Matematika i muzika

Zvonimir Šikić

��JT��i�,'iK ii

HMD,

Zagreb 1999.

MATKINA

BIBLIOTEKA

• Glavni urednik: Ivan [vanšić

Urednik :

Petar Mladinić Recenzenti:

ij

Mirko Polon o Milko Pravdić Zlatko Tanodi

Lektoric a :

Vesna Muhoberac

Korektorica: Renata Svedrec Naslovnicu opremila:

j

lj

San a Ho ević

N akl adnik :

Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb

©HMD

Nij edan dio ove knjige ne smije se umnažati niti preslikavati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika.

CIP -

Katalogizacija u pu blik acij i

Nacionalna i sveučilišna knji žnica Zagre b ,

UDK 51:78 ŠIKIĆ, Zvonimir Matematika i muzika / Zvonimir Šikić. Zagreb: Hrvatsko m at em atičko društvo, 1999. - 96 s trani c a : ilustr.; 24 cm. (Matkina b i b lioteka) -

.

-

ISBN 953 - 97339

-

l

-

X

990402025 Slog i prijelom: Alegra d.o.o., Zagreb Tisak: Tiskara Kasanić, Zagreb

Sadržaj:

1. Harmonija svijeta ................................................................................... 7 2. Intervali i skale . ....

. .

.

.

.. . . .. ..

.

.

.

.

. ..

.

.

.

.

.

.

.. .

....

......

.

... . .

. .

.

. ...

. .. .

... . . .

..

.

...

.

.

.

... . .. .

.

. 13 .

3. Harmonija obojenoga tona ................................................................... 29

4. lednolikost protiv točnosti

5. Pitagorino ugađanje . . .... .

.

.

.

.

..

.

. .. .

. . . . . .. . ....

.

.

.

..

...

.. .... .

.

. . .. ... .. . . ..

..

.

.

..

.

.

.. .

.

.

.

... ....

.

..

.

... .

.

.... .

.

. ..

..... .

..

. .......... . . .

.

.. .

.. .

.

.

...

.

....

.

..

.

.. .

39 47

6. Dobro temperirani g l asov i r i jednolika lutnja ......................................55 7. Dvanaest veličanstvenih

..

.

...

. .

.

.. .

. . .

.....

. .

.

.

.. .

.

..

... . ...

.

.

.

...

..... . .

.

..... . . .

.

.

.

... . . .

....

. 65

... .

.

Dodatak . l. Kružna aritmetika.

. . . .

2. Potencije i logaritmi

...

. . .

.

..

.

.

.

..

....

.. . . . .

...

.

. .

. .. .

..

... . .

.. .

.

. .

. . . .

..

. .

... . . . .

..

.

.

. . . .

3. Eudoksovo mjerenje i verižni razlomci.......

Fusnote

.

.

.

.......

...

.

..

.

. . .

..

.

..

.. .. .. . ... . . ..

.

.. ..

.

... .

..

.. . ..

.

..

.

. .

. . ..

. . . . .. . ..

..

..

.

. .. . . . . . .

.

.

.

..

..77

. . . . ..

. . . . . .....

. 81

.. .84 .

. . ........ .. .... . ..... ... . . . ......... . . . .. ......... . . . . ....... . .... ... . . . . . . . .......... . . . .. .. . ..... .

93

·,. -

. " .

.

,

.!/..:/!

:'ff-

,"1:t

. .. ' ...

il'

/: .. ".{• .'.:.... ... !,j." ... " .

',,' " . ,. ..

,

::J

; '-9"'. '� -OJ,

______ 1. Harmonija svijeta

1. HARMONIJA SVIJET A Keplerova De harmonice mundi jedan je od najljepših izdanaka velike

tradicije zapadnoga mišljenja što ga je začeo Pitagora. O čemu je riječ? Pokušajte,

ako možete, zamisliti svijet u kojem sve ima smisla. Svijet u kojem na Zemlji oko nas,

kao i na nebu iznad nas, vlada savršeni red. Sve što vidite i čujete, sve što znate, sve što uopće jest, samo je aspekt jedne i sveobuhvatne harmonije svijeta, kojom je sve raspoređeno u idealne matematičke odnose. To je Pitagorina temeljna ideja; harmonija koju čujemo, harmonija koju vidimo, kao i svaka druga harmonija, zapravo je matematička harmonija. Tu Pitagorinu ostavštinu naslijedili su Platon, Kepler, Galileo, Newton, Einstein i mnogi drugi.

Njezin

je doprinos našoj civilizaciji

ogroman!). Koestler ga opisuje uporabljujući jednu muzičku metaforu 2):

Pozornica u 6. st. pr. Kr. prikazuje scenu orkestra koji se ugada. Svaki svirač

zadubljen je u svoj instrument, gluh za nezgrapne zvuke ostalih. Slijedi dramatična

tišina. Maestro dolazi na scenu, triput lupne dirigentskim štapićem i iz kaosa izranja

harmonija. Maestro

je Pitagora sa Samosa, čiji je utjecaj na ideje, pa dakle i na

sudbinu čovječanstva, vjerojatno veći od utjecaja bilo kojeg pojedinca prije ili poslije njega.

Aristotel, k oji nije bio Pitagorin sljedbenik, opisuje njegove ideje u svojoj

Metafizici, posebno ukazujući na to da one izviru iz veze matematike i muzike3):

Pitagorejci su se posvetili matematici. Promicali su je i u njoj su odgajani. pa nije neobično da su njezina načela držali načelima svih stvari. Utvrdili su da se svojstva i omjeri muzičkih intervala mogu izraziti brojem, pa se činilo da se i sve ostale stvari mogu izraziti brojem. Činilo se da su brojevi počela svih stvari, te da je cijelo nebo jedna muzička skala. jedan omjer brojeva.

Kao da' čitamo Keplera iz H.prmonije svijeta: Nebeska gibanja nisu drugo do jedna vječna polifonija, koju opažamo umom a ne uhom.

Nakon ovih jezgrovitih i slikovitih skica pokušat ćemo manje metaforičnim jezikom opisati tko je bio Pitagora i što su bile njegove ideje, posebno one koje muziku povezuju s matematikom. Pitagora je, kao sin draguljara Mnesarha, rođen početkom 6 st. pr. Kr. na

otoku Samosu smještenom uz maloazijsku obalu Egejskog mora. U Egiptu je naučio

geometriju, a bio je i prvi stranac uveden u tajne egipatske vjere. U Fenikiji je učio o "brojevima i omjerima". Poduku iz astronomije dobio je u Kaldeji, glavnom središtu

antičke astronomije. Jedan rani biograf tvrdi da je u Kaldeji4) učio zajedno sa

1

I

l1armonUa svijeta

---

Zaratustrom "koji ga je o č i s ti o

od p rljavštine prijašnjeg ži v o ta

".

Uvjeti živ ota n a

Samosu, pod upravom tiranina Polikrata, nisu odgovarali školovanom čovjeku, pa je Pitagora s obitelji emigrirao na krajnje zapadne granice grčkog svijeta. u Magna Graeciau (današnja južna Italija). Tu je dobro primljen i uskoro je svojom strastvenom rječitošću skupio tisuće sljedbenika. (Bio je toliko uvjerljiv da je tiranin Sirnikus, vladar sicilijanskog grada Kentoripe, nakon njegova govora o slobodi abdicirao i podijelio svoju imovinu građanima.) Na kraju se Pitagora smjestio na krajnjem jugu

današnje Italije, u Krotonu, gdje je osnovao svoju Akademiju tzv. Pitagorillo bratstvo.

