Physik für Mediziner

Physik fur Mediziner

Vorlesungsskriptum C. Wilke & T. Klinger

Intitut fur Physik der Ernst-Moritz-Arndt Universitat zu Greifswald September 1999

1

Aufbau der Vorlesung

Aufbau der Vorlesung 1

Mechanik

1.1 Messen physikalischer Groen . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung . . . . . . 1.2.1 Die Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Die Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Von Translation zur Rotation . . . . . . . . . 1.3 Mechanik des Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Die Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . 1.3.2 Krafte und Felder . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Arbeit, Energie und Leistung . . . . . . . . . 1.3.4 Kraftsto und Impuls . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Erhaltungssatze fur Energie und Impuls . . . 1.4 Der starre Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Statik des starren Korpers . . . . . . . . . . . 1.4.2 Dynamik des starren Korpers . . . . . . . . . 1.4.3 Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Die Corioliskraft als Tragheitseekt . . . . . 1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen . . . . . . . . 1.5.1 Chemische Bindungen und Aggregatzustande 1.5.2 Deformierbarkeit fester Korper . . . . . . . . 1.5.3 Harte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Mechanik der Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Ober- und Grenz ache . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Druck und Hydrostatik . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Schallwahrnehmung . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4

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4 5 5 5 5 6 7 7 10 11 12 12 13 16 18 20 21 21 22 23 24 24 26 28 32 32 35 38 38 39 41

W armelehre

40

2.1 Temperatur- und Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2

Aufbau der Vorlesung

2.2 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Feste Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Warmemenge und Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . 2.4 Phasenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Phasenkoexistenz: Dampfdruck und Verdunsten . 2.4.2 Das Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Die Hauptsatze der Warmelehre . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Der 1. Haupsatz der Warmelehre . . . . . . . . . 2.5.2 Carnotscher Kreisproze . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Der 2. Hauptsatz der Warmelehre . . . . . . . . 2.5.4 Der 3. Hauptsatz der Warmelehre . . . . . . . . 2.6 Warmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Warmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Warmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Diusion und Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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Elektrizit at und Magnetismus

3.1 Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stationarer Strom u . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der elektrische Strom . . . . . . . . 3.2.2 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . 3.2.3 Die Kirchhoschen Regeln . . . . . . 3.3 Magnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Elektromagnetische Induktion . . . . . . . . 3.5 Wechselstromlehre . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Schwingkreis und Resonanz . . . . . 3.6 Grundzuge der Elektrodynamik . . . . . . . 3.6.1 Die Maxwellgleichungen . . . . . . . 3.6.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . 3.7 Mechanismen des Ladungstragertransportes 4

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41 41 42 42 43 46 47 49 50 50 51 52 53 53 53 53 54 54 57

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57 62 62 63 64 66 71 74 77 78 78 78 80

Optik

82

4.1 Lichtmegroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Energetische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82

3

Aufbau der Vorlesung

4.1.2 Photometrische Groen . . 4.2 Geometrische Optik . . . . . . . . 4.2.1 Lichtausbreitung . . . . . . 4.2.2 Brechung und Re exion . . 4.2.3 Spiegel . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Linsen . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Das menschliche Auge . . . 4.2.6 Mikroskop . . . . . . . . . . 4.3 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interferenz und Beugung . . 4.3.2 Polarisation . . . . . . . . . 4.3.3 Dispersion . . . . . . . . . . 4.3.4 Extinktion . . . . . . . . . 4.4 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Funktionsprinzip . . . . . . 4.4.2 Medizinische Anwendungen 5

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Atom- und Kernphysik

5.1 Einige Schlusselbeobachtungen . . 5.1.1 Rutherfords Streuversuche . 5.1.2 Linienspektren . . . . . . . 5.1.3 Radioaktivitat . . . . . . . 5.1.4 Franck-Hertz-Versuch . . . 5.2 Atommodelle . . . . . . . . . . . .

83 85 85 86 89 92 96 97 100 100 104 107 107 108 108 112 113

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113 113 114 115 116 116

Mechanik

2

1 Mechanik 1.1 Messen physikalischer Groen Physikalische Groen werden nach einem einheitlichen Schema aufgeschrieben, z.B.3.5km 3.5

"

k

"

m

"

Zahlenwert Vorsatz Einheit Zahlenwert, Vorsatz und Einheit sind formal ein Produkt (\3.5 mal 1000 mal ein Meter"). Die nachsten beiden Tabellen stellen die Einheiten der sieben Basisgroen und die wichtigsten Vorsatze zusammen: Basisgroe Lange Zeit Masse Temperatur Stromstarke Stomenge Lichtstarke

Einheit Meter Sekunde Kilogramm Kelvin Ampere Mol Candela

Symbol m s kg K A mol cd

Vorsatz Symbol Faktor nano n 10-9 = 1=1000000000 mikro  10-6 = 1=1000000 milli m 10-3 = 1=1000 centi c 10-2 = 1=100 hekto h 102 = 100 kilo k 103 = 1000 mega m 106 = 1000000 giga g 109 = 1000000000

1960 wurde das \Systeme International d'Unites" (SI) international als verbindlich vereinbart. Es baut alleine auf den genannten sieben physikalischen Grundgroen auf.

Langen, Flachen, Volumina, Winkel: Sie bauen direkt auf dem Lagenma \Meter" auf: Lange: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 2 2 2 Flache: 1 m = 100 dm = 10000 cm = 106 mm2 Volumen: 1 m3 = 1000 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 Winkel werden entweder in \Grad" oder im Bogenma \Radian" gemessen.

Zeit: Der Zeitbegri unterscheidet sich in einem wichtigen Detail vom Raumbegri: Jede Wirkung hat eine Ursache (Kausalitat) und die Wirkung zeigt sich stets nach Auftreten der Ursache. Die Zeit ist also eine gerichtete Groe; sie ist irreversibel. Zeit: 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s

1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung

3

1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung

Strecke s

1.2.1 Die Geschwindigkeit

Abb. 1.1: Geradlinige, ungleichformige Bewegung eines Korpers. Die Steigung der Kurve in jedem Punkt entspricht der momentanen Geschwindigkeit zum betrachteten Zeitpunkt t 0.

∆s t’ ∆t

Zeit t


s und lim v = lim
s = ds = v(t 0)
t!0
t!0
t
t dt Die Geschwindigkeit ist generell eine vektorielle Groe ~v. in Formelschreibweise: v =

1.2.2 Die Beschleunigung  Beschleunigung ist die Anderung der Geschwindigkeit pro Zeitabschnitt; in Formelschreibweise:


v = dv = a(t 0) :
t!0
t dt lim

~. (a = Abkurzung von \acceleration"). Auch die Beschleunigung ist generell ein Vektor a

1.2.3 Von Translation zur Rotation geradlinige Bewegung (Translation) Groe De nition Einheit Lange/Weg s m Geschwindigkeit v = ds=dt m/s Beschleunigung a = dv=dt m/s2

Kreisbewegung (Rotation) Groe De nition Einheit Winkel  rad Winkelgeschwindigkeit ! = d=dt rad/s Winkelbeschleunigung d!=dt rad/s2

Tabelle 1.1: Als Analogie wird die Kinematik der Rotationsbewegung formuliert. Im allgemeinen sind alle Groen vektoriell. Soll diese Eigenschaft hervorgehoben ~ ~v; !; ~ ~a. werden, so sind die Groen mit einem Pfeil gekennzeichnet, also ~s; ;

1.3 Mechanik des Massepunktes

4

Oft interessiert man sich fur die Bahngeschwindigkeit einer Kreisbewegung: Die Lange eines Kreisbogen
s ist mit dem Winkel
 uber
s = r

 verbunden, und es ergibt sich fur die Bahngeschwindigkeit (skalar)

d = r ! v = ds =r dt dt





und die Bahnbeschleunigung

d! + dr ! = Winkelbeschleunigung + Radialbeschleunigung =r a = dv dt dt dt





Bahn ∆s

∆φ

Zentrum

r

v

Abb. 1.2: Die Geometrie der Kreisbewegung. Die niten Groen
 und
s lat man im Gedanken beliebig klein werden (Dierentiale d und ds).

