Diskretna matematika

CW- Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna biblioteka, Zagreb UDK

510 l 512 (075.8) 519.1 (075.8)

ŽUBRINIĆ, Darko Diskretna matematika Zagreb: ELEMENT, 2001.

l

Darko Žubrinić.

Bibliografija.

ISBN

953-197-525-6

l. Diskretna matematika - Udžbenik

410524013

ISBN 953-197-525-6

-

l. izd.

-

v

Darko Zubrinić

DISKRETNA MATEMATIKA

2. izdanje

Zagreb,

2002.

@ Darko Žubrinić, 2001.

Prof. dr.

Urednik

sc.

Neven Elezović

Recenzenti

Prof. dr. sc. Andrej Dujella Doc. dr. sc. Mario-Osvin Pavčević Prof. dr. sc. Dimitrije Ugrin-Šparac Crteži, slog i prijelom

Element, Zagreb Design ovitka

Palete, Zagreb

Nakladnik

Zagreb, Republike Austrije ll tel. 01/37-777-37, 01/37-777-44, 01/37-777-52 faks 01/37-736-41 http:jjwww.element.hr/ e-mail: [email protected] ELEMENT,

1isak

Ekološki glasnik, Donja Lomnica

Nijedan dio ove knjige oe smije se preslikavati niti umnažati

na bilo koji način, bez pismenog dopu!tenja nakladnika.

PREDGOVOR Moguće je tek približno opisati što sve obuhvaća diskretna matematika. Ona se bavi relacijama na konačnim skupovima, rekurzivnim relacijama, algoritmima, matematičkom logikom, Booleovim algebrama, kombinatorikom, particijama, teorijom grafova, raznim diskretnim algebarskim struktu­ rama (npr. konačnim grupama, prstenima, poljima), itd. Algebarskom strukturom zovemo bilo koji skup na kojem je definirana barem jedna operacija (obično binama). Pojam 'diskretne' matematike zahtijeva pojašnjenje. Njen temelj čine 'diskretni' skupovi. Tu obično mislimo na a) skup koji ima konačno mnogo elemenata (konačan skup), npr. skup {0, l}, {l, 2, 3}, skup slova abecede, skup znakova na tipkovnici računala, b) ili beskonačan skup čiji se elementi mogu poredati u slijed (prebrojiv skup). Takvi su npr. skupovi prirodnih i cijelih brojeva. Vidjet ćemo da se elementi skupa realnih brojeva ne mogu poredati u slijed. Uvođenjem struktura poput grupe, prstena, polja itd. dat ćemo i primjere koji ne spadaju u diskretnu matematiku, a koji dobro ilustriraju odgovarajuće pojmove. Pojam 'diskretan' stoji nasu­ prot pojmu 'kontinuiran' (neprekinut). Npr. skup realnih brojeva R je 'kontinuiran', dok je skup cijelih brojeva Z diskretan. Slično, za neku funkciju kažemo da je diskretna ako je skup njenih vrijednosti diskretan skup. Razumije se, 'diskretnu' i 'kontinuiranu' matematiku nije moguće strogo odijeliti. Npr. moguće su i funkcije koje su dijelom diskretne, a dijelom kontinuirane. Mnogi rezultati diskretne matematike dobivaju se uz pomoć diferencijalnog računa, dakle metodama 'kontinuirane' matematike, i obratno. y

y=J(n)

• l l l l

• l l l l l l l l

' l l l l l

y

• l l l l l l l l l l l l 4

n

y=J(x)

�

Sl. l. Diskretna i neprekinutafunkcija.

Knjiga je namijenjena studentima druge godine Fakulteta elektrotehnike i računalstva u Zag­ rebu, koji su već odslušali kolegij Linearne algebre na prvoj godini studija, i koji dakle već vladaju pojmovima kao što su grupa, vektorski prostor, matrica. Ta činjenica je jako olakšala pripremu ove knjige. Iako je temeljna svrha knjige diskretna matematika, mnoge definicije obuhvaćaju i primjere koji nisu diskretni, npr. grupa, prsten, polje. Stoga su pored 'diskretnih' primjera navedeni i neki najvažniji 'nediskretni' primjeri. Knjiga je pisana vrlo mekano, tako da ju velikim dijelom mogu čitati bez većih poteškoća i učenici srednjih škola. Tek tu i tamo nađe se poneki primjer iz linearne algebre (npr. vektorski prostori), ili iz diferencijalnog računa koji srednjoškolac može preskočiti. Knjiga obuhvaća diskretnu.matematiku za studente računalstva na Fakultetu elektrotehnike i računalstva u znatno većem opsegu (i dubini) nego što je programom predviđeno. Elementi diskretne matematike predaju se tijekom jednog semestra, s dva sata predavanja tjedno i dva sata vježbanja. Hrvatski štioc bi se sigurno j ako iznenadio kada bi vidio udžbenik matematike [Fudzisava, Kasami] za studente elektrotehnike t smjer telekomunikacije) u Japanu. On je za japanskog studenta vrlo zahtjevan, u mnogo većoj mjeri nego što je ova knjiga. Treba upozoriti i na jednu veliku prazninu: u knjizi nije niti dotaknuta teorija grafova (koja programom i nije predviđena). Vjerujem da će se kroz kratko vrijeme pojaviti i samostalan kolegij i udžbenik za studente elektrotehnike i računalstva koji će tu prazninu popuniti. Preporučam da čitajući ovu knjigu imate stalno olovku i papir pri ruci, radi provjera i vlastitog eksperimentiranja.

Pojedine tvrdnje nose nazive teoremi, propozicije, leme. Teoremom (stavkom) zovemo neku važniju tvrdnju, dok je lema pomoćna tvrdnja, priprema za dokaz nekog teorema ili propozicije. Propozicija po važnosti stoji negdje između teorema i leme. Korolarom zovemo posljedak nekog teorema ili propozicije. Oznaka Teorem 3 označava treći teorem u tekućem odjeljku, a Teorem 5.2.3 označava Teorem 3 u Odjeljku 5.2. Slično za propozicije, leme, korolare i primjere. Kraj dokaza označavamo sa Q.E.D. (lat.quod erat demonstrandum- što je i trebalo dokazati). U decimalnom zapisu realnih brojeva rabit ćemo radije decimalnu točku nego decimalni zarez. Knji gu je otipkao sam autor rabeći Knuthov tipografski sistem lEX (i netrivijalnu nadogradnju ostvarenu u poduzeću ELEMENT), koji je zaštitni znak American Mathematical Society. O 'fEX-u vidi http: l /www. tugboat. org. Zahvaljujem prof. dr. Nevenu Elezoviću na sugestiji da se ova knjiga napiše, i poduzeću ELE­ MENT na ugodnoj i vrlo efikasnoj suradnji. Nulto izdanje knjige objavljeno je 1997. g. Recenzenti prvog izdanja, prof. dr. Andrej Dujella, doc. dr. Mario Pavčević i prof. dr. Dimitrije Ugrin-šparac, pomogli su mi brojnim opaskama i sugestijama. Prof. dr. Dimitrije Ugrin-Sparac pružio mi je dra­ �ocjenu pomoć uvidom u Cutlandovu knjigu. Pomoć oko literature i stryčnu pomoć dobio sam od t abecednim redom) mr Andreje Aglić, prof. dr. Lea Budina, prof. dr. Zeljka Butkovića, prof. dr. Vladimira Ćepulića, prof. dr. Maria Esserta, mr :leljka Hanjša, dipl. ing.Igora Jelaske, mr. Miroslava Lojena, prof.dr. Ljube Marangunića, prof. dr. Dragutina Svrtana, prof. dr. Mladena Vukovića. Veliku zahvalnost dugujem mr Andrei Aglić i doc. dr. Mariu Pavčeviću na dopuštenju da izbor zadataka s rješenjima s pismenih ispita na FER-u (Fakultetu elektrotehnike i računalstva) bude uvršten u ovu knjigu. U otklanjanju nekih pogrešaka pomogli su mi i studenti. Svima velika hvala! Razumije se, odgovornost za propuste leži jedino na autoru. .

.

.

Zagreb, veljače 200J.

Tablica približne međuzavisnosti poglavlja: J

1\

13-2

3

5

6

9

7 -8

\41 1\

'

'

JO

'

'

'

12

ll

Pisanje grčkih slova je isto tako lagano kao n. Samo otipkaš isto tako lagano kao $\pi$. -Leslie LAMPORT, The IbTIYC Document Preparation System (1983) . • .

Ne samo moćno oružje u borbi za opstanak, matematika je simbol naše intelektualne snage, i jamstvo da te se ljudski duh vazda boriti za uzvi�ene ciljeve. -Danilo BLANUŠA (1903-1987)

SADRŽAJ l. Skupovi

......... . l.l. Algebra skupova .. . 1.2. Kartezijev produkt skupova 1.3. Ekvipotentni skupovi, kardinalni broj . 1.4. Prebrojivi skupovi i njihovo kodiranje 1.5. Neprebrojivost skupa realnih brojeva

2. Uvod u matematičku logiku .

.... Algebra sudova . . . . . . . . . Tautologije, pravila zaključivanja Skupovni prikaz algebre sudova . Booleove algebre . . . .. . . . . Booleove funkcije . . . . . . . . Disjunktivna i konjunktivna normalna forma Logički sklopovi . Predikatni račun ... ........ 3. Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Dje1jivost, najveća zajednička mjera . 3.2. Euklidov algoritam . . . . . . . . . . . 3.3. Prosti brojevi, osnovni teorem aritmetike 3.4. Kongruencije po modulu n . . . . . . 3.5. Mtibiusova funkcija i formula inverzije 3.6. Eulerova funkcija . .. ... . .. . . 4. Binarne relacije .. . . . . . . . . . . . .. . 4.1. Refleksivne, simetrične, tranzitivne relacije . 4.2. Relacija ekvivalencije .... . .. . 4.3. Razredi ekvivalencije, particija skupa . 4.4. Još neki primjeri ... . 4.5. Relacija poretka . ... . .. . .. .. 4.6. Hasseov dijagram relacije poretka... 4.7. Mreže ... . . . . . . . .. . . . .. . . 4.8. Skupovni prikaz konačnih Booleovih algebara 4.9. Operacije s binarnim relacijama . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

.

S. Binarne operacije

. .. . . . . . . . . 5.1. Definicija i primjeri . . . . . . . 5.2. Poljska i obrnuta poljska notacija

6.

7.

Uvod u kombinatoriku

. .. . .... Pravilo produkta . . . . ..... Varijacije, permutacije i kombinacije bez ponavljanja Permutacije, varijacije i kombinacije s ponavljanjem . Cikličke permutacije . . . . .. . .. Formula uključivanja- isključivanja Funkcije izvodnice. Dirichletov princip. Rekurzivne relacije . . . 7.1. Fibonaccijev slijed. 7.2. Asimptotsko ponašanje sljedova; oznake O, Q, e . 7.3. Linearne rekurzivne relacije .. . . . . . 7.4. Nehomogene rekurzivne relacije . .. . 7.5. Primjeri rješavanja Eulerovom metodom 7.6. Rješavanje s pomoću funkcija izvodnica 7.7. Diskretni dinamički sistemi . ... . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

.

l l 6 6 9 ll 14 14 20 26 27 30 32 35 38

44 44 46

49 55 57 59 63 63

64

65 68 71 74 76 79 82 86 86 89 91

91

95 98 . 104 . 107 . 112 . 123 . 128 . 128 . 132 . 138 . 142 . 144 . 147 . 149

8. Operatori diferencije i pomaka .

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

. 156 . 156 .158 .160 . 161

.

Definicija i temeljna svojstva . Veza s operatorom pomalca .. Veza s operatorom deriviranja . . . . . Diferencijske (relrurzivne) jednadžbe .

9. Grupe

....... .. . 9.1. Definicija grupe . . . . . . . . . . . . .. . . 9.2. Neki primjeri grupa ............. . 9.3.Cikličke grupe . .. . . . .... ... . . . . 9.4. Primitivni korijen iz jedinice, Eulerova kongruencija. 9.5. Podgrupe, Lagrangeov teorem..... 9.6. Normalne podgrupe, kvocjentne grupe . 9. 7. Homomorfizmi i izomorfizmi grupa .. 9.8. Kartezijev produkt grupa ........ 9.9. Simetrične grupe (grupe permutacija). 9.10. Grupe simetrija

10. Prsteni i polja ..... .

.163 .163 . 166 . 169 .. . 172 .174 . . . 176 . . . 178 . . . .183 .185 .189 .195

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.

.195 . Prsteni . . . . .. . 197 Integralna domena . . . .198 Polja . .. . . . . . .. .200 Homomorfizmi i izomorfizmi prstena . . . . . 203 . Karakteristika prstena . .. . .. . .. . Ideal prstena .. . . ..... . . .. ... . . . . . .. .. ...... 204 . .. 205 Kvocjentni prsten po idealu .

11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6.

Definicija prstena polinoma . . . . . . Euklidov algoritam za polinome . . lreducibilni (nerastavljivi) polinomi K vocjentno polje prstena polinom.a Pro§irenja polja ... . . . . . Konačna (Galoisova) polja ..

11. Prsten polinomi

. . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . 12. 1 . Temeljne osobitosti algoritama

12. Složenost algoritama

12.2. Složenost potenciranja ... . . 12.3. Složenost Euldidova algoritma 12.4. Mjehuričasto sortiranje .. . . 12.5. Brzo sortiranje .............. 12.6. Sortiranje spajanjem (merge-sort) ... . 12.7. Procjena minimalne složenosti sortiranja 12.8. Memorijska složenost algoritama ..

.. 13.1. SNBR-stroj ............. 13.2. Izračunljive funkcije . . . . . . . . . 13.3. Odlučivi predikati ......... . 13.4. Kodiranje funkcija i predikata ... . 13.5. Primitivno rekurzivne funkcije ... 13.6.Halting problem (problem zaustavljanja)

13. SNBR-stroj, izrarunljive funkcije .

14. Dodatak

. . ... . . . . . . . 14.1. Kratki sažetak . . . . . . 14.2. Zadatci s pismenih ispita 14.3. Rje§enja zadataka

. .. 2f17 ... 2f17

.. .209 .. .211 . . . . . . . 213 ...... . 217 . 222 .. . .. . ... . . 229 . 229 .233 . 233 .239 . 241 . 244

..247

.... . 248

. . 250 .. .250 . 255 .258 .260 .263 .266 ..269 .269 .274 .279

Literatura . . ..

.291

Kazalo imena . .

.292

Kazalo pojmova .

.294

l. l .

ALGEBRA SKUPOVA

l

l.

Skupovi

skupa

Temeljne definicije i oznake.

Pod pojmom razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva { 1 , 2, 3, . . } ; (b) skup svih cijelih brojeva Z={ . . , -2, -l, O, 1, 2, };

N=

... E , gdje su a, b E Z i b :j:. O ); skup svih realnih brojeva R; on sadrži sve racionalne, kao i brojeve poput /2, n= 3. 14 . . . , e = 2 . 7 1 828 . . . , q, = up= 1 .618 . . . , koji nisu racionalni;

(e) racionalnih brojeva

(d)

.

.

Q (elementi su mu razlomei

C, koji sadrži sve z = x + takve da su x, i imaginarna jedinica za koju se definira da je i2 = -l . iy,

(e) skup kompleksnih brojeva pri čemu je

y E

R,

Te vrlo važne skupove upoznali smo u osnovnoj i srednjoj školi. Povijesno, za njihovo uvođenje trebala su duga stoljeća mukotrpnog i vrlo složenog znanstvenog razvoja, osobito za nulu, negativne cijele brojeve i kompleksne brojeve. Skup realnih brojeva strogo je definiran tek u 1 9. stoljeću. Moguće je promatrati i skup svih neprekinutih realnih funkcija realne varijable

= x2

)

(elementi tog golemog skupa su funkcije, npr. y + l , sin 2x , eX , kao i skup studenata FER-a koji su do ovog trenutka položili barem jedan ispit, skup ovisnika o drogi u Hrvatskoj (volio bih da bude prazan, te da nikada ne budete njegov 'element'), skup svih invalida u Hrvatskoj, itd.

Neka je X bilo koji unaprijed učvršćen skup koji želimo promatrati, tzv. univer­ zalni skup. U njemu gledamo podskupove A, B, C itd. (skupove i podskupove obično označavamo velikim slovima). Činjenicu da element x pripada skupu A bilježimo sa x E A (ponekad i sa A x , tj. skup sadrži element x ). Ako x nije u A, onda pišemo x f{. A . Skupove obično zadajemo na dva načina: 3

A

a) popisivanjem njegovih elemenata, ako je to moguće: npr.

A= {l, 2, 3}, ili

l . SKUPOVI

2

A

EX EX A= ER: =

koji b) opisno, s pomoću nekog svojstva. Točnije, skup svih elemenata x imaju neku vlastitost P(x) označavamo sa {x : P(x)} . Npr. ako je = i vlastitost P(x) označava da je x tg x , onda je {x x tg x} skup svih realnih rješenja jednadžbe x tg x. Skup racionalnih brojeva možemo Z, O} . opisati kao Q H; Skup ne ovisi o poretku elemenata u njegovu zapisu, kao niti o tome ima li ponavljanja nekog elementa: npr. {l, 2, 3} {3, 2, l } {2, 2, 3, 3, 3, l } . Sljedeća definicija je jasna: kažemo da je skup skupa B ako je A sadržan u B, tj. ako za svaki element x vrijedi da ako je x onda je x B. Pišemo B. Znak zovemo znakom (uključivanja). Ako je B, onda kažemo da je B nadskup od , što možemo pisati i kao B 2 . Očevidno je za bilo koji skup Ako je B i :;6 B, onda kažemo da je pravi podskup od B. Važan podskup od je onaj koji ne sadrži niti jedan element, tzv. Označavamo ga sa 0 . Smatramo da za svaki skup vrijedi 0 tj. prazan skup je sadržan u svakom skupu. Također smatramo da postoji samo jedan prazan skup. PRIMJEDBA l. Mogući su i skupovi koji kao svoje elemente sadrže druge sku­ pove. Npr. skup { { } } ima kao element skup {a } , tj. {a } ne sadrži element Isto tako skup 0 ne sadrži niti jedan element, dok skup { 0 } sadrži jedan element (element mu je prazan skup).

X R

=

A�

: a, b E

=

= = A podskup EX E A, inkluzije A A A� A

�

A�A

b :;6

=

A=

A.

X

A

� A,

A= a a : a (j_ A .

E A� A prazan skup.

E A . Skup A

Radi potpunosti, čitatelja ćemo vrlo sažeto podsjetiti još i na neke temeljne poj­ move u vezi s funkcijama. Neka su zadana dva neprazna skupa i B. Funkcijom elementu iz polaznog skupa f iz u B, zovemo pravilo (postupak) kojim element iz skupa B, koji označavamo sa J( i zovemo pridružujemo elementa u skupu B. Funkciju označavamo sa J -t B. Funkcija se često zove još i preslikavanje. Umjesto = f( ponekad pišemo i Kao što smo rekli, ne može nekom biti pridruženo više -ova iz B, nego samo jedan, koji zovemo f(a). Ali, neki b E B može funkcijom J biti pridružen dvama ili više različitih elemenata iz Za zadanu funkciju J : -t B skup zove se domena, a skup B kodomena funkcije. Ako je f( onda zovemo argumentom funkcije, a vrijednošću od f za argument . Skup poredanih dvojaca f( zove se graf funkcije J. Kad kažemo onda nam to znači da je prvi element, i J( B drugi element u dvojcu Za dvije funkcije J -t B i g : kažemo da su jednake ako imaju iste domene, tj. = iste kodomene, tj. B i za sve vrijedi Npr. dvije funkcije f : i : Z zadane na 'isti' način: f(x) x2 + l i g(x) x2 + l , smatramo različitim funkcijama jer su im domene različite. Slijed (ili niz) u skupu je bilo koja funkcija J: V rijednosti te funkcije su f(n) = tj. redom ... , pa slijed često označavamo i na ovaj način: Slika funkcije J: -t B definira se kao skup { ( B: } , tj. kao skup svih B koji su 'pogođeni' s nekim uz pomoć funkcije. Za funkciju J : -t B kažemo da je surjekcija ako je njena slika jednaka čitavoj kodomeni, tj. f( = . Riječima: f je surjekcija ako za svaki B postoji takav da je J(

A A slikom

A a

svakom

točno jedan a

b

A

a) a EA

A.

:A

a) ,

a �---+ b. b

A b = a) , a b a (a, a)) poredani dvojac, aEA a) E (a, /(a)) . : Ar r A 2 -t B2 aEA Ar A2 , f(a) = g(a) . N -t N g r =-tBN2 , = = N -t A . A an E A , ar, a2 , a3 , (an ) . A /(A) = ! a) E a E A bE aEA A A) B bE aEA b = a) .

3

l . l . ALGEBRA SKUPOVA

B

Svaki element kodomene je 'pogođen' s bar jednim elementom domene A. : A -+ B kažemo da je injekcija ako različitim vrijednostima Za funkciju argumenta pridružuje različite vrijednosti u slici, tj.

f

ako je To je isto što i zahtijevati da

a l rf az, onda je !(al ) rf !(az) .

a1 = az . a l = az svaku !(al) = f(az) . f f- 1 f- 1 (b) = a onda i samo onda ako vrijedi f(a) = b. lnverzna funkcija je također bijekcija. Jasno je da između dva skupa A i B s konačno mnogo elemenata postoji bijekcija f : A -+ B onda i samo onda ako skupovi A i B imaju isti broj elemenata. Bijekcija f : A-+A, tj. iz skupa A u samog sebe. često se zove permutacija (pre­ mjestba) skupa A. Jedna vrlo važna permutacija skupa A je identiteta id : A -+ A, koja sve elemente u A ostavlja nepromijenjenim: id(a) = a . Permutacijama je posvećen Odjeljak 9.9. Za dvije funkcije f : A -+ B i g : B-+ e (primijetite da su 'ulančane' preko sku­ pa B), definirana je nova funkcija gof : A-+ e, zadana sa (gof)(a) = g(!(a)) . Zove se kompozicija (slaganje) funkcija f i g. Za kompoziciju triju (ulančanih) funkcija vrijedi zakon asocijativnosti: ako je h : e-+ D, onda imamo h o (g of) = (h o g) of. Pretpostavimo li da je f : A -+ B bijekcija, očevidno vrijedi f-1 o f = idA (identiteta na skupu A) i f o f- 1 id8 (identiteta na skupu B). Ako je zadana još jedna bijekcija, g B -+ e, onda je g o f A-+ e također bijekcija. Vrijedi sljedeće važno pravilo za nalaženje inverza kompozicije dviju bijekcija: (g o /) -1 = f- l o g - l . f(at) = !(az) , f:

onda je ako je lnjektivna funkcija 'ne lijepi' različite elemente iz skupa A u isti element iz B. Pri­ A -+ B vrijedi da iz funkciju mijetite da za slijedi Funkcija : A -+ B koja je istodobno injekcija i surjekcija zove se bijekclja. U : B -+A na sljedeći način: tom slučaju možemo definirati inverznu funkciju

=

:

:

U ovoj knjizi često će nam se pojavljivati pojam n faktorijela, n!, koji se za n O definira kao O ! = l , a za bilo koji prirodni broj n kao umnožak n uzastopnih prirodnih brojeva od l do n: n!= n(n- l) ...2 l. l)!= (n+ l)·n!. Npr. l!= l, 2!= 2, 3! 6 , 4! 24, 5!= 120 itd. Vrijedi , koji se definira za Isto tako važan će nam biti pojam binomnog koeficijenta nenegativne cijele brojeve n i uz uvjet � n sa: (�) =:= l, a za l � k � n stavljamo l) n(n- l) ...(n n . k!

=

= k

=

(k) =

m = k!(:�k)! ,

·

(n+ m

k

-k+

k

Primijetite da u brojniku imamo padajući umnožak točno prirodnihbrojeva, počevši od n. Lako se provjeri da je i vrijedi svojstvo simetrije: (�) Npr.

7 - 7 - 7·6·5 -

( ) (3) - 3-Z·l 4

35

·

= (11�k) .

l . SKUPOVI

4

Uobičajene kratke oznake za zbroj i produkt n realnih brojeva a1, a2, ..., a11 su n a;= a1a2 ... an. a; = a1 + a2 + ... +

n an , IJ

L i= l

i= l

Algebra skupova. Kažemo da su skupovi A i B jednaki ako vrijedi A � B i B � A . U tom slučaju pišemo A= B. Unijom skupova A i B sadržanih u univerzalnom skupu X zovemo skup e svih elemenata x takvih da je A ili B (moguće je da je i u oba skupa). Pišemo e = A U B. Presjek skupova A i B je skup D svih elemenata takvih da je A i B. Označavamo ga sa D = A n B {skup zajedničkih elemenata u A i B). Ovdje smo namjerno istaknuli da je skupovna operacija U povezana sa veznikom ili, a operacija n sa veznikom i. Za dva skupa A i B kažemo da su disjunktni ako im je presjek prazan, tj. AnB= 0. Za veći broj {'familiju' ) skupova kažemo da čine disjunktnufamiliju skupova, ako se niti koja dva skupa iz familije ne sijeku. Npr. tri skupa A , B i e čine disjunktnu familiju ako su A n B, A n e i B n e prazni skupovi. Razlika skupova A i B je skup E svih elemenata x za koje je x E A i x � B. Oznaka je E= A \ B. Ako je A podskup univerzalnog skupa X , onda definiramo komplement A skupa A sa A = X \ A. Važno je primijetiti da komplement ovisi i o izboru univerzalnog skupa, tj. ispravnije bi bilo reći 'kome!ement skupa A u skupu X'. Očevidno je komplement od A jednak opet A, dotično A= A. Isto tako je jasno da vrijedi A\B= An 'li. Komplement skupa A često se označava i sa Ac ili "'A.

xE

xE

x

xE

x

xE

.

X A

Sl.

J.J.

A

Komplenumt skupa

A.

DEFINICIJA. Za bilo koji skup X možemo definirati skup koji kao svoje elemente sadrži sve podskupove od X . Skup svih podskupova od X zovemo partitivni skup od X . Označava se često sa P(X) , ali mi ćemo radije rabiti oznaku . Razlog je sljedeći: ako skup X ima n elemenata, onda partitivni skup irna točno elemenata (vidi Teorem 6. 1.5). Npr. za skup X = je skup od sljedećih = 8 elemenata: 0,

2x

2n {l} , {l, 2, 3} 2x 23 {2}. {3}. {l, 2}. {2, 3}. {l, 3}. {l, 2, 3} . Kao što vidimo, elementi partitivnog skupa su podskupovi od X. Npr. 0 E 2x, X E 2x . Na partitivnom skupu definirane su tri osnovne operacije: (i) dvije operacije U (unija) i n {presjek) koje dvarnaelementirna A, B E P{X) pri­ 2x

družuju treći element iz P(X). To su tzv. biharne operacije na X (opća definicija binarne operacije bit će dana u Poglavlju 5). {ii) operaciju komplementiranja A �---+ A, koja je unama operacija, tj. operacija sa samo jednom varijablom A P{X) .

E

l . l . ALGEBRA SKUPOVA

5

X

A UB

A

X

A nB

Sl. 1.2. Unija i presjek skupova.

Nije teško dokazati da na partitivnom skupu P(X) vrijede neka jednostavna pravila s obzirom na tri navedene operacije: U , n i komplementiranje u X.

Teorem 1. Neka su A, B, e E 2x. Vrijede ova pravila algebre skupova:

A U A=A, A n A=A; asocijativnost: (A U B) U e=A U (B U C), (A n B) n e=A n (B n e); komutativnost: A u B=B u A, A n B = B n A: distributivnost: An(Bue) = (AnB) U (AnC) , AU (BnC)= (AUB)n(AUC); DeMorganove formule : A u B=A nJi, A n B=AUB; A U 0=A, A n X=A, A U X = X, A n 0= 0; komplementiranost: A U A = X, A n A = 0; involutivnost komplementiranja: A=A.