Postao je prototip filozofa-kralja nekih 150 godina prije Platonova uvođenja toga

pojma u p olitičku filozofiju. Pred kraj života postao je žrtvom političke konspiracije, tc su on i njego vi sljedbenici prognani iz Krotona. Umro je stotinjak milja od Krotona,

497. godine pr. Kr. Njegovi su sljedbenici proganjani. aji je maestrova riječ ipak sačuvana kako bi postala temeljem platonizma i modeme znanosti ll. Prema Pomriju: S

pitagorejr-illw llmrlo

nekoliko opskurnih stvari ,�/()

je i njih o v o

su

znanje

koje su oni do tada tajili (osim

ponavljane bez razumijevanja}. Pitagora za sobom

nUe ostavio knjig[i; s a mo m{[/c iskre teško shvatVivog znanja sačuvale su se medu onim sljedbcnicima, poput Lizija i Arhipe, koji SLl se dovoljno daleko raspdili. Oni su LI osamljenosti i tuzi izbjegavali Vudske zajednice. Ipak, u strahu da se ime filo::.ofije potpuno ne zatre ('Ito hi moglo izazvati bijes bogova), sastavili su sažetke i komentare Piragorine mudrosti. Svaki je sljedhenik imao svoju vlastitu kolekciju koju je Ila kraju živutu ostavljao na brigu svojoj ženi, sinovima ili kćerima. Ova obveza prenošenja znanja unUTar ohite1ji .\'ačuvala se dugo vremena. Ono što se prenosilo bila je Pitagorina matematička filozofija. Već u

Talesovo

vrijeme grčki su mislIoci empirijsko egip atsko zemlio-rr�jerstv() preoblikovali u

racionalnu gco-metriju, otkri vši na taj način matematiku II današnjem smislu te riječi5l. Zašto je došlo do te preobrazbe? Odgov or je jed n ostavan. Zbo g iz vjesno sti racionalnoga. Mjereći kutove o sjetilima dostupnog materijalnog trokuta možda ćemo

ustanoviti kako je njihov zbroj približno 1800, ali izvjesni matematički dokaz da je

zbroj kut o va u svakom trokutu točn o 1800 odnosi se na samo razumu dostupne trokute. Oni Ježe

u

samo razumu dostupnim d vodimenzionalnim rav ninama, omeđeni

su samo razumu dostupnim jednodimenzionalnim dužinama, k oje se spajaju u samo razumu dostupnim nuldimenzionalnim v rhovima, tvoreći samo razumu dostupne kuto ve. Izvjesno s t, kojoj je grčko mišljenje tako strasno težilo, o s t v arena je utemeljenjem matematike kao racionalne spoznaje, kojoj predmet istraživanja nije matelijaini svijet osjetiInoga iskustva, nego je to svijet samo raZLlmu dostupnih ideja. Pitag o ra je otišao korak dalje shvativši kako istinska stvarnost nije

II

neograničenom i neuređenom načelu materije, nego je u stalno ograničavajučem i zato uređujućem načelu matematičke forme. Izvor o ve izrazito matematičke filozofije

8

l.

____

otkriven je

Harmonija svijeta

u muzici. Njez i n sustav reda i lje pot e i zgrađen j e na s u gl asj i m a oktave,

kvinte i kvarte, koj i se iz kaotičnog kont i n uuma u h u

dos tupn ih i n tervala izdvajaj u

s vo jo m jedn ost avnom ma tematičko m formom . (I nterva l oktave os tvaruje se ti tranj em

žica koj i m a duljine stoje u omj er u 2: l, interval kvinte ostv a ruj e

se omjerom 3:2, a načelo g l azbenog reda i ljepote mate mat i č ka form a ( matemat i čka har monija ) , nije li onda i pri rodni red, sa s vojom n edvoj benom ljepotom, također svediv na neko slično ili čak identič n o načelo? Pitag or in je odgovor potvrdan. Pr iroda j e s ve m i r , tj red i l j ep o ta , a nj egovo je načelo broj. (Često mistificirana Pitagorina formu l a : "Sve je bra}", znači samo to da je matematika ključ za ra zu mij evan je svega ili, bliže d a n aš njemu izraž avanju , da je matematika te me lj svake znanosti. Taj Pi tagor i n uvid koji potječe iz n ajran i j e g djetinjstva z n an os t i i

interval

k v arte omjerom 4:3.6))

No, ako je

.

fi l ozofi je još i dan as upravlja znanošću kao njezino vrhunsko načelo; u s p Sl i J).) Ovdje se p rv i put poja v ljuje i pojam muzičkog univerzuma; muzika je broj i svemir je .

broj, dakle, svemir je

muzika.

P i t a gora je razlikovao tri vr s t e muzike.

Uporabljujcmo li latinsku terminologiju nj e gov ih sljedbenika, to su musica instrumentalis (uobičajena muzika glasovira, trube itd); musica humana ( staln a iako nečujna muzika svakoga pojedinca, u kojoj su posebno značajna suglasja ili pak nesuglasja duha i tijela); te lIlusica mUl1dana, s vemi rs k a muzika koja nastaje okretanjem nebeskih sfera (pa je zato poznat a i kao muzika s fe ra) . U n ato č n a š em i z razi t o m raz li k ovanj u ovih područja, za Pitagoru su sve tri muzike jedna te ista muzika. Truba i svemir mogu odsvirati

dos l ovno istu ljestvicu, jer je to stvar čiste m a te ma t ike Tc se muzike

od poligona

što ih

mogu činiti bore nekog

ne razlikuju više

.

ljudskog dlana, konstelacija odredenih

zvijezda na nebes k om svodu ili melod ij sk a linija neke glazbene teme. Vječna, matematička ideja je s t poligon i sve su n jegove pojavnosti zapravo iste. Imamo li

to na umu lakše ć emo shva titi Pitagorine me tode lij e č enj a. Musica

instrumentalis i musica humana samo

.

l juds ki m instrumentima", što na ljude može djelovati loše N aprimj er, s lu š anje g fa zbe s k ladane u frigijskoj ljestvici može izazvati

i zaz i v aju iste vibracije i u ili dobro.

su pojavni o blici iste i s tine Zvuci lire zato

"

nasilje, ali ono se može i odagn ati prij elazom n a umiruj u ć i spondejski ritam. Sjetimo li

se bitnoga j edin s tva musicae instrumentalis i musicae humanae mo ž da možemo razumjeti Keplerovo pitanj e iz p od n as l ova Harmonije svijeta: Koji p lane ti u nebeskoj harm oniji pjevaju sopran i alt, a koji tenor i bas? Možda će nam got o v o neshvatljivi odgovor7), koji nalazimo u s amoj knjizi, s ada biti nešto manje stran :

MeJ-kurje sopran. Zemlja

su basovi.

i

Venera

su

a/tovi. Mars je tenor, a Saturn

i

Jupiter

Ipak, Pitagorin najtrajniji doprinos teoriji muzike već je spomenuto otkriće da su kon so na n tni intervali oktave, kvinte i kvarte određeni jednostavnim aritmetičkim omjerima 1:2, 2:3 i 3:4.R) Prema p r edaj i , Pi t ag ora je prolazeći kraj kovačnice čuo

9

J.

Harmonija svijeta

--

--

konsonantne intervale kvarte, kvinte i oktave proizvedene udarcima različitih čekića o nakovanj. Istraživši tu pojavu ustanovio je da se težine čekića, koji proizvode tonove raspoređene u tim intervalima, odnose kao 4:3, 3:2 i 2: I. Nastavljajući eksperimente s

lirom i monokordom Uednožičanim glazbalom) ustanovio je da isto vrijedi i za duljine

žica.

(Vincenzo Galilei, otac Galilea Galileia, pokazao je 1589. da priča o čekićima ne može biti istinita, jer se težine čekića moraju odnositi kao kvadrati duljina monokorda da bi proizveli iste intervale9). Dakle, k v artu, kvintu i oktavu proizvode

čekići s omjerima težina 42:32:22: 12. Vincenzo je ustvrdio da isti omjeri vrijede i za

težine utega kojima se o pterećuje jedna te ista žica, kao i za promjere različitih žica iste vrste; što je sve točno. Također je ustvrdio da se isti intervali postižu na p u hačkim instrumentima, ako se odgovarajući o bujmi stupaca. zraka u cijevima glazbala nalaze u omjeru 4:3:2: I, tj. ako su duljine stupaca u kubnom omjeru 43:33:21: 13. To nij e točno,

jer visina tona ovisi samo o duljini stupca, a ne o njegovu obujmu.)

Iz Pitagorina osnovnog uvida izrasta jedna cijel a teorija muzike i sva naša

daljnja razmatranja.

10

, I

2. intervali i skale

l. INTERVALI I SKALE

Pojam intervala i iz njega izvedeni pojam skale (tj. ljestvice)

u teoriji muzike, a ključni su i za razumijevanje njezi n a povijesnog

iznimno

su

važni

razvoja. Najbolji

uvod u oba poj ma jest da zamislimo segment glasovirskih tipki koji sadrži po jednu tipičnu grupu od dv ije i tri crne tipke unutar 8 bijelih. a periodično se ponavlja:

Niz od 8 bij e lih tonova e, D, E, F, G, A, H, e (tzv. dijatonska s kala ) svima j e dobro poznata dur ljestvica; u ovom slučaju e-dur. Interval oktave, od e do e, s adrži osam bijelih t onova. Interval kvinte, od e do G, sadrži pet "bijelih" tonova. Inte r va l kvarte, od e do F. sadrži če tiri "bijela" tona. No. kako se uopće došlo do "bijele" dur ljestvi ce ? "

"

Kada bi glasovirska e i c žica bile iste vrste , prva bi morala biti dvostruko dulja od d ruge. No, vidj eli smo (sjetite se Vicenza Gali l ei a ) da se isti interval može re alizi rat i na različite načine. Ono što je zajedničko sv akoj rea li z ac iji je to da c-žica titra dvostruko brže od e-žice. pakle, uz d ogovor da je brzina t it ra nj a (tzv. frekvenc ij a ) tona e jediničn a sl ij ed i e = l, F = 4/3, G = 3/2 i c = 2. Veličina inte rv ala koji razapinju dva tona jednaka je omj eru njih ovih frekvencija, što je prikazano .

sljedećom tab iicom:

4/3

L 4/3

kvartaJ

f

3/2

2

�

;�

I �3/2kvinta� I 2/1 oktava

Budući da je veličina interv ala koj i razapinj u bilo koj a dva tona j ednaka omjeru nj ihovih frekvencij a, la ko je i zrač unat i veličine svih intervala koje raz api nju : e - osnovni ton ili fonika, F - kvarta ili subdominanta, G - kvinta ili dominanta i

e

-

oktava,

koja je i sama

tonika.

