This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
0 = 360° · Núm. de vueltas La tangente del ángulo
11 representa la aceleración a .
1
Cinemática Movimiento oscilatorio OSCILACIONES ARMONICAS RECTILINEAS El movimiento de un cuerpo suspendido de un resorte helicoidal es una oscilación de esta clase. Las funciones del tiempos, v, a en este movimiento son iguales a las proyecciones sobre un diámetro fijo, de las cantidades s, v y a. correspondientes al movimiento circular uniforme de un punto material. Movimiento circular uniforme
Oscilaciones armónicas
Desplazamiento
m /29
= o> t
+ .; b = r(wt + 4>.)
1 /30 Aceleración
v'
a=O: an = -=r t.J~
/31
dv
a =
dt = -
Aw' sen (wt
' Ecuación diferencial de una oscilación armónica 132
+
q,,¡
d' s
a=-- = - (l)~ s
dt' Posición angular cuando t = o rp Posición angular al tiempo t a. Aceleración centrfpeta L Radio (vector) de posición B. C Límites de la oscilación 4>,,
s A
b
Desplazamiento lineal Amplitud (despl. máx.) Radio de la trayectoria circular Arco de trayectoria
Cinemática
La
Caída libre y tiro CAlDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
-
Magnitud a calcular
Caída libre
Tiro {hacia arriba vertical hacia abajo
v.. = O
o
Nivel de
EU
Nivel de partida
partida
+h
(v. > O) (v. < O)
1 33
h=
g v v' -t' = -1 = -
g v. + v v. 1 - 212 = --2-1
cm
134
V=
gl =3!_=Viih
v. - gl = vv.'-2gh
m/s km/h
/35
1=
2
2
2
1
2h g
2h V
V
g
m
2h V. + V
v,.- v
g
S
min
TIRO HORIZONTAL E INCLINADO Tiro {hacia arriba (a > O) inclinado hacia abajo (a< Ol V, > 0
Tiro horizontal Magnitud a calcular
a =O V,> 0 o .- o
S
~r-~
m
.jff
136
S=
lii /37
h=
.!!_,,
138
V=
yv,?+ g' t'
v, l = v..
~
¡-s .L. o
....., r
l.A\ h
1
Hidráulica Hldrostática Presión de un líquido sobre una superficie plana
Por fuerza de presión hidrostática F de un líquido sobre una superficie.se entiende la fuerza que ejerce el líquido exclusivamente. es decir. sin tomar en cuenta la presión p 0 •
11m6 n
F = gpyc Acosa = gphc A
n 7
Yn= - - = Yc +--; Yc A Yc A
(.:
Ir ,
lo
Xn= - -
Yc A
Presión de un líquido sobre una superficie curva
La fuerza de presión que ejerce un lfquido sobre la superficie curva 1-2, se descompone en una componente horizontal F, y otra verti cal F, .. La componente F,. es igual al peso del liquido contenido en el volumen V en (a) o en (b) . La línea de acción pasa por el centroide del volumen .
n 8
1
N, kN
IFvl =gpV
La componente F 11 es la fuerza debida a la presión dellfquldo sobre la proyección de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a F,. Los cálculos se realizan mediante las relaciones n 6 y n 7.
e D Ir le Ir ,
Centroide de la superficie A Centro de presión (punto de aplicación de F) Momento de inercia de A con respecto al eje x Momento de inercia de A con respecto a un eje por paralelo al eje x (ver 110 y P 3) Producto de inercia de A con respecto a los ejes x y y (ver 110)
e
Hidráulica
Na
Hidrostática EMPUJE ASCENSIONAL
in i9
El empuje hidrostático ascensional F 1 es numéricamente igual a la suma de los pesos de los líquidos desplazados por el cuerpo sumergido, y cuyas densidades son p y p ', respectivamente . FA
= g p V + g p' V'
Si el lluido con densidad p' es un gas puede considerarse que
n 10
FA ""' gpV
Si p, es la densidad del cuerpo sumergido resulta que si :
p > p,, el cuerpo flot_a . } p = p,. el cuerpo esta suspend odo 1' < p,. el cuerpo se hunde
n 11 n 12 n 13
en el líquido más denso
Determinación de la densidad p de cuerpos sólidos y líquidos
-
Para sólidos con densidad 1 menor mayor que el líquido empleado
n 14
Para líquidos se considera primero F ' y m con un cuerpo cualquiera dentro de un líquido de densidad conocida p~ F 1--mg
1
1iill n 15
I'= PL--F-
n16
1 - -mg
p = pL
F. - F
P = P'--F,-
1+--
1 - -mg
mg
m
Masa del cuerpo suspendido en el líquido
F
Fuerza de equilibrio
F.
Fuerza de equilibrio en el experimento con el cuerpo auxiliar
PL
Densidad del líquido en que se pesa
1
Hidráulica Hidrodinámica FLUJO ESTACIONARIO
Teorema de continuidad (Principio de conservación de la masa) Ecuación de continuidad:
Flujo de masa :
m = VP
n 18
kg / s, g/s
Flujo de volumen (gasto) :
V = Av = ll
n 19
m' l s, cm' / s Teorema de Bernoul/i (Principio de conservación de la energía) Flujo ideal (sin fricción): n 20
Pt
Vt
2
P
V
2
Pz
Vz
p
J/kg
energía de presión por unidad de masa
p g
z energía potencial por unidad de masa
v'
energía cinética unidad de masa
2
0P·
M
~2:llt
por
Flujo real (en el que hay rozamiento) n 21
1
2
p + g z, + 2 = p + g z + 2 = p + g z, + 2
P1
Vt
-p + gz , + -2
W¡
1, 2
2
= -Pzp -+
gz2
Vz
2
+-2 + w¡,,.
pérdida de energía por fr icción desde 1 hasta 2
J/kg
Hidráulica
Ns
Hlc:lrodlnámiCII Potencia de una máquina hidráulica
W. kgf · m/s. cv
n22
mm
Trabajo de conversión por unidad de masa :
n 23
w, 1_2
=¡;1 (p,- p,) + g (z,- Zz) + '21 (v, 2 -
v, 2)
n 24
para méquinas generatrices (o impulsoras)
n 25
para méquinas motrices
- w1 , _,
w"·' > O w"·' < O
Teorema del momentum (o impetu) En el caso de un fluido (incompresible) que circula por un " volumen de control " fijo en el espacio se cumple la siguiente ecuación vectorial : N. kgf
n26 l
F
son las fuerzas que actúan sobre el fluioo en el volumen de control. Pueden ser fuerzas de volumen (por ejemplo. el peso) fuerzas de presión fuerzas de fricción .
v;
Velocidad de salida del fluido del volumen de control
v;
Velocidad de entrada del fluido al volumen de control
Teorema de la cantidad de momento angular
mm
Sobre un fluido (incompresible) que circula a través de un volumen de control fijo se ejerce el momento rotacional M :
n 27
N · m, kgf · m
v,_., y v, _., son.
respectivamente, las componentes tangenciales de las velocidades de salida y de entrada del fluido en el volumen de control .
r, y r, son. respectivamente, los radios correspondientes a v, y v 1.
1
Hidráulica
Ns
Hidrodinámica
PERDIDA DE ENERGIA POR FRICCION EN EL FLUJO A TRAVES DE UN TUBO
n 28 n 29
Pérdida de energia por } unidad de masa Pérd ida de presión
~ ~.. =l('a
v•
2) .
de donde
APv =PW¡ 1,2
Determinación del factor de resistencia fricciona/ ' y del factor de forma a:
g
lii n 30
Tubos de sección circular
Tubos de sección no circular
n 31
Re= vdp TJ SI Re < 2320. 31 flujo es laminar
n 32
Si Re
>
Re= vdhp TJ
2320. el flujo es turbulento
Flujo laminar
in33i
Flujo turbulento*
laminar
k ' = f(Re.d)
n34
1 a = - en tubos rectos d
n 35
a
=
1
turbulento* k '=f(Re,-) dh
1
a = - en tubos rectos d,
1
en conexiones
Determinación del factor cf>
n 36 Dld n 37
n38
Para secciones rectangulares
1'
Diámetro interior libre del tubo Longitud del tubo (= 4 AIPM) Diámetro hldréulico Re Número de Reynolds Sección transversal perpendicular a la dirección del flujo Perimetro mojado (y k l d , ) Rugosidad relativa k Altura media de todas las asperezas (ver Z 16) * El valor de 1 se obtiene del diagrama en Z 15
d d ,, A PM kld
Hidráulica Hidrodinámica SALIDA DE LIOUIOOS EN RECIPIENTES
mm
Con orificio en el fondo
v = cf>V2iH V = cf> EA-../2iH = !!J
n 39 n 40
in l41
Con orificio lateral pequeño
= cf>V2iH
V
n 42
S = 2VHh
n 43
V = cf>EA.J29R = !!J
n 44
F = pVv
mm
i ~-J¡~~ -- - -
::t
Con orificio la teral grande
n 45
tf~~ --..:.
111 n 46
V = cp
.
n 47
in l
~'
Con presión inte rior (p,) sobre la superficie libre
V=
)2
cpEA
(g
H+ ~)
j2
(g
1
p, H+ p)
Con presión interior sobre la descarga
48
v = cf>n
0
V = cf>EA -r p-
n 49
v p,
cp F
li b
g
-"!;:_-=-_:_JA ----p,
--
-
_:
V
Velocidad de descarga m/s Presión interior (mayor que la externa) Coeficiente de fricción del líquido (para el agua cp = 0.97) Coeficiente de contracción (E = 0.62 para orificios con bordes agudos: E= 0.97 para orificios con bordes redondeados) Fuerza de reacción Flujo volumétrico (gasto. !!J) m' /s, m'/h, lit/min Ancho de orificio mm , cm
Térmica Variables termodinámicas de estado Variables de estado son la presión p, la temperatura absoluta T y la densidad p. o bien, el volumen especifico v.
Presión p (EU: N/m2 = Pa. bar. kgf/cm2 ) La presión es la relación de la fuerza F al flrea de la superficie, A:
o 1
F
P=¡¡: La presión absoluta de un fluido puede interpretarse como la fuerza total que ejercen las moléculas al chocar contra las paredes del recipiente. La presión p' medida con un manómetro es la diferencia entre la presión absoluta y la presión exterior o atmosférica p.; cuando p' > O se denomina "presión efectiva". o simplemente " presión" . Si p' < O se llama entonces "vacío" o "depresión " . De ahí se obtiene que la presión absoluta p es:
o 2
p=p. +p'
Temperatura T. t (Magnitud básica; ver Explicaciones generales) La unidad de temperatura absoluta T. el kelvln (o anteriormente. grado Kelvin) K. se define por:
o 3
o 4
1K==~ 273.16
donde T,, es la temperatura (absoluta) del punto triple del agua pura. Ademfls de la escala Kelvin se emplea también la escala Celslus; la temperatura Celsius t se define internacionalmente como: t = T - 273.15
Densidad p (EU : kg/m3 ) La densidad es la relación de la masa m al volumen V:
o 5
m
P= yVolumen específico v (EU : m"/kg) El volumen específico es la relación del volumen V a la masa m :
o 8
V
1
V=-m =-p Volumen molar VM (EU : m3 /mol) El volumen molar es la relación del volumen a la cantidad de sustancia (1 mol) contenida en él:
o 7
VM = ~ n
Cantidad de sustancia (moles) n (Magnitud bflsica ; ver Explicaciones generales)
1
Térmica Calentamiento de cuerpos sólidos y líquidos CALENTAMIENTO DE SOLIDOS Y UOUIDOS
Calor Q (EU : J. kcal) Calor es la energia que se transmite a través de la frontera de sistemas que están a diferente temperatura. cuando se ponen en contacto por medio de paredes diatérmicas Calor por unidad de masa q (EU : J/kg, kcal/kg) El calor q referido a la unidad de masa es la relación de la cantidad total de calor Q a la masa m del cuerpo considerado. Q q=-
o 8
m
Calor especifico e [EU: J/(kg ·K). kcal/(kg · C)] El calor especifico (o capacidad térmica especifica) e es el calor Q que hay que suministrar o sustraer de una masa m para cambiar su temperatura en ll.t.
Q
q
mll.t
t>.t
C=-- = -
o 9
El calor especifico es función de la temperatura. (Ver valores numéricos en Z 5 a Z 9.) Calor de transformación {por unidad de masa} 1 (EU : J/kg. Valores numéricos en Z 12.) El calor de transformación (o "latente" ) es aquel que al ser suministrado o sustraido de un cuerpo cambia su fase sin que cambie la temperatura. Se distinguen los siguientes calores "latentes".
Calor de fusión
o 10
..
a; lx fTc (perm . )
"" ·~•m . ,
Esfuerzo permisible de tensión
cr,, ..= .> Esfuerzo permisible de compresión
(Ver valores en Z 18) (Ver valores en Z 18)
Resistencia de materiale
Pa
Flexión ACCION FLEXIONANTE
Módulo de sección (resistente¡ S S = -
p 10
1
e
Esfuerzo por flexión rr1
Me
p 11
fT¡ = -
p 12
lT¡
-
;=áfT¡I penn. l
1 En caso de que e = e, = e,, eje neutro = eje de simetria M
p 13
ip i14
=S
Momento flexionante máximo M M = FI Momentos axiales de inercia de áreas. módulos de sección y esfuerzos máx imos por flexión Esfuerzo Módulo de Momento de máximo por área sección flexión 1 S fT¡ (máx.)
b h"
mm
p 15
7rd;t
32
64
7r
¡¡;¡ (0
p 16
mm
4
-
5yJs'
-144-
p 17
ip 18i mi p 19
__ ,
--
m
7TQ;¡
b
-4-
-b h'
6
7rd'
d4)
7r
_
cf'
10
D' - d'
·-D 32 5yJs"
__ , ___ ,
10M
d"
10M O
D' - d 4
1ra ' b 4
1
e
Aa'
4M
7ra'b
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
188
~
24VSM
--5 s"
72
188 = 1 +
~ ~ ~ 1
6M
bh'
-12
Forma de la sección transversal
~
E1e ~
neutro
Momento de inercia con respecto al eje 88 Momento de inercia con respecto al eje centroidal (neutro) paralelo al eje 88 (ver 1 11) Distancia de la fibra superficial al eje neutro
1--- fJ_ - .~
Resistencia de materiales 1 Vigas
p4
VIGAS DE SECCION TRANSVERSAL UNIFORME
Momento flexionan te Deflexión máxima Momento máximo en A f Mrná s
Reacciones Fuerza en A
en B
F
-
ip 20i
Fl
Fl
F/ 3
-
3EI
ip 21i
F
-2
F
-
-
2
1 -FI 4
Ft•
48E 1
Tipo de carga
A
~ ~
rrd A~ A
mm
Fb
p 22
l
ip 23i
11 -F 16
Fa
-
iil p 24
w
-
m
w
w
2
2
5 -W 8
3 -W 8
p 25
ip 26i
F
w
F a" b" 3 E 11
3 -FI 16
3 -FI 16
--
2_WI 2
1 -WI 2
-BE 1
-
2_WI 8
384 E 1
1 -WI 8
1 -WI 8
Wl' 185 E 1
'
5 -F 16
Fab
--
-
'
7Ft'
768E 1
Wf'
5Wf'
Carga concentrada Carga uniformemente distribuida (W = wl)
8
~ ~ ~ ~ A
W
8 ._
1
Resistencia de materiales Vigas
Ps
VIGAS DE IGUAL RESISTENCIA
Dimensión máxima de la sección
il p 27
"~
b=
ip29l
h= _[3WI
6FI
~
bu¡¡perm .)
bE
(!._)" h
6Fx
~
(!..)" h
bE
"~
Forma de la viga
3W bE
ip30l
ii p 31
f
6Fx
h= · [6FI
mil p 28
Deflexión máxima
Ordenada V
3WI
3Wx"
tflo¡(perm.)
h 2 1 a ¡¡pcrm.)
_(3W/ ~
h =~ F W u1"'"'m.>
3WI
4b u¡¡perm.>
(
4x")
l - --¡:;--
1
Wl' 64EI
Carga concentrada Carga uniformemente repartida 1W Esfuerzo permisible por flexión
= w/) (Ver Z 18)
Resistencia de materiales
Ps
Cortante
mil p32
ACCION DE CORTE O CIZALLAMIENTO Esfuerzo cortante F =A ~
T
Tpenn.
Módulo de elasticidad angular G
p33
G =.!.. = 0.385E
y
Módulo de deformación angular 8
Deformación angular (ángulo de deslizamiento)
Y=8T
8 =2. =1.. G T
p34
Esfuerzo cortante último Tu
F"""'
p 35
Tu = - ¡ - = 0.8UU( tcns. )
Esfuerzo cortante permisible
T,.~.
constante pulsante alternante
Clase de carga (ver P 1)
J
Tl"nn. ""
u,/1.5
la;.;/2.2 1
u.,/3.0
Fuerza de corte F
mm mm
Herramienta de corte (punzonado. etc.)
Guillotina o cizalla
p 36
F "" 1.1Tu PS
F"" 1.1Tu iS
Esfuerzos cortantes en la práctica Los esfuerzos de corte se presentan siempre en combinación con los esfuerzos por flexión. En la fórmula p 32, por lo tanto, siempre aparece un coeficiente. de acuerdo con la forma de la sección. (Solamente en vigas muy cortas es posible despreciar los esfuerzos por flexión). Forma de la sección transversal Esfuerzo cortante
p 37 Tpcnn.
F (
3 F
~F
2 A
3 A
~ T
Esfuerzo cortante permisible Fuerza de corte 1 F""" Longitud de corte p
4
• F 2A
(Ver valores en Z 18) Fuerza máxima o de ruptura Perlmetro de corte
1
Resistencia de materiales Torsión GENERALIDADES
Esfuerzo de torsión
T1
M
p38
Tt
= s; ~ Tt lpenn. l
F
T t ( máx)
Momento torsionante T
p
p39
p
T =- = - - = Fa 21rn
(J)
Módulo de sección en torsión S 1
S,=!!:_
p40
a
i i41
T t(máx)
a
Distancia entre la fibra extrema
v el
centroide
e
Angula de torsión
TI "' =,.---a p
p
Características de elementos en torsión
s,
lp
ip 42i ip 43i
.,el'
.-d'
32
16
.!_ (04
32
ip 44i
-
Esfuerzo cortante máximo
Módulo polar de sección
Momento polar de inercia
d' )
.
ft lllláx )
T
!>! 5.1 d" 1 T "" 5.1 - · - D'' 1 - ó'
D' - d'
· -D- 16 2 en 1 -bh' 9 2 en 2 - b' h 9
lmll p 45 Tabla de valores de ó p 46
D
1 - ó' T¡ (perm.)
p
en 1 en 2
9T 2 b h'
9T 2 b' h
para secciones anulares
d
=-
Forma v dimensiones de la sección
1
~
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
1.0667
1.1489
1.3159
1.6194
2.9136
5.3908
Esfuerzo cortante permisible en torsión (Ver valores en Z 18) Potencia transmitida por rotación
Resistencia de materiales
Ps
Pandeo de columnas Tipos de soportes
i
p 47
iil
t-r
~
l 1 lJ 1. = 0.51
1.. = 0.71
Dimensionamiento preliminar Primero se supone que para el caso de pandeo es aplicable la fórmula de Euler v se calcula el momento de inercia del área transversal :
I = FI ..'
p 48
m
~
F
n,
,...:.: E
Después se determina la forma de la sección provisionales según P 3. Dimensionamiento final
p 49
Relación de esbeltez
A
v las
dimensiones
a,
= 1.. ~
Esfuerzo por pandeo. Se obtiene el límite de la siguiente tabla : Si A está P 50
abajo de entre de
los límites se calcula u, o bien . ~r, por la fórmula
Fórmula de Tetmajer:
a Acero SI 37 Acero St 52 Hierro fundido GG 14 Madera (pino) Madera (encino)
p 51
Fórmula de Euler: En caso de que
P 50 p 51
...¡. 01 ,. ._, ,;.... ~~ ·.·
ii p55
8
X= -
6
ti
,.!'-
-
.........
·: ·
d T=-
8
~o '-
D r=8
··:.
...•
b
1
Resistencia de materiales Esfuerzos combinados COMBINACION DE ESFUERZOS CORTANTES Por el principio de superposición . los esfuerzos tangenciales de corte directo y por torsión se suman algebraicamente para obtener el esfuerzo resultante. Esfuerzo resultante en el punto A
T.....,
Distribución en la sección
r
m~
5.1T
p 56
d"
+
1.7F
T
cf'
A
-z; •
F
r
íl p 57
5.1TO
0' - d'
2.55F
+ 0" - cf'
~
Tllpcnn.)
T
4.5 T b'h
r.,P"='·' T T,
T F
+
1.5F bh
z; A
(>'
-z; •
ip58i
r¡
F
1 ~
Tttpenn. )
Esfuerzo cortante permisible Esfuerzo cortante directo Esfuerzo cortante por torsión Momento torsionante Fuerza de corte directo
(Ver Z 18)
Resistencia de materiales Esfuerzos combinados
p 11
COMBINACION DE ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES Cuando se presentan simultáneamente esfuerzos normales y tangenciales se determinan para los cálculos el esfuerzo equivalente
a,
o el momento equivalente
M,
El primero (llamado también esfuerzo Ideal por flexión) es aquel esfuerzo flexiona! que produce el mismo efecto -por ejemplo. ruptura- que los dos esfuerzos aplicados. es decir. por flexión y torsión combinadas. Para el momento equivalente es válido el mismo comentario . Ejes o árboles p 59
Esfuerzo equivalente
Ue
~ Uf(perm. ) (penn. )
p60 p 61
Momento equivalente
a, =
.,Ja¡' +
M, =
.j M/ +
3(a .. T,)'
0.75 (ii.. M) 2
Para el dimensionamiento de elementos estructurales debe calcularse primero el módulo resistente de la sección :
S =~
p 62
ff¡ ( perrn. )
Después de la selección de la sección transversal se obtienen las dimensiones según P 3. rr¡
Esfuerzo real por flexión
r,
Esfuerzo real por torsión
M
Momento flexionante real
T
Momento torsionante real
a.
Relación de esfuerzos. donde
a .""
1
a."" 0.7
en casos en que la torsión y la flexión correspondan al mismo tipo de carga cuando la torsión es constante o pulsante y la flexión es alternante.
