Precis d'electro-acoustique : Prise de son et reproduction

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Author: Dominique Fellot

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Dominique Fellot

Précis d’électro-acoustique Prise de son et reproduction

17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

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Conception graphique de la couverture : Juliette Baily Photographies de couverture : tête microphonique c Sébastien Montoya ; enceinte Elipson 4240. c Elipson Trinnov

Figures 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10 extraites de l’ouvrage Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique de Christian Hugonnet et Pierre Walder ; avec l’aimable autorisation des éditions Eyrolles. c Groupe Eyrolles 1998

Composition : e-press Imprimé en France c 2007, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 978-2-86883-960-2

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Table des matières Remerciements

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Préface

ix

Avant-propos

xi

1 Notions d’acoustique 1.1 Propagation des ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Rappels de thermodynamique . . . . . . . . . . 1.1.2 Propagation d’ondes planes dans un tuyau de section constante S . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Propagation d’ondes dans l’espace . . . . . . . . 1.1.4 Vitesse du son. Influence de P et de T . . . . . . 1.1.5 Considérations énergétiques. Intensité acoustique ou niveau sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Impédances acoustiques complexes . . . . . . . . 1.1.7 Application aux ondes planes et sphériques . . . 1.1.8 Sources théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 Propagation d’ondes planes dans les pavillons . 1.2 Analyse par schémas équivalents . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Analogies mécano-électro-acoustiques . . . . . . 1.2.2 Énergies mises en œuvre . . . . . . . . . . . . . .

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12 13 15 16 23 29 29 31

2 Haut-parleurs 2.1 Haut-parleur électrodynamique à cône . . 2.1.1 Fonction de transfert en courant xI 2.1.2 Fonction de transfert en tension Ux 2.1.3 Impédance du haut-parleur . . . . 2.1.4 Rendement du haut-parleur . . . . 2.1.5 Formule du rendement selon Thiele 2.1.6 Schéma équivalent acoustique . . . 2.2 Enceinte close . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Enceinte à évent . . . . . . . . . . . . . .

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33 33 34 35 37 38 40 40 41 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et Small . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1

. . . . 2 . . . . 7 . . . . 12

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Précis d’électro-acoustique

2.4

2.5 2.6

2.7

2.3.1 Analyse du schéma équivalent . . . . . . . . 2.3.2 Rendement du bass-reflex à évent . . . . . . 2.3.3 Impédance d’entrée du système . . . . . . . Haut-parleurs à pavillon . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Schéma équivalent acoustique . . . . . . . . 2.4.2 Schéma simplifié . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Courbe de réponse théorique et rendement 2.4.4 Autres limitations . . . . . . . . . . . . . . Haut-parleur à coïncidence ou coaxial . . . . . . . Filtres répartiteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Élaboration des schémas électriques . . . . 2.6.2 Filtres de Butterworth . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Ensemble à trois haut-parleurs . . . . . . . 2.6.4 Exemples numériques . . . . . . . . . . . . Exemple de caractéristiques . . . . . . . . . . . . .

3 Caractéristiques du son 3.1 Étendue spectrale des sons . . . . . . . . . . . . . 3.2 Niveau sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Effet de masque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Réverbération, champ direct et champ réverbéré 3.5 Aspect perceptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Rapport champ direct/champ réverbéré SSdr . . . 3.7 Flutter écho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Réverbération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Temps de réverbération optimal . . . . . . . . . . 3.10 Distance critique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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45 48 48 50 51 52 53 54 54 57 57 59 64 65 66

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69 69 69 69 70 72 72 73 73 73 74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gradient . . . . . . . . . . . . . . .

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75 75 75 76 76 76 76 77 79 79 80 80 81

4 Microphones 4.1 Le microphone dans le champ sonore . . . . . . . . . 4.2 Mode d’action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mouvement du diaphragme . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Conversion en vitesse et en élongation . . . . . . . . 4.5 Force développée sur une face de diaphragme . . . . 4.6 Mode d’action en pression . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Conversion en vitesse . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Conversion en élongation . . . . . . . . . . . 4.7 Mode d’action en gradient de pression . . . . . . . . 4.7.1 Comportement en ondes planes progressives . 4.7.2 Comportement en ondes sphériques . . . . . . 4.7.3 Comportement aux fréquences élevées . . . . 4.7.4 Conditions de réalisation d’un microphone à de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Mode d’action mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Microphone combiné . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Table des matières 5 Exemples de microphones 5.1 Microphone dynamique omnidirectionnel . . . . . . 5.2 Microphone dynamique cardioïde . . . . . . . . . . 5.3 Microphone dynamique à deux voies . . . . . . . . . 5.4 Microphone dynamique à ruban . . . . . . . . . . . . 5.5 Microphones électrostatiques . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Préamplificateurs . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Alimentation fantôme . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Bruits dans les microphones électrostatiques . 5.6 Microphones à électret . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Caractéristiques de directivité . . . . . . . . . . . .

v

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6 Prise de son stéréophonique 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Localisation d’une source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Localisation par différence d’intensité . . . . . . . . 6.2.2 Localisation par déphasage ou différence de temps . 6.2.3 Localisation par les deux effets conjugués . . . . . . 6.3 Prise de son stéréophonique d’intensité . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Système stéréosonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Système M-S (Middle-Side) . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Prise de son stéréophonique de temps . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Système AB avec deux capsules omnidirectionnelles 6.5 Prise de son stéréophonique de temps et d’intensité . . . . 6.5.1 Système en couple, utilisant deux microphones faiblement espacés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Système AB avec grand espacement (de quelques décimètres à plusieurs mètres) . . . . . 6.5.3 Système avec obstacle entre les deux microphones . 6.5.4 Tête artificielle (avec les micros dans les oreilles) . . 6.6 Prise de son en multicanal dite 5.1 (5 canaux discrets + 1 d’extrême-grave) . . . . . . . . .

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85 85 86 87 87 89 89 90 91 93 97 97

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99 99 100 100 100 101 102 104 105 106 107 107

. . 107 . . 109 . . 110 . . 110 . . 111

7 Quelques enceintes acoustiques célèbres

115

Bibliographie

123

Exercices et corrigés

125

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Remerciements Cet ouvrage est dédié à la mémoire de Pierre Cochereau, organiste de Notre-Dame de Paris de 1955 à 1984, qui joignait à son immense talent d’improvisateur un très grand intérêt pour l’électro-acoustique (il avait un diplôme de metteur en ondes ORTF dont il n’était pas peu fier). Il fit rayonner dans le monde entier son prestigieux instrument qu’il qualifiait souvent de « plus belle orgue du monde ». Cet ouvrage n’aurait jamais vu le jour sans l’aide précieuse du professeur Voichita Bucur, grande spécialiste de l’acoustique des bois et des instruments de musique, qui a assuré la finalisation du manuscrit, après avoir encouragé l’auteur à le retravailler en vue d’une édition. Qu’elle en soit ici chaleureusement remerciée. Mes remerciements vont aussi au professeur Mario Rossi (EPFL), spécialiste renommé de l’électro-acoustique, à qui cet ouvrage doit beaucoup, à Bogdan Grabowski, ancien chef du département Électronique à l’ENSTA, ainsi qu’à Jean-Paul Vabre, du CNAM et de l’INT, Charles Hubert, mathématicien de Thales et professeur à l’EUROSAE, enfin à Christian Hugonnet, dont les compétences en prise de son ont franchi les frontières.

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Préface L’électro-acoustique est une science de compromis entre une approche purement théorique et l’exposé de résultats expérimentaux, ce dans la mesure où, à l’analyse des phénomènes physiques, se mêle la psycho-acoustique. Il faut, en effet, tenir compte d’une dimension subjective, voire affective, qui tient au fait que toute reproduction sonore est facteur d’émotion. Cela commence à la prise de son, se poursuit dans la chaîne d’amplification électronique, pour aboutir à une écoute majoritairement affectée par les caractéristiques des haut-parleurs et des enceintes acoustiques associées. Cette évidence n’a pas échappé à l’auteur du présent ouvrage qui rassemble des données techniques essentielles des maillons extrêmes que sont les microphones et les haut-parleurs avec leurs dispositifs d’adaptation à l’environnement acoustique. La pertinence des choix dans les sujets exposés n’a pu que bénéficier d’une longue expérience de la prise de son en environnements diversifiés, ainsi que d’une maîtrise tout aussi grande des installations à haute fidélité. Il s’agit ici d’un précis qui rassemble des techniques ramenées à l’essentiel, dans un souci de clarté pédagogique, fruit d’un passé d’enseignant en école d’ingénieur et en milieu industriel. Il en résulte toujours une progression savamment dosée dans les explications et, plus particulièrement, des conclusions au plan pratique dont la compréhension se trouve facilitée par des illustrations judicieusement choisies. Même si l’exposé mathématique peut rebuter le lecteur, le recueil d’exercices du dernier chapitre est là pour faciliter la mise en application des concepts exposés préalablement. Quoique destiné en priorité aux étudiants en spécialité acoustique, cet ouvrage, rassemblant des bases essentielles pour la compréhension des phénomènes mis en jeu dans les dispositifs de reproduction sonore, devrait intéresser tout amateur exigeant soucieux de combattre l’ésotérisme de bien des publications relevant du domaine audiovisuel. Pierre Loyez Ingénieur en chef honoraire des télécommunications, ancien membre du comité de rédaction de la Revue du son et de la revue l’Audiophile

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Avant-propos Ce précis, dérivé d’un cours donné en 2002 à l’Institut Supérieur d’Électronique de Paris (ISEP), est destiné à l’Enseignement supérieur (facultés et écoles d’ingénieurs). Il tente de pallier la rareté des ouvrages consacrés à l’acoustique et à son application la plus courante, l’électro-acoustique, qui a pratiquement disparu des programmes d’études, alors qu’elle est omniprésente dans les médias. Cet ouvrage, volontairement court, expose en termes clairs et concis l’essentiel de ce qu’il faut savoir pour démarrer dans ces techniques avec des bases solides. Les connaissances nécessaires préalables en mathématiques et en physique sont celles qui sont enseignées dans les écoles d’ingénieurs et les facultés des sciences. Sont traités successivement : – les bases essentielles de l’acoustique (propagation, niveaux d’énergie) ; – les haut-parleurs (rayonnements, fonctions de transfert, enceintes acoustiques, pavillons) ; – les caractéristiques du son ; – les principes des microphones (moyens d’obtention d’une tension électrique) ; – les différents types de microphones (dynamiques, statiques) et leurs directivités. Suit en dernier lieu un chapitre traitant rapidement des techniques de prise de son actuelles. Enfin, pour égayer un peu cet ouvrage souvent aride, quelques enceintes acoustiques ayant fait date sont décrites, lorsque leurs principes n’ont pas vieilli. Quelques exercices, pour les courageux, sont donnés avec leurs corrigés. L’auteur

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Chapitre 1 Notions d’acoustique N.B. : Le système d’unités utilisé dans cet ouvrage est évidemment le système international MKS.

1.1 1.1.1

Propagation des ondes sonores Rappels de thermodynamique

Lorsqu’un milieu (gaz, liquide ou solide) est soumis à un endroit donné à des variations de pression, celles-ci se propagent dans le milieu avec une vitesse c, dépendant principalement de deux facteurs : la densité du milieu et son élasticité. En acoustique aérienne, objet de ce livre, les variations détectables à l’oreille sont extrêmement faibles. En effet, le seuil de sensibilité de l’oreille humaine (maximale vers 1 à 3 kHz) est d’environ 20 µPa (ou 0,2 nanobar) et se situe (heureusement pour nous) légèrement au-dessus du bruit thermique de l’air (aux températures habituelles). Et le seuil de douleur, à environ 120 dB au-dessus, c’est-à-dire 20 Pa (0,2 mBar), reste largement inférieur à la pression atmosphérique (105 Pa). La pression sonore p peut donc être considérée comme un infiniment petit de la pression atmosphérique P, ce qui légitime l’écriture : p = dP. 1.1.1.1

Lois thermodynamiques applicables à l’air

L’air est considéré comme un gaz parfait répondant à l’expression : P V = nRT

(1.1)

où P et V sont la pression (pascals) et le volume (m3 ) d’une quantité d’air déterminée par son nombre n de moles ; R est la constante des gaz parfaits (R = 8,314 joules/mole/degré K) et T la température absolue. Lorsque T est constante, cette loi s’intitule loi de Mariotte (1620-1684) ou de Boyle (16271691) chez les Anglo-Saxons.

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2

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Chapitre 1 : Notions d’acoustique

Autrement, on l’appelle loi de Gay-Lussac si T est variable. Enfin, lorsqu’il n’y a pas d’échange de chaleur avec le milieu extérieur, les transformations de P et V des n moles sont dites adiabatiques et répondent alors à la loi de Laplace (1749-1827) : P V γ = Constante

(1.2)

où γ = C/c = chaleur spécifique à pression constante/chaleur spécifique à volume constant. Dans l’air γ = 1,4. La combinaison des deux expressions (1.1 et 1.2), dans le cas d’une transformation adiabatique, permet d’écrire, les indices i et f signifiant initial et final : Pf = Pi 1.1.1.2

Vi Vf

γ

Tf = Ti

Pf Pi

γ−1 γ =

Vi Vf

γ−1

Conséquences de ces lois

Les premiers calculs de la vitesse du son, où l’on pensait que T était constante dans les variations de pression dues à la propagation d’un ébranlement, donnèrent une valeur de c = 270 m/s, assez éloignée, au grand dam des théoriciens, de la réalité (autour de 340 m/s). Ceci amena Laplace à considérer que les variations de P et de V , dans la propagation du son, ne répondaient pas à la loi de Mariotte, mais étaient adiabatiques, c’est-à-dire sans échanges de chaleur au sein du fluide, car ils n’ont pas le temps de s’établir. La vitesse du son alors obtenue par le calcul (§ 1.1.4), parfaitement vérifiée expérimentalement, montre la perspicacité de Laplace. Actuellement, on déduit la valeur précise de γ de celle de c.

