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f(
Il ~
h
à!1
+
dfx(h) Il dfx(h)
Il h Il 8 (h)
+ Il
Il
° tel que
h 1111 8 (h) Il
1
Il h Il ~1'] donne Il 8 (h) Il ~ '2
II·
•
dJ,:Cu)
'2
Il ~
d'où
locale s'applique
en conséquence, contenant
et
en tout point
pour tout y
y tels quef
= f(x)
x
on en
dfx E:;g ([Rn) .
el sur Rn et dfx étant inversib[e
étant de classe
f
d'inversion
'* 0
dfx(u)
à h =1'] u, et
[e résultat précédent
1
Ii
=0
8 (h)
h--+O
.
Pour tout U E Rn tel que Ii u il = 1, on peut appliquer tire
lim
et
x
en tout point
E [Rn, le théorème
E [R;n ;
de f([R;n),
x et
il existe un ouvert U contenant
induise un homéomorphisme
un ouvert V
de U sur V, on en déduit que V cf([R;n)
et donc que f([Rn)
est un voisinage
de y puisque V en est un.
Finalement,f([Rn)
est un voisinage
de chacun de ses points, c'est donc un ouvert de [R;n.
[Rn étant connexe,
les conditionsf([R;n)
ainsi
f est surjective:
ouvert,f([Rn)
,*0,f([R;n)
fermé, donnent
f([R;n)
=[R;n,
4).
De 1) et 4), on conclut alors que
f
est bijective.
Ex. 3.8 1)
Soit
cp:
[a, b]
t
~[R;n,
~
0 tel que B(x,
ï)
U est lui-même
C U.
t
0
> 0
? 5--rt>0
52 -
rt
"2 ; ainsi A est un point col de f.
X
D'après la deuxième remarque initiale, les résultats sont identiques pour les points ( -aV6, 2)
o
aV6
yo) .
Etude globale. L'image def est aussi celle du compact P = [O. aV6] x [O. ses bornes. L'étude précédente a montré que:
'TT]
doncf est bornée et atteint
s~Pf(x, y) = 52a
est atteint aux points
(±aV2, (2k + 1)
inff(x. D
est atteint aux points
(O.
y) = -aV"G
2k
'TT)
'TT)
k
E?L
k
E?L
120
f: [R2-+1R,(x, y)
La fonction
f--')
V X2 + y2 + J
f(x, y) =
-1
Précis d'Analyse
Il
est continue sur [R2, de classe
el
sur [R2\ {O}.
a= inff
Comme D est une partie compacte de [R2,on dispose des bornes Sur l'ouvert il= {(x, y)/O < x2 + nulle en ce point.
af
x
J
et
D
[3=
supf.
D
< 9}, sif atteint un extremum, alors la différentielle def
af
y
a=
Ona -a-= x yx2+y2 ~ et y yx2+y2 ~+2y. On constate que df ne s'annule pas sur les extremums de f sont atteints sur la frontière de •
Etude en O.
f(x,
y)
il :
-1 avec égalité en 0 seulement.
;3
Doncf présente en 0 un minimum absolu strict,f(O, 0) = •
J
Etude sur (C) : x2 +
On a f(x, y) = 2 +
J
E
est
il.
-l.
= 9.
[2,11].
= 11 atteint aux points (0, 3) et (0, -3).
Donc supf D
Ex. 3. 11 1)
Les points critiques de G sont définis par:
-a (x, y, z) + -a (x, y, z)-a (x, y) = 0 x z x agag acp { ay(x, ag ag acp y) = 0 y, z) + az(x, y, z)ay(x,
z =cp (x,
y)
La conclusion résulte donc de :
af
h(x, y, z)
acp --ax(x, y) =
af
az(x, 2)
acp af ( ay(x, y) = _ ay af x,y,z)
az(x,
y, z)
y, z)
Application
f(x, y, z) = x + y + z - 3 a, l'équation f(x, y, z) = 0 définit évidemment une fonction de (x, y), on peut ici expliciter: cp:
(x, y)
f--')
z
= 3 a -x -
y
ce qui permet de faire une étude directe de la recherche des extremums de G: G: (x, y)
f--')
xtnx
+ yeny + (3 a -x - y) .en(3 a -x - y)
Nous allons procéder différemment: la condition (1) s'écrit
•
1 + enx = 1 + en y = 1 +.en z
on en tire x = y = z, G a donc un seul extremum possible: en (a, a, a) . •
Posons alors
la condition
x =a +U, y =a +v,
x +y+z= 3a
en(a +u) = en a +-
{ •
-
--2
w = O.
+ oCu )
a
On obtient
d'ou
z =a +w,
u+ v +
donne
2a 2 (a +u) .en(a +u) =auen a u2 +u(1 + €n2a) + ; a + IL
1
g(x, y, z) = 3 a ut a +;ra(u
Ainsi, il est clair quef
2
oCu2)
2 9 9 2 9 + v + w-) + oCu- + v + ur)
atteint en (a, a, a) un minimum local et strict de valeur 3 a en a.
Chapitre 3:
121
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul différentiel
Exercices proposés Ex. 3.6
Ex. 3. 1 Soit E = ~3 [X] etj
E
el
([;;;;2 ,
Ex. 3.2 :E -
IR)telle que:
E e2(~"2,
2
Montrer que F : E -~, P '-" fol Jet, pet»~ dt est de ciasse el sur E. Calculer dF.
E =Jtn (~), montrer quej
j
Déterminer
;2).
E,A '-" AtA
2
V (x, y) E IR'2, ~ + a { (x, y) _ i ax
aj
a { (x, y) ay
aj
-yay(x, y) + xax(x, y) = o. On utilisera le changement de variable défini par u=€nlxl =€nlyl·
est de classe el sur E. Calculer df. Déterminer jE
Ex. 3.3 E
=Jtn
e2(U, ~), avec U ouvert de ~2
à préciser, vérifiant: (1 )
(R).
j :X
1)
Montrer que el sur E.
~ X2 est de classe
2)
Montrer que si X E en (R),
a2j a2j a2j 2(i-x)----::-2+2y-a-a-+----::-2-(i-x) dx x y ay
=0
en utilisant le changement de variables défini
djx
est un
Ex. 3.4
= u2 + v2
y = u+v
par
~
(2) ~
. a2j a2j ----::-2 + 3xy TT ax x y +2
isomorphisme .
,
i
a2j ay = 0
----::-2
en utilisant le changement de variables défini Déterminer jE
el(u,
par
à préciser, vérifiant: (1)
aj aj -.- -.+ 3(x âx dy
(2)
u = xy
,
.
Soitj V
V
--2- ,
Ex. 3.5
E e2(IR~,~)
r = V x2 + y2,x
=
= O.
(x, y)
E ~2
9E
eco (~2, ~) telle que
,f(x, y) = yg(x, y)
Trouver nie par
j
E e2(IR~, IR)telle que
z) ~
j (x2---;+ 2)
a2j
:IR3---+IR défi-
vérifie ~
9
=
O.
et h E e2(R~)
r cos 8, Y = r sin
8
{X y = cos uchv v sin ush définit, au voisinage de tout point
(XO, Ya) = (cos ua ch Va, sin ua sh va), u et v
en fonctions implicites de (x, y).
-2 ax
9
Ex. 3.10
(2) V(x, y)E U,~ (f)=
0)
Montrer que le système:
telles que V (x, y) E U,f(x, y) = g(r)h(8) avec
E eco (R2 , IR)telle que E Rj(x,
9 : (x, y,
E e2(U, R) telle que:
(1) il existe 9
x
Ex. 3.9
On pose U =IR2\ {CO, O)}.
j
y
Montrer qu'il existe
aj ay =0
en utilisant le changement de variables défini u2 + v2 u par: x = Y = Li
Déterminer
v =-.
y
EX.3.a
v = x + y.
aj 2x ax -y(l+i)
x
u = -
y)j = 0
-
en utilisant le changement de variables défini par:
x2
R), avec U ouvert de IR2
a2j (x, y)+ -2 (x, y)=O. ay
Calculer ~ u(x, y) et ~ v(x, y),
(
~u=--2+--2 ax a2u
ay a2u)
122
Précis d'Analyse
Il
Ex. 3. 16
'if
x
Dans le plan euclidien
E C1(1J;gn,[Rn) telle que
Soitf
E [Rn, dfx E (i)n ([R)
rapporté
à un repère or-
on donne les points A(1, 0), B(2, 0)
thonormé, et C(O, 3).
(groupe orthogonal 1)
de [Rn euclidien canonique).
Ilf(x) 2)
Trouver
Montrer que 'if (x, y) E [Rn X [Rn,
Montrer
f
que
(on pourra
- f(y)
Il ~ Il x - y
utiliser
le théorème
4)
Montrer que
:
f
x f-;>
dfx est constante.
est une isométrie
de [Rn.
Ex. 3. 12
A =
avec
y
aXi
a_'j
x
E B(O, g(x) =
2)
que
quel que soit
t E IR, u' (t)
~
_allxI12.
el
telle que,
= (grad Du(t)
x:o E B(O. r).
lim u(t) =
t~+x
f=[R~2~IR,(x,Y)f-;>xtny+ytnx f:[R2~[R, f-;> ~
O.
el sur
-
xy + ~
f -
V x2
+ y2
f-;>
u+v 2
D.
à
un repère orthonormé
montrer que,
en (a, b, 0) au plan xOy et tangente
E=
eO([O, 1], Ji) normé par:
Iif Il ex; = sup Lf(x) 1
et F = {J E e1([0.
ilfllF
Soit 'F: F 2 .
(1 + u )(1 + v )
Ex. 3. 15 inscrits
1], R),f(O)
= O} normé par
= sup V(x)! [0.1]
E, 'F:f
1)
Montrer que
2)
Montrer
f-;>
(on pourra sion locale).
f2
'F est
que f2
une solution les triangles d'aire maximum
dans un cercle.
0
[0.1]
Ex. 3. 14
Déterminer
y) =
au graphe de f.
ff-;>
[0.1]2
maxi-
pour tout (a, b) E [R2\ Fr D, il existe une sphère
Soit
1)
(U.V)E
D,f(x,
T, k),
(0, T, tangente
de
2)
sup
T.
Ex. 3. 19
Etudier les extremums
Calculer
Fr
f de classe
Ex. 3. 13
(x, y)
de
y) > 0,
L'espace étant rapporté
de classe
avec u(O) = XO,
on appelle
: I5 ~[R telle que
'if (x, y) E D,f(x, 'if (x, y) E
af
LXi-,-(X) i=l dXi
Soit u :[R~[Rn
Montrer que
r) E [R~2 tel
r), n
M intérieur à T,
r les distances de M aux trois côtés Trouver M pour que le produit pqr soit
et soitf
Prouver qu'il existe (a, 'if
Etant donné un point
p, q,
Soit D un domaine de [R2 tel que I5 soit compact
négative. 1)
du plan euclidien.
(0) est définie
d
y
un triangle
Ex. 3. 18
,2f
au =
T
mum.
E e2([Rn, [R) telle que dfo = 0 et [au]
Ex. 3. 17 Soit
Montrer que df
Soitf
soit minimale.
d'inver-
sion locale). 3)
du plan telles que
Ç1
+ d(B, m2 + d(C, m2
II·
e2 sur [Rn
est de classe
les droites
d(A, Ç1)2
+
+ f. de classe
f
el
= 9 admet dans E
pour Il 9 Il ex; assez petit. utiliser
le théorème
d'inver-
Chapitre IV
Séries numériques et vectorielles
1
1- Généralités E désigne un IK-espace vectoriel normé (IK==~ou iC).
A. Espace vectoriel des séries à valeurs dans d.1
Soit
une suite
(Un)nEN
On appelle
E
à valeurs dans E.
série de termeg-énéralun
le couple de suites:
n
d.2
La suite
(Un)N
de tenne général
Un
L
==
est dite suite
Uk
k=O
1
d.3
des .sooonéS Une série
de la série de tenne général
à valeurs dans ~ (resp. dans
iC)
Un.
sera dite réelle (resp. complexe).
1
n.1
La série de tenne général
Un
L Un.
sera notée
1
Remarque Une série Un est entièrement définie par la donnée de la suite (Un)N (suite des sommes partielles). En effet, on a ua ==Uo et ';f nE N*, Un ==Un - Un-l.
L
dA
Soit
(Un)n;;,no
La série pour
une suite
à valeurs dans E, définie à partir du rang
L u~ où (U~)N est
n ;;;, no,
définie par
uh
==ui ==... ==~-l
est encore appelée série de tenne général
Un
no E
N*.
==0, et u~ ==Un et notée
L
n;;,no
Pour la suite
(U~)N
des sommes partielles,
on a alors: n
';f nE
N,
n ;;;, no
=?
U~
==
L
k=no
Uk
Un.
124
Précis d'Analyse
d.S
Soit
L Un une série à valeurs
dans
E,
la série
2=: Un n~no
(qui est du type défini
en dA) est dite déduite de LUn partTO,fiçàtupe au rang Si
(Un)nE N
2=: Un n~no
t.1
et
(U~)n~no
Il
Il{).
sont les suites des sommes partielles de
2=: Un
et
respectivement, on a :
n?
V nEN.
L'ensemble
S(E)
=}
Il{)
U~ = Un - Uno-l
des séries à valeurs dans
E
est un IK-espacevectoriel.
1
~
On vérifie que c'est un sous-espace vectoriel de EN x EN. D
B. Séries convergentes d.6 1
L
Une série Un à valeurs dans E est diteconyerge~te suite (Un)N de ses sommes partielles est convergente. Une série non convergente est dite
si et seulement si la
+00
d.?
co:nv'er~;eIlteL
On appelle sornm.e E
défini par
"'"' L..,; Un
n=O
et on note
n
+00
de
Un,
= n--+ lim +00 "'"' ~
2=: Un l'élément n=O
Uk
k=O +00
Dans le cas d'une série 2=: Un convergente, la somme est notée 2=: Un et on a : n~no +00 n=no n 2=: Un = n--++co lim 2=:
p.1
Uk
k=no
n=TID
Cas où E est de dimension finie p. Soit (ei)lE;iE;p une base de E, (Un)nEN une suite de
t
E
et
(Uh)nEN.
Ci
E [1. p])
ses suites composantes (v nE N. Un = t=l u~ei) La série L Un est convergente si et seulement si les p séries composanteE L uh . (i E [1, p]) sont convergentes. Alors ~
E = f;n E u~ p
+00 Un
En posant
(+00
)
ei
n
p
Un = L Uk. U~ = L u~, k=O k=O
on a
Un = 2=: UAei i=l
Cas particulier
L
Une série Un à termes complexes est convergente si et seulement si la série de' an et la série des parties imaginaires bn sont convergentes. parties réelles +00 +00 +00
L
Un = an + ibn. (an. bn) E (R2.Alors
L
2=:(an + ibn) = 2=: an + iL bn. n=O n=O n=O
j,-.,j"-
ILO
=:hapitre 4 : Séries numériques et vectorielles p.2
L Un
Une série
E S(E)
et une série
L
Un
s'en déduisant
par troncature
n;?;no
sont de même nature.
1
p.3
Si deux séries ne différent même nature.
1
Application
Il assez
Il.
grand, on dit que la nature d'une série est une notion asymptotique.
Reste d'une série convergente
d.a
Etant
elles sont de
L Un ne dépend donc que du comportement de
La nature d'une série unppur
que par un nombre fini de termes,
1
L
donnée une série convergente
Un E S(E)
et p un entier naturel,
n;?:no
p
:?o
no, on appelle
L
la série
+=
Rp=
Un:
Pour tout p
:?o
L
de cette série et on note
Rn =
no, on a alors
~+00
Un = Up
+ Rp
(PUp = ~
L
n d'une série convergente
le reste d'ordre
Uk
Pour tout
n
:?o
no,
D
Un )
k=n+l
pA
la somme de
Un
+00
Soit
Rp
n=p+l
n;"p+l
~
p
reste d'ordre
L
Un·
n~no Un
= Rn-l -
Rn
1
p.5,:K"
lim Rn = O~·
n--++oo
1
Remarque +00
p-l
On pourra aussi rencontrer les notations
Up =
L
Un
Rp
= LUn. n=p
n=T1Q
2. Conditions nécessaires de convergence
t.2
Gritèrède Cauchy Pour qu'une série que
\ISE
L Un à valeurs
dans E soit convergente,
IR:, 3 NE N, \1 (n,p) E r\:P, n:?o N
=?-
IlE ukll
il est nécessaire
<s
La suite des sommes partielles doit être de Cauchy, on obtient le résultat en notant que n+p
Un+p -
Un-l
=
L
k=n
Uk
D
126
Précis d'Analyse Il Application La série harmonique (
U2
t.3
n
-
Un =
diverge. En effet:
n+1 n+2 2n _1_ + _1_ + ... + ~
donc
U2
n
-
Un ~
dans E soit convergente, lim Un = 0 +CXJ n........•..
que
2n
n (~)
L Un à valeurs
Pour qu'une série (mais non suffisant)
1
lrW
1)
n ~
Un = ~,
2
= ~
il est nécessaire
On applique le critère de Cauchy avec p = O. L'exemple de la série harmonique montre qu'il ne s'agit pas là d'une condition suffisante de convergence. D
Application On utilise ce théorème pour mettre en évidence des divergences, par exemple: Un = an, a E C, pour 1al ~ 1, Un ne tend pas vers zéro, donc Un diverge.
L
Définition: d.9
Une série dont le terme général ne tend pas vers zéro sera dite grossièrement
1
3. Condition
divergente.
nécessaire
et suffisante
de convergence
Théorème:
tA
L
Soit E un espace de.Banach et Un une série à valeurs dans E. Pour que Un converge, il faut et il suffit qu'elle vérifie le critère de Cauchy. Ce qui se traduit par l'une ou l'autre des formulations équivalentes suivantes:
L
lrW
(1)
\lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Er\P,n~N
(2)
n ,!!;m . +co pEN sup
II~
k=n Ukll =
0
=}
ou
IIEUkll<s
(ou,!!;m. n . +X p""n sup
lit
k=n Ukll =
0)
E étant complet, la suite (Un)nE converge si et seulement si elle est de Cauchy, =} IIUn+p-Un-lll<s c'est-à-dire \lsE!RI.:,3NEf:;J,\I(n,p)Ef:;J2,n~N On obtient ainsi la formulation (1).
L'équivalence entre p
E
f:;J,
(1)
et
(2)
est claire dès que l'on note que, Il ~
donne l'existence (dans
Conséquence pratique Pour montrer qu'une série s'efforcera de majorer nulle.
IlE
!RI.)
de
Sn = pE~j sup
L Un converge Uk!!
Il ~ k=n Ukll 1
unll < s pour tout
avec 0 ~ Sn ~
S.
D
par application du critère de Cauchy, on
indépendamment de p (p ~ n) par une suite de limite
Chapitre
14.
127
4 : Séries numériques et vectorielles
Séries absolument
convergentes
1
Définition:
L
d.10
Une série Un à valeurs dans E est dite absolument convergente seulement si la série;: Un Il E S(R) est convergente:---
1
si et
Théorème: t.5
Soit
E
un espace de Banach et
L Un une série à valeurs
dans
E.
L
Pour que Un soit convergente, il est suffisant mais non nécessaire que Un soit absolument convergente.
L
1
Si
L Un est absolument convergente, L Il Un Il vérifie le critère de Cauchy,
or, on a
!i k=n n+p uk Il ,]II~
L
n+p ~ ~ k=n
Il
uk
Il,
donc
L Un vérifie aussi le critère de Cauchy et
E étant complet, Un est convergente (d'après le théorème 4). La condition n'est pas nécessaire car il existe des séries réelles qui sont convergentes et non absolument
0
convergentes.
(_l)n+l
Un exemple est celui de la série harmonique alternée
on sait que'\"' ~
n~l
15.
~-, n~l
1
(_l)n+l
-n diverge et on verra plus loin que ~
---
n~l
Séries semi-convergentes
n
n converge (exemple 2).
1
Définition:
L
d.11
Une série Un à valeurs dans E est dite semi-convergente si elle est convergente mais non~bsolument convergente.
1
si et seulement
C. Suites et séries
L
On peut, dans certains cas, conclure à la nature d'une série Un en étudiant directement la suite (Un) de ses sommes partielles. Pratiquement, ceci sera possible lorsqu'on pourra n donner de Un = ~
uk une expression simple en fonction de n.
k=O
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 /_/_/_/
La série géométri~ue
_
an, a E C, (par convention
~ n~O
•
Si
a
of.
1
n Un=~a k=O
k
1-a n+l
=-.-
'if
a E C, aO = 1).
128
Précis d'Analyse
•
Pour lai < 1,
lim
1
an+1 = 0, donc
n-++oo
hm
Un =
n-++co
1- a
1
+00
La 1-a Pour lai;:;. 1, an ne tend pas vers zéro, donc L an est grossièrement
La série géométrique est alors convergente avec •
""' n = _ n=O
divergente.
pie 2
L (_lf+1 n
n~l
•
i: = 101 tk-1
Sachant que
dt, (k E N*), il vient:
Un=L--= n (_l)k+1 k=l k
Jo l+t r1_d_t
Or,
=.fn2 et
1
L(-t)
!n1 n 0 ( k=l
dt=
k-1)
lol0
1----dt 1(_t)n +t
Jo n+1 r1_(l+t __t)_n dtl,,; Jo r\ndt=_l_.D'OÙ
!Un-tn21,,;_1_1 n+
Ce qui montre que la série harmonique alternée est convergente, de somme:
hm
n--HOO
=
Un
+:0: (_1)k+1
L ---=k
.fn2
k=l
exemple 3 dont le terme général s'écrit ••
Un = hn+1 -
Proposition Soit (hn) une suite de E et (Un) la suite défine par
'ri nE N, Un = hn+1 - hn.
La série de terme général Un est de même nature que la suite (hn)l'\j, et, dans le cas de la
+x
+00
convergence, on a
""' Un = ~""' (hn+1 - hn) = -ho + ~ n=O n=O n
Il suffit de remarquer que
• Onaici
hn
'ri nE N, Un = L Uk = hn+1 - ho k=O
Application : Etude de la série
'rInEN,
lim n--++oo
1
L
n~O Arctan
1 Arctan
2
n +n+1
= Arctan(n
n2 + n + 1
+ 1) - Arctan n
'lT
donc, puisque
n-++oo lim
Arctan(n
+ 1) = -2 ' la série proposée converge avec: +00
L
""' n=OArctan
1 n2 +n+
'lT
1 =
'2
Il
Chapitre 4:
129
Séries numériques et vectorielles
Remarque La proposition précédente s'utilise aussi pour ramener l'étude d'une suite à celle d'une série. n 1 Par exemple, la convergence de [a suite de terme général Analyse
1,
hn =
Lk k=l
en n, (voir
Chapitre VIII, Constante d'Euler), peut se déduire de celle de la série de terme
general Un = hn+l - hn = n + 1 - {n 1 + Tl , ,Ir ( Convergence que ['on peut établir au moyen de la règle des équivalents comme on le
1)
verra par la suite: Un - -
1
--9 . 2n-
D. Opérations sur les séries )'
•
Un et )'
L'n
sont deux séries à valeurs dans E et
Si )' Un converge. alors L
À
un scalaire
(ÀE
IK).
+x'
+::c
L
n=û
•
À
Un converge et on a : ÀUn
=À
Lun n=û
Si L Un et ;: Vn convergent, alors L(un + vn) converge, et on a :
+x
L(un n=û
+x
+X'
+ L'n) = L Un + L Vn n=û n=û
•
Si )' Un converge et L Vn diverge, alors L(Un + un) diverge.
•
Si )' Un et L Vn divergent on ne peut rien dire a priori de L(Un + un).
E. Groupement de termes Définition:
d.12
L
Soit Un une sélie à valeurs dans E, une application strictement croissante de ~ dans ~ telle que (0) = o. 0, par application du théorème 9, n~1n -u est de même nature de ·1
tŒ'
Formulaire:
L -un1 converge
f.1
si et seulement si a> 1
n~l
•
Série de Bertrand:
1
L
n(tn n)
n~2
e-(3),f:
Soit a = sup(2,
L
Ainsi
n~l
,,(f3E
IRS)
1 x ~
..
x(tnx)
est positive, décroissante sur [a.
R
1 n(tn
est de même nature que
n)
.l+X {na l3 tdt
nature que
(changement de variable
L n(tn1 "converge si et seulement si
f.2
n~2
+x[.
f3>
n)
.'dx .I+X a x([nx)
Q ,
qui est de même
t = tnx) . 1
B. Premier théorème de comparaison de séries Théorème: Soit
t.10
L Un et L Un deux séries
à termes réels positifs telles que:
'if n E
0"'"
Un"'"
Un
Alors:
il Pour que
L Un converge, il suffit que L l-'n converge, et, dans ce cas, +=:-:
+::>.:
'if
nE
i";.
0 "'"
L
Uk "'"
k=n
iil Pour que Notons
Un =
L
n
uk et
1/n =
k=O
il La proposition
il
limite, l'inégalité
vk, on a
'if
nE '\.
0 "'" Un "'" 1/n.
est alors conséquence immédiate du théorème 8, et par passage à la p p +:': +x 0 "'"
L
uk "'"
L
~n
vk
donne
0 "'"
L ~n
uk "'"
L
cie
~n
L Un diverge, on a n-+x lim Un = +x, donc, de Un Vn = +x et L Vn diverge: c'est la proposition iil.
ii 1 D'autre part, si
lim
L
k=O
~n
n-----'+N
L'k
k=n
L Un diverge, il suffit que ;> Un diverge. n
lB5'
L
"'" \ln, on déduit C' l'
135
Chapitre 4: Séries numériques et vectorielles Applications
Règle: r.i
Critère de Riemann
ou règle
nO'Un
L Un une sélie à termes réels positifs. i / Pour que L Un converge, il suffit qu'il existe Soit
Un =
0 (
~O') (resp.
L Un diverge,
ii/ Pour que
1
~
Si Un =
0 (
Si
1 -----ex
n
quand
)
L
= O(Un) ou
Or, pour ex~ 1.
L
ou
Un =
1
-----exest
n
1 -----ex
n
tend vers
n
0(
~O'
)
,
quand
O(Un»
ilexiste
n
a tel que
a>
tend vers +00
n E N*, a
'cf
convergente, donc, d'après le théorème 10, ilexiste
= O(un),
a tel que,
a>
.
'cf
N",
nE
~
Un ~ ~
L Un converge. a
Un ~
1 nO'
+x
il suffit qu'il existe a~ 1 tel que:
1
~O'
Or, pour ex> 1,
0 ( ~)
Un =
(resp. ---ex n =
= o(un)
n
-----ex
a> 1 tel que:
est divergente, donc, d'après le théorème 10,
-----ex.
n
L Un diverge.
D
Remarque Les conditions Un = 0 ( ~O') et Un = 0 ( ~O') se traduisent respectivement par lim nO'Un = a et (UO'un) est bornée d'où le nom de la règle. n---'-+co Exemple: Série de Bertrand:
1
L
(a,
Q'
13) E 1R2
n;;e2 nO'(€nn)
• Le cas
ex=
1 a été étudié précédemment,
1 noter, que pour j3~ '." • Cas 1 <ex: On a
0,
l'inégalité
n(fnn)
1 11peut être utilisée.
13 ~
soit '( réel tel que 1
1) ou
(ex=
1 et
13>
1)
136
Précis d'Analyse
Règle: r.2
Il
équivalents
I: Un et I: Un deux séries réelles
telles que, au voisinage de +x, Un ~ 0 et Un ~ Un. Alors, on a également Un ~ 0 au voisinage de +x et les deux séries sont de même nature.
Soit
~
On a, lorsque n tend vers
+x,
Un - Un = O(Un) et
Un ~
O.
1 Il existe donc no E "'J tel que, pour tout n ~ no, Un - Un 2" Un 3 donc Un ~ 2"Un et Un ~ 2un. On conclut avec [e théorème 10. 1
~
o
Remarques 1)
Cette règle très importante permet de ramener l'étude d'une série (:compliquée» à celle d'une série «p[us simp[e». Il sera utile de déterminer ['équivalent [e plus simple possible. La technique de calcul peut utiliser [es développements [imités au sens fort.
2)
Cette règle s'applique aux séries de signe constant à partir d'un certain rang.
3)
Cette règle est en défaut si les séries comparées ne sont pas de signe constant au voisinage de +x, (voir exemple 16 deuxième remarque)
Exemples - Travaux pratiques
exemple 6 ,~~/
l'Etude •
_
de la série de terme général
En développant Un on obtient:
Si a
*-
~,un ~ ( ~ - ~)
Si a = ~. Un =
t) (:3)
Un = {/n3 + an - \/n2 + 3. (a ER)
Un = ~ (~
~ et)" et;
- ~)
+
t) ( ~)
Un diverge
(règle des équivalents)
un converge
(règle nCiun).
exemple 7
t=-Et ~tu d"e' d e la sene ~. de terme ' genera ~ ~ l 1
1 (n + 1)1+1 n = n 1+1 n 1 + _n (
Un = nCi 1 [,ln +
J
l'
Fianlement
(n-1) (n+I)'n
= n ('
1_1n =ne _ tnn+o( n 1+11-1
-(n-li
D'après ['étude des séries de Bertrand,
(
0 ( ~ ) ) = ~ + 0 (~) tnn 1+ ----rL
(n + 1) 1+1 n = n e tnn+o(tnn) n n
De même
J
n = n e -+n 1+-) 1+n tn ,n; tn n (' 1\
) 1+1
Or (1 + ~ ) tn (1 + ~) = (1 + ~) (~+ Donc
11+1 n - \H " - 1·1-1] ! n
+
07, .
= 0 (
= n + tn n + o(tn n)
('tnn'))
tnn ') =n-{nn+o(tnnl ,n.
n =2tnn+oCtnnl
L Un converge
et
Un -
t~ n)
tn n 2--
si et seulement si
nCi
CD
1.
Chapitre
137
4 : Séries numériques et vectorielles
C. Sommation des relations de comparaison Théorèmes: t.11
Soit :L
'> L'n deux séries à termes réels telles que:
et
Un
•
'> L'n est à termes positifs à pmiir d'un certain rang
•
~
•
Un =
converge
L'n
n tend vers +x.
alUni quand
L
L
+:..:::
i\lors,
[@f'
les restes
d'ordre
IRn\
•
:L
•
Un
Alors, :L On a ici
no,
~ SUn.
[Uni
L'n
1
Uk[
~S
k=n+1
L
uk
k=n+1 D
deux séries à termes
+-=-~
L'n
quand
réels positifs à partir
Un -
Un
=
et les restes Rn et Tn vérifient
c'est-à-dire
Rn - Tn = o(Tn)
exemple 8 un équivalent
+x ~? L
simple de
le=n
1 k~
quand n tend vers
1
en considérant
la série de terme général
L'n= ---n
en considérant
la série de terme général
wn=! n
1)
D'après le théorème 12, on a alors Un = n(n + 1)- n2'
Or
~+x
1
n+ 1 n+1 dx
2x
1
1
(1k - k+1)1
n
Rn
-
Tn.
+r:x=:
Le théorème 11 s'applique et donne:
o(L'n).
Exemples - Travaux pratiques
•
d'un certain
n tend vers +x.
converge également
~ (un - L'n) = a ( k=n+1 ~ L'n)' k=n+1
1
vérifient
Ule
k=n+1
converge
Un
Un
n ~
Tn =
Tn
~S
Soit:L Un et )' rang telles que:
~L
+:-:
Ik~l
Pour tout n ~ no, on a c'est-à-dire
et
Uk
k=n+1
est absolument convergente d'après le premier théorème de comparaison. +::>: +x
Un
i
[@f'
Rn =
--.!!~n=o(!n) quand n tend vers +x. Po~r-tout:; 0, il existe no E; ~'jtel que, pour tout La série '>
t.12
n
L 2'1 - L (1k -
+x k k=n
donc
+x k=n
1)1
k+
+x
D
138
2)
Précis d'Analyse
De
__ cIx (n +1_ 1)2 ~;,n+1 n x2
Or
Li
Ie=n le
~
L k1 L l'k+1 2x 2" ~ +co
+C0
cIx
Ie=n' le
1 1
+co
=
x
wn~2n
~ ~n2
Ie=n
,laI
1
on déduit
D'où, d'après le théorème 12 +0::.
rco
.1n
Il
L
donc cIx = ~ n
Ie=n k2
x2
~;:1
exemple 9
Lk ----a 1 ) de An = '"
Œ>
1
de Bn = Lk1.nk '" (f) 1
2)
Ie=n i:alent simple quand n tend ver::% Ie=n !1Touve,"n :;:'.
•
1)
De
---~ (n +11)C
)Œ
clx -Πx(tnx)
Bn - '. n
--,
Bn - (a -l)iJnn)
Théorèmes:
t.13
L Un et Vn deux séries à termes réels telles que: • L Vn est à termes positifs à partir d'un certain rang • L Vn diverge
Soit
•
':>'
Un =
quand
O(un)
n
tend vers +x, n
Alors, les sommes partielles
Un =
L
n
et
Ule
L
Vn =
Ic=O
quand n tend vers
+
L'le vérifient Un = olYn)
Ie=O
x, 8
~
Pour tout 8> 0, il existe no E 'c tel que, pour tout n "'" no.
Un ~ 2L'n.
n
En écrivant, pour n"'" no,
=
Un
Un:>
+
L
ule
k=no+1
n on obtient Uni ~
i
Un" + ')-'8
'" L
L'k
soit aussi . Un: ~ 1
Unr,!
-
~8 l'Tl{, + ')8 vTn
')
....
k=nê+1
8 Un. , - Par ai[leurs, on a
lim Iln = +x n-+:,:
donc
hm
n-+:--:
2
1.(1 [
Vn
ITn. lU)
=0
Chapitre 4:
139
Séries numériques et vectorielles
1': et il existe nI Finalement,
?
tel que pour tout n
EC,
n ~ max(no. nl)
=?
1
nl
Uno 1
1':
"2 Vno ~ "2 Vn.
-
Uni ~I': V'n, d'où la conclusion
o Soit:>' Un et :>' Vn deux séries à termes réels positifs à partir d'un certain rang et telles que: • ) Vn diverge
t.14
•
Un ...:...-;: L'n
Alors, :>' Un diverge également et les sommes partielles
Un
et
Vn
vérifient
Un - Vn. +x ~
On a ici
Un - en = olvn!.
f(UK K=O
vk) =
0(f
K=O
Le théorème 13 s'applique et donne:
Un - Vn = o(Vn)
VK) " c'est-à-dire
Exemples - Travaux pratiques
exemple 10
_
ken k '. En déduire un équivalent simple, quand n tend vers +x de ~ Vélific' que, l",-'que n ten d ve" +x n ln n - (fn ({n(n + 1)) k=2 ~ (n f~ n)
l"
•
Un calcul de développements asymptotiques donne: tn(tn(n
+ 1)) - tn(tn n) - nt~ n
1 D'après l'étude des séries de Bertrand, ~
n~2
1
n d'après le théorème 14 on a """' L
n=2
n
ktn k - ~
~
k=2
est divergente à termes réels positifs, donc
K=2
(tntn(k
+ 1) -
tnth k)
1
n
soit
-1:n1.nn
-{k~nk - ftn " (tn(n+
1») - tntn2]
- tn(tnn)
exemple 11 n
un équivalent simple, quand n tend vers
+x, de
~ -,-
1 _.
Œ
1. Un diverge grossièrement si t= 1, on ne peut rien dire.
L
n ~ no
=? +X
n ~ no
n ~ no
L Un diverge grossièrement
... / S"l1 eXIse . tEl'
grossièrement
de terme général
unln~nü est croissante,
l, soit
Si .(
Vn
Un~l que -'Un
=
À.
1 -
n +
-
est une série absolument
Vn où À.E ~
convergente.
Chapitre 4:
1)
151
Séries numériques et vectorielles
r --Un~l Montrer que ~n Un
= - -nÀ +
U'n où
L Wn est une série absolument conver-
___
Etudier la série de terme général
gente.
2)
En/d&duire qu'il existe A E _
/
A
tel que
~n. " F~~ 4. 14
Un=
(-lPncos n
------
ny"n
Un -:-. ----:\' au voisinage de +%. ~.'- 1] 3)
/
sin n
Ex. 4. 15
~>
Etudfér la série de terme général: /_
Un = \'
n
1
n~TI sin
---=
p=l
i 1)
~
Etudier la série de terme général (_lin
nC 2. L'étude de cet exemple
2)
Montrons
Vn -
1 donc
:L Vn diverge,
1 Vn
=
.2 donc :L Vn diverge,
1donc
Un +x ~
:L Vn diverge.
alors :L Vn diverge.
:>: Un et :L Un convergentes.
Supposons
De
0'
' L'n converge)
-
n~+,:: 0), donne
(R~=~ _R~-Œ)
tend vers R~lΠquand
1 -1-~a u~ donne la convergence
On a de même donc
X-Œ,
a> 0 et n!!.rpoo Rn = 0, la sélle de terme général u~ = R~=~ - R~-Œ est n k=O
o ~ Un ~
f--ô>
Wn = (Rn-l avec
de
L Un par application du théorème 10.
~ Rn)-R1 ~ l'Rn-l n ,Rn
w~ = €nRn_l
n tend vers +x), et l'inégalité
-dx X
~ €nRn.
w~ est divergente car n---;-+x, hm en Rn = -% donc
L Wn diverge (théorème 10).
156
Précis d'Analyse
Le critère de Cauchy
appliqué
L u~ n
à la série convergente
n
an =
'""' L.,
converge
Uk ka
vers O.
Envisageons
montre que la suite de terme général
alors deux cas selon [e signe de a.
k=E(~)+I 1)
Si
an ~ [n - E (~ )]
2 n - E (-2n) +x ~.!2:
On a, par ailleurs,
donc
[
n - E
~~ > 0
n +x ~ Un
-2
----ex
( n)]
-2 n
1
Un
I-a
n!iIfoo [n - E (
donc
(car
et
Il
n-
n~+x l.m n
l'
= O.
-2-)1
"2 (n)
E
i)]~:
="2 ou n n+ Un =
I-a
O.
2)
q
0
et on conclut de la même manière.
Ex. 4.8 Montrons
que le critère de Cauchy n'est pas satisfait.
Soit k EN.
c -3TI "" -Lnn
2k'iT
Pour
"" 2k
TI
'TI +3' c'est-à-dire
e
21(,Ti~.:!I
3 "" n "" e
2kTi+~
3, on a
1 2'
cosœnn) ~
n2
nI = E ( e2kTI-
Posons donc
TI
-
CTI--3
on déduit
donc
=
L
un·
n=nl+I
Sk~~'
21
e
e2k '1T+3) .,,\
n2 = E (
Sic
n2 - nI
On a alors
De
i)
et
1 < nI ""
nI +'x' ~ e2kTInI
lim
-
k-+cx:· n2
=
En conséquence,
2k e
et
i
-+x
puis
3
TI TI+-3
e~
')k
-
1 < n2 "" e -
=
1 - e
TI TI+~3.