(Ton koji je za interval kvarte udaljen od osnovnog

11

2.

Intervali i skale

tona zove se kvartom na tom t onu dakle F je kvarta na C. I sto vrijedi za kvinte,

okta v e

,

,

itd.)

cIF = 2/(4/3) = 3/2 tj c je kvinta na F. .

c/G =

2/(3/2)

=

4/3 tj c je kvarta na G. .

GIF = (3/2)/(4/3) = 9/8 .

Interval od F do G, duljina kojeg je 9/8, zove se cijeli ton ili velika sekunda. Dakle, kvarta i kvi nta či ne

sljed eću razdio? u oktave:

3/2 I e F G e L- 4/3 ---.J L9/sJL 413 � r-----3/2

I

donju kvartu od e do F, te gornju kvartu od G do c, razdije limo cijelim tonovima dulj i ne 9/8, dobit ćemo još po dva tona u svakoj od njih:

Ako još

D/e EID

=

=

9/8, tj. zbog e

9/ 8

,

tj.

AJG = 9/8, tj. HIA

Tako dolazimo do

Interval od E

=

zbog

=

D = 9/8.

D = 9/8, E

zbog G =

9/8, tj. zbog

1,

A

=

=

81164.

312, A = 27/16.

27116, H = 243/128.

sljedeće razdiobe oktave :

do F, odnosno njemu j edn aki interval od H do = 2561243) i zove se (dijatonski) poluton.

(jer je (4/3)/(9/8)2

Ovako do biven i cijeli ton o v i i po lutono v i dva polutona manja od jednog cijelog tona:

(2561243i 14

=

1.110




e/H = 1 6/ 1 5 tj . H = c · 1 5/ 1 6 = 2 1 5/ 1 6 = 1 5/8 ,

==>

HlA

9/8

e

=

D/e

ton ove i mamo

1

e

==>

(4/3)/(5/4) = 1 6/ 1 5

Dakle,

problem točne vel i čine i n terval a u toj skal i .

D

=

=

9/8 tj .

· 9/8

=

· 9/8

=

=

3/2 ,

9/8 .

9/8 tj . A = H · 8/9 =( 1 5/8) ·(8/9)

=

5/3 .

sljedeće vrijednosti :

5/4

E

4/3

3/2

G

5/3

A

1 5/8

H

2

L-.-JL-.-J V �I�I� V 918

1 0/9

1 6/ 1 5

918

1 0/9

9/8

1 6/1 5

To j e skal a koj u preporuča Ptolemej , naj veći astronom, al i i veliki antički muzički

dulj i ne 1 6/1 5 , dok su cijel i tonovi različitih dulj in a 9/8 i J 0/9 ( n ai m e D/E = (5/4)/(9/8 ) = A /G (5/3 )/(3/2 ) = 1 0/9) . Razbij anjem cij e l ih tonov a Il a polutoll ove konačno d o l az i m o d o svih točnih interval a ! ) u dvanaeston s koj teoretičar. Uočite da su polutonovi

,

,

=

skali :

1 1 6/1 5 918

V

#

1 6/ 1 5

[j

6/5

V

1 6/ 1 5

5/4 4/3 45/32

E

F

312

8/5

#

V VI

1 6/1 5 1 6/1 5

5/3

918

9/5

B

t

1 5/8

li

2

e

19

4 . .Tednoiikost protiv točnosti ----

Naime , c# G#

B

=

=

=

e . 1 61 1 5

G

= l ·1

6/ 1 5 = 1 61 1 5 :

. l 6/ 1 5 = (3/2 ) . ( 1 6/ 1 5 ) = 8/5 ;

G# . 9/8

=

( 8/5) . (9/8)

=

=

D#

D · 1 6/ 1 5

=

(9/8) · ( 1 6/ 1 5 ) = 6/5 ;

d = G/( l 6/ 1 5) = (3/2 )/( 1 6/ 1 5 ) = 45/3 2 ;

9/5 .

Iznosi t a k o dobi veni h p o l utonova kromatske skal e, o s i m p o l azne vrij edn osti 1 6/ 1 5 1 . 07 ,

imaju j oš

=

i vrij ednosti 25/24 = 1 .04, 1 3 5/ 1 2 8 = 1 . 05 i 27/25 = 1 . 08 ( neoznačeni

po lutono v i i maj u početni iznos 1 6/ 1 5 , usp. gore . ) :

�." � t.",.�

t,,,

V

su

V

V

1 35/1 28

VVV

1 35/1 28

25/24

25124 27125 25/24

O v i Pi tagori n i točni intervali dio

ugođena

kaže se da

s

t a k o o d ređ e n i m

s u ugode n a

/I

su tzv . prirodne inlOnacij/!. Za gl a z b al a koj a frekvencij ama ( v , ( 1 6/ 1 5 )v , ( 9/ 8 )v , (6/5 )v , ( 5 /4)v , . . . )

p rirodn oj intonaciji. O s n o v n i p ro b l e m pri rodne i n t o n ac ij e

j est v e l i k broj raz I i č i t i h p o l u t o n o v a , č a k četiri, k oj i često onemogućava vj erne transpozicije"). Taj se prob l em potpuno rj ešava j e d n o l iko temperiranom skalom, tj . jednolikim u g a d a nj em koj e preporuča naj veći antički mu zičk i teoretičar Aristoksen. Jed n o l i ko temperi ran a s k a l a ra z d i o b a je oktave na 1 2

Ako pol uto nski i nterval označimo

s p, radi se o slj edećoj razdiobi :

j ednakih

p o l u to n o v a .

vvvvvvvvvvvv p

N a rav n o ,

IJII

p

= I i /1 1 2

II

p

p2

p

p

I

p

2 , odakl e s l ij e d i p

p

II

lifi

p

p

I

p

p

1 . 06. P og o d n o

p

je udaljenost tona

od

to nike ( n ]11'. p 'l ) o z n a č a v at i odgo v araj u ć i m eks p onentom ( n p r. 9 ) . Time s m U l t i p l i ka­ ti vne skale (po , p I , ,/, . . . ) pre l az i m o na adi t i vn u lo g ari tam s k u4) skalu (O, l , 2, . . . ). To

n am

omogućava

=

=

=

zbraj a nj e i nterv ala, u mj e s t o mn o ž e n j a (n pr. to

sept imu , u l o gari tams koj s k a l i n a l az i m o zbraj anj em,

množenj em, }/ . ,/ 40

=

JJ 1

\

4 + 7

da terc a j k v i n t a čine = l l , a u o s n o v n oj

4 . .1('(/lI oliko.H proliv !Del/ oHi

. Je s

Za p re ci zn ij e o d ređ e nje

da u

interval a uvodi

ćemo j e označ i ti

sa s .

Dakle,

S

man j a j edin i c a centila Ona je s t oti = p , o dn o s n o S l iOO = p l 2 = 2 , š to znači

se

I OO

1 2oor:2 . 1 00 . \j l = l . 000 5 8 N aravn o , l z s = p s l lJ" ed l'

d i o pol utona, p a =

?OO S-

l ogari tamskoj skal i i zraž en oj u centi/ama (što znač i .

maj a sekunda v e l i ka

mata

1 00 cent

=

s e ku nda = 200 = 300

terc a

v e l i k a terca

=

=

triton u s

=

velika septi ma

600 cent

oktava

=

l og(m I n ) log

log allog b, gdje je l og

9/8

6/5

5/4

4/3

45/32

m a j a sekunda

=

velika

=

sekunda

ma l a terca

=

= ve l i ka terca =

=

= I I 1 .73

203 , 9 1 cent

=

3 1 5 . 64

=

ce.fl!