1.1.2

Propagation d’ondes planes dans un tuyau de section constante S

1.1.2.1

Comportement d’une tranche d’air d’épaisseur dx

Considérons une tranche d’air d’épaisseur dx, de surface S, de masse m, de volume V = Sdx (Fig. 1.1), les vitesses de déplacement étant v (en x), et v + dv (en x + dx). Elle est soumise aux pressions sonores p(x) et p(x + dx), qui ne sont pas égales. À l’arrivée d’une onde sonore (surpression p), la force qui s’exerce sur cette masse est : F = [p(x) − p(x + dx)]S (1.3) d’où :

∂p ∂p dxS = − V ∂x ∂x La vitesse v n’étant pas la même en x et x + dx, le volume V occupé par la masse m, au temps t + dt, n’est plus le même qu’en t, et a varié de dV, F =−

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3

Fig. 1.1 – Tranche d’air d’épaisseur dx soumise à une pression sonore. les faces se sont déplacées de : ∂v dx dt et vx + ∂x ∂v ∂v dV = S vx + dx − vx dt = S dxdt ∂x ∂x ∂v dt dV = V ∂x vx dt

(1.4)

Puisque Sdx = V . Or la masse m = ρV est constante, il se produit donc une variation δρ de la densité ρ si V varie de dV : δρV + ρdV = 0 Finalement :

1 ∂δρ ∂v + =0 ρ ∂t ∂x

(1.5)

D’autre part, en appliquant la loi de Newton, avec : Γ=

dv (accélération) dt F = mΓ,

et avec (1.3) ∂v ∂p ∂v ∂p + V =0 → ρ + =0 (1.6) ∂t ∂x ∂t ∂x Le système d’équations (1.5) et (1.6) contient 3 inconnues v , p et δρ. En tenant compte du fait que les variations de volume (donc de densité) et de pression suivent la loi de Laplace (transformation adiabatique) ρV

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P V γ = Constante : P γ.V γ

−1

dV + V γ .dP = 0

ici dP = p (§ 1.1.1)

Ou encore

dV p +γ =0 P V où P = pression atmosphérique, et puisque m = ρV , on a finalement : p δρ +γ =0 P ρ

En portant la valeur δρ =

ρ p γ P

(1.7)

dans (1.5), on obtient : ∂v ∂p − γP =0 ∂t ∂x

(1.8)

On a maintenant un système de 2 équations à 2 inconnues, p et v. ∂v Dérivons (1.6) en ∂v ∂t et (1.8) en ∂x , pour éliminer p : ρ

∂2v ∂p ∂v =0 + ∂t2 ∂x ∂t

(1.9)

∂v ∂p ∂v − γP 2 = 0 ∂t ∂x ∂x En soustrayant (1.10) de (1.9), nous avons :

(1.10)

∂ 2 v γP ∂ 2 v + =0 ∂t2 ρ ∂x2 De même, en dérivant (1.6) en

∂p ∂x

et (1.8) en

∂p ∂t ,

(1.11) nous avons :

∂2p ∂v ∂p + 2 =0 ∂t ∂x ∂x ∂2p ∂v ∂p =0 − γp ∂t2 ∂x ∂t ρ

On obtient :

∂ 2 p γP ∂ 2 p + ∂t2 p ∂x2

(1.12) (1.13)

(1.14)

Le terme γP/ρ a les dimensions du carré d’une vitesse c c2 = γP/ρ

(1.15)

où c = vitesse du son (m/s). À ces équations peuvent répondre des solutions générales de la forme, par exemple pour v : v = F (t − x/c) + f (t + x/c) (1.16)

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5

F (t − x/c) représente une onde de profil quelconque, se propageant vers les x > 0, donc une onde progressive, de même : f (t + x/c) représente une onde rétrograde. Une fois v choisi, il en résulte pour p une fonction similaire [(1.4) et (1.5) sont liées]. x x p = ρc F t − +f t+ (1.17) c c Notons que, pour F seule, on a : p = ρcv, ou p/v = ρc = zi (voir ci-après) et pour f seule p = −ρcv dans le cas général où F et f coexistent (cas particulier des « ondes stationnaires »), les relations entre p et v sont plus compliquées. 1.1.2.2

Impédance acoustique

De même qu’avec une ligne électrique, on a une impédance itérative : zi =

v = tension/courant ←→ pression/débit i

Dans le cas du tuyau sonore, on a d’une manière analogue, le débit étant Sv : zi =

pression ρc = débit S

(1.18)

pour une onde progressive (f = 0), pour toute valeur de x. Si on veut éviter l’apparition de f dans un tuyau, celui-ci doit donc être terminé par un dispositif d’absorption de l’énergie dont l’impédance est égale à l’impédance itérative du tuyau zi = ρc S ; tout comme une ligne électrique doit être fermée sur une résistance pure : L − (ligne sans perte) (Fig. 1.2) R = zi = C

Fig. 1.2 – Ligne sans perte terminée par son impédance itérative.

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Fig. 1.3 – Analogies entre les lignes acoustiques et les lignes électriques. On retrouve donc avec un tuyau sonore tous les résultats obtenus avec une ligne électrique, comme le montre la figure 1.3. En acoustique R = z i peut être obtenu en réalisant une terminaison constituée d’une paroi percée d’une grande quantité de fins tuyaux où l’énergie se dissipe par la viscosité de l’air (paroi poreuse, capillaires, etc.). 1.1.2.3

Détermination de f

Si le tuyau se termine par une impédance Z quelconque, on a pour x = l, p , donc Z = Sv p ρc F t − cl − f t + cl = Sv S F t − cl + f t + cl d’où :

l l 1− f t+ =F t− c c 1+

ZS ρc ZS ρc

(1.19)

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On obtient donc pour un tuyau fermé (Z = ∞) : l l f t+ = −F t − c c et pour un tuyau ouvert (Z = 0) (supposé incapable d’engendrer une pression, ce qui n’est pas tout à fait vrai en réalité) : l l f t+ =F t− c c Toutes ces propriétés sont exploitées dans les instruments de musique à vent (tuyaux d’orgue ouverts ou bouchés, flûtes, trompettes, etc).

1.1.3

Propagation d’ondes dans l’espace

1.1.3.1

Petit volume soumis à une pression sonore

On considère maintenant un petit volume V = dx.dy.dz de masse m, soumis à une pression sonore p(x, y, z). F = mΓ se traduit dans les 3 directions : Fx = [p(x) − p(x + dx)]dydz = − Fx = −

∂px dxdydz ∂x

∂px V ∂x

Par symétrie : ∂py V ∂y ∂pz Fz = − V ∂z

Fy = −

C’est-à-dire :

#» #» # » F = −V grad p

D’autre part, l’accélération est

d #» v dt

(1.20)

:

∂ #» v x dx ∂ #» v y dy ∂ #» v z dz d #» v = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt donc ρ

d #» v # » + grad.p = 0 dt

(1.21)

à rapprocher de (1.6).

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Comme précédemment, les vitesses sont différentes sur les faces homologues : (x et x + dx, y et y + dy, z et z + dz), elles entraînent une variation du volume V et par conséquent une variation δρ de la densité, la masse m étant constante.

Fig. 1.4 – Propagation d’ondes dans les trois axes. On retrouve évidemment l’équation (1.7) : δρ p +γ =0 P ρ d’où

∂p − γP ∂t

∂vx ∂vy ∂vz + + ∂x ∂y ∂z

=0

(1.22)

à rapprocher de (1.8). Cette relation est non tourbillonnaire, c’est-à-dire que : #» rot. #» v = 0. C’est la condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une fonction Φ scalaire, appelée « potentiel des vitesses » ; ce qui signifie que l’on peut

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écrire (signe – arbitraire) : vx = −

∂Φ ∂Φ ∂Φ , vy = − , vz = − ∂x ∂y ∂z

ou encore :

# » #» v = −gradΦ

(1.23)

où la vitesse #» v dérive de Φ. En dérivant dans le temps l’équation (1.21), avec (1.23), on obtient : 1 ∂dΦ = dρ ∂t ρ

(1.24)

ou en intégrant dΦ dans l’espace : ∂Φ = ∂t

dp p = ρ ρ

(1.25)

où ρ est considéré comme constante. De tout ce qui précède on tire : ∂2Φ P ∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ = γ + + ∂t2 ρ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c’est-à-dire

∂Φ2 = c2 .∆Φ ∂t2 ∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + ∆Φ = laplacien = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

avec :

1.1.3.2

c2 = γP/ρ

(1.26)

(1.15)

Pression et élongation

Des équations précédentes on tire par intégration : p=ρ

∂Φ + cste ∂t

(1.27)

et l’élongation δ x est l’intégrale de v dans le temps. On voit que toutes les grandeurs acoustiques peuvent s’exprimer en fonction de Φ. 1.1.3.3

Ondes sphériques

Avec les ondes planes, les ondes sphériques sont les ondes le plus souvent rencontrées. Dans ce type d’onde, la progression est radiale. Considérons une pellicule d’épaisseur dr sur la sphère de propagation, son volume est donc dV = 4πr2 dr.

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En raisonnant de la même façon que pour les ondes planes, le principe de conservation de la masse permet d’écrire : 4πr2 dr

∂ ∂δρ + ρ (4πr2 v)dr = 0 ∂t ∂r

(1.28)

De même, la loi de Newton s’exprime comme pour les ondes planes : 1 ∂p ∂v + =0 ρ ∂r ∂t

(1.29)

à rapprocher de (1.6). L’équation (1.28) peut s’écrire r2

∂δρ ∂v + ρ 2rv + r2 =0 ∂t ∂r

En éliminant δρ grâce à p = −γP δρ ρ , on obtient : 2 ∂p ∂v − γP v+ =0 ∂t r ∂r

(1.30)

à rapprocher de (1.8). On peut maintenant éliminer soit p soit v pour aboutir à 2 équations de propagation. On obtient alors en éliminant p : 1 ∂(r2 v) ∂2v 2 ∂ = c ∂t2 ∂r r2 ∂r qu’on peut développer : ∂2v = c2 ∂t2

2 ∂v 2v ∂ 2v − 2 + ∂r2 r ∂r r

(1.31)

De même, en éliminant v : ∂2p = c2 ∂t2

∂ 2 p 2 ∂p + ∂r2 r ∂r

(1.32)

équation qui est différente de celle de v. Il est cependant plus intéressant d’utiliser la notion de potentiel des vitesses Φ (r, t). L’équation (1.26) devient, le laplacien étant en coordonnées sphériques : r, θ, φ, avec (Angot 1952, p. 132) ∂2Φ ∂Φ 2 ∂Φ 2 =c + 2 ∂t2 r ∂r2 ∂

∂Φ ∂θ

=

∂Φ ∂φ

=0

(1.33)

en posant β = rΦ, on aboutit à : ∂2β ∂2β = c2 2 2 ∂t ∂r

(1.34)

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d’où βF (ct − r) βf (ct + r) + r r onde centrifuge onde centripète Φ=

(1.35)

On se soucie rarement de la centripète (sauf peut-être si l’onde passe par un foyer). . Soit donc la centrifuge Φ = βF (ct−r) r On en déduit comme précédemment : v=−

1 ∂βF βF ∂Φ = + 2 ∂r r ∂(ct − r) r

On observe que pour r assez grand milable à une onde plane p=

βF r2

(1.36)

est négligeable. L’onde est assi-

ρc ∂βF ∂Φ = ∂t r ∂(ct − r)

(1.37)

progressive, décroissant en 1/r. En revanche, pour r petit, le terme βrF2 est prépondérant. Cela signifie que la forme d’onde de vitesse se déforme en se propageant. En revanche la pression p ne subit qu’une atténuation sans déformation. Cette particularité joue un grand rôle dans les microphones : ceux répondant à la pression ne manifestent pas de sensibilité à la distance de la source en fonction de la fréquence, au contraire des microphones dits « de vitesse » qui accentuent les fréquences basses à proximité de la source (Fig. 1.5), ce qui est un inconvénient dont il faut se souvenir en exploitation (voir § 4.7.2).

Fig. 1.5 – Variation de la vitesse en fonction de r, pour les ondes sphériques.

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1.1.4

Vitesse du son. Influence de P et de T

La loi de Mariotte Gay-Lussac s’écrit P V = nRT où (R ≈ 2 J) est une constante et T la température absolue. T = t ◦ C + 273 K, n = nombre de moles. Si T est constante : dP dV m m P + V = 0. Comme ρ = V , densité de l’air, on a V = ρ , ce qui donne Pm ρ = nRT . δρ D’où δP P − ρ = 0 lorsque la pression atmosphérique subit une variation δP . Ceci entraîne : δP δρ dc − 2 =γ =0 (1.38) c P ρ

La vitesse du son c est donc pratiquement indépendante de la pression atmosphérique, en revanche elle dépend de la température : PV nRT = γ [m/s] (1.15) c= γ m m En appelant c0 la vitesse à 0 ◦ C : c = c0

t ◦C ∼ t ◦C 1+ = c0 1 + 273 546

pour les valeurs habituelles de températures ambiantes. En valeurs numériques, aux conditions de référence habituelles : – température (t ◦ C = 0◦ ), → T = 273 K, γ = 1,40 ; – pression atmosphérique P0 à 76 cmHg → P0 = 0,76 × 13,6 à 0 ◦ C → P0 = 1 033,6 millibars ou hecto pascals ; – densité de l’air ρ0 = 1,293 kg.m−3 à t = 0 ◦ C ; – vitesse de l’air à 0 ◦ C : c20 = γP0 /ρ0 = 1,4 (1,034/1,293) 105 ; c0 = 334,53 m/s. Cherchons la variation de température ∆t◦ pour qu’un orgue à tuyaux monte d’un√quart de ton (racine 24e de 2)(rappel : 1/2 ton = racine 12e de 2). 24 2 = 1,0293 = 1 + ∆t/2 × 273 → ∆t ≈ 0, 0293 × 2 × 273 = 16 ◦ C

1.1.5

Considérations énergétiques. Intensité acoustique ou niveau sonore

Le terme intensité est utilisé ici dans un sens très différent de son sens en électricité. Il eut été préférable de parler de puissance unitaire (par m2 ).

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Soit un élément de surface dS soumis à une pression p. La force exercée perpendiculairement à dS est donc dF = p.dS, entraînant une vitesse acoustique v. Le travail élémentaire accompli est donc dW = pdSdx suivant la normale à dS, d’où la puissance dW dt : dx dW = pdS dt dt 3 −1 ), d’où par définition de l’intensité acoustique : où : S dx dt = débit (m s

I = Ψ = (pv) (valeur moyenne de pv ) en W.m−2

(1.39)

La puissance acoustique à travers une surface S sera donc :

I.dS Pd = S

Si β désigne un angle constant entre la normale à S et la direction de propagation : Pd = I.S cos β Nous verrons plus loin que pour l’oreille humaine I (§ 3.2) s’étend de : I0 = 10−12 W.m−2 (seuil d’audibilité) à environ I = 1 W.m−2 (seuil de douleur). Les définitions précédentes permettent donc aisément de calculer les puissances émises par les sources sonores, connaissant S et leur vitesse v, ou leur élongation x, dans le cas d’ondes sinusoïdales. Comme en électricité, on emploiera avec succès les nombres complexes ou la transformation de Laplace ∂ ). (avec s = jω, symbole de ∂t

1.1.6

Impédances acoustiques complexes

Jusqu’ici nous avons eu affaire à des ondes aériennes où le rapport zi = pv , dans le cas de pression et vitesse sinusoïdales, est réel ; en d’autres termes, il n’y avait pas de déphasage entre eux. Or, on rencontre en acoustique, comme en électricité, des impédances réactives (inductance et capacitance), traduisant les phénomènes de stockage d’énergie cinétique : (inertances←→inductances) ou potentielle (volumes comprimés←→condensateurs). Comme on le démontre en automatismes, connaître la fonction de transfert H(jω) d’un système physique c’est connaître aussi sa fonction de transfert H(s), avec s = α + jω, variable de Laplace (on utilise s pour ne pas employer p). Nous emploierons désormais les notations habituelles aux fonctions d’excitation et des réponses des systèmes.

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Chapitre 1 : Notions d’acoustique L’excitation x(t) sera généralement de la forme : # » x(t) = X.est .u(t)

avec u(t) = échelon unité, = partie réelle de. . . ; = partie imaginaire. . . #» X = |X|ejθ = A + jB, et s = α + jω Si : s = α;

x(t) = Keαt u(t)

régime transitoire

s = jω;

x(t) = Xe

régime forcé

s = α + jω,

→ sinusoïdes d’amplitude croissante ou décroissante

jωt

= |X| cos(ωt + φ)

suivant le signe de α. Les fonctions de réponse sont de la forme : y(t) = y0 (t) + yf (t) où y0 (t) est la réponse naturelle et yf (t) est la réponse forcée. Si x(t) est sinusoïdal : #» x (t) = X cos ωt

la réponse sera

#» y (t) = [Y cos(ωt + ϕ)]

avec Y /X = H(s) = H(jω) en régime forcé.

