Numerischen Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten Überschallströmungen in Staustrahltriebwerken

Numerischen Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten U berschallstromungen in Staustrahltriebwerken

Von der Fakultat fur Maschinenwesen der Rheinisch{Westfalischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation

vorgelegt von Diplom{Ingenieur Stefan Sasse aus Ibbenburen

Berichter:

Univ.{Prof. Dr.{Ing. W. Koschel Univ.{Prof. em. E. Krause Ph. D.

Tag der mundlichen Prufung: 23. Oktober 1998 D 82 (Diss. RWTH Aachen)

Berichte aus der Luft- und Raumfahrttechnik

Stefan Sasse

Numerische Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten Überschallströmungen in Staustrahltriebwerken

.

D 82 (Diss. RWTH Aachen)

Shaker Verlag Aachen 1999

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Sasse, Stefan: Numerische Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten Überschallströmungen in Staustrahltriebwerken / Stefan Sasse. - Als Ms. gedr. - Aachen : Shaker, 1999 (Berichte aus der Luft- und Raumfahrttechnik) Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 1999 ISBN 3-8265-6498-7

.

Copyright Shaker Verlag 1999 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Als Manuskript gedruckt. Printed in Germany.

ISBN 3-8265-6498-7 ISSN 0945-2214 Shaker Verlag GmbH • Postfach 1290 • 52013 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]

Vorwort

Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatigkeit als Stipendiat im Graduierten Kolleg "Turbulenz und Verbrennung" am Lehr{ und Forschungsgebiet Betriebsverhalten der Strahlantriebe des Institutes fur Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen der Rheinisch{Westfalischen Technischen Hochschule Aachen. Herrn Univ.{Prof. Dr.{Ing. W. Koschel danke ich besonders fur die Betreuung und die U bernahme des Referats sowie die mir gewahrte wissenschaftliche Betatigungsfreiheit. Ebenfalls mochte ich Herrn Univ.{Prof. E. Krause Ph. D. fur das Interesse an meiner Arbeit und die U bernahme des Korreferates danken. Weiterhin gilt mein herzlicher Dank allen beteiligten Kollegen und Kolleginnen des Institutes, die durch zahlreiche kritische Diskussionen und konstruktive Anregungen zum Gelingen dieser Dissertation beigetragen haben. Hervorheben mochte ich hier Dr.-Ing. Wilfried Rick und Dr.{Ing. Stephane Melen. Mein besonderer Dank gilt meiner Frau Ute. Sie hat mich in dieser Zeit immer wieder neu motiviert und damit einen wesentlichen Beitrag zum Gelingen der Arbeit geleistet.

Aachen, den 23.10.1998

Inhaltsverzeichnis Nomenklatur

iv

1 Einleitung

1

2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen 5 2.1 Allgemeine Gleichungen fur kompressible Fluidstromungen : : : : : : : : :

5

2.2 Turbulente Stromungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

7

2.2.1 Zeitliche Mittelungsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

8

2.2.2 Schlieungsansatz fur die Reynoldsspannungen : : : : : : : : : : : : 11 2.2.3 Transportgleichungen der Turbulenzgroen : : : : : : : : : : : : : : 13 2.3 Anfangs{ und Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell

22

3.1 Die Transportgleichung fur die Turbulenzenergie k : : : : : : : : : : : : : : 23 3.2 Die Transportgleichung fur die Dissipationsrate " : : : : : : : : : : : : : : 24 3.3 Randbedingungen fur das Trubulenzmodell : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3.4 Logarithmisches Wandgesetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

4 Modellierung turbulenter Diusions ammen

31

4.1 Die turbulente Diusions amme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 4.2 Modellierung der turbulenten Verbrennung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34

ii

INHALTSVERZEICHNIS 4.3 Der Phasenraum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 4.4 Der Mischungsbruch : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 4.5 Der PDF-Ansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 4.6 Modellierung der Gleichgewichtschemie mit dem PDF-Ansatz : : : : : : : : 45 4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell : : : : 48

5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

57

5.1 Kompressibilitatsein usse bei nicht{reaktiven Stromungen : : : : : : : : : 57 5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen : : : : : : : : : : : : : 59 5.3 Kompressible Dissipationsrate : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 5.3.1 Modellierung der kompressiblen Dissipation : : : : : : : : : : : : : 61 5.3.2 Modellierung der verbrennungsbedingten Dissipation : : : : : : : : 61 5.3.3 Modellierung der Druck{Dilatation : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 5.4 Erweitertes k{"{Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68

6 Numerische Verfahren

70

6.1 Finite Elemente Approximation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 6.2 Taylor Galerkin-Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 6.2.1 Explizites Zwei-Schritt-Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 6.2.2 Numerische Dampfung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : 84

7 Netzgenerierung

86

7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87 7.2 Generierung von Hybridnetzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88

INHALTSVERZEICHNIS

iii

8 Ergebnisse

91

8.1 Scramjet-Einlaufe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96 8.2 Ruckspringende Stufe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103 8.3 Scherschichtstromungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111 8.3.1 Nichtreaktive U berschallscherschichten : : : : : : : : : : : : : : : : 113 8.3.2 Reaktive U berschallscherschichten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117

9 Zusammenfassung und Ausblick

120

Literatur

123

Nomenklatur a cp cv D E E e J k L

M M ML

Mt Mc N nk P P p q R rf S T t U u v w x; y Y Z

Schallgeschwindigkeit spezi sche Warme bei konstantem Druck spezi sche Warme bei konstantem Volumen Diusionkoezient Totalenergie Fluvektor innere Energie Massen u turbulente kinetische Energie Flachenkoordinate molare Masse Elementmassenmatrix diagonalisierte Elementmassenmatrix turbulente Machzahl konvektive Machzahl Ansatzfunktion Normalenvektor Ansatzfunktion Produktionsterm Druck Warme u Gaskonstante R = R=M Stochiometriekoezient Quellterm Temperatur Zeit Erhaltungsvektor Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit kartesische Koordinaten Massenanteil einer Spezies Mischungsbruch

NOMENKLATUR

Z 002 ;
e i;j " ;   

!_ !ij00  i;j  w mix

Varianz des Mischungsbruchs Stromungswinkel Dreiecks ache Kroneckerdelta Dissipationsrate von k Integrationsgrenze Karman{Konstante Warmeleitkoezient dynamische Zahigkeit Integrationsgebiet chemische Produktionsrate Wirbelvektor Dichte Spannungstensor Variable Wandschubspannung charakteristische Zeit der Mischung

Kennzahlen: Da Ma Pr Pe Re Sc

Damkohlerzahl Machzahl Prandtlzahl Pecletzahl Reynoldszahl Schmidtzahl

Indizes unten: e; E d i; j; k I; J h n n ref s t t t ox eq

Elementwert dilatational lokaler Knotenwert globale Knotenwert warmebedingte Dilatation Spezieskomponente normal (Richtung) Referenzwert solenoidal turbulent total tangential (Richtung) Oxidator Gleichgewicht

v

NOMENKLATUR

p B

Produktion Brennsto freie Anstromung

a v n

konvektiv diusiv Zeitebene Favre gemittelt Fluktuation

1 Indizes oben:  00

vi

Kapitel 1 Einleitung Die numerische Simulation von Stromungsphanomenen spielt in den letzten Jahren bei technischen Neu- und Weiterentwicklungen eine immer groere Rolle. Mit der standig wachsenden Leistungsfahigkeit der Rechnersysteme im Bereich der Rechengeschwindigkeit und des Speicherplatzes, sind komplexere Stromungssituationen mit immer aufwendigeren Stromungslosern simulierbar. Durch den Einsatz der numerischen Stromungssimulation lat sich schon im Vorfeld einer Entwicklung eine Aussage uber die zu erwartenden Stromungsphanomene und die damit zusammenhangenden Stromungsverluste machen. Die Simulation am Anfang einer technischen Entwicklung ist umso bedeutungsvoller, je innovativer die technische Neuerung ist, d.h. je weniger vorhandene Erfahrungen und Informationen zur Verfugung stehen und genutzt werden konnen. Desweiteren lassen sich durch die Informationen aus numerischen Simulationen gezieltere experimentelle Untersuchungen gestalten, womit eektivere und vor allem kostengunstigere Versuchsreihen moglich sind. Eine technische Entwicklung, die in den letzten Jahren wieder an Interesse gewonnen hat, ist die Entwicklung von luftatmenden Hyperschallantrieben, die Fluggeschwindigkeiten in Machzahlbereichen von 6 - 10, ermoglichen. Konventionelle Turbotriebwerke lassen bezuglich der Fluggeschwindigkeit einen maximalen Einsatzbereich bis ca Mach = 3 zu. Oberhalb dieser Machzahl wird der Einsatzbereich eingeschrankt, da der spezi sche Impuls der Turboantriebe stark abnimmt. Fur Fluggeschwindigkeiten uber Mach=3 mussen deshalb andere Triebwerkskonzepte verwendet werden. Erste Ideen fur ein derartiges Konzept wurden schon fruh in den Patentschriften von Albert Fono 1928 [1] und Rene Leduc 1935 [2] [3] vorgestellt. Beschrieben werden hier das Triebwerkskonzept fur ein Staustrahltriebwerk und ein Flugzeug, das mit einem solchen Triebwerk angetrieben wird. Vorteil dieser Systeme ist es, da sie den fur die Verbrennung benotigten Sauersto der Luft entnehmen, und nicht wie die konventionellen fur diesen Geschwindigkeitsbereich eingesetzten Raketenantriebe, den Oxidator mitfuhren und damit mitbeschleunigen mussen. Derartige Antriebe konnen fur Hochgeschwindigkeits ugzeuge oder auch fur eine luftatmende Unterstufe eines orbitalen Tragersystems eingesetzt werden. Entsprechende Forschungs- und Entwicklungsprogramme sind in den vergangenen Jahren in verschiedenen Landern, wie

2

Kapitel 1 Einleitung

das 'NASP'-Programm [4] in den USA oder das 'Sanger'-Programm [5] [6] in Deutschland, durchgefuhrt worden. Ein wesentliches Merkmal dieser luftatmenden Hyperschallantriebe nach dem Staustrahlantriebskonzept ist, da sie im Gegensatz zu Turboantrieben keine rotierenden Komponenten wie Verdichter und Turbine besitzen. Die Kompression der Luft erfolgt ausschlielich durch den Aufstaueekt bei groeren Flugmachzahlen. Die Stromung wird hier uber mehrere Verdichtungsstoe, die durch eine Rampengeometrie ausgelost werden, verzogert, komprimiert in die Brennkammer geleitet. Man bezeichnet sie deshalb auch als RamjetAntriebe. Bedingt durch einen abschlieenden senkrechten Verdichtungssto am Ende der Einlaufgeometrie ndet eine Verzogerung der Stromung auf Unterschallgeschwindigkeit statt. In der Brennkammer wird Treibsto zugefuhrt, verdampft, vermischt und schlielich verbrannt, was mit einem starken Druckanstieg verbunden ist. Die heie, hochkomprimierte Stromung expandiert uber eine konvergent-divergente Duse wieder auf U berschallgeschwindigkeit. Ramjet-Triebwerke haben einen wesentlich hoheren spezi schen Impuls als Raketentriebwerke. Wahrend er bei Raketenantrieben unabhangig von der Flugmachzahl ist, nimmt dieser bei luftatmenden Antrieben mit steigender Flugmachzahl ab. Oberhalb einer Machzahl von Mach = 6 werden die Verluste durch die Verzogerung auf Unterschallgeschwindigkeit uber einen senkrechten Verdichtungssto so gro, da es fur den Triebwerksproze von Vorteil ist, eine Verbrennung des Treibstos in einer U berschallstromung zu realisieren. Dieser Fall wird als Scramjet-Antrieb (Supersonic-Combustion-Ramjet) bezeichnet. Die Stromungsverhaltnisse in U berschallantrieben sind sehr komplex und bedurfen bei der Triebwerksentwicklung einer genauen experimentellen und theoretischen Analyse. Hier ist grundsatzlich das Gesamtsystem zu betrachten, da zwischen allen Komponenten des Flugsystems, wie Flugzeugrumpf, Triebwerkseinlauf, Triebwerksduse und Brennkammer, eine starke Interaktion besteht. Trotzdem ist eine spezielle Analyse der Einzelkomponenten unverzichtbar. So ist die geometrische Gestaltung des Einlaufbereichs des Triebwerks fur den Wirkungsgrad uberaus wichtig. In den vergangenen Jahren wurden deshalb vielfaltige Untersuchungen zu den Grundlagen der Auslegung derartiger Einlaufgeometrien durchgefuhrt [7] [8] [9]. Die Untersuchungen erstreckten sich sowohl auf Experimente wie auch auf numerische Simulationen [10]. Es hat sich dabei gezeigt, da die Wechselwirkung zwischen der Grenzschicht an der Triebwerkswand und den Verdichtungsstoen eine entscheidende Rolle fur den Wirkungsgrad des Einlaufs hat. Die Stromung aus dem Einlaufbereich wird der Brennkammer zugefuhrt, und die Brennstozufuhr erfolgt dann ublicherweise bei Machzahlen im Bereich von Mach = 2 bis Mach = 3. Dieses hat einen entscheidenden Ein u auf den Mischungs- und damit auch auf den Verbrennungsproze. Die hohe Geschwindigkeit reduziert den fur die Verbrennung erforderlichen Mischungsproz zwischen der komprimierten Luft und dem zugefuhrten Brennsto. Entsprechende experimentelle [11] und numerische Untersuchungen [12], [13] konzentrierten sich deshalb auf die Verbesserung

3 dieser Mischungs- und Verbrennungsprozesse, um einen guten Triebwerkswirkungsgrad zu erzielen. Zur Losung der Dierentialgleichungen, mit denen die Stromungsprobleme beschrieben werden, sind verschiedene numerische Verfahren im Einsatz. Bis vor einigen Jahren basierten sie im wesentlichen auf den Finite Dierenzen und Finite Volumen Methoden in Verbindung mit strukturierten Berechnungsgittern. Einen U berblick uber diese grundlegenden Methoden ndet man in den Veroentlichungen von Roache [14] oder Peyret, Taylor [15]. Neuere Tendenzen fuhren, insbesondere durch die progressive Entwicklung der Rechnerkapazitat, zur Implementierung von adaptiven Finite Elemente Methoden auf unstrukturierten Netzen [16], [17], [18]. Die Verfahren unterscheiden sich im wesentlichen, neben einer expliziten bzw. impliziten Zeitintegration, in der Raumdiskretisierung der konvektiven Flusse und der entsprechenden numerischen Dissipation zur Stabilisierung von Losungen fur Stromungen bei groen Reynoldszahlen und Machzahlen. Durch die fehlenden Richtungseigenschaften unstrukturierter Berechnungsnetze lassen sich die fur strukturierte Gitter bewahrten Techniken wie 'TVD-Upwind' Diskretisierung oder implizite 'ADI' Verfahren nur aufwendig ubertragen [16], [19]. Aus diesem Grunde werden derzeit uberwiegend explizite Finite Elemente Methoden mit zentraler Fludiskretisierung verwendet [20], [21]. Der Vorteil unstrukturierter Netze liegt gegenuber strukturierten Gittern in der vergleichsweise einfachen Vernetzung von Berechnungsgebieten mit komplexen Berandungen, sowie der Berucksichtigung von ezienten, losungsabhangigen Netzadaptionen. Durch adaptive Generierungsalgorithmen entsprechend der 'Mesh Movement'{, 'Mesh Enrichment'{, oder 'Adaptive Remeshing'{Methode kann die Qualitat insbesondere stationarer Losungen auf der Basis von a priori Fehlerindikatoren erheblich verbessert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein numerisches Berechnungsverfahren vorgestellt, das zur Unterstutzung von experimentellen Untersuchungen von Scramjet-Einlaufgeometrien geeignet ist. Es basiert auf den Arbeiten von Vornberger [18] und Rick [22]. Bei dem Stromungsloser handelt es sich um ein Finite{Element Galerkin{Verfahren zur Berechnung von Stromungsproblemen auf unstrukturierten Berechnungsgittern. Die unstrukturierten Berechnungsgitter sind fur die hier auftretenden Stromungsprobleme in besonderer Weise geeignet, da sie losungsabhangig optimiert werden konnen und somit eine gute Au osung lokaler Stromungsphanomene, wie Verdichtungsstoe und Scherschichten, ermoglichen. Zur Au osung von Grenzschichten wird die Erweiterung des unstrukturierten Netzgenerators auf die Kombination mit einem strukturierten Berechnungsnetz im Bereich fester Berandungen vorgestellt. Fur die Berechnung von turbulenten Stromungen ist das k-" Turbulenzmodell [23] zur Schlieung der 'Reynolds'{gemittelten Navier{Stokes{Gleichungen in das Berechnungsverfahren integiert worden. Untersuchungen von Scherschichten mit Geschwindigkeiten