1
Resistencia de materiales Barras curvas
p 12
ESFUERZOS EN UNA BARRA EN HERRADURA En esta barra curva , la sección de máximo esfuerzo es la A, en el caso de las cargas F indicadas; los momentos M son los debidos a dichas cargas F. Los esfuerzos en la superficie a , y rr2 se calculan con las fórmulas p 63 y p 64. Dependiendo de las direcciones los valores de F y M se considerarán positivos o negativos.
ip63i
F
(T)
e,
Mr
M
=-+-+ -- ·A Ar r + e,
~
( JI ( penn . l
K
p64
F
M
A
A
Mr
e,
U 2 = - + - - - - - · - - ~ CTI(pem!. ) r K r- 2
Fórmulas para
e
calcular~1
Dientes en V según Fólmer Se obtienen con herramientas normales para Límites de los números de dientes:
Piñón. z,
z, ¡;; 8
y
a= 15" z, ¡;; 26
Dimensiones de Rueda , z2
= (z, + 3) m
q 22
Diám . circ. adendo
d. ,
q 23
Diám. circ. dedendo
dd, = (z,- 1.134) m
q 24
Grueso de diente
s, = 1.89m
q 25
Dist . entre ejes
z,
+ z"
d.,= (z, + 1.8) m dd, = (z, - 2.334) m s, = 1.57m )
a = ( - 2-+" m
UJfftrrlllll~¡: 1·
S
4o 6o Bo 1o o 2o Grueso de diente (ver figura en a 1)
14o
Sumo de dientes en el
engranaje (por de engranes)
1
Elementos de máquinas
Qa
Engranes cónicos rectos ENGRANAJE CONICO DE DOS ELEMENTOS
,F,.,
Determinación de los ángulos de paso.¡, , y
.p.,
Piñón z,
z,
z. z,
-+coso¡, q 26 q 27
.¡, = 90·
-+coso¡.
z.
cot 1 = - - - sen .¡.
cot 2 = - = - - - sen .¡.
cot c/J 1 = ::_ z,
cot
.¡,., =
:_:
z,
Dimensiones de los dientes
m
q 28
El éngulo de adendo y se obtiene de
tany = A
q29
El éngulo de dedendo ¡¡ se obtiene de
• 1.166m tano = - - A
q30
Longitud de cono
A =~=~ 2 sen, Dimensiones
medias
q 31
Paso
q 32
Módulo
q33 q 34
Ancho de diente Diém. circ. paso
q 35 q 36
Fuerza axial y rad ial Fuerza ax ial Fuerza radial
q 37
t,. =
b., = d.,=
Fuerza sobre los flancos
exteriores
Como las fórmu las para t en a 1. q 10
l
2 sen 2
t.,
b sen
= t .. + - - - 1 r
z
b sen
m = m.. + - - z
¡3 t .,
b = f3 t
d - bsen
d
F" = Ftana · sen F, = Ftana ·cos F
21rT
a Angulo de presión (ver a 2) Los demés símbolos pueden verse en
a
1
= mz
1
Elementos de máquinas Engranale de tomillo sin fin SISTEMA DE SINFIN Y RUEDA
Relación de transmisión
q38
i
n, z, Número de dientes de la rueda = - = - = -..,..,..,----,--..,,-----...,--,--,-n, z, Número de filetes del sinfin
Cálculo del sinfín (o gusano) por resistencia
q39
Paso
,/
p
= 407 V~f¡,, si el elemento impulsor es el sinfín elemento impulsor es la corona Para los símbolos restantes de las fórmula s ver Q 1
• '1•· si el
+ h
2p.tana 1 -p. lana
SI no se tienen las condiciones anteriores para tan a. se presentaré trabamiento o efecto de abrazadera.
ACOPLAMIENTOS DE FRICCION
Copie simple de discos p.F 0 3 -d" T¡,. = -3- . D' - á'
q 133 q 134
"" p.F r
q 135
=--
D+d 4
Copie múltiple de discos q 136
T¡,.
q 137
p.FN
D"- d"
= -3- .
D' - á'
1
!> En un circuito magnético uniforme : S
19
1
g>
= -¡¡¡- = -¡¡
Unidades: H = V · sl a Ver el significado de los símbolos de las fórmulas en S 16.
1
Electrotecnia
I Ss
Circuitos eléctñcos
LEYES BASICAS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS Marcas de polaridad y llechas de sentido Polaridad de terminales y sentido positivo de la corriente en s 20
Fuente :
S 21
Carga :
- + +- -
Polaridad de tensión y sentido positivo de caída de potencial
+- -
s22
Polaridad de tensión y sentido de corriente Si el cálculo da un resultado con valor
Caracterfsticas de una fuente de energía o una carga conocidas
indicar (como se señaló antes)
desconocidas
suponer
S 23 S 24
positivo negativo entonces las marcas de polaridad de la tensión y el senti· do de la corriente son
Polaridad de tensión y sentido de corriente
1 correctos
1
los contrarios
Recomendación adicional : En el ~aso de una caída de potencial en un resistor hay que señalar igual sentido para la corriente y la tensión (R > 0) . Ley de Ohm Corriente en un resistor S
1=
25
(ver también s 6)
Resistencia de un conductor
il26
p -1 1 R= - = A yA
S
mm
u
R
¡,, 1-:-1
l
..
-
u
Resistencia de un conductor a una temperatura 9
R
s 27
= R,. [1 + a (9 -
20°C))
Calentamiento eléctrico de una masa m
S 28
1
UI!>J = Cmll.9 a )'
p e t R ,o ll.9
Coeficiente de temperatura de la resistencia Conductividad eléctrica Resistividad eléctrica Capacidad térmica o calor específico Tiempo Resistencia a 9 = 2o•c Incremento de temperatura rt Eficiencia
(ver (ver (ver (ver o 9 y
Z Z Z Z
1) 1) 1) 5)
Electrotecnia
Ss
Circuitos eléctricos 1a. Ley de Kirchhoff (regla de las corrientes)* En un noao de una rea. la suma algebraica de todas las corrientes es nula. S
:i.I = O
29 donde
corrientes que llegan son positivas
las--------~----~----~----~
corrientes que salen son negativas
Relaciones entre corrientes (conexión en paralelo) En una conexión en paralelo de resistores. la corriente total y las corrientes de las ramas guardan entre st la misma relación que el recíproco de la resistencia equivalente y los recíprocos de las resistencias conectadas. 1
S
30
i i31 S
1 : 1, : 1,: "' =
1
R,
1
R :R, .R.; .R,
División de la corriente En dos resistores conectados en paralelo:
l~lr R, 1
G, R, 1, = 1 - - - - - = 1 - - - - -
l
G, + G,
zl!;
Rz
R, + R,
2a . Ley de Kirchhoff (regla de las tensiones) * En un circuito cerrado o malla de una red. la suma algebraica de todas las ten siones es nula . S 32
donde las tensiones cuyo sentido corresponde al sentido de recorrido son positivas. y las de sentido contrario son negativas.
u1 +U01 -u2
u;: u, -u
+U3
+U~¡,
02 •
O
Relaciones entre tensiones (conexión en serie) En una conexión en serie de reslstores, las caldas de tensión en las resisten cias guardan entre sí la misma relación que las resistencias conectadas.
s33
is34i
1
U, :U,: U,= R, : R 2 : R, División de la tensión En dos resistores conectados en serie:
G, R, U, =U---- = U----G, +G 2 R, +R2 * Ver otras observaciones en la página S 8
u,
Uz
C?3J
Electrotecnia Conexiones de resistores Conexión en serie* Resistencia equivalente R,
(ver también s 33)
En general. S 35
R, = R,
S
36
--d-66 ----
+ R, + R, +
•
n resistencias iguales R se tiene
Con
----cJ--
R, = nR
Rs
Conexión en paralelo* Resistencia equivalente R.
(ver también s 30)
En general.
1
1
1
1
S 37
R. =R.+ R, +'R: +
s38
G. = G,
con n resisten· cias Iguales R
con2 1 con3 resistencias diferentes
m m
R , R2 R. = - - -
s39
8
+ G, + G, + ...
R1+R2
40
R, R 2 R, R. = - - - - - - - R, R, + R, R, + R, R,
R Rv = -
n nG
G, +G 2 Conexión en serie-paralelo*
Una conexión mixta en serie-paralelo de resistencias conocidas se descompone de dentro hacia afuera en conexiones simples en para· lelo y en serie. Estas se transforman individualmente y se vuelven a componer después. Por ejemplo:
lii 8 41 ii il1 843
S 42
_ _ _R_._+_R_'-:--:- U = G, !G2 + G, ) U R 1 R2 + R1 R, + R2 R, G 1 + G, + G, ls
-------R-= 2
:----:::-::-
R 1 R2 + R, R,
+R
2
R,
R R, u. = -----..,.=...,.:.-,--,=R, R + R,R, + R. R, 2
2
U= U --
G, G,
G 1 + G2 + G,
U
G, U G 1 + G2 + G,
* Ver la observación en la página S 8
u
1
Electrotecnia
Sa
Conexiones de resistores TRANSFORMACION DE CONEXIONES Estrella (Y) a delta (A) y viceversa *
R,z
-
3
3
R uJ__ ' R:..'O.....:__-:::-_.....:_ + R10 ' Rsu + _ R '.!_ u· R ao_ R, .. = _ _
im S 44
~
lil45
=
R
lii1 S
R ao
R tu ·
R:w
+ RuJ· R :to +
13
Di 1mB 46
R:!u · R 3 u
R~u
R, · R, R"u= - - - - - -
R"" + R.,+ R,.
RIU ' R 'Ju + R10 ' R :iu + R :!n ' R :tu R, = - - - - - - , - - - - -- - -
S
R tu
Divisor de tensión (potenciómetro) Este dispositivo permite subdividir una tensión dada.
MI S
47
Si en aplicaciones de metrología es necesario tener una proporcionalidad aproximada entre U, y s entonces:
s 48
R, s
~ 10 (R 1
+ R")
Desplazamiento desde O del contacto deslizante (cursor)
* Nota: En todas las fórmulas de las páginas S6 a S9 puede sustituirse la resistencia R por la impedancia Z. y la conductancla G por la admitancia Y.
1
Electrotecnia Conexiones de reslstores APLICACIONES EN METROLOGIA *
i 49i Amp~:::.7::.,::) 00 mod Tensión inducida por ~(t) el movimiento de un rotación de una espira 1 rotación de la armaconductor normal a o ele una Dobina dura de un generador un flujo magnético en un campo magnético
s83
s 85
1 Tensión o FEM de autoinducción : Ver la explicación de la página S 16
e = L di l dt Ver símbolos en la página S 16
Electrotecnia Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES Fa sor Un fa sor es un segmento representativo de una magnitud alterna que gira en sentido contrario al del reloj . Angulos en igual sentido se consideran positivos. y en sentido contrario. negativos. Ejemplo :
\
S 86 S
4- --
Rotación positiva
\
'(>, -
'{1 1
87
'1'> = 360° equivale a rp 2
=o
Amplitud o valor máximo (ver s 1) Una magnitud alterna (corriente. i, o tensión. u) varía periódicamente. en general , en forma de onda senoidal. Los vale- Diagrama Variación en el tiempo res máximos 1,. y U,. reciben fasorial Periodo T= 111 el nombre de amplitud . Con una frecuencia angular "' = 2 1r t. el ángulo descrito en un tiempo t está dado por:
s88
a = .,t = 27rft
y en este momento los valores instantáneos son :
s 89
de la corriente
i = 1,. sen o>t = 1,. sena
s 90
de la tensión
u = U,. sen"' t = U,. sen a (cuando = 0)
Valor eficaz (o r.c.m .. raíz del cuadrado medio) Estos valores son los que se emplean en la práctica y los que indican generalmente los instrumentos de medición . En general S
91
S
92
I = I,¡= A 0
Para ondas armónicas 1,. 1 = 1,¡ = "'72
1,.
U = U,¡ =
'1./2
Con estos valores se tiene también en circuitos de corriente alterna: S
93
(en el caso de ces= 1, ver s 105)
1
Electrotecnia Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES
Defasamiento. ángulo de fase cf> En presencia de impedancias de diversos tipos (resistiva . inductiva o capacitiva) en un circuito de corriente alterna ocurre un desplazamiento en fase o defasamiento. cf>. entre la corriente y la tensión. El ángulo de fase cp se mide en el diagrama fasorial de la corriente a la tensión. y en el diagrama de variación en el tiempo, de la tensión a la corriente. Variación en el tiempo
s94
u= U m seno>t
i
=
1m sen (wt -
cp)
Factor de calidad a . factor de pérdidas tan 8 y ángulo de pérdidas 8 El factor a de un circuito se define como S
a = 27TEm1Wp
95
donde Em es el valor máximo de la energía almacenada en el circuito y wp la pérdida de energía en un periodo. El recíproco del factor de calidad se conoce como factor de pérdidas.
s96
tan8
= 1/a
(8 es el ángulo de pérdidas)
Para un circuito de resistencia e inductancia (s 115 y s 118) y un circuito de resistencia y capacitancia (s 116 y s 119) se obtienen de esta definición las siguientes relaciones sencillas: 97 s98 s99 S
Q
= ltancf>l
= oo•- 14>1
1 tan 8
= 1/a = 1/ltan cp 1
= =
U niUx (en la conexión en serie) l nllx {en la conexión en paralelo)
Pueden verse fórmulas de tan 8 en S 17 y S 18. Para el caso de circuitos resonantes se tienen las fórmulas más complicadas s 128 y s 129.
1
Electrotecnia Corriente alterna Ecuaciones básicas para circuitos monofásicos
z
S 1()6
Impedancia Admitancia Tensión en una impedancia Corriente en una impedancia Potencia aparente Reactancia Potencia activa Potencia reactiva
X P P,
S 107
Factor de potencia
cos
Factor reactivo
sencp = - - = U/ P.
S 100 S 101 S 102
S 103 S
104
S 105
s 108
S
109
Flujo alterno a través de una bobina
(Ver S 16 y S 17)
y
= 1/l
u
= ll
1
= -
P.
= = Z sencp
u
z u 1 = VP' + P,'
= /2 z
= U 1 cos cp = / R 2
= U 1 sen cp = /2 X
cp
= ___.!:__ = U/ P,
p P. P,
(J) m
4.44 N f
Permeabilidad magnética del vacío (¡¡. .. = 4 1r x 1D-' V · s/A ·m) Coeficiente magnético (permeabilidad relativa) : para el vacío, gases. líquidos y la mayor parte de los sólidos se tiene¡¡. , = 1; para los materiales magnéticos ver la página Z 3 Número de pasos en paralelo en el devanado longitud de la trayectoria del flujo magnético Número de espiras en una bobina o devanado Número de pares de polos Número de conductores
¡¡... ¡¡. ,
a 1 N p
z Rs R1•
Ls Ll'
serie Resistencia en t------i paralelo En los circuitos de impedancias en S 17 y S 18 serie lnductancia en 1------1 paralelo
Explicación para la página S 13 (FEM de autoinducción) Ley de Lenz. Si a través de una bobina pasa una corriente i que varía en el tiempo, entonces varía también el campo magnético producido por la corriente. Se induce así en la bobina una tensión instantánea e. que tiene siempre una polaridad tal que contrarresta magnéticamente la variación de la corriente.
1
Inductiva
en se ri e
capacitiva
Resistiva + inductiva +
-
1
., e
01Ln< -
ca pac itar (o condensador)
Capacitiva
inductor (o bobina) ideal
i l 115
S
S
+
en serie (Reactor real)
inductiva
Resistiva
(Reactor real 1 con capa cito wLn> wC 114 en serie)
i l 113
S
i l 11 2
S
i l 111
S
S resistor común o 110 anti ·inductivo; lámpara
Resistiva {óhmica)
Tipos de componentes 1
1
•
1
u. 1
u,L
-
Diagrama fasorial
Xc
--u. u,
XLs
1
--¡¡¡¡-
u,-
-
1
1
u
XL s
1
~h ~u,
u
~-
~
Rs
Uo
Uc
-C::J--·U-...-.
Rs
Ue
--i~ J~//
Xe
U¿
x,
-
u. -
R
--g---
Conexión
u
00 < 4> < 90"
- 90°< o/> < 0
= - 900
= goo
= 00
Detasa miento
de 90°
1 atrás de U menos 0°< 4> < sif
1 atrás de U
de
1 adelante
1 a 90° adelante de Uc
u,
1 9 goo atrás de
1y u en fase
Relación de fases
1
.,~)'
Rs
wLs Rs
-
1
wC
wLs- -
_.,
"'
o
tan cj>=
Continuación en S 18
Z = .JRs' + lwLsl'
l = }Rs'+ (wLs-
wC
l =Xt· = - -
Z =X L= wL
l =R
Fórmula
e
-... ... o !!!. ¡; CD . n :;:,
m .
-·
m
en
-
:::11
111
CD
..l. o ....,.
m
::a l» .....
l»
,
::a iñ
....
en
-
l>
z
G)
"O
m
::S
-· m
CID
.....
CJ)
:::1
oz ![ CD e 111 n
:::1 . , L,. _,,,e¡ el> i (') !!.
(
R s"'C
1
=
- --
tan q,
r R,. -
r(r
r
1
l= )(Rr 2_ + (__2__ _,,e wL
l = J R,' + ( ,,,e 2_ )'
Fórmu la
R,. = Rs+ - -
1 ade lan te - 90o < < Oo de U
u
1 at rás de
o atrás de U según - 90°< < 90 ras campenen tes
f adel an te
f ad elante de U - 90o < 1
L = 105(~)N'J(~)'p.H L = 105(~)N'Jmf.LH
S
146
~
Los valores ya no son aceptables
S
3
V· s 1p.H = 10-"A
a
a
Ancho radial de la bobina Area transversal del conductor Grueso axial de la bobina Diámetro exterior del conductor con aislamiento Diámetro medio de la bobina Longitud del contorno interior del hueco Longitud media del enrollamiento (fm = rra) Número de espiras o vueltas Perímetro de la sección transversal de la bobina Relación a : b
f3
Grado de aflojamiento en la bobina
A b
m
S
147
m
S
148
de
O 1, fm
N p
r, +
(/3 = !..!:__) N di
1
Electrotecnia Corriente alterna CALCULO DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE PARA UNA INDUCTANCIA DADA Bobinas de alta frecuenc ia
~
~1
S 149
m
S
150
S
151
S
152
Fórmula O
~ JS (~)
(-;;} N'"
(m-0)"·
d
1
3.5
N "' ""
donde: 1.s
(d L
1(d;;) · (L) 5s H"
u
, X
10 14
X
10 14
do=TV'Ñ
2
=d,(1 + a)./Ia
Bobinas de baja frecuen cia Suponiendo que
=1
13
y
O
= u,
entonces
N ~ 975~
i153 i
a=~
S
u
b=- - a
(u :±: vu, - 16Nd.' ) ;
2
Cálculo del número de espiras de una bobina
lil
S 154
i155 i
S
S 156
A partir de la sección transversal de la bobina :
ab
N ~
d
2
A partir de la resistencia : RA
N ~
-· - · - · -\
~·-· (
i
--
i
·, ,
.
1 i
.
p fm lm lo Mediante una bobina patrón o de referencia . Se coloca la bobina con el número desconocido de espiras N x y la bobina con número conocido de vueltas N 0 , lo más cerca posible una de otra sobre un marco de acero, como se indica. El sistema se energiza o excita con una bobina magnetizante N. de CA. a la que se aplica la tensión u•. Se miden las tensiones U x y U 0 con voltímetro de alta impedancia . De manera que N , = N0
.
Ux
u.
-
Ver símbolos en página S 21 .
1
Electrotecnia Corriente alterna HISTERESIS MAGNETICA Inducción magnética remanente 8 , Magnetismo que permanece en el material (hierro o acero) cuando desaparece la intensidad magnética externa aplicada H.
H
Intensidad magnética coercitiva H, Campo que debe aplicarse para anular la inducción magnética 8,.. Trabajo de magnetización Wn (energía disipada por histéresis) Al describir una sola vez el ciclo de histéresis se disipa una energía W n igual al producto del área del ciclo de histéresis wn y el volumen de la muestra de hierro. v,..:
S 157
Wn = WnV Fe
Potencia de magnetización P 11 (potencia disipada por histéresis) S
Pn = Wnf = wnV,., f
158
Corrientes parásitas o de Foucault Por la inducción electromagnética debida al cambio de flujo también se originan tensiones alternas en el hierro que, dependiendo de la conductividad eléctrica del material , producen unas corrientes turbulentas llamadas parásitas o de Foucault. La construcción laminar de los núcleos y las armaduras (con láminas de acero de 0.3 a 1 mm de espesor y aisladas entre sf) las reduce en alto grado. Pérdidas magnéticas (en el hierro) Potencia disipada en el hierro por unidad de masa
p,.,
Comprende las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas. Se mide con una amplitud de la inducción 8 ,. = 1 T = 10 kGs , o bien, 1.5 T = 15 kGs. a una frecuencia de 50 Hz, lo que da las cantidades p,.,10 o p,.,,. respectivamente. Los valores pueden verse en Z 4.
i159 i
Potencia total de pérdidas en el hierro
P,.. = P,.,10
S
m,..
[(T8)
Masa del material magnético (hierro)
P,..
(SO fHz) ] '
x
m,.. (1 + x)
Aumento por rebordes del troquelado, etc . (0.1 a 1.0)
1
Electrotecnia Corriente alterna REACTOR O BOBINA DE REACTANCIA
Impedancia reductora de tensión Se emplea un reactor en el circuito de una carga puramente re sistiva Re para reducir la tensión de entrada de un valor U a un
¡~"· ~·' z,
fu S 160 S
161
ii S 162
Impedancia del
¡
R,o¡U,=R,I
reactor circuito total
lnductancia requerida
Mu,
~
Z, = ..jR,c + (o>L, )'
z
= v!R, + R,)' + !•·•Cl'
L,
=-
1J¡(UR)' - ' u('
(R,+ R, )'
(rj
m
S
163
Para un cálculo aproximado de L, se puede despreciar la resistencia aún desconocida R, del reactor. Una vez diseñada la bobi na. se conocerá R, y podrá calcularse Z con precisión . Luego se revisa U, empleando la fórmula
UR,
U,= z
Eventualmente se requerirá un segundo cálculo con el valor modificado de la inductancia requerida . Reactor sin núcleo de hierro y con inductancia constante El diseño se efectúa según S 21 . Se suponen inicialmente los valores de r, , r, (bobina toroidal) , o de D. u (bobina de disco) . Si el espacio disponible para las bobinas resulta insuficiente o se obtiene un número inadecuado de espiras o un calibre impropio, deben repetirse los cálculos con otras dimensiones. Finalmente se calcula la resistencia de la bobina mediante s 26. Reactor con núcleo de hierro e inductancia constante El núcleo de hierro sirve fun damentalmente para confinar el flujo magnético y debe teJ, ner el mayor número posible de entrehierros simples. s, . Estos deben llenarse con aislante y su espesor total no debe ser mayor que 1 cm. La fuerza mag~etomotriz (FMM) requerida por el hierro puede despreciarse. Los cálculos se realizan con los valores máximos de H y de B. (Continúa en S 25)
1
Electrotecnia Corriente alterna
1
S 25
Una medida de la variación de la inductancia L, es la máxima variación relativa de la inductancia dependiente de la corriente:
mm
g. =
S 164
m
IL••••. - L,l L,
;
1
AFe B,..u.~el 8
g.
