of different orders. Depending upon the particular nature of the modifications, we obtain systems of relative modality which differ from one another in much the same way as the various "classical" systems of absolute modality differ. Helsingfors University Tolotullgatan HELSINGFORS Finland References: 1) 0. Becker, Untersuchungen ii.ber den Modalkalkii.l. Meisenheim/Glan, 1952. 2) G. H. von Wright, An Essay in Modal Logic, Amsterdam, 1951.
v - 11 - 136
SUR
E. W. BETH SUR LA DESCRIPTION DE CERTAINS MODELES D'UN SYSTEME FORMEL Cette communication n'a pas la pretention d'apporter des resultats nouveaux; elle consiste en certaines rernarques d'ordre pedagogique et heuristique. Pendant les dernieres annees, la recherche des connexions entre les systemes formels et les structures mathernatiques qui en constituent des rnodeles a fait des progres considerables. Les resultats acquis concement avant tout les quatre themes suivants: (i) existence de modeles pour cer taines classes de systernes forrnels 1 ) ; (ij) description de !'ensemble de tous les modeles pour une classe donnee de systemes formels 2) ; (iij) construc tion de modeles pour un certain systeme forme! en partant d'un modele d'un systeme forme! plus simple 3 ) ; (iv) existence, pour un systerne forme! donne de modeles satisfaisant a certaines conditions supplementaires 4 ) . ' En tant que de tels resultats contribuent a elucider certains aspects de }'existence rnathernatique - par exernple, le rapport entre la non-contra diction d'un systeme forme! et !'existence d'une structure rnathematique qui en constitue un modele-, ils ont, outre leur valeur pour la logique et pour les rnathernatiques, une portee philosophique incontestable. Sous ce rapport, , il serait done fort desirable que les philosophes, meme ceux qui ne s'interes sent pas particulierernent au problerne des fondernents, puissent en prendre connaissance. Malheureusement, les methodes dont on se sert pour arriver a des resultats de ce genre sont fort cornpliquees, et il parait done qu'un domaine de Ia recherche des fondements dont personne ne saurait denier !'importance philosophique ne soit pas accessible a la majorite des philo sophes. Toutefois, Ie progres de la recherche n'a pas seulement complique les affaires; il a egalement, comrne il arrive souvent, simplifie Ia situation. Aussi, je veux reprendre le theme que M. Mostowski 5) avait introduit a
'1) L. Henkin, Completeness in the theory of types. JSL 15 (1950), pp. 81-91. '2) A. Tarski, Some notions and methods on the borderline of algebr� _and metamathematics. Proceedings of the International Congress of Mathemat1c1ans, vol. I (1950) pp. 705-720. Ce rapport contient une discussion approfond�e .du caracthe compact de !'ensemble des modl:les, qui est a Ia base de notre pnnctpe (i). Cf. 5). B) K. Godel, The consistency of the continuwn hypothesis. Princeton 1940 (second printing, 1951). . 4) E. W. Beth, Existence of complete models for extensions of the first-order predicate calculus. Bttll. Amer. Matth. Soc. 58 (1952), p. 502. 6) A. Mostowski, Sur !'interpretation geometrique et topologique des notions 64
LA
' DESCRIPTION DE CERTAINS MODELES D UN SYSTEME FORMEL
notre Congres precedent et indiquer une methode qui nous permet de discuter d'une maniere relativement simple un assez grand nombre de problemes concernant !'existence de modeles pour certains systemes for mels 6) . Cette methode repose sur deux grands principes que je veux, provisoirement, enoncer d'une maniere assez peu precise: (i) les modeles des plus importantes classes de systemes formels se pretent a !'application du passage a la limite 2) j (ij) en general, !'existence d'un modele quelcon que pour un systeme forme! implique !'existence d'un modele fini ou denombrable. En vertu de ces deux principes, il est raisonnable d'essayer de ne consi derer que les modeles finis ou denombrables ( d'autant plus que les modeles de puissance plus elevee donnent lieu a certains doutes au point de vue philosophique), et de construire les modeles denombrables en partant d'une serie de modeles finis par un passage a Ia limite approprie s). A premiere vue, la realisation de ce programme semble se heurter a des difficultes insurmontables. Prenons comrne exemple, le cas relativement simple des structures simplement ordonnees (E, P, on ait pour serie si l'on peut trouver un indice P tel que, D'autre part, la notion de passage •••
Wk = w0.
, ..., Wk, Alors, soit donnee une serie de valuations WlJ w2 ie wo(ap) de la ser wt{ap) , l pour tout parametre ap, la imite
.••
Wk(ap ),
. . . existe. Alors, en vertu des regles (ij) et
telle que,
w2(ap) , ..., (iij), les valeurs wo(ap )
i ent une valuation determn
wo. de la serie des valeurs On montre aisement que w0[r ( ap, aq)] est la limite w.t[r(ap, aq)], que wo[ap = aq] est la limite de la serie des valeurs U Wk[ap = a9], que w0( ih est la limite de la serie des valeurs w.t( ), et que Wo ( u v v) est la limite de Ia serie des valeurs Wk ( u v V). U (x)] ne soit pas la Toutefois, nous verrons qu'il se peut que wo[ (Ex)
limite de la serie des valeurs
Wk[ (Ex) u (x) ] ; notons, en passant, les rapports
de ce phenomene avec celui de l'w-inconsistance, decouvert par Godel en
1931. Supposons maintenant que
E soit un
R soit une relation d'ordre simple
dans
ensemble fini ou denombrable, que
E,
un numerotage de tous les elements de
E
(sans ou avec repetitions) .
Wk
suivante:
> Wk(a2) = e2, . . . , Wk(ak) = Wk (�+1)= ... = ek.
En vertu
Pour chaque nombre nature!
Wk(al)
et que e1, e2, . . ., ep, . . . constitue
= el
k,
nous prenons la valuation
des proprietes bien connues de l'ordre simple, on aura, pour les expressions closes: =
(x)r(x, x) ; V = (x) (y)[r(x, y) · V· X = y- v· r(y, x) ] ; W = (x) (y) (z)[{r(x, y) & r (y, z)} � r (x, z)], wo (U) = wo(U) = u ; w0(V) = w.t(V) = u ; wo(W) = Wk(W) = u. U
Pourtant, il sera clair que, bien que pour tout nombre nature! forcement
Wk[(x) (Ey)r(x, y)] = v, il
se peut que
k
on ait
w0[(x) (Ey)r(x, y)] = u.
Il n'est peut-etre pas sans interet de montrer que la meme methode peut etre .appliquee pour decrire certains modeles de Ia theorie des types. Dans les formes simplifiees de cette theorie qui ont etc developpees pendant les dernieres annees 8), on n'a que des variables d'individu
x, y, z, . . .,
des
, des variables de famille X(2), Y(2l, Z!2l, . . . , variables d'ensemble X, Y, Z, l des variables de classe x<s , y(sl, z AA2, ... , BAll BA2, . . . , ABl> AB2,
series de parametres d'ensemble
series de parametres de
BB1, BB2, . . . , huit
. • •
series de parametres de classe, etc.; !'introduction de
plusieurs series de parametres pour chaque type logique facilite Ia definition d'un numerotage approprie; nous avons
vu,
en effet, que le choix du
i fluence essentielle sur le resultat du passage numerotage a une n
a la limite.
Mathematiscbe 7) Pour une notation diffl!rente, cf. H. Hermes-H. Scholz, 1952. Leipzig 1, Teil 1, Heft Il, Band Aufl., 2. Logik. Enz. d. Math. Wiss.,
8) Mentionnons seulement: A. Tarski, Einige Betracbtungen iiber die Be griffe der w-Widerspruchfreiheit und der w-Vollstiindigkeit. Monatsli. f. Math. u. Phys. 40 (1935), pp. 97-112.
66
67
E.
W.
SUR LA DESCRIPTION DE CERTAINS MODELES D'UN SYSTEME FORMEL
BETH
Dans le modele Mk nous aurons, comme individus, les nombres naturels 1, 2, 3, ... , k; comme ensembles: E1 = 0 (ensemble vide), E2 = {1}, E3 = = {2}, E4 = {1, 2}, E5={3}, E = {1,3}, ..., E2k = {l,2,3, .. . ,k} ( o r � : �� !'arrangement lexicographique. So1t M = {1, 2, ..., k} et, pour tout P > Ep = M - Ep; alors !'arrangement: �
El> F1, E2, F2, ..., E21 V3, . . . et W 1> W2, W 3, . . . qui l et aux axiomes correspondent respectivement aux axiomes d'extensionaite multiplicatifs (ou axiomes du choix) pour les types 1, 2, 3, . . ., .on a egale ment wo(V1 ) = wo(V2 ) = wo(V3 ) = . . . = wo ( Wl ) = wo(W2) = = w0(W8) = . . . = u. (iv) D'autre part, pour les expressions X1, X2, X8, .. . correspondant aux axiomes de description ou de pseudo-definition ( et qui representent, en quelque sorte, l'axiome de reductibilite S)), on trouve wo(Xd = wo (X2) = = wo(Xs) = . . . = v. Par exemple, bien que nous puissions definir, dans notre formalisme, Ia notion d'un ensemble inductif ayant un nombre pair d'elements, il manque a notre modele la famille de tous les ensembles qui ont cette propriete. ( v) De cette remarque, il resulte que M0 est un modele pathologique («non-standard model» 1 ) ) . lvi) Quand meme, il para1t que T contient une certaine version de l'arithmetique. Les nombres naturels seront les ensembles inductifs, l'egalite sera l'equinumericite. On peut definir, dans notre formalisme, l'ordre usuel des nombres natu rels et les operations arithmetiques elementaires. Pour toute expression close U qui admet une interpretation arithmetique en raison de ces definitions, on a: pour que W0 ( U) = u, il faut et il suffit que cette interpretation arithmetique soit un enonce vrai. (vij ) Cependant, il est peu probable que T0 contienne une version · satisfaisante de I'analyse 10) . lnstituut voor Grondslag en onderzoek en Philosopbie der Exacte Wetenschappen der Universiteit van Amsterdam Roetersstraat la
AMSTERDAM-C.
10) Nos discussions impliquent une demonstr�tion (non-finitiste) de Ia con sistance d'une certaine version de l'arithmetique. Nous nous proposons de traiter ce sujet d'un fa�on plus complete.
69
PEANO ET BURALI·FORTI PRECURSEURS DE LA LOOIQUE COMBINATOIRE
v - 12 - 387
Schroder, et dont la mise au point a constitue la logique des relations des
Principia Mathematica. ROBERT FEYS PEANO ET BURALI-FORTI PRECURSEURS DE LA LOGIQUE COMBINATOIRE La logique combinatoire actuelle peut etre divisee en logique combina toire pure et appliquee (nous comprenons dans l'une et !'autre les calculs de lambda-conversion aussi bien que les theories usant de combinateurs). La logique combinatoire pure a pour particularites essentielles: 1° Une operation d'application, exprimant une forme quelconque de determination d'un terme par un autre; elle s'ecrit par simple juxtaposition du terme determinant avant le terme determine. 2° L'emploi de variables exprimant des objets de pensee absolument quelconques. go L'emploi de combinateurs exprimant un arrangement donne des termes qui les suivent. 4° Une operation d'abstraction fonctionnelle telle que lx(M) exprime la determination qui, appliquee a x, donne M. La logique combinatoire appliquee ( dont le developpement reste frag mentaire) comporte en outre: 1° Des operateurs ou foncteurs autres que des combinateurs. 2° Des enonces de fonctionnalite, tels que FaPf a le sens intuitif de «si x est de la categorie a, fx est de la categorie P»· go Des quantificateurs analogues aux quantificateurs de la logique usuelle.
La logique des relations, telle qu'elle a ete developpee par Peano dans son Formulaire (notamment dans la 1e edition, de 1895, avec l'Introduc tion, de 1894, et dans Ia 5e edition, de 1905), et par Burali-Forti dans sa Logica Matematica (2e ed. 1919), est ordinairement consideree comme une theorie sans nteret, i qui ne repondrait pas a une conception coherente. La logique des relations n'aurait trouve une forme satisfaisante - et prati quement definitive - que dans !'article de Russell (Rivista di Matematica, vol. 7, 1900), forme adaptee et completee de Algebre des Relatifs de
1'
70
En fait la logique des relations- ou mieux «theorie generale des fonc tions» - de Peano et Burali-Forti constitue une forme fragmentaire de logique combinatoire appliquee (ensemble de notations et quelques theo remes elementaires, concernant surtout la fonctionnalite) . Comparons-la d'abord avec la logique combinatoire pure. 1°
L'expression d'une fonction est analysee (ainsi que plus tard dans la
Logische Syntax der Spr(lche de Carnap) comme application d'un foncteur a un ou des arguments. Mais le foncteur ne precede pas toujours les
arguments. Desireux d'analyser logiquement les notations matbematiques, dont ils s'ecartent le moins possible, nos auteurs admettent aussi bien des foncteurs suivant un argument, comme le «!» dans «n!» que des foncteurs precedant !'argument, tel le «sin» de «Sin X». Ceci les oblige a poser deux series de definitions. Burali-Forti parle d'operateurs a gauche et d'opera teurs a droite: distinction purement exterieure. Nous ne considererons dans la suite que les operateurs a gauche. 2° Ils usent evidemment de variables, mais ils n'ont pas une serie unique de variables, comme la logique combinatoire pure. go Ils ne disposent pas d'un systeme complet de combinateurs. Mais l'operateur «idem» de Burali-Forti est !'equivalent du combinateur I. II existe un produit d'operateurs que Peano ( 1e edition) note par juxtaposi tion et pour qui Burai-Forti l use du signe « O »; c'est le produit com binatoire, note « . » par Curry et «X» par Rosser, et tel que f . g ou fxg equivalent a Bfg. Nous n'avons pas trouve de notations equivalant aux combinateurs C, W, K; les exposants «-1» de Burali-Forti ne sont pas !'equivalent de combinateurs C. 4° Ils ont une operation d'abstraction fonctionnelle: fx I x est !'equi valent de ).x.fx. Cette operation n'est pas seulement employee pour isoler l'operateur hors d'un contexte, en caracterisant p. ex. log comme etant log x I x; il y a aussi des definitions veritables, p. ex. celle de cos comme etant r < eix + e-ix) 121 1 x. Nous retrouvons done tous les elements caracteristiques de Ia logique combinatoire pure, mais dans des usages particuliers ou fragmentaires. Passons a Ia logique combinatoire appliquee. 1° On introduit en grand nombre des operateurs mathematiques. 2° Les enonces de fonctionnalite jouent un role capital. Le bfa de Peano et le Ops(a, b) de Burali-Forti designent des operateurs u tels que 71
ROBERT
pour tout
x,
si
X
est un a, ux est un
FEYS
b.
Les enonces de fonctionnalite ne
sont pas requis pour introduire les categories logiques de symboles. Les a,
\
b
sont des categories connues par ailleurs ou des classes particulieres d'objets ou de nombres. Mais nos auteurs usent de definitions sous conditions, qui sont a la fois des definitions de forme usuelle et des assignements de
categories.
3°
Des notations equivalant
aux
THEORIE DE LA PREUVE
quantificateurs ont deja ete intro
duites avant Ia theorie des fonctions; celle-ci ne precede d'ailleurs pas la logique des propositions ou des classes mais Ia suit. Les notions «combina
toires» y sont entremelees d'autres qui sont aujourd'hui incorporees a la
logique des relations (couples et n-uples, classes de couples et de n-uples, fonctions descriptives plurielles, relations univoques, reciproques, biuni voques). II ne faut
n i
sous-estimer ni surestimer les resultats acquis par les
precurseurs. Ils avaient mis le doigt sur presque toutes les idees de Ia logique combinatoire ; ils les avaient meme notees explicitement. Mais ils n'avaient pas formule la theorie systematique que sera la logique combina
toire; ils n'ont meme pas commence a la fonnuler. Parce qu'ils avaient
formule leuri notations apres autre chose, comme supplement a autre chose, sans fondement axiomatique pennettant une deduction de theoremes. Une formulation reste sterile si elle vegete dans les a-peu-pres. Maismeme
avec une notation rigoureusement definie (la leur etait rigoureuse), elle ne devient feconde en consequences que si 'on sait l'isoler de tout contexte
,
d'idees accessoires et Ia rattacher a un minimum d'idees primitives. Ces
idees primitives sont assez faciles a entrevoir, mais elles n'apparaissent dans leur simplicite qu'apres un long cheminement de Ia pensee.
108, Rue de Tirlemont LOUVAIN Belgique
THEORY OF PROOF
72
v - 13 - 132
M A R I O DAL PRA SULLA PROVA NEL DISCORSO FILOSOFICO Se una caratteristica puo essere indicata come propria del discorso filo sofico, pare che essa sia quella della
dimostrativita, ossia
della sua partico
lare efficacia nel campo del rigore «scientifico». Si suole infatti porre tra l il discorso filosofico e gli altri tipi di discorso una differenza di quaita,
per cui appunto il primo sarebbe valido, obiettivo, fondato, dimostrato, mentre i secondi sarebbero arbitrari, soggettivi, empirici. Discorso filosofico
si considera insomma quello che tende a superare il limite entro cui sembra che non possano non collocarsi i discorsi comuni; esso, per contro, tende
ad assurnere un significato piu vasto e stabile, una· maggiore consistenza nel mondo inter-soggettivo; ora lo strurnento logico in forza del quale pare che Ia tendenza del discorso filosofico a trascendere l'empiria possa avere
qualche possibilita di successo e appunto il suo
rigore dimostrativo.