386.3 1

cent

=

tri ton u s

=

4 9 8 . 00 590.22

=

l og l o,

2 00

a

3/2 8/5

5/3

9/5

1 5/8

2/ 1

cent

= 800

=

=

= = =

=

cent

9 0 0 c{' n f

1 000

cent

= 1 200

cent

=

=

l J OD

cent

zapravo i zračunati

log 2

tog .1' = log 1 2°.z! 2

=

cent

. log(m l n )

možemo i zraziti

cent

= 700

centilama, moramo 1

S

cent

=

k v art�l

II

----"'-'----

Uz p o m o ć ove formu l e točne interv a l e

1 6/ 1 5

ij e d i :

mala septima

cent

j edn o l i kima:

vr

vel i ka s e k s [H

ccnf

l ogs (ml n)

,

s)

1 . Y ' da = p l t d . T o zn acI

100

mala seksta

cell t

Že limo l i n e k i i nte rval du l j in e (min) i zraz i t i l o gari tam od min u bazi s :

(N a i me l og" b

bazi

kvinta

400 cent

= 500

kv arta

II

2

=p , S

=

( 1 / 1 200) l og

u centi /ama

kvinta

l

u sp oredi ti

702 . 00

=

m al a septima ve l i ka s e p t i ma

ok t a v a

ih

s

cenT

8 1 3 . 69 cent

mala seksta

velika seksta

2 , /)

=

8 8 4 . 3 6 cent 1 0 1 7 . 60 cent

=

= =

1 08 8 . 27 cent

1 200.00 cent

g o t o v o s u i s te u p ri r odn o in to ni ran oj i j e d no l ik oj s ka l i ( o d s t u p anj e do 1 0 c e n ti l a nije vel i k o ) , a l i terc e , s e k s te i s e p t i m e pokazuju veća od s t up anj a Očito je da se rad i o bitno različitim ugađ anj i m a " i s tih" tonova. Kv arte , k v i n te i sekunde

.

700,

G l a v n a p red n o s t prirodne i n to n ac ij e , nj e z i n a

m a l a terc a j e

j e d n o l i k i p o mak iz

3 1 5 . 64

cent,

e u terce Eb

a

točnost (kvinta je

702 cent, a ne

ne 3 0 0 ) , g u b i se pr i tran s p o n i ranj u . U s p o red i te

i E te

II

k v i ntu

G , s i s t i m p o mac i ma

Ll

prirodnoj

i n tonacij i :

41

4 . .Tednolikost proliv tOl:nosti ---'}

D

[.�

ES

F

�*

o

1 00

200

300

400

400

600

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200 1 300 1 400 1 500 1 600 1 700 1 800 1 900

o

1 00

200

300

400

400

800

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200

o

1 00

200

300

400

400

800

700

800 900 1 000 1 1 00 1 200

o

1 00

200

300

400

400

600

700

G

�

B

H

e

lt

d

o

�

D

#

112

204

316 o

E

i)

F

tP l

386 498 590 702

8 Q� rc.:-' '--../

o

1 12

204

814

tj

A

H

e

�

�

e

ej

�

e

f

9

800 900 1 000 1 1 00 1 200

f

e

l)

ff

884 1018 1088 1200 1 31 2 1

6 + 6x -> 1

+

7x --> 8 + 8x - 3 + 9x -> 1 0 + 1 0x -> S + 1 1x

dobi vena skala i njezlII i po] uto novi izgledaju ovako: o

(1

V "v/ "v/ � � V V "v/ � � � � (1 + 7X)

50

+ 7x) (2 + 2x) (3 + 9K) (4 + 4X) (5 + 1 1x) (6 + Gx) ( 7 + x) (8 + 8x) (9 + ax) (10 + 10x) (11 + 5x) 12 (1 - 5x) (1 + 7X) (1 · 5,tJ (1+ 7X) (1 · SX) (1 . 5x) (1 + 7,tJ (1 - 5x) (1 + 7X) (1 - S,tJ ( 1 · SX)

----

Uočite d a se u skali pojavlj uju samo dvije vrste polutn ova ( l

+

nj i ho v a razli ka 1 2x.

5, Pitagorino

ugađanje

7.x) i C I - S.x) . te da je

To v r ij e d i i u o pć e m slućaj u I ), Zami slimo da smo oktavu pod ijel i l i jednol iko n a N jedinica i tako dobil i t o n ove 0, 1 , 2, N - 2, N - L Ako je n < N i ako S lI n i N

rel ati vno prosti, onda je {O, 1 , 2,

"

"

N-

"

l}

"

=

{ On, l n, 2n,

"

(N - 1 )n } , modula N. To

"

znači da n-ugađanj e : O �

n

�

2n

� '"

�

(N - 2)n

---t

(N

I )n

d aj e sve tonove n aše j ednolike N-skale. s "polutonovima" dulj i ne 1 . P i tagori n o ( n + x ) - u g ađ anje (uz Nx < 1 ) i zgleda ovako : o

(n + x )

�

-4

(2n + lx) -4

" , -4

[(N - 2)n

+

(N - 2)xl

---t

[(N - l )n

+

(N - I )xJ ,

Ono daj e N to nova, k oj i s e n e p o k l apaj u s j edn o l i kima, i koj i čine p o l ut o n o ve" različitih d u lj i na Izračunat ćemo njihove dulj ine. N e k a su p n i qn, s vedeni n a osn ovnu o ktav u , susj ed n i t o n o v i , Možemo pretpostaviti da je ton izveden i z qn viši . Tada je p n + l == q n (mod N), Ta dva "

.

jedno lika tona određuj u interval v e liči n e 1 . su za px, o dn o sno qx, i imaju v e liči n e 1+ r

=

1-

(p - q)x,

ako j e q < p ( v i d i

slike): pn

+ l

==

tonovi pomaknuti

Odgovaraj uć i Pi tagori n i =

l

+

(q - p)x, ak o je

q > p, o d n o s n o

qn (mod N)

p>q

p

_ 1 22 2

-->

�

-->

2 2'

--7

--> �

� �

-[3r (2r (%J (%) (% ] l

-

22 2

_ 1 22 2

2

2'

'

'

65

7. Dvanaest veličanstvenih ----

Na taj način dolazimo do b e sko n ač no mnogo tonova, unutar svake oktave,

k oj i su

zadani omj erom ohlika:

m,

n

=

0, ± 1 , ± 2, . . .

Za s v aki eksponent n i m amo p o j ed a n novi ton, koj i se p o m o ću eksponenata m p omiče za m oktava n iže ili više. B udući da se nijedan od tih tonova ne poklapa s osnovnim tonom,

naš postupak stalno generira nove tonove.

Glazba s beskonačno mnogo n ota jednako j e n e mo gu ć a kao i ona sa samo jednom, pa postupak generiranj a moramo negdj e zaustaviti . Prirodno je stat i pri n-tom tonu ako se 011 , vrać e n u o s n ovnu oktavu, p r i b l i žn o po klapa s o s n o vn i m tonom (budući da je točno poklapanj e nemoguće). Naprimjer, za 7 . i ] 2. ton imamo sljedeće aproksimacije: _ 1 24

(22 Y)

=

1 .068

=

1

,

_ 1 27

[iJ12 2

=

1 . 0 1 4 :; 1 .

je dosta l o,�a, j zapravo znači poi stovjeći vanje Pi tagorinog tona C# s osnovnim tonom C. dok jc druga bitno bolj a i svodi se na Pitagorino poistovjeći vanj e to n o v a Eb i 0# (usp. tabelu kvintnih pomaka u 5 . pog lavlju). Prva

j ednolikom temperiranju ove dvij e Prva aproksimacija: U

".nač i d a

2,jl7

=

je kvinta 3/2,

1 . 486

=

1 .5

=

(�J7=

_ 1 24 2

u

1,

aproksimacij e

s lj edeće

2

jednolikoj skal i sa 7 t o n o v a aproksimirana _ 1 27

(2:1 2 = 1.

.

2

to jest

značanje.

3

to jest

3/2 . Druga aproksimacij a:

znači da je kvinta 312,

imaju

3

2

četvrtim

tonom,

2 11 1 2

j ednolikoj skali s 1 2 polutonova, aproksimirana sedmim poluton om, 27112 = 1 .498 1 .5 = 3/2. Očito je da 1 .498 bolje ap roks i mi ra 1 . 5 nego što to čini 1 .486. Nameće se, međutim, pitanje nije li u jednolikoj s kali s n tonova kvinta II

""

66

7. Dvanaest veličwui venih

------

j oš bolje aproksimirana m- ti m tonom za neki drugi broj jednolikih drugi redni broj k v i nte m .

tonova

Matemati čki , prob i e nI se s v od i n a i zračunnvanj e razlomku min

aproksi mira broj

x z ad a n

Budući d a je broj

x =

mIn.

x

=

z ah tj e vom :

l og

tj.-

X

=

log

2

2 2

=

Irac i onalni broj

x

i neki

koj i što bolje

log(3 / 2) log 2

(3/2)/log 2 iracional an, ne postoj i

razl omak mIn takav

moguće je apro k s i m i rati samo raz l o mkom,

verižn i h razl omaka pokazuje n am kako

II

je to moguće učiniti na najbolji način i ) .

a

da je

teorij a

Verižni je razlomak "mzlomak" oblika:

% + -------­ q] + -----

1

g dj e s u fl(], q ) , Q2, . . .

q2 + ---1 -%+ q4 + ' .

p riro dn i brojevi, koj e

on se j ednostavnij e zapi suje o v ako :

zovemo količnika tog

kol i č n i c i ma

Ako verižni razlomak ima konačno mn ogo razlomak,

tj .

racionalan je broj . Naprimjer,

[0, 1, 1,2]

=

l 1+

1

1 1+2 •

Ako v eri ž n i r a z l om a k

1+1

3

2

2 1+3

anria J e

q"

1

-

5

-

3

verižnog

-�

razl omka, a

on

uistinu

:1

S

ima beskonačno mnogo koli čnika q;, onda j e on iracionalan broj . Vrij edi i obrat. S vaki realni broj može se izraziti u obliku verižn o g raz l o mka , racionalni u konačnom obliku, a i raci on alni u beskonačnom. Naprimjer, l 7 �=O+- =O+ 12 12 7

l

--

1+2 7

l = O + -- = O +

1+� '2 5

---

1_ 1+_ 1+

� 5

67

----= 0 + - -- = 0 + ---- = [ 0, 1 , 1 , 2]. ---1 +-

7. D vana est veličanstvenih

l

l

1 1 + --

1+

l

5

U

1+

2

sljedećem primjeru važno je uočiti da je:

�2

l

l

2+� 2

- = (J2 -1) (Jz l) (-Ji ) (�2 ) {2 � I +({2-I) � I +-,-J2 -t 1 . 2+ (J22 -1 ) l

+1

/

+

')

L+

=1+

2+

.

�l+

I

=1+

+l

1 /

==

�l+

2

I

l

-Fl + 1 = 1 + ----- = 1 +---2 + (fi - l) 2+ l l

l

2+

2+

� -v 2 + 1

= [1,2,2,2, 2, . . .J

-------2 + -2+

2+-

1

+

=

--- =

.

2 + CJ 2 - 1 )

l

2 +· ,

Ako

real ni

broj x prikažemo u obliku verižnog razlomka (konačnog x =

lqt),

q l > q2' Q3 '

J,

ili

beskonačnog) :

onda s u početni komadi tog verižnog razl omka, razlomei : XI

Xk

Oni

su

==

= lqo, q d

r qo, q l , q2, " " qk]

•

.

mj

= -,

mk

= -

.

- , ...

nk

nl

.

najbolj e racionalne aproksimacije broj a x, uz

nj ihovu vel i činu nazivnika

(za

koji drži mo da je dokraj a skraćen broj nikom) . To znači da neki razlomak mIn bolj e aproksimira broj x no što to č i n i razl omak Xk mJnk• samo ako j e n > nk' Naprimjer, =

po čet n i komad i beskonačnog verižnog razlomka x =

68

fi

=

koj i

prikazuje iracional n i

[ l , 2, 2, 2, . . J ,

,

broj

fi :

-------

7. Dvanaest veličanstvenih

sljedeći su razl omci :

2 , 2] = 1 + _1_ = 2 . . . 2 + 1. 2

S'

To pre g lednije zapisujemo ovako : x =

[ 1 , 2, 2, 1

l

3

2

7 5

2,

...]

17

12

Dakl e, 715 j e n ajbolj a ap ro k si m ac ij a od fi s n azi vnikom do 5 , a 1 71 1 2 j e n aj b o lj a s nazivnikom do 1 2 . Naravno, m o g u će j e d a s nazi v n i ko m i z medu 5 i 1 2 p o ­ stoj i ap ro ks i m acij a bolj a od 7/5 i lošija od 1 71l 2 . Ona mora b i t i i zmeđu [ 1 , 2, 2] = 7/5 1 7/ 1 2 , a iz te o rij e verižnih razlomaka slijedi da je jedini kandidat za i [ l , 2, 2, 2] takvu aproksimacij u [ 1 , 2, 2, l ] = 1 017 . Budući da je 1 017 l o šij a a p roks imacij a o d 7/5 ( što se l ako može Provj eriti n a raču n al u ) , iz toga sl ij edi da je 1 7/ 1 2 prva bolj a , apro ksi macij a za 1/ 2 , po s l ij e 7/5 . =

=

Općenito, ako između Xk-l [qo, q l ' . . . , q k-d i Xk = [ qo. ql ' . . . , q k-l ' qk] p o stoj e aproksimacij e od x, bolje od x k- l i lošije o d X b one su sigurno oblika:

. . . , qk-" 1 ] [q(h q l , . . . , qk-l , 2] [qo, q b . . . , qk- l ' 3 ] [qr], q"

O v e rezultate iz teorij e verižnih razlomaka suda možemo primij eniti n a u oktavi . Pokazal i smo da se o n sveo n a n al až e nj e razlomaka koj i n aj b o lj e aproksi miraj u x = lo g (3!2) / log 2. Taj broj rj e š e nj e našeg problema optimalnog broj a tonova

n aj p rij e treba izraziti u obliku verižnog razl omku: log(3 / 2) = 0 + l og 2

--- = 0 +

l

log 2

log(3 / 2)( 2 / 3 ) 2

log( 3 / 2 )

log(3 / 2)

= 0+

1

(

log(3 / 2 ) + log 2 / 3 ) ' 2

)

=

log(3 / 2)

69

7. Dvanaest veličanstvenilz

=0+ 1+

log(4 / 3 )

------� --

=0+

= 0+

l

-----

1+

log(3 / 2)

1 ----

1+

log( 3 / 2 )

__

l og(4 / 3 )

log( 4 / 3 ) =0+

1

I

___

1+

=0+

--

----

1+

----

1 + 2?_g(9 / 8) l og( 4 / 3 )

=0+

1+

1+

--­

log( 4 / 3 ) log(9 / 8 ) .

l

--

1+-

-----

-. -- �

l --

-

---

= 0 + --1

1+

log(9 I 8)2 ( 8 / 9i ( 4 / 3 ) log(9 / 8)

-

1

_____

log(4 / 3)( 3 / 4)(3 / 2 )

--

1

---

1+ ---­

--

l

2+.

Dakl e,

l og(3 / 2)

x =

[0, 1 , 1 , 2, .

log 2

.

.

].

Nastavlj ajući postupak, dobili bis mo: x=

[0. 1 . 1 , 2, 2, 3 , 1 , 5 ,

Aprobimuc ije X() , :Co

\' -

.

X,

.\'2

X I , X2 •

X,

l

Izmedu

-

2

X2

i

Xh

3 'i

te

odnosno x� . V.među

70

.

•

•

.

Xs

2, 7

X,

X4

41 i

i

X6

X7

1.

5,

3, 24

12

J.

izgledaju ovako:

•

X4

[ O, J , l , 2, O

.

X4 x,

31

-

53

1 79

-

306

moguć a j e

moguće

...l

su

još po

j edna aproks i m acij a , zap i s ana ispod

d v i j e aproksi macije, zapisane ispod x" itd . :

x,.

7. Dvana('st v('/ičaltsnlmih Xo x =

XI

x2

X3

[ O, l , l , 2, O l

l

l

1

3

5

2

x4

X5

X6

2,

3,

l,

7

24

31

4

-

12

2 3

7

41

X7

53

17

5,

1 79

. . .J

306

29

�

Na računalu s e m o že p ro vj e ri t i da je 1 0/ 1 7 lošij a aproksimacij a od 7 / 1 2 , pa je zato o db ač en a . Dakle, n aj bolj e ap roks i mac ij e broj a x, do nj i h o ve veličine nazi vni ka, j esu : 2

3

3

4

5

7

7

12

17

29

24 41

31

53

'

oktavu treb a po d ij e l i ti na 4 ] j e dn ak i mikroton, s t i m d a je 24. ton k v i n t a . Iznos j e te kvinte izvrsnih 224/4 1 = 1 . 5004. Nedostatak j e ove podjele Aproksimacij a 24/4 1 znači da

t o što s e 4 1 ton

u o kt a v i, za svaku izvedbu osim elektronske, pokazuje potpuno n ep ri kl adn i m . Isto v rij ed i i za 29 tonova u oktavi (sa 1 7 . tonom kao kvintom). Kao j edini optimum preostaj e nam 1 2 tonova u oktavi sa 7 . tonom kao kvintom, budući da 417 , a pogotovo 3 /5 i 2/3 , daj u loše k vin te . Naime, 2417 = 1 . 4 8 6 je omj er k oj e m 27/12 o d go v ara 686 cent, š t o j e d o s t a loša kvinta ( 1 7 cent u d a lj en a od s av rš e n e ) , dok j e = 1 .498 omj er koj e m odgovara izvrsnih 700 cent (svega 2 cent udalj enih od s avršene kvinte ) . Možemo z a klj u č i t i da j ednolika skala s k ore ktni m kvintama i pristupačnim brojem tonova može imati j edino (2 polutonova. To je teo rij s k i nužni izbor, do kojeg j e glazbena praksa došla i bez teorije. Naravno, mogli bismo se p i t ati što je optimalna j ednolika s k al a koj a , uz pristupač ni b roj p o l u to n ov a , želi korektne kv arte. Problem se matematički svodi na verižne ap ro ks i mac ij e broj a : X =

lo g (4 / 3) lo g 2

=

[ O, 2, 2,

2,

O

5

1

1

2

2

5

. . .]

