Integralgeometrie für Stereologie und Bildrekonstruktion

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Klaus Voss

Integralgeometrie für Stereologie und Bildrekonstruktion Mit 50 Abbildungen und 8 Tabellen

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Prof.em. Klaus Voss Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrstuhl Digitale Bildverarbeitung Friedrich-Schiller-Universität Jena Ernst-Abbe-Platz 2 07743 Jena [email protected]

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Vorwort Das vorliegende Buch ist klassischen Ergebnissen der Integralgeometrie und ihren praktischen Anwendungen in der Stereologie und der Bildrekonstruktion gewidmet. Es unterscheidet sich aber in mehrfacher Hinsicht von vorhandenen Monographien. Da die Integralgeometrie im Hinblick auf Anwendungen in den Gebieten der Geometrischen Wahrscheinlichkeiten und der Stochastischen Geometrie dargestellt werden soll, sehe ich einen Leser vor mir, zu dessen Rüstzeug eher elementargeometrische Kenntnisse gehören als maßtheoretische oder differentialgeometrischen Techniken, die bei den traditionellen Beweisen der zentralen integralgeometrischen Formeln eingesetzt werden. Auch die moderne Betrachtung der Integralgeometrie, bei der es im Wesentlichen um die Inversion verschiedener Integraltransformationen auf Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung geht [Ge03], bleibt außerhalb des hier behandelten Stoffes. Obwohl die Integralgeometrie eine auch für „mathematische Laien“ faszinierende Erfahrung ist, gibt es kaum Bücher darüber und kaum eine Vorlesung (wenn man von rein mathematischen Werken wie die von Schneider/Weil [Sc92] oder Gelfand/Gindikin/Graev [Ge03] absieht. Auch in dem monumentalen, knapp 2000 Seiten umfassenden Nachschlagewerk „CRC Concise Encyclopedia of Mathematics “ von Weisstein, das im Jahre 1999 erschienen ist, findet sich kein Eintrag integral geometry, kein Eintrag stochastic geometry und kein Eintrag support function of a convex body. Etwas anders dagegen das zweibändige, ebenfalls etwa 2000 Seiten starke „Mathematische Wörterbuch“, das von Naas und Schmid im Jahre 1961 herausgegeben wurde. Doch auch dort liest man unter dem Stichwort Integralgeometrie lediglich folgendes: „In der Integralgeometrie geht man von Mengen M von Figuren X eines Raumes R aus, die bezüglich einer in R wirkenden Transformationsgruppe G kongruent sind, d.h. durch Operationen von G transitiv vertauscht werden können. Insbesondere werden Integrale der Form J(f ) =,f (X) dX gebildet, wo f eine über M definierte Funktion ist und die Integration sich über alle X M erstreckt. Dabei bezeichnet dX die G-Dichte von X. Diese ist eine Differentialform der wesentlichen Parameter, welche eine individuell aus M ausgewählte Figur eindeutig kennzeichnen und