Non si puo certo ignorare, oggi, che molti dei discorsi che si presentano
come filosofici, vengono enunciati colla piena consapevolezza del loro
limite ; si tende da piu parti a rinunciare alia particolare dignita del discorso filosofico e quindi a conservargli un posto distinto da quello che
si suole assegnare a tutti gli altri generi di discorso ; e si vanno indicando altri tipi di discorso ai quali accostare lo stesso discorso filosofico. Ed ecco
che si parla, ad esempio, del discorso filosofico come avente gli stessi caratteri del discorso scientifico o dell'esperienza. Questo significa certamente che si viene oggi avvertendo sempre piu chiaramente Ia responsabilita che si assume attribuendo
al
discorso filosofico un particola_re valorc ed una parti
colare dignita. Ma e facile osservare che, anche n i tali casi, quel discorso
al quale si finisce per assimilare
il discorso filosofico, in particolare il
discorso filosofico-scientifico o fllosofico-metodologico, appunto in quanto discorso
anche
filosofico, assume una particolare intonazione, una parti
colare tensione per cui mira a trascendere !'ambito soggettivo in cui si
forma per giungere ad una significativita piu vasta. Si riduca pure il
discorso filosofico ad un livello piu empirico; difficilmente si rinuncera a proporre il nuovo discorso che risulta dalla riduzione come un discorso «valido», pili valido appunto di altri discorsi che pretenderebbero di
essere «validi», senza esserlo.
15
SULLA PROVA NEL DISCORSO FILOSOFICO
MARIO DAL PRA
Qualcuno potrebbe osservare anche che il discorso filosofico anziche essere, oggi, considerato piu valido di altri, e il tipo di discorso cui si i tende rinunciare il piu radicalmente possibile, appunto in quanto viene n giudicato come il meno dimostrativo, il piu gratuito che si possa dare, il piu sostanzialmente estraneo
all'ambito scientifico; pure, anche in questo
caso, c'e un discorso cui si e propensi ad accordare un rilievo eminente in ordine alia «validith, sia pure a tutto scapito del prestigio attribuito in passato al discorso filosofico tradizionale; nel rovesciamento delle posi zioni v'e un tipo di discorso che tramonta, quello appunto cui si
e per
lungo tempo legata la qualifica di discorso filosofico, ed un discorso che sormonta, in quanto tende a prendere il posto e la dignita dell'antico di scorso filosofico. E sara dunque a questo nuovo tipo di discorso, fornito, secondo che si dice, della proprieta di «aver senso» che si conferira un particolare rilievo «dimostrativo», a tutto scapito del discorso tradizional mente giudicato come filosofico ed ora meglio indicato come del tutto privo di senso. Si potrebbe anche osservare, forse, che ogni discorso umano, per il solo fatto di presentarsi come discorso, tende all'inter-soggettivita ed al valore. Eppure si puo, credo, fare distinzione fra il discorso che tende ad una efficace, e quello che mira l propria validita come discorso sempicemente a conseguire una validita non tanto sui terreno della semplice compren sione quanto sui terreno della validita.
A
volte il discorso di un uomo si
rivolge ad altri non tanto e non solo per farsi da essi capire, quanto piut tosto
per farsi da essi apprezzare ; e qui sembra appunto che il discorso
tenda ad una sua particolare validita, accennando a diventare discorso filosofico in quanto discorso «valido», razionalmente e logicamente fondato. E' dunque
di grande importanza l'esame della questione della dimo
strativita del discorso filosofico; su tale dimostrativita sembra poggiare i sapiente e l'uomo comune; all'eventuale anche la antica distinzione fra l sopravvjvenza d'un piano propriamente sapienziale distinto da quello del l'uomo comune e legato, infine, il destino del filosofo, in quanto uomo fornito piu e meglio degli altri d'un criterio intrinseco di valore per il proprio discorso.
A
questo punto si rifa anche la distinzione di filosofia
e retorica, in quanto la prima si consideri come la ricerca rigorosa del vero e la seconda come l'arte del persuadere. Se dovesse, in una parola, crollare il fondamento della dimostrativita del discorso filosofico, il filosofo sarebbe senz'altro assimilato all'uomo comune
(e l'uomo comune non
potrebbe essere altro che uomo comune) e la filosofia sarebbe senz'altro assimilata alia retorica. Ora una delle forme in cui il discorso filosofico teoricisticamente inteso 76
ha finora tentato di conseguire una sua piena giustificazione in atto e quella in cui esso si presenta come
giusto discorso sull'essere;
sarebbe allora il discorso che e in grado di rispecchiare
giustificato
1'essere nella sua
genuinita; e sarebbe appunto l'essere stesso, in quanto fondante un parti
colare rapporto col discorso, a toglierlo dall'inconsistenza dell'empirico ed a conferirgli validita. Ma come raggiungere l'essere autentico? Come riuscire a stabilire l'effettiva ·ljispondenza del Xi# XJ V XI <xm, then P* denotes the predicate Xi=XJVU # v &.xt <Xk V u # v -" Xi#XJVU # v V Xl <xm V u # v. With this notation the predicates which interest us at the moment can be denoted by (xi<XJ)* for any i and j with i =j= j. We can consider these predicates to be atomic predicates of a subsystem 01 of the theory constructed on the basis of 01 and 02 together with the axioms for identity and distinguishability. Within this subsystem 01 we have the free use of disjunction, conjunction and implication, and also the free use of quantifica tion over the variables xl> x2, Further, in OI we are able to solve the problem introduced by the axiom 03; namely, the expression of the property l ( xt <Xi) of the ordering relation without using either negation or the the atomic predicate Xi <xt. The basis of the solution of this problem s i following theorem: ·
• • •
102
•
The Theorem of Nullity: if P* is any well formed formula of the sub system OI, then u # v --'> P* is a theorem of OI .. The proof of this theorem, which can be completed by induction on the construction of P*, will not be given. If we define a negation l P* df P*--" u # v within Or can we readily prove on the basis of the theorem of nullity that this negation has all the properties of the intuitionistic negation, taking into account that the "null-predicate" of the system or is the predicate u # v. Further, since Xi <xi is a null pre�cate �ithin the intuitionistic logic it is natural to define its analogous predicate m the subsystem OI to be the null-predicate of OI. Hence, we say (Xi< Xi)* df u # v. This definition is quite permissible since up till now we have not defined (xi<x1)* for i=j. These definitions are exactly what are necessary, for if we now write 0*3, the translation of 03 for the system OI, we have 1 (xt <x1) * which is a theorem since it is simply an abbreviation of u # v --" u # v. If we also translate 01 and 02 into 0*1 and 0*2 by replacing every atomic predicate p in 01 and 02 by the predicate p*, we may drop the special limiting condi tions which appear in 01 and 02 since we have defined (xi <x1)*. 0*1 and 0*2 then are theorems of or except for the case of 0*1 when i = k; but this particular case may be expressed within 01 and hence may be added as an axiom. Therefore, in the subsystem OI we have that the ordering relation satisfies the following three expressions : 0 1 : (xi<XJ ) * & (xJ<xk ) * -" (xt<xk)* 0 2 : ( �Xi) (�xi) (xi<XJ)* 0 3 : l (xi<xt)* But these three expressions are the same as the three axioms 01, 02 and 03 of the ordering relation within the intuitionistic logic, except for the fact that an asterisk appears above every atomic predicate. We therefore have the result that if T is a theorem of the deductive theory of order, formalized ;vithin the intuitionistic logic, and based upon the axioms 01 to 03, then T* JS a theorem that is admitted by Griss. The converse of this result is that if T* is a theorem of OI based upon 0*1 to 0*3, then T is a theorem of deductive theory of order formalized within the intuitionistic logic. The proof of the converse is a follows: if T* can be proven within or then it certainly can be proven within the intuitionistic logic on the basis of 01 to 03. ut T* contains u and v as free variables and therefore (V: u) ( V v) T* ( u, v) JS a theorem of the intuitionistic logic. Hence, by an axiom of the logic ( Vu) T* ( u,.u) is also a theorem. But T* ( u, u) is the expression formed from T by replacing every atomic predicate p in T by the predicate
�
103
P. C. GILMORE
p V u # u.
v- 1 7 - 143
Now in any theory of distinguishability expressed within the
intuitionistic logic we would have that
u#u
is equivalent with a contradic
tion, and hence that p is equivalent with p V u # u and that Tis equivalent with T* ( u, u ) . T is therefore a theorem since T*
§ 4
( u, u)
is a theorem.
GUIDO MORPURGO-TAGLIABUE
CONCLUSIONS
The results of the last section permit us to say that the whole of the deductive theory of order based on the axioms
01
to
03
SIGNIFICATO E PROVA NEL DISCORSO CRITICO
can be protected
from the criticism of Griss since this deductive theory can be duplicated in
E' noto che la p�;ova e intrinseca alia dimostrazione come un suo
the system OI and since there is an expression T* of OI which can be
if and only if an analogous expression T can
momenta o aspetto, anche quando si tratta di una prova aggiunta,
The whole secret of the circumvention of the criticisxr.. of Griss depends
la prolunga e Ia perfeziona. Cio vale tanto per il metodo cosidetto induttivo
proved to be a theorem of OI
successiva alia dimostrazione : nel qual caso infatti non le si appende, rna
be proved to be a theorem of the deductive theory.
come per il deduttivo, a volerli distinguere. Le baconiane
upon Griss' admission of the primitive notion of distinguishability. Once we were permitted to introduce the atomic predicates
p,
u#v
we could form predicates
p*
from
and then completely translate the theory of order
without the asterisk into a theory of order with the asterisk. However, up to that point we used no characteristic property of the relation of distinguish ability. It was only when we wished to prove that if is also a theorem that we used the fact that
u#u
T*
is a theorem then T
is not satisfied for any ,
value of its variable. Therefore the proof we have given can be duplicated with any predicate p ( u, v) which has the property that
p ( u, v)
tiae, absentiae, gradus,
is equivalent
with a contradiction within the intuitionistic logic. As mentioned earlier, the same method of circumvention produces the result that the criticism of Griss can be reduced to simply a limitation in the
•
torio, ed era da questa preparazione che scaturivano le illazioni o ipotesi, e poi le conclusioni. Lo stesso si dica per; i procedimenti di J. Stuart Mill.
Un procedimento induttivo e un seguito di prove evidenziali, sino alia decisiva, I'experimentum
probatorio: quest' ultimo e l'adeguazione di un significate a un
logico, quello della dimostrazione per reciprocita, da condizione a condi zionato (se
esperienza
W.
Beth
for helpful criticism and suggestions. BIBLIOGRAPHY
[1] to [5] are the following articles by G. F. C. Griss in the proceedings of the Kooinklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen: Negatieloze intuitionistische wiskunde, vol LIII, no 5, 1944. Negationless intuitionistic mathematics, vol XLIX, no 10, 1946. Negationless n i tuitionistic mathematics /J, vol LIII, no 4, 1950. Logic of negationless intuitionistic mathematics, vol LIV, no 1, 1951. Negationless intuitionistic mathematics Ill, vol LIV, no 2, 1951. Rich. Wagnerstraat 24 AMSTERDAM Pays Bas
denotatum,
Nel metodo trascendentale invece Ia prova consiste in un rapporto tauto
by adding (A) and (B) given at the end of § 1, as axioms of the intuitionistic In closing, I would like to express my tha�ks to Professor Dr E.
che le implica tutte. Ma ciascuna ha un
ossia a una imrnediata evidenza, ed e questa che nella tradizione e prevalso.
di
predicate logic.
crucs i,
doppio aspetto: quello dell'operazione probante e quello del risultato
predicates and propositions which may be introduced as atomic predicates
and propositions of a deductive theory. This limitation can best be expressed
tabulae praesen
erano gia un materiale selezionato in modo proba-
A).
A e
condizione sistematica di B, B e condizione metodologica
Anche questa prova comporta almeno un termine immediato. Tali
erano per Kant i concetti puri, che fondavano il concetto di natura o
(formaliter spectata),
anche se contemporaneamente venivano
dedotti da questa.
Possiamo dire percio che carattere di entrambi i metodi e di ricavare
l'illazione o la deduzione da un dato (impressioni, sensazioni, o
lOsliche Begriffe),
unauf
prescindendo dal fatto che questa a sua volta e il risul
tato di una illazione o deduzione in funzione di un postulate : dopo di che non fa meraviglia se si ritrova Ia conseguenza nella premessa. Accade oggi invece che lo scienziato piu diffidente di filosofemi conviene che le sue leggi sono adeguazioni della mente ai fatti perche i fatti sono stati preven tivamente scelti e preparati, ossia piu o meno spontaneamente adeguati aile attese. In tal modo Ia tesi dell'adeguazionismo viene compromessa. Se chiamiamo «adeguazionismo» il principia che pone una
res,
un dato (fatti
elementari o leggi logiche· elementari) il cui riconoscimento o
adaequatio
costituisce la verita, possiamo constatare che tanto l'empirismo nelie sue
104
105
GUIDO MORPURCO-TACLIABUE
forme piu evolute (positivismo logico, strumentalismo) quanto l'idealismo nelle sue dottrine piu acutamente problematiche (attualismo) , erano e sono avviati, in modi non sempre coerenti rna sempre significativi, a sbarazzarsi di quel presupposto. E' noto che quando cio accade, accade perche il concetto di teoresi, prima separato dal concetto di prassi, risulta ora coincidente. Si puo dire che l'empirismo moderno evolvendosi in sperimentalismo, e quindi precisandosi come un procedimento di istanze, osservazioni, sup posizioni, assiomi, verifiche, illazioni, conferme, etc. non ha fatto che dare sviluppo metodico a questo principio, che costituiva gia per gli scienziati e i tecnici una esperienza consueta benche irriflessa : del carattere logico pratico e quindi antiadeguazionistico dell'indagine. A sua volta lo stesso Kant si era accorto (Cr. R. Pura, pref. 1787) che la sua tesi si poteva esporre anche in modo ipotetico-sperimentale, secondo un metodo «preso a prestito dal fisico» (diese dem Naturforscher nachgeahmte Metode). Si puo constatare infatti che tutta la Logica trascendentale kantiana e un procedimento di assiomi ricavati da un postulato, i quali a loro volta fondano il postulato e lo provano per assurdo (Dialettica tr.). Siamo di fronte, in rea1ta, a un procedimento unico di n i dagine, che definiamo ora induzione ora deduzione, a seconda che lo si pone come ricerca e scoperta, ' o come esposizione e giustificazione (in nessun caso esso puo trasparire quale veramente e: anche l'esposizione piu fedele di una ricerca e gia la ricerca di una esposizione) . Se ora fermiamo l'atten�ione sui sistemi trascendentali ( criticismo, idealismo, marxismo, esistenzialismo), che sono sorti per un impegno di riflessione critica, la loro stessa sequenza storica ci pennette di constatare il carattere opzionale, pratico, dei loro assiomi, ancorche questi si pongano come verita evidenziali. La storia del pensiero trascendentale, da un secolo e mezzo in qua, e stata un processo continuo di fagocitazione di un prin cipio critico da parte di un altro principio critico. Ciascun sistema trascen dentale e stato, ogni volta, la risoluzione in senso funzionale di un residuo dogmatico del sistema precedente : rna questo residuo dogmatico non era altro che il precedente postulato critico. Cosl la razionalita della natura si sciolse nella funzionalita delle categoric, e l'universalita di queste nella dialetticita dei concetti, e la teleologia dei concetti nel deter mini.smo strutture-soprastrutture, e il fenomenismo delle strutture nell'on tologia dell'esistenza. Ogni volta in grazia di un dato empirico (Ia storia, la societa, la morte, etc.) il quale si trasforma in un significato razio nale, e opera da postulato. Ogni volta si opera cosi quella che usiamo chiamare una rivoluzione copemicana, la quale rivela sempre un'iden106
SICNlFICATO E PROVA NEL DISCORSO CRJTICO
tica procedura, sia della dottrina criticata come della sua confutazione critica. Questa procedura non e altro che il procedimento ipotetico, ossia logico-pratico, dell'indagine. Ogni dogmatismo che viene critica mente confutato non e che un vecchio postulato, il quale fa luogo a uno nuovo ( ossia a una nuova istanza, a un nuovo significato). - La prospet tiva storica stessa del pensiero critico mostra dunque che il metodo trascendentale non e diverso, in ultima analisi, da un metodo empirico. Entrambi sono modi di un'indagine n i tenzionalmente antidogmatica che sotto il termine di osservazione selettiva o di fondamento offre un nuovo principio: un'istanza-proposta, la proposta di un «significate», capace, per un settore, di confonnare a se tutta un'esperienza e di fare sistema. E' sempre in un significate che si trova la matrice di un sistema. In questo modo il criterio adeguazionistico si e venuto trasformando in un criterio compositivo. In luogo di un dato evidenziale si fa capo a una , ipotesi efficace. In luogo di una irnmediatezza si ha una mediazione. Che cosa ne consegue riguardo al concetto di prova? - 11 compito prpbante non cade piu sui dato rna sui postulato, sulla sua capacita di costituire un insieme o di ordinare i fattori in un tutto coerente. Un postulato non e ne vero ne falso, ma efficace 0 meno · per soddisfare una s i tanza. Anzi, il postulato e la stessa istanza, piu 0 meno trasparente, e quclli che diciamo per solito postulati sono l'assiomatica in cui esso si articola, e mediante la quale esso svolge Ia propria intema mediazione. Non sono piu la natura 0 la storia che pongono interrogativi e danno risposte; e l'uomo che in terroga, e la sua domanda contiene l i criterio della risposta. Non si parla piu di «prova», rna di attesa e confenna. Ma questo vuol dire non altro che lo svolgimento di un «significate». Alla prova del 'x is helpful'. This is an analysis by substi tution. The general proposition is now analysed into, and replaced by, a relation between propositional functions. A substitution of parts can hardly be avoided in any sort of analysis and may easily become a total substitution. I may formalize the just mentioned general proposition still more, and write 'p' :::> 'q'. The verbal proposition has thereby been translated into symbolic language, i.e. into a relation between formal functions. Analysis by translation forms the basis of indirect analysis. As soon as I replace the whole analysandum by another analysandum, the substitution is trans formed into a translation. Not every translation is, however, an analysis. In the case of matter-of-fact statements it becomes an analysis, if, and only if, the substituted proposition is of greater epistemological value, i.e. ( 1) if it clarifies what had been said in the original proposition, (2) if it is amenable to direct analysis, whereas the first was not, and (3} if it is verifiable in fact, and not only in principle. In the case of a priori propositions a trans lation may or may not imply an analysis, but is often made for the sake of analysis.