Fig. 1.6 – Échelon unité et impulsion de Dirac. On se rappellera (Fig. 1.6) également que si : L est la transformée de Laplace, L [u(t)] = 1/s, échelon unité,

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L [δ(t)] = 1, impulsion de Dirac, L

df (t) dt

= sF (s) → jωF (jω),

L [ f (t)dt] = F (s)/s →

1 jw F (jw)

H(s) = sR(s) avec R(s) = réponse à u(t). Tous les systèmes à constantes localisées (ou considérées comme telles) peuvent donc être facilement analysés avec cette méthode : microphones, hautparleurs, enceintes acoustiques, etc.

1.1.7

Application aux ondes planes et sphériques

1.1.7.1

Ondes planes

Le potentiel des vitesses s’écrit : Φ(ct − x) = Φ0 sin où k =

ω c

ω (ct − x) = Φ0 sin(ωt − kx) c

(1.40)

= nombre d’ondes. On écrit aussi : Φ(ct − x) = Φ0 sin 2π

x t − T λ

(1.41)

où : λ = cT = c/f = longueur d’onde, Φ0 = constante ; ωT = 2π ; T = période, f = 1/T = fréquence. En notation complexe : Φ(ct − x) = Φ0 ej(ωt−kx) = Φ0 ejωt e−jkx d’où ∂Φ = Φ0 ρjω.e−kx ∂t ∂Φ = Φ0 jke−kx v(x) = ∂x ρ.j.ω p zc = = = ρc, exprimée en [Pa.s.m−1 ] v j.k p(x) = ρ

(1.42) (1.43)

zc = impédance caractéristique, ou spécifique, du milieu (air en général). (Rappel : zi = ρc S (1.18), pour le tuyau.)

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1.1.7.2

Ondes sphériques

Le potentiel des vitesses s’écrit : Φ1 −j.k.r e ; Φ1 = valeur de Φ à r = 1 m r Φ1 ∂Φ = jωρe−jkr p(r) = ρ ∂t r

1 jk ∂Φ = − 2 e−jkr − e−jkr v(r) = − ∂r r r Φ1 1 + jk e−jkr v(r) = r r

Φ(ct − r) =

(1.44)

(1.45)

d’où zc =

p(r) = v(r)

1 r

jωρ = + jk

ω c

ρc ωρ j = j −r 1 − kr

(1.46)

qui peut s’écrire zc = Rc + jXc Partie réelle : Rc =

ρc → r → ∞; Rc → ρc = zc 1 1 + (kr) 2

Partie imaginaire : Xc =

ρc kr

1+

1 (kr)2

1.1.8

Sources théoriques

1.1.8.1

Sphère pulsante

→ r → ∞; Xc → 0

Son volume varie dans le temps, le rayon a étant modulé d’une petite quantité r(t). Le débit acoustique vaut : qr (t) = Svr (t)

[m3 s−1 ]

Écrivons vr (t) pour r = a, de la formule (1.45) q(t) q(t) Φ1 vr (t) = = = 2 S(a) 4πa a

1 + jk e−jka a

d’où on tire : Φ1 =

q ejka 4π ka − j

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et enfin p(r) et v(r), en portant ce résultat dans (1.44) et (1.45), avec zc = ρc zc kq e−jk(r−a) 4πr(ka − j) kr − j q v(r) = .e−jk(r−a) ka − j 4π.r2 p(r) =

(1.47) (1.48)

On introduit alors deux impédances Z ar et Zmr : a) Z ar = impédance acoustique de rayonnement, en r = a Zar =

zc k p(a) = q 4πa(ka − j)

[N.s.m−5 ou Pa.s.m−3 ]

(1.49)

(car q = 4πa2 v) En outre, la force exercée sur la sphère est F = p(a).S, d’où : b) Zmr = impédance mécanique de rayonnement Zmr =

Sp(a) p(a) Sp(a) F = or = = SZar v(a) v(a) v(a) q

d’où : Z mr = S 2 Z ar

[Nsm−1 ]

(1.50)

Z mr représente le quotient d’une force par une vitesse, celle que cette force produit à la surface de la sphère. Nous verrons plus loin le sens de cette notion à l’étude des pistons (haut-parleurs). 1.1.8.2

Propriétés

Pour généraliser, on introduit l’impédance réduite : zr = rr + j.xr =

ZS(a) Zar S Zmr = = zc zc S.zc

ce qui donne : (ka)2 ka et xr = 2 1 + (ka) 1 + (ka)2 rr → 1 pour ka → ∞ ; xr → 0 pour ka → ∞

rr =

Pour : ka < 1, c’est-à-dire

ωa c

=

2πf a c

=

2πa λ

ka < 1 → r1 ≈ (ka)2 ;

(1.51)

1. On retrouvera cette propriété à peine modifiée dans les haut-parleurs. 1.1.8.4

Piston circulaire sur écran infini

Dans cette configuration, les rayonnements avant et arrière n’interfèrent pas (Fig. 1.8). L’impédance de ce rayonnement est calculée en supposant que chaque élément dS de la surface se comporte comme une demisphère pulsante. Si ka 2, la directivité s’accentue et dès ka = 3,83 (1er zéro de J1 ), des lobes secondaires apparaissent. 1.1.8.5

Impédances de rayonnement

Comme pour la sphère pulsante, on définit les impédances de rayonnement : SZar Zmr F = avec zr = zr = zc Szc zc Sv0 où F est la force de réaction du milieu. zr = impédance réduite ; zc = ρc. On a : Zar = pression/débit =

p(a) Sv0

= zr zSc = impédance acoustique de rayonnement.

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21

Fig. 1.10 – Facteur de directivité du piston (Rossi 1986). Zmr = force/vitesse =

p(a).S v0

= zr zc S = impédance mécanique de rayonnement.

Le calcul de Zar a été effectué par Lord Rayleigh, il aboutit aux expressions suivantes, avec zr = rr + jxr , paramètres réduits (Fig. 1.11) : 2J1 (2ka) rr = 1 − 2ka

4 et xr = − π

π/2 sin(2 ka cos ϕ) sin2 ϕ.dϕ

(1.54)

0

ϕ = position angulaire de dS sur le piston (Fig. 1.9). rr peut être écrit sous la forme d’un développement en série, on obtient, pour ka ω0 (voir 1.65). Si ω < ω0 , il n’y a plus de propagation et l’amplitude dans une tranche en x est de la forme : A.er1 x + Ber2 x (A et B dépendant des conditions initiales) Si ω → 0, r1 → 0 et r2 → −m. Et d’autre part la vitesse varie comme e−x , régime d’écoulement d’un 0 fluide incompressible, ou hydrodynamique. La fréquence de coupure ω 2π se présente donc comme une frontière entre un régime acoustique proprement dit pour ω > ω0 , et hydrodynamique pour ω < ω0 . Dans le deuxième cas, il y a transfert d’énergie, mais assez mauvais.

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Précis d’électro-acoustique 1.1.9.5

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27

Transfert d’impédance

L’impédance acoustique de rayonnement Zg = Zar du pavillon, s’il ne s’ouvre pas trop rapidement (m petit) et s’il est de longueur pratiquement grande devant la plus grande longueur d’onde à transmettre, s’écrit : p ρ.c = Zg = q S0

à la gorge (entrée)

S0 étant la surface de gorge (à x = 0). Cette impédance est beaucoup plus élevée que celle que voit un piston sur écran (§ 1.1.8.4.) lorsque λ < π D, ce qui est très favorable pour produire un son avec un piston vibrant, qui est à haute impédance (§ 1.1.9). Si le pavillon est sans pertes (cas général), l’impédance d’une tranche en x peut s’écrire, le débit total q étant constant : q = vX .SX = cste, ce qui donne Zx =

S0 ρc ρc et Zg = ou encore Zx = Zg Sx S0 Sx

L’impédance décroît donc régulièrement avec x et si Dx est le diamètre en Sx et D0 en S 0 : 2 D0 Zx = Zg (1.67) Dx Cette formule est à rapprocher de celle présentée du primaire d’un transformateur de rapport 2 n1 n1 : Zs = Zp n2 n2 On pourrait déjà utiliser le pavillon en le plaçant directement sur un piston vibrant. On y gagnerait une bien meilleure adaptation du piston à l’air sur toute la bande de fréquence comprise entre la fréquence de coupure du pavillon (qui peut être basse) et la fréquence de transition où l’impédance de rayonnement du piston devient : Zx = 1.1.9.6

ρc à l’air libre S0

(§ 1.1.8.4)

Pavillon hyperbolique

Ce pavillon, étudié vers 1940 par Vincent Salmon aux États-Unis (Jensen) est un perfectionnement intéressant du pavillon exponentiel. Son équation est donnée par l’expression suivante : mx √ mx + M Sh (1.68) S = S0 Ch 2 2 On retrouve S = S0 emx pour M = 1, et pour M = 0, on a le pavillon caténoïdal (chaînette) : mx S = S0 Ch2 2

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La figure 1.13 donne la résistance de rayonnement√pour différentes valeurs de M : on y voit l’intérêt de choisir M entre 1/2 et 1/ 2 ; valeurs qui donnent une bien meilleure adaptation aux fréquences basses que pour le classique pavillon exponentiel.

a)

1,2 1,0 hyperbolique

0,8 0,6 conique

0,4 0,2

fréquence hertz b)

Fig. 1.13 – Impédance de gorge des pavillons hyperboliques. a) en fonction de M (Rossi 1986) ; b) comparaison entre les pavillons hyperboliques et coniques (Beranek 1954).

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1.2 1.2.1

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29

Analyse par schémas équivalents Analogies mécano-électro-acoustiques

On peut imaginer de nombreuses analogies mécano-électro-acoustiques. Celle qui vient le plus naturellement à l’esprit est la suivante (Tab. 1.1.) : Tab. 1.1 – Analogies mécaniques, électriques, acoustiques. Domaine Mécanique

Électrique

Acoustique

Force F

Tension U

Pression p

Vitesses v

Courant I

Débit acoustique q

Cette méthode est féconde car elle permet d’optimiser les structures acoustiques en partant des circuits électriques bien maîtrisés par les électriciens. Ainsi un haut-parleur est un générateur de pression : on passe du schéma électrique au schéma acoustique par l’intermédiaire d’un schéma mécanique (Tab. 1.2) : Tab. 1.2 – Équivalences entre les schémas du haut-parleur. Électrique

Mécanique

I

F = BlI

Acoustique p=

F S

=

BlI S

Dans un circuit acoustique complexe on trouve, comme dans un circuit électrique : a) un (ou des) générateur(s) de pression (haut-parleurs) et/ou un (ou des) récepteur(s) (microphones) ; b) des résistances acoustiques (←→ résistances électriques) ; c) des inertances (←→ inductances électriques) ; d) des élasticités (←→ capacitances électriques). On transformera donc le schéma électro-mécano-acoustique en un seul schéma acoustique en tenant compte évidemment des formules de conversion (où on suppose toujours les vitesses normales à la surface considérée). a) Générateur de pression p Ainsi la source de pression acoustique est déterminée, dans un haut-parleur de surface Sd , par : F BlI BlU p= = = Sd Sd Sd Z t

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où : U est la tension de sortie à vide de l’amplificateur, de résistance interne Rg → Zt = Rg + jLω + Re (on néglige la f.c.é.m, Blv au-delà de la résonance principale du haut-parleur), d’où BlU p≈ Sd (Rg + Re + jLω) (Voir plus loin § 2.1.3.) b) Les résistances acoustiques (rayonnement et/ou dissipation par frottement d’air) sont déterminées par le rapport pression débit considéré. Comme la résistance mécanique est donnée par : Rmec =

Rmec F q p , que F = pSd et v = = Ra = [Pa.s.m−3 ] v Sd q Sd2

(1.69)

c) Les masses mécaniques M se transforment en inertances acoustiques Ja ∗ dq dv M dq → pSd = → p = Ja F =M dt Sd dt dt où M est la masse du fluide (volume Sh considéré indéformable) ou la masse mécanique d’un diaphragme passif, de surface Sd : Jd =

M [kg.m−4 ] Sd2

(1.70)

Exemple : l’inertance d’un évent de surface S et de longueur h rempli d’air : Ja =

ρSh ρh = S2 S

où

ρ = 1,3 kg/m3

d) Les élasticités acoustiques Ca (ou souplesses) sont par définition issues de l’égalité : dp q = Ca dt ou 1 dp = qdt Ca Or la raideur Kb d’un volume d’air Vb , soumis à l’action d’un piston de surface S se déplaçant de x s’écrit : F −S 2 dP SdP −S 2 dP = Kb = = = x x dVb −pdt ∗ Pour

avec

dVb = −qdt = −Sx

éviter les confusions, on ne parle pas de « masse acoustique ».

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La loi de Laplace P V γ = Constante donne : dp dVb Kb dp −γP 1 dp = −γ = 2. d’où : = ou encore : = P Vb dVb Vb Ca −qdt S Or : Kb Ca

S 2 γP S 2 ρc2 = Vb Vb

Vb Vb = 2 γP ρc

(1.15)

[m3 Pa−1 ]

(1.71)

On remarque que dans cette dernière expression la surface S a disparu.

1.2.2

Énergies mises en œuvre

a) Résistance acoustique : Ra Pw = Ra q 2 = (à rapprocher de P = RI 2 =

U2 R

p2 Ra

[Watts]

(1.72)

en électricité).

b) Inertance acoustique Il y a, comme dans une inductance, stockage d’énergie cinétique : Wc =

1 1M 1 Ja q 2 = (Sv)2 = M v 2 2 2 2S 2

[joules]

(1.73)

c) Élasticité acoustique On y emmagasine de l’énergie potentielle (comme dans un condensateur) : Wp =

1 1 1 S 2 γP x2 1 γP Ca p2 = Kb x2 = = (∆Vb )2 2 2 2 Vb 2 Vb

[joules]

(1.74)

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Chapitre 2 Haut-parleurs 2.1

Haut-parleur électrodynamique à cône

Le haut-parleur est supposé monté sur un écran plan infini (2 rayonnements, Fig. 2.1).

Fig. 2.1 – Vue en coupe d’un haut-parleur standard.

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Chapitre 2 : Haut-parleurs

Soit : Mt : la masse totale du cône et des cylindres d’air entraînés (kg) D = 2a, le diamètre du cône effectif rayonnant ωS : pulsation de résonance principale du cône fS : fréquence de résonance = ωS /2π S : surface du cône (assimilable à un piston plan) 2 S = πa2 = πD 4 B : induction dans l’entrefer l : longueur du fil de la bobine mobile x : déplacement du cône R : résistance de la bobine mobile K : raideur de la suspension du cône 1 C= K = souplesse de la suspension L : inductance de la bobine mobile f : coefficient de pertes dues au rayonnement et frottements divers.