4

Kapitel 1 Einleitung

in hohen Machzahlbereichen haben ergeben, da die Turbulenz in diesen hohen Machzahlbereichen zunehmend durch Kompressibilitatsein usse beein ut wird. Eine korrekte Simulation derartiger Stromungen erfordert eine entsprechende Modellbildung im Rahmen des Turbulenzmodells. Fur eine derartige Modellbildung besteht jedoch ein Mangel an detaillierten experimentellen Daten fur turbulente kompressible U berschallstromungen. Alternativ stehen jedoch in den letzten Jahren Daten von direkten numerischen Simulationen (DNS) zur Verfugung, die durch Losung der kompressiblen Navier{Stokes Gleichungen Informationen uber alle turbulenten Skalen liefern [24], [25]. Die meisten dieser DNS{Daten beziehen sich auf kompressible Scherschichtstromungen [26]. Auf dieser Grundlage haben Sarkar [27], Zeman [28] und Kuznetsov [29] verschiedene Modellansatze entwickelt, die zu einer Erweiterung des k-"-Modell fur kompressible U berschallstromungen fuhren. Zur Veri zierung der implementierten Modelle werden zunachst numerische Simulationen von Scramjet{Einlaufstromungen durchgefuhrt. Es stehen dabei Untersuchungen der Sto{ Grenzschichtwechselwirkungen im Vordergrund. Daruber hinaus wird die Berechnung einer Scramjet{Brennkammerstromung ohne Aufheizung, die mit detaillierten Messungen verglichen wird, vorgestellt. Zur weiteren Demonstration der Kompressibilitatseekte in turbulenten U berschallstromungen wird eine turbulente Scherschichtstromung untersucht. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist Berechnung von reaktiven Brennkammerstromungen. Aus diesem Grund ist ein geeigneter Reaktionsmechanismus fur die H2-LuftVerbrennung zu integrieren. Hier ist es wichtig, ein sehr eektives Modell zu wahlen, da der entwickelte Stromungsloser auch fur komplexe reaktive Brennkammerstromungen, die eine hohe Netzdichte erfordern und damit sehr rechenintensiv sind, eingesetzt werden soll. Turbulente, nicht vorgemischte Verbrennung kann als eine Interaktion von turbulenter Mischung und chemischer Reaktion angesehen werden. Auch ist der Ein u der Turbulenz auf die Verbrennung nicht mehr zu vernachlassigen. Die Berechnung der Reaktionsprodukte aus den mittleren Erhaltungsgroen fuhrt aufgrund der starken Nichtlinearitat der Produktionsraten [12] zu einer deutlichen Verfalschung der Ergebnisse, wie Untersuchungen ergeben haben [30]. Es hat sich deshalb eine statistische Beschreibung uber einen 'Wahrscheinlichkeits{Dichte{Ansatz' (PDF) als geeignet herausgestellt [31], [32]. In dieser Arbeit wird das PEuL{Modell von Borghi [33], das eine Langrange'sche Beschreibung des Reaktionsprozesses und eine statistische Beschreibung der Reaktionsrate uber den PDF{Ansatz benutzt und bisher nur fur ein Finite Dierenzen Verfahren auf strukturierten Berechnungsgittern existiert, in den Stromungsloser implementiert. Durch diese Kombination von eektiven Reaktionsmechanismus und den beschriebenen Vorteilen des eingesetzten Finite Elemente Verfahrens auf unstrukturierten Berechnungsgittern, wird die Grundlage fur die Berechnung von komplexen Brennkammerstromungen mit U berschallstromungen und den damit verbundenen Phanomenen der turbulenter Verbrennung mit Kompressiblitats{ und Stoein ussen moglich. Anhand einer reaktiven turbulenten U berschallscherschicht wird das implementierte Verfahren veri ziert.

Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen Zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen steht fur den allgemeinen Fall die Boltzmann{Gleichung zur Verfugung. Sie hat ihre Gultigkeit sowohl fur Stromungen der Kontinuumsmechanik als auch fur stark verdunnte Gase bei freier molekularer Bewegung. Kennzeichnend ist hierbei die sogenannte Knudsen{Zahl, die das Verhaltnis von freier Weglange zu einer Referenzlange darstellt. Fur sehr kleine Knudsen{Zahlen (Kn > !_ (1) ox Y

(4.45)

4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell

51

Der chemische Ein u ist gegenuber der Mischung vernachlassigbar; damit folgt aus Gleichung (4.43) bzw. (4.44):

d yox(1) = Yeox ; Yox(1) dt Y d yz(1) = YeZ ; yz(1) dt Y

(4.46)

Durch Umstellen der Gleichungen und der Elimination der Zeit Y erhalt man:

d Yox(1) = Yeox ; yox(1) d yz(1) YeZ ; yz(1)

(4.47)

 Fur den Fall 0 < yz < YeZ : Mit den Startwerten yz;0 = 0 und yox = yox;0 ergibt sich   n+1 yoxn+1 = Yeox ; yox;0 e yz YZ + yox;0

(4.48)

 Fur den Fall YeZ < yz < 1: Mit den Startwerten yz;1 = 1 und yox = yox;1 ergibt sich   n e yoxn = xox;1 ; Yeox yz ; Ye Z + Yeox (4.49) 1 ; Yz Die Berechnung des Quellterms !e_ (1) ox gestaltet sich dabei fur die beiden Segmente wie folgt:

!e_ (1) ox =

Z1 0

!_ ox(1)(yox(1); yz(1) ; T (1) ; (1) ) Pe ( z ; x; t) dyz

(4.50)

Es ist hier sehr wichtig diesen Term zu berechnen, da er mageblich fur die Selbstentzundung durch die lokale Temperaturerhohung in einem U berschallregime verantwortlich ist.

Berechnung des zweiten Trajektors Cy(2) Dieser Trajektor (Abbildung 4.12) wird durch die Gleichgewichtschemie bestimmt. Die chemische Reaktion lauft hier unendlich schnell ab. Fur diesen Fall setzt sich der Trajektor aus beiden Anteilen der rechten Seite von Glei(2) l chung (4.42) zusammen. Der Quellterm !_ ox;eq at sich in dieser Formulierung nicht direkt

52

Kapitel 4 Modellierung turbulenter Diusions ammen

Yox

∼ Yox,1

∼ Yox

∼ YZ

YZ

st

YZ

Abbildung 4.12: Trajektor Cy(2) im Phasenraum bestimmen, so da man zusatzliche Informationen benotigt. Ausgehend von den folgenden Gleichungen: d Yox(2) = Yeox ; yox(2) + !_ (2) ox;eq d tp Y;eq (2) (2) e d yz = YZ ; yz d tp Y;eq fuhrt die Elimination der charakteristischen Zeit der Produktion tp auf: (2) (2) e (2) e (2) = d Yox YZ ; yz ; Yox ; yox !_ ox;eq (2)   Y;eq Y;eq d yz

(4.51)

(4.52)

Die chemische Reaktion wird hier jeweils von der unterreprasentierten Spezies bestimmt.

 Fur den Fall yz > Yzst

bestimmt der Brennstoanteil die Reaktion: (2) yF = d yF(2) = 0 d yz Damit gilt: e (2) = !_ (2)
m !_ F(2) = ; YF mit !_ ox st F

und

Y;eq

  yox(2) = Yzst ; YeZ (YF;0
mst + Yox;0)

(4.53) (4.54) (4.55)

4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell

53

 Fur den Fall yz < Yzst :

bestimmt der Oxidatoranteil die Reaktion: (2) !_ F(2) = yox und Y;eq

yox(2) = 0

(4.56)

Zur Losung der Gleichung ist des weiteren notwendig, die charakteristische Zeit Y;eq zu kennen. Eine einfache Moglichkeit ist, sie gleich der charakteristischen Zeit der Turbulenz zu setzen: e Y;eq = C2 k" (4.57) r

Eine weitere Moglichkeit ist die Berechnung des Quellterms mittels einer eigenen Eulergleichung: (2)n;1

n yeox;eq ; yeox;eq !e_ (2) F = dt

(2)n

mit

 n;1 1  n;1  @  n (2) (2) + 1 yeox;eq + yeox;eq @t " @  ye(2) ue2 (2) !#n @ yeox;eq 1 @ i ox;eq +   D ; @ xi @ xi @ xi

(4.58)

@  = ; X @ yen;eq uei @t @ xi n

und (2) = yeox;eq

Z1 0

yox(2) ( z ) Pe ( z ; x; t) dyz

In dem Code ist die erste Losung mit Gleichung (4.57) verwirklicht. Die Implementierung des PEuL{Modells ist somit in jeden numerischen Code moglich, ohne eine zusatzliche Gleichung fur diesen Trajektor zu losen.

Berechnung des dritten Trajektors Cy(3) Fur den homogenen Fall ergibt sich der Trajektor Cy(3) im Phasenraum, wie er in Abbildung 4.13 dargestellt ist. Es wird hier angenommen, da die charakteristische Reaktionszeit in der Groenordnung der charakteristischen Zeit der Mischung ist, d.h. es gilt:

Y / T

(4.59)

54

Kapitel 4 Modellierung turbulenter Diusions ammen

Yox

∼ Yox,1

∼ Yox

YZ

st

∼ YZ

YZ

Abbildung 4.13: Trajektor Cy(3) im Phasenraum Der Quellterm entlang des Trajektors wird mittels des Arrhenius{Gesetzes berechnet. Aus Gleichung (4.43) ergibt sich hier der folgende Ausdruck:

d yox =  1  Ye ; y + !_ (y ; y )   d yz YeZ ; yz ox ox ox ox f Y

(4.60)

Fur einen bessere numerische Stabilitat ist ein halbimpliziter Algorithmus gewahlt worden:

d yox =  f n+1 + (1 ; ) f n d yz ! d yox =  @ f @ y + f n d yz @y ! @ f n dyox = dyz f + dyz  @ y @ y 1   dyox = dyz t f n 1 ; dyz  @@ fy

(4.61)

mit dem Faktor , der die Implizitat steuert, und

e  f= e 1 Yox ; yox + !_ ox(yox; yf ) Y (YZ ; yz ) Durch Einsetzen von f ergibt sich dann:

(4.62)

4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell

e  1 dyox = e dyz (Yox ; yox ) + !_ ox Y    dy z (YZ ; yz ) 1 ;  (YeZ ;yz ) @@ !y_ oxox Y ; 1

55 (4.63)

Die Groe yox berechnet sich schlielich aus:

yoxn+1 = yoxn + dyox

(4.64)

In analoger Weise berechnet sich der Quellterm: _ @y !_ oxn+1 = !_ oxn +  @@!ox y x ox n

o

(4.65)

Gewichtung der drei Trajektoren Die Berechnung der oben beschriebenen Kurven geben das erste Moment der reagierenden Spezies unter Verwendung der 'presumed' PDF gut wieder. Fur den homogenen isotropen Fall gilt:

Z1 yeox(3) = yox(3)( z ; x; t)
Pe ( z ; x; t)d z = Yeox 0

(4.66)

Im Gegensatz dazu ergibt sich fur Diusions amme die Groe Yeox aus einer Kombination aller drei Kurven Cy(1) , Cy(2) und Cy(3) zusammen:

X Pe ( ox; z ; x; t) ' k  ( 3

k=1

ox ; yox ( z ; x; t)) Pe ( z ; x; t)

(4.67)

 Fur den Fall yeox(3) > Yeox wird die chemische Reaktion durch die Kurve Cy(3) unterschatzt und eine Kombination mit der Kurve fur die Gleichgewichtsreaktion Cy(2) ist notwendig.

und

yeox =  yeox(3) + (1 ; ) yeox(2) e (2) !e_ ox =  !e_ (3) ox + (1 ; ) !_ ox

(4.68) (4.69)

56

Kapitel 4 Modellierung turbulenter Diusions ammen

 Fur den Fall yeox(3) < Yeox wird die chemische Reaktion durch die Kurve Cy(3) uberschatzt und eine Kombination mit der Kurve fur die Mischung Cy(1) ist notwendig.

und

yeox =  yeox(3) + (1 ; ) yeox(1) e!_ ox =  !e_ (3) e (1) ox + (1 ; ) !_ ox

(4.70) (4.71)

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses Von ganz besonderer Bedeutung fur die Stromungsberechnung bei hohen Machzahlen ist die Kompressibilitat des Mediums. Durch die Kompressibilitat bedingt, gewinnen die Fluktuationen der thermochemischen Variablen, wie Dichte, Temperatur und Druck, immer mehr an Bedeutung. Die Modellierung von Kompressibilitatsein ussen wird daher in diesem Kapitel gesondert vorgestellt. Dabei ist zu unterscheiden zwischen nichtreaktiven und reaktiven Stromungen.

5.1 Kompressibilitatsein usse bei nicht{reaktiven Stromungen Der Ein u der Kompressibilitat lat sich anhand der Aufweitung einer Scherschichtzone zweier kompressibler Stromungsmedien erlautern. Die Breite der turbulenten Scherschicht  wachst mit der Koordinate der Hauptstromungsrichtung x. Fur hohe Stromungsmachzahlen wird dabei eine drastische Reduzierung der Wachstumsrate @@ x gegenuber dem inkompressiblen Fall beobachtet [70]. Dieser Fall stellt eine Kombination der verschiedenen kompressiblen Eekte dar. So ist z.B. die turbulente Dissipation " durch die Schwankung der Volumendilatation stark erhoht, wodurch in groem Mae Turbulenzenergie k abgebaut wird. Die turbulente Vermischung wird folglich kleiner und die Breite  wachst langsamer an. In Abbildung 5.1 ist die Aufweitung einer kompressiblen Scherschicht im Verhaltnis zur inkompressiblen Scherschicht uber die konvektive Machzahl dargestellt [70] [71] [72] [73]. Man erkennt, da mit steigender Machzahl die Aufweitung der Scherschicht reduziert wird und asymptotisch einen Wert von ca. 20% des inkompressiblen Falls erreicht. Dieser Fall verdeutlicht die Notwendigkeit der Modellierung von Kompressibilitatstermen. Bei Betrachtung der exakten Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k kann man zwei Klassen von Termen unterscheiden, in denen sich der Ein u der Kom-

58

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

Papamoshou und Roshko Chinzei Clements und Mungal Hall

δ(Mc1)/δ(0)

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.5

1.0 Mc1

1.5

2.0

Abbildung 5.1: Scherschichtwachstum in Abhangigkeit von der konvektiven Machzahl pressibilitat manifestiert. Zum einen sind es Korrellationen der Form p0 u00j;j , die auch als Druck{Dilatation bezeichnet werden, zum anderen Terme der Form ;u00j P j . Zur Modellierung dieser Terme haben Sarkar [74] und Zeman [28] eine Aufteilung der Dissipation " in einem inkompressiblen Anteil, der als solenoidale Dissipation "s bezeichnet wird, und einen kompressiblen Anteil, der als Dilatations{Dissipation "d bezeichnet wird, vorgeschlagen:

" = "s + "d

(5.1)

Als charakteristische Groe fur die Groe des Kompressibilitatsein usses ist die turbulente Machzahl Mt gewahlt worden:

p

Mt = c2 k

mit

p

c = RT

(5.2)

5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen

59

5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen Die turbulente Verbrennung hat einen groen Ein u auf den Wert der mittleren Dilatation und dessen Fluktuation. Die zusatzlichen Terme, die in der Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k auftreten, konnen wie folgt charakterisiert werden [75], [29]. Der Kompressibilitatsterm, der die Druck{Dilatation wiedergibt, lat sich fur Diusions ammen weitestgehend vernachlassigen. Der Term, der den Ein u des Druckgradienten beinhaltet, kann in nichtisobaren Stromungen gegenuber den Produktionstermen aufgrund der Geschwindigkeitsgradienten uberwiegen. Im Falle von Diusions ammen mit verschwindenden Druckschwankungen kann die Dichte als Funktion des mittleren Mischungsbruchs Z ausgedruckt werden. Damit ist es dann moglich, diesen Term nach Zheng [76] wie folgt zu beschreiben:



1 d  @ p ;u00i @@ xp = u00g i Z 00  d Z @ x i i Ze

(5.3)

Neben diesen Ein ussen wird die Dissipation aufgrund von zusatzlichen Dilatationseffekten gesteigert, die durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt sind. Die lokale Erhohung der Temperatur fuhrt zu einer Reduzierung der Reynoldszahl, und damit zu einer Relaminarisierung der Stromung [77]. Insgesamt ergibt sich ein groer Ein u des Verbrennungsprozesses auf die Turbulenz, da durch Fluktuationen der Verbrennung wiederum Fluktuationen im Geschwindigkeitsfeld hervorgerufen werden, die ihrerseits die Verbrennung mageblich beein ussen. Dieses fuhrt zu einer sehr starken Interaktion von turbulenter Stromung und Verbrennungsproze, die sich indirekt auch auf die Turbulenz auswirkt.

5.3 Kompressible Dissipationsrate Zum Verstandnis der Modellansatze von Sarkar und Zeman soll hier die Dissipation der turbulenten kinetischen Energie naher betrachtet werden. Die in der Turbulenzenergiegleichung auftretende isotrope Dissipation lat sich wie folgt ausdrucken: 00  " = ji00 @@ uxj i

(5.4)

60

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

mit dem Tensor der Dehnungsgeschwindigkeiten:

  ji00 =  u00i;j + u00j;i ; 23 u00k;k ij

(5.5)

Unter der Annahme, da die Korrelationen zwischen den Fluktuationen der Geschwindigkeitsgradienten und der Viskositat vernachlassigbar sind und durch Einfuhren der Schwankung des Wirbelvektors !ij00 als:

  !ij00 = 12 u00i;j ; u00j;i

(5.6)

   " =  !ij00 !ij00 + 2 u00i;j u00j;i ; 32 u00i;iu00i;i

(5.7)

ergibt sich:

Schlielich lat sich fur homogene Turbulenz annehmen, da gilt:

 2 u00i;j u00j;i  u00i;i

(5.8)

Dies ist auerdem eine gute Approximation fur inhomogene Turbulenz bei groen Reynoldszahlen. Unter Berucksichtigung all dieser Annahmen erhalt man fur die unterschiedlichen Dissipationsraten die Ausdrucke:

 "s = !ij00 !ij00

und

 "d =  43 u00i;iu00i;i

(5.9)

Die Dilatationseekte konnen weiter aufgeteilt werden, und zwar in einen Teil, der rein durch die Kompressibilitat des Fluids hervorgerufen wird und einen Teil, der bei reaktiven Stromungen durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt ist:

mit der Dilatation:

 "d = 43 u00i;iu00i;i = 34 d00 2

(5.10)

d00 = u00i;i und d = dc + dh (5.11) In den folgenden Abschnitten sollen nun die unterschiedlichen Modellierungen der Dissipation durch die kompressible Dilatation "c und der Dissipation durch die freiwerdende Reaktionswarme "h vorgestellt werden.