F. H.
HEINEMANN
META-ANALYSIS
3.
(memo1y)
or future
(imagination proper), is the prerogative of man.
Machines may calculate, but they have no creative imagination. Imagination There is no space to discuss the other points implied in the concep
kindles analysis ; it is necessary for seeing the problems, for choosing the
tion and definition of meta-analysis. Instead I add a few remarks concerning
most appropriate model, for anticipating the result, and for establishing
the relevance of this subject. If it is to be acknowledged as relevant, it
connections with other fields of enquiry. Reason, on the other hand, guides
must ( 1) fulfil a specific function in present circumstances, (2) fill a
analysis with the help of regulative ideas. Simple elements, atomic facts
specific place among the sciences, and
(3)
have a basis in specific functions
of the human mind.
etc., are regulative ideas of reason, and not, as falsely assumed, the result of rational analysis. Absolute simplicity is outside our reach. Reason rejects
What then is its function? Negatively, it liberates us from the onesided
any kind of all-pervading analysis, with its rigidity of guiding ideas and
and stifling influence, from the dryness and barrenness of analysis. At the
of specific blindly accepted models. It liberates us from the shackles of
same time, it offers the instruments for understanding and clarifying, for
restrictive practices, and opens up new horizons still unexplored.
criticizing and delimiting different forms of analysis, their rules and models. Positively, it opens new ways of enquiry, whether they are analytic or not. It is by no means restricted to analysis and synthesis, but transcends them. It leaves room for any kind of immediate approach, for response and
36, Victoria Road OXFORD Angleterre
dialogue, for the intuitive grasping of being and meaning, of shapes and structures, for imagination and imaginative construction. Although they may save an enormous amount of work, these direct approaches are unduly neglected in favour of secondary methods, which often only bring out what , we knew before. In our present situation meta-analysis has the specific function of inaugu rating the post-analytic era, by demonstrating that the transition to it is inevitable. It represents the minimum of metaphysics acceptable to the analysts, but by no means the whole of it. Thereby, by implication, the second point is met. Meta-analysis finds its place in metaphysics as one of the first, introductory and fundamental chapters. In a certain sense, it is more fundamental than logic, because logic presupposes analysis. The choice of a specific kind of analysis, together with the assumptions implied in it, determines the form of the ensuing logic. Aristotle assumes that every proposition may be analysed into subject and predicate, which represent classes of entities, and that these classes are, either wholly or partially, in cluded in, or excluded from, each other; and further, that the truth-value of any proposition must be either 'true' or 'false'. The logic of relations concentrates on the logical qualities of relations instead, and the multi valued logics assume the existence of more than two truth-values. The analysis of the modern era was in the service of ratiocination, the result was an atrophy of imagination and reason. The new point in meta analysis is that it puts analysis in the service of imagination and reason. It is based on both. Imagination, as the faculty of perceiving and construc ting images or shapes, whether its objects
130
are
present (visualising), or past
lSi
ON
v - 21 - 232 (e)
NON-TRANSLATIONAL SEMANTICS
a list of formulae or sentences explicitly shown to be
theorems,
i.e.,
shown to be provable from the axioms by means of a finite number of applications of the rules of inference, (f)
R. M. M A R T I N
a list of statements about the language allowing us to
define
or
abbreviate expressions, especially long ones, in specified ways, and, in the case of semantical systems,
ON NON-TRANSLATIONAL SEMANTICS
(g)
a list of statements about the language which assign explicitly
denotata to certain of the constituent expressions or which otherwise tell us Following Carnap and Church, one can distinguish between a
logistic system
formalized formalized language-system (or inter roughly as follows 1 ). The former is determined
(or calculus) and a
preted language) somewhat
by rules which refer exclusively to symbols and expressions, regarded in abstraction from any specific interpretation.
A
language-system, on the
other hand, is a logistic system with a fixed, determinate interpretation or
how various expressions are semantically interrelated. This rough description is of course not intended as an exact definition. But any exact definition or characterization of a formalized system (of an appropriate kind) must be such as to accord with this rough description in essential respects. All the language-systems discussed in this paper, either as object- or as
assignment of denotata given to certain of its expressions. Amongst the
syntactical or semantical meta-languages, are of the kind known as simple,
totality of rules constitutive of a language-system one can distinguish between
applied, logical languages of first order with or without identity 2). They
those which are
thus all contain certain basic logical ingredients, such words or phrases as
and those which are
syntactical
semantical
in character.
all a , etc. These words are to have the
'
Ordinarily, the syntactical rules refer only to the expressions, whereas
'and', 'or', 'if. . . then. . .', 'for
semantical rules are concerned with the interrelations of the expressions,
meanings associated with them in the usual classical, two-valued logic of
with dertt>tata. A logistic system is wholly determined by syntactical rules.
truth-functions and quantifiers. The logical axioms and rules pr�supposed
It is·therefore sometimes also called a
syntactical system, and the language in which it is formulated is often called a syntactical meta-language. Language-systems, on the other hand, are sometimes called semantical systems, being determined by syntactical and semantical rules together. The
in the languages discussed here are thus of the familiar kind.
meta-language in which a semantical system is formulated is often called
language, a functor (or functional symbol) expressing concatenation (the
a
semantical meta-language.
whether an object- or a meta-language, consists of the following: a complete specification of the
(b)
an explicit definition (recursive or otherwise) of what it means to
(c)
and possibly
term,
primitive vocabulary,
a
and
b),
a
followed by
b
from the constituent
and the expressions for the logical notions including
merely over the expressions of the object-language, these expressions con
of that system,
stituting a denumerable fundamental domain of entities each of finite length.
a finite or denumerable list of formulae as
axioms
or
primitive
The structure of semantical meta-languages, however, is in general more complicated 4 ) . Semantics presupposes syntax and contains it as a part,
sentences, (d)
expressions
identity. The variables of this kind of a syntactical meta-language range
(a)
formula,
primitives one needs only names of the various basic symbols of the object operation of forming the expression
Roughly speaking, any formalized system, whether syntactical or semantical,
be a
A syntactical meta-language is of course a language and may, if desired,
be formulated so as to presuppose an extremely simple basic logic 3). As
some statements about the language, the
rules of inference,
telling
us the circumstances under which a formula or sentence is to be regarded as provable from or an immediate consequence of a formul or formulae, �
1) See R. Carnap, Introduction to Semantics (Harvard University Press, Cam bridge, Mass., 1942), esp. pp. 22-29; and A. Church, "The need for abstract entities in semantic analysis", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 80 (1951), p. 100. 132
2) See A. Church, Introduction to Mathematical Logic (Princeton Universtity Press, Princeton, N.J., 1944), esp. p. 37. 3) See L. Chwistek, The Limits of Science (Kegan Paul, London, 1948}, pp. 83- 100 and 162- 191; and W. V. Quine, Mathematical Logic (New York, Norton, 1940}, pp. 291-305. 4) See especially A. Tarski, "Der Wahrheitsbegriff in den forrnalisierten Sprachen," Studia Philosophica 1 (1936), pp. 261-405. 133
R.
M.
MARTIN
ON
As object-language let us take then any first-order language
and a semantical meta-language therefore contains a syntactical one as a
as a basis for investigations in the logic of science 6)
semantical meta-languages ordinarily considered contain, roughly speaking, four parts, a logical part, the syntactical part, a translation part, and a
of their object-languages. The translation part
syntactical meta-language contains the identity sign and a symbol for the operation of concatenation. The axioms of this elementary syntax are certain
very simple statements giving the basic properties of concatenation s).
In this paper the foundations for a semantical theory will be given which,
The non-translational semantical meta-language for
non-translational
them. By a
name
let us mean any expression of the object-language which
s i
either a one-place predicate constant or a one-place abstract. One name a can be said to
a
comprehend a name b if and only
applies to every object to which
b
if, informally speaking,
applies 5). Thus, e.g., �lover of peace'
may be said to comprehend 'Quaker' in an appropriate formalism. The sole semantical primitive needed in the construction of non-translational semantics is the relation of comprehension. Several important semantical ideas are definable in terms of comprehension including a semantical truth concept.
5)
See the author's abstract, "A semantics without ontology," 17 (1952), pp. 157- 158.
Symbolic Logic
134
Journal of
L consists
of elemen
tary concatenation theory augmented by the theory of comprehension. The
semantics; and the meta-language to be formulated will be called a non
perhaps ;omewhat remarkable that so much can be accomplished without
In addition
half a dozen or so. In addition to the structural-descriptive names, the
have been translational in character.
sacrificed. Bearing in mind the vital role these principles have played, it is
L.
be supposed to contain only a very few symbols primitively, perhaps only
semantics. All semantical meta-languages heretofore formulated seem to
translational semantics will have to be
etc., as variables of
of the primitive symbols of L. These names may also be called the structural descriptions respectively of the symbols which they name. Ordinarily L may
are
In some respects, it is less powerful and
'a', 'b',
the syntactical meta-language ranging over the expressions
applied. We may speak of any such semantical meta-language as a trans lational meta-language, and the semantics involved as a translational
certain principles of ordinary,
L
to these variables, the syntactical meta-language contains names of each
All semantical meta-languages which have heretofore been studied in any detail seem to conform to this general pattern. In particular, they all
Tarski, Carnap, and others.
For convenience let us presuppose that
We can presuppose that the syntactical meta-language of L is formulated
language with their denotata in a systematic way.
radical departure from the kinds of semantical meta-languages studied by
7).
in the narrow way suggested above. Let us use
part of the meta-language, one interrelates the expressions of the object
translational, semantical meta-language. This meta-language will afford a
may be taken
is inessential but helps to simpify l the semantical formulations below.
with the object-language in a suitable way. Finally, within the semantical
because it lacks this crucial feature, will be called a
L
functors, but only some predicate- or relational constants. This assumption
may be just the object-language itself or any language which corresponds
of the object-language to which they
Or
contains no primitive individual constants or proper names and no primitive
basic logic must be slightly broader. Also the semantical meta-languages
in toto
.
upon the theory of types or upon a set theory of the kind studied by Zermelo or von Neumann
as in a syntactical meta-language of the kind described above, although the
contain a translation
This may
as one of the famous mathematical languages, such as a language based
semantical part. The logical and syntactical parts are essentially the same
in toto
L.
be one of the languages recently studied by Carnap, Hempel, and others
part. But semantical meta-languages contain a good deal more also. The
contain a translation
NON-TRANSLATIONAL SEMANTICS
·
total vocabulary of the semantical meta-language thus consists merely of that of the syntax language together with a symbol 'Cmprh' for the relation of comprehension. Within the elementary syntax of L we can define such notions as 'theorem of
L',
'sentential function of one variable of
L',
'predicate constant of
L',
etc. With the addition of 'Cmprh' several important semantical notions become definable. Thus, an expression a of and only if there
s i
Expressions a and
b
at least one
b
L
such that
can be said to be
can be said to he a
a
Cmprh
coextensive
b
or
b
name
if
Cmprh a.
with each other if and
only if they mutually comprehend each other. An expression a can be said
�)
See R. Carnap, The Logical Foundations of Probability, (University of Chtcago Press, 1950), pp. 58 - 68; and C. G. Hempel and 'P. Oppenheim, "Studies in the logic of explanation," Philosophy of Science 15 (1948), pp. 135 - 175. 7) E. Zermelo, "Untersuchungen iiber die Grundlagen der Mengenlehre," Mathemati sche Annalen 65 (1908), pp. 107 - 128, and J. von Neumann, "Die Axiomatisierung der Mengenlehre," Mathematische Zeitschrift 27 (1928), pp. 669 - 752. 8) See Tarski, loc. cit., p. 289. An additional jlssumption is also required. 135
R. M. MARTIN
ON NON-TRANSLATIONAL SEMANTICS
semantically null if and only if a is comprehended by every name, and semantically universal if and only if it comprehends every name. An expression can be called a unit name if and only if it is a non-null name
to be
and is comprehended by every non-null name which it comprehends.
a
expression provided
a
Cmprh
then
c
semantical sum of expressions b c, and for every d, if d Cmprh b
can be said to be a
Cmprh
d
b, a
Cmrph
Cmprh
a.
An
and and
c d
In a somewhat similar way one can define the
notions o� being a semantical product of two expressions and of being a semantical negative of an expression.
name i s a predicate constant and conversely, a suitable existence rule, and some rules providing for the semantical properties of abstracts. For each non-logical axiom of
L
a corresponding assumption is required in the
semantical meta-language stating that such and such an abstract has such and such a semantical property. E.g., if
L
is taken as the formalized
Zermelo-Skolem set theory, corresponding to the axiom concerning the existence of the null set, we could assume within the semantical meta language that the abstract
The general theory of comprehension contains a kind of semantical
'x '3' (y)
"" y e x'
Boolean algebra, in which the predicate constants or one-place abstracts of
is non-null. The task of non-translational semantics, however, is not to tell
L are the basic elements. The truth-concept for L is readily definable within such a theory. Thus, an expression a can be said to be true in L if and only if a is a sentence of L and there exists a variable b such that the abstract consisting of b followed by '3', followed by a is a universal name 9 ) .
u� specifically which sentences of the object-language are true, but only to
One of the most important features of non-translational semantics is that the requirement of
adequacy
(in essentially the sense of Kotarbixiski and
Tarski) for the truth-definition must be abandoned. The reason is that it
provide the general framework for a semantical truth-definition. The rules of non-translational semantics contain nothing dubious and should in no way depend upon the non-logical axioms of a particular object-language. Hence we shall prefer to take as additional hypotheses wherever needed the assumptions correspondjng to the non-logical axioms of the object-language. The use of such hypotheses wherever needed is akin to that of
Principia
cannot even be stated within the non-translational semantical formali�,
Mathematica with
because this contains only structural descriptions, not translations, of the
Axiom. On such assumptions the basic semantical theorems concerning
expressions of
L.
To state the requirement of adequacy demands that
within the semantical meta-language one have both, i.e., that one can both mention and use (in effect) the expressions of
L.
Thus, in a certain sense,
the adequacy of the truth-concept defined above must be abandoned. It is to be noted, however, that the truth-definition there is
in accord with
the
respectl to the Axiom of Infinity and the Multiplicative
L
are readily forthcoming. In particular, on such assumptions one can prove the consistency of the object-language
L
by an adaptation of the familiar
methods of translational semantics. Finally, on the supposition that the axioms of the underlying syntax are consistent, one can readily show that the rules of non-translational seman
requirement of adequacy. In other words, the meaning given to the seman
tics are also consistent. This relative consistency proof assures us of a secure
tical primitive 'Cmprh' is such that the resulting truth-concept is essentially
first-order semantics applying to any first-order object-language of any
the same as one within a semantical formalism for which adequacy could be
complexity. And in particular, the non-translational semantical meta-lan
stated and proved. Thus, it is not the case that the requirement of adequacy
guage can be formulated
is in any way denied here or its negative assumed. That the truth-concept
for itself.
defined is clearly in accord with the requirement of adequacy, however, cannot
be
explicitly proved; this must rather rest on intuitive grounds con
cerning the meaning of 'Cmprh'.
in such a way as to provide a consistent semantics
Considerable philosophical interest attaches to a semantics of this kind. For one thing, it seems to afford a very simple and economical formulation of denotational semantics. With only slight changes it appears to give also
The rules of non-translational semantics for a given
L
may be described
a solution to the problem of gaining a nominalistic truth-definition in the
very roughly as follows. They include several rules providing for the under
strict sense of Goodman and Quine l·O ) . Also it provides a denumerable
lying Boolean algebra of comprehension, a rule to the effect that every
semantics irrespective of whether the object-language
9) The inverted epsilon is Peano's symbol for class abstraction. It is presupposed
here
as
a primitive of L. The rule of L governing it is an adaptation of D4.1 of
10)
See N. Goodman and
L
is denumerable or
W. V. Quine, "Steps toward a constructive nomi
the author's "A homogeneous system for formal logic," journal of Symbolic Logic 8 (1943), pp. 1 - 23.
nalism," journal of Symbolic Logic 12 ( 1947), pp. 105- 122. Also N. Goodman, The Structure of Appearance (Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1951), esp. pp. 31 - 41.