2.1.1

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Fonction de transfert en courant

(voir § 1.1.8.5) (m) (rad.sec−1 ) (Hz) (m2 ) (teslas) (m) (m) (Ω) (Nm−1 ) (mN−1 ) (H)

x I

La force motrice exercée sur le cône est F = BlI On a donc : d2 x dx BlI = Mt 2 + f + Kx dt dt c’est-à-dire : BlI = (−ω 2 Mt + jωf + K)x d’où :

Bl x = I K

1

(2.1) Mt ω 2 f 1 + jω − K K en identifiant le dénominateur à la forme canonique d’un système de second ordre : jω ω2 1+2m − 2 ωS ωS où : ωS2 =

K Mt

et ωS = la pulsation spécifique : ωS = 2m f = = 2m K ωS

Mt K

K Mt 2m = ωS

f = K

K 1 Mt K

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on pose m = ma = coefficient d’amortissement acoustique : f 2 ma = √ KMc

2.1.2

Fonction de transfert en tension

(2.2) x U

La tension de sortie de l’amplificateur U (Fig. 2.2) attaque le circuit :

Fig. 2.2 – Schéma électrique d’un haut-parleur électrodynamique. U = (R + jLω)I + Bljωx où Blv est la f.c.é.m de la bobine mobile : dx jωx = dt x (−M ω 2 + jωf + K) I= Bl U 1 = (R + jLω)(−Mt ω 2 + jωf + K) + jωBl x Bl et finalement : Bl 1 x = U RK L Mt 3 L B 2 l2 fL f Mt 1+ + + jω − + ω2 − jω K R RK K KR R K Cette fonction est du 3e ordre. Si on néglige l’influence de L dans la bande de fréquences pour ne regarder qu’aux environs de ωS , on peut écrire : x ∼ Bl = U RK

1 B l f+ R jω − Mt ω 2 1+ K K 2 2

(2.3)

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qui ressemble beaucoup à la précédente (2.1). En identifiant de nouveau à 1 + 2 mj

ω2 ω − 2 ωS ωS

où ωS est inchangé ; le terme d’amortissement est totalement différent et composite : a)

f K,

b)

B 2 l2 RK ,

identique au précédent et de nature mécanique, dû aux frottements et au rayonnement ; d’origine électrique =

2me ωS .

Nous écrirons 2mt = 2ma + 2me ;

2me = ωS

B 2 l2 KR

D’où : 2mt = 2(ma + me ) = ωS

(t = total)

f B 2 l2 + K RK

(2.4)

La littérature technique (Thiele et Small, 1971) a préféré écrire toutes ces relations en assimilant à l’autre forme canonique, avec Q = surtension = 1/2 m 1 ω ω2 1+ j − 2 Q ωS ωS ce qui est assez maladroit. On obtient, avec leurs notations : 2ma =

1 QMS

f = √ → KMt √ KMt MMS 1 QMS = = : surtension mécanique RAS RAS CMS

1 B 2 l2 → = √ QES R KM R √ RES MMS QES = 2 2 KM = 2 2 : surtension électrique B l B l CMS MMS 1 1 1 = + QT S = . : surtension totale ; QMS QES CMS B 2 l2 RAS + RES (2.5)

2me =

1 QT S

avec RAS = f ;

CMS =

QES = Qélectrique ;

1 = souplesse ; RES = R ; MMS = Mt ; K QMS = Qmécanique ; QT S = Qtotal

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Ceci a pour but de permettre le lien avec les termes des catalogues, appelés paramètres de Thiele et Small. Ordre de grandeur : QMS est de l’ordre 5 à 10, QES est d’autant plus faible (c’est en général souhaitable) que le produit Bl est élevé. On voit que 2 2 le terme BRl a la dimension d’une résistance mécanique, c’est la résistance mécanique ramenée par voie électrique. On verra plus loin que l’ordre de grandeur de QT S est aux environs de 0,5 (m = 1) en général, ce qui signifie que le produit Bl doit être suffisant, et le plus élevé possible, la plupart du temps.

2.1.3

Impédance du haut-parleur U = (R + jLω)I + jωBlx

Or : x=

à la résonance : Mt ω =

BlI K

B 2 l2 K f + j Mt ω − ω

(2.6)

U B 2 l2 K → = R + jLω + ω I f

on obtient donc une impédance motionnelle complexe qui s’ajoute à l’impédance électrique R + jLω avec : Zm = Rm + jXm Rm

B 2 l2 f = 2 K f 2 + Mt ω − ω

Xm

En posant : Rm + jXm = ρ.ej.ϕ =

B 2 l2 . =− ω

K Mt ω − ω 2 K f 2 + Mt ω − ω

B 2 l2 K f + j Mt ω − ω

B 2 l2 2 K f 2 + Mt ω − ω

ρ=

Or :

f 2 K f 2 + Mt ω − ω

cos ϕ =

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(l’inverse d’une droite est un cercle), il vient : B 2 l2 ρ = = cste cos ϕ f ce qui est l’équation d’un cercle de diamètre Kennelly (Fig.2.3).

B 2 l2 f

= cste, dit cercle de

Fig. 2.3 – Cercle de Kennelly.

2.1.4

Rendement du haut-parleur

Il est le quotient de la puissance acoustique rayonnée par la puissance électrique fournie. La puissance rayonnée est donnée par : Pr = Rmr v 2 , v étant la vitesse du cône de surface S, on a : Bl v = U RK

jω B 2 l2 f+ R jω − M ω 2 1+ K K

en négligeant les 2 premiers termes du dénominateur de Ux (équation 2.3) pour K ω ωS = M mais avec ka 1, c’est-à-dire la partie montante en ω 2 de t la résistance de rayonnement que l’on peut écrire : ω.a (ka)2 (équation 1.55), pour ka = ∠1 Rmr = rr Zt S ∼ = ρ.c.S 2 c

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Précis d’électro-acoustique On a

v U

∼ =

Bl jωRMt

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(on y remarque que K a disparu)

U 2 B 2 l2 U 2 B 2 l 2 ω 2 a2 Rmr = 2 2 2 . 2 .ρ.c.S 2 2 2 R Mt ω R Mt ω 2c 2 2 2 2 U B l a cρS Pa = 2R2 Mt2 c2

Pa = Rmr v 2 =

2

Or a2 = Sπ , et Pe.f ournie = UR , si le rendement est très petit, ce qui est toujours vrai en rayonnement direct (16 kHz), en fondamentale (mixtures suraiguës). À 16 Hz, on entend autant avec l’estomac qu’avec les oreilles !

3.2

Niveau sonore

C’est à 1 000 Hz environ que l’oreille humaine est la plus sensible, le seuil d’audibilité étant de l’ordre de 10−12 W.m−2 . Le seuil de la douleur est de l’ordre de 1 W.m−2 . On voit que la dynamique de l’oreille est d’environ 120 dB, ce qui est énorme ; la sensation double environ tous les 10 dB. En revanche, la sensibilité décroît beaucoup (60 dB/décade) au-dessous de 200 Hz, pour le seuil de perception. Les courbes (Fig. 3.2) d’égale sensation sonore sont très connues et n’ont guère été remaniées depuis les premières mesures. Les appareils de mesure des niveaux sonores sont obligés de tenir compte de ce qui précède pour donner des évaluations des nuisances des bruits (Fig. 3.3).

3.3

Effet de masque

Un bruit ou un son peuvent masquer un son plus faible (Fig. 3.4). Ceci est dû à l’auto-adaptation de l’oreille, ce phénomène est maintenant très utilisé dans les techniques de compression numérique. On arrive, paraît-il, à réduire le débit numérique d’une retransmission stéréo (2 fois 15 kHz) sur 12 à 14 bits de niveau, à 32 kHz d’échantillonnage, à 64 kbit.s−1 seulement. Des algorithmes de compression sont normalisés (pour le cinéma : le DTS, Digital Theater

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Chapitre 3 : Caractéristiques du son

Fig. 3.1 – Échelle fréquentielle des instruments de musique et des voix. Sound en 5.1, peu compressé et d’excellente qualité, mais numériquement encombrant ; le Dolby Digital, nettement plus compressé mais d’une qualité inférieure ; pour la musique, le musicam de Philips et le MP3 de Thomson se sont imposés mais ne peuvent prétendre à une haute qualité).

3.4

Réverbération, champ direct et champ réverbéré

Dans une salle, le son parvenant aux oreilles de l’auditeur est dû : a) à l’onde directe, ligne droite entre la source et l’auditeur ;

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Seuil de douleur

Fig. 3.2 – Courbes d’égale sensation sonore (Robinson et Dadson, norme ISO-226).

Fig. 3.3 – Filtres de pondération normalisés. b) aux ondes dues à la première réflexion (sur le sol) et quelques suivantes ; c) aux ondes innombrables dues aux multiples réflexions suivantes. Les ondes a) et b) forment le champ direct, les ondes c) forment le champ diffus.

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Fig. 3.4 – Effet de masque.

3.5

Aspect perceptif

La première réflexion renseigne l’auditeur sur les dimensions de la salle. Si les premières réflexions suivent l’onde directe avec ∆t < 50 ms, la source semble enrichie, le champ diffus apportant la sensation de volume sonore. À ceci s’ajoute l’effet d’antériorité : si on éloigne progressivement le haut-parleur amplifiant la voie d’un orateur, celui-ci paraît parfaitement localisé tant que l’écart ∆t entre les deux sources est 50 ms, la fusion ne se fait plus et on perçoit un écho.

3.6

Rapport champ direct/champ réverbéré

Sd Sr

Le rapport SSdr permet d’apprécier l’éloignement d’une source. En prise de son, l’application est immédiate, c’est lorsque le rapport SSdr est voisin de 1 que la présence semble naturelle. Ceci montre que la prise de son est très différente, dans une église par exemple, lorsque celle-ci est vide ou pleine d’auditeurs.

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3.7

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Flutter écho

Celui-ci apparaît facilement entre deux parois parallèles d’un local, suffisamment éloignées : la fusion ne peut se faire (∆t > 50 ms, pour les allersretours). Il peut être très net en présence de sons très brefs (claquements des mains).

3.8

Réverbération

La persistance du son après extinction de la source est due aux réflexions multiples. On définit le temps de réverbération par la durée d’une baisse de niveau de 60 dB (convention universellement admise). Le temps se calcule (approximativement) par la formule de Sabine, valable pour les salles peu absorbantes : 0,161 V T = S.α V = volume de la salle ; S.α = somme de toutes les surfaces pondérées par leur coefficient d’absorption α.

3.9

Temps de réverbération optimal

Les zones de temps de réverbération optimales en fonction du volume de la salle sont illustrées figure 3.5.

Fig. 3.5 – Réverbération optimale.

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3.10

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Distance critique

C’est la distance source-auditeur où SSdr = 1, elle dépend du volume du local et du temps de réverbération. Elle est d’importance pour la clarté et le naturel d’une prise de son, elle diminue avec le temps de réverbération, d’où les problèmes en cas de sources multiples (orchestre) dans un local très réverbérant : les distances critiques ne sont pas les mêmes pour chaque instrument et les problèmes peuvent être insolubles. L’emploi de microphones directifs permet de résoudre les problèmes plus facilement.

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Chapitre 4 Microphones 4.1

Le microphone dans le champ sonore

Les dimensions d’un microphone n’étant pas nulles, il a obligatoirement une influence sur le champ sonore, qui serait différent en son absence. Cette influence dépend surtout de la longueur d’ondes des sons dans le milieu. Les calculs ne sont pas très compliqués dans le cas des deux formes principales des microphones : une sphère et un cylindre semi-infini (Fig. 4.1), où l’on considère deux paramètres principaux : l’angle θ et le rapport λr .

Fig. 4.1 – Incidence des sons sur les microphones.

4.2

Mode d’action

On distingue les modes d’action suivants : a) en pression, lorsque celle-ci ne s’exerce que sur une seule face du diaphragme sensible ; b) en gradient de pression lorsqu’elle s’exerce sur les deux faces (on dit aussi « en vitesse ») ;

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Chapitre 4 : Microphones

c) mixte, lorsqu’elle s’exerce directement en face avant, et après un trajet acoustique en face arrière.

4.3

Mouvement du diaphragme

Le système le plus simple est un diaphragme circulaire suspendu sur son pourtour, ceci constituant un résonateur mécanique. On a de manière générale : F vd = Zm où F = résultante des forces appliquées, Zm = impédance mécanique, vd = vitesse du diaphragme.

4.4

Conversion en vitesse et en élongation

Le mouvement du diaphragme est converti en : a) vitesse, si la tension de sortie est proportionnelle à la vitesse v du diaphragme : E = Kv .v ; b) élongation, si E est proportionnelle au déplacement δx du diaphragme : E = Kx .δx. Il pourrait également exister des conversions en accélération (comme les accéléromètres, utilisés en particulier pour asservir des membranes de hautparleur) (voir exercice n◦ 6, « Haut-parleur asservi »).

4.5

Force développée sur une face de diaphragme

La force développée sur une surface (πa2 ) dépend de l’incidence θ (Fig. 4.2) ak . Le graphique ci-après (Fig. 4.3) représente la force et du rapport λa = 2π en fonction de ka pour θ = 90◦ et ceci sans tenir compte de la diffraction, qui complique le phénomène. C’est pourquoi on s’efforce de réaliser des diaphragmes plus petits que λ (à la limite des fréquences audibles).

4.6

Mode d’action en pression

Si ka est faible (petit microphone) F = Fd = Sd .p où Sd = surface du diaphragme. Cette force s’exerce sur un système mécanique (Fig. 4.4) du 2e ordre constitué d’une masse M , d’une résistance acoustique R et d’une élasticité C. (Rappel du diaphragme par la suspension et le volume d’air derrière celui-ci.)

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Fig. 4.2 – Force développée par une onde sonore sur un diaphragme.

Fig. 4.3 – Force en fonction de ka (Rossi 1986).

4.6.1

Conversion en vitesse

La tension de sortie est alors de la forme : E=

K v Sd p Zm

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Fig. 4.4 – Mode d’action en pression.

Pour que E soit indépendant de la fréquence, il faut que Zm soit le plus possible purement résistif : on l’obtient en écrasant la surtension mécanique, par amortissement par frottement d’air (trous fins). La résonance f0 étant placée à la moyenne géométrique de la bande passante (Fig. 4.5). Les micros les plus courants de ce type sont les micros « dynamiques » avec diaphragme et bobine mobile (comme pour un haut-parleur ou un écouteur).

Fig. 4.5 – Courbe de réponse avec ou sans amortissement.

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4.6.2

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Conversion en élongation

Dans ce cas, le système mécanique doit être contrôlé dans la bande passante surtout par la raideur du diaphragme (ou sa souplesse), la fréquence de résonance f0 du système mécanique doit être rejetée à la limite supérieure de la bande passante : d’où l’emploi d’un diaphragme le plus léger possible et d’un rappel élastique important : la cavité C doit être minimale.

4.7

Mode d’action en gradient de pression

La pression acoustique s’exerce sur les deux parois du diaphragme, et F = F1 − F2 = Sd (p1 − p2 ). On trouve finalement (Fig. 4.6) : F = jωρv1 Sd e cos θ où v1 est la vitesse en 1, e l’épaisseur du diaphragme, l = e cos θ. On voit qu’un microphone à gradient de pression peut s’intituler « microphone à vitesse ».

Fig. 4.6 – Mode d’action en gradient de pression.

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4.7.1

Comportement en ondes planes progressives

Comme p et v sont proportionnels, F = jω

Sd e cos θ p1 c

F est proportionnelle à Sd e (volume du diaphragme), dépend de cos θ (par principe on a des microphones bidirectionnels) et est proportionnelle à la fréquence (pente + 6 dB/oct).

4.7.2

Comportement en ondes sphériques

Pour kr > 1 (Fig. 4.7), on retrouve la sensibilité en ondes planes (égalité précédente). En revanche, pour kr < 1, on a : Fs ≈

Sd p1 . r

Fig. 4.7 – Effet de proximité (Rossi 1986). La force est inversement proportionnelle à la distance r de la source : les fréquences basses sont relevées par rapport aux fréquences élevées : c’est l’effet de proximité et dans ce cas il est fréquent de placer un filtre coupe-basses du 1er ordre (réseau CR) dans le microphone, mis en service à volonté (§ 1.1.3.3).