(l) idempotentnost operacija unije i presjeka:

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

(8) (9)

PRIMJEDBA 2. Iz teorema je vidljivo da sva navedena pravila algebre skupova imaju svojstvo dualnosti: ako u jednom pravilu zamijenimo svuda U sa n i obrat­ no, i isto tako 0 sa X i obratno, dobivamo također valjano pravilo algebre skupova. Na taj način se iz jednog zakona distribucije dobiva drugi - njemu dualan, iz jedne DeMorganove formule druga (i obratno). PRIMJEDBA 3 . Zbog svojstva asocijativnosti opravdano je umjesto A U (B U e) pisati kraće A U B U e, i taj izraz računati na bilo koji od dva načina navedena u (2). Isto vrijedi i za A n B n e. PRIMJEDBA 4. Ako imamo veći broj skupova A1 , ... , An , onda umjesto A1 U ... u An pišemo kraće uk= lAk . Slično i za presjek n. Ako imanro beskonačan slijed (niz) skupova (An ) , n = l, 2, ... , onda njihovu uniju označavamo sa Ub1Ak i slično za presjek. PRIMJEDBA 5. U gornjem teoremu je dobro primijetiti da je 0 najmanji, a X najveći element u sljedećem smislu: za svaki podskup A u X vrijedi 0 � A � X. PRIMJER l . Dokažimo za ilustraciju samo DeMorganovu formulu A n B= A UB u prethodnom teoremu. U tu svrhu dokažimo najprije da je skup na lijevoj strani jed­ nakosti podskup skupa na desnoj strani. Neka je x A n B , tj. x A n B . Onda je x A x B Uer x nije u oba skupa istodobno, vidi Sliku 1.2 desno). Dakle x A x B, tj. x A U B. Time smo dokazali da je A n B � A U B. Obratna inkluzija dokazuje se na sličan način.

fl. ili fl. E ili E

E

E

fl.

l . SKUPOVI

6

U matematici je pojam Kartezijeva produkta skupova od iznimne važnosti, jer se susreće posvuda. DEFINICIJA. Ako su A1 , ... , An neprazni skupovi, onda definiramo Kartezijev produkt At x Az x ... x A11

n

ak

a1 , az, . . . , an )

E Ak za sve takvih da je kao skup svih poredanih -teraca ( Taj se skup označava kraće sa IJk=I Ak. k= l, . . Kartezijev umnožak dvaju skupova dobro je gledati kao 'pravokutnik' razapet sa . Pri tom su A1 horizontalno i Az vertikalno, čiji su elementi točke oblika ( koordinatne vrijednosti. Vidi Sliku 6. 1. Za tri skupa dobivamo 'kvadar' itd. i Korisno je znati da se Kartezijev umnožak skupova može opisati i na drugi, rav­ nopravan način. Akoje (at, ... , an) E TIZ=t Ak. onda taj n-terac možemo promatrati Uk=IAk takvu da je f(k) =ak i kao funkciju f: { l , . . f(k)EAk (*) Uk= Ak sa tim svojstvom (*) odreduje Obratno, svaka funkcija f : {1, I = f(k). Dru­ iz Kartezijeva produkta, gdje je pripadni n-terac gim riječima, Kartezijev produkt skupova može se definirati i kao skup svih funkcija f: {l, . . Uk=IAk sa svojstvom (*) . Wil­ � PoviJESNA CRTICA � Pojam funkcije uveo je 1694. g. ( 1707-1783), od {1646-1716), a u modernom smislu kojeg potječe i oznaka f(x) . Oznake e i :J za relaciju podskupa i nadskupa među skupovima, kao i princip dualnosti u matematičku logiku, uveo je njemački mate­ (1841-1911). Oznaku E za element skupa, zatim binarne matičar (1858operacije U i n za uniju i presjek skupova uveo je Talijan 1932). Ćesto je korisno skupove označavati s pomoću Vennovih dijagrama, nazvanih (1834-1923), vidi npr. Sliku 1.2. prema engleskom rnatematičaru

. ,n.

a1

a 1 , az)

az

. , n}--+

(ar, . . . , an)

. . . , n} --+

ak

. , n}--+

Leonhard Euler

helm Leibniz

Ernst Schroder

Gottfried

Giuseppe Peano

Johnu Vennu

U ovom i daljnjim odjeljcima bit će nam vrlo važni pojmovi kao što su injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija, te pojam slijeda. DEFINICIJA. Za neprazan skup A kažemo da je konačan ako postoji prirodan A . Broj zovemo kardinalni broj skupa A broj i bijekcija f : {l , 2, i označavamo ga sa lAl· Kažemo još da A irna elemenata. U tom slučaju skup A I je moguće zapisati kao A = := f(k), k = l , . . . gdje je prazan skup 0 smatramo konačnim skupom s kardinalnim brojem O. Za skup A kažemo da je beskonačan ako nije konačan. Postoje dvije osnovne vrste beskonačnih skupova: (i) za beskonačan skup A kažemo da je prebrojiv ako se skup njegovih elemenata A= može

n

n . . . , n} --+ n {at . az, . . . , an} ,

ak

·

poredati u beskonačan slijed:

{ar, az, a3 , . . . } .

,n.

1.3. EKVIPOTENTNI SKUPOVI, KARDINALNI BROJ

7

(ii) za beskonačan skup A kažemo da je neprebrojiv ako se ne može poredati u slijed. Jasno je da je prebrojiv skup. Vidjet ćemo kasnije da je čak i skup racionalnih brojeva Q prebrojiv, kao i to da je skup neprebrojiv. Ponekad je korisno znati ovo jednostavno svojstvo: ako je skup A i ako je J : A -t A injektivna funkcija, onda je J i surjekcija (dakle bijekcija), i obratno. To slijedi odmah iz ove propozicije.

N

R

konačan

Propozicija 1. Neka su A i B konačni skupovi koji imaju isti broj elemenata,

tj. IAI= !Bl . Funkcija J :A

-t

B je injektivna onda i samo onda ako je surjektivna.

DOKAZ. Neka je J injektivna funkcija. Onda skupovi A i f(A) imaju isti broj ele­ menata, dotično IAI= IJ(A)I. Zbog IAI= !Bl je onda IJ(A)I = !Bl . Odavde zajedno sa J(A) � B, i jer je B konačan skup, slijedi J(A) = B, dakle J je surjekcija. Obratno, neka je J surjekcija. Onda je IAI � IJ(A)I = !Bl , pa zbog IAI = !Bl imamo IAI= IJ(A)I. Kako je A konačan skup, to znači da je J injekcija. Q.E.o. Može se pokazati da beskonačni skupovi nemaju ovo svojstvo. Štoviše, skup A je beskonačan onda i samo onda ako postoji bijekcija na neki njegov pravi podskup, vidi Primjer 2 niže. Kao što smo rekli, za beskonačan skup A kažemo da je prebrojiv ako se njegovi članovi mogu poredati u slijed: A= ...} Ekvivalentno tome, skup A je prebroji v ako postoji bijekcija J : -t A. Doista, ako je A = {al, a2, ... , ak, . . .} prebrojiv skup, onda možemo definirati bijekciju J: N-+ A sa J(k) =ak. Obratno, ako j e J: N-+ A bijekcija, onda skup A možemo poredati u

N

{a1, a2,

slijed (niz) stavljajući ak := J(k) .

J

-t

,

2N {2, 4,

}

= 6, . je prebrojiv, jer je bijekcija (provjerite) . Općenitije, svaki beskonačan pod­

PRIMJER l . Skup svih parnih brojeva

: N 2N, J(k) = 2k

.

. .

skup skupa prirodnih brojeva je prebroj iv, jer se očevidno se može poredati u slijed brojeva po veličini, vidi Teorem 3 niže. A što bi bio kardinalni broj skupa koji je beskonačan? Da bismo došli do tog pojma, prirnijetimo da skup A ima elemenata onda i samo onda ako postoji bijekcija s A na skup {1, Definirajmo zato najprije pojam ekvipotentnosti među skupovima.

2, . . . , n} .

n

DEFINICIJA. Kažemo da je skup A ekvipotentan Qednakobrojan) sa skupom B ako postoji bijekcija J :A -t B . Ekvipotentnost je zapravo jedna relacija među skupovima, o kojima će više riječi biti u Poglavlju ·

Teorem

4.

2. Označimo svojstvo da je skup A ekvipotentan sa skupom B oznakom A "' B Ekvipotentnost ima ova temeljna svojstva: (i) refleksivnost: A "' A za svaki skup A ; (ii) simetričnost: ako je A "' B, onda je i B "' A ; (iii) tranzitivnost: ako je A "' B i B "' e, onda je A "' e. .

DoKAZ. (i) Identiteta id : A -t A, id(x) = x , je bijekcija; (ii) ako je J : A -t B bijekcija, onda je i inverznafunkcija J-1 :B -t A također bijekcij a; (iii) Ako su funk­ cije J : A -t B i g : B -t e bijekcije, onda je i njihova kompozicija g o J : A -t e također bijekcija. Q.E.o.

}.

8

SKUPOVI

Jasno je da za konačne skupove A i B njihova ekvipotentnost znači upravo to da imaju isti broj elemenata. Broj elemenata konačnog skupa zovemo kardinalni broj skupa. Razumno je na sličan način definirati i kardinalni broj za beskonačne skupove.

A

DEFINICIJA. Za skupove i B kažemo da imaju isti kardinalni broj ako su ekvipotentni, dotično ako postoji bijekcija s jednog na drugi. Pišemo lA l = IBI . Ako je zadan konačan skup A = {a., onda je njegov kardinalni broj jednak n : IAI =

. . . , an },

n.

DEFINICIJA. Ako je skup A prebrojiv, onda njegov kardinalni broj označavamo sa N o i zovemo "alef nula" (prema prvom slovu N "alef" hebrejskoga pisma), i pi­ šemo lA l = N o . Kardinalni broj skupa R realnih brojeva označavamo sa e i zovemo kontinuum. Pišemo IRI = e . Kardinalne brojeve bilo koja dva skupa A i B možemo uspoređivati ovako. Ka­ žemo da je IAI � IBI (i čitamo: kardinalni broj skupa A je manji ili jednak od kardinalnog broja skupa B ) ako postoji funkcija j : A -t B . To je isto što i reći da je skup A ekvipotentan s nekim podskupom B (i to upravo sa /(A) ) . Ukoliko je lA l � lBl i skupovi A i B nisu ekvipotentni, onda pišemo lA l < IBI . Ako su skupovi A i B konačni, onda IAI � IBI izražava uobičajen odnos � (manje ili jednako) između broja elementa skupa A i broja elemenata skupa B .

injektivna

Može se pokazati

da ako je IAI � IBI (tj. skup A je ekvipotentan nekom podskupu od B) i

IBI � IAI (tj. skup B je ekvipotentan nekom podskupu A ) , onda postoji i bijekcija izmedu skupova A i B, tj. IAI = !Bl. Za beskonačne skupove ova tvrdnja zove se Schroder-Bernsteinov teorem, i njen dokaz nije jednostavan, vidi (Papić, str. 55]. Naravno, za konačne skupove A i B ova je tvrdnja očevidna

Jasno je da vrijedi N e R, pa je dakle N o � e . Kasnije ćemo pokazati da ne postoji bijekcija sa skupa N na R, odakle će slijediti da su ova dva beskonačna kardinalna broja međusobno različita, tj. N o < e (vidi Teorem 1.5.1).

2, 3, 2N skup koji je ekvipotentan

PRIMJER 2. Budući da postoji bijekcija sa N= {1, . ..} na (skup svih ) , onda je INI = j2NI = No . Dakle imamo Kod konačnih skupova se tako što ne može dogoditi. Takvu vlastitost imaju svi beskonačni skupovi, i samo oni. Evo još tri slična primjera: (i) Skupovi (-1, i R su ekvipotentni. Dovoljno je vidjeti da je funkcija f: R-t zadana sa f(x) = th x bijekcija. (ii) Bilo koja dva otvorena intervala u R oblika (a, b) i ( e, su ekvipotentna. Naime, funkcija j: b) -t ( e, definirana sa f(x) = � (x-a)+ e je bijekcija (pravac kroz točke A(a, e) i B(b, u ravnini). (iii) Skupovi N i njegov pravi podskup {5, 6, 7, . . .} su ekvipotentni, jer je funkcija pomaka j(k)= k+ bijekcija među njima. parnih broj eva

svom pravom podskupu! l) (-l, l) (a,

d)

d)

d)

4

U dokazu sljedećeg teorema rabit ćemo očevidnu činjenicu da svaki podskup sku­ pa prirodnih brojeva ima minimalni element.

Teorem 3. Svaki beskonačan podskup prebrojiva skupa je prebrojiv.

DoKAZ. Umjesto skupa A = {a t , a2, .. .} dovoljno je tvrdnju dokazati za N = . ..}. Neka je dakle A=N i B beskonačan podskup od N. Odaberimo najma­ nji prirodni broj bt u B. Zatim iz B izbacimo bt i gledamo najmanji element b2 u preostalom skupu B \ {b1} Neka je zatim b3 najmanji prirodni broj u B \ {bt, b2}, itd. Nije teško provjeriti da je funkcija j : N -t B definirana sa j( = bk bijekcija, Q.E.o. pa je B prebrojiv skup.

{l, 2,

•

k)

1.4. PREBROJIVI SKUPOVI I NJIHOVO KODIRANJE

9

A f:A-N f(A) f : A f(A) ,

PRIMJEDBA l. Iz prethodnog teorema vidimo da će neki skup biti prebrojiv onda i samo onda ako postoji injektivno preslikavanje čija je slika beskonačan podskup od Naime ako gledamo kao funkciju -t onda je bijekcija i skup je prebrojiv. Sljedeće svojstvo imaju samo beskonačni skupovi.

N.

f

f

f(A)

Teorem 4. Neka je A beskonačan skup i K njegov konačan podskup. Onda su

A i A \ K ekvipotentni, tj. JA l = JA \ K l . DOKAZ. Neka je K = {a1, . . . , ak} . Kako je A beskonačan skuJJ, onda postoji prebro­ jiv podskup S, koji sadrži K, tj. S = {a . . . , ak, ak+ 1 , . . . } . Funkcija f : A - A\ K definirana kao identiteta na A \ S i kao pomak za k na slijedu S: f (x) = { x,ai+k, zaza xx E Aa;\ES,S, skupovi

b

=

je očevidno bijekcija.

Q.E.D.

PRIMJER 3 . Na temelju ovog stavka imamo zanimljiv zaključak: skupovi [0, 1]. (0, l], (0, l) su ekvipotentni. PRIMJEDBA 2. Spomenimo da se kardinalni broj skupa u literaturi često oz­ načava i sa cardA ili jjA umjesto

A

JA J .

Rabeći Primjedbu 1.3.1 možemo lako dokazati da je npr. skup k-teraca prirodnih brojeva prebrojiv. Štoviše, vrijedi

Nk svih poredanih

N u N2 u N3 u ... je prebrojiv. Drugim riječima, skup svih konačnih sljedova prirodnih brojeva je prebrojiv. DOKAZ. Odaberimo slijed prostih brojeva P l 2, pz 3, P3 5, P4 7, Ps ll itd. (prosti brojevi definirani su u Odjeljku 3.3). Skup prostih brojeva je beskonačan, vidi Teorem 3.3.7 (Euklid). Definirajmo funkciju f : A N sa nk !(n 1 , n1 · · · , nk) - P 1 · · · Pk · Teorem 1. Skup A

=

=

=

=

=

=

-t

_

Dokažimo da je ova funkcija injekcija. Neka je f(n i , . . . , nk) = f(mb . . . , mi) , tj. p�1 ... p�k = p;n1 . . . p? . Kako imamo jednakost brojeva koji su rastavljeni na proste

faktore, prema osnovnom teoremu aritmetike (Teorem 3.3.5) slijedi da je k = j i n; = m; za sve i = l, ... , k. Time je injektivnost od f dokazana. Slika preslikavanja f je očevidno beskonačan skup (već za ')ednočlane" sljedove n je skup pripadnih vrijednosti oblika f(n) 2 n , dakle beskonačan skup). Tvrdnja slijedi iz Primjedbe 1 . 3 . 1 .

=

f:A-N

Q.E.D.

DEFINICIJA. Funkcija iz dokaza prethodnog teorema zove se kodi· ranje skupa Npr. trojcu ( 6, 14, 9 ) bit će pridružen kOd 2631459.

A.

l. SKUPOVI

lO

PRIMJEDBA l. Skup svih konačnih sljedova cijelih brojeva je prebrojiv. Kako je skup svih konačnih sljedova sastavljenih samo od O i njegov beskonačan podskup, onda je i on prebrojiv. Čine ga sljedovi nula i jedinica oblika: O, 101, 1101001 itd. Pokazuje se da je skup svih beskonačnih sljedova nula i jedinica neprebrojiv, do­ tično ima kardinalni broj e (dakle ekvipotentan je saR; vidi sljedeći odjeljak).

l

Teorem 2. Skupovi cijelih brojeva

Z i racionalnih

brojeva Q su prebrojivi.

DOKAZ. (i) Najprije ćemo skup svih pozitivnih cijelih brojeva preslikati bijektivno u skup svih parnih prirodnih brojeva, a zatim negativne cijele brojeve i nulu bijektivno u neparne prirodne brojeve. To radi funkcija f Z -+ definirana sa zak> O, zak�O, koja je očevidno bijekcija. (ii) Dovoljno je pronaći injektivnu funkciju f Q -+ vidi Teorem Možemo ju lako konstruirati kodiranjem. Svaki racionalan broj x je odreden s tri podatka: predznakom p ili brojnikom m E i nazivnikom n E N. Pretpostavit ćemo da su brojnik i nazivnik skraćeni do kraja (tj. bez zajedničkog dje­ je injektivna, litelja > l ) . F unkcij a f: Q -+ N definirana saj(p!f!) = što se dobiva odmah iz osnovnog teorema aritmetike (Teorem ako je f(pz ), onda je dakle pz 1 , = mr= mz , nr= n 2 , dot·� Q.E.D. teno !!!l = �

:

{ 2k f(k)= 2lkl+ l

N

:

(+l

7i;

!(PI�)=

-l),

No

N,

1.3.3.

zp+I3m5n 3.3.5). Naime 2Pt+I3m15nt 2P2+I3m25n2, PI+ l= + PInt P2,12•

PRIMJEDBA 2. Prebrojivost skupa Z cijelih brojeva može se lako dokazati i kodiranjem. Pokušajte. I prebrojivost skupa Q racionalnih brojeva može se dokazati izravno, tako da se poreda u slijed. Racionalne brojeve pišemo u obliku ±!!! i slažemo ih u slijed ovako: najprije pišemo nulu, zatim poredamo sve pozitivne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika jednak f, poredamo sve negativne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika jednak : -} , pišemo sve pozitivne racionalne brojeve kojima je zbroj broj nika i nazivnika jed­ nak ! , f, poredamo sve negativne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika 2 J"ednak -2' - T '

n

(l) (2) (2') ( 3) ( 3')

2: -2

3:

3·

.

l

l , -l

itd. Dakle skup racionalnih brojeva Q može s e poredati u slijed ovako O, !, . 2 l 3 , 2, 3 l . 2 2 , 3 , . d. Pri tom se neki od rac10na l J m ro l "h b , eva , , , 2 • -T � T 2 T - � - 2 -T T i ponavljaju. Time je dokazano da vrijedi IQI = Sljedeća slika pokazuje kako se pozitivni racionalni brojevi mogu poredati u slijed: •

-

tt

No.

1 .5. NEPREBROJIVOST SKUPA REALNIH BROJEVA

J

J

J

1-2 2

J

l

J

J

4

J

/ /

/

ll

/

2

2

/

J

2

J

3- 4" 2

J

/

�. 4

J

I. 4

J

4

4

1.. 4

J

2

Sl.

1.3.

kontinuum

Kao što smo rekli, kardinalni broj skupa realnih brojeva R zovemo (kažemo da realnih brojeva ima kontinuum), a kardinalni broj skupa prirodnih brojeva zovemo No (alef nula). Zbog N e R je očevidno No � e. Sljedeći teorem pokazuje da je No e . Skupovi realnih i racionalnih brojeva su oba beskonačni, ali ne podjed­ nako. Pokažimo da je skup realnih brojeva 'više beskonačan' nego skup racionalnih.

#

1.

Teorem (Georg Cantor) Skup R je neprebrojiv, tj. nije ekvipotentan sa sku­ pom N. Drugim riječima vrijedi No < e, tj. skup realnih brojeva ne može se poredati u slijed.

DOKAZ. (Cantorov dijagonalni postupak) Pretpostavimo suprotno, tj. da je skup R prebrojiv. Već smo vidjeli da je R ekvipotentan s intervalom (0, l], pa se onda i skup (0, l] može poredati u slijed: (0, l] = . } . Prikažimo ove brojeve u deci­ malnom zapisu. Taj prikaz nije jednoznačan, jer se npr. broj s konačnim decimalnim prikazom 0.31 može pisati i u obliku beskonačnog decimalnog prikaza 0.30999 . Za svaki broj iz (0, lJ rabit ćemo, radi jednoznačnosti, njegov beskonačan decimalni prikaz. Onda vrijedi

{x., x2 ,

.

.

. .

.

x 1 O.ana 12a 13 . . . x2 = O.a2 1 a22a23 . . X3 = O.a31a32a33 . . . , gdje su aij znamenke između O i 9. Pogledajmo sada slijed znamenaka a 11 , a22 , a33 itd. na "dijagonali" u gornjem decimalnom prikazu. Odaberimo slijed znamenaka bn iz skupa {l, . . . , 9} na ovaj način: znamenka b 1 neka je odabrana tako da bude različita od an , b2 različita od a22 itd. Onda je broj b := O.b 1 b2 b3 . . različit od x1 (ne podudaraju se u prvoj decimali), isto tako b# x2 (ne podudaraju se u drugoj decimali), itd. Stoga b fl. {x 1 , x2 , x3 . . } = (0, lJ. To je kontradikcija, jer decimalni prikaz od b pokazuje da je b E (O, lJ =

.

.

.

.

. Q.E.o.

12

l. SKUPOVI

PRIMJEDBA l. Gledajući brojeve iz intervala [0, 1] u binarnom zapisu, nije teško vidjeti da je na isti način i skup svih beskonačnih sljedova sastavljenih samo od nula i jedinica (npr. 0101 10 ) neprebrojiv. PRIMJEDBA 2 . Vidjeli smo da ako je A � N , onda je A ili konačan ili prebrojiv skup. Postavlja se pitanje vrijedi li nešto slično i za skup A za koji je . . .

N � A � R, tj . slijedi li odavde da je nužno IAI= No ili IAI = e? Ta se hipoteza zove Ili možda postoji skup A takav da je No < lAl < e, tj. postoji

Cantorova

hipoteza kontinuuma.

kardinalni broj koji je strogo između No i e? Neočekivan odgovor na to pitanje dao je 1964. g. Navedeni problem je To znači da se hipoteza kontinuuma ne može niti dokazati niti opovrgnuti s pomoću preostalih aksioma teorije skupova. Drugim riječima, moguća je jedna suvisla teorija skupova u kojoj će hipoteza kontinuuma vrijediti (tj. nema kardinalnog broja između No i e), a moguća je isto tako i druga suvisla teorija skupova u kojoj hipoteza kontinuuma neće vrijediti. Hipoteza kontinuuma ne može se izvesti iz standardne aksiomatike teorije skupova, pa se ona sama može postulirati kao nezavisan aksiom teorije skupova, ili pak se može postulirati njena negacija.

Paul Cohen

neodlučiv.

Problem je sličan kao kod znamenitog petog Euklidova aksioma (aksioma o paralelama kroz zadanu točku u ravnini prolazi točno jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem): može li se peti -

Euklidov aksiom izvesti iz prva četiri? Pokazuje se da ne može. Pažljivo razmatranje tog pitanja dovelo je do otkrića neeuklidskih geometrija (Lobačevski, i još ranije Gauss).

PRIMJEDBA 3 . Skup svih racionalnih brojeva Q je prebrojiv (Teorem 1.4.2), skup svih realnih je neprebrojiv (Teorem dakle skup svih iracionalnih brojeva R\ Q (tj. realnih brojeva koji nisu racionalni) je neprebrojiv, točnije, jR\ Ql = e. Iracionalni brojevi su točno oni čiji decimalni prikaz nije periodičan. Može se dokazati da je i IC! = e, dotično skupovi C i R su ekvipotentni. .Štoviše, za svaki prirodan broj vrijedi IRni = e, gdje je Rn skup svih poredanih -teraca realnih brojeva. Još jedan važan prebrojiv skup koji je sadržan u (neprebrojivom) skupu realnih brojeva čini skup algebarskih brojeva.

l),

n

n

DEFINICIJA. Za realan broj a kažemo da je algebarski broj ako postoji polinom P(x) s cjelobrojnim koeficijentima takav da je P(a)= O. Primjeri algebarskih brojeva su svi racionalni brojevi � , gdje je a E N , b E Z (nultočka od ax b ) , .,fi (nultočka od x2 2 ), Vi (nultočka od x3 2) , {jz+ J377 (lako možete naći polinom s cjelobrojnim koeficijentima čija je ovo -

-

-

nultočka), itd.itd. Vrijedi ovakav iznenađujuć rezultat:

Propozicija 2. Skup svih algebarskih brojeva je (samo) prebrojiv.

DOKAZ. Svakom polinomu s cjelobrojnim koeficijentima možemo pridružiti konačan slijed njegovih cjelobrojnih koeficijenata. Kako je to pridruživanje injektivno, i skup konačnih sljedova cijelih brojeva prebrojiv (po Teoremu onda je i skup svih polinoma s cjelobrojnim koeficijentima prebrojiv, tj. možemo ga poredati u slijed: Pt, Pz, . . . Svakom od tih polinoma pripada konačno mnogo kompleksnih nuho­ čaka (najviše onoliko koliki je stupanj pripadnog polinoma; Gaussov ) Prebrojivost skupa svih tih nultočaka (algebarskih brojeva) može se pokazati "nadovezivanjem". Npr. ako je polinom četvrtog stupnja s nul-točkama

P3 , algebre .

l.7.l),

Pt

osnovni teorem zu Zt2 , ,

1.5. NEPREBROJIVOST SKUPA REALNIH BROJEVA

13

l , 2, 3, 4 , ako je Pz polinom desetog Z2 1Z22 . . . zz, 10 , pridružujemo im brojeve 5, 6, . . . 1 4 , itd.

z 1 3 , z1 4 , onda im pridružimo prirodne brojeve

stupnja s nultočkama

Q.E.D.