21c.,,+ or
n') ~
_2TI
e
'7k
TI
TI--3
e
lim
k~+x
3
n') - nI
----
n2
-2." > 0
3
Sk ne tend pas vers 0, d'où la conclusion.
Ex. 4. 9
l On a pour n ~ 1, Ainsi, [a série Pour
p ~
Ona
10p-1
L Un est à termes
1, posons
L
vp ~ C10P - 10p-l)
wp = 9 ·10P
1 - CI -
10-P)P
l
et d'après
[la -
1)~]
C10P -
= 1 - eP'
le théorème
L vp est déduite
[1- C1-1O-P)~].
L wp (à termes 6.
n < 10P . nP < 10 et Un>
donc
O.
positifs.
vp = Un : IOp-l ~n:) ~A f(x)
(nf(-a')~ a -
donc
x, À
pour tout n "'" a, 0 < f(n)
e-n
et)'
~
est une série géométrique
tn (Jfn+l)) f.(n)'
f(n+ 1) = f(n)
lim tn ---
n-+x En conséquence,
t
t
alors:
11' e la
convergence
de
convergente).
=?
lnr+l f(t) f(t)dt~A
(2) traduit que: f(n
x
ou encore que
f(n)
donc
+ 1)
lim=O n-Hx f(n) - f(n
+ 1) +x ~ f(n),
...1... X
...I.......,~
k=n+l
,
Jin + 1) = 0 (I( n))
on a
12 donne
Rn =
x
[l,+x[,VnEN,n"'"a
VAE?c.3aE -', .;Con+llItJ n fit) '-, dr =
le théorème
=?
(1), on déduit:
De la proposition
et, puisque
a-
dr ~
,Œ
À= f(a)eŒ,
a
p>:)
1 --', fir)
a
[l,+x[.x"'"
l(t!
CoX
x "'" a, on
Pour tout
[1,+x[,VxE
aE
f(l() +~
k=n+l
(IOc) - f(k
+ 1))
Rn ~ f(n
+x
c'est-à-dire
+ 1)
Ex. 4. 11 Posons
Un
= tn Un
-
Un
L Un et L Un - UnUn-l
tn Un-l, = tn
1), on a alors:
(n"'"
--
~ --
Un-l (Un)
+x Un-l Un
sont donc des séries
à
Un
- 1
(car -Un-l
tend vers 1)
termes positifs, de même nature.
n
L
Par ailleurs, "'. Ulc = ~l et d'après
(n Un - tn U{)donc
L Un est divergente,
il en est de même pour
L
Un - Un Un-l
n 12, on a, quand n tend vers
le théorème
+x, L '"
k=l
---uk - ulc-l ~ .en Un. Uk +:0
Ex. 4. 12
1)
On a
w --Un f)
Pour
n assez
Pour tout
= th
un+l
(
1- -n
grand, on a
n "'" 1, on
Il en résulte que
L
a
1
1
)
Un < 1
Un ~ Tl
L ( Un -
Wn et finalement ment convergente.
+ Un
À
où
1
1
donc u~ < Un et 1
IUnl donc
À)2 = Tl
L u~ est convergente.
Un est ab:olument L Tl
L (2Un - 2Àun -n-
Wn = .en (
1
U:~l)
À) + n2
+~ =
Un
convergente.
est absolument
+ (') (
(un
convergente
_ ~ )
2)
est absolu-
158
2)
Précis d'Analyse
Avec les notations
Il
du 1), n-l
en
-Ul (Un)
= L en -= uk n-l uk+l k=l
L -k + Wn-l n-l1 k=l
À
+'X
Or,
Wn-l =
L wk k=l
W + 0(1) avec W =
Wn-1=LWk k=l
où
n-11 L k ='1 + €n n+ 0(1)
et
k=l
('f constante
d'Euler),
A Un = ule-;\,Y-i>.€nn+W+O(l) et
donc
3)
vn SIn .1 Vn;::; =
-Un+l Un =
On a ici
Un ~ )\ +,x n
? n- . 1 0 (1)
1
Un +-:::.:
donne:
E Ri~.
-6n +
1 -
A
Le résultat précédent
où A = ule-kY+ÎF
donc
n6
L Un diverge.
Ex. 4.13
•
Si 0'.=[3, Un n'est pas défini lorsque
•
Si 0'.
1
SCI'
Semi-convergence:
0:
sup (.o.~.f3+1) Divergence:
1
0, b > O.
1)
n€nn 3)
(
Un
(€n n)n
=t
)tnn
t= +x).
(éventuellement
a +(€nn)vn
2)
n€n--
Montrer que: si {> e,
L Un converge,
si {< e,
L Un diverge.
(on pourra comparer
(vn+l- vn) vn
4)
5)
2)
€nchn
( €nsh
n)
n"én
(
,1
n(€n n)
au moyen du théorème 15)
R
Montrer que, pour
t= e, on a un cas dou-
teux (considérer les séries
4
n-1
'TI
n+
-Arctan--
6)
L
L Un et
1
L n tn n(.tn en n)
1
R)'
) nCenn)" Ex. 4.4
7)
La suite réelle (un) est définie par ua
€nn (1- _1
)€n"n
et la récurrence Un+l = sin Un.
ex
Etudier les séries
n
8)
Arccos
9)
1+ n
(1 + Jn) (
Arctan(n+ Arctan
'TI [
:> u~, 0:> O.
EX.4.5
Pour tout n E l'''J', on note J(n) le nombre de zéros de l'écriture de n en base 10.
-nvn
n
1)
)
nU
de la série
L
EX.4.2
E R~, la nature
------z.
n
Ex. 4. 6
L Un une série à termes réels non nuls
telle que n--'-+x lim Un =
a
a!lnl
n;;,l
Soit
]0,
ex
Etudier suivant les valeurs de 10)
E
O.
Montrer que, s'il existe un nombre réel r E ]0. 1[ tel qu'à partir d'un certain rang no on ait Un+l -1~ -~ r, alors L Un est convergente. Un
Montrer qu'il existe une suite réelle (xn) telle que:
\::j
n E'\,Xn
= Argth(tanxn), TI
n ••< Xn < n •• +
4'
Etudier la série de terme général: ••
Un
=
n'TI
+4 -
Xn·
Chapitre 4:
Séries numériques
161
et vectorielles
Ex. 4. 11
Ex. 4. 7 Montrer
une suite réelle IXni telle
qu'il existe
é(c + Xn -
V nE.
que:
n=
Application
Etudier la série de terme général
Etudier la série de terme général:
b (,'n n. ( a. Un = Xn - a (,n n - -n
de la règle de Raabe Duhamel
0,
:t
_? bi E ,'ç.
(,n(leb) Ic(,n b
Un = ak=2
et b E IM~.
où a E
EX.4.8 Soit (Un) tement
une suite décroissante positifs.
Montrer
que, s'il existe
tier le > 1 tel qu'à partir d'un certain
leukn
?'o
Dans
de réels stric-
Un pour tout n, la série
le cas douteux,
équivalent
un endi-
L (~-i-,-
n~+x
hm
À tel que
k=2
vergente.
Soit
L an une série
1
Montrer
1) Tl est convergente
k=1
I: Wn
que
sa somme
B vérifie B "'" eA.
L Un une série
en fonction
2)
1)
à
termes
de
1
+x
réels strictement
+x :
'\" L
3)
WP +X' - --
n
2n
En déduire que, quand
+ 0 (~)
Montrer que:
I:-=tnn+'Y+-+o n p1 p=1
L Un diverge, si 0'> 1, L Un converge.
si 0'< 1,
2)
En considérant
les séries
n~
n (1)
Etudier la série de terme général 13'
montrer
que 0'= 1 est un
cas douteux.
Un =
cr (1 - t) dt !nI 2 n n1 .0
tE?~riesà termes quelconques
(-1)
Ex. 4. 14 Déterminer
la nature des séries de terme géné-5)
rai:
7) 8) 6)
.0
[
TI
1)
(_l)n 2)
en n + (_l)n
3) tan
-4 + -- na
(TI
(_1)" 4)
nvln-1
(_l)n)
- 1
nsin vn:
t;
cos XSln !n2 [TI n nx . ( n nvn: 1+ ~1dx1) tn cos tan n2 en21e vn:+(-l)n n
(_l)k]
+x, -
2n 1
Ex. 4. 13
de Bertrand
1
L n(f.n n)
de la constante
Montrer que,
p=n+l
1_ ~n
Calculer
d'Euler.
positifs telle que, au voisinage
Un
converge.
n=2
et
Ex. 4. 10
un+l =
=À.
+x
La règle de Raabe Duhamel. Soit
f.n(en n))
\.Fn = -n - (,n n + fn(n - 1)
que la série de terme
(fI ak)
que la somme
Ie~nlc
1
réelle positive convergente
A. Montrer
bn =
général
un
Ex. 4. 12
EX.4.9
de somme
chercher
de Un en montrant qu'il existe un réel
rang no,
L Un est
on pourra
]
162
Précis d'Analyse
Il
+= (_l)k 9)
en k
2..= k=n
Un
(t ~!)(t (~~)k) - 1 k=ü
10)
11)
k=ü
n p=1
=
sin
'TT
n
yin
]0,1] (on pourra comparer
,CiE
Œ
'TT
\/X
-0-'
x
2..= Un avec r+x
n""l
Etudier la suite de terme général :
II
Etudier la série de terme général
sin
Ex. 4. 15
Un =
+ dx (_l)nxŒ
17
Un
2..= (- ~) 1+= k lenn k=n
1+= n xŒ+13
(_l)n = ~
JI
-dx
Ex. 4. 18
1+ (
Œ
(-1t+1) P
'
CiE
]0, l[ Montrer que la série de terme général
Ex. 4. 16
z(z - 1) ... (z - n + 1)
Etudier, suivant les valeurs de série de terme général:
(Ci,
[3) E !Ri2, la
Un
=
n.,
où ZEe avec Re Z > 0, est convergente.
Sommes de séries
'
/
Ex. 4. 19
n \
f
+x n - aE \- al Calculer les sommes des séries suivantes, en
4)
2..=
5)
2..=
l, . 1
n(n+ ) -' a
n=1
E o.'.,. a
>2 ~ .
montrant leur convergence:
+=
n
1)
2..= n4 + n'" + n=ü
1
2)
+X( E
1 + Vn+1
1 vn-1
...1..00
3)
1
n=O
-vn2)
6)
t
/2 (n(sin x) sinn xdx
n=O 0
Ti
t(_1)n]2 n=O
7) ~ (_Ile n=2 n
cosnxd.\:
0
Suites et séries Ex. 4. 20
Déterminer la nature de la série de terme générai Un - {n2,
Etudier la suite de terme général:
1
n Un
=
2..= ---
Ex. 4. 22 -
Argsh n
Etudier la suite réelle définie par:
k=l~
o
1+ Un
Ex. 4. 21
ua = O. Un+l = ------:z-.
Montrer que la suite de terme général
111
un
=
en+1 + en+2 + ... + e2n -
converge vers {n 2.
n
Trouver un développement asymptotique à trois termes de Un. (n - +:x:).
Chapitre V
Suites et séries de fonctions Notations Dans tout ce chapitre, on convient que: fK= R ou :C,
A est un ensemble non vide,
F est un K-rspace vectoriel normé complet, donc un espace de Banach, ::F (A,
F) est l'espace vectoriel des applications de A dans F donc
dl (A, F) est le sous-espace de
'!Ji
(A,
F) =
r,
(A, F) formé des applications bornées,
::F
Dans le cadre des programmes M, Pet p', on se limite au cas où F est de dimension finie. Comme F désigne toujours l'espace d'arrivée des fonctions étudiées, et qu'en général F = IR ou :C, la norme de F sera notée 1.1
.
f
A toute fonction E::F (A, F), on associe sa fonction norme notée définie par A -[Ri, x H> lf(x) 1
lfl
E'!Ji
(A,
'
II- L'espace vectoriel
normê
C!A(A,F)
Définition : d.1
On appelle
norme de la convergence dl (A,F) ~IR.
uniforme
fH>
sur dl (A, F) l'application:
Ilfl[x
= suplf(x)1 XEA
1
S'il est nécessaire de préciser A, on notera L'espace vectoriel normé (dl (A, F),
= sup lf(x) 1
Ilf II~
XEA
) est noté ÇfJJx(A, F).
Il .
Théorème:
}flt.1
L'espace vectoriel
normé ÇfJJx(A, F) est complet.
1
lf'iF
Soit (jn)~ une suite de Cauchy de dlx
(A, F) : et on a
pour tout nE N, il existe 8n= sup Ilfn~p - fn Il::0 pEN
Pour tout
x
de A, la suite (tn(X))
N
lim
n-++oc,
8n= O.
est de Cauchy dans F car:
sup lfn+p(x)
- fn(x)
1
'-S;8n
pEN
Or F est complet, donc elle converge :f(x) Cette fonction est bornée car
lfn+p(X)
donne, en faisant tendre p vers +x,
1
= n~+oo lim
lfCx)
1
'-S;
ce qui définitf
+ 8n'-S; Ilfn 1100 + 8n [[fn 1100 + 8n.
lfn(x)1
'-S;
fn(x),
: A -+ F.
IR)
164
Précis d'Analyse
De même et donc
IIJ -
lfn+p(x)
Jn
\\00
La suite de fonctions
~On
- fn(x)1
donne
~on. Il en résulte (fn)"'d
lf(x) -
IIJ -
lim
n----:-+oo
fn(x)1
~on
Jn
= O.
1100
converge donc vers J dans l'espace
7A00
(A, F).
Il
o
II - Convergence d'une suite ou d'une série de fonctions A. Convergence simple, untforme, normale Définitions :
d.2
Suite et série de fonctions
1
On appelle suite de fonctions une suite (fnh" de terme généralJn E;iF (A, F). On appelle série de fonctions une série ~ Unde terme général Un E;iF (A, F). n
La suite de fonctions de terme général Sn =
L
Ui
est la suite des sommes
i=O
partielles de la série de fonctions
L Un.
Remarques 1)
L'étude d'une série de fonctions
L Un peut ainsi se déduire
de celle de la suite de
fonctions (Sn)N' 2)
Les fonctions Jn doivent avoir un ensemble de définition commun A (A ne dépend pas de n).
d.3
Convergence simple d'une suite de fonctions On dit que la suite de fonctions (fn)'" de ;iF (A, F) converge simplement sur si, pour tout x E A, la suite Vn(X») converge dans F. On appelle limite de la suite Vn) ", la fonctionJ de J :A
dA
- F,
X i--7
;iF (A.
FI définie par:
hm Jn(X) n-+x
Convergence simple d'une série de fonctions On dit que la série L Unde fonctions de ;iF (A. F) converge simplement sur si, pour tout x E A, la série de terme général Un(x) converge dans F. On appelle somme de la série Un, la fonction S de ;iF (A. F) définie par:
L
+x
S : A - F,
X i--7
L
un(.>':)
n=O
Il s'agit de la convergence simple sur A de la suite (Sn)'" série de fonctions
d.S
L Un·
des sommes partielles de la
Convergence uniforme d'une suite de fonctions On dit que la suite de fonctions Un)'" de ;iF (A, F) converge unifonnéme~t lim ilJ - Jn cc = O. sur A s'il existe une fonctionJ de .ey (A, F) telle que n---'-+x'
Chapitre
165
5 : Suites et séries de fonctions
1)
Remarques Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonctionJ - Jn (n ~ r) est bornée et que la suite Cf - Jn)n~r converge vers 0 dans élAx (A, F).
2)
Dans ce cas, pour tout x de A, Lf(x) - Jn(x) IIJ - Jn Iloc : la suite de fonctions converge simplement sur A versJ, (c.f propriété 1 suivante). 3) Il se peut qu'une suite de fonctions Cfn)N de ;if (A F) converge simplement sur A vers JE 2F (A, F) et uniformément sur une partie B de A c'est-à-dire n--++oo lim IIJ - Jn II~ = O. 1
~
Cfn)',
La limiteuniforme de 4) d.6
sur B est la restriction de J à B. qui converge uniformément sur A
Une suite (Jn)', de fonctions bornées (ln E éIA (A, F») a une limiteJ bornée if E éIA (A. F)). Convergence
uniforme
d'une série de fonctii?1:ls
L Un
On dit que la série de fonctions
de
L
sur A si la suite de fonctions Sn : n ~
;if
(A, F)
Ui
converge uniformément
n
sur A
;=0
1)
Remarques Dans ce cas, la série de fonctions :>: Un converge simplement sur A +x On dispose de la fonction somme
S : A ~ F,
et de la suite de fonctions
2F
x ~
L un(x) n=O
(Rn)'"
de
(A, F)
(reste d'ordre n) : +%
Rn : A -;- F,
L
x ~
Uk(X)
k=n
2)
Dans ces conditions S - Sn = Rn+1 et il est utile de retenir: La convergence uniforme sur A de la série de fonctions Un équivaut à la convergence uniforme sur A de la suite de fonctions (Rn)', vers 0 (fonction nulle de ;if (A, F)).
L
Convergence
normale
d'une série de fonctions
On dit que la série de fonctions
L Un
sur A si la série réelle de terme général 1)
2)
de
;if
Il Un
(A, F) converge normalement
est convergente.
Remarques Ceci suppose qu'à partir d'un certain rang r, chaque fonction Un (n ~ r) est bornée. La convergence normale est une notion qui ne s'applique qu'aux séries de fonctions.
Propriétés: p.1 1
~ p.2
ConvergenceJ!!?iivYïl18 =? convergenc~_~:p~ Pour une suite ou une série de fonctions de 2F (A, F), la convergence uniforme sur A entraîne la convergence simple sur A. C'est l'objet de la remarque 2) de la définition5. Convergence normale =? convergence uniforme Un de gji (A, F) converge normalement Si une série de fonctions elle converge uniformément sur A
L
1
sur A alors
La série de terme général Il Un , (n ~ r), est convergente: pour tout x E A, IUn(x)1~ Il Un Ilx Un (x) converge. donc, par critère de comparaison de séries positives, la série Un. C'est la convergence simple sur A de la série de fonctions
L
L
166
Précis d'Analyse
Introduisons les restes d'ordre
n de la série
L Il
réelle
Il
+x
Un
Ilx,
L
pn=
Il U/c
/c=n
+x'
L Un,
et celui de la série de fonctions
A ~ F;
Rn:
L
X f--?>
u/c(x), Majorons :
/c=n
""Pn 1
E n+p
u/c(x)
d'où
"" EIU/c(X)1 n+p
1
IRn(X)1 ""pn
,
"" EII n+p
Il Rn
U/c ""Pn
et
lim
n---i-+,x,
Il Rn Ilx = O.
Comme la suite de fonctions (Rnh converge uniformément sur A vers 0, la série de fonctions Un converge uniformément sur A.
L
Remarques 1)
Une série de fonctions
L Un de
2F
(A. F) peut simultanémant converger:
simplement sur une partie B de A' uniformément sur une partie C de B et normalement sur une partie D de C. 2)
Il est indispensable de préciser l'ensemble de convergence simple, uniforme, normale d'une suite (ou série) de fonctions.
Exemples - Travaux pratiques 1 exemple 1 /~
1
•
. ve" o.
Montrer que, ,uit1,!de pour toute suite CX:n),\'1 Vn(Xn»)uni[onn'ment est convergente Soit (j;,) une fonction, de :J de (A, A, Pl la quisuite ronve,"e A partir d'un certain rang r, chaque fonctionfn (n ::;, r) est bornée et la suite réelle
n f--?> Ilfn
Par comparaison
Ûn(xn)1
Ilx
= sup Ûn(x)1 XEA
"" Ilfn
Ilx, la suite
converge vers O. converge aussi vers O.
Vn(xn»)"
exemple 2 ~ Soit
fn:
iLYMontrer
IR--,.IR.
.--=-
x f--?> fn(x)
= _sl_'n_2_1l:_x (InC0) = 0) llX
que chaque fonctionfn
.••. ~
est bornée (n ::;, 1).
~ ;' Montrer que la slli~~e. fonctions (jn h,* converge simplement c La convergence est-elle uniforme?
•
1)
La fonction
cp: IR--,.!R,
De plus ûn(x)1 continue. 2)
""
~t tf--?> O. [R;
[R; \]
•
Observons que fn(-l)=O, 1)
fn(O)=l
et
-
fn(l)=1.
Convergence simple Les courbes (cen)nE N* des fonctions
(fn)N
A=(-l,O) fn(x)
Si
Ixl > 1,
Si
Ixl < 1, fn(x)
La suite
(fn)N
- x n--++CXJ -
n--++CXJ
1
,
et
x-l x - fn(x) = -Z-n-X +
et
1 - fn(x) =
converge donc simplement sur
f :
[R;-+[R;, X~
2)
Convergence uniforme
•
Sur
x-l ]1, +00[:
ont donc trois points communs: B=(O,l) , C=(l,l)
[R;
1
xZn(l -x) Zn l+x
f
vers définie par: si x
l, la série de fonctions I: Un converge normalement sur [a. +x[.
Méthode Pour étudier la convergence d'une série de fonctions, on pourra suivre le plan suivant: Tenant compte des propriétés 1 et 2, on examinera: 1) la convergence normale,
2) la convergence simple,
Soit Un le terme général de la série de fonctions Un 1)
Etude de la converqence normale
•
Dégager la partie D de A où les fonctions Un sont bornées,
•
Trouver une série réelle
•
Si la série
I: J1.nmajorante:
'r;/ XE
D.lun(x)!
3) la convergence uniforme
A ~ F. x f-7 Un (x).
(J1.n= Il Un II~c est idé,al.
~J1.~,
I: J1.nest convergente, conclure: I: Un converge normalement donc uniformément sur D.
la série de fonctions 2)
Etude de la converqe simple
I: un(x) converge} la série de fonctions I: Un converge simplement sur B.
•
Chercher la partie
•
Conclure:
B = {x E AI
+=':
elle a pour somme
s--;--B -
F.
x f-7
L
UnC"I:)
n=O
et pour reste
Rn
B -
F;
X f-7
L k=n
3)
u/c(x) ~
Etude de la converqence uniforme Il s'agit de trouver une partie C de B sur laquelle la suite (Rn), des restes c~nverge uniformément vers O.
•
Chercher une suite majorante (Pnh, : 'r;/x E C.
•
Conclure: la série de fonctions converge uniformément sur C.
iRn(X)i ~Pn
qui converge vers O.
Chapitre 5: ../--~
171
Suites et séries de fonctions
'r---~
.
L Un et T defimes sur no.male, ]0. 1] par: simple UnIX) et= unifo~e xn..(n- X Etudier lesUncon~er~ences
1
•
1) r
Ca~
~
IL.--
et deux vn(x) séries = xn tnx des de fonctions
la série )' Un ?
..
~
. o."· 1· n 2 n' y (xn) uo(x) = tn- x. ua est non bornée sur JO.1J Smon, pour n E0,::3 nE N, 0 ~8n~E;
175
Chapitre 5: Suites et séries de fonctions Par inégalité triangulaire, on obtient: f(x)8
est donné,
n
+ Lfn(X)-
Lf(x) - fn(x)]
À.i ~
est fixé tel que
On ~8,
+ ]À.n
À.nl
et dans ces conditions
Lf(x)-
Permutation
Soit (jn)c~ une suite de fonctions de sur [a. +x[ vers].
À.n=
etf admet
À.
(À.n)c.
-
D
+xE, F) qui converge uniformément
([a.
:Ji
admet une limite quand
n E .\J,fn(x)
alors la suite
=À..
A
(cas où A = [a. +x[)
de limites
Si, pour tout
À.n] ~8
limf(x) x c x'=.
t.6
+ On
=À.n :
fn(X)-
3 8. Donc
À.ni
A.
An B(c. a)
À.I ~
+ Lfn(X)-
À.] ~On
exploitons limfn(x) x-c XE
::la> O. \;/ x E
-
lim
x
tend vers
+CXJ:
fn(x)
X--++OO
de F est convergente:
lim
À.=
À.n
n--++oo
pour limite quand x tend vers +00
lim f(x)
x-++oc,
=À..
[ciA = [a. +x[ est un intervalle non majoré de IR.
~
Les remarques et la démonstration précédentes sont valables. Ilconvient, cependant, de traduire
lim
fn(x)
x-----+x
\;/8> O.::l ME IR+. \;/ X ~ M.
t. 7
Limite terme
1
Soit A
L Un une
=À.n
Lfn(X)-
par:
À.nl ~8
D
à terme série de fonctions de
:Ji
F) qui converge uniformément
(A,
sur
+rx)
et S sa somme
S:
A ~
F:
X>-i>
L
un(x)
n=O
Si chaque fonction
a une limite quand
Un
Un
= ~~
x
tend vers c suivant A :
un(x)
XEA
+C0
alors la série
L Un est
convergente
et la fonction S admet
L
Un
n=O
+00
quand
x
tend vers c suivant
A :
I:~ S(X)
=
xcA
L
Un
n=O
Remarques n
1)
Sn =
C'est [e théorème 5 appliqué à la suite de fonctions >5n)~,
LUi. i=O
+co
2)
Dans [e cadre de ce théorème il y permutation de
I:~ et de XE,A
~~ XEA
(~un(x») n=O
L: n=O
= ~n=O (lJ..Tc un(x») XEA
pour limite
176
Précis d'Analyse
t.8
Soit
L
Il
(cas où A = [a, +x[) Un une série de fonctions de cg; ([a, +:xJ[, F) qui converge uniformément , +0:..
sur
[a,
+=[, de somme
S:
[a,
+x[ -c- F,
X
un(x)
>-+ ~
n=O
Si chaque fonction
Un
a une limite quand
x
tend vers +x : Un = X----:-+X' lim i
Un (x)
+x
alors la série
L Un est convergente
et la fonction S admet ~
Un
pour limite
n=O +rx
quand
x
tend vers +x
x~~-s
=~
S(X)
n=O
Un,
B. Continuité et convergence uniforme A désigne une partie non vide d'un espace vectoriel normé E. C(A, F) est l'espace vectoriel des fonctions continues de A dans F,
Théorèmes:
ri
Continuité d'une limite uniforme: cas d'une suite de fonctions Soit (fn)N une suite de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur versf : A - F, alorsf est continue sur A, doncf E C(A F).
A
La continuité des fonctions fn à partir d'un certain rang suffit.
IJE
La continuité def en un point a de A s'établit par le théorème de permutation des limites (théorème 5): limfn(x) =fn(a) et n---=-+x lim fn(a) =f(a) X--+Q
o
XEA
t.1rf
Continuité d'une limite uniforme: cas d'une série de fonctions Soit L Un une série de fonctions de C(A, F) qui converge uniformément sur +y
A, alors sa fonction somme
A -
S
F:
x
un(x)
>-+ ~
est continue sur
n=O
A, donc S
E
, .
C(A F). n
IJE
Appliquer le théorème précédent à la suite de fonctions
n r-> Sn
=~ i=O
Ui.
o
Conséquence La non continuité de la fonction limite (resp. de la somme) prouve la non convergence uniforme d'une suite (resp. d'une série) de fonctions.
Exemples - Travaux pratiques exemple 8 1
•
.t~/_"-----------------------~
Exemple classiqbe : fn : [O. 1] -[H(,
X r-> fn(x)
= xn.
La suite (fn) converge simplement sur [0, 1] versf:
f : [0,1]-R Chaque fonctionfn
est continue sur [0, IJ etf
x>-+ {
X = 1 °1 SIs~XE [0,l[
ne l'est pas.
Donc la suite (fnh" ne converge pas uniformément sur [0.1].
Chapitre 5 :
177
Suites et séries de fonctions
exemp~ 9
Mœ:ltrer que
1
F) est un sous-espace complet de
C~a. bl
ZAx ([a. bl F) .
On sait déjà que d3x ([a, bl F) est un espace complet et que C([a, b], F) est un sous-espace vectoriel de d3 ([a. bJ. F),
•
il reste donc à vérifier que C([a, bJ. F) est fermé dans d3x ([a, bl F). Utilisons la caractérisation d'un fermé à l'aide d'une suite. Soit (ln)', une suite de C([a. bJ. F) qui converge versJ dans d3x ([a. bl F). Il s'agit, par définition, d'une convergence uniforme sur [a, b], donc le théorème 9 garantit la continuité deJ sur [a. b]. Ainsi, JE
C([a, b], F).
En conséquence, C([a. bJ. F) est fermé donc complet dans ZAe:v([a. b], F).
exemple 1 /~ ~~-.---~ ,/ Soit a ER lai < 1 et
+e:vn a
!
~
Montrer que
~.••• 21 'Trouver
•\/
S: [O.1[~R
XI-»
S est continue sur [0,1[.
L~ 1-x n=l
un équivalent de S(x) quand x tend 1.
Nous avons affaire à la série de terme général Un:
1)
Montrons la convergence normale de Pour tout
x
Un: [0.1[
an X f-ô> ---n
l-x
L Un sur tout segment [0, b] inclus dans [0.1[.
de [0, b] :
1
( )1 0
LUi. i;O
D
Chapitre 5:
1
181
Suites et séries de fonctions
IV - Méthodes pratiques Il s'agit d'étudier une fonction réelle d'une variable réelle: limite, équivalent, dérivée, variation quand la fonction est donnée par une intégrale, une limite de suite de fonctions, une somme de série de fonctions. Chaque fois, nous décrirons la méthode en traitant simultanément un exemple. Un deuxième exemple sera donné ensuite sous forme d'exercice.
A. Intégrale dépendant d'un paramètre Exemples - Travaux pratiques
/
---.L-
...•Justifier la définition de 1 •
f:
R--+C, x
f--c>
f(x)
=
--2 l+t
·0
dt.
Montrer que f est continue sur R. ~onti:~i:::~Jtn-te-' g-r-a-le-ge-né.raliSée déPendanit~'~n ::amètre La méthode consiste à :
•
introduire la suite de fonctions (fn)'" définie par
fn:
IR1~C,
Xf--c>
j.n ·0
•
établir la continuité de chaque fn en utilisant les résultats du Chapitre VI
•
conclure à la continuité de
--2 eixt l+t
dt
f avec le théorème sur la continuité d'une limite uniforme.
Applicationde la méthode à l'exemple
f
~éfinition
de
La fonction
--2
1 est continue sur 1R12 et
l+t
l
n=l
On cherche un équivalent def(x)
f
1+ nx
quand x tend vers 1.
est somme de la série de' fonctions de terme général: X
Un :]O,l[-+1FR,
n
1+ me
X f-i>
xn-l dont la convergence simple tient à l'équivalent Ici, quand
x
un(x)
n~+,cx:
n
1
tend vers 1 par valeurs inférieures, X
divergente, mais aussi
un(x)
-
n-+cx:
--
--1 n+
Un (x) x~l -
n-l
terme général d'une série, ,-
= vn(x).
n
L Vn est une série entière dont la somme est connue (voir Chapitre VIII de ce tome) :
L
1 +cx:
+cx:
9 : ]O,l[-+IFR,
x
f-i>
n=l
Notons que
g(x)
-
x~l
Majorons la différence
vn(x) = -x
1
vn(x) - Un(X) :
1
n (-~ +nx )~
L
a
+cx:
c'est-à-dire
0 ~
n=l
n-l
1
n ( n + 1) = -n - --Ion n+
on peut sommer
tn(1 ~ x)
xn
n = ---
x
lin(1 - x)l.
\lxE]O,ILO~vn(x)-un(x)= En écrivant
L-
n=l
1
nn + 1)
L
n=l
~ 1
(
1
L( +cx:
(vn(x) - un(x» ~
0 ~ g(x) - f(x)
+cx:
'"""
n=l
n n + 1)
n-2 nn+ 7
= 1,
1)~
1 n(n + 1)
Chapitre 5 :
Donc ~
185
Suites et séries de fonctions
[g(x) - f(x)J = 0 (g(x)) , et on peut conclure à
- Itn(lx-l
soit encore
f(x) x~l ,- g(x)
x)1
Exemple analogue
n
+X
Trouver un equivalent de
2.:=
2
quand
')
n=l n + n x
x
tend vers
+x.
exemple 16 , Méthod/~âite" •
1)
~
Comparaison d'une série et d'une intégrale"
GE6' d'une série réelle
~Ci
la méthode est connue, illustrons-la par un exemple simple où les inégalités et les con-
vergences de série et d'intégrale sont évidentes.
1 Pour a> 1, la série de Riemann
ex
2.:=
et l'intégrale
et de plus, La fonction
Ci dt
l
t
;,'+00
n~l n
sont convergentes,
rx 7' dt = a 1 -1
JI
1
t f-7 CI t
étant décroissante, on a :
(n ~ 1)
d'où en sommant
- ~ ~ dt 1 .in+l n tCi nCi
Ci ~ dt
.j,+x l
t
1 d'où l'encadrement
--a
2.:= +::0
ex 1~
n=l nIt
(n ~ 2) dt tCi
1+ j,+oo Ci dt
1
+00
i·n n-l
a
~ -nCi ~ --a-l -1 ~ L n=l +::0
On en déduit l'équivalent
2.:=
n=l
1
1
Ci n -
0:---+1 0:>1
--1 ex-
Remarque Les programmes P et P' ne contiennent pas les théorèmes de sommation de relation d'équivalence. La méthode précédente permet alors de retrouver les résultats de ces théorèmes. Par exemple, un équivalent du reste d'ordre N : RN =
de l'encadrement
et du calcul
j+::0 N
Ci ~ dt t
rx 7'dt = (a
JN
+C0
1
2.:=
ex
n=N n
2.:= ex ~ ----a + Ci +x· n 1+·::0 n=N N N tdt
1
1
_1)NCi-1
1
se déduit
186
Précis d'Analyse
2) / Cas d'une série de fonctions La question se présente, par exemple, de la façon suivante:
1
+x
Trouver un équivalent de
•
•
f(x)
=
L -h-n;O
c nx
quand
x> 0 ?
x tend vers 0,
1
D'abord présenter le terme général de la série de fonctions:
Un : JO, +:x::[ -;-IR, x f-7 ch nx
1
-h-~ c nx n-.;-+x
Vérifier la convergence simple sur JO,+x[:
2e-nx
La méthode consiste à comparer la somme de la série
1
+00
f(x)
=
L -h--
l+x chtx' dt
h(x) = ·0
à la valeur de l'intégrale
c nx
n;O
Voici les conditions à réunir:
• •
1 Pour x> 0 fixé, la fonction 9x : [0, +:x::[-;-IR, X f-7 ch tx est continue, décroissante.
h(x) =
L'intégrale
l+x 9x(t) dt = .0l'+x-hilitx o
un équivalent simples quand
,+x
•
x
tend vers 0
dt
2
~
ch tx = [ :;;:Arctan
h(x) = 10
conver~ et possède une limite ou
c
h(x) =:x
é" ] +x 0
(pour x > 0)
La fonction x f-7 uo(x) est négligeable devant h(x) (x ~ 0)
uo(x) = 1 = a ( ~)
quand
x -
0
Voici la comparaison proprement dite: (n;o
0)
.ln+l n
9x(t) dt "'" 9x(n)
= unC\:) "'"
j,nn-l
9(X)(0
dt
(n;o
La série et l'intégrale convergent, on peut sommer:
~n;O'jn+l n
9(x)(0
dt "'"~ n;O Un(X) "'" UO(x) h(x) "'"f(x)
La condition
UO(x)
= o( h(x))
"'" uo(x) + h(x)
est essentielle pour conclure:
+x
f(x)
x-o .DO
Exemple analogue Calculer
+x
L
X
lim n;l x,2 + n2 n-+x
+ ~n;l' lnn-l
h(x)
1
L chnx n;O
X-L' .o.:>l!
2x
9x(t) dt
1)
Il
Chapitre 5:
187
Suites et séries de fonctions
(nEl'\n
On retrouve la méthode de comparaison avec une intégrale sans disposer de la monotonie de la fontion gx : gx : [1, +x[ ---cR
t
1 f-7
t+ (t - x)
n
La comparaison se fait alors par l'inégalité de Taylor-Lagrange:
1
G(n + 1) - G(n) - G1(n) ~ -1 sup G Il (t) 2 tE[n,n+1] 1
r
1
.1 n n+1
1
1
~ 21 tE [n,n+1] sup Ig~(t)1
gx(t) dt -gx(n) 1
On pourra utiliser la démarche suivante: 1)
Introduire la série de fonctions de terme général:
Un : 1R---c1R,
x f-7
9x(t)
.l·n+1 n
=
dt
.ln+1 n
t + (tdt- x)
dont la convergence simple est directement liée à la convergence de l'intégrale
dt
+:0
h(x)= 2)
t+(t-x)-
Etablir la convergence uniforme sur IRde la série de son reste
Rn =
l+:o---t + (tdt-
.n 3)
.11 r
L
Un
par une bonne majoration (uniforme)
~. x)
Efféctuer également une bonne majoration (uniforme) de la différence:
IUn(x) -
Un(x)
1
~
~
2
sup
tEln.n+1J
Ig~(t)1
+00
4)
Effectuer enfin une majoration (uniforme) du reste
L
n=N
précédentes.
Un (x)
à l'aide des 2 majorations
188
Précis d'Analyse
Dans l'exemple proposé, cela nous donne:
1 1)
9xCt)
2" t et le critère des équivalents de fonctions positives donnent la convergence
-
t--->+=
de l'intégrale
2)
0"'"
3)
9~(t)
r= 9xCt) dt
JI
rco n+Ct-x)2 dt RnCx) "'" Jn 1+ 2Ct -
=_
"'"
--1+co -co n + (tdt~
x)
2
- .J+x -x ~= n + u2
TI vn:
x)
[t + Ct _ x)2] 2'
1
---2
Séparons les deux termes:
1
1
t
n
""'2""'2'
[t+Ct-x)2]
Dans le second terme faisons une" homothétie" t - x = uJt
2 1ul Jt 1 ---""'-.--""'-
2lt-xl
t2(1 + u2)2
tJt
[t+Ct-x)2r
1 IIVn- unllx "'"
Au total
n2
Par l'identité
L
n=N
unCx) =
2 1ul
1
1+ u2
nvn:
2
+ nvn: "'" nvn:
+ cc;
+0::;
4)
1
:
+ cc'
L
L
(un (x) - vn(x» + vn(x) n=N n=N
+IIRNllx [ï= n=N Un(X)1 "'" n=N ï= Il Un - Vn
et la majoration
IIï=unll n=N
Il vient
x ""'~n-N n~+
~
1 Comme la série réelle
Donc
:L
+x
nyn.nyn (.; est convergente son reste d'ordre N,
N--->+x hm .11 n=N unll cc ..
ï=
= 0, c'est la convergence uniforme sur
1
L. (.;'tend vers O.
n=T,
[hg
de la série
L Un·
Remargue
1 Il Un
=
La série
:L Un
sup XE 8.
n + (n - x)
1 2
=
n
(série harmonique).
,~ ne converge pas normalement sur IR.
Il
Chapitre 5:
189
Suites et séries de fonctions
C. Cas des séries alternées Il est intéressant de manipuler des séries alternées L(-l)nan
où la suite réelle (an\~
converge vers 0 en décroissant. On utilise les propriétés suivantes:
+x i lia série converge
(_l)n an (critère spécial des séries alternées)
S= ~ n=O
+x ii Ile reste d'ordre N.