H,..~ ~·.. , /Fe 1-'o AE
- =
+ 1
Si g. > fh ,,... 1 repítase el diseño aumentando A,., y disminuyendo 8 ,.. n·e1• pero manteniendo constante el producto A ..., a .. ,.... ,. Dimensionamiento. Dados: L1 " f. obtienen las siguientes:
9L II"fQ . I• UL 1et. 1
o
1,,_entonces
se
Dimensiones provisionales S
165
Sección efectiva del núcleo de hierro
S 166 S
167
S S
Area de entre. hierro Longi tud del
169
1
~f'e i::;
170
1
donde 1et
l
172
= 2ll'"f U LN Let.
.
N=
A•• (obtener de OIN 41 302) U ~ r.
4.44/ B....... A~··
A,/ = ab +(S cm) (a+ bi A 8 = a b + 5 (a + b) a, N'.! IJ.oA B'
total
a· =
---r;-
individual
!,' -
3'1n < 1cm
d' =
2~
Diámetro del con ductor A.-rea tran sversal del bobinaao Longitud de las columna s del núcleo
S 171 S
A F: = .JK /d . U L et.
Número de espiras
S 166
definitivas
'= a,
a bn N' l'v
n L,
SN' I'o(a
+ b)
3/n < 1 cm d al valor estándar siguiente d. in c luye el aislamiento
=
A B = 1.12d,? N
Determínese l e a partir de las dimensiones del núcleo y de Aa.
Bobina de reactancla con núcleo de hierro e lnductancia dependiente de la corriente. Esta bobina cuenta con un núcleo de acero. pero no llene entrehierro. Sólo se emplea para fines especiales, por etemplo, como ampl ificador magnético. K
Coefic iente de potencia de la bobina : S!! 0.24 c m"'VA para bobinas comunes (en aire) } Ver S 24 pa~a la for"!a de .9!! 0.15 cm 4 / VA para bobinas en aceite secc1ón del nucleo para la forma de sección del núcleo ro=g] aplicar valores 75% mayores J' Densidad provisional de corriente : para bobinas comunes J' = 2 A / mm 2 para bobinas en aceite J' lii3l 3 a 4 A / mm 2 tll'e) Inducción en el hierro (alrededor de 1 a 1.2 T) H• I Fe) Intensidad de campo en el hierro para B ... n ·e). Según el tipo de hierro debe obtenerse de Z 3. n Número de entrehierros. Su aumento reduce el flujo de ,jispersión Resistencia del bobinado (según s 26) Re. R, Resistencia de la bobina. incluyendo pérdidas en el hierro
a..
'··
(R,.., 1.3Reo) Longitud media de la trayectoria de flujo en el núcleo de hierro
1
Electrotecnia Corriente alterna TRANSFORMADOR
Designación de los bobinados Clasificación según la función en el circuito (sentido de la transmisión de energía) Bobinado que
la tensión nominal Bobinado con tensión nominal mayor menor Alto
1
recibe
entrega
energía
Bajo voltaje
Primario
Secundario
(lndice 1)
(lndice 2)
Datos nominales (índice N) S
173
S 174
Capacidad (V A) Relación de transformación
n
= U"IU"' = l.sfl"
Como tensión nominal secundaria U" no se toma la correspondiente a carga nominal sino la de vacio. es decir. U" = U 20 • Pérdidas en el hierro
P., y prueba de vacío (circuito abierto) u
¡u,"
V
N, Nz
u
u,N
lli~.
Uzo / R ( !-'1•)
Las pérdidas en el hierro P., dependen sólo de la tensión primaria U, y de la frecuencia 1, pero no de la carga.
S 175
Pw
= PFe
Dichas pérdidas en el hierro, así como la relación nominal de transformación n, se determinan mediante una prueba de vacío. (Ver el diagrama de conexiones, secundario abierto, datos con de la corriente primaria el índice 0). La componente activa corresponde a las pérdidas en el hierro; la componente reactiva es la corriente de magnetización 1, . Las pérdidas en el cobre son despreciables. Las pérdidas en el hierro P,., se utilizan para calcular las pérdidas en operación normal y la eficiencia.
1.,..,.
1
Electrotecnia Corriente alterna TRANSFORMADOR
Pérdidas en el cobre Pe .. y prueba de corto circuito Diagrama fasorial
_.___~l"·_ 'l)l''" _
V El valor de Pe.. sólo depende de la corriente primaria / 1 y se determina mediante una prueba de cortocircuito (ver el diagrama de conexiones, datos con el índice K). En esta prueba con el secundario en corto se ajusta la tensión primaria U 1 al valor K , con el cual se hacen circular por los bobinados sus corrientes nominales; u,. es tan pequeña que pueden despreciarse los valores de '" ""' e 1,. La potencia primaria de cortocircuito resulta entonces igual a la pérdida nominal total en los dos bobinados, Pe.. N . a las corrientes nominales. Ese valor se emplea en el cálculo de las pérdidas de operación y de la eficiencia .
u,
P,.
S 176
S
177
S 178
P 1K = P euN
Con los valores medidos se determina la relación de cortocircuito. que se indica a veces en la placa de transformadores grandes. rK = 100 (U 1K/ U 1N ) %. Del diagrama fasorial se obtienen : Rcu = Un!/ I N
;
L=
U 1./(111 1N ;
COS
Comportamiento en operación Para determinar la tensión secundaria de trabajo U, para cada caso de carga , se refieren primero todas las cantidades secundarias a las de un transformador de igual capacidad. pero con una relación de transformac ión n = 1 : 1 (valores con la marca ' ) S 179
U{= n U2;
/{
= 12'/n ;
R{
= lndice x Jo•¡ entre la conexión de AV y la de BV. Por ejemplo. el defasamiento para el grupo O y 5 es q, = 5 x 30• = 150•. Nota:
Los grupos enmarcados son preferibles.
1
Construcción
Bobina móvil en el campo radial uni Bobina móvil forme de un imánpermanente; dos resortes espirales o de torsión como Bobina móvil conexiones v para el contramomento con rectili torsional cador Bobinas perpendiculares, rigidamente Bobinas en unidas, en el campo no uniforme de un imán permanente ; dos conexiones cruz sin contrapar o ,contra momento El alambre calefactor del termopar, Bobina móvil soldado o en estrecho contacto. La con termopar tensión termoeléctrica al imenta la bobina móvil Dos piezas de hierro dulce, una móvil Hierro dulce v una lija ; bobina fija v resortes espira les para el contra momento Bobina móvil, bobina lija v dos resorElectrodlná- tes espirales o de torsión para el contramo mento y la conexión ; pantalla mico magnética
Tipo de dispositivo
' ·
o
1, cos
Valor eficaz
Valor eficaz
-1,
-
-....•. '"
-
-
'"
-
-
para 1 y U ; lineal para 121 p
( :.! 1
No lineal -"' . Sólidos 1 Líquidos (con relación al aire) Plexiglass Cuarzo Vidrio (crown) Diamante
1.49 1.54 1.56 2.41
Agua Alcohol Glicerina Benzol
= 589.3 nm)
Gases (con relación al vaclo)
1.33 1.36 1.47 1.50
Hidrógeno Oxígeno Aire Nitrógeno
1.000139 1.000271 1.000292 1.000297
Superficie iluminada Superficie luminosa Angulo entre el rayo incidente y la perpendicular a la superficie iluminada A Angulo entre el rayo emitido y la perpendicular a la superficie luminosa A , n. lndice de refracción del medio menos denso n, Indica de refracción del medio más denso r Distancia entre la fuente luminosa y la superficie Iluminada r¡ Eficiencia de la iluminación (Ver tabla Z 21) e 20 3 x 10" m/ s (velocidad de la luz)
A A, a
1
Optica e Iluminación
Ta
Longitudes de onda. Espejos LONGITUD DE ONDA EN AIRE ATMOSFERICO
Longitud de onda A
Tipo de radiación t
14
Rayos X
t
15
Luz v adyacentes
0.0057 0.080 2.0 100 280 315 380 420 490 530 650
duros suaves ultrasuaves ultravioleta. corta ultravioleta , larga violeta azul verde amarilla roja 1nfrarro¡a
t
16
Longitud de onda A=
-
-
-
-
-
0.08 nm nm 2.0 37.5 nm 280 nm 380 nm 380 nm 420 nm 490 nm 530 nm 650 nm 780 nm
e
f
Espejos Espejo plano La imagen es virtual. derecha v está a una distancia (d' ) numéricamente igual a la del objeto (d) :
t17
d = - d' Espejo cóncavo
t 18
1
1
1
,=--¡¡+-¡; La imagen será real o virtual dependiendo de la distanc ia del objeto:
d
1
> 21 21 21>d> 1 1 21
negativa Espe¡o convexo Sólo produce imágenes virtuales. derechas v menores. Similar al espejo cóncavo con 1 =- .!... 2 Ver símbo los en T4
puntiforme
real . invertida. menor real . invertida . igual tamaño real. invertida. mayor nula virtual . derecha. mayor
~
o
' -
1
Optica e Iluminación Lentes LEYES DE LAS LENTES Potencia (o poder refractivo) 6 de una lente
1
t 19
it 20i
1 Unidad : dioptría (dpt) = m
~-=-
1
~órmula
1
de las lentes delgadas
1
1
,=e¡+-;¡
·. : .~
G t 21
= (n - 1) (
2.. + 2_) r1 r::
F
d' h' m=-=h d
t 22
-d
Si dos lentes con distancias focales 11 y 1, están inmediatamente una a continuación de la otra, la distancia focal total es
1
1
1
,=,+--¡;
t 23
Lupa o lente de aumento En general
con el objeto en el foco S
m=-
t 24
1
Microscopio Ampliación total
El 25
tS m=---
t
1,1,
=mlm:!
t 26
Macrofotografía t 27
Extensión de cámara
t 28
Distancia del objeto F 1
d d' h h'
a = 1 (m + 1) a 1 C=-=1(1 + -) m m
Foco (o punto focal) 1 stancia focal Distancia del objeto Distancia de la Imagen Tamaño del objeto Tamaño de la imagen
n m
s
lndice de refracción (ver T 21 Radio de curvatura Longitud óptica de tubo Amplificación o aumento Distancia visual normal (= 25 cm en el ojo normal)
1
Química Elementos
1
u1
Masa Masa atómica atómica Nombre Símbolo (en urna) (en urna) Mn 54.9381 Aluminio 26.9815 Manganeso Al Mercurio Hg 200.59 Antimonio 121 .75 Sb 95.94 Molibdeno M o Argón 39.948 Ar Nd 144.240 Arsénico 74.9216 Neodimio As 20.183 Ne As tato Neón Al 210 Nb 92.906 Niobio 32 .064 Azufre S Níquel Ni 58.71 Bario 137.34 Ba N 14.0067 Berilio Be 9.0122 Nitrógeno Au 196.967 Bismuto Oro Bi 208.980 Osmio Os 190.2 Boro 10.811 B 15.9994 Oxígeno Bromo o Br 79.909 Pd Paladio 106.4 112.40 Cadmio Cd Plata Ag 107.870 Calcio 40.08 Ca California Platino P1 195.09 251 Cf Carbono Pb 207.19 12.0112 Plomo e Plutonio Pu 242 Cerio 140.12 Ce Potasio K 39.102 132.905 Cesio Cs Praseodimio Cloro Pr 140.907 35.453 Cl Ra 58.9332 Radio 226.04 Cobalto Co Renio Re Cobre 186.2 Cu 63.54 Cromo Rad io Rh Cr 51 .996 102.905 Einsteinio Rubidio Rb 85.47 Es 254 Ru Erbio Rutenio 101.07 Er 167.26 Samario Escandia 44.956 Sm 150.35 Se Selenio Estaño 118.69 Se Sn 78.96 Estroncio Silicio Si Sr 87.62 28.086 Europio Sodio 151 .96 Na Eu 22.9898 TI Flúor Fe 18.9984 Talio 204 .37 p Fósforo Ta 30.9738 Tantalio 180.948 Gadolinio Telurio Te Gd 157.25 127.60 Galio Titanio 69.72 Ti Ga 47.90 Germanio Torio 72 .59 Th Ge 232.038 Helio Tm 4.0026 Tulio 168.934 He Hidrógeno Tungsteno H 1.008 w 183.85 Hierro Uranio Fe 55.847 u 238.03 Indio Vanadio 114.82 V In 50.942 Iridio Ir 192.2 Xenón Xe 131.30 Kriptón Yodo Kr 83 .80 1 126.9044 lantano Yterbio Yb la 138.91 173.04 y litio Y trio li 6.939 88.905 lutecio 174.970 Zinc lu Zn 65.37 Magnesio 24.312 Zirconio Mg Zr 91.22 urna, u = Unidad de masa atómica (igual a 1/12 de la masa de un átomo del isótopo 12 del carbono. 12 C) 1 urna= 1.66 x 10-21 k g) Nombre
Símbolo
1
Química Productos químicos NOMBRE
común Acetileno Acetona Acido cianhídrico Acido clorhídrico Acido fluorhídrico Acido fosfórico Acido nítrico Acido sulfhídrico Acido sulfúrico Agua Alcohol etílico Alcohol metílico Amoníaco Anilina Bauxita Bórax Bromuro de plata Bromuro de potasio Cal viva Cal apagada Carbonato de calcio Carbonato de plomo Carbonato de sodio Carbono Carburo de calcio Carburo de silicio Cianuro de potasio Clorato de potasio Cloruro de amonio Cloruro de calcio Cloruro de estaño Cloruro de hierro Cloruro de potasio Cloruro de sodio Cloruro de zinc Cromato de potasio Dicromato de potasio Dióxido de carbono Dióxido de manganeso Eter etílico
específico o comercial (sólo cuando difieran) dimetilcetona ácido prúsico ácido ortofosfórico
Fórmula C., H. (CHah · CO HCN HCI HF H3 PO, HNO,
H.s
aceite de vitriolo etanol metano! aminobenzol óxido de aluminio tetraborato de sodio óxido de calcio hidróxido de calcio caliza plomo blanco carburo carburundum sal amoníaco cloruro ferroso sal común
H2 SO, H, O C2 H5 0H CH 3 0H NH 3 CoHs · NH, AJ, o ,• Na, B, o ,• AgBr KBr Ca O Ca(OH), CaCO, 2PbC0 3 • Pb(OH), Na, co,•
e cae.
SiC KCN KCIOa NH, CI CaCI, SnCJ,* FeCJ,* KCI NaCI ZnCJ•*
K2 Cr0, anhídrico carbónico pirolusita éter
•Normalmente en solución acuosa
K,cr, o , co, MnO. (C 2 H, ),O
Química
Ua
Productos químicos
común
NOMBRE específico o comercial (sólo cua ndo difieran)
Fenal Ferri cianuro de potasio Ferroc ianuro de potasio Gl ice rina Glicol Grafito Hidróxido de amonio Hipoclo rito de ca lcio Magn esia Metano Minio (plomo roía) Nitrato de calcio Nitrato de plata Nitrato de plomo Oxido de esta ño Oxido de plomo Oxido de mangan eso Oxido de nitrógeno Oxido de zinc Potasa Potasa caús tica Propano Sosa (soda) Sosa caús tica Sulfato de cadmio Sulfato de ca lcio Sulfato de cobre Sulfato de hierro Sulfato de magn es io Sulfato de sod io Sulfato de zin c Sulfuro de hierro Sulfuro de merc urio Sulfuro de plomo Sulfuro de zin c Tetracloroe til eno Tiosulfalo de sodio Tric lo roe tileno Urea Yoduro de pot asio
ácido carbólico
trihidroxipropa no
Fórmula C,;H,,OH Ka[Fe(CN )6 ] K, [Fe(CN) u] C,.H,-,(OH):. CH"OH -CH 2 0H
e polvo de blanquear óxido de magnesio gas de los pantanos óxido plumboso-plúmbico
óxido estannoso óxido plumboso dióxido manganoso gas hilarante blanco de zinc carbonato de potasio hidróxido de potasio óxido de sodio hidróxido de sodio
vitriolo azu l vitriolo verde sal de Glauber vitriolo blanco sulfuro ferroso cinabrio sulfuro plumboso blenda
carbamida
*Normalmente en solución acuosa
NH,OH CaOCI, MgO CH, Pb,.O, Ca(NO,.J, AgNO,. Pb(NO,.), S nO" PbO M nO" N"O ZnO K"CO,. KOH C:1Hs Na"O Na OH CdSO, caso.· CuSO/ Feso.,• MgSO.* Na"SO.* ZnSO.* FeS HgS PbS ZnS C"CI, Na"s "o ,. • C"HCb CO(NH"b Kl
1
Química Valores pH. Indicadores VALOR pH
El logaritmo decimal con signo negativo de la concentración de iones hidrógeno c 8 • es el valor pH de una sustancia : pH = - log, 0 e H+
1
1(}-'
1(}-2
pH
o
1
2
u
CH+
. .. -
1(}-'
...
7
ácida
neutra
1(}-12 12
'"!j 13
14
alcalina
Indicadores ácido-base Indicador
Intervalo del pH
Az ul de timol 4 -dimetilaminoazobenzol A zul de bromofenol Rojo congo A naranjado de metilo
1.2. 2.8 2.9·4.0 3.0 · 4.6 3.0 . 5.2 3.1. 4.4
rojo· amarillo rojo · amarillo naranja amarillo • rojo violeta azul violeta • rojo naranja rojo • amarillo naranja
Verde de bromocreosol Ro jo de metilo
3.8. 5.4 4.4. 6.2 5.0. 8.0 5.2. 6.8 5.2 · 6.8
amarillo . azul rojo • amarillo anaranjado rojo . azul amarillo . púrpura anaranjado amarillo • púrpura
6.0 · 7.6 6.4 . 8.2 6.4· 8.0 7.0 . 8.8 7.4. 9.0
amarillo • azul amarillo . rojo azul roj izo · anaranjado amarillo amarillo • púrpura amarillo • púrpura
T ornasol p úrpura de bromocreosol Rojo de bromofenol
Az ul de bromotimol Rojo de fenol Rojo neutro Rojo de creosol m -creosolpúrpura A zul de timol
Fenolftalefna A marlllo de alizarina GG
8.0. 9.6 8.2 . 9.8 10.0 · 12.1
Cambio de color
amarillo • azul sin color • rojo violeta amarillo claro . castaño amarillento
Reactivos.
Produ~~~~~!~!zclas
frigoríficas !
u5
REACTIVOS Clase de sustancia u u u
2 3 4
u u u
5 6
u
8
Acido
Base
7
u 9 u 10 u 11
Ozono Acido sulfhídrico Solución de amoniaco Dióxido de carbono
Indicador o reactivo
Cambio de color o efecto
papel tornasol azul fenolftaleína roja anaranjado de metilo amarillo
rojo incoloro
papel tornasol rojo fenolftaleína incolora anaranjado de metilo rojo
azul rojo
papel con yoduro de potasio papel plomo ácido clorhídrico hidróxido de calcio
rojo
amarillo azul- negro castaño- negro vapores blancos sedimentación
Obtención de productos químicos Producto a obtener
Reacción
u u u u u u u u
12 13 14 15 16 17 18 19
Acido carbónico Acido sulfhídrico Amoniaco Cloro Cloruro de amonio Hidrógeno Hidróxido de amonio Hidróxido de sodio
CaCO,. FeS CO(NH,) ' CaO Cl, NH,OH H,SO, NH,. Na, O
u u u u
20 21 22 23
Oxígeno
2KCI0 3
Sulfuro de cadmio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc
CdSO, Pb(NO,.), ZnSO,
+ 2HCI --> H2CO, + CaCI, + 2HCI--> H, S + FeCI + H 0 --> 2NH,. + co, + 2HCI--> Cl, + CaCI + H20 + HCI--> NH,CI + H,O + Zn --> H, + ZnSO, + H, O --> NH,OH --> 2NaOH + H-,0 ~30, + 2KCI + H, S .... CdS + H, SO, + H,S --> PbS + 2HN0 + H,S --> ZnS + H.SO, 2
2
2
3
Preparación de mezclas frigoríficas Reducción de temperatura (' C) u u u u u u
24 25 26
27 28 29
u30
+10 10 8
o o o
- 12 -15 - 24 -21 -39 - 55
+15
-77
+ +
Mezcla (los números indican proporciones en peso)
+ + +
4 H, O 1 KCI 1 H, O 1 NH,NO,. 1 H,O 1 NaNO,. 1 NH, CI 3.0 Hielo picado 1 NaCI 1.2 Hielo picado 2 CaCI, · 6H 20 1.4 Hielo picado 2 CaCI, · 6H, O 1 Metanol CO, sólido (hielo seco)
+
+ + +
+
1
u6
1
Humedeclmlent~~!d~e~ ~r~
Dureza del agua
ESTABLECIMIENTO DE HUMEDAD CONSTANTE EN EL AIRE DE RECIPIENTES CERRADOS Humedad relativa a 20' C (por encima de la superficie de la solución)
Solución acuosa saturada
92% 86 80 76
u 31 u 32 u33 u 34 u 35 u 36 u 37 u 38
Na"CO" · 10 H"O KCI (NH,)"SO, NaCI NH,NO" Ca(NO"b · 4 H"O K"CO" · 2 H"O Ca Cl"· 6 H"O
63 55 45 35
Elementos secantes para desecadores Agua residual después del secado a 25' C. mg/lit (aire)
Elemento secante Nombre Sulfato de cobre. anhidro Cloruro de zinc. fundido Cloruro de calcio. granulado Hidróxido de sodio Oxido de magnesio Sulfato de calcio. anhidro Oxido de aluminio Hidróxido de potasio Oxido de silicio (Kieselgel) Pentóxido de fósforo
1.4
0.8 0.14-0.25 0.16 0.008 0.005 0.003 0.002 0.001 0.000025
Fórmula
cuso. ZnCI" CaCI" Na OH MgO CaSO, Al" O" KOH (SiO"), P"O'
u u u u u u u u u u
39 40 41 42 43 44 45 46
47 48
Dureza del agua 1' en la escala alemana ldeutsche Hart e. dH) = 10 mg (CaO) / Iitro !agua) Intervalos de dureza (en dH)
O' - 4' muy blanda 4' - 8' blanda 8' - 12' medio blanda
12' · 18' algo dura 18'- 30' dura má s de 30' muy dura
lntercambiadores de iones para suav1zar el agua Zeolita : Permutita : Wofatita:
silicatos naturales de sodio y aluminio silicatos artificiales de sodio y aluminio resinas orgánicas sintéticas
u 49 u 50 u 51
Tablas Propiedades eléctricas RESISTIVIDAD p Y CONDUCTIVIDAD y DE CONDUCTORES (A 20' C)
p Material Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbón Cobre (eléc.) Constantan Cromo-Ni-Fe Estaño Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latón Ms 58
n · mm'/m 0.13 0.0278 0.417 0.076 40 0.0175 0.48 0.10 0.12
1 0.10 8.00 0.059
1
y= ¡;
Material
7.7 36 2.4 13.1 0.025 57
Latón Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Níquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc
208 10 8.3 1
10 0.125 17
p n · mm'l m 0.071 0.0435 0.423 0.941 0.087 0.5 0.0222 0.016 0.369 0.111 0.208 0.059 0.061
Y=¡;
.