VI

Vorwort

so angesetzt werden muß, daß das Integral bezüglich G invariant ausfällt. Diese Forderung besagt nun folgendes: Ist X0M eine feste Auswahlfigur und XM beliebig, so gilt X = X0L mit LG. Setzt man jetzt f *(X) = f (X0.L) mit X = X0L und ., G, so muß J(f )= J(f * ) ausfallen. Ist NGM und bezeichnet J(X) die charakteristische Funktion von N, so daß J(X) = 1 oder 0 (bei X N oder XÕ N), so heißt J(J) = ,J(X) dX das Maß oder auch die integralgeometrische Anzahl der in N enthaltenen Figuren.“ Das erste Kapitel „Konvexe Mengen“ soll diese „Erklärung“ mit Leben erfüllen. Daß es dabei nicht immer abstrakt mathematisch zugeht, ist meiner Ausbildung in theoretischer Physik an der Technischen Universität Dresden geschuldet, die maßgeblich durch Professor Wilhelm Macke geprägt wurde. In seinem Buch „Mechanik der Teilchen, Systeme und Kontinua“ (Leipzig 1962) betont er im Vorwort: „Bei der Darstellung des Stoffs wird stets vom empirischen Standpunkt ausgegangen und jede Axiomatik vermieden. Diesem induktiven Vorgehen liegt die Absicht zugrunde, jeden Gegenstand mit dem jeweils geringsten Aufwand verständlich zu machen. Außerdem wird der Stoff dabei dem Lernenden erheblich leichter zugänglich als bei einer deduktiven Darstellung.“ Inwieweit mir die Einführung in die Integralgeometrie gelungen ist, mag der Leser nach dem Durcharbeiten des ersten Kapitels selbst entscheiden. Ich hoffe, daß er (der Leser, aber möglicherweise auch die eine oder andere Leserin) dann in der Lage ist, das obige Zitat aus dem „Mathematischen Wörterbuch“ inhaltlich zu verstehen. Um das Durcharbeiten etwas zu erleichtern, habe ich einige Abschnitte mit einem Stern gekennzeichnet (zum Beispiel das Kapitel 2.3* mit dem Inhalt „Höhere Potenzen von Sehnenlängen und Punktdistanzen“): diese Ausführungen sind entweder sehr speziell oder aber sehr theoretisch. Besonders liegt mir am Herzen, daß die Bedeutung der Integralgeometrie für Probleme der Stereologie und der Bildrekonstruktion erkannt wird. Denn wenn man auch mit Hilfe einer einfachen stereologischen Formel wie etwa VV = AA = LL =PP mikroskopische Schnitte in Medizin und Biologie oder Schliffe in der Petrographie und der Metallurgie auswerten kann, so wird ein tieferes Verständnis derartiger Zusammenhänge und die Kenntnis einiger weiterer Formeln die praktischen Anwendungen doch wesentlich unterstützen können.

Vorwort

VII

Vielleicht sollte ich hier noch auf die wesentlichen Unterschiede zwischen der Integralgeometrie, der stochastischen Geometrie und der Bildverarbeitung eingehen. In der folgenden Abbildung ist links ein Segment unterhalb der Parabel y = x 2 im Bereich 0< x < 1 dargestellt. Die Aufgabe besteht darin, den Flächeninhalt dieses Segmentes zu bestimmen (dunkelgraues Gebiet).

Die Integralgeometrie nutzt zur Lösung die Methoden der Integralrechnung, so daß wir die Fläche 

F

LQW



x dx



1 3



erhalten. Im Rahmen der stochastischen Geometrie wird die Fläche durch die Monte-Carlo-Methode mittels der Formel FMC  zmc / zges abgeschätzt. Hier ist zges die Anzahl aller im Grundbereich zufällig verteilten Punkte (x,y) und zmc die Anzahl aller im Parabelsegment liegenden Punkte mit y < x2. Die Bildverarbeitung legt über den Grundbereich ein Punktgitter und ermittelt die Fläche durch FGP  zgp / zges mit zgp als

Anzahl aller Punkte des Parabelsegmentes. Zu Anfang und am Ende des Buches sind einige historische Notizen in den mathematischen Text eingefügt. Für mich war es immer interessant zu wissen, was derjenige gedacht und getan hat, der erstmals eine Formel wie zum Beispiel VV =AA aufschrieb. Vielleicht kann auch der Leser davon profitieren, daß die Geschichte der Integralgeometrie und die Biographien ihrer Vertreter in wenigen Sätzen beleuchtet werden. Klaus Voss

Jena, März 2007

Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1 Konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Geschichtlicher Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Die Anfänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Stereologie und Stochastische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Konvexe planare Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Stützabstand und Stützfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Umfang und mittlere Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Fläche und mittlere Sehnenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Parallelfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2* Umschreibende N-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3* Croftonscher Seilliniensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.4 Projektionen und orthogonale Schatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Zweidimensionale Integralgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Allgemeine Theorie konvexer Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Flächenmaß von Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Umfangsmaß von Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Maß der Anzahl von Schnitten konvexer Figuren . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Schnittmaße beliebiger Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Additive Mengenfunktionen und Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Anwendung der Schnittformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Mittlere Flächen und mittlere Umfänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Sehnenlänge und Schnittpunktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Längenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Flächenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Schnittpunkte von Geradenpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6* Integrale über Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen . . . . 2.3* Höhere Potenzen von Sehnenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1* Sehnenlängenpotenzen für spezielle Figuren . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2* Allgemeine Formeln für höhere Sehnenlängenpotenzen . . . . . . 2.3.3* Fundamentalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 36 38 42 44 46 46 47 49 52 54 56 60 60 62 64