RN
= ~ (-l)nan
IRNI ~ aN
vérifie
n=!\T
iii 1 on connaît son signe:
RN
= (_l)N IRNI
Pour une série de fonctions L( -l)nun(x)
Ra ~ S ~
•
la propriété
•
la propriété iil fournit la convergence uniforme
•
la propriété
il
ao - al.
:
fournit la convergence simple,
iiii
Il RN
donne des encadrements, limites ou équivalents
Décrivons deux méthodes sur un même exemple:
Soit
J:
[O,+x[~R
X >-7
+x ~(_l)n-Itn
() l+~
Il s'agit de trouver un équivalent de J(xl quand x tend vers 0, puis quand x tend vers +00. Le caractère alterné de la série de fonctions L(-l)n-Iun(x)
pour tout x fixé dans [0, •
+x [,la suite réelle
n
>-7
un(x) =
est clair et,
tn( 1 + ~)
décroît vers O.
Pour le comportement de J(x) quand x tend vers 0, on pense à " l'équivalent terme à terme"
+x (_l)n-l
~--=tn2, n=l
On connaît la somme
d'où le résultat probable J(x)
- x tn 2.
x-+O
La méthode s'appuie sur le théorème de limite terme à terme appliqué à la fonction:
X
J(x)
=~ x +x n=l (_l)n-l
tn
(
1 + -;x)
(x>
0)
Le théorème des séries alternées s'applique toujours et la propriété iil fournit la convergence uniforme sur ]0,
+x[ :
~-N1
190
Précis d'Analyse
J(x)
Le théorème limite terme à terme donne
L
n=l ~(_I)n-l
c'est le résultat prévu •
en
lim x-;-o
-X
Il
+:::c(_I)n-l = '" --- n n=l
L
n x-;-o (1 +~) ~ xenz,
Pour le comportement de J(x) quand x tend vers +oc, on va appliquer la méthode dite " équivalent à la moitié du premier terme" Cette méthode est liée à la transformation suivante:
+~
+00
J(x)
n=l
Ul(X)
§.i
n
n=l
n 1
+:::c
-Z-+L(-I) n=l
=
J(x)
= Ul(X) + L(-I)nun+1(x)
L(-I)n-lun(x)
=
[Un(X)-Un+1(x)]
le théorème des séries alternées peut encore s'appliquer, (décroissance de la suite Ho
un(x) - un+1(x) (1 ), la propriété
iiii
donne l'encadrement:
Ul (x)
o ~J(x)
soit ici
0 ~J(x)
et la conclusion
-
-2- ~
-
[Ul(X) - U2(X)]
en(: + 1) ~ en(x + 1) - en ( ~ + 1) = en
~ n=l (_I)n-l
en
(1 + ;)
(2~:~)~en2
x-;--::c: _e_~_x,
Remarque importante pour (1) La décroissance de la suite dépend du signe de
n
Vn = Un - un+l
Ho
- Vn = un-l
vn-l
- 2un + Un+l
En ecnvan " t 2"1 ( Vn-l - Vn) = Un-l 2+ Un+l - Un, on VOl't que a convexite'd e la SUI'te n Ho Un suffit pour assurer cette décroissance. 1
.
Conséquence pratique x étant fixé dans l'intervalle d'étude, on étudie la convexité de la fonction' gx : t
Dans l'exemple proposé
i on obtient
gx(t)
x> 0, gx: [1, +x[ -;-!R, t
1 =
-t -,
+x
1 -
-t
1 et
d/:(t) = t 2
Ho
en
Soit
J(x) =
L n=l
1 -
--.-9 (t+xr
>0
d'où la conclusion.
x (_I)n-l
Arctan Tl'
Trouver un équivalent de J(x) : 1)
2)
x quand x
quand
tend vers 0, tend vers
Ut(x).
(1+ ~)
Exemple analogue +'x
Ho
+x,
,"
Chapitre 5:
__
Suites et séries
/
EX.5.1,
Montrer que:
191
de fonctions
Exercices-types
/
Soit (an)'" vers O.
\)
11tn t . tn(l -
t)
dt = 2 - -
o
1)
,,2 6
/
une suite complexe
Justifier
la définition
qui converge
de :
L IX n.
IÎ'
f : IR~L,x~
Ex. 5. 2 1 ) / Justifier
*-/
Ex. 5. 7
+=--:>
an
n
'1=0
la définition
et la continuité
=
Montrer que f(x) vers +oc.
2)
de la
fonction:
quand x tend
o(eX)
EX.5.8 1)
+x
L
X ~
Soit (an)N une suite réelle positive crois'1
Arctan(n + x) - Arctan n
sante et An =
'1=0
L(-l)kak. k=O
?/l
Trouver
f(x
une expression
simple de
a "'" (_1)'1 An "'" an
Montrer que
+ 1) - f(x)
2)
En déduire
la convergence
uniforme
IR de la série de fonctions
8)
Déterminer un équivalent def(x) tend vers +X, puis vers
-x.
x
quand
(_l)nn néral Un : iR~!R:, x ~
Ex. 5. 3 À 1)
Justifier
sur
de terme gé-
~
n +x
Ex. 5. 9
la définition
de la fonction:
L -n1 +X
f : IR:~IR,x ~
cosn xsinnx
Montrer que:
l+X
e-t
.0
dt = Arctanx
__
sinxt t
(x
E!R:)
'1=1
2)
Montrer que IR\"Z'
3)
f est de classe
; calculer
el sur
f.
Ex. 5. 10 Soit (Pn)"" une suite de polynômes qui converge
J
En déduireI
uniformément
sur
IR:
E 2F (IR, IK).
Que dire de la suite des degrés
Ex. 5.4
n~r;?:v
Calculer
L (k)n '1 k=O
Ex. 5. 11 '1
1)
~
(
1
Etablir la convergence suite de fonctions :
+ ~)
'1
Soit E = C1([0,
E .ûtp (lK), montrer que:
lim Tl-d0:
L -1n.
(
Ip + -n
A)n
=
+xAn '1=0
- (1 - x)n
Que dire de la série de fonctions
des fonctions
A
de}a
LJn
?
Ex. 5.12
pour Z E iC.
Ex. 5. 6 Soit
uniforme
Jn : [0, 1] ~IR, x ~ e-nx 2)
n~~C0
de Pn, de la
limiteJ?
Ex. 5. 5
Calculer
de IK [X]
vers
1)
1], IK), le IK-espace vectoriel 1] dans IK de classe el.
de [0,
Montrer que l'on définit une norme par: E --;-iR,J ~
2)
L'espace
N(f)
= lf(O)! + sup
tE [0,1]
(E, N) est-il complet?
l(
(t)1
192
Précis d'Analyse
Il
Ex. 5. 14 1)
Justifier la définition et la continuité de la
A toute fonction]
fonction:
suite de polynômes
L--
c
C([O,
1], IR), on associe la
(k) ~
x k (1 - x) n-k
+cv (_l)n
]
:]0, +=[----;-IR,
x>-+
n+x
n=O
1)
Trouver un équivalent de ](x)
2)
= ~n
Bn(f)(x)
Déterminer Bn(f) pour ]:
a)
quand
x
tend vers 0,
b)
quand
x
tend vers +cc.
x>-+ 1,
] :x 1
k Cn]
>-+
x,
]:x>-+x2 tX-1
-1+ t dt
3)
Etablir l'égalité ](x) = Jor
4)
Retrouver les équivalents du 2).
2)
Calculer
L k=O n
=
9n(X)
k Cn
k (
~ -
X
•
)2
.k n-k x (1 - x)
Indications Ex. 5. 1
Ex. 5.3
Utiliser les deux sommes de séries suivantes:
° ~ t < 1, 2
et
-
€n(l - t) = +::0
tn
L Tl +::0
Ex. 5.4
n=l
1
Ecrire:
2" 6 = L.. n n=l
'TI"
~
S(n)=L ~ =Ln (' 1-~ n ()n )=0
k=O
EX.5.2
1)
Appliquer soigneusement [e théorème de dérivation terme à terme.
Appliquer le théorème" continuité d'une [imite uniforme ".
2)
Former Un(X+l)-Un+l(X)
3)
Comparer une série à une intégrale généralisée.
)n,
=tLj(n) x )=0
et appliquer le théorème de limite terme à terme. Ex. 5.5
puis sommer.
Z
Ecrire (
1+ Tl )
,
L
k Z
L
uk(n) n = k=O n Cn nkk = +x k=O
et appliquer le théorème de limite terme à terme.
Chapitre 5:
193
Suites et séries de fonctions
Ex. 5. 11
Ex. '5. 6
Utiliser l'exponentielle d'une matrice:
L, +:cc:
~ =
Etudier fn et trouver un majorant ou équi-
1)
valent de Ilfn
An
n.
n=O
(voir Chapitre VIII)
2)
Il:cc:·
Etudier la continuité de la somme +.::;(:.
Ecrire: X>--è>
Lfn(x). n=O
( Ip
+
Tl A)n
L
L
= k=O nk = +:x: n C~ Ak k=O Uk(n)
Appliquer le théorème de limite terme à terme. Il s'agit d'une copie conforme de l'exercice précédent
Ex. 5. 12 Application directe du théorème" dérivation et limite uniforme" Ex. 5. 13 1)
Ex. 5. 7
L'équivalent en 0 est le premier terme, l'équivalent en +00 est la moitié du premier terme.
Etablir la convergence uniforme sur JO,+x[ de +cx:::
la série de fonctions
L a7 n. xne-x n=O
1- (_I)NtN
N-l 2)
Utiliser
L
(_I)ntn
=
n=O
EX.5.8
1
1)
Par récurrence
2)
La suite
n
n
>--è>
-2--2 n +x
Ex. 5. 14
est d'abord crois-
sante puis décroissante. Ex. 5.9 Utiliser la série de fonctions:
L
Introduire la fonction: n t>--è>
L
C~ ektxk(1 - x)n-k
k=O
et ses dérivées. Evaluer la différence:
f(x) = +C0 sin nt dt ontJr(n+l e-t __ pour calculer
Utiliser f(x + 1) + f(x) = x'
3)
f
f(x) - BnV)(x) =
(x).
~
Ex. 5. 10 A partir d'un certain rang chaque fonction
C~
~(X)
-
f (~)
] xk(1 - xt-k
en distinguant les deux ensembles:
Pn+l - Pn est bornée.
{ k/
1
~
-
xl
tn
--.en t n
Etablissons la convergence normale sur [0, 1] :
1 avec
sup
tE[O.l]
tn.en tn
= -, en écrivant
Ix.enxl
unCt) =
e
---2n
?
1 0, il vient
Il
Un 11~·1]= -----Z,qui est
en
le terme général d'une série de Riemann convergente. Le théorème 12 " intégration terme à terme" s'applique:
JorI [+CC ~Un(t)
] dt=
rI
+= ~Jo
un(t)dt
JorI .enten(l-
,
t)dt=
+x ~-
-n-dt
rI tn.en t .la
Une intégration par parties donne:
+x V
n?
1, -
1·1tn .en t dt
=
. a
1 D'autre part
,
----
n(n + 1)2
L
n=l n(n + 1)
2
=
--1 .en t
+
o'
dt = ---2' 11--1 n tn+ (n +11)
1 1 1 - --n n + 1 (n + 1)2 1 N+1 1 N+1 1
:L n - :L n - :L -:2 n=l n=2 n=2 n
1
N+l
I=:L
1 \
n=l n(n + 1)2 \
1
:L -:2 n=2 n
= 1- N +1 -
=2j.1a .en t .en(1 - t) dt = 1 - :L +x -:2 n=2 n1
Finalement
donc
a
= - - --
NIN
donc
-
[tn+1]1 n+
i· ~2
Ex. 5.2 1)
La fonctionj
se présente comme somme de la série de terme général: Un : ~~~,
Chaque fonction Un est de classe
X --+
Arctan(n
Arctann
+ x) -
el sur ;g,
L'inégalité des accroissements finis donne la majoration:
°
o ~ Arctan ~ - Arctan
~Œ~~,
a], (a> 0), IUn(X)1 ~
' "
1+ (n -
---9 1+ Œ~
a
lx!
donc sur [-a,
~-Œ
Œ~
,2 lx!)
~
--~
(n - a
a
et Il
un
II[-a.a] C0
~
(n _ a)
2
a
---2 (n - a)
étant le terme général d'une série convergente, la majoration précédente donne la
convergence normale sur [-a, a] de
L
L Un.
Ainsi la série Un converge simplement sur R (j est donc continue sur R) et uniformément sur [-a, a] (j est donc continue sur] - a, aD pour tout réel a> O. Finalement
j
est continue sur Ri.
Chapitre 5: 2)
195
Suites et séries de fonctions
La simplification par Arctan(n + 1 + x) Un (x +
1) -
donne:
Arctan(n + 1) - Arctan n
Un+l (x) =
JI.:
d'où [a somme partielle
( un(x + 1) - Un+l(X») = Arctan(N + 1)
~ n=O
f(x + 1) - [f(x) - uo(x)] = ;,
et en faisant tendre N vers +X, il vient f(x + 1) - f(x)
Pour tout x E R, 3)
- Arctanx,
= ;
Appliquons [a méthode" comparaison à une intégrale ", A x fixé dans :;:;;:, associons la fonction
9x:
t
Arctan(t + x) - Arctan t continue,
f--è>
positive, décroissante et telle que ['intégrale généralisée
h(x) =
([e critère d'équivalents de fonctions positives s'applique
9x(t)
10+00 ,0
9x(t) dt
existe.
x
Par la relation de Chasles et par [a translation U = t + x
[Arctan(t + x) - Arctan t] dt =
J,A ·0
·x+A
hA(X) = JA f
et
h(x) =
hm
Faisons tendre
·x Jof
ArctantdthA(x) = -x 2TI
A~+x
x
t-HOO
--2) 1+ t
h(x) = fo+x [ArctanCt + x) - Arctan t] dt.
Il convient d'évaluer
hA (x) =
~
-
:
.j'X+A x
Arctan U du -
l·A ·0
Arctan t dt
Arctantdt
lX0
Arctan t dt =
Arctan - dt l'x 1 0 t
vers +X, et utilisons le théorème d'intégration des relations d'équivalence
pour les intégrales divergentes de fonctions positives:
Arctan
1 t~+oo 1t
-t·
~
-
~ 1t x_+x. 1 Arctan ---dt
donne
~,X
1x 1 -dt t
donc
h(x) +00 ~ en x
9x(t) dt,
(n EN')
Comparons maintenant la série et l'intégrale: (n EN),
9x(t) dt ~ Un(x) = 9x(t) ~
jn+l n
'i·nn-l
et par sommation (l'intégrale et la série convergent) :
hroo9xCt) dt ~
~=0 un(x) ~ uo(x) +
h(x) ~ f(x)
hrx
9x(t) dt
~ h(x) + Arctanx TI
Comme
h(x)
~ enx +x'
et
Arctan x
+~
f - h = o(h) Fixons x dans
1R1=-
et gardons [a fonction
2' on en déduit: et donc 9x:
f(x) t
~ enx
+C>;J
Arctan(t
f--è>
+ x) - Arctan t continue,
mais ici, négative et croissante. La méthode précédente s'applique encore avec la même définition de h(x) et des inégalités changées de sens:
rn-l
.J
En sommant, on obtient
9x(t) dt ~ un(X) ~
uo(x) + h(x) ~ f(x)
J
r+1 n 9x(t)
~ h(x).
dt
196
Précis d'Analyse
Attention à l'équivalent de
on a maintenant Là encore
1)
71 h(x) = -i-x-
(X Arctan tdt x~--0O Jo
uo(x) = Arctanx
=
71 -2x
0 (h(X))
et
Un:
tend vers
-cc :
h(x) x~--0O 71x
-:0
donc f(x)
Etudions la série de fonctions de terme général
x
quand
(X Arctantdt Jo
Il
71x.
~--+R
1
n cosn X
X f-'> -
.
SIn nx
Chaque fonction Un est impaire de classe CI sur ~, et de période 71. La série
Z Un converge simplement sur ~ : Un(O) = Un(7T)= 0
et pour x E]O, 71[,
IUn(x)1 ~
Icosxln n
(majoration par une série géométrique de raison Icosxl < 1). Elle a pour somme la fonctionf,
impaire et 7T-périodique :
1
+00
f:
~--+~,
2)
Un calcul simple donne La série car
X f-'>
L -;:;.
cosn x sin nx
n=l
u~(x) = cosn-l cos(n + l)x.
Z u~ est normalement convergente sur [a, 71-a]
lu~(x)1 ~ lcosxln-l
~ Icosaln-l
donc
Il u~(x)
pour tout a E
O. ]
11~·7T-a]
~
2
71 [
Icosaln-l
et la série géométrique de raison Icos al est convergente. Le théorème de " dérivation terme à terme" s'applique: la restriction de
f
à [a, 'iT - a] est de
classe CI, donc f est de classe CI sur ]a. 'iT- a[ pour tout a E ] 0, ; [, donc f est de classe CI sur ]0, 71[et compte tenu de la période 7T,f est de classe CI sur IR\'iTZ avec: +x
j' Le calcul utilise
(x) =
cosn-l
n=l
cos(n + l)x
cos(n + l)x = Re ei(n+l)x j'ex)
R
j'
e
(x) Re
j'ex) 3)
L
=
-1
L
(~n=l
cos
n-l
xe'
1- cos x . e L" e2L" pour tout
iin+lJX)
= Re
~- cos x (~Lë_e_L"~_')
x EIR\'iTZ
Comme f est de classe CI sur l'intervalle ]0, 'iT[, il existe un réel C tel que f(x)
or,f(;)
=0
donc
f(x)
On complète la description de Observer que
f
= ;
-x
= C - x.
pour tout x E]O,'iT [.
f sachant qu'elle est 'iT-périodique et nulle en tout point de 'iTZ.
n'est pas continue sur IR.
Chapitre 5 :
197
Suites et séries de fonctions
EX.5.4
L'égalité
S(n) =
I: (k)~ I: n 1e=0
n
=
n ( )=0
I:
1- ~ = uin) . ) n )=0 +x
se justifie par la définition de la série de fonctions
L
Uj
de
;iF
(N" , IR) où :
n
si J"'"
n ""'J
si
La convergence normale S'jr r'\r de cette série de fonctions résulte de :
sup uin) = lim. Uj(n) = e-) = IIUj lico
n-+x
nE~'~*
if): ]j, +x[ --+R
Pour cela étudions la fonction
Calculons
if)! (x) = tn
x +L X-j (1 - L)
x
= - en
Ainsi la fonction if) est croissante, la suite n
J-+
X-j (1 +L)
N'
u'j·(n) =
~)
X-j ~0 +L
Uj(n) = e'l)n)
Il U) Ilx = n---'oo+x lim La convergence normale sur
x en ( 1 -
J-+
(utiliser en(l+ u) "'" u).
est croissante et
e-)
L u) permet d'opérer la limite terme à terme
de la série de fonctions +œ
+x'
L
L
lim S( n) = """ n-;.+x lim Uj( n) = """ e-) = n-+·co )=0
)=0
_e_ e- 1
Ex. 5.5 Fixons z dans C et appliquons la formule du binôme: Z
(
1+ Tl )
en introduisant la série de fonctions
I:
L Un de
k
La convergence normale sur N'" de cette série
nE
[Ie.+co sup [ (1-~)
n.
I:
(N'" , C), telle que:
;iF
k zle n(n - 1)· .. (n - k + 1) uk(n) = Cn n = nle
!IUkllco =
z
le
n = k=O n Cn niele = 1e=0 +.co uk(n)
-kl
.
si k "'" n
et k! Izlle
Le théorème de limite terme à terme peut donc s'appliquer:
n~~co
C'est-à -dire
lim n-;.+=
(
1+':' n
) n
+OC'
+':::0
I:
I:
uk(n) = n~%o ule(n) k=O k=O
="""~=é. L k! += le k=O
,
ule(n) = 0 si n < k
L ule résulte de :
n k-l)
... (1-
zk .
Iz[1e
Lk'!
est convergente.
198
Précis d'Analyse
Il convient
d'abord de munir l'espace vectoriel
IIABII Nous reconnaissons
expA
n.
n=ü A~ =~
"" IIAIIIIBII
etdonc
dans l'énoncé
la définition
(série absolument
La matrice étant fixée dans
(IK), utilisons
J&Lp
finie, prenons IIAnl1
Ip + 11
n
"" IIAlln
n.
A~ Il
Il
la formule
=
une norme d'algèbre
L n k=ü
C~
d'une matrice:
n.
du bînome :
k
L
=
Ak n
+:0 n=ü
Uk(n)
k Ak
kn
Uk(n) = Cn Le résultat tient à la convergence
n~~'0
L
k=ü
et à une limite terme à terme:
n(n-l)···(n- nk
sur N'
I{!
Tc!
le-l)
L
de la série de fonctions
Ak Uk(n) = -,le. ' l'application
+e --,- X
n.
simple et la somme,
établissons
la convergence
[0,+::>0[,
le reste d'ordre
Rn:
n est
.. et une majoration
1
,+x Rn(X)1 ""
[0,
+x[-:c,
L
k=n
Ainsi
Il Rn Ilx
=
sup XE[O.+X[
la~tl
Ixnl
"" M0---n:!
x
f-->
laki k -x -,-x le
IRn(x)! "" Mn
+x
k
'" L
__ akx le,_e-x .
k=n
L --,-"" +:0 xke-x
e ' "" ;'VIn
k=n
donc
hm
n--;.+x
Mn
le.
Rn Ilx
=
O.
uniforme
sur
Chapitre 5 :
199
Suites et séries de fonctions
La suite (Rn)',
converge uniformément sur [0,
converge uniformément sur [0,
+x[
vers 0, donc la série de fonctions
Appliquons le théorème" limite terme à terme" :
L-
x~+x
hm
c'est-à-dire
:L Un
+x[.
lime-"'1(x) = 0
donc
x----,-+x
L-. x~+oo hm
[~un(x)] n~O
= o(e-") quand x -
f(x)
= ~n~O [
Un (x)]
et
[Ani ~ an
+x
EX.5.8 1)
Montrons par récurrence le couple de relations:
(Hn)
= (-l)nAn
[An[
Comme Ao = an, la relation (Ho) est acquise.
n et partons
Supposons (Hn) aGquise pour tout entier
= An + (-1)n+lan+1
An+l
(_l)n+lAn+l
et d'après (Hn), C'est 2)
=
[An+li = (_l)n+lAn+l
Etudions pour
x
donc
an+l
-IAni
et aussi
de l'égalité
(_l)n+lAn+l ~
an
IAn+ll ~
=
-IAnl
an+l
~ 0 donc
an+l
- (-l)nAn
(Hn+l).
t
fixé dans lKÎ~la fonction:
9x:
[0, +x[--+R
/
Nous avons d'où les variations
9x(t)
0
t
--2' t2 + x 0 1 X +00
t>---'>
'"
2x
0
1 Cela donne ~~~ 9x(t) [ = 2x' 1
n
Etudions à présent la suite
n>---'> Un(X)[ 1
=
-2 n --2 +x
=
9x(n).
1 Nous avons
1
n
Iun(:d[ ~ [Un(O)i =
donc
Il Un[[x
=
n'
ce qui indique la non convergence normale sur IRde la série
:L Un.
Cependant la suite (~)n +x n~x est décroissante, donc par application du théorème des séries alternées, la série de fonctions :L Un converge simplement sur IR.
n
+:-0
Introduisons le reste d'ordre N:
x
lKÎ--+R
RN:
~(-1)n-2--2
>---'>
n +x
n~N
Pour la convergence uniforme sur
de la suite (RN)NEI\J* vers 0, cherchons à établir:
IR;
sup IRN(x)1
1 ~ -
N
XEu;l
Pour cela, distinguons deux cas suivant la place de •
Si Ixl ~ N, la suite (lun(x)l)
n"",N.
x
par rapport à N.
étant décroissante, le théorème des séries alternées fournit
1 1RN(X) •
Si N < [xl, notons
M = E(lxl)
~(_l)n n~N
La suite (lun(x)l) N~n~M
~
IUN(x)1~ Il UN'1::0=
fi
et décomposons RN(X) :
M RN(X) =
1
+'::0
IUn(x)1+ ~
(_l)n IUn(x)1=
n~M+l
étant croissante, le résultat du 1) fournit:
A
+B
200
Précis d'Analyse n~M
lAI = (_I)M
2.)-I)n
IUn(X)1 oS: IUM(x)1
n~N
Comme
B=RM+1(x),ona
1
1
M
N
=-:::::;-
Il uM
oS:
Il
IBI=(-I)M+IBet:
1 IRM+l(x)1
oS:
IUM+1(x)1 oS: Il UM+l
=
1
M+ 1
oS:
N
Il est intéressant d'observer que A et B sont de signes opposés.
1
Or
lAI
oS:
1
N
IBI
et
oS:
1
N
IRN(x)1 = lA + BI = liAI - IBII
donc
1
Ainsi
IIRNII=
oS:
N' donc la série de fonctions
oS:
N
L Un converge uniformément sur
1Ft
Ex. 5.9 Voici les étapes et les notations de la solution proposée: 1)
Définition des fonctions : f:
~~~,
l+x e-t __sinxtt
X>--'>
et 2)
Un
:~~R
X>--'>
g:~-~,
dt
. 0
r+x e-t
x>--'> Jo
e-t--dt sinxt t
jn+l n
Preuve de la convergence normale sur ~ de la série de fonctions
cosxtdt
L u~
+C()
3)
Calcul de
J'(x)
=
L
u~(x)
n~O
4)
Calcul de f(x).
Détaillons chaque étape:
1)
(x, t)
Soit --'>
sinxt t
a
a::
--'>
e- t cos .xt.
En fait, O
tE [0,1]
--dt
,0
4)
et
tN
tn+x-1dt+(_1)N . 11 tN+x+1 ,0 1+ t
t- L-= --Il'1--tX-1 1+ t d 1~(-1)nI11rllJ+x+1d n=O n + x 1+ t
t"'"
,0
D'où:
2x
-1tN-1 + (_l)N
1 ~ t = 1 - t + t2 + ' , , + (_l)N
Exploitons l'identité
+~,
11 ,oN
t
t""'N+x+1d 1
L --
= +:0 (_l)n n=On+x
j'lo -e:-1 l+t dt
1
J(x + 1) + J(x) = x-
Sous forme intégrale, la relation
est évidente, ainsi que la continuité
deJ sur ]0, +:x:[ (intégrale dépendant d'un paramètre), Ainsi X--;-O lim LfJ(x) - ~] x =J(1) = en 2 et J(x) ~0 ~, x Sous sa forme intégraleJ apparaît comme décroissante, donc:
1
1
1
2J(x + 1) "'" J(x + 1) +J(x) = x- "'" 2J(x) ,
1
2x ""'J(x) "'"
et
J(x)
Ex, 5, 14
1)
Considérons pour cp:
IR~IR.
t
f-+
x
donné dans [0, 1] la fonction:
n L C~ ektxle(1_
n x)n-Ie = [éx + (1 - x)]
1e=0
n intéressante pour ses dérivées en 0:
(0) = L
cp(p)
C~ kPxle(1 - x)n-Ie
1e=0
1
Ainsi
Bn(l)
=cp
Les dérivées de
cp
(t) =
Bn(X) =
(0), cp
(0)
-cp-n
Il
et
Bn(X2) = ~
(0)
n
en 0 s'obtiennent par développement limité:
[1+ xt + 2xt2 1
] n = 1+ nxt + (nx + n(n -
+ o(t2)
1)x2)2 + o(t2) .
t2
ce qui donne directement les trois résultats:
Bn(l) =
2)
L
n
1e=0
gn (X ) = 3)
Bn(X) = x
Bn(X2) = ~ + x(l - x)
2 - 2 -n x + x2 donne:
- - x = n (k n )2 k2
Le développement le Cn
1 ,
(
k -;:;-
le X
)2
x (1 - x)
k
n-Ie
2
2
= Bn(X ) - 2xBn(X) + x Bn(l)
x(l n- x)
Pour établir la convergence uniforme de (Bn(f)) N versJ, formons la différence:
+:::0
2x
204
Précis d'Analyse
Fixons ë> 0, a>
8
~ Bn (f )(x) = ~
l(x)
° et pour XE
k) ] 1~
ekn ~(x) r -
Il
x k (1 - x) n- k
(
[0, 1], considérons la partition de [0, n] formée de :
ln = { kl xl --+
x+n AI-ctan 1 + nx
uniformément sur [O~+cx:[.
Pn+1(X) = Pn(x) + ~ (x - P~(x)) . Etablir les inégalités
__
° ""y'X
Montrer que la suite de fonctions (fn)~~ converge
Ex. 5.2 : IR;-,-R x
>--+
--.-
(Pn)N sur [0, 1].
nSU1-X.
(prolongée par continuité en 0).
Ex.5.?
Etablir la convergence simple de la suite de fonctions (fn),,"* sur
IR;,
La convergence est-elle uniforme sur Trouver
sup
2y'X
- Pn(x) "" ---.
2+ ny'X En déduire la convergence uniforme de la suite
sin nx Soitfn
Po = 0,
IR;
?
Soit u : ~P-,-IR;, (p, q) >--+ u(p, q) une suite double qui converge uniformément par rapport
u(p, q) = aq et simplement
à q E rJ avec lim
p-;-+cv
par rapport à p E rJ avec
Lf(x)l.
XE ?l,nE :»~*
lim
q---;.-+,:x;.
u(p, q) = bp.
Montrer que les suites (aq)qE N et (bp)pE N convergent et ont même limite.
Ex. 5.3
Ex. 5.8 Soitfn : IR;-,-R x
>--+
(
1 + xn
2)-n
Soitfn : [a, b]
Monter que la suite (fn),,* converge uniformément sur IR;.
-,-IR; continue telle que la suite de fonctions (fn\,," converge simplement sur [a, b] vers continue.
f
La suite (fn) étant croissante (fn "" fn+1), monEX.5.4
trer qu'elle converge uniformément sur [a, b].
1 ntn
Soitfn : IR;-,-IR;,fn(X) =
(
Ex. 5.9
1- nx1 )
[-1, 1] -,-IR;
Soitfn
:
° < Ixl
"" 1 =}
telle que
lf(x)
1
< Ixi-
On définit une suite de fonctions (fn)N par si x Ë [0, ~ ] ,fn(X) =
°
si x E [0, ~ J.
Montrer que la suite (fn)N* converge uniformément sur IR;.
fo(x) = x etfn+1(X) =f(in(x)). Montrer qu'elle converge uniformément sur
[-1, 1] vers
EX.5.5
la fonction nulle.
Ex. 5. 10
Montrer que: Soit Pn :
[-1, 1] ~IR;,x
L -1n 1- - -1 +cç
>--+
lim x~o
n=l
+x
='( (constante d'Euler).
X
Ex. 5. 11
et Q(x) = fox Pn(u) du. Montrer que la suite de polynômes (Qn)N converge uniformément sur
[-1, 1] vers
Ixl.
Calculerf(x)= définie pour x>
-
10+.00 o O.
e-xt-=--=-dt it
t
1
206
Précis d'Analyse
Il
Ex. 5. 16 Trouver
un équivalent
chacune
des fonctions
x
suivantes
H'" e-nx" L-2-' n=O11. + 1
tend vers 0 de
Soitf:IR-+Rx~
:
1
+00
1)
quand
x~Ln=O1+ n-x
Montrer que
f est de classe
+00
2)
Etablir pour tout vantes:
x~ Le-xvn n=O
+00
1)n-1
+00 (
3)
x~L--=n=l 11.
1)
2)
Ex. 5. 13 Trouver
un équivalent
chacune
des fonctions +oc
1)
x~
"\'""" n2 LX
2)
x ~
L xn n=l
el sur
IR.
Ex. 5. 17
quand
x
suivantes
tn
1,
l[
les égalités
sui-
(_1)n-1tn
+00
L 1+ L
tn = n=l n=l +co ntn +co L-n=L n=l 1- t n=l
tend vers 1 de :
tE] -
tn
Ex. 5. 18 Etablir les égalités suivantes:
1)
n=O
=_ ~ __ 1 n=O(211. + 1)
)0r00 tnthxdx
+cc
x~
11.
2)
nx n
+00
3)
.en
3)
L 1_xn n=l
un équivalent
chacune
1)
quand
des fonctions
x~
x
suivantes
+cc
xn
L n=l
1+x2n
+00
:
.Ion
L n=l
x~
Soitf:
X
1)
dx = ~n=O(_:~n.
1
Lx n=l
Montrer que, pour tout
o ~fn(x)
x
2)
-;:;:th-;:;:
+00
sin2 x
L-2--n=1/n x
1R-IR,x ~
.1(0)=0.
x>
E
.~x :
continue
sur
0 et
Montrer
~ 11.)(+TlX que
f
est bornée,
J!.x, non continue 'en O. Ex. 5. 21
1 +
en
11.
1
Ex. 5. 15
Montrer que
(~(_l)ne-a:nx) n=O
+00
n - 1Arctan-;:;:x
L2-2 n=l x +11. +00
4)
non ma-
jorée ; établir l'égalité:
Ex. 5.20
"\'""" 2) x ~ L(-l) n=l x~
~n=O(-1)n(2n 1) t2 + (211.+ +1)2
Soit (an)~ une suite réelle croissante tend vers 1 de
+00
3)
--
--dx=2L 1+00 cos o chxtx Ex. 5. 19
Ex. 5.14 Trouver
r00 e~:ntx - 1dx= ~ n=l ~ t + 11.
)0
.en
x
-nlx2+Y'1
+00
Soitf:R2~R.(x,y)~
x-+:co ~. Montrer que
2: xe n=l
f est de classe
2
11.
el sur
ChapHre VI
Intégrale compléments 1- Intégration des fonctions continues par morceaux En Analyse l, Chapitres VII et IX, nous avons étudié l'intégration des fonctions réelles ou complexes continues sur un intervalle compact [a. bJ de R. On se propose icid'étendre cette notion d'intégrale aux fonctions continues par morceaux à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
A. Fonctions continues par morceaux E est un espace Définitions: d.1
vectoriel
normé.
Soit la. b], a < b, un intervalle
compact de
R
f :
Une fonction la, bJ ~ E est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision (c)O"0~n de la, bJ telle que, pour tout) E [1, n], la restriction de à ]ej-l, Cj[ soit continue et admette une limite à droite en Cj-l et une limite à gauche en Cj.
f
Une telle subdivision est dite adaptée àf. elle contient les points de discontinuité de f (ilYen a un nombre fini). L'ensemble des fonctions de la, bJ dans E continues par morceaux est un sous-espace vectoriel de ':J (la. bJ. E) ; on le note c{ll (la. bJ. E). Sif JL
d,2
EJt
(la, bJ.
Soit
l un
est bornée et la fonction Ilfll :
([a.bJ.E).f
x
f--O>
Ilf(x)Il appartient à
IRD.
intervalle
de
1Rl.
Une fonctionf : l ~ E est dite continue par morceaux lorsque la restriction à tout intervalle compact [a, bJ inclus dans l est continue par morceaux (sur [a, b]).
Ji[a.b]
d.3
f :
Une fonction [a. b] ~ E est dite en escalier s'il existe une subdivision (cj)O"0~n de la. b] telle que, pour tout) E [1. n], la restriction def à ]ej-l, Cjl soit constante. Uensemble des applications en escalier de [a. b] dans E est un sous-espace vectoriel de J{ (la, bJ. E) ; on le note ~ (la, bJ. E).
208
Précis d'Analyse Il
p.1 1
.Ail ([a, b], E) est un sous-espace bornées de [a, b] dans E.
L'espace
'ZJ!,([a, b], E)
vectoriel de
''ZJ!,([a,
b], E) espace des fonctions est noté
normé par la norme de la convergence uniforme Il .
'lAoo ([a, b], E).
p.2
Si E est de dimension finie, n ~ 1, soit (eih~i~n une base de E etJ un élément de ':Ji ([a, b], E) de composantesJl,"',fn sur (eih~i~n' Alors J est continue par morceaux
si et seulement
si chacune des fonctions
fi est continue par morceaux. ~
En effet, J est continue (resp. admet une limite) en x si et seulement si chaque fi est continue (resp. admet une limite)en x.
D
Toute fonctionJ ; [a, b] - E continue sur [a, b] est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur [a, b], c'est-à-dire que dans l'espace 'ZJ!,x ([a, b], E) : Pl3
~
J est uniformément continue sur
\j (x, y)
tel que
c
b], E)
C([a,
([a.
'(€
b], E)
[a, b], donc, à tout n EN on peut associer ŒnEIR:
1
E [a, b]2,
lx - yi ~Œn
A Œn> 0, on associe pEN'
b-p
tel que
~-
=?
a
lf(x)
- J(y)1 et
~Œn
~
n+1
) Cfn= (CjjE[O.p]'
b-a Cj
= a+j~-, P
par
subdivision régulière de [a,
\j jE [0,
P -
1], \j XE
.
\j x E
Par construction, on a donc
IIJ,
'
([;n
[Cj,
b],
puis on définit la fonction CPE'(€ ([a, b],
Cj+l[,
est linéaire.
1
p.6 1
rj
= _ .jba
.Jb
f
Remarque
a=
Cas où
p.7 1
ja a f
b:
= 0,
Relation de Chasles l étant un intervalle
de ;:; etf
E il (I. El, pour tout (a. b. C)E ('Cf= a
Si a
j
·a
fi
puis que chaque Fi est de classe CI avec Fi = fi.
o
Conséquences Comme dans le cas des fonctions réelles ou complexes, il en résulte que: 1)
Sif
E C([a, b],E) et si P est une primitive def
.j'b a
f
Exemple: Pour tout
= P(b) - pra)
WE
sur [a, bJ:
ce que l'on note
.J.b a
f
=
[F(X)! l a b ...J
!R" {O}, .jb a eiwX dx = ~. (eiwa _ eiwb) ·.b
f
= fib)
Sif
3)
Comme dans le cas des fonctions réelles, pour f E C(J. primitive non précisée de sur J.
t.3
E C1([a. bJ. E),
.la
2)
f
El, .1 f(x)
elx représente une
Inégalité des accroissements finis pour un couple de fonctions de classe Soitf
E C1([a,
bJ,E) et
9
E C1([a.
vX Alors, si a < b, on a ((\)f
- f(a).
Ilf(b) -
f(a)
Ii =
bJ,';:)telles que:
~ dix)
E [a. b].
- f(al
Ilibf
~ g(b) - glaJ. ~ 'c
1:
jba
g/ = g(b) - blal.
Remarque Si a> b, on obtient
iif(bJ - fia)
donc, dans tous les cas
CI
- fiai
~ glaJ - gl bl ~ ,glbi - geai
o
Chapitre 6:
217
Intégrale compléments
B. Intégration par parties Les résultats suivants se justifient comme dans le cas des fonctions réelles.
Théorèmes: t.4
1
t.5
Formule d'intégration par parties pour une intégrale définie Soitf
E Cl([a. bJ. EJ
et
9 E Cl([a. bJ. K)
.jb a l 9 = lf(x)9(x)L c
jb
b - . a fgl
Formule de Taylor avec reste intégral E Cn+1([a. bJ. Ei.