14 23 2.37
1.063 11 .5 2.0 45 62 .5 2.71 9 4.8
17
16.5
RESISTIVIDAD p DE AISLANTES Material
-------+ Aceite de parafin a Agua de mar Agua destilada Ambar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mármol
n · cm 10" 1O" 10' 10" 10" 101" 10 ~
n ·cm
Material
1017 1018
Mica Parafina (pura) Plex iglás Polistireno Porcelana Tierra húmeda Vidrio
10 1''
1018 10"
10" 10 1"
COEFICIENTE TERMICO DE RESISTENCIA ac, (A 20' C) Material
(' C-1, K- 1)
Material
(' C-1, K- 1)
Acero dulce Aluminio Carbón Cobre Constantan Estaño Grafito Latón
+ 0.00660 + 0.00390 - 0.00030 + 0.00380 - 0.00003 + 0.00420 - 0.00020 + 0.00150
Manganina M ercurio Níquel Niquelina Plata Plata alemana Platino Zinc
+ 0.00090 + 0.00400 + 0.00023 + 0.00377 + 000070 + 0.00390 + 0.00370
± 0.00001
1
z2
Tablas Propiedades eléctricas
1
CONSTANTE DIELECTRICA E, Material aislante E, Aceite de oliva 3 Aceite de parafina 2.2 4.7 Aceite de ricino Aceite mineral pltransf. 2.2 Aceite vegetal pltransf. 2.5 Agua 80 t Aire Aislam. plcable alta 4.2 tensión Aislam. plcable 1.5 telefónico Araldita 3.6 3.6 Baquelita Cartón comprimido 4
Material aislante Caucho (hule) duro Caucho (hule) suave Compuesto (compounrf) Cuarzo Ebonita Esteatita Fibra vulcanizada Gutapercha Laca (shellac) Mármol Mica Micanita Papel Papel impregnado.
E,
4 2.5 2.5 4.5 2.5 6 2.5 4 3.5 8 6 5 2.3 5
Material aislante Papel Kraft Papel pescado Parafina Petróleo Pizarra Plexiglás Poliamida Polistireno Porcelana Resina fenólica Tetlón Tela Trementina (aguarrás) Vidrio
E,
4.5 4 2.2 2.2 4 3.2 5 3 4.4 8 2 4 2.2 5
SERIE DE POTENCIALES ELECTROQUIMICOS Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material Aluminio Berilio Cadmio Calcio Cobalto Cobre Cromo Estaño
Volts - t .66 -t .85 -0.40 -2.87 -0.28 +0.34 -0.74 -0.14
Material Hidrógeno Hierro Magnesio Manganeso Mercurio Niquel Oro Plata
Volts 0.00 -0.41 - 2.37 - 1.19 +0.85 -0.23 +1 .50 +0.80
Material Platino Plomo Potasio Sodio Tungsteno Zinc
Volts +1 .20 -0.13 -2.93 -2.71 -0.58 -0.76
Números estandarizados mediante una razón progresiva de acuerdo con la serie E (Ejemplo para E 6 a E 24) Serie E 6 (• 2.2
1.0
1.5
10
3.3
22 etc.
!Jlo) 4.7
6.8
47
Serie E 12 (• ~) 1.0 2.2 4.7 1
1.2
2.7
5.6
1.5
3.3
6.8
1.8
3.9
8.2
10
22 etc.
47
Serie E 24 (• ~) 1.0 2.2 4.7 1.1 2.4 5.1 1.2 2.7 5.6 1.3 3.0 6.2 1.5 3.3 6.8 1.6 3.6 7.5 1.8 3.9 8.2 4.3 9.1 2.0 10 22 47 etc. 2
IZ3
Tablas Propiedades magnéticas
INTENSIDAD DE CAMPO H Y PERMEABILIDAD RELATIVA ¡.c., EN FUNCION DE LA INDUCCION MAGNETICA B DESEADA Inducción o densidad de flujo
Hierro fundido
Acero fundido y lámina tipo "dynamo" PFol O
B
H
tesla gauss (T =V·s 1m 2 ) (Gs)
,. . ,
A/ m
= 3.6 W/ kg ¡.c.,
H
A/ m
lámina de acero aleado P F• I O
= 1.3 W/ kg
H
,. . ,
A/ m
0.1 0.2 0.3
1000 2 000 3000
440 740 980
181 215 243
30 60 80
2 650 2 650 2 980
8.5 25 40
9390 6350 5 970
0.4 0.5 0.6
4 000 5 000 6000
1 250 1 650 2100
254 241 227
100 120 140
4180 3310 3 410
65 90 125
4900 4 420 3810
0.7 0.8 0.9
7 000 8000 9000
3 600 5 300 7 400
154 120 97
170 190 230
3280 3 350 3110
170 220 280
3280 2900 2 550
1.0 1.1 1.2
10000 10300 11000 14000 12 000 19 500
77 63 49
295 370 520
2 690 2360 1 830
355 460 660
2 240 1 900 1 445
1.3 1.4 1.5
13 000 29 000 14 000 42 000 15 000 65 000
36 26 18
750 1 250 2000
1 380 890 600
820 2 250 4 500
1 260 495 265
1.6 1.7 1.8
16 000 17 000 18000
3 500 7900 12000
363 171 119
8 500 13100 21 500
150 103 67
1.9 2.0 2.1
19000 20000 21000
19100 30500 50 700
79 52 33
39 000 115 000
39 14
2.2 2.3
22 000 23 000
130 000 218 000
13 4
- - - límite práctico
1
z4
Tablas Propiedades magnéticas
1
VALORES PARA LAMINA TIPO "DYNAMO" (DE LA NORMA DIN 46 400) Lámina de aleación Clase
Lámina normal
baja
mediana
alta
Tipo
13.6
113.0
1112.3
IV 1.5 IV 1.3
Tamaño mm x mm
1000 X 2000
750 X 1500
Espesor, mm
0.5
0.35
Densidad , kg/dm'
7.8
7.75
7.65
Valor máximo de las pérdidas, W/kg
Pt' 1 kJ / {kg
o
·K) = 0.2388 kcal / (kg · K)
-
-
45 50 100 -106
''' A t = 100"C
z 11
Tablas Propiedades térmicas de materiales
COEFICIENTE DE DILATACION LONGITUDINAL o: EN (10-6 ) (K- 1 ) (para t de a 1
o oo·c)
Sustancia
Sustancia
0:
Acero dulce Acero níquel (= lnvar con 36% Ni) Aluminio Bismuto Bronce Cadmio Cobre Constantan Cuarzo Estaño Esteatita
12.0 1.5 23.8 13.5 17.5 30.0 16.5 15.2 0.5 23 .0 8.5
0:
10.5 18.5 5.2 13.0 14.2 19.7 18.0 9.0 29.0 40 4.5 300
Hierro fundido Latón Molibdeno Níquel Oro Plata Plata alemana (alpaca) Platino Plomo Porcelana Tungsteno (wolframio) Zinc
COEFICIENTE DE DILATACION VOLUMETRICA fJ EN K- 1 (para t = 15. C) Sustancia Agua Alcohol Bencina (gasolina) Eter Glicerina
Sustanoia
f3 0.00018 0.0011 0.001 0.0016 0.0005
f3
Mercurio Petróleo Trementina (aguarrás) Tolueno (toluol)
0.00018 0.001 0.001 0.00108
COEFICIENTE DE TRANSMISION DE CALOR k EN W(m' · K) * Material de pared Caliza Concreto armado Concreto de escoria Concreto de grava Madera Ladrillo Vidrio
0.3
1
Espesor en centímetros 2 5 12 25 38 4.3
3.8 5.8
4.1 2.4
3.1 3.5 2.7 3.4 1.7 2.9
51
2.2
1.7
1.4
1.7 2.3
1.4
1o
2.0
1.5
1.3
5.3
Ventanas Vidrio sencillo. amasillado (con mástique) Vidrio doble. 2 cm de separación . amasillaóo Vidrio doble, 12 cm de separación. amasillado Techo de tejas. sin y con material para juntas
5.8 2.9 2.3 11 .6 y 5.8. respectivamente
* Valor aproximado para aire con movimiento ligero en ambos lados de la pared
1
z 12
Tablas 1
Propiedades térmicas de materiales
CALOR DE FUSION (POR UNIDAD DE MASA) 11 Sustancia
kJ / kgO l
Acero Aluminio Antimonio Azufre Cadmio Cobalto Cobre Cromo Estaño Eter etílico Fenal Glicerina Hielo Hierro colado
205 377 164 38 46 243 172 134 59 113 109 176 335 126
Sustancia
kJ / kg
Latón Manganeso Mercurio Metal (aleación) Wood Naftalina Níquel Oro Parafina Plata Platino Plomo Potasio Zinc
168 155 11 .7 33.5 151 234 67 147 109 113 23 59 117
CALOR DE VAPORIZACION (POR UNIDAD DE MASA) 1, (a 1.0132 bar = 760 Torr) Sustancia Agua Alcohol Amoniaco Cloro Clorometilo Dióxido de azufre
CONSTANTE DE GAS Sustancia Acetileno Aire Amoniaco Dióxido de azufre Dióxido de carbono
kJ / kg 2250 880 1410 293 406 402
Sustancia
kJ / kg
Dióxido de carbono Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Oxígeno Tolueno (toluol)
R'' ' EN J(kg · K)Y
595 503 281 201 214 365
MASA MOLAR M (EN Kg / kmo l)
R
M
Sustancia
R
M
319 287 488 130 189
26 29 17 64 44
Hidrógeno Monóxido de carbono Nitrógeno Oxígeno
4124 297 297 260
2 28 28 32
" ' 1 kJ / kg = 0.2388 kc al/ kg
"' 1 J / lkg ·KJ = 0.102 kgf ·m/ kg ··c)
z 13
Tablas Propiedades térmicas de materiales
CAPACIDAD TERMICA ESPECIFICA (MEDIA) e, DE GASES IDEALES EN kJ/(kg ·K) EN FUNCION DE LA TEMPERATURA t
co
co,
N,
N2
H,
H, O
puro
atm.
o,
so,
Aire
1.039 1.041 1.046 1.054 1.064
0.8205 0.8689 0.9122 0.9510 0.9852
14.38 14.40 14.42 14.45 14.48
1.858 1.874 1.894 1.918 1.946
1.039 1.041 1.044 1.049 1.057
1.026 1.031 1.035 1.041 1.048
0.9084 0.9218 0.9355 0.9500 0.9646
0.607 0.637 0.663 0.687 0.707
1.004 1.031 1.013 1.020 1.029
900
1.075 1.087 1.099 1.110 1.121
1.016 1.043 1.067 1.089 1.109
14.51 14.55 14.59 14.64 14.71
1.976 1.068 2.008 1.076 2.041 1.087 2.074 1.098 2.108 1.108
1.057 1.067 1.078 1.088 1.099
0.9791 0.9926 1.005 1.016 1.026
0.724 0.740 0.754 0.765 0.776
1.039 1.050 0.061 1.072 1.082
1000 1100 1200 1300 1400
1.131 1.141 1.150 1.158 1.166
1.126 1.143 1.157 1.170 1.183
14.78 14.85 14.94 15.03 15.12
2.142 2.175 2.208 2.240 2.271
1.118 1.108 1.035 1.128 1.117 1.043 1.137 1.126 1.051 1.145 1.134 1.058 1.153 1.142 1.065
0.784 0.791 0.798 0.804 0.810
1.092 1.100 1.109 1.117 1.124
1500 1600 1700 1800 1900
1.173 1.160 1.186 1.193 1.198
1.195 1.206 1.216 1.225 1.233
15.21 15.30 15.39 15.48 15.56
2.302 1.160 1.150 1.071 2.331 1.168 1.157 1.077 2.359 1.174 1.163 1.083 2.386 1.181 1.169 1.089 2.412 1.186 1.175 1.094
0.815 0.820 0.824 0.829 0.834
1.132 1.138 1.145 1.151 1.156
2000 2100 2200 2300 2400
1.204 1.209 1.214 1.218 1.222
1.241 1.249 1.256 1.263 1.269
15.65 15.74 15.82 15.91 15.99
2.437 2.461 2.485 2.508 2.530
1.192 1.197 1.202 1.207 1.211
1.180 1.186 1.191 1.195 1.200
1.099 1.104 1.109 1.114 1.118
0.837
1.162 1.167 1.172 1.176 1.181
2500 2600 2700 2800 2900 3000
1.226 1.230 1.234 1.237 1.240 1.243
1.275 1.281 1.286 1.292 1.296 1.301
16.07 16.14 16.22 16.28 16.35 16.42
2.552 2.573 2.594 2.614 2.633 2.652
1.215 1.219 1.223 1.227 1.230 1.233
1.204 1.207 1.211 1.215 1.218 1.221
1.123 1.127 1.131 1.135 1.139 1.143
t (' C)
o 100 200 300 400 500 600 700 800
Calculada a partir de datos en E. Schmidt. Einführung in die Technische Thermodynamik, 9a . edición. Springer, 1962, Berlin / Góttingen/ Heidelberg .
1.185 1.189 1.193 1.196 1.200 1.203
1
Tablas Propiedades térmicas de materiales CONSTANTE DE RADIACION
Material Acero mate Acero pulido Agua Aluminio mate Aluminio pulido Cobre oxidado Cobre pulido Estaño pulido Hielo Hollín Ladrillo
e
EN (10-') W 1m 2 · K' ) A 20' C
e
Material
e
5.40 0.34 3.70 0.40 0.23 3.60 0.28 0.34 3.60 5.30 5.30
Latón mate Latón pulido Madera cepillada Níquel pulido Plata pul ida Porcelana vidriada Vidrio liso Zinc mate Zinc pulido Superficie del cuerpo negro (radiador absoluto)
1.25 0.28 4.40 0.40 0.17 5.22 5.30 5.30 0.28 5.67
COLORES DE INCANDESCENCIA DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono rojo rojo rojo rojo rojo rojo
oscuro cereza oscuro cereza medio cereza claro claro muy claro
t (' C)
Tono
680
rojo amarillento amarillo amarillo claro blanco
740 770 800 850
t (' C)
950 1000 1100 1300 o más
900
COLORES DE ESTIRADO DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono
amarillo pálido amarilla paja castaño (café) púrpura violeta
t ('C) 200 220 240 260 280
Tono
azul plúmbago azul claro gris azul gris
t ('C) 300 320 350 400
.
t;fJ
r·~·21oo[ffl +
~ eg-ión de tra nsición
~
~- - 1,14- 2,0 1oo(k/ di
112
k/d=
' -
'-
-
-
~
~l.'·"'o·' ~¡'
"'
\ [ T'N_ .r-:,\ 1 1
1::
~
2
1
:::-:::::
-........::::::
~:::;::
Nota: Para tubos de sección no circular
2
J
' -
kl d
•
2
'
~ O'
debe sustituirse por
5 8 10'
-l'p, .._
U,), , ~ -'. f1UJ.¡J_ ::::i==4:+$!J:ttj::::::j:::j~~h.i dráulicamente rugosof+f===f=R: ;
~
~
9
10"1
C"
---4 1»
1»
(1'1
...,¡,
N
f-
~~~
~ !1>
"
-
.,.,.
!!!.
o :S
n
ñ
¡¡¡-
. -en
n
:S
CD
~
(11
CD
CD
1:1.
.
~
!l
111
,
z 16 1
Tablas Propiedades hidrodinámicas RUGOSIDAD k (De Richter. Rohrhydraulik)
Material y clase de tubería
Estado
k en mm
Tubo de acero sin costura . laminado o extruido (cali dad comercial) , nuevo
de laminado típico decapado galvanizado por inmersión galvanizado comercial
0.02-0.06 0.03-0.04 0.07 - o 10 0.10-0.16
Tubo de acero. usado
con oxidación uniforme normal con oxidación moderada e incrustación ligera incrustación mediana incrustación intensa limpiado después de uso prolongado
Tubo de hierro fundido
de fundido típico. nuevo embetunado, nuevo oxidado con incrustación limpiado después de uso prolongado de tipo medio en instalaciones urbanas muy oxidado
Tubo de lámina de acero soldada o remachada
aprox. 0.15 0.15 - 0.4 aprox . 1.5 2-4 0.15-0.20 0.2-0.6 0.1-0.13 1 - 1.5 1.5-4 0.3 - 1.5 1.2 4.5 aprox . 0.15
soldado. nuevo remachado. nuevo con costura ligera con costura fuerte limpiado. de 25 años de uso. severamente incrustado
aprox . 1 hasta 9
12.5
VISCOSIDAD DINAMICA r¡ EN kg / (m · s) (Valores aproximados)
Agua
r en •c X 10
Aceites para motores SAE X 1Q-3
o 5
40 65
50 55
60 47
70 41
80 36
100 28
45 29 10 310 120 79 52 95 20 720 320 170 30 1530 600 310 150 86 40 2610 950 430 220 120 50 3820 1530 630 310 160
20 33 61 72 97
13 22 34 45 59
10 16 24 31 41
6 12 17 22 28
5 7 10 12 15
179
10 20 131 100
30 80
30 20-5
5
50 80-95
0-0.1 7
16-8 9
Plata alemana (alpaca) Tumbaga
0-6 9
43-36
0-1
10 10-18
30 82 -86 70
85
Metal Monel Metal rojo Metal rojo duro
80-73
8
2-18
Al
5 5-9 55-63
0.1
2-1
95
1
20-17 7-11
Sb
0-1.5
0.5
4
Fe
20
70
-0.06
10
50-30 0.5 15
Ni
-0.01
-0.8
p
Proporciones en peso en % (promedios) Sn
Metal antifricción Metal Babbitt (o blanco) Metal Delta
32 39.4
20-43 38-43
16.5
Pb
80
80-57 60-56
Estaño-plata Latón Latón duro
60 50
50-70 82 79
Bronce de níquel Bronce para chumaceras Cuproníquel
0-4
Zn
Latón de aluminio Latón de níquel Magnalio
80-83 86-90 98-82
Cu
Bronce Bronce fosforado Bronce de aluminio
Aleación
Mn : -
Mg: 20
Ag: 5
Mn : 2
Otros
1
N
90 000
110 000
-
100 000
220 000
210 000
210 000
Módulo elástico E
*Ver explicaciones en P 1
CuSn6 F56
Bronce fosforado
D-Cu F20
Cob re lammado
GTW -35
Hie rro maleabl e
GG-14
Hierro fur.dtdo
GS -38
Acero fundido
St 50-11
Acero dulce
St 37 -11
Acero dulce
Material
1
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
Clase de carga*
50- 75 33- 50 17- 25
35- 50 23- 50 12- 17
50- 80 33- 53 17- 27
60- 90 40- 60 20- 30
40- 54 27 - 36 13- 18
45- 70 30- 47 15- 23
35- 45 27- 37 20- 30
-
-
60-120 40- 80 20- 40
140-210 90-135 65- 95
100-150 65- 95 45- 70
171( pe rm. )
Esfuerzo de tensión
80-100 53- 67 27- 33
100-150 70-100 36- 50
80-120 50- 70 27- 33
a a (penn.)
Esfuerzo de aplasla miento
60- 90 -
40- 54 27- 36
-
60- 90 40- 60
85-115 55- 75 20- 30
90-150 60-100
140-210 90-135 65- 95
100-150 65- 95 45- 70
f7c (pe rm. )
Esfuerzo de compresión
60- 90 40- 60 20- 30
40- 54 27- 36 13- 18
45- 70 30- 47 15- 23
40- 55 25- 40 20- 25
90-120 60- 80 30- 40
150-220 100-150 70 -105
45- 70 30- 47 15- 23
-
45 - 70 30- 47 15- 23
-
-
30- 40 20- 27 10- 13
30 - 45 20- 30 15- 20
36- 48 24- 32 12- 16
85-125 55- 85 40- 60
65- 95 40- 60 30- 45
Tf (perm.)
Esfuerzo por torsión
-
35 - 50 25 - 35 20- 25
72 - 95 48- 64 24- 32
96-144 64- 96 32 - 48
72-100 48- 75 35- 50
T (pe rm.)
a¡(pcrm.)
110-165 70-105 50- 75
Esfuerzo cortante
Esfuerzo por flexión
C/1
c.
C»'
'ti
o
.,... (\)
VI
l
'3
z
C/1
...
-
m
C"
..... m
~ VI
¡;-
111
3
0 c. (\) VI
111
ñ'
:::1
111•
¡¡; 3 ¡¡¡ (\) m n
3:::
111 m c. lQ
"D
oC/1
N
lQ
m
e
"TI
..... m
(X)
N
A: B: C:
117 000
110000
142 000
110000
210 000
E
Módulo elástico axial
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
Clase de carga *
300 220 150
200 150 100
300 250 200
200 150 100
1000 750 500
A
150 110 80
100 80 50
150 120 100
50
80
100
500 350 250
B
U/(perm.)