~ weist in das Zentrum der Drehbewegung (bei konstanter Der Beschleunigungsvektor a ~ steht auf der Drehachse. Winkelgeschwindigkeit), die Winkelgeschwindigkeit !

) Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung (Abschnitt 1.4). 1.3 Mechanik des Massepunktes Hau g ist es moglich, die Bewegung eines realen Korpers als Bewegung eines Punktes (d.h. eines Korpers ohne Ausdehnung und Volumen) zu beschreiben. Diese Abstraktion vereinfacht die mathematische Beschreibung des Problems erheblich. Eine Kraft F (Abkurzung fur \force") lat sich alleine anhand ihrer Wirkungen (Bewegungsanderung, Verformung) charakterisieren und messen. Auf dieser Idee bauen die Newtonschen Axiome auf.

1.3 Mechanik des Massepunktes

5

1.3.1 Die Newtonschen Axiome 1. Newtonsches Axiom: Ein Korper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen, gleichformigen Bewegung, solange die Summe der einwirkenden Krafte Null ist. 2. Newtonsches Axiom: Die Beschleunigung ist proportional der angreifenden Kraft, ~F = Konstante
a ~;

wobei die Konstante der Masse m entspricht. Wichtige Folgerung: trage Masse = schwere Masse. 3. Newtonssches Axiom: actio = reactio; Die Erfahrung zeigt, da, wenn ein Korper A auf einen Korper B eine Kraft FAB ausubt, der Korper B umgekehrt auch auf Korper A eine Kraft FBA ausubt. Das dritte Axiom behauptet nun

FAB = -FBA : Die spezielle Relativitatstheorie von Einstein hat gezeigt, da bei Geschwindigkeiten in der Nahe der Lichtgeschwindigkeit das zweite und das dritte Axiom verletzt werden!

1.3.2 Krafte und Felder Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet in skalarer (ungerichteter) Form 2 F = mr1m 2

mit = 6:67
10-11Nm2 kg-2 , der Gravitationskonstante. Die Einheit von F ist Newton: N=

kg
m s2

1.3 Mechanik des Massepunktes

6

Abb. 1.3: Einen bahnbrechender Versuch (1798) zum Nachweis der Gravitationskraft stellte seinerzeit die Cavendish-Waage dar.

Erdanziehungskraft: Setzt man fur m2 die Erdmasse und fur r den Erdradius ein, so

erhalt man die Gravitationskraft (Schwerkraft) der Erde auf eine beliebige Masse m1 = m. Nach dem 2. Newtonschen Axiom lat sich dann die Erdbeschleunigung idendi zieren:

F = m a mit a = mr Erde = 9:81 m=s2


Erde

Schwerefeld: Ein wichtiges, ganz allgemeines Konzept ist die Einfuhrung des Feldes:

Ein Feld ist dadurch ausgezeichnet, da jedem Punkt des Raumes, den das Feld ausfullt, eine bestimmte physikalische Groe zugeordnet ist. Das { skalare { Schwerefeld ordnet den Raumpunkten eine bestimmte Gravitationskraft zu. Andere Beispiele: Elektrisches und magnetisches Feld (vektoriell), Luftdruckfeld und Temperaturfeld (skalar).

Schwerelosigkeit: Um einen Zustand der Schwerelosigkeit, d.h. der Kraftefreiheit, zu erreichen, mu ein statisches oder dynamisches Gleichgewicht herbeigefuhrt werden.

Unter einem Gleichgewicht versteht man, da die Summe aller Krafte verschwinden muss. Erdober ache  Freier Fall  Spaceshuttle 

! ! !

Gravitationskraft der Erde = Zwangskraft Gravitationskraft der Erde = Tragheitskraft Gravitationskraft der Erde = Zentripetalkraft

1.3 Mechanik des Massepunktes

7

Harmonische Bewegung: Krafte F, die zu einer Verruckung s proportional sind

F = -k s


fuhren zu einer harmonischen Bewegung. Fur Schwingungsdauer Bewegung einer Masse m gilt die Formel

T der harmonischen

s

T = 2 m k Beispiele sind Feder, Drehschwingung und das Pendel, das jetzt genauer betrachtet wird:

α

Ft

Fr

Abb. 1.4: Das mathematische Pendel { die Gravitationskraft F wird durch ein Krafteparallelogramm in eine Tangential- Ft und eine Radialkomponente Fr zerlegt.

F

I I

Die Radialkraft Fr sorgt fur Spannung des Fadens. Die Tangentialkraft Ft fuhrt zu der periodischen Pendelbewegung. Mathematisch:

Ft = -mg sin 



mg = -mg sl

-

An diesem Ausdruck kann man k = mg=l ablesen. Dies in den o.g. Ausdruck fur die Periodendauer einer harmonischen Bewegung eingesetzt ergibt ein vielleicht unerwartetes Ergebnis: s s

ml = 2 l ; T = 2 mg g

d.h. die Periodendauer des Pendels ist unabhangig von der Masse m.

1.3 Mechanik des Massepunktes

8

1.3.3 Arbeit, Energie und Leistung

Unter Arbeit W versteht man das Produkt aus Kraft und Weg. Arbeit [Joule] = Kraft  Weg Diese Festlegung mu erweitert werden, wenn die Kraft nicht konstant sondern abhangig vom Wege selber ist, d.h. F = F(s). Dann muss man den Weg zwischen dem Anfangs- und Endpunkt (s1 und s2 ) in beliebig kleine Stucke konstanter Kraft zerlegen und erhalt:

W=

Zs

2

s1

F(s) ds also bei konstanter Kraft W = F s :


WH: Gegen die Schwerkraft wird ein Korper auf Hohe h gehoben. Beschleunigungsarbeit WB: Ein Korper wird langs des Weges s beschleunigt. Verformungsarbeit WF: Eine Feder der Konstante D wird um den Weg s verlangert. Reibungsarbeit WR: Ein Korper wird gegen die Reibungskraft FR um s bewegt.

Hubarbeit

WH = mgh

WB = mas

WF = 12 Ds2

WR = FRs

Unter Energie E versteht man die Fahigkeit eines Korpers, Arbeit zu verrichten. Energie [Joule] = Arbeitsvermogen oder Arbeitsvorrat.