5.3 Kompressible Dissipationsrate

61

5.3.1 Modellierung der kompressiblen Dissipation Sarkar [74] und Zeman [28], [78] kamen trotz unterschiedlicher Ansatze zu einer ahnlichen Modellierung der Dilatations{Dissipation. Beide setzen als charakteristische Variable die turbulente Machzahl Mt an. Sarkar postuliert, da "c "sich aufgrund von schnellen turbulenten Zeitskalen relativ zu "s andert". Konsequenterweise folgt hieraus, da die Dilatations{Dissipation monoton mit der turbulenten Machzahl Mt anwachst. Zeman hingegen geht von sogenannten "Shocklets" aus [28]. Es handelt sich hierbei um kleine Stosyteme, die ausschlielich die Dilatations{Dissipation steigern, wobei unterhalb eines bestimmten Schwellenwertes die Dilatations{Dissipation verschwindet. Sarkar schlagt nach einem Vergleich mit DNS (Direkt{Numerical{Simulation) Daten [27], [24], [25] folgenden algebraischen Ansatz fur die Dilatations{Dissipations vor:

mit

 "c = 1 Mt  "s

(5.12)

1 = 1

Der von Zeman [79] vorgeschlagene Modellierungsansatz fur die Dilatations{Dissipation gestaltet sich hingegen wie folgt:

mit

 "c = 1 F (Mt )  "s

(5.13)

( ;[(Mt ;Mt0 ) = 0 ]2 fur Mt  Mt0 F (Mt ) = 1 ; e 0 fur Mt < Mt0 Zeman wahlte fur die Modellkonstanten die Werte: 1 = 0:75 Mt0 = 0:10 0 = 0:60 Da die Ansatze von Sarkar und Zeman zu vergleichbaren Ergebnissen bei der Simulation fuhren, ist im Rahmen dieser Arbeit das programmiertechnisch gunstigere Modell von Sarkar verwendet worden.

5.3.2 Modellierung der verbrennungsbedingten Dissipation Zur Berechnung der Dilatations{Dissipation "h , die durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt ist, betrachtet man zuerst eine reaktive Scherschicht ohne Vormischung

62

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

und mit kleiner Stromungsgeschwindigkeit. In diesem Fall ergibt sich die Dilatations{ Dissipation nur aus dem Anteil, der aus freiwerdender Reaktionswarme resultiert. Unter der Annahme einer Gleichgewichtschemie und einer konstanten Lewis{Zahl von Eins fur alle Spezies lat sich der momentane Massenanteil der Spezies und die Temperatur als Funktion des Mischungsbruches ausdrucken [80]:

Yn = Yn (Z ) T = T (Z ) Unter der Annahme, da @ p=@ t = 0 ist, gilt fur die Dichte eine Funktion des Mischungsbruches Z :

 = RpT = p

R Pnsp n=1

1

Yn(Z ) T (Z ) Mn

(5.14)

Die Dilatation d kann nun wie folgt geschrieben werden:

@ ui = 0: @ xi ! ui @@ xZ = @@x D @@ xZ i i i ! @ 1 @ @ u i d = @ x = @ Z @ x D @@ xZ i i i

(5.15) (5.16) (5.17)

Durch Erweitern und Ausdierenzieren von Gleichung (5.17) ergibt sich:

! !2 2 ;1 d = @@ xui = ; @@x ;1 @@ Z D @@ xZ ; D @@ xZ @@ Z 2 i i i i

(5.18)

Fur groe Reynoldszahlen kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlassigt werden:

@ ui = ;D @ Z @ xi @ xi

!2

@ 2 ;1 @ Z2

(5.19)

Die Dilatations{Dissipation, die durch die Reaktionswarme bedingt ist, berechnet sich zu:

5.3 Kompressible Dissipationsrate

63

00 !2  "h = 43  @@xui i !2 ! 2 1 @ 2 = 43  D2 @@ xZ2  @Z i

(5.20)

Kuznetsov [75] schlagt fur die Modellierung dieses Ausdrucks die folgende Formulierung vor:

 "h = 43  = 43 

! @ u00i 2 @xi ! 1 @  2 "Z  "s 1=2 F  D   @Z 2  

(5.21)

mit der Dissipation des Mischungsbruchs Z :

"Z = 2 D @@ xZ @@ xZ i i

(5.22)

Die Modellierung dieses Terms erfolgt durch:

"Z = Cr Ze 002 "ks

(5.23)

mit 0:8 < Cr < 3:0. Mit der Annahme gleicher molekularer Diusion fur alle Spezies ergibt sich fur die Funktion F = 1. Es verbleibt jetzt noch die Berechnung des letzten unbekannten Terms in Gleichung (5.21)  1 @  2  @ Z . Hierzu werden im Folgenden einige funktionelle Zusammenhange zur Berechnung der Temperatur T als Funktion des Mischungsbruchs Z vorgestellt. Die Beziehung zwischen der Totalenthalpie und dem Mischungsbruch lat sich dabei wie folgt formulieren:

Z = HHT (Z );;HHTOx TB

mit HT (Z ) = hT + 12 (u2 + v 2) + k

TOx

(5.24)

64

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

wobei HT (Z ) die Totalenthalpie des Gemisches ist:

HT (Z )  cp T +

nsp X n=1

0 YnHform + 12 (u2 + v 2) + k n

(5.25)

Fur die in dieser Arbeit ausschlielich betrachtete Reaktion H2 + 12 O2 ! H2O ist die Bildungsenthalpie fur alle beteiligten Spezies Null, auer fur das Reaktionsprodukt H2 O. Damit lat sich nun fur die Temperatur die Beziehung aufstellen:

 1 0 HT (Z ) ; 21 (u2 + v2) ; k ; YP Hform P cp   1 1 2 2 0  Z (HTB ; HTOx ) + HTOx ; 2 (u + v ) ; k ; YP Hform P cp

T 



(5.26)

Es ergeben sich zwei Schranken fur die Temperatur. Die eine ist durch die reine Mischung von Oxidator und Brennsto gegeben, die andere Schranke ist die Temperatur, die durch die Gleichgewichtschemie gegeben ist. Im Folgenden wird die Berechnung des noch unbekannten Terms aus Gleichung (5.21) fur beide Extremwerte vorgestellt. Hierbei liegt auf der Brennstoseite reiner Wassersto und auf der Oxidatorseite reiner Sauersto vor.

Gleichgewichtschemie Fur den Fall der Gleichgewichtschemie lassen sich die Massenanteile der Spezies direkt aus dem mittleren Mischungsbruch Z berechnen:

 Fur den stochiometrischen Fall gilt: YO = YH = 0 mit 2

 Fur 0 < Z < Zst: YO2 YH2 YH2O T

Zst = Y

2

YO2;0 H2;0  mst + YO2 ;0

= 1 ; ZZst = 0 = hZZst i 0  Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform (Z) H2 O Zst

(5.27)

(5.28) 1

cp

Die Dichte lat sich hier in Abhangigkeit vom Mischungsbruch ausdrucken:

5.3 Kompressible Dissipationsrate

65

(Z ) = pRcp A1B "    Z # mit A = M1 1 ; ZZ + M1 st H2 O Zst  O2  Z   0 B = Z hTH2 ; hTO2 + hTO2 ; Hform H2 O Zst Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @  @Z

!2

2 6 = 64;

;

 1

MO2



(5.29)

; MH2OZ  MO2 1 Zst Z  1 ; Zst + MH2 O Zst 1

1

1

  0 32 h ; h ; Hform Y 1 5 H2 O O2 ;0 Zst  TH2 TO2   Z 0 Z hTH2 ; hTO2 + hTO2 ; Hform Zst H2 O

(5.30)

 Fur Zst < Z < 1: YO2 YH2 YH2O T

= 0 = Z1;;ZZstst = h1 ; Z1;;ZZstst  Z;Zst i 0  Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1 ; 1;Zst H2 O

(5.31) 1

cp

Die Dichte in Abhangigkeit vom Mischungsbruch lat sich schreiben als:

(Z ) = pRcp A1B (5.32) " #     mit A = M1 Z1 ;; ZZst + M1 1 ; Z1 ;; ZZst H2 st H2O   st Z ; Zst  0 B = Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1; 1;Z H2 O st

Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @  @Z

!2

2 6 = 64;



1

MH2



; MH2O 1;Zst H2  ZM   Z;Zst  ;Zst 1 1;Zst + MH2 O 1 ; 1;Zst 1

1

1

  0 32 1 hTH2 ; hTO2 + Hform H2 O 1;Zst 5 (5.33)   ; 0 Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1 ; Z1;;ZZstst H2 O

66

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

Mischung ohne Reaktion Bei reiner Mischung berechnen sich die Massenanteile der Spezies und die Temperatur des Gemisches wie folgt:

YO2 YH2 YH2O T

1;Z Z 0h i  Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 = = =

(5.34) 1

cp

Die Dichte berechnet sich aus:

(Z ) = pRcp A1B " # mit A = M1 (1 ; Z ) + M1 Z O2 H2 h i B = Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2

(5.35)

Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @  @Z

2 = 4;

!2

; M1H + M1H 1 1 MO (1 ; Z ) + MH Z #2 ; Z (h hTH; h; hT)O+ h TH TO TO 2

2

2

2

2

2

2

2

(5.36)

2

Kombination der Extremwerte Die mittlere Dichte wird unter Verwendung der PDF durch den folgenden Ansatz berechnet:

=

"Z 1 e # P (Z ) dZ ;1 0 (Z )

Fur eine beliebige Variable Q berechnet sich dann der Mittelwert zu:

(5.37)

5.3 Kompressible Dissipationsrate

Q=

67

Z1 0

Q(Z ) (Z ) Pe (Z ) dZ

(5.38)

Hier wird fur die Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion  P2eine {Funktion in Abhangigkeit von Z und Z 002 verwendet. Damit ergibt sich fur 1 @@ Z schlielich: 1 @  @Z mit

!2

=  1 @@ Z

!2

+ (1 ; ) 1 @@ Z mix

!2 eq

(5.39)

 =  ;;mix eq mix

Fur die Dilatations{Dissipation "h durch die freiwerdende Reaktionswarme ergibt sich damit der folgende Ausdruck in Abhangigkeit von der solenoidalen Dissipation "s:

"h =  46 Cr Ze 002 "ks ( "s )1=2 1 @@ Z

!2

(5.40)

Fur die Modellkonstante Cr ist der Wert 2 gewahlt worden.

5.3.3 Modellierung der Druck{Dilatation Bei der Betrachtung der Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k (2.41) zeigte sich die Existenz einer Korrelation zwischen Druckschwankungen und Fluktuationen der Geschwindigkeitsdivergenz, welche als Druck{Dilatation bezeichnet wird (p0 d0 ). Physikalisch stellt die Druck{Dilatation die Kompressionsleistung der Volumen{Dilatation dar. Mit den U berlegungen der letzten Abschnitte lat sich vermuten, da auch dieser Term in Abhangigkeit von der turbulenten Machzahl Mt zu modellieren ist. Sarkar et. al. [27] nutzen wiederum die Ergebnisse von direkten numerischen Simulationen homogener Scherstromungen, um das Problem zu analysieren. Dabei spalten sie die Druckschwankungen in schnelle und langsame Schwankungen auf. Es zeigt sich, da erstere mit der Produktion von Turbulenzenergie verbunden sind, wahrend letztere von der Dissipation "s abhangen. Sarkar schlagt deshalb das folgende Modell zur Simulation der Druck{Dilatation vor[81]:

p0 d0 = ;2PtMt2 + 3"sMt2

(5.41)

68

Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses

Gleichzeitig wird fur die Modellierung der kompressible Dissipation "c die Modellkonstante 1 aus dem Sarkar{Modell entsprechend angepat, so da sich schlielich fur die Konstanten ergibt:

1 2 3 0.50 0.40 0.20

5.4 Erweitertes k{"{Modell Die in den letzten Abschnitten beschrieben Modellansatze fur die Modellierung der Kompressibilitatsein usse auf die Simulation der Turbulenz in kompressiblen Stromungsmedien fuhrt zu der im folgenden beschriebenen Erweiterung des k{"{Modells. Melen hat in seiner Dissertation [60] festgestellt, da die Modellierung der Druck{Dilatation vernachlassigt werden kann fur die Simulation von reaktiven Scherschichten, wenn die Modellkonstante 1 fur die kompressible Dissipation "c zu 1 gewahlt wird. Es ergeben sich damit schlielich fur das kompressible k{"{Modell die beiden folgenden Transportgleichungen:

k{Gleichung:

! @ ( k) + @ ( ue k) =  P + @  + t  @ k ;  " i t @t @ xi @ xi k @ xi

(5.42)

"{Gleichung:

! @ ( " ) + @ ( ue " ) = C  P "s + @  + t  @ "s ; C  "2s s i s "1 t "2 @t @ xi k @ xi " @ xi k

(5.43)

mit der turbulenten Viskositat:

t = C  k"

2

(5.44)

Wobei sich die Dissipationsrate " bestimmt durch:

" = "s + "c + "h

(5.45)

5.4 Erweitertes k{"{Modell

69

Die einzelnen Anteile berechnen sich dann aus:

 "c = 1 Mt  "s

(5.46)

und

"h =  46 Cr Ze 002 "ks ( "s )1=2 1 @@ Z

!2

Fur die Modellkonstanten werden dann folgende Werte gewahlt:

1 Cr C C"1 C"2 k " Sarkar 1.00 2.00 0.09 1.45 1.92 1.00 1.30 Zeman 0.75

(5.47)

Kapitel 6 Numerische Verfahren Die Losung der partiellen Dierentialgleichungen erfordert ein numerisches Verfahren, da die Losung in einem raumlich begrenzten, diskretisierten Gebiet approximiert. Hierbei wird das Berechnungsgebiet in kleine Teilgebiete unterteilt, wobei diese Untergebiete sich nicht uberlappen durfen und das gesamte Berechnungsgebiet luckenlos ausfullen mussen. In der Fluidmechanik kommen fur den zweidimensionalen Fall hauptsachlich Drei- und Vierecke und im dreidimensionalen Fall Tetraeder- und Quaderelemente zum Einsatz. Allen heute verwendeten Verfahren ist die Annahme gemeinsam, da mit zunehmender Netzdichte und einer zur Dierentialgleichung konsistenten Formulierung der Dierenzengleichungen die numerische gegen die exakte Losung konvergiert. Zur Losung der Euler- und Navier-Stokes Gleichungen werden vorwiegend Finite Dierenzen- (FDM), Finite Volumen-(FVM) und in den letzten Jahren zunehmend Finite Elemente-Methoden (FEM) verwendet. Finite Dierenzen-Methoden sind auf die Formulierung der Erhaltungsgleichungen in Divergenzform zuruckzufuhren. Ihre Anwendung beschrankt sich auf strukturierte Berechnungsgitter. Die Dierentialquotienten der Erhaltungsgleichungen werden direkt durch Differenzenquotienten aus Taylorreihenentwicklungen ersetzt. Im Gegensatz zu den Dierenzen-Verfahren verwenden Finite Volumen und Finite Elemente Methoden eine integrale Formulierung, die jedoch jeweils auf einer unterschiedliche Formulierung der Erhaltungsgleichungen basieren. Bei den Finite Volumen-Formulierungen wird die Integralform verwendet:

Z @ U~ Z ~ n d; = 0 d

+ H~ @t

;

(6.1)

Die Finite-Elemente Methoden ergeben sich hingegen aus der Divergenzform der Erhaltungsgleichungen multipliziert mit einer beliebigen Testfunktion :

6.1 Finite Elemente Approximation

Z

71

Z ~  @@ Ut d +  rH~ d = 0

(6.2)

Der Vorteil der beiden letztgenannten Verfahren gegenuber Finite-Dierenzen Methoden ist ihre Anwendbarkeit auf unstrukturierten Berechnungsgittern. Die Verwendung unstrukturierter Netze bietet den Vorteil einer einfachen Vernetzung komplexer Geometrien mit der Moglichkeit einer eektiven lokalen Netzverfeinerung zur Erhohung der Genauigkeit der Losung in Gebieten mit groen Gradienten. Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Methode der Finiten Elemente verwendet, die im Folgenden naher erlautert werden soll.

6.1 Finite Elemente Approximation Wie schon erwahnt ist zur Integration der Erhaltungsgleichungen eine Diskretisierung des Berechnungsgebietes in nicht uberlappende Teilgebiete, den Elementen notwendig. In der vorliegenden Arbeit wurde ausschlielich das Dreieck als Elementtyp verwendet und somit beziehen sich auch alle folgenden Ausfuhrungen auf diesen Elementtyp. Die Integration uber ein Element erfordert zunachst eine Approximation des Funktionsverlaufs u ber das Element. Fur die Dreieckselemente verwendet man beispielsweise konstante, lineare oder quadratische Interpolationspolynome der Form:

U (x; y )  U~ (x; y) = c0 = c0 + c1 x + c2 y = c0 + c1 x + c2 v + c3 x2 + c4 xy + c5 y 2

(6.3) (6.4) (6.5)

Da die hoheren Ansatze schlechte Stabilitatseigenschaften haben, insbesondere bei groen Nichtlinearitaten wie zum Beispiel im Falle von Verdichtungsstoen, werden in der Fluidmechanik uberwiegend lineare Ansatze verwendet [21]. Eine aquivalente Darstellung von linearen Ansatzen ergibt sich durch die Bildung von Linearkombinationen sogenannter Form- oder Ansatzfunktionen mit den diskreten Losungsfunktionen. Im Folgenden werden hierzu zwei Ansatzfunktionen unterschieden, die bei der Diskretisierung verwendet werden:

 stuckweise konstante Ansatzfunktion PE  stuckweise lineare Ansatzfunktion NI

72

Kapitel 6 Numerische Verfahren

wobei sich das Subscript E auf einen Elementwert, gebildet im Elementschwerpunkt, und das Subscript I auf einen Knotenwert bezieht.