Soitf
L
= n. (b _k! a)k. k=O
f(b)
j
kl(a) +
j.ba (b _
,fn+l(x) x)n
dx
Corollaire:
c.i
Inégalité de Taylor-Lagrange
Il';-'' f(b) -
SOIt. f E Cn'T 1([a, b], E).
t.6 1
6
(b -k!a)kjkJ
(a)
Il~
(b(n- +a)n+l 1)!
Iifn+l
1100
Formule d'intégration par parties pour une intégrale indéfinie Soit J un intervalle de
E CIU. E)
~,f
et
9 E Clu. iK)
Il
9 = fg ~ Ifd
C. Changement de variables Comme dans le cas des fonctions réelles, on obtient:
Théorème: t. 7
1
Soit
13],iK),
cpE Cl([O',
Alors
I,JŒ) (y(l?»
f(x)dx
[A, B] =cp ([0',
13]) et
(t))
cpl (t)dt
=.lŒ(f3 f(
cp
f
E CrEA, BJ. E).
D. Cas des fonctions continues par morceaux Théorème: t.8
o
Soit J un intervalle de Etant donnée
F :x si x
,,=
f
E J{
iK
tel que
J ,,=0.
U.E) et a un point fixé quelconque dans
J,
la fonction
lX f est continue sur J et admet en tout point une dérivée à droite sup J et une dérivée à gauche si x inf J.
f-7>
,,=
Pour tout x E J, il existe [a, b], intervalle compact voisinage de x dans J, et, pour tout
h E IRtel que x + h E F(x+h)-F(X)=.lx
[a, b], on a :
r+h f donc IIF(x+h)-F(x)11 ~ Ihlllfll[;;,b] x en résulte.
La continuité de F en
218
Précis d'Analyse
•
Si
x
"*
notée
sup
J,
puisque
f
f
est continue par morceaux,
admet en
Il!- f(x
+ O)II[x.x+hJ =
et on a
hm 11--+0
sup tE [x,x+h]
Iif - f(x
Ilf(t) - f(x
x
une limite à droite
c J, il existe:
+ 0). Alors, pour tout h tel que h> 0 et [x, x + h]
f(x
Il
+ 0) Il
+ 0) 11~·x+ll] = O.
11>0
x+h
Ainsi, en écrivant on obtient
F(x + h) - F(x) - hf(x
Il F(x + h) - F(x) - hf(x
+ 0) =
L
+ 0) Il ~ Ihl Iif - f(x
et donc, quand h tend vers 0, F(x + h) - F(x) - hf(x F~/x) = f(x
l'existence de
•
(i(t) -
+ 0») dt
f(x
+ 0) 11~·,Y+hJ
+ 0) = o(h), ce qui nous donne
+ 0).
On montre de même que si x"* inf
J,
il existe
F!J(x) =f(x
- 0) = limf(x 11-0
- h)
h>O
D
Conséquence En tout point x oùf
est continue, F est dérivable avec F(x)
=f(x).
III - Intégrales impropres et séries A. Intégrales impropres d'une fonction continue par morceaux E est toujours un espace vectoriel normé de dimension finie. La notion d'intégrale impropre (ou généralisée) développée en Analyse l , dans le cadre des fonctions réelles continues, s'étend sans modification au cas des fonctions vectorielles continues par morceaux.
Définitions:
d.?
Soit
(a, b) ER
x R, a."* b,
etf
E .Il ([a. b[. E).
On dit que l'intégrale impropre. j.ba F : [a. b[ ~ E. x
-ô>
f est
convergente lorsque
f
admet une limite {E
E
[a. b],
"!.b a
E
quand x tend vers
b.
On note
{= ·a jb f. Noter que, pour tout x
f
est continue par morceaux sur [a. xl. ce qui assure
l'existence de ·a j'xI.
d.8
Avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, soit la fonction
lifll: [a. b[-::2.x-ô> L'intégrale
f est dite "!.b a
est convergente.
·b
absolument convergente si et seulement si! .~a ilf Il
Chapitre 6:
Intégrale
219
compléments
Théorème: On dispose du critère de Cauchy.
t.g
Etant
(a. b! c::;:; X ~ etl
donné
si et seulement
si
\:18>
Ill[a. bL El,
c
0.:3 cc [a.
b[. \:1
l'intégrale
lx. y) c [co b[2,
IIsuffit de remarquer que E étant complet, la fonction admet une limite en b si et seulement F(y)
=
- FIx)
1 iY
est convergente
j'b ·a Il
111 ~8
1:
E, x
[a. b[ ~
.f~ë1
H>
si elle vérifie le critère de Cauchy, et que
f.
j.y ."x
D
Une formulation équivalente
de ce critère est:
Pour tout x c [a. b[. il existe
Ô
(x)
= yElx.b[ sup IllY Jx
lim
Ô
x~b
et
111
(x) =
O.
Conséquence Si .j.b a
1
est absolument
IliY
En effet, donc si
j.b ·a
convergente
iY
~
alors elle est convergente.
Iii
il vérifie le critère de Cauchy, il en est de même pour J lb a f.
D
Théorème: Pour les fonctions réelles positives, on dispose toujours du théorème fondamental:
t.1 0
Etant
l'intégrale majorée. ~
(a, b)
donné
.fab
E ~
x IR,a < b, et
1
est convergente
1
E
1
Jl ([a. bL iR1)avec
si F : [a, b[ ~iR1, x
si et seulement
sur [a, b[,
positive
H>
lX
1
est
En effet, F est toujours une fonction croissante. Donc les critères de comparaison
établis en Analyse
1
restent tous valables. D
B. Intégrales de Jonctions de signe constant Théorème: t.11
Soit
(Xn)nE
Alors
1:
a E iR1,
[a, +x[ ~~
une suite
r001 est
la
croissante
de même
continue
par
sur
de [a, +x[ telle
d'éléments
nature
morceaux
que la série
de terme
[a, +x[ que
et
lim
n-++co
général
Un
.+C'(::;
~
il supposons.fa
En posant
J
1
convergente,
= 1+00 1, on a x~+x lim Xi]
alors
rI
JXi]
rx 1
est convergente.
JXi]
= J,
or
Un
=
L
n-l Uk = J lXn x 1 k=O Xi]
positive, Xn
= +00.
= J~ rn+ll.
220
Précis d'Analyse
lim Xn = +ex, on en déduit n~+oo lim Un = J. n~+œ'
donc, puisque
:z Un est
Ainsi
i+xJ
ii / Supposons
J
étant positive, lim
n---;-+,:;c
avec
convergente
divergente,
r
on a x~+x, lim ~ 1"D
~n=O Un = J+:'0 f. Xo
alors
J
=
:z Un est
Un = +ex. Ainsi,
;:00 J
+x,
diverge.
comme ci-dessus
on en déduit
divergente.
Remarque (xnlf\j croissante
L'hypothèse
a pour conséquence
Dans la pratique, le résultat précédent de fonctions
à
positives
:z Un est
que
permet de ramener
celles de séries
à termes
à
termes positifs.
l'étude de certaines
intégrales
positifs.
Exemples - Travaux pratiques
1
k exet2 Nature de' ; r~ Jo
• J: x
donc
f-è>
1 . 2 1 + chxsm
h/+X
J est
n
conclure
'TI"
à
+ chxsin dx
ici correspond
et positive sur [0,
:z Un avec
=
Un = j.(n+liô f.
efficace
de
J,
lln+llô---n-ô--e dx 1 +?
car chx ~
e e "2 ~
On en déduit
Or
+x[,
en chaque
et permettant
2
sin
x
n'j"j"
2
\;f
n
E:
sur [n '"
u
2
o ~ -u
'TI"
.
(n +
1) ,,].
Un ~ 2e-no.
!~, 0 ~
-nTidu .2 J'''' o 2e + sm
et, sur [O. ;]
sur [O.
rx f. . nô
x
valable
de Jo
o ~ Un ~
E: ,~,
+x[,
aux zéros de sin x, le fait que sin2 x s'annule
une majoration
la convergence
n
x
est continue
x
rend impossible
On a, pour tout
2
de même nature que
La suite (xnl choisie point
1
=2
.fr'0 ~ 2e
.
~ smu,
/.o. ·,0
2e
-no. du .2 + sm
-no..du 2 + sm u
------nô ..
·,O.4en /.:ry:
x
= u +
n ,,)
(carsini,,-u!=sinu)
u
-
donc
(poser
du ;> +Sln-u.O
~
/"05-
------ 4 -nô
2e
du
+~
u-9
ïT
de
Il
Chapitre 6:
221
Intégrale compléments
d'où, finalement
ç - ')"
soit
U\ . ')"
--TI
JI
11_ [ Arctan (' ~e~'/2 11_')] 0~ ~ ne ~2 11 2 o ~ UI1~" v2e ~ n_ TI La série e- 2" étant convergente (série géométrique de raison e- 2), la série
L
L UI1 (à termes
positifs) converge également et Jor' ,', J est convergente,
C. Cas général Théorème:
t.12
Soit a
l [a, +x [,J : l -, E une fonction continue par morceaux sur l, une suite d'éléments de l, strictement croissante telle que
E:;:;,
CX:I1)I1E',
liT, n---,.,x
XI1
==
==
+x.
Lorsque
rj
l'intégrale nature.
li~,
n---'-+_~,xnj.xn+1
==
0,
et la série de terme général
.la
UI1
11-1
~
i / Si l'intégrale converge, la série converge car
L
ulc
j,X" .\'il
,
lc=O
lorsque
J
tend vers J rcv J Xc
n tend vers +x,
ii / Si la série converge, Pour tout
x
et de x
0·:Jll>0.'dXE
Q.
X-.'C(J
o<Sll
=?
Flxl-
o<S8
c'est-à-dire que la restriction de F à Q est continue en .'C(J. Puisque Q est un voisinage de .'C(J dans p, F est continue en .'C(J.
D
Chapitre 6:
Intégrale
223
compléments
B. Dérivation J est un intervalle de
:=:
tel que J
Z.
cF
Théorème:
t.14
Soitf une fonction de J)< [a. bJ dans l'espace vectoriel normé tout x de J, la fonction partielle t '-J> fi x. ri soit continue sur Si f possède une dérivée partielle
riX
~if
continue sur
sur
J
J
E
telle que, pour bJ.
[a.
[a.
bJ, la fonction
b
F :
x
j' flx. ·a
f-'>
t) dt est de classe
CI
avec:
·b af
Vx ~
Etant donné x quelconque
assure l'existence
il Envisageons Soit alors
_\{j
E
.a
dans J, la fonction
t
de .j.b a f(x,
d'abord
J et (a. [3)
sur [a, b], ce qui
tel que [a. [3J c J soit un voisinage
de xo dans J, la
= IR.
::hl> 0, V
h
+
E iR tel que _\(j
x
f-'>
f(t)
h
Il
~I]
x [a,
bJ
de [Riz, donc uniformément
[_\{j, _\(j
-,-(x. t) dx'
=?
af
des accroissements
+ hJ donne l'existence If
t)
~,-(x . t) dx
-
af
1
= h~(xo+ dX
1
~--
b- a
IlE
finis appliqués
à
la
de 8E JO. l[ tel que:
8 h, t)
jhl ~I], on a alors:
F(xo + h) - F(XO) - h 1
~C\{j. dx
t)dt
V
jba
1
= h 1
Il en résulte que F est dérivable
(eill~i~n
E à une base
8
-,-(XO+
l·b dxaf
.0
en xo avec
ii 1 Dans le cas où E est un espace vectoriel
En rapportant
r:lJ fJ
1 \)
E [a, [3], la formule
sur le segment
f(xo + h. t) - f(xo. En imposant
[a.
E (x. t), (x . t) 1 l ')
(
t
,t 1
,
Pour
K=
sur le compact
et
fonction
t) est
f(x,
f-'>
t) dt.
E
En conséquence
-,-(X. t)dt dx continue
le cas où E
If fonction ~dx est continue continue sur ce compact.
j
FI(x) =
E I.
F
(XO)
=
- de dimension
et en posantf
h, t)
j.ba
-,-
-
af dx
-,-(XO. dx af
~ Ihl E
t) dt 1
(XO, t) dt
finie - quelconque. n
= Lliei,
i=l
on obtient F
n
=L
i=l
Fiei
b avec
V
x
E J, Fi(X)
D'après
l'étude
dérivable
en
XO
= .Ia li(x, t) dt
du premier avec
cas, pour tout XO E J, chaque F[(XO)
=
.jb a
-,-(XO, aj; dx
t)dt
fonction
composante
Fi est
224
Précis d'Analyse
Il
On en déduit que F est dérivable en xo avec:
lb
-,-'(xo, t)dt af;
FC"O) = 2=: n e, . a i=l iii! La continuité de F sur
=
dx
l résulte alors de l'application
lb
-,-(XO, af
. a
iJx
t)dt
du théorème 13.
o
C. Intégration Théorème: t.15
f
étant une fonction continue sur l x [a, b] à valeurs dans l'espace vectoriel normé E, on a, pour tout (a, 13)E [R;2tel que [a. 13]el:
l~
(fab f(x, t) dt) dx = fab
u&
(l~
f(x, t) dx ) dt
On remarquera d'abord que, d'après le théorème 13, les fonctions: F:
x
f-7
j.ba f(x, t)dt
1~
G: t f-7 . Œ. f(x. t)dx
et
sont continues sur [a, 13]et [a. b] respectivement, ce qui assure l'existence de
l~ F(x) dx lŒ Considérons alors les fonctions : Hl Hz
F étant continue sur 'if U E [a, 13],
H~(u)
:
lalb G(t)dt
et
[a, 13] --+ E
U f-7
lU F(x)
[a, 13]--+ E
U f-7
fab
[a, 13],Hl est de classe
el
dx
(lU f(x.
t) dx)
dt
sur [a. 13]avec
= F(u).
fi
K: (u. t) f-7 '.l'u x, t) eL, admet sur [a, 13]x [a, b] Œ
Pour la même raison, la fonction aK une dérivée partielle -,-dU
:
(LL t) f-7 .
feu. t) qui est continue sur [a. 13]x [a, b].
uE
Par application du théorème 13, pour
[a. 13]la fonction partielle t f-7
.l
U f(x.
est continue sur [a. b]. On déduit alors du théorème 14 que Hz est de classe
t) dt
el
sur
[a, 13]avec: 'if
u E [a, 13].Hb(ui =
~
j.b .a
-,~(u. t)dt = élK dU
Il résulte de ceci qu'il existe une constante 'if u
E [a.
13].
)cE
j.b .a
flu. t)dt = F(u)
E telle que:
H2(ul = HIIU)+
)c
et, comme H2(a) = Hl (a) = 0, on a finalement )c= 0 et la formule annoncée.
o
Remarque On évitera de se précipiter aveuglément sur ces théorèmes dans certaines situations simples.
Chapitre
6 : Intégrale compléments
\0 1)
225
Exemples
j
est continue sur S:, pour faire apparaître les propriétés de :
F: x ~
fb jix
+ r) dr
. a
il suffit d'écrire
2) j est continue sur ::::,pour étudier a jl[l F(x) = cOS.Yj.b
F(x) =
jb+X a+x
j(u) du
(poser u = x + t) .
F: x ~ j'b a j(t)cos(x + t) dt
on peut noter que
cos r dr - sin x. fba j(t) sin t dt.
Exemples - Travaux pratiques exemple 4
1
•
t
f'"~
Montrer quel ;annule une fois et une seule sur [;, Soit C",(x.;n')d'.
11'] .
La fonction
et pourvue de dérivées partielles
(x. e) ~
cp:
continues sur Ji2, donc V Pourtout(x,e)E
X
j
cos(xsin
e)
el
est de classe
E-:::;'.flx! =
est continue sur
[R2
sur R d'après le théorème 14, avec:
1"
-.-' (x. e)d e = sin e sin(xsin ék; !r-'" ax .0
.0
[O.•• i.onaxsineE
[O.•. J,donc
sin(xsine)?O
Plus précisement on af(O) = 0 et pour x EJO.•. J,la fonction e~ continue, positive, non identiquement nulle sur [O.•. J, donc Ainsi,]
r
Jo
sin e sin(x sin e) de>
0
et
flx)
e)d e et
f(x)~o.
sin e sin(xsin
e)
est
< O.
est strictement décroissante sur [0, •.].
j ( ;)
= fa" cos ( ; sin e) d e est strictement positife car e ~ nue, positive, non identiquement nulle sur [0, •.].
j( ••) = j'"o
cos(-rr sin e)d e
=
l~ 0
2
cos(•• sin e)d e+ ;:
cos ( ; sin e) est conti-
cos(TI sin e)d e
. ~
1'2cos(Ti sin e) d e
·0
(poser u =TI - e dans la deuxième intégrale)
Sur [0, ;],onasine>
:
edonc
TI? •• sine?2e
L'inégalité précédente est stricte sur] 0, ;
[
et
cos(TIsine)~cos2e.
d'où:
j(TI) < 2 fa~ cos2 e d e
c'est-à-dire
j(TI) < 0 'TT
Finalement, j réalise un homéomorphisme décroissant de [
'TI"
2' TI] sur [t( 2 ),j( TI)] et, puisque
o E lf( ; ),j( TI)[, il existe a E J ;, TI [ unique tel que j(a) = O.
226
Précis d'Analyse
Il
Exercices-types
(1).
que f(x)
a un argument
sur
v
[a,b]. Ex. 6. 2
Nature de
constant
>-+
'/
.1,+::-: 0
Calculer
-+
_/,n ,~o
en chaque point
n'Ti, nE N. Introduire la série de terme général Un =
les dérivées
de
F,
Ex. 6,7
Ex. 6. 3
Introduire
Il Y a trois problèmes
de convergence.
En +x,
par effectuer
un dévelop-
la série de fonctions
Un(O:I = '0
pement limité.
partielles
2
(1 + x 1.
~
+0
1
2x
V
lf(x)
et
2'CY
(x1 )
1
x1
----et
~
donc
f
h'+x .2
converge absolument si et
Supposons désormais 0
e-ax -clx. .. sin Xx
j.(n+l)" n"
est continue sur 1R2. un(a) vérifie le critère des séries alternées, il en résulte:
L
V nE!';J,
~ IUn(a)[ ~ Tl
uk(a)
I+X k=n
1
1
+x
En conséquence, la suite des restes (Rn)"
(Rn:
L
af-7>
converge uniformément vers
uk(a)),
k=n
° sur [0, +x[. 2)
La série
Un converge donc uniformément sur [0, +x[ et F est continue.
2:=
D'après le théorème 14, les fonctions Un sont de classe CI sur IR avec:
VaEIR,u~(a)=
Pour tout a>
° fixé et tout aE lu~(a)1
jen+l)" ai n" --a;(a,x)clx=-
e-axsinxclx
j.(n+l)" n"
[a, +00[, on a :
~'TI'
e-an"
donc
Il u~ Il [;;,+x
[
~'TI'
e-an"
et la convergence de 2:= e-an" donne la convergence normale, donc uniforme, de [a, +00[. Ainsi, F est de classe CI sur [a, +x[. Ceci étant vrai pour tout a> 0, F est de classe CI sur Va> O,F(a) 3)
On calcule F/(x)
pour a>
F/(x) .
Il en résulte
=
=
u~(a) = - Jo['+x
n=O
j
lm o.+X _el-Q+l!t ..
VaE IR:, F(a) =À - Arctan
rx
Enfin la majoration [F(a)1 ~ Jo
dt =
sinxcbc
lm [el-Q+ilt] -.--. ex -l 0+x
=
-1 -?a- +1
ex (À constante réelle)
F(a) = F(O) - .Â..rctan a.
e-QX
elx
donne
c'est-à-dire
j+x .0
--
sinx x
~ ~a et donc
lF(a)[
'TI'
2
e-QX
O.
et puisque F est continue en 0,
On en déduit F(O) =
Un sur
+x[ avec:
JO,
I:
2:=
eL\:
=-
2"
hm F(a) = O. a-+x
Chapitre 6:
233
Intégrale compléments
Exercices proposés E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie. Ex. 6. 1
J
Soit que
e
Jo
E.l1 ([0.1].::;:)
/.1 .0
J
positive ou nulle, telle
> 0 et A un polynôme réel tel que
A2J =
O.
SoitJ E C=(R g(x)
1)
Montrer que A est le polynôme nul.
et 9 : IR-+IR telle que:
= J_(_x_)_-_J_(O_) si x x
* 0, g(O)
=f(O).
Montrer que 'ri x E IR, g(x) = JorIf (xt) dt. En déduire que 9 est de classe C= sur
Ex. 6.2
2)
Calculer
SoitJE CO([a, bJ. ~+) et cpECO([a, bJ. ~),a0 Ex. 6.4 SoitJ
E.ll ([0,1]. E).
Calculer lim k;;;oO
~ 11 a /c/cJ(t) + t
dt
.
Ex. 6. 5 Décomposer en éléments simples la fraction ran-1
nx
1
tionnelle un(x) = xn _
Ex. 6. 10 En déduire
.!n2" ° ---il x-dte
Etudier la nature des intégrales:
Ex. 6. 6
Calculer
lim -n LE n-+x 1 k=l n
-
/c (2n)
- 2E
-
(n)/c
1 )
-_--=--=--==== .~.+x 0 V t +sin ta tcos t
dt,
0' ~
2)
a 1'+x en Il x- (1 xl +cosC€n o x)
x)
3)
l+x
4)
Jo
O.
dx
Ex. 6. 7 SoitJ E C2(~, ~), trouver la classe de
9 E CO(R~) telle que
IR.
'ri x
* 0, g(x)
=-
11Xa x.
J
(-1 + e ~E(X)-l)
r00 xa sin
dx
(fn(x3 + x)) dx
234
Précis d'Analyse
Il
Ex. 6. 16 Etudier Un
=
la nature de la série de terme général
01)
sin(TI
n
Œ
l'intégrale
,
aE]O, 1] en comparant
sine XTI vIX)
1=
Cio" cos(x
.10+20 e-ŒX
(Considérer
2)
décroissante Montrer que
.L:/
et
rx j
On suppose
lim X----;'-+·:0
lim
j
Xn = +::x:: et
lim
9 :~--+~, x
Exprimer
peut-
telle que
xnf(Xn)
=
O.
loTI xj(sin
x) dx est convergente
xj(sin lTI a
x) dx = -
j'"a
2TI
j(sin
l+20 ---9-dt tn(1 1++ t2)
r rx 1 r
Montrer
j
_t_n_(a_2_+_9_t2_) dt +
que
x) dx
rx j
lim
-
2)
et calcul de :
j(x) = .101 tX~nt - -1 dt a -cEnsemble
=
y)
de définition
J+X -x
et calcul de :
..9
9
x
E [q+ :
eit +x(t- yr
dt Jeu) iX !nt a a
x1
r
du
dt.
Ex. 6. 21
con-
Montrer que, pour tout
l~ x21 Jo x>(}
de définition
Ex. 6.20
E M ([0, +00[, E) telle que Jo
X-++OO
0)
(a>
et que l'on a
verge. Calculer:
1)
et
Ex, 6. 19
j(x. Soit
e - t2 dt.
et calcul des intégrales:
Ensemble x) dx soit convergente.
de g.
,0
E Jt (]O, 1[, E) telle que l'intégrale
loTI j(sin
·0
lo+x
dt
dt.
l'X e _t2
C-ô>
en fonction
Existence
Jo Ex. 6. 13 Soitj
j
1+ t ~
Jo1
C-ô>
Ex, 6, 18
=0 ?
n----:-+·::x;
et
En déduire
/:x2 j).
qu'il existe (xn) E ~'C
Montrer n----:-+·x
xj(x)=O.
convergente,
Jo
on en déduire
j
fo+x
et
j(x)=O puis que x~+~ lim
lim X~+N
:~--+R x
Soitj
j
On suppose convergente.
dx
e -K(1+t2)
·1
1)
e) de)
Ex. 6. 17
EM ([0, +::X::[,~) positive.
Soitj
sin
quand elle existe (aE ~).
dx
et
/+00 1
avec
Calculer:
j"+x .0
--dt= sin t x+t
(Vérifier
tf(t)dt. de y'
.
--dt.
l'+x .0
e-''([ l+t2
que les deux fonctions
'/ + y
1
= x - sur
sont solutions
rrcx ,h;(+)
Ex. Ex. 6.22
Soitj
E C2(~2,~)
telle que: ••Q
a2j
a2j
ax
ay
:::'j= --2 +--2 =0
Calculer
ha(x) =
Montrer que l'application: q;(x) F : r C-ô> Jol2" j(r cos est constante.
e, r sin e) d e En déduire
1 .Jo
=
cos
tx
--2 1+ t
l'X --dt sint t
. a
dt. l'+x --2 cos tx l+t
·0
dt en fonction de
Chapitre VII
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral Dans ce chapitre, E désigne l'espace [Rn (n E N*) muni de sa structure affine canonique. On note
B = (el, e2,"',
en)
la base canonique de [Rn.
On dispose d'un espace vectoriel normé en munissant [Rn de sa structure euclidienne canonique.
1- Formes différentielles de degré un U désigne un ouvert de E. Le dual de E est noté EX.
Définition :
d.1
On appelle forme différentielle sur
U,
toute application de
U
dans
E*.
1
Remarques U --+[Rest de classe el, sa différentielle df : U --+ E* est une forme différentielle.
1)
Sif:
2)
L'espace EX est un espace vectoriel normé ; on peut donc parler de forme différentielle continue, de forme différentielle de classe Ck
Notations: n.1
La base de E*, duale de B, est notée
B* = (dx1, dx2,' .. ,dxn).
1
n.2
Une forme différentielle w sur U est caractérisée par ses fonctions coordonnées (P1,P2,'" ,Pn) dans la base B*(Fj : U --+[R). n
Ainsi, pour tout
x
de
U : w (x) =
L
Fj(x)c1.xj
)=1
n
où w
(x)
est la forme linéaire
w
(x)
E -+IR, y
>-7 W
(x) . y =
L
)=1
n
n.3
On dit que
w
=
L
Fjc1.xj est
l'écriture canonique de
)=1
nA 1
Pour n = 2, on écrit souvent Pour n = 3, on écrit souvent
w= Pdx+ Qdy w
= Pdx + Qdy + Rdz.
w.
YjFj(x)
236
Précis d'Analyse Il
d.2
forme différentielle n
On dit que la forme différentielle
sur
U,
W
=
L
est de classe
FjdXj
ck,
)=1 (k E Nu
n.5 1
{x}),
si les n applications
On note nk (U) l'ensemble un IR-espace vectoriel.
Pl, P2, ...
:
,Pn
-IR sont de classe
U
des formes différentielles
de classe
Ck
sur
Ck.
U;
c'est
Défihitions : d.3
Forme différentielle
exacte
1
Une forme différentielle WE nk (U) est dite exacte sur U s'il existe une appliw: df = w. cationf : U -."IRde classe Ck+1 dont la différentielle est L'applicationf dA
s'appelle une primitive
Forme différentielle
de w sur
u.
fermée n
Une forme différentielle
de classe
sur
Ck
U, (k
?
L
1), w =
FjdXj
est dite
)=1
fermée si:
a p. __a Pi _J
[1. n]2,
'if (i,j) E
a Xi -
aX]
(sur U)
pr9prÎé.~$§: p.1
Une condition nécessaire
de classe el,
pour qu'une forme différentielle
n
W=
L
FjdXj
EnI
(U),
soit exacte sur
est d'être fermée sur
U
U.
)=1
~
Si west exacte, ilexiste f .
donc
'if JE
: U -IR de classe C2 telle que df = w éif.
[l,n].Pj·= -.-dXj
élFj
et
'if LE
[1.n].-.. d~
=
..
él2f
d~dXj
Ilsuffitalors d'appliquer le théorème de Schwarz (Chapitre III,théorème 2). Noter que cette condition n'est pas suffisante (voir exemple 1).
D
IM'lp·2 Soit
W
une forme différentielle
Alors, west exacte
1
~
de classe
si et seulement
si
ù)
el
sur un ouvert étoilé U.
est fermée.
Supposons que U soit étoilé par rapport à l'origine (on se ramène à ce cas partranslation). n
On définit alors l'application
lp:
U x [O. IJ -:;:.
(x.
t)
f-ô>
w (tx)
.x =
L
-'9p)(tx)
)=1
(Noter que
L'C E
[O,xJ cU.)
Elle est continue et. pour tout t
E
[0.1], l'application partielle éle
de classe el avec
'if i E
[1.
n],
~(x. dX,
U -:;:, x .. n éiP' LI = P[ltx) + t..'9~(t..'C1 ÔX[ )=1
L
f-ô>lp
(x. t) est
Chapitre
237
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral n
OP'
j~l
dX:J'
a
Sachant que west fermée sur U, on peut écrire et constater qu'il s'agit de la dérivée de
t) = Pi(tx) +
+(x, u~
L 1Xj-,-'
(t'C)
t f--+tPi(tx).
1 Introduisons alors l'application J:
U
-2.
x f--+la
'P
(x, t) dt
:~iest continue sur
Le théorème de dérivation sous le signe somme s'applique ( Ux[O.l]
,')
d'où -,-lxl= élJ '" dXi
-,-' élc (x.tldt= " dXi
il 0
rltPi(tx)]
1= Pi (x)
0
Ainsi, west exacte, J est une primitivede w sur U.
D
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Soit U =
\ {(O. O)} et
(ù
la forme différentielle , ", (ù IX, y)
1)
Vérifier que
2)
On suppose que
el
est de classe
(ù
(ù
•
-
ycL-...:
9
x-+y-
9
est exacte sur U, il existe donc F
G=Fo9,
U,
E e2(u,
[8) telle que, pour
f--+(reos e, rsin 8l,
(r,8)
G:(r,8)f--+F(reos8.rsin8)
Calculer dG et en déduire qu'il existe 3)
xdy
et fermée sur U.
tout (x. y) E U, (ù (x. yi = dFix.Y1 Etant donné V = x Ret 9: V on pose
=
définie sur U par
Relever une contradiction
R tel que
dans les résultats
1)
Vérifications immédiates:
À.E
0 ox
(
l
x2 x) +
=
V (r, e)
précédents
0 0Y (~) x2
+ y2
E
V,
G(r, 8) = 8 +
À..
et conclure. =
2 Y 2
-x 2 22
(x + y )
2) dFircosS.rsinSI
0 d 'PlrS>
(reos e, rsin e) ° d 'PlrS) reos 8 (sin e dr + reos e d e) - rsin e (cos 8 dr - rsin 8 d 8)
(ù
?
d8 Donc 3)
G(r, 8) = e +
À.
,
À.E
IR.
L'égalité F(reos 8, rsin 8) = e + À., pour tout (r,8) E!Ri: x !Ri, est absurde. (pour r fixé, elle donne l'égalité d'une fonction 2 TI-périodiqueavec une fonction non périodique). En conclusion,
(ù
n'est pas exacte sur U. On constate que le théorème de Poincaré ne
s'applique pas ici,car l'ouvert U n'est pas étoilé.
238
Précis d'Analyse
Il
2 U = [R2\
6
où 6 =
la forme différentielle pour primitive sur
définie sur
w
f : (x. y)
U
est un ouvert étoilé.
{(x, O)/x ~ O}
par
(x, y) = y~
w
x
- x~y +y
---y--
Arctan
f---'>
U
x+Jx2+y2
à
On vérifie que U est étoilé par rapport Pour tout (x, y) E U
x +
on a
tout point A = (a, 0) où a> O.
-j x2 + y2 > 0
et on obtient sans difficulté: y
(x, y)
'if
d.fix.y) =
U.
E
W
(x, y)
Noter que l'on a
2f(x,
tan(
y»)
x
exemple 3
Soit
w
une forme différentielle de classe
On dit que l'application 'P: tielle 'PW est exacte sur U.
U
CI
sur
U.
~[R est un facteur intégrant de
si la forme différen-
w
Exemple *3 U = (IR+'),
montrer que
. z)
w: (x. y,
y+z f---'>
--
admet un facteur intégrant de la forme •
1)
Comme Notons
L
z)
f---'>
z dz où
'P (xyz)
-a- = x y aQ { -aapX = -Y
'P
(xyz) + z(y + z)
1 1 'P (xyz)
y+z
-2-
x yz
sont successivement 9
Les primitives
ay
'P
(xyz)
'PI1
(xyz)
-----xy-
on voit qu'il suffit que
z+x
(1) =
aR
'PW est fermée,
1 éD\
aR ap ax = '7iZ
+ xyz y t>
'if
1
•
0
]
l ,'-yz) =
O. y
(tl + t
2x
a
3)
a2 + b2 -
1)
Paramétrisation de [
-2'2 -l". " "] n2
.h· r, y-9 dx+x- 9 dy =
O.
b>
='1' (b).
el, (le cas général s'en déduit à l'aide de (fa
cp)/(t)
- J(A).
l'une des courbes sui-
0
=0
rl:
x2 +
if - ay = O.
tl-'>Ml t, x=acostsmt. () ...
y=aSln-t
4 ..
sm3 2r.- dr = --- " 4a3 ..
a3
["0
[ (1..
cos2t)-
,)
cos2r+
9
D
Chapitre 7 :
2)
241
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Paramétrisation de [-",,,J_:;::2,
[C-3>M21[1, x=aCOSL
y=bsint
l? iF dx + x-? dy = ,j""_" _--ab- '),sm'3 [+ a-? b cos3]t dt = 0 1re ?,
3)
r3 :
Paramétrisation de [-T.',,,J-:;::2,
a)-
1X -
?
a~
?
! Y - b)+ .) - 2 = 0,
b-
8C-3>"V3181,x=a(1+v2cos8),
ir·)r y- dx + x- dy = ,j'+"_"
[ - ab-.)vln ' 2 sm
?
3
y=b(1+V2sin8)
8 (1 + vln, 2 sm 8)2 +a2bV2COS8(1+V2COS8)2]
,frr3
Y dx+:c
?
2
r
•
ab(a - b)
dy = 4"
5
exemple
a cu 1el' fr' (:1consécutifs
x +y A ou =, la,Wa)= (x -B y) = (-a, , 2 + a) C = (-a, ,et, rI" al e carreD =onen (a, -a)e (x2 + y) dy
•
1
Elle se decompose en
i
On constate que west
•
t
wl= 0
t' de
dx
W
La forme différentielle west de classe
donc
w=w +
l 'lr w-
W
c=
sur U =;;:2
i
avec
ùJ
exacte sur
,r
et
il
L':
éù
=
?
x-
1
1
ii Wll
~?
+
'/
Il w
+ y-
=
xdy - yd.x 2 X
+y
2
if')
a été étudiée dans l'exemple *- O}
1,
B
= d Arctan l{
x
A
r 01
•
t
somme (a> 0) s
{W,OI},
xdx + ydy
w = '2 d tn(x
elle est exacte sur Ul = {(x, y) E:;::2 lx Wll
d8
1
elle est exacte sur U2 = {(x, y) E Wll= -dArctan-
If
Ecrivons
.!r
w=
Co
Ona
X
!
C
y
Jf
w
.PB
.!~ 'H
AB
w = [ - Arctan
+
Il
Ir .Bé
w +
Ir .CD
w
1/
+
1/
h ,i5À
X
x
T.'
y ]BA
a ]x=-a x=a
2
= [ - Arctan
On trouve de même_ ,Be _ wIl = ,DA Ir wIl = 'IrCD ~.,,_, w Il = Ainsi
w
2' T.'
r w= ir r WII=2T.', ir
On remarquera que ce calcul montre que w n'est pas exacte sur U bien qu'étant fermée,
D
x
242
Précis d'Analyse
6 + xdy+ydz
r est
où
x +y +z= a •
La projection orthogonale
de
le cercle
,
La deuxième équation s'écrit
3
,
(
x2 + ;
x +y
-
+
:3 2a)
orienté)
d'équations:
lf + ~ = a2
x2 +
r sur le plan Q>-yest
z=0
(supposé
l'ellipse d'équations: a(x + y) = 0
>-y -
2
+ (x -
y)
2
34a2
-
= 0
a
.
On obtient pour paramétrisation
r
de
[0,2
t
_iRi3,
TIJ
rè>
0, ::lm=
1
7P -1,
0 ~ D(Œ) - d(Œ) ~8
il L'ensemble des fonctions réelles intégrables sur ..1,noté 1"(.1),est un sous-
p.8
espace vectoriel de iil
2F
(.1,[R;).
L'application 1"(..1) -7[R;.j
f--ôo
l
.1-1 f
est une forme linéaire .
il Toute application continue de .1 dans [R;est intégrable.
p.9 1
:
ii 1 Soit f et 9 : ..1-7[R;, intégrables; alors les applications suivantes sont intéinf(f g) , sup(f g) , fg grables: lfl
p.10
Soitf et 9 : ..1-[R;intégrables.
1
ilf?cO
iil
Il
llfl
.1-1.1-1 fi ~
iii 1 (.1)= 0 f.L
p.11
lf?cO
=?
=?
~f.L
if
,
f~g
l f ~ .J'-1g .
.1-1
=?
xd Ilf(x) (.1)sup
II·
= o.
Soit.11 et.12 deux compacts mesurables etf
1
Alors,
f est intégrable
sur .11et .12et :
l
.1-11u!l2 f=
et, si
f.L
(.11(\.12)= 0:
:.11u.12-7[R;intégrable.
.l'U-12 f =
l
.1-11f+
l
.1-12f-
i,
f +
l
f .1-11~-12
.l2 f
moyenne: Théorème de la moyenne
p.12
il Soitf : .1-7[R;intégrable, on a iil
p.13
Si.1 est connexe,j
f.L
(..1). inff -1.1-1~
lf
~f.L
(..1). supf -1
: .1-7[R;continue, 9 : ..1-R intégrable positive:
lf
il existe a E.1 tel que
.1-1
il existe b E ~ tel que
.1!lfg = f(b)
= frai
l
f.L
(..1)
.J-1 g .
Inégalités de Schwarz et de Minkowski
1
Soitf et 9 : ..1~[R;intégrables. 1
(lfgr
~Clf)
Cll)
r ~Clf)
[.l(f + g)2
1 2 +
1
Cll)
2
247
Chapitre 7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
C. Intégrale d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel E désigne un :->
lx.
D(x. y) i cos 8 -D( r.,81 = i sm 8 1.
12.