DEFINICIJA. Realni brojevi koji nisu algebarski zovu se transcendentni brojevi. Na temelju prethodne propozicije zaključujemo da je skup transcendentnih broje­ va (čak) neprebrojiv. To nije baš u skladu s činjenicom da smo do sada upoznali samo dva od njih: i Ima ih međutim još, poput 2 v'J , ln 2 , sin l (vidi povijesnu crticu na str. 222). Jedan neprebrojiv skup transcendentnih brojeva može se konstruirati ovako: x = 2::::� 1 tJ:;r , gdje je {0, l } i skup svih koji su jednaki l je bes­ konačan. Da je svaki od tih brojeva transcendentan, dokazao je francuski matematičar ( 1809-1 882). Njihova neprebrojivost je jasna: svakom x možemo bijektivno pridružiti slijed ( ) nula i jedinica (taj skup sljedova je neprebrojiv ).

n e.

all E

Joseph Liouville

a11

all

Richard Dedekind Galileo Galilei

� POV IJES N A CRTICA � Nijemac ( 1 838-1916) bio je prvi koji je beskonačan skup definirao kao onaj koji je ekvipotentan sa svojim pravim podskupom. To svojstvo je znao već ( 1564-1642) za skup prirodnih brojeva. Opći pojam kardinalnog broja za bilo koji beskonačan skup uveo je Georg za INI . On je dokazao da je �O - x2 ) , F14 (x 1 , x2 ) = (x l => x2 ) , Ft6 (xt, x2 ) = l (tj. F16 je tautologija) . PRIMJER l . Skup B' svih Booleovih funkcija F : Bn B je također Booleova algebra s obzirom na operacije + i - definirane po točkama. Za F, G E B' defini­ -+

ramo F + G , F G i F sa:

,

·

·

(F + G)(x l , . . . , Xn ) = F(x., . . . , Xn ) + G(x., . . . , Xn ) , (F · G)(xt , . . . , Xn ) = F(x1 , . . . , Xn ) · G(x1 , . . . , Xn ) , F(x1 , . . . , xn ) = F(x., . . . , xn ) Ova Booleova algebra irna 22n elemenata (vidi Teorem l ) . Zove se slobodna Boo­ leova algebra. Za n = 2 ona sadrži 222 = 24 = 16 elemenata. Za n = 3 sadrži 223 = 28 = 256 elemenata, za n = 4 sadrži 22 = 2 16 = 65 536 . Za n = 8 sadrži više od 1077 elemenata a za n = 9 više od 10 1 54 . Usput, fizičari procjenjuju da ·

,

4

1080 .

ukupni broj atoma u vidljivom svemiru iznosi oko Booleovih funkcija samo s devet varijabla ima mnogo više! Kažemo da broj Booleovih funkcija varijabla, tj. broj 22n , ima kombinatomu ekspoloziju u ovisnosti o

n.

un

2. UVOD U LOGIKU

32

Svaka Booleova funkcija može se zadati tablicom. Cilj nam je pokazati da se svaka Booleova funkcija može na vrlo jednostavan način opisati samo s pomoću ope­ racija Booleove algebre + , , - . Ilustriraj mo to na jednostavnom primjeru. Neka je Booleova funkcija zadana tablicom:

F = F(x i , x2 , x3 )

·

XI o o o o l l l l

X2 o o l l o o l l

XJ o l o l o l o l

F o l o o l l o l l

Pogledajmo samo one retke kojima odgovara vrijednost , dakle najprije drugi redak. Trojcu O, l ) pridružimo izraz Njegova vrijednost jednaka je l onda i samo onda ako je O, l ) , u ostalim slučajevima je vrijednost j ednaka O . Pogledajmo zbroj svih takvih izraza:

(0,

Xt X2X3 . (xi, x2, x3 ) = (0, XtX2X3 + XtX2X3 + X tX2X3 + XtX2X3 .

l l.

Navedeni zbroj jednak je l jedino ako je vrijednost nekog urnnoškajednaka , dotično ako je u odgovarajućem retku u tablici vrijednost Booleove funkcije jednaka Prema tome, gornji izraz jednak je upravo Produkt varijabla poput koji odgovara troj cu ( općenito -tercu) na kojem je u tablici Booleove funkcije, zovemo mintenn funkcije Prema tome

F(x., x2 , x3 ) . x1 x2x3 n F=l F. Booleova funkcija F jednaka je zbroju svojih minterma. Ista procedura vrijedi i općenito. Da bismo ju točno opisali, bit će nam od koristi 0 sljedeća oznaka. Neka je x E B = {0, l} . Onda definiramo x = x , x 1 x . Npr. 1° = 0, 0° = 1 . Teorem 1 . Neka je F : Bn B Booleova funkcija i J skup svih elemenata (el , . . . , e11) E Bn za koje je F(et, . . . , en ) = l . Ondaje F(xt, . . . , xn) :::::: L (x�1 x�"). =

-+

• • .

(et , ...en ) EJ Ovakav izraz za formulu zove se disjunktivna normalna forma Bo­ oleove funkcije Ovdje pojam disjunkcije ima značenje logičkog zbrajanja + u Booleovoj algebri. � PRIMJEDBA l . U terminima algebre sudova, disjifhktivna normalna forma iz-

F.

gleda ovako:

pri čemu su

F(x t , . . . , xn)

F(xl , . . . , Xn) =

X t, . . . , x11 sudovi.

2.6. DISJUNKTIVNA I KONJUNKTIVNA NORMALNA FORMA

33

U gornjem primjeru se na isti način može vidjeti da je dovoljno gledati samo retke na kojima je da bi se dobila konjunktivna forma. Prvom retku tablice odgovara izraz inače On je jednak jedino za je vrijednost Na sličan način kao i gore zaključujemo da je

F = O, x 1 + xz + x3 . O (xi , xz, x3) = (0, O, O) , l. F(x t , xz, x3 ) = (xi + xz + x3)(x , + Xz + x3)(x 1 + Xz + x3)(x1 + Xz + x3). Naime, izraz n a desnoj strani jednak j e O jedino ako j e barem jedna zagrada jednaka O. A disjunkcija ima vrijednost O jedino ako su sve komponente jednake O. Zbroj varijabla poput Xt + Xz + x3 koji odgovara trojcu (općenito n -tercu) na kojem je F = O u tablici Booleove funkcije, zovemo maxterm funkcije F. Prema tome Booleova funkcija jednaka je umnošku svojih maksterma. Općenito, možemo formulirati ovakav rezultat koji je dualan gornjem teoremu:

F : Bn - B Booleova funkcija i K = {k E Bn : F(k) = O} . Onda se Booleova funkcija može prikazati u konjunktivnoj normalnojformi: F(xt, . . . , Xn ) = IT (x�1 + . . . + x�n ). Teorem 2. Nekaje

kE

K

Konjunkcija ovdje ima značenje logičkog množenja u Booleovoj algebri. PRIMJEDBA 2 .

Na sličan način, u terminima algebre sudova imamo

F(xt, . . . , Xn ) = 1\ (x�1 V . . . V x�n ).

kE

K

Korisno je uvesti i pojam dualne Booleove funkcije.

F Bn - B Booleova funkcija. Dualna Booleovafunkcija n od F je funkcija F* : B - B definirana sa F* (xi, . . . , xn ) = F(xt . . . . , xn ) Propozicija 4. Operacija dualnostije involutivna, tj. (F*)* = F. DEFINICIJA.

Neka je

:

--:------.,.

Tv_!dnja slijedi neposredno iz svojstva involutivnosti operacije komplementi­ ranja, tj . iz

DOKAZ.

x=x: (F* ) * (x l, . . , Xn) = F*(x l, . . , Xn ) = F(xt, . . . , Xn) = F(xt, . . . , xn). Propozicija 5 . a) Operacije zbrajanja + i množenja u ljJooleovoj algebri s u .

.

·

jedna drugoj dualne. b) Operacija komplementiranja - je involutivna.

DOKAZ. a) Operacija množenja F je binama Booleova funkcija: F(xt, xz) x 1 x2 . Onda je i F* binama Booleova funkcija, i vrijedi: F*(x 1 , xz) = F(x1, xz) = x1 -:x2 = x , + xz. Kao što vidimo, binama operacija F* j e zbrajanje u Booleovoj algebri. Prema tome funkcija dualna množenjuje zbrajanje u Booleovoj algebri. Odavde zbog involutivno­ sti slijedi (F*)* = F. Drugim riječima, operacija dualna zbrajanju je množenje. b) Za G(x) = x je G*(x) = G(x) = x = x = G(x) .za x = O, l , tj. G* = G. ·

=

·

=

Q.E.D.

2. UVOD U LOGIKU

34

1\

PRIMJER l . Na isti način vidimo da su i logičke operacije V i jedna drugoj dualne: V* = /\* = v . Operacija negacijeje involutivna (samodualna) : ...,* = ..., . PRIMJEDBA 3 . Za Booleove funkcije F : B" ---> je važan problem odre­ đivanja njihove Taj se postupak provodi s pomoću tzv. Kamaugh-ovih (č. Kamoovih) dijagrama. Minimalnost se pritom shvaća u smi­ slu najmanjeg mogućeg broja logičkih operacija · + , koje ulaze u prikaz od F(x1 , . . . , x11 ) . U ovoj knjizi taj problem nećemo rješavati.

1\ , minimalne disjunktivne forme.

B

,

-

Problem ispunjivosti. Problem ispunjivosti za Booleovu funkciju F : B" ---> B je slje­ deći: postoji li baremjedan n -terac (xt , . . . , x11) E B11 takav daje F(xt, . . . , x11 ) = l ? Ilustrirajmo taj problem s pomoću dva duhovita primjera koji potječu od legen­ darnog profesora Danila Blanuše vidi njegovu Višu matematiku, II-l , Zagreb,

(1903-1987),

1965, str. 347.

PRIMJER 2. U nekoj gostionici skupili se mladići i djevojke na pokladnu zabavu. Gazdarica kaže mladićima: "Svaki će dobiti besplatnu bocu šampanjca ako ispuni ova tri uvjeta: ( l ) Ako pleše s crnkom ili pleše sa mnom (inkluzivno ili) onda mora plesati s kono­ baricom i ne smije plesati s plavušom. (2) Ako ne pleše s konobaricom ili ako pleše s crnkom, onda ne smije plesati sa mnom, ali mora s plavušom. (3) Mora plesati sa mnom, ali ne smije s konobaricom, osim ako pleše s crnkom, ali ne s plavušom." Pitanje glasi: što mora učiniti mladić da besplatno dobije bocu šampanjca? Prirodno je uvesti u igru sljedeće sudove: P = "mladić pleše s plavušom", e = "mladić pleše s crnkom", K = "mladić pleše s konobaricom", G = "mladić pleše s gazdaricom". Prema uvjetima zadatka, traže se vrijednosti istinitosti sudova P, e, K, G tako da sud

1\ 1\

1\ P) 1\ 1\

1\

(e v G ::::} K P) (K v e ::::} G (e P ::::} G K) bude istinit (ispunjiv), ako je to uopće moguće. Primijetite da uvjet koji započinje sa "osim ako" u treba gledati kao negaciju. Bit će nam praktičnije da sudove gledamo kao Booleove varijable: x := P , y : = e , z : = K , u : = G , i pritom operaciju v i pišemo kao + i respektivno. Kao što znamo, vrijedi b) = (a + b) . Odavde slijedi: F(x, y, z, u) = (y + z ::::} .zX)(:Z + y ...u.x)(yx ::::} uz) = (y + z + .zX)(:Z + y + iix ) (yx + uz) = (yz + .zX)(zy + U.X)(yx + uz) . Množeći svaki sa svakim dobivamo zbroj od = 8 minterma. Svaki od minterma sadrži umnožak xx ili yy ili zz , koji su svi . Prema tome je F = tj . jednakost F(x, y, z, u) = nije ispunjiva ni za koji izbor vrijednosti (x, y , z, u) E Ir . Spretna gazdarica zapravo nije ništa riskirala: njena tri uvjeta su neispunjiva (protuslovna) .

(3)

1\

(a ::::}

222 O ·

l

·

·

O,

2.7. LOGIČKI SKLOPOVI

35

PRIMJER 3. Pogledajmo drugi Blanušin primjer 'iz života' . Neki mladoženja poslije vjenčanja reče svojoj ženi: "Draga moja, dobro ćemo se slagati ako s obzirom na ručkove ispuniš ova tri uvjeta: Ako ne daš kruh na stol, moraš dati sladoled. Ako daš kruh i sladoled, ne smiješ dati krastavca. Ako daš krastavce ili (inkluzivno) ne daš kruha, onda ne smiješ dati sladoleda." Treba vidjeti jesu li svi ovi uvjeti zajedno ispunjivi, i ako jesu, kako ih se može ispuniti. Prirodno je uvesti Booleove varijable, slično kao u prethodnom primjeru: "žena daje kruh na stol", y "žena daje krastavce na stol", "žena daje sladoled na stol". Ispunjivost sva ova tri uvjeta svodi se na ispunjivost sljedeće Booleove funkcije: y, (x x x z)(x Množeći svaki sa svakim dobivamo zbroj od 2 - 3 - 2 12 minterma. Rabe�i zatim , dobivamo nakon malog računa: x y, Ovo pokazuje da je jednadžba y y, z) ispunjiva, npr. za kada je prvi minterm jednak l . Da bi u obitelji bila 'mirna kuća' , dovoljno j e dakle na stol staviti kruh a ne staviti krastavce i sladoled ( y = z = O ) . U ovom slučaju mogu se opisati ne samo dovoljni uvjeti za ispunjivost problema, nego čak nužni i dovoljni uvjeti. Naime vrijedi = y, z) · yz . Dakle za ispunj ivost jednakosti y , z) = nužno je i dovoljno da bude i yz . Dakle žena mora dati na stol kruh, i ne smije na stol staviti istodobno krastavce i sladoled (nego samo jedno od toga ili niti jedno). � P OVIJESNA CRTICA � Booleove algebre i Booleve funkcije uveo je en­ gleski matematičar George Boo/e ( 1815-1864) . Zanimlj ivo je daje on bio samouk, tj. nije imao sustavnog matematičkog obrazovanja.

(l) (2) (3)

x= = z=

F(x, z) = =? z)(xz =? y)(y + =? z) = (x + z)(xz + y)(y + + z) = (x + + z + y)(yx + z). =

x = O, zz = O

F(x, z) = xy z + xz + xy + xyz. x = l , = O, z = O, F(x, = l (x = l ), F(x, = xz(y + l) + xy( l + z) xz + xy = x(z + y) = x l F(x, x=l =l

Sudu

-r(x) = l

teče.

x

ćemo pridružiti prekidač, kojeg ćemo također označiti s (istina), onda neka kroz prekidač teče struja, a ako je -r(x )

=

Sl.

_/ _

2.2.

x . Ako je O, neka ne

x=l

Stanja sklopke: O (isključena) i l (uključena).

x

Jasno je da konjunkciji y odgovara serijski spoj prekidača (vidi sliku). Naime, struja prolazi jedino ako prolazi kroz oba prekidača i y (vidi tablicu istinitosti za ·

x

2. UVOD U LOGIKU

36

konjunkciju x y ) . Logičkoj disjunkciji x + y odgovara paralelni spoj prekidača x i y , jer struja ne teče jedino ako ne teče niti kroz niti kroz y . ·

x

X X

y

---o-----o-- Xy Sl.

2.3.

x+y

y Konjunkcija (l-sklop) i disjunkcija (/Ll-sklop) prekidača.

l

Kao što vidimo, "prekidačka logika" ostvaruje logička stanja O ili sa "struja ne teče" ili "struja teče". Prekidačka logika se danas u praksi rabi vrlo rijetko, za razliku od "naponske logike", koja stanja ili ostvaruje ovisno o tome ima li ili nema napona. Točnije, logičko stanje O ostvaruje se dogovorno stanjem od O V, a logičko stanje l naponom od 5 V (ponekad ISV). Logičke operacije konjunkcije i disjunkcije ostvaruju se s pomoću gotovih, mikroskopskih logičkih sklopova, čije su standardne oznake:

O

;

=D- xy l - sklop Sl.

2.4.

l

napona

- x+y ; =D JU - sklop

Osnovni logički sklopovi.

sklop zove se I-sklop, a desni ILI-sklop (engl. AND-gate i OR-gate). Za di­ sjunkciju (i konjunkciju) vrijedi zakon asocijativnosti + + z) = + + z. Sklopovska realizacija izgleda ovako (uz jednake odgovarajuće ulaze z u oba sklopa, izlazna stanja će biti ista):

Lijevi

x (y

X � � x+(y+z) Sl.

2.5.

(x y) x, y,

� � (x+y)+z

Zakon asocijativnosti.

Razumno je bilo koji od ova dva ravnopravna sklopa s tri (Hi više) ulaza označiti kraće sa:

-�+z � ==DLogičko zbrajanje. Sl. 2.6.

x

Sklop koji realizira logičku negaciju, tj. koji stanju E {0, l } pridružuje :X , zove se On jednostavno mijenja logičko stanje = O (nema napona) u logičko stanje x = l (irna napona), a = u x = O . Označava se sa:

invertor.

x l

x

2.7. LOGIĆKI SKLOPOVI

37

Sl.

2. 7.

Invertor.

Invertor ćemo u sklopovima kratko označavati samo s kružićern. Npr. lijevi sklop na slici ćemo kraće označavati s desnim (naziv mu je NILI sklop, engl . NOR):

; =D---t>o- x+y ; =U- x+y Sl.

2.8. Oznaka

invertora kružićem.

Na analogan način označava se NI sklop (engl. NAND) , koji odgovara Booleovoj funkciji xy . S pomoću logičkih sklopova mogu se realizirati vrlo složeni logički izrazi koji ovise o velikom broju varijabla.

DEFINICIJA . Za dva logička sklopa kažemo da su ekvivalentni sklopovi ako imaju isti broj ulaznih varijabla, te ako uz ista ulazna stanja daju jednake izlaze. PRIMJER l . Dva ekvivalentna sklopa možemo realizirati na jednostavnom prim­ jeru DeMorganove formule x + y = :x · y :

; =D- xy Sl.

2.9.

; =D- x+y

Ekvivalentni logic'Ki sklopovi (desno je NIL/ sklop).

Iako su lijevi i desni sklop međusobno ekvivalentni, desni je bolji jer irna jedan invertor manje.

PRIMJER 2. Lijeva i desna strana relacije x(y + z) = xz + yz može se realizirati s pomoću sljedeća dva ekvivalentna sklop11: X y

Sl. tri).

2. JO.

z

Dva ekvivalentna sklopa.

Vidimo da je lijeva shema jednostavnija (irna samo dva sklopa, dok desna irna

PRIMJER 3 . Rabeći disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu iz primjera u Odjeljku 2.6 možemo izgraditi dva odgovarajuća ekvivalentna logička sklopa:

2.

38

UVOD U LOGIKU

� --�----�----­ Xz � ---H�-�--�-++� ---H�--�----+.--­

� ----�----�--­ Xz � ----�-44�--++�-+.--�----��--�----+.--­

F(x1,x2,x3) Sl. 2.11. Dva ekvivalentna logička sklopa.

F(x1 ,x2,x3)

PRIMJEDBA l . Logički sklopovi ulaze u sastav mikroprocesora, koji se danas rabe najviše u računalima, i čine njihovo "srce". Nalaze se na maloj silicijskoj pločici (npr. veličine 5 x 5 mm na mikroprocesoru. Izrađuju se postupcima tzv. planarne (ravninske) tehnologije na siliciju. Svaki osnovni logički sklop (ILI-sklop, I-sklop, invertor) sadrži ne više tranzistora (zapravo, kao osnovni sklopovi projektiraju se NILI-sklop, Nl-sklop i invertor). Dimenzije logičkih sklopova su mikroskopske: oko 0.35 mikrometara {mikrometar ili mikron = milijunti dio metra). To znači da će se njihova gustoća (tj . broj osnovnih sklopova po kvadratnom centimetru) mjeriti sto­ tinama tisuća, pa i milijunima! Opisana svojstva odgovaraju stanju iz g. Buran napredak tehnologije iz godine u godinu poboljšava vlastitosti logičkih sklopova.

2) od 4-5

1997.

U matematici se vrlo često susreću rečenice s jednom ili više varijabUi, takve da ako za varijable uzmemo konkretne vrijednosti onda one postaju sudovi. Npr. rečenica je prost broj" ima jednu varijablu E N . Nazovimu tu rečenicu sa Onda je očevidno P(5) sud, i to istinit, a je lažan sud. Rečenicu y= gdje su y E R , označimo sa y) . Ona nije sud, ali za konkretne vrijednosti i y postaje sud (tj. istinita ili lažna). Npr. = .l , dok je = Ovi jednostavni primjeri motiviraju sljedeću definiciju.

"x

x,

P(x,

x P(6)

P(O, O)

P( · P(x) .

P(x) . "x + l ", x P(2, -l) T . x

DEFINICIJA. Predikat je funkcija ) koja s4kom elementu iz nekog skupa (domene predikata) D pridružuje sud Skup svih elemenata domene D na kojem je predikat istinit zove se karakteristični skup predikata. Karakteristični skup pre­ dikata jednoznačno određuje taj predikat s obzirom na njegove istinitostne vrijednosti. Kažemo da je predikat ( ) ako ima jednu varijablu E D . Dv ­ predikat y) ima dvije varijable E D 1 , y E Dz , dok ima varijabla X E = ... Skup D = D 1 x . . . x Dn zove se Jasno je da n -mjesni predikat možemo gledati i kao jednomjesni predikat, s elementima domene koji su poredani -terci.

mjesni n predikata.

P x jednomjestan P(x, x k Dk , k l, , n. n

x o n -mjesni predikat domena

2.8. PREDIKATNI RAČUN

39

Ako semantička vrijednost (vrijednost istinitosti) predikata ne ovisi o nekoj va­ rijabli, onda se ta varijabla zove Npr. ako sa P(x, y) označimo predikat "x � l ", gdje su x, y E R , onda je varijabla y fiktivna. PRIMJEDBA l . Za svaku varijablu zadanog predikata pretpostavlja se da je poz­ nat odgovarajući skup (domena) iz kojeg varijabla poprima svoje vrijednosti. Za razne varijable to mogu biti različiti skupovi. Npr. u predikatu P(x, y) definiranom kao "y je djeljiv s x" možemo uzeti x E N i y E Z . Rabeći operacije V , 1\ , -., možemo iz jednostavnijih predikata graditi formule predikatnog računa, koje su opet predikati. Npr. -,P(x) V Q(x, y) ::::> R(x, y, z ) . Ova složena formula ima tri varijable: x , y i z . Osim ovih triju operacija algebre sudova možemo uvesti još dvije važne logičke operacije s predikatirna.

fiktivna varijabla.

DEFINICIJA. Neka je P(x) predikat i x iz zadane domene D . Onda sa Vx P(x) označavamo koji je istinit onda i samo onda ako je sud P( istinit za svaki E D . Sud Vx P(x) čitamo "za svaki x vrijedi P(x) ", "za sve x je P(x) ". Simbol V zovemo univerzalnim kvantifikatorom. Na sličan način sa :lx P(x) označavamo sud koji je istinit ako postoji baremjedan element E D za koji je sud P( istinit. Sud 3x P(x) čitamo "postoji x tako da vrijedi P(x) ". Simbol 3 je egzistencijalni kvantifikator (kvantifikator postojanja). PRIMJEDBA 2. Znak V je obrnuti A, od njemačkog Alle (svi). Oznaka 3 je obrnuti E, od njemačkog Existieren. Ponekad ćemo P(x) (koji je predikat) gledati i kao sud ako je x zadani element domene . PRIMJEDBA 3 . Svaki sud može se smatrati predikatom s nula varijabla. Izraz Vx P(x) je doista sud, jer je primjenom kvantifikatora V varijabla x (potroše­ na). Slično i za 3x P(x) . Općenito, ako je P(x 1 , . . . , xn) predikat s domenom D = D1 x . . x Dn , a in­ deks učvršćen, onda možemo umjesto n -terca (xi , . . . . . . , xn) gledati n -terac .. slobodna varijabla, a ostale su vrijed­ u kojem je nosti učvršćene u odgovarajućim skupovima. Tako dobivamo jednomjesni predikat P(at , . . . - t s varijablom E D; . Na taj način izraz ... Vxi P( postaje sud. Prema tome, izraz Vxi P(X t . . . . , Xi- J , Xi, l • . . . , Xn ) je predikat od n - l varijablii, koji o (varijabla x; je kvantifikato­ rom). Iz više predikata možemo graditi formule predikatnog računa rabeći logičke ope­ racije -., , v , 1\ , ::::> itd., kao i s pomoću V ,

sud

a

a)

a

a)

i , Xi, (a 1 , . . . , ai- t. Xi, ai+l • . , an ) Xi , ai . Xi, ai+ l• . . . , an) Xi a., . . . , ai- l, Xi, ai+ l , , an ) ne ovisi

Xi+ Xi

vezana .

vezana

3. DEFINICIJA. Kažemo da je neki nastup varijable x; u formuli predikatnog računa vezan ako uz nju dolazi kvantifikator Vxi ili :!xi . Inače kažemo daje nastup varijable Xi slobodan. Npr. formula predikatnog računa Vx (P(x, y) :Jz Q(z, t)] ovisi samo o varijabla­ ma y i t, jer su x i z vezane. U formuli Vx P(x) 3y Q(x, y) je prvi nastup varijable v

1\

x (onaj u P(x) ) vezan, a drugi (onaj u Q(x, y) ) slobodan. PRIMJEDBA 4. Semantička (istinitostna) vrijednost suda Vx P(x) ovisi o pre­ dikatu P(x) . Predikatom je određena i domena D iz koje uzimamo x . U sluča­ ju kad je potrebno istaknuti domenu predikata, često ćemo pisati (Vx E D)P(x) i (:lx E D)P(x) .

2. UVOD U LOGIKU

40

PRIMJER l . Promotrimo sudove Vx P(x) i 3x P(x) s domenom Dt = {a } . Sud P(a) može imati samo jednu od dvije semantičke vrijednosti: T (istina) ili .l (laž). Gledajmo zato jedina dva moguća jednomjesna predikata s jednočlanom domenom: P1 (x) i P2(x) , takva da je Pt{a) = T i P2(a) = .l . Iz tablice P(x) VxP(x) 3xP(x) T Pt �) T .l P2 (x) .l vidimo da su sudovi Vx P(x) i 3x P(x) logički ekvivalentni ako je predikat P(x) de­ finiran nad jednočlanom domenom. 2. To međutim nije općenito slučaj za dvočlanu domenu D = {a, b} , gdje postoje ukupno četiri predikata:

X

a b

P1 (x) P2 (x) P3 (x) P4(x) T T

T .l

.l T

.l .l

P(x) VxP(x) 3xP(x) Pt (x) T T T P2 (x) .l T P3(x) .l P4(x) .l .l Semantička tablica pokazuje da sudovi Vx P(x) i 3x P(x) nisu uvijek logički ekvivalentni (npr. za P = P2 ili P3 ) . Razumije se, u primjenama će domena D predikata P(x) biti često i beskonačan skup (npr. N , R itd.). Za dvije formule predikatnog računa kažemo da su logički ekvivalentne ako za

svaki predikat s pomoću kojih su definirane, i za svaki izbor vrijednosti iz domena predikata, dobivamo ekvivalentne sudove. Pedsjetimo se, za sudove A i B pišemo A = B ako su logički ekvivalentni (imaju jednaku istinitostnu vrijednost). Istu oznaku rabimo i za logički ekvivalentne formule predikata. Navedimo sljedeći jednostavan i važan rezultat.

P(x) P(x) = 3x -,P(x) , ..,3x P(x) = Vx -,P(x) . DoKAZ. Neka je D domena predikata P(x) . Pretpostavimo da je -,'fx P(x) istinit sud. Onda je Vx P(x) lažan. Dakle postoji element a iz domene D takav da je sud P(a) lažan. Onda je sud -,P(a) istinit, paje istinit �ud 3x -,P(x) . Slično i u slučaju kad je sud -,'fx P(x) lažan. Tvrdnja {b) dokazuje se-ha isti način. PRIMJEDBA 5 . Vidimo da je sud Vx P(x) lažan čim je za makar jedan jedini element x iz domene njemu pripadajući sud P(x) lažan. Sud 3x P(x) je lažan ako je za sve x iz domene pripadajući sud P(x) lažan. PRIMJEDBA 6 . Sud Vx [3y P(x, y )] označavamo kraće sa Vx 3y P(x, y) . Njego­ va negacija je 3x Vy -,P(x, y) . PRIMJEDBA 7. Gornji teorem predstavlja generalizaciju uobičajenih DeMorga­ novih formula za sudove. Doista, ako neki predikat P(x) ima dvočlanu domenu Teorem 1 . Vrijede ove ĐeMorganove fonnule za predikate

(a) -Nx (b)

:

Q.E.o.