50 40 30
40 30 20
50 40 30
40 30 20
80
150 120
e
Esfuerzo por flexión
Para resortes sencillos (factor de seguridad FS "" 1.5) Para resortes curvos y enrollados (FS "" 3) Para resortes sin efecto secundario (FS "" 10)
* Ver explicaciones en P 1
CuSn8 HV190
Bronce
CuSn6 Zn HV190
Bronce
CuNi18 Zn20 HV160
Plata alemana
CuZn37 HV150
latón
Acero para resortes C75, templado y reven ido
Material
45 000
42 000
55 000
42 000
80 000
Módulo elástico angular G
200 180 150
80
120 100
200 180 150
80
120 100
350
650 500
T r(perm .)
Esfuerzo por torsión
r-o -e o.zo
,3:
o~ en m "Den )>"D %10 l>%1
o-
-
~
Q.
CD
C"
m
111
¡¡-
CD 111
3
CD
Q.
"' ..
111 111
:::11
111•
-
-4
m ñ
()
3
CD 111
111
Q.
"'
o ¡¡-
..
co
N .....
... _en f - -
.-m ]>%1 en3:
m"~~
men
-r-o
3%1m 3-%1 " )>N
~;;lt!
_,en
%lOO
¡;lm< en¡¡:m
rnag oz,.
%1-1 %len-
%1m ...... o~
o"Dom
<en
~o
z 20
Tablas Fricción y rodamiento
COEFICIENTES PARA FRICCION CINETICA (¡.t) Y FRICCION ESTATICA (p. ..) ¡.t
Material en contacto
o u en eQ) Q)
sobre
bronce h. fund . acero
0.20 0.1 8 0.18
Encino
encino 11 encino =!=
0.50 030
Hierro fundido(grisl
h. fund . acero
0.18
Caucho (hu le)
asfalto concreto
0.50 0.60
Cuerda de cáñamo
madera (común)
Banda de cuero
encino h. fund .
0.40 0.40
Acero
encino hielo acero
0.014 0.10
Bronce
"' ::J
Cl
"'
e o u
0.10
Q)
e u e: "' ·¡;:
o .o u.=1
0.06 0.08 0.07
"'" o u Q) en e Q)
"'Cl ::J
"'oe u
Q)
e "'u e: ·¡;:
o .o u.=1
0.11 0.19 0.60 0.50
0.31
0.10
0.16 0.33
0.30 050
0.20 0.30 0.50
0.40 0.08
0.20
0.50 0.40
0.26 0.10
0.50
0.25
0.65
0.30
0.027 0.15
0.12
RESISTENCIA AL RODAMIENTO
Materiales en contacto Caucho sobre asfalto Caucho sobre concreto Madera lignum vitae sobre madera /. vitae Acero sobre acero (duro : cojinetes) Acero sobre acero (suave) Olmo sobre madera /. vitae
Factor f en mm *
1.0 1.5 5.0 0.05 0.5 8.0
11 Movimiento en la dirección de las fibras de ambos cuerpos =!= Movimiento perpendicular a las fibras * Brazo de palanca de la fuerza resistente.
Tablas Luminotecnia ILUMINACION MEDIA E, (lux) Sólo para alumbrado general
Tipo de instalación Talleres, de acuerdo con la clase de trabajo
rudo normal preciso muy preciso
80 160 300 600
Habitaciones. en que el alumbrado es
débil moderado brillante
40 80 150
Alumbrado público, en sitios con tránsito
escaso mediano intenso muy intenso
5 10 20 40
Patios de fábricas. con tránsito
ligero pesado
5 20
Alumbrado general y localizado General Localizado
100 400 1000 4000
20 40 80 300
EFICACIA DE ILUMINACION r¡ Tono de claro
Tipo de alumbrado Directo Indirecto
col~r
0.50 0.35
en la superfi lcie iluminada 1 mediano oscuro
1
0.40 0.20
1
0.30 0.05
l
Con reflector amplio 1 0.40 1 0.45 ' FLUJO LUMINICO , (kllolúmenes, klm) profundo
Público
Lámparas incandescentes, de tipo normal (al voltaje de 220 V) Lámparas fluorescentes. tubulares de 38 mm de diámetro. Para tipos "blanco claro" v " luz de día " Lámparas de vapor de mercurio, alta presión P e!.
P e!.
, P el.
/
"
--F' = - ( F--r) e
F' · sen 'P
(M
f
x
O;
~
r, F ~ O ) ~
j
~1
Funciones racionales Función de fracciones racionales. Descomposición
1
Función de fracciones racionales () P(x) _ ao+a,x+a,x1 + .. . +amx m n> m IJ x = "Q\xT - b o + b 1 x + b 1 x 1 + ... + b , x " n y m enteros Los coeficientes a., b, pueden ser reales o complejos. Si n1 son las raíces de O(x), se obtiene la forma factorizada: b' 1
P(x) y(x) =
P(x)
Q\xT = a(x-n,)"·(x-n,)' 1 .. . (x-n, )'•
En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k,, k 2 . ... •o de O(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante.
Descomposición en fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de y(x) - por ejemplo, para su integraciónes conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales: b'2
y(x)
=Q(""XT P(x) = ~ + x-n,
A11 A, ., ~ + . · .+ ~ +
+~+ ~ x-n ( x-ntl'
+ .• • +
2
+
b '3
XA~~.
~ ( x-n ) "
+ (
x~~ ,)'
+ ••. +
1
1
+' ' '+
(
XA~~:)•o
Si los coeficientes de O(x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en b' t , n2 = n, (compleja conjugada de n 1 ,) y debido a su aparición por parejas k 1 = k2 = k, entonces las fracciones parciales de b'2 con las constantes A 11 . . . A2k 2 pueden agruparse en las siguientes fracciones parciales: B , ,x + Cn + B12x+Cu + + Blkx+Clk x 2 + ax + b (x'+ax + b)' (x 1 + ax + b)' Las constantes A11 . . . Aq.q, 8 11 . . . 8 1, y C 11 •• . se determinan igualando los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación, después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones parciales, se toma el común denominador O(x). Ejemplo: (x)= 2x-1 =2x-1 = 8 11 x+e,+~+~ !/ (.r+1-2iJ(.r+1+2i) (.r+1Jl Q{X) X2+2X+5 H1 {H1) 1
C,,
2x-1 8,x(x+1)'+e, (.r+I)'+A.,( .r+1) (x'+2.r+5 )+A 9, (x1+2.r+5)
QTXT-
Q(x)
2x-1= (A , ,+ 8,)x 3 + (3A,, +A, + 28, + e,)x2 + + (7 A, , + 2A,, + 8, + 2e,)x + 5A, , + 5A,, + e, Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene:
8, = -1/2;
e,
= 1/4;
A, ,= 1/2;
A, 1 = -3/4 .
Cuando se tienen rafees sencillas n1, las constantes A 11 , A 2 1 , ecuación b'2 pueden calcularse como sigue: b'4
A,= P(n , )IQ' (n,); A21 = P(n 1 )/Q ' (n 2 );
•••
... ,
A 01 de la
A,= P(n, )/Q ' (n,)
Transformadas de funciones Transformada de Fourier Generalidades Con la transformada de Fourier F{s(t)} se lleva a cabo, con ayuda de la Integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro continuo (densidad espectral) S(w), en el cual la frecuencia corresponde a la densidad del espectro: s(t) debe tener las siguientes propiedades: a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(t) sea continua y monótona. b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t +O) y s(t-0) de modo que pueda expresarse
c'1
c'2
s(t) -
'h[s(t + 0)
+ s(t) + O)]
e) ser tal que_., Íls(l) 1 d t converja. La transformada inversa F-'{S(w)} conduce a la función tiempo.
Definiciones +CO
= S(w) =
Js(t)
1
=F
1 Js(w) e i~ r · dw; 2.lt-co
1
=F
c'3
F{s(t)}
c'4
F-'{S(w)} = s(t) = -
c'5
..,
1 ·~
+00
Jisl' · dt
Energfa} espectral
-oo
=
Jis<wW · dw
2 ,. -oo
Reglas de operación c '6 c '7
Oesplazamientoentiempo F{s(t-r)} = S(w)·e- i"''; Convolución
s,(t) .. s.(t)
c'8 c'9
i
=P
•"'
= Js 1(r) · s 2( t - r ) · dr
..,
= Js2(r) · s 1 (t -r)·dr
_.,
F{s 1(t)
* s2(t)}
{se t >}
c' 10
F
c'11
F{s(at)}
c'12
F{s 1(t) + s 2(t)}
= S 1 ( w )·S2 (w) = S(w) = 1~1 scflsiempre que a >
o
St(w) + S2(w) (continúa en C'2)
1
Transformadas de funciones Transformadas de Fourier (continuación de C' 1) n seguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas mportantes funciones del tiempo.
c'13
S(w); ¡""s(t}·e· ;wt ·di
, , ..,. , ¡~
Función tiempo s(t) Función rectángulo A • R , ( t )
~f 1
(
T
- oo
Densidad espectral S(o¡ ~~ O para t O:
e -•VP
-•'
-¡;-¡
_ a_ _ 2 ty¡¡T e
para a~O:
1 p
- e - •fP 1
YP2 + k 2
erf c
2
'fy
J 0 ( kt ) {Función de Bessel
1
Ecuaciones diferenciales Conceptos generales Concepto de ecuación diferencial (ED) Una ED es una ecuación que contiene funciones , derivadas (o diferenciales) de estas funciones y además variables independientes . Hay que distinguir entre: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), en las que las func iones buscadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo .:
d' 1
y= [ !x)
y " + 2x2y = sen x
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones buscadas dependen de diversas variables independientes ; por ej .:
a zx
d'2
ou·ov
= x2·v·w ~ . ~
ou ov
X=
f( u ,
V, IV)
Las EDP no se exponen aquí en forma separada , ya que los métod os de las EDO pueden aplicarse a ellas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias d'3
d '4
Forma: F (x, y(x) , y'(x), ... y i•J(x)) = O. En esta expresión y (x) es la función buscada; y' ... y '" ' son la primera y sucesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente . Ejemplo: y"' (x) + m (x} ·y' (x)
+ n (x)y2(x) +
p (x)y = q ( x ).
d '5
Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3.
d'6
Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación al expresar ésta en forma polinomial , o sea, al racionalizarla.
d '7
ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED lineales son siempre de primer grado.
d 'S
ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual a O; es decir, q(x) = O.
d'9 d ' 10
ED no homogénea; en ésta, q(x)
* O.
Solución: es una función, y - y(x), que junto con sus derivadas satisface idénticamente la ED. La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar soluciones. Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La integral general de una ED de orden n contienen constantes arbitrarias: C 1, C2 , .. ., Tales constantes adquieren valores definidos cuando se especifican las condiciones iniciales y(x 0) = y 0 ; y'(x 0 ) • y ' 0 ... y ln - •1 (x 0 ) y l• - 11.
c•.
d ' 11
La integral particular de una ecuación diferencial es una solución especifica de la ecuación.
1
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Métodos para resolver una ED 1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse con un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase o ·s . 0 '8, ... , 0 '12). 2. Empleo de una sustitución especial (Véase 0 '8) Efectuando tal sustitución , la ED con frecuencia puede reducirse a una de menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase 0 '9, .... 0 '12). 3. Empleo del método de los operadores. en especial de la transformada de 6). Laplace (Véase C' 4 ...
e·
Ecuaciones diferenciales lineales (EDL) d ' 12
Forma: En esta ecuación , y = y(x) es la función buscada; y ' ... yn son la primera y sucesivas derivadas hasta la de orden n de y(x) ; p 1 (x) ... Pn(X), son funciones de x. Solución general de la EOL no homogénea
d' 13 Solución de la ED homogénea: Yhom · La Yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se hace q(x) - O. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n soluciones independientes YJ, y 2 • . .. , Yn con n constantes arbitrarias independientes C, ... , Cn. d ' 14 (En 0 '9 ... 0 ' 12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo órdenes). Solución particular de la ED no homogénea: Ypart· La Ypart se obtiene para q(x ) *O. En 0 '3, 0 '6 y 0 '7 se indican procedimientos para encontrar estas soluciones; en 0 '9 y 0 '12 se dan algunas soluciones para la Ypart de ED lineales de primero y segundo órdenes.
1
Ecuaciones diferenciales
D'a
Ecuaciones diferenciales lineales Solución particular
Obtención con el método de la variación de parámetros Si se conoce la Y11om de una EDL de orden n (véase 0 '2, 0 ' 6) , la siguiente sustitución conduce siempre a una solución particular:
d' 15
= C1(x) ·y 1 +
Ypart
C2(x) ·y2 + ... + C.(x)·y •.
Método para la determinación de C 1(x), C 2 (x), ... ,C.(x): Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas:
d' 16
Cj(x)·y 1 + Cí(x) ·y 2 + .. . + C~(x) ·y. =O Cj(x) ·y 1 + Cí(x)·y2 + .. . + C~(x)·y~ =O Cj(x)·y 11•-2J + Cí(x)·yi•- 21 + ... + C~(x) ·y.l•-2! = O Cj(x)·y 11•-!J + q(x) ·y21•-lJ + ... + C~(x) ·y.f• -l) = q(x)
n del sistema anterior de ecua·
d' 17
Determínense las C¡'(x) para i ciones simultáneas.
d' 18
Intégrense las C¡'(x) para i - 1, 2 , .. . n a fin de obtener las C¡(x) de la sustitución hecha para y . Ejemplo: Encontrar la Yparl de la ED:
d' 19
y"
+ ..!... y' X
d' 20
Según d'111
Yhom
1, 2, ...
2x. =
d' 21
Jc1e-f}dz.dx +C2 =
C 1 · 1nlxl+~
= C 1 • y¡(x) + C2 · Y2(x)
en donde y 1(x) = lnlxl y y 2(x) = 1
d'22
Sustitución :
d' 23
Sistema de ecuaciones simultáneas Indicado en d'16
d'24
Ypa"
= C 1(x}y 1 + C2(x) ·y 2
{ Cj(x) ·lnlxl + Cí(x) · 1 = O Cj(xJ·} + q(x) . o = 2x
Resolviendo el sistema se obtiene: Cj(x) = 2x2; q(x) = -2x2· 1nlxl Integrando Cj (x) y Cí(x)
d' 25 d' 26
C¡(x)
=
íx3;
C2(x) = -
%x3 (lnlxl
~: :~:~~i:;sbusycada = 1x3 · lnlxl -1x3 (lnlxl • part 3 3
- }
.!.) ·1 3
J 2
= 9x
3
Solución general:
d'27
2 Y = Yhom + Ypa" = C¡ · lnlxl + C2 + 9x3 • Comprobación:
y"+
y' = C¡ + lx2 x 3
L x
- x2 C¡
y• = - C¡ + x2
+ ix +· 9. + 1_ x = 2x
3
x2
3
.±3 x
1
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Ecuación diferencial lineal de primer orden d'28
Forma: y' + p (x)y = q(x). La forma corresponde a la dada en 0 '2, d'12 paran = 1; la derivada de mayor orden que aparece es y '. En 0 '2 y 0 '9 se dan soluciones para y, Y11om, Ypart ·
d'29
Ejemplo:
f
y' +
y =
= sen X
Según d' 100, p(x) = :}
d'30
Yhom + Y pon
q(x) =sen x.
Según d'99, la solución homogénea es: d '31
Y hom = C¡"e
- lnl.rl e = C¡·e = :/
·J.! dx x
C1~ 0 .
con
Según d '100, la solución particular se calcula con la expresión: d'32
-J.!x dx
fsen x· e J ·dx ·e J(sen x·eln lxl) dx·e- ln lxl = J(sen x • x )dx·i .! dx x
Ypan
1 ¡sen x - cos x 1
d'33
Y = Y hom + Ypart = ¡(C¡ +sen x ) -
Comprobación : y '
y' + 1. X
cos
X.
- xzC1 + x cos xx -sen x + sen x 2
sen x
d'34
C 1 ~ O; C1 adquiere un valor definido, si por ejemplo
J+2q!•J·yd•Jid.r dx]
y(x) = y 1(X)
y(x) = u(x)+y 1(x) z' - (p(x) + 2q(x)·y 1(x) ]·z = q(x)
1-n
X = f(p) y = f pf'(p) ·dp +e
Solución
dx = ....K.leLx + ...1'JEj_
z = y l ~n EDde y'+ p(x)y+q(x)y" = O z Bernoulli y= zr=n de orden 1 con n * O; n* 1 y grado n y' =1 -· zl~n·z'
ED de Clairaut
c.> de orden
o. ED de dAiam·¡ . ~ bert, lmplfcita y = x ·g(y' ) + f(y ' )
"'
o
ED impHcita de orden 1, sin term. en y
Tipo
::::S
O
-·
m
(')
(')
o
e_.
....
-:S - -
~tn
... (1)
ID - ·
-.m o-
3
"C(I) ~- ::S
ID'""
~~~a.CD
¡- - ·
¡¡¡-c.
(')
~tn
!!l(l)
a. :O:
:S ID 111
o
!lC
gtm
iin
~
~
"'
o
~
"'
ID
o
"'
O>
o
"'
o
"'....,
Forma
y = e r.t
Expresión por sustituir
+ "oY = q(x) Y= Yhom + Ypa"
EDL homogénea de orden y• 2; sin y explicita
+
p 1(x)f =
o
y' = u y • =du dx
Solución
Yhom
e, y c 2 son constantes arbitrarias A= C1 + ~ B = i (C¡- C2)
Empezar el cálculo con la integral interna
Observación
y{x) C¡ X' l
y
=f
*
s
= Yhom
a - i (J
C 1·e - f p¡(xJdx.Cix + C2
+ i(J y (2
xa [A ·cos ({J·t nlxl) + + B ·sen{{J·In lxiJ]
'2 1-b¡ +J(b¡ - 1)2 - b 2 4 o
+ C2 ·xn ; r¡
(si r1*r2, véase d' 110) o
-
Cz) Sol. por reducción primero a una de orden 1
B = i(C1
A= C1 + C2
y C2 son constantes arbitrarias
e,
Ypart depende de q (x). Cálculo: véase 0 '6 , 0 '.7 y(x) = e"'(A ·cos {Jx + B·sen{Jx) + Ypa" y Observación d '110 ( si r 1 = a+ i{J; r2 = a- i{J = i'j)
con r, = a
+ ifJ; ' 2 = a - i{J = ; 1 y{x)= C 1 ·e'u + C2· enx + Ypa"
+ Ja¡2 - a con '1.2 = - ~ 2 4 o o bien y(x) = eax (A· e os {Jx + B · sen {Jx)
y(x) - C 1 · e'1x + C2·e"'
y = C 1 + ~ x + f [Jf(x)· dx ]·dx
ED de con ' 1.2 = y =X' Euler, lineal x2 ·y'+ b xy'+ b y = O y' = r ·xr-1 1 0 o bien y(x) = homogénea, y• = r(r- !)x'- 2 de orden 2 para r 1 • a
EDL no homogénea de orden y'+ a¡y ' 2 con coefs. consts.
y" :; : ; ,2. 8 rx
+ a1y' + a0 y = O y ' = r·e'x
y" = f(x)
EDL homogénea de orden y' 2 concoefs . constantes
no están presentes
y así como y'
Tipo
...
...... -·
c.
en
(1)
::S
o
(1)
en
m
....
e........
ID ::1
a.
::1
c. o o (1)
ce ::S e (")
ID
(11
ID
c. (1)
¡¡¡· iD (11
n
::1
...IDID
;;
(11
e o::1 m ID 52. c.
n
m
m e (") DI
n
Forma =
>~
ED de
sin y
EDde orden 2, sin x
EDL
0:
"'
~
a.
GD
,
y" = f(y,y')
= f(y')
'(
f(y)
y • + p¡(x) f + de orden + p 2(x)· y = o
2
_¡ homogénea
-
=
Y - J, x, y)
•
y•
~ si~r~e; ~en y•
~
O de orden 2, siny'
sin y
_¡
~
~ ED ~ de orden 2,
a.
u
'(
Solució~
)
du
=
+ -
du
J
X= f(u) +
du
u(y) y=yW y ¡(X)
- d (~) - dx y¡(X)
v'(x) = w
v(x) =~
U=
1 Observación
uM
J...EL_
+
e
1
·du e¡.. y = fuf (u) + e2
dx por u
y'• ~
Al final se sust.
Después de eliminar u se obtiene la solución
J
v[x)
y 1(x), como sol. y,(x)·w +[2y j(x) + p 1(x)·y¡(x)]w =o part., debe ser y=y. conocida. Reduci r 1 _ luego a una lín. Y= y1(x) C1- 1- ·e fp,(x}·dx.dx+C2 homog. de orden 1. Y1 2(x) ~ Para y1(x), véase 0 '9
=
Internas
Ju(x)· dx + e Suele ser irresoluble
Después de transformarla en:
X
+e2
y 2ff(y)· dy + C1
dy
f u·dx + e2
J
=
f ( )d e - Pi x · x + 1
du dx = f(x,u); y =
x
y
du
Jf (u)
y - dx = J' y, u = udy u dy = f(y, u)
. _ du
y· = u' f(y ') = f( u) y u
y'
y -u(x )
y' u(y) y"- ( ) du - u Y · dy ,
1
m
¡!ln
gm -·
e
::1
~CD g.C/)
Q. - · oC»
:CD ca::::s §n
ID-.
Q.(D
en:¡;
ID-
Si"-
¡;:en
;CD
ID ::::S
(11
g;o
IDn
Y =}[efPli•Jdx. (e 1 +Jq(x)· efPli•Jdx.dx)]dx+e2 cá~~r;~~n~~s o· e :¡O) Yp = r. lef p,(xi dx . (J q(x)f p,(xi dx . dx)] dx integrales
Expresión por sustituir
de orden 2, u..< + Yp inyexpHcita y = Yn EDL • homogénea y'= u ·. y• du ::: de orden 2. y"+ p ¡(x)-f(y') =O = dx c.> illvexoHcita [(y' )- f(u)
¡;;
~ ho~c!g~~ea y"+p 1(x)y' =q(x)
Tipo
Análisis estadístico Conceptos generales de probabilidad Axiomas de probabilidad Probabilidad del evento (o suceso) A
PI A¡
e' 1
Número de eventos en que ocurre A Número de eventos posibles
e'2
1
frecuencia relativa O, el suceso A es imposible
e'3
PI A !
e'4
l I' I A; I
e'S
P! A u 8¡ * )
1, la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos A1 tiene el valor 1.