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4.7.3

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Comportement aux fréquences élevées

Lorsque λ diminue et devient de l’ordre de grandeur de l, on obtient p12 = p1 − p2 = p1 (1 − ej.k.l) . Si kl = 2nπ ; n entier > 0, p12 = 0. Si kl = nπ ; n impair, p12 passe par un maximum 2p1 (6 dB, Fig. 4.8).

Fig. 4.8 – Comportement aux fréquences élevées (Rossi 1986).

4.7.4

Conditions de réalisation d’un microphone à gradient de pression

Pour obtenir une courbe de réponse plate dans un microphone « à vitesse » cos θ et à conversion en vitesse en ayant : E = Kv Sd jω p, il faut donc que Zm cZm soit de la forme : Zm ≈ jωmm . Il faut donc que la fréquence de résonance soit cette fois-ci située à l’extrémité inférieure du spectre audible. D’autre part, la sensibilité est contrôlée par cos θ (Fig. 4.9) : on obtient ainsi un capteur bidirectionnel d’ordre 1 (microphone type : à ruban).

4.8

Mode d’action mixte

On peut combiner les deux modes précédents et obtenir ainsi des directivités variées. Le schéma équivalent (Fig. 4.10) est constitué de deux sources

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Fig. 4.9 – Diagramme polaire d’un microphone à ruban. p1 et p2 débitant sur une impédance commune Zab à travers Zas et Zap respectivement. On a : p2 = p1 (1 − jkd cos θ), où d est la distance entre points homologues avant et arrière, selon la direction de propagation.

Fig. 4.10 – Mode d’action mixte. On obtient :

Zab 1+ jkd cos θ Z N ap qd = p1 = Zab D Zas 1 + + Zab Zap

En multipliant N et D par 1 − β, (0 < β < 1), N devient : (1 − β) + (1 − β). Si on réalise j.kd .(1 − β).

Zab jkd cos θ. Zap

Zab =β Zap

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N devient (1 − β) + β cos θ : unidirectionnel d’ordre 1. Pour une directivité cardioïde, il faut β = 0,5 et on a : Zab =

Zap d jω c

On peut réaliser cette condition de deux façons, comme le montre la figure 4.11.

Fig. 4.11 – Obtention d’un diagramme cardioïde (Rossi 1986). Conditions de réalisation : si N est indépendant de la fréquence, il faut aussi que D le soit : β

D = Zab = Zas + Zas

(1 − β)jω

d c

+ Zab

Si on veut un microphone à mode mixte et conversion en vitesse, il faut que |Zat | soit aussi constant que possible dans la bande de fréquence prévue. Si on veut un microphone à conversion en élongation, il faut que Zat soit inversement proportionnel à la fréquence.

4.9

Microphone combiné

Il est constitué de deux microphones, le premier omnidirectionnel (pression), le deuxième bidirectionnel (gradient de pression), montés en coïncidence

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(aussi près que possible l’un de l’autre) et dont les tensions de sortie E1 et E2 sont pondérées : E = α.E1 + β.E2 = (αM1 + βM2 cos θ).p ; où M1 et M2 sont les sensibilités [V.Pa−1 ]. 1 Si on réalise α M M2 = 1−β, on obtient une caractéristique unidirectionnelle : E = [(1 − β) + β. cos θ]M2 .p La sommation pondérée est souvent effectuée par des transformateurs à prises multiples. On peut donc obtenir, par simple commutation, plusieurs types de directivité, allant de l’omnidirectionnel (β = 0) au bidirectionnel (β = 1), en passant par le cardioïde (β = 0,5), le super-cardioïde (β = 0,67) et l’hypercardioïde (β = 0,75) (Fig. 4.12).

Fig. 4.12 – Diagramme de directivité (Rossi 1986).

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Chapitre 5 Exemples de microphones 5.1

Microphone dynamique omnidirectionnel

Le microphone dynamique omnidirectionnel est illusté par la figure 5.1. La conversion étant en vitesse, le contrôle se fait par résistance : Ra1 et Ra3 surtout. On améliore la réponse aux fréquences basses par la résonance ma2 Ca2 (trou d’égalisation de pression), aux fréquences élevées par la résonance ma1 Ca1 (grille avant).

Fig. 5.1 – Schéma d’un microphone dynamique omnidirectionnel (Rossi 1986).

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Chapitre 5 : Exemples de microphones

Fig. 5.2 – Schéma électrique équivalent (Rossi 1986).

5.2

Microphone dynamique cardioïde

En partant de la structure précédente, on remplace le trou d’égalisation par une résistance acoustique (Fig. 5.3). On augmente aussi la souplesse Ca 3 en réalisant l’aimant central creux. La résonance de l’équipage mobile doit être aussi basse que nécessaire, car le contrôle doit être fait par la masse (conversion en vitesse) contrairement au précédent.

Fig. 5.3 – Schéma d’un microphone dynamique cardioïde (Rossi 1986).

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5.3

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Microphone dynamique à deux voies

Les microphones précédents n’atteignant que rarement une grande bande passante, on a réalisé des microphones à deux voies : graves et aiguës, avec sommation à travers un filtre répartiteur. On peut ainsi obtenir une bande passante globale 20 à 20 000 Hz (AKG D202).

5.4

Microphone dynamique à ruban

Le ruban métallique gaufré est suspendu dans l’entrefer d’un aimant (Fig. 5.4). La conversion en vitesse requiert un contrôle par la masse : la fréquence de résonance du ruban doit donc être placée à l’extrémité inférieure de la bande passante. Le mode d’action est en gradient de pression et le microphone est bidirectionnel. Si on place un tube rempli d’absorbant sur une face du ruban, on obtient un microphone omnidirectionnel (à pression). En mettant le tube sur la moitié seulement de la hauteur du ruban, on réalise

Fig. 5.4 – Microphone à ruban (Rossi 1986).

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aimants écran de soie section à vitesse section à pression ruban

aimants

tube enroulé

emplacement du transformateur

Fig. 5.5 – Microphone à ruban cardioïde (Olson 1957).

un microphone cardioïde. Ces microphones (Fig. 5.5) sont d’excellente qualité mais sensibles au vent, ce qui interdit leur utilisation en extérieur. On y trouve souvent un commutateur parole-musique permettant de couper les graves pour compenser l’effet de proximité (§ 4.7.2).

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5.5

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Microphones électrostatiques

Ces microphones sont à l’heure actuelle les plus utilisés, parce que les plus fidèles. On y trouve par conséquent les microphones étalon et les microphones destinés à la prise de son professionnelle de haute qualité. Ce sont des microphones à mode d’action en pression et à conversion en élongation : ceci implique que la fréquence de résonance des diaphragmes soit à la limite supérieure de la bande passante, ceci conduit à réaliser un diaphragme sous forme de membrane tendue.

5.5.1

Principe

On utilise un condensateur plan, constitué d’une membrane et d’une électrode fixe. En supposant que la membrane se déplace (Fig. 5.6) d’un bloc de la quantité δd en face de l’électrode fixe (à la distance d0 ) on a : d(t) = d0 −δd (t). La capacité vaut : C0 εS d0 = C= d0 d(t) 1 − δd(t) d0

La tension aux bornes de C vaut, en partant d’une charge Q pour δd = 0, u(t) =

1−

δd(t) d0

C0

Q(t)

Pour que u(t) soit linéaire en fonction de l’élongation δx, il faut que Q(t) soit une constante ne dépendant pas de δd, ce que l’on obtient en chargeant le condensateur vibrant à travers une très forte résistance R. On a donc, en supposant la charge Q = C0 E u(t) =

1−

δx d0

C0

C0 E

On voit que u(t) est indépendant de C0 (en première approximation). En réalité, les paramètres intervenants sont beaucoup plus nombreux : la membrane ne reste plus plane, elle se déforme, même si la pression acoustique est nulle, par effet d’attraction électrostatique ; d’autre part, la tension u(t) est à très haute impédance et nécessite un préamplificateur placé immédiatement à côté du condensateur. Ordre de grandeur : soit une membrane de Φ = 20 mm, d’épaisseur 10 µm. Avec d0 = 30 µm. La membrane, tendue, résonne vers 20 kHz. On a C0 = ε0 S −6 kg, la souplesse d0 ≈ 92 pF . La masse du diaphragme vaut environ 8,5.10 du diaphragme, compte-tenu de celle de l’air entre les deux électrodes, vaut environ : γm = 7,5.10−6 m.N−1 Pour une pression de 1 Pa, la force motrice vaut F = 3,14.10−4 N. L’impédance mécanique valant Zm = γm1 ω , le module de la vitesse vibratoire sera

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Fig. 5.6 – Schéma électrique d’un microphone à condensateur. 3,14.10−14 γm .ω, et l’amplitude du mouvement 23,5.10−10 m, à 1 000 Hz, donc δd −5 . Avec E = 300 V, le module de E(t) sera de : 23,5 mV.Pa−1 . d0 = 7,85.10 En pratique, on travaille avec des valeurs de E de l’ordre de 50 à 150 V, les sensibilités habituelles sont de l’ordre de 10 mV.Pa−1 . On utilise des diaphragmes soit métalliques (Al, Ni, Ti, etc.) soit en plastique métallisé (à l’or en général).

5.5.2

Préamplificateurs

Les premiers microphones électrostatiques (dès les années 1920) utilisaient évidemment des tubes électroniques, le plus souvent montés en cathodyne, à haute impédance d’entrée, comme le préamplificateur Bruël et Kjaer (Fig. 5.7) suivant :

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Fig. 5.7 – Obtention d’une impédance élevée par « bootstrap ».

Les impédances sont augmentées dynamiquement en effet « bootstrap », pour R2 ’ et R1 ’ où R2 atteint 150 MΩ et R1 400 MΩ environ. À l’heure actuelle, les schémas à tube sont pratiquement abandonnés (sauf par quelques « puristes ») au profit des transistors à effet de champ (TEC) qui ont permis de simplifier considérablement les schémas. Les TEC conviennent idéalement pour ce faire. On n’hésite pas à placer des résistances de 0,5 à 1 GΩ entre gate et masse. On place habituellement deux résistances égales dans la source et le drain, d’où obtention de deux signaux de polarité opposés (symétrisation). Suit en général un étage adaptateur d’impédance destiné à attaquer le câble de liaison à l’équipement.

5.5.3

Alimentation fantôme

Il est possible d’alimenter le préamplificateur microphonique par la méthode dite du « circuit fantôme ». Le premier schéma a été établi du temps où l’emploi de transformateurs dans les liaisons était monnaie courante. Le principe consiste à faire passer un courant continu par les points milieu des transformateurs, annulant ainsi l’induction continue dans les circuits magnétiques. Le schéma (Fig. 5.8) permet une consommation en courant continu variant dans de grandes proportions. Cependant il nécessite deux transformateurs, onéreux, car ils doivent être à large bande passante et faible distorsion. (En revanche, l’emploi de transformateur apporte la meilleure réjection du mode commun parasitaire sur la ligne.)

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Fig. 5.8 – Microphone alimenté par circuit fantôme.

Fig. 5.9 – Norme DIN 45.596 pour circuit fantôme. Lorsqu’on ne dispose pas de transformateur à point milieu, on utilise un Y formé de deux résistances R appairées (à mieux de 0,4 % de préférence) pour réaliser un point milieu artificiel. Cette façon de procéder a été normalisée (norme DIN 45.596) et les valeurs retenues sont les suivantes (Tab. 5.1) : Tab. 5.1 – Tension et résistance – valeurs normalisées selon DIN 45.596. Tension U [Volts] Résistance R [Ω]

12 680

24 1 200

48 6 800

Le choix le plus répandu est U = 48 V, R = 6 800 Ω. L’emploi de cette norme permet, et l’usage s’en répand de plus en plus, de réaliser des liaisons

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sans aucun transformateur : voici le schéma d’un préamplificateur de microphone (Fig. 5.10) et d’un ampli de pupitre (Fig. 5.11). On y trouve : 1. un convertisseur continu-continu (T4) délivrant une tension de 120 V pour polariser la capsule microphonique à travers R1(500 MΩ) ; 2. le TEC, délivrant deux tensions de signe contraire (T1) (R4 et R5 + R6) ; 3. un étage de sortie à deux transistors PNP montés en émetteurs suiveurs (T2 ET T3).

Fig. 5.10 – Préamplificateur Schoeps CMT30. Dans le pupitre de mélange on utilise maintenant des circuits √ intégrés spécialisés comme le SSM 2017, à très faible bruit (1 nV/ Hz → ≈ 0,14 µV/20 kHz, bruit d’une résistance de 60 Ω). Le gain est simplement réglable par Rv (Fig. 5.11) et l’amplificateur de transfert délivre un signal Vs référencé à la masse utilisateur (élimination des bruits entre masses). La réjection des parasites en mode commun sur la ligne est au minimum de 80 dB, elle atteint normalement plus de 110dB. On rejoint donc les chiffres obtenus avec les transformateurs, sans avoir leurs limitations (bande passante et distorsion).

5.5.4

Bruits dans les microphones électrostatiques

Le bruit d’origine électrique est aisé à évaluer avec les microphones dynamiques, mais beaucoup moins avec les microphones à condensateur. Lorsque la

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Fig. 5.11 – Amplificateur de microphone à circuit intégré. capsule est reliée à un TEC, on a habituellement le schéma suivant (Fig. 5.12) où l’on trouve le bruit de la résistance équivalente du circuit (R amenant la polarisation + résistance entrée du TEC), les bruits en courant (IBA ) et en tension (EBA ) du TEC.