X U~ (x; y; t) = P (x; y; t) UE X E U~ (x; y; t) = NI (x; y; t) UI

(6.6) (6.7)

Fur PE und NI gilt, da sie nur im betreenden Element bzw. Knoten den Wert Eins besitzen und in allen ubrigen Elementen bzw. Knoten den Wert Null haben [82]:

( y ) 2 E PE = 10 :: ((x; x; y) 3 E ;

( x; y ) = (x; y )I NI = 10 :: ((x; y ) 6= (x; y )I

(6.8)

Anschaulich ist in Abbildung 6.1 der globale Verlauf fur das Dreieckselement E und einen Knoten I dargestellt. 1

1

E I

Abbildung 6.1: Ansatzfunktionen fur PE und NI Im Hinblick auf die numerische Integration ist es fur Dreieckselemente gunstiger, die Ansatzfunktionen lokal zu de nieren. Bei der stuckweise konstanten Ansatzfunktion ist dieses trivial. Die linearen lokalen Ansatzfunktionen Ni im Element lassen sich im ebenen Fall mit Hilfe von Flachenkoordinaten L1 ; L2 und L3 darstellen. Diese lokalen Koordinaten lassen sich fur ein Dreieck mit den Knoten 1,2 und 3 wie folgt aus den globalen Koordinaten x; y bestimmen:

x = L1x1 + L2x2 + L3 x3 y = L1y1 + L2y2 + L3 y3 1 = L1 + L2 + L3

(6.9)

6.1 Finite Elemente Approximation

73

Lost man dieses Gleichungssystem nach Li auf, ergibt sich: 1 x + c1 y 2 x + c2 y 3 x + c3 y L1 = a1 + b2
; L2 = a2 + b2
; L3 = a3 + b2


(6.10)

mit der Dreiecks ache
:

1 1 1
= det x1 x2 x3 y y y 1 2 3

(6.11)

und den Konstanten a1 ; b1 und c1 :

a1 = x2 y3 ; x3y2 b1 = y2 ; y3 c1 = x3 ; x2

(6.12)

Die anderen Konstanten (a; b; c)i=2;3 folgen aus dem zyklischen Vertauschen der Indizes. N

N

i

k i

k

k i

j

N

j

k i

j

j

Abbildung 6.2: lokale Ansatzfunktionen Ni Abbildung 6.2 zeigt den Verlauf der lokalen Ansatzfunktionen fur die drei Knoten des Elementes.

74

Kapitel 6 Numerische Verfahren

Fur einen angenommenen Funktionsverlauf U u ber zwei Elemente ergibt sich damit die stuckweise konstante Approximation und die stuckweise lineare Approximation nach Abbildung 6.3. Der genaherte Verlauf ist dabei durch gestrichelte Linien dargestellt.

Abbildung 6.3: stuckweise konstante und lineare Funktionsapproximation Die globalen Ansatzfunktionen NI ergeben sich aus den lokalen Ni durch eine Vereinigung aller am Knoten I beteiligten Elemente mit der Forderung NI = Ni (vgl. Abbildung 6.3).

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren Die Losung der in Kapitel 2 aufgestellten Dierentialgleichungen mit Hilfe der Finiten Elemente-Methode basiert auf einem Galerkin-Verfahren in Verbindung mit einer Integration uber das Berechnungsgebiet nach der Methode der gewichteten Residuen. Im Folgenden soll anhand einer zweidimensionalen Transportgleichung das Verfahren der Finiten Elemente-Methode erlautert werden:

@ U + @ Fx + @ Fy + S = 0 @t @x @y

(6.13)

Analog zum Lax{Wendro Verfahren [14] fuhrt die zeitliche Taylorreihe zweiter Ordnung zu:

U n+1 = U n +
t @@Ut + O(
t2) n

(6.14)

Durch Einsetzen von Gleichung (6.13) in (6.14) erhalt man unter Vernachlassigung des Abbruchfehlers eine explizite Losung von U n+1 :

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren

U n+1

75

= U n ;
t

@ Fxn + @ Fyn + S n @x @y

!

(6.15)

Analog zu Gleichung (6.2) wird die Gleichung (6.15) mit einer beliebigen Testfunktion  multipliziert und in eine Integralformulierung uberfuhrt. Hier wird vorausgesetzt, da die Losung des Problems unabhangig von den Integrationsgrenzen ist.

Z

!

Z Z n @ Fn  U n+1 d =  U n d ;
t  @@Fxx + @ yy + S n d



(6.16)

Ersetzt man nun die Funktion U nach Gleichung (6.7) durch die angenaherte Funktion U~ ergibt sich ein Satz von Restgliedern, die sogenannten Residuen. Bei der Wahl der geeigneten Funktionsapproximation ist auf die Dierenzierbarkeit der Operatoren zu achten. In diesem Fall genugt eine lineare Ansatzfunktion dieser Anforderung. Das Verfahren der gewichteten Residuen nach Galerkin [83] [82] erhalt man durch Ersetzen der beliebigen Funktion  aus der Gleichung (6.16) durch stuckweise de nierte Testfunktionen I , bzw. mit den stuckweise linearen Ansatzfunktionen I = NI .

Z

NJ

X

Z X @ NI Fxn X @ NI Fyn X n! NI
UI d = ;
t NI @x + @ y + NI S d (6.17)

mit
UI = UIn+1 ; UIn . Das Gleichungssystem (6.17) liefert ein System algebraischer Gleichungen zur Losung der genaherten Funktion U~ auf dem Berechnungsgebiet . Dabei entspricht die Anzahl der Gleichungen der Zahl der Wichtungsfunktionen I . Da die Ansatz- und Wichtungsfunktionen nur im betrachteten Element ungleich Null sind, kann die Integration auch auf Elementebene durchgefuhrt werden. Das Integral u ber die Summe der Ansatzfunktionen ergibt sich jetzt als Summe der Einzelintegrale uber die Elemente. Mit der elementweisen Betrachtung werden aus den globalen Ansatz- und Wichtungsfunktionen - groe Indezierung - nun lokale Funktionen - kleine Indezierung:

XZ e e

Nj Nid e
Ui = ;
t

! Nj @@NxI Fxn + @@NyI Fyn + NI S n d e

e

XZ e

(6.18)

In der Methode der Finiten Elemente ist es ublich, eine Schreibweise mit Elementmatrizen zu wahlen. Durch Einfuhren dieser Elementmatrizen ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

76

Kapitel 6 Numerische Verfahren

X e



Mij
Ui = ;
t Kij Fxn + Lij Fyn +
3e S n



(6.19)

mit den Matrizen

0R N 1 N1 Mij = BB@ RR N2N1 NN 0 R 3 @N11 N1 @x Kij = BB@ RR N2 @N@x1 N3 @N1 0 R @N@x1 N1 @y Lij = BB@ RR N2 @N@y1 N3 @N@y1

RNN RNN 1 R N1N2 R N1N3 C C R N2N2 R N2N3 A d e 3 2 3 3 R N @N2 R N @N3 1 1 @x @x C R N @N2 R N1 @N 3 C @x R 2 @x A d e R N2 @N @N3 2 N 3 @x 3 @x 1 R N @N R N @N 2 3 1 @y R N @N2 R N1 @N@y3 C C R N2 @N@y2 R N2 @N@y3 A d e 3 @y 3 @y

(6.20) (6.21) (6.22)

Die Matrix Mij wird dabei als Elementmassenmatrix bezeichnet [82]. Aufsummiert in eine Gesamtmatrix fuhrt Gleichung (6.19) zu einem Gleichungssystem der Form:

M
U =
tRS

(6.23)

Hier ergibt sich der Vektor RS aus der Multiplikation der Matrizen Kij und Lij mit den entsprechenden Fluvektoren und dem Quellterm S n . Die Berechnung der Integrale in den Gleichungen (6.20-6.22) erfolgt bei den Ansatzfunktionen hoherer Ordnung numerisch mit Hilfe von Gauquadraturen. Bei linearen Ansatzen, wie sie hier verwendet werden, kann die Integration auch analytisch durchgefuhrt werden. η

y

1

x

1

ξ

Abbildung 6.4: Koordinatentransformation Dazu werden die Elemente in unverzerrte Stammelemente uberfuhrt und die Integration in Flachenkoordinaten ausgefuhrt. Diese Abbildung eines beliebigen Dreiecks in der x ; y

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren

77

Ebene auf ein Stammelement in der  ;  Ebene wird in Abbildung 6.4 dargestellt. Als Transformationsvorschrift gilt mit L1 = N1 =  und L2 = N2 =  mit N1 2 [0; 1] und N2 2 [0; 1]:

x = x1 N1 + x2N2 + x3 (1 ; N1 ; N2) y = y1N1 + y2N2 + y3 (1 ; N1 ; N2)

(6.24)

Die Jakobimatrix J lat sich wie folgt berechnen:

J=

@x @ N1 @x @ N2

@y @ N1 @y @ N2

!

x3 y1 ; y3 = xx1 ; 2 ; x3 y2 ; Y3

!

(6.25)

Fur die Integrale der folgenden Gleichungen ergeben sich unter Berucksichtigung der Konstanten bj und cj aus der Gleichung 6.12:

Z

Ni Nj d =

Z

ZZ

NiNj dx dy =

Z1 1Z; 0 0

NiNj det J dNi dNj

(6.26)

bj Z1 1Z;N det J dN dN Ni @@Nxj d =


= 2
i i j

(6.27)

cj Z1 1Z;N det J dN dN Ni @@Nyj d =


= 2
i i j

(6.28)

0 0

Z

0 0

Die Elementmassenmatrix ergibt sich zu:

0

1

2 1 1 Mij =
12e BB@ 1 2 1 CCA 1 1 2

(6.29)

und fur die Matrizen K und L lat sich schreiben:

0

1

0

1

y2 ; y3 y2 ; y3 y2 ; y3 y3 ; x2 x3 ; x2 x3 ; x2 Kij = 16 BB@ y3 ; y1 y3 ; y1 y3 ; y1 CCA Lij = 61 BB@ x1 ; x3 x1 ; x3 x1 ; x3 CCA (6.30) y1 ; y2 y1 ; y2 y1 ; y2 x2 ; x1 x2 ; x1 x2 ; x1

78

Kapitel 6 Numerische Verfahren

Damit sind die grundlegenden Vorgehensweisen zur Losung von partiellen Dierentialgleichungen dargestellt worden. Sie werden in den nachsten Unterkapiteln zur Losung der Navier-Stokes Gleichungen angewendet.

6.2.1 Explizites Zwei-Schritt-Verfahren Aus dem klassischen Lax-Wendro-Verfahren ist von Donea [84] ein Ansatz fur das explizite Taylor-Galerkin Zwei-Schritt Verfahren entwickelt worden. Das Verfahren lat sich mit Hilfe einer Taylorreihe zweiter Ordnung in der Zeit und der Substitution der Zeitableitung des Losungsvektors durch die Ortsableitung der Flusse darstellen. Dabei wird auf eine semidiskrete Formulierung zuruckgegrien, indem die zeitlichen Ableitungen mit einem nite Dierenzen Schema und die raumliche Ableitung durch die Anwendung der Finiten Elemente Methode dargestellt werden konnen. Geht man von einem System partieller Dierentialgleichungen der folgenden Form aus:

@ U + @ Fia = @ Fiv + S a + S v @t @x @x

(6.31)

so ergibt eine Taylorreihenentwicklung in Zeit um U n : n 2 2 n U n+1 = U n +
t @@Ut +
2t @@ Ut2 + O(
t3)

(6.32)

Nach einer Umstellung der Gleichung und der Vernachlassigung des Restgliedes folgt aus Gleichung (6.32): n U n+1 = U n +
t @@t U n +
2t @@Ut

!

(6.33)

Der Klammerausdruck kann hier als eine Losung zum Zeitpunkt U n+ 12 betrachtet werden. Somit ergibt sich aus Gleichung (6.33) das Taylor-Galerkin 1Zweischrittverfahren mit einem Pradiktorschritt, in dem die Losung zum Zeitpunkt U n+ 2 berechnet wird, und einem Korrektorschritt, der zur Losung zum Zeitpunkt U n+1 fuhrt. Durch das Ersetzen der Zeitableitungen durch die Flusse und die Produktionsterme ergibt sich fur den Pradiktorschritt: a n ! U n+ 12 = U n +
2t S a jn ; @@ Fxk k

(6.34)

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren

79

sowie fur den Korrektorschritt:

1 0 a n+ 12 v n+ 21 U n+1 = U n +
t @S ajn+ 12 ; @@ Fxk + S v jn+ 12 + @@ Fxk A k k

(6.35)

Hier ist zu beachten, da die Erhaltungsgroen zum Zeitpunkt tn und tn+1 auf den Eckpunkten des Elements vorliegen und mit einer stuckweise linearen Ansatzfunktion approximiert werden. Zum Zeitpunkt tn+ 12 liegen die Erhaltungsgroen als Elementwert vor und werden durch eine stuckweise konstanten Ansatzfunktion abgebildet. Die Anwendung der Methode der gewichteten Residuen fuhrt beim Pradiktorschritt zu Gleichung (6.36). Dieses wird auch als Kollokation im Teilbereich bezeichnet.

XZ e

PePeUrn+ 2 d = 1

XZ e

Pe NiU n d +
2t

XZ e

! i a n Pe NiSiajn ; @@ N F j x ki d (6.36) k

Aus Gleichung (6.36) folgt fur die Berechnung des Elementwertes Ue :

! 3 3 3 X X X i a n F j U n+ 12 = 13 Uin +
2te 13 Siajn ; @@ N ki i=1 i=1 i=1 xk

(6.37)

Im Pradiktorschritt nden nur die konvektiven Flusse Berucksichtigung, weil zum Zeitpunkt t = tn nur lineare Funktionsverlaufe im Element und somit nur erste Ableitungen in den Flussen berucksichtigt werden. Der Korrektorschritt wird nach der Galerkin Methode mit den linearen Wichtungsfunktionen Ni gebildet. Damit folgt aus Gleichung (6.35):

XZ e

0 Z X X Z @ PeFkae n+ 12 NiNj
Uj d =
t @ NiPe Sea jn+ 12 d ; Ni @ x d

k e

e

1 1 n + Z Z v 2 X X + NiPe Sev jn+ 12 d + Ni @ @PexFke d A (6.38) k e

e

Hier wird die Integration elementweise durchgefuhrt. Da in Gleichung (6.38) die Flusse konstant uber die Elemente sind und keine sinnvolle Ortsableitung gebildet werden kann, wird der Greensche Satz angewendet und die Gleichung in ihre 'schwache' Form uberfuhrt. Diese Formulierung reduziert die Anforderung der Glattheit der Losung U auf Kosten der Stetigkeitsanforderung bei der Wichtungsfunktion [18].

80

Kapitel 6 Numerische Verfahren

XZ e

0 Z X Z @ Ni a n+ 12 X d Fke j Ni Nj d
Uj =
t @ Ni d Sea jn+ 12 + e @ xk e

XZ X Z @ Ni v n+ 12 d Fke j + Nid Sev jn+ 12 + e

e @ xk 1 XZ XZ a n v n + Ni Nj d;Fke j ; NiNj d;Fke j A e ;

(6.39)

e ;

Die Berechnung des Randintegrals fuhrt im Gebiet wechselweise zu sich aufhebenden Summanden, so da dieses ausschlielich am Gebietsrand aufgestellt wird. Die Flusse im Randintegral werden dabei zum Zeitpunkt t = tn bestimmt. In Abbildung 6.5 sind die Bilanzraume fur den zellzentrierten Pradiktorschritt und den knotenzentrierten Korrektorschritt dargestellt.

Abbildung 6.5: Bilanzraume fur den Pradiktor und den Korrektorschritt Durch die Summation der gesamten Elementbeitrage, einschlielich der Beitrage der Randelemente, erhalt man fur jeden Zeitschritt ein lineares Gleichungssystem der Form:

M
U = RS

(6.40)

Eine Invertierung der Matrix M wurde einen groen Speicherplatz- und Rechenzeitbedarf erfordern. Ein von Donea und Guilian [85] vorgeschlagener iterativer Algorithmus wie er in Gleichung (6.41) dargestellt ist, der A hnlichkeiten mit einem Jacobi-Verfahren hat, fuhrt jedoch auf ein Gleichungssystem, bei dem keine Invertierung der Massenmatrix M notwendig ist und elementweise eine Matrix-Vektor Multiplikation durchgefuhrt wird.

M
U
U  = RS ; M L

 ;1

+
U  ;1


U 0 = 0

(6.41)

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren

81

Die Matrix ML wird als sogenannte lumped mass Matrix bezeichnet, bei der die Zeileneintrage auf die Diagonale summiert worden sind und sich somit eine reine Diagonalmatrix ergibt. Die lumped mass Matrix berechnet sich aus der Summation uber die Elemente gema Gleichung (6.42):

ML =

X e

0 1 4 0 0C X
e B MijL =^ 12 B@ 0 4 0 CA e 0 0 4

(6.42)

Die Massenmatrix M wird dabei nicht abgespeichert, da die Matrix-Vektor Operation M
U durch eine Summation auf Elementebene durchgefuhrt wird. Das Gleichungssystem (6.41) ist so gut konditioniert, da drei Iterationsschritte zum Erhalt einer hinreichend genauen Losung des Erhaltungsvektors ausreichen. Wird auf eine stationare Losung hin konvergiert, so reicht es aus, das Inkrement alleine aus der rechten Seite und der lumped mass Matrix zu bestimmen.