12 3

7

71

7. D vanaest veličanstvenih

---

--

Opet u o č a vam o 5/ 1 2 kao n aj b o lj u aproksimacij u , s p ri stup ačni m brojem polutonova. No, to j e o na ista raspodjela k oj u smo dob i l i uz zah tje v za korektnim kvintama. U nj oj j e kvarta peta od 1 2 po) uton ova, dok je kvi nta sedma. Želimo li korektne terce, dobit ćemo nešto dru kčij e rezul tate . Naime za vel i ku i m al u tercu im am o s lj ed e ć e v e riž n e apro k s imac ije :

X =

log(5 / 4 ) log 2

=

[ O, 3 ,

O

3 1

9, . . . J

9

28

--

8

2

25

-

-

1

22

-

1

X=

log(6 / 5) log 2

=

[ 0, 3 ,

l

O l

-

3

7

X � � A

l

4

4,

. . .J

5

-

19 4

2

15

l

11

1

6

l,

3

X

16

Naj b o lj a podj e l a oktave. za k o rek t n e velike terce i pris tup ač an b roj ton ova, jest podj el a n a 1 9 po l uton o va, u z vel i ku tercu kao šesti poluton . Moglo bi s e razmišljati i o 22 , 25 ili 28 po l u t on o v a al i on i neće biti povoljni za ma l e terce. Nai me, za male terce oktavu je naj bolje p od ij e l i t i n a 1 1 , 1 5 ili 1 9 po l uto n o v a S o b ziro m na to da velike teree preferiraju 1 9 polutonova, devetnaes tonska skala defi n i ti vno j e n aj bo lj a skala za terc e . U takvoj s kali izvrsna mala terca biJ a bi peti ton, iz vrsna ve lik a terca šesti ton , podnošljiva kvin t a (od 695 cent) jedanaesti ton i p o dn o šlj i v a kvarta (od 505 cent) osmi ton, Takvu je skalu moguće realizirati na uobičaj enim kl avij aturama p odjelom cmih tipki na dvije. te umetanjem po j e d n e nove crne tipke izmedu E i F. te H i e ( J 2 + 5 + 2 = 1 9). .

71

_____

led n o l i ke skal e , koj i ma oktave sadrže o d l

7. Dvanaest veličanstvenih

d o 36 ton o v a, prikaz ane

su

slj edećim grafom. U o č i te da naj više gotovo točnih konsonantnosti sadrže 1 2 -tomka i

1 9-tonska s kal a, kao što j e to i pokazala naša matematička analiza. 9 If

6 5

5 4

4 "3

3

2"

8

5

5

3"

9

""5

15

8

2

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

71

l. Krt/lml arinnelika

1.

KRUŽNA

A R I TMETIKA

Pogled aj mo kako se n i žu dan i u tjednu, polazeći od nedjelje kao nultoga dana:

Nastavlj anjem ovoga niza našli bismo, naprimjer: 23

==

Ut, 75

==

Kako smo d ošli do pos ljednj e j ed nak o sti 'I Dij eljenje:

Pe,

1 65

==

Če, . . .

1 65 : 7 = 23 25 4

pokazuj e da 1 65 . dan s l ije d i poslije 23 puna tjedna i još dan isti kao i 4 . dan , tj . četvrtak.

Označimo li dane u tjednu brojevima: Ne = 0, Po = 1 , Ut = 2, Sr = 3, Če = 4, Pe 5 , Su dobit ćemo s ljedeći niz: =

=

4 dana.

To

znači da

je 1 65 .

6,

i slj edeće jednakosti: 23

==

2, 75

==

5 , 1 65

=

4, . . .

Naravno, ove jednakosti vrij ede samo u kružn oj aritmetici, u koj oj se po s l ij e svaki h 7 broj e v a (O, l , 2, 3 , 4 , 5 i 6) opet p on a v lj aj u isti ti broj evi . Zato se te j ednakosti to č nij e zapisuj u ovako : .

"

23 75

=

2 (mod 7), 5 (mod 7),

O O =

"

165= 4 (mod 7), 1

5

2

4

77

----

l. Kružna aritmetika

Općen ito, II ==

za

cijele broj e ve a i b, vrijedi :

7), č i ta se: "a je kongruentan b modul a 7 " ako sa 7. Izraženo formulom:

b (mod

dij elj enj u

a == b (mod

7) �

{a=

(a i b imaju isti ostatak r, pri dijeljenju sa 7) . U "kružnoj " aritmetici može s e zqrajati l7 == b (mod e ==

a+c

Naime. (b

+

d)

==

7)

b

=

a

i b imaju i sti ostatak

7av + r 7bo

+r

i množiti: l7 ==

d (mod 7)

C

b + d (mod 7)

==

ac ==

b

d

(mo d 7)

(mod 7 )

bd (mod 7)

ako I I i b i maj u isti ostatak rl' dok e i d imaju i s t i ostatak [2 imaju isti ostatak (rl + r2), a (ac) i (bd) imaju isti ostatak (rl r2y a = 7 ao

+ 'i

b = 7 b + 1j o e 7Lo + r:)

d = 7do + r2

pri

'

ond a (a

+

e)

a + e = 7 ( ao + Co ) + (li + r2 ) b + d = 7 (bo + do ) + (li + r2 ) ac =

bd

=

7( 7 aoco

7(7 hodo

+

+

llo r2 + co li ) + 1j r2 bOli

+

do li ) + rlrZ

Naprimjer, 87. dan poslije 76. dana je 2. dan, tj . utorak. S druge strane, 87 skupi na 76 dana I.avršava sa 4. danom. tj . sa četvrtkom. (mod 7 )

87

�

3

76

==

6

87

+

76

9

=

(mod 7) �

2 (mod

3

+

7)

6

(mod 7 )

87

==

76

==

87

3

(mod 7)

6 (mod 7)

. 76 = 3 . 6 ( m od 7)

18 = 4 (mod 7)

Tablica zbrajanja i množenja u "kružnoj " aritmetici modula 7 izgleda ovako : 78

i

od

l. Kružna arilmelika

5

6

6

O

O

CD

2

2

3

4

+

O

1

2

3

4

1

1

2

3

4

5

6 1

O 2

O 2

3

4

5

3

3

5

5

4

6

1

4

6

6

O

2

3

4

5

6

O

5

O 1

2

4

5

6

O

1

2

®

O

1

O

1

2

3

4

5

8

1

2

3

4

5

8

6

2

5

1

6

O

O

2

O

2

4

4

O

4

1

6

O

1

3

3 5 6

5

4

.

O

O O

3

5

6

O

3

5

O

6 5

4

O

O

O

1

IC�

5

2

8

3

3

1

4

2

4

�) 1

Može li se o du zima t i u "kružnoj " aritmeti c i modula 7 ? Može, naprimjer: 1 -

3

==

5 (mod 7),

3-6

==

4

(mod 7),

jer je 3 d an a prije I . d an a (tj . ponedjeljka) bio 5 . dan (tj. petak), a 6 dana prije 3 . d ana (tj . srij ede) bio j e 4 . dan ( tj . četvrtak) . To v i d i mo i i z tabl ice zbraj anj a. Uoč i zaokružene broj eve. Od nj ih oduzimamo broj e v e na početku njihova retka. Rezultat oduzimanj a nalazimo na vrhu njihova stupca. Činjenica da se u svakom retku tablice zbrajanj a n alaze svi "kružn i " broj e v i O, l , 2 , 3, 4, 5, i 6 ( t o č n o jednom) osigurava da se u "kružnoj " aritmetici mogu (j ed n o značno ) obaviti sva oduzimanja. Lako je provjeriti d a to vrij e d i u s v im "kružnim" ari t me t i kam a, tj . u aritmetici modu l a N, za svaki prirodni broj N. su

U " kružn e"

već tl nj oj . -

1

-4

Na

primj er,

==

O - l

==

==

O-4

==

ne treba uvodi ti (n o v e ) n eg ativ n e broje v e , jer oni aritmetici modulo 7 :

aritmetike tl

zat o

6 ( mo d 7 ) , - 2 == O - 2

3 ( mod 7) , -5

Može li se dijeliti

u

3 :2

o;:

O-5

==

==

5

(mod 7 ) , -3 == 0 - 3 ;;;; 4 (mod 7),

2

(mod 7), -6 == O - 6 == 1 (mod 7).