1 1
yi = Ir cos 8. r sin 81
-rsin
8 = r.
r cos 8
La formule du changement de variables s'écrit alors:
lif(X,
y)
dxdy =
l/Df( rcos
8. r sin 8) irl dr d8
Remarque Il est souvent judicieux de choisir D pour que r reste positif (quitte à faire un partage de .3.et utiliser la relation de Chasles). b)
Coordonnées elliptiques (Ç:
Le jacobien de
ç est
(u, 8) f-7 (x. yi = (au cos 8. bu sin 81 D(x. y) = D(u.8l
1
!
acos 8 bsin 8
-ausin 8 = abu. bucos 8
Chapitre 7 :
251
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
La formule du changement de variables s'écrit alors:
il]IX,
yi cb:dy = IID](aucos
8. bu
sin
8) labu[ du d8
Cas d'une application affine
Cl
y : :=:2_;~2 est une bijection affine Le jacobien de c est le réel det
LI
ç) où LCcp) désigne la partie linéaire de
q;
(D) est un compact quarrable dont l'aire est:
cp,
Application Si D est un compact quarrable,
3l. [q;
(D)]
=$
(D) IdetL(cp)1
Cas particuliers c homothétie de rapport
ÀE [FR*:
y affinité de rapport
fLE
ç isométrie
de
[FR*:
$ $
Ccp
(D)] =
Ccp
(D)] =
sI [q; (D)]
[FR2
$ $
111.12
1
fLl
(D)
(D)
=$ (D)
Exemples - Travaux pratiques
exemple 11
1
•
l,
l+x
JJ",
rayon Calculmff =
+y ;
2
dx dy
où 1 e~t Je di,quo fc,'m é de cent,c (0,0) et de
Il est naturel d'utiliser les coordonnées polaires: ? 2 D :0 ~ ..1: X- + y ~
1
r ~ 1. 0 ~8~ 2
ÎÏ
811\
YT
hh 1
L'ensemble des points de
..1
qui ont plusieurs antécédents dans D est:
A:O~x~l
y = 0,
il est négligeable
Le calcul de l'intégrale double s'écrit:
l = ..
~ lh'D1+r r
dr d8=
,0 (io2'iT)
d8
-2
,ol+r r (1'1
dr
)
• l
=TI'
fn2
252
Précis d'Analyse
il)
dxdy où!l X
2
est le disque elliptique Y
2
2+2~1, a b •
fermé donné par:
(a>O,b>O)
Il est naturel d'utiliser les coordonnées elliptiques: 2 2
x
y
!l: 2a
+2 b
~ 1 , D: 0 ~ u ~ 1,0 ~8~ 2
11"
Le calcul de l'intégrale double s'écrit: l
=
rr 2 u 2 cos2 8 +b 2 u 2 sm . 2 8)abudu JJD(a ab
l·1u3 du·
. 0
d8
(a2 cos2 8 +b2 sin2 8) de .i·2'IT 0
4 ab(a2 + b2) 11"
Noter que
l est le moment d'inertie du disque !l
par rapport à son centre.
exemple 13
Ji (x + y) dx dy
où !l:
VX + JY
~
LvI -
!l est limité par deux arcs de parabole et admet le point (~,
x+
vI -
~)
pour centre de symétrie.
y ~ 1,
Transformons l'intégrale à l'aide du changement de variable défini par la rotation: 2 'P :
On trouve
puis
l= yi'v
-1 (!l) 'P
il
= D :
(u, v)
- 1~ V2
(1 + uV2) du dv
u
1
2
IR ---;IR,
v~
1--»
X
=
"2
1 -
V2
1
u-v
+ V2 ,y = 2
2v --~2v2
1~
(le jacobien de q; est 1).
u+v
"2
+ V2
u ~
1---
A
\ 1°)
Des raisons de symétrie (par rapport à la droite d'équation u = 0) donnent: ..lir' D u vl2 du dv = 0
et donc
l =::1 (DI
9
2v2V2
=:J (..l) = ~ 9
Il
Chapitre
253
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
C. Formule de Green-Riemann Calcul d'aires planes Théorème: t.3
Soit ~ un compact simple de :=;;2 et w classe el sur un ouvert contenant ~,
h'
On a alors
P dx + Q dy
,0+",
==
==
Pdx + Qdy une forme différentielle
!J -,--dx ,.J", j'''(aQ
Application au calcul d'aires planes Soit ~ un compact simple de 1R2et D son image en coordonnées polaires, 1)
sa (A)
2)
sI
(A) == .Jr0+ '" x dy
== _
JI
==
r
Jo+j,
Exemples - Travaux pratiques
exemple 14
/etl'arcparamétré 'Y: [O,2TI]~iR;2, (aCt-sint),a(l-cost») ~ est le tH(x,y)= campa. et simple limité par l'axe Ox ~. Aire d'une arche de CYClo·,.'de.
•
sa (~) = -
l,
y dx =
a
2
0+'"
,11(A)
==
3
TI
~'2" a
.
(1 -
cos
À
tt dt ,)
y
a2 2a"-
-------------
(noter que l'orientation de 8A correspond à l'orientation de 'Y dans le sens des t décroissants)
x 21Ta
exemple 15 limitée par la cardioïde d'équation
polaire
r
==
a(1
+ cos 6),
• sa
(A) ==
1 hü+D
2"
r2
2 j"
d6= a2
.
-TI (1 + cos 6)2 d6
y
2
sa (A)
= 3~ a
x
de
254
Précis d'Analyse
de Descartes x3 + y3 - 3axy
• il
=
O.
est le compact dont la frontière est l'arc: YI
[0, +00[-+[1;1;
2 ,t
x = 1+ (3at
-+
ü+il
t3 . Y = tx )
x
(On notera que, avec y = tx :
xdy-y
:il
Il
(il)
1 Jo+j, r x = "2 3a2
2
dx =
dt)
x2
2.10rc:0 (1 t2+ dt t3)2
dt = ga2
=2
exemple 17
~
de deux façons différentes l'intégrale double: l = •
1)
JI (2x3 -
y)
il :
dxdy
A l'aide du changement de variable
x ~
'224 fa 1T(
4 1= 15a 2)
4
3
Sa bcos 8
b-
ab
a
b
= bu sin 8 aucos
{X y
1= jjD(2a3u3cos38-bUSin8)abUdUd8
1=
2 2 x y 0, y ~ 0, -"-Z + 2' - 1 ~ 0
,
o~
D
1 0 ~8~-
U ~
.
" 2
ab
-32)sin 8
d8
2
3
A l'aide de la formule Green-Riemann:
.
l
4
1= 15a
x4
y2
= Jo+j, r -2 4
.:!':
dx + _2 dy = .lar
b-
ab
3
2
2
dY
= y
P = y~ 2
Q=Z
. 9 .•. a 2 sm-81-asmSJ+2cos
[b2
.)
x4
é!P
!.2 = 2x3 éJx
4
4
8(bcos8
]
d8
Chapitre 7 :
1
255
Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
VI - Aire d'un morceau de surface On considère dans ce paragraphe, l'espace E ture affine canonique, 10,
!,
j ,
le
,1
euclidien, orienté, muni de sa struc-
==::;:;3
est un repère orthonormé direct.
A. Définitions d.21
Morceau de surface
1
On considère une nappe paramétrée F : U ~::;:;3 (L' ouyert de ::;:;:2,F application de classe el). A un compact quarrable...1 dans U, on associe la partie :[ de la nappe appelée morceau de surface. d.22
==
F(...1!
du support
Aire du morceau de surface :[ On appelle aire du morceau de surface :[ de représentation paramétrique (...1.F),
l'intégrale double
sI (:[)
==
éJF
Il
--
--II dudv éJF
fi
éJu
éJv
Remarques 1)
On montre que l'intégrale ne dépend pas de la paramétrisation choisie.
2)
On dispose des propriétés habituelles de l'intégrale double .
3)
Il est frequent que les vecteurs
.
élF --A-élu
et dans ce cas
éJF éIu
et
éJF éIv
soient orthogonaux:
élF élu
B. Cas particuliers l, Cas d'une poramétrisation cartésienne
F:U~!R3,
(x,Y)f-'Joo+X!+YJ
+z(x,y)k éJz
En utilisant les notations de Monge, p éJF éJx==i+plc
==
dx
-,-,
éJz
q
==
uy
:;-,
il vient:
éJF EJij==j+qlc
si CL)
==
éJ F A élx
.Jl/l + p2 + q2 dxdy
éI,F Il dy
==
VI + p:2
+ q2
256
Précis d'Analyse
12,
Cas d'une surface de révolution
1
u, 1
n,8
Nous utiliserons
----;-
Cu, k) défini par: ! U (t) = - sin tT + cos t
le repère orthonormé
u(t) = cos tT + sin t j Les surfaces de révolution
Il
j
considérées
sont d'axe (0, k),
Surtace de révolution donnée par une méridienne
F: Ix
(t, e)
[R-c[R3,
0 + r(t)u(e)
f--'>
+ z(t) k
oF
-éJ8
r'u + z'k
=
oF Ces vecteurs
sont orthogonaux
Jllrl J r'2
-'
oF
Eit
oF
Eit /\---;F
donc
=ru
= Ir' Vr'2 +
z"2
+ zl2 dt de
si C:L)=
Dans le cas d'une zone de révolution, surface
de révolution
engen-
drée par une demi-méridienne
fai-
sant un tour complet autour de l'axe, l'aire est donnée par:
sa (:2) = 2
Ti"
1r r ds
Intégrale
curviligne
abscisse
curviligne
d'un point de
(r
ç
r, s r, r distance
le long de de
r a l'axe de révolution,
0),
Cas d'une surface cylindrique,
13,
Ix
F:
[R-c[R3,
(t, z)
f--'>
0 + f(t)T
+ g(t)j
+z
k
oùf
et
9
sont de classe CI sur -l,
z
r:
tf--'>
O+f(t)[
+g(t))
~
est une base droite du cylindre, notons s une abscisse
sa
(2::)
= .. JI ~
\/1'2
+ gl2
curviligne
dtdz
= if r
de
r,
zds
air·,
x/'
y
r
l,
Chapitre
257
7 : Fonctions de plusieurs variables réelles Calcul intégral
Exemples - Travaux pratiques
exemple 18
le plan 1
•
xOy le quart de disque Aire suivant de la portion du paraboloide
O. yi se ~ pr.ojette O.~ + if' ~ a2 z.l:=x;;~ nu.
La surface est donnée par une équation cartésienne: calculons: élz élx
p =
y
=
1+ p-9 + q2 = 1+ x 2 + y 2
Ci
a2
Nous utilisons les coordonnées polaires et le compact:
:;il»)
.iJ.è. r l.1~
1+
x2 ~ + y2
; [~' (1 + ::) 7i
a6
D; 0 ~
r~a
dxdy = JJD·~ fI ~1 + ~rdr
de
~[
r=
-6-12v2-1) exemple 19
~
suivant une boucle de lemniscate de Bernouilli : 7ï ~ ~e~ de. ré\.'OIUtiOn 0 ~ r ~~ + pyif'cos 2 e qui se projette orthogoAire de la pmiion du pamboloide = 2pz nalement sur le plan
xOy
-4
4 .
'j'j"
1...
2
•
Paramétrons le paraboloïde en coordonnées cylindriques: dF dr
r~
u+-Ic p
dF ---a:J =
ru'
F: (r. e)
Ho
0 + ru + ;p k
258
•
, Précis d'Analyse
Une demi-méridienne est le cercle
r paramétré par
3
~
[O,2'TT]--+1R. ,O+Ca+Rcosrrontière orientée
1
i
•
pas
par f) parla rotation rotation
d'une quarrable de !R;2 de autour plaque d'une plane droite .1 D (compact de son plan, D ne traversant
Ll.
Utilisons les coordonnées cylindriques, Le compact cubable B est ici caractérisé par 0 ~e~
Of
(B) =
fjlB
dxdydz
=
12" [.il
2 '" (r, z) E.1, rdrdz]
de= 2 ••
/1 rdrdz
264
Précis d'Analyse
et, en utilisant la formule de Green-Riemann:
"V (B) =10
Il
D
[r2 dz
ttJ
Application
f:
Ici, la plaque Ll est un disque de frontière r = a + R cos (j), z = R sin (j), 0 ~ R < a 'Y (B) 10
[r2 dz
a ---t@zrrR.> 1
fo2"(a + Rcos
=
sCO
it Il.1
r.
(U)ll du
ib
La masse du fillT, (J') est: kIff) = (J' (JCO) Il.1 COll d.t Lorsque le système matériel est homogène, on note encore la masse s'écrit alors, dans chaque cas: 5 solide de volume (5) AI(S) =(J'T (5)
2)
CT
2 plaque gauche d'aire sI (2) j, plaque plane d'aire :il (j,) r fil de longueur e (r)
d.27
(J'
la valeur de la fonction
r
:
= CT,el (2:) M(j,) = CT:;1 0) M(r)= CTt (f) M(2.)
S,ymétrie mécanique Soit H une variété affine de E (point, droite ou plan), la symétrie orthogonale par rapport à H. On dit que H est élément de symétrie mécanique d'un système matériel (S, CT) si: (5) = 5 et (J' 0 = (J'. O.
1 où F:
(J
F
éIc'U
est une paramétrisation
iii/ Cas d'une plaque plane (J., (J) de masse M(J.) >
iv / Cas d'un fil ([.
z) dx dy dz
de masse ,\IIII > O.
(J)
(J
(x, y, z) dx dy dz,
lX. y. zlOP(x, y,
(J
j
(J
de masse non nulle dans
'1·-.-.---'.
d.29
ob
Mln.la
(J
(FIt)) OF(t) , F'wll dt de r.
E est une paramétrisation
Remarques Dans chaque cas, le centre d'inertie est défini par ses coordonnées = 0+ 0' T + [3 j + T le Celles-ci S'obtiennent en remplaçant la fonction vectorielle de l'intégrale par la fonction coordonnée correspondante. Pour une plaque plane homogène, on a : (0', [3, T) : G
2)
0'= M~j,) .JI (J x dx dy , [3= TVI~j,) .JI (J y dx dy Le centre d'inertie d'un système matériel homogène est indépendant de la valeur de la densité (J> O.
Propriétés: p.i4 1
p.i5 1
Soit H une variété affine de H et (S, (J) un système matériel (5 cH), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.
inclus dans H
Si une variété affine H est élément de symétrie mécanique d'un système matériel (S, (J), alors le centre d'inertie de (S, (J) appartient à H.
Exemples - Travaux pratiques
268
Précis d'Analyse
1(t)
= aCl - cos
2a sin
111 (t)\1 =
e Cf) =
t)f
+
a sin
tl
y
c:L
r
~ Ll
JofZTI 2asin"2
t dt = Sa
x
o
a'iT
Zao
Notons Gr = 0+ a T + 13 J le centre d'inertie de
r.
2)
La droite Cfl) d'équation x = a Ti est axe de symétrie de axe de symétrie mécanique du fil, donc a= a Ti. On a alors:
r ; comme r
1 f 13= tCf)Jryds=SaJo
4a
Cas de la plaque.
1
fZo aCl-cost)2asin"2dt=3't
est homogène
c:L
est
4a~ Gr=0+aTiT+3J el (;}.)= 3 Ti a2
14:
L'aire de ;}. a été calculée dans l'exemple
Notons G-" = 0+ 'Y T + 0 J le centre d'inertie de la plaque. Comme SJ est aussi élément de symétrie mécanique de la plaque, G est situé sur Q, "1= a Ti. On a donc: .
1
ff y dxdy $ (;}.) Jl-"
0=
1
0= --Z 3Tia
exemple
= s1
!oZO?'te (1 - cos .0
10)
f J8-""
tr a(1
-2l
(d'après la formule de Green-Riemann)
dx,
- cos t) dt =
El 5a '
G-" = 0
+ a Ti _i + Er 5a-J
33
iner le centre d'inertie d'une zone sphérique homogène 2; et du solide ,limité par cette zone et les deux plans parallèles la définissant . •
1)
Cas de la zone. ;}'~1R3, (e,
$ C2;)=
i
0 +
cp) ~
a(u
cos ç +
k sin ç)
II
-2
{F;}. :: o ~e~ 2 Ti,
TI
2
~CP1 ~CP~CP2~
,-,z
aZ cos
'P
de d'P
$= 2 Ti aZ(sin 'PZ - sin 'Pl) = 2"
-- --
a(z2 - Zl) /
Pour des raisons de symétrie, le centre d'inertie ~ de 2; est situé sur l'axe Oz: On a:
~
~-;Z2
= 0+ 'Y le
/ 1
'Y = 'Y
=
13
$ C2;)J ff J t. a Z cos
'P .
. a sm
'P de d cp
\
Tia . Z . Z 1 .s:1 (2;) Csm 'Pz - sm 'Pl) = 2(Zl + Z2)
1
k: x 1---par rapport à une droite ne passant pas par 0, Il est facile, à partir de l'], de trouver les moments d'inertie de :..'> par rapport aux axes de coordonnées ou au centre de :..'>, Ecrivons-les en fonction de la masse IvI = Œ'IT ab: a2
b2
Iox = M
4 '
IOy = M
a2 + b2
4'
a2 + b2
Ioz = M--4-
Io =
111--4-
exemple 35
1
•
raboloïde de révolution comprise entre son sommet et un plan perpendiculaire à son axe d';nertie, dont la distance au d'rne,-tie sommet est (p étant à le"TI paramètre despartie méridiennes) Cen"" moment pac~rapport axe de la d'un pa,. Il s'agit de la plaque gauche homogène de support
? I:
x-
?
l:
A
P
+ !F = 2pz,
Z,
0 ~ z ~ '2 paramétrée par ?
r--
3
F : :..'>~:R' ,(r, S) è-7 0 + r Li + 2p le avec:..'>: 0 ~S~ 2 TI, 0 ~ r ~ p
y
"\1,r-
r--2
.JI
,.
2~
r~ 1 + p2 dr dS , :;1. (I) = -ip2(2V2 Le centre d'inertie de est sur l'axe de révolution:
si (I) =
l
G=O+cle
c=
si(2:)
1
-
1)
1+2'drdS P il' zr FG2
avec
"..l
, 2 TI p3(v2 + 1) ,. 5 + 3v2 _ On obtient c = 15 si (I) d ou G = + 35 pk Le moment d'inertie de Œ par rapport à l'axe de révolution est:
0
.
IOz=
rI
JJ..l
3 Œr
r
f~G 1+2'dr p
dS=2pcM(I)=
4
TI
P
Œ
4
(v 2 + 1)
15
;;:;
272
Précis d'Analyse
Il
Exercices proposés AVEC INDICATIONS DE SOLUTIONS
On considère la forme différentielle w sur [R2 w = (y3 - 6xlf') Soit l = [A, B], segment de [R2,A = (1,2), B = (3,4) et
JI[' w et
Calculer les intégrales curvilignes Indication: west exacte
[' w= J[A,B]
Jf['
w=
eL\:+ (3xlf'
- 6x2y)
dy
r un des demi-cercles de diamètre [A, Bl
[' w. Jf
-236
Ex. 7.2 On considère la forme différentielle w sur U = [R2\ {O, O} : -y
w= ~ x +y
+ (xcosx + y sin X)dy]
[(x sinx - ycosx)dx
r
et la courbe orientée formée des demi-cercles de centre 0, de rayons a et b (0 < a < b) et des segments [A, B] et [AI,
ty
Hl I(a, b) = 1r w
Calculer l'intégrale curviligne Calculer lim I(a, b) a-+O
b_+=
En déduire l'intégrale
--
sint .1·+00 0
t
dt.
Indication: west exacte sur U.
y =
~ YI
Calculer l = J({J!l sin 'ITX 2y dx dy où Ll : 1 "'" x "'" 4, yIX "'" y "'" inf(x, 2)
l=
Indication: Ll = Lll uLl2,
:3
?
x
Y
_
2L--------------- / ,
( ; + 1)
=x
":'Q
:.11
l
-
x "4
a Calculer
l = .Il vi a2
- x2 -
y2 dx dy :ù ..:.est le disque fermé de centre ( ~. 0 )
a
Indication: Coordonnées polaires,
l=
9(3"
-4)
Ex. 7.5 Calculer
?
.
l = JI ( 1 -
ou
::
- ~:)
dx dy
Indication: Coordonnées elliptiques, l =
'IT
2 ab.
x-
..:.:
')
y-
:2 "'"1 a +:2 b
et de rayon "2'
Chapitre 7 :
Fonctions
de plusieurs
variables
réelles
273
Calcul intégral
Ex. 7. 6
1~ 9
9
•
l Coordonnées =. J. (x- + y-polaires, ) el..: dy
Calculer Indication:
,)
-T -x- 2
1= OU(' . 3~
9
ya4. ~ 2ax..
+)
.2
9 'C"
+ y ~ 2ay
Ex. 7. 7 Calculer
1=
x([
hfJ.
..
Indication:
+ y- ) el..: dy
?
où
~:
x
9
Pour des raisons de symétrie,
+ Y'
i
4
+:c - y- ~
l = O.
on trouve
.)
1
9
EX.7.8
l = j f·.
Calculer
..
Indication:
dxdy
(1 + x2
J.
l=4
.
fIl
.? + y2 )
où ~:
,
= ; (V2 -
[xl
~
.'C"9
+ y-9 ~
1
1)
Ex. 7.9 Déterminer
le centre d'inertie de la plaque plane homogène
~: (K'9 + y-)92.2+
y
de support
:
°
- x~9 ~ O,x ~
Indication
: ~ est limitée par une lemniscate
r = V~cos
TIV2~ i 2 e, G= 0 + -8-
de Bernouilli
x
:
Ex. 7. 10
Calculer Indication:
l) dxdy
1=.l1 (3x2
+
5 TI
9)3
l= 6
où
~: ~
+
t} ~ 1,
(x - 1)2 +
t} ~
1,
y ~ O.
- -8-'
Ex. 7.11 Trouver
l = JJ[O,l]2 rr xyexy dx dy.
une série dont la somme est
l et J = fol
En déduire la valeur des intégrales
l=
Indication:
1
+cv 2...:: n=O
+cv 2
=
(n + 2) n!
tfn t· et
dt.
1
e - 1 - 2...:: --, p=1 P . p.
, 1=
/1 ( eX + 1~
Jo
dx, eX)
Ex. 7. 12
Calculer
à
1=
JI
exp
l'aide du changement
Indication:
l = ~ (e2P
(x3 .:y3) de variable
_
1) 2
dxdy
x
où
~:
t} - 2px ~
= u2v, y = uv2.
0,
x2 -
2py ~
0,
J =-1
274
Précis d'Analyse
(x + y) dxdy dz
1l: x;?o 0, y;?o 0, Z
où
il ~ 1, ° ~ z ~
0, x'2 +
;?o
X2
Il
+ y2
2
l
Indication:
= "5'
fil. JJJ:;
CalculerI= Indication:
(y+z )(ix+y+z
Changement
)dxdydz
de variables
1l:x;?oO,y;?oO,z;?oO,x+y+z~1.
où
u = x + y + z,
linéaire:
v
1
1= 3' 4
w = z
= y + z,
Ex. 7. 15
l=
Calculer Indication:
.IiI cos(a
1l: ~YZ+
x+ 13y+ '/ z) dx dy dz où
il + ~
~ 1.
r = ..j a2 + 132+ ,/2, changement de variables lié à un change1 4TI tel que Z = -(a x+ 13y+ '/ z) , 1= -3 (sin r - r cos r)
Pour (a, 13,'/) *- (0,0,0),
ment de base orthonormée
r
r
Ex. 7. 16 Trouver
1l: 3x2
le volume de
+ 31
- 2xy + 2xz + 2yz ~ 1.
+ 4~
_ Indication:
Le volume de l'ellipsoïde
4TI
y2
Z2
abc+ 2
+
2
~
4TI.
detA -3 abc= 3.JdciA' Déterminer
X2
réduite q(OM) = 2
d'équation
1 est J2
Ti
ou
A est
la matrice de la forme quadratique
le centre d'inertie de la piaque gauche homogène
2::
x2
G =
0
+
définie par:
1
+ il + ~ = 1,
sphériques,
q. D'où If (1l) = ~'3v3
x;?o 0,
Indication:
Coordonnées
Déterminer
l'aire de la portion de sphère (de centre
y;?o 0,
2 TI (i .,13) ~
"3 -
(2
0 et de
+
z;?o
j )+
~
2 "4
le
3~
rayon a) délimitée
par le pian yOz et le
a8 cylindre droit de directrice
Indication:
Coordonnées
la spirale d'Archimède,
sphériques,
A =
r
= ----:;;:-'
° ~8~Ti,
du plan xOy,
2 TI a2 (1 - :),
Ex. 7. 19 Volume et centre d'inertie
du solide homogène
défini par
0< Zl ~ Z "" Z2
2
Indication:
V
=
-4a4 ( Zl1 - Z21) TI
G = 0 + ~
4
zl + z2 Zl Z2
;
z(x2 +
T + Zlzl- z2Z2 {Tl Z2 Zl
il) ~ a2x
Chapitre VIII
Séries entières On rappelle que [e symbole IK désigne IRou
1
iC.
1- Définition - Rayon de convergence Définition :
d.1
Une série entière d'une variable complexe (resp. d'une variable réelle) est une sélie de fonctions ;: Un pour laquelle il existe une suite complexe (an) telle que chaque Un (n E "e)soit définie par Un: C~C. Z anzn (resp. Un : ~~c. x anxn). Une telle sélie sera notée L anzn . f--»
f--»
Remarque Dans [e cas d'une variable réelle, si [a suite (an)' réelle d'une variable réelle.
est réelle, on obtient une série entière
Exemples •
;: zn : V n
•
L ZZn+l : V nE
E "\.
an = 1 a2n =
O.
a2n+l =
1
1
zn
· L n(n - .: n'? 0, avec
Vn
J = [0, p [, pE IR~.
Exemple:
La série géométrique
lim
= "n. on a
l'
rn.
n-+x
Vn+l
--
Un
= 0, donc
L Vn converge.
L zn.
r E ;2+, converge si et seulement si r < l, donc J = [0, 1[.
Ici p= 1.
•
Exemple:
n
L :2' n Z
J = [0, pl, pE IR: .
n"'l
n
Pour tout r> l, avec Vn = n r 2' on a n-+:..::: hm Vn = +'X, donc Pour tout r E [0,1], on a Vn ~ d.3
n-
Soit l'anzn rayon p.
une série entière
L'ensemble
Dp
est appelé ~
1 ---c;,
= {zEiC
/[z[
donc
L Vn converge.- Donc, J = [0.1].
d'une variable
Dp
complexe
< p} (resp. Dp = {ZEF: (z
disque ouvert (resp. intervalle
On notera que
L Vn diverge.
est vide lorsque p= O.
Ici p= 1.
(resp. réelle)
< p} =]- p.p [)
ouvert) de convergence.
de
277
Chapitre 8 : Séries entières Théorèmes: Soit L anZn une série entière d'une variable complexe ou réel[e de rayon p,
t.i
La série L anZn est absolument
convergente
pour tout z E Dp.
.~
1
t.2
Lemme d'Abel est majorée, alors, quel que soit r E [0, ro[,
Soit ro > 0, si la suite ( an r[))nE la série Lan: rn est convergente.
1
S'il existe A >
° tel que V n
E r~,[anl
r[) ~ A,
alors
V r E [0, ro[, V nE N.lanl
et la convergence de [a série Lian
1
rn ~ A (~)
n
rn (à termes réels positifs) résulte de ce[le de [a
r
série géométrique de raison - < 1.
o
ro
t.3
Pour tout z E C, (resp. z E IR), tel que [zl > p, la suite (anZn)nEN est non bornée, donc la série L anZn est grossièrement divergente.
1
Soit z E K tel quez
lBi'f'
> p et ri E ~+ tel que p< ri < izl.
Par définitionde p, la série Lan.
r n est divergente.
Supposons que la suite ( anZn )nE 1
soit majorée alors, d'après le lemme d'Abel, [a
série L [an i r n serait convergente ce qui est exclu. La conclusion en résulte.
o
C. Calcul du rayon de convergence Théorème: Soit L anZn une série entière d'une variable complexe - ou réelle -, son rayon de convergence p est défini par :
t.4
i/p=sup{lzl,zEC,~:an[[z[n ii/ p= sup{lz[ ,z E CL
converge}'converge}
anzn
iii/ p= sup{[zl. z E C, (anZn)nE iv/p=sup{lz[,zEC, lBi'f'
lim
n-......;..+c'C
est bornée}
anzn=O}
i/ par définitionde p ii/ iii/ et
Iv /
pour Izi < p, L anzn converge donc n---'-+:::x: lim anZn = 0 et (anZn)nEN est bornée. pour [z[ > p, (anZn)nE diverge.
est non bornée donc cette suite ne tend pas vers 0 et L anzn
o
Remarques •
Dans les cas simples, on pourra utiliser [e critère de d'Alembert pour étudier L rani rn
278
Précis d'Analyse
•
Le rayon de convergence d'une série entière
L anzn,
Il
dont tous les coefficients ak sont
nuls à partir d'un certain rang p, est +X. Dans ce cas, la suite des sommes partielles p
est constante à partir du rang p :
\;f
n
? p,
Sn(Z) =
L
akzk ,
k=O
on dit qu'il s'agit d'une série entière polynôme.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Déterminer
le rayon de convergence
-n-1)
an-
_ (n
de la série ~ anzn dans les cas suivants:
(n ? 1) n2
(n? 1) n7ï 7
an =tan-
(n ? 0)
sIn n
On pose Un = anzn
1)
(n? 1).
n
an =
, Vn = !Un!
fnvn=nfnlzl+n
2
tn
(
1-/1
où
Z
E ex.
1). =n(tn!z!-l)-Z+o(l)
1
Ainsi, Un tend vers 0 si et seulement si !zl < e donc p= e. 2)
Vn+l Vn
3)
Quand
(n + 1) Izi O.
'nfi m..
a un rayon
l
lim an Rn = n-+x
on a
avec
anzn a un rayon ~
ŒnZ
O.
n
----n!
n
Or, Rn n. est d'après [a règle de d'Alembert, [e terme général d'une série convergente, n n T anZ donc lim = 0 et. finalement liT. --,-n. = O. n-+x R n! 1
-n-
n-.x
Le rayon de convergence
de
an L -,zn est +x. n.
D. Opérations et rayon de convergence Théorèmes: t.5
Soit réelle
L an.z:
et )"' bnzn ~ux séries entières d'u.ne variable - de rayon de convergence respectifs Pl e,t P2'; ~Q.f.S :
i / Le rayon • • Donc, ii / Pour
de convergence
P de la série
lorsque
Pl"'P2 : P= inf(PI. P2)
lorsque
Pl =P2 : P~PI
dans tout
iii / Le rayon
somme
)(an
complexe
- ou
+ bn)zn vérifie:
tous les cas, P~ inf(PI· P2). Îl.E }(\
{O}.
L anzn
de convergence
et
L
ÎI.
anzn ont le même
pl de la série produit
rayon
de convergence. n
L CnZn. Cn = L, a)(bn_)( )(=0
vérifie
pl ~ inf(PI. P2).
i / Pour z E Th, tel que Izl < inf(PI. P2). L(an + bn)zn est absolument convergente somme de deux séries absolument convergentes. Donc P~ inf(pI, P2)·
((i5'
comme
Si Pl < P2, pour z E lK,tel que Pl < [zl < P2, L(an + bn)zn est divergente comme somme d'une série convergente et d'une série divergente. Donc, ici. P= inf(PI. P2). ii/ La mu[tiplication par un scalaire non nul ne modifie pas [a nature d'une série numérique. iii/ Même raisonnement convergentes
qu'en i / en utilisant que le produit de deux séries absolument
est absolument
convergente.
(cf. Chapitre IV, théorème 21)
D
Remarques 1)
Dans le cas où Pl =P2, le rayon P de la série somme peut être tel que P> Pl.
Considérer, par exemple, L ( ~ + 1) zn et L ( ~! - 1) zn dont le rayon de convergence est égal à 1, la série somme a un rayon de convergence infini.
280
Précis d'Analyse Il 2)
Un cas particulier: Si Pl =P2 et si les suites (an)r~ et (bn),c sont telles que série somme a pour rayon P=PI=P2. Dans cette situation, nous dirons que les séries
L anzn
\;f
et
nE N, anbn = 0, alors la
L bnzn
dont disjointes: si
an est non nul, bn est nul et réciproquement.
Pour r > Pl, la suite
(1
an rn) est non majorée. 1
Or, dans ce cas, lan + bnl = lanl + Ibnl, donc (Ian + bnl rn) est non majorée, et on en déduit P ~ Pl.
5 i 1.
On conclut avec le théorème
Soit L an zn et L bnzn deux séries entières d'une variable réelle - de rayons de convergence respectifs Pl et P2. Alors:
t.6
i / Quel que soit
pour tout z
(À, /-l) E ['(",
tel que lzl < inf(PI. P2), on a : +x +x
E}
° est
une fonction
continue
sur
de convergence. tel que izol < R < p.
E
f à DR est continue sur DR, car, d'après le théorème 7, il s'agit de la
somme d'une série, uniformément convergente sur DR, de fonctions continues sur DR (fonctions polynômes). DR étant un voisinage de
ZO
dans
la continuité de fR en
ZO
donne celle de f en zo'O
Remarque Une série entière de rayon de convergence p n'est en général pas uniformément convergente sur le disque Dp.
L xn. On a ici Dp =] - 1, 1[. 4), que si une série de fonctions L Un converge
Soit, par exemple, la série entière d'une variable réelle
On sait, (voir Chapitre V, théorème uniformément sur une partie A, alors le terme général tend uniformément vers
hm n---'-+x
Ii Un
° sur A
:
x = o.
Dans l'exemple proposé, Un: X f-7 xn, on a Ilunll;:;-l.l[ = 1, la convergence n'est donc pas uniforme sur] - 1, 1[.
B. Etude sur le bord du disque de convergence Nous nous limiterons ici aux séries entières réelles d'une variable réelle.
Théoremes: ~.,.
t.9
1
Soit L anxn une série entière
réelle d'une variable
Si Lan pn Cresp. L anC- p)n) converge, gente sur [0, p] Cresp. sur [0, - pl lB1f i / En posant
réelle
de rayon pE IR:.
la série est uniformément
conver-
bn = an pn, on se ramène au cas d'une série entière L bnxn dont le rayon
de convergence est 1.
282
Précis d'Analyse
Il
+cc
L
La série L bn est convergente, notons rn = Sn= sup i~n
Inl
bk son reste d'ordre k=n ; la suite (snhJ est décroissante de limite nulle.
n et introduisons
n+p Majorons d'Abel:
Sn,p(x) =
L
bkxk , pour tout x k=n avec bk = rk - rial, on obtient: n+p
Sn.p(X) =
L
k=n
[0,1], au moyen d'une transformation
n+p+1
THP
L
(rk - rial) xk =
E
L
rk'\)c -
k=n
rkxk-1
k=n+1
n+p
L
Sn,p(X) _ - '""' ne ()e x - x k-1) + rnX,n-1 - rn+p+1Xn+p k=n n+p 1
Sn,p x (
)1
~ Sn
L x k-1 k=n
'""'(
ISn,p(x)1 ~ 2 Sn xn-1
- x k) + Sn X n-1 + Sn X n~p '
~ 2 Sn
I~
En faisant tendre p vers +:X, on en déduit Donc
IIRnllx~
~ 2 Sn
,
hm
n----,...+x
/Rn(X)1 = k=n bkxkl
~ 2 Sn
= 0 et la convergence de ;: bnxn est
IIRnllx~
uniforme sur [O. 1], il / Dans le cas où
L an( -
p)n converge, on se ramène au cas précédent en considérant
la série entière LC-l)nanxn.
D
Remarques Dans la pratique, on peut souvent mettre en évidence la convergence uniforme sur [0, p] (quand Lan
pn converge) par des méthodes directes élémentaires. Ce sera le cas
lorsque: 1)
Lian
1pn est convergente: )' anxn est alors normalement convergente sur [O. p].
2)
Lan
pn est alternée, convergente d'après le critère spécial des séries alternées.
Pour tout x E [0, pl. L anxn vérifie alors ce critère, donc:
+x
[O,p].
V XE
et la conclusion résulte de ./
t.10
Soit L anxn une Lan
lim n---i-+'x
série entière
pn (resp, )' an(-
~
'""'
1
k
1
~
lanlxn
~ [an pn
1
an pn= O. réelle d'une variable
réelle
de rayon
p> O. Si
p)n) converge, la somme de cette série est continue
p Cresp. en - pl,
1
L akx k=n
C'est un corollaire du théorème 9
en
Chapitre
283
8 : Séries entières
Exemples - Travaux pratiques
exemple
5
Etudier la continuité des fonctions définies par:
1)
f
:R-R.
2)
9
:R-R.
3)
•
h' p~" .~'"
,
·ü"\S..
)(1---3>
/
n .
+:'.:::
L ----x sm!n cd n=l n
'.
V
ŒEiR\7TZ.
1)
=
]x],
le rayon de convergence est donc p= 1.
1
1
L n1
1
La série
L2 ,xn
est normalement convergente sur [-1, 1J etf
--:2 étant convergente. n~l n n~l est continue sur [-1. 1]. 2)
, le rayon de convergence est donc p= 1.
La série
L (_l)n+l n
est convergente. d'après le critère spécial des séries alternées.
L
(_l)n+l
xn est uniformément convergente sur n n~l [0, 1J et 9 est continue sur [O. 1]. En -1, la série diverge. D'après la remarque 2 ) précédente.
Finalement, 9 est continue sur 3)
• •
xn
sin(n
J -
1, 1].
a)
Wn = --n-
Pour Ixl < 1, la série
, . > 1, on a Pour Ixl
L+
n~l
l'lm
n---'-+x
!x,n
. (' ()) --]xr n = +X, or, la sUite SIn n a
(car aE iR\7TZ) , donc (Wn)nE
. .. Par ailleurs, les senes
converge, il en est de même de
'" ~
L
n~l .
nE
ne tend pas vers O. En conclusion
sin(n n
a)
et
'" (_l)n ~
sin(n n
Iwn],
xn
sin(n
9 que L ----n
Ainsi, 9 est continue sur [-1,
1].
a)
Iwnl ~
ne ten d pas vers
11 IXln)
°
p= 1.
a) = '" ~
sont convergentes, d'après la règle d'Abel (voir Chapitre IV, exemple Il résulte donc du théroème
(
sin n(a n
+
7T)
14)
. est uniformement convergente sur [ -1,
Il
284
Précis d'Analyse
Il
III - Séries entières d'une variable réelle Intégration - Dérivation A. Intégration
t.11
Soit
L anxn une
Pour tout
x
série entière
° < [xl
réel tel que
r (~
n=O antn) -
Jo
~
d'une variable
réelle de rayon P> O.
< p, on a :
dt xn+~ ~ = ~ n=oJo(" antn dt = ~ n=O an ,,~+.
C'est une conséquence immédiate de la convergence normale, donc uniforme de la série proposée sur [0, x] (cf. théorème 7).
t.12
Si
L anxn
est une série entière
d'une variable
réelle
de rayon
p, la série
n+l
L
entière an ~1 n+ ' qui est déduite de a le même rayon de convergence p.
L anxn par
intégration
terme
à terme,
x n+l
~
Si Pl est le rayon de convergence de
• •
L an --1 n+
:
lorsque P> 0, on a Pl ~P, en corollaire du théorème 11, lorsque P= 0, on a bien sûr Pl ~
O.
Supposons Pl> P, il existe alors des réels 'A et 'AI tels que P < 'AI< 'A< Pl. La série
L n+an1
'An+l étant convergente, il existe II-I E R+ tel que:
[--l'A' ~ n+ an n~ll
'i nE,~". ,
111
1
On en déduit:
,
'n
'inEf':J , lan'A
lan[ n+ln+1
I=--'A n+1 ,
Or, (n + 1)~
( 1) n+l
convergente, donc
[,,1.