41

2.8. PREDIKATNI RAČUN

= {a, b} , te ako definiramo sudove A := P(a) i B := P(b) , onda je očevidno VxP(x) = P(a) 1\ P(b) = A 1\ B i :lx -,P(x) = -,P(a) V -,p(b) = -,A V -,B . Iz tvrdnje (a) u Teoremu l dobivamo DeMorganovu formulu za sudove: -,(A 1\ B) = -,A V -,B . Gornji teorern generalizira DeMorganove formule na slučaj kad imamo eventual­ no beskonačno mnogo sudova u konjunkciji, jer svaki P(x) je sud za neki određeni x E D . Sud Vx P(x) može se gledati i kao beskonačna konjunkcija sudova: Vx P(x) = P(x t ) 1\ P(xz) 1\ . . . , gdje su x1, xz, . . . E D . U literaturi se ponekad susreće i ovakva oznaka: Vx P(x) = 1\xEDP(x) . Slično, sud 3x P(x) označava ovaj sud: P(xl) V P(xz) V . . . , pa možemo pisati 3x P(x) = Vx EDP(x) . PRIMJER 2 . Za funkciju f : X - Y kažemo da je injektivna ako je sljedeći sud istinit: (Vx1 E X)(Vxz E X) (/(x i ) = f(xz) => = xz),

D

XI

ili što je isto (obratom po kontrapoziciji),

(Vx1 E X)(Vxz E X) (xl # xz => f(x i ) # f(xz) ). Kažemo daje funkcija f surjektivna ako je ovaj sud istinit: (Vy E Y)(:Jx E X) f(x) = y. PRIMJER 3 . U temeljnom kursu matematičke analize upoznali smo pojam kon­ vergencije. Za slijed realnih brojeva (an ) kažemo da je konvergentan, ako postoji a E R tako da za svaki E > O postoji broj no E N takav da za svaki n E N iz pretpostavke n > no slijedi lan - al < E . U tom sl učaju pišemo liiiln-.oo an a. 1

=

Drugim riječima,

(an) je konvergentan (:Ja E R)(VE > 0)(3no E N)(Vn E N)( n > no => lan - al < E). Za slijed koji nije konvergentan kažemo da je divergentan . Prema tome, uzimajući u obzir činjenicu da je ..,(A => B) = A 1\ ..,B , dobivamo na temelju prethodnog teorema ovakav zaključak: slijed (an ) je divergentan -,[(:Ja E R)(VE > 0)(3no E N)(Vn E N)(n > no => lan - a i < E )] = (Va E R)(3E > O)(Vno E N)(3n E N)(n > no 1\ ian - a i ;:::: E). , Riječima, slijed (an ) je divergentan ako za svaki a E R postoji > O tako da za svaki E N postoji n E N takav da je n > no i lan - a l � E To znači da je slijed (a") divergentan ako za svaki a E R postoji E > O i neki beskonačan podslijed slijeda (an ) čiji su članovi udaljeni od a za barem Promotrite za vježbu tu situaciju na primjeru slijeda an = l + (-l ) n (nađite neki podslijed kao gore npr. za a = l i E = 1 ). P RIMJER 4. Kao što znamo, za funkciju f : R - R kažemo da je neprekinut& u točki a E R ako vrijedi (VE > 0)(38 > O)(Vx E R)( lx - a i < c5 => if(x) - /(a) i < E). U tom slučaju pišemo limx-+ f(x) = f(a) . Vrlo je važan i treći kvantifikator po x , koji se često zaboravlja. Slično kao i u prethodnom primjeru, funkcija f je prekinuta u toc1ci a ako (:JE > O)(Vc5 > 0)(3x E R)( ix - a i < c5 1\ lf(x) - f(a) l ;:::: E ) . slijed

_

E

no

•

E.

a

1

Naziv swjekcija dolazi od franc. sur

=

na,

i lat. jacere

=

baciti.

2. UVOD U LOGIKU

42 Promislite sami što ova rečenica zapravo kaže.

\lx 3y R(x, y) 3y \lx R(x, y)

nisu me­ i PRIMJER 5. Nije teško vidjeti da sudovi đusobno logički ekvivalentni, ali drugi ima za logičku posljedicu prvi. Uzmemo li npr. R i predikat onda je prvi sud istinit (dovoljno je za definiran sa > . Drugi sud nije istinit, jer ne postoji realan broj koji svaki uzeti recimo bi bio veći od svih E R . Prema tome tvrdnje općenito nisu ekvivalentne, što više, nije općenito istinita. :::::} primjer pokazuje da implikacija Međutim, obratna implikacija je uvijek istinita (tautologija), što se može lako takav da istinit sud, onda postoji pokazati. Doista, ako je Prema tome za je \:ly P(a, y) istinit sud, dotično P( a, y) je istinit za svaki y E je . istinit sud, tj. sud za koji je svaki postoji (i to istinit. Na taj način može se lako pokazati da vrijedi:

D=

y x,

R(x, y) y = x+ l ) x

x

x

y

y

\lx 3y R(x, y) 3y \lx R(x, y) x = a E D1 3x Vy R(x, y) D2 • Vy 3x P(x, y) P(x, y) x = a)

Teorem 2.

(a) Vx\lyR(x, y) =. Vy\lxR(x, y) . (b) 3x 3yR(x, y) = 3y 3xR(x, y) . (e) 3x\lyR(x, y) � \ly 3xR(x, y) . (d) \lx 3y R(x, y) l= 3y 3x R(x, y) .

P(x) x D A P(x) A = {x E D : P(x)}, ili točnije A = {x E D : P(x) = T} . Neka je npr. D = {x E N : x � 3 } i P(x) sljedeći predikat "postoje tri prirodna broja a ' b i takva da je rr + Ir = � ". Tvrdnja da je za ovaj predikat skup A prazan (tj. da ne postoji traženi trojac prirodnih brojeva niti za koji eksponent x � 3 ) čini sadržaj znamenitog Velikog Fermatovog Običaj je da se s pomoću predikata zadaju i skupovi. Ako je zadan predikat onda on definira skup svih onih elemenata E za koje je pripadni s domenom istinit: sud (*)

D,

e

problema ( 17. st.) . Riješen je tek 1995. g., i to potvrdno (Andrew Wiles iz Velike Britanije). U vezi sa zadavanjem skupova kao u ( * ) zanimljivo je navesti poznati skup svih skupova koji nisu Russelov paradoks, otkriven 1903. Neka je svoj element, tj. , nije prazan jer npr. . Skup dakle Postavlja se pitanje je li je jedan , onda bi iz definicije skupa slijedilo da Kad bi bilo od -ova), što je protuslovlje. Po pravilu isključenja trećeg zaključujemo da mora biti •

S A f/: A .

A = {S : S � S} {l} E A . AEA

A f/: A,

S {l} � {l} A � A (A

A A A EA? A

A

A E A,

Sada dolazi paradoks: ako je onda iz definicije skupa slijedi što je opet protuslovlje. Prema torne skup nije dobro definiran, iako je formalno definiran kao u ( * ) .

A

A

iz prethodnoga primjera, Za univerzalni skup X , u kojem je definiran skup prirodno je uzeti "skup svih skupova". Pokazuje se međutim da ne postoji skup svih skupova. Doista, kada bi X bio skup svih skupova, onda bi i 2x bio skup (partitivni od X ) , pa bi imali 2x � X , dakle 12x 1 � lX I . skup od X , tj. skup svih To je međutim u protuslovlju s poznatim općim Cantorovim stavkom o kardinalnim brojevima: kardinalni broj partitivnog skupa od X je strogo veći od kardinalnog skupa od X , tj. 12x 1 > lX I , koji navodimo bez dokaza. Tvrdnja je jasna za konačne skupove, ali za beskonačne skupove potreban je poseban dokaz. Dokaz se zasniva na maloj

podskupova

2.8.

43

PREDIKATNI RAČUN

modifikaciji Cantorovog dijagonalnog postupka iz dokaza Teorema Teorem

3.20].

1.5.1, vidi (Papić,

Otkrivena je čitava jedna klasa paradoksa u teoriji skupova. Stanje stvari možda je najbolje opisao francuski matematičar ovim duhovitim riječima: "Bog postoji jer je matematika neprotuslovna. A đavo postoji jer to nitko ne može dokazati". Paradoksi doveli su do potrebe revizije nekih od temeljnih metoda i rezultata u matematici. To je među ostalim dovelo do intenzivnog razvoja matema­ tičke logike i teorije skupova u stoljeću. Sličan Russelovom paradoksu je poznati koji se sastoji u sljedećem: "Ovo što sada izričem je laž". Pita se je li ova rečenica istinita ili lažna? Pogledajmo. Kad bi bila istinita, onda bi prema onom što tvrdi morala biti lažna. A kad bi bila lažna, onda bi ono što je izrečeno morala biti istina, a ne laž. U oba slučaja dobivamo kontradikciju. Ovaj paradoks potječe još od grčkog filozofa iz st. prije Krista. Dakako, prema našoj općoj definiciji suda, rečenica "Ovo što sada izričem je laž" nije sud. PRIMJEDBA 8 . Spomenimo usput jednu važnu granu matematičke logike u kojoj se kao logičke vrijednosti dopuštaju ne samo i l (istina i laž), nego i bilo koja vrijednost između i tj. dopuštaju se i 'djelomične istine', dotično sudovi koji su više istiniti ili manje istiniti. To je tzv. neizrazita logika (engl. fuzzy logic), čije ideje nalaze mnoštvo primjena u praksi.

Andre Weil (1906 - 1998)

teorije skupova

20.

paradoks lašca Eubulidoa,

4.

O l,

O

� POVIJESNA CRTICA � Kvantifikatore V i 3 je u matematiku uveo nje­ mački matematičar ( i nezavisno od njega američki mate­ matičar ( . Naziv tautologija potječe od austrijskog filozofa Više o povijesti istraživanja u teoriji sku­ pova i matematičkoj logici pogledajte u izvrsnoj knjizi [Devide] .

Friedrich Frege 1848-1925) Charles Sanders Peirce 1839-1914) Ludwiga Wittgensteina ( 1889-1951).

Postoje problemi čijem rješavanju bih dao neizmjerno veće značenje nego matematici, npr. pouci u etici, odnosu prema Bogu, ili o sudbini i našoj budućnosti; ali njihovo rješavanje leži posve izvan područja �ti;

- Karl Friedrich GAUSS ( 1777-1855} Reductio ad absurdum, koji je Euklid toliko volio, jednoje od najjačih oružja u matemalici. Ovoje mnogo veći gambit nego u §ahu: §ahist može ponuditi pje§aka kao žrtvu ili � remi, dok matematičar nudi cijelu igru!

- Godfrey H. HARDY ( 1877 - 1947}

Bez pojmova, metoda i rezultata koje su pronašle prethodne generacijejoš od grčke Antike, nemoguće je razumjeti ciljeve i dostignuća matematike u posljednjih 50 godina. Logika je higijena s kojom matematičar održava svoje ideje zdravima i jakima

-Hermann WEYL ( 1885 - 1955)

Matematikaje koncentrirana logika.

- Danilo BLANUŠA ( 1903-1987)

3. CUELI BROJEVI

44

3.

Cijeli brojevi

{

O,

Skup cijelih brojeva poznajemo još iz osnovne škole: Z = . , -3, -2, - l, l , 2, 3, . } Svrha ovog poglavlja je podsjetiti čitatelja na neke temeljne pojmove iz teorije brojeva i dati pregled nekih od najvažnijih rezultata. .

.

.

. .

DEFINICIJA. Neka su a i b cijeli brojevi. Kažemo da a dijeli b ako je a 'l O b je višekratnik od a {tj. postoji k E Z tako da je b = ka ). U tom slučaju pišemo a l b i čitamo "a dijeli b". Broj a zovemo djeliteljem broja b . i

Uobičajena oznaka za " a dijeli b " u literaturi je a l b . Susreće se, istina vrlo rijetko, i oznaka a\b koja je bez sumnje bolja (ona se rabi i u znamenitom djelu [Knuth]).

Propozicija 1 . Relacija "dijeliti" ima sljedeća tri osnovna svojstva:

refleksivnost:

a O ala; alb bla a ±b. Ako su a i b prirodni a b tranzitivnost: a l b b l al DoKAZ. ( l ) je jasno. ( 2) Budući da je b ka i a lb za neke k, l E z ' slijedi b klb. Zbog b l a je b 'l O, dakle kl l nakon skraćivanja. Brojevi k i l su cijeli, odakle slijedi da je ili k l l ili k l - l . {3) Zbog b ka i lb je {lk)a, dotično a l PRIMJER l . Ako su a, b, E Z , onda iz a l b i a l sl�i a l b ± D EFIN ICIJ A . Ako su a, b, d E Z takvi da d l a, d l b, onda d zovemo zajedničkim djeliteljem od a i b. Ako je barem jedan od brojeva a ili b različit od O, onda postoji i najveći zajednički djelitelj d, kojeg zovemo najvećom zajedničkom mjerom od a i b. Označavamo ga sa Nzm (a, b) . Ako je d djelitelj od a i b, onda je i -d njihov djelitelj. Dakle Nzm (a, b) je uvijek pozitivan broj. Najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva a i b, različitih od nule, defini­ ramo kao najmanji prirodni broj čiji su djelitelji a i b. Označavamo ga sa nzv {a, b) . za svaki cijeli broj 'l vrijedi (1) (2) za svaka dva cijela broja iz i slijedi brojevi, onda slijedi = (antisimetričnost); (3) ako i e , onda e . =

=

=

e =

=

=

=

e =

e

=

=

=

=

e.

e

Q.E.D.

e.

3. 1 . DJELJIVOST, NAJVEĆA ZAJEDNIČKA MJERA

45

PRIMJER 2 . Očevidno je Nzm (a, b) = Nzm (b, a) , Nzm (a, b) = Nzm ( i ai, l b i ) , i slično za nzv. Npr. Nzm ( -6, -8) = Nzm ( 6, 8) = 2 , nzv ( -6, -8) = nzv ( 6, 8) = 24 . U Propoziciji 3.3.8 ćemo pokazati da vrijedi nzv (a, b) = paje dovoljno proučavati samo vlastitosti najveće zajedničke mjere. PRIMJEDBA l . Ako su a i b prirodni brojevi, onda je očevidno

N�ta,b) ,

Nzm (a, b) � min{a, b} � max{a, b} � nzv (a, b).

N.

PRIMJER 3 . Očevidno je Nzm (a, O) = a za sve a E PRIMJER 4. Neka su a E i b E z . Onda iz a l b slijedi Nzm (a, b) = a . Tvrdnju je lako dokazati. Naime, budući da a dijeli istodobno a i b , onda je a najveći mogući djelitelj ta dva broja, tj. njihova najveća zajednička mjera. P RIMJEDBA 2 . Najveća zajednička mjera Nzm ( · , ·) i najmanji zajednički više­ kratnik nzv ( , ) mogu se na sličan način definirati i za bilo koji konačan skup cijelih brojeva at , . . . , an : Nzm (at , . . . , an) . nzv (at , . . . , an)

N

·

·

Propozicija 2. Pretpostavimo da su svi brojevi u jednakosti

a 1 + a2 + . . . + ar = bt + b2 + . . . + bs cijeli. Ako se zna da su svi brojevi u ovoj jednakosti, osim jednoga, djeljivi sa onda je i preostali broj djeljiv sa

d.

DOKAZ. Ako se npr. zna da su svi brojevi osim a 1 djeljivi sa a 1 = -a2 - . . . - ar + b + . . . + bs djeljiv sa

t

d.

Teo rem 3. (O dijeljenju) Neka su zadani a E Z i b E q E Z i r E {0, l , . . . , b - l } takvi daje a = bq + r. Broj q zove se kvocijent pri dijeljenju a sa b , a r ostatak.

d E N,

d, onda je i broj Q.E.D.

N. Onda postojejedincati

DOKAZ. Označimo sa h , k E Z , skup svih cijelih brojeva koji leže u poluotvorenom intervalu [kb, (k + l )b) . Kako je unija svih lk jednaka Z i svi lk su međusobno disjunktni, postoji broj k = q E Z takav da je a E lq . Iz definicije intervala lq slijedi da je O � r := a - qb < b , tj. r E {0, l , . . . , b - 1 } . Dakle traženi prikaz a = bq + r postoji. o

r

b

...

2b

qb

a

Sl. 3. 1. Algoritam dijeljenja: a = qb + r .

(q+l)b

D a bi pokazali da je taj prikaz jedincat, neka pored ovog rastava postoji još jedan: a = bq1 + r1 , gdje je q1 E Z i rt E {0, l , . . . , b - l } . Onda je r - r1 = b(q - qt ) , tj. b l r - r1 . Kako je ir - r1 1 E {0, l, . . . , b - l } i b dijeli jedino nulu u tom skupu, Q.E.D. mora biti r - r1 = O , tj. r = r1 . Odavde slijedi zatim i q = q1 .

5

5

P RIMJER 5 . Za a = 1 6 i b = je 1 6 = 3 · + l , tj. q = 3 i r = l . Za a = - 1 6 i b = je -16 = ( -4) · + 4 , tj. q = -4 i r = 4 . Za a = 1 6 i b = 8 je q = 2 i r = O , jer je 16 = 2 8 = 2 · 8 + O . Za a = 3 i b = je q = O i r = 3 , jer je 3 = O · + 3 . Sljedeća propozicija bit će nam od velike važnosti u daljnjem.

5

5

5

·

5

3. CIJELI BROJEVI

46

S a, b S

Propozicija 4. Neprazan podskup skupa cijelih brojeva koji je zatvoren s ob­ jednak je ili { O } E E slijedi zirom na operaciju oduzimanja (tj. iz E } ili skupu svih cjelobrojnih višekratnika nekog prirodnog broja (ovaj skup kraće označavamo sa

a - b S) m: S = {km : k Z

mZ). DOKAZ. Dokažimo najprije da je S zatvoren i s obzirom na operaciju zbrajanja. Ne­ ka su a, b E S . Onda je O = a - a E S, dakle i -b = O - b E S, a zatim i a + b = a - (-b) E S . Isto tako iz prethodnog vidimo da ako je neki element b sadržan u S, onda je i -b E S Pretpostavimo da S sadrži cijeli broj a i- O . Kako je i -a E S, skup S sadrži -a . Neka je m najmanji pozitivan broj u S. Dokabw-cmjcdan pozitivan broj : a žimo da je S = mZ. a) Najprije treba dokazati da je mZ � S. Doista, iz m E S slijedi 2m = m + m E S, 3m = 2m + m E S itd. Slično, -m = O - m E S, -2m = -m - m E S, -3m = -2m - m E S itd. b) Dokažimo da je S � mZ. Neka je n S. Treba vidjeti da je n mZ. U tu svrhu podijelimo n sa m : n = mq + r , gdje je q E Z i r E {0, l, . . . , m - l } . Zbog n, mq E S je r = n - E S. Dakle r mora biti jednak O , jer u protivnom m ne bi bio najmanji pozitivan broj u S (vrijedi r < m). Stoga je n = mq E mZ. ili

·

E

E

mq

Q.E.D.

Vrlo je važan postupak za nalaženje najveće zajedničke mjere dvaju brojeva, (knjiga Pro­ poznat kao Euklidov algoritam. Opisan je u Euklidovu djelu Postupak se zasniva na sljedećem rezultatu. pozicija l i

Elementi

2).

a, b, q,

Z a = bq +

7,

Propozicija 1 . Neka su r . Onda je svaki zajed­ i r E i r . Posebno, vrijedi ujedno i zajednički djelitelj od i nički djelitelj od Nzm (b, r) . Nzm (a,

a b

b) =

b

d E N dijeli a i b u relaciji a = bq + r , onda d dijeli i 3.1.2). Obratno, ako d dijeli b i r , onda na isti način d l a .

DOKAZ. Ako Propoziciju

r (vidi Q.E.D.

Teorem 2. (Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere dvaju bro­ jeva) Neka je E Promatrajmo slijed ostataka rk koji se dobivaju kako i E je opisano u Teoremu 3. 1 . 3 o dijeljenju:

a Z b N. a = bq1 + rz O � rz < 'b = rzqz + r3 0 � r3 < rz,

Pretpostavimo daje rz > O rk > O i rk+ l O , i vrijedi

=

(l)

(tj. b ne dijeli a). Onda postoji indeks k E N takav daje Nzm (a, b) = rk .

3.2. EUKLIDOV ALGORITAM

47

DOKAZ. Iz gornjih nejednakosti vidimo daje slijed rk opadajuć: b > rz > r3 > r4 > . . . � O . Kako je slijed omeđen odozdol s nulom, te kako se radi o cijelim broje­

vima, onda mora postajati indeks za koji će odgovarajući r biti jednak nula, recimo rk+ 1 = O , a prethodni rk > O , gdje je rk-Z = rk- I qk- 1 + rk O < rk < rk- I , ( l' ) rk- l = rk qk . Prema prethodnoj propoziciji imamo Nzm (a, b) = Nzm (b, rz) , Nzm (b, rz) = Nzm (rz, r3 ) , Nzm (rz, r3 ) = Nzm (r3 , r4 ) , . . . , Nzm (rk- z, rk-d = Nzm(rk-J , rk ) . Prema tome je Nzm (a, b) = Nzm (rk- 1 , rk ) = rk , gdje smo u zadnjoj jednakosti Q.E.D. koristili činjenicu da rk l rk- l . PRIMJEDBA l . U Euklidovu algoritmu smo pretpostavili da je b > O . Za nala­ ženje najveće zajedničke mjere bilo koja dva cijela broja a i b ta pretpostavka nije bitno ograničenje, jer vrijedi Nzm (a, b) = Nzm (lal, l bl) . Primijetite isto tako da ako su a i b prirodni brojevi takvi da je a < b , onda zbog a = b O + a (tj. r = a ) nakon prvog koraka u Euklidovom algoritmu a i b jednostavno zamijene mjesta, i dalje se dijeli b sa a . Prema tome razumno je na početku Euklidova algoritma među dva broja za koja tražimo Nzm (a, b) uzeti za a broj koji je veći od b . ·

PRIMJEDBA 2 . Kvocijent je moguće opisati s pomoću operacije "najveće cije­ lo": najveći cijeli dio LxJ realnog broja x je najveći cijeli broj q koji je :.:::; x . Npr. L3.9J = 3 , LnJ = 3 , L-nJ = - 4 , L1J = 1 . Prirnijetimo da je kvocijent q kod dijeljenja a sa b jednak upravo broju L �J (naj­ veći cijeli dio od � ), jer zbog a = bq + r i O � r < b vrijedi: L� J = Lq + i J = q . Ostatak r pri dijeljenju a sa b označava se sa a mod b . Prema tome možemo pisati: a

=

b

·

la/ bJ + (a

..__.."

kvocijent

mod

b)

�

ostatak

Z i d E N takvi da d l a i d l b . Onda d l Nzm (a, b) . DOKAZ. Rabeći prvu jednakost u (l) dobivamo da d l rz (Propozicija 3.1.2), zatim iz Korolar 3. Neka su

a, b E

druge dobivamo d l r3 itd., da bi na kraju iz ( l ' ) dobili da d l rk

=

Nzm (a , b ) .

Q.E.n.

PRIMJER l . Za a = 190 i b = 34 nađimo najveću zajedničku mjeru. Vidimo da je ona sigurno višekratnik od 2 , jer su oba broja parna. Provedimo Euklidov algoritam: podijeli 190 sa 34: 190 = 34 5 + 20, podijeli 34 sa 20: 34 = 20 l + 14, podijeli 20 sa 14: 20 = 14 · l + 6, (3) podijeli 14 sa 6: 14 = 6 2 + 2, podijeli 6 sa 2: 6 = 2 · 3. Prema tome j e Nzm (190, 34) = 2 . Rabeći (l) možemo uzastopnim uvrštavanjem sve ostatke izraziti kao cjelobrojnu linearnu kombinaciju brojeva a i b : rz = a + ( -ql )b ·

·

·

r3 = b - rzqz = ( -qz)a + (l + qtqz)b

3. CUELI BR01EVI

48

s, t E Z takvi da je rk = sa + th, tj. : Nzm (a, b) = sa + th

Na kraju dobivamo da postoje

Vrijedi međutim i više:

a b cijeli brojevi koji nisu oba jednaki O . Onda je mini­ S := {sa + th : s, t E Z} jednak Nzm (a, b) . Drugim b) = min{sa + th : s, t E Z, sa + th > 0}.

Teorem 4. Neka su i malan pozitivan broj u skupu riječima Nzm (a,

S j e zatvoren s obzirom n a operaciju uk = ska + tkb E S, k = l, 2, onda je i: U t - u2 = (st - s2 )a + (tt - t2 )b E S. Zbog S f. {O} prema Propoziciji 3.1 .4 za minimalni pozitivan broj u skupu S vrijedi S = mZ . Kako su b S ( np . = l a + O · b ) , onda dijeli a i b, pa iz Korolara 3 zaključujemo da dijeli i Nzm (a, b) : ! Nzm (a b) . S druge strane, po definiciji skupa S postoje s, t E Z takvi da je = sa + th. Iz Budući da Nzm (a, b) l a i Nzm (a, b) l b, onda odavde slijedi da Nzm (a, b) l svojstva antisimetričnosti relacije djeljivosti l onda dobivamo = Nzm (a, b) (vidi

DoKAZ. Rabit ćemo Propoziciju 1 .4. Skup oduzimanja cijelih brojeva, dotično ako su

a,

m

r

E

a

m

·

m

,

m

m

m

Propoziciju 3 . 1 . 1 ) .

m.

Q.E.D.

s t

b) = sa + th nisu (a, b) = (s + b)a + (t - a )b.

PRIMJEDBA 3 . Cijeli brojevi i za koje vrijedi Nzm (a, određeni jednoznačno, jer je npr. onda i Nzm

PRIMJER 2 . Euklidov algoritam daje zapravo opis efektivnog postupka kojim se može doći do odgovarajućih i za koje je Nzm Pogledajmo taj postupak na primjeru 190 i 34 . Krećemo od prve relacije u (3) računajući redom ostatke i dalje uzastopce uvrštavajući:

s t (a, b) = sa + tb. a= b= 20 = a - 5 · b, 14 = b - 20 = -a + 6 · b, 6 = 20 - 14 = 2 · a - l l b, 2 = 14 - 2 · 6 = (-l - 4) · a + (6 + 2 ll) b. Prema tome je 2 = ( -5) · a + 28 · b. DEFINICIJA. Za cijele brojeve a i b kažemo da su relativno prosti ako je Nzm (a, b) = l , tj . jedini zajednički djelitelj im je l . Relativno prosti brojevi a i b ne mogu se skratiti u razlomku � . Npr. 9 i 14 su relativnđtprosti. ·

·

·

Sljedeća dva rezultata su intuitivno jasna:

Propozicija S. Ako su

onda

bj .

a, b,

e

E

Z

takvi da su

a i b relativno prosti i b l ac,

e

b l ac

q E Z tako da je ac = qb. Po prethodnom teoremu pos­ sa + th = l . Množenjem sa dobivamo sac + tbc = b(sq + tc) = tj. b l

DoKAZ. Zbog postoji Z tako da vrijedi toje a nakon uvrštavanja

s, t E

e

e,

e.

e,

Q.E.D.

3.3.

49

PROSTI BROJEVI, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE

a, b Z (ea, cb) = (a, b) . b, =� =l

Propozicija 6. Neka su E i e E N. (i) Onda vrijedi Nzm e · Nzm (ii) Ako e l i e l onda je Nzm ( � , �) Nzm (a, dobivamo Nzm (�, � ) .

a b)

·

Nzm (a,

b) .

Posebno, za

b (l)

d=

DOKAZ. (i) Možemo bez gubitka općenitosti pretpostaviti da je pozitivan. U pos­ tupku provođenja Euklidova algoritma pomnožimo sve relacije u sa e . Onda i prelaze u i svi r -ovi u dok q -ovi ostaju isti. Dobivamo dakle Euklidov algoritam za i (primijetite da je pritom O � < e i- I ). Prema Teoremu 2 je onda Nzm Međutim je Nzm (a, što dokazuje tvrdnju. (ii) Zbog (i) je e · Nzm ( �, �) Nzm (e � , e � ) Nzm (a, Q.E.D.

b

ea cb, ea cb (ea, cb) = erk .

cr,

PRIMJER 3. Nzm ( 190, 34 )

=

=

rk =

a

eri r b) , = b) .

2 · Nzm (95, 17 ) .