Abb. 1.5: Albert Einstein hat im Rahmen der allgemeinen Relativitatstheorie die vielleicht beruhmteste und folgenreichste Formel der Physik gefun den: E = mc2 , die Aquivalenz von Masse und Energie.

1.3 Mechanik des Massepunktes

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Energiequellen: Chemische Energie, Kernenergie, Fusionsenergie, Strahlungsenergie, Warmeenergie, elektrische Energie, mechanische Energie

$ Umwandlung.

Potentielle Energie: Die Hubarbeit Wh, die an einem Korper verrichtet wurde, wird als potentielle Energie gespeichert:

Epot = mgh Kinetische Energie: Die Bewegungsenergie eines Korpers, der sich (translatorisch = geradlinig) mit der Geschwindigkeit v bewegt ist:

Ekin = 12 mv2 Bei den Begrien Arbeit und Energie spielt es keine Rolle in welcher Zeit sie verrichtet wird. Interessiert man sich aber fur die Schnelligkeit, mit der Arbeit verrichtet wird, so gelangt man zum Begri der Leistung.

Unter Leistung P versteht man das Verhaltnis von Arbeit zu Arbeitszeit. Leistung [Watt] = benoArbeit tigte Zeit . 1.3.4 Kraftsto und Impuls

Abb. 1.6: Sto zwischen zwei Kugeln gleicher Masse (links) und Sto zwischen zwei He-Kernen (rechts). Oft ist die Wirkungsdauer einer Kraft auf eine Masse so kurz, da der eigentliche Vorgang der Beschleunigung nicht beobachtbar ist. Ein solcher Vorgang wird als Sto bezeichnet. Ist die Kraft F uber den Stozeitraum
t konstant, so gilt fur die Geschwindigkeitsanderung
v = a

t. Man erhalt fur den Kraftsto

F
t = ma
t = m
v =
p

1.4 Der starre Korper

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Impuls: Die Bewegungsgroe ~p = m~v heit Impuls. Er ist eine vektorielle Groe. Nach

Einfuhrung dieses Begries lautet das zweite Newtonsche Axiom in seiner allgemeinsten Form:

 2. Newtonsches Axiom: (Neufassung) Die zeitliche Anderung des Impulses eines Korpers ist gleich der Summe der angreifenden Krafte. ~F = d~p

dt

1.3.5 Erhaltungssatze fur Energie und Impuls Energie E und Impuls p sind wichtige Begrie, da sie Erhaltungsgroen darstellen: p3 WReibung p

2

pges

E pot

E ges

E kin

p

1

Abb. 1.7: Impuls und Energie sind Erhaltungsgroen. Der Gesamtimpuls setzt sich vektoriell aus seinen Einzelbeitragen zusammen. Die Gesamtenergie als Betrag ergibt sich aus der kinetischen und der potentiellen Energie sowie der Reibungsarbeit.

Ekin + Epot + WR = Wges : Konst. ~p1 + ~p2 + : : : =

Xn ~p i=1

i

=

~pges

:

Konst.

In einem abgeschlossenen System (es wirken keine aueren Krafte) sind die Gesamtenergie Eges und der Gesamtimpuls ~pges stets konstant, d.h. es kann nur zwischen den Energieanteilen bzw. den Einzelimpulsen umverteilt werden.

1.4 Der starre Korper Bislang wurden Korper als punktformig betrachtet. Das ist naturlich eine Abstraktion, die auf dem Prinzip beruht, da die ganze Masse in einem Punkt, dem Schwerpunkt,

1.4 Der starre Korper

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konzentriert ist. Alle auf den Korper einwirkenden Krafte greifen nur an diesem Punkt an. So einfach lassen sich allerdings nur wenige Korper (z.B. Kugeln) beschreiben. Kompliziertere starre Korper stellt man sich aus vielen Massepunkten zusammengesetzt vor, wobei angreifende Krafte nicht zur Deformation fuhren konnen sollen. Ein paar weitere Betrachtungen sind jetzt notwendig.

1.4.1 Statik des starren Korpers M Drehachse

r

F

Abb. 1.8: Ein starrer Korper (z.B. Erdnu) wird mit einer Drehachse versehen (z.B. Nadel). Fur die Wirkung von der Kraft ~F ist von Bedeutung, welchen Abstand ihr Angrispunkt von der Drehachse hat. Dies fuhrt zum ~. Begri des Drehmomentes M

~ stets senkrecht auf der Kraft ~F und dem AbDas Drehmoment steht als Vektor M

standsvektor ~r. Damit ergibt sich fur das Drehmoment die mathematische Formulierung ~ = ~r ~F ; M 

Drehmoment = Kraftarm  Kraft :

Das Drehmoment bestimmt die Rotationsbewegung. Ganz allgemein gilt fur die Bewegung starrer Korper der folgende Satz:

Jede beliebige Bewegung eines starren Korpers kann man aus einer Translations- und einer Rotationsbewegung zusammensetzen. Krafte und Drehmomente werden durch Vektoraddition zusammengesetzt.

) Krafteparallelogramm

1.4 Der starre Korper

12

Gleichgewicht Ein freier starrer Korper be ndet sich im Gleichgewicht, d.h. im Zustand der Ruhe, wenn er weder Translations- noch Rotationsbeschleunigung erfahrt. Dies ist der Fall, wenn sich alle Krafte und Drehmomente aufheben: ~F1 + ~F2 + : : : =

Xn ~F i=1

i

=

~ 1+M ~ 2 + ::: = 0 und M

Xn M~ i=1

i

=

0:

Wir der starre Korper im Raum xiert (z.B. die Drehachse des Pendels), dann werden alle Translationskrafte ~Fi von der Aufhangung aufgefangen und die Bedingung reduziert sich auf n ~ 1+M ~ 2 +::: = M

X M~ i=1

i

=

0:

Der Massemittelpunkt (Schwerpunkt) eines Korpers bestimmt sich durch die Drehmomente aller Masseelemente , auf die die Schwerkraft wirkt.

Ist die Summe aller Drehmomente aller Masseelemente eines um eine Achse drehbaren starren Korpers fur jede seiner Stellungen gleich Null, so geht die Achse durch den Schwerpunkt. Der Korper be ndet sich dann in jeder Stellung im Gleichgewicht. Der Schwerpunkt kann auch auerhalb des Korpers liegen.

A ri ∆ mi S rj ∆ mj

V

Abb. 1.9: Die senkrechte Lage ist die Gleichgewichtslage des um A drehbaren Korpers. S ist sein eigentlicher Schwerpunkt. Zur Ableitung der Gleichgewichtsbedingung denkt man sich den Korper in kleinste Masselemente mj (links von der Vertikalen V ) und mi ( rechts von der Vertikalen V ) zelegt. Die gepunktete Position ist eine Nichtgleichgewichtslage.

1.4 Der starre Korper

13

Wird ein Korper mit einer Drehachse versehen, so kann keine Translationsbewegung mehr erfolgen. Daher mu nur noch die o.g. Gleichgewichtsbedingung fur die Rotationsbewegung angewandt werden

X
M~ X
m g ~r X
M~ X
m g~r i i i j j j i i i j | {z } | {z } links von V =

=

=

rechts von V

Man sieht, da sich links und rechts die Groe g gerade herauskurzt. Der Korper begibt sich also in eine solche Lage, da die Vertikale V gerade so liegt, da

X ~r
m k

k

k

=

!