'A
--'AI ( -'A')
n+l
~-(n+1)'AI
'A
(
'A
1) n+l
est, d'après la règle de d'Alembert, le terme général d'une série
Lian
l
'A' n est convergente : c'est en contradiction avec 'AI> p.
On en conclut que Pl =p.
o
Remarque
L
L
x n+l an--1 n+
Les deux séries anxn et ont le même intervalle ouvert de convergence, mais elles peuvent avoir des comportements différents au bord de cet intervalle. n-l n Par exemple,
,x--n L
n~l
diverge pour
x=
1 mais
,x L?
n~l
n- converge pour x = 1.
Chapitre 8 :
Séries
285
entières
Exemples - Travaux pratiques
exemple 6 .
1
l::EJ ···1.11
Monkerque Pour tout
x
1 1+ x
E J - 1. 1[, on a
~X
(série géométrique).
= L(-l)nxn n=O
Par application du théorème 11, on en déduit: ,·x dt +x . (n(1+X)=j . o -=L(-l) l+t n=O
\:fxEJ-1.1[,
n xn+1 +x --=L(-l) n+1 n=l
n 1Xn --. n n
On a vu, dans l'exemple 5, que la somme de la série entière
+x (_l)n-l L' n
J - 1. 1], donc
n=
+x ,n
l~ L 1 ':
=
1
."\. 0,1 sa somme et, pour tout p E , Jp la somme de la série dérivée p ième . On a alors: V nE.
V
X E]-
p. P
LJpIX'
2...= +x dxP dP
(anxn)
=fPrxi
Relation que l'on peut écrire: VP
E
.
V
X E
J-
p. P [.
n=O
= cL\:P 2...= anxn ') dP ('+x ,n=O .
On dit encore que la dérivation s'effectue terme à terme.
! ,-o,'\.
[tE D'aprèslethéorème11,ona
JI étant continue. sur]-
JI;': 1 =
VXE]-p.p[.
p. p [, on en déduit
"
'. 0
Jl1tldr
j'IXi;'':!iiXJ ~ .
Une récurrence immédiate donne la conclusion pour les défivées p ièmes . D
t.15 j
La
sommeJ
vable sur]-
d'une série entière p, p
[et
V nE N,
L anXn
de rayon
p>
0 est indéfiniment déri-
ln)(O) an = --, n, -
C'est un corollaire du théorème 14.
t.16
Soit ~ anxn et L bnxn deux séries entières d'une variable réelle de rayons respectifs p et pl non nuls. Supposons 0 < p ~ pl. S'il existe 0:, 0 < 0: < P tel que: +x
V X E]- 0:.0: [.2...=
+x
anxn = 2...= bnxn n=O n=O
alors
V nE
'0. an
= bn.
Chapitre
287
8 : Séries entières +x
~
En effet. on a
V
x
EJ~
" ,. Donc, dapres le theoreme 15, oùf
est la fonction nulle sur J-
~ bn)xn = o.
LIan n=O
Œ. Œ [.
ln)(O) an - bn = ------n:!
V nE". Œ. Œ [,
donc
V n E!\J.
an - bn =
°
D
Application pratique Pour montrer qU'une fonction 9 : :=.-:=. est de classe ex au voisinage V d'un point a E?, il suffit d'exhiber une série entière dont la somme coïncide avec x f--'> g(a + x) sur \7.
Exemples - Travaux pratiques
~
i
•
exempleS
/
t
Montrer que g, prolongement par continuité de x ex sur JO. +x[. On a ici g(1I = 1. Le seul problème est bien sûr en 1,
x ~-; sur ]0, +co[ est de classe':""
f--'>
flu)=gll+uJ.
Onaainsi,pouruoFO.
flu)=
u
f
est donc de classe
Finalement
C':
VU
EJ - 1.1[.
flu)
+x[,
U
= Li.-l)n_-l .~ .. n=O
sur J - 1. l[ et 9 est de classe
9 E Cc': 1]0.
ex
1,1[,
. et f(O)=1.
-i---::-C
On déduit de ['exemple 6 que
u EJ -
Posons, pour tout
tnll + u)
n
n+
sur JO.2[,
:='i,
IV - Développement en série entière A. Fonctions développables
/
Définitions:
d.5
Soitf : ::=
x 2n+l
Argthx=L2n+1 n=O
VXEJ-l,1[,
2, Dérivation de développements
(p=l)
connus
On applique les théorèmes 1.13 et t.14,
1 •
Partant de
1
et
+:0
V x '" J - 1. 1[, 1 _ x =
n - (p _ 1)[ ~-l
_
1
dP-1
(
L xn, (p= 1) n=O
1x)
1 _
P E l'\J'''
on obtient:
V x EJ _ 1••1[ ,.
1 ou encore
+éXl
L.
. n = '\""' CP-1 n+p-lx n n=O
Remarque On peut obtenir ce résultat sur de t
>--+
iC
(utile pour les fractions rationnelles) soit par dérivation
1 ~ tz soit par récurrence et produit de séries entières.
292
Précis d'Analyse
3. Combinaison linéaire de développements
•
1 'if x E IR,
ch x =
"2
Il
connus
1 (eX
+ e-
shx="2
Xl
(eX -
e-X).
On en déduit: +cc
x E~.chx
=
L n=O
x 2n (2n)!
+00 x2n+1 (p=
+x)
'if x ElR,shx=
(2n+ 1)1 (p= +x)
~
1 •
'ifxE]-l,l[,
"2 [{n(1+x)-{n(l-x)]
Argthx=
On peut ainsi retrouver le développement de Argth à partir de ceux de x X>---'>
•
{n(l-
>---'>
{n(1 + x) et
x).
Il faut prendre garde au fait que lorsque l'on fait une combinaison linéaire de deux séries entières de même rayon de convergence, le rayon final est a priori supérieur ou égal à p, sur chaque exemple une étude supplémentaire sera alors nécessaire pour en donner la valeur précise.
Produit de développements
14.
connus
+:x::
•
'ifxE]-l,l[,
n
n - 1x ~
"\"' {n(l+x)=L...,(-I) n=l
1
1
(p=l)
+cc
1 +x = L(-I)nxn
(p= 1)
n=O
Onendéduit'ifXE]-I.I[,
1.
{n(1
+__x) =L...,(-I) ~ n=l
-
n 1(
1+'2+3+"'+-;:;: 1 1 1)
X
n
Le rayon de cette série est a priori supérieur ou égal à 1. Il suffit de constater que
(
1+ "2 + "3 + ... + 11 1 1 1)
ne tend pas vers 0 pour conclure que ce rayon est égal à 1.
5. Utilisation d'une équation différentielle Soitf : ~--+~
de classe ex- au voisinage de
O.
Supposons avoir exhibé une éqy,ation différentielle (E) et un intervalle ouvert l contenant o tels que la restriction de à soit l'unique solution de (E) sur vérifiant certaines conditions initiales.
f l
l
I:
anxn de rayon p> 0 dont la somme est Supposons avoir déterminé une série entière solution de (E) sur]- p, p [ vérifiant les mêmes conditions initiales. +cc
On a alors
'if x E l
n]-
p, p [,
f(x) = L
anxn
n=O
•
Considérons, par exemple, la fonction exponentielle exp est l'unique solution sur ~ de (E) : y Soit
I: anxn
-
exp:
x
y = 0 telle que f(O)
>---'>
e'. = 1.
une série entière de rayon p non nul.
Pour que sa somme S soit solution de (E) sur]-
p, p [. il faut et il suffit que
Chapitre 8 :
Séries
293
entières
+x
'if
x E]-
p. P
L
[.
+x
(n + l)an-i-lXn
=
n~O
L
c'est-à-dire, par unicité du dévelop-
anxn
n~O
pement en série entière quand il existe:
'if
(n + l)an+l
nE '\J,
=
(1).
an
Remarquons que la relation (1) permet de calculer p avant d'avoir déterminé la suite *. En effet, on obtient:
(an)'
an-i-lx.x
pour x"" 0,
--1 donc, pour tout x
anX n ,n-i-l
= n + .'
n+l
,""x'
E Ji , n~+co hm
a
1
anX n xn+ll
= 0
et p= +x. De (1), on déduit
'if
n E'\"
D'autre part, la condition
= 1 donne ao = 1.
SeO)
Ainsi. il existe une série entière et une seule de rayon p> 0 dont la somme S est solution +00 xn de rayon p= +oc. de (E) sur]- p. p [ et vérifie SeO) = 1, c'est
LIn. n~O
Conséquence:
'if
x
ER.
Remarque Il apparaît que la méthode est exploitable avec des équations différentielles linéaires (d'ordre n = 1,2 en général) : ao(x) yi ni + al (x) yi n-l) dont les coefficients ai(x),
+ ... +
an(x)
y = b(x)
0 ~ i ~ n, sont polynomîaux (simples) et dont on connaît
un développement en série entière à l'origine du second membre b(x).
Exemples - Travaux pratiques exemple 9 1
•
\
Déterminer
le développement
Méthode: On développe
f
(x)
=
à l'origine de
en série entière 1
f:
x
I-è>
Arcsinx .
puis on intègre.
V1-
x2
1
\
Le développement de u
I-è>
v1+u ~
s'éorit :
1 'ifuE]-l,l[,
_1
+x 2=1+L(-1) ..n~l
vI~=(l+u) +u
1
+x
L(-l)
n
... x 2n -
(2n)!
(p= 1)
1 On en déduit
'if XE]
'if XE]
-
-
1, 1[,
+x
n(n!)
(2n)!
L
1,1[,
Arcsinx =
2
2
lx J1'=t2 +x 2 L 1dto
n.!
n
~ 1 - x = n~O 2 2n (n.)! 2x2n Par application des théorèmes 11 et 12, on en déduit:
U
= n~O
1 un
2n
(p= 1)
'if U E] -
v~1 +
3x
2U
ou encore
1,1[,
nI x
x2n+l t2 = n~O 2(2n)! n(n!) 2 -2n +1
(p= 1)
294
Précis d'Analyse
e développement
fi: x ~ •
fa est de classe
AIctan
sur
CCXJ
Remarquons que 'VaE
J -
IR\
1_
(l+X
x
tan
2a)
l'origine
, /
V
de :
aEIR\ {(2k + 1)
TI,
k d'}
Xl, 1[.
{(2k + 1)
On peut donc limiter l'étude à
[0,
aE
k
TI,
fa+2TI = fa etf-a
E d'}, on a
= -fa.
TI [.
D'autre part, fo = 0 : on se limite finalement à aE
JO, TI [.
sin a
1
Pour tout x E J
à
en série entière
ex, 1[, on a fa(x) =2x - 2xcos a +1
-
Le développement de la fonction rationnelle f~ va s'obtenir en décomposant en éléments simple dans
iC (X)
:
1 (1-w x-e
a = (x_e[a) . sin( x_e-[a . ) = -2'l
fa1 (x)
e
1
Pour tout z E iC tel que Izi < 1, on a
x-e-
1) [a
e
l ( 1- iaxe[a
= 2i
fa(x)
-
1- -ia) xe-la
-
1
L +:0
1_ z =
zn n=O
donc 'V x E IR tel que [xl < 1 :
L
= 2i
f~(x)
xne(n+1)ia 1 (+00 n=O
L
-
xne-(n+l)ia +00 n=O
)
+00
L
=
xn sin(n + 1) a n=O Comme somme de deux séries de rayon 1, cette série a un rayon p~ 1. f~(x)
Puisque aE JO, TI [, la suite (sin n a)nE
ne tend pas 0, donc cette série diverge pour x = 1, et
finalement, p= 1. Par intégration, on obtient ensuite: +X'
'V x
EJ -
1,
1[, faC,)
X
n+l
n+ L --1
- faJO) =
n=O
+x
2
sin(n +
(p=
1)
n
Ln
fa(x) = a + ~x n=l
donc, avec aEJO,TI [, 'V x EJ - 1, 1[,
1)a
sin n a
a
En effet, ;
E ] 0, ;
[, donc
faCO)
= AIctan
La formule reste valable pour a= 0 et pour aE Pour aE J(2p - 1)
Ti,
(2p + 1) Ti
[,
on a
a
donc
'V x
EJ -
1. 1[,
fcJx) =
(tan
J-
; )
- 2'
Ti. 0[.
fa = fa-2pTI avec a -2p ••E J- ••.•• [, +:0
xn
2 - p •• + L n sin n a. n=l
Il
Chapitre 8:
295
/
Séries entières
1 exemple 11 1
Déterminer le développement en série entière à l'origine de f: x On a 1 + x - 2x2 = (1 - x)(l + 2x), donc] est définie sur ] -~.1
•
x
et, 'd
E I,
[ =
f--i>
tn(l + x-
2_~) .
I
](x) = (n(l - x) + (n(1 + 2x).
Du développement connu de x 'd XE]
-
f--i>
(n(1 + x), on déduit:
(n(l - x) =
1, 1[,
- L ~xn -n
1)
(p=
n~l
'd x E
donc 'd x E
] -2'1 21] '
tn(l + 2x) = L(-l)n-I-n~
] -2'1 2' 1[
](x) =
L
n +x n=l (_1)n-12n
(p= 2)
1
(2x)n
+::v n=l
1xn
-
(p= 2)
1
Noter que le rayon de la série somme est ici ~ = inf ( ~, 1) car les deux séries initiales ont des
1 2
rayons différents:
et 1.
exemple 12 1
•
Déterminer le développement en série entière à l'origine de ] est de classe
C::V
Nous allons développer
9 par
'd XE]- 1, 1[,
g(x) = ~. 1- x2
la méthode de l'équation différentielle.
1
x
1-x 9 (x) = --2
1-x + --2
f
Arcsinx
Donc 9 est l'unique solution sur] - 1. 1[ de (E) =0
y(O)
~ 1-x2 (1 -'~_
xy
=
l, vérifiant la condition
...~_..--_."
p, p] et vérifie 8(0) = 0, il faut et il suffit que: +00
+c:..;:;,
00=0
et
'dXE]-p,p[,
c'est-à-dire
00 = 0 et
(1-:l')Lnanxn-I-xLanxn=l n~O n~O +00
c'est-à-dire La relation
•
:l'Ji! -
L an :cn une série entière de rayon p> 0 et de somme 8.
Pour que 8 soit solution de (E) sur]-
•
(Arcsinx)2 .
Arcsinx
] (x) = 2g(x) avec
Pour tout XE] - 1,1[,
Soit
f--i>
sur] - 1, 1[. f
On a
]: x
00 = 0, 'd n
?
+CX:',
L(n + l)an+IXn - L(n + lfanxn+l'~ n~O n=O al = 1 et 'd n? 1, (n + l)an+1 - nan_l = 0
1,
'd x E]- p, P L
(n + l)an+1 = nan-l :
avec 00 = 0 donne
'd pEN, a2p = 0
avec al = 1 donne
'd pEN, a2p+1= 3 x 5 x
2 x x
22p(p 1)2 x 2p . x 2p + 1 = (2p + 1)!
1
296
Précis d'Analyse
. enfin, donne
•
Q2p+l 2p -= -2 1 Q2p-l P +
.
22p(
et le rayon de convergence de
= 1
p-Hoo Q2p-l 1)2
(2p fI)!
2:=
Q2p+1
hm --
donc
Il
est
x2p+1
p= 1.
Ainsi, il existe une série entière et une seule de rayon non nul et dont la somme vérife seo) = 0 et est solution de (E) sur l'intervalle ouvert de convergence. +00 22p(pl)2 Il s'agit de
:L:.: (2p p=o
On en déduit alors
'd XE]
+ ~)! x2p+1
g(x) = S(x)
'd XE] - 1,1[,
1,1[,
-
(p= 1)
(Arcsin x)2
=
2 Jo{X o
g(t)
et par intégration:
dt
=:L:.: +:0 22p+1( ln ... p=o
~'\11)2
x2p+2
(p=
1)
E. Sommation des séries entières Il s'agit, en utilisant les résultats établis dans le paragraphe précédent, d'exprimer la somme d'une série entière au moyen des fonctions usuelles. C'est le problème inverse de celui du d§Y~8Pftment
en_série~.eo!ières.
Exemptes -- Travaux pratiques exemple 13
nxn
+00
:L:.: (2n n=û
x
+ 1)!
E IR.
n •
Posons
Un(X) =
Pour tout
x
E IR , *
(2:: 1)! = 2n(2n + 3)
un(x)
1
Un+l(X)
et le rayon de convergence est
a
'd nE N,
donc
'd x E IR,
On
p=
hm
donc
Ixl
1
---
n-+x .
1
Un(x) Un+l(X)
=0 1
+x.
(2n + 1)! x ="2 (2n)! 1 (2n + 1) -- 1 n 1 ( xn
- (2n + 1)! xn)
Un(X) ="2
1 (+x ~
xn -(2n)!
1
U
S(x) = ~+00 (2nnxn + 1)! ="2
+x E
(2nxn +
1)!)
(toutes ces séries ont un rayon infini)
•
Pour
donc
x>
S(x)
0, en posant U = yIX:
="21
( ch U - Ilsh u)
E
U
1
E
2n -- ~ +x (2n2n+l) S(x) ="2 (+00 (2n)! + 1)!
= ~1
( ch yIX
--
shvix vix)
Chapitre 8:
donc
•
S(x) Pour
x
Séries
297
entières
="2
1 ( cos
On remarquera
="2
sin u)
= 0, il est immédiat que
-h
Sin-h) 1 ( cos v-x_
-u-
u -
SeO)
= 0
que ce calcul montre que la fonction
S(O)
=
0
{ S(x) S(x)
= =
~ (cos v=x ~ (ChVX-
S définie sur [R par:
Si~~) Si~)
_
est de classe e'X sur lR, ce quCfi;est pas une évidence
/
pour
x
O
0
a priori.
/
exemple 14 ,(
f
Calouler
~
_n_2_:_4_+ n_4_-_1
n2 + 4n
Pour tout
x
-
n+4
un(X) =
Posons
. :~
1xn n! donc
E [Rx, on
et le rayon de convergence
Pour tout n ~ 1,
est
p= +x.
un(x) = (n xn _ 1)! - (n + - 1)! - dx3 + 4)1 ) xn4)n! = (n Xn d3 ( (nxn+3
+'X n2 + S(x) = ~ n 4n + 4_
On en déduit
1 n! xn = ~ +'X
d3 (+'X (n xn _ 1)! - dx3 ~ (nxn+3 + 4)! )
(toutes ces séries ont un rayon infini)
+,x
+x'
n
'""' L -( X_ n=l n
n
Pour tout
x
E [R,
=
x e'x ~
Pour tout
x
E [R* , '\"' --'""' -n! (nxn+3 + 4)! = -x (+'X +x n=l n=5 xn)
= -x
1)1 = .
L
'""' X xLI n=O n.
1
L
1(
?-
x - -2 - -6 - -24 x2 x3 x4)
1 -
1 x -----1------ '0_ .. x 2 eX
d'où
d3 (+00 d7 ~
Finalement
.
'if
et, d'autre part,
x
(nxn+3 + 4)1 ) = eX E [R
*
,S(x) = e
S(O) = o.
(
x(
x1 - x23 + x36 x - -x + 2x 1 3
-
-
6 x4
) + x46
x36 + x4 6)
-
x2
x3
6
24
1 4:
- 4x6
+
4:
1
298
Précis d'Analyse
v •
Rayon de convergence:
[e critère de d'Alembert donne immédiatement
Posons
"il
x
IR,
E
S(x) =
L
n=O
(3n)!
Par dérivations successives, on obtient pour tout +C0 3n-l +::0 3n-2
S (x) l
=
XII _ (3n
D n=1
"""'
(x) = """' D
1)! ' S
n=1
S est donc la solution sur
IR; de
initiales y(O)
0, yll (0)
1, yi (0)
=
=
v)
(il., [h,
"iIXEIR;,
n=O
•
2)! ' S
l
(x)
D (3n n=1
"""'
=
: ylll
(E)
r3 - 1 = 0 et admet
E
C3 tel que
xE
"il
IR;,
X
3n
+cc
3)! = D (3n)! n=O """'
_
X
- Y = 0 vérifiant les conditions
donc pour racine
S(x)
=iI. eX+ [h
= =
7/
1,) eti.
é'r.
Il uk - vk Il "" le Rk-lll
u - v Il
La propriété est en effet vraie à l'ordre 1. Si on la suppose vraie à l'ordre le - 1, on obtient:
vk = uk-l
uk -
donc
0 (u - v) + (uk-l
Il uk - vk Il'''' Il uk-llili
- vk-l)
0 v
u - l'II + Il ule-l - l'le-III
Il l'II
et, d'après l'hypothèse de récurrence: Iluk-vkll
•
u - v Il : la propriété est récurrente.
Conséquence: Il eU
-
Il =
eV
1
c'est-à-dire
t.22
U E L(E)
(resp. t
1
u-v
""Rk-Illu_vll+(le_l)RIe-1
c'est-à-dire Il uk - vk Il "" le Rk-lll
1--7
L +x ~O
Il eU
-
u I~
k
v
eL'
""
kll
""
Il u -
u-
L'
L +x
L'
~l
Ile _ H
Rk-l
t!< La conclusion en résulte.
(resp. A E . Vin(!:)) étant fixé, l'application [ etA de r< dans .\'''Inl!:)) est continue sur >c,
1--7
eW
D
de
:
---+
~
tleAle
(resp.A
:t
>---+
~).
On a ici affaire à une série d'applications dérivables sur iR, à valeurs dans l'espace de Banach .cCE) (resp .. VlnCIIi)), convergente sur IRdont la série dérivée est normalement, donc uniformément, convergente sur tout segment [-a, a] de iR.
Remarque
'i U E
.cCE),
'i t E iR,'i kEN.
C. Calcul de exp(A) - A On suppose que
II
XA,
(tu)le 0 U = U 0 (tU) le, donc
U 0 etu = etu 0 u.
E Mn (Di)
polynôme caractéristique de A, est scindé dans iii [X] :
p
XA
CX) =
(À; -
X)mi,
CÀl. À2' ... , Àp) étant les valeurs propres distinctes de A.
i=l
Remarque Après avoir étudié deux cas particuliers, nous n'envisagerons ici que des méthodes utilisant une réduction effective de A. Nous verrons en Algèbre Il, (Réduction des endomorphismes et des matrices), un calcul ne nécessitant pas de réduction effective.
308
Précis d'Analyse
1. Deux cas particuliers
Il
"-
1
~ al A est nilpotente
d'indice
X
r
r ~ n, alors
On sait que 1 ~
~=~Ak
~
k=û Je!
A a une seule valeur propre
bl ÎI.
est alors d'ordre
n et on a
A
ÎI.
=ÎI.
In + N où N est nilpotente.
Das ce cas, In et N étant permutables, on obtient: n-l n-l Nk soit ~ = é1n . ~ = In '" -Je! ~ = eÀ ~ (A-
é
12.
A est diagonalisable
L k=û
k=û
ÎI.
In)k
Je!
.
1
Il existe Q E.2n (ni) telle que
Q-I AQ = diag(/-ll,
/-l2, ... , /-ln) où le n-uplet
(/-ll, /-l2, ... , /-ln) est formé des Îl.i, 1 ~ i ~ p, chaque Îl.i étant repété un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité: mi. On a alors ou d"
13.
V JeE N,
Q-IAQ
.....
--
= diag (/-lf, /-l~,""
{Q-.I.~ ~Q==cliag(.efL.~,#1.,_· = Q diag ( efL1 , efL2 , •. ..•,efLn) , efLn)
Cas général
/-l~)
Q-I
1
On sait que E =nin est somme directe des sous-espaces caractéristiques Fi, 1 ~ i ~ p,
(u-
de l'endomorphisme u canoniquement associé à A: Fi = Ker
Îl.i IdE) m,.
La détermination effective de ces sous-espaces permet de construire une matrice
Al A2 Q E.2n (ni) telle que
(0)
Q-I AQ = (0)
avec Vi
E
[l,p],AiE
} ..1m,(!;p"', la suite ( anr ~ ) ~ ne tend pas vers zéro, la suite (a~rn) Finalement, •
pl
non plus. Donc ~.
=p"'. Noter que ce résultat est valable pour p= 0 : pl = 0 et pour p= +oc : pl =
+x .
Cas où a< 0
Supposons p> O.
1 Pour r E IRtel que r >p"', on a Ceci montre que
lim
n--++;x
n-.;..+(:x:::
a~rn =
+x.
~p"'. Voyons sur un exemple que l'inégalité peut être stricte:
pl
1
Zn
aZn = 2
n
lim anra = 0 et
r'"
:
aZn+l = - ~
2-n
donc
pl
= 2.
alors
p= 2
donc
p/=
1.
Chapitre 8 :
313
Séries entières
Ex. 8.3
,
x
6'
Au voisinage de 0, j(x) ~
•
on pose donc
= O.
glO)
u(x) = x - SlllX
Soit u définie sur R par
po
;1
~_
urx;=Oetu(O)=O VXER.
u est développable en série entière de rayon p= +x. :
+co
u(x) = 2)-lf+1
x2p-1
p=l
ex
elle est donc de classe
sur R. SlllX
•
Soit v définie sur ~ par
v(x) = -----:x-
pour x ;= 0 et v(O) = 1.
+x
+x.:
v est développable en série entière de rayon p=
V x ER
v(x) =
:2.) -If
x2p
U---
p=O
ex
elle est donc de classe Pour tout XE J-
sur R.
on a
'Ti, 'Ti [,
u . 9 = -V est egalement de classe eco sur J-
v(x) ;= 0, donc
'Ti, 'Ti [.
Ex. 8.4
x
•
La formule est vraie pour
•
Pour tout x E J - a, al, la formule de Taylor avec reste intégral donne: k n f(x)
= Sn(x) + Rn(x)
= O.
avec
Sn(x) = L "'""
De l'hypothèse
V nE N, V tE J - a, al.
ln)(t) ~
VnEN,VxEJO,a[, Pour tout x E JO,al. la suite (Sn(X)) il en résulte que (Rn (x))
la fonction fn+l) X f-i>
et
Rn(x) =
lx -ln+1)(t) (x - tt o
dt
n!
0, on déduit:
Rn(x)~O
d'où
Sn(x)~f(x)
est donc convergente car croissante et majorée (par f(x))
;
est également convergente.
V n E N, V X E J - a. al.
On a d'autre part,
1k; jlel (0) X
k=O
Rn(x) = ~
n+1 n.. 1.1 0
(1 -
u)nln+1)(xu)
du
étant croissante, (fln+2) positive), on en déduit que:
il
J
----n:iT = -;:;-r (1 - u) (xu) du Rn(x) n In+1) x n. 0
1
Pour tout x E JO,al. fixons y tel que
est croissante sur J - a, a[ \ {O}. .
0 < x < y < a, on a alors:
Rn(x) Rn(Y) o ~ ----n:iT ~ ----n:iT x y
donc
0 ~ Rn(x) ~
x Rn(Y) ( Y ) n+1
tend vers 0 donc Rn(x) tend vers 0 et Lorsque n tend vers +cx:, Rn(Y) admet une limite et ~ ( ) n+1 +co n f(x)
= n~rpco Sn(x) =
L n=O
:/n)(O).
Pour tout x E J - a, 0[, on a : 1 1n+1 IRn(x)1 = ~
1
~ hr (1 -
1n+1 du ~ _X__ ln+1)(O) 1
utln+1)(xu)
~
1
hr (1 -
u)n du
314
Précis d'Analyse
In+l
1
ainsi tE
C:+ l)!fn+l)(O),
IRn(x)1 ~
n!.!.~vRn(x)
donc
tn . ]0, aL la série de terme général ,fnJ(O) n. 't/
= 0, car on vient de voir que, pour tout
est convergente. n
+:;.;)
Finalement
Il
x E] - a, a[, 1(x) = L n~O
;fnl(O). n,
Ex. 8. 5
1)
Notons que 1 est solution sur
J
= ] - ;,
(E):!!
; [ de l'équation différentielle
=
1+ lf'.
1
Soit
'Il
une solution de (E) sur J, on a
't/ x E J, Arctan
il vient:
cp
(x) = x -
Xb ;
't/ x E J, x - .K{J E J
~ 1+
= cp
1
donc il existe
tel que
.K{J E ~
la fonction Arctan prenant ses valeurs dans
et donc
_\'.Q
On en déduit que 1 est l'unique solution de
=
° ; ainsi
(E) sur
J
= ]
2' 2 ' TI TI[
(x) = tanx.
cp
1.
p
2)
Def
=
+ 12, on déduit, pour tout p
1
E
.R0x
,jP+ll = L
C;fkJ/P-kJ
(formule de Leibniz).
k~O
Une récurrence immédiate donne alors
[0, ; [, 't/ p E R0,jP!(x)
't/ XE
~ O.
En écrivant la formule de Mac Laurin avec reste de Lagrange:
k
P
p+l
L
xki1 (k) (0)+ (px + 1)!1(p+1l.Cc) 1(x) = '\"' k~O on obtient
't/XE
[
0,;
0< c < x
.'t/pEN,L;jk!(0)~1Ix) k.
[pk
k~O
xk ce qui assure la convergence de la série de terme général positif -/e 1
Ainsi la série de Mac Laurin de
/ci(O).
1
a un rayon de convergence supérieur ou égal à ; • C'
soit a.
Si a
•
il
[-1, 1], l'intégrale est convergente: au voisinage de l,jaC>:) = 0 ( )11_ x) , et
au voisinage de -l.fa(x) Remarquons que I(-a) Calcul de Posons
I(a)
2)
=
./.1 -1 (-a
x)·
{-1 (a
dx - x)V1-
x2 = JI
-2 .lar:0
.
t
pUiS t = an
e 2'
'1 1
.
2_ [ArctantJ_a_+-r~=--TI-' a-la
= __ va2-1
d~ a-1+t2(a+1)
va2-1 _
TI
a < -1,
on a donc
I(a) = -I(-a)
=
~
1
Avec al > 1, on a, pour tout x E [-1, 1
1 f·1-1 I(a) = n-1 ~ k=ü ak+1
En posant
a E]1, +x[ .
vient:
Calcul de bn.
d'où
= -I(a)
d_u - u)~
La remarque précédente permet de se limiter au cas où
x = cos e, eE [0, TIJ
I(a)= .la {Ti a-cose de Pour
= 0 ( J/+
~
xk
Rn = -----n -----a1 .-l(a-x)~
xn
fI
1J et tout
Tl
xk
xn
E l'\:r, a _ x = ~ k=ü ak+1 + an(a _ x)
1 fI-1 (a _ x)V1xndx
dx+ an.
dx
n-1
on obtient
x2
IRnl ~ ~[I(a)1
316
Précis d'Analyse
lim Rn = 0 et
donc
n-1 bk L k=O a
hl
lim
I(a) =
n--++oo
n--Ho;:;,
Il
+C0 bn = L n+1 n=O a
Remarque Nous venons de justifier, sans recours aux théorèmes généraux, l'intégration terme à terme sur
xn
+co
[-l,l]delasérie
fa(x)=L n=Oa n+1~'
1- x-
On peut procéder différemment: 1_e2
•
On sait que
•
Sur [-1+
f
I(a) = e~O. lim -1+e2 fa(x) dx. Xn
e2, 1-
e2], la série de terme général
Un(x) =
est normale-
a n+1Yl-X ~1
1 ment convergente car
'i XE
[-1+
11+e2
~.
xn dx
.1_e2
VI _ x2'
vn(e) = an+1 1-1+e2
Posons alors
xn dx
1_,2
= Ln=O an+1
/ -l+e- Ja(X)dx
1 •
1
+0;:; 1
1_82 On a donc
e2, 1- e2], un(x)1 ~ an+1 e
on a,
'i n EN,'ieE [0,1],
1
11+e2 ·1_e2
~
xn dx
~.
1
fI-1 ~ dx
=TI,
TI
donc
1
Vn(e)1 ~
a n+1'
convergente sur [0,1]
la série de fonctions de terme général Vn est donc normalement
; puisqu'il s'agit de fonctions continues sur [0,1], on en déduit que
+00
e f-7 L vn(e) n=O •
est continue sur [0, 1]. +x +x +:c bn I(a) = lim L vn(e) = L vn(O) = L n+1 e~O n=O n=O n=O a
Finalement
Ecrivons maintenant le développement en série entière de
'i
1, 1[,
CE] -
~
1
1-
+0;:;
= '\""'
c2
~
c f-7
1 r----;:;' y'l-c'"
(2n): 2n 9n 9C (n:)-
2-
n-O
1 -- E]O,
1ï
Pour a> 1, on a C = a
1[, donc: I(a) = y'a-~1
Comme d'autre part, I(a) =
L
=
+0;:;', TI C
y~1l-C~ 2
~
L
(2n).
2n+1
=1ï n=O22n( n,1)" C
+00
déduit:
'i n EN,
bncn+1, par unicité du développement en série entière, on n=O
1-
x2n x2 b2n = /1-1 ~d..'C 1 2n+1
bzn+1 = / -1 \ ~
= 2-n(n:t 9(2nJ: 9 1ï
1- x2 dx = 0,
(intégrale d'une fonction impaire sur [-1, 1]).
Chapitre 8 :
317
Séries entières
Ex. 8. 7
•
f est continue sur JO.1J
= tn(l + x X+ ... + xn)
Posonsf(x)
et
f(x)
~ 1, a
ce qui assure l'existence de J.
•
On a
1-
xn+1 =
Jo{1
donc
1·1 .0
tn(l -x ./.1 a
•
J
= ---
+ xn) = tn(l - xn+1)
dx-
tn(l _x xn+1)
----
u)
x)
'~o .
1 l·la
= --1 n+
,0
---t'n(1u- u)
du
du
hm ),.1-8 ---tn(1-
=
tn(l - x) ~ t'n(1 _ x) x 1
et
dx.
11 -----dx tn(l -x xn+1)
on obtient
u)
/1 ---[n(1x -
.,0
1'1 tn(l u0
De1,1----du tn(l- u . 0
-1)
est également convergente,
-----
n n+1
tn(l - x).
-
tn(1 - x) = dx est convergente (.~~ ----
eL\:
xn+1)
u = xn+1,
En posant d'où
tnil x - xl
-----
etona 1=
+ xn)il - x)
tnil + x +
donc V x E [0.1[,
L'intégrale
il + x +
u u)
a
du =
-
hm 11-8~ +x -un-1 du, e~O
•
0
n=l
n
un-1
en tenant compte de la convergence normale sur [0, 1- eJ (eEJO,1J) de la série entière ~ n",l
Il ---~ tn(l
on déduit
a
-n-'
L
du = - hm . ~ +:.: ---. (1-n2e)n u - u) ,-0 00 n=l n
L
est normalement convergente sur
Or, la série entière ~x 2 n"'l n sur
[-1, 1] et finalement
11 tn(l ua
J
=
du =- ~ +x 2n1 n=l
est donc continue
=-6.••. 2
2
n En conclusion:
u)
[-1, 1], sa somme
TI
6'
n+ 1
Ex. 8.8 1)
•
Montrons que hm x-l g(x) =
+x
(1).
x
no
On a
hm ~
x-+l
0, on peut associer no EN tel que
bkXk
=~
bk ~ 2A, il existe donc
'l, 1[, ~
+00 bkXk
~ A. Donc
k=O
Finalement
'lE ]0, 1[ tel que:
k=O no
V x E]1-
k=O
no
k=O
V A> 0, 3'1> 0, V x E]1-
~
~ k=O
no bkXk > ~ bkXk k=O
~ A.
'1,1[, g(x) ~ A : c'est (1).
bk ~ 2A.
318
Précis d'Analyse
•
Montrons
L bnxn
L anxn
p de
(2);
vérifie p~ 1
ayant pour rayon 1, pour tout x E!Ritel que [xl < 1, on a
lim , anxn = 0 (anxn = banbnxn et n~+:o lim n-++co n
donc
•
que le rayon de convergence
Il
lim
n---'-+x
bnxn = 0
an bn = S) (2) en résulte.
f(x) Supposons
lim
S
=
0 et montrons
que
lim -( _~~1 9 X ) = O.
an = 0 donc, à tout 8> 0, on peut associer
no E ~ tel que, pour tout n ~ no, on ait
n-HCO' bn 8
lanl "" 2:bn.
f
1[, n=TlD anxnl
V x EJO,
On en déduit,
1
f
n=TlDbnxn""
"" ;
ig(x),
TlD-1
pUIS .
2:8
"" g(x) +
g(x)
If(X)
ATlD
1
D'après
(1),
L
rani
n=O
n=O
anxn +
il existe T]EJO, 1[
L
anxnl n=TlD
""
x
V
tel que
ATlD
+ ;g(x»)
E]1-
T], 1[,0 "" ;~)
9x T], 1[, Ifix~
(V8E !Ri~)(3T]E!R~)(V x E]1-
Finalement
•
1
Lf(x) 1 =
L
=
+x
TlD-1
(écrire
ATlD
avec
1
"" ;.
0, la série
L n~l
série de rayon p= 1.
1- a< 1et la série
bn diverge car
entière
pour rayon 1, (utiliser le critère de d'Alembert).
En posant
an =
Puis avec
a(a+1)
II
Un = n-1 k=l •
Au voisinage
~,
... (a+n-1)
( ,1 +--==-le )
de O. on a
; il vient
'
tn Un
tn(1 + x) = x +
II
n = ---cc nan-1(' an k=l
on a
-b
L tn ('
= n-1 k=l
CJ(,,?
J.
. 1 + : ')
L
n~l
1 + -le
a)
bnxn a
Chapitre 8 :
Séries
319
entières
il existe donc une suite
telle que
'V1c)e"
,1 +
("
{n
k) Π\
k + Vic avec
= +x
Œ
L
La série ') L'ic est convergente et, en notant F =
on a, quand
Vic,
n
tend vers +x,
lc=l
n-l
L
L'1c = \T
•
Par ailleurs
+ aGI.
Ic=l
n-l 1
"'" -k =.(n n+ '1," + c,III L
('1 constante d'Euler)
Ic=l
•
{n Un =Œ .(n n+ Œ,! + \' + oG)
d'où finalement,
ce qui donne
. hm -an n-+x bn
Un +~c ne, eŒ'i+,e et enfin
1
+x
D'après le 1), on a alors
L
~in~11- X)Π~-.
nŒ-lxn
= _e-Œ'ICi
n=l
x
1
V XE] -
[ 2 Arcsin
(
J2, J2L l(x)
:x
l:
h) + ~] =
~Arcsin
(
h)
f-;>
~
2-x2
320
Précis d'Analyse
1)
Supposons
que le rayon de convergence
L
p de la série entière
Unxn
soit non nul et posons
n;:'û +CX)
v X E]-
p, P [,f(x) = L
Unxn.
n=û
n
+CX::'
On a alors
V
E]-
x
p, P
[,f2(x)
=
L
UnXn
Un = L
avec
n=û
ukun_k = un+l
k=û
+.;:X)
donc
>if2(x) = L
Un+lXn+1 = f(x) - ua
xf2(x) - f(x) + 1=
c'est-à-dire
O.
n=û
1- vI Il en résulte
f
f(x)
devant être continue
V
2)
Considérons
etf(O) •
x
f(O)
en 0 avec
E]-
f
vI -
f
•
VXE
est développable
] -4'4 1 1[ '
fvérifiant
'
I-Vl-
est:
4x
VXE
calcul du 1) montre que:
] -ex;, 41[ par
est continue
f(x)
\j
nE N,
=
1
" 1- vI - 4x
si
x*-O
en O.
en série entière de rayon p=
f(x)=L
+00 n=û
=
+00
(2n _ 2)! xn
1 - 2 n=l
1
(2n)!xn
] -4'4 1 1[ ,xf 2 (x)-f(x)+1 ao
=
1
4:
L (n _1)'. n.
et
\j nE
N,
=O,enposant
n
an+l
=
L k=û
donc
=
f(O)
1 4x
vI - 4x d'où
=
définie sur que
4x
2x
=
= 1, la seule possibilité
p, P [\ {O},f(x)
donc la fonction
f(x)
ou
= 1. On vérifie facilement
x ~
1+ vI -
4x
2x
=
(2n)! Un = an = n!(n + 1)!
akan-k
an=
~I(~,
(2n)!