RS
U = M

L

(6.43)

Dies fuhrt auf ein Verfahren, welches von zweiter Ordnung genau im Raum und unter Anwendung der Iteration ( = 3) auch in der Zeit ist.

6.2.2 Numerische Dampfung Die im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Stromungsprobleme zeichnen sich durch das Auftreten von Diskontinuitaten, in Form von Verdichtungsstoen und Scherschichten aus. Dies fuhrt bei den nichtlinearen konvektiven Termen zu Diskretisierungsfehlern, die mit Oszillationen im Bereich der Diskontinuitaten verbunden sind und letztlich in der Instabilitat der Losung enden. Durch zusatzliche dissipative Terme konnen diese Oszillationen vermieden werden. Analog zur physikalischen Viskositat kann die Losung durch Hinzufugen von kunstlicher Viskositat uber mehrere Gitterpunkte verschmiert werden [14]. Diese Dampfung der Losung sollte jedoch auf den Bereich von Diskontinuitaten beschrankt bleiben, um die damit verbundene Beein ussung der Losung moglichst gering zu halten. Bei dem hier beschriebenen Verfahren wird eine druckgesteuerte Dampfung nach dem Verfahren von McCormack [86] angewendet. Eine aquivalente Formulierung wird von Peraire [87] vorgeschlagen, um das Verfahren auch auf Finite Elemente Methoden anzuwenden. Die Steuerung der Dampfung geschieht uber die normierte zweite Ableitung des Druckes.

82

Kapitel 6 Numerische Verfahren

P e (M ; ML) p SI = P j(M ; M )j p L e

SI 2 [0; 1]

(6.44)

Der Steuerterm SI nimmt im Bereich von Diskontinuitaten den Wert Eins an und ist in Gebieten mit konstantem Druck vernachlassigbar klein. Die Glattung der Losung erfolgt nach jedem Zeitschritt und ist konservativ, da die Summe aller A nderungen im Element und somit auch im Gebiet den Wert Null ergibt:

mit

UIns+1 = UIn+1 +  tI DI DI = cd M;LI1

X Se (Me ; MeL ) U n+1 e
te

(6.45) (6.46)

Die Konstante cd bestimmt hier die Starke der Dampfung. Bei Stromungen mit Machzahlen uber Drei reicht die soeben beschriebene Dampfung nicht mehr aus bzw. fuhrt zu stark verschmierten Losungen, da aus Stabilitatsgrunden die Dampfung sehr hoch gesetzt werden mu. Eine Alternative ist hier das von Rick [88] in den Stromungsloser implementierte 'Flux{Corrected {Transport' (FCT) Verfahren. Die FCT{Methode wurde ursprunglich von Boris, Book [89] [90] [91] vorgeschlagen und durch Zalesak [92] als mehrdimensionales Schema weiterentwickelt sowie durch Parrot, Christie [93] Lohner, etc [94] auf die Methode der Finiten Elemente Methode zur Losung von Dierentialgleichungen erweitert. Numerische Verfahren zweiter oder hoherer Ordnung neigen in der Nahe von groen Gradienten zu Oszillationen, wahrend Verfahren erster Ordnung die Gradienten schwingungsfrei au osen. Verfahren erster Ordnung haben jedoch eine nur unzureichende Genauigkeit fur die Stromungsberechnung. Das FCT-Schema basiert nun auf der Berechnung eines konservativen antidiusiven Flusses, als gewichtetes Mittel der Flusse eines monotonen und eines Schemas hoherer Ordnung. Fur das Schema hoherer Ordnung wird das Taylor{Galerkin Zweischrittverfahren verwendet. Das monotone Schema ergibt sich aus demselben Verfahren mit einem zusatzlichen Diusionsoperator (6.46). Schema hoherer Ordnung:

ML
Uh+1 =
t RS + (ML ; M)
Uv ML
Ul =
t RS + D(U n)

Schema erster Ordnung: mit

D(U n) = cd (M ; ML)
U n

(6.47) (6.48)

6.2 Taylor Galerkin-Verfahren

83

Die Losung nach jedem Zeitschritt ergibt sich dann aus der Kombination beider Losungen.

U n+1 = Uln+1 + C (
Uh ;
Ul )

(6.49)

Der Limiter C vor dem zweiten Term der rechten Seite ist dabei so zu wahlen, da keine neuen Oszillationen angeregt werden. An dieser Stelle soll der eigentliche FCT-Algorithmus kurz skizziert werden. Fur eine detaillierte Beschreibung des Verfahrens sei auf die Arbeiten von Morgan und Peraire [46] und speziell fur den verwendeten Stromungsloser auf die Arbeit von Rick [88] verwiesen. Der FCT-Algorithmus lat sich in sechs Schritte unterteilen: 1. Berechnung des 'low{order Element{Flusses` LEC mit einem Schema erster Ordnung, das eine monotone Losung garantiert. 2. Berechnung des 'high{order Element{Flusses' HEC mit einem Schema hoherer Ordnung. 3. Berechnung des 'antidiusiven Element Flusses'.

AEC = HEC ; LEC 4. Berechnung der neuen Losung niedriger Ordnung.

Ul = U n +

X e

LEC = U n +
Ul

5. Limitierung des 'antidiusiven Flusses', so da die Losung U n+1 frei ist von Extrema, die nicht auch in Ul oder U n zu nden sind.

AEC c = Ce
AEC 6. Berechnung der neuen Losung.

U n+1 = Ul +

mit 0  Ce  1

X e

AEC c

Wichtig bei dem Verfahren ist hier die geeignete Wahl des Limiters. Dieses wird in der Arbeit von Rick [88] detailliert beschrieben.

84

Kapitel 6 Numerische Verfahren

6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren In Verbindung mit der Berechnung von reaktiven Scherschichten hat sich gezeigt, da die Verwendung des Taylor{Galerkin{Verfahrens nicht zu schwingungsfreien stationaren Losungen fuhrt, da die Dampfungseigenschaften nicht ausreichend sind. Der Einsatz eines Runge{Kutta{Zweischrittverfahrens mit seinen guten Dampfungseigenschaften fuhrte demgegenuber zu einer wesentlich besseren Losungsqualitat. Im Folgenden soll das Verfahren kurz beschrieben werden. Ausgehend von der schwachen Residuenformulierung:

Z

Z Z e NJ @@Ut d ; @@ Nx J Fek d + NJ Fek nk d; = 0 k

;

(6.50)

und einer stuckweise linearen Funktionsapproximation:
Ue = Ni
Ui ; Fek = NiFki mit Fki = Fk (Ui )

(6.51)

lat sich die nachfolgende Galerkin-Finite Element-Gleichung herleiten:

X e

ML

Ut =

X Z @ Nj XZ N Nj Nink d; Fki i d Fki ; e e @ xk e ;e

(6.52)

Die im Randintegral auftretenden Flusse in Normalenrichtung werden unter Berucksichtigung der Charakteristikenbedingungen berechnet. Das Aufsummieren der Elementbeitrage entsprechend der Gleichung (6.52) fuhrt zu einem Gleichungssystem der Form: ML

Ut = R(U ) (6.53) Aufgrund der verwendeten zentralen Diskretisierung mit fehlenden dissipativen Anteilen in den numerischen Flussen bleiben hochfrequente Storungen in der Losung ungedampft. Aus diesem Grunde wird zur Dampfung dieser Oszillationen ein dissipativer biharmonischer Operator D(4) hinzugefugt. Da jedoch dieser Dampfer 4. Ordnung nur fur die Berechnung von glatten Gebieten der Losung geeignet ist, wird zusatzlich entsprechend Gleichung (6.46) ein Laplace Operator 2. Ordnung zur Unterdruckung von nichtlinearen Instabilitaten in der Nahe von Verdichtungsstoen verwendet. Es ergibt sich damit das folgende Gleichungssystem: (6.54) ML

Ut = R(U ) + D(2) ; D(4)

6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren

85

Zur Zeitintegration des Gleichungssystems wird ein 5{Schritt Runge{Kutta Schema in Verbindung mit einer Relaxation durch lokale Zeitschritte zur Berechnung stationarer Stromungen verwendet. Die dissipativen Terme werden nur in den ersten beiden Teilschritten  berechnet und bleiben fur die restlichen Teilschritte 'eingefroren'. [95] [96]:

  Uj(+1) = UJn + 
tJ M;LJ1 RJ (U () ) + (Dj(2) ; Dj(4)) mit 0;


;4 = 1=4; 1=6; 3=8; 1=2; 1  = 0;


; 4

(6.55)

= min(; 1)

Die Koezienten  gewahrleisten eine erhohte Stabilitat auf Kosten einer reduzierten Zeitgenauigkeit von maximal O(
T 5 ) auf O(
t2). Die kunstlich dissipativen Terme werden mit dem lokalen Zeitschritt skaliert, um eine zeitunabhangige stationare Losung zu gewahrleisten. Der lineare biharmonische Operator D(4) wird durch die zweifache Anwendung eines Laplace Operators erhalten:

DJ = M;LJ1 (4)

" # X (4) X ; 1 (M ; ML) ML (M ; ML ) U e
te e

(6.56)

Die Beitrage des Operators D(4) werden zur Erzielung von oszillationsfreien Losungen in Bereichen von Verdichtungsstoen, in denen der Operator D(2) wirksam ist, ausgeblendet [96]. Dieses geschieht durch die folgenden De nition von (4) :

  (2) (4) = max 0; c(4) d ; cd Se wobei Se das arithmetische Mittel der Knotenwerte SJ (6.44) ist.

(6.57)

Abschlieend sei noch erwahnt ,da fur das Galerkin{Runge{Kutta Verfahren im Vergleich zum Taylor{Galerkin Zwei{Schritt{Verfahren zwar ein erhohter Rechenaufwand pro Zeitschritt notwendig ist, jedoch dieser durch eine bessere Konvergenz bei erhohter CFL|Zahl ausgeglichen wird.

Kapitel 7 Netzgenerierung Fur die numerische Stromungssimulation ist es notwendig das Berechnungsgebiet durch ein Berechnungsnetz abzubilden. Im Rahmen dieser Arbeit werden zweidimensionale unstrukturierte Dreiecksnetze verwendet. Unstrukturierte Berechnungsnetze bieten die Moglichkeit, auch beliebig komplexe Gebietsberandungen zu vernetzen. Daruber hinaus haben unstrukturierte Netze den Vorteil, die Netzstruktur der Losung optimal anzupassen, so da immer eine ausreichende Netzdichte zur Au osung von Gradienten im Losungsvektor gewahrleistet werden kann. Nachteilig bei unstrukturierten Netzen ist die notwendige indirekte Adressierung. Da alle Punkte ungeordnet im Berechnungsgebiet liegen, mussen uber ein sogenanntes Element{ Knoten{Verzeichnis die Knoten zu Elementen zusammengefat werden. Fur die unstrukturierte Vernetzung eines Berechnungsgebietes werden hauptsachlich zwei unterschiedliche Verfahren angewendet. Bei der Delaunay{Triangulation [97] werden die Knoten im Berechnungsgebiet verteilt und anschlieend moglichst optimal so verknupft, da nur wenig verzerrte Elemente entstehen. Bei der in dieser Arbeit verwendeten 'Advancing{Front{Methode' wird das Netz ausgehend vom Gebietsrand in das zu vernetzende Gebiet hinein generiert [98] [99] [18]. Dabei werden die Knoten und Elemente gleichzeitig gebildet. Fur bestimmte Anwendungen ist es nachteilig, da bei unstrukturierten Berechnungsnetzen die direkte Zuordnung von Netzknoten nicht oder nur sehr aufwendig moglich ist. Hier ist es dann von Vorteil strukturierte mit unstrukturierten Berechnungsnetzen zu kombinieren, um eine direkte Zuordnung von Netzknoten in strukturierten Netzbereichen zu erhalten. Hassan [19] verwendet einen explizit{implizit Algorithmus in Verbindung mit einer moglichst orthogonalen strukturierten Unterschicht an Wanden. Auch in dieser Arbeit werden im Bereich fester Berandungen zur besseren Au osung von Grenzschichten und fur die Anwendung des bereits beschriebenen logarithmischen Wandgesetzes strukturierte Netze eingesetzt [100]. Der verbleibende Bereich wird unstrukturiert vernetzt, wodurch hier die Vorzuge der losungsabhangigen Netzanpassung ausgenutzt werden konnen.

7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung

87

Im Folgenden soll nun kurz auf die Generierung unstrukturierter Berechnungsnetze eingegangen werden und anschlieend die Generierung kombinierter strukturierter{ unstrukturierter Hybridnetze vorgestellt werden.

7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung Der erste Schritt bei der Generierung eines unstrukturierten Berechnungsnetzes ist die De nition der Gebietsberandung. Der Gebietsrand setzt sich aus verschieden Randsegmenten zusammen, die sich in Geometrie und Funktion unterscheiden. Fur die Beschreibung einer Geometrie stehen dabei von Liniensegmenten, Kreisbogen, Splines bis hin zu einer expliziten Vorgabe einer beliebigen Geometrie anhand von Randpunkten eine Vielzahl von Moglichkeiten zur Verfugung, so da im Prinzip fur die Komplexitat der Gebietsberandung keinerlei Einschrankung besteht. Fur die spatere Stromungsberechnung unterscheidet man zwischen Eintritts{, Austritts{, und stromungsfuhrenden Randern. Nachdem der Gebietsrand de niert ist, wird er eindimensional diskretisiert, d.h. mit Knoten belegt, und bildet somit eine Front, deren Frontstucke zu Grundseiten noch zu generierender Elemente werden. Durch Hinzufugen von weiteren Knoten im Gebietsinnern und dem Verbinden von Knoten zu Elementen wird das Gebiet Schritt fur Schritt vom Rand aus mit Elementen ausgefullt. Dabei wird die Front kontinuierlich aktualisiert, so da sie immer das noch zu vernetzende Gebiet umschliet. Dieser Vorgang wird solange fortgesetzt, bis das gesamte Gebiet luckenlos vernetzt ist. Diese auch als 'Advancing Front Methode' bezeichnete Vorgehensweise ist von Greza [101] ausfuhrlich beschrieben worden. Um nun nicht nur eine vollstandige Vernetzung zu gewahrleisten, sondern auch Ein u auf die lokalen Netzcharakteristika zu nehmen, werden uber ein sogenanntes Hintergrundnetz, spezielle Netzparameter vorgegeben, die die Elementgroe und Gestalt festlegen. Das Hintergrundnetz stellt eine sehr grobe manuelle Vernetzung des Berechnungsgebietes dar, an dessen Elementknoten die Netzparameter festgelegt werden. Die drei Netzparameter:

 Elementhohe   Elementstreckung S  Streckungsrichtung  sind in Abbildung 7.1 graphisch dargestellt.

88

Kapitel 7 Netzgenerierung

Sδ δ y

α x

Abbildung 7.1: De nition der unstrukturierten Netzparameter

7.2 Generierung von Hybridnetzen Die Generierung von Hybridnetzen soll am Beispiel einer sehr spitzen Geometrie, wie sie in Abbildung 7.2 dargestellt ist, erlautert werden [100]. Diese Geometrie stellt eine Extremsituation fur die Netzgenerierung dar und kommt in der Form im Allgemeinen nur sehr selten vor. Fur die Demonstration der Netzgenerierung ist sie jedoch sehr anschaulich, da hier die Robustheit der Methode deutlich wird. Begonnen wird wie bei der rein unstrukturierten Vernetzung zuerst mit der De nition der Randgeometrie. Danach werden die Randpunkte generiert. Es entsteht eine sogenannte "Front", die eine Aneinanderreihung von Liniensegmenten darstellt. Das zu vernetzende Berechnungsgebiet liegt immer links des Frontverlaufs, der in Abbildung 7.2 durch die Pfeile dargestellt ist. Die Front wird im Verlauf der Netzgenerierung aktualisiert, so da dieses immer gewahrleistet bleibt. In den Randknoten werden Normalenvektoren errichtet, auf denen dann die Knoten des strukturierten Netzes verteilt werden. Die Verteilung erfolgt entsprechend der Anzahl der Elementschichten und der vorgegebenen Gitterabstande. Hier kann durch die Vorgabe der Netzknoten die gewunschten Eigenschaften des strukturierten Netzes genau festgelegt werden. Die zur Verfugung stehenden charakteristischen Parameter des strukturierten Netzes sind:

 Anzahl der Gitterlinien  Gitterlinienabstand  Verteilung der Gitterlinien auf der Normalen

7.2 Generierung von Hybridnetzen

89

Zu diesem Zeitpunkt wird die Festlegung der Knoten ohne Berucksichtigung moglicher zukunftiger U berschneidungen von Elementen durchgefuhrt (Abb. 7.2). Nachdem alle

Abbildung 7.2: Randknotengenerierung und Belegung der Normalenvektoren mit Gitterpunkten Knoten des strukturierten Netzteils festgelegt sind, werden schichtweise die Knoten zu Rechteck{Elementen zusammengefat. Hierbei wird mit der wandnachsten Elementschicht begonnen. Wahrend der Generierung der Elemente wird uberpruft, ob es zu U berschneidungen mit anderen Elementen oder zu deformierten Elementen, wie sie in Abbildung 7.3 dargestellt sind, kommt. Die Forderung, da alle Knoten auf Wandnormalen liegen, fuhrt in Geometrien mit spitzen Winkeln oder kleinen Abmessungen zu U berschneidungen oder zu konvexen Elementen, die fur eine spatere Unterteilung der Rechteckelemente in Dreieckelemente ungeeignet sind. Entsprechende Elemente, sowie auch alle uber diesem Element

ß

Überschneidung von

Deformation eines

Negative Fläche

zwei Elementen

Elements, da ß > 180°

eines Elements

Abbildung 7.3: Elementdeformationen bei der Elementgenerierung liegenden Elemente, werden verworfen. Diese U berprufung erfolgt aus Rechenzeitgrunden nicht mit allen bereits existierenden Rechtecken, sondern nur mit der Front. Knoten, die

90

Kapitel 7 Netzgenerierung

Abbildung 7.4: Schichtweise Generierung der Rechteckelemente noch nicht in das Berechnungsnetz integriert sind, sind als Kreise dargestellt. Sobald sie zu einem Element gehoren werden sie als ausgefullte Kreise dargestellt. In Abbildung 7.4 erkennt man, da es im unmittelbaren Bereich der Ecke zu Elementuberschneidungen kommt und die beteiligten Elemente ausgesondert werden. Es wird so eine Elementschicht nach der anderen generiert, bis alle Knoten vernetzt sind. Die so entstandenen Rechteck{ Elemente konnen nun je nach verwendetem Stromungsloser als Rechteck{Elemente erhalten bleiben oder jeweils in zwei Dreieck{Elemente unterteilt werden, wie in Abbildung 7.5 dargestellt. Der nun noch verbleibende Teil des Berechnungsgebietes lat sich unstrukturiert vernetzen. Die hier beschriebene Methode zur Generierung von Hybridnetzen zeichnet sich

Abbildung 7.5: Schichtweise Generierung der Rechteckelemente durch eine groe Robustheit bei beliebig komplexen Gebietsberandungen aus. Dadurch, da Elemente, die problematisch hinsichtlich der Netzgenerierung sind, von vornherein weggelassen werden, ist gewahrleistet, da immer ein Netz erstellt werden kann. Durch diese sehr rigorose Vorgehensweise ist es notwendig, da der Anwender ein besonderes Augenmerk auf die problematischen Geometriebereiche hat, um zu uberprufen, ob das Berechnungsnetz dort den Anforderungen des Stromungslosers genugt.