0

Z

~rdm = 0 :

Wird der ausgezeichnete Punkt S (siehe Bild 1.9) als Drehachse gewahlt, so ist der Korper  bezuglich Drehbewegungen in einem indierenten Gleichgewicht (d.h. keine Anderung der potentiellen Energie, siehe unten).

Gleichgewichte mussen in drei Arten unterteilt werden:

stabil

indifferent

labil

Der Korper, der durch kleine Auslenkungen aus seiner Ruheposition gebracht wird : : :

: : : verharrt in der neuen Position: : : : kehrt in die Ruheposition zuruck: : : : nimmt eine neue Ruheposition ein:

) ) )

indierentes Gleichgewicht stabiles Gleichgewicht instabiles Gleichgewicht

Im indierenten Gleichgewicht bleibt die Lage des Schwerpunktes unverandert. In einem stabilen Gleichgewicht wird der Schwerpunkt durch die Auslenkung angehoben, in einem instabilen Gleichgewicht dagegen abgesenkt.

1.4 Der starre Korper

14

Ganz allgemein lassen sich die Gleichgewichte uber ein Extremalprinzip de nieren:

Im Gleichgewicht nimmt die potentielle Energie des Korpers einen Extremwert an, d.h. ÆEpot = 0.

Abb. 1.10: Von links nach rechts: Beispiel fur das indierente, das stabile und das instabile Gleichgewicht eines starren Korpers. Dabei ist S der Schwerpunkt, und mg ist die Gewichtskraft. Gestrichelt gezeichnet ist stets die ausgelenkte Lage des Korpers.

1.4.2 Dynamik des starren Korpers Ein rotierender starrer Korper { zusammengesetzt aus Masseelementen
mk { hat durch die Bewegung eine kinetische Energie der Groe

X Ekin = 21
mkv2k : k

Bei der Rotationsbewegung sind die Geschwindigkeiten vk der Masseelemente
mk nicht mehr uberall gleich (im Gegensatz zur Translationsbewegung).

1.4 Der starre Korper

15

A r1

∆ m1

∆ m2

Abb. 1.11: Die Geschwindigkeit der beiden exemplarischen Masseelemente
m1 und
m2 ist proportional zum jeweiligen Abstand r1 und r2 zum Drehpunkt A.

r2

Geschwindigkeit

vk = ! rk


)

kinetische Energie

X X Ekin = 21 mk v2k = 12 !2 mk r2k k

k

Die kinetische Energie der Rotationswegegung eines starrem Korpers ist

X Ekin = 21 J !2 mit J = mkr2k ;


k

wobei als neue Groe das Tragheitsmoment J eingefuhrt wurde. Im Kontinuumsgrenzfall (beliebig kleine Masseelemente
mk ) ist das Tragheitsmoment

J=

Z

V

r2 dm :

Schon in Abschnitt 1.2.3 wurden die kinematischen Groen durch einen Analogieschlu hergeleitet. Die Tabelle 1.1 kann nun erganzt und damit vervollstandigt werden: geradlinige Bewegung (Translation) Groe Symbol Einheit Kraft ~F N Masse m kg Impuls ~p kg
m=s

Kreisbewegung (Rotation) Groe Symbol Einheit ~ Drehmoment M kg
m/s Tragheitsmoment J kg
m2 ~L Drehimpuls kg
m

1.4 Der starre Korper

16

In Analogie zum Impuls ~p ist dabei die neue Groe \Drehimpuls" ~L eingefuhrt worden. Analog zum 2. Newtonschen Axiom ~F = d~p

dt

d~v bzw. ~F = m
dt

erhalt man fur die Drehbewegung das folgende Gesetz:

Das Gesamtdrehmoment der an einen Korper angreifenden aueren Krafte  ist gleich der zeitlichen Anderung des Gesamtdrehimpulses. ~ ~ ~ = dL bzw. M ~ = J d! M dt dt


~ berechnen lat. Eine direkte Folgerung ist, da sich der Drehimpuls nach ~L = J!

m v r

Abb. 1.12: Der Drehimpuls einer mit der Geschwindigkeit ~v rotierenden Masse m (mit festem Drehpunkt) ist durch ~L = m~r  ~v gegeben. ~L steht senkrecht auf ~r und ~v.

Der Drehimpuls ist { wie die Energie und der Impuls bei der Translation (Abschnitt 1.3.5) { eine Erhaltungsgroe, ~L1 + ~L2 + : : : =

Xn ~L i=1

i

=

~Lges

:

konst.,

d.h. in einem abgeschlossenen System ist der Gesamtdrehimpuls stets konstant.

1.4.3 Der Kreisel Ganz allgemein versteht man in der Physik unter einem Kreisel einen beliebigen starren Korper, der an hochstens einem Punkt raumfest gehalten wird, ansonsten aber um eine

1.4 Der starre Korper

17

(momentane) Drehachse rotiert. Kreisel konnen sehr kompliziertes Verhalten zeigen. Die wichtigsten Eekte sind die folgenden:

Figurenachse

Im

pu

lsa

ch

se

Präzessionskegel

ω S

mg

Abb. 1.13: Ein einfaches Modell fur einen Kinderspielkreisel. Ein aueres ~, Drehmoment M fuhrt { neben der eigentlichen Kreiselbewegung { zu einer Prazessionsbewegung entlang eines Kreiskegels.

Haupttragheitsachsen: Zu jeder denkbaren Drehachse eines Kreisels gehort ein

Tragheitsmoment J. Die Achsen, denen das grote und das kleinste Tragheitsmoment zukommen, nennt man die Haupttragheitsachsen. Bei drehsymmmetrischen Kreiseln fallen Haupttragheitsachsen und Figurenachsen zusammen.

~ , das durch die Gewichtskraft m~g auf den Schwerpunkt S Prazession: Ein Drehmoment M

hervorgerufen wird, versucht den Kreisel zu kippen. Dies bewirkt beim Kreisel eine  Anderung des Drehimpulsvektors ~L, was schlielich zu einer Prazessionsbewegung um die Vertikale fuhrt.

Nutation: Fallt die Figurenachse nicht mehr mit der Drehimpulsachse zusammen, her-

vorgerufen etwa durch einen kurzen Schlag, so bewegt sich die Figurenachse um die Richtung des resultierenden Drehimpulses auf einem Kreiskegel. Die Bewegung der  Figurenachse wird als Nutation bezeichnet. Uberlagert mit einer Prasessionsbewegung ergibt sich eine Nickschwingung des Kreisels.

Praktisches Auftreten: Erde, Diskus, Fahrrad, Kreiselkompa, Ultrazentrifuge

1.4 Der starre Korper

18

1.4.4 Die Corioliskraft als Tragheitseekt Die Corioliskraft ist ein Bespiel fur das Auftreten von Tragheitskraften bei der Roation.

Der mitbewegter Beobachter auf einem rotierendem Bezugssytem beobachtet zwei verschiedene Tragheitskrafte, die an an einen Korper mit der Masse m und der Geschwindigkeit ~v angreifen, Zentrifugalkraft Corioliskraft

~FZ

~FC

= =

~ ~r) m(! ~) 2m(~v ! 