"kružnoj " ari tmetici modula 7? Može, n aprimjer: ==

5 (mod 7),

2 : 5 == 6 ( mod

7),

jer razdoblje do 3. dana (tj . srijede) možemo podijeliti u d v ije s kupi ne od 5 dana: (O 1 2 3 4) (5 6 0 1 2)

d ok razd ob lj e do 2. dana (tj . do utorka) možemo podijeliti u 5 skupina od 6 dana: (O 1 2 3 4 5) (6 0 1 2 3 4) (5 6 0 1 2 3) (4 5 6 O l 2) (3 4 5 6 1 0)

79

/. Kružna aritmetika

brojeve. Nj ih d ij el i mo s retka. Rezultat dije lj e nj a nalazimo n a vrh u nj i h o v a stupca. Či nj e n i c a da se u svakom n e nu i to m retku tablice mn o ž e nj a nal aze s v i "kružni " brojevi 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 i 6 ( t o č n o j edn o m) osi gurav a d a s e u " k ružn oj " ari tmeti ci modul o 7 mogu (je d n o zn ačn o ) obaviti sva d ijelj enj a s b roj e v i m a različitim od O. T o ne vrijedi u svim "kružnim" aritmetikama. Tablica mn oženj a " kružne " aritmetike modul o To vidimo i iz tablice mn o ž enj a. Uočimo zaokru žene b roj e v i ma n a početku nj ihova

6 izgleda ovako :

.

O

1

2

3

4

5

1

2

®

4

5

O

@

O

@

NE .. . . .... 3 : 3 =o I (mod 6)

@

3

2

1

DA ........ 4 : 5 ", 2 (mod 6)

O

O

O

2

O

2

O

1

3

O

®

O

5

O

4

5 -

O

4

4 2

O

O

O

2

O

4

O

4

2

DA . . . . . . . . 3 : l '" 3 (mod 6)

NE

NE

Vidimo da je u "kružnoj" aritmetici modulo 6 moguće dijelj enj e brojevima l i nije moguće dij e ljenje b roj e v i m a 2, 3 i 4 . 1 ) Primijetimo da 1 i 5 nemaj u zajedn i čkih faktora s a 6, tj . oni su relati vno prosti s a 6 . S druge stran e 2, 3 i 4 i m aj u zajedničke faktore sa 6, tj _ oni nisu rel ati vno p rosti sa 6. To nije s l uč aj n o . U "kružnoj " aritmetici modulo N možemo dijeliti brojem n, samo ako su N i n rel ativno prost i . To slijedi iz činjenice da in verzni broj n- I (tj . l in) postoji samo ako su 5,

a

N i 11 relati vno prosti . Naime, iz Eudoksovog postupka2)

naj veći zajednički fakto r cjdobrojni p j tf w k v l da je:

je

No,

od

za n

nalaženj e n aj veće zajedničke mj ere od

i N i

o z nač a v a

sc

(n, M = q N + p n.

s (n , N ) ,

i N, koj a slijedi da p o st oje n

to znači da (n, N) pri dijeljenju s N ima ostatak p n :

(n, N) = p n (mod M·

Ako su n i N relativno prosti, tj . ( n , N) što znači da je TJ fi m o

80

u

I}

traženi

inverz n l ,

Ovu činj enicu, s

analizi

fl ;:

=

1 , onda slijedi :

l (mod

N), tj . p = n- \ ,

kojom završavamo naš prikaz "kružne" aritmetike, iskoris t i l i ugađanj a koj i ma s m o se b av i l i u 5 . pogl av lj u _

općih Pitagorin ih

_____

2.

Potencije i logarihlll

1 . POT ENCIJE I LOGA R I T MI Po t en c iranj e je j edna od naj v ažnij ih matemati čkih operacij a Provodi se tako da se baza b p o ten c i ra eks pon e n t om x. Re zu l tat je potenc ij a :

�)�')t,::: ��'�JiH;' -

Ako je eksponent x prirodni broj , p o tenciranj e je opetovano b'

=

i

znači re c i pro č n u

l b e z obzira

eksponen t raci onalan b roj m/n, on d a III

b il

(Pretpostavlj amo da j e b > °

po ten cij u :

(3/5) -2 = (5/3f = 25/9.

Ako j e e ksp on en t 0, potencij a je

Ako j e

,

b · b · b.

S u p rotn i predznak u e ksp onen tu p o tenc ij e

Naprimjer, y2 = 1 /51 = 1125

mno žcnj c naprimj er:

=

na

bazu:

potenciranje definiramo :

(Vb)",

111

i

b il > O.)

Pravil a za potenciranj e s i stom bazom slij ede neposredno i z navedenih definicij a. Kada se potencij e množe, eksponenti se zbraj aj u. Kada se potencij e dijele, eksponenti se odu zimaj u . Kad a se potenc ij a potencira, eksponenti se množe.

81

2.

Polenciie

i logaritmi

__________________________

Iz navedenih defi n i c ij a s l ij ede i prav i l a za potenciranj e i s ti m eksponentom: cl

(abY = a' b\

x

b'

uvoda u p o te n c ij e p re l a zi mo na \ogaritme. Eks po n e n t po b azi b zove se l o g ar itmo m te potencij e po toj bazi . Dakle, l o g a ri t am od 25 po bazi 5 je 2, j er je 25 5 2 • Logaritarn od 64 po bazi 1 6 je 3/2, jer je 64 4' = «( 1 6) 1/2)' = J 6'/c . Posl ij e o v o g kratkog

potenc i j e b'

=

U kratk o , )Ogb Y B avit ćcmo

se

X

=

=

znači isto

samo realnim logaritmima i potencij ama. Zato baza b ne može

biti neg ativ n a, jer h i s m o n p r . do b i l i

bi

npr. l o gl 7

= x

Š!? i b X = y .

znac: i l o

da je l "

(:_2)112 �- = i� . =

=

(Baza ne može

7 , što nij e točno ni za j edan broj

n eg ati v n o g

biti ni l , jer

x.)

b roj a }' (i l i od y

Zbog i stog

O), j er je

je i sama pozilivna. Naravno, sami eksponenti x. tj . logaritmi x , mogu biti bilo kakvi: pozitivni, nula i l i negativn i . I z definicije l ogaritama sl ijedi : sve što je nap i s an o pomoću logari tama m o že mo nap i sati pomoću potencij a, i obrnut o : sve što možemo n ap i s a ti pomoću potencij a,

raz l oga ne možemo računati l o g aritam od

logaritarn eksponen t potencije s pozitivnom bazom, koj a

=

­

možemo i pomoću logari tama.

Eliminacij a logaritma logb y = X � Y = bX

El i m i n ac ij a

bX =

L- �

N apnmjer, . l og .

se

q x =

B udući

i s kazati i kao

']/" 1

w

L _+

znacI I s to V'

•

sto v

1 x ·

=

p

9-3/2 tj. . "

d a Sll l ogari tmi eksponenti, pravi l a pravila za računanje logaritmima: (2) l og"

( 3 ) l og,!(ul!)

=

log},

ll ,

(u/v)

(4) log" b

=

=

1,

lo g "

9-1 '-"

x =

za

u

=

p otencije

y => x

1/31

' =

=

logh y

1 /27 .

računanje eksponentima mogu

-

l o g ;, v,

(5) iogl> 1

==

O.

da j e e k s p o n en t umn oška potencija jednak zbroj u e k s p o n e n ata. To je staro prav ilo za m n oženj e potenc ija. Radi se s amo drukčijem zapis u : Prvo prav i l o kaže

Bl

njihovih o

nešto

_______

bA,

log"

U

=x

zapišimo kao

U

log"

v =y

zapišimo kao

v = br,

=

2.

PureneUe

i lugari/m i

zapišimo kao

10gb (uv) = X + Y Dakle,

l og" (uv)

zn ač i isto što i

=

logh

h' !J.1

=

U +

log"

v

bX+Y

bHY zapis ano na drugi nači n . I s to v rI Iedi Vidimo da j e ( I ) n aše s taro pravilo bX h" ostala pravi la l ogaritm iranj a; to su pravila potenciranj a zapi sana na drugi način i >. =

(ako je

i

za

N a kraju ističemo važno pravilo koj e po v ezuj e logar i t me p o raz ličitim bazama

a,

b,

e >

O i

a,

b

cf.