Kapitel 8 Ergebnisse In den bisherigen Kapiteln wurden Grundlagen fur die Simulationen von kompressiblen reaktiven Stromungen dargelegt, die in den Code implementiert sind. Mit diesem Code wurden eine Vielzahl von Simulationen fur Stromungen von Scramjet{Antrieben durchgefuhrt. Die Simulationsergebnisse, die in den nachsten Abschnitten vorgestellt werden, beziehen sich auf unterschiedliche Teilbereiche von Scramjet{Antrieben.

Duse Brennkammer Isolator Einlauf

Abbildung 8.1: Skizze eines Scramjet-Triebwerks

92

Kapitel 8 Ergebnisse

Ein Scramjet{Antrieb lat sich in vier groe Baugruppen unterteilen, wie in Abbildung 8.1 dargestellt ist. 1. Einlauf: Hier wird die U berschallstromung uber mehrere Schragstoe verzogert und in den Einlaufkanal umgelenkt. 2. Isolator: Der Isolator ist ein Kanal zwischen dem Einlauf und der Brennkammer. Die Schragstoe aus dem Einlauf werden zwischen den Kanalwanden re ektiert, so da sich ein sogenannter "shock train" ausbildet. Dadurch werden Storungen, die sich im Grenzschichtbereich aus der Brennkammer in den Einlaufbereich ausbreiten konnten, abgedampft (isoliert). Dieses ist fur einen sicheren Betrieb eines ScramjetAntriebs unumganglich. Am Ende des Isolators konnen je nach Bauform Einspritzsysteme fur die Brennstozufuhr angebracht sein. 3. Brennkammer: Hier ndet die Verbrennung des zum Teil schon im Isolator eingebrachten Treibstoffes statt. Die Diusionsverbrennung wird dabei von der Art des Einspritzsystems bestimmt. Zur Flammenstabilisierung konnen Stufen oder sogenannte Flammenhalter angeordnet sein. Durch die Warmezufuhr erfolgt ein Anstieg des Wanddruckes langs der Brennkammer. 4. Duse: Die Duse dient zur eigentlichen Schuberzeugung durch die Expansion des Verbrennungsgases. Um einen ersten Eindruck von den Stromungsverhaltnissen in einem Scramjet-Triebwerk zu bekommen, ist fur die oben vorgestellte Geometrie eine Eulerrechnung d urchgefuhrt worden. In den Abbildungen 8.2 bis 8.4 sind die Isobaren dargestellt. In Abbildung 8.2 erkennt man die drei schragen Verdichtungsstoe, die durch die Rampen erzeugt werden. Am Ende der Rampen wird die Stromung mit einer Prandtl{Meyer Expansion in den Triebwerkskanal umgelenkt. Man erkennt hier, wie die drei Rampen-Stoe auf die obere Lippe des Einlaufs treen und von dort in den Kanal re ektiert werden. Dieses stellt hier einen Sonderfall dar, da ublicherweise die Stoe dieser Auenverdichtung vor der Lippe liegen und der nach innen laufende Sto von der Lippenspitze induziert wird. Der re ektierte Sto d urchlauft dabei den Expansionsfacher und wird durch ihn zur unteren Kanalwand hin umgelenkt. Von der konkaven Ecke an der oberen Lippe wird ein Sto induzier t, der sich ebenfalls in den Isolator hinein fortp anzt. Im Isolator ndet dan n eine Re exion der Stoe zwischen den Kanalwanden statt, wie in Abbildung 8.3 zu sehen ist. Dieser sogenannte "shock train" setzt sich bis in die Brennkammer fort (Abb. 8.4). Hier wird die

93 Stromung uber eine ruckspringende Stufe expandiert, wodurch unmittelbar hinter der Stufe ein Rezirkulationsgebiet, das zur Verbrennungsstabilisierung dient, ensteht. Hinter dem Rezirkulationsgebiet wird aufgrund der Stromungsumlenkung ein Rekompressionssto induziert. Vergleicht man nun die Wanddruckverteilung der Eulerrechnung in Abbildung 8.5 fur die untere (Lippe) und obere Kanalwand (Rampe) des Scramjets mit Messungen des russischen Forschungsinstitutes TsAGI [102] in Abbildung 8.6, so ergibt sich rein qualitativ eine sehr gute U bereinstimmung. Sowohl bei den Rechenergebnissen wie auch bei den Meergebnissen, sind die Drucksprunge uber die schragen Verdichtungsstoe und der Druckabfall uber den Expansionsfacher zu erkennen. Auch die Store exionen im Isolator stimmen gut uberein. Hier ist anzumerken, da die Druckspitzen in den Meergebnissen gegenuber den Rechenergbnissen deutlich abgedampft sind. Die Erklarung hierfur ist die in der Realitat auftretende reibungsbedingte Sto-Grenzchicht-Wechselwirkung. Der Druckabfall im Bereich der Stufe wie auch der folgende Druckanstieg aufgrund des Rekompressionsstoes ist ebenfalls gut zu erkennen. In Abbildung 8.6 sind zusatzlich noch die Ergebnisse fur eine Wasserstoeinspritzung mittels einer Einspritz nne kurz vor der Brennkammer mit anschlieender Reaktion dargestellt. Es ist hier ein deutlicher Druckanstieg in der Brennkammer festzustellen. Auerdem erkennt man die stabilisierende Wirkung des Isolators, da der Druckanstieg in der Brennkammer sich nicht uber die Wandgrenzschicht in den Einlaufbereich hin fortp anzt. Dieses bedeutet fur den Betrieb des Scramjets, da der Druckanstieg aufgrund der Verbrennung in der Brennkammer hier nicht zum Blockieren des Einlaufs fuhrt. In den nun folgenden Abschnitten werden ausgewahlte Bereiche und Stromungsphanomene detaillierter untersucht. Im ersten Abschnitt werden numerische Simulationen von unterschiedlichen Einlaufstromungen vorgestellt. Diese Berechnungen entstanden im Rahmen eines Hyperschalltechnologieprogramms, an dem die deutsche Luft{ und Raumfahrtindustrie, sowie das russische Forschungsinstitut TsAGI beteiligt waren. Dieses Programms diente der Entwicklung von Scramjet{Technologie [102]. Im zweiten Abschnitt wird die nicht-reaktive U berschallstromung u ber eine ruckspringende Stufe gezeigt. Fur diese Geometrie, die in Scramjet-Brennkammern zur Flammenstabilisierung eingesetzt wird, liegen detaillierte experimentelle Ergebnisse von McDaniel [103] vor, die zur Validierung des Stromungslosers herangezogen werden konnten. Im dritten Abschnitt wird die Stromung einer U berschallscherschicht vorgestellt. Dieser Stromungstyp tritt beim Einspritzen von Treibsto in die U berschallstromung einer Scramjet-Brennkammer auf. Hier werden sowohl die Mischungsprozesse als auch die Reaktionsprozesse numerisch simuliert und mit numerischen Ergebnissen von Melen [60] verglichen.

94

Kapitel 8 Ergebnisse

Abbildung 8.2: Isobaren im Einlaufbereich (Eulerrechnung)

Abbildung 8.3: Isobaren im Isolator (Eulerrechnung)

Abbildung 8.4: Isobaren in der Brennkammer und der Duse (Eulerrechnung)

95

P/P t

Rampe Lippe

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x/h Ma = 6.3

Abbildung 8.5: Berechnete Wanddruckverteilung Eulerrechnung P/P t ohne

mit

Verbr.

Verbr.

Rampe Lippe

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x/h Ma = 6.3

H2

Abbildung 8.6: Gemessene Wanddruckverteilung von TsAGI

55

96

Kapitel 8 Ergebnisse

8.1 Scramjet-Einlaufe Im Rahmen des Hyperschalltechnologieprogramms wurden verschiedene Geometrien fur Scramjeteinlaufe untersucht. Es handelt sich hierbei um eine ebenen Drei-Stodiusor, der in einen Rechteckkanal mundet, wie er in Abbildung 8.7 dargestellt ist. Wie bereits erwahnt soll durch eine optimale Gestaltung des Einlaufs eine moglichtst verlustarme Verzogerung und Kompression der Stromung erreicht werden. Fur eine feste, nicht variable Geometrie lat sich dieses Optimum nur fur eine Auslegungsmachzahl und den damit verbundenen Stromungsparametern erreichen. In kleineren bzw. hoheren Flugmachzahlbereich entfernt sich die Funktionfahigkeit des Einlaufs vom Optimum. Die Geometrie ist somit innerhalb der Abmessungsrandbedingungen, derart auszulegen, da neben dem Auslegungspunkt auch das Betriebsverhalten uber das gesamte Flugmachzahlspektrum optimiert ist. Eine Skizze der auftretenden Stromungsphanomene ist in Abbildung 8.7 dargestellt. Die StoßExpansionsfächer

Grenzschichtwechselwirkung

Schrägstöße

Abbildung 8.7: Skizze der Scramjeteinlauf{Stromung Stromung trit auf mehrere hinterainanderliegende Rampen. Durch die jeweilige Umlenkung werden Verdichtungsstoe induziert. Die Starke der Umlenkung bestimmt hier die Kompression und die damit verbundenen Verluste. Abschlieend erfolgt eine Umlenkung mittels einer Prandtl{Meyer Expansion in den Triebwerkskanal oder auch Isolator. Durch die sehr komplexe Stokon guration und eine starke Sto{Grenzschicht{Wechselwirkung wird hier die Qualitat der Einlaufgeometrie bezuglich der Stromungsverluste und einer storungsfreien Anstromung in die Brennkammer bestimmt. Die Ergebnisse der durchgefuhrten Simulationen zeigen, da starke Verdichtungsstoe im Kanalhals zu Grenzschichtablosungen fuhren. Diese Abloseerscheinung lat sich anhand der Skizze in Abbildung 8.8 erlautern. Der einfallende Sto verursacht aufgrund des Drucksprungs im unmittelbaren Bereich der Wand ein Ruckstromgebiet und damit eine Ablosung der Grenzschicht [104]. Durch die damit verbundene Aufdickung der Grenzschicht wird die Stromung am Beginn der Ablosezone umgelenkt. Diese Umlenkung induziert einen Kom-

8.1 Scramjet-Einlaufe

97

pressionsto der sich vom Anfang der Ablosezone her ausbildet. Die Stromung wird am Scheitelpunkt der Abloseblase abermals umgelenkt, was zu einem Expansionsfacher fuhrt. Am Ende des Rezirkulationsgebietes wird die Stromung wieder wandparallel umgelenkt, wodurch ein Rekompressionssto erzeugt wird. In den folgenden Abbildungen sind die Kompressionswellen

er ch sfä n sio an Exp Grenzschichtrand

Rezirkulationsgebiet

Abbildung 8.8: Skizze einer Sto{Grenzschicht Interaktion Ergebnisse der numerischen Simulationen dargestellt. Bei der Berechnung wurde das k{" Modell eingesetzt und fur die Dampfung der FCT-Algorithmus verwendet. In Abbildung 8.9 ist ein Ausschnitt des Berechnungsnetzes fur eine Einlaufgeometrie, die fur eine Anstrommachzahl von Mad = 6:25 ausgelegt ist, dargestellt. Der Ausschnitt be ndet sich direkt am Anfang des Triebwerkskanals, wo die erwarteten Stromungsphanomene, wie Store exion und Sto{Grenzschicht{Wechselwirkung auftreten. Man erkennt die verfeinerte Netzstruktur im Bereich der Stoe und im Grenzschichtbereich. Im unmittelbaren Wandbereich kommt ein strukturiertes Berechnungsgitter fur die Anwendung des logarithmischen Wandgesetzes zum Einsatz. In Abbildung 8.10 sind die Isolinien der Dichte dargestellt. Man erkennt die drei schragen Verdichtungsstoe. Von der obere Einlau ippe wird ein weiterer Verdichtungssto induziert, der sich in den Triebwerkskanal hinein erstreckt. Erkennbar ist auerdem die Wandgrenzschicht auf der Rampe, sowie der Expansionsfacher an der konvexen Ecke der Rampenseite. In Abbildung 8.11 sind die Isobaren dargestellt. Deutlich zeichnet sich das Rezirkulationsgebiet auf der unteren Kanalseite ab. Die Kompressionsstoe vor und hinter der Rezirkulationsblase sind ebenfalls gut zu erkennen, wie auch der Expansionsfacher auf dem Scheitelpunkt der Blase. In der Darstellung der Isolinien der Machzahl in Abbildung 8.12 ist die sich ablosende Grenzschicht auf der unteren Kanalseite ebenfalls gut erkennbar. Auch die Wanddruckverteilung in Abbildung 8.13 zeigt die Stromungsphanomene, wie sie in den Isoliniendarstellungen zu sehen sind. So sind auf der unteren Kontur die drei Drucksprunge uber die Verdichtungsstoe mit der sich anschlieenden Expansion zu sehen.

98

Kapitel 8 Ergebnisse

Darauf folgt der Drucksprung des Kompressionsstoes vor dem Rezirkulationsgebiet und der konstante Druckverlauf innerhalb des Gebietes. Abschlieend folgt dann der Druckanstieg durch den Verdichtungssto am Ende der Rezirkulationsblase. Die Stoe werden danach zwischen den Kanalseiten re ektiert, wobei ihre Starke stetig abnimmt.

Abbildung 8.9: Netzgeometrie fur den Einlauf Mad = 6:25

Abbildung 8.10: Isodichtelinien fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3

Abbildung 8.11: Isobaren fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3

8.1 Scramjet-Einlaufe

99

Abbildung 8.12: Isomachlinien fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3

P/P t

Rampe Lippe

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x/h Ma = 6.3

Abbildung 8.13: Wanddruckverteilung fur Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3

100

Kapitel 8 Ergebnisse

Die bei dieser Einlaufgeometrie festgestellte Ablosezone im Einlaufquerschnitt ist fur einen sicheren und stabilen Betrieb eines Scramjettriebwerks nicht von Vorteil, da sie durch die damit verbundene Querschnittsverengung die Neigung zum Blockieren der Stromung verstarkt. Es ist deshalb notwendig, die Geometrie hier so abzuandern, da dieses Ablosegebiet deutlich reduziert wird. Der Einlauf wurde daraufhin verlangert und die Rampenwinkel damit verkleinert. In Tabelle 8.1 sind die entsprechenden Variationen angegeben. Die nun etwas verminderte Starke der Stoe fuhrte zu einer deutlichen Reduzierung der Rampenwinkel Lange Rampe 1 Rampe 2 Rampe 3 Rampe 4 Original 522 mm 9:5 16:7 24:7 6:0 Modi kation 622 mm 7:5 15:0 20:0 5:0 Tabelle 8.1: Geometrievariation Ablosezone und damit auch zu einer Reduzierung der Stromungsverluste. Die Abbildungen 8.14 und zeigen diese Verkleinerung des Rezirkulationsgebietes anhand der Isolinien der Machzahl. Die modi zierte Geometrie stellt also eine wesentliche Verbesserung gegenuber der Originalgeometrie dar. Sie wurde von TsAGI daraufhin experimentell untersucht. Diese Ergebnisse konnten zum Vergleich mit entsprechenden numerischen Simulationen fur die modi zierte Geometrie herangezogen werden. Die numerischen Simulationen wurden hier mit dem k{" Modell durchgefuhrt. In Abbildung 8.15 sind die experimentellen Ergebnisse als Wanddruckverteilung fur eine Ma = 7 Anstromung dargestellt. Hier ist fur die Druckverteilung auf den Rampen eine sehr gute U bereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen festzustellen. Dieses bedeutet, da die Anstrombedingungen gut eingehalten worden sind. Die Expansion an der konvexen Ecke auf der unteren Kanalwand wie auch die ersten Store exionen werden ebenfalls von der numerischen Simulation gut wiedergegeben. Danach sind gewisse Abweichungen zu erkennen, die durch die Storung der Stromung durch eine im Experiment vorhandene Druckme nne im Einlaufkanal, zu erklaren sind. Es hat sich hier im Experiment wie auch in der Rechnung gezeigt, da diese neue modi zierte Einlaufgeometrie zu keinen groeren Abloseerscheinungen im Einlaufkanal fuhrt. Auch der Vergleich fur eine Anstrommachzahl Ma = 8 in Abbildung 8.16 zeigt zwischen dem Experiment und der numerischen Simulation eine qualitativ gute U bereinstimmung. Die Abweichungen im Bereich der dritten Rampe und die etwas mehr verschmierte Au osung der Verdichtungsstoe lat sich durch die sehr hohe Machzahl erklaren, die fur die numerische Simulation im Grenzbereich der Stabilitat liegt und eine verhaltnismaig hohe Dampfung erfordert, die zur Verschmierung der Verdichtungsstoe fuhrt. Im weiteren Verlauf werden jedoch die Expansion, die durch den Druckabfall an der konvexen Ecke der unteren Berandung gekennzeichnet ist, und die Re exionen der Verdichtungsstoe gut

8.1 Scramjet-Einlaufe

101

a) Originaleinlauf

b) modifizierter Einlauf

Abbildung 8.14: Isomachlinien fur den Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3 wiedergegeben. Auch hier sind Abweichungen durch den Einbau einer Druckme nne im Einlaufkanal im Experiment zu erklaren.