Abb. 1.14: In einem Tiefdruckgebiet erfahren die einstomenden Luftmassen auf der Nordhalkugel eine Rechtsdrehung { es bildet sich eine Zyklone. Auf der Sudhalbkugel kommt es hingegen zu einer entgegengesetzt drehenden Antizyklone. Dies ist das Resultat der Corioliskraft. B C

A

ω

Abb. 1.15: Auf einer rotierenden Scheibe bewegt sich ein Korper radial von innen nach auen. Der Tragheit folgend erfahrt er auf seinem Weg die Zentrifugalkraft (in radialer Richtung) und zusatzlich die Corioliskraft (in tangentialer Richtung).

I bewegter Korper auf ruhender Scheibe I bewegter Korper auf bewegter Scheibe

! !

geradlinige Bewegung von A nach B. geradlinige Bewegung von A nach B + zusatzliche Bewegung von B nach C.

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

19

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen Materie in stoicher Form ist ein Aggregat aus einer sehr groen Anzahl von Atomen und Molekulen. Die physikalischen Eigenschaften der makroskopischen Materie sind direkt mit der Natur und der Anordnung der mikroskopischen Atome und Molekule verbunden.

1.5.1 Chemische Bindungen und Aggregatzustande chemische Bindung Ionenbindung Valenzbindung Dipolbindung van der Waals-Bindung metallische Bindung

Stobeispiele NaCl, LiF Si, Diamant Eis, HF Ar, organische Stoe Fe, Na

ein wichtiges Merkmal elektrolytische Leitfahigkeit groe Harte Bildung von Molekulgruppen geringe Harte groe Leitfahigkeit, undurchsichtig

Bedingung fur stabiles Gleichgewicht ist wieder das Kraftegleichgewicht

Fanziehend = Fabstoend

,

Minimum in der potentiellen Energie

)

r0

'

mittlerer Atom-/Molekulabstand.

Abb. 1.16: Links ein typisches Beispiel fur ein Makromolekul, die beruhmte Desoxyribonukleinsaure (DNS). Sie besteht aus zwei antiparallelen Wendeln, die aus einer Reihe von Zucker- und Phosphatgruppen aufgebaut sind. Wie einfach ist dagegen der Kochsalzkristall (NaCl) rechts aufgebaut!

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

20

Die vier Aggregatzustande der Materie sind durch die Temperatur bestimmt:

Festkorper Flussigkeit Ordnung

Struktur

Formbestandigkeit ja

ETh

Energie



Gas

Plasma

Nahordnung keine

keine

schwach

keine

EBdg ETh EBdg '

keine

ETh > EBdg ETh

300K



EBdg

100000K

Temperatur

1.5.2 Deformierbarkeit fester Korper Bis zu dieser Stelle wurde ein Korper als starr angesehen. Tatsachlich sind alle Korper deformierbar, d.h. sie verandern sich durch Einwirkung einer aueren Kraft F in ihren Abmessungen und ihrem Volumen (Lange l  Ober ache A). Dehnung

 =
l l

Spannung

 = AF

Spannung

σ C´ C

D

B A

ε Dehnung

Abb. 1.17: Schematischer Verlauf der Spannung  (z.B. eines Drahtes) als Funktion der Dehnung . Man unterscheidet A: Proportionalitatsgrenze B: Elastizitatsgrenze C: Fliegrenze C{C: Querschnittsverminderung D: Reigrenze.

Bis zur Elastizitatsgrenze B nimmt der Korper nach Beendigung der Krafteinwirkung wieder seine ursprungliche Gestalt an. Bei Dehnung bis zur Fliegrenze C bleiben Restdefomationen des Korpers zuruck (plastische Verformung). Bei daruber hinausgehender Spannung, C{C, beginnt das Material zu ieen und geht bei D irreversibel zu Bruch.

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

21

Fur Spannungen unterhalb der Proportionalitatsgrenze A gilt das Hooksche Gesetz.

Die Spannung ist der relativen Deformation { der Dehnung { proportional

=E 


bzw.

 = E1 


Die Groe E nennt man den Elastizitatsmodul, seine Einheit ist N
m2 . Er charakterisiert die Kraft, die ein Korper einer von auen vorgenommenen Verformung entgegensetzt.

) Volumeneekt

Abb. 1.18: Torsion (Scherung) eines Wurfels um den Winkel . Die Kraft F verteilt sich nun auf eine Flache A = l2 . Daher ist die Schubspannung  = F=l2 . Fur Torsion erhalt man eine Variante des Hookschen Gesetzes

 = G ;


wobei G als der Scherungs-, Schub- oder Torsionsmodul bezeichnet wird.

1.5.3 Harte Unter Harte versteht man den Widerstand, den ein Korper dem Eindringen eines anderen entgegensetzt (z.B. Spitze, Schneide). Auf diesem Prinzip basieren auch die Harteskalen.

Abb. 1.19: Mikroharteprufung nach Vickers: Man bestimmt unter dem Mikroskop (hier 1200-fache Vergoerung) von dem Eindruck eines pyramidenformig geschlienen Diamanten die Diagonale.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

22

Mineral

Mohsharte Vickersharte N/mm2 Talkum 1 23 Gips 2 350 Kalkspat 3 1080 Fluspat 4 1860 Apatit 5 5300 Feldspat 6 7900 Quarz 7 11000 Topas 8 14000 Korund 9 20000 Diamant 10 100000

Mohsharte: Jeder vorhergehende Sto wird durch den nachfolgenden geritzt. Diese Skala hat heute kaum noch Bedeutung.

Brinellharte: Eine Stahlkugel von 1cm Durchmesser hinterlat bei 30 kN Kraft einen Abdruck, dessen Durchmesser als Ma fur die Harte dient.

Vickersharte: Statt einer Stahlkugel wird

eine quadratische Diamantpyramide verwendet. So konnen auch harteste Materialien gepruft werden.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten Im Gegensatz zum festen Korper besitzen Flussigkeiten keine Formelastizitat. Allerdings zeichnen sie sich durch eine gewisse Volumenelastizitat aus. In Flussigkeiten konnen sich die Atome und Molekule relativ frei bewegen, was fur die Mechanik wichtige Folgen hat.

1.6.1 Ober- und Grenz ache Wahrend sich im Flussigkeitsinneren die Anziehungskrafte der Molekule gegenseitig kompensieren, ist dies an einer Grenz ache nicht mehr der Fall.

! Ober achenspannung Abb. 1.20: Prinzip der Ober achenspannung: Im Flussigkeitsinneren kompensieren sich die Anziehungskrafte. Auf ein Teilchen an der Flussigkeitsober ache ensteht jedoch eine resultierende Kraft, die senkrecht auf der Flussigkeitsober ache steht und in das Flussigkeitsinnere zeigt. Die zugehorige potentielle Energie ist die Ober achenenergie.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

23

Im Gleichgewicht versucht die Flussigkeitsober ache stets, ein Minimum der Ober achenenergie anzunehmen; sie bildet eine Minimal ache (z.B. Kugelgestalt des Tropfens). Ober achenspannung

an Ober achenenergie
Eob  = Zuwachs = Zuwachs an Ober ache
A

Die Ober achenspannung  hat als spezi sche Ober achenenergie die Einheit J=m2 . FA FK FA FR

FK FR benetzend

nicht benetzend

Abb. 1.21: Im benetzenden System sind die Adhasionskrafte ~FA groer als die Kohasionskrafte ~FK. Die Resultierende ~FR zeigt in Richtung des Festkorpers. Im nicht benetzenden System sind die Kohasionskrafte starker als die Adhasionskrafte. Die Resultierende zeigt dann ich Richtung der Flussigkeit.