1\l,le
Il
Chapitre IX
Séries de Fourier
II- L'espace préhilbertien D Définitions: On note D le t::-espace vectoriel formé de l'ensemble des applications
d.1
f:
R~[:, 2 ,,-périodiques, continues par morceaux et qui vérifient pour
1" tout
x
réel:
fex)
=
2
lfex +
0) + fex
-
O)J
Remarques 1)
On rappelle quef
: R~C est continue par morceaux sif est continue par morceaux sur
tout segment [a, bJ de R. 2)
Si f : IR:~C est 2 "'périodique,
alors f est continue par morceaux si et seulement si f
est continue par morceaux sur [0.2 TI]. Dans ce cas, 3)
f n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur [0,2
Toute fonction droite notéefex
4)
Soitf:
f :R~C,
continue par morceaux admet en tout point
+ 0) et une limite à gauche notéefex
IR:~C, 2,,'périodique,
On lui associe une fonction]
x
TI].
de IR:une limite
- 0).
continue par morceaux. : R-+C de l'espace
D en posant,
pour tout réel x
]ex) = ~ [fex + 0) + fex - 0)] Sur tout segment [a, bJ de R,f etf
ne différent qu'en un nombre fini de points.
Quitte à changer f en f, on considère que la fonction f est dans D. 5)
Toute fonction f de l'espace
D est
bornée. On note
IIf
lico
= sup lfex)
1
XEIRi
6)
Soit 9 : R-+C, T-périodique, continue par morceaux.
On lui associe une fonctionf
de
D définie
par
V x ER,
fex)
=
9 ( 2T"x)
:
à
324
Précis d'Analyse
d.2
On définit
un produit
scalaire
~ ~C, Muni de ce produit d'une
fonctionJ
sur D par:
if, g)
scalaire,
>---+
(flg)
-21TI .i2'IT ](x) a
=
dx
g(x)
D est un espace préhilbertien
complexe, la norme
de D est notée IIJ IID, elle est définie par: IIJ II~ = 21~ Il
l0f
Il
r2'IT .Jo
Cette définition est justifiée par le fait que, si J
Lf(x)12 dx
E
D vérifie
r2'IT .la
lf(x)12 dx = 0, alors
J = 0 (fonction nulle de D). En effet, il existe une subdivision (tk)O~k~p de [0, 2 TI] telle que la restriction deJ à tout tkL 1 ~ k ~ p, admette un prolongement continu]k
intervalle ]tk-l'
Jk(tk-l)
donc tel que: Comme [tk-l,
+ 0) et
= J(tk-l
(k
.JItk-1 Lf(x)12 dx
= JIrt/(. tk_1 llk(x)12
sur [tk-l'
tk],
= J(tk - 0).
= 0, la fonction continue]k est nulle sur tk[ etJ(tk_l + 0) = J(tk - 0) = o. (1 ~ k ~ p)
tk], doncJ est nulle sur ]tk-l' J(tk) = ~[j(tk
CommeJ est dans D:
Jk(tk)
el.\::
+ 0) + J(tk - 0)] = 0 (1 ~ k ~ P - 1).
De plusJ étant 2 TI-périodique, to = 0, tp = 2 TI donneJ(tp + 0) =J(to + 0) etJ(O) =J(2
TI)
= ~ [J(tp -
0) + J(to + 0)]
=
O.
DoncJ est nulle sur [0,2 TI], et par 2 TI-périodicitéJ est nulle sur R
D
Théorèmes: t.1
orthonormale{~Tl)tlÊ Pour tout n E /l, on définit Alors (en)nd'
1
l0f
et on a
une fonction
est une famille
Chaque fonction
en:
IR---'.C,
(e le ) = p
q
2 1TI
.[.2'IT a
7L
X
de l'espace préhilbertien
D.
en(x) = einx est continue, 2TI-périodique
>---+
e q p. dx =
il _
en(x) = él.'(.
en de D par
orthonormale
1'(
{10
si
P
=q
D
1=
t,2 n Pour toute fonctionJ
l0f
n
de D et tout
Le sous-espace En = Vect(ekLn~k~n
de '\ :
L
(ekLf)12
IIJ II~
~
k=-n étant de dimension finie, il admet dans Dun
supplémentaire orthogonal. (ekL n~k~n étant une base orthonormée de En. la projection orthogonale de J sur En n est Sn(f)
=
L
(ekLf)ek,
(voir Algèbre Il, Espaces préhilbertiens).
k=-n
La décomposition J = Sn(f) + [J - Snlj)] théorème de Pythagore donnent alors: n d'où
Il SnCf)
L
il~ = k=-n
J(ekLf)12 ~
avec SnCf) E En,
lif~
lif !I~
= Il SnCf)
!i~ +
[J -
SnCJ)] E Efi et le - Sn(f)
li~
avec égalité si et seulement sif
E
En. [
Chapitre 9 : Séries de Fourier
325
Corollaire: c.1
Soitf E D ; les séries de termes généraux !(enlf)12 et l(e-nlf)f2 hm (e_n (1=0 genteset n~+x lim (enj)=O. n-+x
1
sont conver-
Théorème: t.3
Lemme de Lebesgue Soitf:
[a.
bJ -C, continue par morceaux. .
-
~
-
iL\:
,j'b a flx)e
[~~.:
Alors, t étant réel: iL\:
.
t2.1~v jba f(x)e
ci.\': = 0
dx = 0
Pour une démonstration, voir le chapitre VI de ce tome: Compléments sur l'intégrale, exemple 1
Corollaire: c.1
Les suites de termes généraux .j.b a
dx.
f(x)einx
convergent
.jb a
f(x)e
:
- inx cix.
.jba
cos n:, ci.\':.
flx)
.j'b a
sin nx dx
vers O.
Exemples - Travaux pratiques
exemple 1 Polynômes trigonométriques est une famille libre de .FeR tC), elle engendre ments sont appelés polynômes trigonométriques. (en)nEZ
Que peut-on diTe des nombres n
fonction
Q: 1R~tC,
x
f--o'>
L
réels ou complexes ak cos
kx + bk sin kx
un sous-espace
dont les élé-
al, .... an. bl. ' ... bn tels que la soit constante?
k=l
•
Dans l'espace préhilbertien D, (en)nEiZ En écrivant
= ~
t
est une famille orthonormale, elle est donc libre.
(ak -
ibk) eikx
Si Q est constante, on a Q =Àeo
et donc
Q(x)
k=l
+ 1ak + ibk) e- ikx,
1 d'où on tire
Vk
Conclusion
al = ' .. = an = bl = .. , = bn = O.
E
[l,
Àeo =
n],
ak - ibk = ak + ibk =
2
L
O.
on constate que Q
E
D.
n
k=l
(ak -
ibk) ek
+ (ak + ibk)
e_k
326
1
Précis d'Analyse
Il
II - Séries de Fourier d.3
Coefficients de Fourier Soitf: IR-7C, 2 TI-périodique, continue par morceaux. On appelle coefficients de Fourier exponentiels de f les nombres complexes:
1 J.2'IT 0
Cn(J) = -2
f(x)e-mx
TI'
dx
.
(n EiL)
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques les nombres complexes: an(J)=-;:;;
1Il J2'IT 0
f(x)cosnx
--n-'
La suite (bnhJ* étant réelle, décroissante et de limite nulle, [e théorème 6 s'applique: la série de Fourier deJ converge simplement sur IR, (un(x) = sur 2'iT2), et uniformément sur [ex, 2 'iT- ex] pour tout (XE]0, 'iTl
°
Remarque: Le théorème de Jordan-Dirich[et +eXl
'iT-X -2-
(1. 7)
smnx D -nn=l
=~
va nous donner l'égalité :
.
pour
xE]O,2
'iT [.
332
Précis d'Analyse Il
III - Développement en série de Fourier d.6
On dit qu'une fonctionf développable
1
: ~-7~
,2 'ir-périodique, continue par morceaux
en série de Fourier
est
sif est somme de sa série de Fourier.
Théôrèmes :
t.7
Théorème
de Jordan-Dirichlet
1
Soitf
: ~-7C, 2'ir-périodique,
de classe el par morceaux.
i / Alors la série de Fourier de J converge sur ~ et pour tout réel x, on a :
1 2 [{(x + 0) +f(x - O)J=
i
+x
+
+:0
L an cosx + bn sinx = L n=l n=-x
cneinx
f
est continue sur ~, alors la série converge normalement ii / Si, de plus, et a pour somme la fonctionj. ~
Ici an, bn. Cn.C-n
sont les coefficients de Fourier def et:
+x
+x
"\""" L cne -inx = n=-,x i/ Soit Sn(x) la somme partielle d'ordre Sn(x) =
i
CO
+L "\"""cne inx + c_ne -inx n=l
n au point x
:
n
+
L ak cos kx + bk sin kx, D'après l'exemple 5, on a : k=l
u
.
Sn(x) = 21~" 10" ---[{(x+u) +J(x0 sin(2n+ . u1)2" SIn 2 Par différence, on obtient:
-21TI
,u
2 u)J du ,_1TI, J'" 0 sm(2n+l), u du = 1. SIn 2
1 Sn (x) -
2 [{(x + 0) +f(x u
O)J
=
~ [{(x + u) - f(x + 0) - f(x - u) - f(x - O)Jdu J'" 0 sin(2n. +u1)'9
sm2
f de classe
el par morceaux donne
l'existence des limites:
1
1 ex=
lim -[((x + u) - f(x + O)J et u........• ou u>O
. La fonction
sur ~
g:
[3= lim -[((x li-O u
[J0,
TI
'" -7,"--"
g(X) ',' =
f(x+u)-f(x+O)+f(x-u)-f(x-O) --------------,
u
2 sin si u *' 0 et g(O)
- u) - f(x - O)J
;.;>(\
=ex
2
+ [3,est alors continue par morceaux sur [0, TIl
Le lemme de Lebesgue appliqué à : Sn(x) - ~[((x + 0) +f(x - 0)] = ~ fa" glu) sin(2n + 1)~ du
s'écrit
Chapitre 9:
Séries
333
de Fourier
1 hI? ~ Sn(X) n-,x
-
+ 0) + f(x
-') [t(x -..
- 01J = 0
C'est le résultat du 1).
ii / Si f est continue sur Gi.,il existe une unique fonction de point oùf
est dérivable et h(xi="2
1 E~~ 1 !fCx+u)r :.J'
On montre que le résultat de l'exemple
h(x) =
f
u) - f(x)
]
D vérifiant + f(x-
f(x)
(x) en tout sinon.
1
4 s'applique:
cnCf) = -;Ln cn(h)
ce qui est le terme général d'une série absolument convergente, (exemple
2).
Le théorème 4 donne la conclusion. t.8
Egalité
de Parseval
Soitf
: R-C
, 2,,-périodique,
Alors
les séries de termes 1
gentes et: ~ t.g
continue
1
2
lanl2 , Ibnl2 ,lcnl2 ,lcnl2
dx =
+:x: l
12
1
lf(x)
par morceaux.
généraux
.)-
2" ·,0 Irr-"
-4- + L n=l CI{)
-
,2
1
b
anl 2+
sont conver-
+co
12
L
= n=-co ICnl'2
n
Conformément au programme, la démonstration est admise. Pour toutf
E D, la suite
converge vers
1
o
f
SnCf) des sommes partielles
de sa série de Fourier,
dans (D, II . n
~
Soitf
un élément de D. Alors SnCf) =
L
k=-n
ckCf)ek est sa projection orthogonale sur
En = Vect(ek)_no;;;ko;;;n (car ckCf) = (eklfJ)· La démonstration du théorème 2 a fait apparaître: ilb = Il SnCf) ilb + Iif - SnCf) Ilb L'égalité de Parseval s'interprète par
lim n-----+:x:
Donc
II SnCf) Ilb = Iif Ilb·
hm Iif - SnCf) IID = 0 n-+x
o
f
On dit que la série de Fourier de converge vers la norme de la moyenne quadratique.
f
en moyenne quadratique ou pour
Développement des fonctions T-périodiques Sif :[R~C est T-périodique et continue par morceaux, la fonction 9 : x est 2 ,,-périodique et continue par morceaux. , Les coefficients de Fourier de
f -2 1270 (TX TI )
anCf) = an(g) = T2 JorT f(u) bnCf) = bn(g) =
f ( ::
)
f sont par définition ceux de 9 :
cnCf) . = cn(g) = 2 ~".0
1
H>
cos
e- in"
dx = -T.o
1 J.T
feule
-
T
2i7Onu
du
2" nu du -T-
T 21·T .0
feu) sin -2 TITnu du Dans les conditions du théorème de Jordan-Dirichlet, on obtient, pour tout x réel:
1 (f(x "2
+ 0) + f(x - 0) ) =
L
+00 cnCf)e =-00
2i7Onx T
=
Cf) + L anCf) cos -T2 nx + bnCf) sin -T2 nx -2=1 CI{)
+:x:
TI
TI
334
Précis d'Analyse
Exemples - Travaux pratiques
exemple 7 l(x) = x(2 TI -x)
définie par
en série de Fourier.
1
+00
•
Une fonction de
1.
L
L4\ n=l n
+cü
pour tout x E ]0,2 TI [.
En déduire
1 Lz n=l n
n=O(2n + 1)
D est caractérisée
1
L
+Xl
4
les sommes des séries: +cü
L-
(_I)n-l
+=
n=a(2n + 1)
2
n=l
n
par sa restriction à ]0,2 TI [.
Ici 1(0) = 1(0 + 0) = 1(2 TI -0)] = O. Donc 1 est continue sur IR. La restriction de
1à
[O. 2 TI] est
1
La courbe représentative de
C= , donc
1
est
ex
par morceaux.
est formée d'arcs de paraboles: y TI2
-TI
TI
3TI
Calculons les coefficients trigonométriques de j.
•
1
est paire, donc bn = a (n E~)
et
ao = x(2 TI -x) dx = TI x2 2TI.a !nT< 2TI [
an = l(x) cos nx dx. 2TI. !nT< a -
-
ao = -4 3TI2
3
x3]
an = -2TIaj'T< x(2 TI -x) ..cos nx dx = --n"'.a 2 [x(2 TI -x) sin nx] a 'iT 4 !nT< (", -x) sin nX dx nTI an = -24 !nT< cos nxdx 4 [(TI -x) cos nx ] T< nTI a + -2nTI.a •
an =
-zn4
Développement en série de Fourier de j.
Comme
1 1
est continue sur
prouve que
IR
et de classe
el
par morceaux, le théorème de Jordan-Dirichlet
est développable en série de Fourier: 2
+cc
V x ERl(x)
=
ao "2
La convergence normale sur •
(n E ~")
IR
'\'
+ Dancosnx+ n=l
bnsinnx
=
2
snx·
+x
-3- - 4 L n=l ~ '"
co
est évidente.
Calcul des sommes de séries.
Exploitons l'égalité de Parseval :
-2
1'" ./.2" a
12
(x)dx=
-4 OÔ+
L--
+x n=l a~ + 2 b~
donne
8 ",4 15
4 ",4
+x
1
=g+8L4 n=l n
Il
Chapitre 9.:
335
Séries de Fourier
Pour p > 1, nous utiliserons les égalités: +:--= 1
nP =
n=l
1
+:':
L
---:i
n=ln
1 1;P +
-
.
1
+=-=
90
L
et
+x
L
1
f
au point x =
L '7 (3 =
n=l n-
n=l
n
° donne: +x 1
2
L -- ~
et donc
+x (_1)n-1
L
De même, x =11donne
96
=
lTi2
-:-:
ch a
t2
0).
t E]-
t
sin
nt
t = 2 L(-l)n+l_nn=l
'TT,'TT]par
= cos ex x avec exEIR\]:'.
(1)
'TT,'TT[,
+00
en série de Fourier la fonction
'TT,'TT],
'TT """"" n --2cos n =S+4L.}-) n=l n
et 'if
2)
f(x)
[+00
2
2 'TT-périodique définie sur]-
de Fourier def.
les coefficients
Vérifier 'if tE
1
cosx+
sur IR.
Ex. 9.7
EX.v/ Développer
f est de classe el que f est I-périodique.
Montrer
~
le développement
(bO)
Montrer que
Calculer
Dans quel cas y-a-t-il égalité?
__
k=-oo
O.
e--2~t-
(2)
Soit a> 0, montrer qu'il existe
f E e2([ 'TT,'TT],IR), n cos nt f(t) = L(-l) -2--2 n=l n +a -
En déduir~:
+00
/
....1)
;1~E IR\'TTZ,1 cotan
2)/'if x sin \~/
x
=
E]-
x =x
x
L
2x
+00
+
2
n=l x - n
2
9
Former
(1)
fiée par
'TT
En déduire
'TT,'TTL
II 1-
+00 n=l
(
une équation
3)
n
;
2
2) 'TT
(2)
Existence
+x L(-lt+I-2--2
n=l
différentielle
véri-
f. de f.
une expression et calcul de nsin
nt
n +
a
tE
[-
'TT,'TTl
Chapitre 9:
337
Séries de Fourier
Ex. 9.8 AL(R. C) est l'ensemble des fonctions]
: R~C
continues par morceaux sur IR.
2)
Etablir'i
Soit D l'ensemble des fonctions] E ciL Œ. C),
+: Isinxl est continue sur tR1, de classe CI par morceaux, donc, d'après le théorème de Jordan-Dirichlet, la série de Fourier def converge en tout point x de ~, sa somme étant égale àfCx).
'tj nE N, bn(f) = 0
f est paire donc
O{)(f)=-
n~2
sinxdx=-
~r TI
2p 2 ('1 TI
Isinx[ = -TI + L ~ -TI Ainsi 'tj x E ~' +x 2 n=l [sinxl
2TI
L
+ TI
2 n=l +x (12n
8 +x Isinxl
--- +
(12n
sin2
+
1'iTo1"
sin2xdx=0
sin x cos nx dx = ~Ti Jo('" rL sinCn + l)x - sinCn - l)x] dx
Jo
n - 1 C_1)n-l_1)
+
TI
_
.ln'''' 0
al(f)=-
4TI
n +1 1 (1_C_1)n+l
-
a2p(f) =
Pour n pair:
2Il
2TI,aIr'"
an(f)
an(f)
an(f) = --;:::- fex) cos nxdx.
,
+ 1 - 2p 1) _ 1
1-
--2n -
1-
2n -
,pour
n impair:
.
1)"1
cos2nx
1) 1
- 4TI +x (12n n=l •
L
+
1-
a2p+1(f) =
O.
1) 1 sm. 9
2n _
nx
TIL
n=l 8 +x [sinxl
sin2
x
T1L~ n=l EX.9.2
Notons an(f), bn(f),
Ona:
TI
(resp. an(fl),
les coefficients de Fourier deI
bn(fl)),
[fCt). -nsmnt
an(f) = Jo/2'" f(t)cosntdt= .
1 (2", Iet)smntdt . 0 -;'./0
J 2",
. donc
TI
fCt) sin nt dt = - [
bn(f) = Jo/
1.
_/
anlj'I = -nbnU
)
fC [1
.2",
(resp. def).
.
1
·2"
cos
-n cos nt J 2" +;. Jo/
nt dt
0
1 .,
donc
f etf
nan If )
étant continues, on a, d'après l'égalité de Parseval :
~ .la/2'" f2Ct)dt jJ
~ .l2" /2(t)
dt
=
=
f
n==l
ra~(f) + b~(f)] ~
1 .l2'IT 0
f2Ct)dt /
f
a'6t) + n=l
+:.: TI
br.lf) =
L ~
CcarO{)lf) = ~Ti .la/2'" jiridt
=
01
[a~(fl) + b;(fll]
n-? !r aTi(j) ? + brMl[ 9 l
n=l' CcarO{)(f)
J
1 Jo/2"fCt)dt
=T1
=
1 (JI / 2 TI) -
TI
fi 0))
=Oî
nx
Chapitre 9 :
339
Séries de Fourier
Cas d'égalité
La relation
dt = Jor2TIf2(t)
Jo/2TI f2(t)
dt
s'écrit:
+;x;
:2)n2 n~2
- 1) [a~(f) + b~(f)]
f étant de classe el,
0
=
donc
'd n ~ 2. an(f)
bn(f)
=
=
O.
elle est développable en série de Fourier et on a alors:
m
'd x E 1R,f(x)
=
ao2
f(x)
=
al
+x
+
L [an(fJ
l
.
n~l
cos nx + bn(f) sin nxj
(f) cos x + bl (f) sin
x
/2
Ainsi, l'égalité 10·2TI f2 = Jor2TI nécessite f de la forme x La réciproque est évidente: on a alors: 2
2
12TI o f
2
+
=TI (À
102TI o
et
fL)
f
cos x+
~À
'2
fL
2 =TI (À
sin x. 2
+
fL )
Ex. 9. 3
1 Pour tout x
E
IR,
2eix
=
h cos x + cal
+ 2e
l">C
ch a + e2ix .
Sachant que
1+2eix ch a+ e2ix = (é'é + ea) (eix + e-a),
donne
1__
. ECrivons
ea lX
e
+e
une décompostion en éléments simples
e +e e +e s a = -hl (lXea a _ lXe-a_a).
a =
1
1+ e
ix
+ cc.
.e
-a =
L(-l)
n nix -na e .e
n~O
(somme d'une progression géométrique dont le module de la raison est -Œ
ECrivons .• de meme e
On en déduit
-Œ
ix e -a +e
cosx + cha
1
-ÎX
e· -a e -ix 1+e .e
=
= sha 1
[eix-al
0
= ~()n-l -1 n~l
e -nix . e-na
enlX + e-nlX) [1 + L(_l)ne-na( +00 .. n~l 1 +00 2(_1)ne-na
1 -. -
= sh
= e-a < 1)
+X'
a+
L -
]
cos nx
n=l
Il reste à prouver que l'on a bien obtenu la série de Fourier def. bp(f) = 0 et
Puisque f est paire, pour tout pEN, ap(f) = -
2TI
f(t) 1TI 0
cos px dx = --hTI
2 sa.
1+2
loTi 0 (+00
L n=l
(_l)n e- na cos nx
)
cos px dx
340
Précis d'Analyse
Comme la série de terme général Un : IR--+R x vergente sur IR (II
U lico
=
e- na),
e- na cos nx cospx
(_l)n
f--3>
Il
est normalement con-
l'intégration précédente s'effectue terme à terme et on obtient:
ap(J) = --;;;:sna cos px dx +--h- 4 '!T s2 a l'1T 0 '!T S
~(_l)ne-na +co a n=l
cos nxcospxdx
.1o'1T 0
2 donc
a (-lJP e- pa
ap(J) = -h s
pour tout pEN.
Ainsi, on a bien obtenu le développement de
f en série de Fourier. ----
Remarque: ce développement donne les intégrales
dx= --(-1) en na sh a
.1o'1T 0 coscos x +nxch a
'!T
EX.9.4
f
étant paire, nous avons:
'
a, on a:
u~ et u~ k
V x E [-a.
a], uk(x)1 =
donc, quand k tend vers de
L u;( sur [-a,
u~ k
Calcul des coefficients De la relation Pour
n
car
u_ k(X) =
de Fourier de
Uk(X + 1)
E 7l, on pose
La convergence
. Il uf( lit-
-t-e x - k - u:-Id
a.a] = 0 (~)k-
~ 1
des séries de
O.
-t-e a+k -
2t (a-k)2
, ce qui assure la convergence
a],
Même résultat pour 2)
+x,
1
convergence
a>
tout
2r
1
1
l'uniforme
a, a] pour
sur [-
Cn
normale
= =
f on déduit
Uk_l(X),
il
. 0
Uk( -x).
J(x)e
-2i'7illX
donc uniforme
J(x
+ 1) = J(x)
dx
uniforme
sur [O. 1] permet d'écrire:
+x e ----zt-2iï7rLX"
0, = fo'
c~x
_'>:-k?
:J est I-périodique.
)
dx =
Lire
k=_x'O
,1
Ix_k2.
- ----zt-21'7iT1XeL\:
normale
Chapitre 9:
Séries
ou Cn -
Ley '"
+00
d"
1
V2t J~+~
. la fonction
. 9'-
.+x';
--( ·~-x
k-1 -2I+2,,,nYd
Cn =
. Introduisons
il._
k
- 1(=-00
ou encore
343
de Fourier
e
x
(poser y =
k - x)
du .
e-u2+2i"nu,/2r
~ ~ 'l': L-i-'~,
y
-2rT~",nYd
H> .;.+x _ xe'
du
_u2~2i nxu
ev
et la suite de fonctions La classe el
(x, u)
sur 1R2 de
l'intégrale
donne la classe CI sur
H> e-u2+2in.XU
(x) =
j"-N e-u2+2in:Ül du
CfN: R~C,
absolument
convergente
ce qui prouve que la suite (
I:
Un,
n a cos nt
(-1) n2 (n 2 + a2 )
I:
U~,
I:
U~ sont normalement
sont de classe C2 sur [-
Ti, Ti].
convergentes
sur
IR
donc
h et
par con-
344
Précis d'Analyse
1 On obtient
a2 cos nt
+00
- "2 = ~(_l)rt
fl/(t)
2
n +a
rt=l
2 2 = a J(t)
est solution de
doncf
If -
1 a2y = "2
1 = - ~+
d'où on déduitf(t)
doncf(t)
=
1 --2+ 2a
Àchat. +00
3)
2
~ n=l
Dej'U)=ail.sht=L)-l)
.
n a 2SIn nt2 +2,ondéduitf('lT)=aÀsha'lT=2 t l n(n + a )
'11
1
'11 À= ~ as h '11a et enfin f(t)
d'où
étant paire, il vient fL= a
Àch at+ fLsh at,f
2a
'11chat = 2 as h a '11- 2a
-2
Le calcul précédent a donné, pour tout t E [- '11,'11]:
+x
f d'où,d'après (2),1'(t)
1
2
.
at~ _- "2t + L ~ . /-1) n a 2sm nt2 (t) _- .,'11sh h sa" rt=l n(n + a )
= ~(_l)n+l
__
+00 rt=l
1- -2--2 n a2] +a
sinn nt
[
E [0,2
'11].
= ~(-l)n+1-2--2 +'00 n sin n=l + ant
EX.9.8 1)
•
Envisageons d'abord le cas où
x
On sait (voir théorème 9) que dans l'espace
D muni de
la norme de la moyenne quadratique
la suite (Sn)r\j des sommes partielles de la série de Fourier de f, converge vers f : n
D
Sn(x) = '"
k=- n
Pour tout
x
[0,2
E
IrJo
'11],
ck(f)e ikx
'n~~"
1
fox
r
fU) dt - Jo
f - fox
Sn IID = a
on a les majorations successives:
r
Sn(t) dtl ~ Jo
lfU) - Sn(t)1 dt ~ Jo(2Ti lf(t) - Sn(t)1 dt 1
.fo2Ti lf(t) - Sn(t)! dt ~ (2'11 .102Ti lf(t) - Sn(t)i2 dt)
Donc
Iif -
Sni ~ ~
'2
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Ilf - SnilD
lim Jo(" Sn = .Jo(Xf et il résulte du rappel que n-++oo Puisque
~n ck(f) lx Sn = k=-n a
.InX a
eikt dt, ce résultat se lit encore: .x
+00
n~x •
Soit maintenant
Alors avec p =
E
x
eint dt = fa
cn(f) fa
réel quelconque.
2'11
(x)
X
' X = 2p'lT +x . où x E 1
1
[0.2" [.
f
Chapitre 9:
345
Séries de Fourier
f étant 2To-périodique, on a :
lxf
, 0
=
I:: l2Ck+lhr p-l k=O ' 2krr
+
f lX2p •• f = p '1'2.. 0
l
L'étude du premier cas donne
donc
+x
-Xl
lf
I::
Xl
et que
2)
J0
Cn(f)
eÙ1t
dt
eÙ1r dt
x eint dt = 10
10
j0
cn(f)
.Xf
En constatant que
lx1f,
' 0
.Xl
= 2p Toco(f) + n=-x
o
co(f)+
To
.Xl
f = n=-x I::
,0
+x
x
f = 2p l,xi 0
+
2p To+ fa
pour n
eÙ1t dt
;fi.
°
X
dt = fo
f = n=-oo I:: +00 cn(f)
dt = x,
l00 X eint
on conclut à
Jo(X o
dt.
La fonctionf:
IR-+IR, 2 'TT-périodiquetelle que :f(O) =
° et
'TT
V x E]O, 2 'TT[,f(x)
-x
= -2-
est élément de D et est somme de sa série de Fourier, d'après le théorème de Jordan-Dirichlet: =~ n=l
V X E IR,f(x)
sin nx n
En appliquant le résultat du 1), on obtient donc:
V x E IR, ('" f(t) Jo
+x donc, pour 3)
x
E
[0,2
To],
1-
I:: n=l
La formule précédente au point
2
+00
~
=""4
1
+00
+00
cos nx
c'est-à-dire
1
2x
x2
-
1
+0;:
I:: 2 = I:: 2 n=l n n=O(2n + 1)
n=l _l_-_c_o_s_nx_ n
'TT
=
2
_sl_'~_n_t dt = ~
4
=1ï donne:
1ï2
(2k + 1)2
Avec
n=l Jo
n
x
t'
dt = ~
~
(2n + 1)2
'TT2
=8
1+00 1 +
=1
I:: 2' on en déduit n=l n
346
Précis d'Analyse
Il
Exercices proposés EX.9.6
Soit
a E IR,
1
al < 1.
Développer en série de Fourier
1)
Développer en série de Fourier la fonction:
f: 2)
f:
- acosx (~I_a_si_n_x_)
IR-+IR, x H> Arctan
E = {g E et
Ex. 9.2 +0,:)
=
t H>
IR~IR,
CO (IR, IR), 9
n l'application
•
SIn nx
L --n
x
\;/ 9 E E,\;/
1)
Calculer f(x)
2)
Soit 9 : IR-+IR, impaire, 2 TI-périodique, continue telle que
Isin tl.
Soit 2T1-périodique}
définie sur Epar:
EIR,
n=O
\;/x \;/x
Q (g)(x) =
[1, TI],
En utilisant g, montrer que
'""-=L6 +cc sin 2 n
+x: sin
n2
n=l
+x: sin2
L --4-n
Calculer
Ex. 9. 7
n
Montrer que y" + y eit = solutions de période 2 TI.
n
n=l
Trouver les fonctionsf
\;/ x
l_x2
1+ x
En déduire pour
R.j(2x) = 2 sin;~((x). Ex. 9.9
2+ TIL (TI
Fourier de la fonction
E
- 2xcos r
CiE IR \
g01 :
t
E CX:(IR, !Rn,
2 TI-périodiques telles que
Développer en série entière à l'origine 2
(E) admet des
Ex.9.8
EX.9.3
x H>
°
Préciser l'ensemble de ces solutions.
n
n=l
ft : IR~IR,
Trouver les fonctions la série de
)
1
f
E
ex: (]~. Cl,
2 TI-périodiques pour lesquelles il existe et
1'"
Développer en série de Fourier
f
et 9 :
l'vI
Î\.
E
C / z' "" 1}, U un ouvert de
contenant D etf
f(x) = éOS x cos(sin x), g(x) = eCos x sin (sin x) En déduire ln =
j"
eCos
t cos(sin t + nt) dt
Développer
=
02f
--9
oX-
éJ2f
+~
ély~
=
° dans D. d 8 en fonction des coef-
fic'Ients de Fourier de 9 : 8H> fi
L -n1 +x:
f(8)
=
Calculer Jo{2Ti f2(rei8)
Ex. 9.5 Calculer
f
cosn 8 sin
n=l
f en série de Fourier.
n
8.
1R2
E e2(u. Rl. On suppose que
f est harmonique, c'est-à-dire que
t cos(sin t - nt) dt et
n.
Ex. 9. 10 Soit D = {z
EX.9.4
{2Ti Jn = Jo
IR~
H>
En déduire pour nE N, ln = a 2- cos V33 nt cos t dt
/,2" ·0
Î\.E
tels que
1\,f E R::
\;/ nE N, \;/ X ER, Vni(z)j ""
eCos
Og(t) dt
leurs propres et sous-espaces propres de n.
= -'f(I), g(x) = f(x).
E [0, IJ, g(x) E
;:>(X -
Montrer que nE:J; (E). Trouver les va-
eiB
).
Chapitre X
Equations différentielles Compléments
1
1- Equations linéaires E désigne un IK-espace vectoriel normé de dimension finie
n~
1.
A. Etude theorique
Il.
Définitions
1
Aux applications continues a : J -:1; (E), b : J ~ E on associe l'équation différentielle, dite linéaire du premier ordre: (L): x' = a(t) . x + b(t)
d.1 1
d.2
On appelle équation homogène associée à (L) l'équation différentielle: (H) : x' = a(t) . x
1
Remarques 1) 2)
L'image du vecteur x de E par l'endomorphisme a(t) est, ici, notée a(t) . x. Le théorème
2 suivant
assure l'existence de solutions de (L) et de (H) sur l'intervalle I.
On note alors SeL) et S(H) l'ensemble des solutions sur
t.1
1
de (L) et (H) respectivement.
3)
On rappelle qu'une solution de (L) est une application dérivable J : J -i- E telle que:
4)
On constate que toute solution de (L) est de classe CI sur J.
'if
12.
J
Théorèmes
t E J,f(t)
= a(t)J(t)
+ b(t)
1
Théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire Pour tout (ta, XO) E J x E, l'équation problème de Cauchy en (ta, XO).
(L)
admet une unique solution
au
Démonstration admise. 'Ce résultat s'applique aussi à l'équation (H). Les solutions de (L) sur
J
sont maximales.
348
Précis d'Analyse Il t.2
Structure
de l'ensemble
il L'ensemble
isomorphe
des solutions
5tH) des solutions
de (H) est un sous-espace
vectoriel de C1(I, E)
de
affine de
à E.
iil L'ensemble SeL) des solutions direction 5tH).
(L)
est un sous-espace
C1(I, E),
de
lBf' i! Il est clair que 5tH) est un sous-espace de C1CI, E). Pour iD E l fixé, le théorème 1 indique que l'application x H> x(iD) est un isomorphisme de 5tH) sur E. ii! L'existence de solutions de (L) sur on vérifie que] - g E 5tH).
l
donne
SeL)
*0, si] et g sont deux d'entre elles, D
t.3
Base de S(H)
il
Soit
êJt=
(hl, ... , hn) un n-uplet de solutions
Pour tout t êJt (t) =
ii 1 Si
êJt
(al,""
t.4
(hl (t), ....
de (H).
de 5tH) est égal au rang du système
h =a1 hl + ... + an hn.
tel que
an) E llin
Pour tout] de manière lBf'
êJt
est une base de 5tH), pour toute solution h de (H), il existe
Soit Jt= (hl,""
1
le rang du système hn(t)) de E.
E I,
hn) une base de SCH) et k E {O,l}. E Cle(I, E),
unique par
il existe n applications U1, ... , Un de Cle(I, iii), définies ] = u1 hl + ... + unhn
Introduisons une base J',= (e)l'0oS;n de E et les applications coordonnées de] dans n
cette base:
'i tE
I,f(t)
= L,Jj(t)ej
'i j E [1. n].Jj
,
j=l
E
CleCI,E)
D'après le théorème 3, pour tout t E I, Jt (t) = (h1(t),. " hn(t)) est une base de E, la matrice de passage de J', à ';JC (t) est inversible, on la note: W(t) = matJ) (h1Cr) .....
hnCt))
On dispose ainsi d'applications de classe C1 de l dans 52n (X) : W: rH> W(t) et vr1: t'-+ [W(tl]-l Pour tout t E l fixé, l'existence et l'unicité de (U1(tl .... , unit)) changement de coordonnées, dont l'écriture matricielle est:
... [ UnIr) u1: (t)]
=
correspond à un
[IV(t!r1 [Nt)] :. ]nCt)
Les n-applications U1, ... , Un de l dans K ainsi définies sont de classe t.5
Méthode de variation
il L'application] si
des constantes
Avec les notations
= u1hl + ... +unhn est solution de l'équation
u~hl + ... + u~hn
Cie
du théorème
b
E
C°iT.E) s'écrit de façon unique:
b = V1h1 + ... + Vnhn La condition du il s'exprime
donc par:
L) E CoU. E)
'i jE
4.
(L) si et seulement
= b.
iil D'après le théorème 4, l'application
D
[l, n], uJ =
L).
Chapitre 10: lfiF
349
Equations différentielles Compléments
i / Sachant que hl,' .. , hn sont solutions de (H), la dérivée de j s'écrit
\;J
tE I,f'(t)
= u~(t)h1(t) + ... + u~(t)hn(t)
+ a(t)
= u1h1 + ... + unhn
.j(O
D'autre part.] est solution de (L) si et seulement si : \;J t E I,J'(t)
= aU) .j(t)
+ b(t)
ii / Le résultat, conséquence directe de ce qui précède, signifie que la connaissance d'une base de S(H) ramène la résolution de l'équation (L) à des calculs de primitives.
13,
Système différentiel
1
Il s'agit de l'écriture matricielle de l'équation linéaire (L). Etant donnée une base '& = (eJ)l"'0~n de E, aux applications a et b sont associées les applications A: I -dtn (IK) et B: I -+Altn,l (IK), où, pour tout t E I, A(t) et B(t) sont les matrices de a(t) et b(t) dans la base '&.
X'
On appelle alors système différentiel l'équation différentielle notée: dont les fonctions inconnues X sont à valeurs dans
.AJtn.1
= A(t)X + B(t)
(IK).
Inversement, à un tel système différentiel on associe canoniquement une équation différentielle linéaire sur IKn au moyen de la base canonique de IKn. Les théorèmes précédents s'appliquent (mutatis mutandis) aux systèmes différentiels.
Exemples - Travaux pratiques exemple 1 esou ••• re e sys eme
(Effectuer dans t' le vsystèm; I-~'~ par ·dlu =.xe-f, = dif"" ye-t •
Ici, E =1R.2
e systeme
L
'
et
Y 1 =x+2ty+tsmt
leren le :
.
det fonctions ).homogène t' 1 {Xl le =changement 2tx - Y + tcos
inconnues
défini
I =IR..
omogene associe est
h'
.,
SIn [c~s]
et h2 de (H) sUivantes: .