136
137
v - 22-
R. M. MARTIN
106
not. Thus in a certain sense non-translational semantics may be said to avoid the situation in the foundations of mathematics known
as
the paradox
of Skolem, whereas all semantical methods heretofore, for denumerable or non-denumerable
L,
have been subject to it fundamentally
11). ANDREA GALIMBERTI
University of Pennsylvania PHILADELPHIA 4, Penna U.S.A.
L'ANALYSE LINGUISTIQUE DE LA REPR£SENTATION
ll) See Th. Skolem, "Einige Bemer1mngen zur axiomatischen Begriindung der Mengenlehre," Wissensckaftliche Vortriige gehalten auf dem Fiinften Kongress der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors vom 4. his 7. Juli 1922 (Helsingfors, 1923), pp. 217 - 232.
L'histoire de la philosophie du langage est longue et tres nuancee, puis que il n'y a presque pas de systeme au cours de l'histoire qui n'implique pas, de maniere ou d'autre, une theorie du langage. C'est done un paradoxe de dire que cette histoire est assez pauvre, qu'elle peche d'une unilateralite fort marquee et que, somme toute, les theories du langage engendrees par la civilisation occidentale au cours de son developpement n'ont jamais ete
a la hauteur de leur theme. Tout de meme, c'est la une conclusion a Iaquelle on doit, aujourd'hui, aboutir.
La theorie du langage est le pivot sur lequel tourne toute doctrine gno seologique: comment se fait-il que, malgre c;a, elle soit restee extremement defectueuse? C'est que, la denomination (acte fondamental du langage) etant, de son essence meme, arbitraire et conventionnelle, on a toujours meprise le langage; qu'on a cru y voir un simple instrument subjectif de la pensee humaine, comme un· echafaudage dont cette pensee ne saurait, peut-etre, se passer pour batir ses monuments, mais qui, en ligne de droit, pourrait disparaltre
a travail accompli sans que la connaissance s'effondre,
sans qu'elle voie ses horizons se retrecir.
De nos jours, la logique mathematique a entrepris de modifier ces vues la. Elle fait ressortir que les structures formelles de notre pensee peuvent etre envisagees comme des donnees objectives, susceptibles d'une etude scientifique, et que, ,
a ce point de vue, elles sont identiques aux structures
memes du langage. Je crois que cette doctrine renferme quelques idees
dont l'essor pourrait etre vraiment revolutionnaire: avant tout, qu'une etude objective - non plus subjective, ni psychologique - de !'intelligence humaine est possible; deuxiemement, que cette etude entraine le renverse ment de l'ancienne conception qui fait, du langage, le simple instrument d'une pensee qui serait, elle, essentiellement meta-linguistique. Je suis loin, done, de deprecier Ies merites de la methode .logico-mathematique; je n'en suis pas moins convaincu que, si on veut porter
a bout Ia revolution qu'elle
nous laisse entrevoir, il faut encore changer de route. On conviendra que, a fin de racheter le langage et sa valeur objective, la methode positive,
138
139
ANDREA GAUMBERTI
logico-mathematique, laisse de c6te justement ce caractere du langage qui fut la cause du mepris traditionnel des mots, dont j'ai parle tout a l'heure: que la denomination est arbitraire et conventionnelle, aucune ressem blance objective n'etant demandee entre le nom et Ia chose nommee a fin que leur rapport linguistique soit possible. Des longues etudes m'ont per suade, bien au contraire, que Ia fonction logique du langage - dont je dirai - est liee directement a ce moment arbitraire de la denomination. Ce serait tout perdre que d'oublier ce fait-la. Le moyen de laisser en oubli l'arbitraire de la denomination, est de la rapprocher d'une simple association. L'association, en effet, est un automatisme et non pas un acte d'arbitre. Or, il n'y a pas de doute que la fonction linguistique se deroule, par un cote, mecaniquement: le rap port entre nom et chose survient par association et ne differe pas, a ce point de vue, des rapports pareillement mecaniques qui peuvent subsister entre deux idees non linguistiques, dont l'une rappelle !'autre par asso ciation. A defaut de ce mecanisme, il serait malaise de concevoir la fonction linguistique. N'empeche que, si l'on envisage la denomination et son souvenir au seul point de vue associatif, on perd !'essence meme du langage et, avec elle, le moyen de dechiffrer la structure de notre pensee., Ce qu'on ne semble jamais avoir compris, c'est que le moment arbitraire de la denomination ne fonctionne pas seulement comme un principe economique, utile en tant qu'il nous permet de choisir nos symboles linguistiques de telle sorte que le langage devienne, autant qu'il se peut, un instrument rapide et facile. Je ne nierai pas que cette fonction economique soit du ressort du langage, ni qu'elle controle la formation des langues. Je ne nierai non plus que elle peut jouer le r6le determinant- qui, en fait, lui appartient- par un automatisme assez proche de la loi darwinienne de selection naturelle. Mais je suis force de croire que ce principe economique, par Ia fausse evidence qu'il prihe aux interpretations mecanicistes du langage, devient aussi la cause des difficultes incroyables auquelles se heurte. toute tentative de faire ressortir la fonction logique que le langage exerce, dont le ressort cache est justement le cote arbitraire de la denomination: cet arbitraire que le langage seulement peut introduire dans le monde de nos represen tations. On dirait un genie malin, qui s'amuse a nous rendre insaisissables la signification profonde, l'eblouissante nouveaute de cet instrument de notre intelligence, en cachant leur secret derriere un amas de fonctions plus superficielles. Ou bien prefere-t-on de renverser cette image, et de dire que la fonction logique essentielle nous a ete donnee gratuitement, comme un don supplementaire qui se degage de la fonction linguistique? 140
' L ANALYSE LINGUISTIQUE DE LA REPRESENTATION
De son c6te, le langage est constitue de telle maniere que l'economie meme de notre nature a dO. y parvenir, sans que rien y fasse notre activite reflechie. Prenez, du langage, la fonction mnemonique. Sans doute, les mots sont un auxiliaire prtkieux pour notre memoire. S'est-on bien demande pourquoi? Ce n'est pas seulement parce que on peut me faire ressouvenir de n'importe quoi, de la maniere la plus aisee, en me soufflant un mot a l'oreille. Bien plus, c'est la nature meme du souvenir qui change, a cause du mot! Tant qu'on s'en tient au c6te mecanique de la memoire, on dira que le mot . ebranle un mecanisme associatif plus commode, plus maniable. Mais, si le mecanisme est plus commode, le souvenir meme est infiniment plus souple; or ce caractere de souplesse ne se degage plus du simple affinement du mecanisme associatif, que le langage rendrait possible. Prenez le mot «chien>>. Sans doute, on a plus vite fait de pro noncer ce mot que de s'evertuer a imiter l'aboiement du chien. Mais la difference n'est pas la. Dans le langage enfantin, le chien s'appelle bau-bau, et on peut meme supposer que, ces sons n'etant pas. encore bien etablis dans leur fonction linguistique, on doive, pour se faire comprendre par un enfant, les prononcer en relanc;ant l'onomatopee. On devra alors s'evertuer a irniter la voix du chien, tout comme si le langage n'existait pas. Voila une situation dans laquelle la facilite, la maniabilite du Iangage ne joue aucun r6le: est-ce-que le langage deviendra inutile, ou ne subsistera-t-il plus? Loin de Ia! Supposez seulement que votre enfant soit deja initie aux mysteres du langage: le mouvement de son imagination, que le mot onomatopeique bi:iu-bau aura ebranle pour reveiller le souvenir, prendra un cours tout autre. C'est que, au moyen du langage, !'imagina tion se connalt soi-meme comme m i agination. A defaut de langage, on devrait toujours actualiser ses souvenirs; moyennant le langage, on com prend d'abord que leur actualite est seulement fictive. Le langage ne suppose pas cette faculte, il la cree de toutes pieces; et c'est Ia loi du symbolisme linguistique qui fait le miracle. Aucun rapport objectif n'etant demande entre le mot et la chose qu'il symbolise, cette loi introduit dans le monde de nos representations un saut absolu, qu'on ne pourrait songer a y introduire d'aucune autre maniere et qui, une fois introduit la-bas, entreprend par lui-meme de perfectionner son r6le et de le jouer jusqu'au fond. Ce role est la vie historique du langage, et il est en meme temps la vie de la civilisation toute entiere. -Le langage affranchit !'imagination qui, dorenavant, n'aura plus de lien avec Ies circonstances concretes au milieu desquelles vit le sujet pensant; mais, en faisant cela, le langage realise la liberation de la pensee elle-meme. 141
L'ANALYSE LINGUISTIQUE DE LA REPRESENTATION
ANDREA GALIMBERTI dit que !'imagination Aristote semble avoir oublie un detail, lorsqu'il que !'intelligence est commune a plusieures especes d'animaux, tandis nation en tant !'imagi oir concev que c'est est donnee a l'hom.me lui seul: est un se�l et te, abstrai e, que telle, et concevoir !'intelligence detache langage ruent, de pas meme acte. II est possible que les animaux qui n'ont enchainee a re demeu tout de meme, des reves. Mais leur imagination fictif; c'est-a-dire que un present qu'ils ne peuvent pas concevoir com.me sens propre du mot. }'imagination des betes n'est pas de !'imagination au ntations reelles et represe entre Chez les betes, le saut qui subsiste , biologique. nature! imaginaires ne peut etre franchi que par l'automatisme est que ce meme La nouveaute qui survient avec !'intelligence humaine de la representation: saut s'accomplit sans que s'interrompe la continuite dire que le langage c'est la le miracle des mots. On n'a done pas tort de plus, cette intelli est qui Ce est de !'intelligence figee, etalee devant nous. gence n'est pas concevable sans langage. ence, il faut Pour entrevoir l'ampleur de cette liberation de !'intellig que c'est le passe? reflechir sur Je rapport entre imaginaire et passe. Qu'est parmi bien JanetPierre dont Qu'est que c'est cet «acte du passe», est la passe le , rigueur d'autres - s'est occupe si longtemps? En toute tion. la d�te premisse indeterminee dont le present est, chaque fois, qu'on con (!!l..) (S.. · R... . R..,. . R,.v · (v) (S. · R,. · R.,. R� :> v = u))], where "P", ·"Q", "R", "S" are free predi ·
·
cate-variables.
If the postulates of the theory are propositional functions, so are the theorems. But since truth is not significantly predicable of propositional functions, it looks as though the concept "truth by implicit definition" were self-contradictory. Those philosophers, however, who make liberal use of the notion "truth by implicit definition" have in mind, not the formal postulates of deductive syst� s, but axiomatically evident propositions involving
predJcates,
sim
ple descriptive
e.g. to the effect that empirically given relations ke il
"warmer"
x, y,
:md "later" are asymmetrical. A proposition such as "for any events . 1s later than then is not later than is not analytic n i the ( rela
�� x
y,
x"
y
tively) clear sense of being reducible to a logical truth by substitutinO'
�
definientia for definienda. One can, indeed, construct an explicit definitio
of "l�ter" whi�h would enable a formal demonstration of the asymmetry in
"S" as "succeeds" "P" as Sx, y Px, y. ,:,SMx, y;
questiOn, but 1t turns out to be circular: (read precedes,
150
"SM"
as
"simultaneous")
151
D1
:
= -
ARTHUR PAP
i to (x, y) D2 : Px, y = Sy, x. By Dl> (x, y) (Sx, y :::> "" Sy, x) transforms n (Sx, y :::> "' (- Py, x. "" SMy, x ) ) . By D2, the later statement transforms into (x, y) (Sx, y :::> "" ("' Sx, y "" SMy, x) ), which is equivalent to (x, y) (""Sx, y . "' SMy, x :> "" Sx,y), which is a logical truth since the descriptive relational predicates occur vacuously in it. But we could hardly admit circular definitions as legitimate means of proving analyticity, con sidering that analytic truth is commonly conceived as truth by virtue of explications of meanings. Philosophers who adhere to the dogma "either analytically true or else contingently true" are likely to reply that, although such a self-evident truth is not formally . demonstrable, it is an "implicit definition" in the following sense: anybody who seriously denied this state ment would contravene ordinary usage (a phrase popular with logical empiricists is "he would violate the rules of logical grammar"). But this claim is of questionable significance if one considers that ( 1) the fact that anybody who seriously denies S is using some constituent expression of S in an unconventional sense is, indeed, evidence for saying that S expresses a necessary proposition· (a priori truth) but not -for saying that S is analytic in any clear sense (such as formal demonstrability), (2) while the men tioned circumstance is a necessary condition for the truth of the statement , "S expresses . a necessary proposition" 1 ), it is not a sufficient condition, since a sentence would satisfy this condition if it expressed a contingent proposition which is universally believed to be true. Owing to (2) this broadened (and loosened) conception of analyticity leads to the consequence that the boundary .between analytic truth and factual truth is not sharp. If, in order to find out whether a sentence "xRy" of a language unknown to us analytically entails "not-yRx", we ask a user of the language "is it possible that, for some x and y, xRy and also yRx", a negative answer would surely be compatible with the .hypothesis that "if xRy, then not-yRx" expresses a contingent proposition which is firmly believed. And if for the ambiguous term "possible" we substitute the tech nical term "logically possible", the indicated difficulty still remains: for, if this term. means "consistent with logical truths" then we have provided at best a criterion of analyticity in the strict sense (formal demonstrability with the help of explications of meanings), and if it means "conceivable" it is no less ambiguous than "possible". There remains to be examined, however, a different interpretation of ·
1)
this h�lds only
on the assumption that no errors of deduction (or calculation) ar� committed, but since the necessary truths under discussion are of the "self-evident" variety this possibility may be disregarded in the present Strictly speaking
cont.ex.t of discussion.
ANALYTIC TRUTH
AND
"IMPLICIT
"truth by implicit definition". It might be maintained that, while one may be unable to construct an explicit definition of a term T contained in a statement P which would show p to be strictly analytic, he might never theless be justified by his pre-analytic understanding of T to rule: no definition of T could be adequate unless it enabled a formal demonstration of p. This would be tantamount to declaring p as a criterion of adequacy to be satisfied by any definition of T - which amounts to declaring p as a�alytic. In some cases a definition satisfying all the criteria of adequacy xrught be constructed "trivially" by taking the conjunction of the criteria: we define T as meaning the .conjunction of the properties which, according to the criteria of adequacy, should · be entailed by an adequate definition of T. This method might in fact be used to demonstrate the analyticity of the statement asserting the asymmetry of temporal succession. We first con struct a set of postulates involving a: free binary predicate-variable R, and then define the unique relation we wish to define as the unique relation satisfying this set:
(1)
(2) (3) (4)
(x) (x) (x) (x)
(y) [xRy :> - yRx] (y) (z) [xRy yRz :::> xRz] (y) [xRy :::> ({f[z) (zRy . xRz)] (y) [xRy :> Ex . Ey] ·
. � 1) and .(2) expres� the familiar p.roperties of ·asymmetry and tran Sitlvi�Y which, accordillg to Russell's analysis of "order", any ordering relation �ust h�ve. The reason why we cannot add a connexity postulate IS th:'-t two events may be distinct yet not related by R : _ happening at distinct places. The they may. b e Slffiultaneous events loss of uniqueness due to the absence of such a postulate is however �ompensated by (3) which may be called a "density postulate" sine� 1t says that there 1s an element in the field of R between any pair of l ele�ents related by R. This postulate involves, to be sure, the ideai satiOn of events � instantaneous, but it is required to rule out inter _ pretatiOns of R ill tel'IllS' of such forms of temporal succession as ' :fo�owing after a long time", which satisfy (1) and (2). (4) finally, l�ts the field of R to events; it also makes it impossible to interpret R ill terms of spatial ordering relations such as "above", for while events are po doubt in. the fields of such relations the latter comprise also things. ·
It is not, of course, obvious that one could prove that there is a
u�ique mod:] for some such postulate set as the above (and prove it
�1 thout m�g extra-logical assumptions). But granted such an assump tion of uruqueness, one could construct the explicit definition : Sx, y = == ({i['R) [F(R) Rx, y], where "F(R)" means "R satisfies the set 1--4" '
·
152
DEFINITIONS"
153
ARTHUR PAP
ANALYTIC TRUTH AND "IMPLICIT DEFINITIONS"
and the accent within the quantifier denotes unique existence. And with
ther in such a way that every individual must necessarily have one and
the help of this definition the proof of analyticity is easily conducted.
nly one of these properties, and this is a "matter of logical necessity''
synthetic a priori and who rejects a definition which allows, in the indicated
cates is eligible as primitive, or alternatively state-descriptions are to be
But what reply should be made to a philosopher who holds P to be
manner, a proof of analyticity as
begging the very question at issue? There
seems to be something queer, indeed, in the statement "I grant that P is
a priori, but I refuse to accept any definition which would make P analytic
is
since I contend that
p
on the one hand, that
p is true by virtue of its meaning
synthetic
a priori" : for one thus seems to hold,
("a priori"), but on
the other hand to refuse to accept a demonstration of what one holds to be the case. The advocate of synthetic a priori truth may retort that if the
("family of related properties"), then only one of the corresponding predi
constructed by selecting from each "family of related atomic sentences" exactly one member.