Kohasion: Wechselwirkung infolge von Anziehungskraften zwischen gleichartigen Mo-

)

lekulen (z.B. innerhalb einer Flussigkeit) = ~FK

Adhasion: Wechselwirkung infolge von Anziehungskraften zwischen verschiedenartigen

)

Molekulen (z.B. zwischen Flussigkeit und Festkorper) = ~FA

Die freie Ober ache einer Flussigkeit in einer Kapillare bildet einen Ausschnitt einer (konkaven oder konvexen) Kugel ache, den sogenannten Meniskus. Die Steighohe ist


h = r2g fl mit

 r fl g

: : : :

Ober achenspannung Radius der Kapillare Dichte der Flussigkeit Erdbeschleunigung .

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

24

2r ∆h ∆h

Aszension

Depression

Abb. 1.22: Aszension: Benetzende Flussigkeiten stehen in dunnen Kapillaren hoher als in dicken. Depression: In dunnen Kapillaren stehen nicht benetzende Flussigkeiten tiefer als in dicken. Diese Gleichung ergibt sich durch Gleichsetzen von potentieller Energie und Ober achenenergie. Sie gilt streng genommen nur fur vollkommen benetzende Flussigkeiten.

1.6.2 Druck und Hydrostatik

h

F

Abb. 1.23: In einem Rohr steht eine Flussigkeitssaule der Hohe h. Ihr Gewicht bewirkt eine Kraft F auf den Boden des Gefaes, der die Flache A hat. Die Kraft wird hier von einer Feder ausgeglichen.

Der Druck p ist die Kraft, die eine Flussigkeit auf eine gegebene Flache ausubt. Druck [Pascal] = Kraft pro Flache p= F

A

Diese Kraft wird meist durch das Gewicht der Flussigkeit ausgeubt. Man sprcith dann vom Schweredruck einer Flussigkeit, der bei der Flussigkeitsdichte  nur von der Flussig-

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

25

keitshohe h und der Erdbeschleunigung g abhangt, nicht aber von der Form des Gefaes: Tiefe h

0

Druck p

Ahg = gh : p = AF = mg = A A Die Hydraulik basiert auf einer einfachen Schlufolgerung:

gleichmaige Druckausbreitung ) Seitendruck = Schweredruck in gleicher Hohe.

F1

A1

F2 A2

Abb. 1.24: Die hydraulischen Presse: Der Druck p breitet sich gleichmaig aus. Die Kraft F1, die auf die kleinere Flache A1 ausgeubt wird, fuhrt auf der groeren Flache A2 zu einer entsprechend groeren Kraft F2 , d.h. p = F1=A1 = F2=A2.

Die hydraulische Presse ist ein einfaches Beispiel fur kommunizierende Rohren.

    

Druckmeverfahren U-Rohr-Manometer Zeigermanometer Membranmanometer Dehnungsstreifen Blutdruckmegerat

Prinzip Schweredruck Bourdon-Rohr Druckdose elektrischer Widerstand Stempeldruck

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

26

Auftrieb: Auf einen in eine Flussigkeit getauchten Korper wird von allen Seiten Druck ausgeubt, ...

Fo

Fl

Fr

Fu

Abb. 1.25: ... jedoch ist dieser auf der Unterseite wegen der groeren daruberstehenden Wassersaule hoher als auf der Oberseite. Der Seitendruck kompensiert sich. Alles zusammen resultiert in einer nach oben gerichteten Kraft, dem Auftrieb.

Das Archimedische Prinzip: Die Auftriebskraft an dem Korper ist gleich der Gewichtskraft der verdrangten Flussigkeit.

Fa = Vflg = mfl g Anwendungen: Dichtebestimmung mit Araometer, Pyknometer, Mohrscher Waage. 1.6.3 Hydrodynamik Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung { der Stromung { von Flussigkeiten.

Abb. 1.26: Die turbulente Stromung eines Wasserstrahls ist durch die Ausbildung kleiner Wirbel charakterisiert.

Laminare und turbulente Stromungen gehorchen vollig verschiedenen Gesetzmaigkeiten. Wahrend man bei ersterer die Bewegung der Flussigkeit durch Stromlinien charakterisieren kann, ist letztere durch die Bildung und Bewegung von Wirbeln bestimmt.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

27

 Der Parameter, der den Ubergang von lamiarer zu turbulenter Stromung bestimmt ist die Reynoldszahl, welche die dynamischen Krafte mit den Reibungskraften in Bezug setzt:

Re = FFdyn R

Turbulenz setzt oberhalb einer sog. kritischen Reynoldszahl ein. Die Gesetzmaigkeiten laminarer Stromungen sind recht gut verstanden. Nutzlich ist dabei das Konzept der Stromlinien:

A2 v2

A1 v1

Abb. 1.27: Aus den Teilchengeschwindigkeiten lassen sich die Stromlinien konstruieren. Die Dichte der Stromlinien ist ein Ma fur die Geschwindigkeit der Stromung. So fuhrt die Verengung einer Rohre zum Anstieg der Stromungsgeschwindigkeit (Duseneekt). Der Duseneekt lat sich leicht begrunden: Im Fall einer inkompressiblen Flussigkeit gilt die Kontinuitatsbedingung:

Pro Zeiteinheit iet durch jede Querschnitts ache A die gleiche Menge der Flussigkeit,

A1 v1 = A2 v2





Bei vielen Flussigkeiten spielt Zahigkeit, also die innere Reibung, keine groe Rolle. Man spricht dann von idealen Flussigkeiten. Neben der Erhaltung des Massestroms gilt dann auch die Erhaltung der Energie

mgs + 12 mv2 = Konst, mit mgs = AF V = pV folgt pV + 12 mv2 = Konst. Nach Division durch V erhalt man die Bernoullische Gleichung:

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

28

Satz von Bernoulli:

Staudruck

+

statischer Druck = Konst.

1  v2 2

+

p = pges

Anwendungsbeispiele: Dusenzerstauber, Wasserstrahlpumpe, Bunsenbrenner

p

1

p

p

2

3

Abb. 1.28: Das hydrodynamische Paradoxon: An Stellen, wo wegen der Rohrverengung eine groere Stromungsgeschwindigkeit herrscht, mit man einen geringeren statischen Druck p, d.h. im Bild p1 = p3 aber p2 < p1 und p2 < p3 . Bis hierhin wurden ideale, d.h. reibungsfreie Flussigkeiten betrachtet. In einer Vielzahl von Flussigkeiten spielt Reibung zwischen den Teilchen eine groe Rolle. Eine Folge dieser Reibung ist die Viskositat.