S pomoću gornjih rezultata moguće je rješavati najjednostavniju diofantsku jed­ nadžbu - onu prvog stupnja u dvije varijable: (4 ) Pritom su e zadani cijeli brojevi, a traže se Jješenja i u skupu cijelih brojeva (ili u skupu prirodnih brojeva) . Sljedeći rezultat govori kada ova diofantska jednadžba irna Jješenja, a kada ne.

ax + by = c.

a, b,

x y

a, b

Propozicija 9. Neka su i e zadani cijeli brojevi. Diofantska jednadžba (4) ima rješenje onda i s�o onda ako Nzm l e.

(a, b) DOKAZ. Ako postoji cjelobrojno rješenje x , y jednadžbe (4) , onda Nzm (a, b) dijeli lijevu stranu od (4 ) , dakle i desnu. Obratno, pretpostavimo da Nzm (a, b) l e , tj. postoji k E Z tako da je e k · Nzm (a, b) . Jednadžba ax 1 + by 1 = Nzm (a, b) irna cjelobrojno rješenje x 1 , y 1 (vidi Teorem 4). Množenjem sa k dobivamo a(kxr) + b(ky t ) = kNzm (a, b) = e , pa slijedi da je x = kx 1 , y = ky 1 Jješenje jednadžbe (4) . PRIMJER 4 . Jednadžba 6x+9y = l l nema cjelobrojnih rješenjajer Nzm (6, 9 ) 3 ne dijeli l l . Jednadžba 6x + 9y = 12 ima rješenja. =

Q.E.D.

=

U ovom odjeljku promatramo samo skup prirodnih brojeva. Djelitelje nekog broja

a E N gledat ćemo samo u skupu prirodnih brojeva. Prirodni broj a > · 1 uvijek dva djelitelja: l i a . Zovemo ih trivijalnim djeliteljima. DEFINICIJA. Za prirodan broj p > l kažemo da je prost broj (prim.:broj) ako su mu jedini djelitelji l i p (tj. ima samo trivijalne djelitelj e). Za broj a > l koji nije irna

prost broj (tj. posjeduje netrivijalne djelitelje) kaže se da je složen broj.

PRIMJER l . Navedimo prvih nekoliko prostih brojeva: 2 , 3 , 5 , 7 , l l , 1 3 , 17 , 19 , 23 , 29 , 3 1 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 1 1 3 , 127 , 1 3 1 , 1 37 , 139 , 149 , 1 5 1 , 157 , 163 , 167 , 173 ,

3. CIJELI BROJEVI

50 179, 181 , 191 , 193 , 197, 199, 21 1 , 223, 227, 229 7. a. faktorima aEN a. fakto i acijo b, E N, a. l N l; ( 2 2 2 3, 6, 9, 12 . . . ; 3 (

. . . Skup svih prostih brojeva je beskonačan, što će biti pokazano kasnije (vidi Teorem ) gdje su Prikaz broja zovemo još i Djelitelj e od Ako je djelitelj prost broj, zvat m prirodnog broja rz zovemo e ćemo ga prostim djeliteljem (ili prostim faktorom) od PRIMJER 2. Eratostenovo sito predstavlja jednostavan postupak kojim proste brojeve dobivamo tako da u križamo i sve one brojeve koji su složeni: l ) križamo broj ( ) zaokružimo broj i križamo sve njegove višekratnike koji ga slijede: 4, . . . ; broj je prost; zaokružimo ga i križamo sve njegove višekratnike koji ga (3) prvi preostali broj je je prost broj ; slijede: 4) 4 je već prekrižen, kao i svi njegovi višekratnici; itd. Zaokruženi brojevi koji preostaju su upravo prosti brojevi. Prirnijetimo da ako gle­ onda damo samo konačan podskup skupa prirodnih brojeva, npr. od do n = je postupak opisan Eratostenovim sitom zapravo algoritam (tj. završava u konačno mnogo koraka), i Eratostenovo sito može se prograrnirati.

a = bc, b

6

106 ,

l

Cilj nam je sada dokazati osnovni teorem aritmetike o postojanju jednoznačnog rastava svakog prirodnog broja na proste djelitelje. U tu svrhu trebat će nam nekoliko pomoćnih rezultata.

a p

Lema 1. Neka je prirodan broj, je veći od l . Onda je prost broj.

a > l i nekaje p najmanji djelitelj od a koji

DOKAZ. Dokaz provodimo kontradikcijom (od suprotnog). Pretpostavimo dakle sup­ Onda su q i r djelitelji od koji su qr , q, r rotno, tj. da je složen broj : To je kontradikcija s minimalnošću djelitelja manji od Q.E.o.

p.

p=

p

> l.

a

p.

p je ili Nzm (p, a) = l ili p l a . DOKAZ. Jedini djelitelji od p su l i p. Zato je ili Nzm (p, a) = l ili Nzm (p, a) = p. U drugom slučaju p l a. Propozicija 3. Ako je p prost broj i p l ab , onda p l a ili p l b . DOKAZ. Pretpostavimo da prva alternativa nije ispunjena, tj. neka p ne dijeli a. Zbog prethodne leme je onda Nzm (p, a) = l . Kako p l ab onda iz Propozicije 3.2.5 dobi­ vamo da p l b. Lema 2. Za svaki prost broj

Q.E.o.

Q.E.D.

Odavde odmah slijedi: Korolar 4. Ako je

takav da

p l ai .

p prost broj i p l a1 az . . . an , onda postoji barem jedan ai p

m

k E {l, 2, . . . , p - l}

. Dokažimo da je PRIMJER 3 . Neka je prost broj i tj. djeljiv sa Zbog pa Lijeva strana je djeljiva sa k) ! je k! Na . nije djeljiv sa jer je prost broj i mora biti i desna. Broj biti mora Onda prema Propoziciji nije djelj iv sa isti način niti

p, p l m . m = (:� p! = k!(p - k)! m . p p k! p. (p - k)! ��� � p.

p, k! = l 2 . . k. m 3.2.5 . ·

3.3.

PROSTI BROJEVI, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE

Sl

Teorem 5. (Rastav na proste djelitelje, Osnovni teorem aritmetike) Za svaki pri­

rodan broj

PI

a > l postoji jedincat rastav na proste djelitelje a -- Par l Pzaz · Pkak

Pk

•

· ·

Pia , DOKAZ. Neka je q1 najmanji prosti faktor od a, tj. a = q 1 a 1 . Ako je a 1 > l i qz najmanji prosti faktor broja a 1 , onda je a 1 = qz az , tj. a = q 1 qz az . Nastavljajući dalje vidimo da će zbog a > a 1 > az > . . . nakon konačno mnogo koraka biti a rastavljen na proste faktore: a = qiqz qn . Neki od prostih brojeva qk mogu biti i jednaki. Nakon grupiranja po veličini dobivamo rastav kao u teoremu.

gdje su svi različiti prosti brojevi koji dijele poredani po < pz < . . . < u rastavu. veličini. Pritom zovemo kratnošću odgovarajućeg prostog broja

ai

· · ·

a

Dokažimo da je rastav broja na proste faktore jedincat (do na njihov poredak). Pretpostavimo da imamo još jedan rastav na m prostih faktora: r1 tj.:

a = rz . . . r ,

m qi qz . . . qn = rtrz . . . rm . Kako q i dijeli lijevu stranu, on dijeli i desnu, pa prema prethodnom korolaru on dijeli neki od r -ova, npr. r1 : q 1 l r1 . Međutim r1 je prost broj i q 1 > l , pa slijedi da je qr = r1 . Podijelimo jednakost sa q1 lijevo i desno: qz . . . qn = rz . . , rm . Nastavljamo dalje na isti način sa qz . Nakon konačno mnogo koraka dobivamo da mora biti n = i qi = za sve i . PRIMJER 4 . Evo nekih rastava prirodnih brojeva na proste djelitelje: 30 = 5 ·.6 = . 3z , 2 . 3 . 5 , 5 6 8 . 23 , m

7

=

Q.E.n.

r;

.

=

7

99

=

9

ll

=

2 2=

. ll

19

=

19 .

PRIMJER 5 . Dokažimo da je log iracionalan broj. U suprotnom bi postojali tj. lO"' = zn , prirodni brojevi m i n takvi da je log � . Onda je tj. To je međutim protuslovlje s Teoremom jer on tvrdi da je rastav prirodnog broja na proste djelitelje jedincat.

zmsm = zn .

Korolar 6. Djelitelja prirodnog broja

faktore,

PI


l

:z:::> (d) = o. din

vrijedi

3. CIJELI BROJEVI

58

d broja n. DoKAZ. Neka je n = pr1 . . . p�k rastav broja n na proste djelitelje i definirajmo svaki djelitelj d broja n = p�1 . . . /l.k koji nije djelitelj od n' = PI .(d. . P=k . O.ZaPrema n'vrijedi tome je JJ ) (d) = L JJ (d) . L JJ din d i n' Uzmimo djelitelj d koji je produkt r različitih prostih brojeva iz skupa {PI , . . . , Pk } . Takvih djelitelja irna ukupno (� , tj. koliko i r -članih podskupova k -članog skupa (vidi Teorem 6.2.2). Za svaki od njih je JJ (d) (-l Y . Odavde je -l re). L JJ (d) = dLi � JJ (d) = I) =O din r Indeks r O odgovara djelitelju d = l . Posljednji zbroj jednak je nula: dovoljno je u binornni teorem (l + x ) k = I:�=O (�)xr staviti x = -l . R. (Mobiusov teorem inverzije) Zadane su dvije funkcije j, g : N Ako za svaki n E N vrijedi (l) f(n) = L g(d), Zbraja se po svim pozitivnim djeliteljima

=

=

Q.E.D.

--+

Teorem 2.

din

onda je

g(n) = L JJ (d)f ( a) ·

(2)

din

i obratno.

(l). Onda je !( � ) = Ld' i a g(d' ) ' dakle (d)J(a ) = L JJ (d) L g(d') . L JJ din din d' i a Budući da d' l a , tj. a = d'r , onda je n = dd' r, tj. d' je djelitelj od n. Za učvršćeni od n broj d je djelitelj od -j; = dr . Prema to� zamjenom poretka djelitelj zbrajanja dobivamo L JJ (d) L g(d') = d'Li n g(d') L JJ (d) . din Ako je -j; > l , onda je prema gornjoj lemi drugi zbroj jednak O. Ako je -j; = l , dotično d' = n, onda je nutarnji zbroj jednak JJ ( l) = l , a vanjski ima samo jedan član, i to upravo g( n ) . Obratan smjer dokazuje se na sličan način.

DoKAZ. Pretpostavimo da vrijedi

d'

Q.E.D.

3.6. EULEROVA FUNKCIJA

59

Mnogo općenitiju inačicu formule inverzije možete vidjeti u [Veljan]. Više poda­ taka iz teorije brojeva čitatelj može naći u udžbeniku [Pavković, Veljan]. J.L potječe od njemačkog ma­ tematičara ( 1790-1 868). Mobius je bio znanstvenik širokih interesa, s radovima u astronomiji, mehanici, optici, statici, projektivnoj geo­ metriji i teoriji brojeva. Ipak, najpoznatiji je po otkriću znamenite dobije se tako da uzmemo usku pravokutnu papirnatu vrpcu, te krajeve spojimo nakon što smo ih okrenuli. Mravac koji šeće po površini te plohe može lako doći na 'suprotnu' stranu, bez prelaženja ruba. U tom smislu ta ploha ima samo jednu stranu, a ne dvije! Ta ploha ima jednu jedinu rubnu krivulju, a ne dvije (provjerite) ! Formulu inverzije su prvi dokazali 1857. g. i 1 857. Zanimljivo poopćenje je 1964. g. otkrio američki matematičar talijanskoga po­ drijetla Iz njega se kao vrlo specijalan slučaj može dobiti formula uključivanja - isključivanja (o formuli uključivanja - isključivanja vidi Odjeljak 6.5).

� PoviJESNA CRTICA � Definicija funkcije

Augusta Ferdinanda Mobiusa

Mobiusove vrpce:

Joseph Liouville

Richard Dedekind

Gian Carlo Rota.

Sl. 3.2. Mobiusova vrpca (crtež �.C. Eschera, 1898-1972).

Eulerova funkcija ima važnu ulogu u teoriji brojeva i teoriji kodiranja.

N

N

n n l = l. PRIMJER Vrijedi qJ(20) = 8 jer su brojevi k = l, 3, 7, 9, l l, 13, 17, 1 9 manji

DEFINICIJA. Funkcija qJ : --+ koja prirodnom broju pridružuje broj prirodnih brojeva koji su < i relativno prosti sa zove se Eulerova funkcija. Definiramo qJ ( )

n

1.

od 20 i relativno prosti sa 20 .

3. CIJELJ BROJEVI

60

Nije teško vidjeti da Eulerova funkcija ima sljedeću zanimljivu vlastitost:

n = l: ({J(d). dj n

Na desnoj strani zbrajamo po svim djeliteljima d zadanog broja n . Ovaj rezultat poznat je kao Gaussova formula. Ona je zapravo gotovo očevidna. Evo primjer koji to dobro pokazuje u slučaju n = . Pogledajmo svih dvanaest razlomaka oblika A , 4 2 3 5 6 7 s 9 JO l l 12 Nakon skrać"IvanJa dob"tvamo . TI TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI TI .

12

,

a

12 6 4

l

iz

2

l 6

3

3

l

4

2

4

5

6

-&

l

3

Teorem 1 . Ako

7

8

fz

9 3

4

2

3

l 2

l

·

,

10 l l 12

({J(d) 4

2 2 2

5 6

t

n ima rastav na proste faktore n = p�1 ({J(n) = n ( t - ;.)

·

... (t - �) ·

• • •

l l

Ea ({J(d) = 12

p�1 , onda je

DoKAZ. Na formulu n = Ea l 11 ({J( d) možemo primijeniti teorem inverzije, stavljajući f(n) = n i g(n) = ({J(n) . Onda je

({J(n) = 2: JJ.(d)�d = n - 2: !!... + 2: � - . . . i Pi i<j PiPi din = n ( l ;.) . . . ( l

- �) .

-

Q.E.D.

Kombinatorički dokaz istoga rezultata (s pomoću formule uključivanja - isklju­ čivanja) možete vidjeti u Primjeru 6.5.3.

2

({1(20)

20(1 - !)(1 - ! ) 8 .

= = ({1 ( 2 5) = PRIMJER 2. a) , b) Ako je p prost broj , onda je ({J (p) = p - l jer su svi brojevi l , . . . , p - l relativno prosti sa p. � e) Za n = pa , a E je ({J(pa) = pa ( l pl) = pa - pa - I Ovo je moguće dokazati izravno. Broj svih brojeva koji su < pa i nisu relativno prosti sa pa jednak je pa- t - l . To su naime svi brojevi čiji zajednički faktor sa pa je barem p, tj. oblika = p r , gdje je p r < pa . Ovdje r poprima bilo koju vrijednost < pa - l , a takvih ima pa - I _ l . Prema tome je ({J(pa) jednak ukupnom broju brojeva manjih pa umanjenom za broj onih koji nisu relativno prosti sa pa : ·

N,

k

od

·

·

k

-

({J(pa) = (pa _ l ) _ (pa - I _ l) = pa _ Pa - 1 .

.

2,

3.6. EULEROVA FUNKCIJA

61

m i n relativno prosti brojevi, onda Eulerova funkcija q> ima q>(mn) q>(m)q>(n) .

Korolar 2. Ako su multiplikativno svojstvo:

=

m i n imaju rastave na proste faktore m = p�l . . . p�l , n = Jil . . . /r' , onda kako je Nzm (m, n) l , slijedi da je mn pa1 p�1Ji1 /!.' rastav na proste faktore od mn , pri čemu imamo ukupno l+ r raz\ičitih prostih brojeva u skupu {Pt, . . . , Pt, qt , . . , q,} . Prema prethodnom teoremu je q>(mn) = mn ( l - P_!_) ql . ( 1 - _!_) t . . . (l - Pt_!_) ( 1 - _!_) q, = q>(m)q>(n). DoKAZ. Ako

=

=

•

• • •

. •

.

·

.

.

Q.E.D.

rp(20) q>(5

22 - 2)

q>(5)rp(4) (5 -

= = = 8. PRIMJER 3 . l) · ( · 4) = Jedan od osnovnih rezultata o Eulerovoj funkciji je tzv. Eulerova kongruencija.

Teorem 3. (Eulerova kongruencija) Ako su

jevi, onda je

a'P(n)

;;

l

a i n relativno prosti prirodni bro­

(mod n) .

{rt , . . . , rq�(n) } skup svih ostataka iz skupa {l, 2, . . . n . Po definiciji Eulerove funkcije ima ih rp(n) . Pogle­ (l) rq�(n)a mod . , Oni su također svi sadržani u {l, . . . , n - l} , i niti jedan nije nula, jer su r; i relativno prosti sa n . Lako je vidjeti da su brojevi dobiveni u (l) svi međusobno različiti: ako za neke x, y E S vrijedi (xa mod ) (ya mod ) onda je xa = ya (mod n) , dakle y (mod n) jer su a i n relativno prosti (kongruenciju u tom slučaju možemo podijeliti s a, vidi Propoziciju 3.4.4) i odatle x y (vidi Primjer 3.4.2). Kako ih ima također (n) , i svi su relativno prosti sa n , onda se skup u (l) podudara sa skupom S. Prema tome je umnožak svih brojeva u S isti kao i u (l): (rta mod n)(r2 a mod n) . . . (rq�(n) a mod n) rtr2 . . . rq�(n) · ,n­

DOKAZ. Označimo sa S = koji su relativno prosti sa dajmo ostatke

l}

n.

..

a

n

x =

=

n ,

=

,

q>

=

Budući da su svi pojedini članovi u urnnošku na lijevoj strani kongruentni redom sa po modulu vrijedi

n, rt a , r2a , . . . , rq�(n) a (rt a)(r2 a) . . . (rq�(n) a) r1 r2 . . . rq�(n) =

tj.

(mod n) , (mod n ) .

r; 3.4.4

n,

Na koncu, svi su relativno prosti s dakle i njihov umnožak, pa rabeći opet Propoziciju možemo gornju kongruenciju skratiti s tim umnoškom. Dobivamo Q.E.D. = (mod n ) .

aq�(n) l

3. CIJELI BROJEVI

62

Korolar 4. (Mali Fermatov stavak) Ako je p prost broj, onda za svaki

vrijedi p

l aP - a, tj.

aP = a

(mod p).

aEN (2)

a nije višekratnik od p , ondaje aP- l = l (mod p) . DoKAZ. Ako je a višekratnik od onda je tvrdnja ( 2) trivijalna. Pretpostavimo zato da a nije višekratnik od p . Onda su a i p relativno prosti. Kako je qJ (p) = - l , iz Eulerove kongruencije (Teorem 3) dobivamo ap- t = l (mod p) . Tvrdnja (2) slijedi

Posebno, ako

p,

množenjem kongruencije s

p

a.

Q.E.D.

Drugi ookaz Eulerove kongruencije dobiven metodama teorije grupa pogledajte u

Teoremu 9.4.3. Drugi dokaz Malog Fermatovog stavka, koji se zasniva na poopćenju binornne formule (multinomna formula, Teorem dan je u Propoziciji

6.3.2),

6.3.3.

� PoviJESNA CRTICA � Naziv Eulerova funkcije danje učast švicarskom

Leonhardu Euleru (1707- 1783), 22 500

trul.tetrul.tičaru jednom od najistaknutijih i najplodni­ jih matematičara u povijesti. Radovi su mu objavljena tijekom st. u knjige na ukupno stranica! Euler je vrlo poznat i po negativnom rješenju znamenitog problema nalaženja šetnje u pruskome gradu Konigsbergu (danas Kalinjingrad u Ru­ siji), tako da se na svaki od njegovih sedam mostova kroči samo jednom. Time je započela teorija grafova kao ozbiljna matematička disciplina. Francuski matematičar (po zanimanju pravnik!) t( došao je do otkrića kongruencije navedene u još godine

(2)

20.

73

Pierre Ferma 160 1- 1665) 1640.

Do dana današnjega matematičari su uzalud polru!avali naći nekakav red u slijedu prostih brojeva, i ima razloga vjerovati da je to tajna u koju ljudski um nikada neće prodrjeti.

.- Leonhard EULER ( 1707 - 1783)

Matematika je kraljica znanosti, a teorija brojeva je kraljica matematike.

[iz Gaussova pisma Lobačevskom]

Konačno, prekjučer sam uspio - ne zbog mojih velikih napora, nego milo§ću Gospodina. Kao iznenadniJ'ljesak munje, zagonetka je rije§ena. Nisam u stanju reći §toje bila nit koja'Jll_povezala ono §to sam odprije znao s onim §to je učinilo moj uspjeh mogućim. Znadete da pi§em sporo. To je uglavnom zato jer nisam zadovoljan sve dok ne katem §to je moguće vi§e sa §to je moguće manje riječi, a pisati sateto oduzimlje mnogo vi§e vremena nego pisati op§irno.

- Karl Friedrich GAUSS (1777-1855)

Cijeleje brojeve stvorio dragi Bog, a sve ostalo djeloje čovjeka!

- Leopold KRONECKER ( 1823- 1891)

4. 1 . REFLEKSIVNE, SIMETRIČNE, TRANZITIVNE RELACIJE

63

4.

Binarne relacije

Svakodnevno smo okruženi mnogobrojnim relacijama na raznim skupovima, s pomoću kojih se definira "odnos" između dva elementa nekog skupa (prvog i drugog) . Evo nekih "relacija" definiranih na skupu svih ljudi (zadanih na parovima od dvoje ljudi x i y ) : biti jednako star kao ( x je jednako star kao y ) biti stariji od, biti mlađi od, biti viši od, biti lakši od, biti brži od, ne biti sporiji od, imati istu boju očiju kao, biti obrazovaniji od, biti zaljubljen u, biti brat od, biti majka od, biti rođen u istom mjestu kao, biti iste nacionalnosti kao, biti u vezi putem Interneta sa, itd.itd. ,

DEFINICIJA. Binama relacija na skupu X je bilo koji neprazan podskup p � X x X . Kažemo da su elementi x i y u relaciji p (ili x je u relaciji s y ) ako je (x, y) E p . U tom slučaju pišemo xp y . P RIMJEDBA Riječ binama (relacija) znači da imamo "odnos" p između dva elementa, pri čemu je važno znati koji je prvi, a koji drugi. Može se naime dogoditi da bude xp y , a da ne bude y p x Isto tako može dogoditi da ne bude niti xp y niti y px. U tom slučaju kažemo da su x i y neusporedivi (po dotičnoj relaciji). DEFINICIJA. Za binarnu relaciju p na X kažemo da je (i) refleksivna ako vrijedi (Vx E X) x p x ; (ii) simetrična ako vrijedi (Vx, y E X)(x p y => y px) ; (ii') antisimetrična ako vrijedi (Vx, y E X)(x p y 1\ y px => x = y) (iii) tranzitivna ako vrijedi (Vx, y, z E X)(x py 1\ p z => xp z) . 1.

.

se

y

Provjerite za vježbu koje su od relacija navedenih na skupu svih ljudi refleksivne, koje simetrične, koje antisimetrične, a koje tranzitivne. Svaka refleksivna relacija sadrži "dijagonalu" u skupu X x X . Naziv simetrične i antisimetrične relacije jasan je sa slike.

4. BINARNE RELACIJE

64

X

X

X

X

Sl. 4.1. Simetrična i antisimetrična relacija.

p zadana na skupu X zove se funkcija ako za svaki x E X (tj . relacijom je svakom pridružen jedincat y ) . Drugim riječima, iz xp Y I i xp Y2 slijedi Y I = Y2 . Tu relaciju obično označavamo sa J : X X, y = J(x) . Obratno, svaka funkcija J : X X također određuje relaciju p. Prirodno je p definirati tako da je x p y onda i samo onda ako je y = J(x) . PRIMJER l . Relacija

postoji jedincat y G

x

X takav da je x p y

-+

'

-+

Uvedimo sada jednu osobito važnu relaciju:

p�X X

DEFINICIJA. Binarna relacija x zove se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna, tj. ako za sve y i z u X vrijedi: (a) (b) iz X i X slijedi X , i z slijedi z. (e ) iz

xpx , py y p xp y y p

x,

=y xp

PRIMJEDBA l . Pojam "relacije ekvivalencije" treba dobro razlikovati od logičke operacije ekvivalencije među sudovima, koja je binarna operacija (operacija s dvije varijable). Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera relacije ekvivalencije.

PRIMJER l . Ovaj primjer je osobito važan. Neka je zadan prirodan broj n E N X = z . Kažemo da je xpy ako je x = y (mod n) , tj. ako n ! x - y (n dijeli x - y ). Kao što smo vidjeli u Propoziciji 3.4. 1 , kongru�ija = modulo n je relacija i

,#.

ekvivalencije.

PRIMJER 2. Spomenimo nekoliko primjera relacija ekvivalencije koje znamo još iz osnovne škole. l . Na skupu svih trokuta u ravnini možemo definirati binarnu relaciju sličnosti "' među trokutima. Za dva trokuta kažemo da su (i pišemo MBC "' !::.DEF ) ako su im odgovarajući kutovi jednaki. Onda su i odgovarajuće stranice propor­ cionalne s istim faktorom proporcionalnosti.

X

slični

4.3. RAZREDI EKVIVALENCIJE, PARTICIJA SKUPA

65

X

2.

Na skupu svih trokuta u ravnini možemo definirati binarnu relaciju sukladnosti (kongruentnosti) � među trokutima. Za dva trokuta kažemo da su sukladna (kon­ gruentna) ako su im odgovarajuće stranice jednake duljine. Drugim riječima, dva su trokuta sukladna ako se jedan iz drugog može dobiti gibanjem (svako gibanje trokuta u ravnini može se može realizirati s pomoću njegove translacije, rotacije i simetrije u ravnini). bilo koja familija skupova (tj. skup čiji su elementi PRIMJER 3. Neka je skupovi). Podsjetimo se, za skup ka�emo da je ekvipotentan Uednakobrojan) sa ::::: B . skupom B ako postoji bijekcija J : -+ B . Tu relaciju označavamo sa ::::: Relacija ekvipotentnosti skupova je relacija ekvivalencije, vidi Teorem

X

A A

:A 1.3.2.

Čitatelja možda zbunjuje z�to u ovom primjeru nismo X definirali jednostavno kao skup svih sku­ pova. Razlog leži u poznatom paradoksu teorije skupova: pokazuje se da skup svih skupova ne postoji! Vidi završne primjedbe u Odjeljku 2.8 .

PRIMJER 4 . Spomenimo još dvije jednostavne, ali korisne relacije ekvivalencije iz matematičke analize. l . Neka je skup svih funkcija J : (- l , l ) -+ takvih da je J(x) i za x i i limx--..o J(x) = o . Za J, g E kažemo da je J(x) g(x) kad X -+ o ako je Korisno je znati da je relacija ekvivalencije na = l Relacija limx--..o vrijedi npr. X sinx tr - l ln(l + x) kad X -+ 0 . Isto tako X X + x3 , kad x -+ Za > s pozitivnim članovima, tj. Neka je skup svih redova l:� 1 L:� I ako dva reda iz kažemo da su ekvivalentna, i pišemo L:� l postoji = lirnn--.. oo � i i oo . Pokazuje se da vrijedi ovaj važan teorem o uspoređivanju redova: ako su dva reda iz X ekvivalentna. onda ili oba konvergi­ l:� 1 * . Kako drugi red divergira raju, ili oba divergiraju. Npr. l:� 1 n2: 1 (harmonijski red), onda divergira i prvi. PRIMJEDBA 2. Prirnijetimo da u relaciji ekvivalencije poredak elemenata nije važan: zbog simetričnosti je svejedno pišemo li x p y ili y p x . U literaturi je vrlo umjesto sa p , tako da možemo često običaj relaciju ekvivalencije označavati i sa pisati X y .