2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

X

Inhaltsverzeichnis

3 Dreidimensionale Integralgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 Konvexe Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.1 Stützebene und Stützfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2* Krümmung von 3D-Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.3 Krümmungsintegral und mittlere Breite . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.4 Schnitte von Geraden mit konvexen Körpern . . . . . . . . . . . 80 3.1.5 Parallelkörper und Integralmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.6 Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen . . . . . . . . . . . . 84 3.1.7* Quermaße, Quermaßintegrale und Ungleichungen . . . . . . 85 3.2 Stereologische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.1 Zylinderschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.2 Ungleichungen und Formfaktoren für Körper . . . . . . . . . . 93 3.2.3 Stereologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3 Dicke Schnitte und Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3.1 Grundformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3.2 Dicke Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.3 Experimentelle Ermittlung der Teilchendichte . . . . . . . . . 104 3.3.4 Disector-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4 Wicksellsche Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4.1 Schliffe und Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4.2 Radien von Kugeln und Schnittkreisen . . . . . . . . . . . . . . 109 3.4.3 Dicke Schnitte für kugelförmige Objekte . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.4 Integralgleichung der Radienverteilung . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.5 Verfahren zur Lösung des Wicksellproblems . . . . . . . . . . 115 3.4.6* Wicksellproblem für beliebige konvexe Körper . . . . . . . 116 3.5 Schnitte von Polyedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5.2 Tetraeder und Oktaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.5.3 Konvexe Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 Radon-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 Sehnenanzahl und Rekonstruktion von 2D-Objekten . . . . . . . . 129 4.1.1 Sehnenanzahl konvexer Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1.2 Sehnenanzahl beliebiger Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2 Radon-Transformation und Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.1 Prinzip der Computer-Tomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.2 Absorption der Röntgenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.3 Struktur der Radon-Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.4 Iterative Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Inhaltsverzeichnis

XI

4.3 Radon-Bilder und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.1 Faltung und orthogonale Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . 144 4.3.2 Fourierreihen und Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.3 Inverse Radon-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 Biographische Notizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6 Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Sachwort- und Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

1 Konvexe Mengen 1.1 Geschichtlicher Überblick 1.1.1 Die Anfänge Im vorliegenden Buch sollen einige der Grundgedanken der Integralgeometrie sowie deren Anwendung in Stereologie und Bildverarbeitung dargestellt werden. Dabei dienen die stereologischen Methoden zur weiteren Bearbeitung der durch die digitale Bildverarbeitung erhaltenen Daten, indem Aussagen über die dem zweidimensionalen Bild zugrunde liegenden räumlichen Strukturen getroffen werden sollen. Ein grundlegender Begriff für alle diese Untersuchungen ist der der konvexen Menge [Bo34, Le80]. Aber wir werden erkennen, daß eine große Anzahl wichtiger Formeln allgemeiner auch für beliebige Figuren der Ebene und beliebig geformte Körper des Raumes gelten. Zu den stereologischen Problemen, Resultaten und Anwendungen gibt es eine Vielzahl von Monografien [Un70, Sa76,We80, St83, Se84, St87]. In vielen Fällen liefert dabei die Integralgeometrie bzw. die Stochastische Geometrie wesentliche Beiträge [Bl55, Ke63, Ma75, Sa76, Se84, Sc92]. Die digitale Bildverarbeitung wird hier nur insofern von Bedeutung sein, als daß durch sie die grundlegenden Meßdaten zur Verfügung stellt, aus denen dann stereologische Schlußfolgerungen gezogen werden können. Die mathematischen Grundlagen der Stereologie sind durch die Begriffe „Integralgeometrie“ und „geometrische Wahrscheinlichkeit“ gekennzeichnet. Obwohl deren Anfänge sich über 200 Jahre zurückverfolgen lassen, sind viele Ergebnisse außerhalb der Stereologie und der stochastischen Geometrie auch heute noch weitgehend unbekannt. Deshalb soll hier vor allem die elementare zweidimensionale Integralgeometrie vorgestellt werden und deren praktisch bedeutsamen dreidimensionalen Verallgemeinerungen. Der Graf Buffon (1707-1788) war der erste Wissenschaftler, der an einem einfachen aber sehr instruktiven Beispiel das Zusammenwirken von Integralrechnung, Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung demonstrierte. Bei diesem sogenannten Nadelproblem wird die Ebene durch im Abstand a verlaufende parallele Geraden in Streifen aufgeteilt. Eine Nadel der Länge l wird dann willkürlich auf die Paralle-