In this way "(x)
(t)
(blueu :::> """ red.,1)" is pre
served as a logical truth. However, it seems that Carnap
has
deliberately
made a stipulation that would guarantee that every necessary truth (state ment true by virtue of its meaning) is an L-truth in the explicated sense. Apart from such a question-begging stipulation, the above universal con
ditional cannot be said to be strictly analytic. For, to say of a statement
question at issue is whether a statement which is admitted by both parties
that it is strictly analytic is to say that once it is expanded into primitive
ought to be defended as adequate without prejudging this very issue. The
ment would be logically true only if "blue" were synonymous with "not-red
to express an a priori truth is formally demonstrable, a relevant definition trouble with this line of defense, however, is that
the method of proving the
adequacy of an explication is just to show that it enables the formal demonstration of presupposed criteria of adequacy, and the latter are nothing else but sentences involving the term to be explicated which are pre-analytically recognized as expressing necessary truths.
, Yet, the argument from "begging the question of analyticity" becomes
more
reasonable
f i it takes this form: it is pointless to declare P as analytic
by electing it as "criterion of adequacy" relatively to T, f i there are good
reasons for doubting that a definition of T satisfying the criterion could ever be constructed; and there would be good reasons for doubt if there were good reasons for holding T to be
unanalyzable.
The notion of un
analyzable (simple) predicates plays an important role in Carnap's explica tion of the concept of logical
truth in terms of the concept of state-description.
Since a state-description is meant as an exhaustive description, with the means of expression of a given language, of a
possible world, safeguards for
notation it is seen to have the form of a logical truth. But the above state and not-Ps and...... and not-Pn"
members of the color-family) ; and this assumption of synonymy is un tenable for various reasons. The reply that, nevertheless, such axioms involving simple, descriptive predicates are
true by virtue of the meanings of the predicates ( Carnap has
recently called them "meaning postulates" ) , and that in this broad sense of "analytic" the empiricist thesis of the analyticity of all a priori truth still
stands,
irresistably provokes the question : is the thus broadened meaning
of "analytic" at all distinguishable from the meaning of "a priori"? In
other words, has not the empiricist thesis been saved at the cost of
trivialisation?
Univ. of Oregon EUGENE. Ore,
U.S.A.
the consistency of state-descriptions are needed. Carnap accordingly lays down the requirement of logical independence of atomic sentences, and argues that we can be sure of satisfaction of this requirement only if we can assume that the predicates chosen as primitive are simple or unanalyzable. Actually, however, the requirements of logical independenr.e of atomic sentences and of simplicity of primitive predicates may be satisfied and still the construction of inconsistent state-descriptions would not be precluded. For example, "red" and "blue" are both simple predicates, yet "red (a, and "blue (a,
t)"
t)"
are incompatible sentences: there is no possible world in
which they are jointly true. Carnap is aware of this difficulty, and attempts to meet it by stipulating that if two or more properties are related to each 154
(where P8 . . .Pn are the remaining
155
UNE
v - 25 - 387
REDUCTION FALLACIEUSE DES NOTIONS D'EXISTENCE ET DE vERITE
signification pour cette seule raison que Ia Iogique n'utilise jamais Ie quantificateur existentiel qu'en liaison avec une fonction propositionnelle. IV. FRANZ CRAHA Y
A PROPOS D'UNE REDUCTION FALLACIEUSE DES NOTIONS D'EXISTENCE ET DE VERITE
Les presentes remarques sont davantage inspin�es par une recente et fort subtile tentative de dissolution du concept de verite et de son cortege de soi-disant pseudo-problemes. Sans doute Ie procede mis en a:uvre par M. Ayer
(La verite,
communication a Ia Societe Beige de Philosophic,
avril 1951) differe-t-il sensiblement de celui de M. von Juhos. II semble
I. nuent d'etre battues en breche L� notions d'ex.istence et de verite conti emes qu'elles recelent denonces par !'analyse empirico-logique et les probl moins susceptibles d'une solution, comme problemes mal ·poses, ou du langage formalise ou tenu pour exhaustive ou presque, au niveau du
toutefois relever d'une meme veine analytique, d'une meme attitude fonda mentale: un long et minutieux examen aboutit
a ne valider, du
concept de
verite, que sa seule acception semantique; et sans doute celle-ci n'est-elle pas irreductible! Afin d'examiner de plus pres Ies theses de M. Ayer, il parait possible de les schematiser comme suit:
formalisable.
( 1 ) Que I'on adopte la solution des se�anticiens ou celle de !'usage
II. II conviendrait
a ce propos
courant, il demeure que: ( 1.1)
de bien distinguer entre pn procede legitime
de formaiste l et une operation illicite de philosophe, entre un droit de la (1.2)
technique et un passe-droit de Ia reflexion sur cette technique. L'entiere latitude laissee au logicien d'empruntet au langage usuel ou philosophique
· une notion a connotations multiples,
de la purifier et de la rendre utilisable
par une theorie deductive formalisee ' n'entrame aucunement · 1e droit
d'opposer ensuite a la reflexion philosophique le modele ainsi obtenu comme la seule interpretation admissible de cette notion.
qualifier un enonce ( une proposition) de vrai ( vraie) revient
a
affirmer simplement cet enonce (cette proposition) ;
qualifier un enonce (une proposition) de faux (fausse) revient
a nier simplement cet
(2) (2.1) (2.2)
ce que recherche le philosophe c'est, plutot qu'une definition de la verite, un critere de validite des affirmations . ' si l'on classe les enonces (propositions) en tautologies, enonces (propositions)
indirectement verifiables, enonces . (proposi-
. tions) directement verifiables, c'est
III.
(Die Anwendung der logistischen Analyse auf philoso phische Probleme, Methodos 1951, 10) risque fort, en traitant de Ia notion d'existence, d'avoir confondu les prerogatives du formaliste et celles du
philosophe. Certes, la logistique utilise a bon escient, et avec un admirable '
3 '. Sans doute meme a-t-elle eu le
merite de souligner la parente epistemologique des propositions universelles et existentielles et, pour citer M. von Juhos, de «demontrer Ia structure logique du concept d'existence». Mais faut-il pour autant, dans cet instru
ment d'analyse qu'est la logique formelle, voir !'unique instrument d'analyse
philosophique et meme - les problemes philosophiques fussent-ils de puts problemes linguistiques- son instrument par excellence? Or M. von Juhos franchit ce pas quand il conteste au concept «absolutiste» d'existence toute
156
a propos de
cette derniere
categorie que I'on retrouve le vieux probleme de Ia verite
B. von Juhos
souci de rigueur, le quantificateur
enonce ( cette proposition) ;
correspondance, ou M. Ayer voit (2.21)
soit un truisme;
(2.22)
soit une erreur resultant de ce que l'on n'aper�oit pas que ce qui rend vraie une suite de symboles, «ce n'est pas la maniere particuliere dont ils symbolisent. . . mais le fait que ce qu'ils symbolisent se produit». II ne demeurerait des lors, de tout ce mystere complaisam ment entretenu par les philosophes au sujet de la comparaison des propositions et des faits, que:
reconnaissance d'un fait, signification.
(2.221) un probleme pratique: celui de Ia :me theorique de (2.222) un probU
157
FRANZ CRAHAY
UN£ REDUCTION FALLACIEUSE DES NOTIONS D'EXJSTENCE ET DE VERITE
v.
linguistiques et, comme tels, de Ies evincer; que Ia philosophic contem
Nous nous proposons de discuter
(2.222) A.
(1.1), ( 1.2), (2.1), (2.22), (2.221)
et
et de faire valoir les points suivants:
�raine soit, �v�n� tout, une
mais signifie aussi !'obligation de tenir
en particulier, que:
!'utilisation
( 1 )' il n'est pas licite d'affirmer pour tous les (1.1)' 'p' est vrai . = . p ( 1.2 )' 'p' est faux . = . "" p
philosophic du Iangage n'autorise pas
cas
les equivalences
et de
!'evolution
Monulphe
LI£GE
pour autant du moins que les termes 'vrai' et 'faux' conservent
Belgique
quelque rapport avec leur signification courante;
(2)' «les philosophes» interesses au probleme de Ia verite ne
( 2.1)'
recherchent pas seulement un critere de validite des affir mations;
(2.22)'
ce qui rend vraie une suite de symboles ce n'est pas le seul fait que ce qu'elle symbolise se produit mais encore un certain mode de la symbolisation;
(2.221 ) ' le probleme pratique de
reconnaissance des faits recouvre plus ,
d'un probleme theorique de psychologic et d'epistemologie;
(2.222)' le
probleme theorique de signification retrouve certaines des
difficultes que rencontrait le soi-disant pseudo-probleme de Ia
B. ( 1)
en general, que: Ia semantique n'utilise de la notion de verite
( comme
d'ailleurs Ia
theorie des quantificateurs, de Ia notion d'existence) qu'un schema
a un calcul; il est d'autant moins legitime de Ia r6duire a ce schema que celui-ci tend a devenir, a Ia limite, le schema
subordonne sans plus
d'une notion quelconque simplement distincte; (2)
des remarques analogues vaudraient sans doute d'une
pragmatique
a son tour Ia dite notion de verite; le vrai n'est pas une simple propriete de
convenablement formalisee, et du schema qu'elle offrirait de
['expression formulee mais, de quelque maniere, une valeur, une cate goric valorisante du comportement, sans doute historiquement degagee
de !'experience individuelle et collective, mais !'informant en retour et,
a ce titre, transcendante au Iangage;
(3)
c'est une chose de traiter, dans Ie discours, Ies problemes philosophi ques, e'en est une autre d'attribuer ces problemes
158
�
des langages particuliers. II s'en faut que
tout le probleme de !'expression soit du cote de I'exprime.
53, Rue
a
probteme philosophique compte de Ia constitution' d
fatre de celm-ct I alpha et l'omega de tout
a des confusions 159
v - 26 - 408
ON RECURSIVE DEFINITIONS IN EMPIRICAL SCIENCES
expression that contains just this sign, hence that the whole procedure is flagrantly circular. And circular definitions are illegitimate, as everybody knows who has ever taken a course
n i
logic. But what
s i
the reason for this
banishment? I believe that the customary ground is that any attempt to eliminate the term introduced by a circular definition will lead to an in
YEHOSHU A BAR-HILLEL
finite regress and would hence defeat itself. And it is generally regarded as being an essential characteristic of a definition that any new term intro
ON RECURSIVE DEFINITIONS IN EMPIRICAL SCIENCES*)
duced by it should be eliminable in any context whatsoever. Now, it can easily be seen that all occurrences of the
Recursive definitions are important not only in the formal sciences, like
same number. Let me show this in a specific example. Let the expression
been overlooked and sometimes even outrightly demed 1 ) I think that the
from which the '+' sign has to be eliminated be
·
lack of explicit recognition of the important role recursive definitio� play
4 + 3.
in empirical sciences, a neglect of which scientists and methodol�gists are equally culpable, has been a constant source of misunderstandmgs and
Let us assume that the numerals have been introduced by the customary explicit definitions
.
1 shall try to substantiate my claim by exhibition of an example. It IS not necessary, for our purposes, to give !l detailed explanation of the general
notion of recursive definitions. It will suffice to recall that the concept of sum is introduced into the Peano system of arithmetic2) , built upon the primitive notions of the number
1
and the immediate-successor f�ction,
�
�'
,
( 3) (4)
2
(5 )
4
a + 1 = a'
(2)
a + n' = (a + n)'
What makes these definitions so specifically different from other better sentence) _ this property is shared with certain types of partial definitions . on - as the occurrence of the sign to be defined, in our case the '+' stgn,
both
sides of the identity sign in a definition sentence. This might look to
untrained eyes as if the "new" sign were being defined with the help of an *) This· work has been supported in part by the Signal Corps, the Air Materiel Command, and the Office of Naval Research, of the United States, and in part by the Rockefeller Foundation. . :1) Carl G. Hempel in Fundamentals of Concept Formation in Empirical Sc1ence, Intemational Encycl pedia of Unified Science, Vol. II, No. 7, Univ�rsity of Chicago Press, 1952, p. 11, note 1 1 , says that "recursive definitio�s wh1c� pl�: . an important role in logic and mathematics . . . are not used in empmcal 'scien�e ,; . 2) Strictly speaking, I should say "into one of the Peano systems of antbmehc
;
·
160
=
2',
= 3'.
The elimination proceeds now as follows: 4
+
3
=
4
(4)
+ 2'
= (4 + 2)' = ( 4 + 1')'
=
known kinds is not so much the occurrence of more than one definition
= 1',
3
(together with auxiliary signs like paren�heses) by such recurstve defini _ tion, taking in this case the form of a prur of equations, viz.: (1)
sign between
tively so, in the sense that another expression can be exhibited denoting the
logic and mathematics, but also in many empirical :ciences. T�s has often
futile disputes.
'+'
two numerical expressions without variables are eliminable, even construc
(4 +
1)"
= 4"'
(2) (3) (2)
3)
( 1).
(If elimination of all defined sign were required, we could wind up with 1""", on the basis of (5), and (4), and ( 3 ) . ) In our case, the attempt at elimination did not result in an infinite regress. The dreaded circle turned
out not to be a vicious one. Strictly speaking, it is not a circle at all but a harmless termftnating spiral.
Has it, then, be shown that recursive definitions are plain definitions with no specific problems? Not at all. Though the
'+'
sign is eliminable in all
contexts of the aforementioned form, it is. not so, at least not in any such obvious fashion, in other contexts. 'a
+
b' is a simple example of such a
context. If we stick to eliminability in all contexts as a necessary condition for being a definition, then recursive definitions are not definitions, and one
3) V - 11
The notation
IS
simplified through omission of certain paren theses.
161
YEHOSHUA BAR-HILLEL
ON RECURSIVE DEFINITIONS
should better use another term for them. But does this mean that they are
its:lf,
not a perfectly legitimate means of concept formation? Certainly not. The
form :
the name we are going to give it, in arithmetic and other formal sciences
x will be called a sentence (in French) if (and only if) · a sequence x 1s . of a nommal 6) and a (intr ansitive) verbal 6 ) , or a sequ ence of a norn_mal, a (transitive) verb al' and a nominal' or · · ., or a sequence · ·· of a sentence, the word "et", and a sentence, or . . . . . .
cannot be doubted. To be sure, there are some problems connected with their use, and it may turn out to be more practicable to look upon "recur sive definitions" not as sentences n i troducing a "new" term but as "meaning
postulates" 4) which determine the meaning of the additional primitive
How else cou!d we deduce the theorem, whose validity is certainly a _ necessary condition for the adequateness of the definition of "sentence,, . . . that the resu1t of JOmm g any two French sentences · 1·tseU a by "et" 1s . sentence? . I can �ell 1magine how a lingu ist, who is not well versed in . mat�ematical logic, might start cursng i logic in view of the m · eVI·tabili"ty . of usmg "sentence, m defi ning "sentence". But it should now be clear to · us that the mentioned defin't· · I Ion Is recursiv · e " m d�s� se. To bring this n i to the open, let us replace it by a pair of defirutwn sentences :
term, with which they deal, fully in some contexts and partially in others.
And the problem of eliminating, in a somewhat weaker sense, this term in contexts is a major, and extremely interesting, one to which
much thought
s i
given in recent mathematical logic 5).
But it has not been so far realized, to repeat what I stated at the be ginning, that recursive definitions play an equally mportant i role in empirical sciences. It is true that certain definitions which would tum out to be
·
recursive in a proper formalization of a given scientific system have not been recognized as such even by their originators. As a result of
this failure,
x is a
happened that a scientist, introducing a new and obviously important coq cept into his field by what is really a recursive definition, failed to realize
one scientist denounce another scientist's introduction of a new term as
•
being circular when it is in reality only recursive. It is sometimes tragicomic
Instead of touching superficially on the various places where recursive definitions arise in different empirical sciences, let me treat with some detail one example in one specific scientific field. For a change, to break with the tradition of most logicians in using physics as their primary field of applica tion, I shall take as
this field Linguistics. If one is to introduce into English
as metalanguage for the description of the grammar of French as object
language the term "sentence", not as a primitive term, to be specified by
Some�� the ·situation is even
more opaque. There may be cases where �. seems mevit�ble to �efine some term A with the help of B and B with
the elp of A. It IS, for :mstance, not implausible that not only wi"ll the term . ."nommaJ" have to be used m the d�finition of "sentence" (in French) _ if such a term occurs at all m a specific inventory of gram a m tical terms but al�o that the term "nominal" , will have to be defined using "sentence ' ' We m ght well have, for insta nce, the following definitions simultane � ously; x Will be called a sentence if · (and only if) x is a sequence of a nominal and . . ., or . . . , ·
_
x w�ll be called a
axioms, but by definition, it is inevitable (waiving the discussion of the exact
nominal if (and only if) x is a proper name, or . . ., or x IS a sequence of the word "que " and a sentence, or . . .
nature' of this inevitability) to use in the definiens the term "sentence"
4) See Rudolf Carnap, "Meaning Postulates", Philosophical Studies, Vol. III, No. 5, 1952. pp. 65-73 0) See, e.g., S. C. Kleene, Introduction to Metamathematics, New York, 1952. 162
=
1-
of a -good term as circular. And it is, of course, even more frequent to see
that matter, even to himself.