X

�

O. X

2.

l

rv

rv

.

rv

rv

X.

rv

rv

an

X

O,

O

R

X

On

l O,

rv

an O. bn '

rv

rv

rv

U ovom odjeljku ćemo pokazati sljedeću vrlo jednostavnu, ali iznimno važ�u činjenicu: svakoj relaciji ekvivalencije pripada točno određen rastav skupa na dts­ i obratno. Ti disjunktni podskupovi zovu se junktne podskupove (particija skupa razredi (klase) ekvivalencije. Razred (klasa) ekvivalen­ DEFINICIJA. Neka je p relacija ekvivalencije na cije [x] elementa x E je skup svih elemenata iz koji su u relaciji s x . Dakle [x] je podskup od definiran sa [xj = {y E : y p x}. Zbog x p x je uvijek x E [x] . Bilo koji element y iz [x] � ove se [x] .

X

X)

X

X

X

X

X.

reprezentant razreda

4. BINARNE RELACIJE

66

X.

EX

Teorem 1 . Neka je p relacija ekvivalencije na Onda za sve x, y vrijedi ili [x] = [y] ili [x] n [y] = 0 . Pritom je x p y onda i samo onda ako je [x] = [y] .

=

[yj . Ako DOKAZ. Pretpostavimo da je [xj n [yj =/= 0 . Trebamo dokazati da je [xj z [x] n [y] , onda je x p z i z p y . Zbog tranzitivnosti dobivamo daje postoji z x p y , tj. x E [y] . Prema tome je opet zbog tranzitivnosti [x] � [y] . Na isti način se Q.E.D. pokazuje i y [x] , tj. [y] � [x] . Dakle [x] = [y] .

E X, E E

X [xl

[y]

ox

oy

Sl. 4.2. Particija skupa određena relacijom ekivalencije.

PRIMJEDBA l . Svi elementi u istom razredu su međusobno "ravnopravni" s obzi­ rom na relaciju ekvivalencije. Drugim riječima, kada govorimo o razredu ekvivalencije [x] onda njegov element x nije ni na koji način "glavni" reprezentant razreda, nego samo jedan od ravnopravnih predstavnika u skupu [x] . ,

U sljedećoj definiciji pojavljuje se pojam familije, koji će kod nas biti ništa drugo nego sinonim za pojam skupa. Rabi se obično kada je riječ o skupu indeksa (familija indeksa) ili o nekom skupu čiji su elementi skupovi (familija skupova). Razlog za uvođenje ovog pojma je više jezične naravi: da se izbjegne nezgrapan izraz "skup skupova", radije se govori o "familiji skupova".

DEFINICIJA. Kažemo da familija podskupova {AdiEl od junktni rastav) skupa ako vrijedi

X

X

X čini particiju {dis-

(i) = UiEIA i , {ii) Ai n Aj = 0 za sve i, j i =l= j , tj. familija podskupovaje disjunktna. Ponekad ćemo i sam prikaz skupa UiEIAi kao disjunktne unije podskupova Ai zvati particijom od

E l,

X.

X=

X.

PRIMJEDBA 2. Neka je p relacija ekvivalencije na Teorem 2 kaže upravo to da je familija podskupova { [x]}xEX particija skupa Sljedeći stavak predstavlja obrat prethodnoga te�ma. On pokazuje da svaka particija skupa na prirodan način određuje relaciju �kvivalencije čiji razredi ekvi­ valencije se podudaraju s podskupovima iz particije.

X.

X

Teorem 2. Neka je {AdiEl particija skupa X. Definirajmo relaciju p na skupu X tako da je x p y onda i samo onda ako x i y pripadaju istom skupu iz particije, tj. postoji i E l tako da je x, y E Ai . Onda je p relacija ekvivalencije. Pripadni razredi

ekvivalencije podudaraju se sa skupovima Ai .

DoKAZ. Tvrdnja je očevidna.

67

4.3. RAZREDI EKVIVALENCIJE, PARTICIJA SKUPA

X

AI

AJ

Az ox

o

y

Sl. 4.3. Relacija ekvivalencije određena particijom: xpy . DEFINICIJA. Ako je p relacija ekvivalencije na skupu X , onda skup svih pri­ padnih razreda ekvivalencije zovemo kvocjentni skup od X s obzirom na relaciju p i označavamo sa X/p : Xjp = { [x] }xEX Prema prethodnom teorem vidimo da je kvocjentni skup zapravo isto što i particija skupa X s obzirom na relaciju ekvivalencije p . Početniku je pri prvom susretu vjerojatno teško naviknuti se da razred ekvivalencije [x) , koji je podskup u X gleda kao jedan jedini element kvocjentnog skupa Elementi u X se zapravo "gru­ piraju" u disjunktne skupine (razrede) prema nekom zajedničkom svojstvu. U istom razredu nalaze se samo međusobno "srodni" (ekvivalentni) elemenati. Npr. ako je X skup učenika neke škole i p relacija "pohađati isti razred", onda je Xjp skup svih razreda u školi. Razred ekvivalencije [x) jednak je razredu u kojem je učenik x . ,

PRIMJER l . Neka je X skup svih ljudi na kugli zemaljskoj. Za dva čovjeka x i reći ćemo da su u relaciji p ako su državljani iste države (pretpostavljamo da nitko nema dvojno državljanstvo, te da se granice ne mijenjaju s vremenom 1 . Razred [x] je skup svih državljana one države kojoj pripada osoba x . Kvocjentni skup Xfp može se poistovjetiti sa skupom svih država u svijetu (svakom razredu [x] pridružimo onu državu čiji je x državljan; pridruživanje je očevidno bijektivno) : X/p � D .

y

)

D

PRIMJER 2 . Kvocjentni skup doista može biti i beskonačan. Uzmimo X = e i definirajmo relaciju p ovako: z1 p z2 ako je Re z1 = Re z2 . Lako se vidi da je to re­ lacija ekvivalencije, a kvocjentni !'kup Cjp jednak je familiji pravaca u kompleksnoj ravnini, koje su paralelne s imaginarnom osi.

PRIMJER 3. Promatrajmo sada iznimno važnu relaciju kongruencije = modulo

n na skupu z i odredimo kvocjentni skup z;= . Da bi odredili razred ekvivalencije [x] , podijelimo x sa n . Neka je kvocijent pri dijeljenju jednak q, a ostatak j�ak r : x = qn + r . Znamo da je ostatak r sadržan u skupu {O, l , . . . , n l } . .l(ako Je x = r (mod n) , onda je [x] = [r] . Prema tome je Z = [O] [1] . . . U [n - 1 ] . Ova unija j e disjunktna, jer niti koja dva različita ostatka iz skupa {O, l , . . . , n l } nisu kongruentna modulo n (razlika im je manja od n po apsolutnoj vrijednosti, pa nije djeljiva sa n). Prema tome vrijedi ovaj jednostavan, ali važan rezultat: -

U

U

-

l Kada je u jednoj anketi znameniti matematičar Steinhaus iz Lavova (1887-1972, Lviv, Ukrajina) bio upitan koliko puta je putovao preko granice, odgovorio je: "Niti jednom. Ali je granica mene prešla tri puta!"

68

4. BINARNE RELACIJE

=

Propozicija 3. Kvocjentni skup na skupu cijelih brojeva po relaciji kongruencije modulo n jednak je sljedećem n -članom skupu: =

{ [0], [1], . . . , [n - l] } Taj skup zove se kvocjentni skup ostataka modulo n , ili skup razreda ostataka pri dijeljenju sa n . Razredi ekvivalencije izgledaju ovako: [O] = { qn : q E Z} [l] = { qn + l : q E Z}

z;=

[n - l] = {qn + (n - l ) : q E Z} . Razred [r] , gdje j e r E {0, l, . . . , n - l } , sadrži skup svih onih prirodnih brojeva koji dijeljenjem sa n daju ostatak jednak r , tj. brojeve oblika qn + r , q E Z . Korisno je definirati skup nZ svih cjelobrojnih višekratnika broja n sa nZ = {kn : k E Z} . Onda particiju (rastav) skupa cijelih brojeva u Propoziciji 3 možemo pisati i ovako: Z = nZ U { nZ + l } U . . . U { nZ + (n - l ) }. Primijetimo da su dva broja x, y E Z u relaciji, tj. [x] = [y] , onda i samo onda ako je x - y E nZ . Npr. budući da je ( - l ) - (n - l) = -n nZ , onda je [- l] = [n - l] , i slično [-2] = [n - 2] itd. Za n = 2 imamo Zf:::: = { [OJ, [l] } , dotično Z = [O]U[l] , pri čemu je [OJ = { . . . -l, l, -2, O, 2, . . } skup svih parnih cijelih brojeva, a [l] = { . . . . . } skup svih neparnih. Ovdje je npr. [- l] = [l] .

E

-4, 5,

4,

.

.

, 3,

, -3,

Neke relacije ekvivalencije poznajemo iz osnovne i srednje škole (provjerite) : (a) p = "biti paralelan sa", na skupu X svih pravaca u ravnini. Ako je p neki pravac, onda je [p] familija (snop) svih pravaca paralelnih sa p . Skup svih takvih snopova međusobno paralelenih pravaca [p] čini kvocjentni skup X/p . (b) p = "biti koncentričan sa" - na skupu svih kružnica u zadanoj ravnini R2 Ako je k neka kružnica, onda je [k] skup kružnica u ravnini koje su s njom koncentrič­ ne. Kvocjentni skup Xfp ima za elemente upravo takve familije koncentričnih kružnica. Relacija "biti okomit na" definirana na skupu svih pravaca u ravnini (ili prostoru) nije refleksivna, simetrična je, i nije tranzitivna. PRIMJEDBA l . Neobično je važno pitanje može li Iii: kvocjentni skup na ne­ ki način jednostavnije opisati, tako da se njegovi elemen�ijektivno poistovjete s elementima nekog drugog, jednostavnijeg skupa. Ovo bijektivno poistovjećivanje (relaciju ekvipotentnosti) među skupovima označavamo sa :::: . llustrirajmo to na pret­ hodnom primjeru (vidi također i gornji primjer s državama): (a' ) Neka je u ravnini R2 zadan koordinatni sustav. Svakoj familiji [p] paralelnih pravaca možemo pridružiti kut kojega pravac p (ili bilo koji drugi reprezentant •

69

4.4. Još NEKI PRIMJERI

dotičnog razreda) zatvara s pozitivnim smjerom x -osi. Moguće vrijednosti toga kuta su iz intervala [0, i pridruživanje je očevidno bijektivno: svakom razredu pripada jednoznačno određen kut i svakom kutu pripada jednoznačno određen razred paralelnih pravaca. Tom bijekcijom možemo poistovjetiti kvocjentni skup Dakle Xfp -:::: [0, ) Xfp s intervalom [0, (b' ) Bilo koja familija koncentričnih kružnica [k] u skupu X svih kružnica u ravnini je jednoznačno određena svojim zajedničkim središtem. Jasno je da svakoj točki u ravnini odgovara točno jedna familija koncentričnih kružnica i obratno. Prema tome postoji bijekcija sa skupa Xfp na ravninu Svaku familiju koncent­ ričnih kružnica [k] možemo poistovjetiti sa zajedničkim središtem u ravnini koje dotičnu familiju određuje. Dakle Xfp -::::

n) ,

n) .

n.

R2 .

R2 .

Neke važne primjere identifikacije kvocjentnih skupova vidjet ćemo kasnije u teoriji grupa.

PRIMJER l . Kvocjentni skup Zf=. = { [Oj, [lj, . . . , [n - l] } , gdje je =. kongru­ encija modulo među cijelim brojevima, može se očevidno poistovjetiti s -članim skupom {0, l, . . . - l } sljedećom bijekcijom: [O] t-t O , [lj t-t l , itd. Dakle: z;= -:::: {0, . . .

n

n

,n

l, , n - l}. PRIMJER 2. Na skupu realnih brojeva R promatrajino relaciju ,...., definiranu sa x ,...., y ako je x - y E Z . Razredi ekvivalencije su [x] = x + Z . Kvocjentni skup se može poistovjetiti sa jedini čnom kružnicom S1 = {z E e Izl = l} u kompleksnoj ravnini: svakom [x] E Rj,...., pridružimo kompleksni broj e2nxi . Pridru­ živanje tp Rf,...., S1 , tp([x] ) = e2nxi je dobro definirano: ako je [x] = [y] onda k E Z , tj. e2nxi = e21rYie2kni = e21fYi , dakle tp( [x] ) = tp([y] ) . Slično je x - y i , dotično ez.rry se dokazuje injektivnost: ako je tp([x] ) tp([y] ) onda je e2nxi e2n(x-y)i l , dakle x - y E Z , ili [x] = [y] . Sutjektivnosrje očevidna. PRIMJER 3. Označimo sa X skup svih usmjerenih dužina AR u tj. skup svih :

:

=

--+

=

=

=

R3 ,

poredanih dvojaca točaka A i B u prostoru. Točku A zovemo početak, a B dočetak

ili kraj usmjerene dužine. Definirajmo relaciju ,...., na X ovako: AB cD onda i samo onda ako se polovište dužine AD podudara s polovištem dužine BC (ako točke A, B, C, D ne leže na istom pravcu, onda je to i:sto Sto i reći da je Cetverokut AIJDC paralelogram). Vrlo lako se vidi da je relacija ekvivalencije medu usmjerenim dužinama (provjerite). Razredi ekvivalencije [AR] zovu se vektori, tj. Xf,.... je skup rv

rv

vektora. Vektor [AA ] (početak i dočetak su isti za svaki reprezentant razreda) zove se ---t Običaj je razred [ AB ] označiti samo s pomoću nekog svog reprezentanta, npr. upravo sa AR . Činjenicu da je AB cD pišemo obično kao AB = cD , iako

nul-vektor.

rv

---t

to nije sasvim ispravno (bilo bi bolje [ AB]

=

--t

[ CD ] ).

PRIMJEDBA 2. U razredu [AR] usmjerenih dužina ekvivalentnih sa AB postoji i reprezentant OO s početkom u ishodištu O u (vektor OO zove se točke D s obzirom na ishodište O ). Lako se vidi da je tako definirano pridruživanje

R3

radij-vektor

4. BINARNE RELACIJE

70

[ABJ

�---+ D bijekcija iz kvocjentnog skupa

Xf p

na skup točaka iz

R3 .

Prema tome

skup vektora može se poistovjetiti sa skupom točaka u prostoru (odnosno sa skupom radij-vektora točaka), tj .

� RJ . p -

x1 Primijetite usput da je početni prostor

3

3

X

svih usmjerenih dužina zapravo šesterodi­

menzionalan: X = R x R = R6 (skup poredanih dvojaca točaka u prostoru), a kvocjentni skup, tj. prostor vektora - trodimenzionalan.

" PRIMJER 4. U kolegiju Linearna algebra upoznali smo relaciju sličnosti matrica na skupu M11 svih kvadratnih matrica reda s realnim (ili kompleksnim) koeficijen­ tima (vidi [Elezović] ) . Za dvije matrice A i B kažemo da su slične, i pišemo A "" B , ako postoji regularna (invertibilna) matrica T (tzv. matrica sličnosti između A i B )

n

·

takva da vrijedi

B = r- IAT .

Relacija sličnosti matrica je relacija ekvivalencije:

(i) refleksivnost: A "" A vrijedi uz T = I Uedinična matrica), jer je A =

r 1 AI ;

A "" B , tj. B = r- 1A T , onda je TB = AT, dakle A = TBT- 1 = (T-1 ) - I Br- I , pa je B "' A s matricom sličnosti r- I ; (iii) tranzitivnost: ako je A "" B i B "" e s matricama sličnosti S i T respektivno, onda je e = r- 1 BT = r- I (s- IAS)T = (ST) -1A(ST) . Dakle A "' e s matri­ com sličnosti ST . Jedan je od osnovnih zadataka Linearne algebre da opiše kvocjentni skup Mn ( R )j"" (ii) simetričnost:

ako je

n

ili . Mn ( C )j"" , gdje je M11 skup (vektorski prostor) svih kvadratnih matrica reda s koeficijentima iz R ili C . Točnije, cilj je da se pronađe reprezentant u razredu [AJ kojeg je moguće što je lakše opisati. Pokazuje se da kada dopuštamo kompleksne koeficijente, onda u svakom razredu ekvivalencije postoji matrica kao njegov reprezentant, tj . svaka je matrica slična nekoj gornjoj trokutastoj matrici s kompleksnim koeficijentima (Vidi [Elezović, Teorem Vrijedi i mnogo više - svaka je matrica slična svojoj Jordanovoj formi, koja ima elemente eventualno ra­ zličite od nule samo na glavnoj i sporednoj dijagonali. Slučaj kada dopuštamo samo realne koeficijente je složeniji. O Jordanovoj formi i problemima dijagonalizacije vidi opsežno djelo prof. dr. Svetozara Kurepe "Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene", Školska knjiga, Zagreb,

gornja trokutasta 9.3]).

1967.

PRIMJER 5 . Relacija logičke ekvivalencije = je �evidno relacija ekvivalencije na skupu X svih sudova (primijetimo da je X doista Jolem, beskonačan skup, koji sadrži praktički cijelu matematiku) : za sve sudove A , B , e vrijedi: (i) A = A (ref­ leksivnost relacije = ), (ii) ako je A = B , onda je B = A (simetričnost), (iii) ako je A := B i B =: e onda je A := e (tranzitivnost). Postavlja se pitanje što je kvocjentni

E

Xf:= ? Kako je svaki sud isitinit ili lažan, onda za svaki sud A X vrijedi ili T ili A = .1. , tj . ili [AJ = [TJ ili [AJ = [..LJ . Prema tome kvocjentni skup je dvočlan: Xj= = { [T], [.l.] } . On se dakako može poistovjetiti s najmanjom Booleo­ vom algebrom {T, .1. } : x;= � {T, .1. } . skup =

A

Prethodnih nekoliko primjera poistovjećivanja kvocjentnih skupova s jednostav­ nijima vodi na ovakvu definiciju.

4.5. RELACIJA PORETKA

71

p f : /p / [x] f(x) smislena? Ne uvijek. Naime ako x i y pripadaju istom razredu ekvivalencije onda je [x] = [y] , pa po definiciji od J mora biti f(x) = J([x]) = J([y]) = f(y) . Ovo daje i odgovor na naše pitanje: Da bi funkcija J bila dobro definirana mora biti f(x) = f(y) čimje xpy. Drugim riječima, funkcija f mora na svakom razredu ekvivalencije [x] � X biti kons­ tantna. Ako je taj uvjet ispunjen, onda kažemo da je funkcija J, J([x]) = f(x) dobro definirana. Definicija od J ne ovisi o izboru reprezentanta iz razreda ekvivalencije [x] . Za ilustraciju vidi Primjer 2 gore.

DEFINICIJA. Neka je relacija ekvivalencije na skupu X i H bilo koji skup. Ako je : X -+ H neka funkcija, postavlja se pitanje je li nova funkcija A X -+ H, A ( ) =

f

Ovakva se situacija vrlo često susreće kod raznih struktura: grupa, prstena, polja, vektorskih prostora itd. U poglavlju o grupama imat ćemo nekoliko važnih primjera.

Druga vrlo važna relacija na skupu X je relacija poretka.

p

DEFINICIJA. Binama relacija � X x X zove se relacija parcijalnog poretka ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna, tj. X, za sve (a) (b) iz i , slijedi z. z slijedi i ( e) iz Tu relaciju često označavamo sa � , i kažemo daje (X, �) parcijalno poredan skup.

xE xpx x py y px xp y y p

x=y xp

PRIMJER l . Relacija < je relacija parcijalnog (djelomičnog)

oretka na skupu

p R (kao i na bilo kojem njegovom podskupu). Njoj odgovara poluravnina u određena nejednakošću x � y .

R x R,

R

Sl. 4.4. Relacija poretka �

u

R.

Iako se relacija ekvivalencije i relacija poretka razlikuju samo u jednom od tri definicijska svojstava, razlika među njima je golema. To se vidi i po tome što je jedina na X koja je istodobno relacija ekvivalencije i relacija poretka zapravo relacija

p

4. BINARNE RELACIJE

72

X.

relacija jednakosti = na Relacija jednakosti na istodobno simetrična i antisimetrična (provjerite).

X je naime jedina relacija koja je

R

R

Sl.

4.5. Relacija jednalwsti u

R.

PRIMJER 2. Drugi važan primjer relacije parcijalnog poretka jest relacija � (in­ kluzija) na partitivnom skupu = 2x . Drugim riječima, A p B ako je A � B . Iz ovog primjera vidljivo je zašto se govori o "djelomičnom" (parcijalnom) poretku. Može se naime dogoditi da su neka dva elementa A i B iz 2x neusporediva, tj. uopće nisu u relaciji (dovoljno je uzeti dva neprazna i disjunktna podskupa A i B od Još jedan primjer parcijalno poredanog skupa je skup svih funkcija J : R - R . Za J, g E kažemo daje J � g akoje J(x) � g(x) za sve x E R . Funkcije J(x) = O i g(x) = x su neusporedive.

P(X)

X ).

X

X

(X,

Ako u parcijalno poredanom skupu � ) za neka dva elementa vrijedi x � y i x 'l y , onda to kraće zapisujemo sa x < y . Primijetimo da relacija < nije relacija parcijalnog poretka jer nije refleksivna, mada jest antisimetrična (Qrovjerite !) (tranzi­ tivna. Slova hrvatske latinične abecede čine skup =:_ { A, B, e, C, Ć, D, . . . , Z} koji je poredan na prirodan način: A < B < e < . . . < Z. Uvedimo j oš nekoliko važnih definicija vezanih uz parcijalno poredane skupove.

X

(X,

S X. S

DEFINICIJA. Neka je � ) parcijalno poredan skup i � Kažemo da je element x E dolnja međa skupa ako je x � s za sve s E (primijetite da dolnja međa ne mora biti u Za skup kažemo da je odozdol omeđen ako skup ima bar jednu dolnju među u

X

S).

X.

S S

X S, X S S najveća

S

S,

DEFINICIJA. Element x E (ako postoji) zovemo infimumom skupa i oz­ načavamo sa inf ako vrijedi: (a) x = inf je dolnja međa od (b) za svaku dolnju među y E skupa vrijedi y � inf Drugim riječima, inf je dolnja međa skupa u PRIMJEDBA l . lnfimum skupa je jednoznačno određen. Ako je naime XJ = inf i x2 = inf onda su zbog (a) oba dolnje međe, pa zbog (b) mora biti x1 � xz i x2 � x 1 . Dakle x 1 = x2 . Ako je skup takav da je njegov infimum sadržan upravo u skupu onda se inf zove minimum skupa i označava sa min Npr. za X = R i = l ) je inf = O . Minimum skupa ne postoji. Skup sl = l ) posjeduje minimum, i jednak je o Na sličan način se definiraju gornja međa skupa supremum sup i max

S

S,

S. S X.

S

S,

S

S

[0,

S S (0,

S,

S.

S

o

S

S,

S

S.

DEFINICIJA. Za parcijalno poredan skup (X, �) kažemo da je totalno (ili line­ amo) poredan ako za svaki x, y E vrijedi x � y ili y � x , tj. svaka dva elementa su usporediva. U uporabi je još jedan sugestivan naziv: � je lanac.

X

4.5. RELACIJA PORETKA

73

(X, �) takav da svaki njegov neprazni da je dobro pm-edan skup. (N, �) je dobro poredan, dok skupovi (Z, �) , (Q, �) ,

DEFINICIJA. Ako je totalno poredan skup podskup ima minimalni element, onda kažemo PRIMJER 3. Skup

�) nisu (npr. nemaju minimalni element). PRIMJER 4. Partitivni skup zX , gdje X ima barem dva elementa, nije totalno poredan (lanac), jer disjunktni podskupovi nisu usporedivi. Za A, B E zx je očevidno (R,

inf{A, B} = A n B , sup{A, B} = A U B .

N

PRIMJER 5 . Relacija djeljivosti l na skupu prirodnih brojeva je relacija par­ cijalnog poretka l znači da dijeli refleksivna je, antisimetrična i tranzitivna. Za dokaz vidi Propoziciju 3 . 1 . 1 .

(a b

a

b):

(Xt, �) (Xz, �) . (X xXz, �) (at. az) � (bt , hz) a1 � bt Xt az � bz

DEFINICIJA. Neka s u zadana dva parcijalno poredana skupa i Kartezijev produkt parcijalno poredanih sk�pova definira se kao skup 1 . Pritom za elemente kažemo daje ako je nejednakost ispunjena po komponentama, dotično u skupu i u skupu Slično i za Kartezijev produkt većeg broja parcijalno poredanih skupova.

(a1, az), (b1, hz) E Xt x Xz

Xz .

T x, y) u ravnini R x R koje su � (0, O) jednak

PRIMJER 6 . Skup svih točaka ( je prvom kvadrantu: � O i � O .

x

y

(X1, �) (Xz, �) , X1 x Xz (at, az) ,

DEFINICIJA. Neka su zadani parcijalno poredani skupovi i svaki sa svojom relacijom poretka. Onda na Kartezijevu produktu defini­ ramo drugu relaciju poretka, tzv. relaciju leksikografskoga poretka. Za kažemo daje akoje ispunjenjedan od sljedeća dva uvjeta: l) t i bilo kakvi), i Lako je vidjeti da je to doista relacija poretka. Leksikografski poredak može Kažemo da je se slično definirati i na Kartezijevu produktu

(bt , bz) E Xt x Xz at < b (az hz 2) a1 = b t az � hz .

(a., az) � (bt , bz)

X1 x Xz x . . . x Xn . (ai , az, . . . , an) � (bt , bz, . . . , bn) ako je ispunjen neki od sljedećih uvjeta: l ) a 1 < bt (az, . . . , a11 i bz, . . . , bn bilo kakvi), 2) a 1 = b1 i az < hz (a3, . . . , an i b3, . . . , bn bilo kakvi), 3) a1 = b t , az = hz , a3 < b3 , n) a 1 = bt , az = hz, . . . , an - I = bn - I , an � bn . PRIMJER 7. a) Neka je X1 = Xz = N. Onda je ( l , 5) < (3, 2) < (3, 5) . b) Neka je X skup svih velikih slova hrvatske abecede, poredan u uobičajenom poretku. Označimo sa x5 = X x X x X x X x X skup svih "riječi" od pet slova. Onda je npr. TRAVA < VA11M , VLADO < VLAST, BHKSM < BHPAA . Leksikografski poredak riječi znači upravo to da će u leksikonu (ili rječniku) riječ VATRA E X5 doći poslije TRAVA E x5 Leksikografski poredak riječi je uobičajen u encikl�pedijama, kazalima (indeksima) knjiga kao što je ova, te u svakom popisu imena, naztva. e ) Neka je skup svih točaka T(x, y) u ravnini Rz snabdjeven leksik�grafskim poretkom. Uvjerite se da je skup svih točaka koje su � (0, O) jednak desnoJ polurav­ nini x � O , bez negativnog dijela y osi. n

•

4. BINARNE RELACIJE

74

Neka je X konačan skup i � relacija parcijalnog poretka na X . Relaciju poretka možemo grafički predočiti u ravnini s pomoću tzv. Hasseova dijagrama na sljedeći način. Prikažemo sve elemente X kao točke u ravnini. Neka je < , i to tako da između i ne postoji niti jedan X , tj. iz � � slijedi = ili = U tom slučaju kažemo da element element Iz točke povlačimo spojnicu do svake točke koja pokriva Točke crtamo vodoravne razine točke u ravnini. Sa Hasseovim dijagramom konačnog skupa je pripadna relacija poretka potpuno određena. Ako za bilo koje točke X vrijedi < onda na Hasseovom dijagramu to znači da je točka iznad razine točke , i od do dolazi se nekom linijom (koja-spaja točke između i Hasseovim dijagramom mogu se i zadavati parcijalno poredani skupovi. PRIMJER l . U ovom primjeru je X podskup skupa prirodnih brojeva, a relaci­ ja poretka � je "biti djelitelj od", tj. x � znači a) X = { 1, 2, 4, 8} ; b) X = {2, 3 , 5, 10, 12, 24} ; e ) X = { 1 , 2, 3, 5, 1 0, 15, 30} (skup svih osam djelite­ lja broja 30 ).

iznad a b, a b

x y x

xE zE y pokriva

x

8

uzlaznom

y

b)

4

x.