2

1 Konvexe Mengen

lenschar geworfen, und es wird gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß die Nadel eine der parallelen Geraden schneidet (siehe die folgendeAbbildung). Dabei wird angenommen, daß die Nadellänge kleiner ist als der Abstand der Geraden, so daß bei jedem Versuch höchstens ein Schnittpunkt auftreten kann [Ro78].

Buffonsches Nadelproblem Da alle Lagen der Nadel gleichwahrscheinlich sein sollen, erhalten wir ein Maß JN für die „Anzahl“ der möglichen Lagen der Nadel, indem wir über alle möglichen Abstände x des Nadelmittelpunktes von einer der Geraden und über alle möglichen Winkel Q integrieren (vorausgesetzt natürlich, daß alle Abstände und alle Winkel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten): a/2 Œ Œ a/2 J

dx dQ

dQ dx Œ a . a/2 0 0 a/2 Ein Schneiden von Nadel und einer der Geraden tritt allerdings nur dann auf, wenn für den Abstand x die Bedingung |x| < (l/2)sin Q gilt. Das entsprechende Maß JS ist daher l/2#sinQ

dQ

2

J$

Π0

dx 0

Œ

l

sinQ dQ 2l . 0

Bei der Durchführung eines Nadelwurf-Experimentes werden wir bei ZN Würfen ZS 4@





10 a 3



, S

> (@



5 Πa b (a  b ) . 









Wir kehren nun nochmals zu der Formel (2.43) zurück, die die Integrale über die k-ten Potenzen der Punktabstände innerhalb einer konvexen Figur mit den Integralen über die (k+3)-ten Potenzen der Sehnenlängen verknüpft. Da die Sehnenlängenpotenzen Sk wegen der Integration über die Winkel Q und die Stützabstände p die physikalische Dimension Längek+1 besitzen, erhalten wir durch die folgende Definition dimensionslose Formfaktoren (die Fläche F besitzt die Dimension Länge2 ): RN

SN F N



Leider können wir nur S0 = U und S3 =3F 2 direkt berechnen, so daß R0 =U/F und R3 =3 folgt. Aber man kann weitere Ungleichungen zwischen den Sehnenlängenpotenzen ableiten. Beispielsweise lautet die allgemeine Form der Schwarzschen Ungleichung

64

2 Zweidimensionale Integralgeometrie 

a f(x) g(x) dx b

b

b f(x)  dx #

 a

g(x)  dx a

für beliebige Funktionen f(x) und g(x). Setzen wir f(x) = sp und g(x) = sq, so erhalten wir 

S5 6  S 5 S 6



, speziell für p 1 und q 2: S  S S

und mit den Werten von S3 und S4 aus den beiden Gleichungen (2.44) S  3 F  / 2t .

und (2.45) folgt die Beziehung Dividieren wir die beiden Seiten dieser Ungleichung durch die vierte  Potenz der Fläche, so ergibt sich wegen F  F # F  sofort auch eine Ungleichung für die verallgemeinerten Formfaktoren: 

R  R R .