Fig. 5.12 – Sources de bruit dans un microphone électrostatique. La tension de bruit due à R est filtrée par la capacité C de la capsule, ainsi que le courant de bruit (IBA ). La densité de bruit eBρ vaut : √ eBρ = 4kT ρ par Hz où : ρ = 1 GΩ ; k = Constante de Boltzmann = 1,38.10−23 ; T = 300 K 1 eBρ = 4.1,38.10−23.3.102 .109 2 √ eBρ = 4,07 µV par Hz La capacité C shuntant le circuit, il faut évaluer la densité à ses bornes : √ 4kT ρ eBC = par Hz 2 1 + (2πF ρC)

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et intégrer sur 20 à 20 kHz :

EBC

F2 =

4kT ρ dF (2πF ρC)2 + 1

F1

en posant x = 2πρCF on trouve :

2kT x2 dx 2kT . (arctg x2 − arctg x1 ) = 2 πC x1 1 + x πC Exemple : C = 100 pF ; ρ = 1 G Ω ; F1 = 20 Hz ; F2 = 20 kHz 2.1,38.300.10−23 2kT = = 2,63.10−11 πC π.100.10−12 π arctg x2 ≈ 1,57 ≈ 2 arctg x1 ≈ arctg 6,3.109 .100.10−12.20 = arctg (12,5) = 1,49 radian

F2

dF = 2,63.10−11.(1,57 − 1,49) = 2,63.10−11(0,08) = 2,1.10−12

F1

EBC = 1,45 µV Évidemment le bruit est concentré aux basses fréquences, ce qui est moins gênant qu’aux fréquences moyennes ou élevées, où l’oreille est beaucoup plus sensible. Il faut maintenait évaluer le bruit dû au TEC : le courant de bruit IBA passe dans l’ensemble ρ et C, déterminant une densité spectrale : IBA ρ eIBA (F ) = 1 + (2πF ρC)2 Un calcul similaire au précédent permet d’obtenir : ρ . (arctg x2 − arctg x1 ) E IBA = I IBA 2πC √ Avec les valeurs précédentes et IBA = 3,1 × 10−15 A/ Hz : 109 E IBA = 3,1.10−15. (1,57 − 1,49) c’est-à-dire E IBA = 1,1 µV 6,3.10−10 La contribution de IBA n’est donc pas négligeable. Le bruit total, les bruits partiels étant de nature aléatoire, s’obtient en calculant la moyenne

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quadratique. Avec les valeurs ci-dessus : EBC = 1,45µV ; EIBA = 1,1 µV et enfin la valeur de √ √ EBA = eBA . 2.104 = 12.10−9. 2.102 = 1,7 µV d’où : 2 2 2 + EIBA + EBA = 2,1.10−12 + 1,2.10−12 + 2,9.10−12 EBT otal = EBC c’est-à-dire : 2,5 µV Ce bruit, rapporté à 1 Volt, est de l’ordre de : NdB /V = −20 log

5.5.4.1

106 ≈ −112 dB 2,5

Bruit pondéré

L’oreille humaine est moins sensible au-dessus et au-dessous de 3 000 Hz. Pour en tenir compte, la CEI a normalisé les courbes de pondération des sonomètres (voir § 3.2 Fig. 3.3). La courbe A s’applique évidemment aux microphones, elle a dans les basses fréquences une pente d’ordre de 7 dB par octave. Pour F > 1 500 Hz, il est fréquent d’être obligé de tenir compte des bruits d’origine acoustique des microphones amortis par résistance acoustique, comme le montrent les tableaux 5.2 et 5.3 Tab. 5.2 – Tension efficace de bruits bruts non pondérés. Origine des bruits Acoustique Résistance ρ 300 MΩ I BA E BA

20 à 1 500 Hz 4.10−7V 3,08.10−6 V 1,3.10−6 V 4,23.10−7V

1500 à 20 000 Hz 1,4.10−6 V 0,35.10−6V 0,15.10−6V 1,5.10−6V

NB : Somme quadratique : 4.10−6 V = 4 µV, soit –108dB/1V. Tab. 5.3 – Tensions efficaces des bruits, avec la pondération approximative adoptée. Origine des bruits Acoustique Résistance ρ 300 MΩ I BA E BA

20 à 1 500 Hz 2,7.10−7V 6,4.10−7 V 9.10−16 V 2,9.10−7V

1 500 à 20 000 Hz 1,4.10−6 V 0,35.10−6V 0,15.10−6V 1,5.10−6V

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5.6

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Microphones à électret

La possibilité de réaliser des électrets dont la charge ne diminue pas trop dans le temps permet de construire des microphones électrostatiques de faible prix, cependant de haute qualité. On utilise des films électrets comme armature mobile, ou comme dépôt sur l’armature fixe. Les meilleurs matériaux sont les téflons FEP (fluoro-éthylène propylène) et PTFE (poly-tétra-fluoro éthylène). Un film de téflon FEP de 10 à 25 µm a une polarisation de l’ordre de 100 à 200 µC/m2 , et la perte de charge est de 2,5 % en 10 ans environ, après vieillissement artificiel initial. Les charges électriques sont injectées par bombardement, à chaud, de la surface par des électrons ou des ions : comme il n’y a pas de charges complémentaires susceptibles de se recombiner, la durée de vie peut être longue. L’absence de tension de polarisation simplifie notablement le schéma électrique du préamplificateur, car il n’y a plus besoin de fabriquer sur place une tension continue élevée. Certains préamplificateurs sont particulièrement simples : 1 TEC et un transformateur de ligne (≈ 200 Ω) comme le Primo EMU 420. On trouve comme pour les micros statiques à polarisation des cellules omnidirectionnelles et cardioïdes.

5.7

Caractéristiques de directivité

Les dimensions des microphones statiques résultent d’un compromis nécessaire entre le rapport signal/bruit désiré et la petitesse souhaitable pour ne pas avoir trop d’effets de diffraction aux fréquences élevées (rapport d/λ) où les courbes polaires de directivité ne sont pas aussi idéales qu’aux fréquences basses et moyennes (d/λ petit).

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Chapitre 6 Prise de son stéréophonique 6.1

Introduction

L’usage généralisé de la stéréophonie à deux canaux, gauche, droite, a conduit à de nombreuses méthodes pour essayer de donner la meilleure « image » d’une scène sonore, l’écoute se faisant soit sur hautparleurs, soit sur casque. Tout le monde s’est à peu près mis d’accord pour se baser, pour l’écoute sur haut-parleurs, sur le triangle équilatéral, où les deux haut-parleurs occupent deux sommets, et l’auditeur le troisième (Fig. 6.1).

Fig. 6.1 – Écoute stéréophonique. Une bonne prise de son permet, avec deux sources sonores seulement, de reconstituer assez correctement le champ acoustique d’un ensemble orchestral

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Chapitre 6 : Prise de son stéréophonique

où l’auditeur localise sans trop de difficultés les instruments, aussi bien au centre que sur les côtés. En effet les oreilles de l’auditeur localisent la position d’une source sonore par deux effets complémentaires : l’intensité, différente sur les haut-parleurs, si la source n’est pas centrale, et la phase relative des deux signaux perçus par les oreilles, ce dernier effet étant évidemment plus accusé aux fréquences moyennes.

6.2 6.2.1

Localisation d’une source Localisation par différence d’intensité

La localisation de la source réelle et virtuelle est indiqué dans la figure 6.2. La figure 6.3 montre la direction angulaire de la source virtuelle en fonction de la différence d’intensité des signaux sonores. Dans le système ci-dessus, l’auditoire localise la source à droite si l’atténuation à gauche a atteint environ 15 à 17 dB.

Fig. 6.2 – Localisation d’une source par différence d’intensité.

6.2.2

Localisation par déphasage ou différence de temps

À la place de l’atténuateur du § 6.2.1, on a introduit un retard variable (Fig. 6.4). Pour localiser la source à droite, il faut un retard de 0,9 à 1,1 ms environ. Si le retard est accentué jusqu’à 2 ms, l’espace entre les haut-parleurs peut s’accroître. Au-delà de 40 à 50 ms, on distingue deux signaux au lieu d’un.

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Fig. 6.3 – Relevés expérimentaux.

Fig. 6.4 – Localisation par différence de temps.

6.2.3

Localisation par les deux effets conjugués

Si les effets s’ajoutent, le déplacement latéral paraît plus important ; si en revanche les effets se retranchent, le déplacement paraît plus faible, voire nul (compensation).

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102 6.2.3.1

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Chapitre 6 : Prise de son stéréophonique Système Dolby « surround »

Utilisé au cinéma dès les années 1970, le système (Fig. 6.5) utilise quatre canaux matricés sur deux pistes stéréo normales (il peut donc fonctionner avec le son stéréo TV à deux canaux). Le haut-parleur central (pas obligatoire en écoute domestique) focalise surtout les dialogues. Les signaux d’ambiance sont déphasés de 90◦ sur une voie et de –90◦ sur l’autre, ce qui permet de les extraire, puis avec dématriçage ils sont retardés (∆t réglable) et envoyés conjointement (1 seul signal) sur les haut-parleurs arrière. Ce système est en voie d’abandon pour le système « 5.1 » (cinq voies + une voie extrême grave – voir § 6.5.4).

Fig. 6.5 – Écoute en « Dolby surround ».

6.3

Prise de son stéréophonique d’intensité

On utilise dans ce cas deux microphones cardioïdes coïncidant (pas de ∆t) (Fig. 6.6) orientés vers la source, formant entre deux un angle θ. Lorsque la source se déplace à droite ( α2 ), l’image dans les haut-parleurs paraît à droite lorsque la différence d’intensité ∆I atteint 15 dB. Au-delà, la position apparente ne bouge plus. Si on réduit θ, ∆I = 15 dB sera atteint pour un angle ( α2 ) plus grand que le précédent, ceci signifie que l’angle de prise de son α a augmenté. Inversement si θ augmente, α diminue. La fourchette de θ s’établit de 80 à 130◦, au-delà l’homogénéité de l’espace est altérée.

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Fig. 6.6 – Ajustement de l’angle des microphones. Ce système est appelé usuellement XY (attention au branchement pour ne pas intervertir gauche et droite). Ce système souffre d’un manque d’espace et de profondeur de par l’absence de ∆t, mais sa compatibilité monophonique est excellente, l’angle de prise de son pouvant atteindre 180◦. La correspondance entre les angles α et θ est indiquée dans le tableau 6.1. Tab. 6.1 – Correspondance entre les angles α et θ, pour la prise de son stéréophonique.

Angle α Angle θ

80 180

90 170

100 160

110 150

120 140

130 130

Pour la prise de son avec la variante à microphones omnidirectionnels, on place les deux microphones avec leurs axes perpendiculaires ; on ne joue donc que sur la directivité des diagrammes polaires, qui ne se manifeste qu’aux fréquences élevées. Un seul avantage : pas d’effet de proximité aux fréquences basses.

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6.3.1

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Système stéréosonic

On utilise deux microphones bidirectionnels orientés à 45◦ de la source et à 90◦ entre eux (Fig. 6.7). La source est reproduite au niveau constant de 315◦ à 45◦ , de 45◦ à 135◦ , la somme est théoriquement nulle d’où zone d’ombre, de 135◦ à 225◦ , la source paraît de déplacer en sens contraire, et enfin, de 225◦ à 315◦ , il y de nouveau une zone d’ombre. Ce système demande à être utilisé avec précaution, de plus il y a une chute (due aux directionnels) dans les fréquences basses.

Fig. 6.7 – Système stéréosonic.

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6.3.2

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Système M-S (Middle-Side)

On utilise deux microphones superposés (Fig. 6.8), comme pour le procédé XY. Le premier, cardioïde, apporte les informations centrales et délivre le signal M (Middle = milieu) correspondant à l’information monophonique.

Fig. 6.8 – Système M-S. Le second, obligatoirement bi-directionnel, est orienté perpendiculairement au premier (et à la source sonore) et délivre le signal S (Side = latéral). On extrait les signaux gauche, droite, en réalisant la somme et la différence : G=M+S D=M−S Comme dans le procédé XY, c’est une stéréophonie d’intensité. Son principal avantage est de pouvoir modifier l’angle utile de prise de son sans intervention sur les microphones, par le jeu de la pondération du signal S ; en effet, S plus on augmente le niveau M , plus on diminue l’angle utile de prise de son (Tab. 6.2). Le procédé MS est très apprécié en prise de son cinématographique et télévisuelle, par sa parfaite compatibilité monophonique et la possibilité, en post-production, de pouvoir ajuster la largeur de l’image stéréophonique aux différents plans-image (S/M variable).

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Tab. 6.2 – Correspondance entre les angles α et S/M pour la prise de son système MS.

Microphone cardioïde S/M [dB] Angle α utile [◦ ] –6 150 –3 120 0 90 +3 60

6.4

Microphone omnidirectionnel S/M [dB] Angle α utile [◦ ] –6 180 –3 150 0 110 +3 70

Prise de son stéréophonique de temps

Elle consiste (Fig. 6.9) à n’utiliser que l’un de deux paramètres nécessaires à la localisation, à savoir la différence de temps.

Fig. 6.9 – Ajustage de la distance entre les capsules. Lorsque celle-ci atteint environ 1 ms, la source paraît venir uniquement du haut-parleur de droite. Si la source reste en S1 , et que l’écartement diminue, l’image se rétrécit apparemment. Pour que l’image soit de nouveau à droite, il faut déplacer la source vers la droite. L’angle utile de prise de son a augmenté. Donc, lorsqu’on diminue l’espacement entre deux microphones, on augmente l’angle utile de prise de son, et inversement (Tab. 6.3). En deçà de 25 cm et au-delà de 50 cm, on ne latéralise plus la source ou on tasse les sources virtuelles sur les haut-parleurs.

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Tab. 6.3 – Correspondance entre la distance et l’angle pour la prise de son stéréophonique de temps.

Distance (cm) Angle (α◦ )

6.4.1

50 130

45 140

40 150

35 160

30 170

25 180

Système AB avec deux capsules omnidirectionnelles

Conformément à ce qui précède, on utilise deux omnidirectionnels appairés, avec un espacement de plusieurs dizaines de centimètres. Le système restitue avec beaucoup d’ampleur les grandes masses sonores. La précision de la localisation dépend de la durée des notes. La compatibilité monophonique est parfois défectueuse, à cause de l’effet de filtrage en peigne (longueur d’onde de même valeur que l’espacement des microphones d’où annulation de niveau pour certaines fréquences).

6.5

Prise de son stéréophonique de temps et d’intensité

On utilise les deux paramètres de localisation simultanément : les différences de temps et d’intensité. Deux microphones cardioïdes sont placés face à la source, les capsules à une distance e et les axes formant un angle physique θ. Pour une certaine valeur, les différences de temps et d’intensité, la source S1 , paraît être complètement à droite, par exemple en S1 . Si S1 est fixe mais que l’on réduit e ou θ, les différences diminuent et S1 paraît revenir vers le centre. Il faut alors que la source soit en S2 , au-delà de S1 , pour que S2 soit perçu à droite. En résumé, on augmente l’angle α de prise de son si l’on réduit la distance e ou si l’on réduit l’angle θ des microphones.

6.5.1

Système en couple, utilisant deux microphones faiblement espacés

On utilise donc deux microphones infra-cardioïdes, cardioïdes ou hypercardioïdes. Un même angle α peut être obtenu pour des valeurs couplées de e et de θ. De nombreuses études et expérimentations ont abouti à des normes de disposition (e et θ) dans différents pays (Fig. 6.10). Le « couple ORTF » (e = 17 cm et θ = 110◦ ) est d’un usage très répandu, le fabricant allemand Schoeps en commercialise une version très renommée et très pratique d’utilisation (un seul câble à deux paires torsadées dans un blindage commun) (Fig. 6.11).

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Fig. 6.10 – Normes de disposition du système en couple.

Fig. 6.11 – Couple ORTF de Schoeps.

La compatibilité monophonique n’est pas aussi bonne qu’avec le système XY ou MS. Si on ajoute G + D, on constate une perte de brillance qui diffère selon la valeur de e. Cependant, ce système représente un bon compromis entre spatialisation et précision de localisation. Les grandes masses sonores sont rendues avec ampleur même en milieu réverbérant. De légers mouvements latéraux d’une voix, d’un instrument soliste peuvent produire des sauts entre les haut-parleurs (effet de loupe introduit par la différence de temps).

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6.5.2

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Système AB avec grand espacement (de quelques décimètres à plusieurs mètres)

On ne peut plus parler, dans ce cas, d’angle de prise de son, mais plutôt de zone de prise de son, où la différence de temps ne dépasse pas 1,4 ms environ : cette zone est très étroite et s’élargit légèrement avec l’éloignement des sources (pour e = 1 m). Toutes les autres sources sonores situées hors de cette zone semblent tassées sur les haut-parleurs : d’où l’utilisation pour des sources éloignées. Une variante consiste à utiliser deux omnidirectionnels avec un espacement à peu près égal à celui des haut-parleurs.

Fig. 6.12 – Tête stéréophonique d’André Charlin (vers 1956).