;
PI A ! + P!8J- P(An 8 ¡* )
Caso especial para eventos mutuamente excluyentes:
e'6 e'7
!'! A l+ P(8 ) /'IA/8)
P!An8¡ 1P( 8 ¡* l , probabilidad condicional de A (Probabi· lidad de A dada la probabilidad de 8)
Caso especial para eventos independientes, con P(8) o bien P!A J *O:
e'8 e'9 e' 10 e' 11
P!A/ 8 ) /'( A) 1'18/A ) = P! 8 J P(A n 8 ) Pl A n A¡
P!A ) ·/'( 8 ¡ para eventos independientes P!A !· P!A! =O. eventos mutuamente excluyentes.
*) Diagramas de Venn para la representación de eventos El rectángulo representa la totalidad de los eventos A;: Círculo mayor : evento A Círculo menor: evento 8
'º' 1A ,¡ 'º' 1A,¡
La superficie sombreada indica cada caso:
A
Av8
(no A)
(A " o" 8)
A"8
(A "y" 8)
A" 8
(no A "y" 8)
Análisis estadístico Conceptos especiales de probabilidad Variable aleatoria A La variable aleatoria A puede tomar diversos valores x1 ; cada valor x1 es un evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores continuos de una variable aleatoria. Función de distribución F(x). La función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la abscisa x. la función F(x) es monótona creciente y
lím
e' 12
F(co)
F(x)
F(- oo )
e'13
O; F(.r) crece de O a 1. F(x) para valores continuos de una variable aleatoria
F(x) para valores discretos e una variable aleatoria
F!xJ
F(x)
---------- -
---------~-
...-0,5
o
)
lo
5
6 7
8
Función de densidad P1, o bien f(x). P; para valores discretos de una variable aleatoria P¡
f(x) para valores continuos de una variable aleatoria f(x)
O. l
o la función de densidad de una variable aleatoria A está dada por p 1 o por f(x); su relación con la función de distribución es: r
e'14/ 15
F(.r) ;
L.
F( .r ) ;
P;
f f(.r)
d.r
-X
El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el intervalo de x 1 a x2 (sin incluir a x 2 ) .
r,
e' 16 e'17
P ( .r 1 ~ A < .r 2 )
;
;
f f( x ) · d.r r, F(.r 2 )
-
F(x,)
P(A < .r, ) -P(A < .r 1 )
1
Análisis estadístico
E'3
Conceptos especiales de probabilidad Media
m
x y valor esperado Jl
Variable aleatoria A discreta
e' t8 e' t 9 e'20
Variable aleatoria A constante •oo
~ = J x ·f( x ) · dx
¿ X¡ p ¡
en donde p , y 1(x) son valores discretos y continuos , respectivamente, de la densidad de probabilidad . Variancia a 2
Variable aleatori a A discreta e'21 e'22 e'23 e'24 e'25
2
G =
( x 1 -x ) +.
.
2
.
p1
i<x,-x )'·
f
•
+ ( Xn - X )
(
2
x 2 -x ) ·
2
Vari able aleatoria A constante ·
p2
•
Pn
G
•oo
2
J< x- ~)
:
2
· f( x ) · dx
p,
x/ . p¡ -X 2
en donde p1 y l (x ) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad . e'26
a =
V(variancia) es la desviación estándar.
Teorema del limite central (Ley de la adición). Si A 1 son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbi· trariamente con media (x 1), o bien con un valor esperado p., y variancia o12 , entonces e'27
la variable aleatoria
e'28
el valor esperado (o media
e'29
la variancia
x)
A
¿ A,
~
¿ ~·
G'
i
tiene
(x
¿ :;e, )
G,'
y además A tiene aproximadamente una distribución normal (véase e'48 y e'54), o sea : p(A
e'3Q
~ X) = ~ ( X ~ ~ )
Ejemplo: El histograma de 1O mediciones, cada una de las cuales muestra una desviación estándar o = ± 0.03 ¡; m (micrómetros), tiene en· toncas en conjunto una desviación estándar o 9
úy'
= 10ú
2 ;
Gg
= ~ú VlO
"' ~0 . 095 ~m
1
binomi al
hipergeométrica
Ecuación de definición
discreta
continua
( ~)
"'
Valor esperado 1' Media X
(~ )
(p:w~~~p))
'"
¿
,.,
F (x) = L P, i~ ,
rt · p
¿r, -p,-
F (r )~Jf(r )dr Jx_~:~~dr
Función de distribución acumulada
npN-n (l-p) N-1
i~ ,
-2
" 2 LX, ·p, -X
_¡r -J (:r) ·dr-¡./
"' 2
Variancia u2
i< <X
X
(")1< p' (1 -p)"" x(")p '(l - p )"' rt·p
"
p(l-p )
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k de ellas resulten defectuosas.
P(l< )
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N, exactamente k resulten defectuosas.
" 1
:S e
expo -
...
~
"'o
...
Integral de probabilidad Integral de probabilidad de Gauss La integral de probabilidad se basa en la distribución normalizada de Gauss (e'45) con a 2 = 1 y¡;. = O, representa el área de la superficie entre - x y + x de la función simétrica de densidad( , ). e'49
~o ( X)
~(
1
' _, bf e
=
2
-dt
+X
-X
o
e' 50
t )
En las tablas Z '5 y Z'6 se dan valores de o(x) para O ,; x ,; 1.99; para valores mayores de x, véase la aproximación indicada en la siguiente sección. La relación entre o(x ) y la función de error está dada por / :
ó:
Tasa efectiva de interés anual. Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces al año. Fuerza de interés por año.
Relaciones entre i, i tm> y ó : 1'1
e ó - (1 + i) = (1 +
e
)m
2. Acumulación a interés compuesto
Interés compuesto :
Si el tiempo total de inversión se divide en varios periodos y al final de cada uno el interés generado se incrementa al capital para ser invertido a la misma tasa, se tiene una inversión a interés compuesto.
n:
número de periodos de inversión.
P:
valor presente o principal de un capital invertido al inicio de los n periodos de inversión.
S:
Valor futuro o monto del capital después de n periodos de inversión .
Notación
Relación entre S, P y n. 1'2
S
1'3
S
para tasa efectiva de interés i
p (1 + i)" · (m) p (1 +
-
1'4
S =Pe"
1'5
p
-
S v" si
7n->""'
para tasa nominal de interés pagadera m veces al año ;tml para fuerza de interés ó
V
-
(1 + ¡¡-•
1
Matemáticas financieras Conceptos principales 3. Tasas de descuento Tasa de descuento :
Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado, corresponde a la cantidad pagada por anticipado, respecto a la cantidad que se debe éntregar al final del periodo contratado.
Tasa efectiva de descuento :
Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada durante el periodo contratado.
Tasa nominal de descuento :
Descuento total efectuado en un año sobre una cantidad comprometida para pago al final del periodo, considerando que el descuento se aplica en m exhibiciones.
Fuerza de descuento :
Tasa de decrecimiento continuo bajo una operación de descuento.
Notación d: d<m!:
6:
Tasa efectiva de descuento anual. Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m exhibiciones iguales. Fuerza de descuento
Relaciones entre d , d(m! y 6 : d (m)
S
(1 - d) = (1 -
m
¡m
1
Matemáticas financieras Relaciones diversas
F'a
4. Relación entre Interés y descuento
Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi· ceversa. Un pago de i al final de un año correspcnde a un pago d al principio del mismo, esto es: d (t + i)
1'6 de donde,
f7
=
i, o bien i (1 - d)
=
d
- d = __ 1_ 1 + i
1
Relaciones entre tasas de interés y de descuento:
1'8
Fuerza de interés o descuento
1'9
Tasa efectiva de interés
1'10
Tasa nominal de interés
1'11
Tasa efectiva de descuento
1'12
Tasa nominal de descuento
f'13
•)
V
Monto de una unidad al fin den años
Valor presente de una unidad antes de n años
e"'
e"'
( 1 + ;)" (1 +
¡(m))mn "(jf"
(1 -
dt"
d(m))-mn
(1 -m
V"
•)
( 1 + ~) - mn ( 1 - d)" (1 - m d(m)tn
= (1 + ¡¡- 1 Ecuación de valor :
Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha, llamada "fecha de valuación" .
Ejemplo :
Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de 5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea cam· biar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los pagos recueridos si el interés es del 9% anual conver· tibie semestralmente?
Solución :
Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo año; i = 0.09 . Se puede tomar como periodo fundamental el semestre y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral i = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como fecha de valuación el fin del segundo año es : 30 000 000 V6 + 25 000 000 V' 2 = X + X (1.045)2 30 000 000 (0 .767896) + 25 000 000 (0 .589664) = X + (1.092025) X de donde X $1805833104
Matemáticas Financieras Anualidades y amortización 5. Anualidades
Anualidad :
Seria da pagos periódicos. da sumas generalmente igualas. qua se efectúan durante la existencia da una si· tuación dada.
Anualidad cierta :
Serie da pagos periódicos que deben efectuarse con cer· taza e independientemente de cualquier evento o suceso fortuito durante un cierto tiempo.
Anualidad contingente :
Serie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a algún avento.
Anualidad ordinaria :
Seria da pagos unitarios efectuados un periodo después da su contratación y pagaderos durante n allos.
aíil:
Valor presenta de una anualidad ordinaria pagadera du· rante n periodos.
A:
Valor presenta da una anualidad con serie de pagos igualas a R.
Síil:
Monto da una anualidad ordinaria pagadero durante n periodos.
S:
Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a R.
Notación
Relacionas entra aíil• A, Síil y S.
1'14
an
1'15
A
1-vn
R
arn
(1 + i)" -1
1'16
síil
1'17
S
R síil
1'18
síil
(1 + ;¡n aíil
1'19
añl
V" síil
Ejemplo : Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro de 10 anos. formado mediante depósitos mensuales en un banco que le ofrece el 9% da interés anual convertible mensualmente ¿Da cuánto debe ser el aporte o renta mensual para lograr su objetivo? (Continúa en f"5)
1
Matemáticas Financieras
F's
Anualidades y amortización
(Continuación de F' 4) Solución: El depósito mensual debe ser Ra, con p- 12, de donde aplican-
do la fórmula del monto se tiene : S
~ p
=
R, •
s,,.
P
0.09
1
""12
•
SP
1
Siffifl r
R, • 12 000 000 000 R, • y la renta mensual:
Si2lllo.oo1s 12 000 000 000 193.514281 -
$6
2 010 900
R,
l2 - $5166 741 .66
6. Amortización: Amortización :
Método para extinguir una deuda mediante pagos p&riódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen tanto intereses como capital.
Tabla de amortización :
Registro del destino a intereses y capital del pago p&riódico de una amortización.
Capital insoluto :
Capital que se adeuda en cada periodo.
TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD ORDINARIA PAGADERA DURANTE n PERIODOS
Distribución del pago Número del pago
Capital insoluto al principio del periodo
Intereses contenidos en el pago 1 - V"
1
a"'
2
añ=ll
3
añ=21
an - (t- 1)1
n
a,
= V
_
yn-1
- vn - 2
1
_
yn - (t - 1)
1 -V
Capital contenido en el pago
V" vn - 1
yn - 2
yn - (t- 1)
V
Matemáticas Financieras Casos especiales
F's
7. Casos especiales de anualidades
Anualidad anticipada :
Anualidad en la cual el primer pago se electúa al prin· cipio del periodo.
Anualidad diferida :
Anualidad ordinaria en la que se establece que el pri· mer pago se efectuará después de un cierto número de periodos.
Perpetuidad :
Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma indefinida.
Anualidad creciente :
Anualidad en la que el monto de los pagos crece periodo a periodo.
Anualidad decreciente :
Anualidad en la que el monto de los pagos decrece periodo a periodo.
Notación
a'"
Valor presente de una anualidad unitaria anticipada.
Srn
Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera durante n periodos. Valor presente de una anualidad unitaria diferida m periodos. Valor presente de una perpetuidad unitaria. Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo.
(Ja)ñl (Da)ñl
Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago
aiPl ñl
n y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
SIPl ñl
Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
Relaciones entre diferentes tipos de anualidades.
1'20 1'21 1'22
a'" arn sñl
(1 + i) a'" + (1
añ=ll
+ i)Sñl
sñl
1'23
s'"
v
1'24
sñl
sñ+11 -
1'25
mla m
vmañl
1'26
m/añl
8iñ+1fl -
1'27
Boo
a"" (Continúa en F7)
1
Matemáticas Financieras Anualidades y amortización
1'28
an - 1
(la),.
(Continuación de F'6) + 1 - n vn
1'29
(Oa)nl
1'30
a iPJ
~ an para tasa efectiva anual i
1'31
S I PI
_j_ S para ta sa efectiva anual i ¡ (P) n
1'32
a /PI
+añfñl; ·
1'33
S IP)
1'34
a l PI
ñ'
F'1
1
ñ'
ñ'
1
ñ'
m
¡ ·(k)
1'35
S IP)
1
i' ¡'(k) a mñl¡ ·
1'36
a l PI
j (ml
---m
para tasa nominal de interés ¡ lm J con m = p .
{
ñ'
En lo si gu ie nte: i '
{
para tasa nominal de interés m < p , y p = mk para k ent ero.
¡ cm! con
1'37
m
ñ'
ñ'
~
1 a pSkl; · iññ1
~ So;¡;¡ - -
S IP) ñ'
P.:>ii1 ;·
para tasa nominal de interés con m > p y m = kp para k entero.
¡·
¡ /mi
{
mn ,
· (m) ) - mn
1 - ( 1+ ~
1'38
a l PI ñ1
p
¡ /m) )m/p [( 1+ --,¡;-- (m)
(
1'39
1+ ~
)mn
1
1
para tasa nominal de interés i , en el cual no coinciden la frecuencia de los pagos con la convertibilidad de la tasa de interés.
- 1
S
Ejemplo:
Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmediatamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%.
Solución:
Se desea determinar el valor presente de una cantidad anticipada a 4 años; A = 5 000 000 áñl- Esto es:
A
5 000 000 áñl
=
5 000 000 [(1 + i) añ!J
5 000 000 [(1 .08) añlo oa l $17 885 502
= 5 000 000 (1 .08) (3.31213)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA
Una ecuación algebraica tiene la forma: g'1
fn(x) = BnX" +
Bn-1
x- 1 + ... + a2x2 + a,x +
ao.
Todos los términos cuyos coeficientes a" son iguales a O cuando ¡;. < n se pueden omitir. La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ce· ros (las ralees) de la ecuación, para los cuales f0 (x) =O. Característ ic as
1. La ecuación algebraica fn(x) = O de grado n tiene exactamente n ceros (raíces) . 2. Si todos los coeficientes a. son reales, sólo existen ceros reales o com· piejos conjugados como soluciones. 3 . Si todos los coeficientes a. son 2: O, no hay soluciones cuya parte real sea> O. 4. Sin es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los coeficientes a. son reales. 5. Las relaciones entre los ceros y los coeficientes son:
x"
g'2
l:x¡
g'3
l:X¡•XI
g'4
l:X¡• X¡· Xn
= - Bn_ 1 1Bn
=-
para
Bn-21B n- 1
para donde
Bn - 3/an-2
para donde
1 = 1, 2,
n
l, j = 1, 2, i = j
n
1, j, k = 1, 2, 1= j - k
n
6. La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes g'6 o este valor menos un número QM (teorema de Descartes). g'7
Ejemplo: h(x) = 2x3- 15x2 + 16x + 12 =O tiene los signos
+
+
+
y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o O raíces reales positivas. (Continúa en G'2)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado (continuación de G'1) 7. La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se determina mediante la sustitución x = - z: g'8
En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes an·. an. 1", an. 2" , ... • a2 " , a,· , ao· es igual a la cantidad de raíces reales negativas, o a este valor menos un número~- Aplicado al ejemplo en G'1, punto 6:
f3(z) = -2il- 1sz2- 16z + 12-
g'9
o
tiene los signos + y por consiguiente la ecuación g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa. debido a que tiene!,!!! solo cambio de signo. Solución general Si x 1 es una rafz de una ecuación algebraica de grado n,Jn(x ) =O, el grado defn(x) se puede reducir en una unidad afn- 1(x) =O cuandofn(x) se divide entre (x - x 1). Si se conoce también otra raíz x 2 , la ecuación se puede reducir un grado más al dividirla entre (x - x 2 ) , y así sucesivamente. g'10 g'11 g'12
g'13
anx" + an-1 x"- 1 + an-2x"- 2 + ... + ~x2 + a,x + 8¡¡ fn-1 (x)- an' x"- 1 + an-1' x"- 2 + ... + a2' x + a1' fn-1/(x-x2l = fn-2 (x)- an" x"- 2 + an-2"x"- 3 + . .. + a2"x +a," fn(X)
=
fnl(x-x,)
=
fn-2/(x-x3)
=
f11(X-Xn)
,;, fo(x) - an(n).
... etc.
Hay un caso especial en el que las rafees son complejos conjugados; después de la división , el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades. La división de la ecuación algebraicafn(x) entre (x- x") se puede llevar a cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3. METODO DE HORNEA El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio P de n-ésimo grado
Pn(X)- an x" + an-1 ·x"- 1 + · · · +a, ·X+ ao
g'14
para resolver los siguientes problemas:
=
Cálculo del valor de Pn(x) para x x 0 . Cálculo de los valores de las derivadas Pn'(x), Pn"(x), etc . hasta p.n>(XJ para x
n
=x0 .
Reducción del grado de Pn(x) si hay raíces conocidas. Determinación de los ceros (las raíces). (Continúa en G'3)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado
G'a
Método de Horner (ver el esquema abajo) : Se igualan los coeficientes a, a a,IO) y se escriben los coeficientes del polinomio Pn(x) -comenzando con el que se relaciona con el exponente máximo- en el primer renglón . Las posiciones donde no hay exponentes ~ tienen el elemento O. Esquema :::¡
g'16 g'17
3
g'18
4
Bo111 • bo •
a, l'lJ • b1 • 1/1 !·P,(.r0)
g'19
g'20 g'21
g'22 g'23 g'24
g'25
1 la,l•l =a,= b,
=
1/n!. p,l•l (.to)
Ejemplo 1 del método de Horner: Cálculo de los valores de Pn(x) , P"'(x), Pn"(x) y Pn"'(x) para x = xo;xo = 4: g'26
g'27 g'28 g'29 g'30 g'31 g'32 g'33 g'J4
Pn(.to)
.to ~'O, no se pueden usar los valores dej(x3) y j(x2).
•
Q'1
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente ENGRANES CON DIENTES DE EVOLVENTE
Geometría de engranes cilíndricos rectos
u=~
o'1
Razón de engrane
o'2
Coeficiente de transmisión
z, w. ro¡,
!!Ji. nb
=
=
-
~ z8
Coeficiente de transmisión de engranes múltiples o'3 o'4
itot = i1 · iu · im · .. . ·in inva = tana
-a
Función de evolvente
Esquema de la trayectoria transversal de contacto (Véase 150/R 1122)
1
Area del flanco activo del
L2,A~~-
/
7"~-.±A&.::-::¡ ~
Si A y E no quedan entre T1 y T2 , habrá interferencia y se deberán usar engranes "modificados" como los de 0'3.
_I Q~~:/ 7
1) Negativo para engranes externos porque la rotación es opuesta. Positivo para engranes internos. En general se puede omitir el signo.
1 ,"- Area del 1 • flanco activ
,' del engrane
l:o2
2
'
Engranes normales de acuerdo con DIN 867 rectos helicoidales o' S o'6
paso normal
o'l
paso circular
p
módulo normal
o'11
adendo
h.
o'12
de den do
h,
o'13
claro en el fondo
m
m · :n;
z
o' S o'9 o' 10
módulo circular
Pn
!!.:!!.
p,
E.
z
lt
e
=
mo · n m0 · n cos {3
= 4 mn= 2n :n; z . cos {3 m,
h.p
m
htp
m+ e
d mn cos {3 =
z
(0 .1 .. . 0.4) m= 0.2 · m (Continúa en 0 '2)
Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
Elementos de máquinas
1
Eng ra nes con dientes de evolvente
0'2
Engranes normales rectos
o'14/ 15
diámetro de paso
d
d = mn·Z cos f3
o'16
diámetro de adendo
da
o'17
diámetro de dedendo
d,
o'1B
ángulo de presión
a
helicoidales
1
m ·z
~
~
~
d + 2 · ha
~
d- 2 · h, t
o'22
diámetro de la base
~
db
d · cos
m 1 ·z
an = ap
an~a. ~ ap
o'19 o'20/21
~
a
tan an an a, ~ cos f3
db
Núm. equivalente de dientes
d · COS a 1
~
Zn
z
~
1 cos 2f3b · cos f3
ver tabla en DIN 3960
z
o'23
~ cos 3 f3 Núm. mín . de dientes
o'24
Para evitar
teoría
socavamiento
o'25/26 o'27
producido por herramienta de talla práctica
z9 ~
2 "' 17 sen2 a + para ap ~ 20°
17 · cos 3 {J
z gs' ""
Zg'"" 1 4 - - L
= 14 · cos 3 {J
Zgs'
extensión
g~
~
b · tan 1 f3
1
Tren de engrane s norm al recto s he licoidales
f
o'2B/29 o'30
distancia entre centros
ad ~
longitud del arco de contacto (longitud total)
ga
~
t!L!..!!z 2 = m~ 2
~ [vda, 2 -
a
d
~~ = m~ 2
n 2 · cos{J
db , 2·+ vdal - db2 2 ._
- (db , + db 2) · tan a,) ] ___fls,_ p·cosa
o'31/32
razón de contacto transversal
o'33
razón de traslape
E~
o'34
razón de con tacto
Ey
Ea
~
Ea
~
~
~
p 1 ·cos a 1 b· sen l {:!l mn · Jt
~
Ea + E~
(Continúa en 0 '3) Véanse los subinclices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
•
Q'a
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Engranes modificados 1 helicoidales rectos p, Pn• Pt• Z, m, m 0 , m,. d, o'35/36 o'37/38
Zn db
ver engranes normales x·m
desplazamiento del pertil
z ·sen2 a Xmln = - --2-- +
.,
'E a.
para evitar interterencia
Qj
.,"O
.. c.
o'41
.,"'
"O
14 -z
para evitar interterencia 1 1
X
"" 1 7
para obtener determinada distancia entre centros (total)
.x,
+
N
z · sen2 at +
mon 2 · COS {3 + hao · f'ao (1 -sen Un) mn puede ser hasta 0.17 mm
~e:
.S .~
UE .!!!.,
= _
+hao. eao~- sena)
"0_9
o'39/40
x · mn x .
x2
=
_ 14- (z/cos3l!) X 17
(z 1 + Zz) · ( ev ~~- ev a 1) 2 · tanan
(Zt + z~)·m 1 · cosa 1 2·a = ev a¡ + 2 · !1...±....!2 • tan a z, + z2 n
o'42
awt calculado de
COSUwt =
o'43
o bien
ev Uwt
o'44
distancia entre centros
o'45
coeficiente de modificación de adendo
k* ·mn= a - ~ - mn ·
o'46
adendo
o'47
dedendo
ha= h 8 p + x·mn + k* · mn h, - h,p - x·m 0
o'48
diámetro externo
da= d + 2. h.
o'49
diámetro de dedendo
d, = d- 2·h,
o' 50
longitud del arco de contacto
9a
o'51/52
razón de contacto transversal
Ea = gal(p ·cosa) Ea = gal(p 1 ·cosa¡)
o' 53
razón de traslape
o' 54
a = a . cos at d cos llwt
=
~[yd.t 2 -db/
\Xt + x2) 2)
2 + vd.l-db2 -
- (db 1 + db 2) · tanawt]
E~
= b · senlf31/(mn · "
Ey - Ea+ Ep razón de contacto 1 1 So se desconocen datos de la herramoenta, supóngase ap = 20°. 21 Observe el signo. Con engranes externos, k x mn < 01 Cuando k < 0.1 se puede evitar la modificación del adendo. Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
•
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q'4
DISEÑO DE ENGRANES CILINDRICOS RECTOS Las dimensiones dependen de la capacidad de carga del dedendo del diente la capacidad de carga del flanco del diente que se deben cumplir en forma independiente. El diseño del engrane se comprueba de acuerdo con DIN 3990. Mediante conversión y agrupación de varios factores, es posible obtener algunas fórmulas aproximadas a partir de la norma DIN 3990.