\;J
{Xly
1
- Y = x2tx+ 2ty
{u;v == -uv
Le changement indiqué donne Les deux solutions
(H)
[- COS Sin]
et
t E IR., h1(t) =
de ce système fournissent les deux solutions t2. e [et2
h2(t) =
SIn t cast]
t2
hl
COSt Sint]
eet2 [ __
Comme elles sont indépendantes, (hl, h2) est une base de S(H). La méthode de variation des constantes consiste telles que
j = W1h1 + W2h2
On constate que
[t t
à trouver deux applications
W1 et W2 de C1(IR.,IR.)
soit solution du système.
smt t] = te-t2 h1(t) et, par conséquent, c~s
w~(t) = te-t2
Il existe donc (a, [3) E 1R.2tel que:
j(t)
=
( a --2e-t 1
2)
h1(t)+
[3
h2(t) {
2
1 1
= (a COSt-- [3 sin t)et 2 --"2 cos t Y = (a sin t+ [3 cos t)et --"2 sin t
X
,
w~U) = 0
350
Précis d'Analyse
exemple 2
•
.
nue Z;=.X +ty . Retrollyerl\'l ~ésultat de l'exemple précédent en utilisant la nouvelle fonction inconLe système devient, par le changement indiqué, l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 suivante (L) Zl;= (2t + Oz + teit Le nouveau changement de fonction inconnue défini par z ;= ueit transforme l'équation en ul ;= 2tu+ t.
IR-C.
L'équation homogème a pour solution générale
t
f-JoÀ
et"
C)
(ÀE
Une solution particulière est t f-Jo - 2' 1 D'où la solution générale de (L): IR~C, t f-Jo (, ~ et2 - 21) Le couple formé des parties réelle et imaginaire donne la solution trouvée précédemment.
e't
B. Equations linéaires à coefficients constants Etude théorique.
(Programme M')
Il s'agit des équations (L) : Xl ;= a
Il, Etude de •
(H) - Cas particulier
(H):
Xl
;= a
.x
où
a
E 5t (E) et b E CCI,
Plaçons-nous dans le cas où E ;=en et où l'endomorphisme a n'a qu'une seule valeur À IdE est nilpotent. propre À. On sait alors que l'endomorphisme c;= Notons r son indice:
•
. x + b(t),
1
1
Il
0,
cr;=
*
cr-1
a-
O.
Soit u une solution de (H) sur IR ; introduisons l'application v définie par: v = e-fJu ~ u = eÀ[v Alors
d = a·
u
eM(d +
donne
À
v) = eÀta . v.
Ainsi, l'est solution sur IRde l'équation
1,/
= c·
Id
Une récurrence immédiate montre que l'est de classe Cc~ et que Il existe donc r vecteurs de E, \;f [
L'O.VI
v ri = cr . V = O.
L'r-l tels que:
.....
E:=2.vi [1 = Vo +
[q + ...
Par identification, on prouve que l'est solution de
y
+ [r-lVr_l = c·
Id
si et seulement si :
1 \;fleE On trouve donc:
[1.r-1].L'le=7Cc'Vle-l
L
le: c . Vo (...IdE Hc + ... + ir{-l_ 11: c r - l') . Vo = ~ ~o [le le
vtt) =
r-l
et
u(t) =
e
H, L [/(
Cile
où on a posé
1 ,. Ci/(=
le: c" .
Vo E
E.
le=O
Remarques 1)
2)
Etant donné que l'on a r "" n, ce calcul montre que l'ensemble des solutions - sur :=2 - de l'équation y = c· Id est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients dans E, de degré inférieur ou égal à n - 1. Le calcul précédent donne: \;f
[E:=2. dr)
=
etC . l'o.
W.[I =
e[ c+Àld",'
. Va
=
eW . va
Chapitre 10:
351
Equations différentielles Compléments
2, Cas général
1
Toujours avec E =Cn, on désigne par J'l, .... Àq les valeurs propres distinctes de a, par NI, ... ,Nq les sous-espaces caractéristiques correspondants; chacun est stable par a, et, pour tout) E [1, q], a induit un endomorphisme Oj de Nj, l'endomorphisme Cj = Oj-
Àj Idj'S est nilpotent ; soit
Tj
son indice,
,pq les projecteurs associés à la somme directe
On note Pl,'"
Soit U une solution sur R de l'équation Onpose
V)E
[l.q].
Uj=Pj'u
E = NI
(doncu=ul+'
EB
Nq.
'+Uq),
On effectue alors le changement de fonction inconnue défini par où
EB '"
a, x
=
Xl
v=
VI
+ ... +
Vq
Vj = e-À.jtUj,
On vérifie que V) E [1, q], uJ = Oj' Uj' vJ = Cj' Vj' D'après l'étude précédente, il existe alors y = YI + . , . + Yq E E tel que:
V
tE
IR, vit)
=
_ l)! ( IdNj +tCj + ' .. + (Tj0-1
Cjr r
1) , Yj
1J-l On en déduit
V t E IR,Uj(t) =
L
èjt
tk
Œjk
l\Tj
=
où on a posé
k=O
Remarques 1)
Pour tout) E [1, q], on a valeur propre Àj,
dim
T) ~
où
1T1j
1T1j
est l'ordre de multiplicité de la
On peut donc écrire V tE:Ri, uit) = eÀ.jtPj(t) où Pj est un polynôme à coefficients dans Nj (donc dans E) de degré inférieur ou égal à 1T1j - 1. q
Alors 2)
V t E IR,u(t) =
L j=l
eÀ.jtPj(t)
Le calcul précédent donne, pour tout) E [1, q] : V tE IR,Vj(t) = etc) . Yj
3, Utilisation d'exponentielle
donc
V t E IR,u(t) = eta , y
d'endomorphisme;
Etude de
(H)
et
(L)
Rappels et notations Pour tout t E IR,on note eta l'endomorphisme exp(ta), On rappelle que a et eta commutent, que l'application avec (eta) 1 = a 0 eta
Etude de (H) •
Xl
=
De plus, eta est inversible avec
( eta)
H>
eta est dérivable,
-1 = e- ta
a .x
Soit U une solution de (H) sur IR ; par dérivation il vient: (e-ta,u)1 Il existe donc ua E E tel que Ainsi, on a nécessairement Il convient alors de
•
1R~;:e (E), t
vérifier
=e-ta·ul_e-taoa,u=O V t E IR, e-ta
u: IR~ E, t
H>
,u
= ua.
eta . ua,
qu'il s'agit d'une solution de (H) sur IR,
Pour tout (ID, X(J) E IR xE, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est IR--+
E, t
H>
e(t- to)a . X(J.
352
Précis d'Analyse
Xl ;::
Soit
u une solution
a . x + b(t)
de (L) sur I.
Introduisons l'application v définie par Elle est dérivable et Pour
ID
v' = e-ta.
d'où
v = e-ta
ul - e-ta
.
u ~
a· u =
0
e-ta.
u = éa.
v.
b(t)
E I, on obtient:
it it
'if tE I, v(t) =
•
Il
uCt) = eta .
(va +
(va E E, Va = v(ID»
b(s) ds+va
. b(s) dS) .
e-sa
E, l'unique solution au problème de Cauchy en ce point est:
Pour tout (ID, xo) EIx I
e-sa.
r-+
E,
t>-+ eCt-tJla.
XO
{t eCt-s)a. + Jt{j
b(s) ds
C. Systèmes dffférentiels à coefficients constants Etude pratique Il s'agit des systèmes: où
Il,
A
A E Jin (iii)
et
est diagonalisable Il existe alors P
E 52n
Xl = AX + B(t)
(L):
.
(H):
Xl = AX
B : I r-+Jtn.l (iii) est continue.
1
p-l
(lK) tel que
AP = D = diag(ÂI .... ,Ân)
On effectue le changement de fonction inconnue défini par:
y
=
p-l X
~
X
=
py
qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels: (LI) : yi = DY + P-IB(t)
(Hl) : yi = DY . Chaque ligne de (LI) est une équation différentielle linéaire du premier ordre Yi =Âi Yi
+ Ciet)
dont la solution générale s'écrit:
'if
tE I. Yi =[3i
èt+
'Yi (t)
La solution générale de (L) s'obtient par X = pY.
Remarques 1)
En notant CI, C2, ... ,Cn les colonnes de P (ou vecteurs propres de A), la solution générale de (H) s'écrit: t r-+[3l e'" t CI + [32 e"2 t C2 + ... + [3n e"" t Cn
2)
Il est visible que l'ensemble S(H) des solutions de (H) est un espace vectoriel de dimension n (formé de fonctions de classe eX)
3)
Noter que la résolution du système (H) peut se faire pour I =R et qu'elle n'exige pas le calcul de p-l.
4)
L'ensemble SeL) des solutions de (L) est un sous-espace affine de direction S(H).
5)
Dans le cas où
iii = IR. et A
diagonalisable dans Jln
elu.
Jln.l (X» de
C::::).
Si X est une solution de (L) à valeurs dans Jln.l C::::l,les applications Rerx) et Im(X) (obtenues en considérant les applications parties réelles et imaginaires de chaque ligne) sont solutions de (L) à valeurs dans Jln.l (::2). 6)
Pour tout (ID,Xo) E Ix Jln.l (l
[X] zY
=
et
bl [al] cr
+ e2t [ta2 toz 03 tcz ++ Cs as]
Chapitre 10:
•
357
Equations différentielles Compléments
00 dètocmtoe
a, , b; , c, poo, q"'
t ~ e'
bl
On est conduit au système
=
-al
[E] +
2bl
,ott ,,' """ +
2q
{alel == -al 2bl ++ 2q bl + 3el dont la solution générale est al = 2 À , bl = 0 ,
•
L'écriture précédente met en évidence une base de (H).
•
On retrouve le résultat de la première méthode en posant: À=~Yo+ZO
c'est-à-dire
,
~ Résoudre le système différentiel L/'/
Yo = v
,
ZO = À + v.
YIl = 2x+2y+ { Xii 3x + y + ete2t
Le polynôme caractéristique de la matrice A = [~ Les calculs de diagonalisation donnent: p =
v=Yo
.r/
exemple 7,
•
q=À
1-L=-X()+2ZO,
I-L+2 v
X() = 2 À -
de (H)
[1-2 l' 1]
p-l
= ~3
~] est
2 -1] 1 [1
A une solution (x, y) sur ~, on associe les applications
T2 - 5T
+ 4 = (T - l)(T - 4)
p-1AP = [~ X = x - y
et
~]
Y = 2x + y (d'après
les lignes de p-l). Ainsi, (X, Y) est solution du système (formé d'équations différentielles) :
4Y+ +et2et + e2t {XIIyll = =X _ e2t
X La solution générale est
= aet + be-t + -tet __ e2t 2 3
{IlY = ce2t + de-2t
i 1
On conclut à l'aide des relations {X
t 2 + 4e2t - set
= S(-2X -(X + Y) + Y)
y =
avec (a, b, e, d) E ~4.
358
Précis d'Analyse
Il
D. Equations Linéaires scalaires d'ordre deux
Il s'agit des équations différentielles: (L) : Xii + a(t)xl + b(t)x = c(t)
(H) : Xii + a(t)xl + b(t)x = 0
où a, b, c sont des applications continues de l dans
K la fonction inconnue (de la variable
K
à valeurs dans
t) étant
Remarque Nous nous proposons ici de préciser les propriétés de ces équations en liaison avec l'étude des systèmes différentiels. Le cas des équations à coefficients constants a été traité en Analyse 1.
l,
Système différentiel
Avec E
d'ordre
un associé
= 1K2,éventuellement identifié à e:
JL2.1 ([Ii), on dispose de la bijection:
C2(I, IK) ~ CI(I, E).
x
r--i>
X = [:1]
Aux équations différentielles (L) et (H) correspondent les systèmes différentiels:
(LI) : Xl = A(t)X + B(t) où
A:I~'i(E),tr--i>
-~(t)] ,
[-~(t)
(Hl) : Xl = ACt)X B:I--+E,tr--i>
[c~t)]'
Théorèmes: t.6
Théorème
de Cauchy-Lipschitz-linéaire
Pour tout (ta, X() , xb) E Ix 1K2,il existe une solution de (H» au problème de Cauchy en ce point.
1
lIE'
unique
sur l de (L) (resp.
Le théorème 1 assure l'existence d'une solution F de (LI) ou de (Hl): vérifiant
F( ta) = [:~].
Par la bijection réciproque de e, on obtient une solutionf de (L) ou de (H): vérifiant
F E CI(I, E)
f(ta)
= X{J.f(t{j)
= xh·
f
E C2(I,
IK)
o
Désormais, on entend par solution de (L) ou de (H), les solutions sur l'intervalle l de définition de ces équations.
t. 7
Structtlréd,es L'ensemble
solutions
de (L) et de (H)
S(H) des solutions
sion 2 du IK-espace vectoriel L'ensemble SeL) des solutions direction S(H).
lIE'
Conséquence du théorème 2.
de (H) est un sous-espace vectoriel
de dimen-
C2([. :
t + 2y ch t = 0
ch t
sh t
x
a-t- + b-.-t
ch t
sh t + b-t-
=
t f-'> a-tsh t
(a.b)
E
b-t-,
exemple 9
I~)
forme t f-'> Itl"', CiE R 2) Trouver En déduire résolution de (L) : t2:/1différe.ntielle 20/ + 2x =(H,) t4 cos t - -1. 2e x les la solutions de l'équation : t2x//
•
1)
1
-
+ 2x =
0 de la
(H) est une équation d'Euler. Elle vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-
linéaire sur les intervalles
Il
=J -
x,
O[ et
h =JO. +x[.
Il
Chapitre 10:
361
Equations différentielles Compléments
On trouve que sur chacun de ces intervalles, les solutions de la forme suggérée par l'énoncé sont t tl et t 1t12. On en déduit que les fonctions hl : t solutions de (H) sur IR (et a fortiori sur h et 12)' è--3>
2)
è--3>
1
è--3>
t et h2 : t
è--3>
t2 sont
La méthode de superposition des solutions, (voir Analyse l, chapitre 11, propriété 9), peut s'appliquer avec pour seconds membres L'équation (LI) associée à
CI
=
-1 et
= t4 cos t.
C2
q admet sur !}~ la solution t
1 -"2'
è--3>
Pour l'équation (Lz) associée à c2, appliquons la méthode de variation des constantes. On trouve Pour tout
1
f
hl ~ h2/ = t2. h~
E C2(Ik'
f = uhl + Vh2
,1' =
1 ou 2,
k =
IR),
uh~ + v~
etf
il existe un unique couple (u, v)
E
CI(Ik'
IR)
tel que
est solution de (Lz) sur 1k si et seulement si :
tul + t2d = 0
ul + 2td = t2 cos t
,
On en déduit successivement: ul = - t2 cos t
d = t cos t
u = - t2 sin t - 2 t cos t + 2 sin t +
À
= 2tsin t - t2 cos t+
f(t)
v = t sin t + cos t +
,
t+
À
fL
fL
t2
1 D'où les solutions sur 1k, k E {1, 2} : t
t+
è--3>À
fL
t2 -
"2
+ 2t sin t - t2 cos t.
On pourra vérifier que ce sont aussi les solutions sur IR. Donc l'ensemble des solutions de (L) sur
IR
est aussi un sous-espace affine de dimension 2 de
C2(1R, IR),
ce que ne permet
pas de prévoir le théorème de Cauchy-Lipschitz.
exemple 10 Soit!
un intervalle
de IR, p E CoU, Ili), q E C°(I, [k;), (E) :
1)
Soitf une solution non nulle de (E) sur 1, montrer lest fini (éventuellement vide) ou dénombrable.
2)
Soitf
et 9 deux solutions
•
1)
que le système
Cf,
Montrons que Z = {x E 1/f(x) Supposons Z ,,=0 et soit
XO
~ py + qy = O.
que l'ensemble
f
9 (x) g~X)1
x = ~((X))
1, WCf, g)(x)
1
= 0
g) est lié .
= O} est vide ou formé de points isolés. E Z (donc f(O)
= 0). Si
XO
est point d'accumulation de Z, il
existe une suite (Zn)è\j de points deux à deux distincts de Z telle que alors:
fl() XO =
des zéros de
de (E) sur 1 telles que:
'if XE
MQlltrer
~t+
XO
= n-++co lim Zn et on a
l'lm f(zn) ----- - f(xo) n-dCO Zn - XO
Ainsif(xo) = o,1'(XO) = 0 et par unicité pour le problème de Cauchy en xo,f qui est exclu. Le point XO est donc isolé. On en déduit que pour tout intervalle compact
[a, b] cI,
Z ()
l
(en effet, s'il était infini, il admettrait un point d'accumulation Bolzano-Weierstrass, et par continuité def
sur [a, b] cI,
est nulle, ce
est fini (ou vide). XO
d'après le théorème de
on auraitf(xo)
= 0)
Or 1 est réunion finie ou dénombrable d'intervalles compacts [a, b], donc Z () 1 est dénombrable ou vide.
362
Précis d'Analyse
Il
2)
•
Premier cas: I est un intervalle compact [a, b] Si Z Îl I est non vide, il existe une subdivision (ale)ooSleoSn de [a, b] (ao = a, an = b) telle que Z Îl I c {aic/O ~ le ~ n}, 1
!l - j-
Sur Ile = ]ale, alc+l[, 9 est solution de Par continuité de 91 etf
j
y = 0
d'où
9 = Ale j, (AIeE IK).
en ale, on obtient AIe-l f (ale) = Ale f(aiJ
étant non nulle,f(O) = 0 exige f (ale)
1=
pour tout
le E
n-l]
[1,
0 donc AIe= AIe-l
Ainsi il existe AE IK,\;/ le E [0, n - 1], AIe= 1 Ce résultat est évident si Z Îl est vide.
d'où
9 = Aj.
I
•
Cas général Le premier cas montre qu'il existe AE IK tel que, pour tout [a, b] E
l, 9
sur [a, bl
= Aj
Il en résulte clairement 9 = Aj sur I.
II - Equations non linéaires Théorèmes de Cauchy - Lipschitz Théorèmes:
t.g
Théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre un Soit il un ouvert de etj : il--;-[R; une application de classe el, Pour tout point C\'{), yo) de il, l'équation différentielle d'ordre un (E) : yi =j(x, y) admet une unique solution maximale I -"2 vérifiant 'P (X{)) = yo, l'intervalle I est ouvert.
sin y
Nous venons de montrer que toutes les solutions maximales sont définies
Solutions constantes de (E)
Yk:
R-IR, x
>-'>
k'17
(k E Z).
Pour toute autre solution, sin y ne s'annule pas, (les courbes intégrales sont deux à deux disjointes, cf. Remarques 2) ). Chaque courbe est tracée dans une bande: k 2)
Comme
cpl
(-x) = sin
cp (-x)
= sin
['17 -
'17< Y < (k
cp (-x)]],
+ 1)
'17.
la fonction e : iR1-1R, x
>-'>
'17 -
cp (-x)
'17
est aussi solution de (E) et vérifie e (0) =
2"'
L'unicité d'une telle solution exige e = cp.
364
Précis d'Analyse
D'après
à valeurs
1), la fonction cpest
dans
_______________________ Til~
]0,7T [.
_
D'où le calcul: cp 1
tntan2
(
cp(x) = 2 Arctan
Le point A Soit
u
montre qu'il existe a
E
IR tel que
Par unicité pour le problème
\[F
•
si p est impair (p = 2k + 1), iS,±"
a T + 2k
tel que
E ~
(a) = p
\[F
=
c]p
(p + 1)
7T
cp(x).
-
\[F
(IR)
TI,
7T [
et le calcul
+ ;.
TI
x
est la fonction
courbe
\[F
f-i>
2k
TI
+
x
f-i>
2k
est la fonction
Cf
(x - a), TI
+
TI -
Cf
(x - a).
de \[F, se déduit de '€, soit dans une translation
intégrale
soit dans le produit d'une translation
TI ),
cp (-x)
de Cauchy:
si p est pair (p = 2k),
vecteur
x
iS.
de
p
il existe
•
On en déduit que
pour u> 0, on obtient
est centre de symétrie
7T)
une solution quelconque,
\[F
iS
o
2 - Arctan
2
0,
)1
7T
Li =
(
tntan2=x
eX
1 Avec Arctan
3)
cp
CP.
1= sincp =
de vecteur
a T + (2k + 1)
de
'Ti )
par rapport à Ox.
et de la symétrie
exemple 12 Décrire
les courbes
La fonction
Arcsin
intégrales
: [-1.
de CE) :
1] ~
-
•
['Ti
] -
1, 1[. Le signe de Arcsin.\.y (E) : yi = f(x,
Ecrivons
Y
2' 2
= Arcsinxy
est continue,
bijective.
impaire,
de classe
'Ti]
est celui de
e
1
sur
xy.
: D-IR, (x, y)
y) avec f
.
A.rcsin.\.y,
f-i>
D étant l'ouvert de }il'" défini par
Ixyl < 1. Le théorème
de Cauchy - Lipschitz
Pour tout (XO, Yo)
s'applique
if
est
D, il existe une unique solution
E
el
sur D).
maximale:
ç : J -2, vérifiant
Cf
(XO) = Yo,
J est ouvert. 1) La fonction
nulle est solution
autre solution Soit cp : J
ne s'annule
sur J (symétrie \[F:
x
f-i>
-J = {x Si de
° Cf
E
cp(-
par rapport
x)
E IR
I-x
\[F
E Cf
I}
.~. /'-. -_/()~'"
par rapport à
2) ).
lf\
O. ç (0)),
)
01
'.
1
Ox) .
est paire; en effet. les courbes
ont un point commun
T
-.
sur - J, avec
y.
~
4) ).
(Oy).
(symétrie
co'rncident donc (Remarques
À.
alors - cp est solution
à
est solution
J, la fonction
et de
pas (Remarques
l'une d'elles;
....-,.IR
de CE) sur 2. Toute
elles
,,! "~
x';
0 et t2 : x f-'> 1 sont solutions de (Et) (donc (E) admet les solutions YI : x f-'> 0 et Y2 : x f-'> x qui sont définies sur IR). Pour toute autre solution, toujours d'après le théorème de Cauchy - Lipschitz, t(l - t) ne s'annule pas, le calcul se poursuit: e e tl x = t(l - t) = T + t
1
1-
t il existe un réel
À
1_ t =
non nul tel que
x 1\
x t = x+
donc
À'
Distinguons les trois cas possibles:
t 0 < t < 1, 1 _ t =
L)
:
M)
:1< t
x 1\ x
t , -t - 1 = - /-L
-t
x avec
À>
0 ,
t = x+
avec
/-L>
0,
t = ~x-
À
YI..
x2 = x+ À
YiL
= --
x
i =]0,
x2 /-L
1=]
x-
/-L
x x x2 N) :t
= 0,
-y(-x)
0
+x[
I=]O,v [
x-
Les fonctions YI.. et Yv admettent un prolongement dérivable tangente en à Ox).
/-L,
+oo[
= 0 (courbes par
se raccordent avec une
5) 6) Synthèse et courbes intéqrales 2
y
Dessinons l'hyperbole y = ~1 xdont les branches sont des courbes intégrales. Cf:;
:
A une homothétie de centre (E) sont:
sur
IR,
x
f-'>
0 ,
sur] - 00, 1[,
0 près, les solutions
X f-'> X , X f-'> {
x
f-'>
~,x x -2
f-'>
oX ~ si1x?si 0 x
~
maximales de
0
x2 si 0 0~ x ~ 1 {O-si x ~ x-1
x2 x_ 1
x
sur ]1, +00[, x f-'> 7) Résolution du problème de Cauchy Soit Mo = (XO, Yo) un point du plan. Si XO =
yO "*
0, Mo est sur la droite
y
= x, seule courbe intégrale passant par Mo.
Cherchons où doit se trouver Mo pour qu'une fonction de Cauchy en Mo. Les conditions sont: x5 Yo = --
et
0
0
370
Précis d'Analyse
1/
Exercices-types Ex. 10.6
10. 1
Soit q E
+x[,
CO([O,
IFR)
telle que
(E) : yi = ~ + x. Courbes intégrales.
rx
Iql
.10
Dessiner le lieu des points à tangentes horizontales et celui des points d'inflexion.
1)
converge.
1)
f étant une solution bornée sur [0, +x[, de (L) : !JI + qy = 0, étudier limf. +,x
2)
2)
Dans chaque région délimitée par les courbes précédentes, indiquer le signe de yi et de !JI.
Montrer que (L) a des solutions bornées. 3)
En déduire le tracé des courbes intégrales.
Ex. 10.2
Ex. 10. 7
Résoudre l'équation différentielle (H) : X2!J1
4xyl
-
+ (x2 + 6)y = O.
(E):
Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des solutions sur IFR ?
x+ Y x-y
1
y = --.
la solution maximale vérifiantf(O) En déduire les autres solutions.
Trouver
= O.
Reconnaître les courbes intégrales.
Ex. 10.3
Ex. 10. 8 Soit A la matrice
o 4
0 2
2
4
0
(E) : _,-yi = 1 -
0
[4o 20 20 40]
2)
Déterminer les solutions maximales définies sur cLS:.
l
3)
dx dt =AX
En déduire toutes les solutions de (E).
(1)
Ex. 10.9
Calculer exp A.
2)
Ex. 10.4 Soit
Symétrie des courbes intégrales.
Résoudre le système différentiel
1)
(E) : yi + .'-y + y2 = O.
--'7
y(-x).
Multiplier les deux membres de (E) par yi
2
et vérifier que la suite (an)i\j est bornée.
2)
Appliquer le théorème de Cauchy - Lipschitz d'ordre deux.
Etudier la fonction
372
Précis d'Analyse
Il
Solutions des exercices-types 1)
Pourtoutx~O,onaf(x)=f(O)+
rfl=f(O).Jo
Posons M = Iif II~:+:;O[,alors, V x
E
donc la convergence de 1+00 Iql
donne celle de
et il en résulte que
t"
lim+ cc' Jo
x----:-
[0, +00[,
Si e était non nul, on aurait Donc e= liml = O. +cx:.'
1
q(x)f(x)
. 1
l+x
'-S
x.!.i:~"0
=f(O) +
.fox
l
L'ensemble @L des solutions bornées de
M Iq(x)1
Iqfl ,
e= lim, +CX)
existe, donc qu'il existe
qf
Notons maintenant que V x ~ OJ(x)
2)
rqf .Jo
l.
rl.
.Jo
= ±oo (avec le signe de e) etf
L est un sous-espace
serait non bornée.
vectoriel de SeL).
Si YI et Y2 sont deux éléments de (@Û on a YI Y2 - Y~ YI = 0 c'est-à-dire (Y~ Y2 - Y~ YI On en déduit que YlY2 - Y2Yl est constante sur [0,
+x[,
i = O.
or d'après le 1), lim +x Y~Y2 - Y~Yl = 0,
donc cette constante est nulle. Ainsi, on a sur [0, +00[, Y~Y2 - Y~Yl = 0 et le couple (YI, Y2) est lié. On en déduit dim @L'-S 1, donc SeL) \:zAL est non vide, c'est-à-dire qu'il existe des solutions non bornées. Ex. 10.2 L'équation (H) vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire sur les intervalles
h
= ] - 00, O[
et
I2
= ]0, +00[.
Chacun des espaces Sle(H) : ensemble des solutions de (H) sur Ile, (k = 2. Cherchons les solutions développables en série entière. Soit
L
1ou 2), est de dimension
anxn une série entière de rayon p> 0 et de somme f.
n~O
f
est solution de (H) sur ]-
p, p [ si et seulement si :
+x V X
E]-
p, P [,
L(n
+x
- 2)(n -
3)anxn
+
L
n=O
donc si et seulement si ao = 0, al = De la relation
v
° et V n ~
4,
(n - 2)(n -
3)Œn + Œn-2 = 0 (d'L).
on déduit: p= +00 et
(d'L) \-1
anXn = 0
n=O
n ""~ 1,
_ (l)n-l -
Œ2n -
(2nŒ2_
_
2)1
Œ2n+l -
(l)n-l -
(2nŒ3-
l)!
Il en résulte que les solutions développables en série entière sont les fonctions: f =Àfl + fl.f2 +X'
avecfl(x)
(À, fl.) E
= '\"" L...,.(-I) n-l (2nx - 2)'; = x 2 cosx
=1
chacun des couples (1l!hJ2IIk)'
lRP
+:c
2n
(k =
,
'. f2(X)
=
'\"" L...,.(-I).n-l
=1
2n+l
2n-
(1 X
. 1). = X 2 smx
1ou 2), est libre et constitue donc une base de Sk(H).
Ainsi Sle(H) est l'ensemble des fonctions x f-'>À,..? cosx+
fl.
x2 sinx
(À. fl.)
E :;;g2.
Chapitre 10:
373
Equations différentielles Compléments
On vérifie facilement que toute fonctionf f(x) =À. x2 cosx+ est solution sur R
x2 sinx
fL
telle que:
si x "" 0
L'espace SIR(H) des solutions de (H) sur
IR
, f(x)
=À.I
x2 cosx+
fLl
x2 sinx
si x ~ 0
est donc de dimension 4, une base en est Cfr,J2,JS,J4)
avec:
fl(X)
= x2 cosx si x "" 0, fl(X) = 0 si x ~ 0, f2(X) = 0 si x "" 0, f2(X) = x2 cosx si x ~ 0
fs(x)
= x2 sinx si x "" 0, fs(x) = 0 si x ~ 0, f4(X) = 0 si x "" 0, f4(X) = x2 sinx si x ~ 0
1)
Xs Xs = 2XI + 4xs Posons X = [~~]. Le système (1) s'écrit: { x~ = 4XI + 2xs X4 Le système (1') est équivalent à:
= =
{Xlxl -+ X3 Xs
On en déduit et
6(XI -+ xs) 2(XI xs)
u = ét
= ex e6t +
Xl
v = fL e2t
À.
[3
e2t
,
Xs
= ex e6t~
On a de même pour le système (1") 2)
d == 2v 6u
c'est-à-dire
{ Ul
(avec
u = Xl
+ Xs , v = xl - xs)
(À., fL) E 1R2 [3
e2t
(ex,
[3) E 1R2.
X2 = 'f e6t+ 8 e2t , X4 = 'f
ét_
8 e2t
La solution du système (1) aux conditions initiales Xl (0), X2(0), xs(O), X4(0) s'écrit:
on en déduit
10.4 1)
(H)
Posons
cpl
(0) = A
E
.Mn(lR) ; la fonction vectorielle
n2 sur (1) et vérifie de plus
.Mn (IR) (de dimension cpl
=A
cp
IR), cp
cp,
à valeurs dans l'espace vectoriel
est solution de l'équation différentielle linéaire et homogène
(0) =
ln.
On sait qu'une telle équation différentielle admet une solution unique, pour les conditions initiales imposées, de la forme
cp:
x
f-c>
exp(xA).
D'après les propriétés de l'exponentielle de matrices
\j
(x, y) E 1R2, exp (x + Y)A) = exp(xA) exp(yA) La proposition (ii) en résulte.
(voir
et
chapitre VIII), on a : exp(xA) E 52n (IR).
374
Précis d'Analyse
Il
2) On a, pour x E 1R1: 0 et ni: y l, tracée dans n et posons
Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur chaque ouvert Notons y : l
Sur
l
ou
---+[R;
la solution maximale de (E) vérifiant y(ü) =
l =l
ll, la fonction t : x d = (xt/
donc
il
existe
j.,l
l
II = l (1]0, +x[
,
!t x est dérivable, le calcul donne:
= xtl + t =
1+ t 1_ t
1
1+ t
2
xt=l_t
1 1-t.e2
- =
x
1+ t
et Àll réels non nuls tels que:
Ile pourxE
---+
(1] - 00, O[
:x=À
Arctan
t
--~-VI + t2
eArctan t
et pour
x
E
II : x = ÀII ~ 1+ t2
donc ÀI
Û
ÀII=e-~
Exprimons la solution sous forme paramétrée à l'aide de 6 = Arctan t. TI
En notant que y - x > 0 donne, pour x < 0, t < 1 donc TI
TI
-2
--+
À y ( ~)
est solution de (E) sur
X
lÀ = {x E lM / >:. E I}, en particulier x >--+ -y( -x) est solution sur par symétrie par rapport à O. de l'étude sur
n
La frontière commune de
n et ni est la droite y
-l
=L
l,
l'étude sur
fi se déduit
= x, lieu des points à tangentes verticales des courbes
intégrales (pas de raccord possible). Noter que le lieu des points à tangentes horizontales est y + x =
O.
Chapitre 10:
377
Equations différentielles Compléments
Ex. (E) est une équation à variables séparables.
1)
Notons l'existence de deux solutions constantes sur Si Y est solution de (E) sur J, z : x 2)
La fonction]
1-
y) --yx
: (x,
Pour tout 'P (X(J)
Pour
=
est de classe CI sur
(X(J, YO) E
n,
n, à
y =
1
et y =
est solution sur J' = {x
2
f-'>
- Lipschitz s'applique, sur
y( -x)
f-'>
!FR:
n = !FR: x 1
l'équation (E') : y' = ~.
-1.
E!FR / -
!FR,donc
X E
I}.
le théorème de Cauchy
2
x
il existe une unique solution maximale de (E')
'P: J -+!FR vérifiant
Yo
=
YO
(ou
1
il ne peut s'agir que des solutions constantes (restreintes à
-1),
, une telle solution, alors
-+!FR
Dans le cas ~
les
1ou -1.
autres solutions ne prennent donc jamais la valeur Soit 'P: J
!FR:);
1
~
1- 'P
= -
x
1
et
1, il existe
1 +1 =en-x -en-2 'P-1 tel que:
et
f-L
Les solutions non constantes de (E') sont donc: (1) : ] f-L,+oo[ -+IFR, x
f-'>
-2--2 x-f-L x2+f-L2
-
avec 'Pl (x) = -2--
= 'P2 (x)1\
avec 'P2 (x) = x2-1 x2 +
= 'Pl
(x)f-L
y
x-1 x2+1
définie sur ]1, +oo[ x2_ (2) : ]0,
+00 [-+
(3):
f-L
x
IFR,
~X
f-'>
+
À2 1\
x2+ f-L2 ]0,
[-+IFR, X f-'> ~
x-f-L
définie sur
= 'P3
-
(x)
avec 'P3 (x) = ~
1
xx2+1 - 1
f-L
--n----i~--nn---~
]0, l[ (3)i:
3)
Les solutions maximales de (E') définies sur X f-'> y(
-x).
J c!FR"'-- se déduisent des précédentes
par
Les courbes intégrales correspondantes sont symétriques des précédentes par
rapport à l'axe Gy. Les solutions maximales de (E) définies sur un intervalle K contenant 0 proviennent du raccord
-1
de 'P2 ( ~) ou 'P3 ( : ) ou y = pour x> 0 et de 'P2 ( - ~, ) ou 'P3 ( pour x < avec en les valeurs y(O) = et 11 (0) = O.
°
°
-1
:,)
ou y =
-1
378
Précis d'Analyse
Il
Sans tenir compte des symétries par rapport à Oy, voici les courbes possibles:
__n n n m
}l ~
_m nm m nn mll ~
x y=-l
---
-1
------------
y
1
x
1
!i
+nn __
o
x
o y=-l
'P3(
-;J
(j;3(~)
ec
,
'P3(~)
ec
ec
'!d-;) ec
Ex. 10, 9 (E) est une équation de Bernouilli. La fonction nulle est solution sur R Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique sur !RiZ: y' = -xy car la fonctionf:
(x, y)
!Riz~R
>-+
J est de classe
-xy -
CI
-
J
sur !RiZ,
Si Y : J ~!Ri est une solution non nulle de (E), alors y ne s'annule pas, De plus, 1
solution sur
-J (symétrie par rapport à 0),
La fonction z = ~ est dérivable x2
On en déduit
(Zl =
Jé2.x
z =À e 2 + e 2 .la(
L'équation (E) peut alors s'écrire
~l)
et vérifie
>-+
-y( -x) est
+ :: + 1 = O.
Y9
y~
y
z' - xz = 1 (équation linéaire),
[2
e-
2 dt .x
Introduisons la fonction 9 : !Ri-1Ri, x
x
>-+
t2
( e- 2 dt . .la
Elle est impaire, croissante, de classe C''' et bornée:
x-+x lim
rx
g(x) = .la
f
/11ÎÏ
e- ~ dt
= \V /2"
g(C)I=
Il
]-V2'V2 ,,-- [
Comme la fonction z : x >-+ e (ÎI. +g(.>::)) ne s'annule pas sur J, suivant la valeur du réel ÎI., plusieurs types de solutions de (E) se présentent, décrivons celles qui sont strictement positives,
Chapitre 10:
Equations
•
avec
différentielles
r:; 2 > 0, on obtient
fL=À - V
SiÀ>~
hfJ-
:
379
Compléments
x
f-7
une solution sur lR1:
·x f1.
•
f2
+.lx e-z
dt
est solution sur 1R1. SiÀ=~
• Si
'
-yr:; 2
° tel que, pour tout x
[0,1], et puisqu'il
E JO, a
L yi (x) > 0
1
J y(1-y2) Y
yl(x)=Vy(1-y2), Sachant que l'intégrale
a=
=1
du Vu(l°Iy (t) >
101 o
En choisissant a= sup{x ~ majorée donc 13=X---;-Œ lim y(x) existe.
,
r --;====-
dt =
yi (t)
Jo
·0 Jy(t)(1-y2(t)) est convergente, on a
aoS;
u2)
0
-----;===du Vu(1-u2)
=a
a.
0 pour tout t E JO, xE}, y est croissante sur [0, a [,
Le théorème de Cauchy - Lipschitz s'applique au point xo =a, Yo aE J (ouvert), y se prolonge au-delà de a. Comme a est une borne supérieure, on a yi (a) = 0, y(a) = Ce dernier point tient à la croissance stricte de la fonction: h: [0, 1J -
IoY(Œ)
.
[0, a], Y ~ X = h(Y) =
=13,y~ = Vf3 (1-
1et a=
(32)donc
a.
jyo Vu(1du
_ u2)
1 dérivable sur JO, 1[: hl (Y) = \ /
Y(l-
y2) ; h est une bijection.
Ainsi, pour x E [0, a], y(x) est donné par x =
loyiX) o
----==== du u2) Vu(1-
= h y(x)
()
autrement dit
y(x) = h-l(x). Ay
~····~i~·····~ 10
a
2a
x
La fonction y est désormais connue sur [-a, a] (y est paire). Elle se prolonge au-delà puisque (E) a une solution au point C'CQ = a, Yo = 1, Yo = 0). La fonction z : x ~ y(x - 2a) est solution de (E) (équation incomplète en x) , elle vérife = yl(-a) = O. z(a) = y(-a) = y(a) = 1,i(a) Par unicité du problème de Cauchy en (xo. Yo. y~) = (a. 1, 0), les fonctions y et z sont identiques: y(x) = y(x - 2a). Ainsi y est définie sur ~ et de période 2a.