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6.5.3

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Système avec obstacle entre les deux microphones

La différence d’intensité entre les microphones dépend, dans ce cas, de la fréquence. On peut citer surtout : a) La tête stéréophonique d’André Charlin (vers 1956) (Fig. 6.12) : deux microphones sont placés de part et d’autre d’une sphère aplatie, d’environ Φ = 20 cm, absorbante. b) La sphère Schoeps (Fig. 6.13) : ce dispositif est assez récent : deux capsules omni-directionnelles sont placées sur un diamètre (180◦ ) d’une sphère de Φ = 20 cm. Les résultats sont paraît-il excellents. c) Le disque Jecklin (environ 30 cm) absorbant, placé entre deux micros à environ 16 cm.

Fig. 6.13 – Sphère Schoeps.

6.5.4

Tête artificielle (avec les micros dans les oreilles)

Les résultats sont excellents, évidemment, pour l’écoute au casque ; sur haut-parleurs, les résultats sont moins convaincants.

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6.6

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Prise de son en multicanal dite 5.1 (5 canaux discrets + 1 d’extrême-grave)

La recommandation ITU-R-BS775 pour l’écoute en 5.1 est indiquée sur la figure 6.14. À cette disposition correspondent une multitude d’agencements de microphones et la littérature technique actuelle (2005) est foisonnante. Nous suggérons la suivante, en cours d’expérimentation, et qui semble donner des résultats prometteurs en écoute 5.1 ou réduite à la stéréo traditionnelle (par mixage).

Fig. 6.14 – Disposition normalisée des haut-parleurs en système 5.1. Une disposition traditionnelle utilise trois sortes de microphones : un couple « ORTF », un hypercardioïde pour la voie centrale, et enfin deux omnis pour les voies arrière, selon le schéma ci-après (Fig. 6.15). L’inconvénient d’un tel système est de multiplier le nombre des sources apparentes à l’écoute, comme le montre bien la figure où les vecteurs représentent les intensités sonores émises par les cinq haut-parleurs. C’est pourquoi une jeune société française, Trinnov, a repensé complètement le problème. Une plateforme de huit microphones omnidirectionnels, disposés en fer à cheval, est reliée à une centrale de traitement numérique après passage à travers des

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Fig. 6.15 – Disposition traditionnelle en 5.0 (Trinnov 2004).

Fig. 6.16 – Microphone multicanal 5.0 idéal (Trinnov 2004).

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convertisseurs AD (Fs = 44,1-48-96 kHz). Le traitement tient compte de la direction de la source et des intervalles de temps entre les signaux délivrés par les micros pour élaborer seulement deux signaux d’intensité adéquate, afin de créer une source fantôme entre deux des cinq haut-parleurs. On peut ainsi récréer, en partant d’une source à intensité constante tournant autour de la plate-forme (sur un rayon constant et dans son plan), une source image homothétique avec les cinq haut-parleurs. Les concepteurs réalisent par calcul des diagrammes de directivité asymétriques, fonction de leur emplacement sur la plate-forme, ce que pour le moment aucun microphone ne possède par construction (Fig. 6.16). Ce système est en cours d’expérimentation à l’ORTF et a fait l’objet de publications à l’AES (Audio Engineering Society).

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Chapitre 7 Quelques enceintes acoustiques célèbres Les enceintes acoustiques représentées dans les pages suivantes ont marqué leur époque. L’enceinte à pavillon exponentiel « Klipschorn » (Fig. 7.1a et b) date de 1945 environ. Elle doit être placée dans une encoignure, les murs terminant le pavillon. Son rendement est très élevé (environ 30 %), et ses dimensions ne sont pas si rédhibitoires (h ∼ = 1 m). Le pavillon des graves (30 à 400 Hz environ) est complété d’un haut-parleur à chambre de compression (400 à 15 000 Hz). Cette enceinte est encore fabriquée en 2003 presque sans modifications. L’enceinte montrée sur la figure 7.2a et b a été conçue dans les années 1950 pour le fameux haut-parleur Jensen « Triaxial » (38 cm), de conception très analogue au coaxial Tannoy (Fig. 2.23). C’est un pavillon hyperbolique assez encombrant (1,5 sur 0,9 m en face avant) mais plus facile à construire par un amateur que la « Klipschorn ». On peut y monter un Tannoy récent de même diamètre. L’enceinte Tannoy à pavillon exponentiel replié « Autograph » (Fig. 7.3) des années 1950 était équipée du haut-parleur de diamètre 38 cm « Dual Concentrics » (qui est décliné depuis plus de 50 ans, voir § 2.5 et Fig. 2.21). Elle était d’une construction très compliquée, son prix était bien supérieur à celui des deux précédentes. Son rendement était aussi de l’ordre de 30 %. Son prix actuel (2005) est très élevé, car elle est très recherchée. L’enceinte d’André Charlin (Fig. 7.4) des années 1950 a servi pendant une quinzaine d’années de référence à l’Académie du Disque français. Elle comportait, au centre du diffuseur (dont la conception remonterait à 1932), un dispositif « anti-tourbillonnaire » et un large et court pavillon en fonte d’aluminium (50 cm). La suspension du cône (remplaçable en quelques minutes) était en peau (solution coûteuse mais très durable). L’« anti-tourbillonnaire », régularisant la réponse aux fréquences élevées, est encore très répandu dans les haut-parleurs modernes. Son rendement (environ 10 %, c’est-à-dire près de

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Chapitre 7 : Quelques enceintes acoustiques célèbres

Fig. 7.1a – L’enceinte à pavillon « Klipschorn » (États-Unis), vue en perspective (Electronics 1946). 100 dB/w/m) pour le modèle à excitation (2 teslas environ dans l’entrefer ; version pour salles de cinéma) était très élevé pour un HP à rayonnement direct. Ce haut-parleur était complété d’un tweeter électrostatique push-pull (derrière la grille). L’enceinte elle-même (haute de 1,5 m environ) était de forme pyramidale (pour éviter les ondes stationnaires internes), la face avant formant la base. Un large et étroit évent près du sol, surmonté intérieurement d’une épaisse cloison en laine de verre, complétait cette enceinte, remarquable pour l’époque.

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porte d’accès

jointure des deux murs

mur

mur section A-A de (D)

section B-B de (C)

vue horizontale du pavillon d’aigus

section C-C de (C)

vue latérale du pavillon d’aigus

Fig. 7.1b – Plans de l’enceinte à pavillon « Klipschorn » (États-Unis) (98 cm de hauteur).

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Fig. 7.2a – Plans de l’enceinte à pavillon « Triaxial » de Jensen (États-Unis) (Reproduction sonore à haute fidélité, G.A. Briggs 1951).

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Fig. 7.2b – Vue en perspective de l’enceinte à pavillon « Triaxial » de Jensen (États-Unis).

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Fig. 7.3 – Vue de l’enceinte Tannoy « Autograph » à pavillon replié (Royaume-Uni, années 1950). (HP Dual Concentrics 38 cm, hauteur 1,4 m, plans dans l’Audiophile n◦ 28, mai 1983.)

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Fig. 7.4 – Enceinte d’André Charlin (années 1950).

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Bibliographie Angot A. (1952) Compléments de mathématiques. Éditions de la Revue d’Optique. Audio Engineering Society (AES) Loudspeakers, an Anthology. Briggs G.A. (1951) Reproduction sonore à Haute Fidélité. Éditions Radio, Paris. Beranek L. (1954) Acoustics. MIT, USA, réédité en 1986, American Institute of Physics. Bruneau M. (1998) Manuel d’acoustique fondamentale. Hermès. Fellot D. (1982) Méthode rationnelle de calcul des filtres répartiteurs pour enceintes acoustiques à plusieurs haut-parleurs – Revue Technique Thomson – CSF. Vol. 14, 3 : 751–765. Hugonnet C., Walder P. (1995) Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique. Eyrolles, Paris. Hunt F.V. (1954) Electroacoustics. John Wiley, New York, reédité en 1982. Jouhaneau J. (2000) Électro-acoustique. CNAM, Tec et Doc. Paris. Laborie A., Bruno R., Montoya S. (2003) A new comprehensive approach of surround sound recording. Paper at 114th AES Convention, Amsterdam. Lafaurie R. (1981-86) Les microphones. Sono, suite d’articles. Liénard P. (2001) Petite histoire de l’acoustique. Hermès-Lavoisier. Loyez P. (2003) Haut-parleurs et enceintes acoustiques. Dunod, Paris. Lucas R. (1955) Acoustique. Édition « Cours de Sorbonne », Paris. Matras J.J. (1958) Acoustique appliquée. École Nationale Sup. Télécom, Paris. Ney G. (1956) Électro-acoustique. École Supérieure d’Électricité, Paris.

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Bibliographie

Olson H. (1957) Acoustical engineering. Van Nostrand, USA. Rocard Y. (1949) Dynamique des vibrations. Masson, Paris. Rossi M. (1986) Électro-acoustique. EPFL (Lausanne) Dunod, Paris. Skudrzyk E. (1971) The foundation of acoustics. Springer-Verlag, Berlin. Trinnov-audio (2004) High spatial resolution multichannel microphone.

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Exercices et corrigés Exercice 1 a) Niveau sonore d’un haut-parleur Soit un haut-parleur rayonnant une puissance acoustique de 0,1 Watt, monté sur un baffle plan infini. Calculer la puissance sur 1cm−2 à 2 m du haut-parleur, assimilable à une 1/2 sphère pulsante, et de niveau sonore correspondant (0 dB = 10−16 W.cm−2 ). b) On demande la vitesse et l’amplitude vibratoire, à 1 kHz, au seuil d’audition, la référence 0 dB étant de 20 µPa. On donne ρ = 1,3 kg.m−3 et c = 340 m.s−1 . c) Une sphère pulsante rayonne dans tout l’espace une puissance de 1 Watt acoustique à 1 kHz. Calculer la pression p et la vitesse v, ainsi que leur déphasage relatif, à une distance de 30 cm du centre de la sphère (ρ et c identiques à b).

Corrigé de l’exercice 1 a) La puissance est uniformément répartie sur une surface. S = 2π.r2 = 8π [m2 ] 2

= 0,4 µW sur 1 cm2 → p = p Ss = 0,1x(0,01) 8π L’intensité sonore est donc, à 2 m : I = 10 log

4.10−7 = 4.109 → 96 db. 10−16

C’est un niveau assourdissant à 1000 Hz. b) On a p = ρcv = 1,3 × 340v = 442v donc 20.10−6 p = = 0,048 µm.s−1 , v= ρc 442 ou encore 48 nanomètres.s−1

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L’amplitude correspondante est, comme v = jωx : |x| =

v 49.10−9 = 7,6.10−12 = 0,076 A◦ = ω 6,3.103

(Rappel : 1 A◦ = 10−10 m.) C’est à peu près 1/10 du rayon d’un atome de chlore. (G. Ney, voir la bibliographie.) c) L’intensité sonore est, à 30 cm : I=

W 1 = = 0,885 W.m−2 4π.r2 4π.(0,3)2

La pression correspondante est tirée de : p2 → p = Iρc ρc p = 0,885.442 = 19,8 N.m−2

I=

La vitesse est tirée de l’expression : pr vr = ρ.c

ω 2π.103 j ω avec kr = r = .0,3 = 5,54 1− ; k= kr c c 340

donc, on aura √ 1 + (5,54)2 p2 19,8 1 + k 2 r2 |vr| = . = . = 0,0455 m.s−1 ρ.c kr 442 5,54 Le déphasage entre p et v est donné par : ϕ = 90◦ − arctg kr = 90◦ −80◦ = 10◦ Niveau (SPL = Sound Pressure Level) SP L = 20 log

19,8 = 20 log 0,99.106 ≈ 120 dB. 20.10−6

Ce niveau est très élevé. Un grand orchestre à quelques mètres donne une centaine de dB, le grand-orgue de Notre-Dame de Paris délivre environ 114 dB à une dizaine de mètres (d’après Pierre Cochereau, 1924-1984, titulaire de l’instrument et metteur en ondes ORTF).

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Exercice 2 a) Montrer l’équivalence entre la référence d’intensité acoustique I0 = 10−12 W.m−2 et le niveau SP L0 en dB : SP L0 = 20 µPa On donne ρ.c = 400 [MKS Rayls]. On rappelle les définitions : I(dB) = 10. log10

I1 I0

(1)

et

SP L = 20. log10

p p0

(2)

b) Calculer la vitesse et l’amplitude (crête) d’un cône de haut-parleur de Φ = 30 cm rayonnant 1 W acoustique à 40 Hz dans les deux conditions suivantes, avec ρ.c = 400 (en sinusoïdal) : 1) le cône rayonne à la gorge d’un pavillon exponentiel de fréquence de coupure f 40 Hz (surface de gorge = surface du cône) ; (Zg = ρ.c S ); 2) le cône rayonne à travers un plan de très grandes dimensions (considéré infini). On se limitera au premier terme du développement en 2 série (formule 1.55 : rr = (ka) 2 ).

Corrigé de l’exercice 2 a) L’intensité sonore s’écrit I=

p2 W.m−2 [dB] ρ.c

(3)

En portant (3) dans (2), et en écrivant que le niveau 0 dB SP L0 est le même que I0 dB : par définition : SP L = 20 log10

p2 p = 10 log10 . 2 p0 p0

Or, p20 = I0 .ρ.c. Le niveau SP L pour I0 = 10−12 s’écrit : SP L0 = 10 log10

10−12 I0 ρc = 10 log ρc (20.10−6)2 400.10−12

donc SP L0 = I0 → 20 µPa → 10−12 W.m−2 , si ρc = 400. Cette valeur est suffisamment proche de la réalité pour ne pas remettre en question l’équivalence entre I and SP L.

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b) La vitesse et l’amplitude d’un cône de haut-parleur : 1) Le cône a une surface S = πa2 = 3.14(0,15)2 = 0,0707 m2 , à l’entrée du ρ.c pavillon il est chargé d’une impédance acoustique Zar = . S 2 2 2 2 La puissance rayonnée s’écrit P = Zar qeff = Zar .S veff = ρcSveff , d’où 1 W = 440.0,0707.v 2 Donc :

1/2 1 1 = 5,67 cm.s−1 = 440.0,0707 17,6 √ La vitesse de crête = 5,67 × 2 = 8,02 cm.s−1 8,02 vcrête = = 0,32 mm À 40 Hz, on a donc v = j.ω.x et xcrête = ω 2π.40 C’est très faible, pas de problème d’amplitude. v=

2) Le cône rayonne uniformément dans le 1/2 espace (2πr2 ) (a = 0,15 = D/2). La puissance s’écrit cette fois : ρc P = Rar q 2 = rr q 2 S où rr est la partie réelle de l’impédance réduite : rr =

(ka)2 . 2

On a ω 2π.40 8π = = c 340 34

k=

ka =

8π .0,15 = 0,111 34

(0,111)2 = 6,16.10−3 2 ρ.c .rr .S 2 .v 2 = ρ.c.S.rr .v 2 1= S

rr =

donc 1 = 440.0,0707.6,16.10−3.v 2 v=

103 191,6

12

= 2,28 m.s−1

√ vcrête = 2,28 2 = 3,22 m.s−1 xcrête =

3,22 3,22 = = 12,8 mm ω 2π.40

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12,8 ≈ 40 fois plus élevée qu’avec le pavillon, c’est une valeur 0,32 difficile à tenir avec un haut-parleur de 30 cm, d’où l’obligation d’un pavillon ou d’un bass-reflex à évent. Cette valeur est

Exercice 3 Démonstration de la formule de Thiele et Small. Montrer que : η=

4π 2 3 VAS B 2 l2 ρS = f 2πcRM 2 c3 s QES

où QES =

1 2me

Corrigé de l’exercice 3 On a : ωS2 = 4π 2 fs2 ; η = ωS2 =

ωS2 ωS . c3 2π

K VAS K →η= ωS , M M 2πc3 QES

1 B 2 l2 = 2me = √ QES R KM √ K K ρc2 S 2 B 2 l2 √ √ ; η= M M 2πc3 K R. M K

or : VAS =

η=

S 2 ρc2 K

B 2 l2 ρS 2πcRM 2

C.Q.F.D.