6,

e)

30

6 12

2 2 l 2

3

Sl.

5

y

xly:

24

JO

z x z y.

a, b E a a b).

b

7,

a)

x y

x z y x. y

•

7

/ � xx �/ JO

15

3

5

l

4.6. Hasseovi dijagrami.

U primjeru b) vidimo da je sup{2, 3} = 1 2 , inf{ 1 0, 12} = 2 . Skup X nema niti mi­ nimum niti maksimum. Vrijednosti inf{2, 3} i sup{ lO, 12} ne postoje. U primjerima a) i e ) postoje minimum i maksimum skupa X .

PRIMJER 2 . Pogledajmo Hasseov dijagram partitivnog skupa 2 {a,b,c} (partitivni skup tročlanog skupa), poredanog inkluzijom � .

75

4.6. HASSEOV DIJAGRAM RELACIJE PORETKA

{a,b,c}

/ �

{a,b}

{a,c}

{b,c}

{aj

{b}

(e}

xx

Sl.

�/ ,

4. 7. Hasseov dijagram.

Vidimo da su Hasseovi dijagrami za skup djelitelja broja 30 i partitivni skup tročlanog skupa zapravo "isti". To motivira sljedeću definiciju. DEFINICIJA. Za parcijalno poredan skup (X, �) kažemo da je izomorfan parci­ jalno poredanom skupu (Y, �) ako postoji bijekcija J : X -+ Y koja čuva poredak, dotično vrijedi:

(Vx, y E X ) ( x � y

{=:::}

J(x) � J(y) ).

Izomorfne parcijalno poredane skupove poistovjećujemo. To znači da nam u nekom parcijalno poredanom skupu nisu od važnosti nazivi njegovih elemenata, nego njihovi međuodnosi. a) Neka je X skup svih osam djelitelja od 30 , parcijalno poredan relacijom djelji­ vosti. Neka je Y = 2{a, b, c} , tj. skup svih osam podskupova tročlanog skupa {a, b, e} , parcijalno poredan inkluzijom � . Onda je funkcija J : X -+ Y zadana sa

J(2) = {a},

/(6) � {a, b},

J( 1 ) = 0, J(3) = { b},

/(1 0 ) � {a, e},

J(5) = { e},

f( 1 5) � {b, e} ,

J(30) = {a, b, e } izomorfizam parcijalno poredanih skupova X i Y . Vidi odgovarajuće Hasseove dija­

grame u prethodna dva primjera. b) Parcijalno poredan skup (Z, �) (koji je zapravo dobro poredan) je izomorfan skupu ( 2Z, �) . Traženi izomorfizam J : Z -+ 2Z je J( x) = 2x . Ako je x � y , onda je 2x � 2y i obratno. Parcijalno poredan skup (Z, �) nije izomorfan sa (Q, �) . Iako postoji bijekcija sa Z na Q (oba su prebrojiva, vidi Teorem 1.4.2), ona nikada ne čuva poredak. PRIMJER 3. Kartezijev produkt dobro poredanih skupova ne mora biti dobro poredan. Npr. neka je X = {0, 1 } , O < l , i Y = {d, g} , d < i Elementi (O, ( 1 , d) nisu usporedivi u X x Y .

g.

g)

76

o Sl.

[J

g

l

d X

4.8.

y

(l,d

(O, d)

4. BINARNE RELACIJE

( l g) ,

(O, g) XX Y

Karrezijev produkt parcijalno poredanih

skupova.

Ako Kartezijev produkt u ovom primjeru poredamo leksikografski, onda će rezul­ tirajući Hasseov dijagrambiti izomorfan onome iz Primjera l.a). I općenito, Kartezijev produkt bilo koja dva dobro poredana skupa, snabdjeven leksikografskim poretkom, je dobro poredan.

PRIMJER 4. Kartezijevim produktom skupova X = {0, l} i Y = {d, g, l, r} , zadanih Hasseovim dijagramima na slici, dobivamo parcijalno poredan skup koji je očevidno izomorfan skupu djelitelja broja 30 . ( l,g)

l

o

d

X

Sl.

y

(l ,l)

(l r) ,

(O, l)

(O,r) (O,d)

XXY

4. 9. Kartezijev produkt parcijalno poredanih skupova.

Vrijedi primijetiti da je parcijalno poredan skup Y zapravo izomorfan sa X x X (vidi prethodni primjer). Prema tome je parcijalno poredan skup djelitelja broja 30 izomorfan sa X3 = X x X x X . To objašnjava zašto je struktura Hasseova dijagrama oblika 'kocke'.

U neke parcijalno poredane skupove možemo na prirodan način uvesti binarne operacije zbrajanja i množenja koje su lijepo usklađene s relacijom poretka.

DEFINICIJA. Parcijalno poredan skup (X, �) zove se mreža 1 ako za svaki par elemenata a, b X postoji sup{a, b} i inf{a, b} . Na taj način možemo uvesti dvije

E

rektka, Nesumnjivo prildadnijem nazivu 'mreža' priklonili smo se slijedeći Danila Blan�u 1 Engl. lattice ("Vi�a matematika" ). -

77

4.7. MREžE

binarne operacije u parcijalno poredani skup X : sup{

a + b = a, b}, ab = inf{a, b}.

PRIMJER l . Primjeri mreža su partitivni skup

(2x , �) (pripadna operacija zbra­

janja u mreži je unija, a operacija produktaje presjek), skup cijelih brojeva Z {zbrajanje i množenje dvaju elemenata su minimum i maksimum). Zbog ovog zadnjeg primjera, i sličnih, često se zbrajanje i množenje u mreži označavaju sa V i pa i sa U i n . Parcijalno poredan skup zadan slikom 4.6.{b) nije mreža.

1\ ,

U mreži svaki dvočlani podskup irna infimum (supremum), dakle i svaki konačni skup. Medutim može se dogoditi da neki beskonačan podskup mreže nema infimum ili supremum. Takav je slučaj kod {Z, �) skup Z nema niti infimum niti supremum, a njegov podskup N ima samo infimum.

DEFINICIJA. Parcijalno poredan skup {X, � ) je potpuna mreža ako svaki nje­ gov podskup {konačan ili beskonačan) posjeduje infimum i supremum. Svaka potpuna mreža onda irna element inf X koji se zove nula i sup X koji se zove jedinica.

30,l

PRIMJER 2 . Skup N prirodnih brojeva irna nulu u mreži jednaku , dok jedi­ nice nema. Mreža svih djelitelja od s relacijom 2, 6, je potpuna mreža u kojoj je nula djeljivosti kao relacijom poretka � ako je mreže jednaka l , a jedinica mreže je 30 . Ako je X neka mreža, onda operacije i definirane na X imaju neka od poznatih vlastitosti, koje se lako dokazuju.

D30 = { l, (a3, 5, b 10, 15_, a30}l b ), + · ·

na potpunoj mreži {X, �) vrijede ova svojstva: a + b = b + a , ab = (komutativnost); b)e) a((aa++b)b)+=e a,= aa ++ (b+ e),a (apsorptivnost (ab)c = a(bc)ili(asocijativnost); ab = svojstvo upijanja); d) a + a = a, aa = a (idempotentnost); e) a + O = a, a · l = a. Teorem 1 . Za operacije + i

a)

ba

Dokaz ove tvrdnje je vrlo jednostavan. A što je sa distributivnošću zbrajanja prema množenju u mreži? Ona općenito ne vrijedi ! PRIMJER 3 . Promotrimo parcijalno poredani skup X

svojim Hasseovim dij agrarnom na

slici.

= {0, l, a, b, e, d} zadan

o

Sl. 4.10. Mreža fwja nije distributivna Ta mreža nije distributivna:

a(b+ e) = a · l = a, ab + ac = O+ O = O.

PRIMJEDBA l. Nedistributivne mreže se pojavljuju u teoriji grupa (definiciju grupe vidi u Poglavlju 9). Skup X je skup svih podgrupa neke grupe G, a relacija poretka je relacija :::;; (''biti podgrupa") među podgrupama Nedistributivnu mrežu dobivamo npr. za grupu permutacija G = S3

4. BINARNE RELACIJE

78

koja ima 6 elemenata (vidi Odjeljak 9.9). Ta grupa ima šest podgrupa koje možemo zapisati s pomoću ciklusa : ((l ) ) , A = ((l, 2) ) , B = (( 1 , 3 )) , C ((2, 3 ) ) , D (( 1 , 2, 3)) , S3 . Pripadna mreža je iwmorfna onoj na gornjoj slici. =

=

DEFINICIJA. Za potpunu mrežu (X, �) kažemo da je distributivna mreža ako u njoj vrijede zakoni distribucije:

a(b + e) = ab + ac, a + bc = (a + b)(a + e). PRIMJER 4 . Promotrimo skup D 12 svih djelitelja broja 12 : D 12 = {l, 2, 3 , 4, 6, 12} poredan relacijom djeljivosti, tj. a � b znači da a J b. Pripadni Hasseov dijagram je na slici.

12

1 \6

4

1 / 31

2

\l J

12

Sl. 4. 11. Distributivna mrežn D . je distributivna mreža. Njegova nula je broj , a jedinica je broj 12 . Skup Neka su i · operacije supremuma i infimuma respektivno. Onda je npr. 12 2 Na sličan način je i · 3 3) , provjerite. Mreža D30 je također distributivna. Ona je naime izomorfna s partitivnim skupom 2{a,b,c} snabdjevenim s relacijom podskupa � kao relacijom poretka, koji je očevidno distributivna mreža. Slično je i za bilo koji prirodan broj skup svih djelitelja od distributivna mreža s obzirom na relaciju djeljivosti kao relaciju poretka.

D + 12

l 6(4 + 3) = 6 . = 6, 6 . 4 + 6 . 3 = + 3 = 6. 6 + 4 = (6 + 4)(6 +

n

Dn

n

Potpuna, distributivna mreža (X, �) je struktura na kojoj se na prirodan način definiraju binarne operacije · , i koja je po svojim vlastitostima bliska Booleovoj algebri. Nedostaje još samo operacija komplementiranja.

+,

DEFINICIJA. Za element a u potpunoj mreži (X, �) kažemo da je komplement elementa ako je i ·a Ako svaki element ima komplement, onda a mrežu X zovemo komplementiranom mrežom.

a + = l a = O. PRIMJER 5 . Mreža D 12 nije komplementirana, npr. a = 2 nema komplement. Nije teško vidjeti da ako je distributivna mreža komplementirana, onda je komple­ mentiranje određeno na jednoznačan način. Doista, ako elementu a odgovaraju dva komplementa a' i a" onda je O = aa' = aa" , l = a + a' = a + a" . Prema tome je a' = a' + O = a' + aa" = (a' + a)(a' + a") = l(a' + a") = a' + a" . Na isti način je a" = a" + 0 = a" + aa' = (a" + a)(a" + a') = l(a" + a') = a" + a' , dakle a' = a" . Distributivna i komplementirana potpuna mreža (X, �) je očevidno Booleova algebra (vidi njenu opću definiciju): (X, +, ·, -, O, l) . U sljedećem odjeljku vidjet ćemo da vrijedi i obratno: svaka Booleova algebra (B, +, ) na prirodan način definira odgovarajuću distributivnu mrežu (B, �) . a

,

·,

-

4.8. SKUPOVNI PRIKAZ KONAČNIH BOOLEOVIH ALGEBARA

79

Da bismo lakše dokazali teorem o skupovnom prikazu konačnih Booleovih alge­ bara, trebat će nam nekoliko novih pojmova. DEFINICIJA. Neka je (B , + , · , -) Booleova algebra. Za a, b E B kažemo da je a � b ako je ab = a . PRIMJER l . Ako je B = 2x algebra svih podskupova zadanog skupa onda za e, D E 2x relacija e � D , tj. e n D = e , znači upravo to da je e � D .

X,

Propozicija 1 . Neka su a, b, e, d bilo koji elementi Booleove algebre B . Rela� na B ima sljedeće vlastitosti. Relacija � na B je relacija parcijalnog poretka. a � b onda i samo onda akoje a + b = b . ako je a � b i e � d , ondaje ac � bd . ab = inf{ a, b} , a + b = sup{a, b} . a � b onda i samo onda akoje b � a . DOKAZ. (i) Refleksivnost relacije � je jasna: aa = a , tj. a � a . Antisimetričnost: a � b i b � a znači ab = a i ba = b , pa zbog komutativnosti množenja slijedi a = b . Tranzitivnost: ako j e a � b i b � tj. ab = a i bc = b , onda je ac = (ab)c = a(bc) = ab = a , dakle a � e . (ii) Ako je a � b tj. ab = a , onda je a + b = ab + b = b po pravilu upijanja (vidi Propoziciju 2.4. 1). Obratno, iz a + b = b slijedi ab = a(a + b) = a , opet po pravilu apsorpcije. onda je (ac)(bd) = (iii) Ako je a � b i e � d , dotično ab = a i cd = (ab)(cd) = ac , ac � bd . (iv) Dokažimo prvu jednakost. Najprije, element ab je dolnja međa od a i b . Npr. ab � a jer je (ab)a = aab = ab , i slično ab � b . Dokažimo da je ab najveća dolnja međa, tj. infimum od {a, b} . Ako je ai b , onda je zbog (iii) e � ah , pa po definiciji infimurna slijedi ab = inf{a, b} . Slično se dokazuje i druga jednakost. (v) Iz a � b , tj. ab = a , slijedi ab = a , tj. a + b = a . Tvrdnja slijedi iz (ii): Q.E.D. b � a. Obratno, iz b � a iz netom dokazanog slijedi a = a � b = b .

cija (i) (ii) (iii) (iv) (v)

e,

e,

e� e�

P RIMJER 2 .

Vrlo l�ko je dokazati da iz

a

� b i

"

� d "lije (veće od) i < (manje od) potječu iz 17. st. (T. London, 1 63 1 ) . Pojam dobro poredana skupa potječe od ( 1 845-1918). Hasseove dijagrame uveo je njemački matematičar ( 1898-1979).

Cantora Hasse

Brusilo oštroumnosti), Harriot,

Georga Helmut

Nemoguće je biti matematičar, a da nisi u du�i i pjesnik.

- Sofia KOVALEVSKAYA ( 1 850.. 1 89 1 )

Matematičari ne proučavaju objekte, nego samo relacije medu objektima. - Jules Henry J>OINCAJ:U3 ( H l :J-l, l�)

Matematička znanost je po mojem mi�ljenju nedjeljiva cjelina, organizam čija je vitalnost uvjetovana povezano�ću njenih dijelova.

- David HILBERT (1862-1943)

Poredjezika i glazbe, matematika je jedna od glavnih manifestacija slobodne stvaralačke snage ljudskoga i univerzalno sredstvo za razumijevanje svijeta uz pomoć teorijskih konstrukcija.

uma,

- Hermann WEYL (1885-1955)

Istaknuta osobitost matematikeje da se zanima jeruno relacijama melJu nedetiniranim pojmovima. -

lli

Wi

am

(Vilim) FELLER ( 1906-1970)

5.

86

BINARNE OPERACIJE

5.

Binarne operacije

DEFINICIJA. Binama operacija na skupu G je bilo koja funkcija dviju varijabla o : G G --+ G . Vrijednost te funkcije na poredanom paru (x, y) označavamo sa x o y ili kratko samo sa xy . PRIMJEDBA l . Dobro primijetite veliku razliku između pojma binarne i binarne Binarnu operacija treba shvatiti kao "množenje" kojim dvama ele­ mentima skupa G pridružujemo treći element. S druge strane, binarna relacija na G je jednostavno podskup Kartezijeva produkta G G .

x

operacije

relacije.

x

PRIMJER l . Tijekom c;losadanjeg školovanja upoznali smo neke temeljne binar­ ne operacije s pomoću kojih dvama elementima nekog skupa G pridružujemo treći element. Evo nekih primjera: (l) operacija zbrajanja realnih brojeva ( G = o = + (2) množenje realnih brojeva o (3) zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva ( G = e ); ) (4) najveća zajednička mjera dvaju prirodnih brojeva ( G = N , o b = Nzm = vektorski produkt dvaju vektora u G = ) zbrajanje vektora u produkt dvaju vektora nije binarna operacija, jer ovdje dvama vektorima pridružujemo skalar (realan broj), a ne vektor; ( 6) zbrajanje pravokutnih matrica tipa m n ( G = Mmn , + B ); množenje kvad­ ratnih matrica tipa n x n ( G = Mnn , · B ); --+ npr. J(x, y) = (7) vrijednost bilo koje funkcije dviju varijabla J : eX sin y , G = x o y = J(x, y) ; kompozicija dviju funkcija ( G je skup svih funkcija iz skupa S u samog sebe); konvolucija * dviju kvadratno integrabilnih funkcija J i g : --+ ( G je vek­ torski prostor kvadratno integrabilnih funkcija iz u e , a operacija konvolucije * je definirana sa (J * g )(x) JR J(x - y)g (y) dy ) ;

(5)

Rn ;

skalami

R, a b a b); (a b = a · b); a x A

(8) (9)

R,

=

A RxR

R

(a, b) ; R3 (aob axb ;

R,

R R

87

5 . 1 . DEFINICIJA I PRIMJERI

(lO)

o= o=

disjunkcija V , konjunkcija 1\ u algebri svih sudova G , V, 1\ , ili opće­ nitije - zbrajanje i množenje u bilo kojoj Booleovoj algebri; vidi tablicu zbrajanja i množenja za dvočlanu Booleovu algebru itd.itd.

B = {0, l} ;

y x·y x+y o o o l o l l o o l l l l l

X o o

PRIMJEDBA 2. Implikacija

=

=}

je također binama operacija na skupu G ili laž .l , slično kao i kod binarnih operacija V i 1\ . Vrijednost od A =} B je .l jedino ako je A = B .l . Treba upozoriti da se u svakodnevnom govoru, kada govorimo "iz A slijedi B", redovito misli na logičku posljedicu A l= B , tj. da iz A slijedi B". Dakle A =} B nema kod nas isto značenje kao i u svakodnevnom govoru. Ipak, i u ovoj knjizi na mnogo mjesta rabimo uzrečicu " .. .iz toga slijedi ..." u smislu logičke posljedice l= (tj. "istina je da iz toga slijedi ..." ). Istaknimo još jednom da je =} binama na skupu sudova, dok je l= (shvaćena u smislu A l= B ) binama Na isti način je i � (ekvivalen­ cija dvaju sudova) binama operacija, dok je = (logička ekvivalencija dvaju sudova) binama relacija.

{T, } , čija vrijednost je istina T .l

T, =

"istina je

operacija

relacija.

o

DEFINICIJA. Skup G zajedno s binarnom operacijom zove se grupoid. Struč­ nije se još kaže da je grupoid poredani dvojac (G, , gdje je binama operacija. PRIMJEDBA 3. Može se govoriti kratko i o grupoidu G , pod uvjetom da znamo operaciju koja mu pripada. Slično i za strukture koje će biti uvedene kasnije (npr. grupa, polje, prsten).

o)

o

o

DEFINICIJA. Za podskup A od G kažemo da je grupoid s obzirom na binarnu operaciju naslijeđenu iz G ako za svaki E A vrijedi E A , dotično produkt dvaju elementa iz A ostaje u skupu A . U tom slučaju kažemo još da je skup A zatvoren s obzirom na operaciju

o

x, y

o

x oy

•

PRIMJER 2. Skup R je grupoid s obzirom na zbrajanje realnih brojeva. Dvojac +) ima također strukturu grupoida. Podskup A = {O, l, 2} nije grupoid s obzirom na zbrajanje naslijeđeno iz R (npr. 2 + 2 rf: A ). Skup prirodnih brojeva N je zatvoren s obzirom na binarne operacije zbrajanja i

(z,

množenja, ali nije s obzirom na oduzimanje i dijeljenje.

o

U daljnjem ćemo radi jednostavnosti binarnu operaciju označavati jednostavno sa . i zvati "množenje" (iako u konkretnom slučaju to može biti zapravo zbrajao)� brojeva, kompozicija funkcija itd. ). Vrijednost pisat ćemo kratko kao x y th samo

xoy

xy .

·

DEFINICIJA. a) Polugrupa je grupoid (G, ·) u kojem je binama operacija aso­ E G vrijedi: cijativna, dotično za sve

x, y, z

b) Monoid je polugrupa (G,

·

x(yz) = (xy)z.

·) u kojoj postoji element e takav da za sve x ex = xe = x.

E

G vrijedi

5. BINARNE OPERACIJE

88

e

Element zove se jedinični ili neutralni element. PRIMJEDBA 4. Ako je binarna operacija zapisana aditivno, kao + , onda se ne­ utralni element zove (nul-element) i označava sa O . Svojstvo asocijativnosti polugrupe možemo zapisati na poznat način: + (y + z) = + y) + z .

nula

aditivne

x

(x

(G,

PRIMJER 3. Provjerite sami koji su poredani dvojci · ) iz Primjera l polug­ rupe. Koji od njih imaju jedinični element? U definiciji monoida ne tvrdi se da postoji jedan jedini jedinični element, ali to možemo lako dokazati. Prepe2ieija 1 . S:vaki

mon ojd jrna točno jedan jedinični element.

e ee' = e' x = e' ), e' = e.

DoKAZ. Pretpostavimo da osim jediničnog elementa imamo još jedan jedinični el­ ment Kako je onda je (stavi a zbog Q.E.D. za x dobijemo Prema tome je

e' . =e

ex = xe = x, ee' = e .

e'x = xe' = x

PRIMJER 4. Neka je X bilo koji skup i promatrajmo pripadni partitivni skup

G = 2x .

zx, (zx,

e= e=

U) je monoid. Jedinični element je 0. a) Dvojac ( b) Dvojac n) je monoid. Jedinični element je X. Općenito, ako j e zadana bilo koja Booleova algebra (B, +, ·, -, O, (B, +) i (B, ·) monoidi čiji su jedinični elementi O i l respektivno.

l),

onda su

slova.

PRIMJER 5 . Neka je X bilo koji skup simbola, koje interpretiramo kao Riječ na X je konačan slijed elemenata skupa X . Npr. ako je X e} , onda su riječi na X . Skup svih riječi označavamo sa X* . Definirajmo sada binarnu operaciju · na skupu X* . Ako su i dvije riječi, onda neka je riječ dobivena tako da najprije napišemo redom sva slova riječi i odmah do njih desno nadovežemo slova riječi U gornjem primjeru je Ovakva binama operacija zove se konkatenacija ( ulančavanje, nadovezivanje) riječi. Trivijalno je provjeriti da je konkatenacija asocijativna operacija. Provjerite to na primjeru Time smo dobili polugrupu (X* , · ) svih riječi koja se zove slobodna polugrupa. Slobodnoj polugrupi X* možemo pridružiti još jedan element (riječ) koji se zove Jasno je da se konkatenacijom s praznom riječi ništa ne mijenja: za svaki E X* , uključujući i Prema tome je neutralni element, čime X* postaje monoid s obzirom na operaciju konkatenacije. PRIMJEDBA 5. Na istom skupu može biti definirano i više različitih binarnih operacija. U diskretnoj matematici proučavaju se dotično skup snabdjeven s jednom ili više operacija (unamim, binarnim itd.) i relacijama na u kojima je skup konačan ili prebrojiv skup. Primjeri takovih struktura su Booleova algebra, parcijalno poredan skup, grupoid, polugrupa, vektorski prostor, kasnije ćemo upoznati druge važne strukture kao što su grupa, prsten, polje.

= {a, b,

S = aaac, T = ababba, U = abacbb ST

S T S ST = aaacababba.

T.

T(SU) = (TS) U .

prazna riječ. .AT = TA. = T

.A

T

T = .A .

G

G

.A

matematic'ke strukture,

G

� POVIJESNA CRTICA � Oznake za binarne operacije zbrajanja zimanja - uvedene su prvi put u djelu pod naslovom Leipzig 1489.

aritmetike,

J. Widmana

G

+ i odu­

Pregled trgovac'ke

5.2. POLJSKA I OBRNUTA POLJSKA NOTACIIA

89

između dviju pripadnih varijabla a + b, a - b, a · b, afb.

Označavanje u kojem binama operacija dolazi zove se infix notacija. Takve su npr.

Poljska notacija. Za zbrajanje realnih brojeva ponekad je korisno rabiti oznaku Doista, zbrajanje je binama operacija, tj. funkcija s dvije varijable Štoviše, moguće je i daljnje pojednostavnjenje u kojem se sasvim ispuštaju zagrade: +ab. Takva se oznaka zove prefiks označavanje {notacija). Binarna operacija je svojih dviju varijabla. Slično, {i) -ab označava razliku (ii) · ab označava {iii) /ab označava kvocjent {iv) i ab označava eksponencijalnu funkciju Ovakav način označavanja algebarskih izraza zove se još i poljska notacija. Na­ ziv je dobio u čast poljskog {zapravo ukrajinskog) matematičara { 1 878-1956). Zanimljivo je da se svaki algebarski izraz u kojemu se pojavljuju binarne operacije zbrajanja oduzimanja - , množenja dijeljenja j , i potenciranja i , može prevesti u poljsku notaciju bez uporabe zagrada! PRIMJER Izraz u poljskoj notaciji dobije se tako da zadani izraz najprije imamo +bc, i zatim tome treba dodati dakle

+(a, b) .

a, b E R. ispred

a · b;

a - b; afb ;

ab .

Jana Lukasiewieza

+,

·,

l. a + (b + e) gledamo sdesna na lijevo: a, +a+bc. Izraz (a+b) +e prevodimo u poljsku notaciju tako da najprije uzmemo i njemu e

dodamo +ab, dakle ++abc. Prema tome, zakon asocijativnosti za zbrajanje realnih brojeva u poljskoj notaciji izgleda ovako {čitati slijeva na desno!):

c ac besmislen, jer + mora imati dvije varijable (ovdje ima samo Slično i

za

množenje:

·

a·

b

+a+bc=++abc .

= ·

·

b

.

Prit:n.ijetite da je zapis a.+b

b).

u

a·

poljskoj notaciji

PRIMJER 2. Izraz � u poljskoj notaciji postaje · a/bc, a njemu jednaki izraz lle postaje · j bca Izrazu ah odgovara u poljskoj notaciji l · abc. Pogledajmo malo složentji primjer. Lijevo je zadani izraz, a desno pripadna poljska notacija, koju ispisujemo f)g+h t-t +/-a i bed i +ef+gh ·

a

.

sdesna na lijevo: a--bc + (e + d

Prevođenje izraza u poljsku notacija možemo provesti postupno ovako:

a - bc + e + f g+h = a - (l bc) + +ef +gh ( ) ) ( d d -a( bc) = + r (+ef)( +gh)

!

/( -a(l bc))d+ r (+ ef)( +gh) = + (/(-a( l bc))d)(l ( +ef)(+gh)) = +/-albcdl +ef+gh =

5. BINARNE OPERACIJE

90

Obratno, ako je algebarski izraz zadan u poljskoj notaciji, prevodimo ga u uo­ bičajeni oblik opet čitanjem sdesna na lijevo. U izrazu +l -a l bed l +ef+gh čitamo redom:

g + h, e + J, 3) (ec + f)C+h ' +h ' 4) b ' (e + J)C 5) a - bc , (e + J)C+h , 6) � . (e + J)g+h , 7) a-;,{'"' + (e + !)8+11 . l)

2)

Obrnuta poljska notacija. Moguća je i postflX notacija ili obrnuta poljska notacija,

poslije pripadnih dviju varijabla: a+b ab+, ab-, a-b a·b ab·, ab/, afb ab abl . Zakon asocijativnosti za zbrajanje a+ (b + ) = (a+ b) + u postfix oznakama bio bi

u kojoj binarna operacija dolazi

1---+

l-+

l-+ l-+ l-+

e

e

abc++=ab+c+. Algebarski izraz iz posljednjeg primjera u postfix oblik izgleda ovako: abc j -d/ ef+gh+ l + .