�
x is a sentence n+l (a comp ound sentence of the n + th order) = _ df x IS a sequence of a sentence P> the word "et", and a sen e t ncem, where either P or m (or both) are equal to' n and none is greater than n' or . . . . . .
this and was thereby led to denounce logic for condemning the introduction
of his procedure but is unable to make this clear to his opponent or, for
sen�ence
l < simple sentence) for instance> is a proper French sentence. After some trial and error, we (or for that matter, a machine given this task) would arrive at the result that this sequence is a sentence provided that
que Jean est malade is a nominal, which could be so if only
Jean est malade were a sentence, which in its tum would be so if Jean were a nominal and est malade a verbal, which then turns out to be so indeed, Jean through appearing in the list of proper names, est malade through a longer check involving the definition of verbal which we skipped here. The fact that we had to move from "sentence" to "nominal", then back to "sentence", and finally once more to "nominal" did not vitiate the process since we arriveq at a stage where no further recursion was necessary and a matching with certain lists, for instance that of proper names, settled the question. (In order not to be involved in sophisticated linguistic arguments, the descrip tion of the actual procedure has been highly simplified, but I hope that the omitted complications are of no relevance to our present problem.) Let us notice, as we should expect by now, that the term "sentence" is not eliminable from all its contexts, relative to a certain formalization of French grammar which contains the formalized counterparts of the afore mentioned definitions. The sentence "All French sentences contain at least one noun" would be a relevant example. We have already seen that it hardly matters whether one decides to call recursive definitions "definitions" or not. They are introduction sentences of a type different from that exhibited by the more customary explicit definitions. Recursive definitions share with the so-called conditional defini tions and other types of 12artial "definitions" the property that the defi nienda are not always eliminable. Their function in concept formation is, therefore, coupled in the same curious way- which has been discussed at length by Hempel 7) - with their function in theory formation. However, this is a difficult topic which cannot be discussed here. 7)
Loc. cit.,
p.
ZUR BEWERTUNG PHlLOSOPHISCHER LEISTUNGEN
Let me finally remark that I belie ve that recursive definitions may also tm;� out t? be the formal counterp art of at least a portion of the doctrine . of de finition by successive approximations . " which has piaye d an rmportant role in the met hodo1ogy of physics in the Twe nties and Thirties 8) . The analogy between the successive appr oximations and the successi.Ve step . s of regresswn lS probably more than form . al' However' also this d'1SCUSS10 n mu st be 1eft for some other occasion. In conclusion, let me say that, in view . of the role played by recurs1v e . definitions in concept formation m emp irica l sciences, it is the task of the . methodologists to dedicate time and . effort to the evalua•: ""on of the1r precise · di��rent .fields of inqu rmpac� m iry and the task of the scientists to beco me cquamted Wlth the recent investiga tions on recursive definitions to a egree, at least, that would free them from the misconceptions that have so frequently been connected with their occurrence in disguise. ·
·
·
.
:
Research Laboratory of Electronics Massachusetts Institute of Technology CAMBRIDGE Massachusetts U.S.A.
. . ce, lnternattonal 8) See, e.g., Victor F. Lenzen, Procedures of EmPirical SCJe � . yo1. I, No. 5, Umvemty of Chicago Press, 1938,
Encyclopedia of Unified Science,
pp. 41
.
ff.
28. 164
165
SYI\fBOLISM
v-
27 - 224
3.
IN
MATHEMATICS AND LOGIC
Mathematical symbolism can be generalized beyond quantity and
�
measur ment, eve
� so as to include logic in its domain, thereby furnishing
the basts for a urutary science of absolute consistency and certitude. 4. Logic
can
be reduced to pure formalism, thereby attaining a method of
� that will overcome the limitations of human ability in abstract
analys
J. J. CALLAHAN
reasomng. SYMBOLISM IN
MATHEMATICS AND
First, let us consider the logical con.stancy of mathematical symbols. The
LOGIC
� for usin� the mathematical structure in other forms of reasoning,
only reaso Originally, mathematical operations were expressed in the common syntactical language, but in time a kind of shorthand was invented that allowed them to be performed with greather ease and perspicuity. A similar technique has been attempted for logic by different schools of modem logicians in the hope that it would operate similarly for the clarification of their art. Descartes was the first to start this trend. He made algebra an absolute science, which he called "pure speculation". It was to be a "universal mathematics" that he wished to make the general science of the universe. He thought his mathematics could even supplant logic, since he sugges.ted it. Modern mathematicians accepted his theory and attempted to work it out. Forgetting that symbols are only conventions, they attributed to them , an infallible significance. They further so generalized them that they no longer represented quantity. From these symbols they created an absolute science that imposes its terms on reality, instead of contrariwise. They deal only. with symbols and with operations with these symbols. Here is where mathematics becomes connected with logic. If mathemati cians can empty their symbols of content-they arrive at pure form; if logic is a science that deals with propositions whose relations depend solely on form, we can also deal with them without considering the meaning. Then if pure mathematics is the general science of the formal structure of symbols, and
if logic can be symbolized, mathematics would become the Grammar of Logic; and a way would be open for the construction of a Calculus of Logic with all the certainty of mathematical procedure.
Such a conception of
mathematics as well as its application to the development of logic, might have some claim on our consideration, if the assumptions on which it is based were true and proved. This at least we may affirm, no one has ever attempted such a proof. These assumptions are the following:
1.
Mathematical symbols are logical constants whose symbolism remains fixed during the process of manipulation, and thus become trustworthy elements in the mathematical reasoning process.
2.
Symbolic mathematics is a logical structure of perfect form, and its technique is faultless and exact.
166
and as an 1deal bas1s of logic, is that its signs are more sure, more constant' less open to ambiguity than any other symbolism. This assumption is false and if �ese signs are not constants, they fail as a basis for any construction.
�
a
prior�
�
All anguage c nsists of signs. Mathematical signs are merely signs of these signs, as a kmd of abbreviation or short-hand easier to visualize than the more complicated symbolism of syntactical language. If the syntactical symbols are logical constants, so will be the mathematical equivalents· if
�ity:
�
the
are ambiguous, the replacing symbol cannot escape the ambi
A s1gn or symbol has only one function, to represent, and it cannot symbolize more than what is represented. But mathematical symbols cannot faithfully perform even this function.
If
human language is ambiguous, it is ambiguous by reason of human
limitations. Because of the human mode of classifying sense perceptions, and because our powers of memory are not unlimited, one symbol is made to
cover different mental concepts. The ambiguity is therefore of man's own creation, and it
�n be resolved by the same power that created the symbols,
�ou�h an acqu�red mastery in their use.
But with mathematical symbols,
It Is dtfferent. Smce they represent concepts only · indirectly, we set aside _ th1s method of control and rely solely on correct procedure, trusting to the
�
cons ancy of the relation of the symbol to that which it represents. Here is
� �
prec1sel w ere the symbol fails. Because of its generality, the expression _ contatrung It m y fit a plurality of meanings, thus bringing about an . _ essenttal ambtgutty over which we have no direct control. This is actually
�
�
the case, an hence the constancy of the mathematical symbol is a pure _ fictiOn, For mstance, take the operations with x in mathematics. In all but linear functions we find more than one value creeping in. Mathematicians have recognized this vaguely, and invented a theory to take care of it by making a law which states that there are as many roots to an equation as there are degrees in the highest power of the function of nothing but a hypothesis to explain an observed fact.
x.
have occurred to mathematicians to explain why multiplying 167
This law is
It seems never to x
by itself one
J. J.
SYM1lOLISM IN MATHEMATICS AND LOGIC
CALLAHAN
or more times gives us several different x's. Of course the law is not correct. It simply happens that an ambiguous statement in
x
can satisfy different
values. The symbol is essentially ambiguous by an ambiguity all its own. Now let us touch on the second assumption, that symboic l mathematics is a logical structure of perfect form and faultless technique. If the symbols are ambiguous the technique cannot fail to end in ambiguity. But it is not only ambiguity with which we have to deal. During the operation, even if we proceed according to the strictest rules of mathematical method, the value of the symbol may change entirely, and we may get a set of values excluding the value with which we started. The symbol becomes not only ambiguous, but equivocal. At times, it may lead to impossible conclusions. For example, the law that the number of roots corresponds to the degree of the equation is not even a declaration of fact, unless one accepts imaginary roots as a solution. But such roots are not only a logical but a mathematical impossibility, since they are the result of the solution of an equation that is really an expression of equality between unequals. It is not possible to give the mathematical proof of this in so limited a space, but any one may see it for himself, by solving a quadratic equation where the given value is greater than one half the square of the coefficient of the second term, the , greatest value that
x can take in any quadratic equation. Yet such equations
are arrived at by the strictest application of algebraic methods.
The
technique that brings about such results can scarcely be considered perfect, and a firm basis for that branch of critical philosophy that regulates thought
in no wise connect it with what it previously signified. This is really what the Logicists have done. All the appeal to mathematical structure
is nothine
real; the assumed ideal perfection of the mathematical method has nothing to do with the logistic construction except perhaps as a motivation and a hope.
All that has been transferred from mathematics to Logistics is the
single word function in a sense that would be useless in mathematics. Function, as used in mathematics, technical meaning.
i a technical term with its appropriate s
It is a term covering certain mathematical relations
that are exclusively number relations. The idea is mathematically simple. First, let it be clear that there is no function of a symbol that is .not primarily a function of the thing symbolized.
We shall therefore define
function in terms of the latter. The idea of function derives from the power of any number to become any other number by the appropriate arithmetical operations. The number arrived at by these operations is technically called the function of the number from which it is derived. Thus
where 2 2 is a function of 2, and x2 in the Theory of Numbers.
=
'
4
a function of x; it is simply a proposition
It must be noted also that in this concept of
function, which s i fundamental, variability has no place. variable, neither is the
22 or x2
x in the second form.
Two is not a
The variability arises not from
the notion of function, but from the notion of number. It is a property of numbers to fall into series, every one of which follows a fixed law. Thus, in the example above, denotes a relation to
2 1;
does not stand by itself as an unrelated object, but it is twice
1,
or
1 + 1.
The function becomes a variable when we generalize number, and func
itself- logic. Now we come to the third assumption, which is that mathematical symbolism can be so generalized that it may be applied to logic as rigorously as it is presumed to be in its own domain. The logicists have some authority
tion assumes the added generality of the relation of one series to another.
i not of the essence and definition of function' The notion of variability then s
but
is of the essence and definition of number, and merely becomes an
for this assumption, since modem mathematicians have adopted it in their
accidental property of function as signifying relations between number
own practice, but again without warrant. The statement that quantity and
series. There are then three conceptions of the word function. The first,
measurement can be further generalized is absurd.
No one has ever
attempted to explain what the content of such a generalized concept would
be. If it is anything, it must have a meaning, and the same laws of semantics apply to it as to any other concept.
Others speak of emptying the symbol of content, which describes more exactly what actually takes place. The operation is like that of emptying a
which
is fundamental, is a numerical relation between two individual
members of two series. The second is a generalization of this by keeping the
argument a constant and generalizing the function, as f (x), F ( x),
ersetzung dieses Werkes ( durch den Mathematiker Ferdinand
Lindemann) erschien 1904. Das Werk hat unzweifelhaft die Diskussionen
prescrire la methode.
uber das Wesen der exakten Wissenschaften, welche durch die Entdeckung
Nieuwe Achtergracht 121 AMSTERDAM-C.
Iungen der theoretischen Physik ausgelost wurden, tie£ befruchtet, so daB es
Pays-Bas
wir dieses Urristandes nach 50 Jahren heute gedenken.
der nichteuklidischen Geometrien und die dadurch beeinfluBten Aufstel
als eine Pflicht der Dankbarkeit an diesem groBen Forscher erscheint, wenn Es ist Ieicht zu verstehen, warum der Konventionalismus nicht zeitlich
friihei auftreten konnte. Er ist ein Kind der Entdeckung der nichteuklidi_. schen Geometrien, die ab
1865 in
das BewuBtsein der Forscher traten. Er
driickt die eigenartige Problemlage aus, die in erkenntnistheoretischer Hin sicht damit entstand. Solange man der Meinung war,
daB nur
eine
Geometrie moglich sei, hatten die Mathematiker wenig AnlaB sich Init der Frage nach ihrem Geltungsgrund zu beschaftigen. Sie iiberlieBen das Allgemeinen der
Philosophie.
im
Waren jedoch ·verschiedene Geometrien
moglich, dann wurde diese Frage auf einmal auch fiir die exakten Wissen
schaften aktuell.
Aus dem erilpiristischen Zeitgeist heraus schien .es sicher, daB die Geome
trie eine Eigenschaft der Wirklichkeit sei; aus Tradition nahm man
an, daB die Geometrie des Raumes nur· eine sein konne. Woher sollte dann die Entscheidung genommen werden, dariiber, welche der vielen mathema-
198
199
WAS 1ST KONVENTIONALISMUS?
HUGO DINGLER
tisch vorhandenen Geometrien nun wirklich gelte? Es schien nur
von vorneherein feststiinde, daB sie deformationsfrei sind. Denn es gibt keine
eine
Normen, an denen dies festgestellt werden kann. Man kann rein empirisch
Moglichkeit iibrig zu bleiben: die Entscheidung muBte aus der Erfahrung, aus der Messung flieBen.
Poincare sieht die Dinge anders.
Deformationsfreiheit nicht feststellen, da sie nicht definiert ist. Die zweite
Moglichkeit ist also widerspruchsvoll und undurchfiihrbar (wo sie durch
Er sagt: die geometrischen Axiome seien
fiih.rbar erscheint, stecken unbewuBte Definitionen dahinter) . In
nur verkleidete Definitionen, sie seien ,auf Vbereinkommen beruhende Festsetzungen" und die euklidische Geometrie wahle
man
vollig die Definition des Begriffes ,fester Korper".
nur, weil sie
3.)
fehlt
Fiir den Konventionalismus ist die erste Vorbedingung, daB iiberhaupt
bequemer sei als die anderen ( S . 5 1 . 52. der deutschen Ausgabe). Dennoch
eine
billigt er der Erfahrung einen EinfluB zu: unsere Wahl der euklidischen
Wahl
zwischen
verschiedenen
Moglichkeiten in der Wirklichkeit vor
liegt. Diese Vorbedingung ist aber selbst nicht als vorhanden bewiesen. Es
Geometric sei ,von experimentellen Tatsachen geleitet" (S. 5 1 ) , sie entlehne
ist namlich nicht Streng bewiesen, daB iiberhaupt etwas Geometrisches in
der Erfahrung die Eigenschaften der ,festen Korper", die ,sich nicht wesentlich von den Eigenschaften solcher idealer Korper unterscheiden,
der Wirklichkeit vorliegt (wenn auch nur angeniihert wie bei Poincare) .
90).
einzige Geometrie fiir den ganzen Raum in Frage komme. Es ist drittens
Sollte dies aber der Fall sein,
deren samtliche Dimensionen unveranderlich sind" (S. 46). Diese Wahl pa.Bt
sich zugleich
,am
besten den Eigenschaften unseres Korpers" an (S.
so
ist nicht streng bewiesen, daB nur eine
nicht Streng bewiesen, daB iiberhaupt mehrere Geometrien gleich moglich
Erkenntnistheoretisch haben wir hier eine Mischung zwischen Idealismus
und Empirismus vor uns. Trotz dieser Ungeklartheit muB Poincares Ansatz
sind.
den konventionalistischen Gedanken in seiner Eigenart etwas zu verfolgen.
sungsarten des geometrischen Problems. Ebenso wie bei
als auBerordentlich anregend bezeichnet werden. Es mag uns AnlaB geben, Bisher waren
3
Losungsversuche des Problems der Entscheidung iiber die
Frage nach dem ,Geltungsgrund der Geometrie in der Wirklichkeit" aufgetreten. 1.)
Die Geometrie ist eine Anschauungsform von uns selbst, sie liegt
also nicht in der Wirklichkeit, die Entscheidung iiber sie ist also subjektiv
Jedenfalls aber gehort der Konventionalismus zu den
'
Subjekt, welches die Entscheidung trifft. Bei
subjektiven Lo Kant ist es das
Kant ist es eine Fiihigkeit
(die
,reine Anschauung"), die nicht dem Willen unterworfen ist, sondern sozu
sagen automatisch aus unserer Konstitution heraus wirkt Existenz ist unbewiesen) . Bei
(aber ihre
Poincare ist es dagegen die bewu{Jte Entschei
dung des Einzelnen, der sich der ,Mehrheit" anschlieBt ( daher Konven
(die Kant'sche Losung).
tion). ·Bei
Messung daraus entnommen werden, die Entscheidung erfolgt also unter
aus der Notlage, daB unter mehreren Geometrien gewahlt werden muBte.
2.)
Die Geometrie liegt in der Wirkichkeit l und kann angenahert durch
Zwang von auBen (die empiristische Losung).
3.
Wir lassen uns durch die Eigenschaften der ,festen Korper", die wir
in der Wirklichkeit vorfinden, leiten. Diese erweisen sich ungefahr iihnlich
den Forderungen der euklidischen Geometric. Daraufhin wiihlen wir von uns aus diese Geometric,
urn
sie bei der geistigen Behandlung der Wirklich
keit zur Durchfiihrung zu bringen. Auch diese Entscheidung ist zuletzt
subjektiv (Poincares Losung).