102

Kapitel 8 Ergebnisse

P/P t [-]

Exp. Rechn.

Rampe

0.015

Lippe

0.010

0.005

0.000 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x [m]

20° 15° 7,5°

Abbildung 8.15: Wanddruckverteilung fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 7

P/P t [-]

Exp. Rechn.

Rampe Lippe

0.005

0.000 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x [m]

20° 15° 7,5°

Abbildung 8.16: Wanddruckverteilung fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 8

8.2 Ruckspringende Stufe

103

8.2 Ruckspringende Stufe In diesem Abschnitt soll die numerische Simulation einer Stromung, wie sie in einer Brennkammer fur U berschallverbrennung auftritt, vorgestellt werden. Zur Validierung der Rechnung standen Medaten von McDaniel et al. [103] zur Verfugung. Die Geometrie einer derartigen Brennkammer ist sehr einfach und kann als ein Kanal mit einer ruckspringenden Stufe beschrieben werden, wie in Abbildung 8.17 dargestellt ist.

z 40

x 30

y 0

10

20 x [mm]

Abbildung 8.17: Skizze des Stromungskanals Die Stromung wird der Brennkammer aus dem Einlaufbereich mit einer Machzahl von Ma = 2 zugefuhrt. In dem hier vorgestellten Validierungsfall wird von einer storungsfreien Anstromung ausgegangen, um eine leichter zu kontrollierende Stromungssituation zu gewahrleisten. Die Stosyteme aus dem Einlaufbereich, wie sie im vorangegangenen Abschnitt vorgestellt worden sind, werden nicht mitberucksichtigt, da hier ein Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen, die eine storungsfreie Anstromung beinhalteten, im Vordergrund steht. Die in der Brennkammer auftretenden Stromungsphanomene sind in Abbildung 8.18 skizziert. Die Mach 2 Stromung wird mit einer Prandtl{Meyer{Expansion u ber die Stufe umgelenkt. Die Stromung lost sich dabei von der Wand ab und legt sich erst nach einer gewissen Distanz stromabwarts wieder an die Wand an. Die Stromung wird dabei von Mach 2 auf Mach 2.6 beschleunigt. Am Wiederanlegepunkt wird durch die abermalige Umlenkung der Stromung in wandparallele Richtung ein Rekompressionssto auf Mach 2.1 induziert. Im unmittelbaren Bereich hinter der Stufe bildet sich ein Rezirkulationsgebiet aus. Dieses Rezirkulationsgebiet dient im Scramjet{Betrieb als Flammenhalter und

104

Kapitel 8 Ergebnisse

stabilisiert bzw. ermoglicht damit die Verbrennung.

Abbildung 8.18: Skizze der charakteristischen Stromungsphanomene Die Messung von Stromungsparametern in U berschallstromungen erfordert den Einsatz von beruhrungslosen Memethoden, um Storungen im Stromungsfeld, hervorgerufen durch den Einsatz von Sonden in der Stromung, zu vermeiden. Hier bieten sich auf Lasern basierende Mesysteme an. McDaniel nutzte in dem hier beschriebenen Stromungsfall die laserinduzierte Fluoreszenz von Jodmolekulen [105]. Dabei werden der Stromung beigefugte Jodmolekule durch einen Laserstrahl angeregt und deren Fluoreszenzsignal mit einem Photomultiplier aufgezeichnet. Aus den Frequenz{ und Phasenverschiebungen der Signale konnen dann die Temperatur [106], der Druck und die Geschwindigkeit [107] [108] bestimmt werden. Es wird hier die Laser{Induced{Iodine{Fluorescence (LIIF) Technik, die eine punktweise Messung ermoglicht, und die zweidimensionale Planar{Laser{Induced{ Iodine{Fluorescence (PLIIF) Technik eingesetzt [109]. Die Ungenauigkeit dieser Methoden liegt bei 2 - 6%. Fur die numerische Simulation ist das Berechnungsgebiet unstrukturiert vernetzt worden, wie in Abbildung 8.19 dargestellt ist, wobei im Bereich der Stufe eine Netzverfeinerung zur besseren Au osung des Ablosebereiches und des Rezirkulationsgebietes zu nden ist. Desweiteren sind die Bereiche, in denen der Expansionsfacher bzw. der Rekompressionssto erwartet wird, mit kleinen Elementen vernetzt worden. Die festen Berandungen sind fur die Anwendung des logarithmischen Wandgesetzes mit einem strukturierten Netz belegt. Als Randbedingungen wurde am Eintritt, entsprechend der Charakteristiken einer U berschallstromung, eine Dirichlet`sche Randbedingung vorgeschrieben.

8.2 Ruckspringende Stufe

105

y [m] 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 -0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

x [m]

Abbildung 8.19: Netzgeomtrie Im einzelnen ergeben sich die folgenden Randbedingungen: P0 = 274 kPa T0 = 300 K Ma = 2 P1 = 35 kPa T1 = 167 K u1 = 518 m/s Am Eintritt wird zudem ein Grenzschichtpro l am unteren und oberen Kanalrand vorgegeben, wobei die Grenzschichtdicke jeweils 1.45 mm betragt. Bei der numerischen Simulation des Stromungsproblems wurde das Taylor-GalerkinZweischrittverfahren eingesetzt. Die Turbulenz ist mit dem k{"{Modell unter der Berucksichtigung von Kompressibilitatseekten modelliert worden. Im Bereich der festen Berandung wurde das logarithmische Wandgesetz verwendet. In den nun folgenden Abbildungen werden die Ergebnisse der Berechnungen mit den experimentellen Ergebnissen verglichen. In Abbildung 8.20 sind die Isobaren der Rechnung dargestellt. Im Vergleich mit Abbildung 8.21, in der die Isobaren der PLIIF{Messung dargestellt sind, zeigt sich eine sehr gute U bereinstimmung. Im unmittelbaren Bereich hinter der Stufe, im Ablosegebiet, wird im Experiment ein etwas niedrigerer Druck erreicht als in der Rechnung, was mit der Kondensation der Jodmolekule im Rezirkulationsgebiet zu erklaren ist, wodurch die Druck und Temperaturmewerte gesenkt werden [103]. Beim Vergleich der Temperaturisolinien der Rechnung in Abbildung 8.22 mit den experimentellen Ergebnissen in Abbildung 8.23 ergibt sich ebenfalls eine sehr gute U bereinstimmung. Die etwas niedrigeren experimentellen Temperaturwerte im Wandbereich sind durch die Streuung des Fluoreszenzsignals bei den PLIIF-Messungen in diesem Gebiet zu erklaren [103].

106

Kapitel 8 Ergebnisse

Einen genaueren Vergleich der numerischen Ergebnisse mit den experimentellen Ergebnissen ist mit den drei Schnittgeraden, die senkrecht zur Kanalachse durch das Stromungsfeld gelegt wurden, moglich. Die erste Schnittgerade (Abbildung 8.24) liegt bei einer x{Koordinate von x=5.58 mm nach der Stufe und damit in der Rezirkulationszone. Man erkennt die Druckabsenkung hinter der Stufe. Im Geschwindigkeitspro l der u{Komponente erkennt man die Beschleunigung der Stromung im Expansionsfacher und die Ruckstromung im Wandbereich der Rezirkulationsgebietes. Insgesamt ist eine gute U bereinstimmung mit den Meergebnissen festzustellen. Der zweite Pro lschnitt (Abbildung 8.25) liegt bei einer x{Koordinate von x=9.54 mm am Ende des Rezirkulationsgebietes. Der Expansionsfacher ist deutlich breiter an dieser Stelle und somit sind auch die Gradienten geringer. Man erkennt, da die Ruckstromung nur noch sehr gering ist und somit die Wiederanlegung der Stromung kurz bevor steht. Auch hier zeigen die numerische Simulation und das Experiment vergleichbare Ergebnisse. Insbesondere bei den Geschwindigkeitskomponenten ist die U bereinstimmung sehr gut, d.h. die Stromungswinkel werden durch die Rechnung sehr gut wiedergegeben. Im dritten Pro l (Abbildung 8.26), das weit hinter der Wiederanlegezone bei x=21.21 mm liegt, erkennt man das schon wieder deutlich ausgepragte Grenzschichtpro l. Die Druckverteilung zeigt den nun schon fast die gesamte Kanalhohe ausfullenden Expansionsfacher mit dem sich unten anschlieenden Rekompressionssto, der sich in einem Drucksprung zeigt. In den Abbildungen 8.27 und 8.28 sind abschlieend das Geschwindigkeitsvektorfeld der numerischen Rechnung und des Experimentes dargestellt. Die Verbreiterung des Stromlinienabstandes ist die Expansion der Stromung uber die Stufe deutlich erkennbar. Auch das Rezirkulationsgebiet hat in der Rechnung eine gegenuber dem Experiment vergleichbare Ausdehnung. An dieser Stelle sei erwahnt, da durch die Berucksichtigung der Kompressibilitatsein usse im Turbulenzmodell eine deutlich verbesserte U bereinstimmung mit dem Experiment erreicht werden konnte(vergl. Tabelle 8.2). So liegt die Lange des Rezirkulationsgebietes bei der Simulation mit Kompressibilitat wesentlich naher an den experimentellen Ergebnissen. Durch die Berucksichtigung der Kompressibilitat wurde die Turbulenz Lange des Rezirkulationsgebietes k{"{Modell ohne Kompressibilitat 10,80 mm 11,22 mm k{"{Modell mit Kompressibilitat Experiment [103] 11,46 mm Tabelle 8.2: Lange des Rezirkulationsgebietes im Bereich der Scherschicht um ca. 7,3% abgesenkt, wodurch die nun weniger turbulente Stromung zu einer Vergroerung des Rezirkulationsgebietes fuhrt.

8.2 Ruckspringende Stufe

107

0.99 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.45

0.45

0.5 0.6 0.7

0.8

0.9

Abbildung 8.20: Druck{Isolinien (P=P1 ) Rechnung

Abbildung 8.21: Druck{Isolinien (P=P1 ) PLIIF Messung [103]

108

Kapitel 8 Ergebnisse

1.05

1.1

1.2

0.95 0.9 0.85

0.9 1.6

0.95 1.2

1.05 1.3

Abbildung 8.22: Temperatur{Isolinien (T=T1 ) Rechnung

Abbildung 8.23: Temperatur{Isolinien (T=T1) PLIIF Messung [103]

8.2 Ruckspringende Stufe

T/Too P/Poo T/Too P/Poo

Z/H

5.0 4.0

LIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

6.0 4.0 2.0

1.0

1.0 0.5

1.0

1.5

0.0 -0.5

2.0

PLIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

2.0 0.0 0.0

V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo

5.0 Z/H

6.0

109

P/Poo T/Too

0.0

0.5

1.0

1.5

V/Uoo U/Uoo

Abbildung 8.24: Pro lschnitt Position x=5.58 mm

T/Too P/Poo T/Too P/Poo

Z/H

5.0 4.0

LIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

6.0 4.0 2.0

1.0

1.0 0.5

1.0

1.5

0.0 -0.5

2.0

PLIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

2.0 0.0 0.0

V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo

5.0 Z/H

6.0

P/Poo T/Too

0.0

0.5

1.0

1.5

V/Uoo U/Uoo

Abbildung 8.25: Pro lschnitt Position x=9.54 mm

T/Too P/Poo T/Too P/Poo

Z/H

5.0 4.0

LIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

6.0 4.0 2.0

1.0

1.0 0.5

1.0

P/Poo T/Too

1.5

2.0

PLIIF LIIF Rechn. Rechn.

3.0

2.0 0.0 0.0

V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo

5.0 Z/H

6.0

0.0 -0.5

0.0

0.5

V/Uoo U/Uoo

Abbildung 8.26: Pro lschnitt Position x=21.21 mm

1.0

1.5

110

Kapitel 8 Ergebnisse

Abbildung 8.27: Geschwindigkeitsvektoren Rechnung

Abbildung 8.28: Geschwindigkeitsvektoren Messung [103]

8.3 Scherschichtstromungen

111

8.3 Scherschichtstromungen Im letzten Abschnitt wurde die Stromung durch eine U berschallbrennkammer ohne Treibstozufuhr gezeigt. In diesem nun folgenden Abschnitt werden Stromungssimulationen vorgestellt, die mit der Treibstozufuhr in eine derartige Brennkammer zusammenhangen. Der Treibsto, in diesem Fall Wassersto, wird mittels eines Einspritzsystems in die Brennkammerstromung eingebracht. Der Betrieb der Brennkammer hangt dann entscheidend von der Mischung des Brennstostroms mit der Brennkammerstromung ab. Die Reaktion des Treibstos erfolgt in der Mischungszone, so da sich ein Diusions amme ausbildet, die aufgrund der hohen Reynoldszahlen einen turbulenten Charakter hat. Zur Validierung des Stromungscodes und des implementierten Reaktionsmodels ist eine Modellstromung gewahlt worden, die sich ausschlielich auf die Mischungs{ und Reaktionszone unmittelbar nach dem Zusammentreen von Brennsto{ und Oxidatorstrom beschrankt, wie in Abbildung 8.29 dargestellt ist. Berechnungsgebiet Reaktionszone Luft

Wasserstoff Mischungszone

Abbildung 8.29: Luft{Wassersto Diusions amme Desweiteren wird die Interaktion mit Verdichtungsstoen, die in einer realen Brennkammer aus dem Isolator herauswandern, in diesen Untersuchungen nicht berucksichtigt. Im Folgenden sollen die verwendeten Randbedingungen kurz erlautert werden. Am Eintritt in das Berechnungsgebiet wird ein Scherschicht mit endlicher Ausdehnung und einem Pro l fur den Mischungsbruch, wie in Abbildung 8.30 dargestellt, vorgeschrieben. Fur den Geschwindigkeitsverlauf uber die Mischungszone am Eintritt sieht das Pro l analog aus.

112

Kapitel 8 Ergebnisse

Y

0.01m

0

1

~ Z

Abbildung 8.30: Eintrittspro l fur die Scherschichtsimulationen Die turbulente kinetische Energie am Eintritt wird in Anlehnung am die Arbeit von A. Stoukov [110] vorgeschrieben. Hier wird von einer Fluktuation der Geschwindigkeit in der Form u0 = A U0 sinx mit A = 0:05 ausgegangen. Damit gilt:

u0 u0 = A2 U02 sin2 x 2 2 u0 u0 = A 2U0 Daraus ergibt sich fur die turbulente kinetische Energie k:

k = 12 u0u0

2 2 kinit = A 4U0

=)

Schlielich wird ein Eintrittspro l der Form:

0 @ u 1 ek = A2 + @  @y A kinit @u 4 @ y max

(8.1)

vorgeschrieben. Die charakteristische turbulente Zeit T wird am Eintritt fest vorgeschrieben, womit sich damit fur die Dissipation der folgende Ausdruck ergibt:

T  10;4s

=)

f  104 "K

(8.2)

8.3 Scherschichtstromungen

113

Zur Charakterisierung der Scherschicht wird die konvektive Machzahl nach Papamoschou [70], die einen Parameter fur die Kompressibilitat der Scherschicht darstellt, verwendet:

s U2 mit c =  p Mc = Uc1 ;  1 + c2

(8.3)

8.3.1 Nichtreaktive U berschallscherschichten Zur Validierung der numerischen Rechnungen soll hier der Fall einer nichtreaktiven Scherschicht untersucht werden. Als Referenz dienen die Arbeiten von Brown und Roshko [111], Papamoschou [70] und das NASA Langley Experiment von Kline et. al. [112]. Zur Berechnung der Aufweitung der Mischungszone mit der Lau ange wird die Breite der Zone betrachtet, fur die gilt, da der Mischungsbruch im Bereich von 0:01 < Ze < 0:99 liegt.