Die Newtonsche Gleichung verknupft die Viskositat  mit einer tangential angreifenden, inneren Reibungskraft

F =  A dv dz





Dabei ist dv=dz das Geschwindigkeitsgefalle in die Tiefe, im Bild in z-Richtung.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

29

Abb. 1.29: Auf einer Flussigkeitsober ache schwimmend wird eine Platte der Flache A in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt. Durch Reibung kommt es zu einer eine Tangentialkraft F, die diese Bewegung auf tiefer liegende Flussigkeitsschichten ubertragt.

v

z

x

 Newtonsche Flussigkeiten: Viskositat  = konst., z.B. Wasser, Quecksilber, Ol

Nicht-Newtonsche Flussigkeiten: Viskostitat (v) 6= konst., z.B. Erythrozythen, Blut

v

Abb. 1.30: Zum Hagen-Poiseuillschen Gesetz: Stromung viskoser Flussigkeiten in einem Rohr. Durch Reibung an der Wand und zwischen den Flussigkeitsteilchen entsteht ein Geschwindigkeitspro l.

Die Duch uleistung einer Flussigkeit, die durch ein Rohr stromt, bestimmt der Volumenstrom =

transportiertes Flussigkeitsvolumen Zeiteinheit

dV I =
V !
t dt

Bei der laminaren Stromung einer Newtonschen Flussigkeit ndet man die folgenden Gesetzmaigkeiten: Der Volumenstrom ist proportional ...

I I I I

/ / / /


p 1=l r4 1=

... zur Druckdierenz zwischen Rohranfang und -ende. ... zum Inversen der Rohrlange. ... zur vierten Potenz des Rohrradius. ... zum Inversen der Viskositat.

Dies fuhrt zu einem Gesetz fur den laminaren Volumenstrom in einem Rohr.

Hagen-Poiseuillesches Gesetz:

r
p = I = dV dt 8l 4

1.7 Schwingungen und Wellen

30

Ein nutzlicher Begri ist der Stromungswiderstand =

Druckdierenz Volumenstrom

hintereinander geschaltete Stromrohren: parallel geschaltete Stromrohren:

R =
p I :

Rges = R1 + R2 + : : : 1=Rges = 1=R1 + 1=R2 + : : : R1

R1

R2

R2 Serienschaltung von Röhren Parallelschaltung von Röhren

1.7 Schwingungen und Wellen 1.7.1 Schwingungen Nichtperiodische Vorgange: Ablaufe, die nur einmalig oder wiederholt aber unregelmaig aufteten. Beispiele: Aufprall, Prasseln von Hagelkornern.

Periodische Vorgange: Ablaufe, die sich nach einem bestimmten Zeitintevall T exakt wiederholen. Beispiele: Herzschlag, tropfender Wasserhahn.

Harmonische Vorgange: Spezialfall der harmonischen Vorgange; sie sind durch eine Sinusfunktion darstellbar. Beispiel: Saitenschwingung, Pendel.

Formaler Ausgangspunkt aller Schwingungsphanomene ist die Schwingungsgleichung. Sie ergibt sich aus der Kraftebilanz und der Newtonschen Gleichung: Impulsanderung = Reibungskraft + rucktreibende Kraft 2 m ddts2 = - ds dt - ks

,

2 2 m ddts2 + ds dt + m! s = 0

1.7 Schwingungen und Wellen

31

Die harmonische Losung der reibungsfreien Schwingungsgleichung ( = 0) lautet:

s(t)

= =

A

A sin(!t + ) ! A sin 2 T t+

T 2




t φ ω




Mit ! wird die Kreisfrequenz und mit T die Periodendauer notiert. Treten bei der Schwingung Verluste in Form von Reibung auf, d.h. > 0, dann ist die Schwingung nicht mehr harmonisch:

s(t) = A sin(!t + ) exp(-Æt)





Klingt die Amplitude einer Schwingung klingt exponentiell ab, so wird sie als gedampft bezeichnet. Je groer die Reibung ist, desto schneller klingt die Schwingung ab; genauq 2 er Æ = =2m. Die Frequenz der gedampften Schwingung ist ! = !0 - Æ2 . Um den

s(t) t

Abb. 1.31: Zeitlicher Ablauf einer gedampften Schwingung Eekt der Resonanz zu verstehen, bertrachten wir nun das reibungsfreie Federpendel (Federkonstante D). Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz sind dann

s

s

D: T = 2 m und ! = D m Mit Hilfe einer Exzenterscheibe lat sich ein Federpendel periodisch antreiben.

1.7 Schwingungen und Wellen

32 getriebenes Federpendel

einfaches Federpendel

Abb. 1.32: Ein einfaches Federpendel (links) und ein Federpendel mit periodischer Erregung an der Aufhangung (rechts).

F=-Ds F=+mg

 Andert man die Frequenz !ex des Erregers (z.B. Exzenter), so wachst die Schwingungsamplitude in der Nahe der Eigenfrequenz des Pendels stark an. Sie wird dann auch als Resonanzfrequenz bezeichnet:

s

D !ex ! !res = m Schwingungsamplitude

Abb. 1.33: Resonanzkurve eines periodisch erregten, schwingungsfahigen Systems. Stimmt die Frequenz des Erregers mit der Resonanzfrequenz des Systems uberein, so ist die Schwingungsamplitude ω res Erregerfrequenz maximal. Fur Schwingungen gilt das Superpositionsprinzip, welches besagt, da sich zwei zur  Uberlagerung kommende Schwingungen nicht gegenseitig storen, z.B. Schwebungen:

s(t)

=

s(t)

=

s1 (t) + s2 (t) = s0 cos(!1t) + s0 cos(!2t) ! - !  ! + !  2s0 cos 1 2 2 t cos 1 2 2 t

)

 Die Resultierende der Uberlagerung zweier einzelner Schwingungen ist also eine Schwingung mit der halben Summen- und Dierenzfrequenz.

1.7 Schwingungen und Wellen

33

 Abb. 1.34: Uberlagerung zweier Schwingungen ahnlich groer Frequenz: In das eingezeichnete Zeitintervall (gestichelte Linie) passen bei der ersten Schwingung vier ganze Perioden, bei der zweiten  deren funf. Durch die Uberlagerung kommt es zu einer Schwebung (\periodisches An- und Abschwellen") mit der Schwebungsdauer TS.  Die Uberlagerung vieler harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenz ergibt einen periodischen, aber meist anharmonischen Vorgang. Umgekehrt lassen sich periodische Vorgange als eine Summe harmonischer Schwingungen darstellen:

Fouriersches Theorem: Jede beliebige periodische Funktion s(t) lat sich in die folgende Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen zelegen:

s(t) =

1 X a n=0

[

n sin(n!t) + bn cos(n!t)]

1.7.2 Wellen Bis hierhin wurden ausschlielich zeitlich periodische Vorgange { Schwingungen { diskutiert. Eine Erweiterung ist der zeitlich und raumlich periodische Vorgang, die Welle: Mathematisch ist eine Welle durch die Frequenz ! und die Wellenzahl k bestimmt

u(x; t) = u0 sin(!t + kx)

1.7 Schwingungen und Wellen

34

Abb. 1.35: Wellen in einer Feder, einem Glas und einem Seil (von oben nach unten). Mit c wird hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit bezeichnet. Bei einer Welle breitet sich die Schwingung raumlich mit der Geschwindigkeit c aus. Die zeitliche Periodendauer ist T , die entsprechende raumliche , die Wellenlange.