Aile diese Losungen sind unzulanglich. In 1.) ist das Vorhandensein der
Kant'schen ,reinen Anschauu·ng" unbewiesen und unbeweisbar. Es ist
ferner ohne unbewiesene Zusatzhypothesen nicht zu sehen, wie die Wirk
lichkeit durch diese Anschauung gezwungen werden kann sich in konkreten
Kant
hestand die Subjektivitat der Losung
einzige Geometric bekannt war. Bei
trotzdem nur eine Poincare entsprang seine Losung direkt
Als Haupteinwand gegen die Kant'sche Losung wurde vorgebracht, daB
bei ihm nur eine Geometric in Frage kam, wahrend man nach 1865 sicher zu sein glaubte, daB eine Mehrzahl von ihnen ,logisch" moglich sei. Die Frage, ob diese auch
real
aile moglich seien, wurde niemals naher unter
sucht, man begniigte sich mit der empiristischen Behauptung, daB
der Wirklichkeit ,entnehmen" miisse.
Nun kann man aber zunachst rein formal
urn
man
dies
vollstandig zu sein noch
den Fall heranziehen, wo zwar die Losung subjektiv ist, d.h. wo wir selbst
die Geometrie in die Wirklichkeit einfiihren, wo aber trotzdem ein Zwang
besteht, nur zu einer einzigen bestimmten Geometrie zu greifen. Den Fall,
daB eine einzige Geometrie sachlich erzwungen wird, konnte man sich
Fallen nach ihr zu richten. In 2.) hangt die Messung von Messungsappara
bisher nur so denken, daB diese durch die Natur vorgeschrieben werde
Umstande in einer Genauigkeit benutzen miissen, die durch die Messung
dieser Zwang nicht durch die Natur, sondern sozusagen durch den Begriff
erst festgestellt werden soli. Es gibt ferner dort keine Korper, von denen
der Geometric selbst geschahe. Dieser Fall war bisher nicht in Erwagung
200
201
ten ab, die wir selbst herstellen, und bei denen wir schon geometrische
(Fall 2). Aber es besteht rein logisch offenbar noch die Moglichkeit, daB
HUGO DINGLER
WAS IST KONVENTIONALISMUS?
gezogen worden. Dann wurde die Geltung der Geometrie weder aus einer
Liegt dann in der Ebene E eine Gerade G und legen wir eine zweite
unbewiesenen reinen Anschauung, noch aus der Erfahrung, noch durch
Gerade G' in E, so, daB die beiden Enden des ebenen Streifens, der zwischen
freie Wahl unter mehreren zu gewinnen sein.
G ung G' liegt, nicht unterscheidbar sind, dann gewinnen wir den ,Paral
Von diesem Fall mochte ich kurz zeigen, daB er der allein zutreffende ist.
lelstreifen" als eine ehenfalls vollig parallele Ahstande der
Fragen wir uns, wo Geometrie in der Wirklichkeit auftritt. In der
Natur
treten z.B. an Kristallen Flachen auf, die wir als ,eben" ansprechen. Diese
2
symmetrische
Figur. Werden dann
Geraden als ,gleiche Strecken" definiert, dann
haben wir hereits die Grundelemente der Geometric und zwar der
schen Geometric
euklidi
gewonnen. Hierdurch ist auch der deformationsfreie
Aussage hat nur einen Sinn, wenn der Begriff der ,Ebene" anderweitig
Korper jetzt vollig definiert, und dies sind die Mittel, durch die er in der
definiert
Tat in der Praxis gepriift und dadurch hergestellt wird.
ist. Aber auch dann kann eine empirische Kristallflache niemals
als ,absolut eben" betrachtet werden, schon deshalb, weil wir das wegen der prinzipiell endlichen Genauigkeitsgrenze aller Beobachtung gar nicht
Fassen wir in grober Weise das Gefundene zusammen, so konnen wir sagen : die
Geometrie ist das Symmetrische in unserem raumlichen Denken.
feststellen konnten. Es muB also die Moglichkeit bestehen, daB in der
Wiirde jemand, der noch nichts von Geometric weiB, zu dem Wunsche
Wirklichkeit (wenn auch nicht in der Natur) Flachen vorhanden sind, von
gefiihrt werden, in der Wirklichkeit Flachen und Linien kiinstlich herzu
denen
wir wissen,
daB sie innerhalb der momentanen Genauigkeit eben
sind, die also der Definition der Ebene gehorchen.
Das sind diejenigen, die
wir selbst eben gemacht haben und machen.
Schon urn 2000 v. Christo stellte man im Zweistromlande Ziegel her,
welche die Eingenschaft hatten, daB je 2 solche in jeder Lage aufeinander
stellen, die vollig eindeutig und reproduzierbar in ihrer Form sind, so wiirde er nichts anderes tun konnen, als ebenfalls nach den vollsymmetri schen Formen zu suchen. Denn diese sind die einzigen, die in der flieBen den Wirklichkeit eindeutig hestimmt, festgehalten und reproduziert werden konnen. Das ist der Grund warum die Menschheit von Anfang an ganz
gelegt werden konnten, ohne Zwischenraum. Das ist schon die definierende.,
instinktiv zu diesen Formen getriehen wurde (z.B. bei der Steinbearbeitung
Eigenschaft der Ebene. In der heutigen Metallbearheitung werden
etc.) . Wollte man also irgendwo genau reproduzierbare Formen haben ( und
3
groh
vorgeehnete S�ahlplatten solange gegenseitig aufeinander ahgeschliffen, bis
dieser Wunsch ist bei wachsender Kultur sehr naheliegend), so muBte man zu
sie adharieren. Bei nur zweien konntte auch eine Kugelkalotte entstehen, hei
den in sich symmetrischen Formen greifen. Nur diese waren ohne ander
dreien s i t das ausgeschlossen. Durch dieses Verfahren werden aile wirklich
weitige Hilfsmittel von vornherein ihrer Gestalt nach eindeutig hestimmbar.
exakten Ehenen hergestellt, die wir an exakten MeBinstrumenten finden.
Wenn aber die Geometric in ihren primaren Formen vollig auf der
im Ganzen und in
Symmetric heruht, so ist es von vorneherein unmoglich gemacht, daB jemals
har, d.h. raumlich ununterscheidhar sind. Man kann auch kurz sagen, daB
von der Symmetric wiirden namlich unrnittelbar hemerkt und als fehlerhaft
Hier wird also die Ehene als die Flache hergestellt, die
allen ihren Teilen so heschaffen ist, daB ihre heiden Seiten aufeinanderleg
diese Flache im ganzen und in allen Teilen sich bezuglich ihrer Seiten
symmetrisch verhalt.
Ahweichungen von diesen Gestalten auftreten. Auftretende Abweichungen stets heseitigt werden. Unsere Ausgangsfrage : wodurch ist die Geometric der Wirklichkeit be
Das laSt sogleich die vollige Eindeutigkeit der Definition erkennen, von
stimmt? ergibt nun zu den
3
obigen Losungsversuchen noch e ine
vierte:
der es keine Abweichung geben kann. Sie bedient sich zwar bei ihrer Reali
aus der Symmetric. Hier sind die Forderungen, die wir an die Geometric
sierung in Metall sogenannter starrer d.h. praktisch deformationsfreier
stellen, zwar ,subjektiv", denn es sind Forderungen die der Mensch stellt.
Korper, aber sie setzt nicht voile Starrheit voraus. Nur die Flache als ganze
Dennoch aher fiihrt diese SuhjektiviHit nicht zu einer Wahl zwischen mehreren
dar£ sich momentan nicht verbiegen. Die Herkunft der Ebene aus der Sym
Moglichkeiten. Sie fiihrt vielmehr zu einer einzigen, eindeutig bestimmten
metric zeigt, warum die Ebene eindeutig bestimmt sein kann, ohne bereits
Form : zur Begriindung durch die Symmetrie. Dies ist die einzige Art, wo
uber die gesamte Geometric verfiigt zu haben.
unter der unabsehbaren Fiille von Formmoglichkeiten ohne weitere Hilfs
In ganz analoger Weise ist dann die
Gerade
der Schnitt zweier solcher
mittel eine einzige eindeutig hervorgehoben werden kann. Diese Entschei
Ebenen und wird auch in der Tat in der Feinmechanik stets so hergestellt.
dung aher fiihrt automatisch zur euklidischen Geometric, ja sie ist mit ihr
Auch hier kann man sagen, daB die Gerade sich hezuglich ihrer heiden
identisch:
Seiten symmetrisch verhalt.
So zeigt sich auch, daB das Auswahlprinzip der ,Einfachstheit", das 202
203
v - 34- 129
HUGO DINGLER
Poincare und auch ich selbst friiher anwendeten, hier keine Rolle spielt. Die Einfachheit kann hier nur sekundar als eine Nebenerscheinung konsta tiert werden. Es zeigt ·sich ferner, daB hier
denn dieser bedarf das Vorhandensein mehrerer Faile. Es s i t aber nur ein einziger vorhanden. Trotzdem also die Geometric vom Menschen aus, d.h. subjektiv bestimmt ist, liegt dennoch fiir die Wirklichkeit nur eine Moglichkeit vor : namlich die euklidische.
ARNOLD SCHMIDT
kein Konventionalismus vorliegt,
WM VERHALTNIS VON EXISTENZ UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT
einzige
Man ist seit einiger Zeit gewohnt, die· Existenz einer relationalen Struktur mit h i rer Konsistenz gteichzusetzen, mit anderen Worten: ihr ideates Dasein in ihrer Widerspruchsfreiheit zu suchen. (Die Existenz von irgendwetchen
Siidl. Auffahrtsallee 72 MONCHEN 38 Allemagne
Elementen der Struktur wird alsdann auf die Existenz der Struktur zu riickgefiihrt.) Diese Auffassung ist insbesondere in der Lehre von der mathematischen Erkenntnis heimisch geworden. Zwar fehtt es nicht an Stimmen, die eine engere Konzeption von der Existenz mathematischer Strukturen zum Ausdruck btingen. DaB wir z.B. zahlen und in bestimmter Weise mit den natiirichen l Zahlen rechnen, ist nach Ansicht vieler in einer Seinsart der Zahlen begriindet, die zwar unter anderem die Wider
spruchsfreiheit garantiert, die jedoch nicht mit ihr
zusammenfallt.
Es
metdet sich darin ein Deutungsanspruch an, auf den einzugehen bier
zu
weit fiihren wiirde, von dem jedoch so viet festgestellt sei, daB er durch die bloBe Forderung, es solle sich kein Widerspruch ergeben, schon
aus
kategorialen Grunden nicht erfaBt werden kann. Auch bei allgemeineren
relationalen Gefiigen, bei denen sich die Vorstellung einer eigenstandigen
Existenzweise nicht im gleichen MaBe anbietet wie bei den Zahlen, wird man die Existenz urspriingich t etwa in der Erfiilltheit an einem Modell sehen, wobei in der Mathemati k - anders als in schaften - das
Modell
seinerseits
m i
altgemeinen
den
Naturwissen
wieder
ein
ab
straktes relationales Gefiige sein dar£. (Es braucht an dieser Stelle nicht darauf eingegangen zu werden, daB hiermit bei angemessener Stufung kein unendlicher oder zirkelhafter RegreB verbunden ist.) Auch in eine solche Interpretation der Existenz spielen Deutungen hinein, die den kategorialen Rahmen der bloBen Widerspruchsfreiheit iibersteigen. Von einer anderen Einstellung ausgehend, hat man formate ,Grundsprachen" entworfen, welche die folgende Eigenschaft besitzen: jede in einer solchen Sprache ausdriickbare These, die nicht bereits durch Zeichenkomplexe eben der betreffenden Sprache erfiillt ist, wird in dicser ,Sprache" wider spruchsvoll. Zur Entscheidung, inwieweit durch die Anlage solcher For malsprachen die Frage nach der Gleichbedeutung von Existenz und
Widerspruchsfreiheit beantwortet sei, bedarf es einer genaueren Analyse
der Notwendigkeit bzw. der Urspriinglichkeit jener- recht komplizierten - Formalsprachen.
204
205
ZUM VERHALTNIS VON EXISTENZ UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT
ARNOLD SCHMIDT Allen angedeuteten Dberlegungen ist die Dberzeugung gemein, daB die Existenz eines relationalen Gefiiges
(einer Struktur)
jedenfalls die
Widerspruchsfreiheit in sich schlieBe. Die Forderung der Widerspruchs freiheit erscheint hier als die radikale Mindestforderung : indem man auf jede ,,Deutung" des Gefuges, auf jede ,Bedeutung" seiner Elemente ver zichtet, zieht man sich darauf zuruck, eine Seinsart zu fordern, die die Seinsart irgendeines Spieles ist. Ist aber von diesem rein formalen, syntak tischen bzw. logisch-operativen Standpunkte aus die Widerspruchsfreiheit wirklich cine Mindestforderung? Ist sie iiberhaupt eine diesem Standpunkt angemessene Forderung? Der Dberzeugung, daB sie dies sei, liegt offen sichtlich der Umstand zugrunde, daB sich aus Widersprechendem alles beweisen laBt, genauer: daB sich aus
einem
Widerspruch
jede
iiberhaupt
ausdriickbare These samt ihrem Gegenteil beweisen lasse, so daB nach Aufdeckung eines Widerspruchs die Beschaftigung mit dem betreffenden Gefiige (m.a.W.: das formale Spiel) jeden Reiz verliere. Dies ist nun aber offenbar nicht der Fall. Es lassen sich relationale Gefiige denken, in denen - bei voraufgegangener· Axiomatisierung nebst Einigung iiber die Genesis des SchlieBens - erst nach einer Billion von Schliissen ein Widerspruch beweisbar wird, wahrend jeder aus weniger , als einer Billion von Schliissen bestehende Beweis keinen Widerspruch liefert.
Ein solches Gefiige Ia.Bt sich etwa in der Weise konstruieren, daB
man irgendwelchen widerspruchsfreien Axiomen das Negat eines solchen Satzes zufiigt,
der aus ihnen nicht eher
als durch eine Billion von
Schliissen folgt. Er laBt sich ebenso gut denken, daB Generationen von Menschen mit einem derart gelagerten Gefiige in gleichbleibendem Ver trauen umgehen, ohne zu einem Widerspruch vorzudringen. Jedem rela tionalen Gefiige ist das Gefiige seiner deduktiven Zusammenhange zu geordnet; hierauf beruht ja unter anderem jede seiner moglichen Fixierun gen. Dieses zugeordnete logische Gesamtgefiige, auf dessen formalen Reiz letzten Endes bei der Widerspruchsfreiheitsfordetung abgezielt war, ver liert fUr ein Gefiige i:ler angedeuteten Art seinen Reiz keineswegs. Auch bei einem Gefiige der angedeuteten Art kann nach unmittelbaren logischen Zusammenhangen, nach der Tragweite von Operationen und Deduktions methoden, nach der Art der Einlagerung
von
Teilstrukturen - unter
anderem von widerspruchsfreien Teilstrukturen- gefragt werden u.s.£. Zwar bezieht sich ein Teil dieser Fragen zunachst nur auf gewisse deduk tive Fixierungen des Gefiiges; jedoch verleiht die Eigenschaft des Gefiiges, sich durch solche deduktiven Fixierungen darstellen zu lassen, ibm cine Art ideellen, namlich logisch-formalen Seins, die sich von dem durch die Widerspruchsfreiheit
festgelegten nicht kategorial
206
unterscheidet,
sodaB
nicht ohne weiteres einzusehen ist, warum die eine als Existenz schlechthin angesprochen werden durfe, wenn es der anderen verboten sein solle. In der Lehre von der physikalischen Erkenntnis herrscht heute wohl der Standpunkt vor, der der theoretischen Physik unter bewuBtem Absehen von jedem transzendierenden ,Wahrheits"-Anspruch als Aufgabe die bloBe mathematische Bewa Jtigung moglichst urnfassender experimentalphysika lischer Tatbestandskomplexe zuweist. Von
diesem
formalen Standpunkt
aus besitzt aber eine mathematisch-relationale Struktur der oben ange deuteten
Art - sofern nur ihr Widerspruch ,praktisch" unerreichbar ist
letztlich dasselbe Konkurrenzrecht wie eine widerspruchsfreie Struktur.
Die vorstehenden Dberlegungen sollten zeigen, daB die rein formale, relationstheoretische
Konzeption
des
relationalen
Gefiiges,
der
die
Zuriicknahme des Existenzbegriffs auf den Widerspruchsfreiheitsbegriff entflieBt,
nicht
an
diese
Gleichsetzung
gebunden
ist.