-
Capacidad de carga del diente (cálculo aproximado)
o'55
mi o'56
Factor de seguridad F
~
para el caso de falla del pie del diente por fatiga:
0Fifm · Ysr · YNr · Y6reiT " YRreiT · Yx
~ · KA·Kv · KFa · KF~-~·Y, · Y~
1
~~.
- YFs Se suponen las siguientes simplificaciones: (KFa·Y,·Y~) = 1 ; Ysr = 2; (Y6reiT" YRreiT " Yx) = 1
YNT
YFs: factor de forma del diente para engrane externo (ver diagrama) o'57
KA • Kv = 1 ... 3, normal-
mente (considerando choque externo e irregularidades que sobrepasen al par nominal , fuerzas dinámicas internas adicionales causadas por errores de dientes y la velocidad circunferencial) . 4.2
15
o'58 o' 59
20
SFmln = 1.7 (valor gula) a Flfm : ver tabla de valores gula en 0'5 Véanse los subfndices en 0 '6 y los sfmbolos en 0 '9
30 zo
40 50 60
80 100
Zn
(Continúa en 0 '5)
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q's
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado)
mm o'60
Factor de seguridad S.. en el caso de corrosión :
SH -
~
UHiim·ZNT o(ZL · Zv · ZR)·Zw·Zx
Y"~
1
ob
SHmin
:~,o ZH · ZE · ZE oZp ·VKA oKv · K Ha · KHp
En los metales, el factor de elasticidad ZE se simplifica a:
ZE
o'61
=
yo.175 ·E
donde
E = 2 ·E,·Ez E 1 + E2
_,
Por consiguiente, se obtiene la siguiente fórmula aproximada:
iil o'62
~
d
1
~ 1 l?.:.IJ. . ~ 0 17S·E·cosP· ZwZtoy¡;;;. ..¡¡c;:x;....;KH; . SHmin Vb u · (ZL ·Zv · ZR) o(ZNT · Zw ·Zx) U..1rm
-
Valores aproximados de resistencia (Diagramas en OIN 3990, parte 5) Espedficadón
Malerial
Grado
OF iim
~ lim
Nlmm 2
A48·50 B 80 ASTM A536-20-90-02 230
es
A572 Gr.65
1064 SAE
AS ASCH
4140
3240
2.s .....:::----.:...--~-.----,
200 220 290
360 560
400
620 670 500 1630
Cl: hierro colado CS: acero al carbón AS: acero aleado ASCH: acero aleado cementado O"
(Continúa en0'6)
ro-
3(r
KA Kv: ver capacidad de carga del dedendo del diente (0°57) SHmln • 102 (valor guia) cr Hllm: ver tablas de valores aproximados ZH: factor de zona (ver diagrama) (ZL Zv ZR) • 0.85 para dientes tallados o desbastados - 0 .92 para dientes rectificados o tallad os con altura promedio de cresta a valle Rz 100 ,; 4 ~m . Véanse los subfndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9 o
o'63 o'64 o'65 o'66
10"
o
o
.o·
ángulo entre ejes para engranes } ~-> helicoidales (cilindro de paso)
1
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q's
En o'56, o'60 y o'62 se deben conocer b o by d. Las razones siguientes son estimativas y se deben usar en cálculos preliminares:
Dimensiones del piñón
o'67 o'68
O bien: Ya sea: d eje1 a partir de la relación de -------------+-==:.:...-!engrane iy una distancia piñón con eje integral 1.2 ... 1.5 a especificada entre canpiñón de rotación libre sobre el eje 2 tros (ver 0'2 8-29-44)
Razones de ancho de diente Calidad de dientes y cojinetes
-b
m
b
d1
o'69
dientes bien colados o cortados con soplete
o70
dientes maquinados; cojinetes a cada lado, en construcción de acero, o piñón en voladizo
o71
dientes bien maquinados; cojinetes soportados a cada lado en la caja del engrane
15 . . 25
o72
dientes con talla de precisión ; buenos cojinetes a ambos lados y lubricación en la caja del engrane: n 1 :5 50 s·1
20 .. . 40
o73
engrane en voladizo
,
o74
totalmente soportado
:5 1.5
6 ... 10 (6) ... 10 . .. 15
Subfndices para 0 '1 a 0 '8 a : engrane conductor b : engrane conducido m : mitad de diente en engranes cónicos n : normal o : herramienta t : tangencial v: en cono posterior (o engrane cilíndrico virtual) 1 : engrane menor o piñón 2 : engrane mayor Véanse los símbolos en 0 '9
0.7
1
Elementos de máquinas Engranes cónicos
0'7
ENGRANES CONICOS
Geometria de engranes cónicos Se aplican las ecuaciones o'1 a o'3, y también:
io'75i 0'76 o'77
ángulo ¡; del cono: sen I: cosl:+u
tan {j1 -
( I: -
so• =
tan 61 -
2
sen I: tan 62= cos I: + 1/u;
o'78
(I:
o'79
ángulo entre e1es
lii o'BO
~)
1
= 90° =tan {j2 = u)
¡
distancia del ¡
cono
I: = ¡;, + ¡;2
Re=
__d_e_ 2 ·sen¡;
Sólo se muestran las fuerzas axiales y radiales que actúan sobre el piñón 1
'f
Del desarrollo del cono posterior para examinar las condiciones de engrane y para determinar la capacidad de carga se obtiene el engrane cilfndrico virtual (subfndice "v" =virtual) con los valores:
io'81l
engrane cónico recto 1 Zv -
co~ ('j
Uy 1
Zv2 Zv1
-
Las fórmulas o'7 y o'10 a o'15 también se pueden aplicar a la superficie del cono posterior (subíndice "e").
Diseño de engranes cónicos El diseño se basa en el PUNTO MEDIO DEL ANCHO b (subíndice "m") con los valores: o'82/83 o'84/85
z
2· T
-;¡;;:
(Continúa en 0 '8)
Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
Elementos de máquinas Engranes cónicos
O'a
Fuerzas axial y radial en el engrane o'86
fuerza axial
Fa= Fmt • tan a • sen o
o'87
fuerza radial
Fr = Fm1 • tan a • coso
mm
Capacidad de carga de la raíz del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad S. respecto a falla de la raíz del diente !JOr fatiga: arum · Ysr Y¡¡ rel r
o'88
YRreiT' Yx
_...:...!m!!.1'--- · Yrs · YE · YK ·(KA· Kv· Kra • Krj!}
~ SFmín
bef·mmn
io'89l
Con excepción de Ysr. se determinan los factores Y para engranajes rec· tos virtuales (subindice "v") . Resulta la fórmula aproximada: ver , 0 94
lnrm "'=
Fmt beF
G:ir6 o'90
io'91i
......--.
-·Yrs · YE · KFa'YK·(KA · Kv)Kr~· '---v-"
'-v-'
- t
= 1
2
= 1
YFs: Sustituir la cantidad de dientes del engrane recto complementario Zv. Asi, la gráfica para engranes rectos de la página 0 '4 también se puede aplicar a engranes cónicos. Ver todos los demás datos en o'57 a o'59 .
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad 5H en el caso de corrosión de la superficie del diente. SH _
aH nm • (ZL • Zv • ZR} · Zx
~~ Fmt
u.,+1
VtJ,--,-.-b-eH · - ... -
mi o'92
SFtim Ysr · (YbreiT' YRreiT Yx)· UF iím
· ZwZe·ZE · ZK ·
,¡
"' SH min
vK" · K.·KHa ·KH~
'
Para los metales, el factor Ze se simplifica como sigue : Ze=V0 .175E
con
E - 2 E,·E 2 E 1 +E2
Obteniéndose la fórmula aproximada:
io'93l o'94
o'95
ver o'95 ::= 1 ~--------- ,.....;-. ,.....;-..
dmt
2:
== 1
_..,_,
ver o'94
...----.
,/2 · Tt ·cosÓ,. u.,+ 1. 0, 1?S · E· ZwZK · z,VKH:· ,¡x;:K;·'I/KHi·SHmin ! V beH Uy (ZL · z•.ZR)· Zx· UHJim ~ ~0.85 · b ver o'66 = 1
=
1.65 para piñón y engrane totalmente soportados = 1.88 para un elemento totalmente soportado y otro en voladizo = 2.25 para piñón y engrane en voladizo ZH: ver diagrama para ZH (página 0 '5) ; sólo es válido para (Xt + X2)(Zt + z2) con ~ = ~ m. ZH = 2.495 para a = 20• y engranes normales o modificados. Véanse todos los demás datos en o'63 a o'66 Véase los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9 KH~
= KFp
1
Elementos de máquinas Q'g Engranes, trenes de engranes Notación para páginas 0'1 a 0'8 (ver subíndices en 0'6) a distancia entre centros(~: distancia normal entre centros) b ancho de flanco b0 pb0 H : ancho efectivo de cara (base/flanco) para engranes cónicos hao adendo de la herramienta de corte h0 p adendo del perfil de referencia (por ejemplo DIN 867) flrp dedendo del perfil de referencia k• cambio del factor de adendo z número de dientes F1 fuerza periférica sobre el cilindro de paso (sección recta) KA factor de aplicación Kv factor dinámico (respecto a fuerzas dinámicas adicionales originadas por desviaciones del engrane y vibración por fleldón de diente) KFaiKF~ : factor de carga transversaVcarga en el flanco (esfuerzo en la rafz) KH" ~
~ 75(ao · T)
Ór(pe<m.)
2
Para determinar el diámetro del eje se calcula el módulo de sección rio a partir de
p'7
S
o1 Tt
M
T a0
esfuerzo flexional de tensión esfuerzo cortante torsional momento flexionante (o flector) momento torsionante (o torsor) se calcula según P'2
s necesa-
1
T
o,> O:
O vN = 0 3
= Ómln
OvN = o , = Oma. :
=
Fractura seca
Tensión, flexión, torsión de materiales frág iles: hierro fundido, vidrio, piedra
ao
=
Ó perm . 1, 11, 111 ( perm.l, 11, 111 Orrm. 1, 11 , 111 T rrm.l, 11 , 111
ao = 1
2 ·Trrm.1, 11 , 111
2 ·Tpe"".l, 11 , 111 Orrm. l, 11 , 111
Operm.l, 11, 111
ao = 1
2 t max z o, - o,
Vo,' + o ,' -
o , ·o, '
Operm. l, 11 , 111 1. 73 ·Tperm.1, 11 , 111 Orrm. 1, 11 , 111 = 1 . 73 · Trrm.1, 11 , 111 ao =
ao = 1
= V o z'+O/- Oz0y+3{ ao-t"/
o. =
+(o, - o3l ' •< o3 - o, >'l'
o .= Vo,5 [< o, - o, >'+
-en-·
1»·
Q,
"'
111
111
tT
ID
s· :::1
""'1
(1)
e:
-· en c. "'o (1) n 3 (1) s· en ..... )>
n n
)> :S
ia, deformación acentuada.
1
a,. a2 , a3 véase P'1
Fractura seca, con desgarre, separación permanente:
1\)'
-e
oen
N
Compresión de materia· Todo esfuerzo de materiales dúctiles: les frágiles y dúctiles. acero fundido , Tensión , flexión y tor· forjado y laminado; sión de acero con punto aluminio, bronce de fluencia bien definido ----
=
ao =
=
r~actura con desgarre, !luan
r>']
OvN = O, = Omrn
=0.5 [-Y"' D.l~~ "'-· CD o~a 3"'"' o%.f¡; 3 =>. e:
¡JD.l~
a. a. ..
~~~ ...... !a~~
-· ::::J ...-·
e
.a
am ca· e iilo m
oo
:S: m
e
oc.)
iil
DI
"O
en
o
::::J
-
3
C1)
~
.....
o
(,0
:::1 CD
:::1
C1) e;· C1)
CD :::1
DI
3
DI
-
... g:'
O'O
e»!!.~-
g"'~3 - ·'2.
a."'.,
~'""'&5:
[§~
te. ~
fl 3 .?_!!J.
··-
1
-
iil
CD
:::>
CD
Gl
~
:1
"oo
a.
.
e:
::::J
S: Q)
¡¡:..., ";: .oQl Q)
e
'
o ¡;·
o ¡¡
.,
c.J itmi
_ c:r 'P,- 'P, -rp, ~ ~ ~
" . 1
']
"'"
.,
.0" ;::r
?
Fuerza de avance
f'v
0.2 Fc
Rozamiento (fricción)
FR
"' b' g . ¡.J
r'20
Potencia de avance
r'21 r'22
~-.
~
....
(re según r'4)
donde m0 es la masa de la pieza en movimiento; por ejemplo, en el caso de fresadoras, la suma de las masas de la pieza y de la mesa.
mm
Hay que determinar si la potencia calculada con r'20 es suficiente para acelerar las partes móviles hasta la velocidad de movimiento rápido u.. , dentro de un tiempo dado 10 , (en las máquinas de producción u" • 0.2 m/s). De esta manera , se explica lo siguiente .
u., '" b(~-'
r'23
los simbolos se explican en A' S.
g +
~) ...,..--'.,-tb 11mec · TJeléc
1
Manu!:~!a~!~ hYrrfm~e~t~esos R' 5 1
Explicación de la simbología (R ' 1
a b bw
8 8 1,
8s d dw
D FA Fe Fv g
h k
a R '4)
profundidad ancho de viruta ancho efectivo desbastado bw = 8 5 /1.4 alisado bw = IJ 5 /3 ancho de fresado 8 2 : ancho de fresado medido desde el centro de la herramienta ancho del disco diámetro del barreno diámetro de la pieza, exterior o interior diámetro de la herramienta rozamiento (o fricción) fuerza de corte fuerza de avance aceleración debida a la gravedad grosor de la viruta número de velocidades de salida
kc1 ·1: fuerza de corte básica en relación
'" Me
n n, n2 Pe Pv S
s, lo
te
u u,..
Ze
Es
"1 elée ~mee
9
con el área
K
,, !'
z,
factor de la operación (de maquinado) recorrido de corte recorrido de la pieza sobrerrecorrido en uno u otro extremos con velocidad de avance u : número de filos o bordes cortantes por herramienta
~
a p
má• =
9',
lln vo.6
1 r,, = r,,2 + lldzs l
(Continuación de R'6) El trabajo especifico de deformación (referido a la unidad de volumen) y la resistencia (o esfuerzo) de fluencia k, se obtiene a partir de las curvas de deformación para el valor apropiado de la relación de deformación logarítmica 6. Fuerzas de sujeción de la pieza base F NI y F N 2 lar. Paso
2o. paso
2
Rm 1,( ,.N, = (D ) muestra que el sistema que conduce a este diagrama de control es una combinación en paralelo, formada a partir de un elemento P (8) , un elemento 1- T 1 (primera fracción) y un elemento 1(PO)- T 2 (segunda fracción) .
1
E'Jemplos de estructura
p Kp.
V=
u Elemento proporcional
v=K¡judt t
=
K¡J u dt+ v(O)
v =K¡ . u Elemento integral
V= K o
D
.u
Jv dt = Ko. u Elemento derivativo
v(t)
= u(t- T,)
Elemento de tiempo muerto
v+ T Kp
v
=
Kp. u
T
~ Ver la
explicació~n~d~e~l~o;-;s~·;;~;-:~::-:--j__ Slmbolos en U'35
Ingeniería de control Elementos primitivos de transferencia Elemento de retraso de primer orden Función de transferencia F(s) =
Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) = diag rama
----------------- _F;_~ ------ - - - - - - -- - - - -Kp
)
h(t)lzJ/
.. t
--------------- _F;_L~ !------------------t[h]
00
O O [h]IK¡ t -fri ([h] = Unidad de h) ~ ~--~~~~~~~---r-----------K~~-~ó~(7.t)~--------~
0
V
- --- - --- - - ------ - -- - ----- - - ------------
-" K0
·s ..
t
..
t
--- -------- -- ~-d! :-_~ ~~~~ ~ -- -- - ---- -----
HJ
~=
0.95Kp 0.63Kp
/
1
o
O T
3T
mm ..
t
Ver la expl icación de los simbolos en U'35
1
Ingeniería de control Elemento de retraso de segundo orden Elemento PI de combinación en paralelo Identificador ················ ····· Símb. en el dia· arama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
1--------lv+
Ejemplos de estructura
2$0 v + (Jo)2 ¡; =1--+--------------l ~
1
~·í···--·7"'""'"'
_!_ Kp ....................
Kp (1 -( O (ver también G' t ) • Los coe fi cientes mism os deben cumplir dependenc ias especiale s. Condiciones pa ra ecuaciones hasta el grado 5: Ecuación t er grado 2do grado 3er grado 4to grado 5to grado
con d iciones de los coef icientes
a 0 y a, > O a 0, a, , a 2 > O a , a 2 - a3ao2> O 2 a, a2 a3 - a3 ao - a, a4 > O 2 2 2 A- a, a 2a 3 a4 + a 0a 1a4 a 5 - a, a 22 a5 - a 12 a 42 > O B ~ a 0a 1a 4 as + a 0 a2 a 3as - a0a 3 a4 - a0 as > O Dn-1
~ A
-B > O
Pa ra polinom ios de mayor grado ver "Ebel, Tja rk, Rege lungstechnik, 6' edición , Stuttgart Teubner 1991 , pág . 38 y ss." (Continúa en U'19)
1
Ingeniería de control Métodos para determinar la estabilidad Ventaja: Este método conduce a una definición rápida y exacta acerca de la estabilidad de determinado circuito de control. Desventaja: No proporciona información acerca de la resiliencia de un circuito de control a la inestabilidad, del resultado de cambios de sus características ni de su comportamiento dinámico; por estas razones generalmente se prefieren otros métodos. 2. Reducción a polinomios únicos Se transforma la función de transferencia de referencia o de perturbación en una suma de polinomios únicos de 2o. orden como máximo (ver el desarrollo en fracciones parciales en 8'1 ): En un circuito de control estable sólo hay elementos de transferencia estables. Estos son generalmente elementos puros Po retrasados P y elementos retrasados PD. Si hay un elemento 1, I-T 1 o 1-(PD) el circuito de control se volverá inestable . Ventajas: En los casos estable e inestable, la evaluación de la referencia transformada o de la función de transferencia de perturbación conduce a una conclusión acerca del grado de estabilidad o inestabilidad del circuito de control. Para obtener esta información, deben sobreponerse las funciones de transferencia de todos los elementos sencillos. Desventajas: No es posible observar el efecto de la introducción de un elemento de control definido ni saber cuál de las características se debe cambiar para obtener el comportamiento requerido de un circuito de control. Después de cada cambio al elemento de control se debe hacer un nuevo cálculo de la transición aritmética del circuito de control abierto al circuito de control cerrado. 3. Criterio de Nyguist Este criterio establece que el circuito (cerrado) de control es estable cuando el lugar geométrico de la respuesta en frecuen cia F 0 üw) del circuito de control abierto - en el sentido de los valores mayores de la fre cuencia angular w - siempre tiene a su izquierda el punto crítico -1 en el plano complejo. Mientras mayor sea la distancia entre el lugar geométrico de respuesta en frecuencia y el punto crítico -1 . más robusto será el circuito de control respecto a los efectos de variaciones inesperadas en los datos característicos. Una medida de qué tanto se acerca el sistema a la inestabilidad se expresa con dos valores característicos :
(Continúa en U'20)
1
Ingeniería de control Estabilidad Elección del tipo de elemento de control Margen de fase li (ve r U7) y margen de ganancia La determinación de los valores reales de ambas características y la obtención de sus valores req ueridos mediante la inserción de un elemento adecuado de control se logran a través del diagrama de Bode.
E
U'20
(ver U'B)
Flg. 8 Valores recomendados para el margen de fase : de 30° a 60° E : de 8 a 16 dB Valores recomendados para el margen de ganancia (corresponde a los factores 2.5 a 6.3) Ventajas : El examen de la función de transferencia F0 (.•·) del circuito de control abierto- especialmente la respues ta en frecuencia relacionada F0 Uw) (sustitución des por jw)- conduce con mucha facilidad a un criterio de estabilidad y muestra la resiliencia a la inestabilidad - en especia l cuando hay cambios inesperados en las características del circuito de control. También se pueden obse rvar con mucha lacilidad los efectos de cambios en el tipo y en las características del elemento de control - usando una inse rción en serie sencilla en el circuitú de control - al igual que el compor tamiento dinámico resultante del circui to de con trol.