T = 2 !

 = 2 k

cT = 

,

c = !k

Longitudinalwellen basieren auf Volumenelastizitat, z.B. Wellen in Gasen Transversalwellen basieren auf Schubkraften, z.B. Wellen in Festkorpern Wellen transportieren Energie. Bei Longitudinalwellen erfolgt der Energietransport in Ausbreitungsrichung (z.B. Licht, Schall), bei Transversalwellen senkrecht dazu. Bewegt sich eine Welle relativ zum Beobachter, so kommt es zum Dopplereekt.

Abb. 1.36: Demonstration des Dopplereektes bei Wasserwellen. Die Quelle (vibrierende Stange) bewegt sich nach rechts. Als Folge beobachtet man von links Wellen geringerer Frequenz (groe Wellenlange), dagegen von rechts Wellen hoherer Frequenz (kleine Wellenlange).

1.7 Schwingungen und Wellen

35

Frequenzerhohung $ Quelle bewegt sich auf Beobachter zu Frequenzerniedrigung $ Quelle bewegt sich vom Beobachter weg. Brechung und Re exion: Die Ausbreitungseigenschaften von Wellen hangen von der  Natur des Mediums ab. Das wird besonders deutlich beim Ubergang zwischen verschie-

denen Medien:

1

2

α 1 α 1’

α2

.

Abb. 1.37: Eine Welle trit auf die Grenz ache zwischen zwei Ausbreitungsmedien: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium (2) sei kleiner als im Medium (1), d.h. c2 < c1. Ein Teil der Welle geht in Medium (2) uber und wird dabei gebrochen. Ein anderer Teil der Welle erfahrt an der Grenz ache Re-

exion

Es nden sich die folgenden Gesetzmaigkeiten fur Brechung Re exion

sin 1 sin 2

=

c1 c2

1 = 10 :

Bei der Superposition von Wellen

u(x; t) = u1(x; t) + u2 (x; t) + : : : kommt es zu Interferenzerscheinungen, die das Huygens-Fresenelsche Prinzip erklart.

Huygens-Fresnelsches-Prinzip: Der Schwingungszustand eines Punktes im Wel lenfeld ist gegeben durch die Uberlagerung samtlicher Elementarwellen in diesem Punkt.

1.8 Akustik

36

Abb. 1.38: Superposition von zwei in Phase schwingende Quellen (1) und (2). Trit ein Wellenberg der von (1) ausgehenden Welle auf einen Wellenberg von (2), so verstarken sich hier die Wellen ( im Bild). Trit dagegen ein Wellenberg auf ein Wellental, so loschen sich die Wellen gegenseitig aus (Æ im Bild). So enstehen regelmaige Zonen der Verstarkung und der Ausloschung (Verbindungslinine von  bzw. Æ). Die Bedingung fester Phasen, die fur das Auftreten von Interferenzeekten so wichtig ist, wird als Koharenz bezeichnet.

1.8 Akustik 1.8.1 Schallwellen Akustik ist in der Physik die Lehre von der Ausbreitung von Verdichtungswellen, den Schallenwellen. In Gasen handelt es sich dabei um Longitudinalwellen. Die Schallgeschwindigkeit ist dann gegeben durch

s

c =  MRT mol  R T Mmol

: : : :

Adiabatenexponent Gaskonstante Gastemperatur molare Masse

mit

7=5(fur O2; N2) = 8:31J=mol K = 300K = 29g=mol

=




Die o.g. Zahlen sind die (typischen) Werte fur Luft. Das Ergebnis ist cLuft = 347m=s.

1.8 Akustik

37

Festkorper (20Æ C) Aluminium Eisen Gummi

c [m/s] Flussigkeit (20Æ C) c [m/s] Gas (0ÆC) c [m/s] 6260 5850 1040

Wasser Aceton Glycerin

1483 1192 1923

Helium CO2 Luft

965 259 331

1.8.2 Schallwahrnehmung Das menschliche Ohr nimmt in der Regel Schallwellen wahr in einem Frequenzbereich

Hörwahrnehmung

16Hz - 20000Hz :

Hörschwelle

Schallintensität

Abb. 1.39: Die Intensitat einer Schallwelle ist der Quotient aus Leistung und Flache, I = P=A. Fur die subjektive Schallwahrnehmung wird der schematisch im Diagramm gezeigte Zusammenhang gefunden.

Weber-Fechnersches Gesetz (Erfahrungssatz): Die Emp ndungsstarke ist proportional dem Logarithmus der Reizstarke. Weber-Fechner-Gesetz fur Schallwellen: Der Schallpegel L steigt logarithmisch mit der Schallintensitat I (bzw. dem Schalldruck p):

Schallpegel [Bel]=konst. log (Schallintensitat/Normintensitat)

L = 10 log II

0

=

20 log pp

0

Dezibel (dB)

Bei I0 = 10-12W=m2 bzw. p0 = 2
10-10bar hat man sich international auf die Reizschwelle bei f = 1000Hz geeinigt. Weber-Fechner-Gesetze gelten auch fur andere Sinnesorgane, z.B. das Auge.

1.8 Akustik

38

Pressluftsirene 7m Entfernung Startendes Dusen ugzeug 4m Entfernung Startendes Dusen ugzeug 200m Entfernung Autohupe 1m Entfernung Personenkraftwagen 7m Entfernung Unterhaltungssprache 1m Entfernung Zimmerlautstarke Wohngerausche Blatterrauschen Uhrenticken Horschwelle

131 dB Schmerzgrenze 120 dB 115 dB 110 dB 80 dB 65 dB 50 dB 30 dB 20 dB 10 dB 0 dB Wahrnehmungsgrenze

Tabelle 1.2: Vergleich der Lautstarken einiger alltaglicher Gerauschquellen. Abb. 1.40: Der Horbereich des menschlichen Gehors hangt von der Frequenz (in Hz) und vom Schallpegel (in dB) ab. Insgesamt ergibt sich dieses Diagram.  ist der Sprachbereich, der Musikbereich. Die unterste Kurve ist die Horschwelle. jjj

Die mit Wellen generell verbundenen Phanomene treten auch in der Akustik auf. So kommt es auch bei Schallwellen zu Schwebung, Interferenz, Re exion und Beugung, sowie zum Dopplereekt:

1.8 Akustik

39

1.8.3 Ultraschall Schallwellen (\Tone") mit Frequenzen > 20kHz sind vom menschlichen Ohr nicht mehr wahrnehmbar. Schallwellen im Frequenzbereich f = 20 kHz-1GHz werden als Ultraschall bezeichnet.

Abb. 1.41: Die Erzeugung von Ultraschall geschieht mittels elektrischer Wandler, die einen Wechselstrom in eine Vibration umsetzen. Im Bild ein handelsubliches Modell. Ultraschallwellen haben vielfaltige technischen Anwendungen: Verfahren Ultraschallreinigung Echolot Sonographie Lithotripsie Dispergieren Homogenisieren

typischer Anwendungsbereich Haushalt, Labor, Zahnmedizin Schiahrt, Fischfang Medizin Medizin Chemie, Pharmazie Chemie, Pharmazie

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