(2.50)

2.3.3* Fundamentalbereiche

Eine systematische Behandlung gitterförmiger Figuren findet man in dem 1976 erschienenen Buch von Santaló [Sa76]. Danach wird ein Figurengitter derart aus identischen Fundamentalbereichen aufgebaut, daß die gesamte Ebene überdeckt wird (siehe Abbildung 2.12). Wesentlich dabei ist, daß jeder Punkt der Ebene zu genau einem Fundamentalbereich gehört. Bei der Pflasterung mit Quadraten (Fall a in Abbildung 2.12) muß man also beispielsweise die Punkte der rechten und der unteren Randlinie sowie den Eckpunkt rechts unten dem Fundamentalbereich zuordnen. Im Fall a der Abbildung 2.12 wird daher als Umfang des Fundamentalbereiches nur der halbe Quadratumfang gewertet und im Fall b nur der halbe Umfang des sechseckigen

2.3 Höhere Potenzen von Sehnenlängen 65

Fundamentalbereiches. Im Fall c wird der Umfang des quadratischen Fundamentalbereiches überhaupt nicht berücksichtigt, sondern man betrachtet nur die Länge der im Bereich liegenden Kurvenstruktur.

Abb. 2.12 - Fundamentalbereiche und Überdeckung der Ebene Bezeichnen wir den (nicht notwendig konvexen) Fundamentalbereich mit E0 und irgendeine frei bewegliche Figur mit X, so kann man jederzeit den Durchschnitt E0 B X bilden. Das integralgeometrische Maß bezüglich irgendeiner Funktion f (E0 B X) ist dann definiert durch J

 1



P ( * ; gL

f (E B X ) dX

Beim Schneiden von X mit dem Figurengitter brauchen wir X nur in allen möglichen Orientierungen Q zwischen 0 und 2Œ zu betrachten und in allen möglichen Lagen eines geeignet gewählten Fixpunktes QX von X innerhalb des Fundamentalbereiches E0 . Der Grund dafür ist die Tatsache, daß wegen der gitterförmigen Anordnung der Bereiche die Verschiebung von X über die gesamte Ebene auch dadurch ersetzt werden kann, daß wir jedesmal, wenn QX außerhalb des Fundamentalbereiches E0 liegt, einen anderen Bereich als Fundamentalbereich wählen (Abbildung 2.13). Jeder Durchschnitt Ei BX der beweglichen Figur X mit einem der Bereiche Ei kann auch dadurch erreicht werden, daß man X um ganzzahlige Gitterabstände ûu und ûv verschiebt und danach den Durchschnitt E0 BXûu,ûv betrachtet.

66

2 Zweidimensionale Integralgeometrie

Abb. 2.13 - Zerlegung einer Figur in einzelne Bereiche Wenn nun F0 die Fläche und U0 der Umfang des Fundamentalbereiches ist, so können wir die grundlegenden Formeln (2.16) in der Form J)

F( *; dX 2 ΠF F;

J8

U( *; dX 2 ΠF U;  U F;

J7

T( *; dX 2 ΠF T;  U U;  T F;

schreiben. Dabei ist das Integral über alle Orientierungen der Figur X und alle Lagen ihres Fixpunktes QX im Fundamentalbereich durch 2Œ dX

0

4 ; (

dxdy dQ 2ŒF

gegeben. Also erhalten wir die Mittelwerte der integralgeometrischen Maße zu F J) / 2 Œ F , U J8 / 2 Œ F , T J7 / 2 Œ F

(2.51)

2.4 Aufgaben 67

2.4 Aufgaben A2.1 Bestimme für die drei nebenstehenden Figuren die Totalkrümmungen T1 , T2 , T3 ! A2.2 Berechne das Integral JU aus (2.16) für den Fall, daß die Figur X entsprechend Abbildung 2.4 aus den beiden Figuren X1 und X2 zusammengesetzt ist! A2.3 Eine ortsfeste konvexe Figur K soll durch einen frei beweglichen Kreisring mit den beiden Radien r1 und r2 geschnitten werden. Man berechne den Mittelwert der Länge der in K enthaltenen Kreisbögen im Grenzwert r1  r2 = r ! A2.4 Es sei K ein Quadrat der Seitenlänge a, aus dem ein zentrisch gelegener Kreis mit dem Radius r0 und Lmax >0 (oder Lmin