Exercice 4 Montrer que l’on doit avoir h = 1 pour obtenir une fonction de transfert de Butterworth en partant de la formule (2.11).

Corrigé de l’exercice 4 Le polynôme s’écrit (jx)4 + a3 (jx)3 + a2 (jx)2 + a1 (jx) + 1 où : a1 = a3 = 2,613 et

a2 = 3,414

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Identification avec (2.11) : 4 4 ω ω = j .h−2 ; j ω0 ωS

1 1 = 4 .h−2 ω04 ωS

3 3 ω ω = 2mt j .h−2 ; a3 j ω0 ω0

2,613 2mt = 3 .h−2 ω03 ωS

2 2 ω ω a2 j = 1 + h−2 (1 + α) j ; ω0 ωS a1 j

ω ω = 2mt j ; ω0 ωS

On déduit : – de A :

– de B :

h=

ω02 ; ωs2

2,613 2mt = ω0 ωS

√ ω0 h= ; ωs

h−2 =

(A)

(B)

(C) (D)

ωs4 ω04

2,613 2mt ωs4 2mt .ωs = . 4 = ; 2,613ω0 = 2mt ωs ; 3 3 ω0 ωs ω0 ω04 √ √ 2mt h= 2,613 h = 2mt ; 2,613

– de C :

√ √ 3,414 = h[1 + h−2 (1 + α)] = 2 + 2 ; 2 + 2 h = h2 + (1 + α) ; √ α = 2 + 2 .h − h2 − 1 ;

– de D :

2mt 2,613 = ; ω0 ωs

1 2mt =√ 2,613 h

√ 1 h = √ ; c’est-à-dire h h = 1, donc le haut-parleur et l’enceinte doivent avoir la même fréquence propre. Le polynôme de Butterworth exige h = 1, et 2mt = 1 = 0,383. On y vérifie que : 2,613 ; Qt = 2,613 √ √ α = 2 + 2 h − h−2 − 1 = 2 Pour que B et D soient compatibles, il faut que

Exercice 5. Calcul d’une enceinte acoustique Calculer le volume et les dimensions de l’évent cylindrique interne (débouchant en affleurement en face avant (Fig. 2.9 et § 1.2.2.1) sachant que sa longueur l vaut deux fois son diamètre ; pour le haut-parleur suivant de diamètre nominal 38 cm (Focal), fs = 21 Hz, Qts = 0,22, Vas = 0,75 m3 . On essaiera de se rapprocher √ de la courbe « quasi-Butterworth » QB3 dont on choisira les valeurs h = 2 ; α = 4,46 ; f3 /fs = 1,77 (bien que le Qts du

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haut-parleur (0,22) soit plus petit que Qts = 0,259 de QB3 ). On calculera les valeurs du module de G(x), x = f /f0 ; pour x = 1 et x = 2. Commenter les valeurs obtenues par comparaison à QB3 (Tab. 2.1). On donne : 3 c = 340 ms−1 . ρ = 1,293 kg/m ;

Solution de l’exercice 5 proposée a) Calcul du volume de l’enceinte On commence par déterminer le volume de l’enceinte en partant des relations : α=

Élasticité − H.P. Cas = Cab Élasticité − Enceinte

et

ωb2 =

1 , Cab .Jae

Jae étant l’inertance de la masse d’air Me de l’évent. On a : Cas = Vas /ρ.c2 et Cas = Vb /ρ.c2 d’où α = Cas /Cab = Vas /Vb = 4,46 ; on en tire tout de suite 0,75 = 0,168 m3 , c’est-à-dire V b = 168 litres. Vb = 4,46 b) Calcul de l’évent Le résonateur de Helmholtz formé par Vb et son évent a pour fréquence propre : fb = ωb /2π

avec ωb2 = 1/Cab .Jae ,

où Jae est l’inertance de l’évent. Jae = Me /Se2 avec Me = ρSe (0,61a + l + 0,85a) [kg], avec la section de l’évent Se = πa2 [m2 ] ou encore, dans le cas présent : Me = ρSe (1,46a + 4a), puisque l = 4a Cab est obtenu par : Cab = Vas /aρc2 . C’est-à-dire : Cab = 0,75/4,46 × 1,293 × 3402 = 1,125.10−6 √ Les valeurs de ωb et de ω3 sont tirées de h = ωb /ωs = fb /fs = 2 et ω3 /ωs = 1,77. √ √ La fréquence propre de l’enceinte fb = 2fs = 2 × 21 = 29,7 Hz et la coupure à – 3dB (ω3 ) sera donnée par f3 = 1,77 × 21 = 37,2 Hz. On a maintenant : Jae = 1/Cab ωb2 = Me /Se2 Avec Me = 5,46aρSe , d’où : Jae =

5,46ρ.Se .a 5,46ρ.a = Se2 π.a2

avec ωb = 2π.29,7 = 186,6 [rad.s−1 ].

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1 106 5,46 × 1,293 , = = 25,53 d’où 25,53 = 2 2 Cab .ωb 1,125 × 186,6 π.a d’où a = 8,8.10 −2 [m]. C’est-à-dire d = 2a = 17,6 cm, et, l = 2d = 35 cm.

Jae =

c) Fonction de transfert À partir des valeurs fs = 21 Hz, fb = 29,7 Hz, il faut d’abord connaître √ la fréquence propre f0 du filtre passe-haut ainsi formé : f0 = fb / h = 29,7/1,19 = 25 Hz. La fonction de transfert de l’ensemble est tirée de la formule générale, avec x = f /f0 G(jx) = h−2 (jx)4 {1+2jxmt +(jx)2 [1+h−2 (1+α)]+2(jx)3 h−2 mt +h−2 (jx)4 }−1 soit avec les valeurs h−2 = 1/2 et 2mt = 1/Qts = 1/0,22 : −1 x − 0,5x3 1+α G(x) = 0,5x4 . 1 − x2 1 + + 0,5x4 + j 2 0,22 Pour x = 1 nous obtenons : −1 1 − 0,5 5,46 G(1) = 0,5. 1 − 1 + + 0,5 + j 2 0,22 dont le module vaut 0,157. D’où G (dB) = –16 dB. Ce chiffre est très peu éloigné de la courbe de la figure 2.11. Pour x = 2 (une octave plus haut → 50 Hz) 8 | G(2) | = = 0,74 1 − 4(3,73) + 8 + j (2−4) 0,22

G(2) [dB] = 20. log 0,74 → −2,6 dB On voit que l’écart par rapport à la courbe idéale avec Qt = 0,259 est très faible, car on obtient pour cette dernière valeur : G(2)

8 = 2 = −5,92 − j 0,259

0,82

G(2) [dB] = 20. log 0,82 = −1,7 dB (ce qui diffère de 0,9 dB seulement). La diminution du niveau n’est due qu’au terme Qts = 0,22 < 0,259.

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NB : Il serait judicieux de scinder l’évent en deux évents plus petits, en calculant les dimensions d’un évent ayant une inertance moitié de la valeur = 25,53 théorique, ce qui donne Jae 2 , d’où 25,53 5,46.1,293 14,16 = = 4,4.10−2 m ; ;a = 2 πa 80,2 d’où pour chacun de deux évents : d = 2a = 8,8 cm et l = 2d = 17,6 cm. Pour augmenter le rendu des fréquences basses, il serait sans doute heureux de prévoir une fb plus faible en augmentant légèrement la valeur de Jae , par exemple fb = 27 Hz ou même 25 Hz. Les valeurs de α et h seront légèrement changées. Il suffit alors de calculer G(1) et G(2) avec les nouvelles valeurs.

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Problème : asservissement d’un haut-parleur (Institut national des Télécommunications, contrôle des connaissances, Systèmes Asservis, 1984)

Fig. 1 – Schéma du système. On considère un haut-parleur (Fig. 1) (HP Focal) dont les paramètres sont les suivants : – raideur du cône : k = 1180 Nm−1 ; – masse du cône : M = 65,6 g ; – coefficient de frottement visqueux, dû au rayonnement: f = 1,3 N.m−1 .s ; – induction dans l’entrefer : B = 1,2 tesla ; – longueur du fil de la bobine mobile plongé dans l’entrefer l = 12,58 m ; – résistance du fil de la bobine mobile : R = 6 Ω ; – inductance de la bobine mobile : L = 0,94 mH ; – déplacement du cône : x (m).

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Pour mesurer l’accélération du cône, on y fixe un accéléromètre délivrant la tension : d2 x Va = D 2 dt

Questions à résoudre 1) Déterminer les fonctions de transfert VIa et VVa , l’amplificateur ayant A pour fonction de transfert 1+τ , où A = constante ; s = jω. As Peut-on négliger l’influence d’une constante de temps, si oui laquelle ? Montrer que dans ce cas les fonctions sont simplifiées. 2) On désire asservir le cône pour travailler dans la bande de fréquences basses (20 Hz . . . 200 Hz) à accélération constante (afin d’obtenir un rayonnement d’amplitude constante dans l’axe du haut-parleur et de gommer la résonance principale. Des deux fonctions de transfert précédentes, laquelle est la mieux adaptée, en d’autres termes faut-il réaliser un amplificateur de puissance source de tension ou source de courant ? On veut avoir un gain de boucle de 30 dB entre 21 Hz et 100 Hz. Tracer le diagramme de Bode de la fonction retenue. Le système peut-il être bouclé ? Si non, donner le schéma de principe des réseaux correcteurs à placer, ainsi que leur fonction de transfert, justifier les constantes de temps choisies, sachant que les fréquences de coupure basse et haute (où le gain est de 0 dB) sont respectivement de 2,2 Hz et 1 kHz et les fréquences de cassure (changement de pente) à une ordonnée commune de 10 dB, et enfin que l’un des réseaux correcteurs a le même pôle simple que l’ampli. Quelle doit être la valeur de ce pôle ? On emploiera la transformation de Laplace (avec s = jω).

Projet proposé au problème La force exercée sur la bobine mobile est : F = BlI d’où : dx d2 x + Kx +f 2 dt dt M s2 + f s + K I= x Bl

BlI = M

La tension V aux bornes de la bobine est : V = RI + L d’où :

dx dI + Bl , dt dt

M s2 + f s + K V = (R + sL) + Bls x Bl

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Finalement Bl 1 x = . f 2 I K 1+ K s+ M Ks Bl x = . V KR 1 + L + f + R

K

B 2 l2 KR

1 s+ M K +

L f RK

s2 +

LM 3 R Ks

Application numérique L R f K B 2 l2 KR M K

0,94 −3 10 = 0,156.10−3 6 1,3 = = 1,1.10−3 1180 15,12 = = 32,2.10−3 6.1180 65,6 = .10−3 = 55,6.10−6 1180 =

L On voit que l’on peut négliger le terme R devant les autres valeurs, l’expression se simplifie : Bl 1 x ≈ . V KR 1 + f + B 2 l2 s + M s2 K

KR

K

que l’on peut écrire sous la forme canonique : Bl 1 x ≈ . V KR 1 + (2mm + 2mc )j ωω − 0

ω2 ω02

ou encore, avec x = ωω0 mm étant d’origine mécanique et me d’origine électrique ; mT étant le coefficient d’amortissement total (mT = mm + me ) x Bl 1 ≈ . V KR 1 + 2mT jx − x2 On obtient :

Bl 1 x ≈ . V KR 1 + 33,3.10−3 s + 55,6.10−6 s2

Ce système du deuxième ordre amorti avec pulsation propre K 106 ω02 = M = 55,6 = 134,1 C’est-à-dire une fréquence propre (fréquence de résonance principale) : 0 f0 = ω 2π = 21,34 Hz. Il est évident que le système doit être attaqué par une source de tension (ampli à résistance interne nulle) car sinon le coefficient d’amortissement total

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137 2 2

mT est privé du terme électrique me = BKRl qui est de loin le plus imporf s tant. Dans ce cas, en effet, la parenthèse du terme en s devient K s = 2mωm . 0 2mm = ω0 .1,25.103 = 134.1,25.10−3 = 0,167 1 = 6. En termes habituels, la surtension mécanique devient QM = 2m1m = 0,167 Ceci donne une très forte remontée du gain (≈16dB) à la résonance (21,34 Hz). 2 2 En revanche, le terme BKRl donne le coefficient d’amortissement électrique 2 2 me et la surtension électrique : 2me = ω0 BKRl = 134.32,2.10−3 = 4,32 et Qe = 0,23. Le coefficient d’amortissement total mT est la somme de deux coefficients précédents : 2mT = 2mm + 2me = 0,167 + 4,315 = 4,48

QT =

1 = 0,223 4,48

L’attaque par une source de tension entraîne donc une réponse beaucoup plus régulière et surtout beaucoup mieux amortie.

Diagramme de Bode La fonction de transfert complétée avec l’amplificateur et l’accéléromètre L s’écrit, en négligeant le terme R : G(s) = VIa = Vxa Vx VI G(s) = Ds2

G(s) =

1 Bl KR 1 + f + B 2 l2 s + K KR

s2 DBlA KR (1 + τA s) 1 + 2mT

s ω0

A M 2 1 + τA s Ks +

s2 ω02

Le diagramme de Bode comporte ainsi (Fig. 2) : 1) une asymptote de pente +2 à l’origine ; 2) une asymptote de pente 0 de ω = ω 0 jusqu’à ω2 = 1/τA ; 3) une asymptote de pente –1 au-delà de ω2 = 1/τA . Le système ne correspond pas au cahier des charges (coupure à 1 kHz) et n’est pas bouclable (pente +2 à l’origine). On rappelle que les pentes, aux fréquences de coupure, basse et haute, doivent être inférieures à 2 en valeur absolue, et donc proches de 1. Il faut donc introduire des réseaux correcteurs.

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Fig. 2 – Diagramme de Bode.

a) Côté des fréquences basses : il faut placer en série dans la boucle un 1 + ωs1 , avec ω1 = 2π ×6,5. De la sorte, intégrateur « cassé » de transmittance s la stabilité sera assurée aux fréquences basses (l’ordonnée de la cassure est à +10 dB) (Fig. 3)

Fig. 3 – Traçé de Bode d’un Intégrateur « cassé ». b) Côté des fréquences élevées : si on veut couper (0 dB) à 1 kHz, il faut avoir une pente −1 au-delà de 300 Hz et une pente de –2 entre 100 Hz et 300 Hz. Ceci peut être assuré par un réseau correcteur de la forme : 1 + ωs3 A , l’amplificateur lui-même ayant une transmittance 1+τ , avec As 1 + ωs2 ω2 = τ1A = 2π.100, et ω3 = 2π.300.

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En effet, il n’est pas prudent d’essayer de monter plus haut en fréquence, compte tenu des problèmes de propagation qui risquent de se poser dans le cône, qui ne travaille probablement plus en piston. Le réseau correcteur (Fig. 4) pourra se présenter sous la forme :

Fig. 4 – Réseau correcteur aux fréquences élevées. 1 R2 + Cs Vs 1 + R2 Cs = = 1 Ve 1 + (R1 + R2 )Cs R1 + R2 + Cs

avec : ω3 =

1 1 , et : ω2 = . R2 C (R1 + R2 )C

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