Elección del tipo de elemento de control General En la mayor parte de los circuitos de control, el sistema con trolado y el eq ui po de medición son, en conjunto. del tipo (PO)-Tn. lo que indica una conexión en serie de varios elementos PO y de elementos de retraso. Los tiempos de acción derivaoa Tv = Ko/Kp de los elementos PO siempre son esencialmente menores que los tiempos de retraso de los elementos de re traso; en los sistemas reales en un factor mayor que 1O. Los elementos de control más importantes En los circui tos lineales de control sólo los elementos P. PI . (PO)- T 1 y (PIO)-T 1 son verdade ramente importantes. Características de un ci rcuito de control con un elemento de control Po (PD)-T, Cuando hay una influencia de las variables de perturba c1ón apl1cadas entre el elemento de conPun to tro l y el punto de medide med iCión ción sólo es posible una exactitud finita . Esa exactitud está expresada por el va lor del factor de control RF(O) . (Continúa en U '2 1)
1
Ingeniería de control Determinación gráfica de un controlador Característ icas de un c ircuito de control con un elemento de control PI o (PID)-T t Es posible compensar totalmente la influencia de las variables de perturbación aplicadas entre el elemento de control y el punto de medición. Si el sistema controlado contiene un elemento 1sin variables de perturbación con retroalimentación negativa aplicadas entre la salida del elemento 1 en el sistema controlado y el punto de medición, habrá compensación completa aunque no haya factor l. Nota: Nunca se pueden compensar las variables de perturbación aplicadas entre el punto de medición y la salida del elemento controlador.
Determinación gráfica de un controlador lineal basada en el criterio de Nyquist General El procedimiento se lleva a cabo por medio del diagrama de Bode. Para este diagrama son necesarias tanto la construcción de la conexión en serie del sistema controlado como el equipo de medición, al igual que la construcción del elemento de control. El diagrama de Bode de todo el circuito se determina sumando (multiplicando) la amplitud y la fase de la respuesta de los elementos de transferencia en serie sencilla (ver U'22 y U'23) . Esto es posible debido a la naturaleza logarítmica de la amplitud de la respuesta, después de la conversión a dB. Para el trazo gráfico se debe usar papel semilogarítmico con 4 décadas en el eje r. Procedim iento : Determinar el área de la frecuencia angular w para la cual se debe trazar el diagrama de Bode ; graficar todos los puntos de cruce de interés. Sólo se permiten factores de re spuesta en frecuencia del tipo 1, P. D, Tt, P-Tt , PD y P-T2, con atenuación il < 1 (ver U'22 y U'23) Después de extraer el factor 1, los elementos PI se convierten a una estructura 1-PD y los elementos PID con T nfT v > 4 se convierten a una estructura 1-PD-PD. Todos los coeficientes de acción en serie, el Integral- (Ki), el Proporcional - (KP) o el Derivado (Ko) se resumen en un coeficiente de acción .
Se repre senta la amplitud de la respuesta. Se representa la fase de la respuesta. Se termina mediante el elemento de control. Las tablas de las páginas U'22 y U'23 muestran los diagramas de Bode para elementos P, 1, D, T1, P-T, P-T 2 y PD. Estos diagramas se utilizan para determinar la amplitud y la fase de la respue sta .
1
Ingeniería de control
U'22 Si m· bolo
Diagramas de Bode para elementos básicos y elementos P-T1
Amplitud de la resp. F(w) =
Fase de la resp. Are F(jw) = cp =
Diagrama (Ampl.logaritm.) Kp
Diagrama (fase lineal)
Flds P
~
1O) se puede omitir la conversión . KpR
= TKPk. (Tnk + nk
Tvk);
Tn = Tnk + Tvk;
K¡R
= KTPkR; Tv _ TTnk . TTvk nk
nk
+
vk
El subíndice R (subíndice y) caracteriza valores pertenecientes al ele· mento de control (sistema controlado) . O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33) .
1
Ingeniería de control Condición de margen de ganancia
U'29
Obtención de la condición de margen de ganancia La determinación es muy parecida a la de la condición de margen de fase:
@
- Determinar la fase, =- A' - t 80°.
®
- Dete rminar la frecuencia angular de cruce de fase, w,., donde se alcanza la fase 4>, en la fase de la resp uesta <jly(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el eq uipo de medición; a esta frec uencia la fase de la respuesta <jl(w) del circuito abierto de control final determinado pasa a través de la linea de - 180°. - Determinar la ubicación de los pu ntos de quiebre cuando se aplican las razones arriba mencionadas al valor de la frecuencia angular de cruce de fase determinada en el diagrama.
@
®
- Determinar la pendiente mF de la amp litud de la respues ta inversa FA(w)·''del elemento de control cerca de la frecuencia angular de cruce de fase w,. Se traza una sección asintótica con esta pendiente , a través del punto del valor de amplit ud de la respuesta de Fy(
2 'PR (w 0 ) = J a 62° 3 Ql6 = -180° +O- QlR a -180° + 40°-62 • -202° 1 4 co 06 - 6.0 sec5 1/Tnk6 a Wo6/12 a 6/(12 sec) a 0 .5 sec- 1 ; Tnk6 • 2 sec; 1/Tvkb - coof4 - 6/(4 sec) = 1 ,5 sec- 1; Tvkb - 0 .67 sec; 1/T6 - 6 coo - 36 sec- 1 -+ T6 - 28 msec 8 KPkRb en dB • 12-+ KPkR6 • 4 g KPR6 • (4/2) - 2 .67 • 5 .34 Tn 6 = (2 + 0.67) sec - 2.67 sec; Tv 6 - 2 · 0.67 sec/2.67 - 0.5 sec 11 cp. - - 180° - %1 - - 242° 12 co,.. = 10 sec - 1 1 13 1/Tnk< - co,.,/12- 10/12 sec- - 0.83 sec-\ Tnke - 1.2 sec. 1 1/Tvke - co,.,l4 - 10/4 sec- a 2.5 sec- 1; Tvk< - 0 .4 sec; 1 1/T, - 6 co,.,- 60 sec- ; T, - 17 msec 14 mF = -20 dB/Dek. 16 KPkRe en dB = 17-+ KpkRE = 7.1 17 KPRe = 7.1/1.2 · (1 .2 + 0.4) =9 .47; Tn, - (1.2 + 0.4) sec - 1.6 sec; Tv, = 1.2 · 0.4/(1 .2 + 0.4) sec- 0.3 sec. 18 co 0 , = 6 . 2 sec - 1 21 KPR6 < KPRe-+ KpR • 5.34 (Continúa en U'34)
1
Ingeniería de control 1
Reglas para ajustes
U'34
Continuación de U'33 El elemento de control (PID)-T 1 adecuado tiene los datos caracteristicos: KPR = 5.34, Th = 2.67 seg, T = 0.5 seg . La rapidez con que el circuito de control adecuado llega al valor final se caracteriza por w0 = 6.0 seg·t. Reglas empíricas para ajustar elementos de control P, PI y PID Para sistemas controlados con un elemento de retraso de primer orden y un elemento de tiempo muerto- esto es, sistemas controlados sin la parte 1o factores 1- Z/EGLER y NICHOLS recomiendan los siguientes datos característicos para los tipos de elementos de control arriba citados. Se conocen Kpy. Ty y
T 1y del
sistema controlado:
TablaC contralador
p
PI
PIO
Tn
KpR
7'v
____It_ Kpy • Tti
____It_
0 .9 K
Py .
T.ti
____It_
1.2 K Py . T.ti
3 .3 T1y 2 T 1y
0.5 T 1y
Se desconocen los datos característicos del sistema controlado :
1
Tabla O contralador
KpR
p
0 .5 KPRcrit *
PI
0 .45 KPRcrit *
0 .83 Tcrit **
0.6 KPRcrit *
0 .5 Tcrit **
PID
* **
KPRcrít: Tcrít
Tn
T,
0.1 ?5 Tcrit **
Valor de KPR cuando hay oscilación permanente en el circuito de control. Periodo de oscilación, cuando hay oscilación permanente .
Ingeniería de control Abreviaturas y fórmulas
U'as
Tipos de elementos de transferencia 0: Elemento derivado 0-T1: Elemento derivado con retraso de 1er orden D- Ti Elemento derivado con retraso de 2'1 orden 1: Elemento integral 1-T 1: Elemento integral con retraso de ter orden P: Elemento proporcional PO: Elemento derivado proporcional
PI: Elemento integral proporcional PIO: Elemento derivado integral proporcional P-T 1: Elemento de retraso de ter orden P-T2: Elemento de retraso de 2'1 orden (PO)· T1: Elemento PO con retraso de 1er orden (PIO)-T1: Elemento PIO con retraso de 1er orden T1: elemento de tiempo muerto
Símbolos usados para términos de ingeniería de control
e
Variable de error lnf: Pendiente de la amplitud de la respuesta en el diagrama de Bode Variable de retroalimentación Variable de entrada Variable de salida Vm : Sobrepaso de la función escalón unitario de un elemento de transferencia w Variable de referencia w Variable objetivo X Variable controlada Variable controlada final XA Xm Sobretiro de la variable controlada Variable reguladora y z Variable de perturbación F(jw): Frecuencia de la respuesta Función de transferencia Rs) Amplitud de la respuesta Rw) F,uw) : Frecuencia de la respuesta del circuito abierto de control F,(s) : Función de transferencia del circuito abierto de control F0 (w): Amplitud de la respuesta del circuito abierto de control FA(w) : Amplitud de la respuesta del elemento de control F,(w) : Amplitud de la respuesta de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición Ko : Coeficiente de acción derivada l 4 Tv : Coeficiente de acción integral del K1A(w) elemento controlado Coeficiente de acción proporcional del KpA elemento controlado T Tiempo de retraso Tiempo de crecimiento Período de vida media Tiempo de restablecimiento T,
~
r"" Tiempo para alcanzar el estado estable Tinicio : Tiempo para alcanzar la tolerancia inferior Tiempo muerto equivalente T, Tiempo de derivada T, Tnk.(Tvk): Tiempo de restablecimiento {tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PIO con Tn > 4 Tv. Tnk6· (Tv!W):Tiempo de restablecimiento {tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4 Tv. determinado según el requisito de la fase Tl'lkl:• { Tm):Tiempo de restablecimiento (tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4Tv. determinado según el requisito del margen de ganancia Margen de ganancia Margen de fase
cP
K11
1Q6r¡2l
Pr3l
oc
~
kJ kg K
w
Pa-s
-
o
Agua
Z'1
20 50 100 200
m3
m
K
999,8 998,3 988,1 958,1 864,7
4,217 4,182 4,181 4,215 4,494
0,5620 0,5996 0,6405 0,6803 0,6685
1791,8 1002,6 547,1 281,7 134,6
13,44 6,99 3,57 1,75 0,90
738 719
2,064 2,131
0,144 0,137
1020 714
14,62 11 ,11
2,093 2,232 2,395 2,801 3,454
0,183 0,177 0,173 0,165 0,152
3241 1786 1201 701 326
37,07 22,52 16,63 11,90 7,41
Octano C8 H, 8
-25
Etanol C2H5 0H
-25
-
20 50 100
806 789 763 716
Benceno (o benzol) CsHs
20 50 100 200
879 847 793 661
1,729 1,821 1,968
-
0,144 0,134 0,127 0,108
649 436 261 113
7,79 5,93 4,04 -
o
885 867 839 793 672
1,612 1,717 1,800 1,968 2,617
0,144 0,141 0,136 0,128 0,108
773 586 419 269 133
8,65 7,14 5,55 4,14 3,22
1435 1383 1296
1,33 1,37 1,48
0,212 0,199 0,177
368 304 234
2,31 2,09 1,96
20 50
695 636 609 561
4,45 4,61 4,74 5,08
0,547 0,540 0,521 0,477
317 169 138 103
2,58 1,44 1,26 1,10
20 50 100
871 852 820
1,85 2,06 2,19
0,144 0,143 0,139
13060 5490 2000
168 79 32
20 60 100
866 842 818
2,29 2,29
-
0,124 0,122 0,119
31609 7325 3108
482 125 60
13546
0,139
9,304
1558
0,02
1260
2,366
0,286
15·106 1,24·10 11
o
o
Tolueno (o toluol) C7HB
Dióxido de azufre
so 2
-50
o
Aceite lubricante Aceite para transformador
o
Mercurio Hg Glicerina C3H8 0 3 > ConductiVIdad
o 20 50
Amoniaco NH 3
1
20 50 100 200
20
térm.
2> V1scos1dad (dm.)
3l
Num. Prandtl
1
Z'2 l
Tablas Propiedades térmicas de gases
Gases (a 1000 mbar)
Aire (seco)
t
(!
Cp
oc
~
kJ kg K
-20
o
20 100 200 400
Dióxido de carbono
co 2
Cloro Cl Amoniaco NH 3 Oxigeno
02
Dióxido de azufre
802 Nitrógeno N2
Hidrógeno H2
Vapor de agua (saturado)
'. 1) Conduct1V1dad térm.
-30
o
25 100 200
o 25 100
o 25 100 200 -50
o
25 100 200
o 25 100
o 25 100 200 - 50
o
25 100 200
mJ
•''
w mK
1061)2) Pr 3)
Pa· S
-
1.377 1.275 1,188 0 ,933 0 ,736 0,517
1.006 1,006 1,007 1,012 1,026 1,069
0.023 0.025 0,026 0,032 0,039 0,053
16.15 17.10 17,98 21,60 25.70 32 ,55
0,71 0.70 0,70 0,69 0,68 0,66
2.199 1,951 1,784 1,422 1,120
0,800 0,013 0,827 0,015 0,850 0,016 0,919 0,022 0,997 0,030
12,28 13,75 14,98 18,59 26,02
0,78 0 ,78 0,78 0,77 0,76
3,13 2,87 2,29
0,473 0.0081 0,477 0,0093 0,494 0,012
12,3 13,4 16,8
0,72 0,69 0,69
0,76 0 ,70 0 ,56 0,44
2,056 0,022 2.093 0,024 2,219 0,033 2,366 0,047
9,30 10,0 12,8 16.5
0,87 0,87 0,86 0,83
1,73 1,41 1,29 1,03 0 ,81
0,903 0,909 0,024 0,913 0,026 0,934 0,032 0,963 0,039
16,3 19,2 20,3 24,3 28,8
0,73 0,71 0,71 0,71
0,586 0,607 0,662
0,0086 0,0099 0,014
0,80 0,78 0,77
1,038 1,038 1,0S8 1,047
0,024 0,026 0,031 0,037
11 ,7 12,8 16.3 16,6 17,8 20,9 24,7
0,1 41 0,171 0,181 0,211 0,249
7,34 8,41 8,92 10,4 12,2
0,70 0,69 0,71 0,71 0,71
9,22 10,62 12,28 15,78 19,74 Prandtl
1,041 0,999 1,007 1,163 1,688
2,88 2,64 2,11 1,23 1,13 0,90 0,71 0,11 0 ,09 0 ,08 0 ,07 0,05
13,50 14,05 14,34 14,41 14, 41
o 0,0049 1,864 1,907 50 0 ,0830 100 0,5974 2,034 200 7,865 2,883 300 46,255 6.144 2) V1SCOS1dad (dm .)
0,0165 0,0203 0,0248 0,0391 0,0718 3> Num.
-
0,72 0,71 0,70 0,70
Tablas
1
Esfuerzos permisibles- Maquinado
1
Z'a
Esfuerzos permisibles por flexión o torsión, y módulos E y G para materiales elásticos, en N/mm 2 Mód . Mód . elást. elást. Of(perm. ¡ ang . Tt(perm Tipo de Malerial axial ¡; carga'' A B E Acero para resor1000 500 150 1 650 tes SAE 1078 tem210000 11 750 350 120 80000 500 piado y revenido 111 500 250 80 350 Laten amarme 1 40 120 200 100 150 ASTM -B 134 (274) 110000 11 80 30 42000 100 111 100 50 20 80 HV 150; DIN 17222 Plata alemana 1 200 300 150 50 142000 11 250 120 40 55000 180 ASTM-B 122 (752); 111 150 200 100 30 65-18 HV 160 40 Bronce común 1 200 100 120 150 110000 11 80 30 42000 100 CDA-419 111 100 50 20 80 HV 190 1 200 300 150 50 Bronce fosforado 40 45000 180 117000 11 220 110 CDA-529 HV 190 111 150 150 80 30 A : para resortes simples (faclor de seguridad ~ 1.5) B: para resortes conformados (fac1or de seguridad ~ 3) 10) C : para resortes sin efecto de his1éresis (fac10r de seguridad 'i Véase el significado en P 1. Parte l.
e
~
Cantidades características para el maquinado (para torneado exterior longitudinal) Material Aceros:
Resistencia o dureza (en N/mm 21 )
me
1 - me
kc 1. 1 N/mm 2
ASTM A572 1990 0.26 0.74 520 UNS- K04600 720 0.30 0.70 2260 SAE- 1045 0.14 0.86 2220 670 SAE 1060 770 2130 0.18 0.82 2100 770 0.26 0.74 SAE- 5120 0.30 0.70 2260 630 SAE- 3140 2240 600 0.21 0.79 SAE- 4135 730 0.74 2500 0.26 SAE- 4140 0.74 2220 600 0.26 SAE- 6150 :;At - L6 (recocido) 1740 940 0.24 0.76 SAE - L6 (revenido) ASTME18-74-HRD54 0.24 1920 0.76 o 74 1270 Mehanite A 360 0.26 Hierro colado c/enfr. ASTME18-74·HRD60 0. 19 0.81 2060 ASTM - A48-40B 0.74 11 60 ASTME18-74-HRD33 0.26 Los valores especificados se aplican directamente al torneado con herramienta con punta de carburo. Velocidad de corte v = 90, ... . 125 m/min . Grosor de la viruta h : 0.05 mm:s h:s 2.5 mm . Angula lateral normal normal y - 6 • para acero, y = 2" para hierro colad o Relación de esbeltez , E 4.
1
Z'4 1
Tablas Presiones de contacto permisibles Valores de Pct ...... J en
N/mm•
Características de munones, cojinetes y placas de apoyo: Material Acero 37
Carga H Carga HZ
1 Pe 1 1 ~~ 1Acero
52
Material Carga H Carga HZ
1
Pe
1 ~~~
Lubricación : Véanse manuales o textos (acción hidrodinámica) Acción con lubricación mixta, eje o muMn templado y rectificado 1121 Material
~S
Hierro colado gris Latón rojo ( 836) Bronce común (938 Hierro sinterizado Hierro sinterizado con cobre Bronce sinterizado Bronce común grafitado Metal DEVA)
1 0.3 ... 1 ; > > > * ? ?+ > > ; > > 3 * - 3 + > > @ ! > > - > ;) * + > > - > - > 0 > - > 0 > > ! * + > 6 - # % ! 6 $ 6 $ 6 *+ > 6 - > > @ ! 6 * '+ # # 6 * + # 3 1 # 6AA # " # 6'
6 - # 6 5 6 6 6 > 6 ,
" " 0 0 " 0 0 0 2 0
6 / " , " , ' , , , , , , ' , 6 * + 6 6 : 3 6 . 6 6 - # # 63 4 6 & B & 6 5 6 C 6 C 6 - # 0 ! 6 ! 6; ( ( 6 - # 6 - # 6 - ! 6 * + 6 6 6 - # 0 ! 6 - > > ; > 6 ' D 6 6 6 4 6 D 6 - *6+ # # ' # # ) - # # # 6 ' * B+ # 6 * + 5 6 *+ & ; ! !
2 2 " " " " " " % % @ % 0 0 2 2 % % 0
& 6 & ; ! % ! 6; # 6 - , 6 4 6; 6 6: 3 6 6: * ' + , 6 C C
%
6.;8. D 6.= ' ; ' 6. < * + , ) * 1+ , , !
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( # ( 1 - > ( 5 5 ( 1 5 5 ( * + 5 5 ( 1 # # # ( 7 > ! ! 7 ( ' ( (*+ C C (
( ( 3 , ( ' D ( ( " ( ( E
E 5 E
E
0
2 2 0 " % @ % 2
? ? *+ F ( / ( - > > - > ! (3 *'= 6A6A+ # (3 $ ( $ ( # ( * C+ & ' ( 7 ' > & ! & * + &) ' *? /.?+ 5 & 3 5 5 ! 2 ! & 5 & =3 & 4 B B & 5 &) 7 & 3 - * + - # & ) 3 * + & ' 3 ' 1 *BG+ & 3 &=; , &=
" 0 % % 2
% % % 0 @ % % % % @
&= - " ' " " " " " &= - &; 5 & F & 6 3 6 6 - 6 6 & *+ 5 3 . 5 ; 5 5 5 ; 5 5 5 5 5 5 5 ; 5 ; 5 ;*+ 5 5 5 ! 1 5 5 5 & ' D & @ > 2 > 2 > 2 > 2 > @ > @ @ $ % 3 C * + 1 5 5" ' 5 ! @ 1 5 ! @ . 3 5 3 * + / 0 ' / 2 3 / " / " 1 5 , , , *1 + / @ / . / / /
3 / ' / 3 / ' / ) # / @ * + 5 5 - 6AA # 3 * + # 3 # 6A6A # 0 # ?. ? # 0 # # 0 # ? ? # 0 # = #
%
* +
%
3 ; 8
' 3 * +
%
.) ; 8 - > - > F ; 7 3= 7 > ; 7 5 8 2 5 6 ; 6 6 5 6 5;; D
" " % @ % % % % % % % @ @ @ @ 2 2 @ %
D D 5 * ;'+ > ;' > - > - > > 5 / 5 =3 5 > 5 - > 5; # 5; 3 * ;+ # 5 # I. *6A6A+ # 6AA # 5 ; ! ! 5 1 C 5 > 3
0 2 @ " @ @ 0 0
F $ = - ! ! F' & F 4 & F3 ( F3 ( F8 J $ F F B F' 4 F 3 $ $ F # . * + # = *+ # F # / F D F F - 8 ' #
% % % 2 " %
F - # % # F. ' ) F ' ( F *0:?+@*>04:?+@
6
"
"
6 .
A
*
2 2 / 2 %% 2 2 1 2 # 2 2 , 2 # 2 2 % 2 # 2 % 2 2 # 2 / 2 / 2 / 2 # 2 2 2 ' 2 1 2 , 2 , 2 ( 2 / 2 ( 2 2 / 2 / 2 2 , 2 2 2 2 2 , B
B $B # " 3 "
B # B (
B (
B,>B B 1? B
" B * B 6 B$B/$B%$B 1 * "
B / B 1 A 6 *
3 " -,$-
-
- - % 3* -
- #
- (
-#$- (
- # -
- ' - ' " - '
- - /
" - /
- / 3 - % C - %
- / A
"
, , , 1 1
1
1
1
1
$ #
/
/ " /$ % %
$ D$*D
* % % % %
"
$ %
$D$*D B
"
"
"
E
"
6
5
*
@ @ @ / :@ / @ @ / @ / @ / 5 45 % 5 % 5 % 5
@&
5 5 /
@
6 F % " F % 6 F$F / " F 1 F 1 F,+F @ G .
G1+G ,
G$G %
G G ,
/ % % % /