1.0 Experiment Langley Experiment Papamochou u. Roshko Experiment Elliot u. Samimy Rechnung mit Sarkar Modell Rechnung ohne Sarkar Modell

0.9 0.8 0.7 0.6 δω/δωinc

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Mc

Abbildung 8.31: Experimentelle und numerische Ergebnisse zur Reduzierung der Wachstumsrate von Scherschichten mit zunehmender konvektiver Machzahl In Abbildung 8.31 sind verschiedene experimentelle und numerische Ergebnisse fur die Abhangigkeit der Wachstumsrate der Mischungszone von der konvektiven Machzahl dargestellt. Die Aufweitung der Mischungszone ist hier bezogen auf die Aufweitung einer

114

Kapitel 8 Ergebnisse

inkompressiblen Mischungszone aufgetragen. Fur eine inkompressible Scherschicht lat sich die Wachstumsrate nach Papamoschou [70] berechnen durch:





q 2 

U2 1 C 1 ; U1 1q+ =  0!inc = d! ! dx 2 1 + UU21 12

1

(8.4)

Hier wird die Konstante C! =0.181 gewahlt. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, wie der Ein u der Kompressibilitat mit zunehmender konvektiver Machzahl zunimmt, wobei sich die Wachstumsrate der Mischungszone fur den kompressiblen Fall sich gegenuber dem inkompressiblen Fall reduziert. Die numerischen Simulation zeigen ein analoges Verhalten. Durch den Einsatz des Sarkar-Modells konnte hier eine hohere U bereinstimmung mit den experimentellen Daten erreicht werden. Fur den Fall einer Scherschicht mit der konvektiven Machzahl von MC = 0:86 ergibt sich aus dem Vergleich mit numerischen Simulationen von Melen [60] eine sehr gut U bereinstimmung. Hier wurde zur De nition der Wachstumsrate der Scherschicht die folgende Vorschrift gewahlt:

u = U @1eu; U2 (8.5) @ y max Es zeigt sich, wie in Abbildung 8.32 zu sehen ist, ein identischer Verlauf sowohl fur den Fall 0.08

δω

0.06

ohne SarkarModell ohne Sarkar Modell (Melen) mit Sarkar Modell mit Sarkar Modell (Melen)

0.04

0.02

0.00 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x [m]

Abbildung 8.32: Verlauf der Wachstumsrate einer Scherschicht mit Mc = 0:86 mit Kompressibilitatsmodell wie auch fur den Fall ohne Sarkar-Modell. Die Schwankungen

8.3 Scherschichtstromungen

115

und die Abweichungen im hinteren Bereich lassen sich mit der ungenauen Berechnung der Gradienten im unstrukturierten Berechnungsgitter erklaren. Durch die lineare Interpolation in Bereichen mit groeren gestreckten Elementen entstehen dort Ungenauigkeiten. Im Folgenden soll nun eine Scherschicht mit einer konvektiven Machzahl von Mc = 0:42, deren Randbedingungen in Abbildung 8.33 dargestellt ist, betrachtet werden. In diesem Abschnitt werden zunachst die Ergebnisse einer nicht-reaktiven Berechnung vorgestellt und mit entsprechenden Rechnungen von Melen verglichen. Im anschlieenden Abschnitt folgen dann die Ergebnisse der Berechnungen mit Reaktionsmechanismen. In Abbildung 8.34 ist die Vernetzung des Berechnungsgebietes dargestellt. Die MischungsT=930 K, P=1.013 bar, Mc=0.42, Uc=2485.35 Luft

U2 =1780 m/s

U1 =3000 m/s

H2

Z2 =0

Ma =2.97 2

YO2 =0.232 YN2 =0.768 0.4 m

Z1 =1 YH2 =1.

Ma1 =1.3 2m

Abbildung 8.33: Luft{Wassersto U berschallscherschicht zone ist dabei mit einem deutlich feineren Gitter vernetzt, wahrend die aueren Bereiche mit einem groben Netz bedeckt sind. y [m] 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x [m]

Abbildung 8.34: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Netzgeometrie

116

Kapitel 8 Ergebnisse

In Abbildung 8.35 lat sich anhand der Isolinien des Mischungsbruchs deutlich die Aufweitung der Mischungszone mit zunehmender Lau ange erkennen. Die Aufweitung hangt dabei, wie bereits erlautert, von der konvektiven Machzahl Mc ab. Aufgrund von Reibungskraften erwarmt sich die Scherschicht im Zentrum. Die Temperay [m]

Z [-]

0.10

0.917 0.833

0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.750 0.667 0.583 0.500 0.417 0.333 0.250 0.167 0.083

x [m]

Abbildung 8.35: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Mischungsbruch turerhohung hangt hier bei von der Groe der Gradienten ab und nimmt mit zunehmender Aufweitung der Scherschicht ab, wie aus Abbildung 8.36 abzulesen ist. Abbildung 8.37 zeigt einen Pro lschnitt normal zur Scherschicht, in dem die Temperatur y [m]

T [K]

0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

959 956 954 951 948 946 943 940 938 935 933

x [m]

Abbildung 8.36: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Temperaturisolinien und die turbulenten Groen dargestellt sind. Im Vergleich mit Rechnungen von Melen zeigt sich eine gute U bereinstimmung. Man erkennt, da aufgrund der Scherkrafte die turbulente kinetische Energie im Zentrum der Scherschicht maximal wird.

8.3 Scherschichtstromungen

117

2

T [K] 960.0 950.0

2

k [m /s ] 50000.0 Melen Rechn.

40000.0 30000.0

Melen Rechn.

20000.0

940.0

10000.0 930.0 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m] 2 2 ε [m /s ] 3.0e+08 2.0e+08

Melen Rechn.

1.0e+08

0.0 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m] 2 Z" [-] 0.05 0.04 0.03

Melen Rechn.

0.02 0.01

0.0e+00 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m]

0.00 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m]

Abbildung 8.37: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Schnitt bei x = 1.5 m

8.3.2 Reaktive U berschallscherschichten Im folgenden Abschnitt wird nun die zuvor vorgestellte Scherschicht unter reaktiven Gesichtspunkten untersucht. Zunachst wird von einer Gleichgewichtschemie ausgegangen. In diesem Fall reagieren die beiden Reaktionspartner sofort miteinander, wenn sie aufeinander treen. In Abbildung 8.38 sind die Temperaturisolinien fur diesen Fall dargestellt. Man erkennt, da die drastische Temperaturerhohung aufgrund der Reaktion schon unmittelbar am Beginn der Scherschicht auftritt. Mit der Annahme einer Gleichgewichtschemie lat sich also die Zundverzogerung, die sogenannte 'ignition delay time' nicht simulieren. Zur Simulation dieses Phanomens sind Berechnungen mit dem PEuL{ Modell durchgefuhrt worden. Hier wird die Interaktion von Mischung und Verbrennung berucksichtigt. In Abbildung 8.39 erkennt man deutlich die verzogerte Reaktion anhand der sehr viel spater und langsamer einsetzenden Temperaturerhohung. Der Verlauf der Isothermen stimmt gut mit den Isolinien des bei der Verbrennung entstehenden Wassers uberein (Abb. 8.40). Die Verbrennung wird hier durch die Temperaturerhohung aufgrund der Reibungskrafte (Abb. 8.36) in der Scherschicht bedingt. Diese Temperaturerhohung uberschreitet die Aktivierungsenergie und fuhrt zur Bildung von Reaktionsprodukten. Die dabei freiwerdende Warme verstarkt die Reaktion und fuhrt schlielich zur vollstandigen Zundung der Diusions amme.

118

Kapitel 8 Ergebnisse

y [m]

T [K]

0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2153 2041 1930 1819 1707 1596 1484 1373 1262 1150 1039

x [m]

Abbildung 8.38: reaktive Luft{Wassersto U berschallscherschicht, Temperaturisolinien (Gleichgewichtschemie) y [m]

T [K]

0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2139 2029 1919 1810 1700 1590 1480 1370 1260 1150 1040

x [m]

Abbildung 8.39: Luft{Wassersto U berschallscherschicht, Temperaturisolinien (PEuLModell) Beein ut wird dieser Proze von der turbulenten Mischung, die sich in der Varianz des Mischungsbruchs manifestiert. Betrachtet man die Varianz des Mischungsbruchs, wie in Abbildung 8.41 dargestellt, so ist ein Maximum im Zentrum der Mischungszone festzustellen. Die Groe der Varianz hangt dabei von den Gradienten des Mischungsbruchs und den turbulenten Ein ugroen k und " ab. Das Maximum ist hier aufgrund der groen Dichteunterschiede von Luft und Wassersto zur Seite des Wasserstos verschoben. Diese Verschiebung ist auch bei der Verteilung der turbulenten kinetischen Energie k in Abbildung 8.42 festzustellen. An dieser Stelle sei erwahnt, da bei der Verwendung des Taylor-Galerkin{ Zweischrittverfahren keine stabilen Losungen moglich waren. Erst die Verwendung des Runge{Kutta{Verfahrens ergab eine vergleichbare Losungsqualitat fur diese reaktive Scherschicht, wie sie in der Arbeit von Melen [60] dokumentiert ist.

8.3 Scherschichtstromungen

119

y [m]

H2O [-]

0.10

0.200 0.182 0.164 0.146 0.127 0.109 0.091 0.073 0.055 0.036 0.018

0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x [m]

Abbildung 8.40: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Wasseranteil (PEuL{Modell)

y [m]

2

Z" [-]

0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.035 0.032 0.029 0.026 0.022 0.019 0.016 0.013 0.010 0.006 0.003

x [m]

Abbildung 8.41: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Varianz des Mischungsbruchs

y [m]

2

0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0

2

k [m /s ]

0.10

0.5

1.0

1.5

2.0

40195 36541 32887 29233 25579 21924 18270 14616 10962 7308 3654

x [m]

Abbildung 8.42: Luft{Wassersto U berschallscherschicht, turbulente kinetische Energie

Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick Ziel der vorliegenden Arbeit war es, einen vorhandenen Stromungsloser fur die kompressiblen, reibungsbehafteten Navier{Stokes{Gleichungen so zu erweitern, da die Berechnung von turbulenten U ber{ und Hyperschallstromungen moglich ist, wobei auch turbulente reaktive Stromungen berucksichtigt werden sollten. Dazu werden zunachst die fur die Berechnung turbulenter reaktiver U ber{ und Hyperschallstromungen gultigen Gleichungen zusammengestellt und Moglichkeiten zu ihrer numerischen Simulation entwickelt. Das numerische Verfahren basiert auf einem Finite Elemente{Algorithmus nach der Taylor{Galerkin{Methode. Es ndet Anwendung auf unstrukturierten Berechnungsnetzen, die in besonderem Mae fur die Berechnung von Stromungen mit Diskontinuitaten geeignet sind. Derartige Netze erlauben eine losungsabhangige Netzanpassung an lokale Stromungsphanomene wie Verdichtungsstoe oder Scherschichten. Fur eine optimale Erfassung von turbulenten Wandgrenzschichten wird im Bereich von festen Berandungen das unstrukturierte Netz mit einem strukturierten Berechnungsgitter kombiniert. Dieses ermoglicht hier den Einsatz des logarithmischen Wandgesetztes zur Modellierung des unteren Grenzschichtbereiches turbulenter Grenzschichten. Die Generierung dieses strukturierten Unternetzes wurde im Rahmen dieser Arbeit optimiert und fur eine beliebig komplexe Geometrie anwendbar gemacht. Im Vordergrund stand eine maximale Robustheit bei einer groen Ein umoglichkeit auf die Netzstruktur. Der hier entwickelte Generierungsalgorithmus ist in seiner Struktur so gestaltet, da eine Erweiterung auf dreidimensionale Berechnungsgitter moglich ist. Der Stromungsloser wurde fur die Anwendung auf turbulente U ber{ und Hyperschallstromungen angepat. Fur die Turbulenzmodellierung bei diesen Stromungsverhaltnissen ist das k{" Modell durch die Modellierung der Kompressibilitatsein usse erweitert worden. Im Bereich fester Berandungen wurde das logarithmische Wandgesetz eingesetzt. Anhand von numerischen Simulationen turbulenter Scramjet{Einlaufstromungen konnte der Stromungsloser fur nichtreaktive U berschallstromungen veri ziert werden. Der Vergleich mit experimentellen Ergebnissen, die am russischen Institut TsAGI erstellt wurden, zeigte eine zufriedenstellende U bereinstimmung. Aufgrund der numerischen Ergebnisse

121 fur eine Scramjet{Einlaufgeometrie konnte diese durch eine Modi kation derart optimiert werden, da die Verluste im Einlaufbereich verringert wurden. Die Ablosezone im Einlaufkanal ist dabei deutlich reduziert worden, was durch erneute Berechnungen und Messungen bestatigt wurde. Die numerischen Ergebnisse fur O-Design Machzahlen zeigte ebenfalls eine zufriedenstellende U bereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Ein weiteres Validierungsbeispiel war die Berechnung einer U berschallstromung uber eine ruckspringende Stufe. Hier konnte ein Stromungfall numerisch simuliert werden, der typisch fur eine Scramjet{Brennkammer ist und zudem von McDaniel sehr gut experimentell untersucht und dokumentiert worden ist. Der Vergleich der turbulenten Berechnung mit den experimentellen Ergebnissen zeigte eine sehr gute U bereinstimmung. Durch die Modellierung der Kompressibilitatsein usse konnte diese U bereinstimmung noch deutlich gesteigert werden. Es hat sich hier gezeigt, da der Stromungsloser sich gut fur die Berechnung derartiger Stromungen eignet. Zur Berechnung von turbulenten reaktiven U berschallstromungen wurde der Stromungsloser fur die Implementierung des PEuL{Verbrennungsmodells von Borghi erweitert. Hierzu wurde der Stromungsloser auf ein Mehrkomponentengasgemisch erweitert. Beim Vergleich unterschiedlicher Stromungsloser hat sich gezeigt, da fur die Berechnung reaktiver Stromungen der Galerkin{Runge Kutta Stromungsloser gegenuber dem Taylor{Galerkin Verfahren zu stabileren Losungen fuhrt. Die Veri zierung dieses erweiterten Stromungslosers fur turbulente reaktive U berschallstromungen erfolgte anhand verschiedener U berschallscherschichtstromungen, wie sie in Scramjet{Brennkammern auftreten konnen. In einem ersten Test wurde die Stromung einer nichtreaktiven Scherschichtstromung untersucht. Es zeigte sich aus dem Vergleich mit Meergebnissen, da bei der Mischung und der Aufweitung der Scherschicht unter der Verwendung des Sarkar{Modell fur den Ein u der Kompressibilitat auf die Turbulenz eine gute U bereinstimmung erzielt werden konnte. Wie schon bei der Stromung uber die ruckspringende Stufe konnte die U bereinstimmung durch die Einbeziehung der Kompressibilitatsein usse deutlich verbessert werden. Der Vergleich der Ergebnisse mit numerischen Ergebnissen von Melen zeigte eine vergleichbar gute Ergebnisqualitat. Die Berechnung einer turbulenten reaktiven Scherschichtstromung konnte aus dem Vergleich einer Berechnung mit einer Gleichgewichtschemie und dem PEuL{Modell validiert werden. Wahrend bei der Gleichgewichtschemie der Zundverzug nicht simuliert werden konnte, zeigte sich im berechneten Beispiel beim Einsatz des PEuL{Modell, das Nichtgleichgewichtsekte berucksichtigt, ein Zundverzug, der mit Ergebnissen von Melen ubereinstimmt. Der im Rahmen dieser Arbeit erweiterte Stromungsloser fur turbulente reaktive Scherschichtstromungen konnte fur eine einfache Scherschicht veri ziert werden. Weiterhin ist gezeigt worden, da ein weiter Bereich von Stromungsphanomenen in Scramjet{Antrieben,

122

Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick

wie Verdichtungsstoe, Rezirkulationsgebiete und Sto{Grenzschicht{Wechselwirkungen simuliert werden konnen. Damit sind die Instrumente geschaen worden, um in einem nachsten Schritt die Interaktion von turbulenten reaktiven Scherschichten mit Verdichtungsstoen zu untersuchen. Hier kann vor allem das Zundverhalten derartiger Scherschichten untersucht werden [113]. Es ist hier eine Erweiterung der Turbulenzmodellierung durch alternative Turbulenzmodelle, die die Anisotropie der Turbulenz in reaktiven Scherschichten berucksichtigt, notwendig. Hier sind verschiedene Ansatze von einer Erweiterung des implementierten k{"{Modells bis zur Verwendung von Reynolds{Stress-Modellen denkbar. Fur eine ezientere Berechnung ist einen Parallelisierung der Stromungsloser von Vorteil. Damit konnte vor allem die Berechnung der turbulenten Speziesquellterme deutlich beschleunigt werden.

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Lebenslauf Personliche Angaben: Name: Stefan Sasse Geburtstag: 4. August 1965 Geburtsort: Ibbenburen Familienstand: verheiratet, 2 Kinder Schulausbildung: 07/71 { 06/75 07/75 { 06/81 07/81 { 06/84 Wehrdienst: 10/84 { 12/85 Studium: 10/86 { 07/92 Tatigkeiten: 09/92 { 09/96 seit 10/96

Mauritius{Grundschule Ibbenburen Stadtische Realschule Ibbenburen Abschlu: Mittlere Reife Stadt. Johannes{Kepler{Gymnasium Ibbenburen Abschlu: Allgemeine Hochschulreife Grundwehrdienst beim 4. FlaRak{Bataillon 25 in Lohne Maschinenbau an der RWTH Aachen Fachrichtung: Luft{ und Raumfahrt Abschlu: Diplom Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehr{ und Forschungsgebiet Betriebsverhalten der Strahlantriebe, Institut fur Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen der RWTH Aachen Siemens AG, KWU, Mulheim a.d. Ruhr