Fur
andere
Auffassungen des relationalen .Gefiiges (m.a.W.: der Struktur) liegt in der Forderung der Widerspruchsfreiheit ein Moment der Willkiir, in sofern sie zu· schwach ist; fiir die heute so weit verbreitete rein relations theoretische Auffassung andererseits liegt, sobald man mit ihr Ernst macht, in der Forderung der Widerspruchsfreiheit ein Moment der Willkiir, insofem sie zu stark erscheint. Durch diese SchluBfolgerung wird der Wert der Widerspruchsfreiheits forderung
als eines dialektischen Argumentes nicht beriihrt. Wenn bei
einem Forscher im Umgang mit einer mathematischen Struktur die Kritik an ihrer- anderweitig konzipierten - Berechtigung
sich so
weit
ver
dichtet hat, daB er gar die Begegnung mit Widerspruchen zu fiirchten beginnt, wird ein anderer ( oder er selbst) h i n beziiglich dieser Besorgnis gegebenenfalls eines besseren belehren und
ihn hierbei wohl auch am Ge
wicht seiner Kritik, die ihn zu einer falschen Furcht verleitete, zweifeln
lassen. Dies war auch die Funktion, die den Widerspruchsfreiheitsnach weisen n i der Mathematik urspriinglich zugewiesen war. In diesem Zu sammenhange wird zugleich deutlich, was bereits bei cinigen obigen t!ber
legungen anklang: daB namlich das Widerspruchsfreiheitsproblem sich nicht so sehr auf diejenigen Momente der Struktur bezieht, die fur die Frage nach der Existenz ma13gebend sind, d.h. auf die momente,
an denen die Struktur orientiert ist,
Stringenz von Schliissen, genauer: auf
die
Tatbestands
als vielmehr auf die
Dbertragbarkeit
gewisser
Schliisse von einfacheren auf komplizierte deduktive Systeme, die zur Fixierung von Strukturen dienen sollen. Frimkfurterstral3e 15 MARBURG!LAHN
20"1
v-
DEFINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR NUMERIQUE
LA
35 - 127
a
Ix-aI
+ b I x - P I + ex + d = 0, ·
I I a2x + b2 l + alx + b1 l + ax + b = 0, c
ax2 + b I x - P I x + I x I + dx +
DIMITRI RIABOUCHINSKY
e
=
etc.,
0,
sans avoir recours a des inegalites. Les racines multiples de ces equations
LA D£FINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR
peuvent etre reelles, imaginaires, indeterminees, ou confondues et elles
NUM£RIQUE ET PAR LEUR ORIGINE; ROLE DE CE
presentent, du point de vue logique, des particularites interessantes.
CONCEPT EN PHILOSOPHIE MATH£MATIQUE
7. - Le
Les idees exposees dans cette communication se sont developpees et ont
«radical» ,-, �appelant celui de !'extraction d'une racine cam�e,
semble satisfaire aux conditions exigees par Leibniz pour les symboles bien
x2, x = ± yY;
muri pendant 40 annees. Elles ne s'accordent pas toujours avec certains
choisis, celles d'etre naturelles
incomprises ou meme injustement condamnees a priori. J'espere neanmoins
nombres reels dont Ia valeur absolue soit negative, mais en regard de
points de vue admis actuellement et pour cette raison sont restees parfois
Y =
V
l'imaginaire
reconnus par mes collegues philosophes et mathematiciens qui voudront
et indispensable.
8.- Les
bien les mediter. 1.
- Nous
nommons origine d'un nombre les formes operatoires aux
quelles il est soumis et qui permettent de le distinguer des autres 90mbres de meme valeur numerique.
2. -Deux nombres appartenant a la classe de� nombres definis par leur
valeur numerique et leur origine sont egaux ou inegaux selon que leur valeur numerique et leur origine sont ou ne sont pas egales respectivement. 3. - Exemple: Si l'on convient d'admettre que arcsin [sin (2n +
1) (n/2)]
( 2n
·
sin(n/2} et
b=
4. - Pour eviter des malentendus dus
( 1 = 1'
a une contradiction apparente de
� sin 5 (:rt/2)
on
(b = 1, est sin 5(:rt/2 ) ) , ou bien le sousentendre. ·5. - Nous considerons le passage a Ia valeur absolue y = I I et !'opera . tion inverse du retour a la valeur relative = I'Y comme des operations copule «esb
X
+
(- a)
1
=
et
x2 = - 1 = - 1 = j - 1.
-1-1
-- j - 1,
1, ! 1 = = 1 = 1. de Kant : «On ne saurait, a vrai dire, nommer negative
I+
a
a
+
est negative par rapport a l'autre».
+ a)
nombreuses tentatives faites pour demontrer que Ia regie des
X
a !'auteur de developper une theorie generale de la resolution d'equations
+.+
=
-
.-=
+'
+ . - = -.
+ = -,
tant Ia convention que Ia valeur absolue d'un nombre est egale a sa valeur
positive, I +
a I = + a, on n'a pu que constater a posteriori que cette regie
et cette convention ne conduisent a aucune contradiction.
1 1 . - L'echec de ces tentatives de demontrer l'unicite de Ia regie des
signes dans Ia multiplication est une consequence du principe de Kant et !'auteur a mis en evidence qu'une deuxieme regie des signes,
1'Algebre.
208
=
est obligatoire, c'est-a-dire Ia seule admissible, sont restees vaines. En adop
( 2)
6. - L'introduction de I'operation du retour a la valeur relative a permis
absolues:
j
aucune grandeur, mais il faut dire que chacune des deux grandeurs (
( 1)
peut remplacer la copule «egale» placee devant le symbole d'origine, par la
sui generis de
9.- Principe
1 = sin 5 ( n/2}
tandis que sin (:rt/2)
apparait comme naturelle
signes dans Ia multiplication des nombres relatifs
ne sont ,pas egaux, car leur origine sin(n/2) et sin 5(n/2) sont differentes. pareilles doubles egalites
1- 1
a comme valeur numerique !'unite et comme origine
j
10. - Les
ou n est zero ou un entier, les nombres
a= 1 =
=
deux racines de !'equation
qui Ie distingue de !'unite
et
+ 1) (:rt/2)
1 Ia nouvelle imaginaire
I � I = - 1 sont x1 = j Le nombre
y
I"Y. En raison des definitions admises, il n'existe pas de
j x I, x = +
que !'importance et !'interet des problemes consideres finiront par etre
et ideographiques :
+ .
+
= - . - = -,
+ .-=
-.
+ = +,
et la convention adjointe que la valeur absolue d'un nombre est egale a Ia valeur negative, 1 +
v-u
a
1 = - a, sont egaiement Iogiquement admissibles.
209
DIMITRI RIABOUCHINSKY
LA
12.- Contrairement au probleme de Ia regie des signes dans la multipli cation qui admet deux solutions pouvant etre choisies arbitrairement, le probleme des additions et soustractions des nombres relatifs n'a qu'une solution unique:
(3)
+
+ ( + a) = - (-a) = + a,
Cela tient
a
(-a)
= -
( + a)
= - a.
ce que dans cette solution les signes plus et moins figurent
compatible avec le principe de Kant. En effet, quand on interchange dans simultanement tous les
+a
et
- a,
ce
systeme reste identique
meme.
a lui
13. - Du point de vue mnemonique ou de symetrie, on peut preferer !'ensemble ( 1 ) (3) a !'ensemble (2) (3), mais du point de vue logique ces deux ensembles de regles des signes sont egalement admissibles.
14. -La
1'Algebre,
regie des signes dans Ia multiplication etant l'un des piliers de
Ia question se pose
a que! stade de son enseignement dans les
ecoles il faudra mentionner !'existence d'une deuxieme regie ?
15. - L'une
des consequences importantes d e I'existence de deilx regles
egalement admissibles est Ia suivante. En paraphrasant Ia remarque precitee de Kant, on peut constater qu'on ne saurait nommer imaginaire aucune grandeur, mais qu'il faut dire que chacune des unites
i' = 1 = {+1 a une origine
imaginaire par rapport
nombres complexes de Ia forme gine de !'unite
i' comme
i'x + iy,
ou
x + iy,
i = 1 = V- 1
et
a celle de !'autre. Les si l'on considere l'ori
«reelle», representent en quelque sorte un «amal
game» des deux regles de signes.
16.- Pour
pouvoir etendre Ia theorie de Ia resolution des equations
absolues comprenant des puissances de l'inconnue superieures
a Ia premiere,
i1 a fallu introduire Ia notion de signe et de valeur absolue d'un nombre
a + ib. Le symbole I a + ib I est generalement defini cornrne + Va2 + b2 de a + ib. Cette interpretation est en desaccord avec
complexe module
le principe de Ia permanence des formes operatoires. En effet, en substituant x
= -+- i dans l'identite I x I = + V x2, I -+- i I = 1. Il serait preferable d'utiliser,
M(a + ib) = + et d'admettre, en se laissant guider par
I a + ib I = (a + ib} sgn (a + b), signe de a + ib celui de a + b.
que
210
il vient
I
-+-
iI
=i
et non pas
par exemple, le symbole
Va2 + b2
la theorie des equations absolues, a considerer comme
ce qui revient
les racines imaginaires des equations, comprenant des puis
sances quelconques de l'inconnue et des passages unites d'origine imaginaire
i= 1
+ V- 1
=
et
a
Ia valeur absolue, les
j= 1
=
- I-
1
peuvent
tion logique au trace des courbes dites irnaginaires, completant les courbes
comme signes distinctifs des nombres relatifs, ces derniers sous une forme
(3)
17. - Dans
LEUR VALEUR NUMERIQUE
figurer separement ou simultanement. Cette remarque donne une justifica
a cote comme symboles des operations d'addition et de soustraction et
cote
DEFINITION DES NOMBRES PAR
reelles sur le plan cartesien, en admettant que les imaginaires
- 1-1
+ v- 1
et
ont comme valeur numerique !'unite, tout en restant soumises aux
�
regles de calcul qui leur sont propres. Cette remarque est egaleme t appli
quable aux !ignes et surfaces dans l'espace. L'auteur a donne plusieurs
exemples de pareilles constructions graphiques planes qui temoignent d'une fa�on convaincante du bien fonde et de !'interet de ces developpements.
18. - Les
trois classes de nombres complexes
a deux unites, satisfaisant
aux lois commutative, associative et distributive de la multiplication, sont
x + iy, avec i = V 1, i2 = - 1, et les nombres x + jy, x + ky, avec j ?, j2 = + 1, (j- 1 ) (j + 1) = 0 et k = ?, k2 = 0. Les nombres j et k =
ont ete introduits par Grassman d'une fa�on formelle, sans justification de
leur apparence contradictoire, et les interrogations ci-dessus attendent .
encore une reponse.
19. - Les deux demieres classes comprenant des diviseurs
de zero, on ne
saurait developper une theorie des fonctions des variables complexes
x + jy et x + ky aussi
generale que celle de Ia variable
x + iy sans elargir
le cadre des operations fondamentales de l'Algebre ordinaire. C'est ce que X = -+-
I'auteur a essaye de faire. L'operation
Y = I xl, l'ayant
conduit au nombre
a
0. 20.- Nous
a !'operation
qui peut etre
a Ia premiere des interrogations sus
rechercher une nouvelle operation fondamentale,
dont !'operation inverse conduirait
k2
inverse
i = - 1 - 1, p = + 1,
considere comme reponse admissible
dites, il s'est applique
I y,
a un
nombre satisfaisant
a Ia condition
=
conviendrons de considerer !'operation du passage
definie par les conditions
L(a)
= aL(1)
= 0, L(oo)
=
b,
inverse du retour de Ia limite, definie par les conditions
a Ia limite,
et !'operation
L-1 (0) = a, L-1 (b) b L-1 ( 1 ) = oo, ·comme operations sui generis de I'Algebre; a et b sont, en general, des nombres finis ; oo , par definition, un nombre superieur a tous les nombres finis. Nous utiliserons dans certains cas les abreviations L ( 1 ) L, L-1 ( 1 ) = L-1, L-1 L = L L-1 = 1. Ces defini tions mettent en evidence que les symboles L, L-1 sont soumis aux memes lois que les nombres p et p-1 1/p, ou p n'est ni zero, ni l'inlini, mais a condition de ne jamais perdre de vue leur signification en tant qu'ope =
=
=
rateurs.
211
DIMITRI RIAJIOUCHINSKY
LA DEFINITION DES NOMBRES PAR LEUR VALEUR NlJMERIQUE
2 1 . - Si !'on tient a rattacher les operations L, L-1 a une image, on interpretera !'operation L(a) = 0 comme une annihilation de Ia longueur a
volume, un intervalle de temps etc., par application de !'operation du passage a Ia limite. L'origine de ces zeros, c'est-a-dire les lois operatoires auxquelles ils sont soumis, precise leur caractere dimensionnel:
d'un segment de droite par rapprochement direct de ses extrernites jusqu'a leur coincidence et !'operation inverse L-1 (0) = a cornme l'eloignement l'un de !'autre, a une distance a, de deux points qui co1ncidaient. On inter pretera de meme les operations L ( oo ) = b et �-1 (b) = oo . Dans le cas general d'un espace a n dimensions, il y aura lieu de parler egalement de contraction et d'extension. 22.- En se basant sur l'axiome «deux grandeurs qui peuvent s'appiquer l l'une sur !'autre, sont egales entre elles», Euclide a eu recours dans ses demonstrations au rapprochement des figures et des points jusqu'a leur coincidence, mais cette operation mentale n'a jamais e.te definie, ni symbo lisee explicitement en Algebre cornme operation fondamentale sui generis. II faut en chercher la cause dans la dialectique zenonienne et ses derivees, qui continuent a tenir le recours a !'evidence geometrique en suspicion. 23.- Les definitions precitees font voir que les norobres 0 et oo peuvent avoir, de meme que les nombres finis non nuls, des origines differentes:
0 = L(a), 0 = L ( b ) , 0 = £2 (c), etc.; 00 = L-l (d),
oo
= L-l (e), oo .= L-2(f), etc.
24. - Les zeros d'origine imaginaire
k1 = 0 = L( V
k2 = 0 = L(l- 1),
dx = L(6.x) = 0, dxdy = L ( 6.x).L( 6.y) = 0, etc. 27.- C'est une justification logique de la conception intuitive d'Euler que les differentielles sont des zeros et jouissent neanmoins de proprietes qui les distinguent les unes des autres. En effet il est toujours possible de retrouver une grandeur reduite a zero par !'operation L en appliquant a ce zero, dont on connait l'origine, !'operation inverse L-1. Ce raisonnement ne saurait etre refute par !'objection de d'Alembert«une quantite estquelque chose ou rien; si elle est quelque chose elle n'est pas encore evanouie, si elle est rien elle e�t evanouie tout a fait», qui a empechC d'adopter le point de vue d'Euler. 28. -On peut, dans une certaine mesure, se rendre compte du rapport qui existe entre les operations d'un ordre plus eleve de differentiation et d'integration d'une part et les operations primordiales du passage a la limite et du retour de la limite d'autre part, en considerant la transformation
a:
J 2x dx
4
lt
=
J dx2
4
=
¢1-a' J d (x2 - a2) 0
=
L-1 (0)
=
L-1 L (x2 - a2)
=
x2 - a2.
29.- Les developpements qui precedent conduisent aux definitions et
euclidien avec le point dimensionnel. On obtient ce dernier en reduisant a zero une grandeur dimensionnelle - une longueur, une surface, un
remarques suivantes: un zero qui n'est determine que par sa position (un triplet de coordonnees) est un point euclidien. Un zero qui est determine par sa position et son origine est un point dimensionnel. Un point dimen sionnel n'est pas l'extremite sans dimension d'un vecteur, mais un accroisse ment virtue! de ce dernier. Les nombres irrationnels et transcendants ne se distinguant des fractions decimales de meme valeur numerique, que par l'origine irrationnelle ou trancendante d'un zero, il n'y a pas lieu de faire la distinction, qu'admet Ia theorie de Dedekind, entre les coupures corres pondant aux nombres irrationnels ou transcendants et celles des nombres rationnels de meme valeur numerique, puisqu'elles se confondent. 30. - Certains theoremes d'apparence paradoxale de Ia theorie moderne des ensembles sont imputables a la confusion des points dimensionnels avec les points euclidiens et a la meconnaissance du principe de l'origine des nombres. Nous analyserons a titre d'exemple Ia demonstration de Georg Cantor de la proposition que le nombre de points dans un carre ou un cube est egal au nombre de points sur leur cote ou arete. 31. - Nous considererons le cas d'un carre, dont la longueur des cotes est egale a !'unite, mais notre raisonnement s'appique l egalement au cube.
212
213
1},
dont les carres sont des zeros d'origine reelle, peuvent etre consideres cornme des reponses a Ia deuxieme des interrogations du n° 18 et permet-
tent, de meme que les unites 1 = v 1 et 1 = 1 - 1, de situer graphique ment certains lieux geometriques dits iroaginaires. 25. - Euclide a defini les surfaces, les lignes et les points corome les extremites respectives de volumes, surfaces et lignes. On ne saurait done admettre, en raison du principe de l'homogeneite des formules, que les volumes, surfaces et !ignes sont respectivement des ensembles infinis de surfaces, de !ignes et de points. II en resulte que les points euclidiens sont non dimensionnels, ne possedant done aucune propriete metrique, n'appar tiennent jamais a !'ensemble des parties d'un tout qu'ils ont servi a diviser. Un point d'intersection de deux lignes, pouvant etre considere comme l'extremite de chacune des quatre lignes issues de ce point, est euclidien.
26. - II ne faut plus confondre, comme on l'a toujours fait, le point
DIMITRI RIABOUCHINSKY
v - 36 - 275
Divisons le earn� en tra�ant des droites equidistantes paralleles
N1 = 102n
carres de superficie
10-2n,
par les points d'intersection avec ces droites en longueur
10-n.
a ses cotes en
tandis que chaque cote est divise
On a evidemment, pour un
=
10n segments n quelconque N� = N1 et, N2
de en
appliquant le raisonnement par recurrence, cette egalite se conservera, lorsque, en effectuant un passage
a la limite pour
n -+ oo,
et segments se transformeront en points dimensionnels:
Ce resultat est conforme
FRAN