1 ):

] og" c - -- . l o ba " b _

logu

e

Formu l a za p r o mj en u baze jednostavn a j e poslj edica prav i l a (3 ) o logari tmu poten c ije. Krenimo, n aime, od poznate činjenice: x = log" e znači i s t o što i lJ ' = {' Izračunamo li sada logari tme po bazi Ll od lijeve i desne strane posljednj e jednakosti , lako ćemo i zračunati x : l og" br

=

log"

c,

X

l og" h

=

log"

c,

x =

log e l og" b

- '' -,

dakle, log"

e

log

''

e

log" b

= -__- ,

Formu l a za promj enu baz � važna j e zato što nam razne t a b l i c e i džepn a računala n aj češće omogućavaj u izračunavanj e l ogari tama po samo dvije baze : 1 0 i e . B roj e pri bližno j e 2,7 (točnij e 2 . 7 1 8; još točnij a vrij ednost može se do b i ti pri tiskom

n a tipke l i eX na džepnom računalu ) . Zbog svoje važnosti log l o i log" imaj u posebna imena: l og l o = l og ( o bični ili dekad ski J ogaritam), l oge l n (prirodni logari tarn) . =

Ovi rezultati . kojima završavamo naš prikaz logaritama, imaju mnogostruke primjene, a jedna od nj i h je i pretvaranje multipl i kativnih mj ernih skala u ad iti v n e . Takvu smo pretvorbu u vel i u četvrtom pogl av lj u , kada smo s multiplikati vnih omjera prešli na aditi vne cen ti/e .

Sl

3. Eudoksovo

mjerenje i

veriŽIl; razlomci

-----

1. E U DO K J O V O MJ E RENJE I

VERIŽNI

RAZLOMe i

I z mje ri ti veličinu {lo v e li č ino m a l znač i n aći nj iho v u zaj edničku mj eru a , tak vu da je za neke cij e l e broj eve no i n " ao noa i a l = n l a . Tada kažemo da su ve l i č i n e ao i a l sumjerIj i ve, j er se nj i hov o mj e r može izraziti kao omjer cij elih brojeva (tj . kao racional n i broj ) aola l = noIn " tj . {/o=(noln l )a l , odnosno : =

----a� o� _o��-I

__

__

a�a

�---------

---------�

Ako ve l i čine ao j a l nemaj u zajedničku mj eru (npr. st ran i ca kvadrata i nj e go v a dij agonala n e m aj u zaj e d n ičku mj eru ) , o n d a kažemo da su te dvij e v e l i č i n e nesumjerIjive. Nji h ov se omjer ne može i zraziti kao racionalan broj , tj . njihov je omj er i racionalan I } .

Eudoksovo mjerenje j est postupak koj i m u k o n ačn o m broj u koraka nalazimo zajedn i č ku mj eru i omj er dviju sumjerlj ivih v e li č in a a koj i nikada ne staje a ko se primijeni na dvij e nesumj erIj i ve veličine. U prvom koraku a l se oduzima od ao toliko puta ko l i ko je to moguće, tj . dok ne dođemo do ostatka a} manjeg od al ' Ako j e to qo puta ({jo jc, naravno, cije l i broj), onda imam o : ,

U drugom koraku p o stu p ak ponavljamo s

Pustupak nastav ljamo s a1 i a3, a3 i tak v i h da je:

a,b a4

al

i

i

as,

{/2

o o . ,

(cijeli b r oj

(j I

� I , j er je

sve dok ne dođemo do

al >

Gk

i

a2) :

(lk+ 1 = a ,

tj . (cijeli broj qk :2 2, jer jc

lik :> ak+ 1

=

a).

S vi korac i Eudoksova postupka, ako on završava u konačnom broj u koraka, izgledaj u ovako : 84

_______

aa al

a2

=

qoa l

+

a2,

=

q l a2

+

aj,

=

q 2a l

+ a4,

a l > al

aj ,

q l :2 1 ,

aJ > a4 ,

q2 :2 1 .

a2 >

3_ Eudoksovo

mjerenje

i veriin i mz/omei

Odavde od mah s l ij e d i da j e a z aj e d n i č k a mj era od ao i cl l ' Nai me , i z poslj ednj e j edn ad ž b e slij edi da j e a mj e ra o d ak' Zati m, iz pretposlj ed nj e jednad ž b e slij edi da j e {l mj era od a k l .

Iz j e d n ad žbe prije nje slijedi da je a mjera od ak-2 i tako dalje, sve do druge jednadžbe, i z koj e slij e d i da je a mjera od a l ' i k on ač n o prve, iz k oj e s l ijedi da je {l mj era o d ao

Ukrat ko , ako Eudoks o v o mjerenje veličine

aa

veličinom

al

završava,

onda

su

te dvije

vel i čine sumj erlj i ve . N aravn o , vrij edi i ob ratno - ako su vel i či n e s u mj e r lj i ve , Eudoksov p o st u p a k s i g urn o ć e završi ti . Naime, ako j e {l o = n o a i (l l = n l a, z a neke cjelobrojne n o i nl (te neku zaj edn i čku mj eru a), onda j e :

p o s t u p ak mora završiti j er j e broj e v a , koj i je nužno kon ač an .

pa

nl

>

n2

>

n] >

11 4

>

...

strogo opadaj ući n i z prirodnih

Ponovimo j oš jednom. Ako j e Eudoksovo mj erenj e veličine aa vel i či n o m a l (tj . završava u konačnom b roj u koraka) , onda su te veličine sumjerlj ive i nj ihov omj er ao/a J racionalan j e broj . Ako je mj erenje beskonačno (tj . ako ne završava u konačnom broj u koraka) , onda su te veličine nesumj e r1j i ve i nj i h o v omj er aola l iracionalan je broj . U konačnom slučaju rezultate mjerenj a možemo z ap i s ati ovako: k ona č n o

85

3. Eudoksovo mjerenje i verižni razlomei

----

aa q7 --= % +� , al ql al

- =

°2

pa

ql +

% -

q2

ql ::::: l ,

� > a, ,

,

iz loga slijedi: 1 _ (10 - % + -- - % + _

{ll

al

ql

[�

=

---

1 +,�

ql +

--­

l q,- + ­ a3

a3

a4

= qo +

---­

ql +

U

---

q2 +

beskon ačnom slučaju, rezultati mjerenj a (kojih sada ima beskonačno):

(10

- =

al

al

- .- =

{l 2

� % + -=,

a l > a2 '

ql +

� > a"

al ( 11

----'--

� a4

a,

,

----"- = q, + - , aj

86

-

aj

(/3 > a 4 ,

----_____________ ---

3. Eudok:;ovo

mjerenje i

l'eriŽlli m�lo111ci

daj u beskonačni verižni razlomak:

V i d i mo da su ko l ič n i c i ven znog razlomka, j ednakog omj eru ao/a l o II oba slučaj a direktni rezultati Eud oks o v a mjerenj a v e l i č i n e a o veličinom a l ' Ako j e omjer ar/a l rac i o n a l an broj . radi se o konač n om veri ž n o m raz l o mk u , a ako je uo/al iraci onalan, radi se o beskonačnom verižnom razlomku.

Dakle, s vaki realni broj x može se prikazati u obliku verižnog razl omka konačan ako je x racionalan, a beskonačan ako je x iracionalan2) :

koj i je

Taj je prikaz jedinstven, jer su kol i čnici qi jednoznačno određeni Eudoks ovim postupkom3). Brojevi

racionalne su aproksimacij e broj a x. Nj ihovi su izn osi : XI

Uvedemo

li

"

b roj e ve

"

ql% nl ql

ml

= -

X_ I

=

m -----=!. n_I

1

O

+

q2 (ql% 1) + % - n2 - q2ql 1 '

1

xz -

X_J

m ----=l.

- n _2 =

�

+

-

=

-

O 1

- ,

--'---'----

+

vidimo da

vrijedi :

81

3. Eudoksovo

mjel'enie

To vrij edi i za

što

sve

se lako može

i verižni razlmnei

----

dalj nj e aproks imaeij e :

dokazati indukeij om. Pretpostav imo, naime, da naveden a formula

vrijedi za k i dokažimo da on d a

vrijedi i

(Lh + (l /qk+l ))mk- 1 - �qk + (l / qk, 1 ))nk-I + Ylk-2 -

qk + l qkmk - l + m k - 2

+ mk 2

_

=

_

(po pretpostavci indukcije)

=

+

1:

(

qk + l qkJ'l k - I + Ylk-2

)

+ mk_1

)

+ nk-1

qk +ltn" + m k-1

su mk

Promotrimo jedan konkretni

aproksimacije Xo, xj , X7. , x.l '

k

(

qk + l Ylk Uoč imo kako odavde slijedi da

za

i

+ fl k _ 1

nk

b ro i

uzlazni ni zovi :

x =

[2, 1 , 2, 3, 1 . 2,

. . . l i nj egove racion al ne

x4 , x:; , . . . x]

[ 2,

I,

I,

2,

o

l

2

3

8

27

35

97

l

O

1

l

3

10

13

36

Luk o

se

...]

može provjeriti da vrij edi: 2


O uvijek vrijeui

ij, :2: I .

veći oci j (usp. gore). kol i čnici kojih m o g u biti pozi t i v n i realni b ro j ev i .

konač nog po�t u p ka,