Obrnuta poljska notacija se u primjenama rabi čak i češće nego poljska notacija. Ona je naime prirodnija, jer najprije upisujemo varijable, a tek onda operacije koje na njih djeluju. ·

Pisanjem algebarskih izraza u poljskoj i obrnutoj poljskoj notaciji ne samo da nam više ne trebaju zagrade, nego čak niti pravilo sve jačeg vezivanja u slijedu binarnih operacija ± , , j , l . Uporaba poljske notacije je važna kod kompilacija kompjutorskih programa. Ra­ čunalo kod kompilacije pretvara svaki upisani algebarski izraz u poljsku notaciju. Ta notacija je za čovjeka dosta teško 'čitljiva', ali za računalo idealna. ·

"Očevidno" je najopasnija riječ u matematici.

- Eric Temple BELL ( 1883-1960)

Većina umjetnosti - kao slikarstvo, kiparstvo, glazba, imaju emocionalnu privlačnost za široku publiku. To nije slučaj s matematikom; ovu umjetnost mogu cijeniti jedino matematičari.

- Cornelius LANCZOS ( 1893-1974)

6. 1 . PRODUKTNO PRAVILO

91

6.

Uvod u kombinatoriku

Kombinatorika je grana matematike koja se među inim bavi i problemom nalaže­ nja kardinalnog broja konačnih skupova, zadanih na vrlo različite načine. Pogledajmo nekoliko najjednostavnijih primjera prebrojavanja.

PRIMJER l . Neka su m i n cijeli brojevi i m � n . Cijelih brojeva izmedu m i n uključivo (tj. svih i takvih daje m � i � n), ima ukupno n - (m - l ) = n - m + l . DoKAZ. Ako je m = l onda je tvrdnja jasna: brojeva i takvih da je l � i � n ima ukupno n, što je u skladu s tvrdnjom. U nejednakosti m � i � n oduzimljemo m - l nakon čega dobivamo l <j< m + l , gdje je j i - (m - l ) . Broj i -ova u prvom 'intervalu' jednak je broju j -ova u drugom, dakle n m + l . =

n -

,

Q.E.D.

-

Npr. cijelih brojeva između lO i 20 uključivo ima ukupno 20 - 9 = l l . Između -5 i 8 uključivo irna ih 8 - ( -6) 14 . U Odjeljku 1 .3.2 definirali smo pojam najvećeg cijelog dijela realnog broja x , koji

=

se označava sa Najveće cijelo od elemenata raznih skupova.

LxJ .

n

x

se često pojavljuje prigodom prebrojavanja ·

PRIMJER 2. Neka su k i zadani prirodni brojevi. Onda svih cjelobrojnih višekratnika od k sadržanih između l i uključivo, ima ukupno

n

n

L!J .

DoKAZ. Ako je l � kq � za neki prirodni broj q , onda je q -ova jednak je najvećem cijelom broju koji je � i , dakle

i � q � I Broj takvih

L 1J .

n

n,

.

Q.E.D.

PRIMJER 3. Neka su m i cijeli brojevi, m � i k zadani prirodni broj. Onda svih cjelobrojnih višekratnika od k koji su između m i uključivo, ima ukupno

liJ - l

m; 1

J

·

n

UVOD U KOMBINATORJKU

6.

92

U intervalu [m, n] postoji isti broj višekratnika broja k kao i u intervalu tran­ slatiranom za kq, tj. u [m + kq, n + kq] , gdje je q bilo koji cijeli broj. Stoga možemo bez gubitka općenitosti pretpostaviti da su m � l i n � l . Prirnijetite da se izraz LIJ - L? J ne mijenja ako zarnijenimo m sa m + kq i n sa n + kq . Prema Primjeru 2 u intervalu [l, n] postoji ukupno L {J višekratnika od k, dok ih u intervalu [1, m - l] ima L l J . Prema tome u intervalu [m, n] ima ih ukupno L {J - L ? J , jer u otvorenom intervalu (m - l, m) ne postoji niti jedan cjelobrojni Q.E.D. višekratnik od k . Koliko ima parnih brojeva između 12 i 50 uključivo? Ima ih L J - L J = 25 - 5 = 20 . Najjednostavniji kombina­ Kardinalni broj nekog skupa označavamo sa torički princip jest pravilo zbrajanja: + !Bl . i B disjunktni, onda vrijedi U Bl = • ako su konačni skupovi koji nisu skupova unije slučaj na Ovo očevidno svojstvo će kasnije biti poopćeno nužno disjunktni (Odjeljak 6.5 ) . Jedan od temeljnih rezultata na kojem se zasniva dvaju prebrojavanje skupova jest daje broj elemenata u Kartezijevu produktu x skupovajednak urnn ošku

DoKAZ.

nk

121

52°

IA I .

A

lA

A

lA l

A 1 A2

IA •I · IA2l ·

Al

Sl. 6.1. Kardinalni broj Kartezijeva produkta skupova. Propozicija 1. Neka su

IA · I · IA2 1 ·

A 1 i A2 konačni skupovi.

Onda vrijedi

IA 1 A 2 l = x

DoKAZ. Da bi prebrojili koliko ima poredanih dvojaca (xi, x ) , učvrstimo element x2 = a2 E A2 . Onda je broj elemenata oblika (xi, a2 ) isti2 kao i broj elementa x l E A 1 , dakle lA d . Kako je taj broj dvojaca (x., a2 ) isti za svaki a2 E A 2 , onda je ukupan broj dvojaca (x., x2 ) jednak 1A t i · IA 2 1 · · Q.E.D.

Ova se tvrdnja može razumjeti i ovako: ako se neki postupak može obaviti na m načina, a svaki od postupaka irna n mogućih ishoda, onda je ukupan broj mogućih ishoda jednak m n . Poopćenje gornjeg rezultata predstavlja sljedeći važan stavak koji govori o kardinalnom broju Kartezijeva produkta skupova.

·

A 1 , , An neprazni skupovi s konačno ( ) Ani = lA d . . . lAni ,

Teorem 2. (Produktno pravilo) Neka su mnogo elemenata. Onda je

l

ili kraće Tit= l

DOKAZ.

IA I Ak i = Tit= l lAk i ·

X . . . X

Rabit ćemo matematičku indukciju po

lA d = lA d (baza indukcije).

. • •

*

n.

Za

n

=

l

tvrdnja je istinita:

6. 1.

PRODUKTNO PRAVILO

93

Prepostavimo da tvrdnja ( * ) vrijedi za neki prirodan broj n (induktivna pret­ postavka). Dokažimo da onda vrijedi i za l , tj. (induktivni korak ). Očevidno Kartezijev produkt I možemo poistovjetiti s Kartetj. sa zijevim produktom dvaju skupova i možemo poistovjetiti sa poredaDoista, svaki poredani 1 -terac ...

n+

lA t i · . . lAni · IAn+ I l

lAt x . . . x An x An+ I I =

At x . . . x An x An+ At x . . . xAn An+ I , (At x . . . xAn) xAn+ I · n+ (xi, , Xn, Xn+ 1) nim dvojcem ((xi, . . . , Xn), Xn+ I ) elementa (xi. . . . , Xn ) iz At x . . . xAn i Xn+ iz An . Prema prethodnoj propozicijije onda I (At x . . . xAn ) xA n+ I I = lA t x . . . xAn i · IAn+ I I · Tvrdnja slijedi odmah iz induktivne prepostavke, jer je onda izraz na desnoj strani jednak ( IA 1I · . . . · lA n i ) · IAn+ ! l = TI�!: lAt i · Neka su A i B dva neprazna, konačna skupa. Označimo sa BA skup svih funkcija J : A -+ B . Postavlja se pitanje koliko elemenata ima skup � ? Sljedeći stavak daje odgovor na to pitanje, a ujedno daje i objašnjenje za neobičnu oznaku BA . Teorem 3. Neka su A i B konačni skupovi. Onda vrijedi l� l = IB I IAI . DOKAZ. Neka je A = {ai . . . . , a11} , dotično IA I = n . Prema prethodnom teoremu n n skup B := B x . . . x B ima I B i = I B I IA I elemenata. Prema tome tvrdnja će biti n dokazana ako pokažemo da skupovi � i B imaju isti broj elemenata, tj. ako kons­ n truiramo bijekciju a : BA -+ B . Dovoljno je za f E � (tj . f : A -+ B ) definirati a(!) = (!(at ), . . . ,J(an)) E B". a(g), onda je Da je a injekcija, to je jasno, jer ako su J, g E � i a(!) f(ak ) = g (at) za sve k = l, . . . , n, tj. J = g . n Surjektivnost je također jasna: odaberi mo bilo koji element (h t , . . . , bn) E B . Onda možemo definirati funkciju f E � sa J( at) := ht . Dakle a(!) = (bi, . . . , ht ) . l

Q.E.o.

=

Q.E.D.

PRIMJEDBA l .

Dokaz teorema možemo riječima opisati vrlo kratko ovako. Bilo

načina. /(a2) na IB I J : A -+ B može vrijednost !(ad J(n a") . Prema produktnom pravilu onda funkciju f možemo zadati na m · m . . . m = m načina, tj . l� l = IB I IAI .

koja funkcija također, itd. do

= m

poprimiti

Korolar 4. . Broj poredanih različita elementa) jednak je zn .

n -teraca sastavljenih od O

i l (ili neka druga dva

DOKAZ. Tvrdnja slijedi neposredno iz prethodnog teorema uz

B = {0, l } .

A=

{at. . . . , an

}

i

Q.E.D.

PRIMJER 4.

(a)

nula i jedinica, a za

n=

Za

n=

n = 4 dobiyamo da postoji Z4 = 16 poredanih četveraca 1 0 dobivamo već Z10 = 10Z4 poredanih deseteraca nula i 27

jedinica. Za Z70 imamo z 0 poredanih Z70 -teraca nula i jedinica. To je više od 8° 1 0 , koliko iznosi procijenjeni broj atoma u vidljivom svemiru ! Vidimo da problem prebroj avanja -teraca nula i jedinica, opisan funkcijom poput zn (eksponencijalna funkcija), ima kombinatomu eksploziju. (b) U glavnoj memoriji računala podatci se smještavaju u �emorijske ćelije. Sv�: ka ćelija ima svoju Kod nekih računala adresa se sastOJI od osam znakova koJI se zovu a vrijednost znaka (bita) je nula ili jedan. Naziv 'bit' dolazi od engl.

n

hitovi,

adresu.

6. UVOD U KOMBINATORIKU

94

Claude Shannon

binary digit, tj. binama znamenka O ili l , a uveo gaje (1916--2001 ) . Svaki takav osmerac bitova, tj. poredani slijed od osam nula i jedinica, zove se (engl. byte). Ukupan broj baj tova iznosi prema produktnom pravilu 28 = 256 . Prema tome postoji ukupno 256 memorijskih ćelija u koje se informacije mogu smjestiti. Neka računala rabe dvo-bajtno adresiranje, tj. adresa memorijske ćelije sastoji se od 2 uzastopna bajta. Za njih je ukupan broj adresa jednak 256 256 = 65 536 . Neka računala pak koriste adresiranje ćelija sa četiri bajta, pa je ukupan broj adresa dostupnih za pohranjivanje informacija u memorijske ćelije jednak 2564 = 4 294 967 296 .

bajt

·

P RIMJER 5. Automobilske tablice sadrže ime grada, zatim tri znamenke i još dva slova abecede. Koliko je takvih tablica moguće napraviti za Vukovar i Dubrovnik zajedno? Svaka od tri znamenke može imati neku od lO vrijednosti O, l, 2, . . . , 9 . Svako od dva preostala slova može imati jedno od 22 vrijednosti: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, Z. Prema produktnom pravilu je broj mogućih tablica samo za jedan grad jednak 1 03 222 484 000 . Za dva grada će vrijednost biti dvostruka. Kao i obično, za zadani skup X definiramo 2x od X (dakle uključujući i 0 i X ) . Zovemo ga partitivni skup od X . Oznaka 2x za partitivni skup od X je posljedak sljedećeg važnog stavka: ·

=

skup svihpodskupova

Teorem S. Nekaje X konačan skup. Onda vrijedi 12x 1 = 2 IXI .

DoKAZ. a) Neka je X = {xr , . . . , xn } Dokažimo da postoji bijekcija iz partitivnog skupa 2x na skup {0, l }11 svih poredanih n -teraca nula i jedinica. Definirajmo F : 2x ---+ {0, l }" podskupa A E 2x skupa X na sljedeći način. Ako je A = 0 stavljamo F(A ) = (0, . . . , O) . Ako je A f. 0 , onda neka je F(A) n -terac u kojem jedinice dolaze na k-tom mjestu u n -tercu onda i samo onda ako je xk E A (a inače nula). Npr. za A = {xr , x3, x4} stavljamo F(A) = (l, O, l, l, O, . . . , O) . Vrijednost F(A) je n -terac koji predstavlja kod skupa A . Funkcija F je očevidno injektivna, jer ako su A, B E 2x i F(A) = F(B) onda je A = B . Funkcija je surjektivna jer za svaki n -terac iz {0, 1}11 možemo očitati skup A koji je n -tercem kodiran (ako je na k -tom mjestu jedinica, onda je xk E A , a ako je nula onda Xk rf. A ). b) Kako je F : 2x ---+ {O, 1 }11 bijekcija, onda je l2x l = i {O, l }"i = 211 = 2 IXI ,

kodiranjem

gdje smo u predzadnjoj jednakosti rabili Teorem 2.

Q.E.D.

P RIMJEDBA 2 . Vrlo detaljan dokaz koji smo sproveli svodi se ukratko na slje­ deće: broj podskupova n -članog skupa jednak je broju poredanih n -teraca nula i jedinica. Kako na svakom mjestu u n -tercu dolaze po dvije moguće vrijednosti ( O ili l ), ukupan broj n -teraca iznosi prema produktnom pravilu 211 • PRIMJEDBA 3 . Kodiranje skupa A izvršili smo u dokazu prethodnog stavka s pomoću konačnog slijeda nula i jedinica. Taj slijed se može gledati i kao funkcija kA : X ---+ {O, l } , definirana sa ako je x E A , kA (x) = ako je x rf. A .

{ �:

6.2. VARIJACIJE, PERMUTACIJE I KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA

95

Ova funkcija zove se karakterističnafunkcija skupa A . To je funkcija koja 'raspozna­ je' skup A . PRIMJEDBA 4. Dobro je poznato da za sve prirodne brojeve n vrijedi nejedna­ kost 2n > n (to se lako dokazuje indukcijom). Drugim riječima, za bilo koji konačni skup X vrijedi 12x1 > lX I . Ova tvrdnja je očevidna, jer partitivni skup 2x sadrži medu inim i sve jednočlane podskupove od X, kojih ima upravo l X I . Zanimljivo je da nejednakost 1 2x1 > lX I vrijedi i za beskonačne skupove, vidi [Papić, Teorem 3.20]. Za beskonačne skupove X kardinalni broj partitivnog skupa način vrijedi npr. 2No = (skup svih beskonačnih 2x se označava sa 2 IXI . Na taj sljedova nula i jedinica {0, l } N ima kardinalitet vidi Primjedbu 1.5.1 ). Propozicija 6. Neka je zadan prirodan broj n . Kardinalni broj skupa Booleovih funkcija F Bn - B , gdje je B = {O, l} , jednak je 22n . DOKAZ. Tražimo zapravo IBAI , gdje je A = B'1 • Zbog Teorema 2 je IA I = 2n . Iz Teorema 5 dobivamo da je l � l = I B I IA I 22n . 2 PRIMJER 6 . Booleovih funkcija s dvije varijable ima ukupno 22 = 24 = 16, s 3 4 tri varijable 22 = 28 = 256, a s četiri varijable ima 22 = 216 = 65 536. Booleovih funkcija s osam varijabla ima više od 1077 , a s devet varijabla više od 10 1 54 • Već smo spomenuli procjenu fizičara da ukupni broj atoma u vidljivom svemiru iznosi oko 1080 . Kao što vidimo, imamo kombinatomu eksploziju. Funkcija 22n raste mnogo brže od eksponencijalne funkcije 2n , pa čak i od faktorijelne n! . e

e;

:

=

Q.E.D.

Opisat ćemo najprije neke osnovne metode prebrojavanja za dvije vrste objck.ata:

permutacije skupovi i tzv. multiskupovi,

poredane n­

kao specijalan slučaj), tj. a) varijacije (koje uključuju i elemenata nekog konačnog skupa, u kojima j e dakle poredak bitan, kod kojih poredak b) kombinacije, gdje se prebroj avaju elemenata nije bitan. , Svaki od ovih objekata može biti dvojak: Varijacije i kombinacije bez ponavlja­ nja, i varijacije i kombinacije s ponavljanjem.

terce

A. Varijacije bez ponavljanja, permutacije.

DEFINICIJA. Varijacijom bez ponavljanja reda k n -članog skupa A = { a , . . . , an } , k � n, zovemo bilo koji poredani k -terac različitih elemenata iz An n. 1 U slučaju kada imamo k = n, tj. kada gledamo poredane -terce n -članog s��� pa, onda takve varijacije zovemo permutacijama -članog skupa. Svaku permutaClJU skupa An možemo poistovjetiti sa nekom bijekcijom f An - An . n

n

:

6. UVOD U KOMBINATORIKU

96

= {l,

PRIMJER l . Ako je npr. AJ 2, 3} , onda za k = 2 imamo šest poredanih dvojaca: (1, 2) , (1, 3) , (2, 1 ) , (2, 3) , (3, 1 ) , (3, 2) (p�šemo ih u leks�kogr�fsko� poretku, tj. u "rastućem" slijedu). Za k = 3 imamo ovih šest poredamh trojaca tj. Npr. permu­ (3, 2) , (3, 2, 3, 2) , (2, 3) , (2, 3, permutacija: 2, 3) , taciji (3, 2, odgovara bijekcija f : AJ --+ AJ definirana sa /( 1 ) = 3 , /(2) = 2 , j(3) Opširnije o permutacijama vidi u Odjeljku 9.9.

= l.

l) ,

l,

(l,

(l, l)

n

l) .

l,

n l) = n -n ) n! .

Teorem 1. Broj varijacija reda k ::::; skupa od elemenata, tj. broj poredanih k -teraca različitih elemenata iz -članog skupa, jednak je ! ...( k+ ( k ! Ukupan broj permutacija -članog skupa jednakje

n n(n - l) n

n-

n

DOKAZ. Ako smo u nekom k -tercu na prvo mjesto stavili neki od elemenata, onda na drugo mjesto možemo staviti bilo koji od preostalih elemenata, na treće bilo koji od preostalih 2 , itd., na zadnje bilo koji od preostalih n k + l . Prema produktnom pravilu onda imamo ukupno 2) k + varijacija bez ponavljanja reda k . Odavde za k = dobivamo odmah i broj permutacija. Q.E.D. n

-

n- l n(n - l )(n - . . . (n -

-l)

n PRIMJER 2 . Neka je A = {aJ, . . . , ak } , B = { b. , . . . , bn } i k ::::; n . Onda je broj svih injektivnih funkcija J A B jednak n(n - l) . . . (n - k + l) . Doista, za injektivnu funkciju f možemo vrijednost !(a i ) birati na n načina, zatim j(a2 ) na n - l načina,. . . , j(ak) na n - k + l načina, pa tvrdnja slijedi iz produktnog pravila. Ako je k > n onda očevidno nema niti jedne injektivne funkcije iz A u B . PRIMJEDBA l . Broj n! raste mnogo brže nego bilo koja eksponencijalna funkci­ ja, jer vrijedi npr. ;� O kad n . Broj l O! = 3 628 800 jednak je začudo točno :

--+

--+

--+

oo

broju sekunda u šest tjedana. Broj l l ! veći je od broja sekunda u godini, a 13! je veći od broja sekunda u stoljeću. Broj 60! veći je od 1080 , koji, kao što smo već rekli, predstavlja procjenu broja atoma u vidljivom svemiru! Prema tome, broj permutacija -članog skupa, tj. broj n! , ima kombinatornu eksploziju.

n

B. Kombinacije bez ponavljanja.

n=

DEFINICIJA. Kombinacija bez ponavljanja reda k n -članog skupa A Dakle kombinacija bez ponav­ ljanja je samo drugi naziv za podskup skupa.

{a 1 , . . . , an } je bilo koji njegov k -člani podskup.

n n) (n) ·.= n(n - l) . . . (n - k + l) .

Teorem 2. Broj k -članih podskupova -članog skupa (dotično broj kombinacija bez ponavljanja reda k , k ::::; jednakje

k

k!

poredanih

n(n - l) . . . (n n(n - l) . . . (n - l)

DOKAZ. Prema prethodnom stavku svih k -teraca ima k+ Neka je neki takav k -terac. Svaka od njegovih k! permutacija definira isti skup . . To znači da skup od ukupno k+ poredanih k-teraca možemo grupirati u množine od po k! varijacija od kojih svaka određuje isti skup. Dakle ukupan broj k -članih podskupova iznosi Q.E.D.

l).

(a., . . . , ak) {a 1 , . ak } .

n(n-l). .\n-k+l ) .

97

6.2. VARIJACIJE, PERMUTACIJE I KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA

k = O , kojemu odgovara prazan skup, jer je

PRIMJEDBA 2. Tvrdnja vrijedi i za po definiciji (�) =

l.

k :::; n

=

PRIMJEDBA 3 . Kao što znamo, za o :::; vrijedi m k!(:�k) ! . Odavde odmah dobivamo svojstvo simetričnosti binornnih koeficijenata: (�) = (n� k) . To se može lako dokazati i kombinatorički. Doista, svakom od -članih podskupova skupa { } možemo bijektivno pridružiti -člani komplement, a njih n ima ( �k) . Zbog bijektivnosti je njihov broj isti.

a1 , . . . , a

n

(n - k)

Propozicija 3. Za sve

DoKAZ.

n, k

E

N

mk

k :::; n vrijedi (�) = (nk" 1 ) + (�=D

l) Prvi način. Tvrdnju je lako dokazati algebarski: (nk) = k!(nn!- k)! = k!(nn!- k)! ( n--n-k + ;;k ) - 1)! = (n - 1 ) + (n - 1 ) = k!(n(n--k1)!- l)! + (k -(nl)!(n k k- 1 - k)!

n

2 ) Dokažimo istu tvrdnju na drugi način - kombinatorički. Učvrstimo jedan od elemenata (recimo prvi) u n -članom skupu. Izbor k od ukupno n elemenata možemo provesti na jedan od sljedeća dva načina: a) ili odabiremo elemenata od prvog, a to je isto što i odabrati eleme­ nata među preostalih elemenata; to možemo učiniti na (nk načina; b) ili odabiremo elemenata tako da je među njima i prvi . Tome očevidno odgovara elemenata, što se može elemenata među preostalih zapravo odabir izvršiti na (�=D načina. U Odjeljku 6.6 (o funkcijama izvodnicama) vidjet ćemo i treći, vrlo jednostaQ.E.D. van dokaz ove tvrdnje (vidi Primjer 6.6.5). S pomoću gornje relacije između binornni h koeficijenata gradi se znameniti Pas­ calov trokut broj eva (k) (bilo bi ga ispravnije zvati Kineski trok.ut, jer su ga Kinezi znali davno prije Pascala):

k k

n- l

različitih

k

1)

n- l

k- l

3)

(�)

@

.

@ m

@ m

l m (1)

m

@

@

(�)

@

.

(!)

l

l

x, y E

Propozicija 4. (Binornna formula) Za sve

k=O

6 n

x, y E R vrijedi

x + y)n = t (�)�yn-k.

(

2

4

.. ... ... .. Binomni koeficijenti su povezani s izračunom produkta od za bilo koje R.

(x + y )(x + y) . . . (x + y ) ,

l

l l 3

l l 3

binoma

4

l

l

(x + y )n =

6. UVOD U KOMBINATORIKU

98

n,

DOKAZ. Tvrdnja se može dokazati indukcijom po pri čemu onda treba rabiti i pret­ hodnu propoziciju. Ovdje ćemo dati vrlo jednostavan kombinatorički dokaz. Doista, u izrazu

(x + y)'1 = (x + y)(x + y) . . . (x + y) će nakon množenja opći član imati oblik q:J'yn- k , gdje je q konstanta koju želimo odrediti. Produkt :xf'y'z -k može se dobiti tako da uzmemo k elemenata x od n binama x + y u umnošku (x + y )" . Tih k elemenata možemo odabrati na bilo koji način među n binama, dakle na m načina. Element y se nakon toga uzimlje iz preostalih n - k binoma. Prema tome je q = (�) . PRIMJEDBA 4 . Važan specijalan slučaj dobivamo za x = y = l : 2" = + +...+ . G) (:) (�) Na desnoj strani i o zapravo zbroj broja k -članih podskupova n -članog skupa za k = O (čemu odgovara prazan skup), k = l (svi jednočlani podskupovi) itd. do n . Vidimo da su zapravo uključeni svi podskupovi n članog skupa. Dakle gornja relacija pokazuje da partitivni skup n -članog skupa ima 2" elemenata, štq znamo već od prije (vidi Teorem 6.1.5). Iz Propozicije 4 za x = -l i y = l dobivamo n) = O. i)-ll ( k k=O Q.E.o.

mam

tu

A. Permutacije s ponavljanjem.

DEFINICIJA. Zadan je skup od k elemenata Ak = {at, . , ak } . Promatramo poredane n -terce elemenata tog skupa u kojima se element a. 1. pojavljuje n1 puta, a2 n2 -puta itd., pri čemu je dakako n1 + n2 + . . . + nk n . Takve n -terce zovemo pennutacijama n -tog reda s ponavljanjem. Permutirati znači premjestiti, permuta­ sve

=

cija je premještaj.

A2 = {0,

k=

a 1 = O,

PRIMJER l. Neka je zadan dvočlani skup l} (tj. 2, l, 2 . Skup svih permutacija trećeg reda s ponavljanjem ima tri elementa: ( l, l) , (l, l) , (l, l, ) . Vidimo da se ovdje radi zapravo o broju dvočlanih podskupova tročlanog skupa (prisjetite se kodiranja u dokazu Teorema 6.1 .5), kojih ima @ = 3 . Na isti način za skup , l } je odgovarajući broj permutacija -toga reda, uz i jednak "1 "2 ·

az = l ) i neka je n = 3 , n1 = n1 = k n2 = n - k,

O,

nz =

{O k ·'(nn_:_k)' = .....!f-. . ·

·

O,

O

n

6.3 . PERMUTACIJE, VARIJACIJE I KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM

99

.

Teorem 1 . Broj permutacija n -tog reda k -članog skupa {a�. . . . , ak} u kojima se element ai pojavljuje ni puta, i = l, . . . , k , n = n1 + , . . + nk , jednak je ,

n!

DoKAZ.

Ukupan broj permutacija od n = n1 + . . . +nk elemenata jednak je n! . Među tim poredanim n -tercirna irna i jednakih, jer se npr. a 1 pojavljuje n1 puta. Gledajmo najprije kao da su svi od n elemenata međusobno različiti (npr. neka početni skup ima k elemenata A, B, C . . . , i gledajmo n 1 elemenata A 1 , . . . , A11 1 , nz elemenata B1. . . . , B112 itd). Promatrajmo sve moguće permutacije n -članog skupa S = {A l , . . . , A nl ' B 1 , . . . , Bn2, . . . }.

S.

Neka j e X skup svih permutacija skupa Vrijedi lXI = n! . Za permutacije P l i pz iz X reći ćemo da su ekvivalentne i pisati P l p pz , ako daju istu permutaciju s ponavljanjem. Lako se vidi da je p relacija ekvivalencije na skupu X svih permutacija. Različitim razredima ekvivalencije pripadaju različite permutacije, pa je traženi broj permutacija jednak upravo broju razreda ekvivalencije, tj. l x/p l · Npr. za n = 5 i k = 2 (tj. za dvočlani skup {A , B } ) permutirajući ABAAB imamo najprije 3 ! permutacija u kojima permutiramo samo A -ove, i koje ne mijenjaju ništa: A 1B1AzA3Bz A 1B 1A � zBz A zB1A1A3Bz A2B1AJA3B1 A3B1A 1A zBz A3B1AzA 1 Bz .

Svakoj od ovih permutacija odgovara još 2! permutacija koje premještaju B -